(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
機械に実装される、テストランの間に非線形ダイナミック実システムからデータを取得する方法であって、このテストラン用の事前に作り出された試験設計により、少なくとも一つの測定チャネルのためのダイナミック励起信号のシーケンスを生成する工程と、少なくとも一つの出力チャネルのシステム出力を測定する工程とを有する方法において、
ダイナミック励起信号のシーケンスを用いて試験設計を作り出して、そのダイナミック励起信号のシーケンスを実システムのモデルに供給することにより出力データを取得する方法によって、このダイナミック励起信号のシーケンスが生成され、このモデルが、非線形ダイナミックモデルで構成されて、完成した試験設計シーケンスの情報内容に関する基準を決定する工程と、ダイナミック励起信号のシーケンス全体を変更する工程、この変更したダイナミック励起信号のシーケンスを実システムのモデルに供給することにより、新しい出力データを取得する工程及び前記の情報内容に関する基準を再び決定する工程から成る次の工程と、前記の基準が最適値に到達するまで、実システムのテストラン用の試験設計として、最後に作り出されたダイナミック励起信号のシーケンスを使用して、前記の次の工程を反復して繰り返す工程とを有することを特徴とする方法。
【請求項２】
各工程の間に、ダイナミック励起信号及び／又はモデル出力データが所定の制約を遵守しているかを調べ、それによって、遵守していない場合に、遵守するようにすると同時に、当該の基準が最適値に近付くように、ダイナミック励起信号のシーケンスを修正することを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項３】
各反復後に、ダイナミック励起信号に関する基準の微分を決定して、その微分が所定の値を下回るか、或いは所定の回数の反復に到達したら、反復を停止することを特徴とする請求項１又は２に記載の方法。
【請求項４】
当該の基準がフィッシャー情報行列から決定されることを特徴とする請求項１から３までのいずれか一つに記載の方法。
【請求項５】
当該の基準がフィッシャー情報行列から、その行列の逆行列のトレースの計算とその行列式又は最小固有値の計算によって決定されることを特徴とする請求項４に記載の方法。
【請求項６】
当該の出力データが、非線形ダイナミックモデルアーキテクチャとして多層パーセプトロンネットワーク（ＭＬＰ）を用いたモデルにより決定されることを特徴とする請求項１から５までのいずれか一つに記載の方法。
【請求項７】
当該の出力データが、非線形ダイナミックモデルアーキテクチャとしてローカルモデルネットワーク（ＬＭＮ）又は高木・菅野ファジーモデルを用いたモデルにより決定されることを特徴とする請求項１から６までのいずれか一つに記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、請求項１の前文に記載された、機械に実装される、テストランの間に非線形ダイナミック実システム、例えば、内燃機関、パワートレイン又はそれらの一部からデータを取得する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
自動車分野において、法的規制が益々厳しくなっているために、エンジン制御システムの校正が益々複雑になるとともに、益々高価ともなっているので、効率的で正確なモデルに関する増え続けるニーズが有る。良いモデルの主要な要件は、良好な測定データと適宜選択される測定設計とである。その結果、測定回数が、そのため測定周期も増加する。しかし、試験台での時間が非常に高価なので、測定ポイントの数を最小限とし、出来る限り効果的に試験空間をカバーすると同時に、それらのデータを用いて学習させたモデルを質的に劣化させない効果的な試験設計に対するニーズが生じている。そして、それらのモデルは、ＥＣＵ構造を最適化して、校正するために、或いはコンポーネントに関する判断を下すためにも使用されている。
【０００３】
