(57)【要約】【課題】  多成分系球形粒子を充填容器に充填する際に、充填容器内の空隙率が最小となる粒子の最適粒度分布を効率的に探索することを目的とする。【解決手段】  計算機を用いて、複数の多成分系粒子を充填容器内に充填するための最適粒度分布を探索するシミュレーション方法において、前記充填容器内の空隙率が最小となる前記粒子の最適粒度分布を、遺伝的アルゴリズムを用いて探索するシミュレーションを行う。【選択図】  図４
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
計算機を用いて、複数の多成分系粒子を充填容器内に充填するための最適粒度分布を探索するシミュレーション方法において、前記充填容器内の空隙率が最小となる前記粒子の最適粒度分布を、遺伝的アルゴリズムを用いて探索することを特徴とする最適粒度分布探索のシミュレーション方法。
【請求項２】
前記遺伝的アルゴリズムとともに、ランダム充填シミュレーションのアルゴリズムを用いて、前記最適粒度分布を探索することを特徴とする請求項１に記載の最適粒度分布探索のシミュレーション方法。
【請求項３】
前記粒子を前記充填容器内に充填させる際に、新たに充填される粒子が、既に充填されている粒子または前記充填容器の内面に３点以上で接触した状態を最適な充填状態とすることを特徴とする請求項１または２に記載の最適粒度分布探索のシミュレーション方法。
【発明の詳細な説明】
【発明の開示】
【０００１】
本研究は多成分系球形粒子を寸法が既知である充填容器にランダム充填する際において、充填層の空隙率が最小となる粒度分布を遺伝的アルゴリズムにより効率的に探索することを目的としている。充填容器内に粒径とその頻度により定義された粒度分布を持つ多成分球形粒子の集合体をランダム充填する計算機シミュレーションにより、充填層の空隙率の算出と評価を行った。粒度分布は粒径およびその粒度の上限値、下限値と値幅を設定し、5つの代表値の組み合わせによって定義される。シミュレーションにより得られた相対密度を評価基準として、最大の相対密度を与える粒度分布を遺伝的アルゴリズムを用いて逆問題的に探索を行う。
【０００２】
本研究では2次元のランダム充填シミュレーションアルゴリズムを開発し、遺伝的アルゴリズムの適用を行った。多成分系球形粒子のランダム充填シミュレーションに遺伝的アルゴリズムを適用することにより、すべてのパラメータを試行する場合に比べ最小で61%の試行回数で、最小の空隙率を与える粒度分布を探索することが出来た。
【０００３】
粉末冶金プロセスにおいて高い焼結体密度を得るには、高い成形体密度を得ることが有用であるとされる（非特許文献１、２参照）。例えば近年の生産プロセスで得られる鉄粉焼結体の密度は7.5kg/m3程度であり、鉄の理論密度である7.86kg/m3との差は4〜5%である。さらに焼結体を高密度化し、理論密度に近づけることができれば、機械的特性や電気的・熱的特性が著しく向上し高機能な材料を得られるという予測がなされている（非特許文献２、３参照）。
【０００４】
【特許文献１】特開平８−１９０５７６号公報（粒子充填構造シミュレーション方式, 株式会社日立製作所）
【非特許文献１】R.M.German, Particle Packing Characteristics, Metal Powder Industries Federation, Princeton, New Jersey, 1989.
【非特許文献２】G.Bockstiegel, The Porosity-Pressure Curve and its Relation to the Pore Size Distribution in Iron Powder Compacts, Modern Developments in Powder Metallurgy, 1 H.H.Hausner, Plenum Press, New York, 1966, pp. 155‐187.
【非特許文献３】浅見淳一, 焼結機械部品の高密度化, 塑性と加工 (日本塑性加工学会誌), 41, 2000, pp. 871‐874.
【非特許文献４】近藤勝義, 瀧川貴稔, 渡辺龍三, 温間成形における鉄系粉末の圧密化挙動に及ぼす潤滑剤の影響, 粉体および粉末冶金, 9, 2000, pp. 941‐945.
