(57)【要約】ピクセル面と、イメージ特徴に関する量と、前記量をｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関連付ける代数学的構成とを含むイメージサポートを有する演算処理のイメージモデルであって、前記代数学的構成は前記量間の関係を定義する代数演算を有する。演算処理でイメージをモデル化する方法は、ピクセル面を備えたｎ−ピクセル構成を含むイメージサポートを生成し、イメージ特徴に関連する量を定義し、代数学的構成を通して前記量をｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関連付け、代数演算を通して前記量を互いに関連付ける段階ことを有する。
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
ピクセル面を有するｎ−ピクセル構成を含むイメージサポートと、
イメージ特徴に関係する量と、
前記量をｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付ける代数学的構成とを有し、
前記代数学的構成は、前記量の間の関係を定義する代数学的演算を有する演算処理のイメージモデル。
【請求項２】
各々のｎ−ピクセルは頂点、エッジ、面、及び体積を含む幾何学的構成として定義され、前記ｎ−ピクセルは、
ｎ−ピクセルの頂点を含む第１のピクセル次元ｎ＝０、
ｎ−ピクセルのエッジを含む第２のピクセル次元ｎ＝１、
ｎ−ピクセルの面を含む第３のピクセル次元ｎ＝２、
ｎ−ピクセルの体積を含む第４のピクセル次元ｎ＝３、
ｎ−ピクセルの超体積を含む第ｎのピクセル次元ｎ
を有する請求項１に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項３】
幾何学的構成が、キューブ(cube)、三角形、六角形、及び五角形から成るグループから選択される請求項１に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項４】
イメージ特徴に関係する量は、スカラー、ベクトル、テンソル、及びマトリクスから成るグループから選択される請求項１に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項５】
前記代数学的演算が問題非依存な演算を有する請求項１に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項６】
前記代数学的演算が問題依存な演算を有する請求項１に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項７】
ｎ−ピクセルの構成が、互いに独立なｎ−ピクセルのペアを有する請求項１に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項８】
ｎ−ピクセルの構成が、ｉ＜ｎである共通のｉ−ピクセルと交差するｎ−ピクセルのペアを有する請求項１に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項９】
それぞれのｎ−ピクセルが、ｑ∈｛１，２，．．．，ｎ｝を満たすｑ−ピクセルに、代数学的に変換される請求項１に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項１０】
それぞれのｑ−ピクセルが、（ｑ−１）−面、（ｑ−２）−面、．．．、（ｑ−ｑ）−面を含む請求項９に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項１１】
イメージサポートが、ｑ−ピクセルのコレクション(collection)である幾何学的コンプレックス(complex)を有する請求項９に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項１２】
イメージサポートが、ｑ−ピクセルのコレクションである幾何学的コンプレックスを有し、
幾何学的コンプレックスにおけるｑ−ピクセルの面は、幾何学的コンプレックス内にも配置され、
幾何学的コンプレックスの２個のｑ−ピクセルのどのペアも、空集合、または前記ペアの両方のｑ−ピクセルの共通の面によって作られた共通部分(intersection)を有する
請求項１０に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項１３】
幾何学的コンプレックスを形成する複数のイメージサポートを含む請求項１１に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項１４】
幾何学的コンプレックスは、前記幾何学的コンプレックスの全てのｑ−ピクセルの一次結合であるｑ−チェイン(chain)として、代数学的形式で表現される請求項１１に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項１５】
幾何学的コンプレックスは、ｑ−ピクセル及び／または前記ｑ−ピクセルの面に対するイメージ特徴に関係する量に関連したｑ−コチェイン(cochain)を有する請求項９に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項１６】
イメージ特徴に関係し、ｑ−ピクセル及び／または前記ｑ−ピクセルの面に関連する量は、全てのｑ−ピクセルに関連するグローバル(global)な量である請求項１５に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項１７】
イメージ特徴に関係し、ｑ−ピクセル及び／または前記ｑ−ピクセルの面に関連する量は、１つのｑ−ピクセル及び／または前記１つのｑ−ピクセルの面に各々関連するローカル(local)な量である請求項１５に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項１８】
ローカルな量を表すための（ｑ≧１）−コチェインを有する請求項１６に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項１９】
グローバルな量を表すための０−コチェインを有する請求項１７に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項２０】
代数学的演算は、ｑ−コチェイン間の関係を与えるコバンダリー(coboundary)演算を有する請求項１７に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項２１】
イメージサポートは、各々がｑ−ピクセルのコレクションである複数の幾何学的コンプレックスを有し、
代数学的演算は、異なった幾何学的コンプレックスに属するｑ−コチェイン間の結びつきを構築するコデュアル演算を有する請求項９に記載の演算処理のイメージモデル。
【請求項２２】
ピクセル面を有するｎ−ピクセルの構成を含むイメージサポートを作る段階と、
イメージ特徴に関係する量を定義する段階と、
前記量を代数学的構成を介してｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付け、かつ前記量を代数学的演算を介してお互いに関係付ける段階と
を有する演算処理のイメージモデリング方法。
【請求項２３】
前記量を代数学的構成を介してｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付ける段階は、各ｎ−ピクセルを代数学的にｑ∈｛１，２，．．．，ｎ｝を満たし、かつそれぞれのｑ−ピクセルが、（ｑ−１）−面、（ｑ−２）−面、．．．、（ｑ−ｑ）−面を含むようなｑ−ピクセルに変換する段階を有する請求項２２に記載の演算処理のイメージモデリング方法。
【請求項２４】
イメージサポートを作る段階は、ｑ−ピクセルのコレクションである幾何学的コンプレックスを形成する段階を有し、
幾何学的コンプレックスにおけるｑ−ピクセルの各面は、幾何学的コンプレックス内にも配置され、
幾何学的コンプレックスの２個のｑ−ピクセルのどのペアも、空集合、または前記ペアの両方のｑ−ピクセルの共通の面によって作られた共通部分を有する
請求項２２に記載の演算処理のイメージモデリング方法。
【請求項２５】
イメージサポートを作る段階は、幾何学的コンプレックスを形成する複数のイメージサポートを形成する段階を有する請求項２４に記載の演算処理のイメージモデリング方法。
【請求項２６】
前記量を代数学的構成を介してｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付ける段階は、前記幾何学的コンプレックスの全てのｑ−ピクセルの一次結合であるｑ−チェインとして、代数学的形式で前記幾何学的コンプレックスを表現する段階を有する請求項２４に記載の演算処理のイメージモデリング方法。
【請求項２７】
前記量を代数学的構成を介してｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付ける段階は、幾何学的コンプレックス内で、ｑ−ピクセル及び／または前記ｑ−ピクセルの面に対するイメージ特徴に関係する量に関連したｑ−コチェインを形成する段階を有する請求項２４に記載の演算処理のイメージモデリング方法。
【請求項２８】
イメージ特徴に関係する量を定義する段階は、全てのｑ−ピクセルに関連するグローバルな量を定義する段階を有する請求項２２に記載の演算処理のイメージモデリング方法。
【請求項２９】
イメージ特徴に関係する量を定義する段階は、１つのｑ−ピクセル及び／または前記１つのｑ−ピクセルの面に関連するローカルな量を定義する段階を有する請求項２２に記載の演算処理のイメージモデリング方法。
【請求項３０】
前記量を代数学的演算を介してお互いに関係付ける段階は、ｑ−コチェイン間の関係を与えるコバンダリー演算を作る段階を有する請求項２７に記載の演算処理のイメージモデリング方法。
【請求項３１】
イメージサポートを作る段階は、各々がｑ−ピクセルのコレクションである複数の幾何学的コンプレックスを形成する段階を有し、
前記量を代数学的演算を介してお互いに関係付ける段階は、異なった幾何学的コンプレックスに属するｑ−コチェイン間の結びつきを構築するコデュアル演算を作る段階を有する請求項２７に記載の演算処理のイメージモデリング方法。
【請求項３２】
前記量を代数学的構成を介してｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付ける段階は、２つの隣接するｑ−ピクセルｃｑ１とｃｑ２に対し、ｑ−コチェインＦｑが、λ１、λ２を整数として、Ｆｑ（λ１ｃｑ１＋λ２ｃｑ２）＝λ１Ｆｑ（ｃｑ１）＋λ２Ｆｑ（ｃｑ２）の関係を満たすようなｑ−コチェインを介して、全てのｑ−ピクセルに関連するグローバルな量を表現する段階を有する請求項２７に記載のイメージモデリング方法。
【請求項３３】
前記量を代数学的構成を介してｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付ける段階は、それぞれのｎ−ピクセルを、ｑ∈｛１，２，．．．，ｎ｝を満たし、かつそれぞれのｑ−ピクセルが、（ｑ−１）−面、（ｑ−２）−面、．．．、（ｑ−ｑ）−面を含むようなｑ−ピクセルに代数学的に変換する段階を有し、
イメージサポートを作る段階は、各々がｑ−ピクセルのコレクションである複数の幾何学的コンプレックスを形成する段階を有し、
前記量を代数学的構成を介してｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付ける段階は、
幾何学的コンプレックスの全てのｑ−ピクセルの一次結合であるｑ−チェインとして、各々の幾何学的コンプレックスを代数学的形式で表現する段階と、
幾何学的コンプレックス内で、ｑ−ピクセル及び／または前記ｑ−ピクセルの面に対するイメージ特徴に関係する量に関連したｑ−コチェインを形成する段階とを有し、
前記量を代数学的演算を介してお互いに関係付ける段階は、
ｑ−コチェイン間の関係を与えるコバンダリー演算を作る段階と、
異なった幾何学的コンプレックスに属するｑ−コチェイン間の結びつきを構築するコデュアル演算を作る段階とを有する
請求項２２に記載のイメージモデリング方法。
【請求項３４】
請求項３３に記載の方法により演算処理的にモデリングされたイメージを使用した問題解決のための演算処理構成であって、
問題に関連する基本法則を特定する段階と、
特定された基本法則から前記問題に関係する量を定義する段階と、
それぞれのｑ−コチェインに前記量を関連付ける段階と、
前記問題に関係する基本法則を、それぞれのコバンダリー及びコデュアル演算に関連付ける段階と、
結果としての代数式を解く段階と、を有する演算処理構成。
【請求項３５】
幾何学的コンプレックスを形成する段階は、第１及び第２の幾何学的コンプレックスを有する請求項３４に記載の演算処理構成。
【請求項３６】
問題に関連する基本法則を特定する段階は、第１の幾何学的コンプレックスを介して１つの基本法則を保持する段階を有する請求項３５に記載の演算処理構成。
【請求項３７】
解決すべき問題は、均質な媒質中の熱流に対する２次元のグローバルな微分方程式であり、さらに前記１つの基本法則が熱流の法則である請求項３６に記載の演算処理構成。
【請求項３８】
それぞれのｑ−コチェインに前記量を関連付ける段階は、０−コチェインを介してグローバルな温度の量を表現する段階と、１−コチェインを介して熱流の法則を関連付ける段階とを有する請求項３７に記載の演算処理構成。
【請求項３９】
前記問題に関連する基本法則を特定する段階は、第２の幾何学的コンプレックスを介して前記１つの基本法則を保持する段階を有する請求項３５に記載の演算処理構成。
【請求項４０】
解決すべき問題は、均質な媒質中の熱流に対する２次元のグローバルな微分方程式であり、さらに前記１つの基本法則が熱源の法則である請求項３９に記載の演算処理構成。
【請求項４１】
問題に関連する基本法則を特定する段階は、第２の幾何学的コンプレックスを介して第２の基本法則を保持する段階を有し、
前記問題に関係する基本法則を、それぞれのコバンダリーとコデュアル演算に関連付ける段階は、基本法則に結びついている構成法則を、第１及び第２の幾何学的コンプレックスからコデュアル演算によって表現する段階を有する請求項３６に記載の演算処理構成
【請求項４２】
前記量を代数学的構成を介してｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付ける段階は、それぞれのｎ−ピクセルを、ｑ∈｛１，２，．．．，ｎ｝を満たし、かつそれぞれのｑ−ピクセルが、（ｑ−１）−面、（ｑ−２）−面、．．．、（ｑ−ｑ）−面を含むようなｑ−ピクセルに代数学的に変換する段階を有し、
イメージサポートを作る段階は、各々がｑ−ピクセルのコレクションである複数の幾何学的コンプレックスを形成する段階を有し、
前記量を代数学的構成を介してｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付ける段階は、
幾何学的コンプレックスの全てのｑ−ピクセルの一次結合であるｑ−チェインとして、幾何学的コンプレックスを代数学的形式で表現する段階と、
幾何学的コンプレックス内で、ｑ−ピクセル及び／または前記ｑ−ピクセルの面に対するイメージ特徴に関係する量に関連したｑ−コチェインを形成する段階とを有し、
前記量を代数学的演算を介してお互いに関係付ける段階は、
ｑ−コチェイン間の関係を与えるコバンダリー演算を作る段階を有する
請求項２２に記載のイメージモデリング方法。
【請求項４３】
請求項４２に記載の方法により演算処理的にモデリングされたイメージを使用した問題解決のための演算処理構成であって、
問題に関連する基本法則を特定する段階と、
特定された基本法則から前記問題に関係する量を定義する段階と、
それぞれのｑ−コチェインに前記量を関連付ける段階と、
前記問題に関係する基本法則を、それぞれのコバンダリー演算に関連付ける段階と、
結果としての代数式を解く段階と、を有する演算処理構成。
【請求項４４】
ｎ−ピクセルの構成を含むイメージサポートを作る段階を有し、前記イメージサポートは、
それぞれのｎ−ピクセルを、ｑ∈｛１，２，．．．，ｎ｝を満たし、かつそれぞれのｑ−ピクセルが、（ｑ−１）−面、（ｑ−２）−面、．．．、（ｑ−ｑ）−面を含むようなｑ−ピクセルに代数学的に変換するｑ−ピクセルと、
各々がｑ−ピクセルのコレクションである複数の幾何学的コンプレックスと、
代数学的形式で幾何学的コンプレックスをそれぞれ表現するｑ−チェインであって、各ｑ−チェインが幾何学的コンプレックスの全てのｑ−ピクセルの一次結合であるｑ−チェインと、
幾何学的コンプレックス内にあって、ｑ−ピクセル及び／または前記ｑ−ピクセルの面に対するイメージ特徴に関係する量に関連したｑ−コチェインと、
ｑ−コチェイン間の関係を定義するコバンダリーと、
を備える熱伝導問題を解決するための演算処理構成であって、さらに、
未知の温度の位置付けとしての第１の前記幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＴを計算する段階と、
グローバルな温度変化としての第１の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＨを計算する段階と、
一次変換を介したｑ−コチェインＨの関数としてのグローバルなエネルギー変化として、第２の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインεを見出す段階と、
ｑ−コチェインＴの関数としてのｑ−コチェインεを見出す段階と、
第１のコバンダリー演算を介してｑ−コチェインＴから第１の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＧを定義し、前記ｑ−コチェインＧを第２の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＱに変換し、ｑ−コチェインＱから、及び第２のコバンダリー演算を介して、グローバルな拡散としての第２の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＤを定義する段階と、
グローバルな熱源としての第２の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＳを定義する段階と、
ｑ−コチェインε、Ｄ、及びＳの間の関係を構築する段階と、
を有する演算処理構成。
【請求項４５】
ｎ−ピクセルの構成を含むイメージサポートを作る段階を有し、前記イメージサポートは、
それぞれのｎ−ピクセルを、ｑ∈｛１，２，．．．，ｎ｝を満たし、かつそれぞれのｑ−ピクセルが、（ｑ−１）−面、（ｑ−２）−面、．．．、（ｑ−ｑ）−面を含むようなｑ−ピクセルに代数学的に変換するｑ−ピクセルと、
各々がｑ−ピクセルのコレクションである複数の幾何学的コンプレックスと、
代数学的形式で幾何学的コンプレックスをそれぞれ表現するｑ−チェインであって、各ｑ−チェインが幾何学的コンプレックスの全てのｑ−ピクセルの一次結合であるｑ−チェインと、
幾何学的コンプレックス内にあって、ｑ−ピクセル及び／または前記ｑ−ピクセルの面に対するイメージ特徴に関係する量に関連したｑ−コチェインと、
ｑ−コチェイン間の関係を定義するコバンダリーと、
を備える２次元のアクティブ・コンター・モデル(active contour model)のための演算処理構成であって、さらに、
第１の前記幾何学的コンプレックスの変位ｑ−コチェインＤを計算する段階と、
第２の前記幾何学的コンプレックスのひずみｑ−コチェインＳを計算する段階とを有し、この段階は、
ｑ−コチェインＤの関数としての近似ひずみ関数
【数１】
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を定義する段階と、
前記近似ひずみ関数としてのｑ−コチェインＳと、第１及び第２の幾何学的コンプレックス相対位置とを表現する段階と備え、さらに、
前記ひずみｑ−コチェインＳのコバンダリーとしての第２の幾何学的コンプレックスの力ｑ−コチェインＦを計算する段階
を有する演算処理構成。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、ｎ−ピクセルに基づくイメージモデルに関する。より詳しくは、本発明は、代数学的形式で定義され適用可能なｎ−ピクセルに基づくイメージモデルに関し、特にそれに留まらず、分散とオプチカルフロー(optical flow)の解像度、及び曲線の変形のためのイメージモデルに関する。
【背景技術】
【０００２】
イメージとは何であるかに関する考を人々は持っている。例えば、心理学者にとって、イメージは物の形、その深さ、その形とその知覚的構成との関係に結び付けられる。
【０００３】
芸術家は、想像に起因する場面を表現するために、形や、色や、遠近法などの特徴が、どのように組織化されるかに集中している。
【０００４】
物理学者は、与えられた場面によって発生する物理学的現象とそれらがイメージでどう表されるかに興味がある。
【０００５】
神経生理学者は、コントラスト感度や、マッハ・バンドや、コントラストや、不変性や、遠近感などの、人間や動物の視覚現象を通してのイメージに注目する。
【０００６】
イメージの厳密な定義は捉えどころがないが、ある人々にとっては、イメージが生理的、知覚的、または物理学的現象の視覚化であり、他の人々にとっては、それは意味論的内容に関連することである、ということは明らかである。イメージという単語がどんな意味だろうとも、意図することは、全ての形状と内容のイメージが最小の混乱をもって議論できるような基礎を確立することである。
【０００７】
イメージ処理とコンピュータビジョンでは、基本はイメージ形成プロセスの理解に関連する。光源によって作り出された光は景色の対象によって変更される。変更された光はシステム取得デバイスで捕らえられ、適切な形状に変えられて、物理学的なサポートに表示される。従って、結果のイメージの内容と、それをさらに利用することは、その両方が、光（構造化されているか否か、波長域、帯域の数や強度などのスペクトル特性）、取得デバイスの特性、変換（アナログ−デジタル、前処理）、出力表示形式（イメージ素子、フィルム、ベクトル、ラスタの時間的或いは空間的構成）の特性に依存する。自動処理の観点から、イメージは、知覚品質を改良するか、または特徴のいくつかを明白にするように強化される。通常、その内容は、決定システム（車、ロボットなど）によってより効果的に使用できる関連した特徴に関して、より描写的な表示を構成するために、または人間の毎日の仕事を助けるために、縮小過程を通して分析される。
【０００８】
ここでの関心の１つは、処理体系上のイメージのデータ構成とその結果に焦点を合わせることである。
【０００９】
代数学的位相幾何学の概念は、イメージを表現することへのキーとなる。代数学的位相幾何学は数学（非特許文献１０、６、９）においてよく知られた領域である。代数学的位相幾何学の文献は、イメージに使用されうる広い知識を提供する。しかしながら、代数学的位相幾何学の専門家は、コンピュータビジョンとイメージ処理に彼らの知識を導入するための取り組みを全くなしていない。代数学的位相幾何学を使用することの代わりに、イメージ処理とコンピュータビジョンの専門家は、位相幾何学と個別的な幾何学（非特許文献７、８）に基づいた解決策を見出だすことを制限してきた。
【００１０】
代数学的位相幾何学は、バイナリーイメージの位相幾何学的な特徴抽出と形状表現のために、アリリ（Ａｌｌｉｌｉ）とズィオウ（Ｚｉｏｕ）によって、最初に、イメージ処理とコンピュータビジョンに導入された（非特許文献１、２、１５）。この技術は、アリリ、ミスチャイコフ（Ｍｉｓｃｈａｉｋｏｗ）、及びタネンバウム（Ｔａｎｎｅｎｂａｕｍ）（非特許文献３）により、医学のバイナリーイメージに使用されている。オークレァ（Ａｕｃｌａｉｒ）他（非特許文献４）は、また、グレーレベル(gray level)イメージにおいて、線形と非線形の等方性の拡散だけでなくオプチカルフローに代数学的位相幾何学を使用した。Ｐ・ポーリン（Ｐ．Ｐｏｕｌｉｎ）他（非特許文献１２）は、グレーレベルイメージにおいて、スネ−クと弾性マッチングに代数学的位相幾何学を使用した。
【非特許文献１】Ｍ．アリリ(M. Allili)、Ｄ．ズィオウ(D. Ziou)、「キューブの相応関係を通したイメージの位相幾何学的性質の抽出(Extraction of topological properties of images via cubical homology)」、技術報告(Technical Report)、２０００年
【非特許文献２】Ｍ．アリリ(M. Allili)、Ｄ．ズィオウ(D. Ziou)、「バイナリーイメージにおける位相幾何学的特徴の抽出(Topological Feature Extraction in Binary Images)」、２００１年８月、ＩＥＥＥ、ＩＳＳＰＡ、マレーシア(IEEE ISSPA, Malysia)
【非特許文献３】Ｍ．アリリ(M. Allili)、Ｋ．ミスチャイコフ(K. Mischaikow)、Ａ．タネンバウム(A. Tannenbaum)、「２次元及び３次元イメージのキューブの相応関係及び位相幾何学的分類法(Cubical Homology and the Topological Classification of 2D and 3D Imagery)」、画像処理国際会議、ギリシア、２００１年(Int. Conf. Image Processing, Greece)
【非特許文献４】Ｍ．Ｆ．オークレァ・フォルティエ(M. F. Auclair-Fortier)、Ｐ．ポーリン(P. Poulin)、Ｄ．ズィオウ(D. Ziou)、Ｍ．アリリ(M. Allili)、「ポアソン方程式を解くためのコンピュータ処理上の代数学的位相幾何学：コンピュータビジョンへの適用(Computational Algebraic Topology for Resolution of the Poisson Equation: Application to Computer Vision)」、技術報告(Technical Report)、２００１年
【非特許文献５】Ｒ．エグリ(R. Egli)、Ｎ．Ｆ．スチュワート(N. F. Stewart)、「セルコンプレックス上のチェインを使用するシステム仕様のため構成(A framework for system specification using chains on cell complexes)」、コンピュータ支援設計(Computer Aided Design)、２０００年、第３２号、ｐ，４４７−４５９
【非特許文献６】Ｐ．Ｊ．ギブリン(P. J. Giblin)、グラフス(Graphs)、「表面と相応関係(Surfaces and Homology)」、チャップマンとホール、ロンドン(Chapman and Hall London)、１９７７年
【非特許文献７】Ｔ．Ｙ．コング(T. Y. Kong)、Ａ．ローゼンフェルド(A. Rosenfeld)、「ディジタル位相幾何学：導入と概論(Digital Topology : Introduction and Survey)」、ＣＶＧ  Ｉ  Ｐ(CVG I P)、１９８９年、４８号，ｐ，３５７−３９３
【非特許文献８】Ｖ．Ａ．コヴァルヴェスキー(V. A. Kovalvesky)、「イメージ処理に対する有限位相幾何学(Finite Topology to Image Analysis,)」、コンピュータビジョンと画像処理(Comp. Vision, and Image Processing)
【非特許文献９】Ｗ．Ｓ．マッシー(W.S. Massey)、「代数学的位相幾何学の基本コース(A Basic Course in Algebraic Topology)」、スプリンガー・ヴァーラッグ・ニューヨーク(Springer-Verlag New York)，１９９１年
【非特許文献１０】Ｊ．Ｒ．ムンクレス(J. R. Munkres)、「代数学的位相幾何学の構成要素(Elements of Algebraic Topology)」、アディソン−ウエスリー(Addison-Wesley)、１９８４年
【非特許文献１１】Ｒ．Ｓ．パーマー(R. S. Palmer)、Ｖ．シャピロ(V. Shapiro)、「工学解析と設計のための物理学的挙動のチェインモデル(Chain Models of Physical Behavior for Engineering Analysis and Design)」、技術設計における研究(Research in Engineering Design)、１９９３年、第５号、ｐ，１６１−  １８４
