(57)【要約】【課題】量子計算を実行するための装置および方法を提供すること。【解決手段】そのような装置および方法は、そこに配置された準粒子のシステムを持っている格子の最初の量子状態を識別すること、少なくとも１つのあらかじめ決められた規則に従って格子内で準粒子を移動すること、準粒子が移動された後に格子の２番目の量子状態を識別すること、および格子の２番目の量子状態に基づいた計算の結果を決定することを含む。【選択図】図２
2006065854.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
量子計算を実行するための方法であって、
そこに配置された準粒子のシステムを持っている格子の最初の量子状態を識別すること、
少なくとも１つのあらかじめ決められた規則に従って前記格子内で前記準粒子を移動すること、
前記準粒子が移動された後に前記格子の２番目の量子状態を識別すること、および
前記格子の前記２番目の量子状態に基づいた計算の結果を決定すること
を備えることを特徴とする方法。
【請求項２】
前記準粒子は、実粒子のシステムの極少なエネルギー状態の励起であることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記極少なエネルギー状態と前記準粒子は、実粒子のインタラクションから定義されるハミルトニアン・オペレータによって決定されることを特徴とする請求項２に記載の方法。
【請求項４】
前記ハミルトニアン・オペレータは、ループを作成し、それの形を変形させ、消滅させるための規則を引き起こすマルチ・ループの上のプロセスを引き起こすことを特徴とする請求項３に記載の方法。
【請求項５】
前記実粒子は、潜在的な格子の第１の二量体カバリングを定義することを特徴とする請求項２に記載の方法。
【請求項６】
第２の、固定されたバックグラウンド二量体カバリングとの組み合わせにおける前記第１の二量体カバリングは、１つ以上のマルチ・ループを定義することを特徴とする請求項５に記載の方法。
【請求項７】
前記極少なエネルギー状態は、マルチ・ループの重ね合わせであることを特徴とする請求項６に記載の方法。
【請求項８】
前記準粒子は、前記重ね合わせの正規の励起であることを特徴とする請求項７に記載の方法。
【請求項９】
前記準粒子は、分数統計粒子（anyons）であることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１０】
前記準粒子は、非可換な分数統計粒子（anyons）であることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１１】
前記格子は、カゴメ型格子であることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１２】
前記カゴメ格子は、複数の六角形を備え、各六角形は、正確に１つの実粒子を収容することを特徴とする請求項１１に記載の方法。
【請求項１３】
前記カゴメ格子は、三角の格子のエッジ・センターとして生じることを特徴とする請求項１１に記載の方法。
【請求項１４】
前記格子は、複数の格子サイトを有し、基底状態において、前記格子サイトのどれも複数の二量体をホストせず、前記サイトのそれぞれは、１つの二量体によって覆われていることを特徴とする請求項２に記載の方法。
【請求項１５】
前記少なくとも１つのあらかじめ決められた規則は、１回以上の組合せの移動を含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１６】
前記組合せの移動は、ｂｏｗ−ｔｉｅ（蝶ネクタイ）移動、三角形移動、および菱型反転のうちの少なくとも１つを含むことを特徴とする請求項１５に記載の方法。
【請求項１７】
前記準粒子の移動は、前記準粒子を第２の準粒子に対して相対的に移動することを備えることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１８】
前記準粒子を前記第２の準粒子に対して相対的に移動することは、量子ブレイドが前記格子の２Ｄ＋１の次元の時空間に形成されることを引き起こすことを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項１９】
前記計算の結果を決定することは、前記量子ブレイドに基づいた計算の結果を決定することを特徴とする請求項１８に記載の方法。
【請求項２０】
前記量子ブレイドは、どのように前記準粒子が第２の準粒子に対して相対的に移動されるかに関する指示を提供することを特徴とする請求項１８に記載の方法。
【請求項２１】
前記あらかじめ決められた規則は、第１のループを切り、切られた第１のループの接続されていない先端を、第２のループを成形するために再接続する規則を含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項２２】
量子コンピュータシステムであって、
その上に配置された複数の準粒子であって、前記格子を成形する実粒子のシステムの励起である前記準粒子を有する格子、
前記格子の第１の量子状態を識別する手段、
あらかじめ決められた規則のセットに従って、前記格子内で前記準粒子を移動するための手段、
前記準粒子が移動された後に前記格子の第２の量子状態を識別する手段、および
前記格子の第２の量子状態に基づいた計算結果を決定する手段、
を備えることを特徴とする量子コンピュータシステム。
【請求項２３】
前記複数の準粒子は、実粒子の前記システムの極少なエネルギー状態を超えたあらかじめ決められた励起を満たすために格子上に配置されることを特徴とする請求項２２のシステム。
【請求項２４】
前記実粒子は、マルチ・ループと弧の第１の重ね合わせを形成するために配置され、前記第１の重ね合わせは、前記格子の前記第１の量子状態を定義していることを特徴とする請求項２３のシステム。
【請求項２５】
前記第２の量子状態は、前記準粒子が移動された後に前記格子上で形成されたマルチ・ループと弧の第２の重ね合わせによって定義されることを特徴とする請求項２４のシステム。
【請求項２６】
前記準粒子は、非可換分数統計粒子（anyons）であることを特徴とする請求項２２のシステム。
【請求項２７】
前記格子は、複数の格子サイトを有し、前記複数の準粒子は、前記格子サイト（格子間位置）のサブセットの間にだけに分布するようにされることを特徴とする請求項２３のシステム。
【請求項２８】
前記複数の準粒子は、希薄に分布するようにされ、前記実粒子は、エッジ格子の原子価（ｖａｌｅｎｃｅ）に比例するエッジ格子の上に分布するようにされることを特徴とする請求項２７のシステム。
【請求項２９】
前記エッジ格子は、三角の格子であり、割合が１／６であることを特徴とする請求項２８のシステム。
【請求項３０】
前記準粒子は、カゴメ格子内で形成された三角のサブ格子の結合に設定されることを特徴とする請求項２２のシステム。
【請求項３１】
前記準粒子は、ボース粒子であることを特徴とする請求項２２のシステム。
【請求項３２】
前記準粒子は、フェルミ粒子であることを特徴とする請求項２２のシステム。
【請求項３３】
量子計算を実行するために記載の方法であって、
格子内の複数の準粒子の少なくとも１つを、前記格子の２Ｄ＋１次元の時空間内に１つ以上のブレイドを形成するために、移動すること、および
前記ブレイド構造に基づいて計算の結果を決定すること
を備えることを特徴とする方法。
【請求項３４】
前記ブレイド構造は、前記格子の量子状態の変化に対応することを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項３５】
