(57)【要約】【課題】  鋳造速度が変更されても鋳片の中心部の固相率に大きな変化を生じさせず、鋳造速度の変更前後における鋳片軽圧下時の鋳片に対する圧下量を一定に保持することを可能とする。【解決手段】  冷却制御装置１００は、温度評価位置の現在時刻におけるエントロピー、温度、および固相率を、伝熱凝固モデルを用いて導出する。冷却制御装置１００は、温度評価位置のそれぞれについて、当該温度評価位置が、鋳造方向において下流側の将来予測位置に移動したときのエントロピー、温度、および固相率を、伝熱凝固モデルを用いて導出する。冷却制御装置１００は、冷却水の水量を変更した場合の各温度評価位置における各将来予測位置での鋳片中心部の温度と、当該将来予測位置に対応する鋳片中心部参照温度との偏差が小さいほど小さな値をとる目的関数Ｊの値が最小になるときの冷却水量変更量指示値を求める。【選択図】  図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
連続鋳造機の鋳型から引き抜かれた鋳片を冷却する２次冷却帯を、前記鋳片の鋳造方向に複数の冷却ゾーンへと分割し、各冷却ゾーンに含まれる冷却スプレーから噴射される冷却水の流量を制御することにより、前記鋳片の温度を制御する連続鋳造機の２次冷却制御装置であって、
熱伝導方程式に基づき、前記鋳片の前記鋳造方向に垂直な断面の内部の温度である鋳片断面内温度と、前記断面における前記鋳片の表面の温度である鋳片断面表面温度と、前記断面内の固相率の分布である鋳片断面内固相率分布と、を少なくとも算出する計算式である伝熱凝固モデルを記憶するモデル記憶手段と、
予め定められた温度測定位置において前記鋳片の鋳造中に測定された前記鋳片の表面の温度の測定値を取得する鋳片表面温度取得手段と、
前記連続鋳造機の鋳造速度と前記冷却水の流量とを含む操業データを取得する操業データ取得手段と、
前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を評価する位置であって、前記鋳片の鋳造方向の位置である温度評価位置を、前記鋳型内の湯面の位置から、機端出口の位置までの領域に対し、予め定めた一定の間隔で設定する温度評価位置設定手段と、
前記伝熱凝固モデルの計算に用いる前記鋳片の表面の熱伝達係数を、前記操業データに含まれる前記冷却水の水量と、前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の測定値と、前記熱伝達係数を補正するための熱伝達係数補正パラメータとを用いて算出する熱伝達係数推定手段と、
前記温度評価位置の各々における前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を含む第１の計算値を、鋳造が前記温度評価位置間の間隔だけ進むごとに、前記伝熱凝固モデルを用いて算出する温度固相率分布算出手段と、
前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の測定値と、該温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の推定値であって、前記温度固相率分布算出手段で算出された前記第１の計算値に基づいて算出される前記鋳片の表面の温度の推定値とを用いて、前記熱伝達係数補正パラメータを導出する熱伝達係数補正手段と、
前記鋳片の中心部の温度である鋳片中心部温度の目標値である鋳片中心部目標温度を、前記温度評価位置の各々について設定する鋳片中心部目標温度設定手段と、
前記温度評価位置の各々について、該温度評価位置から、該温度評価位置よりも鋳造方向で下流側の予め定めた位置までの範囲を、該温度評価位置の将来予測範囲として設定することと、該温度評価位置の各々について、該温度評価位置に対する該将来予測範囲内にある前記温度評価位置の各々を、該温度評価位置に対する将来予測位置として設定することとを行ったうえで、前記鋳造速度および前記冷却水の水量が現在時刻における値から変化しないと仮定すると共に、前記伝熱凝固モデルを用いて計算した、前記温度評価位置の各々における現在時刻での前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を初期値として、前記温度評価位置の各々が、現在時刻から前記将来予測位置の各々に進んだ時点での該将来予測位置における前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を含む第２の計算値を、前記伝熱凝固モデルを用いて算出する将来予測手段と、
現在時刻における前記冷却水の水量の実績値からの前記冷却水の水量の変更量の指示値である冷却水量変更量指示値であって、前記冷却ゾーンの各々に対する前記冷却水量変更量指示値を決定変数とし、前記冷却水量変更量指示値に従って前記冷却水の水量が変更された場合の、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部温度と、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部目標温度と、の差を表す項を含む目的関数の値を最大または最小にする前記冷却水量変更量指示値を求める最適化問題を解くことで、前記冷却水量変更量指示値を算出する冷却水量変更量指示値算出手段と、
前記冷却水量変更量指示値算出手段により算出された前記冷却ゾーンの各々に対する前記冷却水量変更量指示値と、現在時刻における前記冷却ゾーンの各々の前記冷却水の水量の実績値とに基づいて、前記冷却ゾーンの各々の前記冷却水の水量を変更する冷却水量変更手段と、を有し、
前記目的関数は、前記温度評価位置に対する前記将来予測位置の各々における前記第２の計算値に基づいて算出される、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部温度の予測値と、前記鋳片中心部目標温度設定手段により設定された、該将来予測位置の各々における前記鋳片中心部目標温度と、前記冷却水量変更量指示値とを用いて表され、
鋳造が少なくとも前記温度評価位置間の間隔だけ進むごとに、前記鋳片表面温度取得手段、前記操業データ取得手段、前記温度評価位置設定手段、前記熱伝達係数推定手段、前記温度固相率分布算出手段、前記熱伝達係数補正手段、前記鋳片中心部目標温度設定手段、前記将来予測手段、前記却水量変更量指示値算出手段、および前記冷却水量変更手段が繰り返し実行されることにより、鋳造中の任意の時刻での前記将来予測位置における前記鋳片中心部温度を、前記鋳片中心部目標温度に近づけることを特徴とする連続鋳造機の２次冷却制御装置。
【請求項２】
前記温度評価位置設定手段で設定された前記温度評価位置の各々について、前記鋳片中心部目標温度設定手段で設定された前記鋳片中心部目標温度と、前記温度固相率分布算出手段で算出された前記第１の計算値に基づいて算出される現在時刻における前記鋳片中心部温度の計算値とを用いて、該鋳片中心部温度の計算値と、前記鋳片中心部目標温度との間の温度であって、前記鋳造方向で下流側にある前記将来予測位置の温度であるほど、前記鋳片中心部目標温度に近づく温度である鋳片中心部参照温度を算出する鋳片中心部参照温度算出手段を更に有し、
前記目的関数は、前記鋳片中心部目標温度に替えて、前記鋳片中心部参照温度算出手段で算出された前記鋳片中心部参照温度を用いて表されることを特徴とする請求項１に記載の連続鋳造機の２次冷却制御装置。
【請求項３】
前記将来予測手段は、前記伝熱凝固モデルを用いて、前記温度評価位置の各々と該温度評価位置に対する前記将来予測位置とにおける前記鋳片断面内温度および前記鋳片表面温度を計算すると共に、前記温度評価位置の各々について、該温度評価位置に対する前記将来予測範囲内にある前記将来予測位置に対応する前記冷却ゾーンにおける、前記冷却水の水量に対する前記鋳片断面内温度の偏微分係数を、前記鋳片中心部温度に対する前記冷却水の水量の影響を表す係数である鋳片中心部温度影響係数として算出し、
前記目的関数は、前記温度評価位置の各々に対する前記将来予測範囲内にある前記将来予測位置での前記鋳片中心部温度の予測値と、該将来予測位置における前記鋳片中心部目標温度と、該将来予測位置に対応する前記冷却ゾーンにおける前記鋳片中心部温度影響係数と、前記冷却水量変更量指示値とを用いて表されることを特徴とする請求項１または２に記載の連続鋳造機の２次冷却制御装置。
【請求項４】
前記最適化問題は、前記将来予測位置の各々での前記鋳片中心部温度の予測値と、前記鋳片中心部目標温度と、前記鋳片中心部温度影響係数と、前記冷却水量変更量指示値とを用いて表現される項であって、前記冷却水量変更量指示値に従って前記冷却水の水量が変更された場合の、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部温度と、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部目標温度との差の２乗を含む項と、前記決定変数である前記冷却水量変更量指示値の各々の２乗を含む項とを有する目的関数を前記目的関数として用いた２次計画問題であり、
前記冷却水量変更量指示値算出手段は、前記２次計画問題における前記決定変数に対する係数行列を算出して数値的に求解することにより、前記目的関数の値が最小になるときの前記決定変数の値を、前記冷却ゾーンの各々に対する前記冷却水量変更量指示値の最適値として算出することを特徴とする請求項３に記載の連続鋳造機の２次冷却制御装置。
【請求項５】
前記熱伝達係数補正パラメータは、前記熱伝達係数推定手段により算出される前記熱伝達係数に乗じられるものであり、
前記熱伝達係数補正手段は、前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の測定値と、前記温度固相率分布算出手段で算出された前記第１の計算値に基づいて算出される前記鋳片の表面の温度の推定値であって、前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の推定値と、の差を最小にする最適化計算を行うことにより、前記熱伝達係数補正パラメータの最適解を算出することを特徴とする請求項１〜４の何れか１項に記載の連続鋳造機の２次冷却制御装置。
【請求項６】
前記熱伝達係数補正手段は、前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の測定値と、前記温度固相率分布算出手段で算出された前記第１の計算値に基づいて算出される前記鋳片の表面の温度の推定値であって、前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の推定値と、を用いた拡張カルマンフィルタにより、該測定値と該推定値との誤差分散が最小になるときの前記熱伝達係数補正パラメータを、前記熱伝達係数補正パラメータの最適解として算出することを特徴とする請求項５に記載の連続鋳造機の２次冷却制御装置。
【請求項７】
前記温度評価位置間の前記鋳造方向の間隔は、前記複数の冷却ゾーンのうち、少なくとも、前記鋳造方向における長さが最も長い前記冷却ゾーンの前記鋳造方向の長さの２分の１以下であることを特徴とする請求項１〜６の何れか１項に記載の連続鋳造機の２次冷却制御装置。
【請求項８】
前記鋳造速度は、前記鋳片の鋳造中に変化することを特徴とする請求項１〜７の何れか１項に記載の連続鋳造機の２次冷却制御装置。
【請求項９】
連続鋳造機の鋳型から引き抜かれた鋳片を冷却する２次冷却帯を、前記鋳片の鋳造方向に複数の冷却ゾーンへと分割し、各冷却ゾーンに含まれる冷却スプレーから噴射される冷却水の流量を制御することにより、前記鋳片の温度を制御する連続鋳造機の２次冷却制御方法であって、
熱伝導方程式に基づき、前記鋳片の前記鋳造方向に垂直な断面の内部の温度である鋳片断面内温度と、前記断面における前記鋳片の表面の温度である鋳片断面表面温度と、前記断面内の固相率の分布である鋳片断面内固相率分布と、を少なくとも算出する計算式である伝熱凝固モデルを記憶するモデル記憶工程と、
予め定められた温度測定位置において前記鋳片の鋳造中に測定された前記鋳片の表面の温度の測定値を取得する鋳片表面温度取得工程と、
前記連続鋳造機の鋳造速度と前記冷却水の流量とを含む操業データを取得する操業データ取得工程と、
前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を評価する位置であって、前記鋳片の鋳造方向の位置である温度評価位置を、前記鋳型内の湯面の位置から、機端出口の位置までの領域に対し、予め定めた一定の間隔で設定する温度評価位置設定工程と、
前記伝熱凝固モデルの計算に用いる前記鋳片の表面の熱伝達係数を、前記操業データに含まれる前記冷却水の水量と、前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の測定値と、前記熱伝達係数を補正するための熱伝達係数補正パラメータとを用いて算出する熱伝達係数推定工程と、
前記温度評価位置の各々における前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を含む第１の計算値を、鋳造が前記温度評価位置間の間隔だけ進むごとに、前記伝熱凝固モデルを用いて算出する温度固相率分布算出工程と、
前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の測定値と、該温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の推定値であって、前記温度固相率分布算出工程で算出された前記第１の計算値に基づいて算出される前記鋳片の表面の温度の推定値とを用いて、前記熱伝達係数補正パラメータを導出する熱伝達係数補正工程と、
前記鋳片の中心部の温度である鋳片中心部温度の目標値である鋳片中心部目標温度を、前記温度評価位置の各々について設定する鋳片中心部目標温度設定工程と、
