(57)【要約】【課題】  コンピュータを用いて構造最適化を実行する場合に於いて、安定的にリブ付き構造が生成可能な手法を提供すること。【解決手段】  本発明の構造最適化演算装置は、トポロジー最適化の手法に従った有限要素法により設計領域内の各有限要素の各節点の変位を算出する処理及び体積制約割合条件を満たした状態で設計領域内にて有意な材料密度を有する有限要素によって生成される構造体にて算出される評価関数を最適化するよう各有限要素に割り当てられた材料密度を更新する処理と、設計領域内の各有限要素に割り当てられ、反応拡散系に於いて周期パターンを形成する物質の濃度値と同様に設計領域内にて変化する擬似濃度成分を算出する処理及び更新された材料密度を擬似濃度成分により補正する処理とを、所定の終了条件が成立するまで反復し、設計領域内にて有意な材料密度を有する有限要素によって生成される構造体の形状を出力又は表示する。【選択図】        図７
2019114012.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
コンピュータを用いた数値演算処理により複数の有限要素にて構成された設計領域内にて最適な構造を設定された設計条件及び境界条件の下で見出す構造最適化演算装置であって、
前記設計領域の寸法、前記設計領域に対する拘束条件及び荷重条件を含む境界条件、前記有限要素の各々に割り当てられた材料密度、及び、前記設計領域の体積に対する前記設計領域内にて有意な材料密度を有する有限要素によって生成される構造体の体積の割合である体積制約割合を含む構造最適化初期条件を設定する初期条件設定手段と、
前記設計領域内の前記有限要素の各々に割り当てられ、反応拡散系に於ける空間的な濃度分布が均一な状態から時間の経過と共に空間的に周期的に変化したパターンを形成する物質の濃度値と同様に前記設計領域内にて変化する擬似濃度成分を更新する周期パターン形成関数のためのパラメータを設定する初期パラメータ設定手段と、
前記設計領域の寸法、前記設計領域内の前記有限要素の各々に割り当てられた前記材料密度、前記境界条件を用いて有限要素法に従って前記設計領域内の各有限要素の各節点の変位を算出する有限要素解析手段と、
前記体積制約割合を満たした状態で前記設計領域内の各有限要素の各節点の前記変位に基づいて前記構造体にて算出される評価関数を最適化するよう前記有限要素の各々に割り当てられた前記材料密度を更新する材料密度更新手段と、
前記周期パターン形成関数を用いて前記有限要素の各々に割り当てられた擬似濃度成分を更新する擬似濃度成分更新手段と、
前記更新された材料密度を前記擬似濃度成分により補正する材料密度補正手段と、
所定の終了条件が成立するまで、前記更新され又は補正された材料密度を用いて、前記有限要素解析手段、前記材料密度更新手段、前記擬似濃度成分更新手段及び前記材料密度補正手段の各処理を反復させる反復処理手段と、
前記有限要素の各々に割り当てられた最新の材料密度の分布、最新の有意な材料密度を有する有限要素の分布又は前記設計領域内にて有意な材料密度を有する有限要素によって生成される構造体の最新の形状を出力又は表示する構造体出力手段と
を含む装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、コンピュータを用いた構造体の構造最適化演算を実行する装置に係り、より詳細には、コンピュータによる数値解析を通じて、任意の設計条件・境界条件下に於いて最適な構造（例えば、任意の力学的条件下にて剛性が最大化される構造）を見出す装置に係る。
【背景技術】
【０００２】
コンピュータを用いた有限要素法などの数値計算技術の発展により、任意の設計条件・境界条件下に於ける最適な構造又は形状をコンピュータ上で求める「構造最適化」演算が実施されるようになっている。かかるコンピュータを用いた構造最適化の手法によれば、車両のボディーを初め、種々の機械器具、建築物などの種々の構造体を実際に製作する前に、構造体が要求される特性を備えているか否かの把握、或いは、要求される若しくは好ましい性能を備えた構造体の設計案の取得が可能となる点で有利である。そのような「構造最適化」の一つとしては、例えば、「トポロジー最適化（位相最適化）」と称される手法が知られている（特許文献１〜３、非特許文献１、２）。かかる「トポロジー最適化」では、端的に述べれば、有限要素法等による数値解析とその結果から得られる平均コンプライアンス等の目的関数又は評価関数を最適化する演算処理とを通じて、或る与えられた領域（設計領域）内に於いて、任意の設計条件・境界条件の下での最適な構造、例えば、任意の力学的条件下での剛性が最大化される構造、を与える材料分布が生成される。より具体的には、例えば、特許文献１では、初めに、多数の、それぞれ微小な孔を有する有限要素から構成される任意の寸法の設計領域を設定した上で、任意の境界条件と体積制約条件の下、各有限要素の孔の寸法を変化させながら設計領域内にて有限要素により形成される構造体の平均コンプライアンスとその（各要素の孔の大きさに対する）感度を反復して演算し、最小の平均コンプライアンスを与える有限要素内の孔の寸法の分布を見出し、剛性の最大化された構造体の形状を生成する手法が開示されている。また、特許文献２は、材料の密度がそれぞれ割り当てられた多数の有限要素から構成される任意の寸法の設計領域に於いて、任意の境界条件と体積制約条件の下、各有限要素の材料密度を変化させながら有限要素により形成される構造体の平均コンプライアンスとその（各要素の密度に対する）感度を反復して演算し、平均コンプライアンスを最小化する材料の密度分布を生成し、剛性の最大化された構造体の形状を生成する手法を開示している。特許文献３では、仮想的なセルに分割された設計領域内に於いて、任意の境界条件の下、材料の存在するセルの全ての応力が目標応力を超える材料の存在するセルの分布を見出し、剛性の最大化された構造体の形状を生成する手法が開示されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特開２００２−１８９７６０
