(57)【要約】【課題】  単純かつ短時間に、物理システムの状態変数のオブザーバの係数を較正する方法を提供する。【解決手段】  この方法は、状態変数ｘkの関数である物理システムの変数ｚkを、相異なるＮ個の測定時刻において測定するステップ（５０）と、あらかじめ定められた制約セットΔを満たしながら、基準式を最小にする係数ベクトルｐを特定するステップ（５４）とを含んでいる。この基準式は、変数ｚkと、変数ｚkの推定値に状態変数ｘkの推定値をリンクさせる既知関数との差のノルムによって構成されている。制約セットΔの１つまたは複数の制約は、変数ｚkの軌跡が、測定時刻ｋの少なくとも大部分において、変数ｚkの推定値の軌跡の両側に配置された、帯状の不確かさの領域の内部に存在しなければならないということを命ずる。【選択図】図２
2011210260.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
添え字ｋが測定時刻を識別する添え字であるとして、物理システムの物理量の測定値ｙkから、この物理システムの状態変数ｘkのオブザーバの係数を較正する方法であって、該方法は、
−  前記状態変数ｘkの関数である、前記物理システムの変数ｚkを、相異なるＮ個の測定時刻において測定するステップ（５０）と、
−  あらかじめ定められた制約セットΔを満たしながら、次の基準式（数１）
【数１】
2011210260.tif 000027
を最小にする係数ベクトルｐを特定するステップ（５４）とを含み、
・  数２は、測定時刻ｋにおいて前記係数ベクトルｐの係数で較正された前記オブザーバによって定められる、前記状態変数ｘkの推定値であり、
・  数３は、前記変数ｚkの推定値（数４）に、前記状態変数ｘkの推定値（数２）をリンクさせる既知関数であり、
・  数５は、前記変数ｚkと前記既知関数（数３）との間の差のノルムであり、
・  前記制約セットΔの１つまたは複数の制約は、前記変数ｚkの軌跡が、測定時刻ｋの少なくとも大部分において、前記変数ｚkの推定値（数４）の軌跡の両側に配置された、帯状の不確かさの領域の内部に存在しなければならないということを命ずることを特徴とする方法。
【数２】
2011210260.tif 000028
【数３】
2011210260.tif 000029
【数４】
2011210260.tif 000030
【数５】
2011210260.tif 000031
【請求項２】
ａおよびｂが、あらかじめ定められた正の定数であるとして、前記制約セットΔに、前記変数ｚkが数６と数７との間に存在しなければならないということを命ずる制約が含まれている、請求項１に記載の方法。
【数６】
2011210260.tif 000032
【数７】
2011210260.tif 000033
【請求項３】
前記定数ａおよびｂは、前記変数ｚkの推定値（数４）の不確かさを表わす平均二乗偏差（数８）に比例する、請求項２に記載の方法。
【数８】
2011210260.tif 000034
【請求項４】
前記制約セットΔに、前記変数ｚkと、その推定値（数４）との間の差の平均が、あらかじめ定められた閾値Ｓ1未満でなければならないということを命ずる制約が含まれている、請求項１〜３のいずれか１項に記載の方法。
【請求項５】
前記閾値Ｓ1は、前記変数ｚkの推定値（数４）の不確かさの関数である、請求項４に記載の方法。
【請求項６】
前記オブザーバはカルマンフィルタ、拡張カルマンフィルタ、またはアンセンテッドカルマンフィルタであり、較正される係数は、これらのフィルタの共分散行列ＲおよびＱの係数である、請求項１〜５のいずれか１項に記載の方法。
【請求項７】
前記共分散行列ＲおよびＱは、対角行列であるように選ばれる、請求項６に記載の方法。
【請求項８】
プログラム可能な電子計算機によって実行されたときに、請求項１〜７のいずれか１項に記載の方法を遂行するための命令を備えていることを特徴とする情報記録媒体（３６）。
【請求項９】
添え字ｋが測定時刻を識別する添え字であるとして、物理システムの物理量の測定値ｙkから、該物理システムの状態変数ｘkのオブザーバの係数を較正するシステムであって、該システムは、
−  前記状態変数ｘkの関数である、前記物理システムの変数ｚkを、相異なるＮ個の測定時刻において測定することができる少なくとも１つのセンサ（３２）と、
−  あらかじめ定められた制約セットΔを満たしながら、次の基準式（数１）
【数１】
2011210260.tif 000035
