(57)【要約】  ｎ次元空間におけるｍ次の形状を生成するための方法および装置を開示する。形状を生成するためにフレームワークを使用する。該フレームワークは、生成する形状の複雑さによって、定義された個数の区分、線、および制御点を含む。次いで、制御点に関連するデータを少なくとも使用してｍ次の形状の代数係数を提供するために、反復的解プロセスを使用する。
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
形状を定義する複数の点を使用してｎ次元空間内のｍ次の形状を定義する方程式の代数係数を使用してｍ次の形状を生成するための方法において、
上記複数の点のうちの少なくとも１つの点を各々含む少なくとも１つの線を各々含む２つ以上の幾何学的サーフェスを含むフレームワークを設けるステップと、
上記ｍ次の形状を定義する方程式を使用して、少なくとも３つの点に依存する解方程式を提供するステップと、
上記複数の点の各々について、上記複数の点の各々および上記２つ以上の幾何学的サーフェスの１つに位置する２つの点であって上記複数の点の各々が存在する上記フレームワークの線を定義する２つの選択された点に対し、上記解方程式を適用することによって、対応する方程式を生成するステップと、
上記生成された対応する方程式を反復的な手法で解いてｍ次の形状の代数係数を提供するステップであって、上記反復的手法が、上記複数の点の各々を特定の順序で使用して上記生成された方程式を処理することから構成され、上記特定の順序が、最高個数の線があるフレームワークの少なくとも１つの幾何学的サーフェスに位置する線であって最高個数の点を持つ線上に位置する点に対応する上記生成された対応する方程式を選択することから構成されて成るステップと、
上記ｍ次の形状の上記提供された代数係数を使用して上記ｍ次の形状を生成するステップと、
を含むｍ次形状形成方法。
【請求項２】
１つの点は極点または非極点とすることができ、上記解方程式は上記ｍ次の形状を定義する方程式および極性関係を使用して生成され、上記解方程式が４つの点に依存し、上記４つの点のうちの２つは極点およびその関連非極点であり、上記４つの点のうちの残りの２つの点は、上記極点およびその関連極点がある上記フレームワークの線を定義する、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
上記２つ以上の幾何学的サーフェスが平面である、請求項１に記載の方法。
【請求項４】
上記ｎ次元空間が射影空間である、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
上記幾何学的空間が（ｎ＋１）次元のユークリッド空間である、請求項１に記載の方法。
【請求項６】
上記ｍ次の形状の上記代数係数を識別子と共に格納するステップをさらに含む、請求項１に記載の方法。
【請求項７】
上記射影空間が四次元空間であり、それにより上記形状が三次元の幾何学的空間にある、請求項４に記載の方法。
【請求項８】
上記ｍ次の形状の上記提供された代数係数を使用して上記ｍ次の形状を生成することが、レイトレーシング技術を使用して実行される、請求項１に記載の方法。
【請求項９】
形状を定義する複数の点を使用してｎ次元空間内のｍ次の形状を定義する方程式の代数係数を使用してｍ次の形状を生成するための装置であって、
上記複数の点のうちの少なくとも１つの点を各々含む少なくとも１つの線を各々含む２つ以上の幾何学的サーフェスを含むオブジェクトメモリと、
上記複数の点の各々、およびｍ次の形状を定義する方程式を使用して定義されかつ少なくとも３つの点に依存する解方程式を受け取る制御点から代数的係数への変換装置であって、上記制御点から代数係数への変換装置が、上記複数の点の各々および上記２つ以上の幾何学的サーフェスの１つに位置する２つの点であって上記複数の点の各々が存在する上記フレームワークの線を定義する２つの選択された点に対し、上記解方程式を適用することによって対応する方程式を生成し、かつ上記生成された対応する方程式を反復的な手法で解いて上記ｍ次の形状の代数係数を提供し、上記反復的手法が、上記複数の点の各々を特定の順序で使用して上記生成された方程式を処理することから構成され、上記特定の順序が、最高個数の線がある上記フレームワークの少なくとも１つの幾何学的サーフェスに位置する線であって最高個数の点を持つ線上に位置する点に対応する上記生成された対応する方程式を選択することから構成されて成る、上記制御点から代数係数への変換装置と、
上記ｍ次の形状の上記提供された代数係数を受け取り、かつ上記ｍ次の形状を生成する出力装置と、
を備えたｍ次形状形成装置。
【請求項１０】
上記出力装置がレイトレーサ装置を含み、上記レイトレーサ装置がさらに視点信号を受け取る、請求項９に記載の装置。
【請求項１１】
形状を定義する複数の点を使用してｎ次元空間内のｍ次の形状を定義する方程式の代数係数を使用してｍ次の形状の変形を監視するための方法であって、
上記複数の点のうちの少なくとも１つの点を各々含む少なくとも１つの線を各々含む２つ以上の幾何学的サーフェスを含むフレームワークを、計画された形状の変更に従って設けるステップと、
上記計画された形状の変更に従って、上記設けられたフレームワークの少なくとも一部分を変更するステップと、
上記ｍ次の形状を定義する方程式を使用して、少なくとも３つの点に依存する解方程式を提供するステップと、
上記複数の点の各々について、上記複数の点の各々、および上記２つ以上の幾何学的サーフェスの１つに位置する２つの点であって上記複数の点の各々が存在するフレームワークの線を定義する２つの選択された点に対し、上記解方程式を適用することによって対応する方程式を生成するステップと、
上記生成された対応する方程式を反復的な手法で解いて上記ｍ次の変更された形状の代数係数を提供するステップであって、上記反復的手法が、上記複数の点の各々を特定の順序で使用して上記生成された方程式を処理することから構成され、上記特定の順序が、最高個数の線がある上記フレームワークの少なくとも１つの幾何学的サーフェスに位置する線であって最高個数の点を持つ線上に位置する点に対応する上記生成された対応する方程式を選択することから構成されて成るステップと、
上記変更された形状の代数係数を出力するステップと、
を含むｍ次形状変形監視方法。
【請求項１２】
上記変更されたｍ次の形状の出力された代数係数を使用して、上記変更されたｍ次の形状を生成するステップをさらに含む、請求項１１に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、コンピュータグラフィックスに関し、より正確には、形状モデリングの分野に関する。
【背景技術】
【０００２】
空間における物体の表現は新しい技術ではない。多くの世紀にわたって、人々は建築からアートまで様々な目的のために、空間における形状またはシェイプを表現しようとしてきた。大半の現代のコンピュータグラフィックスシステムは形状の非常に単純な表現すなわちポリゴンを使用し、それらを複数組み合せて複雑な３Ｄ形状を構成する。ポリゴンは、表示出力の生成に指定しかつ使用することが数学的に非常に簡単である。
【０００３】
形状は、二通りの方法でサーフェスによって表現することができる。
【０００４】
形状を表現する第一の方法は、パラメトリックサーフェスを使用することによる。パラメトリックサーフェスは、例えばベジエ曲線、スプライン、ノンユニフォームレイショナルＢスプライン（ＮＵＲＢＳ）等を含む。形状を表現するこの第一の方法は、コンピュータによって幅広く使用されており、実際、パラメトリックサーフェスは形状の基本ポリゴン構造にリンクされている。しかし、これらのサーフェスが近似であることは理解されるであろう。そのような限界を克服するために、多数のパラメトリックサーフェスを組み合せてより複雑な形状を表現することが可能である。
【０００５】
当業者は、そのような方法が資源集約的であることを理解されるであろう。そのような簡素化された「プリミティブ」を使用して複雑なオブジェクトの表現を組み立てるには、オブジェクトの大量の指定が必要であり、かつ、形状を形成して表示するためにかなりのデータ処理および管理が必要である。また、そのような方法はしばしば形状の近似を提供するだけであることも理解されるであろう。そのような形状を拡大した場合、プリミティブ間の境界がしばしば目立つ。
【０００６】
形状を表現する第二の方法は、インプリシットサーフェスを使用することによる。インプリシットサーフェスは、Morgan Kaufmann Publishers, Inc.によって出版されたChandrajit Bajajらによる「Introduction to Implicit surfaces」（非特許文献１）に説明されている通り、代数形式または幾何形式のどちらでもよく、同書の記述を参照によってここに含める。
【０００７】
例えば、原点を中心とする球は代数形式では、その代数方程式x^2+y^2+z^2=r^2、およびその半径「ｒ」の値を設定することによって決定される球のサイズを使用して、定義することができる。その中心を座標（ａ，ｂ，ｃ）に持つ球の代数方程式は、(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^２である。球は幾何形式では幾何学的性質を使用して定義される。この特定の例では、半径および中心を使用して、サーフェスが一意に定義される。形状の実質的な部分が代数式によって表現される場合、形状が大きく拡大して表示されるときに、細部は失われない。球の場合、形状は４つの値すなわちａ、ｂ、ｃ、ｒによって表現されるが、ベジエプリミティブに基づくパラメトリック表現は、形状を定義するためにずっと多数の構成要素を必要とすることも、理解されるであろう。
【０００８】
一般に複雑な形状を表現するために使用される高次のサーフェスの方程式を提供するのは実際には非常に難しいことを、当業者は気付かれるであろう。球については一般方程式を使用することができるが、中心および半径のようなその幾何学的性質によって定義される形状に対し、代数式を提供することのできる一般システムを提供することは難問である。多くの場合、幾何学的性質によって定義される形状に対応する代数式の導出は、計算的に複雑でありかつ時間がかかるだけでなく、予測不可能かつ不安定でもある。すなわちアルゴリズムは非可解方程式を導く。より単純な代数形式の組合せを使用して、形状を表現するシェイプを作製することができるが、そのような方法は非常に資源集約的でもあるので、効率的ではないことが理解されであろう。結果として、形状を表現するシェイプに関連するデータの転送は大きい帯域幅を必要とする。また、代数形式を使用した場合、そのシェイプの概念を持つことが通常できないことも理解されるであろう。
【０００９】
出願人ジャン・フランソワ・ロジェは、彼の論文「L'Arithmetique des Formes:Une introduction a la logique de l'espace」（非特許文献２）の第５章で、二次３Ｄサーフェスを幾何学的性質によっていかに定義するかを実証した。論文で実証された方法はコンピュータグラフィックスの業界では一般的に知られたり適用されておらず、より高次に敷衍することができない数学に基づいている。球、楕円、双曲面、および類似物のような二次の形状は、より高次の形状に比べて、相対的に単純である。そのような二次サーフェスを組み合せることによって、複雑な形状を表現するためのシェイプを生成することが可能である。残念ながら、該方法は二次に制限されるので、複雑なオブジェクトをモデル化するための価値は限られる。
【００１０】
【非特許文献１】「Introduction to Implicit surfaces」
【非特許文献２】「L'Arithmetique des Formes:Une introduction a la logique de l'espace」
【発明の開示】
【００１１】
上記に鑑みて、上記で明らかにした欠点を克服する方法および装置が求められている。
【００１２】
本発明の目的は、コンピュータグラフィックスシステムにおける改善された表示のために、ｎ次元空間における固定ｍ次形状の代数係数を決定するための方法および装置を提供することである。好ましくは、ｍは２より大きく、一般的にｎは３である。四次元形状の場合、第四の次元は好ましくは時間であり、したがって表示される形状は動画化することができる。
【００１３】
本発明の別の目的は、コンピュータグラフィックスシステムにおける複雑な形状の改善された表示のために、複雑な形状を生成するのに使用されるｎ次元空間における複数のｍ次形状の代数係数を決定するための方法および装置を提供することである。
【００１４】
本発明の別の目的は、コンピュータグラフィックスシステムにおける改善された表示のためにｎ次元空間における固定ｍ次形状の代数係数を決定するための方法および装置であって、整数演算を使用して動作する方法および装置を提供することである。
【００１５】
本発明のさらに別の目的は、ｍ次の形状を生成するためのフレームワークを提供することである。
【００１６】
本発明のさらに別の目的は、オペレータが対話により制御された仕方でシェイプを変更し、かつ変更されたシェイプを識別するデータを提供することを可能にするための方法および装置を提供することである。
【００１７】
本発明のさらに別の目的は、ユーザがｎ次元空間におけるｍ次の形状を柔軟に変更することを可能にする方法および装置を提供することである。
【００１８】
