(57)【要約】【課題】反射光量が視野内で一様でない透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することが可能な膜厚測定装置を提供する。【解決手段】この膜厚測定装置１００は、カラーカメラ４０により撮像された干渉画像の観測点の位置に対応する観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの平均輝度をａ（ｉ，ｊ）、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの干渉変調度をｂ（ｉ，ｊ）、観測点番号ｉにおける透明膜６０の膜厚をｔ（ｉ）、観測点番号ｉにおいて観測された波長の種類に対する番号ｊの輝度値をｇ（ｉ，ｊ）とした場合において、ａ（ｉ，ｊ）、ｂ（ｉ，ｊ）およびｔ（ｉ）のうちの少なくともｔ（ｉ）を未知変数として、式（１）に基づいて、未知変数を推定する制御部５０を備える。【選択図】図１
2018159557.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
測定対象である透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する光源と、
前記光源から照射され、前記透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する撮像部と、
前記撮像部により撮像された前記干渉画像の観測点の位置に対応する観測点番号をｉ、前記単色光の波長の種類に対する番号をｊ、前記単色光の波長をλ（ｊ）、前記観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの平均輝度をａ（ｉ，ｊ）、前記観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの干渉変調度をｂ（ｉ，ｊ）、前記観測点番号ｉにおける前記透明膜の膜厚をｔ（ｉ）、前記観測点番号ｉにおいて観測された波長の種類に対する番号ｊの輝度値をｇ（ｉ，ｊ）とした場合において、ａ（ｉ，ｊ）、ｂ（ｉ，ｊ）およびｔ（ｉ）のうちの少なくともｔ（ｉ）を未知変数として、下記の式（１）に基づいて、前記未知変数を推定する制御部とを備える、膜厚測定装置。
【数１】
2018159557.tif 000015
【請求項２】
前記制御部は、前記測定対象である透明膜の表面および裏面のうちの一方が球面の場合、ｒを、球面を測定面に投影した際の円の中心から前記観測点番号ｉまでの距離とし、前記平均輝度を下記の式（２）で表されるａ（ｒ，ｊ）とし、前記干渉変調度を下記の式（３）で表されるｂ（ｒ，ｊ）として、下記の式（４）に基づいて、ａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βおよびｔ（ｉ）のうちの少なくともｔ（ｉ）を前記未知変数として、前記未知変数を推定するように構成されている、請求項１に記載の膜厚測定装置。
【数２】
2018159557.tif 000016
【請求項３】
前記複数の単色光の波長の数をｍ、前記干渉画像の観測点の数をＮとした場合、下記の式（５）に基づいて、前記未知変数を推定するための前記干渉画像の観測点の数Ｎを設定するように構成されている、請求項２に記載の膜厚測定装置。
【数３】
2018159557.tif 000017
【請求項４】
前記制御部は、前記未知変数に初期値を設定するとともに、前記未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、前記未知変数を推定するように構成されている、請求項１〜３のいずれか１項に記載の膜厚測定装置。
【請求項５】
前記複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む、請求項１〜４のいずれか１項に記載の膜厚測定装置。
【請求項６】
前記制御部は、上記の式（１）に基づいて求められた、波長の種類に対する番号ｊの前記平均輝度ａ（ｉ，ｊ）および前記干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）と、前記観測点番号ｉにおける観測輝度値ｇijとから、下記の式（６）に基づいて、前記観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの位相φ（ｉ，ｊ）を推定するとともに、下記の式（７）に基づいて、縞次数（整数）であるＮ（ｉ，ｊ）および前記観測点番号ｉにおける膜厚ｔ（ｉ）を推定するように構成されている、請求項１〜５のいずれか１項に記載の膜厚測定装置。
【数４】
2018159557.tif 000018
【請求項７】
測定対象である透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する工程と、
前記透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する工程と、
