(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
正の実数Ｍのｎ乗根であって１０ｋ−１ａｋ＋１０ｋ−２ａｋ−１＋…＋ａ１で表されるｎ乗根を求める計算機であって、
前記ｎ乗根の桁数ｋを決定する第１の手段と、
前記ｎ乗根の１０ｋ−１の位の値ａｋを決定する第２の手段と、
前記ｎ乗根の１０ｋ−２の位の値ａｋ−１を決定する第３の手段と、
前記ｎ乗根の１０ｉ−１の位の値ａｉを、ｉをｋ−２から１まで１ずつデクリメントしながら順番に決定する第４の手段とを備え、
前記第１の手段が、前記実数Ｍを一の位から開始してサイズｎのブロック（ただし、左端のブロックのサイズはｎ以下）に分割し、ブロックの総数を前記ｎ乗根の桁数ｋに決定し、
前記第２の手段が、ｋ個の前記ブロックの内、前記左端のブロックの数字Ｂｋを得て、ａｋｎ≦Ｂｋを満足する最大の値ａｋ（１≦ａｋ≦９）を決定し、
前記第３の手段が、実数Ｍｋ−１＝Ｍ−１０（ｋ−１）ｎａｋｎを定義し、実数Ｍｋ−１を一の位から開始してサイズｎを有する（ｋ−２）個のブロック（ただし、左端のブロックのサイズはｎ以上）に分割し、前記左端のブロックの数字Ｂｋ−１（Ｍｋ−１）を得て、下式（１）および（２）に基づいてＶｋ−１Ｔｋ−１≦Ｂｋ−１（Ｍｋ−１）を満足する最大の値Ｖｋ−１（０≦Ｖｋ−１≦９）を値ａｋ−１として決定し、
前記第４の手段が、実数Ｍｉ＝Ｍｉ＋１−１０ｉ×ｎＶｉ＋１Ｔｉ＋１を定義し、実数Ｍｉを一の位から開始してサイズｎを有する（ｉ−１）個のブロック（ただし、左端のブロックのサイズはｎ以上）に分割し、前記左端のブロックの数字Ｂｉ（Ｍｉ）を得て、下式（１）および（２）に基づいてＶｉＴｉ＜Ｂｉ（Ｍｉ）を満足する最大の値Ｖｉ（０≦Ｖｋ−１≦９）を値ａｉとして決定する（ただし、下式（１）および（２）において、ｋ−１＝ｉとする。）計算機。
【数１】
0005959661.tif 000049
【請求項２】
前記第１の手段が、前記実数Ｍに１０ｈｎを乗算し、乗算後の実数Ｍ×１０ｈｎの整数部分を前記サイズｎのブロック（ただし、左端のブロックのサイズはｎ以下）に分割し、
前記第１の手段、第２の手段、第３の手段および第４の手段によって得られた実数Ｍ×１０ｈｎのｎ乗根の整数部分である１０ｋ−１ａｋ＋１０ｋ−２ａｋ−１＋…＋ａ１を１０ｈで除算して、正の実数Ｍのｎ乗根を小数点以下第ｈ位まで計算する第５の手段を備える請求項１に記載の計算機。
【発明の詳細な説明】
【背景技術】
【０００１】
１．緒言
ｎを１より大きい任意の自然数とする。現在、所与の正の実数に関して正の実数のｎ乗根を求めるのに、いくつかの方法が利用可能である。歴史的に言えば、紀元前１８００年に、ある数の平方根を開平するバビロニアン・メソッド（Ｂａｂｙｌｏｎｉａｎ  ｍｅｔｈｏｄ）が開発された。根の評価は、Ｎａｐｉｅｒが導入した対数の概念を適用して行うことができる（非特許文献１参照）。ただし、対数法では、切り捨て誤差があるため、正確な結果が得られない。確認されているのは、従来の長除開平法（ｌｏｎｇ−ｄｉｖｉｓｉｏｎ  ｓｑｕａｒｅ  ｒｏｏｔ  ｍｅｔｈｏｄ）が正確である、ということである。ある数の平方根を求めるアルゴリズムとしては、Ｒ．Ｇ．Ｄｒｏｍｅｙが発表したものがある（非特許文献２参照）。有理数による２次無理数の近似およびペル方程式の適用による平方根の開平に関しては、ＮｉｖｅｎおよびＺｕｃｋｅｒｍａｎによる非特許文献３を参照可能である。また、所与の数の立方根や４乗根等の決定に関しては、たとえばニュートン法等の適当な数値的方法を採用可能である。