(57)【要約】【課題】  乗法九九の学習者にとって、掛ける数と掛けられる数の関係を確認する作業は、表によって行われている。この作業を探求活動として活用し、自らが数学的な規則性を発見する楽しさや思いもよらぬ数学的な奥行きを体験できる装置を開発する。【解決手段】  積を和に直すことができる対数の概念を導入することにより、乗法九九の規則的な演算結果を視覚的に確認できる学習具を開発した。この乗法九九学習具は、図３の符号１及び２に示すように、九九の関係の全体を二次元的な図に表示した面をもつ表示体と、重ねた状態で使用する滑尺とからなり、それぞれに同一縮尺の対数刻みの目盛が使用されている。図３の符号1k及び2dに示したように、段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としての印が表示体及び滑尺にあって、滑尺を位置決めすることによって、九九の積の値を読み取る。九九の関係の全体を見渡すことができ、規則性を直観的に探求できるようにした。【選択図】  図３
2011158701.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
乗法九九全体の数値の関係を二次元的に図示した表示面を有する表示体と、前記表示面
上に重ねた状態で当該表示面に沿って移動可能な滑尺とを備え、前記表示面には、掛け算
の段の数値に相当する１から順に少なくとも９までの自然数Ｄの値の位置が目盛られた軸
と、掛け算の答えに相当する１から順に少なくとも８１までの自然数Ａの値の位置が目盛
られた軸とがあり、前記滑尺には、掛け算の掛ける数に相当する１から順に少なくとも９
までの自然数Ｋの値の位置が目盛られた軸があり、前記Ｋの目盛と前記Ａの目盛は同一縮
尺の対数間隔であり、前記表示体と前記滑尺との間には段毎に滑尺の使用位置を設定する
ための機構があって、前記滑尺には前記Ｋの目盛に対応するカーソル線があることを特徴
とする乗法九九学習具。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、対数刻みの目盛を用いて乗法九九の答えを規則的に読み取る学習具に関する
ものである。
【背景技術】
【０００２】
算数教育において、さまざまな乗法九九学習教材が開発されている。例えば、掛け算の
答えをカルタのようにして、集団で競い合いながら覚えていく方法が知られている。また
、楽しい音楽や映像を使ったゲームなどによって、興味を引く方法もある。ある教育系の
小学二年生向けの雑誌では、その付録に、「計算スピードがわかるタイマー機能つき  九
九暗記マシン」、「九九暗記ＤＶＤ  九九のうた」、「おりたたみ式  九九早おぼえひょ
う」、「九九トレーニングブック（入門編）」がある（非特許文献１）。
【０００３】
小学校学習指導要領には、算数の目標は「数量や図形についての算数的活動を通して，
基礎的な知識と技能を身に付け，日常の事象について見通しをもち筋道を立てて考える能
力を育てるとともに，活動の楽しさや数理的な処理のよさに気付き，進んで生活に生かそ
うとする態度を育てる。」とある（非特許文献２）。ここで、目標に「活動の楽しさ（中
略）に気付き」という記述があることを強調しておく。
【０００４】
現在のところ、九九の教材として、例えば、線形軸を有したＬ字型の尺を導入して掛け
算の結果を面積として自分で確かめることを可能としたものがある（特許文献１）。また
、対数を利用して長さを設計した積み木を重ね合わせることにより、掛け算を足し算にな
おして理解するものもある（特許文献２）。
【０００５】
対数の性質を使うと、掛け算を足し算に変換して扱うことができる。この対数の性質を
視覚的に利用した道具の例として、計算尺あるいは片対数方眼紙もしくは両対数方眼紙な
どが挙げられる（非特許文献３）。対数刻みの目盛を使った計算尺で掛け算の演算を３桁
程度で行うことは公知である（非特許文献３）。
【特許文献１】実登3114502 かけ算九九計算尺セット
【特許文献２】特開2005-305002 掛け算九九学習用積木
【非特許文献１】２年の学習、夏号、（株）学習研究社、２００８年．
【非特許文献２】小学校学習指導要領 第3節  算数、文部科学省、平成10年12月.
【非特許文献３】ヘンミ中等学校生徒用計算尺（No. 2640）使用法解説、株式会社 逸見製作所、昭和１８年．
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
既存の小学生向けの教材は、掛ける数と掛けられる数およびこれらの積との間にある数
値の関係を、表などによって正確に覚えることに重点がおかれ、乗法九九の学習を通して
数学的な規則性を見出すことに重点をおいていない。九九の教材に求められていることは
、暗記の目的を達成することのほか、答えを自分で確かめられること、九九の全体が見渡
せること、数学的な規則性を表現していること、そして楽しいこと等を挙げることができ
る。
【０００７】
小学校学習指導要領には、「活動の楽しさ（中略）に気付き」という記述があることを
紹介した。九九に含まれる数学的な規則性の存在を探求する活動を通し、思いもよらぬ数
学的な奥行きを直観することこそ、楽しいことと考えられる。
【０００８】
数学的な規則性の存在を探求するために、例えば、通常の方眼紙に、横軸に九九の段、
縦軸に段毎の答えを図示すると、九九における数値の分布を視覚的に捉えやすくなる。し
かし、横軸や縦軸のとり方については、九九の学習者に「活動の楽しさ（中略）に気付き
」という観点から工夫の余地がある。
【０００９】
高校生にとっては、対数は、公式に当てはめる計算は容易であるが、どんな場面で用い
られるのかがわかりにくいと言われている。それは、対数の公式が持つ意味を視覚化した
教材が広く普及していないことが、この原因の一つだと考えられる。
【００１０】
九九の教材に求められることのうち、特に数学的な規則性を意識して表現することを強
調したものを開発し、九九の学習者に提供することは、算数教育および将来の数学教育に