最適試験設計（ＯＥＤ）は、非特許文献１で説明されている通り、出来る限り少ない労力でモデルを正しくパラメータ化するのに必要な情報内容を最適化するものである。ダイナミック励起信号は、それらの空間分布とそれらの時間挙動とによって特徴付けられる。線形ダイナミックシステムを特定するために、疑似ランダムバイナリ信号（ＰＲＢＳ）が一般的に使用されている（非特許文献２を参照）。非線形ダイナミックシステムの場合、振幅変調疑似ランダムバイナリ信号（ＡＰＲＢＳ）が、非線形プロセスの特性をトレースするための励起信号として実証されている（例えば、非特許文献３を参照）。これらの試験設計に関する非常に汎用的な手法に対して、従来のプロセスモデルで特定できる過程には、モデルに基づくＤｏＥがより一層適しているか、或いは試験から得られる情報を最大化するために、少なくともモデル構造が使用されている。
【０００４】
実プロセスは、基本的にシステムの入出力に影響を与える制約を課されている。所定の動作条件を提供するためには、或いはプラントの損傷を防止するためには、例えば、操作した制御変数が許容範囲を逸脱してはならない。ＤｏＥにおいて、システム出力の制約を考慮するためには、出力の動態を予測するモデルが必要である。モデルに基づくＤｏＥは、オンライン試験設計にも使用することができ、その場合、モデルを入力データに持続的に適合させるとともに、将来の一定数のシステム入力のために、ＤｏＥを順番に作り出している。そのような手順は、一般的にオンライン又はアダプティブＤｏＥと呼ばれており、図１に図示されている。その説明を非特許文献４と５で見出すことができる。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００５】
【非特許文献１】Ｌ．Ｐｒｏｎｚａｔｏ”Ｏｐｔｉｍａｌ  ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ  ｄｅｓｉｇｎ  ａｎｄ  ｓｏｍｅ  ｒｅｌａｔｅｄ  ｃｏｎｔｒｏｌ  ｐｒｏｂｌｅｍｓ．”Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，４４（２）：３０３−３２５，２００８
【非特許文献２】Ｇ．Ｃ．Ｇｏｏｄｗｉｎ  ａｎｄ  Ｒ．Ｌ．Ｐａｙｎｅ”Ｄｙｎａｍｉｃ  Ｓｙｓｔｅｍ  Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ：  Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ  Ｄｅｓｉｇｎ  ａｎｄ  Ｄａｔａ  Ａｎａｌｙｓｉｓ”Ａｃａｄｅｍｉｃ  Ｐｒｅｓｓ  Ｉｎｃ．，Ｎｅｗ  Ｙｏｒｋ，１９７７
【非特許文献３】０．Ｎｅｌｌｅｓ”Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ  Ｓｙｓｔｅｍ  Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ：  Ｆｒｏｍ  Ｃｌａｓｓｉｃａｌ  Ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ  ｔｏ  Ｎｅｕｒａｌ  Ｎｅｔｗｏｒｋｓ  ａｎｄ  Ｆｕｚｚｙ  Ｍｏｄｅｌｓ”Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，  Ｂｅｒｌｉｎ，２００１
【非特許文献４】Ｏｎｌｉｎｅ  Ｄｙｎａｍｉｃ  Ｂｌａｃｋ  Ｂｏｘ  Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ  ａｎｄ  Ａｄａｐｔｉｖｅ  Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ  Ｄｅｓｉｇｎ  ｉｎ  Ｃｏｍｂｕｓｔｉｏｎ  Ｅｎｇｉｎｅ  Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ，Ｍｕｎｉｃｈ，Ｇｅｒｍａｎｙ，２０１０
【非特許文献５】Ｌａｓｚｉｏ  Ｇｅｒｎｃｓｅｒ，Ｈａｋａｎ  Ｈｊａｌｍａｒｓｓｏｎ  ａｎｄ  Ｊｏｎａｓ  Ｍａｒｔｅｎｓｓｏｎ”Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ  ｏｆ  ａｒｘ  ｓｙｓｔｅｍｓ  ｗｉｔｈ  ｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙ  ｉｎｐｕｔｓ  −  ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ  ａｎａｌｙｓｉｓ  ｗｉｔｈ  ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ  ｔｏ  ａｄａｐｔｉｖｅ  ｉｎｐｕｔ  ｄｅｓｉｇｎ”Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，４５：６２３−６３３，Ｍａｒｃｈ  ２００９
