(57)【要約】  系列相関が発生しない正規分布に従う乱数発生機構を提供する。  正規分布に従う乱数発生機構であって、ランダムなリカレンスプロットを生成するランダムリカレンスプロット生成機構１と、このランダムリカレンスプロット生成機構１からのランダムなリカレンスプロットを時系列に変換するリカレンスプロット時系列変換機構４とを備え、このリカレンスプロット時系列変換機構４により正規乱数を発生させる。
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
（ａ）ランダムなリカレンスプロットを生成するランダムリカレンスプロット生成機構と、
（ｂ）該ランダムリカレンスプロット生成機構からのランダムなリカレンスプロットを時系列に変換するリカレンスプロット時系列変換機構とを備え、
（ｃ）該リカレンスプロット時系列変換機構により正規乱数を発生させることを特徴とする正規分布に従う乱数発生機構。
【請求項２】
請求項１記載の正規分布に従う乱数発生機構において、前記ランダムリカレンスプロット生成機構は、ビット乱数を生成させるビット乱数生成装置と、該ビット乱数生成装置から発生されたビット乱数をリカレンスプロットとして蓄えるリカレンスプロット保存装置とからなり、前記リカレンスプロット時系列変換機構は、前記リカレンスプロット保存装置からの情報によりグラフを生成するグラフ生成装置と、該グラフ生成装置からの情報により距離行列を生成する距離行列生成装置と、該距離行列生成装置からの情報により時系列を生成する時系列生成装置を備えることを特徴とする正規分布に従う乱数発生機構。
【請求項３】
請求項１記載の正規分布に従う乱数発生機構において、前記リカレンスプロットは、時系列を視覚化するための、２つの時間軸からなる２次元の図であり、対応する時間の組において、それぞれの時間に対応する状態が近いか否かを調べ、前記状態が近ければ対応する２次元の平面上の場所に点を打ち、前記状態が近くなければ何も打たないようにして得られるプロットであることを特徴とする正規分布に従う乱数発生機構。
【請求項４】
請求項２記載の正規分布に従う乱数発生機構において、前記ビット乱数は量子力学に従う機構を用いて生成することを特徴とする正規分布に従う乱数発生機構。
【請求項５】
請求項４記載の正規分布に従う乱数発生機構において、前記量子力学に従う機構はスピンの向きやコバルトのガンマ線放射の時間間隔であることを特徴とする正規分布に従う乱数発生機構。
【請求項６】
請求項２記載の正規分布に従う乱数発生機構において、前記ビット乱数は電子回路で実装された一次元のカオス写像を用いて生成することを特徴とする正規分布に従う乱数発生機構。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、正規分布に従う乱数発生機構に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
正規分布に従う乱数は、科学技術のシミュレーションで広範囲に用いられている。計算アルゴリズムを用いてこの乱数を作る一般的な方法は、最初に一様分布に従う乱数を生成し、それを中心極限定理、または、Ｂｏｘ−Ｍｕｌｌｅｒ法（下記非特許文献１参照）を用いて、正規分布に変換するものである。従って、このような方法で生成された正規分布に従う乱数は、一様分布に従う乱数を作るときの欠点を継承している。一様分布に従う乱数を作る一般的な方法は、線形合同法、２次合同法、またはフィボナッチ数列を使う方法（下記非特許文献２参照）である。【０００３】
また、リカレンスプロット手法自体については、下記非特許文献３に紹介されている。
【非特許文献１】Ｗ．Ｈ．Ｐｒｅｓｓ，Ｓ．Ａ．Ｔｅｕｋｏｌｓｋｙ，Ｗ．Ｔ．Ｖｅｔｔｅｒｌｉｎｇ，ａｎｄ  Ｂ．Ｐ．Ｆｌａｎｎｅｒｙ，Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ  ｒｅｃｉｐｅｓ  ｉｎ  Ｃ，２ｎｄ  ｅｄｉｔｉｏｎ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ  Ｐｒｅｓｓ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，ＵＫ，１９９２