とっても有益である。また、対数の学習者に対して視覚教材を提供することも期待されて
いる。この目的に適した学習具としての装置を開発し、これらの問題を解決する。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
本発明者らは、計算尺のように、積を和に直すことができる対数の概念と、計算のため
に二つの対数軸を組み合わせるしくみとを導入し、乗法九九の演算結果を視覚的に確認で
きる九九学習者向けに特化した学習具を開発した。この学習具は、乗法九九の関係の全体
を見渡し、数値を自ら確認することを通して、数学的な規則性を直観的に探求できる構造
である。
【００１２】
本発明は、乗法九九全体の数値の関係を二次元的に図示した表示面を有する表示体と、
この表示面上に重ねた状態で当該表示面に沿って移動可能な滑尺とから構成される装置で
ある。この表示面には、掛け算の段の数値に相当する１から順に少なくとも９までの自然
数Ｄの値の位置が目盛られた軸と、掛け算の答えに相当する１から順に少なくとも８１ま
での自然数Ａの値の位置が目盛られた軸とがある。この滑尺には掛け算の掛ける数に相当
する１から順に少なくとも９までの自然数Ｋの値の位置が目盛られた軸があって、このＫ
の目盛と先のＡの目盛は同一縮尺の対数間隔である。表示体と滑尺との間には段毎に滑尺
の使用位置を設定するための機構があって、前記滑尺には前記Ｋの目盛に対応するカーソ
ルがあることが特徴である。この表示体と滑尺とからなる装置を乗法九九学習具とする。
【発明の効果】
【００１３】
この発明により、乗法九九を学ぶ際、対数に関する知識を前提とせず、対数を利用し、
掛け算の答えを規則的に配置した図から、九九の答えを段毎に視覚的に読み取ることを可
能とした教材を実現した。九九の答えの配置から、九九を学ぶ小学生にとっては、視覚的
に数学的な規則性の存在を直観し、探求することができる。
【００１４】
対数軸の原理に関する理解には、高等学校程度の数学を習得する必要がある。本発明は
、身近な九九が対数の概念によって視覚的に表現されており、高校生にとっては、対数に
関する視覚教材として使用することができる。さらに、理科系の大学生に対しては、物理
学実験等で使用する片対数方眼紙や両対数方眼紙の対数軸の理解に役立つ教材とすること
ができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１５】
本発明の乗法九九学習具を図面に基づいて説明する。乗法九九学習具は、図１の符号１
に模式的に示した表示体と図２の符号２に模式的に示した滑尺とからなる。
【００１６】
図１の符号1aから1kまでは、それぞれ、表示面、Ａ軸、Ａ軸の目盛、Ａ軸の目盛の数値、
Ａ軸の目盛の罫線、Ｄ軸、Ｄ軸の目盛、Ｄ軸の目盛の数値、Ｄ軸の目盛の罫線、段毎に滑
尺の使用位置を設定するための機構としての印、及び段毎に滑尺の使用位置を設定するた
めの機構としての印のうち「×１」に対応した印である。図２の符号の2aから2dまでは、
それぞれ、Ｋ軸、Ｋ軸の目盛を兼ねたカーソル、Ｋ軸の目盛の数値を兼ねたカーソルに対
応した掛ける数、及び「×１」に対応したカーソルである。これらを図３の模式図の符号
1kと2dの印のように、段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構にしたがって、組み合
わせて使用する。
【００１７】
図１の符号１に示す表示体には、符号1aのように表示面がある。乗法九九には１の段か
ら９の段まである。ここで、ＤとＫを１から９までの自然数としたとき、任意のＤの段は
Ｄ×１、Ｄ×２、…、Ｄ×Ｋ、…、Ｄ×９と書き表すことができる。図１において、１の
段すなわちＤ＝１では、Ａ＝Ｄ×１の罫線とＡ＝１の罫線が一致し、９の段すなわちＤ＝
９では、Ａ＝Ｄ×９の罫線とＡ＝８１の罫線が一致する。表示面には、この各段Ｄの全答
Ａ、或いはこれらの代表的な一部が片対数方眼或いは両対数方眼に作図されている。
【００１８】
このＤ×Ｋの答えの数値を自然数Ａとして、図から読み取ることを考える。Ａ軸を対数
軸とすると、Ｄ×１の値を示すＡ軸の罫線から他の８種類の各掛け算、例えばＤ×Ｋの値
を示すＡ軸の罫線までの紙面上の間隔をＬとする。
【００１９】
対数軸の性質として、この間隔Ｌは、図１に示したように、
Ｌ ＝ ｃlog10(Ｄ×Ｋ)−ｃlog10(Ｄ×１)
＝ ｃlog10Ｋ
である。ここで、ｃは紙面上における長さを決める縮尺に関する定数で、使用する対数の
底に依存して、設計者が定める。図１に示したように、ｃlog10(Ｄ×Ｋ)は対数目盛の１
からＤ×Ｋまでの紙面上の間隔を意味し、ｃlog10(Ｄ×１)は対数目盛の１からＤ×１ま
での紙面上の間隔を意味している。この式は、対数軸において、Ｄ×１の値を示す罫線か
らＤ×Ｋの値を示す罫線までの紙面上の間隔Ｌが、Ｄによらず、Ｋだけの関数であること
を示している。
【００２０】
この性質を利用し、この表示面には、符号1b及び符号1f並びに符号1kに示した、Ａ軸及
びＤ軸並びに段毎に滑尺の使用位置を設定する機構としての矢印が描かれている。Ａ軸に
は、符号1c及び符号1d並びに符号1eに示したように、１から順に少なくとも８１までの自
然数に対応した目盛及び代表的な数値並びに罫線がそれぞれ記入されている。同様に、Ｄ
軸には、符号1g及び符号1h並びに符号1iのように、１から順に少なくとも９までの自然数
に対応した目盛及び代表的な数値並びに罫線がそれぞれ記入されている。この図１の場合
、Ａ軸は掛け算の答えを読み取るために用いられ、Ｄ軸は掛け算の段を区別するために描
かれている。
【００２１】
段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構のうち最も単純なものは、図１の符号1kの
ように表示面上に描いた印であり、図２の符号2dに示した滑尺の印を重ね合わせて図３の
ように使用する。この図１の場合の印は矢印である。これらの印は同一の記号でもよいし
、見やすいように、色或いは形もしくは大きさを変えてもよい。
