【事件の表示】
　特願２００５−３４２６５４「一変数実区間多項式の零点の位置判定装置、位置判定方法、位置判定プログラムおよび記録媒体」拒絶査定不服審判事件〔平成１９年　６月１４日出願公開、特開２００７−１４８８１５〕について、次のとおり審決する。
【結　論】
　本件審判の請求は、成り立たない。
【理　由】
第１．手続の経緯
　本願は、
　平成１７年１１月２８日の出願であって、
　平成２０年２月５日付けで手続補正がなされ、
　平成２０年１１月５日付けで最初の拒絶理由通知（同年同月１１日発送）がなされ、
　平成２１年１月６日付けで意見書が提出されるとともに、手続補正がなされ、
　平成２１年４月９日付けで拒絶査定（同年同月１４日発送）がなされ、
　同年７月１３日付けで審判請求がなされるとともに、手続補正がなされ、
　同年１１月６日付けで審査官より前置報告がなされ、
　平成２２年１１月３０日付けで当審より審尋（同年１２月３日発送）がなされ、
　この審尋に対して、平成２３年１月２６日付けで回答書が提出されている。
　なお、上記した平成２１年７月１３日付けの審判請求以外にも、
　同年同月８日付けで審判請求（不服２００９−１２４９２）がなされるとともに、手続補正がなされたが、
　この平成２１年７月８日付け審判請求（不服２００９−１２４９２）は、同年同月１３日付け請求取下書により取り下げられ、
　平成２１年７月８日付け手続補正は、同年１０月２１日付けで特許庁長官よりなされた手続却下の処分（同年１１月５日発送）により却下されている。
　
第２．本願発明
　本願の請求項４に係る発明（以下、「本願発明」という。）は、平成２１年７月１３日付けの手続補正により補正された明細書、特許請求の範囲及び図面の記載からみて、本願の特許請求の範囲の請求項４に記載されたとおりの次のものと認められる。
　
「コンピュータを、記憶手段と、代表多項式選択手段と、境界上零点判定制御手段と、領域内部零点判定制御手段と、対象点多項式判定手段と、エッジ多項式判定手段とを有する装置として機能させて実行する一変数実区間多項式の零点の位置を判定する方法であって、
　前記記憶手段には、区間数が実数の閉区間で表される一変数実区間多項式と、有界な複素領域の境界（ただし、当該境界は長さが有限な単純閉曲線であるとする）を構成するｎ個の区分境界Ｃp（ｎ≧１、ｐ＝１，２，・・・，ｎ、ただし、各区分境界Ｃpは、パラメータｓ∈Ｓpによってφp(ｓ)＋ｉ・ψp(ｓ)と表示される。ｉは虚数単位であり、φp(ｓ)、ψp(ｓ)は有理式である）とが記憶され、
　前記代表多項式選択手段が、前記記憶手段に記憶された一変数実区間多項式の各区間数から一つずつ任意に値を選択することにより、当該一変数実区間多項式に属する多項式のうち１つ（以下、代表多項式という）を選択する代表多項式選択ステップと、
　前記代表多項式零点判定手段が、前記代表多項式選択手段が選択した代表多項式が前記記憶手段に記憶された前記境界上に零点を有するか否かを判定し、前記代表多項式が前記境界上に零点を有すると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記代表多項式が前記境界上に零点を有しないと判定した場合には、前記領域内部零点判定制御手段を実行するよう制御する境界上零点判定制御ステップと、
　前記領域内部零点判定制御手段が、前記代表多項式選択手段が選択した代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有するか否かを判定し、前記代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有すると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有さないと判定した場合には対象点多項式判定手段を実行するよう制御する領域内部零点判定制御ステップと、
　前記対象点多項式判定手段が、前記一変数実区間多項式の各区間数を閉区間の両端点ｍj，ｕjおよび前記ｍjとｕjの内分比を表すパラメータｔj（０≦ｊ≦ｄ、ｄは前記一変数実区間多項式の最高次数）とを用いた｛（ｕj−ｍj）ｔj＋ｍj｝で表し、前記境界上の任意の１点α（以下、対象点という）を前記一変数実区間多項式の変数に代入した多項式について、各ｊ＝０、・・・、ｄについて（ｕj−ｍj）αjの実部が負であるかを判定し、（ｕj−ｍj）αjの実部が負であると判定した場合には（ｕj−ｍj）αjｔjを（ｕj−ｍj）αj（１−ｔj）と書き換え、（ｕj−ｍj）αjの実部が負でないと判定した場合には（ｕj−ｍj）αjの実部が０かつ虚部が負であるかを判定し、実部が０かつ虚部が負であると判定した場合には（ｕj−ｍj）αjｔjを（ｕj−ｍj）αj（１−ｔj）と書き換え、前記パラメータｔjを含む項（以下、パラメータ項という）と前記パラメータｔjを含まない項（以下、非パラメータ項という）に分け、前記非パラメータ項の和で定まる点が負であるか否かを判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点が負であると判定した場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点が負でないと判定した場合には、前記非パラメータ項の和で定まる点の実部が０かつ虚部が負であるかを判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点の実部が０かつ虚部が負であると判定した場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点の実部が０かつ虚部が負でない場合には、前記パラメータ項の各項ｔjに対応する係数を複素平面上の偏角の小さいほうから大きい方へ順番にソートして、このソートの結果をｖ1，・・・，ｖn（ｎ≦ｄ＋１）とし、複素平面の原点０から始めて時計回りに、０，ｖ1，ｖ1＋ｖ2，・・・，ｖ1＋・・・＋ｖn，ｖ2＋ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖn-1＋ｖnの２ｎ個の点を頂点とする複素平面上の凸包に前記非パラメータ項の和で定まる点が入るか否かを判定し、前記凸包に前記非パラメータ項の和で定まる点が入ると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記凸包に前記非パラメータ項の和で定まる点が入らないと判定した場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し、前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数多項式に存在しないと判定した場合にエッジ多項式判定手段を実行するよう制御する対象点多項式判定ステップと、
　前記エッジ多項式判定手段が、
　［ステップ１］前記区分境界の中から１つの区分境界Ｃpを選択し、
　［ステップ２］前記一変数実区間多項式のｋ番目（０≦ｋ≦ｄ）の係数ｔを除き係数が区間数の端点となっている多項式（以下、エッジ多項式という）の中から１つのエッジ多項式を選択し、
