(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
システムを構成する要素の最適な予備品数を評価するために、計算機により実行される予備要素の最適数評価方法であって、
前記要素を共通に有するライン数、前記要素の平均故障間動作時間（ＭＴＢＦ）、前記要素が故障したときの交換に必要な作業停止時間、及び、前記要素を調達するための新品調達時間を含む基本情報を取得する第１のステップと、
前記ライン数、前記作業停止時間及び前記要素の予備品数から前記システムの欠品停止時間の上下限範囲を決定する第２のステップと、
前記ライン数、前記平均故障間動作時間（ＭＴＢＦ）、前記予備品数、前記新品調達時間、及び、前記欠品停止時間の上下限範囲により前記要素が故障して交換する要素がないときの前記システムの停止時間である平均欠品停止時間を解析的に算出する第３のステップと、
前記基本情報及び前記平均欠品停止時間に基づいて前記予備要素の最適数を評価する第４のステップと、を有することを特徴とする予備要素の最適数評価方法。
【請求項２】
前記第２のステップ及び前記第３のステップにおいて、前記平均欠品停止時間は、欠品を引き起こすラインの故障順毎に欠品停止時間の期待値を求め、前記期待値の和を計算することにより算出する方法であって、前記欠品停止時間の期待値は、少なくとも前記ライン数、前記予備品数、前記作業停止時間、前記新品調達時間を変数に持つ関数、あるいは予め用意したテーブルにより定まる欠品停止時間の上下限範囲を定義域とした積分により算出することを特徴とする請求項１に記載の予備要素の最適数評価方法。
【請求項３】
前記第３のステップにおいて、前記ライン数をＮ、前記予備品数をＳ、前記作業停止時間をｄ、前記新品調達時間をｐ、前記欠品停止時間の上限をＰ′、前記欠品停止時間から除外される作業時間をＤ、平均故障間動作時間（ＭＴＢＦ）を１／λとしたとき、次式により前記平均欠品停止時間ｋを算出することを特徴とする請求項１に記載の予備要素の最適数評価方法。
【数２８】
0005999460.tif 000031
【請求項４】
前記第３のステップにおいて、前記ライン数をＮ、前記予備品数をＳ、前記作業停止時間をｄ、前記新品調達時間をｐ、前記欠品停止時間の上限をＰ′、前記欠品停止時間から除外される作業時間をＤ、平均故障間動作時間（ＭＴＢＦ）を１／λとしたとき、次式により前記平均欠品停止時間ｋを算出することを特徴とする請求項１に記載の予備要素の最適数評価方法。
【数２９】
0005999460.tif 000032
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、予備要素の最適数評価方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
システムを構成する要素の故障により停止するシステムにおいて、故障した要素と健全な要素とを交換することにより修理する場合、健全な要素の在庫がなければシステムを修理することができず、このシステムは停止状態となる。要素の在庫切れによるシステムの停止時間を短くするためには、健全な要素を予備として常備する必要があるが、一般的に、予備の要素の調達や保管にもコストが発生することから、過剰に予備の要素を保持することは経済的ではない。最適な予備の要素の数は、この要素の故障・取替・在庫切れによるシステムの停止損失のコストと、予備の要素の調達・管理・保管・取替のコストとの和が最小になる数である。この予備の要素の数とシステムの停止時間の定量的な関係を求めることは容易ではなく、システムの故障や修理の運用を模擬したシミュレーションにより故障を予測する方法が用いられる場合がある（例えば、特許文献１参照）。このような従来の技術では、予備の要素の数と停止時間との関係には言及されていない。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特開２００５−１５７７９３号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
故障の前兆が確実に検知できる場合は、故障する前に計画的にシステムを停止して修理を行えるが、実際には故障を予測することは困難である。また、故障の発生間隔によっては予備の要素の在庫切れが生じるため、このようなシステムの停止時間も確率的に長短が発生する。故障とシステムの停止時間の関係を求める方法としては、信頼性工学に基づく学術的アプローチも考えられてきたが、単一のシステム、修理時間の無視といった簡素化により理論立てられており、複数のラインで共通する要素の相互利用や予備の要素の調達に時間を要する等、実際のシステム運用における多種多様な状況に合わせられないという課題がある。また、故障と修理を乱数等により模擬した計算機上のシミュレーションにより最適な予備の要素数を求めようとする場合、専門的なプログラム知識とプログラムを動作させる計算機が必要となり、現場にて簡便に求めることはできない。結果として、システムを構成する予備の要素の在庫数は、運用者の裁量に任せられることが多く、システムの経済的運用に必要な最適な予備の要素数よりも過剰であったり、不足したりする場合が発生してしまう。
