(57)【要約】  標本値を生成し任意に保存するために、周期的な信号（７）の時間離散放射と、受信信号のサンプリングを用いた、位相測定原理による距離測定方法において、目標物（２ａ、２ｂ）までの距離が同時に決定され、それによって信号は目標物（２ａ、２ｂ）によって反射され重ね合わされた信号部分を有する。数学的な信号モデルに基づいた統計的なパラメータ概算問題は、一つ以上の目標物（２ａ、２ｂ）に対する目標値（２ａ、２ｂ）の数がプリセットされ、又は根本的に目標物の数が上記方法によって決定され、不等式    【数１】2009506306.tif 000689と    【数２】2009506306.tif 000690が成立することによって解決される。プリセットされた距離    【数３】2009506306.tif 000691と    【数４】2009506306.tif 000692ここで    【数５】2009506306.tif 000693が、距離測定装置の測定範囲にセットされる。
2009506306.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
（ａ）周期的な次式
【数１】
2009506306.tif 000524
で示される周期的なN、特に異なる時間に次式
【数２】
2009506306.tif 000525
で示される半波長を有する電磁信号（７）を送信するステップと、
（ｂ）標本値を生成し、任意に保存するために、等しく一時的なサンプリングタイムにおいて受信信号をサンプリングするステップであって、目標K（２ａ、２ｂ、２ｃ）の受信信号は、反射し重ね合わさった信号成分を有し、サンプリングは信号周期あたり次式
【数３】
2009506306.tif 000526
で示される回数実行されるサンプリングステップと、
（ｃ）排他的に位相測定原理によって、目標Ｋに対する標本値からの次式で示される距離
【数４】
2009506306.tif 000527
を同時定量するステップとからなる距離測定方法であって、
距離決定時に、
目標の数Ｋが
（ａ）次式
【数５】
2009506306.tif 000528
で示される既知の値の場合に特定され、
（ｂ）目標数不明の場合に、標本値から決定され、そして、
数学的信号モデルに基づいた統計的パラメータ推定問題が、次式
【数６】
2009506306.tif 000529
に対して次式
【数７】
2009506306.tif 000530
が真であり、次式
【数８】
2009506306.tif 000531
であるところの特定された次式で示される距離
【数９】
2009506306.tif 000532
と次式で示される距離
【数１０】
2009506306.tif 000533
が距離計の測定範囲を設定することで解決することを特徴とする距離測定方法。
【請求項２】
（ａ）各周期信号（７）が、少なくとも最も低い周波数において次式
【数１１】
2009506306.tif 000534
で示される非消滅の高調波成分を含み、
（ｂ）次の不等式
【数１２】
2009506306.tif 000535
を満足するように、同時に決定される目標距離の上限
【数１３】
2009506306.tif 000536
と、等しく一時的な信号サンプリングの番号
【数１４】
2009506306.tif 000537
と
【数１５】
2009506306.tif 000538
が、選択されることを特徴とする請求項１に記載の距離測定方法。
【請求項３】
【数１６】
2009506306.tif 000539
ここで次式
【数１７】
2009506306.tif 000540
で示される行列式に組み合わせ可能な次のＭ・Ｎ等式
【数１８】
2009506306.tif 000541
に従って、前記信号モデルが、標本値からの距離信号データインターフェース
【数１９】
2009506306.tif 000542
を未知の目標距離と結び付けることを特徴とし、ここで、
（ａ）次式
【数２０】
2009506306.tif 000543
は、Ｍ成分１を備えたベクトルを示し、
（ｂ）距離信号データインターフェース
【数２１】
2009506306.tif 000544
の直流成分
【数２２】
2009506306.tif 000545
は、ベクトル
【数２３】
2009506306.tif 000546
と組み合わされ、
（ｃ）上付き文字Ｔは、そこで特徴付けられたベクトル又は行列の転置を表し、
（ｄ）
【数２４】
2009506306.tif 000547
は行列
【数２５】
2009506306.tif 000548
のｋ番目の列ベクトルを示し、そのエレメント
【数２６】
2009506306.tif 000549
は、ｋ番目の目標で反射されたｎ番目の信号の目標振幅と称される成分を示し、
（ｅ）シンボル
【数２７】
2009506306.tif 000550
は、アダマール又は行列の要素に関する左と右からの乗算を示し、
（ｆ）
【数２８】
2009506306.tif 000551
は、
【数２９】
2009506306.tif 000552
である各点で評価される信号形状の行列を示し、ここでｎ番目の信号形状
【数３０】
2009506306.tif 000553
は、二重に連続的に分化された周期１の周期関数
【数３１】
2009506306.tif 000554
としてモデル化されており、
（ｇ）ベクトル
【数３２】
2009506306.tif 000555
が、半波長
【数３３】
2009506306.tif 000556
の倍数単位で測定された目標距離
【数３４】
2009506306.tif 000557
を含み、
（ｇ）ベクトル
【数３５】
2009506306.tif 000558
が、半波長
【数３６】
2009506306.tif 000559
の倍数単位で測定された逆数値
【数３７】
2009506306.tif 000560
を含み、
（ｉ）測定尊号の位相位置ｙnは、ベクトル
【数３８】
2009506306.tif 000561
に結び付けられ、
（ｊ）ベクトル
【数３９】
2009506306.tif 000562
は、等しく一時的なサンプリング時間を含み、
（ｋ）
【数４０】
2009506306.tif 000563
は、価値自由のランダム変数の平均値
【数４１】
2009506306.tif 000564
としてモデル化された距離信号データ
【数４２】
2009506306.tif 000565
のノイズ成分の行列を示している、
ことを特徴とする請求項１又は２に記載の距離測定方法。
【請求項４】
目標振幅
【数４３】
2009506306.tif 000566
が、
Rang(A) = 1
又は
【数４４】
2009506306.tif 000567
の条件の一つを満足し、
ここでRang(A)はランクを示し、
【数４５】
2009506306.tif 000568
は行列Aの第一列ベクトルを示す
ことを特徴とする請求項３に記載の距離測定方法。
【請求項５】
較正のために、N周期信号（７）の少なくとも一つが、
（ａ）装置内で参照距離を少なくとも一度、特に二度通過し、
（ｂ）信号周期あたり、等しく一時的にＭ回サンプリングされ、
（ｃ）距離
【数４６】
2009506306.tif 000569
と
【数４７】
2009506306.tif 000570
を決定するために用いられること、
を特徴とする請求項１ないし４のいずれか１に記載の距離測定方法。
【請求項６】
次の行列式
【数４８】
2009506306.tif 000571
によって、異なる時間に実施された二つの測定の標本値から、信号モデルが
較正前信号データ
【数４９】
2009506306.tif 000572
と、較正後信号データ
【数５０】
2009506306.tif 000573
とを記述し、ここで
（ａ）下付き文字−は較正前信号データを示し、下付き文字＋は較正後信号データを示し、
（ｂ）較正信号データ
【数５１】
2009506306.tif 000574
は、行列
【数５２】
2009506306.tif 000575
と結び付けられ、
（ｃ）較正信号データの直流成分
【数５３】
2009506306.tif 000576
は、ベクトル
【数５４】
2009506306.tif 000577
と結び付けられ、
（ｄ）
【数５５】
2009506306.tif 000578
は、半波長
【数５６】
2009506306.tif 000579
の倍数で記述される距離
【数５７】
2009506306.tif 000580
を示し、装置内の参照距離によって定義され、
（ｅ）ベクトル
【数５８】
2009506306.tif 000581
は、受信機の位相ドリフト挙動の観察可能な成分を記述し、
（ｆ）ベクトル
【数５９】
2009506306.tif 000582
は、受信機の位相ドリフト挙動の観察不可能な成分を記述し、
（ｇ）
【数６０】
2009506306.tif 000583
は、価値自由のランダム変数の平均値
【数６１】
2009506306.tif 000584
としてモデル化された較正信号データ
【数６２】
2009506306.tif 000585
のノイズ成分の行列を示す、
ことを特徴とする請求項５に記載の距離測定方法。
【請求項７】
信号モデルが、対称型の明確に限定された循環行列としての、ランダム行列
【数６３】
2009506306.tif 000586
の共分散行列
【数６４】
2009506306.tif 000587
をモデル化し、
【数６５】
2009506306.tif 000588
に従ってそれらを構成し、ここで
【数６６】
2009506306.tif 000589
は
【数６７】
2009506306.tif 000590
における離散型フーリエ変換を表し、即ち、要素
【数６８】
2009506306.tif 000591
【数６９】
2009506306.tif 000592
の行列であることを特徴とする請求項３又は４と５又は６に記載の距離測定方法。
【請求項８】
（ａ）
【数７０】
2009506306.tif 000593
（ｂ）
【数７１】
2009506306.tif 000594
（ｃ）
【数７２】
2009506306.tif 000595
ここで
【数７３】
2009506306.tif 000596
（ｄ）
【数７４】
2009506306.tif 000597
（ｅ）
【数７５】
2009506306.tif 000598
と
【数７６】
2009506306.tif 000599
（ｆ）
【数７７】
2009506306.tif 000600
と
【数７８】
2009506306.tif 000601
（ｇ）
【数７９】
2009506306.tif 000602
と
【数８０】
2009506306.tif 000603
に従う変数が導入され、そして、
未知の目標距離
【数８１】
2009506306.tif 000604
と、未知のドリフトパラメータ
【数８２】
2009506306.tif 000605
と、未知の目標振幅
【数８３】
2009506306.tif 000606
と、に対する見積もり値
【数８４】
2009506306.tif 000607
が、量
【数８５】
2009506306.tif 000608
に対する
【数８６】
2009506306.tif 000609
に従って定義された関数
【数８７】
2009506306.tif 000610
の最大値
【数８８】
2009506306.tif 000611
として選択されることを特徴とする請求項７に記載の距離測定方法。
【請求項９】
関数
【数８９】
2009506306.tif 000612
の最大値
【数９０】
2009506306.tif 000613
が局所的収束反復最大化法によって、特に初期値が
【数９１】
2009506306.tif 000614
の関数
【数９２】
2009506306.tif 000615
の最大値の近似値によって計算されることを特徴とする請求項８に記載の距離測定方法。
【請求項１０】
関数
【数９３】
2009506306.tif 000616
の最大化が、差分の等価な最小化
【数９４】
2009506306.tif 000617
によって置き換えられ、ここで
（ａ）関数
【数９５】
2009506306.tif 000618
は、
【数９６】
2009506306.tif 000619
に従って定義され、
（ｂ）
【数９７】
2009506306.tif 000620
