(57)【要約】【課題】列車走行時の橋梁の加速度応答の観測データを用いて、橋梁の構造性能を好適に調査、評価することを可能にする鉄道橋の構造性能調査方法を提供する。【解決手段】列車を移動荷重列とし、橋梁を単純梁として列車走行時の鉄道橋の動的応答の理論解析モデルを定式化し、且つ、列車走行時の橋梁の加速度を測定し、列車通過後の橋梁の加速度残存波形を自由振動波形とみなして振動特性同定法で理論解析モデルの未知のパラメータを同定するとともに、加速度データから未知のパラメータを逆解析法によって推計するようにした。【選択図】図９
2018031676.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
列車を移動荷重列とし、橋梁を単純梁として列車走行時の鉄道橋の動的応答の理論解析モデルを下記の式（１）のように定式化し、
且つ、列車走行時の橋梁の加速度を測定し、
列車通過後の橋梁の加速度残存波形を自由振動波形とみなして振動特性同定法で前記理論解析モデルの未知のパラメータを同定するとともに、加速度データから未知のパラメータを逆解析法によって推計するようにしたことを特徴とする鉄道橋の構造性能調査方法。
【数１】
2018031676.tif 000062
ここで、
ｘは距離（位置）、ｔは先頭車両の第一車軸が橋梁に進入する時点を０とした時間、ν（ｔ）はｔ＜０で０、０≦ｔで１のステップ関数、τｋ，ｉはｋ両目車両の第ｉ車軸通過時点である。
ｕ（上に・・）（ｘ，ｔ）は加速度応答であり、下記の式（２）、式（３）〜式（１０）で表される。
【数２】
2018031676.tif 000063
【数３】
2018031676.tif 000064
【数４】
2018031676.tif 000065
【数５】
2018031676.tif 000066
【数６】
2018031676.tif 000067
【数７】
2018031676.tif 000068
【数８】
2018031676.tif 000069
【数９】
2018031676.tif 000070
【数１０】
2018031676.tif 000071
ここで、
ｕ（上に・）（ｘ，ｔ）は速度応答、ｕ（ｘ，ｔ）は変位応答である。
ｍ（上に−）は単位長さ当りの橋梁質量（単位長質量）、ｃは減衰係数、ＥＩは曲げ剛性である。Ｌｂは橋梁の径間長、ｎはモード次数、Ｔは橋梁通過時間、ωｎはｎ次固有角振動数、ξｎ はｎ次モード減衰比、ωｎ（上に−）は１車軸の橋梁進入から退出までを半周期とした車軸通過各振動数のｎ次成分、Φｎ（ｘ）はｎ次振動モード形、ｕ０は径間中央に軸重が作用した際の静的たわみ量である。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、鉄道橋の構造性能を調査する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
膨大な既設鉄道橋を効率的且つ効果的に維持管理する手法が求められており、例えば、センサなどを設置して橋梁の構造性能をできるだけ簡便に定量的、且つ継続的に測定する手法の開発が非常に重要な課題とされている。
【０００３】
一方、センサの低価格化と測定の簡易化の進展に伴い、列車走行時の橋梁の加速度を測定して構造性能を推定する手法が、定量データを得る手法として広く採用されている。
【０００４】
例えば、測定加速度から橋梁の固有振動数やモード減衰比などのモード特性を推定する。この橋梁の固有振動数やモード減衰比などのモード特性は間接的に構造性能を表すものであるため、センサによって橋梁の加速度を継続的に測定することで、固有振動数やモード減衰比などのモード特性ひいては橋梁の構造性能のデータを蓄積し、その相対比較を行い、経年変化を捉えることで、橋梁（構造物）の異常、経年劣化の状態を把握することが試みられている。
【０００５】
また、列車走行時の動的応答を評価するための重要な指標として衝撃係数が用いられている。衝撃係数は、鉄道橋のひび割れ等の劣化現象に関連が深いことから維持管理における重要な指標でもある。そして、鉄道橋の衝撃係数を評価する際には、リング式変位計やビデオ計測、Ｕドップラー（レーザドップラー速度計を内蔵した構造物用非接触振動測定システム）などを用い、列車通過時の橋梁鉛直変位を橋梁側（地上側）で測定（たわみ測定）し、この測定結果を用いて衝撃係数を求めるようにしている（例えば、特許文献１参照）。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００６】
【特許文献１】特開２０１２−２３３７５８号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
ここで、我が国の鉄道技術分野では、鉄道橋ひいては鉄道の安全性及び使用性を好適に確保・維持するために、鉄道橋の設計などに関する膨大な知見が既に蓄積されている。このような膨大な知見に基づく鉄道橋の設計で用いられる構造性能の多くは変位を基準とし、低速走行時の静的な変位に加え、高速走行時の応答増幅を表す衝撃係数が代表的な構造性能指標とされている。
【０００８】
しかしながら、列車走行時の橋梁の変位の測定は、測定精度を確保するために固定点が常に正確且つ厳密に設定、設置されていることが絶対的な必要条件であり、また、測定時の環境的制約が厳しいことに加え、加速度測定と比較して測定負荷が大きい。このため、膨大な既設鉄道橋の構造性能を調査するための手法、ひいては膨大な既設鉄道橋を維持管理するための手法として用いることは現実的に難しい。
【０００９】
一方、列車走行時の加速度応答に基づく変位応答の推定法が多数提案されているが、推計精度や計算負荷の点で課題が残るとともに、衝撃係数など外挿計算が必要な指標は得られないため、現状では実務での適用が限られている。このため、列車走行時の加速度応答に基づいて橋梁の変位応答、振動特性を精度よく推定できる手法の開発が強く望まれていた。
【００１０】
上記事情に鑑み、本発明は、列車走行時の橋梁の加速度応答の観測データを用いて、橋梁の構造性能を好適に調査、評価することを可能にする鉄道橋の構造性能調査方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
上記の目的を達するために、この発明は以下の手段を提供している。
【００１２】
本発明の鉄道橋の構造性能調査方法は、列車を移動荷重列とし、橋梁を単純梁として列車走行時の鉄道橋の動的応答の理論解析モデルを下記の式（１）のように定式化し、且つ、列車走行時の橋梁の加速度を測定し、列車通過後の橋梁の加速度残存波形を自由振動波形とみなして振動特性同定法で前記理論解析モデルの未知のパラメータを同定するとともに、加速度データから未知のパラメータを逆解析法によって推計するようにしたことを特徴とする。
【００１３】
【数１】
2018031676.tif 000003
【００１４】
ここで、
ｘは距離（位置）、ｔは先頭車両の第一車軸が橋梁に進入する時点を０とした時間、ν（ｔ）はｔ＜０で０、０≦ｔで１のステップ関数、τｋ，ｉはｋ両目車両の第ｉ車軸通過時点である。
【００１５】
ｕ（上に・・）（ｘ，ｔ）は加速度応答であり、下記の式（２）、式（３）〜式（１０）で表される。
【００１６】
【数２】
2018031676.tif 000004
【００１７】
【数３】
2018031676.tif 000005
【００１８】
【数４】
2018031676.tif 000006
【００１９】
【数５】
2018031676.tif 000007
【００２０】
【数６】
2018031676.tif 000008
【００２１】
【数７】
2018031676.tif 000009
【００２２】
【数８】
2018031676.tif 000010
【００２３】
【数９】
2018031676.tif 000011
【００２４】
【数１０】
2018031676.tif 000012
【００２５】
ここで、
ｕ（上に・）（ｘ，ｔ）は速度応答、ｕ（ｘ，ｔ）は変位応答である。
ｍ（上に−）は単位長さ当りの橋梁質量（単位長質量）、ｃは減衰係数、ＥＩは曲げ剛性である。Ｌｂは橋梁の径間長、ｎはモード次数、Ｔは橋梁通過時間、ωｎはｎ次固有角振動数、ξｎ はｎ次モード減衰比、ωｎ（上に−）は１車軸の橋梁進入から退出までを半周期とした車軸通過各振動数のｎ次成分、Φｎ（ｘ）はｎ次振動モード形、ｕ０は径間中央に軸重が作用した際の静的たわみ量である。
