(57)【要約】  ブラインド分離を実行するために、信号部分空間のスペクトル推定と共にキュムラントを使用して、狭帯域の仮定で低信号対雑音＋干渉比を有する統計的に独立した信号のブラインド音源分離（“BSS”）用の技術が開示される。BSS技術は、行列ペンシルの一般化固有分析で高次の統計方法（特に４次キュムラント）を使用し、空間的及び／又は時間的相関のガウス雑音で信号を分離する機能を有する低信号対雑音＋干渉比で、未知の統計的に独立した定常狭帯域信号の線形混合をブラインド的に分離する。開示されたBSS技術は、任意の非校正センサアレイを使用した観測用の低SNR同一チャネル音源を分離する。開示されたBSS技術は、干渉エミッタ及びガウス雑音による平均２乗誤差を最小化するハイブリッド行列ペンシルの適応的アレイ重みを備えた分離行列を作る。ハイブリッド重みは、信号対干渉＋雑音比を最大化する。
2007524860.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
Mの音源により提供されてNのエレメントを有するアレイにより受信されたMの信号を分離する方法であって、
前記Nのエレメントによる前記Mの信号の受信間の時間差と、空間４次キュムラント行列ペンシル、空間相関行列と、前記Mの信号のステアリングベクトルとの関数として、ハイブリッド分離行列を生成し、
前記Mの信号の時系列行列表示で前記分離行列を乗算することを有する方法。
【請求項２】
請求項１に記載の方法であって、
前記ハイブリッド分離行列は、
（外１）
2007524860.tif 000598
ただし、vjは第jの信号のステアリングベクトルであり、Kjは、第jの信号の雑音空間共分散行列である式に従う方法。
【請求項３】
請求項１に記載の方法であって、
前記空間４次キュムラント行列ペンシルは、空間４次キュムラント行列の関数である方法。
【請求項４】
請求項３に記載の方法であって、
前記空間４次キュムラント行列は、
（外２）
2007524860.tif 000599
ただし、Cx4(τ1,τ2,τ3)は、第１の時間遅延τ1と第２の時間遅延τ2と第３の時間遅延τ3とを有し、それぞれの時間遅延が前記Mの音源のうち１つから前記Nのエレメントのうち１つまでの時間遅延を示す前記空間４次キュムラント行列であり、
Nは前記アレイのエレメントの数であり、
（外３）
2007524860.tif 000600
は引数
（外４）
2007524860.tif 000601
のキュムラント演算子であり、
tは時間を表す変数であり、
xi*(t-τ1)は時間t-τ1での第iの音源からの前記Mの信号のうちの１つの複素共役を示し、
xi(t-τ2)は時間t-τ1での第iの音源からの前記Mの信号のうちの１つを示し、
（外５）
2007524860.tif 000602
は前記Mの信号のベクトル表示であり、
（外６）
2007524860.tif 000603
は
（外７）
2007524860.tif 000604
のエルミート転置を示す式に従う方法。
【請求項５】
Mの音源により提供されたMの信号を分離するシステムであって、
前記Mの信号を受信して受信信号を提供する受信機と、
前記受信信号を受信し、ハイブリッド分離行列を生成し、前記受信信号の時系列行列表示で前記分離行列を乗算する信号プロセッサと
を有し、
前記ハイブリッド分離行列は、前記受信機による前記Mの信号の受信間の時間差と、空間相関行列と、前記Mの信号のステアリングベクトルと、空間４次キュムラント行列ペンシルとの関数であるシステム。
【請求項６】
請求項５に記載のシステムであって、
前記ハイブリッド分離行列は、
（外８）
2007524860.tif 000605
ただし、vjは第jの信号のステアリングベクトルであり、Kjは、第jの信号の雑音空間共分散行列である式に従うシステム。
【請求項７】
請求項５に記載のシステムであって、
前記空間４次キュムラント行列ペンシルは、個々の音源信号の４次キュムラントによりスケーリングされたステアリングベクトルの外積の和である空間４次キュムラント行列の関数であり、
前記ステアリングベクトルは、前記Nのエレメントのうち１つずつの間のそれぞれの位相遅延を示すシステム。
【請求項８】
請求項７に記載のシステムであって、
前記空間４次キュムラント行列は、
（外９）
2007524860.tif 000606
ただし、Cx4(τ1,τ2,τ3)は、第１の時間遅延τ1と第２の時間遅延τ2と第３の時間遅延τ3とを有し、それぞれの時間遅延が前記Mの音源のうち１つから前記Nのエレメントのうち１つまでの時間遅延を示す前記空間４次キュムラント行列であり、
Nは前記アレイのエレメントの数であり、
（外１０）
2007524860.tif 000607
は引数
（外１１）
2007524860.tif 000608
のキュムラント演算子であり、
tは時間を表す変数であり、
xi*(t-τ1)は時間t-τ1での第iの音源からの前記Mの信号のうちの１つの複素共役を示し、
xi(t-τ2)は時間t-τ1での第iの音源からの前記Mの信号のうちの１つを示し、
（外１２）
2007524860.tif 000609
は前記Mの信号のベクトル表示であり、
（外１３）
2007524860.tif 000610
は
（外１４）
2007524860.tif 000611
のエルミート転置を示す式に従うシステム。
【請求項９】
複数センサのアレイでの複数信号及び雑音環境において、低SNR信号を回復する方法であって、
分離行列が前記複数センサのアレイのデータに適用され、
ハイブリッド最小平均２乗誤差の重みで前記分離行列を作る改善を行い、
前記重みは、空間相関行列と、前記複数信号のステアリングベクトルと、空間４次キュムラント行列ペンシルとの関数として生成される方法。
【請求項１０】
未知の信号と少なくとも１つの干渉信号と雑音とを有する混合信号から未知の信号を回復する方法であって、
前記少なくとも１つの干渉信号と前記雑音とを抑制する分離行列を生成するステップを有し、
前記分離行列は、前記未知の信号の空間相関行列と、ステアリングベクトルと、前記未知の信号及び前記少なくとも１つの干渉信号の空間４次キュムラント行列ペンシルとの関数である方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、概して音源信号の混合から個々の音源信号を分離することに関し、特にブラインド音源分離（blind  source  separation）に関する。
【背景技術】
【０００２】
しばしばブラインド音源分離（“BSS”：blind  source  separation）と呼ばれる信号処理の典型的な問題は、個々の信号の混合を有するコンポジット信号から個々の音源信号を回復することを有する。その例として、よく知られている“カクテルパーティ”効果があり、パーティの人が部屋の全ての音声の結合から信号の音声を分離することができる。分離は、しばしば信号及び信号の音源について限られた情報で実行されるため、“ブラインド”と呼ばれる。
【０００３】
ブラインド音源分離は、特にセルラ及びパーソナル無線通信技術に適用可能であり、多数の周波数帯域がしばしば同じスペクトルに共存する複数の電磁気エミッタで散乱されている。同一チャネルのエミッタの問題は、Bluetooth（商標）や他のパーソナルエリアネットワークのような低出力の無免許の無線技術の開発で、近い将来に悪化する一方であると予想される。これらの開発は、スペクトルの監視を実行するために、複数のセンサ及びアレイ信号処理技術の使用を生じている。このような技術は、空間情報の活用で、検出、分類及び識別用に同一チャネルのエミッタを分離することを可能にする。更に、低確率の検出（LPD：low  probability  of  detection）又は低確率の傍受（LPI：low  probability  of  intercept）用に設計された多数の信号は、隠蔽を用いて周囲の背景電磁気放射及び既知の同一チャネルのエミッタを使用することがある。そのようなエミッタに対して所要の感度で単一センサの受信システムを構成することは、概してかなり高くなる。従って、多くの用途はBSSとセンサアレイとを使用している。
【０００４】
前述の“Blind  Source  Separation  Utilizing  A  Spatial  Fourth  Order  Cumulant  Matrix  Pencil”に記載されているように、平滑化空間４次キュムラント行列定義（smoothed  fourth-order  cumulant  matrix  definition）を使用した１次行列ペンシル（first  order  matrix  pencil）BSS法は、センサアレイの特性及び／又は雑音環境の非実用的な制限を回避するために開発された。それに記載されている手法は、ガウスランダム過程のより高次のキュムラントがゼロになるため、４次キュムラントがガウスセンサ雑音の空間又は時間相関に鈍感であるという事実を利用する。有利には、その方法は、ガウス雑音の部分空間を推定するために自由度を犠牲にせず、アレイにセンサが存在する限り、できるだけ多くの音源を分離するために全ての自由度を使用することを可能にする。複数の音源を分離する適応的複素センサの重みを推定するために、空間４次キュムラント行列の組が、異なるセンサからの観測の間で２つの異なるセットの時間差について形成される。
【０００５】
平滑化空間4次キュムラント行列（“SFOCM”：Spatial  Fourth  Order  Cumulant  Matrix）ペンシルの一般化固有値の分解は、適応的分離重みベクトルを検出するために使用される。一般化固有ベクトルは、１つのステアリングベクトル以外の全てに対して直交であり、正規化固有ベクトルから適応的重みが形成される。これらの重みは、他の干渉する音源による出力を最小化しつつ、特定の音源に利得を維持する。しかし、正規化固有ベクトルの重みは、センサでの付加的なガウス雑音による出力を低減しない。従って、改善したブラインド音源分離技術が望まれている。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
従って、開示の対象の実施例は、SFOCMP手法の拡張及び対応物であり、干渉の出力及びガウスセンサ雑音の出力を最小化する。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
本発明の一実施例では、それぞれ複数の音源により提供されて複数のエレメントを有するアレイにより受信された複数の信号を分離する方法は、複数のエレメントによる複数の信号の受信間の時間差と、空間４次キュムラント行列ペンシル又は一対の２次相関行列と、空間相関行列と、その複数の信号のステアリングベクトルとの関数として分離行列を生成することを有する。その方法はまた、複数の信号の行列表示で分離行列を乗算することを有する。
【０００８】
本発明の他の実施例では、それぞれ複数の音源により提供された複数の信号を分離するシステムは、複数の信号を受信して受信信号を提供する受信機を有する。そのシステムはまた、受信信号を受信し、分離行列を生成し、受信信号の行列表示で分離行列を乗算する信号プロセッサを有する。分離行列は、受信機による複数の信号の受信間の時間差と、空間４次キュムラント行列ペンシル又は一対の２次相関行列と、空間相関行列と、その複数の信号のステアリングベクトルとの関数である。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００９】
本発明に従ってブラインド音源分離（BSS）を実行する技術は、狭帯域の仮定のもとで低信号対雑音比で統計的に独立した信号のブラインド分離を実行するために、信号部分空間のスペクトル推定と共にキュムラントを利用する。このBSS技術は、２つの類似した空間４次キュムラント行列で定められた行列ペンシルの一般化固有分析を利用する。ここに開示されたBSS技術は、空間的及び／又は時間的相関のガウス雑音での信号を分離する機能を有する低信号対雑音比での未知の統計的に独立した狭帯域信号の線形混合をブラインド的に分離する行列ペンシルの一般化固有分析で、高次の統計的方法（特に４次キュムラント）を利用する。このBSS技術は、例えば音源の数がセンサの数に等しい場合での低信号対雑音比において、ブラインド分離を実行するために２次技術が見出されない場合に、信号をブラインド的に分離する方法を提供する。
【００１０】
このBSS技術を説明するために、異なる利得及び／又は指向性センサでのブラインド音源分離に適した空間４次キュムラント行列の定義と、時間情報を使用した空間４次キュムラント行列ペンシルの定義とが提供される。ここでの説明はまた、BSS技術の性能の指標として分離出力効率（separation  power  efficiency）の概念を利用し、行列ペンシル間の広義の同値の概念を行列代数の分野に適用する。
【００１１】
概要として、ここで説明するBSS技術は、低信号対雑音比での空間的及び／又は時間的相関雑音の存在でブラインド音源分離を実行するために、信号部分空間のスペクトル推定技術と共にキュムラントを利用する。キュムラントに基づいて分離アルゴリズムを導く前に、狭帯域のアレイモデルが作られ、全ての仮定が記述され、４つの性能の指標が定義され、空間キュムラント行列から抽出される空間混合行列情報を考慮した関連のキュムラント特性が提示される。次に、混合行列についての空間情報を抽出するためにどの数学的方法が有効であるかを決定するために、新規な空間キュムラント行列の定義が作られ、その関連の行列特性が導かれる。更に、空間４次キュムラント行列の２つの代替の定義が記述され、関連の属性が導かれる。更に、２つの類似の空間４次キュムラント行列で定められた行列ペンシルの定義、特性及び一般化固有分析の使用が検討され、ブラインド音源分離問題を解決する適用性が調べられる。行列ペンシルを使用した信号部分空間に基づくブラインド音源分離を実行する処理が記述される。その処理において、行列ペンシルの間の広義の同値の概念が作られ、２つの類似の空間４次キュムラント行列で定められた行列ペンシルの一般化固有値が、時間差のセット(0,0,0)での各音源の４次キュムラントに対する時間差のセット(τ1,τ2,τ3)での４次キュムラントの比に等しいことを示すために使用される。従って、正規化４次自己キュムラント関数の概念が導入される。このBSS技術を理解する際の更なる補助のため、ここで使用される表記を以下に示す。
M=音源の数
N=センサの数
Pj=第jの音源信号の正規化出力
mj(t)=第jの音源からの連続時間ユニット出力変調信号
sj(t)=第jの音源からの連続時間信号
【００１２】
（外１５）
2007524860.tif 000003
rj(t)=sj(t)の遅延バージョン
xi(t)=第iのセンサからの連続時間信号
【００１３】
（外１６）
2007524860.tif 000004
=センサ出力のベクトル
hij(t)=第jの音源と第iのセンサとの間のチャネルの連続時間インパルス応答
ni(t)=第iのセンサでの付加的雑音過程
σi2=第iのセンサでの雑音過程の分散
τij=第jの音源から第iのセンサまでの伝搬遅延
Δτl,k,j=“差分時間遅延”。第jの音源の出力から第kのセンサの出力までの伝搬遅延と、第jの音源の出力から第lのセンサの出力までの伝搬遅延の差。
=τlj-τkj
【００１４】
（外１７）
2007524860.tif 000005
=第jの音源からアレイの周辺の何らかの任意の基準点までの“基準時間遅延”
Δτij=“相対時間遅延”。第jの音源から第iのセンサまでの伝播時間とアレイ基準点の差。
τ=定常過程の相関での時間差
νij=狭帯域モデルの第iのセンサでの第jの音源の複素重み。“混合行列”のijエレメント。第jのステアリングベクトルの第iのエレメント。
【００１５】
（外１８）
2007524860.tif 000006

=狭帯域モデルの第jの“ステアリングベクトル”
【００１６】
（外１９）
2007524860.tif 000007
=狭帯域も出るの“混合行列”
wij=狭帯域の場合の第iのセンサでの第jの音源の混合重み。“分離行列”のijエレメント。第jのセンサの重みベクトルの第iのエレメント。
【００１７】
（外２０）
2007524860.tif 000008
=第jの音源のハイブリッドMMSE重みベクトル推定値
【００１８】
（外２１）
2007524860.tif 000009
=“分離行列”
αij=第iの音源出力から第jのセンサ出力までのチャネルの実数値利得（減衰）
BWNEq[]=雑音相当の帯域
BWijCOH=第jの音源と第iのセンサとの間のチャネルのコヒーレンス帯域
yj(t)=分離処理からの第jの出力。第jの遅延音源信号rj(t)の雑音推定値。
y(t)=分離処理からの出力信号のベクトル
ρj=第jの信号損失項。“損失”行列のエレメント。
Sj=第jの音源信号の分離処理の出力信号の出力
Ij=第jの分離処理の出力の残差干渉出力
Nj=第jの分離処理の出力の雑音出力
ζj=第jの分離処理の出力の“干渉対信号比”
ISRavg=“平均干渉対信号比”
ISRmax=“最大干渉対信号比”
ξj=第jの音源のブラインド音源分離アルゴリズムの“出力効率”
ξavg=ブラインド音源分離アルゴリズムの“平均出力効率”
ξmin=ブラインド音源分離アルゴリズムの“最小出力効率”
【００１９】
（外２２）
2007524860.tif 000010
=遅延量τ1,τ2,τ3を有するNxNの“空間４次キュムラント行列1”
【００２０】
（外２３）
2007524860.tif 000011
=遅延量τ1,τ2,τ3を有するNxNの“空間４次キュムラント行列2”
【００２１】
（外２４）
2007524860.tif 000012
=遅延量τ1,τ2,τ3を有するNxNの“空間４次キュムラント行列3”
Cum[]=キュムラント演算子
crj4(τ1,τ2,τ3)=遅延量τ1,τ2,τ3を有する第jの音源信号の４次キュムラント。４次自己キュムラントとも呼ばれる。
【００２２】
（外２５）
2007524860.tif 000013
=“変更混合行列”。Hadamard  Product
【００２３】
（外２６）
2007524860.tif 000014
としても定義される。
【００２４】
（外２７）
2007524860.tif 000015
=遅延量τ1,τ2,τ3を有する第jの音源信号の正規化４次キュムラント。正規化４次自己キュムラントとも呼ばれる。
【００２５】
（外２８）
2007524860.tif 000016
=遅延量τ1,τ2,τ3を有するMxMの“４次信号キュムラント行列”
【００２６】
（外２９）
2007524860.tif 000017
=行列の“列空間”
Nr()=行列の“右零空間”
Nl()=行列の“左零空間”
【００２７】
（外３０）
2007524860.tif 000018
=NxNの単位行列
tr()=行列の“トレース”
sp()=部分空間の“スパン”
ρ()=行列の“階数”
【００２８】
（外３１）
2007524860.tif 000019
=遅延量{τ1,τ2,τ3}のセットのベクトル表記
【００２９】
（外３２）
2007524860.tif 000020
=空間４次キュムラント行列1の対を使用した“空間４次キュムラント行列ペンシル”
【００３０】
（外３３）
2007524860.tif 000021
=空間４次キュムラント行列2の対を使用した“空間４次キュムラント行列ペンシル”
【００３１】
（外３４）
2007524860.tif 000022
=空間４次キュムラント行列3の対を使用した“空間４次キュムラント行列ペンシル”
【００３２】
（外３５）
2007524860.tif 000023
=対角４次信号キュムラント行列の対を使用した“４次信号キュムラント行列ペンシル”
【００３３】
（外３６）
2007524860.tif 000024
=推定ゼロの遅延量の空間相関行列
【００３４】
（外３７）
2007524860.tif 000025
=第jの音源の干渉対雑音相関行列推定値
【００３５】
（外３８）
2007524860.tif 000026
=行列
【００３６】
（外３９）
2007524860.tif 000027
及び
【００３７】
（外４０）
2007524860.tif 000028
で定められたペンシルの“スペクトル”。一般化固有値のセット。
【００３８】
（外４１）
2007524860.tif 000029
=行列
【００３９】
（外４２）
2007524860.tif 000030
及び
【００４０】
（外４３）
2007524860.tif 000031
で定められたペンシルの“有限スペクトル”。非ゼロの有限の一般化固有値のセット。
λj=空間４次キュムラント行列の対で定められたペンシルの“第jの固有値”。多重度を計算してMのこのような固有値が存在する。λjはμkのKの値のうち１つを取る。
μk=空間４次キュムラント行列の対で定められたペンシルの“第kの別個の固有値”。λjのセットが取るKのこのような値が存在する。
gk=インデックス{j}のセット。λj=μk
【００４１】
（外４４）
2007524860.tif 000032
=固有値λjに関連する空間４次キュムラント行列の対で定められたNx1の“固有ベクトル”
εj=
【００４２】
（外４５）
2007524860.tif 000033
γj=第jの固有ベクトルの“正規化因数”
【００４３】
（外４６）
2007524860.tif 000034
ηkgeom=固有値の“幾何学的”多重度
ηkalg=固有値の“代数的”多重度
ηk=“ηkgeom=ηkalg”であるときの固有値の“多重度”
*=使用状況に応じて、共役又は畳み込み
図１は、本発明の実施例に従って空間４次キュムラント行列ペンシルを使用して、ブラインド音源分離を実行するシステム100の機能ブロック図である。システム100は、受信機11と信号プロセッサ12とを有する。受信機11は信号s(t)を受信する。その信号s(t)は、それぞれ複数の音源により提供された複数の信号を示しており、信号x(t)を信号プロセッサ12に提供する。受信機11は、信号s(t)を受信するように構成された如何なる適切な受信機でもよい。例えば、信号s(t)は、音響信号、光信号、地震信号、電磁気信号又はその組み合わせでもよく、受信機11は、それぞれの種類の信号を受信するように構成されてもよい。一実施例では、受信機11は、複数のエレメントを有するアレイとして構成される。信号s(t)は、受信されて適切に処理され（例えば時間遅延及び多重化）、信号x(t)の形式で信号プロセッサ14に提供される。
【００４４】
信号プロセッサ12は、汎用コンピュータ、ラップトップコンピュータ、特殊目的コンピュータ、ハードウェア実装のプロセッサ又はその組み合わせのように、信号x(t)を処理するように構成された如何なる適切なプロセッサでもよい。信号x(t)は、光信号、電磁気信号、デジタル信号、及びアナログ信号、又はその組み合わせのように、如何なる形式でもよい。以下に詳細に説明するように、信号プロセッサ12は、行列ペンシル推定部13と、非ゼロ有限固有値決定部14と、別個の固有値数決定部16と、線形独立固有ベクトル計算部17と、正規化因数計算部18と、分離ベクトル生成部19と、分離行列生成部20と、最適分離出力効率計算部21とを有する。行列ペンシル推定部13は、受信機11のエレメントへの信号s(t)の到達の時間差の関数として、空間４次キュムラント行列ペンシルを推定するように構成される。別個の固有値数決定部15は、別個の固有値の数を決定するように構成される。多重度決定部16は、別個の有限の固有値のそれぞれの多重度を決定するように構成される。線形独立固有ベクトル計算部17は、別個の有限の固有値毎に線形独立の固有ベクトルを計算するように構成される。正規化因数部18は、１に等しい多重度を有する固有値毎に正規化因数を計算し、１に等しい多重度を有する固有値に対応する正規化ベクトルと固有ベクトルとの関数として、各分離ベクトルを生成するように構成される。分離ベクトル生成部19は、繰り返しの固有値毎に、繰り返しの固有値に対応する固有ベクトルの関数として分離ベクトルを生成するように構成される。分離行列生成部20は、分離ベクトルの関数として分離行列を生成するように構成される。最適分離出力効率計算部21は、式ζj=Sj/Pjに従って分離処理の効率を計算するように構成される。ただし、ζjは複数の音源のうち第jの音源の分離出力効率を示し、Sjは第jの音源から分離した信号の出力を示し、Pjは第jの音源からの信号の正規化出力を示す。
