(57)【要約】  １つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法及びその装置を提供する。  外力を受けるシステムの次元と外力の数が既知である、１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法において、前記１つのシステム（決定論的なシステム）の観測から時系列を得るステップと、この時系列からオーバーエンベッディングによって外力のリカレンスプロットを得るステップと、前記外力のリカレンスプロットを粗視化してメタリカレンスプロットを得るステップと、前記メタリカレンスプロットを時系列に逆変換し、複数の外力を再構成するステップとを施すようにした。【特許請求の範囲】
【請求項１】
１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法において、
（ａ）１つのシステムの観測のみからオーバーエンベッディング（ｏｖｅｒｅｍｂｅｄｄｉｎｇ）によりリカレンスプロットを求めるステップと、
（ｂ）該リカレンスプロットを粗視化してメタリカレンスプロットを得るステップと、
（ｃ）該メタリカレンスプロットを時系列に逆変換することにより、複数の外力を再構成するステップとを有することを特徴とする１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法。
【請求項２】
請求項１記載の１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法において、前記メタリカレンスプロットをグラフ化して時系列に逆変換することを特徴とする１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法。
【請求項３】
請求項１記載の１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法における各ステップを実施するための情報処理装置やコンピュータプログラムを実装した１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法及びその装置に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
一般に、システムの受ける時系列は２つの種類に分けることができる。もしも時間が経つに連れて時系列の性質が変化していない場合には、時系列は定常であり、そうでなければ非定常である。非定常な時系列は非常に多いが、時系列解析の大部分の方法は定常性を仮定したものである。そのため、非定常な時系列のデータ解析のために、多くの方法が開発される必要がある。【０００３】
非定常性の最も簡単なモデルは、時変のパラメータを持つ力学系である。ここで、時変のパラメータを外力とも呼ぶ。外力は、決定論的に変化するかもしれないし、確率的に変化するかもしれない。
このモデルにおける一般的な問題は外力の同定である。この外力の同定の問題について発表されている研究としては、下記非特許文献１−８などがある。非特許文献１，２，５，６，８の方法では、外力が滑らかに変化していることを仮定している。非特許文献１では、リカレンスプロット（非特許文献９，１０）を使って外力を再構成している。この方法はリカレンスプロットの一部分が外力の時系列の形と一致するというシンプルな方法であるが、限られたケースでしかうまく働かない（この方法に関する詳細は後で議論する）。非特許文献２の方法は、ｃｒｏｓｓ  ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ  ｅｒｒｏｒｓとｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎによって外力を再構成する。非特許文献５の方法は、モデル化した式を局所線形化して外力を推定する。非特許文献６と非特許文献８の方法は、滑らかさの条件をペナルティとして科したモデル誤差をモデルの内部パラメータと時変のパラメータの時系列について最小化する。【０００４】
