(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
製品の形状の最適化方法であって、
ａ）境界が、一般的なｋ型のＧｉｅｌｉｓ曲線によって記述されている二次元領域内の微分問題に関する次式を解くようにプログラムされたコンピュータを提供することと、
0005914470.tif 000068
ここで
0005914470.tif 000069
は、滑らかな関数γ（θ）によって調整される通常のＧｉｅｌｉｓ極方程式を示し、ａ、ｂ、ｎ1、ｎ2、ｎ3及びｍは有限の実数であり、ｎ1、ａ及びｂは０ではない、
ｂ）前記製品に関連する環境を描くデータセットを格納することと、
ｃ）前記式を用いて、前記データセットに関連する最適形状を決定するために、前記コンピュータを用いることと、
ｄ）前記工程ｃ）において決定された前記最適形状に基づき、最適形状を有する前記製品を構成することと、を含んでいる方法。
【請求項２】
更に、項の間の線形補間と共に、前記式を用いて、形状を合成するために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
更に、前記式を用いて、ｋ型の曲線を合成するために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる、請求項１に記載の方法。
【請求項４】
前記製品は、アンテナである請求項１に記載の方法。
【請求項５】
製品の形状の最適化を行うためのシステムであって、
ａ）境界が、一般的なｋ型のＧｉｅｌｉｓ曲線によって記述されている二次元領域内の微分問題に関する次の式を解くようにプログラムされたコンピュータと、
0005914470.tif 000070
ここで、
0005914470.tif 000071
は、滑らかな関数γ（θ）によって調整される通常のＧｉｅｌｉｓ極方程式を示し、ａ、ｂ、ｎ1、ｎ2、ｎ3及びｍは有限の実数であり、ｎ1、ａ及びｂは０ではない、
ｂ）前記製品に関連する環境を描くデータセットを格納するデータベースと、
ｃ）前記コンピュータが、前記式を用いて、前記データセットに関連する最適形状の決定を行うように構成されていることと、
を含んでいるシステム。
【請求項６】
更に、項の間の線形補間と共に、前記式を用いて、形状を合成するように構成された、前記コンピュータを含んでいる、請求項５に記載のシステム。
【請求項７】
更に、前記式を用いて、ｋ型の曲線を合成するように構成された、前記コンピュータを含んでいる、請求項５に記載のシステム。
【発明の詳細な説明】
【背景技術】
【０００１】
本出願は、Ｊｏｈａｎ  Ｇｉｅｌｉｓの米国仮出願番号６１，３５６，８３６、発明の名称「コンピュータ実装ツールボックス」、出願日２０１０年６月２１日の正規出願であり、その内容は全て、あたかも本明細書に完全に記載されているかのように、参照によって本明細書に組み込まれる。
［序文］
【０００２】
本発明は、本発明者Ｊｏｈａｎ  Ｇｉｅｌｉｓの米国特許番号７，６２０，５２７、公告日２００９年１１月１７日に開示されている主題について改善し、前記特許の内容は全て、あたかも本明細書に完全に記載されているかのように、参照によって本明細書に組み込まれる。
【０００３】
‘５２７特許は、新規な数学的公式を用いてプログラムされたコンピュータを使用することによって、パターン（例えば、画像や、音、電磁波、または他の信号等の波形）の合成、変調及び／又は解析を行うシステム及び方法を記述している。前記公式は、様々な形状、波形、及び他の表現を生成するために用いられる。前記公式は、コンピュータの動作性能を著しく改善し、コンピュータメモリを著しく節約し、計算能力を実質的に向上させる。
【０００４】
‘５２７特許の幾何学的概念は、なぜ所定の自然形状及び形態が、そのように成長するかをモデル化し、説明するために役立つ。‘５２７特許で説明されているように、本発明者は、円形及び多角形を含む、既存の幾何的形態及び規則的な形状のほとんどが、次式の特別な実現として記述されることを見出した。
【０００５】
0005914470.tif 000002
（ａ、ｂ、ｎｉ及びｍｉ∈Ｒ＋）（ここでａ及びｂはゼロではない）
【０００６】
‘５２７特許は、この公式及び表現が、例えば、パターン（つまり、例えば、画像パターン及び電磁波（例えば、電気、光等）、音及び他の波形又は信号パターン等の波形等）の「合成」及び「解析」の両方でどのように利用されるかを説明している。
【０００７】
様々なパターンを合成するために、この式のパラメータを修正し、多様なパターンを合成できる。特に、パラメータｍ１、ｍ２、ｎ１、ｎ２、ｎ３、ａ及び／又はｂが調整される。回転対称性（ｍｉ）、指数（ｎｉ）、及び／又は短軸と長軸（ａとｂ）の数字を調整又は調節することによって、多様な自然形状、人工形状及び抽象的形状を生成できる。
【０００８】
図１は、超公式演算子を用いたパターンの合成及び／又はパターンの解析用の様々な実施形態に含まれる、様々な構成要素を示す概略図の‘５２７特許からの複製である。‘５２７特許で述べたように、第一形態によると、［図１］を参照しながら例示的な目的のために、形状又は波形は、次の典型的な基本ステップの適用によって「合成」できる。第一ステップでは（例えば、つまり、キーボード２０、タッチスクリーン、マウスポインタ、音声認識装置又は他の入力装置等を介して、コンピュータ１０内に値を入力するか、コンピュータ１０に値を指定させることによって）パラメータの選択を行い、コンピュータ１０を用いて、パラメータの選択に基づいて、所定の超形状を合成する。第二の選択的ステップでは、超公式を用いて、所定の形状の調整、最適化の計算等を行うことができる。このステップは、グラフィックプログラム（例えば、２Ｄ、３Ｄ等）、ＣＡＤソフトウェア、有限要素解析プログラム、波形生成プログラム、又は他のソフトウェアの使用を含むことができる。第三ステップでは、第一又は第二ステップからの出力を用いて、（ａ）モニタ３０上に超形状３１を表示すること、プリンタ５０（２Ｄ又は３Ｄ）から紙等の貯蔵物５２上に超形状５１を印刷すること、（ｂ）（例えば、第三ステップの出力に基づいて、機械、ロボット等の外部装置６０を制御することによって）コンピュータ支援製造を行うこと、（ｃ）スピーカシステム７０等を介して、音７１を生成すること、（ｄ）立体リソグラフィを行うこと、（ｅ）高速試作を行うこと、及び／又は（ｆ）このような形状の変換を行うために、既知の別の方法での出力を利用すること等、計算した超形状を物理的形態に変換する。
【０００９】
‘５２７特許は、合成（例えば、形状の生成等）と解析（例えば、形状の解析等）の両方を議論している。解析については、‘５２７特許は、「一般的に、それには限定されないが、形状又は波形は、次の基本ステップの適用によって「解析」できる（これらのステップは、合成の上記のステップの逆と同様である）」と説明している。第一ステップでは、パターンの走査又はコンピュータへの（例えば、デジタル形態での）入力を行うことができる。例えば、対象の画像を（２Ｄ又は３Ｄ）走査してもよく、マイクロフォンで音波を受け取ってもよく、電気信号（例えば、波動）を受け取ってもよく、例えば、ＣＤ−ＲＯＭ、ディスク等のコンピュータ読取り可能な媒体からのデータを入力してもよく、インターネット又はイントラネット等を介して、オンラインでデータを受け取ってもよい。例えば、デジタル又は他のカメラ等を用いて（例えば、単一の画像、又は連続的実時間等）、様々な他の既知の入力技術を用いることもできる。［図１］は、画像スキャナ１００（例えば、紙又は写真等の貯蔵物上の画像を走査するために利用される文書スキャナ、又は他の走査装置）及び／又は記録器２００（例えば、マイクロフォン等を介して、波動を受け取る）が、コンピュータ１０と共に利用される例を示す。第二ステップでは、画像を解析し、超公式のパラメータ値等を決定する。このステップでは、解析された信号の識別、分類、比較等を行うこともできる。いくつかのコンピュータ解析の場合、コンピュータは、（例えば、パラメータ値によって仕分けされる超形状を分類している）原本の（例えば、メモリ内に格納される）ライブラリ又はカタログを含むことができる。この後者の場合、それから、コンピュータを用いて、ライブラリ又はカタログ内の情報に基づいて、超形状の近似、識別、分類等を行うことができる。原本のカタログは、例えば、パターン又は形状の最初の近似用に用いることもできる。第三の選択的ステップでは、解析された信号を必要に応じて調整できる（例えば、合成の第二の一般的な段階又はステップを参照しながら上で説明したものと同様に、走査を行うことができる）。第四ステップでは、出力を生成できる。出力は、（ａ）視覚的（例えば表示又は印刷される）出力、又は聴覚的（例えば、音声）出力を提供すること、（ｂ）特定の装置の動作を制御すること（例えば、所定の状態が決定される）、（ｃ）解析したパターンに関連した指示を提供すること（例えば、それの識別、分類、好ましい又は最適な構成の識別、不良又は異常の識別等）、（ｄ）当業者には明らかなように、出力又は結果の別の形態を生成すること、を含むことができる。解析では、パターンをデジタル化した後、コンピュータは、所定の型の表現を用いることに進む。化学パターンの場合、ＸＹグラフを選択すべきである。閉形状の場合、修正Ｆｏｕｒｉｅｒ解析を選択すべきである。コンピュータを適応させ（例えば、ソフトウェアを介して）、デジタル化したパターンを表現するための式用の正しいパラメータの評価を提供すべきである。
【００１０】
‘５２７特許は、この十年間の技術の注目すべき進歩を述べているが、本発明者は、本出願の主題である、いくつかの注目すべき進歩及び改善を発見している。
［背景の参考文献］
【００１１】
更に、一般的な背景情報用に、以降の参考文献に言及するが、以降の参考文献の各々の全ての内容は、全体として参照によって本明細書に組み込まれる。
【００１２】
１．Ｇｉｅｌｉｓ，Ｊ．Ａ  ｇｅｎｅｒｉｃ  ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ  ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ  ｔｈａｔ  ｕｎｉｆｉｅｓ  ａ  ｌａｒｇｅ  ｒａｎｇｅ  ｏｆ  ｎａｔｕｒａｌ  ａｎｄ  ａｂｓｔｒａｃｔ  ｓｈａｐｅｓ．  Ａｍｅｒｉｃａｎ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｂｏｔａｎｙ  ９０（３）Ｉｎｖｉｔｅｄ  Ｓｐｅｃｉａｌ  Ｐａｐｅｒ，３３３−３３８（２００３）．
２．Ｂｅｒａ，Ｎ．，Ｂｈａｔｔａｃｈａｒｊｅｅ，Ｊ．Ｋ．，Ｍｉｔｒａ，Ｓ．＆Ｋｈａｓｔｇｉｒ，Ｓ．Ｐ．Ｅｎｅｒｇｙ  ｌｅｖｅｌｓ  ｏｆ  ａ  ｐａｒｔｉｃｌｅ  ｃｏｎｆｉｎｅｄ  ｉｎ  ａ  ｓｕｐｅｒｃｉｒｃｕｌａｒ  ｂｏｘ．Ｔｈｅ  Ｅｕｒｏｐｅａｎ  Ｐｈｙｓｉｃａｌ  Ｊｏｕｒｎａｌ  Ｄ４６，４１−５０（２００８）．
３．Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ，Ｊ．Ｓ．ｅｔ  ａｌ．ＲＮＡ  Ｂａｃｋｂｏｎｅ：Ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ  ａｌｌ−ａｎｇｌｅ  ｃｏｎｆｏｒｍｅｒｓ  ａｎｄ  ｍｏｄｕｌａｒ  ｓｔｒｉｎｇ  ｎｏｍｅｎｃｌａｔｕｒｅ．ＲＮＡ  １４，４６５−４８１（２００８）．
４．Ｇｕｉｔａｒｔ，Ｒ．Ｌｅｓ  ｃｏｏｒｄｏｎｎeｅｓ  ｃｕｒｖｉｌｉｇｎｅｓ  ｄｅ  Ｇａｂｒｉｅｌ  Ｌａｍe，ｒeｐｒeｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ  ｄｅｓ  ｓｉｔｕａｔｉｏｎ  ｐｈｙｓｉｑｕｅｓ  ｅｔ  ｎｏｕｖｅａｕｘ  ｏｂｊｅｃｔｓ  ｍａｔｈeｍａｔｉｑｕｅｓ．Ｉｎ：Ｇａｂｒｉｅｌ  Ｌａｍe：Ｌｅｓ  ｐeｒeｇｒｉｎａｔｉｏｎｓ  ｄ’ｕｎ  ｉｎｇeｎｉｅｕｒ  ｄｕ  ＸＩＸｅ  ｓｉeｃｌｅ．Ａｃｔｅｓ  ｄｕ  Ｃｏｌｌｏｑｕｅ．ＳＡＢＩＸ  Ｎo４４，１１９−１２９（２００９）．
５．Ｇｉｅｌｉｓ，Ｊ．，Ｂｅｉｒｉｎｃｋｘ，Ｂ．＆Ｂａｓｔｉａｅｎｓ，Ｅ．Ｓｕｐｅｒｑｕａｄｒｉｃｓ  ｗｉｔｈ  ｒａｔｉｏｎａｌ  ａｎｄ  ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ  ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ．Ｉｎ：（Ｅｌｂｅｒ  Ｇ．ａｎｄ  Ｓｈａｐｉｒｏ  Ｖ．，Ｅｄｓ）．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ  ｏｆ  ｔｈｅ  ８ｔｈ  ＡＣＭ  Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ  ｏｎ  Ｓｏｌｉｄ  Ｍｏｄｅｌｉｎｇ  ａｎｄ  Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｓｅａｔｔｌｅ，Ｊｕｎｅ  １６−２０，２００３，２６２−２６５（２００３）．
６．Ｕｌｒｉｃｈ，Ｗ．Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｎｇ  ｔｈｅ  ｐｒｏｃｅｓｓ  ｏｆ  ｓｐｅｃｉｅｓ  ａｃｃｕｍｕｌａｔｉｏｎ  ｉｎｔｏ  ａｒｅａ  ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ａｎｄ  ｔｉｍｅ  ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｐａｒｔｓ．Ｅｃｏｌｏｇｉｃａｌ  Ｒｅｓｅａｒｃｈ  ２１（４），５７８−５８５（２００６）．
