(57)【要約】【課題】有限温度における結晶体のバンド特性を容易に計算できるバンド特性計算方法及び計算装置を提供する。【解決手段】結晶体のバンド特性を求めるバンド特性計算方法は、複数の温度のそれぞれにおける結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値に基づいて決定された温度の関数α（Ｔ）を含む所定の式を用いて計算を行うことにより、有限温度における結晶体のバンド特性を求めるステップを備える。また、結晶体のバンド特性を求める計算装置は、複数の温度のそれぞれにおける結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値に基づいて決定された温度の関数α（Ｔ）を含む所定の式を用いて計算を行うことにより、有限温度における結晶体のバンド特性を求める手段を備える。【選択図】図２
2018037512.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
結晶体のバンド特性を求めるバンド特性計算方法であって、
複数の温度のそれぞれにおける前記結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値に基づいて決定された温度の関数α（Ｔ）を含む下記式１を用いて計算を行うことにより、有限温度における前記結晶体のバンド特性を求めるステップを備えるバンド特性計算方法。
【数１】
2018037512.tif 000013
ここで、
ＶＸＣは、結晶体の交換相関ポテンシャルであり、
ＶＸＣＬＤＡは、局所密度近似のみを用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルであり、
ＶＸＣＡは、局所密度近似以外の方法を用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルである。
【請求項２】
前記結晶体のバンド特性を求める前記ステップは、
下記式２及び前記実測値を用いて計算を行うことにより、前記複数の温度のそれぞれにおける変数αを求めるステップと、
求められた前記変数αに基づいて前記関数α（Ｔ）を決定するステップと、
を含む、請求項１に記載のバンド特性計算方法。
【数２】
2018037512.tif 000014
【請求項３】
前記結晶体のバンド特性を求める前記ステップは、前記複数の温度のそれぞれにおける前記結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値を測定するステップを含む、請求項２に記載のバンド特性計算方法。
【請求項４】
前記ＶＸＣＡは、Ｂ３ＬＹＰ、ＰＢＥ０、ＨＳＥ０３、もしくはＨＳＥ０６、又はＱＳＧＷ近似を用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルである、請求項１〜３のいずれか一項に記載のバンド特性計算方法。
【請求項５】
前記バンド特性は、前記結晶体におけるバンドギャップ、エネルギー準位、又は電子もしくはホールの有効質量である、請求項１〜４のいずれか一項に記載のバンド特性計算方法。
【請求項６】
前記実測値は、前記結晶体における格子定数、バンドギャップ、エネルギー準位、及び電子もしくはホールの有効質量の少なくとも一つである、請求項１〜５のいずれか一項に記載のバンド特性計算方法。
【請求項７】
結晶体のバンド特性を計算する計算装置であって、
複数の温度のそれぞれにおける前記結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値に基づいて決定された温度の関数α（Ｔ）を含む下記式３を用いて計算を行うことにより、有限温度における前記結晶体のバンド特性を求める手段を備える計算装置。
【数３】
2018037512.tif 000015
ここで、
ＶＸＣは、結晶体の交換相関ポテンシャルであり、
ＶＸＣＬＤＡは、局所密度近似のみを用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルであり、
ＶＸＣＡは、局所密度近似以外の方法を用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルである。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、バンド特性計算方法及び計算装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
