(57)【要約】  コンピュータ（４）は、鋼ボリューム（１）の現在の開始状態（ＺＡ）とボリューム表面を介して鋼ボリューム（１）に対し作用する現在の少なくとも１つの影響量（Ｗ）とに基づき、熱伝導方程式と相転移方程式とを解くことにより、鋼ボリューム（１）の結果状態（ＺＦ）を算出する。前記状態（ＺＡ，ＺＦ）は、鋼ボリューム（１）の少なくとも１つのボリューム要素（９）に対し、鋼の内部で可動な可動合金要素の局所的濃度分布（Ｋ）と、鋼のモデリングされた相の局所的成分（ｐ１，ｐ２，ｐ３）と、鋼の局所的エネルギー収支を表わす量（Ｈ）とを含んでいる。相はオーステナイトと他の相、通常はフェライトまたはセメンタイトとを含んでいる。前記転移方程式の範囲内で、可動合金要素のどの濃度（ｋ１，ｋ３；ｋ２，ｋ４）がオーストナイトと他の相との間の界面（１１，１２）の両側にあるかを算出する。さらに、ステファン問題を解くことにより、観察対象であるボリューム要素（９）のオーステナイト領域において可動合金要素の濃度分布（Ｋ）が変化しているかどうか、および、どのように変化しているかを算出し、且つそれによって界面（１１，１２）が変位しているかどうか、および、どの程度（δｘ’，δｘ”）変位しているかを算出する。次に、界面（１１，１２）の位置に基づいて相の局所的成分（ｐ１，ｐ２，ｐ３）を算出する。
2007520821.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ボリューム表面を備えた鋼ボリューム（１）の挙動をモデリングするためのコンピュータ支援型モデリング方法であって、
コンピュータ（４）が、鋼ボリューム（１）の現在の開始状態（ＺＡ）とボリューム表面を介して鋼ボリューム（１）に対し作用する現在の少なくとも１つの影響量（Ｗ）とに基づき、熱伝導方程式と相転移方程式とを解くことにより、鋼ボリューム（１）の結果状態（ＺＦ）を算出し、
ボリューム表面の複数個の面要素（１０）に対する前記少なくとも１つの影響量（Ｗ）がそれぞれ局所的影響を含み、局所的影響がそれぞれの面要素（１０）を介して鋼ボリューム（１）に対し作用し、
鋼ボリューム（１）の複数個のボリューム要素（９）に対する開始状態（ＺＡ）と結果状態（ＺＦ）とがそれぞれ鋼のモデリングされた相の局所的成分（ｐ１，ｐ２，ｐ３）と鋼の局所的エネルギー収支を表わす量（Ｈ）とを含み、
鋼のモデリングされた相がオーステナイトと第１の他の相とを含み、該第１の他の相へオーステナイトが転移可能であり、且つ該第１の他の相がオーステナイトへ転移可能であるコンピュータ支援型モデリング方法において、
ボリューム要素（９）の少なくとも１つに対する開始状態（ＺＡ）と結果状態（ＺＦ）とが鋼の内部で可動な少なくとも１つの可動合金要素の局所的濃度分布（Ｋ）を含んでいること、
前記転移方程式の範囲内で、少なくとも１つのボリューム要素（９）に対し、少なくとも１つの可動合金要素のどの濃度（ｋ１，ｋ３；ｋ２，ｋ４）がオーストナイトと第１の他の相との間の第１の界面（１１，１２）の両側にあるかを算出すること、
第１のステファン問題を解くことにより、観察対象であるボリューム要素（９）のオーステナイト領域において少なくとも１つの可動合金要素の濃度分布（Ｋ）が変化しているかどうか、およびどのように変化しているかを算出し、且つそれによって第１の界面（１１，１２）が変位しているかどうか、およびどの程度（δｘ，δｘ’，δｘ”）変位しているかを算出すること、
相の局所的成分（ｐ１，ｐ２，ｐ３）を、第１の界面（１１，１２）の変位の程度（δｘ）により特定される第１の界面（１１，１２）の位置に基づいて算出すること、
を特徴とするコンピュータ支援型モデリング方法。
【請求項２】
鋼のモデリングされた相が第２の他の相をも含み、該第２の他の相へオーステナイトが転移可能であり、且つ該第２の他の相がオーステナイトへ転移可能であること、
観察対象であるボリューム要素（９）に対し、前記転移方程式の範囲内で、少なくとも１つの可動合金要素のどの濃度（ｋ２，ｋ４；ｋ１，ｋ３）がオーストナイトと第２の他の相との間の第２の界面（１２，１１）の両側にあるかを算出すること、
さらに第２のステファン問題を解くことにより、観察対象であるボリューム要素（９）のオーステナイト領域において少なくとも１つの可動合金要素の濃度分布（Ｋ）が変化しているかどうか、およびどのように変化しているかを算出し、且つそれによって第２の界面（１２，１１）が変位しているかどうか、およびどの程度（δｘ”，δｘ’）変位しているかを算出すること、
前記ステファン問題が互いに関連していること、
界面（１１，１２）に面密度（Ｆ１，Ｆ２）が割り当てられていること、
第２の界面（１２）の成分（ｑ）に割り当てられる面密度（Ｆ２）を、面密度（Ｆ１，Ｆ２）の和により特定すること、
局所成分（ｐ１，ｐ２，ｐ３）が面密度（Ｆ１，Ｆ２）の和において第２の界面（１２）に割り当てられている面密度（Ｆ２）の成分（ｑ）にも依存していること、
を特徴とする請求項１記載のモデリング方法。
【請求項３】
面密度（Ｆ１，Ｆ２）の和において第２の界面（１２）に割り当てられている面密度（Ｆ２）の成分（ｑ）を、界面（１１，１２）が常に並設状態を維持するように特定することを特徴とする請求項２記載のモデリング方法。
【請求項４】
面密度（Ｆ１，Ｆ２）の和において第２の界面（１２）に割り当てられている面密度（Ｆ２）の成分（ｑ）を、界面（１１，１２）が互いに相手のほうへ移動するように追従させることを特徴とする請求項２記載のモデリング方法。
【請求項５】
面密度（Ｆ１，Ｆ２）の和において第２の界面（１２）に割り当てられている面密度（Ｆ２）の成分（ｑ）に基づいて、オーステナイトが第１の他の相のみへ転移するか、第２の他の相のみへ転移するか、或いは第１の他の相と第２の他の相の双方へ転移するかを推論することを特徴とする請求項２，３または４記載のモデリング方法。
【請求項６】
観察対象であるボリューム要素（９）が直方体状に形成され、３つの基本寸法（Ａ，Ｂ，Ｃ）を有していること、
第１の界面（１１，１２）が第１の縦辺と第１の横辺とを備えた矩形として形成されていること、
第１の縦辺が前記基本寸法（Ａ，Ｂ，Ｃ）のうちの第１の基本寸法に対応し、第１の横辺が前記基本寸法（Ａ，Ｂ，Ｃ）のうちの第２の基本寸法に対し平行に延在し、第１の界面（１１，１２）の変位（δｘ’，δｘ”）が前記基本寸法（Ａ，Ｂ，Ｃ）のうちの第３の基本寸法に対し平行に行なわれること、
を特徴とする請求項１ないし５のいずれか一つに記載のモデリング方法。
【請求項７】
第２の界面（１２，１１）が第２の縦辺と第２の横辺とを備えた矩形として形成されていること、
第２の縦辺が前記基本寸法（Ａ，Ｂ，Ｃ）のうちの第１の基本寸法に対応し、第２の横辺が前記基本寸法（Ａ，Ｂ，Ｃ）のうちの第２の基本寸法に対し平行に延在し、第２の界面（１２，１１）の変位（δｘ” ，δｘ’）が前記基本寸法（Ａ，Ｂ，Ｃ）のうちの第３の基本寸法に対し平行に行なわれること、
を特徴とする請求項６および請求項２ないし５のいずれか一つに記載のモデリング方法。
【請求項８】
界面（１１，１２）の横辺の総和（ｌ）が臨界薄層間隔（ｌ’）のほぼ１．５倍ないし３倍に等しく、臨界薄層間隔（ｌ’）においては、一方では界面（１１，１２）の変位に対応する鋼の相転移を考慮し、他方では界面（１１，１２）の変位に対応する、第１の他の相と第２の他の相との境界層（１６）の面積の変化を考慮したエネルギー収支が補償されていることを特徴とする請求項７記載のモデリング方法。
【請求項９】
