(57)【要約】  相互作用するモジュールを有するシステム上で統合された不確実性解析を実行するためのシステムおよび方法を提供する。モジュールの相互作用は、モジュール間でのデータ転送を含み、１つのモジュールの出力は別のモジュールの入力を表している。不確実性解析は、モジュールへの個々の入力の所与の確率密度関数に基づき各モジュールにおいて実行される。不確実性解析は、１つ以上のモジュールについて決定論的に等価なモデルを開発することを含み得る。データは、統一フォーマットで１つのモジュールから別のものに供給され得る。このようにして、２つ以上のモジュールが、別のモジュールの入力に効果的に伝播される１つのモジュールの入力における不確実性と統合され得る。このようにして複数のモジュールは単一の統合されたシステムとしてモデル化され得る。統合されたシステムは、好ましくはさらに低減した次元の、決定論的に等価なモデルで代用され得る。このようにして、特定の入力における重要な不確実性が分離され得る。これらの入力がいったん識別されると、資源は、結果の変動性に対するそれらの入力の影響を最小限にするために効果的に割り当てられ得る。
2007531068.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
少なくとも２つのモジュールを有するシステムにおいて不確実性を解析する方法であって、
前記モジュールの１組の出力において不確実性を生成するためにモジュールを通じて１組の入力の各々と関係づけられた不確実性分布を伝播することと、
前記モジュールと確率論的に等価なモデルであって前記出力のモデルを生成する等価モデルを生成することと、
前記システムにおけるいずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャで前記出力の前記モデルを供給することと、
を含む方法。
【請求項２】
前記確率論的に等価なモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項２に記載の方法。
【請求項４】
前記不確実性分布の前記伝播にモンテカルロ法を使用する、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
前記出力の組のうちの少なくとも１つは、フィードバックループの中で前記入力の組のうちの少なくとも１つに統合される、請求項１に記載の方法。
【請求項６】
システムにおける不確実性を解析する方法であって、
システムの複数のモジュールのうちの少なくとも１つを、対応する確率論的に等価なモジュールモデルであって前記モジュールの入力における不確実性を前記モジュールの出力に伝播するように適応された等価モジュールモデルで代用することと、
いずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために、前記出力における不確実性を前記他のモジュールの前記入力に伝播するように適応された共通データアーキテクチャで前記モジュールの各々の出力を供給することと、
前記複数のモジュールを、システム入力における不確実性をシステム出力に伝播するための単一の確率論的に等価なシステムモデルで代用することと、
を含む方法。
【請求項７】
目的関数を最適化するための最適化モジュールを供給することをさらに含み、前記最適化モジュールは前記システム出力を受け取り、前記システム入力を変更するように適応されている、請求項６に記載の方法。
【請求項８】
前記目的関数は２つ以上の出力パラメータの重み付き関数である、請求項７に記載の方法。
【請求項９】
前記確率論的に等価なモジュールモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項６に記載の方法。
【請求項１０】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項９に記載の方法。
【請求項１１】
前記確率論的に等価なシステムモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項６に記載の方法。
【請求項１２】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項１１に記載の方法。
【請求項１３】
不確実性解析を生成するためのシステムであって、
その入力の各々が関連する不確実性分布を有する１組の入力を受け取り、前記入力の関数として、１組の出力を生成するように適応されたモジュールと、
前記出力における不確実性を生成するために前記モジュールを通じて前記入力の前記不確実性分布を伝播する手段と、
前記モジュールと確率論的に等価なモデルであってモデル出力を生成するための等価モデルを生成する手段と、
前記システムにおけるいずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャで前記出力を供給する手段と、
を備えるシステム。
【請求項１４】
前記確率論的に等価なモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項１３に記載のシステム。
【請求項１５】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項１４に記載のシステム。
【請求項１６】
前記不確実性分布を伝播する手段はモンテカルロ法を使用する、請求項１４に記載のシステム。
【請求項１７】
システムにおける不確実性を解析するシステムであって、
システムの複数のモジュールうちの少なくとも１つについて確率論的に等価なモジュールモデルであって前記モジュールの入力における不確実性を前記モジュールの出力に伝播するように適応された等価モジュールモデルを生成する手段と、
いずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために、前記出力における不確実性を前記他のモジュールの前記入力に伝播するように適応された共通データアーキテクチャで前記モジュールの各々の出力を供給する手段と、
システム入力における不確実性をシステム出力に伝播するために、前記複数のモジュールについて単一の確率論的に等価なシステムモデルを生成する手段と、
を備えるシステム。
【請求項１８】
目的関数を最適化するための最適化モジュールをさらに含み、前記最適化モジュールは前記システム出力を受け取り前記システム入力を変更するように適応されている、請求項１７に記載のシステム。
【請求項１９】
前記目的関数は２つ以上の出力パラメータの重み付き関数である、請求項１８に記載のシステム。
【請求項２０】
前記確率論的に等価なモジュールモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項１７に記載のシステム。
【請求項２１】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項２０に記載のシステム。
【請求項２２】
前記確率論的に等価なシステムモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項１７に記載のシステム。
【請求項２３】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項２２に記載のシステム。
【請求項２４】
不確実性解析を生成するためのシステムであって、
その入力の各々が関連する不確実性分布を有する１組の入力を受け取り、前記入力の関数として、１組の出力を生成するように適応されたモデリングモジュールと、
前記出力における不確実性を生成するために前記モデリングモジュールを通じて前記入力の前記不確実性分布を伝播するように適応された不確実性伝播モジュールと、
前記モデリングモジュールと確率論的に等価なモデルであって前記出力を生成する等価モデルを生成するように適応された等価モデル生成モジュールと、
いずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャで前記出力を供給するように適応された出力生成モジュールと、
を備えるシステム。
【請求項２５】
前記確率論的に等価なモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項２４に記載のシステム。
【請求項２６】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項２５に記載のシステム。
【請求項２７】
前記不確実性伝播モジュールはモンテカルロ法を使用する、請求項２４に記載のシステム。
【請求項２８】
システムにおける不確実性を解析するシステムであって、
複数のサブシステムのうちの少なくとも１つについて確率論的に等価なサブシステムモデルであって前記サブシステムの入力における不確実性を前記サブシステムの出力に伝播するように適応された等価サブシステムモデルを生成するように適応された等価モデル生成モジュールと、
いずれかの他のサブシステムによる入力としての使用のために、前記出力における不確実性を前記他のサブシステムの前記入力に伝播するように適応された共通データアーキテクチャで、前記サブシステムの各々の出力を供給するように適応された出力生成モジュールと、
システム入力における不確実性をシステム出力に伝播するために前記複数のサブシステムについて単一の確率論的に等価なシステムモデルを生成するように適応された等価システム生成モジュールと、
を備えるシステム。
【請求項２９】
目的関数を最適化するための最適化モジュールをさらに含み、前記最適化モジュールは前記システム出力を受け取り前記システム入力を変更するように適応されている、請求項２８に記載のシステム。
【請求項３０】
前記目的関数は２つ以上の出力パラメータの重み付き関数である、請求項２９に記載のシステム。
【請求項３１】
前記確率論的に等価なサブシステムモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項２８に記載のシステム。
【請求項３２】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項３１に記載のシステム。
【請求項３３】
前記確率論的に等価なシステムモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項２８に記載のシステム。
【請求項３４】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項３３に記載のシステム。
【請求項３５】
機械に以下の方法ステップを実行させるための機械可読プログラムコードを備えるプログラム製品であって、
モジュールを通じて、前記モジュールの１組の出力における不確実性を生成するために１組の入力の各々と関係づけられた不確実性分布を伝播するステップと、
前記モジュールと確率論的に等価なモデルであって前記出力のモデルを生成する等価モデルを生成するステップと、
前記システムにおけるいずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャで前記出力の前記モデルを供給するステップと、
を含むプログラム製品。
【請求項３６】
前記確率論的に等価なモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項３５に記載のプログラム製品。
【請求項３７】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項３６に記載のプログラム製品。
【請求項３８】
前記不確実性分布の前記伝播にモンテカルロ法を使用する、請求項３５記載のプログラム製品。