一方、非特許文献３，４，７の方法は、外力が滑らかであることを仮定しない。非特許文献３，４の方法は、平均・標準偏差などの統計量や、さらに高次の統計量を使って外力を再構成する。これらの方法では、外力は速く急に変化できるが、統計量をどう選ぶかが非自明であり、それぞれのシステムに依存する。また、非特許文献７の方法は、外力を受けるシステムの埋め込み定理（下記非特許文献１１）に因っているので、外力が速く急に変化する場合でも対応できる。しかし、同じ外力を受ける複数のシステムを観測する必要がある。それに加えて、外力の変化は決定論的でなくてはならない。
【非特許文献１】Ｍ．Ｃ．Ｃａｓｄａｇｌｉ，Ｐｈｙｓｉｃａ  Ｄ  １０８，ｐｐ．１２−４４（１９９７）
【非特許文献２】Ｔ．Ｓｃｈｒｅｉｂｅｒ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｐ．３０８，ｐｐ．１−６４（１９９９）
【非特許文献３】Ｎ．Ｂ．Ｙａｎｓｏｎ，Ａ．Ｎ．Ｐａｖｌｏｖ，Ｔ．Ｋａｐｉｔａｎｉａｋ，ａｎｄ  Ｖ．Ｓ．Ａｎｉｓｈｃｈｅｎｋｏ，Ｔｅｃｈ．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．２５，ｐｐ．４１２−４１４（１９９９）
【非特許文献４】Ｓ．Ｇｕｔｔｌｅｒ，Ｈ．Ｋａｎｔｚ，ａｎｄ  Ｅ．Ｏｌｂｒｉｃｈ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６３，０５６２１５（２００１）
【非特許文献５】Ｐ．Ｆ．Ｖｅｒｄｅｓ，Ｐ．Ｍ．Ｇｒａｎｉｔｔｏ，Ｈ．Ｄ．Ｎａｖｏｎｅ，ａｎｄ  Ｈ．Ａ．Ｃｅｃｃａｔｔｏ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８７，１２４１０１（２００１）
【非特許文献６】Ｍ．Ｓｚｅｌｉｇａ，Ｐ．Ｆ．Ｖｅｒｄｅｓ，Ｐ．Ｍ．Ｇｒａｎｉｔｔｏ，ａｎｄ  Ｈ．Ａ．Ｃｅｃｃａｔｔｏ，Ｐｈｙｓｉｃａ  Ａ  ３２７，ｐｐ．１９０−１９４（２００３）
【非特許文献７】Ｔ．Ｄ．Ｓａｕｅｒ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．９３，１９８７０１（２００４）
【非特許文献８】Ｐ．Ｆ．Ｖｅｒｄｅｓ，Ｐ．Ｍ．Ｇｒａｎｉｔｔｏ，ａｎｄ  Ｈ．Ａ．Ｃｅｃｃａｔｔｏ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．９６，１１８７０１（２００６）
【非特許文献９】Ｊ．Ｐ．Ｅｃｋｍａｎｎ，Ｓ．Ｏ．Ｋａｍｐｈｏｒｓｔ，ａｎｄ  Ｄ．Ｒｕｅｌｌｅ，Ｅｕｒｏｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．４，ｐｐ．９７３−９７７（１９８７）
【非特許文献１０】Ｎ．Ｍａｒｗａｎ，Ｍ．Ｃ．Ｒｏｍａｎｏ，Ｍ．Ｔｈｉｅｌ，ａｎｄ  Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｐ．４３８，ｐｐ．２３７−３２９（２００７）
【非特許文献１１】Ｊ．Ｓｔａｒｋ，Ｊ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ  Ｓｃｉ．９，ｐｐ．２５５−３３２（１９９９）
【非特許文献１２】Ｃ．Ｌ．Ｗｅｂｂｅｒ  Ｊｒ．ａｎｄ  Ｊ．Ｐ．Ｚｂｉｌｕｔ，Ｊ．Ａｐｐｌ．Ｐｈｙｓｉｏｌ．７６，ｐｐ．９６５−９７３（１９９４）
