(57)【要約】  Ｑフィルタは、線形及び非線形のフィルタリング演算の連続体を実行する、再設定可能な手法である。Ｑフィルタは、Ｑ測度と呼ばれる関数を利用する、ユニークな数学構造によってモデル化される。Ｑ測度は、種々の有用な新規なフィルタリング演算及び従来のフィルタリング演算の効率的なハードウェア及びソフトウェア実装を可能とする、調整可能なカーネルパラメータのセットを用いて定義される。Ｑ測度は新規であり、周知の菅野のＱ測度の拡張に基づく。
2007534090.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
信号をフィルタリングするための方法であって、
可変パラメータλの値を決定するパラメータ決定工程と、
密度生成ベクトルｆ＝｛ｆ１，ｆ２，．．．，ｆｎ｝を決定するベクトル決定工程と、
可変パラメータλ及びベクトルｆに基づきｑ測度を構成する測度構成工程と、
ｑ測度に基づき信号をフィルタリングする信号フィルタリング工程と、からなる方法。
【請求項２】
測度構成工程は測度生成関数に基づきｑ測度を構成する関数測度構成工程を含む請求項１に記載の方法。
【請求項３】
関数測度構成工程は正規化された測度生成子に基づきｑ測度を構成する工程を含む請求項２に記載の方法。
【請求項４】
測度構成工程は次の関数を構成する工程を含む請求項１に記載の方法。
【数１】
2007534090.tif 000050
【請求項５】
パラメータ決定工程はλに対し−１以上の実数値を選択する工程を含む請求項１に記載の方法。
【請求項６】
ベクトル決定工程は要素ｆｊ（０≦ｆｊ≦１，ｊ＝１，．．．，ｎ）を決定する工程を含む請求項１に記載の方法。
【請求項７】
信号を受信する入力部と、
可変パラメータλを受信する入力部と、
密度生成ベクトルｆ＝｛ｆ１，ｆ２，．．．，ｆｎ｝を受信する入力部と、
可変パラメータλ及びベクトルｆに基づきｑ測度を構成し、ｑ測度に基づきフィルタリングした信号を出力するために必要な論理回路及びメモリコンポーネントと、からなるフィルタ。
【請求項８】
ｑ測度は測度生成子に基づく請求項７に記載のフィルタ。
【請求項９】
ｑ測度は正規化された測度生成子に基づく請求項８に記載のフィルタ。
【請求項１０】
所与の集合Ａに対するｑ測度は次のｑ（Ａ）と等しい集合である請求項７に記載のフィルタ。
【数２】
2007534090.tif 000051
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明はフィルタリング手法に関する。より詳細には、本発明はディジタル信号及び画像フィルタリング演算のための方法及び装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
ほとんどの信号処理及び映像認識アプリケーションには、ディジタルフィルタリングが不可欠である。平均フィルタ及び重み付け平均フィルタなどの線形演算子や、メディアンフィルタ、重み付けメディアンフィルタ、モルフォロジカルフィルタ及びスタックフィルタなどの非線形演算子を含む、幾つかの既存手法が存在する。実用において、信号フィルタリングが困難であるのは、幾つかのフィルタリング方法、アルゴリズム及びパラメータ設定が存在するという事実によるのみならず、それらの既存フィルタのうちの最も適切な一連のフィルタを発見することの複雑さのためである。パラメータのセットを調整することにより幾つかの従来の線形・非線形フィルタを表現することが可能である、計算上効率的な信号処理手法が実現されることは有益であろう。そうしたフィルタリング手法により、一連の高価な従来のフィルタリング演算を除去することが可能となる。さらに、ハードウェアの観点からは、異なるフィルタの実行を加速するために用いられ得るユニークなアーキテクチャを有することが所望される。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
したがって、計算上効率的であり、一連の高価な従来のフィルタリング演算を除去することを可能とする、信号をフィルタリングするための方法及び装置の必要が存在する。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
上述の必要に対処するために、Ｑフィルタと呼ぶ効率的なクラスの新規な非線形フィルタを導入する。Ｑフィルタは、線形及び非線形のフィルタリング演算の連続体を実行する、再設定可能な手法である。Ｑフィルタは、Ｑ測度と呼ばれる関数を利用する、ユニークな数学構造によってモデル化される。Ｑ測度は、種々の有用な新規なフィルタリング演算及び従来のフィルタリング演算の効率的なハードウェア及びソフトウェア実装を可能とする、調整可能なカーネルパラメータのセットを用いて定義される。Ｑ測度は新規であり、周知の菅野（Ｓｕｇｅｎｏ）のλ測度の拡張に基づく。
【０００５】
Ｑフィルタは特にハードウェア実装に適切であり、自動的に一連の従来の線形・非線型フィルタリング演算を置換するように調整され得る。Ｑフィルタの明白な特徴は計算上の複雑さが少ないことであり、このため、Ｑフィルタは低電力、小寸法のデバイスにおける高度アプリケーションの実行に適切である。Ｑフィルタによって、埋め込み型デバイス、デスクトップ又は基地局プラットフォームにおける新規な高度計算アプリケーションの効率的な実装が可能となる。本出願では、Ｑフィルタ手法の基本概念、定義、定式化、アルゴリズム及びアーキテクチャについて、充分に説明する。