　［ステップ３］前記係数ｔが前記一変数実区間多項式における定数項以外の項の区間数の端点に固定されていない係数である場合、
前記ステップ２で選択したエッジ多項式の変数に前記ステップ１で選択した区分境界Ｃpを代入し、その実部ｕ（ｓ，ｔ）と虚部ｖ（ｓ，ｔ）の連立方程式ｕ（ｓ，ｔ）＝ｖ（ｓ，ｔ）＝０の解ｔ＝ｈ1（ｓ）＝ｈ2（ｓ）を計算し（ただし、ｈ1（ｓ）とｈ2（ｓ）は有理式である）、ｈ1（ｓ）−ｈ2（ｓ）を既約な有理式として表したときの分子である多項式Ｐ（ｓ）を計算し、前記ｈ1（ｓ）とｈ2（ｓ）のいずれか一方を選択してＨ（ｓ）とし、
　［ステップ４］前記係数ｔが前記一変数実区間多項式における定数項の区間数の端点に固定されていない係数である場合、
前記ステップ２で選択したエッジ多項式の変数に前記ステップ１で選択した区分境界Ｃpを代入し、その実部ｕ（ｓ，ｔ）と虚部ｖ（ｓ，ｔ）について、前記ｖ（ｓ，ｔ）を既約な有理式で表したときの分子Ｐ（ｓ）を計算し、前記ｕ（ｓ，ｔ）＝０をｔについて解いた有理式Ｈ（ｓ）を計算し、
　［ステップ５］前記ｋ番目の項の区間数の端点ｍおよびｕについて、既約な有理式Ｈ（ｓ）−ｍの分子である多項式と前記Ｐ（ｓ）との最大公約多項式Ｇm（ｓ）および、既約な有理式Ｈ（ｓ）−ｕの分子である多項式と前記Ｐ（ｓ）との最大公約多項式Ｇu（ｓ）を計算し、
　［ステップ６］前記Ｇm（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属するかを判定し、前記Ｇm（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属すると判定した場合には前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ７］前記Ｇm（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属さないと判定した場合には、Ｇu（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属するかを判定し、前記Ｇu（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属すると判定した場合には前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ８］前記Ｇu（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属さないと判定した場合には、前記Ｐ（ｓ）／（Ｇm（ｓ）Ｇu（ｓ））＝０の根ξが、当該パラメータｓの範囲Ｓpに属し、かつ、係数ｔが属する区間数の端点ｍ、ｕに対してｍ＜Ｈ（ξ）＜ｕを満たすかを判定し、前記Ｐ（ｓ）／（Ｇm（ｓ）Ｇu（ｓ））＝０の根ξが、当該パラメータｓの範囲Ｓpに属し、かつ、係数ｔが属する区間数の端点ｍ、ｕに対してｍ＜Ｈ（ξ）＜ｕを満たすと判定した場合には、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ９］前記Ｐ（ｓ）／（Ｇm（ｓ）Ｇu（ｓ））＝０の根ξが、当該パラメータｓの範囲Ｓpに属さない、または、係数ｔが属する区間数の端点ｍ、ｕに対してｍ＜Ｈ（ξ）＜ｕを満たさないと判定した場合には、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定されるまで、ステップ１０を実行させ、
　［ステップ１０］まだ前記ステップ１から前記ステップ９を実行していない全ての区分境界Ｃpとｋとエッジ多項式の組み合わせについて前記ステップ１から前記ステップ９を繰り返し実行させ、
　［ステップ１１］前記ステップ１から前記ステップ９において、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、全ての前記組み合わせについて前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在しない場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有しないと判定するエッジ多項式判定ステップと
を有する一変数実区間多項式の零点の位置判定方法。」
　
第３．特許法第２９条第１項柱書の要件の検討
　特許法第２９条第１項柱書には「産業上利用することができる発明をした者は、次に掲げる発明を除き、その発明について特許を受けることができる。」と規定され、この規定における「発明」については、同法第２条第１項において「この法律で「発明」とは、自然法則を利用した技術的思想の創作のうち高度のものをいう。」と定義されている。
　そこで、本願発明が同法第２条第１項に定義される「発明」であるか、つまり、本願発明が「自然法則を利用した技術的思想の創作のうち高度のもの」であるかを検討する。
　
　本願の願書に最初に添付した明細書、特許請求の範囲又は図面には、下記に示す記載がある。
　
「【背景技術】
【０００２】
  係数が確定していない（例えば、係数に誤差がある場合などである。）多項式を表す手法として、区間多項式がある。区間多項式Ｆ（ｘ）とは、数の集合である区間数Ａｊ（０≦ｊ≦ｄ）を各項の係数として式（１）のように表記されるものである。つまり、区間多項式Ｆ（ｘ）は、係数がａｊ∈Ａｊである多項式ｆ（ｘ）〔式（２）参照。〕全体の集合を表す。なお、この明細書における区間多項式は、特に断りのない限り、一変数区間多項式であるとする。なお、ｅｊ（ｘ）は多項式とする。
　【数１】
　　　　　　　　ｄ
　　Ｆ（ｘ）＝　Σ　Ａｊｅｊ（ｘ）　　（１）
　　　　　　　ｊ＝０
　　　　　　　　ｄ
　　ｆ（ｘ）＝　Σ　ａｊｅｊ（ｘ）　　（２）
　　　　　　　ｊ＝０
【０００３】
  以下では、区間数を実数の範囲で考える。この場合、区間数Ａｊとして閉区間［ｍｊ，ｕｊ］を用いる。このような区間多項式であることを明確にするため、以下では、実区間多項式と云うことにする。
  実区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式が与えられた複素領域Ｄ（この境界Ｃを含む。）に零点を持つか否かを判定する方法として、特許文献１に開示される方法がある。」
　
「【０００５】
  このとき、特許文献１に開示される方法は、「領域Ｄ（境界Ｃを含む。）に少なくとも１つ零点を持つ多項式ｆ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）が存在するか否か」・・・（☆）を厳密に判定可能である。なお、記号∈は、或る要素が集合に「属する」ことを意味する。
【０００６】
  特許文献１に開示される方法（零点位置判定処理）のアルゴリズムは、図２３を参照して説明すると、以下のとおりである。
○ステップ１：代表多項式ｆ０（ｘ）∈Ｆ（ｘ）を選択する（Ｓ９００）。
○ステップ２：領域Ｄ（境界Ｃ上およびその内部）に、代表多項式ｆ０（ｘ）の零点が存在するか否かを判定する（Ｓ９０１）。もし、零点が存在すれば、（☆）について「存在する」と云えて零点位置判定処理を終了する（Ｓ９０８）。もし、零点が存在しなければ、パラメータｐ＝１として（Ｓ９０２）、次のステップを処理する。
