(57)【要約】【課題】歯面を創成歯切りする場合の歯面修整をより簡単に行う。【解決手段】加工対象となる第１の歯車と対になる第２の歯車と、第１、第２の歯車と共役運動する媒介歯車が存在するが、第１、第２の歯車の歯面の代表点が接触する設計基準点Ｐを原点として、歯車の歯筋方向ｊと、ピッチ面法線方向ｉと、それらに垂直な方向ｋとの３軸を持つ座標系Σを定める第１の座標系を考え、さらに原点Ｐを通る媒介歯車の軸に対し、軸回りの回転角がゼロの基準回転位置で座標系Σと一致し、媒介歯車に固定される座標系Σ３を考え、この座標系Σ３の原点Ｐ３を通る座標３軸のうちの所定の軸回りの回転運動及び所定の座標軸方向の平行運動を成分として含む補整運動を考え、媒介歯車運動にこの補整運動加えた運動を媒介歯車工具曲面に与えて歯車の歯面修整を行う。【選択図】図４
2018111184.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
かさ型歯車の自由創成型加工機を想定した歯面修整方法であって、
かみ合う一対の歯車の第１の歯車(1)および第２の歯車(2)に対して、これらと共役運動する媒介歯車(3)が存在し、この媒介歯車(3)に工具曲面を与えて一方の歯車(2)の歯面を加工し、他方の歯車(1)の歯面の加工については、まず、前記第１、第２の歯車(1,2)の歯面の代表点が接触する設計基準点を原点(P)として、点(P)における前記歯車(1,2)の歯面の歯筋方向を軸ｊ、ピッチ面法線方向を軸ｉ、それらに垂直な方向を軸ｋとする第１の座標系(P-i,j,k)を考え、さらに、歯車の回転角がゼロとなる基準回転位置で前記第１の座標系(P-i,j,k)と一致し、しかも前記媒介歯車(3)に固定される第２の座標系(P3-i3,j3,k3)を考え、
前記第２の座標系(P3-i3,j3,k3)内で原点(P3)を通る座標３軸のうちの所定の軸回りの回転運動及び所定の座標軸方向の平行運動を少なくとも成分として含む補整運動を、前記媒介歯車(3)の運動に加えた運動を媒介歯車(3)の工具曲面に与えて、他方の歯車(1)の歯面を修整することを特徴とするかさ型歯車の自由創成型加工機を想定した歯面修整方法。
【請求項２】
前記補整運動に関して、歯すじとピッチ面に垂直な前記方向(k3)の軸回りの回転運動と、前記歯筋方向(j3)への平行運動とを除いて前記補整運動を決定することを特徴とする請求項１に記載のかさ型歯車の自由創成型加工機を想定した歯面修整方法。
【請求項３】
前記補整運動に関して、前記原点(P3)を通り前記歯筋方向(j3)及び前記ピッチ面法線方向(i3)の軸を含む平面内で所定角度傾いた傾斜軸(h3)を設定し、前記傾斜軸(h3)回りの回転運動と、前記ピッチ面法線方向(i3)或いは前記垂直な方向(k3)への平行運動とにより前記補整運動を決定し、歯溝における片歯面に対する修整を行うことを特徴とする請求項１に記載のかさ型歯車の自由創成型加工機を想定した歯面修整方法。
【請求項４】
前記補整運動の構成において、補整回転運動に関しては、前記原点(P3)を通り前記歯筋方向(j3)及び前記ピッチ面法線方向(i3)の軸回りに共に関数駆動するか、或いは前記歯筋方向(j3)及び前記ピッチ面法線方向(i3)の軸を含む平面内で所定角度傾いた傾斜軸(h3)を設定し、前記傾斜軸(h3)回りに関数駆動し、補整平行運動に関しては、前記ピッチ面法線方向(i3)及び前記垂直な方向(k3)の平行運動により前記補整運動を構成し、歯溝を挟む両歯面を同時に修整することを特徴とする請求項１に記載のかさ型歯車の自由創成型加工機を想定した歯面修整方法。
【請求項５】
請求項１乃至４の何れかに記載のかさ型歯車の自由創成型加工機を想定した歯面修整方法を、コンピュータに実行させるためのプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、かさ歯車やハイポイドギヤ等の曲がり歯を有するかさ型歯車において、自由創成型加工機を用いて歯面を修整（切削や研削加工（以下、歯切りと記することがある））する方法及びそのプログラムに関する。
かさ型歯車である一対の歯車(1)と歯車(2)と（以下、便宜上歯車を区別する際には(1)，(2)・・の数字を付記する。）において、歯車(1)、歯車(2)に加えて、これらの間で互いの相対速度が同じ方向となるような媒介歯車(3)（媒介歯車(3)が歯車(1)或いは歯車(2)と一致する場合も含む。）が存在し、その媒介歯車(3)の歯面を工具歯面として、歯車(1)の歯面及び歯車(2)の歯面を間接創成すると、これら三者の歯面は共通の接触線を持つ。