【特許文献２】特開２００４−３４８６９１
【特許文献３】特開２００４−１３３７０４
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】計算力学レクチャーコース  トポロジー最適化  一般社団法人日本計算工学会編  西脇眞二・泉井一浩・菊池昇著  丸善出版  ２０１３年
【非特許文献２】カイ・リュウ、アンドレス・トバル（Kai  Liu  Andr´es  Tovar）  ストラクト・マルチディスク・オプティム（Struct  Multidisc  Optim）  2014年  50:1175−1196
【非特許文献３】シゲル・コンドウ、リヒト・アサイ  （Shigeru  Kondo  &  Rihito  Asai）  ネイチャー（Nature）  ３７６巻  ７６５−７６８頁  １９９５年
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
上記の如き一般的なトポロジー最適化演算に於いては、より具体的には、例えば、図１（Ａ）に示されている如く、梁形状の設計領域１０の一方の端１０ｅが壁１２上に固定され、もう一方の端１０ｔに荷重Ｆｅｘが付与される状態を想定し、設計領域内にて最終的に形成される構造体の体積の、設計領域１０の体積に対する割合（体積制約割合）を任意に設定して、設計領域１０内の各有限要素内の微小孔の寸法又は材料密度を変化させながら、平均コンプライアンスを最小化する設計領域１０内の微小孔の寸法又は材料密度の分布が算出される。そうすると、設計領域内にて材料が存在する要素の分布が、典型的には、図１（Ｂ）に模式的に示されている如く、複数の孔Ｐを有する構造体を形成するような分布となり、これにより、コンピュータ上にて、最小化された平均コンプライアンスを与える構造体、即ち、最適な性能を有する構造体の形状が見出されることとなる（以下、最適化処理に於いて、或る構造が見出されることを「構造が生成される」と称する。）。
【０００６】
ところで、上記の図１（Ａ）の如き、所謂、片持ち梁の構造、或いは、壁に設置した棚のような構造に於いて、体積制約割合が小さくなる場合、経験的には、図１（Ｃ）に模式的に描かれている如く、水平の天板Ｕの下方を、複数枚の垂直に延在するリブＲにて補強した構造（以下、このような構造を「リブ付き構造」と称する。）が好ましいことがわかっている。しかしながら、上記の如き一般的なトポロジー最適化演算では、実際には、図１（Ｃ）の如き複数のリブＲ状の構造は得られにくい。より詳細に説明すると、まず、数学的に最適なリブ付き構造は、無限に薄いリブを無限の枚数設置することであるが、そのような構造は明らかに現実的ではない。現実的なリブ付き構造は、有限個の、有限の厚さのリブを設けた構造であるところ、例えば、厚さ１ｍｍのリブを１０枚設置することと、２ｍｍの厚さのリブを５枚設置することは、状況によっては、ほとんど力学的には等価である。即ち、リブ付き構造に於いては、各リブが「この位置に無ければならない」という必然性が無く、位置や個数には自由度があり、従前のトポロジー最適化演算技術の如く、数学的な手段による場合、厳密に必然性が有る構造は生成される一方、リブ付き構造のように自由度がある形状は、一般的には、生成されにくいこととなる。例えば、初期条件のパラメータ（例えば、特許文献１の孔の径）の値が不均一であったり、初期形状に凸凹があったりする場合には、それをキッカケとしてリブのような形状が生成することがあるが、このようなリブ付き構造の生成は不規則な初期条件に依存するために不安定であり、確実に好ましい構造を生成することは困難となっている。
【０００７】
上記の如く、一般的なトポロジー最適化演算では、最適構造としてリブ付き構造が生成されることは困難であるところ、本発明の発明者の研究によれば、上記の如きトポロジー最適化演算の処理に於いて現れる成分に対して、周期パターンを自動的に形成する成分を導入することによって、安定的にリブ付き構造が生成されることが見出された。かかる周期パターンを自動的に形成する成分は、非特許文献３に例示されている如き、均一な状態から周期的なパターンを形成する反応拡散系の数理モデルの方程式により算出される物質の濃度と同様に変化する成分であってよい。かかる知見は、本発明に於いて利用される。
【０００８】
かくして、本発明の課題は、コンピュータを用いた数値解析技術により任意の設計条件・境界条件下にて最適な構造を見出す構造最適化演算を実行する場合に於いて、安定的にリブ付き構造が生成可能な手法を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
本発明によれば、上記の課題は、コンピュータを用いた数値演算処理により複数の有限要素にて構成された設計領域内にて最適な構造を設定された設計条件及び境界条件の下で見出す構造最適化演算装置であって、
前記設計領域の寸法、前記設計領域に対する拘束条件及び荷重条件を含む境界条件、前記有限要素の各々に割り当てられた材料密度、及び、前記設計領域の体積に対する前記設計領域内にて有意な材料密度を有する有限要素によって生成される構造体の体積の割合である体積制約割合を含む構造最適化初期条件を設定する初期条件設定手段と、
前記設計領域内の前記有限要素の各々に割り当てられ、反応拡散系に於ける空間的な濃度分布が均一な状態から時間の経過と共に空間的に周期的に変化したパターンを形成する物質の濃度値と同様に前記設計領域内にて変化する擬似濃度成分を更新する周期パターン形成関数のための初期パラメータを設定する初期パラメータ設定手段と、
前記設計領域の寸法、前記設計領域内の前記有限要素の各々に割り当てられた前記材料密度、前記境界条件を用いて有限要素法に従って前記設計領域内の各有限要素の各節点の変位を算出する有限要素解析手段と、
前記体積制約割合を満たした状態で前記設計領域内の各有限要素の各節点の前記変位に基づいて前記構造体にて算出される評価関数を最適化するよう前記有限要素の各々に割り当てられた前記材料密度を更新する材料密度更新手段と、