本発明の１つの幅広い態様では、所望の３Ｄ形状を幾何学的性質によって定義するためのインタフェースと、幾何学的性質を所望の形状を表現する２より大きい次数の代数式に変換するための手段と、代数式を使用して形状のグラフィックス出力を提供するための手段とを有し、上記変換のための手段が、全ての可能な幾何学的性質に対して安定している、コンピュータグラフィックスデザインシステムを提供する。本発明の別の幅広い態様では、幾何学的性質を定義する値に制約を課す基準シンプレックスを使用して幾何学的性質によって所望の３Ｄ形状を定義するためのユーザインタフェースと、幾何学的性質を所望の形状を表現する２より大きい次数の代数式に変換するための手段と、代数式を使用して形状のグラフィックス出力を提供するための手段と、所望の形状に対して基準シンプレックスを調整して、調整された基準シンプレックスを使用して形状をさらに定義することを容易にするための手段とを有するコンピュータグラフィックスデザインシステムを提供する。
【００１９】
本発明の態様では、形状を定義する複数の点を使用してｎ次元空間におけるｍ次の形状を定義する方程式の代数係数を使用してｍ次の形状を生成するための方法であって、複数の点のうちの少なくとも１つの点を各々含む少なくとも１つの線を各々含む２つ以上の幾何学的サーフェスを含むフレームワークを設けるステップと、ｍ次の形状を定義する方程式を使用して、少なくとも３つの点に依存する解方程式を提供するステップと、複数の点の各々について、上記複数の点の各々および上記２つ以上の幾何学的サーフェスの１つに位置する２つの点であって上記複数の点の各々が存在するフレームワークの線を定義する２つの選択された点に対し、上記解方程式を適用することによって対応する方程式を生成するステップと、上記生成された対応する方程式を反復的な手法で解いてｍ次の形状の代数係数を提供するステップであって、該反復的手法が、上記複数の点の各々を特定の順序で使用して上記生成された方程式を処理することから構成され、上記特定の順序が、最高個数の線があるフレームワークの少なくとも１つの幾何学的サーフェスに位置する線であって最高個数の点を持つ線上に位置する点に対応する上記生成された対応する方程式を選択することから構成されて成るステップと、ｍ次の形状の上記提供された代数係数を使用してｍ次の形状を生成するステップとを含む方法を提供する。
【００２０】
本発明の別の目的によると、形状を定義する複数の点を使用してｎ次元空間におけるｍ次の形状を定義する方程式の代数係数を使用してｍ次の形状を生成するための装置であって、複数の点のうちの少なくとも１つの点を各々含む少なくとも１つの線を各々含む２つ以上の幾何学的サーフェスと、上記複数の点の各々およびｍ次の形状を定義する方程式を使用して定義されかつ少なくとも３つの点に依存する解方程式を受け取る制御点から代数への変換装置であって、上記制御点から代数への変換装置が、上記複数の点の各々および上記２つ以上の幾何学的サーフェスの１つに位置する２つの点であって上記複数の点の各々が存在するフレームワークの線を定義する２つの選択された点に対し、上記解方程式を適用することによって対応する方程式を生成し、かつ上記生成された対応する方程式を反復的な手法で解いてｍ次の形状の代数係数を提供し、上記反復的手法が、上記複数の点の各々を特定の順序で使用して上記生成された方程式を処理することから構成され、上記特定の順序が、最高個数の線があるフレームワークの少なくとも１つの幾何学的サーフェスに位置する線であって最高個数の点を持つ線上に位置する点に対応する上記生成された対応する方程式を選択することから構成されて成る上記制御点から代数への変換装置と、ｍ次の形状の上記提供された代数係数を受け取りかつｍ次の形状を生成する出力装置とを備えた装置を提供する。
【００２１】
本発明の別の目的では、形状を定義する複数の点を使用してｎ次元空間におけるｍ次の形状を定義する方程式の代数係数を使用してｍ次の形状の変形を監視するための方法であって、複数の点のうちの少なくとも１つの点を各々含む少なくとも１つの線を各々含む２つ以上の幾何学的サーフェスを含むフレームワークを予定した形状の変更に従って設けるステップと、予定された形状の変更に従って上記設けられたフレームワークの少なくとも一部分を変更するステップと、ｍ次の形状を定義する方程式を使用して、少なくとも３つの点に依存する解方程式を提供するステップと、上記複数の点の各々について、上記複数の点の各々および上記２つ以上の幾何学的サーフェスの１つに位置する２つの点であって上記複数の点の各々が存在するフレームワークの線を定義する２つの選択された点に対し、上記解方程式を適用することによって対応する方程式を生成するステップと、上記生成された対応する方程式を反復的な手法で解いてｍ次の変更形状の代数係数を提供するステップであって、上記反復的手法が、上記複数の点の各々を特定の順序で使用して上記生成された方程式を処理することから構成され、上記特定の順序が、最高個数の線があるフレームワークの少なくとも１つの幾何学的サーフェスに位置する線であって最高個数の点を持つ線上に位置する点に対応する上記生成された対応する方程式を選択することから構成されて成るステップと、変更形状の台数的係数を出力するステップとを含む方法を提供する。
【００２２】
本発明のさらなる特徴および利点は、当業者には、添付の図面に関連して取り上げる本発明の以下の詳細な説明から明らかになるであろう。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２３】
〔射影幾何学の簡単な紹介〕
投射幾何学の原点は、PappusおよびGerard Desargueの研究に見出される。それはJ.V.Poncelet(1822年)の研究により学問の一分野となり、K.G.C.Von Staudt(1847年)によって公理に基づくようになった。数学者らは、代数法および解析法を回避して処理を純粋に幾何学的にする、純粋または総合手法を採用した。
【００２４】
ｎ次元におけるｍ次のサーフェスが
【数１】
2005514675.tif 000003
に等しい多数個ＮCの代数係数を持つことは、当業者にはよく知られている。
【００２５】
サーフェスを定義する幾何学的条件の個数ＮGは、
【数２】
2005514675.tif 000004
に等しい。
【００２６】
三次元におけるｍ次のサーフェスは、したがって
【数３】
2005514675.tif 000005
に等しい個数ＮCの代数係数を有する。二次曲面の場合、ｍ＝２、ＮC＝１０であり、四次曲面の場合、ｍ＝４、ＮG＝３５である。
【００２７】
必要な幾何学的条件の個数は、
【数４】
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に等しい。
【００２８】
したがって、三次元における二次曲面には９つの幾何学的条件が必要である。三次元における四次曲面には３４個の幾何学的条件が必要である。必要な幾何学的条件は、本発明の好ましい実施形態では、後述する通り、特定の方法で入力される。
【００２９】
今、図１ａを参照すると、ユークリッド幾何学のリファレンシャルにおける点Ｍが示されている。点Ｍは、例（２，１，１）では、リファレンシャルのそれぞれｘ，ｙおよびｚ座標である３つの座標によって特徴付けられる。今、図１ｂを参照すると、点Ｍがその基準シンプレックスと共に示されている。射影幾何では、三次元における基準シンプレックスは４つの点を含む。点Ｍはそのような基準シンプレックスで４つの座標を持つ。
【００３０】
射影空間における一点の座標は、ユークリッド空間から転送行列を使用して表現することができる。ユークリッド空間における一点の座標は、射影空間から逆転送行列を使用して表現することができる。二次元ユークリッド空間で、点Ｍがユークリッド空間の座標ｘおよびｙ(M(x,y)）を持つ場合、Ｍは射影平面に第三の座標を持つ。より一般的に、ｎ次元ユークリッド空間の一点は、（ｎ＋１）次元射影空間の一点として表現される。M(x,y,1)は射影平面における点Ｍの表現である。射影空間では、全体的スケーリングは重要ではなく、したがって (x,y,1)=(a・x,a・y,a・z)となる。しかし、ａ＝０は回避される。スケーリングは重要ではないので、(x,y,z)は点の同次座標と呼ばれる。射影空間で表現された点の表現をユークリッド空間に戻すように変換するためには、スケーリング因子による座標の除算が実行される。この時点で、射影平面がユークリッド空間より多くの点を含むことに注意することが重要である。例えば、射影空間の最後の座標が零にある点。これらの点は理想点または無限遠点と呼ばれる。全ての理想点は、理想線または無限遠直線と呼ばれる線上にある。二次元では、この線は（０，０，１）によって表わされる。
【００３１】
今、図２を参照すると、二次元空間の円錐曲線が示されている。円錐曲線は５つの幾何学的条件
【数５】
2005514675.tif 000007
を使用して定義される。
【００３２】
基準シンプレックスが最初に選択される。次いで、制御点として定義されるエンティティを使用して、幾何学的条件が入力される。当業者には理解される通り、幾何学的条件は他の型の情報を使用して入力することができる。点は通常、曲線と別の線との交点として定義され、線はこの場合は直線束である。
【００３３】
点の概念を延長するために、制御点は、本発明の好ましい実施形態では、非極点および極点に分けることができる。ラメの曲線のような曲線は従来の交点を使用して定義することができないことは、理解されるであろう。
【００３４】
今、図３を参照すると、二次元空間の円錐曲線の極点および関連非極点が示されている。
【００３５】
第一ステップでは、直線束上で非極点が選択される。第二ステップでは、この非極点がサーフェスに対する２つの接線の交点になる。第三ステップでは、２つの接線によって形成された２つの接点の交線が極線になる。該極点は、極線と直線束との交点と定義される。直線束がシェイプに接するときに、極点と非極点は併合されることを当業者は理解されるであろう。したがって、極点および非極点を使用することにより、交わりの概念全体が一般化される。したがって、本発明の好ましい実施形態では、虚点を使用しない。
【００３６】
極点および関連非極点は幾何学的条件を定義する。二次元における二次曲面の場合、５つの幾何学的条件が必要である。これらの５つの幾何学的条件を提供するために、１０個の制御点を使用することができる。１０個の制御点は５個の非極点およびそれらの５個の関連極点を含む。代替的に、５つの幾何学的条件の要件を満たすために、５つの交点を提供することができる。三次元における二次曲面の場合、幾何学的条件の数は
【数６】
2005514675.tif 000008
に等しい。
【００３７】
本発明の好ましい実施形態では、１８個の制御点が設けられ、そのうちの９個は非極点であり、残りの９個の点は、最初の９個の非極点の関連極点である。非極点および極点は、ユーザが関心のある位置に直線束を設定することを可能にすることは、理解されるであろう。上記の技術の利点が生かされるであろう。三次元における四次曲面の場合、幾何学的条件の数は
【数７】
2005514675.tif 000009
に等しい。
【００３８】
本発明の好ましい実施形態では、６８個の制御点が設けられ、そのうちの３４個は非極点であり、残りの３４個の点は、最初の３４個の非極点の関連極点である。
【００３９】
シェイプが次数ｎを持つ場合、極平面を定義するサーフェスはｎ−１次のシェイプであることを、当業者は理解されるであろう。
【００４０】
制御点によって提供される情報を使用してシェイプの代数係数を識別することができるようにするために、制御点によって提供される情報を分類することが重要である。
【００４１】
本発明の好ましい実施形態では、提供された幾何学的条件を使用して反復解プロセスを可能にするために、制御点を分類する区分を定義する。
【００４２】
この時点で、本発明の好ましい実施形態で、いかに多数の区分が決定されるかを理解することが重要である。幾何学的条件の数が区分の数を決定する。
【００４３】
今、パスカル三角形について言及すると、
【数８】
2005514675.tif 000010
であることが知られている。ここでｍはサーフェスの次数であり、ｎは空間の次元数である。
【００４４】
好ましくは、区分の数は
【数９】
2005514675.tif 000011
によって定義される。
【００４５】
今、再び、次式：
【数１０】
2005514675.tif 000012
について言及する。
【００４６】
ｍ＋１の区分を識別し、それらを別の要素に分割することが可能である。本発明の好ましい実施形態では、各区分は線にさらに分割される。
【００４７】
【数１１】
2005514675.tif 000013
【００４８】
最後の等式は、各区分を線に分解することができることを示す。各線は特定の数の制御点を含む。例えば、
【数１２】
2005514675.tif 000014
によって定義される第一区分Ｓ1は、２個の制御点を有する１本の線を含み、制御点の１個は非極点であり、もう１個は非極点の関連極点である。
【００４９】
【数１３】
2005514675.tif 000015
によって定義される第二区分Ｓ2は２本の線を含む。最初の線は、
【数１４】
2005514675.tif 000016
個の幾何学的条件を提供する。すなわち、それは
【数１５】
2005514675.tif 000017
個の制御点を含み、そのうちの半分は非極点であり、残りの半分は最初の半分の関連極点である。
【００５０】
第二の線は、
【数１６】
2005514675.tif 000018
個の幾何学的条件を提供する。すなわち、それは
【数１７】
2005514675.tif 000019
個の制御点を含み、そのうちの半分は非極点であり、残りの半分は最初の半分の関連極点である。
【００５１】
