(57)【要約】【課題】誘電体内部の誘電作用の伝達特性を求めて、誘電体の比誘電率を評価する。【解決手段】解析対象誘電体のパラメータを入力手段１から入力して、パラメータ記憶手段２に保持する。パラメータに基づいて、誘電作用に関する伝達特性指標Ｕ*を、誘電Ｕ*計算手段３で有限要素法により計算する。伝達特性指標Ｕ*から誘電作用伝達特性を、伝達特性計算手段４で求める。誘電作用伝達特性を解析して、表現手段５で比誘電率を評価して表現データを作成し、出力手段６で映像表示する。所望の比誘電率の構造が求まるまで、評価を高める方向にパラメータを変更して計算する。静電場における伝達特性指標Ｕ*を用いることで、はじめて、静電誘導の程度や誘電作用の伝達特性を表現できる。これにより、低誘電率のLSI層間絶縁膜を設計できる。【選択図】図１
2011043982.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
伝達特性指標Ｕ*を誘電体に適用して、誘電体構造の比誘電率を求める数値解析装置であって、解析対象誘電体の構造と特性に関するパラメータを保持する記憶手段と、前記パラメータに基づいて前記解析対象誘電体の誘電作用に関する伝達特性指標Ｕ*を有限要素法により計算する有限要素法計算手段と、前記誘電作用に関する伝達特性指標Ｕ*から誘電作用伝達特性を求める誘電作用伝達特性計算手段と、前記誘電作用伝達特性を解析して比誘電率を評価して表示データを作成する表現手段と、前記表示データを映像化する出力手段とを具備することを特徴とする数値解析装置。
【請求項２】
伝達特性指標Ｕ*を対象物体に適用して、物体構造の熱伝導特性を求める数値解析装置であって、解析対象物体の構造と特性に関するパラメータを保持する記憶手段と、前記パラメータに基づいて前記解析対象物体の熱伝導特性に関する伝達特性指標Ｕ*を有限要素法により計算する有限要素法計算手段と、前記熱伝導特性に関する伝達特性指標Ｕ*から熱伝達特性を求める熱伝達特性計算手段と、前記熱伝達特性を解析して熱伝導特性を評価して表示データを作成する表現手段と、前記表示データを映像化する出力手段とを具備することを特徴とする数値解析装置。
【請求項３】
伝達特性指標Ｕ*を対象物体に適用して、物体構造の拡散特性を求める数値解析装置であって、解析対象物体の構造と特性に関するパラメータを保持する記憶手段と、前記パラメータに基づいて拡散特性に関する伝達特性指標Ｕ*を有限要素法により計算する有限要素法計算手段と、前記拡散特性に関する伝達特性指標Ｕ*から拡散特性を求める拡散特性計算手段と、前記拡散特性を解析して拡散特性を評価して表示データを作成する表現手段と、前記表示データを映像化する出力手段とを具備することを特徴とする数値解析装置。
【請求項４】
伝達特性指標Ｕ*を対象物体に適用して、物体構造の静磁場特性を求める数値解析装置であって、解析対象物体の構造と特性に関するパラメータを保持する記憶手段と、前記パラメータに基づいて静磁場特性に関する伝達特性指標Ｕ*を有限要素法により計算する有限要素法計算手段と、前記静磁場特性に関する伝達特性指標Ｕ*から静磁場特性を求める静磁場特性計算手段と、前記静磁場特性を解析して静磁場特性を評価して表示データを作成する表現手段と、前記表示データを映像化する出力手段とを具備することを特徴とする数値解析装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、数値解析装置に関し、特に、伝達特性指標Ｕ*を誘電体に適用し、誘電体の誘電特性を解析して比誘電率を求める数値解析装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
