(57)【要約】      （修正有）【課題】幾何学的構造体の上の系を対象とするシミュレーションが乱数を必要とする場合のため、構造体上の各点に与えられる乱数が、その時間的及び空間幾何学的な近傍の乱数と、できるだけ少ない相関を持つ事を保証する並列化可能な乗算合同法乱数の構成を提供する。【解決手段】３重検定で（７，７、６）型の優れた統計性を示し十分長い周期Ｔを持つ乗算合同法乱数生成機構を取り、それが与える乱数列Ｓを長さＭの相続く糸ｔｈｒｅａｄｓに分割し、各糸を空間格子構造の各点から発するものとし、時間軸に沿う糸の長さＭや空間構造の座標軸に沿う大きさを少なくとも（５、５、５）型３重検定に合格する様順次調整ｔｕｎｉｎｇして、時間的、幾何学的に近傍にある乱数が小さい相関を持つ事を保証する。【選択図】なし【特許請求の範囲】
【請求項１】
コンピュータ上で乱数を幾何学的な格子構造上に配置し、座標近傍に位置する乱数間で相関の優れて少ない保障を持つ生成機構の構成を実現する乗算合同法（ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ、ＭＣ）一様独立乱数並列生成機構の設計作成方法、即ちＮ＝２以上のＮ次元空間の平行面体Ｍ１×Ｍ２×…×ＭＮ、但しＭ１、Ｍ２、…、ＭＮは整数、の中の格子ＧＮ、
ＧＮ：＝｛（ｘ１、ｘ２、…、ｘＮ）｜
ｘｋは整数、０≦ｘｋ≦Ｍｋ−１、  ｋ＝１、２、…、Ｎ｝
の格子点の上に、整数の法ｄと、ｄとは素な整数の乗数ｚと、そしてｄとは素な整数の初期値（或いはｓｅｅｄ或いは種）ｓと、の組で構成されるＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚ、ｓ）が与える周期ＴのＭＣ乱数列Ｓで、（Ｕ、Ｖ、Ｗ）＝（７、７、６）型の３重検定、即ち
（１）１≦ｕ≦Ｕ＝７である（ｄ、ｚｕ）の一般化２次スペクトル検定評価値μｄ（２）（ｚｕ）が
１＜μｄ（２）（ｚｕ）＜１．２５
を満たし、
（２）（ｄ、ｚ）の次数ｖのエッジ検定評価値σｄ（ｖ）（ｚ）が３≦ｖ≦Ｖ＝７のすべての次数ｖにわたって
１＜σｄ（ｖ）（ｚ）＜１．２５
を満たし、かつ
（３）（ｄ、ｚ）の次数ｗ正単体基準スペクトル検定評価値μｄ（ｗ）（ｚ）が３≦ｗ≦Ｗ＝６のすべての次数ｗにわたって
１＜μｄ（ｗ）（ｚ）＜１．２５
を満たすか、を調べる３重検定、
に合格する優れたＭＣ乱数列Ｓを発見して設計に用い、Ｓを均一な長さＭの相続く部分列（ｔｈｒｅａｄｓ、或いは糸）をｔ軸方向に平行に順次並べて空間Ｎ次元の格子の各点にｔｈｒｅａｄｓを植え付け、ｔ軸方向の近傍にある乱数の間ではもとの乱数列Ｓの優れた統計性がそのまま保持され、
（第１段３重検定）：糸の長さＭをＭ’＝Ｍ、Ｍ＋１、Ｍ＋２、…と順次増大させつつ
ζ’：≡ｚ＾（Ｍ’）（ｍｏｄ  ｄ）
の（ｄ、ζ’）が（５、５、５）型３重検定に合格する様なＭ’≧Ｍを（即ちζ’を）発見してＭ’を始めに設定したＭと置き換える設計とし、
（第２段３重検定）幾何学形状の第ｘ１軸方向の幅Ｍ１を、順に１ずつＭ１’＝Ｍ１、Ｍ１＋１、Ｍ１＋２、…に増大させつつ
ζ１’：≡ｚ＾（Ｍ’Ｍ１’）（ｍｏｄ  ｄ）
の（ｄ、ζ１’）が（５、５、５）型３重検定に合格する様なＭ１’≧Ｍ１を（即ちζ１’を）発見してＭ１’≧Ｍ１を始めに設定したＭ１と置き換える設計とし、
（第３段３重検定）幾何学形状の第ｘ２軸方向の幅Ｍ２を、順に１ずつＭ２’＝Ｍ２、Ｍ２＋１、Ｍ２＋２、…に増大させつつ
ζ２’：≡ｚ＾（Ｍ’Ｍ１’Ｍ２’）（ｍｏｄ  ｄ）
の（ｄ、ζ２’）が（５、５、５）型３重検定に合格する様なＭ２’≧Ｍ２を（即ちζ２’を）を発見して、Ｍ２’を始めに設定したＭ２と置き換え、
以下同様に進んで
（第Ｎ段３重検定）幾何学形状の第ｘＮ−１軸方向の幅ＭＮ−１を順に１ずつ増大させてＭＮ−１’＝ＭＮ−１、ＭＮ−１＋１、ＭＮ−１＋２、…、としつつ
ζＮ−１’：≡ｚ＾（Ｍ’Ｍ１’Ｍ２’…ＭＮ−１’）（ｍｏｄ  ｄ）
の（ｄ、ζＮ−１’）の（５、５、５）型３重検定に合格する様なＭＮ−１’を（即ちζＮ−１’を）発見してＭＮ−１’を始めに設定したＭＮ−１と置き換える設計として、
これらＮ個の手続き（ｔｕｎｉｎｇ）を実現し、Ｔ≧Ｍ’Ｍ１’Ｍ２’…ＭＮ−１’ＭＮである場合にＮ次元直方体Ｍ１’×Ｍ２’×…×ＭＮ−１’×ＭＮの中にある整数格子ＧＮ’、
ＧＮ’：＝｛（Ｉ１、Ｉ２、…、ＩＮ）｜  ０≦Ｉｋ≦Ｍｋ’−１、
ｋ＝１、２、…、Ｎ−１、  ０≦ＩＮ≦ＭＮ−１｝
の各点（Ｉ１、Ｉ２、…、ＩＮ）に乱数の各糸の種ｓｅｅｄｓの配列
ＡＲＲＡＹ（Ｉ１、Ｉ２、…、ＩＮ）
を配布し用いる方法、但し配布は幾何学構造上の一様独立乱数が求められた各座標近傍へ相関の少なさを実現するものであって、ｔｕｎｉｎｇの結果であるＭ’、Ｍ１’、Ｍ２’、…、ＭＮ−１’を用いる事に注意するとコンピュータ上で配布する方法は簡明であって、諸量をプログラムではｄ＝：Ｄ、ｚ＝：Ｚ、ｓ＝：Ｓなどと大文字で表し、印刷の都合上プライムのついた諸量は
Ｍ’＝：ＭＰ、Ｍ２’＝：ＭＰ２、Ｍ３’＝ＭＰ３、…、
但しｔｕｎｉｎｇされないＭＮだけはＭＮ＝：ＭＮ、と記し、配布される乱数の配列ＡＲＲＡＹ（Ｉ１、Ｉ２、…、ＩＮ）は
ＡＲＲＡＹ（Ｉ１、Ｉ２、…、ＩＮ）
と記す事にすれば、次のＦＯＲＴＲＡＮ副プログラム；
ＳＵＢＲＯＵＴＩＮＥ  ＳＥＥＤＥＲ（Ｄ、Ｚ、Ｓ、ＭＰ、＆
＆    ＭＰ１、ＭＰ２、ＭＰ３、…、ＭＮ）
ＩＮＴＥＧＥＲ＊８  Ａ−Ｚ
ＣＯＭＭＯＮ  ＡＲＲＡＹ（０：ＭＰ１−１、０：ＭＰ２−１、＆
＆    ０：ＭＰ３−１、…、０：ＭＮ−１）
ＣＯＵＮＴ＝０
ＳＥＥＤ＝１
ＣＡＬＬ  ＰＯＷＥＲ（ＺＥＴＡ、Ｄ、Ｚ、ＭＰ）
！    ＰＯＷＥＲは高次冪ＺＥＴＡ＝ＭＯＤ（Ｚ＊＊ＭＰ、Ｄ）、
！    １≦ＺＥＴＡ＜Ｄ、を計算するのための副プログラム
ＤＯ  １０    ＩＮ＝０、ＭＮ−１
…………………………
ＤＯ  １０    Ｉ３＝０、ＭＰ３−１
ＤＯ  １０  Ｉ２＝０、ＭＰ２−１
ＤＯ  １０  １１＝０、ＭＰ１−１
ＡＲＲＡＹ（Ｉ１、Ｉ２，Ｉ３、…、ＩＮ）＝ＳＥＥＤ
ＳＥＥＤ＝ＭＯＤ（ＳＥＥＤ＊ＺＥＴＡ、Ｄ）
ＣＯＵＮＴ＝ＣＯＵＮＴ＋１
１０  ＣＯＮＴＩＮＵＥ
ＷＲＩＴＥ（６、’Ｉ２０’）ＣＯＵＮＴ
ＲＥＴＵＲＮ
ＥＮＤ
により実現される；ＣＯＵＮＴはすべてのＳＥＥＤＳが配置された事を確かめるためのｆｌａｇである：このように設計構成され、２進表示或はより効率的な形で保持されている｛Ｍ’、Ｍ１’、Ｍ２’、…、ＭＮ−１’、ＭＮ｝から、シミュレーションの準備計算としてまずＡＲＲＡＹを生成する、或はＡＲＲＡＹのデータそのものをＨＤ、ＳＳＤ、ＵＳＢ等にアーカイブし、シミュレーション計算冒頭に主記憶に読み込む、或は何らかの標準的な形でＡＲＲＡＹのデータを計算言語の関数サブルーチンとして計算センターの関数ライブラリーに装備して、或はオペレーティングシステムの１つのサービスとして含めて計算機や携帯電話機から利用する等により、シミュレーション計算機上の前記整数格子ＧＮ’或いはその部分格子ＧＮの格子点への種ｓｅｅｄｓ分配を完成し、実際シミュレーションにはＧＮ’の各点（Ｉ１、Ｉ２、…、ＩＮ）での生成機構
（ｄ、ｚ、ＡＲＲＡＹ（Ｉ１、Ｉ２、…、ＩＮ））
