(57)【要約】複数の放射源位置からの複数のコーンビーム投影でオブジェクトの三次元画像を再形成する方法は、まず走査対象オブジェクト内の放射減衰の二次元画像から中間変換関数を得る。そして移動フレーム技術を使って二次元減衰画像上で中間変換関数に対しフィルタリングをする。その後、ラドン変換の二階導関数が逆投影され、中間であり局所再形成である三次元画像が生成される。この過程を繰り返した後、上記の中間であり局所再形成である三次元画像に対し和を求めればオブジェクトの最終的な、再形成された三次元画像が得られる。【特許請求の範囲】
【請求項１】
オブジェクトを通して減衰される複数のコーンビームの投影から走査されるオブジェクトの三次元画像を生成する方法であって、
ａ．放射源を所定の走査軌道の開始位置に設定するステップと、
ｂ．オブジェクトに一部分が吸収され減衰する、共通の焦点から出る複数の射線から成るコーンビーム投影をもってオブジェクトを通過させるステップと、
ｃ．面検出器で減衰されたコーンビーム投影の放射強度を検査するステップと、
ｄ．検出される放射強度から一つのコーンビーム投影の二次元減衰画像を得るステップと、
ｅ．焦点を通過する一組の平面上の二次元減衰画像から中間変換関数を得るステップと、
ｆ．少なくとも一度は放射源を再設置し、ステップ（ｂ）−（ｄ）を繰り返すステップと、
ｇ．ラドン変換の二階半径方向導関数を得る移動フレーム技術を使用し、二つまたはそれ以上の放射源で連続的に減衰する画像で得た中間変換関数をフィルタリングするステップと、
ｈ．各投影線に沿って設定された定数をもつ、中間であり局所再形成である三次元画像を生成するための各投影線に沿って、ラドン変換の二階半径方向導関数を逆投影するステップと、
ｉ．少なくとも一度は（ｆ）−（ｈ）を繰り返すステップと、
ｊ．複数のコーンビーム投影から得た複数の、中間であり局所再形成である三次元画像の和を求め、最終的であり再形成である三次元画像を得るステップと、
を有する方法。
【請求項２】
中間変換関数はラドン変換の一階半径方向導関数であることを特徴とする請求項１記載の方法。
【請求項３】
各二次元減衰画像は複数の検出素子から成る面検出器から得た離散二次元データ集合であって、ラドン変換の一階半径方向導関数を得るステップは、
ｉ．  面検出器が標準画像平面と合致しない場合に、
ａ．投影座標変換を通して、複数の検出元の座標を標準画像平面上の一組の点の座標に写像するステップと、
ｂ．二次元データ集合に補間をして、標準画像平面上の一つの規則格子上の減衰値を得るステップと、
ｉｉ．  一組の仮想画像線に沿って格子ノード間に置かれるデータの点を補間するステップと、
ｉｉｉ．  （ａ）画像点を通過する投影射線と、（ｂ）放射源から仮想画像線までの最も短い直線である中心射線との角とのコサインに決定される重みをもつ各仮想画像線に沿った減衰の加重和を計算するステップと、
ｉｖ．  焦点を通過する一組の対応平面上のラドン変換の一階半径方向導関数を取得するための一組の平行画像線の加重和に対して導関数を求めるステップと、
ｖ．  結果のラドン変換の一階半径方向導関数の値を、次の再形成段階で使用するためにメモリに保持するステップと、
を有することを特徴とする請求項２に記載の方法。
【請求項４】
仮想画像線は有利線であることを特徴とする請求項３に記載の方法。
【請求項５】
規則的格子は正方体素子または長方形素子を持つことを特徴とする請求項３に記載の方法。
【請求項６】
投影線に沿う二次元逆投影はその斜線を通過する全ての平面の積分であって、これら平面の単位法線ベクトルは単位球面上の大円に制限されることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項７】
複数のコーンビーム投影は連続してオブジェクトを通過し、ラドン変換の二階半径方向導関数を決定するステップは、
ｉ．  次の一の又は複数のコーンビーム投影に対する一組の平面上のラドン変換の一階半径方向導関数を取得するステップと、
ｉｉ．  一組の標準画像平面上の仮想画像線と焦点を通過する一組の対応平面の、単位法線ベクトルと半径方向の距離により示される広域座標を決定するステップと、
ｉｉｉ．  移動フレーム基底で確定する座標変換を通して、画像平面と焦点を通過する一組の平面に平行する連続的コーンビーム投影の対応平面との間の交差画像線の局所パラメータを計算するステップと、
ｉｖ．  （ｉ）で得たラドン変換の一階半径方向導関数から、（ｉｉｉ）で得た平面上のラドン変換の一階半径方向導関数を補間するステップと、
ｖ．  連続コーンビーム投影で平行平面上のラドン変換の一階半径方向導関数に対して有限差分で近似できる導関数を求めることにより、ラドン変換の二階半径方向導関数を取得するステップと、
を含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項８】
二階半径方向導関数を逆投影するステップは、
画像平面上のあるノードに関するそれぞれの投影線について、各平面と走査軌道との交差数と、隣接する二つの平面の角の間隔とによって決定される重みをもつ投影線を通過する一組の平面上のラドン変換の二階半径方向導関数の加重和を計算するステップと、
オブジェクトを表す三次元デカルト格子上の各ノードが、一本の射線上に設置され、かつ三次元的な局所再形成画像を生成する値を与えられるように、投影線に対して再度サンプリングと補間をするステップと、
を含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項９】
放射源はオブジェクトに相対する完全走査軌道上に沿って変位され、その中で、走査軌道はオブジェクトを通過するほとんどの平面と交差し、測定値０の集合を除いて、走査軌道はどこにおいても微分可能であり、コーンビームは生成され、完全走査軌道上の複数の位置においてオブジェクトを通過することを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１０】
走査軌道は一組の双二次曲線族から選択されることを特徴とする請求項９に記載の方法。
【請求項１１】
放射はＸ−線放射であることを特徴とする請求項１の方法。
【請求項１２】
コーンビーム投影は放射源から見てオブジェクトの反対の側の面検出器で測量されることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１３】
面検出器は回転軸と平行する縦軸と現在の放射源位置の走査軌道の接線の水平面上の投影に平行する横軸を持つことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１４】
検出器は放射源とオブジェクト中心とを結ぶ線に垂直に配置され、検出器上の横軸は検出器表面上の現在の放射源位置における走査軌道の接線の投影に合わせて配置されることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１５】
移動フレーム技術は一組の正規直交基底フレームの生成を含み、各正規直交基底の原点は一つの焦点に位置し、放射源が再配置され新しい焦点が生成され、二次元減衰画像が得られる毎に、正規直交基底が新しい原点を持ち、前記移動フレーム技術は連続的コーンビーム投影の一組の平行平面に対するフィルタリングからラドン変換の二階半径方向導関数の評価を可能にすることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１６】
移動フレーム技術は一組の座標変換から平行平面を見つけることを可能にする請求項１５に記載の方法。
【請求項１７】
オブジェクト内のコーンビーム放射減衰の再形成を生成するのに用いるコンピュータシステムであって、
オブジェクトを通過する放射量を表す信号から中間変換関数を得る手段と、
移動フレームを使って、一対の又は複数の連続する二次元コーンビーム測定上で中間変換関数をフィルタリングしてラドン変換の二階半径方向導関数を計算する手段と、
ラドン変換の二階半径方向導関数に対して逆投影し、各投影線に設定された定数をもち、中間であり局所再形成である三次元画像を生成する手段と、
コーンビーム投影に対して得た複数の、中間であり局所再形成である三次元画像に対し和を求め、オブジェクトの最終的であり再形成である三次元画像を得る累積バッファと、
を有することを特徴とするコンピュータシステム。
【請求項１８】
オブジェクト内のコーンビーム放射減衰の再形成を生成するためのコンピュータ上で実行可能なソフトウェアを保持するコンピュータ上で読み取り可能な記憶媒体であり、前記ソフトウェアは、
オブジェクトを透過する放射量を表す信号から中間変換関数を得るコードと、
移動フレーム技術を使って中間変換関数に対しフィルタリングをしてラドン変換の二階半径方向導関数を計算するコードと、