【数１８】
2005514675.tif 000020
によって定義されるSm+1番目の区分は、ｍ＋１本の線を含む。区分Sm+1の最初の線は、
【数１９】
2005514675.tif 000021
個の幾何学的条件を提供する。すなわち、それは
【数２０】
2005514675.tif 000022
個の制御点を含み、そのうちの半分は非極点であり、残りの半分は最初の半分の関連極点である。
【００５２】
区分Sm+1の第二の線は、
【数２１】
2005514675.tif 000023
個の幾何学的条件を提供する。すなわち、それは
【数２２】
2005514675.tif 000024
個の制御点を含み、そのうちの半分は非極点であり、残りの半分は最初の半分の関連極点である。
【００５３】
区分Sm+1のｍ＋１番目の線は、
【数２３】
2005514675.tif 000025
個の幾何学的条件を提供する。１つの幾何学的条件が総数から減算されることは理解されるであろう。それは
【数２４】
2005514675.tif 000026
個の制御点を含み、そのうちの半分は非極点であり、残りの半分は最初の半分の関連極点である。
【００５４】
本発明の好ましい実施形態では、各区分に特定の方法で制御点が提供される。より正確には、最初に区分Sm+1に制御点が提供され、次いで区分Smに制御点が提供され、S1まで続けられ、最後に区分S0に提供される。
【００５５】
今、図４ａを参照すると、三次元における二次曲面の各区分の線の分割が示されている。例えば区分S3は３本の線を含む、第一の線は、４個の制御点を使用して２つの幾何学的条件を提供する。区分S3の第二の線は、４個の制御点を使用して2つの幾何学的条件を提供する。区分S3の第三の線は、2個の制御点を使用して1つの幾何学的条件を提供する。
【００５６】
今、図４ｂを参照すると、三次元における三次曲面の各区分の線の分割が示されている。例えば区分S4は４本の線を含み、第一の線は６個の制御点を使用して３つの幾何学的条件を提供する。S4の第二の線は、６個の制御点を使用して３つの幾何学的条件を提供する。S4の第三の線は４個の制御点を使用して２つの幾何学的条件を提供する。S4の第四の線は２個の制御点を使用して１つの幾何学的条件を提供する。
【００５７】
今、図４ｃを参照すると、三次元における四次曲面の各区分の線の分割が示されている。
【００５８】
好ましい実施形態では、ユーザはグラフィカルユーザインタフェースを使用して、制御点を設けることができる。該グラフィックスユーザインタフェースはコンピュータに位置する。
【００５９】
マウスまたは画面上のピクセルを選択することができるいずれかの装置を使用して、ユーザはピクセルを選択する。選択される点は、選択されるピクセルの座標を使用して特徴付けられ、好ましい実施形態では、ピクセルの座標は２つの整数要素を含む。次いでピクセルの座標は、本発明の好ましい実施形態では、当業者には公知の通り、ワールド座標に変換される。
【００６０】
ピクセル座標のワールド座標への変換は、行列の乗算を使用して行なわれる。好ましい実施形態では、ワールド座標は３つの「フロート」値を含む。さらに好ましい実施形態では、ワールド座標は次いで射影同次座標に変換される。射影同次座標は、１である新しい座標を加えることによって得られる。「無限遠」を表現することが望ましい場合、新しい座標は０とすることができる。
【００６１】
極平面は、基準シンプレックスの各座標に対してサーフェスの方程式を導出することによって表わすことができる。
【００６２】
今、図５ａを参照すると、四次曲面を使用してサイクライドを定義するための区分の第一の実施形態が示されている。
【００６３】
今、図５ｂを参照すると、四次曲面を使用してサイクライドを定義するための区分の第二の実施形態が示されている。
【００６４】
より正確には、図４ｃで説明する通り、５つの区分が定義される。
【００６５】
図４ｂで説明するとおり、三次曲面を定義するには４つの区分が必要である。
【００６６】
今、図６を参照すると、本発明の好ましい実施形態が示されている。本発明の好ましい実施形態は、方程式のデータベース１２、形状のデータベース１４、基本形状選択装置１０、形状から制御点への変換器１６、代数係数から制御点への変換器１８、区分管理装置２０、射影空間オブジェクトメモリ２２、制御点エディタ２４、制御点から代数係数への変換器２６、出力インタフェース２８、レイトレーサ装置３０、およびグラフィックスディスプレイ３２を含む。
【００６７】
方程式のデータベース１２は様々な形状の代数方程式を含む。より正確には、方程式のデータベースは形状の代数方程式の代数係数および形状の識別子を含む。形状は識別子を使用して選択される。形状を定義する代数方程式の次数が、後述する通り特定の値に限定されないことは理解されるであろう。したがって、これはどんな種類の形状でも生成することを可能にする。
【００６８】
該形状のデータベース１４は、各形状毎に、形状の識別子および形状に関する情報を含む。形状に関する情報は、形状を定義する制御点を含む。形状に関する情報はさらに、基準シンプレックスを含む。別の実施形態では、情報は、形状が球である場合の半径および中心のような、形状に関する幾何学的情報とすることができる。
【００６９】
基本形状選択装置１０は、ユーザが少なくとも方程式のデータベース１２および形状のデータベース１４からデータを選択して、選択されたデータが制御点および基準シンプレックスを含む場合には、選択されたデータを射影空間オブジェクトメモリ２２に提供し、選択されたデータがオブジェクトの形状の定義を含む場合には、形状から制御点への変換器１６に提供し、選択されたデータが代数係数を含む場合には、代数係数から制御点への変換器１８に提供することを可能にする。
【００７０】
形状から制御点への変換器１６は、定義された形状の制御点への変換を実行する。変換器は、定義された各種の形状を制御点に変換するための専用である。例えば、球の場合、形状は半径および中心の座標によって定義される。形状から制御点への変換器１６はこれらの情報を１組の制御点に変換する。
【００７１】
好ましい実施形態では、ユーザは、制御点を生成するために、基準シンプレックスを提供する。別の実施形態では、基準シンプレックスは、形状から制御点への変換器１６によって自動的に生成される。
【００７２】
代数係数から制御点への変換器１８は、形状を定義する代数係数を、射影空間の形状を定義する１組の制御点に変換する。好ましい実施形態では、ユーザは基準シンプレックスを提供することができる。基準シンプレックスは、このシンプレックスに関連して生成される。本発明の別の実施形態では、基準シンプレックスは代数係数から制御点への変換器１８によって自動的に生成される。
【００７３】
区分管理装置２０は、ユーザが射影空間オブジェクトメモリ２２の区分を作成、編集、または削除することを可能にする。該区分管理装置２０はまた、ユーザが新しい区分を再定義したいときに、代数係数を使用することもできる。射影空間オブジェクトメモリ２２は、射影空間の形状のデータを格納する。
【００７４】
本発明の好ましい実施形態では、射影空間オブジェクトメモリ２２の形状のデータは、形状の制御点のみならず基準シンプレックスをも含む。制御点は極点および関連非極点を含む。制御点は直線束の線上に位置し、上記の通り区分を定義する少なくとも１本の線の部分集合である。
【００７５】
制御点エディタ２４は、ユーザが制御点を作成、編集、または削除することを可能にする。本発明の好ましい実施形態では、上記の通り、制御点は極点および関連非極点を含む。
【００７６】
制御点から代数係数への変換器２６は、形状を定義する制御点を、形状を定義する代数係数に変換する。制御点は基準シンプレックスに関連するので、変換を実行するために基準シンプレックスも使用することが好ましい。
【００７７】
出力インタフェース２８は代数係数を受け取り、形状を定義する代数係数をエクスポートするためにインタフェースを提供する。
【００７８】
レイトレーサ装置３０は代数係数を受け取り、データをグラフィックスディスプレイ３２に提供する。
【００７９】
レイトレーサ装置３０は、Addison-Wesleyによって出版されたJames D. Foley、Andries van Dam、Steven K. Feiner、およびJohn F. Hughesによる「Computer Graphics principles and practices」の第二版の７０１頁および７０２頁に記載された原理の下で動作する。同書の記述を参照によってここに組み込む。
【００８０】
グラフィックスディスプレイ３２は、ユーザがグラフィックスインタフェースを使用して幾何学的形状を可視化することを可能にする。レイトレーサ装置３０はさらに視点信号を受け取ることが好ましい。本発明の一実施形態では、図形表示はｉ３８６アーキテクチャの下で実行され、別の実施形態では、図形表示はＭＡＣアーキテクチャの下で実行される。
【００８１】
今、図７を参照すると、本発明の好ましい実施形態が示されている。本発明のステップ３６により、形状に関するデータが提供される。好ましい実施形態では、提供されるデータは基準シンプレックスおよび制御点を含む。形状は、基準シンプレックスおよび制御点を使用して、射影空間で定義される。さらに本願の図７を参照すると、本発明のステップ３８により、形状を定義する制御点が変更される。ユーザが単に基準シンプレックスを変更するだけで制御点を変更することができることは、理解されるであろう。
【００８２】
ステップ４０により、変更された制御点によって定義される形状の代数係数は、変更された制御点および基準シンプレックスを使用して計算される。形状の代数係数を使用して、オブジェクトのユークリッド図を提供することができる。
【００８３】
今、図８を参照すると、本発明のステップ３６によりデータがいかに提供されるかの一実施形態が示されている。本実施形態では、ステップ４２により形状のデータベース１４で形状が選択される。形状は、識別子を使用して、基本形状選択装置１０によって選択される。上記の通り、識別子に付加された情報は制御点および基準シンプレックスを含む。本発明のステップ４４により、制御点および基準シンプレックスが提供される。
【００８４】
今、図９を参照すると、ステップ３６によりデータがいかに提供されるかの別の実施形態が示されている。本実施形態では、ステップ４６により代数方程式が選択される。代数方程式は、所望の形状に応じて選択される。代数方程式は、方程式のデータベース１２で基本形状選択装置１０によって選択される。ステップ４８により、代数方程式は制御点に変換される。代数方程式は、代数係数から制御点への変換器１４を使用して変換される。好ましい実施形態では、基準シンプレックスはユーザによって提供される。別の実施形態では、基準シンプレックスは自動的に生成される。
【００８５】
今、図１０を参照すると、本発明のステップ３６によりデータがいかに提供されるかの別の実施形態が示されている。本実施形態のステップ５０により、幾何学的形状が選択される。幾何学的形状は基本形状選択装置１０および形状のデータベース１４を使用して選択される。図１０のステップ５２により、選択された幾何学的形状は、形状から制御点への変換器１６を使用して制御点に変換される。好ましい実施形態では、基準シンプレックスはユーザによって提供される。別の実施形態では、基準シンプレックスは自動的に生成される。生成される制御点は、この基準シンプレックスに関連して生成される。
【００８６】
今、図１１を参照すると、本発明のステップ３６によりデータがいかに提供されるかの別の実施形態が示されている。
【００８７】
ステップ５４により、第一の幾何学的区分５４に関する情報が提供される。情報は基本形状選択装置１０を使用して提供される。情報は、第一の幾何学的区分の代数方程式とすることができる。代数方程式は方程式のデータベース１２に格納される。
【００８８】
ステップ５６により、他の幾何学的区分およびそれらの制御点が作成される。好ましい実施形態では、他の幾何学的区分は制御点エディタ２４を使用して作成される。さらに好ましい実施形態では、他の幾何学的区分は区分管理装置２０を使用して作成される。好ましい実施形態では、基準シンプレックスはユーザによって提供される。別の実施形態では、基準シンプレックスは自動的に生成される。
【００８９】
ステップ５８により、各区分の制御点が基準シンプレックスと共に提供される。
【００９０】
今、図１２を参照すると、本発明のステップ３６によりデータが提供される方法の別の実施形態が示されている。本実施形態では、データはユーザによって作成される。
【００９１】
ステップ６０により、幾何学的区分が形成される。好ましい実施形態では、基準シンプレックスはユーザによって提供される。別の実施形態では、基準シンプレックスは自動的に生成される。幾何学的区分は区分管理装置２０を使用して作成される。ステップ６２により、この区分に関連する非極点が、制御点エディタ２４を使用して配置される。ステップ６４により、この区分に関連する極点が、制御点エディタ２４を使用して配置される。極点は非極点の前に、作成された区分に配置することができることを、当業者は理解されるであろう。
【００９２】
形状の順序に応じて、上記の通り形状を表現するために、各区分に対し特定数の制御点が必要である。本発明のステップ６６では、必要な区分が全部作成されたかどうかを検査するために、検査が実行される。説明した通り、形状を完全に定義するためには、特定の数の区分が必要である。必要な区分がまだ全部入力されていない場合、ステップ６０、６２および６４は別のときに達成される。
【００９３】
