(57)【要約】  一態様に係る受信方法は、信号を受信する受信方法であって、余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定ステップを含んでいる。
2019142372.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
信号を受信する受信方法であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定ステップを含んでいる
ことを特徴とする受信方法。
【請求項２】
上記余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間は、
時間を示す第１の軸及び周波数を示す第２の軸によって張られる平面を、時間及び周波数シフトを示す第３の軸によって３次元化して得られる空間である
ことを特徴とする請求項１に記載の受信方法。
【請求項３】
上記推定ステップは、
時間シフトの推定値、周波数シフト、及び、推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第一のシフト演算子
【数１】
2019142372.tif 000952
と、
時間シフト、周波数シフトの推定値、及び、推定周波数シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第二のシフト演算子
【数２】
2019142372.tif 000953
と、
推定対象の時間シフト及び推定対象の周波数シフトの観測値、及び推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第三のシフト演算子
【数３】
2019142372.tif 000954
又はその周波数双対
【数４】
2019142372.tif 000955
と、
時間シフト、及び周波数シフトの推定値、及び推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第四のシフト演算子（
【数５】
2019142372.tif 000956
又はその周波数双対
【数６】
2019142372.tif 000957
）とを用いて、上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定することを特徴とする請求項１又は２に記載の受信方法。
【請求項４】
上記推定ステップでは、
上記第１のシフト演算子、第３のシフト演算子、及び第４のシフト演算子を用いて表される第１の相関関数、
及び、
上記第２のシフト演算子、第３のシフト演算子、及び第４のシフト演算子を用いて表される第２の相関関数
を参照して上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定することを特徴とする請求項３に記載の受信方法。
【請求項５】
上記第１の相関関数、及び第２の相関関数は、
変調周波数fcの変調及び復調における、時間シフトtdに伴う非可換演算による位相歪
【数７】
2019142372.tif 000958
又はその離散版
【数８】
2019142372.tif 000959
及び、
伝送時の位相歪eiκを含んでいる
ことを特徴とする請求項４に記載の受信方法。
【請求項６】
上記推定ステップには、
上記第１の相関関数を参照して、周波数シフトの推定値を更新する工程と、上記第２の相関関数を参照して、時間シフトの推定値を更新する工程とを交互に繰り返す交互更新ステップが含まれていることを特徴とする請求項４又は５に記載の受信方法。
【請求項７】
上記推定ステップでは、
Ｎ'個のTD-template信号検出の尤度関数による周波数シフト最尤推定と、
N個のFD-template信号検出の尤度関数による時間シフト最尤推定と
に基づいて、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定することを特徴とする請求項１から６の何れか１項に記載の送信方法。
【請求項８】
信号を受信する受信装置であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定部を含んでいる
ことを特徴とする受信装置。
【請求項９】
信号を送信する送信方法であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでいる
ことを特徴とする送信方法。
【請求項１０】
上記シフトステップでは、
時間パルス波形を周期Ｎの時間位相符号変調し、
上記時間位相符号変調した時間パルス波形を、更に、周期Ｎ'の周波数領域位相符号変調によりマルチキャリア化する
ことによって送信信号を生成する
ことを特徴とする請求項９に記載の送信方法。
【請求項１１】
信号を送信する送信装置であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフト部を含んでいる
ことを特徴とする送信装置。
【請求項１２】
送信装置と受信装置とを含む送受信システムであって、
上記送信装置は、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフト部を含んでおり、
上記受信装置は、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定部を含んでいる
ことを特徴とする送受信システム。
【請求項１３】
画像信号を受信する受信方法であって、
受信した画像信号が示す空間シフト及び空間周波数シフトを、パラメタ空間を参照して推定する推定ステップを含んでおり、
上記空間シフト及び空間周波数シフトのそれぞれは、２以上の次元を有している
ことを特徴とする受信方法。
【請求項１４】
上記推定ステップでは、
２次元の対称な空間シフト及び空間周波数シフト演算子
【数９】
2019142372.tif 000960
及び
【数１０】
2019142372.tif 000961
を参照して、空間シフト及び空間周波数シフトを推定する
ことを特徴とする請求項１３に記載の受信方法。
【請求項１５】
画像信号を送信する送信方法であって、
パラメタ空間を参照して、送信対象の画像信号の空間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでおり、
上記空間のシフト及び上記周波数のシフトのそれぞれは、２以上の次元を有している
ことを特徴とする送信方法。
【請求項１６】
上記シフトステップでは、
２次元の対称な空間シフト及び空間周波数シフト演算子
【数１１】
2019142372.tif 000962
及び、その周波数双対
【数１２】
2019142372.tif 000963
を参照して、空間及び周波数をシフトする
ことを特徴とする請求項１５に記載の受信方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、受信方法、受信装置、送信方法、送信装置、送受信システムに関する。
【背景技術】
【０００２】
通信システムの技術及びそれに関連する技術に関してすでに多くの研究や開発がなされているが、発明者らは、時間分割方式及び周波数分割方式等を用いた送受信システムの研究及び開発を行ってきた（例えば、特許文献１〜６、非特許文献１〜３２を参照）。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】日本国公開特許公報「特開2016-189500号」
【特許文献２】国際公開特許公報「WO2012/153732 A1」
【特許文献３】国際公開特許公報「WO2014/034664 A1」
【特許文献４】国際公開特許公報「WO2013/183722 A1」
【特許文献５】日本国公開特許公報「特開2016-189501号」
【特許文献６】日本国公開特許公報「特開2016-189502号」
【特許文献７】日本国公開特許公報「特開2013-251902号」
【特許文献８】日本国公開特許公報「特開2012-170083号」
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】D. Gabor, ”Theory of Communication”, in Proc. Inst. Elect. Engr,, pt.III, 93, 429-41, 1946
【非特許文献２】D.Gabor, ”Lectures on communication theory”, in Technical Report.,No., 238. Research Laboratoty of Electronics, Massachusettes Institute of technology Cambribge, 1-48, 1952.
【非特許文献３】L.W.Couch,II,Digital and Analog Communication Systems, 8th Ed.,”Pearson, 2013.
【非特許文献４】G.B.Folland,Harmonic Analysis in Phase Space, Annals of Mathematics Studies Princeton Univ. Press, 1989.
【非特許文献５】Howe,R. On the role of the Heisenberg groups in harmonic analysis,”Bulltein of the American Mathematical Society, 3-2,821-840(1980)
【非特許文献６】Rosenberg,J. A selective history of the Stone-von Neumann theorem, Contemporary Mathematics, 365. American Mathematical Society(2004)
【非特許文献７】I.Daubechies, Time-frequency localization operators: a geometric phase space approach,”IEEE Trans.Information Theory,34- 4,605-612,1988.
【非特許文献８】I.Daubechies, The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis,”IEEE Trans.Information Theory, 36-5,961-1005,1990.
【非特許文献９】B.Le.Floch,M.Alard & C.Berrou, “coded OFDM: Coded Orthgonal Frequency Division Multiplex,”Proc.of IEEE,83-6,982-996, 1995.
【非特許文献１０】P.Siohan,C.Sciclet,& N.Lacaille, “OFDM/OQAM: Analysis and Design of OFDM/ OQAM Systems, based on Filterbank Theory,”IEEE,Trans.Sig.50-5,1170-1183,May,2002.
【非特許文献１１】Sciclet,C.,Siohan,P. & Pinchon,D. Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT-based transmultiplexers, EURASIP J. on Applied Signal Processing,2006,Article ID 15756,1-14,2006.
【非特許文献１２】B.F.Boroujeny,“OFDM Versus Filter Bank Multicarrier,”IEEE Signal Processing Magazine, 28-3, 92-112,2011.
【非特許文献１３】P.P.Vaidyanathan, ”Multirate Systems and Filter Banks,” Prentice-Hall, 1993.
【非特許文献１４】J.Ville,”Th´eorie et application de la notion de signal analytique,” C´ables et transmission,no.2,pp.61-74.1948.(J.Ville:”Theory and Applications of the notion of complex signal”, translated from the French by I.Stein,T-92,8-1-58,U.S.Air Force Project Rand, 1958)
【非特許文献１５】P.M.Woodward, Probability and Information Theory, with Applications to Radar, Pergamon Press, New York, 1953.
【非特許文献１６】C.H. Wilcox,”The synthesis problem for radar ambiguity function,”MRC Technical Report, No. 157,pp.1-46.Mathematics Reaearch Center, U.S.Army, Univ. Wisconsin,Madison, 1960.
【非特許文献１７】L.Auslander and R.Tolimieri, “Radar Ambiguity Functions and Group Theory, SIAM J.Math.Anal., 16-3, 577-601, 1985.
【非特許文献１８】C.W.Helstrom,Elements of Signal Detection and Estimation,” PTR Prentice-Hall, 1995.
【非特許文献１９】N.Levanson and E.Mozeson,”Radar Signals,” Wiley interscience, 2004
【非特許文献２０】Sakurai,J.J.Modern quantum mechanics, S.F. Tuan editor, Rev.ed., Addison-Wesley Pub.Comp.1994.
【非特許文献２１】J.von Neumann,The Geometry of Operators, vol.II (Ann.Math.Studies, no.22),1950.
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【非特許文献２３】Stark,H., Cahana, D.& Webb, H. Restoration of arbitrary finiteenergy optical objects from limited spatial and spectral information, J.Opt.Soc.Amer., 71-6,635-642, 1981.
【非特許文献２４】Kohda,T., Jitsumatsu,Y.& Aihara,K. Separability of time-frequency synchronization, Proc.Int.Radar Symp., 964-969,2013.
【非特許文献２５】T. Kohda, Y. Jitsumatsu, and K. Aihara,“Gabor division/spread spectrum system is separable in time and frequency synchronization,”Proc. VTC 2013 Fall, 1-5,2013.
【非特許文献２６】Y. Jitsumatsu, T. Kohda, and K. Aihara, “ Spread Spectrum-based Cooperative and individual time-frequency synchronization, ”Proc.(ISWCS), 1-5,2013.
【非特許文献２７】Jitsumatsu,Y.,Kohda,T.,& Aihara, K. Delay-Doppler space divisionbased multiple-access solves multiple-target detection, Jonnsson,M.,et al,(eds.) MACOM2013, LNCS8310,Springer,39-53,2013.
【非特許文献２８】T. Kohda, Y. Jitsumatsu, and K. Aihara, ”Recovering noncoherent MPSK signal with unknown delay and Doppler using its ambiguity function,”4th International workshop on recent Advanced in BroadbandAccess Network, (RABAN2013), 251-256,2013.
【非特許文献２９】T. Kohda, Y.Jitsumatsu and K.Aihara“ Phase-tuned layers with multiple 2D SS codes realize 16PSK communication,” 2014 2014 IEEE Wireless Commun. Networking Conference, WCNC 2014,469-474 (2014).
【非特許文献３０】Jitsumatsu,Y.& Kohda,T. Digital phase updating loop and delay-Doppler space division multiplexing for higher order MPSK, Jonnsson,M.,et al,(eds.)MACOM2014, LNCS8715,Springer,1-15,2014.
【非特許文献３１】T. Kohda, Y. Jitsumatsu, and K. Aihara, “ Frequency-division spread spectrum makes frequency synchronisation easy,”Proc. IEEE Globecom 2012, 3952-3958, 2012.
【非特許文献３２】T. Kohda, Y. Jitsumatsu, and K. Aihara,“ Frequency synchronisation using SS technique, ”Proc. The ninth Int. Sympo. on Wireless Communication Systems, 855-859, 2012.
【非特許文献３３】J.F.Daughman,“Two-dimensional analysis of cortical receptive field profiles,” Vision Research, 20, 846-856, 1980.
【非特許文献３４】J.F.Daughman,“Image analysis by local 2-D spectral signatures,”J. Opt. Soc. Amer. (A), 2, p. P74, 1985.
【非特許文献３５】J.F.Daughman,“Complete Discrete 2-D Gabor Transform by Neural Networks for Image Analysis and Compression,”IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Processing, 36-7, 1169-1179, 1988.
【非特許文献３６】Movella, Javier R.“Tutorial on Gabor filters”. Archived from on 2009-04-19, Retrieved 2008-05-14.
【非特許文献３７】Hans G. Feichtinger and Thomas Strohmer: Gabor Analysis and Algorithms, Birkhauser, 1998.
【非特許文献３８】Jones, J.P. and Palmer, L.A.“An evaluation of the two-dimensional gabor filter model of simple receptive fields in cat striate cortex”. J. Neurophysiol. 58(6): 1233-1258. 1987
【非特許文献３９】Tai Sing Lee,“Image representation using 2d Gabor wavelets,“IEEE Trans. on pattern analysis and machine intelligence, 18-10, 1-13, 1996.
【非特許文献４０】W.D.Montgomery“Optical applications of von Neumann's alternating projection theorem,”Optics Letters, 7-1, 1-3, 1982.
【非特許文献４１】W.D.Montgomery“Restoration of images processing a finite Fourier series,”Optics Letters, 7-2, 54-56, 1982.
【非特許文献４２】A.V.Oppenheim and J.S.Lim,“Importance of phase in Signals,”1980, Proc of the IEEE, 96-5, 529-541,1981
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
発明者らは、通信技術の理論的側面に関する研究を進めることにより、時間周波数位相空間（Time Frequency Plane、単にTFPとも記載する）上におけるシフト演算子の本質的な非可換性に着目すべきであるとの知見に達した。【０００６】
本発明の一態様は、上記の知見に基づいてなされたものであり、高効率の受信方法、受信装置、送信方法、送信装置、送受信システムを実現することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上記の課題を解決するために、本発明の一態様は、  信号を受信する受信方法であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定ステップを含んでいる。【０００８】
また、上記の課題を解決するために、信号を受信する受信装置であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定部を含んでいる。【０００９】
また、上記の課題を解決するために、本発明の一態様は、信号を送信する送信方法であって、余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでいる。【００１０】
また、上記の課題を解決するために、本発明の一態様は、信号を送信する送信装置であって、余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフト部を含んでいる。【００１１】
また、上記の課題を解決するために、本発明の一態様は、画像信号を受信する受信方法であって、受信した画像信号が示す空間シフト及び空間周波数シフトを、パラメタ空間を参照して推定する推定ステップを含んでおり、上記空間シフト及び空間周波数シフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。【００１２】
また、上記の課題を解決するために、本発明の一態様は、画像信号を送信する送信方法であって、パラメタ空間を参照して、送信対象の画像信号の空間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでおり、上記空間のシフト及び上記周波数のシフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。
【発明の効果】
【００１３】
上記の構成によれば、高効率の受信方法、受信装置、送信方法、送信装置、送受信システムを実現することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１４】
【図１】実施形態に係るTFPにおける三種の分割法を示している。(a)は時間分割（Time Division(TD)）を示しており, (b)は周波数分割（Frequency Division(FD)）を示しており、(c)は、ガボール分割（Gabor Division(GD)）[非特許文献1]を示している。(a)における実線は、情報データの時間幅Tの区切りを示しており、破線はTD-Phase code(PC) による細分割を示している。(b)における太い破線は、情報データの帯域幅Fの区切りを示しており、細い破線はFD-Phase code(PC) による細分割を示している。
【図２】実施形態に係るtime-frequency shift（時間周波数シフト）の非可換性を模式的に示した図である。非可換性は、シフト演算子の積に関する関係式Tτ,0 ・T0,ν = e-i2πτνT0,νTτ,0（左辺は図中の三角印，右辺は図中の方形印に対応）において、位相歪（Phase Distortion(PD)）e-i2πτν として現れる。図中の○印は対称時間周波数演算子（Symmetrical Time-Frequency Shift Operator:TFSO）
【数１】
2019142372.tif 000003
を示している[非特許文献26]。
【図３】（ａ）は実施形態に係るTFP 上に配置したchip levelのGabor 関数、及びそれに関連する情報を示している。特に、(a-0)は、TFP 上に配置したchip level のGabor 関数gmm′(t) とそのフーリエ変換（FT）であるGmm′(f)を示しており、(a-1)は gmm′(t) を(FD-Phase code(FD-PC)) X′m′ で重み加算したTD-template の実部，虚部を示しており、(a-2) はGmm′(f) を(TD-Phase Code(TD-PC))Xm で重み加算したFD-template の実部，虚部を示している。(b)は、TFP上のNN′ 個の相互相関関数Cross Correlation Function(CCF) 及びN′ 個の列和のTD-CCF 値とN 個の行和のFD-CCF 値を示している。(c)は Alternating Projection Theorem:APT に基づく時間制限空間（TL-TD：Time Limited Time Domain），帯域制限空間BL-FD(Band Limited Frequency Domain) の上への直交射影による推定値
【数２】
2019142372.tif 000004
の交互更新過程と収束値td, fDを示している。
【図４】実施形態に係るTD-,FD-PCs Xm,X′m′ 及びm′-番目のTD template
【数３】
2019142372.tif 000005
を有する式(25),(67) のTD signature v[k] を生成するSynthesis Filter Bank(SFB)を示している。
【図５】TD-,FD-PCs Xm,X′m′ 及びm′-番目のTD template
【数４】
2019142372.tif 000006
を有する式(25),(67) のFD signature 
【数５】
2019142372.tif 000007
を生成するSFBを示している。
【図６】実施形態に係る複素数値データ
【数６】
2019142372.tif 000008
を入力信号とする式(27),(71) のTD-Complex Envelope(TD-CE)
【数７】
2019142372.tif 000009
を生成するSFBを示している。
【図７】実施形態に係る複素数値データ
【数８】
2019142372.tif 000010
を入力信号とする式(27),(71) のFD-Complex Envelope(FD-CE)
【数９】
2019142372.tif 000011
を生成するSFBを示している。
【図８】実施形態に係る複素数値データ
【数１０】
2019142372.tif 000012
復号のためのTD 相関器アレイを装備したAnalysis Filter Bank(AFB)を示している。
【図９】実施形態に係る複素数値データ
【数１１】
2019142372.tif 000013
復号のためのFD 相関器アレイを装備したAFBを示している。
【図１０】(a)は実施形態に係るTD 相関器アレイを示しており、(c)は、FD 相関器アレイのAnalysis Filter Bank(AFB) を示しており、(b)は、von Neumann のAPT による両アレイの最尤推定値の交互更新を模式的に示している。
【図１１】実施形態に係るvon Neumann’s Alternative Projection Theoremを模式的に示した図である。図中におけるTL-TD (Time Limited Time Domain)，BL-FD (Band Limited Frequency Domain)は，各々Hilbert 空間の二つの部分空間を示している。また、部分空間TL-TDは、LΔt-（又はTs)-時間制限Time-limited(TL)空間を意味し，部分空間BL-FDは、LΔf-（又はFs)-帯域制限Band-limited:BL空間を意味する。図中において、矢印は各々の部分空間の上への直交射影を表しており、最尤推定値と最尤値の最大値を与えるCCF 番号が検出される。
【図１２】実施形態に係る
【数１２】
2019142372.tif 000014
-PSK通信可能であり高速・高精度測距可能な送信器（符号化器）の構成を示すブロック図である。
【図１３】実施形態に係る
【数１３】
2019142372.tif 000015
-PSK通信可能であり高速・高精度測距可能な受信同期器（復号化器）の構成を示すブロック図である。
【図１４】実施形態に係るMain channel(MC)のdelay τ-Doppler shift ν空間上のCCF実部の大きさの分布例を模式的に示す図である。
【図１５】実施形態に係るACがMain channel(MC)に重畳された場合のτ-ν空間上のCCF実部の大きさの分布例を模式的に示す図である。
【図１６】実施形態に係る余次元２の、非可換性を有するACのシフトのパラメタ空間を利用した信号のTFP分割を示す図である。信号(時間幅Ts,帯域幅Fs)の時間・周波数平面TFP Sの分割（Gabor分割）（S(0),S(1),S(2),S(3)）平面と直交する軸にACの非可換シフトの量
【数１４】
2019142372.tif 000016
を示す目盛り、及びTFP分割と対応の２次元PC符号
【数１５】