【００２２】
図２の符号２に示す滑尺には、図２の符号2aのように、辺に沿ってＫ軸があり、図１の
Ａ軸と同一縮尺の対数軸とする。図２の符号2b及び符号2cに示すように、Ｋ軸には１から
順に少なくとも９までの自然数の目盛及び数値が記入されている。この滑尺のＫ軸の目盛
は、表示体のＡ軸の数値を読み取るためのカーソルとして使用する。すなわち、滑尺には
カーソルが少なくとも９本ある。このＫ軸の目盛に対応した数値は、前記カーソルに対応
した掛け算の掛ける数を意味している。
【００２３】
滑尺のカーソルは、図２の符号2dに示した「×１」用のものから順に、符号2bに示した
ように任意の「×Ｋ」用を含む、少なくとも「×９」用のものまでの掛ける数Ｋに対応さ
せたものが描かれている。これらのカーソルは矢印や線分などの記号で表し、見やすいよ
うに色或いは形もしくは大きさを変えてもよい。
【００２４】
図３には、表示体と滑尺とを組み合わせて使用し、掛け算の九九の値を読み取るときの
例を示した。ここでは、任意のＤの段について説明する。まず、図２の符号２に示す滑尺
を、図１の符号１に示す表示体に印刷された図１の符号1aに示す表示面に乗せる。次に、
表示面上で、Ｄ軸の値がＤでＡ軸の値がＤ×１である座標（Ｄ，Ｄ×１）にある、図１の
符号1kに示した印を探す。この印に図２の符号2dに示した滑尺の「×１」のカーソルを重
ねる。滑尺のＫ軸をＡ軸に平行にして重ねる。このとき、滑尺の向きはＡ軸に平行となる
ようにする。このときの様子が図３である。滑尺のＫ軸にある各カーソルが指し示すＡ軸
の数値は掛け算Ｄ×Ｋの値となっている。
【００２５】
滑尺には、２つの形式を考えることができる。図２に示した滑尺の形式は、図１の表示面
における段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としての印のうち、１の段の９つの
印を選び出したものをカーソルとしている。表示面の座標（Ｄ，Ｄ×１）に「×１」のカ
ーソルを重ねる。これに対し、図１の表示面における段毎に滑尺の使用位置を設定するた
めの機構としての印のうち各段の「×１」の９つの印を選び出したものをカーソルとする
別の形式の滑尺を考えることもできる。
【００２６】
Ｄ軸、Ａ軸、Ｋ軸は、それぞれの軸に沿って数値が刻まれるが、後の実施例のように、
これらの軸は直線に限らず、折線や曲線であってもよい。乗法九九学習具としての機能に
差支えが無いと判断できれば、通常のグラフにあるような座標軸の線を必ずしも引かなく
てもよい。各軸の罫線やカーソルは、各軸に直交しない場合もある。表示面や滑尺の形状
は、互いの関係を維持でき、滑らかに動かすことができるならば、平面に限らず、円柱面
や球面であっても良い。表示体には滑尺を設定することを容易にする帯やガイドを設けて
もよい。図１ではＡ軸とＤ軸とが９０度に交差する場合の図を示したが、これらの軸は必
ずしも９０度に交差していなくても構わない。
【００２７】
段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構は、滑尺に描いた印を利用したものでなく
ともよい。例えば、図４の符号1lのように、滑尺の外形の縁取線を表示体に描いたもので
もよい。また、段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構は、表示体と滑尺とに視覚的
に描かれた一対の記号などの目印でもよい。この他にも、表示体と滑尺とに一対の形状的
な凹凸を設けてもよいし、表示体と滑尺とが引き合うように磁石を埋め込んで磁気的な結
合機構を設けてもよい。表示体と滑尺を同一用紙に印刷した場合は、段毎に滑尺の使用位
置を設定するための機構として、表示体上の折り曲げ位置を示す折曲線を利用することも
できる。
【００２８】
Ｄ軸は線形軸でも対数軸でもよく、表示面は、片対数方眼を基にしたもののほか、両対
数方眼を基にしても描くことができる。さらに、両対数方眼を変則的に使用し、-１乗の
傾きを持つ罫線を描き、片対数方眼のように使って表示面を描くこともできる。
【実施例１】
【００２９】
本発明の乗法九九学習具の表示体と滑尺を、片対数方眼紙を用いて作成する方法を図５
に基づいて説明する。
【００３０】
まず、表示面の作図の仕方を説明する。片対数方眼紙の対数刻みの縦軸にＡの代表的な
目盛及び対応する数値、並びに横の罫線を記入する。線形刻みの横軸には、各段Ｄを意味
する１から９までの目盛及び対応する数値、並びに縦の罫線を記入した。さらに、この縦
の罫線にはＤの段の答えに相当するＡ軸の値の位置に、順次図５の符号1kのような矢印を
付けた。このＤを１から９まで変えて、各段に対応した罫線に矢印を記入する。この矢印
は段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としての印となる。本例の場合は、表示面
が印刷された用紙が表示体となっている。
【００３１】
次に、滑尺の作成方法を示す。図５の符号２に示すように、片対数方眼紙の、例えば右
隅に、九九の掛ける数Ｋの１から９までを、Ａ軸の目盛と同一縮尺に目盛り、この各位置
に、図５の符号2dのように矢印で印をつけカーソルとする。このとき、掛ける数Ｋを、対
応するカーソルの横に「×Ｋ」のように併記する。滑尺の縦方向は９種のカーソルを含む
長さとし、横方向はカーソルや文字が印刷された部分を読みやすい程度の幅とする。この
片対数方眼紙の右隅の領域を滑尺とし、切り取って使用する。この滑尺はどの段にも共通
に使うことができる。
【００３２】
滑尺を使って、九九の各段のうち、任意のＤの段について、答えを表示面から見出すと
きの使用方法を説明する。まず、滑尺の目盛のＫ軸に相当する左側の辺をＤの段の縦の罫
線に合わせる。次に、この向きのまま、滑尺の目盛の「×１」が、九九の図の表示面にお
ける座標（Ｄ，Ｄ）、すなわち、横軸のＤ、縦軸のＤの位置になるように固定する。滑尺
にある各々の「×Ｋ」のカーソルが指し示すＡ軸の罫線をたどって読み取る数値Ａが、Ｄ