必要な区分が全部作成されている場合、ステップ６８により制御点が提供される。制御点は各区分の極点および非極点を含む。制御点は基準シンプレックスを使用して定義されるので、この基準シンプレックスもまた提供される。
【００９４】
今、図１３を参照すると、形状を定義する制御点がいかに代数係数に変換されるかが示されている。
【００９５】
ステップ７８により、制御点および基準シンプレックスが提供される。ステップ８０により、全ての制御点が利用可能であるかどうかを調べるために、検査が実行される。全ての制御点が利用可能である場合、図１３のステップ９２により、代数係数が計算される。図１３のステップ９４により、代数係数が提供される。
【００９６】
ステップ８４により、選択された制御点の座標は、制御点が配置されているセグメントの先端を使用して一次元に変換される。このステップについては以下でさらに詳述する。
【００９７】
ステップ８６により、選択された制御点の一次元の式が格納される。
【００９８】
ステップ８２、８４、および８６は、各々の利用可能な制御点に対して実行される。
【００９９】
今、図１４を参照すると、ステップ９６により、基準シンプレックスがユーザによって提供される。別の実施形態では、基準シンプレックスは自動的に生成される。
【０１００】
ステップ９８により、非極点はユーザによって提供される。好ましい実施形態では、非極点は制御点エディタ２４を使用して提供される。
【０１０１】
ステップ１００により、極平面の表現式が計算され、極平面の表現式は、説明する通り、形状の代数方程式を使用して計算される。
【０１０２】
ステップ１０２により、２つ以上の非極点のうちの少なくとも１つが利用可能であるかどうかを調べるために、テストが実行される。２つ以上の非極点のうちの少なくとも一つが利用可能である場合、利用可能な非極点がステップ１０４により選択される。
【０１０３】
ステップ１０６により、選択された非極点の極点が、少なくとも極平面の表現式を使用して計算される。
【０１０４】
利用可能な非極点が無い場合、ステップ１０８により、制御点のみならず基準シンプレックスが提供される。
【０１０５】
今、図１５を参照すると、制御点エディタ２４がいかに動作するかが示されている。ステップ１４０により、制御点が選択される。極点のみならず非極点も選択することができる。
【０１０６】
制御点は、本発明の好ましい実施形態では、ユーザインタフェースでマウスを使用して選択される。
【０１０７】
本発明のステップ１４２により、選択された制御点は、本発明の好ましい実施形態では、マウスのカーソルを使用して、ステンシル線上を移動する。
【０１０８】
ステップ１４６により、新しい制御点が提供される。新しい制御点は、極点のみならず非極点とすることもできる。
【０１０９】
図１６により、区分管理装置がいかに動作するかが示されている。本発明の好ましい実施形態では、本発明のステップ１４８により線が選択される。線はマウスおよびクリックボタンを使用して選択される。ステップ１５０により、選択された線は、マウスおよび好ましくは予め定められたキーを使用して移動する。
【０１１０】
ステップ１５２により、線上に位置する制御点のみならず、もしあれば他の従属制御点も更新される。
【０１１１】
ステップ１５４により、新しい制御点が提供される。
【０１１２】
今、図１７を参照すると、三次元空間の二次曲面が示されている。
【０１１３】
今、図１８を参照すると、本発明の好ましい実施形態を使用して二次曲面がいかに作成されたかが示されている。二次曲面は基準シンプレックス、定義された３つの区分、および直線束の各線上の制御点を使用して作成されたものである。上記の通り、３つの区分が定義された。第一区分１５６は線１５９および１６０および１６１を使用して定義される。第二区分１５７は線１６２および１６３を使用して定義される。第三区分１５８は線１６４を使用して定義される。制御点は３つの区分の各線上に挿入される。上記の通り、本発明の好ましい実施形態では、第一区分１５６は３つの線を含み、第一の線１５９は４つの制御点を含み（２つの幾何学的条件が必要なので）、第一区分１５６の第二の線１６１は４つの制御点を含み（２つの幾何学的条件が必要なので）、第一区分１５６の第三の線１６０は２つの制御点を含む（１つの幾何学的条件が必要なので）。
【０１１４】
第二区分１５７の第一の線１６２は４つの制御点を含み（２つの幾何学的条件が必要なので）、第二区分１５７の第二の線１６３は２つの制御点を含む（１つの幾何学的条件が必要なので）。
【０１１５】
第三区分１５８の第一の線１６４は２つの制御点を含む（１つの幾何学的条件が必要なので）。
【０１１６】
図１９は、基準シンプレックスおよび制御点が重ね合わされた図１８に示した第一の二次極面を示す。
【０１１７】
図２０は第二の二次曲面を示す。
【０１１８】
今、図２１を参照すると、基準シンプレックスおよび第二の二次曲面を定義する制御点が示されている。本実施形態では、３つの区分も定義される。この実施形態では７の非極点がそれらのそれぞれの極制御点と併合されることを、読者は理解されるであろう。
【０１１９】
今、図２２を参照すると、極制御点およびその関連非極制御点が併合される場合に、結果的に得られる点は二次曲面のサーフェス上に位置することを、ユーザは理解されるであろう。
【０１２０】
今、図２３を参照すると、第三の二次曲面が示されている。二次曲面のこの第三の例では、基準シンプレックスを定義する１つの点が、図２４に示されるように、「無限遠」に送られている。同数の区分、線、および制御点が必要である。点を無限遠に送ることにより、ユーザは新しい型の二次曲面にアクセスすることが可能になる。図２５は、第三の二次曲面を制御点および基準シンプレックスと共に示す。
【０１２１】
図２６は第四の二次曲面を示す。二次曲面のこの第四の例では、基準シンプレックスを定義する２つの点が、図２７に示すように、「無限遠」に送られる。この実施形態は例えば球を形成することを可能にする。
【０１２２】
図２８は、第四の二次曲面を制御点および基準シンプレックスと共に示す。
【０１２３】
〔制御点から代数係数への変換器〕
今、図２９を参照すると、制御点から代数係数への変換器２６の動作の方法が示されている。より正確には、ユーザによって入力された制御点を使用して、代数方程式から係数をいかに決定するかが示されている。上記の通り、制御点は、本発明の好ましい実施形態では、極点および非極点を含む。
【０１２４】
図２９のステップ２００により、シンプレックスのみならず制御点も、制御点から代数係数への変換器２６に提供される。上記の通り、シンプレックスのみならず制御点も、射影空間オブジェクトメモリ２２から来る。
【０１２５】
図２９のステップ２０２により、本発明の好ましい実施形態では、制御点に対しλ、μおよびρ、σが計算される。今、図３０を参照すると、λ，μおよびρ，σの使用の原点が示されている。これまで、各制御点は、基準シンプレックスにおけるその４つの座標（すなわちｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3）を使用して、導入することができる。後述するメカニズムを使用して、各点は、上記の通り制御点が極点かそれとも非極点かによって、２つの座標すなわちλ，μまたはρ，σのいずれかを使用して導入される。次の変数変換：
【数２５】
2005514675.tif 000027
を実行することによって、目標を達成することが可能である。
【０１２６】
目標を達成するために、線を定義する２つの点を提供し、したがってπ0，π1，π2，π3を提供することが必須である。したがって、制御点がある線を形成する２つの点が定義されているときに、２つの座標を使用して、各制御点を一次元で表現することが可能である。どの次元でも点は常に線上に位置するので、そのようなスキームがメカニズムを簡素化する容易な方法を示すことに、当業者は気付くであろう。
【０１２７】
今、図３１を参照すると、本発明の好ましい実施形態で、第一および第二区分（すなわちS5およびS4）の場合に使用される線が示されている。当業者は別の方法を使用して制御点の支持線を定義することができるが、図３１に記載したスキームは、有利な簡約化を導入することによって代数係数の容易な計算を可能にすることに気付くであろう。例えば、座標π3は、区分S5に位置する全ての点に対し、零に等しくなり、座標π2は、区分S4に位置する全ての点に対し、零に等しくなる。
【０１２８】
今、再び図２９を参照すると、ステップ２０４により区分が選択される。選択される区分は、本発明の好ましい実施形態では、最大数の制御点がある残りの区分である。例えば四次曲面の場合、選択される第一区分は区分S5であり、それは図４ｂに示す通り１４個の制御点を含む。
【０１２９】
ステップ２０６により、線および選択された線上の対応する制御点が選択される。本発明の好ましい実施形態では、選択される線は、最大数の制御点がある残りの線である。例えば線１は区分S5で最初に選択される。
【０１３０】
ステップ２０８により、選択された線上に位置する点に対する特異点があるかどうかを調べるために、次いで検査が行なわれる。特異点とは、同一空間位置を有する２つ以上の制御点と定義される。そのような特異点が検出された場合、ステップ２１０により、対応する方程式が使用される。特異点が検出されない場合、ステップ２１２により標準方程式が使用される。
【０１３１】
ステップ２１４により、制御点が位置する全ての線が処理されたかどうかを調べるために、次いで検査が実行される。そうであった場合、ステップ２１６により、計算された係数および／または情報が提供される。提供される情報は場合によっては方程式とすることができる。
【０１３２】
ステップ２１８により、全ての区分が処理されたかどうかを調べるために、検査が実行される。そうであった場合、ステップ２２０により、計算された係数が提供される。区分がまだ処理されていなかった場合、ステップ２０４により新しい区分が選択される。
【０１３３】
例えば、四次曲面の場合、処理される最初の区分はS5という区分であり、処理される２番目の区分はS4という区分であり、処理される３番目の区分は区分S3であり、処理される４番目の区分はS2であり、処理される最後の区分はS1という区分である。最初の区分S5が処理されるときに、処理される最初の線は線１であり、処理される２番目の線は線２であり、処理される３番目の線は線３であり、処理される４番目の線は線４であり、処理される５番目の線は線５である。２番目の区分S4が処理されるときに、処理される最初の線は線１であり、処理される２番目の線は線２であり、処理される３番目の線は線３であり、処理される４番目の線は線４である。３番目の区分S3が処理されるときに、処理される最初の線は線１であり、処理される２番目の線は線２であり、処理される３番目の線は線３である。４番目の区分S2が処理されるときに、処理される最初の線は線１であり、処理される２番目の線は線２である。最後に、５番目の区分S1が処理されるときに、処理される線は線１である。
【０１３４】
依然として四次曲面の場合、最初の区分は１６個の係数を提供し、２番目の区分は１０個の係数を提供し、３番目の区分は３個の係数および後で使用される３つの方程式を提供する。４番目の区分は４個の係数および１つの方程式を提供し、５番目の区分は方程式の最後の３つの係数を提供する。
【０１３５】
上記で展開した手法は、各制御点に含まれる情報が線レベルで処理されるので、どんな種類の次元をも処理することができることを、当業者は気付かれるであろう。しかし、今、標準方程式および係数を見つけるためにステップ２１０および２１２で使用される対応する方程式がいかに生成されるかを、理解することが重要である。そうすれば当業者は、標準方程式およびステップ２１０および２１２で使用される対応する方程式を見出すことができ、したがってどんな次元の代数係数でも決定することができるであろう。
【０１３６】
〔標準方程式および対応する方程式を見つけるために使用される方法に関する一般原則〕
ユーザは、ユーザインタフェースを介して、上記の通り線上に制御点を提供することができ、依然として上記の通り、各制御点は極点および非極点を含む。
【０１３７】
標準方程式および対応する方程式を見出すために、反復法が使用される。反復法により当業者がｎ次元空間における代数係数を見出すことが可能になることは、理解されるであろう。また、後述する方法が好ましい方法であることも理解されるであろう。当業者は、他の変形を見出すことができるであろう。今、図３２を参照すると、一般方程式がいかに生成されるかが示されている。
【０１３８】
ステップ２３０により、代数方程式が提供される。代数方程式はｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3に依存する。今、図３４ａおよび３４ｂを参照すると、二次曲面および四次曲面の代数方程式が示されている。ステップ２３２により、極平面の成分が計算される。極平面の成分は、成分の変数に対して代数方程式を導出することによって計算される。例えば極平面のｘ0成分は、ｘ0に対する代数方程式の導関数に等しい。
【０１３９】
ステップ２３４により、極性の条件が表現される。より正確には、
【数２６】
2005514675.tif 000028
が表現される。ここでＦx0、Ｆx1、Ｆx2、Ｆx3はｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3に対する極平面の成分であり、ｚ0，ｚ1，ｚ2，ｚ3は極点の座標である。
【０１４０】
ステップ２３６により、変数の変換が実行される。変数の変換はλ，μおよびρ，σを使用して実行される。
【０１４１】
さらに詳しくは、実行される変数の変換は次の通りである。
【０１４２】
