(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
縁マヨラナフェルミ粒子（縁ＭＦ）が存在することができる四つの小領域を設けるとともに、中心となる一つの前記小領域が他の三つの前記小領域である第１、第２及び第３の小領域とそれぞれくびれ部を介して結合され、
前記くびれ部への可変の電圧の印加によって、電子のホッピングを許し、または遮断することができ、
初期状態においては、前記中心となる小領域と前記第１の小領域との間の前記くびれ部、及び前記中心となる小領域と前記第２の小領域との間の前記くびれ部がそれぞれ遮断されることにより、前記第１の小領域及び前記第２の小領域にそれぞれ縁ＭＳが存在するとともに、前記中心となる小領域と前記第３の小領域との間の前記くびれ部が電子のホッピングを許すことにより、前記中心となる小領域及び前記第３の小領域には縁ＭＦが存在しない、
トポロジカル量子計算用デバイスユニット。
【請求項２】
前記領域はｓ波超伝導体層と、スピン−軌道結合を示す半導体層と、強磁性体絶縁体のヘテロ構造を有する、請求項１に記載のデバイスユニット。
【請求項３】
前記ｓ波超伝導体層を基板の全面に設け、前記へテロ構造中の残りの層を前記ｓ波超伝導体層の上の前記領域が存在する部分に設ける、請求項２に記載のデバイスユニット。
【請求項４】
前記くびれ部に可変電圧を印加することによって前記縁ＭＦを前記小領域間で移送することができる、請求項１から３の何れかに記載のデバイスユニット。
【請求項５】
前記くびれ部への前記可変電圧の選択的な印加による以下のステップ（ア）〜（ウ）を設けて、前記第１の小領域上の縁ＭＦと前記第２の小領域上の縁ＭＦとを交換する、請求項４に記載のトポロジカル量子計算用デバイスユニットの操作方法。
（ア）前記第１の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第３の小領域へ移送する。
（イ）前記第２の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第１の小領域へ移送する。
（ウ）前記第３の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第２の小領域へ移送する。
【請求項６】
請求項１から４の何れかに記載のデバイスユニットをＮ個（Ｎは２以上の整数）直列接続したトポロジカル量子計算用デバイスにおいて、
ｉ番目（１≦ｉ≦Ｎ−１）の前記デバイスユニット中の前記他の三つの前記小領域の内の一つと（ｉ＋１）番目の前記デバイスユニット中の前記中心となる小領域とがくびれ部を介して結合されている、トポロジカル計算用デバイス。
【請求項７】
請求項６に記載のトポロジカル量子計算用デバイス中のｍ番目（１≦ｍ≦Ｎ）の前記デバイスユニット中の、前記中心となる小領域を中心小領域ｍｃとし、他の三つの小領域のうちで隣接する前記デバイスユニットに前記くびれ部を介して結合されていない小領域を小領域ｍ１及び小領域ｍ２、結合されている小領域を小領域ｍ３と表現するとき、
前記くびれ部への前記可変電圧の選択的な印加による以下のステップ（ア）から（ウ）を設けて、デバイスユニットｊ中の小領域ｊ１上の縁ＭＦとデバイスユニットｋ中の小領域ｋ１（１≦ｊ、ｋ≦Ｎ、かつｊ≠ｋ）上の縁ＭＦとを交換する、トポロジカル量子計算用デバイスの操作方法。
（ア）小領域ｊ１上の縁ＭＦを介在する前記小領域及びくびれ部を経由して小領域ｋ３へ移送する。
（イ）小領域ｋ１上の縁ＭＦを介在する前期小領域及びくびれ部を経由して小領域ｊ１へ移送する。
（ウ）小領域ｋ３上の縁ＭＦを小領域ｋ１へ移送する。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は量子計算に関し、特に縁マヨラナフェルミ粒子（edge Majorana fermion）を使用したトポロジカル量子計算用デバイスに関する。
【背景技術】
【０００２】
トポロジカル量子計算（topological quantum computation、ＴＱＣ）は、量子情報が非局所的に記憶され、環境との相互作用によるデコヒーレンス（decoherence）に対して強固であることによる耐障害性というユニークな特徴のために大きな関心を集めている（非特許文献１，２）。基底状態の縮退（degeneracy）及びユニタリ非アーベル変換（unitary non-Abelian transformation）による縮退部分空間（degenerate subspace）内での回転はその実現のための２つの重要な要素である。粒子が自身の反粒子であるマヨラナフェルミ粒子（ＭＦ）（非特許文献３〜２３）が対応するゼロエネルギー励起を持つ系は有望である。というのはこれらは通常のフェルミ粒子の半分であって非局所性の量子ビットを形成できるからである。超伝導Bogoliubov準粒子が電子とホールの両方で構成されているので、超伝導はＭＦの良い棲家である。
【０００３】
ＭＦを超伝導系で探索しようという試みはReadとGreenによる興味深い研究から始まった（非特許文献５）。そこでは、スピンなしのｐｘ＋ｉｐｙ超伝導体の量子渦のコアにＭＦが存在する。スピンなしのカイラルｐ波超伝導体の存在は依然として不明だが、FuとKaneは同じ状態を従来のｓ波超伝導体（s-wave superconductor、ＳＣ）とトポロジカル絶縁体（topological insulator、ＴＩ）（非特許文献２４，２５）で実現し得ると提案している（非特許文献１１）。Sau他は、強磁性体絶縁体（ferromagnetic insulator、ＦＭＩ）に近接したスピン−軌道結合を示す半導体（spin-orbit coupling semiconductor、ＳＭ）はＴＩと似た役割を果たし、これによってＳＣ／ＳＭ／ＦＭＩへテロ構造がトポロジカル相（topological phase）を提供するための一般的なプラットホームとなり得ることを示すことによって、このアイディアを押し進めた（非特許文献１４）。量子渦状態（vortex state）に関連したＭＦの探索と並行して、Kitaevによって最初に論じられた（非特許文献７）一次元（１Ｄ）スピンなし超伝導体（one-dimensional spinless superconductor）の端部におけるＭＦにも大きな注意が払われた。Lutchyn他及びOreg他は、磁界中のｓ波超伝導体に近接した１Ｄスピン軌道結合半導体は端部ＭＦ（end MF）を生成し得ることを見出した（非特許文献１７，１８）。