７．Ｆｏｕｇｅｒｏｌｌｅ，Ｙ．Ｄ．，Ｇｒｉｂｏｋ，Ａ．，Ｆｏｕｆｏｕ，Ｓ．，Ｔｒｕｃｈｅｒｅｔ，Ｆ．＆Ａｂｉｄｉ  Ｍ．Ａ．Ｂｏｏｌｅａｎ  Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ  ｗｉｔｈ  Ｉｍｐｌｉｃｉｔ  ａｎｄ  Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ  Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ  ｏｆ  Ｐｒｉｍｉｔｉｖｅｓ  Ｕｓｉｎｇ  Ｒ−Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ  ｏｎ  Ｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎ  ａｎｄ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｇｒａｐｈｉｃｓ  １１（５），５２９−５３９（２００５）．
８．Ｊｏｈｎｓｏｎ，Ｊ．Ｅ．，Ｓｔａｒｋｅｙ，Ｒ．Ｐ．＆Ｌｅｗｉｓ，Ｍ．Ｊ．Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ  ｓｔａｂｉｌｉｔｙ  ｏｆ  ｒｅｅｎｔｒｙ  ｈｅａｔ  ｓｈｉｅｌｄ  ｓｈａｐｅｓ  ｆｏｒ  ａ  ｃｒｅｗ  ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ  ｖｅｈｉｃｌｅ．Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｓｐａｃｅｃｒａｆｔ  ａｎｄ  Ｒｏｃｋｅｔｓ  ４３（４），７２１−７３０（２００６）．
９．Ｇｉｅｌｉｓ，Ｊ．，Ｈａｅｓｅｎ，Ｓ．＆Ｖｅｒｓｔｒａｅｌｅｎ，Ｌ．Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ  ｓｈａｐｅｓ：ｆｒｏｍ  ｔｈｅ  ｓｕｐｅｒｅｇｇｓ  ｏｆ  Ｐｉｅｔ  Ｈｅｉｎ  ｔｏ  ｔｈｅ  ｃｏｓｍｉｃ  ｅｇｇ  ｏｆ  Ｇｅｏｒｇｅ  Ｌｅｍａiｔｒｅ．Ｋｒａｇｕｊｅｖａｃ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ  ２８，５５−６７（２００５）．
１０．Ｈａｅｓｅｎ，Ｓ．＆Ｖｅｒｓｔｒａｅｌｅｎ，Ｌ．Ｃｕｒｖａｔｕｒｅ  ａｎｄ  Ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ  ｏｆ  Ｐａｒａｌｌｅｌ  Ｔｒａｎｓｐｏｒｔ  （Ｃｈａｐｔｅｒ  ８）ａｎｄ  Ｅｘｔｒｉｎｓｉｃ  Ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ  ｏｆ  Ｐａｒａｌｌｅｌ  Ｔｒａｎｓｐｏｒｔ（Ｃｈａｐｔｅｒ  ９）Ｉｎ：Ｍ．Ｂｏｕｃｅｔｔａ  ａｎｄ  Ｊ．−Ｍ．Ｍｏｒｖａｎ（Ｅｄｓ）Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ  Ｇｅｏｍｅｔｒｙ  ａｎｄ  Ｔｏｐｏｌｏｇｙ，Ｄｉｓｃｒｅｔｅ  ａｎｄ  Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ  Ｇｅｏｍｅｔｒｙ：Ｖｏｌｕｍｅ  １９７  ＮＡＴＯ  Ｓｃｉｅｎｃｅ  Ｓｅｒｉｅｓ：Ｃｏｍｐｕｔｅｒ＆Ｓｙｓｔｅｍｓ  Ｓｃｉｅｎｃｅｓ（２００５）．
１１．Ｋｏｉｓｏ，Ｍ．＆Ｐａｌｍｅｒ，Ｂ．Ｅｑｕｉｌｉｂｒｉａ  ｆｏｒ  ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ  ｅｎｅｒｇｉｅｓ  ａｎｄ  ｔｈｅ  Ｇｉｅｌｉｓ  Ｆｏｒｍｕｌａ．Ｆｏｒｍａ（Ｓｏｃｉｅｔｙ  ｆｏｒ  Ｓｃｉｅｎｃｅ  ｏｎ  Ｆｏｒｍ，Ｊａｐａｎ）２３（１），１−８（２００８）．
１２．Ｃａｌｈｏｕｎ，Ｄ．Ａ．＆Ｈｅｌｚｅｌ，Ｃ．Ａ  ｆｉｎｉｔｅ  ｖｏｌｕｍｅ  ｍｅｔｈｏｄ  ｆｏｒ  ｓｏｌｖｉｎｇ  ｐａｒａｂｏｌｉｃ  ｅｑｕａｔｉｏｎｓ  ｏｎ  ｌｏｇｉｃａｌｌｙ  Ｃａｒｔｅｓｉａｎ  ｃｕｒｖｅｄ  ｓｕｒｆａｃｅ  ｍｅｓｈｅｓ．ＳＩＡＭ  Ｊ．Ｓｃｉ．Ｃｏｍｐ．３１（６），４０６６−４０９９（２００９）．
１３．Ｎａｔａｌｉｎｉ，Ｐ．，Ｐａｔｒｉｚｉ，Ｒ．＆Ｒｉｃｃｉ，Ｐ．Ｅ．Ｔｈｅ  Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ  ｐｒｏｂｌｅｍ  ｆｏｒ  ｔｈｅ  Ｌａｐｌａｃｅ  ｅｑｕａｔｉｏｎ  ｉｎ  ａ  ｓｔａｒｌｉｋｅ  ｄｏｍａｉｎ  ｏｆ  ａ  Ｒｉｅｍａｎｎ  ｓｕｒｆａｃｅ．Ｎｕｍｅｒ．Ａｌｇｏｒ．ＤＯＩ  １０．１００７／ｓ  １１０７５−００８−９２０１−ｚ（２００８）．
１４．Ｇｉｅｌｉｓ，Ｊ．，Ｃａｒａｔｅｌｌｉ，Ｄ．，Ｈａｅｓｅｎ，Ｓ．＆Ｒｉｃｃｉ，Ｐ．Ｅ．Ｒａｔｉｏｎａｌ  ｍｅｃｈａｎｉｃｓ  ａｎｄ  Ｓｃｉｅｎｃｅ  Ｒａｔｉｏｎｅｌｌｅ  Ｕｎｉｑｕｅ．Ｉｎ：Ｐａｉｐｅｔｉｓ，Ｓ．，Ｃｅｃｃａｒｅｌｌｉ，Ｍ．（Ｅｄｓ．）Ｔｈｅ  Ｇｅｎｉｕｓ  ｏｆ  Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ：２３  ｃｅｎｔｕｒｉｅｓ  ｏｆ  ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ  ｏｎ  ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｓｃｉｅｎｃｅ  ａｎｄ  ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ  Ｖｅｒｌａｇ，ＨＭＭＳ  Ｓｅｒｉｅｓ  １１，２９−４３（２０１０）．
１５．Ｌａｍe，Ｇ．Ｅｘａｍｅｎ  ｄｅ  ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｅｓ  ｍeｔｈｏｄｅｓ  ｅｍｐｌｏｙeｅｓ  ｐｏｕｒ  ｒeｓｏｕｄｒｅ  ｌｅｓ  ｐｒｏｂｌeｍｅｓ  ｄｅ  ｇeｏｍｅｔｒｉｅ．Ｍ．Ｖ．Ｃｏｕｒｃｉｅｒ  ｉｍｐｒｉｍｅｕｒ  Ｌｉｂｒａｉｒｅ，Ｐａｒｉｓ（１８１８）．
１６．Ｔｈｏｍｐｓｏｎ，Ａ．Ｃ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ  ｇｅｏｍｅｔｒｙ，Ｅｎｃｙｃｌｏｐｅｄｉａ  ｏｆ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ  ａｎｄ  ｉｔｓ  Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｖｏｌ．６３，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ  Ｐｒｅｓｓ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ（１９９６）．
１７．Ｃｈｅｒｎ，Ｓ．−Ｓ．Ｂａｃｋ  ｔｏ  Ｒｉｅｍａｎｎ．Ｉｎ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：Ｆｒｏｎｔｉｅｒｓ  ａｎｄ  Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓ  ２０００．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ  Ｕｎｉｏｎ，３３−３４（２０００）．
１８．Ｙａｊｉｍａ，Ｔ．＆Ｎａｇａｈａｍａ，Ｙ．Ｆｉｎｓｌｅｒ  ｇｅｏｍｅｔｒｙ  ｏｆ  ｓｅｉｓｍｉｃ  ｒａｙ  ｐａｔｈ  ｉｎ  ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ  ｍｅｄｉａ．Ｐｒｏｃ．Ｒ．Ｓｏｃ．Ａ  ４６５，１７６３−１７７７（２００９）．
１９．Ｂｅｒｇｅｒ，Ｍ．Ａ  ｐａｎｏｒａｍｉｃ  ｖｉｅｗ  ｏｆ  Ｒｉｅｍａｎｎｉａｎ  ｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ  Ｖｅｒｌａｇ（２００３）．
２０．Ｖｅｒｓｔｒａｅｌｅｎ，Ｌ．Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｉａｅ  Ｎａｔｕｒａｌｉｓ  Ｐｒｉｎｃｉｐｉａ  Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａ  Ｉ．Ｂｕｌｌ．Ｔｒａｎｓｉｌｖａｎｉａ  Ｕｎｉｖ．Ｂｒａｓｏｖ  １４（４９）Ｐｒｏｃ．Ｃｏｎｆ．ＲＩＧＡ  ２００７，ｄｅｄｉｃａｔｅｄ  ｔｏ  Ｒａｄｕ  Ｒｏｓｅａ，３３５−３５１（２００７）．
２１．Ｔｈｏｍ，Ｒ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ  ｓｔａｂｉｌｉｔｙ  ａｎｄ  ｍｏｒｐｈｏｇｅｎｅｓｉｓ．Ｂｅｎｊａｍｉｎ（１９７２）．
２２．Ｌｏｒｉａ，Ｇ．Ｓｐｅｚｉｅｌｌｅ  ａｌｇｅｂｒａｉｓｃｈｅ  ｕｎｄ  ｔｒａｎｓｓｃｅｎｄｅｎｔｅ  ｅｂｅｎｅ  Ｋｕｒｖｅｎ：Ｔｈｅｏｒｉｅ  ｕｎｄ  Ｇｅｓｃｈｉｃｈｔｅ．Ｔｅｕｂｎｅｒ  Ｇ．Ｂ．Ｖｅｒｌａｇ（１９０２）．
２３．Ｗｅｓｔ，Ｇ．Ｂ．，Ｂｒｏｗｎ，Ｊ．Ｈ．＆Ｅｎｑｕｉｓｔ，Ｂ．Ｊ．Ａ  ｇｅｎｅｒａｌ  ｍｏｄｅｌ  ｆｏｒ  ｔｈｅ  ｏｒｉｇｉｎ  ｏｆ  ａｌｌｏｍｅｔｒｉｃ  ｓｃａｌｉｎｇ  ｌａｗｓ  ｉｎ  ｂｉｏｌｏｇｙ．Ｓｃｉｅｎｃｅ  ２７６，１２２−１２６（１９９７）．
２４．Ｗｅｓｔ，Ｇ．Ｂ．，Ｂｒｏｗｎ，Ｊ．Ｈ．＆Ｅｎｑｕｉｓｔ，Ｂ．Ｊ．Ｔｈｅ  ｆｏｕｒｔｈ  ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ  ｏｆ  ｌｉｆｅ：ｆｒａｃｔａｌ  ｇｅｏｍｅｔｒｙ  ａｎｄ  ａｌｌｏｍｅｔｒｉｃ  ｓｃａｌｉｎｇ  ｏｆ  ｏｒｇａｎｉｓｍｓ．Ｓｃｉｅｎｃｅ  ２８４，１６７７−１６７９（１９９９）．
２５．Ｖｅｒｓｔｒａｅｌｅｎ，Ｌ．Ｏｎ  Ｎａｔｕｒａｌ  Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ  Ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ．Ｄｅｄｉｃａｔｅｄ  ｔｏ  ｔｈｅ  ｍｅｍｏｒｙ  ｏｆ  Ｋａｔｓｕｍｉ  Ｎｏｍｉｚｕ．Ｍｕｒｃｉａ（Ｓｐａｉｎ）Ｗｏｒｋｓｈｏｐ“Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ  Ｇｅｏｍｅｔｒｙ  ａｎｄ  Ｓｕｂｍａｎｉｆｏｌｄｓ”Ｄｅｐａｒｔａｍｅｎｔｏ  ｄｅ  Ｍａｔｅｍaｔｉｃａｓ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｄａｄ  ｄｅ  Ｍｕｒｃｉａ  Ｎｏｖｅｍｂｅｒ  １８−２０（２００８）．
２６．Ｄ’Ａｒｃｙ  Ｔｈｏｍｐｓｏｎ，Ｗ．Ｏｎ  Ｇｒｏｗｔｈ  ａｎｄ  Ｆｏｒｍ．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ  Ｐｒｅｓｓ（１９１７）．
２７．Ｃｏｌｄｉｎｇ，Ｔ．Ｈ．＆Ｍｉｎｉｃｏｚｚｉ  Ｗ．Ｐ．Ｓｈａｐｅｓ  ｏｆ  ｅｍｂｅｄｄｅｄ  ｍｉｎｉｍａｌ  ｓｕｒｆａｃｅｓ．ＰＮＡＳ，Ｊｕｌｙ  ２５：１１１０６−１１１１１（２００６）．
２８．Ｋｏｉｓｏ，Ｍ．＆Ｐａｌｍｅｒ  Ｂ．Ｒｏｌｌｉｎｇ  ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ  ｆｏｒ  ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ  Ｄｅｌａｕｎａｙ  ｓｕｒｆａｃｅｓ．Ｐａｃｉｆｉｃ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ  ２，３４５−３７８（２００８）．
２９．Ｐａｌｍｅｒ  Ｂ．Ｇｅｏｍｅｔｒｙ  ｏｆ  ｍａｔｅｒｉａｌｓ．Ｓｉｍｏｎ  Ｓｔｅｖｉｎ  Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ  ｏｎ  Ｇｅｏｍｅｔｒｙ  １，１１７−１２９，Ｔｉｌｂｕｒｇ，Ｔｈｅ  Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ（２０１０）．
３０．Ｌｉｂｂｒｅｃｈｔ  Ｋ．Ｔｈｅ  ｐｈｙｓｉｃｓ  ｏｆ  ｓｎｏｗ  ｃｒｙｓｔａｌｓ．Ｒｅｐｏｒｔｓ  ｏｎ  Ｐｒｏｇｒｅｓｓ  ｉｎ  Ｐｈｙｓｉｃｓ  ６８，８５５−８９５（２００５）．
３１．Ｓｕｓｌｏｖ，Ｄ＆Ｖｅｒｂｅｌｅｎ，Ｊ．−Ｐ．Ｃｅｌｌｕｌｏｓｅ  ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ  ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ  ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ  ａｎｉｓｏｔｒｏｐｙ  ｉｎ  ｏｎｉｏｎ  ｅｐｉｄｅｒｍａｌ  ｃｅｌｌ  ｗａｌｌｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ  Ｂｏｔａｎｙ  ５７（１０），２１８３−２１９２（２００６）．
３２．Ｈａｍａｎｔ，Ｏ．，ｅｔ  ａｌ．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｌ  Ｐａｔｔｅｒｎｉｎｇ  ｂｙ  Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ  Ｓｉｇｎａｌｓ  ｉｎ  Ａｒａｂｉｄｏｐｓｉｓ．Ｓｃｉｅｎｃｅ  ３２２，１６５０−１６５５（２００８）．
３３．Ｃｈｅｎ  Ｂ．Ｙ．Ｔｏｔａｌ  ｍｅａｎ  ｃｕｒｖａｔｕｒｅ  ａｎｄ  ｓｕｂｍａｎｉｆｏｌｄｓ  ａｎｄ  ｆｉｎｉｔｅ  ｔｙｐｅ  ｃｕｒｖｅｓ．Ｓｅｒｉｅｓ  ｉｎ  Ｐｕｒｅ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ  Ｖｏｌ．１．Ｗｏｒｌｄ  Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ（１９８４）．
