(57)【要約】【課題】個々の構成要素をモデル化する必要のないようにする。【解決手段】鉄道複線桁の断面挙動を解析するための剛体モデルを作成する工程と、格子解析によって各桁の荷重分担率を算出する工程と、前記荷重分担率に基づいて前記剛体モデルの回転ばねの剛性を算出する工程と、前記桁のねじり剛性に関するパラメータに基づいて前記剛体モデルの固有振動数比を算出する工程と、前記固有振動数比が所定の数値範囲にある場合の前記鉄道複線桁の動的挙動を解析する工程と、を含む。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
鉄道複線桁の断面挙動を解析するための剛体モデルを作成する工程と、
格子解析によって各桁の荷重分担率を算出する工程と、
前記荷重分担率に基づいて前記剛体モデルの回転ばねの剛性を算出する工程と、
前記桁のねじり剛性に関するパラメータに基づいて前記剛体モデルの固有振動数比を算出する工程と、
前記固有振動数比が所定の数値範囲にある場合の前記鉄道複線桁の動的挙動を解析する工程と、を含むことを特徴とする鉄道複線桁のねじり振動評価方法。
【請求項２】
前記桁のねじり剛性に関するパラメータは、前記桁の断面２次極モーメントと断面積との比である請求項１に記載の鉄道複線桁のねじり振動評価方法。
【請求項３】
前記剛体モデルは、前記桁の断面挙動を鉛直方向及び回転方向の１質点２自由度とした剛体モデルである請求項１又は２に記載の鉄道複線桁のねじり振動評価方法。
【請求項４】
前記数値範囲は０．９２〜１．８４である請求項１〜３のいずれか１項に記載の鉄道複線桁のねじり振動評価方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本開示は、鉄道複線桁のねじり振動評価方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来、複数の主桁を有する鉄道の桁の設計の場合、個々の桁を梁要素によってモデル化した３次元静的解析（「格子解析」とも呼ばれる。）に基づいて実施されることが一般的である（例えば、非特許文献１参照。）。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００３】
【非特許文献１】鉄道総合技術研究所、「鉄道構造物等設計標準・同解説（コンクリート構造物）」、丸善、２００４
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
しかしながら、耐風設計等において重要因子となるねじり振動に関する検討は、通常省略され、ねじりモードの固有振動数を算出することは要求されない。ねじりモードに関する項目で設計時に着目されるものとしては、主桁毎の列車通過時の応答曲げモーメントの比となる荷重分担率を挙げることができる。したがって、ねじりに関する剛性よりも、荷重分担率の方が一般的に広く用いられるパラメータと捉えることができる。
【０００５】
桁の設計において、上下線の動的応答は、静的応答に衝撃係数（鉛直モードのみ考慮したもの）を乗じて算定される。動的解析では、各主桁等の構成要素を個々にモデル化することが必要であり、簡易な動的解析手法は提案されていない。
【０００６】
ここでは、前記従来の技術の問題点を解決して、個々の構成要素をモデル化する必要のない鉄道複線桁のねじり振動評価方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
そのために、鉄道複線桁のねじり振動評価方法においては、鉄道複線桁の断面挙動を解析するための剛体モデルを作成する工程と、格子解析によって各桁の荷重分担率を算出する工程と、前記荷重分担率に基づいて前記剛体モデルの回転ばねの剛性を算出する工程と、前記桁のねじり剛性に関するパラメータに基づいて前記剛体モデルの固有振動数比を算出する工程と、前記固有振動数比が所定の数値範囲にある場合の前記鉄道複線桁の動的挙動を解析する工程と、を含む。
【０００８】
他の鉄道複線桁のねじり振動評価方法においては、さらに、前記桁のねじり剛性に関するパラメータは、前記桁の断面２次極モーメントと断面積との比である。
【０００９】
更に他の鉄道複線桁のねじり振動評価方法においては、さらに、前記剛体モデルは、前記桁の断面挙動を鉛直方向及び回転方向の１質点２自由度とした剛体モデルである。