×Ｋの答えとなっている。すなわち、９種のカーソルはＤの段の全ての答えを指し示して
いる。
【００３３】
図６では、例として、Ｄ＝６の場合、すなわち、６の段についての使用法を示している
。符号２の滑尺のＫ軸に相当する左側の辺を、表示面の横軸の６を通る縦の罫線に合わせ
、この向きのまま、図６の符号1kに示した（６，６）の位置にある滑尺の位置決めをする
ための機構としての表示面上の印と、符号2dに示した滑尺の「×１」のカーソルを重ね合
わせる。このとき、９種のカーソルは６の段の全ての答えを指し示している。
【００３４】
図５あるいは図６に示した、滑尺を切り取って使う形式の乗法九九学習具は、紙面に印
刷した状態で学習者に提供できる。この形式の乗法九九学習具の使用後は、表示体と滑尺
とがばらばらになって無くならないように、クリップ等で留めておく。表示体と滑尺は、
紐でつなげておいてもよい。
【００３５】
本発明の変形例を図７に基づいて説明する。これは、乗法九九の範囲を拡張し、２０×
２０まで対応できるようにしたものである。片対数方眼紙に、方眼紙の罫線を利用して表
示面と滑尺とを描いた。図７の符号１と符号２に、表示体と滑尺の例を示す。表示面には
段毎に滑尺の使用位置を設定するための矢印を「×１」に相当するものを描き、滑尺には
カーソルの代表的なものだけを描いた。使用法は先の例と同様で、興味ある段の罫線に滑
尺の辺の向きを合わせ、図７の符号1kに示した滑尺を設定する機構としての印に、図７の
符号2dに示した滑尺の「×１」のカーソルを合わせ、カーソルの指し示す各数値をＡ軸か
ら読み取る。
【００３６】
本発明の別の変形例を図８に基づいて説明する。これは、片対数方眼紙の対数軸を横方
向に使いＡ軸とし、線形軸を縦方向に使ってＤ軸とし、先の例に対して、縦軸と横軸を交
換した表示面を作り、対応するＫ軸を有する滑尺を作成した装置の例である。図８の符号
１と符号２に、表示体と滑尺の例を示す。作成法や使用法は先の例と同様で、滑尺のカー
ソルがある辺を、調べたい段の数値Ｄを通る罫線にそろえ、表示体上の段毎に滑尺を設定
するための印と滑尺の「×１」に対応したカーソルとを合致させて使用する。
【００３７】
本実施例の別の変形例を図９に基づいて説明する。これは、図５の表示面を台紙に貼り
つけ作成した表示体に、滑尺のＫ軸方向を延長し帯状にして上下左右に移動可能なように
巻きつけて囲み、表示体と滑尺とを一体化した装置の例である。符号１が表示体、符号２
が滑尺、符号2eが滑尺を移動させるための帯である。滑尺と表示体とが一体化しているの
で、滑尺を使用する際の向きが常に正しく維持され、使用したい段に容易に合わせること
ができる。使用法は、前述と同様であり、滑尺の帯を上下左右に移動させ、図９の符号1k
及び符号2dにある段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としての表示面上の印と滑
尺の「×１」を示す印とを一致させ、各カーソルの指し示すＡの値を読みとる。図９では
、例として、Ｄ＝６の場合、すなわち、滑尺が６の段の位置にあるときの使用法を示して
いる。このとき、任意の「×Ｋ」に対応したカーソルが指し示すＡの値はＤ×Ｋの値であ
る。
【００３８】
本実施例の別の変形例を図１０に基づいて説明する。これは、Ａ軸を円筒形に丸めて結
合させた表示体とＫ軸方向に延長して輪状にした滑尺とを組み合わせた装置の例である。
符号１は表示体、符号２は滑尺である。滑尺と表示体とが一体化しているので、滑尺を使
用する際の向きが常に正しく維持され、使用したい段に容易に合わせることができる。使
用法は、前述と同様であり、輪状の滑尺を回転と左右の方向に移動させ、図１０の符号1k
及び符号2dにある段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としての表示面上の印と滑
尺の「×１」を示す印とを一致させ、各カーソルの指し示すＡの値を読みとる。図１０で
は、例として、Ｄ＝４の場合、すなわち、滑尺が４の段の位置にあるときの使用法を示し
ている。このとき、任意の「×Ｋ」に対応したカーソルが指し示すＡの値はＤ×Ｋの値で
ある。
【００３９】
本実施例の別の変形例を図１１に基づいて説明する。これは、符号１に示す球面形の表
示体と符号２に示す弧状の滑尺とを符号2fに示す滑尺のガイドを使って一体にした構造の
装置の例である。表示体では、地球儀で言う子午線の方向が、図１１の符号1bに示すＡ軸
で、赤道の方向が、符号1fに示すＤ軸である。図１１の符号2aに示すＫ軸と符号2dに示す
カーソルを有する滑尺は北極と南極にある自転軸につながった弧状のガイドに沿って動く
ことができる。使用法は、基本的に前述の例と同様で、滑尺の「×１」の印を表示面の座
標（Ｄ，Ｄ）に合わせる。図１１では、例として、Ｄ＝２の場合、すなわち、滑尺が２の
段の位置にあるときの使用法を示している。このとき、任意の「×Ｋ」に対応したカーソ
ルが指し示すＡの値はＤ×Ｋの値である。
【００４０】
本実施例の別の変形例を図１２に基づいて説明する。これは、Ａ軸とＤ軸とが共通とな
っており、Ｋ軸がこれらと独立である構造の装置の例である。この変形例は、表示面の座
標（１，Ｄ）に対数軸方向に自在に動かすことができる滑尺の「×１」のカーソルを重ね
て使用する。図１２の符号１に示す表示体には、表示面の縦軸を対数刻みとし、横軸を線
形刻みとして、代表的な目盛と対応する数値を記入し、符号1kのような滑尺の使用位置を
設定するための機構として、矢印を付けておく。図１２の符号2fに示すように、表示体に
ガイドを付けると、九九の答えを示した表示面は２次元的に分布しているが、対数関数型
の滑尺をガイドに沿って移動してあわせる方向が一方向となり、滑尺の装備機構が簡単で
ある。また、図１２の符号2eに示したが、滑尺自体や滑尺を移動するための帯は透明であ
ると使いやすい。図１２では、例として、Ｄ＝３の場合、すなわち、３の段についての使
用法を示している。縦軸の３の位置にある段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構と
