(57)【要約】【課題】 少ない繰り返し処理で解が収束しかつ計算に必要なメモリを従来のものよりもさらに少なくした多次元フィルタ設計方法を提供すること。【解決手段】  多次元フィルタ設計方法は、フリッツ・ジョーンの定理を適用するための目的関数、制約条件を与える第１のステップ（Ｓ５１）と、上記第１のステップで与えられた目的関数、制約条件をフリッツ・ジョーンの定理に与え、このフリッツ・ジョーンの定理を満足する式を求め、その求めた式を基にして係数更新式を得る第２のステップ（Ｓ５２）と、前記係数更新式に、所定の軸上でフリッツ・ジョーンの定理を満足する複数の極値周波数点を与えて求めようとするフィルタ係数を計算させる第３のステップ（Ｓ５３）とからなる。【選択図】        図５
2006005855.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
凸投射アルゴリズムのうちフリッツ・ジョーンの定理を用いた逐次投射法に係るアルゴリズムを実行できるコンピュータに多次元フィルタを設計するための所定の定数を与えた後、当該アルゴリズムを所定の条件下で当該コンピュータに実行させることにより多次元フィルタを設計する方法であって、
少なくともフリッツ・ジョーンの定理を適用するための目的関数、制約条件を与える第１のステップと、
上記ステップで与えられた目的関数、制約条件をフリッツ・ジョーンの定理に与え、このフリッツ・ジョーンの定理を満足する式を求め、その求めた式を基にして係数更新式を得る第２のステップと、
前記係数更新式に、所定の軸上でフリッツ・ジョーンの定理を満足する複数の極値周波数点を与えて求めようとするフィルタ係数を計算させる第３のステップとを備えたことを特徴とする多次元フィルタ設計方法。
【請求項２】
前記第１のステップの目的関数は、
2006005855.tif 000034
であり、
前記第１のステップの制約条件は、
2006005855.tif 000035
とすることを特徴とする請求項１記載の多次元フィルタ設計方法。
【請求項３】
前記第２のステップは、
2006005855.tif 000036
2006005855.tif 000037
とすることを特徴とする請求項１記載の多次元フィルタ設計方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、凸投射アルゴリズムのうちフリッツ・ジョーンの定理を用いた逐次投射法に係るアルゴリズムを実行できるコンピュータに多次元フィルタを設計するための所定の定数を与えた後、当該アルゴリズムを所定の条件下で当該コンピュータに実行させることにより多次元フィルタを設計する方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
この種の凸投射アルゴリズムは、高い汎用性を有するがゆえに、信号・画像処理に関する技術分野はもちろんのこと、応用数理全体に広がる問題群に応用されていることは周知のとおりである。また、この凸投射アルゴリズムの一つである逐次投射法に係るアルゴリズムは、コンピュータ上で実行する場合、計算に必要なメモリ量が少なく、しかも、簡単な繰り返し処理を実行するものであるため、種々の問題に適用ができ、適用範囲が広いアルゴリズムとして知られている。
上述した従来のアルゴリズムをコンピュータに実行させることにより、線型位相をもつ多次元ＦＩＲディジタルフィルタの設計した従来のフィルタの設計方法について（非特許文献１参照）、以下に詳細に検討する。
線型位相をもつ多次元ＦＩＲディジタルフィルタの振幅応答は、次の数式１に示すように表すことができる。
【０００３】
【数１】
2006005855.tif 000003
【０００４】
ここに、Ｌはフィルタのマスクサイズで決定される整数値のペアーである。さらに、フィルタの対象性を考慮すると、上記数式１は次の数式２に示すようになる。
【０００５】
【数２】
2006005855.tif 000004
【０００６】
ここで、上記数式２における定数ａiと、数式１における定数ｂｉは、次の数式３に示す関係がある。
【０００７】
【数３】
2006005855.tif 000005
【０００８】
この数式３において、Ｉは整数の組である。
一方、数式２において、φiはフィルタ対象性に応じて決定される次の数式４のような関数である。
【０００９】
【数４】
2006005855.tif 000006
【００１０】
いま、所望の振幅特性をＤ（ω1，ω2）で表すと、数式２がチェビシェフノルムの意味で最適な近似値を与える問題は、次の数式５において、フィルタ係数ａiを求めることに帰着される。
【００１１】
【数５】
2006005855.tif 000007
【００１２】
この数式５において、λ（ω1，ω2）は所望の振幅特性からの生の最大許容誤差である。
上述したフィルタの設計問題において、従来提案されている逐次投射法によるフィルタ係数の更新は、以下の数式６の評価関数を最小にすることと等価であるといえる。