【非特許文献２】Ｄ．Ｅ．Ｋｎｕｔｈ，Ｔｈｅ  ａｒｔ  ｏｆ  ｃｏｍｐｕｔｅｒ  ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，Ｖｏｌｕｍｅ２，３ｒｄ  ｅｄｉｔｉｏｎ，Ａｄｄｉｓｏｎ−Ｗｅｓｌｅｙ，Ｒｅａｄｉｎｇ，ＭＡ，１９９７
【非特許文献３】Ｊ．Ｐ．Ｅｃｋｍａｎｎ，Ｓ．Ｏ．Ｋａｍｐｈｏｒｓｔ，ａｎｄ  Ｄ．Ｒｕｅｌｌｅ，Ｅｕｒｏｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．４，９７３（１９８７）．
【非特許文献４】Ｎ．Ｍａｒｗａｎ，Ｍ．Ｃ．Ｒｏｍａｎｏ，Ｍ．Ｔｈｉｅｌ，ａｎｄ  Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｐ．４３８，２３７（２００７）．
【非特許文献５】Ｎ．Ｍａｒｗａｎ，Ｎ．Ｗｅｓｓｅｌ，Ｕ．Ｍｅｙｅｒｆｅｌｄｔ，Ａ．Ｓｃｈｉｒｄｅｗａｎ，ａｎｄ  Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６６，０２６７０２（２００２）
【非特許文献６】Ｊ．Ｐ．Ｚｂｉｌｕｔ  ａｎｄ  Ｃ．Ｌ．Ｗｅｂｂｅｒ  Ｊｒ.,  Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ  １７１，１９９（１９９２）．
【非特許文献７】Ｌ．Ｌ．Ｔｒｕｌｌａ，Ａ．Ｇｉｕｌｉａｎｉ，Ｊ．Ｐ．Ｚｂｉｌｕｔ，Ｃ．Ｌ．Ｗｅｂｂｅｒ  Ｊｒ.,  Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ  ２２３，２５５（１９９６）．
【非特許文献８】Ｐ．Ｆａｕｒｅ  ａｎｄ  Ｈ．Ｋｏｒｎ，Ｐｈｙｓｉｃａ  Ｄ  １２２，２６５（１９９８）
【非特許文献９】Ｍ．Ｔｈｉｅｌ，Ｍ．Ｃ．Ｒｏｍａｎｏ，Ｐ．Ｌ．Ｒｅａｄ，ａｎｄ  Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｃｈａｏｓ１４，２３４（２００４）．
【非特許文献１０】Ｃ．Ｌｅｔｅｌｌｉｅｒ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．９６，２５４１０２（２００６）．
【非特許文献１１】Ｍ．Ｔｈｉｅｌ，Ｍ．Ｃ．Ｒｏｍａｎｏ，Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ  ３３０，３４３（２００４）．
【非特許文献１２】Ｇ．ＭｃＧｕｉｒｅ，Ｎ．Ｂ．Ａｚａｒ，Ｍ．Ｓｈｅｌｈａｍｅｒ，Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ  ２３７，４３（１９９７）．
【非特許文献１３】Ｊ．Ｂ．Ｋｒｕｓｋａｌ  ａｎｄ  Ｍ．Ｗｉｓｈ，Ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ  Ｓｃａｌｉｎｇ，Ｓａｇｅ  Ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９７８．
【非特許文献１４】Ｅ．Ｗ．Ｄｉｊｋｓｔｒａ，Ｎｕｍｅｒ．Ｍａｔｈ．  １  ２６９（１９５９）．
【非特許文献１５】Ｊ．Ｃ．Ｇｏｗｅｒ，Ｂｉｏｍｅｔｒｉｋａ５３，  ３２５（１９６６）．
【非特許文献１６】Ｎ．Ｅｌｍａｃｉ  ａｎｄ  Ｒ．Ｓ．Ｂｅｒｒｙ，Ｊ．Ｃｈｅｍ．Ｐｈｙｓ．１１０，１０６０６（１９９９）．
【非特許文献１７】Ｅ．Ｎ．Ｌｏｒｅｎｚ，Ｊ．Ａｔｍｏｓ．Ｓｃｉ．２０，１３０（１９６３）．
【非特許文献１８】Ｏ．Ｅ．Ｒｏｓｓｌｅｒ，Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．５７Ａ，３９７（１９７６）
【非特許文献１９】Ｔ．Ｍ．Ｃｏｖｅｒ  ａｎｄ  Ｊ．Ａ．Ｔｈｏｍａｓ，Ｅｌｅｍｅｎｔｓ  ｏｆ  Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ  Ｔｈｅｏｒｙ，Ｊｏｈｎ  Ｗｉｌｅｙ  ＆  Ｓｏｎｓ，Ｉｎｃ．，Ｎｅｗ  Ｙｏｒｋ，１９９１
