(57)【要約】【課題】パラメータの推定精度を向上させることができるバッテリのパラメータ推定装置を提供する。【解決手段】バッテリ４の等価回路モデルのパラメータを推定するバッテリ４のパラメータ推定装置１において、バッテリ４の充電率と開回路電圧との関係の少なくとも一部を、ロジスティック関数によって表されるモデルで近似し、前記ロジスティック関数のパラメータを推定する制御部１０を備える。【選択図】図１
2018048913.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
バッテリ等価回路モデルのパラメータを推定するバッテリのパラメータ推定装置において、
前記バッテリの充電率と開回路電圧との関係の少なくとも一部を、ロジスティック関数によって表されるモデルで近似し、
前記ロジスティック関数のパラメータを推定する
制御部を備える、パラメータ推定装置。
【請求項２】
請求項１に記載のバッテリのパラメータ推定装置において、
前記バッテリの充電率と開回路電圧との関係を示すグラフは、局所的な凸形状を少なくとも２つ有し、
前記ロジスティック関数のパラメータは、前記局所的な凸形状の変化に応じて変化する、バッテリのパラメータ推定装置。
【請求項３】
請求項２に記載のバッテリのパラメータ推定装置において、
前記局所的な凸形状は、前記バッテリの健全度に応じて変化する、バッテリのパラメータ推定装置。
【請求項４】
請求項１乃至３いずれか一項に記載のバッテリのパラメータ推定装置において、
前記ロジスティック関数は、式
【数１】
2018048913.tif 000010
で表される、バッテリのパラメータ推定装置。
【請求項５】
請求項１乃至３いずれか一項に記載のバッテリのパラメータ推定装置において、
前記バッテリの充電率をｚと表し、
前記バッテリの開回路電圧をＯＣＶと表し、
前記バッテリの充電率と開回路電圧との関係を、式
【数２】
2018048913.tif 000011
によって近似する、バッテリのパラメータ推定装置。
【請求項６】
バッテリ等価回路モデルのパラメータを推定するバッテリのパラメータ推定方法において、
前記バッテリの充電率と開回路電圧との関係の少なくとも一部を、ロジスティック関数によって表されるモデルで近似するステップと、
前記ロジスティック関数のパラメータを推定するステップと
を含むパラメータ推定方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、バッテリのパラメータ推定装置及びパラメータ推定方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
バッテリの内部状態又は等価回路モデルのパラメータを非線形カルマンフィルタによって推定する装置が知られている（例えば特許文献１、２及び非特許文献１等）。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特開２０１５−５２４８３号公報
【特許文献２】特開２０１４−７４６８２号公報
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】G. L. Plett: "Extended Kalman filtering for battery management systems of LiPB-based HEV battery packs Part 2. Modeling and identification", Journal of Power Sources 134 (2004) 262-276
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
バッテリのパラメータが推定される際、充電率と開回路電圧との間の関係が参照される。充電率と開回路電圧との間の関係は、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性ともいう。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、バッテリの経年劣化に応じて変化することがある。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性の変化は、バッテリのパラメータ推定の精度に影響を及ぼしうる。
【０００６】
かかる事情に鑑みてなされた本発明の目的は、バッテリのパラメータの推定精度を向上させることができるバッテリのパラメータ推定装置を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上記課題を解決するために、第１の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置は、
バッテリ等価回路モデルのパラメータを推定するバッテリのパラメータ推定装置において、
前記バッテリの充電率と開回路電圧との関係の少なくとも一部を、ロジスティック関数によって表されるモデルで近似し、
