(57)【要約】【課題】結晶板での粘性効果の予測のためのスーパーエレメント。【解決手段】「スーパーエレメント」を用いて共振する結晶板の電気インピーダンスおよび動キャパシタンスを計算するまたは予測するための技術は、この特性の実質的により正確な判定を可能にする。逐次の高位の二次元方程式の集合はまず構造粘性を考慮に入れて線形圧電気の三次元方程式から導かれる。二次元方程式は使用すべき論理である３階のプレート論理に対する互換性を達成するために、方程式は３階に打ち切る。粘性を考慮に入れない場合、３階のプレート論理の方程式を有限要素（FE）法を用いて解く。この非粘性の解は次にスーパーエレメントを構築するために使用され、スーパーエレメントは３階のプレート方程式を粘性を伴って解くように使用される。電気インピーダンスおよび動キャパシタンスは粘性を伴った解から計算される。【選択図】図２
2006351016.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
結晶板の電気インピーダンスまたは動キャパシタンスのうちの少なくとも一つを判定するための方法で、
（a）結晶板を分析するための方程式の集合を導出するかまたは得るステップと、
（b）非粘性の解を得るために、結晶板の粘性を考慮に入れずに方程式の集合を解くステップと、
（c）前記非粘性の解を用いてスーパーエレメントを構築するステップと、
（d）粘性の解を得るために、結晶板の粘性を考慮に入れながら前記スーパーエレメントを用いて方程式の集合を解くステップと、
（e）前記粘性の解を用いて結晶板の電気インピーダンスまたは動キャパシタンスのうちの少なくとも一つを判定するステップとを含む方法。
【請求項２】
前記ステップ（b）において、非粘性の解を得るために励起電圧が結晶板に印加されない状態で方程式の集合を解く、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記ステップ（b）が有限要素法を用いて行われる、請求項１に記載の方法。
【請求項４】
前記ステップ（b）で得られる非粘性の解は結晶板の共振周波数および対応する振動モードを与える、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
前記ステップ（c）で構築されるスーパーエレメントは重み関数として非粘性解を有する一つの有限要素である、請求項１に記載の方法。
【請求項６】
前記ステップ（c）で構築されるスーパーエレメントは重み関数として非粘性解を有する一つの有限要素である、請求項４に記載の方法。
【請求項７】
請求項１に記載の方法を実行するよう適切なデバイスに指図するように適合された命令の集合を含む媒体または波形。
【請求項８】
結晶板の電気インピーダンスまたは動キャパシタンスのうちの少なくとも一つを判定するための方法で、
（a）結晶板を分析するための方程式の集合を導出するかまたは得るステップと、
（b）非粘性の結晶板の少なくとも一つの振動モードを得るために粘性をゼロに設定して方程式の集合を解くステップと、
（c）ステップ（b）で得られた非粘性の結晶板の少なくとも一つの振動モードを用いてスーパーエレメントを構築するステップと、
（d）前記スーパーエレメントを用いてステップ（b）で得られた各振動モードのインピーダンス特性を評価するステップと、
（e）粘性の解を得るために方程式の集合を解くステップと、
（f）前記粘性の解を用いて結晶板の電気インピーダンスまたは動キャパシタンスのうちの少なくとも一つを判定するステップとを含む方法。
【請求項９】
前記ステップ（b）において、非粘性の解を得るために励起電圧が結晶板に印加されない状態で方程式の集合を解く、請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記ステップ（b）が有限要素法を用いて行われる、請求項８に記載の方法。
【請求項１１】
前記ステップ（b）において、非粘性の結晶板の複数の振動モードが得られる、請求項８に記載の方法。
【請求項１２】
前記ステップ（c）で構築されるスーパーエレメントは一つの有限要素である、請求項８に記載の方法。
【請求項１３】
請求項８に記載の方法を実行するよう適切なデバイスに指図するように適合された命令の集合を含む媒体または波形。
【請求項１４】
結晶板の電気インピーダンスまたは動キャパシタンスのうちの少なくとも一つを判定するための装置で、
非粘性の解を得るために、結晶板の粘性を考慮に入れずに方程式の集合を解くこと、
非粘性の解を用いてスーパーエレメントを構築すること、
粘性の解を得るために、結晶板の粘性を考慮に入れながらスーパーエレメントを用いて方程式の集合を解くこと、
粘性の解を用いて結晶板の電気インピーダンスまたは動キャパシタンスのうちの少なくとも一つを判定すること、
