【誤訳訂正書】
【提出日】平成19年9月6日(2007.9.6)
【誤訳訂正１】
【訂正対象書類名】明細書
【訂正対象項目名】全文
【訂正方法】変更
【訂正の内容】
【書類名】  明細書
【発明の名称】  乱流摩擦抵抗を低減するための粘弾性塗料の設計
【特許請求の範囲】
【請求項１】
剛性面を有する物体の特定の自由流速度の乱流における摩擦抵抗と比較したときの、該物体と同一の寸法および形状を有して粘弾性塗料が塗布された物体の該特定の自由流速度の乱流における摩擦抵抗の低減率を推定する方法であって、
（Ｉ） 剛性面の境界条件を使用して、境界層の厚さ、最大エネルギー運送擾乱に対応する位相速度および周波数、平均速度プロフィール、レイノルズ応力分布、壁面上せん断応力分布および摩擦抵抗を含む、該特定の自由流速度における乱流境界層に係る種々のパラメータを算出し、
（ＩＩ）  ステップＩで種々のパラメータが算出された乱流境界層により周期的に与えられる負荷を近似する強制関数により加振される粘弾性塗料の密度、複素せん断弾性係数および厚さを変化させて、最小の振動振幅を有するとともに最大のエネルギー流束を受ける粘弾性塗料の材料パラメータを算出し、
（ＩＩＩ）  ステップＩＩで算出された密度、複素せん断弾性係数および厚さを有する粘弾性塗料に対応する振動振幅およびエネルギー流束を境界条件として、平均速度プロフィール、レイノルズ応力分布、壁面上せん断応力分布および摩擦抵抗を含む、該特定の自由流速度における乱流境界層に係る種々のパラメータを算出し、
（ＩＶ） 摩擦抵抗低減率を、ｉ）ステップＩで算出された摩擦抵抗からステップＩＩＩで算出された摩擦抵抗を引いた値を、ｉｉ）ステップＩで算出された摩擦抵抗の値で割った値とする、各ステップを示された順序でコンピュータを用いて実行する方法。
【請求項２】
前記ステップＩが、
（１ａ）  特定の幾何形状を有する剛性面と所定の自由流速度Ｕ∞について、非圧縮性流体の定常流において、動粘性ｖが一定であり、密度ρが一定であり、体積力を無視することができ、Ｕiが、ｘ、ｙおよびｚ方向（指数表記ではｘ1、ｘ2、およびｘ3）の速度成分を示す場合、圧力Ｐの勾配が、
2003530217.tif 000001
であり、物体の壁面における流体速度がゼロであることを条件に連続方程式：
2003530217.tif 000002
および運動方程式を解き、
（１ｂ）  サブステップ１ａの一般連続方程式および運動方程式の解によって求めた速度場Ｕiから、境界層の端を、平均速度と自由流速度との比率が０．９５ないし１．０の定数β
2003530217.tif 000003
と等しくなる位置として設定し、境界層の厚さを物体の幾何形状の関数として求め、
（１ｃ）  サブステップ１ａの一般連続方程式および運動方程式の解によって、物体に沿うせん断応力τw、局所的摩擦抵抗係数および総抵抗値を求め、
（１ｄ）  境界層における最大エネルギー運送擾乱に対応する周波数ωeおよび位相速度Ｃを推定する、
サブステップを有し、サブステップ１ａからサブステップ１ｄは必ずしも記載された順序で実行されるものではないことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記ステップＩＩが、
（２ａ）  塗料の密度ρsとして、水の密度の１０％以内の値を選択し、
（２ｂ）  共振状態を避けるべく、材料内のせん断波の速度√（μ0／ρs）をエネルギー運送擾乱の位相速度Ｃとほぼ等しくするという条件に基づき、材料の静的せん断弾性係数μ0の初期候補を選択し、
（２ｃ）  塗料の厚さＨの初期候補を選択し、
（２ｄ）  乱流境界層の負荷に対応する単位振幅と位相速度Ｃの調波負荷を受け、波数が可変であり、底部で剛性基盤に固定された塗料の場合の、粘弾性材料について運動量方程式：
2003530217.tif 000004
（ここで、ξ1およびξ2が、次のフーリエ級数: 
2003530217.tif 000005
の第１モードで近似される、塗料の厚さにおける縦方向および法線方向変位を示し、ここでａi1は係数を、αe＝ωe／Ｃは境界層における最大エネルギーに対応する波数を、φiは位相差をそれぞれ示し、
σijは応力テンソルであって、ケルビン・フォークト型の粘弾性材料の場合は、
2003530217.tif 000006
と記載され、εsijはひずみテンソルであって、
2003530217.tif 000007
と記載され、ここでεs＝εsii、
λ（ω）は周波数依存ラーメ定数であり、体積弾性係数Ｋ（ω）と複素せん断弾性係数μ（ω）によって定義され：
2003530217.tif 000008
μ（ω）は等方性材料においてどの方向にであっても一定であるが、異方性材料において異なる方向では値が変化する）を解き、
サブステップ２ｂで得られたμ0＝μ｜ω=0を初期値とする、数学的に、
2003530217.tif 000009
により特性が特定される、単一緩和時間（ＳＲＴ）型材料を近似することができるせん断弾性係数を有する複数の材料について、さらに、
2003530217.tif 000010
とした場合、複数の動的せん断弾性係数μsや緩和時間τsについて運動量方程式を解き、
（２ｅ）  サブステップ２ｄにおいて計算が行われた複数のＳＲＴ材料から、所定の流れ条件下で算出された振動振幅が粘性底層の厚さ以下であるとともに、エネルギー運送周波数ωeの約１デカード上下に亘る周波数範囲に対してエネルギー流束が塗料内に向かう材料を選択し、
（２ｆ）  粘弾性材料に係る厚さと静的係数との複数の組み合わせについて、それぞれサブステップ２ｄおよび２ｅに記載された演算を実行して、単一緩和時間（ＳＲＴ）型材料の最適な材料パラメータを求め、
（２ｇ）  目的の周波数範囲においてサブステップ２ｆの結果を基準に、せん断弾性係数を次のように：
2003530217.tif 000011
（μ∞＝μ｜ω=∞、τHNは緩和時間であり、αHNおよびβHNは定数である）表現される、複素せん断弾性係数をハブリリアク・ネガミ型、すなわちＨＮ型材料として特性が特定される粘弾性材料について運動量方程式を解き、
（２ｈ）  最大エネルギー運送擾乱に対応する周波数範囲において、振動振幅を最小化し、エネルギー流束を最大化する条件を求めることによって、さらに、材料の製造可能性に基づき、塗料材料の最終材料特性を選択する、
サブステップを有し、サブステップ２ａからサブステップ２ｈは必ずしも記載された順序で実行されるものではないことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項４】
前記ステップＩＩＩが、
（３ａ）  非ゼロのエネルギー流束と壁面振動境界条件と、壁面周辺の振動成分間のエネルギーの再分散を考慮した数値的方法を利用して、ステップＩと同じ位置および流れ条件で、粘弾性塗料を有する物体について運動および連続方程式を解き、
（３ｂ）  粘弾性平板について計算した摩擦抵抗を、剛性平板について計算した値と比較する、
サブステップを有し、サブステップ３ａおよびサブステップ３ｂは必ずしも記載された順序で実行されるものではないことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項５】
サブステップ１ｂにおいて、境界層の厚さを、平均速度と自由流速度との比率がβ＝０．９９７５の定数値を有する位置に近似する請求項２に記載の方法。
【請求項６】
サブステップ１ｄにおいて、境界層における擾乱の最大エネルギー運送周波数を、
2003530217.tif 000012
と推定し、境界層におけるエネルギー運送擾乱に対応する位相速度を、
2003530217.tif 000013
とする請求項２に記載の方法。
【請求項７】
平面上の２次元流の場合、Ｐを平均圧力とし、ｖを動粘性とし、ρを密度とし、Ｕを平均縦方向速度成分とし、Ｖを平均法線方向速度成分とし、ｕ'、ｖ'およびｗ'をそれぞれ流線方向、法線方向および横方向の振動速度成分とし、εを等方性散逸率とし、連続方程式および運動方程式を次の方程式系
