(57)【要約】      （修正有）【課題】線形集中回路と受動回路を陽的に解くように、ＦＤＴＤ法を改良する。【解決手段】マクスウェルの方程式とキルヒホッフの法則を満たす物理変数Tiの値を離散化された時間増分Δtを用いて解析する解析方法において、コンピュータは当該方程式と法則における項∫…∫Ti dtjのそれぞれを(Δt)j Ti, jに置換し、メモリに記憶されている変数Ti, 0をTiに初期化し、変数Ti, jを、該変数Ti, jが前記置換された方程式と前記置換された法則を満たすように、有限差分時間ドメイン法により、前記時間増分Δtを用いて離散化して解く。【選択図】図３
2006323712.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
マクスウェルの方程式とキルヒホッフの法則を満たす物理変数Tiの値を、離散化された時間増分Δtを用いて解析する解析方法であって、
当該方程式と法則において、項∫…∫Ti dtjのそれぞれを(Δt)j Ti, jに置換する置換ステップ、
メモリに記憶されている変数Ti, 0をTiに初期化する初期化ステップ、
変数Ti, jを、該変数Ti, jが前記置換された方程式と前記置換された法則を満たすように、有限差分時間ドメイン法により、前記時間増分Δtを用いて離散化して解く、求解ステップ
を備えることを特徴とする方法。
【請求項２】
物理量を表す変数Ti(t)（i=1, 2, ..., m）のj（j=0, 1, 2, ..., maxj）階積分、∫…∫Ti(t)dt…dt、がマクスウェルの方程式およびキルヒホッフの法則を含む線形方程式を満たすとき、時間の刻み幅Δtに対して、前記変数Ti(t)の時刻nΔt（n=0, 1, 2, ...）における値Ti(nΔt)を有限差分時間ドメイン法により解析する解析方法であって、
当該線形方程式に含まれる変数Ti(t)のj階積分
∫…∫Ti(t)dt…dt
のそれぞれを、
(Δt)jTi, j(nΔt)
に置換する置換ステップ、
当該変数Ti, j(nΔt)の値を、i、j、nによって識別される記憶域M[i, j, n]に記憶するメモリにおいて、
（a）M[i, 0, 0]を、Ti(0)に、
（b）M[i, j, 0]（j=1, 2, ..., maxj）を、所定の初期値に、
それぞれ初期化する初期化ステップ、
前記初期化の後、前記置換された線形方程式を、j=1, 2, ..., maxjについて、
M[i, j, n+1] = (M[i, (j-1), n]+M[i, (j-1), n])/2+M[i, j, n]
を満たすように離散化して解いて、M[i, j, n]を順次計算しながら当該メモリに記憶する求解ステップ、
当該メモリに記憶されたM[i, 0, n]を、当該変数Tiの時刻nΔtにおける値Ti(nΔt)として出力する出力ステップ
を備えることを特徴とする方法。
【請求項３】
請求項２に記載の解析方法であって、
前記求解ステップでは、ルンゲ・クッタ法もしくはシンプレクス求積伝搬法により、当該線形方程式を離散化して解く
ことを特徴とする方法。
【請求項４】
請求項２または３に記載の解析方法であって、
前記置換ステップでは、数式処理および記号処理により、置換する
ことを特徴とする方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、一般的な高次元回路を解析するための、行列理論と積分変換に基づく有限差分時間ドメイン（FDTD）技術に関する。
【背景技術】
【０００２】
FDTD法は最近の十年間に発展し、多様な受動電磁波問題に応用されて成果を上げている。例えば、複合型受動・能動マイクロ波集積回路をFDTD法により解析する技術が以下の非特許文献に記載されている。
【非特許文献１】Yee K. S.  「等方性媒体におけるマクスウェル方程式を含む初期境界値問題の数値解法」  IEEE Trans.  Antennas Propagat.、１９９６年、１４（５）、３０２−３０７頁
【非特許文献２】Taflove A.  「コンピュータ・エレクトロダイナミクス−有限差分時間ドメイン法」  Norwood、MA:  Artech House、１９９５年
【非特許文献３】Shao Z. H.、Wei G.W.  「マクスウェル方程式のDSC時間ドメイン法による解法」  Journal of Computational Physics、２００３年、１８９（２）、４２７−４５３頁
【非特許文献４】Shao Z. H.、Shen Z. X.、He Q.、Wei G.  「一般化された高次元有限差分時間ドメイン法と導波問題への応用」  IEEE Trans.、Microwave Theory Tech.、２００３年、５１（３）、８５６−８６１頁
【非特許文献５】Sui W.  「非線形複合型システムの時間ドメイン法によるコンピュータ解析」  CRC Press、２００２年
【非特許文献６】Piket-May M.、Taflove A.、Baron J.  「受動・能動負荷を含む三次元回路におけるデジタル信号伝搬のFDTDモデリング」  IEEE Trans.、Microwave Theory Tech.、１９９４年、４２（８）、１５１４−１５２３頁
【非特許文献７】Thiel W.、Linda P. B. K.  「受動・能動集中素子を含む有限差分時間ドメイン（FDTD）技術の安定性と数値散逸に関するいくつかの見解」  IEEE Trans.、Microwave Theory Tech.、２００２年、５０（９）、２１５９−２１６５頁
【非特許文献８】Kuo C. N.、Chew S. T.、Houshmand B.、Itoh T.  「FDTDアルゴリズムを用いた能動回路の小信号解析」  IEEE Trans.、Microwave Guided Wave Lett.、１９９５年、５，２１６−２１８頁
【非特許文献９】Reddy V. S.、Garg R.  「能動マイクロ波回路のための改良・拡張型FDTD法」  IEEE Trans.、Microwave Theory Tech.、１９９９年、４７（９）、１６０３−１６０８頁
【非特許文献１０】Wu T.-L.、Chen S.-T.、Huang Y.-S.  「任意の線形集中ネットワークをFDTD法に取り入れるための新規な方法」  Microwave and Wireless Components Letters、２００４年、１４（２）、７４−７６頁
【非特許文献１１】Johnson D. E.、Johnson J. R.、Hilburn J. L.、Scott P. D.  「電気回路解析」  John Wiley & Sons, INC、１９９７年
【０００３】
［非特許文献１］のFDTD法は［非特許文献２］により展開され、［非特許文献３］、［非特許文献４］により修正されて多様な電磁波問題に応用され成果を上げている。マイクロ波回路の解析における最大の障害の一つは回路の能動部である。何故なら、増幅器、ミキサ、能動アンテナ等の能動素子の寸法は受動部に比べて大変小さいからである。
【０００４】
この種の複合型マイクロ波集積回路（MIC）をFDTD法により解析するために、［非特許文献５］にあるような展開がなされて発展した。
【０００５】
それ以降、多くの研究者がこの方法を二次元から三次元へと拡張し［非特許文献６］、SPICEシミュレーションとの関連性を構築し、その関連性を様々な能動マイクロ波回路のシミュレーションへと応用した［非特許文献５］−［非特許文献９］。
【０００６】
従来、FDTD法を用いて複合型回路の問題を解決する場合には、まず、能動回路が電圧と電流の方程式として導出され、次にこの方程式が陽的に離散化されて、電流・電流密度を含むマクスウェル方程式に代入される。
【０００７】
多くの場合、電圧と電流の方程式を陽的に離散化することは、特に高次元問題においては困難である。
【０００８】
［非特許文献１０］の著者らは一般的な高次元線形集中回路の問題を解決するための陽的な方法を提案しているが、主要な問題はこの一般的な集中回路について電圧と電流の方程式を導き出すことが、特に高次元の複雑なRLC回路である場合には容易でないということである。
