(57)【要約】【課題】データの時間間隔に関わらず、パラメータを高精度に推定する。【解決手段】ロジスティック曲線モデルで表される現象における所定の事象の予測値を算出する予測装置であって、ロジスティック曲線を解に持つ微分方程式と連続極限で一致する差分方程式のうち、各差分間隔が任意である差分方程式を用いて、前記ロジスティック曲線モデルのパラメータを推定する推定手段と、前記推定手段により推定された前記パラメータと、入力された所定の予測条件とに基づいて、前記事象の予測値を算出する予測手段と、を有することを特徴とする。【選択図】図５
2019040265.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ロジスティック曲線モデルで表される現象における所定の事象の予測値を算出する予測装置であって、
ロジスティック曲線を解に持つ微分方程式と連続極限で一致する差分方程式のうち、各差分間隔が任意である差分方程式を用いて、前記ロジスティック曲線モデルのパラメータを推定する推定手段と、
前記推定手段により推定された前記パラメータと、入力された所定の予測条件とに基づいて、前記事象の予測値を算出する予測手段と、
を有することを特徴とする予測装置。
【請求項２】
前記推定手段は、
前記事象が観測された各時間までの実績値の累積をそれぞれ示す１以上の累積実績データと、各差分間隔を前記１以上の累積実績データ間の時間間隔とした前記差分方程式とを用いて、前記パラメータを推定する、ことを特徴とする請求項１に記載の予測装置。
【請求項３】
前記ロジスティック曲線モデルは、ソフトウェアの信頼度を予測するモデル、コンピュータウイルスの感染数を予測するモデル、人口の変化を予測するモデル、生物個体数の変化を予測するモデル、又は商品、技術若しくはサービスの普及を予測するモデルのいずれかである、ことを特徴とする請求項１又は２に記載の予測装置。
【請求項４】
ロジスティック曲線モデルで表される現象における所定の事象の予測値を算出するコンピュータが、
ロジスティック曲線を解に持つ微分方程式と連続極限で一致する差分方程式のうち、各差分間隔が任意である差分方程式を用いて、前記ロジスティック曲線モデルのパラメータを推定する推定手順と、
前記推定手順により推定された前記パラメータと、入力された所定の予測条件とに基づいて、前記事象の予測値を算出する予測手順と、
を実行することを特徴とする予測方法。
【請求項５】
コンピュータを、請求項１乃至３の何れか一項に記載の予測装置における各手段として機能させるための予測プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、予測装置、予測方法及び予測プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
例えば「ソフトウェアの信頼度」、「コンピュータウイルスの感染」、「人口や生物個体数の変化」、「新商品や技術、サービスの普及」等のような各種現象を予測するために、従来から様々な手法が用いられてきた。その中で、ロジスティック曲線等に代表される曲線モデルを用いる統計的手法が知られている。このような統計的手法では、曲線モデルのパラメータを推定することにより、注目している現象の中で発生する特定の事象の予測値、発生期間、予測曲線等を得ることができる。
【０００３】
ここで、上述した各種現象を記述するモデルとして、ロジスティック曲線モデルが好適であることが知られている。注目する現象（例えば、ソフトウェアの信頼度）を記述するモデルとしてロジスティック曲線モデルを用いた場合に、当該現象における特定の事象の発生数（例えば、ソフトウェアのテスト工程におけるバグ発見数）を示す実績データから得られる予測曲線を図１に示す。図１に示す予測曲線は、初期の実績データ（例えば、時間ｔ´における実績データ）を用いて求められる。そして、この予測曲線に基づいて予測値の飽和値等のパラメータの推定が行われる。
【０００４】
ロジスティック曲線モデルを用いたパラメータの推定方法について、より詳細に説明する。ロジスティック曲線モデルは、以下の式（１）に示す微分方程式（以降、「ロジスティック方程式」と表す。）で定義される。