【００４５】
図２は、信号音源24と、アレイエレメント26と、本発明の実施例に従ってアレイ信号処理及びBSS処理を実行するプロセッサ22との図である。アレイ信号処理は、例えば、電磁気、地震、音響、光、機械、温度又はその組み合わせのような、伝搬波動場をサンプリングする異なる空間的位置でセンサのアレイにより生成された信号のセットを処理することに関する信号処理内の特殊化である。図２に示すように、アレイは、各位置zjでの波動場を示す信号xi(t)を生成するセンサ26iのセットを用いて、位置
【００４６】
（外４７）
2007524860.tif 000035
（図２に１つのみの位置zjを図示する）で第jの音源24jにより生成された第jの波動場
【００４７】
（外４８）
2007524860.tif 000036
をサンプルする。信号xi(t)は、プロセッサ22により処理され得る如何なる適切な種類の信号でもよい。適切な種類の信号xi(t)の例は、電気信号、音響信号、光信号、機械信号、温度信号、又はその組み合わせを含む。第iのセンサ26iにより提供された信号xi(t)は、信号
【００４８】
（外４９）
2007524860.tif 000037
の到達方向と付加的な雑音項ni(t)とを加えてセンサに応じてそれぞれ重み付けされて、各センサの位置での全ての音源24からの波動場の和を有する。ここで詳細に説明するように、プロセッサ22は、音源信号の特性、音源とアレイエレメントとの間のチャネル、音源の位置、又は本発明によるブラインド音源分離（BSS）技術を介したアレイ外形を認識することなく、異なる空間位置での音源信号の干渉を抑制することにより、音源信号の個々の信号対干渉＋雑音比のセットを向上するように、信号x(t)を処理する。
【００４９】
本発明によるブラインド音源分離技術について、音源信号と雑音音源について行われる基礎的な仮定を定義することにより、ここで説明する。狭帯域モデルを生じる異なる多入力多出力（MIMO）アレイチャネルモデルが記述され、本発明によるBSS技術で使用される。
【００５０】
ブラインド音源分離（BSS）は、それぞれ元の信号の線形混合であるセンサのセットにより生成された音源信号の未知のセットの向上及び特徴付けを必要とするアレイ信号処理の多くの分野に適用可能である。これらは、例えば、信号インテリジェンス、スペクトル関し、ジャミング抑制、干渉除去、位置確認及び認識を含む。一般的に、混合変換、音源信号の特徴、及びセンサアレイ集合体は未知である。従って、ブラインド音源分離は、多入力多出力（MIMO）ブラインドチャネル推定問題として考えられ得る。
【００５１】
図３は、異なる放射パターンを有する５つの未知の音源s1,s2,s3,s4,s5と、異なる受信パターンを有する５つのセンサx1,x2,x3,x4,x5とを示したMIMOブラインドチャネル推定シナリオの図である。音源s1,s2,s3,s4,s5は、音響エネルギー、電磁気エネルギー、光エネルギー、機械エネルギー、温度エネルギー、又はその組み合わせを提供してもよく、それに対してセンサx1,x2,x3,x4,x5は、それを受信してもよい。図３に示すように、異なる放射パターンを備えた５つの未知の音源s1,s2,s3,s4,s5は、未知のアレイ集合体で５つのセンサx1,x2,x3,x4,x5のアレイに影響を与える波動場のセットを生成している。各音源s1,s2,s3,s4,s5は、各音源信号を提供する。本発明によるBSS分離技術は、信号の特性を認識せずに、又は到達方向若しくは形状の関数としてのアレイの感度を認識せずに、異なる空間位置で音源信号の伝搬波動場の集合（混合）をサンプリングするセンサ（例えばx1,x2,x3,x4,x5）のアレイから音源信号のセットを一緒に抽出する。
【００５２】
比較的小さい空間的広がりを備えたセンサのアレイからの出力のセットを前提として、狭帯域の信号を分離するのに適したブラインド音源分離技術を開発し、その性能を評価するために、アレイの多入力多出力（MIMO）狭帯域チャネルモデルを作り、仮定を記述し、問題を数学的に記述し、技術を評価する一式の指標を作ることが有利である。
【００５３】
従って、最も一般的な畳み込みMIMOチャネルモデルで始まり、問題を簡略化するために信号帯域及びアレイサイズに制限を設定し、ここで使用する狭帯域モデルを生じることで、狭帯域のMIMOチャネルモデルが作られる。信号及び雑音の仮定が提示され、本発明によるブラインド音源分離技術が数学的及び図式的に記述される。性能を評価するときに使用される２つの性能指標は、分離出力効率（SPE：separation  power  efficiency）の新規な概念を含んで記述される。
【００５４】
ブラインド音源分離問題に適用可能な４つの多入力多出力（MIMO）チャネルモデルについて、ここで説明する。これらのモデルは、一般チャネルモデル、非分散的直接パスのみのチャネルモデル、一般有限インパルス応答（GFIR：general  finite  impulse  response）チャネルモデル及び狭帯域チャネルモデルである。その後、本発明によるBSS技術について、狭帯域チャネルモデルを使用して説明する。
【００５５】
［一般チャネルモデル］
最も一般的な場合、各エレメントの出力は、音源の出力と、センサの出力＋センサ入力を基準とした付加的なガウス雑音との間のチャネルのインパルス応答でそれぞれ畳み込まれたMの音源信号の和としてモデル化される。すなわち、
【００５６】
【数１】
2007524860.tif 000038
になる。ここで*は畳み込みを示す。第jの音源の出力と第iのセンサの出力との間のチャネルのインパルス応答vij(t)は、時間変化してもよく、マルチパス伝搬、分散、センサの時間変化応答、音源の動き、センサの動き等のような現象を考慮してもよい。これは、一般多入力多出力（MIMO）チャネルモデルとして行列形式で記述可能である。
【００５７】
【数２】
2007524860.tif 000039
ここで[]Tは転置を示す。
【００５８】
［非分散的直接パスのみのチャネルモデル］
マルチパス、動き又は分散が存在しない場合、チャネルインパルス応答は遅延及び減衰でモデル化され得る。すなわち、
【００５９】
【数３】
2007524860.tif 000040
になる。ここでαijは第jの音源の出力から第iのセンサ出力までのカスケード減衰／利得であり、τijは第jの音源の出力から第iのセンサの出力までの伝搬時間（遅延）である。このモデルで、デルタ関数のシフト特性が使用される場合、第iのセンサの出力（雑音を無視する）は、
【００６０】
【数４】
2007524860.tif 000041
になる。
【００６１】
この時点で、“差分”遅延は、第iの音源の出力から第kのセンサの出力及び第lのセンサの出力までの伝搬時間の差として定められる。
【００６２】
【数５】
2007524860.tif 000042
この差分時間遅延は、所定の信号について２つのセンサの間の到達時間差を定め、センサのアレイの空間的広がりの指標である。更に、第jの音源からセンサまでの最小伝搬遅延が最大差分伝搬遅延よりかなり大きくなる状況（すなわち
【００６３】
（外５０）
2007524860.tif 000043
）を助けるために、伝播遅延τijは２つの成分に分解される。すなわち、音源の出力からセンサの出力までの平均伝搬時間として定義され、
【００６４】
（外５１）
2007524860.tif 000044
で示す“基準”遅延と、基準時間遅延と実際の伝播時間との間の伝搬時間差として定義され、Δτijで示す“相対”遅延である。第jの音源から第iのセンサまでの伝播時間は、
【００６５】
【数６】
2007524860.tif 000045
として表され得る。
【００６６】
図４は、センサと音源との間の時間遅延の図である。図４に示す伝搬時間の分解は、関連の基準遅延
【００６７】
（外５２）
2007524860.tif 000046
を備えた５つの音源（ラベルs1,s2,...,s5）を有する。その５つの音源（ラベルs1,s2,...,s5）は、５つのセンサ（ラベルx1,x2,...,x5）のセットに照射する波動場のセットを生成する。また、相対時間遅延Δτ31が、第１の音源s1と第３のセンサx3とについて示されている。前記の定義を用いて、差分時間遅延は以下のように再公式化され得る。
【００６８】
【数７】
2007524860.tif 000047
差分時間遅延及び相対時間遅延の双方は、狭帯域の図式及び一般有限インパルス応答モデルで使用される。
【００６９】
［一般有限インパルス応答（GFIR：General  Finite  Impulse  Response）チャネルモデル］
一般モデルは、FIRフィルタ又はタップ付き遅延線として、第jの音源の出力と第iのセンサの出力との間のチャネルvij(t)をモデル化することにより、しばしば簡略化される。一般モデルと同様に、GFIRモデルは時間変化してもよく、マルチパス伝搬、分散、センサの時間変化応答、システムの動き等のような現象を考慮してもよい。モデルvij(t)に使用されるFIRフィルタは、チャネルのマルチパス遅延スプレッドと、その入力としての音源ン信号の遅延バージョンを定めることにより考慮される“基準”遅延
【００７０】
（外５３）
2007524860.tif 000048
での相対時間遅延Δτijとを考慮するのに十分長くなければならない。すなわち、第jの音源の出力とセンサのアレイとの間のチャネルをモデル化するために使用されるFIRフィルタのセットへの入力は、次のようになる。
【００７１】
【数８】
2007524860.tif 000049
フェーディングチャネルのコヒーレンス帯域が音源信号の雑音相当の帯域よりかなり小さい場合に（すなわちBWNEq[sj(t)]<BWijCOH）、フェーディングチャネルについてFIRフィルタ又はタップ付き遅延線が有効である。ここで、コヒーレンス帯域は、マルチパス遅延スプレッドの逆数として定められる。この状態で、少なくとも2π/BWNEq[sj(t)]の遅延で分離されるチャネルのマルチパス成分は分解可能であり、フェーディング現象は“周波数選択”と呼ばれる。従って、チャネルインパルス応答は次のように表され得る。
【００７２】
【数９】
2007524860.tif 000050
ここで、第lの成分の時間変化の複素値のチャネル利得は次のように表され得る。
【００７３】
【数１０】
2007524860.tif 000051
モデルの長さLijは、分解可能なマルチパス成分の数であり、次のようになる。
【００７４】
【数１１】
2007524860.tif 000052
ただし、
【００７５】
（外５４）
2007524860.tif 000053
はシーリング関数を示す。GFIRチャネルモデルでは、FIRフィルタの長さは、マルチパス遅延スプレッドに適応するだけでなく、相対時間遅延Δτijにも適応する。すなわち、式(11)は次のようになる。
【００７６】
【数１２】
2007524860.tif 000054
実際には、全てのFIRフィルタの長さは共通値Lに設定され、Lは以下のように定められる。
【００７７】
【数１３】
2007524860.tif 000055
コヒーレンス帯域が音源信号の雑音相当の帯域より大きい場合（すなわちBWNEq[sj{t}]<BWijCOH）、フェーディングは“周波数非選択”と呼ばれ、フェーディングモデルは、単一の時間変化の複素重みに帰着する。すなわち、Lij=1であるため、次のようになる。
【００７８】
【数１４】
2007524860.tif 000056
これは時間変化の狭帯域モデルのようになり始める。しかし、アレイ信号処理に当てはめる単一の複素重みへの前記の簡略化では、音源信号は、中心周波数よりかなり小さい雑音相当の帯域を有さなければならず、線差のアレイは、比較的小さい空間的広がりを有さなければならない。すなわち、次のようになる。
【００７９】
【数１５】
2007524860.tif 000057
【００８０】
【数１６】
2007524860.tif 000058
［狭帯域チャネルモデル］
信号のスペクトルサポートの指標は、雑音相当の帯域（BWNEq[]で示す）である。時間及び周波数の二重性の原理により、逆の雑音相当の帯域が、信号の時間的サポートの指標として使用可能である。換言すると、信号の非相関の時間の指示として使用され得る。信号雑音相当の帯域が中心周波数よりかなり小さい場合、すなわち、
【００８１】
【数１７】
2007524860.tif 000059
である場合（ωjは第jの音源の中心周波数である）、伝搬遅延又は相対伝搬遅延は、位相シフトとしてモデル化され得る。この状況で、分散又はマルチパスが存在しない場合、チャネルモデルは狭帯域モデルと呼ばれる。
【００８２】
しかし、位相シフトは中心周波数に対して2πを法とするため、帯域が中心周波数よりかなり小さいという要件自体は、時間遅延が位相シフトとしてモデル化され、波形を維持する（すなわち、ごく小さいシンボル間干渉（ISI：inter-symbol  interference）がデジタル通信信号に生じる）ためには不十分である。従って、狭帯域モデルを適用するためには、センサのアレイは比較器小さい空間的広がりをも有していなければならない。すなわち、次のようになる。
【００８３】
【数１８】
2007524860.tif 000060
Δτl,k,j=Δτlj-Δτkjであるため、
【００８４】
【数１９】
2007524860.tif 000061
の要件は、三角不等式を介して(18)が当てはまることを確保する十分な状況になる。(17)及び(19)で定められる狭帯域の状況が当てはまる場合、相対的時間遅延は、信号の非相関の時間に対してごく小さくなり、従って次のようになる。
【００８５】
【数２０】
2007524860.tif 000062
すなわち、波形が（位相シフト内で）維持される。従って、相対的時間遅延は位相シフトとしてモデル化され得る。
【００８６】
【数２１】
2007524860.tif 000063
ここで、
【００８７】
（外５５）
2007524860.tif 000064
であり、複素重みvijは次のように定められる。
【００８８】
【数２２】
2007524860.tif 000065
この複素重みは、他のN-1の重みと共に、第jのステアリングベクトルからの第jの信号に関連する。
【００８９】
【数２３】
2007524860.tif 000066
第iのセンサの出力は次のようになる。
【００９０】
【数２４】
2007524860.tif 000067
一般のmの第jモデルと同様に、これは、センサ出力のベクトルの行列形式で次のように再公式化され得る。
【００９１】
【数２５】
2007524860.tif 000068
エネルギー保存のため、アレイを照射する第jの音源からの全平均信号出力は、決してPjを超過しない。信号対雑音比がセンサの入力で定められるため、全アレイ利得は正規化されているとみなされ得る。従って、狭帯域モデルでは、混合行列
【００９２】
（外５６）
2007524860.tif 000069
の第j列の内積は次のようになる。
【００９３】
【数２６】
2007524860.tif 000070
ここで[]Hはエルミート転置を示す。
【００９４】
［信号及び雑音の仮定］
以下の仮定は、音源信号及び雑音ベクトルについて行われる。これらの仮定は、４次キュムラントの使用を可能にするため、及び分離技術が生かされるのに十分な数の自由度を確保するために行われる。仮定A1及びA2は、音源信号の４次キュムラントが存在することを確保する。キュムラントの使用についてゼロ平均の仮定は必要ないが、実際に伝搬する電磁気信号はゼロ平均を有するため、それが仮定される。仮定A3及びA4は、BSS問題に対してキュムラントを使用することに特に有用である。それらがなければ、雑音音源は信号音源として扱われる必要があり、アレイに更なる自由度を要求する。雑音音源は時間的又は空間的に白色であると仮定されないことに留意すべきである。音源信号の数についての最後の仮定は、行列ペンシルの手法を使用して分離を実行するのに十分な自由度が存在することを確保することに役立つ。
【００９５】
［第１の仮定（A1）］
アレイを照射するMの音源信号は、統計的に独立した非ガウスの定常ランダム過程である。仮定A1は、数学的に以下のように表される。
【００９６】
【数２７】
2007524860.tif 000071
空間４次キュムラント行列の推定期間で４つを整理するため、音源信号は定常であると仮定される。
【００９７】
［第２の仮定（A2）］
アレイを照射するMの音源信号は、出力Pjでゼロ平均を有し、非ゼロの４次モーメントを有する。仮定A2は、数学的に以下のように表される。
【００９８】
【数２８】
2007524860.tif 000072
【００９９】
【数２９】
2007524860.tif 000073
【０１００】
【数３０】
2007524860.tif 000074
【０１０１】
【数３１】
2007524860.tif 000075
【０１０２】
【数３２】
2007524860.tif 000076
【０１０３】
【数３３】
2007524860.tif 000077
［第３の仮定（A3）］
音源信号（処理）のセット及び雑音過程のセットは統計的に独立である。仮定A3は、数学的に以下のように表される。
【０１０４】
【数３４】
2007524860.tif 000078
［第４の仮定（A4）］
雑音過程は、定常のゼロ平均のガウスランダム過程である。それらは空間的又は時間的に独立していると仮定されない。仮定A3は、数学的に以下のように表される。
【０１０５】
【数３５】
2007524860.tif 000079
【０１０６】
【数３６】
2007524860.tif 000080
【０１０７】
【数３７】
2007524860.tif 000081
［第５の仮定（A5）］
音源の数はセンサの数以下である。すなわち、M≦N。
【０１０８】
図５は、本発明の実施例に従って、比較的小さい空間的広がり及び任意の未知のアレイ形状を備えたセンサのアレイからの出力のセットを前提として、Mの統計的に独立の狭帯域の音源信号のブラインド音源分離（BSS）を実行する装置の機能ブロック図である。ここで説明するBSS技術は、混合行列
【０１０９】
（外５７）
2007524860.tif 000082
を対角化する分離行列
【０１１０】
（外５８）
2007524860.tif 000083
を決定する。これは、複素エレメントwijでNxMの分離行列
【０１１１】
（外５９）
2007524860.tif 000084
を見出すことを含む。
【０１１２】
【数３８】
2007524860.tif 000085
は、混合行列
【０１１３】
（外６０）
2007524860.tif 000086
を対角化する。すなわち、分離行列
【０１１４】
（外６１）
2007524860.tif 000087
は、積
【０１１５】
（外６２）
2007524860.tif 000088
がエレメントρjでのMxMの対角“損失”行列を生じるように求められる。
【０１１６】
【数３９】
2007524860.tif 000089
分離行列Wがセンサ出力のベクトルに適用されると、その結果は次のようになり、
【０１１７】
【数４０】
2007524860.tif 000090
音源信号が分離される。数学的完全性のため、ベクトル
【０１１８】
（外６３）
2007524860.tif 000091
、ベクトル
【０１１９】
（外６４）
2007524860.tif 000092
及び行列
【０１２０】
（外６５）
2007524860.tif 000093
である点に留意すべきでる。損失行列が単位行列である場合、分離処理は、アレイを照射する全ての信号エネルギーをとらえており、そのため、分離の出力信号が最大の実現可能な信号対干渉＋雑音比に到達することを確保する。
【０１２１】
狭帯域モデルで前述したように、各センサの出力は、独立した音源信号と雑音とを加えた重み付け線形混合である。
【０１２２】
【数４１】
2007524860.tif 000094
センサ出力のベクトルに分離行列を適用することで、音源を分離する。
【０１２３】
【数４２】
2007524860.tif 000095
分離処理の出力ベクトルの第jのエレメントyj(t)は、第jの音源信号rj(t)の推定値であり、分離行列の第j列とセンサ出力のベクトルとの内積である。
【０１２４】
【数４３】
2007524860.tif 000096
式(41)を式(43)に置換することで次のようになる。
【０１２５】
【数４４】
2007524860.tif 000097
所望の信号と残差干渉と出力雑音とに対応する３つの異なる項が存在することが明らかである。通信の性能及び信号インテリジェンスシステムを評価する際に特に関心があるものは、これらの項のそれぞれの２次モーメントである。第１の項の２次モーメントは、所望の信号出力であり、以下のように定められる。
【０１２６】
【数４５】
2007524860.tif 000098
仮定A1及びA2を適用して
【０１２７】
【数４６】
2007524860.tif 000099
であり、式(45)は次のようになる。
【０１２８】
【数４７】
2007524860.tif 000100
これはベクトル表記を使用して次のように表され得る。
【０１２９】
【数４８】
2007524860.tif 000101
(44)の第２の項の２次モーメントは、残差干渉出力であり、次で得られる。
【０１３０】
【数４９】
2007524860.tif 000102
しかし、仮定A1により、信号は統計的に独立であり、従って次のようになる。
【０１３１】
【数５０】
2007524860.tif 000103
更に、仮定A1及びA2の定常性を適用して次のようになる。
【０１３２】
【数５１】
2007524860.tif 000104
(50)を使用して式(51)を(49)に置換して、残渣の干渉出力は次に帰着する。
【０１３３】
【数５２】
2007524860.tif 000105
これはベクトル表記を使用して次のように表され得る。
【０１３４】
【数５３】
2007524860.tif 000106
(44)の第３の項の２次モーメントは、雑音出力であり、次で得られる。
【０１３５】
【数５４】
2007524860.tif 000107
これはベクトル表記を使用して次のように表され得る。
【０１３６】
【数５５】
2007524860.tif 000108
定義及び仮定A4により、雑音ベクトルの外積の期待値は、雑音共分散行列
【０１３７】
【数５６】
2007524860.tif 000109
であり、従って、雑音出力は次になる。
【０１３８】
【数５７】
2007524860.tif 000110
ブラインド音源分離技術の有効性を評価するために、複数の分離の指標が使用される。前述のように、ここで説明したブラインド音源分離技術は、混合行列
【０１３９】
（外６６）