○ステップ３：区分境界Ｃｐの端点を零点とする多項式が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在するか否かを判定する（Ｓ９０３）。もし、このような多項式が存在すれば、（☆）について「存在する」と云えて零点位置判定処理を終了する（Ｓ９０８）。もし、このような多項式が存在しなければ、次のステップを処理する。
○ステップ４：区分境界Ｃｐ上に零点を持ち、係数のうち高々１つだけが端点ではない多項式（エッジ多項式）が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在するか否かを判定する（Ｓ９０４）。もし、このような多項式が存在すれば、（☆）について「存在する」と云えて零点位置判定処理を終了する（Ｓ９０８）。もし、このような多項式が存在しなければ、次のステップを処理する。
○ステップ５：ｐ＜ｎならば（Ｓ９０５）、ｐに１を加えたものをｐに置き換え（Ｓ９０
６）、ステップ３の処理以降を行う。ｐ＝ｎならば（Ｓ９０５）、（☆）について「存在しない」が云えることとなり零点位置判定処理を終了する（Ｓ９０７）。
【０００７】
  なお、区間数が実数の区間多項式について、当該区間多項式に属する全ての多項式の全ての零点が、与えられた複素領域（但し、適当な条件を満すものに限られる。）に属するか否かについては、エッジ定理により判定可能である（例えば、非特許文献１参照。）。そこで、（☆）が「少なくとも１つ零点を持つ」ではなく、「全ての零点を持つ」という問題ならば、エッジ定理が適用可能である。すなわち、実区間多項式Ｆ（ｘ）に属する全てのエッジ多項式、つまり、高々１つの係数を除く係数が区間数の端点となっている多項式のみを調べればよい。但し、領域Ｄについて「領域Ｄの補集合の任意の点が無限遠に向かう適当な経路上にある」という制限がつく。従って、「領域Ｄ（境界Ｃを含む。）に少なくとも１つ零点を持つ」の否定と同値な「領域Ｄの補集合に全ての零点がある」を示すのに、エッジ定理を常に使えるわけではない。
【特許文献１】特開２００５−２３５１２１号公報
【非特許文献１】A.C.Bartlett, C.V.Hollot and L.Huang,Root location of an entire po1ytope of polynomials: it suffices to check the edges, Mathematics of Controls, Signals and Systems, Vol.1, pp.61-71, 1988.
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
  特許文献１に開示される方法では、上記○ステップ３において、各区分境界の端点を対象として、その点を零点とする多項式であって、与えられた実区間多項式Ｆ（ｘ）に属するものが存在するか否かを判定しなければならなかった。そのため、区分境界の数が多い場合には判定効率が悪くなるという問題があった。
【０００９】
  そこで、本発明は、各区分境界の端点を零点とする多項式が一変数実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在するか否かを判定することなく、一変数実区間多項式Ｆ（ｘ）が、境界が有理関数で記述されているような複素領域において零点を有するか否かを判定する一変数実区間多項式の零点の位置判定装置、位置判定方法、位置判定プログラムおよび記録媒体を提供することを目的とする。」
　
「【発明の効果】
【００１６】
  本発明によれば、各区分境界の端点を零点とする多項式が一変数実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在するか否かを判定する従来の方法に対して、複素領域の境界上の任意の１点を零点に有する多項式が一変数実区間多項式に存在するか否かを判定するだけなので、区分境界が複数ある場合に効率良く、一変数実区間多項式の零点位置判定を行うことができる。」
　
「【００４８】
  以上から、上記＜ステップ２＞において代表多項式ｆ（ｘ）が領域Ｄ（境界Ｃ上および境界Ｃで囲まれた内部）に零点を持たないことが判明した場合、「領域Ｄに零点を持つ多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）が存在する」ことと、「高々２つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、その零点が領域Ｄの境界Ｃ上にあるものが存在する」ことが同値であることがわかる。」
　
「【００５４】
  以上を整理すると、
[ａ]高々１つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式(エッジ多項式)ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、その零点が区分境界Ｃｐ上にあるものが存在する、
[ｂ]高々２つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、区分境界Ｃｐの端点を零点とするものが存在する、
としたとき、「［ａ］あるいは［ｂ］が成り立つ」ことと、「高々２つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、その零点が区分境界Ｃｐ上にあるものが存在すること」とは同値である。
【００５５】
  従って、各区分境界について［ａ］あるいは［ｂ］が成立するか否かを調べればよい〔正確には、全ての区分境界について調べるのではなく、区分境界を順番に調べていって、ある区分境界について［ａ］または［ｂ］が成立すると判明した時点で、「領域Ｄに零点を持つ多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）が存在する」ことが判明したことになるので、零点位置判定処理を終了できる。〕。
【００５６】
  ここで本発明は、従来技術（特許文献１）と異なり、上記［ｂ］については各区分境界について調べることなく、領域Ｄの境界Ｃ上の任意の１点を選択して、この１点を零点とする多項式が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在するか否かを調べればよいことを特徴とする。そこで、このことについて説明を行う。
【００５７】
《ステップ３の詳細》
  まず、領域Ｄの境界Ｃ上の任意の１点ｃを選択する。もし点ｃを零点とする多項式が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在するならば、「領域Ｄに零点を持つ多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）が存在する」ことが判明したのと同じなので、零点位置判定処理を終了できる。