【非特許文献６】Ｄ．Ａ．Ｃｏｈｎ”Ｎｅｕｒａｌ  ｎｅｔｗｏｒｋ  ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ  ｕｓｉｎｇ  ｏｐｔｉｍａｌ  ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ  ｄｅｓｉｇｎ”Ｎｅｕｒａｌ  Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，９（６）：１０７１−１０８３，１９９６
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
ここで提示する方法の課題は、エンジン又はパワートレインの開発及びＥＣＵ又はＴＣＵの校正における典型的なアプリケーションに適した試験設計を作り出すことである。本方法は、試験限界と追加基準を考慮しながら、非線形ダイナミック実システム、例えば、内燃機関、パワートレイン又はそれらのサブシステムの広範な測定、モデル化及び最適化、並びにそれらの広範な最適化のための試験設計を速く正確に作り出すことを目指している。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
本課題を達成するために、冒頭に述べた方法は、請求項１の特徴部に記載された特徴を有する。この基本構成の好ましい実施形態は、従属請求項に記載されている。
【０００８】
従来のＤｏＥ手法と比べたモデルに基づくＤｏＥの主要な利点は、試験が出来る限り効果的になるように、ＤｏＥを最適化するためのモデルを使用していること、システムの出力に関する制約を含む様々な制約を組み入れていること、並びにオンラインＤｏＥに適用できることである。
【０００９】
以下の好ましい例に基づく、添付図面と関連した記述において、本発明を詳しく説明する。
【図面の簡単な説明】
【００１０】
【図１】オフライン及びオンラインＤｏＥ手順の説明図
【図２】三つの入力、二つの隠れユニット及び一つの出力から成る二層フィードフォワードパーセプトロンの説明図
【図３】単一の入力ｕと不感時間ｄによるＮＮＯＥ構造の説明図
【図４】二次元の入力信号ｕに関する不等式の制約による制約を考慮した非線形最適化の説明図
【図５】出力限界違反（
【００１１】
【数１】
0005885831.tif 000002
）に関する励起信号ｕとモデル出力
【００１２】
【数２】
0005885831.tif 000003
のグラフ
【００１３】
【図６】ウィーナーモデル構造の説明図
【図７】初期設計（Ｉ）、（全ての制約を初めて纏めた）第一の有効設計（ＩＩ）及び最終設計（ＩＩＩ）と関連する（破線で表示された）制約に関して、初期設計がモデル出力の（破線で表示された）許容範囲を逸脱した場合の励起信号ｕ、モデル出力
【００１４】
【数３】
0005885831.tif 000004
及び入力レートｕｒａｔｅを説明するためのグラフ
【００１５】
【図８】図７の初期設計（Ｉ）、第一の有効設計（ＩＩ）及び最終設計（ＩＩＩ）の三つの段階を含めてｌｏｇ（ｄｅｔ（Ｉ））が反復して増大することを示すグラフ
【発明を実施するための形態】
【００１６】
以下の明細書において、考察中の非線形実システム、即ち、例えば、試験台でのテストランで解析しようとしている燃焼機関、パワートレイン又はそれらと同等のシステムを表現するためのダイナミック多層パーセプトロンネットワークを使用する、入出力の制約を遵守した最適なＤｏＥバッチ手順の作成方法を説明する。それは、ＭＬＰのフィッシャー情報行列を最適化することを目的としており、従って、広い範囲のダイナミックシステムに適用することができる。文献には、励起信号を最適化するための候補セットを使用するニューラルネットワークに基づくＯＥＤの幾つかの方法が提案されている。非特許文献６では、学習者に時間ステップ毎に候補セットから新しいシステム入力を選択させることを可能することによって、ＯＥＤを学習問題に適用している。