(57)【要約】  経済的に重要なｎ人のプレイヤー用の公共財又は類似のｎ人のプレイヤーへの量子手法は、２粒子エンタングルメントしか必要としないので、ｎ粒子エンタングルメントを必要とするゲームよりも実施するのがはるかに容易である。２粒子エンタングルメントは、複数のプレイヤーが、異なる選択を行うことによってどのプレイヤーも利益を得ることができない簡単な混合戦略を用いるときに、概ね最適な予想報酬を与えるのに十分である。この仕組みは、プレイヤー間の幾つかの異種の選好にも対処することができる。本発明による量子ゲームは、プレイヤーの人数が多い場合に非現実的な量の処理能力を必要とすることなく、古典コンピュータ上でシミュレートすることができる。【選択図】図３
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
Ｎ対のエンタングルド・キュービットを表す状態ベクトルを構成し、
その２Ｎ個の対応するキュービットにそれぞれ適用されるべき２Ｎ個の演算子を選択し、ここで、ｎ人のプレイヤーの各々が、該プレイヤーに割り当てられる一組の前記キュービットについて前記２Ｎ個の演算子のうちの１つ又は２つ以上を選択し、
前記２Ｎ個の演算子の各々を、該演算子に対応する前記キュービットを表す前記状態ベクトルの部分にのみ適用し、
外２Ｎ個の演算子の適用の結果として得られる最終的な状態ベクトルを評価し、これにより前記プレイヤーに結果を割り当てる、
という各ステップを含む方法。
【請求項２】
前記Ｎが、ｎからｎ(ｎ−１)／２までの間にある整数(ｎ及びｎ(ｎ−１)／２を含む)である、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
古典的なコンピュータで実行されるソフトウエアが、前記演算子を前記状態ベクトルに適用する前記ステップを実行する、請求項１又は請求項２に記載の方法。
【請求項４】
前記状態ベクトルを構成する前記ステップが、該状態ベクトルに対応する量子状態にシステムを設定するステップを含む、請求項１又は請求項２に記載の方法。
【請求項５】
前記システムが、SQUID、NMRシステム、個々の原子、個々の分子、個々のイオン、共振器量子電気力学(QED)システム、及び前記キュービットを実施する量子状態を有するフォトニックシステムから成るグループから選択される、請求項４に記載の方法。
【請求項６】
エンタングルド光子対の多数のチャネル(318)の発生源(310)と、
複数のステーション(330)であって、その各ステーション(330)が、前記チャネル(318)のうちの１つ又は２つ以上に関連付けられ、及び該ステーション(330)に関連付けられた光子の状態についてプレイヤーにより選択された演算を実行することができる、複数のステーション(330)と、
各チャネル(318)毎に、及び該チャネル(318)内の各エンタングルド光子対毎に、該エンタングルド光子対からの第１の光子を、前記ステーション(330)のうち前記チャネル(318)に関連付けられた第１のステーションへ送出し、及び前記エンタングルド光子対からの第２の光子を、前記ステーション(330)のうち前記チャネル(318)に関連付けられた第２のステーションへ送出する、第１の光ネットワーク(320)と、
前記ステーション(330)へ送出した後の前記光子の前記状態を測定するよう接続された測定システム(350)とを備える、システム。
【請求項７】
前記エンタングルド光子対の各々において、前記第１の光子の第１の偏光状態が前記第２の光子の第２の偏光状態に依存し、
前記ステーション(330)の前記プレイヤーにより選択された演算が、前記光子の偏光状態を変化させる、請求項６に記載のシステム。
【請求項８】
前記ステーション(330)がｎ個のステーション(330)から成り、該ステーション(330)の各々が、２個ないし(ｎ−1)個の前記チャネル(318)に関連付けられる、請求項６又は請求項７に記載のシステム。
【請求項９】
前記測定システム(350)が、前記エンタングルド光子対について結合演算を実施する光システム(352)を含む、請求項６ないし請求項８の何れか一項に記載のシステム。
【請求項１０】
前記光システム(352)がＣＮＯＴゲート(257)を含む、請求項９に記載のシステム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、量子ゲームに関するものである。
【背景技術】
【０００２】
量子情報処理は様々な新たな能力を提供し、古典的な情報処理よりも飛躍的に性能を改善する可能性がある。量子情報処理の一例は量子計算であり、それは、古典的なコンピュータを用いた場合には解決できないように思われる問題を解決できる可能性があるものである。量子情報処理の別の応用形態は、量子暗号化であり、これにより或る距離にわたって鍵を確実に通信又は交換できるようになる。量子情報処理の更に別の応用形態は、量子ゲームであり、これは、「囚人のジレンマ（Prisoner's dilemma）」及びｎ人のプレイヤー用の少人数によるゲーム（n-player minority game）といった古典的なゲームを量子領域へと拡張させ、利用可能なゲーム戦略の範囲を広げることができるものである。
【０００３】
研究が進んでいる１つの古典的なゲームは公共財（public goods game）ゲームであり、これは、公共財の供給に伴う社会的選択の問題を記述するものである。公共財ゲームの一般的な例は、１つのグループが、公園のような共有財産又は公共財を供給するか否かを決定する場合に生じる。かかる古典的なゲームでは、公共財の購入に貢献するのを避けて他人により購入された公共財の恩恵にただ乗りすることが個人としての最良の結果である場合に、周知の「ただ乗り者（free rider）」の問題が生じる。しかし、あまりにも多くのプレイヤーがただ乗り者である場合には、その公共財は購入されない。ただ乗り者の問題は、ただ乗りするプレイヤー個人の合理的な決定に起因するものであり、その結果、そのグループは全体として、全てのプレイヤーが貢献する場合よりも困窮することになる。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