【０００５】
本発明はこのような課題に鑑みてなされたものであり、システムにおける予備の要素の最適数を簡単な方法で短時間に求めることができる予備要素の最適数評価方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
前記課題を解決するために、本発明に係る予備要素の最適数評価方法は、システムを構成する要素の最適な予備品数を評価するために、計算機により実行される予備要素の最適数評価方法であって、前記要素を共通に有するライン数、前記要素の平均故障間動作時間（ＭＴＢＦ）、前記要素が故障したときの交換に必要な作業停止時間、及び、前記要素を調達するための新品調達時間を含む基本情報を取得する第１のステップと、前記ライン数、前記作業停止時間及び前記要素の予備品数から前記システムの欠品停止時間の上下限範囲を決定する第２のステップと、前記ライン数、前記平均故障間動作時間（ＭＴＢＦ）、前記予備品数、前記新品調達時間、及び、前記欠品停止時間の上下限範囲により前記要素が故障して交換する要素がないときの前記システムの停止時間である平均欠品停止時間を解析的に算出する第３のステップと、前記平均欠品停止時間に基づいて前記予備要素の最適数を評価する第４のステップと、を有することを特徴とする。ここで、「解析的」とは、乱数を用いた試行を実施せず、演算式により算出することを意味する。
【０００７】
このような本発明に係る予備要素の最適数評価方法は、前記第２のステップ及び前記第３のステップにおいて、前記平均欠品停止時間は、欠品を引き起こすラインの故障順毎に欠品停止時間の期待値を求め、前記期待値の和を計算することにより算出する方法であって、前記欠品停止時間の期待値は、少なくとも前記ライン数、前記予備品数、前記作業停止時間、前記新品調達時間を変数に持つ関数、あるいは予め用意したテーブルにより定まる欠品停止時間の上下限範囲を定義域とした積分により算出することが好ましい。
【０００８】
また、このような本発明に係る予備要素の最適数評価方法は、前記第３のステップにおいて、前記ライン数をＮ、前記予備品数をＳ、前記作業停止時間をｄ、前記新品調達時間をｐ、前記欠品停止時間の上限をＰ′、前記欠品停止時間から除外される作業時間をＤ、平均故障間動作時間（ＭＴＢＦ）を１／λとしたとき、次式により前記平均欠品停止時間ｋを算出することが好ましい。
【数１】
0005999460.tif 000002
【０００９】
あるいは、このような本発明に係る予備要素の最適数評価方法は、前記第３のステップにおいて、前記ライン数をＮ、前記予備品数をＳ、前記作業停止時間をｄ、前記新品調達時間をｐ、前記欠品停止時間の上限をＰ′、前記欠品停止時間から除外される作業時間をＤ、平均故障間動作時間（ＭＴＢＦ）を１／λとしたとき、次式により前記平均欠品停止時間ｋを算出することが好ましい。
【００１０】
【数２】
0005999460.tif 000003
【００１１】
また、このような本発明に係る予備要素の最適数評価方法の変形例として、前記第１のステップ、前記第２のステップ及び前記第３のステップにより前記平均欠品停止時間を求め、当該平均欠品停止時間により欠品停止時間を補正して前記第１のステップ、前記第２のステップ及び前記第３のステップを実行して前記平均欠品停止時間を求める処理を、今回の平均欠品停止時間と前回の平均欠品停止時間との差が所定の条件を満たすまで繰り返し実行することが好ましい。
【発明の効果】
【００１２】
本発明に係る予備要素の最適数評価方法を以上のように構成すると、システムにおける予備の要素の最適数を簡単な方法で短時間に求めることができる
【図面の簡単な説明】
【００１３】
【図１】本発明に係る予備要素の最適数評価方法の前提条件を説明するための説明図である。
【図２】基本モデルにおける平均欠品停止時間を説明するための説明図である。
【図３】ライン数が複数の条件のモデルの平均欠品停止時間を説明するための説明図である。
【図４】予備品数が複数の条件のモデルの平均欠品停止時間を説明するための説明図である。
【図５】欠品停止時間の近似を説明するための説明図である。
【図６】基本モデルの修正モデルを説明するための説明図である。
【図７】上記修正モデルにおいて平均欠品停止時間を補正する方法を説明するための説明図である。
【図８】予備要素最適数評価装置の構成を示す説明図である。
【図９】上記予備要素最適数評価装置の処理を説明するためのフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【００１４】
以下、本発明の好ましい実施形態について図面を参照して説明する。なお、本実施形態における「システム」は、複数の要素が連携して全体としての目的を実行するための体系をいい、１つの装置が「システム」に相当するときは、要素は、その装置の「部品」が該当し、複数の装置（装置群）が連携して機能するプラント等が「システム」に相当するときは、要素は、そのプラント等を構成する「装置」又は装置を構成する「部品」が該当するものとする。
【００１５】
（前提条件）
