(57)【要約】【課題】  短い時間で計算できるため実践性が高く、かつ、キャリア速度のオーバーシュートを高い精度で計算できるデバイスの計算方法を提供する。【解決手段】1次元ポアソン方程式に併せて、5つの多重加速流定義をまとめた図８中のすべての式（流速の式と境界条件の式も含む）を用いることによって、半導体デバイス内部の電気的特性並びに電気的特性分布を推定する。【選択図】図８
2006135218.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
１次元z方向を離散化し、i番目の計算ノードの位置をziとし、各計算ノード毎にドナー濃度並びにアクセプター濃度を割り当てて、半導体デバイスの電気的特性を推定する方法であって、vTをキャリア熱速度、qを電荷素量、Ψを電位、m*をキャリア有効質量、J+d,iを正方向に流れるキャリア流、v+d,iをその流速、J-dを負方向に流れるキャリア流、v-dをその流速、ξ+dを正方向に流れるキャリアの散乱係数、ξ-dを負方向に流れるキャリアの散乱係数、minを電位：Ψが最小となる計算ノードの番号として、１次元ポアソン方程式に併せて、適切な散乱係数：ξ+d並びにξ-dの定義式を伴う、下記（数１）に示した方程式を用いることを特徴とする、半導体デバイス内部の電気的特性並びに電気的特性分布の推定方法。
（数１）
2006135218.tif 000003
【請求項２】
散乱係数：ξ+d並びにξ-dの定義式に現れる低電界平均自由行程ないしその逆数を、各計算ノード毎に可変としたことを特徴とする、請求項１に記載の半導体デバイス内部の電気的特性並びに電気的特性分布の推定方法。
【請求項３】
キャリア熱速度：vTと、散乱係数：ξ-dの定義式に現れるキャリア温度：Tとを、各計算ノード毎に可変としたことを特徴とする、請求項２に記載の半導体デバイス内部の電気的特性並びに電気的特性分布の推定方法。
【請求項４】
１次元z方向を離散化し、i番目の計算ノードの位置をziとし、各計算ノード毎にドナー濃度並びにアクセプター濃度を割り当てて、半導体デバイスの電気的特性を推定する方法であって、qを電荷素量、μを高電界移動度、Eを電界、Dをキャリア拡散係数、μ０を低電界移動度、vTをキャリア熱速度、ξ0を低電界平均自由行程の逆数、Ψを電位、m*をキャリア有効質量、Jを定常状態における空間的に一様な電流密度、N*を擬似キャリア濃度、nを真のキャリア濃度、J+d,iを正方向に流れるキャリア流、v+d,iをその流速、minを電位：Ψが最小となる計算ノードの番号として、１次元ポアソン方程式に併せて、適切な低電界移動度：μ０の表式並びにアインシュタインの関係式を伴う、下記（数２）並びに（数３）に示した方程式を用いることを特徴とする、半導体デバイス内部の電気的特性並びに電気的特性分布の推定方法。
（数２）
2006135218.tif 000004
（数３）
2006135218.tif 000005
【請求項５】
上記（数３）に示した方程式を一部拡張すると共に、低電界移動度：μ０並びに低電界平均自由行程の逆数：ξ0を各計算ノード毎に可変としたことを特徴とする、請求項４に記載の半導体デバイス内部の電気的特性並びに電気的特性分布の推定方法。
【請求項６】
上記（数２）に示した方程式中の定常状態における空間的に一様な電流密度：Jの表式に、+(qDN*/vT)(∂vT/∂z)の項を付け加えると共に、キャリア熱速度：vTと、低電界移動度：μ０の表式並びにアインシュタインの関係式に現れるキャリア温度：Tとを、各計算ノード毎に可変としたことを特徴とする、上記（請求項５）に記載の半導体デバイス内部の電気的特性並びに電気的特性分布の推定方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、電界によるキャリアの加速を考慮して新規に拡張したＭｃＫｅｌｖｅｙの方法に基づく、バイポーラトランジスタや超薄膜ダブルゲートＭＯＳ（ＭＩＳ）ＦＥＴ等の1次元定常状態における半導体のデバイス計算方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
通常のＴＣＡＤデバイス計算は、ドリフト−拡散模型ないしエネルギー輸送模型に基づいて行われる。
【０００３】
また、ドリフト−拡散模型と類似しているが、非特許文献１に記載されているＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法（後述する）という手法も提案されている。ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法は、キャリア流を流れの方向で独立に定義しているため、キャリア流の一方向の加速等、新たな物理機構を導入しやすいという特徴を有している。
【０００４】
また、より精密な計算が必要な場合は、モンテカルロ法を用いてボルツマン輸送方程式を解く（非特許文献４）こともある。モンテカルロ法を用いることで原理的に精密な計算が可能となる。なお、これらを融合させたハイブリッド型の方法も提案されている（特許文献１）。
【０００５】
【特許文献１】特開平８−２０４１７８号公報
【非特許文献１】Appl. Phys. Lett. 66, 962 (1995)
【非特許文献２】J. Appl. Phys. 94, 4986 (2003).
