(57)【要約】【課題】界面もしくは表面に平行な方向の周期境界条件を満足する、界面構造データおよび表面構造データの作成方法を提供する。【解決手段】周期境界条件を満たし、かつ、所定の面方位を境界面とする表面単位格子を、結晶構造の単位格子から作成し、表面単位格子をいくつか並べたものに真空層を付加することにより、表面周期スラブモデルを作成する。また、異なる二つの表面単位格子を接合した後に真空層を付加することにより、界面周期スラブモデルを作成する。【選択図】図１
2006172406.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
外部から与えられた、結晶構造を形成する単位格子を、その結晶軸方向に整数倍となるように拡張することにより拡張格子を作成し、前記拡張格子の境界面を、（１１１）面、（１１０）面、（１０１）面、（０１１）面のいずれかに変更することにより、任意のミラー指数で指定され、表面方向の周期境界条件を満足する表面単位格子を作成し、前記表面単位格子をいくつか並べることにより表面構造データを作成することを特徴とする表面構造データ作成方法。
【請求項２】
前記表面構造データが、表面周期スラブモデルであることを特徴とする請求項１記載の表面データ作成方法。
【請求項３】
請求項１記載の方法で作成された異なる二つの表面単位格子を、所定の接合面で接合することにより、界面構造データを作成することを特徴とする界面構造データ作成方法。
【請求項４】
前記二つの表面単位格子の接合面の形状が異なるときに、接合面の形状を一致させた後に、二つの表面単位格子を接合することを特徴とする請求項３に記載の界面構造データ作成方法。
【請求項５】
前記界面構造データが、界面周期スラブモデルであることを特徴とする請求項３乃至４記載の界面構造データ作成方法。
【請求項６】
外部から与えられた、結晶構造を形成する単位格子を、その結晶軸方向に整数倍となるように拡張することにより拡張格子を作成し、前記拡張格子の境界面を、（１１１）面、（１１０）面、（１０１）面、（０１１）面のいずれかに変更することにより、任意のミラー指数で指定され、表面方向の周期境界条件を満足する表面単位格子を作成し、前記表面単位格子をいくつか並べることにより表面構造データを作成することを特徴とする表面構造データ作成支援システム。
【請求項７】
請求項６記載のシステムで作成された異なる二つの表面単位格子を、所定の接合面で接合することにより、界面構造データを作成することを特徴とする界面構造データ作成支援システム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】  本発明は、界面および表面での物質の電子状態を求めるシミュレーションの実行に際し、入力データに用いる界面構造データの作成を支援するシステムに関する。
【背景技術】
【０００２】  近年のコンピュータの高速化ならびに使用可能なメモリの大容量化、および、シミュレーションアルゴリズムの発展に伴い、材料開発においてコンピュータシミュレーションが重要な地位を占めつつある。特に、ナノメートルサイズの構造の原子レベルでの精密解析に対する需要が高まっている。【０００３】  広く使われている原子レベルでのシミュレーションソフトウェアとしてＶＡＳＰ，ＣＡＳＴＥＰ，Ｇａｕｓｓｉａｎなどがある。しかし、これらのソフトウェアは研究用としての色彩が強く、シミュレーションを専門としない人に対する利便性はあまり考慮されていない。シミュレーションを実行するためには、その計算内容の詳細を記述した入力ファイルが必要であるが、これを作成するためにはある程度の専門知識が必要である。その中でも特に原子配置の入力には膨大な手間を要し、専門知識を有する人にとっても面倒な作業である。そこで、前記シミュレーションソフトウェアを多くの人々が簡単に利用できるようにするためには、入力支援システムの整備が重要になっている。そのような支援システムとして例えば、Ｍａｔｅｒｉａｌｓ  Ｄｅｓｉｇｎ社（ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｍａｔｅｒｉａｌｓｄｅｓｉｇｎ．ｃｏｍ／）の「ＭｅｄｅＡ」がある。このシステムは、シミュレーションエンジン部にはＶＡＳＰ等を使用しているが、ユーザーインターフェースを整備して入力ファイル作成の手間を大幅に低減しており、専門知識を有さない人にも使い易い。