【０００４】
IvanovはそのコアにＭＦを持つ２つの量子渦のブレーディング（braiding）は非アーベル統計に従うことを最初に証明した（非特許文献６）。最近、Alicea他は、端部ＭＦの非アーベルブレーディングは１ＤトポロジカルナノワイヤーのＴ接合への電圧印加によって達成できることを示した（非特許文献１９）。また、超伝導位相の調整に基いてＳ／ＴＩ／Ｓ接合の回路中でＭＦの生成、操作及び融合（fusion）を行うことも提案されている（非特許文献１１）。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、従来技術で提案されたデバイスは理論的には存在できるものの、現実のデバイスを作製することは極めて困難であった。本発明の課題はＭＦを利用した量子計算用の実現可能なデバイスの構造及びその操作方法を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明の一側面によれば、縁マヨラナフェルミ粒子（縁ＭＦ）が存在することができる四つの小領域を設けるとともに、中心となる一つの前記小領域が他の三つの前記小領域である第１、第２及び第３の小領域とそれぞれくびれ部を介して結合され、前記くびれ部への可変の電圧の印加によって、電子のホッピングを許し、または遮断することができ、初期状態においては、前記中心となる小領域と前記第１の小領域との間の前記くびれ部、及び前記中心となる小領域と前記第２の小領域との間の前記くびれ部がそれぞれ遮断されることにより、前記第１の小領域及び前記第２の小領域にそれぞれ縁ＭＳが存在するとともに、前記中心となる小領域と前記第３の小領域との間の前記くびれ部が電子のホッピングを許すことにより、前記中心となる小領域及び前記第３の小領域には縁ＭＦが存在しない、トポロジカル量子計算用デバイスユニットが与えられる。
ここで、前記領域はｓ波超伝導体層と、スピン−軌道結合を示す半導体層と、強磁性体絶縁体のヘテロ構造を有してよい。
また、前記ｓ波超伝導体層を基板の全面に設け、前記へテロ構造中の残りの層を前記ｓ波超伝導体層の上の前記領域が存在する部分に設けてよい。
また、前記くびれ部に可変電圧を印加することによって前記縁ＭＦを前記小領域間で移送することができる。
本発明の他の側面によれば、前記くびれ部への前記可変電圧の選択的な印加による以下のステップ（ア）〜（ウ）を設けて、前記第１の小領域上の縁ＭＦと前記第２の小領域上の縁ＭＦとを交換する、請求項４に記載のトポロジカル量子計算用デバイスユニットの操作方法が与えられる。
（ア）前記第１の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第３の小領域へ移送する。
（イ）前記第２の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第１の小領域へ移送する。
（ウ）前記第３の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第２の小領域へ移送する。
本発明の更に他の側面によれば、上述した何れかのデバイスユニットをＮ個（Ｎは２以上の整数）直列接続したトポロジカル量子計算用デバイスにおいて、ｉ番目（１≦ｉ≦Ｎ−１）の前記デバイスユニット中の前記他の三つの前記小領域の内の一つと（ｉ＋１）番目の前記デバイスユニット中の前記中心となる小領域とがくびれ部を介して結合されている、トポロジカル計算用デバイスが与えられる。
本発明の更に他の側面によれば、上述したトポロジカル量子計算用デバイス中のｍ番目（１≦ｍ≦Ｎ）の前記デバイスユニット中の、前記中心となる小領域を中心小領域ｍｃとし、他の三つの小領域のうちで隣接する前記デバイスユニットに前記くびれ部を介して結合されていない小領域を小領域ｍ１及び小領域ｍ２、結合されている小領域を小領域ｍ３と表現するとき、前記くびれ部への前記可変電圧の選択的な印加による以下のステップ（ア）から（ウ）を設けて、デバイスユニットｊ中の小領域ｊ１上の縁ＭＦとデバイスユニットｋ中の小領域ｋ１（１≦ｊ、ｋ≦Ｎ、かつｊ≠ｋ）上の縁ＭＦとを交換する、トポロジカル量子計算用デバイスの操作方法が与えられる。
（ア）小領域ｊ１上の縁ＭＦを介在する前記小領域及びくびれ部を経由して小領域ｋ３へ移送する。
（イ）小領域ｋ１上の縁ＭＦを介在する前期小領域及びくびれ部を経由して小領域ｊ１へ移送する。
（ウ）小領域ｋ３上の縁ＭＦを小領域ｋ１へ移送する。
【発明の効果】
【０００７】
本発明により、縁ＭＦとコアＭＦの対を量子ビットとした量子計算用デバイスを実現することができるようになる。このように本発明によれば実現可能なデバイス構造が与えられるため、本発明は量子計算の実用化へ大きく貢献する。
【図面の簡単な説明】
【０００８】
【図１】ａ．四つの有限サンプルをくびれ構造で接続したデバイスユニットの概念図。くびれ部（constriction junction）でゲート電圧を調節することによって端部ＭＦを操作できる。ｂ．量子渦を有するｓ波超伝導体、スピン軌道結合半導体、及び強磁性絶縁体から成る有限サンプル（小領域、つまりブリック）の構造を概念的に示す図。ｃ．強磁性体絶縁体に近接している半導体の分散関係（dispersion relation）を概念的に示す図。
【図２】幾つかの最低励起のエネルギースペクトル及びゼロエネルギーＭＦの波動関数ノルム（wave-function norm）の分布を示す図。ａ．は１つはブリックのコアに、もう一つはブリックの端部にという、都合２つのＭＦを有する１つのブリックについての図。ｂ．はそれぞれコアＭＦを有する、結合された２つのブリックについての図。結果は、ブリックについて１００×１００サイト、くびれ部については１０×１０サイトのとき、Δ０＝０．５ｔ０、Ｖｚ＝０．８ｔ０、μ＝０、及びｔα＝０．９ｔ０であった。