は、任意の
【数９８】
2009506306.tif 000621
順列行列を示し、
（ｃ）
【数９９】
2009506306.tif 000622
は、任意の積分行列
【数１００】
2009506306.tif 000623
を示し、
（ｄ）ベクトル
【数１０１】
2009506306.tif 000624
は、
【数１０２】
2009506306.tif 000625
に従って定義された関数
【数１０３】
2009506306.tif 000626
の最小振幅の最大値
【数１０４】
2009506306.tif 000627
を含み、
（ｅ）行列
【数１０５】
2009506306.tif 000628
と
【数１０６】
2009506306.tif 000629
は、
【数１０７】
2009506306.tif 000630
方程式
【数１０８】
2009506306.tif 000631
を満足するように選ばれることを特徴とする請求項９に記載の距離測定方法。
【請求項１１】
差異を近似する二次関数
【数１０９】
2009506306.tif 000632
の最小値
【数１１０】
2009506306.tif 000633
と
【数１１１】
2009506306.tif 000634
が計算され、そして、
関数
【数１１２】
2009506306.tif 000635
の反復最大化のための初期値として
【数１１３】
2009506306.tif 000636
が用いられ、ここで、
（ａ）シンボル
【数１１４】
2009506306.tif 000637
は、その左右のベクトル又は行列を備えたクロネッカープロダクトを示し、
（ｂ）
【数１１５】
2009506306.tif 000638
はＮ個の対角線に
【数１１６】
2009506306.tif 000639
を有するＮ×Ｎの順序行列を備えたブロック対角行列を示し、
【数１１７】
2009506306.tif 000640
が恒等行列
【数１１８】
2009506306.tif 000641
として選択され、
（ｃ）
【数１１９】
2009506306.tif 000642
は、列ベクトル
【数１２０】
2009506306.tif 000643
を互いの下に書くことによって生じるベクトルを示し、
（ｄ）行列
【数１２１】
2009506306.tif 000644
は、
【数１２２】
2009506306.tif 000645
に従って定義され、ここで部分行列
【数１２３】
2009506306.tif 000646
【数１２４】
2009506306.tif 000647
と
【数１２５】
2009506306.tif 000648
であり、
【数１２６】
2009506306.tif 000649
は
【数１２７】
2009506306.tif 000650
を備えた対角行列であり、
【数１２８】
2009506306.tif 000651
は関数
【数１２９】
2009506306.tif 000652
の二次導関数のヘッセ行列を示す、
ことを特徴とする請求項１０に記載の距離測定方法。
【請求項１２】
（ａ）適切な比率で半波長
【数１３０】
2009506306.tif 000653
が選択され、
（ｂ）ベクトル
【数１３１】
2009506306.tif 000654
が、
【数１３２】
2009506306.tif 000655
と
【数１３３】
2009506306.tif 000656
を用いて表現され、ここで
【数１３４】
2009506306.tif 000657
は成分
【数１３５】
2009506306.tif 000658
の最大公約数であり、
（ｃ）ユニモジュラ行列
【数１３６】
2009506306.tif 000659
ここで
【数１３７】
2009506306.tif 000660
であり、最後の列ベクトル
【数１３８】
2009506306.tif 000661
が選択され、従って
（ｄ）変数変換
【数１３９】
2009506306.tif 000662
が
【数１４０】
2009506306.tif 000663
に対して実行され、ここで
【数１４１】
2009506306.tif 000664
は行列
【数１４２】
2009506306.tif 000665
の逆数を示し、
（ｅ）反転
【数１４３】
2009506306.tif 000666
が小さな規模の要素を有するように、ユニモジュラ行列
【数１４４】
2009506306.tif 000667
が選択されることを特徴とする請求項１１に記載の距離測定方法。
【請求項１３】
ノルムベクトルの二乗
【数１４５】
2009506306.tif 000668
の最小値
【数１４６】
2009506306.tif 000669
を計算し、ここで
（ａ）
【数１４７】
2009506306.tif 000670
はユークリッドノルムベクトルの２乗
【数１４８】
2009506306.tif 000671
であり、
（ｂ）
【数１４９】
2009506306.tif 000672
は行列
【数１５０】
2009506306.tif 000673
の右コレスキー因子を示し、
（ｃ）
【数１５１】
2009506306.tif 000674
は、行列
【数１５２】
2009506306.tif 000675
の列ベクトルによって定義された部分空間上の
【数１５３】
2009506306.tif 000676
の標準投影を示し、変数再変換によって、
【数１５４】
2009506306.tif 000677
と
【数１５５】
2009506306.tif 000678
から、あらゆる
【数１５６】
2009506306.tif 000679
に対して
【数１５７】
2009506306.tif 000680
が計算されることを特徴とする請求項１２に記載の距離測定方法。
【請求項１４】
【数１５８】
2009506306.tif 000681
と
【数１５９】
2009506306.tif 000682
とに対するノルムベクトルの二乗
【数１６０】
2009506306.tif 000683
の最小化が、請求項１２と１３に従って行われることを特徴とする請求項１１に記載の距離測定方法。
【請求項１５】
あらゆる
【数１６１】
2009506306.tif 000684
に対する
【数１６２】
2009506306.tif 000685
に従って、推定値
【数１６３】
2009506306.tif 000686
が計算され、
【数１６４】
2009506306.tif 000687
となるように
【数１６５】
2009506306.tif 000688
が選択されることを特徴とする請求項８ないし１４のいずれか１に記載の距離測定方法。
【請求項１６】
請求項１ないし１５のいずれか一つに記載された方法を実行するために、機械読み取り可能な媒体に保存されたか、又は電磁波によって具体化されたプログラムコードを備えた、特にコンピュータによって実行されるコンピュータプログラム製品。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、請求項１の特徴項の前文に記載された位相測定原理による距離測定のための複数を目標とする方法と、コンピュータプログラム製品に関する。
【０００２】
非接触距離測定の分野において、種々の測定原理と測定方法が知られており、例えば"J. M. Rueger: Electronic Distance Measurement, 4th Edition; Springer, Berlin, 1996"や"R. Joeckel & M. Stober: Elektronische Entfernungsund Richtungsmessung, 4th Edition; Auflage; Verlag Konrad Wittwer, Stuttgart, 1999"などがある。市販の電気光学的距離測定装置は、主として位相測定原理又はパルス経過時間測定原理によって動作する（例えばJoeckel & Stoberの第１３章参照）。
【０００３】
これらの装置の動作モードは、例えば強度変調した光のような、変調した電磁波を測量すべき目標に放射して、理想的には排他的な測量すべき目標である後方散乱物から一つ以上の反響を受信することに存する。受信した反響の信号の評価は、標準的な技術作業であって、特に光学システムの使用によって多様な解法が実現されている。測地学と建設業において、反射器無しに測定する距離計を備えたタキメータが、最近増えてきている。反射器無しでの距離測定は、しばしば距離計から放射された測定ビームが同時に複数の物体に当たる場合がある。これは、例えばエッジの測量時に、ビームの一部が物体のエッジに当たり、ビームの他の部分が物体の後方又は床を照らすことが起きる。別の例としては、弱く反射する目標物体の近傍にある再帰反射器で、散乱した光を距離計の受信機まで通す。もし、意図せず、またしばしば気付かずに、ビームが測定すべき実際の物体と例えば窓ガラスを通した距離計や木の枝や、鉄条網又は細線格子などに同時に当たった場合に、同様の状況が生じる。
【０００４】
このような複数の目標に当たった場合に、単一の距離を出力する従来の位相メータは、一般的に間違った測定を行う。即ち、測定精度から外れた誤りを含んだ距離測定値を出力する。目標がかなり離れていて、反響が検出できる程度に送信パルスが十分に短い場合であれば、経過時間計は、複数の目標に当たった状況をより容易に認識して、取り扱うことができる。加えて、パルスが位相メーターの連続的な送信信号より高い強度を有するので、目の安全規則を侵害することなく、経過時間メータはより大きなレンジを有する。
【０００５】
経過時間メータには、これら2つの長所があるにもかかわらず、ほとんどの通常のタキメータは、位相メータを備える。なぜなら、この方法のみが、現場に適用するに適した努力で、ミリメートル又はサブミリメートルレンジの距離測定に必要な精度をえることができるからである。これらの装置の信頼性は、もし位相メータが複数目標に対する能力を有すれば、実質的に向上する。
【０００６】
WO２００４／０７４７３３又はEP１  ４５０  １２８には、測地距離情報を導出するためのハイブリッドシステムが開示されており、そこでは光信号が一つ以上の目標に送信される。目標と一緒に、例えば送信機と受信機といった装置コンポーネントが、信号によって作動する線形時不変システムとしてモデル化され、そのシステム応答が記録される。純粋な経過時間メータ又は位相メータとは対照的に、距離情報は時間の関数としての移動と、システム応答の信号波形との両方から導出される。
【０００７】
従って、技術的に実現されておらず、又はハイブリッドシステムにおいて相当に複雑なものである位相メータの複数目標は、妥当な努力で位相メータのみを提供しても、多数の応用分野で要求する精度に関して今日知られている全ての距離測定原理に対し、実質的に不利であることが判明した。この状況の主な原因は、当業者に広く知られた見解として、また例えばEP１  ４５０  １２８に明確に述べられているように、純粋な又は排他的な位相メータ、即ち時間信号を用いない位相メータは、原理的に複数目標に対応する能力が無いということである。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
従って、本発明の目的は、現場での使用に適し、高い精度を有し、複数の目標に対応した、簡易化した測定方法を提供することである。
【０００９】
本発明のもう一つの目的は、固有の多数目標に対応する能力を有する純粋な位相測定方法を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
これらの目的は、本発明によれば、請求項１記載の特徴又は従属項記載の特徴又はさらに開発された解法によって達成される。
【００１１】
本発明によれば、位相メータが受信した信号は、位相メータの高い精度特性と同時に複数の目標の距離測定が可能なように処理することができ、これら目標の数に関して初めから知ること又は未知であることが可能である。後者の場合に、同時に調査された目標の数を決定するためや、適切な場合には、測量可能な目標の存在を無視するように信号処理をすることも目的である。
【００１２】
本発明は、位相メータによる複数の空間的に分離した目標の距離を同時に測定するための数学的なアルゴリズム的方法に関し、後者の場合に、一例として電気光学的な位相メータを用いることが可能である。このような複数目標の状況の単純な例としては、窓ガラスを通しての家壁までの距離測定があり、家壁までと窓ガラスまでの距離が同時に測定される。