【非特許文献２０】Ｋ．Ｔ．Ａｌｌｉｇｏｏｄ，Ｔ．Ｄ．Ｓａｕｅｒ，ａｎｄ  Ｊ．Ａ．Ｙｏｒｋｅ，Ｃｈａｓｏ：Ａｎ  ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ  ｔｏ  ｄｙｍａｍｉｃａｌ  ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ，Ｎｅｗ  Ｙｏｒｋ，１９９７
【発明の開示】
【０００４】
上記した一様分布に従う乱数を生成する方法は、有限次元の力学系とみなすことができる。力学系では、過去から将来が完全に決まってしまうため、乱数列中の別の点間の相関が避けられない。
【０００５】
また、シャッフルを使って２つ以上の一様分布に従う乱数からより複雑な一様分布に従う乱数を作る方法が知られているが、この場合も元の一様分布に従う乱数は上記した方法で作る必要があり系列相関が残る。系列相関があると、過去の系列から将来の系列を予測することができる。そのため、既存の正規分布に従う乱数では、高度なコンピュータシミュレーションや秘匿通信においては問題である。さらに、物理的なシステムを使って作る物理乱数が存在する。しかし、一様分布を生成するような物理乱数も力学系であるため系列相関が存在する。
【０００６】
このように、従来技術を用いた正規分布に従う乱数は系列相関が避けられない。そのため、系列相関が発生しないような正規分布に従う乱数の生成法を如何にして実現するかが課題である。
【０００７】
本発明は、上記状況に鑑みて、系列相関が発生しない正規分布に従う乱数発生機構を提供することを目的とする。
【０００８】
本発明は、上記目的を達成するために、
〔１〕正規分布に従う乱数発生機構であって、ランダムなリカレンスプロットを生成するランダムリカレンスプロット生成機構と、このランダムリカレンスプロット生成機構からのランダムなリカレンスプロットを時系列に変換するリカレンスプロット時系列変換機構とを備え、このリカレンスプロット時系列変換機構により正規乱数を発生させることを特徴とする。
【０００９】
〔２〕上記〔１〕記載の正規分布に従う乱数発生機構において、前記ランダムリカレンスプロット生成機構は、ビット乱数を生成させるビット乱数生成装置と、このビット乱数生成装置から発生されたビット乱数をリカレンスプロットとして蓄えるリカレンスプロット保存装置とからなり、前記リカレンスプロット時系列変換機構は、前記リカレンスプロット保存装置からの情報によりグラフを生成するグラフ生成装置と、このグラフ生成装置からの情報により距離行列を生成する距離行列生成装置と、この距離行列生成装置からの情報により時系列を生成する時系列生成装置を備えることを特徴とする。
【００１０】
〔３〕上記〔１〕記載の正規分布に従う乱数発生機構において、前記リカレンスプロットは、時系列を視覚化するための、２つの時間軸からなる２次元の図であり、対応する時間の組において、それぞれの時間に対応する状態が近いか否かを調べ、前記状態が近ければ対応する２次元の平面上の場所に点を打ち、前記状態が近くなければ何も打たないようにして得られるプロットであることを特徴とする。
【００１１】
〔４〕上記〔２〕記載の正規分布に従う乱数発生機構において、前記ビット乱数は量子力学に従う機構を用いて生成することを特徴とする。
【００１２】
〔５〕上記〔４〕記載の正規分布に従う乱数発生機構において、前記量子力学に従う機構はスピンの向きやコバルトのガンマ線放射の時間間隔であることを特徴とする。
【００１３】
〔６〕上記〔２〕記載の正規分布に従う乱数発生機構において、前記ビット乱数は電子回路で実装された一次元のカオス写像を用いて生成することを特徴とする。
【図面の簡単な説明】
【００１４】
【図１】本発明の実施例を示す正規分布に従う乱数発生機構のブロック図である。
【図２】本発明に係るリカレンスプロットの一例を示す図である。
【図３】本発明に係るＬｏｒｅｎｚモデルを示す図である。
【図４】本発明に係るＲｏｓｓｌｅｒモデルを示す図である。