【非特許文献１３】Ｌ．Ｌ．Ｔｒｕｌｌａ，Ａ．Ｇｉｕｌｉａｎｉ，Ｊ．Ｐ．Ｚｂｉｌｕｔ，Ｃ．Ｌ．Ｗｅｂｂｅｒ  Ｊｒ．，Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ    ２２３，ｐｐ．２５５−２６０（１９９６）
【非特許文献１４】Ｎ．Ｍａｒｗａｎ，Ｎ．Ｗｅｓｓｅｌ，Ｕ．Ｍｅｙｅｒｆｅｌｄｔ，Ａ．Ｓｃｈｉｒｄｅｗａｎ，ａｎｄ  Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６６，０２６７０２（２００２）
【非特許文献１５】Ｐ．Ｆａｕｒｅ  ａｎｄ  Ｈ．Ｋｏｒｎ，Ｐｈｙｓｉｃａ  Ｄ  １２２，ｐｐ．２６５−２７９（１９９８）
【非特許文献１６】Ｍ．Ｔｈｉｅｌ，Ｍ．Ｃ．Ｒｏｍａｎｏ，Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ３３０，ｐｐ．３４３−３４９（２００４）
【非特許文献１７】Ｍ．Ｔｈｉｅｌ，Ｍ．Ｃ．Ｒｏｍａｎｏ，Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｍ．Ｒｏｌｆｓ，ａｎｄ  Ｒ．Ｋｌｉｅｇｌ，Ｐｈｉｌ．Ｔｒａｎｓ．Ｒ．Ｓｏｃ．Ａ  ｄｏｉ：１０．１０９８／ｒｓｔａ．２００７．２１０９（２００７）
【非特許文献１８】Ｎ．Ｅｌｍａｃｉ  ａｎｄ  Ｒ．Ｓ．Ｂｅｒｒｙ，Ｊ．Ｃｈｅｍ．Ｐｈｙｓ．１１０，ｐｐ．１０６０６−１０６２２（１９９９）
【非特許文献１９】Ｊ．Ｃ．Ｇｏｗｅｒ，Ｂｉｏｍｅｔｒｉｋａ  ５３，  ｐｐ．３２５−３３８（１９６６）
【非特許文献２０】Ｎ．Ｈ．Ｐａｃｋａｒｄ，Ｊ．Ｐ．Ｃｒｕｔｃｈｆｉｅｌｄ，Ｊ．Ｄ．Ｆａｒｍｅｒ，ａｎｄ  Ｒ．Ｓ．Ｓｈａｗ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．４５，ｐｐ．７１２−７１６（１９８０）
【非特許文献２１】Ｆ．Ｔａｋｅｎｓ，ｉｎ“Ｄｙｎａｍｉｃａｌ  Ｓｙｓｔｅｍｓ  ａｎｄ  Ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅ”，Ｗａｒｗｉｃｋ，１９８０，ｖｏｌ．８９８  ｏｆ  Ｌｅｃｔｕｒｅ  Ｎｏｔｅｓ  ｉｎ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｅｄｉｔｅｄ  ｂｙ  Ｄ．Ａ．Ｒａｎｄ  ａｎｄ  Ｌ．Ｓ．Ｙｏｕｎｇ，３６６，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，Ｂｅｒｌｉｎ，１９８１
【非特許文献２２】Ｔ．Ｓａｕｅｒ，Ｊ．Ａ  Ｙｏｒｋｅ，ａｎｄ  Ｍ．Ｃａｓｄａｇｌｉ，Ｊ．Ｓｔａｔ．Ｐｈｙｓ．６５，ｐｐ．５７９−６１６（１９９１）
【非特許文献２３】Ｒ．Ｈｅｇｇｅｒ，Ｈ．Ｋａｎｔｚ，Ｌ．Ｍａｔａｓｓｉｎｉ，ａｎｄ  Ｔ．Ｓｃｈｒｅｉｂｅｒ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．３４，ｐｐ．４０９２−４０９５（２０００）
【非特許文献２４】Ｅ．Ｄ．Ｓｎｔａｇ，Ｊ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ  Ｓｃｉ．１２，ｐｐ．５５３−５８３（２００２）
【非特許文献２５】Ｋ．Ｉｋｅｄａ，Ｏｐｔ．Ｃｏｍｍ．３０，ｐｐ．２５７−２６１（１９７９）
【非特許文献２６】Ｅ．Ｎ．Ｌｏｒｅｎｚ，Ｊ．Ａｔｍｏｓ，Ｓｃｉ．２０，ｐｐ．１３０−１４１（１９６３）
【非特許文献２７】Ｏ．Ｅ．Ｒｏｓｓｌｅｒ，Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．５７Ａ，ｐｐ．３９７−３９８（１９７６）
【非特許文献２８】Ｍ．Ｈｅｎｏｎ，Ｃｏｍｍ．Ｍａｔｈ．Ｐｈｙｓ．５０，ｐｐ．６９−７７（１９７６）
【非特許文献２９】Ｕ．Ｐａｒｌｉｔｚ，Ｒ．Ｚｏｌｌｅｒ，Ｊ．Ｈｏｌｚｆｕｓｓ，ａｎｄ  Ｗ．Ｌａｕｔｅｒｂｏｒｎ，Ｉｎｔ．Ｊ．Ｂｉｆｕｒ．Ｃｈａｏｓ  ４，ｐｐ．１７１５−１７１９（１９９４）