特に原子配置に関しては、商用結晶構造データベースからデータを読み込み、それをシミュレーションの入力に使えるようになっていることに加えて、原子の置換、移動、追加、削除などの操作が簡単に行えるようになっており、目的とする結晶構造の原子配置を作成し、シミュレーションを実行することが容易にできる。【０００４】  一方、触媒反応を調べるためには表面、また、デバイス設計の際には界面のシミュレーションが重要である。当然のことながら、界面もしくは表面のシミュレーションを実行するためには、それに応じた入力ファイルが必要である。【０００５】  ＶＡＳＰやＣＡＳＴＥＰでは、結晶が三次元周期構造を持つことに着目し、電子波動関数を平面波で展開することにより、無限に大きな系のシミュレーションを可能にしている。一方、Ｇａｕｓｓｉａｎでは電子波動関数をガウス関数などの局在関数で展開するため、有限系のシミュレーションに適している。ところが界面は、界面に平行な二次元方向には周期構造を有するが、界面に垂直な方向には周期性を持たない。すなわち厳密には、前記ソフトウェアで界面構造のシミュレーションを実行することはできない。【０００６】  そこで、シミュレーションの本質を損なわずに、界面もしくは表面を三次元周期構造として取り扱うために、周期スラブモデルが用いられる。その使用例は、非特許文献１および２に開示されている。周期スラブモデルの単位構造を図２に模式的に示す。図２（ａ）は表面周期スラブモデルを表している。スラブ２の部分にのみ原子が存在し、その上下に、原子が存在しない真空層１が付加されている。この構造が三次元的に並んだモデルを考えると、ａ軸およびｂ軸方向には結晶と同様の周期境界条件が課されており、ｃ軸方向には真空層を挟んで周期境界条件が課されている。ここで、スラブの厚さｄが大きければ、スラブ裏面の影響はスラブの表面にほとんど現れない。すなわち、ｄが無限大である状態とほぼ等価であり、現実の表面状態を良く再現する。実用上、ｄは１０原子層程度で十分であることが多い。また、スラブの上下に設けられた真空層は、この層を介してのスラブ間相互作用が無視できる程度に厚くする。これにより、ｃ軸方向の周期性を無視することができ、孤立した表面状態を再現することができる。真空層の厚さは５オングストローム程度以上で良い。【０００７】
【非特許文献１】山本，濱田，山崎，岡本，大野，宇田  著、「第一原理シミュレータ入門」、アドバンスソフト株式会社、２００４年７月１０日、ｐ．５０
2006172406.tif 000003
【０００８】  図２（ｂ）はスラブ２の上部にのみ真空層１が付加されている。ｃ軸方向にも周期境界条件が課されているため、図２（ａ），図２（ｂ）の二つのモデルは等価である。状況に応じて使いやすい方を選ぶと良い。【０００９】  図２（ｃ）は界面構造の周期スラブモデルを示している。二つの単位格子を与え、第一の単位格子から作成した表面スラブ３と第二の単位格子から作成した表面スラブ４を密接して配置することにより、界面スラブを実現している。【００１０】  前記周期スラブモデルは、三次元周期境界条件を満足するので、前記シミュレーションソフトウェアでの取り扱いが可能である。【００１１】  しかしながら、従来は周期スラブモデルの作成を支援するための汎用システムが存在しておらず、研究者たちが個別の対象に特化したシステムを構築し、利用してきた。このため、専門知識を持たない人が界面および表面状態のシミュレーションを実行することは困難であった。また、専門知識を有する研究者たちにとっても、対象となる構造毎に異なるシステムを構築する必要があった。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１２】  周期スラブモデルの作成を支援するための汎用システムを提供することにより、界面および表面構造のシミュレーションを実施するために必要な原子配置を記述する界面構造データおよび表面構造データの作成を支援する。
【課題を解決するための手段】
