(57)【要約】【課題】励磁周波数を持つ励磁信号を用いて技術システムを励磁することに基づいて、技術システムの診断方法のための励磁周波数を簡単な方法で求める。【解決手段】励磁周波数を有する励磁信号により技術システムを励磁することに基づく技術システム診断方法のための励磁周波数を求めるために、技術システム１がボルテラ核Ｈｎ（ω１，．．．，ωｎ）を持つボルテラ級数としてモデル化され、技術システム１のエラーなし状態においてはエラーなし状態についてのｎ次ボルテラ核Ｈｎ，ｎｏｍ（ω１，．．．，ωｎ）が求められ、技術システム１の定義されたエラー状態のためにはエラーのある状態についてのｎ次ボルテラ核Ｈｎ，ｆａｕｌｔ（ω１，．．．，ωｎ）が求められ、ｎ次評価核Ｈｎ，ｄｉｆｆ（ω１，．．．，ωｎ）は、エラーなし状態についてのｎ次ボルテラ核Ｈｎ，ｎｏｍ（ω１，．．．，ωｎ）及びエラーのある状態のためのｎ次ボルテラ核Ｈｎ，ｆａｕｌｔ（ω１，．．．，ωｎ）の関数として求められ、ｎ次評価核Ｈｎ，ｄｉｆｆ（ω１，．．．，ωｎ）は、周波数領域を決定するために評価され、その周波数領域においては評価核Ｈｎ，ｄｉｆｆ（ω１，．．．，ωｎ）の増幅が所与の限界値を超え、また、励磁信号（ａ（ｔ））のための励磁周波数ωｍはこの周波数領域から選ばれる。
2019537004.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
技術システム（１）の診断方法であって、この診断方法では入力信号（ｕ（ｔ））が出力信号（ｙ（ｔ））上にマッピングされ、その際入力信号（ｕ（ｔ））には、技術システム（１）運転中に少なくとも一つの励磁周波数（ωｍ）を持つ励磁信号（ａ（ｔ））が重畳され、診断のために入力信号（ｕ（ｔ））及び／又は出力信号（ｙ（ｔ））を分析することにより、技術システム（１）のエラー状態が確認される当該診断方法において、
技術システム（１）が、ボルテラ核（Ｈｎ（ω１．．．ωｎ））を持つボルテラ級数としてモデル化されること、
技術システム（１）のエラーなし状態において、エラーなし状態についてのｎ次ボルテラ核（Ｈｎ，ｎｏｍ  （ω１．．．ωｎ））が求められること、
技術システム（１）の、定義されたエラー状態について、エラーのある状態についてのｎ次ボルテラ核（Ｈｎ，ｆａｕｌｔ  （ω１．．．ωｎ））が求められること、  
ｎ次評価核（Ｈｎ，ｄｉｆｆ  （ω１．．．ωｎ））が、エラーなし状態についてのｎ次ボルテラ核（Ｈｎ，ｎｏｍ  （ω１．．．ωｎ））、及び、エラーのある状態についてのｎ次ボルテラ核（Ｈｎ，ｆａｕｌｔ  （ω１．．．ωｎ））の関数として求められること、及び、
ｎ次評価核（Ｈｎ，ｄｉｆｆ  （ω１．．．ωｎ））が、周波数領域を決定するために評価され、その周波数領域においては評価核（Ｈｎ，ｄｉｆｆ  （ω１．．．ωｎ））の増幅が所与の限界値を超え、励磁信号（ａ（ｔ））のための励磁周波数（ωｍ）がこの周波数領域から選ばれることを特徴とする診断方法。
【請求項２】
評価核（Ｈｎ，ｄｉｆｆ  （ω１．．．ωｎ））として、エラーなし状態についてのｎ次ボルテラ核（Ｈｎ，ｎｏｍ  （ω１．．．ωｎ））と、エラーのある状態についてのｎ次ボルテラ核（Ｈｎ，ｆａｕｌｔ  （ω１．．．ωｎ））との比率が求められることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項３】
評価核（Ｈｎ，ｄｉｆｆ  （ω１．．．ωｎ））として、エラーなし状態についてのｎ次ボルテラ核（Ｈｎ，ｎｏｍ  （ω１．．．ωｎ））と、エラーのある状態についてのｎ次ボルテラ核（Ｈｎ，ｆａｕｌｔ  （ω１．．．ωｎ））との差が求められることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項４】
励磁信号（ａ（ｔ））のために、ｎ次評価核（Ｈｎ，ｄｉｆｆ  （ω１．．．ωｎ））の増幅が最大値となる励磁周波数（ωｍ）が選ばれることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項５】
技術システム（１）が時間領域においてパラメトリックモデル、とりわけ多項式ＮＡＲＭＡＸ又はＮＡＲＸモデルにより記述され、そこからボルテラ核（Ｈｎ  （ω１．．．ωｎ））を分析的に導出できることを特徴とする請求項１又は４に記載の方法。
【請求項６】
