(57)【要約】【課題】  対数方眼紙の自然科学分野での利用者に対し、自然対数仕様の刻み線を備えた対数方眼を設計するための対数軸の刻み線に関する規格、及びこの規格を利用した製品を提供する。自然対数刻みの線は、解析の際に抜群の使い勝手のよさが期待できるが、単独で用いても常対数刻みの線と重ね書きしても、刻み線が複雑になり使い勝手が悪くなる。常対数と自然対数の便利さを併せ持った、対数軸の刻み線に関する問題を解決する。【解決手段】  自然対数の底という無理数の３乗と整数２０との間に、線の太さの範囲内の精度で近似関係があるという数学的な性質を利用することにより、自然対数仕様の刻み線を常対数刻みの対数方眼紙内に共通に使用して描く方法を見出した。すなわち、自然対数の底の３乗倍変化する刻み線を常対数の２０倍変化する刻み線と共通に使用し、他の常対数の刻み線と区別できる特殊な線で描いて示すことができるようになった。【選択図】    図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
対数軸を設定して対数方眼を描画する方法であって、自然対数仕様の刻み線を、常対数刻みの線が引かれた対数方眼に、誤差の範囲内で共通に使用できる線として描くことを特徴とする対数方眼描画方法。
【請求項２】
コンピュータを制御することで対数軸を設定して対数グラフを描画する機能を備えたソフトウェアであって、請求項１の対数方眼描画方法を対数軸描画仕様に含めて製作した、コンピュータに読み込み可能な対数グラフを描画するソフトウェア。
【請求項３】
対数軸を設定して対数方眼を描画するグラフを表示する機能を備えた装置であって、請求項１の対数方眼描画方法を対数軸描画仕様に含めて製作した、グラフを表示する機能を備えた装置。
【請求項４】
対数軸を設定して対数方眼を描画したシート媒体であって、請求項１の対数方眼描画方法により得られる対数軸を備えるようにして製作した、対数方眼を描画したシート媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、自然対数仕様の刻み線を、常対数刻みの線が引かれた対数方眼に、誤差の範囲内で共通に使用できる線として描くことを特徴とする対数方眼描画方法、及びこの方法を使用して製作したコンピュータに読み込み可能なソフトウェア、並びにこの方法を使用して製作したグラフを表示する機能を備えた装置、並びにこの方法を使用して製作したシート媒体に関する。
【背景技術】
【０００２】
近年、科学技術の発展に伴い、対数軸を備えた片対数方眼あるいは両対数方眼に於けるグラフ処理はその役割を増してきている。製造業の分野からは、対数方眼の刻み線を描画する方法に視覚的工夫を凝らした対数グラフ描画装置や対数グラフ描画処理のためのプログラムが開発されている（特許文献１参照）。また、株式、為替など経済の分野でも片対数方眼紙は大きく変動する数値の記録に利用するにあたり、所要の公比の間隔で指示マークや補助分割線を方眼部分の外側に設けるなどの提案がなされている（特許文献２参照）。自然科学の分野では、従来から、片対数方眼紙は指数関数的に変化する現象の定量的な理解に役立っている（例えば、非特許文献１、２参照）。
【０００３】
市販されている対数方眼紙は、対数軸の刻み線を常対数で扱っており（例えば、非特許文献３参照）、１０進数で値を記入する際に便利なように作られている。また、片対数方眼紙に対しては、対数軸に記述される量が一桁、つまり１０倍あるいは１０分の１倍ごとに変化するときの線形軸の変化量を読み取るのにも適している。対数方眼の対数軸に関しては、基準となる数値は１０であり、目盛りの刻みや数値の記入に際して、常対数の使用が公知である。
【０００４】
自然科学では、現象を記述する微分方程式の解に自然対数の底の値が現われるため、本来、対数軸に自然対数を用いると対応関係がよい。市販の常対数仕様の片対数方眼紙に描かれたグラフから興味ある量を読み取る際には、対数軸上に於ける基準となる数値を利用者の方でｅとし、紙面上でｅ倍あるいはｅ分の１倍の変化に相当した長さを読み取るか、もしくは、対数軸の変化量を適当な使いやすい長さで暫定的に読み取り、後でｅを含む換算係数を用いてｅ倍あるいはｅ分の１倍に相当する長さに換算する。ここで、ｅは自然対数の底(ｅ＝2.718281828…)という無理数である（例えば、非特許文献２，４参照）。このため自然科学に携わる者にとっては、市販の常対数刻みの線が描画された片対数グラフ上でｅを基準に数値を読み取る際には、ｅという無理数の取り扱いが必然的である。無理数の取り扱いは整数や半整数の取り扱いに対し不便であることは言うまでもない。市販されている従来公知の片対数方眼紙が自然対数仕様に設計されていないことは、自然科学分野の利用者にとっては不便さを伴うという意味で欠陥である。