本実施形態に係る予備要素の最適数評価方法を説明するにあたり、図１を用いて、予備要素の最適数を評価するための前提条件について説明する。まず、システムを構成する要素の故障は偶発とし、平均故障間動作時間（ＭＴＢＦ）が１／λの指数分布で発生するものとする。また、要素に故障が発生したときの交換作業に要する時間はｄ（単位は［日］）とする。すなわち、要素に故障が発生したときに予備の要素が準備されているとき（在庫があるとき）は、この在庫の要素を使用してすぐに交換作業が開始され、この交換の際のシステムの停止時間（以下、「作業停止時間」と呼ぶ）がｄ［日］となる。また、保管されている要素の数（以下、「予備品数」と呼ぶ）をＳとする。一方、要素が故障し、予備の要素の在庫を使用したときは、当該要素の補充の手続をすぐに行う。このとき、当該要素の故障時点（要素の発注時点）から要素が補充されるまでの時間（以下、「新品調達時間」と呼ぶ）をｐ［日］とする。ここで、予備品数Ｓが１のときに故障が発生し、在庫の要素を使用して交換作業を実行した場合、予備品数は０となる。このとき、図１に示すように、当該要素が補充される前に、再度その要素に故障が発生したときは、在庫がないため交換作業をすることができず、システムの稼働は停止する。したがって、現在発注している要素が納入されるまでの期間（図１において、故障α１と故障α２においてｐの部分が重なっている期間であって、以下「欠品停止時間」と呼ぶ）をＬ［日］とする。在庫補充後は直ちに交換作業を行い、その交換作業に要する時間は上述したようにｄ［日］である。また、本実施形態に係る予備要素の最適数評価方法を適用する検討期間をＹ［日］とする。ここで、以降の説明では時間の単位を［日］とするが、これに限定されることはなく、適宜、［年］、［分］、［秒］等の時間の単位を用いることができる。
【００１６】
なお、同一の装置や装置群を複数有するシステムの場合（それぞれの組みを「ライン」と呼ぶ）、各々の装置又は装置群に同じ要素（部品や装置）が使用されている場合は、どのラインであっても当該要素を予備の要素（在庫）と交換することが可能であるとする。ここで、システムが有するラインの数（以下「ライン数」と呼ぶ）をＮとする。
【００１７】
以上より、検討期間Ｙにおいて、以下に示す式（１）〜（３）の関係が成立する。ここで、Ｍは検討期間Ｙにおける平均故障回数を、Σｄは検討期間Ｙにおける作業停止時間の合計を、ΣＬは検討期間Ｙにおける欠品停止時間の合計を、ｋは故障１回あたりの平均欠品停止時間を、それぞれ示している。
【００１８】
【数３】
0005999460.tif 000004
【００１９】
以上より、平均欠品停止時間ｋを求めることができれば、上述した式（１）〜（３）を用いて、検討期間Ｙにおけるシステムの運転状態を求めることができる。以下、ライン及び予備品数毎のモデルに基づいて平均欠品停止時間ｋの算出方法について説明する。
【００２０】
（基本モデル（Ｎ＝１，Ｓ＝１）における平均欠品停止時間）
まず、ライン数Ｎ＝１、予備品数Ｓ＝１のモデルを基本モデルとして説明する。この基本モデルにおける任意の一つの要素の故障について、その故障が発生したときに付随する欠品停止時間を、図２に示す。なお、ｔは直前の故障後の運転再開時点からの運転時間［日］を示し、運転時間ｔにおいて故障した場合の欠品停止時間をＬ（ｔ）とし、任意の時点からの運転時間ｔにおける要素の故障確率密度をｆ（ｔ）とする。
【００２１】
図１から明らかなように、欠品停止時間が発生する条件は、直前の故障において在庫を使用したため、当該要素の在庫（予備品数）が０となり新品調達時間ｐが経過する前に次の故障（図２における故障α）が発生した場合である。図２に示すように、運転時間ｔ0において故障αが発生した場合の欠品停止時間Ｌは、新品調達時間ｐから作業停止時間ｄ及び運転時間ｔ0を減じた値となる。但し、運転時間ｔ0は直前の故障から新品調達時間ｐが経過する前となる。したがって、直前の故障から運転時間ｔ日目に故障した場合の欠品停止時間Ｌ（ｔ）は、次式（４）として表される。
【００２２】
【数４】
0005999460.tif 000005
【００２３】
また、任意の時点からの運転時間ｔ日目に故障が発生する故障確率密度ｆ（ｔ）は、故障率λの指数分布であるため、次式（５）として表される。なお、図２に示すように、この故障確率密度ｆ（ｔ）は、直前の故障に対する修理が完了し、システムが運転状態になったとき（直前の故障発生から作業停止時間ｄ［日］が経過したとき）から適用される。
【００２４】
【数５】
0005999460.tif 000006
【００２５】
よって、運転時間ｔ日目に故障した際の欠品停止時間Ｌの期待値（密度）は、直前の故障から運転時間ｔ日目において故障した際の欠品停止時間Ｌ（ｔ）と故障確率密度ｆ（ｔ）との積となるため、上述した式（４）及び（５）から次式（６）として表される。
【００２６】
【数６】
0005999460.tif 000007
【００２７】
ここで、欠品停止時間Ｌ（ｔ）は正の値となり、Ｌ（ｔ）は［０≦ｔ≦ｐ−ｄ］の範囲で定義されるから、この範囲で式（６）を積分することにより、任意の一故障当たりの欠品停止時間の期待値（平均欠品停止時間）ｋを求めることができる。この平均欠品停止時間ｋは次式（７）として表される。