３４．Ｖｅｒｓｔｒａｅｌｅｎ  Ｌ．Ｃｕｒｖｅｓ  ａｎｄ  ｓｕｒｆａｃｅｓ  ｏｆ  ｆｉｎｉｔｅ  Ｃｈｅｎ  ｔｙｐｅ．Ｇｅｏｍｅｔｒｙ  ａｎｄ  Ｔｏｐｏｌｏｇｙ  ｏｆ  Ｓｕｂｍａｎｉｆｏｌｄｓ  ＩＩＩ，Ｗｏｒｌｄ  Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ，Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ，３０４−３１１（１９９１）．
３５．Ｃａｒａｔｅｌｌｉ，Ｄ．，Ｎａｔａｌｉｎｉ，Ｐ．，Ｒｉｃｃｉ  Ｐ．Ｅ．＆Ｙａｒｏｖｏｙ  Ａ．Ｔｈｅ  Ｎｅｕｍａｎｎ  ｐｒｏｂｌｅｍ  ｆｏｒ  ｔｈｅ  Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ  ｅｑｕａｔｉｏｎ  ｉｎ  ａ  ｓｔａｒｌｉｋｅ  ｐｌａｎａｒ  ｄｏｍａｉｎ．Ａｐｐｌｉｅｄ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ  ａｎｄ  Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ  ２１６（２），５５６−５６４（２０１０）．
３６．Ｃａｒａｔｅｌｌｉ，Ｄ．，Ｎａｔａｌｉｎｉ，Ｐ．＆Ｒｉｃｃｉ，Ｐ．Ｅ．Ｆｏｕｒｉｅｒ  ｓｏｌｕｔｉｏｎ  ｏｆ  ｔｈｅ  ｗａｖｅ  ｅｑｕａｔｉｏｎ  ｆｏｒ  ａ  ｓｔａｒｌｉｋｅ  ｓｈａｐｅｄ  ｖｉｂｒａｔｉｎｇ  ｍｅｍｂｒａｎｅ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ  ａｎｄ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ  ｗｉｔｈ  Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ  ５９，１７６−１８４（２０１０）．
３７．Ｆｏｕｇｅｒｏｌｌｅ，Ｙ．Ｄ．，Ｔｒｕｃｈｅｒｅｔ，Ｆ．＆Ｇｉｅｌｉｓ，Ｊ．Ａ  ｎｅｗ  ｐｏｔｅｎｔｉａｌ  ｆｕｎｃｔｉｏｎ  ｆｏｒ  ｓｅｌｆ  ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｎｇ  Ｇｉｅｌｉｓ  ｃｕｒｖｅｓ  ｗｉｔｈ  ｒａｔｉｏｎａｌ  ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ．Ｉｎ：Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ  ｏｆ  ＧＲＡＰＰ  ２００９−Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ  ｏｎ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｇｒａｐｈｉｃｓ  Ｔｈｅｏｒｙ  ａｎｄ  Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ−Ｌｉｓｂｏａ，Ｆｅｂｒｕａｒｙ  ５−８，２００９．
３８．Ｖｅｒｓｔｒａｅｌｅｎ  Ｌ．Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｉａｅ  Ｎａｔｕｒａｌｉｓ  Ｐｒｉｎｃｉｐｉａ  Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａ  ＩＩ  Ｒａｄｕ  Ｒｏｓｅａ  ｉｎ  ｍｅｍｏｒｉａｍ，ｕｎｐｕｂｌｉｓｈｅｄ＆ｐｅｒｓ．ｃｏｍｍ．
３９．Ｃｈｅｒｎ，Ｓ．Ｓ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ．Ｉｎ：Ｄｉｌｌｅｎ，Ｆ．ａｎｄ  Ｖｅｒｓｔｒａｅｌｅｎ，Ｌ．（Ｅｄｓ．），Ｈａｎｄｂｏｏｋ  ｏｆ  Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ  Ｇｅｏｍｅｔｒｙ  １，Ｎｏｒｔｈ−Ｈｏｌｌａｎｄ，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ（２０００）．
４０．Ｅｉｎｓｔｅｉｎ，Ａ．Ｏｎ  ｔｈｅ  ｍｅｔｈｏｄ  ｏｆ  Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ  Ｐｈｙｓｉｃｓ．Ｔｈｅ  Ｈｅｒｂｅｒｔ  Ｓｐｅｎｃｅｒ  Ｌｅｃｔｕｒｅ，ｄｅｌｉｖｅｒｅｄ  ａｔ  Ｏｘｆｏｒｄ，Ｊｕｎｅ  １０，１９３３．Ｏｘｆｏｒｄ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ  Ｐｒｅｓｓ（１９３３）．
【００１３】
以降の本出願では、上で参照した背景の記事への参照は、上記のとおりテキスト内に数字的に行われる（例えば、上付の１によって記事１への参照）。
【発明の開示】
【００１４】
本発明の好ましい実施形態は、従来技術の上記の及び／又は他の問題を考慮して開発されている。本発明の好ましい実施形態は、既存の方法及び／又は装置を著しく改善できる。
【００１５】
好ましい実施形態によると、処理ツール（つまり、本明細書では「ツールボックス」と呼ばれる）を生成するように構成されたソフトウェア、ハードウェア及び／又はファームウェアを備えたコンピュータ又は他の処理装置のプログラミングを含む、システム及び／又は方法が提供され、前記処理ツールを構成し、例えば、形状等の合成及び／又は解析等の目的で、本明細書で記述された新しい数学的原理に基づいて、一つ以上の演算関数を提供できる。
【００１６】
第一実施形態によると、
ａ）次の式を解くようにプログラムされたコンピュータツールボックスを提供することと、
0005914470.tif 000003
ここで、
0005914470.tif 000004
ｂ）前記式を用いて、形状の合成又は解析を行うために、コンピュータツールボックスを用いることと、
を含む、形状の合成又は解析を行う方法が提供される。
【００１７】
別の実施形態によると、
ａ）次の式を解くようにプログラムされたコンピュータと、
0005914470.tif 000005
ここで、
0005914470.tif 000006
ｂ）前記コンピュータが、前記式を用いて、形状の合成又は解析を行うように構成されていることと、
を含む、形状の合成又は解析を行うコンピュータツールボックスが提供される。
【００１８】
いくつかの例では、前記方法又はシステムは更に、項の間の線形補間を伴う前記式を用いて、形状を合成するために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる。いくつかの例では、前記方法又はシステムは更に、前記式を用いて、ｋ型の曲線を合成するために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる。いくつかの例では、前記方法又はシステムは更に、前記式を用いて、ｋ型の面を合成するために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる。いくつかの例では、前記方法又はシステムは更に、データベース内のデータをクラスタリングすることと、前記式を用いて、クラスタリングしたデータのデータマイニングを行うために、コンピュータツールボックスを用いることと、を含んでいる。いくつかの例では、前記方法又はシステムは更に、前記式を利用して計算を行うために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる。いくつかの例では、前記方法又はシステムは更に、前記計算が、メッシュフリーモデリングを含むことを備えている。いくつかの例では、前記方法又はシステムは更に、前記計算が、製品の最適設計を含むことを備えている。
【００１９】
他の出版物内で開示された様々な形状、実施形態、方法、及び装置の利点及び欠点の本明細書内での説明は、決して本発明を限定するものではない。例えば、本発明の好ましい実施形態の所定の特徴は、本明細書で開示された特徴、実施形態、方法及び装置の一部又は全てを保持しながら、例えば、本明細書で議論した欠点及び／又は利点等の、所定の欠点を克服すること、及び／又は所定の利点を提供することが可能である。
【図面の簡単な説明】
【００２０】
本発明の好ましい実施形態は、添付の図面内に、一例として、限定するものではなく示されている。
【図１】パターンの合成及び／又はパターンの解析用の様々な実施形態に含まれる、様々な構成要素を示す概略図の‘５２７特許からの複製図（つまり、前記構成要素は、本出願の実施形態を実現するために同様に用いられる）。
【図２】同じ境界を備えている全ての面の中で、（ｍ，ｎ１，ｎ２，ｎ３，Ｍ，Ｍ１，Ｍ２，Ｍ３）＝（４；４０；４０；４０；４；４０；４０；４０）を備えた立方体によって定義される異方性エネルギを最小化する超懸垂面（右側）の概略図。
【図３】（非常に）奇妙な（ストレンジ）アトラクタと類似している、全ての超形状、及び非常に複雑な形状の情報内容が、単一の式及び一部の数のみに格納されることを示すために役立つ四つの形状（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）を示す図。
【図４】ｋ＝３の場合のｋ型のＧｉｅｌｉｓ曲線を示す図。
【図５（Ａ）】図４で説明した領域で、ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｃｏｓｙが境界データを説明している場合の、Ｌａｐｌａｃｅ方程式のＤｉｒｉｃｈｌｅｔ問題の解を表す、次数Ｎ＝７の部分和ＵＮの空間分布を示す図。
【図５（Ｂ）】拡張次数Ｎ＝７の部分和ＵＮ（ｌ，φ）の角度方向の挙動を示す図。
【図５（Ｃ）】Ｎ＝７の相対的境界誤差ｅＮを示す図。
【図６】鋭い不連続性を備えた超波形を表す例示的信号を示す図。
【図７】本発明の実施形態を実現するために用いられる例示的コンピュータ内の構成要素を示す概略図。
【図８】いくつかの実施形態に従って構成された花の実例を示す図。
【図９】線形補間に関連した三つの基本戦略を示す図表。
【図１０】線形補間に関連した三つの基本戦略の組合せを示す図表。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２１】
本発明は、多くの異なる形態で具現化されるが、本開示内容は、本発明の原理の例を提供するものとみなされ、このような例は、本明細書内で説明され、例示される好ましい実施形態に、本発明を限定するものではないと理解しながら、複数の実施例が本明細書で説明されている。
【００２２】
１．普遍的自然形状：全ての幾何化に向けて
【００２３】
Ｇｉｅｌｉｓ曲線、面及び（部分）多様体は、Ｌａｍe曲線の一般化である。それらは、科学２，３，４及び技術５，６，７，８で多様な用途を備えた大量の自然形状１の独自の統一的記述を可能にする。これらの曲線及び面は、細胞、結晶、星雲、ＤＮＡ分子及び花と同様の多様な形状を効率的にモデル化し、従って、それらは、普遍的自然形状９，１０と呼ばれる。ここで、われわれは、単なる記述を越えて、これらの曲線、面及び部分多様体をどのように用いて、周囲の空間からの張力を最小化する物理的部分多様体として、自然形状を幾何学的に理解できるかを説明する。それらは、最も自然なＥｕｃｌｉｄｅａｎ曲線及び面となることがわかっている。これは、本質的に一定の異方性平均曲率面１１の発生によって示される。更に、これらの変換は、論理的デカルト曲面のメッシュ１２に基づいて、又は準Ｆｏｕｒｉｅｒ法１３を用いて、偏微分方程式を解くための一般的計算法の開発を可能にする。２Ｄ及び３Ｄ内の任意の通常の極領域上でＰＤＥを解くために、Ｆｏｕｒｉｅｒ級数を用いることは、一般化Ｆｏｕｒｉｅｒ級数及びｋ型の曲線を含むように、本明細書では拡張され、それによって、Ｌａｍe及びＦｏｕｒｉｅｒ１４の研究を組合せ、科学及び技術の全ての領域に適用可能にする。
【００２４】
２．普遍的自然形状：
【００２５】
自然の物体及び現象の統一的記述、及びこの記述の元となる対称性の定義が、幾何学の最終的目標である。対称性（−μετρια）の比例平均又は正しい均衡、及びσνμμετρεωは、物体を整合させる故意の行為であり、幾何学の基本を構成している。Ｇｉｅｌｉｓ変換は、関数ｆ（θ）（式１）及び関連の曲線、面及び（部分）多様体１，９上で操作する。それらは、植物の細胞、幹及び花、ヒトデ、結晶及び星雲と同じように多様な形状１を記述する独自の統一的方法を提供する。これらは全て、円錐断面の一つのステップの変換として、整合させることができる。
【００２６】
0005914470.tif 000007
0005914470.tif 000008
【００２７】
（式１）
【００２８】
普遍的自然形状の概念は、Ｇｉｅｌｉｓ曲線（ρ（θ）ｃｏｓθ，ρ（θ）ｓｉｎθ）又は面（超形状）（ρ１（θ）ｃｏｓθρ２（φ）ｃｏｓφ，ρ１（θ）ｓｉｎθρ２（φ）ｃｏｓφ，ρ２（φ）ｓｉｎφ）に到達するために、Ｌａｍe曲線１５（式２−６）、超楕円又はＧｉｅｌｉｓ変換による超楕円体の式上で行われる変形は、ＰｙｔｈａｇｏｒａｓのＭｉｎｋｏｗｓｋｉａｎ定理の変形と基本的に同様であるという事実によって動機付けされている。それらは、物理的に関連したＦｒｉｅｄｍａｎ−Ｌｅｍａiｔｒｅ−Ｒｏｂｅｒｔｓｏｎ−Ｗａｌｋｅｒ（ＦＬＲＷ）時空間モデル９，１０のメトリクスをもたらす。自然の幾何化の発展において、長さ指標としての超楕円及び超形状に基づく、接線、接空間、及び曲率の研究は、Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ１６及びＲｉｅｍａｎｎ−Ｆｉｎｓｌｅｒ１７の幾何学内の全ての曲率の幾何学的意味と、このようにモデル化される自然の過程９，１８を明らかにできる。Ｂｅｒｇｅｒ１９は、「現在の幾何学モデルは、非常に多様であっても、様々な基本的な問題に答えることはできない（例えば、生物の可能な全ての構成の中で、その経時的な軌跡（生涯）を記述する）。」と述べた。幾何学２０内からの動機付けされた異方性を備えた、このような幾何学の発展は、「それらを生成する力の性質とは無関係な、自然形状及びそれらの発展の幾何学的理論」９，２１の基盤に基本的に相当する。
【００２９】