【０００５】
もしも、対数方眼紙に自然対数刻みの線があれば、解析の際に抜群の使い勝手のよさが期待できる。そこで、常対数に替えて自然対数を単純に導入すると、こんどは対数軸の数値刻み線の割り振りに関して無理数ｅを基準として行なうことになる。つまり、対数軸で等間隔となる１サイクルの単位はｅ倍となり、ｅ倍刻みの線を目安に数値を記入することになる。これは使い勝手の面で非現実的である。では、常対数による刻み線と自然対数による刻み線とを重ね書きする工夫も思いつく。紙面上の刻み線の意味が複雑になり現状よりも分かりにくくなってしまうが、自然対数刻みの利点を引き出せる。しかし、他の分野の利用者にとっては、自然対数刻みの線は余計であり、邪魔であろう。
【０００６】
対数方眼紙の自然科学分野に於ける利用に対して、数値の記入あるいは読み取りの際に現われるｅを含む無理数の処理は、先に述べた先行特許技術が有する工夫では、目的が異なるので、解決できない。自然科学分野では必然的な、この無理数を介した不便な処理は、現状では、未解決のままである。
【０００７】
この現状に受け身では黙っていられない理系の人も昔からいる。例えば、市販の片対数方眼紙に合わせて、手持ちの定規に対数軸のｅ倍にあわせた長さの印をつけて対数軸にあてがい、対応する線形軸の長さの変化を読み取るという工夫をした経験が皆さんにもおありではないだろうか。その他、市販の常対数仕様の片対数方眼紙を元にして、利用者の側で縮小し、対数軸のｅ倍の長さを１ｃｍとする規格にすることで、自然対数の便利さを引き出そうとするアイデアもある。これら慣用技術は、自然対数仕様の刻み線を備えた、使いやすい対数方眼紙が無いために、既存のものを利用して、自助の精神で対処している例である。
【０００８】
コンピュータが普及した昨今では、便利なソフトウェアにより対数グラフの傾きを瞬時に計算してくれる。しかし、片対数方眼紙あるいは両対数方眼紙は、物理学を初めとする自然科学全般の高等基礎的実験授業などで、いわば教材として使われている（例えば、非特許文献１参照）。理科系の初心者に対して、片対数グラフ上の直線の傾きを読み取る作業などの、片対数方眼紙の原理に基づいた解析を、意味をよく理解した上で、その場で簡便に行なうことは、教育上の観点からも意義がある。対数方眼紙の今後も教材としての需要は無くならないだろう。自然対数仕様の刻み線を備えた対数方眼紙を、使い勝手のよい製品として開発することが有益であることは明らかである。
【０００９】
本書では、「片対数方眼紙」と「片対数グラフ用紙」は、商品名の違いであり、同じ意味の物と解している。国際特許分類にて、「方眼紙」の用語は有るが、「グラフ用紙」は無いので、ここでは「方眼紙」という方の用語を用いた。「片対数」方眼紙と「半対数」方眼紙も同義である。対数軸の「サイクル」とは、対数軸上の紙面に等間隔に引かれた線の間隔のことで、使用する対数の底倍変化する周期を意味するとした。常対数方眼ならば１サイクルは１０ｄＢである。この対数方眼紙にデータの集合を記述したものを、「対数グラフ」あるいは単に「グラフ」と呼ぶことにした。
【特許文献１】特開2004-118448号公報  対数グラフ描画装置および対数グラフ描画処理プログラム
【特許文献２】特開平10-100567号公報  グラフ用紙
【非特許文献１】「教育学部における理科基礎実験授業の改善と実験マニュアルの作成」、教育方法等改善経費によるプロジェクト  報告書、大井みさほ、東京学芸大学教育学部、平成６年
【非特許文献２】コルモゴロフ著、馬場良和、馬場良和、保坂秀正、丸山哲郎、山崎昇訳、「学問と職業としての数学」、大竹出版、２００３年
【非特許文献３】「トチマン総合製品カタログ」、十千万株式会社、No.43、022-024頁
【非特許文献４】高木貞治、「解析概論」、岩波書店、1938年
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１０】