【非特許文献１２】Ｐ．ポーリン(P. Poulin, D. Ziou)、Ｍ．Ｆ．オークレァ・フォルティエ(M. F. Auclair-Fortier)、「変形可能オブジェクトのためのコンピュータの代数学的位相幾何学(Computational Algebraic Topology for Deformable Objects)」、技術報告(Technical Report)、２００１年
【非特許文献１３】Ａ．Ｓ．シュワルツ(A. S. Schwarz)、「物理学者のための位相幾何学(Topology for Physicists)」、スプリンガー・ヴァーラッグ(Springer-Verlag)、１９９４年
【非特許文献１４】Ｅ．トンティ(E. Tonti)、「物理学理論の形式的構成(On the Formal Structure of Physical Theories)」、技術報告(Technical Report)、Istituto Di Mathematica Del Politechnico Di Milano、ミラノ(Millan)、１９７５年
【非特許文献１５】Ｄ．ズィオウ(D. Ziou)、Ｍ．アリリ(M. Allili)、「骨格化のないバイナリーイメージにおけるキュービカル・コンプレックスを介したオイラー数の計算(Computation of the Euler Number in Binary Images without Skeletonization via Cubical Complex)」、技術報告(Technical Report)、２００１年
【非特許文献１６】Ｍ．アリリ(M. Allili)、Ｄ．ズィオウ(D. Ziou)、「キューブの相応関係を介したイメージの位相幾何学的性質の抽出(Extraction of Topological Properties of Images via Cubical Homology)」、技術報告(Technical Report)  ＣＤＳＮＳ  ２０００−３６５、ジョージア工科大学(CDSNS 2000-365, Georgia Institute of Technology)、２０００年６月
【非特許文献１７】Ｌ．アルバレス(L. Alvarez)、Ｒ．デリシェ(R. Deriche)、Ｆ．サンタナ(F. Santana)、「画像処理における反復と偏微分方程式(Recursivity and PDE's in Image Processing)」、第１５回パターン認識に関する国際会議議事録 (In Proceedings 15th International Conference on Pattern Recognition)、２０００年９月、第１巻、ｐ，２４２−２４８
【非特許文献１８】Ｊ．Ｌ．バロン (J. L. Barron)、Ｄ．Ｊ．フリート(D. J. Fleet)、Ｓ．Ｓ．ブーシェミン(S. S. Beauchemin)、「オプチカルフロー技術のシステムと実験パフォーマンス(Systems and Experiment Performance of Optical Flow Techniques)」、インターナショナル・ジャーナル・オブ・コンピュータビジョン(International Journal of Computer Vision)、１９９４年、第１２号の（１）、ｐ，４３−７７
【非特許文献１９】Ｓ．Ｓ．ブーシェミン(S. S. Beauchemin)、Ｊ．Ｌ．バロン(J. L. Barron)、「オプチカルフローの計算(The Computation of Optical Flow)」、ＡＣＭ・コンピューティング・サーベイ(ACM Computing Survey)、１９９５年、第２７号の（３）
【非特許文献２０】シャマン(A. J. Chaman)、「熱伝導の基礎(Fundamental of Heat Transfer)」、ミラン出版社(Macmillan Publishing Company)、１９８７年
【非特許文献２１】Ａ．Ｋ．カバラ(A. K. Chhabra)、Ｔ．Ａ．グローガン(T. A. Grogan)、「オプチカルフローに基づく領域計算のためのポアソン・ソルバとパターン解析(On Poisson Solvers and Semi-Direct Methods for Computing Area Based Optical Flow)」、ＩＥＥＥ・トランザクション・オン・パターン・アナリシス・アンド・マシン・インテリジェンス(IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence)、１９９４年、第１６号、ｐ，１１３３−１１３８
【非特許文献２２】Ｈ．シディアック(H. Chidiac)、Ｄ．ズィオウ(D. Ziou)、「Formation d'images optiques」、技術報告(Technical Report)２２６、Departement de mathematiques et d'informatique, Universite de Sherbrooke、１９９８年１１月
【非特許文献２３】Ｌ．Ｄ．コーエン(L. D. Cohen)、Ｉ．コーエン(I. Cohen)、「２次元及び３次元のアクティブ・コンター・モデルと気球のための有限要素法 (Finite Element Methods for Active Contour Models and Balloons for 2D and 3D Images)」、ＩＥＥＥ・トランザクション・オン・パターン・アナリシス・アンド・マシン・インテリジェンス(IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence)、１９９３年１１月、第１５号
【非特許文献２４】Ｌ．Ｄ．コーエン(L. D. Cohen)、「アクティブ・コンター・モデルと気球(On active contour models and balloons)」、コンピュータビジョン、グラフィックス、及び画像処理(Computer Vision, Graphics and Image Processing)、１９９１年３月第５３号の（２）、ｐ，２１１−２１８
【非特許文献２５】Ｒ．デリーシェ(R. Deriche)、Ｏ．フォーゲラス(0. Faugeras)、「Les EDP en traitement des images et vision par ordinateur」、技術報告(Technical Report)２６９７、インリア(INRIA)、１９９５年１１月
【非特許文献２６】Ｃ．Ｈ．エドワーズ(C. H. Edwards)、Ｄ．Ｅ．ペニー(D. E. Penney)、「解析幾何学を用いた計算法(Calculus with Analytic Geometry)」、プレンティス・ホール(Prentice Hall)、１９９８年
【非特許文献２７】Ｈ．Ｕ．フックス(H. U. Fuchs)、「熱力学(The Dynamics of Heat)」、スプリンガー・ヴァーラッグ(Springer-Verlag)、１９９６年
【非特許文献２８】Ｄ．ホーリデー(D. Halliday)、Ｒ．レズニック(R. Resnick)、Ｊ．ウォーカー(J. Walker)、「物理学の基礎(Fundamentals of Physics)」、ジョン・ウィリー(John Willey)、サンズ(Sons)、１９９７年
【非特許文献２９】Ｂ．Ｋ．Ｐ．ホーン(B. K. P. Horn)、Ｂ．シュンク(B. Schunck)、「オプチカルフローの解決(Determining Optical Flow)」、アーティフィシャル・インテリジェンス(Artificial Intelligence)、１９８１年、第１７号、ｐ，１８５−２０３
【非特許文献３０】Ｊ．カルフォーキアン(J. Kervorkian)、「偏微分方程式：解析的解法テクニック(Partial Differential Equations: Analytical Solution Techniques)」、チャップマンとホール(hapman and Hall)、数学シリーズ(Mathematics Series)、１９９０年、第２章、ｐ，４８−１１６
【非特許文献３１】Ｓ．Ｈ．レイ(S. H. Lai)、Ｂ．Ｃ．バームリ(B. C. Vermuri)、「低レベル視覚問題におけるポアソン方程式の反復解(An O (n) Iterative Solution to the Poisson Equation in Low-level Vision Problems)」、フロリダ大学、コンピュータ、及び情報科学部の技術報告(Technical Report)ＴＲ９３−０３５、(University of Florida, Computer and Information Sciences Department)、１９９３年
【非特許文献３２】Ｊ．リー(J. Li)、Ａ．０．ヘロ(A. 0. Hero)、「表面再構築及び３次元アクティブ・コンターに対する楕円方程式のためのスペクトル法(A Spectral Method for Solving Elliptic Equations for Surface Reconstruction and 3D Active Contours)」、画像処理に関するＩＥＥＥ国際会議議事録(Proceedings of IEEE International Conference on Image Processing)、テッサロニーキ（ギリシア）、２００１年１０月
【非特許文献３３】Ｇ．Ｔ．メイス(G. T. Mase)、Ｇ．Ｅ．メイス(G. E. Mase)、「技術者のための連続体力学(Continuum Mechanics for Engineers)」、シー・アール・シー・プレス(CRC Press)、１９９９年
【非特許文献３４】Ｃ．マッティウシ(C. Mattiussi)、「代数学的技術からのいくつかの概念を利用した有限体積、有限要素、及び有限差分法(An Analysis of Finite Volume, Finite Element, and Finite Difference Methods Using Some Concepts from Algebraic Topology)」、ジャーナル・オフ・コンピュテーショナル・フィジックス(Journal of Computational Physics) 、１９９７年、第１３３号、ｐ，２８９−３０９
【非特許文献３５】Ｊ．モンテイユ(J. Monteil)、Ａ．ベッグダディ(A. Beghdadi)、「イメージ進化のための非線形異方性拡散の新しい解釈と改良(A New Interpretation and Improvement of the Nonlinear Anisotropic Diffusion for Image Enhancement)」、ＩＥＥＥ・トランザクション・オン・パターン・アナリシス・アンド・マシン・インテリジェンス(IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence)、１９９９年９月、第２１号の（９）、ｐ，９４０−９４６
【非特許文献３６】Ｐ．ポーリン(P. Poulin)、Ｍ．Ｆ．オークレァ・フォルティエ(M. F. Auclair-Fortier)Ｄ．ズィオウ(D. Ziou)、Ｍ．アリリ(M. Allili)、「曲線の変形のための物理学ベースモデル：コンピュータの代数学的位相幾何学アプローチ(A Physics Based Model for the Deformation of Curves: A Computational Algebraic Topology Approach)」、技術報告(Technical Report)２７０、Departement de mathematiques et d'informatique, Universite de Sherbrooke、２００１年
【非特許文献３７】Ｓ．Ｖ．パタンカー(S. V. Patankar)、「数値的熱伝導と流量(Numerical Heat Transfer and Fluid Flow)」、コンピュテーショナル・メソッズ・イン・メカニックス・アンド・サーマル・サイエンシーズ(Computational Methods in Mechanics and Thermal Sciences)、マグローヒル・ブック・カンパニー(McGraw-Hill Book Company)、１９８０年
【非特許文献３８】Ｐ．ペロナ(P. Perona)、Ｊ．マリック(J. Malik)、「異方性拡散を利用したスケール・スーペースとエッジ検出(Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion)」、ＩＥＥＥ・トランザクション・オン・パターン・アナリシス・アンド・マシン・インテリジェンス(IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence)、１９９０年７月、第１２号の（７）、ｐ，６２９−６３９
【非特許文献３９】Ｔ．シムコニー(T. Symchony)、Ｒ．シェラッパ(R. Chellappa)、Ｍ．サオ(M. Shao)、「コンピュータビジョン問題におけるポアソン方程式を解くための直接解析手法(Direct Analytical Methods for Solving Poisson Equations in Computer Vision Problems)」、ＩＥＥＥ・トランザクション・オン・パターン・アナリシス・アンド・マシン・インテリジェンス(IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence)、１９９０年５月、第１２号の（５）、ｐ，４３５−４４６
【非特許文献４０】Ｄ．テルゾポウロス(D. Terzopoulos)、「多重格子緩和法を利用した画像解析(Image Analysis Using Multigrid Relaxation Methods)」、ＩＥＥＥ・トランザクション・オン・パターン・アナリシス・アンド・マシン・インテリジェンス(IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence)、１９８６年、第８号、ｐ，１２９−１２９
【非特許文献４１】Ｇ．Ｂ．トーマス(G. B. Thomas)、Ｒ．Ｌ．フィニー(R. L. Finney)、「計算法と解析幾何学 (Calculus and Analytic Geometry)」、アディション・ウェスレー・パブリッシング・出版社(Addison-Wesley Publishing Company)、１９８８年
【非特許文献４２】Ｅ．トンティ(E. Tonti)、物理学理論の形式的構成(On the Formal Structure of Physical Theories)」、技術報告(Technical Report)、Istituto Di Mathematica Del Politechnico Di Milano、ミラノ、１９７５年
【非特許文献４３】Ｊ．ウィッカート(J. Weickert)、「非線形拡散フィルタリングの概要(A Review of Nonlinear Diffusion Filtering)」、情報科学の講義ノート(Lecture Notes in Computer Science)１２５２、１９９７年、ｐ，３−２８
【非特許文献４４】Ｅ．ザウデラー(E. Zauderer)、「応用数学の偏微分方程式(Partial Differential Equations of Applied Mathematics)」、ピュア・アンド・アプライド・マセマチックス(Pure and Applied Mathematics)、ジョン・ウィリー(John Willey)、サンズ(Sons)、ニューヨーク、１９８３年
【非特許文献４５】Ｍ．アリリ(M. Allili)、Ｄ．ズィオウ(D. Ziou)、「キューブの相応関係を介したイメージの位相幾何学的性質の抽出(Extraction of Topological Properties of Images via Cubical Homology)」、技術報告(Technical Report)  ＣＤＳＮＳ  ２０００−３６５、ジョージア工科大学(CDSNS 2000-365, Georgia Institute of Technology)、２０００年６月
【非特許文献４６】Ｍ．Ｆ．オークレァ・フォルティエ(M. F. Auclair-Fortier)、Ｄ．ズィオウ(D. Ziou)、Ｃ．アルメナキス(C. Armenakis)、Ｓ．ウォング(S. Wang)、「高解像度イメージからの道路データベースの自動修正とアップデート(Automated Correction and Updating of Road Databases from High-Resolution Imagery)」、カナディアン・ジャーナル・オブ・リモート・センシング(Canadian Journal of Remote Sensing)、２００１年、第２７号、ｐ，７６−８９、
【非特許文献４７】Ｍ．Ｆ．オークレァ・フォルティエ(M. F. Auclair-Fortier)、Ｐ．ポーリン(P. Poulin)、Ｄ．ズィオウ(D. Ziou)、Ｍ．アリリ(M. Allili)、スムージングとオプチカルフローの物理学ベースの解法：コンピュータの代数学的位相幾何学アプローチ(Physics Based Resolution of Smoothing and Optical Flow : A Computational Algebraic Topology Approach)」、技術報告(Technical Report)２６９、Departement de mathematiques et d'informatique, Universite de Sherbrooke、２００１年
【非特許文献４８】Ｋ．Ｊ．バーデス(K. J. Bathes)、「有限要素法(Finite element procedures)」、プレンティス・ホール(Prentice Hall)、１９９６年
【非特許文献４９】Ａ．Ｐ．ボレシ(A. P. Boresi)、「機械工学における弾性(Elasticity in Engineering Mechanics)」、プレンティス・ホール(Prentice Hall)、１９６５年
【非特許文献５０】Ａ．Ｐ．ボレシ(A. P. Boresi)、Ｒ．Ｊ．シュミット(R. J. Schmidt)、Ｏ．Ｍ．サイドボトム(O. M. Sidebottom)、「高度材料力学第５版(Advanced Mechanics of Materials, Fifth edition)」、ジョン・ウィリー(John Willey)、サンズ(Sons)、１９９３年
【非特許文献５１】Ｍ．ブロ・ニールセン(M. Bro-Nielsen)、「高速有限要素を利用した外科的シミュレーション(Surgery simulation using fast finite elements)」、（進行中の）生物医学コンピューティングにおける視覚化(In Proc. Visualization in Biomedical Computing)（ＶＢＣ’９６）、１９９６年９月、第１１３１号、ｐ，５２９−５３４、ハンブルグ（ドイツ）、情報科学におけるスプリンガー (Springer)講演ノート
【非特許文献５２】Ｅ．Ｆ．バイヤー(E. F. Byars)、Ｒ．Ｄ．スナイダー(R. D. Snyder)、「変形可能な物体の力学(Mechanics of Deformable Bodies)」、インテキスト・エデュケーショナル・パブリッシャーズ(Intext Educational Publishers)、１９７５年
【非特許文献５３】Ｓ．コーチン(S. Cotin)、Ｎ．アヤシェ(N. Ayache)、「外科的トレーニング及びシミュレーションのためのリアルタイムの切断、変形、及び力−フィードバックが可能な複合弾性モデル(A Hybrid Elastic Model Allowing Real-Time Cutting, Deformations and Force-Feedback for Surgery Training and Simulation)」、１９９９年５月、進行中のＣＡＳ９９(In Proc. of CAS99)、ｐ，７０−８１
【非特許文献５４】Ｆ．デシェネス(F. Deschenes、Ｄ．ズィオウ(D. Ziou)、Ｍ．Ｆ．オークレァ・フォルティエ(M. F. Auclair-Fortier)、「線、線の交点、線の終端点の検出(Detection of Lines, Line Junctions and Line Terminations)」、技術報告(Technical Report)２５９、Departement de mathematiques et d'informatique, Universite de Sherbrooke、２０００年（フォトグラッメトリー・アンド・リモート・センシングのＩＳＰＲＳジャーナル２０００年(ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing, 2000)に提出されたもの）
【非特許文献５５】Ｃ．Ｈ．エドワーズ(C. H. Edwards)、Ｄ．Ｅ．ペニー(D. E. Penney)、「解析幾何学を用いた計算法(Calculus with Analytic Geometry)」、プレンティス・ホール(Prentice Hall)、１９９８年
【非特許文献５６】Ｋ．Ｍ．エントウィッスル(K. M. Entwistle)、「有限要素法の基礎的原理(Basic Principles of the Finite Element Method)」、ＩＯＭコミュニケーションズ・リミテッド(IOM Communications Ltd)、１９９９年
【非特許文献５７】Ｓ．Ｆ．Ｆ．ギブソン(S. F. F. Gibson)、Ｂ．ミルティッチ(B. Mirtich)、「コンピュータグラフィックスにおける変形モデリングの調査(A Survey of Deformable Modeling in Computer Graphics)」、三菱電気研究所技術報告(Technical report, Mitsubishi Electric Research Laboratory)、１９９７年
【非特許文献５８】Ｒ．Ｃ．ジュヴィナール(R. C. Juvinall)、「応力、ひずみ、及び強度の工学的考察(Engineering considerations of Stress, Strain and Strength)」、マグローヒル(McGraw-Hill)、１９６７年
【非特許文献５９】Ｍ．カス(M. Kass)、Ａ．ウイトキン(A. Witkin)、Ｄ．テルゾポウロス(D. Terzopoulos)、「スネーク：アクティブ・コンター・モデル(Snakes : Active Contour Models)」、インターナショナル・ジャーナル・オブ・コンピュータビジョン(International Journal of Computer Vision)、１９８８年、第１号の（４）、ｐ，３２１−３３１
【非特許文献６０】Ｇ．Ｔ．メイス(G. T. Mase)、Ｇ．Ｅ．メイス(G. E. Mase)、「技術者のための連続体力学(Continuum Mechanics for Engineers)」、シー・アール・シー・プレス(CRC Press)、１９９９年
【非特許文献６１】(Ｃ．マッティウシ(C. Mattiussi)、「代数学的技術からのいくつかの概念を利用した有限体積、有限要素、及び有限差分法(An Analysis of Finite Volume, Finite Element, and Finite Difference Methods Using Some Concepts from Algebraic Topology)」、ジャーナル・オフ・コンピュテーショナル・フィジックス(Journal of Computational Physics) 、１９９７年、第１３３号、ｐ，２８９−３０９
【非特許文献６２】Ｊ．モンタグナット(J. Montagnat)、Ｈ．デリンゲッテ(H. Delingette)、「形状制約された変形可能なモデルを用いた容量測定の医療イメージ分割(Volumetric Medical Images Segmentation using Shape Constrained Deformable Models)」、情報科学の講義ノート(Lecture Notes in Computer Science)１２０５、１９９７年、ｐ，１３−２２
【非特許文献６３】Ｊ．モンタグナット(J. Montagnat)、Ｈ．デリンゲッテ(H. Delingette)、Ｎ．スカペル(N. Scapel)、Ｎ．アヤシェ(N. Ayache)「変形可能な表面の表現、形状、位相幾何学、及び進化(Representation, shape, topology and evolution of deformable surfaces)」、３次元医療イメージ分割への適用(Application to 3D medical imaging segmentation)、技術報告(Technical Report)３９５４、インリア(INRIA)、２０００年
【非特許文献６４】Ｋ．Ｗ．モートン(K. W. Morton)、Ｄ．Ｆ．メイヤーズ(D. F. Mayers)、「偏微分方程式の数値的解法(Numerical Solution of Partial Differential Equations)」、ケンブリッジ大学プレス(Cambridge University Press)、１９９４年
【非特許文献６５】Ｂ．Ｖ．ムヴディ(B. V. Muvdi)、Ｊ．Ｗ．マクナブ(J. W. McNabb)、「材料力学(Engineering Mechanics of Materials)」、マクミラン・パブリッシング・カンパニー(Macmillan Publishing Co)、１９８０
【非特許文献６６】Ｎ．Ｏ．ミクレスタッド(N. O. Myklestad)、「変形可能な物体の静力学(Statics of deformable bodies)」、マクミラン・カンパニー(Macmillan Co)、１９６６年
【非特許文献６７】Ｒ．Ｓ．パーマー(R. S. Palmer)、Ｖ．シャピロ(V. Shapiro)、「工学解析と設計のための物理学的挙動のチェインモデル(Chain Models of Physical Behavior for Engineering Analysis and Design)」、技術報告(Technical Report)ＴＲ９３−１７３５、コーネル大学情報科学部(Cornell University, Computer Science Department)、１９９３年８月
【非特許文献６８】Ｎ．ピーターフロインド(N. Peterfreund)、「カルマンスネークを有する位置と速度の強固な追跡(Robust Tracking of Position and Velocity With Kalman Snakes)」、ＩＥＥＥ・トランザクション・オン・パターン・アナリシス・アンド・マシン・インテリジェンス(IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence)、１９９９年、第２１号の（６）、ｐ，５６４−−５６９
【非特許文献６９】Ｗ．Ｄ．ピルケイ(W. D. Pilkey)、Ｗ．ヴンターリッヒ(W. Wunderlich)、「構造力学：変分法と演算処理方法(Mechanics of structures: variational and computational methods)」、シー・アール・シー・プレス(CRC Press)、１９９９年
【非特許文献７０】Ｗ．プレス(W. Press)、Ｓ．テウコルスキー(S. Teukolsky)、Ｗ．ヴェターリング(W. Vetterling)、Ｂ．フラネリ(B. Flannery)、「Ｃにおける数値手法(Numerical Recipes in C)」、ケンブリッジ大学プレス(Cambridge University Press)、１９９２年
