(57)【要約】      （修正有）【課題】フョードロフの空間充填立体を実現することができる、従来にない立体パズルを実現すること。【解決手段】一実施形態によると、複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体からなる立体パズルであって、前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、２つの前記第１の凸多面体は第３の凸多面体を形成し、２つの前記第２の凸多面体は第４の凸多面体を形成し、且つ前記第３の凸多面体及び前記第４の凸多面体は、全てのフョードロフの空間充填立体をそれらの内部を充填することによって形成することができることを特徴とするフョードロフの空間充填立体パズルが提供される。【選択図】図１
2011015730.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体からなる立体パズルであって、
前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、
２つの前記第１の凸多面体は第３の凸多面体を形成し、
２つの前記第２の凸多面体は第４の凸多面体を形成し、且つ
前記第３の凸多面体及び前記第４の凸多面体は、全てのフョードロフの空間充填立体をそれらの内部を充填することによって形成することができることを特徴とするフョードロフの空間充填立体パズル。
【請求項２】
前記第３の凸多面体と前記第４の凸多面体は、互いに鏡映体であることを特徴とする請求項１に記載のフョードロフの空間充填立体パズル。
【請求項３】
複数の前記第３の凸多面体は前記第３の凸多面体と相似な凸多面体を形成し、且つ、複数の前記第４の凸多面体は前記第４の凸多面体と相似な凸多面体を形成することを特徴とする請求項１に記載のフョードロフの空間充填立体パズル。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は立体パズルに関する。特に、フョードロフの空間充填立体を実現することができる立体パズルに関する。
【背景技術】
【０００２】
正多面体を何個かの凸多面体に切り分けた正多面体パズルが知られている。この従来の正多面体パズルを構成する凸多面体は、特に規則性や特徴を有するものではなく、そのパズルの難度や複雑性を調整するために適当に切り分けられているのが現状であった。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】実開昭６３−２００８６７号公報
【特許文献２】特開昭５８−０４９１６８号公報
【特許文献３】登録実用新案第３１０７７３９号公報
【特許文献４】国際公開第２００６／０７５６６６号
【特許文献５】特開平０３−１５５８９１号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
本発明は、フョードロフの空間充填立体を実現することができる、従来にない立体パズルを実現することを課題とする。
【課題を解決するための手段】
【０００５】
本発明の一実施形態によると、複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体からなる立体パズルであって、前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、２つの前記第１の凸多面体は第３の凸多面体を形成し、２つの前記第２の凸多面体は第４の凸多面体を形成し、且つ前記第３の凸多面体及び前記第４の凸多面体は、全てのフョードロフの空間充填立体をそれらの内部を充填することによって形成することができることを特徴とするフョードロフの空間充填立体パズルが提供される。
【０００６】
前記フョードロフの空間充填立体パズルは、前記第３の凸多面体と前記第４の凸多面体は、互いに鏡映体であってもよい。
【０００７】
前記フョードロフの空間充填立体パズルは、複数の前記第３の凸多面体は前記第３の凸多面体と相似な凸多面体を形成し、且つ、複数の前記第４の凸多面体は前記第４の凸多面体と相似な凸多面体を形成してもよい。
【発明の効果】
【０００８】
本発明によると、フョードロフの空間充填立体を実現することができる、従来にない立体パズルが提供される。
