(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
以下のステップを備える形状抽出方法：
（１）対象物への放射線投影によって得られた投影像の画像データを受け付けるステップ；
（２）既定のメッシュ構造を用いて、前記投影像の画像データから、前記対象物の断面像を、トモグラフィによる再構成によって取得するステップ；
（３）前記再構成によって得られた断面像に基づいて、前記断面像の再構成に用いられる前記メッシュ構造を構成する格子点を、前記対象物の表面形状に沿うように移動させるステップ；
（４）前記（３）のステップによって格子点の位置が修正されたメッシュを用いて、前記ステップ（２）を行うことにより、前記断面像を再度取得し、以降、前記ステップ（３）及び前記ステップ（２）の実行を、必要な回数繰り返すステップ。
【請求項２】
前記ステップ（３）における、前記格子点を、前記対象物の表面形状に沿うように移動させる処理は、以下のステップを含む、請求項１に記載の形状抽出方法：
（３ａ）前記メッシュ構造を構成する凸多角形であって、かつ特定の格子点を共有するものを通過する、前記対象物とそれ以外の部分との間の境界線を、各凸多角形ごとに直線で近似するステップ；
（３ｂ）前記各凸多角形ごとの直線の交点またはそれに近似する点に、前記特定の格子点を移動させるステップ。
【請求項３】
請求項２に記載の形状抽出方法であって、前記ステップ（３ａ）における、前記対象物とそれ以外の部分との間の境界線を、凸多角形ごとに直線で近似する処理は、以下のステップを含む：
（３ａ１）前記凸多角形における画像データの勾配ベクトルに基づいて、前記境界線の法線を求めるステップ；
（３ａ２）前記境界線によって分割される前記凸多角形における分断面積の比が、前記凸多角形における画像データの値に対応するように、前記境界線の位置を求めるステップ。
【請求項４】
前記メッシュ構造は、前記断面像としての３次元形状を生成するための四面体メッシュである、請求項１に記載の形状抽出方法。
【請求項５】
前記ステップ（３）における、前記格子点を、前記対象物の表面形状に沿うように移動させる処理は、以下のステップを含む、請求項４に記載の形状抽出方法：
（３ｐ）境界面を含み、かつ隣接する二つの前記四面体メッシュの重心位置を求めるステップ；
（３ｑ）前記二つの四面体メッシュの重心位置の間において、既定のCT値となる点を、境界メッシュとなる三角形の重心として求めるステップ；
（３ｒ）前記隣接する二つの前記四面体メッシュのCT値の勾配方向に、前記境界メッシュとなる三角形の法線方向が一致するように、前記境界メッシュの向きを求めるステップ；
（３ｓ）前記ステップ３ｑ及び３ｒによって求められた、前記境界メッシュとなる三角形の頂点位置を用いて、前記格子点を移動させるステップ。
【請求項６】
投影像受付部と、断面再構成部と、格子点移動部と、表面形状出力部とを備えており、
前記投影像受付部は、対象物への放射線投影によって得られた投影像の画像データを受け付けるものであり、
前記断面再構成部は、既定のメッシュ構造を用いて、前記投影像の画像データから、前記対象物の断面像を、トモグラフィによる再構成によって取得する構成とされており、
前記格子点移動部は、
（１）前記再構成によって得られた断面像に基づいて、前記断面像の再構成に用いられる前記メッシュを構成する格子点を、前記対象物の表面形状に沿うように移動させる処理と、
（２）前記（１）の処理によって格子点の位置が修正されたメッシュを前記断面再構成部に送り、前記断面再構成部から、前記格子点の位置が修正されたメッシュを用いて更新された断面像を取得する処理と
を行う構成とされており、
前記表面形状出力部は、前記更新された断面像を出力する構成とされている
ことを特徴とする形状抽出システム。
【請求項７】
前記メッシュ構造は、前記断面像としての３次元形状を生成するための四面体メッシュである、請求項６に記載の形状抽出システム。
【請求項８】
請求項１〜５のいずれか１項に記載の形状抽出方法をコンピュータにより実行するためのコンピュータプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、実物体についての放射線投影像に基づいて、実物体の形状を抽出する方法及びシステムに関するものである。
【背景技術】
【０００２】
