(57)【要約】【課題】ゴム弾性体のような、材料特性の異なる複数の材料相が分散配置されたミクロ構造を有する不均質材料の挙動をシミュレートする際、マクロ構造とミクロ構造のシミュレーション演算を整合させて効率よく行う。【解決手段】不均質材料のミクロ構造を再現したミクロスケールモデルを変形させてシミュレーション演算を行うことにより、超弾性ポテンシャル及び材料定数を定め、不均質材料を含む構造体を再現したマクロスケールモデルを用いて、前記超弾性ポテンシャル及び前記材料定数に基づいてマクロスケールシミュレーション演算を行う。マクロスケールシミュレーション演算結果のうち、不均質材料の配置部分の代表点の歪の結果を取得し、この歪からミクロスケールモデルにおける境界領域の変位を定め、この変位をミクロスケールモデルの境界条件としてミクロスケールシミュレーション２を行う。【選択図】図２
2006015866.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
材料特性の異なる複数の材料相が分散配置されたミクロ構造を有する不均質材料の挙動を離散化モデルを用いてシミュレートする不均質材料のシミュレーション方法であって、
不均質材料の前記ミクロ構造を再現した第１の離散化モデルを変形させてシミュレーション演算を行うことにより、不均質材料のミクロ構造を均質な構造としたときの超弾性ポテンシャル及びこのポテンシャルに基づく材料定数を定める第１のステップと、
前記不均質材料を含む構造体を、前記不均質材料を均質材料と見なして再現した第２の離散化モデルを用いて、前記超弾性ポテンシャル及び前記材料定数に基づいて所定の条件でシミュレーション演算を行う第２のステップと、
前記第２の離散化モデルを用いて行われたシミュレーション演算結果のうち、前記構造体における前記不均質材料の配置部分の代表点の歪又は歪速度の結果を取得し、この歪又は歪速度から前記第１の離散化モデルにおける境界領域の変位又は変位速度を定め、この変位又は変位速度を前記第１の離散化モデルの境界条件として前記第１の離散化モデルに付与してシミュレーション演算を行うことで、前記ミクロ構造を有する不均質材料に作用する物理量を算出する第３のステップと、を有することを特徴とする不均質材料のシミュレーション方法。
【請求項２】
前記第３のステップにおいて算出される前記物理量の、前記第１の離散化モデルにおける平均値が、前記第２の離散化モデルを用いて算出される前記不均質材料の代表点における物理量の値と許容範囲内で一致しない場合、前記第１の離散化モデルに付与される前記境界領域の変位又は変位速度を修正することにより、前記平均値を、前記不均質材料の代表点における物理量に許容範囲内で一致させる請求項１に記載の不均質材料のシミュレーション方法。
【請求項３】
前記境界領域における変位又は変位速度の修正は、前記第１の離散化モデルに周期境界条件を付与した前記第１の離散化モデルにおける固有値解析によって得られる複数の固有ベクトルを用いて基底ベクトルを作成し、かつこの基底ベクトルを線形加算したベクトルを擾乱ベクトルとし、この擾乱ベクトルの前記境界領域に対応するベクトル成分の値を修正すべき変位又は変位速度に加算することにより行う請求項２に記載の不均質材料のシミュレーション方法。
【請求項４】
前記平均値が前記不均質材料の代表点における物理量の値と許容範囲内で一致しない場合、前記基底ベクトルの線形加算の重み付け係数を変更することにより、前記変位又は変位速度の修正量を調整する請求項３に記載の不均質材料のシミュレーション方法。
【請求項５】
前記超弾性ポテンシャル及び前記材料定数を定めるステップでは、非線形関数を用いて超弾性ポテンシャルを定める請求項１〜４のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーション方法。
【請求項６】
前記不均質材料は、カーボンブラック及びシリカの少なくとも１つを補強材料相として含む請求項１〜５のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーション方法。
【請求項７】