１つのステファン問題を１次元で定式化してこれを解き、或いは、複数のステファン問題を１次元で定式化してこれを解くこと、オーステナイトの成分（ｐ３）を、１つの界面（１１，１２）または複数の界面（１１，１２）の位置の非線形関数に基づいて算出することを特徴とする請求項１ないし８のいずれか一つに記載のモデリング方法。
【請求項１０】
前記少なくとも１つの可動合金要素がどのような濃度（ｋ１ないしｋ４）で第１の界面（１１，１２）の両側にあるか、或いは、第１の界面（１１，１２）の両側および第２の界面（１１，１２）の両側にあるかの算出を、相のギブス自由エンタルピー（Ｇ１，Ｇ２，Ｇ３）に基づいて行なうことを特徴とする請求項１ないし９のいずれか一つに記載のモデリング方法。
【請求項１１】
すでに開始状態（ＺＡ）にある相と該相のギブス自由エンタルピー（Ｇ１，Ｇ２，Ｇ３）とに基づいて、オーステナイトと第１の他の相とが存在するかどうか、或いはオーステナイトと第１の他の相に加えて第２の他の相とが存在するかどうかを算出することを特徴とする請求項１ないし１０のいずれか一つに記載のモデリング方法。
【請求項１２】
鋼ボリューム（１）が多数のボリューム要素（９）を含んでいること、１つまたは複数のステファン問題をボリューム要素（９）の一部に対してのみ解くこと、他のボリューム要素（９）の相の局所成分（ｐ１，ｐ２，ｐ３）をボリューム要素（９）の前記一部分の相の局所成分（ｐ１，ｐ２，ｐ３）に基づいて算出することを特徴とする請求項１ないし１１のいずれか一つに記載のモデリング方法。
【請求項１３】
熱伝導方程式を各ボリューム要素（９）に対して個別に解くことを特徴とする請求項１２記載のモデリング方法。
【請求項１４】
コンピュータ（４）に初期状態（Ｚ）と少なくとも１つの所望の最終量（ｆ’*）とを設定すること、
請求項１ないし１０までのいずれか一つに記載のモデリング方法を反復して適用すること、
最初の反復の開始状態（ＺＡ）が初期状態（Ｚ）に対応し、他のそれぞれの反復の開始状態（ＺＡ）が直前に算出した結果状態（ＺＦ）に対応していること、
最後の反復後に算出した結果状態（ＺＦ）に基づいて予想される最終量（ｆ’）を算出し、所望の最終量（ｆ’*）と比較すること、
を特徴とする請求項１ないし１３のいずれか一つに記載のモデリング方法。
【請求項１５】
オンラインで且つリアルタイムで、またはオフラインで実施することを特徴とする請求項１４記載のモデリング方法。
【請求項１６】
反復の影響量（Ｗ）がその全体において影響量の推移に対応していること、コンピュータ（４）が予想される最終量（ｆ’）と所望の最終量（ｆ’*）との比較に基づいて影響量の推移を変化させ、初期状態（Ｚ）を起点として、少なくとも予想される影響量（ｆ’）が所望の最終量（ｆ’*）に対応するまで請求項１２記載のモデリング方法を新たに実施することを特徴とする請求項１４または１５記載のモデリング方法。
【請求項１７】
オンラインで且つリアルタイムで実施すること、コンピュータ（４）が開始状態（ＺＡ）から算出した開始量（ｆ）と所望の結果量（ｆ*）とに基づいて影響量（Ｗ）を算出すること、算出した影響量（Ｗ）に応じて鋼ボリューム（１）が影響されるようにコンピュータ（４）が作用装置（２）を制御することを特徴とする請求項１ないし１３のいずれか一つに記載のモデリング方法。
【請求項１８】
請求項１ないし１７のいずれか一つに記載のモデリング方法を実施するためのコンピュータプログラム（６）を記憶したデータ記憶媒体。
【請求項１９】
コンピュータプログラム（６）がファイルされている大容量記憶装置（８）を備えたコンピュータであって、コンピュータプログラム（６）をコンピュータから呼び出して請求項１ないし１７のいずれか一つに記載のモデリング方法を実施可能にした前記コンピュータ。
【請求項２０】
鋼ボリューム（１）の温度に影響を与える作用装置、特に冷却区間において、請求項１９記載のコンピュータ（４）により制御されることを特徴とする作用装置。
【請求項２１】
鋼が請求項２０に記載の作用装置（２）を通過し、その際に請求項１６または１７に記載の影響量（Ｗ）が算出されることを特徴とする鋼。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、ボリューム表面を備えた鋼ボリュームの挙動をモデリングするためのコンピュータ支援型モデリング方法であって、
コンピュータが、鋼ボリュームの現在の開始状態とボリューム表面を介して鋼ボリュームに対し作用する現在の少なくとも１つの影響量とに基づき、熱伝導方程式と相転移方程式とを解くことにより、鋼ボリュームの結果状態を算出し、
ボリューム表面の複数個の面要素に対する前記少なくとも１つの影響量がそれぞれ局所的影響を含み、局所的影響がそれぞれの面要素を介して鋼ボリュームに対し作用し、
鋼ボリュームの複数個のボリューム要素に対する開始状態と結果状態とがそれぞれ鋼のモデリングされた相の局所的成分と鋼の局所的エネルギー収支を表わす量とを含み、
鋼のモデリングされた相がオーステナイトと第１の他の相とを含み、該第１の他の相へオーステナイトが転移可能であり、且つ該第１の他の相がオーステナイトへ転移可能である、
コンピュータ支援型モデリング方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
この種のモデリング方法は、たとえば独国特許出願公開第１０１２９５６５号明細書から知られている。この文献において特に試みられることは、まず第１に、フーリエ熱伝導方程式自体を解き、この熱伝導方程式の不正確な変形方程式を解かないようにして、帯鋼の熱力学的挙動を正確に記述しようとするものである。これをもってこの文献を参考文献とすることにより本発明の開示内容に取り入れることにする。
【０００３】
本発明の出願時点で公開されていない先願のドイツ特許出願１０２５１７１６．９にもこの種のモデリング方法が記載されている。この文献において試みられることは、鋼の相転移を鋼のギブス自由エンタルピーに基づいてモデリングすることである。これをもってこの文献も参考文献とすることにより本発明の開示内容に取り入れることにする。
【０００４】
さらに、この種のモデリング方法はW. Borchers  ほか論文「鋼板における熱伝導の数値シミュレーション−冷却区間の制御に役立つ数学」、Unikurier der Friedrich-Alexander-Universitaet Erlangen-Nuernberg  発行、第１０２巻、２００１年１０月、第２７号から知られている。
【０００５】
さらに、Johnson-Mehl-AvramiおよびBrimacombeによるシャイル(Scheil)の規則に従った伝統的な式も知られている。
【０００６】
鋼、特に帯鋼の冷却時の温度の時間的推移を正確にモデリングすることは、鋼冷却区間に必要な水または冷却媒体の量を制御するうえで重要である。というのは、冷却時に発生する鋼転移が冷却時の鋼の熱的挙動に決定的に影響するからである。また、冷却プロセスにより鋼の主要な材料特性も影響を受ける。しかしながら冷却は熱力学的平衡状態で行なわれないので、熱容量を適当に適合させるだけでは転移を記述することは不可能である。それ故、冷却区間を正確に制御できるようにするため、鋼の相転移の正確なモデリングが補助的に必要である。
【０００７】
