(57)【要約】      （修正有）【課題】有限のダイナミック・レンジをもつ固定小数点演算を用いて実装する場合に、ノイズの分散が小さくなっても安定して動作するような復号手法（近似的復号手法）を実現。【解決手段】（ＬＤＰＣ又はターボ）符号についてsum-product復号法（ビリーフプロパゲーション法）を用いる計算を、コンピュータに実行させる。入力から対数外部値比の更新式を計算するにあたって、この更新式が式の変形によって複数の項の和（の組合せ）として表現されて、通信路ノイズの分散が対数に対して乗算する係数（スケール・ファクター）になる項として、複数項の和を構成している他の項とは分離した項になるように、変数変換（スケール変換）した（分離）修正項を準備する。推定された通信路ノイズの分散を入力として、この（分離）修正項を、有限の数のビット列上の固定小数点に基づいてコンピュータに（反復）計算できるように、簡単な関数によって近似する。【選択図】図１
2011129981.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
（ＬＤＰＣ又はターボ）符号を復号するプロセスの一部として、ビリーフプロパゲーション法を用いる計算についての各ステップを、コンピュータに実行させる方法であって、
ビリーフプロパゲーション法における対数外部値比の更新式を計算するにあたって、この更新式が式の変形によって複数の項の和（の組合せ）として表現されて、通信路ノイズの分散が対数（ｌｏｇ）に対して乗算する係数（スケール・ファクター）になる項として、複数項の和を構成している他の項とは分離した項になるように、変数変換（スケール変換）した（分離）修正項を準備するステップと、
推定された通信路ノイズの分散を入力として、この（分離）修正項を、有限の数のビット列上の固定小数点（ｍ，ｆ：ｍはビットの総数、ｆは小数点以下に割り当てるビットの数）に基づいてコンピュータに（反復）計算できるように、簡単な関数によって近似するステップと、
を有する、
方法。
【請求項２】
（ＬＤＰＣ又はターボ）符号を復号するプロセスの一部として、ビリーフプロパゲーション法を用いる計算についての各ステップを、コンピュータに実行させる方法であって、
ビリーフプロパゲーション法における対数外部値比の更新式を（反復）計算するにあたって、この更新式を変数変換（スケール変換）した（分離）修正項を準備して、この更新式におけるαの更新部が、本来の入力としてのチャネル出力の対数尤度比を入力とするのではなく、チャネル出力を直接入力とするように構成するステップと、
推定された通信路ノイズの分散を入力として、この（分離）修正項を、有限の数のビット列上の固定小数点（ｍ，ｆ：ｍはビットの総数、ｆは小数点以下に割り当てるビットの数）に基づいてコンピュータに（反復）計算できるように、簡単な関数によって近似するステップと、
を有する、
方法。
【請求項３】
通信路ノイズが、AWGN(additivewhite Gaussian noise)であって、通信路ノイズの分散がσの２乗である、
請求項１または２に記載の方法。
【請求項４】
簡単な関数が、区分線形関数または階段関数である、
請求項１または２に記載の方法。
【請求項５】
チャネル出力から、通信路上のＳＮ比を入力として、通信路上のノイズの分散（AWGN(additive white Gaussian noise)の場合は、σの二乗）を推定するステップと、
固定小数点のビット列に基づいて、硬判定によって最適なビット列を推定するステップと、
推定された最適なビット列に基づいて、復号された結果を出力するステップと、
をさらに有する、
請求項１または２に記載の方法。
【請求項６】
（ＬＤＰＣ又はターボ）符号を復号するプロセスの一部として、ビリーフプロパゲーション法を用いる計算を実行するシステムであって、
ビリーフプロパゲーション法における対数外部値比の更新式を計算するにあたって、この更新式が式の変形によって複数の項の和（の組合せ）として表現されて、通信路ノイズの分散が対数（ｌｏｇ）に対して乗算する係数（スケール・ファクター）になる項として、複数項の和を構成している他の項とは分離した項になるように、変数変換（スケール変換）した（分離）修正項が準備されて構成された手段と、
推定された通信路ノイズの分散を入力として、この（分離）修正項を、簡単な関数によって近似して、有限の数のビット列上の固定小数点（ｍ，ｆ：ｍはビットの総数、ｆは小数点以下に割り当てるビットの数）に基づいて（反復）計算する、
システム。
【請求項７】
（ＬＤＰＣ又はターボ）符号を復号するプロセスの一部として、ビリーフプロパゲーション法を用いる計算を実行するシステムであって、