前記第１のステップにおける、前記第１の離散化モデルを用いたシミュレーション演算は、一軸伸張、均等二軸伸張及び純せん断の少なくとも１つによるシミュレーション演算である請求項１〜６のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーション方法。
【請求項８】
前記第１のステップにおける、前記第１の離散化モデルを用いたシミュレーション演算は、二軸伸張によるシミュレーション演算である請求項１〜６のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーション方法。
【請求項９】
前記第１の離散化モデル及び前記第２の離散化モデルは、複数の有限要素によって構成した有限要素モデルである請求項１〜８のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーション方法。
【請求項１０】
前記第１の離散化モデル及び前記第２の離散化モデルの少なくとも一方の離散化モデルの少なくとも一部は、メッシュフリー法により離散化された部分モデルを有する請求項１〜９のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーションモデル方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、材料特性の異なる複数の材料相が分散配置された不均質材料のシミュレーション方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
タイヤのトレッドゴム部材やビードフィラーゴム部材等に用いられるフィラー配合ゴムや補強部材のバルク特性はタイヤ性能に影響を与える。このため、タイヤ性能のシミュレーション演算及びゴム材料特性のシミュレーション演算は、タイヤ開発の上で重要な要素となっている。バルク特性とは、材料特性の異なる材料相が分散配置された不均質材料の塊（バルク）の状態におけるマクロ特性であり、不均質材料を均質な材料と見なした場合の等価な材料特性である。
【０００３】
上記フィラー配合ゴムのような材料特性の異なる複数の材料相が分散配置された不均質材料のバルク特性をシミュレーション演算により評価するには、例えば不均質材料の代表領域を直方体形状に切り出してシミュレーションモデルを作成することが行われている。  そして、このシミュレーションモデルがあたかも上下、左右、奥行き方向に連続して無限に連なってバルク状を成しているように、シミュレーションモデルにおける直方体の対向する面に周期境界条件を付与してシミュレーション演算を行う。
【０００４】
このようなシミュレーション方法として、非線形問題の均質化法が提案されている（下記非特許文献１）。この均質化法は、不均質材料のミクロ構造のシミュレーションと全体構造物のマクロ構造のシミュレーションとを連成させて構造体の挙動を整合性を持たせてシミュレーションするものである。このため、シミュレーションの計算時間が膨大となりしかもメモリ容量も膨大となる。今日、大容量で高速な処理速度を有するコンピュータが普及しているが、現段階において上記非線形問題の均質化法を用いてタイヤの挙動をシミュレーションするには多大の時間を要する。並列処理により処理速度を高速化しても、依然として実用レベルのシミュレーションを行うことはできない。
【０００５】
【非特許文献１】寺田、菊池、土木学会論文集、No.633,I-49,1999,pp.217-229
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
そこで、本発明は、ゴム弾性体のような、材料特性の異なる複数の材料相が分散配置されたミクロ構造を有する不均質材料の挙動をシミュレートする際、不均質材料のミクロ構造のシミュレーションとマクロ構造のシミュレーションとを連成させることなく、マクロ構造とミクロ構造のシミュレーション演算を効率よく行うシミュレーション方法、好ましくは、ミクロ構造とマクロ構造のシミュレーション演算を整合性を持たせて行うシミュレーション方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上記目的を達成するために、本発明は、材料特性の異なる複数の材料相が分