を最小にする係数ベクトルｐを特定することができるコンピュータ（３４）とを
備えており、
・  数２は、測定時刻ｋにおいて前記係数ベクトルｐの係数で較正された前記オブザーバによって定められる、前記状態変数ｘkの推定値であり、
・  数３は、前記変数ｚkの推定値（数４）に、前記状態変数ｘkの推定値（数２）をリンクさせる既知関数であり、
・  数５は、前記変数ｚkと前記既知関数（数３）との間の差のノルムであり、
・  前記制約セットΔの１つまたは複数の制約は、前記変数ｚkの軌跡が、測定時刻ｋの少なくとも大部分において、前記変数ｚkの推定値（数４）の軌跡の両側に配置された、帯状の不確かさの領域の内部に存在しなければならないということを命ずることを特徴とするシステム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、物理システムの状態変数ｘkのオブザーバ（状態変数観察器）の係数を較正する方法およびシステムに関する。本発明は、さらに、この方法を実行するための記録媒体に関する。
【背景技術】
【０００２】
オブザーバは、物理システムの物理量または物理的規模の測定値ｙkから、状態変数ｘkを推定する。ここで、添え字ｋは、測定時刻を表わしている。
【０００３】
オブザーバによる所望の動作が、ある１つの係数セットで得られるまで、種々の係数セットを用いて一連の実験を行うことによって、オブザーバの係数を較正するいくつかの方法が公知である。通常、オブザーバの望ましい特性は、次のとおりである。
−  変数ｘkの最尤の推定値（数１）への迅速な収斂、および
−  高い安定性。
【数１】
2011210260.tif 000003
【０００４】
この実験に基づく較正は、発見的解決法の一種である。このような較正は、長時間にわたる場合が多く、またオブザーバの最善の較正が得られていることを確認することは困難である。
【０００５】
この問題を解決するために、代替方法が提案されている。例えば特許文献１は、ニューラルネットワークを用いて、カルマンフィルタの係数を較正する方法を開示している。しかしながら、この代替方法は、実験を用いる方法と同じくらい実行が複雑である場合が多い。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００６】
【特許文献１】カナダ国特許公開第２２２６２８２号公報
【特許文献２】ヨーロッパ特許公開第１５０２５４４号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
したがって、本発明は、より単純に実行することができる較正方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
この目的を達成するために、本発明は、次のステップを含む、オブザーバの係数を較正する方法を提供するものである。
−  状態変数ｘkの関数である物理システムの変数ｚkを、相異なるＮ個の測定時刻において測定するステップと、
−  あらかじめ定められた制約セットΔを満たしながら、次の基準式（数２）を最小にする係数ベクトルｐを特定するステップ。
【数２】
2011210260.tif 000004
【０００９】
この基準式において、
・  数１は、測定時刻ｋにおいて係数ベクトルｐの係数で較正されたオブザーバによって定められる、状態変数ｘkの推定値であり、
・  数３は、変数ｚkの推定値（数４）に、状態変数ｘkの推定値（数１）をリンクさせる既知関数であり、
・  数５は、変数ｚkと既知関数（数３）との間の差のノルムであり、
・  制約セットΔの１つまたは複数の制約は、変数ｚkの軌跡が、測定時刻ｋの少なくとも大部分において、変数ｚkの推定値（数４）の軌跡の両側に配置された、帯状の不確かさの領域の内部に存在しなければならないということを命ずる。
【数３】
2011210260.tif 000005
【数４】
2011210260.tif 000006
【数５】
2011210260.tif 000007
【００１０】
上述の方法は、単純に、かつ種々の実験に頼ることなく、オブザーバの効率的動作を可能にする係数を特定するために用いられる。さらに、係数をこのように特定することによって、基準式ｆ（ｐ）を、確実に最小にすることができる。
【００１１】