従前より、半導体及び絶縁体といった結晶体におけるバンドギャップ等の特性（バンド特性）を算出するために、種々の電子状態計算手法が提案されている。下記非特許文献１には、ＱＳＧＷ近似（ＱＳＧＷ：Quasiparticle  Self-consistent  GW）と、局所密度近似（ＬＤＡ：Local  Density  Approximation）とを組み合わせた電子状態計算によって、絶対零度（０Ｋ）の状態における結晶体のバンド特性を高精度に算出する方法が開示されている。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００３】
【非特許文献１】Japanese  Journal  of  Applied  Physics  vol.55  No.5  (2015)  pp.051201-1-051201-8
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
近年では、０Ｋ以外の温度（有限温度）における結晶体のバンド特性を算出することが求められている。有限温度における電子状態計算では、結晶体の格子振動等の０Ｋでは生じない現象を考慮する必要がある。このため、電子状態計算が複雑化する傾向にある。したがって、有限温度における結晶体のバンド特性を容易に算出できる方法が望まれている。
【０００５】
本発明は、有限温度における結晶体のバンド特性を容易に計算できるバンド特性計算方法及び計算装置を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明の一側面に係るバンド特性計算方法は、結晶体のバンド特性を求めるバンド特性計算方法であって、複数の温度のそれぞれにおける結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値に基づいて決定された温度の関数α（Ｔ）を含む下記式１を用いて計算を行うことにより、有限温度における結晶体のバンド特性を求めるステップを備える。
【数１】
2018037512.tif 000003
ここで、ＶＸＣは、結晶体の交換相関ポテンシャルであり、ＶＸＣＬＤＡは、局所密度近似のみを用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルであり、ＶＸＣＡは、局所密度近似以外の方法を用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルである。
【０００７】
本発明の他の一側面に係る計算装置は、結晶体のバンド特性を求める計算装置であって、複数の温度のそれぞれにおける結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値に基づいて決定された温度の関数α（Ｔ）を含む下記式２を用いて計算を行うことにより、有限温度における結晶体のバンド特性を求める手段を備える。
【数２】
2018037512.tif 000004
ここで、ＶＸＣは、結晶体の交換相関ポテンシャルであり、ＶＸＣＬＤＡは、局所密度近似のみを用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルであり、ＶＸＣＡは、局所密度近似以外の方法を用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルである。
【発明の効果】
【０００８】
本発明によれば、有限温度における結晶体のバンド特性を容易に計算できるバンド特性計算方法及び計算装置を提供できる。
【図面の簡単な説明】
【０００９】
【図１】図１は本実施形態に係る計算装置の内部構成を示すブロック図である。
【図２】図２は、本実施形態における計算装置による結晶体のバンド特性計算方法の手順を示すフローチャートである。
【図３】図３は、各結晶体に対応する温度の関数α（Ｔ）のグラフを示す図である。
【図４】図４は、結晶体における電子の有効質量の温度依存性を示す図である。
【図５】図５は、式１０を用いて算出された０Ｋにおける結晶体のバンド構造を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１０】