あらかじめ決められた規則に従って前記格子内で前記準粒子を移動すること
をさらに備えることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項３６】
前記準粒子は、第１のループを切り、切られた第１のループの接続されていない先端を、第２のループを成形するために再接続する規則を引き起こすハミルトニアン・オペレータによって決定されることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項３７】
二量体カバリングの重ね合わせを、そのグラウンド状態マニホールドとして定義するハミルトニアン・オペレータを介して、前記格子内の前記少なくとも１つの準粒子を移動することを、さらに備えることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項３８】
前記準粒子の少なくとも１つは、非可換分数統計粒子（anyon）であることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項３９】
前記少なくとも１つの準粒子を移動することは、前記少なくとも１つの準粒子を、前記複数の準粒子のうちの別の準粒子に対して相対的に移動することを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、一般に量子計算（quantum computing）の分野に関する。より詳細には、本発明は、位相幾何学的量子計算（topological quantum computing）に関する。
【背景技術】
【０００２】
１９８２年の分数量子ホール効果の発見以来、電子の位相幾何学的な相（topological phases of electrons）が、大きな関心を集める論題となっている。多くの可換位相幾何学的な相（abelian topological phases）が、量子ホール・レジーム（quantum Hall regime）のコンテクストで発見されている。最近では、高温超伝導および他の複合材料（complex materials）が、可換位相幾何学的な相のさらなる理論研究および実験調査に拍車をかけている。現在、そのような相を認める微小モデル（microscopic models）タイプは、より良く理解されている。非可換位相幾何学的な相については、あまり知られていない。それらは、曖昧であり複雑と見られており、非可換位相幾何学的な相を考察する実験の動機がほとんどなかった。しかし、非可換位相幾何学的な状態は、量子計算のための興味深い環境である。
【０００３】
新世代コンピュータを、量子の機械的な重ね合わせ（quantum mechanical superpositions）を利用するように構築できれば、大きな技術的な意味合いが得られることが、ますます明らかになってきている。特に、固体物理、化学、および医療において強力な新しいツールが得られ、暗号法にも大変革がもたらされる。
【０００４】
量子計算のための標準的な手法は、量子ビット（「キュービット（qubit）」）モデルに基づいており、このモデルでは、原子核スピンなど局所自由度に関する計算が予想されている。キュービッド・コンピュータでは、通常、情報の各ビットが、電子や光子など単一の粒子の状態に符号化される。これは、情報を脆弱にする。環境の外乱が粒子の状態を変化させた場合、情報は永久に失われる。これは、デコヒーレンスと呼ばれ、状態の量子特性の損失（すなわち、システムが古典的なものになる傾向）である。デコヒーレンスを制御するための全てのスキームは、機能するためには、非常に要求が厳しく、場合によっては実現不可能な精度しきい値に達しなければならない。
【０００５】
量子情報を安定させるためにトポロジー（Topology）が提案されている。位相幾何学的な量子計算は、従来の０と１ではなく、様々なブレイド（braid）の形状（configrations）に情報を符号化し、このブレイド（braids）は、ノット（knots）に類似しているが、互いの回りに絡み合ういくつかの異なるスレッドから構成される。コンピュータは、時空間で物理的にブレイドを織り、次いでその性質が肩代わりして、複雑な計算を非常に迅速に実施する。単一粒子ではなくブレイド（braids）で情報を符号化することにより、位相幾何学的量子コンピュータは、困難なキュービット・モデルの分離を必要とせず、デコヒーレンスの問題に対する新たな手法を示す。
【０００６】
１９９７年に、ＫｉｔａｅｖおよびＦｒｅｅｄｍａｎによって、十分に富んだＴＱＦＴ（位相機何学的量子場の理論；topological quantum field theory）の「物理的ヒルベルト空間」Ｖが作成され、操作することができる場合に、量子計算を実現することができるという独自案が提案された。ヒルベルト空間は、システムの自由度を記述する。数学的構造Ｖが、物質に関する新たな注目すべき状態として、実現され、随意に操作される必要があることになる。
【０００７】
２０００年に、Ｆｒｅｅｄｍａｎは、その基底状態がＶの、ある非常に複雑な局所ハミルトニアンＨを書くことができることを示した。しかし、このＨは存在定理のみであり、物理的な実現のための出発点とするにはあまりにも複雑すぎる。
【０００８】
２００２年、Ｆｒｅｅｄｍａｎは、４体相互作用を含むハミルトニアンを示し、適切な摂動（perturbation）の後、Ｈの基底状態マニホールドが所望の状態Ｖになると述べた。このＨは、前に考案されたＨよりも複雑でないが、しかし依然として単なる数学的構造（mathematical construct）である。この従来技術モデルでは、粒子、イオン、電子、または物理世界の任意の単純な成分（prosaic ingredients）を見られない。ハミルトニアンは、システムの全ての可能な物理的状態（固有状態；eigenstates）およびそのエネルギー値（固有値；eigenvalues）を記述するエネルギー演算子（energy operator）である。
【０００９】
Ｆｒｅｅｄｍａｎは、さらに、ｄアイソトピー（d-isotopy）の概念を定義し、妥当なハミルトニアンの基底状態として実装することができる場合、これがＶおよび位相幾何学的量子計算をもたらすことを示した。アイソトピーは、変形（deformation）と定義され、アイソトピックな２つの構造は同一とみなされる。例えば、それぞれ図１Ａおよび１Ｂのトーラス（toruses）１および２に示されるように、ＸとＸ’は、一方を他方へ徐々に変形することができるので、アイソトピックである。ｄアイソトピーでは、小さな円を、係数＝ｄとして吸収することができる。そのような閉じた曲線は、マルチ・カーブまたはマルチ・ループと呼ばれる。図１Ｃの（トーラス３の周りで曲がりくねる）ループＸ’’は、ＸまたはＸ’とｄアイソトピックでない。重要でないループは、（例えば、収縮可能な円を備えないので）トリビアル・ループ（trivial loops）と呼ばれ、それらを除去し、かつ数えることが望まれる。トリビアル・ループが除去されると常に、そのピクチャは「ｄ」倍される。すなわち、２つのマルチ・ループが、収縮可能な円の存在の他は同一である場合、それらの関数値はｄ倍異なり、ｄは、固定された正の実数である。ｋを１、２、３などのレベルとして、ｄ＝２ｃｏｓｐ／（ｋ＋２）であることが示されており、これは、Ｃｈｅｒｎｓ−Ｓｉｍｏｎｓ理論の自然パラメータである。
【００１０】