【００１３】
【数６】
2006005855.tif 000008
【００１４】
ここに、数式６において、αはラグランジェ乗数であり、上記数式６において右辺の左項
2006005855.tif 000009
は、数式７で与えられる。
【００１５】
【数７】
2006005855.tif 000010
【００１６】
また、（ω1，ω2）は、与えられた使用を最も満足しない周波数点であり、次の数式８を満足するものである。
【００１７】
【数８】
2006005855.tif 000011
【００１８】
従来方法では、この数式８の最小問題を解くことで、逐次投射法におけるｎ＋１回目の係数ａin+1を以下の数式９に示すように得ている。
【００１９】
【数９】
2006005855.tif 000012
【００２０】
この数式９において、ｅPnは次の数式１０で与えられる。
【００２１】
【数１０】
2006005855.tif 000013
【００２２】
このような数式を解くアルゴリズムは、コンピュータ上で、与えられた仕様を満足するまで繰り返し演算されることになる。
上記数式９に示す係数更新式は、新しいフィルタ係数ａin+1が、古いフィルタ係数ａin、許容誤差λ（ω1，ω2）、数式８を満足する極値周波数点（ω1，ω2）pにより更新されているため、計算に必要なメモリが小さく、アルゴリズムが簡単な繰り返し近似法であることがわかる。
【００２３】
しかしながら、実際に、上述した従来の逐次投射法に係るアルゴリズムを用いてコンピュータ上でフィルタを設計する場合、フィルタ係数の更新には、最も使用を満足しない極値周波数点（ω1，ω2）pのただ１点だけを用いているため、すべての周波数点上で与えられた仕様を満足するには膨大な繰り返し回数の演算が必要となる。
【非特許文献１】Ａｈｍｅｄ  Ａｂｏ−Ｔａｂｌｅ，ａｎｄ  Ｍｏｕｓｔａｆａ  Ｍ．Ｆａｈｍｙ，”Ｄｅｓｉｇｎ  ｏｆ  ＦＩＲ  Ｔｏｗ−Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ  ＤｉｇｉｔａｌＦｉｌｔｅｒｓ  ｂｙ  Ｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅ  Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ，”  ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓ，Ｃｌｒｃｕｌｔｇ  ａｎｄ  Ｓｙｓｔｅｍ，ｖｏｌ．ＣＡＳ−３１，ｎｏ．９，  ｐｐ８０１−８０５，Ｓｅｐ．１９８４．
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００２４】
上述したように従来のフィルタ設計方法にあっては、上述した従来の逐次投射法に係るアルゴリズムを用いてコンピュータ上でフィルタを設計する場合、フィルタ係数の更新には、最も使用を満足しない極値周波数点（ω1，ω2）pのただ１点だけを用いているため、すべての周波数点上で与えられた仕様を満足するには膨大な繰り返し回数の演算が必要となるという問題があった。
本発明は、上述した問題点を解消し、少ない繰り返し処理で解が収束しかつ計算に必要なメモリを従来のものよりもさらに少なくした多次元フィルタ設計方法を提供することを目的とするものである。
【課題を解決するための手段】
【００２５】
上記目的を達成するため、本願請求項１に係る発明の多次元フィルタ設計方法は、凸投射アルゴリズムのうちフリッツ・ジョーンの定理を用いた逐次投射法に係るアルゴリズムを実行できるコンピュータに多次元フィルタを設計するための所定の定数を与えた後、当該アルゴリズムを所定の条件下で当該コンピュータに実行させることにより多次元フィルタを設計する方法であって、少なくともフリッツ・ジョーンの定理を適用するための目的関数、制約条件を与える第１のステップと、上記第１のステップで与えられた目的関数、制約条件をフリッツ・ジョーンの定理に与え、このフリッツ・ジョーンの定理を満足する式を求め、その求めた式を基にして係数更新式を得る第２のステップと、前記第２のステップで求めた係数更新式に、所定の軸上でフリッツ・ジョーンの定理を満足する複数の極値周波数点を与えて求めようとするフィルタ係数を計算させる第３のステップとを備えたことを特徴とする多次元フィルタ設計方法。
請求項２記載の発明では、本願請求項１において、前記第１のステップの目的関数は、
であり、
2006005855.tif 000014
前記第１のステップの制約条件は、
2006005855.tif 000015
とすることを特徴とするものである。
請求項３記載の発明では、本願請求項１において、
前記第２のステップは、
2006005855.tif 000016
2006005855.tif 000017
とすることを特徴とするものである。
【発明の効果】
【００２６】