［本願発明の実施形態の説明］
最初に本発明の実施形態の内容を列記して説明する。
【００１１】
本発明の一実施形態は、結晶体のバンド特性を求めるバンド特性計算方法であって、複数の温度のそれぞれにおける結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値に基づいて決定された温度の関数α（Ｔ）を含む下記式３を用いて計算を行うことにより、有限温度における結晶体のバンド特性を求めるステップを備えるバンド特性計算方法である。
【数３】
2018037512.tif 000005
ここで、ＶＸＣは、結晶体の交換相関ポテンシャルであり、ＶＸＣＬＤＡは、局所密度近似のみを用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルであり、ＶＸＣＡは、局所密度近似以外の方法を用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルである。
【００１２】
このバンド特性計算方法では、複数の温度のそれぞれにおける結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値に基づいて決定された温度の関数α（Ｔ）を含む上記式３を用いた計算が行われる。このように温度依存性を持たせた上記式３を用いて計算を行うことによって、有限温度における結晶体のバンド特性を容易に計算することができる。
【００１３】
また、結晶体のバンド特性を求めるステップは、下記式４及び実測値を用いて計算を行うことにより、複数の温度のそれぞれにおける変数αを求めるステップと、求められた複数の変数αに基づいて関数α（Ｔ）を決定するステップと、を含んでもよい。
【数４】
2018037512.tif 000006
【００１４】
また、結晶体のバンド特性を求めるステップは、複数の温度のそれぞれにおける結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値を測定するステップを含んでもよい。
【００１５】
また、ＶＸＣＡは、Ｂ３ＬＹＰ、ＰＢＥ０、ＨＳＥ０３、もしくはＨＳＥ０６、又はＱＳＧＷ近似を用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルであってもよい。この場合、ＶＸＣＡを、より精度よく算出できる。
【００１６】
また、バンド特性は、結晶体におけるバンドギャップ、エネルギー準位、又は電子もしくはホールの有効質量であってもよい。
【００１７】
また、実測値は、結晶体における格子定数、バンドギャップ、エネルギー準位、及び電子もしくはホールの有効質量の少なくとも一つであってもよい。
【００１８】
本発明の他の一実施形態は、結晶体のバンド特性を求める計算装置であって、複数の温度のそれぞれにおける結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値に基づいて決定された温度の関数α（Ｔ）を含む下記式５を用いて計算を行うことにより、有限温度における結晶体のバンド特性を求める手段を備える計算装置である。
【数５】
2018037512.tif 000007
ここで、ＶＸＣは、結晶体の交換相関ポテンシャルであり、ＶＸＣＬＤＡは、局所密度近似のみを用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルであり、ＶＸＣＡは、局所密度近似以外の方法を用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルである。
【００１９】
この計算装置によれば、複数の温度のそれぞれにおける結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値に基づいて決定された温度の関数α（Ｔ）を含む上記式５を用いた計算が行われる。このように温度依存性を持たせた上記式５を用いて計算を行うことによって、有限温度における結晶体のバンド特性を容易に計算することができる。
【００２０】
［本願発明の実施形態の詳細］
以下、添付図面を参照して、本発明の好適な実施形態について詳細に説明する。なお、以下の説明において、同一要素又は同一機能を有する要素には、同一符号を用いることとし、重複する説明は省略する。
【００２１】