【数２７】
2005514675.tif 000029
【０１４３】
ステップ２３６で変数の変換が実行された式０は、この場合λ，μ、ρ，σ、およびπ0，π1，π2，π3に依存する。新しい方程式は、いずれかの区分におけるいずれかの線上に位置するいずれかの制御点に使用することができる。新しい方程式は、代数係数と、制御点によって提供される幾何学的情報との間の対応を提供する普遍的ツールを提供する。
【０１４４】
ステップ２３８により、得られた一般方程式が提供される。
【０１４５】
しかし、後述する通り、各制御点に適用されるこの一般方程式を使用して係数を決定するために、特殊な解方式が使用される。
【０１４６】
当業者は、一般方程式を各制御点に適用しかつ方程式系を反転することによって形成された方程式系を、単に解くことを提案することができよう。しかし、この反転操作は時間がかかりすぎ、さらに、該操作は高次の系には不可能であり、最終的に、特異点は該操作を不可能にする。したがって、反復的手法で方程式系を解く必要がある。
【０１４７】
好ましい実施形態を開示する義務に従って、図３３は、ステップ２３８で提供された方程式を解くために使用されるメカニズムを提供する。
【０１４８】
ステップ２４０により、一般方程式が提供される。
【０１４９】
ステップ２４２により、区分が選択される。好ましい実施形態では、選択される区分は、上記のスキームに従って選択される。区分を選択することにより、π2およびπ3の値が設定される。
【０１５０】
ステップ２４４により、線が選択される。好ましい実施形態では、選択される線は、上記スキームに従って選択された区分で選択される。線を選択することにより、π0およびπ1の値が設定される。
【０１５１】
ステップ２４６により、選択された区分の選択された線上で、非極点およびその関連極点が選択される。ステップ２４８により、選択された非極点およびその関連極点は、提供された一般方程式に入力される。非極点およびその関連極点を選択することにより、λ，μおよびρ，σの値が設定される。
【０１５２】
ステップ２４８により、選択された点の対によって提供される情報を使用して、係数が計算される。
【０１５３】
より正確には、一般方程式がλ，μおよびρ，σの値と共に使用され、線レベルの方程式系が生成される。各区分に対してπ2およびπ3が固定されることは理解されるであろう。したがって、同一区分で生成される方程式系の各方程式で、π2およびπ3による因数分解またはπ2およびπ3の何らかの線形結合が実行される。代数係数による因数分解のみならず、それらの線形結合も実行される。これは第二方程式系を導き、そこでは今や未知の変数は、係数に依存する第一方程式系とは異なり、係数の線形結合に依存する多項式である。次いでこれらの第二方程式系は、好ましい実施形態では、クラメル解方式を使用して解かれ、第一方程式系を解くことが可能になる。
【０１５４】
方程式系が解かれるたびに、方程式系は第一または第二の型であり、結果的に得られる解に、新しい未知の変数が提供され、それは同次因子である。同次因子は解プロセスの最後に解かれ、これにより、解プロセス中に導入された各同次因子を再帰的に見つけることができる。
【０１５５】
第一型および第二型の方程式系が形成されるときに、λ，μおよびρ，σに依存する既知の多項式による因数分解が可能であるかどうかを調べるために、検査が行なわれる。既知の多項式は、特定の幾何学的形状を現す多項式である。そのような特定の形状は、２つの制御点が同一物理位置（すなわちλ1=λ2，μ1＝μ2）に位置する形状とすることができる。最後に示された例では、多項式はλ1・μ2−λ2・μ1となる。四次曲面の場合、探索される特定の幾何学的形状は二重点の事例、二重二重点の事例、および三重点の事例である。そのような多項式が検出された場合、行列式が零に等しいので解スキームを失敗させるこれらの特定の事例を回避するために、行列式にこれらの多項式による除算が実行される。したがって、このレベルで注意することが重要である。特異点の検出の場合、係数のための新しい方程式が提供される。
【０１５６】
より正確には、図７１に、少なくとも２つの点が同一位置に置かれる場合に、解スキームが実行される行列式が示されている。
【０１５７】
図７０に示す通り、行列式のいずれかの行または列を展開することが可能である。そのような展開は、Erwin Kreyszigによる「Advanced Engineering Mathematics」の第七版の３７３頁に説明されており、それを参照によってここに組み込む。
【０１５８】
今、図７１を参照すると、解くべき行列式の小行列の和への展開が示されている。
【０１５９】
縮退の場合、同一行およびしたがって相補小行列が消える。重複度ｍの場合、行列式の分解を実行して小行列を提供することが好ましい。
【０１６０】
例えば、重複度が２であり、λ3＝k・λ2・μ3＝k・μ2である場合、図７１に示した行列式のサイズが２の小行列への分解が、図７２に示されている。λ3＝k・λ2・μ3＝k・μ2が図７２に示した幾つかの小行列に代入される場合、σ3・ρ2−σ2・ρ3がこれらの小行列の共通消尽因子となることは理解されるであろう。次いで行列式は、他の小行列を使用して計算される。
【０１６１】
他の２つの２重点の場合、共通消尽因子を抽出するために、上記で開示した方法が他の２つの同一行に適用される。
【０１６２】
今、図７３を参照すると、図７１に示した行列式のサイズが３の小行列への分解が示されている。そのような分解は、３つの点が同一位置に置かれる場合に実行される。例えばλ3＝k・λ2，μ3＝k・μ2，λ3＝l・λ2，μ3＝l・μ2である場合、図７３に示した小行列は、共通消尽因子として(λ2・μ1−λ1・μ2),(σ2・ρ1−σ1・ρ2)を持つ。図７３に示した小行列式からそのような消尽因子を除去することによって、ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4に関連付けられる各係数を計算することが可能である。
【０１６３】
今、図７４を参照すると、図７１に示した行列式のサイズが４の小行列への分解が示されている。そのような分解は四重点の場合に、すなわち４つの点が同一位置に置かれるときに実行される。図７４に示した小行列から共通消尽因子を排除することにより、ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4に関連付けられる各係数を計算することが可能である。
【０１６４】
ステップ２５０により、選択された区分の選択された線上で他の制御点が利用可能であるかどうかを調べるために、検査が実行される。
【０１６５】
ステップ２５２により、選択された区分で別の線が利用可能であるかどうかを調べるために、検査が実行される。
【０１６６】
ステップ２５４により、別の区分が利用可能であるかどうかを調べるために、検査が実行される。利用可能な他の区分が無ければ、計算された係数が提供される。
【０１６７】
〔本発明の好ましい実施形態による四次曲面の係数の決定〕
本実施形態が、本発明に係る四次曲面の係数を決定するための例を示すことを、当業者は理解されるであろう。上記の通り、本発明の好ましい実施形態では、四次曲面は５つの区分によって定義される。四次曲面を定義する５つの区分を図３５に示す。
【０１６８】
図３６は１５本の線ｌa，ｌb，ｌc，ｌd，ｌe，ｌf，ｌg，ｌh，ｌi，ｌj，ｌk，ｌl，ｌm，ｌn，ｌoを示す。
【０１６９】
第一区分は、図３７に示す通り、第一区分で選択された５本の線ｌa，ｌb，ｌc，ｌd，ｌeを含む。第一区分の最初の線は、４個の極点およびそれに関連する４個の非極点を含む。第一区分の２番目の線は４個の極点およびそれに関連する４個の非極点を含む。第一区分の３番目の線は３個の極点およびそれに関連する３個の非極点を含む。第一区分の４番目の線は２個の極点およびそれに関連する２個の非極点を含む。第一区分の５番目の線は１個の極点およびそれに関連する１個の非極点を含む。
【０１７０】
第二区分は、図３８に示す通り、第二区分で選択された４本の線ｌf，ｌg，ｌh，ｌiを含む。第二区分の最初の線は、４個の極点およびそれに関連する４個の非極点を含む。第二区分の２番目の線は３個の極点およびそれに関連する３個の非極点を含む。第二区分の３番目の線は２個の極点およびそれに関連する２個の非極点を含む。第二区分の４番目の線は１個の極点およびそれに関連する１個の非極点を含む。
【０１７１】
第三区分は、図３９に示す通り、第三区分で選択された３本の線ｌj，ｌk，ｌlを含む。第三区分の最初の線は、３個の極点およびそれに関連する３個の非極点を含む。第三区分の２番目の線は２個の極点およびそれに関連する２個の非極点を含む。第三区分の３番目の線は１個の極点およびそれに関連する１個の非極点を含む。
【０１７２】
第四区分は、図４０に示す通り、第四区分で選択された２本の線ｌm，ｌnを含む。第四区分の最初の線は、２個の極点およびそれに関連する２個の非極点を含む。第四区分の２番目の線は１個の極点およびそれに関連する１個の非極点を含む。
【０１７３】
第五区分は、図４１に示す通り、第五区分で選択された２本の線ｌ0を含む。第五区分の線は、１個の極点およびそれに関連する非極点を含む。
【０１７４】
図３２のステップ２３０により、四次曲面の一般方程式が提供される。
【０１７５】
【数２８】
2005514675.tif 000030
【０１７６】
ステップ２３２により、上記の四次曲面の一般方程式を使用して、極平面の表現式が計算される。
【０１７７】
ステップ２３４により、極性条件が表現される。該極性表現は上記の通り表現される。
【０１７８】
ステップ２３６により、λ，μおよびρ，σを使用して、変数の変換が実行される。
【０１７９】
図３２のステップ２３８により、四次曲面の極平面の表現式が計算される。結果的に得られる極平面の表現式は次の通りである。
【０１８０】
【数２９】
2005514675.tif 000031
ここで
【数３０】
2005514675.tif 000032
である。
【０１８１】
本発明の好ましい実施形態では、Ψi（ｉ＝０．．．１４）は次のように定義される。
【０１８２】
【数３１】
2005514675.tif 000033
【０１８３】
Ψi（ｉ＝０．．．１４）は、選択された区分に対して固定されているπ2およびπ3のみに依存するので、それは選択された区分を特徴付ける一方、ti（ｉ＝０．．．４）はπ0およびπ1のみに依存するので、それは特定の区分の線を特徴付けることを、当業者は理解されるであろう。
【０１８４】
Ψi（ｉ＝０．．．１４）はti（ｉ＝０．．．４）に次の通り関連付けられる。
【０１８５】
【数３２】
2005514675.tif 000034
【０１８６】
以下では、ΨiJを区分ＪのΨiとし、tiaを線ａのtiとする。
【０１８７】
図３３のステップ２４２により、区分が選択される。本発明の好ましい実施形態では、第一区分が選択される。
【０１８８】
〔第一区分の最初の線（線ａ）〕
図３３のステップ２４４により、線が選択される。本発明の好ましい実施形態では、第一区分の最初の線( [a0:a1:0:0])が選択される。
【０１８９】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0を第一区分の最初の線の全ての極点および非極点に適用することによって、未知数としてti,（ｉ＝０．．．４）を有する方程式系「式１」が生成される。
【０１９０】
方程式系「式１」の追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4のラインが追加されて、方程式系「式２」が生成される。
【０１９１】
方程式系「式２」を図４２に示す。
【０１９２】
方程式系「式２」から、tia（ｉ＝０．．．４）はΨiJ（ｉ＝０．．．１４）の関数として表現される。
【０１９３】
したがって、Ψ0IおよびΨiI（ｉ＝０．．．１４）によって満たされる方程式を提供することが可能である。
【０１９４】
〔第一区分の２番目の線（線ｂ）〕
図３３のステップ２４４により、第一区分の２番目の線が選択される。
【０１９５】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0を第一区分の２番目の線の全ての極点および非極点に適用することによって、未知数として, t1b（ｉ＝０．．．４)を有する方程式系「式３」が生成される。
【０１９６】
方程式系「式３」の追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ5，ｘ6，ｘ7，ｘ8，ｘ9のラインが方程式系に追加される。
【０１９７】
方程式系「式３」は図４３に示されている。
【０１９８】
方程式系「式３」から、t1b（ｉ＝０．．．４）はΨiI（ｉ＝０．．．１４）の関数として表現される。t1aおよびt1bの表現式を使用して、方程式系「式４」が生成される。
【０１９９】
方程式系「式４」の追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ10，ｘ11，ｘ12のラインが追加されて、方程式系「式５」が生成される。方程式系「式５」は図４４に示されている。
【０２００】
方程式系「式５」を使用して、Ψ1IおよびΨ2Iを提供することができる。
【０２０１】
〔第一区分の３番目の線（線ｃ）〕
図３３のステップ２４４により、第一区分の３番目の線が選択される。
【０２０２】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0を第一区分の３番目の線の全ての極点および非極点に適用することによって、未知数としてtic,（ｉ＝０．．．４）を有する方程式系「式６」が生成される。