本発明に係る多次元フィルタ設計方法によれば、コンピュータ上において、上述したように処理されるため、次のような効果がある。
（１）従来のフィルタ設計方法よりも、少ない繰り返し処理で解が収束する。
（２）従来のフィルタ設計方法よりも、計算に必要なメモリ量を少なくできる。
（３）従来のフィルタ設計方法よりも、高速に設計が可能になる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２７】
以下、本発明を実施するための最良の形態および実施例について、図１ないし図Ｘを参照して説明する。ここでは、便宜上、２次元フィルタ設計方法につて説明するが、この設計方法に基づく限り、２次元以上の多次元に応用することは可能である。
図１は、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を実現させるハードウエアの一構成例を説明するための概略図である。
この図１において、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を実現させるコンピュータシステム１は、例えば、コンピュータ装置３と、入力装置としてのキーボード５及びマウス７と、出力装置としてのディスプレイ９及びプリンタ１１とから構成されているものか一般的である。前記コンピュータ装置３には、図１に示すように、キーボード５と、マウス７と、ディスプレイ９と、プリンタ１１とが接続されている。
【００２８】
図２は、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を実行するコンピュータ装置を説明するためのブロック図である。
前記コンピュータ装置３は、２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムやその他の処理や制御を実行する制御処理部３１と、オペレーティングシステムや本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムやその他必要なデータを記憶する主メモリ３２と、オペレーティングシステムや当該アルゴリズムや計算結果データベースやその他必要な定数データやその他のデータベースを格納しておくハードディスク装置３３と、入力用インターフェース（Ｉ／Ｆ）３４と、表示用Ｉ／Ｆ３５と、プリンタＩ／Ｆ３６と、これらを接続するバスライン３８とから構成されている。
【００２９】
また、前記制御処理部３１は、各種演算処理を実行するＣＰＵと、イニシャル時に所定の処理を前記ＣＰＵに実行させるプログラムが記憶されたＲＯＭと、前記ＣＰＵが演算処理を実行する際に、必要なデータを一時格納するＲＡＭとから構成されており、これらはバスライン３８に接続されている。
また、入力用Ｉ／Ｆ３４にはキーボード５及びマウス７が接続されており、これにより、当該コンピュータ装置３の制御処理部３１に各種データや指令を与えられるようになっている。前記表示用Ｉ／Ｆ３５にはディスプレイ９が接続されており、これにより、当該コンピュータ装置３における制御処理部３１で処理した結果をディスプレイ９に表示させることができるようになっている。プリンタＩ／Ｆ３６にはプリンタ１１が接続されており、これにより、当該コンピュータ装置３の制御処理部３１で処理した結果のうち、印刷するデータをプリンタ１１に与えて印刷できるようになっている。
【００３０】
なお、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を実現するコンピュータ装置３のハードディスク装置３３には、オペレーティングシステムのＯＳ格納領域と、２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムなどが格納されているアプリケーションプログラム格納領域と、データベース領域などが設けられている。
なお、当該コンピュータ装置３の電源が投入されて動作を開始すると、制御処理部３１のＣＰＵが制御処理部３１のＲＯＭのイニシャルプログラムにより動作し、ハードディスク装置３３のＯＳ格納領域に格納されているオペレーティングシステムを主メモリ３２の所定の記憶領域に記憶させ、ついで、この主メモリ３２の所定の記憶領域上のオペレーティングシステムを制御処理部３１のＣＰＵが処理することにより、当該２次元フィルタ設計方法に係るアルゴリズムの起動を可能にしたオペレーティングシステムが動作する。
【００３１】
また、上述した２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムに対してマウス７などで起動をかけることにより、コンピュータ装置３における制御処理部３１のＣＰＵがハードディスク装置３３のアプリケーションプログラム格納領域に格納されている２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムを主メモリ３２の所定の記憶領域に記憶させて、次に、この主メモリ３２の所定の記憶領域に記憶されている２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムを制御処理部３１のＣＰＵが処理することにより、２次元フィルタ設計方法が実現される。
