(57)【要約】【課題】項目反応理論における被験者の能力値パラメータの推定値誤差を小さくする。【解決手段】本発明に係る試験パラメータ推定方法では、能力値パラメータθｉを正規化することに加え、θｉの分布が正規分布に近づくように、大小関係を維持しつつ、θｉの値を分布関数の変数軸上で移動させる。【選択図】図３
2011257676.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
項目反応理論を用いた試験に係るパラメータをコンピュータで推定する方法であって、
試験問題毎の各被験者の正誤結果を記述した正誤結果データを記憶装置から読み取るステップと、
試験項目が被験者の能力を識別する力を示す識別力パラメータを前記正誤結果データに基づき推定する識別力推定ステップと、
試験項目の難しさを示す困難度パラメータを前記正誤結果データに基づき推定する困難度推定ステップと、
被験者の能力を示す能力値パラメータを前記正誤結果データに基づき推定する能力推定ステップと、
前記識別力推定ステップ、前記困難度推定ステップ、および前記能力推定ステップを繰り返して、前記識別力パラメータ、前記困難度パラメータ、および前記能力値パラメータそれぞれの最終的な推定結果を取得するステップと、
を有し、
前記能力推定ステップを繰り返して得られた前記能力値パラメータの系列を、正規分布関数の変数軸上に設けた複数区間に当てはめて複数に分割し、
各前記区間における前記能力値パラメータの個数と、前記能力値パラメータの系列が前記正規分布関数にしたがって分布していると仮定した場合における前記各区間内の前記能力値パラメータの個数とが、同一になるように、前記能力値パラメータの系列を前記変数軸上で移動させる
ことを特徴とする試験パラメータ推定方法。
【請求項２】
前記識別力パラメータ、前記困難度パラメータ、および前記能力値パラメータを含む前記パラメータのうち少なくともいずれかを第１パラメータとして選択し、他の前記パラメータを第２パラメータとして用いて前記第１パラメータの標準誤差を再算出する標準誤差再算出ステップを有し、
前記標準誤差再算出ステップはさらに、
前記第１パラメータの標準誤差を再算出する際に用いる前記第２パラメータの推定値と標準誤差を取得するステップと、
前記第２パラメータの推定値と標準誤差を用いて前記第２パラメータの分布を推定するステップと、
前記第２パラメータの分布を複数区間に区分し、各区分の代表値毎に前記第１パラメータの分布を推定するステップと、
推定した前記第１パラメータの分布を用いて当該分布に対応する前記第１パラメータの標準誤差を再算出するステップと、
を有することを特徴とする請求項１記載の試験パラメータ推定方法。
【請求項３】
前記第１パラメータの分布に対応する前記第１パラメータの標準誤差を再算出するステップでは、
前記第１パラメータの分布の変数軸上に設けた複数区間の代表値毎に、当該代表値と前記第１パラメータの推定値の間の差分の２乗を算出し、
前記差分の２乗と、当該代表値が属する前記区間が前記第１パラメータの分布に占める割合との積を、前記第１パラメータの分布上の全ての前記代表値について合算し、
その合算値を、前記第２パラメータの分布上の各区間について算出し、前記第２パラメータの分布上の当該区間が分布全体に占める割合を乗じた上で、その値を前記第２パラメータの分布上の全ての区間について算出して合算し、
その合算結果の平方根を、前記第１パラメータの最終的な標準誤差とする
ことを特徴とする請求項２記載の試験パラメータ推定方法。
【請求項４】
請求項１から３のいずれか１項記載の試験パラメータ推定方法をコンピュータに実行させることを特徴とする試験パラメータ推定プログラム。
【請求項５】
試験問題毎の各被験者の正誤結果を記述した正誤結果データを格納する記憶装置と、
請求項４記載の試験パラメータ推定プログラムと、
前記試験パラメータ推定プログラムを実行する演算装置と、
を備えることを特徴とする試験パラメータ推定装置。
【請求項６】
項目反応理論を用いた試験に係るパラメータを推定する装置であって、
試験問題毎の各被験者の正誤結果を記述した正誤結果データを記憶装置から読み取る読取部と、
試験項目が被験者の能力を識別する力を示す識別力パラメータを前記正誤結果データに基づき推定する識別力推定部と、
試験項目の難しさを示す困難度パラメータを前記正誤結果データに基づき推定する困難度推定部と、
被験者の能力を示す能力値パラメータを前記正誤結果データに基づき推定する能力推定部と、
を備え、
