(57)【要約】ＣＴシステムについての新規な画像再構成法が記載されている。任意のＣＴシステム幾何学的形態への一般的適用についての再構成式が導き出され、また、２つの第３世代ＣＴシステム幾何学的形態についてのより特異的な式が記載されている。これらの特異式の１つを採用するＣＴシステムの好ましい実施態様が記載されている。
2007512034.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
関心領域の周りを経路
【数１】
2007512034.tif 000149
で移動するＸ線源と経路
【数２】
2007512034.tif 000150
に沿って関心領域を透過するＸ線を受ける検出器とを有するコンピュータ断層撮影システムで画像を作成する方法であって、
ａ）  関心領域における対象のＸ線減衰量を測定する１セットの投影データ
【数３】
2007512034.tif 000151
を取得するステップ、
ｂ）  その取得した投影データの導関数をＸ線源の軌道に関して計算するステップ、
ｃ）  その導関数データを核関数で畳み込むステップ、
ｄ）  畳み込まれたデータの加重逆投影を実行するステップ
ｅ）  逆投影されたデータを画像に付加するステップ、および
ｆ）  Ｘ線源が対象の周りを移動するときにステップａ）〜ｅ）を複数回繰り返すステップ
を備える、画像を作成する方法。
【請求項２】
前記核関数が、
【数４】
2007512034.tif 000152
である請求項１に記載の方法。
【請求項３】
ステップｄ）における加重値が、
【数５】
2007512034.tif 000153
である請求項１に記載の方法。
【請求項４】
関心領域の周りを円形経路で移動するＸ線源と関心領域を透過するＸ線のファンビームを受ける検出器アレイとを有するコンピュータ断層撮影システムで画像を作成する方法であって、
ａ）  関心領域における対象のＸ線減衰量を前記のＸ線源および検出器アレイの１つの観察角で測定する１セットの投影データを取得するステップ、
ｂ）  取得した各セットの投影データを第１フィルタでフィルタ補正するステップ、
ｃ）  その結果であるそれぞれのフィルタ補正ビューＱ1(θ)を第１加重値で逆投影するステップ、
ｄ）  逆投影されたデータを前記画像に付加するステップ、
ｅ）  取得した各セットの投影データを第２フィルタでフィルタ補正するステップ、
ｆ）  その結果であるそれぞれのフィルタ補正ビューＱ2(θ)を第２加重値で逆投影するステップ、
ｇ）  ステップｆ）から逆投影されたデータを前記画像に付加するステップ、および
ｈ）  Ｘ線源が円形経路の周りを移動するときにステップａ）〜ｇ）を繰り返すステップ
を備える、画像を作成する方法。
【請求項５】
前記Ｘ線源が、前記画像の作成の間に前記円形経路の周りを１８０°未満で移動し、また、前記画像を完全なものにするために必要とされる移動の最小角度数が、関心領域における撮像される対象の大きさによって決定される請求項４に記載の方法。
【請求項６】
前記第１フィルタが、
【数６】
2007512034.tif 000154
である請求項４に記載の方法。
【請求項７】
前記第２フィルタが、
【数７】
2007512034.tif 000155
である請求項６に記載の方法。
【請求項８】
前記第１加重値が、
【数８】
2007512034.tif 000156
である請求項７に記載の方法。
【請求項９】
前記第２加重値が、
【数９】
2007512034.tif 000157
である請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記第１フィルタが、
【数１０】
2007512034.tif 000158
である請求項４に記載の方法。
【請求項１１】
前記第２フィルタが、
【数１１】
2007512034.tif 000159
である請求項１０に記載の方法。
【請求項１２】
前記第１加重値が、
【数１２】
2007512034.tif 000160
である請求項１１に記載の方法。
【請求項１３】
前記第２加重値が、
【数１３】
2007512034.tif 000161
である請求項１２に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【発明の背景】
【０００１】
本発明は、コンピュータ断層撮影法（ＣＴ）による撮像装置に関するものであり、さらに詳しくは、取得されたＸ線減衰量測定値から画像を再構成するための方法に関するものである。
【０００２】
現行のコンピュータ断層撮影システムでは、Ｘ線源が扇形ビームを投影し、そのビームが、「撮像平面」と呼ばれるデカルト座標系のＸ−Ｙ平面の内部に位置するように平行化（コリメート）される。このＸ線ビームは、医療患者のような撮像対象を透過して放射線検出器アレイに衝突する。透過放射線の強度はその対象によるＸ線ビームの減衰量に依存し、また、それぞれの検出器は、ビーム減衰量の測定値である個別電気信号を作成する。全ての検出器からの減衰量測定値は、透過プロフィールを作成するために個別に取得される。
【０００３】
従来のＣＴシステムにおけるＸ線源および検出器アレイは、Ｘ線ビームがその対象に交差する角度が常に変化するように、撮像平面の内部および対象の周りにおいてガントリーの上を回転する。所与角度における検出器アレイからのＸ線減衰量測定値の群は、対象の「ビュー(view)」および「走査(scan)」と呼ばれており、Ｘ線源および検出器の一回転の間における相異なる角度方位で作られた１セットのビューを含んでなる。２次元走査では、データはその対象を通して得られた２次元スライスに対応する画像を構成するように処理される。２次元データからの画像を再構成するために広く行われている方法は、当分野ではフィルタ補正逆投影技法と呼ばれている。このプロセスによれば、走査からの減衰量測定値が、ディスプレイにおける対応画素の輝度を制御するために利用される「ＣＴ値」あるいは「ハンスフィールド値」と称される整数に変換される。
【０００４】
用語「世代」はＣＴでは、走査運動およびＸ線検出の相異なるモードを利用する、連続的に市販されているＣＴシステムの型を説明するために利用される。さらに詳しくは、それぞれの世代は、走査運動、走査時間、Ｘ線ビームの形状、および検出器システムの特定のジオメトリー（幾何学的形態）によって特徴付けられる。
【０００５】