その新しい入力の選択は、学習者の平均二乗誤差の期待値を最小化することにより、スタティック又はダイナミック入力の制約を考慮して行なわれている。更に、ダイナミックニューラルネットワークに基づくグローバルダイナミックモデルに関する学習データを削減するために、Ｄ最適性基準を適用することが知られている。ローカルなシーケンシャルＤ最適ＤｏＥも提案されており、与えられたＡＰＲＢＳの時間経過に基づく、考え得るシステム入力セットに渡っての最適化によるモデル予測制御問題として定式化されている。モデルに基づくＤｏＥに対してＭＬＰネットワークを使用することは、前記の文献によって促されて、励起信号を向上させるための勾配アルゴリズムと組み合わされている。従来技術の試みとは逆に、本明細書では、候補セットを不要とするように、設計基準の最適化が解析的に行なわれている。励起信号の時間的及び空間的経過と入出力制約の遵守の両方を同時に最適化することを提案している。そのような観点において、ダイナミックモデルに基づくＤｏＥは、システムの全ての将来の出力に対する全ての励起信号の固有の効果を考慮して、そのフィッシャー情報行列に対する影響と出力に関する制約の固守とを非常に洗練することができるようにしなければならない。
【００１７】
非線形モデル構造に関して、ＭＬＰネットワークが、汎用近似器のクラスに属するので、非線形モデル構造として選択されている。本発明で使用するための別の非線形モデル構造は、ローカルモデルネットワーク（ＬＭＮ）又は高木・菅野ファジーモデルである。
【００１８】
より詳しくは、図２に図示されている通り、多入力単一出力（ＭＩＳＯ）のＭＬＰネットワークが使用される。自由モデルパラメータは、次の通り、ベクトルθパラメータと組み合わせることができる入力ウェイトＷと出力ウェイトωによって与えられる。
【００１９】
【数４】
0005885831.tif 000005
このモデル入力
【００２０】
【数５】
0005885831.tif 000006
は、隠れ層における非線形Ｓ字状活性化関数ｆｉの加重和として計算される。回帰ベクトルφを構成するｎφ個のモデル入力φｉは、次の通りである。
【００２１】
【数６】
0005885831.tif 000007
ＭＬＰネットワークの近似能力は、隠れユニットの数ｎｈによって決まる。ベクトル行列表記法では、隠れ層ｈへの入力と隠れ層ｏからの出力は、次の通り与えられる。
【００２２】
【数７】
0005885831.tif 000008
ＭＬＰネットワークの出力は、次の通り、回帰ベクトルφとベクトルθパラメータに依存する非線形関数ｇ（φ，θ）である。
【００２３】
【数８】
0005885831.tif 000009
隠れユニットへの入力と隠れ層からの出力の両方は、オフセット項Ｗｊ０とω１０を有する。実プロセスのシステム出力ｙ（ｋ）は、次の通り、モデル
【００２４】
【数９】
0005885831.tif 000010
と、ゼロ平均及び分散σ２から成るガウス誤差ｅ（ｋ）とによって与えられる。
【００２５】
【数１０】
0005885831.tif 000011
これまでは、ＭＬＰネットワークをスタティック又はダイナミックシステムに使用するのかを規定していない。以下において、出力誤差（ＮＮＯＥ）構成におけるダイナミックＭＬＰネットワークを考察する。その場合、ｋ回目の観測における回帰ベクトルφ（ｋ，θ）は、次の通り、過去のネットワーク出力
【００２６】
【数１１】
0005885831.tif 000012
、過去のシステム入力ｕ（ｋ−ｄ−ｉ＋１）（ｊ＝１．．．ｍ）及び不感時間ｄから構成される（図３を参照）。
【００２７】
【数１２】
0005885831.tif 000013
励起信号ＵがＮ回の観測とｎｕ個の異なる入力から構成されると仮定する。測定したシステム出力ｙは、次の通り与えられる。
【００２８】
【数１３】
0005885831.tif 000014
測定したシステム出力ｙは、次の通り与えられる。
【００２９】
【数１４】
0005885831.tif 000015
ネットワークパラメータθを試験の入出力データに調整しなければならない。ネットワークウェイトの学習は、次の通り、通常予測誤差ε（ｋ）に基づく二次費用関数ＶＮ（θ）を最小化することを目的とする標準的なレーベンバーグ・マルカートアルゴリズムを用いて行なわれる。
【００３０】
【数１５】
0005885831.tif 000016