前記識別力推定部、前記困難度推定部、および前記能力推定部の処理を繰り返して、前記識別力パラメータ、前記困難度パラメータ、および前記能力値パラメータそれぞれの最終的な推定結果を取得し、
前記能力推定部の処理を繰り返して得られた前記能力値パラメータの系列を、正規分布関数の変数軸上に設けた複数区間に当てはめて複数に分割し、
各前記区間における前記能力値パラメータの個数と、前記能力値パラメータの系列が前記正規分布関数にしたがって分布していると仮定した場合における前記各区間内の前記能力値パラメータの個数とが、同一になるように、前記能力値パラメータの系列を前記変数軸上で移動させる
ことを特徴とする試験パラメータ推定装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、項目反応理論を用いた試験に係るパラメータを推定する手法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
項目反応理論は、試験問題などの評価項目に対する被験者の応答（試験問題であれば回答結果）に基づき、被験者の特性（能力など）、評価項目が被験者の特性を識別する力、評価項目の難易度などを測定するための試験理論である。以下、項目反応理論の基本的な仕組みについて説明する。
【０００３】
試験項目ｊの識別力パラメータをａｊ、試験項目ｊの困難度パラメータをｂｊ、被験者ｉの能力値パラメータをθｉとする。また、被験者ｉの試験項目ｊに対する正誤を、正答である場合は１、誤答である場合は０として表した正誤結果パターンをｕｉｊとする。下記式１に示すＬを最大化するａｊ、ｂｊ、θｉを求めることにより、ａｊ、ｂｊ、θｉを推定する。
【０００４】
【数１】
2011257676.tif 000003
【０００５】
上記式１において、Ｄは尺度因子と呼ばれる定数であり、およそ１．７である。
上記式１のＬを最大化するａｊ、ｂｊ、θｉを求めるに際し、同式のままでは扱いにくいので、Ｌの自然対数を最大化するａｊ、ｂｊ、θｉを求めることにする。
【０００６】
【数２】
2011257676.tif 000004
【０００７】
上記式２のｌｎＬが最大になるとき、式２をａｊ、ｂｊ、θｉでそれぞれ微分した値は０となるはずである。そこで、下記式３〜式５を満たすａｊ、ｂｊ、θｉをそれぞれ求めることとする。式３〜式５を満たすａｊ、ｂｊ、θｉを求める手法の例として、例えばニュートン法がある。
【０００８】
【数３】
2011257676.tif 000005
【０００９】
図１は、式３〜式５を満たすａｊ、ｂｊ、θｉを、ニュートン法によって求める際の処理フローを示す図である。以下、図１の各ステップについて説明する。
【００１０】
（図１：ステップＳ１０１）
ａｊ、ｂｊ、θｉそれぞれの初期値として、ａｊ０、ｂｊ０、θｉ０を定める。例えば、ａｊ０＝１、ｂｊ０＝０、θｉ０＝０とする。
（図１：ステップＳ１０２）
ｂｊ＝ｂｊ０、θｉ＝θｉ０と置いて、式３を満たすａｊ＝ａｊ１を、ニュートン法によって求める。
【００１１】
（図１：ステップＳ１０３）
ａｊ＝ａｊ０、θｉ＝θｉ０と置いて、式４を満たすｂｊ＝ｂｊ１を、ニュートン法によって求める。
（図１：ステップＳ１０４）
ａｊ＝ａｊ０、ｂｉ＝ｂｉ０と置いて、式５を満たすθｉ＝θｉ１を、ニュートン法によって求める。
【００１２】
（図１：ステップＳ１０５）
ステップＳ１０２で求めたａｊ１とａｊ０の差、ステップＳ１０３で求めたｂｊ１とｂｊ０の差、ステップＳ１０４で求めたθｉ１とθｉ０の差をそれぞれ求める。
（図１：ステップＳ１０６）
ステップＳ１０５で求めた３つの差分値が所定の閾値未満であればステップＳ１０７へ進み、少なくともいずれかの差分値が閾値以上であればステップＳ１０８へ進む。
【００１３】
（図１：ステップＳ１０７）
現在のａｊ＝ａｊ１、ｂｊ＝ｂｊ１、θｉ＝θｉ１の値を、各パラメータの推定結果とし、本処理フローを終了する。
（図１：ステップＳ１０８）
ａｊ０、ｂｊ０、θｉ０を現在のａｊ＝ａｊ１、ｂｊ＝ｂｊ１、θｉ＝θｉ１で置き換え、ステップＳ１０２に戻って同様の処理を繰り返す。
【００１４】
以上、各試験パラメータを推定する従来の手法を説明した。
図１の処理フローを実行していく過程で、ステップＳ１０５における３つの差分値が次第に小さくなり、ａｊ、ｂｊ、θｉそれぞれの値が収束していく。しかし、その結果得られる値は、各パラメータの真の値から離れていることが、実験的に分かっている。
【００１５】