【０２０３】
tic,（ｉ＝０．１）をΨiI（ｉ＝０．．．２）に依存するそれらの計算値と置換することにより、かつ方程式系の追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ13，ｘ14，ｘ15，ｘ16のラインを追加することにより、方程式系「式７」が生成される。方程式系「式７」は図４５に示されている。次いで、tic（ｉ＝２．．．４）の表現式を提供することが可能である。
【０２０４】
第一区分の最初の線、２番目の線、および３番目の線を使用して生成されたt2i（ｉ＝ａ．．．ｃ）の表現式を使用して、ΨiI（ｉ＝３．．．５）に依存する方程式系「式８」が生成される。本発明の好ましい実施形態では、余因子ｘ17，ｘ18，ｘ19，ｘ20のラインが方程式系「式８」に追加される。各余因子は、方程式系「式８」の追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる。
【０２０５】
方程式系「式８」は図４６に示されている。
【０２０６】
方程式系「式８」を解くことにより、ΨiI（ｉ＝３．．．５）が提供される。
【０２０７】
〔第一区分の４番目の線（線ｄ）〕
図３３のステップ２４４により、第一区分の４番目の線が選択される。
【０２０８】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0を第一区分の２４目の線の全ての極点および非極点に適用することによって、未知数としてtic,（ｉ＝０．．．４）を有する方程式系「式９」が生成される。
【０２０９】
tid,（ｉ＝０．．．２）をΨiI（ｉ＝０．．．５）に依存するそれらの計算値と置換することにより、かつ方程式系「式９」の追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ21，ｘ22，ｘ23のラインを追加することにより、方程式系「式１０」が生成される。方程式系「式１０」は図４７に示されている。次いで、方程式系「式１０」を解くことによって、tid（ｉ＝３、４）の表現式を提供することが可能である。
【０２１０】
第一区分の最初の線、２番目の線、３番目の線、および４番目の線を使用して生成されたｔ3i（ｉ＝ａ．．．ｄ）の表現式を使用して、ΨiI（ｉ＝６．．．９）に対して方程式系「式１１」を生成することが可能である。
【０２１１】
本発明の好ましい実施形態では、余因子ｘ24，ｘ25，ｘ26，ｘ27，ｘ28のラインが方程式系「式１１」に追加される。各余因子は、方程式系「式１１」の追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる。生成された方程式系「式１１」は図４８に示されている。
【０２１２】
方程式系「式１１」を解くことによって、ΨiI（ｉ＝６．．．９）を計算することが可能である。
【０２１３】
〔第一区分の５番目の線（線ｅ）〕
図３３のステップ２４４により、第一区分の５番目の線が選択される。
【０２１４】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0を第一区分の５番目の線の極点および非極点に適用することによって、方程式系「式１２」が生成される。
【０２１５】
第一区分の最初の線、２番目の線、３番目の線、および４番目の線を使用して生成されたΨiI（ｉ＝０．．．９）の表現式を使用して、yi（ｉ＝３．．．５）を導入することが可能である。５番目の線に適用される方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0にｙi，（ｉ＝３．．．５）を代入し、t4i（ｉ＝ａ．．．ｄ）の表現式を使用することにより、ΨiI（ｉ＝０．．．９）に対し方程式系「式１３」を生成することが可能である。
【０２１６】
追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ29，ｘ30，ｘ31，ｘ32，ｘ33，ｘ34のラインが方程式系「式１３」に追加される。結果的に得られる方程式系「式１３」は図４９に示されている。
【０２１７】
方程式系「式１４」を解くことにより、ΨiI（ｉ＝１０．．．１４）が提供される。
【０２１８】
したがって、今、ΨiI（ｉ＝０．．．１４）が完全に定義されていることは理解されるであろう。次いで第一区分の係数ｚ45、ｚ46、ｚ47、ｚ48が提供されることを、当業者は理解されるであろう。
【０２１９】
図３３のステップ２５４により、現在の区分には利用可能な他の線が無いので、新しい区分が選択される。好ましい実施形態では、上記の通り、第一区分が処理された後、第二区分が選択される。
【０２２０】
〔第二区分の最初の線（線ｆ）〕
図３３のステップ２４４により、第二区分の最初の線が選択される。
【０２２１】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0を第二区分の最初の線の全ての極点および非極点に適用することによって、未知数としてtif,（ｉ＝０．．．４）を有する方程式系「式１５」が生成される。t4fが第一区分からの結果を使用して計算されことを、当業者は気付かれるであろう。
【０２２２】
次いでy6が定義される。
【０２２３】
したがって、方程式系「式１５」を使用して、新しい方程式系「式１６」が生成される。
【０２２４】
追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ35，ｘ36，ｘ37，ｘ38，ｘ39のラインが方程式系「式１６」に追加される。結果的に得られる方程式系「式１７」は図５０に示されている。
【０２２５】
図５０に示す方程式系「式１７」を解くことにより、Ψ0IIを計算することが可能である。tif（ｉ＝１．．．３）の表現式も得られる。
【０２２６】
〔第二区分の２番目の線（線ｇ）〕
図３３のステップ２４４により、第二区分の２番目の線が選択される。
【０２２７】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。
方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0を第二区分の２番目の線の全ての極点および非極点に適用することによって、未知数としてtif（ｉ＝０．．．４）を有する方程式系「式１８」が生成される。T4gを提供するためにy7が導入される。
【０２２８】
次いで、方程式系「式１８」にt0gおよびt4gが代入される。追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ40，ｘ41，ｘ42，ｘ43，のラインが次いで方程式系「式１８」に追加される。結果的に得られる方程式系「式１９」は図５１に示される。
【０２２９】
図５１に示した方程式系「式１９」を解くことにより、tig（ｉ＝０．．．３）の表現式を提供することが可能である。
【０２３０】
tigおよびtifの表現式を使用して、新しい方程式系「式２０」が生成される。追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ44，ｘ45，ｘ46のラインが次いで方程式系「式２０」に追加される。結果的に得られる方程式系「式２１」は図５２に示される。
【０２３１】
方程式系「式２１」を解くことにより、ΨiII（ｉ＝１．．．２）を計算することが可能である。
【０２３２】
〔第二区分の３番目の線（線ｈ）〕
図３３のステップ２４４により、第二区分の３番目の線が選択される。
【０２３３】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。
【０２３４】
方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0を第二区分の２番目の線の全ての極点および非極点に適用することによって、未知数としてtik,（ｉ＝０．．．４）を有する方程式系「式２２」が生成される。
【０２３５】
tik,（ｉ＝０，１）は、前に計算されたΨiII（ｉ＝１，２）を使用して計算される。前区分の計算を使用して、t4kが計算される。t4k・y9を使用して導入されるy8も導入される。
【０２３６】
次いでy8およびy9は、方程式系「式２２」に代入される。追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ47，ｘ48，ｘ49のラインが次いで方程式系「式２２」に追加される。結果的に得られる方程式系「式２３」は図５３に示される。
【０２３７】
次いでtik（ｉ＝２，３）の表現式が得られる。
【０２３８】
次いでt2i（ｉ＝ｆ，ｇ，ｈ）を使用して、方程式系「式２３」が生成される。追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ50，ｘ51，ｘ52，ｘ53のラインが次いで方程式系「式２３」に追加される。結果的に得られる方程式系「式２４」は図５４に示される。結果的に得られる方程式系「式２４」を解くことにより、ΨiII（ｉ＝３．．．５）が提供される。
【０２３９】
〔第二区分の４番目の線（線ｆ）〕
図３３のステップ２４４により、第二区分の４番目の線が選択される。
【０２４０】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。
【０２４１】
方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0に第二区分の４番目の線の極点および非極点を適用することによって、方程式系「式２５」が生成される。
【０２４２】
yi（ｉ＝１０．．．１２）が導入される。次いで方程式系「式２５」にΨiII（ｉ＝０．．．２）が導入される。
【０２４３】
次いで、t3i（ｉ＝ｆ，ｇ，ｈ，ｉ）の表現式を使用して、方程式系「式２６」が生成される。追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ54，ｘ55，ｘ56，ｘ57，ｘ58のラインが次いで方程式系「式２６」に追加される。結果的に得られる方程式系「式２７」は図５５に示される。
【０２４４】
方程式系「式２７」を解くことにより、ΨiII（ｉ＝６．．．９）が提供される。
【０２４５】
次いでΨ6i（ｉ＝Ｉ，ＩＩ）を使用して、未知数としてｚ419，ｚ49を有する方程式系「式２８」が生成される。追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ59，ｘ60，ｘ61のラインが次いで方程式系「式２８」に追加される。結果的に得られる方程式系「式２９」は図５６Ａに示される。方程式系「式２９」を解くことにより、ｚ419，ｚ49が提供される。
【０２４６】
次いでΨ7i（ｉ＝Ｉ，ＩＩ）を使用して、未知数としてｚ418，ｚ48を有する方程式系「式３０」が生成される。追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ62，ｘ63，ｘ61のラインが次いで方程式系「式３０」に追加される。結果的に得られる方程式系「式３１」は図５６Ｂに示される。方程式系「式３１」を解くことにより、ｚ418，ｚ48が提供される。
【０２４７】
次いでΨ8i（ｉ＝Ｉ，ＩＩ）を使用して、未知数としてｚ417，ｚ47を有する方程式系「式３２」が生成される。追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ64，ｘ65，ｘ61のラインが次いで方程式系「式３２」に追加される。結果的に得られる方程式系「式３３」は図５６Ｃに示される。方程式系「式３３」を解くことにより、ｚ417，ｚ47が提供される。
【０２４８】
次いでΨ9i（ｉ＝Ｉ，ＩＩ）を使用して、未知数としてｚ416，ｚ46を有する方程式系「式３４」が生成される。追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ66，ｘ67，ｘ61のラインが次いで方程式系「式３２」に追加される。結果的に得られる方程式系「式３５」は図５６Ｄに示される。方程式系「式３５を解くことにより、ｚ416，ｚ46が提供される。第二区分のこれまでの方程式から、ΨiII（ｉ＝１．．．１４）を提供することが可能である。
【０２４９】
図３３のステップ２５４により、現在の区分には利用可能な他の線が無いので、新しい区分が選択される。第二区分を解いた後、第三区分が選択される。
〔第三区分の最初の線（線ｊ）〕
ΨiII（ｉ＝６．．．１４）はこれまでに計算された係数に依存するので、それらは既知であることを、当業者は理解されるであろう。
【０２５０】
図３３のステップ２４４により、第三区分の最初の線が選択される。
【０２５１】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。
【０２５２】
次いで、t3j，t4jが計算され、方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0に代入される。
【０２５３】
次いで、yi（ｉ＝１３．．．１６）が導入される。
【０２５４】
次いで、第三区分の最初の線の極点および非極点を使用して、方程式系「式３６」が生成される。
【０２５５】
追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ68，ｘ69，ｘ70，ｘ71のラインが次いで方程式系「式３６」に追加される。結果的に得られる方程式系は図５７に示される。
【０２５６】
次いで、結果的に得られた方程式系を使用して、tij（ｉ＝０．．．２）の表現式が提供される。