2007524860.tif 000111
を対角化する分離行列
【０１４０】
（外６７）
2007524860.tif 000112
を決定する。ブラインド音源分離技術の品質を評価する２つの指標がここで作られる。BSS技術の性能は、センサのアレイを照射する全ての利用可能な信号出力を“取得”する際の残差干渉及びアルゴリズムの効率の点で測定されてもよい。
【０１４１】
分離の品質の１つの指標は、分離行列が適用された後の信号出力にある残差干渉の量である。特に、全音源で平均した所望の音源の推定で所望の信号に対する残差干渉の出力と、同一チャネル干渉を抑制することに関して分離技術を評価するためのピーク又は最大残差干渉対信号比とを使用することを提案する、この指標は重要である。その理由は、分離行列が混合行列を完全に対角化しない場合、結果の行列の非対角項が、信号出力における残差干渉を許容するからである。
【０１４２】
ほとんどの通信用途では、干渉量の共通指標は、信号対干渉比であり、それは全ての干渉信号の結合出力に対する所望の信号出力の比である。しかし、ブラインド音源分離の目標は、全ての干渉を完全に除去することであり、この比は非常に大きくなる可能性がある。その結果、ブラインド音源分離アルゴリズム又は技術が特定の所望の信号出力に対して抑制できない干渉の残差出力を定量化する干渉対信号比（ISR：Interference-to-Signal  ratio）を提案する。アルゴリズムが優れるほど、この比が小さくなる。
【０１４３】
特定の所望の信号のISRは次のように定められる。
【０１４４】
【数５８】
2007524860.tif 000113
(53)及び(48)を(58)に置換することで、特定の信号のISRは次のようになる。
【０１４５】
【数５９】
2007524860.tif 000114
この値は除去率としても知られる。
【０１４６】
ブラインド音源分離技術の分離の全体品質は、全てのjに対する個々の音源信号のISRのζjの平均値を調べることにより測定されてもよい。従って、残差干渉に関するブラインド音源分離アルゴリズムの性能を評価するために使用される主な指標は、
【０１４７】
【数６０】
2007524860.tif 000115
により得られる平均ISRになる。
【０１４８】
残差干渉に関する第２の指標は、ピーク又は最大ISRであり、これは次のように定められる。
【０１４９】
【数６１】
2007524860.tif 000116
この第２の指標は、全ての音源信号がISRmaxより悪くないISRで効率的に分離されることを確保する。
【０１５０】
分離の品質の第２の指標は、利用可能な信号出力を利用する機能に関する音源分離行列の効率を決定するために使用される。出力信号対干渉＋雑音比が最大のときに（小さい信号を取得可能なことに関して大きい感度を有するとき）、BSS技術が出力信号対干渉＋雑音比で最大でない場合より、BSS技術は効率的であると考えられる。
【０１５１】
センサのアレイを照射する音源の信号出力の全てを使用する場合でのブラインド音源分離アルゴリズムの効率は、その分離の品質の更に重要な指標である。この指標は、特定の音源からの利用可能な信号出力のうちどの程度が分離処理で浪費又は損失されているかを決定する。この損失により、損失がなければ理論的に実現可能なものより低い信号対雑音＋干渉比になり、システム感度の損失を生じる。所望の音源信号の利用可能な正規化出力に対する特定の分離処理の出力の分離出力効率（SPE：Separation  Power  Efficiency）は、以下のように定められる。
【０１５２】
【数６２】
2007524860.tif 000117
ζjは複数の音源のうち第jの音源の分離出力効率を示しており、Sjは第jの音源からの分離信号の出力を示しており、Pjは第jの音源からの信号の正規化出力を示している。分離処理の出力について式(48)を置換することで、特定のSPE
【０１５３】
【数６３】
2007524860.tif 000118
は、第jの音源のステアリングベクトル及び分離行列の第j列のみに依存することが明らかになる。ISRと同様に、平均SPE及び最小SPEは、それぞれ以下のように定められる。
【０１５４】
【数６４】
2007524860.tif 000119
【０１５５】
【数６５】
2007524860.tif 000120
これらは分離出力効率を評価するために使用される。
【０１５６】
照射音源信号出力Pjの定義により、SPEが実現可能な最大値は１であることに留意すべきである。従って、最大の実現可能な平均SPEも１である。１のSPEを実現する分離アルゴリズムは、対応の分離処理出力で音源信号出力を最大化するように確保される。最小SPEは、全ての音源が最小分離出力効率でうまく分離されることを確保する指標を提供する。
【０１５７】
本発明の実施例によるBSS技術は、キュムラント（特に空間４次キュムラント行列）を使用する。ブラインド音源分離を実行するときのキュムラントの使用についてよく理解するため、キュムラントの定義及び関連の特性が以下に提供される。
【０１５８】
ランダム変数のセット{s1,s2,...sN}のうちN次の半不変数としても知られる結合キュムラント（joint  cumulant）は、第２の特性関数の起点についてのテイラー級数の展開のN次係数として定義される。例えば、C.L.Nikias及びA.P.PetropuluのHigher-Order  Spectra  Analysis:  A  Non-linear  Signal  Processing  Framework  (PTR  Prentice-Hall,  Upper  Saddle  River,  NJ:  1993)と、M.RosenblattのStationary  Sequences  and  Random  Fields  (Birkhauser,  Boston,  MA:  1985)を参照のこと。これらの全体が参照として取り込まれる。第２の特性関数は、特性関数の自然対数として定められる。
【０１５９】
【数６６】
2007524860.tif 000121
ここで、特性関数は次のように定められる。
【０１６０】
【数６７】
2007524860.tif 000122
従って、結合N次キュムラントは次になる。
【０１６１】
【数６８】
2007524860.tif 000123
モーメントと異なり、キュムラントはデータから直接的に評価され得ない。例えば、A.K.NandiのBlind  Estimation  Using  Higher-Order  Statistics  (Kluwer  Academic,  Dordecht,  The  Neitherlands:  1999)を参照のこと。この全体が参照として取り込まれる。しかし、キュムラントは、モーメントに対するその関係を通じて見出されることが可能であるため、最初に所要のモーメントを評価することにより、間接的に評価され得る。モーメントに対するキュムラントの関係は、M.RosenblattのStationary  Sequences  and  Random  Fields  (Birkhauser,  Boston,  MA:  1985)に、ランダム変数のセット{s1,s2,...sN}のN次結合キュムラントについて次のように記載されている。
【０１６２】
【数６９】
2007524860.tif 000124
ここで、整数のセット{1,2,...,N}をpのグループ（それぞれgl,p,nで示す）に分割するN(p)の方法が存在するため、次のようになる。
【０１６３】
【数７０】
2007524860.tif 000125
一例としてN=4の場合、整数のセット{1,2,3,4}で分割が定義され、以下の表1.0が得られる。
【０１６４】
【表１】
2007524860.tif 000126
モーメントの関数としての４次結合キュムラントは次のようになる。
【０１６５】
【数７１】
2007524860.tif 000127
式(71)は、N次結合キュムラントの計算がN次までの全てのモーメントを認識する必要があることを示している。
【０１６６】
キュムラントは、特に低信号対雑音比で、空間的及び／又は時間的相関のガウス雑音において未知の統計的に独立した信号の線形結合のブラインド分離で使用することに対して魅力的にする複数の特性を有する。
【０１６７】
ブラインド音源分離で使用することに対してキュムラントを魅力的にする１つの特性は、ランダム変数のセット{s1,s2,...sN}が統計的に独立した２つ以上のグループに分割され得る場合に、N次結合キュムラントがゼロになる点である。従って、統計的に独立した音源のブラインド分離のキュムラント演算子は、全ての交差音源信号キュムラント項を抑制する。一般的に、これは高次モーメントの場合ではない。BSSで使用することに対してキュムラントを魅力的にする他の特性は、次の点である。
Cum[s1+n1,s2+n2,...,sN+nN]=Cum[s1,s2,...,sN]+Cum[n1,n2,...,nN]
一般的に信号項のセット{s1,s2,...,sN}と雑音項のセット{n1,n2,...,nN}は統計的に相互に独立しているため、そのベクトル和{s1+n1,s2+n2,...,sN+nN}の項のN次結合キュムラントは、その個々の結合キュムラントの和である。従って、雑音項と信号項との間の交差キュムラントはゼロになる。この特性は、４次キュムラント行列が２つの行列（一方は信号に対応し、他方は雑音ベクトルに対応する）の和に分解され得ることを確保する点で重要である。
【０１６８】
BSSで使用することに対してキュムラントを魅力的にする他の特性は、ガウス雑音変数のN>2次の結合キュムラントがゼロになるという点である。雑音ベクトルは多変量のガウスランダム過程であるため、
【０１６９】
（外６８）
2007524860.tif 000128
その３次以上の結合キュムラントはゼロになる。すなわち、Cum[n1,n2,...,nN]=0である。この最後の特性は、雑音の部分空間を有さない空間４次キュムラント行列を生じ、行列の非ゼロのエレメントのみが音源信号のみに関連する。これは、雑音ベクトルが空間的又は時間的に相関する場合にも当てはまる。
【０１７０】
最後に、２より高次のキュムラントは、相関のように、２次統計の使用により失われた位相情報を保存する。例えば、自己相関は、最小の位相信号と最小でない位相信号とを区別するために必要な情報を破壊する。従って、２つの信号は、異なる高次統計を有するが、同一の２次統計を有してもよい。この特性は、同一の自己相関関数で信号を処理するときに特に興味深く、音源信号のグループが異なる高次キュムラントを有する時間差のセットを見出す更なる自由度を追加する。この特性は、本発明によるBSS技術に特に有利である。その理由は、全ての信号が一意の正規化４次自己キュムラントを有することが、このBSS技術の識別可能性の条件であるからである。対称分布での過程の奇数次キュムラントがゼロになるため、４次キュムラントが使用される点に留意すべきである。
【０１７１】
本発明によるBSS技術で使用されるキュムラントの４つの特性について、以下に説明する。このキュムラントの特性の検証は、C.L.Nikias及びA.P.PetropuluのHigher-Order  Spectra  Analysis:  A  Non-linear  Signal  Processing  Framework  (PTR  Prentice-Hall,  Upper  Saddle  River,  NJ:  1993)と、M.RosenblattのStationary  Sequences  and  Random  Fields  (Birkhauser,  Boston,  MA:  1985)に見出され得る。
【０１７２】
［キュムラントの特性1］
ランダム変数{a1s1,a2s2,...,aNsN}のセットのN次結合キュムラントは、
【０１７３】
（外６９）
2007524860.tif 000129
であり、{a1,a2,...,aN}は定数である。
【０１７４】
［キュムラントの特性2］
ランダム変数のセット{s1,s2,...,sN}が、統計的に独立した２つ以上のグループに分割可能である場合、そのN次結合キュムラントはゼロである。
【０１７５】
［キュムラントの特性3］
ランダム変数のセット{s1,s2,...,sN}及び{n1,n2,...,nN}が統計的に独立である場合（すなわち、fs,n(s1,s2,...,sN,n1,n2,...,nN)=fs(s1,s2,...,sN)・fn(n1,n2,...,nN)）、ペアワイズ和（pair-wise  sum）のN次結合キュムラントは、次のようになる。
Cum[s1+n1,s2+n2,...,sN+nN]=Cum[s1,s2,...,sN]+Cum[n1,n2,...,nN]
［キュムラントの特性4］
ランダム変数のセット{n1,n2,...,nN}が併せてガウス分布である場合、N>2次の結合キュムラントは等しくゼロになる。すなわち、
【０１７６】
（外７０）
2007524860.tif 000130
の場合、Cum[n1,n2,...,nN]=0である。
【０１７７】
本発明によるBSS技術は、４次空間キュムラント行列を使用する。空間４次キュムラント行列の３つの定義及び関連の特性を以下に示す。
【０１７８】
空間４次キュムラント行列は、低い信号対雑音比において、及び空間的及び時間的相関の雑音が存在する場合に、分離行列を評価する基礎として使用される。その理由は、雑音が相関していたとしても、それは雑音の部分空間を理論的に有さないからである。このことは、行列ペンシルが作られるように除去されなければならない雑音の部分空間を除去するために、自由度及び／又は２次センサデータを使用する必要を除去する。以下に説明するように、雑音の部分空間がないことは、高次キュムラント（すなわち２次より高い）を使用する直接的な結果であり、本発明によるブラインド音源分離技術に特に有利である。
【０１７９】
３つの空間４次キュムラント行列の定義及びその特性は、センサが実際には決して無指向性でなく、決して同じ形状を有していないという事実を考慮して、及び異なるセットの時間差が空間４次キュムラント行列の対を推定して、行列ペンシルを作るために必要ないという事実を考慮して、ここに示されている。これらの考慮点は、空間４次キュムラント行列の以前の扱いと明確な差異がある。例えば、H.H.Chiang及びC.L.Nikiasの“The  ESPRIT  Algorithm  with  Higher-Order  Statistics”,  Proc.  Workshop  on  Higher-Order  Spectral  Analysis,  Vail,  CO.,  Jun.  1989,  pp.163-168と、C.L.Nikias及びA.P.PetropuluのHigher-Order  Spectra  Analysis:  A  Non-linear  Signal  Processing  Framework  (PTR  Prentice-Hall,  Upper  Saddle  River,  NJ:  1993)と、M.C.Dogan及びJ.M.Mendelの“Applications  of  Cumulants  to  Array  Processing  -  Part  I:   Aperture  Extension  and  Array  Calibration”,  IEEE  Trans.  Signal  Processing,  Vol.43,  No.5,  May  1995,  pp.1200-1216と、N.Yuen及びB.Friedlanderの“Asymptotic  Performance  Analysis  of  ESPRIT,  Higher-order  ESPRIT,  and  Virtual  ESPRIT  Algorithms”,  IEEE  Trans.  Signal  Processing,  Vol.44,  No.10,  Oct.  1996,  pp.2537-2550とを参照のこと。階数や零空間等のような空間４次キュムラント行列の特性と、混合行列に対するその関係とを理解することは、本発明による４次キュムラント及び行列ペンシルを使用した信号部分空間のブラインド分離技術を作ることに有利である。
【０１８０】
空間相関行列及びその特性の簡単な考察について、本発明によるBSS技術での使用の理解に役立つように、以下に示す。センサアレイ出力の空間相関行列は、D.H.Johnson及びD.E.DudgeonのArray  Signal  Processing:  Concepts  and  Techniques  (PTR  Prentice-Hall,  Englewood  Cliffs,  NJ:  1993)に以下のように定められており、その全体が参照として取り込まれる。
【０１８１】
【数７２】
2007524860.tif 000131
x(t)について(25)を式(72)に置換し、仮定A1及びA3を適用することで、空間相関行列は次のようになる。
【０１８２】
【数７３】
2007524860.tif 000132
これは次のエレメントを有する。
【０１８３】
【数７４】
2007524860.tif 000133
ここで、添字rcはエレメントが第r行及び第c列にあることを示す。信号及び雑音過程はゼロ平均、仮定A2及びA4であると仮定されるため、式(72)で定められる空間相関行列は、空間共分散行列に等しくなり、これらの用語が交換可能に使用される。
【０１８４】
一般的に、ほとんどの２次技術は、ゼロの遅延時間{τ=0}のみで空間相関又は共分散行列を使用する。このような場合、空間相関行列はエルミート且つ非負値定符号である。例えば、D.H.Johnson及びD.E.DudgeonのArray  Signal  Processing:  Concepts  and  Techniques  (PTR  Prentice-Hall,  Englewood  Cliffs,  NJ:  1993)と、C.L.Nikias及びA.P.PetropuluのHigher-Order  Spectra  Analysis:  A  Non-linear  Signal  Processing  Framework  (PTR  Prentice-Hall,  Upper  Saddle  River,  NJ:  1993)と、A.PapoulisのProbability,  Random  Variables,  and  Stochastic  Process  (WCB/McGraw-Hill,  Boston,  MA:  1991)を参照のこと。更に、センサの出力が線形独立である場合（すなわち、如何なる
【０１８５】
（外７１）
2007524860.tif 000134
について
【０１８６】
（外７２）
2007524860.tif 000135
である場合）、空間相関行列は正値定符号である。空間相関行列がτ=0について非負値定符号である結果、その行列式は実数の非負であり、センサの出力が線形独立である場合且つその場合に限り、厳密に正になる。しかし、τ≠0の場合、空間共分散行列は非定符号且つ非エルミートである。
【０１８７】
［空間４次キュムラント行列の定義1］
提示する空間４次キュムラント行列の第１の定義は、１のノルムを有するステアリングベクトルを利用する。これは式(26)で数学的に記述されている。以下に示すように、これは、センサが同一の形状で無指向性でないときに、空間４次キュムラント行列をエルミート形式に因数分解するために使用される。第１の空間４次キュムラント行列は、時間差のセット(τ1,τ2,τ3)で次のように定められる。
【０１８８】
【数７５】
2007524860.tif 000136
これは空間４次キュムラント行列1とも呼ばれる。
【０１８９】
(75)で定める空間４次キュムラント行列1は、以下で得られる第r行及び第c列のエレメントでの複素NxN行列である。
【０１９０】
【数７６】
2007524860.tif 000137
ここで{}*は複素共役を示す。式(24)を式(76)に置換することで、エレメントrcは次のようになる。
【０１９１】
【数７７】
2007524860.tif 000138
次に、キュムラントの特性3及び仮定A3により、(77)は次のようになる。
【０１９２】
【数７８】
2007524860.tif 000139
ここで、項が再整理されている。しかし、仮定A4及びキュムラントの特性4により、
【０１９３】
【数７９】
2007524860.tif 000140
であるため、(78)は次のようになる。
【０１９４】
【数８０】
2007524860.tif 000141
次に、仮定A1の音源信号の統計的な独立性と、キュムラントの特性3を繰り返し適用することにより、式(80)は次に帰着する。
【０１９５】
【数８１】
2007524860.tif 000142
キュムラントの特性1を使用して、複素重みは、式(81)のキュムラント演算子の前に抜粋されてもよく、次を得る。
【０１９６】
【数８２】
2007524860.tif 000143
和を再整理することで次になる。
【０１９７】
【数８３】
2007524860.tif 000144
しかし、ステアリングベクトルは1のノルムを有するため（すなわち、
【０１９８】
（外７３）
2007524860.tif 000145
であるため）、式(83)は次に帰着する。
【０１９９】
【数８４】
2007524860.tif 000146
(84)から、空間４次キュムラント行列1は、空間相関行列と同様に、エルミート形式に因数分解され得ることがわかる。
【０２００】
【数８５】
2007524860.tif 000147
ここで、
【０２０１】
（外７４）
2007524860.tif 000148
は次のエレメントを有するMxMの対角行列である。
【０２０２】
【数８６】
2007524860.tif 000149
式(85)を展開することで、空間４次キュムラント行列1は、個々の音源信号の４次キュムラントで評価したステアリングベクトルの外積の和として記述され得ることがわかる。
【０２０３】
【数８７】
2007524860.tif 000150
ここで、Cx4(τ1,τ2,τ3)は、第１の時間差τ1と第２の時間差τ2と第３の時間差τ3とを有する空間４次キュムラント行列である。それぞれの時間差は、複数の音源の１つから複数のエレメントの１つまでの時間遅延を示す。Mは複数の音源での音源の数を示す。
【０２０４】
（外７５）
2007524860.tif 000151
は、時間差τ1、τ2及びτ3を有する複数の音源の１つからの第jの音源信号の４次キュムラントである。
【０２０５】
（外７６）
2007524860.tif 000152
は第jのステアリングベクトルの外積を示す。
【０２０６】
式(87)から、空間４次キュムラント行列1は、ステアリングベクトルのセットで広がった信号部分空間にあることが明らかである。空間４次キュムラント行列は空間相関行列に存在する雑音の部分空間を有さない点に留意すべきである。空間共分散行列の雑音の部分空間であったものは、この時点では空間４次キュムラント行列の零空間である。この特性は、提示される他の空間４次キュムラント行列の定義にも当てはまると見られる。
【０２０７】
［空間４次キュムラント行列1の特性］
空間４次キュムラント行列1
【０２０８】
（外７７）
2007524860.tif 000153
は、複数の特性を有しており、その理解により分離行列
【０２０９】
（外７８）
2007524860.tif 000154