本発明の目的は、対数方眼紙の自然科学分野での利用者に対し、実用的な自然対数仕様の対数方眼紙を設計するための刻み線の描き方に関する規格、及びこの規格を利用した製品を提供することにある。対数方眼紙に自然対数刻みの線があれば、解析の際に抜群の使い勝手のよさが期待できるにもかかわらず、刻み線が複雑になるという点で実現されていない。他の分野の利用者に対しても不要な線を増やさないで使いやすい、常対数と自然対数の双方の便利さを併せ持った対数軸の刻み線に関する問題を、数学的な関係に基づいた新たな規格を導入することにより解決する。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
本発明者らは、意外にも、自然対数の底という無理数ｅと整数２０との間にある、数学的な関係
ｅ３ ＝ ２０.０８５５… ≒ ２０
を利用することにより、自然対数仕様の刻み線を、常対数仕様の刻みの線が引かれた対数方眼に、誤差の範囲内で共通に使用できる線として描くことができることを見出した。ここで、対数軸上での長さの誤差０.１４％（＝100×(log10e3−log1020)/ log1020）は、紙面の縮尺にも依るが、市販のＡ４版４サイクルの片対数方眼紙に対しては、０.１２ｍｍで、線の太さに収まってしまう程度である。
【００１２】
一般に、自然対数刻みの線は、常対数の刻み線とは一致せず、重なり合うものではない。しかし、自然対数刻みの線のうち、初項がｅあるいはｅ２で公差がｅ±３の刻み線を間引いて描画するだけで、数サイクルの範囲にわたり、前述の近似関係を利用することで、紙面を格段にすっきりさせることができることに気付いた。
【００１３】
すなわち、本発明は、この自然対数仕様と常対数仕様とで共通に使用できる刻み線を対数方眼紙に描くために、ｅ３を基準とすることを特徴とする規格の設定方法に関する。
【００１４】
この共通刻み線は対数軸に対して導入するもので、間隔はｅ３倍ごとであり、常対数刻みの２０倍ごとにある既存の線と誤差の範囲で共通に使用すると定義する。すなわち、紙面上の対数軸には、従来公知の常対数刻みの線を残して１０進数での数値記入を可能とし、かつ、このうちの２０倍ごとの刻み線を自然対数仕様のｅ３倍ごとの刻み線と共通して使用する。この共通した刻み線の紙面上での間隔は、数値の読み取りの際に便利なように、適当な長さｍの３倍に定める。
【００１５】
この共通刻み線に関する規格は、ｄＢを用いた別の表現でも言い換えることができる。対数軸でｅ３倍変化するのに要する間隔は、３０log１０ｅ ｄＢである。ここで、３０log１０ｅ ｄＢあたりの紙面上での長さを、使いやすい任意の数ｍの３倍に決める。
【００１６】
ここで、適当な長さｍとは、一般的な線形目盛り間隔単位の整数倍あるいは半整数倍などとした使い勝手の良い任意の長さとする。対数方眼紙として使用する場合、使いやすい任意の数ｍは使用する紙の大きさとサイクルの数によって決定する。
【００１７】
実物の例を用いて説明する。例えば、使いやすい任意の数として２.５を選び、ｍ＝２.５ｃｍと設定した場合について説明する。常対数と自然対数とで共通して使用する刻み線を、１００を中心に合計３本描いたものが図１の片対数方眼紙である。縦軸に対数軸（図１の符号１）をとり、横軸に線形軸（図１の符号２）をとった。常対数刻みの線は実線（例えば、図１の符号３）で、自然対数刻みと共通の線は特殊線、ここでは点線で修飾（例えば、図１の符号４）、で示した。この共通線の紙面上での間隔は、線の太さ程度の精度で、ｅ３倍ごとに変化するとみてよい。この対数軸の共通刻み線は、図１にて、原寸では、３ｍ＝３×２.５［ｃｍ］ごとに引かれていて、全てが常対数刻みの線と共通である。この対数軸の縮尺は、３×２.５ｃｍ／３０log１０ｅ ｄＢ、または、約分して、２.５ｃｍ／１０log１０ｅ ｄＢと表現できる。この特殊線どうしの間隔の１／３は、規格の定義から、使いやすい整数ｍに定めてあり、ｅ倍ごとに変化する紙面上での間隔であることを明記しておく。方眼部分の欄外にある対数軸の縮尺に関する書き込み「２.５ｃｍ／１０log１０ｅ ｄＢ」（図１の符号６）により、この長さを知ることもできる。
【００１８】
この対数軸に於ける共通線の規格は、一枚の対数方眼紙の全領域で共通に使用することができることを付記しておく。
【００１９】
また、この対数軸に於ける共通線の規格は、片対数方眼に於ける対数軸にも、両対数方眼に於ける対数軸にも使用することができる。
【００２０】
この共通刻み線を備えた対数方眼は、シート媒体に対して描画して使用することが望ましい。ここで、シート媒体とは、紙またはフィルムもしくはシートなどの印刷可能な媒体を意味する。