前記ロジスティック関数のパラメータを推定する制御部を備える。
【０００８】
上記課題を解決するために、第２の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置は、
第１の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置において、
前記バッテリの充電率と開回路電圧との関係を示すグラフは、局所的な凸形状を少なくとも２つ有し、
前記ロジスティック関数のパラメータは、前記局所的な凸形状の変化に応じて変化する。
【０００９】
上記課題を解決するために、第３の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置は、
第２の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置において、
前記局所的な凸形状は、前記バッテリの健全度に応じて変化する。
【００１０】
上記課題を解決するために、第４の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置は、
第１乃至第３いずれか一つの観点に係るバッテリのパラメータ推定装置において、
前記ロジスティック関数は、式
【数１】
2018048913.tif 000003
で表される。
【００１１】
上記課題を解決するために、第５の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置は、
第１乃至第３いずれか一つの観点に係るバッテリのパラメータ推定装置において、
前記バッテリの充電率をｚと表し、
前記バッテリの開回路電圧をＯＣＶと表し、
前記バッテリの充電率と開回路電圧との関係を、式
【数２】
2018048913.tif 000004
によって近似する。
【００１２】
上記課題を解決するために、第６の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置は、
バッテリ等価回路モデルのパラメータを推定するバッテリのパラメータ推定方法において、
前記バッテリの充電率と開回路電圧との関係の少なくとも一部を、ロジスティック関数によって表されるモデルで近似するステップと、
前記ロジスティック関数のパラメータを推定するステップと
を含む。
【発明の効果】
【００１３】
第１の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置によれば、バッテリのパラメータの推定精度が向上されうる。
【００１４】
第２の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置によれば、バッテリの経年劣化がパラメータ推定に反映されうる。
【００１５】
第３の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置によれば、バッテリの経年劣化がパラメータ推定に反映されうる。
【００１６】
第４の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置によれば、バッテリの経年劣化を表すモデルがより簡易なものにされうる。
【００１７】
第５の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置によれば、バッテリの経年劣化がパラメータ推定に反映されうる。
【００１８】
第６の観点に係るバッテリのパラメータ推定装置によれば、バッテリのパラメータの推定精度が向上されうる。
【図面の簡単な説明】
【００１９】
【図１】パラメータ推定装置の概略構成例を示す機能ブロック図である。
【図２】ｎ次のＲＣ梯子回路である（（Ａ）フォスタ型（Ｂ）カウエル型）。
【図３】バッテリの充電率と開回路電圧との関係の一例を示すグラフである。
【図４】ロジスティック関数の特性を表すグラフである。
【図５】バッテリの充電率とロジスティック関数のパラメータとの関係の一例を示すグラフである。
【図６】パラメータ推定方法の一例を示すフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【００２０】
以下、本開示の一実施形態に係るバッテリのパラメータ推定装置について、図面を参照しながら詳細に説明する。本実施形態に係るバッテリのパラメータ推定装置は、電気自動車やハイブリッド電気自動車などの車両に用いられうる。このような車両には、車両を駆動する電気モータ、バッテリ、これらのコントローラなどが搭載される。バッテリは、放電して電気モータへ電力を供給したり、制動時に電気モータから回生充電したり、地上充電設備から充電したりする。バッテリに充放電電流が流れることによって、バッテリの内部状態は変化する。バッテリのパラメータ推定装置は、バッテリの内部状態を推定しながらモニタし、バッテリの残量など必要な情報を収集しうる。
【００２１】
［機能ブロック］