【０００６】
本発明には信号をフィルタリングするための方法が含まれる。この方法は、可変パラメータλの値を決定する工程と、密度生成ベクトルｆ＝｛ｆ１，ｆ２，．．．，ｆｎ｝を決定する工程と、可変パラメータλ及びベクトルｆに基づきｑ測度を構成する工程と、ｑ測度に基づき信号をフィルタリングする工程と、からなる。
【０００７】
これに加えて、本発明にはフィルタが含まれる。このフィルタは、信号を受信する入力部と、可変パラメータλを受信する入力部と、密度生成ベクトルｆ＝｛ｆ１，ｆ２，．．．，ｆｎ｝を受信する入力部と、可変パラメータλ及びベクトルｆに基づきｑ測度を構成し、ｑ測度に基づきフィルタリングした信号を出力するために必要な論理回路及びメモリコンポーネントと、からなる。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００８】
本発明の好適な実施形態によるフィルタリングのための方法及び装置の記載に先立って、本発明の好適な実施形態の利用に必要な背景を述べるために次の文及び式を提供する。
従来の菅野のλ測度は、自動目標認識、手書き認識、非線形画像フィルタリング及び複数識別器融合手法など、多くのパターン認識及びコンピュータ視覚アプリケーションにおいて非常に有用であることが見出された。菅野のλ測度は、通常、ファジイ測度の１つの選択として菅野のファジイ積分又はショケ（Ｃｈｏｑｕｅｔ）のファジイ積分などのファジイ積分を用いる、パラメータ的ファジイ測度である。ファジイ積分は不特定な情報についての複数のソースを結合するために用いられる非線形汎関数であり、ファジイ測度に関連して定義される。
【０００９】
ファジイ測度の主たる性質は、集合包含に関する単調性である。この性質に加えて、菅野のλ測度は、密度と呼ばれる構成素単元集合の測度の値に関して、非減少関数である。λ測度の別の有用な特徴は、所与の集合の任意の２つの区分の測度から、同じλ規則を用いて任意の集合の測度が構成されることである。パラメータλのユニークな値を見出すには、λの高次多項式の根を見出すことが必要である。密度（単元集合のファジイ測度）の数が大であるとき、λの計算には非常に時間を要する。我々は、λの多項式を解く必要のない、本発明による提案のクラスのファジイ測度の定式化を提示する。これによって、計算の高速化が容易となるのみならず、λに対し適切な値を選択する際の柔軟性が提供され、所望に従って、信念（ｂｅｌｉｅｆ）測度、可能性（ｐｌａｕｓｉｂｉｌｉｔｙ）測度又は確率（ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ）測度を構成することが可能である。したがって、原理的には、新規な定式化では、λは手動で調整されるか、又は調整データセットを用いて自動で学習される変数である。
【００１０】
以下に導入する新規なクラスのファジイ測度は、ｑ測度として識別される。これらのｑ測度は、菅野のλ測度についての定義の修正に基づく。この修正は重要な問題に対処する。菅野のλ測度は常に、最初にファジイ測度を決定し、パラメータλのユニークな値を算出することによって適用される。実用においては、熟練者によって提供される値又は何らかの計算を用いて得られる値は最良でも間隔尺度であり、１の位置は不定であるため、妥当な戦略ではない。したがって、これらの数のスケーリングは不定であり、これらの数からλを算出することは無意味である。提案されるｑ測度の定義は、λ測度を正規化することであり、この重要問題を効率的に解決する。ｑ測度の定式化により、λと密度とが脱相関化される。
【００１１】
以下の説明には、菅野のλ測度についての本来の定義と、本発明により提案されるｑ測度についての定義との両方が含まれる。我々の修正の動機を明確にするため、必要な背景の資料を含める。λ測度に関する概説及びその性質を、λ測度の構成における実装の問題に関する説明と共に提供する。次に、提案されるクラスのファジイ測度の形式化に関する説明及びその性質を提供する。次に、固定のファジイ測度への変換が保証される、ｑ測度を構成するための反復アルゴリズムを提供する。最後に、提案されるフィルタ設計を提供する。
【００１２】
［菅野のλ測度］
古典的測度論の加法性公理により、理想的な無誤差条件下における幾つかの種類の測定は充分に特徴付けられる。しかしながら、測定誤差及び曖昧さが不可避である実際の物理条件下においてほとんどの測定を特徴付けるためには、この公理は完全には適切でない。さらに、主観的又は反復不可能な実験を伴う幾つかの測定は本質的に非加法性である。
【００１３】
菅野によれば、ファジイ測度は古典的測度に関する加法性公理を、より弱い単調性の公理（集合包含に関する）及び連続性に置換することによって定義される。定式的には次のようになる：
Ｘを任意の集合とし、ΩをＸの部分集合からなるシグマ代数とする。Ωに対して定義され次の３つの公理を満たす集合関数ｇ：Ω→［０，１］を、ファジイ測度と呼ぶ。
境界条件：ｇ（Φ）＝０，ｇ（Ｘ）＝１    （１）
単調性：Ａ，Ｂ∈ΩかつＡ⊂Ｂならば、ｇ（Ａ）≦ｇ（Ｂ）    （２）
連続性：１≦ｎ＜∞においてＦｎ∈Ωであり、数列｛Ｆｎ｝が包含の意味において単調ならば、次式（３）が成り立つ。
【００１４】
【数１】
2007534090.tif 000003
