(57)【要約】【課題】近似誤差が小さく、かつ、区分の数が少ない区分線形近似関数を、少ない計算負荷で生成する。【解決手段】最適化問題定式化部１５Ｂが、入出力データ１４Ａおよび節点候補１４Ｂに基づいて、線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化し、この際、入出力データ１４Ａに対する区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項ＥDを、最適化問題に関する目的関数として定式化し、区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項ＥWを、最適化問題に関する目的関数として定式化し、隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致することを最適化問題に関する制約条件として定式化する。【選択図】  図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
入力が１次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の節点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成装置であって、
前記入出力データおよび前記節点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化部と、
最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理部と、
得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成部とを備え、
前記最適化問題定式化部は、
前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、
前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、
前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化する
ことを特徴とする区分線形近似関数生成装置。
【請求項２】
入力が多次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の頂点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成装置であって、
前記入出力データおよび前記頂点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化部と、
最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理部と、
得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成部とを備え、
前記最適化問題定式化部は、
前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、
前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、
前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が頂点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化する
ことを特徴とする区分線形近似関数生成装置。
【請求項３】
請求項１に記載の区分線形近似関数生成装置において、
前記正則化項は、前記傾き差のすべてに関するＬ１ノルムからなることを特徴とする区分線形近似関数生成装置。
【請求項４】
請求項２に記載の区分線形近似関数生成装置において、
前記正則化項は、前記傾き差のＬ２ノルムの総和からなることを特徴とする区分線形近似関数生成装置。
【請求項５】
請求項３または請求項４に記載の区分線形近似関数生成装置において、
前記傾き差ごとに設けた所定の係数を用いて前記正則化項を基準化する基準化部をさらに備え、
前記係数のそれぞれは、前記係数を１と仮定して前記最適化問題を解くことにより得られた、対応する前記傾き差の絶対値からなる
ことを特徴とする区分線形近似関数生成装置。
【請求項６】
入力が１次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の節点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成方法であって、
最適化問題定式化部が、前記入出力データおよび前記節点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化ステップと、
最適化処理部が、最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理ステップと、
区分線形近似関数生成部が、得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成ステップとを備え、
前記最適化問題定式化ステップは、
前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、
前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、
前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化するステップとを含む
ことを特徴とする区分線形近似関数生成方法。
【請求項７】
入力が多次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の頂点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成方法であって、
最適化問題定式化部が、前記入出力データおよび前記頂点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化ステップと、
最適化処理部が、最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理ステップと、
区分線形近似関数生成部が、得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成ステップとを備え、
前記最適化問題定式化ステップは、
前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、
前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、
前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が頂点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化するステップとを含む
ことを特徴とする区分線形近似関数生成方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、複雑な非線形連続関数を複数の区分に分割して線形関数で近似した区分線形近似関数を生成するための区分線形近似関数生成技術に関する。
【背景技術】
