(57)【要約】【課題】干渉による迷光が生じにくく、面内の透過率が連続的に変化する、光学フィルターとその製造方法を提供する。【解決手段】透光性基板の主面に、遮光膜を形成し、遮光部分と透光部分の面積比に応じて、主面上の各位置の透過率を変化させる。円形または楕円形をしている各ドットの位置が、ランダムに分散しており、このドットの位置を決定する工程において、互いに独立な２つの一様でランダムな分布列を生成するステップと、該分布列を基板上の座標に変換するステップと、座標値に応じて各ドットの径を決定するステップと、を備える。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
主面の中央部から端部へ向けて透過率が低くなる光学フィルターであって、
前記主面に遮光膜から形成された複数の遮光ドット、または前記主面のほぼ全面に形成された遮光膜に複数の透光性の透光ドット、のいずれか一方を備え、
前記遮光膜は金属膜または金属酸化物を含む膜であり、
前記遮光ドットまたは前記透光ドットをドット間の互いの間隔が不定になるように配置し、且つ前記遮光膜の面積の単位エリア毎の総和が、前記中央部から前記端部へ向けて前記単位エリアを移動するに従い、単調増加するように配置したことを特徴とする光学フィルター。
【請求項２】
請求項１に記載の光学フィルターの製造方法であって、
以下の工程１から工程３を含むことを特徴とする光学フィルターの製造方法。
前記ドットの中心位置の極座標を（ｒ，θ）、
前記ドットの透過率をＴ（ｒ，θ）、
前記ドットの半径をＤ（ｒ，θ）、
単位エリアあたりの前記ドットの個数をＡ（ｒ，θ）として、
（工程１）遮光ドットでは、式（１）を用い、透光ドットでは、式（２）を用いて、透過率分布から、半径分布と個数分布を求める。
Ｔ（ｒ，θ）＝１−２πＤ2（ｒ，θ）Ａ（ｒ，θ）・・・（１）
Ｔ（ｒ，θ）＝２πＤ2（ｒ，θ）Ａ（ｒ，θ）・・・（２）
（工程２）互いに独立な一様且つランダムな分布列ｓと分布列ｔを求める。
（工程３）Ｎを（ｓ，ｔ）平面内の単位エリア毎の個数とし、式（３）から、前記ドットの前記主面上の座標を得る。
Ｎｄｓｄｔ＝Ａ（ｒ，θ）ｒｄｒｄθ・・・（３）
【請求項３】
主面の一方の端部から他方の端部へ向けて透過率が低くなる光学フィルターであって、
前記主面に遮光膜から形成された複数の遮光ドット、または前記主面のほぼ全面に形成された遮光膜に複数の透光性の透光ドット、のいずれか一方を備え、
前記遮光膜は金属膜または金属酸化物を含む膜であり、
前記遮光ドットまたは前記透光ドットをドット間の互いの間隔が不定になるように配置し、且つ前記遮光膜の面積の単位エリア毎の総和が、前記一方の端部から他方の端部へ向けて前記単位エリアを移動するに従い、単調増加するように配置したことを特徴とする光学フィルター。
【請求項４】
請求項３に記載の光学フィルターの製造方法であって、
以下の工程１から工程３を含むことを特徴とする光学フィルターの製造方法。
前記ドットの中心位置の座標を（ｘ，ｙ）、
前記ドットの透過率をＴ（ｘ，ｙ）、
前記ドットの半径をＤ（ｘ，ｙ）、
単位エリア毎の前記ドットの個数をＡ（ｘ，ｙ）として
（工程１）前記ドットが遮光ドットでは、式（４）を用い、前記ドットが透光ドットでは、式（５）を用いて、透過率分布から、半径分布と個数分布を求める。
Ｔ（ｘ，ｙ）＝１−２πＤ2（ｘ，ｙ）Ａ（ｘ，ｙ）・・・（４）
Ｔ（ｘ，ｙ）＝２πＤ2（ｘ，ｙ）Ａ（ｘ，ｙ）・・・（５）
（工程２）互いに独立な２つの一様かつランダムな分布列ｓと分布列ｔを求める。
（工程３）Ｎを（ｓ，ｔ）平面内の単位エリアあたりの個数とし、式（６）を満たす様に、前記ドットの前記主面上の座標を得る。