しての表示面上の印に、対数関数型の滑尺の「×１」を一致させたとき、滑尺の任意の「
×Ｋ」に対応したカーソルが指し示すＡの値はＤ×Ｋの値である。
【実施例２】
【００４１】
本発明の実施例を図１３に基づいて説明する。これは、Ａ軸である縦軸の他に、Ｄ軸で
ある横軸をも対数軸とした場合の表示体とＫ軸を有する直線型の滑尺とを組み合わせた装
置を作成可能な型紙の例である。符号１は表示体、符号２は滑尺である。この実施例は、
表示面の座標（Ｄ，Ｄ）に滑尺の「×１」のカーソルを重ねる形式の乗法九九学習具であ
る。
【００４２】
この型紙の作成方法は、横軸Ｄの目盛が線形ではなく対数であることが異なる以外は、
基本的に、実施例１と同様である。滑尺は型紙から切り取って、表示体の表示面にあてて
使用する。この滑尺はどの段にも共通に使うことができる。表示体の縦軸と横軸は、数値
読み取りやすさを考え、特別な太い線を引かない。縦軸と横軸は上側や右側にも目盛や数
値を記入した。滑尺のカーソルは、数値を読み取りやすいように、滑尺の縦辺の両側に引
く。
【００４３】
この実施例の変形例として、図１３の型紙を組み合わせて製作した装置の例を図１４に
示した。図１４の符号１は表示体、符号２は滑尺である。図１４の符号2eは滑尺を移動さ
せるための透明な帯で、符号2fはこの滑尺の帯のガイドである。九九の答えを示した表示
面は二次元的に分布しているが、直線型の滑尺を滑らせる方向が一方向となり、滑尺の装
備機構が単純となった。図１４では、例として、Ｄ＝２の場合、すなわち、滑尺が２の段
の位置にあるときの使用法を示している。このとき、任意の「×Ｋ」に対応したカーソル
が指し示すＡの値はＤ×Ｋの値である。
【００４４】
この実施例の別の変形例を、図１５及び図１６並びに図１７に基づいて、説明する。図
１５の符号１は、図１３に示した表示面を紙面表に印刷した型紙の図である。図１６の符
号２は、図１３に示した滑尺を、図１５の裏面に印刷した図である。本変形例の特徴は、
これら表示面と滑尺とともに、図１５の符号2g及び図１６の符号2hにそれぞれ示す、表面
に印刷した９本のタニオリ線と、これの裏面に印刷した９本のヤマオリ線とがあることで
ある。本例の場合は、表示面が紙面表に、滑尺が紙面裏に印刷された用紙が表示体となっ
ている。
【００４５】
この図１５及び図１６のタニオリ線あるいはヤマオリ線は、透かせて見れば重なる位置
に描かれており、Ｄの段用の折線に沿って折り曲げることで、符号2dにある滑尺の「×１
」の印が、符号1kにある表示面の座標（Ｄ，Ｄ）に合うように設計してある。この９本の
折線間隔は、Ａ軸の罫線間隔の１/√２倍である。この折線は、段毎に滑尺の使用位置を
設定するための機構でもある。この実施例の場合、滑尺を用紙から切り離さずに使用する
ことができ、特別な帯を使うことなく滑尺の向きを整えられ、また、興味あるＤの段用の
折線で用紙を折り曲げることで乗法九九学習具を使用することができる。
【００４６】
図１７では、例として、Ｄ＝４の場合、すなわち、４の段の位置にあるときの使用法を
示している。用紙を４の段用の折線に沿って折り曲げ、符号1kにある表示面の座標（４，
４）にある印と符号2dにある滑尺の「×１」の印とを一致させたときの使用法を示してい
る。このとき、任意の「×Ｋ」に対応したカーソルが指し示すＡの値はＤ×Ｋの値である
。
【００４７】
この実施例の別の変形例を、図１８及び図１９に基づいて、説明する。図１８の符号１
及び符号２は、表示面と滑尺とを紙面に印刷した型紙の図である。図１８の符号2g及び符
号2hは、それぞれ、滑尺を設定するための機構としての９本のタニオリ線と１本のヤマオ
リ線である。本変形例の特徴は、紙面の片面に、これらすべてが印刷されていることであ
る。本例の場合は、表示面と滑尺が紙面表に印刷された用紙が表示体となっている。
【００４８】
この図１８のタニオリ線あるいはヤマオリ線は、Ｄの段用の折線に沿って折り曲げるこ
とで、符号2dにある滑尺の「×１」の印が、符号1kにある表示面の座標（１，Ｄ）に合う
ように設計してある。この９本の折線間隔は、Ａ軸の罫線間隔の１/２倍である。この折
線は段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構である。表示面の縦軸はＡ軸とＤ軸とを
兼ねており、横軸は滑尺のＫ軸の射影成分を表す。滑尺のヤマオリ線が辺となりＫ軸であ
る。９本のカーソルはこの辺と４５度をなしている。この実施例の場合、滑尺を用紙から
切り離さずに使用することができ、特別な帯を使うことなく滑尺の向きを整えられ、また
、興味あるＤの段用の折線で用紙を折り曲げることで乗法九九学習具を使用することがで
きる。
【００４９】
図１９では、例として、Ｄ＝９の場合、すなわち、９の段の位置にあるときの使用法を
示している。用紙を９の段用の折線に沿って折り曲げ、符号1kにある表示面の座標（１，
９）にある罫線と符号2dにある滑尺の「×１」の印とを一致させたときの使用法を示して
いる。このとき、任意の「×Ｋ」に対応したカーソルが指し示すＡの値はＤ×Ｋの値であ
る。ここで、座標（１，Ｄ）には、段毎に滑尺の使用位置を設定するための特別な機構と
しての印を設けなかったが、縦軸用の罫線が目印になり、折線がこの機構として働く。
【００５０】
この実施例の別の変形例を、図２０及び図２１に基づいて、説明する。およそ前の例と
似ているが、折り方が異なる。図２０の符号１及び符号２は、表示面と滑尺とを紙面に印
刷した型紙の図である。図２０の符号2g及び符号2hは、それぞれ、滑尺を設定するための
機構としての１本のタニオリ線と９本のヤマオリ線である。本変形例の特徴は、先の変形
例と同様に、紙面の片面に、これらすべてが印刷されていることである。
【００５１】
この図２０のタニオリ線あるいはヤマオリ線は、Ｄの段用の折線に沿って折り曲げるこ
とで、符号2dにある滑尺の「×１」の印が、符号1kにある表示面の座標（１，Ｄ）に合う
ように設計してある。この９本の折線間隔は、Ａ軸の罫線間隔の１/√２倍である。この