図１に示されたように、第１世代では、それぞれの断層撮影用スライスのために、単一のＸ線ペンシルビームと単一のシンチレーション結晶−光電子増倍管検出器とが利用された。Ｘ線管および検出器の単一の直線運動あるいは横断の後に、その時間中に典型的には１６０個の個別Ｘ線減衰量すなわち検出器読取値が付与され、Ｘ線管および検出器は１°回転され、そして、別の直線走査が実行されて別のビューが取得される。このことは典型的には、１８０個のビューを取得するために繰り返される。
【０００６】
データをより速く集めることによって走査時間を短縮するように開発された第２世代の装置が、図２に示されている。これらのユニットでは、３〜５２本の個別平行Ｘ線ビームの修正ファンビームとこれらと同数の検出器とが利用されている。これらの個別ビームは第１世代のスキャナの単一ビームに類似している。しかしながら、互いに近接しているこれらのビームから３〜５２本のビームを収集することは、隣接する多数の組織中核を同時に検査することを可能にする。これらの近接する組織中核の構造は、ビームの平行化によって次にはスライス厚さの測定によって測定された扇材料の厚さがある扇に類似している。それぞれのビームの互いに対する角度差のために、本体スライスを通じたいくつかの相異なる角度ビューが同時に検査される。このことに重ね合わされるのは、本体スライスを通じたＸ線管および検出器の直線状並進すなわち走査である。このようにして、単一の並進状走査の終了時に、その時間中にそれぞれの検出器によって１６０個の読取値が付与されるが、取得された読取値の全数は検出器時間の数１６０に等しい。ビュー間における角度回転の増分は、第１世代ユニットよりも著しく大きくて、３６°までと同じ程度である。このようにして、走査装置の明確な回転の数は、偶然一致する走査時間の減少とともに著しく減少することができる。並進当たりのデータをいっそう多く集めることによって、並進の必要性はいっそう少なくなる。
【０００７】
なおいっそう速い走査時間を取得するためには、最初の２つの世代の複雑な並進−回転運動を排除することが必要である。図３に示されたように、それゆえ、第３世代スキャナでは、かなり広いファンビームが利用される。実際には、ビームの角度は、Ｘ線管および検出器の直線状並進の必要性なしに患者の全断面の大部分あるいは全てを取り囲むために充分広いものであろう。最初の２つの世代における場合と同様に、ここでは大アレイの形態にある検出器がＸ線ビームに対して厳密に一線配置されており、並進状運動はまったくない。Ｘ線管および検出器アレイは、患者の周りに１８０〜３６０°の角度で同期回転される。このようにして、はるかにいっそう速い走査時間の達成が可能であるただ１種類の運動が存在する。１回転の後に、単一の断層撮影断面図が取得される。
【０００８】
図４に示されたように、第４世代スキャナは、第３世代ＣＴシステムに類似した広いファンビームを特徴とする。すでに述べたように、Ｘ線管は、並進状運動を作り出す必要なしに３６０°回転する。しかしながら、他のスキャナにおける場合とは異なり、検出器はＸ線ビームに対して厳密に一線配置されてはいない。このシステムでは、Ｘ線管だけが回転する。検出器の大きいリングが走査平面における外側円の中に固定されている。検出器ではなくてＸ線管だけを回転させる必要性は、いっそう速い走査時間を可能にする。
【０００９】
市販されているＣＴシステムの大部分には、ラドン空間およびラドン変換の概念に基づいた画像再構成法が採用されている。ペンシルビームの場合については、データはラドン空間において自動的に取得される。それゆえ、フーリエ変換によれば、周知のフーリエスライス定理を採用することで画像再構成問題を直接解決することができる。そのような画像再構成手順はフィルタ補正逆投影技法（ＦＢＰ）と称されている。ＦＢＰ再構成の成功は、取得した投影データの並進・回転対称性による。換言すれば、パラレルビームデータの取得において、投影データは、撮像される対象についての並進および／または回転の下では不変量である。ファンビームの場合については、画像再構成問題を類似の方式で解決することができるが、しかしながら、これをするためには、ファンビームデータを平行な（パラレルな）ビームデータに変換する付加的な「再分配(rebinning)」ステップが必要である。２次元事例におけるラドン空間およびラドン変換の概念の圧倒的な承認によって、ＣＴ画像再構成へのこの取り組みに、断層撮影画像再構成における最高位置が付与される。
【００１０】
ラドン空間およびラドン変換の再構成の方法論は、３次元画像再構成に適用されたときには、いっそう問題がある。３次元ＣＴ、すなわち立体ＣＴでは、図５に示されたように、検出器要素の２次元アレイに円錐ビーム(cone  beam)が投影されるＸ線源が採用されている。それぞれのビューはそれゆえ、２次元アレイのＸ線減衰量測定値であり、また、Ｘ線源および検出器アレイが対象の周りに回転されたときに多数のビューの取得によって作成された完全な走査は、３次元アレイの減衰量測定値である。この困難性についての理由は、ラドン変換と２次元事例についてのＸ線投影変換との間における簡単な関係が３次元円錐ビーム事例では有効ではない、ということである。３次元事例では、ラドン変換は、直線に沿った積分ではなくて平面にわたる積分として定義されている。そのような理由で、２次元ファンビーム再構成に適用したように、３次元円錐ビーム再構成へのラドン変換の成功を一般化することは困難である。換言すれば、我々は、測定された円錐ビームデータをラドン空間に直接再分配することによるシフト不変ＦＢＰ法を導き出すようには処理しなかった。この問題に対する極めて多くの解決法は、米国特許第５，２７０，９２６号、第６，１０４，７７５号、第５，２５７，１８３号、第５，６２５，６６０号、第６，０９７，７８４号、第６，２１９，４４１号および第５，４００，２５５号において例示されたように提案されてきた。
【発明の概要】
【００１１】
本発明は、ラドン変換法に依存しないファンビーム減衰量測定値から画像を再構成するための方法である。ファンビーム投影ビューから画像を再構成するための一般的方法には、Ｘ線源の軌道に沿ってそれぞれの投影の導関数を計算すること、その導関数データを核関数で畳み込むこと、畳み込まれたデータを加重関数で逆投影すること、および逆投影されたデータを画像に付加することを含んでいる。円形のＸ線源軌道と平坦な検出器アレイかあるいは作動の検出器アレイかのいずれかとを有する第３世代スキャナへのこの方法のいっそう具体的な適用には、取得したそれぞれの投影ビューを第１フィルタ因子でフィルタリングすること、その結果であるそれぞれのフィルタ補正ビューＱ1(θ)を第１加重値で逆投影すること、逆投影されたデータを画像に付加すること、取得したそれぞれの投影ビューを第２フィルタ因子でフィルタリングすること、その結果であるそれぞれのフィルタ補正ビューＱ2(θ)を第２加重値で逆投影すること、および逆投影されたデータをこの画像に付加することを含んでいる。画像は、投影ビューが取得されて処理されると、ぼやけて見分けがつかない対象から仕上げられた画像に発展する。