2019142372.tif 000017
を示している。
【図１７】実施形態に係る余次元２の、非可換性を有するACのシフトのパラメタ空間を利用した信号のTFP分割を示す図である。ACの非可換シフトの量に応じてTFPは各々AC0のTFP、AC1のTFP、AC2のTFP、AC3のTFPのようにshiftされる。
【図１８】実施形態１に係る送受信システムの構成例を示すブロック図である。
【図１９】実施形態１に係る送受信システムを用いたデータ送受信処理の流れを示すフローチャートである。
【図２０】実施形態１に係る送受信システムの構成例を示すブロック図である。
【図２１】実施形態１に係る送受信システムを用いたデータ送受信処理の流れを示すフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【００１５】
〔実施形態１〕
以下、本実施形態に係る送受信システムについて図面を参照して説明を行う。以下では、まず、本実施形態に係る送受信システムの理論的側面及び具体的構成例について説明を行い、その後、特許請求の範囲に記載された内容との対応付けを行う。
【００１６】
なお、以下の説明において引用される特許文献及び非特許文献は、参照により本願に取り込まれる。
【００１７】
また、以下の説明において引用される特許文献及び非特許文献は、あくまで、本明細書に記載した内容に多少の関連性を有するという観点で引用しているに過ぎない。したがって、これらの文献を引用することにより本明細書に記載された発明の特許性に影響が及ぼされることはない。
【００１８】
＜＜理論的側面の概要：時間遅れと周波数シフトの二つの演算子の非可換性を利用した通信（副題：高精度測距可能な送信信号設計とその受信器設計）＞＞
時間幅Ts, 帯域幅Fs のデータの高効率伝送のために時間(TD)・周波数領域(FD) を分割する多重化通信方式の同期は難しい問題である。発射電波のエコー信号からdelay td とDoppler fD を推定するレーダ問題でさえ，現在でも未解決のままである。これらは，量子力学の位置，運動量作用素[非特許文献4] と同様に時間・周波数シフト作用素（Time-Frequency Shift Operator:TFSO）由来の位相歪（phase distortion:PD）
【数１６】
2019142372.tif 000018
や
【数１７】
2019142372.tif 000019
に根源がある。測距問題は，非可換TFSO のPD に含まれる２個の未知パラメタ推定問題であるので，Weyl-Heisenberg Group:WHG に基づく信号検出・パラメタ推定論の援用無しには高精度・高速化を図れない。本明細書で説明する内容は、概要として以下の５点に纏められる。
【００１９】
（概要１）
その第一として、送信信号設計ではTD信号とFD信号を同等に対象とすることの他に，時間・周波数対称性time-frequency symmetrical property:TFSP を満たす対称シフト作用素symmetrical TFSO が，時間遅れと周波数シフトの非可換性により多重化信号のアドレス（address）情報を顕在化させる演算子であることが示される(式(39),(44),(51),(56)参照)。
【００２０】
（概要２）
第二として，時間・周波数シフトされたガウスチップ関数（Gabor 関数）を、周期N,N′のTD-,FD- phase code:PC を用いた変調、即ちTD-,FD-Binary phase-shift Keying:２次元BPSKが、パラメタ最尤推定のM 値検定法に有用であることが示される。
【００２１】
従来２種のPC は“２次元拡散符号”と呼称され，用語の誤用も多く拡大解釈される。しかし本明細書では，BPSK には今まで気づかれなかった、以下の得失の両面の機能があることを明らかにする。
【００２２】
変調で得られたTD-,FD-広帯域信号（signature と呼ぶ）のCE（式(27)）にはPC で生じたPD が、
N 個のtype-3(又はtype-1) のTD-template CE（式(29)）(又は式(49))（各々のsupport はTs ×LΔf,LΔt×Fs）、
N′個のtype-4(又はtype-2) のFD-template CE(33)(又は(54))（各々のsupport はLΔt×Fs, Ts ×LΔf）
として自動的に埋め込まれるので，template 検出の仮説検定がTD,FD で可能となる(式(30), 命題4 及び式(35), 命題5)。
【００２３】
（概要３）
第三として、位相情報が有効利用されない通常の最尤法とは異なり、type-3(又はtype-1) のTD-CE template，type-4(又はtype-2) のFD-CE template matchingの４種のTD-,FD-cross-correlation function:CCF の厳密式は、ambiguity function(AF)の他に，TD-,FD-PC 変調に伴い、時間幅Δt，周波数幅Δf で離散化したL = (ΔtΔf)‐1 点のtwiddle factor 
【数１８】
2019142372.tif 000020
を含む。また、上記厳密式では、上記ＷのDFT,IDFT 型の和において、非可換性由来のPDがW のべき数として登場し、その結果、上記厳密式は三要素の積として表現される(Lemma2 式(41),Lemma4 式(45) 及び式(52),(57))。このため、本実施形態に記載の方法によれば、DSP による高速計算が保証される。
【００２４】
（概要４）
第四は，特許文献１で定義・導入したPhase-Updating Loop:PUL の収束に関して，Youla[非特許文献22]の信号復元法に基づく証明を与えた。
【００２５】
先ずHilbert 空間である信号空間の部分空間として，Ts-(又はLΔt-) 時間制限(TL-TD空間E3(又はE1)，Fs-(又はLΔf-) 帯域制限(Band-Limited, BL-FD空間E4(又はE2) を導入及び定義した。続いて、N,N′個のTD-,FD-CCF アレイに基づいて，これらの空間の上への直交射影演算子Projection operator:PO, Ts-(又はLΔt-) 時間制限演算子P3(又はP1)及びFs-(又はLΔf-) 帯域制限演算子P4(又はP2) の４個のPO を式(62)-(64)で定義した。
【００２６】
続いて、Alternative Projection Theorem:APT[非特許文献21] の交互射影演算子(APTO)
【数１９】
2019142372.tif 000021
を、本発明の観点から定義した。次に，推定値
【数２０】
2019142372.tif 000022
の関数である通信路の減衰定数Aeiκ のMLE の更新式(59) と
【数２１】
2019142372.tif 000023
の更新式(60),(61) を用いて，APTOの収束領域（TD-CE template のsupport とFD-CE template のそれとの積集合，即ちチップaddress(ρ, ρ′) の時間幅LΔt，帯域幅LΔf の矩形領域）内にtd, fD があることを最尤推定し、推定値
【数２２】
2019142372.tif 000024
がLΔt×LΔf の精度であり、且つ計算量は
【数２３】
2019142372.tif 000025
に代わり
【数２４】
2019142372.tif 000026
となることを証明した。
【００２７】
即ち．このAPTOは，時間周波数空間(time-frequency plane:TFP)のある領域を取り出し，他の部分をfilter-out する，局所選択演算子:localization operator:LO であり、DSP で多用される急峻なfilter の代替物である。
【００２８】
従来の通信ではナイキスト条件を満たさないとの理由により、用いられることのないガウス関数が、他の優れた性質により本質的役割を果たすことが明らかになった。
【００２９】
PUL は、時間PTs と帯域P′Fs の必要資源とデータレベルのaddress
【数２５】
2019142372.tif 000027
を用いれば、td, fD の存在範囲を限定しない探索法である。このため、TD-,FD-ガウス関数の２次元PC 変調信号の送信器とTD-,FD-CCF アレイにPUL を実装した受信器の組は，高精度かつ高速の信号復元が可能であり、高精度かつ高速のパラメタ推定が可能である通信システムを実現できることが示された。換言すれば、上記の構成を用いることにより、非可換性を利用した通信システムのパラダイムシフトが提示される。
【００３０】
第五は，同期を行いながら、超高の
【数２６】
2019142372.tif 000028
-PSKの符号化・復号化するシステムを与えた。
【数２７】
2019142372.tif 000029
-PSK通信は、測距とデータ通信が同時に可能な車載レーダへの応用となる。高次の
【数２８】
2019142372.tif 000030
-PSK信号
【数２９】
2019142372.tif 000031
の伝送は，各種の位相雑音の影響で位相
【数３０】
2019142372.tif 000032
の弁別が困難なので、周波数資源有効利用(
【数３１】
2019142372.tif 000033
伝送)の点で重要であるがその実現は難しいとされている。
【００３１】
これを解決するため、図１２の下段部分（Switch1-1,Switch1-2間のblock）のように
1) “情報k"を
【数３２】
2019142372.tif 000034
と分解する。そして
2)時間遅れ及びドップラシフトのパラメタ平面
(target spaeと呼ぶ）を
【数３３】
2019142372.tif 000035
個に均等排反分割し各々に２次元PC（TD-PC,FD-PC）を割り当て（ここで
【数３４】
2019142372.tif 000036
である）、 チップパルスを
【数３５】
2019142372.tif 000037
番目の２次元PCで変調し、これらを
【数３６】
2019142372.tif 000038
-code多重化する。そして、
3)得られたsignature信号をj番目のtarget spaceの部分平面の中心点対応の時間遅れ
【数３７】
2019142372.tif 000039
及びドップラシフト
【数３８】
2019142372.tif 000040
の量(
【数３９】
2019142372.tif 000041
を人工的通信路:Artificlal Channel (AC)のshiftと呼ぶ)をshiftし、
4)そのシフトされたsignatureで
【数４０】
2019142372.tif 000042
-PSK信号
【数４１】
2019142372.tif 000043
を変調した信号を伝送する。その結果
【数４２】
2019142372.tif 000044
-シフトされたsignatureは
【数４３】
2019142372.tif 000045
(Main Channel:MCのshiftと呼ぶ)の伝搬路で２重のシフトを受ける。受信CE信号との相関関数(CCF)に必要な推定受信CEを以下のステップで求める。図１３のの中段部分（Switch2-1に接続しているblock）のように、
1')推定値
【数４４】
2019142372.tif 000046
を
【数４５】
2019142372.tif 000047
と分解し、
2')チップパルスを
【数４６】
2019142372.tif 000048
番目の２次元PCで変調し、
3')その信号を推定
【数４７】
2019142372.tif 000049
番のACの
【数４８】
2019142372.tif 000050
の量シフトし、
4')得られた信号で推定
【数４９】
2019142372.tif 000051
番の
【数５０】
2019142372.tif 000052
-PSK
信号
【数５１】
2019142372.tif 000053
を変調した信号が推定受信CEとなる。
【００３２】
N,N'個のアレイ型TD-,FD-CCFの実部最大化変数は、チップアドレス(ρ',ρ)、データアドレス
【数５２】
2019142372.tif 000054
で定まるCCF番号及び推定符号
【数５３】
2019142372.tif 000055
である。まず
【数５４】
2019142372.tif 000056
種の２次元PC番号
【数５５】
2019142372.tif 000057
を定めデータアドレス
【数５６】
2019142372.tif 000058
の、位相補償項
【数５７】
2019142372.tif 000059
付きの、２種のCCF実部最大化をPULに基づいて行い、図１３の下段部分（Switch2-2に接続しているblock）のように
【数５８】
2019142372.tif 000060
及び変数
【数５９】
2019142372.tif 000061
の最尤推定による
【数６０】
2019142372.tif 000062
でkを最尤復号する。これは、低次
【数６１】
2019142372.tif 000063
-ary PSK-based符号・復号システムを
【数６２】
2019142372.tif 000064
種の非可換AC-shift-多重化による、超高の
【数６３】
2019142372.tif 000065
-ary PSKシステムである。即ち、
【数６４】
2019142372.tif 000066
種の非可換shiftのACの中で、“情報k”で定まるACに縦続接続された、
【数６５】
2019142372.tif 000067
のMCの出力からパラメタ推定を行う同期器（測距器）及びkの復号器兼用システムである。従って非可換AC-shift-符号化・復号化に基づく多重化方式は通信におけるPD活用のパラダイムシフトである。なお、
【数６６】
2019142372.tif 000068
-PSKの復号の計算複雑度は同期・測距の計算複雑度(N + N')の
【数６７】
2019142372.tif 000069
倍である。
【００３３】
＜＜理論的側面の詳細、及び通信システムの具体的構成例＞＞
以下では、本実施形態に係る通信システムの理論的側面の詳細、及び通信システムの具体的構成例について説明する。
【００３４】
＜１．背景＞
通信の重要課題の一つは，周波数資源を有効活用した通信方式の設計である[非特許文献1]。時間領域(TD)及び周波数領域(FD)（図１参照） を分割して時間幅Ts と周波数帯域Fs のデータを多重化する通信方式(図１参照)であるOrthogonal Frequency Division Multiplex(OFDM) は、delay td やDoppler fD により直交性が破れる欠点を有する。
【００３５】
なお、図１は、TFPにおける三種の分割法を示している。(a)は時間分割（Time Division(TD)）を示しており, (b)は周波数分割（Frequency Division(FD)）を示しており、(c)は、ガボール分割（Gabor Division(GD)）[非特許文献1]を示している。(a)における実線は、情報データの時間幅Tの区切りを示しており、破線はTD-Phase code(PC) による細分割を示している。(b)における太い破線は、情報データの帯域幅Fの区切りを示しており、細い破線はFD-Phase code(PC) による細分割を示している。
【００３６】
一方、td, fD を有する通信路を介して通信を行う前に最初に行う手続きが同期である。しかし、多重化に必要な二つのシフト演算である、時間，周波数shift 演算(time-frequency shift operator:TFSO) に伴うPhase distortion:PD
【数６８】
2019142372.tif 000070
が、通信路のPD
【数６９】
2019142372.tif 000071
に続いて発生するので、同期は容易でない。エコーからtd, fD を推定するレーダ問題[非特許文献15]でさえ有効な解決策は見出されていない。
【００３７】
本発明者らはまず、td, fD に関してTFSP(図2 参照) を満たす[非特許文献24, 26] TD信号とそのFourier Transform(FT) のFD信号をTDとFDの位相符号(phase code:PC) で変調した，TD-,FD-signature を生成した。
【００３８】
なお、図２は、time-frequency shift（時間周波数シフト）の非可換性を模式的に示した図である。非可換性は、シフト演算子の積に関する関係式Tτ,0 ・T0,ν = e-i2πτνT0,νTτ,0（左辺は図中の三角印，右辺は図中の方形印に対応）において、位相歪（Phase Distortion(PD)）e-i2πτν として現れる。図中の○印は対称時間周波数演算子（Symmetrical Time-Frequency ShiftOperator:TFSO）
【数７０】
2019142372.tif 000072
を示している[非特許文献26]。
【００３９】
次に，signature にはPC によるPD がtemplate として埋め込まれるので，TD-,FD-template 検出のための、ambiguity function（AF）型[非特許文献15]のTD-，FD-cross-corrrelation function:CCF アレイ(図3a 参照) を定義した。
【００４０】
そして、CCF 実部を最大とするパラメタ値と最大値の最大を達成するCCF 番号を検出した。その上で、パラメタ値を交互更新(図3b,3c 参照) するtd, fD の無情報推定法が、レーダ問題の解決策であることを明らかにした([非特許文献27]-[非特許文献32] 及び特許文献1-6)．
なお、図３（ａ）はTFP 上に配置したchip levelのGabor 関数、及びそれに関連する情報を示している。特に、(a-0)は、TFP 上に配置したchip level のGabor 関数gmm′(t) とそのフーリエ変換（FT）であるGmm′(f)を示しており、(a-1)は gmm′(t) を(FD-Phase code(FD-PC)) X′m′ で重み加算したTD-template の実部，虚部を示しており、(a-2) はGmm′(f) を(TD-Phase Code(TD-PC))Xm で重み加算したFD-template の実部，虚部を示している。(b)は、TFP上のNN′ 個の相互相関関数Cross Correlation Function(CCF) 及びN′ 個の列和のTD-CCF 値とN 個の行和のFD-CCF 値を示している。(c)は Alternating Projection Theorem:APT に基づく時間制限空間TL-TD，帯域制限空間BL-FD の上への直交射影による推定値
【数７１】
2019142372.tif 000073
の交互更新過程と収束値td, fDを示している。
【００４１】
エコー信号からdelay td とDoppler fD を推定する測距問題は、時間，周波数shift 作用素の非可換性由来のPD に含まれる２個の未知パラメタ推定問題である。したがって、その範疇はWeyl-Heisenberg Group:WHG に基づく信号検出・パラメタ推定論である。しかし、一部の例外[非特許文献17]を除き、多くのレーダ研究者は非可換性を無視した推定論に依拠するので測距の高精度化に成功していない。一方、本明細書に記載の発明は、レーダ問題を含む無線通信にとって、この非可換性こそが効率を高めるために重要であるとの本発明者らの知見に基づいている。また、Wavelet 論[非特許文献8]では，関数f(t) に対する時間・周波数シフトしたGabor 関数[非特許文献１]
【数７２】
2019142372.tif 000074
による展開
【数７３】
2019142372.tif 000075
の係数am,m′が中心課題である。また、5G，after 5G のOFDM/OQAM やFBMC[非特許文献9, 10, 12] では、am,m′を伝送情報とする多重化信号f(t) のintersymbol interference(ISI)及びinterchannel interference (ICI) が零となる関数g(t) の設計とgmm′(t) の非直交性の解決が主題である。
【００４２】
一方、無線通信では，time, frequency offsets 耐性の同期法が必要であるが、td, fD の推定の試みは殆ど見当たらない。また多くの通信研究者は信号多重化のための時間・周波数シフトmτ0,m′ν0 に伴うPD
【数７４】
2019142372.tif 000076
は無視できると考えている。しかし、WHGの時間・周波数シフトの群論的性質より、通信路のPD
【数７５】
2019142372.tif 000077
に続きシフトのPD
【数７６】
2019142372.tif 000078
の他にmulti-carrier 化に伴うPD
【数７７】
2019142372.tif 000079
も同時発生するのでそのメカニズムは単純ではない。
【００４３】
レーダ問題に潜む以下の３つの課題に最初に取り組むべきであろう。なお、従来レーダの発射信号として、Chirp 信号のLFM-CW(Linear FM Continuous Wave) を用いるか、或いは短い時間のpulse で位相変調した圧縮レーダやそのmulti-carrier 版が最近提案されている[非特許文献19]。
【００４４】
（課題１）
第一の課題として、レーダは元来td, fD の２個の未知変数問題あるが、多くの受信器は、時間shift τ と周波数shift ν の２変数複素数値相関関数，Ambiguity Function(AF)の表示のため、AF の絶対値のピーク値探索か、或いはChirp 信号のAF 特性利用に基づいていることが挙げられる。２個の未知数問題には２個以上の関数を用いるべきである。
【００４５】
（課題２）
第二の課題として、レーダ問題には量子力学の位置，運動量作用素と同様に非可換の時間，周波数シフトによるPD
【数７８】
2019142372.tif 000080
や時間幅Tp，周波数遷移幅Fp のchirp パルス列によるPD
【数７９】
2019142372.tif 000081
が発生することが挙げられる。また、td やfD を有する通信路を介して時間幅Ts と周波数帯域Fs のデータをTFP 上で無重畳多重化伝送方式(図1 参照) でも，
【数８０】
2019142372.tif 000082
に引き続きPD
【数８１】
2019142372.tif 000083
が存在する。殆どの研究者は、このPD を見過ごしているが、PDの存在は、情報データを担う実数値受信信号の共通問題である。
【００４６】
（課題３）
第三の課題は，第二課題と関連するが、PD 発生のメカニズムが見え難いことにある。即ち，通信やレーダの分野では通常時間シフト演算子や周波数シフト演算子は各々
【数８２】
2019142372.tif 000084
で定義され，M(v)S(u) = e‐i2πuvS(u)M(v) からM(v) とS(u) の非可換性はPD e‐i2πuv の指数の肩部に両シフト量の積として如実に表れている。高精度測距や同期法の解決の糸口はここに集約している。このPD e‐i2πuv の取り扱い（後にTFSP(式4,24，図2 参照) と呼ぶ）が本明細書における重要な考察対象である。
【００４７】
＜２．時間・周波数対称な時間・周波数シフト演算子＞
典型的なエコー信号は
【数８３】
2019142372.tif 000085
で与えられる。ただし，ψ(t)は，パルスのcomplex envelope:CE と呼ばれる複素数値信号であり、
【数８４】
2019142372.tif 000086
は，各々振幅，到来時間，キャリア周波数，キャリアの位相，キャリア周波数の変位，即ち参照周波数Ωr = 2πfr からのシフト（ドップラシフト）である。簡単のためしばらくの間Ωr = 0 と置く。 
【数８５】
2019142372.tif 000087
でフーリエ変換Fourier Transform(FT)を表し、
【数８６】
2019142372.tif 000088
を、ψ(t) のFT とすると，re(t; td, fD) のFT は
【数８７】
2019142372.tif 000089
となる。ここで、re(t; td, fD) とRe(f; td, fD) のペアはtd, fD に関して対称でない。未知数td, fDの積がTD 関数のPD にだけ現れている。
【００４８】
しかし，少し修正した式[非特許文献24, 26]
【数８８】
2019142372.tif 000090
は、TD関数x(t) とそのFD関数
【数８９】
2019142372.tif 000091
に対し、td, fD に関して、time-frequency symmetry property:TFSP を満たす対称な時間周波数シフト演算子symmetrical time-frequency shift operators(symmetrical TFSO) の定義式(図2 参照)
【数９０】
2019142372.tif 000092
及び、二つのシフト演算子間の恒等式
[symmetrical TFSO の性質１]
【数９１】
2019142372.tif 000093
を与える。通常用いられる、時間シフト演算子S(- td)x(t) = x(t - td) や周波数シフト演算子
【数９２】
2019142372.tif 000094
と異なり、式(4) のTD 信号x(t) のハーフシフト
【数９３】
2019142372.tif 000095
やFD 信号X(f) のハーフシフト
【数９４】
2019142372.tif 000096
は、信号の時間周波数表現論で用いられる
【数９５】
2019142372.tif 000097
又は
【数９６】
2019142372.tif 000098
と比べ僅かな修正のように見えるが、これは，式(39),(44) のようにレーダ信号や受信信号の位相情報が完全にTD,FDで追跡可能な表現法である。
【００４９】
式(4) のTFSO は量子力学のvon Neumann のCanonical Commutative Relations:CCR[非特許文献4, 6] と同じであるので，以後von Neumann のTFSO と呼ぶ。有名なHeisenberg の不確定性原理と呼ばれる関係式[非特許文献4, 5]
【数９７】
2019142372.tif 000099
を通信の時間周波数シフト演算子[Tτ,0, T0,ν ] に対応させると
【数９８】
2019142372.tif 000100
が得られるので、古典力学極限[非特許文献20]
【数９９】
2019142372.tif 000101
は、通信の無歪条件
【数１００】
2019142372.tif 000102
と対応する。ただし，
【数１０１】
2019142372.tif 000103
は、それぞれ、プランク定数
【数１０２】
2019142372.tif 000104
、及び量子力学における交換子を表す。
【００５０】
なお、TFSO の連鎖則:
【数１０３】
2019142372.tif 000105
から導かれる
[symmetrical TFSO の性質2]:
【数１０４】
2019142372.tif 000106
において、式(7) は、式(9) の第一式の例題である。
【００５１】
symmetrical TFSO のより重要な性質は，TD,FD 信号の対称性から未知数の積td・fD がTD,FD 関数のPDに対称的に現れ，後述のように，多重化信号のアドレス情報がPD として顕在化しパラメタ推定に重要な役割を果たす点にある。例えば、無線通信では[非特許文献9, 10]、OFDM 信号
【数１０５】
2019142372.tif 000107
が中心課題である。ただし、係数am,n は伝送すべき複素データを表し， x(t)は時間波形関数である。OFDM 信号は
【数１０６】
2019142372.tif 000108
と表現できる。
【００５２】
故に、無歪条件τ0ν0 = 1（式(8) 参照）が満たされていれば、PDeiπnτ0mν0 はamn の符号を別として影響を与えない。しかし，オフセットτ ′ = τ0 + ετ , ν′ = ν0 + εν があると
【数１０７】
2019142372.tif 000109
がtd, fD の通信路のPD
【数１０８】
2019142372.tif 000110
に引き続き発生するので、我々は位相歪PDを含む信号
【数１０９】
2019142372.tif 000111
を処理しなければならない。式(10) のように慣用のTFP上の信号の無重畳重ね合わせ法では[非特許文献1, 2, 9, 10, 12]、式(12) のように、群論的性質より、PD
【数１１０】
2019142372.tif 000112
の集積をもたらすので、各種のPDが受信器出力を弱めてしまうことにより、デジタル通信[非特許文献3] で重要な同期の劣化につながる。それにもかかわらず、シンボル間干渉inter-symbol interference:ISI やチャネル間干渉inter-channel interference:ICI を削減する時間関数x(t) の設計は、中心的課題である。この観察が本明細書の出発点である。
【００５３】
＜３．尤度関数とCCF＞
レーダ理論は、レーダの最適システムの解析と設計の統計論を論じたWoodward[非特許文献15]や、信号検出及び推定論の包括的な研究を行ったHelstrom[非特許文献18] の教科書が基礎である。
【００５４】
Wilcox の研究[非特許文献16] に対するAuslander とTolimieri による注意[非特許文献17]のように、これらは非可換性を考慮していないことに留意する必要がある。
【００５５】
しかし，レーダ理論の基礎は以下の信号検出とパラメタ推定論にある。
【００５６】
＜3.1 信号検出＞
受信器にエコー信号が届くと、当該エコー信号は雑音に混ざっているので，当該エコー信号の決定は不確定にならざるを得ない。
【００５７】
ある定まった形式の信号s(t) がガウス雑音n(t) 中に定まった時間に届いたか否かを判定する問題である信号検出問題を考える。観測時間
【数１１１】
2019142372.tif 000113
中に測定した受信器入力w(t)を基にして、受信器は二つの仮説検定：
H0,“信号は無い．” 即ち、w(t) = n(t) と、
H1, “信号は在る．” 即ち、w(t) = s(t) + n(t)、
を行う。観測時間中の時間t = tk に測定値wk = w(tk)が得られたとすると、n 個の標本wk は、仮説Hi, i = 0, 1 の下での結合密度関数joint probability density function(p.d.f.) pi(w) を有するランダム変数である。受信機において、尤度比
Λ(w) = p1(w)/p0(w), w = (w1, . . . ,wn).