【発明の効果】
【００２６】
本発明の鉄道橋の構造性能調査方法においては、橋梁の状態の推定、走行安全性や快適性評価に必要な列車走行時の変位応答を橋梁の１点の加速度応答から精度よく取得することが可能になる。
【００２７】
また、列車走行時の橋梁の実測加速度に基づく推計パラメータのうち、固有振動数は橋梁剛性と関連しているため、固有振動数を精度よく推定できることにより、構造性能を精度よく推定することができる。
【００２８】
さらに、列車走行時の橋梁の実測加速度から他の列車速度での応答予測を行うことができる。
【００２９】
また、推計パラメータの不確実性が定量化できるため、例えば９５％信頼区間下限値の採用など、推計精度に応じて変化するリスクを担保した評価が可能になる。
【００３０】
さらに、推計精度に応じて変化する推計パラメータの不確実性に基づき、より精密な測定をする価値を推計精度の面から評価することも可能になる。
【００３１】
また、維持管理基準値に対する余裕度を算出することで、維持管理の優先順位の決定、弱点構造物の抽出に活用することも可能になり得る。
【００３２】
よって、本発明の鉄道橋の構造性能調査方法によれば、列車走行時の橋梁の加速度応答の観測データを用いて、橋梁の構造性能を好適に調査、評価することが可能になる。
【図面の簡単な説明】
【００３３】
【図１】列車走行時の単純梁モデルを示す図である。
【図２】車両モデル（相互作用解析）を示す図である。
【図３】構造物モデル（相互作用解析・荷重列解析）を示す図である。
【図４】荷重列解析手法、動的相互作用解析手法、簡易解析手法の各解析手法で算出した変位応答を示す図である。
【図５】荷重列解析手法、動的相互作用解析手法、簡易解析手法の各解析手法で算出した衝撃係数を示す図である。
【図６】詳細逆解析手法を示すフロー図である。
【図７】ＭＣＭＣ法による逆解析及び応答予測を示すフロー図である。
【図８】本発明の一実施形態に係る鉄道橋の構造性能調査方法（簡易逆解析手法）を示すフロー図である。
【図９】本発明の一実施形態に係る鉄道橋の構造性能調査方法（簡易逆解析手法）を示すフロー図である。
【図１０】加速度時系列データの一例を示す図である。
【図１１】詳細逆解析手法の収束例を示す図である。
【図１２】詳細逆解析手法と既存手法の推計精度を比較した図である。
【図１３】加速度応答に基づく逆解析結果（推計値（事後分布の期待値）とその信頼区間）を示す図である。
【図１４】変位応答の推計結果を示す図である。
【図１５】最大変位の推計結果を示す図である。
【図１６】Ｃ橋の最大変位の正解値と推計値を比較した図である。
【図１７】相互作用解析に導入した軌道変位を示す図である。
【図１８】径間長１０ｍでの詳細逆解析にノイズ、車両との相互作用及び軌道変位が及ぼす影響を示す図である。
【図１９】径間長４５ｍでの詳細逆解析にノイズ、車両との相互作用及び軌道変位が及ぼす影響を示す図である。
【図２０】径間長１０ｍでの固有振動数推計値の信頼区間と衝撃係数の関係を示す図である。
【図２１】径間長４５ｍでの固有振動数推計値の信頼区間と衝撃係数の関係を示す図である。
【図２２】径間長１０ｍでの詳細逆解析による最大変位の推計精度を示す図である。
【図２３】径間長４５ｍでの詳細逆解析による最大変位の推計精度を示す図である。
【図２４】本発明の一実施形態に係る鉄道橋の構造物性能調査方法の適用対象橋梁の一例を示す図である。
【図２５】測定加速度の一例を示す図である。
【図２６】詳細逆解析前後の加速度を比較した図である。
【図２７】径間長２５ｍでの逆解析によるパラメータ推計結果を示す図である。
【図２８】径間長３５ｍでの逆解析によるパラメータ推計結果を示す図である。
【図２９】径間長２５ｍでの測定加速度に基づく変位推計結果を示す図である。
【図３０】径間長３５ｍでの測定加速度に基づく変位推計結果を示す図である。
【図３１】逆解析結果に基づく最大変位と列車速度の関係を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００３４】
以下、図１から図３１を参照し、本発明の一実施形態に係る鉄道橋の構造性能調査方法について説明する。
【００３５】
ここで、本実施形態は、列車走行時の橋梁の測定加速度に基づき、逆解析法によって橋梁の変位応答、衝撃係数を推計し、鉄道橋の構造性能を調査、評価するための方法に関するものである。
【００３６】
本実施形態では、まず、定式化した理論解析モデルが一定精度で列車走行時の動的応答を再現できることを示し、次に、定式化した理論解析モデルに基づき、不確実性を踏まえた推計が可能な詳細逆解析法手法、及び計算負荷の少ない簡易逆解析法（本発明に係る鉄道橋の構造性能調査方法）について説明する。
【００３７】
さらに、双子実験により本発明に係る鉄道橋の構造性能調査方法によって得られたパラメータ、変位応答、衝撃係数の推計精度の検証を行うとともに種々の影響因子に対する精度評価を行い、実橋梁で測定加速度応答に適用して本発明の有効性を確認した結果について説明する。
【００３８】
本実施形態の鉄道橋の構造性能調査方法においては、単純桁における列車走行時の動的応答理論解析手法を以下のように定式化する。
【００３９】
（理論に基づく列車走行時の橋梁の応答）
図１は、列車走行時の単純梁モデルを示している。
ここでは、走行列車を移動荷重列とし、橋梁を線路方向に断面変化のない単純梁としてそれぞれモデル化する。
【００４０】
なお、図１は、車軸間隔ａ、台車間隔ｂ、車両長さＬｖの車両ｎｖ台で編成される列車１が一定速度ｖで径間長Ｌｂの橋梁２を図中左から右へ走行する状態を示している。また、時間ｔは先頭車両の第一車軸が橋梁２に進入する時点を０とする。
【００４１】
そして、表面が十分に滑らかなベルヌーイ・オイラー梁とすると、橋梁上の任意地点及び時点における運動方程式は式（１１）で表すことができる。
【００４２】
【数１１】
2018031676.tif 000013
【００４３】
ここで、ｍ（上に−）は単位長さ当たりの橋梁質量（単位長質量）、ｃは減衰係数、ＥＩは曲げ剛性である。また、Ｊは式（１２）で表現される移動荷重列であり、δはＤｉｒａｃのデルタ関数を表す。また、τｋ，ｉは式（１３）で示すｋ両目車両の第ｉ車軸通過時点、Ｐｋ，ｉは同車軸の軸重である。
【００４４】
【数１２】
2018031676.tif 000014
【００４５】
【数１３】
2018031676.tif 000015
【００４６】
式（１１）の各移動荷重に対し、橋梁を線形系と仮定できるならば式（１４）のように分解できるため、式（１５）のように列車走行時の応答を各移動荷重に対する応答の重ね合わせで表現できる。
【００４７】
【数１４】
2018031676.tif 000016
【００４８】
【数１５】
2018031676.tif 000017
【００４９】
また、図１の境界条件におけるｋ両目車両の第ｉ車軸通過時の橋梁応答に関する微分方程式の式（１６）の解は、式（１７）となる。ここで、ｎはモード次数、Ｔは橋梁通過時間、ωｎはｎ次固有角振動数、ξｎはｎ次モード減衰比、ωｎ（上に−）は１車軸の橋梁進入から退出までを半周期とした車軸通過各振動数のｎ次成分、Φｎ（ｘ）はｎ次振動モード形、ｕ０は径間中央に軸重が作用した際の静的たわみ量であり、式（１８）〜式（２２）によりそれぞれ算出される。
【００５０】
【数１６】
2018031676.tif 000018
【００５１】
【数１７】
2018031676.tif 000019
【００５２】
【数１８】
2018031676.tif 000020
【００５３】
【数１９】
2018031676.tif 000021
【００５４】
【数２０】
2018031676.tif 000022
【００５５】
【数２１】
2018031676.tif 000023
【００５６】
【数２２】
2018031676.tif 000024
【００５７】
なお、固有振動数ｆｎはｆｎ＝ωｎ／２πである。また、式中のαｎ、β及びψはそれぞれ、式（２３）、式（２４）、式（２５）である。さらに、式（１７）の導出には減衰が１より十分小さいと仮定し、ωｎ√（１−ξｎ２）≒ωｎの近似を用いた。
【００５８】
【数２３】