近年、CPUなどの半導体集積回路の高密度化に伴い、配線の微細化が進んでいる。配線の微細化に伴って配線抵抗や浮遊容量が増大して、ＲＣ遅延などの問題が顕著となり、集積回路の高速化への大きな足かせとなっている。これを防ぐために、配線の低抵抗化と配線層間絶縁膜の低誘電率（Low-k）化が進められている。国際半導体技術ロードマップの2010年目標では、層間絶縁膜の比誘電率を2.1〜2.4まで下げることを目指している。
【０００３】
層間絶縁膜の低誘電率化の方法としては、絶縁膜材料自体の誘電率を下げる方法と、層間絶縁膜に空孔を導入する方法がある。しかし、空孔を導入すると層間絶縁膜の機械的強度が著しく低下する。機械的強度が低下すると、CMP（Chemical Mechanical Polishing）プロセス中に、層間絶縁膜が破壊されたり剥離したりする。空孔導入による低誘電率化と機械的特性の低下はトレードオフの関係にあるので、空孔導入による低誘電率化と機械的特性への影響を明らかにして、バランスの取れた層間絶縁膜の構造設計を行う必要がある。
【０００４】
従来、誘電体の電気的特性を解析または設計する場合には、等電位面を求める方法で分極の状態などを計算している。誘電体の機械的特性を解析または設計する場合には、応力を計算する方法で力の伝達状態を求めている。しかし、これらの方法では、最適な構造を決定することは必ずしも容易ではない。そこで、本発明者らは、特許文献１などで、構造物内部における荷重伝達特性を表す伝達特性指標Ｕ*を提案した。この伝達特性指標Ｕ*を用いることで、荷重伝達を考慮した最適な構造設計を容易に行うことができる。さらに、それを改良した指標を、特許文献２などで提案した。
【０００５】
特許文献１に開示された「荷重伝達経路法に基づく数値構造解析装置」は、計算時間を大幅に短縮した数値構造解析装置である。解析対象構造物の支持点を固定し、特定負荷点に荷重をかけるようにパラメータを設定する。剛性行列保持手段の全体剛性行列に基づいて、有限要素法計算手段で、解析対象構造物の変形を計算して各点の変位量などの基本データを求める。特定負荷点と支持点を固定して、変化負荷点に３通りの検査荷重を与え、それぞれの変形を有限要素法計算手段で計算して変位量を求める。部分剛性行列計算手段で、解析対象構造物の内部剛性行列と荷重値と変位量に基づく多元連立一次方程式を解き、部分剛性行列を求める。剛性指標計算手段で、部分剛性行列と基本データの変位量などから剛性指標の値を計算する。解析対象構造物の必要なすべての点を順次たどるように、変化負荷点を変更して各点の剛性指標の値を計算する。
【０００６】
特許文献２に開示された「構造解析数値計算装置」は、構造物に分布荷重がかけられる場合でも、荷重伝達経路が計算できるものである。構造内部の点を固定しないで荷重をかけた時の相補ひずみエネルギーＵと、構造内部の１点を固定して荷重をかけた時の相補ひずみエネルギーＵ'の比から、各点におけるＵ**値を求める。実際の計算では、Ｕと、負荷点Ａと構造内部の１点Ｃとに関する撓み性行列ＣACと、点Ｃに関する撓み性行列の逆行列ＣCC-1と、負荷点Ａの荷重ｐAとから、点Ｃにおける指標Ｕ**の値(ＣACＣCC-1ＣCAｐA・ｐA/(２Ｕ))を算出する。または、ＵとＣCC-1と点Ｃの変位ｄCから、点Ｃにおける指標Ｕ**の値(ｄC・ＣCC-1ｄC/(２Ｕ))を算出する。