【０００９】
一般的に、回路理論［非特許文献１１］におけるキルヒホッフの法則によると、複雑な線形回路は方程式の組として表すことができる。この場合、［非特許文献１０］の方法は様々な問題にぶつかる。
【００１０】
行列法は複合型回路の問題を解決するための原初的な方法ではあるが、多くはその安定性が思わしくないために、現実的問題を解決するためには使用されない。［非特許文献１０］の積分変換を反復的陽的方法から行列的陰的方法に修正しようと試みても、特に高次元集中回路問題においては安定性の問題のために成功しない。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１１】
本発明の目的は、一般的な複合型線形集中回路と受動回路の問題を解決するための、行列理論と修正積分変換に基づく改良FDTD法技術を提案することである。
【課題を解決するための手段】
【００１２】
本発明の目的と本発明により解決される課題は以下に示す技術的解決により達成される。
【００１３】
マクスウェルの方程式とキルヒホッフの法則を満たす物理変数Tiの値を、離散化された時間増分Δtを用いて解析する解析方法であって、該解析方法は、
【００１４】
当該方程式と法則において、項∫…∫Ti dtjのそれぞれを(Δt)j Ti, jに置換する置換ステップ、
【００１５】
メモリに記憶されている変数Ti, 0をTiに初期化する初期化ステップ、
【００１６】
変数Ti, jを、該変数Ti, jが前記置換された方程式と前記置換された法則を満たすように、有限差分時間ドメイン法により、前記時間増分Δtを用いて計算する、計算ステップ、を備える。
【００１７】
本発明の目的と本発明により解決される課題は、さらに以下に示す技術的解決により達成される。
【００１８】
物理量を表す変数Ti(t)（i=1, 2, ..., m）のj（j=0, 1, 2, ..., maxj）階積分、∫…∫Ti(t)dt…dt、がマクスウェルの方程式およびキルヒホッフの法則を含む線形方程式を満たすとき、時間の刻み幅Δtに対して、前記変数Ti(t)の時刻nΔt（n=0, 1, 2, ...）における値Ti(nΔt)を有限差分時間ドメイン法により解析する解析方法であって、該解析方法は、
【００１９】
当該線形方程式に含まれる変数Ti(t)のj階積分
∫…∫Ti(t)dt…dt
のそれぞれを、
(Δt)jTi, j(nΔt)
に置換する置換ステップ、
【００２０】
当該変数Ti, j(nΔt)の値を、i、j、nによって識別される記憶域M[i, j, n]に記憶するメモリにおいて、
（a）M[i, 0, 0]を、Ti(0)に、
（b）M[i, j, 0]（j=1, 2, ..., maxj）を、所定の初期値に、
それぞれ初期化する初期化ステップ、
【００２１】
前記初期化の後、前記置換された線形方程式を、j=1, 2, ..., maxjについて、
M[i, j, n+1] = (M[i, (j-1), n]+M[i, (j-1), n])/2+M[i, j, n]
を満たすように離散化して解いて、M[i, j, n]を順次計算しながら当該メモリに記憶する求解ステップ、
【００２２】
当該メモリに記憶されたM[i, 0, n]を、当該変数Tiの時刻nΔtにおける値Ti(nΔt)として出力する出力ステップ、を備える。
【００２３】
前記求解ステップでは、ルンゲ・クッタ法もしくはシンプレクス求積伝搬法により、当該線形方程式を離散化して解いてもよい。
【００２４】
前記置換ステップでは、数式処理および記号処理により、置換してもよい。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２５】
１．  公式
【００２６】
FDTDと能動回路の結合は以下の回転方程式に基づく。
【数１】
2006323712.tif 000003
但し、
【数２】
2006323712.tif 000004
【数３】
2006323712.tif 000005
【数４】
2006323712.tif 000006
はそれぞれ電界、磁界、電流密度であり、
【数５】
2006323712.tif 000007
は物質の誘電率であり、
【数６】
2006323712.tif 000008
は物質の導電率である。
【００２７】
等間隔グリッドにおいて、例えば
【数７】
2006323712.tif 000009
のように、
【数８】
2006323712.tif 000010
という、
【数９】
2006323712.tif 000011
の電流要素が通過している電界要素はそれぞれ、空間点
【数１０】
2006323712.tif 000012
（但し、
【数１１】
2006323712.tif 000013
【数１２】
2006323712.tif 000014
【数１３】
2006323712.tif 000015
は、それぞれx、y、z方向における空間増分である）において、離散特異畳み込み（DSC）法［非特許文献３］を用いて導出でき、かつ時間
【数１４】
2006323712.tif 000016
（但し、
【数１５】
2006323712.tif 000017
は時間増分である）において、シンプレクス求積伝搬（SIP）法［非特許文献４］またはルンゲ・クッタ法［非特許文献３］を用いて導出できる。
【００２８】
時間に関する二次元中間微分を用いる場合には以下に示す離散式が［数１］から得られる。
【数１６】
2006323712.tif 000018
但し、
【数１７】
2006323712.tif 000019
【数１８】
2006323712.tif 000020
【数１９】
2006323712.tif 000021
【数２０】
2006323712.tif 000022
は、y、z方向でのDSC法の係数であり、y、z方向の帯域幅は、それぞれ
【数２１】
2006323712.tif 000023
【数２２】
2006323712.tif 000024
【００２９】
である。
【００３０】
もし、
【数２３】
2006323712.tif 000025
であり、DSCの核がラグランジの核であるならば、
【数２４】
2006323712.tif 000026
と、
【数２５】
2006323712.tif 000027
が成立する。
【００３１】
一般的な線形集中回路において、キルヒホッフの法則［非特許文献１１］によると、
【数２６】
2006323712.tif 000028
に対し、もし
【数２７】
2006323712.tif 000029
をポート・内部の電圧・電流変数であると定義するならば、［数２７］は一次方程式の組
【数２８】
2006323712.tif 000030
として表すことができる。但し、
【数２９】
2006323712.tif 000031
である。
【００３２】
［数２６］に対するそれぞれの方程式
【数３０】
2006323712.tif 000032
について、以下に示すベクトルがその係数として定義される。
【数３１】
2006323712.tif 000033
但し、
【数３２】
2006323712.tif 000034
である。
【００３３】
もし、
【数３３】
2006323712.tif 000035
の積分についての項目のいくつかが存在していないならば、それら項目の係数はゼロとする。
【数３４】
2006323712.tif 000036
は、
【数３５】
2006323712.tif 000037
のj番目の方程式の最大積分次数である。
【００３４】
この説明中において、
【数３６】
2006323712.tif 000038
と
【数３７】
2006323712.tif 000039
はそれぞれポート電圧、ポート電流と定義する。
【００３５】
我々の提案する方法を有効なものにするため、
【数３８】
2006323712.tif 000040
と定義する。
【００３６】
［数２９］に示す全ての方程式におけるあらゆる変数は、各々、最大積分次数を有し、それは
【数３９】