Ｎｄｓｄｔ＝Ａ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ・・・（６）
【請求項５】
請求項２または請求項４に記載の光学フィルターの製造方法であって、
ドットの座標を得る工程において、前記中心位置の任意の２つの間隔が、所定の値以下にならないと同時に、任意の２点間のベクトルが、均一に分散する様に、各中心位置の座標を修正するステップを含むことを特徴とする光学フィルターの製造方法。
【請求項６】
請求項５に記載の光学フィルターの製造方法であって、
ドットの座標を得る工程において、前記ドットの間で、その距離と方向から斥力を計算するステップと、２点間ベクトル平面上で、２つのベクトル間で、斥力を計算するステップと、前記ベクトル間の斥力から、中心点に対する斥力を計算するステップと、中心位置に対し、得られた前記斥力を合算するステップと、得られた斥力に応じて、中心点の座標値を修正するステップと、を含むことを特徴とする光学フィルターの製造方法。
【請求項７】
請求項１または請求項３に記載の光学フィルターであって、
撮像レンズの絞り近傍に設置されることを特徴とする光学フィルター。
【請求項８】
請求項２または請求項４に記載の光学フィルターの製造方法であって、
透光性基板上に、金属または金属酸化物を含む遮光膜を蒸着法、スパッタ法により実用上ほぼ均一な膜厚で形成後、前記主面上の座標の位置にドットをフォトリソグラフィーによって形成することを特徴とする光学フィルターの製造方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、透過率の変化する光学フィルター、および光学フィルターの製造方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
波長によらずほぼ一定の透過率を持つＮＤフィルター（Neutral Density Filter）は、透過光のスペクトルを変えたくない場合に使用される。特に、その濃度が場所により連続的に変化するＧＤＦ（Gradient Density Filter）は、光束の位置により透過率が変化するので、光量調整などに用いられている。
従来のＧＤＦの製造方法の１つは、金属や金属酸化物などによる光吸収膜の厚さを場所ごとに変えることによって、透過率の変化を作り出す方法である（例えば、特許文献１）。
また、遮光膜を部分的に形成に、その密度を場所ごとに変えることによって、透過率を変化させる方法もある（例えば、特許文献２）。
遮光膜のドットによって透過率変化を作る方法は、自由度が大きく、良質なＮＤフィルターが得られるのであるが、この時、遮光膜の配置に規則性があると、回折光が干渉によって強め合い、不要な散乱を作ることとなる。従って、ドットの配置は、ランダムでなければならず、なおかつ密度ムラが無い様、均一に分散していなければならない。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特開２００６−２７６１７４号公報
【特許文献２】特開２００８−２７０２１４号公報
【特許文献３】特開平５−３１３０１７号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
特許文献１の従来例では、基板上に距離を置いて、穴を形成したマスクを設置し、吸収物質を蒸着する時に、基板とマスクを一体として公転させながら斜め方向から蒸着することによって、膜厚の差を作っている。このとき、膜厚は、成膜レートと、基板とマスクの距離によって変化する。従って、成膜レートが蒸着中に変動すると、望みの膜厚分布からずれてしまうという問題点がある。また、膜厚は、マスクによって覆われている時間によってコントロールされるため、濃度の変化がほぼ直線状になり、任意の濃度分布を作り出すことが出来ない。