に基づいて観測者の最適決定を行う。
【００５８】
まず、ある決定レベルΛ0 に対して観測者は、Λ(w) < Λ0 のときには、H0 を、Λ(w) > Λ0 のときには、H1 を選択する。
【００５９】
レーダ信号は
【数１１２】
2019142372.tif 000114
と表現される[非特許文献15,18]。ただし，ψ(t) はCE(complex envelope) と呼ばれる複素数値信号であり、Ω = 2πfc はキャリア周波数である。s(t)のスペクトル
【数１１３】
2019142372.tif 000115
は、fc 近傍と-fc 近傍に狭いピークを有し、そのバンド幅がΩ に比べ小さいとき、信号はnarrowband(NB) 又はquasi-harmonic と呼ばれる。
【００６０】
受信器入力
【数１１４】
2019142372.tif 000116
はNB と仮定し、そのCE
【数１１５】
2019142372.tif 000117
は変調器で測定可能と仮定する。
【００６１】
共分散関数
【数１１６】
2019142372.tif 000118
を有する定常NB白色ガウス雑音下のNB 信号
【数１１７】
2019142372.tif 000119
の最適検出器は、対数尤度関数logarithm of likelihood functional(LF):LLF[非特許文献18, p.106]
【数１１８】
2019142372.tif 000120
を有する。ただし、N0 は白色雑音の片側スペクトル密度を表しており、 g 及びd2 は尤度関数LF Λ[ψw(t)] の統計量statistic 及びsignal-to-noise ratio(SNR)を表している。
【００６２】
＜3.2 パラメタ推定＞
仮説検定の原理は多重仮説検定にも応用できる。送信器からM 個の信号の一つが送信されたとして，受信器は観測時間(0, T) 中にM 個の信号のいずれであるかを決定する。即ち、仮説Hk,“信号sk(t) が送信された．”の下で受信器入力は
【数１１９】
2019142372.tif 000121
である。ただし、ψk(t) はNB CEを表し、fk はキャリアを表し、
【数１２０】
2019142372.tif 000122
はsk(t) の位相を表し、n(t) はランダム雑音を表している。
【００６３】
受信器では、入力w(t) の測定値に基づいてM 個の仮説の一つを選択する。n 個の測定値w1, . . . ,wn に対しpk(w) を仮説Hk の下でのp.d.f. ζk を、仮説Hk の事前確率とする。簡単のため、 ζk = M-1 とすると、信号sk(t) の直交性
【数１２１】
2019142372.tif 000123
を前提（ Ei はi 番目信号エネルギー）としたうえで、全てのk ≠ j に対しΛk(w) > Λj(w) のとき、受信器はHk を選択する。
【００６４】
信号の未知パラメタをθ1, . . . , θm とし，これらをm-次元パラメタ空間Θ中のベクトルθ = (θ1, . . . , θm) で表す。レーダエコー信号は
【数１２２】
2019142372.tif 000124
と表される。ただし，Aeiκ は減衰定数であり，A, td, fc, κ, fD は振幅，到着時間，キャリア周波数，位相，ドップラシフトである。エコー信号の未知パラメタはθ = (A, κ, td, fD) となる。
【数１２３】
2019142372.tif 000125
であり、雑音がスペクトル密度N0 を有する白色であるとき、 LLF[非特許文献18, p.251] は
【数１２４】
2019142372.tif 000126
である。変数変換
【００６５】
【数１２５】
2019142372.tif 000127
（ここで、
【数１２６】
2019142372.tif 000128
は虚部を示す）により、θ′ = (td, fD)を有するA, κ のmaximum likelihood estimate ML推定値(MLE)
【数１２７】
2019142372.tif 000129
が得られる。従って残りの未知パラメタθ′ のMLE は、
【数１２８】
2019142372.tif 000130
を最大化するパラメタ値を求めれば良い[非特許文献18, p.251]。故に、受信器は、θ′の推定に専念できる。MLE θ′は、ドップラシフト
【数１２９】
2019142372.tif 000131
に近接する値の集合の一つに対する信号
【数１３０】
2019142372.tif 000132
にマッチしたフィルタバンクを構成することで得られるかもしれない。ただし、WD は最大のfD である。しかしながら、並列のNB フィルタの構成で統計量を調べることは事実上不可能である。これが未知二変数問題を２個の未知一変数問題に分解した最大の理由である。
【００６６】
式(15) とそのFT を書き直すと
【数１３１】
2019142372.tif 000133
ただし，
【数１３２】
2019142372.tif 000134
はtd, fD を有するvon Neumann's TFSOを表し，
【数１３３】
2019142372.tif 000135
は設計すべきCE，位相（詳細は省略）であり、
【数１３４】
2019142372.tif 000136
は、基底帯域複素数値信号CEを参照周波数fr で通過域信号にシフト（変調）した信号である。
【００６７】
(td, fD) のTFP 上の正確な位置を把握するために，周期N のTD-phase code(PC) と周期N′ のFD-PC を用いて，TFP 上の2-次元格子
【数１３５】
2019142372.tif 000137
上の位置特定をしよう。ただし、Tc = Ts/N, Fc = Fs/N′, Ts,及びFs はチップパルス間隔，チップ（サブ）キャリア周波数間隔，データ信号時間幅，及びデータ信号帯域幅である。(td, fD) のパラメタ空間Θ′ をデータaddress
【数１３６】
2019142372.tif 000138
を有するNN′ 個の矩形領域
【数１３７】
2019142372.tif 000139
に分割し，仮説“θ′ は領域
【数１３８】
2019142372.tif 000140
中にある” をHm,m′ で表す。
【００６８】
しかし、NN′個の仮説は、後述のように、TD 信号secho(t; A, κ, td, fD) のfD を推定するN′個の仮説、及びFD 信号Secho(f; A, κ, td, fD) のtd を推定するN個の仮説に分解できる。
【００６９】
信号sk(t; θ′) が互いに直交する前提で、式(14) の仮説Hk 中のCE ψk(t) と位相
【数１３９】
2019142372.tif 000141
を有するk 番目のNBエコー信号
【数１４０】
2019142372.tif 000142
を考えよう。雑音がスペクトル密度N0 を持つ白色ガウスとすると，そのLLF
は[非特許文献18, p.129,p.251]
【数１４１】
2019142372.tif 000143
となる。
或る決定レベルr0 に対し
【数１４２】
2019142372.tif 000144
を満たす整数をk = k0 とすれば、 受信器は、k 番目の信号が届いたと判定し、全てのgk がr0 以下ならば、受信器は、信号は無いと判定する。これはML 受信器である。故に、直交信号の設計が重要である。式(18) は|gk(θ′)|を最大化する方法（一つは被積分関数の最大化，他はキャリアの位相eiκ 及び信号の位相
【数１４３】
2019142372.tif 000145
を補償する）を示している。しかし、通常、位相因子は、
【数１４４】
2019142372.tif 000146
の再定義により吸収される。更に、通常は、gk(θ′) ではなく|gk(θ′)| を単純に評価する。このような方法は、位相情報を消去することになる。Woodward[非特許文献15]は、Ville[非特許文献14]のambiguity function(AF)と呼ばれる２次元のCCF
【数１４５】
2019142372.tif 000147
をレーダ解析に用いた。時間・周波数シフトした関数のWHG-based の非可換的かつ群論的性質は式(9) の位相関数に現れている。更に、
[symmetrical TFSOの性質3]:
TD 信号z(t) とその
【数１４６】
2019142372.tif 000148
に対し、TD とFD の時間・周波数シフトした関数間の内積inner product IP は、
【数１４７】
2019142372.tif 000149
である。ただし、
【数１４８】
2019142372.tif 000150
は、r(t) とs(t)間のTD-IPを表しており，
【数１４９】
2019142372.tif 000151
は、
【数１５０】
2019142372.tif 000152
と
【数１５１】
2019142372.tif 000153
間のFD-IPを表している。
【００７０】
式(19) は，i)TD-,FD-IP の実部はt2 = t1とf2 = f1 のときに最大になり、そのとき、AF の最大値も達成される。ii)IP の左右の項を送信・受信信号と見なせば，送信信号の非可換性由来のPD は，良く設計された受信器のPD で補償できることを意味している。式(19) は，変調信号の位相が、電気工学の交流の電圧，電流の“phasor”[非特許文献18] のように重要であることと、二つの量td, fD が常にPD に現れることを示唆している。これはTDのmatched filter 依存の通常法とは異なり、WHGを基礎とするTDとFD での(td, fD)-推定法を実現するための大きなステップであり、本明細書の重要な根幹部分である。TD,FDで追跡容易な位相項を有する信号を設計することにより、送信・受信器のいずれでも位相は有効利用可能となる。
【００７１】
Gabor[非特許文献1] は、TFP 上の信号解析と時間と周波数の不確定性関係下限を達成するガウス関数の重要性を指摘し、次の関数f の時間・周波数表現を与えた。
【００７２】
【数１５２】
2019142372.tif 000154
Gabor のガウス関数gm,n(t) の集合は，TFP 上で信号を局在化する性質を有する。しかしながら、この基底は直交しないし，frame[非特許文献7] でもない。また、多くの通信研究者は、ナイキスト条件を満たさないガウス関数を用いない。しかし、本明細書の(td, fD)-推定法では、ガウス関数の数々の良好な性質が重要な役割を果たす。
【００７３】
＜４． TD-, FD-signature とtemplate＞
TD-PC(phase cod)， 即ちspreading spectrum：スペクトラム拡散[非特許文献3] は、code-division multiple access (CDMA) を実現する。CE
【数１５３】
2019142372.tif 000155
がTFSP を満たすように，そのFTΨ(f) も位相変調する。なお、送信信号s(t)は、独立なパルス符号c(t) で伝送信号m(t)を変調，s(t) = m(t)c(t) とする。各ユーザは信号が直交するような符号が割り当てられることで広い周波数帯帯域の同時使用を可能とする。
【００７４】
以下では、
【数１５４】
2019142372.tif 000156
によって表される連続時間信号の代りに
【数１５５】
2019142372.tif 000157
によって表される離散時間信号を考察する。TD信号s(t) をΔt の間隔で標本化し、 離散FD 信号は、L-点の離散フーリエ変換(DFT) で定義する。即ち、FD の隣接するbin の周波数間隔は、Δf = 1/(LΔt)である。
【００７５】
【数１５６】
2019142372.tif 000158
（分数
【数１５７】
2019142372.tif 000159
の切り上げ）
と
【００７６】
【数１５８】
2019142372.tif 000160
（分数
【数１５９】
2019142372.tif 000161
の切り上げ）
との離散変数、及び、チップパルスの直交性のため
【数１６０】
2019142372.tif 000162
とし
【数１６１】
2019142372.tif 000163
と置くとL-点twiddle factor 
【数１６２】
2019142372.tif 000164
が定まる。
【００７７】
以下に、７種類の離散時間，離散周波数信号を定義する。
【数１６３】
2019142372.tif 000165
ただし、X = (X0, . . . ,XN-1) ∈ {-1, 1}N は、周期N のTD-PCであり、X′ = (X′0, . . . ,X′N′-1) ∈ {-1, 1}N′は、周期N′のFD-PC であり、χ = (X,X′)である。
【００７８】
support[-LΔt/2,LΔt/2]（即ち，時間幅LΔt）を有する連続時間チップパルスg(t)に対して，遅延(D/2)Δt,D = L - 1, L = (ΔtΔf)-1 = MM′ を有する[非特許文献10]、因果的離散時間のLΔt-時間制限(time-limited:TL) チップパルスg[k]
【数１６４】
2019142372.tif 000166
が得られる。
【００７９】
また、support [-LΔf/2,LΔf/2]、即ち、帯域幅LΔf を有する、離散周波数のLΔf-帯域制限(band-limited:BL) チップパルスG[l]は、g[k] のDFT
【数１６５】
2019142372.tif 000167
により得られる。なお、チップパルスg[k]（又はG[l]）のパルス間隔Tc = MΔt（又はFc = M′Δf）に対し、そのsupport 時間幅LΔt(又は帯域幅LΔf) 中に左右両側からM′/2(又はM/2) 個のチップパルスの干渉を受ける。guard interval を用いないので，これは、慣用法と最も異なる点である。
【００８０】
次式で定義される離散時間TD-signature v[k;χ] とそのFD-signature 
【数１６６】
2019142372.tif 000168
には、次式のtype-3の
TD-template
【数１６７】
2019142372.tif 000169
とtype-4のFD-template
【数１６８】
2019142372.tif 000170
が埋め込まれている。ただし、
【数１６９】
2019142372.tif 000171
と
【数１７０】
2019142372.tif 000172
は、式(4) のvon Neumann のTD とFD のTFSO の離散版であり、
【数１７１】
2019142372.tif 000173
である。
【００８１】
TD-signature v[k;χ] は、N′個のTD-templates 
【数１７２】
2019142372.tif 000174
を含み、一方、FD-signature
【数１７３】
2019142372.tif 000175
は、N 個のFD-templates 
【数１７４】
2019142372.tif 000176
を含むので、PC の利用により、signatureと埋め込まれたtemplateとの間のCCF は大きな値を持つ。TD-template
【数１７５】
2019142372.tif 000177
はTFP 上でTs × LΔf の矩形support を有し、FD-template
【数１７６】
2019142372.tif 000178
は、LΔt × Fs の矩形support を有する。TFSO の連鎖
【数１７７】
2019142372.tif 000179
(又は
【数１７８】
2019142372.tif 000180
) を式(22) に適用すると、TD-signature とFD-signature
【数１７９】
2019142372.tif 000181
が完全対称であることが判る。
【数１８０】
2019142372.tif 000182
とキャリア周波数
【数１８１】
2019142372.tif 000183
を有するレーダTD-信号s[k;χ] とそのFT のFD-信号S[l;χ] は、
【数１８２】
2019142372.tif 000184
と求まる。
【００８２】
レーダTD-信号のCE とそのDFT
【数１８３】
2019142372.tif 000185
により、TD-, FD-信号
【数１８４】
2019142372.tif 000186
が設計できる。これは、時間幅Ts =NMΔt，キャリア間隔Fs = N′M′Δf のsignatures 
【００８３】
【数１８５】
2019142372.tif 000187
（又は、
【数１８６】
2019142372.tif 000188
）を無重畳に、PP′ 個重ね合わせた2-次元系列である。ただし，
【数１８７】
2019142372.tif 000189
は，TFP上の格子
【数１８８】
2019142372.tif 000190
上のデータaddress
【数１８９】
2019142372.tif 000191
を有するデータシンボルである。即ち，レーダシステムでは、事前にはその範囲が判らない遅延td ∈ (0, PTs) とDoppler
【数１９０】
2019142372.tif 000192
を探索するために、PTs × P′Fs の時間幅・帯域幅を用意する。一方で、データ通信ではP ・ P′ 個の
【数１９１】
2019142372.tif 000193
、即ち、
【数１９２】
2019142372.tif 000194
を送信する。
ここで、
【数１９３】
2019142372.tif 000195
を有する通信路を介して信号s[k;χ] を送信したと仮定する。このとき、
【数１９４】
2019142372.tif 000196
で得られる受信TD-信号は
【数１９５】
2019142372.tif 000197
と表現される。ただし、
【数１９６】
2019142372.tif 000198
は受信信号の信号成分のCEであり、η[k],及びξ[k] は干渉成分，及びGauss 雑音である。FD-信号及びDFT
【数１９７】
2019142372.tif 000199
の詳細は省略した。非可換の変・復調に伴うPD
【数１９８】
2019142372.tif 000200
は、eiκ の再定義により吸収させることもできるが、後述のように，相関受信器で補償されるべきである。このようなTD,FD 受信信号は、受信器での観測値wとそのDFT Wを与える。
【００８４】
独立同分布(i.i.d.) のTD-, FD-PC は，M-種検定法で必要な独立なN′ 個のTD-templates
【数１９９】
2019142372.tif 000201
及びN 個のFD-templates
【数２００】
2019142372.tif 000202
を生成する。PCには二つの機能（信号の乱雑化及びTFSO由来のPD発生）がある。幸いに、PD自身は送信信号に追跡容易性を付与するという意味で、パラメタ推定のための良い目印となる。これはPC導入の功罪を示している。実際、位相変調システムの帯域幅は古典的レーダシステムのそれよりN 倍大きくなり，またmulti-carrier化，即ちFD-PC は、sub-carriers 数N′倍の帯域幅を更に必要とする。
【００８５】
＜５． M 種仮説検定によるTD-, FD-信号検出と推定＞
漸く，式(27) のCE 
【００８６】
【数２０１】
2019142372.tif 000203
（又は、
【数２０２】
2019142372.tif 000204
）を有する式(26) のレーダ信号
【００８７】
【数２０３】
2019142372.tif 000205
（又は、
【数２０４】
2019142372.tif 000206
）を検出する、M-種仮説検定を適用する準備が整った。受信器が式(17) に関連付けられたNN′ 個の仮説Hmm′ を選択する戦略を考えよう。それは、TD (又はFD) のLLF(又はその関連のCCF) を最大化するパラメタθ′,d を見つければ十分である。最初に，TFP の格子
【数２０５】
2019142372.tif 000207
上のaddress
【数２０６】
2019142372.tif 000208
を有する，受信TD-template CE
【数２０７】
2019142372.tif 000209
の検出問題から考える。ただし，
【数２０８】
2019142372.tif 000210
であり、
【数２０９】
2019142372.tif 000211
は、chip address ρ′のFD-PC TD-template((22) 参照)であり、
【数２１０】
2019142372.tif 000212
は、kd の推定整数値であり、
【数２１１】
2019142372.tif 000213
は
【数２１２】
2019142372.tif 000214
を推定する制御用整数値である。このCEは式(27)（式(28)の
【数２１３】
2019142372.tif 000215
参照）の推定受信CE
【数２１４】
2019142372.tif 000216
中に埋め込まれている(図3a-1 参照)。 ただし、関係式
【数２１５】
2019142372.tif 000217
を用いた。式(29) は、次章で示すようにCE が種々のPD 由来の意味のある位相を含むことを示す。
【数２１６】
2019142372.tif 000218
と相補的CE
【数２１７】
2019142372.tif 000219
を、
【数２１８】
2019142372.tif 000220
と表す。式(22)と式(27) から、N′個のTD-template
【数２１９】
2019142372.tif 000221
が利用可能なので、受信器は、N′個のCE
【数２２０】
2019142372.tif 000222
を用いてN′個のLLF 中でいずれが最大であるかを決定する(図3b 参照)。
【００８８】
i) TD の離散時間信号検出及びDoppler-shift-ML 推定問題:
NT 個の確率変数w = (w[0], . . . ,w[NT - 1]) に基づいて受信器は二つの仮説
【数２２１】
2019142372.tif 000223
を選択する。ただし，
【数２２２】
2019142372.tif 000224
は時刻k の観測値
【数２２３】
2019142372.tif 000225
のNB CEであり、
【数２２４】
2019142372.tif 000226
はガウス雑音
【数２２５】
2019142372.tif 000227
のNB CEであり、
【数２２６】
2019142372.tif 000228
は、観測時間(0, T) のサンプル数である。仮説H1 の信号成分は
【数２２７】
2019142372.tif 000229
と等しい。N′ 個のCE
【数２２８】
2019142372.tif 000230
は等エネルギであり、
【数２２９】
2019142372.tif 000231
の意味で擬似的直交であることを前提として次の結果を得る。
【００８９】
命題4:
スペクトル密度N0 のガウス雑音下の観測値w = (w[0], . . . ,w[NT-1])に基づく
【数２３０】
2019142372.tif 000232
の検出・推定の
【数２３１】
2019142372.tif 000233
番目の対数尤度は[非特許文献18]
【数２３２】
2019142372.tif 000234
である。ただし，
【数２３３】
2019142372.tif 000235
である。
【００９０】
或る決定レベルr0に対し、次式を満たす整数値を
【数２３４】
2019142372.tif 000236
とする。
【数２３５】
2019142372.tif 000237
ただし、
【数２３６】
2019142372.tif 000238
は、式(31)における
【数２３７】
2019142372.tif 000239
の、式(16) におけるAe-iκ のMLE
【数２３８】
2019142372.tif 000240
による補償版である。このとき、受信器はTFP 上の格子
【数２３９】
2019142372.tif 000241
上のaddress
【数２４０】
2019142372.tif 000242
のCEが届いたと判定し、もし、全ての
【数２４１】
2019142372.tif 000243
がr0 以下のとき、受信器は、信号は無いと判定する。故に
【数２４２】
2019142372.tif 000244
は与えられた
【数２４３】
2019142372.tif 000245
の下での
【数２４４】
2019142372.tif 000246
のMLE である。なお，
【数２４５】
2019142372.tif 000247
は、TFSO
【数２４６】
2019142372.tif 000248
に伴う位相関数である。
【００９１】
次に、観測値w の DFT
【数２４７】
2019142372.tif 000249
に基づいて、FDにおける信号検出・遅延推定問題に移る。格子
【数２４８】
2019142372.tif 000250
上のaddress
【数２４９】
2019142372.tif 000251
を有する受信FD-template CE
【数２５０】
2019142372.tif 000252
の検出問題を考える。但し
【数２５１】
2019142372.tif 000253
であり
【数２５２】
2019142372.tif 000254
は、chip address ρ のTD phase-coded FD-template((22)参照)である。このCEは式(27)のDFT
【数２５３】
2019142372.tif 000255
の受信FD-CE
【数２５４】
2019142372.tif 000256
中に埋め込まれている(図3a-2 参照)。但し
【数２５５】
2019142372.tif 000257
は
【数２５６】
2019142372.tif 000258
の推定整数値であり、kσ はkdの推定制御用整数値であり、関係式
【数２５７】
2019142372.tif 000259
を用いた。
【数２５８】
2019142372.tif 000260
と相補的集合
【数２５９】
2019142372.tif 000261
を、
【数２６０】
2019142372.tif 000262
と表す。
【００９２】
式(22)と式(27) からN 個のFD-templates
【数２６１】
2019142372.tif 000263
が利用可能なので、受信器はN 個のFD-CE
【数２６２】
2019142372.tif 000264
を用いて、N 個のLLF の何れが最大であるかを決定すれば良い(図3b 参照)。
【００９３】
ii) FDでの信号検出及び遅延-ML推定問題: 
観測値W = (W[0], . . . ,W[NT - 1]) に基づいて、受信器はFD で以下の二つの仮説
【数２６３】
2019142372.tif 000265
を選択する。但し
【数２６４】
2019142372.tif 000266
は、NB CE
【数２６５】
2019142372.tif 000267
を持つ観測値w[k] のDFTであり、
【数２６６】
2019142372.tif 000268
は、NB CE
【数２６７】
2019142372.tif 000269
を持つ雑音n[k] のDFTであり、
【数２６８】
2019142372.tif 000270
は帯域幅B 中のサンプル数であり、簡単のためNB = NTとする。
【数２６９】
2019142372.tif 000271
は。(33) のCE
【数２７０】
2019142372.tif 000272
を有する
【数２７１】
2019142372.tif 000273
番目のtemplateの信号スペクトルであり、
