(57)【要約】【課題】  光学設計に必要な計算時間を短縮することを可能とする。【解決手段】  光学系による収差を、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)で微分してその変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、微分した変化率を、光学系を構成するパラメータが微小変動することによるGauss像面の変動の変化率で補正することを特徴とする光学系の設計方法。【選択図】  図２
2006350759.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
光学系による収差を、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)で微分してその変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、微分した変化率を、光学系を構成するパラメータが微小変動することによるGauss像面の変動の変化率で補正することを特徴とする光学系の設計方法。
【請求項２】
光学系による非点収差の、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)による変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系の非点収差のパラメータによる変化率を、非点収差の光線追跡式を微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法。
【請求項３】
光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより、非点収差を求めることを特徴とする光学系の設計方法。
【請求項４】
光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより非点収差を求め、光学系を構成するパラメータによる変化率を、この非点収差の式をパラメータで微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、半導体露光装置、液晶露光装置、カメラ、顕微鏡など、あらゆる光学分野に使用される光学系の設計方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来の光学系は、光軸上に屈折光学素子または、反射光学素子または、それらを複数枚組み合わせたもので構成され、それらの光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)を最適に設計することで収差を補正し、所望の性能を得ていた。
【０００３】
最適なパラメータ値を求めるために、現設計時点での収差値と、その設計値のパラメータをわずかに変化した場合の収差の変化率を求め、それらの値から、最小二乗法または減衰最小二乗法（DLS法）によりもっと良い設計解を得ていた。しかし、収差値は、パラメータ値に対して極めて非線形なために、最小二乗法または減衰最小二乗法による最適値を一回で求められることは稀で、何回も繰り返して計算することにより、所望の性能を得ていた。又、どのような光学系をどのような光学素子で構成するかは、かなりの試行錯誤を必要とし、結果的に光学系の設計には、かなりの計算時間を必要としていた。
【０００４】
ところが、レンズデータの各面間の光線移動式と屈折式を、光線通過位置や、光線の方向余弦で微分して記憶させることにより、パラメータによる微分が可能であることがFederにより示された(J. Opt. Soc. Am. 58, 1494 (1968)、非特許文献１参照)。これによれば、収差のパラメータによる変化率の計算は著しく速くなり、光学系設計全体にかかる時間の大幅な短縮が可能となる。
【０００５】
【非特許文献１】J. Opt. Soc. Am. 58, 1494 (1968)
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかしながら、非特許文献１には、パラメータを微小変化させたことによる近軸的なGauss像面の移動による収差の変動や、非点収差のパラメータによる変化率を微分で求める方法は示されていない。そこで、本発明は、光学系の設計に必要なこれらの量を微分で求める方法を提供することを課題としている。
【０００７】
また、光軸が偏芯することなどにより、光軸に関して回転非対称な光学系では、非点収差の光線追跡式は使えず、光学系に入射する主光線と、主光線から光学系に入射する角度を微小変化させた光線が像面付近で交差する交点位置から非点収差を計算していた。しかし、この計算方法では、高精度な非点収差位置を求めるためには角度をかなり微小変化しなければならないが、あまり微小であると桁落ちによる計算精度の劣化の問題があった。さらにそれをパラメータで微分するとさらに、計算精度上の問題があった。そこで、本発明は、像面付近で交差する交点位置を、主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分する方法により、この問題を解決することを課題としている。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
前記課題を解決するための第１の手段は、光学系による収差を、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)で微分してその変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、微分した変化率を、光学系を構成するパラメータが微小変動することによるGauss像面の変動の変化率で補正することを特徴とする光学系の設計方法である。
【０００９】
