【事件の表示】
　特願２００５−２２１５６２「複素区間多項式の零点の位置判定方法、装置、位置判定プログラムおよび記録媒体」拒絶査定不服審判事件〔平成１９年　２月　８日出願公開、特開２００７−　３４９９０〕について、次のとおり審決する。
【結　論】
　本件審判の請求は、成り立たない。
【理　由】
第１．手続の経緯
　本願は、
　平成１７年７月２９日の出願であって、
　平成２０年１１月５日付けで最初の拒絶理由通知（同年同月１１日発送）がなされ、
　同年１２月２４日付けで意見書が提出されるとともに、手続補正がなされ、
　平成２１年４月９日付けで拒絶査定（同年同月１４日発送）がなされ、
　同年７月１３日付けで審判請求がなされるとともに、手続補正がなされ、
　同年１１月６日付けで審査官より前置報告がなされ、
　平成２２年１１月３０日付けで当審より審尋（同年１２月３日発送）がなされ、
　この審尋に対して、平成２３年１月２６日付けで回答書が提出されている。
　なお、上記した平成２１年７月１３日付けの審判請求以外にも、
　同年同月８日付けで審判請求（不服２００９−１２４８９）がなされるとともに、手続補正がなされたが、
　この平成２１年７月８日付け審判請求（不服２００９−１２４８９）は、同年同月１３日付け請求取下書により取り下げられ、
　平成２１年７月８日付け手続補正は、同年１０月２１日付けで特許庁長官よりなされた手続却下の処分（同年１１月５日発送）により却下されている。
　
第２．本願発明
　本願の請求項１に係る発明（以下、「本願発明」という。）は、平成２１年７月１３日付けの手続補正により補正された明細書、特許請求の範囲及び図面の記載からみて、本願の特許請求の範囲の請求項１に記載されたとおりの次のものと認められる。
　
「コンピュータを、記憶手段と、代表多項式選択手段と、境界上零点判定制御手段と、領域内部零点判定制御手段と、条件式判定手段とを有する装置として機能させて実行する複素区間多項式の零点の位置を判定する方法であって、
　前記記憶手段には、区間数が中心点ｃjと半径ｒj（０≦ｊ≦ｄ、ｄは前記複素区間多項式の最高次数）によって複素平面上の円領域で表される複素区間多項式と、ｎ個の区分境界Ｃp（ｎ≧１、ｐ＝１，２，・・・，ｎ、ただし、各区分境界Ｃpは、パラメータｓ∈Ｓpによってφp(ｓ)＋ｉ・ψp(ｓ)と表示される。ｉは虚数単位であり、φp(ｓ)、ψp(ｓ)は有理式である）から構成される有界な複素領域の境界（ただし、当該境界は長さが有限な単純閉曲線であるとする）とが記憶され、
　前記代表多項式選択手段が、前記記憶手段に記憶された複素区間多項式の各区間数｛ｃj；ｒj｝から一つずつ任意に値ａj∈｛ｃj；ｒj｝を選択し、前記ａjを各項の係数に有する多項式を代表多項式として選択する代表多項式選択ステップと、
　前記境界上零点判定制御手段が、前記代表多項式選択手段が選択した代表多項式が前記記憶手段に記憶された前記境界上に零点を有するか否かを判定し、前記代表多項式が前記境界上に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記代表多項式が前記境界上に零点を有しないと判定した場合には前記領域内部零点判定制御手段を実行するよう制御する境界上零点判定制御ステップと、
　前記領域内部零点判定制御手段が、前記代表多項式選択手段が選択した代表多項式が前記記憶手段に記憶された複素領域の内部に零点を有するか否かを判定し、前記代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有しないと判定した場合には、前記条件式判定手段を実行するよう制御する領域内部零点判定制御ステップと、
　前記条件式判定手段が、前記領域内部零点判定制御手段において前記代表多項式が前記複素領域に零点を有すると判定されなかった場合に、
　［ステップ１］前記ｎ個の区分境界の中から１つの区分境界Ｃpを選択し、
　［ステップ２］前記複素区間多項式に属する多項式のうち各区間数からそれぞれ中心点が選択された多項式の変数に前記選択した区分境界Ｃpを代入したものを２乗して得られる多項式を計算してｋ(ｓ)とし、前記複素区間多項式の各区間数をそれぞれの区間数の半径に置換して得られる多項式の変数に前記選択した区分境界Ｃpを代入したものを２乗して得られる多項式ｈ1,p(ｓ)＋ｈ2,p(ｓ)｜φp(ｓ)＋ｉ・ψp(ｓ)｜（ただしｈ1,p(ｓ)およびｈ2,p(ｓ)は有理式）を計算し、Ｐ（ｓ）＝ｋ（ｓ）−ｈ1,p（ｓ）またはＰ（ｓ）＝（ｋ（ｓ）−ｈ1,p（ｓ））2−ｈ2,p（ｓ）2（φp(ｓ)2＋ｉ・ψp(ｓ)2）により既約な有理式Ｐ（ｓ）を計算し、