ｎ乗根の決定は、１変数の非線形方程式を解くことに帰着し、それに利用可能な各種方法は、直接解析法、図式法、試行錯誤法、反復法等に分類可能である。Ｇｏｗｅｒは、根を決定するための反復法を発表している（非特許文献４参照）。二分法、挟み撃ち法、テイラー級数法、ニュートン・ラプソン法、ミュラー法等の反復法に関しては、ＢｕｒｄｅｎおよびＦａｉｒｅｓによる非特許文献５を参照可能である。これらの方法を利用してｎ乗根を開平する場合には、たとえば最初に推測する必要があったり、膨大な算術演算が必要であったり、反復ステップを複数回行って収束させる必要があったりと、それぞれ固有の欠点がいくつかある。たとえば、ニュートン・ラプソン法においては、予め推測した値が必要であり、この最初の推測が正確な根と大きく異なる場合には、反復法が収束しないこともある。Ｍａｔｔｈｅｗｓは、正の整数のｎ乗根の計算について論じている（非特許文献６参照）。また、Ｐｒｉｅｓｔｌｅｙは、ｎ乗根の開平におけるニュートン法を実証している（非特許文献７参照）。さらに、ＭｕｅｎｃｈおよびＷｉｌｄｅｎｂｅｒｇは、対数を用いて５関数計算機により根を求めるアルゴリズムを提供している（非特許文献８参照）。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００２】
【非特許文献１】（ａ）Ｊ．Ｎａｐｉｅｒ，Ｍｉｒｉｆｉｃｉ  Ｌｏｇａｒｉｔｈｍｏｒｕｍ  Ｃａｎｏｎｉｓ  Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏ（１６１４）  ａｎｄ  Ｅ．Ｗｒｉｇｈｔ（Ｅｎｇｌｉｓｈ  Ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ  ｆｒｏｍ  Ｌａｔｉｎ），Ａ  Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ  ｏｆ  ｔｈｅ  Ａｄｍｉｒａｂｌｅ  Ｔａｂｌｅ  ｏｆ  Ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ（１６１６）、（ｂ）Ｊ．Ｎａｐｉｅｒ（１９６９），Ａ  Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ  ｏｆ  ｔｈｅ  Ａｄｍｉｒａｂｌｅ  Ｔａｂｌｅ  ｏｆ  Ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ，Ｌｏｎｄｏｎ  １６１６，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ；Ｎｅｗ  Ｙｏｒｋ，Ｎ．Ｙ．：Ｔｈｅａｔｒｕｍ  Ｏｒｂｉｓ  Ｔｅｒｒａｒｕｍ；Ｄａ  Ｃａｐｏ  Ｐｒｅｓｓ
【非特許文献２】Ｒ．Ｇ．Ｄｒｏｍｅｙ，Ｈｏｗ  ｔｏ  ｓｏｌｖｅ  ｉｔ  ｂｙ  ｃｏｍｐｕｔｅｒ，Ｐｅａｒｓｏｎ  Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｎｅｗ  Ｄｅｌｈｉ，２００８
【非特許文献３】Ｉ．Ｎｉｖｅｎ  ａｎｄ  Ｈ．Ｚｕｃｋｅｒｍａｎ，Ａｎ  ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ  ｔｏ  ｔｈｅ  ｔｈｅｏｒｙ  ｏｆ  ｎｕｍｂｅｒｓ，Ｗｉｌｅｙ  Ｓｔｕｄｅｎｔ  Ｅｄｉｔｉｏｎ，Ｎｅｗ  Ｄｅｌｈｉ，１９９１
【非特許文献４】Ｊ．Ｇｏｗｅｒ，Ａ  ｎｏｔｅ  ｏｎ  ａｎ  ｉｔｅｒａｔｉｖｅ  ｍｅｔｈｏｄ  ｆｏｒ  ｒｏｏｔ  ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ，Ｔｈｅ  Ｃｏｍｐｕｔｅ  Ｊ．，１（３）（１９５８），１４２−１４３