散配置されたミクロ構造を有する不均質材料の挙動を離散化モデルを用いてシミュレートする不均質材料のシミュレーション方法であって、不均質材料の前記ミクロ構造を再現した第１の離散化モデルを変形させてシミュレーション演算を行うことにより、不均質材料のミクロ構造を均質な構造としたときの超弾性ポテンシャル及びこのポテンシャルに基づく材料定数を定める第１のステップと、前記不均質材料を含む構造体を、前記不均質材料を均質材料と見なして再現した第２の離散化モデルを用いて、前記超弾性ポテンシャル及び前記材料定数に基づいて所定の条件でシミュレーション演算を行う第２のステップと、前記第２の離散化モデルを用いて行われたシミュレーション演算結果のうち、前記構造体における前記不均質材料の配置部分の代表点の歪又は歪速度の結果を取得し、この歪又は歪速度から前記第１の離散化モデルにおける境界領域の変位又は変位速度を定め、この変位又は変位速度を前記第１の離散化モデルの境界条件として前記第１の離散化モデルに付与してシミュレーション演算を行うことで、前記ミクロ構造を有する不均質材料に作用する物理量を算出する第３のステップと、を有することを特徴とする不均質材料のシミュレーション方法を提供する。
【０００８】
なお、前記第３のステップにおいて算出される前記物理量の、前記第１の離散化モデルにおける平均値が、前記第２の離散化モデルを用いて算出される前記不均質材料の代表点における物理量の値と許容範囲内で一致しない場合、前記第１の離散化モデルに付与される前記境界領域の変位又は変位速度を修正することにより、前記平均値を、前記不均質材料の代表点における物理量に許容範囲内で一致させることが好ましい。
その際、前記境界領域における変位又は変位速度の修正は、前記第１の離散化モデルに周期境界条件を付与した前記第１の離散化モデルにおける固有値解析によって得られる複数の固有ベクトルを用いて基底ベクトルを作成し、かつこの基底ベクトルを線形加算したベクトルを擾乱ベクトルとし、この擾乱ベクトルの前記境界領域に対応するベクトル成分の値を修正すべき変位又は変位速度に加算することにより行うことが好ましい。特に、前記平均値が前記不均質材料の代表点における物理量の値と許容範囲内で一致しない場合、前記基底ベクトルの線形加算の重み付け係数を変更することにより、前記変位又は変位速度の修正量を調整することが好ましい。
【０００９】
前記超弾性ポテンシャル及び前記材料定数を定めるステップでは、例えば、非線形関数を用いて超弾性ポテンシャルを定める。
前記不均質材料は、例えば、カーボンブラック及びシリカの少なくとも１つを補強材料相として含むものである。
なお、前記第１のステップにおける、前記第１の離散化モデルを用いたシミュレーション演算は、一軸伸張、均等二軸伸張及び純せん断の少なくとも１つによるシミュレーション演算あることが好ましい。あるいは、前記第１のステップにおける、前記第１の離散化モデルを用いたシミュレーション演算は、二軸伸張によるシミュレーション演算であってもよい。
【００１０】
前記第１の離散化モデル及び前記第２の離散化モデルは、例えば複数の有限要素によって構成した有限要素モデルである。その際、前記第１の離散化モデル及び前記第２の離散化モデルの少なくとも一方の離散化モデルの少なくとも一部は、メッシュフリー法により離散化された部分モデルを有することが好ましい。
【発明の効果】
【００１１】
本発明では、不均質材料を含む構造体の離散化モデル(マクロスケールモデル)を用いてシミュレーション演算を行い、このときの、不均質材料の配置部分の代表点の歪又は歪速度の結果から、ミクロ構造を再現した不均質材料の離散化モデル（ミクロスケールモデル）における境界領域の変位又は変位速度を定める。この変位又は変位速度をミクロスケールモデルの境界条件として与えてミクロスケールシミュレーションを行う。このため、不均質材料のミクロ構造のミクロスケールシミュレーションを、不均質材料を含む構造体のマクロスケールシミュレーションと関連させて効率よく行うことができる。