最後に、制約セットΔを用いることによって、推定値（数４）に不確かさが存在するという事実が考慮に入れられる。基準式ｆ（ｐ）を最小にする係数ベクトルｐを特定するときに、この不確かさを考慮に入れることによって、この不確かさを考慮に入れない場合より良好な較正が得られる。特に、基準式ｆ（ｐ）を最小にすることができるかもしれないが遠回りのアプローチが除外される。
【００１２】
本発明の較正方法の実施形態は、次の特性の１つ以上を備えていてもよい。
−  ａおよびｂが、あらかじめ定められた正の定数であるとして、制約セットΔに、変数ｚkが数６と数７との間に存在しなければならないということを命ずる制約が含まれている。
【数６】
2011210260.tif 000008
【数７】
2011210260.tif 000009
【００１３】
−  定数ａおよびｂは、変数ｚkの推定値（数４）の不確かさを表わす平均二乗偏差（数８）に比例する。
【数８】
2011210260.tif 000010
【００１４】
−  制約セットΔに、変数ｚkと、その推定値（数４）との間の差の平均が、あらかじめ定められた閾値Ｓ1未満でなければならないということを命ずる制約が含まれている。
【００１５】
−  閾値Ｓ1は、変数ｚkの推定値（数４）の不確かさの関数である。
【００１６】
−  オブザーバはカルマンフィルタ、拡張カルマンフィルタ、またはアンセンテッドカルマンフィルタであり、較正される係数は、これらのフィルタの共分散行列ＲおよびＱの係数である。
【００１７】
−  共分散行列ＲおよびＱは、対角行列であるように選ばれる。
【００１８】
さらに、較正方法のこれらの実施形態は、次の長所を有している。
−  変数ｚkが、数６と数７との間に存在しなければならないということを命ずることによって、係数ベクトルｐを探さなければならない探索空間が減少し、したがって、この較正方法の実行速度は上昇する。
−  平均２乗偏差（数８）に比例する定数ａおよびｂを用いることによって、較正が改善される。
−  変数ｚkとその推定値（数４）との間の差の絶対値の平均が、閾値Ｓ1未満でなければならないということを命ずる制約を用いることによって、命ぜられる制約が緩和され、したがって、係数ベクトルｐの決定が促進される。
−  変数ｚkの推定値（数４）の不確かさの関数である閾値Ｓ1を用いることによって、較正が改善される。
−  対角行列ＲおよびＱを選ぶことによって、決定される係数の数が減少し、それによって、較正が促進される。
【００１９】
本発明は、さらに、プログラム可能な電子計算機によって実行されたときに、上述の方法を遂行するための命令を備えている情報記録媒体を提供するものである。
【００２０】
本発明は、さらに、添え字ｋが測定時刻を識別する添え字であるとして、物理システムの物理量の測定値ｙkから、この物理システムの状態変数ｘkのオブザーバの係数を較正するための、次のものを備えているシステムを提供するものである。
−  状態変数ｘkの関数である、物理システムの変数ｚkを、相異なるＮ個の測定時刻において測定することができる少なくとも１つのセンサと、
−  あらかじめ定められた制約セットΔを満たしながら、次の基準式（数２）を最小にする係数ベクトルｐを特定することができるコンピュータ。
【数２】
2011210260.tif 000011
【００２１】
この基準式において、
・  数１は、測定時刻ｋにおいて係数ベクトルｐの係数で較正されたオブザーバによって定められる、状態変数ｘkの推定値であり、
・  数３は、変数ｚkの推定値（数４）に、状態変数ｘkの推定値（数１）をリンクさせる既知関数であり、
・  数５は、変数ｚkと既知関数（数３）との間の差のノルムであり、
・  制約セットΔの１つまたは複数の制約は、変数ｚkの軌跡が、測定時刻ｋの少なくとも大部分において、変数ｚkの推定値（数４）の軌跡の両側に配置された、帯状の不確かさの領域の内部に存在しなければならないということを命ずる。
【図面の簡単な説明】
【００２２】
【図１】オブザーバおよびこのオブザーバの較正システムを有する位置特定システムの構成を示す概要図である。
【図２】図１の位置特定システムのオブザーバの較正方法のフローチャートである。
【図３】変数ｚkおよびその推定値（数４）の軌跡を示すグラフである。
【発明を実施するための形態】
【００２３】
添付図面を参照して、単に非限定的な例として与えられる以下の説明を読むことによって、本発明を、より明瞭に理解することができると思う。
【００２４】
以下の説明において、当業者に周知の特性および機能については、詳細には説明しない。
【００２５】