【非特許文献５】Ｒ．Ｂｕｒｄｅｎ  ａｎｄ  Ｄ．Ｆａｉｒｅｓ，Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ  ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｔｈｏｍｓｏｎ  Ａｓｉａ，Ｂａｎｇａｌｏｒｅ，２００５
【非特許文献６】Ｋ．Ｍａｔｔｈｅｗｓ，Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ  ｍｔｈ  ｒｏｏｔｓ，Ｔｈｅ  Ｃｏｌｌｅｇｅ  Ｍａｔｈ．Ｊ．，１９（１９８８），１７４−１７６
【非特許文献７】Ｗ．Ｐｒｉｅｓｔｌｅｙ，Ｆｒｏｍ  ｓｑｕａｒｅ  ｒｏｏｔｓ  ｔｏ  ｎｔｈ  ｒｏｏｔｓ，Ｎｅｗｔｏｎ’ｓ  ｍｅｔｈｏｄ  ｉｎ  ｄｉｓｇｕｉｓｅ，Ｔｈｅ  Ｃｏｌｌｅｇｅ  Ｍａｔｈ．Ｊ．，３０：５（１９９９），３８７−３８８
【非特許文献８】Ｄ．Ｍｕｅｎｃｈ  ａｎｄ  Ｇ．Ｗｉｌｄｅｎｂｅｒｇ，Ａ  ｌｏｇａｒｉｔｈｍ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ  ｆｏｒ  ａ  ｆｉｖｅ−ｆｕｎｃｔｉｏｎ  ｃａｌｃｕｌａｔｏｒ，Ｔｈｅ  Ｔｗｏ−ｙｅａｒ  Ｃｏｌｌｅｇｅ  Ｍａｔｈ．Ｊ．，１４（４）（１９８３），３２４−３２６
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
ただし、所与の数のｎ乗根を開平するための直接解析法は存在しない。ｎ乗根を求めるアルゴリズムの開発は、依然として興味深く、挑戦的な課題である。既存方法の欠点を抑えるには、効率的な新しい方法を開発する必要が大いにある。このような背景において、本発明は、３つの関数Ｕｉ、Ｖｉ、およびＴｉを導入し、これらの関係を構築することによって、所与の正の実数に関して正の実数のｎ乗根を任意の所望精度で一桁ごとに決定する計算が簡単な数値アルゴリズムに焦点を当てている。
【発明を実施するための形態】
【０００４】
２．累乗法による桁数
まず、当該アルゴリズムの基本結果が必要である。ＮおよびＷをそれぞれ、自然数および整数の集合とする。また、αをｋ桁
【０００５】
【数１】
0005959661.tif 000002
【０００６】
の所与の正の整数とする。ここで、αをｎ乗する際の桁数について考える。
【０００７】
定理１
ｍをαｎの桁数とすると、以下が成立する。
【０００８】
【数２．１】
0005959661.tif 000003
【０００９】
証明
ケース（ｉ）まず、ｎ＝２について考える。ｋ＝１の場合は、以下が成立する。
【００１０】
【数２．２】
0005959661.tif 000004
【００１１】
ｋ＞１の場合は、以下が成立する。
【００１２】
【数２．３】
0005959661.tif 000005
【００１３】
また、２ｋ−１≦ｍ≦２ｋである。但し、
【００１４】
【数２．４】
0005959661.tif 000006
【００１５】
数式（２．２）、（２．３）、および（２．４）は、数式（２．１）がｎ＝２の場合に有効であることを意味する。
【００１６】
ケース（ｉｉ）次に、ｎ＞２とする。ｋ＝１の場合は、α＜１０またはαｎ＜１０ｎである。これは、αｎが最大ｎ桁であることを意味する。
したがって、以下が成立する。
【００１７】
【数２．５】
0005959661.tif 000007
【００１８】