前記周期パターン形成関数を用いて前記有限要素の各々に割り当てられた擬似濃度成分を更新する擬似濃度成分更新手段と、
前記更新された材料密度を前記擬似濃度成分により補正する材料密度補正手段と、
所定の終了条件が成立するまで、前記更新され又は補正された材料密度を用いて、前記有限要素解析手段、前記材料密度更新手段、前記擬似濃度成分更新手段及び前記材料密度補正手段の各処理を反復させる反復処理手段と、
前記有限要素の各々に割り当てられた最新の材料密度の分布、最新の有意な材料密度を有する有限要素の分布又は前記設計領域内にて有意な材料密度を有する有限要素によって生成される構造体の最新の形状を出力又は表示する構造体出力手段と
を含む装置によって達成される。
【００１０】
上記の構成に於いて、「設計領域」、「設計条件及び境界条件」は、通常のトポロジー最適化演算の場合と同様に、任意に設定されてよい。「有限要素」とは、「有限要素法」に於ける「要素」と同様の意味であり、設計領域を任意に格子状に分割して得られる複数の節点を結んで構成される多面体（又は多角形）の要素である。各有限要素には、上記の如く、所謂「密度法」を用いたトポロジー最適化演算（例えば、特許文献２、非特許文献１、２）の場合と同様に、設計変数である、０〜１の値を取る「材料密度」が割り当てられ、材料密度は、上記の反復処理の過程に於いて更新されて、好ましくは、０又は１に収束していくことが期待される。また、上記の構成に於いて「有意な材料密度を有する有限要素」とは、材料密度が実質的に非０である要素（例えば、小数点第一位を四捨五入して１になる要素）であり、かかる要素の集合が成す形状が、「設計領域」内にて生成される目的の「構造体」の形状となる（即ち、「有意な材料密度を有する有限要素」の分布により「設計領域」内にて目的の「構造体」の形状が見出されることとなる。）。なお、ここで生成される「構造体」としては、車両のボディーを初め、種々の機械器具、建築物又はそれらを構成する任意の部材などとして使用される構造体であってよい。そして、上記の構成に於いて、「初期条件設定手段」にて設定される「構造最適化初期条件」とは、通常の「密度法」を用いたトポロジー最適化演算を実行するために必要な初期条件であり、「有限要素解析手段」に於いて設計領域内の各有限要素の各節点の変位を算出する際に採用される「有限要素法」は、この分野に於いて通常利用されている有限要素法の手法であってよい。「材料密度更新手段」に於ける、構造体にて算出される評価関数を最適化するよう有限要素の各々に割り当てられた材料密度を更新する処理は、通常のトポロジー最適化演算に於いて用いられている手法（例えば、最適性基準法、逐次線形計画法、逐次凸関数近似法など）と同様であってよく、典型的には、「構造体にて算出される評価関数」として、構造体の平均コンプライアンス若しくはポテンシャルエネルギー等が採用され、材料密度の更新は、かかる評価関数の感度（設計変数である材料密度の変化に対する評価関数の変化量、即ち、設計変数についての評価関数の微分）を用いて、構造体が、初めに設定された体積制約割合（設計領域内にて最終的に形成される構造体の体積の、設計領域１０の体積に対する割合）を満たすことを数学的な拘束条件として、構造体の剛性が最大化されるように実行されることとなる（平均コンプライアンスが最小化されるか又はポテンシャルエネルギーが最大化されるように材料密度が更新される。）。
【００１１】
更に、上記の密度法を用いたトポロジー最適化演算を実行する構成に加えて、本発明の装置の場合には、設計領域内の各有限要素に、「擬似濃度成分」が割り当てられ、「擬似濃度成分」は、「反復処理手段」による反復処理の過程に於いて、有限要素毎に「周期パターン形成関数」に用いて逐次的に更新される。ここで、「周期パターン形成関数」とは、所謂「反応拡散系」に於いて、時間の経過と共に空間的な濃度分布が均一な状態から空間的に周期的に変化した状態となる現象（周期パターン形成）を生ずる物質の濃度値の変化を記述する関数であり、この関数により得られる「擬似濃度成分」は、設計領域内に於いて、有限要素毎に変化する成分であって、その、上記の反復処理の過程に於いて見られる変化の態様が周期パターン形成を生ずる物質の濃度値の変化の態様と同様となるように算出される。なお、本発明に於いて「反応拡散系」は、後により詳細に説明される如く、空間内で活性物質（Activator）と阻害物質（Inhibitor）とが相互作用することにより、活性物質の濃度分布が空間的に周期的に変動するパターンを形成する系（非特許文献３に例示されている如き反応拡散系）であってよいが、これに限定されないことは理解されるべきである。そして、上記の如く、「擬似濃度成分」は、各有限要素にて更新され、対応する有限要素の「更新された材料密度」の補正に利用される。擬似濃度成分による材料密度の補正は、例えば、有限要素毎に、「更新された材料密度」に対して擬似濃度成分の比例項を加算することによって為されてよい。
【００１２】
また、本発明の装置に於いては、上記の如く、反復処理手段による更新され又は補正された材料密度を用いた有限要素解析手段、材料密度更新手段、擬似濃度成分算出手段及び材料密度補正手段の各処理の反復は、所定の終了条件が成立するまで実行される。ここで、「所定の終了条件」は、目的の構造体の形状が得られるように任意に設定されてよいところ、具体的には、例えば、（ｉ）反復処理回数が任意に設定されてよい回数に到達した場合、（ii）構造体にて算出される評価関数の値が収束した場合（処理サイクル毎の評価関数の変化量が所定の小数以下となった場合）、（iii）更新される材料密度の値が収束した場合（処理サイクル毎の材料密度の変化量の最大値が所定の小数以下となった場合）などが選択されてよい。更に、本発明の装置に於いては、上記の如く「構造体出力手段」が設けられ、演算処理過程に於いて得られた材料密度の分布、有意な材料密度を有する有限要素の分布又は構造体の形状がコンピュータのモニターの画面上や紙面にてグラフィックス表示されるようになっていてよい。
【００１３】
