(57)【要約】【課題】  粒子同士または粒子と他の物体との接触面積を考慮することによって、各種の力を受ける粒子の挙動を正確にシミュレーションすることのできる粒子挙動シミュレーション方法、並びに、その方法を実施するための粒子挙動シミュレーション装置、プログラム、及び記録媒体の提供。【解決手段】  トナー粒子Ｔが平板Ｐに立てた垂線回りにその平板Ｐから受ける力のモーメントＭrnを、次のように計算して、トナー粒子Ｔの挙動のシミュレーションに応用する。上記垂線方向の単位ベクトルをｕn と定義し、トナー粒子Ｔの矢印ω方向の回転に対応するベクトルをωと定義する。ベクトルωの上記単位ベクトルｕn 方向の成分をωn とすると、上記力のモーメントＭrnは、次式でベクトルとして表すことができる。  Ｍrn＝−ｓｉｇｎ（ωn ） * Ｓ * α * ｕn        但し、αは所定の係数なお、接触面積Ｓはトナー粒子Ｔの接触深さや接触圧から計算することができる。【選択図】  図３
2006343936.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
シミュレーション対象の粒子同士、または、その粒子と他の物体との接触面積を計算する接触面積計算処理と、
該接触面積計算処理により計算された接触面積に基づき、上記粒子同士の間、または、上記粒子と上記他の物体との間に作用する摩擦力を計算する摩擦力計算処理と、
該摩擦力計算処理により計算された摩擦力を含めた、上記粒子に作用する力の合力に基づき、上記粒子の挙動を推定する挙動推定処理と、
を備えたことを特徴とする粒子挙動シミュレーション方法。
【請求項２】
上記摩擦力計算処理では、少なくとも、上記接触面に立てた垂線を軸とする回転に関する摩擦力を計算することを特徴とする請求項１記載の粒子挙動シミュレーション方法。
【請求項３】
上記摩擦力計算処理では、上記接触面積を定数倍若しくはべき乗倍して上記摩擦力の計算を行うことを特徴とする請求項１または２記載の粒子挙動シミュレーション方法。
【請求項４】
上記接触面積計算処理では、上記粒子の、上記他の物体に対する接触深さに基づいて、上記接触面積を計算することを特徴とする請求項１〜３のいずれかに記載の粒子挙動シミュレーション方法。
【請求項５】
上記接触面積計算処理では、上記粒子同士、または上記粒子と上記他の物体との間に作用する圧力に基づいて、上記接触面積を計算することを特徴とする請求項１〜３のいずれかに記載の粒子挙動シミュレーション方法。
【請求項６】
請求項１，４，または５記載の接触面積計算処理を実行する接触面積計算手段と、
請求項１〜３のいずれかに記載の摩擦力計算処理を実行する摩擦力計算手段と、
請求項１記載の挙動推定処理を実行する挙動推定手段と、
を備えたことを特徴とする粒子挙動シミュレーション装置。
【請求項７】
請求項１，４，または５記載の接触面積計算処理と、請求項１〜３のいずれかに記載の摩擦力計算処理と、請求項１記載の挙動推定処理と、をコンピュータに実行させるためのプログラム。
【請求項８】
請求項７記載のプログラムが、コンピュータによって読み取り可能に記録されたことを特徴とする記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、各種の力を受ける粒子の挙動をシミュレーションする粒子挙動シミュレーション方法、並びに、その方法を実施するための粒子挙動シミュレーション装置、プログラム、及び記録媒体に関する。
【背景技術】
【０００２】
近年、トナー等の粒子の挙動を、個々の粒子毎に解析する粒子要素法でシミュレーションすることが提案されている（例えば、非特許文献１参照）。
【非特許文献１】巽洋、外２名，「非磁性一成分現像における薄層形成シミュレーションの開発」，シャープ技報，シャープ株式会社，２０００年４月，第７６号，ｐ．４１−４５