2003530217.tif 000014
2003530217.tif 000015
2003530217.tif 000016
2003530217.tif 000017
（ここで、
Ｐijは生成テンソルであり、
2003530217.tif 000018
と表し、
2003530217.tif 000019
Πijは圧力−ひずみ相関テンソルであり、
2003530217.tif 000020
と表し、
ここで、
Κは乱流運動エネルギーであり、
2003530217.tif 000021
と表し、
Ｄijは散逸テンソルであり、
2003530217.tif 000022
と表し、
Ｒt＝Κ2／ｖεは、運動エネルギーの二乗と、動粘性と散逸率の積との間の無次元的比率であり、
Ｒk＝Κ1/2／ｖは、運動エネルギーの平方根の動粘性に対する比率によって無次元化された壁からの距離であり、
Ｃ1、Ｃ2、Ｃ'1、Ｃ'2、およびＣ'3は、Ｃ1＝１．３４、Ｃ2＝０．８、Ｃ'1＝０．３６、Ｃ'2＝０．４５、およびＣ'3＝０．０３６と定義される定数であり、
Ｊijkは、レイノルズ応力の拡散流束であり、その成分は、
2003530217.tif 000023
2003530217.tif 000024
2003530217.tif 000025
であり、Ａは、ｖ'2（上線）については６であり、ｕ'2（上線）およびｗ'2（上線）については２であり、−ｕ'ｖ'（上線）においては４であり、ここで、Ｃ1は０．１２と定義される定数であり、
εijは散逸テンソルであり、
2003530217.tif 000026
と表し、
Ｃε1およびＣε2は、Ｃε1＝１．４５およびＣε2＝１．９と定義される定数であり、
εtは、乱流拡散であり、等方性散逸率の式において、
2003530217.tif 000027
となり、Ｃε＝０．１５となる以外は、
2003530217.tif 000028
と定義され、
2003530217.tif 000029
2003530217.tif 000030
である）
に簡素化された請求項２に記載の方法。
【請求項８】
レイノルズ応力の境界条件を、粘弾性材料の運動量方程式
2003530217.tif 000031
2003530217.tif 000032
2003530217.tif 000033
2003530217.tif 000034
（ここで、
2003530217.tif 000035
であり、（φ2−φ1）が法線方向と縦方向の振動振幅間の位相差であり、
Θは平均流とｘ軸との間の角度であり、
ｕ*は、摩擦速度であり、
2003530217.tif 000036
と定義され、ここで、
ρは液体の密度であり、
τwは壁におけるせん断応力であり、
2003530217.tif 000037
と表され、
｜ξi｜は、変位の根二乗平均（ｒｍｓ）振幅である）
の解から計算された壁面振幅ξ1およびξ2から導く請求項７に記載の方法。
【請求項９】
エネルギー境界条件を、粘弾性材料における運動量方程式の解の関数として表現し、
（ａ）  塗料内に向かうエネルギー流束を、周期的強制関数に基づいて法線方向振動振幅（と＊で示すその複素共役）の関数として示すことができる、
2003530217.tif 000038
圧力速度相関から求め、
（ｂ）  乱流境界層に対応する壁面負荷を受けた場合の壁面振動ξ2を、
2003530217.tif 000039
と示し、ここで、
Ｈは塗料の厚さであり、
2003530217.tif 000040
ｕ*は、摩擦速度であり、
2003530217.tif 000041
と定義され、ここで、
ρは液体の密度であり、
τwは壁におけるせん断応力であり、
2003530217.tif 000042
と表されるので、
圧力速度相関を、
2003530217.tif 000043
と示すことができ、ここで
Ｃk3＝Ｃk2Ｋpγ（ω）
であり、Ｋpは２．５の値を有するクライチナンパラメータであり、γ（ω）は、塗料の圧力振動と垂直変位との間の位相変位を反映する塗料材料の散逸関数であり、
（ｃ）  塗料内に向かうエネルギーの流束を、実効乱流拡散項εt（∂Κ／∂ｙ）として近似し、
2003530217.tif 000044
（ここでＣt＝０．１２である）
その結果、無次元化数値として、
2003530217.tif 000045
ここで、
2003530217.tif 000046
2003530217.tif 000047
および
2003530217.tif 000048
（ｄ）  ステップ（ｂ）およびステップ（ｃ）で得られた無次元化圧力−速度相関の表現から、εq＝εt｜y=0を、
2003530217.tif 000049
と書き換えることができ、ここで、ｙ+maxは、壁面から乱流エネルギーの極大までの垂直距離であり、次のようにして無次元化され、
2003530217.tif 000050
2003530217.tif 000051
2003530217.tif 000052
が、摩擦速度ｕ*および境界層の厚さδに基づくレイノルズ数であり、
ｕ*は、摩擦速度であり、
2003530217.tif 000053
と定義され、ここで、
ρは液体の密度であり、
τwは壁におけるせん断応力であり、
2003530217.tif 000054
と表され、
Κ+max＝Κmax／Ｕ∞2が、Ｕ∞2によって無次元化された乱流運動エネルギーの極大であり、
Κ+q＝Κq／Ｕ∞2が、Ｕ∞2によって無次元化された振動壁面の運動エネルギーであり、
（ｅ）  等方性散逸率の境界条件を、次元的に、
2003530217.tif 000055
と表現し、無次元的に、
2003530217.tif 000056
（ここで、Ｒｅ＝Ｕ∞δ／ｖは、自由流速度および境界層の厚さに基づくレイノルズ数である）
と表現する請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
等方性粘弾性面の場合の乱流境界層問題が反復方法に基づくものであり、ｕ*および乱流運動エネルギーの勾配∂Κ／∂ｙ｜y=0の初期値を
2003530217.tif 000057
2003530217.tif 000058
2003530217.tif 000059
2003530217.tif 000060
2003530217.tif 000061
である、２次元流を有する剛性の平面の場合の乱流境界層問題の解に基づいて推定し、この解で得られたｕ*および乱流運動エネルギーの勾配∂Κ／∂ｙ｜y=0の値を、次の過程の境界条件を求めるために使用し、解が収斂するまでこの過程を繰り返すものである請求項９に記載の方法。
【請求項１１】
等方性粘弾性材料が塗布された平面上の２次元流の場合に、
（ａ）  せん断弾性係数μ（ω）の値が、何れの方向においても一定であり、
（ｂ）  壁面における法線方向の変位と縦方向の変位との位相差がπ／２に等しく、粘弾性塗料の壁面におけるレイノルズせん断応力がゼロに等しく、
2003530217.tif 000062
（ｃ）  レイノルズ応力境界条件が、無次元形式で、
2003530217.tif 000063
2003530217.tif 000064
2003530217.tif 000065
2003530217.tif 000066
と表現され、ここで、
2003530217.tif 000067
が、摩擦速度ｕ*および境界層の厚さδに基づくレイノルズ数であり、
ｕ*は、摩擦速度であり、
2003530217.tif 000068
と定義され、ここで、
ρは液体の密度であり、
τwは壁におけるせん断応力であり、
2003530217.tif 000069
と表され、
2003530217.tif 000070
2003530217.tif 000071
2003530217.tif 000072
であり、壁面振動の振幅が、粘性底層の厚さより小さい場合に、Ｃk1およびＣk2をゼロと近似することができる、請求項１０に記載の摩擦抵抗の低減率を推定する方法。
【請求項１２】