各投影射線に沿って設定された定数をもち、中間であり部分的再形成である三次元画像を生成するために、ラドン変換の二階半径方向導関数に対し逆投影するコードと、
オブジェクトの最終であり、再形成である三次元画像を得るために、コーンビーム投影に対して得た複数の、中間であり局所再形成である三次元画像に対し和を求めるコードと、
を有することを特徴とするコンピュータ上で読み取り可能な記憶媒体。
【請求項１９】
オブジェクト内のコーンビーム放射減衰の再形成を生成するためのコンピュータ上で実行可能なソフトウェアを保持するコンピュータ上で読み取り可能な記憶媒体を有するコーンビーム断層撮影装置であり、前記ソフトウェアは、
オブジェクトを透過する放射量を表す信号から中間変換関数を得るコードと、
移動フレーム技術を使って中間変換関数に対しフィルタリングをしてラドン変換の二階半径方向導関数を計算するコードと、
各投影射線に沿って設定された定数をもち、中間であり部分的再形成である三次元画像を生成するために、ラドン変換の二階半径方向導関数に対し逆投影するコードと、
オブジェクトの最終であり、再形成である三次元画像を得るために、コーンビーム投影に対して得た複数の、中間であり局所再形成である三次元画像に対し和を求めるコードと、
を有することを特徴とするコーンビーム断層撮影装置。
【請求項２０】
放射源と、放射検出器と、放射源と放射検出器の支持と、放射源からの放射により走査されるオブジェクトの支持と、放射源と、検出器と、オブジェクトとの間の相対運動を供給する一つ又は複数の線形的かつ回転的なモーターと、をさらに有することを特徴とする請求項１９に記載のコーンビーム断層撮影装置。
【請求項２１】
前記ソフトウェアは、放射源から放射され、支持に設置されたオブジェクトを通過し、検出器に到達する放射線が、双二次的走査軌道となるように放射源と検出器とを支持に相対して変位させるコードをさらに有することを特徴とする請求項２０記載のコーンビーム断層撮影装置。
【請求項２２】
オブジェクト内のコーンビーム放射減衰の再形成のために用いるコーンビーム断層撮影装置であって、前記装置は
オブジェクトを透過する放射量を表す信号から中間変換関数を得る手段と、
移動フレーム技術を使って中間変換関数に対しフィルタリングをしてラドン変換の二階半径方向導関数を計算する手段と、
各投影射線に設定された定数をもち、中間であり部分的再形成である三次元画像を生成するために、ラドン変換の二階半径方向導関数に対し逆投影する手段と、
オブジェクトの最終であり、再形成である三次元画像を得るために、コーンビーム投影に対して得た複数の、中間であり局所再形成である三次元画像に対し和を求める手段と、
を有することを特徴とするコーンビーム断層撮影装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
記載なし
【背景技術】
【０００２】
コーンビームコンピュ―タＸ線断層射影（Ｃｏｎｅ−ｂｅａｍ  ｃｏｍｐｕｔｅｒｉｚｅｄ  ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ、ＣＴ）は一組のコーンビーム投影から三次元オブジェクトの密度関数を再形成する技術である。このようなシステムは面探知器を用いて、ｘ線点状光源から発射して、通過したオブジェクトに部分的に吸收されて減衰した放射線を受け取る。従来の（すなわち二次元の）  ＣＴのように、放射源１０と探知器１４はスキャンされるオブジェクト１２の向こう側に置く（図１）。放射線の分布はＸ線源を頂上としての一つの円錐を形成する。面探知器１４による記録されたＸ線の蛍光値から、Ｘ線源１０から探知器１４上に作成された点までの放射線の減衰の積分を計算することができる。
【０００３】
放射源１０と検出器１４は同期して、オブジェクト１２の周りに回転移動と並進移動を行い、複数の放射源位置から投影される複数の二次元コーンビーム画像が得られる。そして、これら画像は三次元オブジェクト１２内部の吸收分布を再形成することに用いられる。
【０００４】
従来の一回一層の断層射影機と比較すると、コーンビームＣＴは、より速いスキャンと、より高い検査効率と、著しいＸ線量の減少と、等方性の解像度を提供することができる。
本技術は医療と産業への応用に大きな可能性を有する。
【０００５】
コーンビーム再形成について理解するために、１９１７年Ｒａｄｏｎが発表した反転公式（Ｊｏｈａｎｎ  Ｒａｄｏｎ  "Uｂｅｒ  ｄｉｅ  Ｂｅｓｔｉｍｍｕｎｇ  ｖｏｎ  Ｆｕｎｋｔｉｏｎｅｎ  ｄｕｒｃｈ  ｉｈｒｅ  Ｉｎｔｅｇｒａｌｗｅｒｔｅ  ｌaｎｇｓ  ｇｅｗｉｓｓｅｒ  Ｍａｎｎｉｇｆａｌｔｉｇｋｅｉｔｅｎ，"  Ｂｅｒ．  Ｖｅｒｈ．  Ｓaｃｈｓ．  Ａｋａｄ．  Ｗｉｓｓ．  Ｌｅｉｐｚｉｇ．  Ｍａｔｈ．  Ｎａｔ．  Ｋｌ．，  Ｖｏｌ．  ６９，  ｐｐ．  ２６２−２７７，  １９１７）  は重要である。三次元のＲａｄｏｎ反転公式の基礎は平面の積分である。Ｒ３のなかの平面は次のように示す。
【０００６】
【数１】
2005504571.tif 000002
【０００７】
ここにβは平面の単位法線、ｌは原点から平面までの垂直の距離である。Ｒ３の関数ｆのＲａｄｏｎ変換は、Ｒ３のすべての平面上のｆ  の積分と定義される。これは二つのパラメーター（ｌとβ）の関数で表現できる。
【０００８】
【数２】
2005504571.tif 000003
【０００９】
そして、Ｒａｄｏｎ公式はつぎのように与えられる。
【００１０】
【数３】
2005504571.tif 000004
【００１１】
上の公式において、Ｓ２はＲ３のなかの二次元の単位球であり、Ωはｆの支持を示す。等式（３）のＳ２  の積分は逆投影のオペレータである。このオペレータは全部ｘを通過する平面を影響する。そして、この積分球は逆投影球と呼ばれ、その中心はｘ、
2005504571.tif 000005
（ｘはインデクスと考えられる）で示す。
2005504571.tif 000006
は全部ｘを通過する平面の単位法線を表すことは明らかである。
【００１２】
点ｘにおける関数値を回復するために、ｘを通る全て又はほぼ全ての平面にＲ’’ｆ（ｌ，β）を得る。しかし、コーンビームの再形成において、コーンビームデータから平面の積分が得られない。これは、各投影内にある点放射源から出るＸ−線が発散するからである。したがって、  Ｒａｄｏｎ公式（等式（３））は直接に利用することができない。
【００１３】
初めに正値関数に用いられるコーンビーム反転式は、Ｔｕｙによって１９８３年発表されており、この式は、Ｆｏｕｒｉｅｒ変換に基づく方法である。（Ｈｅａｎｇ  Ｋ．Ｔｕｙ  "Ａｎ  Ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ  Ｆｏｒｍｕｌａ  ｆｏｒ  Ｃｏｎｅ−Ｂｅａｍ  Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，"  ＳＩＡＭ  Ｊ．  Ａｐｐｌ．  Ｍａｔｈ，  Ｖｏｌ．  ４３，  １９８３，  ｐｐ．  ５４６−５５２）Ｓｍｉｔｈは、１９８５年に発表した論文の中でコーンビーム・データとＲａｄｏｎ変換二次半径方向導関数Ｒ"ｆの関係を構築した。（Ｂｒｕｃｅ  Ｄ．Ｓｍｉｔｈ  "Ｉｍａｇｅ  Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ  ｆｒｏｍ  Ｃｏｎｅ−Ｂｅａｍ  Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ：  Ｎｅｃｅｓｓａｒｙ  ａｎｄ  Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ  Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ  ａｎｄ  Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ  Ｍｅｔｈｏｄｓ，"  ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓ．  Ｍｅｄ．  Ｉｍａｇ．，  Ｖｏｌ．  ４，  １９８５，  ｐｐ．  １４−２５）  これら早期に導き出されたものにおいて、最も重要な結論は、正確なコーンビームの再形成のためのデータの十分条件に対する明確な理解にある。即ち、ほとんどすべての走査対象オブジェクトの支持を通る平面は、放射源軌道と交差していることである。
【００１４】