【図５】本発明に係る正規乱数のリカレンスプロットと、そのリカレンスプロットから生成される正規乱数の散布図と、その時系列と、そのヒストグラムを示す図である。
【図６】本発明によって生成した正規乱数の自己相関と相互情報量を示す図である。
【図７】ビット乱数が周期的である場合における、本発明（実線）とＢｏｘ−Ｍｕｌｌｅｒ法（破線）の自己相関を使って比較した図である。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１５】
本発明の正規分布に従う乱数発生機構は、ランダムなリカレンスプロットを生成するランダムリカレンスプロット生成機構と、このランダムリカレンスプロット生成機構からのランダムなリカレンスプロットを時系列に変換するリカレンスプロット時系列変換機構とを備え、このリカレンスプロット時系列変換機構により正規乱数を発生させる。
【実施例】
【００１６】
以下、本発明の実施の形態について詳細に説明する。【００１７】
図１は本発明の実施例を示す正規分布に従う乱数発生機構のブロック図である。【００１８】
この図において、本発明の正規分布に従う乱数発生機構は、ランダムリカレンスプロット生成機構１とリカレンスプロット時系列変換機構４とからなる。ランダムリカレンスプロット生成機構１は、ビット乱数生成装置２とこのビット乱数生成装置２から発生されたビット乱数をリカレンスプロットとして蓄えるリカレンスプロット保存装置３とからなる。また、リカレンスプロット時系列変換機構４は、リカレンスプロット保存装置３からの情報によりグラフを生成するグラフ生成装置５と、このグラフ生成装置５からの情報により距離行列を生成する距離行列生成装置６と、この距離行列生成装置６からの情報により時系列を生成する時系列生成装置７を備えている。そして、この時系列生成装置７からは正規乱数が発生する。【００１９】
このように、本発明の正規分布に従う乱数発生機構は、ビット乱数生成装置２からの「０」又は「１」の情報により、全体として、ランダムなリカレンスプロットを作り、そのリカレンスプロットを時系列に変換する。【００２０】
リカレンスプロットとは、時系列を視覚化するのに使われる２次元の図である。２つの軸はどちらも時間軸である。対応する時間の組みにおいて、それぞれの時間に対応する状態が近いかどうかを調べ、もしも状態が近ければ、対応する平面上の場所に点を打つ。もしも状態が近くなければ、何も打たない。正規乱数のリカレンスプロットでは、点がランダムに分布する。そのため、ランダムなビット乱数を使うことで、正規乱数に対応するリカレンスプロットを生成することが可能である。【００２１】
ランダムリカレンスプロット生成機構１で生成されたリカレンスプロットはグラフ生成装置５でグラフに変換される。このグラフでは、各ノードと各時刻が対応する。もしも、２つの対応する時刻の状態が近い、つまり、対応するリカレンスプロットのところに点が打たれていれば、グラフ上の対応するノード同士をエッジで結ぶ。エッジは、各時刻に対応するリカレンスプロットの列に打たれている点を考慮しながら決める。次に、できあがったグラフ上で各ノード間の最短距離を計算する。この最短距離を多次元尺度法を用いて、実空間上の点を位置に変換することで、時系列に変換する。この得られた時系列が正規乱数になる。得られた時系列が正規分布になるのは、平均と分散による制約下で、時系列のエントロピーを最大化したためである（非特許文献１９参照）。【００２２】
本発明の正規分布に従う乱数発生機構では、リカレンスプロットがランダムなビット乱数で作られているため、得られた乱数に系列相関は存在しない。ビット乱数は、量子力学に従う機構、例えば、スピンの向きやコバルトのガンマ線放射の時間間隔、または、電子回路で実装された一次元のカオス写像を用いて生成できる。【００２３】
したがって、ランダムなリカレンスプロットを作り、それを時系列に戻すことで正規乱数を発生させることができる。【００２４】
以下、本発明の実施例について、詳細に説明する。【００２５】
まず、リカレンスプロットから元の時系列が復元できることを示す。【００２６】