【数２７２】
2019142372.tif 000274
は、式(34) のCE
【数２７３】
2019142372.tif 000275
を有する相補信号スペクトルである。仮説H′1 の信号成分は、
【数２７４】
2019142372.tif 000276
と等しい。N 個のCE
【数２７５】
2019142372.tif 000277
が等エネルギであり、
【数２７６】
2019142372.tif 000278
の意味で擬似的直交であることを前提として、次の結果を得る。
【００９４】
命題5:
スペクトル密度N0 の白色ガウス雑音中の観測値
【数２７７】
2019142372.tif 000279
に基づいて、
【数２７８】
2019142372.tif 000280
を検出及び推定する
【数２７９】
2019142372.tif 000281
番目の対数尤度関数LLF は
【数２８０】
2019142372.tif 000282
と表される。
但し、
【数２８１】
2019142372.tif 000283
であり、或る決定レベルr′0 に対し、ρ = ρ0 と
【数２８２】
2019142372.tif 000284
を、次式を満たす整数とする。
【数２８３】
2019142372.tif 000285
このとき、受信器は、TFPの格子
【数２８４】
2019142372.tif 000286
上のaddress
【数２８５】
2019142372.tif 000287
の信号が到着したと判定し，全ての
【数２８６】
2019142372.tif 000288
がr′0 以下ならば、受信器は、信号は無いと判定する。
【数２８７】
2019142372.tif 000289
は、与えられた
【数２８８】
2019142372.tif 000290
の下でのkd のMLEである。なお、
【数２８９】
2019142372.tif 000291
は、TFSO
【数２９０】
2019142372.tif 000292
による，
【数２９１】
2019142372.tif 000293
のFD 版の位相関数である。
【００９５】
＜６． パラメタ推定用TD-, FD-CCF＞
＜6.1 TD-, FD-CCF＞
観測値
【数２９２】
2019142372.tif 000294
はNBであり、そのCE 
【数２９３】
2019142372.tif 000295
の実部及び虚部は別々に測定できると仮定する[非特許文献18, 3]。信号
【００９６】
【数２９４】
2019142372.tif 000296
（又は、
【数２９５】
2019142372.tif 000297
）を検出するため、及び、式(31) の
【数２９６】
2019142372.tif 000298
を有する
【００９７】
【数２９７】
2019142372.tif 000299
（又は、式(36)の
【数２９８】
2019142372.tif 000300
を持つ
【数２９９】
2019142372.tif 000301
）の代りに時間・周波数対称な統計量を得るために、以下で定義される、各々関連付けられたCCF を用いる(図3b 参照)。
【００９８】
Lemma 1: 式(30) の二つの仮説H0,H1 のCE
【数３００】
2019142372.tif 000302
はガウス雑音である仮定すると、CCF
【数３０１】
2019142372.tif 000303
が成立する。但し< ・, ・ >d,k は、離散時間関数の空間
【数３０２】
2019142372.tif 000304
におけるinner product(IP)である。故に、（受信器入力CE 
【数３０３】
2019142372.tif 000305
の代りに）減衰定数
【数３０４】
2019142372.tif 000306
を持つ受信CE
【数３０５】
2019142372.tif 000307
(即ち式(28) の受信CE
【数３０６】
2019142372.tif 000308
の信号成分) と、式(29)のaddress
【数３０７】
2019142372.tif 000309
における推定TD-template CE
【数３０８】
2019142372.tif 000310
の複素インパルス応答のNB matched filter との間のCCF（type-3 の相関器と呼ぶ）を、
【数３０９】
2019142372.tif 000311
で定義する。ここで、式(29) の符号X′ρ′ ,X の代りに、Y ′ρ′ ,Y を有する
【数３１０】
2019142372.tif 000312
を用いた。
【００９９】
少し計算すると，このCCF は
【数３１１】
2019142372.tif 000313
と表されることが分かる。
【０１００】
残念ながら、AF θgg(τ, ν),ΘGG(ν,-τ ) は、一般的に多数のサイドローブsidelobeを有する。しかし、ガウスチップパルスg(t)は、そのAFのτ, ν に関する変数分離性と指数関数的減衰特性
【数３１２】
2019142372.tif 000314
により、推定問題の革新的な解答を与える。ここで、
【数３１３】
2019142372.tif 000315
である。
【数３１４】
2019142372.tif 000316
が大きな値を持つためには、N,N′ ≫ 1 の場合、θgg[・, ・] の第一及び第二変数はいずれも小さくなければならない。即ち、式(39) の
【数３１５】
2019142372.tif 000317
の項は全て無視可能である。ガウス関数のこの性質が、
【数３１６】
2019142372.tif 000318
を最大化するlμ の決定に中心的役割を果たす。
【０１０１】
twiddle factor W のべき数のPDと関連するPCの三重和を評価するために、IDFT-型和
【数３１７】
2019142372.tif 000319
を角括弧
【数３１８】
2019142372.tif 000320
と丸括弧(a)m′（便利な記法(a)m′ = W-am′で定義する）の対で記号的に表示し、DFT-型和
【数３１９】
2019142372.tif 000321
も
【数３２０】
2019142372.tif 000322
の対で記号的に表示し、記号
【数３２１】
2019142372.tif 000323
を用いると、
Lemma 2: type-3 の受信器のaddressが、
【数３２２】
2019142372.tif 000324
であり、Y = X,Y′ = X′であるならば、CCFは、
【数３２３】
2019142372.tif 000325
と表される。
【０１０２】
故に、
【数３２４】
2019142372.tif 000326
が大きな値を持つためには
【数３２５】
2019142372.tif 000327
が成立する必要がある。但し式(39)の２番目のtwiddle factor の６個の項中の５個を並べ替え、
【数３２６】
2019142372.tif 000328
残りの一つを１番目のtwiddle factor に移動した。一方、FD では、
Lemma 3: 式(35) の二つの仮説H′0,H′1 の
【数３２７】
2019142372.tif 000329
はガウス雑音であるとすると、CCF
【数３２８】
2019142372.tif 000330
が成立する。但し、< ・, ・ >d,l は離散周波数のFD-関数の空間
【数３２９】
2019142372.tif 000331
のIP である。
【０１０３】
（FD-CE
【数３３０】
2019142372.tif 000332
の代りに）減衰定数
【数３３１】
2019142372.tif 000333
を有する受信FD-CE
【数３３２】
2019142372.tif 000334
、 即ち受信CE
【数３３３】
2019142372.tif 000335
の信号成分のFT と、式(33)のaddress
【数３３４】
2019142372.tif 000336
における推定FD-template CE
【数３３５】
2019142372.tif 000337
のNB matched filter の複素インパルス応答とのCCF（type-4 の相関器と呼称）を、
【数３３６】
2019142372.tif 000338
で定義する。このCCF は、
【数３３７】
2019142372.tif 000339
と表される。同様に、
【数３３８】
2019142372.tif 000340
が大きな値を持つために
【数３３９】
2019142372.tif 000341
と仮定できるので、N,N′ ≫ 1のとき、式(44) の
【数３４０】
2019142372.tif 000342
の全ての項は無視できる。twiddle factor の三つの項は纏められ、PC の３重和を評価すると、
Lemma 4: type-4 の相関受信器がaddress
【数３４１】
2019142372.tif 000343
を有し、Y = X,Y′ = X′ であれば、CCFは、
【数３４２】
2019142372.tif 000344
と表される。故に
【数３４３】
2019142372.tif 000345
が大きな値を持つためには，
【数３４４】
2019142372.tif 000346
でなければならない。但し、式(44) の２番目のtwiddle factor の６個の項目中の５個を並べ替え、
【数３４５】
2019142372.tif 000347
残りの一つを式(44)の１番目のtwiddle factor に移して、ガウス関数の変数分離性を利用すると(45) が得られる。式(41)及び(45)は、
【数３４６】
2019142372.tif 000348
と
【数３４７】
2019142372.tif 000349
が
【数３４８】
2019142372.tif 000350
に関して完全対称であることを示している。
【数３４９】
2019142372.tif 000351
及び、
【数３５０】
2019142372.tif 000352
の組（complementary pair(CP)[非特許文献27] と呼ぶ) のTD-PC とFD-PCの役割を入れ替えると
【数３５１】
2019142372.tif 000353
と
【数３５２】
2019142372.tif 000354
の組（original pair(OP)[非特許文献24,30] と呼ぶ）が以下の通りに得られる。
【０１０４】
[OP のTD-,FD-CCF:] 
v[k;χ] 及び
【数３５３】
2019142372.tif 000355
は別の分解
【数３５４】
2019142372.tif 000356
が可能である。但しTD-template
【数３５５】
2019142372.tif 000357
及びFD-template
【数３５６】
2019142372.tif 000358
は、
【数３５７】
2019142372.tif 000359
である。
【数３５８】
2019142372.tif 000360
を次式で定義される、格子
【数３５９】
2019142372.tif 000361
上のaddress
【数３６０】
2019142372.tif 000362
を有するTD-template
【数３６１】
2019142372.tif 000363
を有する推定受信TD-CE
【数３６２】
2019142372.tif 000364
とすると、type-1 相関器と呼ばれるCCF
【数３６３】
2019142372.tif 000365
が得られ、
【数３６４】
2019142372.tif 000366
と表される。Y = X,Y′ = X′ と置いて、
【数３６５】
2019142372.tif 000367
の項を除く全ての
【数３６６】
2019142372.tif 000368
の項は無視できるので
【数３６７】
2019142372.tif 000369
が得られる。
【０１０５】
但し、式(51) の第二のtwiddle factor の６個の項目中の５個の項目を並べ替えて
【数３６８】
2019142372.tif 000370
とし、残りの一つを第一のtwiddle factor に移して、ガウス関数のAF の変数分離性を用いると式(52) が得られる。
【０１０６】
次に、
【数３６９】
2019142372.tif 000371
を次式で定義される、格子
【数３７０】
2019142372.tif 000372
上のaddress
【数３７１】
2019142372.tif 000373
のFD-template
【数３７２】
2019142372.tif 000374
を有する推定受信FD-CE を、
【数３７３】
2019142372.tif 000375
とすると、type-2 相関器と呼ぶ関連のFD 相関器
【数３７４】
2019142372.tif 000376
が得られ、
【数３７５】
2019142372.tif 000377
が得られる。Y = X,Y′ = X′として、
【数３７６】
2019142372.tif 000378
を満たす
【数３７７】
2019142372.tif 000379
を除いて全ての項を無視すると、
【数３７８】
2019142372.tif 000380
が得られる。ただし、式(56)の第二のtwiddle factor の６個の項目中の５個を並べ替えて
【数３７９】
2019142372.tif 000381
残りの一つを第一のtwiddle factor に移すと式(57) が得られる。
【０１０７】
＜6.2 PULとvon NeumannのAPT＞
もし，Lemma 2 の
【数３８０】
2019142372.tif 000382
やLemma 4 の
【数３８１】
2019142372.tif 000383
に関し、chip pulseの時間幅LΔt や帯域幅LΔf の精度で二つの正確な推定値
【数３８２】
2019142372.tif 000384
が得られるならば、二つのCCF
【数３８３】
2019142372.tif 000385
は，
【数３８４】
2019142372.tif 000386
に各々含まれている干渉成分
【数３８５】
2019142372.tif 000387
をfilter 除去し、慣用の尖鋭なfilter を用いる事なく
【数３８６】
2019142372.tif 000388
を復元することができる。これは従来の通信で用いられているデジタル信号処理とは根本的に異なる。二組の相関器の推定値
【数３８７】
2019142372.tif 000389
を更新する簡単な方法がPhase-Updating Loop(PUL) と呼ぶ以下の手続きであり，従来の通信の同期の慣用の“Phase-Locked Loop”とは全く異なる。
【０１０８】
[減衰定数のMLE の更新付きPUL のアルゴリズム]:
【数３８８】
2019142372.tif 000390
及び
【数３８９】
2019142372.tif 000391
を各々type-3 及びtype-4 の相関器アレイのCom-plementary Pair(CP) とし、
【数３９０】
2019142372.tif 000392
及び
【数３９１】
2019142372.tif 000393
を、各々type-1 及びtype-2 の相関器アレイのOriginal Pair(OP) とする。簡単のためPUL のアルゴリズムが収束するまで、
【数３９２】
2019142372.tif 000394
と置く。パラメタθ′ = (td, fD) のs-step の離散化推定値
【数３９３】
2019142372.tif 000395
及び式(16) の
【数３９４】
2019142372.tif 000396
の代わりに、各々
【数３９５】
2019142372.tif 000397
を用いた減衰定数
【数３９６】
2019142372.tif 000398
のs-step のMLE
【数３９７】
2019142372.tif 000399
を
【数３９８】
2019142372.tif 000400
と定義する。整数値のペア
【数３９９】
2019142372.tif 000401
の更新は、
【数４００】
2019142372.tif 000402
で定まる。
【数４０１】
2019142372.tif 000403
を各々
【数４０２】
2019142372.tif 000404
とする。但し、初期値
【数４０３】
2019142372.tif 000405
は、自由に選択可能である。例えば、
【数４０４】
2019142372.tif 000406
に設定することができる。chip pulse g[k],及びG[l] の時間幅LΔt，及び帯域幅LΔf に対し、もし
【数４０５】
2019142372.tif 000407
が成立したとき、 (s + 1)-ステップは終了する。 得られる推定値は，MLEとなり、両相関器は、ML 受信器となる。
【０１０９】
歪のある信号の復元問題は、信号処理の重要な一分野である。Youla[非特許文献22] は、復元問題の解答を与えた。Youla の方法や記法を用いることで、PUL アルゴリズムの収束が如何にvon Neumann のAPT[非特許文献21] に依存しているかが判る。
【０１１０】
内積(inner product IP)
【数４０６】
2019142372.tif 000408
(又は
【数４０７】
2019142372.tif 000409
)、及びノルム
【数４０８】
2019142372.tif 000410
(又は
【数４０９】
2019142372.tif 000411
)を有する、２乗可加算の連続な離散時間関数（又は離散周波数関数）からなるヒルベルト空間
【数４１０】
2019142372.tif 000412
を考えよう。ε を
【数４１１】
2019142372.tif 000413
における任意の閉多様体closed linear manifold(CLM) とする。射影定理[非特許文献22] により、ε′ 及びε′′ を互いに直交する
【数４１２】
2019142372.tif 000414
の部分空間とすると、任意のf ∈ ε は、一意的な分解f = g + h, g ∈ ε′, h ∈ ε′′ を有する。但し、g, h は、f のε′, ε′′ の上への射影のことを指し、g = Pf, h = Qf と表記する。P はε′ の上への射影演算子projection operator(PO)であり、Q = I - P は、ε′′ の上へのPOであり，I は恒等演算子である。
【０１１１】
ε1（又はε3）をLΔt-（又はTs-) 時間制限Time limited(TL) の信号である
【数４１３】
2019142372.tif 000415
の全てからなる集合とする。一方，LΔf-(又はFs-) 帯域制限band limited(BL) の信号である
【数４１４】
2019142372.tif 000416
の全てからなる集合を、ε2（又はε4) とする。
【数４１５】
2019142372.tif 000417
はCLM[非特許文献22] となる。
【０１１２】
Pi を
【数４１６】
2019142372.tif 000418
の上へ射影する射影演算子とし、Qi = I - Pi を、εi の直交補空間
【数４１７】
2019142372.tif 000419
の上へ射影する射影演算子とする。CCF は、以下の意味でPO の役割を果たす。即ち、任意の信号r 及びs に対し信号r ∈ ε は、一意的分解
【数４１８】
2019142372.tif 000420
を有する。但し、
【数４１９】
2019142372.tif 000421
は、s の直交空間である。相関係数
【数４２０】
2019142372.tif 000422
は、r をε′ の上へ射影する射影演算子と見なせる。
【０１１３】
type-3, type-4 の相関器のペアCP(Complementary pair) と、type-1, type-2 の相関器のペアOP(Original Pair) は、次式のように直交射影演算子PO となる。
【数４２１】
2019142372.tif 000423
但し、
【数４２２】
2019142372.tif 000424
は、各々
【数４２３】
2019142372.tif 000425
の直交補空間である。
【０１１４】
Alternative Projection Theorem(APT)（図１１参照）を用いると以下の結果を得る。なお、APTによれば[非特許文献21, p.55,theorem 13.7]、E,Fを各々ヒルベルト空間のCLM ε,
【数４２４】
2019142372.tif 000426
の上への射影演算子とするとき、 演算子の系列E, FE,EFE, FEFE, . . .は極限G を持つ。また、系列F,EF, FEF, . . . も同じ極限G を持つ。更にG は
【数４２５】
2019142372.tif 000427
の上への射影演算子となる。(対称条件EF = FE は不要。)
[Theorem:PUL アルゴリズムの収束定理](図3c 参照): 
式(60) のs-ステップの推定値
【数４２６】
2019142372.tif 000428
(又は(61)) を有する
【数４２７】
2019142372.tif 000429
及び、同じく式(60)のs-ステップの推定値
【数４２８】
2019142372.tif 000430
(又は(61)) を有する(ρ, kσ) (又は(ρ′, kσ)) に関して行うargmax-演算を考える。当該argmax-演算で定まる(s + 1)-ステップの最尤推定値を含むTD 及びFD の４個のPO を、簡略化した記号で
【数４２９】
2019142372.tif 000431
及び
【数４３０】
2019142372.tif 000432
と表記する。PUL アルゴリズムは収束する。
【０１１５】
[証明]: 
CPのPO対(Ts-TL-PO P3,Fs-BL-PO P4)（OPのPO対(LΔt-TL-PO P1,LΔf-BL-PO P2)）の適用順で二つの異なる再帰式が得られる。なお、TD-PC X とFD-PC X′、即ち添え字(3, 4) と(1, 2) を入れ替えればOP はCP と同じなのでCP の証明だけを与える。
【０１１６】
先ず、
【数４３１】
2019142372.tif 000433
の復元アルゴリズムを与える。
【数４３２】
2019142372.tif 000434
とすると、
【数４３３】
2019142372.tif 000435
なので、
【数４３４】
2019142372.tif 000436
が得られ、
【数４３５】
2019142372.tif 000437
は演算子方程式
【数４３６】
2019142372.tif 000438
を満たすので、方程式
【数４３７】
2019142372.tif 000439
は、以下のTD の再帰式[非特許文献22, 23]
【数４３８】
2019142372.tif 000440
を与える。APT により
【数４３９】
2019142372.tif 000441
は、
【数４４０】
2019142372.tif 000442
のCLM εc =⊥ ε3∩ε4 の上へのPOとなる。εc は恒等的に零である関数しか含まないので[非特許文献22, p.699][非特許文献23, p.637]、 
【数４４１】
2019142372.tif 000443
となる。これは，Youla[非特許文献22] の主要な結果の一つである。従って結合PO
【数４４２】
2019142372.tif 000444
は、格子空間
【数４４３】
2019142372.tif 000445
上のchip とデータaddress
【数４４４】
2019142372.tif 000446
のLΔt×LΔf の矩形領域（CE 
【数４４５】
2019142372.tif 000447
のsupportと
【数４４６】
2019142372.tif 000448
のsupport の積集合：
【数４４７】
2019142372.tif 000449
)を抜き出し、TFP の残りをフィルタ除去する。但し、Δa,Δb,Δa′,Δb′は、Δa+Δb = M,Δa′+Δb′ = M′を満たす整数である。このようなPO対は，位相空間（又は時間・周波数空間TFP）の局所選択演算子localization operator[非特許文献7]と呼ばれる。CE ψ[k] が信号復元できるので、パラメタkd 及び
【数４４８】
2019142372.tif 000450
は、LΔt,及びLΔf の精度で推定可能となる。通常の厳密なTL(又はBL) 演算子[非特許文献23]と異なり、TL-PO P3(又はBL-PO P4)は、N 個の位相変調したTD-ガウスチップパルスg[k] (又はN′ 個の位相変調したFD-ガウスチップパルス
【数４４９】
2019142372.tif 000451
)を時間周波数シフトし、guard interval を設けないで無重畳に重ね合わせた信号をtemplate として定義している。
【０１１７】
逆に、FD では，Ψ ∈ ε3 であれば、
【数４５０】
2019142372.tif 000452
及び
【数４５１】
2019142372.tif 000453
が成立する。即ち，Ψは演算子方程式[非特許文献23]
【数４５２】
2019142372.tif 000454
を満たすので、FD の再帰式
【数４５３】
2019142372.tif 000455
が得られる。APT により、
【数４５４】
2019142372.tif 000456
は，(Ψ0 - Ψ)のCLM
【数４５５】
2019142372.tif 000457
の上へのPO となる。このCLMは零関数だけなので、limi→∞ Ψi = Ψである。
【０１１８】
FD CE 
【数４５６】
2019142372.tif 000458
が復元されるので、パラメタ
【数４５７】
2019142372.tif 000459
はLΔt,LΔfの精度で推定可能となる。
【数４５８】
2019142372.tif 000460
は、もう一つのlocalization operatorであり、格子空間
【数４５９】
2019142372.tif 000461
上のchip とdata addresses
【数４６０】
2019142372.tif 000462
のLΔt × LΔfの矩形領域（TD-CE 
【数４６１】
2019142372.tif 000463
の矩形support とFD-CE
【数４６２】
2019142372.tif 000464
のそれとの積集合：
【数４６３】
2019142372.tif 000465
を取り出し，残りをフィルタ除去する。（証明了）。
【０１１９】
＜７． Twinned FBMC＞
＜7.1 SFB:signature 送信器とレーダ信号送信器＞
式(25) のTD-signature v[k;χ] 及びFD-signature 
【数４６４】
2019142372.tif 000466
を生成するmulticarrier filter bank(FBMC) を与える。周期N のTD-PC Xm を繰り返し用いることで、時間t の標本点-∞, . . . ,-Tc, 0, Tc, . . . ,∞ で無限系列を生成し，一方周期N′ のFD-PC X′m′ を繰り返し用いることで，周波数f の標本点-∞, . . . ,- Fc, 0, Fc, . . . ,∞で無限系列を生成すると、
命題6:
式(25) のv[k;χ] 及び
【数４６５】
2019142372.tif 000467
は各々次式に書き直せる。
【数４６６】
2019142372.tif 000468
但し，
【数４６７】
2019142372.tif 000469
は，次式で定義される変調フィルタ
【数４６８】
2019142372.tif 000470