撮像された前記干渉画像の観測点の位置に対応する観測点番号をｉ、前記単色光の波長の種類に対する番号をｊ、前記単色光の波長をλ（ｊ）、前記観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの平均輝度をａ（ｉ，ｊ）、前記観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの干渉変調度をｂ（ｉ，ｊ）、前記観測点番号ｉにおける前記透明膜の膜厚をｔ（ｉ）、前記観測点番号ｉにおいて観測された前記波長の種類に対する番号ｊの輝度値をｇ（ｉ，ｊ）とした場合において、ａ（ｉ，ｊ）、ｂ（ｉ，ｊ）およびｔ（ｉ）のうちの少なくともｔ（ｉ）を未知変数として、下記の式（８）に基づいて、未知変数を推定する工程とを備える、膜厚測定方法。
【数５】
2018159557.tif 000019
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、膜厚測定装置および膜厚測定方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、膜厚測定装置および膜厚測定方法が知られている（たとえば、特許文献１参照）。
【０００３】
上記特許文献１では、透明膜の複数の点の反射光の情報を用いて、複数の点の膜厚を一括して推定する膜厚測定装置および膜厚測定方法が開示されている。この膜厚測定装置および膜厚測定方法では、複数の波長の単色光を含む光が測定対象である透明膜に照射される。そして、透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像から複数の観測点が選択され、選択された観測点の干渉画像の輝度信号と、所定の干渉縞モデル（透明膜についての干渉縞モデル）とに基づいて、複数の点の膜厚が一括して推定されるように構成されている。
【０００４】
ここで、上記特許文献１の所定の干渉縞モデルでは、表面および裏面が平坦（平面）である透明膜の複数の点の膜厚が一括して推定されるように構成されている。すなわち、同軸落射（透明膜に対して垂直に光を照射すること）による透明膜からの反射光量が、視野内で一様である透明膜（試料）のみを、膜厚推定の対象としている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００５】
【特許文献１】特開２０１３−１４５２２９号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかしながら、上記特許文献１に記載の膜厚測定装置および膜厚測定方法では、同軸落射による透明膜からの反射光量が視野内で一様である透明膜の複数の点の膜厚が一括して推定されるように構成されている一方、同軸落射による透明膜からの反射光量が視野内で一様でない透明膜（曲面などを有する透明膜）の膜厚を推定することは困難である。そこで、透明膜からの反射光量が視野内で一様でない透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することが望まれている。
【０００７】
この発明は、上記のような課題を解決するためになされたものであり、この発明の１つの目的は、反射光量が視野内で一様でない透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することが可能な膜厚測定装置および膜厚測定方法を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
上記目的を達成するために、この発明の第１の局面による膜厚測定装置は、測定対象である透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する光源と、光源から照射され、透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する撮像部と、撮像部により撮像された干渉画像の観測点の位置に対応する観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの平均輝度をａ（ｉ，ｊ）、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの干渉変調度をｂ（ｉ，ｊ）、観測点番号ｉにおける透明膜の膜厚をｔ（ｉ）、観測点番号ｉにおいて観測された波長の種類に対する番号ｊの輝度値をｇ（ｉ，ｊ）とした場合において、ａ（ｉ，ｊ）、ｂ（ｉ，ｊ）およびｔ（ｉ）のうちの少なくともｔ（ｉ）を未知変数として、下記の式（１）に基づいて、未知変数を推定する制御部とを備える。なお、平均輝度ａ（ｉ，ｊ）は、観測点番号ｉにおける干渉縞波形の直流成分を意味し、干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）は、観測点番号ｉにおける干渉縞波形の交流成分を意味する。
【数６】
2018159557.tif 000003
【０００９】