【非特許文献７１】Ｇ．Ｂ．トーマス(G. B. Thomas)、Ｒ．Ｌ．フィニー(R. L. Finney)、「計算法と解析幾何学 (Calculus and Analytic Geometry)」、アディション・ウェスレー・パブリッシング・出版社(Addison-Wesley Publishing Company)、１９８８年
【非特許文献７２】Ｅ．トンティ(E. Tonti)、「物理学理論の形式的構成(On the Formal Structure of Physical Theories)」、技術報告(Technical Report)、Istituto Di Mathematica Del Politechnico Di Milano、１９７５年
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１１】
イメージ処理とコンピュータビジョンにおいては、数十年来、いくつかのイメージモデルが受け入れられ、頻繁に使用されている。これらのイメージモデルは、イメージサポート(image support)と、このサポートに関わる局所的な量の両方を統合する。このイメージサポートはピクセルによって形成される。各ピクセルは、グレーレベルと呼ばれるスカラー量に関連し、或いは、知覚レベルにおける色、または信号レベルにおけるマルチスペクトルと呼ばれるベクトル量に関連する。主に、イメージサポート（ピクセルの定義と構成）がどのようなものか、また値がどのように定式化されるかという点に関しては、既存のモデルは異なる。よく知られているイメージモデルは、関数、ランダム過程、及び順序集合(ordered set)である。イメージは関数Ｌｘ×Ｌｙ→Ｇｍで表わされ、ここにＬｘ＝｛１，．．．，Ｎｘ｝かつＬｙ＝｛１，．．．，Ｎｙ｝）、Ｎｘ×Ｎｙはイメージの解像度、ｎが最大量でありかつｍがイメージバンドの個数である場合にＧ＝｛１，．．．，ｎ｝である。バイナリイメージｎ＝２の場合では、イメージ処理はグラフ理論、言語理論、論理学、微分幾何学などに起源を有する。もしｎ＞１であるならば、たいてい、イメージは実関数としてモデル化される（Ｇ，Ｌｘ，Ｌｙ⊂Ｒである時のアナログイメージ）。この場合、関数理論、関数解析学、カタストロフィ理論、微分方程式、及び微分幾何学が基礎を構成する。イメージは、確率変数Ｘ（ｉ，ｊ）｜（ｉ，ｊ）∈Ｌｘ×Ｌｙのコレクション(collection)としてモデル化できる。この場合、確率密度関数、モーメント、充分な統計量、時系列、及びマルコフ（Ｍａｒｋｏｖ）過程が起源である。イメージが順序集合としてモデル化される時、個別の数学及び数学的形態学が基礎となる。
【００１２】
数学的形態学が導入されて以来、これらの分野の研究者の取り組みは、イメージモデルを疑問視することなく特定の問題（エッジ検出、イメージ分割、オプチカルフロー、及び変形）の形式主義に従って、より複雑な数学的、物理学的、または計算処理概念の利用により、焦点を絞ってきた。新しいイメージモデルの定義は、新しい基礎で設計されたアルゴリズムを導くことができる。イメージは、変数（イメージサポート）が点や、線や、面や、時間などの幾何学的または時間的要素を表現するような物理学的または数学的量である。例えば、関数Ｌｘ×Ｌｙ→Ｇｍによるイメージは、領域Ｌｘ×Ｌｙの幾何学的、位相幾何学的性質、及びＧｍの位相幾何学的、幾何学的、解析学的性質の両方で定義できる。既存のイメージモデルは、数学または物理学において深い起源を有するが、変数、量、及びそれらの間の関係は明確ではない。与えられたコンピュータビジョンやイメージ処理タスクに関しては、対象物の物理学的、位相幾何的、幾何学的性質、及びイメージモデルの一部としてのそれらの挙動のために、いかなる形式的な機構も与えられていない。従って、結果としての計算処理方式は、非モジュール式であって、再現させることが時々容易でないことがある。
【課題を解決するための手段】
【００１３】
本発明によれば、ピクセル面を有するｎ−ピクセル構成を含むイメージサポートと、イメージ特徴に関係する量と、前記量をｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付ける代数学的構成とを有し、前記代数学的構成が、前記量の間の関係を定義する代数学的演算を有するような、演算処理のイメージモデルが提供される。
【００１４】
また、本発明は、ピクセル面を有するｎ−ピクセルの構成を含むイメージサポートを作る段階と、イメージ特徴に関係する量を定義する段階と、前記量を代数学的構成を介してｎ−ピクセル及び／またはピクセル面に関係付け、かつ前記量を代数学的演算を介してお互いに関係付ける段階とを有する演算処理のイメージモデリング方法、に関係している。
【００１５】
一方、本発明によれば、
ｎ−ピクセルの構成を含むイメージサポートを作る段階を有し、前記イメージサポートは、
それぞれのｎ−ピクセルを、ｑ∈｛１，２，．．．，ｎ｝を満たし、かつそれぞれのｑ−ピクセルが、（ｑ−１）−面、（ｑ−２）−面、．．．、（ｑ−ｑ）−面を含むようなｑ−ピクセルに代数学的に変換するｑ−ピクセルと、
各々がｑ−ピクセルのコレクションである複数の幾何学的コンプレックス(complex)と、
代数学的形式で幾何学的コンプレックスをそれぞれ表現するｑ−チェインであって、各ｑ−チェインが幾何学的コンプレックスの全てのｑ−ピクセルの一次結合であるｑ−チェインと、
幾何学的コンプレックス内にあって、ｑ−ピクセル及び／または前記ｑ−ピクセルの面に対するイメージ特徴に関係する量に関連したｑ−コチェインと、
ｑ−コチェイン間の関係を定義するコバンダリーと、
を備える熱伝導問題を解決するための演算処理構成(framework)であって、さらに、
未知の温度の位置付けとしての第１の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＴを計算する段階と、
グローバルな温度変化としての第１の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＨを計算する段階と、
一次変換を介したｑ−コチェインＨの関数としてのグローバルなエネルギー変化として、第２の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインεを見出す段階と、
ｑ−コチェインＴの関数としてのｑ−コチェインεを見出す段階と、
第１のコバンダリー演算を介してｑ−コチェインＴから第１の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＧを定義し、前記ｑ−コチェインＧを第２の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＱに変換し、ｑ−コチェインＱから、及び第２のコバンダリー演算を介して、グローバルな拡散としての第２の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＤを定義する段階と、
グローバルな熱源としての第２の幾何学的コンプレックスのｑ−コチェインＳを定義する段階と、
ｑ−コチェインε、Ｄ、及びＳの間の関係を構築する段階と、
を有する演算処理構成、が提供される。
【００１６】
さらに、本発明は、
ｎ−ピクセルの構成を含むイメージサポートを作る段階を有し、前記イメージサポートは、
それぞれのｎ−ピクセルを、ｑ∈｛１，２，．．．，ｎ｝を満たし、かつそれぞれのｑ−ピクセルが、（ｑ−１）−面、（ｑ−２）−面、．．．、（ｑ−ｑ）−面を含むようなｑ−ピクセルに代数学的に変換するｑ−ピクセルと、
各々がｑ−ピクセルのコレクションである複数の幾何学的コンプレックスと、
代数学的形式で幾何学的コンプレックスをそれぞれ表現するｑ−チェインであって、各ｑ−チェインが幾何学的コンプレックスの全てのｑ−ピクセルの一次結合であるｑ−チェインと、
幾何学的コンプレックス内にあって、ｑ−ピクセル及び／または前記ｑ−ピクセルの面に対するイメージ特徴に関係する量に関連したｑ−コチェインと、
ｑ−コチェイン間の関係を定義するコバンダリーと、
を備える２次元のアクティブ・コンター・モデル(active contour model)のための演算処理構成であって、さらに、
第１の幾何学的コンプレックスの変位ｑ−コチェインＤを計算する段階と、
第２の幾何学的コンプレックスのひずみｑ−コチェインＳを計算する段階とを有し、この段階は、
ｑ−コチェインＤの関数としての近似ひずみ関数
【００１７】
【数１】
2005535951.tif 000003
を定義する段階と、
前記近似ひずみ関数としてのｑ−コチェインＳと、第１及び第２の幾何学的コンプレックス相対位置とを表現する段階と備え、さらに、
前記ひずみｑ−コチェインＳのコバンダリーとしての第２の幾何学的コンプレックスの力ｑ−コチェインＦを計算する段階を有する
演算処理構成、にも関係している。
【００１８】
本発明の、上記及び他の目的、利点、及び特徴は、添付図面の参照のみによる例示によって与えられた本発明の実施の形態に関係した、以下の非限定的な説明を読むことにより、より明らかとなることであろう。
【００１９】
本明細書は様々な参考文献を引用している。これらは、参照として本明細書にことごとく組み込まれている。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２０】
本発明の実施の形態は、イメージサポート、イメージ量、及び許容できる演算が別々に指定されるようなｎ−ピクセルに基づくイメージのためのデータ構成に基づいている。このデータ構成においては、数学と物理学が統合される。即ち、そのデータ構造は、物理学や数学において起こる制約、及びイメージの将来的使用を考慮に入れることを許容する。イメージの次元ははっきりしており、我々はいかなる次元でも動作するアルゴリズムを設計できる。前述の利点及び他の利点、さらにこのデータ構造の新たな未解決の問題が、以下ここで議論される。
【００２１】
本発明の１つの目標は、演算処理のイメージモデル、或いは与えられたタスクに必要な全てのものの特徴を得られるデータ構成を提供することである。図６６は、本発明の実施の形態に従った演算処理のイメージモデルを構築するための、手続き（連続ステップ６６０１〜６６０６）をまとめる概略フローチャートである。そのイメージのデータ構成は、イメージ変数、イメージ量の形式的な仕様であり、上記イメージ量とイメージ変数の関連は、物体の幾何学的かつ位相幾何学的な特徴のみならずそれらの物理学的かつ数学的振る舞いをも捉えうるようなものである。コンピュータプログラムで使用されるようなデータ構成としてのイメージの抽象的な画面は、意味のある演算の属性(attribute)とコレクション(collection)によって定義される。属性とは、イメージサポートであり、また、イメージ・ラジオメトリー(radiometry)（例えば、カラー及びグレーレベル）や、ラジオメトリーから推論できるある特徴（例えば、テクスチャ）などのようなイメージに割り当てられる量である。これらの量は、スカラー、ベクトルまたはテンソルである。許容できる操作は２種類であり、その演算は読み書きのような独立な問題、及び物体の変形、拡散、及びオプチカルフロー(optical flow)のような非独立な問題である。まとめると、イメージサポートは、サポート、量、及び可能な演算によって定義される。後者の３つのものは、以下の説明で詳細に定義される。
【００２２】
［イメージサポート］
しばしば、イメージの離散化は、キューブ(立法体、cube)のタイル張りで達成される。例えば、２次元（二次元）のイメージサポートは、一般にピクセルと呼ばれる単位正方形によって形成される。同様に、３Ｄ（３次元）のイメージは、一般にボクセル(voxel)と呼ばれる単位キューブのタイル張りである。さらに本発明の実施の形態では、一般的には、ｎ次元におけるイメージを、単位ｎ−キューブの集合であるとみなす。そのｎ−キューブは、一般的にｎ−ピクセルと呼ばれる。ｎ＝０のときに、イメージは点の集合であり、ｎ＝１のときはエッジの集合、ｎ＝２のときは正方形の集合、ｎ＝３のときは立方体の集合、そして以下同様である。いかなる２つのｎ−ピクセルも、互いに独立であるか、またはｉ＜ｎの場合にはｉ−ピクセルと交差している。イメージサポートのこの下位区分は一意的でない。例えば、三角形、六角形などの他のいくつかの幾何学的な形式が利用できる。イメージサポートの位相幾何学的な特徴は、非特許文献１３を利用した下位区分に依存しないということが証明されている。キューブの下位区分は、一般にイメージ処理及びコンピュータビジョンにおいて使用され、従って、本発明の非限定的な実施の形態において使用される。ピクセルの方向を明白に定義する必要はない。実際には、実数の自然な順序に結び付けられたある一定の順序における区間の積としてのピクセルの定義により、各座標軸に沿って、さらにＲｎの標準原則にも沿って、ピクセルの方向付けが強制される（図１を参照）。
【００２３】
形式的に、幾何学的構成要素としてのピクセルσ∈Ｒｎは以下のような代数学的構造に変換される。
【００２４】
【数２】
2005535951.tif 000004
ここに、×はデカルト積(Cartesian product)であり、Ｉｊは単集合または整数の終点をもつ単位長さの区間のいずれかである。即ち、Ｉｊは単集合｛ｋ｝で、その場合それは退化区間と呼ばれるもの、またはいくらかの整数ｋに対する閉区間［ｋ，ｋ＋１］である。式（１）の非退化区間の数ｑ∈｛０，１，．．．，ｎ｝は、定義によりｑ−ピクセルとして参照されるσの次元である。ｑ≧１に対して、ｊ＝｛ｋ０，ｋ１，．．．，ｋｑ−１｝を、Ｉｋｊ＝［ａｊ，ｂｊ］が非退化区間であるような添字の順序付けられた部分集合｛１，２，．．．，ｎ｝としよう。
【００２５】
【数３】
2005535951.tif 000005
と
【００２６】
【数４】
2005535951.tif 000006
を定義しよう。ここに、ＡｋｊσとＢｋｊσは、それぞれσの前の（ｑ−１）−面と後の（ｑ−１）−面と呼ばれる。これらの（ｑ−１）−面の各々は、（ｑ−１）−ピクセルである。そして、これらの面は、σの（ｑ−１）−面と呼ばれる。同様に、σの（ｑ−２）−面、．．．、０−面までを定義することができる。図１は、その１面ａ、ｂ、ｃ、ｄをもった２−ピクセルＡを示す。Ａの０面は画像を明確にするためにここで示されない頂点である。ｑ−ピクセルσのバンダリー(bounry／境界)は、ｑ−ピクセルとその（ｑ−１）−面の間の関係を代数学的形式に記述することを可能にする。定義により、これは、その（ｑ−１）−面の交互和である。即ち、
【００２７】
【数５】
2005535951.tif 000007
【００２８】
例えば、図１のＡのバンダリーは以下の関係により与えられる。
【００２９】
【数６】
2005535951.tif 000008
【００３０】
これまで、ピクセル、面、及びそれらの間の関連は幾何学的及び代数学的に定義された。今、イメージサポートが、キュービカル・コンプレックス(cubical complex)と呼ばれる幾何学的構成要素として定義される。そして、代数学的構造が記述される
。Ｒｎ内のキュービカル・コンプレックスＫは、０≦ｑ≦ｎを満たすｑ−ピクセルのコレクションであり、そして以下のようなものである。
Ｋ内のピクセルのあらゆる面がＫ内に位置しており、そして、
Ｋの２つのピクセルのいかなるペアの共通部分(intersection)も、空集合であるか、または上記ペアの両方のピクセルの共通の面によって形成される。
【００３１】
第１の条件は、ピクセルの全ての面がキュービカル・コンプレックスに属することを意味する。
【００３２】
２番目の条件はキュービカル・コンプレックスの編成に関する。２つのピクセルの共通部分が空集合ならば、イメージサポートは１個またはそれ以上の連結成分によって形成される。１個またはそれ以上のイメージサポート（例えば、イメージ列）、または数個の別々のバイナリオブジェクト(binary objects)によって形成されるキュービカル・コンプレックスの形式的な仕様を可能にするので、この条件は、既存の定義よりもより一般的であるイメージサポートを提供する。共通部分が面であるとき、前記コンプレックスのある幾何学的形態は除外される。例えば、図２（ａ）はキュービカル・コンプレックスである下位区分を示し、また、図２ｂはキュービカル・コンプレックスではない下位区分を示す。
【００３３】
キュービカル・コンプレックスＫの次元は、定義により、Ｋがｑ−ピクセルを含む場合の最大の数ｑである。
【００３４】
ｑ−ピクセルの条件下でのように、キュービカル・コンプレックスは代数学的形式で書くことができる。キュービカル・コンプレックスに関する位相空間Ｘ⊂Ｒｎを考えるとき、Ｘの全てのｑ−ピクセルの集合はＥｑ＝｛σｑ１，．．．，σｑＮｑ｝である。Ｘにおけるｑ−チェインは、Ｅｑの要素の整数倍の形式的な和である。より正確には、それは一次結合
【００３５】
【数７】
2005535951.tif 000009
である。ここに、λ１，．．．，λＮｑは整数である。例えば、図１で、ａ−ｃ＋ｄ−ｂは１つのチェインである。２つのｑ−チェインは、対応する係数を加えることによって、加えられる。通常、Ｃｑ（Ｘ）によって表されたＥｑに基づく自由アーベル群(Abelian group)の構成を、ｑ−チェインの集合に与えることができる。有限のコンプレックスだけを考えるので、もしｑがコンプレックスの次元より大きいなら、群Ｃｑ（Ｘ）は有限的に生成され、Ｃｑ（Ｘ）＝０である。当然、ｑ＜０であるなら、Ｃｑ（Ｘ）＝０である。
【００３６】
キュービカル・コンプレックスのピクセルの面で関連するチェインを定義するために、式（２）は線形性によって全てのｑ−チェインに拡張され、バンダリー・マップ(boundary map)∂ｑ：Ｃｑ（Ｘ）→Ｃｑ−１（Ｘ）が得られる。Ｃ−１（Ｘ）＝０であるので∂０＝０であることに注意しよう。バンダリー・マップは以下の特徴を満足する（非特許文献９）。
【００３７】
【数８】
2005535951.tif 000010
【００３８】
まとめると、いかなる次元ｎの離散的なイメージサポートも、ｎ−ピクセルによって形成される。従来のイメージモデルとは異なり、ｎ−ピクセルは、面と呼ばれる他の幾何学的構成要素によって形成された次元の幾何学的構成要素である。幾何学的ｎ−ピクセルは、数学の取り扱いにとってより信頼できる再帰的代数学的構成に変換される。イメージサポートの全てのｎ−ピクセルはキュービカル・コンプレックス、即ち、チェインと呼ばれる代数学的構成に変換される幾何学的な構成要素を形成する。ｎ−ピクセルとその面の間の関連、従って連続した次元のチェインの間の関連は、バンダリー演算子により与えられる。三角形や六角形などのイメージサポートを細分する他のいかなる幾何学的な原理の使用も、生成されたアルゴリズムの計算量に影響するが、しかしそれはイメージサポートの位相幾何学的特徴にも、その特徴のための計算規則にも影響しない、ということに注目するべきである。
【００３９】
［イメージ量］
以上の説明では、有限のキュービカル・コンプレックスの概念が、離散的なイメージサポートの代数学的説明を与えるために導入された。同様の定式化が、離散的なイメージサポート上でイメージ場（スカラー、ベクトル、マトリクス）を説明するのに必要である。このために、上述のチェインの概念に戻り、さらに一般的な定義を与えよう。次元ｎのキュービカル・コンプレックスＫを考えると、Ｋの各ｑ−ピクセル（ｑ≦ｎ）は、環（Ａ，＋，＊）における係数に関連する。その環においては、要素はスカラー（グレーレベル）、ベクトル（カラー、階調）、マトリクス（ヘシアン(Hessian)）などであることが可能である。チェインは形式的な和
【００４０】
【数９】
2005535951.tif 000011
である。ここにλｉは（Ａ，＋，＊）の係数であり、ジェネレータＣｑｉ，∀ｉはアーベル群の基(basis)を形成する。チェインは、ベクトル［λ１，．．．，λＮｑ］Ｔとして見ることができる。ここに、Ｎｑは使用されるジェネレータの数である。従って、それらの係数を加えることによって２つのチェインを加えることができ、内積を利用することによって掛けることができる。加算と乗算は環の定義に従って扱われる。さらに、その係数が（Ａ，＋，＊）の＋（または＊）演算の零(null)（または単位）要素に全て等しいような、零(null)チェイン（または単位チェイン）を定義することができる。従って、ｑ−チェインは、それらが充分な代数学的構成であるモジュール（例えば、環上に定義されたベクトル空間）を形成するので、注目すべき計算特性を有するイメージモデルを定義する。
【００４１】
イメージ処理におけるチェインモデルを簡潔に使用するために、イメージのヒストグラム・イコライゼーション(histogram equalization)やスレッシュホールディング(閾値処理、thresholding)などの、いくつかのイメージのグローバルな変換に関する簡単な実例が示される。チェイン係数はグレーレベルである。グローバルな変換の形式的な表現は、２つの適用を包含する。
【００４２】
【数１０】
2005535951.tif 000012
と
【００４３】
【数１１】
2005535951.tif 000013
である。ここに、（εＡ，＋，＊）がモジュールである。それらは以下によって定義される。
【００４４】
【数１２】
2005535951.tif 000014
【００４５】
チェインベースのイメージモデルの欠点は、物理学的または数学的な量と、イメージサポートとが、形式的な和で一緒に説明されるということである。従って、チェイン係数は、数学的または物理学的な量、ピクセルの方向、及び可能ならばピクセルに関連する重みなどの他の量を結合する。例えば、λ１の符号の解釈にはあいまいさがある。それは方向、物理量、重み、またはそれらの多重度(multiplicity)のためである可能性がある。このイメージモデルは、特に、物理学（非特許文献１４）、工学、及びコンピュータグラフィックス（非特許文献１１、５）においては、適切であると考えられており、そこでは、チェインは、量をモデル化するのに使用されていた。しかしながら、本発明のこの実施の形態は、チェイン係数によって起きる混乱を克服するために、この量モデルを洗練するよう提案する。
【００４６】
イメージサポート（例えば、方向及び多重度）の幾何学のみを反映させるため、以下では、整数の係数をもつｑ−チェインを考慮する。全てのｑ−ピクセルでグローバルな量（エネルギー、グレーレベル、カラー、流束(flux)、テンソルなど）を関連付けるＦｑ：Ｃｑ（Ｘ）→（Ｂ，＋，＊）という適用を探求する。ここで、ｑ≦ｎであり、（Ｂ，＋，＊）は環である。チェインベースのイメージモデルの場合に、２つの隣り合うｑ−ピクセルｃｑ１とｃｑ２に対して、ＦｑはＦｑ（λ１ｃｑ１＋λ２ｃｑ２）＝λ１Ｆｑ（ｃｑ１）＋λ２Ｆｑ（ｃｑ２）
を満たさなければならず、これは、各ｑ−ピクセル内で生成された量の和が、２つのｑ−ピクセルの中で生成された量に等しいことを意味する。Ｆｑは、線形性により、いくつかのｑ−チェイン
【００４７】
【数１３】
2005535951.tif 000015
に拡張できる。ここで、各λｉは整数で、以下の通りとなる。
【００４８】
【数１４】
2005535951.tif 000016
【００４９】
Ｆｑはｑ−コチェインと呼ばれる。ｑ−コチェインの概念を示すために、２−ピクセルｃ２とベクトル場Ｖを考えよう。０−コチェインは０−ピクセルにおいてＶの値によって定義される。１−コチェインは
【００５０】
【数１５】
2005535951.tif 000017
即ち、ｃ２の面にわたる線積分である。２−コチェインは
【００５１】
【数１６】
2005535951.tif 000018
即ち、２−ピクセルｃ２上の面積分であり、「・」は内積(dot product)である。
【００５２】
まとめると、コチェインは、量を、ｑ−ピクセル及びその面に関連付けることを可能にする。既存のイメージモデルとは異なり、本発明の実施の形態によるモデルは、ローカル及びグローバルな量の両方の定義を可能とする充分な構成を提供する。
【００５３】
［演算］
我々が扱っている問題に依存し説明できる一般的な演算が、今、議論される。ｑ−ピクセルが３ｑ面を有するという考えをもつと、一般的な演算は、これらの面に関連する量（例えば、コチェイン）の間の代数学的な関係を特定するべきである。線形原理に基づいて、与えられたｑ−ピクセルの量は、その方向とその共平面(cofaces)の方向の一致により、同じか逆の符号で共平面に変換される。その面により（ｑ＋１）−ピクセルに変換される量はまとめられる。さらに形式的には、それは、（ｑ−１）−チェインとｑ−チェインとの関係は、バンダリー演算子によって与えられるということを想起させる。同様に、ｑ−コチェインと（ｑ＋１）−コチェインとの関係は、コバンダリー演算子(coboundary operator)δｑ：Ｃｑ→Ｃｑ＋１によって与えられる。ここに、Ｃｑはｑ−コチェインのアーベル群である。（ｑ＋１）−チェインｃを与えると、このコバンダリー演算子は次のように定義される。
【００５４】
【数１７】
2005535951.tif 000019
【００５５】
与えられた問題をモデル化するコチェインとコバンダリーの容量が、今、議論される。コチェインは線形的な適用であり、式（５）のコバンダリー要件を満たすべきである。従って、問題は、与えられた量のモデル化の制限に関わる。一般的なケースのためにこの質問に答えるのは難しい。さらなる調査が、まずは必要である。本実施の形態では、この問題はコチェイン及びコバンダリーによってモデル化できる複数の問題を同一視することによってのみ、答えられる。畳み込みやその適用（スムージング(smoothing)、数値微分、高域通過フィルタ、ノイズ評価）などのある一定の問題、及びフーリエ変換は、コチェインによって近似することなくモデル化できる。なぜなら、それらは、値を特定するために、係数λｉを設定することを要求するのみであるからである（数値微分の場合に対しては非特許文献１６を参照）。Ｈ：（Ｂ，＋，＊）→（Ｂ，＋，＊）の下に
【００５６】
【数１８】
2005535951.tif 000020
なので、スレッシュホールディングは近似することなくコチェインによって表現される。他の問題は、基本法則に分解することができ、その基本法則の各々は、位相幾何学的な式（５）により記述できる。例えば、多くの物理学的問題が、つり合いの法則や構成法則(constitutive law)などの基本的な物理法則に分解できるということが、非特許文献１４により指摘された。以下に示されるように、つり合いの法則は、位相幾何学的な式（５）を利用することにより、正確に記述することができる。構成法則は、近似することなく代数学的形式で変換することができない。通常、それらは、異なるキュービカル・コンプレックスに属するコチェイン間の連携を必要とする。例えば、デュアル・コンプレックス(dual complexes)の場合、２つのコチェインは、一次代数式によって結び付けられる。この変換は、「コデュアル演算」と呼ばれる。さらに一般的には、０−コチェインはローカルな量を表す。しかるに、ｑコチェイン（ｑ＞１）は、それがエッジ、領域、体積などの代数学的構造に関連しているので、グローバルな量（例えば、積分または離散的なものの総和）を表す。このように、コチェイン、コバンダリー、及びコデュアルは、物理学的または数学的法則により説明できる一般的な代数学的構造である。もし、コチェインまたは式（５）のどちらかにより近似することなく記述できる基本法則を見出だせれば、与えられた問題のｑ−コチェインに関する正確な解釈が可能となる。
【００５７】
前の例において、コバンダリーは以下の如く解釈できる。即ち、ベクトル場が保守場Ｖ＝Δｖであると仮定すると、
【００５８】
【数１９】
2005535951.tif 000021
がコバンダリー演算子を構成する。なぜなら、それは、δ０Ｆ０（ｃ１）＝Ｆ０（∂１ｃ１）と書けるからである。ここに、ａとｂはｃ１の面である。同様に、
【００５９】
【数２０】
2005535951.tif 000022
である。ここに、ｎは∂ｃ２に対する外へ向かう単位法線ベクトルであり、コバンダリー演算子を構成する。なぜなら、それは、δ１Ｆ１（ｃ２）＝Ｆ１（∂２ｃ２）と記述できるからである。この例は、コバンダリー演算子が基本的な微積分学定理（線積分定理とガウスの定理）の正確な個々の表現である可能性を示す。
【００６０】