【図３】（ａ）左端のブリックでできた縁ＭＦが右端のブリックへの移送、及び計算された波動関数ノルムの分布を示す図。（ｂ）エネルギースペクトルの変化を示す図。ここで、二つのゼロエネルギー励起（及びここでは示していない粒子−ホール対称性によるほかの２つ）は三つのコアＭＦ及び一つの縁ＭＦに対応している。左側の結合がλ１によってパラメータ化されて断熱的にオンになり、右側の結合はλ２によってパラメータ化されて断熱的にオフになる。なお、（ｂ）のグラフにおいて、Ｅ１のデータ点（◆）とＥ２のデータ点（●）は同じ位置にあって重なっているので、グラフ上では◆だけがプロットされているように見えることに注意されたい。
【図４】縁ＭＦのブレーディング及び計算された波動関数ノルムの分布を示す図。図中の数字はステップ番号である。
【図５】図４中の交換過程についての縁ＭＦの波動関数の時間変化を、初期ステージに作られた二つの縁ＭＦへのその射影（projection）ＯＬ及びＯＲで表す図。移送過程の時間はＴ＝４００００ｈ／（２πｔ０）である。
【図６】ブリック中の縁ＭＦについての南部スピノル成分を示す図。各ベクトルの角度及び長さは四つの複素場（complex field）の位相及び大きさを示す。
【図７】（ａ）（Ｓ２）式から計算した（上側）、及びＴＤＧＬ計算によって得た（下側）対ポテンシャル（pair potential）。この縮尺では見えないが、ベクトルの角度及び長さは対ポテンシャルの位相及び大きさを表す。（ｂ）縁ＭＦの波動関数ノルムのエネルギースペクトル及び分布を示す図（上側及び下側の差込図はそれぞれ（Ｓ２）式及びＴＤＧＬによって導出された対ポテンシャルを使った場合のノルム）。
【図８】λ（ｔ）が線形関数の場合（ａ）及び放物線関数の場合（ｂ）についてのＷＬ及びＷＲの時間変化を示す図。
【図９】（ａ）三つの縁ＭＦの二つのブレーディング過程を示す図。（ｂ）縁ＭＦの波動関数の時間変化を、初期状態で準備された三つの縁ＭＦへのその射影ＯＬ、ＯＲ及びＯＴで表した図。
【図１０】本願発明にかかるユニットの１Ｄアレイを示す図。
【発明を実施するための形態】
【０００９】
本発明において、超伝導量子渦により有限サンプル中に生成された縁ＭＦ（図１（ａ）を参照）が非常に有用であることを示す。具体的には、超伝導量子渦がサンプルの中央にあるＳＣ／ＳＭ／ＦＭＩへテロ構造（非特許文献１４，１７）（ブリックと呼ぶ）を考える。ブリックはくびれ部（constriction junction）によって結合されていて、この接合は局所的なゲート電圧を印加することでオン・オフすることができる。トポロジカルな性質により、端部ＭＦは単にこれらのゲート電圧を指定された順序でオン、オフすることによって移送できることを見出した。端部ＭＦの動的挙動を、時間依存Bogoliubov-de Gennes（ＢｄＧ）方程式を解くことによって調べ、ＭＦの非アーベルブレーディング（non-Abelian braiding）を確認した。ここで提案するＭＦの操作は安定性、及びデバイスとして簡単に実現できるという利点を有する。本願では、図１（ａ）に示す構成、つまり中心の一つのブリックに三つのブリックがそれぞれくびれ部を介して結合されているものをデバイスユニットと呼ぶことがある。このデバイスユニットは一つでもデバイスとして使用できるが、複数個のデバイスユニットを直列に並べ、隣接するデバイスユニット間のブリック同士がくびれ部を介して結合されるような構造により、更に規模の大きなデバイスを提供することもできる。なお、図１（ａ）に示すブリック及びくびれ部を基板上に形成する場合、ブリックやくびれ部が存在している領域を図１（ｂ）に示す三層のヘテロ構造とし、これらが存在しない領域はこれらの層を全く設けなくてもよいし、あるいは超伝導体（ＳＣ）の層を基板の全面に設け、その上のブリックやくびれ部の領域にだけ残りの二つの層を設けても良い。
【００１０】
［モデルの系の説明］
基本的な系を概念的に図１のｂに示す。強磁性絶縁体に近接したスピン軌道結合半導体ハミルトニアンは以下の（１）式によって与えられる。
【００１１】
【数１】
0005935212.tif 000002
【００１２】
ここで、ｍ＊、μ、αＲ及びＶｚはそれぞれ実効電子質量、化学ポテンシャル、Rashbaスピン軌道結合の強度、及びZeeman場であり、また
【００１３】
【数２】
0005935212.tif 000003
【００１４】
Pauliマトリクス、
【００１５】
【数３】
0005935212.tif 000004
【００１６】
電子対消滅演算子（electron annihilation operator）である。ｓ波超伝導体からの近接効果は以下の（２）式によって与えられる。
【００１７】
【数４】
0005935212.tif 000005
【００１８】
ここで、
【００１９】
【数５】
0005935212.tif 000006
【００２０】
はｓ波ペアリングテンシャル（pairing potential）である。全ハミルトニアンはＨｔｏｔ＝Ｈ０＋Ｈｓｃである。化学ポテンシャルが
【００２１】
【数６】
0005935212.tif 000007
【００２２】
を満たす場合、分散関係とスピン構成が図１（ｃ）で与えられ、系は実効的に２Ｄスピンなしｐｘ＋ｉｐｙ超伝導体として振舞う（非特許文献５、１０、２６〜２８）。
【００２３】
系内の準粒子励起（quasiparticle excitation）は、以下の（３）式で表されるBogoliubov-de-Gennes（ＢｄＧ）方程式によって与えられる。
【００２４】
【数７】
0005935212.tif 000008
【００２５】
ここで、南部スピノル（Nambu spinor）表記
【００２６】
【数８】
0005935212.tif 000009