ボルテラ核（Ｈｎ  （ω１．．．ωｎ））が、パラメトリックモデルから、高調波探査アルゴリズムを用いて導出されることを特徴とする請求項５に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は技術システムを診断するための方法に関する。この診断方法では入力信号が出力信号上に変換され、その際、技術システムの運転中に入力信号に、少なくとも一つの励磁周波数を持つ励磁信号が重畳され、及び、診断のために入力信号及び／又は出力信号が分析されて、技術システムのエラー状態が判定される。
【背景技術】
【０００２】
電池、特に燃料電池を診断するための様々な診断方法が知られている。非特許文献１の１７３５〜１７４６ページには、既知の方法がよくまとめられている。非常に単純な方法としては、電流と電圧との静的関係という形での分極曲線を測定することが挙げられる。分極曲線を求めるために、変化する電圧に応じて電流が測定され、又はその逆が行われる。分極曲線からは、特定の運転状態における電池の一般的な挙動に関する情報が得られる。しかしながら分極曲線の評価では、動的プロセスの分析と同様、同時に起こっている様々な状態を分析することはできない。しかも、個々のエラー状態が分極曲線に与える作用が同じである可能性もあるため、場合によっては個々のエラー状態を区別できないこともある。エラーの区別を簡単に行えるようにする、又は、エラーの区別をそもそも行えるようにするために、動的効果も一緒に考慮することができる。しかしこの方法の大きな短所として、分極曲線の分析には時間がかかり、また電池の運転中には行えないことが挙げられる。
【０００３】
この他によく使われる方法としては、電気化学的インピーダンス・スペクトロスコピーが挙げられ、これは、電池の動的挙動を把握できるものである。そのためには電池に、振幅及び励磁周波数（複数の励磁周波数も）が知られている低い交流又は低い交番電圧をかけ、その応答（振幅及び位相）が励磁周波数に応じて測定され、評価される。評価は基本波の分析により、もしくは、励磁周波数が複数である場合は複数の基本波の分析により行われる。電気化学的インピーダンス・スペクトロスコピーを用いることにより、現在の運転状態が受けている様々な影響も診断することができ、この方法は電池の実地運転においても行うことができる。
【０００４】
このほか、全高調波歪分析（ＴＨＤＡ）と呼ばれる方法も知られており、この方法は電気化学的インピーダンス・スペクトロスコピーに基づいており、基本振動とその高調波成分との比を分析する。この方法は特許文献１又は非特許文献２の８３７〜８４０ページに記載されている。
【０００５】
しかしながら電気化学的インピーダンス・スペクトロスコピーもＴＨＤＡも、説得力のある診断を可能にするために、電池のある特定の状態を最も良く励磁できる励磁周波数があらかじめ知られていることに基づいている。「健全な」つまりエラーのない電池は、励磁信号に対して、不良状態の電池とは異なる応答を返す。励磁信号、特に励磁周波数は、このエラー状態を特に良好に励磁する必要があり、それにより、エラーのある状態が診断できる。このことは基本的に、励磁信号に対する電池の応答の振幅は十分に高い必要があるということを意味しており、それにより測定技術的に確実に捕捉して評価することができる。しかしながらここで問題であるのは、ある特定の励磁周波数により、各エラー状態が同等に励磁されるわけではないことである。そのため、特定のエラー状態をさまざまな励磁周波数で励磁することが必要となる。しかしながら、ある特定の電池についてこれらの最適な励磁周波数があらかじめ知られているわけではなく、従来は手間をかけてこれを経験的に求める必要があった。
【０００６】
この問題は幅広い励磁周波数帯を用いても解決されないか又は限定的にしか解決されず、それは、特に電池の挙動が非線形であるために、周波数重畳及び相互変調が起こるからである。その結果、測定技術的に捕捉した、電池の励磁信号に対する応答の評価がもはや行えないか、又はもはや一意的に行えず、特定のエラー状態に割り当てることができなくなる可能性がある。そのため、複数の励磁周波数を使用する際には個々の励磁周波数が互いに影響し合わないように励磁周波数を選ぶ必要があり、それが周波数帯全体において起こらないようにする。しかしそこから、励磁自体のために適切であるのは不連続の励磁周波数のみであり、連続した周波数スペクトルではないということが推論される。
【０００７】