【００１３】  結晶の単位格子から、周期境界条件を満足する表面単位格子を作成する。表面水平方向の周期境界条件を満たす、任意の面方位を持つ表面単位格子を作成すると、表面単位格子が無限に大きくなる場合がある。そのような表面単位格子には無限個の原子が含まれるが、シミュレーションで取り扱える原子数には上限があるため、大きい表面単位格子は適さない。そこで本発明では、ミラー指数で指定される面方位のみを考慮する。実験で用いられる面方位も、ほとんどの場合は簡単なミラー指数で表されるため、実用上の問題は全くない。【００１４】  前記単位格子の拡張と境界面の変更により、変形拡張格子を作成する。前記ミラー指数で指定された面を境界とする変形拡張格子が、表面単位格子となる。前記表面単位格子を有限個並べることにより、表面スラブを作成する。さらに、前記表面スラブに真空層を付加することにより、表面周期スラブモデルを作成する。【００１５】  また、前記表面スラブを二つ接合することにより界面スラブを作成する。接合後も周期境界条件を満足するためには、前記二つの表面スラブの接合面形状が一致している必要がある。そこで、接合面形状が一致するように、それぞれの表面単位格子の拡張、回転、圧縮、伸長等の整形処理を施した後に、表面スラブを作成する。同時に、前記二つの表面スラブの接合面に存在しているダングリングボンド同士が、なるべく滑らかに結合するように考慮する。さらに、二つの表面スラブ内の原子位置を相対的に移動させることにより、接合面での原子間結合を滑らかにする。【００１６】  整形された二つの表面スラブを接合し、界面スラブを作成する。前記界面スラブに真空層を付加することにより、界面周期スラブモデルが作成される。【００１７】  さらに、スラブと真空層の界面に残っているダングリングボンドを水素原子等で終端する。この処理により、安定原子配置を有するスラブモデルを得ることができる。
【発明の効果】
【００１８】  界面および表面構造に対応した入力ファイル作成支援システムを用意することにより、シミュレーションによる物質設計を容易に行えるようになる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１９】  本発明を実施するための最良の形態による表面周期スラブモデルの作成方法を、図１のフローチャートを参照して説明する。まず、表面単位格子の元になる結晶構造を形成する単位格子を用意する（ステップＳ１）。そのデータはエックス線構造解析等の実験から得られたものでも良いし、実験データが蓄積されているデータベースから取得したものでも良い。古典分子動力学法によるシミュレーションの結果等であっても良い。さらに、それらの単位格子に原子を付加する等して加工したものであっても良い。図３に、単位格子を模式的に示す。単位格子３０は平行六面体であり、その形状は、辺を構成する三つの格子ベクトルａ，ｂ，ｃで特徴付けられる。それらベクトルの大きさをそれぞれａ，ｂ，ｃ、また、ベクトルａとｂの間の角度をγ，ａとｃの間の角度をβ，ｂとｃの間の角度をαで表す。単位格子を式１で表される並進ベクトルＲだけ動かし、それらをあらゆる整数ｎ１，ｎ２，ｎ３について重ね合わせたものが結晶構造である。
【数１】
Ｒ＝ｎ１ａ＋ｎ２ｂ＋ｎ３ｃ                ……（１）
【００２０】  単位格子内部の原子配置が、結晶構造全体の原子配置を特徴付けている。原子位置（ｘ，ｙ，ｚ）が
【数２】
2006172406.tif 000004
で表される時、これを内部座標表現と呼ぶ。結晶構造では格子の境界にある原子は、隣接する格子との間で共有されている。例えば、（００１）面上の原子は、ｃ軸方向に±ｃだけずれた格子との間で共有されており、格子の角にある原子は隣接する八個の格子の間で共有されている。そこで、式２の内部座標表現では、ｘ，ｙ，ｚは全て０以上かつ１未満とすることにより、格子境界にある原子が複数の格子に含まれることを避けている。以下の説明では内部座標表現を用いるが、それ以外の表現を用いた場合にも、本実施の形態は適用可能である。例えば、直交座標系での各原子位置の座標を保持しても良い。
【００２１】  通常、面方位を指定する際にはブラベー格子を基準にする。そこで、基本単位格子が与えられた場合には、それをブラベー格子に拡張してから、以下の処理を行うと良い。基本単位格子からブラベー格子への変換は、当業者にとっては何ら困難をともなわない。基本単位格子に対して以下の処理を適用することも可能であるが、通常の面方位とは一致しないことに注意を要する。
【００２２】  単位格子から表面周期スラブモデルを作成する際に注意すべき点は、表面に平行な方向には周期境界条件が課されていることである。すなわち、表面周期スラブモデルは、その境界で滑らかにつながるような原子配置を有する表面スラブで構成されていなければ、目的とするシミュレーション結果を得ることはできない。
【００２３】  任意の面方位を有する表面スラブを考えると、周期境界条件を満たすためには無限に大きな表面単位格子が必要になる場合がある。しかし、シミュレーションで一度に取り扱うことが可能な原子数には限りがあるため、表面スラブの大きさには制限がある。そこで本実施の形態では、ミラー指数（ｈ  ｋ  ｌ）で指定される面方位の表面単位格子を作成する。単位格子に含まれる原子数をｎとすると、ミラー指数（ｈ  ｋ  ｌ）で表される表面単位格子に含まれる原子数Ｎは、概ね式３で表される。
【数３】
Ｎ＝ｎ×ｈ×ｋ×ｌ                        ……（３）
ただし、ｈ，ｋ，ｌのいずれかが０の場合には、その値は１として計算する。Ｎには、後述するダングリングボンドを処理するための水素等の原子は含まれておらず、さらに、後述する界面構造作成時の回転操作によっても原子数が増加することに注意が必要である。この表面単位格子に含まれる原子数に上限が存在するため、作成可能な面方位は制限される。
【００２４】  もしくは、面方位を角度等の別の数値で指定し、それに近い角度をもつ面方位のミラー指数の複数の候補を出力する機能を有しても良い。その場合には、実際に使う構造を、前記複数の候補の中から外部入力により指定する。
【００２５】  また、六方晶系では、面方位は四つの指数（ｈ  ｋ  ｉ  ｌ）を用いて表されるが、（ｈ  ｋ  ｌ）と2006172406.tif 000005
理では（１１０）面として扱われる。なお、ｈ＋ｋ＝−ｉが常に成立している。
【００２６】  次に、結晶の単位格子を拡張する（ステップＳ２）。結晶のａ軸方向にｈ個、ｂ軸方向にｋ個、ｃ軸方向にｌ個の単位格子を、並進ベクトルＲを満たし、かつ、平行六面体を形成するように密接して並べ、新たな格子を作成する。以下では、このようにして作成した前記新たな格子を拡張格子と呼ぶ。図４に拡張格子の例を示す。これは、（２３１）表面単位格子を作成するために、単位格子３０をａ軸方向に２個、ｂ軸方向に３個、ｃ軸方向に１個、密接するように並べた様子である。拡張格子の平行六面体を特徴付ける格子ベクトルをａ′，ｂ′，ｃ′とする。さらに、格子ベクトルの変更にともなって内部座標表現を変更すると、単位格子３０から生成される結晶構造と、拡張格子から生成される結晶構造は一致する。
【数４】
2006172406.tif 000006
【数５】
2006172406.tif 000007
ただし、ｈ，ｋ，ｌのいずれかが０の場合には、その方向には格子の拡張を行わずに単位格子を保持する。例えば、ｈ＝０の場合には、ａ′＝ａ，ｘ′＝ｘである。
【００２７】  前記拡張格子の（１１１）面は単位格子の（ｈ  ｋ  ｌ）面と等価である。例えば、図４に示した拡張格子の（１１１）面は、単位格子３０の（２３１）面と等価である。同様に、拡張格子の（１１０）面，（１０１）面，（０１１）面は、それぞれ単位格子の（ｈ  ｋ  ０）面，（ｈ  ０  ｌ）面，（０  ｋ  ｌ）面と等価である。図４に示した拡張格子の（１１０）面は、単位格子３０の（２３０）面と等価である。
【００２８】  ステップＳ３では、前記拡張格子の境界面を変更する。指定されたミラー指数（ｈ  ｋ  ｌ）が全て０でない場合には、境界面を（１１１）面に変更する。一つのみが０の場合、例えばｈのみが０の場合には、境界面を（０１１）面にする。同様にｋのみ０の場合には（１０１）面、ｌのみ０の場合には（１１０）面を境界にする。図５に、境界面を（１０１）面に変更する様子を示す。まず、拡張格子を（１０１）面を境界として二つの五面体５１および５２に分割する（図５（ａ））。分割した前記二つの五面体を分離して図５（ｂ）に示す。次にどちらか一方の五面体をｃ’軸方向に格子ベクトル分だけ移動させる。ここでは五面体５２を−ｃ′移動させた。図５（ｃ）は移動後の二つの五面体を分離して表しているが、実際には二つの五面体は、拡張格子の（００１）面で接しており、図５（ｄ）の配置となる。すなわち、移動後の二つの五面体は、再び平行六面体を形成する。このとき、格子ベクトルは次のように変換される。
【数６】
2006172406.tif 000008
原子位置の内部座標は次式で変換される。
【数７】
2006172406.tif 000009
2006172406.tif 000010
成した結晶構造も、単位格子３０から生成される結晶構造と一致する。また、五面体５１をｃ′移動させても同一の結果が得られることは明らかであるし、五面体５２を−ａ′、もしくは五面体５１をａ′移動させ、拡張格子の（１００）面同士が接するようにつなぎ合わせても、同様の結果を得ることができる。さらに、同様の方法で境界面を（０１１）面もしくは（１１０）面に変更できることは明らかである。もしくは、拡張格子を回転させてから境界を（１０１）面に変更しても、同様の結果を得ることができる。以下では、このように境界面を変更した拡張格子を、変形拡張格子Ａと呼ぶ。