【非特許文献５】R.M.German and Z.A.Munir, Activated Sintering of Refractory Metals by Transition Metals Sdditions, Rev. Powder Met. Phys. Ceram., 2, 1982, pp. 9‐43.
【非特許文献６】R.M.German, Liquid Phase Sintering, Plenum Press, New York, 1985.
【非特許文献７】J. E. Smugeresky and R. M. German, Microstructure and Properties of Hot Isostatically Pressed A-286, Metall. Trans., 9A,1978, pp. 253‐259.
【非特許文献８】D.E.Goldberg, Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Addison Wesely, 1989.
【非特許文献９】L.Davis, Handbook of Genetic Algorithms Van Nostrand Reinhold, 1991.
【非特許文献１０】3成分球形粒子ランダム充填層の空間率の推定, 鈴木道隆, 化学工学, 50, 1986, pp. 366‐368.
【非特許文献１１】鈴木道隆, 牧野和孝, 山田昌治, 井伊谷鋼一: ”均一球形ランダム充填粒子集合体の配位数に関する一考察” 化学工学論文集6 (1980) 59-64.
【非特許文献１２】鈴木道隆, 八木章, 渡辺球夫, 大島敏男, 3 成分球形粒子ランダム充填層の空間率の推定, 化学工学論文集, 10, 1984, pp. 721‐727.
【非特許文献１３】鈴木道隆, 市場久貴, 長谷川勇, 大島敏男, 粒度分布のある多成分粒子ランダム充填層の空間率, 化学工業論文集, 50, 1986, pp. 366‐368.
【非特許文献１４】Y. Tatemoto, Y. Mawatari, T. Yasukawa, K. Noda, Numerical simulation of particle motion in vibrated fluidized bed, Chemical Engineering Science, 59, 2004, pp. 437‐447.
【非特許文献１５】北野宏明, 遺伝的アルゴリズム, 産業図書, 1993.
【非特許文献１６】米澤保雄, 遺伝的アルゴリズム, 森北出版, 1993.
【非特許文献１７】H. Sato, I. Ono, and S. Kobayashi, A new generation alternation model of genetic algorithm and assessment, Trans. Japanese Society for Artificial Intelligence, 5, 1997, pp. 734‐744.
【０００５】
焼結体密度を向上させる主な方法として、圧密プロセスにおいては潤滑剤の添加と温間成形を組み合わせることにより粒子間摩擦を減少させ、充填された粒子の再配列を促して圧粉体密度を向上させる方法や、焼結プロセスにおいては第三元素を添加し、液相焼結により焼結体を緻密化させる方法が用いられている（非特許文献４、６参照）。またHIP プロセスでは、ほぼ完全に緻密化した焼結体を得ることが可能である（非特許文献７参照）。しかしながら母材料と添加剤との混合や、脱脂等の付加的なプロセスが必要であったり、連続操業が困難でコスト高であったりなどの未解決の問題点がある。
【０００６】
本研究の目的は、高い成形体密度を持つ焼結体を得るためのプロセスの第一段階として、寸法が既知である充填容器に対し、最小の空隙率を得る多成分系球形粒子の粒度分布を探索することである。しかしながら、多成分粒子の粒度分布の探索を行うために粒径とその頻度のすべての組み合わせを試行錯誤的に探索する方法では、シミュレーション回数と計算量が膨大となるため現実的ではない。例えば粒度分布の代表値を5種類として、直径が20μmから100μm（10μm刻み）、それぞれの頻度割合が10%以上（10%刻み）とした場合、パラメータの組み合わせ数の総合計は以下に示した式より31,757,969,376 通りとなる。
【０００７】
【数１】
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【０００８】
仮に1回の試行にかかる計算時間を1secとした場合、すべてのパラメータを試行するのにかかる時間はおよそ1007年間となり、とても現実的ではない。