【図面の簡単な説明】
【０００９】
【図１】（ａ）は四面体１０３及び１０５を示し、（ｂ）はそれらの展開図を示す。
【図２】（ａ）から（ｅ）は５種類のフョードロフの空間充填立体を示し、（ａ）は平行六面体を示し、（ｂ）は菱形十二面体を示し、（ｃ）は斜六角柱を示し、（ｄ）は長菱形十二面体を示し、（ｅ）は切頂八面体を示す図であり、本発明の一実施形態に係る立体パズルの図である。
【図３】（ａ）から（ｅ）は、５種類のフョードロフの空間充填立体の平行移動による積み重ねにより空間が充填される様子を示す模式図である。（ａ）は平行六面体、（ｂ）は菱形十二面体、（ｃ）は斜六角柱、（ｄ）は長菱形十二面体、（ｅ）は切頂八面体による空間充填の様子をそれぞれ示す図である。
【図４】本発明の一実施形態に係るアトムσ１１及びσ’１３の模式図である。
【図５】本発明の一実施形態に係るσ１１及びσ’１３の展開図である。
【図６】（ａ）は単位長さの立方体２００を示し、（ｂ）は立方体２００の切断による２つの三角柱２１０を示す図である。
【図７】（ａ）は三角柱２１０を示し、（ｂ）は三角柱２１０を３つの合同な四面体に切り分けた図である。
【図８】テトラドロンを用いて斜六角柱を構成する図であり、（ａ）はテトラドロン１０３から斜三角柱３１０を形成する様子を示し、（ｂ）は斜三角柱３１０の鏡映体３３０を示し、（ｃ）は斜六角柱３００を示す。
【図９】テトラドロンを用いる菱形十二面体の構成方法を示し、（ａ）テトラドロン１０３及び１０５を示し、（ｂ）は直角四面体４１０を示し、（ｃ）は正四角錐４５０を示す。
【図１０】（ａ）は立方体の各面を正四角錐４５０で覆う様子を示し、（ｂ）は菱形十二面体４００を示す。
【図１１】（ａ）菱形十二面体４００を九面体４９０に分割する様子を示し、（ｂ）は２√２×２√２×√２の直方体を２つの九面体４９０の間に挿入する様子を示し、（ｃ）は長菱形十二面体５００を示す。
【図１２】テトラドロンは、四面体のレプタイルであることを示す図であり、（ａ）は３倍の大きさのテトラドロン１１３を示し、（ｂ）は２倍の大きさの同形のテトラドロン１１１を示し、（ｃ）はテトラドロン１０３を示す。
【図１３】（ａ）は正四角錐６１０を示し、（ｂ）は正四角錐６１０を２つから八面体６００を得る様子を示す図である。
【図１４】（ａ）は八面体６００を示し、（ｂ）は上側の正四角錐６１０の一部を取り除く様子を示し、（ｃ）は切頂八面体７００を示す図である。
【図１５】（ａ）は２つのσ’１３を示し、（ｂ）は、テトラドロン１０３を示す図である。
【図１６】σ’１３を再掲した図である。
【図１７】σ’１３を平面πで切り分ける様子を示した図である。
【図１８】σ’１３を平面πで切り分ける様子を示した図である。
【図１９】σ’１３を平面πで切り分ける様子を示した図である。
【図２０】σ’１３を平面πで切り分ける様子を示した図である。
【図２１】（ａ）は、立方体２００を示す図であり、（ｂ）は、６個の合同な四角錐１２０１に切り分けた図である。
【発明を実施するための形態】
【００１０】
凸多面体において、２つの凸多面体ＰとＱとが同一であるか、またはどちらか一方の凸多面体がもう一方の凸多面体と鏡映の関係にあるとき、凸多面体ＰとＱとは合同であるとする。
【００１１】
非合同である凸多面体Ｐｉが１≦ｉ≦ｎのとき、Π＝｛Ｐ１，Ｐ２，・・・・，Ｐｎ｝とする。Ｐｉに含まれる少なくとも１つの要素Ｐが、凸多面体σの合同な凸多面体が面と面とを接することにより形成されるならば、凸多面体σは、Πのアトムと呼ぶことにする。
【００１２】
また、平行多面体とは、面と面とを接する平行移動体により三次元空間を充填する凸多面体である。ミンコクスキー（Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ）は、一般的なｄ次元の平行多面体について、以下の結論を得ている。
【００１３】
（ミンコクスキーの定理Ａ）
Ｐがｄ次元の平行多面体であるならば、
１）  Ｐは、中心に対して対称である
２）  Ｐの全ての面は、中心に対して対称である
３）  相補的な２つの面上の（ｄ−２）面の何れかに沿ったＰの投影は、平行四辺形か、中心に対して対称な六角形の何れかである。
【００１４】
（ミンコクスキーの定理Ｂ）