【非特許文献３】SYNOPSYS, Medici User Manual, ver. 2002.4, Feb. 2003.
【非特許文献４】Phys. Rev. B 38, 9721 (1988).
【非特許文献５】IEEE Electron Device Lett. 18, 361 (1997).
【非特許文献６】SYSPAD'00, 2000, 1.
【非特許文献７】IEEE Trans. Electron Devices 49, 133 (2002).
【非特許文献８】Solid-State Electron. 44, 1689 (2000).
【非特許文献９】Superlatt. Microstruct. 27, 179 (2000).
【非特許文献１０】IEEE Trans. Electron Devices 47, 232 (2000).
【非特許文献１１】Jpn. J. Appl. Phys. 42, 2063 (2003).
【非特許文献１２】電子情報通信学会技術研究報告，SDM2003-184．
【非特許文献１３】J. Appl. Phys. 92, 5196 (2002).
【非特許文献１４】IEEE Trans. Electron Devices 16, 64 (1969).
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかしながら、モンテカルロ法を用いてボルツマン輸送方程式を解く方法では、この計算方法に固有のノイズの問題と併せて、計算に必要な記憶容量と時間が膨大となり、実践性並びに汎用性に欠けるという問題点がある。
【０００７】
また、ハイブリッド型の方法では、モンテカルロ法を用いた場合に比べ計算時間を短縮することができるが、ドリフト−拡散模型やエネルギー輸送模型に基づいて行われる計算時間と比べて長い計算時間を必要とするため、やはり実践性には乏しい。
【０００８】
一方、ドリフト−拡散模型並びにエネルギー輸送模型については、上記のような問題がなく、ＴＣＡＤデバイス計算のｄｅｆａｃｔｏ  ｓｔａｎｄａｒｄ模型として、電子デバイスの研究開発に幅広く活用されている（非特許文献３）。
ところが、近年のデバイス物理の理論的研究の進展に伴って、高電界領域でのキャリアの速度オーバーシュート、並びにキャリアのバリスティック輸送に関する理解が深まる（非特許文献５、非特許文献６、非特許文献７）につれて、ドリフト−拡散模型並びにエネルギー輸送模型の問題点（非特許文献６、非特許文献８、非特許文献９）が顕在化してきた。
【０００９】
ドリフト−拡散模型並びにエネルギー輸送模型の問題点を示す前に、まずは、近年のデバイス物理の理論的研究によって明らかになってきた、ＭＯＳＦＥＴの性質について説明する（非特許文献５、非特許文献６、非特許文献７）。
【００１０】
（ａ）電流駆動能力は、チャネル入口近傍でチャネル方向電界が０の位置（以後、チャネル始点と呼ぶ）における４つのキャリア物理量、濃度・熱速度・低電界平均自由行程（あるいは低電界移動度）・ポテンシャル変化の特性長、で表される。
【００１１】
（ｂ）チャネル出口側等の高電界領域における、キャリアの速度オーバーシュートの効果は、同効果が反映されたキャリア濃度分布に相補的な、自己無撞着ポテンシャル分布を介してのみ、電流駆動能力に影響を与え得る。
【００１２】
（ｃ）電流駆動能力に比例する、チャネル始点におけるキャリアの平均速度は、同始点でのキャリア熱速度によって制限され、その値を超えることはない。そして、その極限状態は、近年、デバイスの高性能化の極限として広く知られるようになってきた、キャリアのバリスティック輸送極限（無散乱極限に等価）の状態である。
【００１３】
なお、ここで，上記の電子デバイス全般の性質を確認する意味で、Ｓｉ−ＭＯＳＦＥＴの飽和ドレイン電流を例にとって、その表式の導出と解説を、図１並びに図２に示しておく。図１は、Ｓｉ−ＭＯＳＦＥＴのゲート直下でのソース・チャネル・ドレイン間を移動するキャリアの輸送現象を説明するための図である。図２は、図１で示されているＳｉ−ＭＯＳＦＥＴの飽和ドレイン電流：Id,satの表式を変形し、Ｓｉ−ＭＯＳＦＥＴの単位チャネル幅当たりの飽和ドレイン電流：Id,sat/Wが、チャネル始点における4つのキャリア物理量に依存することを示す図である。
【００１４】
次に、上記の電子デバイス全般の性質を、ドリフト−拡散模型並びにエネルギー輸送模型の物理的内容と照らし合わせることによって、次第に明らかになってきた、両模型の問題点を示す（非特許文献６、非特許文献８、非特許文献９）。
【００１５】
ドリフト−拡散模型は、キャリアの速度の最大値が一義的に固定されているため、チャネル出口側等の高電界領域におけるキャリアの速度オーバーシュートの効果を評価することができない。従って、キャリアの速度オーバーシュートの効果が支配的になる０．１μｍ以下のゲート長を持つＭＯＳＦＥＴ等に対して、電流駆動能力を正しく評価できない問題点を有している。
【００１６】