特に、ミクロスケールモデルにおける歪等の物理量の平均値が、構造体のマクロスケールモデルを用いて算出される不均質材料の配置部分の代表点における歪等の物理量の値と許容範囲内で一致しない場合、ミクロスケールモデルに境界条件として与える境界領域の変位又は変位速度を修正する。このため、マクロ構造のシミュレーション演算結果とミクロ構造のシミュレーション演算結果とを整合性よく算出することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１２】
以下、本発明の不均質材料のシミュレーション方法について、添付の図面に示される好適実施例を基に詳細に説明する。
【００１３】
図１は本発明の不均質材料のシミュレーション方法を実施する処理装置１０の構成を機能的に示したブロック図である。
処理装置１０は、入力操作系１２、コンピュータ１４及びディスプレイ１６を有する。
入力操作系１２は、マウスやキーボードであり、各種情報をオペレータの指示により入力するデバイスである。
【００１４】
コンピュータ１４は、ＣＰＵ１８、メモリ２０を有し、この他に図示されないＲＯＭ等を有する。コンピュータ１４は、ＲＯＭ等に記憶されたコンピュータソフトウェアを実行することにより、ミクロスケールシミュレーション演算部２２、パラメータ設定部２３及びマクロスケールシミュレーション演算部２４を機能的に形成し、本発明の不均質材料のシミュレーション方法を実施する部分である。
ディスプレイ１６は、入力操作系１２を用いてオペレータが指示できるように入力画面を表示し、又後述する有限要素モデル及びシミュレーション演算結果を表示する部分である。
【００１５】
ミクロスケールシミュレーション演算部２２は、異なる複数の材料相が分散配置されたミクロ構造を有する不均質材料の代表領域を表した有限要素モデルであるミクロスケールモデルを作成し、このミクロスケールモデルに予め定められた材料相の材料定数を付与して、所定の伸張条件で伸張処理を行ってミクロスケールモデルを変形させ、応力−歪みの関係を求めるシミュレーションを行う部分である。また、ミクロシミュレーション演算部２２では、マクロスケールシミュレーション演算部２４にて得られる演算結果をミクロスケールモデルの境界条件として与えて、ミクロスケールモデルを用いたミクロスケールシミュレーションを行い、不均質材料の代表領域における応力分布又は歪分布を算出する。さらに、算出された応力分布又は歪分布が所定の条件を満たさない場合、ミクロスケールモデルに与える境界条件を修正して、応力分布又は歪分布が所定の条件を満たすようにする。
【００１６】
パラメータ設定部２３は、ミクロスケールシミュレーション演算部２２で行われた演算結果を用いて、不均質材料の不均質なミクロ構造を均質な構造としたときの超弾性ポテンシャル及びこのポテンシャルに基づく材料定数を定める部分である。定められた超弾性ポテンシャル及びこれに基づく材料定数をマクロシミュレーション演算部２４に供給する。
【００１７】
マクロスケールシミュレーション演算部２４は、不均質材料を有する構造体について、不均質材料を均質材料と見なしてモデル化した、有限要素モデルであるマクロスケールモデルを作成し、このマクロスケールモデルに、超弾性ポテンシャル及びこれに基づく材料定数を付与して、所定の条件でシミュレーション演算を行う部分である。
ミクロスケールシミュレーション演算部２２、パラメータ設定部２３及びマクロスケールシミュレーション演算部２４の各部分の機能については後述する。
【００１８】
このような処理装置１０で実施される不均質材料のシミュレーション方法を具体的に説明する。
図２は不均質材料のシミュレーション方法の一例の流れを示すフローチャートである。図３は本発明のシミュレーションの対象となる不均質材料の代表領域の一例の断面図である。この不均質材料は、第１のポリマー相Ａ（図３中白色領域）と、第２のポリマー相Ｂ（図３中黒領域）と、カーボンブラックやシリカ等の補強材料である粒系フィラー相Ｃ（図３中の円形状の灰色領域）と、粒系フィラー相の周りを取り巻くフィラー・ポリマー境界相Ｄ（図３中の灰色領域）とが不均質に分散配置されている。すなわち、材料特性の異なる複数のエラストマーが材料相として分散配置され、さらに、粒状の補強材が材料相として分散配置されている。この不均質材料は、複数の材料相における弾性率のうち、例えば最大の弾性率は最小の弾性率の１００倍以上である。不均質材料を構成する材料相は、エラストマーやフィラー等の固体相であるばかりでなく、気体や液体が満たされた空隙相であってもよい。
