(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の初期方程式を決定する初期方程式決定部と、
境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定部と、
前記ｎ個の初期方程式を、２ｎ個の変数の方程式に変形し、前記変形した２ｎ個の変数の方程式において、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部とを決定し、当該未知部について方程式の解を計算する演算部を備え、
前記初期方程式決定部は、前記系の構成要素の節点における物理量を示すｎ次元の変数ベクトルを２つと、ｎ行の行列を含むｎ個の方程式を前記初期方程式として決定し、
前記境界条件決定部は、前記変数ベクトルにおいて、値が既知となる変数の自由度の数と、値が未知となる変数の自由度の数が異なる境界条件も決定可能とし、
前記演算部は、前記２つの変数ベクトルに基づいて２ｎ次元のベクトルを生成し、当該２ｎ次元のベクトルの変数に基づいて前記ｎ行の行列を２ｎ列の行列に変形した上で、当該２ｎ次元のベクトルの変数のうち、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部分と、未知の変数を含む未知部分であって、必ずしも自由度が同じでない既知部分と未知部分を決定し、前記未知部分の変数を、前記既知部分の変数で表す形式になるよう前記２ｎ列の行列及び前記２ｎ次元のベクトルを変形して、変形した行列を用いて、前記未知部分の変数を計算する、情報処理装置。
【請求項２】
処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の初期方程式を決定する初期方程式決定部と、
境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定部と、
前記ｎ個の初期方程式を、２ｎ個の方程式を含む方程式に変形し、前記変形した２ｎ個の方程式を含む方程式において、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部とを決定し、当該未知部について方程式の解を計算する演算部を備え、
前記初期方程式決定部は、前記物理量を表す変数を含むｎ個の微分方程式を決定し、
前記演算部は、前記初期方程式決定部が決定した前記ｎ個の微分方程式の微分作用素と、当該微分作用素から決まる随伴微分作用素を用いて、前記ｎ個の主連立微分方程式とｎ個の双対連立微分方程式を示すデータを生成し、前記ｎ個の主連立微分方程式と前記ｎ個の双対連立微分方程式の解を計算することにより、少なくとも１つの前記物理量を出力する、情報処理装置。
【請求項３】
解析対象の系を表す初期方程式の原初微分作用素及び変数の境界条件を設定する設定部と、
前記境界条件から定まる随伴境界条件を得る随伴境界条件演算部と、
下記式において、解析対象の解ｕｊを、非同次境界条件を満たす項ｕＢｊと同次境界条件を満たす項ｕＨｊとの和（ｕＢｊ＋ｕＨｊ）で表し、ｕＨｊに前記境界条件及び前記随伴境界条件から定まる主境界条件を満たす関数群を代入し、δｕｉ＊に前記境界条件及び前記随伴境界条件から定まる双対境界条件を満たす関数群を代入して得られる連立方程式を解くことで、前記解析対象の解ｕｊを計算する演算部を備える、情報処理装置。
下記式において、Ｌｉｊは、前記原初微分作用素を表す。
【数１】
0005886309.tif 000756
【請求項４】
請求項１〜３いずれか１項に記載の情報処理装置で計算された前記解が複数存在する場合、下記式の汎関数Πにおいて、変分がゼロとなるように、同次解に対するモード係数を決定し、決定したモード係数を用いて解を求める、情報処理装置。
下記式において、Ｓは系の内部領域、Ｌｉｊは前記系が満たすべき微分方程式の微分作用素、ｆｉ、ｕjは、物理量を表す変数を表す。
【数７５３】
0005886309.tif 000757
【請求項５】
前記決定したモード係数近傍の値の入力をユーザから受け付け、入力された値のモード係数を用いて解を計算し、前記解または前記解から得られる情報を出力する、請求項４に記載の情報処理装置。
【請求項６】
処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す微分方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含む微分方程式を初期方程式として決定する初期方程式決定部と、
境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定部と、
前記初期方程式から定まる主連立微分式の主変数と同じ数の双対変数と、双対連立微分方程式を定義した場合に、前記主連立微分方程式の微分作用素を前記主変数へ作用させたものと前記双対変数との積分和すなわち内積を部分積分して得られる境界項を計算し、前記境界条件の下で、当該境界項をゼロにする双対変数の条件を、随伴境界条件として決定する随伴境界条件決定部と、
前記随伴境界条件と前記境界条件とを比較した結果を出力する判定部とを備え、
前記主連立微分方程式の微分作用素を前記主変数へ作用させたものと前記双対変数との内積は、前記主変数と前記双対連立微分方程式の微分作用素を前記双対変数へ作用させたものとの内積に等しい関係にあり、
前記判定部は、前記随伴境界条件と前記境界条件とが一致しないと判断した場合、解析対象が非自己随伴である旨のメッセージを出力するか、又は、請求項１〜３のいずれか１項に記載の情報処理装置の演算部に、前記初期方程式に基づく演算を実行させる、情報処理装置。
【請求項７】
前記境界条件と前記随伴境界条件とが一致するか否かは、下記式を用いて、節点力Ｆおよび節点変位Ｕそれぞれの既知部Ｆｂ、Ｕｂの組と、双対節点力Ｆ＊および節点変位Ｕ＊それぞれの既知部Ｆｂ＊、Ｕｂ＊の組が一致するか否かによって判定する、請求項６に記載の情報処理装置。
下記式において、Ｒは、前記境界項を、Ｇは剛性率を表す。
【数７５４】
0005886309.tif 000758
【請求項８】
処理対象となる系の複数の要素における物理量を表す２つのｎ次元の変数と、ｎ行の行列で表されるｎ個の初期方程式を決定する設定部と、
境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定部と、
前記２つのｎ次元の変数のうち、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部を決定し、１つの変数の未知部の自由度が、他の変数の既知部の自由度と等しくない場合に、前記境界条件が非自己随伴であると判断する判定部を備え、
前記判定部は、前記境界条件が非自己随伴であると判断した場合、解析対象が非自己随伴である旨のメッセージを出力するか、又は、請求項１〜３のいずれか１項に記載の情報処理装置の演算部に、前記初期方程式に基づく演算を実行させる、情報処理装置。
【請求項９】
解析対象の原初微分作用素及び変数の境界条件を設定する設定部と、
前記境界条件から定まる随伴境界条件を得る随伴境界条件演算部と、
原初微分作用素から定まる主微分作用素及び双対微分作用素を得て、主連立微分方程式及び双対連立微分方程式、並びに、前記境界条件及び前記随伴境界条件を用いて、主固有関数及び双対固有関数を求めることにより、連立微分方程式の解を計算する演算部と、を備える請求項３に記載の情報処理装置。
【請求項１０】
前記境界条件と前記随伴境界条件が一致するか否かを判定する自己随伴判定部を備え、
前記演算部は、
前記境界条件と前記随伴境界条件が一致すると判定された場合、原初微分作用素から自己随伴問題の自己随伴固有関数を求めることにより、前記自己随伴問題の解を計算する自己随伴演算部と、
前記境界条件と前記随伴境界条件が一致しないと判定された場合、
前記主連立微分方程式及び前記双対連立微分方程式、並びに、前記境界条件及び前記随伴境界条件を用いて、主固有関数及び双対固有関数を求めることにより、連立微分方程式の解を計算する非自己随伴演算部とを含む、請求項９に記載の情報処理装置。
【請求項１１】
下記式(23)で表される主問題の連立微分方程式の解ｕｊは、非同次境界条件を満たす項ｕＢｊと同次境界条件を満たす項ｕＨｊとの和（ｕＢｊ＋ｕＨｊ）で表し、
下記式(65)で表される双対問題の連立微分方程式の解ｕ＊ｊは、非同次随伴境界条件を満たす項ｕ＊Ｂｊと同次随伴境界条件を満たす項ｕ＊Ｈｊとの和（ｕ＊Ｂｊ＋ｕ＊Ｈｊ）で表し、
ｕＨｊを、下記式（69）に示すように主固有関数φｊの和で表し、ｕ＊Ｈｊを、下記式（70）に示すように双対固有関数φ＊ｊの和で表した場合に、
前記演算部は、下記式(105)で表される前記主連立微分方程式、及び下記式(106)で表される前記双対連立微分方程式を満たす主固有関数φｊ及び双対固有関数φ＊ｊを求める、請求項９又は１０に記載の情報処理装置。
下記式において、ｃｋ、ｃｋ＊は、ｋ次の係数、λは固有値となる定数、ｗｉは、重みを示す定数である。
【数４】
0005886309.tif 000759
【請求項１２】
前記境界条件決定部又は前記設定部は、ユーザから前記物理量を表す変数で値が未知の部分を示す情報の入力を受け付け、当該情報を用いて前記境界条件を決定する、請求項１〜３、６〜１１のいずれか１項に記載の情報処理装置。
【請求項１３】
コンピュータが、処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の初期方程式を決定する初期方程式決定工程と、
コンピュータが、境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定工程と、
コンピュータが、前記ｎ個の方程式を、２ｎ個の変数の方程式に変形し、前記変形した２ｎ個の変数の方程式において、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部とを決定し、当該未知部について方程式の解を計算する演算工程とを有し、
前記初期方程式決定工程では、前記系の構成要素の節点における物理量を示すｎ次元の変数ベクトルを２つと、ｎ行の行列を含むｎ個の方程式を前記初期方程式として決定し、
前記境界条件決定工程では、前記変数ベクトルにおいて、値が既知となる変数の自由度の数と、値が未知となる変数の自由度の数が異なる境界条件も決定可能とし、
前記演算工程では、前記２つの変数ベクトルに基づいて２ｎ次元のベクトルを生成し、当該２ｎ次元のベクトルの変数に基づいて前記ｎ行の行列を２ｎ列の行列に変形した上で、当該２ｎ次元のベクトルの変数のうち、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部分と、未知の変数を含む未知部分であって、必ずしも自由度が同じでない既知部分と未知部分を決定し、前記未知部分の変数を、前記既知部分の変数で表す形式になるよう前記２ｎ列の行列及び前記２ｎ次元のベクトルを変形して、変形した行列を用いて、前記未知部分の変数を計算する、情報処理方法。
【請求項１４】
処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の初期方程式を決定する初期方程式決定処理と、
境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定処理と、
前記ｎ個の方程式を、２ｎ個の変数の方程式を含む方程式に変形し、前記変形した２ｎ個の変数の方程式を含む方程式において、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部とを決定し、当該未知部について方程式の解を計算する演算処理とをコ ンピュータに実行させ、
前記初期方程式決定処理は、前記系の構成要素の節点における物理量を示すｎ次元の変数ベクトルを２つと、ｎ行の行列を含むｎ個の方程式を前記初期方程式として決定する処理を含み、
前記境界条件決定処理では、前記変数ベクトルにおいて、値が既知となる変数の自由度の数と、値が未知となる変数の自由度の数が異なる境界条件も決定可能とし、
前記演算処理は、前記２つの変数ベクトルに基づいて２ｎ次元のベクトルを生成し、当該２ｎ次元のベクトルの変数に基づいて前記ｎ行の行列を２ｎ列の行列に変形した上で、当該２ｎ次元のベクトルの変数のうち、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部分と、未知の変数を含む未知部分であって、必ずしも自由度が同じでない既知部分と未知部分を決定し、前記未知部分の変数を、前記既知部分の変数で表す形式になるよう前記２ｎ列の行列及び前記２ｎ次元のベクトルを変形して、変形した行列を用いて、前記未知部分の変数を計算する処理を含む、情報処理プログラム。
【請求項１５】
コンピュータが、処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す微分方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の微分方程式を初期方程式として決定する初期方程式決定工程と、
コンピュータが、境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定工程と、
コンピュータが、前記初期方程式から定まる主連立微分式の主変数と同じ数の双対変数と、双対連立微分方程式を定義した場合に、前記主連立微分方程式の微分作用素を前記主変数へ作用させたものと前記双対変数との積分和すなわち内積を部分積分して得られる境界項を計算し、前記境界条件の下で、当該境界項をゼロにする双対変数の条件を、随伴境界条件として決定する随伴境界条件決定工程と、
コンピュータが、前記随伴境界条件と前記境界条件とを比較した結果を出力する出力工程を有し、
前記主連立微分方程式の微分作用素を前記主変数へ作用させたものと前記双対変数との内積は、前記主変数と前記双対連立微分方程式の微分作用素を前記双対変数へ作用させたものとの内積に等しい関係にあり、
前記出力工程では、コンピュータが、前記随伴境界条件と前記境界条件とが一致しないと判断した場合、解析対象が非自己随伴である旨のメッセージを出力するか、又は、請求項１〜３のいずれか１項に記載の情報処理装置の演算部に、前記初期方程式に基づく演算を実行させる、情報処理方法。
【請求項１６】
処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す微分方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の微分方程式を初期方程式として決定する初期方程式決定処理と、
境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定処理と、
前記初期方程式から定まる主連立微分式の主変数と同じ数の双対変数と、双対連立微分方程式を定義した場合に、前記主連立微分方程式の微分作用素を前記主変数へ作用させたものと前記双対変数との積分和すなわち内積を部分積分して得られる境界項を計算し、前記境界条件の下で、当該境界項をゼロにする双対変数の条件を、随伴境界条件として決定する随伴境界条件決定処理と、
前記随伴境界条件と前記境界条件とを比較した結果を出力する出力処理をコンピュータに実行させ、
前記主連立微分方程式の微分作用素を前記主変数へ作用させたものと前記双対変数との内積は、前記主変数と前記双対連立微分方程式の微分作用素を前記双対変数へ作用させたものとの内積に等しい関係にあり、
前記出力処理は、前記随伴境界条件と前記境界条件とが一致しないと判断した場合、解析対象が非自己随伴である旨のメッセージを出力するか、又は、請求項１〜３のいずれか１項に記載の情報処理装置の演算部に、前記初期方程式に基づく演算を実行させる、情報処理プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、連続体等の解析対象の運動を微分方程式で表し、境界条件に応じた解を計算することにより、連続体の運動又は状態を解析する技術に関する。
【背景技術】
【０００２】
連続体の運動は連立偏微分方程式で記述されるのが通例で，各種境界条件に応じた解を得る事が目的となる。工学的には自己随伴問題を取り扱う事が多く，それに適した様々な解法が研究されており，なかでもヒルベルトの展開定理に基づく固有関数法が有用で，応用例も豊富にある。これに比べて，非自己随伴問題についての研究例は極めて少ないが，シュミットの展開定理（例えば、非特許文献１、２参照）に基づく固有関数法が存在する。さらに，ミフリン（例えば、非特許文献３、４参照）は，この固有関数を用いれば最小２乗法が正解を与える事を示している。しかし，これらの定理は積分方程式論の範疇にあって境界条件が積分核に埋め込まれる為，汎用法としては利用しづらい面がある。また，複数の未知関数を解く連立方程式の形ではない事も一因となり，必然的に，応用例も限られている。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００３】
【非特許文献１】R．クーラン，D．ヒルベルト；齋藤利弥，丸山滋弥 共訳：数理物理学の方法１，東京図書，初版1959．
【非特許文献２】Erhard Schmidt: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen． I．, Math． Ann． Bd． 63, 1907, pp．433-476．
【非特許文献３】B．A．フィンレイソン；鷲津久一郎,山本善之,川井忠彦 共訳：重みつき残差法と変分原理，培風館，1974．
【非特許文献４】S．G．Mikhlin; translated by T．Boddington: Variational Methods in Mathematical Physics， Pergamon Press，1964．
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
弾性学，振動学，材料力学，構造力学などの分野では，理論体系の根幹に仮想仕事の原理が据えられる為，内容が自己随伴問題に偏っているのが現状であり，非自己随伴問題の存在すら認識されていない感がある。しかし，実際には非自己随伴問題は数多く存在するので，仮想仕事の原理の持つ曖昧性を認識して，より高い視点から力学の体系を再構築し，その可能性を幅広く奥深く伸展させ，更なる発展を誘う事が必要である。【０００５】
そこで、本発明は、連立微分方程式で表された非自己随伴問題の解を算出することできる、解析装置、解析方法、及び解析プログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本願開示の解析装置は、解析対象に対する原初微分作用素Ｌｉｊを表すデータを用いて，前記解析対象の微分方程式の解を求める解析装置であって，解析対象へ働く力をｆｉ、双対変位ｕｉ＊の変分のことを双対変分δｕｉ＊とするとき，下記式によって，解ｕｊを計算する。【０００７】
【数１】
0005886309.tif 000002
【図面の簡単な説明】
【０００８】
【図１】固有関数と微分作用素や境界条件との関係を示す図
【図２】第１の実施形態の解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図
【図３】第２の実施形態における解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図
【図４】図３に示す解析装置の動作例を示すフローチャート
【図５】第３の実施形態における解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図
【図６】図５に示す解析装置１０ｂの動作例を示すフローチャート
【図７】第４の実施形態における解析装置の動作例を示すフローチャート
【図８】１６節点四角形の要素の例を示す図
【図９】一様重力下の円環で「変位ゼロかつ表面力ゼロ」を境界条件とする解析結果を示す図
【図１０】一様重力下の正方形で、上辺の境界条件を「変位ゼロかつ表面力ゼロ」とした場合の解析結果を示す図
【図１１】周辺を固着した正方形の平板の面内変形の解析結果を示す図
【図１２】正方形の面外変形平板要素の周辺を固着した場合の自重による変形を解析した結果を示す図
【図１３Ａ】左端自由固着の梁のモデルを図
【図１３Ｂ】図１３Ａに示す梁の主固有関数φ１、φ２、φ３、及び双対固有関数φ１＊、φ２＊、φ３＊の計算結果を示す図
【図１３Ｃ】固有関数法により求めた解および解析解を示す図
【図１４】無限領域に正方形の仮想境界を定義し，その中心に湧き出しを配置した場合の解析結果を示す図
【図１５】無限領域に正方形の仮想境界を定義し，その中心に渦度を配置した場合の解析結果を示す図
【図１６】ばね減衰系の例を示す図
【図１７】固有関数の例を示す図
【図１８】(525)式の解析解と，(494)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図１９】(528)式の解析解と，(494)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図２０】(531)式の解析解と，(494)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図２１】質点ばね系の例を示す図
【図２２】(610)式でのそれぞれの固有関数を示す図
【図２３】(611)式でのそれぞれの固有関数を示す図
【図２４】(625)式の解析解と，(578)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図２５】(632)式の解析解と，(584)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図２６】弦の静たわみの例を示す図
【図２７】固有関数の例を示す図
【図２８】(706)式の解析解と、(702)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図２９】(709)式の解析解と、(702)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図３０】(713)式の解析解と、(704)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図３１】(715)式の解析解と、(704)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図３２】梁の静たわみの例を示す図
【図３３】固有関数の例を示す図
【図３４】固有関数の例を示す図
【図３５】(784)式の解析解と，(780)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図３６】(787)式の解析解と、(780)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図３７】(790)式の解析解と、(782)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図３８】(793)式の解析解と、(782)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図
【図３９】複数の解のうちの一例を示す解以外の解の一つを示す図
【図４０Ａ】有限要素を用いて解析した場合に計算される複数の解の例を示す図
【図４０Ｂ】有限要素を用いて解析した場合に計算される複数の解の例を示す図
【図４１】４節点形状関数のための２６節点を示す図
【図４２】円環の変形と応力の解析解を示す図
【図４３】モードＳＡの変形を示す図
【図４４】モードＡＳの変形を示す図
【図４５】モードＳＳの変形を示す図
【図４６】モードＡＡの変形を示す図
【図４７】円環の第１モードを示す図
【図４８】円環の第２モードを示す図
【図４９】円環の第３モードを示す図
【図５０】円環の第４モードを示す図
【図５１】２モードを用いた場合の変形と応力分布を示す図
【図５２】３モードを用いた場合の変形と応力分布を示す図
【図５３】１０モードを用いた場合の変形と応力分布を示す図
【図５４】３０モードを用いた場合の変形と応力分布を示す図
【図５５】湧き出しの無次元速度の様子を示す図
【図５６】渦度の無次元速度の様子を示す図
【図５７】関数(1)の第１モード(m=1,N=1)を示す図
【図５８】関数(2)の第１モード(m=1,N=1)を示す図
【図５９】関数(3)の第１モード(m=1,N=1)を示す図
【図６０】関数(4)の第１モード(m=1,N=1)を示す図
【図６１】関数(5)の第１モード(m=1,N=1)を示す図
【図６２】関数(6)の第１モード(m=1,N=1)を示す図
【図６３】関数(7)の第１モード(m=1,N=1)を示す図
【図６４】関数(8)の第１モード(m=1,N=1)を示す図
【図６５】固有関数法を用いた湧き出しの速度分布を示す図
【図６６】固有関数法と解析解の湧き出しの速度分布の差を示す図
【図６７】情報処理装置の構成例を示す図
【図６８】情報処理装置の構成例を示す図
【図６９】境界条件設定処理の例を示すフローチャート
【図７０】境界条件設定処理の例を示すフローチャート
【図７１】境界条件設定処理の例を示すフローチャート
【図７２】解析処理の例を示すフローチャート
【発明を実施するための形態】
【０００９】
１．緒言
ここで，連立偏微分方程式で表された非自己随伴問題を解く為の，新しい固有関数法を示す。次に，本手法と最小２乗法，変分直接法，弾性学のエネルギ原理との関係について論じる。その後，仮想仕事の原理及び有限要素定式化の深部について論じる。さらに、２次元弾性体の有限要素の定式化について述べる。
２．  連立偏微分方程式
２．１  用語と造語
固有関数と微分作用素や境界条件との関係について，必要な用語や造語を図１に示す。
【００１０】
解きたい問題を主問題［Ｐｒｉｍａｌ  Ｐｒｏｂｌｅｍ］と呼ぶ。これに与えられた非同次境界条件［Ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ  Ｂｏｕｎｄａｒｙ  Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ］から同次境界条件［Ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ  Ｂｏｕｎｄａｒｙ  Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ］が定まる。同じ同次境界条件を持つ問題は多数あり，境界条件の和を算法とする加群を成す。これを表の群［Ｈｅａｄｓ  Ｇｒｏｕｐ］と呼ぶ。即ち，主問題の非同次境界条件が，要素のひとつとして，表の群に含まれる。主問題の解関数を主解［Ｐｒｉｍａｌ  Ｓｏｌｕｔｉｏｎ］と呼び，この変分を主変分［Ｐｒｉｍａｌ  Ｖａｒｉａｔｉｏｎ］と呼ぶ。
【００１１】
内積［Ｉｎｎｅｒ  Ｐｒｏｄｕｃｔ］の部分積分により，原初微分作用素［Ｏｒｉｇｉｎａｌ  Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ  Ｏｐｅｒａｔｏｒ］からは随伴微分作用素［Ａｄｊｏｉｎｔ  Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ  Ｏｐｅｒａｔｏｒ］が定まり，境界項をゼロとする条件からは同次随伴境界条件［Ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ  Ａｄｊｏｉｎｔ  Ｂｏｕｎｄａｒｙ  Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ］が定まる。同じ同次随伴境界条件を持つ問題は多数あり，同様に加群を成す。これを裏の群［Ｔａｉｌｓ  Ｇｒｏｕｐ］と呼ぶ。その要素のひとつを非同次随伴境界条件［Ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ  Ａｄｊｏｉｎｔ  Ｂｏｕｎｄａｒｙ  Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ］と呼び，これを与える問題を双対問題［Ｄｕａｌ  Ｐｒｏｂｌｅｍ］と呼ぶ。双対問題の解関数を双対解［Ｄｕａｌ  Ｓｏｌｕｔｉｏｎ］と呼び，この変分を双対変分［Ｄｕａｌ  Ｖａｒｉａｔｉｏｎ］と呼ぶ。内積を通じて，両群は表裏一体に結ばれる。
【００１２】
２．２  自己随伴作用素の例  （弾性体の静的釣合）
２次元弾性体の静的釣合方程式は，直交座標系で，
【数５】
0005886309.tif 000003
となる。ここで，ｕｘ，ｕｙはｘ，ｙ方向の変位で，求解により主解となる。ｂｘ，ｂｙはｘ，ｙ方向の単位体積あたりの物体力，Ｇは剛性率である。ポアソン比［Ｐｏｉｓｓｏｎ’ｓ  ｒａｔｉｏ］をνとして，定数μは，
【数６】
0005886309.tif 000004
である。
平面応力，平面ひずみ状態共に，変位ひずみ関係は
【数７】
0005886309.tif 000005
であり，応力ひずみ関係は， 
【数８】
0005886309.tif 000006
【００１３】
となる。よって，応力成分は，
【数９】
0005886309.tif 000007
となり，境界面の外向き単位法線ベクトルの成分をｎｘ，ｎｙとして，表面力ｐｘ，ｐｙは，コーシーの公式［Ｃａｕｃｈｙ’ｓ  ｆｏｒｍｕｌａ］から，
【数１０】
0005886309.tif 000008
【００１４】
である。（１）〜（１４）式のように定数μを用いた表式により，平面応力状態と平面ひずみ状態を統一的に取り扱えるようになる。（１），（２）式の微分作用素を原初微分作用素Ｌｉｊと呼び，
【数１１】
0005886309.tif 000009
と定義すると，次章の部分積分により随伴微分作用素Ｌｉｊ＊は，
【数１２】
0005886309.tif 000010
となる場合を自己随伴微分作用素［Ｓｅｌｆ−Ａｄｊｏｉｎｔ  Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ  Ｏｐｅｒａｔｏｒ］と呼ぶ。随伴微分作用素Ｌｊｉ＊の全ての成分が，その添字ｊ，ｉを反転させてｉ，ｊとした，原初微分作用素Ｌｉｊに一致すれば，Ｌｉｊは自己随伴微分作用素である。
【００１５】
２．３  非自己随伴作用素の例  （ポテンシャル流れ）
２次元ポテンシャル流れの問題を，速度ポテンシャルを用いずに，速度だけで解こうとすれば，直交座標系で，
【数１３】
0005886309.tif 000011
の連立偏微分方程式となる。ここで，ｕｘ，ｕｙはｘ，ｙ方向の速度で，求解により主解となる。（１８），（１９）式の微分作用素を原初微分作用素Ｌｉｊと呼び，
【数１４】
0005886309.tif 000012
と定義すると，次章の部分積分により随伴微分作用素Ｌｉｊ＊は，
【数１５】
0005886309.tif 000013
となる場合を非自己随伴微分作用素［Ｎｏｎ−Ｓｅｌｆ−Ａｄｊｏｉｎｔ  Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ  Ｏｐｅｒａｔｏｒ］と呼ぶ。随伴微分作用素Ｌ＊ｊｉが，その添字ｊ，ｉを反転させてｉ、ｊとした，原初微分作用素Ｌｉｊに一致しない成分がひとつでもあれば，Ｌｉｊは非自己随伴微分作用素である。
【００１６】
３．主問題と双対問題
３．１  境界条件の同次化
以降は，前章の弾性体の例に題材を絞って記す。主解となる変位ｕｘ，ｕｙを主変位と呼びｕ１，ｕ２と書く。方程式の右辺をｆ１，ｆ２と書けば，連立偏微分方程式（１），（２）は，
【数１６】
0005886309.tif 000014
となる。非同次境界条件を満たす項に添字Ｂを付けてｕＢｊとおき，同次境界条件を満たす項に添字Ｈを付けてｕＨｊとおく。主変位ｕｊをその和で，
【数１７】
0005886309.tif 000015
と表す。（１０）〜（１４）式および上式に従って，応力や表面力もｕＢｊあるいはｕＨｊから成る項に分かれて，
【数１８】
0005886309.tif 000016
となる。ｕＨｊ，ｐＨｊは同次境界条件を満たす未知関数であるが，ｐＨｊはｕＨｊで表現されるから，最終的な未知関数はｕＨｊのみである。同様に，ｕＢｊ，ｐＢｊは非同次境界条件を満たす既知関数であるが，ｐＢｊはｕＢｊで表現されるから，最終的な既知関数はｕＢｊのみである。ｕＢｊが(23)式を満たすとは限らず，(24)式の形で(23)式を満たす。(24)式を(23)式に代入して，同次境界条件で表された連立偏微分方程式
【数１９】
0005886309.tif 000017