折線は段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構である。表示面の縦軸はＡ軸とＤ軸と
を兼ねており、横軸は滑尺のＫ軸の射影成分を表す。滑尺のヤマオリ線が辺となりＫ軸で
ある。９本のカーソルはこの辺と４５度をなしている。この実施例の場合、滑尺を用紙か
ら切り離さずに使用することができ、特別な帯を使うことなく滑尺の向きを整えられ、ま
た、興味あるＤの段用の折線で用紙を折り曲げることで乗法九九学習具を使用することが
できる。
【００５２】
図２１では、例として、Ｄ＝２の場合、すなわち、２の段の位置にあるときの使用法を
示している。用紙を２の段用の折線に沿って折り曲げ、符号1kにある表示面の座標（１，
２）にある罫線と符号2dにある滑尺の「×１」の印とを一致させたときの使用法を示して
いる。このとき、任意の「×Ｋ」に対応したカーソルが指し示すＡの値はＤ×Ｋの値であ
る。
【実施例３】
【００５３】
本発明の実施例を、図２２及び図２３並びに図２４に基づいて、説明する。これは、両
対数方眼を変則的に使って、表示面と滑尺を作成した装置である。この実施例は、表示面
の座標（Ｄ，１）に滑尺の「×１」のカーソルを重ねる形式の乗法九九学習具である。
【００５４】
図２２の符号１は、表示面を紙面表に印刷した図である。この表示面は、両対数方眼に
於ける縦軸と横軸の同じ値を斜めの線で結んで罫線を引き、左側の縦軸と上側の横軸を、
折れ曲がっているが一続きのＡ軸としている。下側の横軸の目盛及び数値はＤ軸である。
【００５５】
元の両対数方眼に於ける横軸の１から９までの数値の各位置にて、縦軸の１から９まで
の座標を丸印で示し、乗法九九全体の数値の関係を二次元的に図示した表示面とした。こ
の形式の表示面では、段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としての印は、横軸上
にある丸印で、後述の滑尺の「×１」のカーソルに対応している。この丸印は、図２２で
は、符号1kのように、大きめの丸印で示してある。
【００５６】
本実施例を、片対数方眼紙を利用した先の図１２と比較すると、Ａ軸を「く」の字型に
折り曲げた軸とした点が異なる。本実施例に於ける表示面上の九九の積の各値を示す印の
位置を先の実施例の図１３に示した印の位置と比較すると、図１３の段毎の「×Ｋ」に対
する印の各々の位置から、その段の「×１」に対する印を中心として反時計回りに４５度
の向きに回転させ、さらに「×１」に対する印から測った元の長さに対して√２倍の長さ
の位置に移動させる。また、元の縦軸と横軸とを座標（１，１）を中心に、反時計回りに
４５度の向きに回転させ、目盛の間隔を√２倍の長さにしたものに相当する。
【００５７】
滑尺用のカーソルは、先の表示面に於けるグラフ部分の最左部分と同様の目盛と罫線を
使って描くことができる。図２２の表示面ではＡが１の場合の罫線は描いていないが、図
２３の滑尺の例ではＡが１の場合の罫線上のカーソルは必要であり、描いてある。この滑
尺はどの段にも共通に使うことができる。この滑尺は、図２３の符号２のように、図２２
の裏面に印刷する。本変形例の特徴は、これら表示面と滑尺とともに、図２２の符号2g及
び図２３の符号2hにそれぞれ示す、表面に印刷した９本のタニオリ線と、これの裏面に印
刷した９本のヤマオリ線とがあることである。
【００５８】
この図２２及び図２３のタニオリ線あるいはヤマオリ線は、透かせて見れば重なる位置
に描かれており、Ｄの段用の折線に沿って折り曲げることで、符号2dにある滑尺の「×１
」の印が、符号1kにある表示面の座標（Ｄ，１）に合うようにして設計してある。この例
の場合、Ａ軸及びＤ軸の目盛間隔が同一であるので、この９本の折線間隔は、Ａ軸及びＤ
軸の目盛間隔の１/２倍、換言するとＡ軸に４５度で交差する罫線間隔の１/√２倍である
。この折線は、段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構でもある。この例の場合、滑
尺を用紙から切り離さずに使用することができ、特別な帯を使うことなく滑尺の向きを整
えられ、また、興味あるＤの段用の折線で用紙を折り曲げることで乗法九九学習具を使用
することができる。
【００５９】
滑尺のカーソルのうち、図２４の符号2dにある、大きな矢印で示した「×１」の矢印の
先端を、表示面左側の縦軸上で興味ある掛けられる数の数値Ｄに一致していることを確認
する。すなわち、滑尺の「×１」の印が、図２４の符号1kに示す表示面の座標（Ｄ，１）
にある印に一致していることを確認し、各カーソルの指し示すＡの値を読みとる。この数
値Ａが、Ｄの段の九九の積の値Ｄ×Ｋとなっている。
【００６０】
図２４では、例として、Ｄ＝４の場合、すなわち、４の段の位置にあるときの使用法を
示している。用紙を４の段用の折線に沿って折り曲げ、符号1kにある表示面の座標（４，
１）にある印と符号2dにある滑尺の「×１」の印とを一致させたときの使用法を示してい
る。このとき、任意の「×Ｋ」に対応したカーソルが指し示すＡの値はＤ×Ｋの値である
。
【００６１】
この実施例の変形例を、図２５に基づいて説明する。この実施例は、表示面の座標（１
，Ｄ）に滑尺の「×１」のカーソルを重ねる形式の乗法九九学習具である。
【００６２】
図２５の符号１に示す表示面は、両対数方眼に於ける縦軸と横軸の同じ値を斜めの線で
結んで罫線を引き、縦軸と横軸の周囲にある全ての数字はＡ軸の数値を意味する。この実
施例を、片対数方眼紙を利用した先の図１２と比較すると、「く」の字型にＡ軸が曲がっ
ており、このＡ軸の目盛と数値のうち、左側の縦軸の目盛及び数値はＤ軸と共用している
。
【００６３】
元の両対数方眼に於ける横軸の１から９までの数値の各位置にて、縦軸の１から９まで
の座標を丸印で示し、乗法九九全体の数値の関係を二次元的に図示した表示面とした。こ
の形式の表示面では、段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としての印は、縦軸上