このような不均質材料についてシミュレーションモデルが作成される。
【００１９】
まず、複数の離散点によって形状が特徴付けられた同一の直方体（６面体）形状のボクセルを単位セルとして、直交する三方向に沿って隣接しかつ連続的に複数個配置することによって不均質材料の代表領域の有限要素モデルであるミクロスケールモデル（第１の離散化モデル）を作成する（ステップＳ１０）。
不均質材料の代表領域は、例えば直方体形状とし互いに直交する３方向にメッシュ分割することにより、直方体形状の有限要素（ボクセル）を連続的に配置し、例えば２５６個×２５６個×２５６個の有限要素により構成した有限要素モデルを作成する。
図４は、直方体形状の有限要素によって構成された有限要素モデルの一例を示している。
なおミクロスケールモデルは、図４に示すように直方体形状のボクセルであるが、本発明においてはこのような一定の形状を成したボクセルに限られない。互いに直交する３方向にメッシュ分割せず、有限要素を材料相の形状に合わせてメッシュ分割して、６面体形状、４面体形状等の有限要素によってミクロスケールモデルを構成してもよい。
【００２０】
次に、ミクロスケールモデルの二軸伸張により、ミクロスケールモデルを変形させて、ミクロスケールシミュレーション１が行われる(ステップＳ１２)。
図５（ａ），（ｂ）は二軸伸張及びミクロスケールシミュレーション１の演算結果の一例を示す図である。図５（ｂ）には、二軸伸張のほかに、一軸伸張及び純せん断によるシミュレーション結果を示している。
二軸伸張とは、図５（ａ）に示すように、互いに直交する２方向に同時に引っ張る形態であり、一軸伸張とは、１方向に引っ張る形態である。一方、純せん断は、１方向にせん断のみを与える形態である。二軸伸張は、二軸の方向に異なる伸張比で伸張する形態の他、伸張比が同じ均等二軸伸張であってもよい。
図５（ｂ）に示すように、不均質材料の伸び率(歪み)に対する応力は非線形を示している。
【００２１】
次に、算出された不均質材料の伸び率に対する応力の関係から、超弾性ポテンシャル（歪エネルギー密度関数）及び材料パラメータが設定される（ステップＳ１４）。
上述したように、不均質材料における伸び率（歪み）に対する応力は非線形を示しているため、超弾性ポテンシャルを用いて不均質材料の材料パラメータを算出して、超弾性ポテンシャルを定める。
例えば、等方性超弾性ポテンシャルの場合、下記式（１）〜（３）のような非線形なポテンシャル関数Ｗｐ、Ｗｏ、ＷA-Bが例示される。
【００２２】
【数１】
2006015866.tif 000003
【数２】
2006015866.tif 000004
【数３】
2006015866.tif 000005
【００２３】
さらに、上記式（１）〜（３）中の各種パラメータは以下のように定義される。
有限要素モデルにおける変形後の座標をｘ、変形前の座標をＸとすると、変形勾配Ｆは下記式（４）のように表される。このとき体積変化を表す量Ｊは下記式（５）のヤコビアンによって定義される。変形勾配の修正を下記式（６）のよう定め、この修正変形勾配を用いて修正右コーシー・グリーン変形テンソルが下記式（７）のように定義される。式（７）中の“Ｔ”は転置を表す。修正右コーシー・グリーン変形テンソルの第１、第２不変量がそれぞれ下記式（８）〜（９）にて定義される。また、λ1, λ2, λ3を伸張比として下記式（１０）によって修正伸張比が定義される。
上記式（１）〜（３）は、このように定義される各種パラメータを用いる。
【００２４】
【数４】
2006015866.tif 000006
【数５】
2006015866.tif 000007
【数６】
2006015866.tif 000008
【数７】
2006015866.tif 000009
【数８】
2006015866.tif 000010
【数９】
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【数１０】
2006015866.tif 000012
【００２５】