【００１５】
ファジイ測度ｇの定義によれば、２つの直和部分集合の和の測度を部分の測度から直接的に算出することは不可能である。これを踏まえ、菅野は次の追加の性質を満たす、いわゆるλ測度を導入した：Ａ∩Ｂ＝Φである全てのＡ，Ｂ⊂Ｘにおいて、
【００１６】
【数２】
2007534090.tif 000004
【００１７】
菅野による後の発表では、パラメータλの値に−１も含めることが認められている。即ち、λ≧−１である。
Ｘ＝｛ｘ１，ｘ２，．．．，ｘｎ｝を有限集合とし、ｇｉ＝ｇ（｛ｘｉ｝）とする。値ｇｉを測度ｇの密度と呼ぶ。Ａ＝｛ｘｉ１，ｘｉ２，．．．，ｘｉｍ｝⊂Ｘとすれば、次式（５）と書ける。
【００１８】
【数３】
2007534090.tif 000005
【００１９】
パラメータλの値は方程式：ｇ（Ｘ）＝１から見出すことが可能であり、これは次の方程式（６）を解くことと等しい：
【００２０】
【数４】
2007534090.tif 000006
【００２１】
密度の値の総和により、密度の値の総和が１未満の場合、１より大きい場合、１に等しい場合にそれぞれ、ユニークな実数λが正、負、零であると決定される。ゆえに、密度の値のセットが与えられると、ユニークな実数の制約パラメータλを用いて、単一の可能性測度、信念測度又は確率測度を構成することのみが可能となる。
【００２２】
［提案されるクラスのファジイ測度］
多くのアプリケーションでは、熟練者が情報ソースの価値に関する自身の意見に従って、λ測度の密度の値を提供する。熟練者が１を加える値を提供することを選択する場合、ユニークな実数のパラメータλは零となるため、λ測度はシステムをモデル化するために最良の測度でなくとも、実際に確率測度である。実際には、情報ソースの価値を表現するために与えられるそれらの値は、情報ソースの相対的な「信頼性測度」を表現するためのものである。通常、熟練者は正規化の結果を具体化することなく、それらの値を１を加えるように線形的に正規化する。理想的には、単元集合の情報ソースの価値に関する相対的な情報を有するという事実に注目し、適切なファジイ測度を探索する必要がある。我々の提案するクラスのファジイ測度では、λ測度の定義は単純かつ効率的に修正され、熟練者の点数における曖昧さの解消の問題及び不定スケーリングの問題が解決される。多くの可能解を含む大空間を探索する全てのシステムにおいて重要な面は、計算上の負荷である。我々は３つの基本的なファジイ測度公理を満たし、適正かつ効率的な定式化において不要な計算を回避した。
【００２３】
λ測度の定義は、λの（ｎ−１）次の多項式を解くことにより算出されるパラメータλのユニーク性によって、非常に制約される。多くの場合、このことは制約的かつ高価であるため、我々の新規なクラスのファジイ測度の定式化においては、このことを回避することを意図した。我々は、提案されるクラスのファジイ測度を、定式的には次のように定義する：
先のように、Ｘ＝｛ｘ１，ｘ２，．．．，ｘｎ｝は有限集合であり、ΩはＸの部分集合からなるシグマ代数とする。全ての所与の集合Ａ，Ｂ⊂ＸかつＡ∩Ｂ＝Φにおいて、Ωに対し集合関数ｆ：Ω→［０，∞）を次のように定義する：
【００２４】
【数５】
2007534090.tif 000007
【００２５】
この集合関数ｆを測度生成関数と呼ぶ。ｆｉ＝ｆ（｛ｘｉ｝），ｉ＝１，．．．，ｎとする。同様に、ｆｉの値を密度生成子と呼ぶ。密度生成子の値の選択に対しては、次の２つの制約のみが存在する：
【００２６】
【数６】
2007534090.tif 000008
【００２７】
条件（９），（１０）は密度生成子が単位区間内に値を有することを強制する。１つ以上の値は狭義に正であり、提案されるファジイ測度の適正な定義を保証する。これらの要件の背後に存在する論拠を、この節の残り及び次節にて説明する。
【００２８】
なお、可変パラメータλ∈［−１，∞）の任意の選択に対しｆ（Ｘ）は必ずしも１と等しくない。ｆは集合包含の意味において単調性公理を満たすので、ｆ（Ｘ）が全ての可能な部分集合の測度生成子の値のうちの最大値を有すること、即ち、∀Ａ⊂Ｘ，ｆ（Ａ）≦ｆ（Ｘ）であることが保証される。
【００２９】
ここで、（９），（１０）に述べた要件を満たす密度生成子の値の集合｛ｆ１，ｆ２，．．．，ｆｎ｝が与えられると、我々の提案のｑ測度、Ωに対してｑ：Ω→［０，１］は次式（１１）のように定義される：
【００３０】
【数７】
2007534090.tif 000009
【００３１】
上の多項式の比（ｑｕｏｔｉｅｎｔ）によって定義され、迅速な（ｑｕｉｃｋ）計算を可能とするため、これをｑ測度と呼ぶ。可変パラメータλ∈［−１，∞）の任意の選択に対し、方程式（１１）を用いてファジイ測度を構成することが可能である。これにより、可変パラメータλの選択によって指定される種々のファジイ測度のクラスの定義が提供される。菅野のλ測度は、このクラスにおいて、ｆ（Ｘ）＝１となるようにλが選択される特殊な場合である。
【００３２】
ｑ測度は菅野のλ測度と同様にして構成可能である。密度生成子の値にかかわらず、最初に変数λの値を−１以上に設定する。次に、全集合、即ち、ｆ（Ｘ）を含め、対象の全ての集合に対する測度生成子の値を算出する。最後にｆ（Ｘ）により測度生成子の値を正規化し、それらの部分集合に対するｑ測度の値を得る。フィルタリングはｑ測度に基づき実行され得る。変数λの値を零、負、正の値であるようにそれぞれ選択することによって、確率測度、信念測度又は可能性測度を構成することが可能であることは明らかである。