【００１０】
更に他の鉄道複線桁のねじり振動評価方法においては、さらに、前記数値範囲は０．９２〜１．８４である。
【発明の効果】
【００１１】
本開示によれば、個々の構成要素のモデル化を省略することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１２】
【図１】本実施の形態における複線桁の等価力学モデルを示す図である。
【図２】本実施の形態における固有振動数比と荷重分担率との関係を示す図である。
【図３】本実施の形態における固有振動数比が複線桁の動的挙動に及ぼす影響を示す図である。
【図４】本実施の形態におけるスパンがねじり振動に及ぼす影響を示す図である。
【図５】本実施の形態におけるモード減衰比がねじり振動に及ぼす影響を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１３】
以下、実施の形態について図面を参照しながら詳細に説明する。
【００１４】
図１は本実施の形態における複線桁の等価力学モデルを示す図である。
【００１５】
本実施の形態においては、格子解析から得られる荷重分担率の結果を援用して、主桁の支間中央断面を評価対象とした縮約モデルで一般化し、鉄道の複線桁の動的挙動を評価する場合について説明する。
【００１６】
一般には、均一断面を持つ単純桁の鉛直曲げに対応する固有振動数は、次の式（１）によって表される。
【００１７】
【数１】
2019194747.tif 000003
【００１８】
ここで、λは境界条件と振動モード次数とによって決まる無次元量であって、単純支持の場合にはπ、２π、３π、・・・である。また、Ｌは支間長〔ｍ〕、ＥＩは桁の曲げ剛性〔Ｎｍ2 〕、ρは単位体積質量〔ｋｇ／ｍ3 〕、Ａは断面積〔ｍ2 〕である。
【００１９】
そして、均一断面を有する単純桁のねじり（ねじれ）に対応する固有振動数は、次の式（２）によって表される。
【００２０】
【数２】
2019194747.tif 000004
【００２１】
ここで、Ｉp は断面２次極モーメント〔ｍ4 〕である。また、ＧＪeqは桁の等価ねじり剛性〔Ｎｍ2 〕であって、純ねじり定数Ｊs 、及び、そりねじり定数をＣw に基づき、次の式（３）によって算出される。
【００２２】
【数３】
2019194747.tif 000005
【００２３】
一般的に、開断面のコンクリート桁では、第２項のそりねじりの影響が卓越することから、そりねじり定数の評価が重要となる。また、閉断面のコンクリート桁では、第１項の純ねじりの影響が卓越する。
【００２４】
ここでは、線路方向にモーダルリダクションを行い、上下線の挙動を鉛直方向及び回転方向の２自由度とした構造系とする。図に示されるように、線路方向の変形モードは１次モードのみが卓越すると仮定して、鉛直モード及びねじりモードの応答を対象とする。桁の断面挙動を、鉛直方向及び回転方向の１質点２自由度としたモデルによって剛体モデルへの一般化を考える。
【００２５】
載荷側の荷重分担率βは、格子解析によって算出される値であり、構造種別やスパンなどに依存して、β＝０．６〜０．８程度の値となる。実際には、４主桁であれば、単線載荷時の各主桁に発生する曲げモーメントの比率から荷重分担率が算出されるが、本実施の形態においては、上下線の代表的な値の評価に着目して、載荷側の荷重分担率をβ1 とし、非載荷側の荷重分担率をβ2 として検討を進める。ここで、β1 ＋β2 ＝１が成立する。上下線の連成振動がない単線桁の場合には、β1 ＝１、β2 ＝０となる。また、ねじり剛性が高く、ねじりが発生しない桁の場合には、β1 ＝β2 ＝０．５に近付く。例えば、スパンが短い閉断面の箱桁等は、ねじり剛性が高く、β1 は比較的低い値を示すこととなる。一方、スパンが長い開断面の下路桁等は、ねじり剛性が低く、β1 は比較的高い値を示すこととなる。
【００２６】
次に、図に示されるモデルにおける回転ばねの剛性の算出について説明する。
【００２７】
格子解析などによって算出された荷重分担率に基づき、ばねの剛性低下が生じる前の回転ばねの剛性を逆算する。鉛直ばねに作用する反力Ｒ1 及びＲ2 は、荷重をＰとし、荷重分担率β1 及びβ2 を考慮すると、次の式（４）によって表される。
【００２８】
【数４】
2019194747.tif 000006
【００２９】
