(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
２つの配置物ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた各配置物の配置位置における分布密度を表す確率密度関数ψに基づいて定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記配置物ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、配置物全体の分散性を示す評価値として算出する評価値算出手段と、
前記評価値算出手段により算出された評価値に基づいて、配置物の分散性を評価する評価手段と、
を有する分布評価装置。
【請求項２】
前記重み関数ωψは、前記相互影響値に重み関数値ω（ｘ）、ω（ｙ）及び確率密度関数値ψ（ｙ）を乗じ、全てのｙについて総和した値である加重ポテンシャルが、全ての配置物ｘにおいて定数であるように定められる、請求項１に記載の分布評価装置。
【請求項３】
前記関数ｆｒは、２つの配置物ｘ、ｙの間の距離が規定の限界値を超える場合に値が０となり、かつ、この限界値以内の場合には、距離値を変数として単調減少かつ２階微分可能な凸関数である請求項１または２記載の分布評価装置。
【請求項４】
前記評価値算出手段は、２つの配置物ｘ、ｙの間の距離が規定の限界値を超える場合、この２つの配置物ｘ、ｙに対する総和計算を省略する請求項３に記載の分布評価装置。
【請求項５】
２つの配置物ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた確率密度関数ψによって定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記配置物ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、ψとφとの近似度を示す評価値として算出する評価値算出手段と、
前記評価値算出手段により算出された評価値を用いて、前記加重エネルギーが降下するようにφ値を決定する分布決定手段と、
を有する分布決定装置。
【請求項６】
前記分布決定手段は、前記加重エネルギーが降下するように、配置物ｕ、ｖについて所定量の濃度または大きさφ値の交換を行い、全配置物の濃度または大きさの交換を所定回数反復することにより前記加重エネルギーの降下を行う請求項５記載の分布決定装置。
【請求項７】
前記加重エネルギーの降下量は、２つの配置物ｕ、ｖについて濃度または大きさφ値を任意の量だけ交換した際に、該配置物の濃度または大きさの交換に応じて加重エネルギーに変動を及ぼす項のみからなる加重エネルギー降下量として定義される請求項６記載の分布決定装置。
【請求項８】
前記分布決定手段は、配置物の濃度または大きさφ値を変換する際に、配置物が取り得る濃度または大きさに設けられた所定の制約条件の下で配置物の濃度または大きさを変換する請求項７記載の分布決定装置。
【請求項９】
画像を構成する２つの点ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた確率密度関数ψによって定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記点ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、ψとφとの近似度を示す評価値として算出する評価値算出手段と、
前記評価値算出手段により算出された評価値を用いて、前記加重エネルギーが降下するようにφ値を決定する分布決定手段と、
を有する画像処理装置。
【請求項１０】
前記分布決定手段は、前記加重エネルギーが降下するように、所定量の濃度または大きさの交換を行い、全点の濃度または大きさの交換を所定回数反復することにより前記加重エネルギーの降下を行って確率密度関数ψにより現される原画像を近似復元し、近似復元した２つの画像間の差分として情報を埋め込む請求項９記載の画像処理装置。
【請求項１１】
２つの配置物ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた確率密度関数ψによって定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記配置物ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、ψとφとの近似度を示す評価値として算出するステップと、
算出された評価値に基づいて、ψとφとの近似度を評価するステップとをコンピュータに実行させるためのプログラム。
【請求項１２】
２つの配置物ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた確率密度関数ψによって定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記配置物ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、ψとφとの近似度を示す評価値として算出するステップと、
算出された評価値を用いて、前記加重エネルギーが降下するようにφ値を決定するステップとをコンピュータに実行させるためのプログラム。
【請求項１３】
画像を構成する２つの点ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた確率密度関数ψによって定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記点ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、ψとφとの近似度を示す評価値として算出するステップと、
算出された評価値を用いて、前記加重エネルギーが降下するようにφ値を決定するステップとをコンピュータに実行させるためのプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、分布評価装置、分布決定装置、画像処理装置およびプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
特許文献１には、空間上の各点での密度情報に基づいて、濃度またはサイズが等しい配置物の分散性（分布の良さ）を評価する事ができる分散評価装置、ならびに濃度またはサイズが等しい配置物を配置させることができる配置決定装置、画像処理装置およびプログラム、が開示されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特開２００７−１８９４２７号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
本発明の目的は、与えられた確率密度関数に基づいて、濃度またはサイズが異なる配置物の分散性（分布の良さ）を評価することができる分布評価装置、ならびに濃度またはサイズが異なる配置物を配置させることができる分布決定装置、画像処理装置およびプログラムを提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００５】
［分布評価装置］