Ｊ．Ｐ．Ｅｃｋｍａｎｎ（非特許文献３参照）やＮ．Ｍａｒｗａｎ（非特許文献４参照）によって導入されたリカレンスプロットは、ｍ次元の状態空間Ｒm 内のダイナミクスを記述する、２次元空間上に視覚化するための優れたツールである。【００２７】
時系列〔ｘi ∈Ｒm：ｉ＝１，２，…，ｎ〕が与えられたとする。もし、ｘiとｘjの間の距離があらかじめ決められた閾値εよりも小さいとき、（ｉ，ｊ）に点を打つ。つまり、リカレンスプロットＲi,jはヘビサイト関数Θを用いて
Ｒij＝Θ（ε−‖ｘi−ｘj‖）と定義できる。【００２８】
リカレンスプロット上で点が一様に分布している状態は定常であることを意味し、斜めの線は決定論性と周期性を特徴づける。リカレンスプロットは、例えば心拍の変化を調べるのに用いられてきた（非特許文献５参照）。また、リカレンスプロットを用いてダイナミックスの定量化を試みた論文がある（非特許文献５−１０参照）。特に、リカレンスプロットから相関エントロピーと相関次元が計算できる（非特許文献８及び９参照）。よって、リカレンスプロットには、元の時系列の多くの情報が含まれている。【００２９】
リカレンスプロットには、元の時系列の情報がどのくらい含まれているのかという点に関して、上記非特許文献１１は、リカレンスプロットが１次元の時系列から１次元の状態空間を使って求められたとき、元の時系列が復元できることを示した。よって、この結果を多次元の状態空間を用いた場合に拡張できるかどうかが問題である。【００３０】
本発明では、リカレンスプロットが多次元の状態空間を用いて求められたとしても、元の時系列を復元できることを示す。２つの任意の点間の距離を表現する距離行列が与えられたとき、元の時系列が復元できることが知られている（非特許文献１２参照）。【００３１】
距離行列を状態空間上の点に変換するのに、多次元尺度法（非特許文献１２参照）を用いることもできる。よって、リカレンスプロットから距離行列を復元することができれば、元の時系列を再構築できる。【００３２】
まず、リカレンスプロットが与えられたと仮定する。Ｇiはｉ行目に点が打たれる列の時間インデックスの集合、つまり、Ｇi＝（ｊ：Ｒi,j＝１）である。【００３３】
（１）まず、リカレンスプロットからグラフを作る。このグラフでは、それぞれのノードがそれぞれの時間インデックスに対応し、もしも２つの時間インデックスに対応する場所に点が打たれていれば、対応するノード間にエッジをつける。単純に説明するためにリカレンスプロットの時間インデックスを使って、グラフ上のノードを識別することにする。
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【００３４】
（３）グラフ上の任意の２つのノード間の最小距離を求める。この操作は、例えば、ダイクストラ法（非特許文献１４参照）を用いて行うことができる。そして、距離行列を得る。ダイクストラ法は２つの都市間の最も短い行程を探すのに広く用いられている。なお、別の方法を用いてもよい。【００３５】
（４）次に、多次元尺度法を上記（３）で得た距離行列に対して使う。本発明では、非特許文献１５の方法を用いる。描画のため、得られた結果のうち最も大きな固有値の成分を選ぶ。なお、非特許文献１５の多次元尺度法自体は、ｎ次元の時系列を返す。大きな固有値の成分だけをプロットすることで、この方法は、例えば、タンパク質構造の視覚化（非特許文献１６参照）に使われている。ここでは、非特許文献１５以外の方法を用いてもよい。
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【００３６】
図２は本発明に係るリカレンスプロットから時系列を得るまでのリカレンスプロット時系列変換の一例を示す図である。【００３７】
まず、図２（ａ）に示されるリカレンスプロットが与えられていると仮定する。これから図２（ｂ）に示されるグラフが作られる。例えば、１行目と２行目で点の打たれている例の集合を比較すると、和集合には５つの時間インデックスがあり、積集合には２つの時間インデックスがあるため、１と２の間のエッジには、重み１−（２／５）＝０．６が割り当てられる。もし、各ノード間の距離を全て計算すると、次のような距離行列が得られる。