【００５８】
  点ｃを零点とする多項式が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在しない場合、もし、境界Ｃ上に零点を持つ多項式が存在するならば、その中で、
「高々１つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式(エッジ多項式)」・・・（＊）
が存在することが言える。この理由を以下に説明する。」
　
「【００６５】
  結局、以上から、点ｃを零点とする多項式が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在しない場合、境界Ｃ上に零点を持つ多項式が存在するとしたとき、境界Ｃ上の点ｄを零点とする条件（＊）を満たさない多項式ｆ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）に対して、多項式ｆ（ｘ）の係数のうち区間数の端点とならないものの個数が多項式ｆ（ｘ）の場合よりも１つ小さい多項式であって、領域Ｄの境界Ｃ上に零点を持つ多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）が存在することが言えた。以上のような操作を（区間数の端点に固定されていない係数が３つ以上ある場合に）必要に応じて繰り返せば、条件（＊）を満たす多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）で、領域Ｄの境界Ｃ上に零点を持つものが存在することが言える。つまり、点ｃを零点とする多項式が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在しない場合には、[ａ]が成立するか否かの判定に帰着できる。」
　
「【００７４】
  さて、以上から、上記［ｂ］については各区分境界について調べることなく、領域Ｄの境界Ｃ上の任意の１点（上記点ｃに相当する。）を選択して、この１点を零点とする多項式が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在するか否かを調べればよい。…（後略）…」
　
　上記で示した明細書等における記載のうち、【００４８】における記載「代表多項式ｆ（ｘ）が領域Ｄ（境界Ｃ上および境界Ｃで囲まれた内部）に零点を持たないことが判明した場合、「領域Ｄに零点を持つ多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）が存在する」ことと、「高々２つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、その零点が領域Ｄの境界Ｃ上にあるものが存在する」ことが同値である」は、
（甲）「代表多項式ｆ（ｘ）が領域Ｄ（境界Ｃも含む。）に零点を持たず、かつ、領域Ｄに零点をもつ多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）（Ｆ（ｘ）は実区間多項式）が存在すること」と、
（乙）「代表多項式ｆ（ｘ）が領域Ｄ（境界Ｃも含む。）に零点を持たず、かつ、高々２つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、その零点が領域Ｄの境界Ｃ上にあるものが存在すること」、が
数学的に同値であることを示している。
　上記で示した明細書等における記載のうち、【００５４】における記載「[ａ]高々１つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式(エッジ多項式)ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、その零点が区分境界Ｃｐ上にあるものが存在する、…（改行）…[ｂ]高々２つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、区分境界Ｃｐの端点を零点とするものが存在する、…（改行）…としたとき、「［ａ］あるいは［ｂ］が成り立つ」ことと、「高々２つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、その零点が区分境界Ｃｐ上にあるものが存在すること」とは同値である。」は、
（丙）「高々２つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）（Ｆ（ｘ）は実区間多項式）であって、その零点が区分境界Ｃｐ上にあるものが存在すること」と、
（丁）「以下の[ａ]または[ｂ]が成り立つこと。
　[ａ]高々１つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式(エッジ多項式)ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、その零点が区分境界Ｃｐ上にあるものが存在すること。
　[ｂ]高々２つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、区分境界Ｃｐの端点を零点とするものが存在すること。」が
数学的に同値であることを示している。
　上記で示した明細書等における記載のうち、【００５７】〜【００５８】における記載「領域Ｄの境界Ｃ上の任意の１点ｃを選択する。…（中略）…点ｃを零点とする多項式が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在しない場合、もし、境界Ｃ上に零点を持つ多項式が存在するならば、その中で、…（改行）…「高々１つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式(エッジ多項式)」・・・（＊）…（改行）…が存在することが言える。」は、
（戊）「領域Ｄの境界Ｃ上の任意の１点ｃを零点とする多項式が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在せず、かつ、領域Ｄの境界Ｃ上に零点を持つ多項式が存在すること。」と、
（己）「領域Ｄの境界Ｃ上の任意の１点ｃを零点とする多項式が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在せず、かつ、領域Ｄの境界Ｃ上に零点を持つ高々１つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式(エッジ多項式)が存在すること。」が
数学的に同値であることを示している。
　（甲）と（乙）の数学的同値性、（丙）と（丁）の数学的同値性、（戊）と（己）の数学的同値性により、明細書等においては結局のところ、
（庚）「領域Ｄ（境界Ｃも含む。）に零点を持つ多項式ｆ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）（Ｆ（ｘ）は実区間多項式）が存在すること。」と、
（辛）「実区間多項式Ｆ（ｘ）に含まれる任意の一つの多項式（代表多項式）が領域Ｄ（境界Ｃも含む。）に零点を持つこと、