かくして、上記の本発明の装置では、基本的には、「密度法」を用いた通常のトポロジー最適化演算の場合と同様に、設計領域内の各有限要素に設計変数として割り当てられた材料密度を逐次的に更新しながら、有限要素法によって算出される各有限要素の節点変位から得られる評価関数が最適化されるように材料密度の分布を探索し、そこで得られた材料密度の分布に於いて有意な材料密度を有する有限要素の集合の成す形状が目的の構造体の形状として得られることとなる。かかる一連の演算処理を実行する構成に於いて、特に、本発明では、上記の如く、材料密度が、周期パターン形成を発生する擬似濃度成分によって補正されながら、評価関数を最適化するよう更新されることとなる。かかる構成によれば、構造最適化のための演算処理が繰り返されると共に、擬似濃度成分は、設計領域に於いて、均一な分布から空間的に周期的に変化するパターンの分布を形成することとなり、その擬似濃度成分の分布に出現する空間的な周期パターンが材料密度の分布にも出現する。そうすると、演算処理を繰り返し実行する間に、図１（Ａ）に模式的に描かれている如き均一な材料密度分布の構造から図１（Ｃ）に模式的に描かれている如き複数枚のリブＲが周期的に並んで天板Ｕを支えて成るようなリブ付き構造が自動的に生成されることとなる。
【００１４】
ところで、擬似濃度成分にて補正された材料密度は、厳密には、構造体にて算出される評価関数を最適化するよう更新された値とは異なるので、擬似濃度成分にて補正された材料密度の分布から得られる構造体の形状は、評価関数を最適化するものとは異なってしまう可能性がある。そこで、上記の本発明の装置に於いて、一連の処理の反復処理の開始後、材料密度補正手段の処理の反復を、所定の終了条件が成立するよりも前に終了し、その後は、有限要素解析手段と材料密度更新手段の処理のみが反復されるようになっていてよい。かかる構成によれば、材料密度補正手段の処理の反復の終了後には、材料密度は、構造体にて算出される評価関数を最適化するよう更新された値となるので、材料密度の分布から得られる構造体の形状は、評価関数を最適化する方向に収束していくことが期待される。なお、後の実施例の欄に於いて説明される如く、材料密度補正手段の処理の反復を所定の終了条件が成立するよりも前に早期に終了しても、リブ付き構造の如き周期性を有する構造が生成されることは確認されている。即ち、擬似濃度成分による材料密度の補正は、最適化されていく構造体の形状に於いて周期パターンを形成するキッカケを安定的に提供するものであるということができる。
【発明の効果】
【００１５】
上記の本発明によれば、トポロジー最適化演算の手法に於ける有限要素の材料密度を周期パターン形成を生ずる擬似濃度成分により補正することによって、コンピュータ上でリブ付き構造の如き周期性を有する構造を生成することが可能となる。かかる本発明の構成の場合、周期性を有する構造を得る演算処理が、初期状態として、材料密度分布が不規則ではなく、均一な状態から開始されるので、初期状態が不規則であることによる不確定性が排除され、演算結果を安定的にすることができる。
【００１６】
本発明のその他の目的及び利点は、以下の本発明の好ましい実施形態の説明により明らかになるであろう。
【図面の簡単な説明】
【００１７】
【図１】図１（Ａ）は、構造最適化演算に於いて設定される片持ち梁形状の設計領域の模式図である。図１（Ｂ）は、通常のトポロジー最適化演算によって生成される複数の孔Ｐを有する構造体の模式図である。図１（Ｃ）は、図１（Ａ）の形状から構造最適化演算により生成したいリブ付き構造体の模式図である。
【図２】図２は、本発明の装置による構造最適化演算が実行されるコンピュータを模式的に表した図である。
【図３】図３は、本発明の装置に於いて導入される周期パターン形成関数によって算出される擬似濃度成分の変化の例を示している。
【図４】図４は、本発明の装置による構造最適化演算の処理をフローチャートの形式にて表した図である。
【図５】図５は、本発明の装置の実験例に於ける構造最適化演算の処理に於いて設定された設計領域の模式図である。
【図６】図６（Ａ）、（Ｂ）は、それぞれ、図５に例示の設計領域に於いて本発明の装置の実施形態による構造最適化演算に於ける反復処理を３０回実行したときの材料密度分布（ρ分布）と擬似濃度成分分布（Ａ分布）とを示している。色が濃いほど、材料密度値、擬似濃度成分値が高いことを示している。図６（Ａ）に於いて、材料密度＜０．５の要素は、消去されている。
【図７】図７は、図５に例示の設計領域に於いて本発明の装置の実施形態による構造最適化演算に於いて反復処理を２００回実行したときに生成された構造体の形状を示した図である。なお、擬似濃度成分による材料密度の補正は、初めの３０サイクルのみ実行した。（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）に於いて、体積制約割合Ｖflacが、それぞれ、０．２５、０．３、０．４、０．５に設定されている。材料密度＞０．５の要素が構造体の形状として示されている。
【図８】図８は、図５に例示の設計領域に於いて擬似濃度成分による材料密度の補正を実行せずに構造最適化演算に於ける反復処理を２００回実行したときに生成された構造体の形状を示した図である。（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）に於いて、体積制約割合Ｖflacが、それぞれ、０．２５、０．３、０．４、０．５に設定されている。材料密度＞０．５の要素が構造体の形状として示されている。
【符号の説明】
【００１８】
１…コンピュータ本体
２…コンピュータ端末
３…モニター
４…キーボード、マウス（入力装置）
【発明を実施するための最良の形態】
【００１９】
コンピュータ装置の構成