【０００５】
【数１】
2019040265.tif 000003
式（１）に示すロジスティック方程式は、以下の式（２）に示す厳密解を有する。なお、ｋ＞０，ｍ＞０，ａ＞０である。
【０００６】
【数２】
2019040265.tif 000004
ここで、Ｌ（ｔ）は、注目する現象（モデル）において予測対象となる特定の事象が時間（期間）ｔまでに発生する累積件数（累積事象数）である。ｍ及びａは、特定の事象の発生数（事象数）を示す実績データからそれぞれ求められるパラメータである。
【０００７】
式（２）より、
【０００８】
【数３】
2019040265.tif 000005
となるので、このｋが累積事象数の飽和値を意味する。
【０００９】
パラメータｍ，ｋ，ａを求めるために、式（１）に示すロジスティック方程式を以下の式（３）のように書き直す。
【００１０】
【数４】
2019040265.tif 000006
ここで、改めて、
【００１１】
【数５】
2019040265.tif 000007
と置くと、式（３）は、以下の式（８）で表される。
【００１２】
【数６】
2019040265.tif 000008
ここで、現実には、微分値
【００１３】
【数７】
2019040265.tif 000009
を求めることはできないので、δをデータ集計期間（事象数を累積して集計する所定の期間）として、
【００１４】
【数８】
2019040265.tif 000010
と置くことにより、以下の式（１２）が得られる。
【００１５】
【数９】
2019040265.tif 000011
なお、Ｙｎとして式（１１）の代わりに、以下の式（１３）を使用することもある。
【００１６】
【数１０】
2019040265.tif 000012
式（１２）を回帰式として回帰分析を行うことにより、Ａ，Ｂの推定値Ａ＾，Ｂ＾を求め、これらの推定値により、パラメータｍ，ｋ，ａの推定値ｍ＾，ｋ＾，ａ＾がそれぞれ以下の式（１４）、式（１５）、式（１６）で得られる。
【００１７】
【数１１】
2019040265.tif 000013
しかしながら、上述した初期の実績データを用いることによるパラメータの推定結果は精度が悪いことが知られており、少なくとも適用するロジスティック曲線モデルの変曲点を超えた時点までの実績データを用いたパラメータの推定を行うことが必要である。これは、式（１２）の振る舞いが、式（２）に示す厳密解の振る舞いと異なるためである。したがって、この方法でパラメータの推定を行うことは推定精度の観点から必ずしも好ましくない。
【００１８】
ところで、式（１）に示すロジスティック方程式を通常とは異なる差分方程式に書き直せることが知られている（非特許文献１）。そして、このような差分方程式を用いてパラメータの推定を行う方法も提案されている（特許文献１）。この推定方法をロジスティック曲線モデルに適用した場合について説明する。
【００１９】
式（１）に示すロジスティック方程式を、δを差分間隔として、以下の式（１７）に示すように差分化する。差分化されたロジスティック方程式を「ロジスティック差分方程式」と表す。
【００２０】
【数１２】
2019040265.tif 000014
式（１７）に示すロジスティック差分方程式は、以下の式（１８）に示す厳密解を有する。
【００２１】
【数１３】
2019040265.tif 000015
式（１８）に示す厳密解は、差分間隔０の連続極限（すなわち、δ→０）で、式（１）に示すロジスティック方程式の厳密解（式（２）参照）に一致する。更に、
【００２２】
【数１４】
2019040265.tif 000016
という条件の下で、
【００２３】
【数１５】
2019040265.tif 000017
となり、式（１）に示すロジスティック方程式が有している性質（すなわち、数３に示す性質）を保存していることが分かる。すなわち、式（１７）に示すロジスティック差分方程式と式（１８）に示す厳密解との振る舞いは同じであり、連続極限においては式（１）に示すロジスティック方程式の振る舞いと同じである。これは、この推定方法が事象の推定値を高い精度で算出できることを意味している。