を推定する方法の展開が容易になる。空間４次キュムラント行列1の行列の特性を定めることは、２つのセットの時間差で空間４次キュムラント行列1の対で作られた行列ペンシルの一般化固有分解の使用に対する最初のステップである。混合行列の部分空間に対するその階数及びその部分空間のようなものは、信号部分空間分離アルゴリズムを作る際に有利である。個々のセンサがそれぞれ音源信号の波動場にそれぞれ影響を与える同一の指向性を備えた無指向性であると仮定されていない事実について、特に注意が行われる。
【０２１０】
［特性1］
τ1=τ2=τ且つτ3=0（すなわち、
【０２１１】
（外７９）
2007524860.tif 000155
）の場合且つその場合に限り、空間４次キュムラント行列1はエルミートである。
【０２１２】
［特性2］
空間４次キュムラント行列1のトレースは、信号４次キュムラントの和に等しく、それは対角行列
【０２１３】
（外８０）
2007524860.tif 000156
のトレースである。
【０２１４】
【数８８】
2007524860.tif 000157
［特性3］
空間４次キュムラント行列1の列空間（
【０２１５】
（外８１）
2007524860.tif 000158
で示す）は、ステアリングベクトルのセットで展開される。
【０２１６】
【数８９】
2007524860.tif 000159
更に、混合行列がフルの列の階数を有する場合、ステアリングベクトルのセットは線形独立であり、空間４次キュムラント行列1の列空間の基礎を作る。
【０２１７】
［特性4］
【０２１８】
（外８２）
2007524860.tif 000160
がフルの列の階数を有する場合、空間４次キュムラント行列1の階数は、混合行列の階数に等しい。すなわち、ρ()が階数を示し、
【０２１９】
（外８３）
2007524860.tif 000161
の場合に、次のようになる。
【０２２０】
【数９０】
2007524860.tif 000162
［特性5］
空間４次キュムラント行列1の“右” 零空間及び混合行列の“左”零空間は、混合行列がフルの列の階数を有する場合に、等しくなる。
【０２２１】
【数９１】
2007524860.tif 000163
［空間４次キュムラント行列の定義2］
空間４次キュムラント行列の第２の定義は、H.H.Chiang及びC.L.Nikiasの“The  ESPRIT  Algorithm  with  Higher-Order  Statistics”,  Proc.  Workshop  on  Higher-Order  Spectral  Analysis,  Vail,  CO.,  Jun.  1989,  pp.163-168と、C.L.Nikias及びA.P.PetropuluのHigher-Order  Spectra  Analysis:  A  Non-linear  Signal  Processing  Framework  (PTR  Prentice-Hall,  Upper  Saddle  River,  NJ:  1993)とに記載された定義を変更したものである。空間４次キュムラント行列2を得るため、これらの定義が使用され、時間差のセット(τ1,τ2,τ3)が組み込まれる。
【０２２２】
【数９２】
2007524860.tif 000164
空間４次キュムラント行列2は、第r行及び第c列のエレメント
【０２２３】
【数９３】
2007524860.tif 000165
でのNxNの行列である。
式(93)のxi(t)について式(24)を置換することで、エレメントrcは次のようになる。
【０２２４】
【数９４】
2007524860.tif 000166
空間４次キュムラント行列1の簡略化に続いて、式(94)を変形するために、キュムラントの特性3及び仮定A3が適用される。
【０２２５】
【数９５】
2007524860.tif 000167
しかし、仮定A4及びキュムラントの特性4により、
【０２２６】
【数９６】
2007524860.tif 000168
であり、(95)は次に帰着する。
【０２２７】
【数９７】
2007524860.tif 000169
次に、仮定A1の音源信号の統計的な独立性と、キュムラントの特性3を繰り返し適用することにより、式(97)は次に帰着する。
【０２２８】
【数９８】
2007524860.tif 000170
キュムラントの特性1を使用して、複素重みは、式(98)のキュムラント演算子の前に抜粋されてもよく、次を得る。
【０２２９】
【数９９】
2007524860.tif 000171
和を再整理することで次になる。
しかし、
【０２３０】
（外８４）
2007524860.tif 000172
であり、式(99)は次になる。
【０２３１】
【数１００】
2007524860.tif 000173
(100)から、一般的に、空間４次キュムラント行列2は、空間４次キュムラント行列1及び空間共分散行列の場合と同様に、エルミート形式に因数分解され得ないことがわかる。しかし、
【０２３２】
【数１０１】
2007524860.tif 000174
が定義されると、それは双一次形式に因数分解され得る。
【０２３３】
【数１０２】
2007524860.tif 000175
ここで、NxMの“修正”混合行列
【０２３４】
（外８５）
2007524860.tif 000176
の第r行及び第c列のエレメントは、次のようになる。
【０２３５】
【数１０３】
2007524860.tif 000177
式(102)を展開すると、空間４次キュムラント行列2は、“修正”ステアリングベクトル
【０２３６】
（外８６）
2007524860.tif 000178
の外積と、個々の音源信号の４次キュムラントで評価したステアリングベクトルとの和として記述され得ることがわかる。
【０２３７】
【数１０４】
2007524860.tif 000179
“修正”ステアリングベクトル
【０２３８】
（外８７）
2007524860.tif 000180
は、行列
【０２３９】
（外８８）
2007524860.tif 000181
の第j列である点に留意すべきである。
【０２４０】
空間４次キュムラント行列2に関する問題は、階数不足であるか否かという点である。空間４次キュムラント行列1の階数の導出に続いて、空間４次キュムラント行列2の階数は、“修正”混合行列
【０２４１】
（外８９）
2007524860.tif 000182
と混合行列との双方がフルの列の階数を有する場合に、混合行列の階数に等しくなる。
混合行列
【０２４２】
（外９０）
2007524860.tif 000183
は、アレイの設計により保証され得るため、フルの列の階数を有すると仮定され得る。しかし、
【０２４３】
（外９１）
2007524860.tif 000184
の階数は、まだ今のところ設計により保証され得ず、混合行列がフルの列の階数を有することの保証が、“修正”混合行列がフルの列の階数を有することの保証に十分であるか否かは不明確である。しかし、“修正”混合行列
【０２４４】
（外９２）
2007524860.tif 000185
はアダマール積
【０２４５】
【数１０５】
2007524860.tif 000186
であり、混合行列の階数は保存される必要はない。例えば、J.R.SchottのMatrix  Analysis  for  Statistics  (John  Wiley  and  Sons,  New  York,  NY:  1997)を参照のこと。この時点で、アダマール積は混合行列の階数を保存することが仮定されるため、フルの列の階数を有する混合行列が、“修正”混合行列がフルの列の階数を有することの保証に十分であることが仮定される。フルの列の階数を有さない“修正”混合行列の意味は、以下のセクションで明らかになる。
【０２４６】
“修正”混合行列がフルの列の階数を有する場合、式(104)を調べることで、空間４次キュムラント行列2は、“修正”ステアリングベクトルのセットで広がった信号部分空間にあることが明らかである。この場合も同様に、空間共分散行列の雑音の部分空間は、空間４次キュムラント行列2の零空間である。H.H.Chiang及びC.L.Nikiasの“The  ESPRIT  Algorithm  with  Higher-Order  Statistics”,  Proc.  Workshop  on  Higher-Order  Spectral  Analysis,  Vail,  CO.,  Jun.  1989,  pp.163-168と、C.L.Nikias及びA.P.PetropuluのHigher-Order  Spectra  Analysis:  A  Non-linear  Signal  Processing  Framework  (PTR  Prentice-Hall,  Upper  Saddle  River,  NJ:  1993)とにおいて、エレメント／センサは、αij2=1であるように単位利得で無指向性であり、従って、空間４次キュムラント行列2と空間４次キュムラント行列1とは等しくなり、“修正”混合行列がフルの列の階数を有する。しかし、実際にセンサは無指向性ではないため、このことは非現実的な仮定である。
【０２４７】
［空間４次キュムラント行列2の特性］
“修正”混合行列
【０２４８】
（外９３）
2007524860.tif 000187
がフルの列の階数を有する場合、空間４次キュムラント行列2は、空間４次キュムラント行列1と同じ多くの特性を有する。以下のセクションは、“修正”混合行列がフルの列の階数を有するという仮定で、行列ペンシルの信号部分空間分離技術の進展に関する主要な特性を導く。
【０２４９】
［特性1］
空間４次キュムラント行列2は、一般的にエルミートではない。τ1=τ2=τ且つτ3=0（すなわち、
【０２５０】
（外９４）
2007524860.tif 000188
）であり、センサの全てが所定の信号について同一の利得を有する場合且つその場合に限り、それはエルミートになる。
【０２５１】
［特性2］
空間４次キュムラント行列2のトレースは、第４の出力に対するセンサの大きさの和で評価した信号４次キュムラントの和に等しい。
【０２５２】
【数１０６】
2007524860.tif 000189
［特性3］
４次キュムラント行列2の列空間（
【０２５３】
（外９５）
2007524860.tif 000190
で示す）は、“修正”ステアリングベクトルのセットで展開される。
【０２５４】
【数１０７】
2007524860.tif 000191
更に、“修正”混合行列がフルの列の階数を有する場合、“修正”ステアリングベクトルのセットは線形独立であり、空間４次キュムラント行列2の列空間の基礎を作る。
【０２５５】
［特性4］
【０２５６】
（外９６）
2007524860.tif 000192
及び
【０２５７】
（外９７）
2007524860.tif 000193
がフルの列の階数を有する場合、空間４次キュムラント行列2の階数は、混合行列の階数に等しい。すなわち、ρ()が階数を示し、
【０２５８】
（外９８）
2007524860.tif 000194
の場合に、次のようになる。
【０２５９】
【数１０８】
2007524860.tif 000195
［特性5］
空間４次キュムラント行列2の“右”零空間及び混合行列の“左”零空間は、混合行列及び“修正”混合行列がフルの列の階数を有する場合に、等しくなる。
【０２６０】
【数１０９】
2007524860.tif 000196
［空間４次キュムラント行列の定義3］
第３及び最後の定義の空間４次キュムラント行列は、時間差(τ1,τ2,τ3)を組み込み、以下の式を生じる。
【０２６１】
【数１１０】
2007524860.tif 000197
空間４次キュムラント行列3は、同様に第r行及び第c列のエレメント
【０２６２】
【数１１１】
2007524860.tif 000198
でのNxNの行列である。
式(111)のxi(t)について式(81)を置換することで、エレメントrcは次のようになる。
【０２６３】
【数１１２】
2007524860.tif 000199
空間４次キュムラント行列2の簡略化に続いて、式(112)を変形するために、キュムラントの特性3及び仮定A3が適用される。
【０２６４】
【数１１３】
2007524860.tif 000200
しかし、仮定A4及びキュムラントの特性4により、
【０２６５】
（外９９）
2007524860.tif 000201
であり、(95)は次に帰着する。
【０２６６】
【数１１４】
2007524860.tif 000202
次に、仮定A1の音源信号の統計的な独立性と、キュムラントの特性3を繰り返し適用することにより、式(114)は次に帰着する。
【０２６７】
【数１１５】
2007524860.tif 000203
キュムラントの特性1を使用して、複素重みは、式(115)のキュムラント演算子の前に抜粋されてもよく、次を得る。
【０２６８】
【数１１６】
2007524860.tif 000204
しかし、
【０２６９】
（外１００）
2007524860.tif 000205
であり、式(116)は次になる。
【０２７０】
【数１１７】
2007524860.tif 000206
(117)から、一般的に、空間４次キュムラント行列3は、空間４次キュムラント行列1及び空間共分散行列の場合と同様に、エルミート形式に因数分解され得ないことがわかる。しかし、“修正”ステアリングベクトルのエレメントが同様に次のように定義されると、
【０２７１】
【数１１８】
2007524860.tif 000207
それは双一次形式に因数分解され得る。
【０２７２】
【数１１９】
2007524860.tif 000208
ここで、NxMの“修正”混合行列
【０２７３】
（外１０１）
2007524860.tif 000209
の第r行及び第c列のエレメントは、次のようになる。
【０２７４】
（外１０２）
2007524860.tif 000210
式(119)を展開すると、空間４次キュムラント行列3は、“修正”ステアリングベクトル
【０２７５】
（外１０３）
2007524860.tif 000211
の共役の外積と、個々の音源信号の４次キュムラントで評価したステアリングベクトルとの和として記述され得ることがわかる。
【０２７６】
【数１２０】
2007524860.tif 000212
前述のように、フルの列の階数を有する混合行列
【０２７７】
（外１０４）
2007524860.tif 000213
が、“修正”混合行列
【０２７８】
（外１０５）
2007524860.tif 000214
がフルの列の階数を有することの保証に十分であるか否かは、まだ証明されていない。しかし、アダマール積は混合行列の階数を保存することが仮定されるため、フルの列の階数を有する混合行列が、“修正”混合行列がフルの列の階数を有することの保証に十分であることが仮定される。
【０２７９】
“修正”混合行列がフルの列の階数を有する場合、式(120)を調べることで、空間４次キュムラント行列3は、共役の“修正”ステアリングベクトルのセットで広がった信号部分空間にあることが明らかである。この場合も空間４次キュムラント行列2と同様に、空間共分散行列3は雑音の部分空間を有さない。N.Yuen及びB.Friedlanderの“Asymptotic  Performance  Analysis  of  ESPRIT,  Higher-order  ESPRIT,  and  Virtual  ESPRIT  Algorithms”,  IEEE  Trans.  Signal  Processing,  Vol.  44,  No.10,  Oct.  1996, pp.2537-2550と、H.H.Chiang及びC.L.Nikiasの“The  ESPRIT  Algorithm  with  Higher-Order  Statistics”,  Proc.  Workshop  on  Higher-Order  Spectral  Analysis,  Vail,  CO.,  Jun.  1989,  pp.163-168と、C.L.Nikias及びA.P.PetropuluのHigher-Order  Spectra  Analysis:  A  Non-linear  Signal  Processing  Framework  (PTR  Prentice-Hall,  Upper  Saddle  River,  NJ:  1993)とにおいて、エレメント／センサは、αij2=1であるように単位利得で無指向性であると仮定される。
【０２８０】
［空間４次キュムラント行列3の特性］
空間４次キュムラント行列2と同様に、  “修正”混合行列
【０２８１】
（外１０６）
2007524860.tif 000215
がフルの列の階数を有する場合、空間４次キュムラント行列3は、空間４次キュムラント行列1と共通の多くの特性を有する。“修正”混合行列がフルの列の階数を有するという仮定で、行列ペンシル関連の分離技術の進展が、以下に得られる。
【０２８２】
［特性1］
空間４次キュムラント行列3は、一般的にエルミートではない。τ1=τ2=τ且つτ3=0（すなわち、
【０２８３】
（外１０７）
2007524860.tif 000216
）であり、センサの全てが所定の信号について同一の利得を有する場合且つその場合に限り、それはエルミートになる。
【０２８４】
［特性2］
空間４次キュムラント行列3のトレースは、第４の出力に対するセンサの大きさの和で評価した信号４次キュムラントの和に等しい。
【０２８５】
【数１２１】
2007524860.tif 000217
［特性3］
４次キュムラント行列3の列空間（
【０２８６】
（外１０８）
2007524860.tif 000218
で示す）は、共役の“修正”ステアリングベクトルのセットで展開される。
【０２８７】
【数１２２】
2007524860.tif 000219
更に、“修正”混合行列がフルの列の階数を有する場合、共役の“修正”ステアリングベクトルのセットは線形独立であり、空間４次キュムラント行列3の列空間の基礎を作る。
【０２８８】
［特性4］
【０２８９】
（外１０９）
2007524860.tif 000220
及び
【０２９０】
（外１１０）
2007524860.tif 000221
がフルの列の階数を有する場合、空間４次キュムラント行列3の階数は、混合行列の階数に等しい。すなわち、ρ()が階数を示し、
【０２９１】
（外１１１）
2007524860.tif 000222
の場合に、次のようになる。
【０２９２】
【数１２３】
2007524860.tif 000223
［特性5］
空間４次キュムラント行列3の“右”零空間及び混合行列の“左”零空間の共役は、混合行列及び“修正”混合行列がフルの列の階数を有する場合に、等しくなる。
【０２９３】
【数１２４】
2007524860.tif 000224
提示した空間４次キュムラント行列の３つの定義は、雑音の部分空間を有さないという主要な特性を全て有する。この特徴により、アレイの自由度を使用する必要性又は時間的白色の仮定を行う必要性を回避することが可能になり、雑音の部分空間が非ゼロの時間差で進められる。しかし、定義1と定義2及び3との間に２つの主な違いが存在する。
【０２９４】
第１に、定義2及び3は、定義1に対して計算上の利点を有する。これは、式(76)と式(93)及び(111)を比較することによりわかり、定義2及び3はN2のキュムラントが推定されることを必要とするが、定義1はN3のキュムラントが推定されることを必要とする。第２に、空間４次キュムラント行列1は信号の数に等しい階数を有することが厳密に証明されているが、混合行列がフルの列の階数を有する場合に、空間４次キュムラント行列2及び3は信号の数に等しい階数を有することが証明されていない。この第２の違いは、アダマール積が階数を保存するという証明が見出されていないという事実から生じる。従って、“修正”混合行列の特別の場合に、空間４次キュムラント行列2及び3は、ブラインド音源分離を実行するために必要な特性の導出されたセットを有することが仮定される。しかし、この仮定が真でないとわかると、アレイのセンサが同一の形状を有さない場合には、空間４次キュムラント行列2又は3は、分離を実行するために十分な自由度を有さないことがある。
【０２９５】
アレイのセンサが全て同一の形状を有する場合、センサの応答の大きさ|vij|=αijは、信号毎に定数になり、すなわち、次になる。
【０２９６】
【数１２５】
2007524860.tif 000225
式(26)から、
【０２９７】
【数１２６】
2007524860.tif 000226
であり、すべてのセンサが同一の形状を有する場合、すなわち、(125)が式(126)に置換されて次を得る場合、
【０２９８】
【数１２７】
2007524860.tif 000227
【０２９９】
【数１２８】
2007524860.tif 000228
である。更に、形状が同一である場合、全てのjについて次になる。
【０３００】
【数１２９】
2007524860.tif 000229
従って、空間４次キュムラント行列2では、センサが同一の形状を有する場合に、式(100)に(129)を置換し、双一次形式に因数分解することで、次を得る。
【０３０１】
【数１３０】
2007524860.tif 000230
従って、空間４次キュムラント行列2と空間４次キュムラント行列1は、実際の倍率で同等である。空間４次キュムラント行列3の同一経路に従って、以下のことがわかる。
【０３０２】
【数１３１】
2007524860.tif 000231
従って、センサが同一の形状である場合、空間４次キュムラント行列3は、実際の倍率で空間４次キュムラント行列1の共役と同等である。残念なことに、全てのセンサが同一の空間応答を有するという仮定は、物理的に実現不可能であり、ESPRITアルゴリズム及びその高次の対応物の取消しになることがわかる。
【０３０３】
最後に、N.Yuen及びB.Friedlanderの“Asymptotic  Performance  Analysis  of  ESPRIT,  Higher-order  ESPRIT,  and  Virtual  ESPRIT  Algorithms”,  IEEE  Trans.  Signal  Processing,  Vol.  44,  No.10,  Oct.  1996, pp.2537-2550において、定義2に対する定義3の利点は、空間４次キュムラント行列を推定するために有限長のデータが使用される場合に、特性1で説明した条件を前提として、空間４次キュムラント行列3はそのエルミート対称性を保持するという点である。この特性は、次の章で提示される行列ペンシルの手法に重要であることがわからないため、その有効性について評価しない。
【０３０４】
以下に提示するものは、空間４次キュムラント行列ペンシルの定義及び関連の特性である。空間４次キュムラント行列の標準固有分析の不確定性は、示すことにより、空間４次キュムラント行列ペンシルの使用を誘導するために記述される。行列ペンシルの定義、特性及びスペクトル理論は、特異なペンシルの処理と、広義の同値の新しい概念の進展とを含んで提示される。３つの空間４次キュムラント行列の定義の全てについて、空間４次キュムラント行列ペンシルが定義され、その特性が導かれる。最後に、空間４次キュムラント行列ペンシルのスペクトル分析が、個々の音源信号をブラインド的に分離する基礎として使用可能な一般化固有ベクトルのセットを提供することが示される。
【０３０５】
ブラインド音源を実行する分離行列の定式化は、１つ以外の全てのステアリングベクトルにそれぞれ一意に直交するベクトルのセットを見出すことを含む。これらのベクトルのセットは、場合によって正規化因数で評価され、混合行列