図１は本実施形態に係る計算装置の内部構成を示すブロック図である。図１に示される計算装置１０は、結晶体のバンド特性を計算する装置である。結晶体は、例えば結晶構造を有する半導体及び絶縁体等である。結晶構造としては、例えば、ダイヤモンド構造、ＺＢ構造（閃亜鉛鉱型構造）、ＷＺ構造（ウルツ鉱型構造）、４Ｈ構造、及び６Ｈ構造等が挙げられる。半導体としては、例えば、単体半導体及び化合物半導体が挙げられる。絶縁体としては、例えば、金属酸化物、金属窒化物、及び金属硫化物等が挙げられる。結晶体のバンド特性は、例えば、結晶体のΓ点におけるバンドギャップ、結晶体のＫ点等におけるエネルギー準位、電子の有効質量、及びホールの有効質量等である。
【００２２】
計算装置１０は、ハードウェアであるＣＰＵ１１、ＲＯＭ１２、ＲＡＭ１３、入出力インターフェース１４、及び記憶装置１５を備えている。計算装置１０のハードウェアであるＣＰＵ１１、ＲＯＭ１２、ＲＡＭ１３、入出力インターフェース１４、及び記憶装置１５は、バス１６によって互いに接続されている。
【００２３】
ＣＰＵ１１は、ＲＯＭ１２に格納されている制御プログラムをＲＡＭ１３上にロードして実行することにより、前述したハードウェア各部の制御を行う。このため、ＣＰＵ１１は、結晶体のバンド特性を計算する部分の一部に相当するといえる。入出力インターフェース１４には、マウス、キーボードなどの入力デバイス１４ａ、及びＣＲＴ、液晶ディスプレイなどの出力デバイス１４ｂが接続される。入出力インターフェース１４は、入力デバイス１４ａを通じて入力される情報、及び出力デバイス１４ｂへ出力すべき情報の入出力に関する制御を行う。
【００２４】
記憶装置１５は、バンド特性の計算を行うための計算プログラム、バンド特性の計算に必要な初期データ、バンド特性の計算により得られたデータなどが記憶される装置であり、例えばハードディスクドライブである。計算プログラムとしては、例えば、局所密度近似（ＬＤＡ）と、ＱＳＧＷ近似とを組み合わせた計算方法に基づくプログラムが挙げられる。局所密度近似（ＬＤＡ）以外の計算方法としては、ＱＳＧＷ近似の他にも、例えば、ＨＳＥ０３，ＨＳＥ０６（ＨＳＥ：Ｈｅｙｄ−Ｓｃｕｓｅｒｉａ−Ｅｒｎｚｅｒｈｏｆ）、Ｂ３ＬＹＰ（Ｂ３ＬＹＰ：Ｂｅｃｋｅ，ｔｈｒｅｅ−ｐａｒａｍｅｔｅｒ，Ｌｅｅ−Ｙａｎｇ−Ｐａｒｒ）、ＰＢＥ０（ＰＢＥ：Ｐｅｒｄｅｗ−Ｂｕｒｋｅ−Ｅｒｎｚｅｒｈｏｆ）が挙げられる。更にはその他種々の手法を用いることができる。初期データとしては、例えば、所定の温度における結晶体の格子定数やバンド特性の実測値、変数α（詳細は後述する）、及び温度の関数α（Ｔ）（詳細は後述する）等が挙げられる。なお、上記計算プログラム及び初期データなどは、記憶装置１５に必ずしも記憶されていなくてもよい。例えば、計算プログラム及び初期データは、入出力インターフェース１４、外部装置又は記憶媒体等から提供されるものであってもよい。
【００２５】
以下では、図２を参照しながら本実施形態に係る結晶体のバンド特性計算方法について説明する。図２は、本実施形態における計算装置による結晶体のバンド特性計算方法の手順を示すフローチャートである。なお、本実施形態では、所定の結晶体における電子の有効質量の計算について説明する。
【００２６】
まず、第１ステップとして、各温度における結晶体の格子定数及びバンド特性の少なくともいずれかの実測値を入手する（ステップＳ１）。上記実測値が記憶装置１５に記憶されている場合、ＣＰＵ１１が記憶されている実測値を読み出す。上記実測値が記憶装置１５に記憶されていない場合、例えば、現実の結晶体の格子定数やバンド特性を実験によって測定する、又は、外部装置もしくは記録媒体からデータを読み出すことによって、上記実測値を入手する。本実施形態のステップＳ１では、各温度における結晶体の格子定数の実測値を入手する。なお、ステップＳ１では、８点の温度における上記実測値を入手する。ここで入手する実測値としては、結晶体における格子定数、バンドギャップ、エネルギー準位、及び電子もしくはホールの有効質量の少なくとも一つであり、好ましくは格子定数を含んでおり、より好ましくは格子定数と、バンドギャップ、エネルギー準位、及び電子もしくはホールの有効質量の少なくとも一つとの組み合わせである。
【００２７】
次に、第２ステップとして、例えば下記式６及び上記実測値を用いて電子状態計算を行う（ステップＳ２）。本実施形態のステップＳ２では、上記実測値を用いることによって、各温度における最適な変数αを算出し、変数αと結晶体のバンドギャップとの関係を電子状態計算で求める。
