(57)【要約】方法および装置は、色域圧縮のために変分手法を使用する。色の値に適用されるアルゴリズムは、変分問題またはペナルティ関数を最小にする。この関数では、初期画像と最終画像との間の差分、およびこれらの画像間の勾配の差分が考慮される。一実施形態では、微細な解像度レイヤから粗い解像度レイヤを有する画像ピラミッドが構築され、プロセスは、最も粗い解像度レイヤを使用することにより開始される。２次計画法の効率的な数値解法により、リアルタイムでの結果が提供される。
2005517315.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
空間変化アルゴリズムを使用して入力画像の色域圧縮をするための方法であって、
前記入力画像を受け取る（１２１）ことと、
画像ピクセルの集合の色表現を変換（１９５）して、対応する電気的値の集合を生成することと、
前記空間変化アルゴリズムを前記電気的値の集合に適用（２０５、２１０、２１５、２２０）して、色圧縮された値の集合を生成することと、および
前記色圧縮された値の集合を出力画像に再変換する（２３０）こととを含む、方法。
【請求項２】
前記空間変化アルゴリズムは、以下の数式によって表される変分問題を最小にし、
【数１】
2005517315.tif 000020
上記数式において、Ωが前記入力画像の土台であり、αが負でない実数であり、Ｄ＝ｇ＊（ｕ−ｕ０）であり、ｇが、ゼロ平均および小さな分散σを有する正規化されたガウスカーネルであり、ｕ０が入力画像であり、ｕが出力画像である、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
高い値のαで前記変分問題の解を求めることと、
低い値のαで前記変分問題の解を求めることと、および
前記解を平均することとをさらに含む、請求項２に記載の方法。
【請求項４】
前記解を平均するステップが、
ｕｆｉｎａｌ［ｋ，ｊ］＝ｗ［ｋ，ｊ］ｕｓｍａｌｌ［ｋ，ｊ］（１−ｗ［ｋ，ｊ］）ｕｈｉｇｈ［ｋ，ｊ］
からなる、空間的に適応した重み付け方式を使用することを含み、
重みｗ［ｋ，ｊ］が、
ｗ［ｋ，ｊ］＝１／（１＋β｜∇ｇ＊ｕ０｜２）からなり、
βが負でない実数である、請求項３に記載の方法。
【請求項５】
前記変分問題は、
【数２】
2005517315.tif 000021
上記の数式に従って解かれる、請求項２に記載の方法。
【請求項６】
前記空間変化アルゴリズムが、
【数３】
2005517315.tif 000022
上記の数式に従って解かれる、請求項２に記載の方法。
【請求項７】
前記空間変化アルゴリズムが、以下の数式によって表される変分問題を最小にし、
【数４】
2005517315.tif 000023
ρ１およびρ２が、スカラ関数である、請求項１に記載の方法。
【請求項８】
前記入力画像をデシメート（１３３）して、画像ピラミッドを構成する１つまたは複数の解像度レイヤを作成することと、および
前記１つまたは複数の解像度レイヤのそれぞれについて、前記変分問題の解を求めることとをさらに含む、請求項２に記載の方法。
【請求項９】
色域圧縮するための方法であって、
入力画像の第１の比色値を、出力装置の第２の比色値に変換する（１９５）ステップであって、出力値が前記出力装置の色域の範囲内に制限される、ステップと、および
画像の差分問題の解を求める、空間変化アルゴリズムを使用するステップとを含む、方法。
【請求項１０】
色域圧縮を使用して画像の強調をするための方法であって、
入力画像を受け取る（１２１）ステップと、
前記入力画像から、複数の解像度レイヤを有する画像ピラミッドを構築する（１２３）ステップであって、その画像ピラミッドを構築することが、
前記入力画像を以下のガウスカーネルにより滑らかにする（１３２）ことと、
【数５】
2005517315.tif 000024
前記入力画像をデシメートする（１３３）ことと、
Ｓｐを、前記画像ピラミッドの最も粗い解像度レイヤを有する画像として、初期条件Ｌ０＝ｍａｘ｛Ｓｐ｝を設定する（１３７）こととを含む、ステップと、