Ｆｒｅｅｄｍａｎによれば、パラメータｄは、「特別な」値、すなわち１、ルート２、黄金比、ルート３、．．．、２ｃｏｓｐ／（ｋ＋２）（ここでｋは自然数）のみを取ることができる。ｄ＝１で、空間Ｖは、固体物理学では観察されないとしても、すでに知られているものとなる。ｄ＞１では、Ｖは、この論題にとって新規のものとなる。後に、Ｆｒｅｅｄｍａｎ等は、ｄアイソトピーは場の理論によって説明できるものであり、領域壁としてのマルチ・ループは、代替的にＷｉｌｓｏｎループ演算子と解釈することができることを示した。したがって、ｄアイソトピーは、マルチ・ループに課すことができる数学的な構造であり、Ｃｈｅｒｎｓ−Ｓｉｍｏｎｓ理論に基づいている。
【００１１】
物質のエキゾチックな一形態は、分数量子ホール流体（fractional quantum Hall fluid）である。これは、２つの半導体の平坦な界面にある電子が、強力な磁場を受けて、絶対０度に近い温度まで冷却されたときに生じる。平坦面上の電子は、電子の無秩序の液体海を形成し、いくつかの余分な電子が追加されると、分数統計粒子（anyons）と呼ばれる準粒子（quasi-particles）が現れる。電子（electrons）または光子（protons）と異なり、分数統計粒子は、ある整数の分数となる電荷を有することができる。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１２】
（第１のランダウ準位の）３分の１充填での分数量子ホール流体は、すでに、ＴＱＦＴのＶの基本的な（可換の）例である。量子計算を行うためには、状態を、より安定にして、ＦＱＨＥ（分数量子ホール効果）流体よりも簡単に操作されるように構成することが望まれる。
【００１３】
分数統計粒子の１つの性質は、それらが互いの周りで移動されたときに、それらが辿った経路の結び目（knottedness）を、その経路の複雑さに関わらず、物理的な意味で覚えているというものである。位相幾何学的量子計算システムでの計算を実施するために、非可換変換（non-abelian transformations）と呼ばれる十分に複雑な変換を伴うシステム内で分数統計粒子を使用する、ことが望まれる。
【００１４】
前述のことを鑑みて、従来技術の限界および欠点を克服するシステムおよび方法が求められる。
【課題を解決するための手段】
【００１５】
本発明による方法および装置は、そこに配置された準粒子を持っている格子の最初の量子状態を識別すること、少なくとも１つのあらかじめ決められた規則に従って格子内で準粒子を移動すること、準粒子が移動された後に格子の２番目の量子状態を識別すること、および格子の２番目の量子状態に基づいた計算の結果を決定することを含むことができる。準粒子は、例えば非可換分数統計粒子にすることができる。
【００１６】
準粒子は、複数の実粒子からなるシステムの極少なエネルギー状態の励起にすることができる。極少なエネルギー状態と準粒子は、実粒子のインタラクションから定義されるハミルトニアン・オペレータによって決定することができる。ハミルトニアン・オペレータは、マルチ・ループ上にプロセスを引き起こし、そのプロセスは、ループを作成し、それの形を変形させ、消滅させるための規則を引き起こすことができる。実粒子は、潜在的な格子（おそらく三角形格子）の第１の二量体カバリング（dimer covering）を定義することができ、これが、第２の、固定されたバックグラウンド二量体カバリングとの組み合わせにおいて、１つ以上のマルチ・ループを定義する。極少なエネルギー状態は、マルチ・ループの重ね合わせにすることができ、準粒子は、重ね合わせの正規の励起にすることができる。
【００１７】
格子は、三角形格子にすることができ、カゴメ格子のためのそのエッジ・センターは、複数の六角形（hexagons）を備える。各六角形は、正確に１つの実粒子を収容することができる。カゴメ格子は、複数の三角形サブ格子を含むことができ、三角形サブ格子のエッジは、カゴメ格子のサイトである。格子は、複数の格子サイトを含むことができ、格子サイトのどれも複数の二量体をホストしない。
【００１８】
あらかじめ決められた規則は、１回以上の組合せの移動を含むことができる。組合せの移動は、限定せずに、ｂｏｗ−ｔｉｅ（蝶ネクタイ）移動、三角形移動、および菱型反転（rhombus flip）を含むことができる。準粒子の移動は、準粒子を第２の準粒子に対して相対的に移動することを含み、量子ブレイド（quantum braid）が格子の２Ｄ＋１の次元の時空間に形成されることを引き起こすことができる。計算の結果は、量子ブレイドに基づかせることができ、量子ブレイドは、どのように準粒子が第２の準粒子に対して相対的に移動されるかに関する指示を提供することができる。
【００１９】
本発明の追加の特徴および利点は、添付の図面を参照しながら進める以下の例示実施形態の詳細な説明から明らかになろう。
【００２０】
前述の概要、および以下の好ましい実施形態の詳細な説明は、添付図面に関連付けて読むことでより良く理解される。本発明を例示する目的で、図面に本発明の例示構成を示す。ただし、本発明は、開示する特定の方法および手段に限定されない。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２１】
本発明による装置および方法は、そこに配置された準粒子を持っている格子の最初の量子状態を識別すること、少なくとも１つのあらかじめ決められた規則に従って格子内で準粒子を移動すること、準粒子が移動された後に格子の２番目の量子状態を識別すること、および格子の２番目の量子状態に基づいた計算の結果を決定することを含む。
【００２２】
本発明によれば、ｄアイソトピーに関して「現実的な」微小体（microscopics）を提供することができ、ここで「現実的な」は、ループおよび曲線とは対照的に、例えば原子および電子を指す。より詳細には、「現実的な」は、（粒子は、互いに近接して、互いの存在を知る）局所相互作用を伴う物理的な自由度を意味する。この相互作用は、原子を互いに近づけるポテンシャル・エネルギー・コストである。ファンデル・ワールス力など既存の物理的な関係を、トンネル振幅（tunneling amplitudes）など他の物理特性と共に使用することができる。ｄアイソトピーの数学的構造の物理的な具現化を得ることが望まれる。すなわち、ｄアイソトピーの抽象的な記述を、既知の物理的なプロセス（例えば、トンネル現象（tunneling）、斥力（repulsion）、クーロン相互作用（Coulomb interaction））に変えることが望まれる。
【００２３】
抽象的なｄアイソトピーから実際の物理的現象に向かうために、マルチ・ループ（すなわちマルチ・カーブ）が実装される。これらのマルチ・ループは、折れ曲線（すなわち、物理学における標準的な専門用語では「二量体カバー」）として実装されることが望ましい。同様に、以下の規則が実装されることが望ましい。（１）アイソトピー規則：ピクチャが曲げられるときに、ピクチャ（またはピクチャの一部）の振幅が変化しない。（２）ｄ規則：小さなループに関連する値を説明するためのもの。これらの規則は、「ゆらぎ（fluctuations）」に変えられ、これは、様々な状態（例えば、２つの状態間のちらつき（flickering））に関係するハミルトニアンの項（terms）である。
【００２４】
例示実施形態は、以下でさらに説明する、２次元カゴメ格子およびリング交換項を有する拡張ハバード・モデル（Hubbard mode）を対象とする。トポロジー（ループなど）および規則（ｄアイソトピー規則など）と共に二量体カバー（６分の１充填カゴメ格子（one-sixth filled Kagome lattice）など）が、例示拡張ハバード・モデル内に含まれることが望ましい。例示拡張モデルに関連して使用される例示的な粒子は、ボース粒子またはスピン・レス・フェルミ粒子である。