特許文献２で示される従来例では、光源の照度分布を均一化するために、部分的に遮光膜を形成している。この方法は、任意の濃度分布を作製することが出来るが、この文献の例では、遮光膜は規則的に形成されており、照明系では、問題無いものの、撮像系やレーザー光学系などに用いると、強い干渉パターンが生じる問題点がある。
回折光の干渉を防止し、規則的なパターンとのモアレを防止するためには、ランダムにドットを配置しなければならない。各ドットの位置を擬似乱数によって決める方法は、ランダム性は十分であるが、一様性が不十分なため濃度にムラが生じる。これに対処するために、特許文献３では、格子点にランダムな変動を加えることによって均一かつランダムな座標点を作り出している。しかし、この方法によって生成される分布は、一様性は十分であるが、ランダム性が不十分なため不要な干渉光によるパターンが生じてしまう。また、濃度分布を作る場合は、領域を分割し、それぞれの領域内で、ドット分布を作成している。この場合、各領域内では均一の濃度になり、領域毎に異なる濃度を有しているため、連続した濃度変化を作り出すことができない。
本発明の課題のひとつは、膜厚分布の不安定などがあっても、濃度が変動しにくい光学フィルターを得ることである。さらに本発明の課題は、任意の濃度分布、濃度変化を有する光学フィルターを得ることである。また、本発明の課題は、回折光の干渉による不要な散乱を生じさせないパターンを作り、このパターンに基づいて遮光膜を形成することによって、散乱の少ない光学フィルターを得ることである。
【課題を解決するための手段】
【０００５】
本発明は、上述の課題の少なくとも一部を解決するためになされたものであり、以下の形態または適用例として実現することが可能である。
【０００６】
［適用例１］本適用例に記載の光学フィルターは、主面の中央部から端部へ向けて透過率が低くなる光学フィルターであって、前記主面に遮光膜から形成された複数の遮光ドット、または前記主面のほぼ全面に形成された遮光膜に複数の透光性の透光ドット、のいずれか一方を備え、前記遮光膜は金属膜または金属酸化物を含む膜であり、前記遮光ドットまたは前記透光ドットをドット間の互いの間隔が不定になるように配置し、且つ前記遮光膜の面積の単位エリア毎の総和が、前記中心部から前記端部へ向けて前記単位エリアを移動するに従い、単調増加するように配置したことを特徴とする。
これにより、ドットの位置すなわち単位エリア内のドットの個数により、主面の中央部から端部へ向けて透過率を連続的に変化させることができる。遮光膜が形成されているドットの透過率は数％以下であり、遮光膜の無い部分の透過率は、９０％以上であり、その単位エリア内の面積の総和で実用上の透過率が決まる。遮光膜の膜厚は、ある厚み以上あれば、透過率を０％近くに安定して得ることができるので、厳密な膜厚の管理は必要無い。従って、膜厚の傾斜を形成して、透過率変化を作る光学フィルターの様に、成膜速度のばらつきなどによって透過率分布がばらつくことが無い。また、ドット間の互いの間隔が不定になるように配置するので、回折光の干渉による不要な散乱を生じない光学フィルターを得ることができる。
【０００７】
［適用例２］本適用例に記載の光学フィルターの製造方法は、以下の工程１から工程３を含むことが好ましい。
前記ドットの中心位置の極座標を（ｒ，θ）、前記ドットの透過率をＴ（ｒ，θ）、前記ドットの半径をＤ（ｒ，θ）、単位エリアあたりの前記ドットの個数をＡ（ｒ，θ）として、
（工程１）遮光ドットでは、式（１）を用い、透光ドットでは、式（２）を用いて、透過率分布から、半径分布と個数分布を求める。