次の重要な発展は、Ｇｒａｎｇｅａｔが発見したコーンビームの基本関係によってもたらされたものである。（Ｐｉｅｒｒｅ  Ｇｒａｎｇｅａｔ  "Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ  Ｆｒａｍｅｗｏｒｋ  ｏｆ  Ｃｏｎｅ−Ｂｅａｍ  ３Ｄ  Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ  ｖｉａ  ｔｈｅ  Ｆｉｒｓｔ  Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ  ｏｆ  ｔｈｅ  Ｒａｄｏｎ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，"  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ  ｍｅｔｈｏｄｓ  ｉｎ  ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ，  Ｌｅｃｔｕｒｅ  ｎｏｔｅｓ  ｉｎ  ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ  １４９７，  １９９１，  ｐｐ．  ６６−９）  基本関係によって、各コーンビーム投影内部のファンビームのスライス上のコーンビーム・データは、Ｒａｄｏｎ変換の一次導関数Ｒ’ｆと結び付けられている。Ｒ’ｆはコーンビーム・データとＲ"ｆ間の潜在的繋がりとなっている。等式（３）の使用のためには、Ｒａｄｏｎ変換の二次半径方向導関数が必要である。その後Ｒ"ｆは、逆投影によってｆに回復されている。
【００１５】
過去二十年間大きな進展が見られるにもかかわらず、正確なコーンビーム再形成ための解決法は未だ不十分である。構築された多くの再形成方法において、Ｒａｄｏｎ公式から引き継がれた逆投影−微分演算は、コーンビーム再形成において最も複雑かつ最も時間のかかる方法である。
【００１６】
産業界で広く普及している、よく知られたスムーシング逆投影（ＦＢＰ）  コーンビーム再形成技術は、Ｆｅｌｄｋａｍｐ（ＦＤＫ）らが円形放射源に対して提供されたものである。（Ｌ．Ａ．  Ｆｅｌｄｋａｍｐ，  Ｌ．Ｃ．  Ｄａｖｉｄ  ａｎｄ  Ｊ．Ｗ．  Ｋｒｅｓｓ  "Ｐｒａｃｔｉｃａｌ  Ｃｏｎｅ−Ｂｅａｍ  Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，"  Ｊ．  Ｏｐｔ．  Ｓｏｃ．  Ａｍ．  Ａ．，  Ｖｏｌ．  １，  Ｎｏ．  ６，  １９８４，  ｐｐ．  ６１２−６１９）  この方法においては、小さい角度のコーンビームのデータは、二次元ファンビーム法を拡大利用することにより、近似処理をされている。ＦＤＫアルゴリズムは、容易に実現されるが、中間平面の近くだけに再形成が行われ、大きい角度のコーンビームに用いることができない。従って、これに代わる再形成方法及びこれらの方法を具現する結像機器を引き続き研究する必要があり、特に大検出器コーンビーム・システムはすでに現実的なものとなっている。
【００１７】
専用コーンビーム結像システムの設計において、適切な放射源軌道を見つけることは難問である。よい放射源軌道の選択は、検出対象となるオブジェクトのサイズに関係するだけでなく、幾何的な測定にも依存している。例えば、放射源からオブジェクト及び検出器からオブジェクトまでの距離などである。正確再形成の一つの重要な条件は、データの十分条件である。放射源軌道のもう一つの望ましい特徴は、対称性である。
【００１８】
既に示された各種の放射源軌道の中で、正弦軌道と螺旋状軌道は、共に上述している二つの条件を満足している。サンプリングをするには長所があるが、この二つの走査軌道を用いた再形成方法は、期待される効率に達していない。再形成中に直面する主な問題点は、局所投影ジオメトリからラドン空間ジオメトリまでの複雑な写像によって引き起こされたもので、これは多くの非平面放射源軌道に特有なものである。
【００１９】
他には、二つの直交平面軌道を用いる方法がある。例えば、データの十分条件を満足するための円周と円周、円周と直線、円周と円弧などを用いるものである。これらの合成案では、二つのより簡単な走査プロセスから得られるコーンビーム・データを結合するが、大きな二つの欠点がある。第一に、機械的移動における不連続性が、実際の使用における魅力を減じる点である。第二に、混合軌道の走査幾何のもとで、逆投影が発生しているラドン空間でのサンプリングは均一ではないことである。このことは、再形成の正確性を制限する。
【非特許文献１】
Ｊｏｈａｎｎ  Ｒａｄｏｎ  "Uｂｅｒ  ｄｉｅ  Ｂｅｓｔｉｍｍｕｎｇ  ｖｏｎ  Ｆｕｎｋｔｉｏｎｅｎ  ｄｕｒｃｈ  ｉｈｒｅ  Ｉｎｔｅｇｒａｌｗｅｒｔｅ  ｌaｎｇｓ  ｇｅｗｉｓｓｅｒ  Ｍａｎｎｉｇｆａｌｔｉｇｋｅｉｔｅｎ，"  Ｂｅｒ．  Ｖｅｒｈ．  Ｓaｃｈｓ．  Ａｋａｄ．  Ｗｉｓｓ．  Ｌｅｉｐｚｉｇ．  Ｍａｔｈ．  Ｎａｔ．  Ｋｌ．，  Ｖｏｌ．  ６９，  ｐｐ．  ２６２−２７７，  １９１７。
【非特許文献２】
Ｈｅａｎｇ  Ｋ．Ｔｕｙ  "Ａｎ  Ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ  Ｆｏｒｍｕｌａ  ｆｏｒ  Ｃｏｎｅ−Ｂｅａｍ  Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，"  ＳＩＡＭ  Ｊ．  Ａｐｐｌ．  Ｍａｔｈ，  Ｖｏｌ．  ４３，  １９８３，  ｐｐ．  ５４６−５５２
【非特許文献３】
Ｂｒｕｃｅ  Ｄ．Ｓｍｉｔｈ  "Ｉｍａｇｅ  Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ  ｆｒｏｍ  Ｃｏｎｅ−Ｂｅａｍ  Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ：  Ｎｅｃｅｓｓａｒｙ  ａｎｄ  Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ  Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ  ａｎｄ  Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ  Ｍｅｔｈｏｄｓ，"  ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓ．  Ｍｅｄ．  Ｉｍａｇ．，  Ｖｏｌ．  ４，  １９８５，  ｐｐ．  １４−２５。
【非特許文献４】
Ｐｉｅｒｒｅ  Ｇｒａｎｇｅａｔ  "Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ  Ｆｒａｍｅｗｏｒｋ  ｏｆ  Ｃｏｎｅ−Ｂｅａｍ  ３Ｄ  Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ  ｖｉａ  ｔｈｅ  Ｆｉｒｓｔ  Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ  ｏｆ  ｔｈｅ  Ｒａｄｏｎ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，"  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ  ｍｅｔｈｏｄｓ  ｉｎ  ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ，  Ｌｅｃｔｕｒｅ  ｎｏｔｅｓ  ｉｎ  ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ  １４９７，  １９９１，  ｐｐ．  ６６−９。
【非特許文献５】
Ｌ．Ａ．  Ｆｅｌｄｋａｍｐ，  Ｌ．Ｃ．  Ｄａｖｉｄ  ａｎｄ  Ｊ．Ｗ．  Ｋｒｅｓｓ  "Ｐｒａｃｔｉｃａｌ  Ｃｏｎｅ−Ｂｅａｍ  Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，"  Ｊ．  Ｏｐｔ．  Ｓｏｃ．  Ａｍ．  Ａ．，  Ｖｏｌ．  １，  Ｎｏ．  ６，  １９８４，  ｐｐ．  ６１２−６１９。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００２０】
記載なし
【課題を解決するための手段】
【００２１】
記載なし
【発明の効果】
【００２２】
記載なし
（要約）
【００２３】
コーンビーム投影から三次元画像再形成を得るための新たなアルゴリズム的理論的枠組みを開示する。ここに、移動フレーム再形成（ＭＦＲ）アルゴリズムがある。ＭＦＲアルゴリズムは、Ｘ−線の走査プロセスに伴い、コーンビーム画像を、徐々にかつ同期に反転させることが可能である。
【００２４】
再形成の過程において、コーンビーム結像における最も複雑かつ高価な演算は、逆投影−導関数演算である。ここに述べられる技術は、逆投影−導関数演算をシステム的に実現できる。その過程は以下のものである。
【００２５】