この第１の局面による膜厚測定装置では、上記の式（１）に基づいて、未知変数を推定する制御部を備える。ここで、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの平均輝度ａ（ｉ，ｊ）、および、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）は、観測点（透明膜）の位置に対応する観測点番号ｉに依存している。すなわち、上記の式（１）は、同軸落射（透明膜に対して垂直に光を照射すること）による透明膜からの反射光量が視野内で一様でない（平均輝度、干渉変調度が視野内で一様でない）透明膜の輝度値ｇ（ｉ，ｊ）を表している。そこで、上記式（１）に基づいて、未知変数である少なくともｔ（ｉ）を推定することによって、反射光量が視野内で一様でない曲面などを有する透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を一括して推定することができる。
【００１０】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、制御部は、測定対象である透明膜の表面および裏面のうちの一方が球面の場合、ｒを、球面を測定面に投影した際の円の中心から観測点番号ｉまでの距離とし、平均輝度を下記の式（２）で表されるａ（ｒ，ｊ）とし、干渉変調度を下記の式（３）で表されるｂ（ｒ，ｊ）として、下記の式（４）に基づいて、ａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βおよびｔ（ｉ）のうちの少なくともｔ（ｉ）を未知変数として、未知変数を推定するように構成されている。
【数７】
2018159557.tif 000004
【００１１】
ここで、透明膜の表面（または裏面）が球面（中心から遠ざかるにつれて膜厚が大きくなる球面）である場合、反射光量は、球の中心から離れるほど減衰する。そこで、平均輝度および干渉変調度を、それぞれ、上記の式（２）および（３）のように、球面を測定面に投影した際の円の中心からの距離ｒの２乗に応じて小さくなるように構成することによって、表面（または裏面）が球面である透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を一括して推定することができる。
【００１２】
この場合、好ましくは、複数の単色光の波長の数をｍ、干渉画像の観測点の数をＮとした場合、下記の式（５）に基づいて、未知変数を推定するための干渉画像の観測点の数Ｎを設定するように構成されている。
【数８】
2018159557.tif 000005
このように構成すれば、未知変数に対して最低限必要な干渉画像の観測点の数を、上記の式（５）に基づいて、容易に求めることができる。
【００１３】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、制御部は、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成されている。このように構成すれば、未知変数を含む関数が解析的に解けない場合（非線形関数の場合）でも、未知変数を推定することができる。
【００１４】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む。このように構成すれば、３色の単色光の波長が各々異なるので、３色の単色光の干渉により生成される干渉色が膜厚によって変化する。これにより、観測点において観測された輝度値ｇ（ｉ，ｊ）に基づいて、膜厚を推定することができる。
【００１５】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、制御部は、上記の式（１）に基づいて求められた、波長の種類に対する番号ｊの平均輝度ａ（ｉ，ｊ）および干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）と、観測点番号ｉにおける観測輝度値ｇijとから、下記の式（６）に基づいて、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの位相φ（ｉ，ｊ）を推定するとともに、下記の式（７）に基づいて、縞次数（整数）であるＮ（ｉ，ｊ）および観測点番号ｉにおける膜厚ｔ（ｉ）を推定するように構成されている。
【数９】
2018159557.tif 000006
このように構成すれば、数個乃至数十個の観測点より上記の式（１）に基づいて平均輝度ａ（ｉ，ｊ）および干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）を予め求めておき、他の大多数の観測点の膜厚ｔ（ｉ）を上記の式（７）に基づいて、比較的簡単な計算（短時間）で推定することができる。
【００１６】
この発明の第２の局面による膜厚測定方法は、測定対象である透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する工程と、透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する工程と、撮像された干渉画像の観測点の位置に対応する観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの平均輝度をａ（ｉ，ｊ）、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの干渉変調度をｂ（ｉ，ｊ）、観測点番号ｉにおける透明膜の膜厚をｔ（ｉ）、観測点番号ｉにおいて観測された波長の種類に対する番号ｊの輝度値をｇ（ｉ，ｊ）とした場合において、ａ（ｉ，ｊ）、ｂ（ｉ，ｊ）およびｔ（ｉ）のうちの少なくともｔ（ｉ）を未知変数として、下記の式（８）に基づいて、未知変数を推定する工程とを備える。