Ｔ（ｒ，θ）＝１−２πＤ2（ｒ，θ）Ａ（ｒ，θ）・・・（１）
Ｔ（ｒ，θ）＝２πＤ2（ｒ，θ）Ａ（ｒ，θ）・・・（２）
（工程２）互いに独立な一様且つランダムな分布列ｓと分布列ｔを求める。
（工程３）Ｎを（ｓ，ｔ）平面内の単位エリア毎の個数とし、式（３）から、前記ドットの前記主面上の座標を得る。
Ｎｄｓｄｔ＝Ａ（ｒ，θ）ｒｄｒｄθ・・・（３）
これにより、ドットの前記主面上の座標を得ることができる。ＬＤＳ法（Low-Discrepancy Sequences）等の一様かつランダムな数列を作り出す方法を用い、この数列を元にドット位置を決めてやれば、主面の中心部から端部へ向けて透過率のムラが無い、一様かつランダムな配置をつくることが出来る。
【０００８】
［適用例３］本適用例に記載の光学フィルターは、主面の一方の端部から他方の端部へ向けて透過率が低くなる光学フィルターであって、前記主面に遮光膜から形成された複数の遮光ドットを有する、または前記主面のほぼ全面に形成された遮光膜に複数の透光性の透光ドットを有する、のいずれか一方を備え、前記遮光膜は金属膜または金属酸化物を含む膜であり、前記遮光ドットまたは前記透光ドットをドット間の互いの間隔が不定になるように配置し、且つ前記遮光膜の面積の単位エリア毎の総和が、前記一方の端部から他方の端部へ向けて前記単位エリアを移動するに従い、単調増加するように配置したことを特徴とする。
これにより、ドットの位置すなわち単位エリア内のドットの個数により、主面の一方の端部から他方の端部へ向けて透過率を連続的に変化させることができる。遮光膜が形成されているドットの透過率は数％以下であり、遮光膜の無い部分の透過率は、９０％以上であり、その単位エリア内の面積の総和で実用上の透過率が決まる。遮光膜の膜厚は、ある厚み以上あれば、透過率を０％近くにに安定して得ることができるので、厳密な膜厚の管理は必要無い。従って、膜厚の傾斜を形成して、透過率変化を作る光学フィルターの様に、成膜速度のばらつきなどによって透過率分布がばらつくことが無い。また、ドット間の互いの間隔が不定になるように配置するので、回折光の干渉による不要な散乱を生じない光学フィルターを得ることができる。
【０００９】
［適用例４］本適用例に記載の光学フィルターの製造方法は、以下の工程１から工程３を含むことが好ましい。
前記ドットの中心位置の座標を（ｘ，ｙ）、前記ドットの透過率をＴ（ｘ，ｙ）、前記ドットの半径をＤ（ｘ，ｙ）、単位エリア毎の前記ドットの個数をＡ（ｘ，ｙ）として
（工程１）前記ドットが遮光ドットでは、式（４）を用い、前記ドットが透光ドットでは、式（５）を用いて、透過率分布から、半径分布と個数分布を求める。
Ｔ（ｘ，ｙ）＝１−２πＤ2（ｘ，ｙ）Ａ（ｘ，ｙ）・・・（４）
Ｔ（ｘ，ｙ）＝２πＤ2（ｘ，ｙ）Ａ（ｘ，ｙ）・・・（５）
（工程２）互いに独立な２つの一様かつランダムな分布列ｓと分布列ｔを求める。
（工程３）Ｎを（ｓ，ｔ）平面内の単位エリアあたりの個数とし、式（６）を満たす様に、前記ドットの前記主面上の座標を得る。
Ｎｄｓｄｔ＝Ａ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ・・・（６）
これにより、ドットの前記主面上の座標を得ることができる。ＬＤＳ法（Low-Discrepancy Sequences）等の一様かつランダムな数列を作り出す方法を用い、この数列を元にドット位置を決めてやれば、主面の一方の端部から他方の端部へ向けて透過率のムラが無い、一様かつランダムな配置をつくることが出来る。
【００１０】