【０２５７】
〔第三区分の2番目の線（線ｋ）〕
図３３のステップ２４４により、第三区分の２番目の線が選択される。
【０２５８】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。
【０２５９】
次いで、第三区分の２番目の線の極点および非極点を方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0と共に使用して、方程式系「式３７」が生成される。次いで、tik（ｉ＝０，３，４）を使用して、yi（ｉ＝１７．．．２０）が導入される。追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ72，ｘ73，ｘ74のラインが次いで方程式系「式３７」に追加される。結果的に得られる方程式系「式３８」は図５８に示される。
【０２６０】
次いで、方程式系「式３８」を使用して、tik（ｉ＝１．．．２）の表現式が提供される。
【０２６１】
t1i（ｉ＝ｊ，ｋ）を使用して、未知数としてΨiIII（ｉ＝１，２）を有する方程式系「式３９」を生成することが可能である。追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ75，ｘ76，ｘ77のラインが次いで方程式系「式３９」に追加される。結果的に得られる方程式系「式４０」は図５９に示される。方程式系「式４０」を解くことにより、ΨiIII（ｉ＝１，２）が提供される。
【０２６２】
〔第三区分の３番目の線（線ｌ）〕
図３３のステップ２４４により、第三区分の３番目の線が選択される。
【０２６３】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。
【０２６４】
次いで、第三区分の３番目の線の極点および非極点が方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0に適用される。
【０２６５】
次いでtil（ｉ＝０．．．４）が方程式に投入される。
【０２６６】
t2i（ｉ＝ｊ，ｋ）および方程式を使用して、方程式系「式４１」が生成される。
【０２６７】
次いで、追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ78，ｘ79，ｘ80，ｘ81のラインが方程式系「式４１」に追加される。結果的に得られる方程式系「式４２」は図６０に示される。
【０２６８】
方程式系「式４２」を使用して、ΨiIII（ｉ＝３．．．５）を生成することが可能である。
【０２６９】
Ψ3i（ｉ＝Ｉ．．．ＩＩＩ）を使用して、方程式系「式４３」を生成することが可能であり、それはｚ422，ｚ428，ｚ412を計算するために使用される。次いで、追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ82，ｘ83，ｘ84，ｘ85のラインが方程式系「式４３」に追加される。結果的に得られる方程式系「式４４」は図６１Ａに示されている。方程式系「式４４」を解くことにより、ｚ422，ｚ428，ｚ412が提供される。
【０２７０】
Ψ4i（ｉ＝Ｉ．．．ＩＩＩ）を使用して、方程式系「式４５」を生成することが可能であり、それはｚ427，ｚ421，ｚ411を計算するために使用される。次いで、追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ86，ｘ87，ｘ88，ｘ85のラインが方程式系「式４５」に追加される。結果的に得られる方程式系「式４６」は図６１Ｂに示されている。方程式系「式４６」を解くことにより、ｚ427，ｚ421，ｚ411が提供される。
【０２７１】
Ψ5i（ｉ＝Ｉ．．．ＩＩＩ）を使用して、方程式系「式４７」を生成することが可能であり、それはｚ426，ｚ420，ｚ410を計算するために使用される。次いで、追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ89，ｘ90，ｘ91，ｘ85のラインが方程式系「式４７」に追加される。結果的に得られる方程式系「式４８」は図６１Ｃに示されている。方程式系「式４８」を解くことにより、ｚ426，ｚ420，ｚ410が提供される。
【０２７２】
図３３のステップ２５４により、現在の区分には利用可能な他の線が無いので、新しい区分が選択される。好ましい実施形態では、上記の通り、第三区分を解いた後、第四区分が選択される。
【０２７３】
〔第四区分の最初の線（線ｍ）〕
Ψ5IV（ｉ＝３．．．１４）はこれまでの計算から既知であることを、当業者は理解されるであろう。
【０２７４】
図３３のステップ２４４により、第四区分の最初の線が選択される。
【０２７５】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。
【０２７６】
次いで、極点および非極点が方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0に適用され、未知数としてtim,（ｉ＝０，１）を有する方程式系「式４９」が生成される。
【０２７７】
次いでyi（ｉ＝３３．．．３５）が導入される。
【０２７８】
次いで、追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ92，ｘ93，ｘ94のラインが方程式系「式４９」に追加される。結果的に得られる方程式系「式５０」は図６２に示されている。
【０２７９】
方程式系「式５０」を解くことにより、tim,（ｉ＝０，１）が提供される。
【０２８０】
〔第四区分の２番目の線（線ｎ）〕
図３３のステップ２４４により、第四区分の２番目の線が選択される。
【０２８１】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。
【０２８２】
次いで、第四区分の２番目の線の極点および非極点が方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0に適用され、新しい方程式「式５１」が生成される。
【０２８３】
新しい方程式「式５１」は前の方程式t2mと結合され、未知数としてΨiIV（ｉ＝１，２）を有する方程式系「式５２」が提供される。
【０２８４】
次いで、追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ95，ｘ96，ｘ97のラインが方程式系「式５２」に追加される。結果的に得られる方程式系「式５３」は図６３に示されている。
【０２８５】
結果的に得られた方程式系「式５３」を使用して、ΨiIV（ｉ＝１，２）の表現式が提供される。次いで、Ψ1i（ｉ＝Ｉ．．．ＩＶ）およびΨ2i（ｊ＝Ｉ．．．ＩＶ）を使用して、ｚ433，ｚ430，ｚ424，ｚ414，ｚ432，ｚ429，ｚ423，ｚ413が計算される。
【０２８６】
方程式系「式５４」は、Ψ1i（ｉ＝Ｉ．．．ＩＶ）を使用して生成される。次いで、追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ98，ｘ99，ｘ100，ｘ101，ｘ102のラインが方程式系「式５４」に追加される。結果的に得られる方程式系「式５５」は図６４Ａに示されている。
【０２８７】
方程式系「式５５」を解くことにより、ｚ433，ｚ430，ｚ424，ｚ414が提供される。
【０２８８】
方程式系「式５６」は、Ψ2i（ｊ＝Ｉ．．．ＩＶ）を使用して生成される。次いで、追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ103，ｘ104，ｘ105，ｘ106，ｘ107のラインが方程式系「式５６」に追加される。結果的に得られる方程式系「式５７」は図６４Ｂに示されている。
【０２８９】
方程式系「式５７」を解くことにより、ｘ103，ｘ104，ｘ105，ｘ106，ｘ107，ｚ432，ｚ429，ｚ423，ｚ413が提供される。
【０２９０】
図３３のステップ２５４により、現在の区分には利用可能な他の線が無いので、新しい区分が選択される。好ましい実施形態では、上気の通り、第四区分が処理された後、第五二区分が選択される。
【０２９１】
〔第五区分の最初の線（線ｏ）〕
ΨiV（ｉ＝１．．．１４）は今や既知であることを、当業者は理解されるであろう。
【０２９２】
ステップ２４６により、１対の点が選択される。
【０２９３】
次いで、極点および非極点が方程式4αt0+βt1+2γt2+δt3+4εt4=0に適用され、方程式系「式５８」が生成される。
【０２９４】
今、yi（ｉ＝４８．．．５１）が導入される。
【０２９５】
to0の表現式およびΨ0i（ｉ＝Ｉ．．．ＩＶ）を使用して、未知数としてｚ435，ｚ434，ｚ431，ｚ425，ｚ415を有する方程式系「式５９」が生成される。次いで、追加行の各要素にそれぞれ関連付けられる余因子ｘ107，ｘ108，ｘ109，ｘ110，ｘ111，ｘ112のラインが方程式系「式５９」に追加される。結果的に得られる方程式系「式６０」は図６５に示されている。
【０２９６】
この方程式系を解くことにより、ｚ435，ｚ434，ｚ431，ｚ425，ｚ415の表現式が提供される。四次曲面の全ての係数が今決定されたことを、当業者は今理解されるであろう。
【０２９７】
〔極性関係〕
方程式０によって表わされた極性の状態は、代替的方法で表わすことができることは理解されるであろう。
【０２９８】
上記の通り、代数式はｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3に依存する。すなわち、Ｆ（ｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3）＝０である。最初にF(λY+μZ)を計算し（ここでＺは別の点）、次いで結果的に得られる方程式でλn-1・μi（ｉ＝０，．．．，ｎ）による因数分解を実行することによって、第一点Ｙを中心とする代数曲面のテイラー展開を得ることができることは、理解されるであろう。ここでＺは別の点である。R=λY+μZは非極点と定義される。
【０２９９】
第一点Ｙを中心とする代数曲面のテイラー展開は
【数３３】
2005514675.tif 000035
であり、したがって、
【数３４】
2005514675.tif 000036
となる。
【０３００】
極点は、C=ρY+σZによって定義される。
【０３０１】
後者の方程式でＹをＲに置換し、ＺをＣに置換することにより、ΔpcF(R)を決定することができる。
【０３０２】
ΔpcF(R)を
【数３５】
2005514675.tif 000037
と識別することにより、αpn,1を提供することが可能である。上記式において、
【数３６】
2005514675.tif 000038
である。ここでｐは極性の次数である。次いで、極点と非極点との間の関係を形成することが可能である。
【０３０３】
今、図６６を参照すると、Zpnに対するαpn,1，αpn,2，αpn,3，αpn,4が示されており、それは次数ｐの極性の場合の直線を特徴付ける方程式を表わす。したがって極性の多くの表現式を使用することができることを、当業者は理解されるであろう。今、図６７を参照すると、一次の極曲面の図が示されている。より正確には、四次曲面が、極曲面上に位置する極点、および非極点と共に示されている。
【０３０４】
今、図６８を参照すると、二次の極平面の図が示されている。より正確には、四次曲面が、各々二次の極平面に位置する２個の極点、および非極点と共に示されている。
【０３０５】
今、図６９を参照すると、三次の極平面の図が示された絵いる。より正確には、四次曲面が、三次の極平面上に位置する３個の極点、および非極点と共に示されている。
【０３０６】
〔既存のサーフェスの変形〕
別の実施形態では、本発明は、既存のオブジェクトの変形をオペレータが操作するために使用される。オブジェクトは、本発明を使用して、または使用せずに、すでに作成されている。
【０３０７】
第一ステップで、オペレータはオブジェクト、またはオブジェクトのうち関心のある一部分を表わす形状の次数を選択する。選択された次数に従って、上記の通り、オブジェクトまたはオブジェクトのうち関心のある一部分を表わす形状を定義するために、多数の制御点を配置しなければならない。
【０３０８】
第二ステップで、オペレータは基準シンプレックスを提供する。基準シンプレックスは、オペレータがオブジェクトに対して形成したい変形の種類に応じて、所望の位置に配置される。
【０３０９】
第三ステップで、オペレータは、オペレータがオブジェクトに対して形成したい変形の種類に応じて、制御点の少なくとも１個を所望の位置に配置する。
【０３１０】
第四ステップで、オペレータは、制御点を使用して、形成された形状の変形を実行する。
【０３１１】
代替実施形態では、オペレータは、所望の位置に基準シンプレックス、およびオブジェクトの制御点を配置することによって、かつ所望の変形に応じて制御点の少なくとも１個を操作することによって、オブジェクトに直接変形を実行する。
【図面の簡単な説明】
【０３１２】
【図１ａ】デカルト幾何における一点を示す図である。
【図１ｂ】射影幾何における一点と基準シンプレックスを示す図である。
【図２】二次元空間における二次曲面と基準シンプレックスを示す図であって、二次曲面を完全に定義するためには４つの交点が必要な図である。
【図３】一実施形態で関連非極点を使用して極点をいかに形成するかを示す図である。
【図４ａ】三次元空間の二次曲面に必要な幾何学的条件の数を示す。本発明のこの実施形態では、３つの区分が定義され、各定義区分に対し固定数の線および点が導入される図である。