本明細書において、変数の時間変化を変数の軌跡と呼ぶ。時間変化する変数は、不特定のいかなる変数であってもよい。具体的には、この変数は、必ずしも空間における位置に限定されない。この変数は、例えば時間変化する温度または他の任意の物理量であってもよい。
【００２６】
図１は物理システム、すなわち、この場合には、物体４、および基準系８において、物体４の位置を特定するための位置特定システム６を示している。
【００２７】
物体４は、例えば人体に差し込まれているプローブまたはカテーテルである。物体４は、基準系８内で移動可能である。
【００２８】
基準系８は、正規直交する三軸Ｘ、Ｙ、Ｚを有する固定基準系である。
【００２９】
基準系８における物体４の位置特定には、その座標位置ｘp、ｙp、ｚp、および角度θx、θy、θzを見出すステップが含まれる。角度θx、θy、θzは、それぞれ軸Ｘ、Ｙ、Ｚを基準とした、物体４の方向を表わしている。
【００３０】
物体４の位置特定のために、位置特定システム６は、１つ以上の磁界放射源および磁界センサを備えている。これらの磁界放射源および磁界センサのうちのいくつかは、基準系８にリンクされており、他のものは、何らの自由度もなしに、位置特定されるべき物体４に固定されている。本明細書においては、磁界センサ１０が、何らの自由度もなしに、物体４に固定されている。磁界センサ１０は、例えば三軸磁界センサ、すなわち、互いに同一直線上にない３つの測定軸上に投影した磁界を測定することができるセンサである。このような磁界センサは、磁界の方向を測定することができる。ほどんどの場合、この磁界センサは、磁界の振幅も測定することができる。
【００３１】
これらの測定軸は、例えば互いに直交している。これらの測定軸は、物体４に固定してリンクされている。
【００３２】
この磁界センサ１０は、たわみ線リンクを介して処理ユニット１２に接続されている。
【００３３】
処理ユニット１２は、また、３つの磁界放射源１４〜１６に接続されている。これらの磁界放射源は、例えば三軸磁界放射源である。三軸磁界放射源は、互いに同一直線上にない３つの放射軸に沿って磁界を放射する。そのような磁界放射源は、例えばいくつかの一軸磁界放射体の各々を、磁界放射源の各放射軸上に並べることによって実現される。一軸磁界放射体は、主として単一の軸に沿って磁界を放射する。一軸磁界放射体は、例えば全てのターンが同一の放射軸のまわりに巻き付けられているコイルである。この場合には、放射軸は、ターンが巻き付けられている軸と一致する。
【００３４】
本明細書において、磁界放射源１４〜１６は互いに同一である。これらの磁界放射源１４〜１６は、基準系８に固定されている。
【００３５】
処理ユニット１２は、磁界センサ１０によって測定される磁界を発生させるために、磁界放射源１４〜１６に交流電流を供給する。処理ユニット１２は、また、磁界センサ１０によって測定された磁界の測定値を得る。
【００３６】
処理ユニット１２は、得られた測定値から、基準系８において物体４の位置を特定するオブザーバ１８を装備している。オブザーバ１８は、連立方程式を解くことによって、物体４の座標位置および方向を特定する。この連立方程式は、磁界放射源１４〜１６と磁界センサ１０との間の磁気相互作用をモデル化することによって得られる。この連立方程式において、物体４の座標位置ｘp、ｙp、ｚpおよび角度θx、θy、θzが末知数であり、他のパラメータの値が、磁界センサ１０によってなされた測定値から得られる。そのような連立方程式に関するさらに詳細な情報は、例えば前記の特許文献２に示されている。
【００３７】
本明細書において、オブザーバ１８は、カルマンフィルタである。
【００３８】
このオブザーバ１８は、測定値ｙkから、状態変数ｘkの推定値（数１）を定める。状態変数ｘkは、正規直交系である基準系８における、物体４の座標位置ｘp、ｙp、ｚpおよびその角度θx、θy、θzを成分として含んでいるベクトルである。測定値ｙkは、測定時刻ｋにおいて磁界センサ１０の３つの測定軸に沿って測定された測定値を成分として含んでいる測定ベクトルである。
【００３９】
オブザーバ１８のカルマンフィルタの方程式は、数９、数１０で与えられる。
【数９】
2011210260.tif 000012
【数１０】
2011210260.tif 000013
【００４０】
これらの方程式において、
−  数１１は、測定時刻ｋにおいて利用可能なデータのみから得られる、状態変数ｘkの推定値であり、