Ｘ線ＣＴ（Computed Tomography）は、被写体（対象物）に多方向からＸ線を照射し、得られたＸ線強度分布（Ｘ線投影像）に基づいて、被写体内部の画像（断面画像）を再構成することができる技術である。このようなＸ線ＣＴは、従来から、医療用途において広く用いられているが、近年では、産業用にも用いられるようになった。Ｘ線ＣＴを用いると、外部からは見えない表面形状を特定することができるので、例えば、複雑な形状を持つ製品の寸法検査やリバースエンジニアリングにおいて有用である。【０００３】
ところで、Ｘ線ＣＴにおける断面画像の再構成においては、正則な格子構造、例えば正方格子からなるメッシュを前提としている。仮に、製品の外部のCT値を0、内部のCT値を1とすると、表面形状を区切る境界線（製品と外部とを区切る境界線）がメッシュを通る場合には、当該メッシュのCT値が０より大きくかつ１未満となり、表面形状がボケることになる。特に、製品の隅部分の形状がボケてしまうと、形状の特定において不都合が多い。医療用においては、多少のボケが生じても問題はないが、産業用として製品の表面形状を特定するためには、この問題を解消することが好ましい。【０００４】
一方、下記特許文献１〜３には、所定の形状に沿うように格子点を移動させることにより、被写体の形状に沿う画像を得る技術が記載されている。しかしながら、これらの技術は、いずれも、被写体の形状を何らかの方法で予め得られることが前提であるため、未知形状の被写体に適用することは難しい。また、下記特許文献４では、ユーザが指示した特徴面又は特徴稜線に基づいて格子点を移動させる技術が記載されている。しかしながら、この技術では、得られた被写体形状の外観を滑らかにすることはできるとしても、得られた形状が未知の被写体形状に整合するとは限らない。また、特許文献４の技術は、未知の被写体の形状に整合するための格子変形を、得られた断面像の値を用いて行うものではないので、自動的あるいは機械的な格子点移動には適していない。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００５】
【特許文献１】特開２００３−１２３０５７号公報
【特許文献２】特開２００２−２４８５５号公報
【特許文献３】特開２００２−７４３８６号公報
【特許文献４】特開２００７−１０２５９５号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
本発明は、前記の状況に鑑みてなされたものである。本発明は、対象物における未知の表面形状を精度よく抽出できる技術を提供することを目的としている。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
前記した課題を解決する手段は、以下の項目のように記載できる。【０００８】
（項目１）
以下のステップを備える形状抽出方法：
（１）対象物への放射線投影によって得られた投影像の画像データを受け付けるステップ；
（２）既定のメッシュ構造を用いて、前記投影像の画像データから、前記対象物の断面像を、トモグラフィによる再構成によって取得するステップ、
（３）前記再構成によって得られた断面像に基づいて、前記メッシュ構造を構成する格子点を、前記対象物の表面形状に沿うように移動させるステップ、
（４）前記（３）のステップによって格子点の位置が修正されたメッシュを用いて、前記ステップ（２）を行い、以降、前記ステップ（３）及び前記ステップ（２）の実行を、必要な回数繰り返すステップ。【０００９】
ここで、放射線とは、Ｘ線、中性子線、及び電子線を含む概念である。【００１０】
（項目２）
前記ステップ（３）における、前記格子点を、前記対象物の表面形状に沿うように移動させる処理は、以下のステップを含む、項目１に記載の形状抽出方法：
（３ａ）前記メッシュ構造を構成する凸多角形であって、かつ特定の格子点を共有するものを通過する、前記対象物とそれ以外の部分との間の境界線を、各凸多角形ごとに直線で近似するステップ；
（３ｂ）前記各凸多角形ごとの直線の交点またはそれに近似する点に、前記特定の格子点を移動させるステップ。【００１１】
ここで、凸多角形とは、三角形を含む概念である。また、凸多角形には、凸な四角形、五角形、六角形などを含む。【００１２】
（項目３）
項目２に記載の形状抽出方法であって、前記ステップ（３ａ）における、前記対象物とそれ以外の部分との間の境界線を、凸多角形ごとに直線で近似する処理は、以下のステップを含む：