【００２８】
【数７】
0005999460.tif 000008
【００２９】
検討期間Ｙ、平均故障間動作時間ＭＴＢＦ、及び作業停止時間ｄは要素により予め決められた値であるため、上述した式（７）により平均欠品停止時間ｋが求まると、上述した式（１）により平均故障回数Ｍを求めることができる。そして、この平均故障回数Ｍを式（２）及び式（３）の故障回数Ｍに当てはめると、合計作業停止時間Σｄ及び合計欠品停止時間ΣＬを求めることができるため、これらの合計（Σｄ＋ΣＬ）が検討期間Ｙにおける当該システムの全停止時間となる。
【００３０】
（ライン数が複数の条件のモデル（Ｎ＝２，Ｓ＝１）の平均欠品停止時間）
次に、ライン数を複数にしたときのモデルとして、ライン数Ｎ＝２、予備品数Ｓ＝１の場合について図３を用いて説明する。なお、あるラインで故障が発生した後、同一のラインで故障が発生する場合は、上述した基本モデルで示されている。そのため、ここでは、図３に示すように、２つのラインのうち、片方のライン（これを「他ライン」と呼ぶ）の故障αで要素の在庫が使用され、新たな要素が調達される前に、もう一方のライン（これを「自ライン」と呼ぶ）の故障βが発生したとき、βに付随する欠品停止時間について説明する。
【００３１】
図３に示すように、自ラインの故障βが、他ラインの故障αからｔ1日後に発生したとき、自ラインの故障βに付随する欠品停止時間はｐ−ｔ1となるため、他ラインの故障αからｔ日後の自ラインの故障βに付随する欠品停止時間Ｌ′（ｔ）は、次式（８）として表される。なお、他ラインの故障αの発生時に自ラインは稼働しているため、この故障αからｔ日後の自ラインの故障確率密度ｆ（ｔ）は、上述した式（５）で表される。
【００３２】
【数８】
0005999460.tif 000009
【００３３】
よって、他ラインの故障αから運転時間ｔ日目に発生した自ラインの故障βに付随する欠品停止時間Ｌ′の期待値（密度）は、欠品故障時間Ｌ′（ｔ）と要素の故障確率密度ｆ（ｔ）との積となるため、上述した式（８）及び（５）から次式（９）として表される。
【００３４】
【数９】
0005999460.tif 000010
【００３５】
また、この場合のＬ′（ｔ）は、［０≦ｔ≦ｐ］の範囲で定義されるため、式（９）をこの範囲で積分することにより、他ラインでの故障を欠品基点とする場合の自ラインの平均欠品停止時間（以降の説明では「ｋ（他）」と表す）を次式（１０）として求めることができる。
【００３６】
【数１０】
0005999460.tif 000011
【００３７】
なお、以降の説明において、図２に示す自ラインでの故障を欠品基点とする場合の自ラインの平均欠品停止時間を「ｋ（自）」と表し、これは、上述した式（７）に相当する。
【００３８】
以上より、ライン数がＮのシステムにおいて、任意のラインの任意の故障に付随する平均欠品停止時間は、式（７）及び式（１０）のそれぞれから、以下の式（７′）及び式（１０′）となる。
【００３９】
【数１１】
0005999460.tif 000012
【００４０】
ここで、発生しうる全ての欠品停止時間には、１対１対応する欠品基点故障があり、それぞれの故障は独立である、すなわち、欠品条件毎の平均欠品停止時間ｋは独立であるから、全ての欠品条件に対する平均欠品停止時間は次式（１１）のようにｋの和で求められる。ここで、「ｋ（自＋他）」は、ライン数がＮのシステムにおいて、任意のラインを自ラインとして、自ラインの故障を欠品基点とする場合と、他ライン（自ライン以外のＮ−１ライン）の故障を欠品基点とする場合の両方の条件を含む、自ラインの故障に付随する平均欠品停止時間を示している。
【００４１】
【数１２】
0005999460.tif 000013
【００４２】
なお、以降の説明においては、特に明示しない限り、ｋはｋ（自＋他）を示し、基点故障は欠品基点となる故障のことを示している。
【００４３】
（予備品数が複数の条件のモデル（Ｎ＝１，Ｓ＝２）の欠品停止時間）
次に、予備品数がＳ個のモデルについて説明する。この予備品数がＳ個のモデルでは、基点故障からｐ［日］以内にＳ回以上故障した場合に、欠品によるシステムの停止が発生する。
【００４４】
図４は、ライン数Ｎ＝１、予備品数Ｓ＝２の場合を示しており、基点故障からｐ日以内に発生した故障α１、故障αによって、基点故障からｔ0日後に発生した故障αに付随して欠品停止時間Ｌ（ｔ）＝ｐ−２ｄ−ｔ0が発生した場合を示している。この図４から明らかなように、基点故障から故障αまでの運転時間をｔとすると、故障αに付随する欠品停止時間Ｌ（ｔ）は次式（１２）として表される。
【００４５】
【数１３】
0005999460.tif 000014
【００４６】
また、故障率一定の偶発故障モデルにおいて、各故障は履歴に左右されず独立に発生する。これは、故障α１の有無に拘わらず、故障αの基点故障からの運転時間ｔにおける故障確率密度ｆ（ｔ）が上述した式（５）で表されることを意味する。言い換えると、中間故障α１の有無により、故障αの確率密度は変化しない。
【００４７】