前記温度評価位置の各々について、該温度評価位置から、該温度評価位置よりも鋳造方向で下流側の予め定めた位置までの範囲を、該温度評価位置の将来予測範囲として設定することと、該温度評価位置の各々について、該温度評価位置に対する該将来予測範囲内にある前記温度評価位置の各々を、該温度評価位置に対する将来予測位置として設定することとを行ったうえで、前記鋳造速度および前記冷却水の水量が現在時刻における値から変化しないと仮定すると共に、前記伝熱凝固モデルを用いて計算した、前記温度評価位置の各々における現在時刻での前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を初期値として、前記温度評価位置の各々が、現在時刻から前記将来予測位置の各々に進んだ時点での該将来予測位置における前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を含む第２の計算値を、前記伝熱凝固モデルを用いて算出する将来予測工程と、
現在時刻における前記冷却水の水量の実績値からの前記冷却水の水量の変更量の指示値である冷却水量変更量指示値であって、前記冷却ゾーンの各々に対する前記冷却水量変更量指示値を決定変数とし、前記冷却水量変更量指示値に従って前記冷却水の水量が変更された場合の、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部温度と、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部目標温度と、の差を表す項を含む目的関数の値を最大または最小にする前記冷却水量変更量指示値を求める最適化問題を解くことで、前記冷却水量変更量指示値を算出する冷却水量変更量指示値算出工程と、
前記冷却水量変更量指示値算出工程により算出された前記冷却ゾーンの各々に対する前記冷却水量変更量指示値と、現在時刻における前記冷却ゾーンの各々の前記冷却水の水量の実績値とに基づいて、前記冷却ゾーンの各々の前記冷却水の水量を変更する冷却水量変更工程と、を有し、
前記目的関数は、前記温度評価位置に対する前記将来予測位置の各々における前記第２の計算値に基づいて算出される、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部温度の予測値と、前記鋳片中心部目標温度設定工程により設定された、該将来予測位置の各々における前記鋳片中心部目標温度と、前記冷却水量変更量指示値とを用いて表され、
鋳造が少なくとも前記温度評価位置間の間隔だけ進むごとに、前記鋳片表面温度取得工程、前記操業データ取得工程、前記温度評価位置設定工程、前記熱伝達係数推定工程、前記温度固相率分布算出工程、前記熱伝達係数補正工程、前記鋳片中心部目標温度設定工程、前記将来予測工程、前記却水量変更量指示値算出工程、および前記冷却水量変更工程が繰り返し実行されることにより、鋳造中の任意の時刻での前記将来予測位置における前記鋳片中心部温度を、前記鋳片中心部目標温度に近づけることを特徴とする連続鋳造機の２次冷却制御方法。
【請求項１０】
請求項１〜８の何れか１項に記載の連続鋳造機の２次冷却制御装置の各手段としてコンピュータを機能させることを特徴とするプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、連続鋳造機の２次冷却制御装置、連続鋳造機の２次冷却制御方法、およびプログラムに関し、特に、連続鋳造機の２次冷却帯で鋳片に噴射する冷却水の水量を制御するために用いて好適なものである。
【背景技術】
【０００２】
連続鋳造において、鋳片の凝固末期に溶質成分が濃化した未凝固液相が凝固収縮による固相デンドライト組織内の負圧部に吸引されることにより、鋳片に中心偏析が生じることがある。この鋳片の中心偏析を防止する技術としてはいわゆる鋳片軽圧下が知られている。これは、切断の直前に鋳片を圧下することにより鋳片に対する圧力を補償することで、鋳片に中心偏析が生じることを防止する技術である。
【０００３】
鋳片軽圧下では、鋳造方向の数ｍ程度にわたって鋳片を厚み方向に圧下し、鋳造方向の圧下速度を鋳片の中心部固相率（中心固相率）で決定することで、効果的に中心偏析を防止できることが、特許文献１に示されている。
特許文献１では、鋳片中心部の温度が液相線温度を下回る位置、すなわち固相率が０（ゼロ）を超え始める位置から流動限界固相率までの範囲では１．０〜２．０ｍｍ／ｍｉｎの圧下速度で圧下し、以降鋳片が完全に凝固するまでの範囲では０．３ｍｍ／ｍｉｎ未満の圧下速度で圧下することで中心偏析を防止するだけでなく、Ｖ偏析や逆Ｖ偏析などの欠陥を防止できることが示されている。特許文献１に記載されているように、Ｖ偏析は、Ｖ字状の偏析であり、鋳片の厚み方向の中心部付近から鋳造方向に向かって鋳片の厚み方向の両側にＶ字状に延びる形態の偏析である。逆Ｖ偏析は、鋳造方向とは逆方向（メニスカスの方向）に向かうＶ偏析である。
【０００４】
一方、連続鋳造機の２次冷却帯の冷却水量の制御に関し、特許文献２および特許文献３には、鋳造速度の変化時に鋳片の表面温度を調整する技術が開示されている。特許文献２では、鋳片表面の割れ疵を防止するために、鋳造速度と冷却水量との関係を予め定めておき、鋳造速度の変更時の鋳片の表面温度の変化を抑制する方法が開示されている。また、特許文献３では、鋳造速度の変更時に鋳片全体の表面温度を目標値に制御する方法が開示されている。
【０００５】
また、鋳造中に鋳造速度が変化した場合には、鋳造速度の変化の開始以降、ストランド内の鋳片全体が同じ速度で鋳造されるまでは、鋳片の中央の温度および固相率の鋳造方向の分布が変化する。そのため、鋳片の状態量を操業中に推定して、鋳片軽圧下時の圧下量等の制御に用いる方法として特許文献４および特許文献５に開示されている方法がある。特許文献４および特許文献５では、鋳造速度またはタンディッシュ内の溶鋼温度の変化に対する凝固完了位置の応答モデルを用いて鋳片の凝固完了位置の将来変化を予測し、その予測値を目標値に一致させる鋳造速度および／または冷却水量の変更量を算出する方法が開示されている。特許文献４では、鋳片の凝固完了位置の変化の、２次冷却帯の冷却水量または鋳造速度に対する応答のデータベースを予め算出している。また、特許文献５では、鋳造速度および／または冷却水量の変更に対する鋳片の凝固完了位置の関係を表す応答モデルを作成する。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００６】
【特許文献１】特公平５−３０５４８号公報
【特許文献２】特許第２９３２１９６号公報
【特許文献３】特許第５７５７２９６号公報
【特許文献４】特開２００７−２６８５５９号公報
【特許文献５】特開２００７−２６８５３６号公報
【非特許文献】
【０００７】
【非特許文献１】片山徹著、「新版応用カルマンフィルタ」、朝倉書店、２０００年、ｐ.８４
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
ところで、中心偏析だけではなく、Ｖ偏析または逆Ｖ偏析を防止するためには、鋳片の鋳造方向に於いて中心部が固液共存域にある範囲の、中心部の状態を適切に保ち、鋳造速度の変更があった場合でも鋳片中心部の固相率が流動限界以上である鋳片部位の位置の変動を小さくすることが必要である。しかしながら、特許文献４および特許文献５のように鋳片の凝固完了位置を制御するだけではＶ偏析または逆Ｖ偏析が発生する可能性がある。
【０００９】
また、特許文献２および特許文献３のように、鋳造方向の鋳片の表面温度を一定に保つように２次冷却帯の冷却水量を制御すると、鋳造速度が低下した場合には、鋳片の中心部の温度および固相率が大きく変動する。このため、鋳片軽圧下時の鋳片に対する圧下量を一定に保持する場合には、前記のようにＶ偏析または逆Ｖ偏析が発生する可能性がある。
【００１０】
本発明は、以上の問題点に鑑みてなされたものであり、鋳造速度が変更されても鋳片の中心部の固相率に大きな変化を生じさせずに、鋳造速度の変更前後における鋳片軽圧下時の鋳片に対する圧下量を一定に保持することを可能とすることを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
本発明の連続鋳造機の２次冷却制御装置は、連続鋳造機の鋳型から引き抜かれた鋳片を冷却する２次冷却帯を、前記鋳片の鋳造方向に複数の冷却ゾーンへと分割し、各冷却ゾーンに含まれる冷却スプレーから噴射される冷却水の流量を制御することにより、前記鋳片の温度を制御する連続鋳造機の２次冷却制御装置であって、熱伝導方程式に基づき、前記鋳片の前記鋳造方向に垂直な断面の内部の温度である鋳片断面内温度と、前記断面における前記鋳片の表面の温度である鋳片断面表面温度と、前記断面内の固相率の分布である鋳片断面内固相率分布と、を少なくとも算出する計算式である伝熱凝固モデルを記憶するモデル記憶手段と、予め定められた温度測定位置において前記鋳片の鋳造中に測定された前記鋳片の表面の温度の測定値を取得する鋳片表面温度取得手段と、前記連続鋳造機の鋳造速度と前記冷却水の流量とを含む操業データを取得する操業データ取得手段と、前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を評価する位置であって、前記鋳片の鋳造方向の位置である温度評価位置を、前記鋳型内の湯面の位置から、機端出口の位置までの領域に対し、予め定めた一定の間隔で設定する温度評価位置設定手段と、前記伝熱凝固モデルの計算に用いる前記鋳片の表面の熱伝達係数を、前記操業データに含まれる前記冷却水の水量と、前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の測定値と、前記熱伝達係数を補正するための熱伝達係数補正パラメータとを用いて算出する熱伝達係数推定手段と、前記温度評価位置の各々における前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を含む第１の計算値を、鋳造が前記温度評価位置間の間隔だけ進むごとに、前記伝熱凝固モデルを用いて算出する温度固相率分布算出手段と、前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の測定値と、該温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の推定値であって、前記温度固相率分布算出手段で算出された前記第１の計算値に基づいて算出される前記鋳片の表面の温度の推定値とを用いて、前記熱伝達係数補正パラメータを導出する熱伝達係数補正手段と、前記鋳片の中心部の温度である鋳片中心部温度の目標値である鋳片中心部目標温度を、前記温度評価位置の各々について設定する鋳片中心部目標温度設定手段と、前記温度評価位置の各々について、該温度評価位置から、該温度評価位置よりも鋳造方向で下流側の予め定めた位置までの範囲を、該温度評価位置の将来予測範囲として設定することと、該温度評価位置の各々について、該温度評価位置に対する該将来予測範囲内にある前記温度評価位置の各々を、該温度評価位置に対する将来予測位置として設定することとを行ったうえで、前記鋳造速度および前記冷却水の水量が現在時刻における値から変化しないと仮定すると共に、前記伝熱凝固モデルを用いて計算した、前記温度評価位置の各々における現在時刻での前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を初期値として、前記温度評価位置の各々が、現在時刻から前記将来予測位置の各々に進んだ時点での該将来予測位置における前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を含む第２の計算値を、前記伝熱凝固モデルを用いて算出する将来予測手段と、現在時刻における前記冷却水の水量の実績値からの前記冷却水の水量の変更量の指示値である冷却水量変更量指示値であって、前記冷却ゾーンの各々に対する前記冷却水量変更量指示値を決定変数とし、前記冷却水量変更量指示値に従って前記冷却水の水量が変更された場合の、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部温度と、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部目標温度と、の差を表す項を含む目的関数の値を最大または最小にする前記冷却水量変更量指示値を求める最適化問題を解くことで、前記冷却水量変更量指示値を算出する冷却水量変更量指示値算出手段と、前記冷却水量変更量指示値算出手段により算出された前記冷却ゾーンの各々に対する前記冷却水量変更量指示値と、現在時刻における前記冷却ゾーンの各々の前記冷却水の水量の実績値とに基づいて、前記冷却ゾーンの各々の前記冷却水の水量を変更する冷却水量変更手段と、を有し、前記目的関数は、前記温度評価位置に対する前記将来予測位置の各々における前記第２の計算値に基づいて算出される、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部温度の予測値と、前記鋳片中心部目標温度設定手段により設定された、該将来予測位置の各々における前記鋳片中心部目標温度と、前記冷却水量変更量指示値とを用いて表され、鋳造が少なくとも前記温度評価位置間の間隔だけ進むごとに、前記鋳片表面温度取得手段、前記操業データ取得手段、前記温度評価位置設定手段、前記熱伝達係数推定手段、前記温度固相率分布算出手段、前記熱伝達係数補正手段、前記鋳片中心部目標温度設定手段、前記将来予測手段、前記却水量変更量指示値算出手段、および前記冷却水量変更手段が繰り返し実行されることにより、鋳造中の任意の時刻での前記将来予測位置における前記鋳片中心部温度を、前記鋳片中心部目標温度に近づけることを特徴とする。
【００１２】