前記課題を解決するための第２の手段は、光学系による非点収差の、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)による変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系の非点収差のパラメータによる変化率を、非点収差の光線追跡式を微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法である。
【００１０】
前記課題を解決するための第３の手段は、光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより、非点収差を求めることを特徴とする光学系の設計方法である。
【００１１】
前記課題を解決するための第４の手段は、光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより非点収差を求め、光学系を構成するパラメータによる変化率を、この非点収差の式をパラメータで微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法である。
【発明の効果】
【００１２】
本発明の光学系の設計方法により、光学系の設計に必要な近軸的なGauss像面の移動による収差の変動や、非点収差のパラメータによる変化率を微分で求めることが可能となり、光学設計に必要な計算時間を短縮することが可能となる（第１の手段）。また、光軸に関して非対称な光学系でも非点収差を正確に計算することが可能となる（第３の手段）。さらにこの計算式をパラメータで微分することにより、光軸に関して非対称な光学系でも、光学設計に必要な計算時間が大幅に短縮することが可能となる（第２の手段、第３の手段）。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１３】
先ず、パラメータを微小変化させたことによる近軸的なGauss像面の移動による収差の変動を計算するためには、近軸光線追跡式のパラメータによる微分を計算する必要がある。その方法が理解し易いように、最初に非特許文献１に記載されたFederによる方法を紹介する。
【００１４】
光学系の光軸をｘ軸、子午線軸をｚ軸とし、レンズの第(i-1)面から第i面までを光線が通過するときの光線追跡式について考える。なお、本明細書においては、文章中でベクトル記号を使用するとイメージデータを使用しなければならなくなり煩雑になるので、ベクトルの場合、その前にベクトルである旨を明示して代用することにする。式の中では、ベクトルを太文字で表す。又、行列は文章中では[  ]で示すものとし、式中では太文字で表す。
【００１５】
(i-1)面及びi面の光線通過点を、それぞれ、(i-1)面及びi面の光線の方向余弦を、それぞれ、（Ｘｉ−１，Ｙｉ−１，Ｚｉ−１）、（Ｘｉ，Ｙ１，Ｚ）とする。
【００１６】
光線が通過する面の形状及び、方向余弦の関係式より、ｘｉは ｙｉ，ｚｉより、Ｘｉは、 Ｙｉ、Ｚｉより求められる。
ここで、(i-1)面からi面までの移動の式を、
【００１７】
【数１】
2006350759.tif 000003
ｉ面での屈折の式（または反射の式）を、
【００１８】
【数２】
2006350759.tif 000004
とする。そして、(1-1)式,(1-2)式をparameter：ｐで微分する場合のベクトルＹｉ、ベクトルＹｉ’を以下のように定義する。
【００１９】
【数３】
2006350759.tif 000005
すると、ベクトルＹｉ、ベクトルＹｉ'の微分は、次のようにベクトルＹｉ−１、ベクトルＹｉ−１'の微分で表わされる。
【００２０】
【数４】
2006350759.tif 000006
ただし、
【００２１】
【数５】
2006350759.tif 000007
となる。
【００２２】
次に像面を(F+1)面とし、[ＣＦ＋１]を単位行列とし、[ＣＦ’]＝[ＣＦ＋１][ＴＦ＋１]、[ＣＦ]＝[ＣＦ’][ＲＦ]、…、[Ｃｉ’]＝[Ｃｉ＋１][Ｔｉ]、[Ｃｉ]＝[Ｃｉ’][Ｒｉ]  …(1-11)
とする。          ｐをｉ面でのパラメータとすると、pがシフトしても、ｉ面以前には光線追跡に影響を及ぼさない。つまり１≦ｊ≦ｉ−１のとき、
【００２３】
【数６】
2006350759.tif 000008
ゆえに、
【００２４】
【数７】
2006350759.tif 000009
（1-11）より（1-13）は、
【００２５】
【数８】
2006350759.tif 000010
pがi面での曲率半径ｒｉまたは非球面係数Ｃｉｎならば、
【００２６】
【数９】
2006350759.tif 000011
以外はゼロになる。従って（1-14）式は、
【００２７】
【数１０】
2006350759.tif 000012
pが（i−１）面とi面での間隔Ｄｉ−１ならば、
【００２８】
【数１１】
2006350759.tif 000013
以外はゼロになる。従って（1-14）式は        
【００２９】
【数１２】
2006350759.tif 000014
となる。このように、parameterに依存しない微分行列をあらかじめまとめて記憶しておいて計算することにより、計算時間の節約が可能になる。以上がFederによる方法の概略である。
【００３０】
次に(1-7)〜(1-10)で表わされるような各偏微分要素について、非球面非偏心の光線追跡式の場合に対して示しておく。
先ず、ｘｉはi面での曲率半径および非球面係数により、
【００３１】
【数１３】
2006350759.tif 000015
となる。ただし、
【００３２】
【数１４】
2006350759.tif 000016
である。従って、
【００３３】
【数１５】
2006350759.tif 000017
となり、
【００３４】
【数１６】
2006350759.tif 000018
と置くと、
【００３５】