【００１２】
本発明の一般的な目的は、ファンビーム源および検出器アレイを利用する走査から画像を正確に再構成することである。正確な画像は、ビーム源が撮像対象の周りの円形軌道を移動するときにあるいはその軌道が円形でないときに、再構成される。
【００１３】
本発明の別の目的は、取得されたそれぞれのビューが処理されて画像に付加される画像再構成方法を提供することである。生のデータセットを全て取得してその後にそこから画像を再構成するのではなく、本発明によれば、走査が行われるときにそれぞれのビューを処理することができる。このように、画像は走査が行われるときに生成される。
【００１４】
本発明の別の目的は、データ十分条件を満たすのに必要であるビューの数を減少させることである。この条件に適合するためには、Ｘ線源はＸ線源運動の平面における対象を通る任意の直線がＸ線源軌道に交差するように撮像対象の周りを移動することだけが必要である。このことは、より小さい対象が撮像されるときには観察角のより小さい範囲にわたるビューがこの十分条件を満たすように獲得される必要があることを意味している。このことは、放射線被曝がより少ないことにつながり、また、特に小児撮像にとっては有利である。
【００１５】
本発明の前記のそして他の目的および利点は以下の説明から明らかになる。この明細書では、その一部を形成するとともに本発明の好ましい実施態様を例示として示している添付図面への参照が行われている。しかしながら、そのような実施態様は必ずしも本発明の全範囲を表現していないし、参照はそれゆえ、本発明の範囲を解釈するために特許請求の範囲に対して、また、この明細書においてなされる。
【発明の一般的説明】
【００１６】
本発明は取得した発散ビーム投影値から画像を再構成するための新規な方法である。この方法は２次元ファンビーム投影に関して説明されるが、この取り組みは３次元円錐ビーム投影にも適用することができる。
【００１７】
我々はまず、図６に示されたように、Ｘ線源１０および１次元検出器アレイ１２で焦点ベクトル
【数１】
2007512034.tif 000003
および単位Ｘ線ベクトル
【数２】
2007512034.tif 000004
により作成されたファンビーム投影値
【数３】
2007512034.tif 000005
を
【数４】
2007512034.tif 000006
と定義するが、ここで、焦点ベクトル
【数５】
2007512034.tif 000007
は、観察角に対応する単一スカラーパラメータｔによってパラメータ化され、また、ｓは方向
【数６】
2007512034.tif 000008
に沿ったＸ線源からの距離である。有限対象１４の再構成画像関数
【数７】
2007512034.tif 000009
にはコンパクト台Ωが備わっていると仮定する。我々はデータ
【数８】
2007512034.tif 000010
を測定し、その後、データをＸ線に沿って加重１／ｒで逆投影するが、ここでｒは逆投影点からＸ線源位置までの距離である。すなわち、我々は
【数９】
2007512034.tif 000011
を得るが、ここで我々は、ベクトルをその絶対値とハット記号によって表された単位ベクトルとに、例えば
【数１０】
2007512034.tif 000012
のように分解する。この逆投影手順によって、逆投影データの２次元アレイが提供される。
【００１８】
２次元ラドン反転式を呼び出すのではなく、我々は画像関数
【数１１】
2007512034.tif 000013
のフーリエ変換および逆フーリエ変換を利用することにする。しかしながら、発散ビーム問題については、我々はパラレルビーム問題の並進対称をなくす。それゆえ、我々は、式（１）で定義された投影値
【数１２】
2007512034.tif 000014
を画像関数
【数１３】
2007512034.tif 000015
のフーリエ変換値に連結するために中間関数が必要である。この目標を達成するために、我々はここで、ファンビーム投影値
【数１４】
2007512034.tif 000016
の中のベクトル
【数１５】
2007512034.tif 000017
についての局所フーリエ変換を行うことによって中間関数
【数１６】
2007512034.tif 000018
を定義する。
【００１９】
【数１７】
2007512034.tif 000019
【００２０】
最後の２行において、我々は新しい変数
【数１８】
2007512034.tif 000020
と対象関数
【数１９】
2007512034.tif 000021
についてのフーリエ変換値とを次のように導入した。
【数２０】
2007512034.tif 000022
【００２１】
ファンビーム投影値の式（２）に記述された尺度特性は、この中間関数
【数２１】
2007512034.tif 000023
において正確に保存されている。すなわち、
【数２２】
2007512034.tif 000024
である。
【００２２】
式（３）をさらに簡略化するために、我々は変数をｓからτへτ＝ｋ／ｓによって変更する。我々は、
【数２３】
2007512034.tif 000025
を得るが、ここで、
【数２４】
2007512034.tif 000026
が導入されている。式（７）と式（６）との比較によって、
【数２５】
2007512034.tif 000027
が付与される。
【００２３】
このような中間関数Ｇ2の形態はきわめて示唆的なものである。それは、極座標系における対象関数
【数２６】
2007512034.tif 000028
の逆フーリエ変換によく似ている。このことをいっそう明らかにするために、我々は、式（８）の両辺についてＸ線源軌道パラメータｔに関する偏導関数を取得する。
【数２７】
2007512034.tif 000029
【００２４】
我々はここで、式の右辺が正確に画像関数の逆フーリエ変換の半径部分であることがわかる。次のステップは上式を単位ベクトル
【数２８】
2007512034.tif 000030
の極角φkにわたって積分することであり、すなわち、
【数２９】
2007512034.tif 000031
である。
【００２５】
もし、我々が次の条件
【数３０】
2007512034.tif 000032
を関心領域（「ＲＯＩ」）の内部におけるそれぞれの点
【数３１】
2007512034.tif 000033
と任意の単位ベクトル
【数３２】