【００２４】
パラメータｍ，ｋ，ａを求めるために、ｔｎ＝ｎδ，δ＝１と置いて、式（１７）に示すロジスティック差分方程式を以下の式（１９）のように書き直す。
【００２５】
【数１６】
2019040265.tif 000018
ここで、Ｙｎ，Ａ，Ｂは、それぞれ
【００２６】
【数１７】
2019040265.tif 000019
である。
【００２７】
式（１９）を回帰式として回帰分析を行うことによって得られるＡ，Ｂの推定値をそれぞれＡ＾，Ｂ＾とすると、パラメータｍ，ｋ，ａの推定値ｍ＾，ｋ＾，ａ＾は、それぞれ以下の式（２３）、式（２４）、式（２５）で得られる。
【００２８】
【数１８】
2019040265.tif 000020
この推定方法によれば、式（１）に示すロジスティック方程式に沿った形で正確なパラメータ推定が可能になり、微分方程式の解に近い正確な予測を行うことができる。
【先行技術文献】
【特許文献】
【００２９】
【特許文献１】特開２０００−１２２８６０号公報
【非特許文献】
【００３０】
【非特許文献１】広田良吾著、「差分方程式講義−連続より離散へ」、サイエンス社、2000年10月25日、p.66-70
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００３１】
ところで、上記の推定方法では、累積実績数を示すデータが等時間間隔で並んでいる必要がある。言い換えれば、実績データが示す事象数を等時間間隔で累積して、累積実績数を示す累積実績データを得る必要がある。以降では、上記の推定方法を「等時間間隔データを用いた推定方法」とも表す。
【００３２】
しかしながら、現実には、等時間間隔で累積実績データ（又は実績データ）を得ることができる場合は限られており、ある時間（期間）の累積実績データが存在しない場合もある。言い換えれば、累積実績データに欠損値が存在する場合がある。これは、当該時間の実績データを得ることができない場合があるためである。
【００３３】
そこで、欠損値が存在する場合には、得られた累積実績データのうち、等時間間隔となるように累積実績データを選択する必要がある。例えば、図２に示すように、時間ｔ１，ｔ２，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ９，ｔ１２，ｔ１３における累積実績データが得られた一方で、時間ｔ３，ｔ４，ｔ８，ｔ１０，ｔ１１，ｔ１４では累積実績データが存在しない（欠損値が存在する）ものとする。なお、各ｎに対してｔｎ＋１−ｔｎ＝δとする。
【００３４】
この場合、上記の等時間間隔データを用いた推定方法を用いるためには、等時間間隔となるように、時間ｔ１における累積実績データ、時間ｔ５の累積実績データ、時間ｔ９の累積実績データ、時間ｔ１３の累積実績データを選択する必要がある。
【００３５】
このため、選択されなかった累積実績データ（図２に示す例では、時間ｔ２、ｔ６、ｔ７、ｔ１２における累積実績データ）が無駄になってしまい、パラメータの推定精度が低下する。これに対して、欠損値が存在し、時間間隔が必ずしも等間隔とは限らない場合であっても、全ての累積実績データを有効に活用することができれば、上記の等時間間隔データを用いた推定方法と同様に、パラメータを高精度に推定することができると考えられる。
【００３６】
本発明は、上記の点に鑑みてなされたものであり、データの時間間隔に関わらず、パラメータを高精度に推定することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００３７】
上記目的を達成するため、本発明の実施の形態は、ロジスティック曲線モデルで表される現象における所定の事象の予測値を算出する予測装置であって、ロジスティック曲線を解に持つ微分方程式と連続極限で一致する差分方程式のうち、各差分間隔が任意である差分方程式を用いて、前記ロジスティック曲線モデルのパラメータを推定する推定手段と、前記推定手段により推定された前記パラメータと、入力された所定の予測条件とに基づいて、前記事象の予測値を算出する予測手段と、を有することを特徴とする。