本発明の連続鋳造機の２次冷却制御方法は、連続鋳造機の鋳型から引き抜かれた鋳片を冷却する２次冷却帯を、前記鋳片の鋳造方向に複数の冷却ゾーンへと分割し、各冷却ゾーンに含まれる冷却スプレーから噴射される冷却水の流量を制御することにより、前記鋳片の温度を制御する連続鋳造機の２次冷却制御方法であって、熱伝導方程式に基づき、前記鋳片の前記鋳造方向に垂直な断面の内部の温度である鋳片断面内温度と、前記断面における前記鋳片の表面の温度である鋳片断面表面温度と、前記断面内の固相率の分布である鋳片断面内固相率分布と、を少なくとも算出する計算式である伝熱凝固モデルを記憶するモデル記憶工程と、予め定められた温度測定位置において前記鋳片の鋳造中に測定された前記鋳片の表面の温度の測定値を取得する鋳片表面温度取得工程と、前記連続鋳造機の鋳造速度と前記冷却水の流量とを含む操業データを取得する操業データ取得工程と、前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を評価する位置であって、前記鋳片の鋳造方向の位置である温度評価位置を、前記鋳型内の湯面の位置から、機端出口の位置までの領域に対し、予め定めた一定の間隔で設定する温度評価位置設定工程と、前記伝熱凝固モデルの計算に用いる前記鋳片の表面の熱伝達係数を、前記操業データに含まれる前記冷却水の水量と、前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の測定値と、前記熱伝達係数を補正するための熱伝達係数補正パラメータとを用いて算出する熱伝達係数推定工程と、前記温度評価位置の各々における前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を含む第１の計算値を、鋳造が前記温度評価位置間の間隔だけ進むごとに、前記伝熱凝固モデルを用いて算出する温度固相率分布算出工程と、前記温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の測定値と、該温度測定位置における前記鋳片の表面の温度の推定値であって、前記温度固相率分布算出工程で算出された前記第１の計算値に基づいて算出される前記鋳片の表面の温度の推定値とを用いて、前記熱伝達係数補正パラメータを導出する熱伝達係数補正工程と、前記鋳片の中心部の温度である鋳片中心部温度の目標値である鋳片中心部目標温度を、前記温度評価位置の各々について設定する鋳片中心部目標温度設定工程と、前記温度評価位置の各々について、該温度評価位置から、該温度評価位置よりも鋳造方向で下流側の予め定めた位置までの範囲を、該温度評価位置の将来予測範囲として設定することと、該温度評価位置の各々について、該温度評価位置に対する該将来予測範囲内にある前記温度評価位置の各々を、該温度評価位置に対する将来予測位置として設定することとを行ったうえで、前記鋳造速度および前記冷却水の水量が現在時刻における値から変化しないと仮定すると共に、前記伝熱凝固モデルを用いて計算した、前記温度評価位置の各々における現在時刻での前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を初期値として、前記温度評価位置の各々が、現在時刻から前記将来予測位置の各々に進んだ時点での該将来予測位置における前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を含む第２の計算値を、前記伝熱凝固モデルを用いて算出する将来予測工程と、現在時刻における前記冷却水の水量の実績値からの前記冷却水の水量の変更量の指示値である冷却水量変更量指示値であって、前記冷却ゾーンの各々に対する前記冷却水量変更量指示値を決定変数とし、前記冷却水量変更量指示値に従って前記冷却水の水量が変更された場合の、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部温度と、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部目標温度と、の差を表す項を含む目的関数の値を最大または最小にする前記冷却水量変更量指示値を求める最適化問題を解くことで、前記冷却水量変更量指示値を算出する冷却水量変更量指示値算出工程と、前記冷却水量変更量指示値算出工程により算出された前記冷却ゾーンの各々に対する前記冷却水量変更量指示値と、現在時刻における前記冷却ゾーンの各々の前記冷却水の水量の実績値とに基づいて、前記冷却ゾーンの各々の前記冷却水の水量を変更する冷却水量変更工程と、を有し、前記目的関数は、前記温度評価位置に対する前記将来予測位置の各々における前記第２の計算値に基づいて算出される、前記将来予測位置の各々における前記鋳片中心部温度の予測値と、前記鋳片中心部目標温度設定工程により設定された、該将来予測位置の各々における前記鋳片中心部目標温度と、前記冷却水量変更量指示値とを用いて表され、鋳造が少なくとも前記温度評価位置間の間隔だけ進むごとに、前記鋳片表面温度取得工程、前記操業データ取得工程、前記温度評価位置設定工程、前記熱伝達係数推定工程、前記温度固相率分布算出工程、前記熱伝達係数補正工程、前記鋳片中心部目標温度設定工程、前記将来予測工程、前記却水量変更量指示値算出工程、および前記冷却水量変更工程が繰り返し実行されることにより、鋳造中の任意の時刻での前記将来予測位置における前記鋳片中心部温度を、前記鋳片中心部目標温度に近づけることを特徴とする。
【００１３】
本発明のプログラムは、前記連続鋳造機の２次冷却制御装置の各手段としてコンピュータを機能させることを特徴とする。
【発明の効果】
【００１４】
本発明によれば、鋳造速度が変更されても鋳片の中心部の固相率に大きな変化を生じさせずに、鋳造速度の変更前後における鋳片軽圧下時の鋳片に対する圧下量を一定に保持することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１５】
【図１】連続鋳造機の２次冷却制御装置（冷却制御装置）と、その適用例である連続鋳造機の構成の一例を示す図である。
【図２】計算対象断面の一例を概念的に示す図である。
【図３】温度計の設置位置の一例を示す図である。
【図４】エンタルピー、温度、熱伝達係数補正パラメータの関係の一例を示す図である。
【図５】冷却制御装置の機能的な構成の一例を示す図である。
【図６】連続鋳造機の２次冷却制御方法の一例を説明するフローチャートである。
【図７Ａ】比較例における、鋳片中心部の温度（中心部温度）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す図である。
【図７Ｂ】比較例における、鋳片中心部の温度と目標値との偏差（中心部温度目標値偏差）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す図である。
【図７Ｃ】比較例における、鋳片中心部の固相率（中心部固相率）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す図である。
【図８】従来技術の問題点を説明する図である。
【図９Ａ】発明例における、鋳片中心部の温度（中心部温度）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す図である。
【図９Ｂ】発明例における、鋳片中心部の温度と目標値との偏差（中心部温度目標値偏差）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す図である。
【図９Ｃ】発明例における、鋳片中心部の固相率（中心部固相率）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
以下、図面を参照しながら、本発明の一実施形態を説明する。
（連続鋳造機の概略構成）
図１は、本実施形態の連続鋳造機の２次冷却制御装置と、その適用例である連続鋳造機の構成の一例を示す図である。尚、連続鋳造機自体は、公知の技術で実現することができるので、図１では、本実施形態の説明に必要な部分のみを簡略化して示す。また、以下の説明では、連続鋳造機の２次冷却制御装置を必要に応じて冷却制御装置と称する。
【００１７】
不図示のタンディッシュから浸漬ノズル等を介して鋳型１内に溶鋼が供給される。鋳型１内において溶鋼の最上部には溶鋼メニスカス４が形成される。鋳型１内で溶鋼が冷却され、外側が凝固したストランドを不図示の複数の支持ロールで挟んで支持しながら、引抜速度（鋳造速度）で鋳型１から引き抜く。複数の支持ロールは、鋳片５を間に挟むように相互に対向する位置に配置されると共に、鋳造方向に所定の間隔をあけて配置される。鋳造方向で隣接する２つの支持ロールの間には、鋳片５へ向けて冷却水を噴射する冷却スプレー２ａ〜２ｔが配置される。冷却スプレー２ａ〜２ｔにより噴射される冷却水の流量は、配管に設置した流量調整弁３ａ〜３ｅにより制御される。流量調整弁３ａ〜３ｅの開度は、冷却制御装置１００から与えられる水量指示値に基づいて調節される。本実施形態では、冷却制御装置１００は、鋳片５の長辺側の面（図１に示す鋳片５の面は、鋳片５の短辺側の面）に対して冷却水を噴射する冷却スプレー２ａ〜２ｔの流量（以下、必要に応じて水量と称する）を制御する場合を例に挙げて説明する。
【００１８】
冷却水配管は、鋳片５の鋳造方向の長さを複数個に区分した冷却ゾーン（冷却ゾーン境界線６ａ〜６ｆによって区分された冷却ゾーン）に対応して設置される。ストランド内の鋳造方向の冷却水量の分布は、冷却ゾーンごとに制御される。以下の説明において、鋳型１の直下の冷却ゾーンから順に、第１冷却ゾーン、第２冷却ゾーン、・・・ということがある。これらの冷却ゾーンの全体を２次冷却帯という。
２次冷却帯の予め定められた温度測定位置には、鋳造中の鋳片５の表面の温度を測定する温度計７が配置される。また、温度計７の数は、１つであっても複数であってもよい。本実施形態では、後述する図３に示すように、複数の温度計７ａ〜７ｆが、複数の温度測定位置に配置される場合を例に挙げて説明する。
【００１９】
２次冷却帯よりも鋳造方向の下流側には、曲げおよび矯正が行われた鋳片５に対して鋳片軽圧下を行うための圧下セグメントロール群９が配置される。また、圧下セグメントロール群９よりも鋳造方向の下流側には、鋳造速度測定ロール８および支持ロール１０が配置される。鋳造速度測定ロール８は、鋳片５の鋳造速度を逐次測定する。ここで、機端出口は、連続鋳造機において、鋳造方向（引き抜き方向）の最下流のロールの（鋳造方向における）出口の位置である。図１に示す例では、鋳造速度測定ロール８および支持ロール１０の出口の位置が機端出口になる。
【００２０】
（伝熱凝固モデル）
次に、本実施形態の冷却制御装置１００で用いる伝熱凝固モデルの一例を説明する。伝熱凝固モデルは、熱伝導方程式に基づき、鋳片５の鋳造方向に垂直な断面の内部の温度である鋳片断面内温度と、前記断面における鋳片５の表面の温度である鋳片断面表面温度と、前記断面内の固相率の分布である鋳片断面内固相率分布と、を少なくとも算出する計算式である。
【００２１】
ストランド内における鋳片５の温度および固相率の分布は、鋳片５の各計算対象断面内の温度および固相率の分布を、各計算対象断面内の各計算点における冷却条件を反映した熱伝達係数の境界条件のもとで、離散化した熱伝導方程式を解くことで計算される。ここで、計算対象断面は、鋳型１内の湯面（溶鋼メニスカス４）から、機端出口までの領域に、鋳造方向に一定間隔で設定した計算位置において、鋳造方向に垂直な方向に鋳片５を切った場合の鋳片５の断面である。各計算対象断面に対する熱伝導方程式の初期条件には、当該計算対象断面に対し上流側で隣接する計算対象断面における計算結果を設定する。各計算対象断面について、当該計算対象断面が、当該計算対象断面の位置から、当該計算対象断面の１つ下流側の計算対象断面の位置へ、鋳片５の引き抜きにより移動するまでの当該計算対象断面内のエンタルピー、温度、および固相率の時間変化の計算を繰り返すことにより、鋳片５の全体の温度および固相率を計算する。
【００２２】
＜計算対象断面内座標と状態変数＞
本実施形態では、鋳片５の計算対象断面は矩形とする。また、鋳片５の面のうち、計算対象断面の長辺側に当たる面を必要に応じて鋳片長辺面と称し、短辺側に当たる面を必要に応じて鋳片短辺面と称する。図２は、計算対象断面の一例を概念的に示す図である。各計算対象断面においては、鋳片長辺面に当たる辺に沿う方向を幅方向と称し、鋳片短辺面に当たる辺に沿う方向を厚み方向と称する。計算対象断面内の座標は、鋳片５の或る１つの頂点を原点０として幅方向の軸をｘ軸、厚み方向の軸をｙ軸とする。鋳片５の幅をＸ、厚みをＹとする。また、鋳片５の引き抜き方向（即ち、鋳造方向）をｚ軸とする。尚、図２において、○の中に×を付しているものは、紙面の手前側から奥側に向かうことを示す。また、図２において、鋳片長辺面は、ｘ−ｚ平面であり、鋳片短辺面は、ｙ−ｚ平面である。
【００２３】
伝熱凝固モデルでは、以下のものを、時刻ｔにおける計算対象断面内座標（ｘ、ｙ）における状態変数とする。尚、μは、溶鋼中における溶質成分を識別する番号であり、１，２，３，・・・，μmaxの値をとる。ここで、μmaxは、伝熱凝固モデルで考慮する溶質成分の最大個数である。
エンタルピー：Ｈ（ｘ、ｙ、ｔ）
温度：Ｔ（ｘ、ｙ、ｔ）
固相率：ｆs（ｘ、ｙ、ｔ）
固液界面における液相側の溶質成分濃度：ＣLμ（ｘ、ｙ、ｔ）
また、伝熱凝固モデルにおける物性パラメータは、以下の通りである。
熱伝導率（温度に依存）：λ（ｘ、ｙ、ｔ）＝λ（Ｔ（ｘ、ｙ、ｔ））
鋼の比熱（温度に依存）：ｃ（ｘ、ｙ、ｔ）＝ｃ（Ｔ（ｘ、ｙ、ｔ））
凝固潜熱：Ｌh
液相線温度：ＴL
密度：ρ
【００２４】
＜モデルの基礎方程式＞
エンタルピーは、凝固潜熱を含めた計算対象断面内の各計算点におけるエネルギーなので、各計算点における熱収支を表す熱伝導方程式である以下の式（１）により、その時間変化を表すことができる。
【００２５】
【数１】
2019048322.tif 000003
【００２６】
ここで、ｑxはｘ軸方向の熱流束を表し、ｑyはｙ軸方向の熱流束を表す。計算対象断面内の境界線以外の点である内点では、以下の式（２）および式（３）が成り立つ。
【００２７】
【数２】
2019048322.tif 000004
【００２８】
ここで、λxはｘ軸方向の熱伝導率を表し、λyはｙ軸方向の熱伝導率を表す。従って、式（２）および式（３）より、計算対象断面の内点において式（１）は、以下の式（４）のように表される。
【００２９】
【数３】
2019048322.tif 000005
【００３０】
＜境界条件＞
計算対象断面の、鋳片５の表面に対応する断面境界、即ち、ｘ＝ｘB（ｘB＝０またはＸ）の鋳片短辺面では以下の式（５）で熱流束が表され、ｙ＝ｙB（ｙB＝０またはＹ）の鋳片長辺面では以下の式（６）で熱流束が表されるものとする。
【００３１】
【数４】
2019048322.tif 000006
【００３２】