2007512034.tif 000034
とについてのＸ線源軌道に課せば、我々はここで、式（１０）の右辺（ＲＨＳ）における指数因数を
【数３３】
2007512034.tif 000035
によって問題なく置き換えることができる。このように、式（１０）のＲＨＳは逆フーリエ変換値である。それゆえ、我々は、ファンビーム投影についての次の一般反転式を得る。
【数３４】
2007512034.tif 000036
【００２６】
この反転式は我々の主要な成果の第１のものである。それによれば、我々は、３つのステップ、すなわち、第１に中間関数Ｇ2を計算するステップ、第２にその中間関数の導関数を軌道パラメータｔに関して計算するステップ、最後にそのデータを加重
【数３５】
2007512034.tif 000037
で逆投影するステップによって、一般にファンビーム投影から画像
【数３６】
2007512034.tif 000038
を再構成することができる。
【００２７】
式（１２）における一般反転式は、フィルタ補正逆投影ステップがいっそう明らかである形態に再フォーマットすることができる。まず、我々は中間関数
【数３７】
2007512034.tif 000039
に着目する。主要な目標は、式（３）における二重積分を単一積分に減少することである。そのようにするために、我々はベクトル
【数３８】
2007512034.tif 000040
が
【数３９】
2007512034.tif 000041
に分解される極座標系において作用するように選択する。このようにして、関数
【数４０】
2007512034.tif 000042
は、次のようにして計算することができ、
【数４１】
2007512034.tif 000043
ここで、ｕ(ｒ)は階段関数である。第２行から第３行にかけて、我々は式（２）における尺度特性を利用した。式（１３）の最終行における内部積分は階段関数のフーリエ変換である。すなわち、
【数４２】
2007512034.tif 000044
である。
【００２８】
【数４３】
2007512034.tif 000045
および
【数４４】
2007512034.tif 000046
の両方は、−１度の同次関数であり、そして、式（６）における
【数４５】
2007512034.tif 000047
の尺度対称と一致している、ということに留意されたい。さらに別の簡略化は次の観察結果に存在し、第１項は変換
【数４６】
2007512034.tif 000048
の下では偶数であるが、第２項は奇数である。我々はまた、反転式（１２）における因数
【数４７】
2007512034.tif 000049
が
【数４８】
2007512034.tif 000050
における前記パリティー変換の下では奇数であることも認識すべきである。
【数４９】
2007512034.tif 000051
にわたる積分が単位円の上におけるものであるので、我々は、反転式（１２）におけるデルタ関数項の寄与は
【数５０】
2007512034.tif 000052
におけるこのパリティー対称によってゼロになると結論づける。それゆえ、我々は、反転式（１２）についての式（１４）における第２項を維持することだけが必要である。すなわち、
【数５１】
2007512034.tif 000053
である。我々は、上式が反転式（１２）におけるゼロにならない寄与までは有効であるということを再び強調する。
【００２９】
一般反転式（１２）の吟味によって、ＲＯＩにおける特定の点
【数５２】
2007512034.tif 000054
および特定の単位ベクトル
【数５３】
2007512034.tif 000055
について、式（１１）を満たすＸ線源軌道に沿っていくつかの点ｔi（ｉ＝１，２，…）が存在することは可能であるということが明らかになる。換言すれば、走査の間に重複データが取得されるのである。原則として、任意のｔiが式（１２）に利用される。すなわち、我々は、ただ１つの投影を利用して、重複する他の全てを廃棄することができる。しかしながら、そのような加重方式は実際には最適な解決法ではない。ここで我々は、加重関数についての可能性ある全てのパラメータで最も一般的な関数的形態を維持する。式（１１）の可能性ある解決法は
【数５４】
2007512034.tif 000056
および
【数５５】
2007512034.tif 000057
に大きく依存するので、加重関数の最も一般的な形態は
【数５６】
2007512034.tif 000058
である。加重関数のこの一般的形態によって、新規な加重方法を設計する機会がもたらされる。そのような方法の２つが以下において説明される。物理的に、我々は
【数５７】
2007512034.tif 000059
に次の基準化条件
【数５８】
2007512034.tif 000060
を課すが、ここで
【数５９】
2007512034.tif 000061
は式（１１）についての重複投影値の総数である。このデータ重複を考慮に入れた後に、一般反転式（１２）は次のように修正される。
【数６０】
2007512034.tif 000062
この修正一般反転式は、式（１１）を満たす全ての重複投影値の平均をとっている。
【００３０】
式（１７）は、加算手順が必要であるため、実際にはきわめて都合のよいものではない。我々は、物理学および信号処理において広く利用されているトリックを利用することで、その加算を省略することができる。そのアイデアは、ばらばらの点にわたる加算を連続変数にわたる積分に変更することである。より具体的に言えば、我々はディラックのデルタ関数における周知の類似性
【数６１】
2007512034.tif 000063
を利用するのであるが、ここで、ｔi（ｉ＝１，２，…）は式ｇ(ｔ)＝０の根である。我々はここで、関数ｆ(ｔ)およびｇ(ｔ)を
【数６２】
2007512034.tif 000064
として規定する。
【００３１】
式（１８）を利用すると、式（１７）における加算はＸ線源軌道のパラメータｔにわたる積分に書き込むことができる。すなわち、
【数６３】
2007512034.tif 000065
であり、ここで我々は、簡単な関係│x│＝ｓｇｎ(ｘ)ｘを利用した。式（２１）における単位ベクトル
【数６４】
2007512034.tif 000066
は
【数６５】
2007512034.tif 000067
として定義されている。
【００３２】
式（２１）の第１行から第２行にかけて、我々はディラックのデルタ関数の尺度特性δ(ａｘ)＝δ(ｘ)／│ａ│を利用した。ディラックのデルタ関数
【数６６】
2007512034.tif 000068
によって、単位ベクトル