【０００９】
そこで本研究では2次元のランダム充填シミュレーションに、最適化手法の一つである遺伝的アルゴリズムを適用することより、シミュレーションの試行回数を減らして粒度分布を効率的に探索する方法を試みる（非特許文献８、１５、１６参照）。
【００１０】
遺伝的アルゴリズム（Genetic Algorithm：GA）は生物の進化と遺伝の仕組みに着想を得た確率的な探索・最適化アルゴリズムである。GAは解の探索を複数の探索点（個体）の間において選択、交叉、突然変異などの遺伝的操作を繰り返し適用し行う多点探索である。GAはその枠組みが適用分野にあまり依存せず汎用的な最適化アルゴリズムであり、従来のアルゴリズムに比べて非常に短時間で実用解（準最適解）を得られることなどから、その応用研究は盛んに行われている。このGAにおける代表的なモデルとして単純遺伝的アルゴリズム（Simple GA：SGA）がある（非特許文献８参照）。このSGAは個体の選択を主に個体の適応度を用いたルーレット選択により行う。
【００１１】
シミュレーションアルゴリズムについて説明すると、従来の多成分系球形粒子の2次元ランダム充填シミュレーションでは、粒度分布が既知である粉体を充填粒子として数値計算によりランダム充填シミュレーションを行い、充填密度あるいは空隙率の評価を行っている（特許文献１、非特許文献１０〜１４参照）。これに対して本研究では、最小の空隙率を与える粒度分布を探索することを目的とする。粒度分布をパラメータとして2次元のランダム充填シミュレーションにより空隙率を予測する。これを評価基準として、GAにより最小の空隙率を与える粒度分布の探索を行う。
【００１２】
本研究で開発した多成分系粒子の粒度分布を持つ粒子集合体の2次元ランダム充填シミュレーションのアルゴリズムと、GAによる最適粒度分布探索の手法を以下に示す。
【００１３】
多成分系粒子のランダム充填アルゴリズムについて説明すると、従来のアルゴリズムによる多成分系球形粒子のランダム充填シミュレーションの模式図を図１に示した。新たに充填される球形粒子（充填粒子）は、粒度分布の範囲内からその粒径がランダムに選択さる。この球形粒子は充填型の上部より落下され、既に充填された他の球形粒子や充填型の内壁との接触数により充填位置が決定される。充填粒子と他の粒子との接触は図２に示したように、2粒子の粒径の和と中心間距離との関係から判定される。中心間距離から粒径の和を引いた値が、設定された許容距離よりも小さいときに2粒子は接触したものとする。また、充填粒子の中心位置と壁との距離と粒径を引いた値が設定された許容距離よりも小さいときに、充填粒子は内壁に接触したものとする。このように充填型の上部から下部へ充填粒子が安定となる位置を探索するアルゴリズムでは、異なる粒径をもつ多成分系球形粒子を充填する場合、図３に示したように、充填順序に依存して空隙率が変化することになる。
【００１４】
これに対して本研究で開発されたアルゴリズムは図４に示したように、新たに充填される球形粒子は粒度分布に従って粒径がランダムに選択された後、その粒径に対応した安定位置が充填容器の全領域から探索される。安定位置となる条件は重力を考慮して、（１）下壁の内面に接触した場合、（２）充填粒子の重心位置よりも下で、他の粒子との接触点が1つ以上で、かつ側壁の内面の接触した場合、および（３）充填粒子の重心位置よりも下での他の粒子との接触点が2つ以上の場合のいずれかの条件を満たすことである。充填粒子とその他の粒子および内壁面との接触判定は、図２に示した方法を採用する。探索された安定位置の中から、充填粒子の充填位置は、充填型の下部からランダムに選択される。このアルゴリズムを用いることにより、新たに充填される球形粒子の位置は充填順序に依存しない。よって、ランダム充填シミュレーションによって算出される空隙率は球形粒子の粒度分布にのみ依存することになる。
【００１５】
以前のランダム充填シミュレーションのアルゴリズムでは、算出される空隙率は粒度分布と充填粒子の充填順序に依存するので、GAを適用しても寸法が既知である充填型に対して最小の空隙率を与える多成分系粒子の粒度分布を探索することは不可能であった。本研究において新たに開発されたランダム充填シミュレーションにGAを適用することにより、その探索を行うことを可能とした。
【００１６】
遺伝的アルゴリズム(：GA)について説明すると、ランダム充填シミュレーションにGAを適用するために、本研究では多成分球形粒子の粒度分布から代表値を5つ取り出し、これを粒度分布のパラメータとした。図５に粒度分布のパラメータ化を模式化して示した。