ここで、Ｋx（ｘB，ｙ，ｔ）は、鋳片短辺面における熱伝達係数であり、Ｋy（ｘ，ｙB，ｔ）は、鋳片長辺面における熱伝達係数である。本実施形態では、これらを、冷却の様式に基づくモデル式を用いて表す（後述する式（２９）〜式（３２）を参照）。また、Ｔaは、外部雰囲気温度である。εxおよびεyは、モデル計算適用時における熱伝達係数の、モデル式と実際の値との違いを表すパラメータ変数である。以下の説明では、このパラメータ変数を、必要に応じて熱伝達係数補正パラメータと称する。熱伝達係数補正パラメータεx、εyは、それぞれ、２次冷却帯における鋳片５の幅方向（ｘ軸方向）、厚み方向（ｙ軸方向）における、前述した冷却の様式に基づくモデル式による熱伝達係数と実機の熱伝達係数との偏差を表す変数である。
【００３３】
本実施形態では、計算対象断面の各中央線側境界線（図２の破線）では、中央線を挟んで各変数が対称と仮定し、且つ、各中央線側境界線を横断する熱交換はないものとし、以下の式（７）および式（８）が成り立つと仮定する。図２に示すように、以下の式（７）においてＸ／２は、鋳片５の幅方向の中央であり、以下の式（８）においてＹ／２は、鋳片５の厚み方向の中央である。
【００３４】
【数５】
2019048322.tif 000007
【００３５】
尚、本実施形態では、以上のようにして対称性を利用し、計算対象断面のうち、鋳片５のコーナーから鋳片５の中央までのいわゆる四分の一断面（例えば、図２の斜線で示す領域）を計算対象領域とする。
【００３６】
＜エンタルピーと温度および固相率との関係＞
合金である鋼の凝固では、温度が成分濃度で定まる液相線温度ＴLを下回ると凝固が始まって固相率ｆs＞０となり、凝固が完了して固相率ｆs＝１となるまでの間に温度が低下する。固相率ｆsが０≦ｆs≦１であることを考慮して、エンタルピーと温度との関係は、以下の式（９）で表される。
【００３７】
【数６】
2019048322.tif 000008
【００３８】
ここで、Ｔ0は、任意の積分定数であり、Ｔは、計算対象断面における計算点における温度である。
＜エンタルピーを変数とする熱伝導方程式＞
式（９）の両辺に対して、ｘにより偏微分すると以下の式（１０）になるので、ｘ軸方向の熱流束ｑxは、以下の式（１１）で表される。同様に、式（９）の両辺に対して、ｙにより偏微分することにより、ｙ軸方向の熱流束ｑyは、以下の式（１２）で表される。
【００３９】
【数７】
2019048322.tif 000009
【００４０】
式（１）へ、式（１１）および式（１２）を代入することにより、計算対象断面の内点では、熱伝導方程式を、エンタルピーを変数とする以下の式（１３）に書き換えることができる。
【００４１】
【数８】
2019048322.tif 000010
【００４２】
温度Ｔと固相率ｆsとの関係を表すモデルは、これまでにいくつか提案されている。その一つに、以下の式（１４）のように、凝固が開始する液相線温度ＴLと凝固が完了する固相線温度との間で、固相率ｆsを補間するモデルがある。
【００４３】
【数９】
2019048322.tif 000011
【００４４】
補間関数φ（Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ））は一般に単調増加で、温度Ｔについて１次式とする方法や、温度Ｔについて２次式とする方法がある。
【００４５】
式（９）、式（１３）、および式（１４）は、変数Ｈ、Ｔ、およびｆsについて閉じているため、これらを連立して解くことにより、計算対象断面内のエンタルピーＨ（ｘ、ｙ、ｔ）、温度Ｔ（ｘ、ｙ、ｔ）、および固相率ｆs（ｘ、ｙ、ｔ）が得られる。
固液共存領域内では、固相と液相との界面での液相側溶質濃度により温度が定まるので、状態図から、温度Ｔと固相率ｆsとの関係を表す別のモデルとして、以下の溶質成分濃度と温度との関係を表す関数θを用いた式（１５）のモデルおよび固相率と液相側溶質濃度の関係を表す関数γLμを用いた式（１６）のように表されるモデルを用いてもよい。ここで、μmaxは、伝熱凝固モデルで考慮する溶質成分の最大個数である。
【００４６】
【数１０】
2019048322.tif 000012
【００４７】
式（９）、式（１３）、式（１５）、および式（１６）は、変数Ｈ、Ｔ、ｆs、ＣLμについて閉じているため、これらを連立して解くことにより、計算対象断面内のエンタルピーＨ（ｘ、ｙ、ｔ）、温度Ｔ（ｘ、ｙ、ｔ）、固相率ｆs（ｘ、ｙ、ｔ）、および固液界面の液相側溶質濃度ＣLμ（ｘ、ｙ、ｔ）が得られる。
本実施形態では、式（１４）式と、式（１５）および式（１６）との何れを用いてもよい。式（１５）および式（１６）を用いれば、固液界面の液相側溶質濃度ＣLμ（ｘ、ｙ、ｔ）を求めることができるが、計算負荷が増大する。計算負荷が増大しても固液界面の液相側溶質濃度ＣLμ（ｘ、ｙ、ｔ）を求める場合には、式（１５）および式（１６）を用い、そうでない場合には、式（１４）を用いればよい。
【００４８】
（伝熱凝固モデルの時間および空間的離散化）
本実施形態では、以上の偏微分方程式を空間および時間で離散化することにより数値解を得る。即ち、本実施形態では、式（１３）の微分方程式を、計算対象断面内および計算対象断面の境界線上で空間的に離散化し、鋳片５の表面における境界条件を組み込んだ形で、離散化した時間ｔ＝０，１，２，・・・において更新するモデルを用いる。
前述した伝熱凝固モデルの計算を実施する計算対象断面の位置は、一定距離間隔Δｚで設定されるものとする。計算対象断面の番号ｎは、鋳型１内湯面位置（溶鋼メニスカス４の位置）をｎ＝０とし、以下、引き抜き方向（鋳造方向）にｎ＝１、２、…、ｎｍａｘとする。各計算対象断面では、計算対象断面の内部および境界上に計算点を共通に設定する。計算対象断面ｎから計算対象断面ｎ＋１に状態変数を更新する場合、時刻の離散化刻みΔｔを、以下の式（１７）で表す。
【００４９】
【数１１】
2019048322.tif 000013
【００５０】
ここで、ｖcは、鋳造速度である。
前述したように本実施形態では、計算対象断面のうち、鋳片５のコーナーから鋳片５の中央までのいわゆる四分の一断面を計算対象領域とする。即ち、図２の斜線で示す領域のように、計算対象断面の左下のコーナーを原点０とし、原点０から、鋳片５の幅方向の中央ｘ＝Ｘ／２および鋳片５の厚み方向の中央ｙ＝Ｙ／２までの範囲を計算対象領域とする。計算対象断面の計算点の座標（ｘi、ｙj）は、ｉ＝０，１，２，・・・，Ｉ、および、ｊ＝０，１，２，・・・，Ｊについて、ｘ0＝０およびｘI＝Ｘ／２、ならびに、ｙ0＝０およびｙJ＝Ｙ／２とする。ｘ軸方向の計算点の座標の最小間隔およびｙ軸方向の計算点の座標の最小間隔が、常に偏微分方程式の数値解法における安定性の条件を満たすように、計算点の座標を適切な位置に配置する。安定性の条件には解くべき方程式の係数から解析的に導く方法が知られているが、本実施形態では事前のシミュレーションで得られる解が数値的に安定になることを確認して、ｘ軸方向の計算点およびｙ軸方向の計算点の座標の最小間隔を決定する。
以下では、ｉ＝０，１，２，・・・，Ｉ−１、および、ｊ＝０，１，２，・・・，Ｊ−１について、以下の式（１８）〜式（２１）が成り立つものとする。
【００５１】
【数１２】
2019048322.tif 000014
【００５２】
＜モデル式の離散化＞
以下の説明において、座標以外の変数について、添字のｉ＋１／２は、ｘ軸方向の計算点ｉおよびｉ＋１の中間位置における量であることを意味する。実際の計算において、関数の引数として与える場合には、添字ｉ＋１／２に対応する値として、添字ｉおよびｉ＋１に対応する値の平均値を採用する。本実施形態では、計算点（ｘi，ｙj）において離散化したモデルを、エンタルピー、温度、固相率、および、当該計算点に隣接する計算点におけるエンタルピーおよび固相率を用いて、以下の式（２２）、式（２３）のように表すことができる。ここで、座標（ｉ、ｊ）の計算点に隣接する計算点は、座標（ｉ＋１、ｊ）、座標（ｉ、ｊ＋１）、座標（ｉ−１、ｊ）、および座標（ｉ、ｊ−１）の計算点である。
【００５３】
【数１３】
2019048322.tif 000015
【００５４】
ここで、Ｎ（ｉ、ｊ）は、計算点（ｘi、ｙj）に隣接する計算点の集合を表す。また、ａti,jは、式（１３）の偏微分方程式を中心差分により離散近似し、式（２２）の形に整理した場合のＨi,j,tにかかる係数である。αti,jは、同じくｆsi,j,tにかかる係数である。係数ａti,jは、式（１３）に現れる熱伝導率λxまたはλy、比熱ρ、および凝固潜熱Ｌhを含む係数であり、また、αti,jは、式（１３）に現れる熱伝導率λxまたはλy、比熱ｃ、および密度ρを含む係数である。また、ｂi,jは、計算点（ｘi、ｙj）が鋳片５の表面の境界上の点でない場合は常に０（ゼロ）であり、計算点（ｘi、ｙi）が鋳片５表面の境界上の点である場合は、式（２）の離散近似後において式（５）および（６）における熱伝達係数ＫxまたはＫyを含む（Ｔa−Ｔi,j,t）にかかる係数である。
【００５５】
また、ωは、１、０、および１／２の何れかの値を採る変数であり、エンタルピーの更新において、ω＝１の場合は陽解法、ω＝０の場合は陰解法、ω＝１／２の場合は半陽半陰解法（Ｃｒａｎｋ−Ｎｉｃｈｏｌｓｏｎ法）を用いることを意味する。また、式（２３）におけるＴpおよびＨpにおけるｐは、計算点（ｉ，ｊ）を表す省略記法である。また、温度Ｔがとりうる値の範囲を予め複数の温度区分に分割しておく。ｋ（ｐ）は、温度Ｔ（ｐ）を含むＴk(p)≦Ｔ（ｐ）＜Ｔk(p)+1なる温度区分の番号ｋである。また、Ｉc（Ｔk(p)）は、式（９）における積分を温度Ｔ0からの境界値Ｔk(p)まで予め算出した値である。ｃ*k(p)+1/2は、温度区分ｋ（ｐ）における溶鋼の比熱ｃの代表値であり、例えば温度区分ｋ（ｐ）における溶鋼の比熱ｃの平均値を、代表値ｃ*k(p)+1/2として用いる。
【００５６】
各計算点における式（２２）および式（２３）の右辺を整理し、ω＝１または１／２の場合はＨi,j,t+1に関する連立方程式を解いたうえで、時刻ｔにおける各計算点の変数値を適切な順にベクトル状に並べると、計算対象断面内のエンタルピーおよび温度計７の温度測定位置における温度は、行列ＡH、Ａf、ＢT、Ｃ、およびＤ、ならびに、式（２３）の右辺においてＨp,tおよびｆsp,tに関係しない項をまとめたＴ0を用いて、以下の式（２４）、式（２５）のように表すことができる。
【００５７】
【数１４】
2019048322.tif 000016
【００５８】
ここで、Ｈt、ｆstの各々は、Ｈi,j,t、ｆsi,j,tを並び替えた（Ｉ＋１）（Ｊ＋１）成分の列ベクトルである。１(I+1)(J+1)は、（Ｉ＋１）（Ｊ＋１）個の１を成分にもつ列ベクトルである。Ｔaは、雰囲気温度を成分にもつ（Ｉ＋Ｊ＋１）成分の列ベクトルである。ＴB,tは、計算対象断面（四分の一断面）の表面の計算点の温度Ｔi,j,tを適切に並べ替えた（Ｉ＋Ｊ＋１）成分の列ベクトルである。
【００５９】
式（２４）におけるＡH、Ａfは、（Ｉ＋１）（Ｊ＋１）行（Ｉ＋１）（Ｊ＋１）列の正方行列である。ＢTは、（Ｉ＋１）（Ｊ＋１）行（Ｉ＋Ｊ＋１）列の行列である。ＢTは、式（２２）の各方程式のうち、計算対象断面（四分の一断面）の表面の計算点に関する方程式に対応する式（２４）の行について、同じ式（２２）の右辺に現れる温度Ｔtのうち、計算対象断面（四分の一断面）の表面の計算点の温度Ｔtに乗じる係数を成分とする行列である。Ｅt-1は、（Ｉ＋１）（Ｊ＋１）行（Ｉ＋Ｊ＋１）列の行列である。Ｅt-1は、式（２２）の各方程式のうち、計算対象断面（四分の一断面）の表面の計算点に関する方程式に対応する式（２４）の行について、列方向には、Ｔt-1の当該計算点に対応する成分が時刻ｔにおける熱伝達係数補正パラメータεi,j,t-1となり、他の成分が０（ゼロ）となるようにした行列である。また、１(I+1)(J+1)×(I+J+1)は、全ての成分が１の（Ｉ＋１）（Ｊ＋１）行（Ｉ＋Ｊ＋１）列の行列である。また、式（２４）におけるＢTの次の記号である○は、同サイズの行列の成分毎の積を計算する演算（アダマール積）を表す行列である。また、行列Ｃ、Ｄは、（Ｉ＋１）（Ｊ＋１）行（Ｉ＋１）（Ｊ＋１）列の行列である。行列Ｃ、Ｄは、式（２３）の各方程式に対応する式（２５）の行において、同じ式（２３）の方程式の右辺に現れるＨp,tおよび（１−ｆsp,t）の係数を成分とする行列である。Ｔ0,t-1は、（Ｉ＋１）（Ｊ＋１）個の成分をもち、式（２３）においてＨおよびｆsに無関係な項を並べた列ベクトルである。
【００６０】
＜状態推定方法の計算手順＞
本実施形態では、鋳造速度および冷却水量の指示値の変更に対応するために、鋳片５が一定距離引き抜かれるたびに、鋳型１内の湯面位置（ｚ＝０）で計算対象断面を新たに発生させる。そして、各々の計算対象断面について、伝熱凝固モデルによる計算を、鋳型１内の湯面（溶鋼メニスカス４）から、少なくとも２次冷却帯の出口の位置まで行う。以下の説明では、この計算対象断面のことを必要に応じてトラッキング面と称する。また、トラッキング面の発生間隔をΔｚtpで表す。トラッキング面の発生間隔Δｚtpは、前述したΔｚを整数倍（Ｌ倍）した値であり、以下の式（２６）で表される。
【００６１】
【数１５】
2019048322.tif 000017
【００６２】
また、以下の説明では、鋳造方向の位置ｚがトラッキング面の発生間隔Δｚtpの整数倍である位置を必要に応じて温度評価位置と称する。その番号ｔｐを上流側から付けて、温度評価位置をｚtpで表す。ｔｐ＝０はｚ＝０の位置（鋳型１内の湯面の位置）である。ｔｐの最大値をｔｐmaxで表す。温度評価位置は、鋳片５の鋳造方向に垂直な断面の内部の温度である鋳片断面内温度と、前記断面における鋳片５の表面の温度である鋳片断面表面温度と、前記断面内の固相率の分布である鋳片断面内固相率分布とを評価する位置である。本実施形態では、温度評価位置の鋳造方向の間隔を、最も長い冷却ゾーンの鋳造方向の長さの２分の１以下とする。このようにすることにより、冷却ゾーンのそれぞれに温度評価位置を少なくとも２つ存在させることができる。これにより、後述するように、１つの冷却ゾーンにおいて、熱伝達係数補正パラメータεx、εyや、鋳片の中心部の温度の鋳造方向の変動（鋳造方向のプロフィール）を制御することができる。また、現在時刻における鋳造速度ｖcと、トラッキング面の発生間隔（即ち、温度評価位置の間隔）Δｚtpとから、相互に隣接する２つの温度評価位置ｚtpの間をトラッキング面が移動する時間をΔｔｐ（＝Δｚtp÷ｖc）で表すものとする。
【００６３】