【数１７】
2006350759.tif 000019
となる。また、
【００３６】
【数１８】
2006350759.tif 000020
とする。これらを用いて、移動式の微分要素を表わすと、
【００３７】
【数１９】
2006350759.tif 000021
となる。移動式のパラメータによる微分は、パラメータが曲率半径ｒｉの場合、
【００３８】
【数２０】
2006350759.tif 000022
2006350759.tif 000023
【００３９】
【数２１】
2006350759.tif 000024
となる。パラメータが曲率半径ｒｉ−１の場合、
【００４０】
【数２２】
2006350759.tif 000025
となり、パラメータが非球面係数の場合
【００４１】
【数２３】
2006350759.tif 000026
となる。またパラメータが間隔Ｄｉ−１の場合、
【００４２】
【数２４】
2006350759.tif 000027
となる。
次に屈折式の微分要素を示す。光線と屈折面の交点での屈折面の法線の方向余弦を（αｉ、βｉ、γｉ）とすると、
【００４３】
【数２５】
2006350759.tif 000028
となる。従って、
【００４４】
【数２６】
2006350759.tif 000029
となる。ただし、
【００４５】
【数２７】
2006350759.tif 000030
で与えられる。同様にして、
【００４６】
【数２８】
2006350759.tif 000031
となる。次に、入射光線ベクトルと屈折面の法線の内積をＩｉ、出射光線ベクトルと屈折面の法線の内積をＩ’ｉ
とすると、
【００４７】
【数２９】
2006350759.tif 000032
となり、屈折式は、
【００４８】
【数３０】
2006350759.tif 000033
となる。これらのｙｉによる微分は、
【００４９】
【数３１】
2006350759.tif 000034
となる。同様にして、
【００５０】
【数３２】
2006350759.tif 000035
また、方向余弦による微分は、
【００５１】
【数３３】
2006350759.tif 000036
となる。さらに、
【００５２】
【数３４】
2006350759.tif 000037
と書き換えることができるので、
【００５３】
【数３５】
2006350759.tif 000038
となり、屈折式のパラメータによる微分は、
【００５４】
【数３６】
2006350759.tif 000039
2006350759.tif 000040
【００５５】
【数３７】
2006350759.tif 000041
2006350759.tif 000042
【００５６】
【数３８】
2006350759.tif 000043
となる。
【００５７】
次に、課題を解決するための第１の手段の実施の形態である計算方法について説明する。そのために、最初に、近軸光線追跡式のパラメータによる微分を計算する方法を説明する。ここでいう近軸光線追跡式とは、次のようなものである。すなわち、ｉ面と光線の交点の近軸的な位置をｈｉ，ｉ面での光線の光軸となす角をαｉとすると、
【００５８】
【数３９】
2006350759.tif 000044
ただし、最終面Ｉ＝Ｆでは(２-２)を計算しない。そして、最終面では、光学系の倍率βが指定されている場合、αＦを(２-１)の代わりに、
αＦ＝α０／β  …(2-3)
とする。ただし、α０は最初の面に入射する前の近軸的な光線と光軸のなす角度である。
また、光学系の倍率が指定されていない場合、(2-3)を計算しない。
【００５９】
次にGauss像面の位置ｄＦを、光学系の倍率βが指定されていてもいなくても、
ｄＦ＝ｈＦ／αＦ  …(2-4)
と計算する。次に光学系の倍率βが指定されていない場合のみ、近軸倍率βを
β＝α０／αＦ  …(2-5)
と計算する。なお光学系の倍率βが指定されている場合、最終面のレンズの曲率半径を
【００６０】
【数４０】
2006350759.tif 000045
と計算する。
次に、近軸光線追跡の微分について説明する。
αｉ, hｉ＋ｈのパラメータｐによる微分のベクトルを、
【００６１】
【数４１】
2006350759.tif 000046
とする。ただし、最終面では、(２-２)を計算しないので、
【００６２】
【数４２】
2006350759.tif 000047
と定義する。すると、漸化式
【００６３】
【数４３】
2006350759.tif 000048
が成立する。ただし[Ｇｉ]は次のような２行２列の微分行列である。
【００６４】
【数４４】
2006350759.tif 000049
ただし、最終面では、
【００６５】
【数４５】
2006350759.tif 000050
となる。パラメータｐが、ｉ面の曲率半径ｒｉまたは、間隔ｄｉとすると、ｐがシフトしても、ｉ面以前の近軸光線追跡式には影響を及ぼさないので、
【００６６】
【数４６】
2006350759.tif 000051
となり、また、近軸光線追跡式においては、
【００６７】
【数４７】
2006350759.tif 000052
となるので、
【００６８】
【数４８】
2006350759.tif 000053
となる。(2-15)より、ｄαＦ／ｄｐ、ｄｈＦ／ｄｐが求められると、光学系の倍率が指定されていない場合、(2-3),(2-4)より、Gauss像面のパラメータによる変化率ｄαＦ／ｄｐ、近軸倍率のパラメータによる変化率ｄβ／ｄｐが
【００６９】
【数４９】
2006350759.tif 000054
として求められる。また、光学系の倍率が指定されている場合、(2-3)より、αＦはパラメータにより変動せず、そして、最終面の曲率半径を変動させて、倍率を一定に保持するので、
【００７０】
【数５０】
2006350759.tif 000055