なお、Vaidyanathan[非特許文献13] は、入力x[k] 及び出力y[n] に対しfilter 係数h[・] を有する３種類のmulti-rate filter: 縮小率Mf の間引きdecimation filter:
【数４６９】
2019142372.tif 000471
、拡大率Lf の補間interpolation filter:
【数４７０】
2019142372.tif 000472
、及び、縮小率Mf/Lf のdecimation filter:
【数４７１】
2019142372.tif 000473
を定義した。
【０１２０】
[証明] 式(25) のTD-signature v[k;χ] (又はFD 
【数４７２】
2019142372.tif 000474
) は、N′(又はN) 個のsub-bands 及び拡大率M(又はM′) を有し，各m′th sub-band(又はmth sub-band)が、FD-PC X′m′ (又はTD-PC Xm) で位相変調されたsynthesis filter bank (SFB)[10, 12] の出力で得られる信号と見なせる。 実際，
【数４７３】
2019142372.tif 000475
が入力信号，
【数４７４】
2019142372.tif 000476
が該当SFB の(m,m′)th sub-band filter ならば、出力
【数４７５】
2019142372.tif 000477
は式(67) になる。（証明了）。
【０１２１】
なお，記号lcm[M,N′] = M0N′ = MN′0, lcm[M′,N] = M′0N = M′N0 を用いると（非特許文献[13],[10],[11]）、 M0N′,M′0N 個のpolyphase component
【数４７６】
2019142372.tif 000478
の導入により，各々polyphase filter(Vaidyanathan [13] のType 1 polyphase)
【数４７７】
2019142372.tif 000479
が定義される。なお、lm = lcm[M,N′], gd = gcd[M,N′] に対して、lm = MN′0 = N′M0 を満たす各々N′0,M0が存在し、一方、恒等式lm ・ gd = M ・ N′ からM = gd ・M0,N′ = gdN′0 が成立する。
【０１２２】
従って、２次元のTD-,FD-PC で位相変調された図4及び図5に示したsignature v[k], V [l] のSFB が得られる。
【０１２３】
なお、図４は、TD-,FD-PCs Xm,X′m′ 及びm′-番目のTD template
【数４７８】
2019142372.tif 000480
を有する式(25),(67) のTD signature v[k] を生成するSynthesys Filter Bank(SFB)を示している。
【０１２４】
また、図５は、TD-,FD-PCs Xm,X′m′ 及びm′-番目のTD template
【数４７９】
2019142372.tif 000481
を有する式(25),(67) のFD signature 
【数４８０】
2019142372.tif 000482
を生成するSFBを示している。
【０１２５】
一方、式(27) は、
【数４８１】
2019142372.tif 000483
及び
【数４８２】
2019142372.tif 000484
を生成するSFB を与える。
【０１２６】
命題7:
CE ψ[k;χ] 及び
【数４８３】
2019142372.tif 000485
は次式のように記述できる。
【数４８４】
2019142372.tif 000486
但し、
【数４８５】
2019142372.tif 000487
は次式で定義される変調フィルタである。
【０１２７】
【数４８６】
2019142372.tif 000488
[証明] 式(71) は以下を意味する。
【０１２８】
【数４８７】
2019142372.tif 000489
（又は、
【数４８８】
2019142372.tif 000490
）が入力信号であり、
【０１２９】
【数４８９】
2019142372.tif 000491
（又は、
【数４９０】
2019142372.tif 000492
）が、該当SFB の(q, q′))th sub-band のフィルタであれば、
【数４９１】
2019142372.tif 000493
(又はFD-CE 
【数４９２】
2019142372.tif 000494
) は、PP′ 個のsub-bands を有し、且つ、各sub-band で拡大率NM(又はN′M′) のSFB の出力である。
【０１３０】
従って、図6，7 の情報データが埋め込まれた送信信号のSFB が得られる。通常のSFBでは図4，5 のsignature 生成過程がない。図6，7 でN = N′ = 1 の場合が、通常のSFB に対応する。なお、データ伝送のmodulated filter(MF) 特性
【数４９３】
2019142372.tif 000495
を用いると、各々polyphase filter(Vaidyanathan[非特許文献13]のType 1 polyphase)
【数４９４】
2019142372.tif 000496
が定義される。ただし、P′0, P0 は、P′0MN = lcm[P′,MN], P0MN = lcm[P,MN]を満たす整数である。（証明了）。
【０１３１】
なお、図６は、複素数値データ
【数４９５】
2019142372.tif 000497
を入力信号とする式(27) のTD-Complex Envelope(TD-CE) 
【数４９６】
2019142372.tif 000498
を生成するSFBを示している。
【０１３２】
また、図７は、複素数値データ
【数４９７】
2019142372.tif 000499
を入力信号とする式(27) のFD-Complex Envelope(FD-CE)
【数４９８】
2019142372.tif 000500
を生成するSFBを示している。
【０１３３】
＜7.2 AFB:受信器と復号器＞
減衰定数Aeiκ の他に非可換な変復調のPD 
【数４９９】
2019142372.tif 000501
を含む、式(28)の受信信号
【０１３４】
【数５００】
2019142372.tif 000502
（又は、そのFT
【数５０１】
2019142372.tif 000503
）（
【数５０２】
2019142372.tif 000504
と略記する）と式(29) の推定template TD-CE
【数５０３】
2019142372.tif 000505
(又は式(33) の推定template FD-CE
【数５０４】
2019142372.tif 000506
)との間のtype-3 (又はtype-4) CCF を各々
【数５０５】
2019142372.tif 000507
とする。但し、PD
【０１３５】
【数５０６】
2019142372.tif 000508
（又は、
【数５０７】
2019142372.tif 000509
）は、r[k] (式(28),式(38)の
【数５０８】
2019142372.tif 000510
参照)(又は、
【数５０９】
2019142372.tif 000511
(式(28),式(43)の
【数５１０】
2019142372.tif 000512
参照)) の信号成分の変復調PD 
【数５１１】
2019142372.tif 000513
の補償項である。
【０１３６】
TD- (又はFD-) analysis filter bank(AFB)[非特許文献10, 12] が次のように得られる。
【０１３７】
命題8:
type-3 とtype-4 のCCF は各々
【数５１２】
2019142372.tif 000514
である。但しD = L - 1であり，
【数５１３】
2019142372.tif 000515
は各々TD-,FD-AFB の変調フィルタ
【数５１４】
2019142372.tif 000516
である。なお、N = N′ = 1 の場合、通常のAFB [非特許文献10, 11] に相当し、P × P′個の
【数５１５】
2019142372.tif 000517
が伝送されると、
【数５１６】
2019142372.tif 000518
を推定するため相関器アレイのaddress
【０１３８】
【数５１７】
2019142372.tif 000519
（p-番目の帯域，p′-番目の時間）の出力値を評価する。
【０１３９】
[証明]: 該当AFB が各sub-band で縮小率NM (又はN′M′ ) のP 個のsub-band(又はP′ 個のsub-band) を有し，
【数５１８】
2019142372.tif 000520
番目（又は、
【数５１９】
2019142372.tif 000521
番目）のsub-band の入力信号が、式(75) (又は式(76))の位相変調受信TD-信号
【数５２０】
2019142372.tif 000522
(又はFD-信号
【数５２１】
2019142372.tif 000523
) であるとすれば、次の二つの事実：
(i) TD信号の対称性[非特許文献10]：
【数５２２】
2019142372.tif 000524
(式(21) 参照)；
(ii)TD 信号の対称性から受け継がれたFD 信号の性質
【数５２３】
2019142372.tif 000525
から、フィルタ係数
【０１４０】
【数５２４】
2019142372.tif 000526
（又は、
【数５２５】
2019142372.tif 000527
）は、式(77) であることが言える。（証明了）。
【０１４１】
また、式(77) のAFB のfilter 特性とP′0MN, P0M′N′ 個のpolyphase components
【数５２６】
2019142372.tif 000528
を用いると、各々N′,N 個のpolyphase filter (Vaidyanathan[非特許文献13] のType 2 polyphase)
【数５２７】
2019142372.tif 000529
が定義され、図8，9 のAFB が得られる。N = N′ = 1,N0 = N′0 = 1 の場合が通常のAFBに対応する。
【０１４２】
TD-AFB(又はFD-AFB)の２値シンボルは，
【０１４３】
【数５２８】
2019142372.tif 000530
（又は、
【数５２９】
2019142372.tif 000531
）の符号で定まる。但し
【数５３０】
2019142372.tif 000532
は、MLE 値
【数５３１】
2019142372.tif 000533
(式(59) 参照) を有する減衰定数Aeiκ のMLEである。TD 及びFD に関して対称な図4〜図7 のSFB、及び、図8,9のTD-AFB，FD-AFB のペアを“twinned-FBMC”と呼ぶ。
【０１４４】
なお、図８は、複素数値データ
【数５３２】
2019142372.tif 000534
復号のためのTD 相関器アレイを装備したAnalysis Filter Bank(AFB)を示している。
【０１４５】
また、図９は、複素数値データ
【数５３３】
2019142372.tif 000535
復号のためのFD 相関器アレイを装備したAFBを示している。
【０１４６】
なお、図８、図９における
【数５３４】
2019142372.tif 000536
及び
【数５３５】
2019142372.tif 000537
は、それぞれ、上述した
【数５３６】
2019142372.tif 000538
及び
【数５３７】
2019142372.tif 000539
に対応している。
【０１４７】
PUL アルゴリズムを、図10 のようにTD-AFB 及びFD-AFB 間のインターフェースとして実装すると、得られた時変・適応型AFBは、レーダに対してはパラメタ推定器になり、他の通信システムに対しては、PULアルゴリズムの収束後同期器になる。更にこれは、データ通信システムに対しては複素CCF値
【数５３８】
2019142372.tif 000540
及び
【数５３９】
2019142372.tif 000541
に基づく
【数５４０】
2019142372.tif 000542
の復号器になる。なお，このFBMC の式(68)，式(72) 及び式(77) で定義されるフィルタは、全て多相フィルタ（Vaidyanathan のtype1-又はtype2-多相形[非特許文献13] と呼ばれる)で実現できるが、詳細は省略する。
【０１４８】
なお、図１０の(a)はTD 相関器アレイを示しており、(c)は、FD 相関器アレイのAnalysis Filter Bank(AFB) を示しており、(b)は、von Neumann のAPT による両アレイの最尤推定値の交互更新を模式的に示している。
【０１４９】
＜８． 時間，周波数シフトの非可換性を利用した通信の他の例＞
非可換性を利用した通信の典型例のレーダ問題では、通信路のdelay td，Doppler
shift fD をパラメタとするTFSO
【数５４１】
2019142372.tif 000543
及び、受信器で必要なdelay，Doppler shift の推定値
【数５４２】
2019142372.tif 000544
を有するTFSO
【数５４３】
2019142372.tif 000545
の対に関し、各々の送信・受信TD,FD信号への事前のハーフシフトがtd, fD のパラメタ推定に有用である事を明らかにした。本節では非可換性を利用した通信の具体例を二、三取り上げる。
【０１５０】
これまで簡単化のため単一ターゲットを議論した。複数個ターゲットへの拡張は容易である。例えば式(32),式(37) の決定レベルr0, r′0 を利用することでターゲット探索空間中の複数個ターゲットが検出可能となる。この他にも、
＜8.1 CDMTによる複数個ターゲット検出＞
例えば，ターゲット探索空間Θ′ = [0, T) × [0, F) を４分割：
【数５４４】
2019142372.tif 000546
し、各々の空間に、TD-,FD-PC:
【数５４５】
2019142372.tif 000547
を割り当てて、２次元PC
【数５４６】
2019142372.tif 000548
のチップaddress を
【数５４７】
2019142372.tif 000549
と表す。また、signature を
【数５４８】
2019142372.tif 000550
とする。但しχ(1),χ(2),χ(3),χ(4) は
【数５４９】
2019142372.tif 000551
に対応する。レーダ送信信号のCEは
【数５５０】
2019142372.tif 000552
であり、多重target 検出用である。
【０１５１】
Npath 個のdoubly dispersive chanel のdelay, Doppler, 減衰定数
【数５５１】
2019142372.tif 000553
の通信路を経た受信信号の信号成分は、
【数５５２】
2019142372.tif 000554
となる。一方、受信器では、式(29),式(33) のTD-,FD-CE
【数５５３】
2019142372.tif 000555
に、２次元PC χ（又は
【数５５４】
2019142372.tif 000556
）を代入し、式(38),式(43) のtype-3,type-4 のCCF 
【数５５５】
2019142372.tif 000557
の
【数５５６】
2019142372.tif 000558
の可動範囲を、各々
【０１５２】
【数５５７】
2019142372.tif 000559
（又は
【数５５８】
2019142372.tif 000560
）とする最尤推定でtarget 検索を行う。他の部分領域でのtarget 検索も同様である。これは、code division multiple access の考えに見習い２次元PC で多重target 検索を行うので、Code Division Multiple Target(CDMT) と呼ぶ。
【０１５３】
N = N′ = 64,Npath = 4の数値シミュレーション結果では、PUL アルゴリズムを適用するとSNR 5dB以上で80% の確率で3,4 個のtarget 検出に成功している。
【０１５４】
＜8.2 人工的な非可換シフトを埋め込むdelay-Doppler space Division multiplexing に基づく超高MPSK＞
PUL の収束証明で重要な役割を果たした、Hilbert 空間の部分空間、Ts-TL TD空間、及びFs-BL FD 空間の各々の上への直交射影演算子P3, P4 で用いる式(38),式(43)のTD-, FD-CCF
【数５５９】
2019142372.tif 000561
は、非可換通信由来の各種TFSOの中で送・受信信号生成のTFSO 対
【０１５５】
【数５６０】
2019142372.tif 000562
（又は、
【数５６１】
2019142372.tif 000563
）が本質であることを示している。何故なら、これらには未知数
【数５６２】
2019142372.tif 000564
と、最尤値
【数５６３】
2019142372.tif 000565
の探索用制御パラメタ
【数５６４】
2019142372.tif 000566
とのいずれかが含まれているからである。変・復調のTFSO
【数５６５】
2019142372.tif 000567
やデータ、チップaddress
【数５６６】
2019142372.tif 000568
をパラメタとするTFSO
【数５６７】
2019142372.tif 000569
は、これらのいずれとも無関係である。
【０１５６】
一方、
【数５６８】
2019142372.tif 000570
で指定される、TD-,FD-CCF 対
【数５６９】
2019142372.tif 000571
の出力（式(41),(45)）には、各種PDを含む形で情報データ
【数５７０】
2019142372.tif 000572
が陽に現れる。このことは、
【数５７１】
2019142372.tif 000573
の位相項の人工的なパラメータとしてパラメタ値
【０１５７】
【数５７２】
2019142372.tif 000574
（簡単のため減衰定数は
【数５７３】
2019142372.tif 000575
とする）が、上記の複数個target 検出法を用いれば利用可能であることを示している。上記を鑑み、本実施形態に係る送受信システムは、具体的には、送・受信信号のNpath 個のTFSO対及びTD-,FD-CCF 対
【数５７４】
2019142372.tif 000576
を用いる非可換通信であり、パラメタ値
【数５７５】
2019142372.tif 000577
を埋め込んだ送信信号のNpath 対のTD-,FD-template を利用する。この場合のPUL を送信信号に人工的に埋め込んだ非可換shift 量
【数５７６】
2019142372.tif 000578
を受信器で復元するという意味で、通常のPULと少し異なる。なお非特許文献[25, 30] では、transmitter,receiver間のパラメタ更新を“active PUL”と呼んだが、PUL は、収束証明の都合上transmitter での更新には適用できないので、本明細書では．transmitter に、既知の非可換shift量
【数５７７】
2019142372.tif 000579
を埋め込み、受信器（reciever）でそのshift 量を用いて最尤推定を行う。これは、通常のPUL の応用例である。
【０１５８】
複数個の互いに独立な２次元PC を利用するCDMT は、
【数５７８】
2019142372.tif 000580
phase shift keying (PSK) データ
【数５７９】
2019142372.tif 000581
のデータ通信に有効である。N′,N 個のアレイ型TD-,FD-CCF の入力部分に各々位相補償項
【数５８０】
2019142372.tif 000582
を前置した、phase tuned layer(PTL)は、 TD-,FD-CCF対
【数５８１】
2019142372.tif 000583
の出力（式(41),(45)） の
【数５８２】
2019142372.tif 000584
を各々
【数５８３】
2019142372.tif 000585
に置き換える位相補償と、式(60)のPUL の最尤推定の演算
【数５８４】
2019142372.tif 000586
の二変数に代わり、PTL 用の変数
【数５８５】
2019142372.tif 000587
を追加した三変数の
【数５８６】
2019142372.tif 000588
に修正することとに相当する。これにより最尤推定の複素出力の位相揺らぎは平均零のガウス分布に似た分布に変わる。
【０１５９】
本実施形態に係る送受信システムは、N = N′ = 16, 
【数５８７】
2019142372.tif 000589
SNR 30dB で良好な数値シミュレーション結果を得ている。しかしながら、
【数５８８】
2019142372.tif 000590
の場合、分布のmain lobe の左右両側にside lobe が生じるので復号error の原因となる。このため、単純な位相補償を用いる限り、復号誤りの観点からは、
【数５８９】
2019142372.tif 000591
までとすることが好ましい。
【０１６０】
続いて、本実施形態に係る送受信システムとして、 
【数５９０】
2019142372.tif 000592
のデータ通信を行うためにdelay-Doppler のパラメタ空間Θ′ を
【数５９１】
2019142372.tif 000593
個に均等分割して、各々の部分空間に２次元PC
【数５９２】
2019142372.tif 000594
を割り当て、更に人工的なshift量
【数５９３】
2019142372.tif 000595
が、そのi 番目の部分空間の中心点近傍にあると見なすことで、8-PSK を基本単位とするTD-,FD-CCF のPTLの位相補償項を各々
【数５９４】
2019142372.tif 000596
とする、delay-Doppler space division muliplex(dDSDM)を実現する非可換通信を例示する。この場合、
【数５９５】
2019142372.tif 000597
に対するPTL 及びその最尤推定の四変数演算は各々
【数５９６】
2019142372.tif 000598
となる。従って、本実施形態に係る送受信システムは、合計
【数５９７】
2019142372.tif 000599
個のCCFを備えている。16, 32 個の２次元PCを用いた128PSK,256PSK の復号結果が得られている。しかしながら、これは本質的に位相WMの弁別精度を強いるもので、超高の
【数５９８】
2019142372.tif 000600
-PSKの符号化・復号化の改善につながらない。
【０１６１】
以下では、同期を行いながら、超高の
【数５９９】
2019142372.tif 000601
-PSK
の符号化・復号化するシステム、及び、同期・測距兼用の
【数６００】
2019142372.tif 000602
-ary PSK-符号化・復号化器について、図１２〜１７を参照して説明する。
【０１６２】
まず、図１２は、
【数６０１】
2019142372.tif 000603
-PSK通信可能/高速・高精度測距可能な送信器（符号化器）の構成を示すブロック図である。
【０１６３】
同期・測距の場合（図１２のSwitch1-1,1-2が上に接続されている状態）と
【数６０２】
2019142372.tif 000604
-PSKのデータ通信を行う場合（図１２のSwitch1-1,1-2が下に接続されている状態）とで、送信器及び受信部において、それぞれ切り替えを行う。入力のデータ
【数６０３】
2019142372.tif 000605
が
【数６０４】
2019142372.tif 000606
-PSKの場合（換言すればデータ通信有りの場合）、各図に示すswitchが下側の経路に切り替わる。
【０１６４】
以下ではまず図１２の送信器のブロック図における各ブロックについて説明する。図１２において、左端の入力は、
【数６０５】
2019142372.tif 000607
であり、図１２に示すswitch1-1及びswitch1-2が上側に接続された状態の同期・測距のモードでは、送信器は、
【数６０６】
2019142372.tif 000608
を行う。一方、図１２に示すswitch1-1及びswitch1-2が下側に接続された状態（換言すればデータ通信有りの状態）では、送信器は、chip波形を入力として
【数６０７】
2019142372.tif 000609
を行う。次に「kの符号化器」のブロックでは0th-ACから、
【数６０８】
2019142372.tif 000610
th-ACが並列に配置され、その中間には複数の黒丸が
【数６０９】
2019142372.tif 000611
のように縦に配置されている。ここで、各黒丸は、各ＡＣを省略的に表現しているに過ぎない。
【０１６５】
本実施形態に係る符号化器は、「kの符号化器」のブロックにおいて、jの値に応じて、「kの符号化器」のブロックにおける左右両側のswitch1-3及びswitch1-4を切り替え、その後、「kの符号化器」のブロックにおける下流側で
【数６１０】
2019142372.tif 000612
の変調を行い、
【数６１１】
2019142372.tif 000613
と符号化する。
【０１６６】
その後、送信器が備えるswitch1-2の上下には各々送信
【数６１２】
2019142372.tif 000614
、各々送信
【数６１３】
2019142372.tif 000615
が得られる。本実施形態に係る符号化器では、更に
【数６１４】
2019142372.tif 000616
変調の後、
【数６１５】
2019142372.tif 000617
-MCを経て、noiseが加わり、
【数６１６】
2019142372.tif 000618
復調を経て、受信CEが得られる。
【０１６７】
以上が図１２に示した各ブロックの説明である。
【０１６８】
高次の
【数６１７】
2019142372.tif 000619
-PSKデータ
【数６１８】
2019142372.tif 000620
伝送は位相雑音の影響で位相
【数６１９】
2019142372.tif 000621
の弁別が困難なので、まずkの符号化器（図１２における下段右の実線で囲んだ部分）の中間のblockで
【数６２０】
2019142372.tif 000622
と符号化し、低次の
【数６２１】
2019142372.tif 000623
-PSKデータ
【数６２２】
2019142372.tif 000624
伝送を行う事を考える。一方
【数６２３】
2019142372.tif 000625
の伝送は、時間シフト、周波数シフトが正確に復元可能な本特許提案の同期・測距法を援用する。そのために時間遅れ・ドップラシフトのパラメタ平面Θを
【数６２４】
2019142372.tif 000626
個に均等排反分割した部分平面Θ(i)に２次元PC χ(i)を割り当てる（図１７参照）。chip波形を
【数６２５】
2019142372.tif 000627
による２次元BPSK変調とそれらを
【数６２６】
2019142372.tif 000628
多重化し、更に、この信号がΘ(i)の中心点に相当する時間シフト、周波数シフトの人工的通信路(Artificial Channel:AC)を通過したと想定する。このため、0th ACから
【数６２７】
2019142372.tif 000629