【００２７】
が適用される。粒子−ホール対称性から、（３）式のエネルギーＥの固有ベクトル（eigen vector）Ψはエネルギー−Ｅのツイン
【００２８】
【数９】
0005935212.tif 000010
【００２９】
を有する。ここで、
【００３０】
【数１０】
0005935212.tif 000011
【００３１】
は南部スピノル空間内のPauliマトリックスである。ＢｄＧ方程式は偶数次元ハミルトニアンによって定義されるので、ゼロエネルギーの固有モード（eigen mode）がもし存在すれば、それは対で現れる。これらのゼロエネルギーの固有波動関数（eigen wave function）を再結合することによって、常に下式を得ることができる。
【００３２】
【数１１】
0005935212.tif 000012
【００３３】
これについて、以下の（４）式によって定義される準粒子演算子
【００３４】
【数１２】
0005935212.tif 000013
【００３５】
は関係
【００３６】
【数１３】
0005935212.tif 000014
【００３７】
を満足する。従って、系のゼロエネルギー励起は実際にＭＦである。
【００３８】
非特許文献１０、２７、２８では、超伝導体中に量子渦のある系の方程式（３）は量子渦のコアにＭＦを持つことを示している。系中に一個の量子渦がある場合には、そのツインは系の縁に現れるはずである（非特許文献２６、２９）。コアＭＦは先行する多くの研究で検討されてきたが、本願の中心テーマである縁ＭＦについては今まではほとんど注意が払われなかった。
【００３９】
縁ＭＦを検討するため、正方形グリッド上でのタイトバインディング版のＨ０を以下の（５）式に示すように求めた。
【００４０】
【数１４】
0005935212.tif 000015
【００４１】
ここで、スピン保存ホッピング（spin-reserved hopping）
【００４２】
【数１５】
0005935212.tif 000016
【００４３】
とスピンフリップホッピング（spin-flipped hopping）
【００４４】
【数１６】
0005935212.tif 000017
【００４５】
は最近隣のグリッド点の間にあり、グリッド間隔はａで、μはバンドの底から測定される。本願では、核ブリックは１００サイト×１００サイトのグリッドに分割され、この系のハミルトニアンマトリックスは典型的には１０５オーダーと大きいものである。Ｅ＝０に近い励起に関する限り、大きな系を扱うための強力な数値的な技法が利用できる（非特許文献３０）。
【００４６】
［縁ＭＦ及びその操作］
ここでは先ず単一のブリック、つまり正方形のサンプル（図１（ｂ）参照）であって量子渦が中心にある場合
【００４７】
【数１７】
0005935212.tif 000018
【００４８】
ここでｓ＝４ａ、を検討する（後述の補足説明参照）。図２（ａ）のエネルギースペクトルに示されるように、二つのゼロエネルギー励起が見出された。一方の励起の波動関数は量子渦のコアに局在化され、他方はサンプルの縁に局在化されていて（ノルムについての図２（ａ）の差込図参照）、それぞれの波動関数はＭＦの一般的な関係（generic relation）を満たす（後述の補足説明参照）。これらの２つの状態をそれぞれコアＭＦ、縁ＭＦと呼ぶ。
【００４９】
次に、くびれ部で結合された二つのブリックを検討する。図２（ｂ）に示すように、この場合も二つのゼロエネルギーＭＦが見出され、これらは二つの量子渦のコアに局在している。今度は縁ＭＦはない（図２（ｂ）の差込図参照）。それは、二つのブリックの二つの縁ＭＦはくびれ部で出会って、融合して有限のエネルギーを持つBogoliubov準粒子となるからである。ＭＦの融合は本系のトポロジカルな特徴によるものであることを強調しておく。つまり、サンプルの周囲が二つの、従って偶数の量子渦を含む場合には縁ＭＦは存在しない。
【００５０】
今度は３個のブリックの系を検討するが、ここでくびれ部のオン／オフを切り替える動的過程を導入する。これはブリック間のくびれ部におけるホッピング積分（hopping integral）を調節することによって行われる。実際にはゲート電圧を調節することで実現することができる。初期ステージにおいて、左側のブリックは分離され、残り二つが結合される。図３に示すように、三つのコアＭＦ及び一つの縁ＭＦがある。計算によって確認したところでは、切替過程の間、コアＭＦは（指数精度で）不変であり、以下の議論では簡略化のため省略される。次に、左側のブリックと中央のブリックとの間のくびれ部が断熱的にオンにされる。図３（ａ）（上段から中段へ）に示すように、左側のブリックの縁ＭＦはその波動関数を中央及び右側のブリックに広げる。ここで、縁ＭＦの高い移動度はトポロジカルな特徴の明らかな現れであることを強調しておく。それは、統合された縁は今や三つの量子渦を含むからである。
【００５１】
次に、中央のブリックと右側のブリックとの間のくびれ部を断熱的にオフにする。図３（ａ）（下段）に示すように、縁ＭＦの波動関数は今や右側のブリックに収縮する。上述の２つの切替の結果、最初は左側のブリックにあった縁ＭＦは右側のブリックに移送される。この全ての過程の間のエネルギースペクトルを観測し、ゼロエネルギーＭＦと有限エネルギー励起の間のギャップは開いたままであることを確認した（図３（ｂ）参照）が、これは系のトポロジカル状態を保護する。
【００５２】
以上の結果から、縁ＭＦの対を交換できる。この目的のための最も簡単な構造は図１（ａ）に示すように四つのブリックからなり、二つの縁ＭＦの交換過程の図式を図４に示す。初期状態（ステップ０）では、左側及び右側のブリックに二つの縁ＭＦが置かれていて、中央及び上側のブリックは接続されている（従って、縁ＭＦは存在しない）。上述の移送過程により、左側のＭＦの縁ＭＦを上側のブリックに移送し（ステップ１及び２）、次に右側のブリックにある縁ＭＦを左側のブリックに移送する（ステップ３及び４）。最後に、一時的に上側のブリックに格納していた縁ＭＦを右側のブリックに移送する。これら一連の操作後、系の設定、つまりハミルトニアンは初期状態に戻るが、二つの縁ＭＦは初期状態のそれらとは交換されている。