タンパク質から相対論的宇宙それ自体まで、自然の中で観察される形状を概ね決定する自然の原理の記述は、含まれる「物理的部分多様体」１０の内因性及び外因性の曲率の項、及び内因性及び外因性の曲率の間の避けられない不均衡の中で行われる。このような幾何的に自然な曲率条件は、それらの最も簡単な形態では、平均曲率Ｈによって表される外因的曲率（均一な表面張力を表している）、又はＥｕｃｌｉｄｅａｎ  ３Ｄ空間内の面Ｍに対するＧａｕｓｓ曲率Ｋによって表される、内因的曲率等の曲率の不変性に関係し、従って、それらは、基本的対称性又は古典的変分最適９の実現例である。Ｅｕｌｅｒの不等式Ｋ≦Ｈ２は、二つの主要な曲率の幾何平均及び算術平均の（二乗の）間の古典的関係である。
【００３０】
実際、Ｌａｍe曲線は、全ての四つの円錐断面２２（式３−６）を含んでいる。超楕円（式２）は、円及び楕円の一般化、及び冪関数であり、冪法則２３，２４は単に、放物線及び双曲線の一般化である。超楕円及び超円（式２でＡ＝Ｂの場合）は、固定指数（ｘｎ及びｙｍ）まで上昇させた変数の（算術平均に関連した）加算を用いるが、冪法則は、乗算を用いる（ｘｎｙｍ＝一定、又はｘ＝ｙｍ／ｎ）。従って、自然は、領域及び円錐断面の応用理論の拡張として、純粋な数の幾何学的平均及び算術平均の間の不均衡に基づいて研究される。
【００３１】
0005914470.tif 000009
【００３２】
（式２〜６） 
【００３３】
Ｌａｍe及びＧｉｅｌｉｓ曲線及び（超曲）面は、「緩やかな」異方性を導入し、「Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ幾何学の最も自然な曲線及び面」２５と呼ばれている。真の幾何学的観点から、自然科学の広範囲の形状は、このむしろ普遍的な方法で全て生成され、１）一部の「Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ」幾何学的原理を課し、２）これらの幾何学的原理から生じる形状に、一部のＧｉｅｌｉｓ変換ρ（θ）を加える２５。これは、形状がどのように発展し成長するか、及びそれらが周囲空間内にどのように組み込まれているか、の正確な幾何学的意味を与える。二つの既知の例である円及び螺旋は、応力を取り扱う幾何学的原理によって特徴付けられる。自然形状及びそれらの発展の研究では、周囲空間によって形状の上に誘導される、応力を取り扱う二つの反対の方法がある１０。第一の戦略は、「流れに従うこと」である。ここでは、位置及び曲率ベクトルは平行であり、円が関連形状である。第二の戦略は、二つのベクトルが直交している「張力と完全に対抗すること」であり、対数螺旋が、関連形状である（心射方位の成長に関連している）。Ｇｉｅｌｉｓ変換を円及び螺旋に適用することは、（ρ（θ）ｃｏｓθ，ρ（θ）ｓｉｎθ）で、各々ｆ（θ）＝一定、及びｆ（θ）＝ｅｋθ（ｋ＝一定）の場合をもたらす。自然は我々に、非常に簡単なものから始まり無限に、最も美しくすばらしい形状及び形態が、どのように発展していくかの無限の例を提供する。
【００３４】
３．一定の異方性の平均曲率面は、非平衡条件の平衡形状である。
【００３５】
一定の平均曲率Ｈ（Ｈ＝０の場合は、平面及び懸垂面、Ｈ≠０の場合は、球、円柱、アンデュロイド及びノドイド）のＤｅｌａｕｎａｙの回転面は、変分最適の他の実現であり、様々な海洋生物の「平衡形状」２６として役立つ。これらの形状は、できるだけ効率的に、常に表面張力を最小化している、Ｐｌａｔｅａｕ問題、シャボン玉、及び極小曲面２７に密に関連している。
【００３６】
近年、一定の異方性の平均曲率（ＣＡＭＣ）面、懸垂面の異方性類似体及びＤｅｌａｕｎａｙ面２８が、Ｗｕｌｆｆ形状の例として、二つの平面のＧｉｅｌｉｓ曲線の球状生成物として定義される、Ｇｉｅｌｉｓ面１１を用いて研究された。Ｗｕｌｆｆ形状は、固定体積のエネルギの最小解であることを意味する異方性エネルギの「球」１１である。超懸垂面は、その十分に小さな要素が、同じ境界を備えている全ての面内で、Ｗｕｌｆｆ形状によって定義された異方性エネルギを最小化する特性を備えている。アンデュロイド及びノドイドの十分に小さな要素は、同じ境界を備え、同じ三次元体積を取り囲んでいる全ての面内で、異方性エネルギを最小化する。物理的観点から、超懸垂面は、例えば、分子対称性の基となるものを考慮している最小面である。六角形の超懸垂面は、プリズム状、柱状又は蓋付きの柱状の雪片２９内で観察される。石鹸膜内の懸垂面が、等方性エネルギの応力を完全に最小化するように、超懸垂面では、異方性エネルギによって定義される応力も局所的に最小化される。それから、超懸垂面は、雪片及びそれらの成長体用の平衡形状を提供する。非球状のＤ’Ａｒｃｙ  Ｔｈｏｍｐｓｏｎの元の式は、定数Ｈを備えた面を既に一般化していた。彼は、重み係数として、面上で直交する張力Ｔ１，２を備えた二つの主曲率κ１とκ２の間の重み付き算術平均２６，２９を用いた。同じ異方性成長は、植物３０，３１，３２でも近年明らかになっている。
【００３７】
参考として、図２は、同じ境界１１を備えた全ての面内で（ｍ，ｎ１，ｎ２，ｎ３，Ｍ，Ｍ１，Ｍ２，Ｍ３）＝（４；４０；４０；４０；４；４０；４０；４０）である立方体によって定義された異方性エネルギを最小化する例示的な超懸垂面（右側）を示している（上の参考文献１１の文章を参照のこと）。
【００３８】
４．形状の直接記述用の一般化Ｆｏｕｒｉｅｒ級数
【００３９】
Ｇｉｅｌｉｓ曲線及び面は現在、極めてコンパクトな方法で、自然形状（及び１７世紀のようにそれらの軌跡だけでなく）の均一な記述を可能にしている。これは従来、無限級数を用いなければ対処できない問題であった。この点では、科学的な発展の二つの別個のラインを考慮することは有用である。最も重要なラインは、等方性に着目し、基本曲線として直線と円を用いて形状を記述しており、最も有名な代表的人物としてＥｕｃｌｉｄ、Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ、Ｐｔｏｌｏｍｙ、Ｎｅｗｔｏｎ、及びＦｏｕｒｉｅｒが挙げられる。第二のラインは、独自の直接的記述に着目し、それによって、広範囲の形状が、均一な記述に従う。これは、円錐断面に関連付けられることが非常に多い。直接記述のこのラインでは、Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ、Ｋｅｐｌｅｒ、Ｇａｌｉｌｅｉ、Ｌａｍe及びＭｉｎｋｏｗｓｋｉの名前が関係している。自然形状を円錐断面に関連付けるＧｉｅｌｉｓ変換も、同様にこのラインに属している。それから、自然についての我々の理解の進歩は、このような均一性の一般化、及びＧａｌｉｌｅｉ及びＫｅｐｌｅｒが各々、円錐断面として発射体の軌跡及び惑星の軌道を記述したように、円を用いた計算方法に基づく、万有引力の法則への記述の統一化から生じている。Ｎｅｗｔｏｎの主なステップは実際、Ｏｒｅｓｍｅ−Ｋｅｐｌｅｒ−Ｈｕｙｇｅｎｓ−Ｎｅｗｔｏｎの伝統の頂点である円を用いて、任意の平面の曲線の曲率を決定することであった。
【００４０】
間接表現と直接表現のこの継続的な弁証法的処理は、有限論争と無限論争である。一例は、Ｃｈｅｎの有限型の曲線３３に対して、閉輪郭及び波形の記述用に科学技術で広く用いられるＦｏｕｒｉｅｒ級数に見られる。部分多様体理論では、ｋ型の部分多様体は、最小部分多様体と同様の重要な種類を含んでいる。面内では、純粋に幾何科学的観点から、有限Ｆｏｕｒｉｅｒ級数で表現される一つのそして一つのみの閉曲線があり、それは円自体である３３，３４。円は、有限型の、つまり１型（１Ｔ）の平面上の唯一の閉曲線であるが、任意の他の曲線は必ず、無限型（∞Ｔ）のＦｏｕｒｉｅｒ展開を備えている。Ｆｏｕｒｉｅｒ級数は、Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ円とその関連の三角関数を備えた等方性に基づいており、別の解釈では、楕円を含む、円以外の全ての曲線は、等しく複雑であり、いったんそれらのＦｏｕｒｉｅｒ展開が始まると、それは決して停止しない。
【００４１】
Ｌａｍe−Ｇｉｅｌｉｓ曲線が、一般化Ｆｏｕｒｉｅｒ級数内の単位円として用いられる場合、つまり、従来のＦｏｕｒｉｅｒ級数の任意の項上で、Ｇｉｅｌｉｓ変換が作用可能な場合、任意のＧｉｅｌｉｓ曲線は、一つの項で直接的に符号化される。それらの展開は、いったん開始すると、即座に停止する。円を含む、全てのＧｉｅｌｉｓ曲線は、等しく簡単である。これは、それらが一つの式内で符号化され、少数のパラメータ内のみの円とは異なっていることに対応している。同様に、面（一例として、ヒトデ、ピラミッド、円錐、花及び図３の非常に複雑な形状）は、少数のパラメータ内のみの球とは異なっているので、これは球面調和関数に拡張できる。これは更に、整数ｋを備えたｋ型の構築曲線及び面用の開始点として用いられ、それら自体の座標系について、標準スペクトル分解の概念そのものをもたらす。符号化情報の観点から、形状の集まりの複雑さは劇的に低減される。図３は、（非常に）奇妙な（ストレンジ）アトラクタに似ている、全ての超形状、更に非常に複雑な形状の情報内容は、単一の式内に少数の数字と共に格納されることを示している。
【００４２】
５．独自の有理科学
【００４３】
物理的部分多様体の研究のために、幾何学的観点から、Ｌａｐｌａｃｉａｎは、平均曲率Ｈに直接関連付けられ、それは、形状が周囲空間から受け取る表面張力の測度３８である。Ｅ３内の面Ｍ２の場合、平均曲率Ｈは、Ｂｅｌｔｒａｍｉの式Δν（ベクトル）＝−２Ｈ（ベクトル）に現れ、ここでν（ベクトル）は、Ｅ３内のＭ２の位置ベクトル場であり、ΔはＭ２のＬａｐｌａｃｅ演算子であり、Ｈ（ベクトル）は、Ｅ３内のＭ２の平均曲率ベクトルである。基本的に、ｋ型の理論では、弧の長さに対する曲線のＦｏｕｒｉｅｒ展開は、そのＬａｐｌａｃｉａｎに対する曲線のスペクトル分解３３にすぎない。抽象的形状及び自然形状の広範囲の統一化についての記述形態を越えて、現在の論文では、従って、代数学、解析学及び幾何学を組合せ、前者の二つは数学の基盤を提供し、後者はその核３９となっている。
【００４４】
この方法は、どちらもパリのＥｃｏｌｅ  Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｑｕｅの教授である、Ｇａｂｒｉｅｌ  Ｌａｍe（１７９５−１８７０）とＪｏｓｅｐｈ  Ｆｏｕｒｉｅｒ（１７６８−１８３０）の１９世紀の最初の二十年からの概念と洞察を組み合わせている。１８１７年には、Ｇａｂｒｉｅｌ  Ｌａｍeは、結晶学のモデルとして、超楕円（式２でＡ＝Ｂ及びｎ＝１）を提案している彼の素晴らしい書籍１５を出版した。数理物理学の彼の以降の研究では、Ｌａｍeは、数学的観点から、物理系を研究することは、所定の物理的状態を表す曲線座標系の研究になると予想していた。従って、曲線座標系の数学的世界は、物理系４の世界のモデルと見なされる。曲線座標系の適切なシステムに適応させた、物理的問題を研究するためには、適切な境界条件を備えた、曲線座標系内のＰｏｉｓｓｏｎ方程式という、一つの式だけを解く必要があり、他の方程式及び法則は、特別な場合４に限定される。この解は現在では、Ｆｏｕｒｉｅｒ法を用いて得られる。更に、Ｇｉｅｌｉｓ曲線及び面は、Ｌａｍeの独自の有理科学（又は数理物理学）を連想させる研究の下での系に適応させた、自然の曲線座標系を保持している。この独自の有理科学、普遍的自然形状及び形態形成の幾何学的理論は全て、世界の幾何学的状況を提供する同じラインに沿って共鳴している。
【００４５】
幾何学的方法では、ｎ立方体の体積内の保存則を表している一般化ピタゴラスの定理は、自然形状、物体及び現象を整合可能に（つまり対称に）する。その形状に適応させた座標系の導入は、形状、大きなもの、小さなもの、及びその間の大部分の記述及び理解の両方を提供し、冪法則は、それらが成長及び発展可能な枠組みを提供する。更に、Ｌａｍeが適用した同じ方法、ただし、つまり、代数方程式内の指数の調整を行い、確率分布を一般化できる。Ｇｉｅｌｉｓ変換は、幾何学及び一般に科学内に十分に組み込まれ、「我々の最新の経験は、自然では、数学的な単純さの理想が実現されるという感覚を確実にさせる」というＥｉｎｓｔｅｉｎの意見４０と十分に共鳴している。
【００４６】
６．計算方法
【００４７】
等方性に基づく計算方法の概念に対する均一で直接的な記述の考えから戻って、Ｇｉｅｌｉｓ変換は、境界値問題の解に対してＦｏｕｒｉｅｒ法を拡張するドアを開いた。二次元及び三次元の通常の極領域のほとんど全ては、Ｇｉｅｌｉｓ曲線及び面によって記述され（又は必要に応じて正確に少なくとも近似され）、準Ｆｏｕｒｉｅｒ法１２，１３，１４，３５，３６を用いて、Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ、Ｎｅｕｍａｎｎ又はＲｏｂｉｎ型の境界条件を備えた（熱、波動、Ｌａｐｌａｃｅ方程式、Ｐｏｉｓｓｏｎ方程式、Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程式を含む）Ｌａｐｌａｃｉａｎを包含する偏微分方程式を解くための拡大極座標を用いて技術が発展した。
【００４８】
単一の簡単な形状のこの方法の拡張として、我々は、本出願に固有の（つまり、上記の‘５２７特許内に記述されたものを超える）形状の例として、ｋ型のＧｉｅｌｉｓ領域のＬａｐｌａｃｅ方程式用に、内部及び外部Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ問題の解析的な解を提示する。図４に示した３型のＧｉｅｌｉｓ曲線は、三つの項の合計であり、その項は各々、Ｇｉｅｌｉｓ曲線１内に刻み込まれるバラ又はＧｒａｎｄｉ曲線２６である。バラ曲線内では、花弁は、数字が奇数か偶数かに依存する。絶対値の使用はこれを避け、花弁の数が２ｍであるので、式１ではｍ／４の代わりに、ｍ／２が用いられる。指数ｎｉ＝２は、Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ円を生成するので、最初の項は、等方性空間内の三弁の花である。第二及び第三項は、指数ｎ＝１を備えた各々正方形及び五角形内に記される四弁及び五弁の花である。
【００４９】
図４を参照すると、その図は、次式のｋ＝３の例示的なｋ型のＧｉｅｌｉｓ曲線を示している。
【００５０】
0005914470.tif 000010
【００５１】