ｄ次元の平行多面体Ｐの面の数ｆｄ−１（Ｐ）は、２（２ｄ−１）より大きくなく、ｆｄ−１＝２（２ｄ−１）である平行多面体Ｐが存在する。
【００１５】
ドルビリン（Ｄｏｌｂｉｌｉｎ）は、ミンコフスキーの定理を面と面とを接しない空間充填に拡張した。アレキサンドロフやグルーバーにより論じられた多数の平行多面体の研究もある。
【００１６】
１８９０年にロシアの結晶学者であるエフグラフ  フョードロフは、まさに５つの平行多面体、即ち、図２（ａ）から（ｅ）に示す平行六面体（立方体）、菱形十二面体、斜六角柱（平行六角柱）、長菱形十二面体、切頂八面体、を確立した。これらの平行多面体は、「フョードロフの多面体」又は「フョードロフの空間充填立体」ともいう。図３（ａ）から（ｅ）は、それぞれの平行多面体の空間充填特性を示した図である。
【００１７】
これらの空間充填立体に共通する性質は、どれも１種類の立体で空間を隙き間なく充填する立体であるばかりでなく、それぞれの立体で空間を充填したとき、どの２個の立体も平行移動だけで重ねられるという著しい性質を有することである。
【００１８】
立方体、斜六角柱、菱形十二面体、長菱形十二面体及び切頂八面体の一群をΠとする。本発明者らはΠに含まれる全ての空間充填立体を最小数のアトムで充填できるようにするには、どのようなアトムを採用すればよいかということについて鋭意検討を重ねた。その結果、本発明者らは図４に示すアトムσ１１及びその鏡映体であるσ’１３を用いて、全てのフョードロフ空間充填立体を形成できることを見出した。図５はアトムσ１１及びσ’１３の展開図を示す。これらの詳細は、特願２００８−２６８２２１に開示した。
【００１９】
本発明者らは本願において、σ１１及びσ’１３とは別の形状のアトムの存在の可能性についてさらに検討を行った。以下、本発明者らが全てのフョードロフ空間充填立体をも充填する最小数のアトムについて、新たな構成を見出した経緯について説明する。また、この５種類のフョードロフの空間充填立体を構成する凸多面体を有する立体パズルについて説明する。
【００２０】
（実施形態１）
先の出願においては、図２１（ａ）に示す立方体２００に対し、立方体の中心を通り２本の対辺を含む４つの平面を用い、図２１（ｂ）に示すように６個の合同な四角錐１２０１に切り分けることからアトムを導き出した。
【００２１】
本実施形態のおいては、先の出願とは異なる図６および図７に示す切断方法により、５種類のフョードロフの空間充填立体の集合Πのための、第２のアトム候補としての特別な四面体（テトラへドロン）について説明する。
【００２２】
図６（ａ）に単位長さの立方体２００を再掲する。立方体２００の中心を通り２つの対辺を含む平面によって立方体２００を切ると、２つの合同な三角柱２１０ができる（図６（ｂ））。
【００２３】
頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ及びＦとした三角柱２１０の１つを図７（ａ）に示す。この三角柱２１０を平面ＢＣＤ及びＣＤＥを用いて３つの部分に分割すると、すべての面が直角三角形である３つの合同な四面体（図７（ｂ））を得る。
【００２４】
四面体ＡＢＣＤ１０１とＣＤＥＦ１０５は同一であるのに対して、四面体ＢＣＤＥ１０３は、前述の２つのいずれとも鏡映であり、よって、これらの四面体は合同である。ＡＢＣＤ１０１のような四面体やその鏡映体いずれもテトラドロン（ｔｅｔｒａｄｒｏｎ）と呼ぶことにする。テトラドロンが集合Πのためのもう一つのアトムであることを示すことにする。
【００２５】
５つの平行多面体の集合をΠ＝｛Ｐ１，Ｐ２，・・・，Ｐ５｝とする。そして、Πのアトムは、図１（ａ）に示す四面体である。それらの展開図を図１（ｂ）に示す。
【００２６】
（証明）
立方体の場合は、上述したことから明らかであるから、他の４種類の平行多面体の代表例の構成のみを示す。
【００２７】
合同なテトラドロンの合同なコピーを用いる斜六角柱の構成を図８に示す。まず、同一なテトラドロン１０３を３つ取り、斜三角柱３１０を形成するようにいくつかの面を接着する（図８（ａ））。図８（ｂ）は斜三角柱３１０の鏡映体３３０を示し、先に述べた鏡映体であるテトラドロン１０５の同様な接着によって構成できる。各々の斜三角柱３１０及び３３０を３組接着することで、斜六角柱３００を生じる（図８（ｃ））。