チェイン、コチェイン、コバンダリー、及びコデュアルの概念のおかげで、本発明の実施の形態のイメージモデルは、そのアプリケーションに対応する数学的または物理学的な法則を考慮に入れることができる。従って、イメージ処理とコンピュータビジョンの様々な問題に対して、それを説明できる。基礎的な演算処理構成は、既存の構成とは強く異なった形式である。例えば、オプチカルフローや、拡散や変形などの物理学ベースの問題であると考えてみよう。既存の構成は以下のようにまとめることができる。１）偏微分方程式でモデル化する。２）数値解析体系(numerical analysis scheme)またはフーリエ空間を使用することにより偏微分方程式（ＰＤＥ）を解く。
【００６１】
演算処理構成は、本発明の実施の形態によれば、以下のようにまとめることができる。１）問題に関連する基本法則の特定（図６７のブロック６７０１）。２）キュービカル・コンプレックスの数とキューブの次元を含むイメージサポートの定義（例えば、多重解像度処理の場合）（図６７のブロック６７０２）。３）グローバルな量とローカルな量の定義（図６７のブロック６７０３）。５）コバンダリー演算子とコデュアル演算子の具体化（ブロック６７０４）。６）結果としての代数式を解く（図６７のブロック６７０５）。この構成の利点は、以下で説明され、２つの実施例でよりよく定義される。
【００６２】
まとめると、コバンダリー演算子はｎ−ピクセルの面に関連する量を結び付ける。コデュアル演算子は、イメージのコンプレックス(complexe)に関連する量に結び付けられる。与えられた問題が基本法則に細分化できるならば、コチェインとコバンダリーはそれらの基本法則の個々の表現となる。コチェイン、コバンダリー、及びコデュアルは、物理学的または数学的法則によって説明できる一般的な概念である。従って、それらは様々なコンピュータビジョンとイメージ処理の問題を利用できる。
【００６３】
［実施例］
物理学ベースの問題で、グレーレベルイメージにおける線形かつ等方性の拡散を考えよう。全ての詳細な事項は非特許文献４に見られる。明快さのため、また一般性を失わないために、その分析は、均質な媒質中の熱流に対する２次元のグローバルな微分方程式を考慮するために制限される。Ｖを、流れ中のバンダリー（境界）Ｓをもつ３次元領域としよう。バンダリーＳを通ってＶから流れ出る熱流速度は、次式で与えられる。
【００６４】
【数２１】
2005535951.tif 000023
ここに、ｘは空間ベクトル、ｔは時間を表し、そしてλは正の定数である。
【００６５】
この問題を解決するため、イメージサポートは、連続したスカラー場Ｔ、温度（即ち、グレーレベル）、２つのデュアル・キュービカル・コンプレックス(dual cubical complexes)（即ち、２つのチェイン）、及び３つのコチェインによって定義される。ただ１つのキュービカル・コンプレックスだけが使用されるなら、２つの異なる方向は各１−面に関連付けられる。この問題を克服するため、２つのデュアル・コンプレックス(dual complexes)（プライマリ及びセカンダリ）が使用される（図３参照）。３つのコチェインの使用に関し、非特許文献４では、このＥＤＰ（電子データ処理）が３つの基本的な物理法則で形成されると指摘された。各コチェインは１つの法則に関連する。１番目は熱張力の法則（またはフィック(Fick)の法則としても知られている）であり、それは、高温の領域から低温の領域に向かって熱が流れるというものである。勾配∇Ｔの方向は、最も大きく温度が増加する方向であり、熱はその逆方向に流れる。形式的に、この法則は以下の如く書ける。
【００６６】
【数２２】
2005535951.tif 000024
【００６７】
第１のキュービカル・コンプレックスはこのつり合いの法則のための裏付けである。このキュービカル・コンプレックス上にプロットされた方向は、積分が計算される経路の方向である。０−コチェインが０−ピクセルｃ０に関連した温度Ｔであると仮定しよう。１−ピクセルｃ１に関連した１−コチェインＧは、ｃ１の面である２つの０−ピクセルによって変換されたグローバルな熱張力である。従って、位相幾何学的な方程式は以下の通りである。
【００６８】
【数２３】
2005535951.tif 000025
【００６９】
コチェインの線形性により、この位相幾何学的な方程式は全ての１−チェインに対して有効である。
【００７０】
熱源法則と呼ばれる２番目の法則は、点ｘかつ時刻ｔにおける内部の熱エネルギーの合計の流出に関する。これはつり合いの法則であり、以下はそれを与える。
【００７１】
【数２４】
2005535951.tif 000026
【００７２】
∇・ｑ（ｘ，ｔ）＞０の時、流出は正で、熱エネルギーはｘから流れ出さなければならない。同様に、∇・ｑ（ｘ，ｔ）＜０ならば、流入は流出よりも大きく、熱エネルギーはｘで増加する。∇・ｑ（ｘ，ｔ）＝０ならば拡散過程の平衡が達成される。
【００７３】
第２のキュービカル・コンプレックスを考えよう。このキュービカル・コンプレックス上にプロットされた方向は流れの方向である。２−ピクセルｃ２に関連する２−コチェインΣは、ｃ２の面により変換されたグローバルな熱である。
【００７４】
【数２５】
2005535951.tif 000027
【００７５】
この位相幾何学的な方程式は、全ての２−チェインに対して有効である。３番目の法則は、構成方程式である（それは媒質の特徴に依存する）。それは、流れ密度の法則と熱源の法則とを結び付け、以下はそれを与える。
【００７６】
【数２６】
2005535951.tif 000028
【００７７】
この式は、２つのデュアル・コンプレックス上で定義されたグローバルな量を含むので、正確に離散化(discretize)することができない、従って、２−コチェイン±は、近似することなく１−コチェインＧから計算できない。例えば、それらは、線形方程式系ΛＱ＝±として結び付けることができる。ここに、Λは係数行列である。図４（ａ）は原形のイメージの例を与え、図４（ｂ）は、演算処理方式を用いてスムージングされたイメージの例を示す。
【００７８】
線形拡散問題に関連するデータ構成は以下によって定義される。１）２つのデュアル・キュービカル・コンプレックス。２）グローバルな量とスカラー場Ｔのための２つのコチェインＧとΛ。３）つり合いの法則に対する２つのコバンダリー演算と構成法則を表すコデュアル演算。そ構成は以下のようにまとめられる。ｇは双一次形式多項式で近似される。コチェインＧは、線積分を用いて計算される。ｑは式（１１）の構成法則を用いて計算される。コチェイン±は、ガウスの定理を用いて計算される。最終的に、式（１１）から得られる連立一次方程式は、未知の変数がＴである場合に得られる。式（８）と（１０）のコチェインは近似なしで計算されることに注目すべきである。
【００７９】
本発明の実施の態様による、及び上述のイメージモデルは、一般に、三つの主要な点により特徴付けることができる。１）イメージサポートと量は、別々に定義され、次に代数学的解釈により結び付けられる。２）ピクセルは次元であり、代数学的形式で記述される。３）ローカル及びグローバルな量はコチェイン演算子とコバンダリー演算子によって表される。
【００８０】
これらの各特殊性は、イメージ処理に対するその簡単な結果を示すために、今、議論される。
【００８１】
イメージモデルの分離可能性は、イメージ変数とイメージ量の区別を可能にする。イメージ変数は、アルゴリズムの設計に役立つ代数学的位相幾何学の利用などの、既存の数学的定式化に対する多くの可能性を提供する。例えば、バイナリのイメージアルゴリズムは代数式として記述されている（非特許文献１６）。明確な量により、アルゴリズムの設計における物理学、ベクトル解析、または微分形式の利用が可能となる。イメージサポートとイメージ量を共に取得すれば、拡散やグレーレベルイメージにおけるオプチカルフローなどのよく知られる問題は、代数式として記述できる。さらに、一般的な構成として、コチェインとコバンダリーの概念を利用すれば、与えられた領域とそのバンダリーとの間の量の変換は容易である。例えば、上記で示したように、ベクトル微積分学によると、この変換は、３つの基本的な微積分学定理、線積分、ストークスの定理、及びガウスの定理のおかげでより簡単となる。
【００８２】
既存のイメージモデルとは異なり、次元の基本要素としてピクセルを考えると、イメージサポートの接続性のパラドックスは回避できる（非特許文献８）。即ち、よく知られたジョーダン(Jordan)の定理が実現する。面への分解とチェインなどのキューブ構造の使用により、イメージの次元は明白になる。アルゴリズムは、いかなる次元でも機能するこの形式に従って設計された。この事実は、仮に１次元から２次元、そして３次元、さらにその次の次元に拡張して、アルゴリズムを設計する際に直面する古典的な限界を克服する。各拡張の段階は厄介な問題かも知れない。
【００８３】
コチェインの定義は処理される問題に依存する。従って、このイメージモデルは、数学的対象（スカラー、ベクトル、テンソル）と物理法則（つり合い法則、構成法則）の統合のために真の柔軟性を提供する。さらに、ｎ−ピクセルに関連するグローバルな量の利用は、ノイズの低減の意味を含む。実際に、グローバルな量は、積分または離散値の総和を用いて、場から計算される。イメージの高周波部分を高める微分法とは反対の操作として、積分はスムージング操作を実行する。これにより、イメージ処理方式に使用される導関数の階数を減らすことができる。従って、グローバルな量の導入は、より高い階数の導関数の利用を可能にする。
【００８４】
本発明の実施の形態によるイメージモデルの他の貢献は、拡散問題及び弾性つり合いなどの非線形の問題を解決するために使用された数値体系(numerical scheme)に関係がある。通常、問題が定式化され、次に数値解析体系が使用されるということに気付くべきである。正確にこの定式化をするために、数値解析体系が導出されないとすると、多くの近似をしなければならなくなる。中間結果に関する説明は利用できない。従って、数値解析体系の収束に関して、どんな明確な考えも利用できないし、得られた数値結果は、要求された解の広範囲にわたって、近似である可能性がある。取り組まれた問題に基づいて、次のような結論が得られる。即ち、数値解析体系は、ここに示されたイメージモデルにおいては、ほんのわずか、または全くない近似（非特許文献４、１２）を用いて問題のモデルから導かれる。実際に、様々な問題は基本法則に分解可能であり、そしてコチェインとコバンダリーの観点から再公式化することができる。従って、それらを、線形の代数式として記述でき、解くことができる。
【００８５】
［実施例１：物理学ベースの拡散とオプチカルフローの解決］
偏微分方程式（ＰＤＥ）の代替手段が、今、コンピュータビジョンの３つの問題、即ち、線形で等方性の拡散、オプチカルフロー、及び非線形拡散、の解決のために説明される。これらの３つの問題は、熱伝導問題を使用してモデル化される。熱伝導などの物理学ベースの問題を解く方法は、古典的に、純粋に数学的なプロセスによって偏微分方程式を離散化して解くことである。グローバルな熱問題は、偏微分方程式を使用する代わりに、基本法則に分解できる。基本法則のいくつかが、それらが保存原理から生じることにより、正確でグローバルな変型を容認できることが実証されるだろう。また、他の基本法則上でなされた仮定が賢明に行われ、その問題と領域に関する知識が考慮されることも示されるだろう。上述のイメージモデルは、値がバンダリー上にある状態で、ある領域のグローバルな値を結び付けることによって、物理法則のコード化が可能となるように使用されるであろう。結果として得られたアルゴリズムは、いかなる次元においても機能する。数値体系はモデル化された問題から簡単な方法で導かれる。そして、それは各々の解く段階における物理学的な説明を提供する。
【００８６】
［背景］
近年、偏微分方程式（ＰＤＥ）はコンピュータビジョンの分野における興味を引き付けた。偏微分方程式が数学者による多くの研究の主題であったので、強力な数値体系が、それらを解くために開発されてきた。従って、イメージ機能強化や、修復や、多重スケール解析や表面の進化などの領域は、全て、偏微分方程式から大いに利益を得ている（非特許文献２５）。
【００８７】
ある物理プロセスを支配する１つの重要な種類(class)の方程式は、ヘルムホルツ(Helmholz)方程式として知られる一般的な形式の線形楕円偏微分方程式である。
【００８８】
【数２７】
2005535951.tif 000029
ここに、ｘはｎ次元空間のベクトルを表し、ｕ（ｘ）は従属変数であり、∇２はラプラス演算子であり、ｐ（ｘ）とｆ（ｘ）は空間関数である。ｐ（ｘ）＝０のとき、これはポアソン方程式に対応する（非特許文献２１、３２）。（また、非均質のラプラス方程式としても知られている。（非特許文献３０、４４））式（１２）に支配される物理プロセスの１つは定常型熱伝導である。
【００８９】
コンピュータビジョンの分野では、式（１２）は２つのアプローチから生じうる。１番目は変分型微積分学である。実は、陰影からの形作り（非特許文献３９）、表面の再構成（非特許文献３２、４０）、及びプチカルフローの計算（非特許文献２９）などの多くの問題は、変分問題として定式化できる。これらの変分問題への解は、式（１２）の形式に存在するオイラー−ラグランジュ方程式で与えられる（非特許文献３１、３２）。２番目のアプローチは物理学ベースである。例えば、拡散過程は、熱力学方程式と、流体力学（非特許文献２５）における研究の衝撃フィルタ(shock filter)とから生じる。変分アプローチと物理学ベースのアプローチの両方に対し、結果としての偏微分方程式は連続で、離散化されなければならない。
【００９０】
有限差分法(非特許文献２３、３１、３９、４０）の適用によって、コンピュータビジョンにおける偏微分方程式の離散化が、伝統的に行われてきた。式（１２）は、反復して解かれ、その際、各反復に対する直接のフーリエ・ベースのポアソン解法（非特許文献３９）や、有限要素法（非特許文献２４）や、スペクトル法（非特許文献３２）が使用される。非特許文献３９にあるような反復法は、スムージングが非常に高度でなければ確実に収束しない（非特許文献２１）。
【００９１】
偏微分方程式を含む問題解決のための既存の方法は以下のようにまとめることができる。１）基本法則の特定。２）偏微分方程式に記述するための基本法則の組合せ。３）偏微分方程式の離散化。４）数値的方法を通して偏微分方程式を解くこと。
【００９２】
多くの適用分野で使われてきたこの過程は純粋に数学的である。従って、それには以下の欠点がある。１）解法の課程に含まれるいくつかの量は物理的解釈を持たない。２）この解釈の欠如は反復過程を含む中間的解を表し、そして、これらの解は物理学的に説明できないので、最適解の発見を適時に確実にできない。
【００９３】
［解］
これらの欠点を克服するため、熱伝導問題の状況における代替的な偏微分方程式の解法が提案され、以下で説明される。
【００９４】
一般に、物理学ベースの問題における基本法則は、物体全体またはその一部で有効なグローバルな保存式に結合される（非特許文献４２）。そして、ローカルな保存式（偏微分方程式）は、物体の一部が一点に縮小されるような特定の場合を考慮することにより、得られる。
【００９５】
コンピュータビジョンで遭遇するもののような離散的な問題において、連続した領域はグローバルな値とみなすことができる利用可能なただ１つの値が存在するような、多くの下位領域に分けられる。従って、偏微分方程式を使用する代わりに、本発明のこの実施の形態では、各下位領域上で直接グローバルな保存式を使用することを提案する。
【００９６】
点、線、面、体積などにおけるグローバルな値に結び付けられるこれらの物理法則を扱うために、上述した演算処理の代数学的位相幾何学に基礎をおくイメージモデルが使用される。このモデルは、同時刻のいかなる次元の構成要素におけるグローバルな値をも表現することを可能にする。
【００９７】
上述の方法論は多くの利点を提供する。
１）基本法則の多くが保存原理から生じ、従って、それらは一つの点において（式（１２）のようなローカルな形式）、或いは全体の領域に亘って（グローバルな形式）有効である。ガウス、グリーン、線積分定理などの微積分学基本定理は、いかなる近似もなしに、コバンダリー演算子の計算を可能にする。
２）いくつかの法則は、賢明に実行できる近似を必要とし、その問題と領域についての知識が考慮に入れられる。
３）中間的な結果が物理量を表すので、それらは物理学的な説明を有する。この理由から、あらゆるステップが、物理的な解釈を有する。従って、一時的ではない反復法を避けるので、もはや解の不適切さの問題はない。
４）先述したように、適切な基本法則（非特許文献３６）の適用により、他の物理学ベースの問題と共にこの方法を使用できる。
５）イメージモデルのおかげで、結果としてのアルゴリズムはいかなる次元でも機能する。
６）演算自体の形式を変えることなく、コバンダリー演算子に関連する演算処理規則を変えることができる。
７）ピクセルに基礎をおく、他のタイプのイメージ（例えば多角形領域）の分解に対して、同じ形式を使用できる。
【００９８】
この方法を有効にするために、定常な熱伝導の方程式は２つの適用に分解される。即ち、線形拡散とオプチカルフローである。これらの問題は式（１２）またはそのグローバルな変型形式の方程式を生成する。現在の方法論は熱源がない非定常熱転送を分解するのにも利用することができ、そして、我々はそれを非線形拡散に適用する。
【００９９】
［物理学的原理（熱伝導問題の物理学的基礎に関する説明）］
拡散とオプチカルフロー問題に対する２つの興味深い特定ケースが区別できる。即ち、定常型熱伝導と熱源のない非定常熱伝導である。
【０１００】
２つの重要な種類の法則が存在している。即ち、保存法則と構成法則である。保存則は材料の特性の影響を受けないが、構成法則はそれらの影響を受ける。動いている物体に関連する物理学的性質は、エネルギー、仕事量、そして熱である。以下では、これらのそれぞれの量が説明される。
【０１０１】
［エネルギーモデリング］
まず、３次元空間で表面Ｓに囲まれた体積Ｖを占める連続体のためのいくつかの量が定義される。このような物体は、無限数の粒子（要求されるだけ多く）で構成されるということができ、これらの粒子は最小の要素である（非特許文献３３）。図５（ａ）はこのような物体を示す。時刻ｔでは、Ｘと記されたある粒子は特定の位置を占める。
【０１０２】
【数２８】
2005535951.tif 000030
【０１０３】
各粒子は空間内で移動することができるので、速度ベクトルはそのＸに関連し、時刻ｔでは以下が成り立つ。
【０１０４】
【数２９】
2005535951.tif 000031
【０１０５】
物理量はＸで示す粒子（材料記述）か空間内の位置ｘ（空間記述）と関連付けることができる。例えば、ｖ＊（Ｘ，ｔ）は粒子Ｘの速度の材料記述であり、ｖ（ｘ，ｔ）は位置ｘに位置する粒子の空間記述である。現在の目的のため、空間記述は、熱伝導方程式を引き出すのに使用される。ベクトルｎ（ｘ，ｔ）は点ｘにおける表面の外へ向かう方向である。
【０１０６】
ある物体のうち少量の体積ΔＶの質量Δｍは、その慣性（動きに抵抗する傾向）の基準である。質量密度の項、ρは以下の量を表するのに使用される。
【０１０７】
【数３０】
2005535951.tif 000032
ρ（ｘ，ｔ）はこのように時刻ｔでのｘに位置する粒子の質量密度である。
【０１０８】
２種類のエネルギーが動いている物体に関連する。即ち、運動エネルギーと内部エネルギーである。運動エネルギーは物体の動作状態の基準であり、物体が速く動けば動くほど運動エネルギーはより大きくなる（非特許文献２８）。それは慣性の基準であるので、運動エネルギーは質量を考慮に入れている。従って、時刻ｔにｘに位置する粒子に対して、運動エネルギーは次のように定義される。
【０１０９】
【数３１】
2005535951.tif 000033
ここに、「・」は内積である。時刻ｔでの物体全体に対する運動エネルギーを得るため、Ｋ（ｘ，ｔ）は体積Ｖに亘って積分される。
【０１１０】
【数３２】
2005535951.tif 000034
ここに、ｄＶは体積Ｖの無限小部分である。
【０１１１】
内部エネルギーは物体の温度状態の基準である。物体が熱ければ熱いほど、内部エネルギーはより大きくなる。時刻ｔでは、各粒子はそのｔに関連した内部エネルギー密度ε（ｘ，ｔ）を有する。内部エネルギー密度は材料の比熱定数ｃを用いて粒子の温度Ｔ（ｘ，ｔ）に比例する。即ち、ε（ｘ，ｔ）＝ｃＴ（ｘ，ｔ）である。物体全体に対しては、全内部エネルギーは体積Ｖに亘って積分して以下のようになる。
【０１１２】
【数３３】
2005535951.tif 000035
【０１１３】
今、物体に対する全エネルギーは、Ｋ（ｔ）＋Ｅ（ｔ）として定義できる。
【０１１４】
［仕事量モデリング］
物体が、外力ｆｅ（ｘ，ｔ）（例えばけん引力）と内部密度力ｂ（ｘ，ｔ）（例えば重力）を受けることを考えよう。図５（ｂ）は外力と内力の作用を示す。仕事量は物体に作用する力により物体に移されたエネルギーとして定義される（非特許文献２８）。エネルギーが物体から移るときは仕事量は負である。Ｆ（ｘ）を、時間的に一定の内力または外力で、時間ｔの間にｘに位置する粒子に作用する力であると仮定する。この力は、位置ｘ１にその粒子を変位させることになるであろう。この変位はΔｘ＝ｘ１−ｘである。この時間の間のこの力によって仕事ｗ（Ｆ、ｘ）が行われる。
【０１１５】
【数３４】
2005535951.tif 000036
瞬間の力Ｐ（ｘ，ｔ）は以下の通りである。
【０１１６】
【数３５】
2005535951.tif 000037
【０１１７】
外力は本質的に物体の表面に作用する。従って、物体全体への外力によって行われた瞬間の仕事Ｐｅ（ｔ）は、表面に亘る外力の積分の結果となる。
【０１１８】
【数３６】
2005535951.tif 000038
ここに、ｄＳは物体の表面の無限小部分である。
【０１１９】
内部密度力としてのｂ（ｘ，ｔ）を定義すると、内力はρ（ｘ，ｔ）ｂ（ｘ，ｔ）となる。内部仕事を体積に亘って積分することによって、物体全体への内力による時間当りの仕事の割合が得られる。
【０１２０】
【数３７】
2005535951.tif 000039
従って、全仕事Ｐ（ｔ）＝Ｐｅ（ｔ）＋Ｐｉ（ｔ）である。
【０１２１】
［熱モデリング］
熱は、温度の違いに起因して物体に移されたエネルギーと定義できる。熱流密度ベクトルｑ（ｘ，ｔ）は、単位時間、単位面積当りの物体に伝わる熱の割合の基準である。ｑ（ｘ，ｔ）をどのように定義するかは後ほど説明する。時間経過に伴う外部熱の増加率は、物体の外から来て、その表面から入る熱量である。それは、内向きの法線ベクトル（−ｎ（ｘ，ｔ））へｑ（ｘ，ｔ）を投影し、表面に亘ってこの投影を積分することによって計算される。
【０１２２】
【数３８】
2005535951.tif 000040
【０１２３】
今、物体が単位体積と単位時間当りの発熱率ｒ（ｘ，ｔ）をもつならば、時間経過に伴う内部の熱の増加率は、体積に亘ってｒ（ｘ，ｔ）を積分することにより計算される。
【０１２４】
【数３９】
2005535951.tif 000041
【０１２５】
図５（ｃ）はｑ（ｘ，ｔ）とｒ（ｘ，ｔ）を示す。簡単のため、熱源σ（ｘ，ｔ）は単位時間、単位面積当りｘに位置する粒子に生じる熱の割合として定義される。
【０１２６】
【数４０】
2005535951.tif 000042
【０１２７】
多くの場合、この熱源は知られているが、温度の一次関数σ（ｘ，ｔ）＝ａ（ｘ，ｔ）＋ｂ（ｘ，ｔ）Ｔ（ｘ，ｔ）（非特許文献３８）である可能性がある。その時間経過に伴うトータルの熱の増加率は以下の通りである。
【０１２８】
【数４１】
2005535951.tif 000043
【０１２９】
［エネルギー保存の法則］
連続体力学における方程式の種類は、保存（平衡）原理を説明するものである。それらは物体全体にわたるある物理量（質量、モーメント、エネルギーなど）の保存を説明し、そのようなものとして、それらは物体全体またはその一部についてのグローバルな方程式の形を取る（非特許文献３３）
【０１３０】
保存原理は直観的に以下のように見ることができる。物体内部の物理量の総量の変化は、その物体に（境界を通して）出入りする物理量と、その物体で生成または吸収される物理量の合計に等しい。これらの法則は、動いていようが止まっていようが、変形していようがいまいが、全ての連続な材料に適用でき、常に満たさなければならない。そして、グローバルな保存式は、それのローカルな対応を導き出すのに利用され、関連する場の方程式と呼ばれ、その境界を含む物体の各点において有効である。
【０１３１】
さて、熱伝導方程式の理解に関連している熱力学第一法則について議論する。この法則では、運動エネルギー及び内部エネルギーの両方を含み、物体（または物体の一部）のエネルギーの全変化量は仕事の時間変化の結果、及び混合された熱の増加率となると、言われている。
【０１３２】
【数４２】
2005535951.tif 000044
【０１３３】
熱伝導に対して唯一注目すべき点が動いていない物体の場合にあり、その場合、ｖ＝（０，０，０）、ｎ（ｘ，ｔ）＝ｎ（ｘ）、及びρ（ｘ，ｔ）＝ρ（ｘ）である。従って、方程式（１６）は以下のようになる。
【０１３４】
【数４３】
2005535951.tif 000045
今、ここでは、物体の熱エネルギー変化が、物体に流れ込む熱に加えられた内部の熱生成のためであると表現している。Ｑｅにガウスの定理（非特許文献３３）を用い、ε（ｘ，ｔ）＝ｃＴ（ｘ，ｔ）を思い出すと、熱エネルギー保存の法則が得られる。
【０１３５】
【数４４】
2005535951.tif 000046
ここに、∇・は発散演算子である。簡単のために、温度変化
【０１３６】
【数４５】
2005535951.tif 000047
を定義しよう。式（１７）は保存式であり、従って、物体全体、一部分、またはその物体上の点で有効である。その結果、積分記号を取り除くことができて、次のようになる。
【０１３７】
【数４６】
2005535951.tif 000048
【０１３８】
この方程式はローカルであると言われるが、一方、方程式（１７）はグローバルであると言われる。熱エネルギー変化の項は非定常項と呼ばれ、入熱率の項は拡散項と呼ばれ、熱発生率の項は熱源項と呼ばれる。
【０１３９】
方程式（１８）に基づいて、２つの場合が考えられる。定常状態の場合と熱源のない非定常の場合である。定常項は、時間経過につれて系の熱エネルギーの変化がないことを単に意味している。つまり、方程式（１８）の左辺が零である。即ち、
【０１４０】
【数４７】
2005535951.tif 000049
【０１４１】
これは、熱拡散が内部熱生成を補償することを意味する。即ち、
【０１４２】
【数４８】
2005535951.tif 000050
【０１４３】
熱源のない非定常の場合は、次式を得る。
【０１４４】
【数４９】
2005535951.tif 000051
これは、熱エネルギーの時間変化が熱拡散のみによって説明されることを意味する。
【０１４５】
【数５０】
2005535951.tif 000052
【０１４６】
［構成原理］
方程式（１８）においては、３つの未知の変数がある。即ち、ρ（ｘ）、ｈ（ｘ，ｔ）、及びｑ（ｘ，ｔ）である。ｑ（ｘ，ｔ）の例を見てみよう。熱エネルギーの変化（方程式の左辺）と、温度Ｔの変化も測定可能と仮定する。ｑ（ｘ，ｔ）が温度に関係することはわかっているが、異なる材質は、通常、異なる拡散特性を有するので、不足している式ｑ（ｘ，ｔ）＝ｆ（Ｔ，ｘ，ｔ）は、我々が研究している材料の特性、例えばその均質性や拡散のタイプなどの特性に依存しなければならない。従って、連立方程式は、方程式の数よりも多くの未知の変数を含んでおり、そのため関数ｆ（Ｔ，ｘ，ｔ）は方程式（１８）で形成される式の系に加えられなければならない。これは、材料特性の違いのためである。異なる材質は異なった振る舞いをするが、同じ保存則に従う。材料の内部構成を反映するｆ（Ｔ，ｘ，ｔ）などの構成方程式により、連立方程式を完成できる。
【０１４７】
［基本法則への分解］
以上の説明にみられるように、保存式はいつも材料にかかわらず有効であるが、一方、構成方程式はそれらの特性に依存している。方程式（１８）のような偏微分方程式を、有限差分手法などの方法を用いた離散化された状況で直接解く場合には、その問題の基礎となる基本法則の本質を考慮することなく、拡散項やエネルギー変化項や熱源項の時間及び空間の振る舞いについて、グローバルな仮定が立てられる。これらは保存原理から導かれるので、そのいくつかはいかなる近似も必要としない。また、さらに物理学的に現実的な解は、構成原理から生じる各基本法則のための適切な近似を選定することによって得られる。従って、我々は、方程式（１８）の項を基本法則に分解することを提案する。定常状態の場合には、この方程式は１つの構成法則と２つの保存則に分解できる。非定常の場合には、付加的な構成法則と、もう一つの保存則をも考慮されなければならない。熱源項はしばしば既知であるので、それは分解されないことに注意しよう。拡散項α（ｘ，ｔ）が時刻ｔにｘに位置する粒子に入る熱の割合であることを思い出そう。すると、