ビリーフプロパゲーション法における対数外部値比の更新式を（反復）計算するにあたって、この更新式を変数変換（スケール変換）した（分離）修正項を準備して、この更新式におけるαの更新部が、本来の入力としてのチャネル出力の対数尤度比を入力とするのではなく、チャネル出力を直接入力とするように構成された手段と、
推定された通信路ノイズの分散を入力として、この（分離）修正項を、簡単な関数によって近似して、有限の数のビット列上の固定小数点（ｍ，ｆ：ｍはビットの総数、ｆは小数点以下に割り当てるビットの数）に基づいて（反復）計算する、
システム。
【請求項８】
チャネル出力から、通信路上のＳＮ比を入力として、通信路上のノイズの分散（AWGN(additive white Gaussian noise)の場合は、σの二乗）を推定する手段と、
固定小数点のビット列に基づいて、硬判定によって最適なビット列を推定する手段と、
推定された最適なビット列に基づいて、復号された結果を出力する手段と、
をさらに有する、
請求項６または７に記載のシステム。
【請求項９】
（ＬＤＰＣ又はターボ）符号を復号するプロセスの一部として、ビリーフプロパゲーション法を用いる計算についての各ステップを、コンピュータに実行させるプログラムであって、
ビリーフプロパゲーション法における対数外部値比の更新式を計算するにあたって、この更新式が式の変形によって複数の項の和（の組合せ）として表現されて、通信路ノイズの分散が対数（ｌｏｇ）に対して乗算する係数（スケール・ファクター）になる項として、複数項の和を構成している他の項とは分離した項になるように、変数変換（スケール変換）した（分離）修正項を準備するステップと、
推定された通信路ノイズの分散を入力として、この（分離）修正項を、有限の数のビット列上の固定小数点（ｍ，ｆ：ｍはビットの総数、ｆは小数点以下に割り当てるビットの数）に基づいてコンピュータに（反復）計算できるように、簡単な関数によって近似するステップと、
を有する、
プログラム。
【請求項１０】
（ＬＤＰＣ又はターボ）符号を復号するプロセスの一部として、ビリーフプロパゲーション法を用いる計算についての各ステップを、コンピュータに実行させるプログラムであって、
ビリーフプロパゲーション法における対数外部値比の更新式を（反復）計算するにあたって、この更新式を変数変換（スケール変換）した（分離）修正項を準備して、この更新式におけるαの更新部が、本来の入力としてのチャネル出力の対数尤度比を入力とするのではなく、チャネル出力を直接入力とするように構成するステップと、
推定された通信路ノイズの分散を入力として、この（分離）修正項を、有限の数のビット列上の固定小数点（ｍ，ｆ：ｍはビットの総数、ｆは小数点以下に割り当てるビットの数）に基づいてコンピュータに（反復）計算できるように、簡単な関数によって近似するステップと、
を有する、
プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、復号に関し、特に（ＬＤＰＣ又はターボ）符号を復号するプロセスの一部として、sum-product復号法（ビリーフプロパゲーション法）を用いる計算、復号器に関する。
【背景技術】
【０００２】
現在、60GHzのミリ波帯で動作し、数Gbpsの通信速度をもつwireless personal area network（WPAN）がIEEE802.15.3cの標準化タスク・グループにおいて活発に議論されている。現在の標準化の規格ではチャネル符号化として４つのLDPC符号LDPC(1440,1340)、 LDPC(672,588)、 LDPC(672,504)、 LDPC(672,336)が規定されている。 LDPC符号を復号するにはsum-product復号法が一般に用いられるが、この復号法においては入力としてn番目の送信ビットのチャネル出力に関する対数尤度比
【数１】
2011129981.tif 000003
を与えなければならない。ここで、ｘn はn番目の送信ビット、ｙn は対応するチャネルの出力情報である。
【０００３】
たとえば、変調方式としてBPSK、 雑音としてAWGN（additive white Gaussian noise, 分散＝σの2乗とする）を仮定した場合、入力対数尤度比は
【数２】
2011129981.tif 000004
となる。ここで、AWGNの分散σの2乗は通信路のSN比をSNR[dB]とするとき、
【数３】
2011129981.tif 000005
で与えられる。
【０００４】
また、通信路が２元対称通信路である場合には
【数４】
2011129981.tif 000006
となる。ここで、誤り確率 p は
【数５】
2011129981.tif 000007
で与えられる。これらの式からわかるとおり、通信路のSN比が大きくなるに従ってノイズ分散は小さくなるために、その結果として入力対数尤度比の平均値、分散はともに大きくなる。
【０００５】