が並列発生する乱数を用いる、幾何学構造ＧＮ’上の長さＭ’の一様独立乱数並列生成機構の構成設計作製方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】コンピュータシミュレーションで一様独立と想定される乱数を生成する機構から得られる乱数列を用いる場合、現在までは列上で遠く離れた２つの乱数の間に強い相関があり得るという避け難い困難を十分に制御する事ができなかった。コンピュータ上多用されるＭｅｒｓｅｎｎｅ  Ｔｗｉｓｔｅｒ（松本と西村、１９９８）などの有限体上のｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ  ｆｅｅｄｂａｃｋ  ｓｈｉｆｔ  ｒｅｇｉｓｔｅｒ  ＧＦＳＲ型乱数列等は、長大な周期全体に亙るｅｑｕｉｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎの性質が保証されるが、局所的な距離にある乱数の間の統計的な良い性質を長大な列上どの局所でも保証する信頼できる方法の不在の困難は避ける事ができない。ここで提出する発明は、古典的な乗算合同法型（ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ、ＭＣ）の乱数生成機構を幾何学的構造上に並列生成可能な様に配置し、生成される諸乱数列が統計的仮説『時間の発展でも空間の隣接方向への推移でも一様独立乱数列の見本列と見える』、を最も弱く否定する様な乱数生成機構の設計作成方法（特願２０１７−０４４３６５）の上に、ＭＣ乱数列に最近発明されたエッジ検定（特願２０１７−１５７６８４）の応用を新しく加えて、現在最も強力かつ完全と思われる『３重検定』、即ち一般化２次スペクトル検定（中澤と中澤２０１４Ａ），エッジ検定（特願２０１７−１５７６８４）、そして正単体基準スペクトル検定（中澤と中澤２０１４Ｂ）、を総動員する検定、を適当な次数の設定で選び、空間的に広がったシミュレーション対象の諸研究の広範な便宜を与えるＭＣ乱数並列生成装置の設計製作の新しい方法として応用特許を申請する。
先行技術文献
【非特許文献】１）松本と西村（１９９８）／Ｍ．Ｍａｔｓｕｍｏｔｏ  ａｎｄ  Ｔ．Ｎｉｓｈｉｍｕｒａ：Ｍｅｒｓｅｎｎｅ  ｔｗｉｓｔｅｒ：ａ  ６２３−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｌｙ  ｅｑｕｉｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ  ｕｎｉｆｏｒｍ  ｐｓｅｕｄｏ−ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒ，ｉｎ  ＡＣＭ  Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ  ｏｎ  Ｍｏｄｅｌｉｎｇ  ａｎｄ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ  ４（１９９８），ｐｐ．３−３０．  ２）中澤と中澤（２０１４Ａ）／Ｎ．ａｎｄ  Ｈ．Ｎａｋａｚａｗａ：Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ  ｄｅｓｉｇｎ  ｏｆ  ｕｎｉｆｏｒｍ  ａｎｄ  ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄ  ｏｎ  Ａｐｒｉｌ  ２９−Ａｕｇｕｓｔ  ５，２０１４  ｉｎ  ｔｈｅ  ＵＲＬ  ｈｔｔｐ：／／ｎａｋａｚａｗａ−ｐａｔｅｎｔｓ．ｊｐ／ｉｎｄｅｘ２０１５．ｈｔｍｌ  ｗｉｔｈ  ｔｈｅ  ｆｉｌｅｎａｍｅ  ｉｎｖｅｎｔｉｏｎ１ａ．ｐｄｆ．これはロシア特許及びアメリカ特許を認可された／ロシア特許：１５  Ｊａｎｕａｒｙ  ２０１６／Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ  Ｎｏ．２０１３１５４５０７／０８（０８５１２４）．アメリカ特許：Ｍｙ  ３０  ２０１７／Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ  Ｎｏ．１５／０６５，５４９．  ３）中澤と中澤（２０１４Ｂ）／Ｎ．ａｎｄ  Ｈ．Ｎａｋａｚａｗａ：Ｍｅｔｈｏｄｓ  ｏｆ  ｓｐｅｃｔｒａｌ  ｔｅｓｔｓ  ｏｆ  ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄ  ｉｎ  ｔｈｅ  ＵＲＬ  ｈｔｔｐ；／／ｎａｋａｚａｗａ−ｐａｔｅｎｔｓ．ｊｐ／ｉｎｄｅｘ２０１５．ｈｔｍｌ  ｏｎ  Ｊｕｎｅ  ５−Ｊｕｌｙ  ３０，２０１４  ｗｉｔｈ  ｔｈｅ  ｆｉｌｅｎａｍｅ  ｉｎｖｅｎｔｉｏｎ２ｋ．ｐｄｆ．これはＥＵ特許及びロシア特許を認可された／ＥＵ特許：１３．０１．２０１６／Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ  Ｎｏ．１４１９１８１９．３．ロシア特許：１３．０４．２０１６／Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ  Ｎｏ．２０１４１５０２６３／０８（０８０６３６）．
【特許文献】１）特願２０１７−０４４３６５  ２）特願２０１７−１５７６８４                      幾何学構造上の並列ＭＣ生成機構【０００２】ＭＣ乱数生成機構の記号を定める。ＭＣ乱数生成機構は、法の整数ｄ、それとは素な整数の乗数ｚ、そしてｄとは素な初期値を与える整数の種ｓ（ｓｅｅｄ）、をまとめて（ｄ、ｚ、ｓ）或いはｓｅｅｄが議論に関係しない場合には（ｄ、ｚ）、と表示する。（ｄ、ｚ、ｓ）は整数の列Ｓ：＝｛ｒ０、ｒ１、ｒ２、…｝を合同漸化式
ｒ０：≡ｓ（ｍｏｄ  ｄ）、  ０＜ｒ０＜ｄ、
ｒｊ：≡ｚｒｊ−１≡ｓｚｊ（ｍｏｄ  ｄ）、  ０＜ｒ０＜ｄ、  ｊ≧１、
で生成し、一様独立乱数列として
｛ｖｊ：＝ｒｊ／ｄ｜ｊ＝０、１、２、…｝
を出力する。整数出力の相続くＬ連Ｐｊ：＝（ｒｊ、ｒｊ＋１、…、ｒｊ＋Ｌ−１）、Ｌ＝２、３、…をＬ次元空間ＥＬの点Ｐｊの位置ベクトルと考えると、ｊ＝０、１、２、…に対する点がＥＬの中でｄとｚで定まる格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の上に載る事は良く知られ、Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）以来（ｄ、ｚ）生成機構の性能評価に用いられた。この格子は後に詳述される。ここではＧＬ（ｄ、ｚ）に基づく次の３個の検定合格条件ａ）−ｃ）をすべて満たすＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚ）の存在を前提し用いる。
ａ）『Ｕ型一般化２次検定』中澤と中澤（２０１４Ａ）が与える一般化２次検定の合格条件
１＜μｄ（２）（ｚｋ）＜１．２５、  ｋ＝１、２、…、７＝Ｕ、
但し（ｄ、ｚｋ）ＭＣ乱数生成機構が与える２連の作る２次元格子の隣接格子線の最大間隔をλｄ（２）（ｚｋ）と記して、検定評価μｄ（２）（ｚｋ）は次の定義を持つ：
μｄ（２）（ｚｋ）：
＝λｄ（２）（ｚｋ）／｛（ｄ／２）＾（１／２）３＾（１／４）｝。
この検定の意味とλｄ（２）（ｚｋ）の計算方法とは後に詳述される。
ｂ）『Ｖ型エッジ検定』特願２０１７−１５７６８４で提示されたエッジ検定の合格条件
１＜σｄ（Ｌ）（ｚ）＜１．２５、  ３≦Ｌ≦７＝Ｖ、
但し（ｄ、ｚ）ＭＣ乱数生成機構が与える相続くＬ連の作るＬ次元格子の格子ベクトルの最小長さをεｄ（Ｌ）（ｚ）と記して、検定評価σｄ（Ｌ）（ｚ）は次の定義を持つ：
σｄ（Ｌ）（ｚ）：
＝｛Ｌ＾（１／２）×
（Ｌ＋１）＾［−（Ｌ−１）／（２Ｌ）］×
ｄ＾［（Ｌ−１）／Ｌ］／εｄ（Ｌ）（ｚ）。
この検定の意味とεｄ（Ｌ）（ｚ）の計算方法とは後に詳述される。
ｃ）『Ｗ型正単体基準スペクトル検定』中澤と中澤（２０１４Ｂ）が与えた正Ｌ単体基準Ｌ次スペクトル検定に基づく合格基準
１＜μｄ（Ｌ）（ｚ）＜１．２５、  ３≦Ｌ≦６＝Ｗ、
但し（ｄ、ｚ）ＭＣ生成機構からのＬ連の作るＬ次元格子の隣接（Ｌ−１）次元超格子面の最大間隔をλｄ（Ｌ）（ｚ）と記して評価値μｄ（Ｌ）（ｚ）は次の定義を持つ：
μｄ（Ｌ）（ｚ）：
＝λｄ（Ｌ）（ｚ）／｛Ｌ＾（−１／２）×
×（Ｌ＋１）＾［（Ｌ−１）／（２Ｌ）］×
×ｄ＾［（Ｌ−１）／Ｌ］｝。
この検定の意味とλｄ（Ｌ）（ｚ）の計算方法とは後に詳述される。
記述を簡潔にして、これら３条件を（Ｕ、Ｖ、Ｗ）＝（７、７、６）型の３重検定、と呼ぶ。現在の発明は（７、７、６）型の３重検定の合格ＭＣ生成機構をの存在を前提とし、それを用いる幾何学構造上の並列ＭＣ乱数生成機構の設計作成方法を新しい応用発明として特許を請求する。前提条件、（７、７、６）型３重検定の合格ＭＣ生成機構の存在、は後に実例で保証される。
先行技術文献
【非特許文献】