上記の実施例は、特定の励磁周波数による特定の励磁（入力量）に対する技術システムの応答（出力量）を評価することにより、機能を診断すべき技術システムについて一般化することができる。ここで技術システムとしては特に電池又は電解槽が挙げられる。電池とは例えば、バッテリー、蓄電池又は燃料電池である。燃料電池としては、例えばアルカリ燃料電池（ＡＦＣ）、ポリマー電解質燃料電池（ＰＥＭＦＣ）、直接メタノール燃料電池（ＤＭＦＣ）、リン酸燃料電池（ＰＡＦＣ）、融解炭酸塩燃料電池（ＭＣＦＣ）又は固体酸化物燃料電池（ＳＯＦＣ）が挙げられる。電解槽としては例えばポリマー電解質電解槽、固体酸化物電解槽又はアルカリ電解槽が挙げられる。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００８】
【特許文献１】欧州特許公報１６４６１０１号明細書
【非特許文献】
【０００９】
【非特許文献１】Ｊｉｎｆｅｎｇ  Ｗｕ，  ｅｔ  ａｌ．，“Ｄｉａｇｎｏｓｔｉｃ  ｔｏｏｌｓ  ｉｎ  ＰＥＭ  ｆｕｅｌ  ｃｅｌｌ  ｒｅｓｅａｒｃｈ：  Ｐａｒｔ  Ｉ  Ｅｌｅｃｔｒｏｃｈｅｍｉｃａｌ  ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ”，  Ｉｎｔ．  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｈｙｄｒｏｇｅｎ  Ｅｎｅｒｇｙ  ３３  （２００８）
【非特許文献２】Ｒａｍｓｃｈａｋ  Ｅ．，  ａｔ  ｅｌ．，“Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ  ｏｆ  ｆｕｅｌ  ｃｅｌｌ  ｃｒｉｔｉｃａｌ  ｓｔａｔｕｓ  ｂｙ  ｓｔａｃｋ  ｖｏｌｔａｇｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ”，  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｐｏｗｅｒ  Ｓｏｕｒｃｅ  １５７  （２００６）
【非特許文献３】Ｂｉｌｌｉｎｇｓ，  Ｓ．Ａ．，“Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ  Ｓｙｓｔｅｍ  Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ  ：  ＮＡＲＭＡＸ  ｍｅｔｈｏｄｓ  ｉｎ  ｔｈｅ  ｔｉｍｅ，  ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，  ａｎｄ  ｓｐａｔｉｏ−ｔｅｍｐｏｒａｌ  ｄｏｍａｉｎｓ”，  Ｗｉｌｅｙ  Ｖｅｒｌａｇ，  ２０１３，  ＩＳＢＮ  ９７８−１−１１９−９４３５９−４
【非特許文献４】Ｓｈａｎ−Ｊｅｎ  Ｃｈｅｎｇ，  ｅｔ  ａｌ．，“Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ  ｍｏｄｅｌｉｎｇ  ａｎｄ  ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ  ｏｆ  ｐｒｏｔｏｎ  ｅｘｃｈａｎｇｅ  ｍｅｍｂｒａｎｅ  ｆｕｅｌ  ｃｅｌｌ  （ＰＥＭＦＣ）”，  Ｉｎｔ．  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｈｙｄｒｏｇｅｎ  Ｅｎｅｒｇｙ  ４０  （２０１５）．
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１０】
本発明の課題は、励磁周波数を持つ励磁信号を用いて技術システムを励磁することに基づいて、技術システムの診断方法のための励磁周波数を簡単な方法で求めることである。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
この課題は本発明において技術システムを、ボルテラ核を持つボルテラ級数としてモデル化することにより解決され、技術システムのエラーなし状態においてはエラーなし状態のためのｎ次ボルテラ核が求められ、技術システムの定義されたエラー状態のためにはエラーのある状態のためのｎ次ボルテラ核が求められ、エラーなし状態のためのｎ次ボルテラ核とエラーのある状態のためのｎ次ボルテラ核とからｎ次差核が形成され、このｎ次差核を評価することにより周波数領域が決定され、その周波数領域内では差核の増幅が所与の限界値を超えており、励磁信号のための励磁周波数はこの周波数領域から選ばれる。このやり方により、技術システムの特定のエラー状態のための最適な励磁周波数をシステマチックかつ簡単に決定することができる。
【００１２】
励磁信号のために選ばれる励磁周波数は望ましくは、ｎ次差核の増幅が最大値となる励磁周波数である。このようにして診断のために可能な限り良い励磁を期待することができる。さらに、励磁周波数を完全に自動化して求めるために、最大値探索を簡単に自動化することもできる。