ちなみに、ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法（後述する）も、キャリアの速度の最大値が一義的に固定されている模型であるため、ドリフト−拡散模型と同様、高電界領域におけるキャリアの速度オーバーシュートの効果を正しく評価できず、ドリフト−拡散模型と同様の問題を有している。
【００１７】
また、エネルギー輸送模型では、ドリフト−拡散模型で問題となる、速度オーバーシュートの評価に関する不備に手が加えられているものの、チャネル始点におけるキャリアの熱速度、ひいてはバリスティック輸送極限の電流が、大きめに評価されるため、電流駆動能力を過大評価してしまうという問題点を有している。
【００１８】
ここで、後者のエネルギー輸送模型の弱点について、補足しておく。ＭＯＳ（ＭＩＳ）ＦＥＴのチャネル始点でのキャリア熱速度は、通常、表面量子化計算に基づいて算出される（非特許文献１０、非特許文献１１、非特許文献１２）。例として、発明者が独自に行った計算（非特許文献１２）の結果を、図３に示す。ところが、エネルギー輸送模型によると、同キャリア熱速度は、エネルギーの輸送過程を通じて計算されるが、対流によるエネルギー輸送の取り扱いに関して、不備が指摘されている（非特許文献６、非特許文献８）。
【００１９】
以上の問題点に鑑みて、本発明のデバイス計算方法は、短い時間で計算できるため実践性が高く、かつ、キャリア速度のオーバーシュートを高い精度で計算できるデバイスの計算方法を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【００２０】
本発明では、空間の次元を１次元に限定し、併せて、定常状態の計算のみを取り扱う。また、電流駆動能力の予測評価を目的とした計算を想定して、キャリアの生成再結合は無視する。その上で、（発明が解決しようとする課題）に示した従来のＴＣＡＤデバイス計算の弱点を解消するべく、キャリア輸送模型そのものから見直すこととする。その見直しの出発点としたのが、物理的にも数学的にも単純な変数変換によって、ドリフト−拡散模型と等価であることが示されている、ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法である（非特許文献１、非特許文献２）。
【００２１】
1次元定常状態におけるＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法では（非特許文献１、非特許文献２）、互いに逆行する2つのキャリア流：J+並びにJ-が取り扱われる（共に正で定義される）。そして、それらの流速の絶対値を、キャリア熱速度：vTに固定して考える（つまり、J+の流速を+vT、J-の流速を-vTと考える）。また、散乱を考慮して、散乱係数：ξ+の割合で、J+が逆流してJ-に乗り移ることとする。同様に、散乱によって、散乱係数：ξ-の割合で、J-が逆流してJ+に乗り移ることとする。
【００２２】
加えて、ξ+並びにξ-は、キャリア流が電界に沿っている場合には、低電界平均自由行程：λ0の逆数：ξ0（= 1/λ0）と考え、キャリア流が電界に逆らっている場合には、電界の絶対値に比例してさらに増加するものと考える。すると、図４に示す方程式が得られる。なお、この図４には、キャリア流と散乱の模式図も併せて示してある。
【００２３】
以上のように、ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法では、キャリア流を流れの方向で２つに分類し、それらを独立変数として取り扱う。しかしながら、より馴染み深い、簡単な変数で置き換えることが可能である。キャリアを電子に限定して考えると、電流密度：Jは、互いに逆行する2つのキャリア流：J+並びにJ-を用いてJ = -q(J+ - J-)と表され、キャリア濃度：Nは、同じくJ+並びにJ-を用いてN = (J+ + J-)/vTと表される。
【００２４】
これら２つの式を用いて、図４に示した方程式からJ+並びにJ-を消去すると、J並びにNに関する方程式が得られる。そして、その方程式とは、Ｃａｕｇｈｅｙ−Ｔｈｏｍａｓの高電界移動度の表式（非特許文献３）でβ= 1とした場合の、ドリフト−拡散方程式に他ならないのである（非特許文献１、非特許文献２）。非縮退極限における、低電界移動度の表式とアインシュタインの関係式も、同時に導かれるのである（非特許文献１、非特許文献２）。また、この方程式の変数変換には、一切の近似を必要としないことに注意されたい。前段落並びに本段落の内容について、図５にまとめておく。
【００２５】
さらには、散乱係数：ξ+並びにξ-の定義式を、縮退状態にも適用可能な形態に変更できることが、すでに知られている（非特許文献１３）。その変更に併せて、上記変数変換を施すことによって、ドリフト−拡散模型で用いられる低電界移動度の表式とアインシュタインの関係式に対して、同様の縮退状態の形態を導くことができることもまた、すでに公知となっている（非特許文献１３）。
【００２６】