［適用例５］本適用例に記載の光学フィルターの製造方法は、ドットの座標を得る工程において、前記中心位置の任意の２つの間隔が、所定の値以下にならないと同時に、任意の２点間のベクトルが、均一に分散する様に、各中心位置の座標を修正するステップを含むことが好ましい。
所定の透過率を得られる様に、各ドットの径と個数を定めても、ドットが重なってしまっては、所定の透過率が得られない。これを避けるためには、各ドット同士が重ならない様に、位置を修正し、任意の２つの中心点間の間隔が、各ドットの直径以上になる様にすれば良い。また、各ドットで回折された光が重なり合わない様にするためには、任意の２点間のベクトルが、均一に分散する様にすれば良い。各ドットの位置に修正を加えて、各ドット同士が重ならず、各ドットで回折された光が重なり合わない状態を作ることができる。
【００１１】
［適用例６］本適用例に記載の光学フィルターの製造方法は、ドットの座標を得る工程において、前記ドットの間で、その距離と方向から斥力を計算するステップと、２点間ベクトル平面上で、２つのベクトル間で、斥力を計算するステップと、前記ベクトル間の斥力から、中心点に対する斥力を計算するステップと、中心位置に対し、得られた前記斥力を合算するステップと、得られた斥力に応じて、中心点の座標値を修正するステップと、を含むことが好ましい。
仮想的な斥力を計算し、それに基づいて座標値を修正することによって、各ドット同士の重なりや回折光の重なりを回避することができる。
【００１２】
［適用例７］本適用例に記載の光学フィルターは、撮像レンズの絞り近傍に設置されることが好ましい。
これにより、焦点像および、その前後のボケ像を改善することができる。
【００１３】
［適用例８］本適用例に記載の光学フィルターの製造方法は、透光性基板上に金属または金属酸化物を含む遮光膜を蒸着法、スパッタ法により実用上ほぼ均一な膜厚で形成後、前記主面上の座標の位置にドットをフォトリソグラフィーによって形成することが好ましい。
遮光膜が形成されている部分の透過率は数％以下であり、遮光膜の無い部分の透過率は、９０％以上であり、その面積比で総合的な透過率が決まる。遮光膜の膜厚は、ある厚み以上あれば、透過率を０％近くに出来るので、厳密な膜厚の管理は必要無い。従って、膜厚の傾斜を形成して、透過率変化を作るＮＤフィルターの様に、成膜速度のばらつきなどによって透過率分布がばらつくことが無い。また、金属または金属酸化物を含む遮光膜は、耐久性が高く、その形状は、フォトリソグラフィーを用いて形成されており、非常に精度の良い物が得られる。透過率は、遮光部分の面積比によって決まるため、フォトリソグラフィー用マスクの形状によって、任意の透過率分布を作ることが出来る。さらに、光が透過する部分には、吸収物質が無いため、吸収物質の半透過膜を用いる場合の様に波長による透過率の差が生ることが無い。
【図面の簡単な説明】
【００１４】
【図１】ランダム分布列を２次元平面に表示した図。
【図２】透過率がｘ座標に比例するドット分布の例を示す図。
【図３】透過率が中心距離に反比例するドット分布の例を示す図。
【図４】透過率が角度に比例するドット分布の例を示す図。
【発明を実施するための形態】
【００１５】
本発明は、撮像光学系など透過光を用いる光学系に最適な光学フィルターを提供するものである。これに好適な製造方法と、ランダムドットパターンを提供する。
本発明では、透光性の光学基板の主面に、金属または金属酸化物を含む遮光膜を形成し、該遮光膜により遮光する部分と透光する部分との面積の単位エリアの総和の比（遮光比）に応じて、主面上の位置により透過率が変化することを特徴としている。
以下、本発明の光学フィルターの実施形態を説明する。
【００１６】
本実施形態による光学フィルターは、下記（１）ないし（３）を満足する。