【０００２】
複数の空調熱源設備の運転に用いる運転計画を作成する場合、熱源機器特性を示す複雑な非線形連続関数を区分線形近似関数で近似し、得られた関数を混合整数計画（ＭＩＰ：Mixed Integer Programming）の定式化に用いることがある（例えば、特許文献１など参照）。区分線形近似関数を生成する関数生成技術としては、近似誤差を最小化するような区分線形近似関数を生成する方法がある（例えば、特許文献２など参照）。しかし、生成すべき関数が凸関数あるいは凹関数であることを予め決められない場合には、適用できない。
【０００３】
従来、このような区分線形近似関数生成技術として、Douglas-Peuckerアルゴリズムと呼ばれる手法が提案されている（例えば、特許文献３など参照）。図１５は、Douglas-Peuckerアルゴリズムを示す説明図である。この手法は、ステップ１：近似対象曲線の両端点を直線で結び、ステップ２：その直線から最も遠い曲線上の点を検出し、ステップ３：検出した点を節点として各区分の曲線をそれぞれの直線で結び直し、ステップ４：区分数や誤差が望みの値になるまでステップ２−３を繰り返すことにより区分数を増やしていく、というものである。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開２０１０−１６９３２８号公報
【特許文献２】特開２０１６−０９９９１０号公報
【特許文献３】特開２００６−１１３４５７号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、このような特許文献３にかかる従来技術では、誤差を含むデータの線形近似関数を生成する場合、誤差の大きい点すなわち外れ値があると、そこが節点となりやすいため、誤差の大きい点に引きずられ、意図とは異なる不自然な線形近似関数が生成されてしまうという問題点があった。
【０００６】
図１６は、不自然な線形近似関数の生成例である。ここでは、入力データが［−２，４］の範囲で０．０１刻みの等間隔に配置されている。出力データは、ある非線形関数にガウシアンノイズを載せ、１点だけ外れ値を置いたものであり、入出力データの個数は計６０１個ある。
この生成例によれば、誤差を含むデータの線形近似を、区分数が３の時点で止めた状態が示されているが、大多数のデータ群から値が大きく離れた外れ値が節点として選択されたために、データ群に比べて線形近似関数が大きく歪んでいることがわかる。
【０００７】
一般に、近似関数を生成する場合、近似誤差は小さい方がよい。また、近似誤差最大の一点に着目するのではなく、全体の近似誤差を小さくするべきである。それにより、特許文献３の課題であった、外れ値の影響を軽減できる。
区分線形近似関数の近似誤差を小さくするためには、区分の数を多くしていけばよい。しかし、区分の数を多くすれば細かい近似が出来るようになるが、「過学習」「オーバーフィッティング」（与えられたデータにのみ特化した、汎用性に欠ける関数を生成してしまうこと）と呼ばれる問題を引き起こしてしまう。そこで、近似誤差が小さく、かつ、区分の数が少ない区分線形近似関数を生成する必要がある。
【０００８】
このような手法の１つとして、例えば、区分と区分の境目、すなわち節点の候補と、使える節点の最大数を予め設定しておき、生成された区分線形近似関数による近似誤差が最小となるような節点を選び出す、という手法が考えられる。
この手法によれば、近似誤差が小さく、かつ、区分の数が「使える節点の最大数−１」を超えない関数を生成することができる。
【０００９】
図１７は、節点候補を示す説明図である。図１８は、区分線形近似関数の生成例である。
図１７では、近似対象となる関数ｆ（ｘ）と、ｘ軸上に設定された節点候補ｘi（ｉ＝１，２，…，１１）とが示されている。この場合、最大の区分数は１０となる。
仮に、下限値ｘ1，上限値ｘ11の他に節点を最大２つ使って、最も近似誤差の少ない区分線形近似関数を求め、その結果として図１８に示す区分線形近似関数が得られたとする。
【００１０】
図１８では、節点として、下限値ｘ1，上限値ｘ11の他に、ｘ3とｘ7が節点として選ばれており、区分数は３となっている。したがって、区分線形近似関数ｈ（ｘ）は、３つの線形関数の組み合わせとなり、対応する区分Ｓ1，Ｓ2，Ｓ3の線形近似関数の傾きｇと切片ｂを、ｇ[1]，ｇ[2]，ｇ[3]とｂ[1]，ｂ[2]，ｂ[3]とした場合、次の式（１９）のように表すことができる。
【数１】
2018163396.tif 000003
【００１１】
このような区分線形近似関数は、例えば以下のような計算を行うことで生成できる。
まず、下限値ｘ1，上限値ｘ11以外の節点を１つも選ばず、全体で１つの線形近似関数を求め、近似誤差を算出する。次に、下限値ｘ1，上限値ｘ11以外の節点候補ｘiから任意の１つを選び出して区分を２つに分け、それぞれの区分で線形近似関数を求めた後、全区間の近似誤差を算出する。これを９回繰り返す。次に、下限値ｘ1，上限値ｘ11以外の節点候補ｘi（ｉ＝２，３，…，１０）から任意の２つを選び出して区分を３つに分け、それぞれの区分で線形近似関数を求めた後、全区間の近似誤差を算出する。これを組み合わせの数、すなわち３６回繰り返す。その後、最も近似誤差の小さかった場合に選び出した節点の組み合わせを採用する。
【００１２】
上記の方法は、「組合せ最適化問題」となっている。組合せ最適化問題は、組み合わせの候補の数が多くなると、計算負荷が大きくなる性質を持つ。例えば、上下限以外の節点候補が５００点あり、その中から最大５つの節点を採用する場合、組み合わせの数は、２千億通りを超えてしまう。
【００１３】
本発明はこのような課題を解決するためのものであり、近似誤差が小さく、かつ、区分の数が少ない区分線形近似関数を、少ない計算負荷で生成できる区分線形近似関数生成技術を提供することを目的としている。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
このような目的を達成するために、本発明にかかる区分線形近似関数生成装置は、入力が１次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の節点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成装置であって、前記入出力データおよび前記節点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化部と、最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理部と、得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成部とを備え、前記最適化問題定式化部は、前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化するようにしたものである。
【００１５】