【００２９】  拡張格子の境界面を（１１１）面にするためには、変形拡張格子Ａの境界面をさらに変更すると良い。図６は前記変形拡張格子Ａの境界面を、さらに（０１１）面に変更する様子を示す模式図である。変形拡張格子Ａを（０１１）面で分割し（図６（ａ））、一方の五面体をｃ’’軸に沿って移動させる。（００１）面同士が接する配置を取ると一組の境界面が変形拡張格子Ａの（０１１）面となった平行六面体ができる（図６（ｂ））。この平行六面体から生成した結晶構造も、単位格子から生成された結晶構造と一致する。この変形により、格子ベクトルは次のように変換される。
【数８】
2006172406.tif 000011
原子位置の内部座標は次式で変換される。
【数９】
2006172406.tif 000012
2006172406.tif 000013
変形拡張格子Ｂとする。変形拡張格子Ｂの（００１）面は、変形拡張格子Ａの（０１１）面であり、すなわち、拡張格子の（１１１）面であり、さらに、単位格子の（ｈ  ｋ  ｌ）面と等価である。
【００３０】  以上の操作により、単位格子のミラー指数（ｈ  ｋ  ｌ）で指定される任意の面を境界とし、かつ、周期境界条件を満足する、変形拡張格子を作成できる。この変形拡張格子が、表面スラブを作成するための表面単位格子となる。
【００３１】  表面単位格子を用いると、表面構造を容易に作ることができる。以下の説明では、単位格子の所望の面方位が、前記表面単位格子の（００１）面となるように変形されているとする。前記表面単位格子を特徴付ける格子ベクトルを、改めてａ，ｂ，ｃと書く。この表面単位格子を式１で表される並進ベクトルＲだけ動かし、それらをあらゆるＲについて重ね合わせると、結晶構造ができる。ここで、ｎ３の範囲を非負整数に制限すると、（００１）面を表面とする、半無限表面構造ができる。図６（ｂ）に示した表面単位格子に適用すると、単位格子の（ｈ  ｋ  ｌ）面を表面とする、半無限表面構造ができる。さらに、ｎ３に上限を設けることにより、表面平行方向に無限に広がるスラブを作成することができる。前記無限に広がるスラブは、表面単位格子をｃ軸方向に拡張した表面スラブに、表面平行方向の周期境界条件を課したものと等価である。前記ｎ３の上限を変更することにより、表面スラブの厚さが変化する。そこでステップＳ６では、スラブ裏面の影響がスラブ表面に現れない程度の表面スラブの厚さを確保しつつ、表面スラブに含まれる原子数がシミュレーション実行可能な最大原子数を超えないような厚さを、外部入力により指定すると良い。ｎ３の範囲が負の整数であっても、同様の表面スラブが作成できることは言うまでもない。
【００３２】  表面スラブの上下に真空層を生成する（ステップＳ７）。ｃ軸の長さをｑ倍し、ｃ軸方向の原子の内部座標をｑで割ると、原子が存在しない真空層が生成され、図２（ｂ）に示した表面周期スラブモデルが完成する。さらに全ての原子をｃ軸方向に所定の距離移動させると、図２（ａ）に示した表面周期スラブモデルが完成する。真空層が大きいほど、真空層を介した相互作用が小さくなるのでシミュレーションは正確になるが、シミュレーションに要する時間は長くなる。通常は、５オングストローム程度で良い。
【００３３】  表面スラブと真空層との境界面には、結晶を有限の位置で切断したことによる、ダングリングボンドが存在し、不安定な構造になっている。そこでステップＳ８において、水素原子等によりダングリングボンドを終端し、安定した電子状態を作成すると良い。
【００３４】  結晶を切断した際に切断した結合がダングリングボンドになるため、その位置および角度を知ることは容易である。そこで、その結合の位置および角度を保つように、水素原子等を付加する。結合長は変化させても良い。原子種がわかれば、おおよその結合長がわかるのでそれに応じた位置に原子を付加すると良い。例えば、水素原子と珪素原子の結合距離は１．５オングストローム程度、水素原子と炭素原子の結合距離は１オングストローム程度であることが広く知られているので、参考にすると良い。
【００３５】  シミュレーションソフトウェアが原子位置の最適化機能を有する場合には、最適化を行い、付加した原子を安定位置に移動させても良い（ステップＳ９）。さらに、スラブ表面から数層の原子も含めて位置の最適化を行うと、より一層好ましい。