熱伝達係数補正パラメータεx、εyは、温度評価位置ｚtpの間隔ごとに設定される。以下の説明では、鋳造方向の位置ｚがｚtp≦ｚ＜ｚtp+1であるときの熱伝達係数補正パラメータεx、εyを必要に応じてεtpで表す。図３は、温度計７の設置位置の一例を概念的に示す図である。図３において、温度計７の設置位置に対応する鋳造長（ｚ軸方向の長さ）を鋳型１に近い方向から順に測温鋳造長１、測温鋳造長２、・・・として示す。図３に示す例では、温度計７は鋳造方向の２箇所に設置されており、測温鋳造長１、及び測温鋳造長２が定義される。また、以下の説明では、各トラッキング面において、鋳片５の幅方向（ｘ軸方向）または厚み方向（ｙ軸方向）での温度計７の位置に対応する位置を、必要に応じて周方向測温位置と称する。尚、測温鋳造長の個数は温度計７の鋳造方向の設置箇所の数に応じて決定されるが、その個数が複数である場合、周方向測温位置は、各温度計設置位置に於いて同じ周方向位置であるものとする。
【００６４】
トラッキング面の各々について、トラッキング面内のエンタルピーＨ、固相率ｆs、および温度Ｔを変数として時間変化を計算する。即ち、各トラッキング面の状態変数の更新は、鋳造が間隔Δｚ進むごとに式（２４）および式（２５）に従って行う。式（２２）中のεi,j,t-1には、時刻ｔ−１におけるトラッキング面の位置に対応する熱伝達係数補正パラメータεtpを選択する。トラッキング面ｋに関する状態変数の更新モデルは、式（２４）および式（２５）の各記号にトラッキング面の番号を表すｋを右肩につけた以下の式（２７）および式（２８）で表すこととする。なお、式（２７）および（２８）における「１」は式（２４）における全成分が１の行列を表している。行列のサイズは、式（２４）において対応する「１」と同じなので、表記が煩雑になるのを防ぐため、行列の行数および列数を表す右下の添え字は省略する。
【００６５】
【数１６】
2019048322.tif 000018
【００６６】
式（２６）の計算モデルの設定により本実施形態では、全温度評価位置に同時にトラッキング面が到達するので、トラッキング面が温度評価位置に到達した時点における鋳片５全体の温度分布を推定することができる。図４は、トラッキング面ｋが温度評価位置ｚtpであり、トラッキング面ｋ−１が温度評価位置ｚtp-1である場合のエンタルピーｈk、ｈk-1、温度τk、τk-1、熱伝達係数補正パラメータεtp、εtp-1の関係の一例を示す図である。図４において、トラッキング面ｋ、ｋ−１は、相互に隣接するトラッキング面である。エンタルピーｈkおよび温度τkは、トラッキング面ｋで管理される。一方、熱伝達係数補正パラメータεtp、εtp-1は、温度評価位置ｔｐ、ｔｐ−１で管理される。熱伝達係数補正パラメータεtp、εtp-1は、トラッキング面ｋ、ｋ−１が遷移しても、温度評価位置ｚtp、ｚtp-1における値として用いられる。すなわち、トラッキング面ｋ−１が温度評価位置ｚtpに到達した場合は式（２７）と式（２８）において右肩の添え字ｋをｋ−１に変更した計算式によりトラッキング面ｋ−１のエンタルピーおよび温度を更新する。
【００６７】
（連続鋳造機の２次冷却制御装置（冷却制御装置））
次に、本実施形態の冷却制御装置の一例を説明する。図５は、冷却制御装置１００の機能的な構成の一例を示す図である。図６は、連続鋳造機の２次冷却制御方法の一例を説明するフローチャートである。図６のフローチャートは、例えば、鋳造を開始してから鋳片を連続鋳造機から完全に引き抜くまでの全てまたは一部の時間において、鋳造がトラッキング面の発生間隔Δｚtpだけ進むごとに繰り返し実施される（式（２６）を参照）。また、前述した伝熱凝固モデルは、予め伝熱凝固モデル記憶部５００に記憶されているものとする。尚、冷却制御装置１００のハードウェアは、例えば、ＣＰＵ、ＲＯＭ、ＲＡＭ、ＨＤＤ、および各種のインターフェースを備えた情報処理装置、または専用のハードウェアを用いることにより実現される。
【００６８】
＜鋳片表面温度取得部５０１、ステップＳ６０１＞
鋳片表面温度取得部５０１は、温度計７ａ〜７ｆで測定された鋳造中の鋳片５の表面温度の測定値を取得する（図３を参照）。鋳片表面温度取得部５０１は、例えば、不図示のデータ処理装置から、鋳片５の表面温度の測定値のデータを受信することにより、温度計７ａ〜７ｆで測定された鋳片５の表面温度の測定値を取得することができる。
【００６９】
＜操業データ取得部５０２、ステップＳ６０２＞
操業データ取得部５０２は、連続鋳造機の操業データを取得する。連続鋳造機の操業データには、例えば、鋳造方向に垂直な方向の鋳片５の大きさ、鋳造速度ｖc、鋳型１内の溶鋼の温度、溶鋼中の溶質成分の濃度、該溶質成分の濃度を用いて算出される溶鋼の液相線温度ＴL、および、２次冷却帯の各冷却ゾーンに配置された冷却スプレー２ａ〜２ｔから噴射された冷却水の流量、および鋳片５の表面の各点における冷却条件が含まれる。操業データ取得部５０２は、例えば、不図示の上位プロコンまたは下位計装装置から、連続鋳造機の操業データを受信することにより、連続鋳造機の操業データを取得することができる。
【００７０】
ここで、冷却条件には、冷却スプレー２ａ〜２ｔから噴射された冷却水が鋳片５の表面に衝突する範囲を示すデータが含まれる。操業データ取得部５０２は、冷却スプレー２ａ〜２ｔから噴射された冷却水の流量を示すデータと、冷却スプレー２ａ〜２ｔから噴射された冷却水が鋳片５の表面に衝突する範囲を示すデータと、冷却スプレー２ａ〜２ｔの本数および配置とを用いて、鋳片５の表面全体における、冷却水の流量密度の分布を算出する。
【００７１】
＜温度評価位置設定部５０３、ステップＳ６０３＞
温度評価位置設定部５０３は、鋳型１内の湯面位置をｚ＝０として、鋳片５の鋳造方向の位置ｚが、トラッキング面の発生間隔Δｚtpの整数倍となる鋳造方向の位置を温度評価位置ｚtpとして設定する。温度評価位置ｚtpの鋳造方向の間隔は、予め定められた一定の間隔である。
【００７２】
＜熱伝達係数推定部５０４、ステップＳ６０４＞
熱伝達係数推定部５０４は、操業データ取得部５０２で取得された冷却条件と、鋳片表面温度取得部５０１で取得された鋳片５の表面温度の測定値とを用いて、鋳片５の表面の各計算点における熱伝達係数を推定する。
本実施形態では、熱伝達係数推定部５０４は、鋳片方向の位置ｚ＝０、・・・、ｚmaxの各々において、冷却水が衝突する部分と、その他の部分とに分割する。熱伝達係数推定部５０４は、各々の部分に属するトラッキング面の境界上の計算点における熱伝達係数を、冷却水が衝突する部分においては衝突するスプレー水の流量密度ｗdと、冷却スプレー２ａ〜２ｔの空気流速ｖaと、衝突部分の鋳片５の表面温度Ｔsとを用いて、予め定めたモデル式に基づき算出する。本実施形態では、このモデル式として、以下の式（２９）および式（３０）を用いる場合を例に挙げて示す。
【００７３】
【数１７】
2019048322.tif 000019
【００７４】
ここで、式（２９）に示したＫx0（０，ｙ，ｚ，ｔ）は、時刻ｔ、鋳造方向の位置ｚにおける鋳片５の短辺面の厚み方向の位置ｙにおける熱伝達係数である。また、式（３０）に示したＫy0（ｘ，０，ｚ，ｔ）は、時刻ｔ、鋳造方向の位置ｚにおける鋳片５の長辺面の幅方向の位置ｘにおける熱伝達係数である。また、熱伝達係数推定部５０４は、鋳片５の表面のうち、冷却水が衝突しない部分（前記「その他の部分」）に属するトラッキング面の境界上の計算点における熱伝達係数を、式（２９）および式（３０）において、ｗd＝０、ｖa＝０とし、鋳片５の表面温度Ｔsのみを用いたモデル式に基づき算出する。
【００７５】
次に、熱伝達係数推定部５０４は、推定した熱伝達係数と、鋳片５の真の熱伝達係数との誤差を補正する熱伝達係数補正パラメータεx、εyを用いて、式（２９）および式（３０）で推定された熱伝達係数Ｋx0（０，ｙ，ｚ，ｔ）、Ｋy0（ｘ，０，ｚ，ｔ）を補正することにより、補正後の熱伝達係数Ｋx（０，ｙ，ｚ，ｔ）、Ｋy（ｘ，０，ｚ，ｔ）を導出する。具体的に熱伝達係数推定部５０４は、前回の冷却水量の指示値の計算時に修正した鋳片５の幅方向および長手方向の区分ごとの熱伝達係数補正率パラメータεx、εyを以下の式（３１）および式（３２）のように作用させて、補正後の熱伝達係数Ｋx（０，ｙ，ｚ，ｔ）、Ｋy（ｘ，０，ｚ，ｔ）を算出する。
【００７６】
【数１８】
2019048322.tif 000020
【００７７】
＜温度固相率分布算出部５０５、ステップＳ６０５＞
温度固相率分布算出部５０５は、温度評価位置の各々において、鋳片５の鋳造方向に垂直な断面の内部の温度である鋳片断面内温度、前記断面における鋳片５の表面の温度である鋳片表面温度、および前記断面内の固相率の分布である鋳片断面内固相率分布を含む第１の計算値を、前記温度評価位置間の間隔だけ進むごとに、伝熱凝固モデルを用いて算出する。
本実施形態では、温度固相率分布算出部５０５は、操業データ取得部５０２で取得された操業データと、熱伝達係数推定部５０４で算出された補正後の熱伝達係数熱伝達係数Ｋx（０，ｙ，ｚ，ｔ）、Ｋy（ｘ，０，ｚ，ｔ）とを用いて、鋳片５の表面温度の分布と、鋳片５の内部温度の分布と、鋳片５の内部における固相率ｆsの分布とを導出する。
【００７８】
具体的に温度固相率分布算出部５０５は、まず、鋳型１内の湯面位置（ｚ＝０）において、新たなトラッキング面を発生させる。次に、温度固相率分布算出部５０５は、このトラッキング面で管理する前記伝熱凝固モデルで算出するエンタルピー、温度、および固相率の初期値を、現在時刻ｔにおける鋳型１内の溶鋼の温度に基づき設定する。次に、温度固相率分布算出部５０５は、補正後の熱伝達係数を用いて、現在時刻における計算対象の各トラッキング面について、式（２２）の離散化した熱伝導方程式に従ってエンタルピーを更新する。次に、温度固相率分布算出部５０５は、更新したエンタルピーに対し、温度および固相率を、式（９）、式（１３）、および式（１４）の収束計算、または、温度、固相率、および固液界面の溶質濃度を、式（９）、式（１３）、式（１５）、および式（１６）の収束計算により数値解を求めることにより、各トラッキング面内の温度と、各トラッキング面の表面の温度と、各トラッキング面内の固相率の分布とを算出する。
【００７９】
＜熱伝達係数補正部５０６、ステップＳ６０６＞
熱伝達係数補正部５０６は、温度測定位置における鋳片５の表面の温度の測定値と、該温度測定位置における鋳片５の表面の温度の推定値であって、前記第１の計算値に基づいて算出される鋳片５の表面の温度の推定値とを用いて、熱伝達係数補正パラメータを導出する。
本実施形態では、熱伝達係数補正部５０６は、鋳片表面温度取得部５０１で取得された鋳片５の表面温度の測定値と、温度測定位置における鋳片５の表面温度の推定値とを用いて、熱伝達係数補正パラメータを導出する。温度測定点における鋳片５の表面温度の推定値は、温度固相率分布算出部５０５で導出された温度評価位置における鋳片５の温度の計算値に基づいて算出される。本実施形態では、温度評価位置の鋳造方向の間隔を、最も長い冷却ゾーンの鋳造方向の長さの２分の１以下とする。従って、１つの冷却ゾーン内では複数の位置で熱伝達係数補正パラメータを算出できる。そのため、１つの冷却ゾーン内における熱伝達係数補正パラメータの鋳造方向の変動を推定することが可能となり、鋳片５の中心部温度をより正確に推定することが可能となる。
【００８０】
以下の説明では、温度測定位置における鋳片５の表面温度の測定値を、必要に応じて表面温度測定値と称する。また、温度固相率分布算出部５０５で導出された温度評価位置における鋳片５の温度の計算値を、必要に応じて表面温度計算値と称する。
【００８１】
温度測定位置が、何れかの温度評価位置における何れかの温度計算位置に一致する場合、表面温度推定値として、温度固相率分布算出部５０５で導出された表面温度計算値が用いられる。一方、温度測定位置の鋳造方向の位置は何れかの温度評価位置に一致するが、温度測定位置のトラッキング面の表面辺上の位置（周方向測温位置）が何れの計算点の位置にも一致しない場合、熱伝達係数補正部５０６は、鋳造方向の位置が一致する温度評価位置における表面温度計算値を用いて補間することにより、温度測定位置における表面温度を導出する。また、温度測定位置の鋳造方向の位置が、何れの温度評価位置にも一致しない場合、熱伝達係数補正部５０６は、鋳造方向の異なる位置における表面温度計算値を用いて補間することにより、温度測定位置における表面温度を導出する。この場合、補間に用いる表面温度計算値として、トラッキング面の表面辺内で上述の様に補間した値を用いてもよい。
【００８２】
本実施形態では、熱伝達係数補正部５０６は、温度測定位置における表面温度計算値と表面温度測定値との差を最小にする最適化計算を行うことにより熱伝達係数補正パラメータの推定値の最適解を導出する。具体的に本実施形態では、熱伝達係数補正部５０６は、拡張カルマンフィルタのアルゴリズムを用いて、最小誤差分散の推定値（温度測定位置における表面温度計算値と表面温度測定値との誤差分散が最小となるときの熱伝達係数補正パラメータの推定値）を最適解として導出する場合を例に挙げて説明する。
【００８３】
式（２７）および式（２８）の伝熱凝固モデルにおいて、温度評価位置における鋳片５の表面に該当する行を取り出し、トラッキング面の移動に伴うエンタルピーの変化を以下の式（３３）〜式（３５）のように書き直し、周方向測温位置におけるエンタルピーおよび熱伝達係数補正パラメータが、伝熱凝固モデルの各変数と実際の値との誤差を表す平均０の正規分布に従う乱数であるノイズｗkh,tまたはｗtpε,tとの和であるとする。尚、ｗkh,tの分散は、Ｑkhtであるものとし、ｗtpε,tの分散は、Ｑtpε,tであるものとする。
【００８４】
【数１９】
2019048322.tif 000021
【００８５】
ここで、ｈktは、トラッキング面ｋにおける周方向測温位置に該当する計算点のエンタルピーである。ａkhおよびｂkTは、式（２７）において周方向測温位置に該当する行を抜き出した式の右辺から、該当するｈkt-1およびεkt-1に対する係数を抜き出して構成した行列である。また、Ｈ’kt-1は、式（２７）において周方向測温位置に該当する行を抜き出した式の右辺において、周方向測温位置に該当しない計算点エンタルピーおよび固相率に関する全ての項の和を表す。式（３５）におけるＴ’k0、t-1は、式（２８）において周方向測温位置に該当する行を抜き出した式の右辺において、周方向測温位置に該当しない計算点のエンタルピーおよび固相率に関する全ての項の和を表す。
【００８６】
