(57)【要約】【課題】  空間依存色域マッピングの変分モデルを提供する。【解決手段】  この変分モデルは、色域制約を入力すること（１１０）、および１次元色域投影方式であって、変換色座標系を選択すること（１１５）、変換式を計算すること（１２０）、および色域条件を検証することを含む、１次元色域投影方式、を選ぶことを含む。また、このモデルは、所与の色座標系にあるレンダリングされる原画像を入力すること（１３５）、色域制約（１２５）、画像（１４０）、および変換式を変換色座標系に変換することであって、それによって、３次元関数を１次元２次汎関数に変換する、変換すること、汎関数の最小解を求めること（１５０）、および変換色座標系の投影画像をレンダリングデバイスの色座標系に変換すること（１５５）も含む。
2005520440.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
空間依存色域マッピングを使用してカラー画像をレンダリングする方法であって、
色域制約を入力すること（１１０）と、
１次元色域投影方式であって、
変換色座標系を選択すること（１１５）と、
変換式を計算することと、
色域条件を検証することと
を含む１次元色域投影方式を選ぶことと、
所与の色座標系にあるレンダリングされる原画像を入力することと、
前記色域制約、前記画像、および前記変換式を前記変換色座標系に変換すること（１２０、１２５、１３０、１４０）であって、それによって、３次元２次汎関数が１次元２次汎関数に変換される、変換すること（１２０、１２５、１３０、１４０）と、
前記色域制約および導関数の制約を受ける前記汎関数の最小解を求めること（１５０）と、
前記変換色座標系の投影画像をレンダリングデバイスの色座標系に変換すること（１５５）と
を含む方法。
【請求項２】
前記３次元汎関数は、
【数１】
2005520440.tif 000012
によって与えられる
請求項１に記載のカラー画像をレンダリングする方法。
【請求項３】
前記汎関数は、制約
（ｆｐ１，ｆｐ２，ｆｐ３）∈Γ、かつ、
ｉ＝１，２，３について、
（∂ｘｆｉ）２≧（∂ｘｆｐｉ）（∂ｘｆｉ）≧０，（∂ｙｆｉ）２≧（∂ｙｆｐｉ）（∂ｙｆｉ）≧０
を受け、ここで、αｉ，βｉはパラメータであり、ｋｉは平滑化カーネルであり、
ｆｉは元の座標であり、
ｆｐｉは該元の座標の投影であり、
∂ｘ，∂ｙはそれぞれ空間座標ｘ，ｙに関する偏導関数を示す
請求項２に記載のカラー画像をレンダリングする方法。
【請求項４】
前記変換された１次元汎関数は、
（６ａ）  （ｆｘｉ）２−（ｆｘｉ）（ｎｘｉ）≧（ｆｘｉ）（ｍｘｉ）ｓｐ＋（ｆｘｉ）（ｍｉ）∂ｘｓｐ≧−（ｆｘｉ）（ｎｘｉ）
（６ｂ）  （ｆｙｉ）２−（ｆｙｉ）（ｎｙｉ）≧（ｆｙｉ）（ｍｙｉ）ｓｐ＋（ｆｙｉ）（ｍｉ）∂ｙｓｐ≧−（ｆｙｉ）（ｎｙｉ）
に制約される
【数２】
2005520440.tif 000013
によって与えられ、ここで、ｓｐはターゲットの色域上へのｓの投影であり、ｍｉおよびｎｉは微分可能な関数である
請求項１に記載のカラー画像をレンダリングする方法。
【請求項５】
前記色座標は、ｌ，ｈ，ｓであり、前記変換式はｆｉ＝ｍｉ（ｌ，ｈ）ｓ＋ｎｉ（ｌ，ｈ）である
請求項１に記載のカラー画像をレンダリングする方法。
【請求項６】
空間依存色域マッピングを使用してカラー画像をレンダリングする方法であって、
正の有界で微分可能な第１の関数ｆによって定義される原画像表現を受け取ること（１３５）と、
前記原カラー画像を色域空間にマッピングすること（１４０、１４５）であって、該マッピングされた画像表現が、正の微分可能な第２の関数ｇである、マッピングすること（１４０、１４５）と、
前記第１の関数ｆと前記第２の関数ｇとの間の距離測度の第１の最小化を行うこと（１５０）と
を含むカラー画像をレンダリングする方法。
【請求項７】
前記第１の関数ｆの導関数ｆ'と前記第２の関数ｇの導関数ｇ'との間の距離測度の第２の最小化を行う（１５０）こと
をさらに含み、
（ｆ'）２≧ｇ'ｆ' ≧０である
請求項６に記載のカラー画像をレンダリングする方法。
【請求項８】
前記第１の最小化を行うステップおよび前記第２の最小化を行うステップは、完了し、１次元汎関数
∫（ｋ＊（ｆ−ｇ））２ｄｘ＋α∫（（ｋ＊（ｆ−ｇ））'）２ｄｘ