【００３６】  以上の手続きにより、結晶構造を形成する単位格子から、表面方向の周期境界条件を満足する表面周期スラブモデルが作成できる。前記シミュレーションソフトウェアの入力形式に応じた変換を施してから、外部に出力しても良いし、メモリ等の内部記憶装置を介してシミュレーションソフトウェアへの入力として使用しても良い。
【００３７】  なお、表面はスラブと真空との界面であり、この意味で、前記表面周期スラブモデルを界面周期スラブモデルと呼ぶことも可能である。
【実施例１】
【００３８】  界面構造の周期スラブモデルを作成するためには、前記本発明を実施するための最良の形態として開示された手法により二つの表面単位格子を作成し、それらを予め指定された面で接合すると良い。その際、界面すなわち接合面方向の周期境界条件を満足するためには、各表面単位格子の接合面の形状は同一でなければならない。しかしながら、異なる単位格子から作成した表面単位格子、もしくは、同一の単位格子から作成した表面単位格子であっても面方位が異なる場合には、接合面の形状は一致しないことがほとんどである。さらに、たとえ接合面の形状が同一であっても、接合面を介した原子間の結合が滑らかに組み合わさっていなければ、安定な構造を実現できないので、シミュレーションに用いる界面構造として不適切である。そこで、本発明の第２の実施の形態による界面周期スラブモデル作成方法は、以下に開示する手順により、接合面の変形を行った後に接合処理を施す。【００３９】  二つの表面単位格子の表面形状を図８に示す。図８（ａ）は第一の表面単位格子の接合面、図８（ｂ）は第二の表面単位格子の接合面を示している。どちらもｃ軸正の方向から見た図であるとし、第一の表面単位格子は接合面からｃ軸正の方向に、第二の表面単位格子は接合面からｃ軸負の方向にスラブが形成される。【００４０】  接合面は平行四辺形であり、その形状は、平行でない二つの辺の長さと、その間の角度で特徴付けられる。接合面の形状が一致するということは、二つの平行四辺形が合同であることに他ならない。すなわち、次式が満たされていれば良い。
【数１０】
2006172406.tif 000014
【００４１】  前述のように、通常、式１０は満たされていない。そこで、式１０を満たすように接合面の変形を行う。ステップＳ２１では、表面単位格子の拡張を行なう。例えば、ａ２がａ１の二倍に近い場合には、第一の表面単位格子をａ軸方向に二つ並べた表面拡張格子を作成し、
2006172406.tif 000015
格子を大きく拡張すればするほど、その大きさの差の割合を小さくすることが可能であるが、表面拡張格子に含まれる原子数が増大するので、シミュレーションを実行することが可能な最大原子数を超えないように注意する。【００４２】  さらに、ステップＳ２１は、表面拡張格子を、接合面に垂直な軸を中心として回転させる処理を含む。この変形により、γ１およびγ２を変更することができる。任意角度の回転を許すと、表面方向の周期境界条件を満たすためには無限に大きな表面拡張格子が必要になるので、ここでもミラー指数を考える。表面拡張格子を回転させる様子を図７に示す。境界面を（ｉ  ｊ  ０）に変更し、変更後の軸の一つをａ’軸とする。変更前のａ軸をａ’軸とが一致するように座標軸を回転させると、表面拡張格子内の原子が回転することが分かる。このように、回転操作は表面拡張格子の境界面変更として処理できる。第一の実施の形態でも述べたように、境界面の変更は表面拡張格子のさらなる拡張をともない、ｂ軸および軸の間の角度γも変更を受けていることは言うまでもない。【００４３】  前記表面格子の拡張と回転の順番は入れ替えても良いし、繰り返し行っても良い。前記二つの表面拡張格子の接合面形状をできるだけ近づけると良い。【００４４】  ステップＳ２１では接合面の形状のみに注目して変形している。しかしながら、前記二つの表面拡張格子の接合面形状が一致したとしても、それらを接合した後に、その接合面すなわち界面を介した原子間の結合が滑らかに組み合わさっているとは限らない。結合が滑らかでない界面は安定ではなく、現実の界面構造を反映しているとは言い難い。そこで、ステップＳ２１では複数の表面格子対を界面スラブの候補として作成し、後述するステップＳ２２で接合を行った後に、界面として最もふさわしいスラブを選び出すと良い。【００４５】  前記二つの表面拡張格子の接合面形状が概ね同じになった後は、表面拡張格子を圧縮もしくは伸長、すなわち、表面拡張格子の原子の内部座標を保ったまま、格子ベクトルのみ変化させることにより、前記二つの表面拡張格子の接合面形状を一致させる（ステップＳ２２）。