【０１４８】
【数５１】
2005535951.tif 000053
は、第１の保存則である。
【０１４９】
第２の保存則は熱張力に関係する。まず、固定時刻ｔにおける最大の温度減少の方向と大きさを表すベクトルとして、熱張力ベクトルｇ（ｘ，ｔ）を定義する。ｇ（ｘ，ｔ）は熱源指向（高温から低温）であるので、最大の温度上昇の方向と大きさを表す∇Ｔ（ｘ，ｔ）の前にマイナス符号が挿入されなければならない。
【０１５０】
【数５２】
2005535951.tif 000054
この方程式が第２の基本法則である。熱張力はスカラー場の勾配であるので、定義により、それは空間の保存場である。−Ｔ（ｘ，ｔ）がｇ（ｘ，ｔ）のポテンシャル場であると言うことができる（非特許文献２６、４１）。
【０１５１】
第３の法則は構成法則である。熱流密度ｑ（ｘ，ｔ）は、時刻ｔで点ｘに位置した粒子への熱流の量と方向として定義される。それはベクトルで表され、そして材質の振る舞いに大いに依存する。一様で均質な材質の場合には、ｑ（ｘ，ｔ）がこの粒子の隣りの粒子に対する温度の違いに正比例するということが、フーリエによって実験的に立証された（非特許文献２０、２７）。
【０１５２】
【数５３】
2005535951.tif 000055
ここに、λは材質特有の熱伝導定数である。λの値は多くのタイプの材質で知られている。式（２５）はフーリエの熱伝導の法則と呼ばれる。非均質な材質については、それが微小な部分上のある均質な材質の振る舞いを有するが、しかし各部分では伝導率が変わっている、とみなされる。即ち、
【０１５３】
【数５４】
2005535951.tif 000056
【０１５４】
非定常の場合に対しては、第４の基本法則が以下の通りとなる。
【０１５５】
【数５５】
2005535951.tif 000057
ここに、ε（ｘ，ｔ）は熱エネルギー変化（非定常項）である。この式は、材料依存しているρ（ｘ）を含むので、構成法則の式である。
【０１５６】
最後に、第５の基本法則は温度変化に対応し、次のような保存則である。
【０１５７】
【数５６】
2005535951.tif 000058
【０１５８】
ｘに位置する粒子の温度Ｔｘ（ｔ）のみを考えて、基本法則を１次元の方程式に減少する。そうすると、Ｔｘ（ｔ）が時空の中の保存場であると言うことができる。
【０１５９】
まとめると、方程式（１８）の拡散項に対する３つの基本法則が定義された。即ち、
【０１６０】
【数５７】
2005535951.tif 000059
【０１６１】
また、非定常項に対する２つの付加的な基本法則も存在する、即ち、
【０１６２】
【数５８】
2005535951.tif 000060
【０１６３】
【数５９】
2005535951.tif 000061
【０１６４】
これらの全ての要素をまとめて、以下の関係が得られる。
【０１６５】
【数６０】
2005535951.tif 000062
【０１６６】
［イメージの離散的な表現］
イメージを使用したいくつかの代数学的なツールを、今、上記の説明から思い出してみる。イメージは２つの特有の部分で構成される。即ち、イメージサポート（ピクセル）と各ピクセルに関連しているいくつかの場の量である。この量としては、スカラー（例えばグレーレベル）、ベクトル（例えばカラー、マルチスペクトル、オプチカルフロー）、あるいはテンソル（例えばヘシアン(Hessian)）がありうる。イメージサポートは、前述のように、キュービカル・コンプレックス、チェイン、及びバンダリーによってモデル化される。これらの概念を用いて、いかなる次元のイメージサポートの形式的な説明も可能となる。量に対しては、コチェインの概念が導入され、これらのコチェインはキュービカル・コンプレックス上の場の表示となる。これらの概念をイメージ処理に利用するためには非特許文献１６を参照のこと。
【０１６７】
上記で議論したように、イメージは、通常、ピクセルと呼ばれる単位キューブのコンプレックス(complex、複合体)である。ピクセルγ⊂Ｒｎは積である。即ち、
【０１６８】
【数６１】
2005535951.tif 000063
ここで、Ｉｊは単集合、または整数の端点をもつ単位長さの区間のどちらかである。従って、Ｉｊは単集合｛ｋ｝で退化区間と言われるものであるか、またはいくつかのｋ∈Ｚに対する閉区間［ｋ，ｋ＋１］であるかのいずれかである。非退化区間の数ｑ∈｛１，２，．．．，ｎ｝は定義上γの次元であり、ｑ−ピクセルと呼ばれる。図６（ａ）〜（ｃ）は、Ｒ２における３つの基本的なピクセルを示す。ｑ≧１に対しては、Ｊ＝｛ｋ０，ｋ１，．．．，ｋｑ−１｝を、Ｉｊｋ＝［ａｊ，ｂｊ］が非退化であるような添え字の昇順の部分集合｛１，２，．．．，ｎ｝であるとしよう。そして以下を定義しよう。
【０１６９】
【数６２】
2005535951.tif 000064
及び、
【０１７０】
【数６３】
2005535951.tif 000065
【０１７１】
ＡＫＪとＢｋｊはσの（ｑ−１）−面と呼ばれる。同様に、σの（ｑ−２）−面，．．．，０−面まで定義できる。γ自身とは異なるγの面は固有面(proper face)と呼ばれる。
【０１７２】
定義により、キューブの特性方向が各ピクセルに対して仮定される。γが特定の正方向のｑ−ピクセルを表すとすると、反対方向の同じピクセルを−γで表すのは当然である。方向の例は図６（ａ）と（ｂ）で示されている。Ｒｎにおけるキュービカル・コンプレックスは、イメージサポートのいかなるピクセルのあらゆる面もまたＫにおけるピクセルであり、かついかなる２つのＫのピクセルの共通集合も空集合であるかまたはそれらの各々の面であるような、ｑ−ピクセルの有限のコレクションＫである。例えば、古典的な２次元イメージモデルは、単に２次元正方形要素としてのピクセルとみなされる。上に提示された定義により、２−ピクセル（正方形要素）、１−ピクセル（線要素）、及び０−ピクセル（点要素）を同時に考えることが可能となる。
【０１７３】
イメージサポートを代数学的な形式で記述するために、チェインの概念が導入される。キュービカル・コンプレックスの指向されたｑ−ピクセルのどの集合も、それらがその集合に属さない場合、及びそれらが正方向をとるかとらない場合のそれぞれの場合に、係数０、１、−１をそれらに属させることにより、代数学的形式に記述できる。重み付き領域(weighted domain)を表すため、任意の整数の乗算が各ｑ−ピクセルに対して許容される。
【０１７４】
キュービカル・コンプレックスについて位相空間Ｘ⊂Ｒｎを考えると、全てのｑ−ピクセルにより生成された自由アーベル群Ｃｑ（Ｘ）を得る。この群の要素はｑ−チェインと呼ばれ、そしてそれらはｑ−ピクセルの形式的な一次結合である（非特許文献１６）。ｑ−チェインｃｑの形式的表現は
【０１７５】
【数６４】
2005535951.tif 000066
であり、ここにλｉ∈Ｚである。
【０１７６】
イメージ平面の説明に必要な最後のステップは、チェインのバンダリー概念の導入である。ｑ−ピクセルγを与え、その（ｑ−１）−面の交互の和に対応する（ｑ−１）−チェインとして、バンダリー∂γを定義する。その和は、ｑ−ピクセルの方向に関係する（ｑ−１）−面の方向に応じて扱われる。γの（ｑ−１）−面は、その方向がγの方向と互換性があるなら、γの方向に相対的な正の方向を向いていると言われている。線形性によって、任意のｑ−チェインに対するバンダリーの定義の拡張は簡単である。例えば、図６（ｂ）と（ｃ）において、１−ピクセルａのバンダリーはｘ２−ｘ１であり、２−ピクセルＡのバンダリーはａ＋ｂ−ｃ−ｄである。そして、ａとｂはＡの方向に対して正の方向を向いていると言えるが、ｃとｄはＡの方向に対して負の方向を向いていると言える。１−ピクセルのバンダリーは、常にそのバンダリー上の点とは異なっていることに注意しよう。バンダリーは再帰的に定義できる。γｑ＝γｑ−１×［ａ，ｂ］として定義された（ｑ−１）−チェインとｑ−チェインγｑを与えると、γｑのバンダリーは再帰的に以下のように書くことができる。
【０１７７】
【数６５】
2005535951.tif 000067
【０１７８】
イメージ表面上のピクセル量をモデル化するためには、キュービカル・コンプレックスのｑ−ピクセルγを有するグローバルな量に関連するアプリケーションＦが決定され、＜Ｆ，γ＞によって表される。この量はスカラー、ベクトルなどの数学的構成要素のどれかである可能性がある。２つの隣り合うｑ−ピクセルγ１とγ２に対して、Ｆは＜Ｆ，λ１γ１＋λ２γ２＞＝λ１＜Ｆ，γ１＞＋λ２＜Ｆ，γ２＞を満足し、この式は各ピクセルにわたる量の和が２つのピクセル上の量に等しいことを意味する。結果としての変換Ｆ：Ｃｑ（Ｘ）→Ｒは、ｑ−コチェインと呼ばれ、キュービカル・コンプレックス上の量の表現として使用される。
【０１７９】
最後に、グローバルな量を、ｑ−面上に与えられたグローバルな量に応じた（ｑ＋１）−ピクセルに関連付けるために、演算子が必要である。ｑ−コチェインＦを与えて、コバンダリー演算子と呼ばれる演算子∂を定義する。これはＦを（ｑ＋１）−コチェイン∂Ｆに変換する。即ち、全ての（ｑ＋１）−チェインγに対して、
【０１８０】
【数６６】
2005535951.tif 000068
コバンダリーは、γのｑ−面に関連する物理量の符号付きの和として定義される。その和は、そのピクセルの方向に対する、γの（ｑ＋１）−ピクセルのｑ−面の相対的な方向に応じて扱われる。図７は２−ピクセルに対するコバンダリー演算子の例を示す。
【０１８１】
このイメージモデルを制御して、上述の基本法則は、グローバルな熱伝導方程式を代数学的な項に書き替えるように利用される（非特許文献４３）。
【０１８２】
［熱伝導方程式の表現］
代数学的位相幾何学の観点から熱伝導方程式を表現するプロセスは、以下のようにまとめることができる。イメージサポートはキュービカル・コンプレックスに細分される。基本法則は様々な次元のピクセルに適用される。これらの法則はコチェインとして表現されるピクセル上のグローバルな量の計算を含み、これらの法則のいくつかは、ピクセル上のグローバルな量と、そのバンダリー上のグローバルな量とを結び付け、そして、コバンダリーとして表現される。他の法則はコチェインのペア間の一次変換として表現される。コチェインとコバンダリーの位相幾何学的形式化は一般的なものである。即ち、それは演算処理上の規則を提供しない。コチェインは考えるべき問題に応じて、示されなければならない。
【０１８３】
上記で示した基本法則は、位相幾何学的方法で再公式化され、そして、熱伝導問題の状況におけるコチェインのための演算処理規則を与えることになる。時空間的イメージ上の２種類のグローバルな値を表現したいので、２つのコンプレックスが利用される。第１のコンプレックスはその領域の接線成分への投影に対応するグローバルな値（例えばグローバルな熱張力）に関係し、一方、第２のコンプレックスはその領域の法線成分への投影に対応する値（例えば粒子への入熱）に関係する。これら２つの異なる方向（図８（ａ）と（ｂ）参照）が２つの異なるコンプレックスをもたらす。
【０１８４】
［グローバルな熱伝導］
イメージがｎの空間次元とｒのピクセルをもつと仮定しよう。また、時間間隔［ｔ０，ｔ１］はｉ個の等しい部分区間［ｔｋ，ｔｋ＋１］、ｋ∈［０，ｉ−１］に分割されると考える。さらに、イメージＫＳ’の細分された空間的サポートを表現しているｎ−コンプレックスを考えよう。イメージの時空サポートを表現している（ｎ＋１）−コンプレックスを考えることができる。
【０１８５】
【数６７】
2005535951.tif 000069
【０１８６】
今、γＥ、ＫＳの（ｎ＋１）−ピクセル、及び＜ε，γＥ＞として定義される以下のコチェインを考えよう。それには、熱伝導問題におけるコチェインεとして、どの値を使うべきかを定義する必要がある。（ｎ＋１）−ピクセルγＥのグローバルなエネルギー変化としてεを定義しよう。
【０１８７】
【数６８】
2005535951.tif 000070
ここに、ｄγＥはγＥで表される領域の無限小部分である。今、方程式（１８）のグローバルな変型を使って、以下を得る。
【０１８８】
【数６９】
2005535951.tif 000071
この式より、さらなる２つのコチェインを定義する。第１は、グローバルな拡散であり、
【０１８９】
【数７０】
2005535951.tif 000072
第２は、グローバルな熱源である。
【０１９０】
【数７１】
2005535951.tif 000073
【０１９１】
従って、以下の関係が、３つのコチェインの間で得られる。
【０１９２】
【数７２】
2005535951.tif 000074
【０１９３】
そして、コチェインεとＤに使われた規則は基本法則に分解される。コチェインＳに対する規則は、そのグローバルな値がγＥ上にあると考えられるので、分解されない。最終的に、定常及び非定常の熱伝導問題が、式（３３）を用いてコチェインεとＳをそれぞれ零に設定することにより考えられることに言及しよう、
【０１９４】
［グローバルな温度変化］
イメージの細分された空間領域を表すもう一つのｎ−コンプレックスＫＰ’を考えよう。時空イメージを表す（ｎ＋１）−コンプレックスは、以下のように定義できる。
【０１９５】
【数７３】
2005535951.tif 000075
【０１９６】
ｘｉ×［ｔｋ，ｔｋ＋１］、ｉ∈［１，ｒ］、ｋ∈［０，ｌ−１］として定義されたＫＰの１−ピクセル、γＨを考えよう。ここで、ｘｉはＫＰ’の０−ピクセルである。０−コチェインＴと１−コチェインＨも考えてみよう。すると、
【０１９７】
【数７４】
2005535951.tif 000076
【０１９８】
図９（ａ）と（ｂ）は３次元のＫＰに対するコチェインＴとＨを表す。
【０１９９】
式（２９）を適用すると、γＨのバンダリーが∂γＨ＝ｘｉ×｛ｔｋ＋１｝−ｘｉ×｛ｔｋ｝であることが見出される。コチェインの線形性より、バンダリーｘｉ×｛ｔｋ｝とｘｉ×｛ｔｋ＋１｝における値をもったγＨに関連するグローバルな値に対応する演算処理の規則は、
【０２００】
【数７５】
2005535951.tif 000077
【０２０１】
この式は一般的であり、多くの問題に適用される。０−コチェイン及び１−コチェインとしてどの値を使うかを定義するために、γＨ上の式（２７）のグローバルなバージョン(version)を扱って、基礎的な微積分学定理を適用しよう。
【０２０２】
【数７６】
2005535951.tif 000078
【０２０３】
この方程式に注目すると、式（３５）と似ていると見ることができる。従って、Ｔ＝Ｔ（ｘ，ｔ）を定義する。計算すべき未知の温度の位置付けはＫＰの０−ピクセルに対応する。式（３４）を満たすために、次の関係を使う。
【０２０４】
【数７７】
2005535951.tif 000079
この関係はグローバルな温度変化と呼ばれる。これら３つの式は線形性によってγ×［ｔｋ，ｔｋ＋１］として定義されるＫＰの１−チェインに拡張される。ここに、γは任意のＫＰ’の０−チェインである。
【０２０５】
［グローバルなエネルギー変化］
我々は、グローバルな温度変化とグローバルなエネルギー変化をそれぞれ表すコチェインＨとεを結び付けたい。このために、式（２６）の表現が必要である。２つのコチェインは同じキュービカル・コンプレックスから由来しておらず（ＨはＫＰから、εはＫＳから）、しかも、式（２６）は材質依存であり、そのため、それらは正確に結び付けられない。しかしながら、我々は、この結び付けを1次変換で表現できる。
【０２０６】
【数７８】
2005535951.tif 000080
【０２０７】
式（３１）を思い出すと、以下の関係が得られる。
【０２０８】
【数７９】
2005535951.tif 000081
【０２０９】
残念ながら、ρ（ｘ）またはｈ（ｘ，ｔ）の値は体積内の全ての点ではわからない。そこで、これら２つの場は体積内で近似される。この近似は
【０２１０】
【数８０】
2005535951.tif 000082
と
【０２１１】
【数８１】
2005535951.tif 000083
で表される。ｘｉ×［ｔｋ，ｔｋ＋１］として定義される１つの１−ピクセルγＨに対して、
【０２１２】
【数８２】
2005535951.tif 000084
が式（３６）を満たすように区分的に近似が行われる。
【０２１３】
【数８３】
2005535951.tif 000085
【０２１４】
よって、式（３７）は以下のようになる。
【０２１５】
【数８４】
2005535951.tif 000086
ここに、ｄＶは、関数
【０２１６】
【数８５】
2005535951.tif 000087
と
【０２１７】
【数８６】
2005535951.tif 000088
の近似の選び方と、ＫＰに対するＫＳの位置に依存するγＥの無限小部分である。
【０２１８】
［グローバルな拡散］
コバンダリー
【０２１９】
【数８７】
2005535951.tif 000089
によって定義されるｎ−コチェインＱと（ｎ＋１）−コチェインＤを考えよう。
【０２２０】
図１０は３次元のＫＳに対するＱとＤの例を示す。γＥのｎ−面γＱｉがγＥに対して正の方向を向いていると仮定しよう。コチェインの線形性により、演算処理の規則は以下の通りとなる。
【０２２１】
【数８８】
2005535951.tif 000090
【０２２２】
再び、この方程式は一般的である。従って、（ｎ＋１）−コチェインＤのためにグローバルな値が見出だされ、それはγＥのバンダリーにおけるグローバルな値を加算して計算できる。式（３２）により、以下の関係が得られる。
【０２２３】
【数８９】
2005535951.tif 000091
【０２２４】
発散定理がこの方程式に適用され、以下を得る。
【０２２５】
【数９０】
2005535951.tif 000092
ここに、ｎ（ｘ，ｔ）はγＱで表される領域の無限小部分に対する法線ベクトルである。この最後の式が、コバンダリーの形式であり（式４１）、次の関係から定義される。
【０２２６】
【数９１】
2005535951.tif 000093
【０２２７】
再び、前の定義は、線形性により、ＫＳの任意の（ｎ＋１）−チェインに拡張できる。そして、これらの式には全く近似がない。
【０２２８】
［グローバルな熱張力］
γ×ｔｋ、ｋ∈［０，ｌ−１］、として定義されるＫＰの１−ピクセルγＧを考えよう。ここに、γは、バンダリーが∂γ＝ｘｊ−ｘｉ、ｉ，ｊ∈［１，ｒ］で定義されるＫＰ’の１−ピクセルである。また、コバンダリー
【０２２９】
【数９２】
2005535951.tif 000094
によって定義される０−コチェインＴと１−コチェインＧも考えよう。
【０２３０】
図１１（ａ）と（ｂ）はＫＰの１つの３のピクセルに対するコチェインＴとＧの例を示す。γＧのバンダリーは、∂γＧ＝ｘｊ×｛ｔｋ｝−ｘｉ×｛ｔｋ｝である。コチェインの線形性により、ｘｉ×｛ｔｋ｝とｘｊ×｛ｔｋ｝の値にγＧを関連付けるグローバルな値に対応する演算処理上の規則は、以下の通りである。
【０２３１】
【数９３】
2005535951.tif 000095
【０２３２】
コチェインＧとＴのどちらの値を使うかを定義するため、γＧ上の式（２４）のグローバルな形式を扱おう。
【０２３３】
【数９４】
2005535951.tif 000096
ここに、ｄγはγの無限小部分である。ｇ（ｘ，ｔ）が空間的な保存場であるので、我々は、保存場Ｆ（ｘ）＝∇ｆ（ｘ）と２点Ａ、Ｂに対し、Ｆ（ｘ）を含んだ連続な開領域において、ＡとＢを結ぶ曲線Ｒに沿ったＦ（ｘ）の接線成分の積分は、その経路に依存しない(図１２）と謳っている線積分定理（非特許文献２６、４１）を適用できる。
【０２３４】
【数９５】
2005535951.tif 000097
【０２３５】
この定理から、式（４５）は以下のように書き直すことができる。
【０２３６】
【数９６】
2005535951.tif 000098
【０２３７】
式（４６）を見ると、式（４４）と似ていることがわかる。よって、Ｔ＝Ｔ（ｘ，ｔ）が定義される。従って、計算されるべき未知の温度の位置付けは、上記の結果によって一貫性のあるＫＰの０−ピクセルに対応している。式（４３）を満たすために、次の式がある。
【０２３８】
【数９７】
2005535951.tif 000099
前の定義は、線形性により、γ×｛ｔｋ｝として定義されるＫＰの１−チェインに拡張される。ここに、γは任意のＫＰ’の１−チェインである。
【０２３９】
［熱流密度］
コバンダリー＜Ｑ，∂γＥ＞（式（４０））と＜Ｔ，∂γＧ＞（式（４３））は、それぞれ、ＫＳ上の式（２３）とＫＰ上の式（２４）の正確でグローバルなバージョンを与える。拡散項を完成するために、ローカルな値ｇ（ｘ，ｔ）とｑ（ｘ，ｔ）を結び付ける式２５が表現される。式（２５）は、構成方程式であり、位相幾何学的な式で表すことができない。しかしながら、コチェインＧをコチェインＱに変換する関係は見出だすことができる。即ち、式（２５）に対するグローバルな写しの式として、
【０２４０】
【数９８】
2005535951.tif 000100
この変換を見出すために、式４２が想起される。
【０２４１】
【数９９】
2005535951.tif 000101
この式は場ｇ（ｘ，ｔ）に対するコチェインＱに対応する。残念ながら、場ｇ（ｘ，ｔ）はわからない。よって、この式が場
【０２４２】
【数１００】
2005535951.tif 000102
で近似されなければならない。γｎ＝γｘ×｛ｔｋ｝，ｋ∈［０，ｌ−１］のように定義されたＫＰのｎ−ピクセルγｎを考えよう。但し、γｘはＫＰ’のｎ−ピクセルとする。この近似は区分的に実行されるので、γｎの各々の１−面のγＧに対して、
【０２４３】
【数１０１】
2005535951.tif 000103
は以下を満たす。
【０２４４】
【数１０２】
2005535951.tif 000104
ここに、ｄＲはγＧによって表される領域の無限小部分である。そして、式（２５）は
【０２４５】
【数１０３】
2005535951.tif 000105
を得るためにその領域の全ての点で適用され、
【０２４６】
【数１０４】
2005535951.tif 000106
式（４２）は以下のようになる。
【０２４７】
【数１０５】
2005535951.tif 000107
【０２４８】
その結果、求めている変換は、
【０２４９】
【数１０６】
2005535951.tif 000108
これは、近似関数
【０２５０】
【数１０７】
2005535951.tif 000109
とＫＰに対するＫＳの位置の選定に依存する。
【０２５１】
［境界条件］
ここに示された分解プロセスはピクセルを取り囲む全ての必要な量がわかっているという仮定によって達成される。例えば、定常状態の熱伝導問題においては、特定の（ｎ＋１）−ピクセルについて、まわりのすべての他の（ｎ＋１）−ピクセルに対してコチェインＳがわかる。即ち、変数と同数の方程式があるということである。
【０２５２】
残念ながら、この仮定はイメージの境界では確かめられない。従って、偏微分方程式を解くに際し、イメージのバンダリーでのグレーレベル条件を指定するために、ある境界条件が含められる。例えば、これらの条件は、コチェインＴ（ディリクレット(Dirichlet)境界条件）かコチェインＱ（ノイマン(Neumann)境界条件）のどちらかの値を定めることができる。
【０２５３】
［アルゴリズムの要約］
時刻ｔｋでの温度の関数として時間ｔｋ＋１での温度の表現を見出だすために、アルゴリズムが利用される、ということが、今、要約される。このアルゴリズムのための入力データは、コチェインＳとディリクレット境界条件である。即ち、Ｔはイメージのバンダリーにおける全てのピクセルに対してわかり、そのイメージは時間ｔ０での値を含んでいる。
１．ＫＰ’とＫＳ’に対する位置の選択
２．Ｈの関数としてのεの演算処理
（ａ）近似関数
【０２５４】
【数１０８】
2005535951.tif 000110
と
【０２５５】
【数１０９】
2005535951.tif 000111
の選択
（ｂ）Ｈの関数としての
【０２５６】
【数１１０】
2005535951.tif 000112
を見出すための式（３８）の適用
（ｃ）変数Γを見出すための式（３９）の適用、そしてＨの関数としてのεの表現
３．Ｔの関数としてのεを見出すためのΓと式（３４）の適用
４．Ｇの関数としてのＱの演算処理
（ａ）近似関数
【０２５７】
【数１１１】
2005535951.tif 000113
の選定
（ｂ）Ｇの関数としての
【０２５８】
【数１１２】
2005535951.tif 000114
を見出すための式（４８）の適用
（ｃ）変換Λを見出すための式（４９）の適用、そしてＧの関数としてのＱの表現
５．Ｔの関数としてのＤを見出すための式（４０）、Λ及び式（４３）の適用
６．時刻ｔｋでの温度の関数としての時間ｔｋ＋１での温度の式得るための式（３３）の適用
【０２５９】
図１３は演算処理方式の概要を示す。
【０２６０】
［アプリケーション］
［線形で等方性の拡散］
熱伝導方程式の最も直接的な適用の１つは、グレーレベル強度の等方性拡散である。即ち、スムージングである。ｘ＝（ｘ，ｙ）（但し、左辺のｘはベクトルを表し、右辺のｘとｙは座標を表す。これ以後は、原則としてｘはベクトルを表すものとする。）で表される２次元イメージＩ（ｘ）に対して、偏微分方程式
【０２６１】
【数１１３】
2005535951.tif 000115
の解は、畳み込み
【０２６２】
【数１１４】
2005535951.tif 000116
と同等である。ここに、
【０２６３】
【数１１５】
2005535951.tif 000117
は、分散σ２＝２ｔをもつガウス分布である（非特許文献２５）。ｔはスムージング演算のスケールとみなすことができる。スケールｔのラプラシアン・イメージ、即ち、
【０２６４】
【数１１６】
2005535951.tif 000118
がわかっていると仮定しよう。この式は、Ｔ（ｘ，ｔ）＝Ｉ（ｘ，ｔ）、σ（ｘ，ｔ）＝−Ｌ（ｘ，ｔ）、かつλ＝１である定常状態の熱伝導問題とみなすことができる。
【０２６５】
各イメージ・ピクセルの中心に配置されたローカルなＩ（ｘ，ｔ）に対して式（５１）を解く必要がある。上記で表したプロセスを使って、我々はまず、イメージ平面の２つの区画を表す２つのキュービカル・コンプレックスを配置する。上述のように、第１のコンプレックスＫＰ’はピクセル中心に対応する０−ピクセルを用いて定義される。簡単のため、ＫＳ’はイメージ・ピクセルに対応するとする。即ち、第２の２−ピクセルγＳは長方形で、ＫＰの１−ピクセルと、第１の（ＫＰの）１−ピクセルの中心において直交するＫＳの１−ピクセルγｑとに対応して、対照的に揺れ動く。時間の経過と共に、定常状態の熱伝導には変化が全くないので、時間パラメータは除かれる。これは、ＫＰ＝ＫＰ’かつＫＳ＝ＫＳ’で、さらにコチェインの計算における時間積分が除かれることを意味する。近似関数ｆｇはＫＰに対するＫＳの位置に依存することがわかる。
【０２６６】
図１４は５×５イメージに対する２つのコンプレックスを示している。ＫＰの２つの０−ピクセル間の中心点を通すのようなＫＳの１−面の位置決めにより、階数２を用いて得られるのと同様の精度で階数１の多項式関数を計算できるようになる（非特許文献３７、３４）。
【０２６７】
２−コチェイン＜Ｓ，γＥ＞に対するグローバルな値が必要である。あるピクセル値が強度のグローバルな値を表すと仮定すれば、＜Ｓ，γＥ＞＝−Ｌ（ｘ）は直接設定できる。もし、イメージの取得が、ピクセルに対応するグローバルな領域の中の光子の総数を蓄積するプロセスであるとみなされるなら、この仮定は合理的である（非特許文献２２）。
【０２６８】
近似関数
【０２６９】
【数１１７】
2005535951.tif 000119
を選定する。簡単のため、
【０２７０】
【数１１８】
2005535951.tif 000120
が双線形の近似から生じると仮定しよう。即ち、
【０２７１】
【数１１９】
2005535951.tif 000121
【０２７２】
ＫＰの２−ピクセルγＰを与えると、
【０２７３】
【数１２０】
2005535951.tif 000122
はγＰの各１−面に対する式４８を満たす。一つの例として、図１５のように定義されたピクセルのための係数ａ、ｂ、ｃ、ｄを見出そう。
【０２７４】
【数１２１】
2005535951.tif 000123
ここから、
【０２７５】
【数１２２】
2005535951.tif 000124
が得られる。従って、
【０２７６】
【数１２３】
2005535951.tif 000125