−  Ｆkは、推定値（数１１）に推定値（数１）をリンクさせる行列であり、
−  Ｐk/kは、推定値（数１）の誤差の共分散を推定するための行列であり、
−  Ｑkは、とりわけモデル化誤差を含んでいるモデルの方程式のノイズの共分散行列であり、
−  数１２は、測定時刻ｋ＋１においてなされた測定結果から、測定時刻ｋ＋１において訂正された推定値（数１３）であり、
−  ｙkは、測定時刻ｋにおいて得られた測定値のベクトルであり、
−  Ｃkは、測定値ｙkに状態変数ｘkをリンクさせる行列であり、
−  Ｐk+1/k+1は、測定値ｙkに基づいて訂正された推定値（数１）の誤差の共分散行列であり、
−  Ｋk+1は、カルマンフィルタの利得である。
【数１１】
2011210260.tif 000014
【数１２】
2011210260.tif 000015
【数１３】
2011210260.tif 000016
【００４１】
行列Ｆkは、例えば電磁法則に基づいて、磁界放射源１４〜１６と磁界センサ１０との間の磁気相互作用をモデル化することによって得られる。
【００４２】
カルマンフィルタの利得Ｋk+1は、次の関係式（数１４）によって与えられる。
【数１４】
2011210260.tif 000017
ここで、Ｒk+1は、測定値ｙk中のノイズの共分散行列である。
【００４３】
上に与えられている、カルマンフィルタの方程式は標準的なものであり、したがって、本明細書においては、これ以上詳細に言及されない。
【００４４】
カルマンフィルタを用いることによって、物体４の座標位置および角度の正確な推定値が与えられる。しかしながら、その前に、行列ＲkおよびＱkを較正しなければならない、すなわち、行列ＲkおよびＱkの係数の値を決定しなければならない。説明を単純にするために、これらの係数の値は一定であると仮定する。したがって、行列ＲkおよびＱkは、以下において、行列ＲおよびＱで表わされる。
【００４５】
ここで、ｐRおよびｐQは、決定するべき行列ＲおよびＱのそれぞれの係数セットを表わすものとする。
【００４６】
カルマンフィルタが較正されてしまうと、これらの係数セットｐRおよびｐQは、オブザーバ１８が、物体４の位置を推定するためにそれらを用いることができるように、処理ユニット１２に接続されているメモリ２０に記憶される。
【００４７】
図１は、さらに、オブザーバ１８を較正するための較正システム３０を示している。この較正システム３０は、オブザーバ１８の行列ＲおよびＱの係数セットｐRおよびｐQを自動的に決定する。
【００４８】
それを可能にするために、較正システム３０は、変数ｚkを測定する１つ以上のセンサ３２を装備している。この変数ｚkは、その値が状態変数ｘkの関数である変数である。より詳細には、変数ｚkは、既知関数φを介して状態変数ｘkにリンクされている。この既知関数φは線形関数であってもよいし、非線形関数であってもよい。センサ３２は、例えば軸Ｘ、Ｙ、Ｚに沿って、物体４の加速度を測定する。この場合には、センサ３２は、いくつかの加速度計によって構成されている。
【００４９】
別の一実施形態において、センサ３２は、測定値ｙkの測定を実行するために用いられるセンサ以外のセンサを用いて、物体４の位置を直接測定することができる。例えばセンサ３２は、この目的のために、物体４の位置を測定するためのいくつかのカメラ、または、他のセンサおよび他の磁界放射源を有していてもよい。この特定の場合には、既知関数φは恒等関数である。
【００５０】
較正システム３０は、さらに、センサ３２から測定結果を得ることができるコンピュータ３４を有している。このコンピュータ３４は、さらに、センサ３２によって測定された測定結果から係数セットｐRおよびｐQを決定することによって、オブザーバを自動的に較正することができる。
【００５１】
図１に示す特定の場合には、コンピュータ３４はメモリ２０に接続されており、係数セットｐRおよびｐQを、このメモリ２０に直接記録することができる。
【００５２】
コンピュータ３４は、情報記録媒体に記録されている命令を実行することができる、プログラム可能な電子計算機からなっている。コンピュータ３４は、メモリ３６に接続されている。また、このメモリ３６は、図２の方法を実行するために必要な命令を記憶している。
【００５３】
次に、図２の方法および図３のグラフを参照して、較正システム３０の動作をより詳細に説明する。
【００５４】
最初に、ステップ４０において、状態変数ｘkに変数ｚkを関連付ける既知関数φが定められる。そのためには、例えば物理法則が用いられる。