【００１３】
純粋な位相メータが多数目標に対する能力を有さないという当業者の偏見は、既に引用したものを含む技術文献が単一目標に関連し、一般的に正弦関数の測定信号による位相測定原理を提供し、強くこの観点に基づいていることによって促されている。
【００１４】
本発明によれば、量的に位相メータによって生成されたデジタル信号を未知の目標への距離と結び付ける数学的信号モデルによるこの問題への正式なアクセスが、選択された。この信号モデルの設計は、その見解によらず、適切なコンピュータの利用によって、信号データから目標までの距離を明確に決定したいという要望から生じる論理的な必要条件によって決定された。未知の目標までの距離は、他の全ての未知のパラメータと共に、信号データから最適に評価される、この信号モデルのパラメータとして解釈される。
【００１５】
以下では、信号処理の基礎とされる信号モデルを公式化し、説明し、連続的に補足し、さらに特定する。このモデルに関連して、距離測定タスクを最大の可能性のあるパラメータ評価問題として公式化し、本発明によれば、その解法も特にオンライン信号同定を備えることによって、これは最大化問題へと変化する。この非線形でくぼみの無い最大化問題は、本発明に係る数値法によって効率的に解くことができる。
【００１６】
信号モデルの公式化、説明、そして処理には、数学の標準的な表記法と標準的な専門用語が必要であり、特に例えば"G. H. Golub & C. F. Van Loan: Matrix Computations, 3rd Edition; The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996"に記されているような数値線形代数が必要である。本願発明で用いられている数学的記号と、関連する専門用語を以下に説明する。
【００１７】
記号(は、「〜に含まれる要素」を示す。
【数１】
2009506306.tif 000003
は、整数のセット
【数２】
2009506306.tif 000004
を示し、
【数３】
2009506306.tif 000005
は、負でない整数のセットを示し、
【数４】
2009506306.tif 000006
は、自然数のセットを示し、
【数５】
2009506306.tif 000007
は、有理数を示し、
【数６】
2009506306.tif 000008
は、実数を示し、
【数７】
2009506306.tif 000009
は、負でない実数のセットを示し、
【数８】
2009506306.tif 000010
は、正の実数を示し、
【数９】
2009506306.tif 000011
は、虚数単位ｉを備えた複素数を示し、ｉ2＝  −１であり、ここで、
【数１０】
2009506306.tif 000012
を除き、算術演算＋、−、・、／、と順序関係＜、(は通常の使い方である。
【００１８】
【数１１】
2009506306.tif 000013
に対して、
【数１２】
2009506306.tif 000014
は、左端がａで右端がｂの開区間を示し、
【数１３】
2009506306.tif 000015
は、左端がａで右端がｂの左半開区間を示し、
【数１４】
2009506306.tif 000016
は、左端がａで右端がｂの右半開区間を示し、
【数１５】
2009506306.tif 000017
は、左端がａで右端がｂの閉区間を示す。
【００１９】
【数１６】
2009506306.tif 000018
に対し、
【数１７】
2009506306.tif 000019
と
【数１８】
2009506306.tif 000020
は、
【数１９】
2009506306.tif 000021
に対する実数であり、
【数２０】
2009506306.tif 000022
と
【数２１】
2009506306.tif 000023
は、zの共役複素数であり、
【数２２】
2009506306.tif 000024
は、ｚの実数部を示し、
【数２３】
2009506306.tif 000025
は、ｚの虚数部を示し、
【数２４】
2009506306.tif 000026
は、ｚの大きさを示し、
【数２５】
2009506306.tif 000027
は、ｚの偏角、即ち、
【数２６】
2009506306.tif 000028
に対する実数
【数２７】
2009506306.tif 000029
（ｚ(０の場合、一意的に決定される）を示す。
【００２０】
【数２８】
2009506306.tif 000030
と
【数２９】
2009506306.tif 000031
に対し、
【数３０】
2009506306.tif 000032
はｍ×ｎ行列
【数３１】
2009506306.tif 000033
を示し、ここで
【数３２】
2009506306.tif 000034
である。
【数３３】
2009506306.tif 000035
に対し、
【数３４】
2009506306.tif 000036
は、
【数３５】
2009506306.tif 000037
の転置行列である。もし、
【数３６】
2009506306.tif 000038
が等式
【数３７】
2009506306.tif 000039
を満たす場合、Ｍは対称的であると呼ばれ、もし
【数３８】
2009506306.tif 000040
が各対角線に沿って同一の要素を有する場合、Ｍはテプリッツ行列と呼ばれ、もしテプリッツ行列
【数３９】
2009506306.tif 000041
が特別な形状
【数４０】
2009506306.tif 000042
を有していた場合、Ｍは循環行列と呼ばれる。関数
【数４１】
2009506306.tif 000043
に対して
【数４２】
2009506306.tif 000044
【数４３】
2009506306.tif 000045
特に
【数４４】
2009506306.tif 000046
である。もし
【数４５】
2009506306.tif 000047
が
【数４６】
2009506306.tif 000048
で定義される２項関係で、
【数４７】
2009506306.tif 000049
の場合、
【数４８】
2009506306.tif 000050
は、すべての
【数４９】
2009506306.tif 000051
に対して
【数５０】
2009506306.tif 000052
と等価である。
【数５１】
2009506306.tif 000053
の代わりに、
【数５２】
2009506306.tif 000054
と書かれる。従って、
【数５３】
2009506306.tif 000055
は列ベクトルのセット
【数５４】
2009506306.tif 000056
を示す。ここで
【数５５】
2009506306.tif 000057
に対し、
【数５６】
2009506306.tif 000058
である。
【数５７】
2009506306.tif 000059
に対し、
【数５８】
2009506306.tif 000060
又は
【数５９】
2009506306.tif 000061
は、ｉ番目の行ベクトル又はｊ番目の列ベクトルを意味し、
【数６０】
2009506306.tif 000062
は、列ベクトル
【数６１】
2009506306.tif 000063
を順次下へ書いた結果としてのベクトルを示す。
【数６２】
2009506306.tif 000064
と
【数６３】
2009506306.tif 000065
に対し、
【数６４】
2009506306.tif 000066
は
【数６５】
2009506306.tif 000067
に対する
【数６６】
2009506306.tif 000068
と
【数６７】
2009506306.tif 000069
に対する
【数６８】
2009506306.tif 000070
の行列を示し、同様に、
【数６９】
2009506306.tif 000071
と
【数７０】
2009506306.tif 000072
は、行列
【数７１】
2009506306.tif 000073
と
【数７２】
2009506306.tif 000074
を生じさせる。
【００２１】
【数７３】
2009506306.tif 000075
と
【数７４】
2009506306.tif 000076
に対して、
【数７５】
2009506306.tif 000077
はＷとＺの通常の行列積を示し、
【数７６】
2009506306.tif 000078
はＺの随伴行列である。
【数７７】
2009506306.tif 000079
に対して
【数７８】
2009506306.tif 000080
は
アダマール積又はエレメントワイズ積を示し、
【数７９】
2009506306.tif 000081
は、行列WとZのエレメントワイズ商（
【数８０】
2009506306.tif 000082
【数８１】
2009506306.tif 000083
【数８２】
2009506306.tif 000084
）を示す。もしZが行列要素を有さずゼロの場合、後者のみ定義される。
最後に、
【数８３】
2009506306.tif 000085
と
【数８４】
2009506306.tif 000086
に対して、
【数８５】
2009506306.tif 000087
は、WとZのクロネッカー積を示す。
【数８６】
2009506306.tif 000088
に対し、
【数８７】
2009506306.tif 000089
は対角線ｚを有する対角行列で、他のすべての要素はゼロである。
【００２２】
特に、
【数８８】
2009506306.tif 000090
は、
【数８９】
2009506306.tif 000091
に対するスカラー積
【数９０】
2009506306.tif 000092
を備えたｍ次元ユークリッドベクトル空間を示す。そして
【数９１】
2009506306.tif 000093
は、
【数９２】
2009506306.tif 000094
【数９３】
2009506306.tif 000095
又は
【数９４】
2009506306.tif 000096
に対するスカラー積
【数９５】
2009506306.tif 000097
を備えたｍ次元ユニタリベクトル空間を示す。そして、
【数９６】
2009506306.tif 000098
又は
【数９７】
2009506306.tif 000099
は、
【数９８】
2009506306.tif 000100
又は
【数９９】
2009506306.tif 000101
におけるユークリッド又はユニタリ法線ベクトルを示す。
全ての成分がゼロ又は１であるベクトル
【数１００】
2009506306.tif 000102
又は
【数１０１】
2009506306.tif 000103
は、それぞれゼロベクトル又はユニットベクトルと呼ばれる。全ての成分がゼロの行列
【数１０２】
2009506306.tif 000104
は、ｍ×ｎゼロマトリックスと呼ばれ、対角要素が１で他の全ての要素がゼロの行列
【数１０３】
2009506306.tif 000105
は、ｍ×ｍ恒等行列と呼ばれる。
【００２３】
【数１０４】
2009506306.tif 000106
【数１０５】
2009506306.tif 000107
又は
【数１０６】
2009506306.tif 000108
に対し、
【数１０７】
2009506306.tif 000109
は、Zの階級区分を示し、
【数１０８】
2009506306.tif 000110
は、例えば"G. W. Stewart &J-G. Sun: Matrix Perturbation Theory; Academic Press, Inc., Boston, 1990"のIII．１．１節で説明されているように、Zのムーア・ペンローズ
擬似逆を示す。
【数１０９】
2009506306.tif 000111
と
【数１１０】
2009506306.tif 000112
は、上述の本のIII．１．２節で説明されているように、
【数１１１】
2009506306.tif 000113
上の、又は
【数１１２】
2009506306.tif 000114
内の
【数１１３】
2009506306.tif 000115
の直交補空間
【数１１４】
2009506306.tif 000116
上の
【数１１５】
2009506306.tif 000117