かさ型歯車は、この媒介歯車(3)の歯面として例えば回転面である円錐面を用い、勾配歯として創成されることが多い。勾配歯の場合、歯車(1)の歯面用の媒介歯車(3)の円錐歯面の円錐軸と、歯車(2)の歯面用の媒介歯車(3)の円錐歯面の円錐軸とは一致しないため、歯車(1)の歯面と歯車(2)の歯面とは線接触し合うことがなく、理論上は点接触し、歯車対は等速比運動しない。
【背景技術】
【０００２】
かさ型歯車の従来型歯切り機械の代表的なものとしてクレードル型機械があり、これは、媒介歯車(3)の軸回りと軸方向に工具歯面を、歯溝を割り出すごとに揺動させて創成歯切りすることを基本とする型式の機械である。
図１に、クレードル型機械の運動軸を示す。１００は、カップ型のカッタで、カッタ軸１０に垂直な円板の周辺に台形状の切れ刃を取り付け、台形の側辺を回転させることで円錐面を形成する。台形の上辺が回転して形成される平面とカッタ軸１０との交点１０２をカッタ中心として、この機械には、カッタ軸１０の他、カッタ中心の位置を変えるオフセット直進軸１７、カッタ中心回りのカッタ軸１０の２つの傾き調整軸（１８，１９）、カッタ全体を揺動回転させる揺動軸１５、揺動軸１５の軸方向の直進軸１６がある。
一方、被削歯車１０１は、軸回りに回転する歯車軸１１に取り付けられ、これに加えて、歯車軸１１の軸方向の直進軸１２、揺動軸１５と歯車軸１１の軸角調整回転軸１３、揺動軸１５と歯車軸１１の軸間距離を調整する直進軸１４を持っている。１０３は機械の土台（フレーム）である。
【０００３】
電子計算機やサーボモータの登場により、１９８０年初め頃から、従来型歯切り機械の運動軸にモータを取り付け、駆動軸間の関係は従来と同様に単純な比例関係を主とした従来型ＮＣ加工機（ホブ盤）が登場している。また、略同時期に、従来型の機械構造から離れて、運動軸の構成を単純な構造とし、逆に複雑な関数の関係で運動軸を駆動する自由創成型の機械により、かさ型歯車を数値制御歯切りする方法も１９８４年頃から提案されて、数値制御機械により歯車を加工することは公知となっている（非特許文献１参照）。
【０００４】
二つの物体間の運動の自由度が６であることから、自由な形状にも対応するため駆動軸を関数駆動する自由創成型として、３軸方向の並進移動軸、３軸方向の回転軸を持つマシニングセンタ型加工機が作られた。図２に自由創成型加工機の運動軸構成の一例を示す。図２の他にも３軸方向の並進移動軸、３軸の回転軸を持つ加工機には様々な形態があり、これらを自由創成型と呼ぶことにする。被削歯車１０１は歯車軸１１に取り付けられ、歯車軸１１は鉛直軸１２の軸回りに回転し、これら全体が機械のフレーム１０３に対して直進軸１３によって直進する。直進軸１３に直交する直進軸１４には、鉛直直進軸１５が取り付けられて、その上部に、軸回りに回転するカッタ軸１６が取り付けられる。
この自由創成型加工機へのかさ型歯車創成加工の適用がなされ、この加工機を用いる歯面修整方法として、特許文献１が知られている。
この特許では、歯面修整理論を構築する基礎機械としてクレードル型歯切り盤を採用し、その１０（−２）個の運動軸の各軸は、数値制御により関数運動できるものとなっている。ここに１０（−２）は、１０軸から軸対称性を持つ円錐面工具軸と、創成運動時刻を進行させるワークの回転軸との２軸を差し引くことを示している。なお、正面ホブ型の工具による連続歯溝割出しを用いる場合には、カッタ曲面には軸対称性がないので１０（−１）となる。
この特許では、多軸の部分的な一つかそれ以上の軸を用いて歯面修整の理論計算を行い、理論計算後、自由創成型加工機への運動変換を行うとしている。
工具と被削歯車の相対運動という観点からは、６（−２）個の自由度で十分であるのに対して、１０（−２）個の運動軸数は、特許文献２，３でも指摘されるように、冗長性がある。
【０００５】
ここでの歯面修整の目標は、歯当たり線（path of contact）、運動誤差曲線（motion curve）、歯面隙間（tooth flank modification）、格子点隙間（grid clearance）などである。また、歯面を噛み合い始め部分、中央部分、噛み合い終了部分の３つに分割して修整することも述べている。
歯数が大きい方の歯車(2)は表裏両歯面同時に創成されることが多いが、歯数が小さい方の歯車(1)では、片歯面ごとに創成される場合と両歯面同時に創成される場合とがあり、後者の両歯面同時創成は複雑なものとなると述べられているだけで、それ以上の説明はない。
【０００６】