また、τkt-1は、各トラッキング面ｋにおける周方向測温位置の表面の温度を表す。式（３５）において、（ｃkT）Tは、式（２５）の係数行列Ｃについて周方向測温位置における行を取り出した行ベクトルである。鋳片５の鋳型１の出口よりも下流側の部分では、鋳片５の表面の計算点における固相率は１であるとみなせるので、式（３３）では潜熱放出に由来する項は除いている。
以下の式（３６）から式（３８）では、非特許文献１の記法に従い、式（３３）から式（３５）における各変数の添え字ｔを、時刻ｔ−１における計算結果を元に伝熱凝固モデルに基づき時刻ｔについて予測した結果であることを意味するｔ｜ｔ−１にして表す。また、式（３３）から式（３５）における各変数の添え字のｔ−１を、時刻ｔ−１における伝熱凝固モデルによる予測計算の結果を、時刻ｔ−１の温度測定の結果に基づいて修正したことを意味するｔ−１｜ｔ−１にして表す。
【００８７】
【数２０】
2019048322.tif 000022
【００８８】
ここで、実際の値であるｈkt、εtpt、およびτktに対するｈkt|t-1、εtpt|t-1、およびτkt|t-1の誤差Δｈkt|t-1、Δεtpt|t-1、Δτkt|t-1を以下の式（３９）のように表す。
【００８９】
【数２１】
2019048322.tif 000023
【００９０】
式（３３）と式（３６）の両辺での差と、式（３４）および式（３７）と、式（３５）および式（３８）とから、Δｈkt|t-1、Δεtpt|t-1、Δτkt|t-1は、それぞれ、以下の式（４０）、式（４１）、式（４２）の時間発展モデルに従う。
【００９１】
【数２２】
2019048322.tif 000024
【００９２】
尚、式（４０）および式（４１）に現れるΔｈkt-1|t-1、Δεtpt-1|t-1、Δτkt-1|t-1は、前回時刻ｔ−１において以下の手順により算出した結果である。
まず、鋳造中の鋳片５内の全トラッキング面ｋ内のエンタルピー、温度、および固相率の、伝熱凝固モデルによる推定値を算出する。各トラッキング面ｋの周方向測温位置の計算点について、ｈkt|t-1、τkt|t-1を算出する。
次に、式（４２）の関係を用いて、式（４０）からΔτkt-1|t-1を消去して、Δｈkt|t-1、Δεtpt|t-1、をカルマンフィルタアルゴリズムにより、温度測定点での鋳片５の表面温度の測定値と計算値との差を用いて修正する。ここで、モデル推定偏差状態変数を、各トラッキング面ｋのΔｈkt|t-1および各温度評価位置ｚtpのΔεtpt|t-1を並べた以下の式（４３）で定義する。
【００９３】
【数２３】
2019048322.tif 000025
【００９４】
Ｘt-1|t-1についても同様に定義する。また、温度測定点における鋳片５の表面温度の推定値Ｙt|t-1を、以下の式(４４)のように表す。
【００９５】
【数２４】
2019048322.tif 000026
【００９６】
尚、式（４３）および式（４４）において、Ｔは転置行列であることを表す。式（４０）と式（４１）の各係数を並べ替えることで、Ｘt|t-1とＸt-1|t-1の関係は、係数行列ＡX、tを用いて、以下の式（４５）のように表すことができる。
【００９７】
【数２５】
2019048322.tif 000027
【００９８】
カルマンフィルタアルゴリズムでは、モデル推定偏差状態変数Ｘt|t-1を、時刻ｔにおける、温度測定点での鋳片５の表面温度の測定値Ｕtと推定値Ｙt|t-1との偏差に基づき修正することで、時刻ｔにおける各状態変数Ｘt|tを推定する。また、各状態変数Ｘt|tの推定誤差が、平均０（ゼロ）であり、共分散行列Ｖt|tの多次元正規分布に従うと仮定して、共分散行列Ｖt|tを、各状態変数Ｘt|tと同時に推定する。ただし、本実施形態では、各トラッキング面ｋが温度評価位置に到達する時刻と、温度評価位置の間の中間にある時刻とでは、各状態変数Ｘt|tの更新計算が異なるので、以下では分けて説明する。
【００９９】
（ａ）  トラッキング面ｋが温度評価位置に到達する時刻における処理
各トラッキング面ｋが温度評価位置に到達する時刻においては、以下の処理が行われる。
（１）  式（４０）および式（４１）による伝熱凝固モデルによる予測誤差の共分散行列Ｖt|t-1を、時刻ｔ−１における共分散行列の推定結果Ｖt-1|t-1を用いて、以下の式（４６）により更新して算出する。
【０１００】
【数２６】
2019048322.tif 000028
【０１０１】
ここで、Ｑtは、式（４０）におけるノイズｗkhtの分散Ｑkhtおよび式（４１）におけるノイズｗtpε、tの分散Ｑtpεtを式（４３）と同じ順に対角に並べ、非対角成分を０（ゼロ）としたノイズベクトルの共分散行列である。
（２）  ［カルマンゲインの計算］
表面温度測定値と表面温度計算値から、式（４５）で求めたモデル推定偏差状態変数Ｘt|t-1を修正するカルマンゲインΨtは、以下の式（４７）により計算される。ここで、Ｃy、tは、式（４２）の係数ｃkTを、ｋについて式（４４）と同じ順序で列方向に並べた行列である。Ｒyは、鋳片５の表面温度の測定誤差が、平均が０（ゼロ）であり、共分散行列Ｒyの多次元正規分布に従うとした場合の共分散行列である。
【０１０２】
【数２７】
2019048322.tif 000029
【０１０３】
（３）  ［モデル推定偏差状態変数の予測結果の更新］
時刻ｔにおけるモデル推定偏差状態変数の推定結果Ｘt|tを、式（４３）によるモデル推定偏差状態変数の予測結果Ｘt|t-1と、温度測定点での鋳片５の表面温度の測定値Ｕtと推定値Ｙt|t-1との偏差と、カルマンゲインΨtとを用いて、以下の式（４８）で更新して算出する。
【０１０４】
【数２８】
2019048322.tif 000030
【０１０５】
（４）  ［予測誤差共分散行列の更新］
式（４６）による予測誤差共分散行列Ｖt|t-1を、カルマンゲインΨtを用いて、以下の式（４９）により更新して、予測誤差共分散行列Ｖt|tを算出する。
【０１０６】
【数２９】
2019048322.tif 000031
【０１０７】
（５）  ［周方向測温位置におけるエンタルピー、熱伝達係数補正パラメータ、温度の補正］
式（３６）、式（３７）、式（３８）における、各トラッキング面ｋの周方向測温位置でのエンタルピーの計算値、各温度評価位置ｚtpでの熱伝達係数補正パラメータ、および各トラッキング面ｋの周方向測温位置での鋳片５の表面温度の計算値を、モデル推定偏差状態変数Ｘt|tの推定結果の対応する値を用いて、以下の式（５０）〜式（５３）により補正する。
【０１０８】
【数３０】
2019048322.tif 000032
【０１０９】
（ｂ）  トラッキング面ｋが温度評価位置の中間位置に到達する時刻における処理
一方、各トラッキング面ｋが温度評価位置の中間位置に到達する時刻においては、以下の処理が行われる。
（１）  ［予測誤差共分散行列の更新］
式（４０）および式（４１）による伝熱凝固モデルによる予測誤差の共分散行列Ｖt|t-1を、時刻ｔ−１における共分散行列の推定結果Ｖt-1|t-1を用いて、以下の式（５４）により更新して算出する。
【０１１０】
【数３１】
2019048322.tif 000033
【０１１１】
ここで、Ｑtは、式（４０）におけるノイズｗkhtの分散Ｑkhtを式（４３）と同じ順に対角に並べ、非対角成分を０（ゼロ）としたノイズベクトルの共分散行列である。
【０１１２】
（２）  ［カルマンゲインの計算］
温度評価位置の中間位置に到達する時刻では、温度測定点で温度を算出する観測行列は０（ゼロ）とするので、以下の式（５５）のように、カルマンゲインΨtは全て０（ゼロ）である。
【０１１３】
【数３２】
2019048322.tif 000034
【０１１４】
（３）  ［モデル推定偏差状態変数の予測結果の更新］
カルマンゲインΨtが０（ゼロ）なので、モデル推定偏差状態変数の予測結果は更新されず、時刻ｔにおけるモデル推定偏差状態変数の推定結果Ｘt|tは、以下の式（５６）のようになる。
【０１１５】
【数３３】
2019048322.tif 000035
【０１１６】
（４）  ［予測誤差共分散行列の更新］
カルマンゲインΨtが０（ゼロ）なので、モデル推定偏差状態変数の予測結果の共分散行列は更新されず、予測誤差共分散行列Ｖt|tは、以下の式（５７）のようになる。
【０１１７】
【数３４】
2019048322.tif 000036
【０１１８】
（５）  ［周方向測温位置におけるエンタルピー、熱伝達係数補正パラメータ、温度の補正］
モデル推定偏差状態変数Ｘt|tが更新されないので、以下の式（５８）〜式（６０）のように、各トラッキング面ｋの周方向測温位置でのエンタルピーの計算値、各温度評価位置ｚtpでの熱伝達係数補正パラメータ、および各トラッキング面ｋの周方向測温位置での鋳片５の表面温度の計算値の補正も行われない。
【０１１９】
【数３５】
2019048322.tif 000037
【０１２０】
＜鋳片中心部目標温度設定部５０７、ステップＳ６０７＞
鋳片中心部目標温度設定部５０７は、鋳片５の中心部の目標温度を、温度評価位置の各々について設定する。以下の説明では、鋳片５の中心部の目標温度を、必要に応じて鋳片中心部目標温度と称する。本実施形態では、鋳片中心部目標温度は、鋳造する鋼種、鋳型１のサイズ，および鋳造速度の代表値から定まる操業条件区分ごとに設定される。また、鋳造方向においては、鋳片中心部目標温度は、温度評価位置ごとに設定される。鋳片中心部目標温度は、少なくとも、鋳片５の幅方向（図２のｘ軸方向）および厚み方向（図２のｙ軸方向）の中央の位置に設定される。尚、鋳片中心部目標温度設定部５０７は、鋳片５の幅方向の中央以外の厚み方向の中央の位置に、鋳片中心部目標温度を複数点設定してもよい。温度評価位置ｚtpにおける鋳片中心部目標温度ｒctpは、例えば、前述した操業条件区分ごとの鋼種、鋳型１のサイズ、鋳造速度の代表値に基づく伝熱凝固モデルによるシミュレーション計算で導出された鋳片５の温度の計算結果に基づいて設定される。尚、以下の説明では、鋳片中心部目標温度が設定される鋳片５の位置を、必要に応じて鋳片中心部と称する。
【０１２１】
＜将来予測部５０８、ステップＳ６０８＞
将来予測部５０８は、温度評価位置の各々について、該温度評価位置から、該温度評価位置よりも鋳造方向で下流側の予め定めた位置までの範囲を、該温度評価位置の将来予測範囲として設定する。また、将来予測部５０８は、該温度評価位置の各々について、該温度評価位置に対する該将来予測範囲内にある温度評価位置の各々を鋳造方向に基づいて順序づけた位置を、該温度評価位置に対する将来予測位置として設定する。そして、将来予測部５０８は、温度評価位置の各々が、現在時刻から将来予測位置の各々に進んだ時点での該将来予測位置における前記鋳片断面内温度、前記鋳片断面表面温度、および前記鋳片断面内固相率分布を含む第２の計算値を、伝熱凝固モデルを用いて算出する。このとき将来予測部５０８は、鋳造速度ｖcおよび冷却水の水量が現在時刻における値から変化しないと仮定する。また、将来予測部５０８は、伝熱凝固モデルを用いて計算した、温度評価位置の各々における現在時刻での鋳片断面内温度、鋳片断面表面温度、および鋳片断面内固相率分布を初期値とする。
【０１２２】
本実施形態では、まず、将来予測部５０８は、将来時刻における、鋳片５の表面温度、鋳片５の内部の温度、および固相率の分布を予測する将来予測回数をＮtpとして設定する。将来予測部５０８は、ｔｐ＝１，２，３，・・・，ｔｐmaxの複数の温度評価位置ｚtpのそれぞれについて、温度評価位置ｚtpから温度評価位置ｚtp+ntp（ｎtp＝１，・・・，Ｎtp）までの範囲を将来予測範囲として設定する。尚、温度評価位置ｚtp+Ntpが、最下流の温度評価位置よりも下流側に位置する場合には、最下流の温度評価位置またはそれよりも上流側の温度評価位置のみが将来予測範囲に含まれるようにする。温度評価位置ｚtpの将来予測範囲には、当該温度評価位置ｚtpに対する将来予測位置として、当該将来予測範囲に含まれる複数の温度評価位置が含まれる。尚、将来予測回数Ｎtpは、予め設定されているものとする。また、前述したように、現在時刻における鋳造速度ｖcと、トラッキング面の発生間隔（即ち、温度評価位置の間隔）Δｚtpとから、相互に隣接する２つの温度評価位置ｚtpの間をトラッキング面が移動する時間をΔｔｐ（＝Δｚtp÷ｖc）で表す。
【０１２３】
将来予測部５０８は、温度評価位置ｚtpのそれぞれについて、当該温度評価位置ｚtpの現在時刻ｔにおけるエンタルピー、鋳片５の温度、および固相率の温度固相率分布算出部５０５における計算結果を初期値とし、鋳造速度および各冷却ゾーンにおける鋳片５に対する冷却水の水量が現在時刻ｔのものと同じであると仮定して、伝熱凝固モデルを繰り返し解くことにより、各トラッキング面が将来予測位置（当該温度評価位置ｚtpに対する将来予測位置）の各々に到達する時刻ｔ＋ｎtpΔｔｐにおける、エンタルピー、鋳片５の温度、および固相率を導出する。
【０１２４】
本実施形態では、将来予測部５０８は、以上のようにして、伝熱凝固モデルを用いて、温度評価位置の各々と該温度評価位置に対する将来予測位置とにおける鋳片断面内温度および前記鋳片表面温度を計算する。そして、将来予測部５０８は、この計算と共に、温度評価位置の各々について、該温度評価位置に対する前記将来予測範囲内にある将来予測位置に対応する冷却ゾーンにおける、冷却水の水量に対する前記鋳片断面内温度の偏微分係数を、前記鋳片断面内温度に対する前記冷却水の水量の影響を表す係数である将来温度影響係数として算出する。
【０１２５】