加えて、低電界平均自由行程：λ0並びにその逆数：ξ0を、空間的に変化する（zに依存する）ものと考えることによって、低電界移動度：μ０の空間依存性が取り扱えるようにもなる。
【００２７】
また、キャリアの温度：T並びに熱速度：vTの空間依存性を考慮することも可能である。ただし、T並びにvTの空間依存性を考慮した上で、ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ方程式からドリフト−拡散方程式を導くと（図４並びに図５を参照のこと）、図５中の電流密度：Jの表式に、+(qDN/vT)(dvT/dz)の項が付け加わることに注意が必要である。
【００２８】
本発明は、本章に示した１次元定常状態におけるＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法にまつわる公知の事実を、有効に活用した上で、複数種のキャリア加速流を新たに導入することによって、導かれている。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２９】
（第１の実施形態）
（副題：多重加速流の導入による、ＭｃＫｅｌｖｅｙの方法の拡張）
（課題を解決するための手段）の内容によると、ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法では、キャリア流の速度の絶対値がキャリア熱速度に限定されており、加速がまったく考慮されない。これに対して、バリティック輸送極限に特徴的な２種類のキャリア加速流を導入することによって、同方法をバリティック輸送極限にのみ適用可能な形態に改良する提案が、報告されている（非特許文献１３）。我々は、この公知の改良（非特許文献１３）を発展させて、より多くの種類のキャリア加速流（ａｃｃｅｌｅｒａｔｅｄ−ｍｕｌｔｉ−ｆｌｕｘ）を導入した、新規の計算模型を発明した。ボルツマン輸送方程式では、キャリアは任意の位置から加速されることが想定されているが、その代わりに、全計算ノードを起点として、エネルギー保存則に従って加速される、複数のキャリア流を導入することによって、ＭｃＫｅｌｖｅｙの方法を拡張するのである（図６を参照のこと）。
【００３０】
ただし、1次元の定常状態を前提とし、併せて、キャリアの生成再結合を無視した。本発明によれば、散乱が顕著で拡散的なキャリア流から、速度オーバーシュートが顕在化する高度に発達したｏｆｆ−ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ輸送を経て、バリスティック輸送極限に至るまで、幅広く適用可能な、1次元定常状態におけるＴＣＡＤデバイス計算の方法が、提供可能となる。
【００３１】
チャネル入口近傍で電位：Ψが最小となる位置：zmin、すなわち、電界：E（= -dΨ/dz）が0のチャネル始点を基準にして、Eが0以下となるzmin <= zのｄｏｗｎｗａｒｄ（下流）領域を考える（図６を参照のこと）。そして、このｄｏｗｎｗａｒｄ領域内において、個々のキャリア加速流：J+d,i+1（min <= i）を、以下のように定義する（図７を参照のこと）。ちなみに、J+d,i+1のサフィックス：dは、ｄｏｗｎｗａｒｄ領域の略である。
【００３２】
多重加速流定義-1：i番目の計算ノードとi+1番目の計算ノードの間、すなわちzi <= z <= zi+1において、J+d,i+1は加速を受けないものと考える。言い換えれば、加速流：J+d,i+1に対して、計算ノード1区間分の加速準備区間：zi <= z <= zi+1を設ける。つまり、zi <= z <= zi+1において、J+d,i+1の流速：v+d,i+1は、v+d,i+1 = +vTに従うものとする。
【００３３】
多重加速流定義-2：zi <= z <= zi+1において、J+d,i+1と、電界に逆らう非加速のキャリア流：J-d（流速：v-dはv-d = -vTに従う）とは、散乱に伴う逆流を通して、流れのやり取りを相互に行うものと考える。つまり、zi <= z <= zi+1において、散乱係数：ξdの割合でJ+d,i+1がJ-dに乗り移り、散乱係数：ξ-dの割合でJ-dがJ+d,i+1に乗り移るものとする。
【００３４】
多重加速流定義-3：i+1番目の計算ノード以降、すなわちzi+1 < zにおいて、J+d,i+1は、エネルギー保存則に従って加速を受けるものと考える。つまり、zi+1 < zにおいて、J+d,i+1の流速：v+d,i+1は、v+d,i+1 = [vT**2 + 2q{Ψ(z) Ψ(zi+1)}/m*]**1/2に従うものとする。ここで、qは電荷素量を、m*はキャリアの有効質量を表している。
【００３５】
多重加速流定義-4：zi+1 < zにおいて、J+d,i+1は、散乱に伴う逆流を通して、散乱係数：ξdの割合で、J-dに乗り移るものと考える。ただし、同じくzi+1 < zにおいて、J-dがJ+d,i+1に乗り移ることは考えない。なぜならば、加速流：J+d,i+1は、起点：zi+1からの加速を伴ってこそ成立するからである。（多重加速流定義-2と見比べると、加速流、非加速流にかかわらず、同一の散乱係数：Ψdを想定していることが分かる。これは、（発明が解決しようとする課題）に示した、キャリアの速度飽和を濫用しない、近年のデバイス物理に準拠した取り扱いであると言えよう。）