である。以上の手順は，微分方程式を解く為の常套手段で，既知関数ｕＢｊに応じた未知関数ｕＨｊを求める問題にすり替わる。
【００１７】
３．２  双対変位
双対解となる変位を双対変位ｕｊ＊と呼ぶ。前節同様に，非同次随伴境界条件を満たす項ｕＢｊ＊と同次随伴境界条件を満たす項ｕＨｊ＊の和で，双対変位ｕｊ＊を，
【数２０】
0005886309.tif 000018
と表す。(10)〜(14)式および上式に従って，応力や表面力もｕＢｊ＊あるいはｕＨｊ＊から成る項に分かれて，
【数２１】
0005886309.tif 000019
となる。ｕＨｊ＊，ｐＨｊ＊は同次随伴境界条件を満たす未知関数であるが，ｐＨｊ＊は
ｕＨｊ＊で表現されるから，最終的な未知関数はｕＨｊ＊のみである。同様に，ｕＢｊ＊，ｐＢｊ＊は非同次随伴境界条件を満たす既知関数であるが，ｐＢｊ＊はｕＢｊ＊で表現されるから，最終的な既知関数はｕＢｊ＊のみである。
【００１８】
３．３  部分積分
境界表面をｃ，内部領域をｓとする。方程式(23)に双対変位ｕｉ＊を乗じた積分和，即ち，内積は，
【数２２】
0005886309.tif 000020
となる。左辺を部分積分して，
【数２３】
0005886309.tif 000021
となる。ここで，Rは境界項で，前章の弾性体の場合には，
【数２４】
0005886309.tif 000022
である。同次化された連立偏微分方程式(40)と関数ｕＨｊ＊との内積は，
【数２５】
0005886309.tif 000023
となる。左辺を部分積分して，
【数２６】
0005886309.tif 000024
となる。ここで，ＲＨは境界項で，
【数２７】
0005886309.tif 000025
である。非同次境界条件と非同次随伴境界条件が共にゼロの場合には，（６０）式と（６３）式は一致する。同次境界条件がｕＨｉ，ｐＨｉに課された下で，境界項ＲＨをゼロとする条件，即ち，同次随伴境界条件がｕＨｉ＊，ｐＨｉ＊に課される。その結果，（６２）式は，
【数２８】
0005886309.tif 000026
となる。
同次境界条件と同次随伴境界条件が一致する場合を自己随伴境界条件［Ｓｅｌｆ−Ａｄｊｏｉｎｔ  Ｂｏｕｎｄａｒｙ  Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ］と呼び，一致しない場合を非自己随伴境界条件［Ｎｏｎ−Ｓｅｌｆ−Ａｄｊｏｉｎｔ  Ｂｏｕｎｄａｒｙ  Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ］と呼ぶ。
微分作用素と境界条件が共に自己随伴な問題を自己随伴問題［Ｓｅｌｆ−Ａｄｊｏｉｎｔ  Ｐｒｏｂｌｅｍ］と呼び，どちらか一方でも非自己随伴な問題を非自己随伴問題［Ｎｏｎ−Ｓｅｌｆ−Ａｄｊｏｉｎｔ  Ｐｒｏｂｌｅｍ］と呼ぶ。
【００１９】
３．４  主問題と双対問題の関係
（５９），（６４）式右辺の作用素に着目して，双対問題の連立偏微分方程式
【数２９】
0005886309.tif 000027
を定義する。上式右辺のｆｉ＊は，双対問題の外力である。上式に（４２）式を代入して，双対問題の，同次化された連立偏微分方程式
【数３０】
0005886309.tif 000028
【００２０】
である。（６４）式に（４０），（６６）式を代入して，関係式
【数３１】
0005886309.tif 000029
を得る。これは，（主，双対）問題の解関数ｕＨｉ，ｕＨｉ＊と，外力項ｆＨｉ，ｆＨｉ＊との間に成り立つ関係を示している 。
【００２１】
４．連立固有値問題
４．１関数群
同次境界条件を満足する関数群をφｊとおき，この群のｋ番目の関数をφｊｋと書いて，解関数ｕＨｊをその和で，
【数３２】
0005886309.tif 000030
と表す。同様に，同次随伴境界条件を満足する関数群をφｊ＊とおき，ｋ番目の関数をφｊｋ＊と書いて，解関数ｕＨｊ＊をその和で，
【数３３】
0005886309.tif 000031
と表す。ここで，ｃｋ，ｃｋ＊はｋ次の係数である。ルベーグ［Ｌｅｂｅｓｇｕｅ］の意味で「ほとんど至る所等しい」解関数を得る為には，関数群φｊ，φｊ＊を固有関数とすべきである。また，（６８）式に着目すれば，外力項ｆＨｊを関数群φｊ＊から構成し，外力項ｆＨｊ＊を関数群φｊから構成する事により，内積を通じて，係数ｃｋ，ｃｋ＊間に関係が生じる事も判る。
【００２２】
４．２  関数群による応力と表面力
応力を表す(27),(30),(33)式に(69)式を代入すれば，
【数３４】
0005886309.tif 000032
となる。よって，関数群φｊにより生じる応力に添字Ｅを付けてσＥｘ，σＥｙ，τＥｘｙと表すと，
【数３５】
0005886309.tif 000033
となる。関数群φｊにより生じる表面力ｐＥｘ，ｐＥｙは，
【数３６】
0005886309.tif 000034
となる。これは，関数群φｊによる表面力ｐＥｉに，境界条件を満足させる為の準備である。
【００２３】
同様に，応力を表す(45),(48),(51)式に(70)式を代入すれば，
【数３７】
0005886309.tif 000035
となる。よって，関数群φｊ＊により生じる応力をσＥｘ＊，σＥｙ＊，τＥｘｙ＊，と表すと，
【数３８】
0005886309.tif 000036
となる。関数群φｊ＊により生じる表面力ｐＥｘ＊，ｐＥｙ＊，
【数３９】
0005886309.tif 000037
となる。これは，関数群φｊ＊による表面力ｐＥｉ＊に，境界条件を満足させる為の準備である。
【００２４】
４．３  (主,双対)連立微分方程式と(主,双対)連立固有値問題
4.1節の知見により，同次化された微分方程式(40)に注目して，主連立微分方程式[Primal Simultaneous Differential Equations]
【数４０】
0005886309.tif 000038
を定義する。さらに，微分方程式(66)に注目して，双対連立微分方程式[Dual Simultaneous Differential Equations]
【数４１】
0005886309.tif 000039
を定義する。ここで，ｗｉ，ｗｉ＊は定数で重み，λ，λ＊は定数でいずれ固有値となる。
【００２５】
主連立微分方程式(87)とφｉ＊との内積は，
【数４２】
0005886309.tif 000040
となる。左辺を部分積分して，
【数４３】
0005886309.tif 000041
となる。ここで，REは境界項で，
【数４４】
0005886309.tif 000042
である。4.1節により，同次境界条件がφｉ，ｐＥｉに課され，同次随伴境界条件がφｉ
＊，ｐＥｉ＊に課される為，境界項ＲＥはゼロとなる。よって，(88)式により，(90)式は，
【数４５】
0005886309.tif 000043
となる。(89)式と(92)式の左辺は同じであるから，その右辺に注目して，
λ＊＝λ      (93)
となるようにλ,λ＊を定めれば，
【数４６】
0005886309.tif 000044
を得る。即ち，(93)式の下で関数φｉ，φｉ＊の重み付き内積は等しい。
【００２６】
一方，主連立微分方程式(87)と双対連立微分方程式(88)を相互に代入すれば，２つの連立固有値問題
【数４７】
0005886309.tif 000045
が得られる。これらは，共に，固有値がλ２となる連立固有値問題である。(9８）式を主連立固有値問題［Ｐｒｉｍａｌ  Ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ  Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ  Ｐｒｏｂｌｅｍ］，（９９）式を双対連立固有値問題［Ｄｕａｌ  Ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ  Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ  Ｐｒｏｂｌｅｍ］と呼ぶ。関数φｉを主固有関数［Ｐｒｉｍａｌ  Ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎ］，φｉ＊を双対固有関数［Ｄｕａｌ  Ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎ］と呼ぶ。左辺の作用素をそれぞれ，主微分作用素［Ｐｒｉｍａｌ  Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ  Ｏｐｅｒａｔｏｒ］，双対微分作用素［Ｄｕａｌ  Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ  Ｏｐｅｒａｔｏｒ］と呼ぶ。（主，双対）微分作用素は共に自己随伴な微分作用素である。
【００２７】
さて，関数φｉには同次境界条件が，関数φｉ＊には同次随伴境界条件が課されている。主連立微分方程式（８７）の右辺には関数φｉ＊がある為，関数φｉは同次境界条件を満たすと共に，その微分係数の和ΣｊＬｉｊφｊが同次随伴境界条件を満たす必要がある。これらを合わせて主境界条件［Ｐｒｉｍａｌ  Ｂｏｕｎｄａｒｙ  Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ］と呼ぶ。双対連立微分方程式（８８）の右辺には関数φｉがある為，関数φｉ＊は同時随伴境界条件を満たすと共に，その微分係数の和ΣｊＬｊｉ＊φｊ＊が同次境界条件を満たす必要がある。これらを合わせて双対境界条件［Ｄｕａｌ  Ｂｏｕｎｄａｒｙ  Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ］と呼ぶ。（主，双対）境界条件は共に自己随伴な境界条件である。
【００２８】
これらの境界条件を課された（９８）式のφｉおよび（９９）式のφｉ＊はそれぞれ直交性を有し，ヒルベルト空間［Ｈｉｌｂｅｒｔ  ｓｐａｃｅ］の基底関数を構成する。例えば，ｍ次の固有値と主固有関数をλｍ、φｉｍとおき，ｎ次の固有値と主固有関数をλｎ，φｉｎとおくと，内積の演算から，
【数４８】
0005886309.tif 000046
となるから，主固有関数φｉに直交性がある事を知る。同様にして，ｍ次の固有値と双対固有関数をλｍ，φｉｍ＊とおき，ｎ次の固有値と双対固有関数をλｎ，φｉｎ＊とおくと，内積の演算から，
【数４９】
0005886309.tif 000047
となるから，双対固有関数φｉ＊にも直交性がある事を知る。
【００２９】
よって，（９４），（９７）式を考慮すれば，クロネッカーのデルタ［Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ’ｓ  ｄｅｌｔａ］をδｍｎとして，
【数５０】
0005886309.tif 000048
となるよう，関数φｉ，φｉ＊を正規化しておける。
【００３０】
４．４  固有関数法への準備
主連立微分方程式（８７）は，（９３），（９７）式より，
【数５１】
0005886309.tif 000049
となる。双対連立微分方程式（８８）は，変形なく，
【数５２】
0005886309.tif 000050
である。次章の固有関数法に用いる関数φｉ，φｉ＊は，（主，双対）連立微分方程式（１０５），（１０６）を満たす組合せとする。ただし，φｉはそのままで，λとφｉ＊の符号を反転させた組合せも要件を満たすが，この組合せは排除する。
【００３１】
原初微分作用素Ｌｉｊと同次境界条件が共に自己随伴な場合には，（１０５）式と（１０６）式は一致して，自己随伴連立固有値問題［Ｓｅｌｆ−Ａｄｊｏｉｎｔ  Ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ  Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ  Ｐｒｏｂｌｅｍ］
【数５３】
0005886309.tif 000051
となる。上式はチモシェンコ梁［Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ  ｂｅａｍ］やミンドリン平板［Ｍｉｎｄｌｉｎ  ｐｌａｔｅ］などの固有振動を表す形式で，固有関数法から直接，（１２３）式を導く鍵となる。
【００３２】
５．固有関数法と最小２乗法
５．１固有関数法
５．１．１  主問題
同次化された微分方程式（４０）に（６９）式を代入して，
【００３３】
【数５４】
0005886309.tif 000052
となる。上式は，主連立微分方程式（１０５）により，
【数５５】
0005886309.tif 000053
となる。ここで，λｋはｋ次の固有値である。関数φｉ＊と内積をとって直交性を利用すれば，
【数５６】
0005886309.tif 000054
となる。これにより，係数ｃｋが定まる（１０４）式の正規化によって，
【数５７】
0005886309.tif 000055
となり，外力項ｆＨｉと双対固有関数φｉ＊の内積から係数ｃｋが定まる事を知る。これを（６９）式に戻して変位ｕＨｊを得，ｕＨｊを（２４）式に戻せば変位ｕｊを得る。一方，（１０９）式に戻せば外力項ｆＨｉが再構成され検証に役立つ。即ち，（１１１）式の解法は，変位ｕＨｊを主固有関数φｊで，外力項ｆＨｉを双対固有関数φｉ＊で表現する，ヒルベルト空間での固有関数法である。
【００３４】
５．１．２  双対問題
同次化された微分方程式（６６）に（７０）式を代入して，
【数５８】
0005886309.tif 000056
となる。上式は，双対連立微分方程式（１０６）により，
【数５９】
0005886309.tif 000057
となる。関数φｉと内積をとって直交性を利用すれば，
【数６０】
0005886309.tif 000058
となる。これにより，係数ｃｋ＊が定まる。（１０４）式の正規化によって，
【数６１】
0005886309.tif 000059
【００３５】
となり，外力項ｆＨｉ＊と主固有関数φｉの内積から係数ｃｋ＊が定まる事を知る。これを（７０）式に戻して変位ｕＨｊ＊を得，ｕＨｊ＊を（４２）式に戻せば変位ｕｊ＊を得る。一方，（１１３）式に戻せば外力項ｆＨｉ＊が再構成され検証に役立つ。即ち，（１１５）式の解法は，変位ｕＨｊ＊を双対固有関数φｉ＊で，外力項ｆＨｉ＊を主固有関数φｉで表現する，ヒルベルト空間での固有関数法である。
【００３６】
５．１．３  双対原理
ここで改めて図１を熟視すれば，あたかもコインの如く表裏一体の構造は，原初微分作用素がその材質に，同次境界条件が表裏紋様の礎に当り，これに内在する固有値と（主，双対）固有関数が解法の主役を演ずる事が判る。
【００３７】
また，双対問題から出発すると逆向きに同様な関係が得られる為，その求解に，（主，双対）固有関数を反転利用できる事も判る。即ち，図１は連立偏微分方程式の双対原理［Ｄｕａｌｉｔｙ  Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ］を示している。「双対」の名を冠した根拠は，上記の特徴「表裏一体・反転利用」にある。
【００３８】
５．２  変分直接法と最小２乗法
主変分［Ｐｒｉｍａｌ  Ｖａｒｉａｔｉｏｎ］δｕｉは（２４）式，双対変分［Ｄｕａｌ  Ｖａｒｉａｔｉｏｎ］δｕｉ＊は（４２）式より，それぞれ，
【数６２】
0005886309.tif 000060
となる。非同次の境界条件を満たす項は既知関数の為，上式では，
【数６３】
0005886309.tif 000061
を用いた。結局，（６９），（１１６）式及び，（７０），（１１７）式より，
【数６４】
0005886309.tif 000062
を得る。これは，主変分δｕｉを主固有関数φｉで，双対変分δｕｉ＊を双対固有関数φｉ＊で表現した式に他ならない。よって，（１１０）式を得る過程で用いた，関数φｉ＊と内積をとる手順を複数組み合わせる事は，（１２１）式の双対変分δｕｉ＊と内積をとる事と等価である。即ち，
【数６５】
0005886309.tif 000063
が成立する。逆に言えば，様々なδｕｉ＊に対して上式を作成し，連立方程式を代数的に解く事で，係数ｃｋが定められる。
【００３９】
また，自己随伴問題の場合には（１０７）式を通じて（主，双対）固有関数φｉ，φｉ＊は一致するから，（１２０），（１２１）式も同等になり，（１２２）式は，
【数６６】
0005886309.tif 000064
となる。
一方，（１０５），（１２０）式により，主変分δｕｊの微分係数の和について，
【００４０】
【数６７】
0005886309.tif 000065
を得る。成分ごとに同じ重みｗを用いた(主,双対)固有関数では，
【数６８】
0005886309.tif 000066
と定義できるから，（１２１），（１２４），（１２５）式より，双対変分δｕｉ＊を，
【数６９】
0005886309.tif 000067
と認識できる。（１２２）式に上式を代入して，
【数７０】
0005886309.tif 000068
を得る。ｆｉを既知外力として扱う場合，上式は，汎関数Πを，
【数７１】
0005886309.tif 000069
とおいて，その変分がゼロになる事と等価である。即ち，最小２乗法［Ｌｅａｓｔ  Ｓｑｕａｒｅｓ  Ｍｅｔｈｏｄ］が変分原理［Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ  Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ］となる事を示している。なお，（１２２），（１２３），（１２７）式は共に，変分直接法［Ｄｉｒｅｃｔ  Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ  Ｍｅｔｈｏｄ］を示しており，（１２７）式は，非自己随伴問題で（１２２）式に等価，自己随伴問題で（１２３）式に等価になる。
【００４１】
６．弾性学のエネルギ原理について
物体力が指定される問題を扱う。（１２８）式より，基本的には全ての問題に対して，最小２乗法が変分原理となる。
【００４２】
（９１）式の境界項ＲＥに着目すれば，境界表面で
0005886309.tif 000070
となる条件は自己随伴な境界条件である事が判る。即ち，表面力および変位のｘ，ｙ方向の成分について，各成分ごとにどちらか一方だけを与える問題は自己随伴問題となる。従って，この場合には，（１２３）式を用いても良い。単位厚さ当りの全ひずみエネルギＵは，
【数７２】
0005886309.tif 000071
で，その変分δＵは，
【数７３】
0005886309.tif 000072
である。（１２３）式を変形して，上式を用いれば，
【数７４】
0005886309.tif 000073
を得る。これは，仮想仕事の原理［Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ  ｏｆ  Ｖｉｒｔｕａｌ  Ｗｏｒｋ］と同じ形式であるが，（１２３）式そのものであるから，変分直接法として認識すべきである。境界表面から変位指定領域を取り除いた領域をｃｐとすれば，ｃｐ上で表面力は指定値となるから，上式は，汎関数Πを，
【数７５】
0005886309.tif 000074
とおいて，その変分がゼロになる事と等価である。これは，最小ポテンシャルエネルギの原理［Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ  ｏｆ  Ｍｉｎｉｍｕｍ  Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ  Ｅｎｅｒｇｙ］である。
【００４３】
エネルギ保存則を表す，クラペイロンの定理［Ｃｌａｐｅｙｒｏｎ’ｓ  ｔｈｅｏｒｅｍ］
【数７６】
0005886309.tif 000075
において変分をとれば，
【数７７】
0005886309.tif 000076
となる。上式と(132)式より，
【数７８】
0005886309.tif 000077
となる。これは，補仮想仕事の原理［Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ  ｏｆ  Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ  Ｖｉｒｔｕａｌ  Ｗｏｒｋ］と同じ形式であるが，（１２３）式にエネルギ保存則を適用した結果得られたものであるから，変分直接法の別形式として認識すべきである。境界表面から表面力指定領域を取り除いた領域をＣｕとすれば，Ｃｕ上で変位は指定値となるから，上式は，汎関数Πを，
【数７９】
0005886309.tif 000078
とおいて，その変分がゼロになる事と等価である。これは，最小仕事の原理［Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ  ｏｆ  Ｍｉｎｉｍｕｍ  Ｗｏｒｋ］である。
【００４４】
７．まとめ
（１）連立偏微分方程式（２３）は，（１１１）式の固有関数法によって解ける。（１２８）式より，最小２乗法は変分原理である。非自己随伴問題では（１２２），（１２７）式が変分直接法となり，自己随伴問題では（１２３），（１２７）式が変分直接法になる。
【００４５】
(2)  (123)式の変分δｕｉは，自己随伴固有関数で構成されるから，幾何学的境界条件と力学的境界条件の両方を満足する変位に対する変分である。一方，偶然にも(123)式と同
一形式の仮想仕事の原理では，δｕｉは「幾何学的境界条件を満たす,すべての関数」で
仮想変位と称される。力学的境界条件を満たすとは限らない関数に対して変分記号δを使う事は不適切であるから，仮想変位をδ〜ｕｉと書くと，仮想仕事の原理とは，
【数８０】
0005886309.tif 000079
である。これは，重み付き残差法に他ならない。一般に，上式においてδ〜ｕｉとδｕｉを同一視した変分演算が行われ，力学的境界条件と微分方程式が得られるが，実は，(123
)式による恩恵である。
【００４６】
(3)  (123)式の恩恵を仮想仕事の原理による効果と捉えて，ひとたび，これを力学体系の根幹に据えてしまうと，自己随伴問題しか扱えなくなる。非自己随伴問題であっても，重み付き残差法としての機能で解けてしまう事がある為，問題点に気づかない。仮想仕事の原理の持つ曖昧な部分を再考し，本章(1)，特に(122)式を論拠とする事で，弾性学など各種力学は，より良い体系へと再構築され新たな発展へ向かう事が期待できる。
【００４７】
(4)  一般に，線形弾性有限要素は(132)式により定式化されるが，ｈ法要素では変分の演算は行われていない。(132)式から変分記号δを除去して１／２を乗じれば，(134)式のエネルギ保存則と一致するが，ｈ法要素はこれに従っている。(123)式にて変分の演算を行
えばｐ法と同等の要素が得られ，(122),(127)式からは新たな有限要素を構成できる。
【００４８】
８．新しい有限要素
８．１  形状関数
例えば，16節点四角形要素の節点番号を図８のように表すと，その形状関数Ｎｉ（ｉ＝１〜１６）は，
【００４９】
【数８１】
0005886309.tif 000080
の不等号の範囲で境界内部を表し，等号にて境界を表す。
【００５０】
８．２  要素内座標
形状関数Ｎｉ（ｉ＝１〜ｎ〜）を用いて要素内部の座標ｘｊを，
【数８２】
0005886309.tif 000081
【００５１】
８．３  要素内変位
主解となる変位を，境界変位を表現する項と，境界で変位がゼロとなる項とに分けて，
【数８３】
0005886309.tif 000082
と表す。添字Ａが境界変位を表現する項を，添字ｏが境界で変位がゼロとなる項を表す。まとめて，変位関数ｕｊは
【数８４】
0005886309.tif 000083
【００５２】
となる。
内挿関数χＡｉ（ｉ＝１〜ｎ〜）を用いて要素内部の変位ｕＡｊを
【数８５】
0005886309.tif 000084
とかく。Ｕｉｊは節点変位である。ここでは，アイソパラメトリック要素と同様に，内挿関数（補間関数）χＡｉを形状関数Ｎｉと一致させる。変位の詳細は，
【数８６】
0005886309.tif 000085
と表す。ｕＡｊは要素境界のみならず要素内部の変位をも表現するが，これが微分方程式を満足する保証は無い。要素内部におけるｕＡｊの変位表現能力には限界があるため，要素境界での変位表現能力のみに期待する。その意味でｕＡｊのことを境界関数と呼ぶ。ｕＡｊでは表現しきれない要素内部の変位を，ｕｏｊが補正することを期待する。その意味でｕｏｊのことを補正関数と呼ぶ。即ち、（１６２）式は、変位関数ｕｊを境界関数ｕＡｊと補正関数ｕｏｊの和で表す式である。
【００５３】
補正関数ｕｏｊを，境界での変位がゼロとなる試行関数ψｏｋ（ｋ＝１〜１〜）の和で表現して，
【数８７】
0005886309.tif 000086
である。
【数８８】
0005886309.tif 000087
となる。
【００５４】
一方，(24)式では，非同次境界条件を満たす項ｕＢｊと，同次境界条件を満たす項ｕＨｊとの和で，主解となる変位ｕｊを表している。行列で表現して，
【数８９】
0005886309.tif 000088
となる。境界条件を与えた段階で，その詳細は定まる。
【００５５】
８．４ 試行関数
【数９０】
0005886309.tif 000089
【００５６】
８．５  双対変位
双対解となる双対変位ｕｊ＊を，境界変位を表現する項と，境界で変位がゼロとなる項とに分けて，
【数９１】
0005886309.tif 000090
とかく。Ｕｉｊ＊は双対節点変位である。ここでは，アイソパラメトリック要素と同様に，内挿関数（補間関数）χＡｉを形状関数Ｎｉと一致させる。変位の詳細は，
【数９２】
0005886309.tif 000091
【００５７】
補正関数ｕｏｊ＊を試行関数ψｏｋ（ｋ＝１〜l〜）の和で表現して，
【数９３】
0005886309.tif 000092
一方，(42)式では，非同次随伴境界条件を満たす項ｕＢｊ＊と，同次随伴境界条件を満たす項ｕＨｊ＊の和で，双対変位ｕｊ＊を表している。行列で表現して，
【数９４】
0005886309.tif 000093
となる。境界条件を与えた段階で，その詳細は定まる。
【００５８】
８．６  等価節点力
ひずみ成分は，(4)〜(6)式から，
【００５９】
【数９５】
0005886309.tif 000094
となる。
【００６０】
変位の微分係数は，
【数９６】
0005886309.tif 000095
となる。右辺の行列を，
【数９７】
0005886309.tif 000096
となる。
【００６１】
応力は
【数９８】
0005886309.tif 000097
【００６２】
【数９９】
0005886309.tif 000098
【００６３】
８．７  双対等価節点力
ひずみ成分は，(4)〜(6)式から，
【数１００】
0005886309.tif 000099
と表す。応力成分は，(7)〜(9)式から
【数１０１】
0005886309.tif 000100
となる。これは，(10)〜(12)式の応力成分を表している。
【００６４】
変位の微分係数は，
【数１０２】
0005886309.tif 000101
【００６５】
応力は、
【数１０３】
0005886309.tif 000102
である。
【００６６】
要素境界面の変位は、
【数１０４】
0005886309.tif 000103
【００６７】
８．８  境界上での積分
各辺での積分を実行する具体的な手順は，以下の通り。
【数１０５】
0005886309.tif 000104
【００６８】
８．９  ひずみエネルギ
要素内部のひずみエネルギｅｎｇは，
【数１０６】
0005886309.tif 000105
【００６９】
８．１０  双対ひずみエネルギ
要素内部のひずみエネルギｅｎｇ＊は，
【数１０７】
0005886309.tif 000106
【００７０】
８．１１  随伴境界条件
境界表面での変位は(208)，双対変位は(229)式であり，表面力は(207)，双対表面力は(228)式である。これらを用いて，(60)式の境界項Ｒは，
【数１０８】
0005886309.tif 000107
となる。等価節点力(216),(235)式を用いて，
【数１０９】
0005886309.tif 000108
【００７１】
となる。節点力Ｆを既知部Ｆｂと未知部Ｆｖに分け，節点変位Ｕを既知部Ｕｂと未知部Ｕｖに分ける。これに応じて，双対節点変位Ｕ＊が未知部Ｕｖ＊と既知部Ｕｂ＊に分かれ，双対節点力Ｆ＊が未知部Ｆｖ＊と既知部Ｆｂ＊に分かれて，
【数１１０】
0005886309.tif 000109
となる。そして，
【数１１１】
0005886309.tif 000110
である。既知部Ｆｂ，Ｕｂをゼロに差し替えれば，同次境界条件を与えたことになる。このとき，境界項Ｒをゼロとする条件より，同次随伴境界条件が得られ，
【数１１２】
0005886309.tif 000111
となる。既知部Ｆb,Ｕbと既知部Ｆb*, Ｕb*の組み合わせが一致する場合には自己随伴境
界条件であり，一致しない場合には非自己随伴境界条件である。
【００７２】
８．１２  主試行関数と主固有関数
等価節点力の定義式（２１６）を変形して，方程式
【数１１３】
0005886309.tif 000112
を得る．ここで，［Ｉ］は単位行列である。上式は，節点変位Ｕ、節点力Ｆ、係数Ｃｏの間に成立せねばならない関係を表している。上式に、（１７３）式の要素内変位ｕを組み合わせて、
、
【数１１４】
0005886309.tif 000113
となる．節点変位Ｕの既知部Ｕｂと、節点力Ｆの既知部Ｆｂを合わせて，節点既知部ｓｂを
【数１１５】
0005886309.tif 000114
と定義する．その個数ｎbは，
【数１１６】
0005886309.tif 000115
である。節点変位Ｕの未知部Ｕvと，節点力Ｆの未知部Ｆvを合わせて，節点未知部ｓvを
【数１１７】
0005886309.tif 000116
と定義する．その個数ｎvは，
【数１１８】
0005886309.tif 000117
である．また，（２５３），（２５９），（２６１）式より，
【数１１９】
0005886309.tif 000118
である．（２５７）式のＵ、Ｆの順番を、（２５８）、（２６０）式に従って並べ直すと、行列部の列も入れ替わって、
【数１２０】
0005886309.tif 000119
となる．ここで，行列［Ｋｂ］は、既知部Ｕｂ、Ｆｂの並びに従って行列［ＫＵ］、［−Ｉ］から該当列を抽出して得られるもので，同様に、未知部Ｕｖ，Ｆｖの並びに従って行列［ＫＵ］、［−Ｉ］から該当列を抽出すれば，行列［Ｋｖ］が得られる．また，行列［Ｙｂ］、［Ｙｖ］は、次の様にして得られる．単位行列［Ｉ］とゼロ行列［０］を用いて，（２５７）式の行列［χＡ］、［０］を
【数１２１】
0005886309.tif 000120
と認識すれば，行列［χA］から列を抽出する操作は［Ｉ］の列を抜き出すことで，同様
に，行列［０］から列を抽出する操作は［０］の列を抜き出すことで表現できる．既知部Ｕbと未知部Ｕvの並びに従って、［Ｉ］から該当列を抽出して［ＩUb］、［ＩUv］を構成する。同様に、既知部Ｆbと未知部Ｆvの並びに従って,「０」から該当列を抽出して［０Fb］、［０Fv］を構成する。
【００７３】
(264)式に対して、
【数１２２】
0005886309.tif 000121
を定義し，(265)式に対して，
【数１２３】
0005886309.tif 000122
を定義する．さらに，係数行列
【数１２４】
0005886309.tif 000123
を定義すれば、行列［Ｙb］、［Ｙv］は、
【数１２５】
0005886309.tif 000124
となる．以上の操作によって，(263)式の行列は定まり，要素内変位ｕは，
【数１２６】
0005886309.tif 000125
となる．上式で変位ｕは，節点既知部ｓb、節点未知部ｓv、未知係数ｃoで表される状態
である。そして、未知部ｓv、ｃoと既知部ｓbの間には、
【数１２７】
0005886309.tif 000126
が成立することを示している。従って、未知部ｓv、ｃoはもう少し整理できて、未知部の総数を減らせることが判る。
【００７４】
そこで、未知部ｓv、ｃoを並べ直して未知部ｓe、ｓhとし，それに応じて行列［Ｋv］
、［Ｋ0］の列を入れ替えて［Ｋe］、［Ｋh］とする。同様に，行列［Ｙｖ］、［ψ0］の列を入れ替えて［Ｙe］、［Ｙh］とする．その結果，(263)式は，
【数１２８】
0005886309.tif 000127
となる．この手続きは，［Ｋe］が逆行列を持つようにして、未知部ｓeを消去することが狙いである．よって，［Ｋe］は正方行列とする．未知部ｓhの個数ｎhは，(263),(276)式より、
【数１２９】