【図４ｂ】三次元空間の三次曲面に必要な幾何学的状件の数を示す。本発明のこの実施形態では、４つの区分が定義され、各定義区分に対し固定数の線および点が導入される図である。
【図４ｃ】三次元空間の四次曲面に必要な幾何学的状件の数を示す。本発明のこの実施形態では、５つの区分が定義され、各定義区分に対し固定数の線および点が導入される図である。
【図５ａ】四次曲面を使用してサイクライドを定義するための区分の第一の実施形態を示す図である。本実施形態では、サイクライドを定義する全ての区分が、サイクライドの水平面に直角な線上で交わる。
【図５ｂ】四次曲面を使用してサイクライドを定義するための区分の第二の実施形態を示す図である。本実施形態では、サイクライドを定義する全ての区分が、サイクライドの水平面内にある平行な線上で交わる。
【図６】本発明の好ましい実施形態の各構成要素を示すブロック図である。
【図７】本発明の好ましい実施形態で実行される様々なステップを示すフローチャート図である。第一ステップにより、形状に関するデータが提供される。次いで第二ステップにより、形状の制御点が変更される。次いで第三ステップにより、変更された形状の代数係数が計算される。
【図８】形状に関するデータをいかに提供するかの別の実施形態を示すフローチャートの図である。本実施形態では、データは既存の制御点を使用して提供される。
【図９】形状に関するデータをいかに提供するかの別の代替実施形態を示すフローチャートの図である。この別の代替実施形態では、データは既存の代数方程式を使用して提供される。既存の代数方程式は次いで制御点に変換される。
【図１０】形状に関するデータをいかに提供するかの別の代替実施形態を示すフローチャートの図である。この別の代替実施形態では、データは既存の形状を使用して提供される。
【図１１】形状に関するデータをいかに提供するかの別の代替実施形態を示すフローチャートの図である。この別の代替実施形態では、データはハイブリッド式に代数的情報および幾何学的情報の両方を使用して提供される。
【図１２】形状に関するデータをいかに提供するかの別の代替実施形態を示すフローチャートの図である。この別の代替実施形態では、データは、本発明の好ましい実施形態では区分を使用して入力された制御点を使用して提供される。
【図１３】形状を定義する代数係数が形状の制御点を使用していかに計算されるかを示すフローチャートの図である。
【図１４】極点が少なくとも非極点を使用していかに計算されるかを示すフローチャートの図である。
【図１５】制御点を線上でいかに動かすかを示すフローチャートの図である。
【図１６】線をいかに動かすかを示すフローチャートの図である。
【図１７】卵形である第一の二次曲面のスクリーンショットの図である。
【図１８】第一の二次曲面を定義するための３つの区分、制御点、および基準シンプレックスを示すスクリーンショットの図である。
【図１９】二次曲面をその３つの定義区分、制御点、および基準シンプレックスと一緒に示すスクリーンショットの図である。
【図２０】卵形である第二の二次曲面のスクリーンショットの図である。
【図２１】第二の二次曲面の３つの区分、制御点、および基準シンプレックスを示すスクリーンショットの図である。
【図２２】第二の二次曲面、第二の二次曲面の３つの区分、制御点、および基準シンプレックスを示すスクリーンショットの図である。
【図２３】卵形である第三の二次曲面を示すスクリーンショットの図である。
【図２４】第三の二次曲面の３つの区分、制御点、および基準シンプレックスを示すスクリーンショットの図である。
【図２５】第三の二次曲面、第三の二次曲面の３つの区分、制御点、および基準シンプレックスを示すスクリーンショットの図である。
【図２６】球である第四の二次曲面を示すスクリーンショットの図である。
【図２７】第四の二次曲面の３つの区分、制御点、および基準シンプレックスを示すスクリーンショットの図である。
【図２８】第四の二次曲面、第四の二次曲面の３つの区分、制御点、および基準シンプレックスを示すスクリーンショットの図である。
【図２９】代数係数の表現式が既知である場合に代数係数を生成するために実行されるステップを示すフローチャートの図である。
【図３０】λ，μおよびρ，σの使用の原点を示す図である。
【図３１】四次曲面に使用される様々な区分、および使用される様々な区分を本発明の好ましい実施形態で基準シンプレックスに対していかに配置するかを示す図である。
【図３２】方程式をいかに提供するかを示すフローチャートの図である。
【図３３】係数の表現式を見つけるために実行されるステップを示すフローチャートの図である。
【図３４ａ】二次曲面の代数係数を提供する表の図である。
【図３４ｂ】四次曲面の代数係数を提供する表の図である。
【図３５】四次曲面の５つの区分を示すスクリーンショット。５つの区分は全て基準シンプレックスの一辺で交わっている図である。
【図３６】四次曲面と１５本の線を示すスクリーンショット。１５本の線のうち５本は第一区分を定義し、１５本の線のうち４本は第二区分を定義し、１５本の線のうち３本は第三区分を定義し、１５本の線のうち２本は第四区分を定義し、１５本の線のうち１本は第五区分を定義する図である。
【図３７】四次曲面の第一区分を示すスクリーンショット。第一区分は５本の線を含む。第一区分の線は全てｘＩで交わる図である。
【図３８】四次曲面の第二区分を示すスクリーンショット。第二区分は４本の線を含む。第二区分の線は全てｘＩＩで交わる図である。
【図３９】四次曲面の第三区分を示すスクリーンショット。第三区分は３本の線を含む。第三区分の線は全てｘＩＩＩで交わる図である。
【図４０】四次曲面の第四区分を示すスクリーンショット。第四区分は２本の線を含む。第四区分の線は全てｘＩＶで交わる図である。
【図４１】四次曲面の第五区分を示すスクリーンショット。第五区分は１本の線を含む。線はｘＶで基準シンプレックスと交わる図である。
【図４２】方程式系「式２」を示す図である。
【図４３】方程式系「式３」を示す図である。
【図４４】方程式系「式５」を示す図である。
【図４５】方程式系「式７」を示す図である。
【図４６】方程式系「式８」を示す図である。
【図４７】方程式系「式１０」を示す図である。
【図４８】方程式系「式１１」を示す図である。
【図４９】方程式系「式１４」を示す図である。
【図５０】方程式系「式１７」を示す図である。
【図５１】方程式系「式１９」を示す図である。
【図５２】方程式系「式２１」を示す図である。
【図５３】方程式系「式２３」を示す図である。
【図５４】方程式系「式２４」を示す図である。
【図５５】方程式系「式２７」を示す図である。
【図５６Ａ】方程式系「式２９」を示す図である。
【図５６Ｂ】方程式系「式３１」を示す図である。
【図５６Ｃ】方程式系「式３３」を示す図である。
【図５６Ｄ】方程式系「式３５」を示す図である。
【図５７】方程式系「式３６」を示す図である。
【図５８】方程式系「式３８」を示す図である。
【図５９】方程式系「式４０」を示す図である。
【図６０】方程式系「式４２」を示す図である。
【図６１Ａ】方程式系「式４４」を示す図である。
【図６１Ｂ】方程式系「式４６」を示す図である。
【図６１Ｃ】方程式系「式４８」を示す図である。
【図６２】方程式系「式４９」を示す図である。
【図６３】方程式系「式５３」を示す図である。
【図６４Ａ】方程式系「式５５」を示す図である。
【図６４Ｂ】方程式系「式５７」を示す図である。
【図６５】方程式系「式６０」を示す図である。
【図６６】二次、三次、および四次の代数曲面に対する一次、二次、および三次の極線を特徴付けるパラメータを示す表の図である。
【図６７】四次曲面を一次の極曲面上に位置する極点および非極点と共に示すスクリーンショットの図である。
【図６８】四次曲面を二次の極曲面上に位置する２つの極点および非極点と共に示すスクリーンショットの図である。
【図６９】四次曲面を三次の極曲面上に位置する３つの極点および非極点と共に示すスクリーンショットの図である。
【図７０】行列式の小行列式の和への分解を示す図である。
【図７１】四次曲面の場合における行列式の小行列式の和への分解を示す図である。
【図７２】１０個の２×２の小行列式を示す図である。
【図７３】１０個の３×３の小行列式を示す図である。
【図７４】５個の４×４の小行列式を示す図である。
【図１ａ】
2005514675.tif 000039
【図１ｂ】
2005514675.tif 000040
【図２】
2005514675.tif 000041
【図３】
2005514675.tif 000042
【図４ａ】
2005514675.tif 000043
【図４ｂ】
2005514675.tif 000044
【図４ｃ】
2005514675.tif 000045
【図５ａ】
2005514675.tif 000046
【図５ｂ】
2005514675.tif 000047
【図６】
2005514675.tif 000048
【図７】
2005514675.tif 000049
【図８】
2005514675.tif 000050
【図９】
2005514675.tif 000051
【図１０】
2005514675.tif 000052
【図１１】
2005514675.tif 000053
【図１２】
2005514675.tif 000054
【図１３】
2005514675.tif 000055
【図１４】
2005514675.tif 000056
【図１５】
2005514675.tif 000057
【図１６】
2005514675.tif 000058
【図１７】
2005514675.tif 000059
【図１８】
2005514675.tif 000060
【図１９】
2005514675.tif 000061
【図２０】
2005514675.tif 000062
【図２１】
2005514675.tif 000063
【図２２】
2005514675.tif 000064
【図２３】
2005514675.tif 000065
【図２４】
2005514675.tif 000066
【図２５】
2005514675.tif 000067
【図２６】
2005514675.tif 000068
【図２７】
2005514675.tif 000069
【図２８】
2005514675.tif 000070
【図２９】
2005514675.tif 000071
【図３０】
2005514675.tif 000072
【図３１】
2005514675.tif 000073
【図３２】
2005514675.tif 000074
【図３３】
2005514675.tif 000075
【図３４ａ】
2005514675.tif 000076
【図３４ｂ】
2005514675.tif 000077
【図３５】
2005514675.tif 000078
【図３６】
2005514675.tif 000079
【図３７】
2005514675.tif 000080
【図３８】
2005514675.tif 000081
【図３９】
2005514675.tif 000082
【図４０】
2005514675.tif 000083
【図４１】
2005514675.tif 000084
【図４２】
2005514675.tif 000085
【図４３】
2005514675.tif 000086
【図４４】
2005514675.tif 000087
【図４５】
2005514675.tif 000088
【図４６】
2005514675.tif 000089
【図４７】
2005514675.tif 000090
【図４８】
2005514675.tif 000091
【図４９】
2005514675.tif 000092
【図５０】
2005514675.tif 000093
【図５１】
2005514675.tif 000094
【図５２】
2005514675.tif 000095
【図５３】
2005514675.tif 000096
【図５４】
2005514675.tif 000097
【図５５】
2005514675.tif 000098
【図５６Ａ】
2005514675.tif 000099
【図５６Ｂ】
2005514675.tif 000100
【図５６Ｃ】
2005514675.tif 000101
【図５６Ｄ】
2005514675.tif 000102
【図５７】
2005514675.tif 000103
【図５８】
2005514675.tif 000104
【図５９】
2005514675.tif 000105
【図６０】
2005514675.tif 000106
【図６１Ａ】
2005514675.tif 000107
【図６１Ｂ】
2005514675.tif 000108
【図６１Ｃ】
2005514675.tif 000109
【図６２】
2005514675.tif 000110
【図６３】
2005514675.tif 000111
【図６４Ａ】
2005514675.tif 000112
【図６４Ｂ】
2005514675.tif 000113
【図６５】
2005514675.tif 000114
【図６６】
2005514675.tif 000115
【図６７】
2005514675.tif 000116
【図６８】
2005514675.tif 000117
【図６９】
2005514675.tif 000118
【図７０】
2005514675.tif 000119
【図７１】
2005514675.tif 000120
【図７２】
2005514675.tif 000121
【図７３】
2005514675.tif 000122
【図７４】
2005514675.tif 000123