【非特許文献３０】Ｒ．Ｋｏｎｎｕｒ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６７，０２７２０４（２００３）
【非特許文献３１】Ｄ．Ｈｕａｎｇ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６９，０６７２０１（２００４）
【非特許文献３２】Ｒ．Ｋｏｎｎｕｒ，Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ３４６，ｐｐ．２７５−２８０（２００５）
【非特許文献３３】Ｄ．Ｈｕａｎｇ，Ｇ．Ｘｉｎｇ，ａｎｄ  Ｄ．Ｗ．Ｗｈｅｅｌｅｒ，Ｃｈａｏｓ  １７，０２３１１８（２００７）
【発明の開示】
【０００５】
上記した研究の例は、ほとんどが１つの外力を再構成したものであり、これまでのところ非特許文献４だけが２つ以上の外力を同時に再構成した例である。しかし、非特許文献４の方法は統計量の作り方に恣意性があり、必ずしも一般の場合には利用できないといった問題があった。
１つのシステムは複数の外力を受けていると考えるのが自然である。例としては、温暖化の問題がある。地球の温暖化には、多くの因子が絡んでいる。しかし、多くの因子が複雑に絡んでいるため、どの因子が本質的に影響しているかはっきりさせることに科学的な意味がある。また、工学的な応用では、多くの因子の計測のためには費用がかかりすぎるため、限られた過程しか観測できない場合もある。そのため、複数の外力を同定する需要はあるが、その需要はまだ満たされていない。
【０００６】
本発明は、上記状況に鑑みて、１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法及びその装置を提供することを目的とする。
本発明は、上記目的を達成するために、
〔１〕１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法において、１つのシステムの観測のみからオーバーエンベッディング（ｏｖｅｒｅｍｂｅｄｄｉｎｇ）によりリカレンスプロットを求めるステップと、このリカレンスプロットを粗視化してメタリカレンスプロットを得るステップと、このメタリカレンスプロットを時系列に逆変換することにより、複数の外力を再構成するステップとを有することを特徴とする。
【０００７】
〔２〕上記〔１〕記載の１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法において、前記メタリカレンスプロットをグラフ化して時系列に逆変換することを特徴とする。
〔３〕１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成装置であって、上記〔１〕記載の１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法における各ステップを実施するための情報処理装置やコンピュータプログラムを実装したことを特徴とする。
【図面の簡単な説明】
【０００８】
【図１】本発明にかかる１つのシステムと、この１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法の概要を示すフローチャートである。
【図２】本発明の１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法の概要を示す模式図である。
【図３】本発明に係るリカレンスプロットから時系列を逆変換する例（その１）を示す図である。
【図４】本発明に係るリカレンスプロットから時系列を逆変換する例（その２）を示す図である。