　［ステップ３］前記パラメータｓの取り得る範囲Ｓpが閉区間［ａ，ｂ］の場合には、当該区間の上限値ｂを前記Ｐ（ｓ）に代入した値または当該区間の下限値ａを前記Ｐ（ｓ）に代入した値のいずれかが０以下であるかを判定し、０以下の場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、そうでない場合には前記既約な有理式Ｐ（ｓ）の分子Ｑ（ｓ）が前記上限値ｂと下限値ａからなる開区間（ａ，ｂ）の範囲に零点を有する否かを判定し、前記Ｑ（ｓ）が前記（ａ，ｂ）の範囲に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、
　［ステップ４］前記パラメータｓの取り得る範囲Ｓpが左開右閉区間（−∞，ｂ］の場合には、当該区間の上限値ｂを前記Ｐ（ｓ）に代入した値が０以下であるかを判定し、０以下の場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、そうでない場合には前記既約な有理式Ｐ（ｓ）の分子Ｑ（ｓ）が開区間（−∞，ｂ）の範囲に零点を有する否かを判定し、前記Ｑ（ｓ）が前記（−∞，ｂ）の範囲に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、
　［ステップ５］前記パラメータｓの取り得る範囲Ｓpが左閉右開区間［ａ，∞）の場合には、当該区間の下限値ａを前記Ｐ（ｓ）に代入した値が０以下であるかを判定し、０以下の場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、そうでない場合には前記既約な有理式Ｐ（ｓ）の分子Ｑ（ｓ）が開区間（ａ，∞）の範囲に零点を有する否かを判定し、前記Ｑ（ｓ）が前記（ａ，∞）の範囲に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、
　［ステップ６］前記パラメータｓの取り得る範囲Ｓpが開区間（−∞，∞）の場合には、前記既約な有理式Ｐ（ｓ）の分子Ｑ（ｓ）が開区間（−∞，∞）の範囲に零点を有する否かを判定し、前記Ｑ（ｓ）が前記（−∞，∞）の範囲に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、
　［ステップ７］上記ステップ３からステップ６のいずれかにおいて、前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定されなかった場合には、前記ｎ個の区分境界Ｃpのうちまだステップ２からステップ６を実行していない区分境界があればその中から区分境界を一つ選択してステップ２からステップ６を実行し、全ての前記区分境界Ｃpについてステップ２からステップ６を実行した結果、前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定されなかった場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有しないと判定する条件式判定ステップと
を有する複素区間多項式の零点の位置判定方法。」
　
第３．特許法第２９条第１項柱書の要件の検討
　特許法第２９条第１項柱書には「産業上利用することができる発明をした者は、次に掲げる発明を除き、その発明について特許を受けることができる。」と規定され、この規定における「発明」については、同法第２条第１項において「この法律で「発明」とは、自然法則を利用した技術的思想の創作のうち高度のものをいう。」と定義されている。
　そこで、本願発明が同法第２条第１項に定義される「発明」であるか、つまり、本願発明が「自然法則を利用した技術的思想の創作のうち高度のもの」であるかを検討する。
　
　本願の願書に最初に添付した明細書、特許請求の範囲又は図面には、下記に示す記載がある。
　
「【背景技術】
【０００２】
  係数が確定していない（例えば、係数に誤差がある場合などである。）多項式を表す手法として、区間多項式がある。区間多項式Ｆ（ｘ）とは、数の集合である区間数Ａｊ（０≦ｊ≦ｄ）を各項の係数として式（１）のように表記されるものである。つまり、区間多項式Ｆ（ｘ）は、係数がａｊ∈Ａｊである多項式ｆ（ｘ）〔式（２）参照。〕全体の集合を表す。なお、この明細書における区間多項式は、特に断りのない限り、一変数区間多項式であるとする。
　【数１】
　　　　　　　　　ｄ
　　　Ｆ（ｘ）＝　Σ　Ａｊｘｊ　　（１）
　　　　　　　　ｊ＝０
　
　　　　　　　　　ｄ
　　　ｆ（ｘ）＝　Σ　ａｊｘｊ　　（２）
　　　　　　　　ｊ＝０
【０００３】
  区間数を実数の範囲で考える場合は、区間数として閉区間［ａ，ｂ］（ａ≦ｃ≦ｂを満す実数ｃの集合）を用いる。区間数を複素数の範囲で考える場合は、区間数として、円領域のもの（中心と半径を指定する。）、あるいは、長方形の領域のもの（実部および虚部それぞれの上限および下限を指定する。）を用いる。