【００５５】
次に、ステップ４２において、オブザーバ１８を較正するために用いられる係数の数が決定される。そのために、位置特定システム６の物理的動作に関する知識が用いられる。さらに、このステップ４２において、最節約原理が適用される。これによって、較正される係数の数が、可能な限り最大限に制限される。
【００５６】
例えば本明細書において説明される特定の場合には、各測定軸上でなされる測定は互いに独立していると仮定される。したがって、行列Ｒは対角行列であるとすることができる。同様に、状態方程式における誤差は互いに独立していると仮定される。したがって、行列Ｑも対角行列であるとすることができる。したがって、行列ＲおよびＱは、それぞれ数１５、数１６で表わされる。
【数１５】
2011210260.tif 000018
【数１６】
2011210260.tif 000019
これらの方程式において、
−  添え字ｉは、係数セットｐRまたはｐQの係数のインデックスを表わしており、
−  ｌおよびｎは、それぞれ行列ＲおよびＱの次数である。
【００５７】
さらに、行列ＲおよびＱは正定値対称行列、すなわちどちらも、全ての固有値が正である対称行列である。これらの仮定に基づくと、行列ＲおよびＱを、次のように表わすことができる。
【００５８】
すなわち行列ＲおよびＱは、Ｒ＝ＸTＸおよびＱ＝ＹTＹで表わされる。ただし、行列ＸおよびＹは対角行列である。行列ＲおよびＱが、なんらかの不特定の行列である場合には、行列ＸおよびＹは、より高次の三角行列になることに注意されたい。
【００５９】
上述の仮定をなすことによって、ステップ４２の最後に、決定されるべき係数ベクトルｐは、次の関係式（数１７）によって定められる。
【数１７】
2011210260.tif 000020
【００６０】
ステップ４４において、係数ベクトルｐを決定するために最適な基準が選ばれる。そのために、係数ベクトルｐを、次の関係式（数１８）（以下、基準式と呼ぶ）によって与える。
【数１８】
2011210260.tif 000021
ここで、
−  ||...||2は、ユークリッドノルム操作すなわちＬ2ノルム操作を表わし、
−  「ｍｉｎ」は、関数ｆ（ｐ）を最小にする係数ベクトルｐを見出す操作を表わし、
−  Δは、関数ｆ（ｐ）を最小にする係数ベクトルｐによって検証すべき制約セットである。
【００６１】
基準式（１０）内に存在する関数φは、上で導入された既知関数φと同じものである。この関数φは、次の関係式（数１９）で示されているように、推定値（数１）から、変数ｚkの推定値（数４）を得るために用いられる。
【数１９】
2011210260.tif 000022
【００６２】
関数φの独立変数を構成している推定値（数１）が、それ自体、係数ベクトルｐの関数であるから、関数φも係数ベクトルｐに依存することに注意されたい。このために、上述の関係式において、推定値（数１）および係数ベクトルｐが、関数φの独立変数として指定されている。
【００６３】
ステップ４６において、係数ベクトルｐによって満たされるべき制約セットΔが定められる。この制約セットΔには、推定値（数４）と変数ｚkとが互いに近似していなければならないということを命ずる少なくとも１つの制約が含まれている。より具体的には、この制約は、変数ｚkの軌跡が、少なくとも平均において、推定値（数４）の軌跡の両側に設けられている帯状の不確かさの領域４８（図３）内に存在しなければならないということを命ずる。
【００６４】
この不確かさの領域４８は、推定値（数４）の軌跡の各側にそれぞれ設けられている各境界ＬminおよびＬmaxによって区画されている。不確かさの領域は、不確かさを伴わずに推定値（数４）を知ることはできないという事実を反映している。この不確かさは、推定値（数４）を定めるために用いられる推定値（数１）に不確かさが存在するという事実から生じる。したがって、オブザーバ１８を適切に較正するためには、ほとんどの測定時刻ｋにおいて、変数ｚkは、不確かさの領域４８内に存在しなければならない。
【００６５】
図３に示す特定の場合には、不確かさの領域４８を区画している境界ＬmaxおよびＬminは、それぞれ距離ａおよびｂだけ、推定値（数４）の軌跡から隔てられている。図３の場合には、これらの距離ａおよびｂは、全期間においてほぼ一定である。
【００６６】