従来技術による伝統的な定式化は、実際には必ずしもすべてのケースにおいて正確に機能しているわけではない。特に、一連の系統的な欠点がある。まず第１に、各材料を別個にパラメータ化しなければならないことである。異なる材料間での補間法は不可能であり、或いは少なくとも限定的に可能でしかない。第２は、技術水準による伝統的な方法の場合、２つの相しか観察されない。２つ以上の相の観察はシステム上不可能である。第３は、伝統的な技術水準による方法は、観察対象である材料が完全に転移する場合にしか、モデルと実際との良好な一致を提供しないことである。第４は、伝統的な技術水準による方法は、相転移の際に放出される転移熱に関する情報を提供しない。しかし、転移熱に関する知識は熱伝導方程式を正確に解くために不可欠である。
【０００８】
前記独国特許出願公開第１０１２９５６５号明細書と前記W. Borchers  ほか論文「鋼板における熱伝導の数値シミュレーション−冷却区間の制御に役立つ数学」、Unikurier der Friedrich-Alexander-Universitaet Erlangen-Nuernberg発行、第１０２巻、２００１年１０月、第２７号とは、少なくとも熱伝導方程式を完全に正確に記述するので、すでにかなりの進歩を示している。また、前記先願のドイツ特許出願は相転移のモデリングを改善している。特に、前記先願のドイツ特許出願は相転移の際に発生する転移熱を提供している。しかしながら、この方法もまだ改善の余地がある。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００９】
本発明の課題は、よりすぐれたモデル結果を提供する金属モデリング方法を創作することにある。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
この課題は、
ボリューム要素の少なくとも１つに対する開始状態と結果状態とが鋼の内部で可動な少なくとも１つの可動合金要素の局所的濃度分布をも含んでいること、
前記転移方程式の範囲内で、少なくとも１つのボリューム要素に対し、少なくとも１つの可動合金要素のどの濃度がオーストナイトと第１の他の相との間の第１の界面の両側にあるかを算出すること、
第１のステファン問題を解くことにより、観察対象であるボリューム要素のオーステナイト領域において少なくとも１つの可動合金要素の濃度分布が変化しているかどうか、および、どのように変化しているかを算出し、且つそれによって第１の界面が変位しているかどうか、および、どの程度変位しているかを算出すること、
相の局所的成分を、第１の界面の変位の程度により特定される第１の界面の位置に基づいて算出すること、
によって解決される。
【００１１】
鋼の内部で可動な可動合金要素は通常炭素である。しかしこれとは択一的に、或いは、これに加えて、前記合金要素が窒素であってもよい。また、鋼の内部で好ましくは中間格子点に配置される他の合金要素も可能である。
【００１２】
上記のモデリング方法だけでも従来公知の技術水準に比べて明らかな進歩を可能にする。というのは、この処置により、（他の相がフェライトであるかセメンタイトであるかに応じて、）オーステナイトからフェライトへの転移挙動またはオーステナイトからセメンタイトへの転移挙動およびその逆の転移挙動を現実に極めて忠実にモデリングすることができるからである。
【００１３】
好ましくは、鋼のモデリングされた相が第２の他の相をも含み、該第２の他の相へオーステナイトが転移可能であり、且つ該第２の他の相がオーステナイトへ転移可能であるのがよい。この場合、特に、
観察対象であるボリューム要素に対し、前記転移方程式の範囲内で、少なくとも１つの可動合金要素のどの濃度がオーストナイトと第２の他の相との間の第２の界面の両側にあるかをも算出すること、
さらに第２のステファン問題を解くことにより、観察対象であるボリューム要素のオーステナイト領域において少なくとも１つの可動合金要素の濃度分布が変化しているかどうか、および、どのように変化しているかを算出し、且つそれによって第２の界面が変位しているかどうか、および、どの程度変位しているかを算出すること、
前記ステファン問題が互いに関連していること、
界面に面密度が割り当てられていること、
第２の界面の成分に割り当てられる面密度を、面密度の和により特定すること、
局所成分が面密度の和において第２の界面に割り当てられている面密度にも依存していること、
が可能である。
【００１４】
この処置によれば、一方ではオーステナイトとフェライトとの間での転移、他方ではオーステナイトとセメンタイトとの間での転移ばかりでなく、特にオーステナイトからパーライトへの転移およびその逆の転移をも現実に極めて忠実に記述することができる。したがって、固相状態にある鋼の主要な転移挙動全体を正確に記述することができる。さらにこの処置によれば、パーライトが形成されるか否かを算出することができる。
【００１５】
面密度の和において第２の界面に割り当てられている面密度の成分を、界面が常に並設状態を維持するように特定することができる。しかしこれとは択一的に、面密度の和において第２の界面に割り当てられている面密度の成分を、界面が互いに相手のほうへ移動するように追従させるようにしてもよい。この成分に基づいて、オーステナイトが第１の他の相のみへ転移するか、第２の他の相のみへ転移するか、或いは第１の他の相と第２の他の相の双方へ転移するかを推論するようにしてもよい。
【００１６】
基本的には、第１の界面の構成を３次元で算出することが可能である。しかしこれはかなりの演算コストを要求する。それ故、好ましくは、演算を１次元で行なうのがよい。これは、ボリューム要素が空間を充溢するアリストテレスの物体、特に直方体であれば簡単に可能である。すなわち、
観察対象であるボリューム要素が直方体状に形成され、３つの基本寸法を有していること、
第１の界面が第１の縦辺と第１の横辺とを備えた矩形として形成されていること、
第１の縦辺が前記基本寸法のうちの第１の基本寸法に対応し、第１の横辺が前記基本寸法のうちの第２の基本寸法に対し平行に延在し、第１の界面の変位が前記基本寸法のうちの第３の基本寸法に対し平行に行なわれること、
が好ましい。
【００１７】
第２の他の相をも考慮する場合には、
第２の界面が第２の縦辺と第２の横辺とを備えた矩形として形成されていること、
第２の縦辺が前記基本寸法のうちの第１の基本寸法に対応し、第２の横辺が前記基本寸法のうちの第２の基本寸法に対し平行に延在し、第２の界面の変位が前記基本寸法のうちの第３の基本寸法に対し平行に行なわれること、
が好ましい。
【００１８】
界面の横辺の総和が臨界薄層間隔のほぼ１．５倍ないし３倍に等しく、臨界薄層間隔においては、一方では界面の変位に対応する鋼の相転移を考慮し、他方では界面の変位に対応する、第１の他の相と第２の他の相との境界層の面積の変化を考慮したエネルギー収支が補償されていれば、モデルを用いてパーライトの薄層間隔をも算出することができる。この場合、薄層間隔（すなわち界面の横辺の総和）は特に臨界薄層間隔のほぼ２倍に等しくてよい。
【００１９】
本発明によるモデリング方法は、１次元のみの演算であるが、１つの界面または複数の界面の位置の非線形関数に基づいてオーステナイトの成分を算出するならば、現実に極めて忠実な結果を提供する。
【００２０】
前記少なくとも１つの可動合金要素がどのような濃度で第１の界面の両側にあるか、或いは、第１の界面の両側および第２の界面の両側にあるかの算出を、相のギブス自由エンタルピーに基づいて行なうならば、界面における前記少なくとも１つの可動合金要素の濃度の算出は特に容易である。
【００２１】