【００３３】
ｑ測度が菅野のλ測度の全ての所望の特徴を継承しつつ、λの多項式を解くという高価な要件を回避することは注目に値する。この事実によって、菅野のλ測度を構成するために用いられるのと同様にして、可変パラメータλ∈［−１，∞）の任意の選択に対し、異なるファジイ測度を構成することが可能となる。ｑ測度の値を決定する因子の効果を示すために、方程式（５）を用いると、方程式（１１）は次式（１２）のように表現される。
【００３４】
【数８】
2007534090.tif 000010
【００３５】
方程式（１１）におけるｆ（Ｘ）による正規化によって、ｆ（Ｘ）が最大値を有するという事実のため、ｑ（Ａ）の値が［０，１］の範囲にあることが保証される。ここで、方程式（１１）によりΩに対し定義される集合関数ｑ：Ω→［０，１］が−１以上の可変パラメータλの任意の選択に対しファジイ測度の３つの基本公理を満たすことは、次のように容易に示される：
公理１−境界条件：
ｆ（Φ）＝０かつｆ（Ｘ）＞０より、
ｑ（Φ）＝ｆ（Φ）／ｆ（Ｘ）＝０
ｑ（Ｘ）＝ｆ（Ｘ）／ｆ（Ｘ）＝１
公理２−単調性：
Ａ，Ｂ⊂ΩかつＡ⊂Ｂならば、集合関数ｆの性質、∀λ≧−１により、ｆ（Ａ）≦ｆ（Ｂ）
ｆ（Ｘ）＞０なので、ｆ（Ａ）／ｆ（Ｘ）≦ｆ（Ｂ）／ｆ（Ｘ）
ゆえに、ｑ（Ａ）≦ｑ（Ｂ）
公理３−連続性：Ｘは有限集合であるから、連続性は満たされる。
【００３６】
ここで、集合の測度生成関数の値が如何にしてその構成素であるｑ測度の値及び他の集合のｑ測度の値に影響を与えるかを示す。Ａ，Ｂ⊂Ｘとすると：
Ａ∪Ｂ＝Ｘ，Ａ∩Ｂ＝Φ，α＝ｆ（Ａ）＞０，β＝ｆ（Ｂ）＞０かつλ≧−１
集合Ａ，Ｂのｑ測度は次式のように表現される：
ｑ（Ａ）＝α／（α＋β＋λαβ）    （１３）
ｑ（Ｂ）＝β／（α＋β＋λαβ）    （１４）
α，β，λに関してｑ（Ａ）を微分し、次の表現（１５），（１６），（１７）を得る：
【００３７】
【数９】
2007534090.tif 000011
【００３８】
上述の導関数のセットは、無矛盾かつ効率的な非線形的手法において、相互依存する前提が如何にしてそれらの構成素の測度生成子の値を通じて適正に競争し得るか、を示す。所与の集合の測度生成子の値の増大は、その集合の対応するｑ測度の値の増大を生じる。この事実を集合Ａが単元集合、即ち、｛ｘｉ｝である場合に適用すると、密度生成子の値ｆｉの増大により、単元集合｛ｘｉ｝のｑ測度のファジイ密度の値の増大を生じ、したがって、それを含む全ての集合のｑ測度のファジイ密度の値の増大を生じる。この事実により、密度生成子の値及び可変パラメータλにより制御されており平坦な単調性挙動を示すｑ測度の非線形と共に、情報ソース間の相互依存性の一貫したモデル化が強調される。我々のｑ測度の定式化の有用な性質は、ｑ測度の密度ｑｉ＝ｑ（｛ｘｉ｝）が、全ての単元集合の密度生成子の値及び可変パラメータλの値によっても制御されることである。
【００３９】
なお、ｑ測度が常に１と等しいままの全集合を除き、可変パラメータλの値の増大により、全ての集合のｑ測度の値は減少する。一方、可変パラメータλの値の減少により、単元集合を含め、全ての集合のｑ測度の値は増大する。ゆえに、ｑ測度の密度の最大値は、可変パラメータλの値が−１と等しいときに得られる。このことは、方程式（６）を用いて容易に示されるように、λ測度において１と等しい１つ以上の密度の値が存在するとき、かつ、そのときに限りλ＝−１であるというλ測度の状況と、ある意味では無矛盾である。我々の提案のｑ測度の定式化では、λ＝−１と設定した場合にも、全ての密度生成子の値にかかわらず依然として１と等しい最大密度の値を強制することは不可能である。ｑ測度の密度の最大値が１と等しい唯一の状況は、１つを除く全ての密度生成子の値が零と等しいときである。この性質によって、提案のｑ測度の定義が、単元集合を含む任意の集合のファジイ測度は全集合にかかわらずその１つの集合のみを考慮することによって単純に決定されない、という原理に従うことが保証される。このことは、特に、適切なファジイ測度を見出して、その情報ソース間の高度な相互依存性を明らかにする複雑系をモデル化することを意図するときには、重要な問題である。ｑ測度のアプローチによって、効率的かつ無矛盾な手法による密度生成子及びパラメータλの適正な値の学習が容易となる。
【００４０】
［Ｑ測度の収束挙動］
パラメータλに対し固定の値が与えられるとき、異なるｑ測度を反復的に構成するための提案されるアルゴリズムは、次の疑似コードにより規定される。
ステップ１：λに対しλ≧−１の固定値を選択。
ステップ２：密度生成子ｆ（｛ｘｉ｝），∀ｘｉ∈Ｘに対し、方程式（９），（１０）を満たす初期値を設定。
ステップ３：初期密度生成子及び固定のλを用いて初期ｑ測度を構成。
ステップ４：Ａ∪Ｂ＝ＸかつＡ∩Ｂ＝Φとなるように、ＸをＡ，Ｂ⊂Ｘに区分。
ステップ５：α＝ｆ（Ａ）とする。
ステップ６：β＝ｆ（Ｂ）とする。
ステップ７：初期スケーリング因子ｆ＝α＋β＋λαβを計算。
ステップ８：もし（ｆ≠１．０）ならば、
開始
ｆ（｛ｘｉ｝）＝ｆ（｛ｘｉ｝）／ｆ，∀ｘｉ∈Ｘに更新
更新された密度生成子及び固定のλを用いて新たなｑ測度を再構成
α＝α／ｆに更新
β＝β／ｆに更新
スケーリング因子ｆ＝α＋β＋λαβに更新
終了。