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
ところが、上記方法では、トナー粒子を剛体とみなしているため、トナー粒子同士またはトナー粒子と他の物体との接触面積は０になる。このため、トナー粒子の回転（自転）などによってトナー粒子間、またはトナー粒子と他の物体との間に作用する摩擦力などが考慮されず、正確なシミュレーションが行えなかった。そこで、本発明は、粒子同士または粒子と他の物体との接触面積を考慮することによって、各種の力を受ける粒子の挙動を正確にシミュレーションすることのできる粒子挙動シミュレーション方法、並びに、その方法を実施するための粒子挙動シミュレーション装置、プログラム、及び記録媒体を提供することを目的としてなされた。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
上記目的を達するためになされた本発明の粒子挙動シミュレーション方法は、シミュレーション対象の粒子同士、または、その粒子と他の物体との接触面積を計算する接触面積計算処理と、該接触面積計算処理により計算された接触面積に基づき、上記粒子同士の間、または、上記粒子と上記他の物体との間に作用する摩擦力を計算する摩擦力計算処理と、該摩擦力計算処理により計算された摩擦力を含めた、上記粒子に作用する力の合力に基づき、上記粒子の挙動を推定する挙動推定処理と、を備えたことを特徴としている。
【０００５】
このように構成された本発明では、接触面積計算処理によってシミュレーション対象の粒子同士、または、その粒子と他の物体との接触面積を計算し、その接触面積に基づいて、上記粒子同士の間、または、上記粒子と上記他の物体との間に作用する摩擦力を、摩擦力計算処理によって計算する。挙動推定処理では、この摩擦力計算処理により計算された摩擦力を含めた、上記粒子に作用する力の合力に基づいて上記粒子の挙動を推定するので、粒子の挙動を正確に推定することができる。すなわち、上記接触面積に基づいて摩擦力を計算し、その摩擦力を考慮して粒子の挙動を推定するので、挙動を正確に推定することができるのである。
【０００６】
なお、上記摩擦力計算処理では、必ずしも全ての摩擦力を計算する必要はないが、上記摩擦力計算処理では、少なくとも、上記接触面に立てた垂線を軸とする回転に関する摩擦力を計算する場合、次のような更なる効果が生じる。すなわち、従来は、接触面に立てた垂線を軸とする回転に対しては摩擦が０と推定されていたので、このような摩擦力を計算することにより、本発明の効果が一層顕著に表れる。
【０００７】
また、上記摩擦力計算処理における摩擦力の計算方法は種々考えられるが、上記摩擦力計算処理では、上記接触面積を定数倍若しくはべき乗倍して上記摩擦力の計算を行ってもよい。
【０００８】
また、上記接触面積計算処理では、必ずしも接触面積を直接計算する必要はなく、例えば、上記接触面積計算処理では、上記粒子の、上記他の物体に対する接触深さに基づいて、上記接触面積を計算してもよい。この場合、接触面積の計算が容易になり、処理速度を向上させることができる。
【０００９】
同様に、上記接触面積計算処理では、上記粒子同士、または上記粒子と上記他の物体との間に作用する圧力に基づいて、上記接触面積を計算してもよく、この場合も、接触面積の計算が容易になり、処理速度を向上させることができる。
【００１０】
また、本発明の粒子挙動シミュレーション装置は、上記いずれかの接触面積計算処理を実行する接触面積計算手段と、上記いずれかの摩擦力計算処理を実行する摩擦力計算手段と、上記挙動推定処理を実行する挙動推定手段と、を備えたことを特徴としている。
【００１１】
このように構成された本発明では、接触面積計算手段により上記接触面積計算処理を、摩擦力計算手段により上記摩擦力計算処理を、挙動推定手段により上記挙動推定処理を、それぞれ実行することができるので、上記いずれかの発明の粒子挙動シミュレーション方法を容易に実行することができる。