【０００７】
荷重伝達経路を表す伝達特性指標Ｕ*について、簡単に説明する。詳細については、特許文献１、２を参照されたい。図９(ａ)に示す模式的構造において、負荷点をＡとし、支持点をＢとし、構造物内部の任意の点をＣとする。図９(ｂ)は、同じ構造物において、任意点Ｃを拘束した場合である。図９(ａ)、(ｂ)において、ともに負荷点Ａに同一の強制変位ｄAを与える。このとき、点Ｃを拘束しない時の強制変位ｄAがする仕事をＵとし、点Ｃを拘束した時の強制変位ｄAがする仕事をＵ'とする。このとき、次の量を点Ｃにおける伝達特性指標Ｕ*と定義する。
Ｕ*≡１−(Ｕ／Ｕ')
負荷点Ａと任意点Ｃの結合が剛である程、点Ｃを拘束したときに必要な仕事Ｕ'は大きくなり、伝達特性指標Ｕ*の値は高い値を示す。そして、構造内部において伝達特性指標Ｕ*は負荷点で最大値１となり、支持点で最小値０となる。
【０００８】
伝達特性指標Ｕ*の持つ物理的意味は、内部剛性の概念を用いて以下のように数式で表現するとわかりやすい。図９において、３点Ａ、Ｂ、Ｃの各点における荷重と変位の関係は、内部剛性を用いると、次のように書ける。
(ｐA,ｐB,ｐC)T＝((ＫAA,ＫBA,ＫCA)T,(ＫAB,ＫBB,ＫCB)T,(ＫAC,ＫBC,ＫCC)T)
・(ｄA,ｄB,ｄC)T
ここで、添え字付きのｐとｄは荷重ベクトルと変位ベクトルであり、Ｋは２点間の結合を表す内部剛性を示す３×３の行列である。()Tは、転置行列である。
【０００９】
伝達特性指標Ｕ*は、次のように表すことができる。
Ｕ*＝(１−２Ｕ／((ＫACｄC)・ｄA))-1
ここで、積の演算にはベクトルおよびテンソルの表記を用いている。記号・は、ベクトルの内積を示す。伝達特性指標Ｕ*は負荷点Ａと任意点Ｃ間の結合の程度を表すＫACに依存しており、伝達特性指標Ｕ*は負荷点Ａと任意点Ｃ間の結合の程度を表している。
【００１０】
構造物内の伝達特性指標Ｕ*の分布を等高線で表現したとき、その稜線に相当する曲線は、負荷点との結合の強い部分を順次結んだ線に相当している。力は剛性の高い部分をたどって伝達されるので、荷重はこの稜線を経路として伝達される。伝達特性指標Ｕ*を用いて構造物の良否を評価できる。次の３条件を満たす構造が良い構造である。
（１）伝達特性指標Ｕ*の分布の一様性：経路上の伝達特性指標Ｕ*の曲線が一様に減少し、その変化が直線に近いこと。
（２）伝達特性指標Ｕ*の分布の連続性：経路上の伝達特性指標Ｕ*の曲線における曲率が小さいこと。一様性は、伝達特性指標Ｕ*の曲線の１階微係数に関する特性である。連続性は、伝達特性指標Ｕ*の曲線の２階微係数に関する特性である。
（３）伝達特性指標Ｕ*の分布の合致性：負荷点から支持点へ向かう経路と、負荷点と支持点を入れ替えた時に得られる経路が一致すること。
【先行技術文献】
【特許文献】
【００１１】
【特許文献１】国際公開WO2007/052784
【特許文献２】国際公開WO2008/105221
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１２】
しかし、従来の解析方法で誘電体を解析する場合には、次のような問題がある。通常、静電場解析を行い、電位分布を見て構造決定を行うが、電位分布では、静電誘電の程度や誘電作用の経路を表すことができない。誘電体の等電位面を求めて解析すると、実際に電荷の蓄積に寄与している部分とそうでない部分を区別できない場合が生じる。また、誘電体として重要な部分を簡単に判別することができない。そのため、機械的強度を保ちながら誘電率を小さくするように設計することが困難である。