図１に示されるように、パラメータ推定装置１は、制御部１０と、記憶部２０とを備える。パラメータ推定装置１は、電流センサ２及び電圧センサ３を介してバッテリ４に接続される。パラメータ推定装置１は、電源装置５に接続され、電源装置５からバッテリ４に対して充放電電流を入力しうる。
【００２２】
電流センサ２は、バッテリ４に対する充放電電流を検出して、検出した充放電電流をパラメータ推定装置１に対して出力する。電圧センサ３は、バッテリ４の端子電圧を検出して、検出した端子電圧をパラメータ推定装置１に対して出力する。
【００２３】
バッテリ４は、例えば二次電池である。二次電池は、リチャージャブル・バッテリともいう。バッテリ４は、本実施の形態においてリチウム・イオン・バッテリであるものとして説明するが、他の種類のバッテリであってもよい。
【００２４】
制御部１０は、パラメータ推定装置１の各構成部を制御する。制御部１０は、例えばプロセッサ又はマイクロコンピュータ等で構成される。記憶部２０は、例えば半導体メモリ又は磁気記憶装置等で構成されてよい。制御部１０は、パラメータ推定装置１で取り扱われるデータ又は情報等を記憶部２０に格納してよい。
【００２５】
バッテリ４の内部状態は、等価回路で近似されうる。バッテリ４の内部状態を近似した等価回路は、バッテリ等価回路モデルともいう。バッテリ等価回路モデルは、パラメータとして、バッテリ４の開回路電圧、並びに、バッテリ４の内部抵抗及び容量を有する。開回路電圧は、ＯＣＶ（Ｏｐｅｎ  Ｃｉｒｃｕｉｔ  Ｖｏｌｔａｇｅ）ともいう。バッテリ４のＯＣＶは、バッテリ４に充放電電流が流れない場合のバッテリ４の端子電圧に相当する。バッテリ４の内部抵抗及び容量は、例えば図２（Ａ）に示されるような、抵抗（Ｒ1〜Ｒn）とコンデンサ（Ｃ1〜Ｃn）との並列回路が直列にｎ個接続されたｎ次フォスタ型回路として表されてよい。バッテリ４の内部抵抗及び容量は、例えば図２（Ｂ）に示されるような、並列に接続されたｎ個の抵抗（Ｒ1〜Ｒn）のそれぞれが、直列に接続されたｎ個のコンデンサ（Ｃ1〜Ｃn）の間に接続されたｎ次カウエル型回路として表されてよい。
【００２６】
制御部１０は、バッテリ等価回路モデルのパラメータを推定することによって、バッテリ４の内部状態を推定する。バッテリ等価回路モデルのパラメータは、制御部１０で保持されてよいし、記憶部２０に格納されてよい。
【００２７】
バッテリ４の充電率は、バッテリ４の充電容量に対する充電量の比である。充電率は、ＳＯＣ（Ｓｔａｔｅ  Ｏｆ  Ｃｈａｒｇｅ）ともいう。制御部１０は、バッテリ４のＯＣＶとＳＯＣとの関係と、推定したＯＣＶとに基づいて、バッテリ４のＳＯＣを推定しうる。パラメータ推定装置１で算出されるＳＯＣは、バッテリ４のバッテリ・マネジメントに利用されうる。バッテリ４のＯＣＶとＳＯＣとの関係は、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性ともいう。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、予め実験等によって求められうる。
【００２８】
制御部１０は、電流センサ２からバッテリ４の充放電電流値（ｉ）を取得する。制御部１０は、充放電電流値（ｉ）を逐次積算していくことでバッテリ４に出入りする電荷量を算出しうる。制御部１０は、充放電電流値（ｉ）から算出した電荷量を、逐次積算演算を開始する前にバッテリ４に充電されている電荷量から減算することで、バッテリ４に現在充電されている電荷量を算出する。逐次積算演算を開始する前にバッテリ４に充電されている電荷量は、残存電荷量ともいう。バッテリ４に現在充電されている電荷量は、現存電荷量ともいう。
【００２９】
制御部１０は、バッテリ４の健全度を算出しうる。健全度は、ＳＯＨ（Ｓｔａｔｅ  Ｏｆ  Ｈｅａｌｔｈ）ともいう。ＳＯＨは、バッテリ４の現在の満充電容量が、バッテリ４の新品時の満充電容量に対して何％であるかを示す。満充電容量は、ＦＣＣ（Ｆｕｌｌ  Ｃｈａｒｇｅ  Ｃａｐａｃｉｔｙ）ともいう。バッテリ４の新品時のＦＣＣは、既知の値である。バッテリ４の新品時のＦＣＣは、制御部１０で保持されてよいし、記憶部２０に格納されてよい。制御部１０は、バッテリ４のＳＯＣと現存電荷量とに基づいて、バッテリ４の現在のＦＣＣを算出しうる。制御部１０は、バッテリ４の新品時のＦＣＣとバッテリ４の現在のＦＣＣとに基づいて、バッテリ４のＳＯＨを算出しうる。
【００３０】
制御部１０は、バッテリ４のＳＯＣと、バッテリ４の現存電荷量と、バッテリ４のＯＣＶとの関係に基づいて、バッテリ４のＳＯＨを算出してよい。制御部１０は、例えば、所定幅で区分けしたＳＯＨごとに現存電荷量とＯＣＶとの関係を表わす特性表に基づいて、ＳＯＨを算出してよい。
【００３１】
制御部１０は、例えば非線形カルマンフィルタによって、バッテリ等価回路モデルのパラメータを推定してよい。非線形カルマンフィルタは、例えば、拡張カルマンフィルタ又は無香料カルマンフィルタであってよい。拡張カルマンフィルタは、ＥＫＦ（Ｅｘｔｅｎｄｅｄ  Ｋａｌｍａｎ  Ｆｉｌｔｅｒ）ともいう。無香料カルマンフィルタは、ＵＫＦ（Ｕｎｓｃｅｎｔｅｄ  Ｋａｌｍａｎ  Ｆｉｌｔｅｒ）ともいう。