【００４１】
興味深いことに、上述のアルゴリズムにより生成されるｑ測度の数列は、初期の密度生成子のスケーリングされた値及び固定値のパラメータλを用いて構成される固定のファジイ測度へ収束することが見出される。この挙動は、スケーリング因子ｆの数列が１へ収束することが見出されるのと等しい。
【００４２】
この節の残りでは、我々の提案のアルゴリズムにより生成されるスケーリング因子の数列に関するこの興味深い収束挙動を証明し、実証する。構成的には、この証明には、密度生成子の初期値をスケーリングするために用いられ得るスケーリングパラメータの閉形式表現が含まれ、結果の値が新たな密度生成子として用いられ、同じ固定の（選択される）パラメータλの値を用いて最終的なｑ測度が直接的に構成される。最終的に構成されるｑ測度にのみ興味を有する場合、必ずしもアルゴリズムの反復が完了される必要はない。
【００４３】
初期に述べた通り、一般には、最適な測度のための探索を行うことが目的であるから、構成される中間のｑ測度は最終的なｑ測度より高い価値を有する。緩和手法におけるように、反復を何度も、即ち、スケール因子ｆが数的に１に収束するまで繰り返す必要はない。値｜ｆ−１．０｜が小さな正の値未満であるかを確認することにより、又は最大の反復数若しくは計算時間を指定することにより、数回の反復後にループを抜ける決定を行ってもよい。このアルゴリズムは振動しないことが保証されているため、他のシステムモジュールにより消費され得る異なる有用なｑ測度を生成可能である。
【００４４】
スケーリング因子ｆの初期値は密度生成子の最大値以上であるため、密度生成子のスケーリングされた値が方程式（９），（１０）を満たす単位区間に存在することが保証される。提案のアルゴリズムにより生成されるスケーリング因子の数列の収束の証明を、次の定理の証明として提供する。また、この定理の証明を用いて、提案のアルゴリズムにより生成される再構成したｑ測度の精度を確認する。
【００４５】
［収束定理］
Ａ，Ｂ⊂Ｘとすると：
Ａ∪Ｂ＝Ｘ，Ａ∩Ｂ＝Φ，α＝ｆ（Ａ）かつβ＝ｆ（Ｂ）
∀λ≧−１，α≧０，β≧０かつα＋β＞０；数列を考えると：
【００４６】
【数１０】
2007534090.tif 000012
【００４７】
この時、上述の数列は１に収束する、即ち、
【００４８】
【数１１】
2007534090.tif 000013
【００４９】
さらに、数列の項の積は次のように表現される：
【００５０】
【数１２】
2007534090.tif 000014
【００５１】
［収束定理の証明］
α＝０，β＝０又はλ＝０の場合は自明であるため、それらを以下の一般的な場合からは除外する。次式（２１ａ），（２１ｂ）を定義する。
【００５２】
【数１３】
2007534090.tif 000015
【００５３】
ゆえに、Ｓｎ＝ｆｎＳｎ−１    （２２）
Ｓｎが収束する場合、即ち、次式Ｓが存在する場合、
【００５４】
【数１４】
2007534090.tif 000016
【００５５】
方程式（２２）より、Ｓ＝ｆ∞Ｓ    （２３）
ゆえに、Ｓ≠０の場合、方程式（１９）は真である。
また、方程式（１８）は次の漸化式（２４）と等しい：
【００５６】
【数１５】
2007534090.tif 000017
【００５７】
数列Ｓｎが収束する場合、次式（２５）を得る。
【００５８】
【数１６】
2007534090.tif 000018
【００５９】
上の方程式をＳについて解くと、次式（２６）を得る。
【００６０】
【数１７】
2007534090.tif 000019
【００６１】
方程式（１８），（２１）から、λ＞０のとき、全てのｎに対してｆｎ＞０，Ｓｎ＞０であるが、
【００６２】
【数１８】
2007534090.tif 000020
【００６３】
したがって、解は次式（２８）である。
【００６４】
【数１９】
2007534090.tif 000021
【００６５】
これにより、方程式（２０ａ）が証明される。方程式（２０ｂ）を証明することは、次式（２９）を証明することと等しい。
【００６６】
【数２０】
2007534090.tif 000022
【００６７】
λ＝−１のとき、方程式（２８）は、次式（３０）となる。
【００６８】
【数２１】
2007534090.tif 000023
【００６９】
α≧βの場合、方程式（３０）は次式となり、
【００７０】
【数２２】
2007534090.tif 000024
【００７１】
α＜βの場合、方程式（３０）は次式となる。
【００７２】
【数２３】
2007534090.tif 000025
【００７３】
ゆえに、Ｓ＝ｍａｘ｛α，β｝，  λ＝−１
したがって、数列Ｓｎが収束する場合、方程式（２０ａ），（２０ｂ）は真である。条件λ＞０の下でＳｎの収束を証明するには、β≧α（即ち、α＋β＞０から、β≠０）を仮定する。方程式（２４）をβにより除し、次式（３１）の連分数に展開する。
【００７４】
【数２４】
2007534090.tif 000026
【００７５】
ここで、次式（３２）とすると、
【００７６】
【数２５】
2007534090.tif 000027
【００７７】
次式（３３）の表現を得る：
【００７８】
【数２６】
2007534090.tif 000028
【００７９】
ここで、次式（３４）とすると、
【００８０】
【数２７】
2007534090.tif 000029