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そして、多次元尺度法を用いて、図２（ｃ）に示されるような時系列を得る。【００３８】
図３は本発明に係るＬｏｒｅｎｚモデルを示す図である。
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【００３９】
ここでは、ｘ座標０．０５単位時間ごとに観測し、長さ２００の時系列を生成した〔図３（ａ）上〕。これを遅れ座標系  〔ｘ（ｔ），ｘ（ｔ−０．０５），ｘ（ｔ−０．１）〕を使って、埋め込んで〔２次元上への射影を図３（ｂ）に示す〕、リカレンスプロット〔図３（ｃ）〕を得るための距離を計算した。ここではユークリッド距離を用い、リカレンスプロットの閾値を２０％の時間インデックスの対がプロットされるように選んだ。この場合、得られた時系列と上下逆であるが〔図３（ａ）下〕、図３（ｅ）に示された再構成されたアトラクタは図３（ｂ）に示される元の時系列のアトラクタとよく似ている。埋め込み空間上での距離とグラフ上の距離の相関係数は、０．９９である〔図３（ｄ）〕。最大値ノルムを使ったときでも、似た結果を得た。
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【００４０】
ここではｘ座標を０．５単位時間おきに観測し、長さ２００の時系列を生成した〔図４（ａ）上〕。そして時系列を遅れ座標系〔ｘ（ｔ），ｘ（ｔ−０．５），ｘ（ｔ−１）〕を使って埋め込み〔２次元上への射影を図４（ｂ）に示す〕、図４（ｃ）に示すリカレンスプロットをユークリッド距離と２０％の時間インデックスの対が打たれるような閾値を使って得た。グラフ上の距離は、埋め込み時間上の距離とよく相関しており、相関係数は０．９８である。再構成された時系列は上下逆である〔図４（ａ）下〕が、図４（ｅ）に示す再構成されたアトラクタは図４（ｂ）に示された元のアトラクタと位相幾何学的に同値である。【００４１】
次に、最終的に得られる正規乱数について説明する。【００４２】
図５は本発明に係る正規乱数のリカレンスプロットと、そのリカレンスプロットから生成される正規乱数の散布図と、その時系列と、そのヒストグラムを示す図であり、図５（ａ）はＭＡＴＬＡＢのランダムによって生成された正規乱数のリカレンスプロットを、図５（ｂ）は本発明によって生成された正規乱数の散布図を、図５（ｃ）はその時系列を、図５（ｄ）は本発明によって生成した正規乱数のヒストグラムをそれぞれ示している。このヒストグラムを得るのに、長さ１０００の１００個の正規乱数を提案する方法を用いて作った。【００４３】
正規分布に従う系列のリカレンスプロットでは、図５（ａ）に示すように、点が一様に、また、ランダムに広がる。正規分布に従う乱数は、時系列のエントロピーを最大化するので、リカレンスプロットのエントロピーも最大化する。「エントロピー」という言葉はリカレンスプロットを定量化するのによく使われるが、本発明では、単純にリカレンスプロットに含まれている情報の内容を意味している。情報の内容は、リカレンスプロット中の（ｎ−１）（ｎ−２）／２個の自由なビットである。エントロピーを最大化する目的のためには、これらのビットをコイン投げで決めることもできる。コイン投げをする代わりに、以下の例では、ロジスティック写像ｙt+1＝４ｙt（１−ｙt）を用いる。つまり、もしｙt＜０．５であれば、Ｙt＝０とし、そうでなければ、Ｙt＝１とし、
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と決める。このようにして作られた記号列は、無記憶なランダムな２値列（非特許文献２０参照）とみなすことができる。【００４４】
図６は本発明によって生成した正規乱数の自己相関と相互情報量を示す図であり、図６（ａ）は本発明によって生成した正規乱数の自己相関を、図６（ｂ）はその相互情報量をそれぞれ示している。【００４５】