また、本発明にかかる他の区分線形近似関数生成装置は、入力が多次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の頂点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成装置であって、前記入出力データおよび前記頂点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化部と、最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理部と、得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成部とを備え、前記最適化問題定式化部は、前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が頂点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化するようにしたものである。
【００１６】
また、本発明にかかる上記区分線形近似関数生成装置の一構成例は、前記正則化項が、前記傾き差のすべてに関するＬ１ノルムからなるものである。
また、本発明にかかる上記区分線形近似関数生成装置の一構成例は、前記正則化項が、前記傾き差のＬ２ノルムの総和からなるものである。
【００１７】
また、本発明にかかる上記区分線形近似関数生成装置の一構成例は、前記傾き差ごとに設けた所定の係数を用いて前記正則化項を基準化する基準化部をさらに備え、前記係数のそれぞれは、前記係数を１と仮定して前記最適化問題を解くことにより得られた、対応する前記傾き差の絶対値からなるものである。
【００１８】
また、本発明にかかる区分線形近似関数生成方法は、入力が１次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の節点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成方法であって、最適化問題定式化部が、前記入出力データおよび前記節点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化ステップと、最適化処理部が、最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理ステップと、区分線形近似関数生成部が、得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成ステップとを備え、前記最適化問題定式化ステップは、前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化するステップとを含むものである。
【００１９】
また、本発明にかかる他の区分線形近似関数生成方法は、入力が多次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の頂点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成方法であって、最適化問題定式化部が、前記入出力データおよび前記頂点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化ステップと、最適化処理部が、最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理ステップと、区分線形近似関数生成部が、得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成ステップとを備え、前記最適化問題定式化ステップは、前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が頂点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化するステップとを含むものである。
【発明の効果】
【００２０】
本発明によれば、線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を、連続変数のみを用いた最適化問題として定式化することができる。したがって、なるべく区分数の少ない区分線形近似関数を生成することができ、近似誤差が小さく、かつ、区分の数が少ない区分線形近似関数を、少ない計算負荷で生成することが可能となる。このため、区分線形近似関数における「過学習」や「オーバーフィッティング」と呼ばれる問題を避けることができる。
【００２１】
また、熱源運転計画では、例えば３０分程度の短い周期で計画を立てたり、機器故障や熱負荷の急激な変化等の現場状況変化に応じて即座に計画を立て直したりするような状況にも対応することができる。このため、熱源運転計画の計算周期内で、実績データに基づいて関数を再生成する、多数の関数を生成する、というような応用が可能となり、産業上、極めて大きな効果を得ることが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【００２２】
【図１】第１の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置の構成を示すブロック図である。
【図２】第１の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成処理を示すフローチャートである。
【図３】入出力データと節点候補を示す説明図である。
【図４】線形近似関数の傾きと近似値を示す説明図である。
【図５】区分線形近似関数の生成例である。
【図６】第１の実施の形態による区分線形近似関数の生成例である。
【図７】第２の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置の構成を示すブロック図である。
【図８】第２の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成処理を示すフローチャートである。
【図９】第２の実施の形態による区分線形近似関数の生成例である。
【図１０】第５の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置の構成を示すブロック図である。
【図１１】第５の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成処理を示すフローチャートである。
【図１２】入力が２次元の場合の区分を示す説明図である。
【図１３】２入力１出力の入出力データに関する区分線形近似関数例である。
【図１４】第５の実施の形態による区分線形近似関数の生成例である。
【図１５】Douglas-Peuckerアルゴリズムを示す説明図である。
【図１６】不自然な線形近似関数の生成例である。
【図１７】節点候補を示す説明図である。
【図１８】区分線形近似関数の生成例である。
【図１９】隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差を示す説明図である。
【発明を実施するための形態】
【００２３】
［発明の原理］
まず、本発明の原理について説明する。
一般に、区分線形近似関数では、「過学習」や「オーバーフィッティング」と呼ばれる問題を避けるために、なるべく区分数を少なくしたいというニーズがある。また、熱源運転計画のための混合整数計画に用いる場合、その計算負荷の観点からも、区分数は少ない方がよい。
【００２４】
特に、熱源運転計画では、例えば３０分程度の短い周期で計画を立てたり、機器故障や熱負荷の急激な変化等の現場状況変化に応じて即座に計画を立て直したりする必要がある。このため、計算負荷を削減し、短い所要時間で計算結果を出すことが肝要となる。