【０００４】
  円領域の区間数で表された一変数複素区間多項式について、それに属する多項式であって、指定した一つの複素数を零点とするものが存在するか否かの判定法については既に知られている（例えば、非特許文献１参照。）。
【０００５】
  また、区間数を長方形の領域とした複素区間多項式に対し、「当該複素区間多項式に属する全ての零点が複素左半平面（実部が負である領域）に存在する」という命題が成立するか否かの判定については、Kharitonovの定理によって判定可能である（例えば、非特許文献２参照。）。
【０００６】
  また、区間数が実数の区間多項式について、当該区間多項式に属する全ての多項式の全ての零点が、与えられた複素領域（但し、適当な条件を満すものに限られる。）に属するか否かについては、エッジ定理により判定可能である（例えば、非特許文献３参照。）。
【非特許文献１】H.J.Stetter,The nearest polynomial with a given zero, and similar problems, ACM SIGSAM Bulletin, Vo1.33, No.4, pp.2-4, 1999.
【非特許文献２】山本哲朗、「区間多項式のロバスト安定性に関するKharitonovの定理をめぐって」、電子情報通信学会誌、Ｖｏ１．８１、Ｎｏ．２、ｐｐ．１７４−１８２、１９９８.
【非特許文献３】A.C.Bartlett, C.V.Hollot and L.Huang,Root location of an entire po1ytope of polynomials: it suffices to check the edges, Mathematics of Controls, Signals and Systems, Vol.1, pp.61-71, 1988.
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
  区間多項式の応用においては、有限個の点が零点となりうるか否かを判定するだけでは不十分であり、ある領域（領域の境界を含む。）に零点が存在するか否かを判定することが求められる場合が多い。また、その領域の形状に対する制約条件も緩和できることが望ましい。さらには、複素区間多項式に対しても適用可能であることが望ましい。
【０００８】
  そこで、本発明は、複素係数を円領域の区間数として表す複素区間多項式Ｆ（ｘ）が、境界が有理関数で記述されているような領域Ｄにおいて、零点を有するか否かを判定する複素区間多項式の零点の位置判定方法、位置判定プログラムおよび記録媒体を提供することを目的とする。」
　
「【発明の効果】
【００１４】
  本発明によれば、複素区間多項式に属する一つの多項式（代表多項式）について、与えられた複素領域における零点の存在の有無を確認し、零点が当該複素領域内に一つも存在しない場合は、複素区間多項式が当該複素領域の境界上に零点を有するか否かのみを判定することによって、複素係数を円領域の区間数として表す複素区間多項式Ｆ（ｘ）が、境界が有理関数で記述されているような領域において、零点を有するか否かの判定を可能にする。」
　
「【００５８】
  従来技術において、Kharitonovの定理やエッジ定理に基づく零点位置判定においては、区間多項式に属する特定の多項式を調べる方法をとっていた。一方、本発明の零点位置判定方法は、まず複素区間多項式に属する一つの多項式（代表多項式）について、与えられた領域における零点の有無を確認し、零点が与えられた領域に一つも存在しない場合は、領域の境界上に零点を持つ多項式が複素区間多項式内に存在するか否かのみを判定すれば十分であるとしていることを特徴の一つとしている。即ち、判定の対象とする多項式を限定するのではなく、判定の対象とする零点の位置（境界上）を限定する点が従来技術と主に異なる。
【００５９】
  また、本発明においては、領域の全てについてではなく、領域の境界上について複素区間多項式の零点が存在するか否かを判定することから、境界の表示に現れるパラメータｓの一変数関数として条件式の判定が可能となっている。仮に、領域の全てについて複素区間多項式の零点が存在するか否かを判定する場合、領域は二次元であるから、その全ての点を表す式を与えなければならないが、このような式を与えることは一般的には困難である。また、そのような式が与えられたとしても二変数以上となるから（例えば、円や多角形ならば、実部と虚部の二変数〔連立〕不等式となる。）、一変数の場合に比して格段と演算効率やアルゴリズムが劣るものとなる。この点においても、本発明は利点を有している。」
　