ただ乗り者の問題は、第三者を用いて合意を強要することにより、又は参加者が自警することができる反復するゲームシナリオにより、解決することができる。多数の人口に関連する国防のような公共財のただ乗り者の問題に対しては、行政が良好な解決策になり得るが、近隣地域といった一層小さなグループ内の公共財の場合には、行政は効率的でない場合もある。これらの小規模の公共財の供給では、利他主義その他の更に弱い誘因に依存してただ乗り者を防ぐ場合が多い。通常、これらの公共財への貢献は、効率的なレベルにはない。
【課題を解決するための手段】
【０００５】
本発明の一態様によれば、プレイヤーに付加的な選択を与え且つより経済的に効率の良い結果を提供する量子特性を含むように、公共財ゲーム等のゲームを拡張させることができる。本発明の一実施形態では、ゲームは、Ｎ対のエンタングルド・キュービット（entangled qubit）を表す状態ベクトルを構成すること、及び２Ｎ個のキュービットにそれぞれ適用されるべき２Ｎ個の演算子を選択することを含む。該ゲームのｎ人のプレイヤーはそれぞれ、２Ｎ個の演算子のうちの１つ又は２つ以上を選択することができ、この場合、１人のプレイヤーが選択する演算子は、該プレイヤーに割り当てられる１組のキュービットに対応する。次いで、各演算子を、その演算子に対応するキュービットを表す状態ベクトルの部分のみに適用することができる。次いで、初期の状態ベクトルに２Ｎ個の演算子を適用することから生じる最終的な状態ベクトルから、該ゲームのプレイヤーにそれぞれ割り当てられる結果を判定することができる。本発明の一実施形態では、該状態ベクトルは、エンタングルド光子対の集合体のような物理系を、該状態ベクトルに対応する量子状態にすることにより構成され、それらの演算子は、該物理系を操作することにより実施される。代替的には、状態ベクトル及び演算子は、古典的なコンピュータにおいて実行されるソフトウェアを介して構成し実施することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００６】
異なる図面における同一符号は、類似した又は同一の構成要素を示している。
【０００７】
本発明の一態様によれば、量子演算子をエンタングルド量子状態の部分に適用するゲーム戦略は、第三者の監視役又はゲームの反復を必要とすることなく、ただ乗り者問題のような経済的な問題に対処する。適当な一実施態様では、単純な混合戦略が、公共財ゲームに関連するただ乗り者問題をほぼ完全に回避し、プレイヤーの人数が多い場合に理論的に効率の良い値に近い予想性能を提供する。
【０００８】
本発明の更に別の態様によれば、量子公共財ゲームのような量子ゲームの一実施態様は、量子状態のペアワイズ・エンタングルメント（例えば、エンタングルド光子対）で開始し、又は量子状態のペアワイズ・エンタングルメントのみを利用する。ペアワイズ・エンタングルド状態のみを用いることにより、ｎ通りのエンタングルド状態を生成し使用しようとする際に一般に生じる大きな実施上の課題が回避される。
【０００９】
本発明の例示的な一実施形態は、ｎ人のプレイヤー用の量子ゲームであり、これは、古典的なゲームから一般化することができるものである。古典的なゲームは、プレイヤーに対して利用可能となる複数組の選択、及び該選択に基づく各プレイヤーに対する関連する報酬によって、数学的に記述される。特定のゲームでは、各プレイヤーｋは、選択ｓkを行い、該選択は、一組の利用可能な選択Ｓから選択される。１つのゲームにおいてプレイヤーが行った選択の全てからなる組s、すなわち、s＝｛s1,...,sn｝は、該ゲームを一意に定義し、各プレイヤーｋ毎の報酬Ｐk(s）は、ｎ人のプレイヤー全員によって行われた一組の選択sの関数となる。
【００１０】
古典的なゲームを量子ゲームへと一般化させるための１つの方法は、各プレイヤーｋを、該プレイヤーｋの操作又は選択に支配される量子状態｜ｓk＞に関連付ける。重ね合わせ（superposition）状態ΣsΨs｜s＞は、定義上は、ΣsΨs｜s1,...,sn＞に、及びΣsΨs｜s１＞×...×｜sn＞に等しく、その和は全ての取り得る組ｓであり、この重ね合わせ状態は、量子ゲームの特定のプレイ結果を一意に定義するものとなる。この古典的なゲームの量子バージョンは、全てのプレイヤーにとって既知である初期の重ね合わせ状態（例えば、ΣsＪＶs｜ｓ＞）を生成することにより開始する。次いで、各プレイヤーｋは、該プレイヤーに関連付けられた重ね合わせ状態の部分のみについて演算を行うことが許される。全てのプレイヤーが自身で選択した演算を実行した後に、全てのプレイヤーにとって固定であり既知である結合演算（joint operation）を実行することができる。全てのプレイヤーにとって既知である解釈規則が、最終的な重ね合わせ状態（例えば、ΣsΨs｜ｓ＞）に適用されて、各プレイヤー毎の確定的な選択又は結果が生成される。
【００１１】
量子ゲームが元のゲームを直接一般化したものである場合には、プレイヤーの演算は、古典的なゲームにおける元の選択に対応する選択を含むはずである。すなわち、全てのプレイヤーが、その個々の演算を、古典的なゲームにおいて許されるアクションに対応する演算だけに制限する場合には、重ね合わせ状態について利用可能となる幾つかの演算は、古典的なゲームの報酬構造を再現するはずである。
【００１２】