が最小にされる
請求項７に記載のカラー画像をレンダリングする方法。
【請求項９】
前記第１の関数ｆの導関数ｆ'と前記第２の関数の導関数ｇ'との間の相対的な距離測度の第２の最小化を行うこと
をさらに含み、
ｇ<ｍｉｎ（ｃ，ｆ）であり、
０≦（ｋ＊ｇ）'／（ｋ＊ｆ）'≦１であり、
ｋは平滑化カーネルである
請求項６に記載のカラー画像をレンダリングする方法。
【請求項１０】
空間依存色域マッピングを使用してカラー画像をレンダリングする方法であって、
Ｌａｂ空間の入力カラー画像を受け取ること（２３５）と、
変換関数
【数３】
2005520440.tif 000014
に従って新たな色座標ｌ，ｈ，ｓを定義すること（２４０）と、
色域体積の色域制約を入力すること（２４５）と、
前記変換関数を使用して前記色域体積、前記画像、および前記色域制約を変換すること（２４５）であって、それによって、３次元汎関数が１次元２次汎関数に変換される、変換すること（２４５）と、
前記１次元汎関数の最小解を求めること（２５０）であって、投影画像が導出される、最小解を求めること（２５０）と、
前記新たな色座標系の前記投影画像をＬａｂ空間の色座標系に変換すること（２５５）と
を含む方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本技術分野は、カラー画像の再生成である。
【０００２】
［背景］
色域マッピングは、カラー画像の視覚品質の維持を試みつつ、所与のレンダリング媒体の制約された色空間にカラー画像をマッピングする方法である。
ターゲットのカラー空間は、「色域（color gamut）体積」と呼ばれる。
【特許文献１】国際公開第０２／１０４００２号
【特許文献２】欧州特許出願公開第１  ０９８  ５１０号
【非特許文献１】S. NAKAUCHI, S. HATANAKA 及びS. USUI, 「Color Gamut Mapping Based on a Perceptual Image Defference Measure」, 1999年, COLOR RESEARCH AND APPLICATION, vol. 24, No. 4, p280-291
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
古典的な色域マッピングアルゴリズムは、固定された色域マッピング参照表を使用し、投影画像の空間的な色の構成を無視する。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
［概要］
カラー画像のレンダリングを改良するために、ターゲットの色域が凸状である必要のない色域マッピングの変分モデルを説明する。
このモデルは、１次元色域投影方式であって、変換色座標系を選択すること、変換式を計算すること、および色域条件を検証することを含む、１次元色域投影方式を選ぶこと、所与の色域制約に基づくこと、所与の色座標系にあるレンダリングされる原画像を入力すること、色域制約、画像、および変換式を変換色座標系に変換することであって、それによって、３次元汎関数が１次元２次汎関数に変換される、変換すること、汎関数の最小解を求めること、および変換色座標系の投影画像をターゲットの色座標系に変換すること、を含む。
このハロー除去方法は、まず、１次元定式化で説明することができる。
次いで、真の３次元定式化は、この１次元定式化に帰着することができる。
３次元汎関数の１次元汎関数へのこの帰着は、ハロー除去に加えて画像処理の他の態様にも使用することができる。
【０００５】
一実施の形態では、１次元汎関数は、連続的な画像表現に適用される。
別の実施の形態では、１次元汎関数は、離散的な画像表現に適用される。
【０００６】
色域マッピングの変分モデルは、レンダリングされた画像のハローの除去にも使用してよい。
ハローは、レンダリングされた画像のオブジェクトのエッジに現れるアーティファクトであり、投影画像の勾配のサイズに対して局所的な制限がないことから引き起こされる。
ハロー問題を解決する変分モデルの一実施の形態は、ｆ（ｘ）と表記される原画像表現が、有界区間上で定義された正の有界で微分可能な関数であると仮定される１次元色域マッピング問題の定義に基づいている。