ｋ桁（ｋ＞１）の数αについて考える。この場合は、１０ｋ−１≦α＜１０ｋが成立する。よって、１０（ｋ−１）ｎ≦αｎ＜１０ｋｎとなる。これは、以下を意味する。
【００１９】
【数２．６】
0005959661.tif 000008
【００２０】
よって、数式（２．５）および（２．６）は、数式（２．１）がｎ＞２の場合に有効であることを意味する。このように、上記定理は、ｎ、ｋ∈Ｎのすべての値に関して有効である。
【００２１】
３．数値アルゴリズム
所与の正の整数Ｍのｎ乗根を求めるものとする。まず、Ｍが正の整数のちょうどｎ乗である場合の方法を示す。一般的な場合については、第５項にて後述する。
【００２２】
ステップ１
Ｍの一の位から開始して、それぞれサイズｎの可能最大数のブロックにＭの各桁を分割する。この過程で、Ｍの左端の桁が残った場合は、これらの桁で別のブロックを形成する。Ｍの各桁でこのように形成したブロックの総数をｋとする。この場合、定理１によって、Ｍの正の実数のｎ乗根は、ｋ桁から成り、たとえば一の位から順にａ１、ａ２、・・・、ａｋとなる。
ＭをＭ（ｋ，ｎ）とすると、以下のように表される。
【００２３】
【数３．１】
0005959661.tif 000009
【００２４】
ここで、Ｍ（ｋ，ｎ）の右側から各ブロックをＢ１、Ｂ２、・・・、Ｂｋとする。Ｂｉのサイズを｜Ｂｉ｜とすると、以下のように表される。
【００２５】
【数３．２】
0005959661.tif 000010
【００２６】
また、
【００２７】
【数３．３】
0005959661.tif 000011
【００２８】
ａｋ∈Ｎの可能最大値を以下のように決定する。
【００２９】
【数３．４】
0005959661.tif 000012
【００３０】
ここで、
【００３１】
【数３．５】
0005959661.tif 000013
【００３２】
ｋ＝１の場合は、ＲｋがＭ（ｋ，ｎ）の求めるべき正の実数のｎ乗根である。ｋ≠１の場合は、ステップ２に進む。
【００３３】
ステップ２
次のブロックを形成する。
【００３４】
【数３．６】
0005959661.tif 000014
【００３５】
Ｍｋ−１を以下のように定義する。
【００３６】
【数３．７】
0005959661.tif 000015
【００３７】
ここで、
【００３８】
【数３．８】
0005959661.tif 000016
【００３９】
かつ
【００４０】
【数３．９】
0005959661.tif 000017
【００４１】
とする。
Ｍｋ−１の一の位から開始して、それぞれサイズｎの（ｋ−２）個のブロックにＭｋ−１の各桁を分割するとともに、残ったＭｋ−１の左端の桁で別のブロックを形成する。また、Ｍｋ−１の左端のブロックをＢｋ−１（Ｍｋ−１）とする。この場合は、以下が成立する。
【００４２】
【数３．１０】
0005959661.tif 000018
【００４３】
ここで、Ｄｋ・Ｂｋ−１は、ＤｋとＢｋ−１の連結（「・」で表す）と定義される。
また、
【００４４】
【数３．１１】
0005959661.tif 000019
【００４５】
と見なす。
Ｖｋ−１∈Ｗの最大値を以下のように決定する。
【００４６】
【数３．１２】
0005959661.tif 000020
【００４７】
ここで、
【００４８】
【数３．１３】
0005959661.tif 000021
【００４９】
また、
【００５０】
【数３．１３ａ】
0005959661.tif 000022
【００５１】
は、ｎ個から一度にｒ個を選ぶ場合の組み合わせ数を表す。
ここで、
【００５２】
【数３．１４】