最適なモデルに基づくＤｏＥは、試験の情報内容を最大化することを目的としている。そのために、通常フィッシャー情報行列から導き出される最適性基準を最適化する。そのような観点から、フィッシャー情報行列の計算のためには、ＭＬＰネットワークの形のプロセスモデルが必要である。統計的な観点から、フィッシャー情報行列Ｉは、推定パラメータの共分散との意味で、データの情報内容に関するステートメントを与える。モデルに基づくＤｏＥのための一般的な設計基準は、Ｉ−１（Ａ最適性）のトレース、Ｉ（Ｄ最適性）の行列式及びＩ（Ｅ最適性）の最小固有値である。
【００３１】
モデルに基づくＤｏＥは、システムモデルが既に存在する場合に適用することができ、そのシステムを変更された環境条件の下で動かして、同様のシステムモデルが利用可能である場合に、同様の挙動が期待できるように、そのシステムの幾つかの部分だけを修正するものである。
【００３２】
フィッシャー行列は、基礎データの情報量の統計的な測度であり、その逆行列が推定したモデルパラメータθの共分散行列を与える。この行列は、次の通り、モデルパラメータに関するモデル出力の微分である。
【００３３】
【数１６】
0005885831.tif 000017
モデルに基づくＤｏＥのための一般的な設計基準は、目標関数として、フィッシャー行列又はその逆行列のスカラー値を使用している。そのように実施する場合、励起信号を最適化できるためには、情報内容に関する測度が必要である。フィッシャー情報行列は、それぞれ基礎データの情報内容と推定パラメータの共分散に関する統計上の証拠を提供するので、Ａ、Ｄ及びＥ最適性などの共通の設計基準のためのベースとなる。
【００３４】
フィッシャー情報行列は、次の通り、モデルパラメータに対するモデル出力の関数依存性を規定する感度ベクトルΦ（ｋ）パラメータに依存する。
【００３５】
【数１７】
0005885831.tif 000018
フィッシャー情報行列は、次の通り、全ての観測（ｋ＝１．．．Ｎ）の感度ベクトルパラメータから構成される。
【００３６】
【数１８】
0005885831.tif 000019
ここで、感度行列Φパラメータは、次の通り、全ての観測の感度パラメータを組み合わせたものである。
【００３７】
【数１９】
0005885831.tif 000020
感度パラメータは、次の通り、ＭＬＰ出力ウェイトΦω（ｋ）と入力ウェイトΦｗ（ｋ）に関して別個に得られる。
【００３８】
【数２０】
0005885831.tif 000021
バイアス項の無い出力ウェイトベクトルは、
【００３９】
【数２１】
0005885831.tif 000022
で表され、次の通りである。
【００４０】
【数２２】
0005885831.tif 000023
ここで、ｏ’（ｈ（ｋ））は、ｉ番目の要素がｋ回目の観測における隠れ層へのｉ番目の入力に関する隠れ層のｉ番目の出力の微分で与えられる列ベクトルを表す。式１７のｄｉａｇ（ｏ’（ｈ（ｋ）））は、ｏ’（ｈ（ｋ））ベクトルの要素を項目とする対角行列を表し、ｏがアダマール積を表す。
【００４１】
しばしば用いられるフィッシャー情報行列に基づく最適性基準は、Ａ、Ｄ及びＥ最適性である。Ａ最適性は、分散パラメータの合計を最小化することを目的としている。そのため、関連する設計基準は、次の通り、Ｉ−１のトレースをベースとする。
【００４２】
【数２３】
0005885831.tif 000024
行列式が固有値の積と等しいので、Ｄ最適性は、Ａ最適性と比べて、単一の共分散パラメータに対して、より敏感であるＩの行列式を使用している。更に、Ｄ最適性は、次の通り、試験に依存しない正則な再パラメータ化に対して不変である。
【００４３】
【数２４】
0005885831.tif 000025
Ｅ最適設計に関して、フィッシャー情報行列の最小固有値λｍｉｎが、次の通り、最適化の主題となる。
【００４４】
【数２５】
0005885831.tif 000026
設計基準Ｊは、システム入力ｕｉ（ｋ）の変更によってのみ影響を与えることができる。その設計基準の最適化のためには、通常取り得る入力の候補セットを生成して、その中から、設計基準を最適化する一定の入力を選択する。ここで提案するモデルに基づくＤｏＥのための方法は、入出力に関する制約を考慮しつつ、最適化された励起信号の解析計算によって、式２２の最小化と式２３及び２４の最大化を実現している。
【００４５】