各解像度レイヤを処理する（１２５）ステップであって、その処理が、
ｕを出力画像とし、ｕ０を前記入力画像とし、αを負でない実数として、
Ｇ＝Δ（ｕ−ｕ０）＋αｋ（ｕ−ｕ０）
からなる勾配Ｇを計算する（１４３）ことと、
μＮＳＤを、正規化された最も急勾配の降下パラメータとし、μ０を定数とし、ｋを前記画像ピラミッドの解像度レイヤの個数とし、ｊを特定の解像度レイヤとして、
μＮＳＤ＝ΣＧ２／（Σ（Ｇ＊ΔＧ）＋αＫΣＧ２）、および
Ｌｊ＝Ｌｊ−１−μ０・μＮＳＤ・Ｇ
からなる勾配降下繰り返しを完了する（１４５、１４７）ことと、
前記完了した勾配降下繰り返しを制約に投影する（１４８）ことと、
前記完了した勾配降下繰り返しを制約に投影することが、
【数６】
2005517315.tif 000025
によって与えられることにより、勾配繰り返しを完了することを含む、ステップと、
前記処理された解像度レイヤを使用して出力画像を計算する（１３０）ステップとを含む、方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本技術分野は、色域補正（gamut correction）を使用するカラー画像処理である。
【０００２】
背景
色域圧縮（gamut mapping）は、任意のレンダリング手段の制限された色空間に適合するようにカラー画像の表現を変更するために使用される方法である。普通紙にカラー画像の再現を試みるレーザジェットカラープリンタは、画像の「色域」としても知られている、所定の色の範囲内にある撮影された写真の色を、所定のプリンタ／ページの色域に圧縮（mapping：マッピング）しなければならない。従来の色域圧縮の方法は、ピクセル単位で圧縮（通常、予め定められたルックアップテーブル）することを含み、空間的な色の構成を無視している。より最近になって、色域圧縮に対して、空間的に依存する手法が提案された。しかしながら、これらの解決法は、ヒューリスティックな仮定に基づくか、または高い計算コストを必要とする。このような方法の例は、S. Nakauchi他著「Color Gamut Mapping Based on a Perceptual Image Difference Measure」Color Research and Application, Vol. 24, pp. 280-291 (1999)に説明されている。
【０００３】
別の方法は、原画像の勾配の大きさを保持すると共に、勾配を目標の色域に制約として投影することに依存する。このマルチスケールの特性は、サンプリングが垂直軸および水平軸に沿って行われている間、指数関数的に増加するサンプリング間隔で各ピクセルの周りの画像をサンプリングすることによって達成される。この方法は、人間のコントラストの感度関数による画像差分のＬ２尺度を調整することを含む。この方法は、図１に示すように、コントラストの感度関数が、空間周波数領域で与えられる３つの空間バンドパスフィルタＨ１、Ｈ２、Ｈ３（またはそれらの対応する空間フィルタとしてのｈ１、ｈ２、ｈ３）の線形の組合せであるモデルを使用する。
【０００４】
ＣＩＥＬＡＢ（シアン（Ｃ）、マゼンタ（Ｍ）、およびイエロー（Ｙ）の変換された信号をそれぞれ表すＬ、Ａ、およびＢ（より一般的にはＬ、ａ、ｂ）と国際照明委員会(CIE)の略語である）空間における画像ｕ０の色域圧縮の場合、この方法は、以下の汎関数を最小にする。
【０００５】
【数７】
2005517315.tif 000003
【０００６】
方程式（１）において、ｈｃｉは、スペクトルチャネルｃ∈｛Ｌ，a，ｂ｝に対応するフィルタであり、ｉ∈｛１，２，３｝は、「コントラスト感度」係数であり、Ωは、画像領域であり、
2005517315.tif 000004
は、目標の色域である。合計３つのスペクトルチャネルがあり、各スペクトルチャネルに対して３つのフィルタがあるので、合計９つのフィルタＨｃｉが含まれることに留意されたい。
【０００７】