上述したコンピュータシステム１上で実行される２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムについて説明する。
まず、この２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムが次のようにして得られたことを説明する。
【００３２】
ここでは、フリッツ・ジョーンの定理を用いて、複数の制約条件を同時に満足する係数更新式の導き方について説明する。
（Ａ）フリッツ・ジョーンの定理について
Ｎ＋１次元ユークリッ具実空間ＥN+1において、埠頭式制約条件を持つ最適化問題を考える。いま、ｆを目的関数、ｇlを制約条件とする。ここでは、Ｉ＝｛ｌ：ｇl（ａ）＝０｝と置き、ｆとｌ∈Ｉに対応するｇlはａで微分可能であり、ｌ∈Ｉに対応するｇlはａで連続であるとする。
このとき、ベクトルａ∈ＥN+1が局所的最適解であるならば、次の条件を満たす非負の実数ｕ0≧０と、ｌ∈Ｉに対応する非負の実数ｕl≧０が存在する。
【００３３】
【数１１】
2006005855.tif 000018
【００３４】
【数１２】
2006005855.tif 000019
【００３５】
ただし、ψは零ベクトルを表している。また、ｕの各要素は、ｌ∈Ｉに対応するｇlがａで微分可能であるならば、フリッツ・ジョーンの条件は次のように与えられる。以下の条件を満たす非負の実数ｕO≧０と、ｌ＝１，２，…，ｍに対応する非負の実数ｕl≧０とが存在する。
【００３６】
【数１３】
2006005855.tif 000020
【００３７】
【数１４】
2006005855.tif 000021
【００３８】
【数１５】
2006005855.tif 000022
【００３９】
ただし、ｕ＝（ｕ1，ｕ2，…，ｕm ）である。
以上がフリッツ・ジョーンの定理の説明である。次に、このフリッツ・ジョーンの定理を用い本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムを説明する。
（Ｂ）本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムの説明。
ここでは、ｍ個の極値周波数点を用いて係数更新を行う方法について説明する。
いま、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムにフリッツ・ジョーンの定理を用いるため、目的関数を、数式１６と置く。
【００４０】
【数１６】
2006005855.tif 000023
【００４１】
また、同様に、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を実現するアルゴリズムにフリッツ・ジョーンの定理を用いるため、制約条件を、数式１７と置く。
【００４２】
【数１７】
2006005855.tif 000024
【００４３】
ここで、ｌ番目の制約条件ｇl（ａn+1）における誤差関数ｅn+1（ωl ）は、数式８から数式１８のようになる。
【００４４】
【数１８】
2006005855.tif 000025
【００４５】
以下、簡潔にするために、λ（ω1，ω2）を単に、λlと記述することにする。
いま、ａn+1が局所的最適解であるとすれば、フリッツ・ジョーンの定理により、以下の数式１９および数式２０を満足する。
【００４６】
【数１９】
2006005855.tif 000026
【００４７】
【数２０】
2006005855.tif 000027
【００４８】
すなわち、数式１６および数式１７を上記数式１９および数式２０に代入すると、以下の数式２１を満足するｕ0とｕが存在する。
【００４９】
【数２１】
2006005855.tif 000028
【００５０】
ここで、数式２１を数式１７の制約条件に代入して右辺を０と置くと、次の数式２２を得ることができる。
【００５１】
【数２２】
2006005855.tif 000029
【００５２】
ただし、上記数式２２においてＧは、次の数式２３のようになる。
【００５３】
【数２３】
2006005855.tif 000030
【００５４】
ここで、上記数式２３においてＧを決定する各要素Ｇl,Kは、次の数式２４に示されるようになる。
【００５５】
【数２４】
2006005855.tif 000031
【００５６】
さらに、Ｇにおける（ｌ，ｋ）余因子をΔl,kで表すと、フリッツ・ジョーンの定理を用いた場合におけるｎ＋１の係数ａn+1の更新式は、数式２２を数式２１に代入することで、次の数式２５のように得ることができる。
【００５７】
【数２５】
2006005855.tif 000032
【００５８】
この数式２５による係数更新式は、上述した従来の数式９で示した係数更新式と比較すると明らかなように、複数の極値周波数点を用いて更新されていることが分かる。