【００２５】
６分の１の充填率で、モデルは、摂動論（perturbation theory）の最低非消滅オーダー（ lowest non-vanishing order）で解析される。ある割合の粒子（例えば電子）で占有された格子において、粒子は、当然、「完全な」配列を成すように分散する。したがって、三角形格子のエッジの６分の１が粒子（例えば電子）で充填される場合、（例えばクーロン斥力の結果として）複数の電子からなる完全な調和がもたらされる。
【００２６】
正確に可解なポイントは、その点の基底状態マニホールドが、大規模に縮退する「ｄアイソトピー空間」、あるタイプの非可換移送幾何学的なオーダーのための前提条件を決定する。値ｄ＝２ｃｏｓｐ／（ｋ＋２）の近くで、この空間はつぶれて、レベルｋでのＳＵ（２）Ｃｈｅｒｎ−Ｓｉｍｏｎｓ理論に密接に関係する分数統計粒子の励起を伴う安定した位相幾何学的な相になる。
【００２７】
あるクラスのハミルトニアンは、標準の物理的なプロセスから、基底状態マニホールドＶ＝ｄアイソトピー（いくつかの場合には「弱いｄアイソトピー」）を生成する。ハミルトニアンは、ある場合には追加の「リング交換項（ring exchange term）」を備える「拡張ハバード・モデル」である。例示モデルがそこで動作する格子と共に、パラメータ定義域（parameter domain）が記述される。例示的な格子は、カゴメ格子である。本明細書で説明する例示モデルは、量子情報処理に有用な、物質の相Ｖｄの構成に関する青写真としての役割を果たすことができる。本発明は、量子コンピュータへの位相幾何学的な経路を開く。
【００２８】
拡張ハバード・モデルは、ハミルトニアン（運動エネルギー＋ポテンシャル・エネルギー；kinetic + potential energy）を、個々の粒子位置（「オンサイト電位」）および対の位置（例えばクーロン斥力）に依存する、トンネル現象項（tunneling term）およびエネルギー・コストとして公式化する。この例示モデルに関して、リング交換項（ring exchange term）を追加することができ、これは、複数の粒子からなる大きなグループ（例えば４つの粒子のグループ）の集団回転をモデル化する。例示実施形態によれば、粒子がフェルミ粒子またはボース粒子である場合が別個に取り扱われる。粒子は、電子、クーパー対、中性原子、フォノン、または例えばチャージオンなどのよりエキゾチックな「電子の一部分（electron fractions）」にすることができる。例示実施形態ではスピンが考慮されておらず、したがって、粒子が電子に特殊化される場合、磁場内でスピンを固定させなければならず、あるいはレベルの超微細な分割を許容しなければならないことに留意されたい。さらに、これらの占有ベースのモデルを純粋にスピン・モデルとみなすことができるように形式変換が行われる場合があることに留意されたい。
【００２９】
カゴメ格子は、幾分か不可解な基底状態を有する高い「フラストレーション」のスピン・モデルをサポートするために、凝縮物質物理学（condensed matter physics）でよく知られている。カゴメ格子は、三角形格子のエッジの中心を使用して形成され、それに接続された三角形を有する複数の六角形に類似している。図２に示されるように、本明細書で使用される例示的なカゴメ格子は、それと区別されるサブ格子と共に図示される。
【００３０】
以下の式
【００３１】
【数１】
2006065854.tif 000003
【００３２】
によって与えられるハミルトニアンは、サイトｉでの占有数であり、μiは、対応する化学ポテンシャルである。Ｕ0は、通常のオンサイト・ハバード・エネルギーＵ0である（スピン・レス・フェルミ粒子では不必要）。Ｕは、同じ六角形上に２つの粒子を有するための（正の）クーロン・ペナルティであり、Ｖijは、２つの粒子が、「蝶ネクタイ」の対向するコーナ（すなわち、複数の直線のうちの１つ直線上で、２番目に近い隣接位置）を占有することに対するペナルティを表す。非一様性の可能性を考慮して、全てのＶijが等しく仮定されるわけではない。特に、ａはサイト（ｉ）の色であり、ｂは（ｊ）の色であり、ｃは、それらの間のサイトの色であるとして、Ｖcab＝Ｖijを定義する。図２の格子では、Ｖgbb、ｖbbb、ｖgbg、ｖbrb、およびｖbrg。のそれぞれを別個のものと考えられる。ここで、ｒ∈Ｒ、ｇ∈Ｇ、およびｂ∈Ｂ＝Ｋ／（Ｒ∪Ｇ）である。ｔijは、通常の最も近い隣接位置のトンネル振幅（tunnelling amplitude）であり、これも、環境の色のみに依存するように仮定される。すなわち、ｔij＝ｔcabであり、ここでｃは、三角形の第３のサイトの色を表す。「Ｒｉｎｇ」はリング交換項である。すなわち、いくつかの閉じた経路に沿って粒子を「シフト」する相関多粒子ホップ（correlated multi-particle hops）を可能にするように、その場限りでハミルトニアンに追加される追加の運動エネルギー項である。
【００３３】
オンサイト・ハバード・エネルギーＵ0は、問題における最大のエネルギーと考えられ、無限に設定され、それにより、未占有または単一占有のサイトを有する低エネルギー・マニホールドに対する配慮（attention）を制限する。エネルギーの残余は、以下の関係を満たす。Ｕ＞＞ｔij，Ｖij，μi。
【００３４】
この拡張ハバード・モデルの基底状態マニホールドに関して、摂動論（perturbation theory）では、式を２次に導出することができる。そのような式は、以下に与えられる。その解は、ｄアイソトピーと呼ばれる相の存在に関するハバード・モデル内部でのパラメータ・レイジームを記述する。技術的には、ｄアイソトピーを実現するために、点で描かれたカゴメのサブ格子が欠陥（defects）の系によって変えられることが望ましく、あるいは「リング交換項」が導入されることが望ましい。ベア・モデル（bare model）は、基底状態マニホールド「弱いｄアイソトピー」を生み出し、しかしこの区別は単に技術的なものである。「弱い」ｄアイソトピーと「通常の」ｄアイソトピーはどちらも、次のステップで同様に振る舞う。
【００３５】
Ｃ*多元環（C*-algebras）の理論から、「特別な」ｄ＝２ｃｏｓｐ／（ｋ＋２）に関して、ｄアイソトピーが特有の対称性を有し、この対称性は、破れた場合に、基底状態マニホールドの大規模な縮退を、（位相幾何および境界条件に依存する）単なる有限の縮退へと緩和することが知られている。さらに、この対称性が破れると、位相幾何学的な相Ｖｄが生じることが知られている。Ｖｄは、ユニバーサル量子コンピュータとして機能する。本発明によれば、大きな摂動領域（domain of perturbations）の下でこの対称性が破られる。すなわち、本発明によるハミルトニアンは、ｄアイソトピーに関する青写真であり、したがって摂動後は、ユニバーサル量子計算システムに関する青写真である。そのようなシステムは、量子計算の害となるデコヒーレンスに対するある程度の位相幾何学的な保護を有する。この保護の強度は、Ｖｄの上のスペクトル・ギャップの大きさに依存する。この量は、計算が困難であるが、任意の所与の注入のエネルギー・スケールとは境界を画すことができる量である。このスペクトル・ギャップが小さくなることを主張する（ＦＱＨＥに存在するような）アプリオリ・ベースは存在しない。
【００３６】