【００１２】
また、本発明のプログラムは、上記いずれかの接触面積計算処理と、上記いずれかの摩擦力計算処理と、上記挙動推定処理と、をコンピュータに実行させるためのプログラムであることを特徴としている。このため、本発明のプログラムをコンピュータに実行させれば、上記いずれかの発明の粒子挙動シミュレーション方法を容易に実行することができる。
【００１３】
また、本発明の記録媒体は、上記発明のプログラムが、コンピュータによって読み取り可能に記録されたことを特徴としている。このため、本発明の記録媒体に記録されたプログラムをコンピュータに実行させれば、上記いずれかの発明の粒子挙動シミュレーション方法を容易に実行することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１４】
以下に、本発明の実施の形態について、図面を参照して説明する。図１は、本発明が適用された粒子挙動シミュレーション装置としてのパーソナルコンピュータ１の構成を概略的に表す説明図である。本実施の形態の粒子挙動シミュレーション方法を実行するためのプログラムは、このパーソナルコンピュータ１のハードディスク装置（ＨＤＤ）３４に格納されている。パーソナルコンピュータ１は、このハードディスク装置３４の他、ＣＰＵ３１，ＲＯＭ３２，ＲＡＭ３３を備えた本体３に、ディスプレイ５、キーボード７、マウス９等が接続された一般的な構成を有している。
【００１５】
先ず、本実施の形態の粒子挙動シミュレーション方法の原理について、図２〜図４を用いて説明する。本実施の形態では、トナー粒子Ｔの挙動が、粘弾性力学モデルとしてのフォークト（Voigt ）モデルを用いた個別要素法（ＤＥＭ）によってシミュレーションされる。図２は、フォークトモデルの概念図であり、図２（Ａ）はトナー粒子Ｔ同士の間に作用する圧縮力を、図２（Ｂ）は剪断力を、それぞれ表している。
【００１６】
図２（Ａ），（Ｂ）に示すように、このフォークトモデルでは、トナー粒子Ｔの弾性的性質を表すスプリング９１と、非弾性的性質を表す粘性ダッシュポット９２とを並列に接続して、トナー粒子Ｔに作用する力を表している。また、剪断力に対しては、トナー粒子Ｔ同士の接触に付随する摩擦相互作用を表すために、相互作用力の接線方向性分として、摩擦スライダ９３を挿入している。このように構成されたフォークトモデルにより、トナー粒子Ｔの挙動（直線運動及び回転）に関する微分方程式を立てることができるが、これらは、上記非特許文献１にも開示されているように極めて周知であるので、ここでは説明を省略する。また、図２（Ａ），（Ｂ）は、トナー粒子Ｔ同士の間に作用する力を表したものであるが、トナー粒子Ｔと他の物体（例えば筐体）との間に作用する力に対しても、同様にフォークトモデルを作成することができる。
【００１７】
また、トナー粒子Ｔが平板Ｐに接触した場合、図３に示すようにトナー粒子Ｔは変形し、有意の接触面積Ｓが生じる。そして、トナー粒子Ｔは、この接触面積Ｓによって摩擦力等を平板Ｐから受ける。トナー粒子Ｔが転がり方向に受ける摩擦力等は、前述のフォークトモデルにもある程度反映されるが、平板Ｐに立てた垂線を軸とするトナー粒子Ｔの回転に対して作用する摩擦力等は、充分に反映されない。そこで、本実施の形態では、トナー粒子Ｔが平板Ｐから上記垂線回りに受ける力のモーメントＭrnを、次のように計算している。
【００１８】
図３に示すように、上記垂線方向の単位ベクトルをｕn と定義し、トナー粒子Ｔの矢印ω方向の回転に対応するベクトル（その回転に対して右ネジの進行方向に方向を有し、回転速度に応じた大きさを有するベクトル）をωと定義する。ベクトルωの上記単位ベクトルｕn 方向の成分をωn とすると、上記力のモーメントＭrnは、次式でベクトルとして表すことができる。
【００１９】
Ｍrn＝−ｓｉｇｎ（ωn ） * Ｓ * α * ｕn