【００５３】
［非アーベル統計］
ここで、上述の交換が波動関数系に与える影響を検討する。この目的のために、時間依存ＢｄＧ（ＴＤＢｄＧ）法（後述の補足説明、及び非特許文献３１〜３３）を使用して、断熱切替（adiabatic switching）についての波動関数の時間変化を評価する。先ず、（３）式のハミルトニアンを対角化することによって左側及び右側のブリックにおける縁ＭＦの波動関数を導出する。ここで、（３）式により、系全体についての所期は導関数は以下で与えられる。
【００５４】
【数１８】
0005935212.tif 000019
【００５５】
図４に示された切替過程で、波動関数はＴＤＢｄＧ方程式である（６）式に従って時間変化する。
【００５６】
【数１９】
0005935212.tif 000020
【００５７】
波動関数の時間変化は二つの縁ＭＦの初期波動関数へのその射影
【００５８】
【数２０】
0005935212.tif 000021
【００５９】
及び
【００６０】
【数２１】
0005935212.tif 000022
【００６１】
によってモニターすることができる。図５に示すように、一方では初期状態の定義によってＯＬ＝ＯＲ＝＋１であり、他方、最終状態ではＯＬ＝１かつＯＲ＝−１となる。従って、図４に示す二つの縁ＭＦの交換の過程で、系の波動関数は以下の（７）式のように変化する。
【００６２】
【数２２】
0005935212.tif 000023
【００６３】
あるいは、演算子により以下の（８）式のように表される。
【００６４】
【数２３】
0005935212.tif 000024
【００６５】
これはIvanovが示したコアＭＦについてのものと同じ形態であり、ユニタリ変換
【００６６】
【数２４】
0005935212.tif 000025
【００６７】
によって表すことができる（非特許文献６、また非特許文献１９も参照のこと）。
【００６８】
上述の縁ＭＦの交換規則はＭＦについての格子ハミルトニアン（lattice Hamiltonian）によって理解することができる。先ず図３中のＭＦ移送から始める。断熱移送の低エネルギー物理についての瞬時ハミルトニアン（instantaneous Hamiltonian）は以下の（９）式で与えられる。
【００６９】
【数２５】
0005935212.tif 000026
【００７０】
ここで、Γｉｊ＝−ΓｊｉはＭＦ間の相互作用を示す。時間期間［０、Ｔ］の間で切替関数λ１（ｔ）は０から１へ増加し、切替関数λ２は１のままである。また、［Ｔ，２Ｔ］の間ではλ２（ｔ）は１から０へ減少し、λ１は１のままである。ゼロエネルギー縁ＭＦは以下の（１０）式で表すことができる。
【００７１】
【数２６】
0005935212.tif 000027
【００７２】
ここで、
【００７３】
【数２７】
0005935212.tif 000028
【００７４】
の要請から、
【００７５】
【数２８】
0005935212.tif 000029
【００７６】
になることが分かる。
【００７７】
従って、図４に示される二つの縁ＭＦの交換過程は以下のように記述できる。
【００７８】
【数２９】
0005935212.tif 000030
【００７９】
【数３０】
0005935212.tif 000031
【００８０】
また、
【００８１】
【数３１】
0005935212.tif 000032
【００８２】
【数３２】
0005935212.tif 000033
【００８３】
また、
【００８４】
【数３３】
0005935212.tif 000034
【００８５】
【数３４】
0005935212.tif 000035
【００８６】
これより、ブレーディングの後、左側及び右側のブリックにおける二つのＭＦは反対の符号を獲得することが明らかである。このように図５及び（８）式の結果が理解される。従って、二つの縁ＭＦのブレーディングは非アーベル統計に従う（後述の補足説明参照）。
【００８７】
［検討］
最初に、ここでのデバイスの可能性について検討する。トポロジカル状態を保護するためには、動作温度は励起温度よりも下に維持しなければならないが、これはパラメータΔ０＝０．５ｔ０、Ｖｚ＝０．８ｔ０、かつαＲ＝０．９ｔ０の場合はほぼ０．００８Δ０である。Δ０≒１ｍｅＶでは（非特許文献２７、３４）、励起ギャップに対応する温度は約１００ｍＫとなるが、これは今日の低温科学では達成困難な温度ではない。強いスピン軌道結合を与えるためには、層状の極性半導体（polar semiconductor）ＢｉＴｅＩ（非特許文献３５）を本発明のデバイスに使用することができる。最近の研究（非特許文献２７）によれば、数ｍｅＶオーダーのZeeman分裂（Zeeman splitting）Ｖｚは、強磁性絶縁体薄膜（非特許文献３６）中で実現することができる。
【００８８】
本発明を、ＭＦを操作することに関するこれまでの提案と比較する。コアＭＦのブレーディングは原理的にはホスト量子渦（host vortex）を交換することによって行うことができる（非特許文献６）が、量子渦の操作は実際上簡単なことではなく、また量子渦の大きな実効質量により遅い。超伝導位相の制御に基いてＳ／ＴＩ／Ｓ接合の回路中でＭＦを操作すること（非特許文献１１）、また電圧の印加に基いて１Ｄナノワイヤーのネットワーク中でこれを行うこと（非特許文献１９）とは対照的に、本発明のゲート電圧操作は、サンプル間の点状のくびれ部に局限される。これにより、デバイス構造を単純化しながら、系全体への動揺の影響は最小レベルに抑えることができる。本願発明の設定の構造は自然にＭＦの格子系をもたらすが、これは非アーベル統計のチェックの見通しを良くする。本設定は良好なスケーラビリティを有し（後述の補足説明参照）、従って実用に当たって好適である。
【００８９】