一方、故障αと独立した故障α１が、運転時間ｔまでの任意の時間（図４では例としてｔ0）までに発生する確率は、図４の網掛け部分の面積（確率密度関数ｆ（ｔ）の（０≦α１≦ｔ0）の積分値（これをＦ（ｔ0）とする））の値となり、次式（１３）として表される。
【００４８】
【数１４】
0005999460.tif 000015
【００４９】
以上より、基点故障からｔ日目の独立故障αに付随する欠品停止時間の長さＬ（ｔ）、基点故障からｔ日目に独立して故障αが発生する確率密度ｆ（ｔ）、及び、基点故障からｔ日目までの任意の時間に、独立して故障α１が発生する確率Ｆ（ｔ）の積が、運転時間ｔにおける停止時間の期待値になり、次式（１４）として表される。
【００５０】
【数１５】
0005999460.tif 000016
【００５１】
さらに、式（１４）を定義域［０≦ｔ≦ｐ−２ｄ］で積分することにより、故障１回当たりの平均欠品停止時間ｋを次式（１５）として求めることができる。
【００５２】
【数１６】
0005999460.tif 000017
【００５３】
なお、以上の説明では、Ｆ（ｔ）を「期間中にｎ回以上故障する確率」として、ｆ（ｔ）の積分形（不信頼度）の累乗としたが、モデルを厳密に表す場合は「期間中にｎ回に限り故障する確率」として計算する必要がある。両者の違いは、本実施形態のような平均故障間動作時間ＭＴＢＦに対して新品調達時間ｐが小さい場合（およそＭＴＢＦ／ｐ≧３の場合）は無視できるほど小さいが、新品調達時間ｐ内でより多くの故障が発生するようなモデルの場合、Ｆ（ｔ）の関数形はポアソン過程に従う分布の式を適用した方が正確にモデルを表現することができる。
【００５４】
（ライン数と予備品数が複数の条件でのモデル（Ｎ，Ｓ）の平均欠品停止時間）
ここまでは、ライン数Ｎと予備品数Ｓの少なくとも一方が１の場合について説明してきたが、ここでは、ライン数Ｎ及び予備品数Ｓが複数のモデルについて説明する。まず、ライン数がＮで、予備品数Ｓが２個の条件で、特定のラインの一故障に付随する欠品停止日数Ｌを説明する。
【００５５】
例として、ライン数Ｎ＝３、予備品数Ｓ＝２のとき、最後に第１ラインの要素が故障して欠品停止が付随する場合の故障順の組み合わせと、組み合わせ毎の第１ラインの運転時間の関係は、以下の表１のようになる。
【００５６】
【表１】
0005999460.tif 000018
【００５７】
この表１において、基点故障が第１ラインで、中間故障及び最後の故障（欠品故障）も第１ラインのときの欠品故障時間Ｌ（ｔ）は、図４を用いて説明したようにｐ−２ｄ−ｔとなる。また、基点故障が第１ラインで、中間故障が第２又は第３ラインで、最後の故障（欠品故障）が第１ラインのときの欠品故障時間Ｌ（ｔ）は、第１ラインで基点故障と最後の故障が重複した関係から、図１を用いて説明したようにｐ−ｄ−ｔとなる。また、基点故障が第２ラインで、中間故障が第３ラインで、最後の故障（欠品故障）が第１ラインのときのように、故障ラインが重複しない場合の欠品故障時間Ｌ（ｔ）は、図３を用いて説明したようにｐ−ｔとなる。第３ラインが基点故障の場合も、第２ラインが基点故障であるときと同様である。
【００５８】
よって、第１ラインの任意の一故障あたりの平均欠品停止時間ｋは、表１の各行の故障順毎の平均欠品停止時間の和であり、各行毎に式（１５）と同様に定義域別に計算してまとめると、次式（１６）のように表される。
【００５９】
【数１７】
0005999460.tif 000019
【００６０】
この式（１６）が条件（Ｎ＝３，Ｓ＝２）の場合における、第１ラインの平均欠品停止時間である。欠品故障が第２ライン又は第３ラインで発生した場合も、同様の組み合わせと出現度数の関係が示され、平均欠品停止時間ｋを求める式は同じとなる。
【００６１】
また、ライン数Ｎ＝３で、予備品数Ｓ＝３のとき、最後に第１ラインの要素が故障して欠品停止が付随する場合の故障順の組み合わせと、組み合わせ毎の第１ラインの運転時間も表１と同様に整理することができる。この場合も、任意の故障順列（基点，中間１，中間２，第１ライン）における欠品故障時間Ｌ（ｔ）は、欠品故障までの運転時間ｔのみで決まり、中間故障はその期間内であればいつ故障してもＬ（ｔ）に影響しない。
【００６２】
ここで、基点故障から運転時間ｔまでの期間内に、中間故障１及び２がそれぞれ独立に故障する確率Ｆ′（ｔ）は、次式（１７）のように表される。
【００６３】
【数１８】
0005999460.tif 000020
【００６４】
独立に故障するということは、式（１７）に示すＦ′（ｔ）には、中間故障１，２の順番で故障する確率だけでなく、中間故障２，１の順番で故障する確率も含まれる。よって、個別の順列の確率は、Ｆ′（ｔ）の確率の１／２に相当することになる。以上より、ライン数Ｎ＝３、予備品数Ｓ＝３の場合の平均欠品停止時間ｋは、次式（１８）のように表される。この式（１８）において、ａ、ｂ、ｃは定数である。
【００６５】
【数１９】
0005999460.tif 000021
【００６６】
なお、平均故障間動作時間ＭＴＢＦが新品調達時間ｐに対して短い場合や、新品調達時間ｐ自体が長い場合など、中間故障が常に多数回想定される条件では、Ｆ′（ｔ）はポアソン過程に従う分布の式を適用してもよい。