本発明による構造最適化演算を実行する装置は、この分野で通常使われている形式の、図２に例示されている如き、コンピュータ装置１に於けるコンピュータ・プログラムの作動により実現されてよい。コンピュータ装置１には、通常の態様にて、双方向コモン・バスにより相互に連結されたＣＰＵ、記憶装置、入出力装置（Ｉ／Ｏ）が装備され、記憶装置は、本発明の演算で使用する演算処理を実行する各プログラムを記憶したメモリと、演算中に使用されるワークメモリ及びデータメモリを含んでいる。また、実施者によるコンピュータ装置１への指示及び計算結果その他の情報の表示及び出力は、コンピュータ装置１に接続されたコンピュータ端末装置２を通じて為される。コンピュータ端末装置２には、通常の態様にて、モニター３とキーボード並びにマウスといった入力装置４が設けられ、プログラムが起動されると、実施者は、プログラムの手順に従ってモニター３上の表示に従って、入力装置４を用いてコンピュータ装置１に各種の指示及び入力を行うとともに、モニター３上にてコンピュータ装置１からの演算状態及び演算結果等を視覚的に確認することが可能となる。なお、図示していないその他の周辺機器（結果を出力するプリンタ、計算条件及び演算結果情報等を入出力するための記憶装置など）がコンピュータ装置１及びコンピュータ端末装置２に装備されていてよいことは理解されるべきである。コンピュータ装置１を用いて、以下に述べる各種の処理又は演算を実行する際には、通常の態様にて、各種の処理又は演算に必要なプログラムが起動され、実施者は、コンピュータ端末装置２に於いて、プログラムに於いて準備された入力手順に従って、演算に必要なデータ、演算時の計算条件その他の各種設定を入力し、演算が開始される。そして、演算の実行中又は終了後に、演算結果が、適宜、コンピュータ端末装置２を通じて出力可能となる。
【００２０】
上記のコンピュータ装置１に於いて、本発明による構造最適化演算を行う場合、端的に述べれば、まず、入力装置４からの実施者の入力操作によって、最適化された構造体が生成される設計領域の寸法、構造体を形成する材料の特性値（ヤング率、ポアソン比）及び体積制約割合を含む設計条件や構造体の拘束条件及び構造体に作用する荷重条件を含む境界条件などの通常のトポロジー最適化演算を実行するために必要な初期条件の設定と、後に詳細に説明される如く、設計領域を構成する各有限要素に割り当てられて周期パターン形成関数によって更新される擬似濃度成分の算出のために必要な初期パラメータ値の設定とが実行される。そうすると、コンピュータ装置１は、構造最適化演算処理の準備として、プログラムメモリに記憶されたプログラムを用いて、設計領域を複数の有限要素に分割する処理を実行すると共に、得られた有限要素の各々への材料密度の初期値と擬似濃度成分の初期値との割り当てを実行する。かくして、かかる演算処理の準備が完了すると、コンピュータ装置１は、プログラムメモリに記憶されたプログラムに従い、通常のトポロジー最適化演算と同様の要領にて、（ａ）有限要素法による各有限要素の各節点に生ずる変位と作用する荷重の算出、（ｂ）設計領域内に生成される構造体の評価関数の感度（各有限要素の材料密度の変化に対する評価関数の変化量）の算出及び（ｃ）評価関数が最適化されるように各有限要素の材料密度を更新する処理を含む一連の演算処理を実行すると共に、（ｄ）周期パターン形成関数を用いた各有限要素の擬似濃度成分の更新演算を実行し、更に、（ｅ）更新された材料密度を擬似濃度成分により補正する演算を実行する。上記の（ａ）〜（ｅ）の演算処理は、後述の終了条件が成立するまで反復して実行され、これにより、材料密度の分布、即ち、構造体の形状が、逐次的に最適化された状態に近づいていくことが期待される。また、一連の演算処理の結果として得られた材料密度の分布、有意な材料密度を有する有限要素の分布、構造体の形状及び／又は擬似濃度成分の分布のグラフィック表示がモニター３上に表示されてよい。
【００２１】
密度法を用いたトポロジー最適化演算の概要
上記までの説明から理解される如く、本発明の装置の実施形態に於ける構造最適化演算では、基本的には、密度法（Density-based  Approach）を用いたトポロジー最適化演算の手法に従って、設計領域内にて有意な材料密度を有する有限要素から構成される構造体の体積が所与の体積制約割合の条件を満たすことを条件として、構造体の評価関数が最適化されるように各有限要素の材料密度を反復して更新する演算処理が実行され、有意な材料密度を有する有限要素の分布の形状が目的の構造体の形状として見出されるようになっていてよい。かかる最適化演算に於いて、例えば、図１（Ａ）に描かれている如き片持ち梁状の設計領域内にて剛性ができるだけ高くなる構造体の形状を見出すための処理を実行する場合には、構造体の評価関数としては、構造体のコンプライアンス又はポテンシャルエネルギーが採用され、材料密度は、コンプライアンスが最小化されるように又はポテンシャルエネルギーが最大化されるように更新されてよい。また、密度法に於いては、各有限要素の材料密度ρｎ（ｎは、要素番号）は、
０≦ρｎ≦１      …（１）
の条件を満たすよう設定され更新され、材料密度ρｎのときの要素の材料のヤング率Ｅｎが、
Ｅｎ（ρｎ）＝ρｎＰＥｏ      …（２）
と設定される。ここで、Ｐは、ペナルティパラメータと称する値（＞１）であり、Ｅｏは、材料密度ρｎ＝１のときの材料のヤング率である。なお、後に説明される有限要素法による演算に於ける特異性を回避するために、ヤング率Ｅｎは、
Ｅｎ（ρｎ）＝Ｅmin＋ρｎＰ(Ｅｏ−Ｅmin)      …（３）
と修正されて用いられてよい（非特許文献１、２）。ここで、Ｅminは、材料密度ρｎ＝０のときの仮想的な材料のヤング率である。また、演算結果に於いて、各有限要素の材料密度の値ができるだけ０又は１に収束するように材料密度ρｎには、任意のフィルター処理を施した値が用いられてよい。更に、設計領域内の構造体の体積は、要素ｎの体積ｖｎを用いて、Σρｎ・ｖｎ（ここで、Σは、全要素についての総和である。）により与えられるので、材料密度ρｎは、体積制約割合の条件として、
Σρｎ・ｖｎ≦Ｖflac・Ｖｔ      …（４）
（ここで、Ｖｔは、設計領域の体積）
が満たされるように更新されることとなる。
【００２２】