となる。次に、個々の偏微分要素を近軸光線追跡式(2-1),(2-2)から求める。先ず、(2-12)の要素は、(2-1),(2-2)より、
【００７１】
【数５１】
2006350759.tif 000056
となる。次に
【００７２】
【数５２】
2006350759.tif 000057
の要素を求める。先ず、ｐがi面の曲率半径ｒｉの場合、
【００７３】
【数５３】
2006350759.tif 000058
次にｐがi面と(i-1)面の間隔Ｄｉの場合、
【００７４】
【数５４】
2006350759.tif 000059
次に、ｐがi面の２次の非球面係数Ｃｉ１の場合、
【００７５】
【数５５】
2006350759.tif 000060
以上のようにして、近軸光線式のパラメータによる微分が求められる。
【００７６】
次にFederによる方法で求められた横収差のパラメータによる微分をもとに、Gauss像面の移動による収差の変動を微分で補正する方法について示す。図１において、現在のレンズデータによって、光線ＡＢが最終面ＦからGauss像面に向けて進行したとする。Gauss像面の光軸での位置は最終面ＦからＤＦの距離にあり、Gauss像面での光線到達位置は、光軸からＧＢ＝ｙＦ＋１の距離にある。パラメータｐが微小変動したことによる光線がＡ’Ｂ’とする。一方、パラメータｐが変動したことにより、Gauss像面位置がＤＦからＤＦ＋１’に移動する。すると光線は延長して、Ａ’Ｃ’となる。パラメータｐによる収差変動量は、ＢＢ’＝ΔｙＦでは無くて，Ｂから光軸に平行に引いて移動したGauss像面との交点Ｃ０により、Ｃ０Ｃ’＝ΔｙＦ’となる。図１より明らかなように、ＢＢ’とＣＣ’はほぼ等しく、Federの方法によりskew光線追跡式を微分して求めたｄｙＦ／ｄｐ、ｄｙＦ／ｄＤＦと、近軸光線追跡式を微分して求めたｄＤＦ／ｄｐにより、
【００７７】
【数５６】
2006350759.tif 000061
であるので、
【００７８】
【数５７】
2006350759.tif 000062
となり、パラメータｐが微小変動したことによりGauss像面位置が移動したことによる補正された収差のパラメータによる微分は、
【００７９】
【数５８】
2006350759.tif 000063
となり、同様にして、
2006350759.tif 000064
となる。近軸光線追跡式の微分とSkew光線追跡式の微分とを区別する目安は、前者が最終面の間隔や曲率半径といったパラメータをパラメータで微分するのに対し、後者は像高や光線の方向余弦をパラメータで微分する量であるということである。
【００８０】
なお光学系の倍率βが指定されている場合、パラメータｐが変動すると、最終面のレンズの曲率半径が(2-6),(2-7)により変動するので、補正された収差のパラメータによる微分は、Federの方法によりskew光線追跡式を微分して求めたｄｙＦ／ｄｒＦと、近軸光線追跡式を微分して求めたｄｒＦ／ｄｐにより、(2-33),(2-34)の式にさらに加えて、
【００８１】
【数５９】
2006350759.tif 000065
となる。
【００８２】
以上のように、近軸光線追跡とその微分から、収差のパラメータによる微分をパラメータによるGauss像面の移動分だけ補正するまでのアルゴリズムを図２に示す。図２において、先ず演算処理Ｓ１により(2-1),(2-2)のような近軸光線追跡をし、光線追跡の各面毎に演算処理Ｓ２により(2-20)〜(2-29)のような近軸微分要素を計算し、(2-8),(2-9),(2-11),(2-12)のような形にまとめる。近軸光線追跡が最終面まで終わると、演算処理Ｓ３により(2-3)〜(2-7)のように近軸量を計算し、演算処理Ｓ４により(2-15)のような近軸のパラメータｐｉによる微分を計算する。次に、skew計算のスケジュールに従って演算処理Ｓ５によりskew光線追跡をし、光線追跡の各面毎に演算処理Ｓ６により(1-17)〜(1-85)のようなskew微分要素を計算する。Skew光線追跡が最後まで終わると、演算処理Ｓ７により(1-11)のようにskew微分行列を計算し、演算処理Ｓ８により(1-15)，(1-16)のように収差のパラメータpiによる微分を計算する。最後に収差のパラメータによる微分と近軸微分量から、演算処理Ｓ９により(2-33)〜(2-36)のようなGauss像面移動による補正をする。Skew光線追跡のスケジュールが全て終われば、収差のパラメータによる微分の計算を終了する。
【００８３】
次に、課題を解決する第２の手段の実施の形態である、非点収差のパラメータによる変化率を微分で求める方法を説明する。主光線がｉ面によって屈折するとき、主光線とｉ面の交点と、メリジオナル（子午的）結像位置との距離をＭｉ，サジタル結像位置との交点をＳｉとし、（i-1）面からｉ面までの光線の長さをＷｉとし、ｉ面に入射する光線と、ｉ面との交点でｉ面との法線とのなす角の余弦をＩ，その法線とｉ面より屈折する光線光線のなす角の余弦をＩ’とし、交点でのメリジオナル的、およびサジタル的曲率半径の逆数をそれぞれ、ρＭおよびρＳとすると、
【００８４】
【数６０】
2006350759.tif 000066
2006350759.tif 000067
【００８５】
【数６１】
2006350759.tif 000068
となる。（3-1）および（3-2）を変形すると、
【００８６】
【数６２】
2006350759.tif 000069
となる。ただし、
Ｊｉ＝ｎｉＩ’−ｎｉ−１Ｉ  …（3-6）
である。従って、parameterｐｉがｉ面の曲率半径や非球面係数であるとき、または、(i-1)面の間隔Ｄｉ−１であるとき、ｐｉを変化させても、(i-1)面以前の光線追跡には影響を及ぼさず、(i-1)面からｉ面までの光線の長さＷｉには影響を及ぼす。従って、
【００８７】
【数６３】
2006350759.tif 000070
となる。そして、ＳｉおよびＭｉのＰｉによる微分は、
【００８８】
【数６４】
2006350759.tif 000071