　上記で示した明細書等における記載を考慮すれば、明細書等には、「複素係数を円領域の区間数として表す複素区間多項式Ｆ（ｘ）が、境界が有理関数で記述されているような領域Ｄにおいて、零点を有するか否かを判定」する、という数学的課題が示され、当該判定を行う際において、「複素区間多項式に属する一つの多項式」として（特定の多項式ではない）任意の一つの多項式を「代表多項式」として選択し、かつ、「代表多項式」の「零点が与えられた領域に一つも存在しない場合」に、（「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、領域の境界と内部のいずれかにおいて零点を有するものが存在するか否かを直接判定するのではなくて、）「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、「当該複素領域の境界上に零点を有する」ものが存在する「か否かのみを判定する」ことにより、「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、「領域Ｄにおいて、零点を有する」ものが存在する「か否かを判定」することができる、ということが示されている。
　そして、上記で示した明細書等における記載によれば、本願発明に対する従来例として、「非特許文献１」である「H.J.Stetter,The nearest polynomial with a given zero, and similar problems, ACM SIGSAM Bulletin, Vo1.33, No.4, pp.2-4, 1999.」の学術論文では、「円領域の区間数で表された一変数複素区間多項式について、それに属する多項式であって、指定した一つの複素数を零点とするものが存在するか否か」という数学的課題に対する「判定法」が示されているとされ、当該学術論文にはproposition、theorem、corollaryという数学上の定理の提示とそれらの証明が示されている。また、「非特許文献２」である「山本哲朗、「区間多項式のロバスト安定性に関するKharitonovの定理をめぐって」、電子情報通信学会誌、Ｖｏ１．８１、Ｎｏ．２、ｐｐ．１７４−１８２、１９９８.」の学術論文では、「区間数を長方形の領域とした複素区間多項式に対し、「当該複素区間多項式に属する全ての零点が複素左半平面（実部が負である領域）に存在する」という命題が成立するか否か」という数学的課題に対して「Kharitonovの定理」という数学上の定理を用いて判定を行うことが示されているとされている。さらに、「非特許文献３」である「A.C.Bartlett, C.V.Hollot and L.Huang,Root location of an entire po1ytope of polynomials: it suffices to check the edges, Mathematics of Controls, Signals and Systems, Vol.1, pp.61-71, 1988.」の学術論文では、「区間数が実数の区間多項式について、当該区間多項式に属する全ての多項式の全ての零点が、与えられた複素領域（但し、適当な条件を満すものに限られる。）に属するか否か」という数学的課題に対して「エッジ定理」という数学上の定理を用いて判定を行うことが示されているとされている。
　上記した従来例として示される数学的課題に対する数学上の定理を踏まえて、本願の明細書等においては、「複素係数を円領域の区間数として表す複素区間多項式Ｆ（ｘ）が、境界が有理関数で記述されているような領域Ｄにおいて、零点を有するか否かを判定」する、という数学的課題を設定することにより、「区間多項式の応用においては、有限個の点が零点となりうるか否かを判定するだけでは不十分であり、ある領域（領域の境界を含む。）に零点が存在するか否かを判定することが求められる場合が多い。また、その領域の形状に対する制約条件も緩和できることが望ましい。さらには、複素区間多項式に対しても適用可能であることが望ましい。」という記載が示すような、上記した従来例における数学的課題の持つ制約を緩和したものである。
　また、本願の明細書等においては、この制約が緩和された数学的課題の判定を行う際において、「複素区間多項式に属する一つの多項式」として（特定の多項式ではない）任意の一つの多項式を「代表多項式」として選択し、かつ、「代表多項式」の「零点が与えられた領域に一つも存在しない場合」に、（「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、領域の境界と内部のいずれかにおいて零点を有するものが存在するか否かを直接判定するのではなくて、）「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、「当該複素領域の境界上に零点を有する」ものが存在する「か否かのみを判定する」ことにより、「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、「領域Ｄにおいて、零点を有する」ものが存在する「か否かを判定」することができることが示され、これにより、「従来技術において、Kharitonovの定理やエッジ定理に基づく零点位置判定においては、区間多項式に属する特定の多項式を調べる方法をとっていた。