互いに関連性のある複数のステファン問題を解いて、これから、どの相がどの程度形成されるかを推論することが可能である。これは多くの場合必要である。しかし、場合によっては、相転移方程式を解く前に、すでに開始状態にある相とギブス自由エンタルピーとに基づいて、オーステナイトと第１の他の相との双方が存在しているかどうか、或いは、オーステナイトおよび第１の他の相とに加えて第２の他の相も存在するかどうかを前もって算出するようにしてもよい。
【００２２】
個々のケースでは、ボリューム要素の数量は少数であってよい。極端な場合には１個である。しかし通常は、鋼ボリュームは多数のボリューム要素を含んでいる。それ故、１つまたは複数のステファン問題をボリューム要素の一部に対してのみ解き、他のボリューム要素の相の局所成分をボリューム要素の前記一部分の相の局所成分に基づいて算出するならば、モデル演算の表現力を著しく悪化させることなく、鋼ボリュームの挙動をモデリングするために必要な演算能力をかなり軽減させることができる。これに対して熱伝導方程式は例外なく各ボリューム要素に対し個別に解かれる。
【００２３】
本発明によるモデリング方法は、オンラインでリアルタイムで実施するか、或いはオフラインで実施するか、択一的に行なうことができる。
【００２４】
たとえば、
コンピュータに初期状態と少なくとも１つの所望の最終量とを設定すること、
上記モデリング方法を反復して適用すること、
最初の反復の開始状態が初期状態に対応し、他のそれぞれの反復の開始状態が直前に算出した結果状態に対応していること、
最後の反復後に算出した結果状態に基づいて予想される最終量を算出し、所望の最終量と比較すること、
が可能である。
【００２５】
このような場合には、本発明によるモデリング方法は、オンラインでリアルタイムで実施するか、或いはオフラインで実施するか、択一的に行なうことができる。
【００２６】
特にオフラインで実施する場合には、反復の影響量がその全体において影響量の推移に対応し、コンピュータが予想される最終量と所望の最終量との比較に基づいて影響量の推移を変化させ、初期状態を起点として、少なくとも予想される影響量が所望の最終量に対応するまで上記モデリング方法を新たに実施するようにしてよい。
【００２７】
しかし、コンピュータが開始状態から算出した開始量と所望の結果量とに基づいて影響量を算出し、算出した影響量に応じて鋼ボリュームが影響されるようにコンピュータが作用装置を制御するようにしてもよい。このような場合には、モデリング方法をオンラインで且つリアルタイムで実施しなければならない。作用装置の制御はすぐに行うか、或いは次の反復で行なうか、択一的に実施することができる。
【００２８】
本発明の利点および詳細は、図面との関連で以下に行なう１実施形態の説明から明らかである。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２９】
図１によれば、たとえば帯鋼１が所定の最終特性を持つように該帯鋼を冷却するものとする。このため、帯鋼１をたとえば冷却区間２において冷却媒体３（通常は水）で付勢する。
【００３０】
帯鋼１は帯幅ｂと帯厚ｄとを有する。さらに帯鋼は（基本的には任意の）帯長さを有している。帯鋼は冷却区間２を帯速度ｖで通過する。
【００３１】
帯速度ｖは連続的に検出され、冷却区間２を制御するコンピュータ４に送られる。したがってコンピュータ４は公知の態様で帯鋼１の路程追跡を実現させることができる。すなわち、冷却区間２の塗布装置５を用いて帯鋼１を冷却媒体３で付勢する場合に、帯鋼１のどの領域が作用を受けるかがコンピュータ４には既知である。
【００３２】
コンピュータ４はコンピュータプログラム６でプログラミングされている。コンピュータプログラムはデータ記憶媒体７、たとえばＣＤ−ＲＯＭ７を介してコンピュータ４に供給される。データ記憶媒体７には、コンピュータプログラム６が（もっぱら）コンピュータで読み取り可能な形態で記憶されている。コンピュータプログラム６はコンピュータ４に送られて、コンピュータ４の大容量記憶装置８、たとえばハードディスク８にファイルされる。これによりコンピュータ４は、コンピュータプログラム６を呼び出して帯鋼１のモデリング方法或いは帯鋼１の個々の領域（すなわち鋼ボリューム１）のモデリング方法を実施することができる。以下に、このモデリング方法について詳細に説明する。
【００３３】
このため、図２によれば、鋼ボリューム１をコンピュータ４内部で複数個のボリューム要素９に分割する。この場合、１つのボリューム要素９がすべての側を他のボリューム要素９によって取り囲まれていなければ、それぞれのボリューム要素９には１つまたは２つの面要素１０が割り当てられている。面要素１０はその全体で帯鋼１のボリューム表面または帯鋼１の観察領域のボリューム表面を形成する。
【００３４】
コンピュータ４は、コンピュータプログラム６によるプログラミングに基づいて、特に、各ボリューム要素９に対しその周囲との熱的結合が考慮されているようなモデルを実現させる。この場合（図３を参照）、各ボリューム要素９は直方体状に形成されている。すなわち各ボリューム要素９は、通常は帯速度ｖと帯幅ｂと帯厚ｄの方向に平行に方向づけられている３つの基本寸法Ａ，Ｂ，Ｃを有している。
【００３５】
本発明によるモデリング方法の第１の構成では、図４に示すように、ステップＳ１でコンピュータ４に初期状態Ｚを供給する。初期状態Ｚは、帯鋼１の各ボリューム要素９に対し、さしあたり鋼のモデリング相の局所成分ｐ１，ｐ２，ｐ３を含んでいる。モデリング相とは特にフェライト（成分ｐ１）、セメンタイト（成分ｐ２）、オーステナイト（成分ｐ３）である。
【００３６】
初期状態Ｚは、さらに、帯鋼１の各ボリューム要素９に対し、ボリューム要素９の鋼の局所的エネルギー含有量を表わす量Ｈを含んでいる。この量Ｈはたとえばボリューム要素９のエンタルピーＨである。択一的に、温度或いはエントロピーを考慮してもよい。
【００３７】
最後に、初期状態Ｚは、帯鋼１のボリューム要素９のうちの少なくとも１つに対し、好ましくは帯鋼１の各ボリューム要素９に対し、鋼の内部で可動な少なくとも１つの可動合金要素の局所的濃度分布Ｋをも含んでいる。可動合金要素とは特に炭素である。これとは択一的に、またはこれに加えて、たとえば窒素を考慮してもよい。
【００３８】
ステップＳ１の範囲内でコンピュータ４にはさらに所望の最終量ｆ’*が供給される。場合によっては、ステップＳ１の範囲内でコンピュータ４に所望の中間量をも供給してよく、その結果コンピュータ４には前記量の所望の時間的推移を設定することができる。
【００３９】
図４によれば、ステップＳ２においてまず影響量の推移を確定する。影響量の推移は時間的に直接連続している多数の時点に対しそれぞれ影響量Ｗを含んでいる。影響量Ｗはたとえば鋼ボリューム１（すなわち帯鋼１またはその観察域）にもたらされる冷却媒体量に相当しているが、たとえば搬送ローラ、熱対流、放熱等の鋼ボリューム１に対する他の影響をも考慮している。影響量Ｗは鋼ボリューム１の面要素１０（図２を参照）に対しそれぞれ局所的影響を含んでいる。この場合、局所的影響はそれぞれの面要素１０を介して鋼ボリューム１に作用する。
【００４０】
図４によれば、ステップＳ３において鋼ボリューム１の開始状態ＺＡ（初期状態Ｚに等しい）と開始時点ｔ０を起点とする時間軸ｔとを設定する。この場合開始時点ｔ０は、通常は、観察対象である鋼ボリューム１、すなわちたとえば帯鋼１の一部分が冷却区間２へ進入する時点に相当している。
【００４１】