0005886309.tif 000128
である。(262)式により、
【数１３０】
0005886309.tif 000129
でもある。未知部ｓe、ｓhを次の手順で構成する。
(1)未知部ｓvのうち未知部ｓeに入るものｎve個を、未知部ｓeの前半に集める。
(2)未知部ｃoのうち未知部ｓeに入るものｎoe個を、未知部ｓeの後半に集める。
(3)未知部ｓvのうち未知部ｓhに入るものｎvh個を、未知部ｓhの前半に集める。
(4)未知部ｃoのうち未知部ｓhに入るものｎoh個を、未知部ｓhの後半に集める。
よって、未知部の個数は、
【数１３１】
0005886309.tif 000130
となる。手順(1)、(3)からは、
【数１３２】
0005886309.tif 000131
となり、手順(2)、(4)からは、
【数１３３】
0005886309.tif 000132
となる。 (277),(279),(280),(281)式から、
【数１３４】
0005886309.tif 000133
となる。これは、未知部ｓeの個数がｎとなることを示している。
【００７５】
自己随伴境界条件では、
【数１３５】
0005886309.tif 000134
であるから、上式を(277)式あるいは(278)式に代入して、
【数１３６】
0005886309.tif 000135
となる。さらに、(279),(281),(284)式より、
【数１３７】
0005886309.tif 000136
となる。
【００７６】
行列［Ｙu］は(273)式で表されるから，行列［Ｙv］から列を抽出する操作は，行列［
ｃv］の列を抜き出すことで表現できる。［ｃv］から該当列を抽出して［ｃve］、［ｃvh］を構成して、
【数１３８】
0005886309.tif 000137
を定義する。単位行列［Ｉ］を用いて、(263)式の行列［ψ0］を
【数１３９】
0005886309.tif 000138
と認識すれば，行列［ψ0］から列を抽出する操作は，行列［Ｉ］の列を抜き出すことで
表現できる．行列［Ｉ］から該当列を抽出して［Ｉoe］、［Ｉoh］を構成して、
【数１４０】
0005886309.tif 000139
を定義する、よって、行列［Ｙe］、［Ｙh］は、
【数１４１】
0005886309.tif 000140
となる。さらに、関数行列
【数１４２】
0005886309.tif 000141
および、係数行列
【数１４３】
0005886309.tif 000142
を定義すれば、行列［Ｙe］、［Ｙh］は、
【数１４４】
0005886309.tif 000143
となる。
【００７７】
(276)式を分離して、
【数１４５】
0005886309.tif 000144
となる。(298)式の未知部ｓeを解いて、
【数１４６】
0005886309.tif 000145
となり、上式を(299)式に代入して、
【数１４７】
0005886309.tif 000146
となる．第１項は既知部ｓbを備えた関数であり，非同次境界条件を満足する変位[ｕB]となる．第２項は未知部ｓhを備えた関数であり，同次境界条件を満足する変位[ｕH]となる。即ち、
【数１４８】
0005886309.tif 000147
と定義すれば、
【数１４９】
0005886309.tif 000148
であり、
【数１５０】
0005886309.tif 000149
となる。上式は(174)式の詳細を示すもので，変位[ｕ]が、非同次境界条件を満足する変
位[ｕB]と、同次境界条件を満足する変位[ｕH]とで表現された事が判る。
【００７８】
(272),(296),(302)式より，行列［χB］は
【数１５１】
0005886309.tif 000150
となる。上式第１項は、(293)式より、
【数１５２】
0005886309.tif 000151
となることに注意すれば、
【数１５３】
0005886309.tif 000152
とおいて、
【数１５４】
0005886309.tif 000153
となる。
【００７９】
(296),(297),(303)式より，行列［ψh］は
【数１５５】
0005886309.tif 000154
となる。
【数１５６】
0005886309.tif 000155
とおいて、
【数１５７】
0005886309.tif 000156
となる。
(310)、(313)式により、行列［χB］、［ψh］が関数部［Γ］と係数部［Ｈb］、［Ｈh］とに分離された事が判る。また、変位｛ｕ｝が、
【数１５８】
0005886309.tif 000157
と表現された事から，任意の節点既知部ｓbによって非同次境界条件を満たす関数が構成
され，任意の未知部ｓhによって同次境界条件を満たす関数が構成されることを知る。未
知部ｓhに対して変位[ｕH]が同次境界条件を満たすのは、行列［ψh］による効果である
から，係数ベクトルを｛ｅh｝として，主固有関数｛φ｝を、
【数１５９】
0005886309.tif 000158
とおくことができる。同時にその変分｛δφ｝を、
【数１６０】
0005886309.tif 000159
とおくことができる。重要な役割を演ずる行列［ψh］を、主試行関数と呼ぶ。
【００８０】
８．１３  双対試行関数と双対固有関数
等価節点力の定義式(235)を変形して，方程式
【数１６１】
0005886309.tif 000160
を得る．上式は，双対節点変位Ｕ＊、双対節点力Ｆ＊、係数Ｃｏ＊の間に成立せねばならない関係を表している。上式に、（１９０）式の要素内変位ｕ＊を組み合わせて、
【数１６２】
0005886309.tif 000161
となる。双対節点変位Ｕ＊の既知部Ｕｂ＊と、双対節点力Ｆ＊の既知部Ｆｂ＊を合わせて，節点既知部ｓｂ＊を
【数１６３】
0005886309.tif 000162
と定義する．その個数ｎb＊は，
【数１６４】
0005886309.tif 000163
である。双対節点変位Ｕ＊の未知部Ｕｖ＊と，双対節点力Ｆ＊の未知部Ｆｖ＊を合わせて，節点未知部ｓｖ＊を
【数１６５】
0005886309.tif 000164
と定義する．その個数ｎｖ＊は，
【数１６６】
0005886309.tif 000165
である．また，（２５３），（３２０），（３２２）式より，
【数１６７】
0005886309.tif 000166
である．（３１８）式のＵ、Ｆの順番を、（３１９）、（３２１）式に従って並べ直すと，行列部の列も入れ替わって、
【数１６８】
0005886309.tif 000167
となる．ここで，行列［Ｋｂ＊］は、既知部Ｕｂ＊、Ｆｂ＊の並びに従って行列［ＫＵ］、［−Ｉ］から該当列を抽出して得られるもので，同様に、未知部Ｕｖ＊，Ｆｖ＊の並びに従って行列［ＫＵ］、［−Ｉ］から該当列を抽出すれば，行列［Ｋｖ＊］が得られる．また，行列［Ｙｂ＊］、［Ｙｖ＊］は、次の様にして得られる。単位行列［Ｉ］とゼロ行列［０］を用いて，（３１８）式の行列［χＡ］、［０］を
【数１６９】
0005886309.tif 000168
と認識すれば，行列［χＡ］から列を抽出する操作は［Ｉ］の列を抜き出すことで，同様に，行列［０］から列を抽出する操作は［０］の列を抜き出すことで表現できる．既知部Ｕｂ＊と未知部Ｕｖ＊の並びに従って、［Ｉ］から該当列を抽出して［ＩＵｂ＊］、［ＩＵｖ＊］を構成する。同様に、既知部Ｆｂ＊と未知部Ｆｖ＊の並びに従って，［０］から該当列を抽出して［０Ｆｂ＊］、［０Ｆｖ＊］を構成する。
【００８１】
（３２５）式に対して、
【数１７０】
0005886309.tif 000169
を定義し，(326)式に対して，
【数１７１】
0005886309.tif 000170
を定義する．さらに，係数行列
【数１７２】
0005886309.tif 000171
を定義すれば、行列［Ｙb*］、［Ｙv*］は、
【数１７３】
0005886309.tif 000172
となる．以上の操作によって，(324)式の行列は定まり，要素内双対変位ｕ*は，
【数１７４】
0005886309.tif 000173
となる．上式で双対変位ｕ*は，節点既知部ｓb*、節点未知部ｓv*、未知係数ｃo*で表さ
れる状態である。そして、未知部ｓv*、ｃo*と既知部ｓb*の間には、
【数１７５】
0005886309.tif 000174
が成立することを示している。従って、未知部ｓv*、ｃo*はもう少し整理できて、未知部の総数を減らせることが判る。
【００８２】
そこで、未知部ｓv*、ｃo*を並べ直して未知部ｓe*、ｓh*とし，それに応じて行列［Ｋv*］、［Ｋ0］の列を入れ替えて［Ｋe*］、［Ｋh*］とする。同様に，行列［Ｙｖ*］、［ψ0］の列を入れ替えて［Ｙe*］、［Ｙh*］とする．その結果，(324)式は，
【数１７６】
0005886309.tif 000175
となる．この手続きは，［Ｋe*］が逆行列を持つようにして、未知部ｓe*を消去することが狙いである．よって，［Ｋe*］は正方行列とする．未知部ｓh*の個数ｎh*は，(324),(337)式より、
【数１７７】
0005886309.tif 000176
である。(323)式により、
【数１７８】
0005886309.tif 000177
でもある。未知部ｓe*、ｓh*を次の手順で構成する。
(1)未知部ｓv*のうち未知部ｓe*に入るものｎve*個を、未知部ｓe*の前半に集める。
(2)未知部ｃo*のうち未知部ｓe*に入るものｎoe*個を、未知部ｓe*の後半に集める。
(3)未知部ｓv*のうち未知部ｓh*に入るものｎvh*個を、未知部ｓh*の前半に集める。
(4)未知部ｃo*のうち未知部ｓh*に入るものｎoh*個を、未知部ｓh*の後半に集める。
よって、未知部の個数は、
【数１７９】
0005886309.tif 000178
となる。手順(1)、(3)からは、
【数１８０】
0005886309.tif 000179
となり、手順(2)、(4)からは、
【数１８１】
0005886309.tif 000180
となる。 (338),(340),(341),(342)式から、
【数１８２】
0005886309.tif 000181
となる。これは、未知部ｓe*の個数がｎとなることを示している。
【００８３】
自己随伴境界条件では、
【数１８３】
0005886309.tif 000182
であるから、上式を(338)式あるいは(339)式に代入して、
【数１８４】
0005886309.tif 000183
となる。さらに、(340),(342),(345)式より、
【数１８５】
0005886309.tif 000184
となる。
【００８４】
行列［Ｙu*］は(334)式で表されるから，行列［Ｙv*］から列を抽出する操作は，行列
［ｃv*］の列を抜き出すことで表現できる。［ｃv*］から該当列を抽出して［ｃve*］、
［ｃvh*］を構成して、
【数１８６】
0005886309.tif 000185
を定義する。単位行列［Ｉ］を用いて、(324)式の行列［ψ0］を
【数１８７】
0005886309.tif 000186
と認識すれば，行列［ψ0］から列を抽出する操作は，行列［Ｉ］の列を抜き出すことで
表現できる．行列［Ｉ］から該当列を抽出して［Ｉoe*］、［Ｉoh*］を構成して、
【数１８８】
0005886309.tif 000187
を定義する、よって、行列［Ｙe*］、［Ｙh*］は、
【数１８９】
0005886309.tif 000188
となる。さらに、係数行列
【数１９０】
0005886309.tif 000189
を定義すれば、行列［Ｙe*］、［Ｙh*］は、
【数１９１】
0005886309.tif 000190
となる。
【００８５】
(337)式を分離して、
【数１９２】
0005886309.tif 000191
となる。(358)式の未知部ｓe*を解いて、
【数１９３】
0005886309.tif 000192
となり、上式を(359)式に代入して、
【数１９４】
0005886309.tif 000193
となる．第１項は既知部ｓb*を備えた関数であり，非同次随伴境界条件を満足する変位[
ｕB*]となる．第２項は未知部ｓh*を備えた関数であり，同次随伴境界条件を満足する変
位[ｕH*]となる。即ち、
【数１９５】
0005886309.tif 000194
と定義すれば、
【数１９６】
0005886309.tif 000195
であり、
【数１９７】
0005886309.tif 000196
となる。上式は(191)式の詳細を示すもので，変位[ｕ*]が、非同次随伴境界条件を満足する変位[ｕB*]と、同次随伴境界条件を満足する変位[ｕH*]とで表現された事が判る。
【００８６】
(333),(356),(362)式より，行列［χB*］は
【数１９８】
0005886309.tif 000197
となる。上式第１項は、(293)式より、
【数１９９】
0005886309.tif 000198
となることに注意すれば、
【数２００】
0005886309.tif 000199
とおいて、
【数２０１】
0005886309.tif 000200
となる。
【００８７】
(356),(357),(363)式より，行列［ψh*］は
【数２０２】
0005886309.tif 000201
となる。
【数２０３】
0005886309.tif 000202
とおいて、
【数２０４】
0005886309.tif 000203
となる。
(370)、(373)式により、行列［χB*］、［ψh*］が関数部［Γ］と係数部［Ｈb*］、［Ｈh*］とに分離された事が判る。また、変位｛ｕ*｝が、
【数２０５】
0005886309.tif 000204
と表現された事から，任意の節点既知部ｓb*によって非同次随伴境界条件を満たす関数が構成され，任意の未知部ｓh*によって同次随伴境界条件を満たす関数が構成されることを知る。未知部ｓh*に対して変位[ｕH*]が同次随伴境界条件を満たすのは、行列［ψh*］による効果であるから，係数ベクトルを｛ｅh*｝として，双対固有関数｛φ*｝を、
【数２０６】
0005886309.tif 000205
とおくことができる。同時にその変分｛δφ*｝を、
【数２０７】
0005886309.tif 000206
とおくことができる。重要な役割を演ずる行列［ψh*］を、双対試行関数と呼ぶ。
【００８８】
８．１４  個数の関係
(259),(320),(252)式より，
【数２０８】
0005886309.tif 000207
となる。(278)、(339)、(377)式より、
【数２０９】
0005886309.tif 000208
となる。
【００８９】
８．１５  主固有関数と双対固有関数の決定
主連立微分方程式(105)、双対連立微分方程式(106)を行列で表現して、それぞれ、
【数２１０】
0005886309.tif 000209
となる。そこで、微分作用素を
【数２１１】
0005886309.tif 000210
とおき、重みを
【数２１２】
0005886309.tif 000211
とおいて、（主、双対）連立微分方程式は、
【数２１３】
0005886309.tif 000212
となる。(122)式の変分直接法に従って、変分｛δφ*｝、｛δφ｝を乗じて積分すれば、
【数２１４】
0005886309.tif 000213
となる。(315),(375)式の固有関数｛φ｝、｛φ*｝及び(316)、(376)式の変分｛δφ｝、｛δφ*｝を代入して、
【数２１５】
0005886309.tif 000214
となる。左辺の積分結果を、
【数２１６】
0005886309.tif 000215
とおき、右辺の積分結果を、
【数２１７】
0005886309.tif 000216
とおく。［Ｂh］、［Ｂh*］は、共に対称行列となる。また、主試行関数［ψh］は同次境界条件を満たし、双対試行関数［ψh*］は同次随伴境界条件を満たすから、部分積分により、
【数２１８】
0005886309.tif 000217
となる。即ち、
【数２１９】
0005886309.tif 000218
である。(390)〜(393)式を用いて(388),(389)式は
【数２２０】
0005886309.tif 000219
となる。これが、任意の変分に対して成立するためには、
【数２２１】
0005886309.tif 000220
でなくてはならない。(398)、(399)式を相互に代入して連立をはずせば、
【数２２２】
0005886309.tif 000221
となる．これを解くことにより，固有値λと固有ベクトル｛ｅh｝、｛ｅh*｝を得ること
ができる。逆に，(398),(399)式をひとつにまとめると、
【数２２３】
0005886309.tif 000222
【数２２４】
0005886309.tif 000223
である．なお，(403)式の等号については，(395)式による。
【００９０】
これを解くことにより，固有値λと固有ベクトル｛ｅh｝、｛ｅh*｝を得ることができ
る。［Ａs］、［Ｂs］は共に対称行列であるから、固有値λは実数となり，固有ベクトル｛ｅs｝は［Ａs］、［Ｂs］を挟んで直交する。
【００９１】
(400),(401)式で計算すれば，固有値問題のサイズは小さくて済む．その反面，固有ベ
クトル｛ｅh｝、｛ｅh*｝の組み合わせについて，注意深く取り扱う必要が生じる．一方
，(402)式で計算すれば，固有値問題のサイズは大きくなるが，固有ベクトル｛ｅh｝、｛ｅh*｝の組み合わせも同時に得られるので、組み合わせの確認は不要となる。どちらの方法を用いるかは、メモリサイズや計算速度に応じて決めれば良いが、定式化の都合からは、(402)式の方が扱い易いので、以降は、これを考え方の基準にする。
【００９２】
(402)式からは，２ｌ個の固有値λと固有ベクトル｛ｅs｝の組み合わせが得られる。正の固有値と負の固有値の個数は一致して、これをｍp個とする．これは，(398),(399)式で｛ｅh｝はそのままで、λと｛ｅh*｝の符号を反転させた組み合わせも連立方程式を満た
す事によるもので、4.4 節で述べた事でもある。［Ａs］がゼロ空間を持つ場合には，固
有値がゼロとなる。［Ａh］のゼロ空間をｍ0 個とする。
【００９３】
固有値λに属する固有ベクトル｛ｅs｝の成分｛ｅh｝、｛ｅh*｝を、(315),(375)式に
戻すことにより，固有関数｛φ｝、｛φ*｝が得られる。
【００９４】
正の固有値に属するｍp個の固有関数｛φ｝、｛φ*｝及び固有ベクトル｛ｅh｝、｛ｅh*｝を列方向に並べて、それぞれ、［φp］、［φp*］及び［ｅp］、［ｅp*］と表せば、
【数２２５】
0005886309.tif 000224
となる。ｍp個の固有値を対角上に並べて、
【数２２６】
0005886309.tif 000225
を定義すれば、（主、双対）連立微分方程式は、
【数２２７】
0005886309.tif 000226
となる。固有関数の直交性により、［ｅp］、［ｅp*］が、
【数２２８】
0005886309.tif 000227
を満たすように正規化しておけば、
【数２２９】
0005886309.tif 000228
となる。
【００９５】
ゼロ固有値に属するｍ0個の固有関数｛φ｝及び固有ベクトル｛ｅh｝を列方向に並べて、それぞれ、［φ0］［ｅ0］と表せば、
【数２３０】
0005886309.tif 000229
となる。固有関数の直交性により、
【数２３１】
0005886309.tif 000230
となる。
【００９６】
８．１６  行列の詳細
(390)式の［Ａh］を、(293),(313),(373)式により変形すれば、
【数２３２】
0005886309.tif 000231
となる．(391)式の［Ａh＊］を，(293),(313),(373)式により変
形すれば，
【数２３３】
0005886309.tif 000232
となる。(392)式の［Ｂh］を、(293)、(313)式により変形すれば、
【数２３４】
0005886309.tif 000233
となる。［Ｂh］が対称行列となる事を如実に示している。(393)式の［Ｂh*］を、(293)
、(373)式により変形すれば、
【数２３５】
0005886309.tif 000234
となる。［Ｂh*］が対称行列となる事を如実に示している。
【００９７】
８．１７  固有関数法
主問題の連立偏微分方程式(23)を行列で表現して、
【数２３６】
0005886309.tif 000235
である。変位｛ｕ｝は(314)式で表されるから、上式は、
【数２３７】
0005886309.tif 000236
となる。一方，変位｛ｕH｝を固有関数［φp］、［φ0］で表すと、その係数ベクトルを
｛ａp｝、｛ａ0｝と定義して、(406),(415)式を利用すれば、
【数２３８】
0005886309.tif 000237
となる。上式と(305)式を比較して、未知部ｓhは、
【数２３９】
0005886309.tif 000238
となる。即ち、係数ベクトル｛ａp｝、｛ａ0｝が定まれば、未知部ｓhが決まることを示
している。
(422)、(423)式より、連立偏微分方程式は、
【数２４０】
0005886309.tif 000239
となる。両辺に［φp*］Tを乗じて内積をとれば、(416)式より、左辺第２項はゼロとなり、
【数２４１】
0005886309.tif 000240
となる。これは、(340)、(407)、(413)式により、
【数２４２】
0005886309.tif 000241
となる。整理して、
【数２４３】
0005886309.tif 000242
となる。(293)、(310)、(373)式を用いて、右辺の積分結果を、
【数２４４】
0005886309.tif 000243
と計算しておけば
【数２４５】
0005886309.tif 000244
である。既知部ｓbに応じて，係数ベクトル｛ａp｝が定まることがわかる。
【００９８】
上式を(424)式に戻せば，ゼロ固有値が存在しない場合には未知部ｓhが定まるので、問題が完全に解けたことになる。ゼロ固有値が存在する場合には、未知部ｓhは係数ベクトル
｛ａ0｝の関数となるので，節点情報の他に，辺上の境界条件を加えることで｛ａ0｝を定めることができる。
【００９９】
このようにして，未知部ｓhが定まれば，(300)式により未知部ｓeが定まる。よって、(299)式あるいは(301)式より、変位｛ｕ｝が完全に定まる。変位が定まれば、要素内部の
応力分布、ひずみエネルギ分布なども得られる。
【０１００】
８．１８  ゼロ固有値の取り扱い
固有値がゼロになるのは、(384)、(385)式の（主、双対）連立微分方程式にて、
【数２４６】
0005886309.tif 000245
か、あるいは、
【数２４７】
0005886309.tif 000246
のどちらかが成立する場合である。
【０１０１】
(415)式や(423)式では、(432)式が成立するものとしている。これは、同次の微分方程
式を意味しているので，その解に付随の係数｛ａ0｝は任意である。前節では、その任意
性を辺上の境界条件を付加することで決定する方法を示したが，計算を行う設計者が自ら決る方法もある。係数｛ａ0｝に応じてどのような変形状態，あるいは応力状態となるか
を図で表示するシステムを具備して，この図を見ながら実現可能な境界条件となるように，設計者が自ら係数｛ａ0｝を決めるのである。
【０１０２】
９．従来有限要素の利用
９．１  全体系の方程式
7 章の(4)項にて，従来の線形弾性有限要素，特にｈ法要素では変分の演算は行われて
おらず，(134)式のエネルギ保存則と一致することを述べた。ｈ法要素を複数個組み合わ
せて，全体系の運動方程式は、
【数２４８】
0005886309.tif 000247
と表され，各節点の変位と外力のうち、どちらか一方のみを与えること、即ち自己随伴な境界条件を前提として解法が組み立てられている。例えば，全自由度ｎ個のうち、ｎ1個
が変位指定領域、ｎ2個が外力指定領域で，
【数２４９】
0005886309.tif 000248
とするとき、剛性行列［Ｋ］、節点変位｛Ｕ｝、節点外力｛Ｆ｝の成分を入れ替えて、
【数２５０】
0005886309.tif 000249
と表す。既知量は｛Ｕ1｝、｛Ｆ2｝であり、未知量は｛Ｕ2｝、｛Ｆ1｝である。上式を分解して、
【数２５１】
0005886309.tif 000250
および、
【数２５２】
0005886309.tif 000251
と表す。(438)式を変形して、
【数２５３】
0005886309.tif 000252
となり、未知量｛Ｕ2｝が定まる。これを(437)式に代入して、
【数２５４】
0005886309.tif 000253
となり、未知量｛Ｆ1｝が定まる。即ち、全ての未知量が得られた。このような手順は、
有限要素法の常套手段として確立されている。
【０１０３】
しかし、変分の演算を含まず、エネルギ保存則から等価な方程式として(434)式が得ら
れていることに着目すれば、何も自己随伴な境界条件に縛られる必要はなく、非自己随伴な境界条件に対して上式を解いても、良いはずである。
【０１０４】
９．２  非自己随伴な境界条件での計算
全体系の運動方程式(434)を，単位行列［Ｉ］を用いて，
【数２５５】
0005886309.tif 000254
と認識すれば、
【数２５６】
0005886309.tif 000255
となる。節点変位Ｕの既知部Ｕｂと，節点外力Ｆの既知部Ｆｂを合わせて，節点既知部ｓｂを
【数２５７】
0005886309.tif 000256
と定義する．節点変位Ｕの未知部Ｕｖと，節点外力Ｆの未知部Ｆｖを合わせて、節点未知部ｓｖを
【数２５８】
0005886309.tif 000257
と定義する。このとき、
【数２５９】
0005886309.tif 000258
である．（４４２）式のＵ、Ｆの順番を、（４４３），（４４４）式に従って並べ直すと，行列部の列も入れ替わって、
【数２６０】
0005886309.tif 000259
となる．ここで，行列［Ｋb］は，既知部Ｕb、Ｆbの並びに従って行列［Ｋ］、［−Ｉ］
から該当列を抽出して得られるもので、同様に、未知部Ｕv、Ｆvの並びに従って行列［Ｋ］、［−Ｉ］から該当列を抽出すれば，行列［Ｋv］が得られる。上式からは、
【数２６１】
0005886309.tif 000260
が得られる。右辺は既知部のみから構成されるから、左辺の節点未知部ｓvを得ることが
できる。即ち、行列［Ｋv］が、解の複数存在する劣決定系になるのか、解が存在しない
可能性のある優決定系になるのかに応じて、線形代数学の知見に基づき、未知部ｓvを得
ることができる。解が複数存在する場合には、8.18節のゼロ固有値の場合に相当するので、設計者自身によって解を決定することができる。
【０１０５】
９．３  重力荷重のある場合
全体系の運動方程式(434)の節点外力Ｆを、重力荷重など物体力を表す項Ｆgと表面力を表す項Ｆsとに分けて、
【数２６２】
0005886309.tif 000261
とおくと、(434)式は、
【数２６３】
0005886309.tif 000262
となる。表面力Ｆsを移項して、
【数２６４】
0005886309.tif 000263
となる。(446)式と同じ手順により上式は、
【数２６５】
0005886309.tif 000264
となる。左辺に未知部を残すよう変形すると、
【数２６６】
0005886309.tif 000265
となる。前節と同様に、線形代数学の知見に基づき、未知部ｓvを得ることができる。
【０１０６】
９．４  解が複数存在する場合
解が複数存在する場合には，(452)式を満足する１つの特解｛ｓp｝と、(452)式の右辺
をゼロとおいた同次解｛ｓ0｝が得られる。同次解の個数ｎ0は、
【数２６７】
0005886309.tif 000266
となる。同次解｛ｓ0｝を列方向に並べた行列を［ψ0］とする。
【数２６８】
0005886309.tif 000267
同次解に対するモード係数を｛ａ0｝とおいて、解｛ｓv｝は
【数２６９】
0005886309.tif 000268
となる。
【０１０７】
さて、これで全ての節点変位Ｕと節点外力Ｆが定まったので，非自己随伴な問題も解けたことになるが、いずれもモード係数｛ａ0｝を含んだ形式で、任意の｛ａ0｝に対して解となる。
【０１０８】
しかし，モード係数｛ａ0｝を適切に選ばないと、従来型の有限要素では要素が折れ曲
がった状態となって，不正な解析結果と見なされることが良くある。これは、全体系として，エネルギ保存則と等価な方程式(434)を満たすものの、要素内部で微分方程式を満足
しないことに起因する。
【０１０９】
そこで，全体系の変形がモード係数｛ａ0｝によって支配されることに注目して、要素
の微分方程式に等価な変分原理、即ち、(122)式〜(128)式の最小自乗法を用いることで、適切な｛ａ0｝を決める．適切な｛ａ0｝の周辺の値で要素が折れ曲がった状態にならない場合には、まずまず正確な解析結果が得られていると考えることができる。
【０１１０】
９．５  最小自乗法の利用
従来型の有限要素では，要素内部の変位は(166)式の｛ｕA｝で表現される。｛ｕA｝は
節点変位Ｕで表され，Ｕは(455)式のようにモード係数｛ａ0｝によって表される。
【０１１１】
要素内部は微分方程式で支配されるから，(421)式の｛ｕ｝に｛ｕA｝を代入することで，モード係数｛ａ0｝を決めることができれば望ましい。(128)式の汎関数を全体系について作成し，モード係数｛ａ0｝で微分することで(127)式を構成できる。その結果、モード係数｛ａ0｝を決定できる。
【０１１２】
モード係数｛ａ0｝をスライダーに連動させて、設計者がスライダーによってモード係
数を調節するのに合わせて、変形図が表示されるように構成すれば、どのような支持方法があり得るのか検討できて、設計者のイメージを湧き立たせることが可能となる。実現可能な変形状態を絞り込んで境界条件を再定義することで、より良い構造を得るための検討が可能となる。
【０１１３】
以下、図面を参照して、本発明の実施の一形態を詳細に説明する。
【０１１４】
［第１の実施形態］
図２は、本実施形態の解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図である。図２に示す解析装置１０（解析システム１０）は、演算部１を備えるコンピュータにより構成することができる。演算部１は、解析対象物の設計データ、境界条件データ及び解析対象に対する微分作用素を含む微分方程式データを入力し、解析対象の微分方程式の解を計算して、解析結果データとして出力です。ここで、演算部１は、双対変位ｕi*の変分のことを双対変分δｕi*とするとき，下記式によって解ｕjを計算する。下記式は、上述した式（１２
２）と同じである。
【０１１５】
【数１】
0005886309.tif 000269
【０１１６】
例えば、演算部１は、設計データとして、解析対象物の形状、材質を示すデータを入力し、設計データに基づいて、計算に用いる原初微分作用素Ｌijのデータを読み込む。原初微分作用素Ｌijを用いて、上記式で表される微分方程式の解を計算する。これにより非自己随伴問題の解を計算することが可能になる。
【０１１７】
上記式（数１）において、一例として、ｆiは解析対象へ働く力、ｕiは解析対象の変位
とすることができるが、ｆi及びｕiは、これに限られない。解析対象及び微分作用素に応じて、ｆi及びｕiは力及び変位以外のものを示す場合がありうる。例えば、構造解析、振動解析、電磁場解析、材料解析、流体解析、温度解析、音場解析、電磁気学解析、又は回路シミュレータ等の様々な解析において、解析対象に応じた適切な値がｆi及びｕiに設定することができる。
【０１１８】
（変形例１）
演算部１は、下記式によって解ｕjを計算してもよい。下記式は上述した式（１２３）
と同様である。この場合、自己随伴問題の解を計算することができる。
【０１１９】
【数２】
0005886309.tif 000270
【０１２０】
（変形例２）
演算部１は、変分直接法により下記式において解析対象の解ｕjを計算することもでき
る。下記式は、上記（１２７）と同様である。
【０１２１】
【数３】
0005886309.tif 000271
【０１２２】
前記変分直接法による解ｕjの計算は、下記式の汎関数Πにおいて、変分がゼロとなる
解を計算することができる。
【０１２３】
【数４】
0005886309.tif 000272
【０１２４】
［第２の実施形態］
図３は、第２の実施形態における解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図である。図３に示す解析装置１０ａは、設定部１１、随伴境界条件演算部１２、及び非自己随伴演算部１３を備える。
【０１２５】