【００２８】
【数６】
2018037512.tif 000008
【００２９】
上記式６において、ＶＸＣは、所定の温度における結晶体の交換相関ポテンシャルであり、ＶＸＣＬＤＡは、局所密度近似のみを用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルであり、ＶＸＣＡは、局所密度近似以外の方法を用いて算出される結晶体の交換相関ポテンシャルである。結晶体の交換相関ポテンシャルとは、例えば、電子交換と電子相関に由来する交換相互作用ポテンシャルである。本実施形態のステップＳ２では、計算結果の信頼性の観点から、ＱＳＧＷ近似とＬＤＡとを組み合わせた計算式が採用される。すなわち、本実施形態においては、下記式７及び上記実測値を用いて電子状態計算を行う。
【００３０】
【数７】
2018037512.tif 000009
【００３１】
ステップＳ２では、上記式７及び上記実測値を用いて電子状態計算を行うことにより、変数αを求める。ここで、本実施形態において、変数αを含む上記式７を採用する理由について説明する。結晶体のバンド特性を電子状態計算で算出するにあたって、ＱＳＧＷ近似は、当該バンド特性を高精度に算出できることが知られている。しかし、例えば、ＱＳＧＷ近似のみに基づく電子状態計算にて結晶体のバンドギャップを算出すると、ポテンシャル誤差が発生する。このポテンシャル誤差により、ＱＳＧＷ近似のみに基づく電子状態計算によるバンドギャップの計算値は、その実測値よりも大きくなる傾向にある。このため、上記ポテンシャル誤差を補正するため、例えば、ＱＳＧＷ近似のみに基づく電子状態計算によるバンドギャップの計算値と、ＬＤＡのみに基づく電子状態計算によるバンドギャップの計算値とを所定の割合にて組み合わせることが行われる。これは、ＬＤＡのみに基づく電子状態計算によるバンドギャップの計算値は、その実測値よりも小さくなる傾向にあるからである。上記事項に鑑み、本実施形態では、所定の割合に相当する変数αを含む上記式７を採用している。
【００３２】
次に、第３ステップとして、各温度において算出された変数αに基づいて関数α（Ｔ）を決定する（ステップＳ３）。関数α（Ｔ）は、各温度によって定まる変数αを示す温度の関数である。図３は、各結晶体に対応する温度の関数α（Ｔ）のグラフを示す図である。図３において、縦軸は変数αを示し、横軸は温度を示し、結晶体１〜５は、それぞれ異なる物質から構成される結晶体である。また、図３におけるプロット１ａ〜１ｈは、各温度のそれぞれにおいて算出された結晶体１の変数αを示す。例えば、プロット１ａ〜１ｈに基づいて、結晶体１における温度の関数α（Ｔ）を決定する。同様にして、結晶体２〜５のそれぞれにおける温度の関数α（Ｔ）を決定する。
【００３３】
次に、第４ステップとして、関数α（Ｔ）を用いた電子状態計算を行う（ステップＳ４）。例えば、関数α（Ｔ）を含む下記式８を用いて電子状態計算を行う。
【００３４】
【数８】
2018037512.tif 000010
【００３５】
本実施形態のステップＳ４においても、計算結果の信頼性の観点から、ＱＳＧＷ近似とＬＤＡとを組み合わせた計算式が採用される。すなわち、本実施形態においては、下記式９及び関数α（Ｔ）を用いて電子状態計算を行う。
【００３６】
【数９】
2018037512.tif 000011
【００３７】
ステップＳ４では、上記式９を用いた電子状態計算を行うことによって、所望の温度における結晶体のバンド特性を求める。本実施形態では、上記式９を用いた電子状態計算を行うことによって、所望の温度における結晶体の電子の有効質量を計算する。この有効質量の計算結果によって、当該有効質量の温度依存性の有無を確認できる。なお、所望の温度とは、実測された温度以外の温度も含む任意の温度である。
【００３８】
図４は、結晶体における電子の有効質量の温度依存性を示す図である。図４において、縦軸は電子の有効質量を示し、横軸は温度を示す。また、図４に示される破線２１は、結晶体１の電子の有効質量の実測値を示しており、折れ線２２は、結晶体１の電子の有効質量の計算値を示している。折れ線２２は、上記式９を用いた電子状態計算により算出された、各温度における結晶体１の電子の有効質量の計算値を結んだものである。折れ線２２から、上記式９を用いて算出された結晶体１の電子の有効質量には、温度依存性があることが良好に示されている。加えて、電子の有効質量の実測値と、電子の有効質量の計算値との差は、最大でも０．００２程度である。このため、ステップＳ４にて関数α（Ｔ）を含む上記式９が用いられて算出された電子の有効質量は、その実測値に対して高い精度で一致しているといえる。