th ACの中からjに応じたACを選択し、その出力信号で
【数６２８】
2019142372.tif 000630
を
【数６２９】
2019142372.tif 000631
-PSK変調する。これが送信CEとなり、
【数６３０】
2019142372.tif 000632
変調を経て伝搬路(Main Channel:MC)の
【数６３１】
2019142372.tif 000633
-MCに送出される。
【数６３２】
2019142372.tif 000634
復調を経てnoiseが印加され受信CEとなる。
【０１６９】
続いて、図１３に示す各ブロックを説明する。
【０１７０】
図１３は、
【数６３３】
2019142372.tif 000635
-PSK通信可能であり、高速・高精度測距可能な受信同期器（復号化器）の構成を示すブロック図である。
【０１７１】
図１３に示したswitch2-1が上側に接続された状態では、受信器は、
【数６３４】
2019142372.tif 000636
を行う。一方、switch2-1が下側に接続された状態（換言すればデータ通信有りの状態）では、まず、「kの復号化器」のブロックで
【数６３５】
2019142372.tif 000637
と復号化し、
【数６３６】
2019142372.tif 000638
された信号を左側のblockに入力する。そのblockは、0th-AC、
【数６３７】
2019142372.tif 000639
th-AC AC
が並列に配置され、その中間には複数の黒丸が
【数６３８】
2019142372.tif 000640
のように縦に配置されている。ここで、各黒丸は、各ＡＣを省略的に表現しているに過ぎない。
【０１７２】
本実施形態に係る符号化器は、「kの復号化器」のブロックにおいて、
【数６３９】
2019142372.tif 000641
の値に応じて左右両側のswitch2-3及びswitch2-4を切り替え、その後、左側で
【数６４０】
2019142372.tif 000642
復調を行い、下段のblock CORに左端の受信CEと共に入力される。
【０１７３】
但し、図１３における「COR」は、correlatorのことを指す。
図１３における「COR」の右側の大きなblockは、(ρ',ρ)選択による
【数６４１】
2019142372.tif 000643
,Aeiκ-最尤推定及び
【数６４２】
2019142372.tif 000644
復元＆kの復号を行うブロックである。switch2-2が上側に接続された状態では、受信器は、
【数６４３】
2019142372.tif 000645
という処理を行い、switch2-2が下側に接続された状態（換言すればデータ通信有りの状態）では、受信器は、
【数６４４】
2019142372.tif 000646
という処理を行う。
【０１７４】
以上が図１３に示した各ブロックの説明である。
【０１７５】
受信CEを、chip波形の２次元PCχによる２次元BPSK復調を行う場合を考える。受信器においてswitch2-1が下側に接続された状態のデータ通信有のモードでは、chip波形をjの推定値
【数６４５】
2019142372.tif 000647
の２次元PC
【数６４６】
2019142372.tif 000648
による２次元BPSK復調して得られる信号を、0th-ACから
【数６４７】
2019142372.tif 000649
th-ACの中から選択した
【数６４８】
2019142372.tif 000650
th-ACに入力し、その出力信号で
【数６４９】
2019142372.tif 000651
を
【数６５０】
2019142372.tif 000652
-PSK復調する。最終段のパラメタ推定のblock（即ち「COR」の出力が入力されるブロック）では
【数６５１】
2019142372.tif 000653
に対して各々四変数
【数６５２】
2019142372.tif 000654
に関して演算argmaxを行い、PULによる
【数６５３】
2019142372.tif 000655
-最尤推定（PULの収束値は
【数６５４】
2019142372.tif 000656
）を行う。
ここで、最尤推定はswitch2-2が上側に接続された場合と下側に接続された場合とで共通であるが、switch2-2が上側に接続された状態では、復号器は、
【数６５５】
2019142372.tif 000657
の復元を行い、switch2-2が下側に接続された状態であるデータ通信有りのモードでは
【数６５６】
2019142372.tif 000658
-最尤推定値によるkの復号
【数６５７】
2019142372.tif 000659
を行う。なお、通常の同期・測距のモード（上のswitch状態）でもデータ
【数６５８】
2019142372.tif 000660
は低次の
【数６５９】
2019142372.tif 000661
-PSK変・復調は可能（例えば
【数６６０】
2019142372.tif 000662
）である。
【０１７６】
続いて、図１４は、Main channel(MC)のdelay τ-Doppler shift ν空間上のCCF実部の大きさの分布例を模式的に示す図である。
【０１７７】
同期・測距のモードでmain lobeは
【数６６１】
2019142372.tif 000663
に位置し、他のside lobeと区別化できる。なお、波線はbackground noiseを示す。
【０１７８】
図１５は、ACがMain channel(MC)に重畳された場合のτ-ν空間上のCCF実部の大きさの分布例を模式的に示す図である。
【０１７９】
MCの前に
【数６６２】
2019142372.tif 000664
-PSK信号の情報kの符号化で導入された三種のArtificial channel(AC)が縦続接続された場合のCCF実部の大きさの分布を示している。MCは
【数６６３】
2019142372.tif 000665
に位置したままであるが、ACが重畳された場合MC+AC0、MC+AC1、MC+AC2は各々
【数６６４】
2019142372.tif 000666
に位置する。時間シフト、周波数シフトの量は加法的になるがPDは群論的性質を伴って伝搬する。図１５のような分布図を得るためには、本明細書で明らかにしたようにPDの厳密評価と共にCCF実部の極大化を行う最尤推定でCCF実部の極大値を与える変数の数を増加させて正確に見積もる必要がある。なお、追加した変数j,j'の種類数は各々
【数６６５】
2019142372.tif 000667
である。
【０１８０】
図１６は、余次元２の、非可換性を有するACのシフトのパラメタ空間を利用した信号のTFP分割を示す図である（パラメタ空間であるので「余次元」という表現を用いている）。
【０１８１】
図１６では、信号(時間幅Ts,帯域幅Fs)の時間・周波数平面TFP Sの分割（Gabor分割）（S(0),S(1),S(2),S(3)）平面と直交する軸にACの非可換シフトの量
【数６６６】
2019142372.tif 000668
を示す目盛りを示している。
【０１８２】
図１７も、余次元２の、非可換性を有するACのシフトのパラメタ空間を利用した信号のTFP分割を示す図である。
【０１８３】
図１７のように、ACの非可換シフトの量に応じてTFPは各々AC0のTFP、AC1のTFP、AC2のTFP、AC3のTFPのようにshiftされる。なお、信号のSは
【数６６７】
2019142372.tif 000669
のMCのtarget spaceの単位平面
【数６６８】
2019142372.tif 000670
と同一視できる。即ち、targetがデータaddress
【数６６９】
2019142372.tif 000671
近傍のtarget spaceの部分平面[(p-1)Ts,pTs)×[(p'-1)Fs,p'Fs) に存在する場合、adress
【数６７０】
2019142372.tif 000672
の特定が必要となるので、図１３の２種のCCF実部の最大化変数としていずれの場合も
（データ通信有り無しにかかわらず）
【数６７１】
2019142372.tif 000673
を取り上げている。
【０１８４】
上述のように、図１２及び図１３の送受信器で上側及び下側のシステムが切り替えられる。
【０１８５】
図１２及び図１３でswitch1-1、1-2、2-1、2-2が上側に接続されたシステムが特許文献６に開示されているシステムであり、これらのswitchが下側に接続されたシステムが、非可換AC-shift-符号化・復号化に基づく多重化方式である。
【０１８６】
このように、図１２及び図１３では、従来のシステムとの差分、新規性が明らかな図である。
【０１８７】
本実施形態に係る送受信システムでは、多値位相変調（
【数６７２】
2019142372.tif 000674
-ary PSK）
【数６７３】
2019142372.tif 000675
のデータ信号伝送では、上記送信信号に“情報k”を高効率に埋め込むために、整数
【数６７４】
2019142372.tif 000676
に対し、２次元位相偏移変調(BPSK)用の、周期NのTD位相変調符号(TD-PC)
【数６７５】
2019142372.tif 000677
と周期N'のFD位相変調符号(FD-PC)
【数６７６】
2019142372.tif 000678
の組を
【数６７７】
2019142372.tif 000679
組用意する。時間遅れ、ドップラシフトのパラメタ平面
【数６７８】
2019142372.tif 000680
及び、信号のTFP S = [0,Ts) × [0,Fs)を
【数６７９】
2019142372.tif 000681
個均等分割した部分平面を各々
【数６８０】
2019142372.tif 000682
とする。（Ts= NMΔt,Fs= N'M'Δfはデータシンボル
【数６８１】
2019142372.tif 000683
の時間、帯域幅、Tmax,Fmaxは検出すべき時間遅れ、ドップラシフトの最大値、Ts,Fsの整数倍P,P'とする。Δt,Δfは量子化幅。）次に情報kを
【数６８２】
2019142372.tif 000684
と分解して
【数６８３】
2019142372.tif 000685
とその余り
【数６８４】
2019142372.tif 000686
と符号化する。符号(j,j')伝送のために、第一に時間Tc= MΔt，帯域幅Fc= M'Δfのチップパルスを２次元PC X(i)で変調したTD-signature, FD-signatureを(Ts,Fs)レベルのシフトを施して
【数６８５】
2019142372.tif 000687
-signature-多重化する。第二にその多重化信号が部分パラメタ平面Θ(j)の中心：
【数６８６】
2019142372.tif 000688
のシフトを有する人工的伝搬路(Artificial Channel:AC)を通過したと想定する。これを模擬するため、TD-,FD-signature信号に第四のシフト演算子
【数６８７】
2019142372.tif 000689
を作用させる。第三に、得られた信号で
【数６８８】
2019142372.tif 000690
-aryデータ信号
【数６８９】
2019142372.tif 000691
を変調する
【数６９０】
2019142372.tif 000692
。この信号をTFP上でシンボル
【数６９１】
2019142372.tif 000693
の(P/P')の無重畳重ね合わせた信号を送信TD-,FD-CEとする(図１２参照)。
【数６９２】
2019142372.tif 000694
-aryデータ通信のTD-信号のCEとそのDFTは、式(27)の代りに
【数６９３】
2019142372.tif 000695
と定まる。但し、
【数６９４】
2019142372.tif 000696
はTD-signatureとFD-signature
【数６９５】
2019142372.tif 000697
である（式（25）参照）。ここで、
【数６９６】
2019142372.tif 000698
は、図１６及び図１７に示す部分平面S(i)付随のチップアドレス(m,m')の可動範囲（Sのアドレスの対応部分）を表す。
【数６９７】
2019142372.tif 000699
であり、同期法や測距時のN,N'に比べ、データ通信では、信号の時間・周波数平面及びtarget平面をPC符号分割するので精度を得るために
【数６９８】
2019142372.tif 000700
倍必要である。図１２及び図１３を参照(データ通信有のスイッチ上下は、同期法や測距時、データ通信に対応する)のこと。
【０１８８】
式(87)ではi番目の２次元PC X(i)で変調したsignatureν[k;χ(i)](or
【数６９９】
2019142372.tif 000701
)を
【数７００】
2019142372.tif 000702
-（χ(i)＆ signature）-多重化した信号が
【数７０１】
2019142372.tif 000703
-aryデータ
【数７０２】
2019142372.tif 000704
のkの符号(j,j')対応のシフト
【数７０３】
2019142372.tif 000705
のACを通過しこれに
【数７０４】
2019142372.tif 000706
-aryデータ
【数７０５】
2019142372.tif 000707
の情報を担わせたCE
【０１８９】
【数７０６】
2019142372.tif 000708
（又はDFT
【数７０７】
2019142372.tif 000709
）が新たな送信TD-CE(or FD-CE)である。但し、
【数７０８】
2019142372.tif 000710
は大きさ１の実数（図１２の送信器参照）。
【０１９０】
受信システムではkの復号のため推定値
【数７０９】
2019142372.tif 000711
対応の推定符号
【数７１０】
2019142372.tif 000712
と対応のシフト
【数７１１】
2019142372.tif 000713
のACを模擬した、シフト演算子
【数７１２】
2019142372.tif 000714
を作用させ、更に推定
【数７１３】
2019142372.tif 000715
のPD補償をする（図１３の受信器参照）。具体的にはACのシフトを利用した、type-3,type-4の相関器は、式(38),(43)の代りに、二変数j,j'とそれに応じた最大化変数
【数７１４】
2019142372.tif 000716
が追加され、
【数７１５】
2019142372.tif 000717
上式２種の相関関数では、式(87)の送信CE信号で演算子
【数７１６】
2019142372.tif 000718
がパラメタ推定用の２次元PC演算子
【数７１７】
2019142372.tif 000719
と
【数７１８】
2019142372.tif 000720
の伝搬路(Main Channel:MC)の演算子
【数７１９】
2019142372.tif 000721
の間に挿入される（図１２参照）。一方受信側では式(89),(90)の
【数７２０】
2019142372.tif 000722
-ary PSKのための
【数７２１】
2019142372.tif 000723
種の
【数７２２】
2019142372.tif 000724
のACの推定AC演算子
【数７２３】
2019142372.tif 000725
(or
【数７２４】
2019142372.tif 000726
)が
【数７２５】
2019142372.tif 000727
の推定MC演算子
【数７２６】
2019142372.tif 000728
(or
【数７２７】
2019142372.tif 000729
)) と推定２次元PC演算子
【数７２８】
2019142372.tif 000730
) の間に挿入される（図１３参照）。
【０１９１】
図１２及び図１３の
【数７２９】
2019142372.tif 000731
-PSK通信可能/高速・高精度測距可能な送受信器と符号復号化器は、時間遅れ・ドップラシフトの余次元２のパラメタ空間Θを排反分割したdelay-Doppler Space Division Multiplexing(dD-SDM)(非特許文献30、特許文献６)の実現例である。これは
【数７３０】
2019142372.tif 000732
-PSKのデータkの代りに符号
【数７３１】
2019142372.tif 000733
を伝送することとし、信号がΘ(j)の中心の時間シフト
【数７３２】
2019142372.tif 000734
、周波数シフト
【数７３３】
2019142372.tif 000735
のACを通過したことで生じるPD検出（図１４、１５参照）でj,j'を復号する。受信側でjを検出するためには送信側で異なるiのPC χ(i)で２次元BPSKし、これらを
【数７３４】
2019142372.tif 000736
多重化し、これを
【数７３５】
2019142372.tif 000737
th-ACに入力しその出力信号で
【数７３６】
2019142372.tif 000738
の
【数７３７】
2019142372.tif 000739
-PSK復調を行う。
【数７３８】
2019142372.tif 000740
は
【数７３９】
2019142372.tif 000741
種あるので
【数７４０】
2019142372.tif 000742
個のACと２次元BPSKのPC
【数７４１】
2019142372.tif 000743
が必要である。受信側ではchip波のTFP上の四重の多重化で埋め込まれたtemplateの検出を行う。推定
【数７４２】
2019142372.tif 000744
th-ACの選択で、
【数７４３】
2019142372.tif 000745
の最尤推定を行う。
【数７４４】
2019142372.tif 000746
-PSK通信を
【数７４５】
2019142372.tif 000747
種の非可換シフトのAC挿入による多重化で高次の
【数７４６】
2019142372.tif 000748
-PSK通信を実現している。
【０１９２】
このdD-SDMは、余次元２の、非可換シフトのパラメタ空間を利用した多重化通信方式である。これは、[0,Ts) × [0,Ts)のシンボル平面のTFP（target平面の単位部分平面と同一視）との直交軸がACの非可換シフト軸である、３次元化（ACのシフトで階層化）された時間・周波数空間(Time-Frequency Space:TFS)を有するので（図１６、図１７参照）、従来の信号のTFP分割のTDMA,FDMAとは異なる方式である。パラメタの高速・高精度推定を保証するAPT-basedのPULは根幹技術である。なお、非可換性シフトを有するACは各種伝搬線路で代替できるので、超高次のPSK通信が望まれる光通信への応用が期待される。
【０１９３】
非特許文献30や特許文献６では、
【数７４７】
2019142372.tif 000749
の多重targets検出問題をCDMT(Code-Division Multiple Targets:CDMT)(非特許文献27)として捉え、Npath個の２次元PCと
【数７４８】
2019142372.tif 000750
のshift演算と二つの位相回転因子の積
【数７４９】
2019142372.tif 000751
による位相補償でtargets検出を行っている。これは実質的に微小な位相量
【数７５０】
2019142372.tif 000752
の弁別を強いる方法で、大きな
【数７５１】
2019142372.tif 000753
に対し位相雑音による復号誤差が生じ、限界があった。更に、
【数７５２】
2019142372.tif 000754
-MCの演算子
【数７５３】
2019142372.tif 000755
やその補償のshift
【数７５４】
2019142372.tif 000756
を用いることなく、
【数７５５】
2019142372.tif 000757
-aryの復号を行っているのでMCを通過した２重のshiftされた信号の多重targets検出問題ではなくパラメタ推定の収束の保証もなかった。これを解決するため、本明細書に係る発明では新たに２種の相関関数
【数７５６】
2019142372.tif 000758
を定義し、各種のshift演算子に基づいた正確なPD評価とその補償を行った。
式(89),(90)の２種の相関関数の式(87)の
【数７５７】
2019142372.tif 000759
(又は
【数７５８】
2019142372.tif 000760
)に含まれる
【数７５９】
2019142372.tif 000761
を復号するための受信部(図１２参照)に埋め込んだ
【数７６０】
2019142372.tif 000762
による、PD補償の計算は極めて煩雑である。しかし、詳細な計算過程は省略するが、高次の
【数７６１】
2019142372.tif 000763
-aryPSKの復号のための相関関数は、
【数７６２】
2019142372.tif 000764
種の２次元PC
【数７６３】
2019142372.tif 000765
を用いることで以下の変数の置換：
【数７６４】
2019142372.tif 000766
(受信側での置換：
【数７６５】
2019142372.tif 000767
に伴い、多数の位相項が発生し、更に相関関数実部を最大化する最尤推定パラメタが２変数
【数７６６】
2019142372.tif 000768
(or
【数７６７】
2019142372.tif 000769
)から４変数
【数７６８】
2019142372.tif 000770
(or
【数７６９】
2019142372.tif 000771
)へと拡張され（図１３参照。但し、
【数７７０】
2019142372.tif 000772
(or
【数７７１】
2019142372.tif 000773
）、式(39),(44)を一般化した形式で各々
【数７７２】
2019142372.tif 000774
ただし、
【数７７３】
2019142372.tif 000775
である。又
【数７７４】
2019142372.tif 000776
は信号部分平面
【数７７５】
2019142372.tif 000777
付随のチップアドレスn,n'の可動範囲、
【数７７６】
2019142372.tif 000778
である。式(91),(92)のambiguity function(AF)θgg[・],ΘGG[・]は、g,Gがガウス関数の場合指数関数的減少関数であること及び、互いに排反なチップアドレス分割
【数７７７】
2019142372.tif 000779
や
【数７７８】
2019142372.tif 000780
が
Θ(j)の中心であることから、AFの第一変数、第二変数が大きいデータアドレス
(p-q)MN1,(p'-q')M'N1'のp'≠q',p≠qの項やチップアドレス
【数７７９】
2019142372.tif 000781
の項は無視でき、p' = q',p = qや
【数７８０】
2019142372.tif 000782
の項だけが残り、
【数７８１】
2019142372.tif 000783
中の
【数７８２】
2019142372.tif 000784
が抽出され、
【数７８３】
2019142372.tif 000785
が特定される。これらがΘを排反分割し２次元PC χ(i)で変調した信号を
【数７８４】
2019142372.tif 000786
-多重化し、敢えて、PD発生源のACを
【数７８５】
2019142372.tif 000787
個並列化し、信号をその一つのACに通過させる最大の理由である。なお、
【数７８６】
2019142372.tif 000788
の特定は
【数７８７】
2019142372.tif 000789
-aryの位相補償
【数７８８】
2019142372.tif 000790
で達成される(図１２及び図１３参照)。
【０１９４】
上記２種の相関関数は互いに独立な２次元PC
【数７８９】
2019142372.tif 000791
を用い、kの符号
【数７９０】
2019142372.tif 000792
とその推定符号
【数７９１】
2019142372.tif 000793
-依存の非可換シフトの
【数７９２】
2019142372.tif 000794
-ACのPDを利用した、PULに基づく最尤推定で、位相の最小弁別を
【数７９３】
2019142372.tif 000795
とする、位相雑音に耐性の復号法である。
【０１９５】
【数７９４】
2019142372.tif 000796
-ary PSKのデータ通信を行う前に同期（同期捕捉、同期保持）や測距を確立しておくことは有効である。しかしながら、現実の通信では
【数７９５】
2019142372.tif 000797
のMCを介した通信を前提とする、上式の二つの相関関数が必要である。両関数は図１２及び図１３上スイッチ状態において同期捕捉・同期保持を行い、図１２及び図１３の下スイッチ状態において
【数７９６】
2019142372.tif 000798
-ary PSKの符号化・復号化を並行的に可能にする。即ち、上記２種の相関関数は、レーダに対しては時間遅れ・ドップラシフトの測距器として動作し、
【数７９７】
2019142372.tif 000799
-aryデータ無線通信（図１２及び図１３の下スイッチ状態）に対しては時間遅れ・ドップラシフトの同期器及び符号・復号器として動作する、振幅変調不要多値位相変調復調システムである。これは２次元PC
【数７９８】
2019142372.tif 000800
を秘密鍵とする無線の秘密通信システムの実現例或いは、秘密のデータ通信及び測距が可能な車載レーダ・データ通信システムを与える。
【０１９６】
従来法と異なり、振幅に ”情報 ”を課さない理由は、(1)通信路の減衰定数Aeiκの随時推定、(2)復号器の単純化等にある。正確なPD評価とその補償及びPD活用は、周波数資源有効利用の通信方式としての超高次の
【数７９９】
2019142372.tif 000801
-ary通信の実現を容易にする。なお、
【数８００】
2019142372.tif 000802
個の２次元PCを用いるので
【数８０１】
2019142372.tif 000803
多重通信を行うことも可能である。
【０１９７】
＜8.3 多次元非可換性を利用した信号処理＞
DaughmanはGabor関数
【数８０２】
2019142372.tif 000804
を2次元に拡張した[非特許文献33,34]。その前の準備としてHowe[非特許文献5]に従い，
【数８０３】
2019142372.tif 000805
に対し二つのシフト演算子
【数８０４】
2019142372.tif 000806
を導入する。但しν・tは内積を示す。続いて、
【数８０５】
2019142372.tif 000807
に対しscalar product
【数８０６】
2019142372.tif 000808
を導入すれば集合
【数８０７】
2019142372.tif 000809
は
【数８０８】
2019142372.tif 000810
上のユニタリ演算の群となり，
【数８０９】
2019142372.tif 000811
(Hを次数nのHeisenberg groupと呼ぶ)上での結合則
【数８１０】
2019142372.tif 000812
が成立する。また，
【数８１１】
2019142372.tif 000813
を導入しフーリエ変換^を用いれば、二つのHのユニタリ表現
【数８１２】
2019142372.tif 000814
間に
【数８１３】
2019142372.tif 000815
の関係が成立する（Howe('80))