放射源を所定の走査軌道の初めの位置に設置する。放射源はある共通の焦点から放射されるコーンビーム放射投影を生成する。複数の投影射線を有するこの投影は、放射源からオブジェクトを経て、そのオブジェクトを通過するにつれて減衰される。減衰されたコーンビーム画像の放射強度は、面検出器上で検出され、検出した放射強度からコーンビーム投影の二次元減衰画像が得られる。
【００２６】
各二次元減衰画像から、焦点を通過する一組の平面上に中間変換関数を得る。その後、放射源は再設置され、以上のステップが繰り返される。
【００２７】
二回または複数回のステップを繰り返した後、移動フレーム技術を用いて、連続の減衰画像から得た中間変換関数をフィルタリングし、ラドン変換の二次半径方向導関数を得る。その後、ラドン変換の二次半径方向導関数は、二次元空間に各投影射線に沿って逆投影され、各投影射線沿って配置された一定の値をもち、中間であり局所再形成である三次元の画像を生成する。この過程には、放射源を再配置することと、（ａ）二次元減衰画像と、（ｂ）中間変換関数と、（ｃ）ラドン変換の二次半径方向導関数とを得ることと、  その後ラドン変換の二次半径方向導関数に対して逆投影を行うことを含み、それらは少なくとも一回繰り返される。
【００２８】
最後に、複数の、中間であり局所再形成である三次元画像の合計を求めてオブジェクトの、最終であり再形成である三次元画像が得られる。
【００２９】
一つの実施例において、上記のようなラドン変換の二次半径方向導関数を逆投影するステップを実行する方法と、複数の、中間であり局所再形成である三次元画像を合計する方法とは、以下の分解されたラドン逆演算変換公式で示すことができる。
【００３０】
【数４】
2005504571.tif 000007
【００３１】
ここで、Φ（λ）は完全な軌道であり、無限に微分可能な解析性を持つ。（パラメータ化された放射源軌道と）Ｍ（λ，β）はΦ（λ）を通り且つ単位法線ベクトルをもつ平面が放射源軌道と交差する回数である。上述の平面は、Ｌｌ，βで表示され、ここでｌ＝Φ（λ）・βである。したがって、関数Ｍ（λ，β）もｌとβの関数と見なされる。これは、入り混じることがない。ｍ（ｌ，β）と表示でき、冗長関数と呼ばれる。
【００３２】
以上の公式は、殆どのコーンビーム断層画像システムに内在する二つの重要な幾何学的制約を与える。
【００３３】
第一は、各コーンビームの投影内で、ある放射線を通るすべての平面の法線ベクトルは、いくつかの放射線と垂直に交差している。その結果、逆投影の方向性は、単位円に制約されている。この逆投影の三次元空間から二次元空間への減衰は、再形成方法に高い効率をもたらしている。
【００３４】
第二は、放射線は、放射源軌道に沿って移動する場合に、各逆投影が剛性回転をし、そして移動基底で表示される。（これは放射源軌道の局所性質を決定される）。移動基底は、局所投影フレームからラドン空間広域座標への座標転換という役割を果たしている。放射源軌道が、データの十分条件さえ満足すれば、走査ジオメトリに基づいて三次元逆投影を一連の二次元逆投影に分解することができる。
【００３５】
放射源軌道は、ソフトウェア・コードの形でコンピューターの読出し可能媒体に保存し、コンピューター処理装置と組合わせることができる。コンピュータ処理装置は、放射源を放射源軌道に沿って移動させる機械的装置と組合わせられ、コードの指示に従って、放射源が放射源軌道に沿って移動するよう命令し、かつ検出器を随伴する軌道に沿って移動するよう命令する。あるいは、コードは放射源を回転するよう命令し、放射源と検出器とに類似の相対的移動をさせる。検出器から読み出した強度値は、コンピューターの読み出し可能なメモリに送られ、デジタルの形で保持される。追加のソフトウェア・コードは、上述したアルゴリズムに基づき強度値を処理して、オブジェクトの、最終であり再形成である三次元映像を得る。
【００３６】
さらに、上記技術は、様々な放射源と検出器の構成と同様に広い放射源軌道の選択で使用可能である。
【００３７】
新たなプロセスは、一般的にコーンビーム断層画像再形成に対する簡単かつ組織的なアプローチをもたらす。いくらかの異なる放射源と検出器の構成と方位と共に、いわゆるデータの十分条件を満足する多くの走査軌道の族が、非常に容易で、簡単で、効率的な統合された数学的枠組みとして扱われる。該プロセスは、大きな面検出器をもつコーンビーム・システムに適し、スキャンされるオブジェクトは、視野内に完全に設置され、データの切捨てがない。
【００３８】
さらに、ここで開示される放射源軌道は、ラドン空間におけるより良いサンプリング性能と、結果として、再形成におけるより良い画質をもたらす。ここで開示される新しい放射源軌道は双二次放射源曲線である。双二次放射源曲線は三つのパラメータ曲線の族であり、該三つのパラメータはスキャンされるオブジェクトにしたがって調整しうる。双二次曲線を用いる他の有益性は三次元空間内の平面と、最大四つの交差をもつことである。特定の放射源軌道と三次元空間内の任意の平面との交差数を決定するために分析的な式を提供することができる。結果として、放射源軌道に沿った特定の放射源点を通過する各平面の重みを決定するのに用いられる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００３９】
図２は複数のＸ−線コーンビーム投影の生成、検出と、採取したコーンビーム投影から測定してスキャニングされるオブジェクト内部の三次元減衰図に復元に適した装置を示す。具体的に言えば、コーンビーム結像システムの物理的なハードウェアは一つのコーンビーム照準器に接続する放射源１０と、点放射源から射出し、オブジェクトによって減衰する射線を受信する二次元面検出器１２と、放射源−検出器システムとオブジェクトの間の相対運動を駆動する二つのモーター  １４／１６と、一つの面検出器に検出されたコーンビーム信号をディジタル信号書式に変換してコンピュータシステム２２に入力するアナログ・ディジタル変換器４０と、コンピュータシステム２２とを含み、これらは改めてオブジェクト内部の減衰分布を構成するように、変換されたコーンビーム・データを記憶・処理する。再構成の結果は一つの読み出し可能な媒体に記録して映像或いはイメージディスプレイ・エンジンで表示する三次元アレイとなる。
【００４０】
更に具体的に言えば、放射源と二次元検出器はオブジェクトの相対する両側に置かれる。コーンビーム投影は複数本の放射源と検出器表面の複数の検出エレメントに接続する射線を有する。複数本の射線は放射源にある焦点と共にコーンを形成する。放射源と検出器の相対位置はスキャニング処理の間、固定される。一方、放射源−検出器対とオブジェクトとの相対位置はオブジェクト支持部品２４と放射源−検出器支持部品２６上のモーターによってコントロールされる。放射源とオブジェクト周囲の検出器を回転させる種々の機構は知られている。例えば、オブジェクトをモーターに駆動される回転盤に固定し、放射源と検出器は一対の並進滑り板に取り付け、滑り板の同期並進移動はもう一つのモーターによってコントロールする。或いは、医療用ＣＴスキャニングのように、放射源と検出器を一つの回転する円筒型ガントリーに取り付け、オブジェクトは該円筒型ガントリーに垂直する方向に沿って同期、一定速度の並進移動を行ってもよい。前記の２つの場合において、放射源と検出器はオブジェクトに対して滑らかなスペース曲線に沿って移動すると考えられ、これらの相対位置が一定に保持される。このスキャニングオブジェクトに対し、放射源と検出器にフォローされる曲線は放射源軌道或いはスキャニング軌道と言う。
【００４１】
また、モーターは制御板１８によって駆動するが、当該制御板は、コンピュータ１６から信号を受信し、二つのモーターが所定の同期的回転移動と並進移動とをするように設定するコマンドを生成することが可能である。コントローラーの出力はアンプ２０によって増幅されてモーターに運動に必要なパワーを与える。映像ディスプレイ・エンジン３２は任意断面上の再構成された減衰図による二次元映像を表示でき、また、オブジェクトの三次元解剖表示を生成するレンダリング・アルゴリズムで再構成された三次元アレイを処理し、コンピュータのスクリーン上で様々な角度からの観察を可能にする。
【００４２】
コーンビーム結像計器の一つの基本設定は放射源軌道を構成することである。仮に放射源軌道をΦ（λ）＝（Φ１（λ），Φ２（λ），Φ３（λ））にパラメーター化すると、その内、λ∈Λはパラメーターである。また仮に放射源軌道はオブジェクトの凸域外にあるとすると、オブジェクトの凸域はΩとなる。一つの理想の放射源軌道はデータの十分条件に満足するだけでなく、オブジェクトを通過する全ての平面で構成されるスペースと定義される、サンプリングの非常に均一なラドン空間を生成する。
【００４３】
データの十分条件は、採取したコーンビーム・データが積分変換後にラドン空間を充足しうる事を保証するものでなくてはならない。この条件を満足できる放射源軌道を完全放射源軌道或いは完全スキャニング軌道と言う。