【００３９】
次に、以上に説明した本実施形態に係る計算装置１０による結晶体のバンド特性の計算方法の作用効果について説明する。図５は、下記式１０を用いて算出された０Ｋにおける結晶体のバンド構造を示す図である。図５において、縦軸はエネルギーを示す。下記式１０における変数αは、上記式７と異なり、経験的に設定される。例えば、下記式１０の変数αは、０．８に設定される。なお、図５に示されるバンド構造を有する結晶体のバンドギャップは、縦軸における０に最も近い伝導帯側のラインＬ１と、０に最も近い価電子帯側のラインＬ２との間のΓ点におけるエネルギーギャップに相当する。
【００４０】
【数１０】
2018037512.tif 000012
【００４１】
上記式１０のようにＱＳＧＷ法とＬＤＡとを組み合わせた式を用いた電子状態計算で結晶体のバンド構造を算出する場合、原則的には０Ｋにて計算される。これは、上記式１０のパラメータには、温度が含まれていないからである。このため、上記式１０を用いた場合、有限温度においては、図５に示されるバンド構造を、結晶体のバンドギャップの実測値に合わせるようにシフトすること（フィッティング）が通常行われる。この場合、図５に示されるような各バンド曲線の形状は変化しないので、電子又はホールの有効質量の温度依存性を得ることが原理的にできない。これは、当該有効質量は、バンド曲線の曲率に基づいて決定されるからである。また、上記式１０を用いた場合、フィッティングした点以外のエネルギー準位も得ることができない。なお、上記式１０だけではなく、密度汎関数法を用いる手法も提案されているが、この手法も０Ｋにおける結晶体の基底状態を前提としている。したがって、電子及びホールの有効質量の温度依存性といった結晶体のバンド特性を得ることができない。
【００４２】
そこで本発明者らは、鋭意検討の末、結晶体のバンド特性の算出に際して、格子振動等の絶対零度（０Ｋ）では生じない現象を、間接的にポテンシャルで表現できることを見出した。具体的には、ＱＳＧＷ法とＬＤＡとを組み合わせる際に、０Ｋでのバンド計算の補正に用いていた所定の割合（変数α）に温度依存性を持たせることで、上記ポテンシャルを間接的に表現できることを見出した。このように、変数αを経験的に設定するのではなく、温度の関数α（Ｔ）を含む上記式９を用いた電子状態計算を行う。これにより、本実施形態に係る計算装置１０によって、有限温度における結晶体のバンド特性を容易に計算することができる。換言すると、本実施形態に係る計算装置１０によって、温度の関数α（Ｔ）を含む上記式９を用いて電子状態計算を行うことで、結晶体のバンド特性の温度依存性を推定できる。
【００４３】
本発明による計算装置及び計算方法は、上述した実施形態に限られるものではなく、他に様々な変形が可能である。例えば、上記実施形態においては、一部のステップを省略してもよい。例えば、結晶体の温度の関数α（Ｔ）が記憶装置１５に記憶されている場合、ステップＳ１〜Ｓ３の少なくとも一部は省略されてもよい。
【００４４】
また、上記実施形態における結晶体のバンド特性は、例えば、結晶体のバンド曲線において、縦軸における０に最も近い伝導帯側のラインと、０に最も近い価電子帯側のラインとの間の任意の点におけるエネルギーギャップでもよい（図５を参照）。もしくは、上記ラインの任意の箇所における曲率自体でもよい。
【００４５】
また、上記実施形態における結晶体の格子定数やバンド特性の実測値は、８点に限られず、複数点であればよい。例えば、少なくとも３点以上の温度において測定された実測値に基づいて、各変数αを算出してもよい。
【符号の説明】
【００４６】
１〜５…結晶体、１０…計算装置、１１…ＣＰＵ、１５…記憶装置、Ｌ１，Ｌ２…ライン。
【図１】
2018037512.tif 000016
【図２】
2018037512.tif 000017
【図３】
2018037512.tif 000018
【図４】
2018037512.tif 000019
【図５】
2018037512.tif 000020