　　または、
　代表多項式が領域Ｄ（境界Ｃも含む。）に零点を持たず、かつ、領域Ｄの境界Ｃ上の任意の１点ｃを零点とする、実区間多項式Ｆ（ｘ）に含まれる多項式が存在すること、
　　または、
　代表多項式が領域Ｄ（境界Ｃも含む。）に零点を持たず、かつ、領域Ｄの境界Ｃ上の任意の１点ｃを零点とする、実区間多項式Ｆ（ｘ）に含まれる多項式が存在せず、かつ、[ａ]高々１つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式(エッジ多項式)ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、その零点が各区分境界Ｃｐ上に（つまりは、境界Ｃ上に）あるものが存在すること。」が
数学的に同値であることを示している。
　つまり、明細書等においては、数学的な命題が相互に同値であることを数段階にわたって検討して証明することにより、（庚）と（辛）が数学的に同値であることを示している。このような（庚）と（辛）が数学的に同値であることは、まさに数学上の定理に相当するものである（以下、この（庚）と（辛）が数学的に同値であることを「第１の数学上の定理」という。）。
　
　そして、上記で示した明細書等の記載のうち、【０００３】における記載「実区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式が与えられた複素領域Ｄ（この境界Ｃを含む。）に零点を持つか否かを判定する方法として、特許文献１に開示される方法がある。」、【０００６】における記載「特許文献１に開示される方法（零点位置判定処理）のアルゴリズムは、図２３を参照して説明すると、以下のとおりである。…（中略）…○ステップ３：区分境界Ｃｐの端点を零点とする多項式が実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在するか否かを判定する（Ｓ９０３）。もし、このような多項式が存在すれば、（☆）について「存在する」と云えて零点位置判定処理を終了する（Ｓ９０８）。もし、このような多項式が存在しなければ、次のステップを処理する。…（後略）…」、【０００８】における記載「特許文献１に開示される方法では、上記○ステップ３において、各区分境界の端点を対象として、その点を零点とする多項式であって、与えられた実区間多項式Ｆ（ｘ）に属するものが存在するか否かを判定しなければならなかった。そのため、区分境界の数が多い場合には判定効率が悪くなるという問題があった。」、【０００９】における記載「そこで、本発明は、各区分境界の端点を零点とする多項式が一変数実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在するか否かを判定することなく、一変数実区間多項式Ｆ（ｘ）が、境界が有理関数で記述されているような複素領域において零点を有するか否かを判定する一変数実区間多項式の零点の位置判定装置、位置判定方法、位置判定プログラムおよび記録媒体を提供することを目的とする。」、【００１６】における記載「本発明によれば、各区分境界の端点を零点とする多項式が一変数実区間多項式Ｆ（ｘ）に存在するか否かを判定する従来の方法に対して、複素領域の境界上の任意の１点を零点に有する多項式が一変数実区間多項式に存在するか否かを判定するだけなので、区分境界が複数ある場合に効率良く、一変数実区間多項式の零点位置判定を行うことができる。」を考慮すると、本願発明に対する従来例としての「特許文献１」である特開２００５−２３５１２１号公報においては、上記した（庚）の数学的命題が成立するか否かを判定する、という数学的課題のために、上記した（丁）の[ｂ]にあたる数学的命題（本願における【図２３】のステップ３（Ｓ９０３））が成立するか否かを判定するものであるところ、本願明細書等においては、上記した（庚）の数学的命題が成立するか否かを判定する、という数学的課題のために、上記した（庚）と（辛）が数学的に同値であることを示す前記第１の数学上の定理を見いだすことにより、上記した（丁）の[ｂ]の判定を排除したものである。
　
　さらに、本願の願書に最初に添付した明細書、特許請求の範囲又は図面には、【００７５】〜【００８４】において、前記第１の数学上の定理の（辛）のなかの「領域Ｄの境界Ｃ上の任意の１点ｃを零点とする、実区間多項式Ｆ（ｘ）に含まれる多項式が存在」するか否かを判定することと、当該【００７５】〜【００８４】で導き出される命題が同値であるという、数学上の定理が示されている（以下、当該数学上の定理を「第２の数学上の定理」という。）。
　加えて、本願の願書に最初に添付した明細書、特許請求の範囲又は図面には、【００８６】〜【００９０】において、前記第１の数学上の定理の（辛）のなかの「[ａ]高々１つの係数を除き係数が区間数の端点となっている多項式(エッジ多項式)ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、その零点が各区分境界Ｃｐ上に（つまりは、境界Ｃ上に）あるものが存在」するか否かを判定することと、当該【００８６】〜【００９０】で導き出される命題が同値であるという、数学上の定理が示されている（以下、当該数学上の定理を「第３の数学上の定理」という。）。
　
　そして、本願発明に対応する本願の請求項４には、「区間数が実数の閉区間で表される一変数実区間多項式」が「有界な複素領域の境界（ただし、当該境界は長さが有限な単純閉曲線であるとする）を構成するｎ個の区分境界Ｃp（ｎ≧１、ｐ＝１，２，・・・，ｎ、ただし、各区分境界Ｃpは、パラメータｓ∈Ｓpによってφp(ｓ)＋ｉ・ψp(ｓ)と表示される。ｉは虚数単位であり、φp(ｓ)、ψp(ｓ)は有理式である）」で示される複素領域において零点を有するか否かという数学的課題に対して、
「一変数実区間多項式の各区間数から一つずつ任意に値を選択することにより、当該一変数実区間多項式に属する多項式のうち１つ（以下、代表多項式という）を選択」し、「選択した代表多項式が」「前記境界上に零点を有するか否かを判定し、前記代表多項式が前記境界上に零点を有すると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記代表多項式が前記境界上に零点を有しないと判定した場合には」「選択した代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有するか否かを判定し、前記代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有すると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有さないと判定した場合には」「前記一変数実区間多項式の各区間数を閉区間の両端点ｍj，ｕjおよび前記ｍjとｕjの内分比を表すパラメータｔj（０≦ｊ≦ｄ、ｄは前記一変数実区間多項式の最高次数）とを用いた｛（ｕj−ｍj）ｔj＋ｍj｝で表し、前記境界上の任意の１点α（以下、対象点という）を前記一変数実区間多項式の変数に代入した多項式について、各ｊ＝０、・・・、ｄについて（ｕj−ｍj）αjの実部が負であるかを判定し、（ｕj−ｍj）αjの実部が負であると判定した場合には（ｕj−ｍj）αjｔjを（ｕj−ｍj）αj（１−ｔj）と書き換え、（ｕj−ｍj）αjの実部が負でないと判定した場合には（ｕj−ｍj）αjの実部が０かつ虚部が負であるかを判定し、実部が０かつ虚部が負であると判定した場合には（ｕj−ｍj）αjｔjを（ｕj−ｍj）αj（１−ｔj）と書き換え、前記パラメータｔjを含む項（以下、パラメータ項という）と前記パラメータｔjを含まない項（以下、非パラメータ項という）に分け、前記非パラメータ項の和で定まる点が負であるか否かを判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点が負であると判定した場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点が負でないと判定した場合には、前記非パラメータ項の和で定まる点の実部が０かつ虚部が負であるかを判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点の実部が０かつ虚部が負であると判定した場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点の実部が０かつ虚部が負でない場合には、前記パラメータ項の各項ｔjに対応する係数を複素平面上の偏角の小さいほうから大きい方へ順番にソートして、このソートの結果をｖ1，・・・，ｖn（ｎ≦ｄ＋１）とし、複素平面の原点０から始めて時計回り（当審注：明細書の【００８４】の記載を考慮すれば、この「時計回り」という記載は誤記であり、正しくは「反時計回り」である。）に、０，ｖ1，ｖ1＋ｖ2，・・・，ｖ1＋・・・＋ｖn，ｖ2＋ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖn-1＋ｖnの２ｎ個の点（当審注：明細書の【００８４】の記載を考慮すれば、この「０，ｖ1，ｖ1＋ｖ2，・・・，ｖ1＋・・・＋ｖn，ｖ2＋ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖn-1＋ｖnの２ｎ個の点」という記載は誤記であり、正しくは「０，ｖ1，ｖ1＋ｖ2，・・・，ｖ1＋・・・＋ｖn，ｖ2＋ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖn-1＋ｖn，ｖnの２ｎ個の点」で���る。）を頂点とする複素平面上の凸包に前記非パラメータ項の和で定まる点が入るか否かを判定し、前記凸包に前記非パラメータ項の和で定まる点が入ると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記凸包に前記非パラメータ項の和で定まる点が入らないと判定した場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し、前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数多項式に存在しないと判定した場合に」
「［ステップ１］前記区分境界の中から１つの区分境界Ｃpを選択し、
　［ステップ２］前記一変数実区間多項式のｋ番目（０≦ｋ≦ｄ）の係数ｔを除き係数が区間数の端点となっている多項式（以下、エッジ多項式という）の中から１つのエッジ多項式を選択し、
　［ステップ３］前記係数ｔが前記一変数実区間多項式における定数項以外の項の区間数の端点に固定されていない係数である場合、
前記ステップ２で選択したエッジ多項式の変数に前記ステップ１で選択した区分境界Ｃpを代入し、その実部ｕ（ｓ，ｔ）と虚部ｖ（ｓ，ｔ）の連立方程式ｕ（ｓ，ｔ）＝ｖ（ｓ，ｔ）＝０の解ｔ＝ｈ1（ｓ）＝ｈ2（ｓ）を計算し（ただし、ｈ1（ｓ）とｈ2（ｓ）は有理式である）、ｈ1（ｓ）−ｈ2（ｓ）を既約な有理式として表したときの分子である多項式Ｐ（ｓ）を計算し、前記ｈ1（ｓ）とｈ2（ｓ）のいずれか一方を選択してＨ（ｓ）とし、
　［ステップ４］前記係数ｔが前記一変数実区間多項式における定数項の区間数の端点に固定されていない係数である場合、
前記ステップ２で選択したエッジ多項式の変数に前記ステップ１で選択した区分境界Ｃpを代入し、その実部ｕ（ｓ，ｔ）と虚部ｖ（ｓ，ｔ）について、前記ｖ（ｓ，ｔ）を既約な有理式で表したときの分子Ｐ（ｓ）を計算し、前記ｕ（ｓ，ｔ）＝０をｔについて解いた有理式Ｈ（ｓ）を計算し、
　［ステップ５］前記ｋ番目の項の区間数の端点ｍおよびｕについて、既約な有理式Ｈ（ｓ）−ｍの分子である多項式と前記Ｐ（ｓ）との最大公約多項式Ｇm（ｓ）および、既約な有理式Ｈ（ｓ）−ｕの分子である多項式と前記Ｐ（ｓ）との最大公約多項式Ｇu（ｓ）を計算し、
　［ステップ６］前記Ｇm（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属するかを判定し、前記Ｇm（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属すると判定した場合には前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ７］前記Ｇm（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属さないと判定した場合には、Ｇu（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属するかを判定し、前記Ｇu（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属すると判定した場合には前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ８］前記Ｇu（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属さないと判定した場合には、前記Ｐ（ｓ）／（Ｇm（ｓ）Ｇu（ｓ））＝０の根ξが、当該パラメータｓの範囲Ｓpに属し、かつ、係数ｔが属する区間数の端点ｍ、ｕに対してｍ＜Ｈ（ξ）＜ｕを満たすかを判定し、前記Ｐ（ｓ）／（Ｇm（ｓ）Ｇu（ｓ））＝０の根ξが、当該パラメータｓの範囲Ｓpに属し、かつ、係数ｔが属する区間数の端点ｍ、ｕに対してｍ＜Ｈ（ξ）＜ｕを満たすと判定した場合には、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ９］前記Ｐ（ｓ）／（Ｇm（ｓ）Ｇu（ｓ））＝０の根ξが、当該パラメータｓの範囲Ｓpに属さない、または、係数ｔが属する区間数の端点ｍ、ｕに対してｍ＜Ｈ（ξ）＜ｕを満たさないと判定した場合には、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定されるまで、ステップ１０を実行させ、
　［ステップ１０］まだ前記ステップ１から前記ステップ９を実行していない全ての区分境界Ｃpとｋとエッジ多項式の組み合わせについて前記ステップ１から前記ステップ９を繰り返し実行させ、