【００２８】
次に、テトラドロンを用いる菱形十二面体の構成方法を示す。図９（ａ）に示すように、一方が他方の鏡映体である、一対のテトラドロン１０３及び１０５を、斜辺が２単位長さの直角二等辺三角形である底面となる単位高さの直角四面体４１０を形成するように結合する（図９（ｂ））。図９（ｃ）に示す正四角錐４５０は、４つの直角四面体４１０を結合することにより得られる。この正四角錐４５０は中心対称で、１単位高さを有する。２×２×２の立方体４７０の各面をこの正四角錐４５０で覆うと、この菱形十二面体４００が形成される（図１０（ａ）及び（ｂ））。
【００２９】
長菱形十二面体は、まず、図１０（ｂ）の菱形十二面体４００を図１１（ａ）に示すような２つの合同な九面体４９０に分割することで構成できる。図１１（ｂ）において、２√２×２√２×√２の直方体５１０を２つの九面体４９０の間に挿入し、図１１（ｃ）に示すような長菱形十二面体５００を得る。ここで、任意の正の整数ｋの２√２×２√２×ｋ√２の直方体を挿入することができること、つまり十二面体は任意の長さに伸長できることに留意する。
【００３０】
テトラドロンは、四面体のレプタイル（ｒｅｐｔｉｌｅ：ｒｅｐｅｔｉｔｉｖｅ  ｔｉｌｅ）であること、つまり、それ自身の形状の繰り返しにより形成されることに留意する。例えば、２つの同一のテトラドロン１０３と３組の鏡映体（１０３及び１０５を３個ずつ）からなる８個のテトラドロンを用いると、もとのテトラドロンの２倍の大きさの同形のテトラドロン１１１を構成できる（図１２（ｂ））。同様に、３倍の大きさのテトラドロン１１３は、９個のテトラドロン１０３と９組の鏡映体（１０３及び１０５を９個ずつ）から構成できる（図１２（ａ））。
【００３１】
この自己複製の特性を用いると、図９（ｃ）に示した正四角錐４５０の３倍の大きさの正四角錐６１０を構成できる。図１３（ａ）及び（ｂ）において、そのような正四角錐６１０を２つ接着することによって、八面体６００を得る。
【００３２】
図１４（ａ）は、テトラドロンから構成された同じ八面体６００を示す。図１４（ｂ）において、上側の正四角錐６１０の一部、頂点から１／３単位を取り除く。そのような切断を各頂点に行うと、図１４（ｃ）の切頂八面体７００を得る。
【００３３】
（実施形態２）（最小のアトム）
先の出願および本願実施形態１において、集合Πの２つの異なるアトム、σ（ペンタドロン）及びテトラドロンを示した。しかし、２つの同一のσ’１３（図１５（ａ））をそれぞれ凧形（隣接する長さの等しい辺の組を２組有し、それぞれの組の辺の長さは互いに異なる四辺形）の面で接着すると、テトラドロン１０３を得る（図１５（ｂ））。言い換えると、テトラドロンは２つの合同な部分に分割できる。アトムがｋ＞＝２のｋ個の合同な部分に分けられなければ、そのアトムを最小のアトムと呼ぶ。この意味で、Πの最小のアトム、つまり、２つ以上の合同な多面体に分割できないアトムを見つけたい。
【００３４】
以下の命題は、ペンタドロンσが２つの合同な部分に分割できないことを示す。
（命題）  ペンタドロンσは２つの合同な部分に分割できない。
【００３５】
（証明）
σを平面πで切り分けることで得られる２つの多面体をαとβとおき、その多角形の断面の辺の数をｋとおく。αとβの面の合計は、７＋ｋ（＝５＋ｋ＋２）、αとβを一致させるために、ｋは３か５の何れかでなければならない。図１６に示すように、σ’１３の頂点をａ’、ｂ’、ｃ’、ｄ’、ｅ’、ｆ’で表す。σ’１３の展開図は図５に示した。
【００３６】
（場合１）
ｋ＝３と仮定する。この場合、αまたはβの何れかは、四面体で、他方は六面体である。よって、この場合は無視できる。
【００３７】
（場合２）
ｋ＝５と仮定する。この場合、αとβはともに六面体であり、平面πの切り分けは、σのすべての面を切断しなければならない。これはπ上にσの頂点がないことを意味する。
【００３８】
αがｅ’を含む多面体とする。σ’１３は、∠ｃ’＝９０°の直角二等辺三角形ｂ’ｃ’ａ’を１つだけ含むことに留意する。平面πの切り分けは、△ｂ’ｃ’ａ’を２つの面にきっちり切断する。πが交差する△ｂ’ｃ’ａ’の辺によって決まる３つの場合にさらに分ける。
【００３９】
（場合２．１）