フィルタＨｃｉは、シフトしたガウス分布によってモデル化される。Ｈｃｉはシフトせず、したがって、ｈｃｉもガウス分布である。一方、ｈｃ２およびｈｃ３は、異なる周期を有する２つの正弦関数によって変調されるガウス分布である。図２に示すようなｈｃ２およびｈｃ３の図形による解析は、ｈｃ２およびｈｃ３が、異なるスケールで導関数の演算子に近いことを示している。これら２つの勾配の近似演算子は、∇ｃσ１および∇ｃσ２によって示される。いかなるバンドパスフィルタも、導関数の演算子の変形とみなすことができることに留意されたい。さらに、１Ｄ導関数から２Ｄ導関数への１つの可能な拡張は、勾配である。したがって、方程式（１）の汎関数の最小化は、各チャネルに対して以下の汎関数を別々に最小化することと同様である。
【０００８】
【数８】
2005517315.tif 000005
【０００９】
大ざっぱに言って、第１項は、Ｓ−ＣＩＥＬＡＢの知覚尺度に対応する。一方、次の２つの項は、人間の知覚モデルによって決定された２つの選択されたスケールでの画像の変分と一致するための必要性を捕捉している。方程式（１）に対応する空間フィルタの１つの技術的な難しさは、空間フィルタの大きな数値のサポートである。
【００１０】
人間の色の知覚に関する別の簡単な空間スペクトル尺度は、Zhang他著「A Spatial Extension of CIELAB for Digital Color Image Reproduction」Proceeding of the SID Symposium, Vol. 27, pp. 731-34, (1996)に提案されている。「Ｓ−ＣＩＥＬＡＢ」は、ＣＩＥＬＡＢユークリッド知覚色に準拠する反対色空間において、空間バンドパス線形フィルタの構成により人間の色知覚の空間スペクトル尺度を定める。
【００１１】
概要
色域圧縮は、任意のレンダリング手段の制限された色空間に適合するようにカラー画像の表現を変更するための方法である。普通紙にカラー画像の再現を試みるレーザジェットカラープリンタは、画像の「色域」としても知られている、所定の色の範囲内にある撮影された写真の色を、所定のプリンタ／ページの色域に圧縮しなければならない。
【００１２】
方法および装置は、空間に依存する色域圧縮に変分手法を使用する。この方法は、問題に対する新しい尺度を提供する。この方法による公式の解は、目標の装置の色域が既知である場合に１つだけである。２次計画法の効率的な数値解法により、リアルタイムでの結果が提供される。
【００１３】
一実施形態では、方法は、入力画像を受け取ることと、画像ピクセルの集合の色表現を変換して、対応する電気的値の集合を生成することと、空間変化アルゴリズムを電気的値の集合に適用して、色圧縮された値の集合を生成することと、色圧縮された値の集合を出力画像に再変換することとを含む。空間変化アルゴリズムは、以下の数式によって表される変分問題を最小にする。
【００１４】
【数９】
2005517315.tif 000006
【００１５】
ここで、Ωは、画像の土台（support）であり、αは、負でない実数であり、Ｄ＝ｇ＊（ｕ−ｕ０）であり、ｇは、ゼロ平均および小さな分散σを有する正規化されたガウスカーネルである。
【００１６】
方法は、カメラおよびプリンタを含むさまざまな画像取り込み再現装置で実施され得る。方法は、例えばＣＤ−ＲＯＭなどのコンピュータ読み取り可能媒体に具現化され得る。
【００１７】
詳細な説明は、添付図面を参照し、添付図面において、同じ参照符号は、同じ対象物を指す。
【００１８】
詳細な説明
色域圧縮は、任意のレンダリング手段の制限された色空間に適合するようにカラー画像の表現を変更するために使用される方法である。普通紙にカラー画像の再現を試みるレーザジェットカラープリンタは、画像の「色域」としても知られている、所定の色の範囲内にある撮影された写真の色を、所定のプリンタ／ページの色域に圧縮しなければならない。従来の色域圧縮方法は、ピクセル単位で圧縮（通常、予め定められたルックアップテーブル）することを含み、空間的な色の構成を無視している。より最近になって、色域圧縮に対して、空間的に依存する手法が提案された。しかしながら、これらの解決法は、ヒューリスティックな仮定に基づくか、または高い計算コストを必要とする。