また、区分数が少ない区分線形近似関数の生成を簡易かつ高速に行うことができれば、熱源運転計画の計算周期内で、実績データに基づいて関数を再生成したり、多数の関数を生成したり、といった応用が可能となり、産業上の効果が大きい。
【００２５】
前述したように、区分線形近似関数は、各区分の線形近似関数が連結された関数であり、区分数を少なくするための方法として、隣接する区分を１つにまとめる方法が考えられる。本発明は、隣接する区分を１つにまとめるための具体的方法として、隣接する区分の線形近似関数を１つの線形近似関数で表現すること、すなわち「隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差」を小さくすることに着目した。
【００２６】
「隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差」が小さくなり、やがて同じになれば、それらの区分については同じ線形近似関数で表現できる。図１９は、隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差を示す説明図である。例えば、図１９において、隣り合う区分の線形近似関数の傾き傾きｇ１，ｇ２の差がなくなると、これら線形近似関数を１つの線形近似関数で表現できる。このため、これら区分は１つであると見なせるため、結果的に区分の数が少なくなるはずである。
【００２７】
ここで、区分線形近似関数の生成は、区分ごとの線形近似関数の組合せを最適化する組合せ最適化問題と見なすことができる。しかしながら、「隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差」を小さくすることを目的関数または制約条件にした場合、区分線形近似関数の生成は、組合せ最適化問題とはならない。連続変数のみを用いた最適化問題として定式化できる。
【００２８】
本発明は、このような観点から、「近似誤差」が小さくなるような目的関数および／または制約条件と、「隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差」が小さくなるような目的関数および／または制約条件に加えて、隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致するような制約条件を置いた最適化問題を解くことにより、区分数が少ない区分線形近似関数を生成するようにしたものである。
【００２９】
この場合、「隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差」を小さくしようとしても、傾きが少しずつ違う区分がたくさんできるだけで、区分の数がうまく少なくならない可能性がある。そこで、次のような対策１，２が考えられる。
【００３０】
対策１：「隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差」の大きさを、絶対値の和（Ｌ１ノルム）で表す。
対策２：絶対値の和を取る前に、それぞれの絶対値を係数で除して基準化を行う。係数の決め方は、一旦、係数を用いずに（＝係数を１と置いて）最適化を行い、その結果得られた絶対値そのものを、係数として使う。
本発明は、このような対策１のみを実施するか、あるいは対策１，２の両方を実施するようにしたものである。
【００３１】
［第１の実施の形態］
次に、本発明の実施の形態について図面を参照して説明する。
まず、図１を参照して、本発明の第１の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置１０について説明する。図１は、第１の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置の構成を示すブロック図である。
【００３２】
この区分線形近似関数生成装置１０は、全体としてサーバ装置などの情報処理装置からなり、複数の入出力データと予め設定された複数の節点候補とに基づいて、入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する装置である。
【００３３】
図１に示すように、区分線形近似関数生成装置１０には、主な機能部として、通信Ｉ／Ｆ部１１、操作入力部１２、画面表示部１３、記憶部１４、および演算処理部１５が設けられている。
【００３４】
通信Ｉ／Ｆ部１１は、通信回線を介して外部装置（図示せず）との間で、入出力データや節点候補など、区分線形近似関数の生成処理に用いる各種データや、得られた区分線形近似関数に関するデータをやり取りする機能を有している。
操作入力部１２は、キーボード、マウス、タッチパネルなどの操作入力装置からなり、オペレータの操作を検出して演算処理部１５へ出力する機能を有している。
【００３５】
画面表示部１３は、ＬＣＤなどの画面表示装置からなり、操作メニュー画面、各種入力・設定画面、得られた区分線形近似関数を示す結果画面など、演算処理部１５から出力された各種画面を表示する機能を有している。
【００３６】
記憶部１４は、ハードディスクや半導体メモリなどの記憶装置からなり、演算処理部１５で実行される区分線形近似関数の生成処理に用いる各種処理データや、予め外部から登録されたプログラム１４Ｐを記憶する機能を有している。
記憶部１４で記憶される主な処理データとして、入出力データ１４Ａおよび節点候補１４Ｂがある。
【００３７】
入出力データ１４Ａは、入力データ（ｘ）と出力データ（ｙ）の組が複数登録されたデータである。節点候補１４Ｂは、入力データ空間に設定された各区分の境界、すなわち区分線形近似関数の節点を示すデータである。
【００３８】
演算処理部１５は、ＣＰＵなどのマイクロプロセッサを有し、記憶部１４のプログラムを読み出して実行することにより、区分線形近似関数の生成処理を行う各種処理部を実現する機能を有している。
演算処理部１５で実現される主な処理部として、設定処理部１５Ａ、最適化問題定式化部１５Ｂ、最適化処理部１５Ｃ、および区分線形近似関数生成部１５Ｄがある。
【００３９】
設定処理部１５Ａは、通信Ｉ／Ｆ部１１を介して取得した入出力データ１４Ａを記憶部１４に登録する機能と、操作入力部１２から操作入力された節点候補１４Ｂを記憶部１４に設定する機能とを有している。
【００４０】
最適化問題定式化部１５Ｂは、記憶部１４の入出力データ１４Ａおよび節点候補１４Ｂに基づいて、各区分における線形近似関数のそれぞれについて、傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する機能を有している。
【００４１】
より具体的には、最適化問題定式化部１５Ｂは、入出力データ１４Ａに対する区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、最適化問題に関する目的関数として定式化する機能と、区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項、例えば傾き差のすべてに関するＬ１ノルムからなる正則化項を、最適化問題に関する目的関数として定式化する機能と、隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致することを最適化問題に関する制約条件として定式化する機能とを有している。
【００４２】
最適化処理部１５Ｃは、最適化演算を実行することにより最適化問題の解を求める機能を有している。