一般的に、励起信号の向上は、設計基準の最適化と同時に制約の固守とを目的としている。数学的には、入力、入力レート及び出力に関する制約を考慮した最適化問題は、次の通り表される。
【００４６】
【数２６】
0005885831.tif 000027
設計基準Ｊの向上は、異なる最適化方法が入手可能である非線形最適化問題を提起する。線形ダイナミックシステムの設計基準の向上に関しては、勾配アルゴリズムが知られている。本発明での使用に関して、非線形ダイナミックシステムの励起信号を最適化するために、反復式勾配降下方法を使用する。ここで提案する最適化された励起信号の解析計算方法は、二つの工程により行なわれる。第一の工程では、ダイナミックシステム入力に関する設計基準の勾配を決定し、第二の工程では、それらのシステム入力を再帰的に更新して、入出力に関する制約を観察する。
【００４７】
この最適化は、ダイナミックシステム入力に関する設計基準によって表される目標関数の勾配の計算をベースとする。反復毎に、設計基準が改善される一方、制約の遵守が達成されるように、励起信号が更新される。
【００４８】
ｉ番目のシステム入力ｕｉ（ｋ）に関する設計基準Ｊの微分は、次の通り、連鎖法則を用いて、三つの工程により計算される。
【００４９】
【数２７】
0005885831.tif 000028
付記（ｉ）：先ずは、ｌ回目の観測の感度ベクトルΦ（ｌ）パラメータに関する設計基準の微分が必要である。Ａ最適性とＤ最適性に関して、その結果が次の通り得られる。
【００５０】
【数２８】
0005885831.tif 000029
ここで、ｓ（ｌ）は、ｌ番目の位置が１に等しく、それ以外の位置が０に等しい単一のエントリベクトルを表す。Ｅ最適性は、次の通り得られる、感度ベクトルΦ（ｌ）パラメータに関するフィッシャー行列の最小固有値λｍｉｎの微分の計算を必要とする。
【００５１】
【数２９】
0005885831.tif 000030
ここで、ｘｍｉｎは、次の通り、最小固有値λｍｉｎの固有ベクトルを表す。
【００５２】
【数３０】
0005885831.tif 000031
式３１と３２では、フィッシャー行列の逆行列が出現している。そのため、フィッシャー行列は、可逆であるためには、正則でなければならない。ＭＬＰネットワークに基づく単一のフィッシャー情報行列を冗長なニューロンの除去によって正則行列とすることができることは既に示されている。
付記（ｉｉ）：回帰ベクトルφ（ｌ，θ）に関する出力ウェイトの感度ベクトルΦω（ｌ）パラメータの微分は、次の通り与えられる。
【００５３】
【数３１】
0005885831.tif 000032
ここで、バイアス項の無い入力ウェイトは、次の通り、
【００５４】
【数３２】
0005885831.tif 000033
によって表される。
【００５５】
【数３３】
0005885831.tif 000034
そして、回帰ベクトルのｉ番目のコンポーネントφｉ（ｌ，θ）に関する入力ウェイトの感度行列Φｗ（ｌ）パラメータの微分は、次の通り決定される。
【００５６】
【数３４】
0005885831.tif 000035
ここで、ｏ”（ｈ（ｌ））は、次の通り、ｉ番目の項目がｋ回目の観測における隠れ層へのｉ番目の入力に関する隠れ層の出力の二次微分によって与えられる列ベクトルを表す。
【００５７】
【数３５】
0005885831.tif 000036
ここで、ｅｉは、次の通り、φ（ｌ，θ）のｉ番目のコンポーネントに向かう方向ベクトルを表し、ｓ（ｉ）は、又もや単一のエントリベクトルである。
【００５８】
【数３６】
0005885831.tif 000037
付記（ｉｉｉ）：ダイナミック自己回帰システムでは、回帰ベクトルは過去のシステム入力だけでなく、モデル出力にも依存する。そのため、ｕｉ（ｌ−ｊ）に関するφ’（ｌ＋１，θ）の微分は、ｕｉ（ｌ−ｊ）に関する過去のモデル出力
【００５９】
【数３７】
0005885831.tif 000038
の微分の計算を必要とする。ダイナミックシステム入力ｕｉ（ｋ）は、一方ではモデル出力に対して直接的な影響を与え、他方では過去のｎ個のモデル出力を介した間接的な影響を与える。この事実を考慮するとともに、連鎖法則を用いて、ｕｉ（ｌ−ｊ）に関する
【００６０】
【数３８】
0005885831.tif 000039
の微分が次の通り与えられる。
【００６１】
【数３９】
0005885831.tif 000040
次の時間ステップにおいて、式４４の結果がｕｉ（ｌ−ｊ）に関する