【００１９】
色域圧縮の問題は、照明補償およびダイナミックレンジ補償のレティネックス（Retinex）問題に関連する。基本的なレティネックス問題は、任意の取得画像から反射率画像をどのように推定するかということである。取得画像Ｓの妥当な光モデルでは、光モデルが、反射率画像Ｒと照明画像Ｌとの乗算であると仮定される。ここで、反射率画像は、あらゆる可視表面が単色の白色照明源によって照明されている場合に測定されたであろう仮想の画像であり、照明画像は、その場面で表面に陰影をつけられた実際の照明である。対数の領域では、以下のようになる。
ｓ＝ｒ＋ｌ
ここで、ｓ、ｒ、およびｌは、それぞれＳ、Ｒ、およびＬの対数である。表面のパッチは、それらに陰影をつけられた光よりも多くの光を反射できないので、Ｒ＜１⇒ｒ＜０である。したがって、理想的な状況では、画像ｒ＜０であり、これは、知覚的にｓと同様である。レティネックスの場合、物理的な理由から、さらなる制約がもたらされる。すなわち、照明画像ｌ＝ｓ−ｒが滑らかであるということ、つまり、勾配｜∇ｌ｜＝｜∇（ｒ−ｓ）｜が小さいということが追加される。しかし、このことは、照明がｓの知覚的特徴を生み出さないと仮定されるので、ｒの特徴がｓの特徴と類似していることを別の言い方で言っているにすぎない。色域圧縮問題では、画像ｕ０が存在し、その問題は、画像
2005517315.tif 000007
を推定することである。この画像ｕは、ｕ０に知覚的に類似しているだけでなく、ｕ０と類似した知覚的特徴も有する。
【００２０】
画像偏差の良好な尺度は、初期画像ｕ０と最終画像ｕとの間の知覚の差分を捕捉する。これは、以下の数式によってモデル化される。
Ｄ＝ｇ＊（ｕ−ｕ０）                                            （３）
ここで、ｇは、ゼロ平均および小さな分散σを有する正規化されたガウスカーネルとすることができる。このモデルは、小さな偏差に対して有効である。しかしながら、大きな偏差に対して、このモデルは、可能な知覚的特徴の差を考慮するように精巧に作り上げられるべきである。この可能な知覚的特徴の差は、勾配の差によってモデル化されることができ、その線形性のため、方程式（３）の勾配となることが分かる。
∇Ｄ＝∇［ｇ＊（ｕ−ｕ０）］＝ｇ＊（∇ｕ−∇ｕ０）                  （４）
提案された尺度により、以下の汎関数が得られる。
【００２１】
【数１０】
2005517315.tif 000008
【００２２】
この汎関数は、最小化されるべきである。
【００２３】
ｕに関して、方程式（５）の第１の変分を行うと、以下のオイラー・ラグランジュの方程式が得られる。
【００２４】
【数１１】
2005517315.tif 000009
【００２５】
ｕについての勾配降下フローとして方程式（６）を再定式化すると、以下の最小化方式が与えられる。
【００２６】
【数１２】
2005517315.tif 000010
【００２７】
汎関数（方程式（５））およびその結果の最小化方式は、ともに画像平面においてユークリッド不変量である。したがって、それらは、平行移動および回転の双方で不変である。パラメータαを０にすると、Ｓ−ＣＩＥＬＡＢモデルは近似され、有効なαについて、その結果は、知覚尺度に対する適切な拡張であり、効率的な数値的実施を伴う。
【００２８】
数値的な解を提供するために、人工的な時間パラメータｔが、画像ｕ（ｘ，ｙ）に追加されたことを思い出されたい。ここで、時間パラメータｔが追加された画像を、ｕ（ｘ，ｙ，ｔ）と読み替える。最初のステップは、以下のｔの導関数に対して単純な前方明示的近似（forward explicit approximation）を最初に行うことにより、オイラー・ラグランジュ勾配降下方程式を離散化することである。
（ｕｎ＋１−ｕｎ）／τ＝αｇ＊ΔＤ−ｇ＊Ｄ
ここで、τ＝ｄｔであり、ｕｎ（ｘ，ｙ）≒ｕ（ｘ，ｙ；ｎτ）である。
【００２９】