【数１０】
2018159557.tif 000007
【００１７】
この第２の局面による膜厚測定方法では、上記のように、観測点番号ｉに依存している平均輝度ａ（ｉ，ｊ）および干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）が含まれる上記式（８）に基づいて、未知変数である少なくともｔ（ｉ）を推定することによって、反射光量が視野内で一様でない曲面などを有する透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を一括して推定することが可能な膜厚測定方法を提供することができる。
【発明の効果】
【００１８】
本発明によれば、上記のように、反射光量が視野内で一様でない透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１９】
【図１】本発明の一実施形態による膜厚測定装置を示す図である。
【図２】測定対象である球面を有する透明膜を示す図である。
【図３】膜厚と輝度値（光量）との関係を示す図である。
【図４】球面を有する透明膜の干渉画像と、輝度値（光量）とを示す図である。
【図５】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法を説明するための図である。
【図６】本発明の一実施形態による合致法を説明するための図である。
【図７】本発明の一実施形態による膜厚測定方法のフロー図である。
【発明を実施するための形態】
【００２０】
以下、本発明を具体化した実施形態を図面に基づいて説明する。
【００２１】
［本実施形態］
（膜厚測定装置の構成）
図１を参照して、本実施形態による膜厚測定装置１００の構成について説明する。
【００２２】
図１に示すように、膜厚測定装置１００は、白色光源１０と、３波長帯域フィルタ２０と、顕微鏡３０と、カラーカメラ４０と、制御部５０とを備えている。なお、白色光源１０およびカラーカメラ４０は、それぞれ、特許請求の範囲の「光源」および「撮像部」の一例である。
【００２３】
白色光源１０は、測定対象である透明膜６０に複数の波長の単色光を含む光を照射するように構成されている。本実施形態では、複数の単色光は、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を含む。
【００２４】
３波長帯域フィルタ２０は、白色光源１０から照射された白色の光のうち、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を透過させるように構成されている。
【００２５】
顕微鏡３０の内部には、ハーフミラー３１が設けられている。そして、ハーフミラー３１は、３波長帯域フィルタ２０を透過した青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を測定対象である透明膜６０に照射するように構成されている。
【００２６】
カラーカメラ４０は、白色光源１０から照射され、透明膜６０の表面６０ａ（図２参照）からの反射光と裏面６０ｂからの反射光とにより生成される干渉画像を撮像するように構成されている。また、カラーカメラ４０は、たとえば、ＣＣＤ（Ｃｈａｒｇｅ  Ｃｏｕｐｌｅｄ  Ｄｅｖｉｃｅ）イメージセンサや、ＣＭＯＳ（Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ  Ｍｅｔａｌ  Ｏｘｉｄｅ  Ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ）イメージセンサなどにより構成されている。
【００２７】
また、図２に示すように、測定対象である透明膜６０は、表面６０ａは平面（平坦）である一方、裏面６０ｂは球面である。たとえば、透明膜６０は、薄膜のトライボロジーの特性評価の試験において、透明な基板７０と鋼球７１との間に設けられた油膜などが想定される。具体的には、透明膜６０（油膜）を、透明な基板７０側（Ｚ方向側）から見た場合の、透明膜６０の球面の部分が測定対象とされる。なお、トライボロジーとは、２つの物体が互いに滑り合うような相対運動を行った場合の相互作用を及ぼし合う接触面、および、それに関連する問題についての科学技術の一分野である。
【００２８】
ここで、本実施形態では、制御部５０は、カラーカメラ４０により撮像された干渉画像の観測点の位置に対応する観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの平均輝度をａ（ｉ，ｊ）、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの干渉変調度をｂ（ｉ，ｊ）、観測点番号ｉにおける透明膜６０の膜厚をｔ（ｉ）、観測点番号ｉにおいて観測された波長の種類に対する番号ｊの輝度値をｇ（ｉ，ｊ）とした場合において、ａ（ｉ，ｊ）、ｂ（ｉ，ｊ）およびｔ（ｉ）のうちの少なくともｔ（ｉ）を未知変数として、後述する式（１１）に基づいて、未知変数を推定するように構成されている。なお、本実施形態では、ａ（ｉ，ｊ）、ｂ（ｉ，ｊ）およびｔ（ｉ）の全てを未知変数として推定する。また、制御部５０は、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成されている。以下、詳細に説明する。