これを回避する手法として、下記非特許文献１には、θｉを正規化する手法が記載されている。同文献では、図１のステップＳ１０４で求まるθｉ１の平均値をμ、標準偏差をσとして、θｉ０＝（θｉ１−μ）／σと置き換え、θｉの平均が０、標準偏差が１となるようにしている。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【００１６】
【非特許文献１】豊田秀樹，項目反応理論［理論編］，１．２．３節，ｐ．１５，朝倉書店，２００５年
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１７】
上記非特許文献１に記載の手法では、θｉを正規化することにより、θｉの誤差を小さくすることを図っているが、誤差を完全になくすことは難しい。
【００１８】
本発明は、上記のような課題を解決するためになされたものであり、項目反応理論における被験者の能力値パラメータの推定値誤差を、より小さくすることを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１９】
本発明に係る試験パラメータ推定方法では、能力値パラメータθｉを正規化することに加え、θｉの分布が正規分布に近づくように、大小関係を維持しつつ、θｉの値を分布関数の変数軸上で移動させる。
【発明の効果】
【００２０】
本発明に係る試験パラメータ推定方法によれば、θｉの分布を正規分布に近づけるように各θｉの値を移動させることにより、θｉの推定誤差を小さくすることができる。特に被験者数が多くなると、θｉの分布は正規分布に近づくと予想されるので、θｉの分布を正規分布に近づけることの効果を有効に発揮することができる。
【図面の簡単な説明】
【００２１】
【図１】式３〜式５を満たすａｊ、ｂｊ、θｉを、ニュートン法によって用いる際の処理フローを示す図である。
【図２】能力値パラメータθｉの分布を正規分布に近づける処理の考え方を説明する図である。
【図３】図２で説明した、能力値θｉの分布を補正する手順を実行する処理フローである。
【図４】ｂｊの推定結果に基づくｂｊの分布と、ｂｊの各値に対応するａｊの分布を示す図である。
【図５】ａｊの２次分布の標準誤差を合算する過程を示す図である。
【図６】図４〜図５で説明した、ａｊの標準誤差を再算出する手順を実行する処理フローである。
【図７】実施形態３に係る、能力値θｉの分布を補正する手順を実行する処理フローである。
【図８】実施形態６に係る試験パラメータ推定装置８００の機能ブロック図である。
【発明を実施するための形態】
【００２２】
＜実施の形態１＞
以下、本発明の実施形態１に係る試験パラメータ推定方法を説明する。本実施形態１では、能力値パラメータθｉの分布を正規分布に近づけることにより、θｉの推定結果の誤差を小さくすることを図る。
【００２３】
図２は、能力値パラメータθｉの分布を正規分布に近づける処理の考え方を説明する図である。図２（ａ）はθｉの分布が正規分布になっている場合の度数分布、図２（ｂ）は図１の処理フローで求められるθｉの推定結果に基づく度数分布例を示す。ここでは、平均＝０、標準偏差＝１となる正規分布関数の例として、下記式６を用いた。
【００２４】
【数４】
2011257676.tif 000006
【００２５】
計算の便宜上、以下では図２の度数分布を、−３．０≦θｉ≦３．０の範囲で０．５ずつ１２個の区間に区切り、さらにθｉ＜−３．０の区間とθｉ＞３．０の区間を加えた１４個の区間に区分けする。
【００２６】
図２（ａ）において、θｉの総数が１００００個である場合、−３．０よりも小さいθｉの個数は、下記式７で求められる。
【００２７】
【数５】
2011257676.tif 000007
【００２８】
したがって、θｉが正規分布にしたがっている場合、−３．０よりも小さいθｉの値は１３個存在するはずである。ところが、図１の処理フローを用いて推定したθｉは推定誤差を含んでおり、必ずしも正規分布にしたがわない。そのため、−３．０よりも小さいθｉの個数は、必ずしも１３個にならない。例えば、図２（ｂ）において、−３．０よりも小さいθｉが１２個しか存在しない、などの推定結果が生じる可能性がある。
【００２９】
図１の処理フローを用いて推定したθｉの分布を正規分布に近づけることにより、θｉの推定誤差は小さくなると考えられる。本実施形態１では、θｉの分布を正規分布に近づけるためには、各区間におけるθｉの個数が、正規分布における各区間内のθｉの個数と等しくなるように、図２（ｂ）の分布を補正すればよいと考える。
【００３０】
そこで本実施形態１では、図２（ｂ）の各区間におけるθｉの個数が、正規分布における各区間内のθｉの個数と等しくなるように、θｉの値を図２の横軸（変数軸）上で移動させる。