【図５】本発明をローレンツモデルとレスラーモデルによって駆動されたエノン写像に適用した例を示す図である。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００９】
外力を受けるシステムの次元と外力の数が既知である、１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法において、１つのシステム（決定論的なシステム）を観測して元の時系列を得るステップと、この時系列からオーバーエンベッディング（ｏｖｅｒｅｍｂｅｄｄｉｎｇ）によって外力のリカレンスプロットを得るステップと、前記外力のリカレンスプロットを粗視化してメタリカレンスプロットを得るステップと、前記メタリカレンスプロットを時系列に逆変換し、複数の外力を再構成するステップとを施すようにしたものである。
【実施例】
【００１０】
以下、本発明の実施の形態について詳細に説明する。
本発明では、１つのシステムが受ける複数外力再構成のための一般的な枠組を提案する。
図１は本発明にかかる１つのシステムと、この１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法の概要を示すフローチャートである。【００１１】
本発明の前提として、図１（ａ）に示すように、いくつかの外力（外力１，２，…，ｎ）があり、システムはこれらの外力の影響を受けている。ここでは、システムの観測のみを利用して外力を再構成する。
図１（ｂ）に示すように、まず、複数の外力（外力１，外力２，…，外力ｎ）の影響を受けている１つのシステムを観測する（ステップＳ１）。次に、この１つのシステムの観測（ステップＳ１）からオーバーエンベッディングを利用してリカレンスプロットを作る（ステップＳ２）。次に、このリカレンスプロットを粗視化して、メタリカレンスプロットを得る（ステップＳ３）。このメタリカレンスプロットを時系列に逆変換することにより外力の再構成を行う（ステップＳ４）。なお、これらのステップＳ２〜Ｓ４を実施するために情報処理装置やコンピュータプログラムが実装される。【００１２】
図２は本発明の１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法の概要を示す模式図である。
本発明では、複数の外力を再構成するために、外力を受けるシステムの次元とその外力の数を知っている必要がある。
（１）まず、図２（ａ）に示すように、複数の外力を受ける１つのシステムを観測しての元の時系列を得る。例えば、地球温暖化計測システムの場合、東京都下における気温の変化の時系列を得る。【００１３】
（２）次に、図２（ｂ）に示すように、この元の時系列に基づいてオーバーエンベッディングによって観測量のリカレンスプロットを得る。
（３）次いで、図２（ｃ）に示すように、観測量のリカレンスプロットを粗視化してメタリカレンスプロットを得る。このメタリカレンスプロットは、外力のリカレンスプロットに相当する。【００１４】
（４）次いで、図２（ｄ）に示すように、メタリカレンスプロットに基づいて、頂点と枝からなるグラフを得る。
（５）最後に、図２（ｅ）に示すように、上記した頂点と枝からなるグラフに基づいてメタリカレンスプロットを時系列に逆変換して、複数の外力を同時に再構成する。つまり、再構成された外力を得る。【００１５】
まず、リカレンスプロットについて説明する。
図３はリカレンスプロットから時系列を復元する態様を示す図である。つまり、図３における図３（ｂ），図３（ｃ），図３（ｄ）は、図２における図２（ｃ）、図２（ｄ）および図２（ｅ）にそれぞれ対応する。
リカレンスプロット（非特許文献９，１０）は時系列を視覚化するための平面図である。図３（ｂ）に示すように、２つの軸はどちらも時間を表す。時系列｛ａ（ｉ）∈Ｒm：ｉ＝１，２，…，ｎ｝が与えられているとする。このとき、もし、ａ（ｉ）とａ（ｊ）の間の距離が、あらかじめ定義した閾値εよりも小さかったら２次元平面上の（ｉ，ｊ）に点を打ち、大きければ点を打たない。つまり、リカレンスプロットＲijは、