【請求項３９】
機械に以下の方法ステップを実行させるための機械可読プログラムコードを備えるプログラム製品であって、
システムの複数のモジュールのうちの少なくとも１つを、対応する確率論的に等価なモジュールモデルであって前記モジュールの入力における不確実性を前記モジュールの出力に伝播するように適応された等価モジュールモデルで代用するステップと、
いずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために、前記出力における不確実性を前記他のモジュールの前記入力に伝播するように適応された共通データアーキテクチャで前記モジュールの各々の出力を供給するステップと、
前記複数のモジュールを、システム入力における不確実性をシステム出力に伝播するための単一の確率論的に等価なシステムモデルで代用するステップと、
を含むプログラム製品。
【請求項４０】
前記プログラムコードは機械に以下の方法ステップをさらに実行させ、
目的関数を最適化するための最適化モジュールを設けるステップをさらに含み、前記最適化モジュールは前記システム出力を受け取り前記システム入力を変更するように適応されている、請求項３９に記載のプログラム製品。
【請求項４１】
前記目的関数は２つ以上の出力パラメータの重み付き関数である、請求項４０に記載のプログラム製品。
【請求項４２】
前記確率論的に等価なモジュールモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項３９に記載のプログラム製品。
【請求項４３】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項４２に記載のプログラム製品。
【請求項４４】
前記確率論的に等価なシステムモデルは決定論的に等価なモデルである、請求項３９に記載のプログラム製品。
【請求項４５】
前記決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデルである、請求項４４に記載のプログラム製品。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、システムにおける不確実性の解析に関する。より詳しくは、本発明は、統合された方式でシステムにおける１組のモジュールの不確実性を解析するための方法およびシステムを提供する。
【背景技術】
【０００２】
特に製造業といった産業が直面している大きな課題には、市場化までの長い時間を短縮し、既存の固定資産の実績を改善することを含む。例えば、化学工業の場合、製品の典型的な５〜７年の開発サイクルを短縮することは、市場において著しい強みをもたらし得る。比較的短いサイクルを伴う産業では、莫大な競争圧力が今後、開発プロセスをさらに加速させることであろう。
【０００３】
生産設備の開発または改良は一般に、いくつかの基本的局面を伴う。これらの局面は、技術的実現可能性の分析、プロセスの詳細な調査、パイロット規模試験、詳細な工学設計、設備の構築および設備の継続的な改良を含み得る。これらの局面の多くで支援するために多くの商用ソフトウェアパッケージが種々の産業に利用可能である。例えば、化学工業の場合、コンピュータ流体力学シミュレーションパッケージが容易に入手できる。さらに、プロジェクト計画ソフトウェアパッケージが一般的および特殊なスケジューリングに利用できる。
【０００４】
開発サイクルの各局面における１つの懸念は、関与する不確実性のレベルである。商用パッケージは一般に、１組の入力についてのポイントでの解決策を提供し得る。各レベルでの不確実性を明らかにするために、不確実性解析が個々のステップまたはプロセスについて必要とされ得る。そのような不確実性解析は、個々のステップまたはプロセスの結果における変動の原因を決定するために必要とされ得る。
【０００５】
不確実性解析は、多くの既知の方法を使用して実行され得る。例えば、モンテカルロ解析は、システムの個々のステップまたはプロセスについて実行され得る。モンテカルロ解析は、それらの基となる確率密度関数に従って変化する入力により多数のシミュレーションが実行されることを必要とし得る。モンテカルロ解析の結果は、それらの入力における変動の関数としての結果の分布である。しかし大規模なプロジェクトでは、そのような解析は一部の用途にとっては面倒かもしれない。
【０００６】
米国特許第６，１７３，２４０号は、モンテカルロサンプリングを低減し得る方法を開示している。しかし、そのような解析は単一ステップだけの結果を与える。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
開示するシステムおよび方法は、システムにおける不確実性の解析に向けられている。システムの入力の不確実性および出力に対するそれらの影響は、例えば、簡略化されてはいるが厳密なシステムのモデルを生成することによって効率的に解析され得る。さらに、システムのいくつかの構成要素における不確実性は、個別的にではなく、一緒に解析され、それによって全体としてシステムの効率的な解析を可能にし得る。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
本発明の１つの態様によれば、少なくとも２つのモジュールを有するシステムにおける不確実性を解析する方法は、当該モジュールの１組の出力の不確実性の記述を生成するために１組の入力の各々と関係づけられた不確実性分布を、モジュールを通じて伝播することを含む。
【０００９】
不確実性は、出力における変動を生じ得る入力における制御不能な変動であってもよい。不確実性は、ある範囲の値にわたって連続的または離散的に分布し得る。
【００１０】
モジュールは、プロセス、機構またはアルゴリズムのシステムのいずれかの構成要素でもよい。モジュールは、１つのプロセス、サブプロセス、機構、アルゴリズムステップ、計算またはソフトウェアパッケージシミュレーションを含み得る。さらにモジュールは、１つ以上のプロセス、サブプロセス、機構、アルゴリズムステップ、計算、シミュレーションまたは他の構成要素の一部またはそれ自体でもよい。
【００１１】
入力は、１つ以上のモジュールによって使用されるパラメータである。入力は、例えば、事前設定されるか、ユーザによって付与されるか、または別のモジュールによって付与され得る内部または外部パラメータを含んでもよい。
【００１２】
出力は、１つ以上のモジュールによって生成されるパラメータである。出力は、１つ以上の入力に応答してモジュールによって生成されるパラメータを含んでもよい。
【００１３】
方法は、モジュールの確率論的に等価なモデルを生成することをさらに含み、等価モデルは出力のモデルを生成する。
【００１４】
確率論的に等価なモデルは、それほど複雑ではないながらも所与の入力の組について類似の出力を生成するモジュールのモデルであってもよい。従って、出力のモデルは概して出力の組に近似している。
【００１５】
方法は、システムにおけるいずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャで出力のモデルを供給することをさらに含む。
【００１６】
共通データアーキテクチャは、特定の変数の不確実性分布に関するあらゆる情報を含み、それが容易に受け入れられるような態様で、システムにおけるいずれかの他のモジュールにデータを提示するためのフォーマットであってもよい。
【００１７】
本発明の別の態様によれば、システムにおける不確実性を解析する方法は、システムの複数のモジュールの少なくとも１つを対応する確率論的に等価なモジュールモデルで代用することを含み、等価モジュールモデルはモジュールの入力における不確実性をモジュールの出力に伝播するように適応されている。方法はさらに、いずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャでモジュールの各々の出力を供給することを含み、アーキテクチャは出力における不確実性を他のモジュールの入力に伝播するように適応されている。方法はさらに、複数のモジュールを、システム入力における不確実性をシステム出力に伝播するための単一の確率論的に等価なシステムモデルで代用することを含む。単一の確率論的に等価なシステムモデルは、所与の入力の組について、２つ以上のモジュールを有するシステムの出力に近似する単一のあまり複雑でないモジュールであってもよい。
【００１８】
本発明の別の態様において、不確実性解析を生成するためのシステムは、１組の入力を受け取り、入力の関数として１組の出力を生成するように適応されたモジュールを含む。入力の各々は関係する不確実性分布を有する。上述の通り、不確実性分布は、入力パラメータにおける制御不能な変動としてよい。システムは、出力における不確実性を生成するためにモジュールを通じて入力の不確実性分布を伝播するための手段をさらに含んでもよい。モジュールを通じて不確実性を伝播するための手段は、出力に対する入力の不確実性の影響を決定するためのプロセスまたはアルゴリズムとすることができ、例えば、モンテカルロ解析またはパターンサーチ解析を含み得る。システムは、モジュールの確率論的に等価なモデルを生成するための手段をさらに含み、等価モデルはモデル出力を生成する。モデル出力は、１組の入力が与えられた場合にモジュールの出力に近似する１組の出力であってもよい。システムはさらに、システムにおけるいずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャで出力を供給するための手段を含む。
【００１９】
本発明のさらなる態様において、システムにおける不確実性を解析するシステムは、システムの複数のモジュールの少なくとも１つについて確率論的に等価なモジュールモデルを生成するための手段を備える。等価モジュールモデルは、モジュールの入力における不確実性をモジュールの出力に伝播するように適応されている。システムはさらに、２つ以上の相互作用するモジュールおよび、いずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャでモジュールの個々の出力を供給するための手段を含む。アーキテクチャは、出力における不確実性を他のモジュールの入力に伝播するように適応されている。システムはさらに、システム入力における不確実性をシステム出力に伝播するために複数のモジュールについて単一の確率論的に等価なシステムモデルを生成するための手段を含む。
【００２０】
本発明のさらなる態様によれば、不確実性解析を生成するためのシステムは、１組の入力を受け取り、入力の関数として１組の出力を生成するように適応されたモデリングモジュールを含む。入力の各々は関係する不確実性分布を有する。システムは、出力における不確実性を生成するためにモデリングモジュールを通じて入力の不確実性分布を伝播するように適応された不確実性伝播モジュールを含む。等価モデル生成モジュールは、モデリングモジュールの確率論的に等価なモデルを生成するように適応されている。等価モデルはモデル出力を生成する。システムはさらに、いずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャで出力を供給するように適応された出力生成モジュールを含む。
【００２１】