【００３１】
上述の例の場合、−３．０よりも小さいθｉが１２個しか存在しないので、−３．０≦θｉ≦−２．５の区間からθｉの値を１つ抜き出してマイナス方向に移動させ、−３．０よりも小さいθｉが１３個となるように、θｉの分布を補正すればよい。
【００３２】
ただし、各θｉの値は、被験者ｉの能力値を示すので、試験の意義を没却しないためにも、各被験者ｉの能力値θｉの大小関係が入れ替わらないようにする必要がある。
【００３３】
そこで具体的な処理としては、図１の処理フローによって得られたθｉの系列のうち、値が小さいほうから順に１３個を抽出し、小さいほうから１３番目の値が−３．０（または−３．０より僅かに小さい値）となるように、１３個のθｉを同じ量だけマイナス方向に移動させればよい。区間の境界上の値は、いずれかの区間に含めるなどして適宜取り扱えばよい。
【００３４】
同様に、図２（ａ）において、θｉの総数が１００００個である場合、−３．０≦θｉ≦−２．５の区間におけるθｉの個数は、下記式８で求められる。
【００３５】
【数６】
2011257676.tif 000008
【００３６】
したがって、−３．０≦θｉ≦−２．５の区間におけるθｉの分布を正規分布に近づけるためには、図１の処理フローによって得られたθｉの系列のうち、−３．０≦θｉ≦−２．５の区間におけるθｉの個数が４９個となるように、小さいほうから数えて１４番目〜６２番目の４９個のθｉを、それぞれ同じ量だけ移動させればよい。
【００３７】
以下同様にして、各区間におけるθｉの個数が、正規分布における同じ区間内のθｉの個数と等しくなるように、θｉの値を同じ量だけ移動させる。これにより、全ての区間において、θｉの個数は正規分布と等価になり、最終的に得られるθｉの分布は正規分布に近づくものと想定される。
【００３８】
なお、以上の手順において、各被験者ｉの能力値θｉの大小関係が入れ替わらないように配慮しているので、θｉの値を移動させて補正したとしても、補正前における能力値パラメータ系列θｉが表す各被験者の能力は、略等価に保たれている。特に項目反応理論では、各被験者の絶対評価を算出するのではなく、当該試験項目における他の被験者との間の相対的な評価を算出するものであるため、上記補正によって試験パラメータの精度が損なわれるものではないと考えられる。
【００３９】
以上、本実施形態１に係る試験パラメータ推定方法の考え方を説明した。以下では具体的な処理フローについて説明する。
【００４０】
図３は、図２で説明した、能力値θｉの分布を補正する手順を実行する処理フローである。以下、図３の各ステップについて説明する。
【００４１】
（図３：ステップＳ３００）
図１で説明した処理フローを実行した後、本処理フローを開始する。
（図３：ステップＳ３０１）
変数Ｍ０の値をＭ０＝１として初期化する。
【００４２】
（図３：ステップＳ３０２）
以下のステップＳ３０３〜Ｓ３０６を、図２で説明した１４個の区間、すなわち、−３．０＜θｉの区間、−３．０≦θｉ≦３．０の範囲で０．５ずつ区切った１２個の区間、およびθｉ＞３．０の区間それぞれについて実行する。
（図３：ステップＳ３０３）
正規分布上における当該区間内のθｉの個数Ｍ１を求める。算出方法は、θｉの総数に応じて、上述の式７および式８と同様の手順を用いる。例えば−３．０＜θｉの区間であれば、Ｍ１＝１３となる。
【００４３】
（図３：ステップＳ３０４）
図１で求めたθｉのうち、小さい方から数えてＭ０番目〜Ｍ１番目を抽出する。例えば−３．０＜θｉの区間であれば、Ｍ０＝１番目からＭ１＝１３番目までの１３個の値を抽出する。
（図３：ステップＳ３０５）
ステップＳ３０４で抽出したＭ１個のθｉの値が当該区間内に収まるように、各θｉを同じ量だけずらす。
（図３：ステップＳ３０６）
変数Ｍ０にＭ１の値を加算する。本ステップは、ステップＳ３０４を次回実行するときに抽出を開始するθｉの初期値をセットする意義がある。
【００４４】
＜実施の形態１：まとめ＞
以上のように、本実施形態１によれば、θｉが正規分布にしたがう場合における各区間内のθｉの個数と、図１の処理フローによって推定した各区間におけるθｉの個数とが同一になるように、同区間におけるθｉの値を、それぞれ同じ量だけずらす。これにより、補正後のθｉの分布は正規分布に近づくので、θｉの推定精度を向上させることができる。特に被験者の数が多い場合には、θｉの分布は正規分布に近いと想定されるので、本実施形態１の効果が有効に発揮される。
【００４５】