設定部１１は、解析対象の原初微分作用素及び変位の境界条件を設定する。例えば、設定部１１は、ユーザから、設計データとして解析対象の構成または材料を表すデータの入力を受け付けて、解析対象の構成または材料に基づいて原初微分作用素を決定することができる。また、設定部１１は、境界条件データの入力をユーザから受け付けることができる。
【０１２６】
随伴境界条件演算部１２は、設定部１１で受け付けた境界条件から随伴境界条件を計算する。例えば、随伴境界条件演算部１２は、設定部１１が読み込んだ微分方程式データに含まれる原初微分作用素を含む微分方程式に、双対固有関数φi*または双対変位ｕi*を乗じた積分和すなわち内積を、部分積分して得られる境界項から随伴境界条件を計算することできる。
【０１２７】
例えば、解析対象が２次元弾性体の場合、上記式（９１）を用いて随伴境界条件を計算することができる。この場合、上記式（９１）において、ｕHi、ｐHiに課された同次境界条件をφi、ｐEiに課した場合に、境界項がゼロになるようなφi*、ｐEi*の条件を随伴境界条件として求めることができる。一例として、解析対象の境界表面に、力がゼロ（ｐEi＝０）の境界条件が課された場合、境界項ＲEがゼロになるには、φi*は任意でよく、ｐEi*及びφiのいずれかがゼロにならなければいけない。ここで、解析対象の境界表面に変
位もゼロ（φi＝０）の境界条件が課されていた場合、ｐEi*は任意となる。この場合、随伴境界条件は、境界表面の変位、力とも任意となる。このような場合、境界条件と随伴境界条件が一致しないため、非自己随伴問題となるただし、上記式（１０６）の作用により，Ｌji*φj*がφiに課された境界条件を満たさねばならない。これは前記双対境界条件に含まれる。非自己随伴問題の場合には、前記主境界条件と前記双対境界条件とを利用することにより、適切に問題が解ける。
【０１２８】
非自己随伴演算部１３は、原初微分作用素から主連立微分方程式及び双対連立微分方程式を計算し、主連立微分方程式及び双対連立微分方程式、並びに、前記境界条件及び前記随伴境界条件を用いて、主固有関数及び双対固有関数を求めることにより、連立微分方程式の解を計算する。
【０１２９】
例えば、原初微分作用素をＬijとすると、主連立微分方程式は上記式（１０５）、双対連列微分方程式は上記式（１０６）と定義することができる。また、上記式（９０）により随伴微分作用素Ｌij*を計算することができる。非自己随伴演算部１３は、主連立微分
方程式（上記式（１０５））、双対連立微分方程式（上記式（１０６））、境界条件、随伴境界条件を用いて、主連立固有値問題（上記式（９８））と双対連立固有値問題（上記式（９９））を定義して、主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を計算することができる
。
【０１３０】
なお、非自己随伴演算部１３の解法は、主連立固有値問題（上記式（９８））と双対連立固有値問題（上記式（９９））を用いたものに限定されない。例えば、上記式（１２２）及び式（１２３）を用いて主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を計算することもでき
る。その場合、主固有関数φ、及び双対固有関数φ*は、解析的にも近似的にも計算する
ことができる。例えば、後述するように、上記式（１２２）及び式（１２３）によって近似固有関数を計算することができる。
【０１３１】
非自己随伴演算部１３は、主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を用いて、主問題の連
立方程式の解を計算する。例えば、上記式（１１１）で示される係数ｃkを算出し、これ
を上記式（６９）に代入して、解関数ｕHjを計算することができる。また、非自己随伴演算部１３は、上記式（１１５）により双対問題の係数ｃk*を計算でき、これを上記（７０）に代入することで双対問題の解関数ｕHj*を計算することができる。
【０１３２】
（動作例）
図４は、図３に示す解析装置１０ａの動作例を示すフローチャートである。図４に示す例では、まず、設定部１１は、ユーザからの設計データの入力を受け付ける（Ｓ１）。設計データは特定の対象や形式に限定されない。例えば、解析対象が固体の場合は、解析対象の形状や材料を表すデータの入力を受け付けることができる。解析対象が流体の場合は
、流体の物性を表すデータの入力を受け付けることができる。また、有限要素法による解析の場合は、要素ごとの構成や物性を示すデータの入力を受け付けてもよい。また、設定部１１は、ユーザからの入力のみならず、例えば、アクセス可能な記録媒体から設計データを読み込む、あるいはネットワークを介するダウンロード等により、設計データを取得することができる。
【０１３３】
設定部１１は、Ｓ１で取得した設計データに基づいて、原初微分作用素を決定し、主問題の微分方程式を決定する（Ｓ２）。例えば、設定部１１は、予め記録されたデータから、設計データで示される解析対象の形状に応じた微分作用素を抽出し、抽出した微分作用素を含む微分方程式を主問題の微分方程式として設定することができる。このように、設計データに応じて主問題の微分方程式を決定することができる。ここでは、一例として、原初微分作用素がＬijである場合について説明する。
【０１３４】
設定部１１は、さらに、境界条件データを取得する（Ｓ３）。境界条件データは、解析対象の境界条件に関するデータであり、特定の対象や形式に限定されない。例えば、解析対象物の境界表面における変位及び力の少なくとも一方の条件を示すデータを境界条件として入力することができる。本願開示の発明では、従来は不可能であった、境界表面における変位及び力の双方を設定することができる。
【０１３５】
随伴境界条件演算部１２は、Ｓ２で設定された微分方程式と、Ｓ３で取得された境界条件データを用いて、随伴境界条件データを生成する。随伴境界条件は、例えば、上述したように、上記式（９１）を用いて計算することもできる。また、例えば、有限要素法を用いた例では、上記式（６０）で表される境界項を、境界変位、双対変位、表面力、双対表面力をそれぞれ示す上記式（２０８）、式（２２９）、式（２０７）、式（２２８）を用いて表すことにより計算することができる。
【０１３６】
非自己随伴演算部１３は、原初微分作用素Ｌijから主連立微分方程式（例えば、上記式（１０５））及び双対連立微分方程式（上記式（１０６））を示すデータを生成する（Ｓ５）。そして、非自己随伴演算部１３は、Ｓ５で計算した主連立微分方程式及び双対連立微分方程式、並びに、Ｓ２で取得した境界条件及び、Ｓ４で計算した随伴境界条件を用いて、主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を計算する（Ｓ６）。
【０１３７】
非自己随伴演算部１３は、Ｓ６で計算した主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を用い
て、固有関数法により、主問題の連立方程式の解関数ｕHjを、例えば、上記式（１１１）及び式（６９）により、計算する（Ｓ７）。また、非自己随伴演算部１３は、主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を用いて、双対問題の連立方程式の解関数ｕHj*を、例えば、上記式（１１５）及び式（７０）により、計算することができる。このようにして、計算された解は、解析結果をコンピュータのディプレイ（図示せず）などに出力される（Ｓ８）。解析結果の具体例については、後述する。
【０１３８】
上記処理によれば、境界条件に基づいて随伴境界条件を求め、さらに、原初微分作用素から主微分作用素及び双対微分作用素を計算して、これらの主固有関数及び双対固有関数を求めることが可能になる。これらの固有関数を用いて、主問題の連立方程式の解を算出することにより、非自己随伴問題の解の算出が可能になる。なお、自己随伴問題であっても、上記処理によって解を算出することは可能である。
【０１３９】
以上、解析装置１０ａの動作例について説明したが、解析装置１０ａの処理は上記例に限定されない。なお、本実施形態は、上記第１の実施形態の具体例と一つと言える。
【０１４０】
［第３の実施形態］
図５は、第３の実施形態における解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図である。図５に示す解析装置１０ｂは、設定部１１、随伴境界条件演算部１２、自己随伴判定部１５、非自己随伴演算部１３、及び、自己随伴演算部１４を備える。設定部１１、随伴境界条件演算部１２、及び非自己随伴演算部１３は、上記第１の実施形態の同様に構成することができる。
【０１４１】
解析装置１０ｂは、境界条件と、随伴境界条件演算部が計算した随伴境界条件とが一致するか否かを判定する自己随伴判定部１５を備える。自己随伴判定部１５が境界条件と前記随伴境界条件が一致すると判定した場合、自己随伴演算部１４は、原初微分作用素から自己随伴問題の自己随伴固有関数を求めることにより、前記自己随伴問題の解を計算する。境界条件と前記随伴境界条件が一致しないと判定された場合、非自己随伴演算部１３が、主連立微分方程式及び双対連立微分方程式、並びに、前記境界条件及び前記随伴境界条件を用いて、主固有関数及び双対固有関数を求めることにより、連立微分方程式の解を計算する。
【０１４２】
自己随伴判定部１５は、境界条件と随伴境界条件が一致するか否かを判定することにより、境界条件及び随伴境界条件が自己随伴か非自己随伴かを判定することができる。すなわち、原初微分作用素が自己随伴であって、境界条件と随伴境界条件が一致する場合は自己随伴であり、一致しない場合は非自己随伴であると判断することができる。また、自己随伴判定部１５による、境界条件と随伴境界条件が一致するか否かを判定については、原初微分作用素Ｌｉｊと、随伴微分作用素Ｌｊｉ＊が一致するか否か（Ｌｉｊ＝Ｌｊｉ＊か否か）の判定も含まれる。例えば、随伴微分作用素Ｌｉｊ＊は、原初微分作用素を含む微分方程式に双
対固有関数φi*または双対変位ｕi*を乗じた積分和すなわち内積を、部分積分することにより計算することができる。例えば、上記式（６２）又は式（９０）により、随伴微分作用素Ｌij*を計算することができる。
【０１４３】
自己随伴演算部１４は、原初微分作用素から自己随伴問題の連立微分方程式を生成し、この連立微分方程式の解を計算する。例えば、上記式（１０７）又は式（１２３）を自己随伴問題の連立微分方程式として、自己随伴固有関数φiを計算することができる。自己
随伴演算部１４は、例えば、自己随伴固有関数φikを上記式（１１１）のφik*と置き換
えた式により、ｃkを計算し、このｃkを上記式（６９）に代入することにより、自己随伴問題の解関数ｕHjを求めることができる。
【０１４４】
（動作例）
図６は、図５に示す解析装置１０ｂの動作例を示すフローチャートである。図６において、解析装置１０ｂは、Ｓ１〜Ｓ４の処理を、上記第２の実施形態におけるＳ１〜４の処理と同様に実行することができる。Ｓ２１において、自己随伴判定部１５は、Ｓ１で取得された境界条件を示すデータと、Ｓ４で生成された随伴境界条件データとを比較することにより、境界条件が随伴境界条件と一致するか否かを判定する。Ｓ２１で自己随伴判定部１５が、一致しないと（すなわち、非自己随伴である）と判定すると、非自己随伴演算部１３は、Ｓ５〜Ｓ７の処理を実行する。Ｓ５〜Ｓ７の処理は、上記第２の実施形態におけるＳ４〜Ｓ７と同様にしてもよい。
【０１４５】
Ｓ２１で自己随伴判定部１５が、境界条件と非境界条件が一致する（すなわち、自己随伴である）と判定すると、自己随伴演算部１４は、原初微分作用素から自己随伴微分方程式データを生成する（Ｓ２２）。例えば、自己随伴演算部１４は、上記式（１０７）を自己随伴微分方程式とすることができる。この場合、自己随伴演算部１４は、Ｓ３で取得した原初微分作用素Ｌijを自己随伴微分作用素とし、Ｓ２で設定した境界条件を自己随伴境界条件として、自己随伴固有関数φiを計算する。そして、自己随伴演算部１４は、自己
随伴固有関数φiを用いて、自己随伴連立微分方程式の解関数ｕｊを計算する（Ｓ２４）
。Ｓ８の結果出力は、上記第２の実施形態におけるＳ８と同様にしてもよい。
【０１４６】
以上の処理により、解析対象の問題が自己随伴か非自己随伴を判断し、判断結果に応じて適切に処理を切り替えることができる。なお、本実施形態は、上記第１又は第２の実施形態の具体例と一つと言える。
【０１４７】
［第４の実施形態］
本実施の形態は、解析装置を、有限要素法（ＦＥＭ）を用いた解析に適用した場合の例である。本実施形態では、原初微分作用素及び境界条件は、有限要素に対して設定される。例えば、上記の第１〜第３の実施形態で説明した解析装置の構成及び解析処理を、有限要素に対しても、同様に、適用することができる。
【０１４８】
ここで、上記第１〜第３の実施形態で示した解析処理を有限要素に用いた形態である本実施形態が、従来の有限要素法とどのように異なるかについて説明する。まず、従来のｈ法では、上述したように、変分演算を行っていないのに対して、本実施形態では、変分直接法により、解を計算している（例えば、上記第１の実施形態）。ｐ法は、高次の関数により、要素内変位を近似する技術であり、要素内変位を適切に近似する関数が手探りで見つけ出されて用いられる。これに対して、本実施形態では、主固有関数及び双対固有関数が計算され、これらをもって、要素内の変位が適切に説明しようとするものである。
【０１４９】
図７は、本実施形態における解析装置の動作例を示すフローチャートである。本実施形態における解析装置の構成は、図２または図５と同様とすることができる。なお、図７に示すフローチャートは一例であり、本願発明は、これに限られない。図７に示す例では、まず、設定部１１が、解析対象の形状を示すデータの入力を受け付ける（Ｓ３１）。例えば、有限要素の形状を示すデータが入力される。また、設定部１１は重み定数を作成する（Ｓ３２）。重み定数ｗは、固有値λが無次元量として定まるように使うのが好ましい。例えば、解析対象物が円環の場合、微分作用素の階数が２階なので、代表長さをrとすれ
ば、w=1/r2とするのが好ましい。ここで、代表長さには、物体のどこか特徴的な部分の長さが採用される。円環の場合には、半径を代表長さにとるのが好ましい。この場合、相似図形の固有値λが一致するので、相似図形の物体については、計算を節約することができる。
【０１５０】
また、設定部１１は、節点変位と節点力を入力する（Ｓ３３）。例えば、節点の変位ｕ及び双対変位ｕ*は、要素境界の変位を表す境界関数ｕAと補正関数ｕ0で表し、補正関数
ｕ0は、試行関数ψ0の和で表すことができる（例えば、上記式（１７３）及び式（１９０））。設定部１１は試行関数を設定する（Ｓ３４）。試行関数は、例えば、上記式（１７９）のように設定することができる。例えば、図８に示すような１６節点四角形の要素の場合、境界表面での変位は上記式（２０８）、双対変位は上記式（２２９）、表面力は上記式（２０７）、双対表面力は上記式（２２８）で表すことができる。
【０１５１】
随伴境界条件演算部１２は、境界条件から随伴境界条件を計算する。例えば、原初微分作用素を含む微分方程式に、双対変位ｕi*を乗じた積分和すなわち内積を、部分積分して得られる境界項Ｒに、要素の変位及び表面力を代入して、随伴境界条件を計算することできる。
【０１５２】
例えば、境界項Ｒを上記式（２５０）で表すことができる。この場合、式（２５０）において、節点力Ｆの行列要素を既知部Ｆbと未知部Ｆvに分けて並べかえ、節点変位Ｕを既知部分Ｕbと未知部Ｕvに分けて並べかえる。この並べかえた、節点力Ｆb、Ｆv及び節点変位Ｕb、Ｕvのベクトル要素に対応するように、双対節点力Ｆ*も既知部Ｆb*と未知部Ｆv*
に、双対変位Ｕ*も既知部Ｕb*と未知部Ｕv*に分けてならべかえると式（２５１）のよう
になる。Ｒをゼロとするには、未知部Ｆv、Ｕvに対応するＵb*、Ｆb*がゼロでなければならないので、式（２５４）の随伴境界条件が得られる。
【０１５３】
非自己随伴演算部１３は、例えば、主試行関数[ψh]及び双対試行関数[ψh*]を生成し
（Ｓ３７、Ｓ３８）、近似主固有関数を｛φ｝、近似双対固有関数を｛φ*｝、それぞれ
の係数ベクトルを｛ｅh｝、｛ｅh*｝とおいて、
｛φ｝＝[ψh]｛ｅh｝
｛φ*｝＝[ψh*]｛ｅh*｝
と表し、これらを主連立微分方程式（上記式（１０５））及び双対連立微分方程式（上記式（１０６））へ代入して、上記式（１２２）及び式（１２３）によって係数ベクトル｛ｅh｝および｛ｅh*｝を得た後、近似固有関数｛φ｝および｛φ*｝を得ることができる（Ｓ３９）。
【０１５４】
一例として、主試行関数[ψh]は、上記式（３１３）のように表すことができる。この
場合、関数行列Γを上記式（２９３）で定義し、係数行列［ｃe］［ｃh］を上記式（２９４）（２９５）で定義している。双対試行関数[ψh*]は、例えば、上記式（３７３）のように表すことができる。この場合、係数行列［ｃe*］［ｃh*］を上記式（３５４）（３５５）で定義している。
【０１５５】
非自己随伴演算部１３は、Ｓ３９で計算した主固有関数及び双対固有関数を用いて、固有関数法により、主問題の連立方程式の解関数を、計算する（Ｓ４０）。このようにして、計算された解は、解析結果をコンピュータのディスプレイ（図示せず）などに出力される（Ｓ４１）。解析結果の具体例については、後述する。
【０１５６】
Ｓ４０においては、例えば、（数１）に従って、Ｓ３７で計算した近似固有関数｛φ｝の変分｛δφ｝と、Ｓ３８で計算した近似双対固有関数｛φ*｝の変分｛δφ*｝とを主連立微分方程式及び双対連立微分方程式に乗じて積分して得られる式（例えば、上記式（４００）（４０１）又は、上記式（４０２）を解くことにより、固有値と固有ベクトルを得ることができる。これらを用いて、主問題の変位｛ｕ｝が求められる。
【０１５７】
以上のように、有限要素法を用いることで、形状が複雑で、固有関数を直接計算するのが困難な場合であっても、近似の固有関数を求めることができる。
【０１５８】
［第５の実施例］
図６７に示す情報処理装置１０ｃは、初期方程式決定部２１、境界条件決定部２２、及び演算部２３を備える。初期方程式決定部２１は、処理対象となる系の構造及び構成要素の性質を示すデータを読み込んで、系を表す方程式を決定する。この方程式は、例えば、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の方程式とすることができる。方程式は、例えば、行列のデータ又は微分方程式のデータで表すことができ、データの表現形式は特に限定されない。変数は、例えば、ベクトル又は関数等のデータで表すことができるが、表現形式に特に限定されない。
【０１５９】
初期方程式決定部２１は、例えば、ユーザからの処理対象の系の指定を受け付けて、予め記録しておいた連立微分方程式のうちから指定された系に応じたものを選択することができる。あるいは、連立微分方程式自体をユーザから受け付ける構成であってもよい。
【０１６０】
境界条件決定部２２は、境界条件を示すデータとして、物理量を現す値を読み込んで境界条件を決定する。境界条件決定部２２は、例えば、１つの点の１方向、すなわち１自由度に対して外力と変位を指定するような境界条件も受け付ける。後述する演算部２３の機能により、１自由度に対して複数の物理量を境界条件として定義しても、対応可能となっている。また、境界条件として、既知部だけでなく、未知部の指定を受け付けることもできる。例えば、ある１つの節点に対して、変位も外力も未知とする設定を受け付けることができる。
【０１６１】
演算部２３は、前記ｎ個の初期方程式を、２ｎ個の変数の方程式又は２ｎ個の方程式を含む方程式に変形し、変形した２ｎ個の変数の方程式又は２ｎ個の方程式を含む方程式において、境界条件によって既知となる変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部とを決定し、未知部について方程式の解を計算する。例えば、初期方程式として連立微分方程式が決定された場合、式（９６３）で示すように、初期方程式の２倍の数の方程式が含まれる形式に変形することができる。初期方程式として行列と変数ベクトルで表される方程式が決定された場合、例えば、式（４４２）で示すように、変数ベクトルの２倍の自由度を持った変数ベクトルを含む行列に変形することができる。
【０１６２】
演算部２３は、計算した解又は解から得られる情報を出力することができる。例えば、処理対象の系において物体が力を受けて変位する場合、解から得られる情報として、変形状態、応力分布、それらの誤差分布等を出力することができる。
【０１６３】
(随伴微分作用素を用いた演算例)
初期方程式決定部２１は、例えば、前記系の構成要素である物体に作用する力と、前記物体の物理量を表す変数との関係を表す連立微分方程式を決定することができる。物体の物理量は、例えば、変位又は速度等とすることができるが、特定のものに限定されない。
【０１６４】
演算部２３は、初期方程式決定部２１が決定した連立微分方程式の微分作用素と、当該微分作用素から決まる随伴微分作用素を用いて、前記２ｎ個の方程式を示すデータを生成し、２ｎ個の方程式の解を計算する。演算部２３は、対象となる系を表す主問題の連立微分方程式の微分作用素及び変数に対して、双対変数を含む双対連立方程式（ｎ個の方程式を含むもの）を新たに導入する。これにより、２ｎ個の方程式の解を計算することになる。このように、微分作用素から決まる随伴微分作用素を用いて、前記２ｎ個の方程式を生成し、２ｎ個の方程式の解を計算することで、１自由度に対して複数の物理量が境界条件として設定された場合にも解を計算することができる。
【０１６５】
なお、例えば、式（６４）に示すように、連立微分方程式の微分作用素を変数の作用させたものと双対変数との内積は、変数と双対連立微分方程式の微分作用素を双対変数に作用させたものとの内積に等しい関係にある。本願明細書では、様々な連立微分方程式について、双対微微分方程式を求める例を開示している。なお、予め、双対微分方程式に関する情報を、微分方程式と対応付けて記録しておくことができる。演算部２３は、初期方程式決定部２１で決定した微分方程式に対応する双対微分方程式に関する情報を読み出して演算に用いることができる。
【０１６６】
（有限要素を用いた演算例）
また、演算部２３は、随伴作用素を計算せずに、初期方程式を２ｎ個の変数を含む方程式に変形し、方程式の解を計算することができる。例えば、初期方程式決定部２１が、２つのｎ次元の変数ベクトルとｎ行の行列を決定することで、系の構成要素の節点における物理量を示す初期方程式を決定することができる。例えば、節点の変位を表す変数のｎ次元ベクトルと、節点の力を表す変数のｎ次元ベクトルとの関係を表すｎ行の行列を生成することができる。これは、系が満たすべき微分方程式を、ｎ次元ベクトルとｎ行の行列を用いて表したものと言える。例えば、式（４４１）や式（４４９）等に示すような形で初期方程式を決定することができる。式（４４１）の例では、ｎ行ｎ列の行列Ｋと、ｎ次元ベクトルの変数ベクトル｛Ｕ｝，｛Ｆ｝でｎ個の方程式が表される。
境界条件決定部２２は、方程式の変数において、値が既知となる変数の自由度の数と、値が未知となる変数の自由度の数が異なる境界条件も決定可能に構成される。例えば、ユーザから、境界条件として、１自由度に対して複数の物理量が未知または既知であると指定された場合も、ユーザの設定が不適切である旨等のエラーは出さないよう構成することができる。
【０１６７】
この場合、演算部２３は、２つの変数ベクトルに基づいて２ｎ次元のベクトルを生成する。さらに、この２ｎ次元のベクトルの変数に基づいて行列を２ｎ列の行列に変形した上で、当該２ｎ次元のベクトルの変数のうち、境界条件によって既知となる変数を含む既知部分と、未知の変数を含む未知部分とを決定する。この時、未知部分の自由度と、既知部分の自由度は同じでなくてもよい。例えば、演算部２３は、未知部分の自由度と、既知部分の自由度を同じにするという制限を加えずに、未知部分と既知部分を決定することができる。演算部２３は、未知部分の変数を、既知部分の変数で表す形式になるよう前記２ｎ列の行列及び前記２ｎ次元のベクトルを変形して、変形した行列を用いて、前記未知部分の変数を計算する。例えば、演算部２３は、変数の既知部と未知部をそれぞれまとめるように変数ベクトルの要素を並べ替え、これに応じて行列の要素も並べ替えることができる。なお、この具体例は、９．２節の式（４４１）〜式（４４７）に示されている。
上記演算部２３は、上記処理を実行することにより自己随伴な問題と、非自己随伴な問題の両方について解を計算することができる。例えば、１つの自由度、例えば、ある節点のｘ方向については変位も力もゼロであるという境界条件が設定された場合や、ある節点のｙ方向については変位も力も未知であるといった境界条件も受け入れることができる。上記のような、変数をｎ倍にした方程式で、未知部と既知部の自由度の数に制限をかけない演算により、非自己随伴境界条件の下でも解を計算することが可能になる。
【０１６８】
解が複数存在する場合、例えば、式（１２８）の汎関数Πにおいて、変分がゼロとなるように、同次解に対するモード係数を決定し、決定したモード係数を用いて解を求めることができる。また、決定したモード係数近傍の値の入力をユーザから受け付け、入力された値のモード係数を用いて解を計算し、前記解または前記解から得られる情報を出力する構成とすることもできる。なお、これらの構成は、演算部２３が設けられた情報処理装置に設ける必要は必ずしもなく、演算部２３で計算された複数の解について、上記モード係数を用いて解を求める処理を、他の情報処理装置が実行してもよい。また、ユーザからモード係数近傍の値の入力をユーザから受け付け、入力された値のモード係数を用いて解を計算して出力する処理を他の情報処理装置が実行してもよい。
【０１６９】
例えば、演算部２３が計算した方程式の解として、１つの特解と、複数の同次解が得られた場合、解は、特解と同次解に任意のモード係数をかけたもので表すことができる。このモード係数を用いて表される解を、式（１２８）の汎関数Πにおいて、変分がゼロとする式に当てはめたときに得られるモード係数により、構造全体系として近似的に微分方程式を満足する解が得られる。このような解が複数存在する場合の処理の例は、例えば、９．４節、９．５節及び１１．３．１０節に記載されている。
本実施形態では、上記演算部２３では、自由度を２倍にした方程式を、未知部と既知部の自由度が必ずしも同じでない状況で方程式の解を計算する。この演算部２３では、複数の解が算出される場合がある。その場合にも、上記例のように、複数解のうち代表的な解を計算し、この解を含む所定の範囲で解を出力することで適切な結果を出力することができる。また、ユーザの操作により解を変動させて表示することで、複数解の結果を認識可能な形態で伝えることができるユーザインタフェースが提供される。
【０１７０】
［第６の実施形態］
図６８に示す情報処理装置１０ｄは、初期方程式決定部２１、境界条件決定部２２、及び判定部３３を備える。初期方程式決定部２１及び境界条件決定部２２は、図６７の初期方程式決定部２１及び境界条件決定部２２と同様に構成することができる。判定部３３は、初期方程式決定部２１で決定された連立微分方程式の境界条件が、自己随伴条件か否かを判定する。
【０１７１】
（随伴境界条件を用いて判定する例）
判定部３３は、例えば、連立微分方程式の変数と同じ数の双対変数と、双対連立微分方程式とを定義した場合に、連立微分方程式と双対変数との積分和すなわち内積を部分積分して得られる境界項を計算し、境界条件決定部２２で決定された境界条件の下で、当該境界項をゼロにする双対変数の条件を、随伴境界条件として決定することができる。判定部３３は、随伴境界条件が境界条件と一致する場合は、自己随伴条件であると判断できる。
【０１７２】
随伴境界条件を算出するため、例えば、予め、微分方程式に対応付けて境界項を計算するための式を情報処理装置１０ｄがアクセス可能な記録部に記録しておくことができる。判定部３３は、初期方程式決定部２１が決定した微分方程式に対応する境界項の式を記録部から読み出して、境界項を計算することができる。
【０１７３】
具体例として、四角形要素モデルにおいて、式（２５０）又は式（１８１４）に示したように、境界項Ｒを、節点外力Ｆ及び変位Ｕの転置行列と，双対節点外力Ｆ＊及び双対変位Ｕ＊の行列との積で表すことができる。このような場合に、式（２５１）又は式（１８１４）のように、節点外力Ｆ、変位Ｕ、双対節点外力Ｆ＊及び双対変位Ｕ＊それぞれを未知部と既知部に分けて並べ替えることで、随伴境界条件が得られる。このように、微分方程式の変数の転置行列と双対変数の行列との積で表される境界項において、それぞれの変数の未知部と既知部を分けて並べ替えることで、随伴境界条件を得ることができる。式（２５１）又は式（１８１４）は、例えば、初期微分方程式の作用素及び境界条件を、有限要素に設定して解析を実行する場合に用いることができる。
【０１７４】
判定部は、例えば、自己随伴条件であるか否かを判定結果に基づく情報をユーザに対して出力することができる。例えば、境界条件と随伴境界条件が一致せず、非自己随伴条件であると判定した場合、解析対象が境界条件化において非自己随伴である旨のメッセージを出力することができる。例えば、判定部３３は、解析には非自己随伴問題を扱える機能が必要であること、又は、非自己随伴問題を解析できるソフトウエアの入手先または入手方法など、非自己随伴問題の解析のガイドとなる情報を出力することができる。
【０１７５】
或いは、判定部３３は、随伴境界条件と境界条件が一致するか否かの情報に基づいて、その後の演算を制御することもできる。例えば、随伴境界条件と境界条件が一致する場合は、従来の有限要素法を用いた解析処理を実行させ、随伴境界条件と境界条件が一致しない場合は、上記のように、上記したような、非自己随伴を扱うことが可能な処理を情報処理装置に実行させることができる。非自己随伴を扱うことができる処理は、例えば、初期方程式を２ｎ個の方程式を含む方程式に変形し、変形した２ｎ個の方程式を含むにおいて、既知の変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部とを決定し、当該未知部について方程式の解を計算するといった処理である。
【０１７６】
（随伴境界条件を計算せずに自己随伴条件を判定する例）
なお、上記例のように、随伴境界条件を計算しなくても、自己随伴条件の判定ができる場合がある。例えば、１１.７．１に記載されているように、上記の式（２５１）において、自己随伴境界条件となる場合、節点変位Ｕの既知部Ｕｂの個数ｎ１は、節点外力の未知部Ｆｖに等しく、節点外力Ｆの既知部Ｆｂの個数ｎ２は、節点変位の未知部Ｕｖの個数に等しくなる。したがって、判定部３３は、１つの変数の未知部の自由度が、他の変数の既知部の自由度と等しいか否かによって、自己随伴条件か否かを判定することができる。
【０１７７】
（判断部と演算部との組み合わせ例）
なお、上記図６８の判定部３３を図６８の情報処理装置に追加した構成も可能である。例えば、判定部３３の判定結果に基づいて、演算部２３が、２ｎ次元の方程式を用いた演算を行うか否かを制御することができる。これにより、演算部２３は、２ｎ次元の方程式を用いた非自己随伴の演算と、ｎ次元の方程式を用いた自己随伴の演算とを適切に切り替えて、処理効率を向上させることができる。
【０１７８】
具体例として、境界条件決定部２２は、ユーザから前記変数のうち既知のものと未知のものの指定を受け付けることができる。判定部３３は、前記ユーザから受け付けた指定に基づいて前記変数の未知部と既知部を決定して、１つの変数の未知部の自由度が、他の変数の既知部の自由度と等しいか否かを出力する。判断部３３において、１つの変数の未知部の自由度が、他の変数の既知部の自由度と等しいと判断された場合、演算部２３は、前記微分作用素を表す前記ｎ行の行列を用いて、前記変数の未知部を計算する。判断部３３において、１つの変数の未知部の自由度が、他の変数の既知部の自由度と等しくないと判断された場合、前記微分方程式を、変数が２ｎ個で２ｎ個の方程式を含む形式に変形し、変形した２ｎ個の方程式のうち、前記未知部について方程式の解を計算する。
【０１７９】
［動作例］
（自己随伴条件に対応する設定例）
図６９は、従来の有限要素を用いた解析において、境界条件が自己随伴条件を満たすことを前提として、節点変位ベクトル、節点外力ベクトルを設定する処理例を示すフローチャートである。図６９に示す例では、情報処理装置は、まず、節点変位の入力を受け付ける（Ｓ１０１）。例えば、変位がわかっている自由度とその数値がユーザから入力される。あるいは、節点変位の自由度と数値を示すデータが読み込まれてもよい。自由度は、例えば、節点の位置と方向により特定される。節点変位が入力されると、節点変位の既知部Ｕｂの自由度と、その数値が確定する（Ｓ１０２）。節点変位の既知部Ｕｂの自由度及び数値が確定すると自動的に節点外力の未知部Ｆｖの自由度を確定することができる（Ｓ１０３）。自己随伴条件を満たす場合、未知部Ｆｖの自由度は、既知部Ｕｂに等しいからである。