【数６７】
2007512034.tif 000069
にわたる積分はここで容易に実行することができる。その結果は、
【数６８】
2007512034.tif 000070
であり、ここで
【数６９】
2007512034.tif 000071
は
【数７０】
2007512034.tif 000072
に対して垂直である単位ベクトルである。
【００３３】
式（２３）および式（１５）を考慮に入れることで、我々は次のファンビーム再構成式を得る。
【数７１】
2007512034.tif 000073
それゆえ、我々が重複データにわたる加算をＸ線源軌道に沿った積分で置き換えた後に、我々は再構成式（２４）に到る。この再構成式は、我々がどのようなＸ線源軌道もどのような検出器構造も特定しなかったので、一般的なものである。対象についてのＸ線源の軌道がデータの十分条件を満たすとすぐに、反転式（２４）は取得された減衰量測定値の正確な再構成を作成する。
【００３４】
式（２４）におけるＦＢＰ構成を理解するために、我々は、任意の極座標系において、我々が
【数７２】
2007512034.tif 000074
を得るが、ここで
【数７３】
2007512034.tif 000075
およびφrはそれぞれ対応する単位ベクトル
【数７４】
2007512034.tif 000076
、
【数７５】
2007512034.tif 000077
の極角である、ことに留意する。それゆえ、式（２４）の実行には次の諸ステップが必要である。
１．  Ｘ線源の軌道に沿ってそれぞれの投影の導関数を計算するステップ、
２．  その導関数データを核関数
【数７６】
2007512034.tif 000078
で畳み込むステップ、
３．  畳み込まれたデータを加重値
【数７７】
2007512034.tif 000079
で逆投影するステップ、および
４．  逆投影されたデータを画像に付加するステップ。
【００３５】
ビューが取得され、処理され、画像に付加されると、その画像は、ぼやけて見分けがつかない対象から仕上げられた画像に発展する。
【００３６】
我々はここで、この再構成方法を特定の走査構造に適用する。図７に示されたように、Ｘ線源１０を有する第３世代スキャナが、半径Ｒで、円弧状検出器１２によって受けられる、角度γmにわたるファンビームを放出する。図７に示されたデカルト座標系では、関心領域の画像における点
【数７８】
2007512034.tif 000080
および焦点
【数７９】
2007512034.tif 000081
は、
【数８０】
2007512034.tif 000082
として書くことができる。
【００３７】
同じように、式（２４）における変数
【数８１】
2007512034.tif 000083
および
【数８２】
2007512034.tif 000084
は次のようになる。
【数８３】
2007512034.tif 000085
【００３８】
ここで、我々は、図８に示されたように、
【数８４】
2007512034.tif 000086
についての２つの可能性ある方位から１つの方向を指定する。円形Ｘ線源軌道１６の上の、関心領域における特定の点
【数８５】
2007512034.tif 000087
および特定のＸ線角焦点位置ｔについて、極角β⊥は次の式によって決定される。
【数８６】
2007512034.tif 000088
【００３９】
関心領域はガントリーの完全に内側であり、従って、関心領域における任意の点
【数８７】
2007512034.tif 000089
について、我々は、ｔの任意の値に対し、
【数８８】
2007512034.tif 000090
を得る。それゆえ、直截的計算によって、
【数８９】
2007512034.tif 000091
が付与される。
【００４０】
それゆえ、式（２４）は、図７の第３世代スキャナについて次のように表現することができる。
【数９０】
2007512034.tif 000092
加重関数は
【数９１】
2007512034.tif 000093
として表される。
【００４１】
データが取得される時点での検出器およびＸ線源の位置によってそれぞれの減衰量測定値の位置を明確にすることは、いっそう都合がよい。我々は、図７に示されたように、測定データを、検出器の位置を標識化するγと線源の位置を標識化するｔとでｇm(γ，ｔ)として表す。データ再分配式によってｇm(γ，ｔ)がｇm(φr，ｔ)に連結される。この関係は図７における幾何学的形態を観察することで容易に確立することができる。
【数９２】
2007512034.tif 000094
ここで、γmは全ファンビーム角である。
【００４２】
この関係を利用することで、ただちに我々は、「線源軌道」に関する導関数を取得するという解析的理解を得る。検討を促進するために、我々は、その導関数を近似するために、一番簡単な中心差分を利用する。すなわち、
【数９３】
2007512034.tif 000095
であり、ここで、Δｔは連続する２つのビュー取得間における角距離である。数値的実行において、ｇm(γ−Δｔ，ｔ＋Δｔ)およびｇm(γ＋Δｔ，ｔ−Δｔ)の値は、取得された測定値の一次補間によって得られる。
【００４３】
上で検討された再構成式には、取得された減衰量データの導関数をＸ線源軌道パラメータφrおよびｔに関して計算することが必要である。このことは、これもまた不連続である測定データの数値導関数が重大な数値誤差を引き起こすおそれがあるため、実際には望ましくない。我々は、この実際上の問題を、２つの事柄を行うことによって回避することができる。すなわち、式（３２）における積分の変数を独立変数φrおよびｔから独立変数γおよびｔに変更すること、並びに取得データにおける微分操作をどこか他へ移動することである。
【００４４】
我々は、再分配式（３３）および（３４）を再び利用することによって、これらの目標を達成する。変数φrおよびｔの項において、式（３３）および（３４）は、
【数９４】
2007512034.tif 000096
として書き改めることができる。
【００４５】
微分法の連鎖法則を利用することで、我々は次の式を得る。
【数９５】
2007512034.tif 000097
【００４６】
２つの因数によって、我々は新しい変数γについての積分区間を［０，γm］であると決定することができる。このデータは切り捨てられず、そして、画像関数
【数９６】
2007512034.tif 000098
はコンパクト台を有する。(φr，ｔ)から(γ，ｔ)への変数変更について単位ヤコビアンを考慮に入れた後に、我々は式（３２）を
【数９７】
2007512034.tif 000099