2019046426.tif 000002
【非特許文献】                          問題の基本認識
【０００３】まず検定の詳細ははさておき、このようなＭＣ生成機構（ｄ、ｚ、ｓ）が与える列Ｓを用いる上での基本認識と、必要な原則とを述べる。１つのシミュレーションプログラムには必ず単一の優れた乱数生成機構を用いなければならない。２つ以上の乱数生成機構が、たとえ個別にはどんなに優れていようと、合成結果の検定なしでそれらを同時に用いる事は危険である。これはたとえば法がｄ＝ｄ１ｄ２と２つの互いに素な因数を持つＭＣ生成機構が優れたものである確率は、部分ＭＣ生成機構（ｄ１、ｚ１）、（ｄ２、ｚ２）が共に非常に優れたものである様にスペクトル検定等で選び、それらを孫氏の定理で（ｄ、ｚ）に合成（それは文字通りｓｈｕｆｆｌｉｎｇである）したとしても、優れた結果が絶望的に希少である実際結果からは痛感される事実である。故に単一のＭＣ機構（ｄ、ｚ、ｓ）で優れたと検定される（現在の意味では３重検定で高い成績を得る）ものを選んでその生成乱数列Ｓだけで考える事が必要であり唯一の技術的可能性である。長大なシミュレーションは避け難く並列計算を求める。上に述べた事は、この並列計算でも単一のＭＣ生成機構を利用する以外、可能性がない事を意味する。勿論乱数の整数列Ｓの使用に重複があってはならないから、並列計算で用いられる各々はＳの重複のない使用、乱数生成の計算経済を考えるならＳの相続く小列への分割を用いる事、が我々の唯一の可能性、原則である。この様な小列をｔｈｒｅａｄｓ糸と呼びその長さをＭとして始める。Ｍはシミュレーションの対象からその大きさが求められる長さである。例えばシミュレーションが求める必要な計算ステップ総数である。
幾何構造上の並列ＭＣ乱数生成機構の構成原理【０００４】前記の原則に基づく並列ＭＣ乱数生成機構の構成は特願２０１７−０４４３６５に詳しいが、現発明の応用者の便宜を考えて重複を厭わず記述する。最も簡単で応用の広い幾何学図形として、Ｎ次元ユークリッド空間ＥＮで整数の長さＭ１、Ｍ２、…、ＭＮの稜を持つ直方体領域の中にある整数格子ＬＮ、
ＬＮ：＝｛（ｘ１、ｘ２、…、ｘＮ）｜  ｘｋは整数、
０≦ｘｋ≦Ｍｋ−１、ｋ＝１、２、…、Ｎ｝
を取り、その各格子点に前述のｔｈｒｅａｄｓを第０軸であるｔ軸に平行に並べる事を考える；ｔは（離散的）時間である。シミュレーションで実現されるべき理想のイメージは、空間格子ＬＮの各点に粒子或いは自由度があって、それぞれ一様独立乱数の影響を受けながら時間発展をしている、乱数は近傍の粒子に働くものとも相関を持たない、という物理イメージになる。物理イメージにこだわらなければ、発明の表題通りの、ＬＮの各点に一様独立乱数系列のｔｈｒｅａｄｓを置いて、できるだけ第０及び第１から第Ｎ軸方向への近傍に相関の少ない乱数を配置する問題、コンピュータ上でＮ＋１次元空間での離散的ホワイトノイズとでも言うべきものを、技術的に完全な一様独立とは言えないＭＣ生成機構からの乱数系列Ｓの使用に工夫を凝らして構成する技術問題、である。この様なイメージは各種シミュレーションから求められるものであるので、ここでは特化しない方が応用の可能性を広げると考える。もし我々が完全に一様独立な乱数を持つなら、ｔｈｒｅａｄｓへのどんな分割でも理想の結果は得られる。しかしそれは我々が実際技術で持つ乱数ではあり得ない。ここでの目標は、我々のコンピュータの限界の中で、よい結果を得る技術的工夫である。【０００５】優れた統計性を持つＭＣ乱数を選出する検定方法『（Ｕ、Ｖ、Ｗ）型の３重検定』は既述通り後に回して、それで選ばれた優れたＭＣ乱数のｔｈｒｅａｄｓを如何に空間格子ＬＮの各点に配置するかを述べる；これは特願２０１７−０４４３６５で提出された技術である。空間幾何学構造ＬＮの総格子点数はＭ１Ｍ２…ＭＮである。これらのそれぞれの上に長さＭの糸ｔｈｒｅａｄｓを並べる構成を試みる。まず明らかな事は、用いられる乱数はここでは総数Ω：＝ＭＭ１Ｍ２…ＭＮだから、並べる事が可能なためには不等式
（ＭＣ乱数の周期Ｔ）＞Ω＝ＭＭ１Ｍ２…ＭＮ
が（後に行われるｔｕｎｉｎｇのため余裕をもって）成り立たなければならない。Ｍ、Ｍ１、Ｍ２、…、ＭＮ、そしてΩはシミュレーションが最初に指定すべき量であり、この不等式はＭＣ機構（ｄ、ｚ、ｓ）が与えられた時にその周期Ｔがシミュレーションの設計に課す限界になる。糸（ｔｈｒｅａｄｓ）は（ｄ、ｚ、ｓ）乱数列の長さＭの相続く分割以外の可能性はないから、順次｛θ０、θ１、…、θΩ−１｝と名付け、ユークリッド空間ＥＮ＋１即ち座標軸で言ってｔｘ１ｘ２…ｘＮ、のｔ軸に沿うベクトルと考え、ベクトルの形で列記すると次の様になる：
｛θｋ：≡ｓζｋ（１、ｚ、ｚ２、…、ｚＭ−１）  （ｍｏｄ  ｄ）｜
ｋ＝０、１、…、Ω−１｝、
ζ：≡ｚＭ（ｍｏｄ  ｄ）。
任意の糸（ｔｈｒｅａｄ）θｋはこの様に、ＭＣ機構（ｄ、ｚ、ｓζｋ）で生成される長さＭの乱数有限乱数列であり、ｓｅｅｄｓ｛ｓζｋ（ｍｏｄ  ｄ）｜  ｋ＝０、１、…、Ω−１｝で完全に指定される。問題はこれらｓｅｅｄｓを空間ＥＮの整数格子ＬＮにどのように配置するか、である。【０００６】高次元空間のイメージに悩むのではなく、ＬＮの各点に前記のｓｅｅｄｓを分配するコンピュータプログラムの実際構成を考えれば明確な理解が得られる。ただ、添字の使えないプログラムの約束事のため、まず記法を整備しなければならない。プログラムではｄ＝：Ｄ、ｚ＝：Ｚ、ｓ＝：Ｓなどと大文字で表す古い記法を用いる。設計で始めに与えるべき諸量は、すこし繁雑だが
Ｍ１：＝Ｍ１、  Ｍ２：＝Ｍ２、  …、  ＭＮ：＝ＭＮ
で記す。格子ＬＮの各点は変数
Ｉ１：＝Ｉ１、Ｉ２：＝Ｉ２、…、ＩＮ：＝ＩＮ、
０≦Ｉｋ≦ＭＫ−１、  Ｋ＝１，２、…、Ｎ
を導入せざるを得ない；特にＩＮ−１はこの様な表記ができないので使用を避ける事を納得して頂きたい。これでＬＮ上に配布される（Ｄで割る前の整数で考えた）乱数の配列はＡＲＲＡＹ（Ｉ１，Ｉ２、…、ＩＮ）と記す事ができる。
ＡＲＲＡＹの算出は、次のＦＯＲＴＲＡＮ副プログラムで行うとよい：
ＳＵＢＲＯＵＴＩＮＥ  ＳＥＴＴＥＲ（Ｄ，Ｚ，Ｓ，＆
＆    Ｍ，Ｍ１，Ｍ２，Ｍ３，…，ＭＮ）
ＩＮＴＥＧＥＲ＊８  Ａ−Ｚ
ＣＯＭＭＯＮ  ＡＲＲＡＹ（０：Ｍ１−１，０：Ｍ２−１，＆
＆    ０：Ｍ３−１，…，０：ＭＮ−１）
ＺＥＴＡ＝ＭＯＤ（Ｚ＊＊Ｍ，Ｄ）
ＳＥＥＤ＝Ｓ
ＣＯＵＮＴ＝０
ＤＯ  １０  ＩＮ＝０，ＭＮ−１
…………………………
ＤＯ  １０  Ｉ３＝０，Ｍ３−１
ＤＯ  １０  Ｉ２＝０，Ｍ２−１
ＤＯ  １０  Ｉ１＝０，Ｍ１−１
ＡＲＲＡＹ（Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３，…，ＩＮ）＝ＳＥＥＤ
ＳＥＥＤ＝ＭＯＤ（ＳＥＥＤ＊ＺＥＴＡ，Ｄ）
ＣＯＵＮＴ＝ＣＯＵＮＴ＋１
１０  ＣＯＮＴＩＮＵＥ
ＷＲＩＴＥ（６，’Ｉ２０’）ＣＯＵＮＴ
ＲＥＴＵＲＮ
ＥＮＤ
整数のｆｌａｇ  ＣＯＵＮＴは計算回数がΩＮ：＝Ｍ１＊Ｍ２＊…＊ＭＮと合致する事を確認するためのものである。この計算プログラムは一般の次元ＮでＬＮ上に分配されるｓｅｅｄｓであるＡＲＲＡＹ（Ｉ１，Ｉ２，…，ＩＮ）が次の近傍関係を持つ事を明らかにする：
（１）Ｉ１のＩ１→Ｉ１＋１の変化による隣接近傍の乱数への移行はＳＥＥＤの法ｄでのζ倍、ζ：≡ｚ＾Ｍ（ｍｏｄ  ｄ）で与えられる；
（２）Ｉ２のＩ２→Ｉ２＋１の変化による隣接近傍の乱数への移行はＳＥＥＤの法ｄでのζ１倍、ζ１：≡ζ＾（Ｍ１）≡ｚ＾（ＭＭ１）（ｍｏｄ  ｄ）で与えられる；
（３）Ｉ３のＩ３→Ｉ３＋１の変化による隣接近傍の乱数への移行はＳＥＥＤの法ｄでのζ２倍、ζ２：≡（ζ１）＾（Ｍ２）≡ｚ＾（ＭＭ１Ｍ２）（ｍｏｄｄ）で与えられる；
………………………………………………………
（Ｎ）ＩＮのＩＮ→ＩＮ＋１の変化による隣接近傍の乱数への移行はｓｅｅｄの法ｄでのζＮ−１倍、
ζＮ−１：≡（ζＮ−２）＾（ＭＮ−１）
≡ｚ＾（ＭＭ１Ｍ２…ＭＮ−１）  （ｍｏｄ  ｄ）、
で与えられる。