ここで、我々は、準Ｆｏｕｒｉｅｒ技術（図５（Ａ）〜（Ｃ））を用いて、Ｌａｐｌａｃｅ方程式用のＤｉｒｉｃｈｌｅｔ問題を解く。拡張極座標系内のＬａｐｌａｃｉａｎの技術、理論及び証明の全説明は、「普遍的自然形状用の補足資料…」以降のセクション８に見出される。正確さと収束速度についての技術性能を評価するために、相対的境界誤差は、式７を用いて評価され、ここで‖・‖は、通常のＬ２ノルムを示し、ＵＮは、Ｌａｐｌａｃｅ方程式用のＤｉｒｉｃｈｌｅｔ問題の解を表すＦｏｕｒｉｅｒ的級数展開に関連した次数Ｎの部分和であり、Ｆは境界値を記述する関数である。
【００５２】
0005914470.tif 000011
【００５３】
（式７）
【００５４】
この方法では、古典的なものと同様の特性を示す解の非常に正確な近似が得られる。正確な解とその近似値の間の違いであるＬ２ノルムは、通常小さい。解の点別収束特性は、Ｌｅｎｎａｒｔ  Ｃａｒｌｅｓｏｎによる級数展開上での理論的結果とよく一致しているようであるが、境界のカスプ及び準カスプ特異点によって形成される一組の測度ゼロだけが例外である。
【００５５】
図５（Ａ）〜５（Ｃ）を参照すると、図５（Ａ）は、図４で説明した領域のＬａｐｌａｃｅ方程式用のＤｉｒｉｃｈｌｅｔ問題で、ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｃｏｓｙが境界データを記述している場合の解を表す、次数Ｎ＝７の部分和ＵＮの空間分布を示しており、図５（Ｂ）は、拡張次数Ｎ＝７の部分和ＵＮ（ｌ，φ）の角度方向の挙動を示し、図５（Ｃ）は、Ｎ＝７の相対的境界誤差ｅＮを示している。
【００５６】
従って、任意のこのような領域用の閉じた形態の解を与える一つの一般的で一貫した方法は、有限差分及び有限要素の煩雑な計算方法を避ける様々な方法（最小二乗法技術によるＧｒｅｅｎの関数近似、等角写像又は反復法による境界積分方程式の解等）の代わりとなる。Ｒｉｅｍａｎｎ面１２等の多値関数又は自己交差（有理）Ｇｉｅｌｉｓ曲線３７に対しても、平面及び立体内の、広範囲の古典的微分問題の閉じた形態の解が可能である。前記方法は、Ｆｏｕｒｉｅｒ記述子を用いて記述される形状に容易に拡張され、生物学の非常に複雑な形状を記述するために広く用いられる方法である。
【００５７】
７．計算ツールボックスの構築
【００５８】
上記の新しい計算方法では（Ｎ＝７の場合）解に向かって素早く収束することが観察されるが、古典的Ｆｏｕｒｉｅｒ解析の古典的欠点がなお存在し、精度を増大させる必要がある場合、Ｇｉｂｂｓ現象が最も顕著になる。これは、記述内だけでなく、一般化Ｆｏｕｒｉｅｒ解析内で座標関数を直接用いることによって避けられる。例えば、（鋭い不連続性を備えた超波形を示している）図６の例示的信号は、単一のステップ（ｋ＝１）内の式１によって記述され、鋭い不連続性は、形状の記述に直接組み込まれている。一つだけ又は限られた数の項（ｋは一般に小さい）を用いることによって、Ｇｉｂｂｓ現象が避けられる。
【００５９】
これは、円ではなく、凸又は凹形状に基づいて、連続的ではあるが滑らかではない曲線内に微分可能性及び曲率を導入できる。より一般的な方法では、多様体自体上及びその接空間内の両方で、境界が隅又は円錐状の特異点を備えている多様体の研究を可能にし、それによって、離散と連続の橋渡しを行う。この方法は、鋭い隅を備えた複合形状にも適用できる。これまで、このような形状は、多様体とみなすことはできなかった。この方式は、より低次、高次又は混合次元の偏微分方程式、球面調和関数及び（例えば、ウェーブレットを含む）他の変換Ｌ２の代わりのＬＰ等にまで及ぶことは明らかである。
【００６０】
とりわけ、本明細書の実施形態は、半導体物理、流体力学、電磁気学、通信、量子論、信号解析、化学、生物学、経済学及び会計等の、様々な用途及び実施形態に適用できる。好ましくは、この新しく非常に一般的な方法は、例えば、直接的な方法で、最も広い意味で、形状及び／又はそれらの展開の記述及び／又は計算を行う等の、本発明の方法を実行するように構成したソフトウェアを実行するように構成されるプログラムコンピュータ等の「コンピュータツールボックス」の構成を可能にする。
【００６１】
いくつかの実施形態によると、例えば、形状等の合成及び／又は解析の目的のために、本明細書で説明される新しい数学的原理に基づいて、一つ以上の演算関数を提供するように構成される処理ツール（つまり、本明細書では「ツールボックス」と呼ばれる）を生成するように構成したソフトウェア、ハードウェア及び／又はファームウェアを備えたコンピュータ又は他の処理装置をプログラムすることを含むシステム及び／又は方法が提供される。
【００６２】
好ましい実施形態では、このような「ツールボックス」は、例えば、本明細書で述べられた処理を行うようにプログラムされたコンピュータを用いる等、コンピュータを介して実装される。一例として、いくつかの実施形態では、コンピュータは、以降で述べられ、図７に示されている機能を含むことができる。特に、以降の図面に示されているように、例示的コンピュータ又は制御ユニットを用いて、例えば、コンピュータ（デスクトップコンピュータ、ラップトップコンピュータ、携帯情報端末、サーバコンピュータ、及び／又は任意の他の現在又は近未来のコンピュータ装置）等の装置によって実行されるコンピュータ化された処理ステップを実装できる。いくつかの実施形態では、コンピュータ又は制御ユニットは、中央処理ユニット（ＣＰＵ）３２２を含み、ＣＰＵ３２２は、バス３２６を介して、一組の入出力（Ｉ／Ｏ）装置３２４と通信できる。Ｉ／Ｏ装置３２４は、例えば、キーボード、モニタ、及び／又は他の装置を含むことができる。ＣＰＵ３２２は、バス３２６を介して、コンピュータ読み取り可能な媒体３２８（例えば、既存の揮発性又は不揮発性データ格納装置）（これ以降は「メモリ３２８」）と通信できる。ＣＰＵ３２２、Ｉ／Ｏ装置３２４、バス３２６、及びメモリ３２８の間のやり取りは、既知のものと同様であってもよい。メモリ３２８は、例えば、データ３３０を含むことができる。メモリ３２８は、ソフトウェア３３８を格納することもできる。ソフトウェア３３８は、処理ステップを実装するための複数のモジュール３４０を含むことができる。既存のプログラミング技術を用いて、これらのモジュールを実装することができる。メモリ３２８は、上記の及び／又は他のデータファイルを格納することもできる。いくつかの実施形態では、本明細書内で説明した様々な方法は、コンピュータシステムと共に用いるためのコンピュータプログラム製品を介して実装される。本実装は、例えば、コンピュータ読み取り可能な媒体（例えば、ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、ＲＯＭ等）上に固定されるか、又はモデム等のインタフェース装置を介して、コンピュータシステムに送信可能な、一連のコンピュータ命令を含んでいてもよい。通信媒体は、実質的に有形（例えば、通信ライン）であっても、及び／又は実質的に無形（例えば、マイクロ波、光、赤外線等を用いる無線媒体）であってもよい。コンピュータ命令は、様々なプログラミング言語内に書き込むことも、及び／又は半導体装置（例えば、チップ又は回路）、磁気装置、光学装置、及び／又は他のメモリ装置等のメモリ装置内に格納することもできる。様々な実施形態では、送信は、任意の適切な通信技術を用いてもよい。
【００６３】
８．普遍的自然形状用の補足資料：Ｇｉｅｌｉｓ領域内のＬａｐｌａｃｅ方程式のＤｉｒｉｃｈｌｅｔ問題
【００６４】
Ｇｉｅｌｉｓ領域内のＬａｐｌａｃｅ方程式用の内部及び外部Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ問題は、適切なＦｏｕｒｉｅｒ的技術［例えば、以降の参考１を参照］を用いることによって解析的に対処される。コンピュータ代数システムＭａｔｈｅｍａｔｉｃａ（商標）に基づく専用の数値的手続が、提案された方式を検証するために開発されている。この方法では、古典的なものと同様の性質を特徴付ける解の高精度の近似が得られる。計算結果は、Ｌ．Ｃａｒｌｅｓｏｎによって提示されたＦｏｕｒｉｅｒ級数展開上での理論的結果とよく一致していることが見出されている［例えば、下記の参考３参照］。
【００６５】
ａ．拡張された極座標内のＬａｐｌａｃｉａｎ
ｘ、ｙ平面内で通常の極座標系
【００６６】
0005914470.tif 000012
【００６７】
（式１．１）
【００６８】
及び∂Ｄの極方程式
【００６９】
0005914470.tif 000013
【００７０】
（式１．２）
【００７１】
を考る。ここで、Ｒ（θ）は［０，２π］内のＣ２関数である。我々は、領域Ｄが次式を満足し、
【００７２】
0005914470.tif 000014
【００７３】
（式１．３）
【００７４】
従って、ｍＲ＝ｍｉｎθ∈［０，２π］Ｒ（θ）＞０と仮定する。更に、ＭＲ＝ｍａｘθ∈［０，２π］＜１を仮定する。
【００７５】
我々は、次式のように、拡張半径σ＊（以降ではρ＊としても示される）を導入し、
【００７６】
0005914470.tif 000015
【００７７】
（式１．４）
【００７８】
ｘ、ｙ面内の以降の曲線座標系σ＊、θは、次式となる。
【００７９】
0005914470.tif 000016
【００８０】
（式１．５）
【００８１】
従って、Ｄは、不等式０≦θ≦２π、０≦σ＊≦１によって記述される。
【００８２】
我々は、Ｃ２（Ｄ）関数ν（ｘ，ｙ）＝ν（ρｃｏｓθ，ρｓｉｎθ）＝ｕ（ρ，θ）及び極座標系内のＬａｐｌａｃｅ演算子を考える。
【００８３】
0005914470.tif 000017
【００８４】
（式１．６）
【００８５】
新しい拡張座標系σ＊、θでこの演算子を表そう。次式を設定すると、
【００８６】
0005914470.tif 000018
【００８７】
（式１．７）
【００８８】
次式が容易に見出される。
【００８９】
0005914470.tif 000019
【００９０】
（式１．８）
【００９１】
0005914470.tif 000020
【００９２】
（式１．９）
【００９３】
0005914470.tif 000021
【００９４】
（式１．１０）
【００９５】
0005914470.tif 000022
【００９６】
（式１．１１）
【００９７】
従って、（式１．６）内で（式１．８）〜（式１．１１）を置換すると、次式が得られる。
【００９８】
0005914470.tif 000023
【００９９】
（式１．１２）
【０１００】
σ＊＝ρ、Ｒ（θ）≡１の場合、通常の極座標系内のＬａｐｌａｃｉａｎが復元される。
【０１０１】
ｂ．Ｌａｐｌａｃｅ方程式用のＤｉｒｉｃｈｌｅｔ問題
星状領域Ｄ内のＬａｐｌａｃｅ方程式用の内部Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ問題を考えると、その境界は、極方程式ρ＝Ｒ（θ）によって記述される。
【０１０２】
0005914470.tif 000024
【０１０３】
（式２．１）
【０１０４】
次の理論を証明する。
【０１０５】
理論２．１
【０１０６】
0005914470.tif 000025
【０１０７】
（式２．２）
【０１０８】
ここで、
0005914470.tif 000026
【０１０９】
（式２．３）
【０１１０】
0005914470.tif 000027
は、Ｎｅｕｍａｎｎ符号である。それから、Ｌａｐｌａｃｅ方程式の（式２．１）用の内部境界値問題は、古典的解を許容し、
【０１１１】
0005914470.tif 000028
【０１１２】
（式２．４）
【０１１３】
次のＦｏｕｒｉｅｒ的級数展開は、次式を保持する。
【０１１４】
0005914470.tif 000029
【０１１５】
（式２．５）
【０１１６】
（式２．５）内の係数Ａｍ、Ｂｍは、次の無限線形システムを解くことによって決定される。
【０１１７】
0005914470.tif 000030
【０１１８】
（式２．６）
【０１１９】
ここで、
0005914470.tif 000031
【０１２０】
（式２．７）
【０１２１】
0005914470.tif 000032
【０１２２】
（式２．８）
【０１２３】
ここで、ｍ，ｎ∈Ｎ０。
【０１２４】
証明−ｘ、ｙ面内の拡張座標系内で、領域Ｄは、単位円に変換され、通常の固有関数法（例えば、以下の参考２参照）及び（変数ρ、θに対して）変数分離を用いて、（式２．１）を解くことができる。結果として、その問題の基本解は、次の形態で探索できる。
【０１２５】
0005914470.tif 000033
【０１２６】
（式２．９）
【０１２７】
Ｌａｐｌａｃｅ方程式に置換すると、関数Ｐ（・）、Θ（・）は、次の常微分方程式を各々満足しなければならないことが容易に分かる。
【０１２８】
0005914470.tif 000034
【０１２９】
（式２．１０）
【０１３０】
0005914470.tif 000035
【０１３１】
（式２．１１）
【０１３２】
パラメータμは、分離定数であり、その選択は、面内の任意の固定点において、スカラ場ｕ（ρ，θ）が、単一値でなければならないという物理的要件によって決定される。従って、次式を設定することによって、
【０１３３】
0005914470.tif 000036
【０１３４】
（式２．１２）
【０１３５】
次式がわかる。
【０１３６】
0005914470.tif 000037
【０１３７】
（式２．１３）
【０１３８】
ここで、ａｍ，ｂｍ∈Ｒは、任意定数を示している。（式２．１１）を満足する動径関数Ｐ（・）は、次式のように容易に表現できる。
【０１３９】
0005914470.tif 000038
【０１４０】
（式２．１４）
【０１４１】
通常、解の有界性のために、ｄｍ＝０と仮定しなければならない。従って、内部Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ問題（式２．１）の一般解は、次式の形態で探索できる。
【０１４２】
0005914470.tif 000039
【０１４３】
（式２．１５）
【０１４４】
最終的に、次式の境界条件を課し、
【０１４５】
0005914470.tif 000040
【０１４６】
（式２．１６）
【０１４７】
Ｆｏｕｒｉｅｒの射影法を用いると、（式２．６）〜（式２．８）は容易に分かる。
【０１４８】