はＧの区分関数であるが、ＴからＧが計算されるように、
【０２７７】
【数１２４】
2005535951.tif 000126
もまたＴの関数として表現される。各々の第１の２−ピクセルに対して、式２５は
【０２７８】
【数１２５】
2005535951.tif 000127
を得るために適用される。
【０２７９】
次のステップは式（４９）からＫＳに対する＜Ｑ，γＱ＞を計算することである。それぞれの第２の２−ピクセルのγＳは、４つの第１の２−ピクセルγＰａ、γＰｂ、γＰｃ、及びγＰｄと交差する。４つの第１の２−ピクセルに対応する近似関数
【０２８０】
【数１２６】
2005535951.tif 000128
には４つの部分(segment) がある。即ち、
【０２８１】
【数１２７】
2005535951.tif 000129
である。図１６（ａ）〜（ｃ）にγＥを示す。γＥの４つの１−面に対応するコチェイン＜Ｑ，γＱ＞は、以下のように見出だされる。
【０２８２】
【数１２８】
2005535951.tif 000130
【０２８３】
式４１を用いて、以下を得る。
【０２８４】
【数１２９】
2005535951.tif 000131
【０２８５】
式（５３）に式（４３）を、式（５４）に式（５３）を、式（３３）に式（５４）を代入すると、＜Ｓ，γＥ＞はＴの関数として表現できる。例として、＜Ｓ，γＥ＞は２−ピクセルγＥについて表現され、図１６（ａ）〜（ｃ）のように定義される。
【０２８６】
【数１３０】
2005535951.tif 000132
【０２８７】
各々の非境界(non-border)ピクセル（第２の２−ピクセルで表現される）に対し、式（５５）の形式の式が得られる。境界(border)ピクセルに対しては、Ｔ＝Ｉ（ｘ）が設定される。この式を解いて、スムージングされたイメージＩ（ｘ，ｔ）＝Ｔを得る。
【０２８８】
［オプチカルフロー］
熱伝導方程式の間接的な応用は、ホーン(Horn)とシュンク(Schunk)（非特許文献２９）のアルゴリズムを利用した、２次元イメージ連続画Ｉ（ｘ，ｔ）のためのオプチカルフローの計算である。速度ベクトルｕ（ｘ，ｔ）＝（ｕ（ｘ，ｔ），ｖ（ｘ，ｔ））（但し、左辺のｕはベクトルであり、右辺のuとｖはスカラーである）が変分型微積分学から生成される以下の制約条件を満たすことを示すことができる（よりよく明瞭化するために（ｘ，ｔ）は除かれた）。
【０２８９】
【数１３１】
2005535951.tif 000133
ここに、αは重み係数でＩｘ、Ｉｙ、及びＩｔは、それぞれｘ、ｙ、及びｔによるＩ（ｘ，ｔ）の１階の微係数である。式（５６）を以下のベクトル形式で書き替えよう。
【０２９０】
【数１３２】
2005535951.tif 000134
ここで、∇２ｕ＝（∇２ｕ，∇２ｖ）（但し、左辺のｕはベクトルで、右辺のｕとｖはスカラーである）。式（５６）の項を再編成して、以下の式を得る。
【０２９１】
【数１３３】
2005535951.tif 000135
【０２９２】
σ（ｘ，ｔ）＝−∇Ｉ（∇Ｉ・ｕ）−Ｉｔ∇Ｉ（但し、ｕはベクトル）を熱源として扱って、式（５７）は、コチェインＴがｕ（ｘ，ｔ）（但し、ｕはベクトル）とλ＝α２に対応している定常状態の熱伝導方程式としてみることができる。従って、これは、上述の方法使って分解できる。コチェインＴはｕ（ｘ，ｔ）（但し、ｕはベクトル）であり、また、以下の関係が得られる。
【０２９３】
【数１３４】
2005535951.tif 000136
【０２９４】
線形拡散問題と同じ理由で、イメージの境界に対して特別の考え方が必要である。速度零がイメージの境界で仮定され、そしてこの連立式が解かれ、イメージの各点のための速度場を得る。
【０２９５】
［非線形拡散］
線形で等方性の拡散は、ノイズを低減するが、エッジもぼやかしてしまう。寸法を増加するのに伴い、エッジは強調するのが困難になる傾向にある（非特許文献４３）。この影響を低減する一つの可能な方法は、エッジの大きさに依存する場の関数としての熱伝導係数λが考えられる。即ち、
【０２９６】
【数１３５】
2005535951.tif 000137
これは、式（２８）で、λ（ｘ，ｔ）＝ｇ（｜∇Ｉ（ｘ，ｔ）｜２）、Ｔ（ｘ，Ｔ）＝Ｉ（ｘ，Ｔ）、ρ（ｘ）＝１、ｃ＝１、及びσ（ｘ，ｔ）＝０（即ち、熱源なしの非定常な熱伝導）としたことに対応する。伝導係数ｇ（ｓ）は以下の振る舞いを示さなければならない。即ち、一様な領域において、線形で等方性の拡散（式（５０））が存在する。つまり、｜∇Ｉ（ｘ，ｔ）｜２＝０に対してｇ（｜∇Ｉ（ｘ，ｔ）｜２）＝１であり、また、エッジの大きさが大であるときは、ほとんど拡散がない。つまり、｜∇Ｉ（ｘ，ｔ）｜２→∞に対してｇ（｜∇Ｉ（ｘ，ｔ）｜２）＝０である。ペロナ(Perona)とマリック(Malik)（非特許文献３８）は、以下の関数を提案した。
【０２９７】
【数１３６】
2005535951.tif 000138
及び
【０２９８】
【数１３７】
2005535951.tif 000139
【０２９９】
この関数におけるパラメータＫは、拡散の閾値を制御するだけでなく、関数の急峻さも制御するので（非特許文献３５）、設定するのが難しい。有利な代替手段は次の関数を使用することである。
【０３００】
【数１３８】
2005535951.tif 000140
ここで、ｋとγはそれぞれ閾値と急峻さを制御する。従って、式（５８）は初期条件
【０３０１】
【数１３９】
2005535951.tif 000141
で、特定のｔ（スケール）に対して解かれる。ここに、Ｉ（ｘ）は元のイメージである。
【０３０２】
ｌ個の時間ステップΔｔ＝ｔ／ｌがあると仮定しよう。第１に、キュービカル・コンプレックスＫＰ’とＫＳ’が上記のように使用され、そして以下のような関係が定義される。
【０３０３】
【数１４０】
2005535951.tif 000142
【０３０４】
第２に、以下のような仮定がｈ（ｘ，ｔ）の空間的振る舞いについて行われる。即ち、近似関数
【０３０５】
【数１４１】
2005535951.tif 000143
が選定される。図１７で定義されたような３−ピクセルγＥに対して、Ｈが［−Δ／２，Δ／２］×［−Δ／２，Δ／２］の範囲の平均値であると仮定する。従って、ε＝Ｈである。即ち、式（３４）を用いて、以下の関係も記述することができる。
【０３０６】
【数１４２】
2005535951.tif 000144
【０３０７】
簡単のため、
上記と同じような空間的な双線形の近似関数
【０３０８】
【数１４３】
2005535951.tif 000145
が使用される。時間ステップを通してのその振る舞いは、近似されなければならない。いくらかの時間変化についての一般的な仮定が、以下の提案（非特許文献３７）によって一般化されるだろう。
【０３０９】
【数１４４】
2005535951.tif 000146
ここに、Ａ（ｔ）は、ある量で、ｗは重み係数である（非特許文献３７）。いくつかのｗの値はよく知られた体系につながる。つまり、１）ｗは明白な体系につながる。即ち、ｔｋにおける値は時刻ｔｋ＋１を除く全時間間隔に広がっている。２）ｗ＝１は、完全に暗黙の体系につながる。即ち、時間ｔｋにおけるＡ（ｔｋ）からＡ（ｔｋ＋１）までの値が変化し、かつ、その値は全時間間隔を通してそこに滞まる。３）ｗ＝０．５は準暗黙の、またはクランク−ニコルソン(Crank-Nicolson)体系につながる。即ち、Ａ（ｔ）の線形の変化がある。Δｔの大きな値に対しては、熱の長期間の振る舞いを最もよく模倣するので、暗黙の体系の利用が提案される（非特許文献３７）。それは３−ピクセル及びＷ＝１に対して以下のようになる。
【０３１０】
【数１４５】
2005535951.tif 000147
【０３１１】
ローカル関数
【０３１２】
【数１４６】
2005535951.tif 000148
を得るために、式（２５）を適用して、
【０３１３】
【数１４７】
2005535951.tif 000149
ここに、λ（ｘ，ｔ）＝ｇ（｜∇Ｉ（ｘ，ｔ）｜２）である。∇Ｉ（ｘ，ｔ）は、サンプルがＫＰの０−ピクセルに位置するような空間的にサンプリングされたイメージであるので、λ（ｘ，ｔ）のローカル値は近似される。簡単のため、双線形の近似を再度使う。即ち、
【０３１４】
【数１４８】
2005535951.tif 000150
【０３１５】
図１８に示すように、ＫＰの２−ピクセルに対して以下の関係が得られる。
【０３１６】
【数１４９】
2005535951.tif 000151
【０３１７】
これらの仮定を使って、上記と同じようなステップが、Ｇの関数としてのＱを見出すために続く。例えば、図１６（ｃ）で定義されるような１つのｎ−ピクセルに対するこの関数は以下の通りとなる。
【０３１８】
【数１５０】
2005535951.tif 000152
ここに、Ｃ、Ｌ、及びＧは以下のように定義されるマトリクスである。
【０３１９】
【数１５１】
2005535951.tif 000153
【０３２０】
式（４０）と（４３）を使って、ＤをＴの関数として表すことができる。１の３−ピクセルに対して、図１９で定義されるようなＫＳ’のγＥ、及び以下の関係が得られる。
【０３２１】
【数１５２】
2005535951.tif 000154
ここにＣ、Ｌ、及びＴは以下のように定義されるマトリクスである
【０３２２】
【数１５３】
2005535951.tif 000155
【０３２３】
＜Ｓ，γＥ＞＝０とおいた式３３が、ＫＳ’の各３−ピクセルに対して適用されて、以下を得る。
【０３２４】
【数１５４】
2005535951.tif 000156
これは、一次方程式の連立方程式を定義しており、初期条件はＴ０＝Ｉ（Ｘ）である。
【０３２５】
［熱伝導に対する異なる仮説］
前の議論では、本質的に簡単となるように、λ（ｘ）が双線形関数によって近似された。それにもかかわらず、別の仮定を使用する方が望ましいかも知れない。実際に、この簡単なアプローチは、伝導率における突然の変化を正確には扱わない。例えば、図２０に示さしたＫＳの２つの２−ピクセルが考慮される。Ｑを計算するため、λ（ｘ）は、その中心の値に基づくピクセルの境界で近似される。双線形近似を使って、２つの点を結ぶ線上にある
【０３２６】
【数１５５】
2005535951.tif 000157
の値は、それらの点における値の算術平均であると断言される。例えば、λ０，０→０とλ１，０→０を与えると、境界での伝導はおよそ０．５である。これは、１つのピクセルでの伝導率零はそれの横にあるピクセル上では高い伝導係数が存在するという事実によって、一部相殺することを意味している。非線形のグレーレベルの拡散においては、我々は、まさにこの種の突然の変化に直面している。例えば、ステップ・エッジ(step edge)ピクセルで、熱伝導は、非常に低いことが要求されるかも知れないが、一方すぐその隣では、それはおよそ１であることが必要であるかも知れない。
【０３２７】
従って、より良い仮定では、
【０３２８】
【数１５６】
2005535951.tif 000158
を、ＫＳの１つの２−ピクセル上の定数であるとみされるだろう（非特許文献３７）。よって、図２０のように２つのピクセルに共通な１−面上において、
【０３２９】
【数１５７】
2005535951.tif 000159
【０３３０】
λ０，０→０のとき
【０３３１】
【数１５８】
2005535951.tif 000160
で、λ０，０≪λ１，０のとき
【０３３２】
【数１５９】
2005535951.tif 000161
であるということが容易にわかる。これは、両方の状態では、低い伝導率が２つのピクセルに共通なバンダリーにおいて広がっていることを意味する（非特許文献３７）。この仮定により、マトリクスＣλとＬλは以下のように変更される。
【０３３３】
【数１６０】
2005535951.tif 000162
【０３３４】
［実験結果］
提案されたアプローチは、線形で等方性の拡散、オプチカルフロー、及び非線形性の拡散の状況において、実際の合成イメージ上でテストされた。その結果は各々の場合において他の方法と比較された。
【０３３５】
図２１（ａ）は、線形性の拡散に対して、３つの異なるスケールでの我々の物理学ベースの方法（ＰＢ法）を表し、また、図２１（ｂ）は同じスケールに対する畳み込みによる結果を表す。定量的評価がなければ、主観的にその結果は同様にみなされると言える。
【０３３６】
オプチカルフローに関し、図２２（ａ）〜（ｃ）は３つの連続画の最初のフレームを示す。即ち、回転球面、ハンブルグ・タクシー(Hamburg taxi)、及び木の連続画である。その結果は、ホーンとシュンクのアルゴリズムによる有限差分法（ＦＤ法）（非特許文献１８、１９）を用いて得られたものと比較される。これら３つの例、及びＰＢ法とＦＤ法の両方のために、イメージ導関数は適当なガウシャン形導関数を用いた畳み込みによって計算される。時間と空間の両方のスケールは、重み係数αとして１に設定される。図２３（ａ）と（ｂ）は球面の連続画に対して計算されたフローパターン(flow pattern)を示す。図２４（ａ）及び（ｂ）と図２５（ａ）及び（ｂ）は、タクシーと木の連続画に対するフローパターンをそれぞれ示す。回転球面とタクシーの連続画に対しては、両方法により同様の結果が得られる。また、木の連続画に対しては、極値がＦＤ法よりはＰＢ法の方がより小さいとみなされるものの、やはり同様の結果が得られる。この事実は、白色ノイズ（標準偏差が１０）が加えられた木の連続画（図２６参照）に対し、それぞれＰＢ法とＦＤ法を用いた結果を表す図２７（ａ）と（ｂ）においてより明らかである。本発明による方法の他の利点は、アルゴリズムが一回だけ適用されるため、反復を回避できるということである。
【０３３７】
非線形拡散に関し、図２８（ａ）〜（ｃ）は、σ＝５のコショウのイメージ(peppers image)の小部分に対して、λがある一定の仮説を有するＰＢ法と、ＦＤ法（非特許文献３８、１７）とを比較したものである。図２８（ｂ）は、白色ノイズ（標準偏差が１０）が加えられた元の部分を示す。図２８（ｂ）と（ｃ）はＰＢ法とＦＤ法に対する結果をそれぞれ示す。いくらかの詳細部分が、図２８（ｂ）よりも図２８（ｃ）の方がよく保存されていることがわかる。この事実は、右上隅から左下隅に向かう対角線の特徴を示した図２９（ａ）〜（ｄ）が教えている。
【０３３８】
図３０（ａ）と（ｂ）は、σ＝１．０、３．０、及び５．０のコショウのイメージの結果を示す。ＰＢ法の結果はＦＤ法よりやや鋭いようである。
【０３３９】
図３２（ａ）と（ｂ）は、２つの異なるスケールσ＝４．０及び８．０で、標準偏差１０の白色ノイズ（図３１（ｂ））を加えたレナ・イメージ(Lena image)に対する結果（図３１（ａ））を示す。やはり、ＰＢ法は、両方のスケールで、より鋭い結果を与えるようである。
【０３４０】
図３３（ａ）と（ｂ）は、σ＝８．０でのレナの結果の詳細を示す。図３３（ｂ）は一定値の領域ではスムーズのようだが、いくらかの詳細さが失われている。例えば、目、帽子の上の飾り、及び顔の右側を比較してみよう。
【０３４１】
［結論］
拡散問題の偏微分方程式ベースの解決のための代替アプローチについて述べた。提案されたアプローチは、古典的な偏微分方程式の解決体系を２つの重要な方法に区別する。即ち、１）イメージは、チェインや、コチェインや、バンダリーや、コバンダリーなどの代数学的構成が定義されるようなキュービカル・コンプレックスであるとみなされ、そして、２）拡散問題は、コチェインとコバンダリーによって各々表される保存と構成の基本法則に分解される。
【０３４２】
保存の基本法則は近似なしで表現されるが、構成法則にはいくらかの近似が必要である。これは、多くの近似がされねばならない古典的な偏微分方程式の解法と異なり、近似は構成方程式の表現のみに必要なので、全ての近似は既知である、ということを意味する。コバンダリーは、グリーンの定理や、ストークスの定理や、線積分定理などの微積分学の基本定理を使用して計算される。中間結果の説明を可能にしない反復数値解析アルゴリズムとは異なり、基本法則の利用はアルゴリズムの全ステップと中間結果の物理学的な説明を可能にする。しかも、解決プロセスには反復が全くないので、数値解析体系の収束に関する問題はない。さらに、キュービカル・コンプレックスの利用はいかなる次元での制御も可能なアルゴリズムを提供する。それは、そのアルゴリズムを高次元に拡張する潜在的に難しい作業を回避するということの重要な利点を有する。コチェインとコバンダリーはグローバルな量とローカルな量の両方の利用を可能にする。場に亘っての積分または離散的な総和が、グローバルな量を計算するのに使われる。これは、高周波部分を強化する微分法とは対照的に、スムージング操作を実行することにより、ノイズの低減を可能にする。
【０３４３】
コンピュータビジョンとイメージ処理では、いくつかの問題が拡散問題としてモデル化できる。提供されるアプローチは、線形及び非線形拡散によるスムージングと、オプチカルフローの計算とにおいて有効とされた。得られた結果はこのアプローチの有効性を確実にできる。
【０３４４】
［実施例２：アクティブ・コンター (active contour)に対する物理学ベースのモデル］
新しいアクティブ・コンター・モデルが提示される。それは基本的な物理法則への分解または線形弾性問題に基礎をおいている。いくつかの純粋なテクニックにより物理法則から生じる偏微分方程式を解く他の物理学ベースのアクティブ・コンター・モデルとは対照的に、正確でグローバルな値が使われ、必要なときに近似が行われる。しかも、これらの近似は、その問題とその領域についてのいくつかの認識を仮定しながら、賢明に行われる。このアプローチで計算される変形は、物理学的解釈を有する。加えて、変形曲線は、外力が除去されたときにその元の形状を回復する能力などの、いくつかの興味深い物理学的特性を有する。物理法則は、ここに説明されたイメージモデルに基づく演算処理の代数学的位相幾何学を使ってコード化される。従って、結果としての数値体系は簡単である。イメージモデルは、２次元または３次元の問題をアルゴリズムが実行するのを可能にする。
【０３４５】
［序文］
ここ数年、カス(Kass)ら（非特許文献５９）によるアクティブ・コンターの導入以来、アクティブ・コンター及びアクティブ表面(active surface)が広く研究されてきた。それらは、イメージ分割（非特許文献６２）、追跡（非特許文献６８）、自動補正、道路データベースのアップデート（非特許文献４６）等において使用されてきた。
【０３４６】
これらの問題を解決するため、連続体力学から導かれる特定の物理学的モデルにおいて、多くの異なるアプローチが提案されてきた（非特許文献５７、６３参照）。質量ばねモデルは物体の離散的表現を利用する物理学的モデルである。物体は、ばねによって結合された質点からなる格子としてモデル化される（非特許文献５７）。従って、情報は有限個の点でのみ利用できる（非特許文献６３）。これらの方法は、物体で起こる現象の粗い近似を提供する（非特許文献５７）。しかも、材料特性を反映するばね定数の決定は非常に気難しい作業である。しかし、それらは、リアルタイムの性能を提供し、並列計算を考慮する。
【０３４７】
内部の組織化した力とデータ上に適用された外力を考慮に入れるエネルギー関数の最小化に基づく他の物理学的モデルも、しばしば使用される。それらのいくつかは、有限要素法（ＦＥＭ法）などの方法を用いてその連続的振る舞いを近似することによって、変形可能な物体を連続体とみなす。ＦＥＭ法は質量ばねモデルよりもより物理学に近いが、それらの演算処理上の要求は、それらを前処理（非特許文献５７）なしでリアルタイムのシステムに適用することを困難にしている。有限差分法（ＦＤＭ法）も、物体を離散化するのに利用される。それらは、通常、ＦＥＭ法よりも良好な性能を提供するが、それらはノイズに対し敏感にさせる４階の導関数の計算を必要とする（非特許文献６３）。
【０３４８】
与えられた曲線Ｓに対して、ＦＥＭ法とＦＤＭ法の適用は、以下の形式の方程式による離散的な定常系につながる。
【０３４９】
【数１６１】
2005535951.tif 000163
ここに、ＫはＳ上の規則化制約条件をコード化するマトリクスであり、またｆ（Ｓ）はデータポテンシャルを表す。しかし、グラフィックスアプリケーションにおけるアニメーションのようないくつかの問題は、曲線の動的発展を考慮する必要がある（非特許文献５７）。これらの場合では、慣性の体積力と制動力も、ニュートンの運動の法則
【０３５０】
【数１６２】
2005535951.tif 000164
またはラグランジュ方程式
【０３５１】
【数１６３】
2005535951.tif 000165
を介して変形を制御することにより、考慮できる。但し、上の式においてＭとＤは、それぞれ、質量モデル及び背後で起こる減衰を表すマトリクスである。式（６２）と（６３）は、慣性の項が零に向かうまでの間に導き出される解に近接した初期曲線Ｓ０を仮定しながら、様々な数値体系（非特許文献７０、６４）を用いて解かれる。
【０３５２】
ここ近年にわたり、多くの異なった方法がマトリクスＭ、Ｄ、及びＫを計算するために導入されてきたが、モンタグナット(Montagnat)ら（非特許文献６３）によって指摘されているように、これらの方法は、重大な欠点を有する。即ち、対応する式の変形が、いかなる物理的解釈も持たない。
【０３５３】
変形の物理的解釈を含む新たなモデルを以下で説明する。そのモデルは質量ばねのモデルに似ているが、それは、材質の特性を反映するばね定数を特定する系統的な方法を与えることにより、質量ばねモデルの有効性と、ＦＥＭ法の物理的モデル化の精度の両方を含む。
【０３５４】
それを達成するために、我々は、偏微分方程式（６２）と（６３）に結びつく物理学の基本法則を直接使用することを提案する。これらの式は、いくつかの物理学の基本法則をグローバルな保存則に共に考慮及び混合することにより、また、そのローカルな写しを考慮することによって（非特許文献７２）、実際に得られる。このアプローチは、連続した領域がしばしばただ１つの利用可能な多くの領域に細分化されなければならないようなコンピュータビジョンなどの問題には、いつもよく当てはまるわけではない。各下位領域上のグローバルな値としてこの情報を利用することは、ノイズに対しより敏感でないアルゴリズムに導くことができるグローバルな保存則を直接利用することを可能にする。
【０３５５】
いくつかの物理法則から生じる点、面、体積などの上にある、これらのグローバルな値をコード化するため、我々は、上述のイメージモデルに基づいた演算処理上の代数学的位相幾何学を利用する。
【０３５６】
本発明のこの実施の形態によるアプローチは、いくつかの利点を有する。１）線形弾性問題は連続体力学でよく知られているので、本発明の実施の形態によるモデリングは、全体の変形プロセスとその中間ステップの何らかの良好な物理的解釈を提供するために、賢明に実行される。プロセスに使用されるパラメータには物理学的意味があるので、そのプロセスに使用されるパラメータの決定が、より簡単にできる。２）材料特性を反映するためのばね定数の決定は容易である。３）イメージのオプジェクト（例えば曲線、面）は弾性や剛性などのそれら自身の物理学的特性を有する構成要素として、モデル化される。これらは、加わる力が除かれたときに、その元の状態を復元する特性を有する。４）滑らかな結果と、高い変曲点を有する結果の両方を得ることができる。５）アルゴリズムの計算量は最小で、また、その計算量はどんな余分な工程ステップも要せずリアルタイムのシミュレーションをするために許容される（非特許文献５１）。６）イメージモデルは、アルゴリズムが２次元の問題でも３次元の問題でも実行できるようにする。
【０３５７】
［物理的モデリング］
本発明のこの実施の形態の目的の１つは、弾性や剛性などのそれら自身の物理学的性質を持っている構成要素としてイメージ（例えば曲線、面など）で対象をモデル化することである。結論としては、これらの対象は、連続体力学の法則と原理を満たす必要がある。例えば、力が作用する物体は、物理学の統一的な法則に従って移動し、変形しなければならない。
【０３５８】
全ての物体が従うべきこれらの原理と法則が、今、示される。我々は、まず、変形可能な物体に対する方程式の支配を表現する場合に要求される応力及びひずみの概念を導入する。そして、線形弾性問題に対応する物理法則が表現される。
【０３５９】
弾性理論は、技術者や科学者によって広く研究されてきたし、多くの書物の主題となっている。この明細書では、我々の適用に関連するこの理論の概念だけを示す。ここで示された概念はよく知られ、非特許文献６５や５０のような多くの連続体力学の書物に見出すことができる。
【０３６０】
［力、応力、及びひずみ］
３次元空間内の物体には、いつも力が作用している。これらの力は外部の自然力（外力）に由来するか、物体そのものから発せられる（内力）。外力が内力より大きいと、物体は、変形（ひずみ）を受けるか、または加速される。この変形は、材料が弾性体であるなら、内力（応力）を生じさせることができる。力の概念、応力とひずみ、ひずみ及び応力間の関係が、以下で開示される。
【０３６１】
［物体に作用する力］
物体には２つの基本的なタイプの力が作用する。１つ目は何らかの形態で物体の粒子を結合する原子間力がある。これらの力は内力と呼ばれ、収縮か引張を物体が受けるという事実によって、粒子を引き離そうとしたり、近付けたりできる（非特許文献６５）。それらは、他のいくつかの自然力によって、かけられた力への応答として振る舞う。物体の平衡を仮定し、かつニュートンの反作用の法則を使って、それらは物体にかかる力と、大きさが等しく逆向きでなければならない（非特許文献６６)。
【０３６２】
一方、外部のものによってかけられた力が存在し、外力と呼ばれる。一般に、これらの２つのタイプの力が物体に作用する。第１に、重力や慣性力などの全ての体積要素に作用する体積力と呼ばれる力がある。ｂｊで定義されるこれらの力（Ｘｊ方向に単位質量当りの力）は、物体のあらゆる部分に分布する。第２に、固体要素間の接触力などの表面要素上に作用し、かつ分布する力がある（非特許文献４９）。ｆｊで記述されるこれらの力（ｘｊ方向に単位面積当りの力）は、表面力と呼ばれる。その表面要素は、物体内部または境界表面の一部に存在しうる（非特許文献６０）。表面力及び体積力が作用する任意の大きさ、形状、及び材質の物体を、図３４に示す。
【０３６３】
物体に適用された外力はその物体に伝えなければならない。そして、剛体は空間的移動、またはそれらの回転の両方を受けることができる。非剛体の場合、それは変位(displacement) や変形(deformation)をも経ることが可能で、そのようなケースでは内力は外力とつり合うように発現する。もし、内力が外力とつり合えば、物体は静的平衡状態にあると言える。さもなければ、物体は加速され、慣性力が発現するかもしれない（非特許文献５８）。ダランベール(d’Alembert)の原理を使って、これらの力は平衡方程式を満たすことが可能な体積力（非特許文献４８）の一部として含められるだろう。もし物体が変形したならば、その変形は、弾性であるかそうでないかであって、弾性体として、または剛性体として物体の材料特性に従う。もし物体の材料特性によって生じる内力が非常に弱くて、外力とつり合うことができないならば、物体は永久に変形されうる（非特許文献５２）。
【０３６４】
ここで、いくつかの機械的性質に関して等方性を有する材料を仮定する。そして、材料特性が、与えられた点に対し、全ての方向に同一であるとしよう（非特許文献６０）。また、特性が全ての場所で同一であることを意味する均質材料を考える。
【０３６５】
［点における応力の概念］
等方性で均質の物体Ｂを考えよう。Ｂが静的平衡状態となるように、Ｂには任意の表面力及び体積力が作用していると仮定しよう。ＰをＢの内部の点とし、ＳをＰを通る平面としよう。Ｓは切断面として参照され、単位法線ベクトルｎ＝（ｎ１、ｎ２、ｎ３）Ｔによって定義される。そして、Ｓは、図３５に示すように、Ｂを２つの部分ＩとＩＩに分割する。
【０３６６】
ΔＳがＰを囲む切断面の微小面積要素であると仮定しよう（図３６参照）。
【０３６７】
物体は静的平衡状態にあるので、各部分ＩとＩＩに単独で作用する力の系も平衡になければならない。これは、一般に、いくつかの内力が部分Ｉによって部分ＩＩに伝えられることを必要とする。これらの力は、分割している面の各部に一様に分布することを必要としない。従って、それらは、その面上での大きさと方向が変わる可能性がある。一般に、ΔＳのあらゆる点での力の分布を正確に決定することが望まれる。応力の項が、点Ｐに作用する内力Δｆの強さと方向を定義するのに利用される。コーシー応力原理（非特許文献６０）を使って、我々はＰでの応力ベクトル（またはけん引ベクトル或いはけん引力）ｔｎを以下のように定義する。