【発明の効果】
【００３８】
データの時間間隔に関わらず、パラメータを高精度に推定することができる。
【図面の簡単な説明】
【００３９】
【図１】ロジスティック曲線モデルを用いた場合に、実績データから得られる予測曲線の一例を示す図である。
【図２】欠損値が存在する場合に、等時間間隔となる累積実績データの一例を示す図である。
【図３】本発明の実施の形態における予測装置の構成の一例を示す図である。
【図４】本発明の実施の形態における予測装置のハードウェア構成の一例を示す図である。
【図５】本発明の実施の形態における予測装置の機能構成の一例を示す図である。
【図６】本発明の実施の形態における予測装置が実行する全体処理の一例を示すフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【００４０】
以下、本発明の実施の形態について、図面を参照しながら詳細に説明する。本発明の実施の形態では、各種現象を記述するモデルの一例としてロジスティック曲線モデルのパラメータを推定することで、注目している現象の中で発生する特定の事象の予測値を算出する予測装置１０について説明する。ただし、各種現象を記述するモデルは、ロジスティック曲線モデルに限られず、例えば、ゴンペルツ曲線モデル等であっても良い。
【００４１】
＜予測装置１０の構成＞
まず、本発明の実施の形態における予測装置１０の構成について、図３を参照しながら説明する。図３は、本発明の実施の形態における予測装置１０の構成の一例を示す図である。
【００４２】
図３に示す予測装置１０は、注目している現象を記述するロジスティック曲線モデルのパラメータを推定することで、当該現象の中で発生する特定の事象の予測値を算出するコンピュータである。図３に示す予測装置１０には、予測プログラム１００がインストールされている。予測プログラム１００は、複数のモジュールで構成されるプログラム群であっても良い。
【００４３】
図３に示す予測装置１０は、予測プログラム１００により、過去の履歴と予測条件とを入力し、入力された過去の履歴からロジスティック曲線モデルのパラメータを推定する。そして、図３に示す予測装置１０は、予測プログラム１００により、入力された予測条件と、推定されたパラメータとから、注目している現象の中で発生する特定の事象の予測値を算出した上で、算出した予測値を出力する。
【００４４】
ここで、過去の履歴とは、注目する現象で予測対象となる特定の事象が発生した時間及び発生数等の履歴（すなわち、１以上の実績データ）である。予測条件とは、予測対象となる特定の事象の上限や下限等の値の範囲や予測時点等の各種条件である。
【００４５】
また、「注目する現象」とは、例えば、「ソフトウェアの信頼度」、「コンピュータウイルスの感染」、「人口や生物個体数の変化」、「新商品や技術、サービスの普及」等である。
【００４６】
更に、「予測対象とする特定の事象」を具体的に表す値は、例えば、ソフトウェアの信頼度を予測する場合には、ソフトウェアのテスト工程におけるバグ発見数が挙げられる。同様に、例えば、コンピュータウイルスの感染を予測する場合には、コンピュータウイルスの感染数が挙げられる。例えば、人口や生物個体数の変化を予測する場合には、人口や生物個体数が挙げられる。例えば、新商品や技術、サービスの普及を予測する場合には、これらの普及数が挙げられる。
【００４７】
なお、図１に示す予測装置１０の構成は一例であって、他の構成であっても良い。例えば、予測装置１０は、複数台のコンピュータで構成されていても良い。
【００４８】
＜予測装置１０のハードウェア構成＞
次に、本発明の実施の形態における予測装置１０のハードウェア構成について、図４を参照しながら説明する。図４は、本発明の実施の形態における予測装置１０のハードウェア構成の一例を示す図である。
【００４９】
図４に示す予測装置１０は、入力装置１１と、表示装置１２と、外部Ｉ／Ｆ１３と、ＲＡＭ（Random Access Memory）１４と、ＲＯＭ（Read Only Memory）１５と、ＣＰＵ（Central Processing Unit）１６と、通信Ｉ／Ｆ１７と、補助記憶装置１８とを有する。これら各ハードウェアは、それぞれがバスＢを介して通信可能に接続されている。