多重加速流定義-5：キャリア流の連続性に配慮して、加速準備区間の始点、すわなちz = ziにおいて、J+d,i+1 = 0とする。なお、z = zminにおいて、J+d,min = J+uとする。ここで、J+uのサフィックス：uは、ｕｐｗａｒｄ（上流）領域を表している。そして、zmin < zにおいて、J+d,minは、エネルギー保存則に従って加速を受けるものと考えて、その流速を、v+d,min = [vT**2 + 2q{Ψ(z) Ψ(zmin)}/m*]**1/2とする。
【００３６】
以上の5つの定義に基づいて多重加速流が導入された、拡張型のＭｃＫｅｌｖｅｙ法は、図８のように定式化される。この図８で、明示されてはいないが、電位：Ψ（並びに電界：E）は1次元ポアソン方程式によって記述されている。なお、z <= zminのｕｐｗａｒｄ領域についても、同様の定義並びに定式化を行う。また、ここでは電子流に対してのみ議論したが、正孔流についても、同様の定義並びに定式化が可能である。
【００３７】
上記、複数のキャリア加速流を新たに追加定義した、拡張型のＭｃＫｅｌｖｅｙ法によれば、隣接した計算ノードの間の距離を十分に小さくとることで、ほぼ任意の位置を起点とするキャリアの加速を考慮したことになる。従って、（発明が解決しようとする課題）に示したドリフト−拡散模型の弱点、すなわち、キャリアの加速が評価されない課題は、十分に解消される。加えて、キャリアの加速流速はエネルギー保存則に基づいて計算されるため、チャネル入口近傍で電位：Ψが最小となる位置：zminでは、キャリアの速度が熱速度に厳密に固定される。従って、同じく（発明が解決しようとする課題）に示したエネルギー輸送模型の弱点、すなわち、チャネル始点におけるキャリアの熱速度、ひいてはバリスティック輸送極限の電流が大きめに評価される課題は、完全に解消される。なお、対流によるエネルギー輸送は、あらわに取り扱われるキャリアの加速を通じて、評価される。
【００３８】
また、図８中の、キャリアの加速流：J+d,j（min <= j <= i）の方程式は、同J+d,jが単調に減衰してゆくことを表している。そして、その減衰が顕著な場合は、キャリア流全体が拡散的なものとなり、逆に減衰が弱くなって、キャリア加速流が持続的になるに連れて、キャリアの速度オーバーシュートが顕在化し、高度に発達したｏｆｆ−ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ輸送の様相を呈するようになる。すなわち、本発明によれば、散乱が顕著で拡散的なキャリア流から、速度オーバーシュートが顕在化する高度に発達したｏｆｆ−ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ輸送を経て、バリスティック輸送極限に至るまで、幅広く適用可能な、1次元定常状態におけるＴＣＡＤデバイス計算の方法が、提供可能となるのである。
【００３９】
なお、バリスティック輸送極限にのみ適用可能な非特許文献１３の模型では、多重加速流定義-5に示したｄｏｗｎｗａｒｄ領域でのキャリア流：J+d,minと、それに対応するｕｐｗａｒｄ領域でのキャリア流：J-u,minの2つのみが、エネルギー保存則に従うキャリア加速流として取り扱われており、本発明は、その模型をより拡張し、普遍化したものと位置付けることができる。
【００４０】
さらには、多重加速流の分布をもとにして、キャリアの速度分布が分析可能であり、ボルツマン方程式中の速度分布関数をモンテカルロ法で求める方法に比べて、ノイズのない、簡素で取り扱い易い計算結果を提供する方法であると言える。もちろん、ホットキャリアの解析にも、力を発揮するであろう。
【００４１】
一方、上記の記載に基づく発明の実施形態には、キャリアの逆流速度並びに加速流の初速度が、キャリアの加速／散乱の履歴によらずに、熱速度：vTに限定されているとの欠点もある。ただし、加速によって増加したキャリアのz方向の運動エネルギーが、散乱を通じてx方向並びにy方向に散逸すること、あるいは、非弾性散乱を通じて格子系に散逸することを考え併せると、決して非物理的な取り扱いでもない。もっとも、キャリアの温度：T並びに熱速度：vTに関して、他自由度へのエネルギー散逸を考慮した上で、各計算ノード毎に多重加速流の分布から平均的な値を計算するよう、実施形態を一部変更することによって、欠点は十分に解消される。
【００４２】
以上、（第１の実施形態）をまとめると、次のようになる。まずはじめに、1次元ポアソン方程式に併せて、5つの多重加速流定義をまとめた図８中のすべての式（流速の式と境界条件の式も含む）を用いることによって、半導体デバイス内部の電気的特性並びに電気的特性分布を推定する実施形態が挙げられる。ただし、（課題を解決するための手段）に示したように、散乱係数：ξ+d並びにξ-dの定義式を変更することによって、模型を縮退状態にも適用可能な形態に一般化できるため、同両定義式は必ずしも図８中のものに限らない。