【００１３】
本発明の目的は、上記従来の問題を解決して、誘電体内部の誘電作用の伝達特性を明らかにすることにより、良好な電気的特性をもつLSI層間絶縁膜の構造設計を行うことを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
上記の課題を解決するために、本発明では、伝達特性指標Ｕ*を誘電体に適用して、誘電体構造の比誘電率を求める数値解析装置に、解析対象誘電体の構造と特性に関するパラメータを保持する記憶手段と、パラメータに基づいて解析対象誘電体の誘電作用に関する伝達特性指標Ｕ*を有限要素法により計算する有限要素法計算手段と、誘電作用に関する伝達特性指標Ｕ*から誘電作用伝達特性を求める誘電作用伝達特性計算手段と、誘電作用伝達特性を解析して比誘電率を評価して表示データを作成する表現手段と、表示データを映像化する出力手段とを具備する構成とした。
【発明の効果】
【００１５】
上記のように構成したことにより、静電場における伝達特性指標Ｕ*を用いて、静電誘導の程度や誘電作用の特性を表現でき、所望の電気的特性のLSI層間絶縁膜を設計することに利用できる。
【図面の簡単な説明】
【００１６】
【図１】本発明の実施例における数値解析装置の機能ブロック図と、動作を示す流れ図である。
【図２】誘電体の伝達特性指標の計算原理の説明図である。
【図３】誘電体の誘電作用伝達特性の解析方法の説明図である。
【図４】誘電体の誘電作用伝達特性の評価方法の説明図である。
【図５】誘電体の電位分布と伝達特性指標との違いの比較説明図である。
【図６】誘電体の直列モデルと並列モデルの伝達特性指標の計算例を示す図である。
【図７】本発明の実施例における数値解析装置での最適化の計算例の説明図である。
【図８】本発明の実施例における数値解析装置での熱伝導解析例の説明図である。
【図９】従来の機械的構造の伝達特性指標の説明図である。
【発明を実施するための形態】
【００１７】
以下、本発明を実施するための最良の形態について、図１〜図８を参照しながら詳細に説明する。
【実施例】
【００１８】
本発明の実施例は、伝達特性指標Ｕ*を誘電体に適用して、多孔構造の誘電体内部の誘電作用の伝達特性指標Ｕ*を有限要素法により計算し、伝達特性指標Ｕ*から誘電作用伝達特性を求め、誘電作用伝達特性を解析して比誘電率を評価する数値解析装置である。
【００１９】
図１（ａ）に、数値解析装置の機能ブロック図を示す。図１（ｂ）に、数値解析装置の処理手順の流れ図を示す。図１において、入力手段１は、キーボードなどのデータ入力手段である。パラメータ記憶手段２は、解析対象物の構造データなどを記憶しておくメモリである。誘電Ｕ*計算手段３は、静電的な伝達特性指標を計算する手段である。伝達特性計算手段４は、伝達特性指標から伝達特性を計算する手段である。表現手段５は、伝達特性を解析して、静電的な特性を評価してグラフィック表現するデータを作成する手段である。出力手段６は、評価結果を出力する手段である。
【００２０】
図２に、誘電体の伝達特性指標Ｕ*を計算する原理の説明図を示す。図３と図４に、誘電作用伝達特性を解析して評価する方法の説明図を示す。図５に、電位分布と伝達特性指標Ｕ*の比較説明図を示す。図６に、誘電体の直列モデルと並列モデルの計算例を示す。図７に、誘電体の最適化の例を示す。