式は、まず、カゴメ幾何形状を有する占有モデルに関して解を与えるが、本発明は、ＳＵ（２）Ｃｈｅｒｎ−Ｓｉｍｏｎｓ理論（および、それらのＫａｕｆｆｍａｎ−Ｔｕｒａｅｖ−Ｖｉｒｏ）変形理論の量子二重（quantum double）の任意の物理的な実装にまで広がり、これは、「特別な」値でｄアイソトピーに固有の対称性を破ることによって進行する。そのような実装は、スピンまたは占有自由度を有する格子モデルに基づく場合があり、または場の理論に基づく場合がある。
【００３７】
生じる非可換位相幾何学的な相は、従来技術で説明されたｄｏｕｂｌｅｄ  ＳＵ（２）Ｃｈｅｒｎ−Ｓｉｍｏｎｓ理論に関係付けられる。これらの相は、トーラスＴ２での（ｋ＋１）2−ｈｏｌｄの基底状態縮退（ground state degeneracy）によって特徴付けられ、初期成分ｋ＝１としてＺ2ゲージ理論（gauge theory）の位相幾何学的な（非閉じ込め）相を収容するナチュラル・ファミリと考えるべきである。ｋ＝２では、励起は非可換である。ｋ＝３およびｋ＝５では、励起は、計算上は普遍的なものである。
【００３８】
そのような位相幾何学的な相の中に存在するために微小モデルが満足すべき条件を説明する。その低エネルギー・ヒルベルト空間を量子ループ・ガス（quantum loop gas）として記述することができる連続体モデル（continuum model ）の格子規則化（lattice regularization）としてそのような微小モデルを考えることは有用である。より正確には、状態が、非交差ループの集まりと定義される。そのような状態に作用するハミルトニアンは、以下のことを行うことができる。（ｉ）ループを連続的に変形することができる。この「移動（move）」はアイソトピー移動と呼ばれる。（ｉｉ）小さなループを作成する、または消滅させることができる。この移動とアイソトピー移動とを組み合わせた効果が「ｄアイソトピー」と呼ばれる。（ｉｉｉ）正確にｋ＋１個のストランドが、ある局所近傍内に集まったときに、ハミルトニアンは、それらを切り、結果として得られる「結ばれていない端部」を、新たに形成されるループが依然として非交差となるように、対にして再接続することができる。
【００３９】
より詳細には、このモデルが位相幾何学的な相の中に存在するためには、このハミルトニアンの基底状態を、以下の３つの追加要件を用いて、全てのそのようなピクチャの重ね合わせにすべきである。（ｉ）２つのピクチャを互いに連続的に変形することができる場合、それらが、同じ重みを有する基底状態重ね合わせに入る。（ｉｉ）追加のループを有するピクチャの振幅は、そのようなループを持たないピクチャの振幅のｄ倍である。（ｉｉｉ）この重ね合わせは、ｋ＋１個のストランドを再接続することによって局所的に働くＪｏｎｅｓ−Ｗｅｎｚｌ（ＪＷ）射影子の適用によって消滅される。本明細書で説明するように、これらの射影子の特定の形態は、非常に制約されたものであり、ｄ＝±２ｃｏｓｐ／（ｋ＋２）の特別な値に対してのみ非トリビアル・ヒルベルト空間をもたらすことに留意されたい。その基底状態マニホールド（ＧＳＭ）に関してｄアイソトピーを強制するハミルトニアンが構成される。
【００４０】
例示的なモデルは、図３に示されるカゴメ格子上で定義され、この格子は、図２に示されるものと類似する。この格子の各サイトは、完全には同じでなく、Ｒ（赤）およびＧ（緑）で表される２つのサブ格子が示されている。図３では、黒点および破線が、特別なサブ格子ＲおよびＧを有するカゴメ格子Ｋのサイト（sites）およびボンド（bonds）を表す。実線は、それを取り囲む三角形格子を定義する。
【００４１】
二量体カバーは、正確に１つの（すなわち、唯一の）エッジに合流するあらゆる頂点を表す。二量体カバーは、斥力によって物理的に（自然に）生じる。例えば、電子が互いに反発し合って、二量体カバーを形成する。
【００４２】
図示されるように、緑は、（上で定義した）完全合致であり、赤は、２次完全合致である。２つの完全合致は、色が交互に代わる（緑、赤、緑、赤、以下同様）マルチ・ループをもたらす。
【００４３】
緑二量体と赤二量体が同じエッジを覆うことが可能である。解決策は、それを長さ２（赤と緑。赤または緑の一方がわずかにずれ、したがって「平らな」ループであると仮定する）の非常に短いループとみなすことである。マルチ・ループは、これらの二量体を交互に代える。
【００４４】
例示量子計算モデルに関する符号化が望まれる。ループは、二量体に符号化され、規則は、例えば斥力またはトンネル現象など、粒子（例えば電子）の相互作用（interactions）に符号化される。ある状況では、電子が非常に近接するときに、システムが、基底状態から励起状態を通過し、基底状態に戻る。これは、２次摂動理論（second order perturbation theory ）で見られる仮想プロセスであり、ゆらぎを構成するために使用される。これ（ゆらぎ）は、変形を生み出す。
【００４５】
「アンドープ」システム（undoped system）は、６分の１の充填率（すなわち、Ｎｐ＝Σｉｎｉ＝Ｎ／６。ここでＮは、格子内のサイトの数）に対応する。このとき、最低エネルギー・バンドは、各六角形につき正確に１つの粒子が存在する構成からなり、したがって全てのＵ項がゼロに設定される。これらの状態は、そのサイトがＫ（ここで、Ｋは、Ｔを取り囲む格子である）の六角形の中心と一致する三角形格子Ｔが考慮される場合には、より簡単に視覚化される。このとき、Ｋ上の粒子は、Ｋの２つの隣接する六角形の中心をつなぐＴ上の二量体によって表される。
【００４６】
各六角形につき１つの粒子という条件は、サイトを共有する二量体が存在しないという要件に言い換えることができる。１／６充填の場合、この低エネルギー・マニホールドは、Ｔの全ての二量体カバリング（完全合致）の集合と一致する。Ｔの「赤」ボンド（サブ格子Ｒの各サイトに対応するもの）は、それ自体、１つのそのような二量体カバリング、いわゆる「千鳥配置（staggered configuration）」を形成する。この特定のカバリングは特別なものである。すなわち、これは、「反転可能プランケット（flippable plaquettes）」、すなわち二量体によって占有された２つの対向するサイトを有する菱形を含まない。隣接する六角形の中心をつなぐことによってＫから得られる三角形格子Ｔを示す図４を参照されたい。特別なサブ格子ＲおよびＧに対応するボンドは、それぞれ破線および点線で示されている。１つの赤い辺を有する三角形は網掛けで示されている。
【００４７】
したがって、粒子は、三角形格子のボンド上に位置し、二量体として表される。特に、粒子ホップは、端点の１つの回りで６０度だけ「旋回」する二量体に対応する。Ｖij＝Ｖcabは、ここで、菱形の２つの対向する側面上の２つの並列な二量体のポテンシャル・エネルギーであり、ｃは、菱形の短い対角線（diagonal）の色である。
【００４８】
三角形格子は２分割性（bipartite）でないことが望ましい。このモデルは、２分割性格子のエッジの上に、追加の望ましくない保存された量（ｋ＞２に関してＪＷ射影子と一致しない整数巻き数（integral winding））を有し、したがって三角形格子のエッジは、簡単な理解（realization）を与える。
【００４９】
Ｄでの単一のトンネル現象事象が、エネルギー・ペナルティＵを有する二量体「衝突（collisions）」（２つの二量体が端点を共有する）をもたらすので、トンネル現象プロセスが有効低エネルギー・ハミルトニアン（effective low-energy Hamiltonian）に寄与する最低次数は２である。この次数で、トンネル現象項は、２つの二量体の「プランケット・フリップ」をもたらし、二量体が旋回して、その位置から外れたり戻ったりすることによってベアのオンサイト・ポテンシャルの再正規化をもたらす。