距離ａおよびｂは、推定値（数４）の不確かさの関数であることが好ましい。例えば距離ａおよびｂは、平均二乗偏差（数８）が大きいほど、より大きくなる。平均二乗偏差（数８）は、推定値（数４）の誤差の平均二乗偏差である。この場合には、制約セットΔには、例えば変数ｚkとその推定値（数４）との間の差の平均が、あらかじめ定められた閾値Ｓ1未満でなければならないことを命ずる制約が含まれる。この制約は、次の関係式（数２０）によって表わすことができる。
【数２０】
2011210260.tif 000023
【００６７】
閾値Ｓ1は、例えば次の関係式（数２１）によって定められる。
【数２１】
2011210260.tif 000024
この関係式において、
−  Ｎは、測定時刻ｋの回数であり、
−  αは、例えば３に等しい定数である。
【００６８】
基準式（１０）を最小にする係数ベクトルｐの各候補に対して、平均二乗偏差（数８）を特定することができる。さらに、係数ベクトルｐが知られると、行列ＲおよびＱも知られる。その行列ＲおよびＱから、推定値（数１）の誤差の共分散行列Ｐk/kを計算することができる。この共分散行列Ｐk/kから、推定値（数１）に影響を及ぼす不確かさを特定することができる。この不確かさが知られると、推定値（数１）と推定値（数４）とを関連付ける関数φが知られるから、推定値（数４）の不確かさを特定することもできる。次いで、推定値（数４）の不確かさが、平均二乗偏差（数８）の形式で表わされる。
【００６９】
ステップ４６において、制約セットΔに、他の制約を定めてもよい。例えば係数セットｐRおよびｐQのうちのいくつかの係数の物理的意味に基づいて、これらの係数に制限を設けることができる。例えば磁界センサ１０の測定ノイズに関する情報のいくつかが知られている場合には、これらのいくつかの情報に基づいて、係数セットｐRおよびｐQのうちのいくつかの係数がとることができる値を制限することができる。
【００７０】
制約セットΔが定められると、ステップ５０において、センサ３２が、Ｎ回の相異なる測定時刻において、変数ｚkを測定する。測定時刻の回数Ｎは、通常、係数ベクトルｐに含まれている、決定すべき係数の数より多い。
【００７１】
変数ｚkが測定されると、それらは、コンピュータ３４に与えられる。次に、ステップ５２において、基準式（１０）を最小にするために必要な各変数および係数が初期化される。例えば初期推定値（数２２）の誤差の共分散を推定する初期行列Ｐ0/0は、次の関係式（数２３）によって定められる。
【数２２】
2011210260.tif 000025
【数２３】
2011210260.tif 000026
ここで、
−  Ｉは恒等行列（単位行列）であり、
−  λは定数である。
【００７２】
定数λは、初期推定値（数２２）の設定の際に認識される確かさに応じて調整される。
【００７３】
１よりも相当大きい定数λを選択するということは、初期推定値（数２２）の不確かさが非常に大きいということを意味する。
【００７４】
本明細書においては、初期推定値（数２２）、および係数ベクトルｐ内の各係数の初期値は、任意に設定される。
【００７５】
次に、基準式（１０）を最小にする係数ベクトルｐを特定するために、ステップ５４が実行される。このステップ５４において、基準式（１０）を最小にする係数ベクトルｐが見出されるとともに、制約セットΔの制約が満足されるまで、係数ベクトルｐの値が変更される。このステップ５４は、制約下での最適化ツールを用いて行なわれる。このような制約下での最適化ツールは公知である。具体的には、このような制約下での最適化ツールは、例えばとりわけデジタル計算のための開発環境である「ＭＡＴＬＡＢ」（米国MathWorks社開発の数値計算用ソフトウェアの商標名）において利用可能な「Ｆｍｉｎｃｏｎ」関数（制約下での最小値を求める関数）である。
【００７６】
基準式（１０）を最小にする係数ベクトルｐが特定されると、ステップ５６において、この係数ベクトルｐの係数の値が、オブザーバ１８の行列ＲおよびＱの係数を較正するために用いられる。例えばこのステップ５６中に、これらの係数の値が複製されて、メモリ２０に記録される。
【００７７】
次に、ステップ５８において、位置特定システム６が、磁界センサ１０によってなされた測定から物体４の座標位置および方向を特定するために、較正システム３０によって特定された係数を用いる。
【００７８】