Ｒij＝Θ（ε−‖ａ（ｉ）−ａ（ｊ）‖）
と定義される。ここで、Θはヘビサイト関数である。Ｒij＝１のとき、（ｉ，ｊ）に点が打たれていることに対応し、Ｒij＝０のとき、（ｉ，ｊ）には点が打たれていない〔距離をグレースケールを使って表現する閾値を使わないリカレンスプロットがあるが（非特許文献１）、ここではそれについては考えない〕。決定論的なシステムの時系列から作ったリカレンスプロットの典型的なパターンは、斜めの線である。決定論的なシステムでは、時間的に離れているが、位相空間的には近い２つの状態はしばらくの間近い状態に留まるので、決定論的なシステムの時系列から生成されたリカレンスプロットでは斜めの線がよく現れる。よって、平行な斜めの線は、決定論性と周期性を表す。ダイナミクスを特徴づける他のパターンもあり、これらのパターンを数量化する方法が提案されている（非特許文献１２−１４）。これらの数量化の方法は、例えば、麻酔下のラットの呼吸パターンの変化を検出したり、機械的な負荷を受けている間の筋肉の疲労を特徴づけたりするのに用いられている（非特許文献１２）。【００１６】
また、リカレンスプロットから相関次元や相関エントロピー（非特許文献１５）、本発明にかかる最大リアプノフ指数が推定できることが知られている。よって、リカレンスプロットは元の時系列の大部分の情報を含むことができると考えられる。ここで生じる問題は、リカレンスプロットに元の時系列の情報をどれだけ含むことができるかである。非特許文献１６，１７では、リカレンスプロットから元の時系列を復元することで、リカレンスプロットが元の時系列の位相幾何的な情報をほとんど完全に含むことができることが示された。【００１７】
続いて、リカレンスプロットを時系列に逆変換する方法、つまり、リカレンスプロットから距離行列と時系列を復元する方法について述べる。
リカレンスプロットが与えられているとする。ｉを固定したとき、（ｉ，ｊ）に点が打たれているようなｊの集合をＧiとする。つまり、Ｇi＝｛ｊ：Ｒij＝１｝である。
（１）まず、重みつきグラフを作る。このグラフでは、それぞれのノードは時間インデックスに対応する。もしＲij＝１であれば、ノードｉとｊの間にエッジをつける。エッジの重みωijは、【００１８】
【数１】
2010010675.tif 000002
【００１９】
として決める。ここで、｜Ａ｜は集合Ａの中の要素の数を示す。この重みωijはｉとｊの間の１ステップの距離として働く。
（２）重みつきグラフ上の全てのノード間の最小距離を求める。そして、距離行列を得る。
（３）描画のために、距離行列に対して多次元尺度法を適用し、ｎ次元の時系列を得る。多次元尺度法を適用する際には、得られる固有値のうち最も大きい固有値の成分を選ぶ〔多次元尺度法は、与えられた距離行列を保存するように、ユークリッド空間上に点を配置するものである。例えば、たんぱく質構造の距離情報を視覚化するのに用いられている（非特許文献１８）。ここでは、非特許文献１９の方法を用いる。〕
上のアルゴリズムがうまく働くためには、全てのノードが連結になり、最小距離がうまく定義できるように閾値εを十分大きく選ぶ必要がある。【００２０】
図３に具体的な例を示す。ここでは、ロジスティック写像｛ｘ（ｔ＋１）＝４ｘ（ｔ）〔１−ｘ（ｔ）〕｝を使った例を示す。まず、このシステムの元の時系列〔図３（ａ）〕が与えられているとする。それから、リカレンスプロット〔図３（ｂ）〕を得た。元の時系列を再現するには、まず、このリカレンスプロット〔図３（ｂ）〕から、グラフ〔図３（ｃ）〕を得る。このグラフのノードは、時系列の時間インデックスに対応する。リカレンスプロット〔図３（ｂ）〕上で点が打たれている時間インデックスに対応するノードの組に対して、エッジを張る。例えば、時間インデックス１に対しては、２と３が近傍の点であるので、図３（ｃ）では、ノード１はノード２と３にエッジを張っている。続いて、上記式（１）を利用して、エッジの重みを決める。例えば、ノード１とノード２の間のエッジは、時間インデックス１と２の近傍の時間インデックスの和集合が１，２，３，５で要素数４、積集合が１と２で要素数２のため、１−２／４で０．５と決まる。他のエッジに対しても同様の計算をする。このように、各エッジ間のグラフ上での最小距離を求め、次の距離行列を得る。【００２１】