一方、本発明の零点位置判定方法は、まず複素区間多項式に属する一つの多項式（代表多項式）について、与えられた領域における零点の有無を確認し、零点が与えられた領域に一つも存在しない場合は、領域の境界上に零点を持つ多項式が複素区間多項式内に存在するか否かのみを判定すれば十分であるとしていることを特徴の一つとしている。即ち、判定の対象とする多項式を限定するのではなく、判定の対象とする零点の位置（境界上）を限定する点が従来技術と主に異なる。」という点において、上記した従来例における数学上の定理と比較して異なる点や有利な点を有することが示されている。
　このように、上記した従来例における数学的課題に対する数学上の定理に対して、数学的課題の制約を緩和し、数学的課題を解決するための数学上の定理としてもより有利なものであるものとして、本願の明細書等には、「複素係数を円領域の区間数として表す複素区間多項式Ｆ（ｘ）が、境界が有理関数で記述されているような領域Ｄにおいて、零点を有するか否かを判定」する、という数学的課題が示され、当該判定を行う際において、「複素区間多項式に属する一つの多項式」として（特定の多項式ではない）任意の一つの多項式を「代表多項式」として選択し、かつ、「代表多項式」の「零点が与えられた領域に一つも存在しない場合」に、（「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、領域の境界と内部のいずれかにおいて零点を有するものが存在するか否かを直接判定するのではなくて、）「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、「当該複素領域の境界上に零点を有する」ものが存在する「か否かのみを判定する」ことにより、「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、「領域Ｄにおいて、零点を有する」ものが存在する「か否かを判定」することができる、ということが示されているのであるから、本願の明細書等において示される数学的課題の判定を行う際において、「複素区間多項式に属する一つの多項式」として（特定の多項式ではない）任意の一つの多項式を「代表多項式」として選択し、かつ、「代表多項式」の「零点が与えられた領域に一つも存在しない場合」に、（「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、領域の境界と内部のいずれかにおいて零点を有するものが存在するか否かを直接判定するのではなくて、）「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、「当該複素領域の境界上に零点を有する」ものが存在する「か否かのみを判定する」ことにより、「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、「領域Ｄにおいて、零点を有する」ものが存在する「か否かを判定」することができる、ということは、数学上の定理に相当するものである（以下、当該数学上の定理を「第１の数学上の定理」という。）。
　
　さらに、本願の願書に最初に添付した明細書、特許請求の範囲又は図面には、【００４０】〜【００５６】において、下記に示す記載がある。（なお、下記においては記号の誤記を一部訂正している。）
　
「【００４０】
《ステップ４の詳細》
  以下に、上記ステップ４における不等式の判定について詳しく述べる。
  「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する或る多項式ｆ（ｘ）について、ｆ（ｃ）＝０となる〔ｃは零点である。〕」ことと、「不等式（６）がｘ＝ｃで成立する」ことは同値である（非特許文献１参照。）。但し、不等式（６）のｆ０（ｘ）は、式（７）で与えられる。
　【数４】
　　　　　　　　　　　　ｄ
　　｜ｆ０（ｘ）｜≦　　Σ　　ｒｊ｜ｘｊ｜　　（６）
　　　　　　　　　　　ｊ＝０
　
　　　　　　　　　　　　ｄ
　　　ｆ０（ｘ）　＝　　Σ　　ｃｊ　ｘｊ　　（７）
　　　　　　　　　　　ｊ＝０
【００４１】
  従って、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する或る多項式ｆ（ｘ）の零点が領域Ｄの境界Ｃ上に存在する」ことと、「不等式（６）を満たす点が領域Ｄの境界Ｃ上に存在する」ことは同値となる。