となる。
次に、ｄＳｉ＋１／ｄｐｉ及びｄＭｉ＋１／ｄｐｉは、ｄＳｉ／ｄｐｉ及びｄＭｉ／ｄｐｉを用いて、
【００８９】
【数６５】
2006350759.tif 000072
となるが、後述するように、微分要素を検討することにより、ＷｉやＩ、Ｉ’がｘｉ、ｙｉ＋１、Ｙｉの関数であることがわかるので、
【００９０】
【数６６】
2006350759.tif 000073
とすることができる。(3-1),(3-2)式は子午面内での式であるので、（3-13），（3-14）のようにｚ方向の微分を考慮する必要はない。ここで注意すべきことは、(1-22)と同様にして、
【００９１】
【数６７】
2006350759.tif 000074
であるので、ｊ≧ｉ＋１の場合、
【００９２】
【数６８】
2006350759.tif 000075
であるが、(1-34),(1-35)から分かるように、ｊ＝ｉの場合は、(3-16)は成立しない。しかも、(1-34),(1-35)から、
【００９３】
【数６９】
2006350759.tif 000076
であるが、
Ｙｉ−１＝０  …（3-18）
の場合は、(3-17)より、ｄｙｉ／ｄｐｉから、ｄｘｉ／ｄｐｉを求めることはできない。
【００９４】
従って、（3-13），（3-14）のように、ｙｉ、Ｙｉの微分にまとめることができず、ｘｉ、ｙｉ＋１、Ｙｉの微分で表わすことが必要になる。ｊ≧ｉ＋２の場合、ｙｉ−１、Ｙｉ−１の微分にまとめることが可能になり、
【００９５】
【数７０】
2006350759.tif 000077
となる。
ｊ面でのｄＭｊ／ｄｐｉ、ｄＳｊ／ｄｐｉ、ｄｙｊ／ｄｐｉ、ｄＹｊ／ｄｐｉを一つのベクトルの成分とすると、(j-1)面でのベクトルとの関係は、次のような偏微分行列により、
【００９６】
【数７１】
2006350759.tif 000078
となる。(3-21)における部分行列
【００９７】
【数７２】
2006350759.tif 000079
は、(1-7)、(1-8)でｙ方向成分のみを取った行列により、
【００９８】
【数７３】
2006350759.tif 000080
となる。
【００９９】
【数７４】
2006350759.tif 000081
と置き、レンズデータの最終面をF面とすると、F面での微分ベクトルは、
【０１００】
【数７５】
2006350759.tif 000082
となり、微分行列をＦ面から逆に(i+2)面までかける過程で、次々と非点収差のparameterによる微分が求められるので、計算時間の省略ができる。微分ベクトルのｊ＝ｉ＋１の場合は(3-13),(3-14)より、ｊ＝ｉの場合は(3-9),(3-10)より求められる。次に各微分要素を求める。
＜３−１＞
先ず(3-9),(3-10)のｊ＝ｉの場合の各微分要素を求める。(3-4),(3-5)においてそれぞれ、
【０１０１】
【数７６】
2006350759.tif 000083
と置くと、(3-11),(3-12)における偏微分要素は、
【０１０２】
【数７７】
2006350759.tif 000084
および、
【０１０３】
【数７８】
2006350759.tif 000085
となる。
(3-1-4),(3-1-7)において、
【０１０４】
【数７９】
2006350759.tif 000086
は、(1-64)より、
【０１０５】
【数８０】
2006350759.tif 000087
となるので、
【０１０６】
【数８１】
2006350759.tif 000088
となる。一方、(3-11),(3-12)における全微分要素ｄＷｉ／ｄｐｉは、(3-3)より、
【０１０７】
【数８２】
2006350759.tif 000089
となる。(3-1-11)において、ｄｘｉ／ｄｐｉは、ｐｉがｉ面の曲率半径の場合(1-34)で、ｉ面の非球面係数の場合(1-37)で与えられる。(3-1-11d)において、
【０１０８】
【数８３】
2006350759.tif 000090
であるので、
【０１０９】
【数８４】
2006350759.tif 000091
となる。
【０１１０】
(3-1)，(3-2)はメリジオナル面内での光線追跡なので、z方向は全てゼロとなる。
【０１１１】
従って、(1-58)より、
【０１１２】
【数８５】
2006350759.tif 000092
となり、(3-1-14)をｐｉで微分して、
【０１１３】
【数８６】
2006350759.tif 000093
となる。（3-1-15）のｄαｉ／ｄｐｉ、ｄβｉ／ｄｐｉは、
【０１１４】
【数８７】
2006350759.tif 000094
であるが、
【０１１５】
【数８８】
2006350759.tif 000095
はそれぞれ、(1-76),(1-51),(1-77),(1-52)である。
ｐｉがｉ面の曲率半径や非球面係数であるとき、(1-49),(1-21)より、
【０１１６】
【数８９】
2006350759.tif 000096
より、子午面内ではｙｉ＝ｈｉ、ｚｉ＝０、γｉ＝０であるので、
【０１１７】
【数９０】
2006350759.tif 000097
となり、
【０１１８】
【数９１】
2006350759.tif 000098
となる。また、
【０１１９】
【数９２】
2006350759.tif 000099
は、ｐｉがｉ面の曲率半径の場合(1-35)により、ｉ面の非球面係数の場合(1-38)により、(i-1)面の間隔Ｄｉ−１の場合(1-48)により与えられる。
なお、球面の場合、
【０１２０】
【数９３】
2006350759.tif 000100
である。
＜３−２＞
(3-11),(3-12)における
【０１２１】
【数９４】
2006350759.tif 000101
は、（3-1-3）から（3-1-8）のｉに  (i+1)を置き換えたものに等しい。一方
【０１２２】
【数９５】
2006350759.tif 000102