Daughman[非特許文献35]は，次式の互いに同一形式の２次元空間領域（space domain:SD)の空間変数
【数８１４】
2019142372.tif 000816
のcomplex Gabor elementary function g(x)と２次元空間周波数領域（frequency domain:FD)の空間周波数
【数８１５】
2019142372.tif 000817
の2-D Fourier transform(FT)
【数８１６】
2019142372.tif 000818
[非特許文献35,36]
【数８１７】
2019142372.tif 000819
の2-D Gabor filter族を定義した。なおPは直流分が零となるような初期位相である。
【数８１８】
2019142372.tif 000820
は楕円型Gauusianを時計回りにθ回転させた
【数８１９】
2019142372.tif 000821
SD関数g(x)，FD関数
【数８２０】
2019142372.tif 000822
は，完全対称で各々のシフト量
【数８２１】
2019142372.tif 000823
の位置でピークとなる2-D Gaussian envelopeを含み，２次moment
【数８２２】
2019142372.tif 000824
間の不確定性関係[非特許文献35, 36]
【数８２３】
2019142372.tif 000825
を与える。（等式は式(97)の2-D Gabor filter族により達成される。）なお，
【数８２４】
2019142372.tif 000826
は変調，scaleパラメタと呼ばれる。
【０１９８】
式(99)の条件下で最適な解像度を有する空間・空間周波数同時表現(画像表現は音声のspectrogramの４次元拡張版)が画像処理で重要である。
【０１９９】
或る与えられた2-D信号I[x]（例えば256×256のpixcel上の画像,i.e.,(256)2=65536次元ベクトル空間のベクトル）の表現のために，I[x]を或る選択された2-Dベクトルの集合
【数８２５】
2019142372.tif 000827
の上への射影による最適表現を考える。[非特許文献35]これは線形和
【数８２６】
2019142372.tif 000828
との誤差エネルギ||I[x]-H[x]||2を最小化する展開係数
【数８２７】
2019142372.tif 000829
の決定に帰着される。Daughmanは，非直交系
【数８２８】
2019142372.tif 000830
に対する，aiを求める勾配法がn×n(上の例でn=65536)の疎行列問題となりその実行は非現実的なので，neural networkに基づく方法を提案している。この他，画像のedge検出や特徴抽出等の画像解析に関する種々の方法が提案されている。[非特許文献37,38,39]
本特許では，(100)が空間・空間周波数シフト(x0i,u0i)を有する2D Gauss関数
【数８２９】
2019142372.tif 000831
による
2D Gabor展開であるので，前節の１次元の非可換演算に基づく信号処理法に倣い，SD表現(100)のFD表現を対称的に考察するため，I[x],H[x]の2-D Fourier transform
【数８３０】
2019142372.tif 000832
を利用して画像のSD-FD表現問題
【数８３１】
2019142372.tif 000833
を考える。画像をHilbert空間の部分空間ε,ε'の要素
【数８３２】
2019142372.tif 000834
と考え，誤差
【数８３３】
2019142372.tif 000835
の最小化を各々n組のSD,FDの直交射影演算子
【数８３４】
2019142372.tif 000836
による
【数８３５】
2019142372.tif 000837
の直和分解
【数８３６】
2019142372.tif 000838
で行う。template集合
【数８３７】
2019142372.tif 000839
の選択が重要である。例えば．
【数８３８】
2019142372.tif 000840
を各々(L1Δx×L2Δy)-空間制限のGauss関数や(L1Δu×L2Δv)-空間周波数帯域制限のGauss関数とすれば，
【数８３９】
2019142372.tif 000841
は，各々Hilbert空間の部分空間の上への直交射影(orthogonal projection:OP)である。両OPに２次元のvon NeumannのAPTが適用できる。両OPからAPTの交互射影である，それらの結合演算子localization operator
【数８４０】
2019142372.tif 000842
が誘導されるので
【数８４１】
2019142372.tif 000843
これらは，2×2次元のSD-FD空間中のpeak-address (x0i,u0i)の
【数８４２】
2019142372.tif 000844
の部分領域を抽出し他の領域の信号をfilter-outする。この信号再生法は，従来法と全く異なる，2次元非可換性を利用した信号処理である。但し，
【数８４３】
2019142372.tif 000845
である。
【数８４４】
2019142372.tif 000846
は
【数８４５】
2019142372.tif 000847
の直交空間である。なお，この場合，Howeのシフト演算子(93)と異なり，SD,FD信号
【数８４６】
2019142372.tif 000848
の対称性のため、ハーフシフト 
【数８４７】
2019142372.tif 000849
を有する２次元のvon NeumannのSD,FDのsymmetrical space-space frequency shift operator : SFSO
【数８４８】
2019142372.tif 000850
を利用すると，2×2次元のSD-FD空間中のpeak-address (x0i,u0i)を有する2-D Gabor function
【数８４９】
2019142372.tif 000851
及びその
【数８５０】
2019142372.tif 000852
は
【数８５１】
2019142372.tif 000853
DFTを考えよう。空間座標
【数８５２】
2019142372.tif 000854
のsampling間隔を(M,N)，空間変数
【数８５３】
2019142372.tif 000855
のSD関数
【数８５４】
2019142372.tif 000856
に対し，空間周波数
【数８５５】
2019142372.tif 000857
のsampling間隔
【数８５６】
2019142372.tif 000858
の離散化空間周波数
【数８５７】
2019142372.tif 000859
のFD関数
【数８５８】
2019142372.tif 000860
は，SD関数
【数８５９】
2019142372.tif 000861
との間のtwiddle factor 
【数８６０】
2019142372.tif 000862
を有する２次元DFT
【数８６１】
2019142372.tif 000863
の関係
【数８６２】
2019142372.tif 000864
で定まる。従ってSD関数
【０２００】
【数８６３】
2019142372.tif 000865
（又は，FD関数
【数８６４】
2019142372.tif 000866
）のsupportは
【０２０１】
【数８６５】
2019142372.tif 000867
（又は，
【数８６６】
2019142372.tif 000868
）。SD空間のpeak-address x0i間隔を(MxΔx,MyΔy)，FD空間のpeak-address u0iのpeak間隔を
【数８６７】
2019142372.tif 000869
とし，正規化条件
【数８６８】
2019142372.tif 000870
を要請すると，
【数８６９】
2019142372.tif 000871
を得る。更に
【数８７０】
2019142372.tif 000872
のspace shift，frequency shiftも
【数８７１】
2019142372.tif 000873
と離散化すれば，von Neumannの離散TFSOの２次元版は，次式の２次元の対称な空間シフト・空間周波数シフト演算子symmetrical SFSO
【数８７２】
2019142372.tif 000874
として定義される．画像処理にはこれに基づく計算法が有効であろう。何故ならば(108)
の両シフト演算子によりハーフシフト
【数８７３】
2019142372.tif 000875
の位相項が各々SD,FD信号
【数８７４】
2019142372.tif 000876
に埋め込まれているので(102)の内積で
【数８７５】
2019142372.tif 000877
が有効に抽出されるからである。なお，時間変化のある画像解析は3次元非可換性を利用した信号処理の対象と考える事ができる。
【０２０２】
＜9 本明細書に記載した発明の特徴＞
本明細書で構築した、時間遅れ，Doppler shift の高精度推定法は．非可換性を利用した多元通信システムの一例に過ぎない。これは、通信理論の開祖Gabor が1946年の論文[非特許文献1] に続く論文[非特許文献2] で、量子力学の二つの非可換作用素に注目し提唱した“非可換性を利用した多元通信”の一つの具体的例題と見なせる。
【０２０３】
TFP 上で行う信号の重ね合わせに伴う，信号の時間及び周波数シフトの非可換性の理解が進んでいない現状において、非可換性を利用した通信システムの実現が望まれる。
【０２０４】
本明細書で提案した時間，周波数シフトの非可換性を利用した通信システムは、少なくとも、次の観点を有する。
【０２０５】
（観点１）
特許文献1及び参考文献[非特許文献26, 27, 30] で定義・導入した、時間周波数対称なシフト演算子symmetrical TFSO（式4,24) は、
(i) そのハーフシフトによりパラメタ推定で重要なシフト量をTD，FD のPD として顕在化する;
(ii) 非可換な変復調に伴うPD
【数８７６】
2019142372.tif 000878
発生は自明;
(iii) 非可換性に伴うPD 評価はtwiddle factor
【数８７７】
2019142372.tif 000879
のべき演算に帰着できるので，そのPD 補償法は，容易になる等の特徴を有する。
【０２０６】
（観点２）
TD-,FD-PC 変調（２次元BPSK）は周知の通信技術であるが，時間，周波数シフトの演算の一種であると理解することにより，各々TD-,FDPC変調した広帯域送信信号には，PC によるPD がTD-,FD-templateとして埋め込まれる。
【０２０７】
（観点３）
周波数資源の有効利用の常套手段である，TFP 上の信号の無重畳重ね合わせで用いる時間，周波数シフト演算は，データレベルのPD を誘発する。このPD はパラメタ推定に重要な要素である。
【０２０８】
（観点４）
パラメタ推定のためのM 種検定法で必要なTD-,FD-template 検出のTD-,FD-尤度関数は、各々TD-,FD-CCF アレイを誘導する。TD-,FD-CCFは、Hilbert 空間の部分空間のTL-TD 空間，BL-FD 空間の上へのPO P3, P4(又はP1, P2) を定義し、APT の適用の枠組を与える。
【０２０９】
（観点５）
APT の交互射影を表すPO 対の結合演算子
【０２１０】
【数８７８】
2019142372.tif 000880
（又は、
【数８７９】
2019142372.tif 000881
）は、Nyquist 条件を満たさないとの理由により通信では用いられないGauss 関数のAFの変数分離性や指数関数的減衰特性により、TFPの特定部分を局所選択するlocalization operator となる。その結果。TD-,FD-CCF アレイは良質な受信器となる。
【０２１１】
上記の各観点は、特許文献及び非特許文献の公表以降に明らかにした、新しい観点であり、本明細書に記載の発明のポイントは、以下のように表現することもできる。
【０２１２】
（ポイント１）
時間・周波数対称な時間周波数シフト演算子symmetrical TFSO（式4,24）に基づいて、時間遅れと周波数シフトの二つの非可換性を利用した多重通信のためのTFP 上で行う非可換操作に伴うPD 評価法及びPD補償法のアルゴリズムとその理論的根拠を与えた。
【０２１３】
（ポイント２）
TD,FD の尤度関数を構成することで最尤相関器による信号復元やパラメタ最尤推定を実現した。
【０２１４】
（ポイント３）
古典的位相偏移変調(BPSK) は、その非可換性によるPD を誘発するが、当該PDはパラメタ推定や信号復元での重要な手掛かりになる。
【０２１５】
（ポイント４）
通信の常套手段の，TFP 上での信号の無重畳重ね合わせや変復調に伴い発生する非可換のPD はデータレベルの信号検出に有効である。
【０２１６】
（ポイント５）
これらのPD を全て補償するTD のCCF（又はFD のCCF）は、各々von Neumann のAPT のHilbert 空間の二つの不可欠な部分空間（時間制限空間，帯域制限空間）の上への直交射影演算子を定義する。
【０２１７】
（ポイント６）
TD,FD の直交射影演算子の結合演算子がTFP 上での局所選択演算子となり慣用のDSP の尖鋭なフィルタの役割を果たす。
【０２１８】
（ポイント７）
画像信号表現では2×2の空間・空間周波数平面(Space-Frequency plane:SFP)上の信号の分離性に優れた性質を有する２次元Gabor関数(97)によるGabor展開(100)が多用されている。しかし，従来の技術では、Gabor関数に内包する２次元の空間・周波数シフト演算子が１次元信号の非可換時間・周波数シフト演算子と同様，非可換のシフト由来の位相歪の発生に気付いていないようである。SD,FD信号を対称的に取り扱う画像の空間・空間周波数の同時表現問題(101)をHilbert空間のSD-領域制限関数やFD-帯域制限関数の上への直交射影演算子
【数８８０】
2019142372.tif 000882
による直和分解(102)で解き，SD,FDに関して対称な空間・周波数シフト演算子SFSO(105)による２次元Gabor関数(106)や離散版symmetrical SFSO (108)を定義し，localization operator(103)を誘導し，von NeumannのAPTに基づく画像表現や画像復元等の非可換性を利用した画像処理法の理論的枠組を与える。
＜＜送受信システムの構成例１＞＞
以下では、上述した理論的側面に則した送受信システムの第１の構成例について図面を参照して説明する。
【０２１９】
図１８は、本構成例に係る送受信システム１の構成例を示すブロック図である。図１８に示すように、通信システム１は、送信装置１００、及び受信装置２００を備えている。送受信システム１は、レーダとして用いられてもよいし、レーダ以外の通信システム（例えば、主として音声データや画像データなどを送受信するデータ送受信システム）として用いられてもよい。
【０２２０】
＜送信装置１００＞
送信装置１００は、上述の説明において、「送信器」の動作として記載されていた事項を実際に実行する装置である。
【０２２１】
一例として、図１８に示すように、送信装置１００は、送信用データ取得部１０１、送信信号生成部１０２、及び送信部１０３を備えている。
【０２２２】
（送信用データ取得部１０１）
送信用データ取得部１０１は、送信対象のデータを取得する。送受信システム１をデータ送受信システムとして用いる場合には、送信対象のデータは、例えば、音声データ、画像データ、及びテキストデータの少なくとも何れかをデジタルデータ化したものであってもよいし、その他のデータであってもよい。
【０２２３】
また、送受信システム１をレーダとして用いる場合には、送信対象のデータは、レーダ用のパルス波であってもよい。
【０２２４】
（送信信号生成部１０２）
送信信号生成部１０２は、送信用データ取得部１０１が取得した送信対象データに対して、送信信号生成処理を施すことによって、送信信号を生成する。
【０２２５】
送信信号生成部１０２は、一例として、図４〜図７に示したＳＦＢの少なくとも何れかを備えて構成される。
【０２２６】
送信信号生成処理の例としては、上述した周期N,N′のTD-,FD- phase code:PCを用いた変調処理、即ちTD-,FD-Binary phase-shift Keying:２次元BPSKなどが挙げられる。
【０２２７】
送信信号生成部１０２が生成する送信信号としては、例えば、上述した
【数８８１】
2019142372.tif 000883
等が挙げられる。また、送信信号生成部１０２による具体的な処理として、＜４． TD-, FD-signature とtemplate＞において説明した各処理が挙げられる。
【０２２８】
また、送信信号生成部１０２は、上述した＜7.1 SFB:signature 送信器とレーダ信号送信器＞において説明した各処理を実行する構成としてもよい。また、送信信号生成部１０２は、上述した＜8.2 人工的な非可換シフトを埋め込むdelay-Doppler space Division multiplexing に基づく超高MPSK＞において説明した各処理を実行する構成としてもよい。
【０２２９】
（送信部１０３）
送信部１０３は、送信信号生成部１０２が生成した送信信号を送信する。
【０２３０】
＜受信装置２００＞
受信装置２００は、上述の説明において、「受信器」の動作として記載されていた事項を実際に実行する装置である。
【０２３１】
一例として、受信装置２００は、図１８に示すように、受信部２０１、シフト推定及び受信データ抽出部２０２、受信データ出力部２０３を備えている。
【０２３２】
（受信部２０１）
受信部２０１は、送信装置１００が送信した信号を受信する。受信部２０１が受信する信号の例として、例えば、上述した
【数８８２】
2019142372.tif 000884
が挙げられる。
【０２３３】
（シフト推定及び受信データ抽出部２０２）
シフト推定及び受信データ抽出部２０２（単に推定部とも呼ぶ）は、受信部２０１が受信した信号に対して、シフト推定処理を行うと共に、受信データを抽出する。
【０２３４】
シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、一例として、図８〜１０に示したＡＦＢの少なくとも何れかを備えて構成される。
シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、例えば、上述した＜５． M 種仮説検定によるTD-, FD-信号検出と推定＞、及び＜６． パラメタ推定用TD-, FD-CCF＞において説明した各処理を行う。
【０２３５】
また、シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、上述した＜7.2 AFB:受信器と復号器＞において説明した各処理を実行する構成としてもよい。また、送信信号生成部１０２は、上述した＜8.2 人工的な非可換シフトを埋め込むdelay-Doppler space Division multiplexing に基づく超高MPSK＞において説明した各処理を実行する構成としてもよい。
【０２３６】
従って、シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、信号を受信する受信方法（図１３参照）であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間（図１７参照）を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定ステップ（図１３、及び同図のswitch2-1,2-2の上下の接続に応じて各々式(38),(43)及び式(89),(90)参照）を実行する。
【０２３７】
また、送信信号生成部１０２は、余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフトステップ（図１２、及び、同図のswitch1-1,1-2の上下の接続に応じて各々式(25),(27)及び式(88),(87)参照）を実行する。
【０２３８】
また、上記余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間は、時間を示す第１の軸及び周波数を示す第２の軸によって張られる平面を、時間及び周波数シフトを示す第３の軸によって３次元化して得られる空間（図１７参照）である。
【０２３９】
なお、上述した
【数８８３】
2019142372.tif 000885
-MC自身もACと同様、余次元2のパラメタ平面であり、時間・周波数の信号平面TFP上に施されるshift演算に伴うパラメタ平面である。“shift平面”と時間tと周波数fのTFP（図１６参照）と区別する必要がある。信号の変数t,fに対して行われる４則演算、微分、積分等とは別に、位相に関わる非可換のshift演算（図１７の第三軸参照）を特別視した。
【０２４０】
また、特許文献６〜８に関連して以下付言する。
【０２４１】
a)変調・復調時の
【数８８４】
2019142372.tif 000886
(又はその離散版
【数８８５】
2019142372.tif 000887
)及び減衰定数AeiκのPD eiκを全て取り込んで連立させる必要が有る。何故ならばシフトの群論的性質から各PDは独立でなく伝搬するので正確なPD補償にならない。時間シフト、及び周波数シフトの推定値の更新過程では、これらのPDの補償との連動(同時並行処理：式５９)に留意する必要がある。
【０２４２】
b)本特許の時間シフト、周波数シフトは各々時間、周波数変数に対応する、余次元2のパラメタ空間の変数の呼称であり、これらの非可換シフト演算は位相関数（位相歪）を誘発する。一方、通信での時間オフセット及び周波数オフセットは周期や搬送周波数の“ずれ”である。
【０２４３】
（1）特許文献７、８の推定された時間オフセット及び周波数オフセットや、特許文献７のOFDM方式の通信方式における時間、周波数オフセットは、各々パルス波形の時間幅や搬送周波数の揺らぎ、本特許の時間シフトtd、周波数シフトfDに対応する。両特許文献は、td,fD間の非可換性を無視しているので通常の同期捕捉・同期保持法として理解される。
【０２４４】
（2）“意図的な”シフトとオフセットは混用し易いので、本明細書では、”オフセット ”ではなく、”指数関数肩部のハーフシフト ”（従来の非可換演算のシフトの半分）との表現を用いている。また、本明細書に記載の発明の一特徴は送信信号に ”事前のハーフシフトされた位相関数 ”を含む事や、非可換性を有する時間、周波数シフトの群論的性質を考慮した補償法であると表現できる。
【０２４５】
c)特許文献８のチャネル推定のための受信されたプリアンブルは時間領域template信号であり、周波数領域信号には言及しておらず、非可換性に基づかない、通常のチャネル推定法である。
【０２４６】
（1）特許文献６のPULアルゴリズムに対し、1) Hilbert空間である信号空間の部分空間として、各種のtemplateの属するヒルベルト空間εi,1≦i≦4を定義し、2)上記第１のN'個の相関関数(type3- or type1-CCF)がNMΔt(又はLΔt）-TL-TD関数のヒルベルト空間ε3（又はε1）の上への直交射影演算子P3（又はP1）であること及び上記第２のN個の相関関数(type4- or type2-CCF)がN'M'Δf(又はLΔf）-BL-FD関数のヒルベルト空間ε4（又はε2）の上への直交射影演算子P4（又はP2）であること、3) TFPで２次元template-matchingを行う、局所選択演算子LOの交代射影定理:Alternative Projection Theorem(APT)Operator:APTO P3F-1,dP4Fd（又はP4FdP3F-1,d）による更新過程は、両ヒルベルト空間の合併集合内の関数に収束する(von NeumannのAPT:F-1d,FdはIDFT,DFT）、4)そのTL-TD関数及びBL-FD関数の合併集合は空集合、即ち零関数である（Youlaの定理）等を明らかにし、更に、PULは、相関関数の種類数N,N'の積N・N'ではなく和N+N'に比例する計算複雑度とガウスチップパルスの時間幅LΔt、帯域幅LΔfの精度の時間シフト、周波数シフトの推定値を与えることを証明した（L=(ΔtΔf)-1= MM'）。
【０２４７】
（2）特許文献８のチャネル推定のMMSEアルゴリズムは、Bayes則に基づく２パラメタ推定なので、計算複雑度は積(N・N')となる。一方本明細書での尤度関数は、Bayes則と関連があるが、時間シフト推定のN'個の尤度関数と周波数シフト推定のN個のそれからなり、各々TL-TD空間、BL-FD空間で交互に最尤推定を行うので計算複雑度は和(N+N')となり、文献３の方法と全く異なるパラメタ推定法である。
【０２４８】
また、シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、式(84)及び関連する記載を用いて説明したように、一例として、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定ステップ実行し、上記推定ステップは、
時間シフトの推定値、及び周波数シフトを表現する第１のシフト演算子
【数８８６】
2019142372.tif 000888
と、
時間シフト、及び周波数シフトの推定値を表現する第２のシフト演算子
【数８８７】
2019142372.tif 000889
と、
を用いて、上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する。
【０２４９】
上記推定ステップは、
時間シフトの推定値、周波数シフト、及び、推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第一のシフト演算子
【数８８８】
2019142372.tif 000890
)と、
時間シフト、周波数シフトの推定値、及び、推定周波数シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第二のシフト演算子
【数８８９】
2019142372.tif 000891
と、
推定対象の時間シフト及び推定対象の周波数シフトの観測値、及び、推定対象の時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第三のシフト演算子（
【数８９０】
2019142372.tif 000892
又はその周波数双対
【数８９１】
2019142372.tif 000893
）と、
時間シフト、及び周波数シフトの推定値、及び、推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第四のシフト演算子（
【数８９２】
2019142372.tif 000894
又はその周波数双対
【数８９３】
2019142372.tif 000895
）とを用いて、上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する。
【０２５０】
送信時間信号の位相関数には、時間に関する１又は複数のシフトパラメタのシフト量の半分のハーフシフトの位相量、及び、送信周波数信号の位相関数には周波数に関する１又は複数のシフトパラメタのシフト量の半分のハーフシフトの位相量を含んでいる。
【０２５１】
上記のように構成された受信装置２００によれば、高効率の受信装置を実現することができる。一例として、受信装置２００をレーダー受信装置として構成した場合、高速な受信装置を実現することができる。