なお、同特許に関連すると思われるパンフレット（Flank Modifications in Bevel Gears Using a Universal Motion Concept −UMC−、1999 年 H.J.Stadfeld,Gleason）を出しているが、このパンフレットの中で新たに付け加えられている説明として、Theory of the Universal free-Form Corrections がある。そこでは、歯溝に嵌まり合うカッタの断面において、歯溝の片方の歯面に沿って送り込む量を制御することで、片側に影響を与えずに反対側の目標歯面の修整ができると述べられている。
この説明は、定速回転するワーク軸に対してクレードル軸のねじ運動を変動させることにより、表裏両歯面について歯筋に沿って歯面間の隙間を調整できることを述べていると理解でき、表裏両歯面の運動誤差曲線に関係するものと考えられる。
しかし、他の歯面修整量との関連の説明や、この考えをどのように、同文献で記載される「クレードル型１０（−２）、８軸のうちの１つ又は複数の軸の運動を用いる」と結びつけるかについては触れられていない。
クレードル型機械の構造は、ワーク軸を定速回転するとして、クレードル軸回りの回転と軸方向移動との２軸が関数制御可能な運動軸となり、ワークと工具との相対位置を固定的に定める設定軸は６軸となっている。しかし、ワーク軸とクレードル軸の相対位置を設定する設定量を与えると、ワーク軸の回転に伴い工具円錐面が仮想的に微小移動すると考えることができるので、一つの仮想制御運動軸が存在するとも考えることができる。但し、その運動方向はやはり限定的である。
この特許では、「両歯面同時創成の場合の歯面修整は複雑なものとなる」と述べているが、運動軸の運動方向に機構上の制約や限定性があるためか、グリーソン社のクレードル型機械の設定値の設計においては、歯面修整量を変えると、運動軸や設定軸の設定の大部分が複合的に変化すると考えられる。
【０００７】
一方、特許文献２も、自由創成型加工機を用いる歯面修整方法を開示しており、この特許では、歯面修整理論を構築する基礎機械として自由創成型（６軸、円錐工具軸と創成進行軸とを含む。）を想定している。
ここでは、かさ型歯車の基礎形状（設計基準点での形状）を出発点として、歯面の形状修整目標としていくつかに言及しているが、この目標を、説明の便宜上、目標群１（歯面隙間、歯当たり線、運動誤差）と目標群２（歯厚、歯丈、歯先クリアランス等）に分けると、この同特許の場合、６（−２）軸全てを同時に関数駆動するので、多数の関数自体が確定するように歯面修整とは直接関係のない目標群２も目標量としていると推察される。また、関数を求める計算が複雑になるため、その数値解法を工夫する必要があり、各種の最適解手法、無関係な解の排除法、テイラー展開よりもチェビシェフ多項式、キュービック・スプライン、遺伝的プログラミングによる最適解の探査方法などにも触れている。
さらに、この特許では、表裏両歯面を同時に創成することに関しては言及されていない。歯底クリアランスを制御する場合には、理論的には片歯面ごとの創成だけが可能であり、両歯面を同時に創成しているか否かは不明である。
ここでは６（−２）軸全てを同時に関数駆動し、しかも各軸の関数は多くの未知量を含むことになる。これら多くの未知量を数値解析するとき、計算指針を与えるものの一つとして工具歯面の挙動と歯面修整との関係を示す歯面修整の原理があるが、同特許にはこの原理に関する記述がない。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００８】
【特許文献１】米国特許第５５８０２９８号明細書
【特許文献２】米国特許第７６２７３８９号明細書
【特許文献３】米国特許出願公開２００９／０１２５１３８号明細書
【非特許文献】
【０００９】
【非特許文献１】S.Shimachi T.Sakai, NC Bevel Gear Cutting Method with Pinion Cutter, ASME Publication: 4th International Power Transmission and Gearing Conference,84-DET-152,1984.10、S.Shimachi et al., A Study on NC Gear Cutting of Large Size Bevel Gears(1st-3rd Rep.),Bulletin of JSME,Vol.28. No.239,pp.971-978,1985.5, No.240,pp.1295-1307, 1985.6
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１０】
このように、特許文献１の方法では、クレードル型機械では、１０（−２）軸を関数駆動できるとし、１０（−２）軸のうちの一つ或いはそれ以上の軸を用いることで自由度の多さを削減しているが、具体的にどの軸を選定するかなどの詳細は明らかにされていない。特に、表裏両歯面同時に創成歯切りする場合の歯面修整の原理的な方法は明示されていない。