【０３０６】
（外１１２）
2007524860.tif 000232
を対角化する分離行列
【０３０７】
（外１１３）
2007524860.tif 000233
の列を作る。ブラインド音源分離の概念は前述した通りであり、空間４次キュムラント行列を使用して分離行列を見出す技術の進展について、以下に示す。
【０３０８】
スペクトル推定技術に基づく空間４次キュムラント行列の信号部分空間は、ブラインド分離を実行するように求められる。行列の部分空間に関して、スペクトル推定は固有分析を意味するため、スペクトルと固有という用語は交換可能に使用される。数学では、固有値（eigenvalue）はまた、しばしば固有値（proper  value）とも呼ばれる。例えば、P.R.HalmosのFinite-Dimensional  Vector  Spaces  (Springer-Verlag,  New  York,  NY:  1987)を参照のこと。その全てが参照として取り込まれる。残念なことに、一般的には、空間４次キュムラント行列の標準スペクトル分解は、混合行列を対角化する固有ベクトルのセットを直接提供しない。混合行列を対角化する空間４次キュムラント行列の固有ベクトルのセットが存在するが、この一意の固有ベクトルのセットを見出すために、全体の信号部分空間が検索される必要がある。従って、空間４次キュムラント行列の標準固有分解は、それを望ましくないようにする不確定性を有する。標準固有分析の不確定性は、セクション5.2で詳細に説明する。
【０３０９】
標準固有分解の不確定性は、空間４次キュムラント行列ペンシルの一般化固有分析を使用することで克服され得る。従って、２つの空間４次キュムラント行列の空間４次キュムラント行列ペンシルは、２つの異なるセットの時間差(0,0,0)及び(τ1,τ2,τ3)を使用することで定められる。
【０３１０】
［標準固有分析の不確定性］
統計的に独立の音源信号の混合をブラインド的に分離するためのスペクトル推定法に基づく信号部分空間の公式化は、ブラインド音源分離を実行するために、空間４次キュムラント行列1
【０３１１】
（外１１４）
2007524860.tif 000234
の標準固有ベクトルを使用とするときに存在する不確定性を調べることで始まる。一般的に、空間４次キュムラント行列1で提示された結果は、空間４次キュムラント行列2及び3に直接適用可能であるため、空間４次キュムラント行列1のみについて提示する。しかし、空間４次キュムラント行列2及び3について存在し得る何らかの違い又は例外は、適当に記述される。
【０３１２】
空間４次キュムラント行列1の標準固有値の問題は以下のように定められる。
【０３１３】
【数１３２】
2007524860.tif 000235
式(132)の等式が非零の固有ベクトル
【０３１４】
（外１１５）
2007524860.tif 000236
（関連の固有ベクトル）に適用できる場合には、スカラλは、空間４次キュムラント行列1の固有値になると考えられる。式(132)を書き換えることで、空間４次キュムラント行列1の固有ベクトルが行列ペンシルの“右”零空間にあることがわかる。すなわち、次のようになる。
【０３１５】
【数１３３】
2007524860.tif 000237
従って、
【０３１６】
【数１３４】
2007524860.tif 000238
である。λが固有値でない場合に、
【０３１７】
（外１１６）
2007524860.tif 000239
が階数Mを有するとしても、行列ペンシル
【０３１８】
【数１３５】
2007524860.tif 000240
は、階数Nで非特異である。従って、固有値λは、値ηgeom（固有値λの“幾何学的多重度”と呼ばれ、
【０３１９】
【数１３６】
2007524860.tif 000241
で得られる）により行列ペンシル
【０３２０】
（外１１７）
2007524860.tif 000242
の階数を減少させる。
【０３２１】
行列ペンシルの階数が減少した場合且つその場合に限り、λは固有値であるため、固有値は、特性方程式のルートを検索することで見出され得る。すなわち、行列ペンシルの行列式を0にさせる値
【０３２２】
【数１３７】
2007524860.tif 000243
が固有値である。式(137)の行列式は、積の和として定められる。
【０３２３】
【数１３８】
2007524860.tif 000244
ここで、セット{c1,c2,...,cN}は、全てのL=N!のこのような順列で生じた和で、最初のNの正の整数の第lの順列であり、スカラδrcは、単位行列
【０３２４】
（外１１８）
2007524860.tif 000245
の第r行及び第c列のエレメントを表す。(138)の指数は、
【０３２５】
【数１３９】
2007524860.tif 000246
によるセット{c1,c2,...,cN}の関数としてスカラ定義される。ここで、ξnはcnより小さいシーケンスcn+1,...,cNの整数の数である。式(84)を(138)に置換して、次になる。
【０３２６】
【数１４０】
2007524860.tif 000247
(140)の行列式を0に等しくするλのそれぞれ非ゼロの値は、個々の音源信号の４次キュムラントの結合になることが明らかになる。従って、各固有値が音源信号の４次キュムラントの線形結合であるため、固有ベクトルは関連のステアリングベクトルの線形結合になると予想することが合理的である。これは実際に真であることが示され得る。空間４次キュムラント行列について式(87)を置換することにより、式(132)は次になる。
【０３２７】
【数１４１】
2007524860.tif 000248
ベクトル内積
【０３２８】
（外１１９）
2007524860.tif 000249
は、
【０３２９】
【数１４２】
2007524860.tif 000250
として定められるスカラと等しく、式(141)は次になる。
【０３３０】
【数１４３】
2007524860.tif 000251
代替として、固有ベクトルのエルミート転置により(141)を予め乗算し、内積
【０３３１】
（外１２０）
2007524860.tif 000252
で除算することにより、各固有値が音源信号の４次キュムラントの線形結合であることが示され得る。その理由は、特定の固有ベクトルで式(141)と等しい唯一の固有値が存在するからである（例えば、D.A.Harville,  Matrix  Algebra  from  a  Statistician’s  Perspective  (Springer-Verlag,  New  York,  NY:  1999)を参照のこと。その全てが参照として取り込まれる）。従って、各固有値は次のように表され得る。
【０３３２】
【数１４４】
2007524860.tif 000253
これは、明らかに個々の音源信号の４次キュムラントの線形結合である。
【０３３３】
混合行列
【０３３４】
（外１２１）
2007524860.tif 000254
がフルの列の階数を有することが仮定される場合、空間４次キュムラント行列1は、特性4による階数Mを有する。従って、和が空間４次キュムラント行列のトレースに等しいMの非ゼロの固有値が存在する。すなわち、空間４次キュムラント行列1の特性2を使用して、次になる。
【０３３５】
【数１４５】
2007524860.tif 000255
(144)を式(145)に置換することで、次を得る。
【０３３６】
【数１４６】
2007524860.tif 000256
明らかに、空間４次キュムラント行列1の標準固有分析に不確定性が存在する。定義2及び3についても同じ不確定性が存在し、一般的に単位行列が空間４次キュムラント行列1と“類似”ではないという事実から生じる。従って、新しい
【０３３７】
（外１２２）
2007524860.tif 000257
行列として呼ばれ得る新しい行列が見出されなければならない。それは、行列ペンシルの単位行列を置き換え、この新しい
【０３３８】
（外１２３）
2007524860.tif 000258
行列に関して空間４次キュムラント行列1の一般化固有分析に移る空間４次キュムラント行列と“類似”である。この“類似”とは、混合行列で空間４次キュムラント行列1に対して行われたことと同様に、
【０３３９】
（外１２４）
2007524860.tif 000259
行列が双一次形式に因数分解され、定義2及び3の修正混合行列が３つの因数のうち２つであり、何らかの対角行列が第３であり得ることを意味する。すなわち、次のようになる。
【０３４０】
【数１４７】
2007524860.tif 000260
ここで
【０３４１】
（外１２５）
2007524860.tif 000261
は対角行列である。
【０３４２】
［行列ペンシルの定義、特性及びスペクトル理論］
行列ペンシルは、数学で多項演算子ペンシル（polynomial  operator  pencil）として知られているもののうちの特別の場合である。多項演算子ペンシル及びその関連のスペクトル問題は、微分方程式、境界値問題、制御理論、調和システム分析、波動伝播、弾性理論、回路シミュレーション及びモデリング、並びに流体力学のように、多くの様々な分野で自然に生じる。例えば、A.S.MarkusのIntroduction  to  the  Spectral  Theory  of  Polynomial  Operator  Pencils,  Translation  of  Mathematical  Monographs,  Vol.71  (American  Mathematical  Society,  Providence,  RI:  1988)を参照のこと。その全てが参照として取り込まれる。一般的に、n次多項演算子ペンシルは次の形式になる。
【０３４３】
【数１４８】
2007524860.tif 000262
λはスペクトルパラメータであり、
【０３４４】
（外１２６）
2007524860.tif 000263
はヒルベルト空間で動作する線形演算子である。行列ペンシル
【０３４５】
（外１２７）
2007524860.tif 000264
は、次の形式を有する１次多項演算子ペンシルである。
【０３４６】
【数１４９】
2007524860.tif 000265
一般的に、行列ペンシルは、正則又は特異に分類される。例えば、A.S.MarkusのIntroduction  to  the  Spectral  Theory  of  Polynomial  Operator  Pencils,  Translation  of  Mathematical  Monographs,  Vol.71  (American  Mathematical  Society,  Providence,  RI:  1988)と、Z.Bai、J.Demmel、J.Dongarra、A.Ruhe及びH.  van  der  VorstのTemplates  for  the  Solution  of  Algebraic  Eienvalue  Problems:  A  Practical  Guide  (SIAM,  Philadelphia,  PA:  2000)と、K.KanataniのStatistical  Optimization  for  Geometric  Computation:  Theory  and  Practice  (Elsevier  Science  B.V.,  Amsterdam,  The  Netherlands:  1996)と、G.H.Golub及びC.F.Van  LoanのMatrix  Computations  (The  John  Hopkins  University  Press,  Baltimore,  MD:  1996)と、F.R.GantmacherのThe  Theory  of  Matrices,  Volume  I  (AMS  Chelsea  Publishing,  Providence,  RI,  1997)と、F.R.GantmacherのThe  Theory  of  Matrices,  Volume  II  (AMS  Chelsea  Publishing,  Providence,  RI,  1989)とを参照のこと。そのそれぞれの全てが参照として取り込まれる。２つの行列
【０３４７】
（外１２８）
2007524860.tif 000266
が正方であり、行列ペンシルの行列式が全ての値のλについて同じようにゼロでない場合、すなわち、
【０３４８】
【数１５０】
2007524860.tif 000267
の場合、ペンシルは正則であり、そうでない場合には特異である。正則ペンシルは、行列
【０３４９】
（外１２９）
2007524860.tif 000268
及び
【０３５０】
（外１３０）
2007524860.tif 000269
の関数として連続的に変化する別個の固有値を有する。他方、特異ペンシルは、
【０３５１】
（外１３１）
2007524860.tif 000270
及び
【０３５２】
（外１３２）
2007524860.tif 000271
の不連続関数である固有値を有する。双方の種類のペンシルが実際に現れ、本発明によるBSS技術に適用可能である。標準固有問題は、
【０３５３】
（外１３３）
2007524860.tif 000272
での正則行列ペンシルである点に留意すべきである。
【０３５４】
［正則行列ペンシルの特性及びスペクトル理論］
正則ペンシルは、エルミート及び非エルミートに更に分類され得る。非エルミート行列ペンシル及びその関連の一般化非エルミート固有問題は、
【０３５５】
（外１３４）
2007524860.tif 000273
若しくは
【０３５６】
（外１３５）
2007524860.tif 000274
が非エルミートの場合、又は
【０３５７】
（外１３６）
2007524860.tif 000275
が正値定符号でない場合に生じる。空間４次キュムラント行列の特性1のため、空間４次キュムラント行列ペンシルは、一般的に非エルミートである。これは３つの定義の全てに適用できることが示される。従って、焦点は、非エルミートの正則ペンシルのみであり、そのため、正則ペンシルという用語が使用される場合には、非エルミートペンシルという意味を含む。例えば、Z.Bai、J.Demmel、J.Dongarra、A.Ruhe及びH.  van  der  VorstのTemplates  for  the  Solution  of  Algebraic  Eienvalue  Problems:  A  Practical  Guide  (SIAM,  Philadelphia,  PA:  2000)と、K.KanataniのStatistical  Optimization  for  Geometric  Computation:  Theory  and  Practice  (Elsevier  Science  B.V.,  Amsterdam,  The  Netherlands:  1996)と、G.H.Golub及びC.F.Van  LoanのMatrix  Computations  (The  John  Hopkins  University  Press,  Baltimore,  MD:  1996)と、F.R.GantmacherのThe  Theory  of  Matrices,  Volume  I  (AMS  Chelsea  Publishing,  Providence,  RI,  1997)とを参照のこと。エルミートペンシルを説明するため、そのそれぞれの全てが参照として取り込まれる。
【０３５８】
正則N×N行列ペンシルの固有多項式
【０３５９】
【数１５１】
2007524860.tif 000276
は、定義上で、λの全ての値について同じようにゼロではない。p(λ)の次数はせいぜいNである。このことは、Nの固有値が存在することを意味し、そのNの固有値は有限でも無限でもよく、p(λ)=0のルートが行列ペンシルの有限の固有値である。行列ペンシルの固有値のセット
【０３６０】
（外１３７）
2007524860.tif 000277
は、行列
【０３６１】
（外１３８）
2007524860.tif 000278
に関する行列
【０３６２】
（外１３９）
2007524860.tif 000279
の“一般化”固有値として一般的に知られており、次で定められる。
【０３６３】
【数１５２】
2007524860.tif 000280
正則ペンシルの固有値は、
【０３６４】
（外１４０）
2007524860.tif 000281
及び
【０３６５】
（外１４１）
2007524860.tif 000282
連続関数であるため、
【０３６６】
（外１４２）
2007524860.tif 000283
及び
【０３６７】
（外１４３）
2007524860.tif 000284
の小さい変化は固有値の小さい変化を引き起こす。固有多項式の次数がN未満である場合、ペンシルはN-Mの無限の固有値を有すると考えられ、Mは固有多項式p(λ)の次数である。行列ペンシルの全ての固有値のセット
【０３６８】
（外１４４）
2007524860.tif 000285
は、そのスペクトルと呼ばれる。例えば、F.R.GantmacherのThe  Theory  of  Matrices,  Volume  II  (AMS  Chelsea  Publishing,  Providence,  RI,  1989)を参照のこと。その全てが参照として取り込まれる。また、A.S.MarkusのIntroduction  to  the  Spectral  Theory  of  Polynomial  Operator  Pencils,  Translation  of  Mathematical  Monographs,  Vol.71  (American  Mathematical  Society,  Providence,  RI:  1988)と、Z.Bai、J.Demmel、J.Dongarra、A.Ruhe及びH.  van  der  VorstのTemplates  for  the  Solution  of  Algebraic  Eienvalue  Problems:  A  Practical  Guide  (SIAM,  Philadelphia,  PA:  2000)と、K.KanataniのStatistical  Optimization  for  Geometric  Computation:  Theory  and  Practice  (Elsevier  Science  B.V.,  Amsterdam,  The  Netherlands:  1996)と、G.H.Golub及びC.F.Van  LoanのMatrix  Computations  (The  John  Hopkins  University  Press,  Baltimore,  MD:  1996)と、F.R.GantmacherのThe  Theory  of  Matrices,  Volume  I  (AMS  Chelsea  Publishing,  Providence,  RI,  1997)  [45-50]とを参照のこと。標準固有値と同様に、固有値は、値ηgeom（固有値λの“幾何学的多重度”と呼ばれる）によりペンシルの階数を減少させる。
【０３６９】
有限の固有値毎に、固有値で評価された行列ペンシルの右零空間にある何らかの非ゼロのベクトルは、その固有値の“右”固有ベクトルとして定められる。
【０３７０】
【数１５３】
2007524860.tif 000286
すなわち、
【０３７１】
（外１４５）
2007524860.tif 000287
について、
【０３７２】
【数１５４】
2007524860.tif 000288
を満たす如何なるベクトル
【０３７３】
（外１４６）
2007524860.tif 000289
も固有値に対応する固有ベクトルである。行列ペンシルの固有値と同様に、固有ベクトルは、しばしば“一般化”固有ベクトルと呼ばれる。無限の固有値では、行列
【０３７４】
（外１４７）
2007524860.tif 000290
の右零空間にある如何なる非ゼロのベクトルも固有ベクトルである。すなわち、
【０３７５】
【数１５５】
2007524860.tif 000291
を満たす如何なる非ゼロのベクトルも、固有値λ=∞に対応する。N×Nの正則行列ペンシルは、Nの線形独立の固有ベクトルを有さなくてもよい。しかし、少なくとも１つの独立の固有ベクトルが、別個の固有値毎に存在する。標準固有ベクトルと同様に、一般化固有値のセット
【０３７６】
（外１４８）
2007524860.tif 000292
は一意であるが、固有ベクトルのセットはそうではない。
【０３７７】
各正則行列ペンシルは、２つの関連の部分空間（X及びYで示す）を有し、その２つの関連の部分空間は同じ次元を有し、次を満たす。
【０３７８】
【数１５６】
2007524860.tif 000293
これらの部分空間は、それぞれ右及び左デフレーティング部分空間（deflating  subspace）と呼ばれる。更に、
【０３７９】
【数１５７】
2007524860.tif 000294
であり、従って次のようになる。
【０３８０】
【数１５８】
2007524860.tif 000295
緻密な非エルミート正則一般化固有問題を解く最も強力な技術であると現在考えられているQZアルゴリズムのように、デフレーティング部分空間は、正則一般化固有問題を解く技術の進展において重要である（例えば、P.Van  Doorenの“Reducing  Subspaces:  Definitions,  Properties,  and  Algorithms”,  Matrix  Pencils,  Proc.  Pite  Havsbad,  Lecture  Notes  in  Mathematics  973,  Springer-Verlag,  New  York,  NY,  1982,  pp.58-73を参照のこと。その全てが参照として取り込まれる）[51]。
【０３８１】
最後に、
【０３８２】
（外１４９）
2007524860.tif 000296
及び
【０３８３】
（外１５０）
2007524860.tif 000297
を非特異行列とし、
【０３８４】
【数１５９】
2007524860.tif 000298
とする。この場合、行列ペンシル
【０３８５】
【数１６０】
2007524860.tif 000299
は行列ペンシル
【０３８６】
（外１５１）
2007524860.tif 000300
と“同値”になり、
【０３８７】
（外１５２）
2007524860.tif 000301
及び
【０３８８】
（外１５３）
2007524860.tif 000302
は“同値変換”と呼ばれる。行列ペンシル
【０３８９】
（外１５４）
2007524860.tif 000303
は
【０３９０】
（外１５５）
2007524860.tif 000304
と同じ固有値を有しており、その右固有ベクトル（
【０３９１】
（外１５６）
2007524860.tif 000305
で示す）は、次の変換
【０３９２】
【数１６１】
2007524860.tif 000306
により、ペンシル
【０３９３】
（外１５７）
2007524860.tif 000307
の右固有ベクトルに関係する。
【０３９４】
［特異行列ペンシルの特性及びスペクトル理論］
行列ペンシルは、矩形又は正方の場合に特異であり、
【０３９５】
【数１６２】
2007524860.tif 000308