【００６２】
【数４０】
0005885831.tif 000041
の微分の計算に使用される。再帰手順において、ｌ番目の観測における回帰ベクトルに必要な全てのモデル出力が微分される。式４４における回帰ベクトルの要素に関するｇ（φ（ｌ，θ），θ）の微分は、次の通り、ベクトル行列による表記法で与えられる。
【００６３】
【数４１】
0005885831.tif 000042
ｕｉ（ｋ）に関して回帰ベクトルφ（ｌ，θ）で使用される全てのシステム入力ｕｊ（ｓ）の微分は、次の通り計算される。
【００６４】
【数４２】
0005885831.tif 000043
ここで、δｉｊは、ｉ，ｊが１〜ｎｕまでの入力の指数を表し、ｉ＝ｊの場合に１であり、ｉ≠ｊの場合に０であるクロネッカーデルタ関数である。
【００６５】
この励起信号の制約を考慮した再帰式最適化は、全ての観測ｋ＝１．．．Ｎの全ての異なる入力ｕｉ（ｋ）（ｉ＝１．．．ｎｕ）に関する式３０による勾配の計算をベースとしている。この最適化手順の間に入力、入力レート及び出力に関する制約を遵守することは、制約を考慮した勾配方法によって保証される。二次元サンプルに関する図４により、本方法の原理を説明する。（ｖを指数とする）反復毎に、勾配δ（Ｖ）∇ｉｊ（Ｖ）Ｄと励起信号の増分Δｕｉの間の（二次）差分を最小化する一方、それと同時に制約ベクトルによって定義される許容範囲（ｇ≦０）に近付ける。制約ベクトルｇ＝［ｇ１．．．ｇｏ］εＲ１ｘ０  は、全ての取り得る制約を含む。一つの制約は、ｇｋ＝０の場合に有効となり、ｇｋ＜０の場合に無効となる。ここで、δ（Ｖ）は、勾配方法の可変ステップ長を表す。数学的には、この問題は、次の通り表される。
【００６６】
【数４３】
0005885831.tif 000044
有効な制約ｇ（ｖ）ａｃｔの線形化は、次の通り、ゼロに等しくなければならないｇ（ｖ）ｌｉｎで与えられる。
【００６７】
【数４４】
0005885831.tif 000045
有効な制約による最適化のために、有効な乗数の行ベクトルλ（ｖ）ａｃｔによるスカラーラグランジュ関数Ｌが、次の通り定義される。
【００６８】
【数４５】
0005885831.tif 000046
このラグランジュ関数の極値は、次の通り、Δｕｉに関するＬの微分がゼロに等しい場合に得られる。
【００６９】
【数４６】
0005885831.tif 000047
次に、励起信号の変化Δｕｉは、次の通りλａｃｔの関数として表される。
【００７０】
【数４７】
0005885831.tif 000048
この結果を式５０の制約条件に代入すると、次の通りλａｃｔが得られる。
【００７１】
【数４８】
0005885831.tif 000049
この結果をλ（ｖ）に適用して、式５３に代入すると、反復した励起信号の変化Δｕｉに関する最終結果が得られる。
【００７２】
以下において、式５０における有効な条件を入力、入力レート及び出力に関する限界違反に関して詳しく考察する。
入力の制約：例えば、ｋ回目の観測における入力が［ｕｍｉｎ，ｕｍａｘ］によって定義される許容範囲を逸脱すると仮定し、その場合、次の制約が有効となる。
【００７３】
【数４９】
0005885831.tif 000050
レートの制約：入力レートΔｕｉｒａｔｅ（ｋ）＝ｕｉ（ｋ＋１）−ｕｋ（ｋ）を［ｕｍｉｎ，ｕｍａｘ］に固守することは、次の条件によって表される。
【００７４】
【数５０】
0005885831.tif 000051
出力の制約：出力の制約を組み入れるためには、自己回帰システムでは、入力ｕｉ（ｋ）が将来の全てのモデル出力
【００７５】
【数５１】
0005885831.tif 000052
に影響を与えるとの事実を考慮しなければならない。ｋ回目の観測で出力限界違反が起こった場合（
【００７６】
【数５２】
0005885831.tif 000053
）、ｙ（ｋ）が許容範囲内となるように、ｌ＿ｋによりシステム入力ｕｉ（ｌ）を修正しなければならない（図５を参照）。
【００７７】
その結果、次の制約が得られる。
【００７８】
【数５３】
0005885831.tif 000054
モデル予測制御問題と同様に、将来のシステム入力の計算は、将来のシステム出力の展開を考慮して行なわなければならない。それには、ダイナミック励起信号に関してモデル出力の微分を計算する必要が有る（式４４を参照）。
【００７９】