【００５０】
入力装置１１は、例えばキーボードやマウス、タッチパネル等であり、ユーザが各種操作を入力するのに用いられる。表示装置１２は、例えばディスプレイ等であり、予測装置１０の予測結果等を表示する。なお、予測装置１０は、入力装置１１及び表示装置１２の少なくとも一方を有していなくても良い。
【００５１】
外部Ｉ／Ｆ１３は、外部装置とのインタフェースである。外部装置には、記録媒体１３ａ等がある。予測装置１０は、外部Ｉ／Ｆ１３を介して、記録媒体１３ａ等の読み取りや書き込みを行うことができる。記録媒体１３ａには、予測プログラム１００等が記憶されていても良い。
【００５２】
記録媒体１３ａには、例えば、フレキシブルディスク、ＣＤ（Compact Disc）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）、ＳＤメモリカード（Secure Digital memory card）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリカード等がある。
【００５３】
ＲＡＭ１４は、プログラムやデータを一時保持する揮発性の半導体メモリである。ＲＯＭ１５は、電源を切ってもプログラムやデータを保持することができる不揮発性の半導体メモリである。ＲＯＭ１５には、例えば、ＯＳ（Operating System）設定やネットワーク設定等が格納されている。
【００５４】
ＣＰＵ１６は、ＲＯＭ１５や補助記憶装置１８等からプログラムやデータをＲＡＭ１４上に読み出して処理を実行する演算装置である。
【００５５】
通信Ｉ／Ｆ１７は、予測装置１０をネットワークに接続するためのインタフェースである。予測プログラム１００は、通信Ｉ／Ｆ１７を介して、所定のサーバ等から取得（ダウンロード）されても良い。
【００５６】
補助記憶装置１８は、例えばＨＤＤ（Hard Disk Drive）やＳＳＤ（Solid State Drive）等であり、プログラムやデータを格納している不揮発性の記憶装置である。補助記憶装置１８に格納されているプログラムやデータには、例えば、ＯＳ、当該ＯＳ上において各種機能を実現するアプリケーションプログラム、予測プログラム１００等がある。
【００５７】
本発明の実施の形態における予測装置１０は、図４に示すハードウェア構成を有することにより、後述する各種処理を実現することができる。
【００５８】
＜予測装置１０の機能構成＞
次に、本発明の実施の形態における予測装置１０の機能構成について、図５を参照しながら説明する。図５は、本発明の実施の形態における予測装置１０の機能構成の一例を示す図である。
【００５９】
図５に示す予測装置１０は、入力部１０１と、集計部１０２と、パラメータ推定部１０３と、予測部１０４と、出力部１０５とを有する。これら各部は、予測プログラム１００がＣＰＵ１６に実行させる処理により実現される。
【００６０】
また、図５に示す予測装置１０は、過去履歴記憶部１１０と、予測条件記憶部１２０とを有する。これら各部は、例えば補助記憶装置１８を用いて実現可能である。なお、過去履歴記憶部１１０及び予測条件記憶部１２０の少なくとも一方が、予測装置１０とネットワークを介して接続される記憶装置等を用いて実現されていても良い。
【００６１】
過去履歴記憶部１１０は、過去の履歴を示す１以上の実績データが記憶されている。実績データが得られた時間は、必ずしも等時間間隔でなくても良い。また、実績データ中に欠損値があっても良い（すなわち、ある時間における実績データが存在しない場合があっても良い。）。予測条件記憶部１２０は、予測条件を示すデータが記憶されている。
【００６２】
入力部１０１は、過去の履歴と予測条件とを入力する。また、入力部１０１は、入力した過去の履歴を過去履歴記憶部１１０に記憶させる。同様に、入力部１０１は、入力した予測条件を予測条件記憶部１２０に記憶させる。
【００６３】