【００４４】
ラドン空間を均一にサンプリングすることは、オブジェクト空間の至るところに相対的に均一にサンプリングされた反投影球面を生成することを意味する。この第二の目標の達成は更に難しい。検査されたオブジェクトの大さと形とは放射源軌道の選択において重要な要素である。例えば、丸いオブジェクトと長いオブジェクトとの理想的放射源軌道は異なる。なぜなら、それらが異なる対称性を表現するからである。また、Ｘ−線放射点と検出器平面の間の分離距離も、面検出器の大さと同様、適当な放射源軌道の選択に際して考慮されるべき、即ち斟酌されるべき重要な条件である。
【００４５】
具体的な実施例において、放射源軌道は機械的に独立した回転運動と並進運動によってコントロールされる。仮に回転軸がオブジェクトの中心を通過すると（図２に一本の縦線で表示する）、放射源軌道の１番目と２番目の要素が一つの円にあることになる。例えば、Φ１（λ）＝Ｒｃｏｓ（λ）、Φ２（λ）＝Ｒｓｉｎ（λ）、その内、λ∈［０、２π］、Ｒは放射源と回転軸の間の距離（この距離は固定される）である。オブジェクトに対して放射源のｚ軸方向の並進移動は以下のパラメーター式を持つとする。
【００４６】
【数５】
2005504571.tif 000008
【００４７】
一般性を失うことなく言えば、ａ>ｂと仮定できる。なお、ａ２−ｂ２の値が軌道の振幅を決め、比率（ａ２−ｂ２）／Ｒは軌道の伸び率に影響する。（図３を参照）  このように定義した曲線は円筒面と楕円放物面の交線と見なされる。これらは二次曲面であるため、交差曲線を双二次曲線と言う。
【００４８】
一つの平面と双二次曲線の交点個数は０又は１、２、３、４のいずれかである。一つの平面Ｌｌ，βを与え、ＯＣを坐標原点を経過してこの平面に垂直に交わる直線とする。ＯＣと平面は点ｌβにて交差する。以下の等式は平面と曲線の交点Φ（λ）に成立する。
【００４９】
【数６】
2005504571.tif 000009
【００５０】
更にｌ＝β・Φ（λ）に簡素化できる。従って、
【００５１】
【数７】
2005504571.tif 000010
【００５２】
その内、β１，β２とβ３はβの三つの要素である。ｘ＝ｃｏｓλ（ｘ∈［−１，１］）にすると、
【００５３】
【数８】
2005504571.tif 000011
【００５４】
上述の等式は一つの四次方程式（四次多項式方程式）を改めて整理でき、分析解が存在する。これらの解は明示されるため、実根ごとに［−１、１］であるかどうかを照合できる。存在すれば、この根は一つの交点に対応する。一つの簡単なプログラムを書いて四次方程式の根の解析式によって交点の個数を探すことができる。
【００５５】
上述のパラメーター化された双二次曲線は極めて対称である。さらに、曲線の形状は与えられる問題の尺度によってパラメーターＲ、ａ、ｂで調整し、データの十分条件を満足できる。全てのオブジェクト通過平面を軌道に交差させるため、オブジェクトは放射源軌道の凸包内部に設置されなければならない。二つの水平平面をもって曲線底部と頂上部付近で軌道をせん断し、八つの交点によって図４に示した台形を形成させる。オブジェクトが完全にこの台形の内部にあるなら、オブジェクトは完全に放射源軌道凸包形の外殻の内部にあることになる。
【００５６】
そうすると、パラメーター化の双二次曲線Φ（λ）は完全スキャニング軌道の条件であることを導出できる。オブジェクト中心が原点にあって、又オブジェクトが正方形底面を持って、その幅がｗとし、高さがｈとすると、
【００５７】
【数９】
2005504571.tif 000012
【００５８】
となり、Φ（λ）は完全なスキャニング軌道であることを保証できる。上述の条件はａ２?ｂ２やＲ２の大さの調整によって満足できる。
【００５９】
このようなあらゆる放射源軌道を利用でき、これは完全なスキャニング軌道であるし、解析的な軌道でもある。「解析的」とは、測定値をゼロとする集合を除いて、曲線が殆ど至るところで無限に微分できる事を意味する。実際には、大部分の曲線は解析曲線である。更に一般的な具体実施例において、任意の有限な点以外に至るところに導出できる曲線を含んでもよい。例えば、円形軌道は完全な放射源軌道ではないが、不完全なコーンビーム・データによって生成して近似的に再構成できる。
【００６０】
Ｘ−線源の配置以外には、検出器のジオメトリ配列はコーンビーム結像システムのもう一つの重要な要素である。検出技術の発展は、パネル・システムといった解像度のより高いＸ−線検出器を供給した。具体的実施例においては、パネル検出器が使用される。その縦軸は放射源軌道の回転軸に合わせて配置され、水平軸は水平面上に投影された特定の放射源の放射源軌道の接線に平行して配置される（図５を参照）。
【００６１】
記号Ｓで放射源の位置を示す。Ｎを放射源から検出平面までの垂線と検出器の交点とする。検出器から回転軸までの距離をＤとし、固定的なものとする。特に検出器の面積を最大限に利用する場合に、ＯＩで示される検出器映像の中心はＮに合致しなくてもよい。Ｏ’は垂線ＳＮと回転軸の交点を示す。このような検出器の配置において、データ採取ジオメトリは顕著な円筒型対称性を持っている。或いは、オブジェクト中心に関する球面対称性を利用でき、二次元検出アレイを一つの放射源と原点を結ぶ直線に垂直に交わる平面上に設置する。（図２に示したように）
【００６２】
実際には、二次元検出器の表面は湾曲していてもよく、上記と同じ方向に向かっていなくてもよい。ただし、上述の二種類の配置を二つの標準映像平面とする。任意の検出器表面上のピクセルは選択された標準映像平面２４にジオメトリ変換によって一対一に写像されうる。（図６を参照）。実際の検出器に一つの点を与えると、標準映像平面上の対応するピクセルは、当該映像平面と、放射源と当該点とを結ぶ直線との交点となる。再構成ステップの詳細な説明の前に、アプローチの幾何的解釈を提供する。
【００６３】
Ｒ３での関数ｆがスキャニングされるオブジェクト内部の三次元放射減衰を示し、且つｆが有限な支持域Ωを持つと仮定する。放射源軌道のある点光源Φ（λ）から得たコーンビーム映像で測定した、Φ（λ）を通過する射線に沿った減衰半直線積分は下記とおりである。
【００６４】
【数１０】
2005504571.tif 000013
【００６５】
ｇをｆのＸ−線変換と言う。
【００６６】
コーンビーム画像データを処理する場合、異なる空間が二つある。一つはオブジェクト空間で、ここでオブジェクトの三次元減衰図が評価される。もう一つはラドン空間で、変換空間とも言う。それはＲ３中のあらゆる平面で構成された空間である。オブジェクト空間と変換空間は同一の物理空間にあるが、各自の座標系をもつ。
【００６７】
オブジェクト空間がデカルト座標系において一様な間隔の格子状であると仮定する。それを｛Ｏ：ｘ，ｙ，ｚ｝と示す。原点のＯはオブジェクトの中心にあり、ｚ軸は放射源軌道の回転軸に合わせて設置される。この座標系は固定され、広域基準座標系と呼ばれる。
【００６８】
ラドン空間の特定のラドン平面の座標は、平面の単位法線ベクトルβと平面から原点までの垂直距離ｌで示す。（ｌ，β）はラドン空間の広域座標である。オブジェクト空間の点ごとｘ∈Ｒ３に二次元単位球面を付着する方法でラドン空間をイメージ化できる。また、
2005504571.tif 000014
上の点はｘを通るあらゆる平面の法線ベクトルを代表する。これは上記の逆投影球面である。このようなラドン空間表示法は冗長である。オブジェクトを通るたくさんの平面が放射源軌道と何度も交差するからである。同時に、この冗長な表示法は再構成コンテクストにおいて利点がある。点ｘ位置で評価する時、ラドン公式（公式（３））の微分−逆投影オペレータはｘを通る平面上の全て又はほとんど全てのＲ’’ｆ（ｌ，β）に作用する。その中でｌ＝ｘ・β、ほかの平面はない。よって球面
2005504571.tif 000015
が見られるｘ位置でのジオメトリ計算は便利である。ｘ位置で関数の値が回復される。ただし、最終的な再構成において、冗長を考える必要がある。各ラドン平面は放射源軌道との交点数、すなわち冗長関数により重み付けされる。
【００６９】
次に、一つの放射源から投影したコーンビームについて考察する。発散された射線はファンビームスライス平面を含む。これらの平面は放射源または二次元画像平面上の任意の直線を通る。これらの平面はラドン空間に投影する一つのサブ集合を構成する。コーンビーム投影毎のジオメトリ上の制限を描写できるようにするため、点放射源Ｓと、放射源と画像平面上の点Ｐを接続する射線を選択する。ＳＰ上のあらゆる点Ｑについて、ＳとＱの双方を通過するスライス平面はＳＰで交差する。結果として、この集合の平面法線ベクトルは射線ＳＰに垂直に交わり、Ｑを取り囲む逆投影球面２６の大円に限定される（図７参照）。大円２８は逆投影円である。