本実施形態にて採用される最適化演算の具体的な処理手順に於いては、まず、初期状態の設定として、設計領域内にて生成される構造体に対する拘束条件、構造体に対して作用する荷重条件、体積制約割合（設計領域の体積に対する生成されるべき構造体の体積の割合）、材料密度ρｎの初期値、構造体を構成する材料の特性値（ヤング率、ポアソン比）を含む構造最適化演算のための初期条件が実施者により設定される。そして、設定された設計領域に対して、任意のプログラムを用いて有限要素の設定が為される。材料密度ρｎの初期値は、設計領域内全域に於いて均一な値であってよい。
【００２３】
次いで、下記の（ａ）、（ｂ）の演算処理が所定の終了条件が成立するまで反復して実行される。
【００２４】
（ａ）有限要素法による演算−任意のプログラムを用いて、有限要素法に従って、設計領域内に於ける各有限要素の各節点の変位が算出される。この分野に於いて知られている如く、有限要素法では、具体的には、全要素の剛性行列Ｋ、節点変位ベクトルＵ、節点荷重ベクトルＦからなる平衡方程式
Ｋ・Ｕ＝Ｆ      …（５）
を解くことにより、節点変位ベクトルＵが得られる。なお、剛性行列Ｋに於いて使用される各要素のヤング率Ｅｎには、式（２）又は（３）が用いられる。
【００２５】
（ｂ）材料密度の更新−有限要素法により得られた設計領域内に全要素の節点変位ベクトルＵと全要素の剛性行列Ｋとを用いて、構造体の評価関数（コンプライアンス又はポテンシャルエネルギー）及び／又はその材料密度ρｎに対する感度（材料密度ρｎについての評価関数の微分）が算出され、更に、材料密度ρｎに対する構造体のコンプライアンス又はポテンシャルエネルギーの感度を用いて、体積制約割合条件（式（４））が満たされることを拘束条件として構造体のコンプライアンス又はポテンシャルエネルギーが最小化又は最大化されるように新たな材料密度ρｎを算出する演算処理、即ち、材料密度ρｎの更新処理が実行される。材料密度ρｎの更新処理は、例えば、最適性基準法、逐次線形計画法、逐次凸関数近似法などの手法に従って実行されてよい。例えば、新しい材料密度ρｎ(k+1)は、それまでの材料密度ρｎ(k)を用いて（kは、反復処理の回数）、
ρｎ(k+1)＝Ｂｎ(k)・ρｎ(k)       …（６）
の形式にて与えられる。（ここで、Ｂｎ(k)は、評価関数の感度を用いて算出される値である。）。具体的な演算処理のアルゴリズムは、例えば、非特許文献１、２などに記載されている。
【００２６】
上記の（ａ）、（ｂ）の演算処理は、（ｂ）の処理にて新たな材料密度ρｎ(k+1)が得られる度に、それを材料密度ρｎ(k)として用いて、繰り返し実行される。かかる反復処理を実行されるにつれて、材料密度ρｎの分布は、体積制約割合条件（４）を満たしつつ、構造体のコンプライアンス又はポテンシャルエネルギーを最小化又は最大化する方向、即ち、構造体の剛性が高くなる方向に変化していくことが期待される。そして、かかる処理が反復されていく過程で、好ましくは、各要素の材料密度ρｎの値は、０又は１に収束され、これにより、設計領域内に於いて有意な材料密度（ρｎ≒１）を有する要素の分布の形状が体積制約割合を満たす条件下で剛性が高くなった構造体の形状として見出されることとなる。なお、（ａ）、（ｂ）の反復処理を終了するための所定の終了条件としては、（ｉ）反復処理回数が任意に設定されてよい回数に到達した場合、（ii）構造体のコンプライアンス又はポテンシャルエネルギーの値が収束した場合（処理サイクル毎のコンプライアンス又はポテンシャルエネルギーの変化量が所定の小数以下となった場合）、（iii）更新される材料密度ρｎの値が収束した場合（処理サイクル毎の材料密度の変化量の最大値が所定の小数以下となった場合）などが選択されてよい。（ii）又は（iii）を終了条件として採用する場合には、結果として得られる構造体の形状は、体積制約割合条件の下で、最適化されていることが期待される。
【００２７】
周期パターン形成関数の構成
「発明の概要」の欄に於いて述べた如く、本発明の装置では、トポロジー最適化演算により、構造体の評価関数が最適化されるように各有限要素の材料密度を反復して更新していく過程に於いて、各有限要素の材料密度が周期パターン形成を生ずる擬似濃度成分によって補正され、これにより、結果として現れる設計領域内の材料密度の分布の形状、即ち、構造体の形状に於いて、図１（Ｃ）に模式的に描かれている如き周期的なリブＲのような構造が得られることとなる。かかる本発明の装置の構成に於いて、擬似濃度成分によって生ずる周期パターン形成現象は、非特許文献３にて例示されている如き、所謂「反応拡散系」に於ける活性物質の濃度分布に見られる周期パターン形成現象であってよい。
【００２８】
（ｉ）反応拡散系の概要
本発明の装置の構成に於いて採用される擬似濃度成分を与える反応拡散系に於いては、初期状態として、活性物質（Activator）の濃度Ａと阻害物質（Inhibitor）の濃度Ｉとが均一である空間が仮定される。ここに於いて、阻害物質は、活性物質よりも大きな拡散係数を有し、且つ、活性物質の生成を阻害する働きを有し、活性物質は、自身と阻害物質の生成を促進する働きを有するものと仮定する。そうすると、阻害物質が速く拡散して、活性物質の生成を邪魔することとなり、活性物質の濃度Ａが高いところでは、活性物質が生成され難く、活性物質の濃度Ａが低いところでは、阻害物質の濃度Ｉが低いために、活性物質の生成が促進されることとなり、活性物質の濃度Ａが高い領域が新たに出現することとなり、かくして、空間に於いて活性物質の濃度Ａの分布の高い領域と低い領域とが交互に現れる周期的なパターンが自動的に形成されることとなる。
【００２９】
上記の反応拡散系に於ける活性物質濃度Ａと阻害物質濃度Ｉとの変化挙動と空間的な分布は、下記の微分方程式により与えられることが示されている（非特許文献３）。：
【数１】
2019114012.tif 000003
ここで、ＤＡ、ＤＩは、活性物質、阻害物質の拡散係数であり、ｃ１、ｃ２、ｃ３、ｃ４、ｃ５、ｇＡ、ｇＩは、それぞれ、定係数である。Ａtmax、Ｉtmaxは、それぞれ、Ａ、Ｉの上限値である。そして、上記の方程式（７ａ）、（７ｂ）を時間ｔ及び距離ｘについて離散化すると、下記の漸化式に書き換えられる。（ｋ、ｎは、それぞれ、時間ｔ、距離ｘを離散化した指標である。）：