【００２９】
（推定原理）
〈透明膜における干渉色と膜厚との関係〉
まず、透明膜６０における干渉色と膜厚との関係について説明する。
【００３０】
透明膜６０の表面６０ａからの反射光と、裏面６０ｂからの反射光とによる干渉の和は、多重反射を無視すれば、下記の式（９）により表される。
【数１１】
2018159557.tif 000008
ここで、Ｉ1およびＩ2は、それぞれ、表面６０ａからの反射光の強さ（光量）、および、裏面６０ｂからの反射光の強さ（光量）を表す。また、λは、透明膜６０に照射される光の波長を表し、δは、表面６０ａからの反射光と裏面６０ｂからの反射光との位相差を表す。また、±の符号は、裏面６０ｂの反射光の位相反転の有無に依存する。すなわち、透明膜６０の屈折率ｎが、透明膜６０の裏面６０ｂ側に配置される基板などの屈折率ｎBよりも小さければ＋であり、透明膜６０の屈折率ｎが屈折率ｎBよりも大きければ−である。
【００３１】
また、透明膜６０の物理的な膜厚をｔとし、膜屈折率をｎ（λ）として、透明膜６０に対して光が垂直に入射すると仮定すると、表面６０ａからの反射光と裏面６０ｂからの反射光との光路差（ｏｐｔｉｃａｌ  ｐａｔｈ  ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ；ＯＰＤ）は、ＯＰＤ＝２ｎ（λ）×ｔとなる。よって、位相差δ（λ）は、δ（λ）＝２π×ＯＰＤ／λ＝４πｎ（λ）×ｔ／λとなる。この式を、上記の式（９）に代入するとともに、屈折率の波長依存性がない（すなわち、ｎ（λ）＝ｎ）と仮定することにより、下記の式（１０）が得られる。
【数１２】
2018159557.tif 000009
【００３２】
ここで、白色光源１０から照射され、３波長帯域フィルタ２０を透過する単色光である青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の波長を、それぞれ、λB＝４７０ｎｍ、λG＝５６０ｎｍ、および、λR＝６００ｎｍ、とする。また、Ｉ1＝Ｉ2＝１／４とする。そして、反射光量と膜厚との関係を、上記の式（１０）により算出することにより、図３に示すように、膜厚と輝度値（光量）との関係（図３の下段参照）、および、膜厚と干渉色との関係（図３の上段参照）が得られる。
【００３３】
図３の下段では、横軸は、物理膜厚ｔと屈折率ｎとを積である光学膜厚（ｎｍ）を表し、縦軸は輝度値を表している。なお、以下では、膜厚とは、光学膜厚を意味する。図３の下段に示すように、波長（周期）は、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の順で長くなる。
【００３４】
図３の上段は、各膜厚（ｎｍ）に対する干渉色のカラーチャーチ―トを表している。すなわち、図３の上段では、各膜厚において、図３の下段の青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）が加算された色が示されている。なお、図３の上段では、グレーの濃淡で示されているが、実際には、カラーの濃淡の干渉色である。このように、各膜厚に対して異なる干渉色が得られる。
【００３５】
また、図４の上段の画像は透明膜６０（油膜）（図２参照）を、透明な基板７０側（Ｚ方向側）から撮像した際の画像である。カラーカメラ４０からは、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３種類の光が出射されている。図４の上段の画像は、透明膜６０の表面６０ａ（基板７０との界面）において反射した光と、裏面６０ｂ（鋼球７１との界面）において反射した光とが干渉した干渉画像（３種類の光の干渉画像）である。
【００３６】
また、図４の下段では、横軸は、透明膜６０の座標（図４の上段の中心線Ｌに沿った座標）の値を表し、縦軸は、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３種類の光の輝度値を表している。図２に示すように、透明膜６０の膜厚は、透明膜６０の中心Ｃが最も薄く、中心Ｃから離れるにしたがって徐々に厚くなる。そして、図４の下段に示すように、輝度値は、透明膜６０の中心Ｃから離れるにしたがって徐々に小さくなる。
【００３７】
〈ＧＭＦＴ法〉
次に、未知変数であるａ（ｉ，ｊ）、ｂ（ｉ，ｊ）およびｔ（ｉ）を推定するアルゴリズムについて説明する。このアルゴリズムを、ＧＭＦＴ（Ｇｌｏｂａｌ  Ｍｏｄｅｌ  Ｆｉｔｔｉｎｇ  ｆｏｒ  Ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ）法と呼ぶ。
【００３８】
カラーカメラ４０によって撮像された透明膜６０の干渉画像内の観測点番号ｉ（ｉ＝１，２，．．．,Ｎ）における、単色光の波長の種類に対する番号ｊ（ｊ＝１，２，．．．,ｍ）の干渉縞の輝度値ｇ（ｉ，ｊ）は、上記の式（１０）を変形して、下記の式（１１）により表される。