また、本実施形態１によれば、各区間におけるθｉの値をずらす補正を実施する際に、各区間における補正前のθｉの大小関係を補正後も維持する。これにより、補正後の能力値パラメータθｉは、各被験者ｉの相対的な能力値を反映した状態が保たれるので、補正によって能力値の推定結果を破損することなく、推定精度を向上させることができる。
【００４６】
なお、本実施形態１において、θｉの値を１４個に区分したが、これは計算の便宜上のものであり、区分の仕方はこれに限られるものではない。区分の上限値３．０と下限値−３．０についても同様である。また、正規分布関数は、式６以外の関数を用いてもよい。以下の実施形態でも同様である。
【００４７】
＜実施の形態２＞
本発明の実施形態２では、実施形態１で説明した手法に加え、または実施形態１で説明した手法とは独立に、各試験パラメータの標準誤差を小さく抑える手法を説明する。
【００４８】
図１を用いて説明した従来の推定手順において、各試験パラメータａｊ、ｂｊ、θｉの推定結果と真の値との間には、誤差が生じている。この誤差の標準偏差を標準誤差と呼ぶ。すなわち、ａｊ、ｂｊ、θｉが一定であっても、被験者が試験を受けるたびに正誤結果パターンｕｉｊが変わり、ａｊ、ｂｊ、θｉの推定結果も変わる。このときの標準偏差が標準誤差となる。なお、推定結果の平均は、真の値にほぼ等しいと想定される。
【００４９】
各試験パラメータの標準誤差は、フィッシャ情報量に基づき、下記式９〜式１１で求められる。
【００５０】
【数７】
2011257676.tif 000009
【００５１】
上記式９〜式１１で求められる標準誤差は、真の標準誤差からずれている。これは、各標準誤差を算出する際に用いる計算式内に他の試験パラメータが含まれており、他の試験パラメータにばらつきが内在しているからであると思われる。
【００５２】
そこで本実施形態２では、各標準誤差を算出する際に用いる他の試験パラメータのばらつきを加味して、改めて標準誤差を算出することを図る。以下、ａｊの標準誤差を算出する手順を例にとり、本実施形態２における処理の考え方を説明する。
【００５３】
ａｊの標準誤差を算出するための式９において、ｂｊの推定値を用いる必要がある。しかしｂｊの推定値は、ばらつきを内在している。そこで、ａｊの標準誤差を算出するに際して、ｂｊが取り得る値毎にａｊの標準誤差を算出し、ｂｊがその値を取り得る割合を乗算した上で合算する。
【００５４】
図４は、ｂｊの推定結果に基づくｂｊの分布と、ｂｊの各値に対応するａｊの分布を示す図である。以下、図４の各図について説明する。
【００５５】
図４（ａ）は、ｂｊの推定結果に基づくｂｊの分布を示す図である。ここでは、図１または実施形態１で説明した手法を用いて各試験パラメータａｊ、ｂｊ、θｉを推定したものと仮定する。ａｊの推定値は１．５、式９を用いて算出した標準誤差は０．２であるものとする。ｂｊの推定値は１．０、式１０を用いて算出した標準誤差は０．１であるものとする。
【００５６】
ｂｊの推定値は、上述の通り１．０であることが既に算出済みであるが、実際にはばらつきが内在しているので、ｂｊがその他の値を取る可能性もある。そこで、推定値１．０を中心として、標準誤差０．１を用いて正規分布を作成し、他の取り得る値を把握する。この場合の正規分布関数は、実施形態１とは平均値（推定値）、標準偏差が異なるので、以下の式１２となる。
【００５７】
【数８】
2011257676.tif 000010
【００５８】
以後の計算の便宜上、図４（ａ）に示す正規分布を、１．０を中心として＋−０．３の範囲、すなわち０．７≦ｂｊ≦１．３の６区間に区分けする。さらに、ｂｊ＜０．７の区間とｂｊ＞１．３の区間を加え、合計８つの区間に区分けする。
【００５９】
次に、各区間の代表値を定める。０．７≦ｂｊ≦１．３の区間では、中心値を代表値とする。ｂｊ＜０．７の区間における代表値はｂｊ＝０．６５、ｂｊ＞１．３の区間における代表値はｂｊ＝１．３５とする。
【００６０】
図４（ｂ１）〜図４（ｂ８）は、図４（ａ）で定めたｂｊの各代表値に対応するａｊの２次的な推定値の分布を示す図である。ｂｊ＝１．０のときにおけるａｊの推定値は１．５であることが既に算出済みであるので、図４（ａ）で定めたｂｊの各代表値に対応するａｊの推定値を、２次推定値として改めて算出する。また、そのときのａｊの標準誤差を、２次標準誤差として改めて算出する。
【００６１】
例えば、ｂｊの代表値＝０．６５のときのａｊの２次推定値は、ｂｊ＝０．６５と置いたときの式３を満たすａｊの値として求められる。同様に、ｂｊの代表値＝０．６５のときのａｊの２次標準誤差は、ｂｊ＝０．６５と置いて式９により求められる。