【数２】
2019114012.tif 000004
ここで、
αＡ＝ΔｔＤＡ／Δｘ２；αＩ＝ΔｔＤＩ／Δｘ２
である。
【００３０】
図３は、例として、上記の式（８ａ）、（８ｂ）を用いて算出された活性物質濃度Ａの分布の時間変化を時系列に（下から上に）プロットしたものである。なお、同図の活性物質濃度Ａの算出に於いて、ＤＡ＝０．００７、ＤＩ＝０．１、ｇＡ＝０．０３、ｇＩ＝０．０６、ｃ１＝０．０８、ｃ２＝−０．０８、ｃ３＝０．０５、ｃ４＝０．１、ｃ５＝−０．１５、Ａtmax＝０．１８、Ｉtmax＝０．５とした。また、計算の安定化のため、αＡ，αＩ＜０．５の条件を追加し、Δｔ＝０．１９、ｎの最大値＝１２６とした。同図を参照すると、活性物質濃度Ａの分布に於いて、左端に与えた初期条件の乱れをキッカケに距離ｘ方向に周期的な変化パターン構造が生成していることが理解される。なお、図示の例では、距離ｘ方向の周期は４であった（０＜ｘ＜１に於いて、四つの山が生成された。）。
【００３１】
（ii）擬似濃度成分の材料密度への適用
本発明の装置に於いては、設計領域に於ける各有限要素に対して擬似濃度成分を割り当てて、構造最適化のための演算処理が反復されるとともに、擬似濃度成分の値が、上記の反応拡散系に於いて時間の経過と共に距離方向に周期パターンを形成する活性物質濃度Ａと同様に変化するよう更新される。そして、各有限要素に於いて、擬似濃度成分と材料密度とを相互作用させて、擬似濃度成分に於ける周期パターン形成効果を材料密度に於いても作用させることが試みられる。
【００３２】
擬似濃度成分と材料密度との相互作用は、具体的には、擬似濃度成分と材料密度とを下記の如く関連付けることによって達成されてよい。まず、擬似濃度成分は、反応拡散系の活性物質濃度Ａと同様に下記の方程式にて与えられるものとする。：
【数３】
2019114012.tif 000005
上記の式に於いては、式（７ａ）、（７ｂ）の場合と異なり、活性物質濃度Ａ（擬似濃度成分）と阻害物質濃度Ｉの空間変化が３次元（ｘ，ｙ，ｚ）方向に生ずるものと設定している。上記の式を離散化して漸化式の形式に表すと、：
【数４】
2019114012.tif 000006
が得られる。ここに於いて、ｎは、要素番号であり、ｋは、処理回数の指標である。Ａ(n+1)xk，Ａ(n+1)yk，Ａ(n+1)zk等は、それぞれ、Ａnkからｘ、ｙ、ｚ方向に１ずれた要素の値を示している。
【００３３】
かくして、上記の漸化式（１０ａ）、（１０ｂ）により活性物質濃度Ａ（擬似濃度成分）及び阻害物質濃度Ｉを算出し、これらの値と得られた材料密度ρｎとが下記の如く関連づけられる。
Ａnk+1←Ａnk+1＋Δｔ・Ｃ６（ρｏnk+1−ρｏmean）          …（１１ａ）
Ｉnk+1←Ｉnk+1＋Δｔ・Ｃ７（ρｏnk+1−ρｏmean）          …（１１ｂ）
ρnk+1←ρｏnk+1＋Δｔ・Ｃ８（Ａnk+1−Ａｏ）          …（１１ｃ）
ここで、Ｃ６、Ｃ７、Ｃ８は、定係数である。ρｏnk+1は、上記のトポロジー最適化演算に於ける式（６）によって得られた要素ｎの最新の材料密度である。ρｏmeanは、最新の材料密度の平均値であり、Ａｏは、活性物質濃度Ａの初期値（反応拡散系方程式の平衡解）である。これにより上記の式（１１ｃ）の如く、材料密度ρnk+1には、反応拡散系に於ける活性物質濃度Ａと同様に周期パターン形成を生ずる擬似濃度成分が加算され、材料密度ρnk+1に於いて、周期パターン形成効果が寄与することとなる。
【００３４】
上記の式（１０ａ）、（１０ｂ）、（１１ａ）〜（１１ｃ）が本発明の装置に於ける周期パターン形成関数となる。実際の演算処理に於いては、式（１０ａ）、（１０ｂ）、（１１ａ）〜（１１ｃ）による活性物質濃度Ａ（擬似濃度成分）、阻害物質濃度Ｉ及び材料密度を算出する演算が構造最適化に於ける反復演算処理と同期して繰り返し実行される。そうすると、後の実験例に於いても示されている如く、擬似濃度成分の値の大きい領域に於いては、材料密度の値が増大するため、もしここにリブ等の構造を設置することで構造が改善する場合は、この局所的な材料密度の増大をキッカケとしてリブ等の構造が生成されることとなる。また、式（１１ａ）、（１１ｂ）の如く、活性物質濃度Ａ（擬似濃度成分）及び阻害物質濃度Ｉに対して材料密度を付加すると、材料密度の高いところでＡ、Ｉの値が増大され、構造最適化と周期パターン形成とが同期することとなる。
【００３５】
なお、Ａ、Ｉの値は、一旦飽和すると、これらの値に対して、式（１１ａ）、（１１ｂ）に示す材料密度の寄与を受け付けなくなることが見出された。そこで、式（１０ａ）、（１０ｂ）のそれぞれにＡ、Ｉの値が大きく変動したときに、値を減衰する非線形の減衰項が付加されてよい（後述のＳ関数）。また、構造最適化の収束に対して周期パターン形成の収束は遅いので、構造最適化の反復処理１サイクルに対して周期パターン形成の演算を複数回（例えば、２００回以上）実行するようになっていてよい。（即ち、その場合、式（６）の材料密度の更新処理を１回実行したら、式（１０ａ）、（１０ｂ）、（１１ａ）〜（１１ｃ）の演算が２００回以上実行されて、新たな材料密度が算出される。）。
【００３６】
装置の作動
図４を参照して、本実施形態の装置に於ける構造最適化演算の処理手順は、次のように実行されてよい。まず、トポロジー最適化演算を実行するために必要な初期条件と、周期パターン形成関数による擬似濃度成分の算出のために必要な初期条件との設定が実行される（ステップ１、２）。既に触れた如く、これらの初期条件の設定は、演算の実施者により入力装置４を通じて実行される。しかる後、まず、有限要素法による設計領域内の各有限要素の各節点の変位の演算が実行され（式（５）、ステップ３）、続いて、設計領域内に生成される構造体の評価関数又はその感度の演算が実行される（ステップ４）。そして、構造体の評価関数の感度を用いて、上記の態様にて、トポロジー最適化の手法に従った材料密度（密度関数）の更新演算が実行され、設計領域内の新たな材料密度の分布が得られることとなる（式（６）、ステップ５）。次いで、今度は、周期パターン形成関数による設計領域内の各有限要素の擬似濃度成分の演算が実行され（式（１０ａ）、（１０ｂ）、（１１ａ）、（１１ｂ）、ステップ６）、新たな擬似濃度成分を用いて材料密度の補正が実行される（式（１１（ｃ）、ステップ７）。そして、一連の演算処理が完了すると、設計領域内の材料密度の分布、有意な材料密度を有する要素の分布、又は、構造体の形状がコンピュータのモニター３上に表示されてよい（ステップ８）。