【００３２】
制御部１０は、バッテリ等価回路モデルのパラメータを推定する際、ＳＯＣとＯＣＶとの変換を行う。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、バッテリ４の経年劣化によってわずかに変化することがある。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性の変化は、ＳＯＣの推定値の誤差を大きくすることがある。
【００３３】
ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、バッテリ４の経年劣化によるＳＯＨの変化に応じて、例えば図３に示されるように変化する。図３の横軸及び縦軸はそれぞれ、バッテリ４のＳＯＣ及びＯＣＶを示す。実線は、ＳＯＨ＝１００％である場合のＳＯＣ−ＯＣＶ特性を示す。破線は、ＳＯＨ＝８９％である場合のＳＯＣ−ＯＣＶ特性を示す。ＳＯＨ＝１００％である場合、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性を示すグラフは、Ｐ及びＱで示される範囲に、局所的な凸形状を有する。局所的な凸形状は、瘤形状ともいう。ＳＯＨ＝８９％である場合、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性を示すグラフにおいて、局所的な凸形状が目立たなくなる傾向にある。言い換えれば、ＳＯＨの変化に応じて、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性を示すグラフが有する局所的な凸形状が変化する。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性に見られる局所的な凸形状がモデルに取り入れられることによって、バッテリ４の経年劣化に応じたＳＯＣ−ＯＣＶ特性の変化がパラメータ推定に反映されうる。
【００３４】
ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、ロジスティック関数を表す項を含む以下の式（１）によって近似されうる。
【数３】
2018048913.tif 000005
ｚは、ＳＯＣを表す変数であり、０〜１の範囲の値となりうる。ｚ＝０は、ＳＯＣが０％であることを示す。ｚ＝１は、ＳＯＣが１００％であることを示す。Ｋ0〜Ｋn+1は、実験によって予め取得される定数である。
【００３５】
式（１）の右辺第２項は、ロジスティック関数の一形態であるシグモイド関数の形式で表されている。Ｋnを係数として有する項も同様に、シグモイド関数の形式で表されている。シグモイド関数は、以下の式（２）で表される関数である。
【数４】
2018048913.tif 000006
【００３６】
シグモイド関数は、連続関数であって、単調増加し、変曲点が１つあるという性質を有する。シグモイド関数は、例えば図４のグラフＡ〜Ｃに示されるシグモイド曲線として描かれる。グラフＡは、実線で示される。グラフＢは、一点鎖線で示される。グラフＣは、破線で示される。図４の横軸及び縦軸はそれぞれ、式（２）のｚ及びｆ（ｚ）を示す。図４のグラフは、Ｋ＞０、α＜０であることを前提として描かれている。式（２）のβは、シグモイド曲線の変曲点の位置に対応する。式（２）のＫは、シグモイド曲線の縦軸の幅に対応する。シグモイド曲線は、（ｚ，ｆ（ｚ））＝（β，Ｋ／２）の点を中心とした点対称である。
【００３７】
図４のグラフＡ〜Ｃはそれぞれ、αを異なる値として描かれている。グラフＡに対応するαは、グラフＢ、Ｃに対応するαよりも小さい値である。言い換えれば、グラフＡに対応するαの絶対値は、グラフＢ、Ｃに対応するαの絶対値よりも大きい。ｚ＝βにおけるグラフＡ〜Ｃの傾きは、−Ｋα／４である。Ｋ＞０、α＜０である場合、−Ｋα／４＞０である。ｚ＝βにおけるグラフＡの傾きは、グラフＢ、Ｃの傾きよりも大きい。
【００３８】
ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、シグモイド関数の項を含む式（１）によって近似されることによって、局所的な凸形状を取り入れたモデルとして表されうる。この近似によって、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性における局所的な凸形状の大きさの変化は、αの絶対値の大きさの変化として表されうる。
【００３９】
ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、式（１）においてｎ＝４、β3＝１、β4＝０として簡易化した、以下の式（３）によって近似されうる。
【数５】
2018048913.tif 000007
【００４０】
制御部１０は、式（３）の右辺の各項に含まれるパラメータを推定する。制御部１０は、式（３）の右辺の各項に含まれるパラメータの少なくとも一部を推定対象としてよい。
【００４１】