【００８１】
方程式（３３）は次式（３５）のように表現される。
【００８２】
【数２８】
2007534090.tif 000030
【００８３】
（ａ＋１），ｂ＞０のときＫが存在する、は、α，β，λ＞０のときに真である。ゆえに、これらの条件の下でＳは存在し、方程式（２８）は真である。
ここで、０＞λ≧−１の場合を考える。方程式（３３）の数列は次式（３６）のように表現される：
【００８４】
【数２９】
2007534090.tif 000031
【００８５】
第１に、λ≧−１のとき、Ｋｎ≧１であることを、次のように証明する：
【００８６】
【数３０】
2007534090.tif 000032
【００８７】
第２に、０＞λ≧−１のとき、Ｋｎ≦Ｋｎ−１であることを、次のように証明する：
【００８８】
【数３１】
2007534090.tif 000033
【００８９】
方程式（３８），（３９）から、Ｋｎは単調に減少し、下に有界である。ゆえに、Ｋｎは収束し、Ｓｎも収束する。これにより、定理の証明を完了する。
ここで、測度生成子関数の単調性の挙動を保証することにより、構成素のｑ測度の適正な再構成を容易とするため、初期の密度生成子の値のスケーリングしたバージョンが方程式（９），（１０）を満たす単位区間に存在することを検証する必要がある。
方程式（３８）から、次式（４０）を得る：
【００９０】
【数３２】
2007534090.tif 000034
【００９１】
方程式（４０）にβ＞０なるβを乗じ、次式（４１）を得る。
【００９２】
【数３３】
2007534090.tif 000035
【００９３】
また、β≧α，α＝ｆ（Ａ）かつβ＝ｆ（Ｂ）を得ているので、次式（４２），（４３）を得る。
【００９４】
【数３４】
2007534090.tif 000036
【００９５】
したがって、次の結論を得る。
【００９６】
【数３５】
2007534090.tif 000037
【００９７】
方程式（４４），（４５）により、提案のアルゴリズムに関する精度の証明を完了する。
以下のテーブル１〜３及び図１には、異なるパラメータを有するｑ測度の収束挙動を数的に示す。これらのテーブルでは、わずかな反復の後にスケーリング因子ｆｎの数列が上方、下方、又は両方向（１．０の上下を揺動）から１に接近する３つの異なる事例を、興味深く実証する。３つの異なる収束事例を示すように、α，β，λの値を選択した。期待されるように、数列Ｓｎは方程式（２０ａ），（２０ｂ）により与えられる値へ数的に収束する。
【００９８】
【表１】
2007534090.tif 000038
【００９９】
【表２】
2007534090.tif 000039
【０１００】
【表３】
2007534090.tif 000040
【０１０１】
示すように、ｑ測度は従来の菅野のλ測度の修正された定義に基づく、新規なクラスのファジイ測度の要素として定義される。この提案されるクラスのファジイ測度には特殊な場合としてλ測度が含まれ、柔軟かつ効率的な定式化におけるλ測度の所望の性質が保存されている。我々の定式化においては多項式を解く必要がない。これは計算の高速化を容易にするとともに、適切なファジイ測度を構成可能であるようにλの値の選択の際に柔軟性を提供するため、魅力的な特徴である。したがって、我々の提案の定式化を用いると、λは手動で調整される又は調整手続を用いて自動的に学習されるのに最適な、緩和されたパラメータである。
【０１０２】
方程式（１２）による定義に従い、一貫して増大するように、単元集合を含めて集合毎に、全てのソースの情報の価値を考慮することによってｑ測度の値が決定される。全集合の測度生成子の値に応じて、ｑ測度の密度の値は、その構成素の密度生成子の値より大きいか、等しいか、より小さいかである。菅野のλ測度では密度が予め設定されるが、これは、単元集合を含む任意の集合のファジイ測度を、その集合の要素のみを考慮することによって定義することは不可能であるという原理に反する。菅野のλ測度により行われるように単元集合をこの原理に従うことから免れさせるべきではなく、最近では、我々は密度の値を設定することによりパラメータλの値が決定され、したがってファジイ測度の全特徴が決定されることを発見している。我々の提案のｑ測度の定義では、λと密度とを脱相関化することによって、この問題が単純かつ効率的に解決される。
【０１０３】
我々の新規な定式化ではλ規則に基づき測度生成関数の定義を決定したが、一般には集合包含の意味における任意の単調性関数が用いられる。実際に、構成素の密度生成子の値の和又は最大値を測度生成関数として用いる場合、まさに通常行うように、確率測度、即ち、潜在性の（ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ）測度を構成することが可能である。λ規則を考察したのは、非線形性の程度を制御することの可能なパラメータの存在による有用な性質のためである。ｑ測度を２つの正の単調性集合関数の値の比として定義することは、熟練者により割り当てられる点数における曖昧かつ不定のスケーリングを解決することに加え、ファジイ測度の境界条件を強制する効率的な手法である。
【０１０４】