（３ａ１）前記凸多角形における画像データの勾配ベクトルに基づいて、前記境界線の法線を求めるステップ；
（３ａ２）前記境界線によって分割される前記凸多角形における分断面積の比が、前記凸多角形における画像データの値に対応するように、前記境界線の位置を求めるステップ。【００１３】
（項目４）
前記メッシュ構造は、３次元形状を生成するための四面体メッシュである、項目１に記載の形状抽出方法。【００１４】
（項目５）
前記ステップ（３）における、前記格子点を、前記対象物の表面形状に沿うように移動させる処理は、以下のステップを含む、項目４に記載の形状抽出方法：
（３ｐ）境界面を含み、かつ隣接する二つの前記四面体メッシュの重心位置を求めるステップ；
（３ｑ）前記二つの四面体メッシュの重心位置の間において、既定のCT値となる点を、境界メッシュとなる三角形の重心として求めるステップ；
（３ｒ）前記隣接する二つの前記四面体メッシュのCT値の勾配方向に、前記境界メッシュとなる三角形の法線方向が一致するように、前記境界メッシュの向きを求めるステップ；
（３ｓ）前記ステップ３ｑ及び３ｒによって求められた、前記境界メッシュとなる三角形の頂点位置を用いて、前記格子点を移動させるステップ。【００１５】
（項目６）
投影像受付部と、断面再構成部と、格子点移動部と、表面形状出力部とを備えており、
前記投影像受付部は、対象物への放射線投影によって得られた投影像の画像データを受け付けるものであり、
前記断面再構成部は、既定のメッシュ構造を用いて、前記投影像の画像データから、前記対象物の断面像を、トモグラフィによる再構成によって取得する構成とされており、
前記格子点移動部は、
（１）前記再構成によって得られた断面像に基づいて、前記メッシュを構成する格子点を、前記対象物の表面形状に沿うように移動させる処理と、
（２）前記（１）の処理によって格子点の位置が修正されたメッシュを前記断面再構成部に送り、前記断面再構成部から、更新された断面像を取得する処理と
を行う構成とされており、
前記表面形状出力部は、前記更新された断面像を出力する構成とされている
ことを特徴とする形状抽出システム。【００１６】
（項目７）
前記メッシュ構造は、３次元形状を生成するための四面体メッシュである、項目６に記載の形状抽出システム。【００１７】
（項目８）
項目１〜５のいずれか１項に記載の形状抽出方法をコンピュータにより実行するためのコンピュータプログラム。
【発明の効果】
【００１８】
本発明によれば、対象物における未知の表面形状を精度よく抽出できる技術を提供することが可能となる。また、本発明によれば、再構成によって得られた断面像に基づいて、格子点の移動を行うので、格子点の移動の自動化が容易となる。
【図面の簡単な説明】
【００１９】
【図１】本発明の第１実施形態における形状抽出システムの概略的な構成を示すブロック図である。
【図２】本発明の第１実施形態における形状抽出方法の概略的な手順を示すフローチャートである。
【図３】本発明の第１実施形態における投影像取得方法を説明するための説明図である。
【図４】本発明の第１実施形態における形状抽出方法を説明するための説明図である。
【図５】本発明の第１実施形態において、格子点を移動させる手順を説明するためのフローチャートである。
【図６】本発明の第１実施形態において、格子点を移動させる手順を説明するための説明図である。
【図７】本発明の第１実施形態において、格子点を移動させる手順を説明するための説明図である。
【図８】本発明の第１実施形態において、格子点を移動させる手順を説明するための説明図である。
【図９】本発明の第１実施例における形状抽出方法の利点を説明するための説明図であって、図（ａ）は従来法による抽出結果を示し、図（ｂ）は実施例の方法による抽出結果を示す。
【図１０】本発明の第２実施形態において、格子点を移動させる手順を説明するためのフローチャートである。
【図１１】境界メッシュの変形処理を説明するための説明図である。
【図１２】境界メッシュの変形処理を説明するための説明図である。
【発明を実施するための形態】
【００２０】
以下、図１〜図９を参照しながら、本発明の第１実施形態に係る形状抽出システム及び形状抽出装置について説明する。
【００２１】
（第１実施形態の構成）
本実施形態の形状抽出システムは、投影像受付部１と、断面再構成部２と、格子点移動部３と、表面形状出力部４とを備えている。これらの各機能要素は、基本的には、コンピュータプログラムによって構成することができる。