この式において、フリッツ・ジョーンの定理を満足する極値点を単に選んだだけでは、図３および図４に示すようにその極値点の集合がある空間に偏ってしまい、繰り返し回数が増加したり、解が収束しない場合がある。
【００５９】
ここで、図３は２次元フィルタの周波数応答と等高線を示す図であって、図３（ａ）はその斜視図、図３（ｂ）はその平面図である。また、図４は、前記図３をＹ軸方向にＦｙ＝０からＦｙ＝０．３７５までを切ったときの断面を示す図であって、図４（ａ）はＦｙ＝０    の断面図、図４（ｂ）はＦｙ＝０    の断面図、図４（ｃ）はＦｙ＝０    の断面図、図４（ｄ）はＦｙ＝０    の断面図、図４（ｅ）はＦｙ＝０    の断面図、図４（ｆ）はＦｙ＝０    の断面図、図４（ｇ）はＦｙ＝０    の断面図、図４（ｈ）はＦｙ＝０    の断面図、図４（ｉ）はＦｙ＝０    の断面図、図４（ｊ）はＦｙ＝０    の断面図である。
【００６０】
すなわち、２次元フィルタの設計の場合には、図４（ａ）ないし図４（ｊ）に示すように同じような誤差の最大点となる候補（図中丸印を付した）が未知数の数より数多く存在し、１次元フィルタを設計するときのように、誤差の最大値から順番に極値点を見つけて、それを係数更新式に用いるという方法をとることができため、繰り返し回数が増加したり、解が収束しない場合が生じてしまうからである。
【００６１】
そこで、本発明に係る２次元フィルタ設計方法では、所定の軸の上でフリッツ・ジョーンの定理を満足すく複数の極値周波数点を係数更新のために用いることで解の収束を保証して、高速化を可能としたものである。すなわち、所定の軸上でフリッツ・ジョーンの定理を満足する極値点を大きい順に選択する。このとき、係数更新の際に用いる極値周波数点ωl（ｌ＝１，２，…，ｍ）は、１次元のときと同様に任意の個数に選ぶことがてきる。ただし、設計するフィルタの持ち得る極値周波数点の数以下であることに注意をする必要がある。
以上のようにして本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法のアルゴリズムが得られることを説明した。
【００６２】
本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法のアルゴリズムでは、上述した説明により得られた知見を、上述したコンピュータシステム１上で実行できるようにしたものである。
図５は、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を説明するためのフローチャートである。
まず、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法は、凸投射アルゴリズムのうちフリッツ・ジョーンの定理を用いた逐次投射法に係るアルゴリズムを実行できるコンピュータに２次元フィルタを設計するための所定の定数を与えた後、当該アルゴリズムを所定の条件下で当該コンピュータに実行させることにより２次元フィルタを設計する方法である。
【００６３】
また、上記コンピュータシステム１のコンピュータ装置３の制御処理部３１のＣＰＵでは、図５に示すように、まず、フリッツ・ジョーンの定理を適用するための目的関数、制約条件を与える第１のステップを実行する（図５のＳ５１）。
また、上記制御処理部３１のＣＰＵでは、上記第１のステップ（Ｓ５１）で与えられた目的関数、制約条件をフリッツ・ジョーンの定理に与え、このフリッツ・ジョーンの定理を満足する式を求め、その求めた式を基にして係数更新式を得る第２のステップを実行する（図５のＳ５２）。
【００６４】
さらに、上記制御処理部３１のＣＰＵでは、条前記係数更新式に、所定の軸上でフリッツ・ジョーンの定理を満足する複数の極値周波数点を与えて求めようとするフィルタ係数を計算させる第３のステップを実行する（図５のＳ５３  ）。 このように本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法では、上述した第１のステップ（Ｓ５１）、第２のステップ（Ｓ５２）、および、第３のステップ（Ｓ５３）を上述したコンピュータシステム１のコンピュータ装置３における制御処理部３１のＣＰＵに実行させることにより、以下の設計例におけるような所望の２次元フィルタを設計するものである。
【００６５】
〔設計例〕
次に、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を用いて、実際に設計した例について説明する。
ここでは、様々なフィルタを設計し、解が収束するまでの繰り返し回数や設計時間等を従来の設計方法と比較することで本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法の有効性を以下に説明することにする。