0005959661.tif 000023
【００５３】
とする。
Ｒｋ−１＝ＲｋｏＶｋ−１と定義すると、以下が成立する。
【００５４】
【数３．１５】
0005959661.tif 000024
【００５５】
ｋ＝２の場合は、Ｒｋ−１が求めるべき根である。ｋ≠２の場合は、ステップ３に進む。
【００５６】
ステップ３
【００５７】
【数３．１６】
0005959661.tif 000025
【００５８】
と定義する。
ステップ２の過程を繰り返す。ここで、Ｍｋ−２は、（ｋ−２）個のブロックから成る。
数式（３．１１）および（３．１２）と同様の手順をそれぞれ行って、Ｕｋ−２およびＶｋ−２を求める。また、同様に、ａｋ−２＝Ｖｋ−２としたり、Ｒｋ−２を定義したりする。そして、ｋが１になるまでこの過程を繰り返す。ここで、Ｒ１＝１０ｋ−１ａｋ＋１０ｋ−２ａｋ−１＋・・・＋ａ１がＭのｎ乗根である。
【００５９】
４．方法の証明
数学的帰納法の原理により、第３項に示した方法を検証する。
【００６０】
補助定理１
１≦ａｋ≦９
【００６１】
証明
数式（３．３）および（３．４）から、ａｋｎ≦Ｂｋ＜１０ｎが得られる。よって、ａｋ＜１０となる。また、Ｂｋ≠０であることから、ａｋ≧１となる。これらにより、１≦ａｋ≦９が得られる。
【００６２】
補助定理２
０≦ａｉ≦９、ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１
【００６３】
証明
数式（３．６）から、１０ｎＤｋ＝１０ｎＢｋ−１０ｎａｋｎが得られる。これは、１０ｎａｋｎ＋１０ｎＤｋ＋Ｂｋ−１＝１０ｎＢｋ＋Ｂｋ−１と表せる。また、数式（３．８）および（３．１０）から、１０ｎＵｋｎ＋Ｂｋ−１（Ｍｋ−１）＝Ｂｋ・Ｂｋ−１が得られる。数式（３．１２）により、この関係は、１０ｎＵｋｎ＋Ｖｋ−１Ｔｋ−１≦ＢｋｏＢｋ−１と表される。数式（３．２）および（３．３）を考慮すると、｜１０ｎＵｋｎ＋Ｖｋ−１Ｔｋ−１｜≦２ｎが得られる。これは、数式（３．９）および（３．１１）により、｜Ｕｋ−１ｎ＋Ｖｋ−１Ｔｋ−１｜≦２ｎと表される。そして、二項定理を用いると、｜（Ｕｋ−１＋Ｖｋ−１）ｎ｜≦２ｎが得られる。したがって、｜（１０Ｕｋ＋Ｖｋ−１）ｎ｜≦２ｎとなる。
【００６４】
Ｕｋ＝ａｋ≠０およびａｋの最大選択を考慮すると、定理１によって、上記は０≦Ｖｋ−１≦９と表せる。そして、数式（３．１４）から、０≦ａｋ−１≦９が得られる。
同様に、０≦ａｉ≦９、ｉ＝１、２、・・・、ｋ−２についても証明可能である。
【００６５】
Ｍ（ｋ，ｎ）が正の整数（たとえば、λ）のちょうどｎ乗であるものとすると、
【００６６】
【数４．１】
0005959661.tif 000026
【００６７】
となる。
ここで、数式（３．１）から、λ＝１０ｋ−１ａｋ＋１０ｋ−２ａｋ−１＋・・・＋ａ１である。
数式（３．１１）および（３．１４）、ならびにアルゴリズムのステップ３から、上記は以下のように表せる。
【００６８】
【数４．２】
0005959661.tif 000027
【００６９】
また、数式（３．１３）ならびにアルゴリズムのステップ３により、以下のように表される。
【００７０】
【数４．３】
0005959661.tif 000028
【００７１】
さらに、数式（３．８）、（３．９）、および（３．１１）、ならびにアルゴリズムのステップ３から、以下が分かる。
【００７２】
【数４．４】
0005959661.tif 000029
【００７３】
ｉ＝１、２、・・・、ｋ−２の場合は、ステップ３ならびに数式（３．７）および（３．１６）により、以下のように表される。
【００７４】
【数４．４ａ】