式（３）の右辺第１項は、基準電位に対応する項である。式（３）の右辺第６項は、バッテリ４のプラトー領域の傾きに対応する項である。
【００４２】
式（３）の右辺第２項及び第３項は、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性が有する２つの局所的な凸形状に対応する項である。α1及びα2の変化は、２つの局所的な凸形状それぞれの変化に対応する。制御部１０は、少なくともα1及びα2を推定することによって、局所的な凸形状の変化をパラメータ推定に反映させることができる。
【００４３】
式（３）の右辺第４項は、ＳＯＣが１００％に近い値である場合のＳＯＣ−ＯＣＶ特性に対応する項である。式（３）の右辺第５項は、ＳＯＣが０％に近い値である場合のＳＯＣ−ＯＣＶ特性に対応する項である。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、ＳＯＣが０％又は１００％に近い値である場合に大きく変化することがある。式（３）の右辺第４項及び第５項によって、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、より正確に表されうる。
【００４４】
ＳＯＣ−ＯＣＶ特性が式（３）によって近似されたモデルにおいて、バッテリ４のパラメータ推定が行われる場合、例えば図５に示されるような、ＳＯＨとα1との関係が得られる。図５の横軸及び縦軸はそれぞれ、ＳＯＨ及びα1を示す。ＳＯＨが低くなるほど、α1の絶対値が小さくなっている。図５に示される関係に基づいて、α1は、ＳＯＨの関数として表されうる。α1は、ＳＯＨが小さくなるほど、絶対値が小さくなるような関数として表されてよい。α2〜α4についても、α1と同様に、ＳＯＨの関数として表されうる。
【００４５】
α1〜α4は、バッテリ４のＳＯＨとの関係に基づいて、バッテリ４の経年劣化に応じたパラメータとなりうる。制御部１０は、バッテリ４の経年劣化に応じたパラメータをバッテリ等価回路モデルのパラメータとあわせて推定することによって、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性の変化をパラメータ推定に反映させることができる。このようにすることで、パラメータ推定の精度がより高められうる。
【００４６】
式（３）は、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性が２つの局所的な凸形状を有するものと仮定した近似によって得られた式である。式（３）は、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性を近似する式の一例である。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、式（３）に限られず、他の形式の式で近似されてよい。例えば、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、３つ以上の局所的な凸形状を有するモデルとして仮定されてよい。この場合、式（３）の右辺第２項及び第３項に相当する項の数は、局所的な凸形状の数に応じて増やされてよい。
【００４７】
＜比較例＞
ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、テーブル形式で表されてよい（例えば特許文献１、２参照）。この場合、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性の変化がパラメータ推定に反映されるために、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、バッテリ４の経年劣化の各段階に応じたテーブルで表される必要がある。この結果、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性のテーブルに係るデータ量は、大きくなる。バッテリ４の経年劣化の各段階におけるＳＯＣ−ＯＣＶ特性のテーブルを取得するための実験には時間がかかる。
【００４８】
ＳＯＣ−ＯＣＶ特性は、次の式（４）に示されるネルンストの式で近似されてよい（例えば非特許文献１参照）。
【数６】
2018048913.tif 000008
ｚは、式（１）と同様に、ＳＯＣを表す変数である。Ｋ0〜Ｋ4は、実験によって予め取得される定数である。
【００４９】
ＳＯＣ−ＯＣＶ特性が式（４）で近似される場合、テーブル形式で表される場合と比較して、データ量が小さくなりうる。一方で、式（４）には、バッテリ４の経年劣化に対応するパラメータが含まれない。式（４）によってバッテリ４の経年劣化に対応したパラメータ推定をするためには、バッテリ４の経年劣化の各段階に応じたＫ0〜Ｋ4が設定される必要がある。バッテリ４の経年劣化の各段階に応じたＫ0〜Ｋ4は、実験によって取得される必要がある。結果として、バッテリ４の経年劣化の各段階における定数を取得するための実験に時間がかかる。
【００５０】