の直交投影を示す。
【数１１６】
2009506306.tif 000118
に対し、
【数１１７】
2009506306.tif 000119
は、Zの階数、即ち、部分空間
【数１１８】
2009506306.tif 000120
の次元を示す。もし、
【数１１９】
2009506306.tif 000121
がフル階数ｍを有する場合、Zは可逆であり、反転した
【数１２０】
2009506306.tif 000122
に対して、
【数１２１】
2009506306.tif 000123
は真である。
【００２４】
ランダム行列
【数１２２】
2009506306.tif 000124
【数１２３】
2009506306.tif 000125
又は
【数１２４】
2009506306.tif 000126
の期待値は、
【数１２５】
2009506306.tif 000127
で示される。
【００２５】
位相メータの信号受信の物理的な関係は、以下のように数学的にモデル化される。
【００２６】
Kは既知又は未知で、送受信機から未知の異なる距離
【数１２６】
2009506306.tif 000128
だけ離れている、同時に測量すべき
【数１２７】
2009506306.tif 000129
の目標は、時間に基づいて連続的に、既知の半波長
【数１２８】
2009506306.tif 000130
を有する周期信号
【数１２９】
2009506306.tif 000131
で照射される。この信号は、強度変調光又は赤外線波、マイクロ波、音波、又は超音波、又は他の種類の波である。
【００２７】
幾つかの又はすべての目標Kからのｎ番目の信号が、構造上送信機に最も近い、又は直接隣接した受信機で検出され、電気的に変換され、フィルターにかけられ、
【数１３０】
2009506306.tif 000132
の周期に、一周期あたり
【数１３１】
2009506306.tif 000133
回、等しく一時的にサンプリングされる。デジタル距離信号データ
【数１３２】
2009506306.tif 000134
【数１３３】
2009506306.tif 000135
を与えるために、一周期当たり
【数１３４】
2009506306.tif 000136
のデジタルサンプリング値を平均化することができる。
【００２８】
送受信機に対する位置、姿勢、形状、反射特性が測定中変化しない静止している目標に対し、等式
【数１３５】
2009506306.tif 000137
が、距離信号データ
【数１３６】
2009506306.tif 000138
の便宜上の数学的モデルを構成する。ここで、（１−１）で使われていて、まだ説明の無い記号には、以下の意味がある。
【数１３７】
2009506306.tif 000139
ｎ番目の信号形状：周期の二重に連続的に区別可能な周期的関数で
【数１３８】
2009506306.tif 000140
【数１３９】
2009506306.tif 000141
ｎ番目の位相位置で、
【数１４０】
2009506306.tif 000142
【数１４１】
2009506306.tif 000143
k番目の目標で反射されたｎ番目の信号の振幅で、
【数１４２】
2009506306.tif 000144
【数１４３】
2009506306.tif 000145
ｎ番目の信号の直流成分で、
【数１４４】
2009506306.tif 000146
【数１４５】
2009506306.tif 000147
【数１４６】
2009506306.tif 000148
のノイズ成分で、
【数１４７】
2009506306.tif 000149
【００２９】
信号処理の目的は、未知の距離
【数１４８】
2009506306.tif 000150
を
【数１４９】
2009506306.tif 000151
数の
【数１５０】
2009506306.tif 000152
から決定することである。それを可能にするために、「システム挙動」を知ること、即ち、（１−１）に含まれる幾つかの変数を推定しなければならない。これに関するモデル仮設は、もし等式（１−１）が行列方程式で書かれていれば、より簡潔に定式化できる。この目的で、無次元変数
【数１５１】
2009506306.tif 000153
ベクトル
【数１５２】
2009506306.tif 000154
マトリックス
【数１５３】
2009506306.tif 000155
それと関数
【数１５４】
2009506306.tif 000156
について、
【数１５５】
2009506306.tif 000157
を導入し、これらによって、M・Nスカラー方程式（１−１）は、信号モデルを表す行列方程式
【数１５６】
2009506306.tif 000158
になる。
【００３０】
第一に関心のある変数
【数１５７】
2009506306.tif 000159
に対する与えられた距離信号データ
【数１５８】
2009506306.tif 000160
に関する等式（１−６）を解くための前提条件が解析される。モデルによれば、システム構成パラメータ
【数１５９】
2009506306.tif 000161
（と結果としての
【数１６０】
2009506306.tif 000162
）と
【数１６１】
2009506306.tif 000163
が既知であり、一方でパラメータ
【数１６２】
2009506306.tif 000164
と
【数１６３】
2009506306.tif 000165
が未知である。恒等式
【数１６４】
2009506306.tif 000166
は、明らかに
【数１６５】
2009506306.tif 000167
に関する知識が十分である場合に、好条件下で
【数１６６】
2009506306.tif 000168
が明確に決定できることを示している。加えて、信号形状
【数１６７】
2009506306.tif 000169
は明らかに少なくとも部分的に既知である必要がある。
【００３１】
【数１６８】
2009506306.tif 000170
と
【数１６９】
2009506306.tif 000171
に関する必要な知識を得るための通常の方法、即ち、システムの同定を実施する方法は、以下である。半波長（１−０）を有するN個の周期信号が、距離測定の前及び／又は後に、
装置と長さ
【数１７０】
2009506306.tif 000172
間の参照距離、又は装置と送信機から受信機間の距離
【数１７１】
2009506306.tif 000173
だけ離れた装置間の目標を経由して供給される。ここで、それらは距離測定信号として同じ方法でサンプリングされ、デジタル較正信号データ
【数１７２】
2009506306.tif 000174
【数１７３】
2009506306.tif 000175
【数１７４】
2009506306.tif 000176
を与えるために平均化される。下付き文字−は（測定前の）前較正を示し、下付き文字＋は、（測定後の）後較正を示す。較正信号データも、従って（１−１）又は（１−６）によってモデル化され、
【数１７５】
2009506306.tif 000177
で
【数１７６】
2009506306.tif 000178
に対して
【数１７７】
2009506306.tif 000179
となる。
【００３２】
モデル上必要な、測定全体における位相メータの均一な送信パワーと共に、普通概念
【数１７８】
2009506306.tif 000180
が、制限無く設定可能であり、行列方程式は
【数１７９】
2009506306.tif 000181
となる。設定（１−９）は測定信号も出る（１−６）で発生する目標偏角を「正規化」する。
【数１８０】
2009506306.tif 000182
は、内部目標の偏角の無次元倍数として測定された、k番目の目標で反射されたｎ番目の信号の強度であり、
【数１８１】
2009506306.tif 000183
である。
【００３３】
前提条件としての「一様な送信パワー」と「静止した目標」は、全ての送信信号に対して同様に目標振幅をモデル化すること、即ち規定することが必要であることを明らかにする。
【数１８２】
2009506306.tif 000184
【００３４】
しかし、実際のところ式（１−１１）が頻繁に事実に反することが判った。これは、距離を測定する際の媒体、一般的には地球の大気が、測定中にしばしば静止状態でないからであるということがもっともらしく思われる。異なる距離測定信号の目標偏角が互いに比例するという仮定が、より現実的であって、規定
【数１８３】
2009506306.tif 000185
によって表現可能である。
【００３５】
式（１−１２）の
【数１８４】
2009506306.tif 000186
は、多数目標の場合
【数１８５】
2009506306.tif 000187
にのみできる限定であって、特定の状況下、例えば測定で通る媒質が非常に不均一であって、静止していない場合には非現実的である。等式（１−１１）と（１−１２）は、従って測定信号モデル（１−６）にオプションとして追加されるものである。
【００３６】
装置内の又は装置内の目標までの参照距離が、装置の一部上で実現可能であり、正確に測定可能であるので、K=0でｙの代わりに
【数１８６】
2009506306.tif 000188
を備えた場合に真である恒等式（１−７）は、モデルから推測可能な
【数１８７】
2009506306.tif 000189
が既知の場合に、
【数１８８】
2009506306.tif 000190
が、よくても較正信号データ
【数１８９】
2009506306.tif 000191
から決定可能であることを示す。もし、ただ一つの較正(前較正又は後較正)が実行された場合に、距離と較正測定信号の同一位相位置を前提とする「静止」モデル仮設
【数１９０】
2009506306.tif 000192
の便宜的な代替案は存在しない。この前提条件は、受信する電子機器がドリフトから自由であることを要求するので、結果的に非現実的である。もし前較正と後較正が実行されれば、物理的な状況をより現実的に表現する位相間の非静止の関係を、前提とすることができる。単純な決定論的な位相ドリフトモデルは、通常の一次微分方程式
【数１９１】
2009506306.tif 000193
で、解集合は、
【数１９２】
2009506306.tif 000194
であり、以下のように解釈される。（モデルによれば、信号は一つの周期の関数なので、
【数１９３】
2009506306.tif 000195
は仕様
【数１９４】
2009506306.tif 000196
に置き換えることができる。）位相
【数１９５】
2009506306.tif 000197
は、例えばスイッチングプロセスによって、モデルに従って仮定された平衡位置
【数１９６】
2009506306.tif 000198
から外へ移動し、平衡位置からの偏位に比例した速度で戻る。比例定数として、
【数１９７】
2009506306.tif 000199
を導入することができる。
【００３７】
もし、
【数１９８】
2009506306.tif 000200
又は
【数１９９】
2009506306.tif 000201
が、ｎ番目の信号
【数２００】
2009506306.tif 000202
に対する
前較正測定と距離測定の間の、又は距離測定と後較正測定との間の平均時間を指す場合、
ベクトルを用いた（１−１５）の式
【数２０１】
2009506306.tif 000203
は、
【数２０２】
2009506306.tif 000204
の関係を与える。もし、式（１−１５）の各成分に対して時間的尺度が個々に選択された場合、各距離測定が時間ゼロに行われる。式（１−１７）から、さらに
【数２０３】
2009506306.tif 000205
が導かれる。ここで、
【数２０４】
2009506306.tif 000206
の場合、式（１−１８）の右側は
【数２０５】
2009506306.tif 000207
の法則に従って、制限
【数２０６】
2009506306.tif 000208
【数２０７】
2009506306.tif 000209
に置き換えられる。また、較正測定は、とりわけ位相位置
【数２０８】
2009506306.tif 000210
による
【数２０９】
2009506306.tif 000211
に関する知識を得ることが目的であるから、式（１−１８）は、変数
【数２１０】
2009506306.tif 000212