【００２１】
また、この共通刻み線を備えた対数方眼は、グラフを表示する機能を備えた装置によって描画する対数方眼の刻み線にも利用することができる。ここで、グラフを表示する機能を備えた装置とは、プラズマ画面、液晶画面、プロジェクション画面、ブラウン管（ＣＲＴ装置）画面、発光ダイオード画面、または、投写機（プロジェクタ）、もしくはプリンタやプロッタなど、グラフを表示する機能を備えた装置である。
【発明の効果】
【００２２】
対数軸を設定して対数方眼を描画する方法に於いて、自然対数仕様の刻み線を、常対数刻みの線が引かれた対数方眼に、誤差の範囲内で共通に使用できる線として描くことを特徴とする対数方眼描画方法により、初めて、自然対数仕様の実用的な対数方眼の描画方法を提供できるようにした。
【００２３】
コンピュータを制御することで対数軸を設定して対数グラフを描画するためのソフトウェアに於いて、自然対数仕様の刻み線を、常対数刻みの線が引かれた対数方眼に、誤差の範囲内で共通に使用できる線として描くことを特徴とする対数方眼描画方法を対数軸描画仕様に含めて機能させるようにしたことを特徴とするように製作した、コンピュータ読み込み可能な対数グラフ描画処理ソフトウェアを開発できるようにした。
【００２４】
対数軸を設定して対数方眼を描画するグラフを表示する機能を備えた装置に於いて、自然対数仕様の刻み線を、常対数刻みの線が引かれた対数方眼に、誤差の範囲内で共通に使用できる線として描くことを特徴とする対数方眼描画方法を対数軸描画仕様に含めて製作した、グラフを表示する機能を備えた装置の製造を可能にした。
【００２５】
対数軸を設定して対数方眼を描画した物に於いて、自然対数仕様の刻み線を、常対数刻みの線が引かれた対数方眼に、誤差の範囲内で共通に使用できる線として描くことを特徴とする対数方眼描画方法により得られる対数軸を備えた対数方眼を、シート媒体へ描画した物として製造できるようにした。
【００２６】
対数軸が常対数刻みであり、かつ、自然対数仕様の刻み線も備えた対数方眼紙を使用することにより、自然対数がもつ数学的な便利さを紙面上で活用できることになった。つまり、自然対数仕様の刻み線を目安に、指数関数の特徴的な量を簡潔にかつ定量的に読み取ることができる、紙面上での測定法を提供した。特に、片対数グラフでは、使い勝手が向上する。
【００２７】
対数軸が常対数刻みであり自然対数仕様の刻み線も備えた対数方眼紙を使用することにより、物理学などの自然科学分野で、現象を記述する微分方程式のｅを含む解と直接に対応関係のある実験値を対数方眼紙の紙面から簡単に読み取ることができるようになった。
【００２８】
自然対数を意識しないで片対数方眼紙を利用する分野の方にとっては、気付かないくらい目立たぬ規格であり、従来の使い勝手に全く支障をきたさないことも補足しておく。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２９】
片対数方眼紙として、あるいは両対数方眼紙として、すなわち、自然対数仕様の刻み線を共通線として備えた対数方眼を、シート媒体に描画して提供する。この媒体では、従来公知のものと同じ使い勝手で制限なく使用できる。
【００３０】
さらに、例えばグラフ表示装置への応用も可能である。特に、グラフ描画ソフトウェアなどに対しては、対数軸に関する共通刻み線を導入するか否かの選択機能を組み込み、グラフの描画時あるいは印刷時に利用することができる。
【００３１】
自然対数仕様の刻み線を常対数刻みの線が引かれた片対数方眼紙に誤差の範囲内で共通に使用できる線の好ましい規格は、３０log１０ｅ ｄＢに対して使い勝手のよい紙面上での長さの３倍と定める。この使い勝手のよい紙面上での長さをｍ［ｃｍ］とすると、対数軸の縮尺に関する規格は、比
３ｍ［ｃｍ］: ３０log１０ｅ［ｄＢ］
で表わすことができる。３ｍ［ｃｍ］は対数軸に於いてｅ３倍、つまり、３０log１０ｅ ｄＢの変化に相当した紙面上での長さを意味し、ｍを使用者にとって扱いやすい任意の値に設定する。このｍには、一般的な長さの単位の整数倍や半整数倍などが便利だろう。具体的には、ｍには紙面上で扱いやすい数、例えば５ｃｍや２.５ｃｍといった長さを設定すると使いやすい。
【００３２】