【００１３】
入力データ／出力データからボルテラ核を直接的に推定するのは一般的に不可能であるため、望ましくは例えば非線形で多項式のＮＡＲＭＡＸ又はＮＡＲＸモデルといったパラメトリックモデルが用いられ、そこからボルテラ核を分析的に導出することができる。このときパラメトリックモデルは、望ましくは時間領域において既知のデータから推定される。パラメトリックモデルから望ましくは高調波探査アルゴリズムを用いてボルテラ核が分析的に導出される。
【００１４】
以下、本発明について図１から６を用いて詳しく説明する。これらの図には本発明の有利な実施例が図式的に図示されているがこれに限定されるわけではない。
【図面の簡単な説明】
【００１５】
【図１】エラーなし状態における技術システムの２次ボルテラ核の図である。
【図２】エラーのある状態における技術システムの２次ボルテラ核の図である。
【図３】そこから得られる２次差核（Ｄｉｆｆｅｒｅｎｚｋｅｒｎｅｌ−Ｋｅｒｎｅｌ  ２．Ｏｒｄｎｕｎｇ）の図である。
【図４】診断すべき技術システムの例としての燃料電池の図である。
【図５】ＡＰＲＢＳ入力信号の例の図である。
【図６】それに対する技術システムの反応が出力信号の形で表された図である。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
本発明は、例えば電池又は電解槽といった技術システムの非線形伝送挙動のモデル化に基づいている。伝送挙動とは、特定の励磁（入力信号ｕ（ｔ））に対する技術システムの応答（出力信号ｙ（ｔ））として知られている。電池においては入力信号ｕ（ｔ）は例えば電流Ｉ、出力信号ｙ（ｔ）は出現する電圧Ｕであるか、又はその逆である。しかしながら技術システムはしばしば（高度に）非線形の入力挙動／出力挙動を有している。そのような非線形技術システムはしばしば、既知のボルテラ級数を用いて
【数１】
2019537004.tif 000003
大まで、実地におけるもっとも一般的な使用法もしくは技術システムについてはｎ＜５で十分である。例えば電池であれば、ｎ＝３で十分である。線形システム（ｎ＝１）においては線形の時不変システムの既知の畳み込み
【数２】
2019537004.tif 000004
が得られ、ここでｈはインパルス応答である。関数h1, …, hnは（時間領域における）非線形インパルス応答であり（ｈ１は線形インパルス応答）、これら非線形インパルス応答により非線形システムが記述され、また、ボルテラ核と呼ばれる。
【００１７】
ボルテラ級数を介してのアプローチには、ボルテラ級数を、多次元フーリエ変換を用いて簡単に周波数領域に変換できるという長所がある。周波数領域における伝送挙動は伝送関数Ｈｎ（ｊω）により与えられ、以下の式
【数３】
2019537004.tif 000005
の多次元フーリエ変換から得られ、これは、周波数領域におけるｎ次ボルテラ核に相当する。ｎ＝１のときｈｎは線形インパルス応答であり、Ｈｎは線形伝送関数であり、また、技術システムとしての電池の電気化学的インピーダンス・スペクトロスコピーにおいて評価されるスペクトルに相当する。入力関数Ｕ（ｊω）フーリエ変換したものにより、以下の式
【数４】
2019537004.tif 000006
に対する出力関数ｙ（ｔ）が得られる。この関係については、例えば非特許文献３（第６章）又は非特許文献４（９４５２〜９４６１ページ）といった従来技術より十分に知られている。
【００１８】
ボルテラ級数の長所は、ボルテラ核を直接的に解釈できることである。例として入力関数
【数５】
2019537004.tif 000007
【数６】
2019537004.tif 000008
から例えば２次ボルテラ核（ｎ＝２）が得られる。それにより周波数スペクトル内には、
【数７】
2019537004.tif 000009
における第２高調波周波数として
【数８】
2019537004.tif 000010
定増幅として
【数９】
2019537004.tif 000011
周波数
【数１０】
2019537004.tif 000012
の相互変調として
【数１１】
2019537004.tif 000013
周波数
【数１２】
2019537004.tif 000014
の相互変調として
【数１３】
2019537004.tif 000015
などが含まれる。
【００１９】
例えば２次ボルテラ核は、増幅についての等高線図として周波数平面
【数１４】