がモデルに従って知られるように仮定される必要があるという意味を含む。時間
【数２１１】
2009506306.tif 000213
が測定可能であり、
【数２１２】
2009506306.tif 000214
が、外部目標に代わって内部目標が測量される、即ち内部目標が連続して3回測量される特別な測定によって決定可能であるから、これは非現実的ではない。
【００３８】
式（１−１７）は、
【数２１３】
2009506306.tif 000215
をもたらす。そこで、式（１−１０）を置き換えると、較正信号モデルを構成する行列方程式
【数２１４】
2009506306.tif 000216
を得る。
【００３９】
等式（１−６）と（１−２１）は、（全面的な）信号モデルの構成要素であって、副条件（１−１１）又は（１−１２）によって補完可能であり、信号処理の基礎となるものである。
【００４０】
モデルに従って仮定された一つの周期の関数
【数２１５】
2009506306.tif 000217
と式（１−６）は、(のすべての成分が有理数である
【数２１６】
2009506306.tif 000218
の場合に、
【数２１７】
2009506306.tif 000219
の無限数が、同一距離の信号データ
【数２１８】
2009506306.tif 000220
を生成することを暗示している。
【数２１９】
2009506306.tif 000221
が
【数２２０】
2009506306.tif 000222
に密接であるため、即ち、
【数２２１】
2009506306.tif 000223
の全てのベクトルを、
【数２２２】
2009506306.tif 000224
からのベクトルによって、望むだけ正確に近似することができるので、実際には無限のあいまいさが
【数２２３】
2009506306.tif 000225
に関して一般的である。明確さは、追加の要件によってのみ強制可能である。通常、
【数２２４】
2009506306.tif 000226
であって、特定の測定範囲の制限
【数２２５】
2009506306.tif 000227
又は
【数２２６】
2009506306.tif 000228
が要求され、境界
【数２２７】
2009506306.tif 000229
と
【数２２８】
2009506306.tif 000230
は、明確さが保証されるように選択される。
【００４１】
最後に、距離のノイズ成分
【数２２９】
2009506306.tif 000231
と、較正信号データ
【数２３０】
2009506306.tif 000232
とが未知である。それでもなお、
【数２３１】
2009506306.tif 000233
に対して等式（１−６）と（１−２１）が解かれるために、ノイズの統計的挙動は、少なくとも構造的に知っておかねばならない。従って、
【数２３２】
2009506306.tif 000234
が、特徴付ける幾つかのパラメータのほとんどの部分が既知であると仮定される確率密度
【数２３３】
2009506306.tif 000235
を備えたランダム行列としてモデル化される。ランダム行列としてのノイズのモデル化とその確立密度
【数２３４】
2009506306.tif 000236
の仕様は、式（１−６）と（１−２１）を補う信号モデルの構成要素である。
【００４２】
【数２３５】
2009506306.tif 000237
に関連する数学的に最も簡単なモデル仮定は、距離と較正信号データ
【数２３６】
2009506306.tif 000238
の制限によりむしろ現実からかけ離れたものであるが、
【数２３７】
2009506306.tif 000239
を備えた正規分布であり、ここで
【数２３８】
2009506306.tif 000240
は、既知であると仮定された正定値対称行列であり、もし
【数２３９】
2009506306.tif 000241
かつ
【数２４０】
2009506306.tif 000242
の場合は、
【数２４１】
2009506306.tif 000243
さもなければ
【数２４２】
2009506306.tif 000244
であり、
【数２４３】
2009506306.tif 000245
は未知の倍率を示す。モデル仮設（１−２３）は、特に距離と異なる受信信号の較正信号データとの間に相関関係が無いことを仮定する。それは、異なる半波長の信号と距離と較正測定信号とが送信され、別々の時間に受信されるという状況を反映する。未知の倍率
【数２４４】
2009506306.tif 000246
は、絶対値ではなく相対的なノイズ値が既知として仮定されていることを明らかにする。式（１−２３）は、確率密度
【数２４５】
2009506306.tif 000247
を与え、信号処理はこれに基づいて行われる。
【００４３】
【数２４６】
2009506306.tif 000248
に対して、どのように信号モデル方程式（１−６）と（１−２１）が解かれるのか疑問が生じる。試された方法としては、最大尤度という意味において、
【数２４７】
2009506306.tif 000249
と、必然的に
【数２４８】
2009506306.tif 000250
と、
【数２４９】
2009506306.tif 000251
を特徴付けるパラメータとについて見積もることであり、例えばA. Stuart, J. K. Ord & S. Arnold: Kendalls's Advanced Theory of Statistics, Volume 2A, 6<th> Edition; Arnold, London, 1999の第１８章に記載されており、即ち、もし信号モデル（１−６）と（１−２１）に従うランダム行列
【数２５０】
2009506306.tif 000252
が距離と較正信号データ
【数２５１】
2009506306.tif 000253
とモデルパラメータによって置換された場合に、確率密度
【数２５２】
2009506306.tif 000254
を最大化する値
【数２５３】
2009506306.tif 000255
を割り当てることである。論理的には必要では無いが、実用上は都合の良い共分散行列
【数２５４】
2009506306.tif 000256
が既知であると仮定されているので、推定理論の標準的な議論が、
【数２５５】
2009506306.tif 000257
に対するこれらのいわゆるＭＬ見積もり値
【数２５６】
2009506306.tif 000258
等が、合計
【数２５７】
2009506306.tif 000259
の最小値として式（１−２４）の場合に特徴付けられることを示す。ここで、信号モデル（１−６）と（１−２１）に従うランダム行列
【数２５８】
2009506306.tif 000260
は、距離と較正信号データ
【数２５９】
2009506306.tif 000261
とモデルパラメータによって置換されている。特に、ＭＬ見積もり値はスケーリングパラメータ
【数２６０】
2009506306.tif 000262
から独立であり、これは、ＭＬ見積もり値が平均ノイズレベルから独立していることを示す。
【００４４】
信号モデル（１−６）と（１−２１）から要求される信号形状
【数２６１】
2009506306.tif 000263
に関する知識は、出来る限り簡単なものが選択される。従来の（目標が一つの）位相メータは、一般的に異なる周波数の正弦波信号を用いる。この古典的な選択は、複数目標の場合に不都合であり、正弦波の基本周波数の合計と、最も低い高調波の幾つかを用いることが好都合である。実際には、そのスペクトルの低周波部分にエネルギーの大部分を有する非正弦波の周期的信号を出力し、ローパス・フィルターによって目標によって反射された反響をフィルタリングすることによって、それらを生成することができ、それらのフーリエ分解の最も低い高調波
【数２６２】
2009506306.tif 000264
のみが、距離と較正信号データに貢献する。このような信号形状に対して、
【数２６３】
2009506306.tif 000265
のアプローチを用いることができ、ここで
【数２６４】
2009506306.tif 000266
であって、条件
【数２６５】
2009506306.tif 000267
は、信号形状
【数２６６】
2009506306.tif 000268
【数２６７】
2009506306.tif 000269
の並進運動の自由の無関係な次数を除去する。
【００４５】
式（１−１１）も（１−１２）も考慮しないという条件で、
【数２６８】
2009506306.tif 000270
スカラー信号データ
【数２６９】
2009506306.tif 000271
は、
【数２７０】
2009506306.tif 000272
と未知の実数パラメータ
【数２７１】
2009506306.tif 000273
【数２７２】
2009506306.tif 000274
と一緒に見ることができ、少なくとも以下の式
【数２７３】
2009506306.tif 000275
が真となる。実際には、（３−２）から要求されるものよりかなり大きな信号周期あたりの信号サンプリングのM番目が選択され、好都合な選択は、モデルに従って仮定可能な
【数２７４】
2009506306.tif 000276
となる。
【００４６】
もし慣行に従って、ｎ番目の受信チャネルのノイズを平均没価的静止ガウス過程としてモデル化し、通常の技術的慣行に沿って、ｎ番目の受信信号の信号周期あたりM倍の同時サンプリングが、
【数２７５】
2009506306.tif 000277
の信号周期の間中、連続した時間系列において行われる場合、確率論に基づいた計算は、共分散行列
【数２７６】
2009506306.tif 000278
が対称テプリッツ行列で、ガウス過程の十分に短い相関時間に対し、また十分に大きな
【数２７７】
2009506306.tif 000279
に対して近似しており、制限
【数２７８】
2009506306.tif 000280
において、
【数２７９】
2009506306.tif 000281
でむしろ正確に循環していることを示す。
１０００は
【数２８０】
2009506306.tif 000282
に対して一般的な指標であるので、信号モデルの追加の構成要素としての共分散行列
【数２８１】
2009506306.tif 000283
【数２８２】
2009506306.tif 000284
を循環であると仮定することは非現実的ではない。
【００４７】
循環行列
【数２８３】
2009506306.tif 000285
は、正確に離散型フーリエ変換
【数２８４】
2009506306.tif 000286
であり、即ち、要素
【数２８５】
2009506306.tif 000287
を有する複素数値のユニタリで対称の行列であり、ユニタリ対角線、即ち
【数２８６】
2009506306.tif 000288
に対して対角線である。この状況は、
【数２８７】
2009506306.tif 000289
として正定値で循環であると仮定される対称共分散行列
【数２８８】
2009506306.tif 000290
を表現することを可能にする。行列
【数２８９】
2009506306.tif 000291
のそれぞれは、従って正のパラメータ
【数２９０】
2009506306.tif 000292
によって特定される。ML見積もり値が３・Lパラメータ
【数２９１】
2009506306.tif 000293
のみに依存し、その値が適切なノイズ識別法によって知られ、従って既知のモデルによって仮定されることがわかるであろう。
【００４８】
特に、信号モデルは、その値が興味さえないような多数のパラメータを含むので、距離と較正信号データ
【数２９２】
2009506306.tif 000294
又は式（２−０）の最小化からの信号モデルの未知のパラメータのML見積もりは、複雑で極端にコンピュータ的に集中的な仕事である。従って、最小化においてできるだけ多くの興味の無いパラメータを除去することは分析的に適切である。
【００４９】
もし等式（１−６）、（１−２１）、（３−０）、（３−５）が最小化のために合計（２−０）に置き換えられた場合、積
【数２９３】
2009506306.tif 000295
においてのみ、行列
【数２９４】
2009506306.tif 000296
が生じ、もし必要なら極形式でその要素を記載することが好都合である。
【数２９５】
2009506306.tif 000297
なので、