また、特許文献２，３の方法では、自由創成型機械の５（−１）軸の全てを同時に関数駆動するとして、歯面以外の歯底面や歯厚など目標群２の形状拘束を与えることで、その自由度の多さに対応し、さらに最適解を求める計算手法を工夫しているが、計算指針となる工具歯面の挙動と歯面修整との関係である歯面修整の原理を用いないため、計算システムが煩雑になってしまうと推測される。
【００１１】
そこで、本発明は、自由創成型加工機を用いつつ、歯面を創成歯切りする場合の歯面修整をより簡単に行うことができる、かさ型歯車の歯面修整方法及びそのプログラムを提供することを目的としたものである。
但し、最終的な歯切り機械として自由創成型加工機を用いるが、歯面修整理論の部分では特定の加工機は想定しない。
【課題を解決するための手段】
【００１２】
本発明は、かみ合う一対の歯車の第１の歯車(1)および第２の歯車(2)と共役運動する媒介歯車(3)があり、媒介歯車に工具歯面を与えて歯車(1)および歯車(2)を間接創成歯切りすると、歯車(1)、(2)および(3)は同一の接触線で接触し合う。この媒介歯車(3)の工具歯面として円錐面を用いて歯車(1)、(2)を勾配歯とする場合、歯車(2)用の工具円錐歯面Ｓ３２に対して、歯車(1)用の媒介歯車(3)の工具円錐歯面Ｓ３１は少量だけ異なる。その小さな差異を工具歯面Ｓ３１に、補整運動を加えて歯当たりを補整しようとするものである。
上記目的を達成するために、請求項１に記載の発明は、かさ型歯車の歯面を自由創成型加工機を想定して修整する方法である。
かみ合う歯車の一方、例えば歯車(2)を媒介歯車の工具歯面で創成歯切りするものとし、他方の歯車(1)の歯切りに際して、先ず、これら三者それぞれの歯面の代表点が接触する設計基準点を原点(P)として、歯面の歯筋方向(j)と、ピッチ面法線方向(i)と、それらに垂直な方向(k)との直交３軸を持つ第１の座標系(P-i,j,k)を定め、歯車の軸回りの回転角がゼロとなる基準回転位置で、設計基準点(P)において、第１の座標系(P-i,j,k)と一致し、しかも媒介歯車(3)に固定される第２の座標系(P3-i3,j3,k3)を定める。
そして、第２の座標系(P3-i3,j3,k3)内で、原点(P3)を通る座標３軸のうちの所定の軸回りの回転運動及び所定の軸方向の平行運動を少なくとも成分として含む補整運動を考え、この補整運動を媒介歯車運動に加えた運動を媒介歯車(3)の歯面（工具面）に与えることを特徴とする。なお、ここでの「媒介歯車」は、これと略同じ運動を持つ「擬似媒介歯車」も含まれる。また、後述するように、補整運動の量が小さいので、補整運動と歯面修整効果との関係も考え易くなる。
請求項２に記載の発明は、請求項１の補整運動の構成において、垂直な方向(k3)での軸回りの回転運動と、歯筋方向(j3)への平行運動とを除いて補整運動を与えることを特徴とする。
請求項３に記載の発明は、請求項１の補整運動の構成において、歯溝における片歯面だけに対する補整運動の場合、原点(P3)を通り歯筋方向(j3)及びピッチ面法線方向(i3)の軸を含む平面内で所定角度傾いた傾斜軸(h3)を設定し、傾斜軸(h3)回りの回転運動と、ピッチ面法線方向(i3)或いは垂直な方向(k3)への平行運動とにより補整運動を与えることを特徴とする。
請求項４に記載の発明は、請求項１の補整運動の構成において、歯溝を挟む両歯面を同時に歯切りする補整運動の場合、回転補整運動に関しては原点(P3)を通り歯筋方向(j3)の軸及びピッチ面法線方向(i3)の軸のそれぞれを共に関数駆動させるか、或いは歯筋方向(j3)及びピッチ面法線方向(i3)の軸を含む平面内で所定角度傾いた傾斜軸(h3)を設定し、傾斜軸(h3)回りの回転補整運動とし、これにピッチ面法線方向(i3)及び垂直な方向(k3)への平行補整運動を加えた補整運動を与えることを特徴とする。
上記目的を達成するために、請求項５に記載の発明は、請求項１乃至４の何れかに記載のかさ型歯車の歯面修整方法を、コンピュータに実行させるためのプログラムであることを特徴とする。
【発明の効果】
【００１３】
本発明によれば、規定した媒介歯車に第２の座標系を定義し、その第２の座標系内で補整運動を決定して当該補整運動を加えた運動をさせながら工具歯面で歯面修整を行うので、取り扱う未知係数の個数が少なくなると共に、同時関数駆動する軸数を削減できるため、歯面を創成歯切りする場合の歯面修整をより簡単に行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【００１４】
【図１】クレードル型機械の１０軸構成を示す説明図である。