塗料が、異なる材料特性を有する複数の等方性粘弾性材料からなり、
（ａ）  各層内でせん断弾性係数μ（ω）が一定であり、
（ｂ）  層間の境界が固定されており、
（ｃ）  材料の静的せん断弾性係数が、塗料の上層から下層に向かうにつれ、徐々に小さくなっていく請求項１０に記載の方法。
【請求項１３】
塗料が、法線方向（ｙ）の材料の特性が縦横（ｘ−ｚ）面の特性と異なる異方性の材料からなり、流線方向および横方向のせん断弾性係数をμ1（ω）：
2003530217.tif 000073
とし、法線方向のせん断弾性係数をμ2（ω）：
2003530217.tif 000074
とする請求項１０に記載の方法。
【請求項１４】
前記粘弾性塗料が、塗料の厚さおよび塗料の剛性面との交差部付近の振動を最小化するために、その下に楔または等高線状の構造を有する請求項１に記載の方法。
【請求項１５】
前記粘弾性塗料が、壁面周辺の流れの自然の縦方向および横方向の波長を近似する複数の内部構造を有する請求項１に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【技術分野】
本発明は、流体の乱流における膜摩擦抵抗を低減するための粘弾性塗料の設計方法に関するものである。このような粘弾性塗料は、乱流によるエネルギーを吸収し、壁と流体との間のエネルギー遷移機構を変化させ、局所的速度分布や境界層の発達を変えるものである。壁付近の速度分布を変化させることにより、壁から離れた場所の乱流バーストの頻度や乱流エネルギーの拡散を低下させ、その結果、抵抗を３０％低減することができる。粘弾性塗料の表面振動が弱く、乱流境界層（ＴＢＬ）の粘性底層の厚さより小さい場合、振動する表面によって流体に発生する乱れは、粘性底層内の壁付近に留まることになる。抵抗を低減する粘弾性塗料に適切なパラメータを決定するためのこの方法は、ある表面におけるエネルギーの遷移および速度境界条件に対するＴＢＬの発達と、ＴＢＬを近似するある表面圧力場に対する粘弾性層の表面変形率およびエネルギー吸収率との両方を考慮するものである。
【０００２】
【背景技術】
１９５７年にM. O. Kramer氏が実験で成功した結果を報告して以来、パッシブコンプライアント塗料を表面に塗布することで流体の乱流における摩擦抵抗を低減する試みは繰返し行われてきた。しかし、この方面での実験結果は良好なものばかりではなかった。殆どの実験は抵抗の増加に終わっており、乱流における抵抗の低下を発表した例は僅かである。理論的考察として、可変面上の層流境界層の安定性の特定が行われ、その他にも、変動する負荷に対する塗料の反応の特定が行われた。しかし、乱流に対する抵抗を低減する塗料の設計に成功した厳密な分析方法は未だ報告されていない。
【０００３】
従来では、パッシブ塗料に関する試験は、周波数依存せん断弾性係数、密度および厚さ等の重要な物理的パラメータの特定を行わずに実施された。粘弾性塗料を用いる場合、抵抗の低下を達成することを確実にするためには、適切な物性の選択や、構成および速度の関数として予想される抵抗の低下を推定するための方法が必要である。
【０００４】
関連する技術課題に関する情報は、公刊資料にも記載されており、本発明の技術的複雑性に鑑みて有用となるであろう。Dr. Hermann Schlichtingによる "Boundary Layer Theory", McGraw Hill, New York, 7th edition, 1979に、ナビエ・ストークス方程式や乱流境界層方程式の導出過程を含む境界層理論に関する規範的な解説がある。J. O. Hinzeによる "Turbulence", 1975, McGraw HillおよびSteven K. Robinsonによる"Coherent Motions in the Turbulent Boundary Layer", Annual Review of Fluid Mechanics, 1991, volume 23, pp. 601-39に、乱流における構造やスケールに関する解説がある。Handbook of Computational Fluid Mechanics, Academic Press, 1996におけるTom Gatskiによる"Turbulent Flows: Model Equations and Solution Methodology"に、レイノルズ応力による乱流モデルに関する背景の説明がある。流体力学や固体力学における方程式は、簡単にするため、指標またはテンソル表記法で示されることが多い。Y. C. FungによるA First Course in Continuum Mechanics, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1977の第２章に、力学方程式におけるテンソル表記に関する簡単な紹介がある。Klaus HoffmanによるComputational Fluid Dynamics for Engineers, Engineering Education System, Austin, Texas, 1989に、乱流体の運動および連続方程式系を解くために使用される有限差分法に関する入門的説明がある。J. D. FerryによるViscoelastic Properties of Polymers, Wiley, New York, 1980, 3rd editionに、ポリマ
ーの物性の測定結果や数学的モデルが記載されている。Journal of the Acoustical Society of America, Vol. 95, No. 1, January 1994におけるBruce Hartmann、Gilbert LeeおよびJohn Leeによる記事Loss Factor Height and Width Limits for Polymer Relaxationに、ハブリリアク・ネガミ（Havriliak-Negami）方法によって推定されたものを含む、実際の粘弾性ポリマ材料のせん断弾性係数の数学的特定に関する説明がある。
【０００５】
最近の国際公刊文献の中では、Choi等（K. S. Choi, X. Yang, B. R. Clayton, E. J. Glover, M. Atlar, B. N. Semonev and V. M Kulik, "Turbulent Drag Reduction Using Compliant Surfaces", Proceedings of the Royal Society of London, A (1997) 453, pp. 2229-2240）において、粘弾性材料で塗布した軸対称性の物体に対して乱流摩擦抵抗が７％低下したという実験結果が報告されている。この実験は、B. N. Semenov氏の指導の元で、ノボシビルスク市ロシア科学アカデミーの熱物理研究所で設計、製造されたロシア製の塗料を使用してイギリスで行われた。基本的な設計方針は、Recent Developments in Turbulence Management, K. S. Choi, ed., 1991, pp. 241-262, Dordrecht, Kluwer PublishersにおけるOn Conditions of Modelling and Choice of Viscoelastic Coatings for Drag Reductionに略述されている。ノボシビルスクの設計方法は一部実験にも基づくものであり、粘弾性材料の複素せん断弾性係数の完全な特定、具体的には、材料の緩和時間を考慮するものではない。そのかわり、ノボシビルスクの設計方法は材料の周波数依存性の特性を考慮するものである。さらに、ノボシビルスク方法は、例えば水またはグリセリンで飽和されたフォームラバーに施された塗膜等の膜状の塗料について、表面に対して垂直な変動しか考慮されない場合にのみ有効である。
【０００６】