【数２９６】
2009506306.tif 000298
は、明確な表現
【数２９７】
2009506306.tif 000299
を有し、ここで
【数２９８】
2009506306.tif 000300
で、
【数２９９】
2009506306.tif 000301
であり、
【数３００】
2009506306.tif 000302
そしてベクトルは
【数３０１】
2009506306.tif 000303
である。（もし
【数３０２】
2009506306.tif 000304
の場合、
【数３０３】
2009506306.tif 000305
がセットされ、ここで
【数３０４】
2009506306.tif 000306
である。）式（３−０）、（３−５）、（４−０）〜（４−４）から、（２−０）の最小化は、
【数３０５】
2009506306.tif 000307
に従って定義される関数
【数３０６】
2009506306.tif 000308
の最大化に等しいことが明らかである。未知のモデルパラメータ
【数３０７】
2009506306.tif 000309
と
【数３０８】
2009506306.tif 000310
に対するML見積もり値
【数３０９】
2009506306.tif 000311
と
【数３１０】
2009506306.tif 000312
は、結果的に
【数３１１】
2009506306.tif 000313
における関数
【数３１２】
2009506306.tif 000314
の最大値
【数３１３】
2009506306.tif 000315
とみなされ、境界条件（１−１１）又は（１−１２）を観察することも随意に可能である。式（４−５）から、
【数３１４】
2009506306.tif 000316
の場合に、関数
【数３１５】
2009506306.tif 000317
が、その最初の偏角に対して周期的であることが明らかであり、これが制限（１−２２）を導出する。しかし、
【数３１６】
2009506306.tif 000318
で、番号
【数３１７】
2009506306.tif 000319
は
【数３１８】
2009506306.tif 000320
の最大値に対する候補であるので、最も簡単な特別の場合
【数３１９】
2009506306.tif 000321
に対して見られるように、
【数３２０】
2009506306.tif 000322
の第二の偏角も第一偏角の不確かさを生じさせる。もし
【数３２１】
2009506306.tif 000323
が無理数の場合に、複素数
【数３２２】
2009506306.tif 000324
は複素平面
【数３２３】
2009506306.tif 000325
において単位円上に接近して存在するので、任意の
【数３２４】
2009506306.tif 000326
と
【数３２５】
2009506306.tif 000327
に対する
【数３２６】
2009506306.tif 000328
のｎ番目の加数の
【数３２７】
2009506306.tif 000329
の上限は、
【数３２８】
2009506306.tif 000330
であり、この式は
【数３２９】
2009506306.tif 000331
から独立である。
【００５０】
上記発見からの結論は、位相ドリフトモデル（１−１４）は、距離
【数３３０】
2009506306.tif 000332
の明確な決定能力を保証できないということである。その結果として、より限定的なモデルに置き換えるか、さらに制限を加える必要がある。モデルアプローチ（３−５）と共に位相ドリフトモデル（１−１４）は、見積もり作業からパラメータ
【数３３１】
2009506306.tif 000333
と
【数３３２】
2009506306.tif 000334
の見積もりを可能にし、従って問題の複雑さを実質的に減少させたので、第二の代替案が好ましい。
【００５１】
特別な場合
【数３３３】
2009506306.tif 000335
における上記（４−５）式の解析は、望まない不明確さの原因を明らかにする。位相ドリフトモデル（１−１４）は、個々の位相が前較正と後較正の間の時間に不定数の周期を通って移動することを可能にする。しかし、これは二つの較正測定のみでは決定することができない。従って、前較正と後較正の間に、
【数３３４】
2009506306.tif 000336
を定めることは好都合であり、位相ドリフトは位相のあいまい性が無視される程度に小さくなければならない。これは、ハードウエアに関する要求であって、二つの較正測定に対して論理的に不可欠であり、技術的に実現可能である。
【数３３５】
2009506306.tif 000337
と（４−４）、（４−９）が
【数３３６】
2009506306.tif 000338
と等価であるので、
【数３３７】
2009506306.tif 000339
の最大化は、（４−１１）式の条件を維持しながら、モデルに従って行わねばならない。
【００５２】
セット
【数３３８】
2009506306.tif 000340
で表される式（４−５）に従って定義された関数
【数３３９】
2009506306.tif 000341
の最大化への式（２−０）の最小化からの削減には、上述のパラメータ
【数３４０】
2009506306.tif 000342
と
【数３４１】
2009506306.tif 000343
を削減するという長所を有し、式（３−０）と（１−６）と（１−２１）に従って送信された信号を特定する。
【００５３】
式（２−０）の最小化に代わる
【数３４２】
2009506306.tif 000344
の最大化は、特に転送された信号のオンライン同定を備える。この長所は関数
【数３４３】
2009506306.tif 000345
の高い非線形性によって達成され、それはセットBにおいて多数の局所最大値を有し、その最大化を相当に複雑にしている。包括的な数値的最大化法があるが、高い非凹面の関数
【数３４４】
2009506306.tif 000346
に適用する際には、受け入れ難いコンピュータ上の努力が要求される。その結果、実際上
【数３４５】
2009506306.tif 000347
の最大化のために実行可能な方法として、反復最大化法を採用し、それは、初期値
【数３４６】
2009506306.tif 000348
からのスタートを、
【数３４７】
2009506306.tif 000349
の局所最大値
【数３４８】
2009506306.tif 000350
へと集中させ、それは望ましくはBにおける
【数３４９】
2009506306.tif 000351
の全体的最大値である。ささいなことではないが、このような反復最大化が、多数の試行されているアルゴリズムが利用可能な数的最適化の定型業務である。（４−５）式に従って定義された
【数３５０】
2009506306.tif 000352
の第一と第二導関数が、分析的に計算可能であるので、Bにある
【数３５１】
2009506306.tif 000353
の反復最大化のための効果的な方法が利用可能である。
【００５４】
Bにある
【数３５２】
2009506306.tif 000354
の全体的な最大値に近い初期値
【数３５３】
2009506306.tif 000355
の提供には、問題がある。反復最大化法は、初期値に最も近い局所最大値に集中するように一般的に設計されているので、後者が必要である。このような初期値を計算する方法は、以下に与える。
【００５５】
この方法の処理原則は、初期値
【数３５４】
2009506306.tif 000356
として、式（４−５）に従って定義された関数
【数３５５】
2009506306.tif 000357
の全体的最大値の概算値を選択することであり、即ち、
【数３５６】
2009506306.tif 000358
を選択して、任意の境界条件（１−１１）と（１−１２）を無視することである。もしKが未知の場合、同時に測量すべき目標の最大数としてKが最初に選択される。以下に、仮定
【数３５７】
2009506306.tif 000359
の下で、このような初期値がどのように計算可能であるか示す。
【００５６】
式（４−０）と（４−１）から判るように、仮定（６−０）は全ての信号がK以上のオーダーの非消滅の高調波成分を含み、目標によって反射された各測定信号がK以下のオーダーの少なくとも一つの非消滅高調波成分を含むことを前提としている。この前提条件は、信号の十分に大きな数Nによって（信号の幾つかは信号処理から除外されるが）、又は半波長（１−０）の適応性のある選択によって技術的に容易に満足させることができる。
【００５７】
式（４−５）に従って定義された関数
【数３５８】
2009506306.tif 000360
のｎ番目の外的な加数
【数３５９】
2009506306.tif 000361
の適切な数学的変換によって、
【数３６０】
2009506306.tif 000362
が、
【数３６１】
2009506306.tif 000363
に従って定義された関数
【数３６２】
2009506306.tif 000364
の、式（４−１１）によって好ましくは最小の大きさを有する最大値
【数３６３】
2009506306.tif 000365
として選択された場合と、
【数３６４】
2009506306.tif 000366
が真であるところの
【数３６５】
2009506306.tif 000367
と
【数３６６】
2009506306.tif 000368
が
【数３６７】
2009506306.tif 000369
と
【数３６８】
2009506306.tif 000370
を前提とする場合に、この関数
【数３６９】
2009506306.tif 000371
が正確な最大値を前提とすることを示すことができる。各
【数３７０】
2009506306.tif 000372
に対してK方程式（６−３）を
【数３７１】
2009506306.tif 000373
と
【数３７２】
2009506306.tif 000374
に対して解くことができるのは、刊行された論文"C. Caratheodory: Uber den Variabilitatsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen(正の調和関数のフーリエ定数の変動範囲); Rend. Circ. Mat. Palermo 32＿ (1911), Seiten 193-217"のコンスタンチン・カラテオドリーの定理によって確立された自明ではない結果である。式（６−３）の左辺の表現は、従って、固定された
【数３７３】
2009506306.tif 000375
に対し、式（６−３）の右辺のK複素数のカラテオドリー表現と呼ばれている。
【数３７４】
2009506306.tif 000376
の場合、式（６−３）の左辺は、式（６−３）の右辺の複素数の極座標表現である。複数の複素数のカラテオドリー表現は、従って(単一の)複素数の極座標表現の一般化である。
【００５８】
【数３７５】
2009506306.tif 000377
の研究論文"U. Grenander & G. Szego: Toeplitz Forms and their Applications; University of alifornia Press, Berkely & Los Angeles, 1958" の第４．１章で与えられたカラテオドリーの定理に対する構造上の証拠は、どのようにカラテオドリー表現が数値的に計算可能かを示し、また固定された
【数３７６】
2009506306.tif 000378
に対し、（６−３）式の右辺のすべてではないKナンバーがどこに消失し、計算の過程で生じた特定の行列が、Kの最大階数を有し、
【数３７７】
2009506306.tif 000379
と
【数３７８】
2009506306.tif 000380
が明確に決定され、
【数３７９】
2009506306.tif 000381
であり、
【数３８０】
2009506306.tif 000382
がペアの中で異なる成分を有することを示す。
【００５９】
前提条件（６−０）と（６−２）の最大値としての
【数３８１】
2009506306.tif 000383
の規格が、各
【数３８２】
2009506306.tif 000384
に対して、式（６−３）の右辺のKナンバーのすべての分母と少なくとも一つの分子がゼロでなく、その結果、式（６―４）の有効性に対する必要な前提条件が満たされていることを保証する。カラテオドリー表現の数値計算の部分として、各