さて、ミリ波帯を用いた非圧縮のHDTV映像転送など高いスループットを要求するアプリケーションにLDPC符号を適用する場合、復号器を固定小数点演算によって実装することが考えられる。この場合、復号器で取り扱える数値の範囲（ダイナミック・レンジ）は有限の範囲に限定されてしまう。そのため，入力対数尤度比が大きくなるとオーバーフローまたはアンダーフローによってエラーフロアを生じ、復号器の性能を著しく損なう。
【０００６】
オーバーフローやアンダーフローを防ぐにはあらかじめダイナミック・レンジを大きくとっておく必要があるが、それは回路規模の増大を招く。また、現実の受信器においては受信信号をAD変換器によって処理し、復号器へ入力する必要があるが、特に高速性を要求する場合には全並列型（フラッシュ型）AD変換器が用いられる。この全並列型AD変換器は入力信号に対し、多数のコンパレータを並べて、全ビットを同時に比較することで高速のAD変換を実現する。しかし、Nビット分のダイナミック・レンジをもつ出力デジタル信号を得るためにはＯ(2のN乗)個のコンパレータを必要とするため、大きな値の入力信号を扱うためには回路規模が大きくなることは避けられない。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００７】
【特許文献１】US Patent7231577, Soft information scaling for iterative decoding.  本発明は、入力対数尤度比のノイズ分散によるスケーリングを考えることによって，オーバーフローやアンダーフローの問題を解決しようとするものである。一方、特許文献１に係る発明は、チャネル出力を適当な定数でスケールさせることにより、復号器の性能向上を図っている。特許文献１に係る発明の要点は、特定の通信路を仮定せず、チャネル出力から計算される通信路容量が与えられた通信路容量に一致するように、capacity estimate equationを解くことによりスケール・ファクターを決定する点にある。しかし、特許文献１に係る発明は、固定小数点での実装を扱っていないので、オーバーフローの問題に適用することはできない。
【非特許文献】
【０００８】
【非特許文献１】X.-Y. Hu, E. Eleftheriou, D-M Arnold,and A. Dholakia, “Efficient Implementations of the Sum-Product Algorithm for DecodingLDPC Codes” , GLOBECOM2001.  本発明では、sum-product復号に対する変形としては、この非特許文献１に記載されている式と同じ式から出発している。しかし、この非特許文献１の手法は入力対数尤度比の値が大きくなった場合に起こりうる、本発明が解決しようとする課題を解決するものではない。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００９】
本発明は以上のような課題のもと、有限のダイナミック・レンジをもつ固定小数点演算を用いて実装する場合に、ノイズの分散が小さくなっても安定して動作するような復号手法（あるいはその近似的復号手法）を実現することを目的とするものである。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
（ＬＤＰＣ又はターボ）符号を復号するプロセスの一部として、ビリーフプロパゲーション法を用いる計算についての各ステップを、コンピュータに実行させる方法であって、
ビリーフプロパゲーション法における対数外部値比の更新式を計算するにあたって、この更新式が式の変形によって複数の項の和（の組合せ）として表現されて、通信路ノイズの分散が対数（ｌｏｇ）に対して乗算する係数（スケール・ファクター）になる項として、複数項の和を構成している他の項とは分離した項になるように、変数変換（スケール変換）した（分離）修正項を準備するステップと、
推定された通信路ノイズの分散を入力として、この（分離）修正項を、有限の数のビット列上の固定小数点（ｍ，ｆ：ｍはビットの総数、ｆは小数点以下に割り当てるビットの数）に基づいてコンピュータに（反復）計算できるように、簡単な関数によって近似するステップと、
を有する方法、が開示される。
【図面の簡単な説明】
【００１１】
【図１】図１は、本発明が実施される復号器（デコーダ）の構成を示す図である。
【図２】図２は、αの更新部、βの更新部、での再帰的な計算を繰り返すsum-product 復号法のアルゴリズムの一例を説明する図である。
【図３】図３は、図２のアルゴリズムをブロックダイアグラムとして表現した図である。
【図４】図４は、異なるσ2（σの２乗）の値に対するｆ（ｘ）の関数形およびその区分線形近似を図示した図である。