トポロジカルな特徴により、トポロジカル超伝導体の量子渦状態中の縁マヨラナフェルミ粒子（縁ＭＦ）は、サンプル間の点状のくびれ部にゲート電圧を印加することによって移送することができることが示された。縁ＭＦの断熱ブレーディングを時間依存Bogoliubov-de Gennes法によってシミュレートし、非アーベル統計を確認した。従って、本発明は、ゼロエネルギーマヨラナフェルミ粒子に基いた量子トポロジカル計算のための、単純なデバイス構造と簡単な操作という利点を有する有望な手段を提供するものである。
【００９０】
［補足説明］
−  方法  −
本願では、上で説明したようにＴＤＢｄＧ法を使用してくびれ部のオン／オフ切替時の縁ＭＦの断熱ブレーディングをシミュレートした。このシミュレーションの主要な作業は、ＴＤＢｄＧ方程式（６）を解くことである。この方程式の形式的な解は以下の通りである。
【００９１】
【数３５】
0005935212.tif 000036
【００９２】
これを数値的に解くため、シミュレートする時間全体を短時間のステップに分割し、この間ではハミルトニアンは変化しない。従って、下式を得る。
【００９３】
【数３６】
0005935212.tif 000037
【００９４】
ここで、指数関数をChebyshev多項式Ｔｎ（Ｈ）によって展開して下式が得られる。
【００９５】
【数３７】
0005935212.tif 000038
【００９６】
ここにおいて、係数ｃｍは指数関数的に減少するので（非特許文献３１、３２）、十分な精度の波動関数を得るためには上記の展開式中の有限個数（Ｍｍａｘ）の項しか必要とされない。Chebyshev多項式の再帰的関係
Ｔｍ（Ｈ）＝２ＨＴｍ−１（Ｈ）−Ｔｍ−２（Ｈ）
を使用することで、（Ｓ１）式の和はＭｍａｘ回の行列乗算として行うことができる。こうすることで、本願での疎行列Ｈでは計算時間はＯ（Ｎ）となる（非特許文献３１）。
【００９７】
ハミルトニアンの時間依存部分はブリック間のくびれ部でのホッピング積分である。本願では、パラメーター０≦λ（ｔ）≦１を使って、時間期間［０、Ｔ］の間のホッピング積分を調整する。断熱プロセスをシミュレートするため、関数λ（ｔ）はｔとともにゆっくりと変化しなければならず、従って変化時間全体Ｔは最低励起エネルギーの逆数と比較して十分に長く
【００９８】
【数３８】
0005935212.tif 000039
【００９９】
取られる。
【０１００】
―  縁マヨラナフェルミ粒子（縁ＭＦ）  ―
有限系における準粒子励起については、コア及びサンプルの縁での波動関数は指数関数的に小さなオーバーラップを持つが、これにより、励起エネルギーは正確にはゼロにならない（非特許文献１０、１４、２７）。ここで扱う系において、図２に示す「ゼロエネルギー」状態の対では｜Ｅ０｜＝１．５×１０−７ｔ０であり、これは２番目に低い有限エネルギー励起｜Ｅ｜＝１．０×１０−２ｔ０の大きさより５桁小さい。動作温度は通常は｜Ｅ０｜よりもかなり高いので、これら二つの「ゼロエネルギー」状態は厳密に縮退した（degenerate）とみなすことができる。これら二つの状態を再結合して、図２（ａ）に示すように、一方は量子渦のコアに他方はサンプルの縁にある、対となったＭＦを得る。図６はこの縁ＭＦの四つの南部スピノル成分（Nambu-spinor components）の分布を示す。関係
【０１０１】
【数３９】
0005935212.tif 000040
【０１０２】
及び
【０１０３】
【数４０】
0005935212.tif 000041
【０１０４】
が満足されていることは明らかであり、ＭＦが満たすべきものである（非特許文献１４）。
【０１０５】
―  多重量子渦（multi vortices）についての対ポテンシャル  ―
多重量子渦を持つ系については、一つの量子渦に近いが他の量子渦からは遠い位置における超伝導の対ポテンシャルは近似的に以下の（Ｓ２）式によって与えることができる。
【０１０６】
【数４１】
0005935212.tif 000042
【０１０７】
ここで、
【０１０８】
【数４２】
0005935212.tif 000043
【０１０９】
及び
【０１１０】
【数４３】
0005935212.tif 000044
【０１１１】
である。なお、
【０１１２】
【数４４】
0005935212.tif 000045
【０１１３】
及び
【０１１４】
【数４５】
0005935212.tif 000046
【０１１５】
はサイトｉ及びｍ番目の量子渦のコアの位置である（非特許文献２、３７、３８）。ここで例として図７（ａ）中の三個のブリックの系についての対ポテンシャルをプロットした。ここで、各ブリックの中心に一つの量子渦があるとした。
【０１１６】
図７（ｂ）には、この代わりに、ゼロ電気ポテンシャルゲージを使って時間依存Gingzburg-Landau計算（非特許文献３９）による対ポテンシャルを示す。形状の制限により、ゲージ不変な物理実体（gauge-invariant physical object）である量子渦はブリックの中心にトラップされる。
【０１１７】
図７（ｂ）から明確に分かるように、ＭＦのエネルギー並びに縁ＭＦの第１励起状態及びその波動関数ノルムの分布は対ポテンシャルの二つのセットについて等しい。この結果は、ゼロエネルギーＭＦの起源は系のトポロジカルな性質であってそれは位相の巻き数（winding number of the phase）、あるいは等価的に量子渦の分布によってに支配されるという理解に一致する。
【０１１８】
―  くびれ部での切替動作  ―
本発明のデバイスでは、ブリック間の接続のオン／オフ切替はくびれ部におけるゲート電圧を調節することによって行われる。ＴＤＢｄＧシミュレーションにおいて、この過程はホッピング積分ｔ０及びｔαをゼロから本来の値まで調整する時間依存変数λ（ｔ）によってパラメータ化される。原理上は、単調でゆっくり増減する任意の関数をλ（ｔ）として使用することができる。しかし、関数λ（ｔ）として良好なものは、シミュレーション時間を短縮できる一方で、実際のデバイス動作についての有用なヒントを与える関数である。調節関数を評価するために、図３中の移送過程中の左側及び右側のブリックにおける波動関数の重み