【数３８３】
2009506306.tif 000385
に対して、前記行列の階数を決めなけばいけないので、各
【数３８４】
2009506306.tif 000386
に対して、式（６−４）が真か否かが決定される。もし最大階数がほとんどの信号に対して確立されている場合、他の信号はML見積もり又は信号処理から除外可能である。さもなければ、第一のケースが生じるようにKを削減することができる。従って、（６−４）式が真であるという状況を、今後ずっと仮定することが常に可能である。
【００６０】
ベクトル又は行列
【数３８５】
2009506306.tif 000387
において、最大値（６−２）とカラテオドリー表現（６−３）が組み合わされた場合、上述の内容から、
【数３８６】
2009506306.tif 000388
に従って定義された関数
【数３８７】
2009506306.tif 000389
は、
【数３８８】
2009506306.tif 000390
におけるすべての行列積分
【数３８９】
2009506306.tif 000391
とすべての所望の順列行列
【数３９０】
2009506306.tif 000392
の最大置を前提とするという結果になる。定義
【数３９１】
2009506306.tif 000393
が真であることによって、
【数３９２】
2009506306.tif 000394
の最大化は、
【数３９３】
2009506306.tif 000395
に対する、またすべての所望の行列
【数３９４】
2009506306.tif 000396
とすべての所望の順列行列
【数３９５】
2009506306.tif 000397
に対する差分
【数３９６】
2009506306.tif 000398
の最小化と等価である。
【００６１】
式（６−６）に従って定義される関数
【数３９７】
2009506306.tif 000399
は、望むたびに微分可能であり、その第一の二つの導関数
【数３９８】
2009506306.tif 000400
は、分析的に計算できる。数学的分析の定理は、
【数３９９】
2009506306.tif 000401
又は最大値（６−７）で評価されるいわゆるヘッセ行列
【数４００】
2009506306.tif 000402
が、消滅するか、又は対称的であるか、又は半負値である旨を宣言する。加えて、最大値（６−７）での
【数４０１】
2009506306.tif 000403
は、
【数４０２】
2009506306.tif 000404
から独立である。もし（６−９）式の右辺の関数が、（６−９）式の左辺の
【数４０３】
2009506306.tif 000405
の最大値まわりの二次のテーラー級数に置き換えられた場合、以下の最小化すべき差分（６−９）の二次近似は、
【数４０４】
2009506306.tif 000406
を備えた
【数４０５】
2009506306.tif 000407
と、対角に順列行列
【数４０６】
2009506306.tif 000408
【数４０７】
2009506306.tif 000409
を備えたブロック対角行列
【数４０８】
2009506306.tif 000410
になる。加えて、式（６−４）は、式（６−１２）に従って定義された行列
【数４０９】
2009506306.tif 000411
の正定性を暗示する。従って二次関数（６−１１）は決して負にならず、最小値
【数４１０】
2009506306.tif 000412
【数４１１】
2009506306.tif 000413
【数４１２】
2009506306.tif 000414
は、式（６−１１）から算出可能である。
【数４１３】
2009506306.tif 000415
は、式（４−５）に従って定義された関数
【数４１４】
2009506306.tif 000416
の最大値に対する近似値であり、
【数４１５】
2009506306.tif 000417
の反復最大化に対する初期値として選択される。
【００６２】
初期値の計算に行列
【数４１６】
2009506306.tif 000418
を導入することは、驚くことではない。その成分が、単一目標位相メータを特徴づけ、単一信号で距離を測定する位相メータの能力の無さにそれらの起源を有するところの全体的なあいまいさを構成する。これらは、異なる半波長の信号の複数測定の相互作用からのみコンピュータ的に得られる。より驚くべきことは、単一目標の場合（K = 1）、恒等行列であって、従って従来の単一目標位相メータでは現れなかった順列行列の発生である。目標に従ったカラテオドリー表現（６−３）によって、すべての受信信号が分解可能であるのだが、信号成分は明確には目標に割り当てることができないように見える。この順次の割り当ては、異なる半波長の信号の複数測定の相互作用からのみ決定可能である。これらの二つの異なるあいまいな部分を切り離しておくために、
【数４１７】
2009506306.tif 000419
によって構成される従来のあいまいさは、距離のあいまいさと称され、一方で
【数４１８】
2009506306.tif 000420
によって構成される新しいあいまいさは、割り当てあいまいさと称される。カラテオドリー表現（６−３）によって与えられる
【数４１９】
2009506306.tif 000421
は、同時に測量された目標の反響の長さを測定したものであるから、割り当てあいまいさは、これらの偏角が互いに一貫して大きく異なる場合に、これらの大きさの順序付けによって分解することができる。そうでない場合には、すべての可能な割り当て
【数４２０】
2009506306.tif 000422
を分析することで（６−１１）式の最小値を見つけることができる。
【００６３】
二次関数（６−１１）の最小化は、以下の結果
【数４２１】
2009506306.tif 000423
と
【数４２２】
2009506306.tif 000424
を導く。ここで、
【数４２３】
2009506306.tif 000425
はＬの正定値を受け継いだ
【数４２４】
2009506306.tif 000426
における
【数４２５】
2009506306.tif 000427
のＳｃｈｕｒ補数の右コレスキー因数であり、即ち、式（６−１３）によれば、
【数４２６】
2009506306.tif 000428
かつ
【数４２７】
2009506306.tif 000429
ここで
【数４２８】
2009506306.tif 000430
である。
式（６−１４）と（６−１５）から生じる行列
【数４２９】
2009506306.tif 000431
と
【数４３０】
2009506306.tif 000432
は、式（６−１３）に従う法線ベクトルの二乗の最小値
【数４３１】
2009506306.tif 000433
【数４３２】
2009506306.tif 000434
である。積分要件
【数４３３】
2009506306.tif 000435
のおかげで、式（６−１３）に従う
【数４３４】
2009506306.tif 000436
のすべての選択に対し、式（６−１８）の最小化は、いわゆる二次積分適合問題である。本発明に従って効率的に解決可能な方法は、以下に記載する。
【００６４】
積分あいまいさは、多数の技術的システムで発生する。最も良く知られた例としては、ＧＰＳ（全地球測位システム）がある。二次積分適合問題を解く効率的な方法である、いわゆるＬＡＭＢＤＡ法（最小二乗あいまい性無相関アルゴリズム）は、本出願が起源である。例えば刊行本"P. J. G. Teunissen & A. Kleusberg (Eds.): GPS for Geodesy, 2nd  Edition; Springer, Berlin, 1998"の第８章や論文"P. de Jonge & C. Tiberius: The LAMBDA Method for Integer Ambiguity Estimation: Implementation Aspects; LGR-Series, Publications of the Delft Geodetic Computing Centre, TU Delft, January 1996"に記載されている。
【００６５】
LAMBDA法又は関連する方法を適用させる前提条件は、適合問題の係数行列が最大階数を有さなければならないことである。しかし、（６−１８）式の場合には、正確にはこれが満足させられない。実際、（６−１７）、（６−１６）、（６−１３）と（１−２）式は、式（６−１３）に従って
【数４３５】
2009506306.tif 000437
と、式（６−１３）に従って
【数４３６】
2009506306.tif 000438
になり、式（６−１８）の係数行列
【数４３７】
2009506306.tif 000439
は、従って階数不良Kを有する。
【００６６】
従って、二次積分適合問題を解くための効率的な方法は、式（６−１８）に直接適用できるものでなく、初期値を計算するための方法は、実際には式（６−１８）の階数不良が効果的に除去可能な場合にのみ適している。これを実施する方法は、以下に記載する。
【００６７】
この方法の開始点は、お互いに対して有理数の比率を持つように、即ち、
【数４３８】
2009506306.tif 000440
となるようにに半波長（１−０）を選択することであり、ここで
【数４３９】
2009506306.tif 000441
は
【数４４０】
2009506306.tif 000442
の成分の最大公約数を指す。
【００６８】
この方法の次の部分は、
【数４４１】
2009506306.tif 000443
そしてその結果
【数４４２】
2009506306.tif 000444
となるように
【数４４３】
2009506306.tif 000445
のユニモジュラの補角、即ち行列
【数４４４】
2009506306.tif 000446
を選択することである。
【００６９】
（７−３）式において、
【数４４５】
2009506306.tif 000447
は行列乗算に関するグループであるいわゆるユニモジュラN×N行列のセットを指す。その要素は、
【数４４６】
2009506306.tif 000448
の自己同形である。式（７−３）は、特に
【数４４７】
2009506306.tif 000449
という結果になり、従って
【数４４８】
2009506306.tif 000450
は
【数４４９】
2009506306.tif 000451
に対するいわゆるｇｇＴ係数ベクトルであり、即ち、
【数４５０】
2009506306.tif 000452
は
【数４５１】
2009506306.tif 000453
からの係数を備えた
【数４５２】
2009506306.tif 000454
の成分の線形結合として書くことができる。初等整数論のセットは、（７−２）式のベクトルのユニモジュラの補角（Ｎ＞２に対し、無限数でさえある）の存在を保証し、数値理論は、これらを効率的に計算するアルゴリズムを提供する。例えば、式（７−３）を満足し、小さな要素を有する行列
【数４５３】
2009506306.tif 000455
を
【数４５４】
2009506306.tif 000456
に対して計算する、"G. Havas, B. S. Majewski & K. R. Matthews: Extended GCD and Hermite Normal Form Algorithms via Lattice Basis Reduction (addenda and errata) ; Experimental Mathematics 8:2 (1999), Seite 205"において訂正された論文"G. Havas, B. S. Majewski & K. R. Matthews: Extended GCD and Hermite Normal Form Algorithms via Lattice Basis Reduction; Experimental Mathematics 7:2 (1998), Seiten 125 - 136"のアルゴリズム３は、Ｑの代わりに、その逆
【数４５５】
2009506306.tif 000457
を生成するか、又は両方を生成するように変更可能である。
【００７０】
この方法の次の部分は、
【数４５６】
2009506306.tif 000458
における変数
【数４５７】