【図５】図５は、通信路のＳＮ比が変化した場合の、スケール・ファクターの値σ2（σの２乗））/2をまとめた図である。
【図６】図６は、従来の計算手法と本発明の手法をそれぞれ固定小数点を用いて実装した場合について、その効果をシミュレーションで比較した図である。
【図７】図７は、固定小数点表現として、(m,f)-固定小数点とはトータルのビット数がmであり、そのうちのfビットを小数点以下に割り当てるような固定小数点をあらわす固定小数点をビットに実装することを説明する図である。
【図８】図８は、本発明における計算量を見積もるため，最大反復回数を30回にとったときの各手法の平均反復回数を示す図である。
【図９】図９は、従来手法((5,1)-fixedpoint)のエラー・フロア領域(SNR=5dB)における平均反復回数が最大反復回数によってどのように変化するかを示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１２】
図１は、本発明が実施される復号器（デコーダ）の構成を示す図である。
【００１３】
「分散σ2（σの２乗）の推定部」はチャネル出力からAWGNを仮定した場合の雑音分散を推定する部分である。これには適切な既存手法を使えばよい。
【００１４】
「修正項の計算部」はチャネル出力およびβより修正項を計算する部分であり、本発明の中心となる部分である。（後述するが、数９の下線部もしくはそれを近似した数１２に対応する。）  具体的には、固定小数点で表現されたチャネル出力、分散の推定値、及び変数βの値を入力する入力手段を有する。さらに、数９の修正項の場合には加算器、乗算器、対数・指数関数の演算器からなる演算手段を有し、数１２の修正項の場合には加算器、乗算器のみを有する。そして、これらによる演算結果を出力する出力装置を備える演算装置である。
【００１５】
これらの入力手段、加算器、乗算器、対数・指数関数の演算器からなる演算手段、これらによる演算結果を出力する出力装置は、高速化を追求していくと典型的にはハードウエアとして実装されるであろうが、ソフトウエア（コンピュータ・プログラム）またはハードウエアとソフトウエアとの組合せという柔軟な態様をもって実装することもできる。また、それぞれが単一の手段として、または複合的な機能を含んだ手段、装置、システムとして、実装することもできる。
【００１６】
「αの更新部」はチャネル出力、修正項、βから対数外部値比αの値を更新する部分であり、数９に対応する。具体的には、固定小数点で表示されたチャネル出力、修正項、及び変数βの値を入力する入力手段と加算器、符号判定器、最小値演算器からなる演算手段を有し、数９の演算結果を出力する出力装置を備える演算装置である。
【００１７】
通常のsum-productアルゴリズムではチャネル出力の対数尤度比が「αの更新部」への入力となるが、本発明ではチャネル出力が直接「αの更新部」へ入力される点が異なる。これは本発明においてアルゴリズム全体の雑音分散によるスケーリングを考えたことによるものであり、従来技術の手法において雑音分散が小さくなるにつれ入力対数尤度比が発散するという問題を回避している。
【００１８】
「βの更新部」は対数事前値比βを更新する部分であり、数１３に対応する。
【００１９】
「出力ビットの推定部」はsum-productアルゴリズムを所定の回数だけ繰り返した後に復号器の出力を計算する部分であり、数１４に対応する。
【００２０】
点線で囲われた部分が本発明におけるsum-productアルゴリズムの本体で、この部分を所定の回数だけ繰り返すことになる。また、後述するが、検査ノード数が複数ある場合には、２つの検査ノードに関する計算部である「修正項の計算部」と「αの更新部」を各検査ノードに関して再帰的に繰り返す。
【００２１】
数６は、下記に検査ノードが２つの場合におけるsum-product復号法の対数外部値比の更新式を示す。当業者にはよく知られているものである。
【数６】
2011129981.tif 000008
【００２２】
図２は、αの更新部、βの更新部、での再帰的な計算を繰り返すsum-product 復号法のアルゴリズムの一例を説明する図である。sum-product 復号法はビリーフプロパゲーション法（Belief Propagation (略して、BP) method （確信度伝搬法））に属する。ビリーフプロパゲーション法と原理が同じ復号法として、ターボ符号（Serial Concatenated Convolutional Codes (略して、SCCC)、連接畳込み符号）を復号するためのLog-MAP復号法（またはターボ復号法）がある。これは、LDPC符号を復号するにはsum-product復号法が用いられることに対応する。本発明の復号法はいずれの復号法に対しても広く適用することができる。
【００２３】