ができるように構成された一つ以上の構成要素またはモジュールを含む装置。
【請求項１５】
前記一つ以上の構成要素またはモジュールで実行される操作は、ソフトウェア、ハードウェア、またはその組み合わせで実施されるプログラムの命令で指定される、請求項１４に記載の装置またはデバイス。
【請求項１６】
前記一つ以上の構成要素またはモジュールは少なくともプロセッサを含む、請求項１４に記載の装置またはデバイス。
【請求項１７】
前記装置はコンピュータを含む、請求項１４に記載の装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は共振する結晶板の電気インピーダンスおよび動キャパシタンス（motional capacitance）を予測するためのモデルおよびそれに伴うアルゴリズムに関する。シミュレーションモデルおよびアルゴリズムは適切なコンピュータで実行するソフトウェアプログラムとして実現しても構わない。
【背景技術】
【０００２】
従来の結晶板の分析または数値シミュレーションは結晶板の材料粘性（material viscosity）を考慮に入れない。単結晶は一般的に非常に低い材料粘性を有するので、このような従来の方法は概して比較的に正確な共振周波数と振動モードを予測する。しかし、従来の方法は動キャパシタンスまたは電気インピーダンスを計算するには役立たない。こうした方法はこの項にとってそれぞれ無限大とゼロを生じ、言うまでもなくこれは合理的でない。その上、多くの多結晶セラミックは単結晶よりも高い材料粘性を有する。こうした制限により、分析またはシミュレーション結果を実験データに対して比較することまたは設計に使用することを困難にする。結晶板共振器の共振周波数をテストするのに一般的に使用されるインピーダンス分析器において、共振はインピーダンス曲線の局所最小値として見られる。しかし、ゼロである局所インピーダンスはけっして現れない。これは、結晶板が振動するときにその結晶板の粘性が必ずエネルギーを少々減衰するためである。
【０００３】
【特許文献１】米国特許第5,112,642号明細書
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
本発明は電気インピーダンスおよび動キャパシタンスを簡単に計算する方法を提供することによって上に述べた問題を克服することを目的としている。一般的に言えば、逐次の高位（high order）の二次元方程式の集合はまず構造粘性（structural viscosity）を考慮に入れて線形圧電気の三次元方程式から導かれる。二次元方程式を使用するための好適な論理である３階のプレート論理（third-order plate theory）に対する互換性を達成できるように、方程式は３階に打ち切られる（truncated to third-order）。粘性を考慮に入れない場合、３階のプレート論理の方程式が有限要素（FE）法を用いて解かれる。この非粘性の解は次にスーパーエレメントを構築するために使用され、スーパーエレメントは３階のプレート方程式を粘性を使って解くために使用される。電気インピーダンスおよび動キャパシタンスは粘性での解から計算される。
【課題を解決するための手段】
【０００５】
本発明の一つの態様によれば、結晶板の電気インピーダンスまたは動キャパシタンスのうちの少なくとも一つを判定するための方法を提供している。一つの態様において、方法は、結晶板を分析するための方程式の集合を導くかまたは得るステップ、非粘性の解を得るために結晶板の粘性を考慮に入れない方程式の集合を解くステップ、非粘性の解を用いてスーパーエレメントを構築するステップ、粘性の解を得るために結晶板の粘性を考慮に入れながらスーパーエレメントを用いて方程式の集合を解くステップ、および粘性の解を用いて結晶板の電気インピーダンスおよび／または動キャパシタンスを判定するステップを含む。
【０００６】
また、非粘性の解を得るに当って、方程式の集合はFE法を用いて解かれ、結晶板に印加された励起電圧（excitation voltage）を考慮に入れないことが好ましい。非粘性の解は結晶板の共振周波数と対応する振動モードを生じるのが好ましい。
【０００７】
また、構築されたスーパーエレメントは非粘性解が重み関数（a weight function）としての一つの有限要素であるのが好ましい。
【０００８】
もう一つの実施例において、結晶板の分析に使用する方程式の集合を導くまたは得るステップ、非粘性の結晶板の少なくとも一つの振動モードを得るために粘性をゼロにして方程式の集合を解くステップ、得られた非粘性の結晶板の振動モードを用いてスーパーエレメントを構築するステップ、スーパーエレメントを用いて各得られた振動モードのインピーダンス特性を評価するステップ、粘性の解を得るために方程式の集合を解くステップ、および粘性の解を用いて結晶板の電気インピーダンスおよび／または動キャパシタンスを判定するステップを含む。