抵抗を低減するための塗料の構造は、Max O. Kramer氏による１９３８年のドイツ特許第６６９−８９７号に記載された「An Apparatus for the Reduction of Friction Drag」を始めとし、国際的にも公刊文献が数多く発表されている。その後にも、Kramer氏は、境界層における層流を拡張するための塗料に関し、１９６４年に特許第３，１６１，３８５号、１９７１年に第３，５８５，９５３号を取得している。その他に、例えばV. V. Babenko, L. F. KozlovおよびS. V. Pershinによる「A Damping Covering」に関するソ連特許第１４１３２８６号、Bulletin of the Inventions 14, 20.01.1974、V. V. Babenko, L. F. KozlovおよびV. I. Korobovによる「An Adjustable Damping Covering」に関するソ連特許第１５９７８６６号、Bulletin of the Inventions 110, 15.03.1978およびV. V. BabenkoおよびN. F. Yurchenkoによる「A Damping Covering for Solid Bodies」に関するソ連特許第１８０２６７２号、Bulletin of the Inventions 15, 07.02.1981等、ソビエト連邦の発明認証書にも、粘弾性材料を含有する抵抗低減性塗料の構造が記載されている。これらの発明認証書は、抵抗低減性塗料における３次元構造を特定するものの、このような塗料の製造に使用される粘弾性材料のパラメータを適切に選択するための方法には触れていない。構造上の特徴として、材料の多層構造、弾性、粘弾性または流体材料からなる縦長のリブ様構造および加熱要素等が含まれる。粘弾性塗料は、例えば、塗料の表面上または面内に成型される縦長のリブレット等の他の形態の構造と組み合わせることもできる。Journal of Fluid Mechanics, volume 363, 25 May 1998, pp. 115-152に掲載されたD. B. GoldsteinおよびT. C. Tuanによる記事「Secondary Flow Induced by Riblets」に記載されたとおり、２次元の剛性リブレットのみでも表面の摩擦抵抗を１０％も低減することができることが実験的に確認されている。
【０００７】
【発明の開示】
本発明は、乱流摩擦抵抗を低減するための受動粘弾性塗料の設計を可能にする。本発明による方法に従って決定された物性を有する塗料は、摩擦抵抗を１０％以上低減することができた。本発明の第１目的は、剛性面上の特定の流れ条件に対して乱流摩擦抵抗を低減することのできる等方性粘弾性材料の周波数依存複素せん断弾性係数、密度および厚さの指定を可能にする方法を提供することである。抵抗の低減率を数値的に推定する。発明は、流体と接触する壁面における粘弾性塗料の垂直方向と横方向の振動の両方を考慮し、剛性の平面の他にも粘弾性の平面上の単流の場合についても詳細な数学的解析を提供する。本発明の第２目的は、多層の等方性粘弾性材料からなる塗料の材料特性を指定することである。本発明の第３目的は、異方性材料からなる塗料の物性を指定することである。本発明の第４目的は、有限長の塗料の縁効果を最小化することである。本発明の第５目的は、粘弾性塗料の設計を、リブレット等の更なる構造と組み合わせることで縦方向の渦を安定化することである。
【０００８】
ここで粘弾性（ＶＥ）層と乱流境界層（ＴＢＬ）の相互作用を表現するために使用される方法は、１）剛性、弾性または粘弾性の壁面に対して指定された境界条件について、乱流境界層パラメータを計算（ここで、ＴＢＬ問題と称する）する流体関連演算工程と、２）乱流境界層の負荷を近似する周期的強制関数に対する粘弾性または弾性面の反応を計算する材料関連演算工程を含むものである。本発明は、表面振動の振幅および速度、そして粘弾性塗料のエネルギー流束の計算（ここで、ＶＥ問題と称する）に焦点を絞ったものである。この２つの演算工程は、壁面におけるエネルギー吸収率の境界条件および壁面振動振幅の境界条件（以下、それぞれ力学的境界条件と運動学的境界条件と称する）に関連する係数によって結ばれる。ＴＢＬ問題を、まず、剛性面について解き、壁面における強制関数を表すために必要な乱流境界層パラメータを求め、さらに比較のために摩擦抵抗の基準となる計算結果を得る。次いで、ある境界層のせん断および圧力振幅を近似する周期的強制関数を指定して、ＶＥ問題を解く。材料パラメータの初期候補は、理論や実験による基準に基づいて選択される。次の２つの条件が満たされるまで繰返し実行することによって最適の材料パラメータが選択される：
１）  粘弾性塗料に流れ込むエネルギー流束が最大であること、
２）  壁面振動の振幅が、塗料上の乱流境界層の粘性底層の厚さより小さいこと。
振動の振幅が乱流境界層の粘性底層の厚さより大きいと、その振動によって壁面の粗さが増し、摩擦抵抗の増加に繋がる。さらに、境界層における擾乱の位相速度が材料におけるせん断波速度を上回ると、振幅の大きい波との共振作用が起る。このような状態は避けたい。しかし、適度なエネルギー流束が材料内に向かうことによって、エネルギーは内部せん断波に変換され、後に熱として散逸されるので、乱流エネルギーバランスの質的、数値的変化がもたらされ、その結果、摩擦抵抗が低減する。粘弾性材料の最適な物性は、自由流速度、物体上の位置、圧力勾配、および境界層の発達や局所的乱流振動の特徴に影響を及ぼすそのほかの要因によって変化する。
【０００９】
ＴＢＬ方程式を解くことで、粘弾性、弾性または剛性面上の乱流摩擦抵抗を数値的に評価することができる。エネルギーが吸収され、壁面振動が非ゼロである粘弾性面の場合、力学的境界条件と運動学的境界条件が両方とも指定される。これらの境界条件は、ＶＥ方程式をエネルギー流束および壁面振動振幅について解くことで導出され、ＴＢＬ方程式を解くための散逸境界条件およびレイノルズ応力境界条件として使用される。垂直振動は壁面の実効粗さに影響し、垂直振動振幅の根二乗平均（ｒｍｓ）値は動的粗さ(dynamic roughness)と呼ばれる。振動振幅が粘性底層の厚さより小さければレイノルズ応力をゼロとすることができる。乱流境界層の方程式は、動的境界条件を含む乱流拡散を勾配近似として(turbulent diffusion as a gradient approximation)表すものであり、壁面周辺関数(near-wall functions)は様々な壁面に対して壁面周辺における乱流エネルギーの再分散(redistribution)を表すために導入される。
【００１０】
【発明を実施するための最良の形態】
本発明は、所定の流れ条件下の乱流摩擦抵抗を低減する粘弾性塗料の物理的パラメータおよび幾何学的パラメータを特定するものである。さらに、本発明は、既知の物性を有する特定の物質の、所定の配置および流れ条件に対する推定抵抗低減効果を評価することを可能にする。この方法は、主に、平板や回転体の周辺の乱流に対する塗料の物理的特性の特定に適用されるが、曲面や非ゼロの圧力勾配を有する複雑な幾何学的条件に適用することも可能である。
【００１１】
流体境界層とは、流体の流れる面に隣接する非常に薄い流体の層である。この領域において、摩擦力の影響が非常に大きく、流れが物体表面の条件から自由流の条件に転換する。境界層の外縁は、通常、平均速度Ｕと自由流速度Ｕ∞との比率βが１に近い定数となる場所と定義される。
【数１】
2003530217.tif 000075
定数βの値は、物体の配置や数値的安定性等を考慮して選択される。例えば、平板の場合、０．９９７５が適切な値である。
【００１２】
乱流境界層は、圧力およびせん断の変動スペクトルによって物理的特性が特定され、その周波数、位相速度および振幅特徴は、自由流速度、物体の配置、面条件および圧力勾配等の要因に依存する。剛性面上の流れの場合、面上の運動はない。弾性面または粘弾性面の場合、壁面圧力やせん断力の変動が、面を変形させる力を有し、壁面波を発生させる。粘弾性面の場合、塗料が乱流境界層からエネルギーを吸収、拡散するので、壁面上のレイノルズ応力およびエネルギー吸収率に関する境界条件（即ち、運動学的境界条件および力学的境界条件）を正確に特定する必要がある。