【０２５２】
また、シフト推定及び受信データ抽出部２０２が実行する上記推定ステップでは、式(84)及び関連する記載を用いて説明したように、一例として、上記第１のシフト演算子を用いて表される第１の相関関数
【数８９４】
2019142372.tif 000896
、及び、上記第２のシフト演算子を用いて表される第２の相関関数
【数８９５】
2019142372.tif 000897
を参照して上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する。
【０２５３】
また、上述したように、上記第１の相関関数は、
【数８９６】
2019142372.tif 000898
と表現され、上記第２の相関関数は、
【数８９７】
2019142372.tif 000899
と表現される。
【０２５４】
上記推定ステップでは、上記第１のシフト演算子、第３のシフト演算子、及び第４のシフト演算子を用いて表される第１の相関関数、
【数８９８】
2019142372.tif 000900
及び、
上記第２のシフト演算子、第３のシフト演算子、及び第４のシフト演算子を用いて表される第２の相関関数
【数８９９】
2019142372.tif 000901
を参照して上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する。
【０２５５】
このように、第１の相関関数（式(89)参照）、及び第２の相関関数（式(90)参照)は、変調周波数fcの変調及び復調における、時間シフトtdに伴う非可換演算による位相歪
【数９００】
2019142372.tif 000902
又はその離散版
【数９０１】
2019142372.tif 000903
及び、伝送時の位相歪eiκを含んでいる。
【０２５６】
また、シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、式(60)、式(61)及びそれに関連する記載を用いて説明したように、時間シフトの推定値、及び周波数シフトの推定値
【数９０２】
2019142372.tif 000904
又は、
【数９０３】
2019142372.tif 000905
の更新処理を、
【数９０４】
2019142372.tif 000906
で定まる
【数９０５】
2019142372.tif 000907
を各々
【数９０６】
2019142372.tif 000908
に設定することによって行う。
【０２５７】
このように、シフト推定及び受信データ抽出部２０２が行う推定処理には、
第１の相関関数
【０２５８】
【数９０７】
2019142372.tif 000909
（又は式(89)）を参照して、
【数９０８】
2019142372.tif 000910
を求め、その値を
【数９０９】
2019142372.tif 000911
に設定することにより周波数シフトの推定値を更新する工程と、
第２の相関関数
【０２５９】
【数９１０】
2019142372.tif 000912
（又は式(90)）を参照して、
【数９１１】
2019142372.tif 000913
を求め、その値を
【数９１２】
2019142372.tif 000914
に設定することにより時間シフトの推定値を更新する工程と、
を交互に繰り返す交互更新ステップが含まれている。
【０２６０】
また、上記推定ステップでは、上述したように、
Ｎ'個のTD-template信号検出の尤度関数による周波数シフト最尤推定と、
N個のFD-template信号検出の尤度関数による時間シフト最尤推定と
に基づいて、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する。
【０２６１】
また、上記最尤推定において、
式(89)の相関関数
【数９１３】
2019142372.tif 000915
及び式(90)の相関関数
【数９１４】
2019142372.tif 000916
を参照する場合には、式(60)第一式右辺
【数９１５】
2019142372.tif 000917
及び第二式
【数９１６】
2019142372.tif 000918
の代わりに各々適用し、更に、argmax演算では、
【数９１７】
2019142372.tif 000919
についても
最尤推定の対象となる。
【０２６２】
また、上記最尤推定において、受信装置は
【数９１８】
2019142372.tif 000920
通信でｋの符号化器の一部の
【数９１９】
2019142372.tif 000921
を通過した受信
【数９２０】
2019142372.tif 000922
の受信部である。
【０２６３】
このように、本実施形態に係る受信装置は、信号を受信する受信装置であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定部を含んでいる。
【０２６４】
また、上記最尤推定において、式(87)（又は(27)）の送信TD-CE,FD-CEでは（ここで図１２の送信器のswitch1-1,1-2の上下に応じて多重化のレベルが異なるので対応の式を引用した）、右辺の式(88)（又は(25)）のTD-signature,FD-signatureが多重化され、両signature自身もガウス関数やそのFD関数を２次元PCによる変調を用いた多重化で得られる。なお、
【数９２１】
2019142372.tif 000923
通信の送信TD-CE,FD-CEは式(87)で示すように、TD-signature,FD-signatureに互いに独立な２次元PCの集合
【数９２２】
2019142372.tif 000924
による多重化及びｋの符号
【数９２３】
2019142372.tif 000925
に応じた
【数９２４】
2019142372.tif 000926
のシフト対応のシフト演算
【数９２５】
2019142372.tif 000927
が作用している。
【０２６５】
このように、本実施形態に係る送信方法は、信号を送信する送信方法であって、余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでいる。
【０２６６】
また、上記最尤推定において、
【数９２６】
2019142372.tif 000928
通信でのｋの符号化器の一部の
【数９２７】
2019142372.tif 000929
を通過した受信
【数９２８】
2019142372.tif 000930
と推定受信templateとの相関関数（式(89)）（右辺第一、第二項が各々送信信号、推定受信templateである）を用いる場合、式(87)-(90)中の和Σが意味する“多重化＝無重畳の重ね合わせ”は、各種のシフト演算子で模擬できる。図１２の送信信号の生成過程で、各種の多重化を行う。式(88),(87)では各々TD-,FD-チップパルスを周期
【数９２９】
2019142372.tif 000931
の２次元PC変調
【数９３０】
2019142372.tif 000932
による多重化でsignatureを生成し、得られたsignatureをデータレベルのシフトを用いたデータ多重化で送信TD-CE,FD-CEを定義している。なお、シフト無しの単純加算ではtemplate検出が不可能であるので、シフト演算子が不可欠であることやシフト演算に伴うPDはtenplate検出のために払うべき代償と同時に、正確なPD歪評価で手掛かりになることも自明であろう。又、式(89)の右辺に変復調に伴うPD
【数９３１】
2019142372.tif 000933
、kの符号
【数９３２】
2019142372.tif 000934
の
【数９３３】
2019142372.tif 000935
のPD補償が施されている。
【０２６７】
このように、上記シフトステップでは、
時間パルス波形を周期Ｎの時間位相符号変調し、
上記時間位相符号変調した時間パルス波形を、更に、周期Ｎ'の周波数領域位相符号変調によりマルチキャリア化する
ことによって送信信号を生成する。
【０２６８】
また、本実施形態に係る送信装置では、図１２のSwtich1-1,1-2で下に接続の状態で時間パルス波形を周期Ｎの時間位相符号変調し、上記時間位相符号変調した時間パルス波形を、更に、周期Ｎ'の周波数領域位相符号変調によりマルチキャリア化する等の各種の多重化を行った、データ多重化されたTD-signature,FD-signatureをkの符号
【数９３４】
2019142372.tif 000936
対応の
【数９３５】
2019142372.tif 000937
に通過させることで
【数９３６】
2019142372.tif 000938
が得られる。
【０２６９】
また、図１３のSwitch2-1,2-2で下に接続の状態では、式(89),(90)の相関関数の実部の最大化は４変数
【数９３７】
2019142372.tif 000939
に関するargmax演算で行い、PULに基づく、
【数９３８】
2019142372.tif 000940
の交互更新による収束値で、
【数９３９】
2019142372.tif 000941
の復元やｋの復号を行う。
【０２７０】
また、以下の各種構成によって規定される画像信号への拡張は、8.3節記載のように、空間、空間周波数シフト間の非可換性に伴うハーフシフトを利用した、１次元信号から２次元信号への自然な拡張である（式(102)-(108)参照）。
【０２７１】
（画像信号への拡張構成１）
画像信号を受信する受信方法であって、
受信した画像信号が示す空間シフト及び空間周波数シフトを、パラメタ空間を参照して推定する推定ステップを含んでおり、
上記空間シフト及び空間周波数シフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。
【０２７２】
（画像信号への拡張構成２）
上記推定ステップでは、
２次元の対称な空間シフト及び空間周波数シフト演算子
【数９４０】
2019142372.tif 000942
及び
【数９４１】
2019142372.tif 000943
を参照して、空間シフト及び空間周波数シフトを推定する。
【０２７３】
（画像信号への拡張構成３）
画像信号を送信する送信方法であって、
パラメタ空間を参照して、送信対象の画像信号の空間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでおり、
上記空間のシフト及び上記周波数のシフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。
【０２７４】
（画像信号への拡張構成４）
上記シフトステップでは、
２次元の対称な空間シフト及び空間周波数シフト演算子
【数９４２】
2019142372.tif 000944
及び
【数９４３】
2019142372.tif 000945
を参照して、空間及び周波数をシフトする。
【０２７５】
（受信データ出力部２０３）
受信データ出力部２０３は、シフト推定及び受信データ抽出部２０２が抽出した受信データを出力する。
【０２７６】
＜送受信の流れ＞
図１９は、送受信システム１を用いたデータ送受信処理の流れを示すフローチャートである。
【０２７７】
（Ｓ１０１）
まず、ステップＳ１０１において、送信用データ取得部１０１は、送信用データを取得する。送信用データ取得部１０１による具体的な処理は上述した通りである。
【０２７８】
（Ｓ１０２）
続いて、ステップＳ１０２において、送信信号生成部１０２は、送信信号を生成する。送信信号生成部１０２による具体的な処理は上述した通りである。
【０２７９】
（Ｓ１０３）
続いて、ステップＳ１０３において、送信部１０３は、送信信号を送信する。送信部１０３による具体的な処理は上述した通りである。
【０２８０】
（Ｓ２０１）
続いて、ステップＳ２０１において、受信部２０１は、送信部１０３が送信した信号を受信する。受信部２０１による具体的な処理は上述した通りである。
【０２８１】
（Ｓ２０２）
続いて、ステップＳ２０２において、シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、シフト推定処理を行うと共に、受信データを抽出する。シフト推定及び受信データ抽出部２０２による具体的な処理は上述した通りである。
【０２８２】
（Ｓ２０３）
続いて、ステップＳ２０３において、受信データ出力部２０３は、シフト推定及び受信データ抽出部２０２が抽出した受信データを出力する。受信データ出力部２０３による具体的な処理は上述した通りである。
【０２８３】
＜＜通信システムの構成例２＞＞
以下では、上述した理論的側面に則した通信システムの第１の構成例について図面を参照して説明する。
【０２８４】
図２０は、本構成例に係る送受信システム１ａの構成例を示すブロック図である。図２０に示すように、通信システム１ａは、送信装置１００ａ、及び受信装置２００ａを備えている。送受信システム１ａは、上述した送受信システム１と同様に、レーダとして用いられてもよいし、レーダ以外の通信システム（例えば、主として音声データや画像データなどを送受信するデータ送受信システム）として用いられてもよい。なお、すでに説明した部材には同じ符号を付し、その説明を省略する。
【０２８５】
＜送信装置１００ａ＞
送信装置１００ａは、上述の説明において、「送信器」の動作として記載されていた事項を実際に実行する装置である。
【０２８６】
一例として、図２０に示すように、送信装置１００ａは、送信用データ取得部１０１、送信信号生成部１０２ａ、及び送信部１０３を備えている。
【０２８７】
（送信信号生成部１０２ａ）
送信信号生成部１０２ａは、構成例１に係る送信信号生成部１０２が備える構成に加え、更に、シフト埋め込み部１１０を備えている。
【０２８８】
シフト埋め込み部１１０は、式（８４）の直後で言及したように、パラメタ値
【数９４４】
2019142372.tif 000946
を埋め込んだ送信信号を生成する。
【０２８９】
従って、送信信号生成部１０２ａは、時間に関する１又は複数のシフトパラメータ、及び、周波数に関する１又は複数のシフトパラメータ
【数９４５】
2019142372.tif 000947
を用いて、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトする。
【０２９０】
＜受信装置２００ａ＞
受信装置２００ａは、上述の説明において、「受信器」の動作として記載されていた事項を実際に実行する装置である。
【０２９１】
一例として、受信装置２００ａは、図２０に示すように、受信部２０１、シフト推定及び受信データ抽出部２０２ａ、受信データ出力部２０３を備えている。
【０２９２】
（シフト推定及び受信データ抽出部２０２ａ）
シフト推定及び受信データ抽出部２０２ａは、一例として、構成例１に係るシフト推定及び受信データ抽出部２０２が備える構成と同様の構成を備える。
【０２９３】
＜送受信の流れ＞
図２１は、送受信システム１ａを用いたデータ送受信処理の流れを示すフローチャートである。ステップＳ１０１、Ｓ１０３、Ｓ２０１、Ｓ２０３については、図１９を用いて説明した処理と同様であるためここでは説明を省略する。
【０２９４】
（Ｓ１０２ａ）
ステップＳ１０２ａでは、送信信号生成部１０２ａは、送信信号を生成する。送信信号生成部１０２ａによる具体的な処理は上述した通りである。
【０２９５】
（Ｓ２０２ａ）
ステップＳ２０２では、シフト推定及び受信データ抽出部２０２ａが、シフト推定処理を行うと共に、受信データを抽出する。シフト推定及び受信データ抽出部２０２ａによる具体的な処理は上述した通りである。
＜＜通信システムの構成例３＞＞
図１８〜図２１を参照して説明した送受信システムは、＜8.3 多次元非可換性を利用した信号処理＞において説明した各ステップを実行する構成とすることができる。
【０２９６】
一例として、＜8.3 多次元非可換性を利用した信号処理＞において説明したように、受信装置２００は、受信した画像信号が示す空間シフト及び空間周波数シフトを、パラメタ空間を参照して推定する推定ステップを実行し、上記空間シフト及び空間周波数シフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。
【０２９７】
また、＜8.3 多次元非可換性を利用した信号処理＞において説明したように、一例として上記推定ステップでは、
２次元の対称な空間シフト及び空間周波数シフト演算子、及び、空間周波数シフト間の非可換性に伴うハーフシフトの位相項を表現する演算子
【数９４６】
2019142372.tif 000948
及び
【数９４７】
2019142372.tif 000949
を参照して、空間シフト及び空間周波数シフトを推定する。
【０２９８】
同様に、本構成例に係る送信方法は、画像信号を送信する送信方法であって、
パラメタ空間を参照して、送信対象の画像信号の空間及び周波数をシフトし、空間シフトの半分のハーフシフトの位相項（又は、空間、周波数をシフトし、空間周波数シフトの半分のハーフシフトの位相項）を表現する二つの演算子を用いたシフトステップを含んでおり、
上記空間のシフト及び上記周波数のシフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。
ことを特徴とする送信方法。
【０２９９】
上記シフトステップでは、
２次元の対称な空間シフト及び空間周波数シフト演算子
【数９４８】
2019142372.tif 000950
及び
【数９４９】
2019142372.tif 000951
を参照して、空間及び周波数をシフトする。
【０３００】
〔ソフトウェアによる実現例〕
送信装置１００、１００ａ、及び受信装置２００、２００ａの制御ブロック（特に送信信号生成部１０２、１０２ａ、シフト推定及び受信データ抽出部２０２、２０２ａ）は、集積回路（ＩＣチップ）等に形成された論理回路（ハードウェア）によって実現してもよいし、ソフトウェアによって実現してもよい。
【０３０１】
後者の場合、送信装置１００、１００ａ、及び受信装置２００、２００ａは、各機能を実現するソフトウェアであるプログラムの命令を実行するコンピュータを備えている。このコンピュータは、例えば１つ以上のプロセッサを備えていると共に、上記プログラムを記憶したコンピュータ読み取り可能な記録媒体を備えている。そして、上記コンピュータにおいて、上記プロセッサが上記プログラムを上記記録媒体から読み取って実行することにより、本発明の目的が達成される。上記プロセッサとしては、例えばＣＰＵ（Central Processing Unit）を用いることができる。上記記録媒体としては、「一時的でない有形の媒体」、例えば、ＲＯＭ（Read Only Memory）等の他、テープ、ディスク、カード、半導体メモリ、プログラマブルな論理回路などを用いることができる。また、上記プログラムを展開するＲＡＭ（Random Access Memory）などをさらに備えていてもよい。また、上記プログラムは、該プログラムを伝送可能な任意の伝送媒体（通信ネットワークや放送波等）を介して上記コンピュータに供給されてもよい。なお、本発明の一態様は、上記プログラムが電子的な伝送によって具現化された、搬送波に埋め込まれたデータ信号の形態でも実現され得る。
【０３０２】
また、送信装置１００、１００ａ、及び受信装置２００、２００ａの各機能を実現するコンピュータプログラムプロダクトも本発明の範疇に含まれる。上記コンピュータプログラムプロダクトは、任意の伝送媒体を介して提供されるプログラムを、少なくとも１つのコンピュータを介してロードし、該コンピュータに少なくとも１つのプログラム命令を実行させる。これにより、上記少なくとも１つのコンピュータの備えるプロセッサが、上記プログラム命令に応じた処理を実行し、これにより送信装置１００、１００ａ、及び受信装置２００、２００ａの各機能が実現される。このコンピュータプログラムプロダクトは、本実施形態に係る送信処理（送信方法）及び受信処理（受信方法）の各ステップを、プログラムをロードした少なくとも１つのコンピュータに実行させるものである。
【０３０３】
本発明は上述した各実施形態に限定されるものではなく、請求項に示した範囲で種々の変更が可能であり、異なる実施形態にそれぞれ開示された技術的手段を適宜組み合わせて得られる実施形態についても本発明の技術的範囲に含まれる。さらに、各実施形態にそれぞれ開示された技術的手段を組み合わせることにより、新しい技術的特徴を形成することができる。
【産業上の利用可能性】
【０３０４】
本発明は、無線送受信システム及びレーダシステム等として好適に利用できる。
【符号の説明】
【０３０５】
１、１ａ  送受信システム
１００、１００ａ  送信装置
１０１  送信用データ取得部
１０２、１０２ａ  送信信号生成部
１０３  送信部
２００、２００ａ  受信装置
２０１  受信部
２０２、２０２ａ  シフト推定及び受信データ抽出部（推定部）
２０３  受信データ解析部
【図１】
2019142372.tif 000964
【図２】
2019142372.tif 000965
【図３】
2019142372.tif 000966
【図４】
2019142372.tif 000967
【図５】
2019142372.tif 000968
【図６】
2019142372.tif 000969
【図７】
2019142372.tif 000970
【図８】
2019142372.tif 000971
【図９】
2019142372.tif 000972
【図１０】
2019142372.tif 000973
【図１１】
2019142372.tif 000974
【図１２】
2019142372.tif 000975
【図１３】
2019142372.tif 000976
【図１４】
2019142372.tif 000977
【図１５】
2019142372.tif 000978
【図１６】
2019142372.tif 000979
【図１７】
2019142372.tif 000980
【図１８】
2019142372.tif 000981
【図１９】
2019142372.tif 000982
【図２０】
2019142372.tif 000983
【図２１】
2019142372.tif 000984
【手続補正書】
【提出日】令和1年6月13日(2019.6.13)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
信号を受信する受信方法であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定ステップを含んでいる
ことを特徴とする受信方法。
【請求項２】
上記余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間は、
時間を示す第１の軸及び周波数を示す第２の軸によって張られる平面を、時間及び周波数シフトを示す第３の軸によって３次元化して得られる空間である
ことを特徴とする請求項１に記載の受信方法。
【請求項３】
上記推定ステップは、
時間シフトの推定値、周波数シフト、及び、推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第一のシフト演算子
【数１】
2019142372.tif 000985
と、
時間シフト、周波数シフトの推定値、及び、推定周波数シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第二のシフト演算子
【数２】
2019142372.tif 000986
と、
推定対象の時間シフト及び推定対象の周波数シフトの観測値、及び推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第三のシフト演算子
【数３】
2019142372.tif 000987
又はその周波数双対
【数４】
2019142372.tif 000988
と、
時間シフト、及び周波数シフトの推定値、及び推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第四のシフト演算子（
【数５】
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又はその周波数双対
【数６】
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）とを用いて、上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定することを特徴とする請求項１又は２に記載の受信方法。
【請求項４】
上記推定ステップでは、
上記第１のシフト演算子、第３のシフト演算子、及び第４のシフト演算子を用いて表される第１の相関関数、
及び、
上記第２のシフト演算子、第３のシフト演算子、及び第４のシフト演算子を用いて表される第２の相関関数
を参照して上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定することを特徴とする請求項３に記載の受信方法。
【請求項５】
上記第１の相関関数、及び第２の相関関数は、
変調周波数fcの変調及び復調における、時間シフトtdに伴う非可換演算による位相歪
【数７】
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又はその離散版
【数８】
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及び、
伝送時の位相歪eiκを含んでいる
ことを特徴とする請求項４に記載の受信方法。
【請求項６】
上記推定ステップには、
上記第１の相関関数を参照して、周波数シフトの推定値を更新する工程と、上記第２の相関関数を参照して、時間シフトの推定値を更新する工程とを交互に繰り返す交互更新ステップが含まれていることを特徴とする請求項４又は５に記載の受信方法。
【請求項７】
上記推定ステップでは、
Ｎ'個のTD-template信号検出の尤度関数による周波数シフト最尤推定と、
N個のFD-template信号検出の尤度関数による時間シフト最尤推定と
に基づいて、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定することを特徴とする請求項１から６の何れか１項に記載の受信方法。
【請求項８】
信号を受信する受信装置であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定部を含んでいる
ことを特徴とする受信装置。
【請求項９】
信号を送信する送信方法であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでいる
ことを特徴とする送信方法。
【請求項１０】
上記シフトステップでは、
時間パルス波形を周期Ｎの時間位相符号変調し、
上記時間位相符号変調した時間パルス波形を、更に、周期Ｎ'の周波数領域位相符号変調によりマルチキャリア化する
ことによって送信信号を生成する
ことを特徴とする請求項９に記載の送信方法。
【請求項１１】
信号を送信する送信装置であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフト部を含んでいる
ことを特徴とする送信装置。
【請求項１２】
送信装置と受信装置とを含む送受信システムであって、
上記送信装置は、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフト部を含んでおり、
上記受信装置は、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定部を含んでいる
ことを特徴とする送受信システム。
【国際調査報告】
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