【００７０】
放射源がオブジェクトをめぐって移動する時、逆投影円はＱをめぐって回転し、かつ同時に方向を変更させる一方、逆投影円球面上に存在する。（図８参照）  これは剛性回転に属する。放射源軌道３０がデータの十分条件に満足すれば逆投影円は逆投影球面２６全体を覆う。
【００７１】
ジオメトリ分析で下記の三次元コーンビーム再構成に適用するラドン分解式の逆演算変換等式を導出できる。
【００７２】
【数１１】
2005504571.tif 000016
【００７３】
その内、｛ｘ−Φ（λ）｝⊥はｘ−Φ（λ）に垂直に交差して原点を通る平面を示す。Ｒ"ｆ中の微分は最初の変数に作用し、Ｍ（λ，β）は平面ＬΦ（λ）β，βと放射源軌道の交差回数を記録する冗長関数である。
【００７４】
等式（１１）によると、固定された各放射源位置において、各射線に沿って二次元逆投影を一つだけすればよい。その結果はその射線上のあらゆる点に常に設定される。
【００７５】
各コーンビーム投影において、放射源を原点とした局所座標を設定する事は利便性がある。第一の実施例において、単位正規直交基底を作り、その一つの座標軸は回転軸に合わせて配置する。（回転軸は広域基準座標系のｚ軸を指す）ほかの二つの座標軸は、水平面から見て、オブジェクトに関連付けられた放射源−検出器対に同調する。（図９参照）
【００７６】
【数１２】
2005504571.tif 000017
【００７７】
λがΛ内の値の場合、このようなフレームは一組の３対３の単位正規直交行列Ｏ（λ）＝（ｕ（λ），ｖ（λ），ｗ（λ））を生成する。それらは一連の連続回転と関連付けられる。この単位正規直交局所座標基底数列を移動フレーム基底と言う。また移動基底とも簡単に言える。その座標の原点は放射源軌道上にある。
【００７８】
移動基底を構成する方法は非常に普遍的で多様であって、多くのの選択肢がある。望ましくは、移動基底は局所投影毎の自然なジオメトリ関係を示す。このように生成した座標は簡単なので単純で高効率なジオメトリ演算が可能になる。移動基底は普通一つのフレームから次のフレームへスムーズに変遷する点に特徴があり、より構造的で記録しやすい、流れるような計算を可能にする。
【００７９】
第二の実施例で、下記の単位正規直交移動基底を構成できる。
【００８０】
【数１３】
2005504571.tif 000018
【００８１】
その原点は放射源の軌道上に設定される。（図１０参照）  両実施例において、局所座標軸ｕとｖは画像平面の座標軸ｕ’とｖ’に合わせて配置される。
【００８２】
等式（１１）に戻って、三次元関数を再構成するには、ラドン変換の二階半径方向導関数Ｒ’’ｆが必要である。これは発散ビームのＸ−線変換で直接取得したものではない。Ｒ’’ｆの評価は二つの段階で実施される。
【００８３】
Ｇｒａｎｇｅａｔの基本関係に基づいて、コーンビームの投影データからラドン変換の一階半径方向導関数が取得できる。図１１はｆの領域と交差したラドン平面Ｌ１，βを例示する。Ｐ１Ｐ２はＬ１，βと画像平面の交線である。ＰをＰ１Ｐ２上の任意の点とする。αは平面Ｌ１，βと放射源から画像平面の垂線ＳＮ間の夾角である。なお、ＳＮが広域座標の原点を通らなくてもよい。中心射線を平面Ｌ１，β上で放射源ＳからＰ１Ｐ２までの最短線として、ＳＣと示す。ＳＣはＰ１Ｐ２に垂直に交わる事は簡単に確認できる。
【００８４】
平面Ｌ１，βに制限されたファンビームはすべて放射源で交差する。この平面で極座標を使うのは当然であって、その座標原点はＸ−線源にあり、中心射線に合わせて配置される。ｒとθそれぞれは、この極座標における半径と偏角変数である。下記の等式で基本関係を改めて示す。
【００８５】
【数１４】
2005504571.tif 000019
【００８６】
二重積分は平面Ｌ１，βで行う。
【００８７】
なお、等式（１４）内の積分：ある固定されたθに対する∫ｆ（ｒ）ｄｒは、ラドン平面上の極座標におけるＸ−線変換を表示している。それはコーンビームが提供した一つの測量値である。二重積分はＸ−線変換の加重直線積分で、その重みはラドン平面で指定された射線と中心射線間の夾角のコサインである。
【００８８】
角度αは局所投影フレーム上の座標とラドン空間の座標を直観的に連結したものである。局所投影フレーム毎に、直線だけ処理（画像平面上）し、平面は処理しない。ただし、画像平面上の各直線、例えば、画像表面上のＰ１Ｐ２は放射源を通って画像平面とＰ１Ｐ２で交差する平面と関連付けられる。
【００８９】
画像平面上で、交線Ｐ１Ｐ２から画像中心までの半径方向距離をｓとし、法線ベクトルｎとｕ’−軸がなす角度をφとする（図１２参照）。
【００９０】
もし画像の中心ＯＩが放射源から標準画像平面までの垂線に合わせて配置された場合、（ｓ，φ）は
【００９１】
【数１５】
2005504571.tif 000020
【００９２】
と表示できる。
【００９３】
Ｎが画像平面の中心から外れると、半径方向距離はオフセットが起こる。オフセットの量はＮＯＩ投影からＰ１Ｐ２までの単位法線ベクトルである。すなわちｎ＝（ｃｏｓφ，ｓｉｎφ）、の長さで、角度φは変わらない。その結果は
【００９４】
【数１６】
2005504571.tif 000021
【００９５】
等式（１５）−（１６）はα座標とｓ座標を連結したものである。したがって、ｓはαの一つの関数である。等式（１４）でαに関する偏導関数は画像平面の加重直線積分の半径方向導関数により算出することができる。
【００９６】
【数１７】
2005504571.tif 000022
【００９７】
画像の平面上には離散した見本点しかない。すなわち画像平面上に実際の画像線は存在しない。問題は、離散格子上で、何が適切な表示式かという点である。画像平面上の離散見本点が表示する直線を仮想画像線と言う。対称的に考えると、各ピクセルを通過する画像線と同数の画像線が存在するように、一組の傾斜度の有理数である平行仮想画像線を作成できる。（図１３参照）。傾斜度が有理数であるのはそれが二つ整数の割合であることを意味する。それはこの一組の仮想画像線が可能な限り多く格子を通過させることである。
【００９８】
傾斜度が有理数である事は画像平面上のピクセルを配列するのに役立つ。このことは、同一の有理直線上のあらゆるピクセルにおいて、加重直線積分は一回だけ計算される故に、大変効率的である。また、データ補間も構造的かつ対称的な方法で実行可能である。二つの隣接するノード間のデータ点は、各々隣接するノード間からの距離で決定される重みを持つ格子上の値から線形補間することができる。（図１４参照）。
【００９９】
画像平面上の各有理直線Ｐ１Ｐ２について、放射源を通って画像平面とＰ１Ｐ２で交差した一つの平面がそれと対応する。この平面のラドン空間での広域座標（ｌ，β）は下記のように計算できる。
【０１００】
【数１８】
2005504571.tif 000023
【０１０１】
したがって、画像平面上の直線の計算によって、ラドン変換の二次元平面上の一階半径方向導関数を一組得ることができる。選択された一組の有理直線が座標の等式（１８）により与えられる一組の平面を確定する。
【０１０２】
ラドン変換の二階半径方向導関数を評価するため一組の平面を構成する。それはラドン変換の一階半径方向導関数を計算する時選択した平面に平行する。一つの単一放射源を通過する平面が非平行であるので、一回のコーンビーム投影からラドン変換の二階半径方向導関数が取得できない。この二階導関数は隣の投影中の平行平面上で求めることとなる。（図１５参照）。
【０１０３】
半径方向の距離ｌに対する偏導関数と放射源軌道変数λの偏導関数は下記の関係がある。
【０１０４】
【数１９】
2005504571.tif 000024
【０１０５】
現在の投影で選択された一組の平面と平行する次のコーンビームの投影フレーム上の一組の平面を捜すために、移動フレームの方法が利用できる。（ｌ１，β）が現在の投影で処理されたラドン平面の広域座標だとする。そしてｌ１＝Φ（λ１）＊βである。
【０１０６】
それに続く投影で、次の放射源Φ（λ２）を通ってＬｌ１，βに平行する平面の広域座標が（ｌ２，β）である。それらは同じ法線ベクトルを持ち、ｌ２＝Φ（λ２）＊βである。そして、再び局所投影フレームで直線だけ処理し、平面は処理しない。放射源から検出器までの垂線が広域座標の原点を通る場合は、第二の実施例のように、平面Ｌｌ２，βと画像平面の交線の半径方向距離と角度変数（ｓ，φ）は：
【０１０７】
【数２０】
2005504571.tif 000025
【０１０８】
この中で、ｓはｓｉｎα＝ｌ２／Ｒとｔａｎα＝ｓ／（Ｒ＋Ｄ）でαを消去して得たものである（図１６参照）。
【０１０９】
第一の実施例において、放射源から画像平面までの垂線は広域座標の中心を通らない。その結果、平面（Φ（λ２）・β，β）の半径方向の距離がＯＯ’・βの量でオフセットされる。等式（２０）で、ｌ２をｌ２＋ＯO・βに替えれば、二番目のコーンビーム画像で平行平面と対応した交線の局所座標を得ることができる。