【０１８０】
節点変位の既知部Ｕｂの自由度が決まると、全体自由度から既知部Ｕｂの自由度を引くことで、節点変位の未知部Ｕｖの自由度が求められる（Ｓ１０４）。自己随伴条件を満たす場合は、既知部Ｆｂの自由度は、未知部Ｕｖの自由度に等しいので、既知部Ｆｂの自由度が確定し、既知部Ｆｂの数値はゼロと仮定される（Ｓ１０５）。Ｓ１０７において、ユーザから節点外力の自由度と数値が入力されると、情報処理装置は、節点外力の既知部Ｆｂが自由度に反しないか確認した上で既知部Ｆｂの値を修正する。
【０１８１】
このように、図６９に示すフローでは、節点変位の既知部Ｕｂが決まると未知部Ｆｖ，未知部Ｕｖ、及び既知部Ｆｂが自動的に計算される。値が指定されていない節点外力の自由度にはゼロが設定される。このように、自由度が自己随伴境界条件を満たすので、設定された節点変位及び節点外力に基づいて、従来型有限要素法で解析可能である（Ｓ１０８）。
【０１８２】
（非自己随伴条件にも対応した境界条件の設定例１）
図７０は、有限要素を用いた解析において、境界条件が非自己随伴条件である場合にも対応可能な節点変位ベクトル、節点外力ベクトルを設定する処理例を示すフローチャートである。図７０に示す例では、情報処理装置の境界条件決定部２２は、節点変位の自由度及び数値の入力を受け付け（Ｓ２０１）、節点変位の既知部Ｕｂの自由度と数値を決定し記録する（Ｓ２０２）。既知部Ｕｂが決まると節点外力の未知部Ｆｖ（Ｓ２０３）、節点変位の未知部Ｕｖ（Ｓ２０４）、及び既知部Ｆｂ（Ｓ２０５）が自動的に計算される。Ｓ２０５では、値が指定されていない節点外力の自由度にはゼロが設定される。
【０１８３】
境界条件決定部２２は、節点外力の自由度と数値の入力を受け付け（Ｓ２０６）、節点外力Ｆｂの自由度及び数値を入力された自由度及び数値に修正する（Ｓ２０７）。さらに、境界条件決定部２２は、節点変位の未知部の入力も受け付ける（Ｓ２０８）。本例では、変位が未知である節点の自由度が入力される。例えば、ユーザが画面上で節点及び方向を指定することで入力できる構成でもよいし、未知部の自由度を示すデータを読み込む構成でもよい。境界条件決定部２２は、未知部Ｕｖの自由度を、入力された情報を元に修正する（Ｓ２０９）。
【０１８４】
同様に、境界条件決定部２２は、節点外力の未知部の入力も受け付け（Ｓ２１０）、未知部Ｆｖの自由度を、入力された情報を元に修正する（Ｓ２１１）。Ｓ２０８〜Ｓ２１１において、同じ自由度に対して変位と外力の両方を未知部にする指定も受け入れることができる。すなわち、境界条件決定部２２は、同じ自由度に対して異なる変数を未知とする条件を設定することができる。
【０１８５】
判定部３３は、自由度が自己随伴境界条件を満たすか否かを判定し（Ｓ２１２）、判定結果を表示する（Ｓ２１３）。判定部３３は、例えば、節点変位の既知部Ｕｂの自由度の数と節点外力の未知部Ｆｖの数が等しいか否かを判定することができる。等しい場合は、自己随伴境界条件を満たし、等しくない場合は、自己随伴境界条件を満たさないと判断できる。
【０１８６】
例えば、ある１つの節点の１つの方向、すなわち１つの自由度に対して、複数の変数（本例では、節点変位が節点外力）を既知とする境界条件や、１つの自由度に対して、複数の変数の未知とする境界条件は、自己随伴境界条件を満たさないと判断される。自己随伴境界条件を満たさない境界条件が設定された場合、従来は、解析を実行することができなかったが、本願明細書に開示の技術（例えば、新型有限要素法を用いた技術）により、非自己随伴境界条件の解析が可能になる（Ｓ２１５）。自己随伴境界条件の解析は、従来型有限要素法で解析可能である（Ｓ２１４））。
【０１８７】
なお、Ｓ２１４又はＳ２１５の解析処理は、別の装置で実行されてもよい。例えば、判定部３３は、Ｓ２１２で自己随伴境界条件を満たすと判断された場合は、Ｓ２１４の従来型有限要素法での解析処理を実行し、自己随伴境界条件を満たさないと判断された場合は、Ｓ２１２において、Ｓ２１５の解析処理を可能にするため情報を出力することができる。例えば、Ｓ２１５の処理を実行するためのソフトウエアの入手方法や案内等の情報を出力することができる。
【０１８８】
（非自己随伴条件にも対応した境界条件の設定例２）
図７１は、境界条件が非自己随伴条件である場合にも対応可能な節点変位ベクトル、節点外力ベクトルを設定する処理の他の例を示すフローチャートである。図７１に示す例では、節点変位および節点外力の自由度と数値の入力を受け付け、入力がなかった自由度は未知部として設定する。境界条件決定部２２は、節点変位の自由度と数値の入力を受け付け（Ｓ３０１）、入力に基づいて、節点変位の既知部Ｕｂの自由度と数値を確定し（Ｓ３０２）、これに伴って未知部Ｕｖの自由度も確定する（Ｓ３０３）。同様にして、節点外力の自由と数値の入力を受け付け（Ｓ３０４）、入力に基づいて、節点外力の既知部Ｆｂの自由度と数値を確定し（Ｓ３０５）、これに伴って未知部Ｆｖの自由度も確定する（Ｓ３０６）。判定処理（Ｓ３０７）、表示処理（Ｓ３０８）、解析処理（Ｓ３０９、３１０）は、図７０の場合と同様に実行することができる。
【０１８９】
図７１に示す例では、特に入力がない節点変位及び節点外力の自由度は、未知部として設定される。ユーザは、未知部を明示的に指定しなくてもよいが、例えば、変位をゼロにしたい節点については、明示的にゼロの値を設定することを入力する必要がある。これに対して図７０に示す例では、ユーザが未知部の指定も既知部の指定もしなかった自由度の変数は、既知部としてなんらかの値が設定される。そのため、ユーザがすべての自由度に対して未知か既知かの設定をする必要がなくなる。なお、情報処理装置では、例えば、ユーザが図７０又は図７１のいずれの処理で入力するかを選択できる構成とすることができる。なお、上記の図７０、及び図７１の処理例は、１１．７．１に記載の２通りの処理方法（１）、（２）に相当する。
【０１９０】
（有限要素で非自己随伴問題の解析をする例）
図７２は、有限要素を用いた、非自己随伴問題の解析の実行例を示すフローチャートである。図７２に示す例では、まず、情報処理装置１０ｃは、計算モデルを入力する（Ｓ４０１）。例えば、処理対象となる構造の有限要素モデル、形状、材料、要素、節点等が入力される。
【０１９１】
初期方程式決定部２１は、Ｓ４０１で入力されたデータを用いて、要素剛性行列を作成し、要素剛性行列を重ね合わせて全体剛性行列を作成する（Ｓ４０５）。ここで作成される全体剛性行列は、行列で表現される初期方程式の一例である。Ｓ４０１では、例えば、自由度の数がｎ個である系の節点における物理量を示すｎ次元の変数ベクトルを２つと、ｎ行の要素剛性行列が決定される。具体的には、式（４４１）や式（４４９）の行列ようにすることができる。
【０１９２】
境界条件決定部２２は、重力荷重のデータを入力し（Ｓ４０３）、重力荷重を作成する（Ｓ４０５）。Ｓ４０３では、例えば、節点と方向で特定される自由度それぞれに対して加わる重力の値又は変位の値を示すデータが入力される。また、境界条件決定部２２は、節点変位の未知の部分と、節点外力が未知の部分を指定するデータも入力する（Ｓ４０４）。Ｓ４０３及びＳ４０４で入力されたデータによって、節点変位の既知部と未知部、及び節点外力の既知部と未知部が作成される（Ｓ４０５）。なお、Ｓ４０３、Ｓ４０４及びＳ４０５の処理は、例えば、図７０で示した処理と同様に実行することができる。
【０１９３】
演算部２３は、剛性要素行列を変形して演算に用いる行列を作成する（Ｓ４０６）。例えば、自由度ｎの２つの変数ベクトルに基づいて、演算部２３は、２ｎ次元のベクトルを生成し、当該２ｎ次元のベクトルの変数に応じて前記ｎ行の行列を２ｎ列の行列に変形する。例えば、式（４５０）のような形に変形できる。演算部２３は、当該２ｎ次元のベクトルの変数のうち、境界条件によって既知となる変数を含む既知部分と、未知の変数を含む未知部分とを決定する。未知部分の変数を、前記既知部分の変数で表す形式になるよう前記２ｎ列の行列及び前記２ｎ次元のベクトルを変形する。例えば、式（４５２）のように変形した行列を用いて、未知部分の変数を計算することができる。
【０１９４】
演算部２３は、Ｓ４０６で作成した行列の方程式の解を計算する（Ｓ４０７）。計算の結果、解が１つだけ存在する場合、演算部２３は、節点変位の特解部分及び節点外力の特解部分を作成する（Ｓ４０８）。例えば、式（９３６）のように、特解の未知部と既知部を表すベクトルを作成することができる。複数解が存在する場合、演算部２３は、同次モード係数を定義する（Ｓ４０９）。例えば、同次解の個数をｎｏとすると、ｎ次元ベクトル{ａｏ}をモード変数として定義することができる。演算部２３は、節点変位の同次解部分と、節点外力の同次解部分を作成する（Ｓ４１０）。例えば、式（９３７）に示すように、同次解の未知部と既知部を表すベクトルが作成される。
【０１９５】
Ｓ４１１において、演算部２３は、節点変位の解の未知部を、例えば、式（９３８）を用いて決定し、節点外力の解の未知部を、例えば、式（９３９）を用いて決定する。Ｓ４１１の処理の結果、解が一意に決定できる場合は、その結果を出力して解析処理を終了する（Ｓ４１２）。
【０１９６】
解が一意に決定できない場合、最小二乗法により、{ａｏ}の最適値を計算する。例えば、演算部２３は、式（９６０）、式（９６１）のような行列を作成する（Ｓ４１３）。さらに、演算部２３は、例えば、式（９６２）を、モード係数{ａｏ}について解くことで、モード係数を決定する（Ｓ４１４）。演算部２３は、決定したモード係数を中心値とする所定の範囲のモード係数に対応する解を出力する（Ｓ４１５）。例えば、決定したモード係数近傍の値の入力をユーザから受け付け、入力された値のモード係数を用いて解を計算し、この計算した解またはこの解から得られる情報を出力する。解から得られる情報として、例えば、変形状態、応力分布、誤差分布等が出力される。また、ユーザが、スライダーにより｛ａｏ｝を操作して、Ｓ４１４で決定されたモード係数を含む所定範囲の値を指定できるようにユーザインタフェースを設けることができる。
【０１９７】
なお、Ｓ４０８〜Ｓ４１０の、解が複数のある場合の処理を実行するためのプログラムと、Ｓ４０１〜Ｓ４０７の処理を実行するためのプログラムは、それぞれ、別に提供されてよい。すなわち、Ｓ４０８〜Ｓ４１０の少なくとも１つのステップを実行するプログラム又はプログラムを記録した記録媒体も、本願発明の実施形態に含まれる。
【０１９８】
［解析結果例］
図９は、一様重力下の円環で，内辺の境界条件を「変位がゼロかつ表面力もゼロ」とするには，外辺を如何に支持すべきかを求めた結果を示す図である。従来は求解不能とされてきた問題であるが，新たに解析解を得て，これと固有関数法による計算結果とを比較し，解析解に近い事を確認した。円環の上部と下部に大きな垂直応力σrが作用し，左右部
には剪断応力τrθが作用する事で，重力荷重を受け持っている様子が判る。内辺は真円
に保たれ，表面力も作用していない事が確認できる。なお、図９において、左図は応力σr、中央図は応力σθ、右図は剪断応力τrθを示す。図９に示す結果は、円環を有限要素とせず、解析的に計算した結果である。以下に、解析に用いた具体的な主連立微分方程式の一例を示す。
【０１９９】
【数２７０】
0005886309.tif 000273
【０２００】
図１０は、一様重力下の正方形で、上辺の境界条件を「変位がゼロかつ表面力もゼロ」とした場合の解析結果を示す図である。すなわち、一様重力下で、正方形の上辺の変位と表面力の両方をゼロとするためには、他辺をどのように支持すればよいかを求める問題の結果である。図１０においてそれぞれ、左図は垂直応力σｘ、中央図は垂直応力σｙ、右図は剪断応力τｘｙ、の分布を示す。図１０の左図より、正方形の下部に大きな応力σｘとσｙが作用することによって上辺の変位がゼロに保たれていることがわかる。ここでは、正方形を有限要素として定式化しており、要素はひとつだけである。ひとつの要素で解析できる方法としてｐ法有限要素がある。図１０に示す解析は、非自己随伴な境界条件の例であり、現代のｐ法有限要素法ではこのような境界条件での解析はできない。また、境界条件を辺に与えるか、節点に与えるかは定式化の都合によるが、ここでは、節点に境界条件を与えるよう定式化している。
【０２０１】
図１１は、周辺を固着した正方形の平板の面内変形の解祈結果を示す図である。図１１においてそれぞれ、左図は垂直応力σｘ、中央図は垂直応力σｙ、右図は剪断応力τｘｙ、の分布を示す。図１１の中央図より、正方形の上部と下部に大きな応力σｙが作用することがわかる。これは、自己随伴な境界条件である。図１１に示す解析結果は、ｐ法有限要素と同等の解析を行ったものとなる。上記発明の解析方法は、ｐ法を包含するものと考えられる。すなわち、本願発明を基に有限要素法をコード化しておけば、シームレスにｐ法も使うことができる。
【０２０２】
図１２は、正方形の面外変形平板要素の周辺を固着した場合の自重による変形を解析した結果を示す図である。正方形を有限要素として定式化しており、要素はひとつだけである。
【０２０３】
図１３Ａは、左端自由固着の梁のモデルを図であり、図１３Ｂは、図１３Ａに示す梁の主固有関数φ1、φ2、φ3、及び双対固有関数φ1*、φ2*、φ3*の計算結果を示す。図１
３Ｃは、固有関数法により求めた解（１モード、２モード及び３モード）および解析解(Analytical Solution)を示す図である。３モードの解は、解析解とほぼ重なっている。
【０２０４】
図１４及び図１５は、無限領域に正方形の仮想境界を定義し，その中心に湧き出し（図１４）或いは渦度（図１５）を配置した場合の解析結果を示す図である。図１４及び図１５に示す解析結果は、上記（１２）式或いは（１３）式の右辺にディラックのδ関数を与え，固有関数法で計算したポテンシャル流れの様子を示している。これらの図から、内部の流れの様子は解析解に近い事が確認できる。
【０２０５】
［解析例］
１０．１  ばね減衰系
１０．１．１  微分方程式
図１６のばね減衰系にて、減衰係数をｃ、ばね定数をｋとする。変位をｕ（  ｔ）、外力をｆ（ｔ）とすると、作用素Ｌを
【数２７１】
0005886309.tif 000274
【０２０６】
１０．１．２  随伴境界条件と随伴微分作用素
【数２７２】
0005886309.tif 000275
【０２０７】
【数２７３】
0005886309.tif 000276
【０２０８】
１０．１．３  境界条件の同次化
【数２７４】
0005886309.tif 000277
【０２０９】
１０．１．４  連立固有値問題と固有関数法
【数２７５】
0005886309.tif 000278
【数２７６】
0005886309.tif 000279
【０２１０】
１０．１．５  固有関数のセット
【数２７７】
0005886309.tif 000280
【数２７８】
0005886309.tif 000281
【０２１１】
１０．１．６  固有関数
【数２７９】
0005886309.tif 000282
【数２８０】
0005886309.tif 000283
【０２１２】
【数２８１】
0005886309.tif 000284
となる。それぞれの固有関数を、最大値が１になるように正規化して図１７に示す。
【０２１３】
１０．１．７  解析例１
【数２８２】
0005886309.tif 000285
として，（５２５）式の解析解と，（４９４）式の固有関数法で得た結果の比較を図１８に示す．図中，破線が解析解を，実線が固有関数法を示している．５０Ｍは５０モードまで計算したことを示している．モード数が多いほど，固有関数法の精度は良くなり，１０モード程度で変位ｕ＾は良く一致していることがわかる。
【０２１４】
１０．１．８  解析例２
【数２８３】
0005886309.tif 000286
として，（５２８）式の解析解と、（４９４）式の固有関数法で得た結果の比較を図１９に示す。図中、破線が解析解を、実線が固有関数法を示している。５０Ｍは５０モードまで計算したことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、１０モード程度で変位ｕ＾は良く一致していることがわかる。
【０２１５】
１０．１．９  解析例３
【数２８４】
0005886309.tif 000287
として、（５３１）式の解析解と、（４９４）式の固有関数法で得た結果の比較を図２０に示す。図中、破線が解析解を、実線が固有関数法を示している。５０Ｍは５０モードまで計算したことを示している。モード数が多いほど，固有関数法の精度は良くなり、１０モード程度で変位ｕ＾は良く一致していることがわかる．
【０２１６】
１０．２  質点ばね系
１０．２．１  微分方程式
図２１の質点ばね系にて、質点の質量をｍ、ばね定数をｋとする。変位をｕ（ｔ）、外力をｆ（ｔ）とすると、作用素Ｌを
【数２８５】
0005886309.tif 000288
【数２８６】
0005886309.tif 000289
【０２１７】
１０．２．２  随伴境界条件と随伴微分作用素
【数２８７】
0005886309.tif 000290
【０２１８】
【数２８８】
0005886309.tif 000291
【０２１９】
【数２８９】
0005886309.tif 000292
【０２２０】
１０．２．３  境界条件の同次化
【数２９０】
0005886309.tif 000293
【０２２１】
【数２９１】
0005886309.tif 000294
【０２２２】
１０．２．４  連立固有値問題と固有関数法１
[非自己随伴境界条件の例１]の場合には、(554)式の境界関数ｕBを用いた、非自己随伴問題の解法となる。連立固有値問題
【数２９２】
0005886309.tif 000295
【数２９３】
0005886309.tif 000296
となる。
【０２２３】
１０．２．５  連立固有値問題と固有関数法２
【数２９１】
0005886309.tif 000297
【０２２４】
１０．２．６  固有関数のセット
【数２９５】
0005886309.tif 000298
【０２２５】
【数２９６】
0005886309.tif 000299
【数２９７】
0005886309.tif 000300
【０２２６】
これらの組み合わせは、連立微分方程式(596)を満足するだけで、境界条件の制約は課
していない。
【０２２７】
１０．２．７  固有関数
【数２９８】
0005886309.tif 000301
【数２９９】
0005886309.tif 000302
【数３００】
0005886309.tif 000303
となる。（６１０）式でのそれぞれの固有関数を、最大値が１になるように正規化して図２２に示す。
【０２２８】
同様に、（６１１）式最初の２つの固有値は、
【数３０１】
0005886309.tif 000304

となる。（６１２）式でのそれぞれの固有関数を、最大値が１になるように正規化して図２３に示す。
【０２２９】
１０．２．８  解析例１
【数３０２】
0005886309.tif 000305
として、 (625)式の解析解と、(578)式の固有関数法で得た結果の比較を図２４に示す。
図中、破線が解析解を、実線が固有関数法を示している。56M は56 モードまで計算した
ことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、10 モード程度
で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
【０２３０】
１０．２．９  自己随伴固有関数
【数３０３】
0005886309.tif 000306
【０２３１】
１０．２．１０  解析例２
【数３０４】
0005886309.tif 000307
として、（６３２）式の解析解と、（５８４）式の固有関数法で得た結果の比較を図２５に示す。図中、破線が解析解を、実線が固有関数法を示している。５０Ｍは５０モードまで計算したことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、１０モード程度で変位ｕ＾は良く一致していることがわかる。
【０２３２】
１０．２．１１  ハミルトニアンの原理について
【０２３３】
【数３０５】
0005886309.tif 000308
【数３０６】
0005886309.tif 000309
【数３０７】
0005886309.tif 000310
【０２３４】
１０．３  弦の静たわみ
１０．３．１  微分方程式
図２６の弦の静たわみにて、弦の長さをｌ、張力をＴとする。変位をｕ（ｘ）、分布荷重をｆ（ｘ）とすると、作用素Ｌを
【数３０８】
0005886309.tif 000311
【数３０９】
0005886309.tif 000312
【数３１０】
0005886309.tif 000313
【０２３５】
１０．３．２  随伴境界条件と随伴微分作用素
【数３１１】
0005886309.tif 000314
【数３１２】
0005886309.tif 000315
【０２３６】
１０．３．３  境界条件の同次化
非同次境界条件を満たす項に添字Ｂを付けてｕBとおき、同次境界条件を満たす項に添
字Ｈを付けてｕHとおく。変位ｕをその和で、
【数３１３】
0005886309.tif 000316
【数３１４】
0005886309.tif 000317
【０２３７】
１０．３．４  固有関数のセット
【数３１５】
0005886309.tif 000318
【数３１６】
0005886309.tif 000319
【０２３８】
１０．３．５  固有関数
【数３１７】
0005886309.tif 000320
【数３１８】
0005886309.tif 000321
となる。それぞれの固有関数を、最大値が１になるように正規化して図２７に示す。
【０２３９】
【数３１９】
0005886309.tif 000322
【０２４０】
１０．３．６  固有関数法
【数３２０】
0005886309.tif 000323
【数３２１】
0005886309.tif 000324
【０２４１】
１０．３．７  非自己随伴解析例１
【数３２２】
0005886309.tif 000325
として、(706)式の解析解と、(702)式の固有関数法で得た結果の比較を図２８に示す。図中、破線が解析解を，黒色実線が固有関数法を示している。30M は30 モードまで計算し
たことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
【０２４２】
１０．３．８  非自己随伴解析例２
【数３２３】
0005886309.tif 000326
として、(709)式の解析解と、(702)式の固有関数法で得た結果の比較を図２９に示す。図中、破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。30M は30 モードまで計算し
たことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
【０２４３】
１０．３．９  自己随伴解析例１
【数３２４】
0005886309.tif 000327
として、(713)式の解析解と、(704)式の固有関数法で得た結果の比較を図３０に示す。図中、破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。30M は30 モードまで計算し
たことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
【０２４４】
１０．３．１０  自己随伴解析例２
【数３２５】
0005886309.tif 000328
として、(715)式の解析解と、(704)式の固有関数法で得た結果の比較を図３１に示す。図中、破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。30M は30 モードまで計算し
たことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
【０２４５】
１０．４  梁の静たわみ
１０．４．１  微分方程式
図３２の梁の静たわみにて，梁の長さをｌ、曲げ剛性をＥＩとする。剪断力Ｆ（ｘ）を、曲げモーメントをＭ（ｘ）とする。変位をｕ（ｘ）、分布荷重を ｆ（ｘ）とすると、
作用素Ｌを
【数３２６】
0005886309.tif 000329
【数３２７】
0005886309.tif 000330
【数３２８】
0005886309.tif 000331
【０２４６】
１０．４．２  随伴境界条件と随伴微分作用素
【数３２９】
0005886309.tif 000332
【数３３０】
0005886309.tif 000333
【数３３１】
0005886309.tif 000334
【０２４７】
１０．４．３  境界条件の同次化
【数３３２】
0005886309.tif 000335
【数３３３】
0005886309.tif 000336
【数３３４】
0005886309.tif 000337
【数３３５】
0005886309.tif 000338
【０２４８】
１０．４．４  固有関数のセット
【数３３６】
0005886309.tif 000339
【数３３７】
0005886309.tif 000340
【数３３８】
0005886309.tif 000341
【０２４９】
１０．４．５  固有関数
【数３３９】
0005886309.tif 000342
となる。ぞれぞれの固有関数を、最大値が１となるように正規化して図３３に示す。
【０２５０】
[自己随伴境界条件の例１]
同次境界条件が(751)式となる場合には、
【数３４０】
0005886309.tif 000343
となる。それぞれの固有関数を、最大値が１になるように正規化して図３４に示す。
【０２５１】
１０．４．６  固有関数法
【数３４１】
0005886309.tif 000344
となる。
【数３４２】
0005886309.tif 000345
【０２５２】
１０．４．７  非自己随伴解析例１
【数３４３】
0005886309.tif 000346
として，(784)式の解析解と，(780)式の固有関数法で得た結果の比較を図３５に示す。曲線の向きを図３２の方向に合わせるため、各関数値には負号を乗じて作図している。縦軸の座標値のみ，正負反転して読まれたし。図中、破線が解析解を，黒色実線が固有関数法を示している。32M は32 モードまで計算したことを示している。モード数が多いほど、
固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾ は良く一致していることがわか
る。
【０２５３】
１０．４．８  非自己随伴解析例２
【数３４４】
0005886309.tif 000347
として、(787)式の解析解と、(780)式の固有関数法で得た結果の比較を図３６に示す。曲線の向きを図３２の方向に合わせるため、各関数値には負号を乗じて作図している。縦軸の座標値のみ、正負反転して読まれたし。図中、破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。32M は32 モードまで計算したことを示している。モード数が多いほど、
固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
【０２５４】
１０．４．９  自己随伴解析例１
【数３４５】
0005886309.tif 000348
として、（７９０）式の解析解と、（７８２）式の固有関数法で得た結果の比較を図３７に示す。曲線の向きを図３２の方向に合わせるため，各関数値には負号を乗じて作図している。縦軸の座標値のみ、正負反転して読まれたし。図中、破線が解析解を、実線が固有関数法を示している。３２Ｍは３２モードまで計算したことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、３モード程度で変位ｕ＾は良く一致していることがわかる。
【０２５５】
１０．４．１０  自己随伴解析例２
【数３４６】
0005886309.tif 000349
として、(793)式の解析解と、(782)式の固有関数法で得た結果の比較を図３８に示す。曲線の向きを図３２の方向に合わせるため、各関数値には負号を乗じて作図している。縦軸の座標値のみ、正負反転して読まれたし。図中，破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。32M は32 モードまで計算したことを示している。モード数が多いほど、
固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
【０２５６】
[他の解析結果例]
図３９は、図１０に示した解析において、固有値がゼロになることにより複数の解が発生する場合の、複数の解のうちの図１０に示す解以外の解の一つを示す図である。このような複数の解を設計者に提示することにより、設計者は、設計的に実現可能な方法を検討することができる。
【０２５７】
図４０Ａ及び図４０Ｂは、一様重力下の正方形板の上面の変位及び表面力をゼロにする変位を、有限要素を用いて解析した場合に計算される複数の解の例である。図４０Ａ及び図４０Ｂに示す例では、縦横6x6 個の有限要素で正方形を構成している。丸は節点を意味している。合計１０個のモードが示されている。これらの任意の組み合わせが解となる。例えば、上記９．２章に示した計算により、複数解を求めることが可能になる。また、モード係数をスライダーに連動させて、設計者がスライダーによってモード係数を調節するのに合わせて、変形図が表示されるように構成すれば、設計者は、どのような支持方法があり得るのか検討でき、設計者のイメージを湧き立たせることが可能となる。また、設計者は、実現可能な支持方法を絞り込んだ後、再度計算させることも可能になる。
【０２５８】
［その他］
上記第１〜４の実施形態における演算部１、設定部１１、随伴境界条件演算部１２、非自己随伴演算部１３、自己随伴判定部１５、自己随伴演算部１４は、コンピュータのプロセッサがメモリから、プログラム及びデータを読み込んでプログラムに従ってデータの処理を実行する。演算部１は、設計データ、境界条件データを、入力デバイス及びユーザインターフェースを介して、ユーザからの入力を受け付けることにより取得してもよいし、メモリから読み込むことで取得してもよい。微分方程式データは、例えば、演算部１がアクセス可能なメモリに予め記録しておくことが好ましい。
【０２５９】
演算部１の機能は、１台のコンピュータのＣＰＵで実現することもできるし、互いにデータ通信が可能な複数のコンピュータで実現することもできる。また、上記演算部１の処理をコンピュータに実行させるプログラムやそれを記録した非一時的（non-transitrory
）な記録媒体も本願発明の実施形態に含まれる。
【０２６０】
なお、本願発明は、上記第１〜４の実施形態に限定されない。本願発明は、例えば、構造解析、振動解析、電磁場解析、材料解析、流体解析、温度解析、音場解析、電磁気学解析、回路シミュレータなど、微分方程式を用いたあらゆる解析に適用することができる。
【０２６１】
11.補足
11.1 節5.2の「変分直接法と最小２乗法」における式変形の詳細
11.1.1 主問題の変分直接法
同次化された微分方程式(40)式
【数３４７】
0005886309.tif 000350
【数３４８】
0005886309.tif 000351
【数３４９】
0005886309.tif 000352
となる．これは，(111)式を複数組み合わせたものに他ならない．様々なδｕｉ＊に対して，即ち様々なδｃｋ＊に対して上式を作成し，連立方程式を代数的に解く事で，係数ｃｋを定めることができる．
以上のことから，(795)式を変形した式
【数３５０】
0005886309.tif 000353
【数３５１】
0005886309.tif 000354
となる．これが，主問題の変分直接法である．
【０２６２】
また，自己随伴問題の場合には(107)式を通じて(主,双対)固有関数φｉ、φｉ＊ は一致するから，(120),(121)式も同等になり，(122)式は，
【数３５２】
0005886309.tif 000355
となる。
【０２６３】
11.1.2 主問題の最小２乗法
主連立微分方程式(105)
【数３５３】
0005886309.tif 000356
を得る．成分ごとに同じ重みｗを用いた(主,双対)固有関数では，
【数３５４】
0005886309.tif 000357