【００２１】
上記のように構成された本発明の実施例における数値解析装置の機能と動作を説明する。最初に、図１を参照しながら、数値解析装置の機能の概要を説明する。伝達特性指標Ｕ*を誘電体に適用して、数値解析装置で、誘電体構造の比誘電率を求める。まず、解析対象誘電体の構造と特性に関するパラメータを入力手段１から入力して、パラメータ記憶手段２に保持する。そのパラメータに基づいて、多孔構造の解析対象誘電体の誘電作用に関する伝達特性指標Ｕ*を、誘電Ｕ*計算手段３で有限要素法により計算する。静電場の伝達特性指標Ｕ*は、電圧印加点と任意の注目点との間における静電誘導の程度（誘電作用の程度）を表すものである。
【００２２】
誘電作用に関する伝達特性指標Ｕ*から誘電作用伝達特性を、伝達特性計算手段４で求める。誘電作用伝達特性を解析して、表現手段５で比誘電率を評価してグラフィックデータを作成する。評価結果を出力手段６で映像表示する。伝達特性指標Ｕ*の分布のグラフィック表示を見て検討する。静電場の伝達特性指標Ｕ*の分布曲線の稜線を負荷点から支持点までつないだ経路は、印加電圧による誘電作用の伝達特性を表している。所望の比誘電率の構造が求まるまで、評価を高める方向にパラメータを変更して計算する。評価結果に基づいて遺伝的アルゴリズム等の最適化手法を用いて、パラメータを更新し、計算を繰り返して、所望の比誘電率の構造を求めてもよい。
【００２３】
数値解析装置の処理手順を説明する。ステップ１で、パラメータなどの初期値を設定する。入力手段１から必要なデータを入力して、パラメータ記憶手段２に格納しておく。ステップ２で、誘電Ｕ*計算手段３により、静電的構造に関する伝達特性指標Ｕ*を計算する。ステップ３で、伝達特性指標から伝達特性を計算する。ステップ４で、表現手段５により、伝達特性を解析して評価してグラフィック表現するためのデータを作成する。ステップ５で、出力手段８により評価結果を出力する。
【００２４】
次に、図２を参照しながら、伝達特性指標Ｕ*を誘電体に適用する方法を説明する。静電場における支配方程式は、Gauss-Maxwellの式より、次式で表すことができる。
−∇・(ε∇Ｖ)＝ρc・・・（１）
ここで、εは誘電率であり、Ｖは電位であり、ρcは電荷密度である。この式から要素剛性方程式に対応する式を導くと、次のようになる。
{Ｑ}＝[Ｃ]{Ｖ}・・・（２）
ここで、{Ｑ}は電荷を表すベクトルであり、{Ｖ}は電位を表すベクトルであり、[Ｃ]は静電容量を表す行列である。
【００２５】
静電場問題はポテンシャル問題であり、構造問題の場合と同様な扱いができる。図２（ａ）、（ｂ）において、ともに電圧印加点Ａに同一の電位ＶAを与え、支持点（基準点）Ｂを接地する。図２（ａ）に示す点Ｃを接地しない場合におけるＡＢ間の静電エネルギーをＵとする。図２（ｂ）に示す点Ｃを接地した時のＡＢ間の静電エネルギーをＵ'とする。式（３）を用いて、点Ｃにおける静電場の伝達特性指標Ｕ*を定義する。
Ｕ*≡１−(Ｕ/Ｕ')・・・（３）
点Ｃは任意の点である。ただし、点Ｃが点Ａに一致するときは、電圧印加点である点Ａを接地できないので、点ＡにおけるＵ'は無限大として、Ｕ*を１とする。
【００２６】
静電場における伝達特性指標Ｕ*の持つ物理的意味は、誘電体内部の静電容量を用いて表現することで理解できる。すなわち、図２（ａ）、（ｂ）において、３点Ａ、Ｂ、Ｃの各点における電荷と電位の関係は、式（２）より、静電容量を用いて次のように書ける。