として書き改める。
【００４７】
付属書Ｂにおいて導き出された特性を利用することで、我々は、ＦＢＰ構造を明白にしめすために上式を書き改めることができる。すなわち、
【数９８】
2007512034.tif 000100
ここで、変数θはパラメータｔに依存している。付属書Ａに示されたように、それは次の式によって定義される。
【数９９】
2007512034.tif 000101
【００４８】
上式における測定データの微分を回避するために、部分積分による標準的技法が実行されて、我々は、我々がその方法をディジタル処理により実施する前に、それらの導関数を解析的に計算することのできる前因数(prefactor)に交換することができる。この解析操作は我々に新規な再構成法をもたらす。付属書Ａに示されたように、部分積分によって次の再構成式がもたらされる。
【数１００】
2007512034.tif 000102
【００４９】
式（４２）および（４１）は、データの十分条件式（１１）を満たすためにＸ線源軌道が関心領域の周りを回転するとすれば、図７の第３世代スキャナによって作成されたファンビーム投影から関心領域の正確な再構成をするための最適な式である。式（４２）では、ｔ∈Λにわたる積分が暗示されている。式（３９）と比較すると、この新規な式によって、我々は画像を連続的に再構成することができる。式（４２）によれば、画像を再構成するために以下の諸ステップが示唆される。
ステップ１：それぞれのビューについて、測定データに因数ｃｏｓ(γ−γm／２)を掛けるステップ。このステップの後に我々は修正投影値
【数１０１】
2007512034.tif 000103
を得る。
ステップ２：それぞれのビューについて、測定データをフィルタ
【数１０２】
2007512034.tif 000104
によってフィルタ補正し（その結果はＱ1(θ)と称される）、前記修正投影値を他のフィルタ
【数１０３】
2007512034.tif 000105
によってフィルタ補正する（その結果はＱ2(θ)と称される）ステップ。
ステップ３：それぞれのビューについて、フィルタ補正ずみデータＱ1(θ)を加重値
【数１０４】
2007512034.tif 000106
で逆投影し、フィルタ補正ずみデータＱ2(θ)を加重値
【数１０５】
2007512034.tif 000107
で逆投影するステップ。
ステップ４：相異なる全ての観察角ｔからの全ての寄与を総計するステップ。
このやり方では、フィルタ補正された前記逆投影値によって直ちに画像が作成される。
【００５０】
先の段落では、等角の第３世代円弧状検出器についての最適な再構成式が説明された。ここでは、我々は、図９に示されたように、等間隔に配置された共線的検出器を有する円形軌道の第３世代スキャナで取得されたファンビーム投影値についての最適な再構成式を説明する。
【００５１】
図９に描かれた幾何学的形態から、我々は次の座標変換を得る。
【数１０６】
2007512034.tif 000108
この関係を利用することによって、付属書Ｂに示されたように、式（４２）は、
【数１０７】
2007512034.tif 000109
に変更することができ、ここで、ｈH（ｓ）およびｈR（ｘ）は、以下のように定義されたヒルベルトフィルタおよびランプフィルタである。
【数１０８】
2007512034.tif 000110
我々はまた、
【数１０９】
2007512034.tif 000111
によって定義される新しい変数
【数１１０】
2007512034.tif 000112
を導入した。
加えて、
【数１１１】
2007512034.tif 000113
は、次の式によって付与された再基準化投影データである。
【数１１２】
2007512034.tif 000114
【００５２】
それゆえ、式（４４）の実行には以下の諸ステップが必要である。
１．  取得されたそれぞれのビューを１／ｓｉｎ(γ−γm／２)でフィルタ補正するステップ、
２．  その結果としてのそれぞれのフィルタ補正ずみデータＱ1(θ)を加重値
【数１１３】
2007512034.tif 000115
で逆投影するステップ、
３．  逆投影されたビューを画像に付加するステップ、
４．  取得されたそれぞれのビューを
【数１１４】
2007512034.tif 000116
でフィルタ補正するステップ、
５．  その結果としてのそれぞれのフィルタ補正ずみデータＱ2(θ)を加重値
【数１１５】
2007512034.tif 000117
で逆投影するステップ、および
６．  逆投影されたビューを画像に付加するステップ。
【００５３】
画像は、連続的なビューｇ(γ，ｔ)が取得されて処理されると、ぼやけて見分けがつかない対象から仕上げられた画像に発展する。
【００５４】
式（２４）において上で表された画像再構成法を利用することで、一般的なフィルタ補正再構成方式に落ち着く。それが任意の微分可能な平面状Ｘ線源軌道と任意の検出器構造とについての数学的に正確な画像の再構成をもたらすという意味では、それは一般的なものである。式（４２）および式（４４）によって表された画像再構成法によれば、それぞれ、第３世代の円弧状検出器および共線的検出器での円形のＸ線源軌道を有する、臨床的に有用なスキャナの幾何学的形態について、数学的に正確な画像が作成される。式（４２）および式（４４）によって表現された方法は、広範囲の加重関数について有効であり、それらには、取得された減衰量データの導関数を獲得する必要がなく、また、画像再構成はリアルタイムで連続的に実行することができる。すなわち、それぞれのビューは、それが取得されて画像が形成され、その画像が連続的に改善された後に、より多くのビューが取得されて処理されるように、処理することができる。これから検討されるように、これらの再構成式における２つの追加項によれば、アーティファクトのない画像を作成するために必要なデータセットを切り捨てることなく、走査経路を短くすることもできる。
【００５５】
我々は、図１０を参照して、反転式（１２）によって指示されたデータの十分条件をここで解析する。我々はまず、撮像される対象についての関心領域（ＲＯＩ）１８を指定する。ＲＯＩはスキャナの全関数台領域(function  support  region)Ωであってもよく、あるいは全機能保持領域Ωよりも小さい部分であってもよい。
【００５６】
式（３）に示されたように、線源軌道における特定の点
【数１１６】
2007512034.tif 000118
についての中間関数
【数１１７】
2007512034.tif 000119
を定義するために、我々は全ての投影値
【数１１８】