【数１３】
2018159557.tif 000010
ここで、平均輝度ａ（ｉ，ｊ）および干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）は、干渉画像の観測点の位置に依存する（位置毎に異なる）値である。
【００３９】
ここで、本実施形態では、制御部５０は、測定対象である透明膜６０の裏面６０ｂ（鋼球７１との界面）が球面の場合、ｒを、球面を測定面に投影した際の円の中心Ｃから観測点番号ｉまでの距離とし、平均輝度を下記の式（１２）で表されるａ（ｒ，ｊ）とし、干渉変調度を下記の式（１３）で表されるｂ（ｒ，ｊ）として、下記の式（１４）に基づいて、ａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βおよびｔ（ｉ）のうちの少なくともｔ（ｉ）を未知変数として、未知変数を推定する。具体的には、ａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βおよびｔ（ｉ）の全てを未知変数として、未知変数を推定する。
【数１４】
2018159557.tif 000011
【００４０】
そして、上記の式（１４）により表される干渉縞の輝度値ｇ（ｉ，ｊ）と、複数点において観測された輝度値とに基づいて、未知変数であるａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βおよびｔ（ｉ）を推定する。具体的には、下記の式（１５）の誤差二乗和を最小にする非線形計画法（最小二乗法）により、未知変数（パラメータ）であるａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βおよびｔ（ｉ）を推定する。
【数１５】
2018159557.tif 000012
ここで、ｇ（ｉ，ｊ）は、上記の式（１４）のモデル輝度値を表し、ｇijは、観測点番号ｉ（波長の種類に対する番号ｊ）における観測輝度値を表す。
【００４１】
次に、上記の未知変数ａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βおよびｔ（ｉ）が求められる条件について説明する。単色光の波長の数をｍ個、観測点数をＮ個とすると、未知変数の数は、２ｍ＋Ｎ＋２個になる。また、Ｎ個の観測点の数からｍＮ個の輝度信号が得られる。これにより、本実施形態では、下記の式（１６）に基づいて、未知変数を求めるための干渉画像の観測点の数Ｎを設定するように構成されている。
【数１６】
2018159557.tif 000013
たとえば、本実施形態では、単色光の波長の数は、青、緑および赤の３（ｍ＝３）であるので、Ｎは、４以上になる。すなわち、少なくとも４個の観測点のデータがあれば、未知変数を推定することが可能になる。
【００４２】
単色光の波長の数が３（ｍ＝３）であり、観測点の数がＮ個の場合、推定（計測）アルゴリズムは、図５に示すように、模式的に表される。すなわち、３Ｎ個の観測輝度値（ｇ（１，Ｂ）、ｇ（１，Ｇ）、ｇ（１，Ｒ），．．．，ｇ（Ｎ，Ｂ）、ｇ（Ｎ，Ｇ）、ｇ（Ｎ，Ｒ））から、Ｎ個の膜厚（ｔ（１），．．．，ｔ（Ｎ））と、８個のパラメータ（ａ０（Ｂ）、ａ０（Ｇ）、ａ０（Ｒ）、ｂ０（Ｂ）、ｂ０（Ｇ）、ｂ０（Ｒ）、α、β）が推定される。
【００４３】
上記の式（１４）の輝度値は、周期関数である余弦関数（ｃｏｓ関数）を含むため、本実施形態の推定アルゴリズムにおいて最小二乗法を用いた場合、局所的極小値（ローカルミニマム）が多数存在する。したがって、適切な初期値を設定する必要がある。たとえば、初期値は、実際の透明膜６０の膜厚ｔ（ｉ）から所定の範囲内の値である。また、適切な初期値を設定できない場合には、初期値を変更しながら大域最適解を求めるマルチスタート法が有効である。
【００４４】
〈合致法〉
上記の非線形計画法（最小二乗法）では、未知変数の数が多くなると、計算の負荷が高くなる。そこで、本実施形態では、制御部５０は、上記の式（１１）に基づいて求められた、平均輝度ａ（ｉ，ｊ）および干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）と、観測点番号ｉにおける観測輝度値ｇijとから、下記の式（１７）に基づいて、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの位相φ（ｉ，ｊ）を推定する。そして、制御部５０は、下記の式（１８）に基づいて、縞次数（整数）であるＮ（ｉ，ｊ）および観測点番号ｉにおける膜厚候補ｔ（ｉ，ｊ）を推定する。
【数１７】
2018159557.tif 000014
【００４５】
なお、透明膜６０の裏面６０ｂが球面の場合、上記の式（１４）に基づいて、非線形計画法（最小二乗法）により得られた未知変数であるａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、αおよびβを用いて、位相φ（ｉ，ｊ）を推定し、上記の式（１８）に基づいて、縞次数（整数）であるＮ（ｉ，ｊ）および観測点番号ｉにおける膜厚候補ｔ（ｉ，ｊ）を推定する。また、式（１７）のｃｏｓ-1は、逆余弦関数であるので、その値域は、［０，π］である。