(ＱA,ＱB,ＱC)T＝((ＣAA,ＣBA,ＣCA)T,(ＣAB,ＣBB,ＣCB)T,(ＣAC,ＣBC,ＣCC)T)
・(ＶA,ＶB,ＶC)T・・・(４)
【００２７】
また、伝達特性指標Ｕ*の定義式（３）と式（４）より、次のように書き直すことができる。
Ｕ*＝(１−２Ｕ／((ＣACＶC)ＶA))-1・・・(５)
式（５）より明らかなように、伝達特性指標Ｕ*は、誘電体内部の負荷点（電圧印加点）Ａと任意点Ｃとの間の静電誘導の程度を表すＣACに依存している。つまり、伝達特性指標Ｕ*は、誘電体内部の誘電作用の強さを表す指標となっている。誘電体内部の伝達特性指標Ｕ*の分布を等高線で表現したとき、その稜線に相当する曲線は、負荷点（電圧印加点）からの誘電作用が最も強い点を順次結んだ線となる。静電場の伝達特性指標Ｕ*によれば、誘電作用は、この稜線をたどって伝達される。
【００２８】
図２（ｃ）、（ｄ）に、幾何学的構造の伝達特性指標Ｕ*と静電場の伝達特性指標Ｕ*の比較例を示す。モデル内部の矢印は等高線の稜線、つまり荷重および誘電作用を伝達している経路を示している。モデルの中心部分に、縦弾性係数と誘電率が周囲に比べて10倍となるような円形領域を設定している。境界条件は、モデルの上部中央付近を負荷点（図２（ａ）、（ｂ）におけるＡ点）、モデル下部中央付近を支持点（図２（ａ）、（ｂ）におけるＢ点）とした。図２（ｃ）に示すように、幾何学的構造の伝達特性指標Ｕ*から、荷重伝達経路が縦弾性係数の高い中心部分を通っていることがわかる。また、図２（ｄ）に示すように、幾何学的構造の伝達特性指標Ｕ*における荷重伝達経路と同様に、静電場の伝達特性指標Ｕ*から、誘電率の高い中心部分を通って、誘電作用が伝達されていることがわかる。
【００２９】
次に、図３と図４を参照しながら、伝達特性指標Ｕ*から誘電作用伝達特性を解析して誘電体構造を最適化する方法について説明する。最初に、誘電体構造内における伝達特性指標Ｕ*の分布を算出する。電圧印加点からの誘電作用は、伝達特性指標Ｕ*の大きい箇所を伝わる。伝達特性指標Ｕ*の値が大きい箇所を結び、誘電作用伝達経路と定義する。図３（ｃ）の破線で示すように、誘電作用伝達経路上の伝達特性指標Ｕ*が連続的に減少すれば、効率的に誘電作用が働いていることになる。図４（ｂ）に示すように、誘電作用伝達経路と直線とで囲まれた面積をｆ1とする。面積ｆ1は、伝達特性指標Ｕ*の一様性を示す量である。図４（ｃ）に示すように、伝達特性指標Ｕ*の曲率曲線と曲率０の直線とで囲まれた面積をｆ2とする。面積ｆ2は、伝達特性指標Ｕ*の連続性を示す量である。図４（ｄ）に示すように、電圧印加点からの誘電作用伝達経路Ｓ1と、支持点からの誘電作用伝達経路Ｓ2を求め、２つの誘電作用伝達経路で囲まれた領域の面積をｆ3とする。面積ｆ3は、誘電作用伝達経路の合致性を示す量である。
【００３０】
次に、図５を参照しながら、電位分布と伝達特性指標との違いを説明する。図５に示す静電場の伝達特性指標Ｕ*の分布と電位分布との比較からわかるように、電圧印加点からある点に及ぼす誘電作用の程度を、電位分布では適切にとらえられない。静電場の伝達特性指標Ｕ*の分布を調べることで、電圧印加点が任意点に及ぼす誘電作用の程度を適切にとらえることができる。
【００３１】