区分線形近似関数生成部１５Ｄは、最適化処理部１５Ｃで得られた最適化問題の解に基づいて、各区部の線形近似関数のそれぞれを生成することにより、区分線形近似関数を生成する機能を有している。
【００４３】
［第１の実施の形態の動作］
次に、図２を参照して、本実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置１０の動作について説明する。図２は、第１の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成処理を示すフローチャートである。
区分線形近似関数生成装置１０の演算処理部１５は、操作入力部１２で検出されたオペレータ操作に応じて、図２の区分線形近似関数生成処理を実行する。
【００４４】
まず、図２において、設定処理部１５Ａは、通信Ｉ／Ｆ部１１を介して取得した入出力データ１４Ａを記憶部１４に登録するとともに（ステップ１００）、操作入力部１２から操作入力された節点候補１４Ｂを記憶部１４に設定する（ステップ１０１）。
【００４５】
入出力データ１４Ａとして、入力データと出力データの組がＮ（Ｎは２以上の整数）個与えられたとする。また、ｎ（ｎは３以上の整数）個の節点候補ｘi（ｉ＝１，２，…，ｎ）が設定されたとする。ｘiはｉに関して昇順に並べ替えてあるもの、すなわち、ｘ1＜ｘ2＜…＜ｘnが成り立っているものとする。節点候補は、入力データそのものでもよいし、ｘ1からｘnの範囲を等間隔に区切るなどして設定してもよい。ｘ1とｘnは、入力データの最小値と最大値でもよいし、入力データを含む範囲で任意の値を設定してもよい。
【００４６】
節点候補と一致する入力データに対する出力データを、ｙi（ｉ＝１，２，…，ｎ）とする。ただしｉ＝ｊのときは、出力データが存在しない、すなわち節点候補上にデータがないものとする。ｊの個数をｎjとする。
また、節点候補と一致しない入力データとそれに対応する出力データについては、節点候補ｘiと節点候補ｘi+1に挟まれた区分Ｓiにｍi個の入出力データがあるとき、これら入出力データの入力データをｘ[i]k（ｋ＝１，２，…，ｍi）と表し、対応する出力データをｙ[i]kと表すものとする。したがって、入出力データの個数Ｎは、次の式（１）で表される。
【数２】
2018163396.tif 000004
【００４７】
図３は、入出力データと節点候補を示す説明図である。この例では、節点候補としてｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4の４個（ｎ＝４）が設定されており、これら節点候補ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4で区切られた３つの区分Ｓ1，Ｓ2，Ｓ3が設けられている。節点候補ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4のうち、ｘ1は下限値であり、ｘ4は上限値であるものとする。
ｘ2上には出力データｙ2が存在するが、ｘ1，ｘ3，ｘ4上には出力データが存在せず、ｊ＝１，３，４である。また、ｘ1とｘ2の間の区分Ｓ1には入出力データが存在せず、ｍ1＝０である。一方、ｘ2とｘ3の間の区分Ｓ2には１つの入出力データ（ｘ[2]1，ｙ[2]1）が存在し、ｍ2＝１であり、同じく、ｘ3とｘ4の間の区分Ｓ3には２つの入出力データ（ｘ[3]1，ｙ[3]1）と（ｘ[3]2，ｙ[3]2）とが存在し、ｍ3＝２である。したがって、入出力データの個数Ｎは、Ｎ＝４−３＋（０＋１＋２）＝４である。
【００４８】
次に、図２において、最適化問題定式化部１５Ｂは、入出力データ１４Ａに対する区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項ＥDを、最適化問題に関する目的関数として定式化する（ステップ１０２）。
区分線形近似関数をｈ（ｘ）とし、ｈ（ｘ）による出力データｙiの近似値をｙ＾i＝ｈ（ｘi）や、ｙ＾[i]k＝ｈ（ｘ[i]k）で表すものとする。
また、節点候補ｘiと節点候補ｘi+1に挟まれた区間の線形近似関数の傾きを、ｇiとする。
【００４９】
図４は、線形近似関数の傾きと近似値を示す説明図である。この例では、節点候補ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4で区切られた３つの区分Ｓ1，Ｓ2，Ｓ3が設けられており、これら区分Ｓ1，Ｓ2，Ｓ3の傾きがｇ1，ｇ2，ｇ3である。また、ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4と対応する出力データｙ1，ｙ2，ｙ3，ｙ4の近似値がｙ＾1，ｙ＾2，ｙ＾3，ｙ＾4であり、入出力データ（ｘ[2]1，ｙ[2]1），（ｘ[3]1，ｙ[3]1），（ｘ[3]2，ｙ[3]2）の近似値がｙ＾[2]1，ｙ＾[3]1，ｙ＾[3]2である。
【００５０】
ここで、入出力データに対する区分線形近似関数の近似誤差が小さくなるような目的関数および／または制約条件を置くために、誤差項ＥDを、次の式（２）で定義する。式（２）は、誤差の平方和を表している。
【数３】
2018163396.tif 000005
【００５１】
なお、入出力データ１４Ａに、同じ入力データを持つ出力データが複数存在する場合、式（２）の誤差計算に含めればよい。例えば、（ｘ1，ｙ1）と（ｘ1，ｙ'1）という、同じ入力データｘ1を持つ入出力データｙ1，ｙ'1が２つあった場合、（ｙ1−ｙ＾1）2だけでなく、（ｙ'1−ｙ＾1）2も誤差項ＥDの総和に含めればよい。
【００５２】
次に、図２において、最適化問題定式化部１５Ｂは、各区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項ＥWを、最適化問題に関する目的関数として定式化する（ステップ１０３）。
ここでは、「隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差」が小さくなるような目的関数および／または制約条件を置くために、正則化項ＥWを次の式（３）で定義する。式（３）は、傾き差のすべてに関する絶対値の和、すなわちＬ１ノルムを表している。
【数４】
2018163396.tif 000006
【００５３】
次に、図２において、最適化問題定式化部１５Ｂは、隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致すること、すなわち近似値一致制約を、最適化問題に関する制約条件として定式化する（ステップ１０４）。
この近似値一致は、次の式（４）の１行目で表すことができる。また、２行目の式は、区分内部の近似値が、近似直線と一致する（直線上に乗る）ことを表している。
【数５】
2018163396.tif 000007
【００５４】
次に、図２において、最適化問題定式化部１５Ｂは、このようにして定式化した個々の目的関数および制約条件を統合して、各区分における線形近似関数のそれぞれについて、傾きおよび切片を求めるための最適化問題を、次の式（５）のように定式化する（ステップ１０５）。
【数６】
2018163396.tif 000008
【００５５】
最小化したい目的関数は、誤差項ＥDと正則化項ＥWの重み付き線形和である。λ＞０は正則化項ＥWに対する重みであり、重みを大きくすれば、区分線形近似関数の区間の数がより少なくなることが期待できる。