具体的に本実施形態では、将来予測部５０８は、以上のようにして伝熱凝固モデルを繰り返し解く過程において、各冷却ゾーンの冷却水の水量の現在の値からの微小変化に対する、各トラッキング面ｋの鋳片中央部の温度の応答ゲイン（即ち、各冷却ゾーンの冷却水の水量の現在の値からの変化に対する各トラッキング面ｋの鋳片断面内の各計算点の温度を、冷却ゾーンの冷却水の水量の変化量による１次式で表した場合の係数）である将来温度影響係数を予測する。具体的には、将来予測部５０８は、或るトラッキング面ｋについて、当該トラッキング面が将来予測位置に到達するときの時刻における、当該将来予測位置で鋳造方向に垂直な方向に切った場合の鋳片５の断面の内部および表面の座標（ｉ，ｊ）におけるエンタルピー、温度、および固相率の予測値Ｈi,j,t+ntpΔtp，Ｔi,j,t+ntpΔtp，ｆsi,j,t+ntpΔtpを、伝熱凝固モデルを用いて算出すると共に、同時刻ｔ＋ｎtpΔｔｐにおける鋳片中央部の温度への、第ｍ冷却ゾーンの鋳片長辺面に対する冷却水の水量ｕxmの将来温度影響係数∂Ｔi,j,t+ntpΔtp／∂ｕxmを算出するために、式（２２）、式（２３）の両辺に現れる変数をｕxmで偏微分した変数∂Ｈi,j,t+ntpΔtp／∂ｕxmおよび∂ｆsi,j,t+ntpΔtp／∂Ｔi,jが満たす方程式である以下の式（６１）、式（６２）と、式（１４）の両辺に現れる変数をＴi,jで偏微分した変数∂Ｔi,j,t+ntpΔtp／∂ｕxmが満たす方程式である以下の式（６３）を、∂Ｈi,j,t+ntpΔtp／∂ｕxm、∂ｆsi,j,t+ntpΔtp／∂Ｔi,j、および∂Ｔi,j,t+ntpΔtp／∂ｕxmについて連立して解くことで算出する。時刻ｔ＋ｎtpΔｔｐにおいて温度評価位置ｚtpにあるトラッキング面について、当該温度評価位置ｚtpにおける∂Ｔi,j,t+ntpΔtp／∂ｕxmを将来温度影響係数∂Ｔtpi,j,t+ntpΔtp／∂ｕxmとして、当該温度評価位置ｔｐおよび当該時刻ｔ＋ｎtpΔｔｐと相互に関連付けて記憶する。将来温度影響係数∂Ｔtpi,j,t+ntpΔtp／∂ｕxmは、後述する冷却水量変更量指示値算出部５１０で使用される。
【０１２６】
【数３６】
2019048322.tif 000038
【０１２７】
＜鋳片中心部参照温度算出部５０９、ステップＳ６０９＞
鋳片中心部参照温度算出部５０９は、温度評価位置設定部５０３で設定された温度評価位置の各々について、鋳片中心部目標温度設定部５０７で設定された鋳片中心部目標温度と、前記第１の計算値に基づいて算出される現在時刻における鋳片５の中心部の温度の計算値とを用いて、該鋳片５の中心部の温度の計算値と、鋳片中心部目標温度との間の温度であって、鋳造方向で下流側にある将来予測位置の温度であるほど、鋳片中心部目標温度に近づく温度である鋳片中心部参照温度を算出する。
【０１２８】
本実施形態では、鋳片中心部参照温度算出部５０９は、鋳片中心部目標温度設定部５０７で設定された温度評価位置ｚtpにおける鋳片中心部目標温度ｒtpcと、温度固相率分布算出部５０５で導出された現在時刻ｔにおける温度評価位置ｚtpでの鋳片中心部の温度とを用いて、将来予測部５０８における将来時刻での鋳片中心部の温度等の予測が進むほど（将来予測位置が鋳造方向の下流側にあるほど）、鋳片中心部目標温度ｒtpcに接近する温度を、鋳片中心部参照温度として導出する。
【０１２９】
鋳片中心部参照温度は、鋳片中心部目標温度設定部５０７で設定された温度評価位置ｚtpにおける鋳片中心部目標温度ｒtpcと、温度固相率分布算出部５０５で導出された現在時刻ｔにおける温度評価位置ｚtpでの鋳片中心部の温度との間の値をとる。また、鋳片中心部参照温度として、少なくとも、各温度評価位置ｚtpにおける将来予測回数ｎtp分の温度（即ち、各温度評価位置ｚtpに対する各将来予測位置における温度）が導出される。
【０１３０】
具体的には、鋳片中心部参照温度算出部５０９は、将来予測部５０８が、現在時刻ｔにおいて、時刻ｔ＋ｎtpΔｔｐに将来予測位置ｚtpに到達するとしているトラッキング面の現在時刻ｔの鋳片中心部の温度Ｔtp-ntpc,tと、当該将来予測位置ｚtpにおける鋳片中心部目標温度ｒctpとを用いて、以下の式（６４）に基づき、各温度評価位置ｚtpに対する各将来予測位置における鋳片中心部参照温度Ｔtp*c,t+ntpΔtpを算出する。
【０１３１】
【数３７】
2019048322.tif 000039
【０１３２】
ここで、βは、０≦β≦１の定数である。βは、将来予測位置（将来予測回数ｎtp）毎に定められる。また、ｃは、鋳造方向に垂直に切った鋳片５の断面であって、鋳片中心部目標温度ｒtpcの位置における断面内の、鋳片中心部の位置の座標を表す略記号である。尚、鋳片中心部目標温度設定部５０７が、鋳片５の厚み方向の中央以外の幅方向の中央の位置に、鋳片中心部目標温度を設定する場合、鋳片中心部参照温度算出部５０９は、鋳片中心部だけでなく、これらの位置について同様に参照温度を算出する。
【０１３３】
＜冷却水量変更量指示値算出部５１０、ステップＳ６１０＞
冷却水量変更量指示値算出部５１０は、目的関数の値を最大または最小にする決定変数を求める最適化問題を解くことで、冷却水量変更量指示値を算出する。決定変数は、現在時刻における冷却水の水量の実績値からの冷却水の水量の変更量の指示値である冷却水量変更量指示値であって、冷却ゾーンの各々に対する冷却水量変更量指示値である。目的関数は、冷却水量変更量指示値に従って冷却水の水量が変更された場合の、将来予測位置の各々における鋳片中心部の温度と、将来予測位置の各々における鋳片中心部参照温度と、の差を表す項を含む。この差は、将来予測位置の各々における鋳片中心部の温度の予測値と、該将来予測位置の各々における鋳片中心部参照温度と、該将来予測位置における将来温度影響係数である鋳片中心部温度影響係数と、前記冷却水量変更量指示値とを用いて表される。また、将来予測位置の各々における鋳片中心部の温度の予測値は、温度評価位置に対する将来予測位置の各々における前記第２の計算値に基づいて算出される。また、目的関数は、将来予測位置の各々における鋳片中心部の温度と、将来予測位置の各々における鋳片中心部参照温度との差の２乗を含む項を有する。
【０１３４】
本実施形態では、冷却水量変更量指示値算出部５１０は、将来予測部５０８で導出された各温度評価位置に対する各将来予測位置での鋳片中心部の温度を、鋳片中心部参照温度算出部５０９で算出された当該将来予測位置での鋳片中心部参照温度Ｔtp*c,t+ntpΔtpに近づけるように、現在時刻ｔにおける各冷却ゾーンの冷却水の水量の実績値からの冷却水の水量の変更量を導出する。以下の説明では、現在時刻ｔにおける各冷却ゾーンの冷却水の水量の実績値からの冷却水の水量の変更量を、必要に応じて冷却水量変更量指示値と称する。また、将来予測部５０８で導出された鋳片中心部の温度を、必要に応じて鋳片中心部温度予測値と称する。
【０１３５】
各温度評価位置に対する各将来予測位置での鋳片中心部温度予測値と当該将来予測位置における鋳片中心部参照温度との偏差と、冷却水量変更量指示値とを含む目的関数を定め、冷却水量変更量指示値を決定変数として目的関数の値を最小化または最大化する最適化問題の解を得ることで算出される。
【０１３６】
本実施形態では、冷却水量変更量指示値算出部５１０は、各冷却ゾーンにおける冷却水量変更量指示値Δｕxmを決定変数とし、将来予測範囲内の、各温度評価位置についての鋳片中心部温度の予測値と、当該予測値に対応する鋳片中心部参照温度Ｔtp*c,t+ntpΔtpとの偏差を、各冷却ゾーンの冷却水の水量に関する制約条件のもとで最小化する２次計画問題を解く。
【０１３７】
この２次計画問題の目的関数Ｊは、具体的には、以下の式（６５）のように定式化される。冷却水量変更量指示値算出部５１０は、式（６５）の目的関数Ｊを予め記憶している。
【０１３８】
【数３８】
2019048322.tif 000040
【０１３９】
式（６５）の右辺の第１項は、各冷却ゾーンの冷却水量変更量指示値Δｕxmが十分小さいと仮定して、将来予測範囲内の時刻ｔ＋ｎtpΔｔｐにおいて、冷却水量変更量指示値Δｕxmだけ冷却ゾーンの冷却水の流量を現在値から変更した場合の、温度評価位置ｚtpにおける鋳片中心部温度の予測値Ｔtpc,t+ntpΔtp＋（∂Ｔtpc,t+ntpΔtp／∂ｕxm）・Δｕxmと、当該時刻および当該温度評価位置に対応する鋳片中心部参照温度Ｔtp*c,t+ntpΔtpとの偏差を算出し、将来予測範囲内における鋳片全体での当該偏差の大きさを、トラッキング面が将来予測位置に到達したときの時刻に対応する将来予測回数ｎtpと、温度評価位置を表す番号ｔｐと、鋳片中心部の位置ｃに於ける前記偏差の２乗に、正値の重み係数Ｗc,tp,ntpを乗じた値の、前記将来予測回数ｎtpと、温度評価位置を表す番号ｔｐと、鋳片中心部の位置ｃについての和として評価する項である。一方、式（６５）の右辺の第２項は，冷却水量変更量指示値の大きさに関するペナルティを与える項であり、第ｍ冷却ゾーンの冷却水量変更量指示値Δｕxmの２乗と正値の重み係数Ｗu,mとの積の、各冷却ゾーンについての和である。冷却水量変更量指示値算出部５１０は、式（６５）を冷却水量変更量指示値Δｕxmについて展開し、冷却水量変更量指示値Δｕxmの２次および１次の項の係数を算出する。そして、冷却水量変更量指示値算出部５１０は、各冷却ゾーンにおける冷却水の水量に関する制約を数式で表した制約式を満足する範囲で、式（６５）の目的関数Ｊの値が最小になるときの冷却水量変更量指示値Δｕxmを算出し、式（６５）の最適解として算出する。
【０１４０】
ここでは、ｃが、鋳片中心部の位置を表す番号である場合を例に挙げて説明した。しかしながら、鋳片中心部目標温度設定部５０７が、鋳片５の厚み方向の中央以外の幅方向の中央の位置に、鋳片中心部目標温度を設定する場合、ｃを、当該厚み方向の位置を表す番号とし、式（６５）に於いて、それぞれのｃについての和を取ればよい。
【０１４１】
ここで、Ｗc,t+ntpΔtp、Ｗu,mは、式（６５）の右辺第１項および右辺第２項の評価項のバランスを示す重み係数である。例えば、式（６５）の右辺第１項の評価項を、右辺第２項の評価項よりも重要視する場合には、式（６５）の右辺第１項に対する重み係数Ｗc,t+ntpΔtpの大きさを、右辺第２項に対する重み係数Ｗu,mの大きさよりも大きくする。
【０１４２】
また、前述した制約式としては、例えば、各冷却ゾーンにおける冷却水量が、当該冷却水の水量の上限値以下になることを示す制約式を採用することができる。
式（６５）は、２次計画問題である。そこで、冷却水量変更量指示値算出部５１０は、目的関数Ｊの値が最小になるときの冷却水量変更量指示値Δｕxmに対する係数行列を算出して数値的に求解する。２次計画問題の解法として、有効制約法やラグランジュ未定乗数法等、公知の技術を用いることができるので、ここでは、その詳細な説明を省略する。
【０１４３】
＜冷却水量変更指示部５１１、Ｓ６１１＞
冷却水量変更指示部５１１は、冷却水量変更指示部５１１により導出された、各冷却ゾーンにおける冷却水量変更量指示値Δｕxmの最適値を、当該冷却ゾーンの冷却水の水量の現在時刻ｔの実績値ｕxm,tに加えた値を、次回の制御周期の水量指示値として導出し、導出したい水量指示値を、上位のプロセス計算機経由または直接、各冷却ゾーンの冷却水の水量を制御する計装装置に送信する。
本実施形態では、温度評価位置の鋳造方向の間隔を、最も長い冷却ゾーンの鋳造方向の長さの２分の１以下とする。このようにすることにより、冷却ゾーンのそれぞれに温度評価位置が少なくとも２つ存在させることができ、１つの冷却ゾーン内において、複数の位置で鋳片中心部の温度の目標値（本実施形態では、鋳片中心部目標温度）を設定し、１つの冷却ゾーン内における鋳片中心部の温度の鋳造方向のプロフィールを制御することができる。よって、１つの冷却ゾーン内における鋳片中心部の温度を正確に制御することが可能となる。
【０１４４】
（まとめ）
以上のように本実施形態では、鋳造速度ｖcに応じてトラッキング面を発生させ、鋳造方向におけるトラッキング面の発生間隔の整数倍の位置で温度評価位置を設定する。温度評価位置の現在時刻におけるエントロピー、鋳片５の温度、および固相率を、熱伝導方程式に基づく伝熱凝固モデルを用いて導出する。温度評価位置のそれぞれについて、当該温度評価位置が、鋳造方向において下流側の将来予測位置に移動したときの将来時刻におけるエントロピー、鋳片５の温度、および固相率を、伝熱凝固モデルを用いて導出する。このとき、伝熱凝固モデルに基づいて、冷却水量変更量指示値に対する鋳片中心部の温度の偏微分係数を、鋳片中心部の温度に対する冷却水量変更量指示値の影響係数として導出する。また、現在時刻の鋳片中心部の温度を起点とし、下流側の将来予測位置であるほど鋳片中心部目標温度に近くなる鋳片中心部参照温度を導出する。そして、各温度評価位置における各将来予測位置での鋳片中心部温度と、当該将来予測値に対応する影響係数と、冷却水量変更量指示値とに基づいて、冷却水の水量を変更した場合の各温度評価位置における各将来予測位置での鋳片中心部の温度を定式化する。冷却水の水量を変更した場合の各温度評価位置における各将来予測位置での鋳片中心部の温度と、当該将来予測位置に対応する鋳片中心部参照温度との偏差が小さいほど小さな値をとる目的関数Ｊの値が最小になるときの冷却水量変更量指示値を求める。
【０１４５】
従って、鋳造速度が鋳造中に変更された場合でも、鋳片中心部の温度を鋳片全体にわたって前記鋳片中心部参照温度付近に近づけることが可能になるので、その結果、後述の実施例にも示すとおり、鋳片中心部の固相率の鋳造方向の分布の変動も小さくすることができる。すなわち、鋳片中心部の固相率が流動限界以上である鋳片部位の位置の変動を小さくすることができる。このため、鋳造速度が低下することによる圧下速度の低下があっても、鋳片中心部の固相率が流動限界以上である鋳片部位の圧下速度がＶ偏析を防止できる値以上であれば、鋳片５の圧下量を一定に保つことで、Ｖ偏析および逆Ｖ偏析を防止しながら線状偏析を防止することが可能となる。よって、鋳片中心部の固相率に大きな変化を生じさせず、鋳造速度の変更前後における鋳片軽圧下時の鋳片に対する圧下量を一定に保持することができる。
【０１４６】
また、本実施形態では、現在時刻の鋳片中心部の温度を起点とし、下流側の将来予測位置であるほど鋳片中心部目標温度に近くなる鋳片中心部参照温度を用いる。従って、直接的に鋳片中心部目標温度を用いる場合に、製造条件によっては、現在時刻に近い将来における予測温度と目標温度との偏差を強く評価して冷却水量の操作量が過大になることの繰り返しにより、冷却水量の操作のハンチングを生じる場合があるが、上記の様な鋳片中心部参照温度を用いることによってこの様な現象を防止できる。
【０１４７】
また、本実施形態では、伝熱凝固モデルに基づいて、冷却水量変更量指示値に対する鋳片中心部の温度の偏微分係数を、鋳片中心部の温度に対する冷却水量変更量指示値の影響係数として求める。従って、冷却水量変更量指示値に対する鋳片中心部の温度の変化が特定の関数で表される等の仮定をおかずに、鋳片中心部の温度に対する冷却水量変更量指示値の影響係数を求めることができる。よって、将来予測位置における鋳片中心部の温度と、当該将来予測位置における中心部参照温度との偏差（本実施形態では、式（６５）の左辺第１項の小括弧内）をより正確に評価することができる。