2018031676.tif 000025
【００５９】
【数２４】
2018031676.tif 000026
【００６０】
【数２５】
2018031676.tif 000027
【００６１】
次に、ｋ両目車両の第ｉ車軸通過時の速度応答ｕｋ，ｊ（上に・）と加速度応答ｕｋ，ｊ（上に・・）は式（１７）よりそれぞれ、式（２６）、式（２７）のように表せる。
【００６２】
【数２６】
2018031676.tif 000028
【００６３】
【数２７】
2018031676.tif 000029
【００６４】
次に、理論解析モデルについて説明する。
はじめに、最大モード振幅は、周知のように、静的たわみ（式（２２））と、モード形Φ、モード次数ｎ、βに依存する。過去研究に基づいて、橋梁固有周期をω１＝２π・１０５Ｌｂ−１で近似すると、式（１９）及び式（２４）から、式（２８）が導出される。なお、ｖｋｍ／ｈ＝ｖ／３．６［ｋｍ／ｈ］である。
【００６５】
【数２８】
2018031676.tif 000030
【００６６】
次に、現在の鉄道の営業最高速度を想定しても、β２＜＜１であるため、簡易的に式（２９）のように考えることができる。
【００６７】
【数２９】
2018031676.tif 000031
【００６８】
この式（２９）からモード次数ｎの増加に伴い、各モードの最大振幅は次数の４乗に反比例して急速に減少することになる。さらに、ほとんどの単純桁で径間中央で変位最大となることを踏まえると、径間中央の２次モード振幅はΦＳ（Ｌｂ／２）＝０であり、１次モードの次に大きな振幅を有するのは３次モードとなる。これに対し、式（２９）から３次モードの最大モード振幅は１次モードに対して１／３４≒０．０１１となり、約１％程度となる。これにより、本実施形態では１次モードの振幅のみを考えることとする。また、このとき、式（１７）は、式（３０）となる。なお、モード次数に対する添え字は省略した。
【００６９】
【数３０】
2018031676.tif 000032
【００７０】
また、単一移動荷重作用時の運動方程式の解である式（１７）を重ね合わせることにより、列車走行時の動的応答理論解析モデルを式（３１）のように定式化できる。なお、ν（ｔ）はｔ＜０で０、０≦ｔで１のステップ関数である。
【００７１】
【数３１】
2018031676.tif 000033
【００７２】
このとき、速度応答ｕ（上に・）（ｘ，ｔ）と加速度応答ｕ（上に・・）（ｘ，ｔ）は、式（３２）、式（３３）である。
【００７３】
【数３２】
2018031676.tif 000034
【００７４】
【数３３】
2018031676.tif 000035
【００７５】
そして、これら式（３１）から式（３３）は三角関数の重ね合わせのみであるため、高次モード省略による誤差は存在するものの、数値積分を介した誤差混入がない上、有限要素法と比較して計算負荷が極めて小さい。これにより、一般的な表計算ソフトウェアでも応答計算が可能になる。
【００７６】
次に、理論解析モデルの妥当性について説明する。
複数の仮定の上で導出した理論解析モデル（理論解析手法／簡易逆解析法手法）の妥当性を検証するため、表１に示す１０ｍ、３５ｍ、４５ｍの単純桁を１０両編成の高速鉄道車両が走行した場合を例に、荷重列解析手法（荷重列解析）と、動的相互作用解析手法（相互作用解析）の２種類の数値解析手法と比較を行った。
【００７７】
【表１】
2018031676.tif 000036
【００７８】
ここで、荷重列解析手法（荷重列解析）は、車両を非振動系の荷重列とし、構造物を有限要素モデルとしてモデル化する。計算には線路構造物の汎用構造解析プログラムＤＩＡＲＩＳＴ（Dynamic and Impact Analysis for Railway Structure）を用いた。ＤＩＡＲＩＳＴでは、モード座標系での運動方程式をＮｅｗｍａｒｋの平均加速度法により時間増分△ｔ単位で解く。△ｔは０．０００５秒、モード次数は５０次とした。
【００７９】
動的相互作用解析手法（相互作用解析）では、走行車両をマルティボディモデル、構造物を有限要素モデルとしてそれぞれモデル化する。計算は新幹線車両と鉄道構造物との動的相互作用解析プログラムＤＩＡＳＴＡＲＳ  ＩＩＩを用いた。
【００８０】
また、車両（列車）の解析モデルは図２に示す通りである。
車両は、車体、台車枠、輪軸の各構成要素を剛体とし、これらをばね、ダンパで結合した三次元モデルとした。１車両当たり３１自由度のモデルを１０両連結してモデル化した。なお、解析モデルの妥当性は、実車両と車両試験台を用いた検証実験により確認されている。
【００８１】
また、車両諸元は近年の高速鉄道車両を参考に設定した。車輪／レール間の相互作用力は、両者の鉛直方向相対変位及び水平方向相対変位を用いて算定した。具体的には、両者の接触面の法線方向はＨｅｒｔｚの接触ばねを、接線方向はクリープ力をそれぞれ考慮した。
【００８２】
数値計算は、荷重列解析と同じくＮｅｗｍａｒｋの平均加速度法により解くこととしたが、運動方程式が非線形のため、各時間ステップごとに不釣合力が十分小さくなるまで△ｔ内で反復計算を行うこととした。△ｔは０．０００５秒、モード次数は５０次までとした。
【００８３】
次に、構造物モデルについて説明する。
図３は、荷重列解析と相互作用解析に用いた単純桁の有限要素モデルを示している。橋梁とレールを梁要素、軌道パッドをばね要素とし径間長１０ｍ、３５ｍ、４５ｍの３橋をそれぞれモデル化した。
【００８４】
軌道パッドと橋梁は剛な梁要素で結合した。断面諸元は実測結果を参考に表１に示すように定めた。モード減衰比はすべて２％とした。理論解析は、表１の構造物モデルと同じ固有振動数、単位長質量、モード減衰比を入力した。
【００８５】
図４は、理論解析（簡易逆解析法）、荷重列解析及び相互作用解析でそれぞれ算出した径間中央の鉛直たわみ応答を示している。なお、列車は１０両編成の高速鉄道車両が図中の速度で走行した場合とした。そして、この図から、走行速度や径間長に依らず、いずれの解析結果も極めて良好に一致しており、本発明に係る理論解析により列車走行時の変位応答を精度よく再現できることが確認された。
【００８６】
次に、鉄道橋の速度効果による動的応答成分は式（３４）の衝撃係数ｉａにより設計でも考慮されている。なお、Ｓｄは動的なたわみの最大値、Ｓｓは静的なたわみの最大値である。
【００８７】
【数３４】
2018031676.tif 000037
【００８８】
そして、図５は、荷重列解析手法（荷重列解析）と動的相互作用解析手法（相互作用解析）の各解析手法で算出した衝撃係数を示している。
車両諸元は前述と同様、列車速度は１００ｋｍ／ｈから４２０ｋｍ／ｈ、１００ｋｍ／ｈでの最大たわみを静的たわみとした。
【００８９】
この図から、共振ピークで理論解析（簡易逆解析法）と相互作用解析で衝撃係数が若干異なるが、それ以外の速度帯では良好に一致することが確認された。なお、理論解析と荷重列解析の衝撃係数はよく一致するため、共振ピークの相違は車両の振動系（質量や減衰）によるものと推測される。
【００９０】
以上の結果から、理論解析手法は、適用対象が単純桁に限られるものの、有限要素法と比べて格段に少ないモデル自由度で、時系列応答や衝撃係数を少なくとも荷重列解析と同精度に評価できることが明らかとなった。
【００９１】
このような結果を踏まえ、本実施形態では、理論解析モデルに必要となるパラメータを実測加速度から推計するための詳細逆解析法と簡易逆解析法（本発明の鉄道橋の構造性能調査方法）とを以下に示す。
【００９２】
（詳細逆解析法）
まず、図６を参照し、詳細逆解析法について説明する。
本実施形態における詳細逆解析法は、ＭＣＭＣ（Markov chain Monte Carlo）法による未知パラメータと変位応答の詳細逆解析法であり、前述の定式化した理論解析法を基本モデルとすることで、自由度過多に起因するパラメータ推定過程の劣決定問題化を回避し、推計の安定性と精度向上を実現できるものである。
【００９３】
具体的に、本実施形態における詳細逆解析法では、まず、パラメータ及びその不確実性を高精度に評価するためにベイズ推計を用いる。
【００９４】
一般的なベイズ推計法は、パラメータ事前分布と観測データで定義される尤度関数に基づき、未知パラメータの事後分布を推計する。
【００９５】