このとき、剛体中の点１及び点２の変位δ1 及びδ2 は、２本の鉛直ばねの剛性をｋ1 及びｋ2 とすると、次の式（５）によって表される。
【００３０】
【数５】
2019194747.tif 000007
【００３１】
そうすると、点１及び点２の相対変位δ12は、次の式（６）によって表される。
【００３２】
【数６】
2019194747.tif 000008
【００３３】
また、回転角θは、剛体の重心から２本の鉛直ばねまでの距離をＢとすると、次の式（７）によって表される。
θ＝δ12／２Ｂ      ・・・式（７）
【００３４】
剛体の重心から載荷点までの距離をｅとすると、回転モーメントの釣り合い関係は、次の式（８）によって表される。
【００３５】
【数７】
2019194747.tif 000009
【００３６】
【数８】
2019194747.tif 000010
【００３７】
剛性低下率γ1 及びγ2 を用い、２本の鉛直ばねの剛性を、それぞれ、ｋ1 ＝γ1 ｋ0 及びｋ2 ＝γ2 ｋ0 とすると、前記式（９）から、次の式（１０）によって表される関係が導かれる。なお、添字０は、初期状態を表す。
【００３８】
【数９】
2019194747.tif 000011
【００３９】
初期状態においては、剛性低下が生じないので、γ1 ＝γ2 ＝１とすると、次の式（１１）によって表される関係が導かれる。
【００４０】
【数１０】
2019194747.tif 000012
【００４１】
次に、図に示されるモデルにおける鉛直ばねの剛性低下を考慮した荷重分担率の算出方法について説明する。
【００４２】
力の釣り合いから、次の式（１２）によって表される関係が導かれる。
【００４３】
【数１１】
2019194747.tif 000013
【００４４】
ここで、鉛直ばねに作用する反力Ｒ1 及びＲ2 は、剛性低下率を考慮すると、次の式（１３）によって表される。
【００４５】
【数１２】
2019194747.tif 000014
【００４６】
そうすると、前記式（１２）を次の式（１４）によって表すことができる。
【００４７】
【数１３】
2019194747.tif 000015
【００４８】
したがって、変位ベクトル｛δθ｝T は、次の式（１５）によって表される。
【００４９】
【数１４】
2019194747.tif 000016
【００５０】
すると、前記式（１３）及び（１５）から、次の式（１６）によって表される関係が導かれる。
【００５１】
【数１５】
2019194747.tif 000017
【００５２】
ここで、前記式（１１）によって表される関係を用いると、次の式（１７）によって表される関係が導かれる。
【００５３】
【数１６】
2019194747.tif 000018
【００５４】
なお、γ1 ＝γ2 ＝１のときには、次の式（１８）によって表される関係を得ることができる。
【００５５】
【数１７】
2019194747.tif 000019
【００５６】
また、点１及び点２の応答変位は、前記式（１５）に基づき、次の式（１９）によって表される。
【００５７】
【数１８】
2019194747.tif 000020
【００５８】
次に、図に示されるモデルにおける構造系の固有振動数の算出について説明する。
【００５９】
構造系の減衰項を無視した運動方程式は、次の式（２０）によって表される。
【００６０】
【数１９】
2019194747.tif 000021
【００６１】
そして、固有値方程式は、固有値をλとすると、次の式（２１）によって表される。
【００６２】
【数２０】
2019194747.tif 000022
【００６３】
ここで、Ｉ0 ＝χｍ0 とすると、前記式（２１）から次の式（２２）が導かれる。なお、χは桁の断面形状によって決定される断面２次極モーメントと断面積との比である。
【００６４】
【数２１】
2019194747.tif 000023
【００６５】
そして、２次方程式を解くと、固有値λは、次の式（２３）によって表される。
【００６６】
【数２２】
2019194747.tif 000024
【００６７】
したがって、前記構造系の固有振動数ｆは、次の式（２４）によって表される。
【００６８】
【数２３】
2019194747.tif 000025
【００６９】
なお、ｋ1 ＝ｋ2 ＝ｋ0 のときに、固有値λは、次の式（２５）のようになる。