【００２２】
投影像受付部１は、対象物への放射線投影によって得られた投影像の画像データを受け付けるものである。ここで、放射線とは、Ｘ線だけでなく、中性子線や電子線を含む概念である。また、投影像とは、透過像だけでなく、反射像を含む概念である。
【００２３】
断面再構成部２は、既定のメッシュ構造を用いて、投影像の画像データから、対象物の断面像を、トモグラフィ（いわゆるCT）による再構成によって取得する構成とされている。
【００２４】
格子点移動部３は、
（１）再構成によって得られた断面像に基づいて、メッシュを構成する格子点を、対象物の表面形状に沿うように移動させる処理と、
（２）前記（１）の処理によって格子点の位置が修正されたメッシュを断面再構成部２に送り、断面再構成部２から、更新された断面像を取得する処理と
を行う構成とされている。
【００２５】
格子点移動部３における詳しい動作は後述する。
【００２６】
表面形状出力部４は、更新された断面像を、適宜なメモリ又は後続する処理プロセスに出力する構成とされている。
【００２７】
（第１実施形態における形状抽出方法）
次に、前記したシステムを用いた形状抽出方法について、図２のフローチャートを参照しながら詳しく説明する。なお、以下においては、放射線としてＸ線を用いた例を説明する。
【００２８】
（図２のステップＳＡ−１）
まず、対象物への放射線投影によって、Ｘ線投影像（本実施形態では、Ｘ線透過像）を得る。Ｘ線投影像の取得方法を、図３を参照しながら説明する。この例では、Ｘ線源１１とＸ線検出器１２との間に対象物１３を配置する。この対象物１３は、回転テーブル１４の上に載せられている。回転テーブル１４によって対象物１３を回転させつつ、Ｘ線を対象物１３に投射すると、Ｘ線検出器１２により、図３（ｂ）に示すようなＸ線投影像を得ることができる。なお、図示の例は、一次元投影像の取得を繰り返す、いわゆるファンビーム型の構成を示しているが、対象物の一回転のみで二次元投影像を得ることができるコーンビーム型の構成を採用することも可能である。Ｘ線投影像の取得方法としては、従来と同様のものを用いることができるので、これ以上詳しい説明は省略する。
【００２９】
本実施形態のシステムは、前記のようにして生成された投影像の画像データを、投影像受付部１により受け付ける。
【００３０】
（図２のステップＳＡ−２）
ついで、既定のメッシュ構造を用いて、投影像の画像データから、対象物の断面像を、トモグラフィによる再構成によって取得する。このステップを、図４を参照してさらに説明する。図４の例では、図４（ａ）に示す対象物を用いている。得られた投影像（上の例では透過像）を図４（ｂ）に示している。さらに、この例では、図４（ｃ）に示す三角形メッシュ構造を、既定のメッシュ構造として用いている。このメッシュ構造を前提として、トモグラフィにより、対象物の断面像を再構成することができる。トモグラフィによる断面像の再構成の手法としては、例えば、ML-EM（Maximum Likelihood - Expectation Maximization）法など、従来の手法を用いることができるので、詳しい説明は省略する。また、図４（ｃ）には、再構成によって得た断面像が示されている。ここでハーフトーン（グレー）となっている部分は、「ボケ」として認識される。
【００３１】
（図２のステップＳＡ−３）
つぎに、再構成によって得られた断面像に基づいて、メッシュ構造を構成する格子点を、対象物の表面形状に沿うように移動させる。格子点を移動させるための手順を、図５を参照しながら詳しく説明する。
【００３２】
（図５のステップＳＢ−１）
まず、メッシュ構造を構成する各三角形を通る境界線を直線で近似する。当然のことながら、実際の境界線の位置は、この段階では不明なので、何らかの方法で推測する必要がある。そのために、本実施形態では、以下のように、第１に境界線の法線を算出し、第２に直線の位置を算出する方法を用いる。なお、この算出の順序を逆にすることは可能である。
【００３３】
（境界線の法線を算出）
推測される境界線の法線は、CT値の勾配ベクトルを用いて算出することができる。
【００３４】
まず、前提として、
【００３５】
0005888681.tif 000002
【００３６】
とする。
【００３７】
そして、メッシュ全体を各軸（本例ではｘ軸及びｙ軸）の正方向に微小量平行移動し、CT再構成を行う。ここで、x軸方向の移動量をδx, y軸方向の移動量をδyとする。