本発明のなおさらなる態様によれば、システムにおける不確実性を解析するシステムは、複数のサブシステムの少なくとも１つについて確率論的に等価なサブシステムモデルを生成するように適応された等価モデル生成モジュールを備えており、等価サブシステムモデルは、サブシステムの入力における不確実性をサブシステムの出力に伝播するように適応されている。システムはさらに、いずれかの他のサブシステムによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャでサブシステムの各々の出力を供給するように適応された出力生成モジュールを含む。アーキテクチャは、出力における不確実性を他のサブシステムの入力に伝播するように適応されている。出力生成モジュールは、例えば、不確実性情報を伝播する容易に許容できる手段を含む、所定のフォーマットで出力を生成するように適応されたモジュールであってもよい。システムはまた、システム入力における不確実性をシステム出力に伝播するための複数のサブシステムについて単一の確率論的に等価なシステムモデルを生成するように適応された等価システム生成モジュールを含む。
【００２２】
本発明のさらに別の態様において、プログラム製品は、機械に方法ステップを実行させるための機械可読プログラムコードを含む。プログラム製品は、例えば、コンピュータ、ＰＣ、ラップトップ、メインフレームまたは類似の計算装置で走行するように適応されたソフトウェアパッケージとすることができる。プログラム製品は実行される命令を含み得る。命令は方法ステップのリストを含み得る。方法ステップは、モジュールの１組の出力における不確実性を生成するためにモジュールを通じて１組の入力の各々と関係する不確実性分布を伝播することを含む。方法ステップはさらに、モジュールの確率論的に等価なモデルを生成することを含み、等価モデルは出力のモデルを生成する。方法ステップはまた、システムにおけるいずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャで出力のモデルを供給することを含む。
【００２３】
本発明の別の態様によれば、プログラム製品は、機械に方法ステップを実行させるための機械可読プログラムコード含み、それはシステムの複数のモジュールの少なくとも１つを対応する確率論的に等価なモジュールモデルで代用することを含む。等価モジュールモデルは、モジュールの入力における不確実性をモジュールの出力に伝播するように適応されている。方法ステップはまた、いずれかの他のモジュールによる入力としての使用のために共通データアーキテクチャでモジュールの各々の出力を供給することを含む。アーキテクチャは、出力における不確実性を他のモジュールの入力に伝播するように適応されている。方法ステップはさらに、複数のモジュールを、システム入力における不確実性をシステム出力に伝播するための単一の確率論的に等価なシステムモデルで代用することを含む。
【００２４】
好ましい実施形態において、確率論的に等価なモデル（probabilistically equivalent model）は決定論的に等価なモデル（deterministically equivalent model）である。同様に、確率論的に等価なシステムモデルは、決定論的に等価なシステムモデルでもよい。決定論的に等価なモデルは、ここに記載されたステップを用いて創り出されてもよい。決定論的に等価なモデルは低次元縮約モデル（reduced-order model）とすることができ、それは、モデル出力を生成する際に比較的少数の入力が考慮され得るという点で実際のモジュールよりも複雑ではない。
【００２５】
好ましい実施形態において、不確実性分布を伝播することは、モンテカルロ法またはパターンサーチ法を使用することを含む。モンテカルロ法およびパターンサーチ法は、当業において周知であり、出力の不確実性を得るために複数の変数の各々を摂動させることを含み得る。
【００２６】
出力の組の少なくとも１つは、フィードバックループで入力の組の少なくとも１つに組み込まれ得る。フィードバックループは、例えば反復過程において、モジュールの１つ以上の入力を決定するためにモジュールの出力を使用することを可能にする。
【００２７】
好ましい実施形態において、目的関数を最適化するための最適化モジュールが設けられる。最適化モジュールは、システム出力を受け取り、システム入力を変更するように適応されている。最適化モジュールは、目的関数を最大化するかまたは最小化するかのどちらかを行うためのソフトウェアパッケージまたはルーチンとすることができる。目的関数は、最大化または最小化のどちらかが要求される値を有するいずれかのパラメータまたはパラメータの組合せとしてよい。好ましい実施形態において、目的関数は、２つ以上の出力パラメータの重み付き関数である。従って、最大化または最小化される変数は、いくつかのパラメータの組合せとすることができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２８】
以下で、本発明を図面を参照してさらに詳細に説明する。
【００２９】
図１は、本発明の１実施形態に従ったシステムにおけるモジュールのブロック図を例示している。モジュール１０は、システムにおけるプロセスまたは装置とすることができる。一の実施形態において、モジュール１０はプロセスまたは装置の一部を含む。別の実施形態において、モジュール１０は２つ以上のプロセスまたは装置を含む。モジュール１０は、例えば、システムにおける装置、プロセスまたはサブシステムのシミュレーションモデルとすることができる。モデルをシミュレートするために商用シミュレーションツールが使用され得る。モジュール１０は、複数の出力ｙ（θ）１４をもたらす複数の入力θ１２を有する。入力θ１２は、例えば、化学反応器のジオメトリまたは化学反応器における反応体の反応特性を規定する一連の入力とすることができる。個々の入力１２は、例えばガウス分布または正規分布として表現され得る確率密度関数を有し得る。個々の入力１２の確率密度関数は、１つ以上の出力ｙ１４の分布を生じ得る。
【００３０】
図２は、複数の相互作用するモジュール１６ａ〜１６ｇを有する本発明の一実施形態に従ったシステムを例示している。図１に関して上述したように、個々のモジュールは複数の入力および出力を有する。図２に例示されたように、各モジュールは、モジュールＡ１６ａの場合のグローバル入力１８ｂおよびローカル入力２１ｂといった、他のモジュールからの出力を含む１つ以上のグローバル入力および１つ以上のローカル入力を有し得る。ローカル入力は、他のモジュールの出力から独立していてもよい。
【００３１】
図２はまた、モデルを階層構造で具体化している実施形態を例示している。最上位レベルにおいて、入力パラメータを受け取るモジュール２２は、システムレベルの出力パラメータを供給し得る第２のモジュール２４とリンクされている。次の階層レベルにおいて、モジュール２２は、モジュール１６ａ〜１６ｇを有する精緻化された構造によりモデル化され得る。同様に、第２のモジュール２４および追加モジュールは、精緻化された構造を用いてモデル化され得る。別の階層レベルにおいて、精緻化された構造における１つ以上のモジュールは、さらなる精緻化されたモデルにおいて表現され得る。例えば、図２は、さらなる精緻化された構造でモデル化されているモジュールＥ１６ｅを例示している。そのような階層構造が必要に応じて任意の実用的な数のレベルで提供され得ることは、当業者にとって明白であろう。
【００３２】
本発明の１実施形態において、各モジュール１６ａ〜１６ｇは、等価表現で代用され得る。表現は、好ましくは確率論的に等価なモデルである。そのようなモデルは、図３Ａ〜図３Ｅに関して以下で説明する方法に従って生成され得る。
【００３３】
ここで図３Ａ〜図３Ｅに関して、確率論的に等価なモデルが生成され得る本発明の実施形態に従ったプロセスを説明する。
【００３４】
多様な工学および問題が、以下の形態の代数方程式または微分方程式の系によって記述され得る。
【数１】
2007531068.tif 000003
式中、Ｎは、１組のｍ個のパラメータθ＝｛θ1，θ2，．．．，（θm）｝を入力として取るモデルであり、それは例えば、反応速度定数、初期濃度または化学量論係数を含んでもよく、例えば、種の濃度に一般的に関係し得る状態変数ｙ＝｛ｙ1，ｙ2，．．．，ｙn｝のｎ次元ベクトルを出力として生成する。パラメータベクトルθがモデル予測ｙ（θ）に影響する３つの本質的レベルが存在する。第１かつ最も簡単なものは、パラメータ値θ＾の公称集合が与えられた場合のモデル自体の解である。この作業を達成するために利用できる多数のツールが存在する（例えば、Ｋｅｅ  ｅｔ  ａｌ．  １９９６）。もう少し難しい問題は、公称点θ＾付近のｙの微分変化の感度Ｓを評価することである。この場合、モデル（１）および随伴感度方程式の系：
【数２】
2007531068.tif 000004
の両方を解かなければならない。やはり、（１）および（２）を解くための確固たる方法が存在し（例えば、Ｋｅｅ  ｅｔ  ａｌ．  １９９６；Ｄｕｎｋｅｒ  １９８４，Ｋｒａｍｅｒ  ｅｔ  ａｌ．  １９８４）、いったん感度が求まると、それらは異なるパラメータの相対的重要性を格づけるために使用され得る。（例えば、Ｇａｏ  ｅｔ  ａｌ．  １９９５参照）。第３の、そして最も難しいレベルは、パラメータが相当に広い範囲にわたって変化する時にモデルのグローバル応答を決定することである。実際には、パラメータの必ずしも全部の値が等しく確からしいというわけではなく、課題はモデル応答をパラメータ可変性と組み合わせることである。
【００３５】
図３Ａは、この課題をより明確に例示している。公称値θ＾の選択に依存して、ローカル感度Ｓは異なる符号を持つことができ、パラメータがその最も確からしい値を有する点において、モデル応答はあまり敏感ではないかもしれない。不確実性が与えられた場合に可能な結果ｙ（θ）の分布を決定するという問題は、より複雑である。入力パラメータの確率密度関数が（図３Ｂに例示された）同時確率分布ｆθ（θ）によって記述される場合、必要なものは、予測出力ｙの分布である。残念ながら、最も単純な場合を除き、この分布を求めるための単純な方法はまったくない。
【００３６】
不確実性を組み込むことに関係する複雑さの一部を例証する方法として、反応速度ｋによる形式Ａ→ｋの単純な第一の化学的崩壊を検討しよう。種Ａの濃度の動力学は、一次微分方程式によって記述される。
【数３】
2007531068.tif 000005
式中、ｙ0は初期条件である。この極めて単純なケースについて、解および関係する感度は、以下によって与えられる。
【数４】
2007531068.tif 000006
【数５】
2007531068.tif 000007
ｋがｋ0の平均および標準偏差ｋ1、すなわちｋ−Ｎ［ｋ0，ｋ1］を備える正規確率分布によって記述される不確実な変数である場合、ｙ（ｋ，ｔ）についての解の確率密度関数ｆy(k,t)［ｙ（ｋ，ｔ）］は、ｋが解全体にわたって一定であるが不確実である時、解析的に求めることができる。
【数６】
2007531068.tif 000008
【００３７】
まったく明白であるが、たとえパラメータ値が正規分布していても、解の確率密度関数は対数正規型である。確率分布関数ｆが与えられれば、積率に関して不確実性を特徴づけることが可能である。例えば、ｙ（θ）の期待値または平均は、以下によって与えられる（Ｐａｐｏｕｌｉｓ，１９９１を参照）。
【数７】
2007531068.tif 000009
そして、ｒ次の中心積率は以下によって与えられる。
【数８】
2007531068.tif 000010
【００３８】
特定のケース（６）について、期待値は以下によって与えられる。
【数９】
2007531068.tif 000011
【００３９】
この例から引き出すことができるいくつかのポイントがある。第一は、速度定数の平均値を用いた解は期待値と同じではない、すなわちｙ0ｅ-k0t≠Ｅ［ｙ（ｋ，ｔ）］ということである。よりいっそう適切には、ｔ≧２ｋ0／ｋ12になるとすぐに、濃度の期待値の解は指数的増加をみることである。この理由は、速度の不確実性を記述するために正規分布が使用された場合、速度が負になり得るという有限の確率が存在するからである。実際、あらゆるサンプルが物理的に現実的な値を有することを保証するために、パラメータ分布の選択には相当の配慮が払われなければならない。