次に、図６を参照しながら、誘電体の直列モデルと並列モデルの比較について説明する。誘電体の直列モデルは、図６（ａ）に示すように、誘電体を電圧印加方向に直列に重ねたものである。誘電体の並列モデルは、図６（ｂ）に示すように、誘電体を電圧印加方向と並列に重ねたものである。図６に示すように、電位分布では、直列・並列モデルの差がほとんどない。しかし、静電場の伝達特性指標Ｕ*の分布では、直列・並列モデルの違いが明らかに表れている。これは、次のことに起因している。すなわち、静電場の伝達特性指標Ｕ*は、次の式で定義される。
Ｕ*≡１−(Ｕ／Ｕ')
＝(１−２Ｕ／((ＣACＶC)ＶA))-1・・・(５)
【００３２】
この式から明らかなように、伝達特性指標Ｕ*は、任意点Ｃにおける電位ＶCのみではなく、電圧印加点との静電容量ＣACとの積ＣACＶCで表されている。ＣACＶCは、ＡＣ間に貯まる電荷量ＱACを表している。結局、静電場の伝達特性指標Ｕ*は、電圧印加点と任意点との間における電荷のたまりやすさ（誘電作用の程度）を表している。そして、静電場の伝達特性指標Ｕ*の分布の稜線を、電圧印加点から支持点までつないだ経路は、印加電圧による誘電作用の経路（誘電作用の程度の変化の向き）を表している。また、ＣACは構造に依存するため、静電場の伝達特性指標Ｕ*も構造に依存することになる。そのため、最適な構造にするためには、静電場の伝達特性指標Ｕ*を用いた経路解析が不可欠である。
【００３３】
図６に示すように、並列モデルのほうが、比誘電率が大きく、電荷がたまりやすい構造になっている。電荷がたまりやすい並列モデルの誘電作用伝達経路は、なだらかな単調減少の曲線であり、一様性と連続性がよい。電荷がたまりにくい直列モデルの誘電作用伝達経路は複雑であり、一様性と連続性がよくない。誘電作用伝達経路の一様性と連続性を調べることで、静電場構造の良否がわかる。これは電位分布からはわからない。この点は、静電場の伝達特性指標Ｕ*に特有な利点である。
【００３４】
次に、図７を参照しながら、遺伝的アルゴリズム（GA: Genetic Algorism）を用いて構造を最適化した例を説明する。この例では、遺伝的アルゴリズムを用いて、空孔を有する誘電体板の空孔配置の構造最適化を、自動的に行う。目的関数は、静電容量を最小化することか、静電容量を最大化することである。制約条件は次の通りである。設計空間（100×100）の外周には要素が存在する。空孔率を25%とする。結果を図７に示す。静電容量最大化モデルの誘電作用伝達経路は、単調減少の曲線であり、一様性と連続性がよい。一方、静電容量最小化モデルの誘電作用伝達経路は複雑であり、一様性と連続性がよくない。誘電作用伝達経路の一様性と連続性がよければ、電荷を蓄積しやすい構造となる。
【００３５】
目的関数として、例えば、次のような線形結合の関数Ｆを定義する。
Ｆ＝α1ｆ1＋α2ｆ2＋α3ｆ3・・・(６)
コンデンサなどの誘電体を考える場合は、目的関数Ｆが最小となるように構造を最適化する。一方、絶縁膜のような場合には、目的関数Ｆが最大となるように構造を最適化する。最適化の方法としては、遺伝的アルゴリズム（GA）や位相最適化法などの周知の方法のいずれか適当な方法を用いることができる。
評価を高める方向にパラメータを変更する手段であれば、どのようなものでもよい。
【００３６】
次に、図８を参照しながら、伝達特性指標Ｕ*を熱伝導の解析に適用する方法を説明する。図８に、熱伝導の解析例を示す。機械的構造の伝達特性指標Ｕ*を従来の方法で求める。荷重と変位の関係は、次のように書ける。
(ｐA,ｐB,ｐC)T＝((ＫAA,ＫBA,ＫCA)T,(ＫAB,ＫBB,ＫCB)T,(ＫAC,ＫBC,ＫCC)T)