【０１４８】
また、本実施形態では、鋳片５のエンタルピー、熱伝達係数補正パラメータについて、実際の値と伝熱凝固モデルに基づいて計算される値との誤差を状態変数に含めると共に（式（４３））、鋳片５の温度の実際の値と伝熱凝固モデルに基づいて計算される値との誤差と伝熱凝固モデルに基づいて計算される鋳片５の温度とに基づいて鋳片５の温度の推定値を表し（式（４４））、拡張カルマンフィルタを用いて、鋳片５の温度の推定値と測定値との差に基づいて状態変数を修正することにより、熱伝達係数補正パラメータの推定値の最適解を導出する。従って、式（３６）〜式（３８）による非線形な式を解く必要がなくなるので、拡張カルマンフィルタを用いて、熱伝達係数補正パラメータの推定値の最適解を導出することができる。
【０１４９】
（変形例）
本実施形態では、図２に示したように、計算対象断面のうち、鋳片５のコーナーから鋳片５の中央までのいわゆる四分の一断面を計算対象領域とする場合を例に挙げて説明した。しかしながら、計算対象領域は、これに限定されない。例えば、鋳片短辺面（ｘ＝０またはｘ＝Ｘの面）から鋳片５の幅方向の中心（ｘ＝Ｘ／２）までのいわゆる半断面、鋳片５の上鋳片長辺面（ｙ＝０またはｙ＝Ｙの面）から厚み方向の中心（ｙ＝Ｙ／２）までの半断面、または、計算対象領域全体であってもよい。鉄道軌条用あるいはＨ形鋼用の鋳片を製造する、いわゆるニアネットシェイプ鋳造を行う場合でも、対称性を利用して対称線を設定して計算対象領域を設定することにより、本実施形態と同様の手法を適用することができる。また、鋳片の断面の形状が遠景である場合には、厚み方向の一次元を計算対象としてもよい。
【０１５０】
本実施形態では、周方向測温位置におけるエンタルピーおよび熱伝達係数補正パラメータの時間変化を表すモデル（式（２７）、式（２８））が非線形であるため、拡張カルマンフィルタアルゴリズムを用いる場合を例に挙げて説明した。しかしながら、例えば、表面温度計算値と表面温度測定との偏差を評価指標として含む目的関数の値を最適化するように熱伝達係数補正パラメータの推定値の最適解を、温度評価位置ごとに求解することができれば、必ずしも拡張カルマンフィルタアルゴリズムを用いる必要はない。例えば、アンサンブルカルマンフィルタやパーティクルフィルタ等の非線形システム用の状態推定アルゴリズムを用いてもよい。また、最適解の候補となる熱伝達係数補正パラメータを目的関数に与えて最適解を探索する滑降シンプレックス法や遺伝的アルゴリズム等を用いてもよい。
【０１５１】
本実施形態では、実際の熱伝達係数の値のモデル式からの偏差を、熱伝達係数に補正パラメータを乗じる形式で定式化した。しかし実際の熱伝達係数の値のモデル式からの偏差自体を、本実施形態と同様の拡張カルマンフィルタアルゴリズムまたは、アンサンブルカルマンフィルタやパーティクルフィルタ等の非線形システム用の状態推定アルゴリズムを用いて計算してもよい。さらに、前記熱伝達係数の偏差を表面温度計算値と表面温度測定との偏差を評価指標として含む目的関数の変数とする最適化問題として定式化して、たとえば、最適解を探索する滑降シンプレックス法や遺伝的アルゴリズム等を用いてもよい。
【０１５２】
本実施形態では、鋳片長辺面に対する冷却水の水量を操作（制御）する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、これに加えて、鋳片短辺面に対して冷却水を噴射する冷却スプレーからの冷却水の水量を操作（制御）してもよい。この場合、前述した説明において、変数ｘを変数ｙとすればよい。例えば、将来予測部５０８は、或るトラッキング面ｋについて、ｎtp個分だけ将来の温度評価位置における鋳片中央部の温度への、第ｍ冷却ゾーンの鋳片短辺面に対する冷却水の水量ｕymの影響係数∂Ｔi,j,t+ntpΔtp／∂ｕymを算出する。
【０１５３】
本実施形態のように、鋳片中心部参照温度を用いれば、将来予測位置における鋳片中心部の温度が急激に変化することを抑制することができるので好ましい。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、鋳片中心部参照温度に代えて鋳片中心部目標温度を用いてもよい。このようにする場合、将来予測部５０８は、鋳片５の温度の予測値のうち、鋳片中心部の温度を記憶する。
【０１５４】
また、本実施形態では、最適化問題が、目的関数Ｊの値を最小化する最小化問題である場合を例に挙げて説明した。しかしながら、最適化問題は、目的関数Ｊの値を最大化する最小化問題であってもよい。例えば、式（６５）の右辺に（−１）を乗じることにより最適化問題を最大化問題とすることができる。
【０１５５】
また、本実施形態では、最適化問題の目的関数Ｊを鋳片中心部予測温度と鋳片中心部参照温度の二乗偏差の重み付き和とすることで、最適化問題を冷却ゾーンの冷却水量変更量指示値に関する２次計画問題として定式化する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、前記の鋳片中心部予測温度と鋳片中心部参照温度の二乗偏差をたとえば絶対値に置き換え、また、冷却水量変更量指示値に関するペナルティ項を用いるかわりに冷却水量変更量の絶対値について制約する条件式に置き換えることで、最適化問題を線形計画問題とすることもできる。
【０１５６】
本実施形態では、温度評価位置の鋳造方向の間隔を、最も長い冷却ゾーンの鋳造方向の長さの２分の１以下とする。このようにすることにより、冷却ゾーンのそれぞれに温度評価位置が少なくとも２つ存在させて、１つの冷却ゾーン内において、複数の位置で鋳片中心部の温度の目標値（本実施形態では、鋳片中心部目標温度）を設定し、１つの冷却ゾーン内における鋳片中心部の温度の鋳造方向のプロフィールを制御する例を示したが、１つの冷却ゾーンの鋳造方向の長さが十分短い場合には、冷却ゾーンのそれぞれに１つだけ温度評価位置が存在するように設定してよい。
【０１５７】
また、本実施形態は、コンピュータがプログラムを実行することによって実現することができる。また、前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体及び前記プログラム等のコンピュータプログラムプロダクトも本発明の実施形態として適用することができる。記録媒体としては、例えば、フレキシブルディスク、ハードディスク、光ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、磁気テープ、不揮発性のメモリカード、ＲＯＭ等を用いることができる。
また、本実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の例を示したものに過ぎず、これらによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその技術思想、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。
【実施例】
【０１５８】
次に、実施例を説明する。
本実施例では、本実施形態の冷却制御装置１００を、図１に示した連続鋳造機（スラブ連鋳機）に適用し、シミュレーション計算を行った。本実施例で想定した鋼種と鋳片サイズでは、本実施例の対象とする連続鋳造機は、鋳造速度１．１ｍ／ｍｉｎで鋳造する。しかしながら、連々鋳で鋳造する後続の溶鋼取鍋の到着が遅れる等の理由で鋳造速度を減速する場合がある。そこで、発明例として、本実施形態の方法による２次冷却制御を示し、２次冷却帯の各冷却ゾーンにおける冷却水の水量を制御することにより、鋳造速度の変更前後でも鋳片全体の鋳片の厚み方向中央の幅方向中央と１／４幅位置における中心部の温度を目標値に保つことで鋳片の圧下量の変更が不要になることを確認する。また、比較例として、鋳片の表面の温度制御を目的とした特許文献３の方法による２次冷却制御方法を示す。
【０１５９】
本実施例で想定する材質の通常操業における鋳造速度と２次冷却帯の各冷却ゾーンの冷却水の水量分布とに基づいて、鋳片の鋳造方向の温度分布を計算し、計算した結果から、温度評価位置における鋳片の厚み方向の中心の温度を抽出し、抽出した温度を発明例における目標値とし一定化することとした。比較例では、特許文献３に記載のように、鋳片の表面温度に目標値を定めて鋳片の表面温度を一定化することとした。
【０１６０】
また、後続の溶鋼取鍋の到着遅れにより、鋳造速度を１．１ｍ／ｍｉｎから１．０５ｍ／ｍｉｎに変更した場合と、１．１ｍ／ｍｉｎから１．０ｍ／ｍｉｎに変更した場合とのそれぞれについて、鋳片中心部の温度の時間変化を、発明例および比較例のそれぞれにおいて計算した。
比較例および発明例とも、鋳造速度の変更後の鋳片全体が同じ鋳造速度で鋳造されるものとし、その状態での、鋳片中心部の温度および固相率を調べた。
【０１６１】
（１）比較例：鋳片表面温度の一定化制御のシミュレーション結果
図７Ａ〜図７Ｃに、比較例の結果を示す。具体的に図７Ａは、鋳造速度の変更前後における、鋳片中心部の温度（中心部温度）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す。図７Ｂは、鋳造速度の変更前後における、鋳片中心部の温度と目標値との偏差（中心部温度目標値偏差）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す。図７Ｃは、鋳片中心部の固相率（中心部固相率）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す。
【０１６２】
図７Ａおよび図７Ｂから、鋳造速度の低下後は、固液共存部における鋳片中心部の温度が低下し、その低下量は鋳造速度が低いほど大きいことが分かる。図７Ｃでは、鋳造速度が１．１ｍ／ｍｉｎから１．０ｍ／ｍｉｎに低下した場合に、中心部固相率が流動限界固相率の０．８である点が、１．５ｍ上流方向に後退していることを示した。
【０１６３】
図８は、特許文献１に基づき、基準鋳造速度の１．１ｍ／ｍｉｎにおいてＶ偏析、逆Ｖ偏析、および中心偏析が生じない圧下速度になるようにロール間隔分布を設定した場合の問題点を説明する図である。鋳片の液相線８０１の位置よりも下流側において、鋳造速度が１．１ｍ／ｍｉｎの場合の最適な圧下量８０２で圧下されているものとする。この状態で、鋳造速度が１．１ｍ／ｍｉｎよりも低下すると、流動限界となる固相率の界面が、界面８０３ａから界面８０３ｂのように上流側に後退すると共に、固相線が、固相線８０４ａから８０４ｂのように上流側に後退する。この状態で、鋳造速度が１．１ｍ／ｍｉｎの場合と同じ圧下量８０２を保った場合、固相率が上昇した領域８０５では圧下速度が過剰であるため、スポット状の中心偏析が線状偏析となり、圧延後の鋼材において中心部の欠陥や割れの原因になる虞がある。
【０１６４】
鋳片の圧下はロールを保持するセグメント単位で鋳造方向の勾配により実施する（図１の圧下セグメントロール群９を参照）。そのため、前述したように流動限界となる固相率の位置が上流側に後退すると、流動限界となる固相率の位置がセグメントの境界にあるとは限らないため、効果的に圧下量を変更し得ず、鋳片の中心偏析欠陥が生じると考えられる。
【０１６５】
（２）発明例：鋳片中心部温度の一定化制御のシミュレーション結果
図９Ａ〜図９Ｃに、発明例の結果を示す。図９Ａ、図９Ｂ、図９Ｃは、それぞれ、図７Ａ、図７Ｂ、図７Ｃに対応する図である。具体的に図９Ａは、鋳造速度の変更前後における、鋳片中心部の温度（中心部温度）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す。図９Ｂは、鋳造速度の変更前後における、鋳片中心部の温度と目標値との偏差（中心部温度目標値偏差）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す。図９Ｃは、鋳片中心部の固相率（中心部固相率）と、鋳型内の溶鋼の湯面からの鋳造方向の距離（湯面からの距離）との関係を示す。
【０１６６】
図９Ａおよび図９Ｂから、鋳造速度の低下後も、固液共存部における鋳片中心部の温度の変動幅は、図７Ａおよび図７Ｂに比べて小さいことが分かる。また、図９Ｃから、鋳造速度を変化させた範囲では、中心部固相率が固液共存部全体にわたってほぼ一定に保たれていることが分かる。従って，鋳造速度が１．１ｍ／ｍｉｎから１．０ｍ／ｍｉｎに低下した場合でも、例えば、特許文献１に示されるように中心部固相率が流動限界以下の領域の圧下速度を１．０ｍ／ｍｉｎ以上に保つ場合であれば、圧下量を一定に保持して、Ｖ偏析および逆Ｖ偏析を発生させず、且つ線状偏析も発生させないことができる。
【符号の説明】
【０１６７】
１：鋳型、２ａ〜２ｔ：冷却スプレー、３ａ〜３ｅ：流量調整弁、４：溶鋼メニスカス、５：鋳片、６ａ〜６ｆ：冷却ゾーン境界線、７：温度計、８：鋳造速度測定ロール、９：圧下セグメントロール群、１００：冷却制御装置、５０１：鋳片表面温度取得部、５０２：操業データ取得部、５０３：温度評価位置設定部、５０４：熱伝達係数推定部、５０５：温度固相率分布算出部、５０６：熱伝達率係数補正部、５０７：鋳片中心部目標温度設定部、５０８：将来予測部、５０９：鋳片中心部参照温度算出部、５１０：冷却水量変更量指示値算出部、５１１：冷却水量変更指示部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７Ａ】
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【図７Ｂ】
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【図７Ｃ】
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【図８】
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【図９Ａ】
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【図９Ｂ】
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【図９Ｃ】
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