【０００９】
また、非粘性の解を得るに当って、方程式の集合はFE法を用いて結晶板に励起電圧を印加しないで解かれるのが好ましい。非粘性の解は非粘性結晶板の振動モードを生じるのが好ましい。
【００１０】
また、構築されたスーパーエレメントは一つの有限要素であるのが好ましい。
【００１１】
発明のもう一つの態様は、上記のどの方法でも媒体または波形に含まれる命令の集合の実行に応じて適切なデバイスによって実行できることである。つまり、どの方法でもまたはそれらのどのステップでもコンピュータまたはその他のプロセッサ制御デバイスで実行するためにおそらく格納されたまたは送られた命令の集合による指示に従ってそのコンピュータまたはその他のプロセッサ制御デバイスで実行できる。命令の集合はソフトウェアの形にしても構わない。あるいは、命令の集合は、例えば特定用途向けIC（ASIC）、ディジタル信号処理回路、論理回路などのようなハードウェアに直接に実施でき、または命令の集合はソフトウェアとハードウェアの組み合わせとして実現できる。
【００１２】
もう一つの態様において、発明は結晶板の電気インピーダンスまたは動キャパシタンスのうちの少なくとも一つを判定するための装置を伴う。装置は一つ以上の構成要素またはモジュールを含み、その構成要素またはモジュールは、非粘性の解を用いてスーパエレメントを構築すること、粘性の解を得るために結晶板の粘性を考慮に入れスーパーエレメントを用いて方程式の集合を解くこと、粘性の解を用いて結晶板の電気インピーダンスまたは動キャパシタンスのうちの少なくとも一つを判定すること、を行うように構成される、
構成要素またはモジュールで実行される操作はソフトウェア、ハードウェアまたはその組み合わせに実施された命令のプログラムによって指定できる。また、構成要素またはモジュールはプロセッサともしくは記載の機能を実行するためにプロセッサと共に操作するメモリ、コプロセッサなどのようなその他の構成要素に実施できる。
【００１３】
添付の図面と共に下記の説明および請求項を参照することにより、本発明をより深く理解できると共にその他の目的および功績が明らかになる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１４】
以下、本発明の実施形態を図面に基づいて説明する。
【００１５】
［実施形態１］
I.  はじめに
本発明は振動する結晶板の電気インピーダンスおよび動キャパシタンスを計算するまたは予測するためのモデルおよびそれに伴うアルゴリズムに関係する。結晶板はその粘性も励起電圧も考慮に入れずに有限要素（FE）法を用いて分析され、その結果は変位（displacement）またはモード形（mode shape）を生じ、それは次に「スーパーエレメント」を構築するために使用される。スーパーエレメントは、結晶板の粘性と励起電圧を考慮に入れながらそのモード形を計算するために使用される。この粘性の解は次に結晶板の電気インピーダンスおよび動キャパシタンスを計算するために使用される。
【００１６】
II.主な圧電気の方程式（Governing Equations of Piezoelectricity）
2006351016.tif 000003
【００１７】
【数１】
2006351016.tif 000004
【００１８】
【数２】
2006351016.tif 000005
【００１９】
【数３】
2006351016.tif 000006
【００２０】
2006351016.tif 000007
【００２１】
【数４】
2006351016.tif 000008
【００２２】
2006351016.tif 000009
修正された高位プレート方程式（higher-order plate equation）を提供するのに変分原理（variational principal）を使用するのは便利である、つまり、方程式(5)に述べているように領域Vは表面Sで有限されるとしたら、それにおいてKは方程式(6)に述べている運動エネルギー密度（kinetic energy density）であり、Hは方程式(7)に述べている電気エンタルピー密度（electric enthalpy density）である。HおよびKの方程式を方程式(5)に代入すると、方程式(8)が与えられる。(8)での変分原理は高位プレート方程式を導出するために次の章で使用される。
【００２３】
【数５】
2006351016.tif 000010
【００２４】
【数６】
2006351016.tif 000011
【００２５】
【数７】
2006351016.tif 000012
【００２６】
【数８】
2006351016.tif 000013
【００２７】