【図２】自由創成型加工機の６軸構成を示す説明図である。
【図３】設計基準点Ｐにおいて定義される座標系Σの説明図で、（Ａ）はピッチ面接平面への投影図、（Ｂ）は歯筋方向に垂直な平面への投影図をそれぞれ示す。
【図４】歯車(3)に固定される座標系Σ３内での補整運動によるカッタ軸の変化を示す説明図で、右下が基準回転位置にある座標系Σ、左上が歯車(3)のねじ運動により移動した後の座標系Σ３とその系内の補整運動をそれぞれ示す。
【図５】回転運動による歯当たり線の傾きの変化を示す説明図で、（Ａ）は、歯面の表裏の歯当たり線上の接触点が、創成進行パラメータの増加に伴い歯の外端Ｏから内端Ｉへと移動する方向が表裏歯面で同じであることを示し、（Ｂ）左は、軸ｉ３回りに歯面Ｓ３を回転させた際に、歯当たり線ＬＡ，ＬＢが互いに同じ方向に回転することを示し、（Ｂ）右は、歯筋に平行な断面を示す。（Ｃ）左は、軸ｊ３の回りに歯面Ｓ３を回転させた際に、歯当たり線ＬＡ，ＬＢが互いに反対方向に回転することを示し、（Ｃ）右は、歯筋に垂直な断面で、歯の内端側断面Ｉと外端側断面Ｏとを示す。
【図６】工具歯面Ｓ３の歯面法線Ｎに軸ｉ３方向と軸ｋ３方向成分があることを示す説明図である。
【図７】歯車２の回転角θ２に対応する歯当たり点の位置が補整運動によって、歯面Ｓ２上で創成要件を満たす線の近傍を動くことを示す説明図である。
【発明を実施するための形態】
【００１５】
（歯車規定ステップ）
まず、かさ型歯車である一対の歯車(1)と歯車(2)とに対し、歯車(1)，(2)と自身との三者の間で互いの相対速度が同じ方向となる歯車（以下「媒介歯車」という。）(3)が存在する。
この媒介歯車(3)の歯面を工具歯面として、歯車(1)の歯面及び歯車(2)の歯面を間接創成歯切りすると、これら三者の歯面は共通の接触線を持つ。また、歯車(1)，(2)と定回転比で運動する媒介歯車(3)を工具歯車として、一方の歯車、例えば歯車(2)を創成するが、媒介歯車(3)が歯車(2)と一致する場合も含むものとする。さらに、他方の歯車、例えば歯車(1)を創成する工具歯車の基礎運動として、媒介歯車(3)或いはこれとは角速度比が少し異なるような擬似媒介歯車(3)の運動を考えることもできるとする。
【００１６】
（第１の座標系定義ステップ）
図３に座標系Σを示す。（Ａ）がピッチ面接平面への投影図、（Ｂ）が歯筋方向に垂直な平面への投影図である。
歯車(1)の歯面と歯車(2)の歯面との接触の代表点である設計基準点Ｐにおいて、ねじれ角や圧力角等の歯車呼称諸元が規定される。点Ｐにおけるピッチ面接平面において歯車(1)，(2)の歯筋方向（ハイポイドギヤでは相対速度方向）を軸ｊ、ピッチ面法線方向を軸ｉ、これらに直交する方向を軸ｋとする座標系Σ（P-i，ｊ、ｋ）を定める。
この座標系Σにおいて、歯車(1)の軸ａ１、歯車(2)の軸ａ２、媒介歯車(3)の軸ａ３、切れ刃を持つカッタ軸Ｃを示す。点Ｐにおけるピッチ面接平面には、歯車(1)の円錐ピッチ面、歯車(2)の円錐ピッチ面が接し、基本的な形態として歯車の歯筋方向は点Ｐにおける歯車の相対速度方向に定められる。点Ｏ１は、軸ａ１とピッチ面接平面との交点、点Ｏ２は、軸ａ２とピッチ面接平面との交点、点Ｏ３は、軸ａ３とピッチ面接平面との交点である。
【００１７】
（第２の座標系定義ステップ）
歯車(2)の歯面Ｓ２が与えられているとして、それと点接触する歯車(1)の歯面Ｓ１の加工方法を考える。
歯車(1)、(2)、(3)の回転角がゼロである回転基準位置で、歯面Ｓ１とＳＳとは厳密には点Ｐを少し外れた点で接触することもあり、歯面接触を回転基準位置の定義として用いることは難しいので、図４に示すように、例えば歯車(2)用の工具歯面を最初に設定する回転角がゼロの位置を基準回転位置とし、この基準回転位置で座標系Σと一致し媒介歯車(3)に固定した座標系Σ３を考える。点Ｐ３は座標系Σ３の原点である。
この座標系Σ３内で工具歯面Ｓ３を補整運動Ｍさせる運動成分としての軸ｉ３、軸ｊ３、軸ｋ３の各軸回りの回転運動と、軸ｉ３、軸ｊ３、軸ｋ３の各軸方向の平行運動とについて考察する。
【００１８】
（補整運動決定ステップ）
基準回転位置において座標系Σと一致していた座標系Σ３は、図４に示すように、媒介歯車(3)のねじ運動により移動するが、座標系Σ３内でカッタ軸Ｃを、さらに次の補整運動Ｍにより、その位置と姿勢を変化させる。ここに、創成運動を進行させるパラメータをθとし、そのパラメータの関数である軸ｉ３回りのｆi（θ）回転量及び軸ｊ３回りのｆj（θ）回転量での回転運動、或いは（軸i3-j3）面内にある傾斜軸としての軸ｈ３回りのｆ（θ）の回転運動に、さらに（軸i3-k3）面内にあるｄ（θ）の平行運動を加えた運動を補整運動Ｍとする。