【００６７】
（一般化したモデル（Ｎ，Ｓ）における平均欠品停止時間）
ここまで説明してきたように、平均欠品停止時間ｋの式は、ライン数Ｎに応じて欠品停止時間Ｌ（ｔ）の定義域が多様化して煩雑化し、予備品数Ｓが増加すると確率密度の組み合わせ次数が増加して積分計算そのものが困難となる。具体的には、次式（１９）として表される。
【００６８】
【数２０】
0005999460.tif 000022
【００６９】
この式（１９）において、係数Ａは特定のラインが欠品故障するまでの基点故障からの運転時間（Ｌ（ｔ）の定義域）毎の出現度数に応じた係数であり、その総和はＮ個のラインの要素がＳ回故障する総順列数ＮSを、順列に依らない中間故障Ｓ−１回の順列数（Ｓ−１）！で除したものであり、Ｌ（ｔ）の定義域は欠品故障までのラインの故障順により個別に定まる。また、Ｆ（ｔ）S-1は、基点故障から運転時間ｔまでの期間（積分範囲）の中に、Ｓ−１回の故障が発生する確率を示している。そして、ｐ期間中にＮ個のラインが計Ｓ回故障した場合の故障順により定まる特定のラインの欠品故障時間Ｌ（ｔ）を、Ｌ（ｔ）毎に定まる定義域、すなわち０から運転時間の範囲で積分し、考えられうる故障順に対応したそれぞれの平均欠品停止時間の総和を求めることにより、ライン数がＮで予備品数がＳのシステムにおける平均欠品停止時間ｋNSを求めることができる。
【００７０】
このように、ライン数Ｎ、予備品数Ｓのシステムにおいては、上述した故障順列の組み合わせに応じて多様なＬ（ｔ）が含まれ、上述した式（１９）ではこれを積分範囲毎に計算し、度数を乗じて平均欠品停止時間ｋNSを求めている（図５（ａ）参照）。そこで、欠品故障時間Ｌ（ｔ）の範囲から除外される作業時間の平均時間Ｄを定め、平均的な関数Ｌ（ｔ）に集約して計算する（図５（ｂ）参照）。なおこの場合も、上述したように、度数の総和（順列総数）はＮSとなる。具体的には、式（１９）は、次式（２０）として表される。ここで、バー付きのＬ（ｔ）は欠品停止時間の平均を示し、バー付きの運転時間は、欠品停止時間の上限値までの平均の運転時間を示す。
【００７１】
【数２１】
0005999460.tif 000023
【００７２】
更に、式（２０）を変形すると、次式（２１）のように表される。なお、この式（２１）において、Ｐ′は条件（ライン数Ｎ、予備品数Ｓ、作業時間ｄ）における欠品停止時間の上限を示し、Ｄ（Ｎ，Ｓ，ｄ）はｐ期間中のＳ回の在庫有り停止によりＬ（ｔ）の定義域から除外される平均作業時間を表す。このＤ（Ｎ，Ｓ，ｄ）は、ライン数Ｎ、予備品数Ｓ及び作業時間ｄで決まる定数である。
【００７３】
【数２２】
0005999460.tif 000024
【００７４】
なお、運転時間ｔを整数（ｔ＝０，１，２，・・・）として、この運転時間ｔに対する式（２１）の結果を離散的に求めて総和することにより、簡単な計算で平均欠品停止時間ｋを求めることができる。離散的に求める計算式を次式（２２）に示す。
【００７５】
【数２３】
0005999460.tif 000025
【００７６】
以上のように、式（２２）を用いることで、一定程度理論に基づいた平均欠品停止時間ｋが導出可能となる。この平均欠品停止時間ｋが求まれば、上述したように、式（１）〜（３）の関係より、検討対象のシステムの運転・停止時間を計算することができる。
【００７７】
また、上述したように、基点故障から運転時間ｔまでの期間内に、中間故障１及び２がそれぞれ独立に故障する確率Ｆ′（ｔ）に対して、ポアソン分布過程に従う分布の式を適用することができる。ここで、発生率λの事象が、ある期間にｎ回発生する確率（ポアソン式）は、次式（２３）として表される。
【００７８】
【数２４】
0005999460.tif 000026
【００７９】
上述したように、平均欠品停止時間ｋは、欠品停止時間Ｌ（ｔ）、故障確率密度ｆ（ｔ）、及び、独立して故障が発生する確率Ｆ（ｔ）の積を積分することにより求めることができるが、式（２３）を一つの故障順列に対する平均欠品停止時間ｋ１に代入すると、次式（２４）〜（２７）として表される。
【００８０】
【数２５】
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【００８１】
以上より、ありうる故障順列はＮS通りであることから、平均欠品停止時間ｋは、次式（２８）として表される。
【００８２】
【数２６】
0005999460.tif 000028
【００８３】
（平均欠品停止時間の修正モデル）
以上の説明では、任意の一故障に付随する平均欠品停止時間ｋを計算したが、上述したモデルでは、基点故障に付随する（可能性のある）停止時間を無視していた（上述したように、基点故障時に必ず予備の要素の在庫があるものとしているが、実際の運用にあたっては、基点故障時に予備品の在庫がない可能性がある）。そこで基点故障時に、要素の在庫が無く、欠品停止時間が付随する場合のモデルについて説明する。
【００８４】