なお、上式におけるαは、平板Ｐの摩擦係数等に基づいて設定される定数である。また、比較的柔らかい物体との接触を考える場合、トナー粒子Ｔに加わる摩擦力を実際よりも小さく計算する場合があるので、αは大きめに設定するのが望ましい。逆に、硬い物体との接触を考える場合は、摩擦力を実際よりも大きく計算する場合があるので、αは小さめに設定するのが望ましい。このように、トナー粒子Ｔの回転に対しては、平板Ｐから、接触面積Ｓに比例する抵抗力が加わる。また、トナー粒子Ｔ同士の接触に対しても、同様の計算を行うことができる。但し、接触相手のトナー粒子Ｔが自身よりも高速で同方向に回転している場合は、回転を促進する力のモーメントが加わる。
【００２０】
また、上記接触面積Ｓは、必ずしも直接計算する必要はなく、次のように、接触深さや圧力から計算してもよい。例えば、図４に示すように、半径Ｒの球状の粒子が平面と接触した場合、粒子の外周方向への膨らみを無視すると、接触深さＤ，接触面の半径Ｌ，接触面積Ｓの関係は次のようになる。
【００２１】
【数１】
2006343936.tif 000003
【００２２】
上式より、接触深さＤの値が半径Ｒに比べて小さい場合は、接触面積Ｓは近似的に次式によって表すことができる。
Ｓ≒π×２Ｒ×Ｄ
このように、計算を簡略化することにより、処理の負担を軽減することができる。また、このように接触面積Ｓを近似式で表したものを、最初から上記力のモーメントＭrnの算出式に代入しておいて処理に用いてもよい。更に、この場合、接触深さＤ以外の部分を予め計算しておき、接触深さＤを代入すれば即座に力のモーメントＭrnが算出できるようにしておいてもよい。また、粒子に加わる荷重をＮ，圧力をｐとすると、Ｓ＝Ｎ／ｐであるから、これを上記力のモーメントＭrnの算出式に代入して、同様に処理の負担を軽減してもよい。この場合、所定の式に上記荷重Ｎ及び圧力ｐを代入することで、力のモーメントＭrnが算出できるようになる。
【００２３】
次に、パーソナルコンピュータ１で実行される処理について、図５，図６のフローチャートを用いて説明する。キーボード７またはマウス９を介して所定のコマンドが入力されると、ＣＰＵ３１は、ハードディスク装置３４に記録されたプログラムに基づき、図５のフローチャートに示す処理を実行する。
【００２４】
図５に示すように、処理が開始されると、先ずＳ１０（Ｓはステップを表す：以下同様）にて、トナー粒子Ｔの物性等の各種パラメータをキーボード７からの入力に応じて設定するための初期設定処理が実行される。図６は、この初期設定処理の詳細を表すフローチャートである。
【００２５】
図６に示すように、この処理では、先ずＳ１１にて、前述のα等の定数が設定される。続くＳ１２では、トナー粒子Ｔの数が、Ｓ１３ではトナー粒子Ｔの弾性係数等の物性値がそれぞれ設定される。更に、Ｓ１４では、各トナー粒子Ｔに対してそれぞれ初期座標及び初期速度が設定され、Ｓ１５では、各トナー粒子Ｔに対してぞれそれ初期角度及び初期角速度が設定される。
【００２６】
続くＳ１６では、筐体等の障害物（他の物体に相当）の配置が設定され、Ｓ１７では、障害物の弾性係数等の物性値が設定される。更に、続くＳ１８では、トナー粒子Ｔ同士またはトナー粒子Ｔと障害物との接触力の初期化がなされ、処理は図５に示すＳ２１へ移行する。
【００２７】
Ｓ２１では、時刻ｔが０にセットされ、続くＳ２２ではトナー粒子Ｔの番号ｎが１にセットされる。更に、Ｓ２３では、各トナー粒子Ｔに作用する力の合力がクリアされる。すなわち、本処理では、各トナー粒子Ｔに作用する力は後述のように時刻ｔが変化する度に再計算されるのである。続くＳ２４では、上記番号ｎに対応するトナー粒子Ｔと各障害物との接触力が計算され、Ｓ２５では、そのトナー粒子Ｔと他のトナー粒子Ｔとの接触力が計算される。なお、ここで接触力とは、前述のように計算される摩擦力のみならず、圧接力や各種応力など、接触によってトナー粒子Ｔに加わる全ての力を指す。