【００４０】
ｆy(θ)［ｙ（θ）］の解析的解法が利用できない場合、不確実性の特性化における重要な実際的問題は、多次元積分（７〜８）を評価することである。多様な方法がすでに開発されており、最も単純なもののうちの１つが古典的なモンテカルロ法であり、この場合、多次元積分は以下の形式の有限の総和によって代替される。
【数１０】
2007531068.tif 000012
式中、ｙ（θi）は分布ｆθ（θ）から引き出されるｉ番目のサンプル点に対応するモデル予測であり、Ｎsは積率の統計的に安定した推定を得るために必要なサンプル点の数である。モンテカルロ法（ＭＣＭ）は暗黙的モデルを扱うために使用され得るが、これらの方法は、特に計算コストがすでに高い時、極端に不経済になり得る。より少ない計算コストで結果を生成できる明らかに代替的なアプローチが大きな関心である。
【００４１】
この問題を扱うために開発された方法のいくつかに、摂動法（Ｌａｘ，１９８０）、積率の方法（Ｍｏｒｇａｎ  ｅｔ  ａｌ．，１９９２）、ノイマン展開（Ａｄｏｍｉａｎ  １９８０；Ｇｈａｎｅｍ  ａｎｄ  Ｓｐａｎｏｓ，１９９１）、階層法（Ｌａｘ，１９８０）、半群演算子法（Ｓｅｒｒａｎｏ  ａｎｄ  Ｕｎｎｙ，１９９０）およびスペクトルベースの有限要素法（Ｇｈａｎｅｍ  ａｎｄ  Ｓｐａｎｏｓ，１９９１）が含まれる。これらの方法を使用するために、数理モデルはパラメータの陽関数でなければならず、方程式は操作のために容易でなければならない。多くの実際問題にとって、これらの制約は極めて制限的となり得る。すでに開発されたモデルの解を使用するサンプリングベースの方法のいくつかには、ラテンハイパーキューブサンプリング（ＬＨＳ）（ＭｃＫａｙ  ｅｔ  ａｌ．，１９７６９；Ｄｅｒｗｅｎｔ，１９８７）、フーリエ振幅感度テスト（ＦＡＳＴ（Fourier Amplitude Sensitivity Test））（Ｃｕｋｉｅｒ  ｅｔ  ａｌ．，１９７３，１９７５，１９７８；ＭｃＲａｅ  ｅｔ  ａｌ．，１９８２；Ｋｏｄａ  ｅｔ  ａｌ．，１９７９）、およびウォルシュ振幅感度手順（ＷＡＳＰ（Walsh amplitude sensitivity procedure））（Ｐｉｅｒｃｅ  ａｎｄ  Ｃｕｋｉｅｒ，１９８１）といった階層化またはパターンサーチ方法を含む。実際には、前段で述べた最善のサンプリング手順を用いても、安定した統計を得るために必要なランの数は、極端に不経済になり得る。
【００４２】
伝統的に、不確実性の扱いに対するアプローチは、最初にモデルを構築し、その後パラメータを変えることによってその応答を精査することであった。代替的なアプローチが、最初から不確実性を統合することである。古典的な論文においてウィーナー（１９３８）は、「ポリノミナルカオス（polynomial chaos）」展開（ＰＣＥ）と呼ばれる級数に関する確率変数の最適表現を開発した。
【数１１】
2007531068.tif 000013
式中、ωは確率事象、ａiは定数、Ｈiはそのｍ個の引数が既知の確率密度関数｛ζ1（ω），ζ2（ω），…，ζm（ω）｝である汎関数である。ポリノミナルカオス展開は以下の４つの特性を有する（Ｔａｔａｎｇ，１９９５）。（１）あらゆる二乗可積分確率変数はポリノミナルカオス展開によって要求と同程度に近く近似され得る。（２）ポリノミナルカオス展開は平均平方の意味において収束性である。（３）直交多項式の集合は確率密度関数が与えられれば一意である。（４）ポリノミナルカオス展開は確率変数を表現するうえで一意である。確率論的形式（１１）は、関数がサインおよびコサイン基底関数の一次結合に関して展開される場合、従来のフーリエ級数に類似である。実際、（１１）では有限数の項Ｍだけが使用される。
【数１２】
2007531068.tif 000014
【００４３】
一般形（１２）が与えられた時、次のステップは、汎関数（Ｈi）、関数（ζ）を定義し、有限展開の係数ａiについて解くことである。ａiを求める最も単純な方法は、重み付き残差法（ＭＷＲ）を使用することである（例えばＶｉｌｌａｄｓｅｎ  ａｎｄ  Ｍｉｃｈｅｌｓｅｎ，１９７８参照）。重み付き残差は、級数展開がモデルに代入された時の厳密解と結果との差として定義される。一般形（１）について、ｊ番目の重み付き残差は、θ→ζからの変数の適切な変更の後、以下によって与えられる。
【数１３】
2007531068.tif 000015
式中、Ｒj（ω）はｊ番目の残差、Ｗj（ω）はモデルにおける不確実なパラメータの各々と関係する重み係数である。展開ｙ＾（ζ）が（１３）を厳密に満足させる場合、残差はゼロである。係数ａiを求めるために使用される重み関数および最小化方法の選択に応じて、方法は、最小二乗、ガラーキンまたは選点に基づくＭＷＲ手法として知られる。
【００４４】
この場合、係数ａiは、残差を展開において使用される確率論的基底関数が及ぶ空間に対して直交であると設定することによって決定される。残差および重み関数Ｗk（ζ）の内積の確率論的形式は、ゼロに設定される。
【数１４】
2007531068.tif 000016
【００４５】
積分（１４）は、Ｍ＋１の基底多項式Ｈiの各々について定義される。積分が評価されると、Ｍ＋１の決定論的方程式の系はその後、係数ａiについて同時に解法され得る。２つの重み関数が一般に使用され、実際上、ガラーキンおよび選点表現である。
【数１５】
2007531068.tif 000017
【００４６】
ガラーキンの場合、直交試験関数が重み関数として使用される。選点が使用される場合、δj（ζ−ｃ）は、残差を選点ｃ＝｛ｃ1，ｃ2、．．．，ｃk｝でゼロになるように強制するディラックのデルタ関数である。いずれにせよ、多次元積分（１４）を評価する必要があるが、汎関数Ｈi、重み関数Ｗkおよび独立関数の慎重な選択によりプロセスを著しく単純化することができる。
【００４７】
ポリノミナルカオス展開は、確率論的な系における直交性の定義ゆえに“問題特定的”である。ベクトル空間に張っている直交ベクトルの概念に類似して、パラメータ特定的な直交多項式が、それらの根がパラメータの高確率領域に広がっているように導出される。２つの確率関数ｇi（ζ）およびｇj（ζ）は、確率変数ζの確率分布を用いて定義されたそれらの内積がゼロになる時、直交である。直交多項式の定義は以下の通りである。
【数１６】
2007531068.tif 000018
式中、ｇi（ｘ）はｉ次直交多項式である。多項式が単にモデルパラメータの確率密度関数だけから導出されることに留意されたい。一般に、問題特定的な直交多項式は、以下の回帰関係に従って、ＯＲＴＨＰＯＬといったアルゴリズムによって導出され得る（Ｇａｕｔｓｃｈｉ  ｅｔ  ａｌ．，１９９４）。
【数１７】
2007531068.tif 000019
式中、係数αk，βkは以下のグラム−シュミットの直交化手順に従って直交多項式に関して表現され得る。
【数１８】
2007531068.tif 000020
【００４８】
上で使用された内積は、リーマン−スティルチェス積分の形式である。
【数１９】
2007531068.tif 000021
式中、関数λ（ｘ）は重み関数の不定積分である。いくつかの異なる形式の直交展開が表１にまとめられている。
【表１】
2007531068.tif 000022
【００４９】
プロセスの例証として、前述した単純なケースＡ→ｋを検討しよう。基本的な考え方は、以下の形の多項式展開を用いてｙ（ｔ）に近似させることである。
【数２０】
2007531068.tif 000023
式中、ｇi（ζ）は基底汎関数、ｙi（ｔ）は展開において時間変化する係数である。エルミート多項式の特定のケースについて、展開は以下の形である。
【数２１】
2007531068.tif 000024
【００５０】
前段に記述した変分手順を適用することにより、係数について１組の線形常微分方程式を生じる。
【数２２】
2007531068.tif 000025
式中、Ａは単位行列であり、展開における最初の４項のＢの要素は以下によって与えられる。
【数２３】
2007531068.tif 000026
【００５１】
（２２）について指摘すべき重要な点は、不確実性係数についての方程式が本来のモデルと同じ構造形式であるということであり、従ってその数値ソルバーが両方の形式に使用され得る。
【００５２】
選点アプローチでは、残差（１４）はｃkにおいてゼロになるように強制され、従って選点はζ＝ｃ1，ζ＝ｃ2，．．．，ζ＝ｃM+1においてモデルを厳密に満足させる。Ｍ次ポリノミナルカオス展開の場合、選点｛ｃk｝はｇM+1（ζ）の根である。選点は、積分を評価するためのＧｕａｓｓｉａｎの求積法に類似の方式で選択される。選点法では、（２２）のような大きな系を一度に解く代わりに、決定論的モデルが選点ｃkの各々でＭ＋１回解法される。結果は、異なるｃkについての１組のＭ＋１の決定論的方程式である。
【数２４】
2007531068.tif 000027
【００５３】
モデルが選点の各々で解法された後、連立一次方程式の組（２４）は係数ｙ0，．．．，ｙMについて解法することができる。選点手順の重要な長所は、方法がパラメータの特定の値におけるモデルの解だけを必要とするので、モデル方程式が明示的には未知である「ブラックボックス」形モデルに適用され得るということである。
【００５４】
この方法、および関係する特性は、多くの確率論的パラメータを伴う系に完全に一般化可能である。例えば、パラメータが独立であれば、
【数２５】
2007531068.tif 000028
【００５５】
ｙがＮ個の独立した確率変数の関数ｙ＝ｙ（ζ1，ζ2，．．．，ζm）であるとすれば、ｙのＭ次のポリノミナルカオス近似ｙ（ζ1，ζ2，．．．，ζm）は以下のように書ける。
【数２６】
2007531068.tif 000029
【００５６】
より高次の系についての選点の選択は、以後の検討を保証する。全部のクロス乗積項が展開に含まれるわけではない限り、選定した選点だけがＰＣＥ係数を決定するために使用されることになる。この状況を取り扱うために、解法手順において使用される選点を体系的に選択するための正式な手順が開発された。最初の２パラメータのケースを検討しよう。各パラメータの選点は減少する確率の順に置かれている。確率が等しい時（例えば一様分布において）、点は平均から増大する距離で編成される。選点のうちで全部のパラメータについて最も確からしい値を含む点の最初のペア（ｃ1、ｃ3）は、アンカー点（ζAnchor）と呼ばれる。個々の増加する次数の近似について、対応する変数の選点は摂動する。従って、点のペア（ｃ1，ｃ3）、（ｃ2，ｃ3）および（ｃ1，ｃ4）は、定数項および、ζ1およびζ2に一次項を有する近似について選択される。双一次項ｇ1（ζ1）ｇ1（ζ2）が近似において使用される場合、点（ｃ2，ｃ4）もまた係数評価プロセスにおいて使用されるであろう。
【００５７】
前段での検討を前提とすれば、モデル出力変数の展開における適切な数の項の選択を単純化するための自動手順に対する明確な必要性が存在する。大部分の常微分方程式ソルバーに埋め込まれた誤り訂正機構を用いて、応答曲面表現の打切り誤差は、Ｍ次予測を（Ｍ＋１）次予測と比較することによって推定される。モデルは（Ｍ＋１）次近似に対応する選点において評価され、その後、モデル解はそれらの点のＭ次ＰＣＥから得られた近似と比較される。（Ｍ＋１）次選点の各々における誤差は、厳密解とＭ次近似との間の距離の平方として定義される。
【数２７】
2007531068.tif 000030
【００５８】