調整ｔｕｎｉｎｇ【０００７】再びＦＯＲＴＲＡＮプログラムではない通常の表記に戻る。我々はＮ次元空間ＥＮの幾何構造ＬＮ上ではｓｅｅｄｓの時間軸、空間軸方向への推移がＭＣ乱数列Ｓ上の特別な項を選んで行われる事を見、それら特別の項の組をｔｕｎｉｎｇして選ぶ事が技術の核心であると発見して、特願２０１７−０４４３６５にその構成方法の利用技術を特定のｔｕｎｉｎｇの方法と共に出願した。触れられた特別のｓｅｅｄｓは一般にｓ（ｚ＾Ｍ）＾ｋ≡ｓζｋ（ｍｏｄ  ｄ）の形、０≦ｋ＜Ｍ１Ｍ２…ＭＮの形になる。故に幾何学構造ＬＮ上配置されるべき長さＭの乱数の糸ｔｈｒｅａｄｓの具体形は
θｋ：≡ｓζｋ（１、ｚ、ｚ２、…、ｚＭ−１）  （ｍｏｄ  ｄ）
である。こうしてＬＮ上に置かれたｔｈｒｅａｄｓ全体の作るＭＣ乱数のＮ＋１次元配列、それをＶＮ＋１と記す、の任意の要素がその隣接近傍へは次の乗算で移る事がわかる：
（ｔ軸方向）ｚをｍｏｄ  ｄで掛ける、
（ｘ１軸方向）ζ：≡ｚ＾Ｍをｍｏｄ  ｄで掛ける、
（ｘ２軸方向）ζ１：≡ζ＾（Ｍ１）≡ｚ＾（ＭＭ１）をｍｏｄ  ｄで掛ける、
（ｘ３軸方向）ζ２：≡（ζ１）＾（Ｍ２）≡ｚ＾（ＭＭ１Ｍ２）をｍｏｄ  ｄ
で掛ける、
………………………………
（ｘＮ軸方向）ζＮ−１：≡（ζＮ−２）＾（ＭＮ−１）
≡ｚ＾（ＭＭ１Ｍ２…ＭＮ−１）をｍｏｄ  ｄで掛ける。
上の様に組み上げた幾何学構造ＬＮ上の糸ｔｈｒｅａｄｓの乱数全体の配列ＶＮ＋１の中で、各乱数がｔ軸、ｘ１軸、ｘ２軸、…、ｘＮ軸、それぞれの方向にある近傍乱数と小さい相関しか持たない様に組み上げる技術は、従って、次の（ｔｕｎｉｎｇ０）から（ｔｕｎｉｎｇＮ）の組で得られる。ただし我々は（ｔｕｎｉｎｇ０）はもともとのＭＣ乱数列Ｓによって満たされている、と前提して出発した。従って実際に必要なのは以下の（ｔｕｎｉｎｇ１）から（ｔｕｎｉｎｇＮ）である。これらのｔｕｎｉｎｇで検定基準を異なる様に取る事もできるので、夫々（検定０）から（検定Ｎ）までと記すが、後に具体的に論じる様に（検定１）から（検定Ｎ）までは同一とするのが現実的であろう。
（ｔｕｎｉｎｇ０）ｔｈｒｅａｄｓはｔ軸方向には法ｄでｚを掛けて推移する（ｄ、ｚ）ＭＣ乱数列Ｓの相続くＭ連であり、（ｄ、ｚ）生成機構の（検定０）に高成績で合格する。
（ｔｕｎｉｎｇ１）ｘ１軸方向の近傍には乱数は（ｄ、ζ）ＭＣ機構、但し法ｄでζ：≡ｚ＾Ｍ、で生成される。故にｔｈｒｅａｄｓの長さＭを１ずつＭ’＝Ｍ、Ｍ＋１、Ｍ＋２、…に増大させながらζ’：≡ｚ＾Ｍ’となる（ｄ、ζ’）の（６、６、５）型３重検定を行い、合格するζ’：≡ｚ＾Ｍ’が発見できるまで続けてｔｕｎｉｎｇして、（検定１）に合格するＭ’とζ’：≡ｚ＾Ｍ’によってＭとζを置換する。
（ｔｕｎｉｎｇ２）ｘ２軸方向の近傍の乱数は（ｄ、ζ１）ＭＣ機構、但し今や法ｄでζ１：≡ｚ＾（Ｍ’Ｍ１）≡（ζ１’）＾Ｍ１、で生成される。故にｘ１軸方向のＬＮの幅であるＭ１をＭ１’＝Ｍ１、Ｍ１＋１、…と１ずつ増しながら
ζ１’：≡ｚ＾（Ｍ’Ｍ１’）≡（ζ１’）＾（Ｍ１’）
に対するＭＣ生成機構（ｄ、ζ１’）の（検定２）でζ１’或はＭ１’のｔｕｎｉｎｇを行い、合格したＭ１’、ζ１’でＭＣ生成機構（ｄ、ζ１’）を確定する。
（ｔｕｎｉｎｇ３）ｘ３軸方向の近傍には乱数は（ｄ、ζ２）ＭＣ機構、但し現在法ｄでζ２：≡ｚ＾（Ｍ’Ｍ１’Ｍ２）、で生成される。故にｘ２軸方向のＬＮの幅Ｍ２をＭ２’＝Ｍ２、Ｍ２＋１、…と１ずつ増大させながら
ζ２’：≡ｚ＾（Ｍ’Ｍ１’Ｍ２’）
に対するＭＣ生成機構（ｄ、ζ２’）の（検定３）でζ２’或はＭ２’のｔｕｎｉｎｇを行い、合格したＭ２’、ζ２’でＭＣ機構の（ｄ、ζ２’）を確定する。
…………………………………………
（ｔｕｎｉｎｇＮ）以下同様で、最後のｘＮ軸方向に乱数は（ｄ、ζＮ−１）ＭＣ機構、但し今や法ｄでζＮ−１：≡ｚ＾（Ｍ’Ｍ１’Ｍ２’…ＭＮ−２’ＭＮ−１）、で生成される。故にｘＮ−１軸方向のＬＮの幅ＭＮ−１を
ＭＮ−１’＝ＭＮ−１、ＭＮ−１＋１、ＭＮ−１＋２、…
と１ずつ増大させながら
ζＮ−１’：≡ｚ＾（Ｍ’Ｍ１’Ｍ２’…ＭＮ−１’）
に対するＭＣ生成機構（ｄ、ζＮ−１’）の（検定Ｎ）でζＮ−１’或はＭＮ−１’のｔｕｎｉｎｇを行い、合格したＭＮ−１’、ζＮ−１’でＭＣ機構の（ｄ、ζＮ−１’）を確定する。
出発時のＭ、Ｍ１、…、ＭＮ−１はｔｕｎｉｎｇによって一般に始めに設定した値よりは増大した値Ｍ’、Ｍ１’、…、ＭＮ−１’になり、そうする事によってｔ軸、ｘ１軸、ｘ２軸、…、ｘＮ軸方向近傍へ推移でのよい統計的性質が得られる。勿論ＭＣ乱数の周期は
Ｔ≧Ｍ’Ｍ１’…ＭＮ−１’ＭＮ
を満たさなければならないが、経験的には始めのｔｈｒｅａｄｓの長さＭを余り大き過ぎないように取ればこれは問題とはならない。平行面体Ｍ’×Ｍ１’×…×ＭＮ−１’×ＭＮの中へ膨張した格子をＬＮ’と記す。ＬＮ’上のｔｈｒｅａｄｓの長さはＭ’に伸び、得られたＡＲＲＡＹはＬＮ’上に配列され各長さがＭ’に伸びたｔｈｒｅａｄｓのｓｅｅｄｓである。このｓｅｅｄｓの配列とｔｕｎｉｎｇの方法は特願２０１７−０４４３６５で提出した通りである。
必要な検定の詳しい説明【０００８】空間ＥＮ内で目的とする格子ＬＮから膨張したＬＮ’上の乱数の糸の全体を検定によって『構成する手続』は錯綜しているけれども、プログラムの形で示した様に理解は易しい。一方検定は多くの項目を持ち、すべて『優れた乱数であるための必要条件』だから１つでも不都合があってはならない。検定構造の理解とその検定への合格によって何が保証されるのかの理解が大切である。検定計算の技術の側から見ると、諸検定は遅速様々だが、時には１つのデータを得るのに月を単位とする長い計算時間を要する。効率的に計算、検定を進めるには
計算時間の短いものから始めて次第に長いものに移る
という基本は必須である。成功は最長計算時間のものまで遂行して漸く得られるものだから、計算プログラムの正しさを固く信じ、確信をもって待たなければならない。応用者にも必要な理解を得て頂く様に、ここでは検定の諸問題を少し遡った一般問題から記す。最初に振り返るべきは２０世紀乱数技術の最大の収穫、Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）の研究が与えた１つの原理の認識、『すぐれたＭＣ乱数生成機構は可能なあらゆる機構をｅｘｈａｕｓｔｉｖｅに、予断なく、すべて検定し尽して始めて得られる』、である。彼らの研究はＭＣ乱数生成機構に限ったもので、生成される乱数列が与える格子構造を利用してその格子の平行隣接（超）平面群の最大間隔を考え、検定方法としては双対格子の最短ベクトルを求める問題に定式化して行われた。この問題限定は彼らの幸いであり不幸でもあった。不幸は、当時から２０世紀全体に亙る偏見、『ＭＣ機構は、特に難問と知られている最小格子ベクトル探索問題に帰着させるスペクトル検定に依存し、成功の見込みが薄い』、に覆われていた事情にもある。このためＭＣ乱数生成機構とそのスペクトル検定は乱数問題の主流とも、更に深い研究の対象ともならなかった。専門家の努力は多様な他の生成方法に集中し、それは勿論前述のＧＦＳＲ型などの現在も多用される成果となったが、一方『ｅｘｈａｕｓｔｉｖｅに検定しなければよい生成機構は発見できない』というＦｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅの貴重な理解が十分に省みられないまま２０世紀は終った。革新は２１世紀、意外な所から始まった。中澤と中澤（２００８）はコンピュータ上のどのような一様独立乱数生成機構もＭＣ機構による乱数列で必ず表される、という事実をまず認識した（中澤と中澤、２００８、第２節参照）。これは、努力を集中すべきはＭＣ生成機構とそのスペクトル検定である、という明確な指針、確信を与えるものであった。その上で進められた研究は、しかし、再び困難、
『実用的な大きな乱数周期となるよう最小公倍数周期を求めて２つの部分生成機構が      与えるｃｏｍｂｉｎｅｄ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒを設計し部分生成機構をスペクトル      検定で優れたものに選んでも、どうしてもｃｏｍｂｉｎｅｄ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒ      ｓでスペクトル検定に合格するものが得られない』