【０３６８】
【数１６４】
2005535951.tif 000166
ここで、Ｐは面積が零に縮小されるΔＳの内部の点のまま存在し続けると仮定している。
【０３６９】
ｔｎは点Ｐの法線ベクトルｎの方向になくてもよいことに言及しよう。一方、それは、切断面に直角な法線応力と呼ばれる成分と、それに平行なせん断応力と呼ばれる成分に分解できる。法線応力は、元の状態に戻ろうとするとき、弾性体の圧縮（引張）の後で材料の粒子を引き離そうと（近付けようと）する。他方、せん断応力は、切断面に平行に作用し、互いに関係する隣り合う平面をスライドさせる傾向がある（図３７（ａ）〜（ｄ）参照）。
【０３７０】
応力ベクトルｔｎが切断面の単位法線ベクトルｎに対応して定義されることに気付くべきである。Ｐを通る切断面は無限に多く存在するので、Ｐで定義される多くの応力ベクトルも同様に存在する。ジュヴィナール(Juvinall)（非特許文献５８）は、点Ｐにおける応力の状態を、Ｐを通る全ての存在しうる切断面に対する応力の大きさと方向の完全な記述として定義している。幸い、この記述はＰを通る３つの互いに直交する平面を考えることによって完璧に得られる（非特許文献５８）。簡単のため、通常、３つの基準ベクトルｘ１、ｘ２、及びｘ３によって定義された３つの軸を利用する。
【０３７１】
法線ベクトルがｘｉで定義される軸に平行なとき、ｘｊの方向の応力成分としてσｉｊを定義しよう。もしｉ＝ｊならばσｉｉは法線応力を示す。さもなければ、σｉｊはせん断応力である。これらの約束で、けん引力ｔｎのｘｉ方向の成分ｔｉｎは、以下のように法線応力σｉｉ、せん断応力σｊｉとσｋｉ、及び法線ベクトルｎに依存する（図３８参照）。
【０３７２】
【数１６５】
2005535951.tif 000167
式（６４）はコーシー(Cauchy)の応力公式として知られている。
【０３７３】
３つの座標軸の各々が６つの応力成分を含むので、全部で９つの応力成分が存在する。しかし、Ｐでの瞬間の平衡（非特許文献４９）は、これらのうちの６つのみが独立であることを与える。即ち、全てのｉ，ｊ＝１，２，３に対して、σｉｊ＝σｊｉである。これは、ある点における応力状態は、σ１１、σ２２、σ３３、σ１２、σ１３、及びσ２３によって完全に決定されることを意味する。
【０３７４】
［点におけるひずみの概念］
どんな非剛体も、力が作用すると変位(displacement)または変形(deformation)を受ける。その物体は、伸びたり縮んだりでき（変位）、或いはその形状の幾何学的変化（変形）をすることができる。図３９（ａ）と（ｂ）はその概念を示す。
【０３７５】
ひずみという語は、与えられたどの点においても、その点を通る特定の平面に対して、変位の方向と強さに関係している（非特許文献５８）。応力に対応して、ひずみは特定の切断面に応じて定義される。ひずみの状態は、ジュヴィナール（非特許文献５８）によって、その点を通る全ての切断面に対して与えられた点での変位の大きさと方向の、完全な定義として定義される。
【０３７６】
応力の状態に関しては、Ｐを通る互いに直交する３つの平面を考えることによって、説明が得られる。従って、応力とひずみの間の素晴らしい類似性を見ることができる。しかし、それらの間には、大きな違いがあり、ひずみは、一般に、概ね直接測定可能な量であるが、応力はそうでない。幸い、応力は、構成方程式を利用することで、ひずみから計算できる（またその逆も同様にできる）。
【０３７７】
応力に関して、２つのタイプのひずみが定義できる。第１に、物体の寸法の変化（変位）の結果であるひずみがある。Ｂを上記で定義されたいくつかの物体とし、ΔＢをｘｉ方向の長さΔｘｉのＢの小部分とし、ΔＢ’を変化したΔＢとしよう。ここで、Δｕｉは、ｘｉの方向に力が作用した後のΔＢの長さ変化となるようにしている。（図４０参照）。法線ベクトルとしてｘｉを有する切断面に対する、Ｐにおけるｘｉ方向の垂直ひずみεｉｉはｘｉ方向の線要素の単位変位である（非特許文献６５）。これは形式的に以下のように定義される。
【０３７８】
【数１６６】
2005535951.tif 000168
【０３７９】
垂直ひずみは、ｘｉ方向内における要素の元の単位長さ当りの長さ変化であることは明らかである。これは、２つの長さの比であるので、たとえインチ当りのインチのような長さ単位当りの長さ単位として時々表現されるとしても、それは無次元量である。
【０３８０】
さて、ｘｊとｘｋの方向における、それぞれ長さΔｘｊとΔｘｋの２つの直交する直線ＰＢとＰＡを考えよう（図４１参照）。
【０３８１】
点ＡとＢが、変形後にそれぞれＡ’とＢ’に移動し、一方、Ｐは固定されていると仮定しよう。直線ＰＡとＰＢは、以下のように角度θｊｋとθｋｊだけ回転されている。
【０３８２】
【数１６７】
2005535951.tif 000169
ここで、ΔｕｊとΔｕｋは、それぞれｘｊとｘｋの方向の移動量である。
【０３８３】
小さな変形のみ起こったとすると、それらの角度の両者の正接は近似できて、
【０３８４】
【数１６８】
2005535951.tif 000170
または、無限小の極限をとった類似型として、
【０３８５】
【数１６９】
2005535951.tif 000171
【０３８６】
Ｐにおいて、ｘｉを法線ベクトルとしてもつ切断面に対するせん断ひずみγｉｋは、変形なしの際に２本の直交していた直線がひずみ変形によって回転するような、ラジアン単位の角度である（非特許文献５６）。即ち、γｉｋ＝θｊｋ＋θｋｊである。γｉｋにおける２つの添字は、応力に関するものと同様の意味がある。例えば、γｉｋはｘｉ軸に直交する隣り合う２つの平面上で作用するひずみで、また、ｘｋ方向に互いにスライドさせるものである。
【０３８７】
その物体において非常に小さな移動しか生じないという仮定の下に、上記の定義が行われたことを思い出そう。法線方向及びせん断方向のひずみは、個体に対して小さいと考えられる（非特許文献５０）。この制約条件が、大きな変位を含めるために緩和されれば、力、応力、ひずみ、または移動の演算処理をする式は非線形となって、そのため解くのが困難となる。人体組織のモデル化（非特許文献５３）のための細い可撓体（非特許文献５０）などに対して、大きな変位が生じうるようないくつかの問題において、このことは時々必要である。しかし、もし小さな変位に限るならば、せん断ひずみの定義のために行われる近似は、あまりに多くのエラーを生じさせることなく、古典的な弾性理論（非特許文献６９、６５、４９、５０）に広く受け入れられる。
【０３８８】
最終的に、式（６５）は、２つの長さ単位の比であるので、せん断ひずみも無次元量であるということを明白に示している。ｉ≠ｊに対して以下の定義をすると、
【０３８９】
【数１７０】
2005535951.tif 000172
ひずみ−変位の関係（または運動学的関係（非特許文献６９））を得る。
【０３９０】
【数１７１】
2005535951.tif 000173
【０３９１】
応力に関して、物体の各点においてトータルで９個のひずみ成分が存在するが（互いに直交する切断面あたり３個）、対称性により、それらは６個に減少できる。即ち、ｊ≠ｋのとき全てのｊ，ｋ＝１，２，３に対してγｊｋ＝γｋｊである。そして、どんな点におけるひずみの状態も、ε１１、ε２２、ε３３、ε１２、ε１３、及びε２３によって記述される。
【０３９２】
［力、応力、及びひずみの関係］
上記で言及したように、ひずみは測定可能な量であるが、応力は、他から両方が計算できても測定は不可能である。これは、物体の材質についてのいくつかの認識はひずみから応力を測定すること、あるいはその逆を必要とするという事実によっている。例えば、鋼製の棒とゴムの棒は、等しく曲げられた時に異なる内力を生じる。
【０３９３】
ひずみと応力のこのギャップは、互いに関連する物理法則の記述によって、ここで埋められるだろう。ひずみと応力の間のこの穴は、材料の内部の構成を反映する構成方程式（または物質の法則）によって埋める必要がある。線形弾性問題のための物質の法則はフックの法則として知られている。
【０３９４】
その法則を示す前に、まず、材料が以下の２つ条件を満たすときに、弾性的振る舞いをするということを思い出すべきである。
１．応力はひずみのみに依存する。
２．その特性は、物体に作用した外力を除くと、物体は元の形状に戻る（非特許文献６０）。
【０３９５】
もし、これらの条件が満たされないなら、物体は非弾性挙動を有すると言われる。いかなる物体も、限界値を超えて変形されない限りは、弾性的挙動を有すると考えることができる。この限界値は、弾性限界と呼ばれ（非特許文献５２、４９）、通常、物体が永久変形を被ることなく受けることのできる応力の最大値として定義される。
【０３９６】
加えて、もし応力がひずみの一次関数であるならば、弾性材料は、線形弾性挙動を有する。続いて、材料が線形弾性挙動を有すると仮定する。
【０３９７】
非特許文献６０及び４９に言及されているように、多くの状況において、弾性の問題は２次元問題とみなすことができる。この特別のケースは平面弾性として知られている。２つの基本的なタイプの問題が平面弾性を構成している。物体にかかる応力の一方向の成分が全て零であるとした問題は、平面応力問題と言われる。一方、物体にかかる全ひずみの一方向の成分が零であれば、その物体のひずみの状態は平面ひずみと言われる（非特許文献６５、６０、５８参照）。
【０３９８】
現在の問題は、平面ひずみ問題であるとみなされる。平面応力問題または平面ひずみ問題を考えているという事実に応じて、構成方程式はわずかに異なるので、この区別は重要である。
【０３９９】
［フック（Ｈｏｏｋｅ）の法則］
ゴムボールが圧縮されると、加えられた力に直角な方向の直径が増大する。同様の現象が、ゴムバンドが伸ばされたときに起こり、そして断面は、より小さくなる（例えば、非特許文献５２で取り上げられている）。実際に、肉眼で常に認識できないとしても、全ての材料においてこれらの寸法変化は起こる（非特許文献５２）。
【０４００】
応力が等方性で均質の物体に一方向（一軸応力）のみに作用しているとき、横断ひずみε⊥（直角方向のひずみ）が、その応力によって生じるひずみεに正比例する。即ち、
【０４０１】
【数１７２】
2005535951.tif 000174
ここで、比
【０４０２】
【数１７３】
2005535951.tif 000175
はポアソン(Poisson)比と呼ばれ、応力が弾性限界より低いときにほぼ一定である（非特許文献６６）。
【０４０３】
方向ｘｉの一軸応力σｉｉと対応するひずみεｉｉとの比例関係は、フックの法則（非特許文献５２、５８）として知られ、以下のように書ける。
【０４０４】
【数１７４】
2005535951.tif 000176
ここに、Ｅはヤング弾性率である。勿論、応力が材料の弾性限界を超えなければ、フックの法則が有効である。
【０４０５】
ボレシ(Boresi)（非特許文献４９）によって指摘されているように、いかなる点での応力も、その点の近傍の全てのひずみに依存する。従って、ｘｉ方向の全ての変位は、その方向の応力のみならず、他の２つの直角方向における変位にも依存する。例えば、垂直ひずみεｉｉはσｉｉ／Ｅに依存する（フックの法則）だけでなく、横断ひずみεｊｊとεｋｋにも依存し、ｘｉ方向の全ひずみ変形は以下の通りとなる。
【０４０６】
【数１７５】
2005535951.tif 000177
【０４０７】
式（６７）は法線方向のひずみ−応力関係である。等方性材料に対しては、垂直ひずみはせん断応力の影響を受けないということを示すことができる（非特許文献５２）。その結果、せん断応力はせん断ひずみのみ生じさせ、また、それらは次の関係によって表される。
【０４０８】
【数１７６】
2005535951.tif 000178
ここで、
【０４０９】
【数１７７】
2005535951.tif 000179
は剛性率と呼ばれる。式（６７）と（６８）は線形弾性等方材料に対する一般化されたフックの法則として知られている（非特許文献５２）。これらの式は、ひずみの関数としての応力を表現するために変形される。即ち、
【０４１０】
【数１７８】
2005535951.tif 000180
【０４１１】
［力と応力との関係］
保存（つり合い、平衡）の法則が連続体力学における重要な種類の方程式を構成することは、よく知られている。それらは、全ての物理量を有する物体内で、その全ての物理量の変化に関係しており、その物理量はそのバンダリー(境界)を通って流れる。これらの法則は、あらゆる連続体材料で満たさなければならない。通常、これらの法則を表現するのに、ローカルな微分方程式が使われる。続いて、線形弾性問題に関係する運動量を示す。
【０４１２】
あらゆる材料に対して、物体Ｂは、質量と呼ばれる慣性の基準（値）に結びつけられる。この基準は物体内部の空間と時間において様々に変わるかも知れない。ＶをＢの体積とし、Ｓをその境界表面とし、Δｍを小体積部分ΔＶの質量としよう。質量密度は以下のように与えられる。
【０４１３】
【数１７９】
2005535951.tif 000181
【０４１４】
分布体積力ρｂｉとけん引力ｔｉｎはＳに作用すると仮定しよう（非特許文献４２）。また、Ｂは速度場ｖｉ＝ｖｉ（ｘ，ｔ）の下に移動していると仮定しよう。
【０４１５】
【数１８０】
2005535951.tif 000182
で表される量はＢの運動量と呼ばれる。この運動量の原理（非特許文献４９）は、物体に作用する合力が、運動量の時間当りの変化と等しいと記述している。従って、
【０４１６】
【数１８１】
2005535951.tif 000183
【０４１７】
式（６４）を思い出すと、
【０４１８】
【数１８２】
2005535951.tif 000184
ここに、ｎ＝（ｎ１，ｎ２，ｎ３）Ｔは、その平面に対する単位法線ベクトルであり、σ＝（σ１ｉ，σ２ｉ，σ３ｉ）Ｔとガウスの発散定理を使って、以下の関係が得られる。
【０４１９】
【数１８３】
2005535951.tif 000185
【０４２０】
Ｖが任意であるので、積分記号は取り除かれて、ローカルな運動方程式が導かれ、
【０４２１】
【数１８４】
2005535951.tif 000186
【０４２２】
式（７２）で零の速度場を仮定することにより、グローバルな平衡方程式を得ることができる。
【０４２３】
【数１８５】
2005535951.tif 000187
そして、そのローカルな写しは以下の通りである。
【０４２４】
【数１８６】
2005535951.tif 000188
【０４２５】
さて、分解した問題をまとめよう。物体のグローバルな移動量Ｕと対応するひずみ（図４３（ａ）参照）の関係は、上記で導入された。また、ひずみと応力と関連する構成方程式（図４３（ｂ）参照）も示された。最後に、運動量原理を使って応力がどのように対応しているか（図４３（ｃ）参照）も説明された。次に、物体の内部の反力がどのようにその物体のグローバルな移動に対応しているか、をまとめるために、トンティ(Tonti)（非特許文献７２）によって提示されたものと同様の一般的な体系が導入される（図４４）。
【０４２６】
［イメージの離散的表現］
イメージのモデル化に使われるいくつかの代数学的なツールが、ここで上記の説明から想起される。イメージは２つの独特の部分から構成される。即ち、イメージサポート（ピクセル）と各ピクセルに関連する何らかの場の量である。この量としては、スカラー（例えばグレーレベル）、ベクトル（例えば色、マルチスペクトル、オプチカルフロー）、またはテンソル（例えばヘシアン(Hessian)）とすることができる。イメージサポートはキュービカル・コンプレックス、チェイン、及びバンダリーにモデル化される。これらの概念を用いて、いかなる次元のイメージサポートの形式的説明をも与えることが可能である。量に対して、キュービカル・コンプレックス上の場を表現するコチェインの概念が導入される。イメージ処理におけるこれらの概念を利用するためには、非特許文献４５を参照されたい。
【０４２７】
イメージは、通常、ピクセルと呼ばれる単位キューブのコンプレックスである。ピクセルγ⊂Ｒｎは積である。
【０４２８】
【数１８７】
2005535951.tif 000189
ここに、Ｉｊは単集合または整数の終点をもつ単位長さの区間のいずれかである。そしてＩｉは単集合｛ｋ｝で退化区間と呼ばれるもの、またはいくらかの整数ｋ∈Ｚに対する閉区間［ｋ，ｋ＋１］である。非退化区間の数ｑ∈｛０，１，．．．，ｎ｝は、定義によりｑ−ピクセルと呼ばれるγの次元である。図４５（ａ）〜（ｂ）はＲ２における３つの基本ピクセルを表す。
【０４２９】
ｑ≧１のためには、ｊ＝｛ｋ０，ｋ１，．．．，ｋｑ−１｝を、Ｉｋｊ＝［ａｊ，ｂｊ］が非退化区間であるような添字の順序付けられた部分集合｛１，２，．．．，ｎ｝としよう。
【０４３０】
【数１８８】
2005535951.tif 000190
と
【０４３１】
【数１８９】
2005535951.tif 000191
を定義しよう。
【０４３２】
ＡｋｊとＢｋｊはσの（ｑ−１）−面と呼ばれる。同様に、σの（ｑ−２）−面、．．．、０−面までを定義することができる。γ自身とは異なるγの面は固有面(proper face)と呼ばれる。
【０４３３】
定義により、キューブの特性方向が各ピクセルに対して仮定される。γが特定の正方向のｑ−ピクセルを表すとすると、反対方向の同じピクセルを−γで表すのは当然である。方向の例は図４５（ａ）〜（ｃ）で示されている。Ｒｎにおけるキュービカル・コンプレックスは、Ｋと呼ばれるイメージサポートのいかなるピクセルのあらゆる面もまたＫにおけるピクセルであり、かついかなる２つのＫのピクセルの共通集合も空集合であるかまたはそれらの各々の面であるような、ｑ−ピクセルの有限のコレクションＫである。例えば、古典的な２次元イメージモデルは、単に２次元正方形要素としてのピクセルとみなされていた。以前に提示された定義により、２−ピクセル（正方形要素）、１−ピクセル（線要素）、及び０−ピクセル（点要素）を同時に考えることが可能となる。
【０４３４】
イメージサポートを代数学的な形式で記述するために、チェインの概念が導入される。キュービカル・コンプレックスの指向されたｑ−ピクセルのどの集合も、それらがその集合に属さない場合、及びそれらが正方向をとるかとらない場合のそれぞれの場合に、係数０、１、−１をそれらに属させることにより、代数学的形式に記述できる。重み付き領域を表すため、任意の整数の乗算が各ｑ−ピクセルに対して許容される。
【０４３５】
キュービカル・コンプレックスについて位相空間Ｘ⊂Ｒｎを考えると、全てのｑ−ピクセルにより生成された自由アーベル群Ｃｑ（Ｘ）を得る。この群の要素はｑ−チェインと呼ばれ、そしてそれらはｑ−ピクセルの形式的な一次結合である（非特許文献４５）。ｑ−チェインｃｑの形式的表現は
【０４３６】
【数１９０】
2005535951.tif 000192
であり、ここにλｉ∈Ｚである。
【０４３７】
イメージ平面の説明に必要な最後のステップは、チェインのバンダリー概念の導入である。ｑ−ピクセルγを与え、その（ｑ−１）−面の交互の和に対応する（ｑ−１）−チェインとして、バンダリー∂γを定義する。その和は、ｑ−ピクセルの方向に関係する（ｑ−１）−面の方向に応じて扱われる。γの（ｑ−１）−面は、その方向がγの方向と互換性があるなら、γの方向に相対的な正の方向を向いていると言われている。線形性によって、任意のｑ−チェインに対するバンダリーの定義の拡張は好都合である。例えば、図４５（ｂ）と（ｃ）において、１−ピクセルａのバンダリーはｘ２−ｘ１であり、２−ピクセルＡのバンダリーはａ＋ｂ−ｃ−ｄであり、一方、ａとｂはＡの方向に対して正の方向を向いていると言えるが、ｃとｄはＡの方向に対して負の方向を向いている。１−ピクセルのバンダリーは、常にそのバンダリー上の点とは異なっていることに注意しよう。バンダリーは再帰的に定義できる。γｑ＝γｑ−１×［ａ，ｂ］として定義された（ｑ−１）−チェインとｑ−チェインγｑを与えると、γｑのバンダリーは再帰的に以下のように書くことができる。
【０４３８】
【数１９１】
2005535951.tif 000193
【０４３９】
イメージ表面上のピクセル量をモデル化するためには、アプリケーションＦは、キュービカル・コンプレックスのｑ−ピクセルγを有するグローバルな量に関連するように、見いだされなければならない。このアプリケーションは＜Ｆ，γ＞と表される。この量はスカラー、ベクトルなどの数学的構成要素のどれかである可能性がある。２つの隣り合うｑ−ピクセルγ１とγ２に対して、Ｆは＜Ｆ，λ１γ１＋λ２γ２＞＝λ１＜Ｆ，γ１＞＋λ２＜Ｆ，γ２＞を満足し、この式は各ピクセルにわたる量の和が２つのピクセル上の量に等しいことを意味する。結果としての変換Ｆ：Ｃｑ（Ｘ）→Ｒは、ｑ−コチェインと呼ばれ、キュービカル・コンプレックス上の量の表現として使用される。
【０４４０】
最後に、グローバルな量を、ｑ−面上に与えられたグローバルな量に応じた（ｑ＋１）−ピクセルに関連付けるために、演算子が必要である。ｑ−コチェインＦを与えて、コバンダリー演算子と呼ばれる演算子∂を、Ｆを（ｑ＋１）−コチェイン∂Ｆに変換するために使用する。つまり、全ての（ｑ＋１）−チェインγに対して、
【０４４１】
【数１９２】
2005535951.tif 000194
となる。コバンダリーは、γのｑ−面に関連する物理量の符号付きの和として定義される。その和は、そのピクセルの方向に対する、γの（ｑ＋１）−ピクセルのｑ−面の相対的な方向に応じて扱われる。図４６は２−ピクセルに対するコバンダリー演算子の例を示す。
【０４４２】
［平衡方程式の表現］
平衡方程式（７４）を解く汎用アルゴリズムを得るために、代数学的位相幾何学の概念を用いた図４４の基本法則が、今、モデル化される。
【０４４３】
アルゴリズムは次のように再開される。１）イメージサポートは、まず、キュービカル・コンプレックスに細分される。２）グローバルな量が、基本法則によるコチェインを介して様々な次元のピクセル上で計算される。３）構成方程式６９と７０が２つのコチェイン間の一次変換として表現される。
【０４４４】
［相対移動］
Ｂを３次元空間内の物体とし、ＫＰを、細分されたＢの空間的なサポートを表現する３−コンプレックスとしよう。また、ＤがＵのコバンダリーとなるような、０−コチェインｕと１−コチェインがＤを考えよう。
【０４４５】
【数１９３】
2005535951.tif 000195
【０４４６】
図４７（ａ）と（ｂ）は、ＫＰの３−ピクセルに対するＵとＤのいくつかの例を示す。
【０４４７】
両方のコチェインＵとＤのための演算処理上の規則が、今、特定される。ひずみ−移動の関係（式（６６））を思い出して、
【０４４８】
【数１９４】
2005535951.tif 000196
我々はアプリケーションε’を得る。
【０４４９】
【数１９５】
2005535951.tif 000197
【０４５０】
せん断ひずみ成分を非特許文献６７のように省略すると、以下の関係が定義できる。
【０４５１】
【数１９６】
2005535951.tif 000198
【０４５２】
式（８０）のグローバルな形式を、∂γＤ＝ｘ＊−ｘ＃となるように１−ピクセルγＤ上で用いると、以下の関係が得られる。
【０４５３】
【数１９７】
2005535951.tif 000199
ここに、ｄγＤは領域γＤの無限小部分である。∇ｕは保存場であるので、保存場Ｆ（ｘ）＝∇ｆ（ｘ）と２点Ａ、Ｂに対し、Ｆ（ｘ）を含んだ連続な開領域において、ＡとＢを結ぶ曲線Ｒに沿ったＦ（ｘ）の接線成分の積分は、その経路に依存しないと謳っている線積分定理（非特許文献５５、７１）が適用される。
【０４５４】
【数１９８】
2005535951.tif 000200
【０４５５】
そして、式（８１）から以下の関係が得られる。
【０４５６】
【数１９９】
2005535951.tif 000201
【０４５７】
一方、コチェインを１−ピクセルのＤに適用すると、
【０４５８】
【数２００】
2005535951.tif 000202
これは、式（８２）と同じ形式である。そしてＵ（ｘ）＝Ｕ（ｘ）（但し、左辺のＵはスカラーであり、右辺のＵはベクトルであり、ｘは左辺、右辺共にベクトルである）が定義される。結果として、移動ベクトルＵの位置はＫＰの０−ピクセルに対応しなければならない。前の定義は、線形性によって、ＫＰの１−チェインに拡張される。
【０４５９】
［力−応力の関係］
物体Ｂの細分された空間的サポートを表現する、他の３−コンプレックスＫＳも考えよう。また、３−コチェインＦと２−コチェインＳを、ＦがＳのコバンダリーとなるようなものとして、考えよう。
【０４６０】
【数２０１】
2005535951.tif 000203
【０４６１】
図４８（ａ）と（ｂ）は、ＫＰの３−ピクセルに対するＦとＳのいくつかの例を示す。
【０４６２】
γＦをＫＳの３−ピクセルとし、γＳを、γＳ＝∂γＦとなるようにしたＫＳ上の２−チェインとしよう。また、γＦの２−面γＳｊがγＦの方向に対して、相対的に正であると仮定しよう。コバンダリーの定義は以下のように導かれる。
【０４６３】
【数２０２】
2005535951.tif 000204
【０４６４】
再び、ＦとＳに関連している演算処理の規則が決定される。式（７１）で零速度場を設定すると、以下が導かれる。
【０４６５】
【数２０３】
2005535951.tif 000205
ここに、σｉ＝（σ１ｉ，σ２ｉ，σ３ｉ）である。式（８５）を満足するため、以下の関係が定義される。
【０４６６】
【数２０４】
2005535951.tif 000206
及び
【０４６７】
【数２０５】
2005535951.tif 000207
ここに、
【０４６８】
【数２０６】
2005535951.tif 000208
及び
【０４６９】
【数２０７】
2005535951.tif 000209
である。
【０４７０】
［応力−ひずみ関係］
ＫＰ上の式（６６）とＫＳ上の式（７４）の正確なグローバルなバージョンが式（８３）、（８６）、及び（８７）によって表現された。図４４の体系を完成するために、ε（ｘ）とσ（ｘ）のローカルな値を結び付けるフックの法則（式６９及び７０）の表現が必要である。式（６９）と（７０）は構成方程式であるので、それらの位相幾何学的な表現は提供できない。その代り、それらはコチェインＤとＳの間の一次変換として表現される。
【０４７１】
【数２０８】
2005535951.tif 000210
【０４７２】
この変換を見出すため、式（８７）が想起される。
【０４７３】
【数２０９】
2005535951.tif 000211
これは、一般化されたフックの法則を利用して、ひずみεにコチェインＳを結び付ける。残念ながら、ひずみは有限個の点においてのみ知られ、そして近似関数
【０４７４】
【数２１０】
2005535951.tif 000212
を用いて全領域Ｓにわたって近似される。
【０４７５】
【数２１１】
2005535951.tif 000213
が選定されているので、ＫＰの２−ピクセルγの１-面γＤの各々に対して、以下の関係が得られる。
【０４７６】
【数２１２】
2005535951.tif 000214
ここに、ｄＲはγＤで表される領域の無限小部分である。εの法線成分のその近似のみが必要であるということが指摘され、実際に以下が得られる。
【０４７７】
【数２１３】
2005535951.tif 000215
ここに、
【０４７８】
【数２１４】
2005535951.tif 000216
はγ上の近似された移動ベクトルであり、もし、
【０４７９】
【数２１５】
2005535951.tif 000217
が式（８８）を満たすように選ばれれば、
【０４８０】
【数２１６】
2005535951.tif 000218
は完全に決定される。
【０４８１】
【数２１７】
2005535951.tif 000219
のせん断成分は、
【０４８２】
【数２１８】
2005535951.tif 000220
の成分と近似的に差別化することによって計算できる。この認識を利用し、また、式（８８）を満たす
【０４８３】
【数２１９】
2005535951.tif 000221
に対する一般化されたフックの法則を適用して、全てのγの点で、以下の関係が得られる。
【０４８４】
【数２２０】
2005535951.tif 000222
そして、式（８７）は以下のように書き替えられる。
【０４８５】
【数２２１】
2005535951.tif 000223
これは、近似関数
【０４８６】
【数２２２】
2005535951.tif 000224
とＫＰに対するＫＳの相対的な位置の選定に依存する。
【０４８７】
［アルゴリズムの要約］