は、
【０１２３】
【数９６】
2006350759.tif 000103
と置くと、
【０１２４】
【数９７】
2006350759.tif 000104
となる。次に(3-11),(3-12)における全微分を求めると、
ｄＳｉ／ｄｐｉ、ｄＭｉ／ｄｐｉは既に求められているが、ｄＷｉ＋１／ｄｐｉは、
【０１２５】
【数９８】
2006350759.tif 000105
より、
【０１２６】
【数９９】
2006350759.tif 000106
となる。（3-2-6）において、 (3-16)のように、ｄｘｉ＋１／ｄｐｉをｄｙｉ＋１／ｄｐｉで表わすことはできるが，ｄｘｉ／ｄｐｉをｄｙｉ／ｄｐｉで表わすことはできない。また、
【０１２７】
【数１００】
2006350759.tif 000107
はそれぞれ、
【０１２８】
【数１０１】
2006350759.tif 000108
となる。ρＳｉ＋１、ρＭｉ＋１はそれぞれ、(i+1)面のサジタル的およびメリジオナル的曲率半径の逆数なので、球面の場合は
【０１２９】
【数１０２】
2006350759.tif 000109
であるが、非球面の場合は＜３−４＞を参照されたい。
また、(1-5)および(1-6)より、さらに
【０１３０】
【数１０３】
2006350759.tif 000110
以外はゼロになることにより、
【０１３１】
【数１０４】
2006350759.tif 000111
となる。従って、(3-2-6),(3-2-7),(3-2-8),(3-2-9)において、ｄｙｉ＋１／ｄｐｉ、ｄＹｉ／ｄｐｉは
【０１３２】
【数１０５】
2006350759.tif 000112
となる。
【０１３３】
【数１０６】
2006350759.tif 000113
はそれぞれ，(1-26)，(1-30)，(1-65)より、
【０１３４】
【数１０７】
2006350759.tif 000114
はそれぞれ、(1-35)または(1-38)，(1-82)，(1-41)または(1-44)より求められる。
【０１３５】
【数１０８】
2006350759.tif 000115
は(1-58)より求められる。(3-13)、（3-14）において、ｄｘｉ／ｄｐｉは、ｐｉがｉ面の曲率半径の場合(1-34)で、ｉ面の非球面係数の場合(1-37)で与えられ、(i-1)面の間隔Ｄｉ−１の場合(３-1-12)で与えられる。(3-11),(3-12)に(3-2-6),(3-2-7),(3 -2-8),(3-2-9)を代入し、
ｄｙｉ＋１／ｄｐｉ、ｄＹｉ／ｄｐｉ、等でまとめると、
【０１３６】
【数１０９】
2006350759.tif 000116
となる。つまり、(3-13),(3-14)の偏微分要素は、ｊ＝ｉ＋１として、
【０１３７】
【数１１０】
2006350759.tif 000117
となる。
＜３−３＞
ｊ≧ｉ＋２の場合、
【０１３８】
【数１１１】
2006350759.tif 000118
において、
【０１３９】
【数１１２】
2006350759.tif 000119
はそれぞれ、（3-1-3）から（3-1-8）のｉにｊを置き換えたものに等しい。
【０１４０】
【数１１３】
2006350759.tif 000120
はそれぞれ、(3-2-3),(3-2-4)のｉ＋１にｊを置き換えたものに等しい。また、(3-3),(3-16)より、
【０１４１】
【数１１４】
2006350759.tif 000121
となり、さらに
【０１４２】
【数１１５】
2006350759.tif 000122
となるので、(3-3-1),(3-3-2)に(3-3-3)から(3-3-7)を代入して、(3-2-17)〜(3-2-22)を用いて整理すると、
【０１４３】
【数１１６】
2006350759.tif 000123
となる。つまり、(3-19),(3-20)の微分要素は、
【０１４４】
【数１１７】
2006350759.tif 000124
となる。
＜３−４＞
非球面の場合、サジタル的曲率半径の逆数は、
【０１４５】
【数１１８】
2006350759.tif 000125
となる。σｉは(1-20)で表わされる。
(3-4-1)のparameterによる微分は、(1-48)を用いて、
【０１４６】
【数１１９】
2006350759.tif 000126
となり、
【０１４７】
【数１２０】
2006350759.tif 000127
となる。ただし、
【０１４８】
【数１２１】
2006350759.tif 000128
より、
【０１４９】
【数１２２】
2006350759.tif 000129
となる。ｚ方向の成分がゼロなので、
【０１５０】
【数１２３】
2006350759.tif 000130
となり、これを代入すると、
【０１５１】
【数１２４】
2006350759.tif 000131
となる。
2006350759.tif 000132
【０１５２】
【数１２５】
2006350759.tif 000133
となり、
【０１５３】
【数１２６】
2006350759.tif 000134
となる。ｄｙｉ／ｄｒｉは(1-35)により求められる。
ｐｉがｉ面の非球面係数である場合、
【０１５４】
【数１２７】
2006350759.tif 000135
より、
【０１５５】
【数１２８】
2006350759.tif 000136
となる。ｄｙｉ／ｄＣ１ｎは、(1-38)により求められる。なお、(3-2-17)における
【０１５６】
【数１２９】
2006350759.tif 000137
は、
【０１５７】
【数１３０】
2006350759.tif 000138
となる。
＜３−５＞
メリジオナル的曲率半径の逆数を求めると、非球面の場合、メリジオナル的曲率半径の逆数は、
【０１５８】
【数１３１】
2006350759.tif 000139
となる。
【０１５９】
【数１３２】
2006350759.tif 000140