【００４３】
また、同じく（課題を解決するための手段）に示したように、低電界平均自由行程：λ0並びにその逆数：ξ0を、空間的に変化するものと考えることによって、低電界移動度：μ０の空間依存性が取り扱えるようになるため、そのように実施形態を変更しても良い。
【００４４】
加えて、本（第１の実施形態）に示したように、キャリアの温度：T並びに熱速度：vTに関して、各計算ノード毎に値が変化するように、実施形態を一部変更するのも良い。
【００４５】
（第２の実施形態）
（副題：修正ドリフト−拡散模型）
（第１の実施形態）において、公知であるＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法に対して、新たに多重加速流を導入し、拡張することを提案した。さらに、デバイス計算で最も標準的な模型、すなわちドリフト−拡散模型との対応関係が明らかになれば、本発明は、より広く理解／活用されるようになって、その価値も高まるであろう。（課題を解決するための手段）に示したように、ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法は、ドリフト−拡散模型に等価である。そこで、（第１の実施形態）で提案した、拡張型のＭｃＫｅｌｖｅｙ法に対応したドリフト−拡散模型について検討を行った。
【００４６】
まず、図８に示した方程式を等価変形する。具体的には、J+d,i+1の方程式と、min <= j <= iを満たすJ+d,jの方程式すべてについて、左辺同士並びに右辺同士を足し合わせて、新しい方程式を作り、J-dの方程式と連立させる。その際、J+d,jをmin <= j <= i+1の範囲で足し合わせたものを、新しい記号：J+dで表すこととする。すると、図４に示したＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法の方程式に等価なものが得られることが分かる（相違点は、変数にサフィックス：dが付け加わったことのみである）。なお、この内容を、図９にまとめておく。
【００４７】
ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法の方程式と同じものが得られる限り、（課題を解決するための手段）に示した２つの簡単な変数変換を用いて、ドリフト−拡散模型との対応を確認できるはずである。ただし、注意しなければならないのは、（課題を解決するための手段）中の変換式：N = (J+d + J-d)/vTである。ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法では、キャリア流の流速の絶対値は、キャリア熱速度：vTであったが、拡張型のＭｃＫｅｌｖｅｙ法の場合は、J+dの中にキャリア加速流が含まれており、必ずしもvTとは限らない。従って、Nを、もはやキャリア濃度と定義することはできないのである。
【００４８】
この問題を回避するにあたり、キャリア濃度：Nの代わりに、擬似キャリア濃度（ｐｓｅｕｄｏ  ｃａｒｒｉｅｒ  ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ）：N*を導入して、上記の変換式をN* = (J+d + J-d)/vTに変更することとする。ちなみに、バリスティック輸送極限にのみ適用可能な非特許文献１３の模型においても、このN*と同じ意味合いの量が導入され、用いられている。擬似キャリア濃度：N*という概念を用いることで、（課題を解決するための手段）中のもう1つの変換式：J = -q(J+d - J-d)を併用することによって、J並びにN*に関するβ= 1のドリフト−拡散方程式が、一切の近似を伴わずに導かれる。言い換えれば、（第１の実施形態）で定義したキャリア加速流を導入したとしても、β= 1のドリフト−拡散方程式は、依然として有効なのである。
【００４９】
ただし、β= 1のドリフト−拡散方程式に従うのは、キャリア流をもとに、非加速の流速を用いて換算した擬似キャリア濃度：N*であり、加速を考慮して正規に換算した真のキャリア濃度：nではない。ちなみに、Jの方は、真の電流密度に相当する。なお、前々段落、前段落、並びに本段落の内容を、図１０にまとめておく。
【００５０】
次に、本発明を完成させる最後の式として、擬似キャリア濃度：N*と真のキャリア濃度：nとの関係式を示す。図１１は、ｄｏｗｎｗａｒｄ領域に属するi番目の計算ノード：zi（min < i）における、N*(zi)とn(zi)との関係式を表している。式の物理的な意味合いは、キャリア加速流：J+d,j(zi)（min <= j < i）をもとに、非加速の流速vTを用いて換算した濃度を差し引き、加速流速：v+d,j(zi)を用いて換算した正規の濃度を加えるというものである。キャリア加速流：J+d,j(zi)は複数定義されており、それらすべてにわたって濃度を換算し直さなければならないため、式には総和：Σが含まれる。非加速の逆流であるJ-d(zi)と、加速準備区間内にあるJ+d,i(zi)並びにJ+d,i+1(zi)（（第１の実施形態）の多重加速流定義−５より後者は０となる）については、総和：Σには含まれない。加速流速：v+d,j(zi)は、エネルギー保存則に基づいて、電位：Ψ(zi)並びにΨ(zj)から容易に算出できる（図８を参照のこと）。また、キャリア加速流：J+d,j(zi)の表式については、以下の4つの事実に基づいて導かれる。