公共財ゲームの一実施形態では、プレイヤーｋについての状態｜ｓk＞は１つ又は２つ以上のキュービットに対応する。プレイヤーｋに対応する各キュービットは、プレイヤーｋが公共財を購入することに貢献する義務に関連付けられる１つの基底状態（例えば状態｜０＞）と、プレイヤーｋが公共財に貢献しないことに関連付けられる別の基底状態（例えば状態｜１＞）とを有する。全てのプレイヤーが、その選択を、協力又は離脱するための古典的な決定に対応する特定の演算子に制限する場合には、結果として古典的なゲームになる。例えば、本発明の１つの例示的な実施形態では、単一のキュービットに作用する、協力演算子（cooperate operator）及び離脱演算子（defect operator）は、それぞれ、２×２単位行列及びパウリ行列σxである。しかし、量子ゲームは、各プレイヤーに更に別のオプションを与え、各プレイヤーの状態｜ｓk＞が他のプレイヤーの状態とエンタングルし、何れかのプレイヤーが貢献するか否かの最終結果は、他のプレイヤーの演算に依存するようになる。一般に、プレイヤーはその結果ビットを直接には設定しない。これは、最終結果が、プレイヤーが選択した演算子と、エンタングルされたプレイヤーからの選択を結合する所定の結合演算子Ｊ'とから決定されるからである。プレイヤーがキュービットを（例えば、プレイヤーに送出されたエンタングルされた光子の代わりに新たな光子を用いることにより）直接設定する場合には、その結果は、両方のプレイヤーについて、０又は１の確率が50−50である。
【００１３】
図１は、本発明の一実施形態による量子ゲーム100のフローチャートである。量子ゲーム100は、ゲーム100の結果に対応する決定に拘束されることに同意した一組のプレイヤーによってプレイされることができる。例えば、公共財ゲームでは、公共財を購入するか否かを決定するグループ内の各プレイヤーが、ゲームの結果に応じて、貢献しなければならないことに同意することができる。
【００１４】
量子ゲーム100は、ステップ110で開始し、全てのプレイヤーにとって既知のエンタングルド状態が生成される。一般に、初期のエンタングルド状態が何度も繰り返し生成されて、後に、ゲーム結果の解釈中に確率を判定できるようにする。例えば、ステップ110で生成されるエンタングルド状態は、エンタングルド・キュービットを表す物理系の状態とすることができ、ステップ110は、その系の多数の独立したコピーを生成することができ、それらは全て同じエンタングルド状態にある。
【００１５】
ゲーム100の１つの例示的な実施形態では、ステップ112において、エンタングルド状態の生成ステップが初期状態Ｖで開始する。状態Ｖは、エンタングルド状態又は非エンタングルド状態とすることができ、詳細には、光子状態の積といった、生成するのが比較的容易である状態とすることができる。ステップ114は、状態Ｖにエンタングルメント演算子Ｊを適用して、特定の初期エンタングルド状態ＪＶを生成する。エンタングルメント演算子Ｊは、古典的なシングルプレイヤー演算子と交換可能であることが好ましい。最も単純な事例では、エンタングルメント演算子Ｊは単一の演算子であり、これはステップ114をスキップすることに相当する。一般に、状態Ｖが既に適当にエンタングルした状態である場合には、演算子Ｊを適用する必要はない。
【００１６】
ステップ120では、各プレイヤーｋは、演算子Ｕkを選択し、そのプレイヤーのエンタングルド状態の部分に（例えば、量子ゲーム100の例示的な実施形態におけるエンタングルド状態ＪＶに）適用する。ゲーム100の例示的な実施形態では、ステップ120は、
【外１】
【００１７】
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【００１８】
に等しい状態Ｖ'を生成する。
【００１９】
次いで、ステップ130は、該エンタングルド状態
【外２】
【００２０】
2007519094.tif 000004
【００２１】
を評価して、プレイヤーについての確定的な結果を判定する。ステップ130は、全てのプレイヤーにとって既知である第２の演算子Ｊ'を状態Ｖ'に適用する随意選択ステップ134を含むことができる。該ステップ134がスキップされる場合には、プレイヤーのエンタングルド光子を新たなエンタングルド光子に置き換えることによってそのビットを「離脱」に設定するようプレイヤーを誘惑することができる。したがって、ステップ134における演算子Ｊ'の適用は、貢献を回避するという不当な画策を成功させないことにより、ゲームセキュリティを改善することができる。１つの例示的な実施形態では、第２の演算子Ｊ'は、エンタングルメント演算子Ｊの逆演算子Ｊ†であり、これは、状態Ｖ'を非エンタングル状態にするよう作用し、Ｊ†Ｖ'に等しい最終的な状態Ψを与えるものとなる。所与のゲームの場合、すなわち、初期状態Ｖ並びに演算子Ｊ及びＪ'を具体的に選択する場合には、最終的な状態Ψは、プレイヤーが選択する演算子Ｕ1,...,Ｕnの関数Ψ（Ｕ1,...,Ｕn）である。
【００２２】
ステップ132は、最終的な状態Ψを評価し、各プレイヤーの選択毎又は結果毎の具体的な値を決定する。一組の選択ｓ（すなわち、プレイヤーのキュービットへの０又は１の個々の割り当て）を生成する測定の確率は｜Ψs｜2である。したがって、十分な数の状態ＪＶが同時に生成され操作される場合には、状態Ψの結果として生成される反復を測定して｜Ψs｜2を決定することができる。以下で更に説明するように、そのような測定値を解釈してプレイヤーのための確定的な一組ｓの選択又は結果を選択するための一定の規則は、様々な方法で定義することができる。
【００２３】
エンタングルド状態Ｖ又はＪＶの選択は、複数のプレイヤー間のエンタングルメントのタイプ及び量を決定する。Ｊに関する交換条件は、各プレイヤーｋが元のゲームにおける選択のうちの１つに対応する演算子Ｕkを選択した場合に、量子ゲームの最終結果が確率１でそれら選択を再現することを確実にする。
【００２４】
量子情報処理において用いられるキュービットのために様々な異なるシステムが提案されており、かかるシステムは、量子ゲームを実施するために使用することができる。かかる量子システムの幾つかの例には、数例を挙げると、超伝導磁束量子干渉計（SQUID）内の電荷又は磁束；液体NMRシステム又は固体NMRシステム；トラップ内又はそれ以外の個々の原子、分子又はイオン；共振器量子電気力学（QED）システム；及びフォトニックシステムが含まれる。量子ゲームを実施するシステムを利用するプレイヤーは、従来の通信を使用して、物理的な量子システムが必要とされる量子状態のエンタングルメントを実施するサイトへ命令を伝達し又は送信することができる。代替的には、分割し光ネットワークを介して比較的長距離にわたり送信することができるエンタングルド光子を用いることにより、セキュアな通信が提供され、また量子ゲームシステムの構成要素を分割することが可能となる。