2019537004.tif 000016
上に表現することができ、そこから入力と出力との間の非線形の関係を直接的に認識することができる。このことも、非特許文献３の第６章又は非特許文献４から基本的に知られている。
【００２０】
しかしながら、与えられた技術システム（例えば電池）のための数学モデルとしてのボルテラ級数においては、その技術システムに対するボルテラ核が通常は直接的に決定できないか、又は、直接的に決定することが非常に困難であるか、又は、既知のデータ（例えばその技術システムで測定されたデータ）から認識することが非常に困難であるという問題がある。
【００２１】
この問題を解決するためにすでになされた提案としては、時間領域内の非線形システムをパラメトリックモデルにより記述し、このパラメトリックモデルを周波数領域に分析的に変換させることが挙げられる。パラメトリックモデルとは、パラメータによる重みづけを行った、以前の入力及び出力から現在のシステム出力を求めるモデルである。パラメトリックモデルは、認識及び構造認識を行うために「パラメータ線形」の形になっているものの、ここで、以前の入力及び出力は非線形に互いに組み合わせることができ、例えば、パラメータθであるとき、以下の形となる。
【数１５】
2019537004.tif 000017
【００２２】
システムは、例えばパラメトリックモデルの例として多項式ＮＡＲＭＡＸモデルを用いて以下の形でモデル化される。
【数１６】
2019537004.tif 000018
外乱ｅ（ｋ）がない場合はＮＡＲＸモデルとも呼ばれる。モデルパラメータは
【数１７】
2019537004.tif 000019
、ｊ＝ｊｙ＋ｊu＋ｊe及び
【数１８】
2019537004.tif 000020
である。
ここでjは以前の出力量ｊｙの個数、以前の入力量ｊuの個数、及び、ＮＡＲＭＡＸモデルで考慮される、以前の外乱量ｊeの個数を表す。このときｊもしくはｊｙ、ｊu及びjeはパラメータ化の可能性であり、選択することができる。技術システムとしての電池のためには、例えばｊｙ＝ｊu＝ｊe≦５という選択で十分である。
【００２３】
例えばＮＡＲＭＡＸモデルといったパラメトリックモデルを技術システムのために認識するために、Ｎ個の既知のデータポイントが用いられる。このときデータポイントは特定の入力量ｕ（Ｎ）における出力量ｙ（Ｎ）であり、場合によっては外乱量ｅ（Ｎ）である。データポイントは技術システムにおいて測定されることも、又は、既知であることもある。パラメータθにおいてこれらは線形で表現されるため、多項式ＮＡＲＭＡＸ又はＮＡＲＸモデルは、
【数１９】
2019537004.tif 000021
という行列形式にすることができ、ここで出力ベクトルは
【数２０】
2019537004.tif 000022
、パラメータベクトルは
【数２１】
2019537004.tif 000023
、場合によっては外乱ベクトルは
【数２２】
2019537004.tif 000024
、リグレッサ行列はＰであり、リグレッサ行列Ｐには以前の出力量ｙ（ｋ−ｍ）及び以前の入力量ｕ（ｋ−（ｍ−ｊｙ））が含まれている。これら線形方程式系は例えば最少平均二乗法により解くことができ、
【数２３】
2019537004.tif 000025
、ここから、多項式ＮＡＲＭＡＸモデルのｐパラメータθが得られる。
【００２４】
リグレッサ行列Ｐを既知の直交化法、例えばグラムシュミット直交化法により直交行列Ｗと三角行列Ａとに分解することにより、より良いモデル精度を得ることができる。その際行列Ｗ及びＡはそれぞれの直交化法から得られる。
【００２５】
直交空間へのこのような変換は有利であり、それは、多項式ＮＡＲＭＡＸ又はＮＡＲＸモデルのようなパラメトリックモデルは非常に多くの潜在的なパラメータθを含む可能性があり、そのうちの多数は技術システムの入力挙動／出力挙動の記述には全く関係していないからである。リグレッサ行列Ｐは非常に悪条件であるため、この優決定系の方程式系を解くことはしばしば数値的に困難であるか又は不可能である。これに対して、変換では、未知のパラメータθの計算に加えて、パラメータθのうちのどれが重要であるか、及び、パラメータθのうちのどれが不要であるかを評価することもできる（いわゆる構造選択）。
そこから、以下の形で代替問題を表すことができる。
【数２４】
2019537004.tif 000026
【００２６】
変換によりリグレッサ行列Ｐは直交基を形成し、パラメータｇｉは互いに独立して上述の方程式により計算することができる。個々のリグレッサ（リグレッサ行列Ｐの要素）はこのとき有意性に関して判定することができ、エラー率ＥＲＲｉは