次に、空間導関数が解かれる。ｕｎｉｊ≒ｕ（ｉｈ，ｊｈ，ｎｔ）とする。ここで、サイズｈのｘ方向およびｙ方向において、一様な空間的間隔を仮定する。空間に中央導関数を使用すると、次のようになる。
ｕｘｘ≒Ｄｘｘｕ≡（ｕｉ＋１−２ｕｉ＋ｕｉ−１）／ｈ２
ｕｘ≒Ｄｘｕ≡（ｕｉ＋１−ｕｉ−１）／２ｈ
ｙ方向についても同じである。関係ｇ＊Ｄｘｘ（ｇ＊ｕ）＝ｇｘ＊ｇｘ＊ｕを使用すると、このアルゴリズムは、次に、カーネルＤ２＝ｇｘ＊ｇｘ＋ｇｙ＊ｇｙ＝Ｄｘｇ＊Ｄｘｇ＋Ｄｙｇ＊Ｄｙｇを計算する。明示的近似は、以下のように読み替えられる。
【００３０】
【数１３】
2005517315.tif 000011
【００３１】
収束を速くするために、粗い画像から微細な画像を求める標準的なピラミッド型手法が好ましい。例えば、原画像Ｓは、５１２×５１２ピクセルの集合からなることができる。次に、例えば隣接する４つのピクセルごとにピクセルを取り出して、その４つのピクセルのブロックを、その４つのピクセルの平均値を表す値を有する１つのピクセルに置き換えることにより、画像Ｓの平均値を下げる（サブサンプリングまたはデシメート）することができる。これにより、画像は、２５６×２５６ピクセルの集合になる。サブサンプリングを継続して、次に、１２８×１２８に削減されたピクセルからなるピクセルの集合、すなわちレイヤを生成することができる。このプロセスを続けることができ、その結果として生成される各レイヤは、原画像Ｓを次第に粗くしたバージョンとなる。最終的なレイヤは、２×２ピクセルのみの集合となり、おそらく不明瞭になる。細部を次第に粗くするサブサンプリングまたはデシメートのプロセスは、画像ピラミッドという結果になる。原画像Ｓは、５１２×５１２ピクセルで画像ピラミッドの底辺を表し、その上に２５６×２５６ピクセルのレイヤ、１２８×１２８ピクセルのレイヤ、６４×６４ピクセルのレイヤなどが続く。この画像ピラミッドの手法を使用することにより、方程式（５）の汎関数に対する解の収束を速くすることが可能になる。プロセスは、最も粗いレイヤの画像ピラミッドを使用して、解が得られるまで、多数の繰り返しを実行することにより開始される。次に、その解を使用して、次のより微細なレイヤの画像ピラミッドが初期化され、解に到達するための計算が少なくなるという結果になる。このプロセスは、最も微細なレイヤ（例えば、Ｓについて最大解像度の原画像の集合）に到達するまで続けられる。画像ピラミッドに対する代案として、フルマルチグリッド法を使用してもよい。
【００３２】
方程式（５）の汎関数は、ペナルティ項が２次方程式であり、制約が１次式であるので、２次計画法（Quadratic Programming：ＱＰ）の形態を有する。集合
2005517315.tif 000012
が凸である場合には、汎関数方程式（５）のヘッシアンが正の定符号であるとき、かつそのときに限り、問題全体は凸となる。こうした場合に、問題に対する広域解でもある唯一の局所極小が存在する。上記実施形態では、ヘシアンは、ｇ＊（１−αΔ）＊ｇによって与えられ、これは、α＞０のすべてのαに対して正の定符号になる。したがって、目標の凸の色域
2005517315.tif 000013
に対して、唯一の解が存在する。
【００３３】
上述した汎関数（方程式（５））を撮像装置に使用して、画像の色域を、その画像の再現を試みる装置の色域に圧縮することができる。図３は、方程式（５）の汎関数にしたがって色域圧縮に使用され得る装置１００のブロック図である。画像取り込み装置１０１は、入力原画像を受け取り、出力画像Ｓ１０２を生成する。出力画像Ｓ１０２は、比色値画像を表す電気信号である。例えば、取り込み装置１０１は、原画像の各ピクセルの少なくとも３つの比色値を、対応する電気信号に変換することができる。これらの電気信号は、例えばＬ値、ａ値、ｂ値を示すことができる。他の比色値は、ＸＹＺ三刺激値およびＬ、Ｕ、ＶまたはデバイスディペンデントなＲＧＢ値とすることができる。色域マッパ１０５は、色域内の画像Ｓ´１０６を生成する。最後に、レンダリングモジュール１０７が、レンダリングされた画像Ｓ″１０８を提供する。レンダリングモジュール１０７は、カラーレーザプリンタとして実施され得る。画像の再現が行われるべき装置の色域制限が与えられると、このように生成された画像Ｓ″１０８は、最良に適合した画像を表すことができる。