尤度関数はＬ（ｕ０（上に・・）｜θ）と表わす。なお、θは未知パラメータベクトル、ｕ０（上に・・）は列車走行時加速度応答の観測データをそれぞれ表している。また、確率変数θは事前確率密度π（θ）に従うと仮定する。
【００９６】
そして、観測データｕ０（上に・・）が与件のとき、未知パラメータベクトルθの同時事後確率密度関数π（θ｜ｕ０（上に・・））は、ベイズの定理より、式（３５）となる。ただし、Θはパラメータ空間である。式（３５）の分母は定数であり、同時事後確率密度関数π（θ｜ｕ０（上に・・））は式（３６）となる。
【００９７】
【数３５】
2018031676.tif 000038
【００９８】
【数３６】
2018031676.tif 000039
【００９９】
このように、同時事後確率密度関数π（θ｜ｕ０（上に・・））は観測データを既知としたパラメータ分布、すなわち実測値から推計されたモデルパラメータに他ならない。
【０１００】
次に、尤度関数と事前分布の定式化について説明する。
ここでは、理論解析モデルにεｔで表される誤差項を導入し、式（３７）、式（３８）で表される確率モデルを定義する。なお、Ｎ（０，σ２）は平均０、分散σ２の正規分布である。
【０１０１】
【数３７】
2018031676.tif 000040
【０１０２】
【数３８】
2018031676.tif 000041
【０１０３】
固有振動数（固有周期）ω、単位長質量ｍ（上に−）、モード減衰比ξ、確率誤差項分散σを未知パラメータθ＝（ω，ｍ（上に−），ξ，σ）とし、これらを与件とすると、モデル式（３７）から観測データｕ０（上に・・）が生成される同時生起確率（尤度関数）Ｌ（ｕ０（上に・・）｜θ） は、式（３９）となる。ここで、未知パラメータθ＝（ω，ｍ（上に−），ξ，σ）の事前確率密度関数π（θ）をそれぞれ式（４０）のように設定する。
【０１０４】
【数３９】
2018031676.tif 000042
【０１０５】
【数４０】
2018031676.tif 000043
【０１０６】
なお、Ｎωは平均μω、分散σωの正規分布、ＧＪ（合字）ξは形状係数αξ、尺度係数γξのガンマ分布をそれぞれ示す。また、式（２２）から未知パラメータθ＝（ω，ｍ（上に−），ξ，σ）のうち、単位長質量ｍ（上に−）は静的なたわみ量と反比例関係となる。
【０１０７】
すなわち、固有振動数ｆ、モード減衰比ξが得られれば、例えば観測データとの最大振幅の比から単位長質量ｍ（上に−）を逆算できる。また、確率誤差項の分散σ２も同様に他パラメータが決まれば、観測データと再現データから一意に算出できる。これにより、単位長質量ｍ（上に−）と誤差項の分散σ２はベイズ推計を実施しないこととした。
【０１０８】
そして、式（３９）の尤度と式（４０）の事前確率密度関数を式（３５）に代入することにより同時事後確率密度関数π（θ｜ｕ０（上に・・））が定義されるが、これを解析的に解くことは非常に難しい。
【０１０９】
このため、本実施形態では、まず、ＭＣＭＣ法による数値的解法を用いることとした。
【０１１０】
（ＭＣＭＣ法に基づくパラメータ推計）
ａ）同時事後確率密度関数の推計
図７は、本実施形態のＭＣＭＣ法による同時事後確率密度関数の推計を含めた計算フローを示している。
【０１１１】
同時事後確率密度関数π（θ｜ｕ０（上に・・））を数値計算により近似する確率密度関数を得る方法がＭＣＭＣ法であり、本実施形態では、ＭＣＭＣ法の一つであるギブス法を採用する。
【０１１２】
そして、ギブス法を用い、未知パラメータθ＝（ω，ｍ（上に−），ξ，σ）の各要素について順番に条件付き事後確率密度関数からのサンプリングを繰り返すことにより同時事後確率密度関数を算出する。
【０１１３】
ギブス法における任意のｍ回目とｍ−１回目にサンプリングされたパラメータの標本θ（ｍ）とθ（ｍ−１）は、式（４１）を推移核としたマルコフ連鎖を有する。
【０１１４】
【数４１】
2018031676.tif 000044
【０１１５】
十分な回数のサンプリングにより、標本θ（ｍ）はマルコフ連鎖の定常状態に達するとともに、定常状態に達したサンプリング数ｍｓ以降の標本θ（ｍ＝ｍｓ＋１，ｍｓ＋２，・・・，ｍｅ）は同時事後確率密度関数π（θ｜ｕ０（上に・・））からの標本と等しくなる。
【０１１６】
したがって、標本θ（ｍ＝ｍｓ＋１，ｍｓ＋２，・・・，ｍｅ）から期待値や信頼区間を算出することにより、それぞれパラメータ推計値やその信頼性を評価することが可能になる。
【０１１７】
ｂ）条件付き事後確率密度関数からのサンプリング
条件付き事後確率密度関数π（α｜ｕ０，ｍ（上に−），ξ，σ）はランダムウォークＭＨ法、π（ｍ（上に−）｜ｕ０，ω，ξ，σ）は最大振幅の比により、π（ξ｜ｕ０，ω，ｍ（上に−），σ）は独立ＭＨ法、π（σ｜ｕ０，ω，ｍ（上に−），ξ）は観測データと理論解析モデルの標準偏差をそれぞれ利用する。
【０１１８】
そして、本実施形態では、固有振動数ωはランダムウォークＭＨ法に基づき、ｍ回目の標本の候補ω’を式（４２）によりサンプリングする。なお、ω（ｍ−１）はｍ−１回目の標本、Ｎ（０｜ν）は平均０、分散νの正規分布である。
【０１１９】
【数４２】
2018031676.tif 000045
【０１２０】
式（４２）によりサンプリングした標本の候補ω’は式（４３）の確立で標本として受容される。実際の数値計算では、区間［０，１］で定義された一様分布から、乱数ｕαを発生させ、式（４４）に従って決定する。
【０１２１】
【数４３】
2018031676.tif 000046
【０１２２】
【数４４】
2018031676.tif 000047
【０１２３】
ＧＪ（合字）は独立ＭＨ法に基づき、ｍ回目の標本の候補ξ’を式（４５）により事前分布からサンプリングする。
【０１２４】
【数４５】
2018031676.tif 000048
【０１２５】
サンプリングした標本の候補ξ’は式（４６）の確率で標本として受容される。実際の数値計算では式（４４）と同様にして受容・棄却を決定する。
【０１２６】
【数４６】
2018031676.tif 000049
【０１２７】
単位長質量ｍ（ｍ）（上に−）はサンプリングされたｍ回目の標本ω（ｍ）、ξ（ｍ）、及びｍ−１回目の標本ｍ（ｍ−１）（上に−）に基づく理論解析の最大値と観測データの最大値の比に基づいて、式（４７）として算出できる。
なお，式（４７）は最大振幅が常に観測値と常に一致するとした制約をＭＣＭＣ法に組み込むことを意味する。これにより、時系列が常に０になるようなパラメータ値への収束を抑制することができる。
【０１２８】
【数４７】
2018031676.tif 000050
【０１２９】
誤差項の分散σ２は、式（４８）により算出できる。
【０１３０】
【数４８】
2018031676.tif 000051
【０１３１】
（ＭＣＭＣ法の応答予測解析）
次に、ＭＣＭＣ法の応答予測解析について説明する。
【０１３２】
パラメータの標本θ（ｍ＝ｍｓ＋１，ｍｓ＋２，・・・，ｍｅ）を用いた理論解析により、同時事後確率密度関数π（θ｜ｕ０（上に・・））に従う変位応答や衝撃係数の標本を得ることができる。
【０１３３】
そして、本実施形態では、式（４９）で表される任意の列車速度ｖｓをパラメータとした列車走時の応答予測解析をｍ回目のサンプリング過程に組み込み、各速度での最大値（式（５０））を記録する。
【０１３４】
【数４９】
2018031676.tif 000052
【０１３５】
【数５０】
2018031676.tif 000053
【０１３６】
列車速度ｖｓは、例えば、１０ｋｍ／ｈから５ｋｍ／ｈ刻みで４００ｋｍ／ｈまでとする。
【０１３７】
本実施形態においては、このようにＭＣＭＣ法の計算フローに応答予測過程を組み込むことにより、未知パラメータθ（ｍ＝ｍｓ＋１，ｍｓ＋２，・・・，ｍｅ）の推計計算と同時に、同時事後確率密度関数π（θ｜ｕ０（上に・・））に従う最大変位の標本ｕｍａｘ（ｖｓ，ｍ＝ｍｓ＋１，ｍｓ＋２，・・・，ｍｅ）を得ることができる。
【０１３８】
なお、詳細逆解析法及び応答予測はＭＡＴＲＡＢ上に実装した。一つの加速度波形（２００Ｈｚ，２０秒、３２ｋＢｙｔｅ）に対する計算時間は、ＣＰＵ３．５ＧＨｚ、ＲＡＭ４．００ＧＢのＰＣで逆解析（３０００回サンプリング）と応答予測を含めて約３３０秒（５分半）程度である。既往の文献に示された動的ＦＥＭとデータ同化に基づく推計手法では同条件の加速度波形に対して約８３０８０秒（１日）であり、これに対し１／２５０程度の計算時間となっている。