2007512034.tif 000120
を知る必要がある。取得されたデータは切り捨てることができず、我々はそれゆえ、対象全体を包含するファンにおける全ての線積分を知る必要がある。
【００５７】
問題は、必要な投影値を取得するためのＸ線源走査経路の長さである。ＲＯＩの内部における特定の点
【数１１９】
2007512034.tif 000121
について、我々は、次の数学的条件が満たされる場合には、
【数１２０】
2007512034.tif 000122
を計算するために式（１２）を利用することができる。
条件：  ＲＯＩ１８の内部における全ての点
【数１２１】
2007512034.tif 000123
と任意の方向
【数１２２】
2007512034.tif 000124
とについて、我々は、式（１１）を満たすために少なくとも１つの焦点位置
【数１２３】
2007512034.tif 000125
を必要とする。
【００５８】
この数学的条件は、ファンビームデータの十分条件についての以下の記述に要約することができる。所定のＲＯＩについて画像を正確に再構成するためには、我々は、ＲＯＩを通過する任意の直線がＸ線源軌道に少なくとも１回交差することを必要とする。我々は、そのような線源軌道を完全軌道Λと呼ぶ。
【００５９】
図１０を参照して、我々が円形線源軌道に半径Ｒがあるとみなすと、ＲＯＩ１８は半径ｒ<Ｒのある同心的ディスク領域からなっており、そして、データの十分条件の式（１１）には、Ｘ線源軌道が円の優弧（ＡＭＢ）であることが必要である。この円弧についての対応角がπ＋２ａｒｃｓｉｎ(ｒ／Ｒ)であることは容易にわかる。
【００６０】
上で表されたように、多くの可能性が加重関数
【数１２４】
2007512034.tif 000126
の選択について利用することができる。加重関数についての２つの規定が好ましい。本発明が撮像画素
【数１２５】
2007512034.tif 000127
を加重関数の中へ明示的に導入するための第１の方法であることを理解するのは重要である。この第１の方法では、放射線駆動型加重関数が利用されるが、この加重関数は撮像画素に依存しない。換言すれば、
【数１２６】
2007512034.tif 000128
依存性は存在しない。第２の方法では、画素駆動型加重関数は、画素に大きく依存する加重関数の選択に利用される。
【００６１】
放射線駆動型加重関数
１つの平滑（例えば導関数を採ることができる）であって正の定符号の（すなわち、どこにおいても負ではない）関数Ｃ(ｔ)を任意に採択するが、ここで、ｔは完全軌道Λにおいて定義され、この値域の外側ではＣ(ｔ)≡０である。すると、加重関数は、
【数１２７】
2007512034.tif 000129
によって付与されるが、ここで、γは中心線（すなわち、線源位置とシステム等角点との間の線）から計算された検出器の指数である。
【００６２】
画素駆動型加重関数
特に図１４を参照すると、それぞれの特定画素
【数１２８】
2007512034.tif 000130
について、
【数１２９】
2007512034.tif 000131
と線源軌道１６においてｔiおよびｔfで標識化された２つの端点との間に２本の直線を引く。これら２本の直線は、ｔ1およびｔ2で標識化された他の２つの点で線源軌道と交差するであろう。点ｔ1および点ｔ2が画素に大きく依存するということはない。点ｔi，ｔ1，ｔ2，ｔfは完全軌道１６を３つの区分：（ｔi，ｔ1）∪（ｔ1，ｔ2）∪（ｔ2，ｔf）に切り分ける。加重方式は、図１５に示されたように、この軌道の第１区分および最終区分について加重値１／２を割り当てるとともに、第２区分について加重値１を割り当てるものである。この方法を利用することで、式（４２）および（４４）における第２項はどのような役割も演じないので、計算上の負担は、第１項および最終項だけを計算することで軽減することができる。
【好ましい実施態様の説明】
【００６３】
初めに図１１および図１２を参照すると、コンピュータ断層撮影（ＣＴ）システム１０には、「第３世代」ＣＴスキャナの代表であるガントリー１２が含まれている。ガントリー１２にはＸ線源１３が備わっており、このＸ線源は、Ｘ線のファンビーム１４をガントリーの反対側における検出器アレイ１６へ向けて投影する。検出器アレイ１６は、医療患者１５を透過する投影Ｘ線をいっしょに感知する複数の検出器要素１８によって形成されている。それぞれの検出器要素１８は、衝突するＸ線ビームの強度を、そしてそれゆえ、それが患者を透過するときのビームの減衰量を表す電気信号を作成する。走査の間にＸ線投影データを取得するために、ガントリー１２とその上に搭載された構成要素とが、患者１５の内部に位置決めされた回転中心１９の周りを回転する。
【００６４】
ガントリーの回転およびＸ線源１３の操作は、ＣＴシステムの制御機構２０によって管理される。制御機構２０には、Ｘ線源１３に動力およびタイミング信号をもたらすＸ線制御装置２２と、ガントリー１２の回転速度および位置を制御するガントリーモータ制御装置２３とが含まれている。制御機構２０における画像取得システム（ＤＡＳ）２４は、検出器要素１８からアナログデータをサンプル抽出して、そのデータを次の処理のためのディジタル信号に変換する。画像再構成装置２５が、サンプル抽出されディジタル化されたＸ線データをＤＡＳ２４から受けて、本発明の方法によって高速画像再構成を実行する。再構成された画像は、入力値としてコンピュータ２６へ適用され、コンピュータ２６はその画像を大容量記憶装置２９の中に保存する。
【００６５】
コンピュータ２６は、キーボードが備わっているコンソール３０を介して、オペレータからコマンドおよび走査パラメータも受ける。関連した陰極線管ディスプレイ３２によって、オペレータは、再構成画像とコンピュータ２６からの他のデータとを観察することができる。オペレータにもたらされたコマンドおよびパラメータは、制御信号および情報をＤＡＳ２４、Ｘ線制御装置２２およびガントリーモータ制御装置２３へもたらすためにコンピュータ２６によって利用される。加えて、コンピュータ２６はテーブルモータ制御装置３４を操作し、テーブルモータ制御装置３４は、患者１５をガントリー１２の中に位置させるためにモータ付きテーブル３６を制御する。
【００６６】
このＣＴ撮像システムは、Ｘ線源１３が円形経路における一連の位置ｔへ移動したときに一連のガントリー角γで減衰データｇ(γ，ｔ)のビューを取得するように操作される。好ましい実施態様では、弓形の検出器アレイ１６が採用されており、また、上式（４４）による再構成方法が採用されている。ここで説明されるように、それぞれの取得ビューｇ(γ，ｔ)はほとんどリアルタイムで処理され、また、その結果である逆投影画像データは、走査が実行されている時にさえ表示することのできる画像データセットへ付加される。