　［ステップ１１］前記ステップ１から前記ステップ９において、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、全ての前記組み合わせについて前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在しない場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有しないと判定する」という前記した第１の数学上の定理、第２の数学上の定理及び第３の数学上の定理に基づいた数学的な計算手順（アルゴリズム）による数学的解法が示されている。
（なお、本願発明に対応する本願の請求項４の記載のうち、
「一変数実区間多項式の各区間数から一つずつ任意に値を選択することにより、当該一変数実区間多項式に属する多項式のうち１つ（以下、代表多項式という）を選択」し、「選択した代表多項式が」「前記境界上に零点を有するか否かを判定し、前記代表多項式が前記境界上に零点を有すると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記代表多項式が前記境界上に零点を有しないと判定した場合には」「選択した代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有するか否かを判定し、前記代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有すると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記代表多項式が前記複素領域の内部に零点を有さないと判定した場合には」「…（前略）…前記境界上の任意の１点α（以下、対象点という）を前記一変数実区間多項式の変数に代入した多項式について、…（中略）…場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し、…（中略）…場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し、…（中略）…場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、…（中略）…場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し、前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数多項式に存在しないと判定した場合に」
「［ステップ１］前記区分境界の中から１つの区分境界Ｃpを選択し、
　［ステップ２］前記一変数実区間多項式のｋ番目（０≦ｋ≦ｄ）の係数ｔを除き係数が区間数の端点となっている多項式（以下、エッジ多項式という）の中から１つのエッジ多項式を選択し、
…（中略）…
　［ステップ６］…（中略）…場合には前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ７］…（中略）…場合には前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ８］…（中略）…場合には、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ９］…（中略）…場合には、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定されるまで、ステップ１０を実行させ、
　［ステップ１０］まだ前記ステップ１から前記ステップ９を実行していない全ての区分境界Ｃpとｋとエッジ多項式の組み合わせについて前記ステップ１から前記ステップ９を繰り返し実行させ、
　［ステップ１１］前記ステップ１から前記ステップ９において、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、全ての前記組み合わせについて前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在しない場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有しないと判定する」
の部分が前記第１の数学上の定理に基づくものであり、
「前記一変数実区間多項式の各区間数を閉区間の両端点ｍj，ｕjおよび前記ｍjとｕjの内分比を表すパラメータｔj（０≦ｊ≦ｄ、ｄは前記一変数実区間多項式の最高次数）とを用いた｛（ｕj−ｍj）ｔj＋ｍj｝で表し、前記境界上の任意の１点α（以下、対象点という）を前記一変数実区間多項式の変数に代入した多項式について、各ｊ＝０、・・・、ｄについて（ｕj−ｍj）αjの実部が負であるかを判定し、（ｕj−ｍj）αjの実部が負であると判定した場合には（ｕj−ｍj）αjｔjを（ｕj−ｍj）αj（１−ｔj）と書き換え、（ｕj−ｍj）αjの実部が負でないと判定した場合には（ｕj−ｍj）αjの実部が０かつ虚部が負であるかを判定し、実部が０かつ虚部が負であると判定した場合には（ｕj−ｍj）αjｔjを（ｕj−ｍj）αj（１−ｔj）と書き換え、前記パラメータｔjを含む項（以下、パラメータ項という）と前記パラメータｔjを含まない項（以下、非パラメータ項という）に分け、前記非パラメータ項の和で定まる点が負であるか否かを判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点が負であると判定した場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点が負でないと判定した場合には、前記非パラメータ項の和で定まる点の実部が０かつ虚部が負であるかを判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点の実部が０かつ虚部が負であると判定した場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し、前記非パラメータ項の和で定まる点の実部が０かつ虚部が負でない場合には、前記パラメータ項の各項ｔjに対応する係数を複素平面上の偏角の小さいほうから大きい方へ順番にソートして、このソートの結果をｖ1，・・・，ｖn（ｎ≦ｄ＋１）とし、複素平面の原点０から始めて時計回り（当審注：明細書の【００８４】の記載を考慮すれば、この「時計回り」という記載は誤記であり、正しくは「反時計回り」である。）に、０，ｖ1，ｖ1＋ｖ2，・・・，ｖ1＋・・・＋ｖn，ｖ2＋ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖn-1＋ｖnの２ｎ個の点（当審注：明細書の【００８４】の記載を考慮すれば、この「０，ｖ1，ｖ1＋ｖ2，・・・，ｖ1＋・・・＋ｖn，ｖ2＋ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖn-1＋ｖnの２ｎ個の点」という記載は誤記であり、正しくは「０，ｖ1，ｖ1＋ｖ2，・・・，ｖ1＋・・・＋ｖn，ｖ2＋ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖ3＋・・・＋ｖn，ｖn-1＋ｖn，ｖnの２ｎ個の点」である。）を頂点とする複素平面上の凸包に前記非パラメータ項の和で定まる点が入るか否かを判定し、前記凸包に前記非パラメータ項の和で定まる点が入ると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、前記凸包に前記非パラメータ項の和で定まる点が入らないと判定した場合には前記対象点αを零点とする多項式が前記一変数実区間多項式に存在しないと判定し」