【００１７】
多成分球形粒子の粒度分布(図５(a))から、粒径の代表値を5種類とその粒径に対応した頻度を抽出する(図５(b))。これらの組み合わせを一つの粒度分布のパラメータ(図５(c))とする。これらの値は10進数で表される。GAで取り扱いをするために、これらを2進数化したもの(図５(d))を1つの遺伝子(Gene)として取り扱う。
【００１８】
ランダム充填シミュレーションにGAを適用して、寸法が既知である充填容器に5種類の粒径および頻度を持つ多成分球形粒子を充填したときに、空隙率が最小となる粒度分布のパラメータを探索するフローチャートを図６に示した。また、空隙率が最小となる粒度分布を探索するために今回採用したGA 操作を図７に示した。
【００１９】
本研究で使用したGAの操作は、（１）シミュレーションより得られた空隙率が小さい順にGeneを並び替える(Ranking)（非特許文献１５参照）、（２）上位のGeneは次の世代にそのまま引き継がれる(Inherit)、（３）それ以外の遺伝子は2つのGeneが交叉することによって、新たな2つのGeneが次の世代に発生する(Cross-over)、および、（４）局所探索から抜け出すために、InheritしたGene以外のGeneの中から突然変異(Mutation)を起こしたGeneが次の世代に発生する、以上の4 種類である。本研究で使用したCross-overは図８に示した3種類である。（１）Geneのランダムな一つの位置で交叉する一点交叉(図８(a))、（２）Geneのランダムな二つの位置で交叉する二点交叉(図８(b))、および、（３）ランダムに生成されるCrossover-maskによって交叉する位置が決定される多点交叉(図８(c))である。また本研究で使用したMutationは図９に示した方法である。InheritしたGene以外からランダムに選択されたGeneから、一つの位置をランダムに選択し、その位置が1であれば0に、0であれば1に反転する方法である。以上のランダム充填シミュレーションのアルゴリズムと遺伝的アルゴリズムによって最小の空隙率を与える粒度分布の探索を行った。
【００２０】
空隙率の測定方法と評価方法について説明すると、空隙率の測定方法は図１０に示したように、充填された粒子の専有面積と、粒子の充填高さと充填型の幅から求められる充填型面積との比とした。粒子の充填高さはもっとも高い位置にある粒子の上端の高さとした。空隙率は以下の式で与えられる。
【００２１】
【数２】
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ここで、εは充填層の2次元の空隙率、APは粒子の専有面積、AMは充填型面積、WMは充填型の幅、HPは粒子の充填高さである。
【００２２】
シミュレーション結果および考察について説明すると、先ず、多成分系球形粒子のランダム充填について述べると、本研究で開発したランダム充填シミュレーションのアルゴリズムを用いて、粒度分布を持つ多成分系球形粒子の充填を行った。充填型の寸法および粒子間の許容距離が表１に示した値であり、多成分系球形粒子の粒度分布は表２に示した。ここでDは粒径、Fは頻度、Daveは粒径の平均値、Dsdは粒径の標準偏差である。これをSimulation Iとする。ランダム充填シミュレーションは100回試行し、それぞれの空隙率の結果を得た。得られた空隙率の平均、最大、最小および分散の値を表３に示した。ここでεmin、εmax、εaveはそれぞれ空隙率の最小値、最大値、平均値、分散である。また、εpopは以下で説明する母平均を95%で区間推定したときの値である。また、最も小さい空隙率が得られたときの充填状態の図を図１１に示した。粒度分布を持つ球形粒子であるので、大きな粒径を持つ粒子の間に効率的に小さな粒径を持つ粒子が充填されていることが分かる。これは、本研究で開発したランダム充填のアルゴリズムでは空隙率が充填順序に依存しないので、小さい空隙率となる充填状態が再現されたことが分かる。
【００２３】
【表１】
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【００２４】
【表２】
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【００２５】
【表３】
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【００２６】
ランダム充填シミュレーションを100回試行した結果から得られた空隙率の平均および分散の値より、eq.3を用いて正規化したものをヒストグラムにし、図１２に示した。ここでεはシミュレーションから得られた空隙率、εn、εave、εvarはそれぞれ正規化された空隙率、平均、分散である。