【０１１０】
二階ラドン導関数はすなわち二回のコーンビーム投影で得たラドン変換の一階半径方向導関数の差をΦ（λ２）・β−Φ（λ１）・βで割ることで評価できる。これは、ワンステップ有限差分を使用した一階近似である。より高い階の近似はより多くのコーンビーム画像から得ることができる。このことは、より多くのコーンビーム投影を前もって取得する必要があることを意味する。
【０１１１】
その結果は平面と放射源の軌道が交差する回数によって重み付けされる。二次曲線族について、前述のように、これら交点を捜し出す表示コマンドを提供した。
【０１１２】
今、画像平面上の全てのノードについて、一組の平面のラドン変換の二階半径方向の導関数を得た。この一組の平面は同じピクセルを通る一組の有理直線に対応する（図１７参照）。
【０１１３】
この離散データ集合は続いて放射源から画像ノードまでの射線に垂直に交差する単位円上の二次元逆投影に近似するのに用いる。
【０１１４】
【数２１】
2005504571.tif 000026
（２１）
【０１１５】
その中で、βｊ’ｓは処理される平面の単位法線ベクトルであり、θｊ’ｓはベクトルβｊ’ｓの間の角度間隔である。
【０１１６】
画像平面で指定したノードについて、そのノードと放射源を連結する射線は二次元逆投影の結果により同じ値を与えられる。単一の放射源から出す射線は投影であり、オブジェクト空間はデカルト座標系の格子で表示される。結果、局所と広域座標は異なるサンプリング形式で特徴付けられる（図１８参照）。投影射線は改めてサンプリングと補間され、デカルト座標系の格子上の値を取得する。一番簡単な補間スキームは最近隣法である。すなわち、各デカルト座標系ノードのためにそれに最も近づいた射線を捜して、また最も近づいた値を与える。より高い階の近似はより隣接した射線を含むことによって実現できる。
【０１１７】
二次元逆投影が一つの三次元画像を生成することは明確である。得た三次元画像を局所再形成と言う。単一の投影及び隣接するコーンビーム投影から再形成して得たからである。それらはオブジェクトの部分的な情報のみを持つ。各局所再形成は各射線に沿った変化を区別しない。
【０１１８】
上記のプロセスはコーンビームデータの収集が完了するまで繰り返される。最終的な三次元画像の再形成は全ての中心及び局所再形成の画像の和である。それは次第に積み重ねて、走査及び再建過程と同時に行うことができる。あらゆる局所再形成の負担は同様の重みが与えられる。最後に出力したのは一つの三次元アレイである。それは、適切なコンピュータグラフィックスエンジンを使って、一層一層の二次元形式あるいはコンピュータ・レンダリング三次元解剖表現形式のいずれかをコンピュータのディスプレイに表示できる。それはまたメモリに保存され、後に使用できる。
【０１１９】
ここで説明した移動フレームの再形成方法で普遍的に使用できるのは複数の走査軌道と検出器設定のコーンビーム画像形成システムを含む。使用の際、ささいな細部は異なってもかまわない。特定の移動フレームを選択したり、異なるサンプリングと補間スキームを使用する場合も、移動フレーム法を利用したラドン変換の二階半径方向導関数の正確で構造的な計算の原則は変わらない。
【０１２０】
本発明は特定の実施例を参照しつつ説明されたが、本発明は、以下の特許請求の範囲によってのみ限定される範囲を逸脱することなく形式や細部において多様な形態で実施しうる。
【産業上の利用可能性】
【０１２１】
記載なし
【図面の簡単な説明】
【０１２２】
【図１】走査対象オブジェクトをめぐって回転する放射源と二次元面検出器をもつ典型的なコーンビームの結像システムを例示する図である。
【図２】コーンビームの結像装置の概略図である。
【図３】双二次形式の放射源軌道を例示する図である。
【図４】双二次形式の放射源軌道の突出部の略図である。
【図５】検出器指向性について例示する図である。
【図６】放射源から検出器表面までの射線の投影について例示する図であり、標準画像平面上のピクセルと検出器の表面上の検出素子の間には一対一の対応関係がある。
【図７】投影射線と交差するラドン平面の一団を例示する図である。
【図８】投影から他の投影に移動する過程の、逆投影方向の剛性回転を例示する図。
【図９】第一の実施例の移動フレームの概念図である。
【図１０】第二の実施例の移動フレームの概念図である。
【図１１】画像平面と交差するラドン平面の概念図である。
【図１２】コーンビーム断面の角度がどのようにラドン空間の広域座標と画像平面上の局所座標を結び付けるかを例示する図である。
【図１３】標準的な画像平面上で処理される有理数の傾斜度を持つ直線の略図である。
【図１４】補間スキームを例示する図である
【図１５】二回の連続する投影から得た平行する平面の概念図である。
【図１６】画像平面上の直線の局所基底がどのように相対するラドン平面の広域座標及び移動フレームから確定されるかを例示する略図である。
【図１７】同様な投影射線を通すサンプリング平面と画像平面が一組の有理直線に交差する略図である。
【図１８】局所投影射線サンプリング特徴と合致しないデカルト格子のサンプリング特徴の概念図である。以下のより具体的な説明により前述の内容をより明らかにする。図においては、似ている参照文字は同様、もしくは似た部分を異なる視点を通して見たものである。図は、以下に説明される特定の原理を例示するものであり、そのサイズは重要ではない。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【国際公開パンフレット】
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【手続補正書】
【提出日】平成15年4月14日(2003.4.14)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
オブジェクトを通して減衰される複数のコーンビームの投影から走査されるオブジェクトの三次元画像を生成する方法であって、
ａ．放射源を所定の走査軌道の開始位置に設定するステップと、
ｂ．オブジェクトに一部分が吸収され減衰する、共通の焦点から出る複数の射線から成るコーンビーム投影をもってオブジェクトを通過させるステップと、
ｃ．面検出器で減衰されたコーンビーム投影の放射強度を検査し、検出される放射強度から一つのコーンビーム投影の二次元減衰画像を得るステップと、
ｄ．焦点を通過する一組の平面上の二次元減衰画像から中間変換関数を得るステップと、
ｅ．少なくとも一度は放射源を再設置し、ステップ（ｂ）−（ｄ）を繰り返すステップと、
ｆ．ラドン変換の二階半径方向導関数を得る移動フレーム技術を使用し、二つまたはそれ以上の放射源で連続的に減衰する画像で得た中間変換関数をフィルタリングするステップと、
ｇ．各投影線に沿って設定された定数をもつ、中間であり局所再形成である三次元画像を生成するための各投影線に沿って、ラドン変換の二階半径方向導関数を逆投影するステップと、
ｈ．放射源を改めて置いて、（ｂ）−（ｄ）と（ｆ）−（ｇ）を繰り返すステップと、
ｉ．少なくとも一度は(h)を繰り返すステップと、
ｊ．複数のコーンビーム投影に対して得た複数の、中間であり局所再形成である三次元画像の和を求め、最終であり再形成の三次元画像を得るステップと、
を有する方法。
【請求項２】
中間変換関数はラドン変換の一階半径方向導関数であることを特徴とする請求項１記載の方法。
【請求項３】
各二次元減衰画像は複数の検出素子から成る面検出器から得た離散二次元データ集合であって、ラドン変換の一階半径方向導関数を得るステップは、
i. 面検出器が標準画像平面と合致しない場合に、
ａ．投影座標変換を通して、複数の検出元の座標を標準画像平面上の一組の点の座標に写像するステップと、
ｂ．二次元データ集合に補間をして、標準画像平面上の一つの規則格子上の減衰値を得るステップと、
ii. 一組の仮想画像線に沿って格子ノード間に置かれるデータの点を補間するステップと、
iii. (a)画像点を通過する投影射線と、(b)放射源から仮想画像線までの最も短い直線である中心射線との角とのコサインに決定される重みをもつ各仮想画像線に沿った減衰の加重和を計算するステップと、
iv. 一組の平行画像線及び焦点を通過する一組の対応平面上のラドン変換の一階半径方向導関数を取得するための一組の平行画像線の加重和に対して導関数を求めるステップと、
v. 結果のラドン変換の一階半径方向導関数の値を、次の再形成段階で使用するためにメモリに保持するステップと、
を有することを特徴とする請求項２に記載の方法。
【請求項４】
仮想画像線は一組の画像点を通り、各画像点は数量が同様で傾斜度の異なる仮想画像線が通り、画像点毎で交差する仮想画像線の傾斜度の集合は同じであることを特徴とする請求項３に記載の方法。
【請求項５】