【００３４】
画像Ｓ１０２は、取り込みモジュール１０３によって検知されたような画像を表すことができる。色域マッパ１０５は、画像Ｓ１０２の値を抽出して、その値を画像再現装置１０７の色域に圧縮するためにアルゴリズムを適用する。特に、色域マッパ１０５は、方程式（５）によって表される問題の解を求めるアルゴリズムを適用することができ、それによって、色域圧縮問題の解を求め、出力画像Ｓ″１０８を最適化する。
【００３５】
図４は、色域圧縮機能を完全に行うために使用され得るアルゴリズム１２０のルーチンを示すブロック図である。一実施形態では、アルゴリズム１２０は、方程式（５）の汎関数に数値的解を提供する。
【００３６】
アルゴリズム１２０は、入力ブロック１２１から開始する。入力ブロック１２１では、サイズ［Ｎ，Ｍ］の画像Ｓならびに２つのパラメータαおよびβが、アルゴリズム１２０に入力される。
【００３７】
初期化ブロック１２３では、画像Ｓのガウスピラミッドが計算される。このように構築されたピラミッドは、ｐ個の解像度レイヤ（微細なレイヤ（１）から粗いレイヤ（ｐ）まで）を含み、現在の解像度レイヤ（ｋ）はｐに設定される。すべての解像度レイヤが、ブロック１２７でチェックされるまで、ブロック１２５において、勾配降下アルゴリズムのＴｋ回の繰り返しが、第ｋ番目の解像度レイヤに適用される。ブロック１２９では、次の解像度レイヤが更新される。すべての解像度レイヤが処理されると、その結果が、アルゴリズム１２０の最終的な出力となる。
【００３８】
図５は、初期化ルーチン１２３をより詳細に示すブロック図である。ブロック１３１では、カウンタがｉ＝１により初期化される。ブロック１３２では、カーネル、例えば以下のカーネルｋＰＹＲでもって画像を滑らかにすることによって、ガウスピラミッドが構築される。
【００３９】
【数１４】
2005517315.tif 000014
【００４０】
ブロック１３３では、例えば２：１の比によって、画像がデシメートされる。このプロセスは繰り返され（ブロック１３４）、カウンタは、ｐ回インクメントされる（ブロック１３５）。ここで、ｐ＜ｌｇ２（ｍｉｎ（Ｍ，Ｎ））である。このプロセスは、慣習的に「Ｓのガウスピラミッド」と呼ばれる一連の画像｛Ｓｋ｝ｐｋ＝１を生成する。画像Ｓ１は、原画像Ｓであり、画像Ｓｐは、ガウスピラミッドの最も粗い解像度を有する画像である。
【００４１】
ブロック１３７では、このプロセスは、ｋ＝ｐに設定する。すなわち、このプロセスは、最も粗い解像度レイヤｋから開始して、初期条件Ｌ０＝ｍａｘ｛Ｓｐ｝に設定する。
【００４２】
図６は、メイン処理ルーチン１２５の一実施形態のブロック図である。このルーチン１２５は、ブロック１４１で開始する。このブロック１４１では、新しい解像度レイヤが、初期化されて、Ｔｋおよびαｋが設定される（例えば、ＴＫ＝Ｋ＊Ｔ０）。
【００４３】
次に、ｊ＝１，…，Ｔｋについて、以下の処理が行われる。
【００４４】
ブロック１４３において、ルーチン１２５は、勾配を計算する。すなわち、
Ｇ＝Δ（ｕ−ｕ０）＋αｋ（ｕ−ｕ０）
ここで、Δｘは、以下のＫＬＡＰによるｘの色平面のそれぞれの畳み込みである。
【００４５】
【数１５】
2005517315.tif 000015
【００４６】
ブロック１４５において、ルーチン１２５は、以下のμＮＳＤを計算する。
μＮＳＤ＝ΣＧ２／（Σ（Ｇ＊ΔＧ）＋αＫΣＧ２）
【００４７】
ブロック１４７において、ルーチン１２５は、以下の勾配降下繰り返しを完了する。
Ｌｊ＝Ｌｊ−１−μ０・μＮＳＤ・Ｇ
ここで、μ０は定数であり、例えばμ０＝０．８である。
【００４８】
ブロック１４８において、以下のようにして、結果が制約に投影される。
【００４９】
【数１６】
2005517315.tif 000016
【００５０】
ブロック１４９において、ｊ≠ＴＫである場合には、処理はブロック１４３に戻る。そうでない場合には、このルーチン１２５は終了する。