【０１３９】
（簡易逆解析法：本発明の鉄道橋の構造性能調査方法）
ここで、上記の詳細逆解析法は理論解析モデルの未知パラメータとその不確実性を精緻に評価することを目的としているが、ＭＣＭＣ法は繰返計算が必要であり、ある程度の時間と計算負荷は避けられない。これに対し、厳しい時間的制約を有する現地測定・調査やスマートセンサ等への組み込みプログラム、これまで蓄積してきた大量測定データの一括処理など、精度を一定程度確保しつつ、より少ない計算負荷で逆解析できることが望ましい場合も多い。
【０１４０】
このため、本実施形態では、以下に、このような要望を満足する簡易逆解析法手法（本実施形態の鉄道橋の構造性能調査方法）について説明する。
【０１４１】
図８及び図９は、本実施形態の簡易逆解析法手法のフローを示している。
【０１４２】
実測データから推計すべき橋梁の未知パラメータは、固有振動数ｆ（＝２πω）、モード減衰比ξ、単位長質量ｍ（上に−）である。このうち、固有振動数ｆとモード減衰比ξの推計は列車通過後の残存波形を自由振動波形と見なすことで、すでに提案されてきた振動特性同定法により同定可能である。また、単位長質量ｍ（上に−）は、前述の通り、他のパラメータが決まることで一意に算定可能である。
【０１４３】
これにより、既存の振動特性同定手法を援用することによって理論解析に必要なパラメータを観測データに基づき得ることができ、得られたパラメータに基づく理論解析により、変位応答及び衝撃係数を算出できる。
【０１４４】
（振動特性の同定法）
ここで、列車通過時の残存波形（以下、列車通過後波形）に基づく固有振動数とモード減衰比の同定法として次の３手法の適用性を検討した結果について説明する。
１）ＦＦＴ法およびハーフパワー（ＨＰ）法
２）自己相関（ＡＲ）モデル
３）Eigensystem Realization Algorithm（ＥＲＡ）法
【０１４５】
１）ＦＦＴ法およびハーフパワー（ＨＰ）法は、ＦＦＴスペクトルのピーク振動数に基づき固有振動数を、ＨＰ法に基づきモード減衰比を同定する方法である。
２）ＡＲモデルは、推計したＡＲ係数に基づき固有振動数とモード減衰比を同定する方法である。
３）ＥＲＡ法は、線形時不変系における最小実現アルゴリズム基づく固有振動数とモード減衰比の同定法である。
いずれの同定方法もすでに多くの橋梁での適用実績が存在し、本実施形態では、精度検証結果に基づいて列車通過後波形から固有振動数とモード減衰比を精度良く評価できる同定方法を選定し、簡易逆解析法手法に用いる。
【０１４６】
（単位長質量の同定法）
前述の通り、単位長質量ｍ（上に−）は１次モードのモード振幅を制御し、他パラメータを与件とすれば一意に決定できる。
【０１４７】
本実施形態の簡易逆解析法では、上記の同定方法に基づき同定された固有振動数ｆ、モード減衰比ξ、及び初期単位長質量ｍ０（上に−）＝１とした理論解析（式（２７））を実施し、実測値の最大振幅との比を算出し、式（５１）で単位長質量ｍ（上に−）を同定する。
【０１４８】
そして、得られたパラメータを理論解析に代入することで、列車走行時の変位応答及び衝撃係数を推計することが可能になる。
なお、衝撃係数の推計まで含めた簡易逆解析法時間は、上述の詳細逆解析法と同条件で約１．６秒であり、詳細逆解析法の１／２００程度である。
【０１４９】
【数５１】
2018031676.tif 000054
【０１５０】
（双子実験による精度検証）
次に、双子実験を行って、詳細逆解析法手法と簡易逆解析法手法（本発明に係る鉄道橋の構造性能調査方法）に対する精度の検証結果について説明する。
【０１５１】
はじめに、モデル自由度の過多や未知パラメータ間の相関性により、劣決定問題となる場合、逆解析結果は必ずしも正解値へ収束しない。
【０１５２】
双子実験はこのような逆解析におけるパラメータ推計の妥当性を検証する基本的な方法であり、まず、事前に数値計算により時系列データを作成し、ノイズを加えて模擬観測データとする。次に時系列データ作成時とは異なるパラメータ（事前分布）を初期値に設定し、模擬観測データに基づく逆推計を行う。４推計結果が正解値に収束するか否かによりパラメータ推計の妥当性を検証する。
【０１５３】
本実施形態では、図４に示した径間長１０ｍ、３５ｍ、４５ｍのＡ、Ｂ、Ｃの橋梁を列車が速度１００ｋｍ／ｈ、２００ｋｍ／ｈ、３００ｋｍ／ｈで走行した際の加速度応答に基づく双子実験を実施した。
【０１５４】
表２は、時系列データ作成時に設定したパラメータを示している。
また、図１０は、理論解析モデルにより作成した時系列データとノイズを加えた模擬観測データの例とし、径間長１０ｍのケースＡの橋（Ａ橋）を列車が速度１００ｋｍ／ｈで通過した場合を示している。
なお、既存の測定結果を参考に、加速度波形には最大変位の５％を標準偏差とする正規分布から発生させたノイズを付加した。
【０１５５】
【表２】
2018031676.tif 000055
【０１５６】
（パラメータの推計結果）
図１１にＭＣＭＣ法により得られた事後分布を示す。
このＭＣＭＣ法では３０００回サンプリングし、最初の１０００回分を定常分布への収束過程として除去し、残りの２０００回のサンプリング結果を事後分布からの標本とした。
そして、図１１から、いずれのパラメータも速度に依らず、事後分布が正解値付近に更新されることが確認された。
【０１５７】
図１２に固有振動数、モード減衰比及び単位長質量の推計結果を示す。
詳細逆解析法に基づく固有振動数、モード減衰比及び単位長質量は、いずれも正解値に収束することが確認された。また、図１２にともに示した既存同定手法と比較し、詳細逆解析法が非常に精度良くパラメータを推計できることが確認された。
【０１５８】
これにより、本実施形態の詳細逆解析法においては、劣決定問題を回避できるとともに、事前情報が正解値と多少異なっていても精度良くパラメータを推計できることが確認された。
【０１５９】
また、図１２には簡易逆解析法（本発明に係る鉄道橋の構造性能調査方法）に用いる同定手法選定のため、既存手法で同定した固有振動数、モード減衰比及び式（５１）により算出した単位長質量を示している。
【０１６０】
なお、ＦＦＴでは時系列後に０ベクトルを加え周波数分解能０．２Ｈｚを確保した。また、ＡＲ係数の推定にはバーグ法を用い、ＡＩＣ最小のモデル次数を採用した。ＥＲＡ法は自由度を１０とし、可観測性のＭＡＣ値０．９９以上、且つモード減衰比［０．００１−０．０５］を満たすモードを、鉄道橋のモードとして同定した。
【０１６１】
そして、図１２から、ＥＲＡ法に基づく固有振動数、ＡＲモデルに基づくモード減衰比及び単位長質量においては、列車速度によって比較的大きな誤差が生じることが確認された。簡易逆解析法手法に用いる同定手法は、精度に大きな違いがなければ、簡易且つ基本的な方法の方が実務的には都合が良い。
【０１６２】
一方、ＦＦＴ法及びＨＰ法に基づく結果は、固有振動数に対して最大２％、モード減衰比に対して最大約４５％、単位長質量に対して最大２５％の誤差を有するが、検討手法の中では最も要件を満たす手法であった。
【０１６３】
これにより、本実施形態の鉄道橋の構造性能調査方法である簡易逆解析法では固有振動数の同定にＦＦＴ法を、モード減衰比の同定にＨＰ法を採用することとした。
【０１６４】
（パラメータ推計値の信頼性）
次に、パラメータ推計値の信頼性について検討を行った。
【０１６５】
図１３は、詳細逆解析法によるパラメータ推計値と９０％信頼区間を示している。なお、図１３では各パラメータの縦軸が異なっている。また、縦軸は正解値を１として示している。さらに、図１３には推計値の９０％信頼区間も示している。
【０１６６】
図１３に示すように、信頼区間は固有振動数が最も小さく、モード減衰比が最も大きいことが確認された。ただし、９０％信頼区間の大きさは最も大きいモード減衰比でも＋５％から−５％程度であった。なお、共振発生に伴う固有振動の増加により径間長４５ｍのケースＣ橋（Ｃ橋）における列車速度２００ｋｍ／ｈで信頼性が高くなった。
【０１６７】
このことから、動的応答の大きさが推計精度に影響することが推察された。
【０１６８】
（変位応答の推定結果）
次に、図１４は、簡易及び詳細逆解析法に基づいて推計した変位応答を示している。