【００４６】
そして、求められた膜厚候補ｔ（ｉ，ｊ）から合致法により、膜厚ｔ（ｉ）を求める。具体的には、合致法では、図６に示すように、各波長毎の膜厚候補ｔ（ｉ，ｊ）の中で、最も誤差の小さい膜厚候補ｔ（ｉ，ｊ）の組み合わせを求める。図６の例では、５００ｎｍ近傍の膜厚候補ｔ（ｉ，ｊ）の組み合わせの誤差が最も小さくなる。そして、５００ｎｍ近傍の各波長（３つ）の膜厚候補ｔ（ｉ，ｊ）を平均することにより、膜厚ｔ（ｉ）（＝５１０ｎｍ）が求められる。
【００４７】
このように、上記の式（１１）、式（１４）、または、式（１７）および式（１８）を用いて、透明膜６０の膜厚ｔ（ｉ）が推定されるので、分光器や偏光光学系などの比較的複雑な光学系を用いる必要がない分、膜厚測定装置１００の構成を簡略化することが可能になる。また、撮像した画像（干渉色）から膜厚ｔ（ｉ）への変換テーブル（校正データ）などを用いることなく、膜厚ｔ（ｉ）を推定することが可能になる。また、観測点毎（つまり、干渉画像の画素毎）に膜厚ｔ（ｉ）を推定することができるので、比較的水平分解能の高い膜厚測定装置１００を構成することが可能になる。
【００４８】
（膜厚測定の手順）
次に、図７を参照して、本実施形態による膜厚測定の手順について説明する。
【００４９】
図７に示すように、ステップＳ１において、白色光源１０から３波長帯域フィルタ２０およびハーフミラー３１を介して、測定対象である透明膜６０に複数の波長（青、緑、赤）の単色光を含む光が照射される。そして、透明膜６０の表面６０ａからの反射光と裏面６０ｂからの反射光とにより生成される干渉画像がカラーカメラ４０により撮像されて、観測輝度値が取得される。
【００５０】
次に、ステップＳ２において、上記の式（１６）に基づいて定められる数の観測点が選択される。
【００５１】
次に、ステップＳ３において、未知変数であるａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βおよびｔ（ｉ）のそれぞれの初期値が設定される。
【００５２】
次に、ステップＳ４において、ＧＭＦＴ法（上記の式（１４））に基づいて、未知変数であるａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βおよびｔ（ｉ）が推定される。これにより、複数の観測点（ｉ）に対するａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βおよびｔ（ｉ）が一括して推定される。すなわち、透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）が一括して推定される。
【００５３】
次に、ステップＳ５において、ＧＭＦＴ法により推定されたａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βを用いて、合致法（上記の式（１７）および式（１８））に基づいて、所望の観測点（ＧＭＦＴ法において使用された観測点以外の観測点）における未知変数であるｔ（ｉ）が推定される。
【００５４】
（本実施形態の効果）
次に、本実施形態の効果について説明する。
【００５５】
本実施形態では、上記のように、上記の式（１１）に基づいて、未知変数を推定する制御部５０を備える。ここで、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの平均輝度ａ（ｉ，ｊ）、および、観測点番号ｉにおける波長の種類に対する番号ｊの干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）は、観測点（透明膜６０）の位置に対応する観測点番号ｉに依存している。すなわち、上記の式（１１）は、同軸落射（透明膜６０に対して垂直に光を照射すること）による透明膜６０からの反射光量が視野内で一様でない（平均輝度ａ（ｉ，ｊ）、干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）が視野内で一様でない）透明膜６０の輝度値ｇ（ｉ，ｊ）を表している。そこで、上記式（１１）に基づいて、未知変数である少なくともｔ（ｉ）を推定することによって、反射光量が視野内で一様でない曲面などを有する透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を一括して推定することができる。
【００５６】
また、本実施形態では、上記のように、制御部５０は、測定対象である透明膜６０の裏面６０ｂが球面の場合、上記の式（１４）に基づいて、ａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、α、βおよびｔ（ｉ）のうちの少なくともｔ（ｉ）を未知変数として、未知変数を推定するように構成されている。ここで、透明膜６０の裏面６０ｂが球面（中心Ｃから遠ざかるにつれて膜厚が大きくなる球面）である場合、反射光量は、球の中心Ｃから離れるほど減衰する。そこで、平均輝度ａ（ｉ，ｊ）および干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）を、それぞれ、上記の式（１２）および（１３）のように、球面を測定面に投影した際の円の中心Ｃからの距離ｒの２乗に応じて小さくなるように構成することによって、裏面６０ｂが球面である透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を一括して推定することができる。