ｇ（ｘ）≦ｃ（ｘ）による制約を受ける正の微分可能な関数であるｇ（ｘ）と表記される投影画像表現が、投影画像が原画像の視覚品質を維持するという目的で求められる。
この目的は、２つの関数ｆ（ｘ）およびｇ（ｘ）の値間の平均距離およびそれら２つの関数の導関数の値（画像のエッジを表す）間の平均距離が小さいという要求事項に変換される。
ハロー現象を除去するために、ｇの導関数ｇ'に対する２つの制約（（ｆ'）２≧ｇ'ｆ'≧０）が追加され、投影画像の変化が原画像の変化よりも小さくなるように制限する。
この追加された制約は、画像をより小さな色域体積に投影するという直感的な概念と一致する。
追加された制約は、各ピクセルにおいて、投影画像の導関数が、同じ符号を有するが、原画像の導関数よりも小さな値を有することを確実にするものである。
これらの制約が与えられると、画像距離項および対応する導関数距離項を含む１次元汎関数を解くことができ、それによって、ハロー問題を除去する投影画像が得られる。
例えば画像距離項のｆ（ｘ）をｍｉｎ（ｆ（ｘ），ｃ（ｘ））に置き換えること、および、ｇ（ｘ）≦ｍｉｎ（ｃ（ｘ），ｆ（ｘ））であることを必要とすることといった改良を、この１次元定式化に追加して統合することもできる。
ハロー問題を解決する変分モデルの別の実施の形態は、先の実施の形態におけるような絶対距離ではなく、導関数間の相対距離を使用する。
【０００７】
詳細な説明は添付図面を参照する。
添付図面において、同じ参照符号は、同じ対象を参照する。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００８】
［詳細な説明］
色域マッピングは、所与のレンダリング媒体の制約された色空間に適合するようにカラー画像の表現を変更するのに使用される。
例えば、カラー画像を普通紙上に再現することを試みるレーザジェットカラープリンタは、画像の「色域」としても知られている所与の色範囲で撮影された写真の色を、所与のプリンタ／ページの色域へマッピングしなければならない。
従来の色域マッピング方法は、ピクセルごとのマッピング（通例、事前に定義された参照表）を必要とし、空間的な色の構成を無視する。
【０００９】
カラー画像色域マッピングの変分手法（variational approach）は、画像差分測度に基づくものである。
この画像差分測度は、２つの項を組み合わせたものである。
第１項は、原画像の元の色の維持を目的とした標準的なＬ２距離測度である。
第２項は、画像の勾配のＬ２距離測度であり、これは、原画像の変化を保持するものである。
この変分手法は、各色チャネル、例えばＲ、Ｇ、およびＢに対して個別に作用し、したがって、１次元（１Ｄ）手法として提供することができる。
【００１０】
１つの色チャネルのみを考慮すると、画像Ｓは、有界領域Ω上で定義された正の有界で微分可能な関数ｆ（ｘ，ｙ）によって表現することができる。
この表現を、１Ｄのケースでは線間隔への投影に低減する、制限された色域に投影するには、以下の汎関数を最小にする正の微分可能な関数ｇ（ｘ，ｙ）を見つけ出すことが必要になる。
【００１１】
【数４】
2005520440.tif 000003
【００１２】
ただし、ｃｌ≦ｇ（ｘ，ｙ）≦ｃｈを条件とする。
ここで、ｃｌおよびｃｈは１Ｄのターゲットの色域制限を表す定数であり、ｋ（ｘ，ｙ）は平滑化するカーネルであり、αはパラメータである。
この最小化問題は、効率的な２次計画法（ＱＰ）反復方法によって解くことができる。
一般性を失うことなく、色域制約ｃを一方だけとしてｇ（ｘ，ｙ）≦ｃとして取り扱うこともできる。
【００１３】
色域マッピングのこの変分手法には、２つの主要な欠点がある。
第１に、効率的なＱＰ解が、元の３次元問題を３つの独立した１次元問題に分割し、この１次元問題のそれぞれが単純なｇ（ｘ，ｙ）≦ｃの形の制約を有することに基づいている。
しかしながら、実際の色域体積は、一般の色空間のいずれの単純なボックスとも大幅に異なる。
したがって、実際の色域マッピング問題は、３つの独立した１次元問題として解くことはできない。
実際に、色域体積は、通常、非凸体（non-convex body）であり、したがって、変分手法に基づく解は収束しないことがある。
【００１４】
変分手法に関連する第２の欠点は、変分手法によって作成された投影画像が、画像のエッジ近くでハローアーティファクトを有するということである。