このようなポテンシャル関数を用いて、材料定数（材料パラメータ）をカーブフィッティングにより求める。
具体的には、材料定数の値を繰り返し変更しながら、下記式（１１）に示す誤差関数が最小となる材料定数を求める。
【００２６】
【数１１】
2006015866.tif 000013
【００２７】
こうして求められた材料パラメータが不均質材料における超弾性ポテンシャルにおける材料パラメータとして定められ、超弾性ポテンシャルのポテンシャル関数が定められる。
【００２８】
一方、上述したミクロスケールモデルの作成（ステップＳ１０）と独立して、マクロスケールモデル(第２の離散化モデル)の作成が行われる（ステップＳ１６）。
マクロスケールモデルは、例えば図６におけるトレッドゴム材料を不均質材料として有するタイヤのタイヤモデル４０が例示される。タイヤモデル４０は、複数の有限要素によって構成された３次元モデルであり、図６ではタイヤモデルの断面形状が示されている。
タイヤモデル４０のトレッドゴム材料を有するトレッド部分は、ミクロスケールモデルのように、複数の材料相が分散配置されたミクロ構造を再現したものではなく、不均質材料を均質材料と見なして構成される。
なお、本実施形態においては、不均質材料を有する構造体としてトレッドゴム材料を有するタイヤを用いて説明するが、本発明においてはタイヤモデルに限定されない。
【００２９】
次に、作成されたタイヤモデル４０を用いてマクロスケールシミュレーションが行われる(ステップＳ１８)。
マクロスケールシミュレーションの際、ステップＳ１４で設定された超弾性ポテンシャル及び材料パラメータがタイヤモデル４０に付与されて、マクロスケールシミュレーションが行われる。例えば、別途作成された図示されないリムモデルにタイヤモデル４０が結合されて、内圧充填処理が施され、さらに別途作成された剛体路面モデル４２に対して接地処理が施され、所定の荷重が負荷される。さらに、タイヤモデル４２に転動処理を施してもよい。
こうしてマクロスケールシミュレーションによって得られたマクロスケールモデルにおける、トレッドゴム材料を有する部分の代表点の歪の結果を取得する。図６では、トレッドゴム材料の代表点として点４４が定められており、点４４における歪の値が取り出される。
【００３０】
次に、マクロスケールシミュレーションで取り出された代表点の歪の結果に基づいて、ミクロスケールモデルシミュレーション２が行われる(ステップＳ２０)。
ミクロスケールシミュレーション２では、代表点の歪を、下記式（１２）中の歪ｅxx,ｅxy,ｅxz,ｅyx,ｅyy,ｅyz,ｅzx,ｅzy,ｅzzに代入し、Δｘ、Δｙ、Δｚに直方体形状のボクセルの一辺の長さを代入することで、一方の有限要素の境界面上の節点を基準とした他方の節点の変位Δｕx，Δｕy，Δｕzが求められる。この変位をミクロスケールモデルの境界上の節点に強制変位として与え、ミクロスケールシミュレーション１と同様の材料定数を用いて、代表領域における歪分布、応力分布が算出される。代表領域には複数の材料相が分散配置されており、剛性の低い材料相の部分には歪が集中し易い。したがって、歪分布や応力分布を調べることにより、不均質材料の破断や亀裂が入り易い状態か否かを判断することができる。
【００３１】
【数１２】
2006015866.tif 000014
【００３２】
次に、算出された歪分布や応力分布を用いて、ミクロスケールモデル全体の歪又は応力の平均値が求められ、この平均値が、マクロシミュレーションにて算出された代表点(図６では点４４)における歪又は応力の算出値と比較され、平均値が代表点における算出値に対して予め設定された許容範囲内で一致するか否かが判定される（ステップＳ２２）。
歪みの平均値は、下記式（１３）のように表され、代表領域における歪の成分を有限要素の体積成分で積分して、ミクロスケールモデルの体積で除算した値である。応力の平均値についても同様に表される。
【００３３】
【数１３】
2006015866.tif 000015
【００３４】
判定の結果、平均値が算出値に対して許容範囲内である場合、算出された歪分布又は応力分布が、マクロスケールシミュレーション及びミクロスケールシミュレーション２の間で整合性の取れた不均質材料の挙動を表す物理量として算出される(ステップＳ２４)。