また、図１４は、簡易逆解析法はＦＦＴ法及びＨＰ法により実施し、最も誤差の大きい径間長４５ｍのＣ橋（１００ｋｍ／ｈ、３００ｋｍ／ｈ）の結果を例として示している。
【０１６９】
図１４に示す通り、詳細逆解析法により加速度から推計した変位応答は、正解値と精度良く一致することが確認された。また、簡易逆解析法で推計した変位は、詳細逆解析法における９０％信頼区間の境界線に近い値となっており、詳細逆解析法と比較すると変位推計精度が若干低下することが確認された。ただし、推計誤差は大きくとも最大変位の１０％程度であった。
【０１７０】
（最大変位の推定結果）
次に、図１５は、詳細逆解析法、簡易逆解析法に基づいて計算した推計速度以外の最大変位の推計値を示している。
【０１７１】
ここで、実用的には衝撃係数が用いられるが、衝撃係数は静的変位と動的応答倍率のそれぞれに対して誤差が混入するため、より詳しく精度を把握する目的で、以降の分析では衝撃係数の代わりに最大変位を用いる。
【０１７２】
図１５に示す通り、実線の詳細逆解析法の結果は推計速度以外の列車速度でも精度よく最大変位を評価できる。また、詳細逆解析法ではＣ橋（４５ｍ）における列車速度１００ｋｍ／ｈの加速度に基づく場合に、最大で約３％の誤差であった。
【０１７３】
一方で、点線で示す簡易逆解析法では、径間長が長い橋梁ほど推計誤差が大きい傾向が確認された。径間長が長い場合、固有振動数が低くなるため、相対的に周波数刻みによる誤差が大きくなることに起因していると考えらえる。
また、Ｃ橋における列車速度１００ｋｍ／ｈの加速度に基づく場合、正解値に対する誤差は平均で１０％、共振時に最大で１８％であった。
【０１７４】
これにより、簡易逆解析法では固有振動数とモード減衰比の同定精度が変位推計に大きく影響を及ぼすため、特に固有振動数が低い橋梁を対象とする場合、常時微動や複数回計測が可能ならばそれらの結果を合わせて平均化し、推計精度の向上を図ることが望ましいと言える。
【０１７５】
次に、図１６は、Ｃ橋の詳細及び簡易逆解析法に基づく最大値推計結果を示している。
簡易逆解析法では上記の誤差を有するものの、共振による応答増幅の特徴は整合的に評価できていることが確認された。
【０１７６】
（数値解析による影響因子分析）
次に、数値解析による影響因子の分析結果について説明する。
【０１７７】
本実施形態の逆解析法に対する列車速度等の影響をより詳細に分析する。表３に解析ケース一覧を示す。
【０１７８】
【表３】
2018031676.tif 000056
【０１７９】
影響因子として列車速度、ノイズ、車両との相互作用、軌道変位を取り上げ、各パラメータが逆解析精度に及ぼす影響を分析することとした。
【０１８０】
推計精度の最も高い径間長１０ｍと最も低い径間長４５ｍの橋梁を対象とし、最大振幅の１％のノイズを付加した列車速度１００〜４００ｋｍ／ｈ（１０ｋｍ／ｈ刻み）の理論解析結果に基づき詳細逆解析法を実施した。
【０１８１】
ケースＩは列車速度の影響及び他ケースと比較するための基本ケースである。
【０１８２】
ケースＩＩは最大加速度の５％の標準偏差を有するノイズを付加したものを観測データとして与えたケースであり、ケースＩとの比較によりノイズが推計精度に及ぼす影響を明らかにする。
【０１８３】
ケースＩＩＩは車両と橋梁の動的相互作用が逆解析精度に及ぼす影響を検討するため、径間長１０ｍ及び４５ｍの橋梁についてＤＩＡＳＴＡＲＳによる相互作用解析に基づく詳細逆解析法を実施したケースである。
【０１８４】
ケースＩＶは動的応答への主要な影響因子のひとつである軌道変位の影響を検証するため、軌道変位を加えた相互作用解析に基づく逆解析を実施したケースである。
【０１８５】
図１７に導入した軌道変位を示す。軌道変位は「曽我部正道，松本信之，藤野陽三，涌井一，金森真，宮本雅章：共振領域におけるコンクリート鉄道橋の動的設計法に関する研究. 土木学会論文集，Vol.724，pp.83-102，2003．」と同様のものを用いた。構造物・車両モデルは図３に示した通りである。また、ＭＣＭＣ法の繰返回数は３０００回、最初の１０００回を収束過程として除去し、残りの２０００回を事後分布からの標本とした。さらに、事前分布を一様分布（事前情報なし）とすることで、事前情報による影響は排除した。
【０１８６】
（パラメータ推計に及ぼす影響）
図１８、図１９は、径間長１０ｍ、４５ｍの橋梁における列車速度１００〜４００ｋｍ／ｈでの各パラメータの詳細逆解析法結果を示している。
図２０、図２１は、推計した９０％信頼区間の例として固有振動数の９０％信頼区間を示している。
【０１８７】
なお、いずれも正解値を１として無次元化した値で示している。また、動的応答成分との関連性分析のため衝撃係数を合わせて示している。さらに、簡易逆解析法では手法自体のばらつきが大きく、各ケースによる明確な変化は見られなかったため、詳細逆解析法の結果のみを示している。簡易逆解析法では、いずれの径間長、ケースも正解値に対する最大誤差は固有振動数で±７％程度、モード減衰比で−８０％〜＋１００％程度、単位長質量で±３０％程度であった。
【０１８８】
（基本ケース）
図１８、図１９から、荷重列解析結果を観測値としたときの推計結果はいずれの径間長、パラメータ、列車速度でも正解値と精度良く一致し、本実施形態の手法は劣決定問題を回避できることが確認された。
【０１８９】
図２０、図２１から、固有振動数の９０％信頼区間は、特に径間長１０ｍの橋梁において衝撃係数のピーク付近で特に小さい（精度が高い）傾向を示すことが確認された。これは共振により固有振動成分が増大するためであると考えられる。逆に、橋梁の固有振動数成分が励起されづらい衝撃係数極小の速度付近で９０％信頼区間が大きい値を示す傾向にあることが確認された。
【０１９０】
なお、推計値の信頼性は、動的応答成分の大きさを表す衝撃係数に依存して変動するものの、荷重列解析で推計された固有振動数の９０％信頼区間が径間長１０ｍの橋梁で最大０．１％程度、径間長４５ｍの橋梁で最大０．０５％程度であり、いずれも推計値の信頼性として十分に高い値と言える。
【０１９１】
（ノイズの影響 ）
次に、ノイズの影響について説明する。
【０１９２】
図１８、図１９に示すように、５％のノイズを加えた時系列の推計結果では、モード減衰比で最大５％程度、単位長質量で最大で１％程度の誤差が認められるが、概ね精度良く推定できている。このことから、ノイズが推計精度に及ぼす影響は限定的であって、特に固有振動数の推計にはほとんど影響を及ぼさないことが確認された。
【０１９３】
また、図２０、図２１に示すように、固有振動数の９０％信頼区間は、荷重列解析の結果と同様の傾向を示すことが確認された。ただし、その値はノイズの付加により増大しており、径間長１０ｍの橋梁で最大０．４％程度、径間長４５ｍの橋梁で最大０．１％程度となっている。これらの結果から、観測データに含まれるノイズは推計値の信頼性を低下される傾向にあることが確認された。
【０１９４】
（車両との相互作用の影響）
次に、車両との相互作用の影響について説明する。
【０１９５】
図１８、図１９に示すように、ＤＩＡＳＴＡＲＳ（車両との相互作用解析）による解析結果を観測データとした与えた場合の推計結果では、いずれの推計パラメータでも正解値である１からのずれが確認された。
【０１９６】
また、固有振動数に関しては、径間長１０ｍの橋梁で正解値から最大５％程度、４５ｍの橋梁で最大３％程度、低く推計される傾向が確認された。これは通過する列車質量により見かけ上固有振動数が低下することに起因すると考えられる。すなわち、車両振動系の影響による変動する軸重を時不変な移動荷重でモデル化したことによる誤差であると推測される。
【０１９７】
また、モード減衰比に関しても正解値から最大で５０％、最小で６０％程度ばらつく傾向が認められた。この誤差も車両の減衰機構が橋梁１次モードと車両振動モードの連成を通じて橋梁に及ぼす付加減衰である考えられる。一方で、減衰が正解値よりも低い場合も見られる。いずれも衝撃係数が極大となる共振速度から高速及び低速側に若干ずれた速度で発生しており、うなり現象の影響であると考えられる。
【０１９８】
理論モデルでは相互作用解析における列車走行時の見かけ上の固有振動数の低下を評価できないため、共振速度前後で生じる列車通過時のうなり現象にも相違が生じる。この相違を埋めるために見かけ上モード減衰比が小さくなったと推測される。