【００３８】
ついで、三角形Tにおいて，以下の式により単位法線ベクトルnTを計算する（図６参照）。
【００３９】
0005888681.tif 000003
【００４０】
このようにして、推測された境界線への法線を求めることができる。すなわち、この法線を利用して、境界線の向きを決定することができる。
【００４１】
（境界線の位置の推測）
境界線の位置は、以下のようにして推測できる。
【００４２】
まず、前記と同じく、
【００４３】
0005888681.tif 000004
【００４４】
とする。
【００４５】
そして、点pTは、三角形 T の3辺のうちベクトル nT を方向にもつ直線への正射影が最長となる辺の上にあり、直線により分割される三角形の面積比（つまり内分比）が以下の式を満たすものとする（図７参照）。
【００４６】
0005888681.tif 000005
【００４７】
この条件を用いて、物体と空気との間の境界線の位置を推測することができる。境界線の位置と向きとが分かれば、当該の三角形領域を通過する直線（すなわち境界線）を得る事ができる。
【００４８】
（図５のＳＢ−２）
ついで、各領域毎に得られた直線の交点又はそれに近似する点を求める。具体的には、以下のように算出することができる。
【００４９】
格子点 v は，以下のE(x)を最小とする点 x に移動される（図８参照）。ここで、三つ以上の直線は一般的に1点で交わらないため，本実施形態では、直線までの距離の2乗和が最小となる点（下記式参照）を代用する。
【００５０】
0005888681.tif 000006
【００５１】
これにより、一つの格子点を、推測された境界線の上に置くことができる。この操作を、ボケがある三角形メッシュについて適用することにより、各格子点を移動させることができる。移動された格子点を結べば、推測された境界線を得ることができる。
【００５２】
（図５のＳＢ−３）
ついで、前記の手法で移動させた格子点を、境界線上において、さらに移動させる。すなわち、まず、当該格子点を囲む格子点の重心位置を算出する。ついで、境界線上において、重心点に最も近い位置に、格子点を移動させる。これにより、ML-EL法による再構成が容易となるという利点がある。
【００５３】
（図２のＳＡ−４）
ついで、前記までのステップで格子点が実際に移動したかどうかを判定する。移動した場合は、移動した格子点を前提として、前記ステップＳＡ−２〜ＳＡ−４の処理を繰り返す。格子点移動を行って再構成を繰り返した結果を、図４の（ｄ）〜（ｆ）に示す。
【００５４】
格子点が移動しなかった場合は、最終的に得られた断面像を出力する。出力先は、データの使用目的に応じて設定できるが、例えばデータ保存用のメモリや、さらなる処理のためのプロセスである。
【００５５】
従来のCT再構成においては、正方形でかつ正則な格子を用いて計算されていた。これに対して、前記した実施形態の手法では、格子の形状を凸多角形としつつ、非正則（非構造）格子を用いて再構成の計算を行う（ただし初期状態では正則格子を用いていてもよい）。さらに、本実施形態では、この格子の形状が動的に変更されていく。これらの点が前記した手法の特徴となっている。
【００５６】
（実施例）
次に、図９を参照して、前記実施形態を用いた具体的な実施例を、従来法と比較して説明する。
【００５７】
従来法（図９（ａ））では、図の矢印方向の断面におけるCT値からも分かるように、境界線上においてボケが目立つ。これに対して、実施例（図９（ｂ））では、境界線が明瞭となっており、ボケが少ない。特に、対象物の隅部分において、この効果が顕著である。なお、図９の例では、対象物（被写体）のCT値が三通りとされている。このような場合でも、予めCT値が予想できる場合には、二つの材質の境界毎に前記手法を適用することで、境界線を推測できる。
【００５８】
したがって、本実施形態の方法によれば、例えば産業用として、対象物である製品の形状を正確に取得する事ができるという利点がある。
【００５９】
（本発明の第２実施形態）
次に、本発明の第２実施形態に係る形状抽出方法及び形状抽出装置を、図１０を参照しながら説明する。なお、本実施形態の説明においては、前記した第１実施形態と基本的に共通する要素については、同一符号を用いることにより、説明の煩雑を避ける。
【００６０】