次に、ステップＳ４において、影響量の推移に基づき、時間軸ｔによって決定される時点でもたらされるべき影響量Ｗを演算する。次にステップＳ５において、コンピュータ４は、鋼ボリューム１の現在の開始状態ＺＡとボリューム表面を介して鋼ボリューム１に作用している現在の影響量Ｗとに基づき、鋼ボリューム１の結果状態ＺＦを演算する。この場合コンピュータ４は熱伝導方程式と相転移方程式とを解く。結果状態ＺＦは開始状態ＺＡと同じ成分Ｋ，ｐ１，ｐ２，ｐ３，Ｈを含んでいる。
【００４２】
次に、ステップＳ６において、時間軸ｔを時間ステップ幅Δｔだけ増分させる。次のステップとして、ステップＳ７において、時間軸ｔが最終時点ｔ１に達したかどうかを調べる。この場合最終時点ｔ１は、通常は、観察対象である鋼ボリューム１が冷却区間２を離れる時点に対応している。
【００４３】
最終時点ｔ１にまだ達していなければ、ステップＳ８において、開始時点ＺＡ（直前に検出した結果状態ＺＦに等しい）を設定し、その後ステップＳ４へ戻る。
【００４４】
これに対し、最終時点ｔ１にすでに達していれば、ステップＳ４ないしステップＳ８から成るループを終了する。その後更なる処置をとらなければ、いわゆるプロセスオブザーバーが実現される。しかし、図４に図示したように、ステップＳ９において、今演算した結果状態ＺＡに基づいてたとえば温度または材料硬さのような予想最終量ｆ’を演算し、所望の最終量ｆ’*と比較するのが好ましい。もし予想最終量ｆ’が所望の最終量ｆ’*と対応していなければ、対応する演算機能を前提として、ステップＳ１０において影響量Ｗの推移を変更させる。次にステップＳ３へ戻る。他方、必要な冷却媒体量の推移を演算する。その結果コンピュータ４はこの時点でステップＳ１１において冷却区間２を適宜制御することができる。
【００４５】
なお、完全を期すために述べておくと、コンピュータに前記所望の最終量ｆ’*以外に所望の中間量をも予め設定する場合には、コンピュータ４が第１の所望の中間量に至るまでの冷却媒体量の推移、第２の所望の中間量にいたるまでの冷却媒体量の推移というように、所望の最終量ｆ’*に至るまでの冷却媒体量の推移全体を演算することは言うまでもない。
【００４６】
図１と図４によれば、上記のモデリング方法はオンラインでリアルタイムで実施される。しかし、もちろんオフライン実施も難なく可能である。この点は、図１において、冷却区間２とコンピュータ４との接続部を開けたままにしておくことで示唆した。すなわち冷却区間２の制御を直接行う必要はないことで示唆した。さらに、この理由から、図４のステップＳ１１は破線で示した。
【００４７】
図４の処理手順はかなり面倒な演算を要求する。図４の方法を実施するために必要な演算機能には対応できないが、しかしそれでも本発明によるモデリング方法を活用してオンライン制御を行う場合には、以下に図５との関連で詳細に説明する方法をオンラインでリアルタイムで実施する。
【００４８】
図５によれば、コンピュータ４は前記ステップＳ１に対応するステップＳ１２で初期状態Ｚを受信する。ステップＳ１３においてコンピュータ４は前記ステップＳ３に対応して開始状態ＺＡ（初期状態Ｚに等しい）と時点ｔ０を起点とする時間軸ｔとを設定する。次にコンピュータ４はステップＳ１４において所望の結果量ｆ’*を演算し、或いは、これを受信する。
【００４９】
ステップＳ１５において、コンピュータ４は前記ステップＳ９に対応して、開始状態ＺＡに基づき開始量ｆを演算する。ステップＳ１５で演算した開始量ｆと所望の結果量ｆ*とに基づいてコンピュータ４は次にステップＳ１６において影響量Ｗを演算する。前記ステップＳ１１に対応するステップＳ１７においてコンピュータ４は演算した影響量Ｗに応じて最終的に冷却区間２を制御する。この制御は図５に図示したように行なわれ、好ましくは迅速に行なわれる。しかし、場合によっては次のサイクルで制御を行なってもよい。
【００５０】
以下のステップＳ１８ないしＳ２１は図４の前記ステップＳ５ないしＳ８に対応している。したがってこれらステップＳ１８ないしＳ２１に関しては詳細な説明を省略する。
【００５１】
図５の方法は、好ましくは、たとえば冷却区間２を通過する帯鋼１を所望の結果量ｆ*の推移に合わせて制御して適用するのがよい。この場合には、図５との関連で上述した方法はもちろん帯鋼１の個々の各部分に対し個別に実施されねばならない。また、個々の各部分に対しては、複数個の塗布装置５のうち、観察部分が影響範囲に存在しているような塗布装置５を制御しなければならない。これは冒頭で述べた路程追跡によって保証される。さらに図５の方法は、冷却区間２内にある帯鋼１のすべての部分に対し並行的に実施される。
【００５２】
その都度の所望の結果量ｆ*は予めコンピュータ４に明示的に設定することができる。しかし、たとえば帯鋼１が冷却区間２から出るときの所望の結果量ｆ*、或いは帯鋼１を巻回するコイラーに到達したときの所望の結果量ｆ*のみをコンピュータ４に予め設定するようにしてもよい。この場合には、コンピュータ４は所定の演算命令に基づいて個々の反復操作に対する所望の結果量ｆ*を自動的に演算する。
【００５３】
もちろん、図５の制御を別様に構成してもよく、たとえば先願のＤＥ１０３２１７９２．４に記載の構成にしてもよい。
【００５４】
すでに述べたように、ステップＳ５とＳ１８で熱伝導方程式と相転移方程式とが解かれる。
【００５５】
熱伝導方程式と相転移方程式の一例を図６に図示した。図６においては、熱伝導に対し３次元の式が採用されている。しかし帯の場合、帯長手方向と帯横方向における熱流は通常無視できるので、この式は図７の１次元の式に例外なく簡略化することができる。なお、∂／∂ｘは帯厚さ方向における位置の導関数である。
【００５６】
熱伝導方程式と相転移方程式とが互いに関連していることがわかる。それ故、熱伝導方程式と相転移方程式を解くため（ステップＳ５，Ｓ１８）、図８によれば以下のような処置を講じる。
【００５７】
まず、ステップＳ２２において局所温度Ｔを演算する。この演算はエンタルピーＨとフェライト相、セメンタイト相、オーステナイト相の成分ｐ１，ｐ２，ｐ３とに基づいて行なう。すなわち、観察対象であるボリューム要素９が少量であるため、ボリューム要素９内部の局所温度Ｔは一定であると仮定することができる。したがって、このボリューム要素９内部の鋼の個々の相も同じ局所温度Ｔを有する。よって、ボリューム要素９のエンタルピーＨは、
【００５８】
(数１)
Ｈ＝ｐ１Ｈ１（Ｔ）＋ｐ２Ｈ２（Ｔ）＋ｐ３Ｈ３（Ｔ）      （１）
【００５９】
として表わすことができる。さらに、各相に対し、それぞれの相のエンタルピーＨ１，Ｈ２またはＨ３は局所温度Ｔの関数（オーステナイトの場合には炭素成分を考慮する）として一義的に特定されているので、上記式１により局所温度Ｔを難なく算出できる。
【００６０】
ステップＳ２２で求めた局所温度Ｔに対し、ステップＳ２３において（フェライト相、セメンタイト相、オーステナイト相に対し別個に）、個々の相のギブス自由エンタルピーＧ１ないしＧ３を、可動合金要素成分の関数として算出する。このような過程のいくつかの例を図９と図１０に図示した。図９の例では、局所温度Ｔはオーステナイトからパーライトへの転移温度よりも上にあり、図１０の例では下にある。
【００６１】
フェライト、セメンタイト、オーステナイトの３つの相すべてが存在していると常に仮定することができ、後になって（後述の図１８に対する説明を参照）どの相が存在し、どの相転移が行なわれるかを決定することができる。しかし、図８によれば、まずステップＳ２４において、観察対象である相の数量を求める。これは以下のようにして行なう。
【００６２】