紙面上での共通刻み線の描画位置には３通りを考えることができる。第一は、誤差を全く気にせずに、ｅ３倍ごとの刻み線を描く方法である。これをｄＢ単位で表わせば、３０log１０ｅ ｄＢごとの刻み線となる。第二は、誤差を気にせず単純に、２０倍ごとの刻み線を描く方法である。これをｄＢ単位で表わせば、１０log１０２０ ｄＢごと刻み線となる。紙面上での描画サイクルが広い場合は、こちらの方が使いやすい。第三は、ｅ３倍と２０倍との対数軸紙面上での平均位置exp((３+logｅ２０)／２)とする方法である。これをｄＢ単位で表わせば、５（３log１０ｅ＋log１０２０）ｄＢごとの刻み線となる。数サイクルの間で、線の太さの範囲内にｅ３と２０との小さな違いを最も効率的に収めることができる。
【００３３】
紙面上での共通刻み線の描画本数は、常対数刻みの線の間引き法に準じて、適当に間引くこともできる。
【００３４】
紙面上での共通刻み線の形態は、他の常対数刻み線と区別できる特殊な線であれば、どんなものでも構わない。例えば、常対数刻み線が実線ならば、共通刻み線は点線としてもよいし、点線で重ね書きして修飾してもよい。常対数刻み線と、共通刻み線の色を変えても良い。
【００３５】
この共通刻み線は、２０倍ごとに変化する常対数刻みの線の組み合わせならば、紙面上で見やすい位置のものを任意に選ぶことができる。換言すると、共通刻み線の各数値は、公比ｅ３倍あるいは２０倍の等比数列となるが、この等比数列の初項は使いやすいものを任意に選んでよい。
【００３６】
また、この共通刻み線は、図１では、１つの初項による公比ｅ３倍あるいは２０倍の等比数列の値を描いた線の組で描いてある。この共通線の組は、初項を変えて複数の組にすることもできる。複数の組の共通線を描く場合は、初項ごとに特殊線の種類を変えると良いだろう。
【００３７】
対数軸の紙面上でｅ倍に相当する長さには、ｍ［ｃｍ］が便利であると決めた場合、１０倍つまり１０ｄＢあたりに変化する紙面上の長さは、ｍlogｅ１０[ｃｍ]となる。一枚の紙面上でｎサイクルつまり１０ｎ［ｄＢ］の範囲を描画する場合には、対数縦軸の全長を ｍｎlogｅ１０ [ｃｍ]とする。
【００３８】
ｍという長さには、よく使われるｃｍ単位を使って説明したが、他のいかなる長さの単位でもよい。例えば、ｍｍ単位でもインチ単位でも製作可能である。どんな単位に対してもそれに対応した自然対数仕様の対数方眼紙を作成できる。
【００３９】
片対数方眼紙として提供する際には、紙面のどこかに、自然対数仕様であることを明示してあると更に使いやすい。例えば、「点線間距離はｅ３倍」であるとかの書き込みがあるとよいだろう。また、ｍ＝２.５ｃｍの場合ならば、「対数軸でのｅ±１倍は、紙面上で２.５ｃｍに相当」あるいは「２.５ｃｍ×３／３０log１０ｅ ｄＢ」、もしくは、この約分形「２.５ｃｍ／１０log１０ｅ ｄＢ」、もしくは、これらの変形などにより、自然対数仕様の縮尺に関する書き込みがあってもよい。
【００４０】
片対数方眼紙として提供する際には、線形軸の目盛りの設計に対しては、対数軸の紙面上でｅ倍あるいはｅ分の１倍に相当する長さに用いた単位と同一の単位である方が使いやすい場合もあるだろう。
【実施例１】
【００４１】
本発明を、ソフトウェアへの応用に利用する場合の実施例を用いて説明する。
【００４２】
インターネット上にホームページを開設する。このホームページに接続することで、プログラムや画像のファイルをインターネット上で利用したり、あるいはダウンロードして利用したりすることができるようにしておく。
【００４３】
このホームページには、コンピュータを制御することで線形軸と対数軸を設定して片対数グラフを描画するためのソフトウェアに於いて、自然対数仕様の刻み線を、常対数刻みの線が引かれた片対数方眼に、誤差の範囲内で共通に使用できる線として描くことを特徴とする片対数方眼描画方法を対数軸描画仕様に含めて機能させるようにしたことを特徴とするように製作したコンピュータ読み込み可能な片対数グラフ描画処理ソフトウェアを掲載しておく。
【００４４】
最も簡単なソフトウェアの例として、図１のような画像ファイルを挙げることができる。
【００４５】
自然対数仕様の片対数方眼を、自然対数の特性を活用して利用することを希望する者は、このホームページに接続する。
【００４６】
取扱説明書あるいはソフトウェアのヘルプをよく読む。特に、常対数と自然対数刻みの共通線の間隔はｅ３倍ごとに定義されてあることを理解するものとする。
【００４７】
グラフ描画ソフトウェアをインターネット上で、またはダウンロードして、もしくは印刷して使用する。