【００５７】
また、本実施形態では、上記のように、複数の単色光の波長の数をｍ、干渉画像の観測点の数をＮとした場合、上記の式（１６）に基づいて、未知変数を推定するための干渉画像の観測点の数Ｎを設定する。これにより、未知変数に対して最低限必要な干渉画像の観測点の数を、上記の式（１６）に基づいて、容易に求めることができる。
【００５８】
また、本実施形態では、上記のように、制御部５０は、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定する。これにより、未知変数を含む関数が解析的に解けない場合（非線形関数の場合）でも、未知変数を推定することができる。
【００５９】
また、本実施形態では、上記のように、複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む。これにより、３色の単色光の波長が各々異なるので、３色の単色光の干渉により生成される干渉色が膜厚ｔ（ｉ）によって変化する。その結果、観測点において観測された輝度値ｇ（ｉ，ｊ）に基づいて、膜厚ｔ（ｉ）を推定することができる。
【００６０】
また、本実施形態では、上記のように、制御部５０は、上記の式（１１）（式（１４））に基づいて求められた、平均輝度ａ（ｉ，ｊ）および干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）と、輝度値ｇ（ｉ，ｊ）とから、上記の式（１７）に基づいて位相φ（ｉ，ｊ）を推定するとともに、上記の式（１８）に基づいて、膜厚候補ｔ（ｉ，ｊ）を推定し、各波長毎に最も誤差の小さい膜厚候補ｔ（ｉ，ｊ）の組み合わせにより膜厚ｔ（ｉ）を推定する。これにより、数個乃至数十個の観測点より上記の式（１１）（式（１４））に基づいて平均輝度ａ（ｉ，ｊ）および干渉変調度ｂ（ｉ，ｊ）を予め求めておき、他の大多数の観測点の膜厚ｔ（ｉ）を上記の式（１８）に基づいて、比較的簡単な計算（短時間）で推定することができる。
【００６１】
［変形例］
なお、今回開示された実施形態および実施例は、すべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本発明の範囲は、上記した実施形態および実施例の説明ではなく特許請求の範囲によって示され、さらに特許請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更（変形例）が含まれる。
【００６２】
たとえば、上記実施形態では、３波長帯域フィルタを白色光源の直後に配置している例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、３波長帯域フィルタをカラーカメラの前に配置するなど、白色光源からカラーカメラまでの光路中のいずれかに配置すればよい。
【００６３】
また、上記実施形態では、３波長帯域フィルタを介して、青、緑および赤の単色光が透明膜に照射される例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、青、緑および赤の単色光を照射する光源から、透明膜に光を照射してもよい。
【００６４】
また、上記実施形態では、青、緑および赤の３つの単色光が透明膜に照射される例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、２つまたは４つ以上の単色光が透明膜に照射されるようにしてもよい。
【００６５】
また、上記実施形態では、上記の式（１４）を用いて球面を有する透明膜の膜厚を推定する例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、上記の式（１１）を用いて、球面でない曲面を有する透明膜の膜厚を推定してもよい。
【００６６】
また、上記実施形態では、上記の式（１４）により求められた未知変数であるａ０（ｊ）、ｂ０（ｊ）、αおよびβを用いて、合致法により観測点番号ｉにおける膜厚ｔ（ｉ）を推定する例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、全ての観測点の膜厚ｔ（ｉ）を、上記の式（１４）により求めてもよい。
【００６７】
また、上記実施形態では、透明膜の裏面が球面であり、表面が平面である例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、裏面が平面であり、表面が球面である透明膜にも本発明を適用することができる。
【符号の説明】
【００６８】
１０  白色光源（光源）
４０  カラーカメラ（撮像部）
５０  制御部
６０  透明膜
６０ａ  表面
６０ｂ  裏面
１００  膜厚測定装置
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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