【００６２】
図４（ｂ１）は、ｂｊの代表値＝０．６５のときのａｊの２次推定値が１．３であり、ａｊの２次標準誤差が０．１であるときにおける、ａｊの分布を示す。同様に、ｂｊの代表値＝０．７５のときのａｊの分布〜ｂｊの代表値＝１．３５のときのａｊの分布を求める。最終的には、図４（ａ）の８つの区分に対応する８つの分布が得られる。この８つの分布を便宜上、ａｊの２次分布と呼ぶ。
【００６３】
ａｊの８つの２次分布それぞれにおいて、ａｊの本来の推定結果である１．５との間の誤差が生じている。したがって、この誤差の標準偏差、すなわちａｊの２次分布の標準誤差を求めることができる。ａｊの２次分布の標準誤差は、ｂｊの推定結果に内在するばらつきを勘案した標準誤差であるといえる。
【００６４】
図５は、ａｊの２次分布の標準誤差を合算する過程を示す図である。図５（ｂ１）は図４（ｂ１）に対応する。図５（ｂ１）に示す２次分布を図４（ａ）と同様に８つの区間に区分けし、各区間の代表値と、ａｊの本来の推定値である１．５との差分を２乗し、当該区間が２次分布全体に占める割合を乗算して合算する。
【００６５】
例えば図５（ｂ１）のａｊ＜１．０の区間における代表値は０．９５であるので、ａｊの本来の推定値である１．５との差分は０．５５となる。また、ａｊ＜１．０の区間がａｊの２次分布全体に占める割合は、式７と同様に０．００１３となる。（１．５−０．９５）の２乗と０．００１３を乗算する。
【００６６】
同様に、１．０≦ａｊ≦１．１の区間における代表値は１．０５であるので、ａｊの本来の推定値である１．５との差分は０．４５となる。また、１．０≦ａｊ≦１．１の区間がａｊの２次分布全体に占める割合は、式７と同様の手法で算出すると、０．０２１５となる。（１．５−１．０５）の２乗と０．０２１５を乗算する。
【００６７】
以下同様にこれらの値を各区間について求めて合算し、変数Ｓ２に代入し、ｂｊの代表値＝０．６５のときのＳ２を算出する。以下では、ｂｊの代表値＝０．６５のときのＳ２を、Ｓ２｛ｂｊ：０．６５｝と表記することにする。この算出過程を図５（ｂ１）の右端に示した。
【００６８】
以上の手順を、ｂｊの各代表値について実施すると、ｂｊの各代表値に対応するＳ２の値が求まる。すなわち、Ｓ２｛ｂｊ：０．６５｝〜Ｓ２｛ｂｊ：１．３５｝の８つのＳ２が求まる。各Ｓ２の値を、当該区間がｂｊの全体分布に占める割合と乗算し、足し合わせたものを、変数Ｓ１に代入する。
【００６９】
この変数Ｓ１は、ｂｊが取り得る値毎にａｊの標準誤差を算出し、ｂｊがその値を取り得る割合を乗じて合算したものであるといえる。したがって、変数Ｓ１の平方根を求めることにより、ｂｊの推定結果に内在するばらつきを加味したａｊの標準誤差を求めることができる。
【００７０】
図６は、図４〜図５で説明した、ａｊの標準誤差を再算出する手順の処理フローである。以下、図６の各ステップについて説明する。ｂｊ、θｉの標準誤差についても同様の手順で再算出することができる。
【００７１】
（図６：ステップＳ６００）
図１および図３で説明した処理フローを実行した後、本処理フローを開始する。
（図６：ステップＳ６０１）
変数Ｓ１の値を０に初期化する。また、図１および図３の処理フローで求めたｂｊの推定値と、式１０で求められる標準誤差とを用いて、ｂｊの正規分布を求める。本ステップは、図４（ａ）で説明したｂｊの正規分布を求める手順に相当する。
【００７２】
（図６：ステップＳ６０２）
ステップＳ６０１で作成したｂｊの正規分布を、図４（ａ）で例示したような複数区間に区分けする。以下のステップＳ６０３〜Ｓ６１２を、ｂｊの正規分布の各区間について実行する。
（図６：ステップＳ６０３）
ｂｊの正規分布上の区間を、例えばｂｊの値が小さい側から順に１つ選択する。ｂｊの当該区間における代表値を定める。例えば、各区間の中間値を代表値とすればよい。両端部分の区間については、例えばｂｊ＜０．７の区間については０．６５、ｂｊ＞１．３の区間については１．３５、などとし、各代表値の値間隔が均等になるようにすればよい。
【００７３】
（図６：ステップＳ６０４）
ステップＳ６０３で選択したｂｊの区間がｂｊの全体分布に占める割合を求める。この割合は、式７や式８と同様の計算式によって求めることができる。
（図６：ステップＳ６０５）
ｂｊの当該区間における代表値に対応する、ａｊの推定値と標準誤差を求める。ａｊの推定値は、式３を満たすａｊの値として求められる。ａｊの２次標準誤差は、式９を用いて求められる。本ステップは、図４（ｂ１）〜図４（ｂ８）に示す正規分布を作成する手順に相当する。