集計部１０２は、過去履歴記憶部１１０に記憶されている実績データを集計して、累積実績数（すなわち、ある時間までにおける特定の事象の発生数の累積）を示す累積実績データを作成する。
【００６４】
例えば、時間ｔ１における実績データ１〜時間ｔＮにおける実績データＮが過去履歴記憶部１１０に記憶されていたとする。ただし、ｔ０＝０、かつ、ｎ＝０，１，・・・，Ｎ−１に対して、ｔｎ＋１−ｔｎ＝δｎ＋１（すなわち、各実績データは必ずしも等時間間隔ではない。）とする。この場合、集計部１０２は、実績データ１を集計した累積実績データＬ１を作成する。同様に、集計部１０２は、実績データ１〜実績データ２を集計した累積実績データＬ２を作成する。以下、一般に、各ｎに対して、集計部１０２は、実績データ１〜実績データｎを集計した累積実績データＬｎを作成する。なお、累積実績データＬ０＝０とする。これにより、累積実績データＬｎ（ｎ＝０，１，・・・，Ｎ）が作成される。
【００６５】
パラメータ推定部１０３は、回帰分析の手法により、集計部１０２により作成された累積実績データを用いて、ロジスティック曲線モデルのパラメータを推定する。
【００６６】
予測部１０４は、予測条件記憶部１２０に記憶されている予測条件と、パラメータ推定部１０３により推定されたパラメータとを用いて、注目している現象の中で発生する特定の事象の予測値を算出する。
【００６７】
出力部１０５は、予測部１０４により算出された予測値を出力する。なお、出力部１０５は、予測値の出力先として、例えば、表示装置１２に表示させても良いし、補助記憶装置１８に記憶させても良い。また、例えば、記録媒体１３ａに記憶させても良いし、通信Ｉ／Ｆ１７によりネットワーク上のサーバ等に送信しても良い。
【００６８】
＜処理の詳細＞
次に、本発明の実施の形態における予測装置１０が実行する全体処理について、図６を参照しながら説明する。図６は、本発明の実施の形態における予測装置１０が実行する全体処理の一例を示すフローチャートである。
【００６９】
ステップＳ１０１：入力部１０１は、過去の履歴を入力する。入力部１０１は、例えば、ユーザにより入力装置１１を用いて作成された過去の履歴を入力しても良いし、記録媒体１３ａや補助記憶装置１８等に記憶されている過去の履歴を入力しても良いし、通信Ｉ／Ｆ１７によりネットワーク上のサーバ等から取得（ダウンロード）した過去の履歴を入力しても良い。入力部１０１により入力された過去の履歴は、過去履歴記憶部１１０に記憶される。
【００７０】
ステップＳ１０２：入力部１０１は、予測条件を入力する。入力部１０１は、例えば、ユーザにより入力装置１１を用いて作成された予測条件を入力しても良いし、記録媒体１３ａや補助記憶装置１８等に記憶されている予測条件を入力しても良いし、通信Ｉ／Ｆ１７によりネットワーク上のサーバ等から取得（ダウンロード）した予測条件を入力しても良い。入力部１０１により入力された予測条件は、予測条件記憶部１２０に記憶される。
【００７１】
ステップＳ１０３：集計部１０２は、過去履歴記憶部１１０に記憶されている実績データを集計して、累積実績データＬｎ（ｎ＝０，１，・・・，Ｎ）を作成する。
【００７２】
ステップＳ１０４：パラメータ推定部１０３は、ロジスティック曲線モデルのパラメータを推定する。ここで、以下の式（２６）に示すロジスティック方程式を差分化したロジスティック差分方程式を考える。
【００７３】
【数１９】
2019040265.tif 000021
ロジスティック差分方程式のうち、厳密解を有するロジスティック差分方程式としては、例えば、以下の式（２７）、式（２８）、及び式（２９）が知られている。
【００７４】
【数２０】
2019040265.tif 000022
上記の式（２７）、式（２８）、及び式（２９）に示すロジスティック差分方程式は、差分間隔δが等間隔である差分方程式であるが、これを一般化する。すなわち、δを不等間隔δｎ＋１（ｎによって異なる値を取り得る）に一般化する。以下、式（２７）、式（２８）、及び式（２９）に示すロジスティック差分方程式においてパラメータを推定する場合についてそれぞれ説明する。
【００７５】