請求項１に係る本発明は、２つの配置物ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた各配置物の配置位置における分布密度を表す確率密度関数ψに基づいて定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記配置物ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、配置物全体の分散性を示す評価値として算出する評価値算出手段と、
前記評価値算出手段により算出された評価値に基づいて、配置物の分散性を評価する評価手段とを有する分布評価装置である。
【０００７】
請求項２に係る本発明は、前記重み関数ωψが、前記相互影響値に重み関数値ω（ｘ）、ω（ｙ）及び確率密度関数値ψ（ｙ）を乗じ、全てのｙについて総和した値である加重ポテンシャルが、全ての配置物ｘにおいて定数であるように定められる、請求項１に記載の分布評価装置である。
【０００８】
請求項３に係る本発明は、前記関数ｆｒが、２つの配置物ｘ、ｙの間の距離が規定の限界値を超える場合に値が０となり、かつ、この限界値以内の場合には、距離値を変数として単調減少かつ２階微分可能な凸関数である請求項１または２記載の分布評価装置である。
【０００９】
請求項４に係る本発明は、前記評価値算出手段が、２つの配置物ｘ、ｙの間の距離が規定の限界値を超える場合、この２つの配置物ｘ、ｙに対する総和計算を省略する請求項３に記載の分布評価装置である。
【００１０】
［分布決定装置］
請求項５に係る本発明は、２つの配置物ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた確率密度関数ψによって定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記配置物ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、ψとφとの近似度を示す評価値として算出する評価値算出手段と、
前記評価値算出手段により算出された評価値を用いて、前記加重エネルギーが降下するようにφ値を決定する分布決定手段とを有する分布決定装置である。
【００１１】
請求項６に係る本発明は、前記分布決定手段が、前記加重エネルギーが降下するように、配置物ｕ、ｖについて所定量の濃度または大きさφ値の交換を行い、全配置物の濃度または大きさの交換を所定回数反復することにより前記加重エネルギーの降下を行う請求項５記載の分布決定装置である。
【００１２】
請求項７に係る本発明は、前記加重エネルギーの降下量が、２つの配置物ｕ、ｖについて濃度または大きさφ値を任意の量だけ交換した際に、該配置物の濃度または大きさの交換に応じて加重エネルギーに変動を及ぼす項のみからなる加重エネルギー降下量として定義される請求項６記載の分布決定装置である。
【００１３】
請求項８に係る本発明は、前記分布決定手段が、配置物の濃度または大きさφ値を変換する際に、配置物が取り得る濃度または大きさに設けられた所定の制約条件の下で配置物の濃度または大きさを変換する請求項７記載の分布決定装置である。
【００１４】
［画像処理装置］
請求項９に係る本発明は、複数の点を含む画像を構成する２つの点ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた確率密度関数ψによって定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記点ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、ψとφとの近似度を示す評価値として算出する評価値算出手段と、
前記評価値算出手段により算出された評価値を用いて、前記加重エネルギーが降下するようにφ値を決定する分布決定手段とを有する画像処理装置である。
【００１５】
請求項１０に係る本発明において、前記分布決定手段は、前記加重エネルギーが降下するように、所定量の濃度または大きさの交換を行い、全点の濃度または大きさの交換を所定回数反復することにより前記加重エネルギーの降下を行って確率密度関数ψにより現される原画像を近似復元し、近似復元した２つの画像間の差分として情報を埋め込む請求項９記載の画像処理装置である。
【００１６】
［プログラム］
請求項１１に係る本発明は、２つの配置物ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた確率密度関数ψによって定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記配置物ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、ψとφとの近似度を示す評価値として算出するステップと、
算出された評価値に基づいて、ψとφとの近似度を評価するステップとをコンピュータに実行させるためのプログラムである。
【００１７】
請求項１２に係る本発明は、２つの配置物ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた確率密度関数ψによって定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記配置物ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、ψとφとの近似度を示す評価値として算出するステップと、
算出された評価値を用いて、前記加重エネルギーが降下するようにφ値を決定するステップとをコンピュータに実行させるためのプログラムである。
【００１８】
請求項１３に係る本発明は、複数の点を含む画像を構成する２つの点ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、予め与えられた確率密度関数ψによって定められる重み関数値ωψ（ｘ）、ωψ（ｙ）を乗じるとともに、さらに前記点ｘ、ｙの濃度または大きさを表す確率密度関数値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じ、全てのｘ、ｙについて総和した値である加重エネルギーを、ψとφとの近似度を示す評価値として算出するステップと、
算出された評価値を用いて、前記加重エネルギーが降下するようにφ値を決定するステップとをコンピュータに実行させるためのプログラムである。
【発明の効果】
【００１９】
請求項１に係る本発明によれば、濃度またはサイズが異なる配置物の分布状態を示す確率密度関数φが、与えられた確率密度関数ψに従った分布密度で配置されているか否かを評価することができる分布評価装置を提供することができる。
【００２１】
請求項２に係る本発明によれば、請求項１に係る本発明により得られる効果に加えて、加重エネルギーが小さい場合に、確率密度関数φが確率密度関数ψに近似していると評価することが可能な分布評価装置を提供することができる。
【００２２】
請求項３に係る本発明は、請求項１または２に係る本発明により得られる効果に加えて、関数ｆｒの要件を容易に実現することができる分布評価装置を提供することができる。
【００２３】