このようなハローアーティファクトは、投影画像の勾配のサイズに局所的な制限がないことから形成される。
【００１５】
色域マッピング問題の補正された変分定式化によって、ハロー現象は除去され、一定の前提が与えられると、非凸の色域体積の場合であっても、３次元色域マッピング問題は１次元ＱＰ問題に帰着される。
【００１６】
簡単にするために、以下の説明は、有界区間上で定義されたスカラー関数を考慮するものとする。
次元領域上で定義された３次元関数であるカラー画像への拡張については、後述する。
【００１７】
ハロー問題を解決する変分モデルの一実施の形態は、１Ｄ色域マッピング問題の以下の定義に基づく。
すなわち、ｆ（ｘ）と表記される原画像表現を、有界区間上で定義された正の有界で微分可能な関数とする。
ｇ（ｘ）≦ｃ（ｘ）による制約を受ける正の微分可能な関数であるｇ（ｘ）と表記される投影画像表現を、投影画像が原画像の視覚品質を維持するという目的で求める。
この目的は、２つの関数の値間の平均距離およびそれら２つの関数の導関数の値（画像のエッジを表す）間の平均距離が小さいという要求事項に変換される。
ハロー現象を除去するために、投影画像の変化が原画像の変化よりも小さくなるように制限する制約が追加される。
この追加された制約は、画像をより小さな色域体積に投影するという直感的な概念と一致する。
色域マッピング問題を記述する補正された変分定式化は、ここでは以下の汎関数を最小にする関数ｇ（ｘ）を求めよ、と解釈される。
（２）  ∫（ｋ＊（ｆ−ｇ））２ｄｘ＋α∫（（ｋ＊（ｆ−ｇ））'）２ｄｘ
ただし、この汎関数は、ｇ（ｘ）≦ｃ（ｘ）および（ｆ'）２≧ｇ'ｆ'≧０の制約を受ける。
第２の制約（（ｆ'）２≧ｇ'ｆ'≧０）は、各ピクセルにおいて、投影画像の導関数が、同じ符号を有するが、原画像の導関数よりも小さな値を有することを確実にするものである。
例えばＬ２項のｆ（ｘ）をｍｉｎ（ｆ（ｘ），ｃ（ｘ））に置き換えること、および、ｇ（ｘ）≦ｍｉｎ（ｃ（ｘ），ｆ（ｘ））であることを必要とすることといった改良を、この定式化（すなわち式２）に追加して統合することもできる。
【００１８】
ハロー問題を解決する変分モデルの別の実施の形態は、式（２）に登場する絶対距離ではなく、導関数間の相対距離を使用するものである。
すなわち、以下の汎関数を最小にする関数ｇ（ｘ）を求めるものである。
（３）  ∫（ｋ＊（ｆ−ｇ））２ｄｘ＋α∫（（ｋ＊ｇ）'／（ｋ＊ｆ）'−１）２ｄｘ
ただし、この関数は、制約ｇ（ｘ）≦ｍｉｎ（ｃ（ｘ），ｆ（ｘ））および０≦（ｋ＊ｇ）'／（ｋ＊ｆ）'≦１を受ける。
【００１９】
この最適化問題は、新たな変数ｕ＝（ｋ＊ｇ）'／（ｋ＊ｆ）'を定義することによって簡単化することができる。
その結果、上記汎関数（式（３））は、次のようになる。
（３ａ）  ∫（ｋ＊（ｆ−ｇ））２ｄｘ＋α∫（ｕ−１）２ｄｘ
また、制約の組は、
ｇ（ｘ）≦ｍｉｎ（ｃ（ｘ），ｆ（ｘ））、（ｋ＊ｇ）'−ｕ（ｋ＊ｆ）'＝０、および
０≦ｕ≦１となる。
【００２０】
式（２）および（３ａ）によって表される最適化問題は、標準的な離散数値方式を使用して解くことができる。
連続的な問題の微分演算子は、離散的な領域では、Ｄを行列とすると、線形演算ｇ'≒Ｄｇとして実施することができる。
したがって、式（２）および（３ａ）に対応する離散的な問題は、ＱＰ問題となる。
すなわち、最小化の目的汎関数は、ｇの２次式として表すことができ、制約は、ｇの１次式となる。
このように、式（２）および（３ａ）を解くのに、標準的なＱＰ解法を適用することができる。
色域マッピング問題の離散的なＱＰ問題としての明示的な定式化については後述する。
【００２１】
一定の条件下では、たとえ色域体積が凸状でなくても、式（２）に対応する３次元色域マッピング問題を１Ｄ色域マッピング問題にマッピングすることができる。
変分色域マッピング問題の３次元定式化を考慮すると、原カラー画像は、３次元色空間において、有界の２次元領域Ω上で定義されたｆ１、ｆ２、ｆ３と表記される有界で微分可能な３つの関数によって表すことができる。
Γをこの３次元色空間における制限された色域体積を示すものとする。
以下の汎関数を最小にするｆｐ１，ｆｐ２，ｆｐ３と表記される有界で微分可能な３つの関数が必要とされる。