【００１３】
図１は、厚さδの乱流境界層と作用する受動粘弾性塗料の様子を概略的に示すものである。説明の簡便のため、塗装された平板上の自由流速度Ｕ∞の流れの場合を取り上げる。ここで、ｘ、ｙおよびｚ座標軸は、それぞれ縦方向、垂直方向および横方向に該当する。また、ｘをｘ1と、ｙをｘ2と、ｚをｘ3と表すこともできる。流体は、粘性を有し、非圧縮性であり、塗料は粘弾性（即ち、弾性と粘性の物性を併せ持ったもの）であることとする。壁面が剛性であれば、振動やエネルギーは吸収されない。壁面が弾性または粘弾性である場合、壁面振動が発生し、壁面が粘弾性である場合、さらにエネルギー交換も起きる。粘弾性材の縦方向および垂直方向の壁面変位成分はξ1およびξ2で示し、摩擦速度は次の式で表すことができる。
【数２】
2003530217.tif 000076
式中、τwは壁面におけるせん断応力であり、ρは流体の密度である。乱流が粘弾性塗料と作用することで概ね周期的な壁面波が発生する。塗料による運動およびエネルギーの吸収（運動学境界条件および力学境界条件）は、さらに、乱流境界層におけるエネルギーのバランスや壁面のせん断応力の面積分である抵抗摩擦の値に影響する。
【００１４】
図２は、本発明の方法を概略的に示すものである。本発明は、１）剛性、粘弾性または弾性の平面上の摩擦抵抗を含む乱流境界層（ＴＢＬ）パラメータ、および、２）乱流境界層を近似する周期的負荷によって刺激された粘弾性（ＶＥ）板のエネルギー吸収率および振動振幅を解く過程を含む。この２つの解は、壁面によって吸収されるエネルギーと壁面運動の振幅に関する境界条件によって結ばれ、抵抗低減塗料を選択し、所定の流れ条件に対する抵抗低減率を数値化するための方法の一部を成すものである。以下に、この２つの解と、それを結びつける方法論を説明する。
【００１５】
剛性、弾性または粘弾性面上の乱流境界層の特定（ＴＢＬ問題）
図２において、まず剛性面に対してＴＢＬパラメータを算出し（ステップ１（Ｓ１））、物質特性が特定できたら、粘弾性物質に対して物理的特性の特定を行う（ステップ３（Ｓ３））。ステップ３では、ステップ１と同様の方法が適用されるが、運動学的境界条件および力学的境界条件の定義が異なる。剛性面上では、面上運動もエネルギーの吸収もない。弾性面では、面上運動はあるが、エネルギー吸収がない。粘弾性面では、面上運動もエネルギー吸収もある。
【００１６】
連続、運動およびエネルギーの一般方程式系
乱流のパラメータは、連続、運動およびエネルギーの方程式系とその境界条件を解くことによって得られる。これらの方程式は、質量保存則、運動量保存則（ニュートンの第２法則）およびエネルギー平衡の法則（熱力学第１法則に基づく）から展開される。
【００１７】
デカルト座標において、流れ方向、法線方向および横方向の速度成分Ｕ、ＶおよびＷを有する密度ρの圧縮性流体の一般連続性方程式は、下記の式３で表すことができる。
【数３】
2003530217.tif 000077
また、ｘ、ｙ、ｚをそれぞれｘ1、ｘ2、ｘ3と書き換え、Ｕ、Ｖ、ＷをそれぞれＵ1、Ｕ2、Ｕ3と表現することで、式３を（式４に示すように）指標表記法で示すことも可能である。ここで、指標ｉの値は１、２、３の何れにもなり得、指標ｉの繰り返しは総和を意味する。
【数４】
2003530217.tif 000078
【００１８】
流体が非圧縮性である場合、式３をさらに簡素化することができる。すなわち、流体の密度が一定の場合、
【数５】
2003530217.tif 000079
が成立する。
【００１９】
ナビエ・ストークス方程式と称する一般運動方程式は、一定の粘性を有する非圧縮性流体の場合、デカルト座標において、
【数６ａ〜ｂ〜ｃ】
2003530217.tif 000080
と表現することができる。
式６において、
Ｐは圧力を示し、
ｇiは物体に作用する重力等の外部の場による体積力ベクトルを示し、
ｖは動粘性（一定とする）を示す。
上記式は、指標表記で記したものであり、実際にはｘ、ｙ、ｚの３方向の速度成分を表す３つの式を含むものであることに注意されたい。
【００２０】
乱流速度成分は、それぞれ平均と変動成分であるＵiとｕ'の和とすることができ、ここで、Ｕ1、Ｕ2およびＵ3はＵ、ＶおよびＷと等しく、ｕ'1、ｕ'2およびｕ'3はｕ'、 ｖ'および ｗ'と等しい。
【数７ａ〜ｂ〜ｃ】
2003530217.tif 000081
上線は時間平均であることを示す。
【数８ａ〜ｂ〜ｃ】
2003530217.tif 000082
式７ａ〜７ｃに式６ａ〜６ｃを代入し、時間平均をとることで、乱流の運動に関する次の３つの複素非線形編微分方程式からなる方程式系が得られる。
【数９ａ〜ｂ〜ｃ】
2003530217.tif 000083
式９ａ〜９ｃにおいて、ｕ'2（上線）、ｖ'2（上線）、ｗ'2（上線）はレイノルズ法線応力と称し、−ｕ'ｖ'（上線）、−ｖ'ｗ'（上線）、−ｕ'ｗ'（上線）はレイノルズせん断応力と称する。乱流運動エネルギーΚは、
【数１０】
2003530217.tif 000084
と定義される。乱流に関する連続方程式（式５）および運動方程式（式９ａ〜９ｃ）を含む一般方程式系を完成するためには、さらに、６つのレイノルズ応力ｕi' ｕj'（上線）と乱流運動エネルギーΚの遷移速度を表す７つの式が必要である。本発明において、流体内や流体と表面との界面におけるエネルギーの遷移に関連する等方性散逸率εを求める。エネルギー遷移方程式は、第１に、単位時間ｄｔあたりにある体積に付加される熱ｄＱが、内部エネルギーｄＥを増加させ、仕事ｄＷＫをする働きを有するという、熱力学の第１法則に基づくものである。
【数１１】
2003530217.tif 000085
【００２１】
文献には、乱流におけるレイノルズ応力に関する更なる方程式を展開するための方法は多く存在するが、本発明ではレイノルズ応力遷移型の方法を採用する。この方法において、レイノルズ応力の方程式は、
【数１２ａ〜ｆ】
2003530217.tif 000086
で表され、Ｐijは生成率を示し、Πijは圧力−ひずみ相関テンソルを示し、Ｊijkはレイノルズ応力の拡散流束を示し、εijは拡散テンソルを示す。
【００２２】
通常、レイノルズ応力の６項およびエネルギー散逸率に関する方程式をすべて示す必要がある。等方性散逸率εの方程式は、レイノルズ応力の遷移方程式の構造に類似している。次に、２次元乱流境界層の具体例に関して、レイノルズ応力および等方性散逸率の方程式に関する完全な数学的表現を挙げる。
【００２３】
要約すると、乱流境界層パラメータを求めるために解くべき方程式は、
連続方程式、式５、
３つの運動方程式、式９ａ、９ｂ、９ｃ、
６つのレイノルズせん断および法線応力方程式、式１２ａ〜１２ｆ、および
等方性拡散率ε（下記式１６）である。
【００２４】
乱流パラメータの解は、運動および連続方程式系とその境界条件の有限差分近似方法によるものである。
【００２５】
乱流境界層方程式
ここで、定常な２次元平均流れおよび一定の自由流速度Ｕ∞を有する乱流境界層の具体例に関して完全な数学的方程式を挙げる。文献において２次元乱流境界層方程式と称するものは、一般連続方程式（式５）および運動方程式（式９ａ〜９ｃ）から導かれ、
横方向の平均速度Ｗがゼロであること、
重力を無視することができること、
ｙ方向の圧力勾配がほぼゼロであること、
流れ方向の平均速度Ｕが法線方向の平均速度Ｖを大幅に上回ること、および
パラメータのｘ方向における変化率がパラメータのｙ方向における変化率を大幅に下回ること
を仮定項目とする。上記の仮定によって、乱流境界層パラメータを解くために必要な方程式系を簡単化することができ、連続方程式を次の式１３、
【数１３】
2003530217.tif 000087
のように、Ｕ速度成分の運動方程式を次の式１４、
【数１４】