【００４２】
  不等式（６）に領域Ｄの境界Ｃの区分境界Ｃｐの表示φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）（ｓ∈Ｓ）を代入すると、不等式（８）で表される。なお、右辺については、オイラーの公式を適用した（｜ｘｊ｜＝｜ｘ｜ｊ）。
　【数５】
　　｜ｆ０（φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ））｜≦
　　　　　　　　　　　　ｄ
　　　　　　　　　　　　Σ　ｒｊ｜φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）｜ｊ　
　　　　　　　　　　　ｊ＝０　　　　　　　　　　　　（８）
【００４３】
  不等式（８）は、両辺ともに０以上なので、両辺を平方した不等式（９）と同値である
。
　【数６】
　｜ｆ０（φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ））｜２≦
　　　　　　　　　　　　ｄ
　　　　　　　　　　　（Σｒｊ｜φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）｜ｊ）２　
　　　　　　　　　　　ｊ＝０　　　　　　　　　　　　（９）
【００４４】
  不等式（９）の左辺は、式（１０）に等しい。
　【数７】
　　　ｄ　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　Σ　　ｃｊ（φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ））ｊ・
　　ｊ＝０
　　　　　　　ｄ　　＿
　　　　　　　Σ　　ｃｊ　（φｐ（ｓ）−ｉ・ψｐ（ｓ））ｊ　　
　　　　　　ｊ＝０　　　　　　　　　　　　　　　　　（１０）
【００４５】
  式（１０）を展開すると、有理数係数の変数ｓに関する有理式となるので、式（１０）をｋ（ｓ）と表すことにする。ただし、複素数ｃに対し、ｃ￣（記号￣は、ｃの上に−を付すことを表す。）はｃの複素共役（虚部の符号を変えた数）を表す。
【００４６】
  不等式（９）の右辺は、式（１１）に等しい。
　【数８】
　　ｈ１（ｓ）＋ｈ２（ｓ）｜φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）｜　　（１１）
【００４７】
  ここで、ｈ１（ｓ）、ｈ２（ｓ）は有理数係数の変数ｓに関する有理式として表される。従って、不等式（９）は不等式（１２）と同値である。
　【数９】
　　ｋ（ｓ）−ｈ１（ｓ）≦ｈ２（ｓ）｜φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）｜　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１２）
【００４８】
  ｈ２（ｓ）は、整数ｒｊおよびφｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）の絶対値の偶数冪乗の和算・乗算から構成されるから０≦ｈ２（ｓ）となる。従って、不等式（１２）の右辺は常に０以上であることに留意する。
【００４９】
  以上から、不等式（１２）は以下の条件式（１３）と同値である。
　【数１０】
　　ｋ（ｓ）−ｈ１（ｓ）≦０　
　　　あるいは　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１３）
　　（ｋ（ｓ）−ｈ１（ｓ））２　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　−ｈ２（ｓ）２（φｐ（ｓ）２＋ψｐ（ｓ）２）≦０
【００５０】
  条件式（１３）は、φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）の絶対値（即ち根号）を含まないため、有理式の範囲内で不等号判定が可能である。有理式によって表現される不等式の演算（不等号判定）は、絶対値や根号を含んだ不等式の演算に比して、演算効率が格段に良く、またアルゴリズムも簡単なものになるという利点がある。
【００５１】
  条件式（１３）を満すｓが範囲Ｓｐに存在するか否かは既知の方法で判定できる。ここで、Ｐ（ｓ）を、Ｐ（ｓ）＝ｋ（ｓ）−ｈ１（ｓ）、または、Ｐ（ｓ）＝（ｋ（ｓ）−ｈ１（ｓ））２−ｈ２（ｓ）２（φ（ｓ）２＋ψ（ｓ）２）とする。Ｐ（ｓ）は有理式である。この有理式Ｐ（ｓ）に対し、Ｐ（ｓ）≦０となるｓが範囲Ｓｐに存在するか否かの判定は、次に説明するとおりに行われる。なお、有理式Ｐ（ｓ）を既約な有理式で書いたときの分子をＱ（ｓ）とする。