【数２５】
2019537004.tif 000027
の形となり、ここでｗｉは行列Ｗの列を、
【数２６】
2019537004.tif 000028
は２つのベクトルのベクトル内積を表す。それにより、例えば所与のエラー率ＥＲＲｉを持つリグレッサのみを使用することにより、個々のリグレッサを重要度に応じて判定することができる。代替的に、個々のリグレッサ候補を重要度（エラー率ＥＲＲｉで測定）に関して降順にソートして、所与の全誤差ＥＲＲＧに到達するまで、つまり、例えば、例えば
【数２７】
2019537004.tif 000029
（例えば９９．９％）に到達するまで、降順に追加することもできる。その他のリグレッサはナルに設定される。これにしたがって代替問題を直交空間における選択されたリグレッサにより解くことができる。解は例えば
【数２８】
2019537004.tif 000030
という形で得られる。するとパラメータｇｉは、方程式系Ａθ＝ｇを解くことにより変換し戻す必要がある。このことも、例えば非特許文献３の第３．２章より基本的に知られている。
【００２７】
このようにして認識された、例えば電池などの技術システムのＮＡＲＭＡＸ又はＮＡＲＸモデルから、ボルテラ核を直接的、分析的に導出することができる。その例としては非特許文献３の第６章に記述された、既知の、いわゆる再帰探索アルゴリズム（しばしば高調波探査アルゴリズムとも呼ばれる）が挙げられる。そこではボルテラ級数により、与えられた高調波入力（試行関数において技術システムの原理的な応答（高調波、相互変調など）が知られていることを利用している。ここでは、ボルテラ級数のモデル出力ｙ（ｔ）とパラメトリック（ＮＡＲＭＡＸ、ＮＡＲＸ）モデルを同等とみなす。パラメトリックモデルの項（以前の出力及び入力）についてこれら既知の試行関数が用いられる。このとき唯一の未知のものとして方程式系に残るのは、解として求めることができるボルテラ核であり、ｎ次ボルテラ核は（ｎ−１）次ボルテラ核などに依存している。そこからボルテラ核を再帰的に求めることができる。
【００２８】
このことは、周波数領域において探しているボルテラ核
【数２９】
2019537004.tif 000031
（分かりやすくするためにしばしば
【数３０】
2019537004.tif 000032
とも表現される）のための分析的な解決につながり、つまり、ボルテラ核は、周波数ωnの関数として表現できる。ボルテラ核は複素関数として、増幅（振幅）及び位相を有している。代替的に、技術システムのＮＡＲＭＡＸ又はＮＡＲＸモデルもすでに既知である可能性があり、するとそのモデルを使用してボルテラ核
【数３１】
2019537004.tif 000033
を導き出すことができる。
【００２９】
技術システム診断のために、本発明により最適な励磁周波数ωmを求めるには、まず、技術システムのエラーなし運転のための、ｎ＞１であるｎ次ボルテラ核
【数３２】
2019537004.tif 000034
、特に２次（ｎ＝２）ボルテラ核
【数３３】
2019537004.tif 000035
が認識される。つまり、エラーなし運転状態のためにパラメトリックモデルが上述のように認識され、そこからｎ次ボルテラ核Ｈn,nom（ω1, ω2,…, ωn）
が決定される。その後、技術システムは意図的に、定義されたエラー状態に導かれ、技術システムの、エラーのある運転について再びボルテラ核Ｈn,fault（ω1, ω2,…, ωn）、特に２次（ｎ＝２）ボルテラ核Ｈ2,fault（ω1, ω2）が認識される。すると本発明によると、エラーなしｎ次核Ｈn,nomとエラーのあるｎ次核Ｈn,faultとの差が評価される。そのためにはエラーなしｎ次核Ｈn,nom及びエラーのあるｎ次核Ｈn,fault,の関数としてｎ次評価核Ｈn,diff が次のように
【数３４】
2019537004.tif 000036
求められ、評価される。例えばｎ次評価核Ｈn,diffは、エラーなしｎ次核Ｈn,nomとエラーのあるｎ次核Ｈn,faultとの比率
【数３５】
2019537004.tif 000037
として、例えば２次評価核
【数３６】
2019537004.tif 000038
を決定することができる。同様に、ｎ次評価核Ｈn,diffとしてエラーなしｎ次核Ｈn,nomとエラーのあるｎ次核Ｈn,faultとの差
【数３７】
2019537004.tif 000039
、例えば２次評価核
【数３８】
2019537004.tif 000040