【００５０】
好ましいバックグラウンド二量体化として、２つの対向する赤い辺を持つ小さな菱形を用いずに、図３に示されるようにＲを固定することによって、移動の小さな集合の下でのエルゴード性（ergodicity）と共に最少数の式が得られる。通常の場合と異なり、バックグラウンド二量体化Ｒは、単にそのeyeを左右するだけではなく、物理的に区別される。すなわち、異なる色のボンドでは、化学ポテンシャルおよびトンネル振幅が異なる。
【００５１】
適切な二量体カバリング状態を保存する例示的な基本の二量体移動には、プランケット・フリップ、三角形移動、および蝶ネクタイ移動が含まれる。プランケット（菱形）反転は、２つの格子三角形からなる菱形の周りでの２二量体移動である。「赤」ボンドが、そのような菱形の辺を形成するか、その対角線を形成するか、またはそこに全く存在しないかに応じて、プランケットは、それぞれタイプ１（または１’）、２、または３と呼ばれる（図５の格子図参照）。図５は、特別なサブ格子Ｒに対応する（破線で示される）赤カバリングを有する（太い黒線で示される）Ｔの二量体カバリングの重なりを示す。網掛けのプランケットは、本明細書で説明する様々な二量体移動に対応する。
【００５２】
タイプ１とタイプ１’の プランケットの区別は、純粋に方向性である。タイプ１の プランケットの対角線ボンドは水平であり、タイプ１’では水平でない。ハミルトニアンが三角形（またはカゴメ）格子の回転対称性をブレークするので、この区別が望まれる。三角形移動は、４つの基本三角形からなる三角形の周りでの３つの二量体の移動である。１つのそのような「反転可能な（flippable）」三角形が、図５で参照番号４を付されている。蝶ネクタイ移動は、６つの基本三角形からなる「蝶ネクタイ」の周りでの４つの二量体移動である。１つのそのような「反転可能な」蝶ネクタイ形が、図５で参照番号５を付されている。
【００５３】
上述した各移動を可能にするために、実際の二量体と未占有ボンドが、対応する形状の周りで交互に入れ替わることが望ましい。三角形移動と蝶ネクタイ形移動の両方に関して、それらの形成に最大可能数（それぞれ２および４）の「赤」ボンドが関与する場合が示されている。（最大で４つの非衝突二量体によって占有される）８未満の格子ボンドの赤／黒リングの交互入れ替えは存在しないことに留意されたい。リング移動は、赤二量体と黒二量体が交互に入れ替わるときにのみ生じる。図５で参照番号４を付された三角形は、それに関連付けられたリング項を有さず、参照番号５の蝶ネクタイはリング項を有する。
【００５４】
次に、前述の円滑な議論と、ＴからなるＪの二量体化に関係する菱形反転との対応関係を説明する。ここで、表面は、場合によっては周期的な境界条件を有する平坦な領域（例えばトーラス）である。ループの集まりは、Ｒ∪Ｊによって生成され、慣例では、Ｒ∩Ｊの二量体は長さ２のループまたはバイゴン（bigon）とみなされる。アイソトピーに関して、移動２は、Ｒ∪ＪからＲ∪Ｊ’へのアイソトピーであり、しかし単独ではほぼ何も行わない。タイプ２のみから大きな移動を構築することは不可能である。したがって、アイソトピー単独の良好な相似形が存在せず、ｄアイソトピーに直接向かうことが菱形反転の特性である。タイプ５および１（１’）の移動に関連付けられた以下の関係式が課せられる。
【００５５】
【数２】
2006065854.tif 000004
【００５６】
式（２ａ）に１から４個のループが通されるので、式（２ｂ）には０から１個のループが通される。
【００５７】
目標を指定すると、有効ハミルトニアン（effective Hamiltonian）
【００５８】
【数３】
2006065854.tif 000005
【００５９】
は、この移動によってつながれる２次元ベースの二量体構成における二量体移動に対応する２×２行列となる。二量体化Ｉ、Ｊ∈Ｄが、許可された移動によってつながれる場合、ΔIJ＝１であり、その他の場合にはΔIJ＝０である。
【００６０】
したがって、非対角プロセスに関しては、これらの２×２行列を特定すれば十分である。タイプ（１）〜（３）の移動について、行列は以下のように与えられる。
【００６１】
【数４】
2006065854.tif 000006
【００６２】
ここで、
【００６３】
【数５】
2006065854.tif 000007
【００６４】
は、「小さなループ」値ｄに合わせることができる。
【００６５】
これらの移動が小さなループの数を１つ変えるので、
【００６６】
【数６】
2006065854.tif 000008
【００６７】
が必要となる。タイプ２の移動はアイソトピー移動であるので、
【００６８】
【数７】
2006065854.tif 000009
【００６９】
となる。ｄ＞１を仮定すると、
【００７０】
【数８】
2006065854.tif 000010
【００７１】
である。これは、ｋ＞１で許されない２つのストランドの「手術（surgery）」を表すからである。一方、ｋ＝１については、
【００７２】
【数９】
2006065854.tif 000011
【００７３】
となる。レベルｋ＝１では、そのような手術によって変化した構成は、任意の基底状態ベクトルΨで同じ係数を有し、レベルｋ＞１では、そのような関係が課せられるべきでない。したがって、ｋ＞１では、行列関係式（３ａ〜３ｄ）が、モデルパラメータの式を生成する。すなわち、
【００７４】
【数１０】
2006065854.tif 000012
【００７５】
ハミルトニアンが、ベア・リング交換項（式（１）でのｒｉｎｇ）を有すると仮定する。いくつかの定数ｃ３、ｘ、ｙ＞０に関して、
【００７６】
【数１１】
2006065854.tif 000013
【００７７】
であり、長さ８の１つのループ（図５のタイプ５）と４つのバイゴンとの間のゆらぎとしてＲｉｎｇを考察することから得られる追加の式を考慮する。式（２ａ）からは、
【００７８】
【数１２】
2006065854.tif 000014
【００７９】
が、ｄアイソトピーによって特徴付けられる可解な点にモデルを置くための（式（４）を越える）追加の式である。式（５）から、
【００８０】
【数１３】
2006065854.tif 000015
【００８１】
の対角項は、おそらく最も自然な選択ではないことが明らかである（ただし、これらの項は、局所化学環境によって影響を受けることがあり、したがって等しい必要はないが）。別の可能性は、バイゴンがループとみなされるか否かの曖昧さを利用し、これは、ｘ＝ｙを選択できるようにする。
【００８２】
この構成は、追加のリング交換項を有する拡張ハバード・モデル（またはそれに相当する量子二量体モデル）を、そのＧＳＭとしてｄアイソトピー空間を有するように調整することができる方法を示す。ここで、特別な値へのさらなる調整により、ＪＷ射影子は、このマニホールドを、このｄ値に関連付けられた特有の位相幾何学的な相に対応する適切な基底状態に変えることができるようになる。ユニバーサル量子コンピュータのための単純な候補は、ｄ＝（１＋ｓｑｒｔ５）／２に合わせられる。
【００８３】
例示実施形態を三角形格子に関して説明してきたが、本発明に従って正方形または六角形格子など他の格子を使用することもできることが企図されている。さらに、不規則格子の使用も企図されている。
【００８４】
例示的な計算環境
図６に、本発明を実施することができる適切な計算システム環境１００の一例を示す。計算システム環境１００は、適切な計算環境の単なる一例であり、本発明の使用または機能の範囲に関する限定を示唆する意図のものではない。計算環境１００は、例示計算環境１００に例示される構成要素の任意の１つまたは組合せに関係する依存性または要件を持たないものと解釈すべきである。