前記した第１実施形態では、メッシュ構造として三角形メッシュを用いることで、被写体の平面形状を抽出することができた。これに対して、以下に説明する第２実施形態は、メッシュ構造として四面体メッシュを用いることで、立体形状を抽出するものである。また、第１実施形態では、CT再構成の方法として、ML-EL法を採用した。これに対して、第２実施形態では、CT再構成の方法として、既存のFeldkamp法（L.A.Feldkamp, L.C.Davis, and J.W.Kress. Practical conebeam algorithm. J.Opt.Soc.Am.a, 1:612 - 619, 1984.）を用いている。これにより、第２実施形態では、メッシュを構成する各四面体の重心ｃでのCT値ｆ（ｃ）を求めることができる。ここで、各四面体の重心ｃでのCT値ｆ（ｃ）を、当該要素（当該メッシュ）を代表するCT値として扱うことができる。
【００６１】
しかしながら、立体形状を抽出する場合においても、立体形状を抽出する装置及び方法としては、前記した第１実施形態と基本的には共通している。すなわち、図２で示した各ステップは両実施形態において共通であり、図１に示すブロック図も共通する。ただし、以下のような用語の読み替えが原則的には必要となる。
２Ｄ⇒３Ｄ
多角形⇒多面体
三角形⇒四面体
直線⇒平面
境界線⇒境界面
面積⇒体積
【００６２】
このため、図５のＳＢ−１からＳＢ−３に示したステップは、若干の変更が必要となる。以下、図５の各ステップに対応するステップＳＣ−１〜ＳＣ−３を、図１０に基づいて説明する。なお、図１０の各ステップも、図５の場合と同様に、図２のステップＳＡ−３の具体化の一例である。
【００６３】
（図１０のステップＳＣ−１）
まず、メッシュ構造を構成する各四面体を通る境界面を平面で近似するための処理を以下説明する。
【００６４】
（二値化による材料境界の検出）
まず、材料固有のCT値（既知）を用いて材料境界の検出を行う．２種類の材料A,B のCT 値が既知の場合，材料A と材料B との境界面でのCT 値Ft はAとB のCT 値の平均値として求められる．なお，本例では、大気中に置かれた単一材料の部品を想定しているので，材料A は空気で，材料B は部品である．この値と各四面体のCT 値を比べることで，材料Aに含まれる四面体と材料B に含まれる四面体を区別することができる．そして，材料A の四面体と材料B の四面体とに共通して含まれる三角形（四面体の表面を構成する三角形）の集合として境界メッシュM を求めることができる．したがって、個々の境界メッシュは三角形の平面メッシュである。この状態では、通常、境界に位置する四面体メッシュの内部を境界線面が通過することになるが、当然のことながら、メッシュのどの位置を通過しているかは未知である。したがって、この時点では、境界メッシュMは、被写体自体の境界面に一致しないことが通常である。
【００６５】
（境界面を表す平面の算出）
以下においては、求めた境界メッシュMの位置をずらすことにより、境界メッシュMの位置を、本来の境界面に近づけるための処理を説明する。その前提として、最適な境界メッシュの位置を、以下のように考える。すなわち、最適な（つまり境界面に対応する）境界メッシュMであるためには、
・境界メッシュを構成する三角形の重心mi が材料境界上にあること；及び
・その三角形の法線が、この重心点におけるCT 値の勾配方向（つまりCT値が増加又は減少する方向）と等しいこと
が必要である。図１１（ａ）には、検出された境界面における重心位置と法線方向が、正しい材料境界においてはどのように変化するかを、模式的に示している。ただし、ここで「正しい材料境界」とは、この時点で未知である。したがって、ここでの説明は、「得られた境界がもし正しいならば満たされるはずの条件」を説明しているものである。なお、以降では、移動後の重心位置をm'iで示す
【００６６】
（最適な材料境界の計算）
最適な境界メッシュMとなる三角形の重心の位置m'iは、境界を含む二つの四面体の重心ci，cj の間で，f(m'i ) = Ft となる点である（図１１（ｂ）及び図１２参照）。
【００６７】
Ftは、一般的には、ユーザが容易に指定できる数値である。例えば、境界で接する２物体が、空気と物体である場合、それぞれのCT値自体は一般には既知なので、その中間の値をFtとすることができる。
【００６８】
また，最適な境界メッシュとなる三角形への法線は、求めた位置m'iにおけるCT 値の勾配∇f(m'i)を正規化したベクトルn(m'i)である．∇f(m'i)は、以下の式のように、中心差分により求めることができる。