請求項４に係る本発明は、請求項４に係る本発明により得られる効果に加えて、全ての配置物間の加重ポテンシャルを計算する場合と比較して、加重ポテンシャルの計算を簡略化することが可能な分布評価装置を提供することができる。
【００２４】
請求項５に係る本発明によれば、与えられた確率密度関数に基づいた分布密度で、濃度またはサイズが異なる配置物を配置させることができる分布決定装置を提供することができる。
【００２５】
請求項６に係る本発明によれば、請求項５により得られる効果に加えて、加重エネルギーを暫時降下させて最小化近似を行うことが可能な分布決定装置を提供することができる。
【００２６】
請求項７に係る本発明によれば、請求項６により得られる効果に加えて、任意の１つの配置物の濃度または大きさの交換をした場合でも、加重エネルギーを再計算することなく加重エネルギー降下量のみを計算すればよいため、計算処理を簡略化することが可能な分布決定装置を提供することができる。
【００２７】
請求項８に係る本発明によれば、請求項７により得られる効果に加えて、配置物の濃度または大きさの交換を簡略化して行うことが可能な分布決定装置を提供することができる。
【００２８】
請求項９に係る本発明によれば、与えられた確率密度関数に基づいた分布密度で、濃度またはサイズが異なる複数の点を配置させることができる画像処理装置を提供することができる。
【００２９】
請求項１０に係る本発明によれば、請求項９により得られる効果に加えて、近似復元した画像に第三者には判別することができない情報を埋め込むことが可能な画像処理装置を提供することができる。
【００３０】
請求項１１に係る本発明によれば、与えられた確率密度関数に基づいて、濃度またはサイズが異なる配置物の分散性を評価することができるプログラムを提供することができる。
【００３１】
請求項１２に係る本発明によれば、与えられた確率密度関数に基づいた分布密度で、濃度またはサイズが異なる配置物を配置させることができるプログラムを提供することができる。
【００３２】
請求項１３に係る本発明によれば、与えられた確率密度関数に基づいた分布密度で、濃度またはサイズが異なる複数の点を配置させることができるプログラムを提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【００３３】
【図１】相互影響値を定義する関数ｆｒのグラフの例である。
【図２】相互影響値を定義する関数ｆｒに対して設定された限界距離ｒを説明する図である。
【図３】分布評価処理および分布決定処理の概略を説明するための図である。
【図４】本発明の一実施形態の分布決定装置１０のハードウェア構成を示す図である。
【図５】本発明の一実施形態の分布決定装置１０の機能構成を示す図である。
【図６】本発明の一実施形態の分布決定装置１０における分布評価処理を説明するためのフローチャートである。
【図７】重み関数ωψの定義方法を説明するためのフローチャートである。
【図８】本発明の一実施形態の分布決定装置１０における分布決定処理を説明するためのフローチャートである。
【図９】確率密度関数ψ（ｘ）により表現された原画像の一例を示す図である。
【図１０】図９の原画像に基づいて重み関数をωψ（ｘ）として求め、１／ωψ（ｘ）2をプロットした結果を示す図である。
【図１１】図９の原画像に基づいて加重エネルギー降下して初期画像（確率密度関数）φについて濃度配置を決定して生成した画像を示す図である。
【図１２】確率密度関数φの取り得る値を１６値としてエネルギー降下した場合に得られる画像を示す図である。
【図１３】確率密度関数φの取り得る値を８値としてエネルギー降下した場合に得られる画像を示す図である。
【図１４】確率密度関数φの取り得る値を４値としてエネルギー降下した場合に得られる画像を示す図である。
【図１５】確率密度関数φの取り得る値を２値としてエネルギー降下した場合に得られる画像を示す図である。
【図１６】確率密度関数φの取り得る値を２値としてエネルギー降下した結果を、固定ドットサイズを用いたハーフトーン画像として示す図である。
【図１７】確率密度関数φの取り得る値を１１値としてエネルギー降下した結果を、１０段階にドットサイズを変えたハーフトーン画像として示す図である。
【図１８】確率密度関数φの取り得る値を３値としてエネルギー降下した結果を、２段階にドットサイズを変えたハーフトーン画像として示す図である。
【図１９】図１６に示した画像の一部拡大図である。
【図２０】図１８に示した画像の一部拡大図である。
【図２１】２次元上に定義された確率密度関数ψの一例を示す図である。
【図２２】２次元上に定義された確率密度関数ψの他の例を示す図である。
【図２３】図２１を原画像として、φの取り得る値を２値としてエネルギー降下した結果を画像として示す図である。
【図２４】図２２を原画像として、φの取り得る値を２値としてエネルギー降下した結果を画像として示す図である。
【図２５】図２２を原画像として、φの取り得る値を１０値としてエネルギー降下した結果を画像として示す図である。
【図２６】図２２を原画像として、φの取り得る値を１０値とし、更にψ値の小さい領域ではφ値の取り得る値を１０値のうちより小さい値に限定してエネルギー降下した結果を画像として示す図である。
【図２７】確率密度関数φの取り得る値を２値とした場合に得られる画像の一例である。
【図２８】図２７の画像の所定部分のドットを並べ替えた画像の一例である。
【図２９】図２７、図２８の画像の差分により得られる画像を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００３４】
[背景]
まず、本発明の理解を助けるために、その背景及び概略を説明する。
デジタル画像処理技術の多くに共通する普遍的な要求として、与えられた原画像の視覚上の画質を損なわずに、所定の処理を施さなくてはならない、という要求がある。
例えば、非可逆画像圧縮技術、あるいは減色処理技術、さらには減色処理技術の特別な場合であるデジタルハーフトニング技術においては、原画像と視覚上充分に近い画像を保証しつつ、データ量の低減、色数の低減、などを行いたいという要求がある。また、一般に、画像処理技術の性能を評価する上では、「処理により得られた画像」と原画像との乖離の度合いを評価したいという要求がある。従来、これらの要求は画像処理の各分野それぞれで独立に扱われるのが通常で、統一的かつ汎用的な概念が構築されていなかった。
【００３５】
これに対して、特許文献１には、デジタルハーフトニング技術分野における分散ドットハーフトーン技術において、前記要求を解決する方法が開示されている。すなわち、原画像から定められる密度の逆数（原画素値の逆数）を乗じたエネルギーを定義し、任意の２値画像をエネルギー降下することにより、原画像を再現する２値画像を得るための方法、及び任意の２値画像と原画像との乖離度をエネルギーにより評価する方法が開示されている。
【００３６】
前記の普遍的な要求である、与えられた原画像の視覚上の画質を損なわずに、所定の処理を施さなくてはならない、という要求や、原画像との乖離の度合いを評価したいという要求は、特許文献１によりデジタルハーフトニング技術分野のうちの分散ドットハーフトーン技術においては満足することができるが、それ以外の分野においては未解決のままである。より統一的かつ汎用的にこの普遍的な要求を満足し、前記の画像処理分野で複数の効用を得ることが求められている。また、より一般的に、与えられた密度分布を忠実に満たすような、濃度や大きさの異なる配置物の分布を得ることが求められている。