【００４８】
ここで、図１の縦軸は対数軸（図１の符号１）に、横軸は線形軸（図１の符号２）にとってある。通常の常対数刻みの線は細い実線で描画してある（例えば、図１の符号３）。このうち、自然対数刻みと共通して使用する線は、特殊線、ここでは点線で修飾してある、で描いてある（例えば、図１の符号４）。利用者は、この特殊線間隔（例えば、図１の符号５）の定義がｅ３倍ごとに描かれていることを既知であるので、この刻み線を目安にｅ倍変化する紙面上あるいは画面上の幅を知ることができる。印刷されたときの紙面上の長さと対数軸の間隔との比は、グラフ描画ソフトウェアで任意に設定することができ、方眼部分欄外などに書き出すこともできる。図１の場合、縦軸のｅ倍の長さは、原寸で、２.５ｃｍである。
【実施例２】
【００４９】
本発明を、方眼紙として利用する場合について、以下の実施例を用いて詳細に説明する。
【００５０】
ある充電したコンデンサが抵抗を通して放電する際の電圧の変化していく様子をコンデンサの両端につないだ電圧計により時間経過とともに計測した。この放電現象の時定数を自然対数仕様の片対数グラフから読み取る作業について具体的に説明する。
【００５１】
自然対数仕様の片対数方眼紙を、自然対数の特性を活用して利用することを希望する者は、取扱説明書をよく読む。特に、常対数と自然対数刻みの共通線の間隔はｅ３倍ごとと定義されてあることを理解するものとする。
【００５２】
指数関数的に変化する現象
V ＝ V0 exp（−ｔ／τ）
は片対数グラフ上では直線
logｅV ＝ logｅV0 −ｔ／τ
となる。ここで、V［Ｖ］は経過時刻ｔ［分］での電圧で、V0［Ｖ］はｔ＝0 分での電圧である。τ［分］は時定数と呼ばれている。この片対数グラフ上での直線の傾きは、自然対数で考えるならば−１／τ［分−１］である。つまり、直線の傾きの逆数を読み取り、符号を変えることにより時定数を得ることができる。ちなみに、常対数で考えるときに現われるlog１０ｅ などの係数は、自然対数で考えているので解析の際に現われてこない。
【００５３】
自然対数仕様の片対数方眼紙は、紙面に印刷された外見からすると常対数刻みの片対数方眼紙のままであるので、数値の記述に関する利便性は従来公知の片対数方眼紙と同じである。つまり、対数軸での値の記述は常対数のときのように１０進数目盛りで行なえる。図２のグラフは、この自然対数仕様の片対数方眼紙に、実験結果を表したものである。図２では、コンデンサの両端の電圧を対数縦軸にとり、経過時間を線形横軸にした。
【００５４】
図２では、まず数分間の間は急激に値が変化し、続いて１０分過ぎから８０分すぎくらいまで片対数グラフ上で直線的に電圧が変化していることがわかる。図２には、この直線的に変化する領域を強調するような補助線（図２の符号７）を書き入れてある。ここでは、１０分過ぎから８０分すぎくらいまでの間の領域で時定数を読み取ることにする。
【００５５】
この図２の例の場合、注目する領域にて、時間とともに減少していく対数縦軸の電圧が、あるところからｅ分の１倍まで変化するのに要した線形横軸の変化量をグラフから読み取ればよい。一般に、対数間隔の軸にてｅ倍あるいはｅ分の１倍変化するということを自然対数で考えると、
logｅｅ±１−logｅ１ ＝ ±１                    （複号同順）
である。複号は対数軸上の増加の向きが正、減少の向きが負である。自然対数仕様の片対数方眼紙では、この対数縦軸の変化量±１に対応した紙面上の長さが、規格の定義により、一般的な長さの整数倍あるいは半整数倍などの扱いやすい長さに定められている。図２の場合には、自然対数仕様の特殊線が２本の点線で描かれている（図２の符号８、９）。この点線間の距離は、原寸で、１５ｃｍと実測（図２の符号１０）でき、その３分の１倍の値である５ｃｍが紙面上に於けるｅ倍の長さである。グラフ欄外にある自然対数仕様の縮尺に関する書き込み「対数軸でのｅ±１倍は、紙面上で±５ｃｍに相当」（図２の符号１１）により、ｅ分の１倍変化するのに要する紙面上での長さが−５ｃｍであることがここからもわかる。
【００５６】
次に、対数縦軸の紙面上の長さで５ｃｍ変化する間に、線形横軸がどれだけ変化したかを市販の定規をあててグラフから読み取る。図２の場合には、片対数グラフで直線的に変化する領域に注目して解析しているので、この領域では対数縦軸でｅ分の１倍変化するのに要する、つまり縦軸で５ｃｍ下方に変化、図２では下向き矢印（図２の符号１２）、する間に、線形横軸の変化は３６分経過、図２では右向き矢印（図２の符号１３）、したことが読み取れる。