【００７４】
（図６：ステップＳ６０６）
変数Ｓ２の値を０に初期化する。
（図６：ステップＳ６０７）
ステップＳ６０５で作成したａｊの正規分布（２次分布）を、図４（ｂ１）などで例示したような複数区間に区分けする。以下のステップＳ６０８〜Ｓ６１１を、ａｊの正規分布の各区間について実行する。
【００７５】
（図６：ステップＳ６０８）
ａｊの正規分布上の区間を、例えばａｊの値が小さい側から順に１つ選択する。ａｊの当該区間における代表値を定める。代表値の定め方は、ｂｊの各区間の代表値を定める手法と同様でよい。
（図６：ステップＳ６０９）
ステップＳ６０８で選択したａｊの区間がａｊの２次分布全体に占める割合を求める。この割合は、式７や式８と同様の計算式によって求めることができる。
【００７６】
（図６：ステップＳ６１０）
ステップＳ６０８で定めたａｊの代表値と、図１および図３の処理フローで求めたａｊの推定値との差分を求め、２乗する。
（図６：ステップＳ６１１）
ステップＳ６０９で求めた、ａｊの区間がａｊの２次分布全体に占める割合と、ステップＳ６１０で求めた、ａｊの代表値と本来のａｊの推定値との差分の２乗を、乗算する。乗算して得た値を、変数Ｓ２に加算する。
【００７７】
（図６：ステップＳ６１２）
ステップＳ６０３で求めた、ｂｊの区間がｂｊの全体分布に占める割合と、ステップＳ６０７〜Ｓ６１１の結果求められたＳ２の値を、乗算する。乗算して得た値を、変数Ｓ１に加算する。
（図６：ステップＳ６１３）
Ｓ１の平方根を、再算出したａｊとする。
【００７８】
以上、ａｊの標準誤差を再算出する手順を説明した。ｂｊ、θｉの標準誤差についても図４〜図６で説明した手順と同様に再算出することができるので、必要に応じて再算出を実行してもよい。
【００７９】
＜実施の形態２：まとめ＞
以上のように、本実施形態２では、ａｊ、ｂｊ、またはθｉのうち少なくともいずれかを、標準誤差を再算出する対象である第１パラメータ（図４〜図６ではａｊ）として定めるとともに、標準誤差を再算出する際に用いる他の試験パラメータを第２パラメータ（図４〜図６ではｂｊ）として定める。まず、第２パラメータ（ｂｊ）の推定値と標準誤差を用いて第２パラメータ（ｂｊ）の正規分布を推定する。次に、第２パラメータ（ｂｊ）の正規分布上の各代表値に対応する第１パラメータ（ａｊ）の標準誤差を、再算出する。これにより、第２パラメータ（ｂｊ）の推定結果に内在しているばらつきを加味して、第１パラメータ（ａｊ）の標準誤差を再算出することができる。
【００８０】
また、本実施形態２では、第２パラメータ（ｂｊ）の正規分布上の各代表値に対応する第１パラメータ（ａｊ）の正規分布（２次分布）を求め、第１パラメータ（ａｊ）の２次分布上の各代表値と本来の推定値の差分を用いて、第１パラメータ（ａｊ）の標準誤差を求める。さらに、第２パラメータ（ｂｊ）の正規分布上の各代表値が全体に占める割合を乗じた上で、第１パラメータ（ａｊ）の標準誤差を合算する。この手順によれば、第２パラメータ（ｂｊ）にばらつきが内在している前提の下、第２パラメータ（ｂｊ）の各代表値の寄与分を勘案して、第１パラメータ（ａｊ）の標準誤差を合算することになる。したがって、第２パラメータ（ｂｊ）のばらつきとその全体に対する割合を加味して、第１パラメータ（ａｊ）の標準誤差を再算出することができる。
【００８１】
なお、本実施形態２において、ａｊおよびｂｊの値を８個に区分したが、これは計算の便宜上のものであり、区分の仕方はこれに限られるものではない。区分の上限値と下限値についても同様である。
【００８２】
＜実施の形態３＞
図７は、本発明の実施形態３に係る、能力値θｉの分布を補正する手順を実行する処理フローである。図７に示す処理フローは、図１と概ね同様であるが、ステップＳ１０３とＳ１０４において、それぞれ１つ前のステップの結果を用いる点が異なる。
【００８３】
（図７：ステップＳ１０３）
ａｊ＝ａｊ１、θｉ＝θｉ０と置いて、式４を満たすｂｊ＝ｂｊ１を、ニュートン法によって求める。
（図７：ステップＳ１０４）
ａｊ＝ａｊ１、ｂｉ＝ｂｉ１と置いて、式５を満たすθｉ＝θｉ１を、ニュートン法によって求める。
【００８４】
本実施形態３によれば、ステップＳ１０３とＳ１０４において、それぞれ１つ前のステップの結果を用いるので、計算が早く収束することが期待できる。反面、局所最適解に陥り易くなる可能性があるので、必要に応じて適宜図１と使い分けるとよい。
【００８５】
＜実施の形態４＞
図７に示した処理フローにおいて、ステップＳ１０２〜Ｓ１０４の順番を入れ替えることもできる。例えば、以下のような変形例が考えられる。