【００２２】
【数５】
2005520440.tif 000004
【００２３】
ただし、この汎関数は以下の制約を受ける。
（４ａ）  （ｆｐ１，ｆｐ２，ｆｐ３）∈Γ、かつ、
（４ｂ）  ｉ＝１，２，３について、（∂ｘｆｉ）２≧（∂ｘｆｐｉ）（∂ｘｆｉ）≧０，（∂ｙｆｉ）２≧（∂ｙｆｐｉ）（∂ｙｆｉ）≧０
【００２４】
式（４）、（４ａ）、および（４ｂ）において、αｉおよびβｉはパラメータであり、ｋｉは平滑化カーネルであり、∂ｘ，∂ｙは、それぞれ空間座標ｘ，ｙに関する偏導関数を示す。
【００２５】
式（４）に使用されるユークリッドメトリックは、Ｌａｂ等の特別な色座標が使用される場合に限って、人間の色距離測度の良好な近似とみなされる。
【００２６】
上記の導関数（式（４））を撮像デバイスにおいて使用し、画像を再生しようと試みるデバイスの色域に画像の色域をマッピングする。
図１は、式（４）の汎関数による色域マッピングに使用できる装置１０のブロック図である。
画像取り込みデバイス１１が、入力された原画像を受け取り、出力画像Ｓ１２を作成する。
この出力画像Ｓ１２は、比色画像値を表す電気信号である。
例えば、取り込みデバイス１１は、原画像の各ピクセルの少なくとも３つの比色値を対応する電気信号に変換することができる。
これらの電気信号は、例えばＬ値、ａ値、ｂ値を示すことができる。
他の比色値は、ＸＹＺの３刺激値およびＬ、Ｕ、Ｖまたはデバイス依存ＲＧＢ値とすることができる。
色域マッパ１５は、色域内の画像Ｓ'１６を作成する。
最後に、レンダリングモジュール１７が、レンダリングされた画像Ｓ"１８を提供する。
レンダリングモジュール１７は、カラーレーザプリンタとして実施することができる。
このように生成された画像Ｓ"１８は、画像の再現が行われるデバイスの色域制限が与えられた場合に、最良に適合した画像を表すことができる。
【００２７】
画像Ｓ１２は、取り込みモジュール１３によって検知された画像を表すことができる。
色域マッパ１５は、画像Ｓ１２の値を抽出して、この値を画像再現デバイス１７の色域にマッピングするアルゴリズムを適用する。
特に、色域マッパ１５は、式（４）によって表される問題を解くアルゴリズムを適用することができ、それによって、色域マッピング問題を解いて、出力画像Ｓ"１８を最適化する。
【００２８】
一般的な場合に、式（４ａ）によって表される制約は１次式ではないので、式（４）によって定義された最適化問題は、もはや２次ＱＰ問題ではない。
この制約（式（４ａ））が、１組の１次不等式によって近似されたとしても、色域体積Γは凸状でないことがあり、この場合、式（４）は極小値を有することがある。
第２の問題を克服するために、Γへの投影を１次元マッピングに制限することができる。
この制限は、式（４）の大域的最適解を達成しない投影画像を作成することがある。
しかしながら、この制限は、色域マッピング問題の解を大幅に簡単化し、基本的には１次元である古典的な色域マッピングアルゴリズムよりもうまくいく。
【００２９】
上述した１Ｄ投影方式は、以下の条件を満たす色域マッピング投影方法に基づくことができる。
１．元の座標ｆ１，ｆ２，ｆ３を以下の形式で記述できるように、ｌ，ｈ，ｓと表記される３つの色座標が存在する。
（５）  ｉ＝１，２，３について、ｆｉ＝ｍｉ（ｌ，ｈ）ｓ＋ｎｉ（ｌ，ｈ）
ここで、ｍｉおよびｎｉは微分可能な関数である。
２．Γへの投影は、ｌ，ｈ，ｓ色空間の線に沿って実行される。
ここで、ｌ，ｈは一定に維持され、座標ｓのみが変更される。
したがって、投影座標は、ｌｐ＝ｌ，ｈｐ＝ｈとなる。
変分モデルに追加される前提はｓｐ≦ｓである。
３．色域マッピング体積Γは次の特性を有する。
すなわち、ｆ１，ｆ２，ｆ３色空間の各点に対して、ｌ，ｈが一定の曲線に沿ったその点のΓの表面への投影が存在し、かつ、唯一のものである。
したがって、Γの外部の各色点のｓ座標をΓの表面の唯一の点のｓ座標にマッピングする明確に定義された連続的な投影関数ｓΓ（ｓ，ｌ，ｈ）が存在する（Γ内部の点ｓ，ｌ，ｈの場合には、ｓΓ（ｓ，ｌ，ｈ）＝ｓ）。
【００３０】
非凸の色域体積の場合であっても、上記条件を満たす１Ｄ投影を定義できることが、当業者の１人には容易に理解されよう。