【０１９９】
単位長質量はいずれの橋梁でも正解値よりも高く固有振動数の推計値と逆の傾向を示した。これは固有振動数と単位長質量から決まる列車走行時の静的変位（加速度）を時系列波形に合わせるために、固有振動数が列車質量により見かけ上低くなった分、付随的に単位長質量が増加したものと考えられる。
【０２００】
図２０、図２１に示すように、固有振動数の９０％信頼区間は、荷重列解析の結果に比べ特に径間長１０ｍの橋梁で一桁以上大きくなっている（なお、図１９のみ縦軸のスケールが異なる）。いずれの橋梁でも衝撃係数が極小となる反共振速度で信頼区間が大きくなっていることが確認された。
【０２０１】
（軌道変位の影響）
次に、軌道変位の影響について説明する。
【０２０２】
図１８、図１９に示すように、軌道変位を考慮したＤＩＡＳＴＡＲＳ（車両との相互作用解析）を観測データとして与えた場合の推計値は、いずれの橋梁でも相互作用解析とほぼ同じであった。このことから、軌道変位が推計精度に及ぼす影響は車両との相互作用の影響と比較して小さいことが確認された。
【０２０３】
図２０、図２１に示すように、固有振動数の９０％信頼区間は、特に衝撃係数が極小となる速度帯で軌道変位を考慮した場合の信頼区間が大きくなる傾向が認められた。
【０２０４】
以上のように、本実施形態の逆解析手法の推計精度に各種因子が及ぼす影響としては車両との相互作用が最も大きく、その値は固有振動数に対して±５％程度、モード減衰比に対して最大−６０％〜＋５０％、単位長質量に対して＋１０％程度であることが確認された。
【０２０５】
特に固有振動数は径間長が短い場合の方が影響が大きい傾向にあることが確認された。また、ノイズ及び軌道変位は推計値の信頼区間に影響を及ぼすが車両との相互作用に比べるとその影響は小さいことが明らかとなった。
【０２０６】
（最大変位の推計に及ぼす影響）
次に、最大変位の推計に及ぼす影響について説明する。
【０２０７】
図２２及び図２３は、各ケースに対する最大変位の推計結果を示している。
パラメータ推計では車両との相互作用の影響が見られたが、図２２及び図２３に示すように最大変位は精度良く推計されており、車両との相互作用が最大変位推計に及ぼす影響は小さいことが確認された。
【０２０８】
このことから、固有振動数やモード減衰比に見られた正解値との相違は、走行車両に起因する付加質量及び付加減衰の影響を簡易モデルで等価的に評価した結果であると考えられる。
【０２０９】
以上により、本実施形態の逆解析手法により最大変位を精度良く推計でき、ノイズや車両との相互作用、軌道変位が最大変位の推計値に及ぼす影響は小さいことが明らかとなった。
【０２１０】
（実測応答による本実施形態の逆解析手法／鉄道橋の構造性能調査方法の精度検証）
次に、実測応答を用いて本実施形態の手法の精度を検証した結果について説明する。
【０２１１】
はじめに、表４及び図２４に適用対象の諸元および外観を示す。
対象橋梁は径間長２５ｍの開床式ＲＣＴ桁橋及び径間長３５ｍの開床式ＰＣ箱桁橋である。また、過去に当該橋梁の径間中央で測定された列車走行時の加速度応答を観測データとして使用した。また、同様の箇所で測定された変位を検証に用いた。加速度及び変位はそれぞれ圧電型加速度計及びリング式変位計により測定したものである。いずれの橋梁もセンサ設置側の桁を通過した特急列車（車両長２１．３ｍ、６両編成）２本を対象とし、通過時の加速度に対してそれぞれ本実施形態の手法を適用した。
【０２１２】
【表４】
2018031676.tif 000057
【０２１３】
測定加速度を逆解析に用いるために、事前処理を行った。
まず、理論解析モデルでは１次モードのみしか考慮していないため、高周波成分をローパスフィルタ処理により除去した。本実施形態では２０Ｈｚのローパスフィルタ処理を行った。次に、列車速度を同定した。また、列車の各軸重は定員乗車とした。最後に詳細逆解析法における理論解析データと観測データの相互相関を用いることで時刻同期処理を行った。
【０２１４】
図２５には測定加速度波形の例として径間長３５ｍの橋梁を列車が１３６．５ｋｍ／ｈで通過した際のものを示している。フィルタ処理後のフィルタ波形では、その振幅が列車通過に伴い増加することが確認された。
【０２１５】
（パラメータの推計結果）
次に、パラメータの推計結果について説明する。
【０２１６】
図２６はＭＣＭＣ法での推計前後の理論解析による加速度を示している。また、図２７、図２８は簡易逆解析法及び詳細逆解析法によるパラメータ推計結果を示している。
なお、図２７、図２８には２ケースの簡易逆解析法結果の平均値を合わせて示している。また、詳細逆解析法はＭＣＭＣ法の繰返回数を３０００回、最初の１０００回を除去し、残り２０００回を事後分布からの標本とした。初期値は表４に示す設計値、モード減衰比は２％とした。
【０２１７】
図２６から、いずれの橋梁でも詳細逆解析法により実測値に合わせてパラメータが修正され、測定加速度の再現度が大幅に向上していることが確認された。
【０２１８】
また、図２７、図２８から、詳細逆解析法に基づく固有振動数及び単位長質量に比べ、簡易逆解析法による固有振動数と単位長質量はばらつきが大きい傾向にあることが確認された。さらに、簡易逆解析法で推計したモード減衰比は詳細逆解析法と比較して３０〜５０％低い値になることが確認された。これは、簡易逆解析法では列車との相互作用が介在しない列車通過後の波形を対象としているが、詳細逆解析法では列車通過時の波形を対象としており、車両との相互作用により生じた付加減衰を等価的に橋梁モード減衰比として評価したためと考えられる。
【０２１９】
また、図２７、図２８にはエラーバーにより推計値の９０％信頼区間を示している。いずれもその範囲は小さく、測定加速度を用いた場合でも劣決定問題を回避できていることが確認された。
【０２２０】
（変位応答の推計結果）
次に、変位応答の推計結果について説明する。
【０２２１】
図２９、図３０に詳細逆解析法及び簡易逆解析法により推計した変位応答を示す。これらの図には測定された変位（実測値）を併せて示している。また、拡大図は最大変位付近の応答を示している。なお、測定変位の値は、ねじり成分を考慮していない理論解析モデルに合わせ、補正係数により補正したものである。補正係数は測定側と非測定側の桁を列車がほぼ同一速度で通過した際の最大変位から算出し、径間長２５ｍで０．５９、径間長３５ｍで０．６８であった。
【０２２２】
図２９、図３０に示す通り、詳細逆解析法により推計した変位は測定した変位と比較して、径間長３５ｍの橋梁で上側振幅を若干大きく評価する傾向にあるが、列車通過時の平均的なたわみ量及び最小値はいずれの場合でも測定変位と良好に一致していることが確認された。また、簡易逆解析法に基づく変位は、径間長２５ｍで列車速度１３８．８ｋｍ／ｈのケースに測定変位と良く一致しているが、他の場合では明らかな誤差があることが確認された。一方で、各橋梁で簡易逆解析法により推計したパラメータの平均値を用いた場合、正解値である測定変位により近づき、精度が向上することが確認された。
【０２２３】
（最大変位の推計結果）
次に、最大変位の推計結果について説明する。
【０２２４】
表５は、変位応答の推計誤差を最大変位で整理した値を示している。
表５に示す通り、詳細逆解析法は最大変位を正解値に対して誤差−３％から−６％の範囲で推計できること確認された。一方、簡易逆解析法は正解値に対して−９％から＋２３％の比較的大きな誤差を有することが確認された。ただし、簡易逆解析法でも２ケースのパラメータ推計値の平均を用いることにより、正解値に対する誤差を−８％から＋５％に抑制できることが確認された。
【０２２５】
【表５】
2018031676.tif 000058
【０２２６】
図３１に詳細逆解析法、簡易逆解析法で計算した列車速度と最大変位の関係を示す。いずれの対象橋梁も簡易逆解析法、詳細逆解析法でほぼ同様の速度にピークが確認された。また、いずれの橋梁でも簡易逆解析法によるパラメータ推計値の平均を用いることで、測定速度以外でも詳細逆解析法の推計値に近づくことが確認された。
【０２２７】
ここで、詳細逆解析法では不確実性を定量化しているため、９０％信頼区間の上限を安全側の評価として用いることもできる。例えば径間長３５ｍの橋梁を対象に３００ｋｍ／ｈまでの速度向上を考えた場合、最大変位は１４５ｋｍ／ｈ走行時に期待値で約１．３ｍｍ、安全側である９０％信頼区間上限で約１．４ｍｍと予測できる。