多くの他の実施形態が可能である。例えば同じ物理システムおよび同じオブザーバにおいて、オブザーバを較正するために特定しなければならない、このオブザーバの係数の数に関して、異なる選択をなすことが可能である。例えば対角行列ＲまたはＱの各係数が全て、同一の１つの係数に比例しなければならないということを必要条件とすることによって、係数の数を、さらに減少させてもよい。反対に、行列ＱおよびＲが対角行列ではなく、単に正定値対称行列である場合に、上述の方法を適用することもできる。しかしながら、この仮定によれば、較正システム３０が特定しなければならない係数の数は増加する。
【００７９】
基準式（１０）において、ユークリッドノルムを、別のノルムで置き換えることができる。
【００８０】
上述の制約以外の制約を用いることも可能である。例えば変数ｚkは、各測定時刻ｋにおいて、不確かさの領域４８の内部に系統的に、すなわち常に存在しなければならないということを必要条件とすることが可能である。この制約は、変数ｚkが、平均として、不確かさの領域４８の内部に存在しなければならないということしか必要条件としていない、図３を参照して説明した制約より強化されている。
【００８１】
各測定時刻において、相異なる制約セットを用いることも可能である。例えばセットＬに属するいくつかの測定時刻において、変数ｚkの測定値の不確かさが非常に低い場合には、これらの測定時刻において、より強化された制約を用いることが可能である。例えば測定時刻ｋがセットＬに属している場合に、測定時刻ｋにおける変数ｚkは、常に、より限定された、不確かさの領域の内部に存在しなければならないということを必要条件とすることが可能である。セットＬに属していない測定時刻においては、用いられる制約は、より緩和される。すなわち、例えば平均として、変数ｚkが不確かさの領域４８の内部に存在しなければならないということしか必要条件とされない。測定時刻ｋがセットＬに属しているときの制約を定めるために用いられる不確かさの領域は、測定時刻ｋがセットＬに属していないときの制約を定めるために用いられる不確かさの領域と、必ずしも同一ではない。
【００８２】
変数ｚkが、推定値（数４）の軌跡の不確かさの領域の内部に存在しなければならないということを必要条件とする制約以外のさらなる制約を用いてもよい。例えば連続する２つの測定時刻間の推定値（数４）の変化が少なくなければならないということを命ずる制約を定めることが可能である。
【００８３】
基準式（１０）の最適初期設定のために、上述の選択以外の選択を用いることが可能である。例えば初期状態変数ｘ0の値が知られている場合には、この値が、初期状態変数ｘ0の初期化のために用いられ、行列Ｐ0の係数が、この値の確かさに応じて設定される。
【００８４】
オブザーバによる観察以外の手段で、推定値（数４）の不確かさを得てもよい。例えば実験的に、またはオブザーバ１８を定めている連立方程式以外の連立方程式に基づいて、この不確かさを特定してもよい。
【００８５】
測定される変数ｚkと測定値ｙkとが一致していてもよい。この場合には、センサ３２のような追加のセンサを使用する必要はない。
【００８６】
上述の較正方法は、拡張カルマンフィルタ、アンセンテッドカルマンフィルタ（ＵＫＦ）、またはパラメータが設定される任意の他の再帰型フィルタにも適用される。より一般的には、係数を前もって決定しておかなければならない、状態変数のいかなるオブザーバを較正するためにも、上述の較正方法を用いることができる。したがって、上述の較正方法によって特定される係数は、共分散行列の係数に限定されない。
【産業上の利用可能性】
【００８７】
本発明が、特定の応用に関連付けて説明されている。しかしながら、本発明は、このような応用に限定されない。例えば物理システムが、海面と海底との間の距離すなわち海の深さを与える測定結果を得ることを可能にしている海底探査において測定結果を得るという応用などの他の応用に、本発明を適用することが可能である。
【符号の説明】
【００８８】
４  物体
６  位置特定システム
８  基準系
１０  磁界センサ
１２  処理ユニット
１４〜１６  磁界放射源
１８  オブザーバ
２０、３６  メモリ
３０  較正システム
３２  センサ
３４  コンピュータ
４８  不確かさの領域
Ｌmax、Ｌmin  境界
【図１】
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【図２】
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【図３】
2011210260.tif 000038
【外国語明細書】
2011210260000001.pdf