例えば、元の色空間が、ｓ，ｈ，ｌが標準的な球面座標であるように定義されたＬａｂ空間である場合（この場合、Ｌ軸は、標準的なデカルト系におけるｚ軸の役割を果たす）、Ｌ＝ｓ・ｃｏｓ（ｌ）；ａ＝ｓ・ｓｉｎ（ｌ）ｃｏｓ（ｈ）；ｂ＝ｓ・ｓｉｎ（ｌ）ｓｉｎ（ｈ）となり、投影は、図２Ａに示すように、原点に向かう半径に沿ったものとなる。
別の例では、元の色空間がＬａｂ空間であり、ｌ，ｓ，ｈが標準的な円柱座標であるように定義されている場合（この場合、Ｌ軸は、標準的なデカルト系におけるｚ軸の役割を果たす）、Ｌ＝ｌ；ａ＝ｓ・ｃｏｓ（ｈ）；ｂ＝ｓ・ｓｉｎ（ｈ）となり、投影は、図２Ｂに示すように、（ａ，ｂ）平面と平行な線に沿って実行される。
【００３１】
次に説明するように、画像の色座標ｆ１，ｆ２，ｆ３から新たな座標ｆｐ１，ｆｐ２，ｆｐ３への投影が、上記で定義した条件（１）、（２）、および（３）を満たす場合に、式（４）によって表される最適化問題は、１ＤのＱＰ問題に変換することができる。
この新たな色座標では、ｈｐ＝ｈ，ｌｐ＝ｌとなり、したがって、未知の関数はｓｐ（ｘ，ｙ）のみとなる。
【００３２】
元の色空間では、式４（ａ）によって表される制約は、（ｆｐ１，ｆｐ２，ｆｐ３）∈Γである。
新たな色座標における原画像表現が、ｌ（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ），ｓ（ｘ，ｙ）である場合、色域体積の制約は、ｌｐ＝ｌ、ｈｐ＝ｈ、およびｓｐ≦ｓΓ（ｓ，ｌ，ｈ）となる。
したがって、ｃ（ｘ，ｙ）＝ｓΓ（ｓ（ｘ，ｙ），ｌ（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ））とすると、未知の関数ｓｐ（ｘ，ｙ）は、ｓｐ（ｘ，ｙ）≦ｃ（ｘ，ｙ）の形の制約を満たすべきである。
この制約は、ｓｐ（ｘ，ｙ）の１次式である。
【００３３】
元の色空間では、式４（ｂ）によって表される制約は、次のようになる。
ｉ＝１，２，３について、（∂ｘｆｉ）２≧（∂ｘｆｐｉ）（∂ｘｆｉ）≧０，（∂ｙｆｉ）２≧（∂ｙｆｐｉ）（∂ｙｆｉ）≧０
【００３４】
第１の制約に式（５）を代入すると、次の式が得られる。
（∂ｘｆｉ）２≧（∂ｘｆｉ）（∂ｘ（ｍｉｓｐ＋ｎｉ））≧０
【００３５】
ｆｘｉ，ｍｘｉ，ｎｘｉによって関数∂ｘｆｉ，∂ｘａｉ，∂ｘｂｉ
をそれぞれ表記すると、上記不等式は、次のように簡単化することができる。
（６ａ）  （ｆｘｉ）２−（ｆｘｉ）（ｎｘｉ）≧（ｆｘｉ）（ｍｘｉ）ｓｐ＋（ｆｘｉ）（ｍｉ）∂ｘｓｐ≧−（ｆｘｉ）（ｎｘｉ）
この式は、ｓｐの１次不等式である。
【００３６】
同様の計算が、ｙの導関数に関係した第２の不等式にも適用されて、以下の不等式が得られる。
（６ｂ）  （ｆｙｉ）２−（ｆｙｉ）（ｎｙｉ）≧（ｆｙｉ）（ｍｙｉ）ｓｐ＋（ｆｙｉ）（ｍｉ）∂ｙｓｐ≧−（ｆｙｉ）（ｎｙｉ）
【００３７】
式（４）によって表される汎関数は、元の座標ｆｐ１，ｆｐ２，ｆｐ３の２次式であり、式（５）によれば、これらの座標は、ｓｐの１次式として記述することができる。
したがって、式（４）の汎関数は、ｓｐの２次式である。
明示的な数式は、以下の式を計算することによって得ることができる。
【００３８】
【数６】
2005520440.tif 000005
【００３９】
次に、制限された１Ｄ投影を使用して式（４）の最適化問題を解く完全な３次元色域マッピングアルゴリズムの操作１００を、図３Ａおよび図３Ｂを参照して説明する。
この操作１００は、空間依存色域マッピングの一般的なプロセスであり、オフライン部（図３（Ａ））およびオンライン部（図３（Ｂ））を含む。
オフライン部が完了すると、あらゆるカラー画像をオンライン部に従って処理することができる。
【００４０】
操作１００はブロック１０５で開始する。
ブロック１１０において、色域制約が入力される。
ブロック１１５において、１Ｄ色域投影方式が決定される。
この決定は、色座標ｌ，ｈ，ｓを選択し、ｉ＝１，２，３について変換式ｆｉ＝ｍｉ（ｌ，ｈ）ｓ＋ｎｉ（ｌ，ｈ）からｍｉ（ｌ，ｈ）およびｎｉ（ｌ，ｈ）を導出し、そして、所与の色域体積Γに関するｓ座標に沿った投影が、上述した条件（１）、（２）、および（３）を満たすことを検証することによって行われる。
次に、ブロック１２０において、色域体積の表現が新たな座標で計算され、１Ｄ投影関数ｓΓ（ｓ，ｌ，ｈ）が導出される。