0005959661.tif 000030
【００７５】
そして、数式（３．５）および（３．１５）、ならびにステップ３から、以下が得られる。
【００７６】
【数４．４ｂ】
0005959661.tif 000031
【００７７】
ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１の場合、関係式（４．４）は、
【００７８】
【数４．４ｃ】
0005959661.tif 000032
【００７９】
と表される。よって、数式（３．８）、（３．９）、および（３．１１）、ならびにアルゴリズムのステップ３から、Ｕｉ＝１０Ｒｉ＋１、ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１が得られる。
ｉ＝１、２、・・・、ｋ−２の場合は、ステップ３ならびに数式（３．７）および（３．１６）により、以下のように表される。
Ｍｉ＝
【００８０】
【数４．４ｄ】
0005959661.tif 000033
【００８１】
そして、数式（３．５）および（３．１５）、ならびにステップ３から、以下が得られる。
【００８２】
【数４．４ｅ】
0005959661.tif 000034
【００８３】
ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１の場合、関係式（４．４）は、
【００８４】
【数４．４ｆ】
0005959661.tif 000035
【００８５】
と表される。よって、Ｕｉ＝１０Ｒｉ＋１、ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１となる。
【００８６】
定理２
ｎ∈Ｎを所与とすると、Ｕｉ（ｉ＝１、２、・・・、ｋ）、Ｖｉ（ｉ＝１、２、・・・、ｋ）、およびＴｉ（ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１）は、すべてのｋ∈Ｎに対して、以下の関係を満足する。
【００８７】
【数４．５】
0005959661.tif 000036
【００８８】
証明
数式（３．１）から、関係式（４．５）がｋ＝１の場合に有効であることが分かる。
関係式（４．５）がｋ∈Ｎの場合に有効であると仮定する。そして、Ｍ（ｋ＋１，ｎ）について考えると、関係式（３．８）、（３．９）、（４．２）、および（４．３）は、ｋを１だけ増やした場合にも有効である。
ここで、Ｕｉ（ｉ＝２、３、・・・、ｋ＋１）、Ｖｉ（ｉ＝２、３、・・・、ｋ＋１）、およびＴｉ（ｉ＝２、３、・・・、ｋ）の帰納的仮定を用いると、
【００８９】
【数４．５ａ】
0005959661.tif 000037
【００９０】
となる。
よって、
【００９１】
【数４．６】
0005959661.tif 000038
【００９２】
となる。
（ｋ＋１）の場合にも適用可能な関係式（４．５）を用いると、数式（４．６）の右辺は、
【００９３】
【数４．６ａ】
0005959661.tif 000039
【００９４】
となる。これは、二項定理を用いると（１０ｋａｋ＋１＋１０ｋ−１ａｋ＋・・・＋１０ａ２＋ａ１）ｎとなって、Ｍ（ｋ＋１，ｎ）が得られる。よって、当該定理は、ｋに関する帰納により示される。
【００９５】
５．一般的な場合のｎ乗根
一般的には、正の実数のちょうどｎ乗またはｎ乗根ではない正の整数のｎ乗根を求めたい場合がある。この場合は、第３項に示したアルゴリズムを以下のように修正した上で採用する必要がある。