πが辺ｃ’ａ’とｂ’ａ’に交差すると仮定する。辺ｅ’ｄ’がσ’１３のすべての辺の中で最長の３√２であることに留意する。ここで、２つの本質的に異なる場合があり、一方はαがその辺としてｅ’ｄ’を含む場合（図１７）と、他方はαがｅ’ｄ’を含まない場合（図１８）である。
【００４０】
第１の場合は、βが３√２の長さのいかなる辺も含むことができないことから、αがβと合同ではないことを意味する。したがって、第２の場合を考える。αとβはともに先の切断面と異なる五角形の面を１つ含むことがわかる。αの五角形の面の対角線の１つは、３√２の長さを持つが、βの五角形の面は、３√２の長さのいかなる対角線も含むことができない。
【００４１】
（場合２．２）
πが辺ｂ’ｃ’とｂ’ａ’に交差すると仮定する（図１９）。六面体αは、五角形の面の辺として長さ４の辺ｂ’ｅ’を含むが、βは、その同じ長さの辺の五角形の面を有しない。したがって、αはβと合同ではない。
【００４２】
（場合２．３）
πが辺ｂ’ｃ’とｃ’ａ’に交差すると仮定する（図２０）。△ｃ’ｅ’ｆ’と△ｅ’ｄ’ｆ’が、σの表面に持つことができ、その頂点がσの頂点であるすべての直角三角形に最大面積３√２を有することに留意する。この場合、αがその表面に△ｃ’ｅ’ｆ’を含むが、△ｅ’ｄ’ｆ’がπで切断されるので、βが同じ領域に直角三角形を有しないことに留意する。証明終了。
【００４３】
以下の推察を提起する。
（推察）  σ（ペンタドロン）が最小のアトムである。
【００４４】
（実施形態３）
実施形態３においては、先の実施形態で述べたσの形状のピースを用いたフョードロフの空間充填立体の形状をした立体パズルの形成とは別の組合せ、つまり、平行多面体の集合のための第２のアトムとしてテトラドロンを示し、テトラドロンが２個のσ’により形成されることを述べた実施形態２に基づく組合せについて述べる。
【００４５】
なお、本実施形態３に係る本発明の立体パズルを構成する各ピースの組み合わせは、以下に示す例に限定されるわけではない。
【００４６】
（立方体の立体パズル）
本実施形態３に係る本発明の立方体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおり、例えばテトラドロン１０３の形状のピースが４個とその鏡映体１０５の形状のピースが２個で形成される。つまり、アトムσ１１の形状をしたピース８個及びアトムσ１１の鏡映体σ’１３の形状をしたピース４個を用いて構成することができる。
【００４７】
また、本実施形態３に係る本発明の立方体の立体パズルは、テトラドロンの鏡映の関係から、テトラドロン１０３の形状のピースが２個とその鏡映体１０５の形状のピースが４個で形成することもできる。つまり、アトムσ１１の形状をしたピース４個及びアトムσ１１の鏡映体σ’１３の形状をしたピース８個を用いて構成することもできる。
【００４８】
（斜六角柱の立体パズル）
本実施形態３に係る本発明の斜六角柱の立体パズルは、上で詳細に説明したとおり、例えばテトラドロン１０３の形状のピースが９個とその鏡映体１０５の形状のピースが９個で形成される。つまり、アトムσ１１の形状をしたピース１８個及びアトムσ１１の鏡映体σ’１３の形状をしたピース１８個を用いて構成することができる。
【００４９】
（切頂八面体の立体パズル）
本実施形態３に係る本発明の切頂八面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおり、例えばテトラドロン１０３の形状のピースが１９２個とその鏡映体１０５の形状のピースが１９２個で形成される。つまり、アトムσ１１の形状をしたピース３８４個及びアトムσ１１の鏡映体σ’１３の形状をしたピース３８４個を用いて構成することができる。
【００５０】
（菱形十二面体の立体パズル）
本実施形態３に係る本発明の菱形十二面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおり、例えばテトラドロン１０３の形状のピースが５６個とその鏡映体１０５の形状のピースが４０個で形成される。つまり、アトムσ１１の形状をしたピース１１２個及びアトムσ１１の鏡映体σ’１３の形状をしたピース８０個を用いて構成することができる。
【００５１】