【００４１】
ブロック１２５において、ｉ＝１，２，３について、変換ｆｉ＝ｍｉ（ｌ，ｈ）ｓ＋ｎｉ（ｌ，ｈ）を代入して、式（６ａ）および（６ｂ）を使用することにより、式（４ｂ）の導関数の制約の新たな表現が計算される。
ブロック１３０において、ｉ＝１，２，３について変換ｆｉ＝ｍｉ（ｌ，ｈ）ｓ＋ｎｉ（ｌ，ｈ）を代入して、式（７ａ）および（７ｂ）を使用することにより、３Ｄ汎関数（４）が、関数ｓｐ（ｘ，ｙ）の１Ｄの２次汎関数に変換される。
この新たな汎関数は、次の形を有する。
【００４２】
【数７】
2005520440.tif 000006
【００４３】
この時点で、操作１００は、特定の画像Ｓを処理するベースライン条件を確立する観点で完了したとみなすことができる。
次に、操作１００は、特定の画像Ｓの画像処理用のブロック１３５に移動する。
【００４４】
ブロック１３５において、画像Ｓが入力される。
ブロック１４０において、原画像表現が、新たな色座標ｌ（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ），ｓ（ｘ，ｙ）で計算される。
ブロック１４５において、画像Ｓのｌ，ｈ，ｓ表現が、投影関数ｓΓ（ｓ，ｌ，ｈ）に代入され、制約関数ｃ（ｘ，ｙ）＝ｓΓ（ｓ（ｘ，ｙ），ｌ（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ））が計算される。
【００４５】
ブロック１５０において、色域制約ｓｐ（ｘ，ｙ）≦ｃ（ｘ，ｙ）および式（６ａ）および（６ｂ）の制約を受ける式（８）を最小にする関数
【００４６】
【数８】
2005520440.tif 000007
【００４７】
が、標準的なＱＰ解法を使用して求められる。
最適な投影画像は、
【００４８】
【数９】
2005520440.tif 000008
【００４９】
によってｌ，ｈ，ｓ色空間で表される。
ブロック１５５において、この投影画像は、表現ｌｐ，ｈｐ，ｓｐからｆｐ１，ｆｐ２，ｆｐ３色表現に再び変換される。
ブロック１６０において、画像Ｓが出力される。
ブロック１６５において、操作１００は終了する。
【００５０】
図４（Ａ）および図４（Ｂ）は、図２Ｂに示す輝度を保存する１Ｄ投影に基づいた３次元色域アルゴリズムを使用して式（４）の汎関数を解く操作２００を示している。
この操作２００は、図３（Ａ）および図３（Ｂ）に示す操作１００のより具体的な例であり、Ｌａｂ色空間の色変換に関係している。
原画像Ｓが、
（Ｌ（ｘ，ｙ），ａ（ｘ，ｙ），ｂ（ｘ，ｙ））
によってＬａｂ色空間で表され、
∂Γと表記される色域体積の表面（gamut volume surface）が、パラメトリック表現
（ＬΓ（ｕ，ｖ），ａΓ（ｕ，ｖ），ｂΓ（ｕ，ｖ））
によって同じ色空間で描写される。
操作２００は、オフライン部（図４（ａ））およびオンライン部（図４（ｂ））を含む。
オフライン部が完了すると、Ｌａｂ空間のあらゆるカラー画像を受け取って、オンライン部に従って処理することができる。
【００５１】
操作２００では、画像の座標（ｘ，ｙ）が、離散的であると仮定され、したがって、操作１００の連続的な定式化が、必要に応じて離散的な表現に変換される。
この離散的な表現では、微分演算子∂ｘ、∂ｙが、標準的な行列表現Ｄｘ、Ｄｙにそれぞれ置き換えられ、式（８）の積分定式化が、対応する２次式の形式に取り替えられる。
離散的な画像ｗでは、記法ｗｘがＤｘｗの省略形であり、ｗとのドット形式（point-wise）の乗算の演算子は（ｗ）で表記される。
これらの記法を使用して、色域アルゴリズムは、次のように動作する。
【００５２】
図４（Ａ）を参照して、操作２００はブロック２０５で開始する。
ブロック２１０において、色域制約が入力される。
ブロック２１０において、新たな色座標ｌ，ｈ，ｓが以下のように選択される。
【００５３】
【数１０】
2005520440.tif 000009
【００５４】
したがって、逆変換は以下のようになる。
（９ｂ）  Ｌ＝ｌ；ａ＝ｓ・ｓｉｎ（ｈ）；ｂ＝ｓ・ｃｏｓ（ｈ）
導出された１Ｄ投影は、（ａ，ｂ）平面に平行な線に沿って実行され、Ｌ軸と交わる。
色域表面∂Γは、各象限において、このような線と交わる点を１つだけ有すると仮定される。
【００５５】