【００５２】
  （ａ）  Ｓｐ＝［ａ，ｂ］の場合、Ｐ（ａ）≦０あるいはＰ（ｂ）≦０ならば、「範囲Ｓに条件式（１３）を満たすｓが存在する」。そうでないならば、「Ｐ（ｓ）≦０を満すｓ∈［ａ，ｂ］が存在する」ことと、「Ｑ（ｓ）の零点が（ａ，ｂ）に存在する」ことは同値である。
【００５３】
  （ｂ）  Ｓｐ＝（−∞，ｂ］の場合、Ｐ（ｂ）≦０ならば、「範囲Ｓに条件式（１３）を満たすｓが存在する」。そうでないならば、「Ｐ（ｓ）≦０を満すｓ∈（−∞，ｂ］が存在する」ことと、「（−∞，ｂ）の範囲にＱ（ｓ）の零点が存在する」ことは同値である。
【００５４】
  （ｃ）  Ｓｐ＝［ａ，∞）の場合、Ｐ（ａ）≦０ならば、「範囲Ｓに条件式（１３）を満たすｓが存在する」。そうでないならば、「Ｐ（ｓ）≦０を満すｓ∈［ａ，∞）が存在する」ことと、「（ａ，∞）の範囲にＱ（ｓ）の零点が存在する」ことは同値である。
【００５５】
  （ｄ）  Ｓｐ＝（−∞，∞）の場合、Ｐ（０）≦０ならば、「範囲Ｓに条件式（１３）を満たすｓが存在する」。そうでないならば、「Ｐ（ｓ）≦０を満すｓ∈（−∞，∞）が存在する」ことと、「（−∞，∞）の範囲にＱ（ｓ）の零点が存在する」ことは同値である。
【００５６】
  上記の（ａ）〜（ｄ）において、与えられた範囲ＳｐにＱ（ｓ）の零点が存在するか否かは、例えば上述したSturmの定理に基づくアルゴリズムで判定可能である。」
　
　この【００４０】〜【００５６】では、前記第１の数学上の定理における、「「複素区間多項式」に含まれる多項式のうちで、「当該複素領域の境界上に零点を有する」ものが存在する「か否かのみを判定する」こと」と、当該【００４０】〜【００５６】で導き出される命題が同値であるという、さらなる数学上の定理が示されている（以下、当該さらなる数学上の定理を「第２の数学上の定理」という。）。
　
　そして、本願発明に対応する本願の請求項１には、「区間数が中心点ｃjと半径ｒj（０≦ｊ≦ｄ、ｄは前記複素区間多項式の最高次数）によって複素平面上の円領域で表される複素区間多項式」が「ｎ個の区分境界Ｃp（ｎ≧１、ｐ＝１，２，・・・，ｎ、ただし、各区分境界Ｃpは、パラメータｓ∈Ｓpによってφp(ｓ)＋ｉ・ψp(ｓ)と表示される。ｉは虚数単位であり、φp(ｓ)、ψp(ｓ)は有理式である）から構成される有界な複素領域の境界（ただし、当該境界は長さが有限な単純閉曲線であるとする）」で示される複素領域において零点を有するか否かという数学的課題に対して、
「複素区間多項式の各区間数｛ｃj；ｒj｝から一つずつ任意に値ａj∈｛ｃj；ｒj｝を選択し、前記ａjを各項の係数に有する多項式を代表多項式として選択」し、「選択した代表多項式が」「前記境界上に零点を有するか否かを判定し、前記代表多項式が前記境界上に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記代表多項式が前記境界上に零点を有しないと判定した場合には」「選択した代表多項式が」「複素領域の内部に零点を有するか否かを判定し、前記代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有しないと判定した場合には、」
「［ステップ１］前記ｎ個の区分境界の中から１つの区分境界Ｃpを選択し、
　［ステップ２］前記複素区間多項式に属する多項式のうち各区間数からそれぞれ中心点が選択された多項式の変数に前記選択した区分境界Ｃpを代入したもの（当審注：明細書の【００４０】の（６）式の左辺の記載を考慮すれば、単に「代入したもの」と記載されているのは誤記であり、正しくは「代入したものの絶対値」である。）を２乗して得られる多項式を計算してｋ(ｓ)とし、前記複素区間多項式の各区間数をそれぞれの区間数の半径に置換して得られる多項式の変数に前記選択した区分境界Ｃpを代入したもの（当審注：明細書の【００４０】の（６）式の右辺の記載を考慮すれば、単に「を代入したもの」と記載されているのは誤記であり、正しくは「の絶対値を代入したもの」である。）を２乗して得られる多項式ｈ1,p(ｓ)＋ｈ2,p(ｓ)｜φp(ｓ)＋ｉ・ψp(ｓ)｜（ただしｈ1,p(ｓ)およびｈ2,p(ｓ)は有理式）を計算し、Ｐ（ｓ）＝ｋ（ｓ）−ｈ1,p（ｓ）またはＰ（ｓ）＝（ｋ（ｓ）−ｈ1,p（ｓ））2−ｈ2,p（ｓ）2（φp(ｓ)2＋ｉ・ψp(ｓ)2）（当審注：明細書の【００４９】の（１３）式を考慮すれば、「φp(ｓ)2＋ｉ・ψp(ｓ)2」との記載は誤記であり、正しくは「φp(ｓ)2＋ψp(ｓ)2」である。）により既約な有理式Ｐ（ｓ）を計算し、