【０１１９】
【数４６】
0005935212.tif 000047
【０１２０】
の時間変化をモニターする。
【０１２１】
最も簡単な選択は、線形の関数
λ（ｔ）＝ｔ／Ｔ
である。ここでＴは切替過程の全動作時間である（オフに切り替える場合はλ（ｔ）＝１−ｔ／Ｔ）。
【０１２２】
【数４７】
0005935212.tif 000048
【０１２３】
であり、また本明細書中で使用されたパラメータを使用した場合のＴＤＢｄＧ計算に基くｗＬ，Ｒの時間変化を図８（ａ）に示す。ここで、ｗＬとｗＲとの合計は１ではない。それは、波動関数は移送過程の間にブリックの中心に重みを持つからである。移送過程の間にｗＬ及びｗＲに振動が起こるが、これは有限エネルギーの状態への励起によって引き起こされる。これが起こるのは、この過程が十分に断熱的でないからである。切替時間がもっと短い場合、移送過程に課せられるところの、ｗＬが１からゼロまで減少しまたｗＲがゼロから１まで増加するという要請は達成できない。
【０１２４】
同じ所与の切替時間内の断熱過程の品質を向上するため、放物線関数λ（ｔ）＝（ｔ／Ｔ）２を導入した。図８（ｂ）から分かるように、この図の縮尺では波動関数の振動は観測されない。放物線関数によって達成されたこの目覚しい改善は、本明細書中で既に導入した簡単なモデルによって以下のように説明できる。
【０１２５】
既に説明したように、移送におけるオン切替過程のための低エネルギー物理の実効ハミルトニアンは
【０１２６】
【数４８】
0005935212.tif 000049
【０１２７】
である。なお、ここで、ΓＬＣ＝ΓＣＲ＝１とした。三つの固有状態は３×３のハミルトニアン行列を対角化することによって得られ、そのうちの一つはゼロエネルギーＭＦ
【０１２８】
【数４９】
0005935212.tif 000050
【０１２９】
であり、二つは普通の正則準粒子
【０１３０】
【数５０】
0005935212.tif 000051
【０１３１】
であって、エネルギーが
【０１３２】
【数５１】
0005935212.tif 000052
【０１３３】
であるものである。切替が十分に断熱的である場合には、ゼロエネルギーＭＦは既に述べたように移送過程を辿る。そうでない場合には、図８（ａ）に示すように、二つの準粒子状態が関与する。
【０１３４】
ここで、系がｔにおいてゼロエネルギー状態であると仮定する。これは妥当な近似である。というのは、励起状態からの成分による振動の振幅は図８（ａ）にあってさえも小さいからである。また、時間ステップΔｔの間にシステムが二つの最も低い励起状態であるＥ±に励起される可能性をチェックした。この時間ステップの間に、ハミルトニアンは
【０１３５】
【数５２】
0005935212.tif 000053
【０１３６】
の変化を受け、システムが励起される可能性は以下の一次摂動（first-order perturbation）によって与えられる。
【０１３７】
【数５３】
0005935212.tif 000054
【０１３８】
よって、λが小さい場合には、Ｐを抑えるにはΔλを減らすのが理想的であることは明白である。従って、放物線関数は線形関数に比べてはるかに好ましく、
【０１３９】
【数５４】
0005935212.tif 000055
【０１４０】
の場合、移送過程をほとんど完全に断熱的にする。
【０１４１】
―  三つの縁ＭＦのブレーディング  ―
ここで、三つの縁ＭＦの非アーベルブレーディングを示す。図９に示すように、同一の初期状態から出発して、二つの異なる順序のブレーディングにより、二つの異なる最終状態が生成される。この結果は、不等式ＵＬＴＵＴＲ≠ＵＴＲＵＬＴ、すなわち非アーベル統計であること、に直接対応する。
【０１４２】
―  設定のスケーラビリティ  ―
本発明に係る設定は良好なスケーラビリティを有している。図１に示すユニットのアレイは多体マヨラナ縁状態の線状の組合せから成り、空間内の状態の回転（rotation of states）は非アーベル統計に従う。図１０に示すように、初期状態において、全てのユニット中のブリック２とブリック４との間のくびれ部はオン状態（図中では濃色で表現）に、他のくびれ部はオフ状態（図中では淡色で表現）になっている。ここで、量子情報は全てのユニット中のブリック１及びブリック３中にエンコードされる（これらのブリックは濃色で縁取りすることで表現）。
【０１４３】
異なるユニット中でのＭＦのブレーディングが効率よくでき、しかも非アーベル統計に従う。これを示すためには、例として、ユニットｉ中のブリック１にあるＭＦとユニットｊ中のブリック１にあるＭＦである二つのＭＦを交換するだけでよい（図９を参照）。
【０１４４】
まずユニットｉ中のブリック１にあるＭＦ
【０１４５】
【数５５】
0005935212.tif 000056
【０１４６】
を、ユニットｊのブリック４に移送し、次に、ユニットｊのブリック１にあるＭＦ
【０１４７】
【数５６】
0005935212.tif 000057
【０１４８】
をユニットｉのブリック１に移送する。最後に、
【０１４９】
【数５７】
0005935212.tif 000058
【０１５０】
をユニットｊのブリック４からブリック１へ移動する。すでに明らかになったように、縁ＭＦを同じくびれ部を通って反対方向へ移動する際には、Γｉｊ＝−Γｊｉであることから、常にマイナス符号を取得する。上述の交換過程の間、ユニットｉとユニットｊとの間隔にかかわらず、水平方向での反対向きの動きが奇数回起こり（図９参照）、垂直方向では２回起こる。その結果、全体としては奇数個のマイナス符号がもたらされる。従って、交換過程の後では、二つの縁ＭＦは（８）式に示すように逆の符号を獲得する。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０１５１】
【非特許文献１】A. Y. Kitaev, Ann. Phys. 303, 2 (2003).