2006323712.tif 000041
を満たす。
【００３７】
最大積分次数の全てと方程式の組に基づいて、行列方式のFDTD法を構築することができる。
【００３８】
変数
【数４０】
2006323712.tif 000042
について、
【００３９】
もし
【数４１】
2006323712.tif 000043
であるならば、以下に示すように、修正積分変換が定義される。
【数４２】
2006323712.tif 000044
【００４０】
［数４２］による定義の下、項目
【数４３】
2006323712.tif 000045
のそれぞれは、
【００４１】
［数２９］の関数中において、
【数４４】
2006323712.tif 000046
に置換される。
【００４２】
そして、それぞれの方程式
【数４５】
2006323712.tif 000047
についての係数［数３１］は
【数４６】
2006323712.tif 000048
のように修正することができる。
【００４３】
従来のFDTD法においても、前出の数式［数４２］は、係数
【数４７】
2006323712.tif 000049
を除外して、つまり
【数４８】
2006323712.tif 000050
として用いられる。
【００４４】
［数４８］の積分変換を用いた場合、［数３１］においては何も変えられない。
【００４５】
もし、
【数４９】
2006323712.tif 000051
を、メッシュ点
【数５０】
2006323712.tif 000052
を占め、
【数５１】
2006323712.tif 000053
という、
【数５２】
2006323712.tif 000054
の電流要素を、
【数５３】
2006323712.tif 000055
と、
【数５４】
2006323712.tif 000056
という、
【数５５】
2006323712.tif 000057
により定義される非等間隔グリッドにおける任意の二点をn番目の時間ステップにおいて通過させる離散電界要素であると定義するならば、電界と電圧の関係は、
【数５６】
2006323712.tif 000058
と表すことができる。  
【００４６】
［数１６］、［数２９］、［数４２］、［数５６］から行列式を構築するために、［数４２］の修正積分変換を時間ドメインにおいて離散化する。
【００４７】
［数４２］の一般的な離散式は、
【数５７】
2006323712.tif 000059
のように、
【数５８】
2006323712.tif 000060
に対して、与えられる。
【００４８】
もし、
【数５９】
2006323712.tif 000061
をベクトルと想定すると、その、行列の（n+1）時間ステップでの係数が、
【数６０】
2006323712.tif 000062
の係数を考慮することなしに、［数５７］から、
【数６１】
2006323712.tif 000063
と導出され、そのn時間ステップでの係数が、
【数６２】
2006323712.tif 000064
と導出される。
【００４９】
［数４８］の従来の変換についても、［数５７］−［数６２］と類似の離散式が得られる。
【００５０】
ベクトルを
【数６３】
2006323712.tif 000065
【数６４】
2006323712.tif 000066
【数６５】
2006323712.tif 000067
と定義し、その長さをそれぞれ
【数６６】
2006323712.tif 000068
【数６７】
2006323712.tif 000069
【数６８】
2006323712.tif 000070
とする。
【００５１】
さらに、以下のベクトル
【数６９】
2006323712.tif 000071
と、行列
【数７０】
2006323712.tif 000072
【数７１】
2006323712.tif 000073
【数７２】
2006323712.tif 000074
を定義する。
【００５２】
ここで、関数［数１６］、［数２９］、［数４２］、［数５６］を以下に示すベクトルや行列とみなすことができる。
【数７３】
2006323712.tif 000075
但し、
【数７４】
2006323712.tif 000076
【数７５】
2006323712.tif 000077
【数７６】
2006323712.tif 000078
【数７７】
2006323712.tif 000079
【数７８】
2006323712.tif 000080
【数７９】
2006323712.tif 000081
【数８０】
2006323712.tif 000082
である。
【００５３】
［数７８］と［数７９］の全ての行において、それらの要素はそれぞれ単に
【数８１】
2006323712.tif 000083
であるか、または、０もしくは直流電源
【数８２】
2006323712.tif 000084
が存在するならば、１であることも含む。
２．  安定性分析
【００５４】
［数７６］、［数７７］、［数７８］、［数７９］の行列が構築されると、［数７３］の数式を用いて、全ての時間ステップにおける電界、磁界の時間情報を得る。
【００５５】
線形回路を用いる際には［数７６］は時間ステップには依存しないので、［数７６］の逆行列を前もって計算して、陽的なFDTD公式を得ることができる。逆行列変換によって、数式［数７３］は、
【数８３】
2006323712.tif 000085
と書き替えることができる。
【００５６】
［数７６］において、［数３１］または［数４６］の行を除いて、その係数［数４２］または［数４８］が用いられる。
【００５７】
［数４８］の変換が用いられる場合、［数３１］においてインダクタンス（1/L）についての係数が大きく、容量（C）についての係数が小さいので、［数４８］の対角線上の要素を支配的なものに維持することが容易ではない。そのため、［数７６］はその条件数が大きく、それゆえその逆が不安定的なものになってしまう。
【００５８】
しかし、［数４２］が用いられる場合、［数３１］におけるi次元の積分項目のそれぞれは、
【数８４】
2006323712.tif 000086
により、乗じられる。
【００５９】
【数８５】
2006323712.tif 000087
はきわめて小さいので、［数４６］における高次元の係数は、特にインダクタンスの項目について非常に縮小され、［数７６］の条件数がより良いものになる。それゆえ、［数４２］を用いることにより、逆行列を正確なものにし、正しい時間ドメインフィールドを得ることができる。
【００６０】
［数５６］から条件数についての一般式を導き出すことは容易でないので、以下に示す例では、数値的な条件数について、我々が提案する改良型積分変換と従来の積分変換を比較してみる。
３．実施例
【００６１】
我々の提案する行列理論と修正積分変換を用いた改良型FDTD法を確証するため、一般的な高次元線形集中要素を備える受動フィルタを解析する。
【００６２】
基板の厚さと比誘電率は、それぞれ０．１mmと１３である。構成パラメータを図１に示す。空間増分は、
【数８６】
2006323712.tif 000088
である。
【００６３】
集中回路の電圧は、点１、２、３からグランドにかけてy方向に沿って８セル分に及ぶ。全ての放射境界を切断するために１０層PML−ABCを使用している。
【００６４】
まず、インダクタンス（L）が１００nH、容量（C）が１００pFである二つの並列なLC回路（図２（a）に示す）を点２、３において個々に導体グランドに接続する。並列LC回路関数は方程式の組として導出され、
【数８７】
2006323712.tif 000089
のように表される。
【００６５】
［数８７］を一つの方程式として、
【数８８】
2006323712.tif 000090
のように書き替えることもできる。
【００６６】
ガウスパルスを導入して入射波が生成されると、電流が集中回路と分散システムを流れる。場を反射したり透過したりした入射波は、それらの場が全て消滅するまで全てのポートに記録される。
【００６７】