まず、フェライト・オーステナイト系を選び出す。この系に対し、ボリューム要素９のなかにある可動合金要素の全成分においてこの系が純粋にフェライト系であるか、または純粋にオーステナイト系であるか、或いは混合して安定であるかを調べるとともに、場合によってはどの相分布が安定な状態にあるかを調べる。可動合金要素の全成分は濃度分布に基づいて難なく求めることができる。
【００６３】
安定な相の検出および場合によっては相分布の検出を行なうため、この種の１つの系の全ギブス自由エンタルピーＧに対する最小値を求める。その具体的な処理手順は、先願のドイツ特許出願１０２５１７１６．９の第１６頁ないし第１８頁に記載されているような手順で行なう。この処理手順は、フェライトとオーステナイトとの間に界面１１がある場合、フェライト領域或いはオーステナイト領域にある可動合金要素（典型的には炭素）の濃度ｋ１とｋ３をも提供する。
【００６４】
次に、対応的に、フェライト・セメンタイト（パーライト）混合系およびオーステナイト・セメンタイト混合系を検査する。フェライト・セメンタイト混合系の検査は、フェライトとセメンタイトとの間に界面１２がある場合、フェライト領域或いはセメンタイト領域にある可動合金要素の濃度ｋ２とｋ４をも提供する。
【００６５】
３つの２相系に対し求めた３つの最小ギブス自由エンタルピーＧを互いに比較し、総最小ギブス自由エンタルピーＧを持つ２相系を選び出す。この２相系がオーステナイトを含んでいる場合には、ギブス自由エンタルピーに基づいて、安定な状態が１相を含んでいるか２相を含んでいるか、どの相がこれに該当しているか、可動合金要素のどの程度の濃度ｋ１，ｋ３またはｋ２，ｋ４がオーステナイトからフェライトへの界面１１またはオーステナイトからセメンタイトへの界面１２の両側に存在しているかを求めることができる。
【００６６】
さらに、開始状態ＺＡから、当初どの相が成分ｐ１ないしｐ３にあるかは既知である。
【００６７】
このように、最小ギブス自由エンタルピーＧを持った２相系がオーステナイトを含んでいる場合には、当初存在している相と安定なものとして検出された相とを総合的に判断することにより、フェライト相、オーステナイト相、セメンタイト相のうちの１つだけを持った純粋系を観察しなければならないのか、それとも、フェライト相、オーステナイト相、セメンタイト相のうちの２つまたは３つを持った混合系を観察しなければならないのかを確認することができる。さらに、ギブス自由エンタルピーＧ，Ｇ１ないしＧ３に基づき、どの相が安定であるかを確認することもできるので、相転移があればその方向もすでに既知である。
【００６８】
最小ギブス自由エンタルピーＧを持った２相系がパーライト系であり、開始状態ＺＡがオーステナイトを含んでいない（ｐ３＝０）場合には、完全に転移した組織、すなわちもはや相転移していないフェライト・セメンタイト２相系が存在している。これに対して、開始状態ＺＡがオーステナイトを含んでいて（ｐ３＞０）、パーライト系が最小ギブス自由エンタルピーＧを有している場合には、この時点でフェライト相およびセメンタイト相のうち一方の相が形成されるか、或いは両方の相が形成されるかを難なく決定することができる。それ故この場合には、両方の相が形成されるものと予め仮定する。すなわちフェライト・セメンタイト・オーステナイト３相系が観察対象になるものと仮定する。
【００６９】
次のステップとして、ステップＳ２５において、観察対象であるボリューム要素９のなかに１相以上の相が存在しているかどうかを調べる。もし１相以上の相が存在していなければ、もちろん相転移は行なわれない。しかしながら、ステップＳ２６において、このボリューム要素９に対し可動合金要素に対する拡散方程式を立ててこれを解くことにより、観察対象であるボリューム要素９の内部で可動合金要素の濃度変動があれば、これを補償するようにする。この処置は、特に、炭素含有量が大きく変動することのあるオーステナイトの場合に有意義である。この種の拡散方程式の定式化とその解とは当業者に周知である。それ故、拡散方程式の定式化とその解とに関しては詳細に立ち入らない。
【００７０】
観察対象であるボリューム要素９のなかに１相以上の相が存在している場合には、次のステップとして、ステップＳ２７において、３相すべてが存在しているかどうかを調べる。３相すべてが存在していない場合には、２相系が存在している。このような場合には、ステップＳ２８において、存在している２つの相のうちの一方がオーステナイトであるかどうかを調べる。もしオーステナイトでない場合には、完全なパーライト系が存在する。すなわちフェライトとセメンタイトとから成る層構造が存在する。この構造は実質的に安定である。それ故、このような場合には更なる処置を講じる必要はない。
【００７１】
これに対し、２つの相のうちの１つがオーステナイトであり、したがって他の相がフェライトまたはセメンタイトである場合には、オーステナイトとフェライトとの間に界面１１が存在し（図１１および図１２を参照）、或いは、オーステナイトとセメンタイトとの間に界面１２が存在する（図１１および図１３を参照）。このような場合には、簡潔な処置として、界面１１または１２が縦辺と横辺とを有する矩形として形成されているものと仮定する。なお、矩形の縦辺と横辺は観察対象であるボリューム要素９の基本寸法ＡとＢに対応している。この場合、界面１１，１２の変位は、特に図１１からわかるように、基本寸法Ｃに対し平行に行なわれる。
【００７２】
当業者に周知であり、また図１２からもわかるように、フェライトに含まれる炭素は非常にわずかである。これに対し、オーステナイト域に対する界面１１では濃度の飛躍が行なわれる。界面１１における可動合金要素の濃度ｋ１，ｋ３は、前記ステップＳ２４においてフェライト・オーステナイト系に対し検出された濃度ｋ１，ｋ３である。
【００７３】
図１２に示すように、オーステナイトからフェライトへの転移を行なう場合には、界面１１付近でのオーステナイト域における可動合金要素の「濃度の山」を拡散させる必要がある。逆に、フェライトからオーステナイトへの転移を行なう場合には、界面１１付近でのオーステナイト域における可動合金要素の「濃度の谷」を連続的に盛り上げる必要がある。このような課題の数値的または分析的解決手段は一般にステファン問題として知られている。これをステップＳ２９で行なう。本ケースの場合、ステファン問題は次のように定式化することができる。
【００７４】
(数２)
Ｋ’t−ＤＫ’xx＝０      （２）
【００７５】
ここでＤはオーステナイト内の可動合金要素の（場合によっては温度に依存する）拡散定数である。Ｋ’は濃度Ｋである。符合ｔとｘは界面１１の変位方向における時間または位置の導関数である。なお、界面１１の変位方向は場合によっては帯厚さ方向である必要がある。
【００７６】
上記式２に対しては、開始状態ＺＡにおける可動合金要素の位置的濃度分布Ｋ’により初期条件が定義されている。ステファン問題を解決するには、さらに以下のような境界条件を考慮せねばならず、すなわち、界面１１でのフェライト域またはオーステナイト域に濃度ｋ１またはｋ３が存在すること、可動合金要素は該当するボリューム要素９を離れることができないこと、界面１１の変位量δｘ’はステファン条件により
【００７７】
(数３)
（ｋ３−ｋ１）δｘ’／δｔ＝−ＤＫ’x      （３）
【００７８】
を満たすことを考慮せねばならない。ここでδｔはステファン問題を解決する際に利用される時間的ステップ幅である。なお、時間的ステップ幅は時間的ステップ幅Δｔの分数（１／２，１／３，１／４．．．．．）であり、或いは、時間的ステップ幅Δｔに等しくてもよい。