【００２８】
続くＳ２６では、重力，静電引力など、接触によらずにトナー粒子Ｔに加わる力が計算され、Ｓ２７にてｎ≧Ｎ（Ｎはモデルにおけるトナー粒子Ｔの個数）であるか否かが判断される。ｎ＜Ｎの場合は（Ｓ２７：Ｎ）、Ｓ２８にてｎが１つインクリメントされた後、処理は前述のＳ２３へ移行する。こうして、Ｓ２３〜Ｓ２６の処理が全てのトナー粒子Ｔに対して実行され、ｎ＝Ｎとなると（Ｓ２７：Ｙ）、処理はＳ３１へ移行する。
【００２９】
Ｓ３１では、速度，変位増分の計算値より、各トナー粒子Ｔの位置が移動される。すなわち、トナー粒子Ｔの質量ｍ，トナー粒子Ｔの位置ｘ，トナー粒子Ｔに加わる力Ｆの間には、以下に示す関係がある。そこで、Ｓ３１では、Ｓ２３〜Ｓ２６の処理で計算された力のうち直線状の力の総和をこの式に当てはめることにより、時刻ｔにおけるトナー粒子Ｔの位置ｘが計算されるのである。
【００３０】
【数２】
2006343936.tif 000004
【００３１】
続くＳ３２では、角速度，変位角増分の計算値より、各トナー粒子Ｔの角度が移動される。すなわち、トナー粒子Ｔの慣性モーメントＩ，トナー粒子Ｔの角度θ，トナー粒子Ｔに加わる力のモーメントＭの間には、以下に示す関係がある。そこで、Ｓ３２では、Ｓ２３〜Ｓ２６の処理で計算された力のうち力のモーメントの総和をこの式に当てはめることにより、時刻ｔにおけるトナー粒子Ｔの角度θが計算されるのである。
【００３２】
【数３】
2006343936.tif 000005
【００３３】
続いて、Ｓ３１にて計算されたトナー粒子Ｔの位置がＳ３３にてファイル等に書き込まれ、Ｓ３２にて計算されたトナー粒子Ｔの角度がＳ３４にてファイル等に書き込まれ、更に、Ｓ３５にて、時刻ｔが予め設定された時刻Ｔend に達したかが判断される。時刻ｔがＴend に達していないときは（Ｓ３５：Ｎ）、Ｓ３６にて時刻ｔが所定時間Δｔ進められた後、処理は前述のＳ２２へ移行する。このようにして、時刻ｔをΔｔずつ進めながら刻々と変化するトナー粒子Ｔの位置及び角度が計算され、時刻ｔが上記時刻Ｔend となると（Ｓ３５：Ｙ）、処理が終了する。
【００３４】
次に、上記処理による具体的な計算例を説明する。図７（Ａ）は、初期の設定を表している。本計算例では、１２５個のトナー粒子Ｔが立方体状の容器上方に５個×５個×５個で配列された初期状態を想定し、この状態からトナー粒子Ｔを落下させた場合の挙動をシミュレーションした。なお、容器の大きさは、横，縦，奥行が１１０ｅ−６，１１０ｅ−６，２２０ｅ−６［ｍ］とし、その他のパラメータは次のように設定した。すなわち、計算ステップ（前述のΔｔに相当）は１．０ｅ−８［ｓ］、計算終了時間（前述のＴend に相当）は２０．０ｅ−３［ｓ］、粒子径は８．０ｅ−６［ｍ］、粒子質量は２．７８８ｅ−１２［ｋｇ］、粒子慣性モーメントは７．１３７４ｅ−２３［ｋｇ・ｍ2 ］、法線方向の弾性係数は１１．３、剪断方向と法線方向との弾性係数比は０．１、法線方向の粘性係数は２．８０６５ｅ−６、剪断方向と法線方向との粘性係数比は０．１、摩擦係数は０．５、とした。
【００３５】
ｔ＝５ｅ−３，１０ｅ−３，１５ｅ−３，２０ｅ−３の各時刻におけるトナー粒子Ｔの挙動を、図７（Ｂ），（Ｃ），（Ｄ），（Ｅ）に示す。図７に示すように、本実施の形態では、極めて実際の粒子挙動に近いシミュレーションを行うことができた。
【００３６】
これに対して、前述の力のモーメントＭrnを無視して同様の条件で行ったシミュレーション結果を、比較例として図８に示す。図８に示すように、この場合、回転による抵抗が考慮されないため、トナー粒子Ｔの回転が止まり難くトナー粒子Ｔが安定して堆積しない。これに対して、図７に示した本実施の形態による計算例では、トナー粒子Ｔが安定して堆積した。これは、接触している面積に応じてトナー粒子Ｔの回転が抑制されるため、下に堆積しているトナー粒子Ｔは大きな力を受け、下平面との接触面積が大きくなって回転が抑制される現象を良好にシミュレーションできたためと考えられる。