【０１６０】
【数１３３】
2006350759.tif 000141
より、
【０１６１】
【数１３４】
2006350759.tif 000142
となる。ここで(1-48)を用いると、
【０１６２】
【数１３５】
2006350759.tif 000143
となる。また、
【０１６３】
【数１３６】
2006350759.tif 000144
となる。τｉ、νｉを
【０１６４】
【数１３７】
2006350759.tif 000145
と定義し、また(1-21)、(3-5-5)に代入すると、
【０１６５】
【数１３８】
2006350759.tif 000146
となる。ｐが曲率半径ｒｉのとき、
【０１６６】
【数１３９】
2006350759.tif 000147
となり、(3-5-12),(3-5-13)を(3-5-11)に代入すれば、求める微分が得られる。(3-4-9)と同様に、ｄｙｉ／ｄｒｉは(1-35)により求められる。ｐが非球面係数Ｃｉｎのとき、
【０１６７】
【数１４０】
2006350759.tif 000148
となり、(3-5-14),(3-4-15)を(3-5-11)に代入すれば、求める微分が得られる。(3-4-11)と同様に、ｄｙｉ／ｄＣｉｎは(1-38)により求められる。なお、(3-2-18)における
【０１６８】
【数１４１】
2006350759.tif 000149
は、
【０１６９】
【数１４２】
2006350759.tif 000150
となる。
＜３−６＞
次に反射面の場合の非点収差のパラメータによる微分を求める。反射面の場合、非点収差の追跡式は、
【０１７０】
【数１４３】
2006350759.tif 000151
となる。
【０１７１】
【数１４４】
2006350759.tif 000152
と置くと、
【０１７２】
【数１４５】
2006350759.tif 000153
となる。(3-6-5),(3-6-6)において、
【０１７３】
【数１４６】
2006350759.tif 000154
はそれぞれ、(3-1-11)または
(3-1-11d),(3-1-15)により求められる。また、(3-11)における偏微分要素は、
【０１７４】
【数１４７】
2006350759.tif 000155
となる。また、(3-12)における偏微分要素は、
【０１７５】
【数１４８】
2006350759.tif 000156
2006350759.tif 000157
2006350759.tif 000158
＜３−７＞
最後に像面での非点収差のパラメータによる微分の計算方法を示す。像面を（F+1）面とすると、像面からの非点収差は、F面（レンズデータの最終面）での非点収差から、    
【０１７６】
【数１４９】
2006350759.tif 000159
【０１７７】
【数１５０】
2006350759.tif 000160
のように求められる。ただし、
【０１７８】
【数１５１】
2006350759.tif 000161
である。(3-7-3)をパラメータｐｉで微分すると、
【０１７９】
【数１５２】
2006350759.tif 000162
であるので、
【０１８０】
【数１５３】
2006350759.tif 000163
となる。同様にして、
【０１８１】
【数１５４】
2006350759.tif 000164
となる。従って最終面での非点収差の偏微分行列は、(3-16)より、
【０１８２】
【数１５５】
2006350759.tif 000165
となる。Ｆ≧ｉの場合、(3-24)より、
【０１８３】
【数１５６】
2006350759.tif 000166
2006350759.tif 000167
Ｆ＝ｉ以外の場合、
【０１８４】
【数１５７】
2006350759.tif 000168
と置くと、(3-24)より、
【０１８５】
【数１５８】
2006350759.tif 000169
となる。以上、非点収差のパラメータによる微分の計算方法を図示すると、図３のようになる。図３において、各面の光線追跡中に、演算処理Ｓ１０は(3-9)，(3-10)により計算し、演算処理Ｓ１１は(3-2-17)〜(3-2-20)により、演算処理Ｓ１２は(3-2-21)，(3-2-22)により計算する。演算処理Ｓ１３は
(3-2-3),(3-2-4),(3-3-10)〜(3-3-13),(3-22)により計算する。光線追跡後に、演算処理Ｓ１４は(3-13)，(3-14)により計算し、演算処理Ｓ１５は、(3-7-9)により計算し、最後に演算処理Ｓ１６は(3-7-10)，(3-7-11)により計算する。
【０１８６】
パラメータの変動によりGauss像面が移動した場合、非点収差のパラメータによる微分は、近軸光線追跡の微分により求めたｄＤＦ／ｄｐｉより、
【０１８７】
【数１５９】
2006350759.tif 000170
となる。
【０１８８】
次に発明を解決するための第３の手段の実施の形態である、非点収差を主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分する方法により、計算する方法を示す。図４において、入射光線の方向余弦Ｙ０をΔＹ０だけ変動させたとき、Gauss像面ＧＢ０での光線ＡＢが光線Ａ'Ｂ'となる場合、ＡＢとＡ’Ｂ’の交点をＣとする。Ｃから光軸(ｘ軸)に平行に引いた直線とGauss像面との交点をＢ０とする。Gauss面上での到達位置がＧＢ＝ｙＦ＋１からＧＢ’＝ｙＦ＋１＋ΔｙＦ＋１と変化し，∠Ｂ０ＣＢ＝θから∠Ｂ０ＣＢ'＝θ＋Δθと変化した場合、Gauss像面からレンズ方向へのメリジオナル像面位置をｍとすると、図４により明らかなように、
【０１８９】
【数１６０】
2006350759.tif 000171
となり、これを方向余弦ＹＦで表わせば、
【０１９０】
【数１６１】
2006350759.tif 000172
となる。
【０１９１】
【数１６２】