にある丸印で、後述の滑尺の「×１」のカーソルに対応している。この丸印は、図２５で
は、符号1kのように、大きめの丸印で示してある。
【００６４】
この表示面を表示体として使い、滑尺は切り取って使用する。まず、滑尺の長手方向を
横軸と平行にし、続けて、この平行を保ちながら、カーソルのうち、図２５の符号2dにあ
る、大きな矢印で示した「×１」の矢印の先端を、表示面左側の縦軸上で興味ある掛けら
れる数の数値Ｄに一致させる。すなわち、滑尺の「×１」の印が、図２５の符号1kに示す
表示面の座標（１，Ｄ）にある印に一致していることを確認し、各カーソルの指し示すＡ
の値を読みとる。この数値Ａが、Ｄの段の九九の積の値Ｄ×Ｋとなっている。
【実施例４】
【００６５】
本発明の実施例を、図２６及び図２７に基づいて、説明する。これは、丸型グラフの円
周方向の目盛を対数きざみにしたものを使って、表示面と滑尺を作成した装置である。こ
の実施例は、表示面のＤの方位の放射状の線に滑尺のカーソルを重ねる形式の乗法九九学
習具である。
【００６６】
図２６の符号１は、表示面を紙面表に印刷した図である。この表示面は、極座標（ｒ,
θ）を中心に、円周外側に示してある目盛及び数値をＡ軸としている。このとき、θ＝３
６０°×（ｌｏｇＡ／ｌｏｇ１０＾２）とした。また、円周内側に示してあるカーソルの
目盛及び数値はＤ軸である。
【００６７】
図２７の符号２は、滑尺を紙面表に印刷した図である。図２６の表示面を表示体として使
い、この滑尺は切り取って使用する。図２７の符号2dにある、大きな矢印で示した「×１
」の矢印の先端を、符号1fに示したＤ軸上の興味ある掛けられる数の数値Ｄに一致させる
。すなわち、滑尺の「×１」の印が、図２７の符号1kに示す表示面の座標（ｒ，θ）にあ
る印に一致していることを確認し、各カーソルの指し示すＡの値を読みとる。この数値Ａ
が、Ｄの段の九九の積の値Ｄ×Ｋとなっている。
【００６８】
本発明の変形例を図２８及び図２９に基づいて説明する。図２８の符号１及び図２９の
符号２に示した表示面と滑尺は、９０°を３倍にとったものである。このとき、θ＝３６
０°×（ｌｏｇＡ／ｌｏｇ３＾４）とし、極座標（ｒ，θ）をとり円形グラフの円周方向
の目盛を対数刻みにしたものである。円周外側に示してある目盛及び数値をＡ軸とし、円
周内側に示してあるカーソルの目盛及び数値はＤ軸である。
【００６９】
図２８の表示面を表示体として使い、図２９の滑尺は切り取って使用する。図２９の符
号2dにある、大きな矢印で示した「×１」の矢印の先端を、符号1fに示したＤ軸上の興味
ある掛けられる数の数値Ｄに一致させる。すなわち、滑尺の「×１」の印が、図２７の符
号1kに示す表示面の座標（ｒ，θ）にある印に一致していることを確認し、各カーソルの
指し示すＡの値を読みとる。この数値Ａが、Ｄの段の九九の積の値Ｄ×Ｋとなっている。
図２７と比較したとき、この滑尺は半円形となり使いやすい。
【００７０】
本発明の変形例を図３０及び図３１に基づいて説明する。図２８の符号１及び図２９の
符号２に示した表示面と滑尺は、θ＝３６０°×ｌｏｇＡとし、極座標（ｒ，θ）をとり
円形グラフの円周方向の目盛を対数刻みにしたものである。円周外側に示してある目盛及
び数値をＡ軸とし、円周内側に示してあるカーソルの目盛及び数値はＤ軸である。図２６
と比較したとき、きざみ線の間隔が図２６に対して２倍となっている。
【００７１】
図２８の表示面を表示体として使い、図２９の滑尺は切り取って使用する。図２９の符
号2dにある、大きな矢印で示した「×１」の矢印の先端を、符号1fに示したＤ軸上の興味
ある掛けられる数の数値Ｄに一致させる。すなわち、滑尺の「×１」の印が、図２７の符
号1kに示す表示面の座標（ｒ，θ）にある印に一致していることを確認し、各カーソルの
指し示すＡの値を読みとる。この数値Ａが、Ｄの段の九九の積の値Ｄ×Ｋとなっている。
【産業上の利用可能性】
【００７２】
本発明による乗法九九学習具は、小学二年生向けの九九の学習教材として使用できる。
例えば、たたみ１畳くらいの大面積で作成した本発明による製品を小学校の教室や廊下に
飾っていただき、授業中の他、休み時間などに児童が遊べるようにする。この用途には、
例えば、図５、図７、図８、図１３、図２５の型紙が適している。また、小学二年生向け
の各社算数教科書や理数系教育誌に綴じ込み付録や裏表紙として本発明による型紙を提供
できる。この綴じ込み付録としての用途には、例えば、図１５と図１６の組み合わせ、あ
るいは図２２と図２３の組み合わせを両面印刷した型紙、もしくは図１８あるいは図２０
を片面に印刷した型紙が適している。裏表紙としての用途には、例えば、図５、図７、図
８、図１３、図２５の型紙が適している。さらに、小学二年生向けの教育系雑誌の付録あ
るいは玩具として、本発明による製品を提供できる。この用途には、例えば、図９、図１
０、図１１、図１２、図２６と図２７の組み合わせ、図２８と図２９の組み合わせ、図３
０と図３１の組み合わせの製品が適している。
【００７３】
高校生の対数学習用の視覚教材に使用できる。高等学校の各社数学教科書や理数系教育
誌にも本発明による型紙を提供する。この用途には、例えば、図５、図７、図８、図１３
、図２５の型紙が適している。
【００７４】
本発明による型紙はウェブによりダウンロードして入手できるようにすると便利である
。任意の大きさの用紙に、高精度に印刷できるサイトを運営する。この用途には、例えば
、図５、図７、図８、図１３、図２５のそれぞれを片面印刷した型紙のほか、図１５と図
１６の組み合わせ及び図２２と図２３の組み合わせを両面印刷した型紙、並びに図１８、
図２０、図２６と図２７の組み合わせ、図２８と図２９の組み合わせ、図３０と図３１の
組み合わせを片面に印刷した型紙が適している。
【００７５】
表示面が平面である場合、表示体と滑尺を、学習机の上面や棚などの物品の側面に設置
した製品とすることができる。この用途には、例えば、図５、図７、図８、図１３、図２
５の形状が適している。表示面や滑尺が円筒形である場合、表示体と滑尺を、筒状のゴミ