≪式（２７）に示すロジスティック差分方程式の場合≫
最初に、上記の式（２７）に示すロジスティック差分方程式においてパラメータを推定する場合ついて説明する。式（２７）に示すロジスティック差分方程式を一般化して、以下の式（３０）に示す不等間隔差分方程式を作成する。
【００７６】
【数２１】
2019040265.tif 000023
式（３０）に示す不等間隔差分方程式は、以下の式（３１）に示す厳密解を持つ。
【００７７】
【数２２】
2019040265.tif 000024
ここで、式（３０）に示す不等間隔差分方程式からパラメータａ，ｋ，ｍの推定値を求める回帰式を算出することを考える。まず、式（３０）に示す不等間隔差分方程式の両辺をＬｎ＋１δｎ＋１で割ると、以下の式（３２）になる。
【００７８】
【数２３】
2019040265.tif 000025
ここで、
【００７９】
【数２４】
2019040265.tif 000026
と置くと、上記の式（３２）は、以下の式（３６）で表される。
【００８０】
【数２５】
2019040265.tif 000027
この式（３６）を回帰式として回帰分析を行うことによって得られるＡ，Ｂの推定値をＡ＾，Ｂ＾とすると、パラメータａ，ｋ，ｍの推定値ａ＾，ｋ＾，ｍ＾は、それぞれ以下の式（３７）、式（３８）、式（３９）で得られる。
【００８１】
【数２６】
2019040265.tif 000028
上記の式（３７）に示す推定値ｍ＾を算出する際には、ステップＳ１０３で得られた累積実績データＬｎ（ｎ＝１，・・・，Ｎ）を用いる。これにより、全ての累積実績データＬｎを用いて、不等間隔差分方程式が式（３０）である場合におけるロジスティック曲線モデルのパラメータが得られる。
【００８２】
≪式（２８）に示すロジスティック差分方程式の場合≫
次に、上記の式（２８）に示すロジスティック差分方程式においてパラメータを推定する場合について説明する。式（２８）に示すロジスティック差分方程式を一般化して、以下の式（４０）に示す不等間隔差分方程式を作成する。
【００８３】
【数２７】
2019040265.tif 000029
式（４０）に示す不等間隔差分方程式は、以下の式（４１）に示す厳密解を持つ。
【００８４】
【数２８】
2019040265.tif 000030
ここで、式（４０）に示す不等間隔差分方程式からパラメータａ，ｋ，ｍの推定値を求める回帰式を算出することを考える。まず、式（４０）に示す不等間隔差分方程式の両辺をＬｎδｎ＋１で割ると、以下の式（４２）になる。
【００８５】
【数２９】
2019040265.tif 000031
ここで、
【００８６】
【数３０】
2019040265.tif 000032
と置くと、上記の式（４２）は、以下の式（４６）で表される。
【００８７】
【数３１】
2019040265.tif 000033
この式（４６）を回帰式として回帰分析を行うことによって得られるＡ，Ｂの推定値をＡ＾，Ｂ＾とすると、パラメータａ，ｋ，ｍの推定値ａ＾，ｋ＾，ｍ＾は、それぞれ以下の式（４７）、式（４８）、式（４９）で得られる。
【００８８】
【数３２】
2019040265.tif 000034
上記の式（４７）に示す推定値ｍ＾を算出する際には、ステップＳ１０３で得られた累積実績データＬｎ（ｎ＝１，・・・，Ｎ）を用いる。これにより、全ての累積実績データＬｎを用いて、不等間隔差分方程式が式（４０）である場合におけるロジスティック曲線モデルのパラメータが得られる。
【００８９】
≪式（２９）に示すロジスティック差分方程式の場合≫
最後に、上記の式（２９）に示すロジスティック差分方程式においてパラメータを推定する場合について説明する。式（２９）に示すロジスティック差分方程式を一般化して、以下の式（５０）に示す不等間隔差分方程式を作成する。
【００９０】
【数３３】
2019040265.tif 000035
式（５０）に示す不等間隔差分方程式は、以下の式（５１）に示す厳密解を持つ。
【００９１】
【数３４】
2019040265.tif 000036