【００１９】
まず、軸回りの補整回転運動の特質に関して説明する。補整運動Ｍに含まれる回転運動の成分軸ｉ３、軸ｊ３、軸ｋ３の各軸回りの回転運動のうち、歯底線への影響をなくすために軸ｋ３回りの回転運動は使用せず、残った軸ｉ３、軸ｊ３の軸回りの回転運動と歯当たり線Ｌ（Path of Contact）の傾きについて考える。
図５はいくつかの図を含むが全体として、工具歯面Ｓ３を回転させることで歯面Ｓ２上の歯当たり線の傾きの変化方向を示す。
図５（Ａ）は、表裏の歯当たり線ＬＡ、ＬＢを、歯を透視して見ると、典型的にはＸ字状に交わっていること、また、歯車の創成パラメータθが負値から正値へ変化するとき、表裏両歯面ともに外端側から内端側に接触位置が移動する（逆でも可）と考えることができることを示す。ここでは便宜上、歯当たり線上の歯当たり点は外端側Ｏから内端側Ｉへと移動するものとして説明する。
歯面Ｓ２は媒介歯車運動する工具面Ｓ３２によって与えられている。これに対して、歯面Ｓ１は、媒介歯車運動に補整運動を加えた運動をする工具面Ｓ３１によって創成される。以下ではこの工具面Ｓ３１を単に歯面Ｓ３と表記する。
歯面Ｓ３が、その基準姿勢から異なる姿勢に変化すると、被創成歯面Ｓ１も同じ方向に変化するので、歯面Ｓ３の変化方向を歯面Ｓ１の変化方向と同じと考えることができる。
【００２０】
最初に、ピッチ面法線方向の軸（-i3）回りに歯面Ｓ３を補整回転させる場合を考える。
以下、補整回転がゼロの場合の接触点を○印、補整回転がある場合の接触点を×印で示す。図５（Ｂ）右は、軸ｉ３に垂直な歯の断面である。内端側Ｉでは歯面Ｓ３は角（＋δ）だけ余分に補整回転するので、接触点は右回転方向に○印から×印に移動し、逆に外端側Ｏでは歯面Ｓ３は角（−δ）だけ補整回転不足となるので、接触点は左回転方向に○印から×印に移動する。すなわち、歯当たり線ＬＡは外端側も内端側も外側に、歯当たり線ＬＢは逆に内側に移動するので、歯を真横から透視した図５（Ｂ）左では、表裏歯面での歯当たり線ＬＡとＬＢとは、互いに同じ方向に回転する。
【００２１】
次に、歯筋方向の軸（-j3）の回りに歯面Ｓ３を回転させる場合を考える。
図５（Ｃ）右は、軸ｊ３に垂直な歯の断面である。内端側Ｉ断面と外端側Ｏ断面において、歯面Ｓ１は内端側Ｉ断面では角（＋δ）だけ余分に、外端側Ｏ断面では角（−δ）だけ不足回転している。この結果、接触点は、○印から×印へ、歯先ではさらに歯先側に、歯元ではさらに歯元側に移動する。すなわち、表裏歯面での歯当たり線ＬＡとＬＢとは、互いに逆の方向に回転する。
【００２２】
表裏歯面の創成線Ｇの傾きや歯面間の相対曲率は、表裏でバランスするように設計することが基本であるが、現実には入手できる工具歯面Ｓ３等の関係から表裏歯面のバランスは必ずしも得られていないため、軸ｊ３回りの補整回転だけで、歯当たり線Ｌをバランスよく制御できない場合がある。
この場合、軸ｉ３回りの補整回転が有効であり、軸ｉ３回りと軸ｊ３回りとの補整回転を同時関数駆動することが考えられるが、普通にはアンバランス量は小さいので、図４に示すように、軸ｉ３と軸ｊ３とが含まれる面内に軸ｊ３と角αをなす軸ｈ３を考え、角αは試行錯誤で定めることとして、軸ｈ３回りだけを関数駆動することが考えられる。
【００２３】
続いての考察は、歯車の「角度伝達誤差」と、補整運動Ｍに含まれる「軸ｉ３、軸ｊ３、軸ｋ３の方向の平行運動」との関係である。
図６は、歯面Ｓ３の歯面法線Ｎには、軸ｉ３方向と軸ｋ３方向成分があることを示している。
ここでの座標原点Ｐ３から歯面Ｓ３の表面側の創成線ＧＡまでの距離と、裏面側の創成線ＧＢまでの距離とは、必ずしも同じではないが、カッタ軸Ｃを軸ｉ３方向や軸ｋ３方向に平行移動させると、歯面法線（のベクトル）ＮＡやＮＢが軸ｉ３方向や軸ｋ３方向の成分を持つので、この歯面Ｓ３により創成される歯面Ｓ１は歯面出入りの影響を受ける。
目標量である表裏歯面の出入りに対して制御量が軸ｉ３方向と軸ｋ３方向との二つの制御量があれば十分である。
【００２４】
ところで、上述の説明では軸ｊ３方向の移動を取り上げなかったが、原点Ｐ３の近傍の断面では、歯面法線ＮＡやＮＢは軸ｊ３方向の成分を持たないので、軸ｊ３方向に歯面Ｓ３を微小平行運動させても歯面Ｓ１は殆ど変わらない。よって、普通には、軸ｊ３方向成分の平行運動は採用しなくても差し支えない。但し、歯当たり線や角度伝達誤差曲線が歯の端部分で異様に歪む場合は、軸ｊ３方向成分の平行運動を取り入れる必要がある。
なお、軸ｉ３方向に補整運動させると歯底線に影響を与えるが、歯面修整量が小さいので歯底線に与える影響も小さいと考えられる。
このように、片歯面だけを修整する場合、普通には、軸ｉ３或いは軸ｋ３の方向に歯面Ｓ３を微小移動させるだけで十分である。