【００５７】
以上から、この片対数グラフの傾きを、自然対数によって表現するならば、−１／３６分である。よって、このグラフの直線部分の傾きから、もとの電圧変化の時定数は３６分であることがわかる。自然対数仕様の片対数方眼紙を使用しているので、簡潔に必要な数値を求めることができた。
【００５８】
自然対数仕様の片対数方眼紙ならば、必要な情報を読み取る作業や計算処理の際、不便な無理数の替わりに、簡単な数、ここでは５ｃｍという整数、を扱うだけで簡潔に実行することができることを強調しておく。従来公知の常対数の片対数方眼紙を使用した場合は、自然対数仕様のような無理数を使わない簡潔なデータ処理はできない。
【実施例３】
【００５９】
本発明を、方眼紙として利用する場合について、別の実施例を用いて詳細に説明する。
【００６０】
ある放射性同位元素から放射されるガンマ線を半導体検出器で検出し、マルチチャネル分析器でガンマ線のエネルギーごとの強度分布スペクトルを計測した。この結果から、エネルギースペクトルのピーク位置に加えて、ピーク幅の分散を自然対数仕様の片対数グラフから読み取る作業について具体的に説明する。
【００６１】
自然対数仕様の片対数方眼紙を、自然対数の特性を活用して利用することを希望する者は、取扱説明書をよく読む。特に、常対数と自然対数刻みの共通線の間隔はｅ３倍ごとと定義されてあることを理解するものとする。
【００６２】
ここでは、ピークの形はガウス型
I(x) ＝ I0 exp｛−(x−x0)２／(２σ２)｝
であると仮定し、ピーク位置x0［ｃｈａｎｎｅｌ］に加えて、ピーク幅の分散σ２［ｃｈａｎｎｅｌ２］を片対数グラフから求める。ここで、I(x)［ｃｐｓ］はマルチチャネル分析器のカーソル位置x［ｃｈａｎｎｅｌ］でのガンマ線強度で、バックグラウンド強度を差し引いたものである。I0［ｃｐｓ］はx＝x0［ｃｈａｎｎｅｌ］での強度である。位置x［ｃｈａｎｎｅｌ］は、ガンマ線エネルギーに比例する。ガウス型の関数は自然対数仕様の片対数グラフ上では放物線
logｅ I(x)＝ logｅ I0 −(x−x0)２／(２σ２)
になるので、この放物線の差分を自然対数仕様の片対数グラフ上に描画すれば、直線
logｅ｛I(x)／I(x-1)｝＝−(x−x0)Δx／σ２
になる。ここで、Δxはカーソル位置の刻みで、Δx＝１ｃｈａｎｎｅｌである。この直線が対数縦軸にて１００となる線形横軸の位置がピーク位置x0［ｃｈａｎｎｅｌ］である。また、直線の傾きからピーク幅の分散σ２が求められる。この片対数グラフ上での直線の傾きは、自然対数で考えるならば−Δx／σ２［ｃｈａｎｎｅｌ−１］である。つまり、直線の傾きの逆数を読み取り、符号を変え、Δx＝１ｃｈａｎｎｅｌを代入したものが、分散σ２［ｃｈａｎｎｅｌ２］である。ちなみに、常対数で考えるときに現われるlog１０ｅ などの係数は、自然対数で考えているので解析の際に現われてこない。
【００６３】
自然対数仕様の片対数方眼紙は、紙面に印刷された外見からすると常対数刻みの片対数方眼紙のままであるので、数値の記述に関する利便性は従来公知の片対数方眼紙と同じである。つまり、対数軸での値の記述は常対数のときのように１０進数目盛りで行なえる。図３のグラフは、この自然対数仕様の片対数方眼紙に、ピーク付近の実験結果を抜き出して表したものである。ここで、隣り合うカーソル位置でのガンマ線の強度比I(x)／I(x-1)を対数縦軸にとり、用いたカーソル位置の平均値(x＋x−1)／２［ｃｈａｎｎｅｌ］を線形横軸にした。
【００６４】
図３では、対数縦軸の１００の近傍では片対数グラフ上で直線的に実験値が変化していることがわかる。図３には、この直線的に変化する領域を強調するような補助線（図３の符号１４）を書き入れてある。１００から離れたところでは直線的な変化をしていないが、これはピークの裾の領域ではガウス型の形から実際の形がずれていることを意味している。ここでは、対数縦軸の１００近傍にて認められる直線に対してピーク位置x0［ｃｈａｎｎｅｌ］と分散σ２［ｃｈａｎｎｅｌ２］を読み取ることにする。
【００６５】
対数縦軸で１００近傍の直線的な部分にて、まさに１００となる線形横軸の位置は、図３のグラフから２６６６.３ ｃｈａｎｎｅｌと読み取れる。したがって、ピーク位置x0は、２６６６.３ ｃｈａｎｎｅｌである。この作業に関しては、常対数グラフでも同じことができる。