【００８５】
本発明は、いくつかの他の汎用または専用計算システム環境または構成で動作可能である。本発明と共に使用するのに適したよく知られている計算システム、環境、および／または構成の例には、パーソナル・コンピュータ、サーバ・コンピュータ、ハンドヘルドまたはラップトップ・デバイス、マルチ・プロセッサ・システム、マイクロ・プロセッサ・ベースのシステム、セットトップボックス、プログラム可能コンシューマ電子機器、ネットワークＰＣ、ミニ・コンピュータ、メインフレーム・コンピュータ、任意の上述したシステムまたはデバイスを含む分散計算環境などが含まれ、しかしそれらに限定されない。
【００８６】
本発明は、コンピュータによって実行されるプログラム・モジュールなどコンピュータ実行可能命令の一般的な文脈で説明することができる。一般に、プログラム・モジュールは、ルーチン、プログラム、オブジェクト、コンポーネント、データ構造などを含み、それらが、特定のタスクを実施し、または特定の抽象データタイプを実装する。また、本発明は、通信ネットワークまたは他のデータ伝送媒体を介してリンクされたリモート処理デバイスによってタスクが行われる分散計算環境で実施することもできる。分散計算環境では、プログラム・モジュールおよび他のデータは、メモリ記憶デバイスを含む局所の、かつ遠隔のコンピュータ記憶媒体に位置される場合がある。
【００８７】
図６を参照すると、本発明を実施するための例示システムは、コンピュータ１１０の形での汎用計算デバイスを含む。コンピュータ１１０の構成要素には、処理ユニット１２０と、システム・メモリ１３０と、システム・メモリを含む様々なシステム構成要素を処理ユニット１２０に結合するシステム・バス１２１とが含まれる場合があり、しかしそれらに限定されない。システム・バス１２１は、メモリ・バスまたはメモリ制御装置と、周辺バスと、多様なバス・アーキテクチャのうちの任意のものを使用するローカル・バスとを含むいくつかのタイプのバス構造のうちの任意のものにすることができる。限定ではなく例として、そのようなアーキテクチャには、ＩＳＡ（業界標準アーキテクチャ）バス、ＭＣＡ（マイクロ・チャネル・アーキテクチャ）バス、ＥＩＳＡ（拡張ＩＳＡ）バス、ＶＥＳＡ（ビデオ・エレクトロニクス規格協会）ローカル・バス、およびＰＣＩ（周辺コンポーネント相互接続）バス（メザニン（Mezzanine）バスとも呼ばれる）が含まれる。
【００８８】
コンピュータ１１０は、典型的には、様々なコンピュータ可読媒体を含む。コンピュータ可読媒体は、コンピュータ１１０がアクセスできる任意の入手可能な媒体にすることができ、揮発性および不揮発性媒体、リムーバブルおよび非リムーバブル媒体を含む。限定ではなく例として、コンピュータ可読媒体は、コンピュータ記憶媒体および通信媒体を備える場合がある。コンピュータ記憶媒体は、コンピュータ可読命令、データ構造、プログラム・モジュール、または他のデータなど情報を記憶するための任意の方法または技術で実装される揮発性および不揮発性、リムーバブルおよび非リムーバブルの媒体を含む。コンピュータ記憶媒体には、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、フラッシュ・メモリ、または他のメモリ技術、ＣＤ−ＲＯＭ、デジタル・ヴァーサタイル・ディスク（ＤＶＤ）、または他の光ディスク記憶装置、磁気カセット、磁気テープ、磁気ディスク記憶装置、または他の磁気記憶デバイス、あるいは所望の情報を記憶するために使用することができ、かつコンピュータ１１０がアクセスできる任意の他の媒体が含まれ、しかしそれらに限定されない。通信媒体は、通常、搬送波などのモジュール化データ信号または他の転送機構の形で、コンピュータ可読命令、データ構造、プログラム・モジュール、または他のデータを具現化し、任意の情報配信媒体を含む。用語「モジュール化データ信号」は、情報を信号に符号化するように設定または変更された１つまたは複数の特性を有する信号を意味する。限定ではなく例として、通信媒体は、有線ネットワークまたは直接有線接続などの有線媒体と、音響、ＲＦ、赤外、および他の無線媒体などの無線媒体とを含む。任意の上述した機構の組合せも、コンピュータ可読媒体の範囲に含まれる。
【００８９】
システム・メモリ１３０は、ＲＯＭ１３１およびＲＡＭ１３２など揮発性および／または不揮発性メモリの形でのコンピュータ記憶媒体を含む。通常、起動中などにコンピュータ１１０内部の要素間で情報を転送するのを助ける基本ルーチンを含むＢＩＯＳ（basic input/output system）１３３が、ＲＯＭ１３１に記憶される。ＲＡＭ１３２は、通常、データおよび／またはプログラム・モジュールを含み、これは、処理ユニット１２０によって即時にアクセス可能であり、かつ／または現在では処理ユニット１２０上で動作する。限定ではなく例として、図６に、オペレーティング・システム１３４と、アプリケーション・プログラム１３５と、他のプログラム・モジュール１３６と、プログラム・データ１３７とを示す。
【００９０】
コンピュータ１１０は、他のリムーバブル／非リムーバブル、揮発性／不揮発性コンピュータ記憶媒体を含むこともできる。単に例として、図６に、非リムーバブル不揮発性磁気媒体から読み取る、またはそこに書き込むハードディスク・ドライブ１４０と、リムーバブル不揮発性磁気ディスク１５２から読み取る、またはそこに書き込む磁気ディスク・ドライブ１５１と、ＣＤ−ＲＯＭまたは他の光媒体などリムーバブル不揮発性光ディスク１５６から読み取る、またはそこに書き込む光ディスク・ドライブ１５５とを示す。例示動作環境で使用することができる他のリムーバブル／非リムーバブル、揮発性／不揮発性コンピュータ記憶媒体には、磁気テープ・カセット、フラッシュ・メモリ・カード、デジタル・ヴァーサタイル・ディスク、デジタル・ビデオ・テープ、固体ＲＡＭ、固体ＲＯＭなどが含まれ、しかしそれらに限定されない。ハードディスク・ドライブ１４１は、通常、インターフェース１４０などの非リムーバブル・メモリ・インターフェースを介してシステム・バス１２１に接続され、磁気ディスク・ドライブ１５１および光ディスク・ドライブ１５５は、通常、インターフェース１５０などのリムーバブル・メモリ・インターフェースによってシステム・バス１２１に接続される。
【００９１】
ドライブおよびそれに関連付けられたコンピュータ記憶媒体が、コンピュータ１１０のためのコンピュータ可読命令、データ構造、プログラム・モジュール、および他のデータの記憶を提供する。例えば、図６で、ハードディスク・ドライブ１４１は、オペレーティング・システム１４４、アプリケーション・プログラム１４５、他のプログラム・モジュール１４６、およびプログラム・データ１４７を記憶しているものとして例示されている。これらの構成要素は、オペレーティング・システム１３４、アプリケーション・プログラム１３５、他のプログラム・モジュール１３６、およびプログラム・データ１３７と同じであっても、別のものであってもよいことに留意されたい。オペレーティング・システム１４４、アプリケーション・プログラム１４５、他のプログラム・モジュール１４６、およびプログラム・データ１４７は、ここでは異なる番号を与えられており、最低限、それらが異なるコピーであることを示す。ユーザは、キーボード１６２や、一般にはマウス、トラックボール、またはタッチパッドと呼ばれるポインティン・グデバイス１６１などの入力デバイスによってコンピュータ１１０にコマンドおよび情報を入力することができる。他の入力デバイス（図示せず）には、マイクロホン、ジョイスティック、ゲーム・パッド、サテライト・ディッシュ、スキャナなどが含まれる場合がある。これらおよびその他の入力デバイスは、多くの場合、システム・バスに結合されたユーザ入力インターフェース１６０を介して処理ユニット１２０に接続され、しかし、パラレル・ポート、ゲーム・ポート、またはユニバーサル・シリアル・バス（ＵＳＢ）など他のインターフェースおよびバス構造によって接続することもできる。また、モニタ１９１または他のタイプの表示装置が、ビデオ・インターフェース１９０などのインターフェースを介してシステム・バス１２１に接続される。モニタに加えて、コンピュータは、スピーカ１９７やプリンタ１９６など他の周辺出力デバイスも含むことができ、これらは、出力周辺インターフェース１９５を介して接続することができる。