我々の提案する改良型積分変換［数４２］による条件数が従来の積分変換［数４８］の条件数よりも効果的であることを確認するため、条件数に関してこれらの方法を比較してみる。
【００６８】
我々の提案する積分変換の条件数は、
【数８９】
2006323712.tif 000091
であり、従来法の条件数は
【数９０】
2006323712.tif 000092
であるので、条件数は大きく減少しており、我々の提案する改良型の方法の方が安定性条件がより良い。
【００６９】
DFTにより、時間ドメインにおける場が周波数ドメインへ転送される。周波数ドメインのSパラメータを図３に示す。図３より、周波数が直流から１６０GHzに変えられたとき、我々の提案する改良型FDTD法によると、［数８７］の結果と［数８８］の結果は等しくなり、ともにHFSSによる結果と一致する。
【００７０】
我々の方法により算出された時間ステップ数による制限のために、高周波数の域では、我々の方法により得られる結果とHFSSにより得られる結果のあいだには多少の差が生じている。
【００７１】
しかし、［数４８］に基づく行列法による結果は、あらゆる周波数域においてHFSSによる結果とも、我々の提案する改良型FDTD法による結果とも異なっている。［数４８］による場合の［数７６］を注意深く観察してみると、［数７６］は条件数が大きいため、［数７６］の逆行列は信頼性のあるものでないこともあり得る。
【００７２】
最後に、
【数９１】
2006323712.tif 000093
である、一般的な高次元集中回路（図２（b）に示す）を点１とグランドの間に接続した。
【００７３】
この回路の時間ドメインにおける方程式の組は、
【数９２】
2006323712.tif 000094
のように表される。
【００７４】
多少複雑な計算をすることにより、［数９２］より以下に示すような一つの方程式が導出される。
【数９３】
2006323712.tif 000095
【００７５】
我々は、我々の提案する方法を確証するためにだけこの例を用いているので、簡易な集中回路を考察してみた。多くの場合、［数９２］のような方程式の組から［数９３］のような一つの方程式を導出することは容易でないか、不可能である。
【００７６】
第一の例と同様の操作を行って、Sパラメータを図４に示す。
【００７７】
［数９２］と［数９３］のどちらを選択しても、我々の提案する改良型FDTD法による結果はあらゆる周波数域で等しくなる。
【００７８】
これら二つの例より、我々の提案する改良型積分変換に基づく改良型の行列方式FDTD法は、従来の積分変換よりも、条件数が良好であることがわかる。これら二つの例において、集中回路について二つのスキームが用いられた。一方は、単一の方程式、他方は方程式の組である。我々の提案する方法は高次元線形方程式だけでなく、多くの高次元線形方程式により構築される方程式の組も扱えることがわかる。実用の場面では、複雑な集中回路においては方程式の組を構築するほうが容易であるので、方程式の組によるスキームのほうがより良い選択である。
【００７９】
我々の提案する方法はコンピュータにより実行される。物理量を示す変数の値はランダム・アクセス・メモリに記憶される。変数の計算、更新、それらの反復はCPUにより制御される。
【００８０】
我々の提案する、物理量を表す変数Ti(t)（i=1, 2, ..., m）のj（j=0, 1, 2, ..., maxj）階積分、∫…∫Ti(t)dt…dt、がマクスウェルの方程式およびキルヒホッフの法則を含む線形方程式を満たすとき、時間の刻み幅Δtに対して、前記変数Ti(t)の時刻nΔt（n=0, 1, 2, ...）における値Ti(nΔt)を有限差分時間ドメイン法により解析する解析方法は、置換ステップ、初期化ステップ、求解ステップ、出力ステップを含む。
【００８１】
置換ステップにおいて、コンピュータは、前記線形方程式に含まれる変数Ti(t)のj階積分
∫…∫Ti(t)dt…dt
のそれぞれを、
(Δt)jTi, j(nΔt)
に置換する。
【００８２】
初期化ステップにおいて、コンピュータは、前記変数Ti, j(nΔt)の値を、i、j、nによって識別される記憶域M[i, j, n]に記憶するメモリにおいて、
（a）M[i, 0, 0]を、Ti(0)に、
（b）M[i, j, 0]（j=1, 2, ..., maxj）を、所定の初期値に、
それぞれ初期化する。
【００８３】
求解ステップにおいて、初期化の後、コンピュータは、置換された線形方程式を、j=1, 2, ..., maxjについて、
M[i, j, n+1] = (M[i, (j-1), n]+M[i, (j-1), n])/2+M[i, j, n]
を満たすように離散化して解いて、M[i, j, n]を順次計算しながら前記メモリに記憶する。
【００８４】
出力ステップにおいて、コンピュータは、前記メモリに記憶されたM[i, 0, n]を、前記変数Tiの時刻nΔtにおける値Ti(nΔt)として出力する。
【００８５】
求解ステップでは、ルンゲ・クッタ法もしくはシンプレクス求積伝搬法により、前記線形方程式を離散化して解いてもよい。
【００８６】
置換ステップでは、数式処理および機構処理により、置換してもよい。
【００８７】
本発明の広範な精神と範囲から逸脱することなく、種々の実施例や変形が可能である。上述の実施形態は本発明を説明するためのものであり、本発明の範囲を制限するものではない。
【００８８】
本発明の範囲は実施形態でなく添付の特許請求の範囲により確定される。本発明による請求の均等物の範囲と請求項の範囲でなされた種々の変形は本発明の範囲に含まれるものとみなされる。
【００８９】
本出願において、複合型集中・分散マイクロ波システムの問題を解決するための集中回路用改良型FDTD法を提案した。行列理論を導入するため、集中回路について少々変更を加えた以外はマクスウェル方程式になんら変更を加えていない。複雑な数学的処理を要する従来の陽的FDTD法［非特許文献１０］と比較して、我々の提案する方法は理解し易く、コンピュータにより自動的に実現することが容易である。同時に、我々の修正積分変換により、行列の条件数が良好になり、その逆行列が安定的になる。我々の提案する方法による別の重要な成果は、本発明が、特にキルヒホッフの法則にしたがう方程式の組により構築される、あらゆる一般的な線形集中回路を処理するのに使用できるということである。
【図面の簡単な説明】
【００９０】
【図１】図１は、集中回路を備えたフィルタの構成の概略図である。
【図２】図２は並列LC集中回路モデルの概略図であり、（b）は一般的な高次元線形集中回路モデルの概略図である。
【図３】図３は、我々の提案する方法、従来の行列方式の方法、HFSSを比較するためのシミュレーションで得られた、Sパラメータの反射損失の振幅と周波数の概略グラフである。
【図４】図４は、我々の提案する方法、従来の行列方式の方法、HFSSを比較するためのシミュレーションで得られた、Sパラメータの透過損失と周波数の概略グラフである。
【図５】図５は、我々の提案する方法でのシミュレーションで得られた、Sパラメータと周波数の概略グラフである。
【図１】
2006323712.tif 000096
【図２】
2006323712.tif 000097
【図３】
2006323712.tif 000098
【図４】
2006323712.tif 000099
【図５】
2006323712.tif 000100
【外国語明細書】
A Method for Analyzing High-order Linear Circuits with FDTD Formulation
Field of Invention
[0001]   The present invention relates to a method for the finite-difference time-domain(FDTD) formulation technology based on matrix theory and integral transform in order to analyze general higher-order circuits.  