【００２５】
図２は、光子状態である状態｜ｓ１＞及び｜ｓ2＞を用いた２人のプレイヤー用の量子ゲームシステム200のブロック図である。各光子状態｜ｓ１＞又は｜ｓ2＞は、直交する偏光状態（例えば、水平直線偏光及び垂直直線偏光）を用いてキュービットを符号化し、キュービットの基底状態｜０＞1及び｜１＞1又は｜０＞2及び｜１＞2を区別する。代替的には、キュービットは、上記のような他の物理系を用いて実施することができる。
【００２６】
システム200は、光子源210と、第１の光ネットワーク220と、プレイヤーステーション230-1及び230-2と、第２の光ネットワーク240と、結果判定システム250とを備える。光子源210は、エンタングルド量子状態にある光子対を生成する。各エンタングルド光子対から、光ネットワーク220は、一方の光子をプレイヤーステーション230-1に送出し、他方の光子をプレイヤーステーション230-2に送出する（プレイヤーステーション230-1及び230-2は実質的に同一のものとすることができ、本書では包括的にステーション230と称する場合もある）。ステーション230-1及び230-2にいるプレイヤーは、それぞれのキュービット／光子状態において、該プレイヤーが選択した演算を実行し、変更された状態が、光ファイバネットワーク240を介して結果判定システム250に送信される。
【００２７】
例示される実施形態では、光子源210は、別個の単一光子源212及び214からの光子と、光子状態をエンタングルする光システム216とを用いて、エンタングルド光子を生成する。光システム216には、例えば、適当な２光子積（two-photon product）状態Ｖ（例えば、状態｛｜０＞1＋｜１＞1｝×｜０＞2）をエンタングルド状態（例えば、状態｜０＞1｜０＞2＋｜１＞1｜１＞2）に変換するＣＮＯＴゲートを用いることができる。O'Brien他著「Demonstration of an All-Optical Quantum Controlled-NOT Gate」（Nature, Vol. 426, pp. 264-267(2003)）には、光子偏光状態を用いて表されるキュービットのためのＣＮＯＴゲートを実装する光システムが記述されている。ＣＮＯＴゲートは、非線形光システムを用いて実施することもできる。例えば、「Quantum Information Processing Using Electromagnetically Induced Transparency」と題する米国特許出願第10/364,897号は、電磁誘導透過（ＥＩＴ）を用いてＣＮＯＴゲートのような量子ゲートを形成することを記述している。
【００２８】
別の実施形態では、光子源210は、偏光エンタングルド光子対を直接生成する。Benson他著「Regulated and Entangled Photons from a Single Quantum Dot」（Physical Review Letters, Vol. 84, No. 11, pp. 2513-2516(2000)）に記述されているような、電気的にトリガされる半導体デバイスが、エンタングルド光子対を生成するための完全な仕組みを提供する。代替的には、エンタングルド光子対の高輝度の光子源が、アルゴンイオンレーザとＢＢＯ結晶内のパラメトリック下方変換とを利用する。P. G. Kwiat他著「High-efficiency Quantum Interrogation Measurements via the Quantum Zeno Effect」（Physical Review Letters, Vol. 83, pp. 4725-4728(1999)）は、１つのそのようなエンタングルド光子対源を記述している。エンタングルド光子対は、周期分極反転ニオブ酸リチウム導波路内の単一光子の下方変換を用いたコンパクトな完全固体システムにおいて生成することもできる。例えば、S. Tanzilli他著「Highly Efficient Photon-Pair Source Using Periodically Poled Lithium Niobate Waveguide」（Electronics Letters, Vol. 37(1), pp. 27-28, (2001)を参照されたい。必要に応じて、従来の光学素子が、エンタングルド状態の一部でない光子からエンタングルド対を分離することができ、例えば、Jian-Wei Pan他著「Entanglement Purification for Quantum Communication」（Nature, 410:1067-1070, (2001)は、高品質の線形光学素子を用いて、エンタングルド光子を純化することを記述している。
【００２９】
数１は、光子源210からの光子対のエンタングルド状態ＪＶの一例を表している。数１において、状態｜０＞1及び｜１＞1は、ステーション230-1に誘導される光子の直交偏光状態であり、状態｜０＞2及び｜１＞2は、ステーションステーション230-2に誘導される光子の直交偏光状態である。
【００３０】
【数１】
2007519094.tif 000005
【００３１】
ステーション230-1及び230-2は、個々のプレイヤーがそれぞれの光子に演算を適用することを可能にする。それらの演算は、従来の光学素子を用いて実施することができる。例えば、位相板が、光子の偏光を変化又は回転させることができる。適当なソフトウエアを実行する古典的なコンピュータが、各ステーション230内の光学素子を制御し、プレイヤーに使い勝手の良いインターフェースを提供することができ、これにより、プレイヤーが自らの戦略を選択することが可能となる。それゆえ、光学素子又はエンタングルド状態の物理的な操作は、プレイヤーに対してトランスペアレントにすることができる。