が適用できる。正方ペンシルが特異になるために、
【０３９６】
（外１５８）
2007524860.tif 000309
及び
【０３９７】
（外１５９）
2007524860.tif 000310
の双方の行列が特異であり、共通の零空間を有さなければならない。すなわち、
【０３９８】
【数１６３】
2007524860.tif 000311
が必要であり、ペンシル
【０３９９】
（外１６０）
2007524860.tif 000312
が特異であるための十分条件である。双方の場合は実際に生じ、正則ペンシルを扱うよりかなり困難である。定義上で空間４次キュムラント行列は正方であるため、正方特異ペンシルのみについて検討する。
【０４００】
特異N×N行列ペンシルの固有多項式は、全てのλの関数について０に等しい。従って、特異ペンシルの固有値は、行列
【０４０１】
（外１６１）
2007524860.tif 000313
及び
【０４０２】
（外１６２）
2007524860.tif 000314
の不連続関数であり、特異ペンシルの固有値を定める際に注意しなければならない。明らかに、固有値は、固有多項式のルートを見つけることでは、もはや見出すことができない。その代わりに、特異ペンシルの固有値及び固有ベクトルを定めるために、縮小部分空間（reducing  subspace）の概念が使用される。
【０４０３】
ペンシル
【０４０４】
（外１６３）
2007524860.tif 000315
の右及び左縮小部分空間の対（それぞれXとYとで示す）は、次を満たす。
【０４０５】
【数１６４】
2007524860.tif 000316
【０４０６】
【数１６５】
2007524860.tif 000317
ここで、右縮小部分空間Xは、λの全有理関数の場で、ペンシルの右零空間の次元だけ左縮小部分空間Yの次元より大きい。すなわち、次のようになる。
【０４０７】
【数１６６】
2007524860.tif 000318
縮小部分空間は、正則ペンシルのデフレーティング部分空間のものと類似した役目をする。行列ペンシルの階数は、一般的にほとんどのλの値について定数Mである。
【０４０８】
【数１６７】
2007524860.tif 000319
しかし、特定のセットの値では、ペンシルの階数は“減少”し、そのため、縮小部分空間の概念を誘導する。特異ペンシルの階数を“減少”させるλの値を含む値のセット（
【０４０９】
（外１６４）
2007524860.tif 000320
で示す）は、特異ペンシルの固有値又はスペクトルである。
【０４１０】
【数１６８】
2007524860.tif 000321
ペンシルの階数が減少する量は、特定の固有値の幾何学的多重度ηgeomである。
【０４１１】
【数１６９】
2007524860.tif 000322
特異行列ペンシルの固有値は有限でも無限でも不確定でもよいことに留意すべきである。
【０４１２】
有限固有値毎に、固有値で評価された行列ペンシルの右零空間にある如何なる非ゼロのベクトルも、その固有値に対応する“右”固有ベクトルとして定められる。
【０４１３】
【数１７０】
2007524860.tif 000323
すなわち、
【０４１４】
（外１６５）
2007524860.tif 000324
について
【０４１５】
【数１７１】
2007524860.tif 000325
を満たす如何なるベクトル
【０４１６】
（外１６６）
2007524860.tif 000326
も、その固有値に対応する固有ベクトルである。不確定の固有値では、行列
【０４１７】
（外１６７）
2007524860.tif 000327
の右零空間にある如何なる非ゼロのベクトル、従って、行列
【０４１８】
（外１６８）
2007524860.tif 000328
の右零空間にある如何なる非ゼロのベクトルも、不確定の固有値に対応する固有ベクトルである。換言すると、
【０４１９】
（外１６９）
2007524860.tif 000329
にある如何なる非ゼロのベクトルも、不定の固有値に対応する固有ベクトルである。式(171)を書き直し、λについて解くことにより、以下を生じる。
【０４２０】
【数１７２】
2007524860.tif 000330
明らかに、
【０４２１】
（外１７０）
2007524860.tif 000331
が
【０４２２】
（外１７１）
2007524860.tif 000332
及び
【０４２３】
（外１７２）
2007524860.tif 000333
の共通の右零空間にあるとき（λ=0/0）、固有値は不確定である。
【０４２４】
正則ペンシルと同様に、“厳密”同値の概念がここで定義される。
【０４２５】
（外１７３）
2007524860.tif 000334
及び
【０４２６】
（外１７４）
2007524860.tif 000335
をλに依存しない非特異行列とする。ここで、
【０４２７】
【数１７３】
2007524860.tif 000336
とすると、行列ペンシル
【０４２８】
【数１７４】
2007524860.tif 000337
は、行列ペンシル
【０４２９】
（外１７５）
2007524860.tif 000338
と“厳密に同値”であり、
【０４３０】
（外１７６）
2007524860.tif 000339
及び
【０４３１】
（外１７７）
2007524860.tif 000340
は“厳密同値変換”と呼ばれる。行列ペンシル
【０４３２】
（外１７８）
2007524860.tif 000341
は
【０４３３】
（外１７９）
2007524860.tif 000342
と同じ固有値を有する。また、行列ペンシル
【０４３４】
（外１８０）
2007524860.tif 000343
の右及び左縮小
【０４３５】
（外１８１）
2007524860.tif 000344
及び
【０４３６】
（外１８２）
2007524860.tif 000345
は、
【０４３７】
【数１７５】
2007524860.tif 000346
でペンシル
【０４３８】
（外１８３）
2007524860.tif 000347
の右及び左縮小空間に関係する。縮小部分空間の同値変換の影響の結果、
【０４３９】
（外１８４）
2007524860.tif 000348
の右固有ベクトル（
【０４４０】
（外１８５）
2007524860.tif 000349
で示す）は、変換
【０４４１】
【数１７６】
2007524860.tif 000350
によりペンシル
【０４４２】
（外１８６）
2007524860.tif 000351
の右固有ベクトルに関係する。
【０４４３】
［行列ペンシルの広義の同値］
“厳密”同値の用語は、ここで“広義”の同値として定義するものと区別するために、前で強調された。λと独立したM×Nのフルの行の階数の行列
【０４４４】
（外１８７）
2007524860.tif 000352
及び
【０４４５】
（外１８８）
2007524860.tif 000353
を検討し、ここで
【０４４６】
【数１７７】
2007524860.tif 000354
である場合、N×Nの特異ペンシル
【０４４７】
（外１８９）
2007524860.tif 000355
は、M×Nの非特異ペンシル
【０４４８】
（外１９０）
2007524860.tif 000356
と広義の同値であると考えられ、ここで次のようになる。
【０４４９】
【数１７８】
2007524860.tif 000357
矩形
【０４５０】
（外１９１）
2007524860.tif 000358
又は
【０４５１】
（外１９２）
2007524860.tif 000359
を有することが、
【０４５２】
（外１９３）
2007524860.tif 000360
が特異であることを確保する十分条件である点に留意すべきである。
【０４５３】
広義の同値変換が
【０４５４】
（外１９４）
2007524860.tif 000361
のスペクトルを保存するか否か、及び
【０４５５】
（外１９５）
2007524860.tif 000362
の固有ベクトルが、何らかの同値変換で非特異ペンシル
【０４５６】
（外１９６）
2007524860.tif 000363
の固有ベクトルに関係するか否かが判断される。これが真であることを示すために、
【０４５７】
（外１９７）
2007524860.tif 000364
及び
【０４５８】
（外１９８）
2007524860.tif 000365
が特異ペンシル
【０４５９】
（外１９９）
2007524860.tif 000366
の有限又は無限の一般化固有値及び関連の固有ベクトルであるとする。M×Nの行列
【０４６０】
（外２００）
2007524860.tif 000367
がフルの行の階数を有するため、それは“右”逆行列を有する。すなわち、N×Mの行列
【０４６１】
（外２０１）
2007524860.tif 000368
は、
【０４６２】
【数１７９】
2007524860.tif 000369
のように存在する。また、行列
【０４６３】
（外２０２）
2007524860.tif 000370
がフルの行の階数を有するため、
【０４６４】
（外２０３）
2007524860.tif 000371
はフルの列の階数を有し、そのため、
【０４６５】
（外２０４）
2007524860.tif 000372
は“左”逆行列を有する。すなわち、N×Mの行列
【０４６６】
（外２０５）
2007524860.tif 000373
は、
【０４６７】
【数１８０】
2007524860.tif 000374
のように存在する。明らかに、次のようになる。
【０４６８】
【数１８１】
2007524860.tif 000375
一般化固有値問題は、次のように公式化される。
【０４６９】
【数１８２】
2007524860.tif 000376
N×1のベクトル
【０４７０】
（外２０６）
2007524860.tif 000377
を次のように定義する。
【０４７１】
【数１８３】
2007524860.tif 000378
ここで、
【０４７２】
（外２０７）
2007524860.tif 000379
は行列ペンシル
【０４７３】
（外２０８）
2007524860.tif 000380
の固有ベクトルである。積
【０４７４】
（外２０９）
2007524860.tif 000381
及び
【０４７５】
（外２１０）
2007524860.tif 000382
はスカラであるため、次のようになる。
【０４７６】
【数１８４】
2007524860.tif 000383
同様に、非特異ペンシル
【０４７７】
（外２１１）
2007524860.tif 000384
の固有値は次になる。
【０４７８】
【数１８５】
2007524860.tif 000385
(177)を式(184)に置換することで、次を生じる。
【０４７９】
【数１８６】
2007524860.tif 000386
次に、式(183)、(186)を使用して、次になる。
【０４８０】
【数１８７】
2007524860.tif 000387
明らかに、各有限又は無限の
【０４８１】
（外２１２）
2007524860.tif 000388
は、対応の固有ベクトルでのペンシル
【０４８２】
（外２１３）
2007524860.tif 000389
の固有値である。
【０４８３】
【数１８８】
2007524860.tif 000390
従って、
【０４８４】
（外２１４）
2007524860.tif 000391
の有限及び無限の固有値のセット
【０４８５】
（外２１５）
2007524860.tif 000392
は、非特異ペンシルの固有値のセットに等しくなると結論付けられ得る。すなわち、
【０４８６】
【数１８９】
2007524860.tif 000393
であり、
【０４８７】
（外２１６）
2007524860.tif 000394
の
固有ベクトル
【０４８８】
（外２１７）
2007524860.tif 000395
は、同値変換により
【０４８９】
（外２１８）
2007524860.tif 000396
の固有値に関係する。
【０４９０】
【数１９０】
2007524860.tif 000397
［空間４次キュムラント行列ペンシル：定義及び特性］
空間４次キュムラント行列ペンシルは、遅延量(0,0,0)及び(τ1,τ2,τ3)での２つの空間４次キュムラント行列の対で、次のように定められる。
【０４９１】
【数１９１】
2007524860.tif 000398
ここで、非ゼロの遅延量は、ベクトル形式で
【０４９２】
（外２１９）
2007524860.tif 000399
として示されている。空間４次キュムラント行列と同様に、空間４次キュムラント行列について３つの定義が存在する。そのそれぞれは、対の空間４次キュムラント行列で使用した定義に対応する。空間４次キュムラント行列ペンシル1は、空間４次キュムラント行列1の対を使用し、前記の式(191)で得られる。空間４次キュムラント行列ペンシル2は、定義2を使用した空間４次キュムラント行列の対で、次のように定められる。
【０４９３】
【数１９２】
2007524860.tif 000400
最後に、空間４次キュムラント行列ペンシル3は、定義3を使用した空間４次キュムラント行列の対で、次のように定められる。
【０４９４】
【数１９３】
2007524860.tif 000401
章4で、アダマール積が階数を保存する場合に、３つの定義の全てが類似の行列特性を有することが示されたため、空間４次キュムラント行列ペンシル1の特性が導かれ、空間４次キュムラント行列ペンシル2及び3の何らかの差が記述される。
【０４９５】
［空間４次キュムラント行列ペンシルの特性1］
空間４次キュムラント行列ペンシル1は、次のようにエルミート形式に因数分解され得る。
【０４９６】
【数１９４】
2007524860.tif 000402
ここで、
【０４９７】
（外２２０）
2007524860.tif 000403
は混合行列であり、
【０４９８】
（外２２１）
2007524860.tif 000404
は対角信号キュムラント行列の対のM×Mの行列ペンシルである。
【０４９９】
【数１９５】
2007524860.tif 000405
空間４次キュムラント行列ペンシル2及び3は、それぞれ次のように双一次形式に因数分解され得る。
【０５００】
【数１９６】
2007524860.tif 000406
【０５０１】
【数１９７】
2007524860.tif 000407
［空間４次キュムラント行列ペンシルの特性2］
【０５０２】
（外２２２）
2007524860.tif 000408
がフルの列の階数を有する場合、空間４次キュムラント行列ペンシル1の階数は、λの“ほとんど”の値について信号の数Mに等しい。すなわち、
【０５０３】
（外２２３）
2007524860.tif 000409
且つ
【０５０４】
（外２２４）
2007524860.tif 000410
について、次のようになる。
【０５０５】
【数１９８】
2007524860.tif 000411
空間４次キュムラント行列ペンシル2及び3は、アダマール積（196）が階数を保存する場合に、同じ特性を有する。
【０５０６】
［空間４次キュムラント行列ペンシルの特性3］
空間４次キュムラント行列ペンシルは、一般的に非エルミートである。M=N且つ
【０５０７】
（外２２５）
2007524860.tif 000412
がフルの列の階数を有する場合に、それは正則ペンシルであり、そうでない場合、M<N又は
【０５０８】
（外２２６）
2007524860.tif 000413
がフルの列の階数を有さない場合に、それは特異ペンシルである。空間４次キュムラント行列ペンシル2及び3は、ペンシルが正則であるために、(4.5)で得られるアダマール積が
【０５０９】
（外２２７）
2007524860.tif 000414
の階数を保存することを更に必要とする。
【０５１０】
［空間４次キュムラント行列ペンシルの特性4］
空間４次キュムラント行列ペンシル
【０５１１】
（外２２８）
2007524860.tif 000415
は、
【０５１２】
（外２２９）
2007524860.tif 000416
が正則ペンシルである場合に、正則ペンシル
【０５１３】
（外２３０）
2007524860.tif 000417
と厳密に同値である。そうでない場合、混合行列がフルの列の階数を有する場合、空間４次キュムラント行列ペンシル
【０５１４】
（外２３１）
2007524860.tif 000418
は正則ペンシル
【０５１５】
（外２３２）
2007524860.tif 000419
と広義で同値である。空間４次キュムラント行列ペンシル
【０５１６】
（外２３３）
2007524860.tif 000420
及び
【０５１７】
（外２３４）
2007524860.tif 000421
は、式(4.65)で得られるアダマール積が階数を保存することを更に必要とする。
【０５１８】
［空間４次キュムラント行列ペンシルのスペクトル分析］
空間４次キュムラント行列ペンシルのスペクトル理論は２つの方法で検討される。まず、厳密であれ広義であれ同値を検討すると、ペンシル
【０５１９】
（外２３５）
2007524860.tif 000422
の有限スペクトルが、信号４次キュムラントのセットに対して１対１のマッピングを有し、従って、それぞれの一般化固有値が音源に関連し、その関連の固有ベクトルが信号のステアリングベクトルに関連することが示される。固有値問題の外積展開及びステアリングベクトルの線形独立性を使用することにより、同じ関係が示される。双方の場合に、
【０５２０】
（外２３６）
2007524860.tif 000423
はフルの列の階数を有することが仮定され、関心のあるものは信号部分空間のみであるため、有限の一般化固有値及びその関連の固有ベクトルが焦点になる。前述のように、空間４次キュムラント行列ペンシル1のスペクトル理論が提示され、空間４次キュムラント行列ペンシル2及び3で生じ得る何らかの差が記述される。
【０５２１】
空間４次キュムラント行列ペンシルの特性4から、
【０５２２】
（外２３７）
2007524860.tif 000424
は、M×Mの正則ペンシル
【０５２３】
（外２３８）
2007524860.tif 000425
と厳密又は広義に同値である。同値の定義から、
【０５２４】
（外２３９）
2007524860.tif 000426
の有限及び無限のスペクトル固有値のセット
【０５２５】
（外２４０）
2007524860.tif 000427
は、ペンシル
【０５２６】
（外２４１）
2007524860.tif 000428
のスペクトル
【０５２７】
（外２４２）
2007524860.tif 000429
に等しい。
【０５２８】
【数１９９】
2007524860.tif 000430
明らかに、
【０５２９】
（外２４３）
2007524860.tif 000431
が正則である場合に、次になる。
【０５３０】
【数２００】
2007524860.tif 000432
ペンシル
【０５３１】
（外２４４）
2007524860.tif 000433
が正則であるため、そのスペクトルは、ゼロに等しいその行列式のセットのルートを見出すことにより、決定され得る。
【０５３２】
（外２４５）
2007524860.tif 000434
が定義上で対角であるため、行列式はその対角成分の積になる。すなわち、次になる。
【０５３３】
【数２０１】
2007524860.tif 000435
(201)を調べることにより、
【０５３４】
（外２４６）
2007524860.tif 000436
のスペクトルは次のセットになる。
【０５３５】
【数２０２】
2007524860.tif 000437
仮定A2により、信号キュムラントは厳密に非ゼロであり、従って、スペクトルは多重度を考慮してMの有限の非ゼロの固有値を有し、そのそれぞれがゼロ及び非ゼロの遅延での特定の信号のキュムラントの比に対応する。固有値は複素である可能性があるため、それらを整列する固定の方法は存在しない。しかし、便宜上で、λjとしての第jの信号に関連付けて整列される。すなわち、次になる。
【０５３６】
【数２０３】
2007524860.tif 000438
Mの固有値のうち、それぞれの値がηkの多重度を有するμkで示すKの別個の値のみが存在してもよい。従って、固有値は、μkに等しい固有値を有する
【０５３７】
（外２４７）
2007524860.tif 000439
で示すKのセットにグループ化され得る。
【０５３８】
【数２０４】
2007524860.tif 000440
対角正則ペンシルではηkgeom=ηkalg=ηkである点に留意すべきである。明らかに、次になる。
【０５３９】
【数２０５】
2007524860.tif 000441
μk毎に、非ゼロの遅延のキュムラントに対するゼロの遅延のキュムラントの同じ比を備えたηkの信号が存在する。この比は、正規化４次自己キュムラントとして以下の章で定めるものの逆数である。
【０５４０】
正則ペンシルの特定の固有値に対応する“右”固有ベクトルは、固有値で評価されたペンシルの右零空間にある比ゼロのベクトルである。
【０５４１】
【数２０６】
2007524860.tif 000442
固有ベクトル
【０５４２】
（外２４８）
2007524860.tif 000443
は、λ=λj=μk（別個の固有値）で評価されたときに比ゼロのエレメントを有する対角ペンシルの列に対応するインデックスでの位置でM-ηkのゼロを有するM×1のベクトルである。これについて一例として示す。
【０５４３】
例えば、M×Mの対角ペンシル（M>3）は、次の形式を有する。
【０５４４】
（外２４９）
2007524860.tif 000444
【０５４５】
（外２５０）
2007524860.tif 000445
の場合に、
【０５４６】
（外２５１）
2007524860.tif 000446
であり、別個の固有値μ1は２の多重度を有する。固有値λ1及びλ3に対応する固有ベクトルは、次の形式を有する。
【０５４７】
（外２５２）
2007524860.tif 000447
ここでe1j及びe3jは任意のスカラであり、双方はゼロに等しくない。明らかに固有ベクトルは一意でないが、非ゼロの位置及び固有ベクトルは信号に一意に関連する。
【０５４８】
Mの固有ベクトルのセットが必要になる。しかし、Kのみの別個の固有値が存在する場合に、繰り返しの適切な値に対応する固有ベクトルを選択することに注意が行われなければならず、それにより、その後の分離段階は繰り返しの固有値に関連する信号を分離するために使用されてもよい。繰り返しの固有値に対応する固有ベクトルを見出す制約について、以下の章で説明する。
【０５４９】
次に空間４次キュムラント行列ペンシル
【０５５０】
（外２５３）
2007524860.tif 000448
を検討する。混合行列
【０５５１】
（外２５４）
2007524860.tif 000449
がフルの列の階数を有すると仮定すると、空間４次キュムラント行列ペンシルの特性4により、
【０５５２】
（外２５５）
2007524860.tif 000450
はペンシル
【０５５３】
（外２５６）
2007524860.tif 000451
に厳密又は広義で同値になる。従って、ペンシル
【０５５４】
（外２５７）
2007524860.tif 000452
は、
【０５５５】
（外２５８）
2007524860.tif 000453
と同じ有限及び無限の固有値を有し、有限の固有値に対応する
【０５５６】
（外２５９）
2007524860.tif 000454
の固有ベクトル（
【０５５７】
（外２６０）
2007524860.tif 000455
で示す）は、
【０５５８】