図３は、図２のアルゴリズムをブロックダイアグラムとして表現した図である。
【００２４】
数６をコンピュータを用いてデジタル的に計算処理するためには、図２や図３に示すような再帰的な繰返し計算を行なうが、当業者にはよく知られているものである。
【００２５】
、数６は、非特許文献１にあるように、数７のように変形することができる。
【数７】
2011129981.tif 000009
【００２６】
この式において、数８に従って
【数８】
2011129981.tif 000010
という→に従った変数変換（スケール変換）を行なうと数９のようになる。
【数９】
2011129981.tif 000011
【００２７】
数７と数９との違いは、通常のsum-product 復号法における尤度比λn=２ｙn/（σの２乗）の代わりにλn＝ｙnを用いている点にある。
【００２８】
この変数変換（スケール）変換を解説すると、この更新式が  式の変形によって複数の項の和（の組合せ）として表現されて、通信路ノイズの分散（AWGN(additive white Gaussian noise)の場合は、σの２乗）が対数（ｌｏｇ）に対して乗算する係数（スケール・ファクター）になる項として、複数項の和を構成している他の項とは分離した項になるように、変数変換（スケール変換）した（分離）修正項を準備していることになる。
【００２９】
従って、σの２乗が小さくなるにつれて下線部は０に収束するという点が重要であり、ＳＮ比が良くなり、ＡＷＧＮの分散の値が小さくなってもオーバーフローやアンダーフローを起こす恐れがない。
【００３０】
数９をそのまま計算すれば、それは元のsum-product復号法と等価であるが、下線部を施した部分（以下、修正項と呼ぶことにする）を簡単な関数で近似すれば、全体として復号の実装コストを大幅に下げることができる。修正項は
【数１０】
2011129981.tif 000012
と定義すると、
【数１１】
2011129981.tif 000013
と書くことができる。そこで実装上はこのｆ（ｘ）を簡単な関数で近似すればよい。近似の手法としては既存の手法である区分線形近似を用いることができる。たとえば、以下のような区分線形関数で近似すれば、実装上も簡便な近似が得られる。
【数１２】
2011129981.tif 000014
【００３１】
もちろん、本発明はこの区分線形近似の特定の形に依存するものではない。当業者であれば様々な簡単な関数を適用することができる。また、「簡単な関数」という用語は、必ずしも絶対的に簡単であることが本質なのではなく、コンピュータに計算させるための工夫である限りは、広い範囲の関数に適用されるように解釈されるべきである。
【００３２】
図４は、異なるσ2（σの２乗）の値に対するｆ（ｘ）の関数形およびその区分線形近似を図示した図である。実線が修正項であり、点線が区分線形近似のものである。例えば、別の「簡単な関数」による近似法としては、ｆ（ｘ）を階段関数などで近似してもよい。また、検査ノードの数が３以上である場合には、数９を繰り返し用いればよい。
その理由は、演算子Min＊を、Min＊（x1, x2,・・・xn）＝２atanh（tanh（x1/2）tanh（x2/2）・・・tanh（xn/2））と定義すると、これはMin＊（x, y, z）＝Min＊（Min＊(x, y), z）＝Min＊（x, Min＊（y, z））を満たすので、検査ノードの数が３つ以上である場合は、２つの引数のMin＊演算の繰り返しに帰着できるためである。
【００３３】
一方、sum-product復号法における変数ノードでの対数事前値比βの更新式は、単純な和の形
【数１３】
2011129981.tif 000015
をしている。このため、上述の変数のスケール変換によって全く変更を受けない。
【００３４】
また、硬判定によって最終的な推定ビットの値を得る操作
【数１４】
2011129981.tif 000016
もまた線形の計算および正負の判定のみであるので、上述の変数のスケール変換によって変更を受けない。
【００３５】
図５は、通信路のＳＮ比が変化した場合の、スケール・ファクターの値σ2（σの２乗））/2をまとめた図である。
【００３６】
本発明の効果は、通信路のいくつかのSN比に対するスケール・ファクター σ2（σの２乗））/2を記して、まとめることができる。図５からわかるように、スケール・ファクターは復号器が通常動作するSN比の範囲では常に１より小さいため、その分だけ入力対数尤度比の大きさは小さく抑えられることがわかる。
【００３７】
次に、従来の計算手法と本発明の手法をそれぞれ固定小数点を用いて実装した場合について、その効果をシミュレーションで比較してみる。対象とするLDPC符号はLDPC(672,588)である。
【００３８】