図２において、最適化処理部１５Ｃは、操作入力部１２で検出されたオペレータ操作に応じて、正則化項ＥWに対する重みλを設定し（ステップ１０６）、この重みλで規定された式（５）に基づいて最適化演算を実行することにより最適化問題を求解する（ステップ１０７）。
【００５６】
この際、中間変数ｖi（ｉ＝１，２，…，ｎ−２）を導入し、中間変数ｖiを用いて正則化項を新たに定義すれば、上記式（５）は次の式（６）のように表現できる。式（６）の正則化項Ｅｗは、中間変数ｖiの総和である。この式（６）は、いわゆる「二次計画問題」である。したがって、この問題は、組合せ最適化問題に比較して、容易に、高速に解くことができる。
【数７】
2018163396.tif 000009
【００５７】
この後、図２において、区分線形近似関数生成部１５Ｄは、最適化処理部１５Ｃで得られた最適化問題の解に基づいて、各区部の線形近似関数のそれぞれを生成することにより、区分線形近似関数を生成する（ステップ１０８）。
ここで、式（６）の最適化問題を解いた結果、傾きｇi（ｉ＝１，２，…，ｎ−１）を並べた結果が、次の式（７）のようになったとする。
【数８】
2018163396.tif 000010
【００５８】
式（７）は、最初のｓ1個の傾き、すなわちｇiからｇs1が、同じ傾きとなったことを意味する。また、その次のｓ2個の傾き、すなわち、ｇs1からｇs2が、また同じ傾きになったことを意味する。このようにして、得られた傾きがｐ個に区分されたことを意味する。ここで、微小な誤差はゼロと見なしてよい。また、傾きが同じであっても、隣り合っていなければ、異なるものと見なす。
以上より、採用する節点は、ｘ1，ｘs1+1，ｘs1+s2+1，…，ｘs1+…+sp+1であり、採用する節点の数はｐ＋１個となる。ただし、ｘ1は下限値、ｘs1+…+sp+1は上限値であり、区分の数はｐ個である。
【００５９】
ここで、ｐ個の傾きを、改めてｇ[1]，ｇ[2]，…，ｇ[p]で表すと、区分線形近似関数ｈ（ｘ）は、次の式（８）で表せる。
【数９】
2018163396.tif 000011
【００６０】
なお、切片ｂ[1]，ｂ[2]，…，ｂ[p]は、最適化問題を解いた結果得られた近似値を用いて、次の式（９）から求めればよい。
【数１０】
2018163396.tif 000012
【００６１】
図５は、区分線形近似関数の生成例である。ここでは、ｘ1からｘ3までの区分Ｓ1では、ｍ1＝２個の傾きｇ1とｇ2から傾きｇ[1]が導出され、ｘ3からｘ7までの区分Ｓ2では、ｍ2＝４個の傾きｇ3，ｇ4，ｇ5，ｇ6から傾きｇ[2]が導出され、ｘ7からｘ11までの区分Ｓ2では、ｍ3＝４個の傾きｇ7，ｇ8，ｇ9，ｇ10から傾きｇ[3]が導出されている。
【００６２】
ここで、得られた区分線形近似関数ｈ（ｘ）が所望の範囲のものか確認し（ステップ１０９）、得られた区分線形近似関数ｈ（ｘ）の近似誤差が大きかったり、区分数が多かったりして、所望の区分線形近似関数ｈ（ｘ）が得られていない場合（ステップ１０９：ＮＯ）、ステップ１０６に戻って、正則化項ＥWに対する重みλの大きさを変更すればよい。λを小さくすれば近似誤差が小さくなり、λを大きくすれば区分の数が少なくなることが期待できる。
【００６３】
一方、得られた区分線形近似関数ｈ（ｘ）が所望の範囲のものである場合（ステップ１０９：ＹＥＳ）、得られた区分線形近似関数ｈ（ｘ）を画面表示部１３で画面表示し、あるいは通信Ｉ／Ｆ部１１から外部へ出力して、一連の区分線形近似関数の生成処理を終了する。
【００６４】
図６は、第１の実施の形態による区分線形近似関数の生成例である。ここでは、前述した図１６と同様に、入力データが［−２，４］の範囲で０．０１刻みの等間隔に配置されている。出力データは、ある非線形関数にガウシアンノイズを載せ、１点だけ外れ値を置いたものであり、入出力データの個数は計６０１個ある。
【００６５】
この区分線形近似関数の生成処理では、全ての入力データを節点候補として設定した。よって、上下限値を除いた節点候補は５９９個存在することになる。正則化項に対する重みλは適当な値を設定した。
この結果、区分数が１０個の区分線形近似関数が得られ、外れ値の影響は受けていないことが分かる。また、最適化処理には、一般に流通する二次計画ソルバを用いたが、非常に短時間で計算することができた。
【００６６】
［第１の実施の形態の効果］
このように、本実施の形態は、最適化問題定式化部１５Ｂが、入出力データ１４Ａおよび節点候補１４Ｂに基づいて、線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化し、この際、入出力データ１４Ａに対する区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項ＥDを、最適化問題に関する目的関数として定式化し、区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項ＥWを、最適化問題に関する目的関数として定式化し、隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致することを最適化問題に関する制約条件として定式化するようにしたものである。
【００６７】
これにより、線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を、連続変数のみを用いた最適化問題として定式化することができる。したがって、なるべく区分数の少ない区分線形近似関数を生成することができ、近似誤差が小さく、かつ、区分の数が少ない区分線形近似関数を、少ない計算負荷で生成することが可能となる。このため、区分線形近似関数における「過学習」や「オーバーフィッティング」と呼ばれる問題を避けることができる。
【００６８】
また、熱源運転計画では、熱源運転計画では、例えば３０分程度の短い周期で計画を立てたり、機器故障や熱負荷の急激な変化等の現場状況変化に応じて即座に計画を立て直したりするような状況にも対応することができる。このため、熱源運転計画の計算周期内で、実績データに基づいて関数を再生成する、多数の関数を生成する、というような応用が可能となり、産業上、極めて大きな効果を得ることが可能となる。
【００６９】
［第２の実施の形態］
次に、図７を参照して、本発明の第２の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置１０について説明する。図７は、第２の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置の構成を示すブロック図であり、図１と同じまたは同等部分には同一符号を付してある。
【００７０】
前述した第１の実施の形態によれば、入出力データ１４Ａによって、区分数がうまく少なくならない可能性がある。本実施の形態では、図７に示すように、第１の実施の形態の構成のうち、演算処理部１５に、前述した正則化項ＥWを基準化する基準化処理部１５Ｅを追加したものである。
【００７１】
この基準化処理部１５Ｅは、各区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差ごとに設けた所定の係数を用いて、正則化項ＥWを基準化する機能を有している。
すなわち、本実施の形態では、正則化項ＥWとして前述した式（３）を用いる代わりに、次の式（１０）のように、正の係数ｄiを用いて、「基準化」を行う。
【数１１】
2018163396.tif 000013
【００７２】