【００９２】
コンピュータ１１０は、リモート・コンピュータ１８０など１つまたは複数のリモート・コンピュータへの論理接続を使用するネットワーク化環境内で動作することができる。リモート・コンピュータ１８０は、パーソナル・コンピュータ、サーバ、ルータ、ネットワークＰＣ、ピア・デバイス、または他の一般的なネットワーク・ノードであってよく、図６にはメモリ記憶デバイス１８１のみが示されているが、通常は、コンピュータ１１０に関係する上述した要素の多くまたは全てを含む。図示した論理接続は、ＬＡＮ１７１およびＷＡＮ１７３を含み、しかし他のネットワークを含むこともできる。そのようなネットワーキング環境は、オフィス、エンタープライズ・ワイド・コンピュータ・ネットワーク、イントラネット、およびインターネットで一般的なものである。
【００９３】
ＬＡＮネットワーキング環境で使用されるとき、コンピュータ１１０は、ネットワーク・インターフェースまたはアダプタ１７０を介してＬＡＮ１７１に接続される。ＷＡＮネットワーキング環境で使用されるとき、コンピュータ１１０は通常、モデム１７２、またはインターネットなどＷＡＮ１７３にわたる通信を確立するための他の手段を含む。内部または外部のものにすることができるモデム１７２は、ユーザ入力インターフェース１６０または他の適切な機構によってシステム・バス１２１に接続することができる。ネットワーク化環境では、コンピュータ１１０またはその一部に関係する図示したプログラム・モジュールは、リモート・メモリ記憶デバイスに記憶することができる。限定ではなく例として、図６に、メモリ・デバイス１８１に常駐するリモート・アプリケーション・プログラム１８５を示す。図示したネットワーク接続は例示的なものであり、コンピュータ間の通信リンクを確立する他の手段を使用することもできることを理解されたい。
【００９４】
上述したように、本発明の例示実施形態を様々な計算デバイスに関連付けて説明してきたが、その基本概念は、任意の計算デバイスまたはシステムに適用することができる。
【００９５】
本明細書で説明した様々な技法は、ハードウェアまたはソフトウェア、あるいは妥当であればその両方の組合せに関連付けて実装することができる。したがって、本発明の方法および装置、またはそのいくつかの態様もしくは一部分は、フロッピー（登録商標）ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、ハード・ドライブ、または任意の他の機械可読記憶媒体など有形の媒体で具体化されるプログラム・コード（すなわち命令）の形を取ることができ、プログラム・コードがコンピュータなどの機械にロードされ、その機械によって実行されるとき、その機械は、本発明を実施するための装置となる。プログラマブル・コンピュータ上でのプログラム・コード実行の場合、計算デバイスは、通常、プロセッサと、プロセッサによって可読な記憶媒体（揮発性および不揮発性メモリおよび／または記憶要素を含む）と、少なくとも１つの入力デバイスと、少なくとも１つの出力デバイスとを含む。プログラムは、望みであれば、アセンブリまたは機械言語の形で実装することができる。いずれにせよ、言語は、コンパイルされた言語、または解釈される言語にすることができ、ハードウェア実装と組み合わされる。
【００９６】
また、本発明の方法および装置は、何らかの伝送媒体を介して、例えば電気配線またはケーブル布線を介して、光ファイバを介して、または任意の他の伝送形態を介して伝送されるプログラム・コードの形で具体化される通信によって実施することもでき、プログラム・コードが、ＥＰＲＯＭ、ゲートアレイ、プログラマブル論理デバイス（ＰＬＤ）、クライアント・コンピュータなどの機械によって受信され、そこにロードされ、その機械によって実行されるとき、その機械は、本発明を実施するための装置となる。汎用プロセッサ上に実装されるとき、プログラム・コードは、プロセッサと組み合わさって、本発明の機能を呼び出すように動作する特有の装置を提供する。さらに、本発明に関連付けて使用される任意の記憶技法は、常に、ハードウェアとソフトウェアの組合せにすることができる。
【００９７】
本発明を、様々な図の好ましい実施形態に関連付けて説明してきたが、本発明の同じ機能を実施するために、本発明から逸脱することなく、他の同様の実施形態を使用することができ、あるいは説明した実施形態に修正および追加を施すことができることを理解されたい。したがって、本発明は、任意の単一の実施形態に限定されず、頭書の特許請求の範囲に従って外延および範囲を解釈すべきである。
【図面の簡単な説明】
【００９８】
【図１Ａ】アイソトピーを説明するのに有用な図である。
【図１Ｂ】アイソトピーを説明するのに有用な図である。
【図１Ｃ】アイソトピーを説明するのに有用な図である。
【図２】本発明による例示的なカゴメ格子の図である。
【図３】本発明による例示的なカゴメ格子の図である。
【図４】本発明の態様を説明するのに有用な例示的な格子の図である。
【図５】本発明による二量体移動を説明するのに有用な例示的な格子の図である。
【図６】本発明の態様を実施することができる例示的な計算環境を示すブロック図である。
【符号の説明】
【００９９】
１００  計算環境
１２０  処理ユニット
１２１  システム・バス
１３４  オペレーティング・システム
１３５  アプリケーション・プログラム
１３６  他のプログラム・モジュール
１３７  プログラム・データ
１４０  非リムーバブル不揮発性メモリ・インターフェース
１４４  オペレーティング・システム
１４５  アプリケーション・プログラム
１４６  他のプログラム・モジュール
１４７  プログラム・データ
１５０  リムーバブル不揮発性メモリ・インターフェース
１６０  ユーザ入力インターフェース
１６１  マウス
１６２  キーボード
１７０  ネットワーク・インターフェース
１７１  ローカル・エリア・ネットワーク
１７２  モデム
１７３  広域ネットワーク
１８０  リモート・コンピュータ
１８５  リモート・アプリケーション・プログラム
１９０  ビデオ・インターフェース
１９１  モニタ
１９５  出力周辺インターフェース
１９６  プリンタ
１９７  スピーカ
【図１Ａ】
2006065854.tif 000016
【図１Ｂ】
2006065854.tif 000017
【図１Ｃ】
2006065854.tif 000018
【図２】
2006065854.tif 000019
【図３】
2006065854.tif 000020
【図４】
2006065854.tif 000021
【図５】
2006065854.tif 000022
【図６】
2006065854.tif 000023
【外国語明細書】
2006065854000001.pdf