Ｍを正の実数とすると、整数部分および小数部分から成る場合がある。ここで、小数点以下第ｈ位まで根を求めるものとする。この場合、所与の数Ｍに１０ｈｎを乗じ、［１０ｈｎＭ］に関して第３項のアルゴリズムに従うと、Ｒ１が１０ｈｎＭのｎ乗根の整数部分となる。ここで、
【００９６】
【数５．１】
0005959661.tif 000040
【００９７】
であることから、Ｒ１を１０ｈで除することにより、小数点以下第ｈ位までＭのｎ乗根を求める。
以下に例をいくつか示す。
【００９８】
５．１  Ｍがちょうどｎ乗である場合
例１．３√（１６４５７６１６４８２１８０５４４）を求める。
【００９９】
ステップ１
Ｍ＝１６４５７６１６４８２１８０５４４とする。ｎ＝３であることから、第３項に記載の通りにＭの各桁を分割すると、以下が得られる。
【０１００】
【表１】
0005959661.tif 000041
【０１０１】
ここで、ｋ＝６である。ａ６３≦１６となるには、ａ６＝２が最大値である必要がある。これより、Ｒ６＝ａ６＝２であることが分かる。Ｋ≠１であるため、ステップ２に進む。
【０１０２】
ステップ２
ブロックＤ６＝Ｂ６−ａ６３＝８を形成する。そして、Ｍ５＝Ｍ−１０５＊３ａ６３＝８  ４５７  ６１６  ４８２  １８０  ５４４と定義する。Ｕ６＝ａ６＝２およびＶ６＝０とする。Ｂ５（Ｍ５）＝Ｄ６・Ｂ５＝８４５７であることが分かる。
Ｍ５の各桁を以下のように分割する。
【０１０３】
【表２】
0005959661.tif 000042
【０１０４】
Ｕ５＝１０（Ｕ６＋Ｖ６）＝２０と見なす。値０、１、２、３、４、５、および６をＶ５に割り当てると、それぞれＶ５Ｔ５＝０、１２６１、２６４８、４１６７、５８２４、７６２５、および９５７６が得られる。ここで、
【０１０５】
【数５．２】
0005959661.tif 000043
【０１０６】
である。よって、Ｖ５Ｔ５≦８４５７となるには、Ｖ５∈Ｗの最大値が５である。ここで、Ｔ５＝１５２５である。ａ５＝Ｖ５＝５およびＲ５＝１０ａ６＋ａ５＝２５とする。
以降のステップについては、結果を下表に示す。
【０１０７】
ステップ３
【０１０８】
【表３】
0005959661.tif 000044
【０１０９】
よって、Ｒ１＝１０５ａ６＋１０４ａ５＋１０３ａ４＋１０２ａ３＋１０ａ２＋ａ１＝２５４３６４がＭの立方根である。また、
【０１１０】
【数５．３】
0005959661.tif 000045
【０１１１】
であることが分かる。
所与の問題について、上記の段階的な手順を踏むことはできる。ただし、より簡単な表現として、以下の例に示すような別の手順が有用と考えられる。
【０１１２】
例２．４√（１６１９２８６５７２９２９６）を求める。
【０１１３】
【数５．４】
0005959661.tif 000046
【０１１４】
よって、２００６が求めるべき根である。
【０１１５】
５．２  Ｍがちょうどｎ乗でない場合
例３．６√（１７５）を小数点以下第２位まで正しく求める。
【０１１６】
【数５．５】
0005959661.tif 000047
【０１１７】
例４．３√（３５．６６・・・）を小数点以下第３位まで正しく求める。
【０１１８】
【数５．６】
0005959661.tif 000048
【０１１９】
６．結論
上記の解析法では、所与の正の実数に関してｎ乗根の一桁ごとの開平を直接実行することができる。ｎ乗根の決定にニュートン法を用いる場合は、初期解を割り出した後に、微分法を適用する必要がある。一方、上記の方法では、簡単な算術演算しか用いず、初期解も不要である。この方法は、コンピュータで実現可能であるため、電子機器に組み込んで、メモリー空間を増やすことなく所与の正の実数のｎ乗根を決定するようにしてもよい。