2003530217.tif 000088
のように書き換えて使用することができる。
【００２６】
一般的に、６つのレイノルズ応力成分の遷移方程式が必要な場合、レイノルズせん断応力成分−ｖ'ｗ'（上線）および−ｕ'ｗ'（上線）は非常に小さいので、ｕ'2（上線）、ｖ'2（上線）、ｗ'2（上線）および−ｕ'ｖ'（上線）のみを式１２の形式で表現する（以下、式１５ａ〜１５ｄとして挙げる）。
【数１５ａ〜ｄ】
2003530217.tif 000089
式中、Ｐijは生成率を示し、Πijは圧力−ひずみ相関テンソルを示し、Ｊijkはレイノルズ応力の拡散流束を示し、εijは散逸テンソルを示す。εを表す第５の方程式は、
【数１６】
2003530217.tif 000090
である。式中、壁面の周辺にグリッド点が少ない粘弾性非振動表面の解において、数学的安定性を保持するために必要であれば、粘性拡散を、
【数１７】
2003530217.tif 000091
と近似することができる。
【００２７】
式１５ａ〜１５ｄにおいて、Ｐijの項を、
【数１８ａ〜ｄ】
2003530217.tif 000092
と表現することができる。また、式１６において、ＰΣを、
【数１９】
2003530217.tif 000093
と表現することができる。
【００２８】
レイノルズ応力の各成分間にエネルギーを再分散する圧力−ひずみ相関テンソルΠijを、
【数２０ａ〜ｄ】
2003530217.tif 000094
と表現することができる。式中、π'ij,1項は壁面周辺における乱流エネルギーの流線方向成分から法線方向成分と横方向成分への再分散を表し、π'ij,2項は壁面周辺におけるレイノルズ応力テンソル成分生成の変化を表し、π'ij,3項は壁面周辺における局所的渦度に比例する乱流エネルギーの再分散を表す。
【数２１ａ〜ｄ】
2003530217.tif 000095
【数２２ａ〜ｄ】
2003530217.tif 000096
【数２３ａ〜ｄ】
2003530217.tif 000097
ここで、ｆ（ｌ／ｙ）は、壁面周辺の固有減衰関数である。
【数２４】
2003530217.tif 000098
式中、
【数２５】
2003530217.tif 000099
および、
【数２６】
2003530217.tif 000100
であり、さらに、Ｄijは散逸テンソルである。
【数２７ａ〜ｄ】
2003530217.tif 000101
【００２９】
∂Ｊijk／∂ｘkは、境界層におけるレイノルズ応力の乱流および粘性拡散流束の勾配を示すものであり、ここで、境界層表示で残るのは一成分のみである。
【数２８ａ〜ｄ】
2003530217.tif 000102
式中、Ａは、ｖ'2（上線）に関する方程式において６であり、ｕ'2（上線）およびｗ'2（上線）において２であり、−ｕ'ｖ'（上線）において４であり（すなわち、実効的な乱流拡散勾配は、レイノルズ応力の各成分間で相違する）、乱流散逸係数εtは、
【数２９】
2003530217.tif 000103
である。ただし、式１６については、
【数３０】
2003530217.tif 000104
【００３０】
散逸テンソルεijを、
【数３１ａ〜ｄ】
2003530217.tif 000105
と書くことができる。式中、ｆsは、壁面周辺の流れを表す。
【数３２】
2003530217.tif 000106
および、
【数３３】
2003530217.tif 000107
【００３１】
式１６は、２つの関数ｆ1およびｆ2を含み、これらは壁面周辺の流れの補正を導入するものである。
【数３４】
2003530217.tif 000108
【数３５】
2003530217.tif 000109
表１に平面上の流れに関する定数値を示す。
【表１】
2003530217.tif 000110
２次元境界層の場合、連続方程式（式１３）、ｘ方向の運動方程式（式１４）、レイノルズ応力ｕ'2（上線）、ｖ'2（上線）、ｗ'2（上線）および−ｕ'ｖ'（上線）の遷移方程式（式１５ａ〜１５ｄ）および等方性エネルギー散逸率の方程式（式１６）を、適切な境界条件で解くことで、ｘおよびｙの様々な位置における乱流境界層パラメータを求めることができる。この問題を、有限差分近似法を利用して数値的に解いていく。各方程式を、ある関数に基づく標準形式の放物性方程式に纏めて、（ｘ、ｙ）座標系における特定のグリッド点における解を求める。
【００３２】
境界条件
境界条件とは、境界層の両端、すなわち壁面および自由流におけるパラメータの値である。自由流速度はＵ∞と定義する。壁面における境界条件は、レイノルズ法線応力とせん断応力（運動学的境界条件）、および等方性散逸率（力学的境界条件）については指定される。任意の幾何学的配置の場合、壁面のｘおよびｙ座標を指定しなくてはならない。壁面が平面である場合、境界はｙ＝０の線上にある。
【００３３】
壁面上の振動の振幅は小さいため、壁面における平均速度をゼロと仮定する線形の運動学的境界条件を使用しても構わない。平面状の壁面における変動速度成分の境界条件は、
【数３６】
2003530217.tif 000111
【数３７】
2003530217.tif 000112
【数３８】
2003530217.tif 000113
と表現することができる。式中、ξ1とξ2は、それぞれ縦方向と垂直方向の変位成分を示し、ｕ*は摩擦速度（上記の定義によるもの）を示し、Θはｘ1−ｘ3面上の平均流線に対する縦軸の角度を示す。線形の境界条件の場合、壁面における平均速度をゼロと仮定する。壁面変位は、フーリエ級数の第１モードで近似する。
【数３９】
2003530217.tif 000114
ここで、αeは、境界層における最高乱流エネルギーに対応する波数を示し、
【数４０】
2003530217.tif 000115
で得られる。式中、エネルギー運送周波数ωeを
【数４１】
2003530217.tif 000116
とする。境界層におけるエネルギー運送擾乱に対応する位相速度を
【数４２】
2003530217.tif 000117
とする。技術文献に報告されているように、エネルギーを運送する周波数は多数存在するため、
【数４３】
2003530217.tif 000118
の場合についても計算を行うと有益である。共振がない場合、壁面におけるレイノルズ応力成分を時間平均するのが適当である。
【数４４】
2003530217.tif 000119
【数４５】
2003530217.tif 000120
【数４６】
2003530217.tif 000121
【数４７】
2003530217.tif 000122
式中、｜ξi｜は変位の根二乗平均振幅を示す。受動等方性粘弾性塗料を強制負荷によって刺激した場合、その反応は進行波として現れるので、法線方向と縦方向間の位相変位φ2−φ1は、約π／２になり、壁面におけるレイノルズせん断応力は約ゼロになる。非等方性の物質の場合、位相変位が異なることもあるので、壁面でマイナスのレイノルズせん断応力が発生する可能性もある。剛性の壁面の場合、壁面における運動はなく、レイノルズせん断応力も法線応力もともにゼロとなる。
【００３４】
等方性散逸率の境界条件は、
【数４８】
2003530217.tif 000123
であり、第１項は粘性散逸に対応し、第２項は粘弾性材料によるエネルギーの吸収に対応する。剛性の表面の場合、壁面でエネルギーが吸収されることがないので、第２項はゼロに等しい。塗料による乱流エネルギーの吸収率は−ｐ'ｖ'（上線）に等しく、乱流拡散に対する勾配機構を使用して特性が特定され、境界を介するエネルギーの拡散流束であるεt（∂Κ／∂ｙ）｜y=0で近似することができる。力学的境界条件を示すこの表現は、乱流クロージュアのレイノルズ応力遷移方法に適用することができる。
【００３５】
式１３、１４、１５ａ〜１５ｄおよび１６を、粘弾性問題（以下に説明する）の解に基づいた運動学的境界条件および力学的境界条件（式４４ないし４８）を以って、平均速度成分、レイノルズ法線、せん断応力およびエネルギー散逸率について解く。問題は、放物方程式の有限差分近似法を利用して数値的に解いていく。粘弾性塗料を塗布した物体の摩擦抵抗は、２次元の物体の場合、物体の表面に亘る壁面せん断応力τwの積分値を計算することで得られる。