とおいて，その変分がゼロになる事と等価である．即ち，最小２乗法が変分原理となる事を示している．
【０２６４】
11.1.3 双対問題の変分直接法
同次化された微分方程式(66)式
【数３５５】
0005886309.tif 000358
となる．これにより，係数ｃｋ＊が定まる．(104)式の正規化によって，
【数３５６】
0005886309.tif 000359
となる．これは，(115)式を複数組み合わせたものに他ならない．様々なδｕｉに対して，即ち様々なδｃｋに対して上式を作成し，連立方程式を代数的に解く事で，係数ｃｋ＊を定めることができる．
【０２６５】
以上のことから，(802)式を変形した式
【数３５７】
0005886309.tif 000360
となる．これが，双対問題の変分直接法である．
【０２６６】
また，自己随伴問題の場合には(107)式を通じて(主,双対)固有関数φｉ，φｉ＊は一致するから，(120),(121)式も同等になり，(808)式は，
【数３５８】
0005886309.tif 000361
となる．
【０２６７】
11.1.4 双対問題の最小２乗法
双対連立微分方程式(106)
【数３５９】
0005886309.tif 000362
と定義できるから，上式と(120)式より，主変分δｕｉは，
【数３６０】
0005886309.tif 000363
とおいて，その変分がゼロになる事と等価である．即ち，最小２乗法が変分原理となる事を示している．
【０２６８】
11.2 章6の「弾性学のエネルギ原理について」における式変形の詳細
11.2.1 部分積分公式
２次元領域に直交座標ｘ，ｙをとり，物体の境界表面をＣ，内部領域をＳとする．境界表面の外向き単位法線ベクトルの成分をｎｘ，ｎｙとする．任意の関数ｆ，ｆ＊をｘ，ｙの関数として部分積分すると，
【数３６１】
0005886309.tif 000364
となる．
【０２６９】
11.2.2 自己随伴問題の変分直接法
自己随伴問題の変分直接法は，(123)式で表され，
【数３６２】
0005886309.tif 000365
を得る過程を補足説明する．
【０２７０】
弾性学の微分方程式は，(1),(2)式で表され，
【数３６３】
0005886309.tif 000366
となる．これらの式を用いて，(123)式の左辺は，
【数３６４】
0005886309.tif 000367
である．これら応力成分を用いて，(819)式を表現すれば，
【数３６５】
0005886309.tif 000368
となる．部分積分公式(817)より，
【数３６６】
0005886309.tif 000369
【数３６７】
0005886309.tif 000370
【数３６８】
0005886309.tif 000371
となる．(123)式の変分直接法は，これがゼロとなることを意味しているから，上式をゼロとおいて，
【数３６９】
0005886309.tif 000372
を得る．(132)，(829)式は共に変分直接法に他ならないが，従来は，仮想仕事の原理と呼ばれていた形式である．
【０２７１】
11.2.3 ひずみエネルギの変分
ひずみエネルギＵは(130)式で表され，
【数３７０】
0005886309.tif 000373
となる．上式に含まれる応力の変分を計算するために，(7),(8),(9)式の応力ひずみ関係，
【数３７１】
0005886309.tif 000374
となる．整理して，
【数３７２】
0005886309.tif 000375
を得る．
【０２７２】
11.2.4 エネルギの保存則
エネルギ保存則を表す(134)式のクラペイロンの定理は，
【数３７３】
0005886309.tif 000376
となる．これは，7章(4)で述べたように，(829)式から変分記号 を除去したものに一致する．
【０２７３】
11.2.5 h法要素の概略
有限要素法の一般的教科書では，(829)式を仮想仕事の原理と認識して要素の剛性行列が構成されるように記されているが，7章(4)で述べたように，実際のところは，エネルギ保存則を表す(838)式が使われている．次章にて，詳しく述べる．
【０２７４】
11.3 章9の「従来有限要素の利用」における式変形の詳細
11.3.1 形状関数
8.1節の図８では，16節点四角形要素の節点配置を示した．h法にこれを用いることもできるが，より代表的な要素である4節点四角形要素の節点配置を図４１に示す．その形状関数Ｎｉ（ｉ＝１〜４）は，
【数３７４】
0005886309.tif 000377
の不等号の範囲で境界内部を表し，等号にて境界を表す．
【０２７５】
11.3.2 要素内座標
形状関数Ｎｉ（ｉ＝１〜ｎ〜）を用いて要素内部の座標ｘｊを，
【数３７５】
0005886309.tif 000378
と表す．
【０２７６】
11.3.3 要素内変位
8.3節の(163)式では，変位ｕｊを行列で，
【数３７６】
0005886309.tif 000379
と表した．ここで，ｕＡｊは境界関数，ｕＯｊは補正関数である．境界関数ｕＡｊは要素境界のみならず，要素内の変位をも表現するが，微分方程式を満足する保証はないので，補正関数ｕＯｊを付け加えていた．しかし，従来要素即ちh法の要素では，要素内変位を境界関数ｕＡｊのみで表すところに特徴がある．即ち，補正関数ｕＯｊを付け加えずに，
【数３７８】
0005886309.tif 000380
とかく． Ｕｉｊは節点変位である．ここでは，アイソパラメトリック要素として，内挿関数χＡｉを形状関数Ｎｉと一致させる．変位の詳細は， 
【数３７９】
0005886309.tif 000381
と比較するとわかりやすい．
【０２７７】
11.3.4 ひずみと応力
ひずみ成分は，(4)〜(6)式から
【数３８０】
0005886309.tif 000382
【０２７８】
変位の微分係数は，
【数３８１】
0005886309.tif 000383
【数３８２】
0005886309.tif 000384
となる．
【０２７９】
11.3.5 ひずみエネルギ
ひずみエネルギＵは(130)式で表され，
【数３８３】
0005886309.tif 000385
である．これは，エネルギ保存則(837)式の左辺に使われており，２倍して(838)式の左辺を表す．
【０２８０】
要素内部のひずみエネルギｅｎｇは，
【数３８４】
0005886309.tif 000386
にて得られる．上式では，エネルギのＵと節点変位のＵが同じ記号となってしまっているのでまぎらわしいが，左辺のＵがひずみエネルギを表し，右辺に２つ現れる｛Ｕ｝が節点変位を表している．上式の積分項を
【数３８５】
0005886309.tif 000387
にて計算できることを示している．
【０２８１】
11.3.6 等価節点力
外力のなす仕事ｗｒｋは，
【数３８６】
0005886309.tif 000388
であり，エネルギ保存則(837)式の右辺に使われており，２倍して(838)式の右辺を表す．表面力の項ｐｘ，ｐｙを境界上で積分して節点に振り分けたものをＦｐ，物体力の項ｂｘ，ｂｙを要素内で積分して節点に振り分けたものをＦｂ，として，単位厚さあたりの等価節点力 を，
【数３８７】
0005886309.tif 000389
となる．
【０２８２】
11.3.7 h法の要素剛性行列
エネルギ保存則(837)式に従い，(854)式と(859)式を等置して，
【数３８８】
0005886309.tif 000390
と認識することも有用である．単位厚さあたりの要素剛性行列［Ｋｅｌｍ］を
【数３８９】
0005886309.tif 000391
となり，節点変位Ｕと等価節点力Ｆとのエネルギ的な等価性を表している． 
【０２８３】
解析対象となる物体を膨大な数の要素に分割した後，個々の要素に対して(865)式を作成し，共有節点に注意しながら全体系の方程式を構成すれば，
【数３９０】
0005886309.tif 000392
となる．ここで，Ｎは全体系の自由度の総数である．総自由度Ｎのことをｎと表したものが(434)式である．これを力の釣り合いと認識して解く方法がh法による線形弾性有限要素法，即ち従来法である．
【０２８４】
(865)式を得る手順を熟察すれば，変分演算はどこにも用いられておらず，仮想変位も現れないことがわかる．多くの教科書では(829)式を計算して(865)式が得られるかの如く説明されるが，実際のところはそうではなく，エネルギ保存則(837)，(838)式が使われているのである．故に，(866)，(434)式のことを，力の釣り合いと理解するよりは，エネルギ的な等価性を表していると理解する方が理にかなっている．
【０２８５】
従って，9.2節に示したように，自己随伴な境界条件に縛られる必要はなく，非自己随伴な境界条件に対して(866)，(434)式を解いても，良いのである．
【０２８６】
11.3.8 有限要素の特徴
新しい有限要素では，単位厚さあたりの等価節点力Ｆは，(214)式で，
【数３９１】
0005886309.tif 000393
である．それぞれ，要素境界上で表面力を積分することで得られたものである．
これに対して，従来の有限要素法即ちh法の要素では，
単位厚さあたりの等価節点力Ｆは，(861)式で，
【数３９２】
0005886309.tif 000394
である．これは，要素内部のひずみエネルギと等価節点力による仕事とを等置して得られたものである．
【０２８７】
新しい有限要素での剛性行列は［ＫＵ］，［ＫＯ］の２つから成るのに対し，h法要素での剛性行列は［Ｋｅｎｇ］の１つから成る．その詳細，即ち(212),(213)式および(853)式の計算法からみて，新旧２つの剛性行列は，全く性質が異なるものであり，補正関数による効果即ち［ＫＯ］を無視すれば両者が一致するといったものではないことがわかる．
【０２８８】
１１．３．９  長方形要素の剛性行列
図４１の節点配置で，節点1,2,3,4の座標をそれぞれ(-a,-b),(a,-b),(a,b),(-a,b)として，アスペクト比κが，
【数３９３】
0005886309.tif 000395
である．その結果，図４１の４節点要素での要素内座標ｘｊは，
【数３９４】
0005886309.tif 000396
【０２８９】
要素内変位ｕｊは（８４５）式で表され，
【数３９５】
0005886309.tif 000397
である．アイソパラメトリック要素として，内挿関数χＡｉを形状関数Ｎｉと一致させる．Ｕｉｊは節点変位で，その並びに応じて各種行列の並びが定まり，（１９２），（１９３）式より，
【数３９６】
0005886309.tif 000398
である．よって，
【数３９７】
0005886309.tif 000399
となる．
【０２９０】
以上により，(870)式が計算できて，
【数３９８】
0005886309.tif 000400
となる．ここで，
【数３３９】
0005886309.tif 000401
とおいて，
【数４００】
0005886309.tif 000402
である．また，
【数４０１】
0005886309.tif 000403
である．単位厚さあたりの要素剛性行列［Ｋｅｌｍ］は，(864)式に(876)式を代入して，平面応力状態，平面ひずみ状態，共に，
【数４０２】
0005886309.tif 000404
と定義するのが一般的である．上式を利用する場合には，平面応力状態と平面ひずみ状態とで，行列要素を書き換える必要があることから，少し面倒である．しかし，教科書で良く見る式を示しておいて，それと（８９３）式との対応を知る事も必要なので，以下に両者の行列要素を記しておく．結果として，両者を区別する必要のない（８９３）式の方が扱い易いことがわかるだろう．
【０２９１】
平面応力状態のとき，ヤング率［Ｙｏｕｎｇ’ｓ  ｍｏｄｕｌｕｓ］をＥとして，（８９４）式の係数ｃ＊は，
【数４０３】
0005886309.tif 000405
とおいて，
【数４０４】
0005886309.tif 000406
である．また，
【数４０５】
0005886309.tif 000407
を代入した要素剛性行列［Ｋｅｌｍ］は平面応力状態の(894)式に一致する．
【０２９２】
同様に，平面ひずみ状態のとき，ヤング率をＥとして， (894)式の係数ｃ＊は，
【数４０６】
0005886309.tif 000408
とおいて、
【数４０７】
0005886309.tif 000409
である．また，
【数４０８】
0005886309.tif 000410
を代入した要素剛性行列［Ｋｅｌｍ］は平面ひずみ状態の(894)式に一致する．
【０２９３】
11.3.10 解の複数存在する劣決定系に関する補足
9.4節では，同次解の個数 は, 
【数４０９】
0005886309.tif 000411
である．この場合には，(453)式を(933)式に読み替えれば良い．
【０２９４】
11.3.11 最小自乗法に関する補足
9.5節で示した変分原理の計算方法を補足説明する．まずは，(251)式と同様に，節点変位Ｕを既知部Ｕｂと未知部Ｕｖに分けて，
【数４１０】
0005886309.tif 000412
と定義する．これは，8.11節で述べた内容と同一であるが，ここではｎを構造全体をメッシュに分割してh法要素で表したきの総自由度数と捉えているところが異なる．
同次解に対するモード係数を｛ａＯ｝とおいて，解｛ｓｖ｝は(455)式で，
【数４１１】
0005886309.tif 000413
および，
【数４１２】
0005886309.tif 000414
となる．未知部ＵｖとＦｖはいずれも，モード係数｛ａＯ｝によって表され，問題は完全に解かれたことになる．即ち，任意の｛ａＯ｝に対して解となる．
【０２９５】
しかし，この解は11.3.7節で述べたように，エネルギ的な等価性を表しているだけで，要素内部でも構造全体でも微分方程式を満足する保証は無い．そこで，(122)式式の変分原理および最小自乗法を用いることで，構造全体系としては近似的に微分方程式を満足する解が得られるよう，変分原理により｛ａＯ｝を求めた後，(938)式で未知変位，(939)式で未知外力を決定する．変分原理により定まった｛ａＯ｝の近傍では，近似的に微分方程式を満足する解が表現できていると考えることができるから，設計者は，スライダーにより を操作して，変形状態や応力分布さらには誤差分布を確認しながら，設計作業を進めることができる．
【０２９６】
節点変位Ｕは，(934)，(938)式より，
【数４１３】
0005886309.tif 000415
と定義すれば，
【数４１４】
0005886309.tif 000416
および，
【数４１５】
0005886309.tif 000417
である．ここで， ｎはひとつの要素の自由度数である．同じ記号ｎが使われているとややこしいので，次のように記号を置き換える．構造全体をメッシュに分割してh法要素で表したきの総自由度数をｎＴとすると，(943)式は，
【数４１６】
0005886309.tif 000418
となる．上式は，要素内の変位分布を表しており，モード係数｛ａＯ｝の関数となっていることがわかる．
【０２９７】
ある要素の連立偏微分方程式(23)は，
【数４１７】
0005886309.tif 000419
となる．しかし，上式の等号が満たされる保証はなく，適切な｛ａＯ｝を与えることで，近似的に等号が成立することを期待することしかできない．そこで，ｋ番目の要素に対する誤差関数Ｅｋを，
【数４１８】
0005886309.tif 000420
とおいて，その変分がゼロになるようにモード係数｛ａＯ｝を決めれば，変分原理を適用したことになる．ただし，この段階では，ひとつの要素について適用したことにしかならない．構造全体を表す要素の総数をｎＥ，構造全体での汎関数をΠＴとすると，
【数４１９】
0005886309.tif 000421
となる．そして， ΠＴの変分がゼロになるようにモード係数｛ａＯ｝を決めれば，構造全体に対して変分原理を適用したことになり，変分直接法を表す(127)式，
【数４２０】
0005886309.tif 000422
である．よって，変分δΠＴは，
【数４２１】
0005886309.tif 000423
となる．任意の変分｛δａＯ｝に対して(957)式が成立するためには，
【数４２２】
0005886309.tif 000424
が成立すれば良い．上式は，モード係数｛ａＯ｝について解ける．これにより，構造全体系として近似的に微分方程式を満足する解が得られたと考えることができ，求まった｛ａＯ｝を(938)式に戻して未知変位，(939)式に戻して未知外力が定まる．この値を起点として，設計者は，スライダーにより｛ａＯ｝を操作して，変形状態や応力分布さらには誤差分布を確認しながら，設計作業を進めることができる．
【０２９８】
11.3.12 構造的特徴の共通点に関する補足
連立偏微分方程式(23)は，
【数４２３】
0005886309.tif 000425
を用いた．２次元弾性体の静的釣合方程式の場合にも当てはまるが，より一般の２次元問題に対して，(105)，(106)式をまとめて記すと，
【数４２４】
0005886309.tif 000426
となる．上式で，左辺の行列部分は自己随伴作用素となる．即ち，上式には，非自己随伴な問題を自己随伴化させ，完全系の固有関数を得るための工夫が織り込まれている．２次元問題ゆえに方程式(23)も２つ存在するが，未知関数（変数とも言う）はφ１，φ２，φ１＊，φ２＊ であって，方程式数の２倍の４つが定義されている．また，8.18節のように，固有値 がゼロとなる関数φ１，φ２，φ１＊，φ２＊ も用いて解析がなされる．一意の解にも複数の解にも対応できる解法となっており，これが構造的特徴である．
【０２９９】
一方，従来要素を用いた定式化，(442)式，
【数４２５】
0005886309.tif 000427
のように解が求まる．一意の解にも複数の解にも対応できる解法となっており，これが構造的特徴である．
これらの事項は，両解法に一致した共通の特徴である．
【０３００】
11.4 円環の静たわみ
本節は，10章に含める方が良い．
11.4.1 微分方程式
２次元弾性体の静的釣合方程式は，直交座標系で，
【数４２６】
0005886309.tif 000428
となる．ここで，ｕｘ，ｕｙはｘ，ｙ方向の変位で，ｂｘ，ｂｙはｘ，ｙ方向の単位体積あたりの物体力，Ｇは剛性率である．ポアソン比をνとして，定数μは，
【数４２７】
0005886309.tif 000429
と定義し，定数と認識する．
【０３０１】
11.4.2 座標変換
直交座標系と極座標系との関係は，
【数４２８】
0005886309.tif 000430
である。
【０３０２】
11.4.3 変位変換
変位の直交座標成分ｕｘ，ｕｙと極座標成分ｕｒ，ｕθとの関係は，
【数４２９】
0005886309.tif 000431
となる．
【０３０３】
11.4.4 表面力変換
表面力の変換は変位と同様である．表面力の直交座標成分ｐｘ，ｐｙと極座標成分ｐｒ，ｐθとの関係は，
【数４３０】
0005886309.tif 000432
となる．
【０３０４】
11.4.5 応力変換
応力の直交座標成分σｘ，σｙ，τｘｙと極座標成分σｒ，σθ，τｒθとの関係は，
【数４３１】
0005886309.tif 000433
【数４３２】
0005886309.tif 000434
となる．
【０３０５】
11.4.6 微分作用素の変換
(967)式を微分して，
【数４３３】
0005886309.tif 000435
となる．もう一度微分して，
【数４３４】
0005886309.tif 000436
となる．（９８９）式と（９９０）式を加えて，
【数４３５】
0005886309.tif 000437
となる．これは，ラプラス作用素［Ｌａｐｌａｃｉａｎ］▽２の変数変換を表している．
【０３０６】
１１．４．７  重調和方程式
微分方程式（１），（２）の連立をはずして，重調和方程式
【数４３６】
0005886309.tif 000438
となる．作用素を展開すると，
【数４３７】
0005886309.tif 000439
である．
極座標系の微分方程式(996),(997)の一般解をψ（ｒ，θ）とおいて，
【数４３８】
0005886309.tif 000440
とおく．
【０３０７】
11.4.8 変数分離解
(1000)式を(999)式に代入して，
【数４３９】
0005886309.tif 000441
となる．上記の一般解は，
【数４４０】
0005886309.tif 000442
が，変数分離解となる．
なお，上式ではｍ＝０の場合に不都合が生じるので，
【数４４１】
0005886309.tif 000443
が，変数分離解となる．
さらに，(1006)式ではｍ＝１の場合にも不都合が生じるので，
【数４４２】
0005886309.tif 000444
を得るので，これらを(1001)式に代入して，整理すると，
【数４４３】
0005886309.tif 000445
が，変数分離解となる．
以上のことから，(1006)，(1011)，(1016)式を微分方程式(1001)の解の形式とすれば良い． 
【０３０８】
11.4.9 境界条件
２次元円環の外径をＲ ，内径をγＲ とする．内径比率γの範囲は，
【数４４４】
0005886309.tif 000446
である．一様重力下の円環で，内辺の境界条件を，表面力がゼロ，変位もゼロとするには，外辺をどのように支持すれば良いか求める．従来は求解不能とされた問題である．
内辺の変位をゼロとする境界条件は，
【数４４５】
0005886309.tif 000447
となる．
【０３０９】
11.4.10 解析解
微分方程式(1),(2)と境界条件式(1018),(1019)を満たす解では，(1016)式の形式は不要となるので，微分方程式(996),(997)の一般解ｕｘ，ｕｙ を，それぞれ(1006)，(1011)式で表す．
計算の結果，関数を，
【数４４６】
0005886309.tif 000448
にある．ここで， ｂｘ，ｂｙはｘ，ｙ方向の単位体積あたりの物体力，Ｇは剛性率である． ｆｘ，ｆｙは長さの逆数の次元を持つから，代表長さを外径Ｒとして，無次元の荷重係数ｃｘ，ｃｙを，
【数４４７】
0005886309.tif 000449
と定義すると，問題を扱いやすい．
【０３１０】
平面応力状態で，材料定数を，
【数４４８】
0005886309.tif 000450
として，一様重力荷重ｆｙを作用させた場合の，変形と応力分布の様子を図４２に示す．ここで，荷重係数ｃｘ，ｃｙを，
【数４４９】
0005886309.tif 000451
とおいて，変位を外径Ｒで無次元化している．
【０３１１】
11.4.11 部分積分公式
11.2.1節で示したように，任意の関数ｆ，ｆ＊をｘ，ｙの関数として部分積分すると，
【数４５０】
0005886309.tif 000452
が得られる．また，
【数４５１】
0005886309.tif 000453
が得られる．
【０３１２】
11.4.12 随伴微分作用素と随伴境界条件
微分方程式(1),(2)の右辺を(964)式で表して，
【数４５２】
0005886309.tif 000454
となる．ここで，原初微分作用素Ｌｉｊは，(15)式で表され，
【数４５３】
0005886309.tif 000455
となる．
【０３１３】
双対変位ｕｉ＊に関する準備として，(4)，(5)，(6)式に相当する変位ひずみ関係は，平面応力，平面ひずみ状態共に，
【数４５４】
0005886309.tif 000456
となる．(10)，(11)，(12)式に相当する応力成分は，
【数４５５】
0005886309.tif 000457
となる．
【０３１４】
では，(58)式の左辺を部分積分しよう．
・｜ｉ＝１，ｊ＝１｜ のとき，(1029)，(1030)式を利用して，
【数４５６】
0005886309.tif 000458
となる．上式右辺の境界項をＲ１１，微分作用素をＬ１１＊と書き，
【数４５７】
0005886309.tif 000459
とする．Ｌ１１＊は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・｜ｉ＝１，ｊ＝２｜ のとき，(1031)式を利用して，
【数４５８】
0005886309.tif 000460
とする．Ｌ１２＊は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・ ｜ｉ＝２，ｊ＝１｜のとき，(1032)式を利用して，
【数４５９】
0005886309.tif 000461
とする．Ｌ２１＊は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・ ｜ｉ＝２，ｊ＝２｜のとき，(1029)式，(1030)式を利用して，
【数４６０】
0005886309.tif 000462
となる．上式右辺の境界項をＲ２２ ，微分作用素をＬ２２＊と書き，
【数４６１】
0005886309.tif 000463
となる場合を自己随伴な微分作用素と呼ぶ．
【０３１５】
境界項を加え合わせて， Ｒと表し，
【数４６２】
0005886309.tif 000464
となる．(10)，(11)，(12)式，及び，(1043)，(1044)，(1045)式を利用して，
【数４６３】
0005886309.tif 000465
となる．
【０３１６】
なお，(1059)式の境界項Ｒを極座標成分で表すために，(971)，(972)式を利用して，
【数４６４】
0005886309.tif 000466
となる．上式が，極座標成分で書いた境界項である．
境界項Ｒをゼロとする条件から，随伴境界条件が定まる．
以下にその例を示すが，円環の外辺の半径をｒ＝Ｒ ，内辺の半径をｒ＝γＲとしており，境界項Ｒと同じ記号が現れるのでまぎらわしいが，両者の意味合いが大きく異なるので判別は可能である．
【０３１７】
[非自己随伴境界条件の例１]
円環にて，内辺（ｒ＝γＲ ）で表面力がゼロかつ変位もゼロとする境界条件は，(1018),(1019)式であり，
【数４６５】
0005886309.tif 000467
となる．これは，外辺（ｒ＝Ｒ）で双対表面力ｐｘ＊，ｐｙ＊がゼロかつ双対変位ｕｘ＊，ｕｙ＊もゼロとする条件であり，上式が随伴境界条件となる．(1069)式と(1070)式では条件が異なるので，非自己随伴境界条件である．
【０３１８】
なお，条件式(1018),(1019)は，(1069)式に一致する．即ち，11.4.9節で与えた条件は，非自己随伴境界条件である．
【０３１９】
[自己随伴境界条件の例１]
円環にて，内辺（ｒ＝γＲ）で変位がゼロ，外辺（ｒ＝Ｒ ）でも変位がゼロとする境界条件は，
【数４６６】
0005886309.tif 000468
を得る．(1071)式と(1072)式では条件が一致するので，自己随伴境界条件である．
【０３２０】
11.4.13 境界条件の同次化と境界項
非同次境界条件を満たす項に添字Ｂを付けてｕＢｊとおき，同次境界条件を満たす項に添字Ｈを付けてｕＨｊとおく．主変位ｕｊをその和で，
【数４６７】
0005886309.tif 000469
を得る．これと，同次随伴境界条件を満たす関数ｕＨｉ＊との内積は，
【数４６８】
0005886309.tif 000470
となる．
【０３２１】
では，(61)式の左辺を部分積分しよう．
・｜ｉ＝１，ｊ＝１｜のとき，(1029)，(1030)式を利用して，
【数４６９】
0005886309.tif 000471
とする．Ｌ１１＊ は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・ ｜ｉ＝１，ｊ＝２｜のとき，(1031)式を利用して，
【数４７０】
0005886309.tif 000472
とする． Ｌ１２＊ は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・ ｜ｉ＝２，ｊ＝１｜のとき，(1032)式を利用して，
【数４７１】
0005886309.tif 000473
とする． Ｌ２１＊は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・ ｜ｉ＝２，ｊ＝２｜のとき，(1029)，(1030)式を利用して，
【数４７２】
0005886309.tif 000474
とする． Ｌ２２＊は(16)式に示した随伴微分作用素である．
この例のように，
【数４７３】
0005886309.tif 000475
となる．上式を変形して，境界積分の関係式(1034)を利用すると，
【数４７４】
0005886309.tif 000476
となる．(27)，(30)，(33)式，及び，(45)，(48)，(51)式を利用して，
【数４７５】
0005886309.tif 000477
である．極座標成分で表すために，(1068)式を得たのと同様の変形をして，
【数４７６】
0005886309.tif 000478
となる．
【０３２２】
11.4.14 連立固有値問題の連立解除
代表長さを外径Ｒとして，重み定数を
【数４７７】
0005886309.tif 000479
となる．
主連立固有値問題は，(98)式
【数４７８】
0005886309.tif 000480
となる．上式の連立をはずして整理すると，φｘ，φｙは共に微分方程式，
【数４７９】
0005886309.tif 000481
【数４８０】
0005886309.tif 000482
を満たす関数φ＊となる．
【０３２３】
11.4.15 固有関数のセット
(1094)式と(1098)式は同じ微分方程式であるから，結局，φｘ，φｙとφｘ＊，φｙ＊は，同じ関数セットから構成されることがわかる．よって，(1094)式を解く事に照準を合わせて，
【数４８１】
0005886309.tif 000483
となる．
さて，θの関数には２πの周期性を期待してｍを整数とおき，変数分離解を求めることにして，微分方程式
【数４８２】
0005886309.tif 000484
である．ここで，Ｉｍ’  Ｋｍは第１，２種変形ベッセル関数［ｍｏｄｉｆｉｅｄ  Ｂｅｓｓｅｌ  ｆｕｎｃｔｉｏｎ  ｏｆ  ｔｈｅ  ｆｉｒｓｔ（ｓｅｃｏｎｄ）ｋｉｎｄ］である．
同様にして，微分方程式
【数４８３】
0005886309.tif 000485
である．
【０３２４】
11.4.16 主連立固有値問題を満たす解の組み合わせ
主連立固有値問題の(1092),(1093)式を変形して，
【数４８４】
0005886309.tif 000486
となる．解φｘ，φｙを，(1105)式あるいは(1107)式を満たす関数系から選んだ場合には，φｘ，φｙは共に，
【数４８５】
0005886309.tif 000487
を満たさねばならない．これは，括弧内の項が定数になることを要求している．しかし， φｘ，φｙの解形式が(1106)，(1108)であることから，ゼロ以外の定数になることはないので， φｘ，φｙの組み合わせが満たすべき方程式として，
【数４８６】
0005886309.tif 000488
となる．解φｘ，φｙを，(1109)式あるいは(1111)式を満たす関数系から選んだ場合には， φｘ，φｙは共に，
【数４８７】
0005886309.tif 000489
を満たさねばならない．これは，括弧内の項が定数になることを要求している．しかし， φｘ，φｙの解形式が(1110)， (1112)であることから，ゼロ以外の定数になることはないので， φｘ，φｙの組み合わせが満たすべき方程式として，
【数４８８】
0005886309.tif 000490
が得られる．
【０３２５】
11.4.17 双対連立固有値問題を満たす解の組み合わせ
双対連立固有値問題の(1096),(1097)式を変形して，
【数４８９】
0005886309.tif 000491
となる．(1099)式のω１を用いて，
【数４９０】
0005886309.tif 000492
を満たさねばならない．これは、括弧内の項が定数になることを要求している．しかし、φx*,φy*の解形式が(1106)，(1108)であることから，ゼロ以外の定数になることはないので，φx,φy*の組み合わせが満たすべき方程式として，
【数４９１】
0005886309.tif 000493
が得られる．
一方，双対連立固有値問題の(1096),(1097)式は，
【数４９２】
0005886309.tif 000494
となる．解 φｘ＊，φｙ＊を，(1109)式あるいは(1111)式を満たす関数系から選んだ場合には， φｘ＊，φｙ＊は共に，
【数４９３】
0005886309.tif 000495
を満たさねばならない．これは，括弧内の項が定数になることを要求している．しかし， φｘ＊，φｙ＊の解形式が(1110)， (1112)であることから，ゼロ以外の定数になることはないので， φｘ＊，φｙ＊の組み合わせが満たすべき方程式として，