一方、両歯面を同時に修整する場合、歯面Ｓ３の軸断面は台形で、それが歯車(1)の歯溝に嵌まり合っているので、歯溝の一方の面と他方の面とを同時に修整するには、図４に示すｄ（θ）のように軸ｉ３方向と軸ｋ３方向の両方を同時に関数駆動する必要があることが分かる。
【００２５】
次の考察は、補整運動Ｍにより歯面形状の何を修整できるかに関する。
図７に、歯面Ｓ２の回転角θ２（歯車(1)，(2)を噛み合わせて回転させた際の歯車(1)の回転角θ１に対する歯車(2)の回転角）に対応する歯当たり線上の点を示す。
歯車(1)と歯車(2)との回転角誤差はないものとして歯面Ｓ２を工具歯面として架空の歯面Ｓ１を創成する場合、歯面Ｓ２が架空の歯面Ｓ１を創成する創成線群、さらに現実の歯面Ｓ１との接触点の軌跡である歯面Ｓ２上の歯当たり線Ｌの例として、Ａ−Ａ、Ｂ−Ｂ、Ｃ−Ｃの３本の曲線を考える（図７では創成線と区別しやすくするため直線で表す）。歯当たり線Ｌと交差する曲線は創成線である。
それぞれの歯当たり線Ｌ上に歯車(2)の回転角θ２を対応させると、３本の歯当たり線Ｌ上の同じθ２の接触点は、ほぼ回転角θ２の歯面上の創成線Ｇ２上に存在する。すなわち、歯当たり線Ｌの位置や傾きが変わっても、回転角θ２の際の接触点は、常に同じ創成線上に存在し、補整運動Ｍによって歯当たり線が変わっても接触点の位置はほぼ拘束される。
【００２６】
（補整運動の具体例）
図４において、点Ｐで接触し合う歯車の回転位置を基準回転位置とし、この基準回転位置で座標系Σと一致し、歯車(3)（媒介歯車或いは擬似媒介歯車）に固定した座標系Σ３を考え、この座標系Σ３内で、点Ｐ３を通る軸ｉ３、軸ｊ３、軸ｋ３の各軸回りの回転運動及び各軸方向の平行運動を成分とする補整運動Ｍにより、歯車(3)の歯面Ｓ３を運動させるものとする。
なお、「運動する曲面ＳＸとＳＹにおいて、接触点Ｑでは相対速度が面法線と垂直な関係にある」という要件を「創成要件」（歯面解析では接触条件とも、gearing lawとも呼ばれ、さらに歯数比と面法線力による車軸モーメント比で表現することもある。）と呼び、「運動を前提としないで、曲面ＳＸ上の点Ｑの３次元座標値と曲面ＳＹのそれら、及び曲面ＳＸの面法線の２成分と曲面ＳＹのそれらが一致する」という要件を「接触要件」と呼ぶ。
【００２７】
歯面間の接触における創成要件では、歯面間の相対速度が問題となるので、基準回転位置からθ３回転した位置における歯面Ｓ３の速度ＶＳ３について述べる。
歯面Ｓ３上の注目点Ｘに関し、θ３回転した位置で補整運動Ｍ後の注目点Ｘの速度をＶ３とし、回転していない基準位置での座標系Σ＝Σ３内での歯面Ｓ３の補整運動Ｍの速度をＶＭ３とし、さらにベクトルｂを回転軸の単位ベクトルａの回りにθ回転させた後のベクトルをｃとして、この関係をｃ＝Ｒ（ａ、θ）ｂで表し、また歯車(3)の回転軸をベクトルａ３とすると、以下の関係が得られる。
ＶＳ３＝Ｖ３＋Ｒ（ａ３、θ３）ＶＭ３
この関係を創成要件に適用すれば、補整運動Ｍする歯面Ｓ３上に創成線が得られ、この創成線が歯面Ｓ１上の線であることから、創成される歯面Ｓ１が得られる。
【００２８】
歯面Ｓ３に与える補整運動Ｍとして、歯底線に影響を与えないために軸ｋ３軸回りの回転を使用せず、また、歯筋は軸ｊ３方向であり、軸ｊ３方向に歯面Ｓ３を微小移動させても歯面の変化は殆どないので、軸ｊ３方向の平行運動は用いないこととする。
点Ｐを通る軸回りの補整回転として、片歯面だけを修整する場合には、軸ｉ３と軸ｊ３とが含まれる面内に適当な軸ｈ３を考え、この軸だけを補整回転関数駆動する。
一方、両歯面を同時に修整する場合には、軸ｉ３と軸ｊ３とのそれぞれを同時に補整回転関数駆動、或いは軸ｉ３と軸ｊ３とが含まれる面内に定める軸ｈ３回りだけを補整回転関数駆動する。
軸ｈ３の方向は、歯溝両側歯面上の歯当たり線の傾きなどが、希望するバランスとなるように定める。
補整平行運動として、片歯面だけを修整する場合、軸ｉ３或いは軸ｋ３の方向に歯面Ｓ３を微小移動させる。
歯溝を挟む両歯面を同時に修整する場合、歯面Ｓ３を軸ｉ３及び軸ｋ３の両方向に同時に補整関数駆動させる。
【００２９】
補整運動Ｍの関数駆動における関数Ｆについては、創成運動を進行させるパラメータ（運動軸の任意の一つ）をθとして、説明をわかりやすくするため、関数をθに関して以下のように級数展開する。
Ｆ（ｔ）＝Ｃ０＋Ｃ１θ＋Ｃ２θ＾２＋Ｃ３θ＾３＋Ｃ４θ＾４＋Ｃ５θ＾５＋Ｃ６θ＾６＋・・
軸ｈ３回りの回転補整運動に関しては低次（普通はＣ１だけ）の項だけで十分であるが、軸ｉ３及び軸ｋ３の両方向の平行運動に関しては、高次の項まで用いる。
【００３０】