【数２】
2010010675.tif 000003
【００２２】
この距離行列に対して多次元尺度法を用いると、図３（ｄ）に示された時系列が得られる。
次に、リカレンスプロットから時系列を復元する別の例を図４に示す。ここでは、池田写像（上記非特許文献２５参照）の例を用いる。用いた時系列の長さは２００で、図４（ａ）の灰色の実線で示す。この図４（ａ）は、図３（ａ）と図３（ｄ）に対応しており、ここではシステムにおける２次元の因子（成分）の両方を復元するようにしている。【００２３】
この時系列から、図４（ｂ）のリカレンスプロットを得た。この図４（ｂ）は図３（ｂ）に対応している。ここで、ユークリッド距離と１０％の時間インデックスの対が打たれるように閾値を決めた。このリカレンスプロットから時系列を復元すると、図４（ａ）の黒の破線を得ることができる。２つの成分とも時系列がよく再現されている。
次に、本発明のリカレンスプロットを使った外力の再構成について述べる。【００２４】
１次元の時系列｛ｓ（ｉ）｝が与えられているとき、遅れ座標系（上記非特許文献２０−２２）は〔ｓ（ｉ），ｓ（ｉ−τ），…ｓ（ｉ−（ｄ−１）τ）〕と定義される。ここで、τは遅れ、ｄは埋め込み次元と呼ばれる。非特許文献１は、十分大きな埋め込み次元ｄを用いて外力を受けるシステムの観測結果を遅れ座標系に埋め込むとき、外力を受けるシステムと外力が同時に再構成されることを示した〔この手法はｏｖｅｒｅｍｂｅｄｄｉｎｇ（非特許文献２３）と呼ばれる。ｏｖｅｒｅｍｂｅｄｄｉｎｇに関する証明は、上記非特許文献２４参照〕。外力が十分ゆっくりならば、外力を受けるシステムのリカレンスプロットは、時変のパラメータによく似ている。ここで重要なポイントは、非特許文献１の結果は、時変のパラメータの数に対する制約がないことである。つまり、時変のパラメータの数は複数であり得る。時変のパラメータの変化、つまり外力を再構成するのに、非特許文献１ではリカレンスプロットの一部分を取り出した。しかし、このやり方で再構成できる外力の種類は限られているので、本発明では次のような方法を用いる。つまり、まず、複数の外力を受けるシステムのリカレンスプロットを粗視化して、メタリカレンスプロットを得る。具体的には、｛（ｉ，ｊ）：Ｍ（Ｉ−１）＜ｉ≦ＭＩ，Ｍ（Ｊ−１）＜ｊ≦ＭＪ，Ｒij＝１｝の中に、１つでも点が含まれていれば、（Ｉ，Ｊ）に点を打つ。次に、上述したメタリカレンスプロットを時系列に逆変換する方法を用いる。このとき、それぞれの外力は、再構成された時系列の別の成分として現れる。【００２５】
ここで、留意すべき２つの注意点がある。１つ目は、本発明の外力再構成の例と非特許文献１，７の関係である。本発明は、非特許文献７の方法をリカレンスプロットの観点で解釈したものである。これは、なぜなら、遅れ座標系が外力を受けるシステムの埋め込みである（非特許文献１１）と解釈したからである。もし、遅れ座標系をｏｖｅｒｅｍｂｅｄｄｉｎｇ（非特許文献２３）と解釈すると、本発明の外力再構成の方法は、非特許文献１の方法の改善であると考えることができる。【００２６】