規則的格子は正方体素子または長方形素子を持つことを特徴とする請求項3に記載の方法。
【請求項６】
投影線に沿う二次元逆投影はその斜線を通過する全ての平面の積分であって、これら平面の単位法線ベクトルは単位球面上の大円に制限されることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項７】
複数のコーンビーム投影は連続してオブジェクトを通過し、ラドン変換の二階半径方向導関数を決定するステップは、
i. 次の一の又は複数のコーンビーム投影に対する一組の平面上のラドン変換の一階半径方向導関数を取得するステップと、
ii. 一組の標準画像平面上の仮想画像線と焦点を通過する一組の対応平面の、単位法線ベクトルと半径方向の距離により示される広域座標を決定するステップと、
iii. 移動フレーム基底で確定する座標変換を通して、画像平面と焦点を通過する一組の平面に平行する連続的コーンビーム投影の対応平面との間の交差画像線の局所パラメータを計算するステップと、
iv. (i)で得たラドン変換の一階半径方向導関数から、(iii)で得た平面上のラドン変換の一階半径方向導関数を補間するステップと、
v. 連続コーンビーム投影で平行平面上のラドン変換の一階半径方向導関数に対して有限差分で近似できる導関数を求めることにより、ラドン変換の二階半径方向導関数を取得するステップと、
を含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項８】
二階半径方向導関数を逆投影するステップは、
画像平面上のあるノードに関するそれぞれの投影線について、（a）各平面と走査軌道との交差数と、（b）現在の放射源位置における走査軌道の接線ベクトルと平面の単位法線ベクトルとの内積の絶対値と、(c)隣接する二つの平面の角の間隔とによって決定される重みをもつ投影線を通過する一組の平面上のラドン変換の二階半径方向導関数の加重和を計算するステップと、
加重和に現在の放射源位置から次の放射源位置までの放射源軌道パラメータλの増分を掛けるステップと、
算出された値を投影線上の点に与えるステップと、
オブジェクトを表す三次元デカルト格子上の各ノードが、一本の射線上に設置され、かつ三次元的な局所再形成画像を生成する値を与えられるように、投影線に対して再度サンプリングと補間をするステップと、
を含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項９】
放射源はオブジェクトに相対する完全走査軌道上に沿って変位され、その中で、走査軌道はオブジェクトを通過するほとんどの平面と交差し、測定値0の集合を除いて、走査軌道はどこにおいても微分可能であり、コーンビーム投影は生成され、完全走査軌道上の複数の位置においてオブジェクトを通過することを特徴とする請求項1に記載の方法。
【請求項１０】
走査軌道は一組の双二次曲線族から選択されることを特徴とする請求項9に記載の方法。
【請求項１１】
放射はX-線放射であることを特徴とする請求項１の方法。
【請求項１２】
コーンビーム投影は放射源から見てオブジェクトの反対の側の面検出器で測量されることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１３】
面検出器は回転軸と平行する縦軸と現在の放射源位置の走査軌道の接線の水平面上の投影に平行する横軸を持ち、正規直交フレームは現在の焦点をその原点とし、その二つの単位正規直交軸は画像平面上の縦軸と横軸に別々に平行し、第三の軸は画像平面に垂直に交差することを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１４】
検出器は放射源とオブジェクト中心とを結ぶ線に垂直に配置され、検出器上の横軸は検出器表面上の現在の放射源位置における走査軌道の接線の投影に合わせて配置され、正規直交フレームは現在の焦点をその原点とし、その二つの正規直交軸は画像平面上の縦軸と横軸に別々に平行し、第三の軸は画像平面に垂直に交差することを特徴とする請求項1に記載の方法。
【請求項１５】
移動フレーム技術は一組の正規直交基底フレームの生成を含み、各正規直交基底の原点は一つの焦点に位置し、放射源が再配置され新しい焦点が生成され、二次元減衰画像が得られる毎に、正規直交基底が新しい原点を持ち、その二つの軸は画像平面上の縦軸と横軸に別々に平行し、第三の軸は画像平面に垂直に交差することを特徴とする請求項1に記載の方法。
【請求項１６】
移動フレーム技術は一組の座標変換を通じて平行平面を見つけることを可能にする請求項１５に記載の方法。
【請求項１７】
移動フレーム技術は、連続コーンビーム投影から一組の平行平面に対するフィルタリングによりラドン変換の二階半径方向導関数の評価を可能にする請求項１５に記載の方法。
【請求項１８】
オブジェクト内のコーンビーム放射減衰の再形成を生成するのに用いるコンピュータシステムであって、
オブジェクトを通過する放射量を表す信号から中間変換関数を得る手段と、
移動フレームを使って、一対の又は複数の連続する二次元コーンビーム測定上で中間変換関数をフィルタリングしてラドン変換の二階半径方向導関数を計算する手段と、
ラドン変換の二階半径方向導関数に対して逆投影し、各投影線に設定された定数をもち、中間であり局所再形成である三次元画像を生成する手段と、
コーンビーム投影に対して得た複数の、中間であり局所再形成である三次元画像に対し和を求め、オブジェクトの最終的であり再形成である三次元画像を得る累積バッファと、
を有することを特徴とするコンピュータシステム。
【請求項１９】
オブジェクト内のコーンビーム放射減衰の再形成を生成するためのコンピュータ上で実行可能なソフトウェアを保持するコンピュータ上で読み取り可能な記憶媒体であり、前記ソフトウェアは、
オブジェクトを透過する放射量を表す信号から中間変換関数を得るコードと、
移動フレーム技術を使って中間変換関数に対しフィルタリングをしてラドン変換の二階半径方向導関数を計算するコードと、
各投影射線に沿って設定された定数をもち、中間であり部分的再形成である三次元画像を生成するために、ラドン変換の二階半径方向導関数に対し逆投影するコードと、
オブジェクトの最終であり、再形成である三次元画像を得るために、コーンビーム投影に対して得た複数の、中間であり局所再形成である三次元画像に対し和を求めるコードと、
を有することを特徴とするコンピュータ上で読み取り可能な記憶媒体。
【請求項２０】
オブジェクト内のコーンビーム放射減衰の再形成を生成するためのコンピュータ上で実行可能なソフトウェアを保持するコンピュータ上で読み取り可能な記憶媒体を有するコーンビーム断層撮影装置であり、前記ソフトウェアは、
オブジェクトを透過する放射量を表す信号から中間変換関数を得るコードと、
移動フレーム技術を使って中間変換関数に対しフィルタリングをしてラドン変換の二階半径方向導関数を計算するコードと、
各投影射線に沿って設定された定数をもち、中間であり部分的再形成である三次元画像を生成するために、ラドン変換の二階半径方向導関数に対し逆投影するコードと、
オブジェクトの最終であり、再形成である三次元画像を得るために、コーンビーム投影に対して得た複数の、中間であり局所再形成である三次元画像に対し和を求めるコードと、
を有することを特徴とするコーンビーム断層撮影装置。
【請求項２１】
放射源と、放射検出器と、放射源と放射検出器の支持と、放射源からの放射により走査されるオブジェクトの支持と、放射源と、検出器と、オブジェクトとの間の相対運動を供給する一つ又は複数の線形的かつ回転的なモーターと、をさらに有することを特徴とする請求項２０に記載のコーンビーム断層撮影装置。
【請求項２２】
前記ソフトウェアは、放射源から放射され、支持に設置されたオブジェクトを通過し、検出器に到達する放射線が、双二次的走査軌道となるように放射源と検出器とをオブジェクトに相対して変位させるコードをさらに有することを特徴とする請求項２１記載のコーンビーム断層撮影装置。
【請求項２３】
オブジェクト内のコーンビーム放射減衰の再形成のために用いるコーンビーム断層撮影装置であって、前記装置は
オブジェクトを透過する放射量を表す信号から中間変換関数を得る手段と、
移動フレーム技術を使って中間変換関数に対しフィルタリングをしてラドン変換の二階半径方向導関数を計算する手段と、
各投影射線に設定された定数をもち、中間であり部分的再形成である三次元画像を生成するために、ラドン変換の二階半径方向導関数に対し逆投影する手段と、
オブジェクトの最終であり、再形成である三次元画像を得るために、コーンビーム投影に対して得た複数の、中間であり局所再形成である三次元画像に対し和を求める手段と、
を有することを特徴とするコーンビーム断層撮影装置。
【国際調査報告】
2005504571.tif 000206
2005504571.tif 000207