意見１−（式２．２）によって与えられる境界値Ｆ（θ）を備えた単位円上のＬａｐｌａｃｅ方程式用の関連の内部Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ問題を考える。このような問題の解は、次式のように容易に表される。
【０１４９】
0005914470.tif 000041
【０１５０】
（式２．１７）
【０１５１】
最大原理のおかげで、仮定０＜ｍＲ≦Ｒ（θ）≦ＭＲ＜１は、問題（式２．１）の解が、（式２．１７）によって支配されることを意味する。従って、
【０１５２】
0005914470.tif 000042
【０１５３】
（式２．１８）
【０１５４】
演算子の線形性を用いることによって、次式が分かる。
【０１５５】
0005914470.tif 000043
【０１５６】
（式２．１９）
【０１５７】
ここで、ｍ∈Ｎ０。Ｌｅｂｅｓｇｕｅの理論によって、ｍ→＋∞のとき、Ｆｏｕｒｉｅｒ係数αｍ、βｍはゼロに向かい、ゼロへの収束レベルは、境界値Ｆ（θ）の滑らかさと共に増大する。Ｒ（θ）は有界であるので、不等式（式２．１９）に従って、係数Ａｍ、Ｂｍも無限小である。これは、システム（式２．６）によって定義されるベクトル演算子がコンパクトであることを意味する。実際、我々は、この演算子を二つの部分の合計に分割でき、前者は、有限次元になり、後者は、必要に応じて小さい最大（又はＬ２）ノルムを特徴付ける。
【０１５８】
同様に、（式２．２１）の無限においてゼロ条件に従う外部Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ問題（式２．２０）に対処できる。
【０１５９】
0005914470.tif 000044
【０１６０】
（式２．２０）
【０１６１】
0005914470.tif 000045
【０１６２】
（式２．２１）
【０１６３】
特に、次の理論が容易に証明される。
【０１６４】
理論２．２−前の理論の仮定の下で、Ｌａｐｌａｃｅ方程式（式２．２０）〜（式２．２１）用の外部境界値問題は、次の古典的な解を許容し、
【０１６５】
0005914470.tif 000046
【０１６６】
（式２．２２）
【０１６７】
以降のＦｏｕｒｉｅｒ的級数展開は、次式を保持する。
【０１６８】
0005914470.tif 000047
【０１６９】
（式２．２３）
【０１７０】
（式２．２３）内の係数Ａｍ、Ｂｍは、次式の有限線形システムの解である。
【０１７１】
0005914470.tif 000048
【０１７２】
（式２．２４）
【０１７３】
ここで、
0005914470.tif 000049
【０１７４】
（式２．２５）
【０１７５】
0005914470.tif 000050
【０１７６】
（式２．２６）
【０１７７】
ここで、ｍ，ｎ∈Ｎ。
【０１７８】
意見２−なお、上記の式は、関数Ｒ（θ）が区分的連続関数であり、境界データが、二乗可積分関数によって記述され、必ずしも連続ではなく、（式２．３）内の関連のＦｏｕｒｉｅｒ係数αｍ、βｍが有限量であるという仮定の下でなお保持している。
【０１７９】
ｃ．数値例
開発された方法は、その境界が、一般的なｋ型のＧｉｅｌｉｓ曲線によって記述されている二次元領域Ｄ内の微分問題の解に容易に適用できる。
【０１８０】
0005914470.tif 000051
【０１８１】
（式３．１）
【０１８２】
ここで、                          
0005914470.tif 000052
【０１８３】
（式３．２）
【０１８４】
は、滑らかな関数γ（θ）によって調整される通常のＧｉｅｌｉｓ極方程式を示している。一例として、理論２．１を用いることによって、Ｌａｐｌａｃｅ方程式用の内部Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ問題は、境界値が、ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｃｏｓｙによって与えられる仮定の下で、次数ｋ＝３のｋ型のＧｉｅｌｉｓ領域内で解かれている。
【０１８５】
0005914470.tif 000053
【０１８６】
（式３．３）
【０１８７】
ｄ．参考文献
次の別の背景の参考文献は、全体として参照によって本明細書に組み込まれる。
［参考文献１］Ｐ．Ｎａｔａｌｉｎｉ，Ｒ．Ｐａｔｒｉｚｉ，Ｐ．Ｅ．Ｒｉｃｃｉ，  Ｔｈｅ  Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ  ｐｒｏｂｌｅｍ  ｆｏｒ  ｔｈｅＬａｐｌａｃｅ  ｅｑｕａｔｉｏｎ  ｉｎ  ａ  ｓｔａｒｌｉｋｅ  ｄｏｍａｉｎ  ｏｆ  ａ  Ｒｉｅｍａｎｎ  ｓｕｒｆａｃｅ．  Ｎｕｍｅｒ．Ａｌｇｏｒ．，４９（２００８），２９９−３１３．
［参考文献２］Ｇ．Ｐ．Ｔｏｌｓｔｏｖ，  Ｆｏｕｒｉｅｒ  ｓｅｒｉｅｓ，  Ｔｒａｎｓｌ．ｆｒｏｍ  Ｒｕｓｓｉａｎ  ｂｙ  Ｒ．Ａ．Ｓｉｌｖｅｒｍａｎ，  Ｄｏｖｅｒ  Ｐｕｂｌ．Ｉｎｃ．，Ｎｅｗ  Ｙｏｒｋ，１９６２．
［参考文献３］Ｌ．Ｃａｒｌｅｓｏｎ，Ｏｎ  ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ  ａｎｄ  ｇｒｏｗｔｈ  ｏｆ  ｐａｒｔｉａｌ  ｓｕｍｓ  ｏｆ  Ｆｏｕｒｉｅｒ  ｓｅｒｉｅｓ．  Ａｃｔａ  Ｍａｔｈ．，１１６（１９６６），１３５−１５７．
［参考文献４］Ｆ．Ｒｉｅｓｚ，Ｌｅｓ  ｓｙｓｔ｀ｅｍｅｓ  ｄ’´ｅｑｕａｔｉｏｎｓ  ｌｉｎ´ｅａｉｒｅｓ｀ａ  ｕｎｅ  ｉｎｆｉｎｉｔ´ｅｄ’ｉｎｃｏｎｎｕｅｓ，Ｇａｕｔｈｉｅｒ  Ｖｉｌｌａｒｓ，Ｐａｒｉｓ，１９５２．
【０１８８】
９．新規な調整型Ｇｉｅｌｉｓ公式
【０１８９】
好ましい実施形態によると、次の新しい一般式が、例えば、本明細書内で記述されるコンピュータツールボックス等の、コンピュータ装置内に実質的に好ましい用途及び実装を備えるように示される。
【０１９０】
0005914470.tif 000054
ここで、
0005914470.tif 000055
【０１９１】
（式１）
【０１９２】
いくつかの例では、パラメータは、同じ重心又は平行移動を備えていることを意味せず、面又は空間内の他の場所にあることを意味するオフセットを含むことができる。
【０１９３】
参考のために、この新しい式は、セクション８（式３．１）で議論され、下の式は、上のセクション２（つまり、式１）及びセクション８（つまり、式３．２）で議論された。この式は、上で議論した‘５２７特許内で説明したものを超える実質的な利点をもたらす。更に、この式は、本明細書内で説明される一般化Ｆｏｕｒｉｅｒ級数、及びｋ型曲線を含む好ましい特別な場合も備えている。
【０１９４】
とりわけ、この新しい式では、例えば、任意の所望の精度レベルで任意の平面の曲線又は面を記述できる。
【０１９５】
この新しい式は、滑らかな関数γ（θ）によって調整される新規な調整型Ｇｉｅｌｉｓ公式を提供する。
【０１９６】
（式１）は、次の一般的形態の部分和である。
【０１９７】
0005914470.tif 000056
【０１９８】
（式３）
【０１９９】
非常に顕著に、この新しい調整型Ｇｉｅｌｉｓ公式は、任意の所望の精度で、任意の曲線の非常に正確な記述を可能にする。
【０２００】
この理由は、Ｆｏｕｒｉｅｒ級数
【０２０１】
0005914470.tif 000057
【０２０２】
（式４）
【０２０３】
が三角関数を用い、古典的Ｇｉｅｌｉｓ部が定数に等しく、半径ａｎ又はｂｎを備えた円又は等方性空間を表している式の特別な場合であるためである。一般的な場合、これらの定数は関数である。
【０２０４】
Ｆｏｕｒｉｅｒ級数の点別の収束特性は、境界のカスプ及び準カスプ特異点によって形成されるゼロ測度の組を除いて、Ｌｅｎｎａｒｔ  Ｃａｒｌｅｓｏｎによって示されている。なお、カスプ及び準カスプは、Ｇｉｅｌｉｓ曲線又は（式１）によって適切に提示できる。
【０２０５】
１０．例示的な用途及び実装
【０２０６】
ａ．拡張された合成用途（例えば、画像、部材等の作成）
この方式は、単純さを変えることなく（例えば、様々な画像、部材等の）複雑な形状を構成する可能性を著しく拡張する。
【０２０７】
ｉ．項の間の線形補間
元のＧｉｅｌｉｓ公式（‘５２７特許で述べた超公式としても知られる）は、変換として理解でき、そこでは、拘束関数ＣＦが、発展可能な関数ＤＦ＝ｆ（θ）上に作用する。これらの曲線は、発展可能な関数ＤＦ（円、螺旋…）が、好ましくは方向及び距離を備えた（ＣＦ≠１の場合）異方性的に発展可能な拘束幾何形状を課している。超円及び超楕円の座標関数は、ｆ（θ）がコサイン又はサイン関数であるときに得られる。同時に、このような関数は、Ｇｒａｎｄｉ−ｆｌｏｗｅｒ又はバラ曲線の範囲を非常に拡大可能な一般化三角関数である。Ｇｒａｎｄｉ曲線を用いる場合、Ｇｒａｎｄｉ曲線に必要な絶対値のために、要素ｍ／２で元の式をやや修正する。これは、例えば、‘５２７特許で述べた花の形状をもたらす。
【０２０８】
いくつかの好ましい実施形態によると、花内の融合を記述するために、（式１）（つまり、新しい調整型Ｇｉｅｌｉｓ公式）を用いることができ、二つの項のみを備え、一方の項は発展可能な関数として機能し、他方の項は拘束関数として機能する。融合は、０≦α≦１の重みパラメータαによって定義される二つの関数ＣＦとＤＦの重み付き加算を用いて実現される。
【０２０９】
0005914470.tif 000058
【０２１０】
（式５）
【０２１１】
図８は、Ｈｕｅｒｎｉａ  ｆｌｏｗｅｒ、及びＣａｒａｌｌｕｍａ  ｆｒｅｒｅｉ（同意：Ｆｒｅｒｅａ  ｉｎｄｉｃａ、右側）の例を（式６）（下記）を用いて構成した具体例である。図８を参照すると、ＤＦ及びＣＦの重み付き加算を用いて、発展可能な関数ＤＦ（青で示した図８の左側）又は拘束関数ＣＦ（緑の右に示した超多角形）の「影響」を調整できる。パラメータは、指数ｎ＝１を備えた五角形（ｍ＝５）として選択される。α用の値は、０．５〜１の範囲にできる。それから、得られる花は、（赤の）ｒｔｏｔ＝αｒ１＋（１−α）ｒ２となる。変数は、ｎとαである。これは、（五つの花弁を備えた）ほぼ五量体の花であるが、対称性のために、ｒ１とｒ２内で変数ｍに変更することもできる。
【０２１２】
0005914470.tif 000059
【０２１３】
0005914470.tif 000060
【０２１４】
0005914470.tif 000061
【０２１５】
（式６）
【０２１６】
この方法では、合成演算、重み付き合計、又はそれらの組合せとして、自然の中の大部分の花を容易に記述できる。下記の表では、様々な例示的な可能性が示されている。ＤＦとＣＦの間の乗算及び／又は重み付き加算を用いることで、三つの簡単な戦略（Ｓ１〜３）を定義し、多対称な及び線対称な花を含む（図９参照）様々な花を記述できる。第一戦略（Ｓ１）は、ＣＦ又はＤＦのいずれかで操作を行う。第二及び第三戦略（Ｓ２）と（Ｓ３）は、乗算と加算を各々用いて、多弁の及び合弁の花の記述を可能にする。特に、外接多角形は、低い回転対称性を備えることもでき、それは左右対称性をもたらす（例えば、図９のＳ２の右の例を参照）。
【０２１７】
次の論理ステップは、戦略の組合せを調べている（例えば、図１０参照）。空間の拘束−ＤＦ上へのＣＦの作用−それによって異方性を導入することは、例えば、萼片、花弁、雄しべ内の花の器官の等距離の位置決め及び間隔、及び超多角形の「隅」の雌ずい群の発展に多くの好影響を備えている。
【０２１８】
図９は、花における三つの基本的な戦略を示す図表であり、図１０は、花における三つの基本的な戦略の組合せを示す図表である。
【０２１９】
とりわけ、この方式は、‘５２７特許の元のＧｉｅｌｉｓ超公式を備えたこの形態では対処できない問題を解く。融合は、花の発展における最も重要な駆動部の一つである。更に、これは、花の別の図形的表現であるように、波形を備えた所定の現象を記述するために用いることもできる。
【０２２０】
それは、二つの理由で、級数を用いる最も簡単な例である。第一に、それは、戦略に依存して、二つ又は三つの項のみを含んでいる。第二に、それは、（式１）内の二つの関数又は二つの項の間の線形補間に関する。（式１）の項の間では、導関数及び勾配を含む複数の線形補間が可能である。
【０２２１】
このセクションでは、花に関する用途を議論しているが、本発明は、任意の形状、波動等の記述又は解析に適用できることは、本開示内容に基づいて理解されるべきである。
【０２２２】
ｉｉ．ｋ型の曲線
ここで、（式１）から得られる形状は、ｋ型の曲線と呼ばれる。関数ｆ（θ）が三角関数であるとき、定数ではなくａｎ及びｂｎ関数を用いて、一般化Ｆｏｕｒｉｅｒ級数が得られる。一般化Ｆｏｕｒｉｅｒ級数では、つまり、Ｌａｍe−Ｇｉｅｌｉｓ変換が作用可能な、古典的Ｆｏｕｒｉｅｒ級数の任意の項上で、一つの項のみで、任意のＬａｍe−Ｇｉｅｌｉｓ曲線が直接符号化される。これは、もちろん、それらが、一つの方程式で符号化され、少数のパラメータのみの円とは異なるという事実の直接的結果である。同様に、面（いくつかの例として、ヒトデ、ピラミッド、円錐及び花又は非常に複雑な形状等）は、少数のパラメータ内のみの球とは異なっているので、これは球面調和関数に拡張できる。更に、これは、合計として曲線及び面を構築するための開始点として用いることができる。それから、部分和は、整数ｋを備えた有限のｋ型と呼ばれる。
【０２２３】
三つの項を備えた３型の一つの具体例は、上で議論した図４で復元された形状である。その図では、指数ｎｉ＝２がＥｕｃｌｉｄｅａｎ円をもたらすので、第一項は、等方性の空間内の三弁の花である。第二及び第三項は、指数ｎ＝１を各々備えた、正方形及び五角形内に記される四弁及び五弁の花である。飛ぶ鳥の外形では、様々な対称性を実際に観察できる。所定のパラメータは、図に対する説明文内に示されている。具体的には、図４は、次式のｋ＝３を備えた例示的なｋ型のＧｉｅｌｉｓ曲線を示している。
【０２２４】
0005914470.tif 000062
【０２２５】
ｉｉｉ．ｋ型の面
三次元の場合、Ｇｉｅｌｉｓ面の群は、任意の複雑性及び形状の断面を含むように無限に拡張できる。３Ｄ超公式のパラメータ表現は、二つの垂直断面ρ１（θ）とρ２（θ）に基づいている。
【０２２６】
0005914470.tif 000063
【０２２７】
（式７）
【０２２８】