２つの特定の測定基準が使用される。すなわち、和二乗平方根（ＳＳＲ（sum square root））誤差および相対的な和二乗平方根（ＲＳＳＲ（relative sum square root））誤差である。
【数２８】
2007531068.tif 000031
【００５９】
（２８）による誤差測度は、より多くの項がＰＣＥにおいて必要とされるかどうかの決定を導くために使用され得る。応答曲面近似に要求される項の精度および数は、解析の目標に依存する。この手順は、増加する次数を伴うＰＣＥ級数の収束を保証するコンピュータプログラムにおいて具体化される。パラメータ間の相互作用もまた解明され得る。近似の次数は、誤差が無視できるまで増加される。しかし、係数を評価するための過度な数のモデルランは時としてこのアプローチを計算集約的にする。個別の項を評価することによって変数の各々からの誤差の寄与率を解析し、誤差に寄与する変数を高次表現のための目標として選定することが可能である。また、物理的な洞察が、クロス乗積項の選定および使用を導くために使用され得る。誤差制御の１つの手順が図３Ｃに図示されている。
【００６０】
ポリノミナルカオス展開における係数がいったん決定されると、出力の確率密度関数、信頼区間、積率情報および、クリティカルな入力変数を識別するための分散割当てを含む、決定され得るいくつかの他の有用な特性が存在する。例えば、ＰＣＥ表現から応答変数の確率分布を得る１つの単純なやり方は、展開それ自体のモンテカルロ（ＭＣ）サンプリングによるものである。本質的に、ＰＣＥ近似は、本来の出力変数の縮約として見ることができる。本来の複雑なモデルのＭＣサンプリングが極端に不経済である場合、ランダムな入力変数を含んでいる代数項の一次結合のＭＣサンプリングは、ランダムな出力変数の振る舞いを理解するための実行可能な代替を与える。この方法はまた、累積密度関数（ＣＤＦ（cumulative density function））を導出するために使用され得る。ＣＤＦを生成するために、出力サンプルは昇順でソートされ、個々のフラクタイルの限界が記録される。信頼区間もまたソートされたサンプルを用いて決定され得る。例えば、９０％信頼区間は、サンプルの最高および最低の５％が捨てられた後の経験的サンプルの範囲であろう。確率密度関数が必要とされる場合、応答変数の範囲はビンまたは区間に分割され、各区間における出現の頻度はヒストグラムを生成するために使用される同じ手順に基づいてカウントされる。
【００６１】
特に重要な１つの適用は、出力確率分布の積率の決定および分散分析へのそれらの適用である。分布の積率はＭＣサンプルから経験的に決定することができ、またはｎ次中心積率（ｃｍn）の定義を用いてＰＣＥ係数から直接計算することもできる。積率の評価は多項式の直交特性によって単純化される。例えば、
【数２９】
2007531068.tif 000032
であれば、平均値はｙ0に等しく、確率変数の分散は以下によって記述される。
【数３０】
2007531068.tif 000033
【００６２】
また、より高い積率も高次の項の係数から決定され得る。ＰＣＥ係数と分散との関係は、分散分析のためのＰＣＥ近似の有用性を示唆している。個々の入力パラメータの寄与率は、近似における関連する項から決定され得る。（３０）において、ζ1からの分散寄与率（ＶＣ（variance contribution））がＡ1ｕ12であるのに対し、ζ2からのＶＣはＡ2ｕ22である。いずれかのクロス項が、関与する変数の間で配分される。この種の分析は、その不確実性が不確実な出力に強い影響を及ぼす入力変数を識別するために特に有用である。
【００６３】
形式Ａｋ1→Ｂｋ2→Ｃの単純な系列反応機構を検討しよう。ここで、ｋ1およびｋ2は正規分布ｋ1＝Ｎ［０．５，０．１］およびｋ2＝Ｎ［２．０，０．５］によって記述される不確実なパラメータである。初期条件は、［Ａ（０）］＝１００、［Ｂ（０）］＝［Ｃ（０）］＝０である。いったん反応が始まると、Ａ、ＢおよびＣの濃度は、不確実な速度定数のために不確実である。不確実性解析のための選点手順を適用する際のステップを以下に述べる。
【００６４】
［ステップ１．不確実なパラメータを指定する］
この例では、ｋ1およびｋ2の確率分布は、独立かつガウス分布であると仮定する。ポリノミナルカオス展開は単に以下のようになる。
【数３１】
2007531068.tif 000034
式中、ｋ10＝０．５、ｋ20＝２．０はｋ1およびｋ2の平均値であり、ｋ11＝０．１およびｋ21＝０．５は標準偏差である。他の確率分布についてのＰＣＥ形式を開発する方法は、Ｔａｔａｎｇ（１９９５）に記載されている。
【００６５】
［ステップ２．問題特定的なポリノミナルカオス展開を生成する］
ｋ1およびｋ2の分布の明示的な形式が既知であるので、直交ポリノミナルカオス｛ｇi｝は、
（数式）
2007531068.tif 000035
によって定義される内積がゼロであるように生成され得る。ここで、ｆζ（ζ）は不確実な変数ζ1またはζ2のＰＤＦである。標準の正規分布の場合、ＰＣＥは単に以下によって定義される直交エルミート多項式である。
【数３２】
2007531068.tif 000036
【００６６】
［ステップ３．ポリノミナルカオス展開を用いて不確実な出力に近似させる］
モデル出力、濃度Ａ（ζ1，ｔ）、Ｂ（ζ1，ζ2，ｔ）、Ｃ（ζ1，ζ2，ｔ）は、ステップ２で決定された直交多項式の一次結合として表現される。これらの表現は、不確実な出力についてのポリノミナルカオス展開（ＰＣＥ）として既知であり、一次に対して、以下によって与えられる。
【数３３】
2007531068.tif 000037
Ａ、ＢおよびＣの濃度、および係数、Ａ0，Ａ1，．．．、Ｂ0，Ｂ1，．．．、Ｃ0，Ｃ1，．．．はすべて、時間の関数である。個々の時間の点において、係数の数、それゆえにそれらの解法のための同時方程式の数は、多項式近似の次数によって決定される。近似の次数が高くなればなるほど、近似はより良好になる。実際上、手順は、低次展開から始めて、必要に応じて次数を反復的に増やすことである。Ａ、ＢおよびＣの線形ＰＣＥ表現は、エルミート多項式を用いて、以下によって与えられる。
【数３４】
2007531068.tif 000038
【００６７】
[ステップ４．選点を求める]
選点は、近似（３３）における係数Ａ0、Ａ1、Ａ2、Ｂ0、Ｂ1、Ｂ2、Ｃ0、Ｃ1およびＣ2について解くために選定される。線形近似の場合、選点は、二次多項式の根によって決定される。Ｈ2（ζ）＝ζ2−１、ゆえにζ＝±１。ζ1およびζ2はガウス形でありゼロについて対称であるので、選点（±１，±１）の４つのペアは確率に関して等しく、平均（０，０）までの距離に関して等しい。点（ζ1，ζ2）＝（１，１）はアンカー点として示され、最も高い確率を備える点である。この例では、点（−１，１）および（１，−１）もまた選択される。これらは、表２に列挙した通り、（ｋ10＋ｋ11，ｋ20＋ｋ21）と（ｋ10−ｋ11，ｋ20＋ｋ21）と（ｋ10＋ｋ11，ｋ20−ｋ21）との（ｋ1，ｋ2）のペアに対応する。
【表２】
2007531068.tif 000039
【００６８】
［ステップ５．選点でモデルを解く］
モデルは、不確実なパラメータｋ1およびｋ2を外部入力として得るために定式化される。Ａ（ｔ）、Ｂ（ｔ）およびＣ（ｔ）についての解が、ステップ４で求められた（ｋ1，ｋ2）の各ペアについて評価される。モデル方程式が選点で厳密に満たされることから、本来のモデルソルバーは、「そのまま」使用される。
【００６９】
［ステップ６．モデル結果から展開の係数について解く］
Ａ（ｔ）、Ｂ（ｔ）およびＣ（ｔ）についてのモデル解は、表２に列挙した選点（ｋ1，ｋ2）の各々について（２７）の単純な代数方程式と等式化される。係数Ａ0、Ａ1、Ａ2、Ｂ0、Ｂ1、Ｂ2、Ｃ0、Ｃ1およびＣ2の結果として得られた時間に依存する方程式は、選ばれた時間の点で数値的に評価される。個々の時間の点で、代数方程式（２４）は未知数について同時に解法される。Ａの濃度は不確実な速度定数ｋ2に依存しないので、係数Ａ2（ｔ）は常に厳密にゼロである。
【００７０】
［ステップ７．近似の誤差を推定する］
線形ＰＣＥの誤差は、三次エルミート多項式の根（二次ＰＣＥのための選点）での解に基づきあらゆる所与の時間に個々の種について評価され得る。三次近似の根はζ＝０，±√３であり、個々のパラメータ組合せの対応する点が表３に二次近似について示されている。
【表３】
2007531068.tif 000040
例示誤差計算を（Ｂの濃度がその最大である時）１．０単位の時間で種Ｂについて表４に示す。
【表４】
2007531068.tif 000041
表５は、応答曲面の線形近似の相対誤差が約４％であることを示している。
【表５】
2007531068.tif 000042
この百分率の数は、それだけで近似の「良好さ」の絶対的尺度ではない。期待値がゼロに近い時、ＲＳＳＲは際限なく増大し得るので、誤差の評価を解釈する際に注意を払わなければならない。
【００７１】
［ステップ８．近似の次数を増す］
応答曲面近似の、それゆえに不確実性推定の誤差を減少させる一法は、ポリノミナルカオス近似の次数を増すことである。より高い次数の項およびクロス乗積項を含めることは、応答曲面の曲率をより良好に捕捉するという明らかな有用性を有する。さらなる利点もある。ステップ４で述べた通り、選点の選択に基づき、項の数を増やすことはまた、選点の”空間的有効範囲（spatial coverage）”を増大させ、推定をより広い範囲の不確実な入力の値にわたって適用可能にする。時間＝１でのＢの濃度についての近似の異なる次数に関係する誤差は表５に提示されている。
【００７２】
［ステップ９．分散分析］
（２９〜３０）に記述された定式を用いて、応答の平均、およびその広がりの分散は、特に興味深い。図３Ｃは、不確実な出力濃度Ａ、ＢおよびＣの期待値を示しており、誤差バーはＰＤＦ評価の標準偏差を表現している。実線は、公称解、すなわち、入力速度定数の最良推定量であるｋ1＝０．５およびｋ2＝２．０を用いて計算された決定論的な解である。また、パラメータの各々から全体の分散への寄与率も図３Ｃに示されている。いくつかの点は留意する価値がある。最初に、期待値は、必ずしも常にｋ1およびｋ2の最良推定量に基づく公称解に等しいとは限らない。実際、不確実性解析において期待される解は、複雑な高度に非線形の機構における公称解から著しく逸脱し得る。第二に、出力の不確実性は必ずしも時間とともに増加しない。この例では、初期条件は確実であり、シミュレーションの初めの濃度の不確実性は小さい。全部の反応は不可逆性であるので、終点もまた確実である。すなわち、ＡとＢとはゼロになり、Ｃは質量の保存によりＡの初期濃度に漸近的に接近する。これは、シミュレーションの終わりに向かって不確実性が減少することを説明する。反応の過渡的な部分は全部の３種について最も不確実であり、反応および濃度プロフィールの正確なタイミングの不確実性を示している。３種の不確実性は、総質量が確実であり保存されているので、相互関係がある。化合物ＡおよびＢが消耗した時、Ｃの濃度がＡの初期条件に近づくことは確かである。ＡおよびＢの濃度が不確実な時、Ｃも同様に不確実なはずである。
【００７３】
個々のＰＣＥ係数から、出力分散に対するあらゆる特定の不確実なパラメータの寄与率を計算することができる。ＰＣＥ係数は、パラメータに対する応答変数の「グローバル感度」に関する情報を与える。図３Ｄは、中間種Ｂについての分散分析を図示している。ｋ1およびｋ2の両方とも、Ｂの濃度における不確実性に寄与する。ｋ2の不確実性が、絶対項および相対項の両方において、ｋ1のそれより高いが、ｋ2の分散寄与率は必ずしも支配的ではない。反応のごく始めでは、ｋ1は分散を支配しており、Ｂの濃度が低い時にＡ→Ｂ反応の速度定数に対するＢの濃度の感度を反映している。Ｂが増加するにつれて、Ｂ→Ｃ反応の速度は増加する。この段階で、Ｂの濃度は、ｋ1よりもｋ2に対してより敏感になる。ｋ2における不確実性は、種Ｂの濃度の濃度不確実性に移行する。そのような解析は、モデル予測の不確実性に影響を及ぼす重要な入力パラメータを識別する際に有用であると判明している。