図６では、図２に示す基本モデルにおいて、基点故障に１故障当たりの平均欠品停止時間の補正値Ｋが付随する場合を示している。この場合、欠品故障時間Ｌ（ｔ）は、「ｐ−ｄ−Ｋ−ｔ」となる。この修正モデル上の平均欠品停止時間の補正値Ｋも、上述した平均欠品停止時間ｋと同様の考え方に基づいて導出することができるが、ｋ＝Ｋとして立式すると積分中に積分が循環した形となり、上述した式で導出することは困難である。よって、修正モデルおけるＫとｋの値は、以下の手法により段階的に求める。
【００８５】
図７に示すように、まず、修正モデル内の平均欠品停止時間の補正値Ｋを仮値の定数＝０とおき、前述までの方法により平均欠品停止時間ｋを求める。次に、修正モデル内の平均欠品停止時間の補正値Ｋに、算出された平均欠品停止時間ｋを代入し、上述の方法により再度平均欠品停止時間ｋを求める。この処理を平均欠品停止時間の補正値Ｋと平均欠品停止時間ｋとが十分近づくまで、すなわち、前回の計算で求めた平均欠品停止時間ｋn-1と今回の計算で求めた平均欠品停止時間ｋnとの差（これを「Δｋ」とする）が所定の閾値より小さくなるまで繰り返す。前回と今回の平均欠品時間の差Δｋ（＝｜ｋn−ｋn-1｜）が所定の閾値より小さくなり最終的に得られた平均欠品停止時間ｋ（＝ｋn）が、修正モデルを満たす「１故障当たりの平均欠品停止時間」となる。平均欠品停止時間ｋが新品調達時間ｐに対して小さい場合、上述した繰り返し計算は数回で収束する。
【００８６】
（初期状態による影響の補正）
上述したモデル化の条件では、任意の一故障に対して、平均的にｋの欠品停止時間が発生すると仮定した。すなわち、平均欠品停止時間ｋは、予備品繰りが定常化した状態（数サイクル後）からの「平均欠品停止時間」を表す。しかしながら、実際の運用を想定する場合、運転開始時には必ずＳ個の初期在庫を保持していることから、運転開始からＳ回目までの故障に付随する欠品停止時間は必ず０になる。検討期間Ｙが有限の場合、この「初期在庫が保持されていることによる影響」を考慮する必要がある。具体的には、検討期間Ｙ年に対して、平均Ｍ（＝Ｙ／（ＭＴＢＦ＋ｄ＋ｋ））回の故障が発生すると推算されるとき、Ｎライン全体の最初からＳ回分の故障に付随する平均欠品停止時間ｋの値を除外する（０とする）ことで、Ｙ期間における初期在庫の影響を補正することができる。この補正後の合計欠品停止時間ΣｄＬを算出する式を、次式（２９）に示す。
【００８７】
【数２７】
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【００８８】
なお、補正による影響は、検討期間Ｙ（における停止回数）が小さいほど相対的に大きくなる。
【００８９】
（予備要素最適数評価装置）
次に、上述した方法によりシステムの平均欠品停止時間ｋを求めることにより、このシステムの予備の要素の最適数を評価得する予備要素最適数評価装置１００の構成について図８及び図９を用いて説明する。この予備要素最適数評価装置１００は、図８に示すように、ＣＰＵやＲＡＭ、ＲＯＭ等を有し、プログラムを実行することにより予備要素の最適数を評価する処理部１１０と、予備要素の最適数を評価するための情報（基本情報）を入力する入力部１２０と、基本情報や算出結果を記憶するためのメモリーやハードディスク等からなる記憶部１３０と、算出結果等を出力する出力部１４０と、を有して構成されている。ここで、処理部１１０で実行される処理（プログラム）としては、上述した方法により平均欠品停止時間ｋを算出する平均欠品停止時間算出部１１１と、予備の要素の最適数を評価する予備要素最適数評価部１１２とを有している。なお、これらの平均欠品停止時間算出部１１１及び予備要素最適数評価部１１２は、独立のプログラムで構成されていてもよいし、一つのプログラムで構成されていてもよい。また、この処理部１１０はユーザインターフェースを担当し、ネットワークで接続されたコンピュータで、平均欠品停止時間算出部１１１及び予備要素最適数評価部１１２の少なくとも一部を実行するように構成してもよい。
【００９０】
処理部１１０は、まず、平均欠品停止時間算出部１１１により、平均欠品停止時間ｋを算出する。なお、本実施形態に係る予備要素最適数評価装置１００では、予備品数Ｓを初期値（例えば０）から所定の個数まで変化させ、それぞれの予備品数毎に平均欠品停止時間ｋを算出するように構成されている。
【００９１】
図９に示すように、処理部１１０は、まず、予備要素の最適数を評価するための基本情報を取得する（ステップＳ１０）。この基本情報としては、例えば、検討期間Ｙ、ライン数Ｎ、平均故障間動作時間ＭＴＢＦ、新品調達時間ｐ、作業停止時間ｄである。また、最適な予備品数を評価するために、予備の要素の単価や、システムの稼働時や停止時のコスト等が取得される。なお、これらの基本情報は、入力部１２０から入力するように構成してもよいし、記憶部１３０に予め設定しておき、この記憶部１３０から読み出すように構成してもよい。そして、処理部１１０は、取得した基本情報のうち、後続する評価関数の計算で必要な情報を、記憶部１３０や処理部１１０のＲＡＭやＣＰＵのレジスタに記憶する（ステップＳ１１）。次に、処理部１１０は、予備品数Ｓに初期値（例えば、０）を設定する（ステップＳ１２）。
【００９２】