【００３５】
一方、ステップＳ２２にて否定された場合、ミクロスケールモデルに付与される強制変位が再設定される（ステップＳ２６）。
この再設定は、修正すべき強制変位に対して擾乱ベクトルにより修正量が設定され付与されることにより、行われる。下記式（１４）に擾乱ベクトルΦが定義されている。
【００３６】
【数１４】
2006015866.tif 000016
【００３７】
式（１４）に示すように、擾乱ベクトルΦは、ミクロスケールモデルの固有値解析を行って得られる固有ベクトルについて正規化した複数の基底ベクトルφi（ｉは固有値解析における次数を表す）を線形加算することによって得られるベクトルである。式（１４）では、ｗiが重み係数として設定される。なお、上記固有値解析は、一方の境界面上に位置する有限要素の節点の挙動が、他方の境界面上に位置する節点の挙動に滑らかに繋がるように周期境界条件が付与されて行われる。この擾乱ベクトルΦの、ミクロスケールモデルの境界に位置する節点に対応するベクトル成分を式（１２）によって得られた変位Δｕx，Δｕy，Δｕzに修正量として加算することにより、変位Δｕx，Δｕy，Δｕzが修正される。すなわち、基底ベクトルに係る重み係数ｗiを自在に調整することにより擾乱ベクトルを変化させることができ、変位Δｕx，Δｕy，Δｕzを自在に修正することができる。
変位Δｕx，Δｕy，Δｕzの修正量は、重み係数ｗiによって変化するため、予め設定された値を重み係数ｗiに与えて擾乱ベクトルΦを定める。こうして再設定された強制変位をミクロスケールモデルに付与してミクロスケールシミュレーション２を再度行う。シミュレーションの結果、ステップＳ２２において肯定されるまで、ステップＳ２６を繰り返す。この場合、重み係数ｗiの値が適宜変更される。重み係数ｗiの変更方法は特に制限されない。
【００３８】
図７（ａ）は、図３に示す不均質材料の代表領域についてミクロシミュレーション２を行った時の変形状態の一例を示す図である。図７（ａ）に示すように、代表領域の外周は、強制変位の付与により変形する。上記ステップＳ２６では、このような代表領域の境界の変形を考慮して、代表領域の境界上の節点に与える強制変位に擾乱ベクトルの成分を付与することで、強制変位の量を修正する。
こうして、ミクロスケールシミュレーション２の演算結果をマクロスケールシミュレーションの演算結果と一致させることができ、タイヤが転動中のタイヤトレッドゴム材料のミクロ構造に作用する物理量が、マクロスケールとミクロスケールの整合性を持って算出させることができる。
図７（ｂ）は、このような算出結果の一例として、最大主歪分布を示す図である。
【００３９】
上記実施形態では、マクロスケールシミュレーションによって算出される代表点の物理量として歪を用いたが、本発明では、時間とともに挙動が変化する動的マクロシミュレーションである場合、代表点の物理量を歪速度としてもよく、この場合、ミクロスケールシミュレーション２にてミクロスケールモデルの境界上の節点には、変位速度が付与される。
この場合、歪速度から変位速度（Δｖx，Δｖy，Δｖy，）の算出は下記式（１５）を用いて行うことができる。
【００４０】
【数１５】
2006015866.tif 000017
【００４１】
なお、上記実施形態では、ミクロスケールモデル、マクロスケールモデルは有限要素モデルであるが、本発明においてこれらの離散化モデルは有限要素モデルに限らない。例えばミクロスケールモデルはメッシュフリー法で規定されるサポートの範囲を単位セルとして、メッシュフリー法によりモデル化したものを部分モデルとして有してもよい。
メッシュフリー法とは、図８に示すように、複数の要素点（離散点）が連続して配置される状態において、注目する要素点５０ａ（図８中、黒丸）を中心として距離ρ0 内の範囲をサポートとし、この範囲において図８に示すようなスプライン関数、例えば４次のスプライン関数で重み関数ｗ（ｘ，ｙ）が設定されている。すなわち、各要素点において距離ρ0内の範囲をサポートとして単位セルが設定されている。
【００４２】