III.二次元方程式
2006351016.tif 000014
【００２８】
【数９】
2006351016.tif 000015
【００２９】
【数１０】
2006351016.tif 000016
【００３０】
【数１１】
2006351016.tif 000017
【００３１】
2006351016.tif 000018
【００３２】
【数１２】
2006351016.tif 000019
【００３３】
【数１３】
2006351016.tif 000020
【００３４】
【数１４】
2006351016.tif 000021
【００３５】
2006351016.tif 000022
【００３６】
【数１５】
2006351016.tif 000023
【００３７】
2006351016.tif 000024
【００３８】
【数１６】
2006351016.tif 000025
【００３９】
【数１７】
2006351016.tif 000026
【００４０】
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【００４１】
【数１８】
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【００４２】
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【００４３】
【数１９】
2006351016.tif 000030
【００４４】
【数２０】
2006351016.tif 000031
【００４５】
二次元方程式の公式化および導出は図２のフローチャートのステプ201をなす。
【００４６】
上で導出した二次元方程式はゼロ階の、１階の、２階の、３階の、またはそれより高い階のプレート論理方程式を得るために打ち切られる（ステップ202）。どの階まで打ち切るかは、振動モードおよび必要な正確さいかんによる。次の章において、３階の論理を用いる粘性の分析を焦点とある。従って、ここで打ち切れた３階の方程式を説明する。３階のプレート論理にとって、(21)に述べられる条件を適用できる。面積単位毎のプレート質量（plate mass）に対する電極質量（electrode mass）の比率として定義される質量比R（mass ratio）は、電極の質量効果（mass effect）を含むために運動の方程式（equations of motion）の右側に追加されることに注目すべき。各々３階まで打ち切られる運動の応力方程式、電荷方程式、構成方程式および勾配方程式は、(22)、(23)、(24)、と(25)のそれぞれに述べられる。
【００４７】
【数２１】
2006351016.tif 000032
【００４８】
【数２２】
2006351016.tif 000033
【００４９】
【数２３】
2006351016.tif 000034
【００５０】
【数２４】
2006351016.tif 000035
【００５１】
【数２５】
2006351016.tif 000036
【００５２】
IV.有限要素の実行
2006351016.tif 000037
【００５３】
一般化したn階の変位場、ひずみ、および応力は(26)に定義される。従って、３階プレート論理の一般化した変位ベクトル、ひずみおよび応力は(27)に述べられているようである。(28)の方程式はn階の勾配関係(11)から得られ、これにおいて応力作用素（strain operators）は(29)に述べられているように定義される。従って、３階のプレート論理の一般化した応力は(30)に述べられているようである。
【００５４】
【数２６】
2006351016.tif 000038
【００５５】
【数２７】
2006351016.tif 000039
【００５６】
【数２８】
2006351016.tif 000040
【００５７】
【数２９】
2006351016.tif 000041
【００５８】
【数３０】
2006351016.tif 000042
【００５９】
３階のプレート論理の構成方程式（constitutive equation）は、(31)に述べるようにマトリックスの形にも書け、そこで関連するマトリックスは(32)に定義される。
【００６０】
(5)および(20)から、３階の論理の変分原理は(33)に述べられているようである。マトリックスの形でそれは（34）に表しているように書け、関連するマトリックスは(35)と（36）のように定義される。
【００６１】
【数３１】
2006351016.tif 000043
【００６２】
【数３２】
2006351016.tif 000044
【００６３】
【数３３】
2006351016.tif 000045
【００６４】
【数３４】
2006351016.tif 000046
【００６５】