ここで、ρはその十分な一般性の中で（式１）によって定義されている。これは、様々な方法でｎ次元まで更に拡張できる。その方法は、２Ｄ曲線の場合と同じである。
【０２２９】
ここでの例は、面又は空間内の表現曲線に関するが、関数空間内では、各形状は単一点によって表現されることが理解されるべきである。
【０２３０】
ｂ．改善された解析用途（例えば、画像、部材等の解析）
ｉ．問題
これまで、Ｇｉｅｌｉｓ曲線及び面は、所定の対称性を示し、（自己交差形状を解析するための方法は新規であるが）比較的簡単である。より複雑な形状は、ｃ点技術を用いて提案されているが（つまり、本発明者Ｊｏｈａｎ  Ｇｉｅｌｉｓの前の米国特許番号２００５／０１４０６７８Ａ１参照。その全ての開示内容は、参照によって本明細書に組み込まれる）、それはアルゴリズム的解である。科学的及び技術的用途のために、直接的表現が必要である。
【０２３１】
ｉｉ．解
一般に、上記の曲線及び面では、超形状は０〜２π（又は有理Ｇｉｅｌｉｓ曲線（ＲＧＣ）の場合は２ｋπ−ＲＧＣでは、ｍは、自己交差曲線をもたらす有理数である）で定義される。しかし、形状は、従来の区分的線形近似（三角化を含む）と同様に、区分的超形状によって定義される。このような区分的方式は、例えば、（式１）及び（式２）等の、従って、一般化Ｆｏｕｒｉｅｒ級数、三角級数を含む拡張によって、又はｃ点曲線として行われる（例えば、米国特許番号２００５／０１４０６７８Ａ１内の上で議論した）。
【０２３２】
ｉｉｉ．処理及びステップ
いくつかの実施例では、例えば、コンピュータソフトウェアを用いて実装される処理ステップは、次のものを含むことができる。
【０２３３】
非常に複雑な形状は、（式１）を用いて超公式のパラメータに変換される。これは、多くの方法でも行うことができる。一例は、Ｆｏｕｒｉｅｒ級数の方法の後に構成された三角関数及びそれらの合計を用いることである。一般化Ｆｏｕｒｉｅｒ級数では、つまり、Ｌａｍe−Ｇｉｅｌｉｓ変換が作用可能な、古典的Ｆｏｕｒｉｅｒ級数の任意の項上で、一つの項のみで、任意のＬａｍe−Ｇｉｅｌｉｓ曲線が直接符号化される。これは、もちろん、それらが、一つの方程式で符号化され、少数のパラメータのみの円とは異なるという事実の直接的結果である。同様に、面（ヒトデ、ピラミッド、円錐及び花又は非常に複雑な形状等）は、少数のパラメータ内のみの球とは異なっているので、これは球面調和関数に拡張できる。更に、これは、合計として曲線及び面を構築するための開始点として用いることができる。それから、部分和は、整数ｋを備えた有限のｋ型と呼ばれる。
【０２３４】
いくつかの実施形態では、ソフトウェアは、超形状自体に基づいて、新規な種類の導関数及び微分の使用を含むこともできる。古典的導関数は、有理数ｋ用の次数ｋの導関数を含むように（例えば、γ関数）、Ｅｕｌｅｒによって拡張された。これらは、非整数の次数の導関数の補間を実現する。コンピュータツールボックスのいくつかの実施形態では、導関数の概念は、Ｇｉｅｌｉｓ公式又は超形状に基づく微分の概念の一般化を含んでいる。この場合、点ｐの曲線の曲率は、円に基づいて、古典的な幾何学のようにではなく、超形状自体に基づいている。
【０２３５】
局所的操作である古典的方式では、各点は、円によって近似され、接触円の半径は、その点における曲線の曲率の逆数であり、この円も完全に接触し、その円自体である一つの曲線だけが存在している。超形状によって曲線を近似することによって、これらの近似からのデータは、曲線に関連した単位円として用いられ（その形状に適応させた座標のＬａｍeの概念）、新しい曲率関数が即座に導かれる。異方性の単位円は、古典的Ｆｏｕｒｉｅｒ級数が適切に処理できない形態で、望みどおりの数のカスプ又は特異点を備えることができる。純粋な形状の記述に基づく解析は、このような特異点を事前に組み込んでいる。
【０２３６】
最終的なステップでは、これは、非常に複雑な２Ｄ及び３Ｄ形状を超形状のデータセットに変換するために用いられる。とりわけ、これは、いくつかの具体例では、マップ形成及び医療画像化及び／又は他の用途等の、様々な解析用途で用いられる。
【０２３７】
ｃ．拡張された最適化用途（例えば、形状、部材等の最適化）
１．データマイニング
データマイニングは、データからパターンを抽出する処理を含むコンピュータ科学及び人工知能の分野である。データマイニングは、情報的利点を与える知識形態に大量のデータを変換するために、ますます重要なツールになっている。データマイニングは、データベースにおける知識発見（ＫＤＤ）として知られる、より大きな処理内のステップとも考えられる。
【０２３８】
ｉ．Ｇｉｅｌｉｓ公式を用いるための背景及び論拠
データマイニングでは、未解決の問題は、より高次元の空間内の領域を定義することである。超形状を用いて、より高次の空間内に異方性領域が存在することを明らかにし、Ｇｉｅｌｉｓ公式を用いて、発展的アルゴリズムを用いることによって、そのパラメータを決定できることが、Ｋｕｒｉ−Ｍｏｒａｌｅｓなどによって示された。現在の技術では、基礎となる仮定として等方性を用いている。当然の結果として、より高次元の空間内に異方性領域が存在すると仮定すれば、現在の方法は、適切な理論的基盤を欠くことになる。残念ながら、次元の問題点の一例として、３Ｄ内で実行される実験を多次元にすると、必要される計算時間は増大する。
【０２３９】
ｉｉ．Ｋｕｒｉ−Ｍｏｒａｌｅｓの参考文献
ここで、Ｋｕｒｉ−Ｍｏｒａｌｅｓ  Ａ．ａｎｄ  Ａｌｄａｎａ−Ｂｏｂａｄｉｌｌａ  Ｅ．（２０１１）、Ｔｈｅ  Ｓｅａｒｃｈ  ｆｏｒ  Ｉｒｒｅｇｕｌａｒｌｙ  Ｓｈａｐｅｄ  Ｃｌｕｓｔｅｒｓ  ｉｎ  Ｄａｔａ  Ｍｉｎｉｎｇ  ａｔ  Ｃｈａｐｔｅｒ  １７  ｏｆ  Ｎｅｗ  Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ  Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ  ｉｎ  Ｄａｔａ  Ｍｉｎｉｎｇ  Ｅｄｉｔｅｄ  ｂｙ  Ｋｉｍｏｔｏ  Ｆｕｎａｔｓｕ  ａｎｄ  Ｋｉｙｏｓｈｉ  Ｈａｓｅｇａｗａ，ＩｎＴｅｃｈ  Ｏｐｅｎ  Ａｃｃｅｓｓ，Ｒｉｊｅｋａ，Ｃｒｏａｔｉａ，ｐｐ２２３〜２５４を参照する。
【０２４０】
データマイニングの主要な目標の一つは、データベース内のどの対象が、興味ある特性を共有しているかを決定する教師なしの処理であることである。この処理は、知識発見の名前でも知られている。このような新しい知識は、新しい処理又は製品をもたらす可能性があり、それによって、会社は、新しい必要性及び顧客群に対処できる。世界的に、会社及び組織の一つ内のこの知識は、コンピュータデータベース又はデータウェアハウス上に格納された拡大する数のデータを蓄積する。これらのデータは、製品、処理、市場及び販売だけでなく、メタデータにも関連付けられる。データマイニング又は知識発見は、データ又はデータ群内の隠れたパターンを明らかにすることを目的としている。このような新規な情報を発見する解析ツールは、クラスタリング又はデータベース内の組の識別に関している。クラスタリングは、厳密には定義されていないが、それは、群内のデータ又は対象を組織化する処理に関し、この群の構成要素は、所定の類似性を共有している。
【０２４１】
従来の方式は、高次元空間内のクラスタの形状に基本的な拘束を課し、超平面によって超球又は部分をほとんど処理していたが、このような方式は、不規則なクラスタを見出せないので、明らかに可能性を制限している（Ｋｕｒｉ−Ｍｏｒａｌｅｓ，２００８）。他の距離関数及びメトリクスを用いることは、より複雑で不規則な形状のクラスタを見出すことを可能にする。簡単に言うと、不規則なクラスタが存在する場合、一般的な方法ではこれらを見出すことはできない。しかし、当然の結果は更に重要であり、それらが存在し、見つけられない場合、これは、超球及び異方性空間又は部分空間に基づく現在の技術基盤が、確実ではないことを意味する。
【０２４２】
実際、元のＧｉｅｌｉｓ公式（つまり、‘５２７特許の超公式）は、このような作業に使用できることが示されている（Ｋｕｒｉ−Ｍｏｒａｌｅｓ，２００８参照）。それは、ヒトデ、分子及び時空間モデル等の、多様な自然形状の数学的記述の統合を提供する。その結果、異方性空間は、例外ではなく、自然の規則であることは明らかである。超公式は元々、２Ｄ及び３Ｄで開発されたが、任意の次元に拡張できる。しかし、これは、著しく複雑性を増大させ、超形状の領域を見出すことは非自明な作業であり、次元の数が大きくなるほど取り扱いは困難になる。従来のＧｉｅｌｉｓ曲線及び面は、唯一の可能な解ではない。任意の妥当な方式では、カーネル関数を表現する。選択されるカーネルにかかわらず、不規則な形状のクラスタを探索する主要な問題の一つは、クラスタリング処理が、多くの次元で、極めて非線形で非凸の最適化問題となることである。
【０２４３】
Ｋｕｒｉ  Ｍｏｒａｌｅｓ  ２００８，２０１１では、実験は、１００００のデータ点を３Ｄ空間内の４クラスタに分散させ、各クラスタ内が２５００になる方法を記述している。正確なクラスタにデータ点を再割当てするために、探索方法論内の多くのアルゴリズムで一般的に用いられるいくつかの教師あり及び教師なしの方法が用いられた。結果は、Ｋ−平均法、Ｋｏｈｏｎｅｎマップ及びＦｕｚｚｙ  Ｃ−平均法が、遺伝的アルゴリズムを用いるために、パラメータを探索するＧｉｅｌｉｓ面よりずっと効率的ではないことを示していた。これらの結果は予備的であったが、従来のクラスタリング技術がうまく機能しない合成データに対して、妥当なクラスタリングが実現された。前記方法は、測定上考慮すべきことが厳密には含まれない唯一のものであるという意味で、独特であると考えられる。従って、それは、データセット「Ｃ」に対応するもの等の、問題に対する許容可能な解決策を見出すために、（原理的に）補償される唯一のものである。しかし、前記方法が、実際上の一般性を実現するには、いくつかの問題では注意が必要である。それらの中で、適応度関数を改良しなければならない。簡単な戦略が、適切かどうかは明らかではない。第二に、進化アルゴリズムは、計算集約的であるので、計算効率を改善する必要がある。実際に重要な問題は、巨大な計算コストをもたらすクラスタ数、つまり次元がいつ増大するかということである。ＥＡは並列化可能であるので、並列化アルゴリズム及び並列処理が解決策となる可能性がある。更に、ハードウェアの発展によって、計算性能の向上は制限的ではなくなっている。
【０２４４】
しかし、これらの初期実験から得られる知識は、概念的拘束のために、簡単な他のものでは間に合わない場所で、この方法が適切に機能することである。更に、正当性が、このようなクラスタ内にあるベクトルの組を最大化するものであるので、クラスタの良好性のこのような検証等の、特別な正当性測定は不要である（Ｋｕｒｉ−Ｍｏｒａｌｅｓ２０１１）。
【０２４５】
ｉｉｉ．問題の記述
軌跡の可能な形態の選択に絶対的自由は含まれていないので、元のＧｉｅｌｉｓ公式には、いくつかの制限がある。カーネルを生成するための別の選択は、有理関数、つまり放射基底関数であってもよい。基本カーネルの選択と、メンバシップ関数が、クラスタリングに対してより大きな約束を保持するという事実にもかかわらず、その挑戦は非自明である。これらは、増大する次元に関連した計算コストと、多くの次元の系統的な一般化に着目する。カーネルとしてＧｉｅｌｉｓ公式を用いる主要な問題は、ｎ次元の空間に一般化することは極めて困難と考えられることである。より高次元の空間は非常に一般的であり、数千以上の次元になるので、これは問題が多い。
【０２４６】
ｉｖ．処理
いくつかの実施例では、次の処理ステップが実装される。
【０２４７】
ステップ１：このステップは、知識発見（このデータは、例えば、航空会社からのデータ（航空輸送等）、病院、保険会社、銀行又は任意の種類のデータウェアハウス等、様々な分野及び用途からのものであってもよい）用に解析される必要があるデータのコンピュータ内の入力を含んでいる。
【０２４８】
ステップ２：このステップは、最初の推測が、より高次元の空間内の異方性領域から構成される確率論的方法（例えば、進化アルゴリズム）を用いることを含んでいる。これは、対象認識用にまとめられた方法を用いて行われ、次元の各増大と共に、複雑さが増倍するという事実を考慮しているが、２Ｄ超形状自体が既に、より高次元の空間の表現であるということも知られるべきである。超形状の最も簡単な場合として、Ｌａｍe曲線ｘ＾ｎ＋ｙ＾ｎ＝Ｒ＾ｎは、三つのｎ次元立方体の間の等しさを示している。
【０２４９】
ステップ３：このステップは、前の群からの級数展開を用いることによる領域記述の改良を含んでいる。出力は、２Ｄ又は３Ｄグラフを表現可能な、空間の最適分割に関するデータであり、様々な用途（ほんの一例として、航空輸送、銀行及び保険の問題、及び様々な他の用途等）での効率を増大させ、最適化するために役立つ新しい知識を生成する。特に、これは、任意の他の既存の方法よりずっと高速に行われる。
【０２５０】
ｖ．例示的なデータマイニングの実装
いくつかの実施例では、データマイニングは、例えば、保険会社、又はその顧客、製品、販売及び／又は販売の詳細について、全てのデータを長年の間集積し、この情報をデジタル的に格納している他の会社内に適用できる。いくつかの実施形態では、クラスタリングは、様々な方法で用いられ、１）製品推奨用の顧客層を見つけること、又は２）新しい保険商品をもたらすことができる知識発見、又は３）所定の顧客又は顧客群が、自動車事故を起こす可能性を予測すること、等を行うことができる。
【０２５１】
いくつかの実施形態では、多くのデータ入力を備えた表を含む（例えば、年齢、地域、性別、職業等に関連した情報を含む）データウェアハウスが実装される。前処理ステップ後、データウェアハウスが生成され、そこから、クラスタリング作業を実行できる。例えば、製品推奨用に、新しいクライアントのデータがアプリケーションサーバに送られる。データ前処理後、データウェアハウスが生成され、例えば、クラスタリングを用いて、その顧客用の最善の可能な製品の組合せを予測できる。クラスタリング結果は、最善の可能な結果を提供するために評価される。更に、前記結果は、ユーザ指定のパラメータに従う閾値及びフィルタを用いることによって改良でき、それは、データマイニングから得られるパラメータの特定の部分を生成できる。これらの結果又はパターンは、グラフィック表示部上に可視化される。最終的に、推奨は、販売員又はウェブベースのツール上に送られる。