次に、処理部１１０は、ステップＳ１０で取得したライン数Ｎ及び作業停止時間ｄと、ステップＳ１２で設定した予備品数Ｓとに基づいて、平均作業時間Ｄを決定する（ステップＳ１３）。この平均作業時間Ｄは、例えば、記憶部１３０に予め設定された関数等により計算されており、ライン数Ｎ、予備品数Ｓ及び作業停止時間ｄで一意に決定することができる。そして、処理部１１０は、平均欠品停止時間の補正値Ｋに０を設定し（ステップＳ１４）、上述した式（２２）により平均欠品停止時間ｋを算出する（ステップＳ１５）。ここで、処理部１１０は、今回の処理で計算された平均欠品停止時間ｋと、前回の処理で計算された平均欠品停止時間である平均欠品停止時間の補正値Ｋとの差分の絶対値Δｋを算出し、このΔｋが所定の閾値より小さくなって収束したか否かを判断する（ステップＳ１６）。処理部１１０は、ステップＳ１６でΔｋが収束していないと判断したときは、平均欠品停止時間の補正値ＫにステップＳ１５で算出された平均欠品停止時間ｋを設定し（ステップＳ１７）、ステップＳ１５に戻って処理を繰り返す。一方、処理部１１０は、ステップＳ１６でΔｋが収束していると判断したときは、上述した式（２９）により、平均欠品停止時間ｋに対して初期状態による影響の補正を行い（ステップＳ１８）、補正された平均欠品停止時間ｋを、記憶部１３０や処理部１１０のＲＡＭやＣＰＵのレジスタに記憶する（ステップＳ１９）。また、処理部１１０は、予備品数Ｓが予め決められた最大値であるか否かを判断し（ステップＳ２０）、最大値でないときは、Ｓに１を加算し（ステップＳ２１）、ステップＳ１３に戻って上述した処理を繰り返す。これにより、初期値から最大値までのＳ毎に、平均欠品停止時間ｋが算出される。
【００９３】
ステップＳ２０で予備品数Ｓが最大値であると判断すると、処理部１１０は、予備要素最適評価部１１２を実行する。具体的には、処理部１１０は、基本情報及び平均欠品停止時間ｋを読み出し（ステップＳ２２）、予備品数Ｓ毎に、最適要素数を評価するための評価関数を計算する（ステップＳ２３）。評価関数は、システムに応じて設定することができるが、例えば、初期在庫費用、作業停止時間ｄに対する損失額及び平均欠品停止時間ｋに対する損失額（これらを併せて停止による損失額と呼ぶ）、並びに、予備品を新規調達するための金額及び取替費用を算出して合算するように構成することができる。最後に、処理部１１０は、算出された評価関数の値等の結果を出力部１４０又は記憶部１３０に出力し（ステップＳ２４）、処理を終了する。上述した例の場合、予備品数Ｓに対して在庫のための要素の費用と、この要素が故障したときの停止による損失額との合算値が算出されるため、この合算値が最も小さくなる予備品数を選択することにより、最適値でシステムを運用することができる。
【００９４】
（実施例）
以下の表２は、検討期間Ｙ＝７０年、ライン数Ｎ＝３個、新品調達時間ｐ＝１２０日、作業停止時間ｄ＝３日、平均故障間動作時間ＭＴＢＦ＝１１５０日の条件で求められた、予備品数Ｓが１〜６個のときの、式（２２）による平均欠品停止時間ｋを基にした全停止日数、式（２９）により補正した全停止日数、及び、従来の手法としてモンテカルロ法によるシミュレーションによる全停止日数を示している。
【００９５】
【表２】
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【００９６】
モンテカルロ法によるシミュレーションは長時間の演算が必要であるが、本実施形態に係る予備要素の最適数評価方法では、簡単な処理により非常に短時間で予備品数毎に平均欠品停止時間を算出することができる。なお、この式（２２）及び式（２９）により求められる平均欠品停止時間は、欠品停止時間Ｌの平均化近似や積分の離散的計算（積分範囲Ｐ′の切り捨て誤差を含む）により、若干の誤差が含まれると考えられるが、表２から明らかなように、シミュレーション結果に近い値を得ることができる。そのため、本実施形態に係る方法は十分実用に耐えるものである。
【符号の説明】
【００９７】
１００  予備要素最適数評価装置
【要約】
【課題】システムにおける予備の要素の最適数を簡単な方法で短時間に求めることができる予備要素の最適数評価方法を提供する。
【解決手段】予備要素の最適数評価方法は、要素を共通に有するライン数、要素の平均故障間動作時間、要素が故障したときの交換に必要な作業停止時間、及び、要素を調達するための新品調達時間を含む基本情報を取得する第１のステップと、ライン数、作業停止時間及び要素の予備品数からシステムの欠品停止時間の上下限範囲を決定する第２のステップと、ライン数、平均故障間動作時間、予備品数、新品調達時間、及び、欠品停止時間の上下限範囲により要素が故障して交換する要素がないときのシステムの停止時間である平均欠品停止時間を解析的に算出する第３のステップと、基本情報及び平均欠品停止時間に基づいて予備要素の最適数を評価する第４のステップと、を有する。
【選択図】図９【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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