【００３７】
[実施形態]
以下、本発明の一実施形態の分布決定装置について説明を行なうが、本実施形態の分布決定装置における分布評価処理、分布決定処理の方法を説明する前に、これらの処理を行う上で本質的な概念である、加重エネルギーの定義及びエネルギー降下に関して説明する。
【００３８】
[加重エネルギーの定義]
本実施形態においては、分散性の評価尺度として、加重エネルギーの概念を使用する。以下、相互影響値および加重ポテンシャルの定義を行ったうえで、加重エネルギーの定義を行う。
【００３９】
本実施形態における分布決定装置は、コンパクト距離空間Ｘ上で作用する。ここで、２点ｘ、ｙ∈Ｘの距離｜ｘ−ｙ｜は、Ｘ上で一様に定義されていることを前提とする。「一様に」、というのは、ここでは任意の点ｘから距離ｒ以内の点が全てＸに属するという意味として使用する。例えば２次元の長方形Ｘであれば長方形の周囲は周期境界として距離｜ｘ−ｙ｜を定義する。つまり、Ｘは、左辺と右辺が繋がっており、上辺と下辺が繋がった空間であり、このとき、点ｘから点ｙへの最短距離を｜ｘ−ｙ｜と定義する。（仮にこのように距離を定義せず、単に長方形Ｘ上で通常の距離を使用すると、上下左右の縁の部分で前記一様性が成り立たない。）Ｘ上の注目点をｘとし、他の点をｙとした場合に、ｘとｙの間で生じる相互影響値を下記の式により定める。
ｆｒ（｜ｘ−ｙ｜）
【００４０】
次に、注目点ｘ∈Ｘと、空間Ｘに属する全ての点ｙとの間の相互影響値に重み関数値ω（ｘ）、ω（ｙ）を乗じて、ｙについてＸ上の確率測度μで積分した値である、加重ポテンシャルを以下により定める。
【数１】
0005896207.tif 000002
【００４１】
更に、Ｘに属する全ての点ｘの加重ポテンシャルを確率測度μで積分した値である、確率測度μの加重エネルギーＩ（μ）を下記の式（１）で定める。
【数２】
0005896207.tif 000003
言い換えると、加重エネルギーＩ（μ）は、空間Ｘに属する全ての２点ｘ、ｙ間の相互影響値にｘ、ｙの重み関数値ω（ｘ）、ω（ｙ）を乗じてｘ、ｙについて測度μで積分した値である。
【００４２】
上記における重み関数ωは、好適には、予め与えられた、Ｘ上の確率測度νあるいは狭義には確率密度関数ψによって定められ、これを明示する場合にはωνあるいはωψと記述する。重み関数ων、ωψは確率測度νや確率密度関数ψと同じＸ上で定義された連続関数であり、Ｘ上の各点においてエネルギー値に掛け合わせるべき重みを定義するものである。なお詳細な定義は別途後述する。
【００４３】
本発明においては、予め与えられたＸ上の確率測度νに対して、上記式（１）の加重エネルギーＩ（μ）が、μ＝νのときに最小値を取ることに特徴がある。この特徴を保証するために、以下、加重エネルギーＩ（μ）の定義式（１）に含まれる、相互影響値を定義する関数ｆｒ、及び重み関数ωの定義を説明する。
【００４４】
[関数ｆｒの定義]
相互影響値を算出するための関数ｆｒは、一例として、区間［０、１］上で定義された関数ｈ（ｘ）により、
ｆｒ（ｘ）＝ｈ（ｘ／ｒ）  （ｘ＜ｒのとき）、
ｆｒ（ｘ）＝０            （ｘ≧ｒのとき）
と表記することができ、このとき更に、以下の３つの条件を満たす必要がある。
【００４５】
Ｈ１：ｈはＣ2級で単調減少凸関数
【数３】
0005896207.tif 000004
【００４６】
Ｈ３：（ｈ’’（ｘ1/2）／（ｘ1/2））1/2が凸関数
【００４７】
このような条件Ｈ１〜Ｈ３を満たすｈ（ｘ）の具体例としては、例えば
ｈ（ｘ）＝（２／３−ｘ＋１／３・ｘ3）2  ・・・（２）
あるいは
ｈ（ｘ）＝（１−ｘ）5
という関数を挙げることができる。
【００４８】
関数ｆｒを構成する関数ｈ（ｘ）の一例として、上記式（２）に示した関数ｈのグラフを図１に実線で示す。条件Ｈ１〜Ｈ３を満たすｈ（ｘ）により関数ｆｒを定めると、ｆｒは、２点間の距離ｘが限界値ｒ以下の距離については単調減少で滑らかな強い凸性を持った凸関数となり、限界値ｒ以上の距離については値が０となる。本発明においては、条件Ｈ１〜Ｈ３を満たす任意の関数ｈが使えるが、本発明の実施形態では、図１に例示する式（２）による関数ｈ（ｘ）を、関数ｆｒを実現する具体例として用いる。ｈからｆｒを定義する際の限界距離ｒ値は固定してよく、後述する本発明の実用上の具体例においては、離散空間の制約から、ある程度大きく取ることが必要となる。なお、Ｈ１〜Ｈ３を満たさない関数の一例であるｅｘｐ（−ｘ2／（２σ2））のグラフを、図１に点線で示している。
【００４９】
２点ｘ、ｙが距離ｒ以上離れた場合に相互影響値はｆｒ（｜ｘ−ｙ｜）＝０となるから、上記の式（１）で定義される加重エネルギーの計算は、図２に示すように、注目点ｘ∈Ｘを中心とする半径ｒの領域内にある全ての点ｙ∈Ｘのみを対象点とすれば良く、半径ｒよりも外側の点（白抜きの丸）は、ｆｒ（ｘ）＝０（ｘ≧ｒ）の条件に基づいて無視してよい。
【００５０】
[確率測度νによる重み関数ωの定義]
加重エネルギーＩ（μ）の定義自体は任意の重み関数ωで可能であるが、与えられた確率測度νあるいは確率密度関数ψに従ってωを定義することで本質的な意味を持つ。そこで、重み関数をωνと書いて、確率測度νからどのように重み関数ωνを定めるかを以下に説明する。なお、実用上の多くの場合においては、より限定して、ωは離散空間Ｄ上の確率密度関数ψから定められると考えて良く、この場合の方が直感的にも理解しやすい面がある（積分ではなく単純な和で表現されるため）。これについては、別途まとめて後述する。
【００５１】
まず、確率測度νが与えられた場合はνそのものを使い、確率密度関数ψ（ｘ）が与えられた場合は、任意の集合Ａに対して下記に示す式によりνを定める。
【数４】
0005896207.tif 000005
【００５２】
このとき、重み関数ωは、下記の積分方程式（３）の解ωとして定義される。
【数５】
0005896207.tif 000006
言い換えると、ωは、与えられたνに対して、加重ポテンシャルが各点ｘで定数（Ｋ）となるような重み関数として定義される。
【００５３】
ここで、Ｋは任意の正定数であるが、好適にはＫ＝∫y∈Xｆｒ（｜ｙ｜）ｄｙを使用する。積分方程式（３）の解は、逐次代入法などの方法で近似することができ、例えば、下記の式で定義される写像Ｔ（関数から関数への写像）により初期値η（ｘ）＝１を複数回写像することにより近似できる。
【数６】
0005896207.tif 000007
【００５４】
典型的にはηを数回Ｔで写像すれば充分な収束が得られる。この他、確率密度関数ψ（ｘ）が与えられた場合には、好適な初期値ηの定義として、η（ｘ）＝ψ（ｘ）-1/2としても良い。性質としてω（ｘ）はψ（ｘ）-1/2に近い関数形をしているため、初期値をこの関数にすることで収束を早めることができる。
【００５５】