【００６９】
0005888681.tif 000007
【００７０】
以上の処理により、材料境界面に位置する境界メッシュMを得ることができる。つまり、境界面を平面で近似できたことになる。
【００７１】
（図１０のステップＳＣ−２）
（頂点の移動）
隣接する境界メッシュMの頂点は、境界となる辺の両端において一致するはずである。しかしながら、前記のようにして得られた境界メッシュMにおいては、頂点どうしが一般に一致しない。
【００７２】
そこで、境界メッシュM上の頂点を適切な位置に移動させるために、QEM(quadric error metric) を使う。すなわち、境界メッシュMの各頂点pと、前記のようにして推定した境界メッシュの平面との距離の２乗であるE(p)が最小となる位置を求める。E(p)は下記式で表せる。
【００７３】
0005888681.tif 000008
【００７４】
ここでN(p)は、頂点pと隣接する三角形群を表し，m'i，n(m'i）は、それぞれ三角形ti の最適な重心位置，法線を表す．
【００７５】
（リメッシュ）
ところで、QEM を使って頂点を移動させる場合に、メッシュが裏返るという不都合を生じる場合がある．このような場合には、メッシュの切り直し（いわゆるリメッシュ）を行えばよい。リメッシュの方法としては、既存のものを利用できるので、詳しい説明は省略する。
【００７６】
（図１０のＳＣ−３）
ついで、前記のように求めたE(p)を用いて、その値が最小となるように、拡張点を移動する。このステップは、図５のステップＳＢ−３に対応する。
【００７７】
以降の処理は、第１実施形態の説明における図２のＳＡ−４以降と同様なので、詳しい説明は省略する。また、第２実施形態の装置及び方法における前記以外の構成は、第１実施形態と同様とすることができる。
【００７８】
なお、本発明は、前記した実施の形態に限定されるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない範囲内において種々の変更を加え得るものである。
【００７９】
例えば、前記した各構成要素は、機能ブロックとして存在していればよく、独立したハードウエアとして存在しなくても良い。また、実装方法としては、ハードウエアを用いてもコンピュータソフトウエアを用いても良い。さらに、本発明における一つの機能要素が複数の機能要素の集合によって実現されても良く、本発明における複数の機能要素が一つの機能要素により実現されても良い。
【００８０】
また、本発明を構成する各機能要素は、離散して存在しても良い。離散して存在する場合には、例えばネットワークを介して必要なデータを受け渡すことができる。各部の内部における各機能も、同様に、離散して存在することが可能である。例えば、グリッドコンピューティングやクラウドコンピューティングを用いて、本実施形態における各機能要素あるいはその一部分を実現することも可能である。
【００８１】
また、前記した第１実施形態では、メッシュを三角形により構成したが、三角形に代えて、異なる凸多角形を用いることができる。
【符号の説明】
【００８２】
１  投影像受付部
２  断面再構成部
３  格子点移動部
４  表面形状出力部
１１  Ｘ線源
１２  Ｘ線検出器
１３  対象物
１４  回転テーブル
【図１】
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【図２】
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【図５】
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【図１０】
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【図３】
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【図４】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１１】
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【図１２】
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