なお、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法のアルゴリズムは、Ｐｅｎｔｉｕｍ（登録商標）４、処理速度２．５３〔ＧＨｚ〕のＣＰＵを搭載した制御処理部３１と、１．０〔Ｇバイト〕の主メモリ３２を内蔵するコンピュータ装置３からなるコンピュータシステム１を使用して、各種シミュレーションを実行した。また、係数多項式の初期値は、従来の設計方法との比較のため、各設計例において同じ値を選択した。
【００６６】
〔設計例１〕
ここで、非特許文献１に示すフィルタ設計時の仕様と同じ、８文対象２次元ＦＩＲフィルタを設計する。仕様は、以下のとおりである。また、係数の初期値はすべて１に選んだ。また、極値点の選択は、ｘ軸上の点で選んだ。
次数５×５
Ｄ（ω）＝｛１…０≦（ω12＋ω22）1/2≦０．４π
Ｄ（ω）＝｛０…０．６π≦（ω12＋ω22）1/2≦π
図６は、上述した仕様に基づいて本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法により得られたフィルタの振幅特性を示した特性図であって、横軸ｘ，ｙに      が、縦軸にｍａｇｎｉｔｕｄｅがとられている。
【００６７】
得られたフィルタの最大振幅誤差は、通過域で０．２７６（２．１１７〔ｄＢ〕），阻止域で０．２７６（−１１．１８２〔ｄＢ〕）であり、非特許文献１であられた結果と同じである。ただし、括弧「（）」内は以降の例を含め減衰量を示している。また、収束には１０２９〔回〕、約１５〔秒〕を要した。もし、同じ仕様のフィルタを従来の逐次投射法による設計方法を用いて設計した場合には、収束に２０６６〔回〕、約９９〔秒〕を要することになる。
したがって、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法による設計例１によれば、繰り返し実行回数および設計時間ともに大幅に減少していることが分かる。
【００６８】
本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法によれば、係数更新に用いる極値周波数点の数を任意に選ぶことができる。
表１は、更新点数と繰り返し回数の関係について示したものである。この表１からわかるように、すべての設計例において、更新点数の多い方が解は早く収束することがわかる。
【００６９】
【表１】
2006005855.tif 000033
【００７０】
〔設計例２〕
次に、以下の仕様の２次元ＦＩＲフィルタを設計する。係数の初期値はすべて１に選んだ。
次数７×７
Ｄ（ω）＝｛１…０≦（ω12＋ω22）1/2≦０．４π
Ｄ（ω）＝｛０…０．６π≦（ω12＋ω22）1/2≦π
図７は、上述した仕様に基づいて本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法により得られたフィルタの振幅特性を示した特性図であって、横軸ｘ，ｙに      が、縦軸にｍａｇｎｉｔｕｄｅがとられている。
【００７１】
得られたフィルタの最大振幅誤差は、通過域で０．１２６（１．０３１〔ｄＢ〕），阻止域で０．１２６（−１７．９９３〔ｄＢ〕）であった。また、収束には９７７〔回〕、約２２〔秒〕を要した。もし、同じ仕様のフィルタを従来の逐次投射法による設計方法を用いて設計した場合には、収束に１２７７〔回〕、約２９〔秒〕を要することになる。
したがって、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法による設計例２によれば、繰り返し実行回数および設計時間ともに減少していることが分かる。
【００７２】
〔設計例３〕
次に、以下の仕様の２次元ＦＩＲフィルタを設計する。係数の初期値はすべて１に選んだ。
次数９×９
Ｄ（ω）＝｛１…０≦（ω12＋ω22）1/2≦０．４π
Ｄ（ω）＝｛０…０．６π≦（ω12＋ω22）1/2≦π
【００７３】
図８は、上述した仕様に基づいて本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法により得られたフィルタの振幅特性を示した特性図であって、横軸ｘ，ｙに      が、縦軸にｍａｇｎｉｔｕｄｅがとられている。
得られたフィルタの最大振幅誤差は、通過域で０．１１８（０．９６９〔ｄＢ〕），阻止域で０．１１８（−１８．５６２〔ｄＢ〕）であった。また、収束には４１２〔回〕、約１４〔秒〕を要した。もし、同じ仕様のフィルタを従来の逐次投射法による設計方法を用いて設計した場合には、収束に７９２〔回〕、約２７〔秒〕を要することになる。
したがって、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法による設計例３によれば、繰り返し実行回数および設計時間ともに減少していることが分かる。
【００７４】
〔設計例４〕
次に、以下の仕様の２次元ＦＩＲフィルタを設計する。係数の初期値はすべて１に選んだ。
次数２５×２５
Ｄ（ω）＝｛１…０≦（ω12＋ω22）1/2≦２π／１２．５
Ｄ（ω）＝｛０…４π／１２．５≦（ω12＋ω22）1/2≦π