【００３２】
図２の例示的な実施形態のステーション230-1は、偏光状態｜０＞1の光子を偏光変化素子234に誘導し、且つ偏光状態｜１＞1の光子を偏光変化素子236に誘導する偏光ビームスプリッタ232を備える。１つの例示的な実施形態では、各素子234又は236は、その実施体の中に２つの１／４波長板及び１つの１／２波長板を含み、それらを調整して、光子偏光の任意の所望の回転を生成することができる。プレイヤーは、偏光変化素子234及び236を操作して、ステーション230-1から出力される前に、状態｜０＞1及び｜１＞1の光子を別個に変化させる（例えば、その偏光状態を回転させる）ことができる。この構成によって、プレイヤー1は、該プレイヤー1が選択したユニタリ変換Ｕ1を該プレイヤー1のキュービットに適用することが可能となる。ステーション230-2もステーション230-1と同じように構成して、プレイヤー2のキュービットにおいて任意のユニタリ変換Ｕ2を実行する能力をプレイヤー2に与えることができる。
【００３３】
入力エンタングルド状態ＪＶが数１の形を有するとき、状態｜０＞1の各光子は状態｜０＞2の光子と対を形成し、状態｜１＞1の各光子は状態｜１＞2の光子と対を形成する。したがって、対にされた光子が状態｜０＞2にあると測定された場合には、状態｜０＞1の光子に関するステーション230-1の素子232の偏光変化は、一定の結果を有するものとなる。対にされた光子が状態｜１＞2にあると測定された場合には、ステーション230-1内の素子234の偏光変化は、状態｜１＞1について一定の結果を有するものとなる。こうして、各プレイヤーは、他のプレイヤーが行うことに依存する条件付き戦略を選択することができる。
【００３４】
本発明の例示的な実施形態における結果判定システム250は、光子状態｜０＞1、｜１＞1、｜０＞2、及び｜１＞2に対応する光子を測定する。例示する実施形態では、光システム256が、操作された状態（例えば、Ｖ'＝Ｕ1Ｕ2ＪＶ）について演算Ｊ'を実行して最終的な状態Ψを生成し、それを検出器252及び254が測定する。１つの例示的な実施形態では、演算子Ｊ'は演算子Ｊの逆演算子である。代替的には、演算子Ｊ'は、状態Ｖ'と初期の状態Ｖとの間の量子コヒーレンスを明示するように、操作された状態Ｖ'を変化させる。このようにして、最終的な状態Ψの測定値は、プレイヤーが波動関数の一部を不適切に（例えばエンタングルド光子を遮断すると共に所望の偏光状態を透過させることにより）操作したか否かを特定することができる。更に、結合演算Ｊ'は、各プレイヤー毎の結果が他のプレイヤーの行為にも依存することを確実にする。一方のプレイヤーが「離脱」演算子を使用する場合、異なる（非古典的な）演算子を用いる他方のエンタングルしたプレイヤーは、離脱するプレイヤーが実際には貢献する結果になることを確実にすることができる。
【００３５】
図２の光システム256はベル状態解析器であり、ＣＮＯＴゲート257及びアダマールゲート258を備える。ＣＮＯＴゲート257は、上記のように、線形光学系又は非線形光学系を用いて実施することができる。アダマールゲート258は線形演算を実行し、その演算は、フォトニックキュービットの偏光に関し、ＣＮＯＴゲートを制御する光子の偏光方向をπ／４だけ回転させることである。ベル状態解析器は、キュービット／光子のエンタングルメントを取り消し、２つの光子を独立して測定することを可能にする。さもないと、一方のエンタングルド光子の測定値が、他方のエンタングルド光子を強制的に確定的な状態にすることになる。
【００３６】
各検出器252又は254は、状態｜０＞1及び｜１＞1又は｜０＞2及び｜１＞2｜を分離する偏光ビームスプリッタで実施することができ、例えば、単一光子を検出すること、光子をカウントすること、又は各状態から生じる光の強度を測定することにより、偏光状態に対応する光子を測定する。随意選択的に、「Detecting One Or More Photons From Their Interactions With Probe Photons In A Matter System」と題する米国特許出願第10/678,437号に記述されているような非破壊検出器が、光子の数を測定することができ、測定後に、光子を更に使用できるようにする。代替的には、従来のフォトダイオードが、各偏光状態毎に光の強度を測定することができる。システム200が、エンタングルド光子対の十分な光子束を判定システム250に与える場合には、状態｜０＞1、｜１＞1、｜０＞2、又は｜１＞2に対応する偏光を有する光子の強度が、状態｜０＞1、｜１＞1、｜０＞2、又は｜１＞2の光子を含む最終的な状態Ψの確率を直接指示する。代替的には、システム250は、量子状態トモグラフィ（ＱＳＴ）を実施することができ、これにより最終的な量子状態を完全に再構成することが可能となる。
【００３７】
公共財ゲームでは、プレイヤーは予め、偏光測定結果に応じて、公共財の購入に貢献する義務を負う（又は義務を負わない）ことに同意にすることができる。測定された強度に基づく様々な貢献判定規則を実施することができる。例えば、貢献するための選択に関連付けられる状態（例えば、｜０＞1又は｜０＞2）に対応する偏光の強度が、他方の状態の場合の強度よりも大きい場合には、プレイヤーは一定の貢献をする義務を負うことになる。この規則を用いる場合、プレイヤー1（又は2）は、状態｜０＞1（又は｜０＞2）に対応する偏光を有する光子の測定された強度が、状態｜１＞1（又は｜１＞2）に対応する偏光を有する光子の測定された強度よりも大きい場合にのみ、貢献する義務を負うことになる。代替的には、プレイヤー1（又は2）は、状態｜０＞1（又は｜０＞2）に対応する光子の強度が、或る閾値強度よりも高い、例えばバックグランドノイズレベルよりも十分に高い場合に、貢献する義務を負うことになる。