【数２０７】
2007524860.tif 000456
により
【０５５９】
（外２６１）
2007524860.tif 000457
の固有ベクトルに関係する。
【０５６０】
（外２６２）
2007524860.tif 000458
の行が定義上で共役の信号のステアリングベクトルであるため
【０５６１】
【数２０８】
2007524860.tif 000459
【０５６２】
（外２６３）
2007524860.tif 000460
の列は、その自分の列インデックスに対応するインデックスでの行の１つを除く全てのステアリングベクトルに直交しなければならない。従って、
【０５６３】
（外２６４）
2007524860.tif 000461
の列は、信号のステアリングベクトルに一意に関連する。従って、次がわかる。
【０５６４】
【数２０９】
2007524860.tif 000462
従って、固有ベクトル
【０５６５】
（外２６５）
2007524860.tif 000463
は、信号をブラインド的に分離するために使用され得る。前述のように、繰り返しの固有値に対応する固有ベクトルの選択は、注意深く行われなければならない。明らかに、
【０５６６】
（外２６６）
2007524860.tif 000464
の出力は、混合行列の行の線形結合であり、従って、固有ベクトルに関連する信号のステアリングベクトルの行の線形結合であるベクトルを生じる。それは、
【０５６７】
（外２６７）
2007524860.tif 000465
の非ゼロのエレメントに対応する
【０５６８】
（外２６８）
2007524860.tif 000466
の行である。空間４次キュムラント行列ペンシル2及び3では、アダマール積が
【０５６９】
（外２６９）
2007524860.tif 000467
の階数を保存する場合、ペンシル
【０５７０】
（外２７０）
2007524860.tif 000468
及び
【０５７１】
（外２７１）
2007524860.tif 000469
の“左”固有ベクトル間で対応の同値変換を利用することにより、類似の結果が見出される。固有値で評価したペンシルの左零空間にある左固有ベクトル（すなわち、1×Nのベクトル
【０５７２】
（外２７２）
2007524860.tif 000470
で類似の結果が実現されることに留意すべきである。空間４次キュムラント行列ペンシルの前記のスペクトル分析は、ペンシルを外積の和に展開し、ステアリングベクトルの線形独立性を利用することによる代替方法で実行され得る。行列ペンシル
【０５７３】
（外２７３）
2007524860.tif 000471
の一般化（右）固有値問題は、以下のように定められる。
【０５７４】
【数２１０】
2007524860.tif 000472
(210)の空間４次キュムラント行列に式(87)を置換し、項を再整理することで次を生じる。
【０５７５】
【数２１１】
2007524860.tif 000473
混合行列がフルの列の階数を有すると仮定する場合、その列は線形独立であり、式211が成立する全てのjについて
【０５７６】
【数２１２】
2007524860.tif 000474
が適用できる。これは、
【０５７７】
（外２７４）
2007524860.tif 000475
のときの如何なるjについて次を導く。
【０５７８】
【数２１３】
2007524860.tif 000476
特性5により、
【０５７９】
（外２７５）
2007524860.tif 000477
及び
【０５８０】
（外２７６）
2007524860.tif 000478
は共通の零空間を有するため、ペンシルが特異である場合に
【０５８１】
（外２７７）
2007524860.tif 000479
が
【０５８２】
（外２７８）
2007524860.tif 000480
の零空間のみにあるため、
【０５８３】
（外２７９）
2007524860.tif 000481
の零空間にある如何なる固有ベクトルも対応の不確定の固有値を有する。従って、前記の同値の手法と同様に、固有値及びその関連の固有ベクトルは、判別式として動作する比
【０５８４】
【数２１４】
2007524860.tif 000482
で、音源信号に一意に関連する。修正混合行列
【０５８５】
（外２８０）
2007524860.tif 000483
がフルの列の階数を有する場合に、同様の結果が空間４次キュムラント行列ペンシル2及び3にも適用できる。
【０５８６】
本発明によるブラインド音源分離技術について、３つの空間４次キュムラント行列の定義の全てを利用して説明し、識別可能性の条件について議論した。分離アルゴリズムが分離出力効率（SPE）を最大化することを可能にするように、正規化方法も作られる。正規化４次自己キュムラントの概念が提示され、カスケード処理を促進するために繰り返しの固有値の固有ベクトルを選択する方法が作られる。
【０５８７】
図５は、本発明のよるブラインド音源技術及びプロセッサの機能ブロック図である。狭帯域の仮定のもとでMの統計的に独立の音源信号をブラインド的に分離することは、混合行列
【０５８８】
（外２８１）
2007524860.tif 000484
を対角化するN×Mの分離行列
【０５８９】
（外２８２）
2007524860.tif 000485
を見出すことを必要とする。すなわち、式(39)から、分離行列は次のように求められる。
【０５９０】
【数２１５】
2007524860.tif 000486
この分離行列の計算は、ブラインド音源分離技術の１つの機能である。
【０５９１】
空間４次キュムラント行列ペンシルの一般化固有ベクトルは、２つの異なるセットの時間差でのそのキュムラントの比に基づいて信号を分離することを、前に説明した。これらの結果は、分離を計算する技術を公式化する際に利用される。この技術は、残差干渉対信号比（ISR：interference-to-signal  ratio）を理論的に最小化し、適切な正規化で分離出力効率（SPE）を最大化する。
【０５９２】
また、前述したように、空間４次キュムラント行列ペンシルの固有ベクトルを見出す因数は、正規化４次自己キュムラントと呼ばれるものである。これは、個々の音源信号の正規化４次自己キュムラントの逆数に等しい空間４次キュムラント行列ペンシルの有限の固有値から生じる。分子キュムラントの時間差のセットでの、前述の２つの異なるセットの時間差でのキュムラントの比は、0に等しい。特に、信号が一意の正規化４次自己キュムラントを有する場合、関連の固有ベクトルは、他の信号のステアリングベクトルの全てに直交し、正規化４次自己キュムラントは、信号識別関数として動作すると考えられ得る。この章では、正規化４次自己キュムラントが定義され、識別関数としてのその使用について、いくつかのコメントが行われる。
【０５９３】
複数の信号が、使用される遅延量のセットで同じ正規化４次自己キュムラントを有する場合、繰り返しの固有値が生じる。理想的には信号がもはや同じ正規化４次自己キュムラントを有さない新しいセットの時間遅延で分離技術を繰り返すことを促進するために、結果のステアリングベクトルが線形独立のままになることを確保するために、繰り返しの固有値の固有ベクトルを選択する際に注意が行われなければならない。繰り返しの固有値に関連する固有ベクトルを選択する基準を以下に提示する。新しいステアリングベクトルの結果のセットが線形独立のままになることが示される。
【０５９４】
ブラインド音源分離アルゴリズムを評価する際に使用される１つの性能指標は、分離出力効率（SPE）である。１のSPEを実現するために、分離ベクトルと関連のステアリングベクトルとの内積は１の大きさを有さなければならない。これを実現するために、分離ベクトルの基礎を作る固有ベクトルは正規化されなければならない。その理由は、それはステアリングベクトルと共直線性であるが、１のSPEが実現可能であることを確保するために、必ずしも正確な大きさを有する必要がないからである。従って、正規化アルゴリズムは、SPEが最大化されることを確保するように作られる。空間４次キュムラント行列について３つの定義が存在するため、それぞれに異なる正規化技術が必要になる。
【０５９５】
信号の瞬間線形結合を分離することを可能にする識別可能性の条件を以下に示す。これらは、２〜３例を挙げると、ステアリングベクトルの線形独立性と、音源信号の統計的独立性及び非ガウスの性質と、各信号が別個の正規化４次自己キュムラントを有する時間遅延のセットの存在とを含む。最後に、空間４次キュムラント行列ペンシルに基づくアルゴリズムが、フローチャートでステップ毎に提示される。各ステップについて説明し、存在する場合には重要な問題について提示する。アルゴリズムで異なる空間４次キュムラント行列の定義を使用する際に存在し得る差が、強調される。
【０５９６】
［信号識別子としての正規化４次自己キュムラント］
空間４次キュムラント行列ペンシルの一般化固有値は、次になることが以前に示された。
【０５９７】
【数２１６】
2007524860.tif 000487
分離を行うために、別個の固有値λjが信号毎に必要になる。従って、λjは“信号識別子”として動作する。この識別子とその特性を調べるために、第jの信号の正規化４次自己キュムラントは次のように定められる。
【０５９８】
【数２１７】
2007524860.tif 000488
明らかに、信号に関連する一般化固有値は、その正規化４次自己キュムラントの逆数である。
【０５９９】
【数２１８】
2007524860.tif 000489
仮定A1により、信号rj(t)は定常の非ガウスランダム過程である。更に、仮定A2により、信号は、出力Pjでのゼロ平均及び非ゼロの４次モーメントを有することが仮定される。これらの仮定により、信号４次キュムラントが存在し、非ゼロであることを確保する。これらの仮定に対する必要な拡張は、４次自己キュムラントも存在して非ゼロであるように、時間遅延のセット(τ1,τ2,τ3)が選択される点である。従って、正規化４次自己キュムラントが存在し、有限でることが仮定されてもよい。
【０６００】
信号は定常のランダム過程であると仮定されているため、そのモーメントは時間差又は遅延(τ1,τ2,τ3)のみに依存する。従って、正規化４次キュムラントは３次元関数である。このように、信号を分離するために、１つのみの独立した変数を有する２次技術に対して、信号が一意の正規化４次自己キュムラントを有することを確保するように動作する３つの独立の変数が存在する。これは、２次空間相関に基づく手法に対する４次キュムラントの手法の更なる明確な利点である。
【０６０１】
正規化４次自己キュムラントは、一般的に複素数値になる。時間量のセット(0,0,0)での信号のキュムラントは実数値になるが、時間量(τ1,τ2,τ3)でのキュムラントは複素数値になる。このように、正規化４次自己キュムラントは、(τ1,τ2,τ3)の関数である位相情報を含む。位相雑音、搬送周波数、送信フィルタ応答、増幅器の応答、送信機のクロックのジッタ、伝搬チャネルの伝達関数等のような、音源信号エミッタの属性は、音源信号の正規化４次事故キュムラントに寄与する。受信音源信号の定義
【０６０２】
【数２１９】
2007524860.tif 000490
から、キュムラントの特性1を使用して、正規化４次自己キュムラントが信号の出力の関数でないことが明らかである。
【０６０３】
【数２２０】
2007524860.tif 000491
従って、異なる信号出力を有することによるのではなく、一意の正規化４次自己キュムラントを有する基礎の波形を有することにより、信号が識別される。
【０６０４】
前述のように、第jのエミッタからの単位出力変調信号は、送信機に固有の特性により影響を受ける。実際には２つの送信機はほとんど同一の信号を作らないため、音源信号は、一意の４次自己キュムラント関数を有する可能性が高く、そのため、一意の正規化４次自己キュムラント関数を有する可能性が高い。従って、信号のグループが一意の正規化４次自己キュムラントを有し、それにより、分離され得るような、時間遅延のセットが存在することが予想される。
【０６０５】
［繰り返しの固有値についての固有ベクトルの選択］
複数の信号の正規化４次自己キュムラント関数が時間遅延のセットで同じ値を有するように選択されると、繰り返しの固有値の問題が生じる。この状況では、これらの固有ベクトルから作られる分離ベクトルのセットが、フルの列の階数を有する新しい低次元の混合行列に混合行列を変換することを確保するために、関連の固有ベクトルを選択する際に注意が行われなければならない。このことは、分離アルゴリズムがこの新しい低次元の混合行列で混合された繰り返しの固有値に関連する信号を繰り返し分離することができることを確保する。
【０６０６】
図６は、単一の繰り返しの固有値について分離アルゴリズムを繰り返すことを示す。図６において、第１の分離段階のM×1のベクトル出力
【０６０７】
（外２８３）
2007524860.tif 000492
は、２つのベクトルに分割される。１つは、一意の固有値に対応する
【０６０８】
（外２８４）
2007524860.tif 000493
のM-ηkのエレメントを有するものであり、
【０６０９】
（外２８５）
2007524860.tif 000494
で示す。もう１つは、多重度ηkを有する繰り返しの固有値μkに対応する
【０６１０】
（外２８６）
2007524860.tif 000495
のηkのエレメントを有するものであり、
【０６１１】
（外２８７）
2007524860.tif 000496
で示す。第１の分離段階のときに、新しいηk×ηkの分離
【０６１２】
（外２８８）
2007524860.tif 000497
が、繰り返しの固有値に関連する信号を分離すると考えられる。新しい分離行列は、異なるセットの時間遅延で空間４次行列ペンシルアルゴリズムを繰り返すことにより見出される。しかし、アルゴリズムを２度使用するために、以下のセクションで説明する識別可能性の条件が適用できなければならない。これらの１つは、混合行列がフルの列の階数を有しており、そのため、新しい低次元のηk×ηkの混合行列
【０６１３】
（外２８９）
2007524860.tif 000498
がフルの列の階数を有さなければならないという点である。それぞれの繰り返しの固有値は、類似の新しい混合行列を有しており、分離アルゴリズムが繰り返される。
【０６１４】
新しい混合行列
【０６１５】
（外２９０）
2007524860.tif 000499
がフルの列の階数を確保するように繰り返しの固有値に関連した固有ベクトルを選択する要件は、以下で得られる。特定の固有値に関連する信号を表す整数のセットは以下のように定められる。
【０６１６】
【数２２１】
2007524860.tif 000500
固有値λjが第jの信号の正規化自己キュムラントの逆数であることを思い出すと、次になる。
【０６１７】
【数２２２】
2007524860.tif 000501
Mの信号が存在するため、繰り返しを含み、Mの固有値が存在し、そのうちのKのみが別個である。別個の固有値は、μk（k∈1,2,...,K）で示す。スケール化又は正規化したMの関連のN×1の固有ベクトルは、分離行列
【０６１８】
（外２９１）
2007524860.tif 000502
の列である。
【０６１９】
【数２２３】
2007524860.tif 000503
式(215)から、分離行列が全ての信号を分離する場合、結果の行列の積
【０６２０】
（外２９２）
2007524860.tif 000504
は対角であることがわかる。このことは、Mの別個の固有値が存在する場合にのみ生じる。前述のように、繰り返しの固有値について、固有ベクトルは、関連しないものからの特定の固有値に関連する信号を分離する。しかし、結果のスカラは、関連の信号の線形結合である。従って、行列積
【０６２１】
（外２９３）
2007524860.tif 000505
は、k=1,2,...,Kについてのセットgkによりインデックス化された列のηkに非ゼロのエレメントをそれぞれ有する、セットgkでインデックス化されたηkの行を有する。これは、Mの別個の固有値の場合にも適用でき、K=M且つηk=1,∀ｋ,k=j且つ各gkがそれに唯一のエレメントk=jを有する場合、
【０６２２】
（外２９４）
2007524860.tif 000506
は対角である。
【０６２３】
新しい混合行列
【０６２４】
（外２９５）
2007524860.tif 000507
は、除去されたセットgkに含まれない整数によりインデックス化された行（すなわち、全てがゼロである行）を有するセットgkによりインデックス化された
【０６２５】
（外２９６）
2007524860.tif 000508
のηkの列で構成される。従って、
【０６２６】
（外２９７）
2007524860.tif 000509
は、ベクトル
【０６２７】
（外２９８）
2007524860.tif 000510
のηkのエレメントを形成する繰り返しの固有値に関連するηkの信号を線形混合するηk×ηkの行列である。
【０６２８】
（外２９９）
2007524860.tif 000511
が最初の分離処理に対するのと同様に、
【０６２９】
（外３００）
2007524860.tif 000512
は第２段階の分離処理に対するものであるため、それは
【０６３０】
（外３０１）
2007524860.tif 000513
と同様の特性を有する必要があり、主として、それはフルの列の階数を有さなければならない。
【０６３１】
【数２２４】
2007524860.tif 000514
【０６３２】
（外３０２）
2007524860.tif 000515
がフルの列の階数を有することを確保する
【０６３３】
（外３０３）
2007524860.tif 000516
を選択するための条件が決定されなければならない。
【０６３４】
（外３０４）
2007524860.tif 000517
は、固有ベクトル
【０６３５】
（外３０５）
2007524860.tif 000518
のスケール化バージョンであるため、
【０６３６】
（外３０６）
2007524860.tif 000519
関する制約は、実際には
【０６３７】
（外３０７）
2007524860.tif 000520
の選択についての制約になる。j∈gkについて固有ベクトル
【０６３８】
（外３０８）
2007524860.tif 000521
が線形独立であることを必要とすることは、
【０６３９】
（外３０９）
2007524860.tif 000522
がフルの列の階数を有する場合、
【０６４０】
（外３１０）
2007524860.tif 000523
がフルの列の階数を有することを保証するために十分であるということが示される。
【０６４１】
［分離ベクトルの形成：固有ベクトルの正規化］
固有ベクトルは、関連の固有値に等しい正規化自己キュムラントを有するものを除くすべての信号に対して直交しているが、内積
【０６４２】
【数２２５】
2007524860.tif 000524
は、1の最大SPEが実現されることを確保しない。従って、分離ベクトルは、各固有ベクトルを1の最大SPEを確保する実数の正規化因数γjによりスケール化することにより形成される。
【０６４３】
【数２２６】
2007524860.tif 000525
繰り返しの固有値について、正規化因数は異なる効果を有し、第１の分離段階での繰り返しの固有値に関する固有ベクトルを正規化する明らかな利点は存在しない。更に、実現可能なSPEについての分離アルゴリズムの繰り返しの効果の研究が必要になる。
【０６４４】
式(139)から、内積
【０６４５】
【数２２７】
2007524860.tif 000526
が、一般には複素である“損失”項ρjを生じることがわかる。式(63)から、SPEは、次になることがわかる。
【０６４６】
【数２２８】
2007524860.tif 000527
式(227)を式(228)に代入することにより、次を得る。
【０６４７】
【数２２９】
2007524860.tif 000528
SPEを1にするために、次のことが必要になる。
【０６４８】
【数２３０】
2007524860.tif 000529
そのため、
【０６４９】
【数２３１】
2007524860.tif 000530
のような正規化因数γjが必要になり、従って、次になる。
【０６５０】
【数２３２】
2007524860.tif 000531
一意の固有値に関連する固有ベクトルについてのこのスケール因数の計算は、利用可能な変数が異なるため、使用される空間４次キュムラント行列の定義に依存する。空間４次キュムラント行列1について、SPEが1の最大値を実現することを確保する正規化因数が見出され、以下のサブセクションで導かれる。しかし、空間４次キュムラント行列2及び3について、双一次形式による修正混合行列
【０６５１】
（外３１１）
2007524860.tif 000532
の存在により、一意に定まらない正規化因数を解くために利用可能な式のセットが得られ、それにより、定義2及び3を用いることで、分離が1のSPEを実現することを、出力損失が回避する。
【０６５２】
［空間４次キュムラント行列1の正規化］
固有ベクトルの正規化で連動する利用可能なデータは、空間４次キュムラント行列と、固有値と、関連の固有ベクトルのみである。式(225)から、次のようになり、
【０６５３】
【数２３３】
2007524860.tif 000533
前述のように、
【０６５４】
（外３１２）
2007524860.tif 000534
が別個の固有値に関連すると仮定すると、第jの位置に非ゼロのエレメントを有する
【０６５５】
【数２３４】
2007524860.tif 000535
になることが知られている。従って、空間４次キュムラント行列1が、
【０６５６】
【数２３５】
2007524860.tif 000536
（ただし、
【０６５７】
（外３１３）
2007524860.tif 000537
はM×Mの対角行列）のようにエルミート形式に因数分解され得るため、積は、次のようになる。
【０６５８】
【数２３６】
2007524860.tif 000538
式(236)のユークリッド又はl2のノルムは、次になる。
【０６５９】
【数２３７】
2007524860.tif 000539
しかし、
【０６６０】
【数２３８】
2007524860.tif 000540
であるため、
【０６６１】
【数２３９】
2007524860.tif 000541
になる。更に、式(236)の積に第jの固有ベクトルのエルミート転置を前から乗算することで、スカラ
【０６６２】
【数２４０】
2007524860.tif 000542
を生じる。式(239に対する(240)の絶対値の比を検討すると、スカラ
【０６６３】
【数２４１】
2007524860.tif 000543
を得る。従って、(232)の未知の分母が求められ、それにより、空間４次キュムラント行列1を利用したときの正規化因数は、次のようになる。
【０６６４】
【数２４２】
2007524860.tif 000544
［空間４次キュムラント行列2及び3の正規化］
空間４次キュムラント行列2及び3は、エルミート形式には因数分解できないが、その代わりに、それぞれ
【０６６５】
【数２４３】
2007524860.tif 000545
【０６６６】
【数２４４】
2007524860.tif 000546
として示されるような双一次形式に因数分解することができる。５章の結果から、空間４次キュムラント行列を使用して形成されたペンシルは、空間４次キュムラント行列ペンシル2の固有ベクトルの共役に等しい空間４次キュムラント行列ペンシル3の関連の固有値を有する同一の固有値を有する。従って、正規化因数が実数であるため、存在する場合には、それは両方の定義で同じものになる。
【０６６７】