【数３５】
2006351016.tif 000047
【００６６】
【数３６】
2006351016.tif 000048
【００６７】
2006351016.tif 000049
【００６８】
【数３７】
2006351016.tif 000050
【００６９】
【数３８】
2006351016.tif 000051
【００７０】
【数３９】
2006351016.tif 000052
【００７１】
2006351016.tif 000053
【００７２】
【数４０】
2006351016.tif 000054
【００７３】
プレート11の幾何および電極の機械効果（mechanical effect）はこのステップで処理することに注目すべき。
【００７４】
V.スーパーエレメント
2006351016.tif 000055
【００７５】
【数４１】
2006351016.tif 000056
【００７６】
【数４２】
2006351016.tif 000057
【００７７】
【数４３】
2006351016.tif 000058
【００７８】
【数４４】
2006351016.tif 000059
【００７９】
【数４５】
2006351016.tif 000060
【００８０】
【数４６】
2006351016.tif 000061
【００８１】
VI.インピーダンスおよびキャパシタンス
プレートインピーダンスまたは動キャパシタンスを得るのに、まず表面電荷を得なければならない。
2006351016.tif 000062
【００８２】
【数４７】
2006351016.tif 000063
【００８３】
【数４８】
2006351016.tif 000064
【００８４】
【数４９】
2006351016.tif 000065
【００８５】
【数５０】
2006351016.tif 000066
【００８６】
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【００８７】
【数５１】
2006351016.tif 000068
【００８８】
【数５２】
2006351016.tif 000069
【００８９】
VII.数的な例
数的な例として、厚さ80ミクロンおよび幅3ミリメートルの矩形AT-カット石英プレートの振動を考える。石英プレートは上部および下部のアルミニウム電極で塗布され、その各々が厚さほぼ785オングストロムである。石英およびアルミニウムの密度はそれぞれ2649Kg/m3および2699Kg/m3であるので、方程式(21)の右側の質量比Rは0.002である。AT-カット石英のための複素弾性スティフネス係数（縮約の形で）、圧電定数、および誘電率はそれぞれに方程式(53)、(54)、および(55)に述べられる。構造粘性（structural viscosity）のないAT-カットプレートのための正規化の振動周波数および長さ対厚さ比率a/bの間の関係を、図3に示し、そこでf0=20.68MHz。周波数が長さ対厚さ比率で影響されない基本的厚さずれモード（fundamental thickness shear mode）は、0.998としての正規化の周波数を有する。このモードは、a/b=80.25、81.6、および81.86で曲げモード（flexural mode）に強く結合される。基本的厚さずれモードの予測したインピーダンスの実部（real part）を図4に示す。基本的に、もしモードは曲げモードに結合されていない場合には、インピーダンスの値はほぼ0.18オームである。しかし、結合が強くなる位置でその値は遥かに高くなることはあり得る。a/b比率が高くなるとインピーダンスは少し低下するが、その差があまりにも小さすぎるので図に見えないことに注目すべき。
【００９０】
【数５３】
2006351016.tif 000070
【００９１】
【数５４】
2006351016.tif 000071
【００９２】
【数５５】
2006351016.tif 000072
【００９３】
VIII.実行
上の説明が示すように、本発明はスーパーエレメントを用いて共振する結晶板の電気インピーダンスおよび動キャパシタンスを計算するための効果的な方法を提供する。
【００９４】
発明の詳細を説明してきたが、ここで発明を実行するのに使用可能な模式的システムを説明する。このようなシステム50を図５に示す。図5に示されるように、コンピュータまたはワーク・ステーションで構わないシステムは、計算資源（computing resources）を提供しシステムを制御する中央処理ユニット（CPU）51を含む。CPU51はマイクロプロセッサなどのようなもので実行でき、一つ以上のCPUであっても構わず、さらに一つ以上のグラフィックスプロセッサなどのような補助チップを含んでも構わない。システム50はさらにシステム・メモリ52を含み、それはランダム・アクセス・メモリ（RAM）および読取り専用メモリ（ROM）の形になっていても構わない。