【０２２８】
（推定変位の評価）
次に、推定変位の評価について説明する。
【０２２９】
逆解析で推計した理論モデルにより、現在の状態を反映した常時の走行安全性、乗り心地から定まるたわみに対する照査を行った。既設構造物の維持管理に関し、鉄道構造物等維持管理標準・同解説（以下、維持管理標準）では、式（５２）による性能照査を規定している。
【０２３０】
【数５２】
2018031676.tif 000059
【０２３１】
ここで、Ｋｍは維持管理指標Ｊのための係数、γｉは構造物係数、ＩＲｍ及びＩＬｍはそれぞれ維持管理用応答値と維持管理用限界値である。
【０２３２】
走行安全性及び乗り心地の照査に関し、鉄道構造物等設計標準・同解説（変位制限）では、Ｋｍ＝１、γｉ＝１とある。調査時点での応答値及び限界値算出は、より実状に近い値の適用が求められ、前述のように推計した理論解析モデルがこれに該当する。
【０２３３】
したがって、本実施形態の鉄道橋の構造性能調査方法により得られた理論解析モデルと以下に示す応答値算定用の列車荷重を用いることで、維持管理標準に基づくシームレスな照査が可能になる。
【０２３４】
ここでは、当該路線の運用状況から最高速度１４０ｋｍ／ｈ、６両編成の特急車両（車両長２１．３ｍ）を想定した。走行車両の条件として、乗り心地については定員乗車の単線載荷、走行安全性については３５０％乗車の複線載荷とした・理論解析モデルでは車両動揺を考慮できないため、式（５３）の設計衝撃係数に基づき、衝撃係数を割り増しした。
【０２３５】
【数５３】
2018031676.tif 000060
【０２３６】
ここで、ｉｃは車両動揺の衝撃係数であり、対象橋梁では既往の文献に従いそれぞれ０．１１（２５ｍ）及び０．１０（３５ｍ）とした。また、複線載荷時の衝撃係数に対する低減係数βｉは、０．８７５（２５ｍ）及び０．８２５（３５ｍ）とした。速度効果の衝撃係数ｉαは移動荷重を上述のように定めた理論解析により算出した。
【０２３７】
表６は、常時の走行安全性及び乗り心地の限界値、応答値、維持管理指標をまとめて示している。応答値は詳細逆解析法における期待値、９０％上限値及び簡易逆解析法における平均値を用いて計算した。
【０２３８】
【表６】
2018031676.tif 000061
【０２３９】
本実施形態の鉄道橋の構造性能調査方法により加速度に基づき変位を推計することで、対象とした２橋の応答値は限界値よりも十分に小さく、走行安全性及び乗り心地から定まるたわみ制限を満たすことが定量的に検証できる。また、当該橋梁では簡易逆解析法の平均値を用いることで、詳細逆解析法とほぼ同じ精度で走行安全性及び乗り心地に対する維持管理指標Ｊを評価可能であることが確認された。
【０２４０】
上記のように、本実施形態では、列車走行時の加速度に基づき変位応答と衝撃係数を推計するため、理論解析モデルを定式化し、ＭＣＭＣ法に基づく詳細逆解析法及びＦＦＴ法とＨＰ法に基づく簡易逆解析法を説明するとともに、数値解析及び実測に基づく検証を行った。そして、以下のような知見、作用効果を得ることができた。
【０２４１】
（１）有限要素法に基づく移動荷重解析と同精度で変位や衝撃係数を評価可能な列車走行時の理論解析モデルを定式化し、ＭＣＭＣ法による詳細逆解析法と既存同定法を援用した簡易逆解析法を考え出した。
【０２４２】
（２）この手法は適用が単純桁に限られるが、詳細逆解析法で既存逆解析手法の約１／２５０、簡易逆解析法で詳細逆解析法の約１／２００の時間で計算可能である。
【０２４３】
（３）双子実験に基づく詳細逆解析法のパラメータ推計誤差は−２％から＋１％と、既存の同定手法と比較し高精度で推定を行うことが可能である。また、列車通過後波形に対してＦＦＴ法及びＨＰ法が比較的精度良く固有振動数及びモード減衰比を同定することが可能になる。 
【０２４４】
（４）数値解析により、列車速度、ノイズ、車両との相互作用および軌道変位が逆解析に及ぼす影響を検討した結果、車両との相互作用に対するモデル化誤差が最も大きく、固有振動数に対して−５％程度、モード減衰比に対して＋５０％から−６０％程度ばらつくが、変位推計ではいずれも大きな影響は見られず、精度良く推計できる。
【０２４５】
（５）２種類の実橋梁の加速度測定結果に対して簡易及び詳細逆解析法を行った結果、簡易逆解析法は詳細逆解析法と比較して特に固有振動数および単位長質量のばらつきが大きく、最大変位は詳細逆解析法で−３％から＋６％、簡易逆解析法で−９％から＋２３％であるが、複数回の測定結果の平均値を用いることにより、簡易逆解析法でも−８％から＋５％の精度で最大変位を推計できる。
【０２４６】
したがって、本実施形態の鉄道橋の構造性能調査方法においては、橋梁の状態の推定、走行安全性や快適性評価に必要な列車走行時の変位応答を橋梁の１点の加速度応答から精度よく取得することが可能になる。
【０２４７】
また、列車走行時の橋梁の実測加速度に基づく推計パラメータのうち、固有振動数は橋梁剛性と関連しているため、固有振動数を精度よく推定できることにより、構造性能を精度よく推定することができる。
【０２４８】
さらに、列車走行時の橋梁の実測加速度から他の列車速度での応答予測を行うことができる。
【０２４９】
また、推計パラメータの不確実性が定量化できるため、例えば９５％信頼区間下限値の採用など、推計精度に応じて変化するリスクを担保した評価が可能になる。
【０２５０】
さらに、推計精度に応じて変化する推計パラメータの不確実性に基づき、より精密な測定をする価値を推計精度の面から評価することも可能になる。
【０２５１】
また、維持管理基準値に対する余裕度を算出することで、維持管理の優先順位の決定、弱点構造物の抽出に活用することも可能になり得る。
【０２５２】
よって、本実施形態の鉄道橋の構造性能調査方法によれば、列車走行時の橋梁の加速度応答の観測データを用いて、橋梁の構造性能を好適に調査、評価することが可能になる。
【０２５３】
以上、本発明に係る本実施形態の鉄道橋の構造性能調査方法の一実施形態について説明したが、本発明は上記の一実施形態に限定されるものではなく、その趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更可能である。
【符号の説明】
【０２５４】
１  列車（車両）
２  橋梁
【図１】
2018031676.tif 000072
【図２】
2018031676.tif 000073
【図３】
2018031676.tif 000074
【図４】
2018031676.tif 000075
【図５】
2018031676.tif 000076
【図６】
2018031676.tif 000077
【図７】
2018031676.tif 000078
【図８】
2018031676.tif 000079
【図９】
2018031676.tif 000080
【図１０】
2018031676.tif 000081
【図１１】
2018031676.tif 000082
【図１２】
2018031676.tif 000083
【図１３】
2018031676.tif 000084
【図１４】
2018031676.tif 000085
【図１５】
2018031676.tif 000086
【図１６】
2018031676.tif 000087
【図１７】
2018031676.tif 000088
【図１８】
2018031676.tif 000089
【図１９】
2018031676.tif 000090
【図２０】
2018031676.tif 000091
【図２１】
2018031676.tif 000092
【図２２】
2018031676.tif 000093
【図２３】
2018031676.tif 000094
【図２４】
2018031676.tif 000095
【図２５】
2018031676.tif 000096
【図２６】
2018031676.tif 000097
【図２７】
2018031676.tif 000098
【図２８】
2018031676.tif 000099
【図２９】
2018031676.tif 000100
【図３０】
2018031676.tif 000101
【図３１】
2018031676.tif 000102