【００７９】
このように、ステップＳ２９でステファン問題を解決することにより、観察対象であるボリューム要素９のオーステナイト域で可動合金要素の濃度分布ＫまたはＫ’が変化するかどうか、またどのように変化するかが確認される。同時に、これにより界面１１が変位するかどうか、またどの程度δｘ’変位するかが確認される。
【００８０】
他の相がフェライトではなく、セメンタイトである場合も、解決策の立て方は基本的には同じであり、また解決手段も同様である。ただし、セメンタイトの形成時に該セメンタイト内に炭素が多く含まれており、セメンタイトに対する界面１２付近のオーステナイト域において炭素が少ない点だけが異なっている。これも当業者には周知のことであり、図１３に図示されている。このように境界条件が変化する。この場合、ステファン条件による界面１１の変位量δｘ”は
【００８１】
(数４)
（ｋ４−ｋ２）δｘ”／δｔ＝−ＤＫ”x      （４）
【００８２】
を満たす。Ｋ”は濃度Ｋである。
【００８３】
これに対して、ステップＳ２８において３つの相すべてが存在すると確認された場合には、複雑な問題が発生する。というのは、フェライト相１３とセメンタイト相１４とから交互に構成されている層構造（図１４と図１５を参照）が存在するような式を選定しなければならないからである。この層構造はオーステナイト域１５に境を接している。図１６と図１７はそれぞれフェライト相１３またはセメンタイト相１４およびこれらの相１３，１４の前方にあるオーステナイト域１５での可動合金要素の濃度Ｋ’またはＫ”の推移を示している。
【００８４】
なお、この場合も、モデルの範囲内で、界面１１，１２はそれぞれ縦辺と横辺を有する矩形として形成されているものと仮定する。縦辺は第１の基本寸法Ａに相当している。横辺はこの場合も第２の基本寸法Ｂに対し平行に延在している。また、界面１１，１２の変位は第３の基本寸法Ｃに対し平行に行なわれるものとする。
【００８５】
ステップＳ３０において、界面１１，１２のそれぞれに対しステファン問題を提議してこれを解決する。ステップＳ３０は図１８に詳細に図示されている。
【００８６】
フェライトとオーステナイトとの間の界面１１に対するステファン問題は、図１８によれば（そのステップＳ３１を参照）、次の法則性に従う。
【００８７】
(数５)
Ｋ’t−ＤＫ’xx＝Ｌ１      （５）
【００８８】
Ｋ’は界面１１前方における可動合金要素の濃度である。
【００８９】
セメンタイトとオーステナイトとの間の界面１２に対するステファン問題は、次の法則性に従う。
【００９０】
(数６)
Ｋ”t−ＤＫ”xx＝Ｌ２      （６）
【００９１】
Ｋ”は、Ｋ’に対応して、界面１２前方における可動合金要素の濃度である。
【００９２】
Ｌ１とＬ２は連結項である。連結項は（図１４を参照）、層構造の薄層間隔ｌと、層構造におけるセメンタイト相の成分ｑと、その時間の導関数との関数である。式で表わすと、連結項はたとえば次のようになる。
【００９３】
【数７】
2007520821.tif 000003
【００９４】
【数８】
2007520821.tif 000004
【００９５】
上記の式５ないし８からわかるように、２つのステファン問題は、式５と６の右辺の連結項Ｌ１，Ｌ２により互いに関連づけられている。
【００９６】
式５ないし式８においても、符号ｔとｘは界面１１または１２の変位方向における時間または位置の導関数である。
【００９７】
界面１１，１２の変位量δｘ’，δｘ”に対してはこの場合もステファン条件（式３と式４を参照）が適用される。それ故、ステップＳ３２において、式３と式４の変位量δｘ’，δｘ”と同一視することが可能である。このとき、成分ｑを、式３による界面１１の変位量δｘ’と式４による界面１２の変位量δｘ”とが同じ値をとるように特定する。すなわち成分ｑは、界面１１と１２が常に並設状態を維持するように特定される。
【００９８】
このように、パーライトの層構造におけるセメンタイト相の成分ｑを適当に選定することにより、界面１１，１２の変位量δｘ’，δｘ”を同じにすることができる。すなわち試行錯誤(trial and error)により、セメンタイト相の成分ｑがどの程度であれば界面１１，１２の変位量δｘ’，δｘ”が一致するかを調べることができる。
【００９９】
この場合、このようにして調べた成分ｑに基づいて、実際にパーライトが形成されるかどうか、或いは、フェライト相とセメンタイト相の２つの相のうち一方のみが形成されるのかどうかをも決定することができる。というのは、成分ｑが０と１の間にある場合にだけ、パーライトが形成されるからである。これに対し成分ｑが１よりも大きければ、セメンタイトのみが形成される。逆に０よりも小さければ、フェライトのみが形成される。
【０１００】
この処置の場合、成分ｑは数値的な理由から任意の値を取ることができる。すなわち特に０よりも小さくても、１よりも大きくてもよい。しかしこれらの値は物理学的に無意味である。それ故、場合によっては、ステップＳ３３ないしステップＳ３６において成分ｑを適当に修正する。
【０１０１】
ステップ３２による処置は数値的な問題を生じさせることがある。それ故、この処置とは択一的に、異なる変位量δｘ’，δｘ”を許容するようにしてもよい。この場合には、ステップＳ３２ａとステップＳ３２ｂにおいて、層構造におけるセメンタイトの成分ｑを、
【０１０２】
【数９】
2007520821.tif 000005
【０１０３】
にしたがって、界面１１，１２の位置が互いに相手のほうへ移動するように追従させる。この場合、図１８によれば、ステップＳ３２ａとステップＳ３２ｂはステップＳ３２の代わりに実施する。αは適当な比例定数である。その値はゼロよりも大きい。
【０１０４】
この場合、界面１１，１２の平均変位量δｘは、
【０１０５】
(数１０)
δｘ＝（１−ｑ）δｘ’＋ｑδｘ”      （１０）
【０１０６】
のように定義される。
【０１０７】
これら２つの処置（ステップＳ３２またはステップＳ３２ａ，Ｓ３２ｂ）のどちらを採用するかに関係なく、いずれのケースにおいても、成分ｑを決定することによりはじめて、どの相がどの程度形成されるかを調べ、推論する。
【０１０８】
パーライトが形成される場合には、すなわち成分ｑが０と１の間である場合には、さらに薄層間隔ｌを決定しなければならない。これは図１９によれば以下のようにして行なわれる。
【０１０９】
界面１１，１２の変位量δｘと成分ｑとにより、どの相転移が行なわれるか、また相転移がどの成分で行なわれるかは既知である。相転移はエネルギー収支に対する寄与率δＥ１を提供する。寄与率δＥ１は、相転移が行なわれる体積に依存している。すなわち、
【０１１０】
(数１１)
δＥ１＝βＡ１δｘ      （１１）
【０１１１】
である。βは予め求めることのできる比例定数である。
【０１１２】
さらに、フェライトとセメンタイトとの間の境界層１６の面積が変化する。この面積の変化も、エネルギー収支に対する寄与率δＥ２を提供する。この寄与率δＥ２は境界層１６の面積の変化率に比例している。すなわち、
【０１１３】
(数１２)
δＥ２＝２γＡδｘ      （１２）
【０１１４】
である。γも予め求めることのできる比例定数である。係数２は、界面１１，１２ごとに或いは層１３，１４ごとにそれぞれ１つの境界層１６があり、２つの界面１１，１２或いは２つの層１３，１４を観察することによって得られる。
【０１１５】