（１）形成される遮光膜の形状は、遮光比が０．３以下のエリアでは、透光性基板の主面上に円形または楕円形の遮光ドット（以下、「ドット」ともいう。）がランダムに分散している形状であり、遮光比が０．７以上のエリアでは、遮光膜の中に、円形または楕円形の透光ドット（以下、「ドット」ともいう。）がランダムに分散している形状である。
（２）各ドットの位置に応じて、その径および面積あたりの個数が変化し、なおかつ各ドットの径は、２ミクロン以上５０ミクロン以下である。
（３）遮光膜の境界部は、縁がテーパ状になっており、テーパ部の幅が０．５ミクロン以上である。
【００１７】
光束中に遮光部分が存在すると、その縁で、回折光が発生する。このため、遮光部の形状が多角形の場合には、その辺と直交する方向に回折光が重なり集中してしまう。これを避けるためには、遮光部の形状を円形または楕円形にすれば良い。回折光は全方向に生じるので、回折光の集中を無くすことが出来る。また、遮光部の大きさは、あまり大きくては、光量のムラが大きくなり、透過率の精度が低下する。また、ドットの径が小さい場合、精度良く製作することが困難になると共に、透過する光量に対し、ドットの縁で回折される光が多くなり、光量損失やコントラストの低下を招く。従って、各ドットの径は、２ミクロン以上５０ミクロン以下が最適である。また、ドットの大きさを場所ごとに変えることは、回折光の重なりを防止するためにも有効である。さらに、遮光部の縁がテーパ状になっていると、膜厚の薄い部分で、光が一部透過することとなる。このため、透過率の急激な変化を避けることができ、縁における回折光の発生を抑えることが出来る。本発明では、縁のテーパ部の幅は、０．５ミクロン以上あれば、回折光を減少させることができる。
【００１８】
また、本発明にかかる実施形態としての光学フィルターの製造方法は、円形または楕円形をしている各ドットの中心点が、ランダムに分散しており、この中心点の位置を決定する工程において、互いに独立な２つの一様かつランダムな分布列を生成するステップと、該分布列の値をそれぞれｓとｔとして、直行座標値をｘとｙとした時、Ｎをｓｔ平面内の単位面積あたりの個数、Ａ（ｘ，ｙ）を座標（ｘ，ｙ）における単位面積あたりの個数として、Ｎｄｓｄｔ＝Ａ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙを満たす様に、（ｓ，ｔ）と（ｘ，ｙ）の関係を決めるステップと、該関係式に基づいて、該分布列を基板上の座標に変換するステップと、座標値に応じて各ドットの径を決定するステップと、を含むことを特徴している。ＬＤＳ法（Low-Discrepancy Sequences）などによって、一様かつランダムな数列を作り出す方法が知られており、この数列を元にドット位置を決めてやれば、透過率のムラが無い、一様かつランダムな配置をつくることが出来る。この際、Ｎｄｓｄｔ＝Ａ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙを満たす様に（ｓ，ｔ）と（ｘ，ｙ）の関係を決めてやれば、ステップを生じさせること無く、滑らかに変化する透過率分布を得ることが出来る。
【００１９】