物体の移動に応じた内力の表現を見出すために使われるアルゴリズムが、今、まとめられる。このアルゴリズムのための入力データは、コチェインＵと物体の材料特性（Ｅとｖの値）である。
１．ＫＳに対するＫＰの位置の選定
２．コチェインＤの計算
３．コチェインＳの計算
（ａ）近似関数
【０４８８】
【数２２３】
2005535951.tif 000225
の選定
（ｂ）移動成分の関数としてＳを表現するための式（８９）の適用
４．式（８５）を適用することによる力の計算
【０４８９】
［アプリケーション］
［アクティブ・コンター］
上記で説明したアプローチは曲線Ｓのラグランジュ発展に基づく２次元のアクティブ・コンター・モデルに適用される。
【０４９０】
【数２２４】
2005535951.tif 000226
ここで、Ｋは曲線の組織化力を含むマトリクスである。
【０４９１】
この動的システムは、有限差分体系を用いて時間的に離散化される。与えられた時間ステップΔｔに対して、時間による導関数は以下のように近似できる。
【０４９２】
【数２２５】
2005535951.tif 000227
【０４９３】
曲線変形は、慣性力、イメージ力、及び内力が平衡するまで、それらの近傍と比較した各頂点によって支配される。式９０は陽関数型を利用して解かれる。
【０４９４】
【数２２６】
2005535951.tif 000228
【０４９５】
初期曲線Ｓ０が平衡状態にあり、初期の体積力Ｆ０＝ＫＳ０が変形過程の間一定であったと仮定すると、これらの力には式（９１）の修正型になる外力Ｆｅｘｔが付加できる。
【０４９６】
【数２２７】
2005535951.tif 000229
ここに、Ｕは曲線Ｓの移動ベクトルである。
【０４９７】
イメージ区分プロセスは非特許文献５７で提示されたものと類似している。ここで、各ピクセルの中心に位置するローカルなＵ（ｘ）に対し、式（９２）を解く必要があり、それにより、解に近い初期曲線Ｓ０がわかる。上記で示されたステップに従い、２次元のキュービカル・コンプレックスＫＰとＫＳをまず位置付ける。言及したように、ＫＰはイメージ・ピクセルの中心に対応する０−ピクセルをもつために設置される。ＫＳは、その２−ピクセルがイメージ・ピクセルと一致するような方法で設置される。従って、ＫＳの２−ピクセルは長方形で、ＫＰの１−ピクセルと、ＫＰの１−ピクセルの中心において直交する各１−ピクセルに対応して、対照的に揺れ動く。マッティウッシー(Mattiussi)（非特許文献６１）は、このＫＳの配置の方法が精度を損なうことなく低階の近似多項式の利用を可能にすることを示した。図４９は、５×５イメージに対する２つのコンプレックスの配置を示す。
【０４９８】
式（９２）を解くために、グローバルな値ＦがＫＳの各ピクセル上で必要である。これらの値は一般に知られているので、それらを位相幾何学的に述べる必要は全くない。この例では、非特許文献５４で提案された線検出装置を使って得られた輝線擬似イメージの勾配場が使用されている。ここでは、勾配は全ピクセル上で有効なグローバルな値を提供すると仮定されている。そして、Ｆ＝∇Ｌを設定する。ここに、Ｌは線擬似イメージであり、∇Ｌ＝ｇ’σ＊Ｌであり、かつｇ’σはスケールσのガウス分布である。近似関数
【０４９９】
【数２２８】
2005535951.tif 000230
もまた選定される。簡単のため、
【０５００】
【数２２９】
2005535951.tif 000231
は双線形近似から生じるものと仮定する。
【０５０１】
【数２３０】
2005535951.tif 000232
【０５０２】
このようにして、
【０５０３】
【数２３１】
2005535951.tif 000233
【０５０４】
【数２３２】
2005535951.tif 000234
と
【０５０５】
【数２３３】
2005535951.tif 000235
は、図５０のように、ＫＰのいかなる２−ピクセルγの１−面γＤの全てに対しても、式（８８）を満たさなければならないので、以下の関係が得られる。
【０５０６】
【数２３４】
2005535951.tif 000236
【０５０７】
【数２３５】
2005535951.tif 000237
ここから、以下の関係が得られる。
【０５０８】
【数２３６】
2005535951.tif 000238
【０５０９】
式９３と垂直ひずみの定義から、これは以下のように簡単になる。
【０５１０】
【数２３７】
2005535951.tif 000239
ここに、
【０５１１】
【数２３８】
2005535951.tif 000240
である。式（８３）と（９４）は以下のようになる。
【０５１２】
【数２３９】
2005535951.tif 000241
ここから、
【０５１３】
【数２４０】
2005535951.tif 000242
の値が推論できる。
【０５１４】
最後のステップは、ＫＰの各２−ピクセルに対する内力Ｆの計算である。以前に言及したように配置されたＫＰとＫＳを用いて、ＫＳの各２−ピクセルγＦは、４つのＫＰの２−ピクセルγＡ、γＢ、γＣ、及びγＤと交差する。即ち、４つの交差するＫＰの２−ピクセル（図５１参照）に対応する４つの近似関数
【０５１５】
【数２４１】
2005535951.tif 000243
が考えられなければならない。
【０５１６】
コチェインＳの値は、適当な積分によってγの４つの１−面上にで見出だされる。
【０５１７】
【数２４２】
2005535951.tif 000244
【０５１８】
式（８５）は以下のようになる。
【０５１９】
【数２４３】
2005535951.tif 000245
【０５２０】
式（９６）に式（９６）と（９５）を代入することにより、内力Ｆは移動量Ｕの関数として表現することができる。例として、Ｆの値は図５０の２−ピクセルγＦに対してΔ＝１で表すことができる。
【０５２１】
【数２４４】
2005535951.tif 000246
【０５２２】
【数２４５】
2005535951.tif 000247
ここで、
【０５２３】
【数２４６】
2005535951.tif 000248
及び
【０５２４】
【数２４７】
2005535951.tif 000249
である。
【０５２５】
式（９７）はピクセルとその近くのものとの間の一次関数を生じさせる。この関係は、式（９１）の剛性マトリックスを構築するのに使用される。Ｕｘｉ（ｉ＝１，２）を成分ｘｉに対する移動ベクトルとみすと、
【０５２６】
【数２４８】
2005535951.tif 000250
ここに、
【０５２７】
【数２４９】
2005535951.tif 000251
【０５２８】
【数２５０】
2005535951.tif 000252
【０５２９】
ペア（Ｎｉｘ１，Ｎｉｘ２），（Ｉ＝１，２）は剛性核(kernel)と呼ばれる。
【０５３０】
［移動ベクトルの計算］
移動ベクトルを計算する際に行われた仮定を、今、説明する。ｖを細分された曲線Ｓの頂点とし、ｖ’を変形された曲線Ｓ’における対応する頂点としよう。また、ｖに対応する移動ベクトルＵの項をＵ［ｖ］で表そう。移動量がどの場所でもどの方向でも一定、即ち、Ｓ内の全てのｖについてｋ１，ｋ２∈Ｒを用いて、Ｕ［ｖ］＝（ｋ１，ｋ２）Ｔであると仮定しよう。Ｎ１ｘ１、Ｎ１ｘ２、Ｎ２ｘ１、またはＮ２ｘ２のどれかの全項の和が零なので、Ｓにおける全ｖに対してＦ１［ｖ］＝Ｆ２［ｖ］＝０となる。これは内力がまったく生じていないことを意味する。従って、剛性核を用いた内力の計算は、変換に対して不変である。
【０５３１】
ｖ１、ｖ２、ｖ３、ｖ４及びｖ５をＳの隣接した５つの頂点とし、ｖ１’、ｖ２’、ｖ３’、ｖ４’、ｖ５’をＳ’の対応する頂点としよう（図５２参照）。
【０５３２】
ｖｉ，ｘｊを、頂点ｖｉの空間表現におけるｘｊ座標軸とすると、以下の関係が得られる。
【０５３３】
【数２５１】
2005535951.tif 000253
【０５３４】
並進不変性の結果、次のようになる。
【０５３５】
【数２５２】
2005535951.tif 000254
ここに、［ｖ’２，ｘ１−ｖ２，ｘ１］は、全ての項ｖ’２，ｘ１−ｖ２，ｘ１に等しいマトリクスを表す。頂点ｖ３における内力Ｆｉを計算するために使われる移動成分は、従って、
【０５３６】
【数２５３】
2005535951.tif 000255
これは、ｖ２に対する頂点ｖ３の相対的な移動である。しかし、ｖ２に対するｖ３の相対的な移動の計算を妨げるものは、何もない。このケースでは、頂点ｖ３での内力Ｆｉの計算に使われるｘｋ移動成分は、以下のようになる。
【０５３７】
【数２５４】
2005535951.tif 000256
【０５３８】
これらの事実を考慮に入れるために、ｖ２に隣り合う全ての頂点に対しての相対的な移動量の平均値が使われる。従って、
【０５３９】
【数２５５】
2005535951.tif 000257
【０５４０】
Ｓの任意の頂点ｖｉに対して式（９７）の項を再編成し、それらの頂点に対応してＳとＳ’の２階導関数の有限差分近似を仮定すれば、以下の関係が成り立つ。
【０５４１】
【数２５６】
2005535951.tif 000258
または、
【０５４２】
【数２５７】
2005535951.tif 000259
【０５４３】
最後に、式（９８）の曲線Ｓの２階導関数が、ガウス導関数を使って計算できることに注目しよう。
【０５４４】
【数２５８】
2005535951.tif 000260
ここで、σは、スムージングの度合いを制御する。Ｓの２階導関数のこのような計算により、より滑らかな対象曲線をシミュレートすることによる、スムーズな結果を得ることができる。
【０５４５】
［実験結果］
［アクティブ・コンター］
ここまで提案されたアプローチは、高解像度状況の下での道路データベースの実際の合成イメージ上で実験された。各イメージに対して、別の方法で結果が比較された。
【０５４６】
図５５（ａ）は航空写真イメージに対する本発明による物理学ベースの方法（ＰＢ法）による結果を示し、図５５（ｂ）は有限要素法（ＦＥＭ法）による結果を示す（αとβは未知）。Ｅ＝１５０でｖ＝０．４５のゴムに類似する材料（図５３の表参照）がシミュレートされた。両方のイメージにおいて、イメージ力は、非特許文献５４で提案された線検出装置を使用し、線検出スケールを０．８に設定して、得られた輝線擬似イメージの勾配（σ＝１．５）である。図５４（ａ）と（ｂ）は、それぞれ初期曲線Ｓ０と輝線擬似イメージを示す。
【０５４７】
図５６は初期曲線が白色で描かれたＳＡＲイメージを示す。明、暗両方の線の線擬似イメージ（σ＝１．５かつ線検出スケール＝０．８）を図５７に示す。図５８と５９は、それぞれ、ＰＢ法（Ｅ＝１５０及びｖ＝０．４５）及びＦＥＭ法（αとβは未知）によって得られた結果である。ＰＢ曲線がＦＥＭよりも、特に曲率の高い部分において、より海岸線に近いことに注目できる。
【０５４８】
図６０は、ランドサット７の第１バンドに対応するいくらかの初期設定を示す。輝線擬似イメージ（σ＝１．５かつ線検出スケール＝０．８）を図６１に示す。図６２と図６３は、それぞれ、ＰＢ法とＦＥＭ法で得られた結果を示す。
【０５４９】
本発明のこの実施の形態によるモデルを利用して得られた変形が、物理的解釈を有しているという事実を議論してきた。また、ＰＢ法を使ってモデル化した物体が、固有の物理学的性質と、かけられていた外力が除かれたときにその元の形状を回復する能力と、を有しているという事実も議論してきた。この事実を例証するために、図６４（ａ）及び（ｂ）は、いくつかの初期設定と合成イメージに対する修正曲線を示す。図６５（ａ）から（ｄ）は、外力が除かれた時のその修正曲線の進化を表す。図６５（ｄ）は最終的な曲線（黒色で示す）と初期曲線（白色で示す）の両方を示す。この曲線が元の形状を回復するが、空間的なずれも経験した、ということに、気付くことができるのは明らかである。
【０５５０】
［結論］
アクティブ・コンターのための新たなモデルが示された。提案されたアプローチは、代数学的位相幾何学に基づくイメージモデルを使ったイメージに分解する。このモデルは、線形と非線形の拡散、及びオプチカルフロー（非特許文献５７）などの、他の問題を解決するためにも適用できる一般的な数学的ツールを利用する。しかも、そのモデルは、２次元または３次元で機能し、また、アクティブな表面やアクティブな体積に容易に拡張できる。
【０５５１】
そのアプローチは、以下のような他の方法と違う点を提供する。１）グローバルな量及びローカルな量の両方が利用される。２）モデルは、物理学の基本法則に基づく。これは、変形過程に物理学的な説明を与えることを可能にする。３）曲線と表面は、一度かけられた力が除かれた際に元の形状を回復する能力のような、物理学的振る舞いを有する。４）構成方程式が関わる時だけ、近似が行われる。
【０５５２】
本発明は、その非限定的な実施の形態によって上記のように説明されたが、添付の特許請求の範囲内で、対象としている発明の精神と本質から逸脱することなく、意のままに変更することができる。
【図面の簡単な説明】
【０５５３】
【図１】２−キューブ(cube)の例を示し、［０，１］×［０，１］の定義により与えられる方向を有するものを示す。
【図２】（ａ）はキュービカル・コンプレックスである細分の例を示し、（ｂ）はキュービカル・コンプレックスでない細分の他の例を示す。
【図３】実線は、第１のキュービカル・コンプレックスの例を示し、破線は第２のキュービカル・コンプレックスの例を示す。
【図４】（ａ）は原形のイメージの例を示し、（ｂ）は結果としてのスムージングしたイメージの例を示す。
【図５】時刻ｔでの３次元空間における物体を示し、（ａ）において、ｘ１粒子はＸ１の位置、ｎは面への法線方向ベクトル、ｄＳは無限小面積、ｄＶは無限小体積であり、（ｂ）において、ｆｅはｄＳに作用する外力、ρは質量、ｂはｄＶに作用する体積力であり、（ｃ）において、ｑはｄＳを通り抜ける熱流、ｒはｄＶによって生じた熱である。
【図６】Ｒ２（Ｉ１×Ｉ２）におけるｑ−ピクセルの３つの例であり、（ａ）はＩ１＝｛２｝かつＩ２＝｛１｝である０−ピクセルの例を示し、（ｂ）はＩ１＝［２，３］かつＩ２＝｛１｝である１−ピクセルの例を示し、（ｃ）はＩ１＝［２，３］かつＩ２＝［１，２］である２−ピクセルの例を示す。
【図７】コバンダリー演算の例である。
【図８】（ａ）は領域の接線成分への投影の例であり、（ｂ）は領域の法線成分への投影の例である。
【図９】ＫＰ１の１つの３−ピクセルに対するコチェインの例であり、（ａ）はコチェインＴの例を示し、（ｂ）はコチェインＨの例をを示す。
【図１０】（ａ）は１つの３−ピクセルＫＳに対するコチェインＱの例であり、（ｂ）は１つの３−ピクセルＫＳに対するコチェインＤの例である。
【図１１】（ａ）は１つの３−ピクセルＫＰに対するコチェインＴの例であり、（ｂ）は１つの３−ピクセルＫＰに対するコチェインＧの例である。
【図１２】２点間の３つの異なる経路の例である。
【図１３】熱源のない非定常問題に対する演算処理方式の例である。
【図１４】５×５イメージに対する２つのキュービカル・コンプレックスの例である。
【図１５】ＫＰの１つの２−ピクセルに対するγｐの例である。
【図１６】（ａ）はＫＰの４つのピクセルに交差するＫ３の１つの２−ピクセルに対するγＥの例（破線）であり、（ｂ）はコチェインＴとＧの例であり、（ｃ）はコチェインＱの例である。
【図１７】ＫＰ’の１つの１−ピクセルを囲むＫＳ’の１つの３−ピクセルの例である。
【図１８】ＫＰの１つの２−ピクセルに対するλの例である。
【図１９】ＫＰの４つのピクセルに交差するＫＳの１つの３−ピクセルの例であって、（ａ）がコチェインＴに対するもの、（ｂ）がコチェインＧに対するもの、（ｃ）がコチェインＱに対するものである。
【図２０】λ’を有するＫＳの２つの２−ピクセルの例である
【図２１】（ａ）は物理学ベースの等方性拡散σ＝｛２．０，４．０，５．０｝の例であり、（ｂ）は同じスケールに対して畳み込みを施した（ａ）の物理学ベースの等方性拡散の例である。
【図２２】３つの連続画の最初のイメージの例であり、（ａ）が回転する球面の連続画。（ｂ）がハンブルグタクシーの連続画、（ｃ）が木の連続画である。
【図２３】（ａ）は図２２（ａ）の回転する球面の連続画に対して物理学ベースの方法を利用して計算されたフローパターンの例であり、（ｂ）は図２２（ａ）の回転する球面の連続画に対して有限差分法を利用して計算されたフローパターンの例である。
【図２４】（ａ）は図２２（ｂ）のハンブルグタクシーの連続画に対して物理学ベースの方法を利用して計算されたフローパターンの例であり、（ｂ）は図２２（ｂ）のハンブルグタクシーの連続画に対して有限差分法を利用して計算されたフローパターンの例である。
【図２５】（ａ）は図２２（ｃ）の木の連続画に対して物理学ベースの方法を利用して計算されたフローパターンの例であり、（ｂ）は図２２（ｃ）の木の連続画に対して有限差分法を利用して計算されたフローパターンの例である。
【図２６】（ａ）は白色ノイズ（１０の標準偏差）を付加した図２２（ｃ）の木の連続画の最初のイメージの例である。
【図２７】（ａ）は白色ノイズを付加した図２２（ｃ）の木の連続画に対して物理学ベースの方法を利用して計算されたフローパターンの例であり、（ｂ）は白色ノイズを付加した図２２（ｃ）の木の連続画に対して有限差分法を利用して計算されたフローパターンの例である。
【図２８】（ａ）はノイズを付加した場合の原形のイメージに対応する図２１（ａ）のコショウのイメージ(peppers image)（σ＝５）の一部分であり、（ｂ）はＰＢ法で得られた図２１（ａ）のコショウのイメージ（σ＝５）の一部分であり、（ｃ）はＦＤ法で得られた図２１（ａ）のコショウのイメージ（σ＝５）の部分である。
【図２９】図２１（ａ）のコショウのイメージ（σ＝５）の一部分の例であって、（ａ）は原形のイメージに対応する図、（ｂ）は白色ノイズを付加した原形に対応する図、（ｃ）はＰＢ法を利用して得られた図、（ｄ）はＦＤ法で得られた図である。
【図３０】（ａ）はσ＝｛１．０，３．０，５．０｝に対するＰＢ法の例であり、（ｂ）は同じスケールに対するＦＤ法の例である。
【図３１】（ａ）は原形のイメージの例であり、（ｂ）はノイズを付加したイメージ（標準偏差＝１０）の例である、
【図３２】（ａ）はσ＝｛４．０，８．０｝に対するＰＢ法の例であり、（ｂ）は同じスケールに対するＦＤ法の例である。
【図３３】（ａ）はＰＢ法の例であり、（ｂ）はσ＝８．０の場合のＦＤ法の例である。
【図３４】任意のサイズ、形状、及び材質の物体の例であり、ΔＳは面積片、ｆはΔＳに作用する面積ベクトル、ΔＶは質量ρをもつ体積、ｂはΔＶに作用する体積力である。
【図３５】点を通過し、２つのセクションに物体を仕切る切断面の例である。
【図３６】法線ベクトルｎをもった切断面に作用する力Δｆの例である。
【図３７】（ａ）は元の物体上の応力の例であり、（ｂ）は物体の引張拡張後の垂直応力の例であり、（ｃ）は物体の圧縮後の垂直応力の例であり、（ｄ）は物体の変形後のせん断応力の例である。
【図３８】ｘｉ方向の応力の成分の例である。
【図３９】（ａ）は応力がかけられた物体の変位の例であり、（ｂ）は応力がかけられた物体の変形の例であり、（ａ）と（ｂ）の両方において、長方形ＡＢＣＤはＡ’Ｂ’ＣＤに変化している。
【図４０】物体の垂直ひずみの例である。
【図４１】物体のせん断ひずみの例である。
【図４２】動作中で、かつ力が加わっている物体Ｂの例であって、ｔｉｎ及びｐｂｉはそれぞれＸＩ方向のけん引力と体積力である。
【図４３】（ａ）は運動方程式の例であり、（ｂ）は構成方程式の例であり、（ｃ）は保存式方程式の例である。
【図４４】基本法則における線形弾性問題の分解の例である。
【図４５】Ｒ２（Ｉ１×１２）におけるｑ−ピクセルの３つの例であり、より詳細には、（ａ）はＩ１＝｛２｝かつＩ２＝｛１｝である０−ピクセルの例を示し、（ｂ）はＩ１＝［２，３］かつＩ２＝｛１｝である１−ピクセルの例を示し、（ｃ）はＩ１＝［２，３］かつＩ２＝［１，２］である２−ピクセルの例を示す。
【図４６】コバンダリー演算の例である。
【図４７】（ａ）はＫＰの３−ピクセルに対するコチェインＵの例であり、（ｂ）はＫＰの３−ピクセルに対するコチェインＤの例である。
【図４８】（ａ）と（ｂ）は、それぞれＫｐの３−ピクセルに対するコチェインＳとＦの例である。
【図４９】５×５イメージに対する２つのキュービカル・コンプレックスの例である。
【図５０】ＫＰの２−ピクセルと、それに関連する位相幾何学的な量の例である。
【図５１】（ａ）は破線で示すγＦの例であり、（ｂ）は２−コチェインＤとＵの例であり、（ｃ）は２−コチェインＳの例である。
【図５２】ある曲線とその変形したものにおける５つの隣接した頂点の例である。
【図５３】いくつかの材料に対するポアソン比とヤング弾性率の代表的な値を示した表である。
【図５４】（ａ）は初期曲線の例であり、（ｂ）は輝線擬似イメージである。
【図５５】（ａ）はＰＢ法を利用した航空写真に対して得られた結果の例であり、（ｂ）はＦＥＭ法を利用した航空写真に対して得られた結果の例である。
【図５６】ＳＡＲ画像に対する初期曲線の例である。
【図５７】ＳＡＲ画像に対して線擬似イメージの例である。
【図５８】ＰＢ法を用いたＳＡＲ画像に対する道路修正の例である。
【図５９】ＦＥＭ法を用いたＳＡＲ画像に対する道路修正の例である。
【図６０】初期曲線の例である。
【図６１】輝線擬似イメージの例である。
【図６２】多重バンドイメージに対する修正の例である（ＰＢ法）。
【図６３】ランドサット７のイメージに対する修正の例である（ＦＥＭ法）。
【図６４】（ａ）は合成イメージに対する初期曲線の例であり、（ｂ）は合成イメージに対する修正曲線の例である。
【図６５】（ａ）、（ｂ）、及び（ｃ）は、外力が除かれた時の曲線の形状復帰の例であり、（ｄ）は初期曲線（白）と最終的な曲線（黒）の両方の例である。
【図６６】本発明による演算処理のイメージモデルの実施の形態をいかに構築するかを示す概略フローチャートである。
【図６７】本発明の実施の形態に従って、また図６６の演算処理のイメージモデルを使用して、問題解決のための演算処理構成をいかに構築するかを示す概略フローチャートである。
【図１】
2005535951.tif 000262
【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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2005535951.tif 000269
【図９】
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【図１０】
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【図１１】
2005535951.tif 000272
【図１２】
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【図１３】
2005535951.tif 000274
【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
2005535951.tif 000277
【図１７】
2005535951.tif 000278
【図１８】
2005535951.tif 000279
【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
2005535951.tif 000283
【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
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【図２８】
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【図２９】
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【図３０】
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【図３１】
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【図３２】
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【図３３】
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【図３４】
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【図３５】
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【図３７】
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【図３８】
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【図３９】
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【図４０】
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【図４１】
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【図４３】
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【図４４】
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【図４５】
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【図４６】
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【図４７】
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【図４８】
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【図４９】
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【図５０】
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【図５１】
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【図５３】
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【図５４】
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【図５５】
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【図５６】
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【図５７】
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【図５８】
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【図５９】
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【図６０】
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【図６１】
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【図６２】
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【図６３】
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【図６４】
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【図６５】
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【図６６】
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【図６７】
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【国際調査報告】
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