ここで、係数ｄiの設定方法について説明する。
初回の基準化では、初期値としてｄi＝１とする。これは、式（１０）と式（３）が等価であることを意味する。その上で、最適化問題を解き、得られた傾きをｇ*iとする。得られた傾きｇ*iを用いて、次の式（１１）に従ってｄiを更新する。
【数１２】
2018163396.tif 000014
【００７３】
この際、εは、ゼロ割を防ぐための微小な正の数であり、予め適当に設定すればよい。ｍａｘ（ａ，ｂ）は、ａ，ｂのうち大きな値を取る関数を意味する。ｄiは、最適化を行うたびに更新してよい。
【００７４】
図８は、第２の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成処理を示すフローチャートであり、図２と同じまたは同等部分には同一符号を付してある。
前述した図２と比較して、ステップ１０６とステップ１０７の間に、基準化処理部１５Ｅが式（１０）および式（１１）に従って、正則化項ＥWを基準化する処理（ステップ２００）が追加されている。
これにより、区分数がうまく少なくならない入出力データ１４Ａであっても、区分数の少ない区分線形近似関数を生成することが可能となる。
【００７５】
なお、所望の区分線形近似関数ｈ（ｘ）が得られていない場合（ステップ１０９：ＮＯ）、ステップ１０６に戻って、正則化項ＥWに対する重みλの大きさを変更してもよく、ステップ２００に戻って、正則化項ＥWを基準化し直してもよい。λを小さくすれば近似誤差が小さくなり、λを大きくすれば区分の数が少なくなることが期待できる。
【００７６】
図９は、第２の実施の形態による区分線形近似関数の生成例である。ここでは、前述した図１６と同様に、入力データが［−２，４］の範囲で０．０１刻みの等間隔に配置されている。出力データは、ある非線形関数にガウシアンノイズを載せ、１点だけ外れ値を置いたものであり、入出力データの個数は計６０１個ある。
【００７７】
この区分線形近似関数の生成処理では、全ての入力データを節点候補として設定した。よって、上下限値を除いた節点候補は５９９個存在することになる。正則化項に対する重みλは図６の場合と同じ値を設定した。
この結果、区分数が図６の１０個より少ない４個の区分線形近似関数が得られ、外れ値の影響は受けておらず、より自然な近似が得られていることが分かる。
【００７８】
［第３の実施の形態］
次に、本発明の第３の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置１０について説明する。
第１の実施の形態では、入出力データ１４Ａに対する区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項ＥDを、最適化問題に関する目的関数として定式化し、区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項ＥWを、最適化問題に関する目的関数として定式化する場合を例として説明したが、これら誤差項ＥDおよび正則化項ＥWのいずれか一方または両方を、最適化問題に関する制約条件として定式してもよい。
【００７９】
誤差項ＥDおよび正則化項ＥWを制約条件に含めるには、誤差項ＥDの上限ｒ、正則化項ＥWの上限ｌを設定した上で、次の式（１２）を、前述した式（６）の制約条件に含めればよい。誤差項ＥDは二次形式であるため、誤差項ＥDを制約条件に含んだ最適化問題は、「二次制約問題」となる。この問題も、組合せ最適化問題に比較して容易かつ高速に解くことができる。
【数１３】
2018163396.tif 000015
【００８０】
なお、誤差項ＥDを制約条件に含める場合には、目的関数には含めなくともよい。同様に、正則化項ＥWを制約条件に含める場合には、目的関数には含めなくともよい。
誤差項ＥD、正則化項の少なくともいずれか一方を目的関数に含めない場合、正則化項ＥWに対する重みλは不要であり、設定しなくてよい。
誤差項ＥD、正則化項ＥWのどちらも目的関数に含めない場合、最適化問題は、目的関数が存在せず、制約条件のみが存在する「実行可能性問題」となるが、同様に求解可能である。
【００８１】
［第４の実施の形態］
次に、本発明の第４の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置１０について説明する。
最適化問題は、二次計画問題ではなく、線形計画問題とすることもできる。その場合は、誤差項ＥDを、前述した式（２）で表されるような誤差の平方和ではなく、次の式（１３）のように、誤差の絶対値の和とすればよい。なお、絶対値表現の線形表現への変換は、式（５）から式（６）で行った、正則化項の変換と同じように、中間変数を用いて行えばよい。
【数１４】
2018163396.tif 000016
【００８２】
［第５の実施の形態］
次に、図１０を参照して、本発明の第５の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置１０について説明する。図１０は、第５の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置の構成を示すブロック図であり、図１と同じまたは同等部分には同一符号を付してある。
【００８３】
前述した第１〜第４の実施の形態では、入力が１次元の線形近似関数、いわゆる折れ線の生成する場合を例として説明した。本実施の形態では、入力が多次元である場合について説明する。なお、本実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置１０の構成は、図１と同様であり、ここでの詳細な説明は省略する。
【００８４】
入力が多次元である場合、２つの線形近似関数が節点で接続されるのではなく、３つ以上の線形近似関数が頂点で接続されることになるため、入力が１次元である場合の「節点」を「頂点」に置き換えればよいことになる。したがって、記憶部１４には、節点候補１４Ｂに代えて、頂点候補１４Ｃが登録されている。
【００８５】
すなわち、本発明は、「近似誤差」が小さくなるような目的関数および／または制約条件と、「隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差」が小さくなるような目的関数および／または制約条件に加えて、隣り合う区分の線形近似関数による近似値が「頂点」で一致するような制約条件を置いた最適化問題を解くことにより、区分数が少ない区分線形近似関数を生成するようにしたものである。
【００８６】
［第５の実施の形態の動作］
次に、図１１を参照して、本実施の形態にかかる区分の線形近似関数生成装置１０の動作について説明する。図１１は、第５の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成処理を示すフローチャートであり、図２と同じまたは同等部分には同一符号を付してある。
区分線形近似関数生成装置１０の演算処理部１５は、操作入力部１２で検出されたオペレータ操作に応じて、図１１の区分線形近似関数生成処理を実行する。
【００８７】
まず、図１１において、設定処理部１５Ａは、通信Ｉ／Ｆ部１１を介して取得した入出力データ１４Ａを記憶部１４に登録するとともに（ステップ１００）、操作入力部１２から操作入力された頂点候補１４Ｃを記憶部１４に設定する（ステップ１０１）。
【００８８】