【００３８】
２人のプレイヤー用のゲームシステムをｎ人のプレイヤー用のゲームシステムに一般化することにより、より大きな有用性が提供される。原理的には、最大にエンタングルしたｎ光子状態（例えば、｛｜０＞1｜０＞2...｜０＞n＋｜１＞1｜１＞2...｜１＞n｝／２1／2）を、エンタングルド２光子状態から構成することができる。Dik Bouwmeester他著「Observation of Three-Photon Greenberger-Horne-Zeilinger Entanglement」（Physical Review Letters, Vol. 82, pp. 1345-1349, (1999)）及びJian-Wei Pan他著「Experimental Demonstration of Four-Photon Entanglement and High-Fidelity Teleportation」（Physical Review Letters, Vol. 86, 4435-4438, (2000)）を参照されたい。しかし、完全にエンタングルしたゲームを２人のプレイヤーからｎ人のプレイヤーに拡大することは、線形光学系を用いる場合であっても、非自明である可能性がある。例えば、任意の２人のプレイヤーのための２つの光子の状態が、確率β（エンタングルメントを生成、分配、純化、操作、及び検出することができる正味の効率を含む）でコヒーレントなままである場合には、２人のプレイヤー間の相互選択を完全に記録するために必要とされる試行の平均回数（又はエンタングルド光子対）は1／βである。ｎ光子の最大にエンタングルした状態にある単一光子の偶発的な（又は故意に破壊的な）測定が、状態全体を破壊して、Ｎ個の光子を使えなくするので、ｎ人のプレイヤーのための最大にエンタングルされたゲームを完成させるために必要となる初期のエンタングルド状態の数は、約（1／β）nまで増加する可能性がある。
【００３９】
本発明の一態様によれば、ｎ人のプレイヤー用のゲームの一実施態様は、全てのプレイヤー対間、又は選択されたプレイヤー対間に、エンタングルした２粒子状態を割り当てる。これらの場合には、１つの光子を測定することにより、１つの２光子状態だけしか破壊されない。こうして、以下で更に説明するゲームを完成させるために必要となる試行の平均回数は、ｎ（ｎ−１）／２β又はｎ／βに減少し、プレイヤーの数が多い場合にペアワイズゲームを実施するのを容易にする。
【００４０】
図３は、ｎ人のプレイヤー用の量子ゲームを実施するためのシステム300を示している。該システム300は、エンタングルド光子対のＮ個の別個のチャネル318-1〜318-nの発生源310を含む。各チャネル318は、一対の隣接するステーション330に対応する。１つのチャネル内の各エンタングルド光子対は、光ファイバネットワーク320がそのチャネルに対応する第１のステーション（例えばステーション330-1〜330-n）に送出する１つの光子と、光ファイバネットワーク320がそのチャネルに対応する第２のステーション（例えば、330-2,330-3,...330-n,330-1）に送出する別の光子とを含む、空間的に分離された複数の光子を含む。したがって、各プレイヤーは、２人の隣接するプレイヤーとそれぞれ共有される２つのチャネルを有する。ここで、プレイヤー及びステーション330は、それらが、共有されるエンタングルド光子対からの個々の光子をそれぞれ使用するという意味で、隣接している。
【００４１】
光ネットワーク320が光子を個々のステーション330に送出する前に、随意選択のフォトニックエンタングルメントシステム（図示せず）が、対を成す光子について一定の演算Ｊを実行することができる。発生源310が適当にエンタングルした光子対を生成する場合には、該エンタングルメントシステムは省略することができる。
【００４２】
本書で包括的にステーション330と称する場合もある各ステーション330-1〜330-nは、割り当てられたプレイヤーが別個の演算を選択してその演算を該プレイヤーに対応する２つのキュービットに適用することを可能にする。１つの例示的な実施形態では、各ステーション330は、図２のステーション230の場合に上述した構造の２つの複製を用いて実施され、この場合、その各複製は、ステーション330に割り当てられた２つのキュービットを１つずつ操作するものとなる。
【００４３】
光ファイバネットワーク340は、ステーション330において演算された状態を有する光子を結果判定システム350に送信する。結果判定システム350は、エンタングルド光子対において所定の結合演算Ｊ'を実行するシステム352と、プレイヤーのキュービットを表す様々な状態に対応する光子の相対的な強度を測定する検出器とを備える。測定された強度及び予め定義された貢献判定規則に基づき、システム350は、確定的な結果（例えば公共財に貢献するか否か）を各プレイヤーに割り当てる。
【００４４】
このｎ人のプレイヤー用のゲームのための貢献判定規則は、１プレイヤーにつき２つのキュービットの強度又は確率測定値に基づくものとすることができる。この場合も、様々な貢献判定規則を実施することができる。例えば、１プレイヤーについての２つの状態（例えば、両方のキュービットに関する状態｜０＞）の強度の和を、所定の閾値と比較し、又は他の２つの状態（例えば、両方のキュービットに関する状態｜１＞）の強度と比較して、そのプレイヤーが一定の量だけ貢献しなければならない場合を決定することができる。代替的には、貢献規則は、プレイヤーに割り当てられた特定の状態（例えば、両方のキュービットに関する状態｜０＞）の測定された強度に応じて、各プレイヤーに一定量の貢献を割り当てることができる。この種の規則の場合には、グループ全体に対して最大貢献量が予め決定され、各プレイヤーの貢献は、貢献状態（例えば、状態｜０＞）を有する全てのキュービットのうち該プレイヤーが占める割合に正比例する。
【００４５】