【００５１】
（Ａ）J+d並びにJ-dを消去して、J並びにN*に変換する際に用いられる、2つの変換式：J = -q(J+d - J-d)並びにN* = (J+d + J-d)/vTから、J+d = [vTN* + (-J/q)]/2との式が得られる。
【００５２】
（Ｂ）J+d,jは、図８あるいは図９中の方程式から考えて、zi-1 <= z <= zi（min <= j < i）において、指数関数的に減衰する。
【００５３】
（Ｃ）j（min <= j）が1づつ増加するたびに、J+d(zj)に新たなキャリア加速流：J+d,j(zj)が加算されることとなり、よって、J+d,j(zj) = J+d(zj) - J+d(zj-1)exp[-(zj - zj-1)ξ+d]（min < j）との式が成り立つ。
【００５４】
（Ｄ）J+d並びにN*はz（あるいはzi）の関数であるが、Jは、1次元定常状態においてzに依存しない（図５中の電流連続の式を参照のこと）。
【００５５】
なお、図１１に示したJ+d,j(zi)の表式は、ξ+d（=ξ0）がz（あるいはzi）に依存しないと仮定して得たものであるが、その依存性を考慮して容易に拡張できる。これにより、低電界移動度：μ０の空間依存性を取り扱う形態に対応可能となる。また、（第１の実施形態）と同様，電位：Ψ（並びに電界：E）は1次元ポアソン方程式によって記述されるが、電荷密度を算出する際は、擬似キャリア濃度：N*ではなく、真のキャリア濃度：nを参照しなければならないことに注意しておく。
【００５６】
本章におけるこれまでの説明を総合した上で、具体的な計算アルゴリズムを例えば次のように提案する。
【００５７】
計算ステップ−１：    ポアソン方程式を用いて、真のキャリア濃度：nから電位：Ψ（並びに電界：E）を計算する。
【００５８】
計算ステップ−２：    ドリフト−拡散方程式を用いて、電位：Ψ（並びに電界：E）から擬似キャリア濃度：N*並びに電流密度：Jを計算する。この際、Ｓｃｈａｒｆｅｔｔｅｒ−Ｇｕｍｍｅｌの電流内挿方法（非特許文献１４）を流用するのが良い。
【００５９】
計算ステップ−３：    図１１の式を用いて、擬似キャリア濃度：N*並びに電流密度：Jから真のキャリア濃度：nを再計算する。そして、再計算に伴う変化量に、1よりも小さい正の緩和係数を乗じたものを、真のキャリア濃度：nの更新量とみなす。
【００６０】
計算ステップ−４：    計算ステップ−３で、再計算に伴う真のキャリア濃度：nの変化量が十分に小さければ、計算を終了する。さもなくば、計算ステップ-1に戻る。
もちろん、これが唯一の計算アルゴリズムであるわけではなく、他にもいくつかの方法を考えることができる。
【００６１】
本（第２の実施形態）では、（第１の実施形態）で提案した1次元定常状態における拡張型のＭｃＫｅｌｖｅｙ法に対して、等価変形を試みた。これにより，ＴＣＡＤデバイス計算で最も標準的な模型、すなわちドリフト−拡散模型との対応関係が明らかになって、（第１の実施形態）がより広く理解／活用され得る実施形態となった。我々は、その等価変形した模型を、特に「修正ドリフト−拡散模型」と名付けた。
【００６２】
なお、真の電流密度：J並びに擬似キャリア濃度：N*に関するドリフト拡散方程式を取り扱う際、通常のドリフト−拡散模型の計算で用いられるあらゆる従来技法が流用の対象となることは、指摘するまでもない。つまり、従来技法の優れた部分、あるいは便利な部分を有効に流用しつつ、（第１の実施形態）で提案した拡張型のＭｃＫｅｌｖｅｙ法の計算を実施する形態が、導かれたことになる。
【００６３】
以上、（第２の実施形態）をまとめると、次のようになる。まずはじめに、図５に示したβ= 1のドリフト−拡散方程式で、キャリア濃度：Nを擬似キャリア濃度：N*に置換した方程式、図１１に示した、擬似キャリア濃度：N*と真のキャリア濃度：nとの関係式、キャリアの電荷密度が、真のキャリア濃度：nに基づいて記述されている1次元ポアソン方程式、の３種を併用することによって、半導体デバイス内部の電気的特性並びに電気的特性分布を推定する実施形態が挙げられる。ただし、（課題を解決するための手段）に示したように、低電界移動度の表式とアインシュタインの関係式は、縮退状態にも適用可能な形態に一般化できるため、同表式並びに同関係式は必ずしも図５中のものに限らない。
【００６４】