上記した方法を用いることで、正規分布に従う乱数のリカレンスプロットを得ることができる。このとき、図５（ｃ）に示される時系列を得る。ここで時系列の平均が０、標準偏差が１になるように変更した。図５（ｂ）に示すように、生成された正規分布の散布図には際立ったパターンがない。この時系列には、異なる時間インデックス間の相関がない。ある遅れだけ時間的に離れた点間の自己相関や相互情報量は平らで、有益な情報を示していない（図６参照）。コルモゴロフ−スミルノフテスト（非特許文献１参照）では、この得られた時系列の累積分布と正規分布の累積分布との区別がつかない。図５（ｄ）で使われた全ての点を用いるとき、ｐ値は０．３３となった。【００４６】
非特許文献１５の多次元尺度法は、主成分分析と密接な関係があり、独立な成分を返す。また、長さｎの時系列からｎ次元の時系列が得られ、各次元の成分は正規分布に従う。リカレンスプロットの自由度がｎ（ｎ−１）／２であることを考えると、最初の（ｎ−１）／２次元が独立であると考えられる。つまり、本発明では、ｎ（ｎ−１）／２ビットのランダムなビット乱数からｎ（ｎ−１）／２個の正規乱数が得られる。また、得られる正規乱数の精度は、グラフの重み割り当ての精度に依存するため、ｌｏｇ2ｎビットである。ｎ（ｎ−１）／２ビットのランダムなビット乱数とＢｏｘ−Ｍｕｌｌｅｒ法を用いてｌｏｇ2ｎビット精度の正規乱数を作る場合、たかだかｎ（ｎ−１）／（２ｌｏｇ2ｎ）個の正規乱数が得られる程度である。Ｂｏｘ−Ｍｕｌｌｅｒ法では使ったビット乱数を再利用してより多くの正規乱数を発生させることができると考えられるが、再利用の方法を決定論的に決めれば秘匿性に問題ができ、確率論的に決めればさらにランダムなビット乱数を必要とするため、再利用するのは適切な方法ではない。つまり、ｎが２以上のとき、本発明の方が、既存の方法の組み合わせで考えられる方法よりも、より多くの正規乱数を生成することができる。【００４７】
本発明は、ランダムなビットの生成機構の性能に依存する。ビットがランダムに生成されさえすれば、本発明は、無限次元の確率過程に従う系を利用して、正規分布に従う乱数を生成しているとみなすことができる。これは、過去から将来の値が予測できないことを意味する。【００４８】
本発明を利用すれば、ビットの生成機構の性能が悪い場合でも、既存の方法よりもより性能の良い疑似正規乱数を生成することができる。２つの方法の違いを強調する究極的な例として、１６ビットのビット乱数列を繰り返し使用し、６ビットの精度で疑似正規乱数を生成する場合を考える。生成した疑似正規乱数から求めた自己相関関数を図７に示す。図７において、実線は本発明の結果、破線はＢｏｘ−Ｍｕｌｌｅｒ法を使った場合の結果を示している。（図７に示した自己相関関数は１００回の試行の平均）Ｂｏｘ−Ｍｕｌｌｅｒ法では、この場合、周期１６の系列になってしまうため、自己相関が遅れ１６のところで１になってしまう。それに対して、本発明の方法として、大きさ６４のリカレンスプロットを使う場合、遅れ１６のところで相関が大きくなるが、Ｂｏｘ−Ｍｕｌｌｅｒ法に比べて小さい。つまり、本発明は、既存の方法よりもより高い品質の疑似正規乱数を期待できる。【００４９】
本発明によれば、系列相関が発生しない正規分布に従う乱数を発生させることができる。【００５０】
なお、本発明は上記実施例に限定されるものではなく、本発明の趣旨に基づき種々の変形が可能であり、これらを本発明の範囲から排除するものではない。
【産業上の利用可能性】
【００５１】
本発明の正規分布に従う乱数発生機構は、系列相関が発生しない正規乱数を生成することができるツールとして利用可能である。
【図１】
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【図２】
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【図６】
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【図７】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【国際調査報告】
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