【００７０】
【数２４】
2019194747.tif 000026
【００７１】
したがって、前記式（１１）に示される関係から、固有振動数比ｆ2 ／ｆ1 は、次の式（２６）によって表される。
【００７２】
【数２５】
2019194747.tif 000027
【００７３】
そして、該式（２６）をβ1 について解くと、次の式（２７）のようになる。
【００７４】
【数２６】
2019194747.tif 000028
【００７５】
次に、固有振動数比と荷重分担率との関係について説明する。
【００７６】
図２は本実施の形態における固有振動数比と荷重分担率との関係を示す図である。
【００７７】
図には、図１に示されるモデルにおいて、剛体の重心から２本の鉛直ばねまでの距離Ｂ＝２．６〔ｍ〕、無次元振幅χ＝８及び１０である場合に、前記式（２７）によって表される固有振動数比ｆ2 ／ｆ1 と荷重分担率β1 との関係が示されている。
【００７８】
図から、荷重分担率β1 の増加に伴って、固有振動数比ｆ2 ／ｆ1 が低下していることが分かる。例えば、無次元振幅χ＝１０である場合、荷重分担率β1 ＝０．６であるときに固有振動数比ｆ2 ／ｆ1 ＝１．８４であり、荷重分担率β1 ＝０．９であるときに固有振動数比ｆ2 ／ｆ1 ＝０．９１である。なお、荷重分担率β1 ＞０．８３の領域においては、固有振動数比ｆ2 ／ｆ1 ＜１となる、すなわち、ねじりモードの固有振動数が鉛直モードの固有振動数よりも低くなっているが、実際の複線桁では、このような領域で設計が成り立つことはないと思われる。
【００７９】
前述のように、χは、桁の断面形状によって決定される断面２次極モーメントと断面積との比であって、桁のねじり剛性に関するパラメータである。そして、χは、Ｉ型桁のように桁高が小さい場合には荷重分担率β1 とともに大きくなり、箱型桁のように桁高が大きい場合には荷重分担率β1 とともに小さくなる。したがって、χは、桁の構造種別やスパンに応じて、荷重分担率β1 の変化とともに変化する、と言える。
【００８０】
桁の動的挙動において、支配パラメータとなるのは、χ、及び、荷重分担率β1 の関数である固有振動数比ｆ2 ／ｆ1 であるから、一般的には荷重分担率β1 ＝０．６〜０．８程度となるが、本実施の形態における数値解析においては、荷重分担率β1 ＝０．６〜０．９を検討範囲とする。このとき、固有振動数比ｆ2 ／ｆ1 ＝０．９２〜１．８４が検討範囲となる。なお、欧州構造基準（ユーロコード）においては、固有振動数比ｆ2 ／ｆ1 ＜１．２の場合には、設計において動的解析を行うことを要求している（例えば、非特許文献２及び３参照。）。
【００８１】
【非特許文献２】European Committee for Standardization: EN 1991-2: EUROCODE 1 - Actions on structures, Part 2: Traffic loads on bridges. 2003
【非特許文献３】European Rail Research Institute, (2000). D214, Rail bridges for speeds > 200 km/h, reports 1-9. Herwig, A., (2004). Background Document, Survey of existing French and Swiss Code for load assessment. Sustainable Bridges, Technical Report, WP4-21-T-040901-D-French & Swiss Code Survey
【００８２】
次に、数値解析の結果について説明する。
【００８３】
図３は本実施の形態における固有振動数比が複線桁の動的挙動に及ぼす影響を示す図、図４は本実施の形態におけるスパンがねじり振動に及ぼす影響を示す図、図５は本実施の形態におけるモード減衰比がねじり振動に及ぼす影響を示す図である。
【００８４】