が立ちはだかった。孤立した発明者達は気付かなかったが、一般乱数理論の世界でもｃｏｍｂｉｎｅｄ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓの１群の乱数研究（Ｗａｎｇ  ｅｔ  ａｌ．，（２０１１）のｒｅｖｉｅｗを参照して頂きたい）として同じ困難に直面していた；そこでは報告として困難を明確に述べるものはなかったが、部分生成機構はほぼｕｎａｎｉｍｏｕｓにスペクトル検定で選ぶものの、合成乱数生成機構はすべてｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ  ｔｅｓｔｓで論じられるものに限られていた。残念ながらｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ  ｔｅｓｔｓでの好成績は全周期に亙る、或は乱数列のどの局所統計構造に関しても、高い信頼を置けるものとは言えない。現発明者達も、『部分生成機構をスペクトル検定で高性能のものに選んでも合成生成機構のスペクトル検定の努力で高性能を得る事ができない』状況に苦しんだ。努力は幸い、『コンピュータ上の乱数生成機構は確率論的に考えれば１つの見本列を与えるべき試みだ』という基本認識に立ち返るきっかけとなった。それは第１に『でたらめなはずの乱数列をｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃに生成する事はそもそも可能か？』という哲学的難問を消滅させた。また直ちに、『一様独立と見える』、という統計的仮説を最も弱く否定するＭＣ乱数列、理想としてのＭＣ乱数列上のスペクトル検定基準は何かという疑問と、一様独立性の検証のために理想とすべきは『正単体基準でなければならない』という幾何学的直観的な解答を与えて、中澤と中澤（２０１４Ｂ）の正単体基準の計算に導いた。次数Ｌ≧３でのこの基準値がそれまでのスペクトル検定基準値とは乖離する、という発見は直ちに『数の幾何学が与える限界値を用いる２０世紀のスペクトル検定は正しくない』という驚くべき認識に至った。新しい基準に基づく検定計算は月単位の時間を要する苦しいものではあったが、数個の十分長い周期の合成ＭＣ生成機構の発見に結実した。こうして２１世紀乱数技術は、『正単体基準スペクトル検定で優れた部分ＭＣ生成機構が合成されたものには再び優れた正単体基準スペクトル検定評価を再現するものが存在する』事を実証した（中澤と中澤、２０１４Ｃ）。但しこれは話の終りでも発明者達のｔｅａｒｓの終りでもなく、さらに多くをそぎ落とされなければならなかった。
先行技術文献
１）Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｋａｚａｗａ（２００８）／Ｈｉｒｏｓｈｉ  Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｏｙａ  Ｎａｋａｚａｗａ，Ｄｅｓｉｇｎｓ  ｏｆ  ｕｎｉｆｏｒｍ  ａｎｄ  ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒｓ  ｗｉｔｈ  ｌｏｎｇ  ｐｅｒｉｏｄ  ａｎｄ  ｈｉｇｈ  ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ，ｕｐｌｏａｄｅｄ  ｉｎ  ｔｈｅ  ＵＲＬ  ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／ｐａｓｔｒｅｐｏｒｔｓ．ｈｔｍｌ  ｏｎ  Ｍａｒｃｈ  ９−Ｊｕｌｙ  ８，２００８  ｗｉｔｈ  ｔｈｅ  ｆｉｌｅｎａｍｅ  ３９７８ｅｒｖ．ｐｄｆ．
２）Ｗａｎｇ  ｅｔ  ａｌ．（２０１１）／Ｍ．Ｗａｎｇ  ｅｔ  ａｌ．，Ｃｏｍｂｉｎｅｄ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ：Ａ  ｒｅｖｉｅｗ，ＩＥＥＥ９７８−１−６１２８４−４８６−２／１１（２０１１），ｐｐ．４４３−４４７．
３）Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｋａｚａｗａ（２０１４Ｃ）／Ｈｉｒｏｓｈｉ  Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｏｙａ  Ｎａｋａｚａｗａ，Ｔｈｅ  ｐｒｏｓｐｅｃｔｕｓ  ｏｆ  Ｎｋａｚａｗａ  Ｐａｔｅｎｔｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄ  ｉｎ  ｔｈｅ  ＵＲＬ  ｈｔｔｐ：／／ｎａｋａｚａｗａ−ｐａｔｅｎｔｓ．ｊｐ／ｉｎｄｅｘ２０１５．ｈｔｍｌ  ｏｎ  Ｊｕｌｙ  １２−Ｏｃｔｏｂｅｒ  ２６，２０１４  ｗｉｔｈ  ｔｈｅ  ｆｉｌｅｎａｍｅ  ｅｐｒｏｐｅｃｔｕｓ１４１０２６．ｐｄｆ．
ＭＣ乱数の相続くＬ連の作る格子【０００９】議論を進めるには格子の導入が欠かせない。まず記法の確定に向かう。ＭＣ乱数出力の相続くＬ連、整数出力で考えて（ｒｋ、ｒｋ＋１、…、ｒｋ＋Ｌ−１）、Ｌ＝２、３、…、をＬ次元空間ＥＬの点Ｐｋの位置ベクトルと考えると、ｋ＝０，１，２、…に対する点ＰｋがＥＬの中でｄとｚで定まるある格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の格子点となる事は述べた。実際法ｄで
Ｐｋ≡ｓｚｋ（１、ｚ、ｚ２、…、ｚＬ−１）
である。行ベクトル
ｅ１＝（１、ｚ、ｚ２、…、ｚＬ−１）
ｅ２＝（０、ｄ、０、…、０）
ｅ３＝（０、０、ｄ、…、０）
…………………………
ｅＬ＝（０、０、０、…、ｄ）
を考えると、Ｐｋはｅ１の整数倍のベクトルと成分は法ｄで合同である。このベクトルの第２、…、第Ｌ軸方向成分のｄ移動は、ベクトルｅ２からｅＬまでの整数倍を加えて実現される。第１軸方向へのｄ移動は
ｅ１’＝（ｄ、０、０、…、０）
＝ｄｅ１−ｚｅ２−ｚ２ｅ３−…−ｚＬ−１ｅＬ
の整数倍を加えればよい。だから集合｛Ｐｋ｜ｋ＝０、１、２、…｝のすべての点と、それらと法ｄで合同な点の全体は基ベクトル｛ｅ１、ｅ２、…、ｅＬ｝の整数倍の１次結合（の部分）である；Ｐｋの座標に法ｄで０のものは入らないことに注意。この事は『ＭＣ乱数出力の相続くＬ連は基ベクトル｛ｅ１、ｅ２、…、ｅＬ｝の張る格子点（の部分）である、格子に入る、格子を作る』とも述べられる。法ｄと乗数ｚで定まる意味で、或は基ベクトル｛ｅ１、ｅ２、…、ｅＬ｝で定められる意味で、格子は
ＧＬ（ｄ、ｚ）＝ＧＬ（ｅ１、ｅ２、…、ｅＬ）
と記す事ができる。上の基（行）ベクトルの行列式の絶対値は、それら行ベクトルが張る平行面体の体積を与える。行列式の計算は容易で、関係
（ＭＣ乱数Ｌ連の作る格子基ベクトルの張る平行面体体積）＝ｄＬ−１
は殆ど自明である。これは法ｄだけで定まり乗数ｚには依らない、という大切な事柄を示している。一般に格子の基ベクトルの取り方は無数にあるが（この様な諸事項の説明は特願２０１７−１５７６８４に詳しいので参照して頂きたい）、どの様な基ベクトルの組もそれらが張る平行面体の平行移動で全空間を重なりも隙間もなく覆い尽くすのだから、体積が皆一定の平行面体を張る。物理の用語にならってこの平行面体を『単位胞ｕｎｉｔ  ｃｅｌｌ』と呼ぶ。そうすると現在のＭＣ（ｄ、ｚ）乱数格子では乗数ｚを何に取ろうと、格子基ベクトルを何に取ろうと、単位胞体積、基ベクトルの行列式の絶対値、は一定である。ＭＣ（ｄ、ｚ）乱数のＬ連はこうして乗数ｚに関係しない同じ単位胞体積ｄＬ−１のＬ次元格子の格子点に座席を占める。この事実がＭＣ乱数の検定を格子の幾何学的形態から議論する基礎である。得られた一般理解を持って振り返ると、ＭＣ乱数列が一様独立な統計に従う、という統計的仮説を最も弱く否定するのは次に詳述する正単体を張る基ベクトルを持つ格子、それを正Ｌ格子と呼ぼう、である。だからＭＣ（ｄ、ｚ）乱数が一様独立乱数に近いものを与えるためには、（ｄ、ｚ）が作る格子はできるだけ正Ｌ格子に近い幾何形状を持たなければならない。これがＭＣ乱数について、２１世紀に漸く我々が獲得した、あらゆる検定の基礎、正単体基準である。