【非特許文献２】C. Nayak, S. H. Simon, A. Stern, M. Freedman and S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys. 80, 1083 (2008).
【非特許文献３】G. Moore and N. Read, Nuc. Phys. B 360, 362 (1991).
【非特許文献４】X. G. Wen, Phys. Rev. Lett. 70, 355358 (1993).
【非特許文献５】N. Read and D. Green, Phys. Rev. B 61, 10267 (2000).
【非特許文献６】D. A. Ivanov, Phys. Rev. Lett. 86, 268 (2001).
【非特許文献７】A. Y. Kitaev, Phys. -Usp. 44, 131 (2001).
【非特許文献８】S. Das Sarma, M. Freedman and C. Nayak, Phys. Rev. Lett. 94, 166802 (2005).
【非特許文献９】S. Tewari, S. Das Sarma, C. Nayak, C. -W. Zhang and P. Zoller, Phys. Rev. Lett 98, 010506 (2007).
【非特許文献１０】V. Gurarie and L. Radzihovsky, Phys. Rev. B 75, 212509 (2007).
【非特許文献１１】L. Fu and C. L. Kane, Phys. Rev. Lett. 100, 096407 (2008).
【非特許文献１２】F. Wilczek, Nat. Phys. 5, 614 (2009).
【非特許文献１３】K. T. Law, P. A. Lee and T. K. Ng, Phys. Rev. Lett. 103, 237001 (2009).
【非特許文献１４】J. D. Sau, R. M. Lutchyn, S. Tewari and S. Das Sarma, Phys. Rev. Lett. 104, 040502 (2010).
【非特許文献１５】M. Wimmer, A. R. Akhmerov, M. V. Medvedyeva, J. Tworzydlo and C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 105, 046803 (2010).
【非特許文献１６】J. Linder, Y. Tanaka, T. Yokoyama, A. Sudb. and N. Nagaosa, Phys. Rev. Lett. 104, 067001 (2010).
【非特許文献１７】R. M. Lutchyn, J. D. Sau and S. Das Sarma, Phy. Rev. Lett. 105, 077001 (2010).
【非特許文献１８】Y. Oreg, G. Rafael and F. von Oppen, Phys. Rev. Lett. 105, 177002 (2010).
【非特許文献１９】J. Alicea, Y. Oreg, G. Refael, F. von Oppen and M. P. A. Fisher, Nat. Phys. 7, 412 (2011).
【非特許文献２０】B. Zhou and S. Q. Shen, Phys. Rev. B 84, 054532 (2011).
【非特許文献２１】P. Hosur, P. Ghaemi, R. S. K. Mong and A. Vishwanath, Phys. Rev. Lett. 107, 097001 (2011).
【非特許文献２２】L. Mao, J. R. Shi, Q. Niu and C. W. Zhang, Phys. Rev. Lett. 106, 157003 (2011).
【非特許文献２３】J. Jang, D. G. Ferguson, V. Vakaryuk, R. Budakian, S. B. Chung, P. M. Goldbart and Y. Maeno, Science 331, 186 (2011).
【非特許文献２４】M. Z. Hasan and C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010).
【非特許文献２５】X. L. Qi and S. C. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011).
【非特許文献２６】S. Tewari, S. Das Sarma and D. -H. Lee, Phys. Rev. Lett. 99, 037001 (2007).
【非特許文献２７】J. D. Sau, S. Tewari, R. M. Lutchyn, T. D. Stanescu and S. Das Sarma, Phys. Rev. B 82, 214509 (2010).
【非特許文献２８】L. Mao and C. W. Zhang, Phys. Rev. B 82, 174506 (2010).
【非特許文献２９】E. Grofeld and A. Stern, Proc. Nat. Acad. Sci. 108, 11810 (2011).
【非特許文献３０】M. Bollh¨ofer and Y. Notay, Comp. Phys. Com. 177, 951 (2007).
【非特許文献３１】S. Roche, Phys. Rev. B 59, 2284 (1999).
【非特許文献３２】Y. L. Loh, S. N. Taraskin and S. R. Elliott, Phys. Rev. Lett. 84, 2290 (2000).
【非特許文献３３】A. Weisse, G. Wellein, A. Alveman and H. Fehske, Rev. Mod. Phys. 78, 275 (2006).
【非特許文献３４】A. Chrestin, T. Matsuyama and U. Merkt, Phys. Rev. B 55 ,8457 (1997).
【非特許文献３５】K. Ishizaka et al., Nat. Mat. 10, 521 (2011).
【非特許文献３６】B. T. Matthias, R. N. Bozorth and J. H. Van Vleck, Phys. Rev. Lett. 7, 160 (1961).
【非特許文献３７】A. Stern, F. von Oppen and E. Mariani, Phys. Rev. B 70, 205338 (2004).
【非特許文献３８】M. Cheng, R. M. Lutchyn, V. Galitski and S. Das Sarm, Phys. Rev. Lett. 103, 107001 (2009).
【非特許文献３９】W. D. Gropp, H. G. Kaper, G. K. Leaf, D. M. Levine, M. Palumbo and V. M. Vinokur, J. Com. Phys. 123, 254 (1996).
【図１】
0005935212.tif 000059
【図２】
0005935212.tif 000060
【図３】
0005935212.tif 000061
【図４】
0005935212.tif 000062
【図５】
0005935212.tif 000063
【図６】
0005935212.tif 000064
【図７】
0005935212.tif 000065
【図８】
0005935212.tif 000066
【図９】
0005935212.tif 000067
【図１０】
0005935212.tif 000068