　［ステップ３］前記パラメータｓの取り得る範囲Ｓpが閉区間［ａ，ｂ］の場合には、当該区間の上限値ｂを前記Ｐ（ｓ）に代入した値または当該区間の下限値ａを前記Ｐ（ｓ）に代入した値のいずれかが０以下であるかを判定し、０以下の場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、そうでない場合には前記既約な有理式Ｐ（ｓ）の分子Ｑ（ｓ）が前記上限値ｂと下限値ａからなる開区間（ａ，ｂ）の範囲に零点を有する否かを判定し、前記Ｑ（ｓ）が前記（ａ，ｂ）の範囲に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、
　［ステップ４］前記パラメータｓの取り得る範囲Ｓpが左開右閉区間（−∞，ｂ］の場合には、当該区間の上限値ｂを前記Ｐ（ｓ）に代入した値が０以下であるかを判定し、０以下の場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、そうでない場合には前記既約な有理式Ｐ（ｓ）の分子Ｑ（ｓ）が開区間（−∞，ｂ）の範囲に零点を有する否かを判定し、前記Ｑ（ｓ）が前記（−∞，ｂ）の範囲に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、
　［ステップ５］前記パラメータｓの取り得る範囲Ｓpが左閉右開区間［ａ，∞）の場合には、当該区間の下限値ａを前記Ｐ（ｓ）に代入した値が０以下であるかを判定し、０以下の場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、そうでない場合には前記既約な有理式Ｐ（ｓ）の分子Ｑ（ｓ）が開区間（ａ，∞）の範囲に零点を有する否かを判定し、前記Ｑ（ｓ）が前記（ａ，∞）の範囲に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、
　［ステップ６］前記パラメータｓの取り得る範囲Ｓpが開区間（−∞，∞）の場合には、前記既約な有理式Ｐ（ｓ）の分子Ｑ（ｓ）が開区間（−∞，∞）の範囲に零点を有する否かを判定し、前記Ｑ（ｓ）が前記（−∞，∞）の範囲に零点を有すると判定した場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、
　［ステップ７］上記ステップ３からステップ６のいずれかにおいて、前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定されなかった場合には、前記ｎ個の区分境界Ｃpのうちまだステップ２からステップ６を実行していない区分境界があればその中から区分境界を一つ選択してステップ２からステップ６を実行し、全ての前記区分境界Ｃpについてステップ２からステップ６を実行した結果、前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定されなかった場合には前記複素区間多項式が前記複素領域に零点を有しないと判定する」という前記第１の数学上の定理及び前記第２の数学上の定理に基づいた数学的な計算手順（アルゴリズム）による数学的解法が示されている。
　
　上記した第１の数学上の定理及び第２の数学上の定理に基づいた数学的な計算手順（アルゴリズム）そのものは、何ら自然法則を利用するものではないから、これを特許法第２条第１項で定義される「発明」ということはできないことは明らかである。
　本願発明に対応する本願の請求項１においては、「コンピュータを、記憶手段と、代表多項式選択手段と、境界上零点判定制御手段と、領域内部零点判定制御手段と、条件式判定手段とを有する装置として機能させ」るものとされている。しかしながら、本願の請求項１の記載は、コンピュータを道具として用いて、与えられた「複素区間多項式」が与えられた「複素領域」において零点を有するか否かという数学的課題に対して、前記第１の数学上の定理及び第２の数学上の定理に基づいた、数学的な計算手順（アルゴリズム）による計算を実現することを意味する程度のものである。このような、コンピュータを道具として用いて上記した数学的な計算手順（アルゴリズム）による計算を実現することにより、自然法則を利用した技術的思想が付加されるものではない。
　そうすると、本願発明はコンピュータに新たな創作を付加するものではなく、その実質は数学的なアルゴリズムそのものというほかないから、これをもって、特許法第２条第１項で定義される「発明」に該当するということはできない。
　
　このように、本願発明は特許法第２条第１項で規定される「発明」ではない。よって、本願は同法第２９条第１項柱書に規定される要件を満たしていない。
　
第４．むすび
　したがって、本願の請求項１に係る発明は特許法第２条第１項で定義される「発明」ではないから、本願は同法第２９条第１項柱書に規定される要件を満たすものではなく、特許を受けることができない。
　
　よって、結論のとおり審決する。