【００２７】
【数３】
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【００２８】
図１２に示したように、シミュレーションから得た空隙率のヒストグラムは、正規分布曲線とほぼ一致することが分かる。従って、ある粒度分布をもつ多成分球系形粒子をランダム充填シミュレーションした場合、得られる空隙率は正規分布従うことになる。このことから、ランダム充填シミュレーションを複数回行った結果を標本として、以下に示した式より母平均の推定を行うことが出来る。
【００２９】
【数４】
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ここで、εpop、εave、εvarはそれぞれ空隙率の信頼限界、平均、分散であり、Nはデータ数である。kの値はデータ数が30未満の時はt分布表を使用し、データ数が以上の時は正規分布表を使用して求められる。
【００３０】
Simulation Iではデータ数がN=100であるので、母平均の信頼区間を95%で区間推定するとき、kの値は正規分布表よりk=1.96となる。従って母平均は表３のpopに示した範囲で推定される。
【００３１】
１種類の粒度分布を持つ多成分系球形粒子のランダム充填シミュレーションにより得られる空隙率は、正規分布に従うことが明らかになった。従って、ある回数シミュレーションを行った結果から母平均の推定が可能であるので、以降のランダム充填シミュレーションでは、各々の粒度分布に対して試行回数を10回とした。このときkの値はN−1のt分布に従うので、母平均の信頼区間を95%で区間推定するとき、k＝2.2622である。
【００３２】
総当たり方式による粒度分布の探索について説明すると、本研究で開発したランダム充填シミュレーションのアルゴリズムを用いて、粒度分布を一定の範囲内に設定し、その全てのパラメータの組み合わせを試行した。粒度分布の設定範囲は、粒径が20μmから100μmまで10μm刻みとし、頻度はそれぞれ20%で等しいものとした。この組み合わせによる総パラメータ数は9C5=126である。これをSimulation IIとした。充填型、粒径、粒度比および許容空間のパラメータは表１に示した条件である。1つの粒度分布に対してランダム充填シミュレーションを10回試行し、空隙率の平均値をその粒度分布が与える空隙率とした。
【００３３】
Simulation IIにおいて全てのパラメータを試行するのに要した計算時間は56,538secだった。シミュレーション回数をNsimu、その10回の試行における分散をεvar、95%の信頼区間で推定した母平均をεpopとして、表４に示した。また、最小の空隙率が得られたときの粒度分布のパラメータを表５に示した。
【００３４】
【表４】
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【００３５】
【表５】
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【００３６】
【表６】
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【００３７】
GAによる最適粒度分布の探索について説明すると、本研究で開発したランダム充填シミュレーションにGAを適用して、既知の充填型に対してより小さい空隙率を与える粒度分布の探索を行った。ここで、充填型、粒径、粒度比、許容空間のパラメータは表１に示した条件である。GAのパラメータである交叉率と突然変異率および交叉方法を、表６に示した。粒度分布の範囲はSimulation IIと同様に、粒径は20μmから100μmまで10μm刻みとし、頻度はそれぞれ20%で等しいものとした。交叉方法が1点交叉であるものをSimulation III、2点交叉であるものをSimulation IV、ランダム交叉であるものをSimulation Vとした。1世代のGeneの数は20とし7世代の遺伝を行った。各Geneに対して10回の試行を行うので、シミュレーション回数の合計は1,400回である。Simulation III〜Vの結果から、空隙率の平均が最も小さくなるときのシミュレーション回数をNsimu、その10回の試行における分散をεvar、95%の信頼区間で推定した母平均をpopとして、表４に示した。また、最小の空隙率が得られたときの粒度分布のパラメータを表５に示した。
【００３８】