図４は、ｎ人のプレイヤー用の量子ゲームを実施するための別のシステム400を示している。該システム400は、エンタングルド光子対のｎ（ｎ−１）／２個の別個のチャネル418の発生源410を備える。各チャネル418は、一対のプレイヤーのためのエンタングルド・キュービット対に対応する。１つのチャネル418内の各エンタングルド光子対は、光ファイバネットワーク420がそのチャネルに対応する第１のステーション430に送出する１つの光子と、光ファイバネットワーク420がそのチャネルに対応する第２のステーション430に送出する別の光子とを含む、空間的に分離された光子を含む。したがって、各プレイヤーは、他の（ｎ−1）人のプレイヤーとそれぞれ共有される（ｎ−1）個のチャネルを有し、システム400は、（ｎ−1）キュービットを各プレイヤーに関連付ける。
【００４６】
発生源410が適当にエンタングルした光子状態を提供しない場合には、随意選択のエンタングルメントシステム（図示せず）により、それらのチャネルについてエンタングルメント演算Ｊを実施することができる。
【００４７】
本書で総称的にステーション430と称する場合もあるステーション430-1〜430-nの各々により、割り当てられたプレイヤーが、（ｎ−1）個の別個のユニタリ演算を選択し、その演算をそれぞれ該プレイヤーに対応する（ｎ−1）個のキュービットに適用することが可能となる。各ステーション430は、図２のプレイヤーステーション230に関して上述した構造の（ｎ−1）個の複製を用いて実施することができ、この場合、その各複製は、ステーション430に割り当てられた（ｎ−1）個のキュービットのうちの１つを操作するものとなる。
【００４８】
光ファイバネットワーク440は、ステーション430において操作された状態を有する光子を、結果判定システム450に送信する。結果判定システムは、結合演算Ｊ'を実行するシステム452と、プレイヤーのキュービットを表す様々な状態に対応する光子の相対的な強度を測定する検出器とを備える。測定された強度及び所定の判定規則に基づいて、システム450は、各プレイヤーにゲームの結果を割り当てる。システム450で実施される貢献規則は、図３に関して上述した規則と概ね同じものとすることができるが、システム400で測定されたより多くの数のキュービットに基づくものとすることもできる。
【００４９】
システム400は、ゲームを実施するために必要とされるキュービットの数が、システム300とは異なる。図３のシステム300は、Ｎ個のエンタングルド・キュービット対、すなわち２Ｎ個のキュービットを必要とし、一方、図４のシステム400は、ｎ（ｎ−１）／２個のエンタングルド・キュービット対、すなわちｎ（ｎ−１）個のキュービットを必要とする。プレイヤーの数ｎが大きい場合、システム300の方が、キュービットを生成、伝搬、操作、及び測定するのに少ない数のキュービット及び小規模のハードウエアしか必要としない。システム300におけるエンタングルメントの数が少なくなると、プレイヤーが利用することができる演算／戦略が制限されるが、それでも公共財ゲーム等のゲームを効率的に解決できるすることが可能である。
【００５０】
図４のシステム400に必要とされるエンタングルド光子対の数を減らすための１つの方法は、各チャネル418において、エンタングルしている確率ｐ及び分離可能な状態にある確率（1−ｐ）を有する光子対を用いることである。どの対が実際にエンタングルしているかはプレイヤーには教えられない。全てのｎ（ｎ−１）／２のプレイヤー対の中で、エンタングルド対の予想される数はＯ（ｐｎ2）程度である。確率ｐをlog（ｎ）／ｎになるように選択することにより、エンタングルド対の数がＯ（ｎlogｎ）程度まで減るが、それでも（経済効率に関して）高い予想性能が保持される。L. Zhang及びT. Hogg著「Reduced Entanglement for Quantum Games」（Intl. J. of Quantum Information (IJQI) 1(3) 321-335 (Sept. 2003)は、少ない数のエンタングルド対を用いることを更に記述している。
【００５１】
エンタングルド量子状態の具体的な選択、許容されるプレイヤー選択の演算、及び最終的な量子状態を確定的なプレイヤー選択へと変換するための規則は、同等の古典的なゲームよりも効率的に経済的な資源を割り当てるゲームを提供することができる。Chen他著「A Quantum Treatment of Public Goods Economics」（Quantum Information Processing 1(6):449-469 (December 2002)）は、公共財ゲームに適用されるときに、いずれの量子ゲーム構成も理論的に効率の良い経済レベルに近い結果を提供することを示している。一般に、上述の量子ゲームは、幾つかの混合型戦略平衡を有し、各プレイヤーに同じ報酬を与えるものとなる。この報酬は一般に、従来のゲームに見られる（全てのプレイヤーが離脱する場合の）報酬と、理想的な効率の良い（全てのプレイヤーが協力する場合の）報酬との間となる。
【００５２】
本発明の別の態様によれば、ペアワイズ・エンタングルメントを用いた量子ゲームは、古典的なコンピューティングシステムを用いて実際に実施し又はシミュレートすることができる。かかる古典的な実施態様は、量子システムを用いて達成することができるセキュリティ保証を幾分か欠くが、量子的な実施態様と同じ理論的な挙動を有するものである。
【００５３】
上述のように、初期の状態Ｖ及び最終的な状態ΣsΨs｜ｓ＞は、積状態｜ｓ１＞×...×｜ｓn＞の一次結合である。各状態｜ｓk＞が２つの基底状態を有するゲームでは、各状態Ｖ及びΨsは、２n個の成分を有する状態ベクトルとして数学的に表すことができ、演算（例えば、Ｊ,Ｕ1,...,Ｕn,Ｊ'）は、行列乗算を介して状態ベクトルに作用する２n×２n行列によって表すことができる。したがって、量子ゲームをシミュレートする一般的な事例において必要とされる処理能力は、疎行列技法が用いられる場合であっても、行列乗算のためのプレイヤーの数と共に指数関数的に（例えばＯ（ｎ２n）に）増加する。したがって、一般的なｎ粒子エンタングルド量子ゲームの古典的な一実施態様は、多数のプレイヤーｎを含むゲームの場合には、非現実的なものとなる。