【００８６】
（図１：ステップＳ１０２）
ａｊ＝ａｊ０、ｂｉ＝ｂｉ０と置いて、式５を満たすθｉ＝θｉ１を、ニュートン法によって求める。
（図１：ステップＳ１０３）
ｂｊ＝ｂｊ０、θｉ＝θｉ１と置いて、式３を満たすａｊ＝ａｊ１を、ニュートン法によって求める。
（図１：ステップＳ１０４）
ａｊ＝ａｊ１、θｉ＝θｉ１と置いて、式４を満たすｂｊ＝ｂｊ１を、ニュートン法によって求める。
【００８７】
＜実施の形態５＞
実施形態１で説明した手法を用いて各試験パラメータａｊ、ｂｊ、θｉを推定する場合、θｉの値は図１で推定したときの元来の値から移動されている。θｉを移動させることが好ましくない場合、例えば元来の能力値パラメータθｉを加工せずに用いたいような場合には、以下のような手順を用いることもできる。
【００８８】
まず始めに、実施形態１で説明した手法を用いて各試験パラメータａｊ、ｂｊ、θｉを推定する。次に、推定した試験パラメータａｊ、ｂｊを用いて、式５を満たすθｉを改めて求める。このとき、θｉの値は移動させず、再算出したθｉの値をそのまま最終結果とする。
【００８９】
本実施形態５によれば、推定したθｉの値をそのまま最終推定結果とすることができるので、能力値パラメータθｉを移動させるなどして加工する必要はなく、推定方法の効果をありのまま享受することができる。
【００９０】
＜実施の形態６＞
図８は、本発明の実施形態６に係る試験パラメータ推定装置８００の機能ブロック図である。試験パラメータ推定装置８００は、実施形態１〜６で説明した、項目反応理論を用いる試験に係るパラメータを推定する装置である。
【００９１】
試験パラメータ推定装置８００は、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ  Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ  Ｕｎｉｔ）８１０、メモリ８２０、通信インターフェース８３０、および記憶装置８４０を備える。
【００９２】
ＣＰＵ８１０は、試験パラメータ推定プログラム８４２を実行することにより、実施形態１〜６で説明した、項目反応理論を用いる試験に係るパラメータを推定する方法を実行する。
【００９３】
メモリ８２０は、ＣＰＵ８１０が動作する際に用いる一時的なデータなどを記憶するメモリ装置である。通信インターフェース８３０は、試験パラメータ推定装置８００と外部装置が通信するためのインターフェースである。
【００９４】
記憶装置８４０は、正誤結果データ８４１、試験パラメータ推定プログラム８４２、推定結果データ８４３を格納する。
【００９５】
正誤結果データ８４１は、実施形態１で説明した正誤結果パラメータｕｉｊを記録したデータである。試験パラメータ推定プログラム８４２は、正誤結果パラメータｕｉｊを入力として受け取り、実施形態１〜６で説明した手順にしたがって各試験パラメータａｊ、ｂｊ、θｉを推定するステップを記述したソフトウェアプログラムである。推定結果データ８４３は、試験パラメータ推定プログラム８４２の実行結果として、各試験パラメータａｊ、ｂｊ、θｉの推定結果、標準誤差の再算出結果などを記録するデータである。
【００９６】
本実施形態６に係る試験パラメータ推定装置８００および試験パラメータ推定プログラム８４２によれば、実施形態１〜６で説明した手法を、ソフトウェアプログラムの形態で実現することができる。
【００９７】
なお、ＣＰＵ８１０が試験パラメータ推定プログラム８４２を実行することによって実現される機能を、同等の機能を実現する回路デバイスなどのハードウェアによって構成することもできる。この場合、各フローチャートのステップを実行する機能部をハードウェアによって構成することになる。ステップ毎に機能部を設けてもよいし、いずれか２以上のステップについて共通の機能部によって実現してもよい。
【００９８】
＜実施の形態７＞
以上の実施形態１〜６では、試験パラメータとしてａｊ、ｂｊ、θｉを用いたが、さらに当て推量パラメータを加えることもできる。
【符号の説明】
【００９９】
８００：試験パラメータ推定装置、８１０：ＣＰＵ、８２０：メモリ、８３０：通信インターフェース、８４０：記憶装置、８４１：正誤結果データ、８４２：試験パラメータ推定プログラム、８４３：推定結果データ。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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