以上、条件Ｈ１〜Ｈ３を満たすｈ（ｘ）により関数ｆｒを定め、写像Ｔの反復によって（３）式で定められるωを近似することで、式（１）の加重エネルギーＩ（μ）を定義すると、空間Ｘ上に与えられた確率測度νをエネルギー最小として保証することができる。つまり、空間Ｘ上の任意の確率測度μの加重エネルギーＩ（μ）はμ＝νのときに最小となる。従って、この加重エネルギーを用いて、μが与えられたνにどれだけ近いかを定量評価でき、またμをエネルギー降下（後述）させることにより、νに近似させてゆくことができる（ここでμとνとの近さの概念は、数学的には確率測度の空間上の汎弱位相の概念で定義されている）。なお、図１に点線で例示したような、Ｈ１〜Ｈ３を満たさない関数ｆｒを用いた場合、あるいは与えられたνから正しくωを定義していない場合には、このような性質は保証されない。従って、上記ωの定義は本質的である。
【００５６】
[離散空間Ｄ上の確率密度関数ψによる重み関数ωの定義]
前述したように、数学的に定義されるＸ上の確率測度νは、実用上の多くの場合に関しては、離散空間Ｄ上で定義される確率密度関数ψであると考えて差し支えない。この場合、上記のエネルギーの定義における積分記号∫x∈XはΣx∈Dに置き換わり、確率密度関数φの加重エネルギーＩ（φ）として、下記の式（４）を定めることができる。
【数７】
0005896207.tif 000008
（ωはψから定まることを明記するため、ここではωψと記載する。）
【００５７】
確率密度関数ψから定まるＤ上の重み関数ωψは、Ｋ＝Σy∈Dｆｒ（｜ｙ｜）として、下記に示す（離散型）積分方程式の解で与えられる。
【数８】
0005896207.tif 000009
言い換えると、ωψは、与えられたψに対して、離散表現された加重ポテンシャルが各点ｘで定数（Ｋ）となるような重み関数として定義される。
【００５８】
任意のＤ上の関数ηに対して、下記の式（５）に示す写像Ｔ（関数から関数への写像）を反復する事でωψの近似解が求められる。関数ηの初期値は、前述と同様にη（ｘ）＝１あるいはη（ｘ）＝ψ（ｘ）-1/2として良い。
【数９】
0005896207.tif 000010
【００５９】
つまり、与えられた確率密度関数ψから定まるωψとＨ１〜Ｈ３を満たすｈにより定まるｆｒによって任意の確率密度関数φの加重エネルギーＩ（φ）を定義すると、φ＝ψのときにエネルギーが最小となる。なお、φは任意の確率密度関数であるが、特にＤ内のｎ個の点からなる集合をＸと書いて、それぞれ１/ｎの確率を与えた場合に限定すると、加重エネルギーは下記の式に簡単化される。
【数１０】
0005896207.tif 000011
（値１/ｎは定数なので、計算上はωψに込めても良い。）
【００６０】
以上で、加重エネルギーを定義する上で必要な諸定義の説明を終える。次に、確率密度関数ψが与えられている場合に、加重エネルギーＩ（φ）を降下してψをφで近似する方法を説明する。
【００６１】
[エネルギー降下]
本実施形態では、加重エネルギーＩ（φ）を用いることで、確率密度関数φが確率密度関数ψにどれくらい近いかを定量評価することができる。また、φの加重エネルギーを逐次降下させることで、ψを近似することができる。加重エネルギーの逐次降下の際には、各点ｕに対して適当な点ｖを取って、それぞれのφ値を、総量を変えずに所定変位量ｋ＞０だけ変位させる。つまり、φ（ｕ）、φ（ｖ）を下記の式のように変位させればよい。
φ（ｕ）：＝φ（ｕ）−ｋ
φ（ｖ）：＝φ（ｖ）＋ｋ
但し、変位によってφ値が許容値を超えるような場合には変位を行わない（例えば更新によってφが負になるような場合がこれに相当する）。
【００６２】
この際に、加重エネルギー値全体において変位するのは点ｕと点ｖに関わる値のみで、その他の任意の２点間に関わる値は変化しないので、加重エネルギー値全体において、下記の式（６）により示される点ｕと点ｖのみに関わる値（以降、加重エネルギー降下量）が正となる場合、つまり加重エネルギーが降下する場合に上記変位を行えば良い（従って、加重エネルギーＩ（φ）値自体を逐次計算する必要はない）。
【数１１】
0005896207.tif 000012
【００６３】
このエネルギー降下を全ての点ｕ∈Ｄについて行う処理を所定回数反復する事で、上記加重エネルギーの近似的な最小を得ることができ、そのときφ≒ψ、つまり与えられたψはφにより充分に近似される。
【００６４】
なお変位量ｋは通常、反復処理と共に小さくして０に収束させるようにする。これは、反復と共にφがψに近付いてゆくため、変位量をより微量にすることで、より微小なレベルでの近似をするためである。但し、目的に応じて変位量ｋは固定せずに所定範囲を変動させても良いし、あるいは所定の値のみに制約させても良い。これらに関しては後述の具体例で例示する。
【００６５】
確率密度関数φは任意の０以上の実数値を取り得るが、φをｎ個の点分散のみに限定すると（上記、Ｄ内のｎ個の点からなる集合をＸと書いて、それぞれ１/ｎの確率を与えた場合）、取り得る値は０か１/ｎに限られ（つまり、ｘ∈Ｘのとき１/ｎでｘ∈Ｄ＼Ｘのとき０）、また変位量ｋはｋ＝１/ｎに限られる。
【００６６】
ここまでの説明から明らかなように、確率密度関数φから確率密度関数ψへエネルギー降下する際には、文字通りφ値の総和値は理論上１に固定されていることに注意する。但し、「確率」というのは数学上の便宜のためであり、実際に必要なのは、φ値の総和値が常に定数であってしかもψ値の総和値に等しい、ということである。従って、例えば上記φをｎ個の点分散のみに限定した場合なら、理論上はφの取り得る値は０か１/ｎだが、実用上は０か１、あるいは０か２５５などでも問題ない。
【００６７】
以上、確率測度νあるいは確率密度関数ψから重み関数ωを定める方法、更にはそれらから定義される加重エネルギーを降下する方法を説明してきた。ωは理論的に簡易かつ妥当な解であるが、その他の方法でωを定義することも可能である。また、エネルギー降下時には上記のように単純にエネルギー降下を行う山登り法の他、所定量の値の増大を許容しながらその許容量を減らす、焼き鈍し法のような方法を使っても良い。
【００６８】
なお、ここまで説明した分布評価処理および分布決定処理の概念図を図３に示す。この図３では、確率密度関数ψで表された画像データから重み関数ωψが定まることと、このωψにより定まる加重エネルギーを利用して、ψと確率密度関数φで表された任意の画像データとがどれだけ近いかを判定する場合（分布評価処理）、およびφ値（濃度値またはサイズに相当する）を変位させてψに近似させる場合（分布決定処理）が示されている。
【００６９】
分布評価処理を行う場合には、図３（Ａ）に示されるように、与えられた確率密度関数ψから定まる重み関数ωψを用いて、確率密度関数φの加重エネルギーＩ（φ）を算出して、この加重エネルギーＩ（φ）値により、ψとφとの近似度を評価する（Ｉ（φ）値あるいはＩ（φ）−Ｉ（ψ）値が小さいほど良い近似であると評価する）。
【００７０】
また、分布決定処理を行う場合には、図３（Ｂ）に示されるように、同様に与えられた確率密度関数ψから定まる重み関数ωψを用いて、任意の確率密度関数φについて、加重エネルギーＩ（φ）が降下するようにφ値を変位させることにより、φをψに近似させる。なおこの際に、場合によりφの値に制約を課して所定の効果を得ることができる。制約条件については後述する。
【００７１】
［分布評価装置、分布決定装置、画像処理装置］