対して、本実施形態に係るパラメータ推定装置１は、バッテリ４の経年劣化に応じたパラメータを推定する。このようにすることで、バッテリ４の経年劣化の各段階に応じたＳＯＣ−ＯＣＶ特性のテーブル又は式（４）に含まれる定数が予め取得されなくてよい。テーブルに係るデータ又は式（４）に含まれる定数の取得のための実験にかかる時間が不要となる。
【００５１】
バッテリ４の経年劣化の各段階に応じて取得されるテーブル又は定数は、バッテリ４の経年劣化を離散的に表す。実験にかかる時間又はデータ量を考慮して、経年劣化を表すサンプリング周期は短くされにくい。対して、本実施形態に係るパラメータ推定装置１は、バッテリ４の経年劣化に応じたパラメータを逐次推定する。このようにすることで、バッテリ４の経年劣化を表すサンプリング周期が短くされうる。バッテリ４のパラメータの推定精度が向上されうる。
【００５２】
［パラメータ推定方法］
本実施形態に係るパラメータ推定装置１は、図６に示されるパラメータ推定方法によって、バッテリ４のパラメータを推定してよい。
【００５３】
制御部１０は、バッテリ４のＳＯＣ−ＯＣＶ特性を近似する（ステップＳ１）。制御部１０は、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性の近似式又は近似式のパラメータを取得してよい。制御部１０は、予め記憶部２０に格納されたＳＯＣ−ＯＣＶ特性の近似式又は近似式のパラメータを取得してよい。制御部１０は、外部装置からＳＯＣ−ＯＣＶ特性の近似式又は近似式のパラメータを取得してよい。
【００５４】
制御部１０は、バッテリ４のパラメータを推定する（ステップＳ２）。制御部１０は、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性の近似式のパラメータを、バッテリ等価回路モデルのパラメータとあわせて推定することによって、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性の変化をパラメータ推定に反映させうる。ＳＯＣは、より高い精度で推定されうる。
【００５５】
［局所的な凸形状と二次の導関数との関係］
式（２）で表されるシグモイド関数の二次の導関数は、式（５）のように表される。
【数７】
2018048913.tif 000009
【００５６】
ｆ’’（ｚ）が正の値となるか負の値となるかは、［ｅｘｐ｛α（ｚ−β）｝−１］の項が正の値となるか負の値となるかによって決定される。α＜０であることから、ｆ’’（ｚ）は、ｚ＜βの場合に正の値となり、ｚ＞βの場合に負の値となる。ｆ’’（ｚ）が正の値となるか負の値となるかは、ｆ（ｚ）を表すグラフが下に凸の形状となるか上に凸の形状となるかを決定する。例えば、ｙ＝ｇ（ｘ）で表される関数をグラフで表す場合、ｇ’’（ｘ）が負の値となるｘの区間において、グラフは、上に凸の形状となる。
【００５７】
ＳＯＣ−ＯＣＶ特性を示すグラフの局所的な凸形状は、当該グラフが上に凸の形状となっている区間に対応する。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性が式（３）によって近似される場合、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性の局所的な凸形状は、シグモイド関数の二次の導関数が負の値となる区間に対応しうる。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性が局所的な凸形状を少なくとも２つ有する場合、式（３）の二次の導関数は、負の値となる区間を少なくとも２つ有しうる。
【００５８】
所定の関数のグラフが上に凸の形状を含む場合、上に凸の形状となる区間の両端は、グラフの変曲点に対応しうる。グラフの変曲点は、所定の関数の二次の導関数の値が０となる点に対応する。ＳＯＣ−ＯＣＶ特性が局所的な凸形状を少なくとも２つ有する場合、式（３）の二次の導関数の値が０となる点は、少なくとも３つ存在しうる。
【００５９】
本発明を諸図面および実施例に基づき説明してきたが、当業者であれば本開示に基づき種々の変形または修正をおこなうことが容易であることに注意されたい。従って、これらの変形または修正は本発明の範囲に含まれることに留意されたい。例えば、各構成部、各ステップなどに含まれる機能などは論理的に矛盾しないように再配置可能であり、複数の構成部およびステップなどを１つに組み合わせたり、或いは分割したりすることが可能である。
【符号の説明】
【００６０】
１  パラメータ推定装置
２  電流センサ
３  電圧センサ
４  バッテリ
５  電源装置
１０  制御部
２０  記憶部
【図１】
2018048913.tif 000012
【図２】
2018048913.tif 000013
【図３】
2018048913.tif 000014
【図４】
2018048913.tif 000015
【図５】
2018048913.tif 000016
【図６】
2018048913.tif 000017