【００５１】
図４に戻って、ブロック１２７において、ｋ＞１である場合には、次の解像度ｋ−１レイヤの初期化として、新しいＬ０へピクセルを複製することにより、結果ＬＴｋが（２：１の比で）拡大される。解像度レイヤは、ｋ＝ｋ−１に更新され、アルゴリズムは、ブロック１２５に再び行くことにより進む。ｋ＝１である場合には、結果ＬＴ１が、アルゴリズム１２０の最終的な出力となる。
【００５２】
図７は、１２０ａとして示される代替の実施形態のアルゴリズムルーチンのブロック図である。このルーチン１２０ａは、以下の方程式の解を求めるために適用され得る。
【００５３】
【数１７】
2005517315.tif 000017
【００５４】
ルーチン１２０ａは、ブロック１５１から開始する。ブロック１５１において、カーネルＤ２およびｇ、ならびにカウンタｋが初期化される。
【００５５】
ブロック１５３において、ルーチン１２０ａは、以下の数式を計算する。
【００５６】
【数１８】
2005517315.tif 000018
【００５７】
ブロック１５５において、ルーチン１２０ａは、以下の数式を計算する。
Ｌｎ＝Ｄ２＊（ｕｎ−ｕ０）
【００５８】
ブロック１５７において、ルーチン１２０ａは、勾配ステップを実行して、上述したようなｕｎ＋１ｉｊを解く。
【００５９】
ブロック１５８において、ルーチン１２０ａは、ｋ＞１かどうかを判定する。ｋ＞１である場合には、処理は、ブロック１５９に移動し、ｋがｋ−１に設定される。次に、処理は、ブロック１５３に戻る。ｋ＞１でない場合には、ルーチン１２０ａは終了する。
【００６０】
方程式（５）に示されるようなペナルティ関数は、結果として生じる画像にハローを生成する傾向がある。図８は、それらのハローの原因を１次元の例を通じて説明している。図８は、（破線１６３および１６４によりグレーの範囲が定められた）色域１６２の範囲外にある元の信号１６０を示す。信号１６０を色域１６２に投影すると、その結果は、「ハイ」（１６３）と示された一定値になり、すべての細部が失われる。また、図８は、元の信号１６０の処理結果も示す。破線１６５は、信号１６０を色域１６２の許容範囲にスケーリングした結果を表す。すべての細部は保持されるが、コントラストは小さくなる。点演算とは対照的に、方程式（５）によって表される、空間に依存する手法により、高いコントラストを有する細部を保持する信号１６６（実線）がもたらされる。しかしながら、ハローが、強いエッジ１６７の近くで発生し、これは、エッジ１６７の近くで、ローの値からハイの値へゆっくりとした遷移が存在することを意味する。
【００６１】
これらの現象を回避するために、ペナルティ項を変更することができ、ローバストな推定ツールを使用することができる。方程式（５）の元のペナルティ項を、以下の数式によって置き換えることができる。
【００６２】
【数１９】
2005517315.tif 000019
【００６３】
この数式は、ρ１（ｘ）＝ρ２（ｘ）＝ｘ２の場合に、方程式（５）と一致する。ｘ→∞として、関数ρ（ｘ）が、ｘ２よりもゆっくりと大きくなると、強いエッジの近くの振舞いは改善される。ρ（ｘ）の好都合な候補は、ρ（ｘ）＝｜ｘ｜またはρ（ｘ）＝（１＋ｘ２）１／２である。
【００６４】
同様のローバストな振舞いを有する、別のより単純な（線形）手法は、２つの異なる値のαを用いて、元の方程式（５）を２回解くことを含む。小さなαを用いた解をｕｓｍａｌｌと表し、高い値のαに対応する解をｕｈｉｇｈと表す。解ｕｓｍａｌｌは、小さな細部を有する領域でより小さいコントラストを有するが、まだほとんどハローを有しない。一方、解ｕｈｉｇｈは、小さな細部を保持するが、その代償として、強いハロー効果を有する。これらの２つの結果（ｕｓｍａｌｌおよびｕｈｉｇｈ）を、空間的に適応性のある態様で平均化することにより、単純な改善された解が提供される。したがって、この改善された解は、以下の数式となる。
ｕｆｉｎａｌ［ｋ，ｊ］＝ｗ［ｋ，ｊ］ｕｓｍａｌｌ［ｋ，ｊ］（１−ｗ［ｋ，ｊ］）ｕｈｉｇｈ［ｋ，ｊ］