空間４次キュムラント行列2及び3はエルミート形式に因数分解できないため、修正混合行列は、式(232)で得られる正規化因数を推定しようとするときに処理される必要がある。残念なことに、一般には、次になる。
【０６６８】
【数２４５】
2007524860.tif 000547
更に、別個の固有値についてさえ、固有ベクトル（特に右固有ベクトル
【０６６９】
（外３１４）
2007524860.tif 000548
は、一般的に
【０６７０】
（外３１５）
2007524860.tif 000549
を除く全ての修正ステアリングベクトルにもはや直交せず、修正ステアリングベクトルが1のユークリッドノルムを有することを確保しない。すなわち、一般的に、次のようになる。
【０６７１】
【数２４６】
2007524860.tif 000550
従って、空間４次キュムラント行列1が|εj|の推定に可能なものを有するという特性は、空間４次キュムラント行列2及び3によっては共有されない。
【０６７２】
空間４次キュムラント行列2又は3のみを検討して、|εj|を解くときに、関連のペンシルの一般化固有値、並びにその関連の左固有ベクトル
【０６７３】
（外３１６）
2007524860.tif 000551
及び右固有ベクトル
【０６７４】
（外３１７）
2007524860.tif 000552
は一意ではない。空間４次キュムラント行列1はエルミート形式に因数分解され得るため、空間４次キュムラント行列ペンシル1の左及び右固有ベクトルはエルミート転置により関係する。すなわち、
【０６７５】
（外３１８）
2007524860.tif 000553
が空間４次キュムラント行列ペンシル1の右固有ベクトルである場合、
【０６７６】
（外３１９）
2007524860.tif 000554
は左固有ベクトルである。従って、積
【０６７７】
（外３２０）
2007524860.tif 000555
は、１つが|εj|である２つのみの未知数を有する。同様に、
【０６７８】
（外３２１）
2007524860.tif 000556
は、
【０６７９】
（外３２２）
2007524860.tif 000557
であるため、同一の２つの未知数を有し、従って|εj|を解くことができる。しかし、空間４次キュムラント行列2、及び同様に3に対して、次のようになる。
【０６８０】
【数２４７】
2007524860.tif 000558
【０６８１】
【数２４８】
2007524860.tif 000559
ただし、
【０６８２】
（外３２３）
2007524860.tif 000560
は、第jの信号に関する1×Nの左固有ベクトルであり、
【０６８３】
【数２４９】
2007524860.tif 000561
である。
【０６８４】
従って、２つの方程式と４つの未知数が存在する。遅延量(τ1,τ2,τ3)で空間４次キュムラント行列2を使用することにより、４つの方程式を定めようとすることで、４つの方程式と５つの未知数を有するものを生じる。従って、空間４次キュムラント行列2と、同様に3について、正規化因数を解くことは、解決不可能な一意でない問題を生じる。これは、1の最大SPEを確保する正規化因数を解くことができるため、定義1の更なる利点である。
【０６８５】
［識別可能性の条件］
識別可能性は、分離ベクトルを到達する音源信号に一意に関連付けるブラインド音源分離アルゴリズムの機能を扱い、他の信号を抑制することにより、線形混合からそれを分離する。提案されているブラインド音源分離アルゴリズムが分離を実行するために、特定の条件を満たされねばならない。いくつかは、信号及び雑音の仮定として既に提示されており、空間４次キュムラント行列ペンシルに基づくブラインド音源分離アルゴリズムが音源信号の分離を実現するのに課される条件として再び説明する。必要な識別可能性の条件が少ないほど、広義の音源分離問題を扱うという意味で、アルゴリズムがより強力になる。CI1〜CI5の識別可能性についての５つの条件を以下に示す。
CI1：混合行列
【０６８６】
（外３２４）
2007524860.tif 000562
はフルの列の階数を有する。これは、センサの数以下の音源の数を必要とし（すなわち、M≦N）、信号ステアリングベクトルが線形独立になることを必要とする。
CI2：正規化４次自己キュムラント
【０６８７】
（外３２５）
2007524860.tif 000563
は、信号毎に異なる。アルゴリズムは、同一の正規化４次自己キュムラントを有する第１の段階での信号でのみ動作する第２の分離段階において、異なる遅延量(τ1,τ2,τ3)で繰り返されてもよい。
CI3：アレイを照射するMの音源信号は、統計的に独立の非ガウス定常ランダム過程であり、空間４次キュムラント行列の推定期間で４次に対して定常である。
CI4：雑音過程は、定常ガウスランダム過程である。それらは、空間的又は時間的に白色である必要はない。空間４次キュムラント行列の推定期間のみで定常性が要求される。
CI5：空間４次キュムラント行列2及び3について、アダマール積
【０６８８】
【数２５０】
2007524860.tif 000564
は、混合行列
【０６８９】
（外３２６）
2007524860.tif 000565
の階数を保存する。すなわち、修正混合行列はフルの列の階数を有する。空間４次キュムラント行列を使用する場合には、この条件は必要とされない。
【０６９０】
［分離行列生成アルゴリズム］
図７及び図８は、本発明の実施例に従って空間４次キュムラント行列ペンシルを使用したブラインド音源分離を実行する処理のフローチャートである。そのアルゴリズムは、遅延量(τ1,τ2,τ3)（ただし、(τ1,τ2,τ3)≠(0,0,0)である）を入力として必要とする。ステップ61において、遅延量の値τ1,τ2,τ3が提供され、ステップ63において、センサデータ値x(t)が提供される。位相情報を保存するため、τ1≠τ2又はτ3≠0であることが推奨される。これにより、繰り返しの固有値の発生を低減することができ、そのため、分離が繰り返しされる回数を低減することができる。
【０６９１】
ステップ60において、遅延(0,0,0)及び(τ1,τ2,τ3)での空間４次キュムラント行列の推定が、行列エレメント毎に実行される。キュムラントはデータからは直接的に推定することができないため、４次までのすべてのモーメントが推定されなければならない。この推定は、アレイが伝搬波動場をサンプリングし、センサ出力データ
【０６９２】
（外３２７）
2007524860.tif 000566
を生成するとともにリアルタイムで行われてもよく、又はキュムラントの推定に必要な全てのデータセットが取得された後に行われてもよい。
【０６９３】
空間４時キュムラント行列
【０６９４】
（外３２８）
2007524860.tif 000567
及び
【０６９５】
（外３２９）
2007524860.tif 000568
の推定後に、ステップ62において、行列ペンシル
【０６９６】
（外３３０）
2007524860.tif 000569
の一般化固有分析が実行され、それの有限スペクトル
【０６９７】
（外３３１）
2007524860.tif 000570
を決定する。ステップ64において、別個の有限の固有値の数Kと、それぞれ別個の固有値の多重度とが決定される。スペクトルは、信号の正規化４次自己キュムラントにそれぞれ対応する多重度を検討して、Mの有限値を有する。Mの固有値のうち、それぞれ多重度ηkを有するKの別個の固有値μk（k∈1,2,...,K）が存在する。別個の固有値ηk毎に、線形独立の固有ベクトルが計算される。ステップ66において、インデックスkがゼロに設定される。インデックスkは、各固有値が指定されることを確保するのに利用される。ステップ68において、別個の固有値インデックスkが、別個の有限の固有値の数Kと比較される。少なくとも１つの別個の固有値が存在するため、Kはゼロに等しくない。従って、第１の繰り返しで、kはK未満であり、処理は、図７及び図８の丸印の記号“A”で示すステップ72に進む。ステップ72において、多重度ηkが１より大きいか否かが決定される。多重度ηkが１より大きくない場合、処理はステップ74に進む。ステップ74において、固有ベクトル
【０６９８】
（外３３２）
2007524860.tif 000571
が、第kの別個の固有値の固有値について計算される（λj=μk）。1の多重度でのλj=μkについて、ステップ76において、正規化因数γjが計算される。ステップ78において、分離ベクトルは、
【０６９９】
（外３３３）
2007524860.tif 000572
として作られる。ステップ80において、分離ベクトル
【０７００】
（外３３４）
2007524860.tif 000573
を使用（付加）して、分離ベクトルが（定義により）分離行列
【０７０１】
（外３３５）
2007524860.tif 000574
の列になる分離行列
【０７０２】
（外３３６）
2007524860.tif 000575
を作る。分離ベクトル
【０７０３】
（外３３７）
2007524860.tif 000576
が分離行列
【０７０４】
（外３３８）
2007524860.tif 000577
に付加された後、ステップ82において、インデックスkがインクリメントされる。次に、処理は、図７及び図８で丸印の記号“B”で示すステップ68に進む。ステップ68において、kがKと比較される。kがKより多きい場合、ステップ70において、分離行列
【０７０５】
（外３３９）
2007524860.tif 000578
が提供され、その後の処理に利用可能になる。kがKより大きくない場合（ステップ68）、処理は、図７及び図８の丸印の記号“A”で示すステップ72に進む。ステップ72において、多重度ηkが１より大きいか否かが決定される。多重度ηkが１より大きい場合、処理はステップ84に進む。ステップ84において、ηkの線形独立の固有ベクトルの固有ベクトル
【０７０６】
（外３４０）
2007524860.tif 000579
が、別個の固有値（λj=μk）について計算される。ステップ86において、繰り返しの固有値毎に、ηkの分離ベクトルは、
【０７０７】
（外３４１）
2007524860.tif 000580
のように、その関連の固有ベクトルに等しくなるよう設定される。ステップ80において、分離ベクトル
【０７０８】
（外３４２）
2007524860.tif 000581
を付加することにより、分離行列
【０７０９】
（外３４３）
2007524860.tif 000582
が作られる。ステップ82において、インデックスkが再びインクリメントされ、全ての別個の固有値が指定されるまで（ステップ68でk＞K）、処理が繰り返される。ステップ68において、kがKより大きい場合、ステップ70において、分離行列
【０７１０】
（外３４４）
2007524860.tif 000583
が提供され、その後の処理において利用可能となる。ステップ71において、分離を実行するために、分離行列
【０７１１】
（外３４５）
2007524860.tif 000584
が入力信号
【０７１２】
（外３４６）
2007524860.tif 000585
で乗算される。より具体的には、以下の式
【０７１３】
【数２５１】
2007524860.tif 000586
に従って、入力信号
【０７１４】
（外３４７）
2007524860.tif 000587
の行列表示が分離行列
【０７１５】
（外３４８）
2007524860.tif 000588
のエルミート転置で乗算される。
【０７１６】
［ハイブリッド分離行列の重み］
前述のBSSシステムは、適応的分離重み（適応的重み）を使用する。BSSを実行する方法及びシステムはまた、干渉＋雑音による平均２乗誤差（MSE）を最小化するために、ハイブリッド分離重み（ハイブリッド重み）を用いて実装され得る。最小MSE（MMSE）ハイブリッド重みは、ゼロ遅延の空間相関行列と、SFOCMPの一般化固有ベクトルから計算される。各固有ベクトルは、対応のステアリングベクトルと音源出力とを推定するために使用される。ゼロ遅延の空間相関行列、音源ステアリングベクトル及び音源出力推定は、干渉＋雑音の空間相関行列に基づいて推定MMSE重みベクトルを作るために使用される。
【０７１７】
図９は、前述のBSSシステムの代表ずであり、適応的重みとハイブリッド重みとの違いを示すために提示されている。図９において、各音源分離ベクトル（すなわち適応重みベクトル）は、空間４次キュムラント行列ペンシル又は空間相関行列ペンシルの正規化固有値に対応する。各固有ベクトルは全ての他の音源ステアリングベクトルに直交するため、これらの適応的重みは、信号対干渉比を最小化するため、又は同じように干渉対信号比を最小化するように設計される。
【０７１８】
ブロック901は、アレイデータx(t)を出力し、空間４次キュムラント又は相関行列の対の推定がブロック902で行われる。903において、その結果は一般化固有値分解を受ける。ブロック904において、SFOCMP固有ベクトルが正規化され、ブロック905に示すアレイ出力データに適用される分離行列を作る。前述及び図９のBSSの実施例は、ブロック906に示すようにステアリングベクトルを推定するが、推定値は分離行列Wの生成で使用されない。
【０７１９】
正規化固有ベクトルは、干渉を抑制するために効果的に使用され得るが、これらの適応的重みは、付加的なガウス雑音による出力波形の誤りを制限するように拘束されない。ハイブリッド適応的重みを備えたSFOCMに基づく行列ペンシルの手法は、２次及び４次統計の双方を使用し、干渉及び雑音による平均２乗誤差を最小化するように重みベクトルが設計される適応重みを作る。このハイブリッド方法は、推定のゼロ遅延空間相関行列
【０７２０】
（外３４９）
2007524860.tif 000589
と、第jの音源の推定のステアリングベクトル
【０７２１】
（外３５０）
2007524860.tif 000590
と、推定の音源出力Pjとを使用し、干渉＋雑音相関行列Kjを作り、それによって第jの適応重みベクトル
【０７２２】
（外３５１）
2007524860.tif 000591
を作る。
【０７２３】
第jの固有ベクトルejは式(252)を満たすため、
【０７２４】
【数２５２】
2007524860.tif 000592
【０７２５】
（外３５２）
2007524860.tif 000593
は積Cx(0)ej=VCr(0)VHej=vj(cr,j(0)εj*)に比例し、ステアリングベクトルは正規化により推定可能である。
【０７２６】
第jの音源出力の推定値は、拘束されないMMSE重みベクトルwj=Kj-1vjから導かれ得る。Rxに関して、これはRxwj-vj=vjPjVjHwjと書き直され得る。wj及び
【０７２７】
（外３５３）
2007524860.tif 000594
の推定値を使用して、音源出力の推定値は、次のようになる。
【０７２８】
（外３５４）
2007524860.tif 000595
ステアリングベクトルの推定値及び音源出力の推定値を用いて、第jの音源についての干渉＋雑音相関行列の推定値は、単に
【０７２９】
（外３５５）
2007524860.tif 000596
になる。従って、第jの音源のハイブリッドMMSE重みベクトルの推定値は次で得られる。
【０７３０】
【数２５３】
2007524860.tif 000597
適応的重みベクトルに対するこのハイブリッドMMSE重みは、Nの干渉＋雑音相関行列の転置を含み、複数の追加ステップを必要とする。ハイブリッドMMSE重みベクトルは、付加的なガウス雑音に対する改善したロバスト性に対して干渉の抑制をトレードオフする。この付加的なガウス雑音は、信号のSNRが低くなると更に重要になる。適応ビームパターンについて、正規化固有ベクトルの重みは、異なる干渉方向にヌルを配置し、所望の音源方向で単一の利得を維持する。他方、ハイブリッド重みは、干渉の方向により小さいヌルを作り、音源でない方向で平均サイドローブレベルを更に制限しつつ、所望の音源方向で単一の利得を維持する。
従って、信号対干渉＋雑音比を最適にするために、ステアリングベクトルの推定値に基づく行列ペンシルと、空間自己相関行列と、推定の干渉＋雑音相関行列とから、最小平均２乗誤差の適応的分離重みベクトル（ハイブリッド重み）が見出され得る。図１０は、ハイブリッド分離重みを作る前述のシステム恩図を示している。図９との違いは、違いがハイライトされて斜線を施されている。
【０７３１】
アレイ出力1001は、GEVDがブロック1003で実行される空間４次キュムラント1002を推定するために使用される。1003の出力は前述のように使用され、ブロックでステアリングベクトルを推定し、ブロック1004で空間相関行列の推定値と共に、干渉＋雑音相関行列を推定する。空間相関行列はまた、推定用にアレイ出力も使用する。ハイブリッド重みベクトルは0000で生成され、アレイ出力に適用される分離行列Wを作り、適応重みが使用された場合と同様に信号y(t)を作る。
【０７３２】
ハイブリッド重みを使用した分離性能を示すために、適応的重み（SFCM  EigVEC及びハイブリッドMMSE重み（SFCMハイブリッド及びR1,R2-MMSE））を使用した２つのGMSK音源及び６個のセンサアレイでのSNRに対する25のMote  Carlo  trialsでの平均ISR及びSINR（ランダム混合行列及び等方性白色雑音）が、図１１ａ及び図１１ｂに示されている。
【０７３３】
図１１ａでわかるように、正規化固有ベクトルの重みは、ハイブリッド重みより干渉信号のわずかに優れた抑制を提供する。しかし、図１１ｂに示すように、正規化固有ベクトルの重みは、適応的雑音の抑制を提供しない。一方、ハイブリッドMMSE重みは、干渉と雑音との双方のかなりの抑制を示す。ハイブリッドMMSE重みはまた、低音源入力のSNRで改善したISRを提供する。
【０７３４】
これらの結果が図１２ａ及び１２ｂについて繰り返される。６個のGMSK音源及び６個のセンサアレイでのSNRに対する25のMote  Carlo  trialsでの平均ISR及びSINR（ランダム混合行列及び非等方性の空間的及び時間的相関ガウス雑音）が、従来技術の重みとハイブリッドMMSE重みとの双方について示されている。
【０７３５】
従って、行列ペンシルに基づくハイブリッドMMSE適応的アレイの重みは、SIGINTマッピングプロセッサや、クラッタの空間ベースのレーダ適応抑制や、双方向音源信号の１つ以上のジャマー及び抑制のように、同一チャネル干渉とガウス雑音との双方が抑制されなければならない多数のシナリオに一意に適用可能である。
【０７３６】
ここで説明したBSS技術は、コンピュータ実装の処理及びその処理を実行するシステムの形式で具現されてもよい。ここで説明したBSS技術はまた、フロッピー（登録商標）ディスケット、読み取り専用メモリ（ROM）、CD-ROM、ハードドライブ、高密度ディスク、又は他のコンピュータ読取可能記憶媒体のような、具体的な媒体に具現されるコンピュータプログラムコードの形式で具現されてもよく、そのコンピュータプログラムコードがコンピュータにロードされて実行されると、そのコンピュータは本発明を具現するシステムになる。ここで説明するBSS技術はまた、例えば、記憶媒体に格納され、コンピュータへのロード及び／又は実行、あるいは電気配線またはケーブル、光ファイバ、電磁放射などの伝送媒体を介して伝送されるコンピュータプログラムコードの形式で具現されてもよく、そのコンピュータプログラムコードがコンピュータにロードされて実行されると、そのコンピュータは本発明を具現するシステムになる。汎用プロセッサ上に実装されると、コンピュータプログラムコードセグメントは、特定の論理回路を生成するようにプロセッサを構成する。
【０７３７】
本発明によるブラインド音源分離（BSS）技術は、時間的及び空間的相関の雑音が存在する場合において良好な実行可能性を有する低信号対雑音比で良好に実行するロバストな高次キュムラントに基づく基本構成要素のブラインド音源分離技術を提供する。更に、一様でない利得の方向センサによるブラインド音源分離に適した空間４次キュムラント行列の新たな定義が提供され、時間情報を利用した空間４次キュムラント行列ペンシルの定義が提供され、アルゴリズムの性能の指標としての分離出力効率の概念が提供され、行列ペンシル間の広義の同値の概念が提供された。
【０７３８】
本発明によるBSS技術の用途は、信号インテリジェンスに対するスペクトル監視や、電波天文学のような、ガウスランダム雑音過程がアレイからの受信信号を支配する他の用途を含む。本発明による４次アレイ信号処理BSS技術は、検出、分類及び識別のため、同一チャネルのエミッタを分離するために空間情報を利用することができる。これは、環境背景電磁照射と隠蔽手段としての既知の同一チャネルのエミッタを使用し得る低確率の検出（LPD：low  probability  of  detection）又は低確率の傍受（LPI：low  probability  of  intercept）のため設計された信号の検出に、特に適用可能である。本発明による空間４次キュムラント行列ペンシルに基づくブラインド音源分離技術は、個々のセンサの雑音下限の近く又はそれ以下の未知の同一チャネルのエミッタをブラインド的に分離する機能を提供する。
【図面の簡単な説明】
【０７３９】
【図１】本発明の実施例に従って空間４次キュムラント行列ペンシルを使用して、ブラインド音源分離を実行するシステムの機能ブロック図
【図２】本発明の実施例に従ってアレイ信号処理及びBSS処理を実行する信号音源、アレイエレメント及びプロセッサの図
【図３】異なる放射パターンを有する５つの未知の音源と、異なる受信パターンを有する５つのセンサとを示したMIMOブラインドチャネル推定シナリオの図
【図４】センサと音源との間の時間遅延の図
【図５】分離処理に提供される雑音で混合した入力信号を示すブラインド音源分離（BSS）を示した図
【図６】単一繰り返しの固有値について分離処理を繰り返すことを示した図
【図７】本発明の実施例に従って空間４次キュムラント行列ペンシルを使用してブラインド音源分離を実行する処理のフローチャート
【図８】図７のフローチャートの続き
【図９】正規化固有ベクトル（適応的重み）を備えたブラインド音源分離システムの実施例
【図１０】最適MMSE分離ベクトル（ハイブリッド重み）を備えたブラインド音源分離システムの実施例
【図１１ａ】適応的重みと等方性白色雑音でのハイブリッド重みとを比較する出力ISR対受信SNR性能のグラフ
【図１１ｂ】適応的重みと等方性白色雑音でのハイブリッド重みとを比較する出力ISR対受信SNR性能のグラフ
【図１２ａ】適応的重みと異方性空間及び時間相関ガウス雑音でのハイブリッド重みとを比較する出力ISR対受信SNR性能のグラフ
【図１２ｂ】適応的重みと異方性空間及び時間相関ガウス雑音でのハイブリッド重みとを比較する出力ISR対受信SNR性能のグラフ
【図１】
2007524860.tif 000612
【図２】
2007524860.tif 000613
【図３】
2007524860.tif 000614
【図４】
2007524860.tif 000615
【図５】
2007524860.tif 000616
【図６】
2007524860.tif 000617
【図７】
2007524860.tif 000618
【図８】
2007524860.tif 000619
【図９】
2007524860.tif 000620
【図１０】
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2007524860.tif 000622
2007524860.tif 000623
【国際調査報告】
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