【数４９】
2003530217.tif 000124
式中、μ＝ρνは力学的粘性を示す。この結果を、同一の幾何学的条件および流れ条件下における剛性物体について算出したものと比較することで、推定される摩擦抵抗の低減率が得られる。
【００３６】
摩擦抵抗を低減するために、壁面における振動振幅を最小化し、同時に流れから塗料に転移する乱流エネルギーの流束−ｐ'ｖ'（上線）を最大化する必要がある。壁面振動の振幅ξ2+が粘性底層の厚さより大きくない場合、すなわち一般的に、
【数５０】
2003530217.tif 000125
の場合、境界におけるレイノルズ法線応力（式４４〜４６）をゼロと近似することができる。エネルギーを吸収する塗料であって、振動が低レベルである場合、境界層の壁面周辺のせん断応力が低く、さらに境界層における乱流の発生率も低い。粘性底層より大きい振幅で振動する塗料の場合、壁面は力学的粗さ要素として作用し、境界層で発生する乱流レベルが高くなる可能性がある。
【００３７】
粘弾性材料の乱流境界層に対する反応（ＶＥ問題）
方法の第２段階は、乱流境界層に対する粘弾性材の反応を求めるものである（図２のステップ２（Ｓ２））。剛性の壁面の場合、壁面上のレイノルズ応力（式４４ないし４７）はゼロであり、等方性散逸率には粘性項しかない。しかし、粘弾性材の場合、運動学的境界条件および力学的境界条件は２次元運動量保存方程式を粘弾性材料について解くことによって求められる。
【数５１ａ〜ｂ】
2003530217.tif 000126
式中、ρsは材料の密度を示し、ξ1とξ2は塗料の厚さの縦方向および法線方向の変位を示し、σijは応力テンソルの振幅を示す。ケルビン・フォークト（Kelvin-Voigt）型の粘弾性材料の応力テンソルは、
【数５２ａ〜ｄ】
2003530217.tif 000127
と書くことができる。式中、εsijは、応力テンソルであり、
【数５３ａ〜ｄ】
2003530217.tif 000128
【数５４】
2003530217.tif 000129
λ（ω）は、周波数依存性のラーメ（Lame）定数であり、静的体積弾性係数Ｋ0に近似することのできる静的体積弾性係数Ｋ（ω）と複素せん断弾性係数μ（ω）によって定義される。
【数５５】
2003530217.tif 000130
【００３８】
変位ξiは、周期性であるとして式３９の形式で近似し、縦および横（せん断）波のポテンシャルの関数として表すことができる。
【数５６】
2003530217.tif 000131
式中、∇φはφの勾配であり、∇χΨはベクトルΨのカールである。式５４を、２つの波のポテンシャルに対応する２つの分離された方程式として書き換えることができる。
【数５７】
2003530217.tif 000132
【数５８】
2003530217.tif 000133
【００３９】
境界条件を指定すれば、式５７および５８をポテンシャルφおよびΨに関して解くことができ、よって塗料の厚さ方向の変位、速度および応力を求めることができる。塗料は、その底部においては固定されているため、縦方向および法線方向の変位はゼロであり、壁面上のせん断応力や圧力負荷も既知である。塗料上の圧力およびせん断の脈動は、式３９における変位と同様の形式の周期関数として近似される。ただし、次の値を使用する。
【数５９】
2003530217.tif 000134
【数６０】
2003530217.tif 000135
式中、Ｋpは、クライチナン（Kraichnan）パラメータであり、その値は約２．５である。せん断の脈動を含ませるためには、せん断脈動と圧力脈動との間の位相変位も導入する必要がある。
【００４０】
計算を単位負荷に対して行う場合、実際の負荷下の壁面変位は、
【数６１】
2003530217.tif 000136
となる。式４４ないし４７における乱流境界層問題の運動学的境界条件は、材料問題の出力の関数として書き換えられる。
【数６２】
2003530217.tif 000137
【数６３】
2003530217.tif 000138
【数６４】
2003530217.tif 000139
【数６５】
2003530217.tif 000140
【００４１】
力学的境界条件は、次のように書き換えられる。
【数６６】
2003530217.tif 000141
ここで、
Ｃk3＝Ｃk2Ｋpγ（ω）
であり、γ（ω）は塗料の散逸関数である。
【００４２】
壁面を通過する乱流振動エネルギーの流束は、次のようにして直接解くことができる。
【数６７】
2003530217.tif 000142
しかし、勾配拡散法を利用して、無次元流束を拡散流束に近似することができる。
【数６８】
2003530217.tif 000143
ここで、
【数６９】
2003530217.tif 000144
【数７０】
2003530217.tif 000145
【数７１】
2003530217.tif 000146
【００４３】
式６８に基づいて、吸収性壁面上の運動学的乱流拡散εqの値を求めることができる。式６８を式６６に代入することによって、εt｜y=0と定義されるεqについて、次の表現が得られる。
【数７２】
2003530217.tif 000147
式中、Κ+maxは乱流運動エネルギーの最高値であり、Κ+qは振動する壁面の運動エネルギーであり、両者ともＵ∞2によって無次元化される。ｙ+maxは壁面から乱流エネルギーの最高値までの垂直距離と定義され、次のようにして無次元化される。
【数７３】
2003530217.tif 000148
および
【数７４】
2003530217.tif 000149
ここで、
【数７５】
2003530217.tif 000150
その結果、式４８に基づいて壁面における散逸率を求めることができる。
【００４４】
抵抗低減粘弾性材料の特性を選択するための方法
乱流摩擦抵抗を低減する粘弾性塗料の特性を選択するための方法は、上述の乱流境界層パラメータの解と粘弾性材の反応の解を両方とも必要とする。
【００４５】
平板上の２次元の流れの場合、乱流境界層問題を剛性の板について解くことによって、ある自由流速度Ｕ∞と位置における境界層厚さδが得られる。境界層の厚さは、壁面における運動がないことを仮定して連続方程式、ｘ方向の運動方程式、レイノルズ法線およびせん断応力の運送方程式、および散逸率方程式の７つの方程式を有限差分法によって解くことによって得られる。境界層の外端は、自由流に対する平均速度の比率０．９５ないし１．０の定数βとなる位置と定義される。
【００４６】
材料の周波数依存複素せん断弾性係数μ（ω）は、様々な数学的形態で表すことができるが、その中でも他のものよりも実験で測定されたせん断弾性係数データをより的確に捉えることのできるものがある。単一緩和時間（ＳＲＴ）材料とは、複素せん断弾性係数が、単一の緩和時間τsと、動的せん断弾性係数μsについて単一の値を使用して表現されるものである。式７６では、Ｎ＝１の場合のＳＲＴ材料が表現される。多緩和時間（ＭＲＴ）材料は、式７８の複素せん断弾性係数の表示においてＮ＞１のものである。
【数７６】
2003530217.tif 000151
式７４に、複素せん断弾性係数のＨＮ（ハブリリアク・ネガミ）表現を記載した。この方程式はより複雑であるが、実際の材料を表すのに適している。
【数７７】
2003530217.tif 000152
複素せん断弾性係数が式７７によって表されるＨＮ型の材料の場合、μ∞は限界の高周波数係数であり、αHNおよびβHNは定数である。抵抗低減塗料に使用される高分子材料において、Ｋ（ω）は実質的に一定であり、その値は約１×１０8Ｐａである。
【００４７】
まず最適なＳＲＴ材料を決定し、次に周知の高分子化学により生成可能な特性を有するＨＮ型の材料を選択することが、推奨される。
【００４８】