ところで、上述したように、菱形十二面体は２×２×２の立方体を内包する。また、上述したように、立方体の立体パズルの組合せが複数存在することから、本実施形態３に係る本発明の菱形十二面体の立体パズルをテトラドロン１０３の形状のピース及びその鏡映体１０５の形状のピースで形成する組合せも複数存在する。つまり、菱形十二面体の立体パズルを形成するために必要なアトムσ１１の形状をしたピース及びアトムσ１１の鏡映体σ’１３の形状をしたピースの数もテトラドロン１０３の形状のピース及びその鏡映体１０５の形状のピースの数にしたがって、変更される。
【００５２】
（長菱形十二面体の立体パズル）
本実施形態３に係る本発明の長菱形十二面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおり、例えばテトラドロン１０３の形状のピースが８０個とその鏡映体１０５の形状のピースが６４個で形成される。つまり、アトムσ１１の形状をしたピース１６０個及びアトムσ１１の鏡映体σ’１３の形状をしたピース１２８個を用いて構成することができる。
【００５３】
ところで、上述したように、本実施形態３に係る本発明の長菱形十二面体は、２×２×２の立方体を内包する菱形十二面体を用いて形成され、且つ、２√２×２√２×√２の直方体を内包する。また、任意の正の整数ｋの２√２×２√２×ｋ√２の直方体を挿入することができること、つまり十二面体は任意の長さに伸長できることから、テトラドロン１０３の形状のピース及びその鏡映体１０５の形状のピースで本実施形態３に係る本発明の長菱形十二面体を形成する組合せも複数存在する。つまり、本実施形態３に係る本発明の長菱形十二面体の立体パズルを形成するために必要なアトムσ１１の形状をしたピース及びアトムσ１１の鏡映体σ’１３の形状をしたピースの数もテトラドロン１０３の形状のピース及びその鏡映体１０５の形状のピースの数にしたがって、変更される。
【００５４】
本実施形態３に係る本発明の立体パズルは、平行六面体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体、長菱形十二面体の５種類からなるフョードロフの空間充填立体の形状をした立体パズルを、テトラドロンとその鏡映体の概念を導入することによって、アトムσ１１の形状をしたピース及びその鏡映体σ’１３の形状をしたピースから新たな組合せによって組み立てることができる。よって、上記定理２を視覚的に説明することができるとともに、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
【００５５】
また、本発明に係る立体パズルにおいて、四面体であるテトラドロンは五面体であるアトムσに対して、より単純な形状を有し、５種類のフョードロフの空間充填立体のすべてを形成する第２のアトムとして、アトムσと数学的に比較することのできる教育用教材としても優れている。
【符号の説明】
【００５６】
１１      σ
１３      σ’
１０１    テトラドロン
１０３    テトラドロン
１０５    テトラドロン
１１１    ２倍のテトラドロン
１１３    ３倍のテトラドロン
２００    立方体
２１０    三角柱
３００    斜六角柱
３１０    斜三角柱
３３０    斜三角柱の鏡映体
４００    菱形十二面体
４１０    直角四面体
４５０    正四角錐
４７０    ２単位長さの立方体
４９０    九面体
５００    長菱形十二面体
５１０    直方体
６００    八面体
６１０    正四角錐
７００    切頂八面体
１２０１  四角錐 
【図１】
2011015730.tif 000003
【図２】
2011015730.tif 000004
【図３】
2011015730.tif 000005
【図４】
2011015730.tif 000006
【図５】
2011015730.tif 000007
【図６】
2011015730.tif 000008
【図７】
2011015730.tif 000009
【図８】
2011015730.tif 000010
【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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