正単体基準でのエッジ検定【００１０】ここで議論の順番を変えて、正単体基準への最も直截の言及を可能にするエッジ検定から述べる。正Ｌ単体は帰納的に定義できる。Ｌ＝１の場合、正１単体は任意の長さａの線分である；２つの端点、始点と終点を持つ１次元（基）ベクトルと思ってよい。このベクトルの整数倍すべては１次元の格子を作る。正２単体は正３角形である。それは２次元平面内の正１単体の（Ｌ＋１＝２）端点（或は２頂点）から長さａの円周を描いて、その交点を取れば作られる。交点は２つあるが、その形は一意である。正２単体は正３角形を作る始点の共通な２ベクトルが張る、と思ってよい。これら２ベクトルの整数係数倍の１次結合の全体は２次元の格子、物理で言う３角格子、を作る；ここでは２次元の正格子、と呼ぼう。正３単体は３次元空間の中の正２単体の３個の頂点から同じ半径ａの球面を描き、それらの交点を加えた４頂点が張る正４面体である；ここでも交点は正２単体の両側に２個存在するができる形は同じで一意である。正（Ｌ＝３）単体或は正４面体は同一の点から発する（Ｌ＝３）個のベクトルが張る、と言う事ができて、これら３個のベクトルを基ベクトルとする整数係数１次結合ベクトルの全体は物理の面心立方格子を作る。ここでは３次元の正格子と呼ぶ。以下同様にＬ次元空間の正Ｌ単体とそれを張るＬ個のベクトルを基ベクトルの組に持つ正Ｌ格子が次々と一意に構成される。特願２０１７−１５７６８４で述べられた重要な認識は次の２つである。
（補題１）Ｌ≧２の次元Ｌの正格子では、その０ではない格子ベクトル（基ベクトルの整数係数１次結合）の最小の長さは正Ｌ単体を張る基ベクトル自身の長さａである。
（証明）正Ｌ単体の帰納的構成は、底となる正（Ｌ−１）単体のＬ個の頂点から同じ長さａの（超）球面を描いて、それらの交点（の１つ）を頂点に取る。この半径ａの（超）球面の中には格子点は決して現れない；（超）球面の上に始めて中心の格子点に最も近い格子点（最隣接格子点）が現れる。正Ｌ単体を張る基ベクトルは格子ベクトルの０ではない最小長さａを持つ。（証明終り）
そして次がエッジ検定の根幹である。
（補題２）Ｌ≧２のＬ次元正格子を基ベクトルが張る体積を一定にして『微小に変形する』とき、その格子内のすべてのＬ単体の稜（ｅｄｇｅ）の長さの正の最小値は必ず正Ｌ単体の場合以下となる。即ち格子の基ベクトルの作る単体の体積一定で任意の『微小変形』で、０ではない格子ベクトルの最小長さは正格子の場合より増大する事はない。微小剛体回転を除き、微小変形がどれかの辺の長さの増減を含むなら、格子ベクトルの最小長さは正単体の場合より必ず減少する。
（証明）正単体の形から出発しよう。もしすべての微小変形がどの稜の長さもすべて等しい状態から減少させないとすれば、単体の体積が一定に保たれる事はあり得ない。これは正しい簡潔な議論（特願２０１７−１５７６８４）である。しかし幾分長い次の敷衍は理解を助けるだろう。議論を（１）‐（３）に分けて述べる。
（１）以下剛体微小回転や移動は除いて考える。正２単体の変形から始める。長さａの（正）１単体（線分）の両端から半径ａの円周を描いて交点を取ったものが正２単体（正３角形）だから、正２単体の一般微小変形として円周の半径の１つを微小にａより大きく取ろう。結果では交点の１単体からの高さは増大する；交点は１単体の２頂点の直上にはないからである。故に変形された２単体の面積は正２単体よりは大きく、同面積変形としては全体を縮小しなければならない。故に、同面積に変形された２単体の最小の辺の長さはａより小さくとなる。残る変形は円周の半径ａを微小に小さくする場合である。変形された２単体（３角形）はａより小さい辺を持つことになるが、面積をもとに戻す全体の拡大を考えなければならず、ややこしい。見方を変える。短くした最小辺ａ’＜ａを持って完成した２単体（３角形）を相似に拡大して、最小辺をａに戻す。この拡大３角形は正３角形の残る１あるいは２辺を長く変形したものである。当然その面積はもとの正３角形より大きい。面積一定の２単体（３角形）にするために全体をやはり縮小する。結果として体積一定微小変形の２単体の最小の辺の長さはａ’’＜ａとわかる。
（２）正３単体（正４面体）の微小形変形を考える。剛体回転等は考えない。底とする正２単体の３頂点から描く球面の１つを任意に取り、その球面半径をａから微小に増大して描けば、３単体の交点として得られる頂点は対面する底２単体からの高さを増し、得られる３単体の体積は増加する。故に体積を正３単体と同じに保つには全体を縮小しなければならず、変形された３単体の最小長さａの稜はその長さをより小さいものに変える。『稜ａを小さくする変形』は、（１）での議論と同様に相似な問題に考え直す。底となる正２単体の３頂点から描く球面のうち『短くする稜』のための球面の半径はａに戻すよう全体を相似拡大し、残る稜のための球面半径をａから微小に大きくする。これらの球面の交点として変形された３単体は体積を増加させて定まり、最小の稜の長さはａである。体積一定の条件を回復するために全体を縮小すれば、最小の稜の長さはａ’’＜ａとなる。
（３）変形する稜が複数あれば、この（熱力学で平衡状態を経由して動く『熱力学的過程』を考える『準静的過程』と同様の考えで）変形を１つずつ順に実現して考えればよい。Ｌ＝４、５、…に対する正Ｌ単体の微小変形も同様である。（証明終り）
エッジ検定（特願２０１７−１５７６８４）はＭＣ乱数の相続くＬ連の作る格子についてその０ではない最小の格子ベクトルの長さを探索し、それでＬ次元正格子の正Ｌ単体の稜の長さを割ったものを評価値とする新技術である。体積ｄＬ−１の平行面体を張る基ベクトルの組は、体積ｄＬ−１／（Ｌ！）の単体を張る事は幾何学でよく知られている（平易な議論は特願２０１７−１５７６８４参照）。次が成り立つ：
（体積ｄＬ−１／（Ｌ！）の正Ｌ単体の１つの稜の長さ）＝
＝Ｌ＾（１／２）（Ｌ＋１）＾［−（Ｌ−１）／（２Ｌ）］
×ｄ＾［（Ｌ−１）／Ｌ］；
この関係の平易な証明は中澤と中澤（２０１４Ｂ）を参照して頂きたい。これを格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の最短ベクトルの長さで割ったエッジ検定評価値は、ＭＣ乱数の相続くＬ個が作るＬ次元格子がＬ次元正格子に近ければ（補題２）により１に『上から』近く、ＭＣ乱数のＬ連がＬ次元正格子に近い座席配置に配布されると考えられるか、の確認に利用できる。勿論、Ｌ次エッジ検定での高成績は、次に述べるＬ次正単体基準スペクトル検定での高成績同様に、ＭＣ乱数が一様独立の統計的仮説を否定しないための必要条件に過ぎない。２０世紀にＦｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）に与えられた原則は、Ｌ＝２、３、…に対するあらゆる必要条件を動員して、最も優れたＭＣ生成機構を選出しなければならないと告げる。この大戦略を認識した上で、エッジ検定の具体作戦を述べる。
任意の（ｄ、ｚ）ＭＣ生成機構からの相続くＬ連の座席となるＬ次元格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の０ベクトルではない最短のベクトルの長さεｄ（Ｌ）（ｚ）を得るには、既知の｛ｅ１、ｅ２、…、ｅＬ｝基ベクトル、再記すれば
ｅ１＝（１、ｚ、ｚ２、…、ｚＬ−１）
ｅ２＝（０、ｄ、０、…、０）
ｅ３＝（０、０、ｄ、…、０）
……………………………
ｅＬ＝（０、０、０、…、ｄ）
の張る格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の任意の格子ベクトル、これら基ベクトルの整数係数｛ｉ１、ｉ２、…、ｉＬ｝での１次結合
ｉ１ｅ１＋ｉ２ｅ２＋…＋ｉＬｅＬ
＝（ｉ１、ｉ１ｚ＋ｉ２ｄ、ｉ１ｚ２＋ｉ３ｄ、…、ｉ１ｚＬ−１＋ｉＬｄ）