このようにして、前記式１１と式１２とに基づき、２つの寄与率δＥ１とδＥ２とを考慮するエネルギー収支を補償するような臨界薄層間隔ｌ’を求めることができる。臨界薄層間隔ｌ’は、
【０１１６】
(数１３)
ｌ’＝２α／β      （１３）
【０１１７】
である。
【０１１８】
薄層間隔ｌ、すなわち層厚ｌ１とｌ２の和は、前記臨界薄層間隔ｌ’のほぼ３／２倍ないし３倍、たとえばほぼ２倍に置き換えられる。層厚ｌ１またはｌ２は、
【０１１９】
(数１４)
ｌ１＝（１−ｑ）ｌ      （１４）
【０１２０】
(数１５)
ｌ２＝ｑｌ      （１５）
【０１２１】
である。
【０１２２】
層厚ｌ１，ｌ２は界面１１，１２の面密度Ｆ１，Ｆ２に比例している。図１４では、面密度Ｆ１，Ｆ２をそれぞれハッチングで示した。
【０１２３】
このように、ステップＳ２９とステップＳ３０のいずれか一方で１つの界面１１，１２の変位量δｘ’，δｘ”を求めると、界面１１，１２の位置が変化する。このような場合には、ステップＳ３７において、（もちろん平均変位量δｘの符合を考慮して）界面１１，１２または１１と１２の新たな位置を決定する。次に、ステップＳ３８において、界面１１，１２または両界面１１，１２の位置の非線形関数に基づいてオーステナイトの成分ｐ３を求める。なお非線形関数は、特に、ステップＳ２９のステファン問題またはステップＳ３０のステファン問題が１次元で立てられて、解決されるが、しかし実際には３次元の転移が行なわれるという状況を考慮している。
【０１２４】
次に、ステップＳ３９において、他の２つの相であるフェライトとセメンタイトの成分ｐ１，ｐ２の変化を特定する。この場合、もしステップＳ３７ないしステップＳ３９がステップＳ２９を起点にして行なわれるのであれば、成分ｑは当然０か１である。
【０１２５】
すなわち、界面１１，１２の平均変位量δｘと層構造におけるセメンタイトの成分ｑ（０＜ｑ＜１）とを用いて、観察対象であるボリューム要素９に関し、鋼の相の成分ｐ１，ｐ２，ｐ３に対しどのような変化が生じるかを簡単に求めることができる。
【０１２６】
上記モデリング方法は諸々の仮定が簡略化されているが、かなり複雑な演算を伴う。このため、図８によれば、ステップＳ２２の前にステップＳ４０とステップＳ４１とが挿入され、そしてステップＳ３９の後にステップＳ４２が挿入される。
【０１２７】
ステップＳ４０では、ボリューム要素９をまとめてグループを形成させる。たとえば、帯幅ｂ、帯厚ｄおよび／または帯速度ｖの方向で互いに境を接している複数個のボリューム要素９をまとめることができる。これらの組み合わせも可能である。次に、ステップＳ４１において、ボリューム要素９のグループごとにそれぞれ１つのボリューム要素９を選択する。選択したボリューム要素９に対してのみステップＳ２２ないしステップＳ３９において微分方程式、ステファン問題を解き、相の成分ｐ１，ｐ２，ｐ３を演算により求める。
【０１２８】
図８によれば、ステップＳ４２において、各グループごとに、観察したボリューム要素９の解の結果をそれぞれのグループの他のボリューム要素９に対し適用する。これが最も簡単な処理である。しかしながら、相分布を明示的に算出できなかったボリューム要素９の相の成分ｐ１，ｐ２，ｐ３を直線補間または非直線補間によって求めてもよい。
【０１２９】
このような状況に基づけば、すなわちボリューム要素９の各グループにおいて、１つのボリューム要素９の濃度分布Ｋのみを算出し、熱伝導方程式の解に対しては、濃度分布Ｋではなく、存在する相の成分ｐ１，ｐ２，ｐ３のみを必要とするという状況に基づけば、場合によっては各グループの前記１つのボリューム要素９に対してのみ濃度分布Ｋを予め設定することも可能である。
【０１３０】
これに対して、ステップＳ４３では、熱伝導方程式を各ボリューム要素９に対し個別に解く。これとは択一的に、ステップＳ２２ないしステップＳ４２において相転移方程式を解く前後にステップＳ４３を実施してもよい。
【０１３１】
熱伝導方程式を解くことは難なく可能である。というのは、個々のボリューム要素９の温度Ｔは難なく求めることができ（ステップＳ２２に対する前記説明を参照）、その結果温度の位置勾配もすぐに求めることができるからである。個々のボリューム要素９の相の成分ｐ１，ｐ２，ｐ３も同様に既知であるので、個々のボリューム要素９の熱伝導率λも難なく求めることができる。最終的に密度ρは実質的に一定であり、個々のボリューム要素９のエンタルピーＨはじかに与えられているので、全体としてみれば、熱伝導方程式も解くことができる。
【０１３２】
このように、本発明によれば、ギブス自由エンタルピーＧと拡散法則（ステファン問題）とをベースにして、転移現象を、発生する相成分ｐ１，ｐ２，ｐ３と転移速度とに関し極めて高精度で記述することのできる物理学的モデルが作製される。一般的には、未知の材料および素材の処理をも可能にさせる効果的な成果が得られる。また、個々の式は温度の算出ばかりでなく、組織構造および粒径の算出にも使用することができる。
【０１３３】
本発明によるモデリング方法は任意の場所で使用することができ、特にたとえば圧延機のロールスタンド間での冷却工程、或いは、いわゆるフェライト圧延で使用することができる。また、鋼を加熱する際の再転位の記述にも適している。
【図面の簡単な説明】
【０１３４】
【図１】帯鋼用冷却区間を示す図である。
【図２】図１の帯鋼の詳細図である。
【図３】ボリューム要素の斜視図である。
【図４】タイミングチャートである。
【図５】他のタイミングチャートである。
【図６】熱伝導方程式と相転移方程式を示す図である。
【図７】他の熱伝導方程式と相転移方程式を示す図である。
【図８】他のタイミングチャートである。
【図９】第１の温度での炭素成分の関数としての、鋼の相のギブス自由エンタルピーを示す図である。
【図１０】第２の温度での鋼の炭素成分の関数としての、鋼の相のギブス自由エンタルピーを示す図である。
【図１１】ボリューム要素の斜視図である。
【図１２】図１１のボリューム要素の側面図である。
【図１３】図１２のボリューム要素に対応するボリューム要素を示す図である。
【図１４】ボリューム要素の斜視図である。
【図１５】図１４のボリューム要素の平面図である。
【図１６】図１５のボリューム要素の、図１５の線ＸＶＩ−ＸＶＩによる断面図である。
【図１７】図１５のボリューム要素の、図１５の線ＸＶＩＩ−ＸＶＩＩによる断面図である。
【図１８】他のタイミングチャートである。
【図１９】図１５の詳細図である。
【符号の説明】
【０１３５】
１  帯鋼（鋼ボリューム）
４  コンピュータ
６  コンピュータプログラム
９  ボリューム要素
１０  面要素
１１，１２  界面
δｘ，δｘ’，δｘ”  界面の変位量
Ａ，Ｂ，Ｃ  ボリューム要素の基本寸法
Ｆ１，Ｆ２  面密度
Ｇ１，Ｇ２，Ｇ３  ギブス自由エンタルピー
Ｈ  エンタルピー
Ｋ  可動合金要素の局所的濃度分布
ｆ’  予想最終量
ｆ’*  所望最終量
ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４  可動合金要素の濃度
ｐ１，ｐ２，ｐ３  鋼のモデリング相の局所成分
ｑ  セメンタイト相の成分
Ｗ  影響量
Ｚ  初期状態
ＺＡ  開始状態
ＺＦ  結果状態
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【国際調査報告】
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