本実施の形態では、接合面は（００１）面であるので、ベクトルａの大きさａ、ベクトルｂの大きさｂ、および、ベクトルａとｂの間の角度γを変化させる。ここでの変形が大きいと、対象とする系の性質が大きく変わってしまう可能性があるので、ステップＳ２１においてできるだけ接合面の形状差を小さくしておくことが重要である。【００４６】  図８（ａ），図８（ｂ）に示した二つの接合面形状を一致させるためには、前記ａ、ｂ、γを、それぞれ任意の値ａＭ、ｂＭ、γＭに一致させると良い。ａＭはａ１とａ２の間の値、ｂＭはｂ１とｂ２の間の値、γＭはγ１とγ２の間の値であることが望ましい。例えば、ａＭはａ１とａ２の平均値としても良い。【００４７】  前記二つの表面拡張格子の元になっている結晶構造のヤング率が既知である場合には、その値を考慮して表面拡張格子を変形しても良い。第一の結晶構造のヤング率をＥ１、第二の結晶構造のヤング率をＥ２とする。さらに、第一の表面拡張格子の接合面の一辺の長さをａ１、第二の表面拡張格子の接合面の対応する辺の長さをａ２とする。ａ��＞ａ２の場合、前記一辺の長さａＭをａ１とａ２の間の任意の値とした場合には、第一の表面構造には接合面を広げようとする力、第二の表面構造には接合面を狭めようとする力が作用する。その力の大きさが前記表面拡張格子の元になっている結晶構造の場合と同じだとすると、前記ヤング率を用いてそれぞれＥ１（ａ１−ａＭ），Ｅ２（ａＭ−ａ２）と表される。最適な状態ではこれらの力が釣り合っていると仮定すると、最適なａＭは式１１から求めることができる。
【数１１】
2006172406.tif 000016
ｂＭについても同様に最適値を決定することができる。【００４８】  表面拡張格子の接合面形状を変化させた際には、接合面に垂直な方向の大きさも変化させることが好ましい。例えば、変形前の体積と変形後の体積が同一になるように変形させると良い。もしくは、ポアソン比σが既知である場合には、その値にしたがって変形させても良い。すなわち、前記表面拡張格子を変形させた結果、第一の表面拡張格子の接合面部分の面積がＳからＳ′に変化した場合には、ｃ軸の長さｃを、式１２で表されるｃ′に変化させる。
【数１２】
2006172406.tif 000017
前記第二の表面拡張格子についても同様に、表面に垂直な方向の大きさを変化させると良い。【００４９】  上記ヤング率およびポアソン比は、実験的に得られた値を用いても良いし、結晶構造のシミュレーションにより得られた値を用いても良い。さらに一般的に、弾性コンプライアンステンソルを用いて、同様の変形を行っても良い。【００５０】  ステップＳ２２では、前記接合面形状を一致させた一組の表面拡張格子７１，７２を接合させる。図９は接合の様子を、ａ軸に垂直かつ接合面７０に平行な方向から見た模式図である。前記表面拡張格子７１および７２は接合面で接しており、それらのａ軸およびｂ軸はそれぞれ一致している。ただし、第一の表面拡張格子７１および第二の表面拡張格子７２のｃ軸を示すベクトルの向きは、一般に一致しない。【００５１】  また、ステップＳ２２は、第一の表面拡張格子７１に含まれる原子の内部座標の平行移動を含む。個別に作成した二つの表面拡張格子を、接合面すなわち界面で接するよう配置しただけでは（図９参照）、第一の表面拡張格子７１に含まれる原子と第二の表面拡張格子７２に含まれる原子との間の界面を介した結合が滑らかにつながらない。そこで、結合を滑らかにするために、第一の表面拡張格子７１に含まれる各原子の内部座標を、外部から入力されたベクトル（Δｘ，Δｙ，Δｚ）分だけ移動させる。
【数１３】
2006172406.tif 000018
2006172406.tif 000019
失わない。一方、ｚ′は１以上になっても良いし、負になることもあり得る。第二の表面拡張格子７２に含まれる原子の内部座標を変化させても同様の効果が得られるし、二つの表面拡張格子に含まれる原子の内部座標を、それぞれ異なる量だけ平行移動させても良い。ステップＳ２１において接合面形状が一致した、複数組の表面拡張格子を作成した場合には、ステップＳ２２でも全ての表面拡張格子対について同様の処理を行い、その中から、界面を介した原子間結合が、滑らかになるものを選び出す。【００５２】  ここまでの処理では、前記二つの表面拡張格子は、ｃ軸方向まで含めた境界条件を満たす構造を保持している。