次に、本実施形態における分布評価装置、分布決定装置、画像処理装置のハードウェア構成を説明する。ここで、本実施形態における分布評価装置は分布決定装置の一部であり、また画像処理装置は実質的に分布決定装置そのものと理解してよい。従って、画像処理装置としての動作を前提として例示しながら、一般的な機能を網羅する分布決定装置に関して、ハードウェア構成を説明する。但し、上記のように分布評価装置は分布決定装置の一機能ではあるが、与えられた２つの分布状態のどちらがより確率密度関数ψに近い分布状態かを評価するという別の目的のために、単独で使用できるという点に注意する。
【００７２】
本実施形態における分布決定装置１０は、入力された画像を確率密度関数ψとみなして、上記の加重エネルギー（式（４））を定義し、任意の画像φについて所定の条件のもとでエネルギー降下することで、ψに充分近い画像を得る。
【００７３】
図４は、分布評価方法、分布決定方法及び画像処理方法を実行する分布決定装置１０のハードウェア構成を示す図である。
本実施形態の分布決定装置１０は、図４に示されるように、ＣＰＵ１１、メモリ１２、ハードディスクドライブ（ＨＤＤ）等の記憶装置１３、ネットワークを介して外部の装置等との間でデータの送信及び受信を行う通信インタフェース（ＩＦ）１４、タッチパネル又は液晶ディスプレイ並びにキーボードを含むユーザインタフェース（ＵＩ）装置１５を有する。これらの構成要素は、制御バス１６を介して互いに接続されている。
【００７４】
ＣＰＵ１１は、メモリ１２または記憶装置１３に格納された分布決定プログラムに基づいて所定の処理を実行して、分布決定装置１０の動作を制御する。なお、本実施形態では、ＣＰＵ１１は、メモリ１２または記憶装置１３内に格納された分布決定プログラムを読み出して実行するものとして説明したが、当該プログラムをＣＤ−ＲＯＭ等の記憶媒体に格納してＣＰＵ１１に提供することも可能である。
【００７５】
分布決定装置１０は、例えば、分布決定プログラムがインストールされた汎用コンピュータであり、通信ＩＦ１４又は記憶装置１３などを介して、原画像（確率密度関数）ψ、及び、画像のサイズなどの情報を取得し、取得された情報に基づいて、ψを近似する画像（確率密度関数）φを決定する。また、分布決定装置１０は、配置物の位置情報、及び、画像の情報を取得し、取得されたこれらの情報に基づいて、分布を評価する。
【００７６】
図５は、上記の分布決定プログラムが実行されることにより実現される分布決定装置１０の機能構成を示すブロック図である。本実施形態の分布決定装置１０は、図５に示されるように、データ入力部５００と、記憶部５１０と、分布評価部５２０と、分布決定部５３０と、データ出力部５４０とを備えている。なお、分布決定装置１０の各構成要素の全部又は一部をＡＳＩＣなどのハードウェアで実現してもよい。
【００７７】
データ入力部５００は、原画像ψ、及び、画像のサイズなどの情報をデータとして取得し、取得されたデータを記憶部５１０に出力する。
【００７８】
記憶部５１０は、データ入力部５００から入力された原画像ψのデータを記憶する。また、記憶部５１０は、分布評価部５２０、分布決定部５３０に対して、ワークエリアを提供する。
【００７９】
分布評価部５２０は、記憶部５１０に記憶されている原画像ψに基づいて算出される重み関数ωψを用いて、ψに対する画像φの分布の良さを式（４）で定義される加重エネルギー値で評価する。具体的には、分布評価部５２０は、２点ｘ、ｙの間の距離を変数とする関数ｆｒにより定められる相互影響値に対して、重み関数値ω（ｘ）、ω（ｙ）を乗じるとともに、さらに２つの画素ｘ、ｙの濃度あるいは大きさが定義された画像φの値φ（ｘ）、φ（ｙ）を乗じて総和を取った加重エネルギーを、画像φの原画像ψに対する分布の良さを示す評価値として算出する評価値算出手段として機能する。分布評価部５２０の詳しい処理のフローは後述する。
【００８０】
分布決定部５３０は、記憶部５１０に記憶されている画像φに対して、いずれかの点でのφ値を変更する分布更新処理を行う。具体的には、分布決定部５３０は、分布評価部５２０により算出される加重エネルギー値を降下させるべく、入力されたφに対し、式（６）で定義した点ｘでの加重エネルギー降下量が正となるように濃度または大きさ（φ値）を変位させる。分布評価部５３０の詳しい処理のフローは後述する。
【００８１】
データ出力部５４０は、分布評価部５２０による評価結果（算出された加重エネルギーの値もしくは分布決定部５３０によるエネルギー降下すなわち原画像ψを充分に近似する画像φ）を、通信装置２２又は記憶装置２４に出力する。
【００８２】
以下に、分布評価部５２０と分布決定部５３０の処理フローを説明する。なお、本質的にこれらの処理フローは上記[加重エネルギーの定義]〜[エネルギー降下]までに詳しく説明済みであり、それらから自明な部分や当該分野において自明な事柄については、詳細な説明は省略する。例えば、ある画像や関数を定義する場合、必要なサイズやメモリの確保は事前に済んでいるとして、逐次説明は加えない。
【００８３】
分布評価部５２０の処理のフローを図６のフローチャートを参照しながら説明する。まずＳ１００において、入力された比較対象となるＤ上の原画像を確率密度関数ψとしてメモリ上に定義する。Ｄは例えば有限の大きさを持った２次元離散空間で良い。次に、Ｓ１１０に進み、重み関数ωψを計算し、メモリ上に定義する。Ｓ１１０での重み関数ωψの定義方法は前述しているが、別途処理フローと共に後述する。次に、Ｓ１２０に進み、入力された評価対象となるＤ上の画像φを定義する。Ｓ１３０でψとφの近さの評価値として式（４）で定義される加重エネルギーＩ（φ）を算出し、評価値として出力する。
【００８４】
次に、前記、分布評価部５２０の処理のフローにおけるＳ１１０での重み関数ωψの定義方法を図７のフローチャートを参照しながら説明する。なお、この重み関数の定義に関するフローは、前記の分布評価部５２０のＳ１１０あるいは後述する分布決定部５３０のＳ３０１から、呼び出されるもので、それぞれ共通に使用できる。まずＳ２００において任意にＤ上の画像ηを定義する。例えばη（ｘ）＝１またはη（ｘ）＝ψ（ｘ）-1/2と定める。次に、Ｓ２１０で注目点ｘ∈Ｄを選択し、Ｓ２２０において式（５）で定義されるＴ（η（ｘ））を計算し、この値をテンポラリとして用意した関数η１（ｘ）に代入する。Ｓ２３０に進んで全てのｘ∈ＤについてＳ２２０の計算が終了したか否かを判断し、終了していない場合には、Ｓ２１０に戻って次の未処理点ｘ∈Ｄについて処理を繰り返す。また、終了している場合にはＳ２４０に進んで全てのｘ∈Ｄについてη（ｘ）：＝η１（ｘ）と更新する。
【００８５】
引き続き、Ｓ２５０に進んで、Ｓ２４０でのη（ｘ）の更新処理が所定回数反復されたか否かを判断し、所定回数未満の場合にはＳ２１０に戻って、再び全ての点ｘ∈Ｄについてη（ｘ）の更新処理を行う。また、所定回数反復した場合には、Ｓ２６０に進み、全ての点ｘ∈Ｄで、ωψ（ｘ）＝η（ｘ）と定義し、処理を終了する。なお、所定の反復回数は一例を上げると３０回程度で充分な収束が得られる。
【００８６】
次に、分布決定部５３０の処理のフローを図８のフローチャートを参照しながら説明する。まずＳ３００において、入力されたＤ上の原画像を確率密度関数ψとしてメモリ上に定義する。次に、Ｓ３０１に進み、重み関数ωψを計算し、メモリ上に定義する。Ｓ１１０での重み関数ωψの定義方法は前述した。次に、Ｓ３０２に進み、分布決定対象となるＤ上の初期画像φを定義する。なおここで、原画像ψと初期画像φは確率密度関数とみなしているため、Ｄ上の画素値総和がほぼ等しくなるようにφを選択することが好ましい（但し必須ではない）。