ブロック２２０において、式（９ａ）を使用して、色域制限がｌ，ｈ，ｓ色空間に変換される。
この新たな表現は、（ｌΓ（ｕ，ｖ），ｈΓ（ｕ，ｖ），ｓΓ（ｕ，ｖ））である。
１Ｄ投影関数ｓΓ（ｓ，ｌ，ｈ）は、以下の手順によって計算される。
すなわち、各対（ｌ，ｈ）に対して、系ｌ＝ｌΓ（ｕ，ｖ）；ｈ＝ｈΓ（ｕ，ｖ）を解く座標（ｕ（ｌ，ｈ），ｖ（ｌ，ｈ））が求められる。
条件（３）によって、この系は、唯一の解を有し、したがって、明確に定義された投影関数ｓΓ（ｓ，ｌ，ｈ）＝ｍｉｎ（ｓ，ｓΓ（ｕ（ｌ，ｈ），ｖ（ｌ，ｈ）））が存在する。
【００５６】
ブロック２２５において、導関数の制約（６ａ）および（６ｂ）が変換され、離散的な記法で以下のように解釈される。
（６ｃ）
（ａｘ）２≧（ａｘ）［（ｈｘ）（ｃｏｓ（ｈ））＋（ｓｉｎ（ｈ））Ｄｘ］ｓｐ≧０
（ｂｘ）２≧（ｂｘ）［−（ｈｘ）（ｓｉｎ（ｈ））＋（ｃｏｓ（ｈ））Ｄｘ］ｓｐ≧０
（ａｙ）２≧（ａｙ）［（ｈｙ）（ｃｏｓ（ｈ））＋（ｓｉｎ（ｈ））Ｄｙ］ｓｐ≧０
（ｂｙ）２≧（ｂｙ）［−（ｈｙ）（ｓｉｎ（ｈ））＋（ｃｏｓ（ｈ））Ｄｙ］ｓｐ≧０
【００５７】
最後に、ブロック２３０において、式（８）の直接的な計算により、以下の式が離散的な表現で得られる。
（ｓ−ｓｐ）Ｔ（Ｈａ＋Ｈｂ）（ｓ−ｓｐ）
ここで、
Ｈａ＝（ｓｉｎ（ｈ））ＫａＴ（αａＩ＋βａＤｘＴＤｘ＋βａＤｙＴＤｙ）Ｋａ（ｓｉｎ（ｈ））
であり、
Ｈｂ＝（ｃｏｓ（ｈ））ＫｂＴ（αｂＩ＋βｂＤｘＴＤｘ＋βｂＤｙＴＤｙ）Ｋｂ（ｃｏｓ（ｈ））
である。
ＫａおよびＫｂは、合成核（convolution kernel）ｋの離散的な表現である。
【００５８】
図４（Ｂ）は、操作２００のオンライン部を表す。
ブロック２３５において、原画像Ｓが受け取られ、ブロック２４０において、式（９ａ）を使用してｌ，ｈ，ｓ色空間に変換される。
この新たな表現の座標は、ｌ（ｘ，ｙ）、ｈ（ｘ，ｙ）、ｓ（ｘ，ｙ）と表記される。
【００５９】
ブロック２４５において、原画像Ｓのｌ（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ），ｓ（ｘ，ｙ）表現を投影関数ｓΓ（ｓ，ｌ，ｈ）に代入することにより、制約関数ｃ（ｘ，ｙ）＝ｓΓ（ｓ（ｘ，ｙ），ｌ（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ））が得られる。
【００６０】
ブロック２５０において、
【００６１】
【数１１】
2005520440.tif 000010
【００６２】
を、色域制約ｓｐ（ｘ，ｙ）≦ｃ（ｘ，ｙ）および式（６ｃ）の導関数の制約を受ける式（８）を最小にする画像として表記すると、最適な投影画像は、ｌ，ｈ，ｓ色空間で、
【００６３】
【数１２】
2005520440.tif 000011
【００６４】
によって表現される。
【００６５】
ブロック２５５において、投影画像のＬａｂ表現が、式（９ｂ）を使用して得られる。
Ｌｐ＝ｌｐ；ａｐ＝ｓｐｓｉｎ（ｈｐ）；ｂｐ＝ｓｐｃｏｓ（ｈｐ）
【００６６】
ブロック２６０において、操作２００は終了する。
【図面の簡単な説明】
【００６７】
【図１】色域マッピングの変分手法を使用する装置のブロック図である。
【図２Ａ】非凸の色域体積の１次元画像投影を示す図である。
【図２Ｂ】非凸の色域体積の１次元画像投影を示す図である。
【図３Ａ】図１の装置の操作を示すフローチャートである。
【図３Ｂ】図１の装置の操作を示すフローチャートである。
【図４Ａ】図１の装置の代替的な操作を示すフローチャートである。
【図４Ｂ】図１の装置の代替的な操作を示すフローチャートである。
【符号の説明】
【００６８】
１１・・・画像取り込みデバイス、
１５・・・色域マッパ、
１７・・・レンダリングモジュール、
【図１】
2005520440.tif 000015
【図２Ａ】
2005520440.tif 000016
【図２Ｂ】
2005520440.tif 000017
【図３Ａ】
2005520440.tif 000018
【図３Ｂ】
2005520440.tif 000019
【図４Ａ】
2005520440.tif 000020
【図４Ｂ】
2005520440.tif 000021
【国際調査報告】
2005520440.tif 000022
2005520440.tif 000023