スラブの厚さを増す処理は、ｃ軸方向の周期境界条件を満たす格子に対しては容易であるので、ここでスラブの厚さを設定する（ステップＳ６）。次のステップＳ７で、ｃ軸方向の格子ベクトルを変更すると、式１の意味での周期境界は満たされなくなる。なお、図９の例は、表面拡張格子が十分に厚い場合を示しており、ステップＳ６は省略している。【００５３】  接合後は界面スラブとして取り扱うため、ｃ軸方向の格子ベクトルを統一する。ステップＳ７で付加する真空層が十分に厚ければ、ｃ軸方向の周期境界条件は無視することができるので、ｃ軸方向の格子ベクトルは界面に平行でなければどの方向にとっても良い。そこで、本実施の形態ではｃ軸方向の格子ベクトルを界面に垂直にとる。【００５４】  第一の表面拡張格子７１のｃ軸方向の格子ベクトルを界面に垂直にするとスラブ３が、第二の表面拡張格子７２のｃ軸方向の格子ベクトルを界面に垂直にするとスラブ４ができる。前記二つの格子ベクトルを加えたものを改めて格子ベクトルとし、それに応じて原子位置が変化しないように内部座標表現を変換すると界面スラブができる。【００５５】  第一の実施の形態と同様に、ステップＳ７において、前記界面スラブに真空層を付加する。これにより、界面周期スラブモデルができる。【００５６】  界面スラブと真空層との境界には、ダングリングボンドが残されているので、水素原子等により終端処理を施す（ステップＳ８）。【００５７】  ステップＳ９では、界面スラブの真空層付近の原子の構造緩和を行う。さらに、第一の表面スラブの構成原子に対する、第二の表面スラブの構成原子の位置を最適化すると、接合がより一層滑らかになるので好ましい。各表面構造内部の原子配置には拘束条件を課して構造最適化を行うと、拘束条件がない場合に比べて、最適化に要する時間を大幅に削減できる。界面付近数層の原子に対しては拘束条件を課さなければ、より一層好ましい。【００５８】  以上、本発明の各実施の形態について説明したが、本発明はこれらの実施の形態に限定されるものではない。【００５９】  例えば、真空層を生成せずに、積層構造を作成しても良い。積層構造は、量子井戸のシミュレーション等に役立つ。二種類以上の結晶構造を積層しても良い。積層後に真空層を生成すると、表面の膜構造を実現できる。さらに前記積層構造を基本格子として、さらなる積層構造を作成することにより、超格子を作成することも出来る。【００６０】  界面構造作成途中の任意の段階で、原子の置換、移動、追加、削除を行っても良い。表面構造作成後に、表面に任意の分子を付加することにより、表面に吸着した分子の構造を実現する、周期スラブモデルを作ることも可能である。
【図面の簡単な説明】
【００６１】
【図１】界面および表面構造を作成する処理の流れを示す概略フローチャートである。
【図２】（ａ），（ｂ）表面構造の周期スラブモデルを示す模式図である。（ｃ）界面構造の周期スラブモデルを示す模式図である。
【図３】単位格子を示す模式図である。
【図４】単位格子を拡張して、拡張格子を作成する様子を示す模式図である。
【図５】拡張格子の境界面を（１０１）面に変更する様子を示す模式図である。
【図６】修正拡張格子の境界面を（０１１）面に変更する様子を示す模式図である。
【図７】表面単位格子を、表面に垂直な面内で回転させる様子を説明するための模式図である。
【図８】二つの表面単位格子の接合面を示す模式図である。
【図９】二つの表面単位格子を接合した様子を、ａ軸に垂直かつ接合面に平行な方向から見た模式図である。
【符号の説明】
【００６２】  １    真空層
２    スラブ
３    第一の単位格子から作成した表面スラブ
４    第二の単位格子から作成した表面スラブ
３０    単位格子
５１    拡張格子を（１０１）面で分割した際に生じる五面体
５２    拡張格子を（１０１）面で分割した際に生じる五面体
７０    表面拡張格子の接合面
７１    第一の表面拡張格子
７２    第二の表面拡張格子
【図１】
2006172406.tif 000020
【図２】
2006172406.tif 000021
【図３】
2006172406.tif 000022
【図４】
2006172406.tif 000023
【図５】
2006172406.tif 000024
【図６】
2006172406.tif 000025
【図７】
2006172406.tif 000026
【図８】
2006172406.tif 000027
【図９】
2006172406.tif 000028