Description of the Related Art
[0002]   The FDTD approach has been developed and successfully applied to the various passive electro-magnetic problems during last ten years.  For example, the technologies to analyze hybrid passive/active microwave integrated circuits by FDTD method are described in:
[Doc.1] Yee K. S., "Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media", IEEE Trans. Antennas Propagat., 1966, 14(5), pp.302-307.  
[Doc.2] Taflove A., "Computational Electrodynamics: The Finite Difference Time-Domain Method", Norwood, MA: Artech House, 1995.  
[Doc.3] Shao Z. H. and Wei G. W., "DSC time-domain solution of Maxwell's equations", Journal of Computational Physics, 2003, 189(2), pp.427-453.  
[Doc.4] Shao Z. H. and Shen Z. X., He Q. and Wei G., "A generalized higher-order finite difference time domain method and its application in guided-wave problems", IEEE Trans., Microwave Theory Tech., 2003, 51(3), pp.856-861.  
[Doc.5] Sui W., "Time-domain computer analysis of nonlinear hybrid systems", CRC Press, 2002.  
[Doc.6] Piket-May M., Taflove A. and Baron J., "FDTD modeling of digital signal propagation in 3-D circuits with passive and active loads", IEEE Trans., Microwave Theory Tech., 1994, 42(8), pp.1514-1523.  
[Doc.7] Thiel W. and Linda P. B. K., "Some aspects of stability and numerical dissipation of the finite-difference time-domain (FDTD)technique including passive and active lumped elements", IEEE Trans., Microwave Theory Tech., 2002, 50(9), pp.2159-2165.  
[Doc.8] Kuo C. N., Chew S. T., Houshmand B. and Itoh T., "Small signal analysis of active circuits using FDTD algorithm", IEEE Trans., Microwave Guided Wave Lett., 1995, 5, pp.216-218.  
[Doc.9] Reddy V. S. and Garg R., "An improved extended FDTD formulation for active microwave circuits", IEEE Trans., Microwave Theory Tech., 1999, 47(9), pp.1603-1608.  
[Doc.10] Wu T.-L., Chen S.-T., Huang Y.-S., "A novel approach for the incorporation of arbitrary linear lumped network into FDTD method", Microwave and Wireless Components Letters, 2004, 14(2), pp.74 - 76.  
[Doc.11] Johnson D. E., Johnson J. R., Hilburn J. L. and Scott P. D., "Electric Circuit Analysis", John Wiley & Sons, INC, 1997.  
[0003]   The FDTD approach [Doc.1] has been developed [Doc.2], modified [Doc.3] [Doc.4] and successfully applied to the various electro-magnetic problems.  One of the major difficulties in the analysis of microwave circuits is the active part of the circuit because the dimension of the device is very small compared to the passive part, such as amplifiers, mixer and active antennas.  
[0004]   In order to analyze these types of hybrid microwave integrated circuits (MIC's) by FDTD method, such development was initiated and developed by [Doc.5].  
[0005]   After that, many researchers extended this method from 2D to 3D [Doc.6], built connection with SPICE simulation and applied it to simulate various active microwave circuits [Doc.5]-[Doc.9].  
[0006]   Traditionally, when the FDTD method is used to solve hybrid circuit problem, firstly, the active circuit is derived as an equation of voltage and current; then, this equation is discretized explicitly and substituted into Maxwell's equation that includes current/current density.  
[0007]   In many cases, it is a hard work to discretize the equation of the voltage and current explicitly, especially for high-order problem.  
[0008]   Although the authors in [Doc.10] have proposed an explicit method to solve general high-order linear lumped circuit problem, it is the main problem that this general lumped circuit equation about voltage and current is not so easy to obtained, especially for high-order complicated RLC circuit.  
[0009]   Generally, according to the Kirchhoff's laws in the circuit theory[Doc.11], a complicated linear circuit can be expressed as an equations set.  In this case, the method in [Doc.10] may meet many problems.  
[0010]   Although matrix method is an original method to solve hybrid circuit problem, it is not used to solve practical problem widely because of its stability.  When the integral transform in [Doc.10] is tried to be modified from iterative explicit formulation to matrix implicit formulation, it is not successful because of stable problem, especially for high-order lumped circuit problem.  
Summary of Invention
[0011]   The object of the present invention is to propose an improved FDTD formulation technology based on matrix theory and modified integral transform in order to solve general hybrid linear lumped circuit and passive circuit problem.  
[0012]   The objects of and problems to be solved by the present invention are achieved with the following technical solution.  
[0013]   An analyzing method for analyzing values of physical variablesTi following Maxwell's equations and Kirchhoff's law using time increment Δt, said analyzing method comprising:
[0014]   a replacing step for replacing each term ∫…∫ Ti dtj with (Δt)j Ti,j in the equations and the law, 
[0015]   an initializing step for initializing variables Ti,0 stored in a memory as Ti, 
[0016]   a computing step for computing the values of the variables Ti,jwith finite-difference time-domain formulation using the time increment Δt as the variables Ti,j follows said replaced equations and said replaced law.  