の長さをすべての整数の組｛ｉ１、ｉ２、…、ｉＬ｝について計算して０ではない最短の長さを探索すればよい。これは大計算ではない；整数｛ｉ２、ｉ３、…、ｉＬ｝はそれぞれ±ｍｏｄ（ｉ１ｚｋ−１、ｄ）、２≦ｋ≦Ｌ、を与える２つのものだけを考えれば十分でｓｗｅｅｐする必要はない。そして上の任意の格子べクトルの長さは｜ｉ１｜以上である。ＭＣ乱数格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の基ベクトルの組は行列式体積ｄＬ−１を持ち、その０ではない最短の格子ベクトルの長さはεｄ（Ｌ）（ｚ）と記された。Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）の歴史的な評価値１．２５に相当するエッジ検定の合格基準は
１＜σｄ（Ｌ）（ｚ）＜１．２５、
σｄ（Ｌ）（ｚ）：＝｛Ｌ＾（１／２）
×（Ｌ＋１）＾［−（Ｌ−１）／（２Ｌ）］
×ｄ＾［（Ｌ−１）／Ｌ］｝／εｄ（Ｌ）（ｚ）
である；分子はＧＬ（ｄ、ｚ）が正Ｌ格子である場合の正Ｌ単体の稜の長さである（中澤と中澤、２０１４Ｂ；特願２０１７−１５７６８４）。故に合格する格子の０ではない最短格子ベクトルの長さεｄ（Ｌ）（ｚ）について
｛Ｌ＾（１／２）×（Ｌ＋１）＾［−（Ｌ−１）／（２Ｌ）］
×ｄ＾［（Ｌ−１）／Ｌ］｝／１．２５
＜εｄ（Ｌ）（ｚ）＜Ｌ＾（１／２）×
×（Ｌ＋１）＾［−（Ｌ−１）／（２Ｌ）］
×ｄ＾［（Ｌ−１）／Ｌ］
が合格範囲である。任意の格子ベクトルの長さは｜ｉ１｜以上だから、上に述べた探索は２Ｌ−１個のベクトル
（ｉ１、±ｍｏｄ（ｉ１ｚ、ｄ）、±ｍｏｄ（ｉ１ｚ２、ｄ）、…、
±ｍｏｄ（ｉ１ｚＬ−１、ｄ））
の長さを整数ｉ１の範囲
０＜ｉ１＜Ｌ＾（１／２）×
×（Ｌ＋１）＾［−（Ｌ−１）／（２Ｌ）］
×ｄ＾［（Ｌ−１）／Ｌ］
で行えばよい；負のｉ１は±ｍｏｄ（ｉ１ｚｋ、ｄ）に任せるのである。また計算の出発時にεｄ（Ｌ）（ｚ）に上式最右辺の値を仮定してそれより短い格子ベクトルを探してεｄ（Ｌ）（ｚ）を置換する探索を行い、終了時にεｄ（Ｌ）（ｚ）が減少していなければ不合格と判定するのである。こうして
（Ｌ次エッジ検定の計算量）≦（２Ｌ−１ｄ＾［（Ｌ−１）／Ｌ］の程度）
であり、正単体基準Ｌ次スペクトル検定と同程度と分る。これらに基づき格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の格子ベクトルの正の最小値を求めるプログラムは特願２０１７−１５７６８４に図１５‐１８、中澤直也によるその最適化の試みは図１９‐２１記載されているので参照して頂きたい。勿論上式右辺はＬとｄが大きくなるとｄ１程度よりは小さいが急速に増大するから、その事情と使用可能な計算時間とが実際に得られるエッジ検定可能な最大次数Ｌを決定する。ｄ≒２５０程度なら次数Ｌ＝７迄の検定計算は容易、Ｌ＝８では数日単位の計算になる。実務としてはＬ＝６ですべての候補の中から合格者を選び、合格者だけにＬ＝７のエッジ検定を行って、さらにその合格者だけを空いた機械にＬ≧８の検定計算に掛ける、このような作戦が生産的であろう。
一般化２次検定【００１１】次にＭＣ格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の一般化２次スペクトル検定について述べる。ＭＣ整数乱数列｛ｒ０、ｒ１、…｝は次の性質を持つ：
ｒｋ＋ｎ≡ｒｋｚｎ  （ｍｏｄ  ｄ）、
ｋ＝０、１、…、  ｎ＝１、２、…。
即ちｎ飛びの列｛ｒｋ、ｒｋ＋ｎ、ｒｋ＋２ｎ、ｒｋ＋３ｎ、…｝はｓｅｅｄ  ｒｋを持つＭＣ（ｄ、ｚｎ）生成機構で作られる。もしもとの列が一様独立なら、このｎ飛びの列も同様である。故に（ｄ、ｚｎ）のスペクトル検定は優れた２次スペクトル検定成績を示さなければならず、２次元格子Ｇ２（ｄ、ｚｎ）は３角格子に近い幾何形状を持たなければならない。２次元格子は特別で、数の幾何学基準も正２単体基準もすべて同一、さらに付言すれば２次スペクトル検定も２次エッジ検定も同一である（特願２０１７−１５７６８４の補題８を参照）。一般化２次検定はこの事実に基づき、Ｇ２（ｄ、ｚｎ）の基ベクトル
ｅ１＝（１、ｚｎ）
ｅ２＝（０、ｄ）
を用いてエッジ検定で実現してよい。これらの基ベクトルで張られる平行４辺形の面積はこれらを行とする行列式の絶対値で自明にｄ、張られる２単体は面積ｄ／２である。理想の正２単体＝正３角形については三角関数が容易に
（正２単体の辺の長さａ）
＝２＾（１／２）３＾（−１／４）ｄ＾（１／２）
（正２単体の頂点の高さｈ）
＝２＾（−１／２）３＾（１／４）ｄ＾（１／２）
を与える。エッジ検定は２次元格子Ｇ２（ｄ、ｚｎ）の０ではない格子ベクトルの最小の長さεｄ（２）（ｚｎ）で上の正２単体の辺の長さａを割ったもの
σｄ（２）（ｚｎ）：＝ａ／εｄ（２）（ｚｎ）
＝２＾（１／２）３＾（−１／４）ｄ＾（１／２）／εｄ（２）（ｚｎ）
を検定評価値とする。Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）の合格条件は
１＜σｄ（２）（ｚｎ）＝ａ／εｄ（２）（ｚｎ）＜１．２５、
ａ／１．２５＜εｄ（２）（ｚｎ）＜ａ
であり、ｉ１≦εｄ（２）（ｚｎ）からｉ１、＜ａ、つまり範囲
０＜ｉ１＜２＾（１／２）３＾（−１／４）ｄ＾（１／２）
でｉ１をｓｗｅｅｐし、格子ベクトルの長さ‖（ｉ１、ｍｏｄ（ｉ１ｚｎ、ｄ））‖の最小値εｄ（２）（ｚｎ）を求め、望むｎで条件１＜σｄ（２）（ｚｎ）＜１．２５が成り立てばよい；（補題２）からσｄ（２）（ｚｎ）＜１となる乗数ｚは不合格である。また、整数座標を持つ格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の２単体は無理数座標を必要とする正２単体と一致はできないのでσｄ（２）（ｚｎ）＝１はあり得ない。一般化２次検定の計算は軽々と行う事ができるし、例えば中澤と中澤（２０１４Ｃ）のようにｚの次数ｎ＝１００まで与える事も容易である。勿論飛び離れた『対』の相関だけの評価だから、相続く連の検定とは効力は比べられない。しかしエッジ検定や正単体スペクトル検定が良くても、一般化２次検定の次数２≦ｋ≦６のどれかでよくない結果がある場合、我々には（ｄ、ｚ）の採用は避けたく思われる。一般化２次検定での高成績も優れた（ｄ、ｚ）生成機構であるための不可欠必要条件である。だから（ｄ、ｚｎ）の１≦ｎ≦７程度までの一般化２次検定を最初に予備審査に用いて、不要な高次検定、次数Ｌ＝６のスペクトル検定や次数Ｌ≧７のエッジ検定のような高負荷計算を省き避ける事は極めて重要な技術である。
正単体基準スペクトル検定【００１２】最後に正単体基準スペクトル検定に触れる。この伝統的だが２０世紀の数の幾何学検定基準を２１世紀に正単体基準に改めた検定は、Ｌ次元正格子の正単体で体積がｄＬ−１／（Ｌ！）のものを取り、その稜ではなく、『平行隣接２超平面間の距離の最大値Ｈ』を基準として、ＭＣ乱数の相続くＬ連が座席を占める格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の平行隣接２超平面間の最大距離λｄ（Ｌ）（ｚ）をＨで割ったμｄ（Ｌ）（ｚ）：＝λｄ（Ｌ）（ｚ）／Ｈについて合格条件
１＜μｄ（Ｌ）（ｚ）＜１．２５
を設定する。エッジ検定の基礎である（補題２）に対応する命題、
『格子ＧＬ（ｄ、ｚ）が正格子に近い形の時のλｄ（Ｌ）（ｚ）は局所的最小値Ｈを      持つ』
が成り立つと思われる傍証が多くあるが、現在この完全な証明は得られていない。ただ一般化２次検定での高成績を要求すると
λｄ（Ｌ）（ｚ）＜Ｈ、    μｄ（Ｌ）（ｚ）＝λｄ（Ｌ）（ｚ）／Ｈ＜１
となる例は存在しないので、この『完全証明の欠如』は重要ではない。Ｈは表現（中澤と中澤、２０１４Ｂ）；
Ｈ：＝Ｌ＾（−１／２）
×（Ｌ＋１）＾［（Ｌ−１）／（２Ｌ）］
×ｄ＾［（Ｌ−１）／Ｌ］
を持つ。ＭＣ格子の平行隣接２超平面間最大距離λｄ（Ｌ）（ｚ）の計算には格子ＧＬ（ｄ、ｚ）ベクトル｛ｅ１、ｅ２、…、ｅＬ｝の双対格子、双対基ベクトル
ｆ１：＝（ｄ、０、０、…、０、０）
ｆ２：＝（−ｚ、１、０、…、０、０）
ｆ３：＝（−ｚ２，０、１、…、０、０）
……………………………