【００３７】
かくして、一連の処理が実行されると、既に述べた如き所定の終了条件が成立しているか否かが判定され（ステップ９）、所定の終了条件が成立していなければ、ステップ３〜ステップ８の実行が繰り返され、所定の終了条件が成立すると、演算処理が終了する。
【００３８】
ところで、トポロジー最適化演算により得られた材料密度に対して周期パターン形成関数による擬似濃度成分を寄与させる場合、得られた材料密度の値は、真の最適化演算による値と異なることとなる。即ち、周期パターン形成関数による擬似濃度成分による補正が為される限り、得られた構造体の形状は、最適化演算により得られる形状と異なることとなる。そこで、本発明の装置に於いては、擬似濃度成分による補正は、反復演算処理の初期のみ実行し、所定の終了条件が成立する前に、所定回数を過ぎたら擬似濃度成分による補正を実行しないようになっていてよい。その場合、処理手順に於いて、反復演算処理回数が所定回数に達したら、ステップ６、７を回避するか、式（１１ｃ）のＣ８が０に設定されるようになっていてよい。
【００３９】
計算実験例
上記に説明した本発明の装置の有効性を検証するために、図５に例示する片持ち梁形状を設計領域１０として、上記の処理手順に従って、計算実験を実行し、図１（ｃ）の如きリブ付き構造が生成されることを確認した。実験に於いては、設計領域１０の空間を間隔１で離散化する一方、設計領域１０に於いて（図３に例示されている如く）４つのリブが周期的に生ずるように、周期パターン形成関数に於ける離散化の間隔Δｘは、
Δｘ＝４／Ｌｗａｖｅ      …（１２）
となるよう設定した。Ｌｗａｖｅは、リブの間隔である。また、式（１０ａ）、（１０ｂ）に於いて、非線形減衰項を追加すべく、それぞれ、下記の項を付加した。
Ａnk+1に対して
−Ｓ（Ank,Ad,Ao）/Td      …（１３ａ）
Ｉnk+1に対して
−Ｓ（Ink,Id,Io）/Td      …（１３ｂ）
ここで、
Ｓ(x,xd,xo)=max(0,x-xo-xd)+min(0,x-xo+xd)
である。また、構造最適化の反復処理１サイクルに対する周期パターン形成の演算の反復回数は４００とした。材料密度の更新（式（６））では、最適性基準法を用いた。更に、式（１１ｃ）のρnk+1に対して下限値ρminを設定した。図３の演算に使用したパラメータはそのまま使用し、それ以外の使用した定数値は、以下の通りである。：Lwave＝５．７；c6=0:05；c7=0:015；c8=0:0004；A0=3；I0=2.5；Ad=0.2；Id=0.2；Td=80；ρmin=0.15
【００４０】
図６（Ａ）、（Ｂ）は、構造最適化演算の反復を３０回実行した際の材料密度分布（ρ分布）と擬似濃度成分分布（Ａ分布）とを示している（体積制約割合は、０．３とした。）。同図を参照して、擬似濃度成分は、構造最適化と関係なく周期パターンを形成するので、その影響を受け、材料密度分布も真に最適化されていない形状を呈することとなる。実際、図示の例では、梁の根元から中間部に形成される上下に３層になった分布が初期に形成されたところ、これは最適構造では無く、周期パターン形成の作用により生成された構造であり、また、下部の荷重印加部から少し離れた部位にて切断された状態も周期パターン形成の作用によるものと考えられ、これらの非最適な構造は、周期パターン形成作用を除去した後に構造最適化演算を反復する過程で消滅することが確認されている。一方、周期パターン形成の作用の影響で作り出された構造が真の最適構造に近い場合、協調してその構造が形成される。今回の幅広梁の場合、梁の両側に荷重支持構造が生じるところ、この構造は周期パターン形成に影響し、この構造から派生する周期パターン構造が生成されるものと考えられる。
【００４１】
図７（ａ）〜（ｄ）は、本実施形態の装置に於いて、構造最適化演算の反復が３０回に達するまで、擬似濃度成分により材料密度を補正し、それ以降は、擬似濃度成分による補正を実行しなかった場合に得られた構造体の形状を示している。図中、Ｖflacは、体積制約割合を示している。また、図８（ａ）〜（ｄ）は、初めから擬似濃度成分による材料密度の補正を実行しなかった場合の構造体の形状を示している（即ち、従前のトポロジー最適化の手法によるものである。）。これらの図を比較して理解される如く、図８の如く擬似濃度成分による材料密度の補正を実行しなかった場合には、周期的なリブは生成されなかったが、図７の如く擬似濃度成分による材料密度の補正を実行した場合には、明瞭に、周期的にリブを有する構造が生成されることが確認された。これにより、本発明の装置によれば、トポロジー最適化演算に於いて得られる各有限要素の材料密度を、周期パターン形成関数により得られる擬似濃度成分にて補正することにより、好ましいリブ付き構造が生成できることが示された。
【００４２】
以上の説明は、本発明の実施の形態に関連してなされているが、当業者にとつて多くの修正及び変更が容易に可能であり、本発明は、上記に例示された実施形態のみに限定されるものではなく、本発明の概念から逸脱することなく種々の装置に適用されることは明らかであろう。
【図１】
2019114012.tif 000007
【図２】
2019114012.tif 000008
【図３】
2019114012.tif 000009
【図４】
2019114012.tif 000010
【図５】
2019114012.tif 000011
【図６】
2019114012.tif 000012
【図７】
2019114012.tif 000013
【図８】
2019114012.tif 000014