を決定することができる。Ｈn,fault/Ｈn,nomという比率は、エラーがある場合の相対的な変化を記述しており、Ｈn,fault-Ｈn,nomという差は、変化の絶対量を記述している。両方の量は個々に、及び、組み合わせて評価することができる。
【００３０】
評価核Ｈn,diff は、定義された限界増幅を超えた、評価核Ｈn,diffの増幅が存在する周波数領域を探索することにより評価することができる。探索される周波数は望ましくは、最大増幅が現れた周波数である。ここでは二次差核が特に有利であり、それは、二次差核が増幅の３Ｄプロット又は等高線図として簡単に図形的に表現でき、評価を簡単に行えるからである。これについて、図１から図３の２次ボルテラ核の例及び評価核Ｈ2,diffとしての比率を用いて説明する。
【００３１】
図１には、例えば電池といった技術システムの、エラーなし状態における２次ボルテラ核Ｈ2,nomの増幅が図示されている。図２には、同じ技術システムの、エラーのある状態、つまり、具体的で明確なエラーがある場合の２次ボルテラ核Ｈ2,faultの増幅が図示されている。ここではそれぞれ、周波数 ω1, ω2に応じて２次ボルテラ核Ｈ2,nomが増幅の二次元等高線図として図示されており、このような関連での図においてしばしばそうであるように、増幅は半分のサンプリング周波数で正規化された周波数として描かれている。ボルテラ核は複素関数であるため、ボルテラ核について増幅（複素関数、つまりボルテラ核の量として）及び位相を、それぞれ周波数（ω1, ω2,…, ωn）の関数として計算し、表現することができる。
【００３２】
図３には、技術システムの２次ボルテラ核の評価核
【数３９】
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が図示されている。評価核（ここでも複素評価核の量として）の最大の増幅が期待されるのは、現れた高調波周波数において、つまりω1 ＝ ω2,においてであり、これは、評価核Ｈdiffにおいて対角線により示されている。しかし最大の増幅は必ずしも高調波周波数において現れる必要はなく、例えば相互変調において現れることもできる。図示された例において最大の増幅はω1 ＝ ω2 ＝［０．０１，０．０２］の領域で現れている。そのため、この領域において技術システムの励磁周波数ωmが選ばれる場合、エラーのあるボルテラ核Ｈ2,faultを引き起こした、基礎となるエラー状態の良好な励磁を期待することができる。この評価は、もっとも簡単には手動で行われるが、最大値探査（領域探査としても）によりもちろん自動化することもできる。
【００３３】
それにより、さまざまのエラー状態について技術システムの最適な励磁周波数ωmを求めることが可能であることも明らかである。
【００３４】
正常運転において、基礎となる技術システムの入力信号ｕ（ｔ）に、このようにして求められた励磁周波数ωmを持つ励磁信号ａ（ｔ）が重畳されると、エラーがある場合には、出力信号ｙ（ｔ）の、可能な限り最良の、そのエラー状態にとって特徴的な励磁を期待することができる。
【００３５】
励磁周波数を決定するために２次ボルテラ核が使用される場合、それにより例えば励磁信号
【数４０】
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を持つ２つの励磁周波数（ωm1, ωm2）が得られる可能性がある。ωm1 ＝ ωm2 ＝ ωmである場合、励磁信号としては例えば
【数４１】
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も使用することができる。
【００３６】
技術システムの正常運転を邪魔しないよう、励磁信号ａ（ｔ）は、入力信号の振幅と比較して振幅が小さい（例えばＡ、Ａ１、Ａ２は期待される入力信号最大振幅の１０％より小さく、望ましくは５％より小さい）。すると技術システムの運転の連続的な診断は例えば既知の方法で連続的に電気化学的インピーダンス・スペクトロスコピー又は全高調波歪分析を用いて実行することができる。
【００３７】
もちろんこのようにして励磁信号ａ（ｔ）を用いて同時に、さまざまなさらなる励磁周波数ωmにより、さまざまなエラー状態を励磁することもできる。さまざまなエラー状態は、出力量の周波数スペクトルにおいて、周波数スペクトルのどの周波数領域で反応が確認されるかに応じて、確認ことができる。
【００３８】
複数の励磁周波数ωmp, ｐ≧１が励磁信号ａ（ｔ）に含まれている場合、周波数スペクトル内において励磁周波数ωmpが互いに影響し合わないことが重要であり、これは、適切に選択することにより簡単に確実に行うことができる。そのため、さまざまなエラー状態をクリーンに分けておけるよう、現れた周波数スペクトルをクリーンに分離することに注意が必要である。