ｆＬ−１：＝（−ｚＬ−２、０、０、…、１、０）
ｆＬ：＝（−ｚＬ−１、０、０、…、０、１）
が張る双対格子ＧＬ＊（ｄ、ｚ）を使う。双対基ベクトルは直交関係、
内積（ｅｊ、ｆｋ）＝ｄδｊｋ
を満たす。この事から｛ｆ１、ｆ２、…、ｆＬ｝の整数係数１次結合ベクトルの全体、双対格子ＧＬ＊（ｄ、ｚ）、の格子ベクトルの中で０ではない最小の長さ‖ｆｍｉｎ‖を持つ最短ベクトルｆｍｉｎをとれば元の格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の最大格子間隔のλｄ（Ｌ）（ｚ）が
λｄ（Ｌ）（ｚ）＝ｄ／‖ｆｍｉｎ‖
で美しく算出される。この証明は少し長い記述を要するので、例えば特願２０１７−１５７６８４を参照して頂きたい。従って
μｄ（Ｌ）（ｚ）＝｛Ｌ＾（１／２）ｄ＾（１／Ｌ）
×（Ｌ＋１）＾［（Ｌ−１）／（２Ｌ）］｝／‖ｆｍｉｎ‖
で求める評価値が得られる。エッジ検定と比べてこの評価値はｄ＾（１／Ｌ）に比例し、ｄ≒２５０の様に大きい時有利に見えるが、この場合の探索では双対基ベクトル｛ｆ１、ｆ２、…、ｆＬ｝の整数係数｛ｉ１、ｉ２、…、ｉＬ｝、大きさはｄ１／Ｌ程度迄でよいが、は総数（Ｌ−１）個あり、それぞれをｓｗｅｅｐする必要が生じて、エッジ検定の同じ程度ｄ＾｛（Ｌ−１）／Ｌ｝個の総探索数になってしまう。正単体基準スペクトル検定はエッジ検定より小さいとは言えない計算時間を要する。問題はエッジ検定に比べた判定強度の弱さと検定計算プログラムの複雑さである。強度の比較は下に実例で与えられる；短く言えば、エッジ検定の方が強い。正単体基準スペクトル検定で優秀とされてもエッジ検定で不合格な次数が見出され驚く場合がある。しかし逆にエッジ検定で優れていると見えてもスペクトル検定評価に問題がある場合が多くはないが存在する；特願２０１７‐１５７６８４のメルセンヌ素数の法ｄ＝２３１−１での全原始根乗数に亙るｅｘｈａｕｓｔｉｖｅな探索結果を見て頂きたい。だからエッジ検定を主として、スペクトル検定で確認するのが正しい用法であろう。計算プログラムの複雑さはある意味でスペクトル検定の拒絶的な欠点であって、６次を超える単体基準スペクトル検定は発明者の技では可能ではなかったし存在しないと思われる。対応するエッジ検定はプログラムとしては１０次以上でも簡単であるしｏｐｔｉｍｉｚａｔｏｎも可能である。例えば３単体（４面体）を想像すれば分る通り、エッジ検定のＬ単体の稜の比較に対比して、スペクトル検定の同じ単体の頂点最大高さの比較はかなり複雑、頂点に対面する底超平面の面積の比較であって決定要因が多く、単純な稜の比較よりは強度が弱いだろう、と想像される。最良の戦術は両方の評価を総動員する事、それも先に例えば６、７次までのエッジ検定、次いで５次や６次までの正単体基準スペクトル検定、それらに合格したら７次を超えるエッジ検定、といった複雑な作戦が技法として望ましい。その様な工夫も込めて、この発明では（Ｕ、Ｖ、Ｗ）型３重検定を最良のものとして推奨する。
エッジ検定と正単体基準スペクトル検定の比較【００１３】古典的なＦｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）のＭｅｒｓｅｎｎｅ素数の法ｄ＝２３１−１の全原始根乗数のエッジ検定と正単体基準スペクトル検定の比較は特願２０１７−１５７６８４に詳しい。上に述べた一般的傾向はそちらで明確に見得るので是非参照して頂きたい。ここでは正単体基準スペクトル検定で選ばれた２素数の積を法ｄとし、２５０程度の周期を持つ優れたもの、と見えた９個のＭＣ生成機構（中澤と中澤、２０１４Ｃ）に対するエッジ検定の結果を報告する。結論の要旨は次の（Ａ），（Ｂ）である。
（Ａ）スペクトル検定の合格者９個のうち、（７、７、６）型の３重検定に合格したものは唯一＃８である。
（Ｂ）特にスペクトル検定で最優秀と見えた＃３はエッジ検定では欠陥が露呈した。
次のリストはかつて最優秀と見えた＃３ＭＣ生成機構（ｄ、ｚ）の諸結果である：
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2019046426.tif 000003
2019046426.tif 000004
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これで分る様に、正単体基準スペクトル検定で素晴らしく見えた４次及び６次検定を与える頂点の対面する最小面積底超平面は、エッジ検定から見ると小さ過ぎる稜を持っている。この不具合を発見した後、ＭＣ成機構＃３を用いる勇気を持ち続けるのは困難である。【００１４】ＭＣ生成機構＃８の３重検定性能は次の様になる。
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2019046426.tif 000005
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このＭＣ生成機構＃８は一般化２次検定が（ｄ、ｚ８）で良くないから、相続くＬ＝７迄の連を主役とすべきであり、Ｌ≧８の連が問題の主役とならない場合に優れている。使用を推薦されるべきＭＣ生成機構である。
展望【０００１５】  中澤特許管理では一般化２次検定と正単体基準３次‐６次スペクトル検定で優れた性能を持つものとして９個のＭＣ乱数生成機構を発見し、一般に用いる事ができるようにその構成と性能とを公表した。しかし８次までのエッジ検定を行うと、高成績のものは１個のみ、特に優秀と見えたものが欠点を示す、という驚くべき結果になった。発明者達は遺憾と共に諸結果を周知する。エッジ検定計算の実際については、７次エッジ検定は十分速やかに（例えば１日を単位とする感覚で）結果を与えるが８次エッジ検定は時間を要する（数日単位）。それでも未知であった７次元以上の世界を見る喜びは大きい。素数ｄ＝２３１−１での原始根乗数の場合（特願２０１７−１５７６８４）を見ると、先にエッジ検定で篩い落とす方が高成績の結果は潤沢であり、無駄な計算は少ないと見える。ここに提出した（Ｕ、Ｖ、Ｗ）型の３重検定を、さらに様々な工夫と共に探索者冒険者達には試みて頂きたいと願う。最近一般パソコンでも可能になった４倍精度整数演算は、場合によっては２５６程度度或はそれ以上の合成数の法ｄとその乗数、或は多くの人々の協力による同程度以上の素数の原始根乗数、での探索も可能とするかも知れない。その事情は直ちに、合成数の法にする事のできない２の冪乗、例えば周期２５３を与える法ｄ＝２５５或はそれ以上、を用いるＦｉｓｈｍａｎ（１９９０）のタイプの、法８で５となる乗数のＭＣ生成機構にも可能性があるかも知れない。多くの人々の興味、参加、研究探索が願われる。一方、幾何学構造上の生成機構については、検定計算が一段と複雑になり、とても研究者や技術者がそれぞれのシミュレーション問題に応じてＭＣ生成機構のｔｕｎｉｎｇを行う事が容易とは言えないと思う。発明者達もｈａｕｔｅ  ｃｏｕｔｕｒｅ的な役割をかつては望んだが、現在では能力的にも時間的にもとてもできるとは思えない状況となった。計算センターや諸企業などが専門として立ち向かわれる事を期待する。幾何学構造上の並列乱数生成機構にとって現在最も大切な事は、多くの研究者の汎用に耐える標準化された機構の開発であろう。この発明がそれに向けた発展に役立つなら、それは発明者達の喜びである。
先行技術文献
１）Ｆｉｓｈｍａｎ（１９９０）／Ｇ．Ｓ．Ｆｉｓｈｍａｎ：Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓ  ２β：Ａｎ  ｅｘｈａｕｓｔｉｖｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ  ｆｏｒ  β＝３２  ａｎｄ  ａ  ｐａｒｔｉａｌ  ａｎａｌｙｓｉｓ  ｆｏｒ  β＝４８，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ  ｏｆ  Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ  ｖｏｌ．５４（１９９０），３３１−３４４．