表４に示したように、全てのパラメータの組み合わせを実行したSimulation IIで得られた最小の空隙率と比較してSimulation III〜Vの空隙率は小さいが、これはランダム充填シミュレーションで同じアルゴリズムを使用しているのでさほどの差ではない。Simulation IIでは全てのパラメータ総当たりで実行するので、その試行回数は1,260回である。これに対してSimulation III〜VではGAを適用したことにより、Simulation IIと同等の空隙率を得る粒度分布を探索するまでの試行回数はそれぞれ1,240回、1,050回、770回と、何れのSimulationでもシミュレーション回数を減らすことが出来た。探索までに要したシミュレーション回数をSimulation IIに対する割合で表すと、それぞれ98%、83%、61%であり、いずれの交叉方法でもSimulation IIよりもその試行回数が少なく、効率的に、最小の空隙率となる粒度分布を探索が出来たことを示している。また、表５に示したように、Simulation II〜Vで探索された粒度分布はそれぞれ同様の粒径からなるものとなっている。何れの結果からも、GAによって効率的に最小の空隙率を与える粒度分布の探索が出来たと結論付けられる。
【００３９】
GAによって最小の空隙率を探索するときの過程を図１３に示した。横軸に世代数を、縦軸に世代内での空隙率の平均値と最小値を示している。また、Simulation III〜Vによって最小の空隙率を得たときの位置をそれぞれ(iii)〜(v)で指している。いずれのSimulationでも、遺伝が進行して後世代になるにつれて世代内での空隙率の平均値は減少している。このことから最小の空隙率を探索するために、粒度分布をGeneとしてGAを適用する効果があることが確認できた。すなわち、粒度分布を粒径とその頻度のパラメータからなる1つのGeneとして表現し、これらをGAによって継承、交叉、突然変異の操作を行い、より小さい空隙率を与える粒度分布のパラメータの組み合わせが優先的に遺伝する結果になった。最小の空隙率を与える粒度分布が探索された位置はGAパラメータである交叉方法により異なったが、他のGAパラメータである交叉率や突然変異率も含めて今後の研究課題である。これらのGAパラメータの調整によってさらに早く最小の空隙率を与える粒度分布の探索が可能になる。
【００４０】
今後の粒度分布の探索では、粒径の刻みを細分化や頻度を変化させることで、膨大に多いパラメータを試行することになるの。そのため、総当たり方法に対してよりGAの効果が表れることが予測される。
【００４１】
ランダム充填シミュレーションに遺伝的アルゴリズムを適用し、既知の充填型に対して、最大の充填密度を与えうる多成分系球形粒子の粒度分布の探索を行い、以下の結果を得た。
（１）新たに開発を行ったランダム充填シミュレーションのアルゴリズムにより、多成分系球形粒子のランダム充填でも充填順序に依存しない空隙率を評価することが出来た。
（２）粒度分布パラメータの総当たり方式によって、最小の空隙率を与える多成分球形粒子の粒度分布を得た。
（３）GAによる最小の空隙率を与える多成分球形粒子の粒度分布の探索を行い、（２）と同等の空隙率を与える粒度分布をおよそ61%の計算時間で探索することが出来た。
【００４２】
本研究では高い成形体密度を得るためのプロセスの第一段階として、寸法が既知である充填型に対し最小の空隙率を与える多成分系球形粒子の粒度分布を、新しいランダム充填シミュレーションアルゴリズムにGAを適用することにより短時間で探索することを可能にした。
【図面の簡単な説明】
【００４３】
【図１】従来のアルゴリズムによる多成分系球形粒子のランダム充填シミュレーションの模式図。
【図２】充填粒子と他の粒子との接触の模式図。
【図３】異なる粒径をもつ多成分系球形粒子を充填する場合の模式図。
【図４】本発明によるアルゴリズムを示す模式図。
【図５】粒度分布のパラメータ化を模式化した図。
【図６】空隙率が最小となる粒度分布のパラメータを探索するフローチャート。
【図７】ＧＡ操作図。
【図８】Ｃｒｏｓｓ−ｏｖｅｒ図。
【図９】転換図。
【図１０】空隙率の測定方法。
【図１１】最も小さい空隙率が得られたときの充填状態の図。
【図１２】ランダム充填シミュレーションを100回試行した結果から得られたヒストグラム。
【図１３】ＧＡによって最小の空隙率を探索するときのシミュレーション。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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