[0017]   The objects of and problems to be solved by the present invention are further achieved with the folloing technical solutions.  
[0018]   An analyzing method for analyzing, according to finite-difference time-domain formulation, a value Ti(nΔt) which is taken by a variable Ti(t) (i = 1, 2, ..., m) at a time nΔt (n = 0, 1, 2, ...) where Δt represents an interval at which time is discretized, in a case where ∫…∫ Ti(t) dt … dt, which represents a j-th order integration  (j=0, 1, 2, ..., maxj) of the variable Ti(t), satisfies linear equations including Maxwell's equations and Kirchhoff's laws, said method comprising:
[0019]   a replacing step of replacing each j-th order integration
∫…∫ Ti(t) dt … dt, 
of the variable Ti(t) included in said linear equation with
(Δt)jTi,j(nΔt);
[0020]   an initializing step of initializing, in a memory for storing values taken by the variable Ti,j(nΔt) in storage areas M[i,j,n] which are identified by i, j, and n, 
(a) M[i,0,0] to Ti(0), and
(b) M[i,j,0] (j = 1, 2, ..., maxj) to a predetermined initial value, respectively;
[0021]   a solving step of, after said initializing, discretely solving said replaced linear equations for the value j = 1, 2, ..., maxj, in a manner that said replaced linear equation satisfies
M[i,j,n+1] = (M[i,(j-1),n] + M[i,(j-1),n])/2 + M[i,j,n], 
thereby sequentially calculating M[i,j,n] and storing the obtained M[i,j,n] in said memory; and
[0022]   an outputting step of outputting M[i,0,n] stored in said memory as a value Ti(nΔt) taken by the variable Ti at the time nΔt.  
[0023]   In said solving step, said linear equations may be discretely solved according to Runge-Kutta method or symplectic integrator propagator method.  
[0024]   In said replacing step, replacement may be performed by formula processing or symbol processing.  
Brief Description of Drawings
[0025]   Fig.1 is  a schematic view of configuration of the filter with lumped circuit.  
[0026]   Fig.2 is  a schematic view of Parallel LC lumped circuit model and (b) general high-order linear lumped circuit model.  
[0027]   Fig.3 is  a schematic graph of the amplitude of refrection loss of simulated S paramaters and frequency for comparison among our method, traditional matrix-type method and HFSS.  
[0028]   Fig.4 is  a schematic graph of the transmission loss of simulated S parameters and frequency for comparison among our method, traditional matrix-type method and HFSS.  
[0029]   Fig.5 is  a schematic graph for simulated S parameters and frequency using our method.  
[0030]  
Detailed Description
1.  Formulation
[0031]   The coupling of FDTD and active circuit is based on the following curl equation
[Math.1]
2006323712.tif 000101
where
[Math.2]
2006323712.tif 000102
[Math.3]
2006323712.tif 000103
and
[Math.4]
2006323712.tif 000104
are electric field, magnetic field and current density, respectively.  
[Math.5]
2006323712.tif 000105
is the permittivity of material, and
[Math.6]
2006323712.tif 000106
is its conductivity.  
[0032]   In a homogeneous uniform grid, each of the electric field component, such as
[Math.7]
2006323712.tif 000107
that has a current component
[Math.8]
2006323712.tif 000108
of
[Math.9]
2006323712.tif 000109
passing through, can be derived in space point
[Math.10]
2006323712.tif 000110
(where
[Math.11]
2006323712.tif 000111
[Math.12]
2006323712.tif 000112
and
[Math.13]
2006323712.tif 000113
are space increments in the x-, y-and z- directions, respectively) using discrete singular convolution(DSC) method [Doc.3] and time
[Math.14]
2006323712.tif 000114
(where
[Math.15]
2006323712.tif 000115
is time increment) using symplectic integrator propagator (SIP) method [Doc.4] or Runge-Kutta method [Doc.3].  
[0033]   If the second-order central differential about time is used, the following discrete expression can be obtained from [Math.1] as
[Math.16]
2006323712.tif 000116
where
[Math.17]
2006323712.tif 000117
and
[Math.18]
2006323712.tif 000118
and
[Math.19]
2006323712.tif 000119
and
[Math.20]
2006323712.tif 000120
are coefficients of DSC method in y- and z-directions as well as their bandwidth are
[Math.21]
2006323712.tif 000121
and
[Math.22]
2006323712.tif 000122
[0034]   respectively.  
[0035]   If
[Math.23]
2006323712.tif 000123
and DSC kernel is Lagrange kernel, 
[Math.24]
2006323712.tif 000124
and
[Math.25]
2006323712.tif 000125
[0036]   For a general linear lumped circuit, according to the Kirchhoff's laws [Doc.11], for
[Math.26]
2006323712.tif 000126
if
[Math.27]
2006323712.tif 000127
are defined as port/interior voltage/current variables, it can be expressed as a linear equations set
[Math.28]
2006323712.tif 000128
where
[Math.29]
2006323712.tif 000129
[0037]   For each equation
[Math.30]
2006323712.tif 000130
in [Math.26], the following vector is defined as its coefficients, 
[Math.31]
2006323712.tif 000131
where
[Math.32]
2006323712.tif 000132
[0038]   If some items about the integral of
[Math.33]
2006323712.tif 000133
are not existent, their coefficients should be zero.  
[Math.34]
2006323712.tif 000134
is a maximum integral order for
[Math.35]
2006323712.tif 000135
in the j-th equation.  
[0039]   In this description, 
[Math.36]
2006323712.tif 000136
and
[Math.37]
2006323712.tif 000137
are defined as the port voltage and the port current, respectively.  
[0040]   In order to make our method effective, 
[Math.38]
2006323712.tif 000138
[0041]   For every variable in all equations [Math.29], it has a maximum integral order
[Math.39]
2006323712.tif 000139
[0042]   Based on all maximum integral orders and equations set, a matrix-style FDTD method can be constructed.  
[0043]   For the variable
[Math.40]
2006323712.tif 000140
[0044]   if
[Math.41]
2006323712.tif 000141
the following modified integral transforms can be defined as
[Math.42]
2006323712.tif 000142
[0045]   Under these definitions of [Math.42], each item
[Math.43]
2006323712.tif 000143
[0046]   in functions [Math.29] should be replaced by
[Math.44]
2006323712.tif 000144
[0047]   Then the coefficients [Math.31] for each equation
[Math.45]
2006323712.tif 000145
can be modified as, 
[Math.46]
2006323712.tif 000146
[0048]   In the traditional FDTD method, the former expressions [Math.42] are also used except of without the coefficient
[Math.47]
2006323712.tif 000147
i.e.  
[Math.48]
2006323712.tif 000148
[0049]   When the integral transform [Math.48] is used, nothing should be changed in[Math.31].  