【００３７】
このように、本実施の形態では、トナー粒子Ｔの挙動を正確にシミュレーションすることができた。また、上記計算例は、トナーボックス内で撹拌されたトナー粒子Ｔの挙動やトナーボックスから現像カートリッジへ供給されたトナー粒子Ｔの挙動のシミュレーションに応用することができる。更に、トナー粒子Ｔに作用する静電引力や鏡像力、ローラやブレードとの摩擦を考慮すれば、プロセスカートリッジ内におけるトナー粒子Ｔの挙動を正確にシミュレーションすることが可能となる。
【００３８】
なお、上記実施の形態において、Ｓ２４，Ｓ２５の処理のうちの上記接触面積Ｓの計算に関わる処理が接触面積計算処理に、Ｓ２４，Ｓ２５の処理のうちの力のモーメントＭrnの計算に関わる処理が摩擦力計算処理に、Ｓ３１，Ｓ３２の処理が挙動推定処理に、それぞれ相当する。また、上記各処理のプログラムを記憶したハードディスク装置３４の記憶領域、及び、そのプログラムを実行するＣＰＵ３１が、それぞれ、接触面積計算手段，摩擦力計算手段，または挙動推定手段に相当する。
【００３９】
また、本発明は上記実施の形態になんら限定されるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない範囲で種々の形態で実施することができる。例えば、本発明の記録媒体は、上記実施の形態のようなハードディスク装置、或いはＲＯＭ，ＲＡＭ等の素子に限定されるものではなく、フレキシブルディスク，コンパクトディスク，インターネット上のウェブサーバ等であってもよい。
【００４０】
更に、上記実施の形態では、力のモーメントＭrnが接触面積Ｓに比例するものとして計算を行っているが、接触面積Ｓのべき乗に比例するものとして計算を行ってもよい。例えば、柔らかい物体同士が接触する場合は、接触面積Ｓの影響が大きくなる。このような場合、例えば力のモーメントＭrnが接触面積Ｓの２乗に比例するものとして計算を行い、接触面積Ｓを結果に反映され易くしてもよい。
【図面の簡単な説明】
【００４１】
【図１】本発明が適用されたパーソナルコンピュータの構成を表す説明図である。
【図２】そのコンピュータで実行されるシミュレーション方法におけるフォークトモデルの構成を表す概念図である。
【図３】そのシミュレーション方法における力のモーメントＭrnの計算方法を表す説明図である。
【図４】そのシミュレーション方法における接触面積の計算方法を表す説明図である。
【図５】上記コンピュータで実行される処理を表すフローチャートである。
【図６】その処理のうちの初期設定処理を詳細に表すフローチャートである。
【図７】上記処理による粒子挙動の計算例を表す説明図である。
【図８】その粒子挙動の計算例に対する比較例を表す説明図である。
【符号の説明】
【００４２】
１…パーソナルコンピュータ    ３…本体              ５…ディスプレイ
７…キーボード                ９…マウス            ３１…ＣＰＵ
３２…ＲＯＭ                  ３３…ＲＡＭ          ３４…ハードディスク装置
９１…スプリング              ９２…粘性ダッシュポット
９３…摩擦スライダ            Ｔ…トナー粒子
【図１】
2006343936.tif 000006
【図２】
2006343936.tif 000007
【図３】
2006343936.tif 000008
【図５】
2006343936.tif 000009
【図６】
2006343936.tif 000010
【図４】
2006343936.tif 000011
【図７】
2006343936.tif 000012
【図８】
2006343936.tif 000013