箱や貯金箱などの物品の側面に設置した製品とすることができる。この用途には、例えば
、図１０の形状が適している。表示面や滑尺が球形である場合、表示体と滑尺を、地球儀
などの物品の表面に設置した製品とすることができる。この用途には、例えば、図１１の
形状が適している。
【図面の簡単な説明】
【００７６】
【図１】表示体の模式図である。
【図２】滑尺の模式図である。
【図３】表示体と滑尺を組み合わせて使用したときの模式図である。
【図４】段毎の滑尺位置を縁取線で書き込んだ表示体の模式図である。
【図５】片対数方眼を用いて作成した表示体と滑尺とを載せた型紙の図である。
【図６】図５の型紙から滑尺を切り取り、表示体に乗せ、６の段の答えを示す位置にあるときの使用例の図である。
【図７】２０×２０にまで拡張させた場合の表示体と対応する滑尺とを載せた型紙である。
【図８】対数軸を横に配置した構造の表示体と対応する滑尺とを載せた型紙の図である。
【図９】図５の型紙の表示体と滑尺とを帯を使って平面形の一体にし、滑尺が６の段の答えを示す位置にあるときの使用例の図である。
【図１０】図５の型紙の表示体と滑尺とを帯を使って円筒形の一体にし、滑尺が４の段の答えを示す位置にあるときの使用例の図である。
【図１１】表示体と滑尺とをガイドを使って球面形の一体にし、滑尺が２の段の答えを示す位置にあるときの使用例の図である。
【図１２】表示体と滑尺とを帯を使って平面形の一体にし、滑尺が３の段の答えを示す位置にあるときの使用例の図である。
【図１３】両対数方眼を用いて作成した表示体と滑尺とを載せた型紙の図である。
【図１４】図１３の型紙の表示体と滑尺とを帯を使って平面形の一体にし、滑尺が２の段の答えを示す位置にあるときの使用例の図である。
【図１５】両対数方眼を用いて作成した表示体と、折線と共に紙面表に印刷した図である。
【図１６】両対数方眼を用いて作成した滑尺と、折線と共に紙面裏に印刷した図である。
【図１７】表裏にそれぞれ図１５及び図１６が印刷された型紙を折線で折り曲げ、滑尺が４の段の答えを示す位置にあるときの使用例の図である。
【図１８】両対数方眼を用いて作成した表示体及び滑尺、並びに折線を紙面に印刷した図である。
【図１９】図１８の型紙を折線で折り曲げ、滑尺が９の段の答えを示す位置にあるときの使用例の図である。
【図２０】両対数方眼を用いて作成した表示体及び滑尺、並びに折線を紙面に印刷した図である。
【図２１】図２０の型紙を折線で折り曲げ、滑尺が２の段の答えを示す位置にあるときの使用例の図である。
【図２２】両対数方眼を変則的に用いて作成した表示体と、折線と共に紙面表に印刷した型紙の図である。
【図２３】両対数方眼を変則的に用いて作成した滑尺と、折線と共に紙面裏に印刷した型紙の図である。
【図２４】表裏にそれぞれ図２２及び図２３が印刷された型紙を折線で折り曲げ、滑尺が４の段の答えを示す位置にあるときの使用例の図である。
【図２５】両対数方眼を変則的に用いて作成した表示体と滑尺とを載せた型紙の図である。
【図２６】３６０°を１００倍にとったときの丸型グラフの円周方向の目盛を対数きざみにしたものを用いて作成した表示体を載せた型紙の図である。
【図２７】３６０°を１００倍にとったときの丸型グラフの円周方向の目盛を対数きざみにしたものを用いて作成した滑尺を載せた型紙の図である。
【図２８】９０°を３倍にとったときの丸型グラフの円周方向の目盛りを対数きざみにしたものを用いて作成した表示体を載せた型紙の図である。
【図２９】９０°を３倍にとったときの丸型グラフの円周方向の目盛りを対数きざみにしたものを用いて作成した滑尺を載せた型紙の図である。
【図３０】３６０°を１０倍にとったときの丸型グラフの円周方向の目盛りを対数きざみにしたものを用いて作成した表示体を載せた型紙の図である。
【図３１】３６０°を１０倍にとったときの丸型グラフの円周方向の目盛りを対数きざみにしたものを用いて作成した滑尺を載せた型紙の図である。
【符号の説明】
【００７７】
１  表示体
1a  表示面
1b  Ａ軸
1c  Ａ軸の目盛
1d  Ａ軸の目盛の数値
1e  Ａ軸の目盛の罫線
1f  Ｄ軸
1g  Ｄ軸の目盛
1h  Ｄ軸の目盛の数値
1i  Ｄ軸の目盛の罫線
1j  段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としての印
1k  段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としての印のうち「×１」に対応した印
1l  段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としての滑尺の縁取線
２  滑尺
2a  Ｋ軸
2b  Ｋ軸の目盛を兼ねたカーソル
2c  Ｋ軸の目盛の数値を兼ねたカーソルに対応した掛ける数
2d  「×１」に対応したカーソル
2e  滑尺の帯
2f  滑尺のガイド
2g  段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としてのタニオリ線
2h  段毎に滑尺の使用位置を設定するための機構としてのヤマオリ線
【図１】
2011158701.tif 000003
【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
2011158701.tif 000021
【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
2011158701.tif 000028
【図２７】
2011158701.tif 000029
【図２８】
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【図２９】
2011158701.tif 000031
【図３０】
2011158701.tif 000032
【図３１】
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