【００７５】
図９は、上述した仕様に基づいて本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法により得られたフィルタの振幅特性を示した特性図であって、横軸ｘ，ｙに      が、縦軸にｍａｇｎｉｔｕｄｅがとられている。
得られたフィルタの最大振幅誤差は、通過域で０．０３０（０．２５７〔ｄＢ〕），阻止域で０．０３０（−３０．４５８〔ｄＢ〕）であった。また、収束には２３６〔回〕、約４５〔秒〕を要した。もし、同じ仕様のフィルタを従来の逐次投射法による設計方法を用いて設計した場合には、収束に５４９〔回〕、約１１２〔秒〕を要することになる。
したがって、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法による設計例４によれば、繰り返し実行回数および設計時間ともに減少していることが分かる。
【００７６】
以上説明したように、本発明を実施するための最良の実施の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法と、その２次元フィルタ設計方法による設計例１ないし設計例４からのもわかるように、フリッツ・ジョーンの定理を用いた逐次投射法を利用したアルゴリズムを用いて、複数の周波数点を用いて与えられた仕様を同時に満足するように係数更新を行っている結果、従来の逐次投射法を利用した設計方法よりも少ない繰り返し回数で解が収束する。
【００７７】
また、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法によれば、従来の逐次投射法による設計方法に比べて、計算に必要なメモリ量は僅かしか増加せず、アルゴリズムが簡単な繰り返し近似法であるとこを維持していることがわかる。
【００７８】
言い換えれば、  本発明に係る２次元フィルタ設計方法によれば、コンピュータ上において、上述したように処理されるため、次のような効果がある。
（１）従来のフィルタ設計方法よりも、少ない繰り返し処理で解が収束する。
（２）従来のフィルタ設計方法よりも、計算に必要なメモリ量を少なくできる。
（３）従来のフィルタ設計方法よりも、高速に設計が可能になる。
なお、上述した本発明を実施するための最良の形態及び実施例として、２次元フィルタ設計方法を例にして説明したが、これは、                    することにより、３次元以上の多次元フィルタ設計方法に応用することが可能である。
【図面の簡単な説明】
【００７９】
【図１】図１は、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を実現させるハードウエアの一構成例を説明するための概略図である。
【図２】図２は、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を実行するコンピュータ装置を説明するためのブロック図である。
【図３】図３は、２次元フィルタの周波数応答と等高線を示す図でである。
【図４】図４は、前記図３をＹ軸方向にＦｙ＝０からＦｙ＝０．３７５までを切ったときの断面を示す図である。
【図５】図５は、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法を説明するためのフローチャートである。
【図６】図６は、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法に上述した仕様を与えることにより得られたフィルタの振幅特性を示した特性図である。
【図７】図７は、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法に上述した仕様を与えることにより得られたフィルタの振幅特性を示した特性図である。
【図８】図８は、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法に上述した仕様を与えることにより得られたフィルタの振幅特性を示した特性図である。
【図９】図９は、本発明を実施するための最良の形態および実施例に係る２次元フィルタ設計方法に上述した仕様を与えることにより得られたフィルタの振幅特性を示した特性図である。
【符号の説明】
【００８０】
１…コンピュータシステム
３…コンピュータ装置
５…キーボード
７…マウス
９…ディスプレイ
１１…プリンタ
【図１】
2006005855.tif 000038
【図２】
2006005855.tif 000039
【図３】
2006005855.tif 000040
【図４】
2006005855.tif 000041
【図５】
2006005855.tif 000042
【図６】
2006005855.tif 000043
【図７】
2006005855.tif 000044
【図８】
2006005855.tif 000045
【図９】
2006005855.tif 000046