この重み関数ｗ（ｘ，ｙ）を用いて、注目する要素点を中心としたサポート内の各要素点の位置座標（ｘi ，ｙi ）（ｉは１〜ｎの整数；ｎはサポート内の要素点の総数）から重み係数を求め、各要素点の位置座標と重み係数とから、物理量を表す内挿関数Ｎ（ｘ，ｙ）を下記式（１６）によって設定する。さらに、下記式（１７）に従ってサポート内の要素点における物理量の値φi（ｉ＝１〜ｎの整数）から物理量の近似関数φh （ｘ，ｙ）を定める。この設定方法は、サポート内において、物理量の値φiに対する誤差が最小化するように近似関数φh （ｘ，ｙ）を定めるものであり、つまり、移動最小二乗法による近似手法によって求められるものである。詳細は、「計算力学ハンドブック  第１巻  有限要素法（構造編集）」（日本機械学会、１９９８年、第３７７〜３７９頁）に記載されている。
【００４３】
【数１６】
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【数１７】
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【００４４】
この内挿関数を用いて変形する不均質材料の１つの材料相の応力場における物理量の近似関数を表し、この物理量の近似関数を、ガラーキン法により定式化されている、有限要素法で用いられる応力場の支配方程式に代入することで、有限要素法における各有限要素における剛性行列に対応した剛性行列を作成することができる。このように、上記式（１６）で作成される内挿関数は、サポート内の要素点の位置情報と重み関数ｗ（ｘ，ｙ）で定まる重み係数によって定まるので、変形を受けて変位した要素点に応じて内挿関数が変化することを特徴とする。この点、モデルを設定した時点で、物理量を表す内挿関数が有限要素の形状に応じて一意的に定まる有限要素法とは異なる。
【００４５】
このように、メッシュフリー法により作成されるモデルでは、内挿関数はサポート内の要素点の位置情報と重み関数ｗ（ｘ，ｙ）で定まる重み係数によって定まるので、変形を受けて変位した要素点に応じて内挿関数が変化するため、大変形の計算において発散しにくいといった特徴を有する。このことから、メッシュフリー法により離散化される部分は、複数の材料相のうち剛性が最も低い材料相の配置部分を少なくとも含むようにし、残りの部分は、有限要素で構成するモデルであってもよい。これにより、剛性が１００倍以上異なるエラストマーとカーボンブラック等の粒状の補強材からなる不均質材料であっても、剛性の弱い材料相の局部的な大変形に対して発散することなくシミュレーション演算を行うことができる。
【００４６】
以上、本発明の不均質材料のシミュレーション作成方法について詳細に説明したが、本発明は上記実施形態に限定されず、本発明の主旨を逸脱しない範囲において、種々の改良や変更をしてもよいのはもちろんである。
【図面の簡単な説明】
【００４７】
【図１】本発明の不均質材料のシミュレーション方法を実施する処理装置の構成を機能的に示したブロック図である。
【図２】本発明の不均質材料のシミュレーション方法の一例の流れを示すフローチャートである。
【図３】不均質材料の代表領域の一例の断面図である。
【図４】本発明の不均質材料のシミュレーション方法において生成されるミクロスケールモデルの一例を示す図である。
【図５】（ａ）及び（ｂ）は本発明のミクロスケールシミュレーション１及び演算結果の一例を示す図である。
【図６】本発明におけるマクロスケールモデルを説明する図である。
【図７】（ａ），（ｂ）は、ミクロシミュレーション２を行った結果の例を示す図である。
【図８】本発明の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法において用いられるメッシュフリー法を説明する図である。
【符号の説明】
【００４８】
１０  処理装置
１２  入力操作系
１４  コンピュータ
１６  ディスプレイ
１８  ＣＰＵ
２０  メモリ
２２  ミクロスケールシミュレーション演算部
２３  パラメータ設定部
２４  マクロスケールシミュレーション演算部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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