【００７４】
ポリノミナルカオス展開の別の適用は、応答変数の分布を不確実な入力パラメータの関数として表現する。モンテカルロサンプリング手順は、出力の確率密度関数を得るためにポリノミナルカオス展開のサンプリングに適用され得る。このアプローチにより、モンテカルロ解析を実行するために要求されるオーバーヘッドのコンピュータ資源は、選点でモデルを解法するために要する時間に比べて小さい。例えば、３９項のＰＣＥは、解法およびサンプリングに１．８秒かかる。モデルが走行するのに２時間かかる場合、数秒のオーバーヘッド時間は無視でき、モンテカルロの代わりにＤＥＭＭを使用する時間の節減は２つの方法に必要とされるモデルランの数の比である。
【００７５】
さらなる実施形態において、近似の次数を増やした後、アルゴリズムは、特定の入力が取るに足りない不確実性効果のために無視され得るかどうかを決定し得る。このようにして、低次元に縮約された決定論的に等価なモデルが実現され得る。図４に示すように、２０のグローバル入力および５０のローカル入力を有するモジュール４１が、例えば、２のグローバル入力および３のローカル入力だけを有する決定論的に等価なモデル４３によって表現され得る。このように、モジュール４１のモデリングは、決定論的等価性を維持しながら、より高い効率で達成され得る。
【００７６】
決定論的に等価なモデルが個々のモジュールについて生成されると、モジュールは、入力不確実性の適正な伝播を維持しながら、互いに通信することができる。
【００７７】
図５は、化学反応器システムについて統合された不確実性解析を実行するための本発明の例示的な実施形態に従ったシステム５００を例示している。システム５００は、モジュールの統合された集合としてよく、各モジュールはシステム特定的な入力を伴うシステムの特定の態様のシミュレーションである。幾何学モジュール５１０は、化学反応器のジオメトリをシミュレートするために設けられ得る。幾何学モジュール５１０は、構造ジオメトリをシミュレートするための市販のソフトウェアパッケージとしてよい。動力学モジュール５２０は、化学反応器システムに関与する反応体の動力学的相互作用または運動をシミュレートするために設けられ得る。
【００７８】
幾何学モジュール５１０および動力学モジュール５２０は、化学反応器における反応体の反応をシミュレートするための反応器モデルモジュール５３０に入力を供給し得る。反応器モデルは、Ｃｈｅｍｋｉｎといった市販のソフトウェアパッケージとしてよい。反応器モデルモジュール５３０は、計算流体力学（ＣＦＤ）モジュール５４０に入力を供給し得る。ＣＦＤモジュール５４０は、化学反応器を通る反応体および生成物の流体力学をシミュレートすることができる。ＳＴＡＲＣＤといったソフトウェアパッケージが、流体力学をシミュレートするために使用され得る。１つ以上のモジュールの出力は、プロセス工学モジュール５５０への入力を供給するために使用され得る。図５は、ＣＦＤモジュール５４０からの出力がプロセス工学モジュール５５０への入力に使用されることを例示しているにすぎないが、入力は、動力学モジュール５２０および反応器モジュール５３０といった他のモジュールから直接受け取ることもできる。
【００７９】
図６は、図５に例示されたシステムのさらなる実施形態を例示している。図６の実施形態では、経済モジュール５６０が、反応器システムの設計または設計の改良の経済面をシミュレートするために追加されている。経済モジュール５６０は、システム特定的な入力を備えるＩｃａｒｕｓといった市販のソフトウェアパッケージとしてよい。
【００８０】
さらに、最適化モジュール５７０が、反応器システムの設計における最適化を実行するために組み込まれ得る。最適化モジュール５７０もまた市販のソフトウェアパッケージ５７０としてよく、再帰二次計画法または逐次二次計画法といった多様な公知の最適化アルゴリズムのいずれかを含み得る。図６で点線によって示されたように、最適化モジュールは、化学反応器システムの出力を用いて、また反応器システムへの入力を微調整することによって反復的最適化を実行し得る。最適化モジュールによって実行された最適化は、例えば最適な資源割当てを決定するといった、いくつかの目的のいずれかを達成するために使用され得る。
【００８１】
図５および図６の例示システムからわかるように、システムは、多様な市販のパッケージを含み得る。そのようなパッケージはたいてい、互いに相互作用するように適応可能ではない。例えば、Ｃｈｅｍｋｉｎを用いた反応器モデル５３０からの出力は、ＳＴＡＲＣＤを使用するＣＦＤモジュール５４０による入力として受け入れられないかもしれない。この問題は、種々のパラメータの不確実性情報を伝える必要性によって、さらに複雑になり得る。このために、データおよび不確実性が種々のモジュール間で伝播されることを可能にするために共通のデータアーキテクチャが適用され得る。ＸＭＬを用いた１つのそのようなデータアーキテクチャが、本願と同時に出願され参照によってここに完全に取り入れられる、「メソッド・アンド・アパレイタス・フォー・インフォメーション・エクスチェンジ・フォー・インテグレーション・オブ・マルチプル・データ・ソースズ（ＭＥＴＨＯＤ  ＡＮＤ  ＡＰＰＡＲＡＴＵＳ  ＦＯＲ  ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ  ＥＸＣＨＡＮＧＥ  ＦＯＲ  ＩＮＴＥＧＲＡＴＩＯＮ  ＯＦ  ＭＵＬＴＩＰＬＥ  ＤＡＴＡ  ＳＯＵＲＣＥＳ）」（代理人事件番号０３７０１０−０１０６）と題する米国特許出願に記載されている。図７Ａおよび７Ｂは、データアーキテクチャおよび例示的なＸＭＬデータファイルの実施形態を例示している。図７Ａに例示したデータアーキテクチャは、一群の不確実性分布のいずれか１つに対応するように適応されている。“ｎａｍｅ”と呼ばれる要素７１０が、特定の変数の分布のタイプを識別するために付与される。図７Ｂに例示された例において、分布の“ｎａｍｅ”は、ＰＤＦつまり確率密度関数である。“ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ”と呼ばれる別の要素７２０が、分布をさらに記述するために付与される。例えば、図７Ｂの例では、“正規”分布を含め、いくつかのタイプのＰＤＦ分布が可能かもしれない。他のＰＤＦ分布には指数ＰＤＦ分布を含むかもしれない。特定の変数の不確実性分布の“ｎａｍｅ”および“ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ”に依存して、１つ以上の記述要素が実際の分布を記述するために付与され得る。これに関して、図７Ａは、“ｎａｍｅ”および“ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ”パラメータの関数である属性リスト７３０を含むものとしてデータアーキテクチャを例示している。例えば、図７Ｂに例示された例は、正規ＰＤＦ分布を有し、分布を完全に記述するために平均および標準偏差が指定されることを必要とする。
【００８２】
同様に、他の不確実性分布タイプが個々の変数について指定され得る。例えば、指数ＰＤＦ分布を有する変数の不確実性分布は、平均値を付与することによって記述され得る。この共通データアーキテクチャを用いて記述され得る他の分布タイプには、ポリノミナルカオス展開、点のリストまたはヒストグラムを含み得る。このように、個々の変数、入力または出力の不確実性分布は、例えばデータベースにおいて、変数それ自体と関係づけられ得る。
【００８３】
上述の方法論は、確率変数を使用するために示された。例えば、当業者には公知であるカルフーネン−レーヴ級数展開を用いて、ランダム過程の利用を可能にすることが本発明の範囲内で考えられる。カルフーネン−レーヴ級数展開に関する詳細については、Ａ．パポリス（Ｐａｐｏｕｌｉｓ，Ａ．）著、“プロバビリティ、ランダム・バリアブルズ、アンド・ストカスティック・プロセスズ”、第３版、マグローヒル、ニューヨーク、１９９１年（Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，Ｒａｎｄｏｍ  Ｖａｒｉａｂｌｅｓ，ａｎｄ  Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ  Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，３ｒｄ  Ｅｄｉｔｉｏｎ，ＭｃＧｒａｗ  Ｈｉｌｌ，ＮＹ，１９９１）のほか、Ｍ．Ａ．タタング（Ｔａｔａｎｇ，Ｍ．Ａ．）著、“ダイレクト・インコーポレーション・オブ・アンサータンティ・イン・ケミカル・アンド・インバイロンメンタル・エンジニアリング・システムズ”、博士論文、化学工学科、マサチューセッツ工科大学、ケンブリッジ、マサチューセッツ、１９９５年（Ｄｉｒｅｃｔ  Ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ  ｏｆ  Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ  ｉｎ  Ｃｈｅｍｉｃａｌ  ａｎｄ  Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ  Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｐｈ．Ｄ．Ｔｈｅｓｉｓ，Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ  ｏｆ  Ｃｈｅｍｉｃａｌ  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｍａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓ  Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ  ｏｆ  Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，Ｍａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓ，１９９５）を参照されたい。これらの各々は参照によってここに取り入れられる。
【００８４】
各モジュールがその出力を共通データアーキテクチャで他の全部のモジュールに効果的に通信できることにより、最適化プロセスは自動化され得る。
【００８５】
本発明のさらなる実施形態において、プロセスおよびサブシステムのシステム全体は、個々のモジュールについて上述した通り、決定論的に等価なモデルを生成することによって単一のシステムとしてモデル化され得る。これに関して、システムへのグローバル入力はこの時、図１に例示された入力１０として扱うことができる。各モジュールの等価モデルにより、共通データアーキテクチャがモジュール間の伝播を確実にしつつ、各モジュール内でのデータおよび不確実性の伝播は保証される。このように、統合された不確実性解析は、例えば、経済を含む設計プロセスの全部の局面を含むシステムによりシステム全体で実行され得る。
【００８６】
本発明の実施形態が化学の環境において適用されるものとして上述したが、本発明の実施形態は広範な用途において使用され得る。適用に関して想定可能ないくつかの分野および産業には、以下に限定されないが、財務分析、石油工業、コンピュータネットワークを含む種々の形式のネットワーク、輸送、回路シミュレーション、プロジェクト計画および意志決定分析を含む。