【００８７】
引き続き、Ｓ３０３に進んで、エネルギー降下処理を行うための変位量ｋ＞０を設定する。ここで設定したｋ値に基づいて、Ｄ上の２点ｕ、ｖにおいて、加重エネルギーが降下するように画像φの値をｋだけ入れ替えることを行ってゆく。そのためにまずＳ３０４において注目点ｕを選択する。次にＳ３０５において入れ替え先の候補点である点ｖを選択し、Ｓ３０６において、式（６）で定義される加重エネルギー降下量を計算する。Ｓ３０７において、計算した加重エネルギー降下量が所定値（一例として０）以上であれば、値の入れ替えを許容すると判断し、Ｓ３０８において、
φ（ｕ）：＝φ（ｕ）−ｋ
φ（ｖ）：＝φ（ｖ）＋ｋ
と更新する。一方、所定値以下であれば、選択した点ｖではエネルギー降下が充分に行えないと判断し、Ｓ３０５に戻って次の点ｖを選択する。なお、点ｕに対して式（６）の加重エネルギー降下量が正であるように点ｖを選択してこのように値の入れ替えを行えば、加重エネルギーＩ（φ）が降下するということは既に説明した。なお、点ｖの選択においては、ｕ自身を選択可能にしても良い。この場合、エネルギー降下できる点が見つからない場合、自動的にｖ＝ｕが選択されて、実質的に点ｕでのエネルギー降下は行われずに次の点ｕの選択処理に進むことになる。通常、加重エネルギーが充分に効果するにつれてこのような場合が増えることになる。
【００８８】
引き続きＳ３０９に進んで、全てのｕについて適当なｖとのφ値の入れ替えが終了したか否かを判断し、終了していない場合には、Ｓ３０４に戻って次の未処理点ｕについて処理を繰り返す。また、終了している場合にはＳ３１０に進んで、画像φ全体の更新処理が所定回数反復されたか否かを判断し、所定回数未満の場合にはＳ３０３に戻って、ｋ値をより小さい値に降下させて、再び全ての点ｕ∈Ｄについてφ（ｘ）の更新処理を行う。また、所定回数反復した場合には、φは充分にψに近いとみなして、Ｓ３１１に進んで画像φを出力して処理を終了する。なお反復する回数は通常１０〜１００回程度で充分である。
【００８９】
分布決定部５３０の処理のフローの説明は以上で終えるが、その他注意点を述べる。
【００９０】
まず、分布決定部５３０の処理のフローにおいては、必要に応じて画像φ及びｋ値に関する制約条件を課すことが可能である。例えば画像ψが０〜２５５値のいずれかを取るとした場合、φも同様に０〜２５５値を取るとしても良いし、制約条件として０〜２５５値のうちの計ｎ値のみ選択可能（例えばｎ＝２，４，８，１６など）とすることも可能である。この場合、２点ｕ、ｖでφ値の入れ替えを行う際のｋ値の取り得る値にも、φ値が許容値を逸脱しない様に適当な制約を設ければよい。なおこのような制約条件を課すことにより、後述する具体例において説明するように、各種の効果を得ることができる。
【００９１】
次に、点ｕに対してφ値の入れ替え対象となる点ｖの選択は、必ずしも画像の定義域Ｄ上全てに渡る必要はない。例えば点ｕの周囲に限っても良いし、更に反復処理に応じてｋ値が小さくなるにつれてその範囲を狭くして行くなどしても良い。また、上記の説明ではＳ３０７において、計算した加重エネルギー降下量が所定値以上であれば値の入れ替えを許容すると判断しているが、判断の方法はこの限りではない。例えば最も加重エネルギー降下量が大きくなる点ｖを採用しても良いし、逆に、加重エネルギー降下量が正となった点ｖを直ちに採用するようにしても良い。また、通常はエネルギー降下量が正となる点ｖが候補となるが、焼き鈍し法の考え方により、初めのうちはエネルギー降下量が負の場合を許容するようにしても良い。
【００９２】
[分布決定処理の実例]
次に、実際の原画像ψに基づいて、上記で説明した重み関数ωψを構成して、本発明の分布決定方法により画像を生成した具体例を説明する。
【００９３】
[具体例１]
図９は、確率密度関数ψ（ｘ）により表現された原画像の一例である。この図に示す原画像データは、Ｄ上において２００×２００個のピクセルにより構成され、各ピクセルにおいて０〜２５５のいずれかの値が定義されている。この図９に示す原画像に基づいて図７のフローチャートに従って重み関数をωψ（ｘ）として求め、１／ωψ（ｘ）2をプロットした結果を図１０に示す。この図を参照すると、図９に示した原画像と比較して、画素値が変化する境界部分が、グラデーションがかかったようにぼやけていることがわかる。
【００９４】
更に、この重み関数ωψを用いて画像の加重エネルギー（式（４））を定義し、本実施形態の分布決定方法により（図８のフローチャートに従って）、任意の関数（画像）φについて、各点ｕでのφの値を変位させながらエネルギーを充分に降下させることにより濃度配置を決定して生成した画像を図１１に示す。この図１１を参照すると、原画像ψとほぼ等しい結果に収束していることが分かる。つまり、原画像ψから重み関数ωψを定義して加重エネルギーを定義し、任意の画像φについてエネルギー最小化するとψが復元される。言い換えると、重み関数ωψがあれば原画像ψが復元できる。
【００９５】
ここで、視点を変えて画像圧縮の観点から見ると、図９の原画像ψと比較して図１０の重み関数ωψは常にボケた画像となっているため、例えば原画像ψを圧縮する代わりに重み関数ωψを圧縮する方が高い圧縮効果を得ることができる。また、更に視点を変えると、重み関数ωψは一種の鍵の役割をしており、エネルギーを定義する関数ｆｒが特定できれば重み関数ωψから原画像ψが復元できる。前述の通り、ωψ（ｘ）は１／ψ（ｘ）1/2に近い関数（画像）であるため、復元前の段階で画像の様子がある程度ボケた状態で観察できるというメリットもある。
【００９６】
前述したように、原画像ψと任意の初期画像φは、理論上は確率密度関数として定義されており、画素値の総和は常に等しくなる必要がある。そのために、初期画像φは画素値総和が原画像ψの画素値総和に等しくなるように定義されている必要がある。この観点からは、Ｋ＝Σy∈Dｆｒ（｜ｙ｜）としてφ（ｘ）＝１／ωψ（ｘ）2と定義するのは好適である。何故ならこのようにすると、１／ωψ（ｘ）2の画素値総和は原画像ψの画素値総和にほぼ等しいためである。但し、エネルギー降下自体の観点では、初期画像φの画素値総和が原画像ψの画素値総和に等しくなるように定義されていなくても可能で、この場合、エネルギー降下により初期画像に充分近いが平均濃度だけが異なる画像を生成する事も可能である。
【００９７】
[具体例２]（減色処理、ハーフトーン処理）
また、確率密度関数φ（任意の初期画像）の取り得る値を限定することで、減色処理、ハーフトーン処理を行うことができる。例えば、確率密度関数φの取り得る値を所定数に限定することで、減色処理が可能となる。特に、φの取り得る値を２値に限定することでハーフトーン処理が可能となる。
【００９８】
図１２は確率密度関数φの取り得る値を１６値（値８から１６刻みで増大）、図１３は確率密度関数φの取り得る値を８値（値１６から３２刻みで増大）、図１４は確率密度関数φの取り得る値を４値（値３２から６４刻みで増大）、図１５は確率密度関数φの取り得る値を２値（値０、値２５５）、として、それぞれエネルギー最小化した結果の画像を表している。いずれの場合にも、原画像ψを充分近似するφに収束していることが確認できる。なお、確率密度関数φの取り得る値の選択はこれに限られるものではなく、例えば４値であれば０、８５、１７０、２５５としても良い。なお、本質的には刻み間隔は定数でなくても良く、その場合にはエネルギー降下時の変位量ｋの選択をその刻みに合わせて行えばよい。