作業手順の最初は、歯面Ｓ２上に希望する歯当たり中心Ｑ２を定め、点Ｑ２で接触要件を満たす歯面Ｓ１と点Ｑ１とが考えられ、この歯面Ｓ１と点Ｑ１とで創成要件を満たす接触をするように歯面Ｓ３の位置、姿勢を定めることであるが、詳細は次の通りである。
片歯面だけの歯面修整の場合には、歯面Ｓ２上に希望する歯当たりの中心Ｑ２（歯当たり線が通る点）を定め、次に媒介歯車(3)に付随する系内で運動する歯面Ｓ３と歯面Ｓ１とが点Ｑ１で創成要件を満たす接触をする（角度伝達誤差がゼロとなる）ように、歯面Ｓ１を創成する歯面Ｓ３の位置、姿勢を定める。
【００３１】
歯溝を挟む両歯面同時に歯面修整する場合、歯車(2)の歯溝を挟む両歯面Ｓ２Ａ，Ｓ２Ｂ上にそれぞれ歯当たり中心ＱＡ，ＱＢを定め、擬似媒介歯車(3)に付随する系内で運動する歯面Ｓ３によって創成される歯面Ｓ１において、歯面Ｓ１Ａと歯面Ｓ２Ａの歯当たり中心ＱＡ（歯面Ｓ２Ａが歯数比回転運動の創成要件を満たす回転位置）で、また同様に歯面Ｓ１Ｂと歯面Ｓ２Ｂとが創成要件を満たす歯当たり中心ＱＢでそれぞれ接触要件（合計１０個の条件）を満たすように、歯面Ｓ３の補整運動Ｍの６軸成分の内軸ｋ３回りの回転を除く位置、姿勢（関数Ｆ（ｔ）におけるＣ０）、擬似媒介歯車(3)の回転速度や歯面１Ａ，１Ｂ上の対応点などを定める。
擬似媒介歯車として、様々なものが考えられるが、その一例として、歯車(1)に対する媒介歯車の回転速度比だけが媒介歯車と異なる歯車を挙げることができる。
【００３２】
こうして歯面Ｓ１と歯面Ｓ２とに接触要件を適用して角度伝達誤差曲線及び歯当たり線を求めるが、角度伝達誤差曲線を無視し、歯当たり線ＬＡ，ＬＢだけに注目して、それらが希望の傾きや形状になるように補整回転軸ｈ３の傾きαと軸ｈ３関数駆動の級数展開式の係数（普通はＣ１の一個だけ、勿論歯当たり線の形状を指定して高次の係数を求めることもある）を与える。但し、必要であれば、軸ｉ３回りの補整回転と軸ｊ３回りの補整回転を軸ｈ３関数駆動の級数展開式の係数を決めるのと同様な方法で与える。
角度伝達誤差曲線は歯車の騒音との関係があり、一般的には逆放物線様のものとされるが、四次曲線様のものも考えられ、両歯面それぞれに希望する曲線形状を与える。
各歯面十数点前後の点で角度伝達誤差曲線が希望の値になるように、軸ｉ３及び軸ｋ３の両方向の平行運動の高次の項を逐次近似法（例えば最少二乗近似法）で定める。
新たに加わる平行運動による歯当たり線Ｌの位置、形状への影響は、微小といえども存在すると考えるのが普通であろうが、歯当たり線を作図して観測する限り、またこれまでの試行の範囲では、その影響は感知できない程度であるが、必要とあれば平行運動を加えた状態で歯当たり線の位置、形状を設定すればよい。
【００３３】
（歯切りステップ）
こうして補整運動Ｍが確定した後、６軸マシニングセンタ等の自由創成型加工機への座標変換を行って加工機にプログラミングし、記録させたプログラムに従い媒介歯車に置換したカッタを補整運動させて修整歯切りを実行することになる。自由創成型機械への座標変換後のデータを元に、３次元ＣＡＤによる干渉やバックラッシ量のチェック、さらに歯面Ｓ１が歯車(2)の座標系に創成する歯面と歯面Ｓ２との隙間等によるチェックもプログラミングに含めることができる。
【００３４】
このように、上記形態における歯面修整量は、歯溝を挟む２つの歯面の角度伝達誤差曲線と歯当たり線の傾き、形状の合計４種の量であり、これに対する関数駆動の軸数は、回転運動軸が２軸と平行運動軸が２軸との合計４軸となる。特に、回転運動に関しては、実質的に軸ｈ３の１軸で、関数式の係数はＣ１のみで十分である場合が多い。よって、取り扱う未知係数の個数が少なくなると共に、同時関数駆動する軸数を削減できる。また、補整運動軸と歯面修整量との関係も明確となっている。
さらに、歯当たり線の傾き、形状を修整する作業と角度伝達誤差曲線の形状を与える作業とが略独立して行えるため、歯切り方法に係るデータの作成作業が容易となる。
このように、歯面を創成歯切りする場合の歯面修整をより簡単に行うことができる。
【符号の説明】
【００３５】
１・・歯車（第１の歯車）、２・・歯車（第２の歯車）、３・・媒介歯車、１０，１６・・カッタ軸、１１・・歯車軸、１００・・カッタ（回転工具）、１０１・・被削歯車、Ｐ・・座標系Σの原点、Ｐ３・・座標系Σ３の原点、ａ１・・歯車１の軸、ａ２・・歯車２の軸、ａ３・・媒介歯車３の軸、Ｃ・・カッタ軸、Ｓ１・・創成される歯車１の歯面、Ｓ２・・創成される歯車２の歯面、Ｓ３・・媒介歯車３の歯面、ＬＡ，ＬＢ，Ｌ・・歯当たり線。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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