【００８７】
例えば、財政分野において、代替的な投資提案を考慮する場合、たいてい、市場規模、販売価格、資金調達の可能性などを含め、考慮すべき多くの不確実性が存在する。財政危機を効果的に管理しなければならない場合、様々な不確実性の根源の相対的な寄与を評価できることは重要である。例えば、正味現在価値（ＮＰＶ）計算において、ひいてはプロジェクト評価における不確実性につながる将来のキャッシュフローおよび公定歩合に関する不確実性がしばしば存在する。本発明の実施形態に従った不確実性解析のための方法またはシステムを用いて、ＮＰＶ確率分布および、評価における分散に対する個々の項目の寄与を決定することが可能である。そのような情報は、リスク軽減戦略を開発するために、または全体のリスクを低減するためにどこに追加資源を割り当てられるかを決定するために、重要である。類似の解析は、オプション価格決定、ポートフォリオ管理、保険価格決定などを含む幅広い範囲の金融手段に適用され得る。
【００８８】
応用の実施形態はまた、物流および輸送ネットワークの領域に適用され得る。顧客の需要、原料供給元および出荷能力の利用可能性に不確実性が存在する時、工場から倉庫そして市場へと製品を動かす物流を管理するうえでの共通の問題は、輸送コストを管理することである。本発明の実施形態に従った不確実性解析の方法およびシステムは、物流問題の数学的プログラミング定式化とともに、確固とした生産計画、在庫管理方針を開発し、輸送を割り当てる最適な方法を識別するために使用することができる。
【００８９】
さらなる例として、本発明の実施形態は電子回路のシミュレーションに適用され得る。電子回路は一般に多くのサブシステムから構成される。最下位レベルでは、構成部品は、トランジスタ、コンデンサまたは抵抗であるかもしれず、統合の高いレベルでは、サブシステムは増幅器またはインバータとなり得る。これらの装置の電気的特性は不確実であり得て、それは転じて全体のシステム効率における不確実性につながる。ＳＰＩＣＥといった電流回路シミュレータは、シミュレーションモデルからの予測出力の確率分布の決定に対する構成部品の不確実性の影響を伝播することができない。本発明の実施形態に従った不確実性解析の方法およびシステムは、回路シミュレータをブラックボックスとして扱い、出力に影響を及ぼす構成部品の不確実性を識別することができる。
【００９０】
機械的および構造的解析もまた、本発明の実施形態を使用することができる。有限要素は、単純な構成要素から構成された複雑なシステムの静力学および動力学を調査するために広範に使用されている。本発明の実施形態に従った不確実性解析の方法およびシステムは、外部負荷および物理的特性における不確実性を処理し、それらがどのように数値モデルの予測に影響を及ぼすかを決定することができる。また、本発明の実施形態は、カルフーネン−レーヴ分解と組み合わせて、入力パラメータにおける空間的および時間的分散を明らかにすることができる。
【００９１】
本発明の実施形態の応用の別の例は、意思決定の分析である。複雑な意思決定を構造化し分析することは、多くの不確実性を含む。プロジェクト要素を記述するためにモデルが使用される場合、または決定結果に不確実性が存在する場合、結果に対して最も多くの影響を及ぼす構成要素を識別する必要がある。本発明の実施形態に関して上述した通り結果の確率密度関数についての知識は、投資家がプロジェクトのポートフォリオにわたるリスクを管理することを可能にする。
【００９２】
本発明の実施形態は、図８に例示されたコンピュータシステムといったプロセッサにおいて具体化され得る。コンピュータシステム８００は、デスクトップ装置８１０またはラップトップといったコンピュータを含む。処理は、中央処理装置（ＣＰＵ）８２０によって実行される。ＣＰＵ８２０は、外部電源と接続された電源８２１から電力を受けることができる。
【００９３】
例えば、ハードディスクドライブ８２２が、不揮発性メモリにおいてデータおよび命令を記憶するために設けられ得る。さらに、ランダムアクセスメモリ８２４がＣＰＵへの命令を一時的に記憶するために設けられる。ランダムアクセスメモリ８２４は、例えば、ハードディスクドライブ８２２上または、フロッピーディスクまたはＣＤ−ＲＯＭ８２８といった外部記憶媒体上に存在する実行ファイルに記憶された命令を供給され得る。ＣＤ−ＲＯＭ８２８上の情報は、ＣＤ−ＲＯＭドライブ８２６を介してＣＰＵ８２０によってアクセスされ得る。他の形式の外部記憶媒体から情報にアクセスするために他のドライブが設けられ得る。
【００９４】
ＣＰＵ８２０は、キーボード８３０およびマウス８４０といった入力装置を介して外部ユーザから命令、コマンドまたはデータを受け取ることができる。ＣＰＵ８２０は、モニタ８５０で状態、結果または他の情報をユーザに表示することができる。
【００９５】
本発明の特定の実施形態を開示したが、種々の異なる修正および組合せが可能であり、添付の特許請求の範囲の真の精神および範囲内で考慮されることを理解しなければならない。従って、ここに提示されたまさにその要約または開示に対する限定の意図はまったくない。
【００９６】
（引用文献）
Ｇ．アドミアン，「ストカスティック・システム・アナリシス」，Ｇ．アドミアン編“応用確率過程”，１−１７頁，アカデミック，サンディエゴ，カリフォルニア，１９８０年．（Adomian, G., Stochastic system analysis, in Applied Stochastic Processes, edited by G. Adomian, pp.1-17, Academic, San Diego, Calif., 1980.）
Ｒ．Ｉ．キュキア，Ｃ．Ｍ．フォーチュイン，Ｋ．Ｅ．シューラー，Ａ．Ｇ．ペチェク，Ｊ．Ｈ．シャイブリー，「スタディ・オブ・ザ・センシティビティ・オブ・カップルド・リアクション・システムズ・トゥ・アンサータンティーズ・イン・レイト・コエフィシエンツ」，Ｉ，理論，ジャーナル・オブ・ケミカル・フィジックス，５９，３８７３−３８７８頁，１９７３年．（Cukier, R.I., Fortuin, C.M., Shuler, K.E., Petschek, A.G., and Schaibly, J.H., Study of the sensitivity of coupled reaction systems to uncertainties in rate coefficients, I, Theory, J. Chem. Phys., 59, 3873-3878, 1973.）
Ｒ．Ｉ．キュキア，Ｈ．Ｂ．レヴァイン，Ｋ．Ｅ．シューラー，「ノンリニア・センシティビティ・アナリシス・オブ・マルチ・パラメータ・モデル・システムズ」，ジャーナル・オブ・ケミカル・フィジックス，２６，１−４２頁，１９７８年．（Cukier, R.I., Levine, H.B. and Shuler, K.E. Nonlinear sensitivity analysis of multi-parameter model systems, J. Chem. Phys., 26,1-42, 1978.）
Ｒ．Ｇ．ダーウェント，「トリーティング・アンサータンティー・イン・モデルズ・オブ・ザ・アトモスフェリック・ケミストリー・オブ・ナイトロジェン・コンパウンズ」，アトモスフェリック・エンバイロンメント，２１，１４４５−１４５４頁，１９８７年．（Derwent, R.G., Treating uncertainty in models of the atmospheric chemistry of nitrogen compounds, Atmos. Environ., 21,1445-1454, 1987.）
Ａ．Ｍ．ダンカー，「ザ・デカップルド・ダイレクト・メソッド・フォー・カルキュレーティング・センシティビティ・コエフィシエンツ・イン・ケミカル・キネティクス」，ジャーナル・オブ・ケミカル・フィジックス，８１（５），２３８５−２３０３頁，１９８４年．（Dunker, A.M., The Decoupled Direct Method for calculating sensitivity coefficients in chemical kinetics, J. Chem. Phys., 81(5), 2385-2303,1984.）
Ｄ．ガオ，Ｗ．Ｒ．ストックウェル，Ｊ．Ｂ．ミルフォード，“ファースト・オーダー・センシティビティ・アンド・アンサータンティー・アナリシス・フォー・ア・リージョナル・スケール・ガス・フェーズ・ケミカル・メカニズム”，ジャーナル・オブ・ジオフィジカル・リサーチ，１００，２３１５３−２３１６６頁，１９９５年．（Gao, D, Stockwell, W.R. and Milford, J.B. "First order sensitivity and uncertainty analysis for a regional scale gas phase chemical mechanism, J. Geophysical Research, 100, 23,153-23,166, 1995.）
Ｗ．ゴーチ，「アルゴリズム７２６：ＯＲＴＨＰＯＬ−−ア・パッケージ・オブ・ルーチンズ・フォー・ジェネレーティング・オーソゴナル・ポリノミナルズ・アンド・ガウス・タイプ・クワドラチュア・ルールズ」，ＡＣＭトランザクションズ・オン・マスマティカル・ソフトウェア，２０（１），２１−２６頁，１９９４年．（Gautschi, W., Algorithm 726:ORTHPOL--A package of routines for generating orthogonal polynomials and Gauss-type quadrature rules, ACM Trans. Math. Software, 20(1), 21-26, 1994.）
Ｒ．Ｇ．ガーネム，Ｐ．Ｄ．スパノス，『ストカスティック・ファイナイト・エレメンツ；ア・スペクトラル・アプローチ』，シュプリンガー出版，ニューヨーク，１９９１年．（Ghanem, R.G. and Spanos, P.D., Stochastic Finite Elements; A Spectral Approach, Springer-Verlag, New York, 1991.）
Ｒ．Ｊ．キー，Ｆ．Ｍ．ルプリー，Ｅ．ミークス，Ｊ．Ａ．ミラー，「ＣＨＥＭＫＩＮ−ＩＩＩ：ア・フォートラン・ケミカル・キネティクス・パッケージ・フォー・ザ・アナリシス・オブ・ガス・フェーズ・ケミカル・アンド・プラズマ・キネティクス」，サンディア・ナショナル・ラボラトリーズ・レポートＳＡＮＤ９６−８２１６，１９９６年．（Kee, R.J., Rupley, F.M., Meeks, E. and Miller, J.A., CHEMKIN-III: A Fortran Chemical  Kinetics Package for the Analysis of Gas-Phase Chemical and Plasma Kinetics, Sandia National Laboratories Report SAND96-8216,1996.）
Ｍ．コウダ，Ｇ．Ｊ．マクレー，Ｊ．Ｈ．セインフェルド，「オートマティック・センシティビティ・アナリシス・オブ・キネティクス・メカニズムズ」，インターナショナル・ジャーナル・オブ・ケミカル・キネティクス，１１，４２７−４４４頁，１９７９年．（Koda, M., McRae, G.J. and Seinfeld, J.H., Automatic sensitivity analysis of kinetic mechanisms, Int. J. Chemical Kinetics, 11,427-444, 1979.）