【数４９４】
0005886309.tif 000496
が得られる．
【０３２６】
11.4.18 主連立微分方程式を満たす解の組み合わせ
主連立微分方程式の(1087),(1088)式を変形して，
【数４９５】
0005886309.tif 000497
となる．
解 φｘ＊，φｙ＊を，(1105)式
【数４９６】
0005886309.tif 000498
を得る．これを主連立微分方程式(1087),(1088)に代入して，
【数４９７】
0005886309.tif 000499
となる．これは，(1106)式の関数系から成り，(1120)式を満足するφｘ，φｙの組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
【数４９８】
0005886309.tif 000500
【数４９９】
0005886309.tif 000501
となる．これは，(1108)式の関数系から成り，(1120)式を満足するφｘ，φｙの組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
一方，主連立微分方程式の(1087),(1088)式は，
【数５００】
0005886309.tif 000502
となる．
【数５０１】
0005886309.tif 000503
【数５０２】
0005886309.tif 000504
となる．これは，(1110)式の関数系から成り，(1128)式を満足するφｘ，φｙの組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
【数５０３】
0005886309.tif 000505
を満たさねばならないから，(1163)，(1164)式は，
【数５０４】
0005886309.tif 000506
となる．これは，(1112)式の関数系から成り，(1128)式を満足するφｘ，φｙの組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
【０３２７】
11.4.19 双対連立微分方程式を満たす解の組み合わせ
双対連立微分方程式の(1089),(1090)式を変形して，
【数５０５】
0005886309.tif 000507
【数５０６】
0005886309.tif 000508
を満たさねばならないから，(1179)，(1180)は，
【数５０７】
0005886309.tif 000509
となる．これは，(1106)式の関数系から成り，(1136)式を満足するφｘ＊，φｙ＊の組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
解φｘ＊，φｙ＊を，(1107)式
【数５０８】
0005886309.tif 000510
を得る．これを双対連立微分方程式(1089),(1090)に代入して，
【数５０９】
0005886309.tif 000511
となる．これは，(1108)式の関数系から成り，(1136)式を満足するφｘ＊，φｙ＊の組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
一方，双対連立微分方程式の(1089),(1090)式は，
【数５１０】
0005886309.tif 000512
なる変形もできる．(1100)式のω２を用いて，
【数５１１】
0005886309.tif 000513
【数５１２】
0005886309.tif 000514
を得る．これを双対連立微分方程式(1089),(1090)に代入して，
【数５１３】
0005886309.tif 000515
となる．これは，(1110)式の関数系から成り，(1144)式を満足するφｘ＊，φｙ＊の組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
解φｘ＊，φｙ＊を，(1111)式
【数５１４】
0005886309.tif 000516
を満たさねばならないから，(1195)，(1196)式は，
【数５１５】
0005886309.tif 000517
となる．これは，(1112)式の関数系から成り，(1144)式を満足するφｘ＊，φｙ＊の組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している。
【０３２８】
１１.４.２０ 解関数の様子
(1106),(1108),(1110),(1112)式の解を用いるにあたって，整数ｍを偶数と奇数の場合に分けるのが便利で、ｎを整数として、
【数５１６】
0005886309.tif 000518
が成立することから，上下対称（ｘ軸に対称），左右対称（ｙ軸に対称）な関数となる．即ち、ｘ方向に偶関数(even)で、ｙ方向に偶関数(even)となる．頭文字をとって，添字eeを付ける。
【０３２９】
(2) 関数φｏｅを、
【数５１７】
0005886309.tif 000519
が成立することから，上下対称（ｘ軸に対称），左右反対称（ｙ軸に反対称）な関数となる．即ち、ｘ方向に奇関数(odd)で，ｙ方向に偶関数(even)となる. 頭文字をとって，添字oeを付ける。
【０３３０】
(3) 関数φｏｏを，
【数５１８】
0005886309.tif 000520
が成立することから，上下反対称（ｘ軸に反対称），左右反対称（ｙ軸に反対称）な関数となる．即ち，ｘ方向に奇関数(odd)で，ｙ方向に奇関数(odd)となる．頭文字をとって，添字ｏｏを付ける。
【０３３１】
(4) 関数φｅｏを，
【数５１９】
0005886309.tif 000521
が成立することから，上下反対称（ｘ軸に反対称），左右対称（ｙ軸に対称）な関数となる．即ち， ｘ方向に偶関数(even)で、ｙ方向に奇関数(odd)となる．頭文字をとって，添字ｅｏを付ける。
【０３３２】
さて今度は，ｘ方向の変位をφｘ，ｙ方向の変位をφｙとする．上記関数の組み合わせによって，以下の代表的な４つの変形モードが生じる。
【０３３３】
［ＳＡ］
ｘ方向の変位が(1210)式の形の関数φｘｅｅで，ｙ方向の変位が(1214)式の形の関数φｙｏｏで表されるとき，変形は図４３の様にｘ軸に対称(symmetry)，ｙ軸に非対称(asymmetry)になる．頭文字をとって，このような変形をモードSAと呼ぶ．この変形を表す関数の組み合わせφSAを、
【数５２０】
0005886309.tif 000522
のように，添字SAを付けて定義する。
【０３３４】
［ＡＳ]
ｘ方向の変位が(1214)式の形の関数φｘｏｏで、ｙ方向の変位が(1210)式の形の関数φｙｅｅで表されるとき，変形は図の４４の様にｘ軸に非対称(asymmetry)，ｙ軸に対称(symmetry)になる．頭文字をとって，このような変形をモードASと呼ぶ．この変形を表す関数の組み合わせφＡＳを，
【数５２１】
0005886309.tif 000523
のように，添字ASを付けて定義する。
【０３３５】
［ＳＳ］
ｘ方向の変位が(1212)式の形の関数φｘｏｅで，ｙ方向の変位が(1216)式の形の関数φｙｅｏで表されるとき，変形は図４５の様にｘ軸に対称(symmetry)，ｙ軸に対称(symmetry)になる．頭文字をとって，このような変形をモードＳＳと呼ぶ．この変形を表す関数の組み合わせφｓｓを，
【数５２２】
0005886309.tif 000524
のように，添字ＳＳを付けて定義する。
【０３３６】
［ＡＡ］
ｘ方向の変位が(1216)式の形の関数φｘｅｏで，ｙ方向の変位が(1212)式の形の関数φｙｏｅで表されるとき，変形は図４６の様にｘ軸に非対称(asymmetry)，ｙ軸に非対称(asymmetry)になる．頭文字をとって，このような変形をモードＡＡと呼ぶ．この変形を表す関数の組み合わせφＡＡを，
【数５２３】
0005886309.tif 000525
のように，添字AAを付けて定義する．
【０３３７】
１１．４．２１ 第１種ベッセル関数を用いた解関数
固有値ω１、ω２を総称してωと表し，(1106)，(1110)式の第1種ベッセル関数Ｊｍを用いた解を，(1209)式に従い，
【数５２４】
0005886309.tif 000526
と表す．これらの関数の主変数はｒ、θであり，ｎ、ωは助変数である．これら変数を全て記すと式が長くなるので，以下では，注目する変数だけを記す．例えば，等式の両辺でｎは変化しても，ｒ、θ、ωは変化しない場合には，引数を（ｎ）と表現する．このとき，次のように導関数
【数５２５】
0005886309.tif 000527
が得られる．さらに，(1226)〜(1229)式からは，関係式
【数５２６】
0005886309.tif 000528
【数５２７】
0005886309.tif 000529
が得られる。
【０３３８】
ここで，(1234)と(1239)式，(1235)と(1238)式，(1237)と(1240)式，(1236)と(1241)式の組合せに注目して，
【数５２８】
0005886309.tif 000530
の4組を定義すると，それぞれ，(1120)式
【数５２９】
0005886309.tif 000531
が成立する．よって，(1242)〜(1245)式でωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは，主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる．即ち、φｘ、φｙは主固有関数である．さらに，(1151),(1152)式から、φｘ、φｙの符号を反転させたものは双対固有関数φｘ*、φｙ*となる．以上により，主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ*、φｙ* が4組得られたことになる。
【０３３９】
また，(74)〜(76)式を用いて，(1242)〜(1245)式のそれぞれに応力が計算できて，
【数５３０】
0005886309.tif 000532
となる．よって、ωを(1099)式のω1に差し替えた組合せは，主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお，(82)〜(84)式及び，(1151),(1152)式から、σｘ、σｙ、τｘｙの符号を反転させれば，双対固有関数に基づく応力σｘ*、σｙ*、τｘｙ*を表す。以上により，応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ*、σｙ*、τｘｙ*が4組得られたことになる。
【０３４０】
改めて定義すると、
【数５３１】
0005886309.tif 000533
の4組である。まだ境界条件は反映されていないが，任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。 
【０３４１】
同様に，(1238)と(1235)式，(1239)と(1234)式，(1241)と(1236)式，(1240)と(1237)式の組合せに注目して，
【数５３２】
0005886309.tif 000534
が成立する。よって，(1254)〜(1257)式でωを(1100)式のω2に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに、(1167),(1168)式から、φｘ、φｙの符号を反転させたものは双対固有関数φｘ*、φｙ*となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ*、φｙ*が4組得られたことになる。
【０３４２】
また、(74)〜(76)式を用いて、(1254)〜(1257)式のそれぞれに応力が計算できて、
【数５３３】
0005886309.tif 000535
となる。よって、ωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)〜(84)式及び，(1167),(1168)式から、σｘ、σｙ、τｘｙの符号を反転させれば，双対固有関数に基づく応力σｘ*、σｙ*、τｘｙ*を表す。以上により、応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ*、σｙ*、τｘｙ*が4組得られたことになる。
【０３４３】
改めて定義すると、
【数５３４】
0005886309.tif 000536
の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
【０３４４】
１１.４.２２ 第２種ベッセル関数を用いた解関数
固有値ω１、ω２を総称してωと表し、(1106)，(1110)式の第２種ベッセル関数Ｙｍを用いた解を、(1209)式に従い、
【数５３５】
0005886309.tif 000537
【数５３６】
0005886309.tif 000538
と表す。これらの関数の主変数はｒ、θであり、ｎ、ωは助変数である。これら変数を全て記すと式が長くなるので、以下では、注目する変数だけを記す。例えば、等式の両辺でｎは変化しても、ｒ、θ、ωは変化しない場合には，引数を（ｎ）と表現する。このとき、次のように導関数
【数５３７】
0005886309.tif 000539
が得られる．さらに，(1270)〜(1273)式からは，関係式
【数５３８】
0005886309.tif 000540
が得られ，(1274)〜(1277)式からは，関係式
【数５３９】
0005886309.tif 000541
が得られる。
【０３４５】
ここで，(1278)と(1283)式，(1279)と(1282)式，(1281)と(1284)式，(1280)と(1285)式の組合せに注目して、
【数５４０】
0005886309.tif 000542
が成立する。よって，(1286)〜(1289)式でωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに、(1151),(1152)式から、φｘ、φｙの符号を反転させたものは双対固有関数φｘ*、φｙ*となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ*、φｙ*が4組得られたことになる。
【０３４６】
また，(74)〜(76)式を用いて、(1286)〜(1289)式のそれぞれに応力が計算できて、
【数５４１】
0005886309.tif 000543
となる。よって、ωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)〜(84)式及び、(1151),(1152)式から、σｘ、σｙ、τｘｙの符号を反転させれば、双対固有関数に基づく応力σｘ*、σｙ*、τｘｙ*を表す。以上により、応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ*、σｙ*、τｘｙ*が4組得られたことになる。
【０３４７】
改めて定義すると、
【数５４２】
0005886309.tif 000544
【数５４３】
0005886309.tif 000545
の4組である。まだ境界条件は反映されていないが，任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
【０３４８】
同様に、(1282)と(1279)式，(1283)と(1278)式， (1285)と(1280)式，(1284)と(1281)式の組合せに注目して、
【数５４４】
0005886309.tif 000546
が成立する。よって、(1298)〜(1301)式でωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに、(1167),(1168)式から、φｘ、φｙの符号を反転させたものは双対固有関数φｘ*、φｙ*となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セット φｘ、φｙ、φｘ*、φｙ*が4組得られたことになる。
【０３４９】
また，(74)〜(76)式を用いて，(1298)〜(1301)式のそれぞれに応力が計算できて、
【数５４５】
0005886309.tif 000547
となる。よって、ωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)〜(84)式及び，(1167),(1168)式から、σｘ、σｙ、τｘｙの符号を反転させれば，双対固有関数に基づく応力σｘ*、σｙ*、τｘｙ*を表す。以上により、応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ*、σｙ*、τｘｙ*が4組得られたことになる。
【０３５０】
改めて定義すると、
【数５４６】
0005886309.tif 000548
の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
【０３５１】
11.4.23 第1種変形ベッセル関数を用いた解関数
【０３５２】
固有値ω１、ω２を総称してωと表し，(1108)，(1112)式の第1種変形ベッセル関数Iｍを用いた解を、(1209)式に従い、
【数５４７】
0005886309.tif 000549
と表す。これらの関数の主変数はｒ、θであり、ｎ、ωは助変数である。これら変数を全て記すと式が長くなるので、以下では、注目する変数だけを記す。例えば、等式の両辺でｎは変化しても、ｒ、θ、ωは変化しない場合には、引数を（ｎ）と表現する。このとき、次のように導関数
【数５４８】
0005886309.tif 000550
【数５４９】
0005886309.tif 000551
が得られる。
【０３５３】
ここで，(1322)と(1327)式，(1323)と(1326)式，(1325)と(1328)式，(1324)と(1329)式の組合せに注目して、
【数５５０】
0005886309.tif 000552
が成立する。よって，（１３３０）〜（１３３３）式でωを（１０９９）式のω１に差し替えた組合せは，主連立固有値問題（１０９２），（１０９３）式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに，（１１５７），（１１５８）式から、φｘ、φｙと同じものが双対固有関数φｘ＊、φｙ＊となる。以上により，主連立微分方程式（１０８７），（１０８８）を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ＊、φｙ＊が４組得られたことになる。
【０３５４】
また，（７４）〜（７６）式を用いて，（１３３０）〜（１３３３）式のそれぞれに応力が計算できて、
【数５５１】
0005886309.tif 000553
となる。よって、ωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)〜(84)式及び、(1157),(1158)式から、σｘ、σｙ、τｘｙと同じものが双対固有関数に基づく応力σｘ*、σｙ*、τｘｙ*を表す。以上により，応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ*、σｙ*、τｘｙ*が4組得られたことになる。
【０３５５】
改めて定義すると、
【数５５２】
0005886309.tif 000554
の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。 
【０３５６】
同様に、(1326)と(1323)式，(1327)と(1322)式，(1329)と(1324)式，(1328)と(1325)式の組合せに注目して、
【数５５３】
0005886309.tif 000555
が成立する。よって，(1342)〜(1345)式でωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに，(1173),(1174)式から、φｘ、φｙと同じものが双対固有関数φｘ*、φｙ*となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ*、φｙ*が4組得られたことになる。
【０３５７】
また，(74)〜(76)式を用いて，(1342)〜(1345)式のそれぞれに応力が計算できて、
【数５５４】
0005886309.tif 000556
となる。よって、ωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)〜(84)式及び、(1173),(1174)式から、σｘ、σｙ、τｘｙと同じものが双対固有関数に基づく応力σｘ*、σｙ*、τｘｙ*を表す。以上により、応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ*、σｙ*、τｘｙ*が4組得られたことになる。
【０３５８】
改めて定義すると、
【数５５５】
0005886309.tif 000557
の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
【０３５９】
11.4.24 第2種変形ベッセル関数を用いた解関数
【０３６０】
固有値ω１、ω２を総称してωと表し、(1108)，(1112)式の第2種変形ベッセル関数Ｋｍを用いた解を、(1209)式に従い、
【数５５６】
0005886309.tif 000558
と表す。これらの関数の主変数はｒ、θであり、ｎ、ωは助変数である。これら変数を全て記すと式が長くなるので、以下では、注目する変数だけを記す。例えば、等式の両辺でｎは変化しても、ｒ、θ、ωは変化しない場合には、引数を（ｎ）と表現する。このとき、次のように導関数
【数５５７】
0005886309.tif 000559
が得られる。さらに、(1358)〜(1361)式からは、関係式
【数５５８】
0005886309.tif 000560
が得られる。
【０３６１】
ここで、(1366)と(1371)式，(1367)と(1370)式，(1369)と(1372)式，(1368)と(1373)式の組合せに注目して、
【数５５９】
0005886309.tif 000561
の４組を定義すると、それぞれ、(1120)式
【数５６０】
0005886309.tif 000562
が成立する。よって、(1374)〜(1377)式でωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに、(1157),(1158)式から、φｘ、φｙと同じものが双対固有関数φｘ*、φｙ*となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ*、φｙ*が4組得られたことになる。
【０３６２】
また，(74)〜(76)式を用いて，(1374)〜(1377)式のそれぞれに応力が計算できて、
【数５６１】
0005886309.tif 000563
となる。よって、ωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)〜(84)式及び、(1157),(1158)式から、σｘ、σｙ、τｘｙと同じものが双対固有関数に基づく応力σｘ*、σｙ*、τｘｙ*を表す．以上により，応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ*、σｙ*、τｘｙ*が4組得られたことになる。
【０３６３】
改めて定義すると、
【数５６２】
0005886309.tif 000564
【数５６３】
0005886309.tif 000565
の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
【０３６４】
同様に，(1370)と(1367)式，(1371)と(1366)式，(1373)と(1368)式，(1372)と(1369)式の組合せに注目して、
【数５６４】
0005886309.tif 000566
が成立する。よって、(1386)〜(1389)式でωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに、(1173),(1174)式から、φｘ、φｙと同じものが双対固有関数φｘ*、φｙ*となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ*、φｙ*が4組得られたことになる。
【０３６５】
また、(74)〜(76)式を用いて、(1386)〜(1389)式のそれぞれに応力が計算できて、
【数５６５】
0005886309.tif 000567
となる。よって、ωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)〜(84)式及び、(1173),(1174)式から、σｘ、σｙ、τｘｙと同じものが双対固有関数に基づく応力σｘ*、σｙ*、τｘｙ*を表す。以上により、応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ*、σｙ*、τｘｙ*が4組得られたことになる。
【０３６６】
改めて定義すると、
【数５６６】
0005886309.tif 000568
の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
【０３６７】
11.4.25 主固有関数と双対固有関数の関数セット
【０３６８】
11.4.21節から11.4.24節に示した関数セットを組み合わせたものに境界条件を課すことで，固有値とそれに属する固有関数が定まる。モードSA,AS,SS,AAの4つの変形それぞれの、主固有関数φｘ、φｙ及びこれに基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙ，そして，双対固有関数 φｘ*、φｙ*及びこれに基づく応力σｘ*、σｙ*、τｘｙ*の具体的な数式を示す。 
【０３６９】
［SA］
モードSAには，(1250)式のＪ１ＳＡ，(1262)式のＪ２ＳＡ，(1294)式のＹ１ＳＡ，(1306)式のＹ２ＳＡ，(1338)式のＩ１ＳＡ，(1350)式のＩ２ＳＡ，(1382)式のＫ１ＳＡ，(1394)式のＫ２ＳＡ，の合計8セットが属する。任意の整数ｎに対しても解関数となるから，総数は８ｎとなる。
【０３７０】
(1)Ｊ１ＳＡについては、
【数５６７】
0005886309.tif 000569
となる．(1398)式を(969),(970)式により変換して、
【数５６８】
0005886309.tif 000570
を得る。
【０３７１】
(2)Ｊ２ＳＡについては、
【数５６９】
0005886309.tif 000571
となる。(1402)式を(969),(970)式により変換して、
【数５７０】
0005886309.tif 000572
を得る。
【０３７２】
(3)Ｙ１ＳＡについては、
【数５７１】
0005886309.tif 000573
となる．(1406)式を(969),(970)式により変換して、
【数５７２】
0005886309.tif 000574
を得る．
(4)Ｙ２ＳＡについては
【数５７３】
0005886309.tif 000575
【数５７４】
0005886309.tif 000576
を得る．(1411)式を(977),(978),(979)式により変換して，
【数５７５】
0005886309.tif 000577
を得る．
(5)  Ｉ１ＳＡについては，
【数５７６】
0005886309.tif 000578
を得る．(1415)式を(977)，(978)，(979)式により変換して，
【数５７７】
0005886309.tif 000579
を得る．
(6)  Ｉ２ＳＡについては，
【数５７８】
0005886309.tif 000580
となる．(1418)式を(969),(970)式により変換して、
【数５７９】
0005886309.tif 000581
を得る．
（７）Ｋ１ＳＡについては，
【数５８０】
0005886309.tif 000582
となる．（１４２２）式を（９６９），（９７０）により変換して，
【数５８１】
0005886309.tif 000583
を得る．
（８）Ｋ２ＳＡについては，
【数５８２】
0005886309.tif 000584
【数５８３】
0005886309.tif 000585
を得る．
【０３７３】
［ＡＳ］
モードASには，(1251)式のＪ１ＡＳ，(1263)式のＪ２ＡＳ ，(1295)式のＹ１ＡＳ ，(1307)式のＹ２ＡＳ ，(1339)式のＩ１ＡＳ，(1351)式のＩ２ＡＳ，(1383)式のＫ１ＡＳ，(1395)式のＫ２ＡＳ ，の合計8セットが属する．任意の整数ｎに対しても解関数となるから，総数は ８ｎとなる．
(1)  Ｊ１ＡＳについては，
【数５８４】
0005886309.tif 000586
【数５８５】
0005886309.tif 000587
を得る．(1431)式を(977),(978),(979)式により変換して，
【数５８６】
0005886309.tif 000588
を得る．
(2) Ｊ２ＡＳについては，
【数５８７】
0005886309.tif 000589
となる．(1434)式を(969),(970)式により変換して，
【数５８８】
0005886309.tif 000590
を得る．
(3)  Ｙ１ＡＳについては，
【数５８９】
0005886309.tif 000591
となる．(1438)式を(969),(970)式により変換して，
【数５９０】
0005886309.tif 000592
を得る．
(4)  Ｙ２ＡＳについては，
【数５９１】
0005886309.tif 000593
となる．(1442)式を(969),(970)式により変換して，
【数５９２】
0005886309.tif 000594
を得る．
(5)  Ｉ１ＡＳについては，
【数５９３】
0005886309.tif 000595
となる．(1446)式を(969),(970)式により変換して，
【数５９４】
0005886309.tif 000596
を得る．
(6)  Ｉ２ＡＳについては，
【数５９５】
0005886309.tif 000597
となる．(1450)式を(969),(970)式により変換して，
【数５９６】
0005886309.tif 000598
を得る．(1451)式を(977),(978),(979)式により変換して，
【数５９７】
0005886309.tif 000599
を得る．
(7)  Ｋ１ＡＳについては，
【数５９８】
0005886309.tif 000600
となる．(1454)式を(969),(970)式により変換して，
【数５９９】
0005886309.tif 000601
を得る．
(8)  Ｋ２ＡＳについては，
【数６００】
0005886309.tif 000602
となる．(1458)式を(969),(970)式により変換して，
【数６０１】
0005886309.tif 000603
を得る．
【０３７４】
[SS]
モードSSには，(1252)式のＪ１ＳＳ，(1264)式のＪ２ＳＳ ，(1296)式のＹ１ＳＳ，(1308)式のＹ２ＳＳ，(1340)式のＩ１ＳＳ，(1352)式のＩ２ＳＳ，(1384)式のＫ１ＳＳ，(1396)式の Ｋ２ＳＳ，の合計8セットが属する．任意の整数ｎに対しても解関数となるから，総数は ８ｎとなる．
(1) Ｊ１ＳＳについては，
【数６０２】
0005886309.tif 000604
となる．(1462)式を(969),(970)式により変換して，
【数６０３】
0005886309.tif 000605
を得る．
(2)  Ｊ２ＳＳについては，
【数６０４】
0005886309.tif 000606
となる．(1466)式を(969),(970)式により変換して，
【数６０５】
0005886309.tif 000607
を得る．
(3)  Ｙ１ＳＳについては，
【数６０６】
0005886309.tif 000608
となる．(1470)式を(969),(970)式により変換して，
【数６０７】
0005886309.tif 000609
を得る．(1471)式を(977),(978),(979)式により変換して，
【数６０８】
0005886309.tif 000610
を得る．
(4)  Ｙ２ＳＳについては，
【数６０９】
0005886309.tif 000611
となる．(1474)式を(969),(970)式により変換して，
【数６１０】
0005886309.tif 000612
を得る．
(5)  Ｉ１ＳＳについては，
【数６１１】
0005886309.tif 000613
となる．(1478)式を(969),(970)式により変換して，
【数６１２】