重みｗ［ｋ，ｊ］は、ほぼ強いエッジの近くの重みにされるべきであり、比較的滑らかな領域ではほぼゼロにされるべきである。一実施形態において、以下の数式が、ローバストな推定を提供する。
ｗ［ｋ，ｊ］＝１／（１＋β｜∇ｇ＊ｕ０｜２）
【００６５】
ハローの問題は、最近、ダイナミックレンジ圧縮に関連して対処されている。提案された解には、異方性拡散およびローバストなフィルタリングが含まれていた。本明細書に記載されたハローに関連した解は、同じハロー問題に対する解である。
【００６６】
図９は、色域マッパ１０５の動作１８０を示すフローチャートである。このプロセスは、開始ブロック１８５で開始する。変換器ブロック１９５において、未処理の画像Ｓが、任意の値（比色値）を有する電気信号から局所的に定められた色記述に変換される。
【００６７】
ブロック２００において、変換された画像信号が、デシメートされて、画像ピラミッドが形成される。例えば、２：１のデシメート方式を使用することができる。動作１８０の後続のステップは、空間変化アルゴリズムを使用して、画像ピラミッドの最も粗い解像度レイヤから開始する。ブロック２０５において、色域マッパ１０５は、方程式（５）によって表されるような空間変化アルゴリズムを使用して、最も粗い解像度レイヤの画像偏差を計算する。このプロセスには、最初の変分を計算する（ブロック２１０）こと、勾配降下フローを求める（ブロック２１５）こと、および制約を条件として、結果の勾配の解を求める（ブロック２２０）ことが含まれる。ブロック２２５では、現在の解像度レイヤが最後の（最も微細な）解像度レイヤであるかどうかの判定が行われる。処理するためのさらなるレイヤが残っている場合には、プロセス１８０は、ブロック２０５に戻る。そうでない場合には、プロセス１８０は、ブロック２３０に移動し、ブロック２３０において、局所的な色記述が、必要な出力フォーマットに変換される。ブロック２４５で、プロセス１８０は終了する。
【００６８】
方程式（５）によって表されるような上述の空間変化アルゴリズム１２０は、例えば図１０に示されるような汎用コンピュータシステム２５０を使用して実行され得る。コンピュータシステム２５０は、入力装置２６０、コンピュータユニット２７０、ディスプレイ２８０、キーボード２９０、および記憶装置３００を含む。記憶装置３００は、例えばＣＤ−ＲＯＭドライブとすることができる。アルゴリズム１２０、１２０ａおよび１８０を実行するためのプログラムコード命令は、ＣＤ−ＲＯＭ３０５または他のコンピュータ読み取り可能メモリに格納されることができ、それらは記憶装置３００によって読み出される。ＣＤ−ＲＯＭ３０５から読み出されたプログラムコードは、コンピュータユニット２７０のＣＰＵによって実行される。ＣＰＵは、図９のフローチャートによって示される処理を実行することができる。また、アルゴリズム１２０、１２０ａ、および１８０は、カメラまたはプリンタハードウェアで実行されることもできる。
【図面の簡単な説明】
【００６９】
【図１】スペクトル領域における人間のコントラスト感度関数をモデル化したフィルタの定性的な図である。
【図２】シフトしたガウス分布を示す図である。
【図３】色域圧縮に変分手法を使用する装置のブロック図である。
【図４】図３の装置と共に使用されるアルゴリズムおよびプロセスを示す図である。
【図５】図３の装置と共に使用されるアルゴリズムおよびプロセスを示す図である。
【図６】図３の装置と共に使用されるアルゴリズムおよびプロセスを示す図である。
【図７】図３の装置と共に使用されるアルゴリズムおよびプロセスを示す図である。
【図８】図３の装置によって使用されるアルゴリズムの振舞いの例を示す図である。
【図９】図３の装置の代替の動作を示すアルゴリズムのフローチャートである。
【図１０】図４のアルゴリズムを実施するコンピュータシステムのブロック図である。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【国際調査報告】
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