2009506306.tif 000459
の変換であり、以下の式
【数４５８】
2009506306.tif 000460
と
【数４５９】
2009506306.tif 000461
がそれに対し適用可能である。
式（７−５）と（７−６）は、
【数４６０】
2009506306.tif 000462
という結果になり、式（７−６）、（６−１３）、（７−３）、（７−１）からは
【数４６１】
2009506306.tif 000463
という結果になる。式（７−７）の右辺の法線ベクトルの二乗は、従って最大階数の係数行列を有し、その最小値
【数４６２】
2009506306.tif 000464
は、どの
【数４６３】
2009506306.tif 000465
に対しても、ＬＡＭＢＤＡ法又は関連する方法によって効率的に計算可能である。もし必要であれば、二次積分適合問題（７−７）は、順列行列（６−１３）のそれぞれに対して解かれる。これら最小値
【数４６４】
2009506306.tif 000466
の最小値は、この時
【数４６５】
2009506306.tif 000467
を特定し、それから、式（７−５）に従って
【数４６６】
2009506306.tif 000468
が計算される。ここで、
【数４６７】
2009506306.tif 000469
を任意に選択できる。これは、
【数４６８】
2009506306.tif 000470
と
【数４６９】
2009506306.tif 000471
を与える。
【００７１】
式（７−９）は、（７−２）の場合に（４―５）に従って定義される関数
【数４７０】
2009506306.tif 000472
のＰ1周期性の結果であるところの、初期値
【数４７１】
2009506306.tif 000473
のＰ1周期性を表す。式（１−２２）に対する範囲（４−３）の制限は、従って
【数４７２】
2009506306.tif 000474
又は
【数４７３】
2009506306.tif 000475
が真であるように選択されるべきであり、これは式（７−９）において明確に
【数４７４】
2009506306.tif 000476
を特定する。式（７−１０）は、式（６−１４）に従って計算された初期値
【数４７５】
2009506306.tif 000477
が、範囲（７−１１）の制限に依存しないことを示す。
【００７２】
初期値の上述の計算は、かなりのコンピュータ的努力を必要とするので、せいぜい用途を限定する程度の、より簡単な利用可能な方法が望ましい。このような方法を以下に記載する。
【００７３】
方法を正当化するために、受信信号にノイズが無いという理想的な場合を検討する。もし、
【数４７６】
2009506306.tif 000478
がセットされた場合、距離と較正信号データ
【数４７７】
2009506306.tif 000479
は、信号モデルで発生した式（１−６）と（１−２１）に従うパラメータのモデルによって前提とされた「真の値」によって明確に特定される。もしこれら
【数４７８】
2009506306.tif 000480
と
【数４７９】
2009506306.tif 000481
からなる「真の値」が、
【数４８０】
2009506306.tif 000482
と
【数４８１】
2009506306.tif 000483
と共に指定された場合、（２−０）の最小化から（４−５）の最大化への分析的削減の分析は、（８−０）が、恒等関数
【数４８２】
2009506306.tif 000484
を暗示することを示す。これから、（４−１）式によって、
【数４８３】
2009506306.tif 000485
が式（４−５）に従って定義された関数
【数４８４】
2009506306.tif 000486
の最大値であるということになる。従って、以下の式は真である。
【数４８５】
2009506306.tif 000487
この式は、あらゆるまともな推定値によって予想された振る舞いに対応している。
【００７４】
【数４８６】
2009506306.tif 000488
で、式（６−３）、（８−１）、（４−１）から、
【数４８７】
2009506306.tif 000489
が得られる。式（６―４）から
【数４８８】
2009506306.tif 000490
が、適切に選ばれた順列行列
【数４８９】
2009506306.tif 000491
【数４９０】
2009506306.tif 000492
に対して得られ、同様に、
【数４９１】
2009506306.tif 000493
となり、ここで、
【数４９２】
2009506306.tif 000494
に対して関数（６−２）の最小の大きさを伴う最大値として
【数４９３】
2009506306.tif 000495
が選択されているので、
【数４９４】
2009506306.tif 000496
が暗示される。
【００７５】
恒等関数（８−４）は、目標の適切に選ばれた番号付けと共に、（６−１３）に従う行列
【数４９５】
2009506306.tif 000497
と
【数４９６】
2009506306.tif 000498
が存在し、それぞれに対して
【数４９７】
2009506306.tif 000499
が真である。これは、
【数４９８】
2009506306.tif 000500
を暗示する。即ち、式（６−１８）又は（７−７）はゼロにセットすることができ、これはノイズ無しの信号に対する法線ベクトル（７−７）の二乗の最小値もまた「真のパラメータ値」
【数４９９】
2009506306.tif 000501
を与えることを示している。 また、
【数５００】
2009506306.tif 000502
も真であって、これは
【数５０１】
2009506306.tif 000503
であるので、
【数５０２】
2009506306.tif 000504
に等しい。
【００７６】
上記説明は、割り当てあいまいさに対する見積もられたＭＬ値
【数５０３】
2009506306.tif 000505
を知ることが可能ならば、ノイズ無し信号という理想の場合において、見積もられたＭＬ値
【数５０４】
2009506306.tif 000506
は、関数（６−２）の最大化と、カラテオドリー表現（６−３）と、式（８−１０）とによって計算可能であるということを示す。既に述べたように、これはＫ＝１の場合に自明であり、実質的に異なる反響長さを有する目標は、容易にＫ＞１の場合になる可能性がある。さもなければ、多くのｇｇＴ係数ベクトル
【数５０５】
2009506306.tif 000507
の
【数５０６】
2009506306.tif 000508
に適用された式（８−１０）から
【数５０７】
2009506306.tif 000509
を決定することを試みることが可能である。
【００７７】
初期値の単純化された計算は、上記方法を実際のノイズを含んだ距離と較正信号データ
【数５０８】
2009506306.tif 000510
に適用することである。式（７−７）の最小化は、このように
【数５０９】
2009506306.tif 000511
に対するｇｇＴ係数ベクトル
【数５１０】
2009506306.tif 000512
のより単純化された計算に置き換えられ、これは好ましくは小さな大きさの成分を有し、式（８−１０）で用いられる。この単純化された方法は、低ノイズ受信信号の状況でのみ用いることが望ましい。
【発明を実施するための最良の形態】
【００７８】
図１は、複数目標の場合の距離測定に対する条件を概略的に示す。信号は、例としてトータルステーションとして表している測地装置１の送信機によって放射され、例として反射器として具体化された第一目標物２ａと第二目標物２ｂという複数の目標によって反射され、その反射信号は装置１の受信機によって検知される。二つの目標物２ａと２ｂの成分は、受信機内で重なり合い、後者が両方の個別の位相成分を有する位相を有するただの単一の信号として記録される。示した例において、背景に見える家の壁２ｃからの反射成分も、特定の環境下で発生し、その成分も同様に受信信号の一部である。明確にする目的で、ただ二つの測量すべき共同の目標物２ａ、２ｂが図に示されている。しかし、距離測定のための本発明に係る方法は、他の種類の目標に対しても、より多くの目標物に対しても用いることができる。
【００７９】
図２にこの二つの目標物２ａ、２ｂによる複数目標の場合の位相の概略図を示す。一番上の図は、どのように放射された信号３が第一目標物２ａとしての反射器に当たり、それによって第一信号成分４が反射して戻ってきたかを示す。真中の図に示すように、放射信号３の残りの部分（例えば第一目標物２ａの場合に透明な目標を通った後など）が、第二放射成分３ａとしてここでは同一の反射器として示す第二目標物２ｂに当たる。第二目標物２ｂによって反射されて戻ってきた第三放射成分５ａは、任意で第一目標物２ａに更に弱められた後、最終的に第四放射成分５として受信機に再び当たる。しかし、上記受信機は常に受信信号６として、共通の複数目標位相と共に、重畳した第一と第二放射成分４、５を登録する。即ち、両目標物２ａ，２ｂからの反射は、一緒に分離されること無く登録される。
【００８０】
図３は、距離測定のための本発明に係る方法の基本原理の概略図である。この例において、二つの半波長
【数５１１】
2009506306.tif 000513
を有するＮ＝２の周期的な電磁信号７、例えばレーザー光が、装置１によって異なる時間に放射される。距離
【数５１２】
2009506306.tif 000514
におけるＫ＝２の目標物２ａ、２ｂからの反射が、サンプル値を生成し、任意に保存するために、等時間で受信信号として抽出される。サンプリングは、信号周期あたり
【数５１３】
2009506306.tif 000515
回行われる。即ち、単一目標の場合、
【数５１４】
2009506306.tif 000516
であり、ここで示すように目標物が２個の場合に
【数５１５】
2009506306.tif 000517
である。距離
【数５１６】
2009506306.tif 000518
は装置１の距離計の測定範囲にあり、測定範囲は特定の距離
【数５１７】
2009506306.tif 000519
【数５１８】
2009506306.tif 000520
ここで
【数５１９】
2009506306.tif 000521
によって定義される。標本値から、Ｋ＝２の目標の距離
【数５２０】
2009506306.tif 000522
が位相測定原理によって同時に排他的に決定される。ここで、数学的な信号モデルに基づいた統計的なパラメータ推定問題が不等式
【数５２１】
2009506306.tif 000523
が真であるように解かれる。目標物２ａ、２ｂの数は、標本値からの距離を決定することによっても決定できるし、又は既知であるとして特定することもできる。
【００８１】
反射放射線又は受信信号の明確な分解は、もしより高次の高調波成分が信号受信と信号評価時に考慮された場合に可能である。図４に、最も低い高次高調波としての二次高調波を用いた多数目標の場合の位相を概念的に示す。二次高調波と一致して二倍の周波数で放射する放射線８に対して、同様の条件が適用可能である。第一高次高調波放射線成分９が反射して戻される第一目標物２ａに、同様により高次の高調波放射線８が当たる。残りの部分が第二目標物２ｂに第二高次高調波放射線成分８ａとして届く。第二目標物２ｂで反射されて戻った第三次の高調波放射線成分１０ａが、任意でさらに第一目標物２ａで弱められた後に、第四高次高調波成分１０として最終的に受信機に再び当たる。上記受信機は同様に重畳した第一と第四高次高調波放射線成分９、１０を共通の高次高調波複数目標位相１１と共に登録する。
【図面の簡単な説明】
【００８２】
【図１】複数目標の場合の距離測定の概略図である。
【図２】複数目標の場合の位相の概略図である。
【図３】距離測定のための本発明に係る方法の基本原理の概略図である。
【図４】二次高調波を用いた個々の目標位相の分解に対する位相の概略図である。
【図１】
2009506306.tif 000694
【図２】
2009506306.tif 000695
【図３】
2009506306.tif 000696
【図４】
2009506306.tif 000697
【国際調査報告】
2009506306.tif 000698
2009506306.tif 000699
2009506306.tif 000700
2009506306.tif 000701
2009506306.tif 000702