[0050]   If we define that
[Math.49]
2006323712.tif 000149
are discrete electric field components, that occupy
[Math.50]
2006323712.tif 000150
mesh points and have a current component
[Math.51]
2006323712.tif 000151
of
[Math.52]
2006323712.tif 000152
passing through them between arbitrary two points
[Math.53]
2006323712.tif 000153
and
[Math.54]
2006323712.tif 000154
in a nonuniform grid
[Math.55]
2006323712.tif 000155
at n-th time step, the relation between electric field and voltage can be written as
[Math.56]
2006323712.tif 000156
[0051]   In order to construct a matrix expression from [Math.16], [Math.29], [Math.42] and [Math.56], the modified integral transform of [Math.42]should be discretized in the time domain.  
[0052]   Here, a general discrete expression for [Math.42] can be given as
[Math.57]
2006323712.tif 000157
for
[Math.58]
2006323712.tif 000158
[0053]   If considering
[Math.59]
2006323712.tif 000159
as a vector, then its coefficient of (n+1) time steps as matrix is derived from [Math.57] without considering coefficient of
[Math.60]
2006323712.tif 000160
which is
[Math.61]
2006323712.tif 000161
and its coefficient of n time steps is
[Math.62]
2006323712.tif 000162
[0054]   For the traditional transform [Math.48], a similar discrete expression to[Math.57]-[Math.62] can also be obtained.  
[0055]   Now, we define vectors
[Math.63]
2006323712.tif 000163
[Math.64]
2006323712.tif 000164
[Math.65]
2006323712.tif 000165
and their lengths are
[Math.66]
2006323712.tif 000166
[Math.67]
2006323712.tif 000167
and
[Math.68]
2006323712.tif 000168
respectively.  
[0056]   We also define the following vectors
[Math.69]
2006323712.tif 000169
and matrices
[Math.70]
2006323712.tif 000170
[Math.71]
2006323712.tif 000171
and
[Math.72]
2006323712.tif 000172
[0057]   Now, we can reorganize the functions [Math.16], [Math.29], [Math.42] and [Math.56] as the following of vectors and matrices
[Math.73]
2006323712.tif 000173
where
[Math.74]
2006323712.tif 000174
[Math.75]
2006323712.tif 000175
[Math.76]
2006323712.tif 000176
[Math.77]
2006323712.tif 000177
[Math.78]
2006323712.tif 000178
[Math.79]
2006323712.tif 000179
and
[Math.80]
2006323712.tif 000180
[0058]   In the every row of [Math.78] and [Math.79], their elements are just
[Math.81]
2006323712.tif 000181
respectively, or 0 including 1 if DC source
[Math.82]
2006323712.tif 000182
is existent.  
2.  Stability Analysis
[0059]   When matrices [Math.76], [Math.77], [Math.78] and [Math.79]are constructed, the expression [Math.73] will be used to get time information of EM fields in every time step.  
[0060]   Because [Math.76] is an expression independent on time steps when linear circuit is used, its inverse matrix can be calculated previously in order to obtain an explicit FDTD formulation.  By inverse matrix transform, the expression [Math.73] can be rewritten as
[Math.83]
2006323712.tif 000183
[0061]   In the [Math.76], except the rows of [Math.31] or [Math.46], its coefficient , whether[Math.42] or [Math.48] is used.  
[0062]   If the transform [Math.48] is used, because some coefficients about inductance (1/L) in [Math.31] are big, but others about capacitance (C) are small, it is not so easy to keep its diagonal element dominative.  So it is [Math.76] has so higher condition number that the inverse of is possible to be unstable.  
[0063]   However when [Math.42] are used, each i-order integral item in [Math.31] is multiplied by
[Math.84]
2006323712.tif 000184
[0064]   Because
[Math.85]
2006323712.tif 000185
is quite small, the high-order coefficients in [Math.46] are zoomed out greatly, especially for inductance items, and the condition number of[Math.76]become better.  So, we can get accurate the inverse matrix and correct time-domain fields when [Math.42] are used.  
[0065]   Because it is not easy to derive a general expression about the condition number from [Math.56], in the following examples, comparison of numerical condition number between our improved integral transform and traditional integral transform is given.  
3.  Examples
[0066]   In order to valid our improved FDTD formulation using matrix theory and modified integral transform, a passive filter with a general high-order linear lumped component is analyzed.  
[0067]   The thickness and relative dielectric constant of the substrate are 0.1mm and 13, respectively.  The structure parameters are shown in Fig.1.  The space increments are
[Math.86]
2006323712.tif 000186
[0068]   The voltage with lumped circuit spans 8 cells along y-direction from the points 1, 2 or 3 to the ground.  10-layers PML ABCs are used to truncate all radiation boundaries.  
[0069]   First, two parallel LC circuits (seen in Fig.  2(a)), where L = 100nH and a C = 100pF, are connected from the points 2 and 3 to the conductor ground separately.  The parallel LC circuit function can be derived as an equations set and shown as
[Math.87]
2006323712.tif 000187
[0070]   We can also rewrite [Math.87] as one equation
[Math.88]
2006323712.tif 000188
[0071]   When a Gauss pulse is introduced to product an incident, the current will pass through lumped circuit and distribution system.  The incident, reflect and transmit fields are recorded in all ports until all fields are disappeared.  
[0072]   In order to validate that the condition number of by our improved integral transform [Math.42] is much more effectiveness than that of traditional integral transform [Math.48], we compare the condition number between them.  
[0073]   The condition number of our improved integral transform is
[Math.89]
2006323712.tif 000189
and the one of traditional method is
[Math.90]
2006323712.tif 000190
so the condition number is greatly decreased and our improved method has better stable condition.  
[0074]   By DFT, fields in the time domain can be transferred to the frequency domain.  Its S parameters are shown in Fig.  3.  From this figure, when frequency is changed from DC to 160GHz, the results from [Math.87] are same as those from [Math.88] by our improved FDTD formulation and both are in agreement with those of HFSS.  
[0075]   Because of the limitation of our calculated time steps, in high frequency, there is a little difference between them.  
[0076]   However, the matrix-type results based on [Math.48] is more different in all frequencies than those of HFSS and our improve FDTD formulation.  By carefully checking its [Math.76], because the [Math.76] has higher condition number, its inverse matrix is potential to be not reliable.  
[0077]   Lastly, a general high-order lumped circuit (shown in Fig.2(b)) is connected between the point 1 and the ground, where
[Math.91]
2006323712.tif 000191
[0078]   Its equations set in the time domain is shown as
[Math.92]
2006323712.tif 000192
[0079]   By a little tough-working, one equation can be derived from [Math.92] as follows
[Math.93]
2006323712.tif 000193
[0080]   Because we just want to use this example to validate our method, only a simple lumped circuit is considered.  In many cases, it is not easy or possible to derive one equation as [Math.93] from equations set as [Math.92].  