【０２５２】
データマイニング及びクラスタリングの技術は、知識発見用に用いられ、そこには、保険会社の完全なデータウェアハウスが含まれる。目的は、新しい、未開拓の及び意外なクラスタを発見し、地理的な場所、年齢、時期等に関連した共通パターンを明らかにすることである。クラスタリングアルゴリズムは、不規則なクラスタ、又は所定の異方性を備えたクラスタ（例えば、星状の、又は五角形及び／又はその他に配置されたクラスタ等）を探索する。本発明の（式１）の一つの大きな利点は、そうでない場合、超球に基づく、従来のクラスタリングアルゴリズムを用いては発見しそこなう、任意の種類の不規則な領域が検出されることである。クラスタリングの良好性は、このようなクラスタ内にあるベクトルの組の最大化に関連した規則によって定義される。
【０２５３】
次のステップは、従来のアルゴリズムとの結果の比較を含み、手順は、不規則なクラスタを用いることから得られる利得を決定する。次のステップでは、クラスタリングは、製品開発及びマーケティング専門家に送られ、彼らは新しい製品（例えば、保険商品）を開発する。
【０２５４】
いくつかの他の実施例では、予測モデルを用いて、所定の地域、所定の時間に所定の自動車事故が発生する可能性を予測する。この具体例では、例えば、個人データ、過去の事故の記録、保証される車の具体的な特性等の、データが再びデータウェアハウス内に配置される。これは、地震が起こりがちな地域内の家を保証することから、保険会社の職員の能力及びその製品の品質制御等まで、多くの方法に適用される。
【０２５５】
いくつかの実施形態では、同じツール（例えば、コンピュータは、本明細書で述べられた数学的原理を実装しているソフトウェアツールを用いてプログラムでき、前記原理は、様々な状況に適用できる）を用いて、例えば、挙動（例えば、財務上の支出及び貯蓄等）、投資の失敗率及び／又は成功率、及び／又は新しい会社の失敗率及び／又は成功率、及び／又は他の用途のパターンの探索に関するデータマイニング処理を改善できる。いくつかの他の実施形態では、データマイニング法と同様に、これらの方法を用いて、履歴データに基づいて予測できる。好ましい実施形態では、アルゴリズムは、既存のソフトウェア及びデータマイニングのワークフロー内に組み込まれ、主要な目的は、データマイニング及び関連の処理の結果を最適化することである。
【０２５６】
本発明には様々な用途があり、これらはいくつかの具体例にすぎないことは理解されるべきである。
【０２５７】
２．最適な幾何学的生成器
いくつかの実施形態では、この点では、本発明は、新しい設計戦略を可能にし、そこでは、Ｇｉｅｌｉｓ面及びモデル等の方式及び最適化は、多次元探索及び変動空間内で一般化される。このような戦略は、遺伝的アルゴリズム（ＧＡ）等の特定の方式を含む必要がある。近年、形状の最適化に対して遺伝的アルゴリズムを使用することに対する興味が増大している。
【０２５８】
我々は、次の多目的形状最適化を考える。
0005914470.tif 000064
0005914470.tif 000065
に従って
0005914470.tif 000066
を最小化する。
【０２５９】
ここで、ａは設計変数であり、Ｕａｄは許容可能な設計の組である。いくつかの状態変数ｕ１＝ｕ１（ａ），…，ｕｎ＝ｕｎ（ａ）が最適化される。それらは、いくつかの原則に対応する状態方程式の組を満足する。主要な利点は、ＧＡが、並列又は分散計算環境に容易に実装できることである。
【０２６０】
ｄ．拡張された計算方法
ｉ．問題の記述
数理物理学及び電磁気学で生じる多くの境界値問題（ＢＶＰ）は、Ｌａｐｌａｃｉａｎ演算子に関連付けられる。それらの中で、Ｌａｐｌａｃｅ及びＰｏｉｓｓｏｎ方程式、波動及びＨｅｌｍｈｏｌｔｚ方程式、並びにＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程式に関連するものに言及することは価値がある。しかし、言及した微分問題の大部分は、特定の形状又は対称性を備えた正準領域内でのみ明示的な方法で解くことができる。この制限を克服するために、境界層技術、積分方程式法、等角写像、及び最小二乗手順に基づく異なる方式が、科学文献で提案されている。この問題は、２Ｄ及び３Ｄ内の複雑な領域及び複合領域では軽減される。
【０２６１】
ｉｉ．解
従来のＦｏｕｒｉｅｒ投射法に戻りながら、元の解析的方式を開発できる。これらの方法は、星状領域とも呼ばれる単純に接続された領域内で開発されている。これらの方法を、（式１）によって与えられる複雑な領域及び複合領域に拡張することは新規である。
【０２６２】
ｉｉｉ．処理及び方法
一例として、境界が、ｋ型のＧｉｅｌｉｓ方程式によって記述される複雑な二次元領域内で、Ｌａｐｌａｃｅ方程式用のＤｉｒｉｃｈｌｅｔ問題を解くために、解を展開する。この理論は、弱い仮説を仮定することによって容易に拡張されるが、境界値に対して正則関数を考える。例えば、本明細書の上の、「普遍的自然形状用の補足資料…」の見出しのセクション８を参照のこと。具体例では、関連の技術を評価するために、コンピュータ支援代数ツールＭａｔｈｅｍａｔｉｃａ（商標）に基づく適切な数値手順が開発されている。
【０２６３】
考慮される領域Ｄの極方程式は、次のとおりである。
【０２６４】
0005914470.tif 000067
【０２６５】
（式１）
【０２６６】
Ｇｉｅｌｉｓ領域のＬａｐｌａｃｅ方程式に関連したＤｉｒｉｃｈｌｅｔ問題を解くために開発されたＦｏｕｒｉｅｒベースの方法論を用いて、∂Ｄ上の境界値が、関数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｃｏｓｙによって記述されるという仮定の下で、次の数値結果が集められている。（式１）によって記述されるｋ型のＧｉｅｌｉｓ領域内のＬａｐｌａｃｅ方程式用のＤｉｒｉｃｈｌｅｔ問題の解を表すＦｏｕｒｉｅｒ的な部分和の拡張次数Ｎの関数として、相対的境界誤差ｅＮを示す上で議論した図５（Ｃ）を参照のこと。更に、（式１）によって記述されるｋ型のＧｉｅｌｉｓ領域内のＬａｐｌａｃｅ方程式用のＤｉｒｉｃｈｌｅｔ問題の解を表す拡張次数Ｎ＝７を備えたＦｏｕｒｉｅｒ的な部分和ＵＮ（ｌ，θ）の角度挙動を示す上で議論した図５（Ｂ）を参照のこと。更に、（式１）によって記述されるｋ型のＧｉｅｌｉｓ領域内のＬａｐｌａｃｅ方程式用のＤｉｒｉｃｈｌｅｔ問題の解を表す次数Ｎ＝７のＦｏｕｒｉｅｒ的な部分和の空間分布を示す上で議論した図５（Ａ）を参照のこと。
【０２６７】
ｉｖ．例：メッシュフリーモデリング
いくつかの例では、星状領域を単位円に低減する拡張座標系の使用によって、従来のＦｏｕｒｉｅｒ法の適用を、複雑な二次元の通常の極領域内の微分問題の幅広い組に適用可能にする。この方法では、閉形態の解が、適切な直交規則を用いることによって得られ、有限差分又は有限要素法等の煩雑な数値手法を避けることができる。現在では、二次元又は三次元内の任意の領域上に、任意の次元の導関数を用いて、ＢＶＰを計算できるので、従来用いられていた広範囲の技術の代わりとなる。応用分野は、電磁気学、アンテナ及びマイクロ波導波路技術、建築及びＣＡＤ／ＣＡＥを含んでいる。Ｆｏｕｒｉｅｒ的な部分和に必要な限られた数の項は、効率及び誤差項の急速な減少を証明する。
【０２６８】
更に、Ｆｏｕｒｉｅｒ的な部分和に必要な限られた数の項は、効率及び誤差項の急速な減少を証明し、（式１）による直接表現は、特定の蓄積形式のデータの簡単で正確な符号化を保証する。
【０２６９】
いくつかの実施例によると、メッシュフリーモデリング処理ステップは、次のことを含むことができる。
【０２７０】
第一ステップでは、モデルは、方程式を直接用いるＣＡＤ又は他の設計ソフトウェア内で直接作成されるか、又はデータは、解析ステップによって（式１）のデータに変換される。
【０２７１】
第二ステップでは、任意の微分又は差分方程式は、簡単な又は組み合わせられた全ての形状上で直接計算されるので、もはやメッシュ作成（問題が多いが、業界では広く用いられている）を行う必要はない。例えば、図５（Ａ）に示したものと同様の形状の鳥状の板の上の振動又は熱分布を研究できる。その結果に従って、必要に応じて、板のモデルを変更し、強度の改善、より多くの又は異なる材料の追加、色又は材料の他の特性の改善を行うことができ、及び／又は、建築又はＣＡＤに用いられる従来の方法、又は３Ｄ印刷又は添加剤製造等の新規な処理によって、全てのモデルを効率的に製造できる生産の問題に関連させることができる。
【０２７２】
モデルは、明確に定義され、数千の形状が組合せられ、計算されるので、製品データ管理又は製品ライフサイクル解析に関連した全ての情報を、任意のワークフロー内に継ぎ目なく統合できる。理由の一つは、メッシュありモデルに比べて、ファイルサイズが、現在用いられているファイルより一般に三桁小さいので、これらのモデルからメモリを節約できることである。これは、建築、機械学、電磁気学等の分野での、より効率的で誤差の少ないワークフロー、及び改善された製品データ管理の決定的な効果を備えている。
【０２７３】
最終ステップでは、この情報を用いて、機械、印刷機、または他の装置を操作し、所望の出力を提供できる。
【０２７４】
ｖ．例：所定の製品の最適設計（例えば、アンテナ、マイクロ波導波路、ダイヤモンド切断機等）
反転法は、周囲空間に適応させた最善の可能な形状を選択することである。特定の部屋用の特定のアンテナ、又は航空機及び衛星内のマイクロ波導波路を考えてもよい。更なる詳細は、例えば、上記の最適な幾何学計算も参照のこと。
【０２７５】
一般に、形状の合成及び最適化は、作製、使用される材料、価格等の所定の制限を備えた設計哲学から始まる。例えば、機械設計では、製品特性及びその装置の設計に関連した体積制限を備えたバッテリを製造する。この新しい方法では、逆経路をとることができる。例えば、部屋、建物、航空機、空洞等の所定の周囲を与えて、装置の最適形状を計算できる。
【０２７６】
具体例として、電磁気学の分野では（例えば、アンテナ、マイクロ波導波路、レーダー等を含む）このような装置は、所定の環境で性能を最適化するように開発される。処理ステップは、一実施例では、まず、所定の家具及び部材を備えている部屋を走査することを含むことができる（つまり、部屋の画像を描くデータセットが得られる）。次に、アンテナ又はアンテナ配列の最適形状が、ツールボックスから得られる（つまり、前記データセットに対して本明細書の数学的原理を適用するように構成されるコンピュータ内に、コンピュータプログラムが設けられている）。最終ステップでは、アンテナが構成され（つまり、所定の用途に合わせて作製される）、例えば、計算したデータ結果を用いて、切断器具、２Ｄ又は３Ｄ印刷機、又は単一物製造用の他の装置等の、機械を操作できる。代替的に、出力データは、例えば、衣類、印刷基板、航空機及び衛星に関連する組込みアプリケーション又は装置の製造用の他のデータと一体化される。
【０２７７】
別の具体例として、ダイヤモンド切断の分野では、視覚技術、Ｘ線トモグラフィー、又は他の技術を用いる装置によって、第一ステップの天然ダイヤモンドを走査する。一般に、ダイヤモンド業界では、この天然ダイヤモンドから、最も損失の少ない、最良の石を切り出す最善の可能な方法を計算する処理が工夫されている。本ツールボックス（つまり、ソフトウェアツールが実装されたコンピュータ）では、天然ダイヤモンドから最大の収量を保証する特定の形状を計算できる。このような形状は、例えば、従来のダイヤモンド切断より一般的であってもよい。最終ステップでは、これらの最適データを用いて、レーザ切断機を操作し、ダイヤモンドを切断できる。
【０２７８】
広範囲の発明
本明細書では、本発明の実施例が示され説明されているが、本発明は、本明細書で説明した様々な好ましい実施形態には限定されず、本開示内容に基づいて、当業者に理解されるように、等価な要素、修正、省略、（例えば、様々な実施形態にわたる観点の）組合せ、適応及び／又は代替を備えた任意の及び全ての実施形態を含んでいる。請求項（例えば、後で追加される物を含む）の限定は、請求項内で用いられる用語に基づいて広く解釈され、本明細書内又は出願の審査中に記述される例には限定されず、その例は非排他的なものとして解釈される。例えば、本開示内容では、用語「好ましくは」は非排他的であり、「好ましいが、限定されない」を意味する。本開示内容及び本出願の審査中、所定の請求項の限定に対して、ａ）「〜用の手段」又は「〜用のステップ」が明示的に記載されている、ｂ）対応する機能が、明示的に記載されている、及びｃ）構造、材料、又はその構造を支持する機能が記載されていない、という条件の全てが、そういう限定で存在している場合のみ、手段＋機能、又はステップ＋機能の限定が用いられる。本開示内容及び本出願の審査中、用語「本発明」又は「発明」は、本開示内容内の一つ以上の形態を参照するものとして用いられる。本発明又は発明という用語は、重要性の識別として不適切に解釈されるべきではなく、全ての観点又は実施形態にわたって適用するものとして不適切に解釈されるべきではなく（つまり、本発明は、複数の観点及び実施形態を備えていると理解されるべきである）、出願又は請求項の範囲を限定するものとして不適切に解釈されるべきではない。本開示内容及び本出願の審査中、用語「実施形態」は、任意の観点、特徴、処理又はステップ、それらの任意の組合せ、及び／又はそれらの任意の部分等を記述するために用いられる。いくつかの例では、様々な実施形態は、重複する特徴を含んでいてもよい。本開示内容では、次の短縮用語「ｅ．ｇ．」は「例えば」を意味するものとして用いられる。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５（Ａ）】
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【図５（Ｂ）】
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【図５（Ｃ）】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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