図６は、従来の計算手法と本発明の手法をそれぞれ固定小数点を用いて実装した場合について、その効果をシミュレーションで比較した図である。従来手法をそれぞれ，理想的な浮動小数点、 (5,1)-固定小数点、(6,1)-固定小数点でシミュレーションした場合を示している。ここで(m,f)-固定小数点とはトータルのビット数がmであり、そのうちのfビットを小数点以下に割り当てるような固定小数点をあらわす。
【００３９】
図７は、固定小数点表現として、(m,f)-固定小数点とはトータルのビット数がmであり、そのうちのfビットを小数点以下に割り当てるような固定小数点をあらわす固定小数点をビットに実装することを説明する図である。オーバーフロー、アンダーフロー、浮動小数点、ダイナミックレンジ、符号付き／符号なし、の関係が説明される。オーバーフロー／アンダーフローしたときには最大値または最小値で置き換えることが、浮動小数点を横軸に、固定小数点を縦軸にとったグラフ中の、横軸において続いていく２つの横線によって図示される。
【００４０】
図６から分かるとおり，従来手法では(5,1)-固定小数点の場合にオーバーフローを生じ、高いSN比においてエラー・フロアが生じていることがわかる。特に無線通信で要求される10-5（マイナス５乗）〜10-6（マイナス６乗）のビット誤り率の領域において性能が著しく劣化する点が問題である。整数部分を1ビット増やし、(6,1)-固定小数を用いた場合には10-5〜10-6のビット誤り率においてエラー・フロアは生じていないが、さらに低い10-7以下のビット誤り率の領域ではやはりエラー・フロアを生じる。
【００４１】
一方、同じ図６中で、本発明において(5,4)-固定小数点と(4,3)-固定小数を用いた場合の結果を示した。本発明の手法による場合、同じ５ビット長の(5,4)-固定小数点を用いた場合に、10-5〜10-6のビット誤り率の領域においてはエラー・フロアを生じていない。また、さらに小数部分を1ビット減らした(4,3)-固定小数点を用いた場合には低SN比の領域では性能が劣るものの、高ＳＮ比の領域では、0.1-0.2dB程度の損失に抑えられている。従来手法においては固定小数点演算に由来する高SN比の領域でのエラー・フロアを避けようとすれば、ビット長を長くしていかなければならないが、本発明においては高SN比の領域になってもビット長を増やすことなく、エラー・フロアを回避できるという利点がある。
【００４２】
図８は、本発明における計算量を見積もるため，最大反復回数を30回にとったときの各手法の平均反復回数を示す図である。
SN比が悪いところ（4dB以下）では従来技術において固定小数点を用いた場合に比べて本発明の手法では平均反復回数は若干増加するが、SN比が5dB以上となれば従来手法の場合に徐々に近づく。
【００４３】
図９は、従来手法((5,1)-fixedpoint)のエラー・フロア領域(SNR=5dB)における平均反復回数が最大反復回数によってどのように変化するかを示す図である。
【００４４】
従来手法においてエラー・フロアが生じている場合には、最大反復回数を増加させると平均反復回数も増大する。これは、エラー・フロア領域においては最大反復回数まで復号を繰り返しても訂正できないエラーが発生するためである。一方、本発明の手法においては浮動小数点の場合と同様に最大反復回数を増やしても平均反復回数に変化は無いことがわかる。
【００４５】
本発明が実施される復号器（デコーダ）の（一部または全部の）構成は、実用的な処理速度を追求していくと、計算を実行するシステムとして、典型的にはハードウエアとして実装される。構成のの一部をソフトウエアとして実現することにより、ハードウエアとソフトウエアとが協働する組合せとしても実現することができる。例えば、コンピュータに実行させるプログラムとして、ＦＰＧＡ（フィールド・プログラマブル・アレイ）に実装することができる。
【００４６】
ビリーフプロパゲーション法自体、離散する複数のビットや条件分岐などを利用している点で、本質的にコンピュータ利用に馴染む性質のものである。また、「簡単な関数」として区分線形関数や階段関数を選んだ場合には、ルックアップテーブル（ＬＵＴ）を用意する等により、さらに効率的にコンピュータのハードウエア資源を利用することができる。
【図１】
2011129981.tif 000017
【図２】
2011129981.tif 000018
【図３】
2011129981.tif 000019
【図４】
2011129981.tif 000020
【図５】
2011129981.tif 000021
【図６】
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【図７】
2011129981.tif 000023
【図８】
2011129981.tif 000024
【図９】
2011129981.tif 000025