【００９９】
[具体例３]（異なるサイズを混在させたハーフトーン処理）
上記の具体例２で説明した減色処理の表現方法として、濃度の代わりにドットのサイズを割り当てることで、ドットサイズ混在型のハーフトーン処理となる。これらにおいては、その他の制約条件を設けても良い。図１６はφの取り得る値を２値として固定サイズのドットで表現した例、図１７は制約条件としてφの取り得る値を１１値として１０段階の異なるドットサイズで表現した例、図１８は制約条件としてφの取り得る値を３値として２段階のドットサイズで表現するとともに、画像のエッジ部分により小さいサイズのドットを配置した例を示す。図１９と図２０に、それぞれ図１６と図１８の一部分の拡大図を示す。
【０１００】
ここまでの説明から明らかな通り、具体例１から具体例３までは全く同じ構成の下で、エネルギー降下時の制約条件を変えているだけである。つまり、「エネルギー降下による、確率密度関数に応じた濃度や大きさの異なる配置物の分布」という基本概念のもとで、具体例１では実質的に制約条件を課さず、任意の濃度を取り得るようにし、具体例２では選択できる濃度に限定を設け、具体例３では「濃度」で表現する代わりに「大きさ」で表現している。更に具体例３では画像内の画像領域に応じて取り得る大きさに制約を設けてもいる。このように、本実施形態では加重エネルギーによる基本理論の下で制約条件を設ける、という観点から全てを同列に扱うことができることに特徴がある。なお具体例１における画像圧縮は、ボケ画像を圧縮することで圧縮率を上げられるという観点であり、これは副次的な効果と言える。
【０１０１】
[具体例４](需要分布に従った原資の配置)
具体例２や具体例３で説明した原画像を忠実に再現するハーフトーン処理(２値の点配置)は、より一般には、「確率密度関数ψに忠実に従った配置物の分布処理」に相当する。例えば、現実の問題として、「与えられた需要分布を最も効率良く満たすように、限られた(ｎ個の)原資を効率良く配置する」、といった問題がある。本実施形態はこのような問題に好適な解を与えることができる。
【０１０２】
図２１、図２２は、それぞれ２次元正方形上に定義された確率密度関数ψの例である。ここでは確率密度関数ψが需要分布だとみなせば良い。具体例３の構成をそのまま用いることによって、エネルギー降下対象である関数φの取り得る値を２値に限定してエネルギー降下することにより、ψに忠実に従った配置物の配置を得ることができる。
【０１０３】
この場合、前述したように、初期画像φの画素値総和が原画像ψの画素値総和に等しくなるように定義されていなくてもエネルギー降下が可能であるから、配置する配置物の数(２値画像でいえば点の総数)は任意のｎに設定して良い。
ここでは、図２１、図２２を原画像とした場合の、例としてｎ＝３２００の場合のエネルギー降下結果をそれぞれ図２３、図２４に「画像」として例示する(エネルギー降下後の分散情報(座標)データ自体がこの問題の本質的な解に相当している)。前述の通り、ψは任意の確率密度関数で良いので、図２１のように分布が非連続に変化しても図２２のように連続に変化しても問題はなく、実際にψに忠実に従った配置が行えていることが確認できる。
【０１０４】
また、図２５、図２６には、図２２を原画像とし配置する点の数をｎ＝３２００として、配置物の重量/供給力などの特性情報を具体例２、３における濃度や大きさとみなしてエネルギー降下した結果を示している。なおここで、図２５は配置物の特性情報を１０段階に限定して(確率密度関数φの取り得る値を１０値に限定して)エネルギー降下している。図２６は同じ限定を設けた上で、更に「需要が低いところではより供給力の弱い配置物を配置する（ψ値の小さい領域ではφ値の取り得る値を１０値のうちより小さい値に限定する）」という適当な条件を設けてエネルギー降下している。
【０１０５】
[具体例５]（情報埋め込み）
上記の具体例１で説明したように、原画像ψから重み関数ωψを求めてエネルギーを構成し、画像φのエネルギーを降下することで原画像ψが復元される。更に、具体例２で説明したように、画像φの取り得る値に制限を設け、制約条件下でエネルギー降下することにより、原画像ψに一致はしないが、それを充分近似するφに収束する。このとき、原画像ψはただ一つであるが、ψを充分に近似するφというのは数多く存在する。このことを利用すると、画像への非劣化情報埋め込みを行うことができる。
【０１０６】
図２７は具体例２で説明した、φの取り得る値を２値に限定してエネルギー降下した、ψを充分に近似する画像の例である。この画像を画像Ａとして、例えば情報として埋め込むべき画像Ｂを準備し、ＡとＢの論理積に相当する部分に存在する画素値をランダムに振動させた画像をＡ’とする。この画像Ａ’はＢと重なり合った部分がランダムに劣化した状態になっている。そこで、この画像Ａ’を新たにφと置いて、Ａ’∩Ｂの点のみを対象として再びエネルギー降下処理を行う（エネルギー値計算の対象点はＡ’上全てで、降下対象をＡ’∩Ｂとする）。これによりφは再びエネルギーが降下してψを充分に近似する画像となる。図２８はこの工程を経て得られた画像の例である。こうして得られた画像は元の図２７と同様にψを充分に近似する画像であり、見た目には違いは分からないが、差分を取ると、図２９に示すように、Ａ’∩Ｂの部分の画素値の配置が異なっている。つまり、図２７を原本、図２８を配布用、などとすることができる。なお、このように２枚の画像の差分として情報を埋め込むことは従来技術でも可能だが、エネルギーを利用した効果により画質劣化が全くないという点に本具体例の利点がある。
【符号の説明】
【０１０７】
１０    分布決定装置
１１    ＣＰＵ
１２    メモリ
１３    記憶装置
１４    通信インタフェース（ＩＦ）
１５    ユーザインタフェース（ＵＩ）装置
１６    制御バス
５００  データ入力部
５１０    記憶部
５２０    分布評価部
５３０    分布決定部
５４０    データ出力部
【図１】
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【図２】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図２１】
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【図２２】
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【図３】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
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【図２８】
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【図２９】
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