【００３９】
本発明の方法より生まれる「廃棄物」のようなものとして、ボルテラ核の認識により非線形の精確な時間モデル（多項式ＮＡＲＭＡＸ又はＮＡＲＸモデル）が得られる。この時間モデルに基づいたさらなる診断可能性について多くの可能性が生まれ、これらはモデルベース故障検出分離（ＦＤＩ）という総称で知られている。ここで認識された時間モデルは、技術システムのオンライン運転中にも連続的に考慮して更新することができる。
【００４０】
技術システムのパラメトリックモデル、例えばＮＡＲＭＡＸ又はＮＡＲＸモデルはすでにあるか、又は予め認識しておくことができ、以下、これについて技術システム１として電池を用いて説明する。電池という形での技術システムの例は図４に図示されている。
【００４１】
燃料電池の形の電池には、例えばハイブリッドパワートレイン又は車両バッテリーといった電装品２ａ、２ｂが接続されている。燃料電池と電装品２ａ、２ｂとの間には既知の方法で電力装置３も配置することができ、それによりエネルギー流ならびに電圧レベル及び電流レベルが調整される。電池は、特にそれが燃料電池である場合は、十分に既知でありここでは詳述しない調湿装置４に接続されており、この調湿装置４は、燃料電池のための反応ガスを、特に圧力、湿度、温度、質量流量に関して、必要に応じて準備するものである。また、例えば水素などのガス源５も設けることができる。調湿装置は図式的に表されており、詳述はされていない。調湿装置に故障があると電池においてエラーのある運転状態につながる可能性がある。例えば反応ガスの湿度が高すぎる又は低すぎる場合、反応ガスの圧力が高すぎる場合、反応ガスの質量流量が低すぎる場合、などが挙げられる。電池においては、例えば、セルのイオン交換膜の損傷などの損傷、又はエラー状態として認識され得る変化が挙げられる。そのようなエラー状態は、電池の運転が最適以下となることにつながり、また、電池の損傷又は破壊につながる可能性さえある。そのため電池の運転状態を連続的に監視し、エラーがある場合には、対応する対策を素早くとれるようにしておくことが重要である。監視は、電池の電流及び電圧の推移を用いて、つまり、技術システム１の入力量及び出力量を用いて行われる。
【００４２】
電池は今やエラーなし運転状態、つまり、例えば調湿装置がエラーなしに作動し、すべての反応ガスは十分にかつ正しく調整されており、他のエラー状態も存在しない状態となる。この状態において電池には入力信号ｕ（ｔ）が、ここでは例えば一時的な電流推移Ｉ（ｔ）の形で印加され、この入力信号ｕ（ｔ）は電池をできるだけ良好に励磁するものであり、それにより電池の静的及び動的な挙動ができるだけ良好に捕捉できる。適切な入力信号ｕ（ｔ）としては例えば、図５に図示されたような、振幅変調された疑似ランダム２進法シーケンス（ＡＰＲＢＳ）信号の形での電流推移Ｉ（ｔ）、又はランダムガウスシーケンス信号が挙げられる。その結果として得られる出力信号ｙ（ｔ）は、ここでは例えば一時的な電圧推移ｕ（ｔ）の形で図６に短期間について図示されている。入力信号ｕ（ｔ）及び出力信号ｙ（ｔ）は例えば１００Ｈｚという所与のサンプリングレートでサンプリングされており、そこからデータポイントが得られ、そこから先述のようにＮＡＲＭＡＸ又はＮＡＲＸモデルが認識される。認識されたＮＡＲＸモデルは例えば以下の形で得られる。
【数４２】
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【００４３】
次に、このパラメトリックモデルは上述のように分析的に周波数領域に変換することができ、そこから周波数領域におけるボルテラ核が得られる。これが繰り返し行われ、その際電池は今や、例えばプロセスガスの相対湿度が低すぎるなど、定義されたエラー状態で運転される。次にこのエラー状態を、技術システム１の連続的な運転においてできるだけ良好に励磁し、それにより診断可能とするために、評価核から、技術システム１を励磁すべき少なくとも一つの励磁周波数ωmが認識される。
【符号の説明】
【００４４】
１  技術システム
２ａ、２ｂ  電装品
３    電力装置
４    調湿装置
５    ガス源
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【国際調査報告】
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