【００９５】
図5に示されるように、多数のコントローラおよび周辺機器も提供される。入力コントローラ53は、キーボード、マウス、および／またはスタイラスなどのような多数の入力装置54へのインタフェースである。ストレージコントローラ55は一つ以上のストレージデバイス56にインタフェースし、その各々は、磁気テープまたは磁気ディスクのような記憶媒体を含み、またはそれらの媒体は、本発明の様々な態様を実行するプログラムの実施例を含める、オペレーティング・システム、ユティリティー、およびアプリケーション用のプログラム命令を記録するために使用できる光学式媒体を含む。ストーレジデバイス56は、本発明に従って処理されたデータまたは今後処理されるデータを格納するためにも使用できる。ディスプレーコントローラ57は、シミュレーションを見るためにディスプレーデバイス58（従来のどんなタイプでも構わず）へのインタフェースを提供する。通信コントローラ61は一つ以上の通信デバイス62にインタフェースし、それによってシステム50はインタネット、ローカル・エリア・ネットワーク（LAN）、広域ネットワーク（WAN）などのような多数のどんなネットワークでも介して、または赤外線信号を含むどんな適切な電磁搬送波信号でも介して遠隔デバイスに接続できるようになる。
【００９６】
示されるシステムにおいて、すべての主なシステム要素は、一つ以上の物理的バスであっても構わないバス63に接続する。しかし、様々なシステム要素は互いに物理的に近接してもしていなくても構わない。例えば、入力データおよび／または出力データは一つの物理的な場所から他の物理的な場所へ遠隔通信しても構わない。また、本発明の様々な態様を実行するプログラムは、ネットワークを介して例えばサーバのような遠隔場所からアクセスできる。このようなデータおよび／またはプログラムは、磁気テープ、磁気ディスク、または光学式ディスクを含む様々などんな機械可読媒体でも、どんなネットワーク信号でも、または赤外線信号を含むその他のどんな適切な電磁搬送波信号でも介して通信できる。
【００９７】
本発明はソフトウェアで実行するのが便利である。しかし、他の実行のしかたは確かに可能であり、それはハードウェアおよび／またはソフトウェア／ハードウェアでの実行を含む。ハードウェアでの実行の機能はASIC、デジタル信号処理回路などを用いて実現できる。従って、請求項における「要素またはモジュール」と言う句はソフトウェアおよびハードウェアでの実行の両方を含むつもりである。同じように、「媒体」と言う語はここで使用することにとってソフトウェア、ハードウェア上にハードワイヤされたプログラム命令を有するハードウェア、またはその組み合わせを含む。命令はどんな適切な電磁搬送波を含む「波形」で搬送されても構わない。こうした実行の可能性を考えながら、図およびそれに伴う説明は必要な処理を実行するために当業者がプログラムコード（つまり、ソフトウェア）を書く、または回路（つまり、ハードウェア）を作成するのに必要な機能情報を提供していると理解している。
【００９８】
発明をいくつかの具体的な実施例と共に説明してきたが、上記の説明に照らして当業者ならばさらなる変形例、修正例、変更例および適用例が明らかになるだろう。従って、本書で説明している発明は添付の請求項の精神および範囲内に入るあらゆるそうした変形例、修正例、変更例および適用例を含んでいるつもりである。
【図面の簡単な説明】
【００９９】
【図１】直交座標系内の結晶板。
【図２】発明の少なくとも一つの実施例に従って結晶板の電気インピーダンスまたは動キャパシタンスのいずれかまたは両方を判定するためのアルゴリズムを示すフローチャート。
【図３】結晶板アスペクト比a/b（つまり、その長さと厚さの比）と無次元の固有周波数（natural frequency）との間の関係を示すシミュレーション結果。
【図４】種々なアスペクト比でのインピーダンスの予測した実部を示すシミュレーション結果。
【図５】本発明の態様を実現するために使用できる模式的なシステムを示すブロック図。
【符号の説明】
【０１００】
54  入力装置
56  ストレージデバイス
58  ディスプレーデバイス
62  通信デバイス
53  入力コントローラ
55  ストレージコントローラ
57  ディスプレーコントローラ
61  通信コントローラ
51  CPU（中央処理ユニット）
52  システム・メモリ
【図１】
2006351016.tif 000073
【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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