ＳＲＴ材料は、材料の厚さＨ、密度ρs、静的せん断弾性係数μ0、動的せん断弾性係数μsおよび緩和時間τによって材料特性を特定することができる。粘弾性材料の密度ρsとして、水の１０％以内であれば適当である。ＳＲＴ材料の場合、材料の静的せん断弾性係数の初期推定値μ0は、材料内のせん断波の速度が、エネルギー運送擾乱Ｃの位相速度とほぼ等しいことに基づいて、
【数７８】
2003530217.tif 000153
である。この位相速度Ｃは、自由流速度Ｕ∞の値の０．８倍であることとする（式４２）。対流速度がせん断波速度より速い場合、不安定になり、材料の表面に大きな波が現れ、塗料の抵抗が増加する。
【００４９】
厚さＨの初期値は、μs／μ0＞１である等方性粘性材料の場合、
【数７９】
2003530217.tif 000154
であり、μs／μ0＜１である等方性の低粘性材料の場合、
【数８０】
2003530217.tif 000155
である。
【００５０】
特定の適用例において、塗料の最適所望厚さが実用的な値よりも大きくなることもある。等方性塗料を式７９〜８０によって推奨される厚さよりも薄くすることはできるが、横方向および縦方向より法線方向の硬さが高い異方性塗料を使用することで厚さを多少削っても同等の性能が得られる。
【００５１】
Ｈ、μ0およびρsを指定すると、式５７および５８で示すＶＥ問題を、τsおよびμsの値（すなわち、複素せん断弾性係数の様々な値）のマトリックスおよび複数の波数について数値的に解いていく。境界層における最大乱流エネルギーに対応する波数は、
【数８１】
2003530217.tif 000156
である。式中、最大エネルギー運送擾乱の周波数ωeは、式４１によって推定される。この計算によって、表面変位振幅や、塗料中への乱流振動エネルギーの流束が得られる。ＳＲＴ材料の特性は、実際の負荷下の表面変位（式６１）が粘性底層の厚さより小さく、塗料内に向かうエネルギー流束（式５７）が最大の場合に最適となる。さらに、エネルギー運送周波数ωeに対してマイナス１デカードからプラス１デカードの間の周波数についてこの条件を保つことが好ましい。
【００５２】
指定されたＨ、μ0およびρsについて最適値τsおよびμsが得られると、厚さＨおよび静的係数μ0を少しずつ変えながら計算を繰り返す。この計算によって、指定された流れ条件および配置についてＳＲＴ材料の最適なパラメータ（Ｈ、μ0およびρs、τsおよびμs）が選択される。
【００５３】
ＳＲＴ表現は、粘弾性塗料の候補であるポリウレタンやシリコーン等の実際の高分子材料の複素せん断弾性係数を十分に表すに足りるものではない。せん断弾性係数のより複雑なＭＲＴまたはＨＮ表現は、複数の定数を必要とし、数値的パラメータ評価に向かない。そのため、ＳＲＴ材料について解法して得られた材料パラメータは、実使用でより容易に形成することのできる、ＨＮ方程式（式７９）で表現されるような候補を選択するために使用される。基準として、ωeに対してマイナス１デカードからプラス１デカードまでの周波数範囲において目的とするＳＲＴ材料とＨＮ材料の複素せん断弾性係数曲線（値および傾き）をマッチングすることが望ましく、マッチングが最も重要となる個所は、ωe周辺である。
【００５４】
多層の等方性塗料(isotropic coating)を設計するために、各層について複素せん断弾性係数、密度および厚さ等の特徴を指定し、層間には固定境界条件(non-slip boundary conditions)を適用する。上層の特性は、単一層に関する方法に従って特定され、下層は、より遅い自由流速度に対して最適化されるように、次第に低くなる静的せん断弾性係数を有する。よって、適切に設計された多層塗料は、幅広い自由流速度に対して抵抗を低減することができる。
【００５５】
異方性塗料の設計では、複素せん断弾性係数は、法線方向の値が横方向や縦方向の値と異なる（以下、縦等方性と称する）。粘弾性材料が単一緩和時間モデルに従うものであれば、静的せん断弾性係数μ0、動的せん断弾性係数μsおよび緩和時間τsは、式８２および８３に示すように、方向によって異なる。法線方向の静的せん断弾性係数μ01は、縦横面におけるものμ02より大きくなる。法線方向の複素せん断弾性係数は、
【数８２】
2003530217.tif 000157
と示すことができるが、流線方向および横方向のせん断弾性係数は、
【数８３】
2003530217.tif 000158
と示す。粘弾性の横等方性材料の場合、等方性材料に対して壁面振動振幅が比較的小さくなり、材料内に流れ込むエネルギー流束のレベルが増加する。よって、適切に設計された異方性塗料は、同レベルの抵抗低減率が期待される等方性塗料よりかなり薄くなる。
【００５６】
抵抗低減性粘弾性塗料の構造の選択方法
塗料の設計のさらなる側面として、粘弾性材料の内部構造の選択がある。粘弾性塗料を実際に使用する場合、塗料の塗布範囲が有限であり、前端、後端および側端が存在する。塗料の性能は有限の端部による影響を受ける。端部を適切に配置することによって、流れの壁面周辺の横および縦方向の渦状の構造を整え、安定化することができ、よってこれらの渦構造の変形を遅らせ、流れの安定性を強化することができる。しかし、端部の構造が乱れていれば、その周辺の粘弾性材料の振動の振幅を大きくしてしまうおそれもある。局所的不安定性は、塗料の性能の劣化に繋がる可能性もあり、精密に設計された材料であっても、端部の影響によって抵抗が増加してしまうこともある。そのため、塗料は、有限端部の周辺を構造化するのである。例えば、端部の周辺の塗料下に剛性のウェッジ（図３）や、その他の局所構造を設ける等の方法によって塗料の厚さを小さくすることで振動を最小化することができる。大きな物体の場合、連続的な塗料を形成することが非現実的または困難である可能性もある。その代替として、有限長の塗料セグメントを複数設け、塗料系の縦および横端部が両方とも流れ構造を安定にする、各セグメントの端部における悪影響を最小化するように整えられた、断片的連続塗料が考えられる。
【００５７】
端部を整える他にも、塗料の長さに沿って縦方向の渦の安定性を強化するために粘弾性塗料を壁面構造と組み合わせることによって、多数の物理機構を介して抵抗の低減率を向上することができる。この構造は、粘弾性塗料上にリブレットを設けたり、いわゆる「逆」リブレットを形成するものである。後者の場合、粘弾性材料を剛性材料からなるリブまたはリッジの上に塗布することで、粘弾性壁面上に流体が流れるときに縦方向のリブレット構造が形成されるようにする。
【００５８】
セグメントの寸法や塗料内構造の寸法として、壁面周辺の乱流の縦方向および横方向のスケールの倍数を選択する。このスケールは、物体の速度、物体上の位置または高分子量ポリマーの希釈水性溶液等の非ニュートン性添加物の添加等によって変化する。
【００５９】
【工業上の利用分野】
本発明による粘弾性塗料は、具体的に説明した形態に限定されるものではない。粘弾性塗料は、回転体や平面等を含む様々な形状および寸法の物体に適用することができる。塗料のパラメータは、本発明の方法に基づいて選択され、壁面に対して垂直な材料特性（例えばせん断弾性係数）が縦横面の特性と違う異方性材料も含むことができる。塗料の構造は、指定される配置によって前端および後端で変更することも可能である。当業者は、上記説明を読むことで様々な形態を想像し得るであろうが、当業者にとって自明な形態は、ここで開示された発明の技術的範囲内に含まれる。
【図面の簡単な説明】
【図１】
図１Ａは、低振幅の進行波が表面上に発生した場合の受動粘弾性壁面の乱流境界層との相互作用を示した概略図であり、図１Ｂは、図１Ａの丸で示した部分の拡大図であり、変位振幅を示すものである。
【図２】
図２は、ａ）所定の流れ条件下で乱流摩擦抵抗を低減することのできる粘弾性材料を選択し、ｂ）剛性面に対する抵抗の低減率を数値化するために必要な基本的な方法を示すフローチャートである。
【図３】
図３は、局所的な振動振幅および縁効果を最小化するために粘弾性塗料と剛性面との交点に導入される構造の詳細図である。