0005886309.tif 000614
を得る．
(6)  Ｉ２ＳＳについては，
【数６１３】
0005886309.tif 000615
となる．(1482)式を(969),(970)式により変換して，
【数６１４】
0005886309.tif 000616
を得る．
(7) Ｋ１ＳＳについては，
【数６１５】
0005886309.tif 000617
となる．(1486)式を(969),(970)式により変換して，
【数６１６】
0005886309.tif 000618
を得る．
(8) Ｋ２ＳＳについては，
【数６１７】
0005886309.tif 000619
となる．(1490)式を(969),(970)式により変換して，
【数６１８】
0005886309.tif 000620
を得る．
【０３７５】
[AA]
モードAAには，(1253)式のＪ１ＡＡ，(1265)式のＪ２ＡＡ，(1297)式のＹ１ＡＡ，(1309)式のＹ２ＡＡ，(1341)式のＩ１ＡＡ，(1353)式のＩ２ＡＡ，(1385)式のＫ１ＡＡ，(1397)式のＫ２ＡＡ，の合計8セットが属する．任意の整数ｎに対しても解関数となるから，総数は８ｎとなる．
(1) Ｊ１ＡＡについては，
【数６１９】
0005886309.tif 000621
となる．(1494)式を(969),(970)式により変換して，
【数６２０】
0005886309.tif 000622
を得る．
(2) Ｊ２ＡＡについては，
【数６２１】
0005886309.tif 000623
となる．(1498)式を(969),(970)式により変換して，
【数６２２】
0005886309.tif 000624
を得る．
(3) Ｙ１ＡＡについては，
【数６２３】
0005886309.tif 000625
【数６２４】
0005886309.tif 000626
を得る．
(4) Ｙ２ＡＡについては，
【数６２５】
0005886309.tif 000627
となる．(1506)式を(969),(970)式により変換して，
【数６２６】
0005886309.tif 000628
を得る．
(5) Ｉ１ＡＡについては，
【数６２７】
0005886309.tif 000629
となる．(1510)式を(969),(970)式により変換して，
【数６２８】
0005886309.tif 000630
を得る．
(6) Ｉ２ＡＡについては，
【数６２９】
0005886309.tif 000631
となる．(1514)式を(969),(970)式により変換して，
【数６３０】
0005886309.tif 000632
を得る．
(7) Ｋ１ＡＡについては，
【数６３１】
0005886309.tif 000633
となる．(1518)式を(969),(970)式により変換して，
【数６３２】
0005886309.tif 000634
を得る．
(8) Ｋ２ＡＡについては，
【数６３３】
0005886309.tif 000635
となる．(1522)式を(969),(970)式により変換して，
【数６３４】
0005886309.tif 000636
を得る．
【０３７６】
11.4.26 境界条件と随伴境界条件および固有関数セット
11.4.10節の解析解と比較するために，11.4.9節で与えた境界条件で問題を解く．即ち，ｙ方向の一様重力下の円環で，内辺の境界条件を，表面力がゼロ，変位もゼロとするには，外辺をどのように支持すれば良いか求める．従来は求解不能とされた問題である．
固有関数に課される境界条件は，
【数６３５】
0005886309.tif 000637
となる．添字Ｅは4.2節と同じで，固有関数によって生成される応力や表面力を表す．上式は，条件式(1018),(1019)や，(1069)式と同等である．(1085)式を得るのと同様にして，(91)式の境界項ＲＥ は，極座標成分で
【数６３６】
0005886309.tif 000638
となる．これは，（１０７０）式と同等で，外辺（ｒ＝Ｒ）で表面力がゼロかつ変位もゼロとする条件である．（１５２６）式と（１５２８）式では条件が異なるので，非自己随伴境界条件である． 
【０３７７】
ｙ方向の一様重力の解を表わせるのは，モードＡＳの関数セットだけであり，他の３つのモード，ＳＡ，ＳＳ，ＡＡは寄与しない．モードＡＳには，（１２５１）式のＪ１ＡＳ，（１２６３）式のＪ２ＡＳ，（１２９５）式のＹ１ＡＳ，（１３０７）式のＹ２ＡＳ，（１３３９）式のＩ１ＡＳ，（１３５１）式のＩ２ＡＳ，（１３８３）式のＫ１ＡＳ，（１３９５）式のＫ２ＡＳ，の合計８セットが属し，任意の整数ｎに対しても解関数となるから，総数は８ｎとなる．しかし，一様重力の解を表し得るのはモードＡＳの中でもｎ＝０の関数セットだけで，ｎ≠０の関数セットは寄与しない．
【０３７８】
主固有関数と双対固有関数および，これらに基づく応力関数をひとまとめにしてＦとおく．そして，（１２５１）式のＪ１ＡＳに係数ｃＪ１を，（１２６３）式のＪ２ＡＳに係数ｃＪ２を，（１２９５）式のＹ１ＡＳに係数ｃＹ１を，（１３０７）式のＹ２ＡＳに係数ｃＹ２を，（１３３９）式のＩ１ＡＳに係数ｃＩ１を，（１３５１）式のＩ２ＡＳに係数ｃＩ２を，（１３８３）式のＫ１ＡＳに係数ｃＫ１を，（１３９５）式のＫ２ＡＳに係数ｃＫ２を，それぞれ乗じて加え合わせてＦと等置する．即ち，
【数６３７】
0005886309.tif 000639
を作成し，課された境界条件をＦが満足よう係数ｃＦを決定する．境界条件は(1526),(1528)式の如く極座標成分で与えるのが便利で，Ｊ１ＡＳを(1432)と(1433)式で，Ｊ２ＡＳを(1436)と(1437)式で，Ｙ１ＡＳを(1440)と(1441)式で，Ｙ２ＡＳを(1444)と(1445)式で， Ｉ１ＡＳを(1448)と(1449)式で，Ｉ２ＡＳを(1452)と(1453)式で，Ｋ１ＡＳを(1456)と(1457)式で，Ｋ２ＡＳを(1460)と(1461)式で，それぞれ表現する．境界条件は合計8個，係数ｃＦも合計8個であるから，連立方程式
【数６３８】
0005886309.tif 000640
【数６３９】
0005886309.tif 000641
とおき，方程式を整理すれば，行列Ａの成分が次のように簡約できる．ここで，ｎ＝０の関数セットのみならず，ｎ≠０の関数セットも境界条件を満たせることに注意する． ｙ方向の一様重力荷重では ｎ＝０の関数セットが解を表すが，その他の荷重状態ではｎ≠０の関数セットが解を表し得る．従って，Ａの成分はｎを用いて表しておく．Ａの第1,2列は，
【数６４０】
0005886309.tif 000642
とおいて，
【数６４１】
0005886309.tif 000643
である．Ａの第3,4列は，
【数６４２】
0005886309.tif 000644
とおいて，
【数６４３】
0005886309.tif 000645
である．Ａの第5,6列は，
【数６４４】
0005886309.tif 000646
とおいて，
【数６４５】
0005886309.tif 000647
である．Ａの第7,8列は，
【数６４６】
0005886309.tif 000648
とおいて，
【数６４７】
0005886309.tif 000649
である。
【０３７９】
Ａの行列式はχ１、χ２の関数となるが，(1533),(1534)式から，結局は固有値λの関数となる。行列式をゼロとする固有方程式を解けば，固有値λを得る。さらに，(1531)式より固有値λに応じた固有ベクトルｃＦが得られる。固有方程式および固有ベクトルは非常に長大で，残念ながら，ここにその数式を記すことはできない．しかし，解いた結果を数値的に記すことはできる。
【０３８０】
11.4.27 主固有関数と双対固有関数
【０３８１】
11.4.10節の解析解と同様に，平面応力状態で，材料定数を，
【数６４８】
0005886309.tif 000650
とする。
【０３８２】
ｎ＝０とした(1531)式から得られる固有方程式を解いて，低次から4つの固有値λは、
【数６４９】
0005886309.tif 000651
付近にある。それぞれの固有値λに応じた固有ベクトルｃＦを求めて（１５３０）式に代入すればＦが定まる。Ｆには，主固有関数と双対固有関数および，これらに基づく応力関数が含まれている。
【０３８３】
第１モード（λ＝５．３１７×１００）での，変形状態と応力分布の様子を図４７に示す。上段は主固有関数による様子で，内辺にて表面力がゼロかつ変位もゼロとなっている．下段は双対固有関数による様子で，外辺にて表面力がゼロかつ変位もゼロとなっている．上段の変形の様子は，図４２の解析解の変形によく似ているが，応力分布は相当異なる．例えば，解析解ではσｒに応力の分布がみられたのに対し，主固有関数ではσθに同様の応力の分布がみられる。
【０３８４】
第２モード（λ＝１．８８２×１０１）での，変形状態と応力分布の様子を図４８に示す。上段は主固有関数による様子で，内辺にて表面力がゼロかつ変位もゼロとなっている．下段は双対固有関数による様子で，外辺にて表面力がゼロかつ変位もゼロとなっている．主固有関数によるσθに注目すると，第１モードでのσθの様子とよく似た分布であることがわかる．また、σｒの分布は解析解に似ていることもわかる。従って，第１モードと第２モードの差により，解析解によく似た様子が得られることが期待できる。
【０３８５】
第３モード（λ＝５．０８０×１０１）での，変形状態と応力分布の様子を図４９に示す。変形の様子は幾分複雑になっている。
【０３８６】
第４モード（λ＝１．１５７×１０２）での，変形状態と応力分布の様子を図５０に示す。変形の様子はさらに複雑になっている。
【０３８７】
１１.４.２８ 固有関数法
【０３８８】
５．１節の固有関数法により解が求められる．１１．４．１０節の解析解と同様に，荷重係数ｃｘ、ｃｙを、
【数６５０】
0005886309.tif 000652
とおいて，変位を外径Ｒで無次元化する。
【０３８９】
第２モードまで用いた計算結果を図５１に示す。応力σθはキャンセルされ、σｒの分布は解析解に似ていることがわかる。
【０３９０】
第３モードまで用いた計算結果を図５２に示す．応力σｒの分布が解析解に近づいていることがわかる．
【０３９１】
第１０モードまで用いた計算結果を図５３に示す．応力分布が解析解に近づいていることがわかる．
【０３９２】
第３０モードまで用いた計算結果を図５４に示す．第１０モードまで用いた結果とほとんど変わらず，応力分布も変形の様子も，全般に解析解に近いことがわかる．
【０３９３】
１１．５  湧き出しと渦度
本節は，１０章に含める方が良い．
１１．５．１  微分方程式
２次元渦なし流れの問題は，直交座標系で，連続の式
【数６５１】
0005886309.tif 000653
を満たすものと定義すれば，上式を（１９）式に代入して，常に等号が成立する．従って，速度ポテンシャルを用いる事は，それだけで渦なし条件（１９）式を満足する．また，（１５４４）式を（１８）式に代入すれば，ラプラス方程式［Ｌａｐｌａｃｅ’ｓ  ｅｑｕａｔｉｏｎ］
【数６５２】
0005886309.tif 000654
を満たすものと定義すれば，上式を（１８）式に代入して，常に等号が成立する．従って，流れ関数を用いる事は，それだけで連続の式（１８）を満足する．また，（１５４６）式を（１９）式に代入すれば，ラプラス方程式
【数６５３】
0005886309.tif 000655
が得られ，渦なし条件を表す．
湧き出しを注意深く表現した場合，（１８）式および（１５４５）式の右辺はディラックのδ関数［Ｄｉｒａｃ’ｓ  ｄｅｌｔａ  ｆｕｎｃｔｉｏｎ］となる．同様に，渦度を注意深く表現した場合，（１９）式および（１５４７）式の右辺はディラックのδ関数となる．湧き出しや渦度の特性によって，方程式を切り替える必要を無くすためには，（１８）式を
【数６５４】
0005886309.tif 000656
と捉えて，ｆｙを渦度分布と認識すれば良い．また，（１５４８），（１５４９）式の連立微分方程式で扱えば，境界関数を速度ｕｘ，ｕｙで指定できる利点も生じる．
主解となる速度ｕｘ，ｕｙを主速度と呼びｕ１，ｕ２と書く．方程式の右辺をｆ１，ｆ２と書けば，連立偏微分方程式（１５４８），（１５４９）式は，（２３）式の形となり，
【数６５５】
0005886309.tif 000657
と表せる．上式は，流体力学の問題にも固有関数法を適用する基礎となる．
【０３９４】
１１．５．２  調和方程式の極座標解
11.4.8節では重調和方程式の解を得たが，その幾つかは調和方程式（ラプラス方程式）を満足する．微分作用素の極座標形式は(992)式
【数６５６】
0005886309.tif 000658
となる．ここで，νは任意の定数である．
(1552)式から得られる微分方程式
【数６５７】
0005886309.tif 000659
である．同様に，(1552)式から得られる微分方程式
【数６５８】
0005886309.tif 000660
となる．速度ポテンシャルの導関数は速度を表すため，θ方向に周期性の解を得る必要から，νを整数ｎとして，
【数６５９】
0005886309.tif 000661
となる．
特殊な場合として，(1552)式でν＝０とすれば，微分方程式
【数６６０】
0005886309.tif 000662
となる．速度ポテンシャルの導関数は速度を表すため，θ方向に周期性の解を得る必要から， θ・ｌｎｒは解として不適切である．また，ｌ・ｌは速度ゼロしか表し得ない．よって，
【数６６１】
0005886309.tif 000663
の２つが解となる．上式第１の解ｌｎｒは湧き出しを表し，第２の解θは渦度を表す．
【０３９５】
11.5.3 調和方程式の直交座標解
調和方程式（ラプラス方程式）
【数６６２】
0005886309.tif 000664
となる．ここで，νは任意の定数である．
(1566)式から得られる微分方程式
【数６６３】
0005886309.tif 000665
と理解すれば，(1572)式から得られる微分方程式
【数６６４】
0005886309.tif 000666
となる．
特殊な場合として，(1572)式でν＝０とすれば，微分方程式
【数６６５】
0005886309.tif 000667
となる．
【０３９６】
11.5.4 調和固有方程式の直交座標解
調和固有方程式
【数６６６】
0005886309.tif 000668
とおくと，
【数６６７】
0005886309.tif 000669
となる．
【０３９７】
１１．５．５  湧き出しの解
座標原点にある湧き出しの強さをＱ［ｍ２／ｓ］を  として，速度ポテンシャルφは，（１５６４）式より，
【数６６８】
0005886309.tif 000670
となり，確かに，（１８），（１９）式を満足する．しかし，ガウスの発散定理［Ｇａｕｓｓ’ｓ  ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ  ｔｈｅｏｒｅｍ］
0005886309.tif 000671
からみた場合には，少し様子が異なる．即ち，左辺は（１５９６）式によりゼロとなるのに対し，右辺はＱとなる．左辺もＱとするためには，ｄｉｖ（ｖ）＝Ｑ・δ（ｘ，ｙ）であれば良い．従って，微分方程式を，
【数６６９】
0005886309.tif 000672
と認識する方が，座標原点にある湧き出しを表現できていることになる．この形式は，（１５４８），（１５４９）式に含まれる．なお，（１５９８）式で，ｎは境界Ｃでの外向き単位法線ベクトルで，領域を円にとると，
【数６７０】
0005886309.tif 000673
である．
【０３９８】
１１．５．６  渦度の解
座標原点にある渦度の強さ（循環）をΓ［ｍ２／ｓ］として，速度ポテンシャルφは，（１５６４）式より，
【数６７１】
0005886309.tif 000674
となり，確かに，（１８），（１９）式を満足する．しかし，平面内のストークスの定理［Ｓｔｏｋｅｓ’ｓ  ｔｈｅｏｒｅｍ］
【数６７２】
0005886309.tif 000675
【数６７３】
0005886309.tif 000676
と認識する方が，座標原点にある湧き出しを表現できていることになる．この形式は，(1548),(1549)式に含まれる．なお，(1606)式で，ｔは境界Ｃでの単位接線ベクトルで，領域を円にとると，
【数６７４】
0005886309.tif 000677
である．
【０３９９】
11.5.7 矩形領域での湧き出しと渦度の様子
【数６７５】
0005886309.tif 000678
となる．
【０４００】
湧き出しによる代表速度をＱ／（２πＲ）と定義して，(1595)式の速度ｕｘ，ｕｙを無次元化すると，
【数６７６】
0005886309.tif 000679
となる．観測領域を正方形として，無次元速度の様子を図５５に示す．
【０４０１】
渦度による代表速度をΓ／（２πＲ）と定義して，（１６０３）式の速度ｕｘ，ｕｙを無次元化すると，
【数６７７】
0005886309.tif 000680
となる．観測領域を正方形として，無次元速度の様子を図５６に示す．
【０４０２】
１１．５．８  随伴微分作用素と随伴境界条件
【数６７８】
0005886309.tif 000681
【数６７９】
0005886309.tif 000682
【数６８０】
0005886309.tif 000683
【数６８１】
0005886309.tif 000684
以上により，(59)式の境界項 は(1629)式と(1638)式の2通りで理解でき，使い易い方を利用すれば良いことがわかる．双対問題の変関数ｕ１＊，ｕ２＊をどのような物理量に関連づけるかは，(1634)式のように，本解法を利用する者が決定する事項であり，それがどのような物理量と関連づけられていようとも，主問題の解に影響することはない．
【０４０３】
11.5.9 境界条件の同次化と境界項
非同次境界条件を満たす項に添字Ｂを付けてｕＢｊとおき，同次境界条件を満たす項に添字Ｈを付けてｕＨｊとおく．主速度 をその和で，
【数６８２】
0005886309.tif 000685
【数６８３】
0005886309.tif 000686
【数６８４】
0005886309.tif 000687
【数６８５】
0005886309.tif 000688
と置き換えると，(1654)式は(1549)式の渦条件を表しており，(1655)式は(1548)式の連続条件を表している．そこで，双対問題の物理的な解釈として，ここでは，−ｕＨ２＊ を ｘ方向の速度，−ｕＨ１＊をｙ方向の速度と理解する．この視点を持てば，(1647)式を変形して
【数６８６】
0005886309.tif 000689
以上により，(62)式の境界項ＲＨは(1651)式と(1660)式の2通りで理解でき，使い易い方を利用すれば良いことがわかる．双対問題の変関数ｕＨ１＊，ｕＨ２＊をどのような物理量に関連づけるかは，(1656)式のように，本解法を利用する者が決定する事項であり，それがどのような物理量と関連づけられていようとも，主問題の解に影響することはない．
【０４０４】
11.5.10 連立固有値問題の連立解除
代表長さをＲとして，重み定数を
【数６８７】
0005886309.tif 000690
【数６８８】
0005886309.tif 000691
【０４０５】
11.5.11 解関数
(1669)式と(1673)式は同じ微分方程式であるから，結局，φｘ，φｙと、φｘ＊，φｙ＊ は，同じ関数セットから構成されることがわかる．よって，(1669)式を解く事に照準を合わせて，
【数６８９】
0005886309.tif 000692
となる．これら，主・双対連立微分方程式を同時に満たす解は，(1593)式の組み合せから，以下の８つ得られる．
【数６９０】
0005886309.tif 000693
【数６９１】
0005886309.tif 000694
主連立微分方程式(1675),(1676)の固有値ωがゼロとなる解は，同次解である．調和方程式の解
【数６９２】
0005886309.tif 000695
【数６９３】
0005886309.tif 000696
以上の解には，まだ境界条件は反映されていないが，主連立微分方程式(1675),(1676)を満たす． 
【０４０６】
11.5.12 境界条件の同次化
11.5.1節では，流体力学の問題も，連立偏微分方程式(1548),(1549)式は，(23)式の形となり，
【数６９４】
0005886309.tif 000697
【０４０７】
[湧き出し]
座標原点にある湧き出しによる流れ場を固有関数法で再現できるかどうか確認しようとするとき，連立偏微分方程式(23)として，(1599),(1600)式
【数６９５】
0005886309.tif 000698
【数６９６】
0005886309.tif 000699
【数６９７】
0005886309.tif 000700
【０４０８】
11.5.13 固有関数名の規則
次節に示す固有関数は、固有値α，βが
【数６９８】
0005886309.tif 000701
【０４０９】
11.5.14 主固有関数と双対固有関数
【数６９９】
0005886309.tif 000702
【数７００】
0005886309.tif 000703
【数７０１】
0005886309.tif 000704
(1)から(8)の主固有関数と双対固有関数の第１モードの様子を、図５７〜図６４に示す。
【０４１０】
11.5.15 固有関数法
5.1節の固有関数法により解が求められる．得られた解に，11.5.7節と同様の無次元化を施して，流れの様子を示す．
【０４１１】
［湧き出し］
観測領域を正方形として，固有関数のモード番号ｍ×ｎを最大30×30とした計算を行った．外力項ｆｉが(1698)式であることから，(1704)式の固有関数ｆｌ１１ＳＳのみで特解部分ｕＨｊを表現できる．無次元速度の様子を図６５に示す．この結果は，(1599),(1600)式の特解である．
図６５は、解析解による様子（図５５）と良く似ており，原点から流体が湧き出す様子が表現できている．しかし、特解部分のみ表現しているため，解析解との差がどのようなものか調べておく必要がある．(1595)式の解析解から，固有関数解を差し引いた様子を図６６に示す．
図６６より，境界周辺部での差が大きいことがわかる．これを残差流と呼ぶ．残差流を表現するのは，同次解部分のｕＢｊである．特解部は（1704）式の固有関数Ｆ１１１ＳＳのみで表現されており、固有値は、
【数７０２】
0005886309.tif 000705
【数７０３】
0005886309.tif 000706
【数７０４】
0005886309.tif 000707
【数７０５】
0005886309.tif 000708
【数７０６】
0005886309.tif 000709
【数７０７】
0005886309.tif 000710
【数７０８】
0005886309.tif 000711
【数７０９】
0005886309.tif 000712
【数７１０】
0005886309.tif 000713
【数７１１】
0005886309.tif 000714
【数７１２】
0005886309.tif 000715
【数７１３】
0005886309.tif 000716
【数７１４】
0005886309.tif 000717
【数７１５】
0005886309.tif 000718
【数７１６】
0005886309.tif 000719
【数７１７】
0005886309.tif 000720
【数７１８】
0005886309.tif 000721
【数７１９】
0005886309.tif 000722
【数７２０】
0005886309.tif 000723
【数７２１】
0005886309.tif 000724
【数７２２】
0005886309.tif 000725
【数７２３】
0005886309.tif 000726
【数７２４】
0005886309.tif 000727
【数７２５】
0005886309.tif 000728
【数７２６】
0005886309.tif 000729
【数７２７】
0005886309.tif 000730
【数７２８】
0005886309.tif 000731
【数７２９】
0005886309.tif 000732
【数７３０】
0005886309.tif 000733
【数７３１】
0005886309.tif 000734
【数７３２】
0005886309.tif 000735
【数７３３】
0005886309.tif 000736
【数７３４】
0005886309.tif 000737
【数７３５】
0005886309.tif 000738
【数７３６】
0005886309.tif 000739
【数７３７】
0005886309.tif 000740
【数７３８】
0005886309.tif 000741
【数７３９】
0005886309.tif 000742
【数７４０】
0005886309.tif 000743
【数７４１】
0005886309.tif 000744
【数７４２】
0005886309.tif 000745
【数７４３】
0005886309.tif 000746
【数７４４】
0005886309.tif 000747
【数７４５】
0005886309.tif 000748
【数７４６】
0005886309.tif 000749
【数７４７】
0005886309.tif 000750
【数７４８】
0005886309.tif 000751
【数７４９】
0005886309.tif 000752
【数７５０】
0005886309.tif 000753
【数７５１】
0005886309.tif 000754
【数７５２】
0005886309.tif 000755
【図１】
0005886309.tif 000760
【図２】
0005886309.tif 000761
【図３】
0005886309.tif 000762
【図４】
0005886309.tif 000763
【図５】
0005886309.tif 000764
【図６】
0005886309.tif 000765
【図７】
0005886309.tif 000766
【図８】
0005886309.tif 000767
【図１３Ａ】
0005886309.tif 000768
【図１３Ｂ】
0005886309.tif 000769
【図１３Ｃ】
0005886309.tif 000770
【図１４】
0005886309.tif 000771
【図１５】
0005886309.tif 000772
【図１６】
0005886309.tif 000773
【図１７】
0005886309.tif 000774
【図１８】
0005886309.tif 000775
【図１９】
0005886309.tif 000776
【図２０】
0005886309.tif 000777
【図２１】
0005886309.tif 000778
【図２２】
0005886309.tif 000779
【図２３】
0005886309.tif 000780
【図２４】
0005886309.tif 000781
【図２５】
0005886309.tif 000782
【図２６】
0005886309.tif 000783
【図２７】
0005886309.tif 000784
【図２８】
0005886309.tif 000785
【図２９】
0005886309.tif 000786
【図３０】
0005886309.tif 000787
【図３１】
0005886309.tif 000788
【図３２】
0005886309.tif 000789
【図３３】
0005886309.tif 000790
【図３４】
0005886309.tif 000791
【図３５】
0005886309.tif 000792
【図３６】
0005886309.tif 000793
【図３７】
0005886309.tif 000794
【図３８】
0005886309.tif 000795
【図３９】
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【図４０Ａ】
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【図４０Ｂ】
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【図４１】
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【図４３】
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【図４４】
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【図４５】
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【図４６】
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【図５５】
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【図５６】
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【図５７】
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【図５８】
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【図５９】
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【図６０】
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【図６１】
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【図６２】
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【図６３】
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【図６４】
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【図６５】
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【図６６】
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【図６７】
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【図６８】
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【図６９】
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【図７０】
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【図７１】
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【図７２】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図４２】
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【図４７】
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【図４８】
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【図４９】
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【図５０】
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【図５１】
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【図５２】
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【図５３】
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【図５４】
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