ここで、式（５０）に示す不等間隔差分方程式からパラメータａ，ｋ，ｍの推定値を求める回帰式を算出することを考える。まず、式（５０）に示す不等間隔差分方程式の両辺を（Ｌｎ＋Ｌｎ＋１）δｎ＋１で割ると、以下の式（５２）になる。
【００９２】
【数３５】
2019040265.tif 000037
ここで、
【００９３】
【数３６】
2019040265.tif 000038
と置くと、上記の式（５２）は、以下の式（５６）で表される。
【００９４】
【数３７】
2019040265.tif 000039
この式（５６）を回帰式として回帰分析を行うことによって得られるＡ，Ｂの推定値をＡ＾，Ｂ＾とすると、パラメータａ，ｋ，ｍの推定値ａ＾，ｋ＾，ｍ＾は、それぞれ以下の式（５７）、式（５８）、式（５９）で得られる。
【００９５】
【数３８】
2019040265.tif 000040
上記の式（５７）に示す推定値ｍ＾を算出する際には、ステップＳ１０３で得られた累積実績データＬｎ（ｎ＝１，・・・，Ｎ）を用いる。これにより、全ての累積実績データＬｎを用いて、不等間隔差分方程式が式（５０）である場合におけるロジスティック曲線モデルのパラメータが得られる。
【００９６】
以上のように、上記の式（２７）、式（２８）、及び式（２９）に示すロジスティック差分方程式において、データの時間間隔に関わらず（すなわち、時間間隔が等間隔又は不等間隔のいずれであっても）、全ての累積実績データＬｎを用いて、ロジスティック曲線モデルのパラメータを推定することができる。しかも、全ての累積実績データＬｎを用いることで、高い精度でパラメータを推定することができる。
【００９７】
ステップＳ１０５：予測部１０４は、予測条件記憶部１２０に記憶されている予測条件と、パラメータ推定部１０３により推定されたパラメータとを用いて、注目している現象の中で発生する特定の事象の予測値を算出する。
【００９８】
すなわち、例えば、上記のステップＳ１０４で式（２７）に示すロジスティック差分方程式を用いてパラメータパラメータｍ，ｋ，ａが推定された場合、予測部１０４は、式（３１）により予測値を算出することができる。
【００９９】
同様に、例えば、上記のステップＳ１０４で式（２８）に示すロジスティック差分方程式を用いてパラメータパラメータｍ，ｋ，ａが推定された場合、予測部１０４は、式（４１）により予測値を算出することができる。
【０１００】
同様に、例えば、上記のステップＳ１０４で式（２９）に示すロジスティック差分方程式を用いてパラメータパラメータｍ，ｋ，ａが推定された場合、予測部１０４は、式（５１）により予測値を算出することができる。
【０１０１】
ステップＳ１０６：出力部１０５は、上記のステップＳ１０５で算出された予測値を出力する。
【０１０２】
以上により、本発明の実施の形態における予測装置１０は、データの時間間隔に関わらず、ロジスティック曲線モデルのパラメータを高い精度で推定することができる。言い得れば、本発明の実施の形態における予測装置１０は、欠損値が存在すること等によりデータが等間隔に得ることができない場合であっても、ロジスティック曲線モデルのパラメータを高い精度で推定することができる。
【０１０３】
これにより、本発明の実施の形態における予測装置１０は、ロジスティック曲線モデルを用いて、正確な事象予測を行うことができる。
【０１０４】
本発明は、具体的に開示された上記の実施形態に限定されるものではなく、特許請求の範囲から逸脱することなく、種々の変形や変更が可能である。
【符号の説明】
【０１０５】
１０        予測装置
１００      予測プログラム
１０１      入力部
１０２      集計部
１０３      パラメータ推定部
１０４      予測部
１０５      出力部
１１０      過去履歴記憶部
１２０      予測条件記憶部
【図１】
2019040265.tif 000041
【図２】
2019040265.tif 000042
【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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