提案の定式化では、パラメータλ∈［−１，∞）に対し固定の同じ値を用いる場合でも、密度生成子の値を異なって線形的にスケーリングすることにより、異なるファジイ測度を妥当な計算コストにて生成することが可能である。これにより、種々のファジイ測度を構成する際に、さらなる柔軟性が提供される。異なるｑ測度を調査するための反復アルゴリズムと、その収束についての数学的な証明とを提供した。我々の証明の非常に有用な成果は、密度生成子の初期値を直接的にスケーリングするために用いられ得るとともに、結果の値を新たな密度生成子として用い、同じ固定の（選択される）パラメータλの値を用いて最終的なｑ測度を構成するスケーリングパラメータのための閉形式表現である、方程式（２８）を含むという事実である。最終的に構成されるｑ測度にのみ興味を有する場合、必ずしもアルゴリズムの反復が完了される必要はない。
【０１０５】
密度の値を線形的にスケーリングして各スケールに対し異なるλ測度を構成することにより、同様の結果を達成することが可能である、との議論があり得る。このことは理論的には真であるが、異なるスケールを考慮する毎にパラメータλのユニークな値について解く必要があるため、実際には非常に非効率的である。計算時間に余裕のある場合であっても、無限のドメインから各スケーリング因子の値を選択する説得力を有する正当化なくして、提案されるクラスのｑ測度に常に含まれる特殊な場合に注目する。
【０１０６】
ｑ測度のアプローチにより、単純性、能力及び効率の一定の恩恵を兼備する、種々の有用なファジイ測度を構成するための、さらに柔軟なスキームが提供される。また、提供した収束についての証明は構成的なものであり、多くの実用的なアプリケーションに非常に関連する。
【０１０７】
上述のように、パラメータのセットを調整することにより幾つかの従来の線形・非線型のフィルタを表現することが可能である、計算上効率的な信号処理手法が実現されることは有益であろう。そうしたフィルタリング手法により、一連の高価な従来のフィルタリング演算を除去することが可能となる。そのようなフィルタを提供するために、ｑ測度を利用して、高価かつ不要な計算を必要としない幾つかの新規な線形・非線型のフィルタ及び従来の線形・非線型のフィルタを表現するｑフィルタを設計することが可能である。
【０１０８】
Ｑフィルタはハードウェア実装に適切であり、自動的に一連の従来の線形・非線型フィルタリング演算を置換するように調整され得る。Ｑフィルタの明白な特徴は計算上の複雑さが少ないことであり、このため、Ｑフィルタは低電力、小寸法のデバイスにおける高度アプリケーションの実行に適切である。Ｑフィルタによって、埋め込み型デバイス、デスクトップ又は基地局プラットフォームにおける新規な高度計算アプリケーションの効率的な実装が可能となる。
【０１０９】
［ショケのファジイ積分］
ファジイ積分は、雑音を含む信号を生成する不特定の情報ソースのうちの複数のソースを組み合わせるために用いられる非線形汎関数である。ファジイ積分は入力関数の期待値を推定するために、ファジイ測度に関して定義される。既存のファジイ積分の定義には、菅野積分、潜在性の積分及びショケ積分が含まれる。ショケのファジイ積分では、証拠収集用の有用な機構が提供される。ショケのファジイ積分は、重み付け平均、メディアン、順序統計量、モルフォロジカル演算子、スタックフィルタ及び多くの他の情報収集機構を表現することが可能な、柔軟な方法である。
【０１１０】
有限集合Ｘに対する実数値関数ｈ（ｘ）において、任意のファジイ測度ｇ（．）に関する関数ｈ（ｘ）のショケのファジイ積分Ｃは、定式的には次のように定義される：
【０１１１】
【数３６】
2007534090.tif 000041
【０１１２】
条件（４７ａ）が満たされる場合、ショケ積分は以下のより単純な形式（４７ｃ）となる：
【０１１３】
【数３７】
2007534090.tif 000042
【０１１４】
所与の窓の大きさｎを通じる入力信号ｈ（ｘ）におけるｑ測度に関するショケ積分を構成することにより、入力信号に対するＱフィルタが形成される。
［Ｑフィルタ］
Ｑフィルタは観測窓を通じるｑ測度に関するショケ積分として定義される、非線形フィルタの１つのクラスである。Ｑフィルタのカーネルパラメータを調整することによって、単一のＱフィルタが多くの異なる他の線形・非線型フィルタのアプリケーションに必要な入力信号を再形成することが可能である。入力信号窓Ｓ＝｛ｓ１，ｓ２，．．．，ｓｎ｝（ここでｎは窓の大きさであり、ｓｊ＝ｈ（ｘｊ），ｊ＝１，．．．，ｎである）に対し、基本的なＱフィルタは、方程式（４６ａ〜４６ｂ）のショケ積分を用いて次のように構成され得る：
・フィルタのカーネルパラメータλ∈［−１，∞）に対する値を設定
・入力信号窓Ｓに対しｎ点の密度生成ベクトルｆ＝｛ｆ１，ｆ２，．．．，ｆｎ｝を設定（ｆｊ∈［０，１］，ｊ＝１，．．．，ｎ）
・信号強度の範囲の入力信号Ｓ（即ち、全てのｓｊに対し、ｒｍｉｎ＝ｒ０≦ｓｊ＜ｒｍ−１＝ｒｍａｘ）に対し、ｍ点の分解ベクトルＲ＝｛ｒ０，ｒ２，．．．，ｒｍ−１｝を設定
・（ｍ−１）×ｎのしきい値行列Ｈ＝｛ｈｉｊ｝を設定（ここで、ｓｊ≧ｒｉならばｈｉｊ＝１、それ以外はｈｉｊ＝０）
・次式のように、しきい値行列Ｈ＝｛ｈｉｊ｝に基づくｑ測度と、密度生成子の値、ｆｊ＝ｆ（｛ｘｊ｝），ｊ＝１，．．．，ｎを計算：
【０１１５】
【数３８】
2007534090.tif 000043
【０１１６】
上の方程式では、λ∈［−１，∞），λ≠０である。
λ＝０のとき、方程式（８）から次式（４９ａ），（４９ｂ）が得られる。
【０１１７】
【数３９】