また、本発明にかかる実施形態としての光学フィルターの製造方法は、円形または楕円形をしている各ドットの中心点が、ランダムに分散しており、この中心点の位置を決定する手順において、互いに独立な２つの一様かつランダムな分布列を生成するステップと、該分布列の値をそれぞれｓとｔとして、極座標値をｒとθとした時、Ｎをｓｔ平面内の単位面積あたりの個数、Ａ（ｒ，θ）を座標（ｒ，θ）における単位面積あたりの個数として、Ｎｄｓｄｔ＝Ａ（ｒ，θ）ｒｄｒｄθを満たす様に、（ｓ，ｔ）と（ｒ，θ）の関係を決めるステップと、該関係式に基づいて、該分布列を基板上の座標に変換するステップと、座標値に応じて各ドットの径を決定するステップと、を含むことを特徴としている。直交座標系と同様に、極座標系では、Ｎｄｓｄｔ＝Ａ（ｒ，θ）ｒｄｒｄθを満たす様に（ｓ，ｔ）と（ｒ，θ）の関係を決めてやれば、ステップを生じさせること無く、滑らかに変化する透過率分布を得ることが出来る。
【実施例１】
【００２０】
主面上の座標位置のドットの透過率をＴ（ｘ，ｙ）、ドットの半径をＤ（ｘ、ｙ）、単位エリアでのドットの個数をＡ（ｘ，ｙ）とすると、要求される透過率が高く、遮光ドットが分散している場合は、Ｔ（ｘ，ｙ）＝１−２πＤ2（ｘ，ｙ）Ａ（ｘ，ｙ）となり、要求される透過率が低く、遮光膜に透光ドットが分散している場合は、Ｔ（ｘ，ｙ）＝２πＤ2（ｘ，ｙ）Ａ（ｘ，ｙ）となる。Ａ（ｘ，ｙ）をコントロールすることによって、任意の透過率分布を作り出すことができる。Ａ（ｘ，ｙ）をコントロールするには、分散列ｓおよびｔに対して、Ｎｄｓｄｔ＝Ａ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙを満足する様にｓ，ｔとｘ，ｙの関係を設定する。
図１は、ランダム分布列ｓおよびｔを２次元にプロットした図を示す。
透過率がｘに比例する様にドットの位置を決める場合は、Ｎｄｓｄｔ＝ａｘｄｘｄｙであるから、Ｎｓ＝ａｘ2，ｔ＝ｙとすれば良い。図２はこの変換で決めたｘｙ座標をプロットした図を示す。
【実施例２】
【００２１】
実施例１は直行座標であったが、これが極座標の場合は、Ｎｄｓｄｔ＝Ａ（ｒ，θ）ｒｄｒｄθの関係式を用いる。透過率が、主面の中心からの距離ｒに反比例して低下する場合は、式（７）を満たせばよいので、Ｎｓ＝ａｒ，２πｔ＝θとすれば良い。図３にこの変換を行った結果を示す。
【００２２】
【数１】
2011053581.tif 000003
【００２３】
点対称の濃度分布を持ち、半径ｒ０以内では、透過率１．０、半径ｒ１以上では、透過率０．５、その間では、ｒ−ｒ０の二乗に比例して透過率が下がるので、式（８）で示すことができる。
【００２４】
【数２】
2011053581.tif 000004
【００２５】
ドットの半径が、ｒ０ではｄ０、ｒ１ではｄ１であり、直線的に変化する場合、式（８）で示すことができる。
【００２６】
【数３】
2011053581.tif 000005
【００２７】
透過率Ｔは、θに因らず一定のため、式（１０）であり、式（１１）から式（１２）が導かれる。
【００２８】
【数４】
2011053581.tif 000006
【００２９】
【数５】
2011053581.tif 000007
【００３０】
【数６】
2011053581.tif 000008
【００３１】
また、θ＝２πｔであるから、Ｎｄｓｄｔ＝ａｒθｄｒｄθより、２πＮｄｓ＝Ａ（ｒ）ｒｄｒが導かれる。
故に、式（１３）からｓとｒの関係式が得られる。ｒに関して４次の方程式になるので、ｓを与えてｒを求めるためには、ニュートン法で解くことができる。
【００３２】
【数７】
2011053581.tif 000009
【実施例３】
【００３３】
透過率が、角度θに比例する光学フィルターでは、Ｎｄｓｄｔ＝Ａ（ｒ，θ）ｒｄｒｄθを満たせばよいので、Ｎｓ＝ａｒ2，２πｔ＝θ2とすれば良い。図４にこの結果をプロットした図を示す。
【図１】
2011053581.tif 000010
【図２】
2011053581.tif 000011
【図３】
2011053581.tif 000012
【図４】
2011053581.tif 000013