【００６７】
特に図１３を参照すると、それぞれのビューは、プロセスブロック１００で示されたように取得されて、２つの平行（パラレル）経路において処理される。第１経路では、減衰データｇ(γ，ｔ)は、プロセスブロック１０２で示されたように、第１フィルタ１／ｓｉｎ(γ−γm／２)を掛けることでフィルタ補正される。その結果であるフィルタ補正データセットＱ1(θ)はその後、プロセスブロック１０４で示されたように、
【数１３０】
2007512034.tif 000132
の加重因数で逆投影される。
【００６８】
同じ減衰データｇ(γ，ｔ)は、プロセスブロック１０６で示されたように、第１フィルタ補正される第２経路において
【数１３１】
2007512034.tif 000133
で処理される。その結果であるフィルタ補正データセットはその後、プロセスブロック１０８で示されたように、加重値
【数１３２】
2007512034.tif 000134
で逆投影される。
【００６９】
その結果である２つのパラレルな逆投影１０４および１０８からの画像データは、プロセスブロック１１０で示されたように、画像データセットに付加される。走査が進行すると、より多くの画像データが画像データセットに付加されるとともに、表示された画像は明瞭さが次第に改善されて、画像アーティファクトがないようになる。このシステムは、決定ブロック１１２で、充分なビューが取得されて式（１１）のデータの十分条件を満たすまで、ループバックされる。
【００７０】
図９に示されたような共線的検出器アレイが備わっている第３世代ＣＴスキャナから画像を再構成するために、きわめて類似したプロセスが採用されることは明らかであろう。フィルタ因数および加重関数は異なっているが、そのプロセスは、その他の点では図１３に図示されたものと同じである。
【００７１】
式（２４）に表現されたような再構成方法の一般化形態は、Ｘ線源が非円形経路を移動するときに採用することができる。この再構成方法は、Ｘ線源が製造公差あるいは磨耗のために完全円形経路に従わないときに利用することができる。そのような場合には、正確な経路は較正手順の間に測定されて、式（２４）は、正確に測定された線源経路を利用して再構成プロセスで実行される。
【付属書Ａ】
【００７２】
この付属書において、我々は再構成式（４２）を導き出す。式（２７）、（２８）および（３１）を利用することで、我々は、
【数１３３】
2007512034.tif 000135
を得る。
【００７３】
φr＝π＋ｔ＋γ＝γm／２を利用することで、我々は、
【数１３４】
2007512034.tif 000136
を得るが、ここで、我々は長さｌおよび角度θを次のように導入した。
【数１３５】
2007512034.tif 000137
【００７４】
それゆえ、我々は、
【数１３６】
2007512034.tif 000138
を得る。
【００７５】
加えて、式（５５）およびφr＝π＋ｔ＋γ−γm／２を利用することで、我々は、その導関数を次のような
【数１３７】
2007512034.tif 000139
として計算することができる。
【００７６】
上式を式（３９）に代入することで、我々は、
【数１３８】
2007512034.tif 000140
を得る。
【００７７】
我々はそのデータが切り捨てられるものではないと仮定したので、我々は、
【数１３９】
2007512034.tif 000141
を得る。
【００７８】
このようにして、上式の第２項はゼロになる。このようにして、我々は、
【数１４０】
2007512034.tif 000142
を得る。
【００７９】
式（６１）を利用することで、我々は、式（６４）における導関数を計算することができる。その結果は、
【数１４１】
2007512034.tif 000143
であり、ここで、我々は２つの逆投影核
【数１４２】
2007512034.tif 000144
および
【数１４３】
2007512034.tif 000145
を以下のように導入した。
【数１４４】
2007512034.tif 000146
【００８０】
式（６０）、（６６）および（６７）を式（６４）に代入することで、我々は式（４２）を得る。
【付属書Ｂ】
【００８１】
この付属書において、我々は式（５２）を導き出す方法を示す。式（５１）を利用することで、我々は、
【数１４５】
2007512034.tif 000147
を得る。
【００８２】
一方、我々は、
【数１４６】
2007512034.tif 000148
を得るが、ここで、我々は式（５６）および（５７）を利用した。我々が式（６８）、（６９）および（７１）を式（４２）に当てはめた後に、我々は式（５２）を得る。
【図面の簡単な説明】
【００８３】
【図１】ＣＴシステムの幾何学的形態の模式的説明図である。
【図２】異なったＣＴシステムの幾何学的形態の模式的説明図である。
【図３】異なったＣＴシステムの幾何学的形態の模式的説明図である。
【図４】異なったＣＴシステムの幾何学的形態の模式的説明図である。
【図５】３次元すなわち立体ＣＴシステムの絵画的説明図である。
【図６】本発明を一般的に説明するために利用された座標系による第３世代ＣＴシステムの模式的説明図である。
【図７】本発明の１つの好ましい実施態様への適用を説明するために利用された座標系による第３世代ＣＴシステムの模式的説明図である。
【図８】付加的変数による図７のＣＴシステムの模式的説明図である。
【図９】本発明の別の好ましい実施態様への適用を説明するために利用された座標系による別の第３世代ＣＴシステムの模式的説明図である。
【図１０】走査の間に要求された最小ガントリー運動を説明するために利用された座標系および変数による関心ＣＴシステム領域の模式的説明図である。
【図１１】本発明を採用するＣＴシステムの絵画的表現図である。
【図１２】図１１のＣＴシステムのブロック図である。
【図１３】本発明の好ましい実施態様を実施するために図１１および図１２のＣＴシステムによって実行されるステップのフローチャートである。
【図１４】加重を説明するために利用された図７のＣＴシステムにおけるＦＯＶの絵画的説明図である。
【図１５】図１３の方法に利用された加重のグラフ状説明図である。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【国際調査報告】
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