【００６６】
続いて、分散σ２［ｃｈａｎｎｅｌ２］を読み取るためには、まず、この図３の例の場合、注目する領域にて、カーソル位置ごとに減少していく対数縦軸の強度比I(x)／I(x-1)が、あるところからｅ分の１倍まで変化するのに要した線形横軸の変化量をグラフから読み取ればよい。一般に、対数間隔の軸にてｅ倍あるいはｅ分の１倍変化するということを自然対数で考えると、
logｅｅ±１−logｅ１ ＝ ±１                    （複号同順）
である。複号は対数軸上の増加の向きが正、減少の向きが負である。自然対数仕様の片対数方眼紙では、この対数縦軸の変化量±１に対応した紙面上の長さが、規格の定義により、一般的な長さの整数倍あるいは半整数倍などの扱いやすい長さに定められている。図３の場合には、自然対数仕様の特殊線が３本の点線で描かれている（例えば、図３の符号１５、１６）。この点線間の距離は、原寸で、９ｃｍと実測（例えば、図３の符号１７）でき、その３分の１倍の値である３ｃｍが紙面上に於けるｅ倍の長さである。グラフ欄外にある自然対数仕様の縮尺に関する書き込み「３ｃｍ／１０log１０ｅ ｄＢ」（図３の符号１８）により、対数軸でｅ倍変化するのに要する紙面上での長さは３ｃｍであることがわかる。換言すると、対数軸でｅ倍変化するのに要する間隔をｄＢで表わすと１０log１０ｅ ｄＢであるが、この間隔あたりの紙面上の長さが３ｃｍと設定してあることがわかる。図３の場合のように片対数グラフ上での直線の傾きが負の場合、対数軸でｅ分の１倍の変化に相当する長さは、対数軸で数値の小さくなる向きへ紙面上で長さ３ｃｍである。
【００６７】
次に、対数縦軸の紙面上の長さで３ｃｍ変化する間に、線形横軸がどれだけ変化したかを市販の定規をあててグラフから読み取る。図３の場合には、片対数グラフで直線的に変化する領域に注目して解析しているので、この領域では対数縦軸でｅ分の１倍変化するのに要する、つまり縦軸で３ｃｍ下方に変化、図２では下向き矢印（図３の符号１９）、する間に、線形横軸の変化は２.７ｃｈａｎｎｅｌ変化、図２では右向き矢印（図３の符号２０）、したことが読み取れる。
【００６８】
以上から、この片対数グラフの傾きを、自然対数によって表現するならば、−１／２.７ｃｈａｎｎｅｌ−１である。よって、Δx＝１ｃｈａｎｎｅｌなので、このグラフの直線部分の傾きから、もとのピークの分散σ２は２.７ｃｈａｎｎｅｌ２であることがわかる。自然対数仕様の片対数方眼紙を使用しているので、簡潔に必要な数値を求めることができた。
【００６９】
自然対数仕様の片対数方眼紙ならば、必要な情報を読み取る作業や計算処理の際、不便な無理数の替わりに、簡単な整数、ここでは３ｃｍ、を扱うだけで簡潔に実行することができることを重ねて強調しておく。従来公知の常対数の片対数方眼紙を使用した場合は、自然対数仕様のような無理数を使わない簡潔なデータ処理はできない。
【図面の簡単な説明】
【００７０】
【図１】自然対数仕様の共通刻み線を備えた片対数方眼紙の見本
【図２】自然対数仕様の共通刻み線を備えた片対数方眼紙を使用した例（実施例１）
【図３】自然対数仕様の共通刻み線を備えた片対数方眼紙を使用した別の例（実施例２）
【符号の説明】
【００７１】
１  片対数方眼の対数軸
２  片対数方眼の線形軸
３  常対数刻みの線のひとつ
４  自然対数仕様の特殊線のひとつ
５  自然対数仕様の特殊線間の長さ
６  自然対数仕様の特殊線間の長さと対数目盛りとの縮尺の書き込み
７  直線的に変化する領域を強調するような補助線
８  自然対数仕様の特殊線
９  自然対数仕様の特殊線
１０  自然対数仕様の特殊線間の距離
１１  自然対数仕様の縮尺に関する書き込み
１２  対数軸でｅ分の１倍の変化量に対応した紙面上での長さ
１３  対数軸でｅ分の１倍の変化量に対応した線形軸側の変化量
１４  直線的に変化する領域を強調するような補助線
１５  自然対数仕様の特殊線
１６  自然対数仕様の特殊線
１７  自然対数仕様の特殊線間の距離
１８  自然対数仕様の縮尺に関する書き込み
１９  対数軸でｅ分の１倍の変化量に対応した紙面上での長さ
２０  対数軸でｅ分の１倍の変化量に対応した線形軸側の変化量
【図１】
2006076077.tif 000003
【図２】
2006076077.tif 000004
【図３】
2006076077.tif 000005