入力の次元数がｐであるとすると、区分は、ｐ＋１個の頂点を持つシンプレックスとなる。例えば、入力が２次元の場合、シンプレックスは三角形である。
図１２は、入力が２次元の場合の区分を示す説明図である。例えば、入力がｘ１，ｘ２の２次元で、出力ｙは１次元であるとした場合、各区分（三角形）は、例えば図１２のように定義できる。この例では、区分数は、全部で２２４個となっており、頂点数は１３５個である。
【００８９】
図１３は、２入力１出力の入出力データに関する区分線形近似関数例である。各頂点が、それぞれ出力値ｙを持つものとした場合、各区分を平面で表すと、つまり、各区分を別々の線形近似関数で表現すると、図１３に示すように、すべての出力値と一致する区分線形近似関数を生成できる。
【００９０】
次に、図１１において、最適化問題定式化部１５Ｂは、入出力データ１４Ａに対する区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項ＥDを、最適化問題に関する目的関数として定式化する（ステップ１０３）。
多次元の誤差項ＥDは、式（２）と同様に次の式（１４）のように表すことができる。
【数１５】
2018163396.tif 000017
【００９１】
ここで、ｙi，ｉ≠ｊは、頂点ｉが持つ出力値であり、ｎは頂点ｉの合計数である。ｉ＝ｊの場合、その頂点は出力値を持たないとする。
また、ｙ[I]kは、ある区分をＳIとしたとき、その区分ＳIに含まれる（ただし頂点以外）出力値であり、その個数はｍiである。また、Ｎは区分の合計数である。なお、出力値が区分と区分の境界上に位置していたとしても、近似誤差を重複して加算する必要はない。
【００９２】
次に、図１１において、最適化問題定式化部１５Ｂは、各区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項ＥWを、最適化問題に関する目的関数として定式化する（ステップ１０３）。
【００９３】
１次元の場合と同様に、「隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差」をゼロにすれば、それらは同じ区分と見なせるので、区分の数を減らすことができる。２次元の場合、「隣り合う区分」とは、「辺」（線分）を共有している２つの三角形を意味する。ｐ次元の場合、隣り合う区分とは、ｐ−１次元超平面を共有している２つのシンプレックスを意味する。
【００９４】
隣り合う２つの区分をそれぞれＳI，ＳJとし、ＳI，ＳJはそれぞれｐ次元方向の傾きを持つものとする。これらの傾きを、ｇI＝［ｇ[I]1,ｇ[I]2,…,ｇ[I]p］TおよびｇJ＝［ｇ[J]1,ｇ[J]2,…,ｇ[J]p］Tで表す。Ｔは転置記号である。
各次元の傾きの差を取り、そのＬ２ノルムの計算を次の式（１５）のように定義する。
【数１６】
2018163396.tif 000018
【００９５】
また、式（３）に対応する多次元の正則化項ＥWは、次の式（１６）のようにＬ２ノルムの総和として定義できる。ただし、「Ｉ，Ｊ∈Ａ」は、「隣り合う区分の全ての組み合わせ」を意味している。
【数１７】
2018163396.tif 000019
【００９６】
次に、図１１において、最適化問題定式化部１５Ｂは、隣り合う区分の線形近似関数による近似値が頂点で一致すること、すなわち近似値一致制約を、最適化問題に関する制約条件として定式化する（ステップ１０４）。
【００９７】
数式（４）に対応する多次元の制約条件は、次の式（１７）のようになる。
【数１８】
2018163396.tif 000020
１行目は、区分ＳIの辺ｐ＋１個のうち、ｐ個について置けばよい。これは全ての辺について置くと冗長となるからである。ａ，ｂは各辺の両端の頂点を意味しており、ｘaとｘbは頂点の位置を意味する。ｇIは区分ＳIにおける線形近似関数の傾きを表すベクトルを表す。
２行目は、区分ＳIに含まれる区分内部の近似値が、近似直線と一致する（超平面上に乗る）ことを表している。ｙ＾aは、ＳIの任意の頂点上の近似値である。
【００９８】
次に、図１１において、最適化問題定式化部１５Ｂは、このようにして定式化した個々の目的関数および制約条件を統合して、各区分における線形近似関数のそれぞれについて、傾きおよび切片を求めるための最適化問題を、次の式（１８）のように定式化する（ステップ１０５）。この式（１８）は、「二次計画問題」であり、１次元の場合と同様、容易に、高速に解くことができる。
【数１９】
2018163396.tif 000021
【００９９】
この後、最適化処理部１５Ｃは、操作入力部１２で検出されたオペレータ操作に応じて、正則化項ＥWに対する重みλを設定し（ステップ１０６）、この重みλで規定された式（５）に基づいて最適化演算を実行することにより最適化問題を求解する（ステップ１０７）。
続いて、区分線形近似関数生成部１５Ｄは、最適化処理部１５Ｃで得られた最適化問題の解に基づいて、各区部の線形近似関数のそれぞれを生成することにより、区分線形近似関数を生成する（ステップ１０８）。
【０１００】
ここで、得られた区分線形近似関数ｈ（ｘ）が所望の範囲のものか確認し（ステップ１０９）、得られた区分線形近似関数ｈ（ｘ）の近似誤差が大きかったり、区分数が多かったりして、所望の区分線形近似関数ｈ（ｘ）が得られていない場合（ステップ１０９：ＮＯ）、ステップ１０６に戻って、正則化項ＥWに対する重みλの大きさを変更すればよい。λを小さくすれば近似誤差が小さくなり、λを大きくすれば区分の数が少なくなることが期待できる。
【０１０１】
一方、得られた区分線形近似関数ｈ（ｘ）が所望の範囲のものである場合（ステップ１０９：ＹＥＳ）、得られた区分線形近似関数ｈ（ｘ）を画面表示部１３で画面表示し、あるいは通信Ｉ／Ｆ部１１から外部へ出力して、一連の区分線形近似関数の生成処理を終了する。
【０１０２】
図１４は、第５の実施の形態による区分線形近似関数の生成例であり、図１４（ａ）は平面図、図１４（ｂ）は斜視図である。ここでは、前述した図１３の入出力データから生成した区分線形近似関数が示されている。元々の区分数は２２４個であったが、本手法により、１２個まで減っていることが分かる。
【０１０３】
［実施の形態の拡張］
以上、実施形態を参照して本発明を説明したが、本発明は上記実施形態に限定されるものではない。本発明の構成や詳細には、本発明のスコープ内で当業者が理解しうる様々な変更をすることができる。また、各実施形態については、矛盾しない範囲で任意に組み合わせて実施することができる。
【０１０４】
例えば、第５の実施の形態に対して、第２、第３、第４の実施の形態を適用してもよい。なお、第５の実施の形態に対して第２の実施の形態を適用するには、式（１６）の右辺Ｄ（Ｉ，Ｊ）を基準化係数で除すればよい。基準化係数は、初期値１として最適化問題を解き、得られた傾きを式（１５）に代入して得られる値と、微小な正の数εと比較して、大きい方を採用すればよい。
【符号の説明】
【０１０５】
１０…区分線形近似関数生成装置、１１…通信Ｉ／Ｆ部、１２…操作入力部、１３…画面表示部、１４…記憶部、１４Ａ…入出力データ、１４Ｂ…節点候補、１４Ｃ…頂点候補、１５…演算処理部、１５Ａ…設定処理部、１５Ｂ…最適化問題定式化部、１５Ｃ…最適化処理部、１５Ｄ…区分線形近似関数生成部。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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