Ｍ．Ａ．クレイマー，Ｈ．ラビッツ，Ｊ．Ｍ．カロウ，Ｒ．Ｊ．キー，「センシティビティ・アナリシス・イン・ケミカル・キネティクス：リーセント・ディベロップメンツ・アンド・コンピュテーショナル・コンパリスンズ」，インターナショナル・ジャーナル・オブ・ケミカル・キネティクス，１６，５５９−５７８頁，１９８４年．（Kramer, M.A., Rabitz, H., Calo, J.M., and Kee, R.J., Sensitivity analysis in chemical kinetics: Recent developments and computational comparisons, Int. J. Chem. Kinetics, 16,559-578, 1984.）
Ｍ．Ｄ．ラックス，「アプロキシメイト・ソリューション・オブ・ランダム・ディフェレンシャル・アンド・インテグラル・イクエーションズ」，Ｇ．アドミアン編“応用確率過程”，１２１−１３４頁，アカデミック，サンディエゴ，カリフォルニア，１９８０年．（Lax, M.D., Approximate solution of random differential and integral equations, App. Stochastic Process, edited by G. Adomian, pp.121-134, Academic, San Diego, Calif., 1980.）
Ｍ．Ｄ．マッケイ，Ｒ．Ｊ．ベックマン，Ｗ．Ｊ．コノバー，「ア・コンパリスン・オブ・スリー・メソッズ・フォー・セレクティング・バリューズ・オブ・インプット・バリアブルズ・イン・ザ・アナリシス・オブ・アウトプット・フロム・ア・コンピュータ・コード」，テクノメトリクス，２１，２３９−２４５頁，１９７９年．（McKay, M.D., Beckman, R.J., and Conover, W.J., A comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code, Technometrics, 21, 239-245,1979.）
Ｇ．Ｊ．マクレー，Ｊ．Ｗ．ティルデン，Ｊ．Ｈ．セインフェルド，「グローバル・センシティビティ・アナリシス−−ア・コンピュテーショナル・インプリメンテーション・オブ・ザ・フーリエ・アンプリチュード・センシティビティ・テスト（ＦＡＳＴ）」，コンピューターズ・アンド・ケミカル・エンジニアリング，６，１５−２５頁，１９８２年．（McRae, G.J., Tilden, J.W., and Seinfeld, J.H., Global sensitivity analysis--A computational implementation of the Fourier Amplitude Sensitivity Test (FAST), Comp. Chem. Eng., 6,15-25,1982.）
Ｍ．Ｇ．モーガン，Ｍ．ヘンリオン，Ｍ．スモール，『アンサータンティー、ア・ガイド・トゥ・ディーリング・ウィズ・アンサータンティー・イン・クォンティテイティブ・リスク・アンド・ポリシー・アナリシス』，ケンブリッジ大学出版局，ニューヨーク，１９９２年．（Morgan, M.G., Henrion, M., and Small, M., Uncertainty, A Guide to Dealing with Uncertainty in Quantitative Risk and Policy Analysis, Cambridge University Press, New York, 1992.）
Ａ．パポリス，『プロバビリティ、ランダム・バリアブルズ、アンド・ストカスティック・プロセスズ』，第３版，マグローヒル，ニューヨーク，１９９１年．（Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 3rd Edition, McGraw Hill, NY, 1991.）
Ｔ．Ｈ．ピアース，Ｒ．Ｉ．キュキア，「グローバル・ノンリニア・センシティビティ・アナリシス・ユージング・ウォルシュ・ファンクションズ」，ジャーナル・オブ・コンピュテーショナル・フィジックス，４１，４２７−４４３頁，１９８１年．（Pierce, T.H. and Cukier, R.I., Global Nonlinear Sensitivity Analysis using Walsh functions, J. Comput. Phys., 41,427-443,1981.）
Ｗ．パン，Ｍ．Ａ．タタング，Ｇ．Ｊ．マクレー，Ｒ．Ｇ．プリン，「アンサータンティー・アナリシス・オブ・ダイレクト・ラジエイティブ・フォーシング・バイ・アンスロポジェニック・サルフェイト・エアロゾルズ」，ジャーナル・オブ・ジオフィジカル・リサーチ，１０２，（Ｄ１８），２１９１５−２１９２４頁，１９９７年．（Pan, W., Tatang, M.A., McRae, G.J. and Prinn, R.G., "Uncertainty Analysis of Direct Radiative Forcing by Anthropogenic Sulfate Aerosols, J. Geophysical Research, 102, (D18), 21,915-21,924,1997.）
Ｂ．Ｋ−Ｌ．パン，「トリートメント・オブ・アンサータンティーズ・イン・アトモスフェリック・ケミカル・システムズ：ア・コンバインド・モデリング・アンド・エクスペリメンタル・アプローチ」，博士論文，化学工学科，マサチューセッツ工科大学，ケンブリッジ，マサチューセッツ，１９９７年．（Pun, B. K-L. Treatment of Uncertainties in Atmospheric Chemical Systems: A Combined Modeling and Experimental Approach, Ph. D. Thesis, Department of Chemical Engineering, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts, 1997.）
Ｓ．Ｅ．セラノ，Ｔ．Ｅ．アンニー，「ランダム・エボリューション・イクエーションズ・イン・ハイドロジオロジー」，アプライド・マスマティクス・アンド・コンピュテーション，３９，９７ｓ−１２２ｓ，１９９０年．（Serrano, S.E. and Unny, T.E., Random evolution equations in hydrogeology, Applied Mathematics and Computation, 39,97s-122s, 1990.）
Ｍ．Ａ．タタング，「ダイレクト・インコーポレーション・オブ・アンサータンティ・イン・ケミカル・アンド・インバイロンメンタル・エンジニアリング・システムズ”，博士論文，化学工学科，マサチューセッツ工科大学，ケンブリッジ，マサチューセッツ，１９９５年．（Tatang, M.A., Direct Incorporation of Uncertainty in Chemical and Environmental Engineering Systems, Ph. D. Thesis, Department of Chemical Engineering, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts, 1995.）
Ｍ．Ａ．タタング，Ｗ．パン，Ｒ．Ｇ．プリン，Ｇ．Ｊ．マクレー，「アン・エフィシエント・メソッド・フォー・パラメトリック・アンサータンティ・アナリシス・オブ・ニューメリカル・ジオフィジカル・モデルズ」，ジャーナル・オブ・ジオフィジカル・リサーチ，１０２，（Ｄ１８），２１９２５−２１９３２頁，１９９７年．（Tatang, M.A., Pan, W., Prinn, R.G., and McRae, G.J. "An Efficient Method for Parametric Uncertainty Analysis of Numerical Geophysical Models, J. Geophysical Research, 102,(D18), 21,925-21,932, 1997.）
Ｊ．ビラドセン，Ｍ．Ｌ．マイケルセン，『ソリューション・オブ・ディフェレンシャル・イクエーション・モデルズ・バイ・ポリノミナル・アプロキシメーション』，プレンティスホール，ニュージャージー，１９７８年．（Villadsen, J. and Michelsen, M.L., Solution of Differential Equation Models by Polynomial Approximation Prentice-Hall, N.J., 1978.）
Ｎ．ウィーナー，「ザ・ホモジェネアス・カオス」，アメリカン・ジャーナル・オブ・マスマティクス，６０，８９７−９３６頁，１９３８年．（Wiener, N., The homogeneous chaos, Amer. J. Math., 60,897-936, 1938.）
【図面の簡単な説明】
【００９７】
【図１】本発明の１実施形態に従ったシステムにおけるモジュールのブロック図を例示している。
【図２】本発明の１実施形態に従った複数の相互作用するモジュールを有するシステムおよび細部の階層レベルを例示している。
【図３Ａ】１つ以上のモジュールについて確率論的に等価なモデルが生成され得る本発明の実施形態に従ったプロセスを例示している。
【図３Ｂ】１つ以上のモジュールについて確率論的に等価なモデルが生成され得る本発明の実施形態に従ったプロセスを例示している。
【図３Ｃ】１つ以上のモジュールについて確率論的に等価なモデルが生成され得る本発明の実施形態に従ったプロセスを例示している。
【図３Ｄ】１つ以上のモジュールについて確率論的に等価なモデルが生成され得る本発明の実施形態に従ったプロセスを例示している。
【図３Ｅ】１つ以上のモジュールについて確率論的に等価なモデルが生成され得る本発明の実施形態に従ったプロセスを例示している。
【図４】図３に例示したプロセスによって生成される決定論的に等価なモデルの例を例示している。
【図５】本発明の実施形態を具体化している例示的な化学システムを例示している。
【図６】本発明の実施形態を具体化している第２の例示的な化学システムを例示している。
【図７Ａ】本発明の実施形態に従ったシステムで使用するための例示的な共通データアーキテクチャを例示している。
【図７Ｂ】図７Ａの共通データアーキテクチャを使用する例示的なＸＭＬデータファイルを例示している。
【図８】本発明の実施形態が具体化され得るコンピュータシステムを例示している。
【図１】
2007531068.tif 000043
【図２】
2007531068.tif 000044
【図３Ａ】
2007531068.tif 000045
【図３Ｂ】
2007531068.tif 000046
【図３Ｃ】
2007531068.tif 000047
【図３Ｄ】
2007531068.tif 000048
【図３Ｅ】
2007531068.tif 000049
【図４】
2007531068.tif 000050
【図５】
2007531068.tif 000051
【図６】
2007531068.tif 000052
【図７Ａ】
2007531068.tif 000053
【図７Ｂ】
2007531068.tif 000054
【図８】
2007531068.tif 000055