次の例は、ここで提案した非線形ダイナミックプロセスを用いたＭＬＰネットワークによるモデルに基づくＤｏＥのための方法の有効性を示している。それは、入力、入力レート及び出力に関する制約を遵守しつつ、フィッシャー行列の行列式を反復して改善する手法を示している。初期ＤｏＥとして、ＡＰＲＢ信号を生成して、次に、ここで提示した方法を適用することによって向上させている。ここで提示した最適化手順は、（ＳＩＳＯ）ウィーナーモデルに適用される。ウィーナーモデルは、次の通り、システム出力に線形時間不変伝達関数Ｇ（ｚ−１）とスタティック非線形性ＮＬを直列に配置することによって規定される。
【００８０】
【数５４】
0005885831.tif 000055
ここで、この伝達関数は、次の通り、二次の振動系を規定する。
【００８１】
【数５５】
0005885831.tif 000056
出力データの生成は、図６に図示されている通り、図示されたウィーナーモデルを用いて行なわれる。次に、標準的なツール、例えば、ＭａｔｌａｂのＮＮＳＹＳＩＤツールボックスを用いて、基本プロセスの基準モデルを学習させる。この場合、五つのニューロンを有するＭＬＰネットワークは、使用しているウィーナーモデルを容易に非常に良く近似することができる。最適化手順のための初期ＤｏＥとして、１００個のサンプルによる従来技術のＡＰＲＢ信号が使用される。図７には、励起信号ｕ、入力レートΔｕｒａｔｅ及びモデル出力
【００８２】
【数５６】
0005885831.tif 000057
が、破線で表示された関連する条件と共に、初期設計、第一の有効設計及び最終設計に関して図示されている。ここで提示した制約を考慮した最適化手順の機能を説明するために、出力制約に違反する初期設計を選択した。この第一の有効設計は、全ての制約が最初に纏められた場合に達成される。ここで、この最適化アルゴリズムは、４０回の反復後に停止されて、最終設計が得られる。図８には、フィッシャー行列の行列式の対数が反復と関連して増大することが図示されている。初期ＤｏＥの出力限界違反を補償しなければならないので、フィッシャー行列の行列式が、第一の反復時に低下して、第四の反復時に、第一の有効設計に到達している。フィッシャー行列の行列式の増大は、図７に図示されている通り、システム出力の動態の励起を増大させている。システムが出力範囲全体に渡って励起された場合に、より多くの情報が収集されるので、それは合理的な結果である。励起信号の情報内容が増加することは、推定したモデルパラメータの不確実度パラメータが低下することと等しい。
【００８３】
本発明では、非線形ダイナミックシステムのための多層パーセプトロンに基づくＤｏＥに関する新しい方法を提案した。本業績の動機は、オンラインＤｏＥ手順に必要である、入力、入力レート及び出力に関する制約を遵守しつつ、ダイナミック励起信号の最適化のための解析バッチ手順を作り出すことであった。フィッシャー行列の行列式が反復して増大した結果、推定したモデルパラメータの不確実度パラメータが低下することを示すことによって、ここで提案したモデルに基づくＤｏＥ手法の有効性を非線形ダイナミックシステムにより説明した。このシミュレーション例は、励起信号の情報内容の最適化がシステム出力の動態を増大させることを示した。ここで提示した励起信号の最適化方法は、オンラインＤｏＥ手順の前提条件である入力、入力レート及び出力に関する制約にも適合している。
【図２】
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【図５】
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【図６】
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【図１】
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【図３】
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【図４】
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【図７】
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【図８】
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