2006350759.tif 000173
と表わすことができるので、(4-2)より、
【０１９２】
【数１６３】
2006350759.tif 000174
となる。
【０１９３】
また図５のように、像面付近で子午面(ｘｙ面)内で光軸からθ傾いている光線ＡＢがあるとき、光軸に平行でＡと交差する軸をｘ’軸として、ｘ’軸とGauss像面との交点をＢ０とし、∠Ｂ０ＡＢ＝θとする。入射光線の方向余弦を子午面からΔＺ0だけ変動させたときのGauss像面での光線ＡＢ’の到達位置の変化を
ＢＢ’＝ΔｚＦ＋１、角度の変化を∠ＢＡＢ’＝Δφとし、Ｓ像位置をＡとし、ＡＢ＝ｓ’、ＡＢ０＝ｓとする。図５より明らかなように、
【０１９４】
【数１６４】
2006350759.tif 000175
ただし、
【０１９５】
【数１６５】
2006350759.tif 000176
となる。
Δφが微小であることから、
【０１９６】
【数１６６】
2006350759.tif 000177
と近似でき、(4-6)〜(4-8)より、
【０１９７】
【数１６７】
2006350759.tif 000178
となり、
【０１９８】
【数１６８】
2006350759.tif 000179
と表わすことができるので、
【０１９９】
【数１６９】
2006350759.tif 000180
となる。(4-5),(4-12)におけるＹ０、Ｚ０による微分量は、(1-7)、(1-8)、(1-11)より、
【０２００】
【数１７０】
2006350759.tif 000181
となる。
【０２０１】
課題を解決するための第４の手段の実施の形態である、非点収差を、主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより計算する方法を、さらにパラメータで微分する方法について説明する。(4-5)、(4-12)をパラメータｐｉで微分すると、それぞれ、
【０２０２】
【数１７１】
2006350759.tif 000182
となる。(5-1),(5-2)における1次微分は前記の方法で求められるが、2次微分
【０２０３】
【数１７２】
2006350759.tif 000183
は次のようにして求められる。すなわち、パラメータpiがi面の曲率半径または非球面係数の場合、
【０２０４】
【数１７３】
2006350759.tif 000184
となる。(5-3)は行列Ｔｉから行列ＴＦ＋１まで[2(F-i+1)+1]個の行列のｐｉによる全微分を含む項の和である。次に(5-3)における微分行列のパラメータによる全微分を偏微分と漸化式で表わす。その前に、(1-3),(1-4)と同様にして、次のようにベクトルを定義する。
【０２０５】
【数１７４】
2006350759.tif 000185
すると、微分行列のパラメータによる全微分は以下のようになる。
【０２０６】
【数１７５】
2006350759.tif 000186
【０２０７】
(5-7)における
【０２０８】
【数１７６】
2006350759.tif 000187
と,(5-8)における
【０２０９】
【数１７７】
2006350759.tif 000188
は、２階テンソルの行列をベクトルで微分しているので、３階テンソルになる。(5-6)から(5-10)を(5-3)に代入し、(5-1),(5-2)に代入することにより，非点収差の追跡式を微分するのとは別の方法で、非点収差のパラメータによる微分が得られる。
【実施例】
【０２１０】
以上の計算方法により、図２および図３のようなアルゴリズムを用いることにより、Federの収差のパラメータによる微分がさらに実用的になる。その実施例を次に示す。
【０２１１】
自動修正(DLS法)の計算時間について、収差のパラメータによる微分を差分近似するか、微分するかの違いにより計算時間にどれ程違いがあるか調査するために、レンズ面数が40面の投影レンズで、目標値数が50（その内近軸光線追跡による目標値が2個で、非点収差の目標値が6個）で、パラメータ数を1個から40個まで増やした場合の、両者の方法による自動修正の1サイクル毎の計算時間を測定した。その結果を図６に示す。図６の（１）が差分で、（２）が微分である。差分の場合、パラメータ数にほぼ比例して計算時間が増加しているのに対して、微分の場合は計算時間がほとんど増加しないことがわかる。
またparameter数を10毎増やした場合の計算時間の値を表１に示す。パラメータ数が５個以上ならば、差分による近似よりも微分の方が速く、パラメータ数が40個ならば、微分は差分の約５分の１の計算時間ですむ事がわかった。なお差分と微分とでは、メリットファンクションに大きな違いはないが、
若干微分の方が小さくなる場合が多い。
（表１）                    
【０２１２】
【表１】
2006350759.tif 000189
【図面の簡単な説明】
【０２１３】
【図１】Gauss像面が移動した場合の収差のパラメータによる微分を補正する方法を示す図である。
【図２】Gauss像面が移動した場合の収差のパラメータによる微分を補正する計算のアルゴリズム図である。
【図３】非点収差のパラメータによる微分を計算する方法を示す図である。
【図４】光学系に入射する光線の方向余弦が微小変化させてメリジオナル像面移動位置を計算する方法        を示す図である。
【図５】光学系に入射する光線の方向余弦が微小変化させてサジタル像面移動位置を計算する方法を示す図である。
【図６】自動修正において収差のパラメータによる微分を差分近似するか微分するかによる計算時間の相違を示す図である。
【図１】
2006350759.tif 000190
【図２】
2006350759.tif 000191
【図３】
2006350759.tif 000192
【図４】
2006350759.tif 000193
【図５】
2006350759.tif 000194
【図６】
2006350759.tif 000195