【００５４】
ペアワイズ演算（例えば、Ｊ,Ｕ1,...,Ｕn,Ｊ'）は、より小さな行列を用いて実施することができるので、ペアワイズ・エンタングルドゲームは、古典的なコンピューティングを用いて実際に実施することができる。詳細には、２粒子エンタングルメントに基づく量子代数を採用することにより、各エンタングルド・キュービット対が、他のエンタングルド・キュービット対から独立するようになる。乗算は、２つのエンタングルド・キュービットの数学的表現を得るために必要とされる大きさを有する行列に（すなわち、４×４行列に）制限することができる。
【００５５】
図５は、従来のコンピューティングを用いて、図３又は図４に示されるように実施される量子ゲームをシミュレートするプロセス500のフローチャートである。該量子ゲームは、Ｎ個のエンタングルド・キュービット対を使用する。但し、Ｎは、図３又は図４のそれぞれのゲームの場合にｎ又はｎ（ｎ−１）に等しい。各エンタングルド・キュービット対は、数２に示すように４成分ベクトルとして数学的に表すことができる。更に、各エンタングルド・キュービット対は他のエンタングルド・キュービット対から独立しているので、初期状態ベクトルＪＶは、Ｎ個の４成分ベクトルの積として表すことができる。ただし、各４成分ベクトルは異なるエンタングルド・キュービット対に対応する。プロセス500はステップ510で開始し、初期エンタングルド状態ＪＶの表現が、独立したキュービット対に関連付けられるＮ個の４成分ベクトルの積として構成される。初期の状態は、ゲームの規則が選択される際に構成するための処理能力しか必要としないことになる。その後、初期状態は既知の量になる。
【００５６】
【数２】
2007519094.tif 000006
【００５７】
プロセス500のステップ520で、プレイヤーは、該プレイヤーに割り当てられたキュービットに適用されるユニタリ演算子を選択する。図３のゲームでは、各プレイヤーは、２つの割り当てられたキュービットを有し、プレイヤーｋによって選択された演算Ｕkは、それぞれ単一のキュービットに影響を及ぼす２つのユニタリ演算Ｕk1及びＵk2に分解することができる。図４のゲームでは、各プレイヤーはＮ−１個の割り当てられたキュービットを有し、プレイヤーｋによって選択された演算Ｕkは、それぞれが単一のキュービットに影響を及ぼす、Ｎ−１個のユニタリ演算Ｕk1〜Ｕk（N−1）に分解することができる。
【００５８】
ステップ530は、単一キュービット演算子を、初期の状態ベクトルＪＶの適当な成分の部分に適用する。詳細には、各単一キュービットユニタリ演算子は、単一キュービットユニタリ演算によって影響を及ぼされるキュービットを含むエンタングルド対に関連付けられる４成分状態ベクトルにだけ影響を及ぼす４×４行列として表すことができる。数２のエンタングルド・キュービット状態ベクトルの場合、演算子行列は、その演算子がエンタングルド対内の第１のキュービットを変化させるか、第２のキュービットを変化させるかに応じて、数３又は数４の形を有する。数３及び数４では、角度φ、θ、及びαは、ステップ520でプレイヤーにより選択された値を有する。
【００５９】
【数３】
2007519094.tif 000007
【００６０】
【数４】
2007519094.tif 000008
【００６１】
各エンタングルド・キュービット対は、その対内の第１のキュービットを変化させる第１のユニタリ演算、及びその対内の第２のキュービットを変化させる第２のユニタリ演算にかけられる。したがって、従来のコンピュータで実施されるときのステップ530は、４×４行列に４成分ベクトルを２Ｎ回乗算する必要がある。このため、必要とされる乗算の回数はＯ（Ｎ）となる。より具体的には、乗算の回数は、エンタングルしているキュービットの確率が１又は（logｎ）／ｎであるとき、図３のゲームの場合にはＯ（ｎ）となり、図４のゲームの場合にはＯ（ｎ2）又はＯ（ｎlogｎ）となる。こうして、シミュレーションの複雑な計算が、必要とされる乗算回数が指数関数的に増加する（すなわち、Ｏ（ｎ２n））ｎキュービットエンタングルド量子ゲームよりも、はるかに緩和される。
【００６２】
ステップ540は、ステップ530で演算子を適用した後の４Ｎ成分の最終的な状態ベクトルを評価し、任意の所望の結合演算Ｊ'及び任意の所望の規則を実施して、プレイヤーのための結果を決定することができる。
【００６３】
本発明は特定の実施形態を参照しながら説明されてきたが、その説明は本発明の応用形態の一例にすぎず、制限するものと解釈されるべきではない。開示される実施形態の特徴の様々な適合及び組み合わせが、添付の特許請求の範囲によって規定されるような本発明の範囲内にある。
【図面の簡単な説明】
【００６４】
【図１】本発明の一実施形態による量子ゲームのフローチャートである。
【図２】本発明の一実施形態による２人のプレイヤー用の量子ゲームを実施するシステムのブロック図である。
【図３】隣接するプレイヤーのためのペアワイズ・エンタングルド状態を用いた、本発明の一実施形態によるｎ人のプレイヤー用の量子ゲームを実施するシステムのブロック図である。
【図４】本発明の一実施形態によるペアワイズ・エンタングルド状態を用いた、本発明の一実施形態によって実施されるｎ人のプレイヤー用の量子ゲームを実施するシステムのブロック図である。
【図５】古典的なコンピュータで実施するのに適した本発明の一実施形態による量子ゲームのシミュレーションのフローチャートである。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【国際調査報告】
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