[0081]   Similar operation to the first example, its S parameters are shown in Fig.4.  
[0082]   Whether [Math.92] or [Math.93] are chosen, our results based on our improved FDTD method are same in all frequencies.  
[0083]   From these two examples, our improved matrix-type FDTD method based on the improved integral transform has a better condition number than that of the traditional integral transform.  In these two examples, two schemes about lumped circuit are used: one is one equation and another is equations set.  It can be seen that our method not only can treat high-order linear equation, but also can treat equations set constructed by many high-order linear equations.  In the practical application, because it is easier to construct an equations set for complicated lumped circuit, the scheme of equations set is a better chosen.  
[0084]   Our improved method is executed on a computer.  Values of physical variables and are stored in a random access memory.  Calculation, updating variables and repetition is controlled by a CPU.  
[0085]   In our analyzing method for analyzing, according to finite-difference time-domain formulation, a value Ti(nΔt) which is taken by a variable Ti(t) (i = 1, 2, ..., m) at a time nΔt (n = 0, 1, 2, ...) where Δt represents an interval at which time is discretized, in a case where ∫…∫ Ti(t) dt … dt, which represents a j-th order integration  (j=0, 1, 2, ..., maxj) of the variable Ti(t), satisfies linear equations including Maxwell's equations and Kirchhoff's laws, comprises a replacing step, an initializing step, a solving step, and a outputting step.  
[0086]   In the replacing step, the computer replaces each j-th order integration
∫…∫ Ti(t) dt … dt, 
of the variable Ti(t) included in the linear equation with
(Δt)jTi,j(nΔt).  
[0087]   In the initializing step, the computer initializes in a memory for storing values taken by the variable Ti,j(nΔt) in storage areas M[i,j,n] which are identified by i, j, and n, 
(a) M[i,0,0] to Ti(0), and
(b) M[i,j,0] (j = 1, 2, ..., maxj) to a predetermined initial value, respectively.  
[0088]   In the solving step, after the initializing, the computer discretely solves the replaced linear equations for the value j = 1, 2, ..., maxj, in a manner that the replaced linear equation satisfies
M[i,j,n+1] = (M[i,(j-1),n] + M[i,(j-1),n])/2 + M[i,j,n], 
thereby sequentially calculating M[i,j,n] and storing the obtained M[i,j,n] in the memory.  
[0089]   And in the outputting step, the computer outputs M[i,0,n] stored in the memory as a value Ti(nΔt) taken by the variable Ti at the time nΔt.  
[0090]   In the solving step, the linear equations may be discretely solved according to Runge-Kutta method or symplectic integrator propagator method.  
[0091]   In the replacing step, replacement may be performed by formula processing or symbol processing.  
[0092]   Various embodiments and changes may be made thereto without departing from the broad spirit and scope of the invention.  The above-described embodiments are intended to illustrate the present invention, not to limit the scope of the present invention.  
[0093]   The scope of the present invention is shown by the an attached claim rather than the embodiments.  Various modifications made within the meaning of an equivalent of the claim of the invention and within the claims are to be regarded to be in the scope of the present invention.  
[0094]   In this application, the improved FDTD formulation for lumped circuit is proposed to solve hybrid lumped/distributed microwave system.  Because of introducing matrix theory, we don't do any modifications for Maxwell's equation except a little modification about lumped circuit.  Compared to the traditional explicit FDTD method [Doc.10] which needs complicated mathematical operation, it is seen that our method is easier to be understood and be realized by computer automatically.  At the same time, the modified integral transform makes the matrix to have good condition number and then makes its inverse matrix stable.  Another more important contribution of our method is that it can be used to treat any general linear lumped circuit, especially constructed by equations set according to the Kirchhoff's law.  
1.  An analyzing method for analyzing values of physical variablesTi following Maxwell's equations and Kirchhoff's law using discretized time increment Δt, said analyzing method comprising:
a replacing step for replacing each term ∫…∫ Ti dtj with (Δt)j Ti,j in the equations and the law, 
an initializing step for initializing variables Ti,0 stored in a memory as Ti, 
a solving step for solving the values of the variables Ti,jwith finite-difference time-domain formulation discretely using the time increment Δt as the variables Ti,j follows said replaced equations and said replaced law.  
2.  An analyzing method for analyzing, according to finite-difference time-domain formulation, a value Ti(nΔt) which is taken by a variable Ti(t) (i = 1, 2, ..., m) at a time nΔt (n = 0, 1, 2, ...) where Δt represents an interval at which time is discretized, in a case where ∫…∫ Ti(t) dt … dt, which represents a j-th order integration  (j=0, 1, 2, ..., maxj) of the variable Ti(t), satisfies linear equations including Maxwell's equations and Kirchhoff's laws, said method comprising:
a replacing step of replacing each j-th order integration
∫…∫ Ti(t) dt … dt
of the variable Ti(t) included in said linear equation with
(Δt)jTi,j(nΔt);
an initializing step of initializing, in a memory for storing values taken by the variable Ti,j(nΔt) in storage areas M[i,j,n] which are identified by i, j, and n, 
(a) M[i,0,0] to Ti(0), and
(b) M[i,j,0] (j = 1, 2, ..., maxj) to a predetermined initial value, respectively;
a solving step of, after said initializing, discretely solving said replaced linear equations for the value j = 1, 2, ..., maxj, in a manner that said replaced linear equation satisfies
M[i,j,n+1] = (M[i,(j-1),n] + M[i,(j-1),n])/2 + M[i,j,n], 
thereby sequentially calculating M[i,j,n] and storing the obtained M[i,j,n] in said memory; and
an outputting step of outputting M[i,0,n] stored in said memory as a value Ti(nΔt) taken by the variable Ti at the time nΔt.  
3.  The analyzing method according to claim 2, wherein in said solving step, said linear equations are discretely solved according to Runge-Kutta method or symplectic integrator propagator method.  
4.  The analyzing method according to claim 2 or 3, wherein in said replacing step, replacement is performed by formula processing or symbol processing.  
An analyzing method for analyzing values of physical variablesTi following Maxwell's equations and Kirchhoff's law using discretized time increment Δt, a computer replaces each term ∫…∫ Ti dtj with (Δt)j Ti,j in the equations and the law, initializes variables Ti,0 stored in a memory as Ti, and solves the values of the variables Ti,jwith finite-difference time-domain formulation discretely using the time increment Δt as the variables Ti,j follows said replaced equations and said replaced law.  
【図1】
2006323712.tif 000194
【図2】
2006323712.tif 000195
【図3】
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【図4】
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【図5】
2006323712.tif 000198