・(ｄA,ｄB,ｄC)T・・・(７)
ひずみエネルギーは、次のようになる。
Ｕ＝(1/2)ｐA・ｄA
＝(1/2)(ＫAAｄA＋ＫACｄC)・ｄA・・・(８)
Ｕ'＝(1/2)ｐ'A・ｄA
＝(1/2)(ＫAAｄA)・ｄA・・・(９)
Ｕ*≡１−(Ｕ/Ｕ')
＝(１−２Ｕ／((ＫACｄC)・ｄA))-1・・・(10)
【００３７】
熱伝導の伝達特性指標Ｕ*は、次のように求める。温度と熱流束の関係は、次のように書ける。
(ｆA,ｆB,ｆC)T＝((ｋAA,ｋBA,ｋCA)T,(ｋAB,ｋBB,ｋCB)T,(ｋAC,ｋBC,ｋCC)T)
・(ＴA,ＴB,ＴC)T・・・(11)
熱エネルギーは、次のようになる。
Ｕ＝(1/2)ｆAＴA
＝(1/2)(ｋAAＴA＋ｋACＴC)ＴA・・・(12)
Ｕ'＝(1/2)ｆA'ＴA
＝(1/2)(ｋAAＴA)ＴA・・・(13)
Ｕ*≡１−(Ｕ/Ｕ')
＝(１−２Ｕ／((ｋACＴC)ＴA))-1・・・(14)
【００３８】
熱伝導の伝達特性指標Ｕ*は、負荷点（熱源点）と任意点との間の熱伝導率ｋACと、任意点における温度Ｔcの積で定義される。これは、負荷点と任意点との間での熱の伝わりやすさを表している。機械的構造の伝達特性指標Ｕ*と同様に、負荷点から支持点までに熱伝導の伝達特性指標Ｕ*の稜線を結んだ経路は、熱の流れを表している。このように、熱伝導の伝達特性指標Ｕ*は、静電場の伝達特性指標Ｕ*と同様な式で表せるので、図８に示すように、計算結果も全く同じになる。熱伝導場に限らず、拡散場や静磁場等についても同様な定式化ができる。そのため、静電場の伝達特性指標Ｕ*のように、通常の物理量（温度、濃度、磁位等）では表せない流れを表せる。すなわち、負荷点から支持点への温度や濃度や磁位等の流れを表せる。
【００３９】
例えば、伝達特性指標Ｕ*を対象物体に適用して、数値解析装置で物体構造の熱伝導特性を求める。まず、解析対象物体の構造と特性に関するパラメータを保持する。パラメータに基づいて解析対象物体の熱伝導特性に関する伝達特性指標Ｕ*を有限要素法により計算する。熱伝導特性に関する伝達特性指標Ｕ*から熱伝達特性を求める。熱伝達特性を解析して熱伝導特性を評価し、映像データにして表示する。熱伝導特性のみについて計算することで、物体構造の熱伝導特性を求めることができる。他の物理量の場合も同様に解析できる。
【００４０】
上記のように、本発明の実施例では、数値解析装置を、伝達特性指標Ｕ*を誘電体に適用して、多孔構造の誘電体内部の誘電作用の伝達特性指標Ｕ*を有限要素法により計算し、伝達特性指標Ｕ*から誘電作用伝達特性を求め、誘電作用伝達特性を解析して比誘電率を評価する構成としたので、所望の比誘電率の構造が求まるまで、評価を高める方向にパラメータを変更して計算することで、低誘電率のLSI層間絶縁膜を設計できる。
【産業上の利用可能性】
【００４１】
本発明の数値解析装置は、半導体集積回路の多孔質の層間絶縁膜の構造設計を行うための数値解析装置として最適である。熱伝導特性や拡散特性や静磁場特性などについても、同様に解析や構造設計に利用できる。
【符号の説明】
【００４２】
１  入力手段
２  パラメータ記憶手段
３  誘電Ｕ*計算手段
４  伝達特性計算手段
５  表現手段
６  出力手段
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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