の部分が前記第２の数学上の定理に基づくものであり、
「［ステップ１］前記区分境界の中から１つの区分境界Ｃpを選択し、
　［ステップ２］前記一変数実区間多項式のｋ番目（０≦ｋ≦ｄ）の係数ｔを除き係数が区間数の端点となっている多項式（以下、エッジ多項式という）の中から１つのエッジ多項式を選択し、
　［ステップ３］前記係数ｔが前記一変数実区間多項式における定数項以外の項の区間数の端点に固定されていない係数である場合、
前記ステップ２で選択したエッジ多項式の変数に前記ステップ１で選択した区分境界Ｃpを代入し、その実部ｕ（ｓ，ｔ）と虚部ｖ（ｓ，ｔ）の連立方程式ｕ（ｓ，ｔ）＝ｖ（ｓ，ｔ）＝０の解ｔ＝ｈ1（ｓ）＝ｈ2（ｓ）を計算し（ただし、ｈ1（ｓ）とｈ2（ｓ）は有理式である）、ｈ1（ｓ）−ｈ2（ｓ）を既約な有理式として表したときの分子である多項式Ｐ（ｓ）を計算し、前記ｈ1（ｓ）とｈ2（ｓ）のいずれか一方を選択してＨ（ｓ）とし、
　［ステップ４］前記係数ｔが前記一変数実区間多項式における定数項の区間数の端点に固定されていない係数である場合、
前記ステップ２で選択したエッジ多項式の変数に前記ステップ１で選択した区分境界Ｃpを代入し、その実部ｕ（ｓ，ｔ）と虚部ｖ（ｓ，ｔ）について、前記ｖ（ｓ，ｔ）を既約な有理式で表したときの分子Ｐ（ｓ）を計算し、前記ｕ（ｓ，ｔ）＝０をｔについて解いた有理式Ｈ（ｓ）を計算し、
　［ステップ５］前記ｋ番目の項の区間数の端点ｍおよびｕについて、既約な有理式Ｈ（ｓ）−ｍの分子である多項式と前記Ｐ（ｓ）との最大公約多項式Ｇm（ｓ）および、既約な有理式Ｈ（ｓ）−ｕの分子である多項式と前記Ｐ（ｓ）との最大公約多項式Ｇu（ｓ）を計算し、
　［ステップ６］前記Ｇm（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属するかを判定し、前記Ｇm（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属すると判定した場合には前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ７］前記Ｇm（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属さないと判定した場合には、Ｇu（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属するかを判定し、前記Ｇu（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属すると判定した場合には前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ８］前記Ｇu（ｓ）＝０の根が当該パラメータｓの範囲Ｓpに属さないと判定した場合には、前記Ｐ（ｓ）／（Ｇm（ｓ）Ｇu（ｓ））＝０の根ξが、当該パラメータｓの範囲Ｓpに属し、かつ、係数ｔが属する区間数の端点ｍ、ｕに対してｍ＜Ｈ（ξ）＜ｕを満たすかを判定し、前記Ｐ（ｓ）／（Ｇm（ｓ）Ｇu（ｓ））＝０の根ξが、当該パラメータｓの範囲Ｓpに属し、かつ、係数ｔが属する区間数の端点ｍ、ｕに対してｍ＜Ｈ（ξ）＜ｕを満たすと判定した場合には、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定し、
　［ステップ９］前記Ｐ（ｓ）／（Ｇm（ｓ）Ｇu（ｓ））＝０の根ξが、当該パラメータｓの範囲Ｓpに属さない、または、係数ｔが属する区間数の端点ｍ、ｕに対してｍ＜Ｈ（ξ）＜ｕを満たさないと判定した場合には、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定されるまで、ステップ１０を実行させ、
　［ステップ１０］まだ前記ステップ１から前記ステップ９を実行していない全ての区分境界Ｃpとｋとエッジ多項式の組み合わせについて前記ステップ１から前記ステップ９を繰り返し実行させ、
　［ステップ１１］前記ステップ１から前記ステップ９において、前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在すると判定した場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有すると判定し、全ての前記組み合わせについて前記境界上に零点を有するエッジ多項式が存在しない場合には前記一変数実区間多項式が前記複素領域に零点を有しないと判定する」
の部分が前記第３の数学上の定理に基づくものである。）
　
　上記した第１の数学上の定理、第２の数学上の定理及び第３の数学上の定理に基づいた数学的な計算手順（アルゴリズム）そのものは、何ら自然法則を利用するものではないから、これを特許法第２条第１項で定義される「発明」ということはできないことは明らかである。
　そして、本願発明に対応する本願の請求項４の記載は、コンピュータにより、数学的課題を特定するための「実区間多項式」と「複素領域の境界」「を構成するｎ個の区分境界Ｃｐ」を記憶し、前記した第１の数学上の定理、第２の数学上の定理、及び、第３の数学上の定理に基づいた数学的な計算手順（アルゴリズム）による数学的解法を実現することを示す程度のものであり、言わば、コンピュータを道具として用いて、与えられた「実区間多項式」が与えられた「複素領域」において零点を有するか否かという数学的課題に対して、前記第１の数学上の定理、第２の数学上の定理及び第３の数学上の定理に基づいた、数学的な計算手順（アルゴリズム）による計算を実現することを意味する程度のものである。このような、コンピュータを道具として用いて上記した数学的な計算手順（アルゴリズム）による計算を実現することにより、自然法則を利用した技術的思想が付加されるものではない。
　そうすると、本願発明はコンピュータに新たな創作を付加するものではなく、その実質は数学的なアルゴリズムそのものというほかないから、これをもって、特許法第２条第１項で定義される「発明」に該当するということはできない。
　
　このように、本願発明は特許法第２条第１項で規定される「発明」ではない。よって、本願は同法第２９条第１項柱書に規定される要件を満たしていない。
　
第４．むすび
　したがって、本願の請求項４に係る発明は特許法第２条第１項で定義される「発明」ではないから、本願は同法第２９条第１項柱書に規定される要件を満たすものではなく、特許を受けることができない。
　
　よって、結論のとおり審決する。