また、（課題を解決するための手段）に示したように、低電界平均自由行程の逆数：ξ0並びに低電界移動度：μ0の空間依存性を取り扱う実施形態に変更しても良い。ただし、本（第２の実施形態）に示したように、図１１の関係式を一部拡張しなければならない。
【００６５】
加えて、（第１の実施形態）に示したように、キャリアの温度：T並びに熱速度：vTに関して、各計算ノード毎に値が変化するように、実施形態を一部変更するのも良い。ただし、（課題を解決するための手段）に示したように、T並びにvTの空間依存性を考慮した上で、ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ方程式からドリフト−拡散方程式を導くと（図４並びに図５を参照のこと）、図５中の電流密度：Jの表式に、+(qDN/vT)(dvT/dz)の項が付け加わることに注意が必要である。
【００６６】
以下、実施形態の効果を記載する。
【００６７】
（第１の実施形態）で提案した、拡張型のＭｃＫｅｌｖｅｙ法によれば、隣接した計算ノードの間の距離を十分に小さくとることで、ほぼ任意の位置を起点とするキャリアの加速を考慮したことになる。従って、ドリフト−拡散模型の弱点、すなわち、キャリアの加速が評価されない課題は、解消されていると考えて良い。加えて、キャリアの加速流速はエネルギー保存則に基づいて計算されるため、チャネル入口近傍で電位が最小となる位置では、キャリアの速度が熱速度に厳密に固定されることとなる。従って、エネルギー輸送模型の弱点、すなわち、チャネル始点におけるキャリアの熱速度、ひいてはバリスティック輸送極限の電流が大きめに評価される課題は、完全に解消される。なお、対流によるエネルギー輸送は、あらわに取り扱われるキャリアの加速を通じて、評価できる。
【００６８】
また、キャリア加速流の減衰が顕著な場合は、キャリア流全体が拡散的なものとなり、逆にキャリア加速流が持続的になるに連れて、キャリアの速度オーバーシュートが顕在化し、高度に発達したｏｆｆ−ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ輸送の様相を呈するようになる。すなわち、（第１の実施形態）の提案によれば、散乱が顕著で拡散的なキャリア流から、速度オーバーシュートが顕在化する高度に発達したｏｆｆ−ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ輸送を経て、バリスティック輸送極限に至るまで、幅広く適用可能な、1次元定常状態におけるＴＣＡＤデバイス計算の方法が、提供可能となるのである。なお、同提案は、バリスティック輸送極限にのみ適用可能な公知の模型（非特許文献１３）を、一般化したものと位置付けることができる。
【００６９】
さらには、多重加速流の分布をもとにして、キャリアの速度分布が分析可能であり、ボルツマン方程式中の速度分布関数をモンテカルロ法で求める方法に比べて、ノイズのない、簡素で取り扱い易い計算結果を提供する方法であると言える。もちろん、ホットキャリアの解析にも、力を発揮するであろう。また、キャリアの温度並びに熱速度を、各計算ノード毎に多重加速流の分布から求める形態に一般化することによって、エネルギー輸送がより精密に計算されるようになる。
【００７０】
一方、（第２の実施形態）において、（第１の実施形態）で提案した1次元定常状態における拡張型のＭｃＫｅｌｖｅｙ法に対して、等価変形を試みた。これにより、ＴＣＡＤデバイス計算で最も標準的な模型、すなわちドリフト−拡散模型との対応関係が明らかになって、（第１の実施形態）がより広く理解／活用され得る実施形態となった。また、ドリフト−拡散模型で培われてきた計算技法の優れた部分、あるいは便利な部分を、有効に流用できるようになる。
【図面の簡単な説明】
【００７１】
【図１】Ｓｉ−ＭＯＳＦＥＴ中のキャリアの輸送現象を説明するための図。
【図２】Ｓｉ−ＭＯＳＦＥＴの飽和ドレイン電流の表式を示す図。
【図３】ＭＯＳ（ＭＩＳ）ＦＥＴのチャネル始点でのキャリア熱速度に関する、表面量子化計算の結果を示す図。
【図４】ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ法、並びに、その方程式を示す図。
【図５】ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ方程式から、ドリフト−拡散方程式が導かれることを説明する図。
【図６】複数のキャリア加速流を導入することを説明する図。
【図７】多重加速流定義を説明する図。
【図８】拡張型のＭｃＫｅｌｖｅｙ法の定式化を示す図。
【図９】拡張型のＭｃＫｅｌｖｅｙ方程式から、ＭｃＫｅｌｖｅｙのｏｎｅ−ｆｌｕｘ方程式が導かれることを説明する図。
【図１０】拡張型のＭｃＫｅｌｖｅｙ法と、ドリフト−拡散模型との対応関係を説明する図。
【図１１】擬似キャリア濃度：N*と、真のキャリア濃度：nとの関係式を示す図。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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