ここでは、前記式（２０）に基づき、減衰を考慮した形で、複線桁の断面の動的挙動を数値解析的に評価した結果について説明する。列車としては、一般的な新幹線を想定し、軸配置は、車両長さ２５〔ｍ〕で１２両編成であるものとした。線形範囲の解析であることから、輪重は１０〔ｋＮ〕とした。鉛直ばねの剛性は、鉛直モードの固有振動数が５０Ｌｂ-0.8となるように設定した。減衰は、鉛直ばねに直接減衰を与え、回転ばねには減衰を考慮していない。ニューマークβ法によって、時間領域の積分を行った。解析パラメータは、列車速度Ｖ：１０、２０、・・・４９０、５００〔ｋｍ／ｈ〕、スパンＬｂ：５、１０、２０、３０、４０、５０、８０〔ｍ〕、荷重分担率β1 ：０．６、０．７、０．８、０．９（ｆ2 ／ｆ1 ＝１．８４、１．３０、１．０６、０．９２）とした。
【００８５】
図３には、スパンＬｂ＝３０〔ｍ〕である場合の応答変位及び衝撃係数の解析結果が示されている。衝撃係数は、各モード振幅の最大値を列車速度１０〔ｋｍ／ｈ〕の場合の応答によって除算することにより、算出された。したがって、衝撃係数が１の場合に動的応答は０となる。設計標準においては鉛直モードのみを考慮していることから、図中の点線を速度に対して負とならない包絡線としたものが設計標準の衝撃係数に対応する。応答変位において、単線（走行側）は載荷側の鉛直変位の最大値を示し、単線（反対側）は非載荷側の鉛直変位の最大値を示している。したがって、列車速度１００〔ｋｍ／ｈ〕程度の低速領域において、衝撃係数が１に近い値を示す場合、応答変位の比は荷重分担率β1 ：β2 に等しくなる。図において点線で示される応答変位の設計値は、列車速度１０〔ｋｍ／ｈ〕の場合の応答を静的応答とみなし、これに鉛直モードの衝撃係数を乗じた結果であり、実務設計で実質的に取られる方法を踏襲したものである。複線の場合の応答値は、上下線の桁への進入のタイミングが完全に一致する完全複線載荷（例えば、非特許文献４参照。）を仮定し、載荷側の応答変位の最大値と非載荷側の応答変位の最大値とを加算したものである。図３によって、固有振動数比が複線桁の動的挙動に及ぼす影響を把握することができる。
【００８６】
【非特許文献４】曽我部正道、後藤恵一、徳永宗正、浅沼潔、「高速列車走行が疲労振幅及び等価繰り返し回数に及ぼす影響」、コンクリート工学年次論文集、Ｖｏｌ．３３、Ｎｏ．２、ｐｐ．７９３−７９８、２０１１
【００８７】
また、図４には、荷重分担率β1 ＝０．６５又は０．７の場合に、スパンＬｂ＝１０、３０、４０、５０〔ｍ〕であるときの、応答変位及び衝撃係数の解析結果が示されている。これにより、スパンがねじり振動に及ぼす影響を把握することができる。
【００８８】
さらに、図５には、荷重分担率β1 ＝０．７の場合に、スパンＬｂ＝４０、５０〔ｍ〕であるときの、応答変位及び衝撃係数の解析結果が示されている。これにより、モード減衰比がねじり振動に及ぼす影響を把握することができる。
【００８９】
このように、本実施の形態において、鉄道複線桁のねじり振動評価方法は、鉄道複線桁の断面挙動を解析するための剛体モデルを作成する工程と、格子解析によって各桁の荷重分担率を算出する工程と、荷重分担率に基づいて剛体モデルの回転ばねの剛性を算出する工程と、桁のねじり剛性に関するパラメータに基づいて剛体モデルの固有振動数比を算出する工程と、固有振動数比が所定の数値範囲にある場合の鉄道複線桁の動的挙動を解析する工程と、を含んでいる。これにより、個々の構成要素をモデル化する必要なしに、一般的なパラメータである格子解析から得られる荷重分担率に基づいて、複線桁の動的挙動を容易に推定することができる。
【００９０】
また、桁のねじり剛性に関するパラメータは、桁の断面２次極モーメントと断面積との比である。さらに、剛体モデルは、桁の断面挙動を鉛直方向及び回転方向の１質点２自由度とした剛体モデルである。さらに、数値範囲は０．９２〜１．８４である。
【００９１】
なお、本明細書の開示は、好適で例示的な実施の形態に関する特徴を述べたものである。ここに添付された特許請求の範囲内及びその趣旨内における種々の他の実施の形態、修正及び変形は、当業者であれば、本明細書の開示を総覧することにより、当然に考え付くことである。
【産業上の利用可能性】
【００９２】
本開示は、鉄道複線桁のねじり振動評価方法に適用することができる。
【図１】
2019194747.tif 000029
【図２】
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【図３】
2019194747.tif 000031
【図４】
2019194747.tif 000032
【図５】
2019194747.tif 000033