2007534090.tif 000044
【０１１８】
・次式（５０）によりショケ積分を計算
【０１１９】
【数４０】
2007534090.tif 000045
【０１２０】
入力窓に対応するフィルタリングされた信号の値は、次式（５１）である。
【０１２１】
【数４１】
2007534090.tif 000046
【０１２２】
図２はＱフィルタ２０１のブロック図である。示すように、フィルタ２０１は、フィルタリングされる信号Ｓを受信する入力部と、可変パラメータλを受信する入力部と、密度生成ベクトルｆ＝｛ｆ１，ｆ２，．．．，ｆｎ｝を受信する入力部とを有する。動作中、入力信号窓Ｓ＝｛ｓ１，ｓ２，．．．，ｓｎ｝がＱフィルタ２０１へ入力され、所与の入力の期待値として計算される出力がｅである。より詳細には、動作中、Ｑフィルタは論理回路（例えば、マイクロプロセッサコントローラ）及びメモリコンポーネントを利用して可変パラメータλ及びベクトルｆに基づきｑ測度を構成するとともに、ｑ測度に基づきフィルタリングされた信号を出力する。
【０１２３】
上述の方法では、基本的な数学演算はディジタル画像などの離散値入力信号や、０〜ｍ−１の値を有するように量子化されるその他のｍ値離散信号に対する、しきい値判定（ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ）、加算及び乗算であるため、上述の方法はハードウェア実装に適切である。そうした場合、効率的なハードウェア実装を可能とするように、Ｑフィルタ演算はさらに単純化され得る。
【０１２４】
ｍ値のＱフィルタは、しきい値分解及びｑ測度を用いて次のように構成される。Ｓをｍ値入力信号を通じる移動窓とすると、タイムスロットｔ∈ＺにおいてＳ（ｔ）＝｛ｓ１，ｓ２，．．．，ｓｎ｝である。ここで、ｎは窓の大きさであり、窓の要素はｓｊ∈｛０，１，．．．，ｍ−１｝，ｊ＝１，．．．，ｎである。次式（５２）により、しきい値二値信号ｓ（１），．．．，ｓ（ｍ−１）を形成する。
【０１２５】
【数４２】
2007534090.tif 000047
【０１２６】
点ｔにおける第ｉ番目のしきい値信号ｓ（ｉ）のフィルタリングの出力は、次式（５３ａ），（５３ｂ）により定義される。ここで、ｓｊ（ｉ），ｊ＝１，．．．，ｎは、大きさｎのカーネルを用いて定義されるｑ測度ｑ（．）の引数であるクリスプ集合Ａｉを定義するブール変数である。
【０１２７】
【数４３】
2007534090.tif 000048
【０１２８】
点ｔにおけるｑ（．）に関するＱフィルタの出力は次式（５４）であり、ここでｑ測度の値ｅ（ｉ）（ｔ）は単位区間［０，１］内の実数値である。
【０１２９】
【数４４】
2007534090.tif 000049
【０１３０】
上述の手続を、Ｑフィルタのさらに詳細なブロック図である図３に示す。示すように、ｍ値の入力信号Ｓ（ｔ）がフィルタ２０１へ入力されて、しきい値部３０３へ入力される。プロセッサ３０１は、上述の方程式（５２）に示すとおり、ｍ−１のしきい値二値信号ｓ（１），．．．，ｓ（ｍ−１）を形成するように、しきい値部３０３に命令する。ここで、Ａｉ＝｛ｘｊ｜ｓｊ（ｉ）＝１，ｊ＝１，．．．，ｎ｝は、しきい値ｉにおいて入力信号Ｓ（ｔ）をしきい値判定することによって得られるクリスプ集合である。しきい値部３０３はＡｉを出力し、プロセッサ３０１はクリスプ集合Ａｉのｑ測度を算出することにより、各しきい値に対しｅ（ｉ）（ｔ）を構成する。より詳細には、方程式（５３ｂ）において定義されるように、ｅ（ｉ）（ｔ）＝ｑ（Ａｉ）である。ｅ（ｉ）（ｔ）に対する値は合計されて、ベクトルｅ（ｔ）を生成する。
【０１３１】
図４は図３のＱフィルタの動作を示すフローチャートである。論理フローは工程４０１にて開始し、可変パラメータλに対する値が決定される。工程４０３にて、密度生成ベクトルｆ＝｛ｆ１，ｆ２，．．．，ｆｎ｝に対する値が決定され、（工程４０５にて）λ及びベクトルｆに基づきｑ測度が構成される。最後に、工程４０７にて、ｑ測度に基づき信号がフィルタリングされる。
【０１３２】
特定の実施形態に関連して本発明を詳細に図示及び説明したが、本発明の精神及び範囲から逸脱することなく本発明において形態及び詳細における種々の変更がなされ得ることが、当業者には理解されるであろう。例えば、図２，３のＱフィルタは実時間でｑ測度の値を算出するが、それらの測度は予め読み込まれたメモリから得られてもよいことが当業者には認められるであろう。これに加えて、密度生成ベクトルの値及び可変パラメータλの値もメモリから得られてよい。そうした変更は添付の特許請求の範囲内にあることが意図されるものである。
【図面の簡単な説明】
【０１３３】
【図１】ｑ測度の収束挙動を示す図。
【図２】Ｑフィルタのブロック図。
【図３】Ｑフィルタのさらに詳細なブロック図。
【図４】Ｑフィルタの演算を示すフローチャート。
【図５】Ｑ測度の格子表現の図（大きさ＝５）。
【図１】
2007534090.tif 000052
【図２】
2007534090.tif 000053
【図３】
2007534090.tif 000054
【図４】
2007534090.tif 000055
【図５】
2007534090.tif 000056
【国際調査報告】
2007534090.tif 000057
2007534090.tif 000058
2007534090.tif 000059