２つ目の注意点は、時変のパラメータの数と、再構成の難易度の関係である。時変のパラメータの数が増えると、それらを再構成することはより難しくなる。このような状況下では、遅れ座標系を広くとる必要があるが、時系列の観測点の数が有限であるために、リカレンスプロットに打たれる点は複数の時変のパラメータを再構成するには疎になりすぎる。そのため、本発明の方法を用いても、時変のパラメータの数は大きな問題となる。したがって、時変のパラメータに制約を設ける。【００２７】
次に、実施例に移る。
本発明をローレンツモデル（上記非特許文献２６）とレスラーモデル（上記非特許文献２７）の２つの外力の影響を受けるエノン写像（上記非特許文献２８）に適用する。
具体的には、モデルを【００２８】
【数３】
2010010675.tif 000004
【００２９】
と定義する。
その結果を図５に示す。
図５（ａ）はローレンツモデルとレスラーモデルの２つの外力の影響を受けるエノン写像のアトラクタであり、図２（ａ）に示す時系列を２次元（２つの因子）上で表現したものである。図５（ｂ）はエノン写像の観測からｏｖｅｒｅｍｂｅｄｄｉｎｇを用いて得られたリカレンスプロットであり、つまり、図２（ｂ）に対応している。図５（ｃ）と図５（ｄ）は再構成された外力をそれぞれ示している。図５（ｃ）及び図５（ｄ）において、黒線は再構成された信号、灰色の線は元の信号を示している。【００３０】
ここで、図５（ｃ）と図５（ｄ）に示すように、多次元尺度法を用いた結果、最大固有値と２番目に大きい固有値に対応する成分をプロットすると、元の時系列と良く適合していることが分かる。
比較のために、非特許文献４の方法の平均と標準偏差、＜ｓ（ｉ）ｓ（ｉ＋２）＞iを用いて外力の再構成を試みた。ここで、＜・＞iはｉに関する平均を示す。しかし、どの変数も外力とは相関を示さなかった。よって、この例では、非特許文献４の方法はうまく働かないようである。【００３１】
また、非特許文献５，６の著者らは、彼らのアルゴリズムは、理論的には複数の時変パラメータの同時推定に拡張できると主張している。そこで、本願発明者らは、彼らの最も最近の方法（非特許文献８）を基に、２つの外力の同時再構成を試み、本発明に用いた以上の時間を使っていろいろと試してみたがうまくいかなかった。うまくいかなかった理由は、非特許文献８の方法による拡張が、最適化の観点からは不良設定問題であったためであると思われる。つまり、拘束条件に対して、最適化する変数が多すぎるためうまくいかないものと考えられる。【００３２】
上記した結果は、単純なリカレンスプロットがいくつかの時系列の情報を同時に含むことができることを示している。そのため、リカレンスプロットがどれだけの情報を含むことができるかも、興味深い研究課題である。
本発明では、リカレンスプロットから複数の外力を同時に再構成する一般的な枠組を提案した。まず、オーバーエンベッディング（非特許文献１，２３）を使って、外力を受けるシステムの観測からリカレンスプロットを得た。そのリカレンスプロットを粗視化してメタリカレンスプロットを得た後、メタリカレンスプロットを時系列に逆変換する方法を単純に応用することで、外力の時系列を再構成した。本発明の方法により、非定常時系列解析の分野とその応用が発展することが期待できる。例えば、パラメータ変動を秘匿通信に使うことを提案している論文がある（上記非特許文献２９−３３）。本発明、またはその拡張が、これらの通信方式の安全性を評価するのに役立つのではないかと考えている。【００３３】
また、オーバーエンベッディングや多次元尺度法を最適化することで、外力の再構成をより良いものにできるであろうと考えられる。
さらに、本発明の１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法における各ステップ、つまり、本発明に係る（ａ）１つのシステムの観測のみからオーバーエンベッディング（ｏｖｅｒｅｍｂｅｄｄｉｎｇ）によりリカレンスプロットを求めるステップと、（ｂ）このリカレンスプロットを粗視化してメタリカレンスプロットを得るステップと、（ｃ）このメタリカレンスプロットを時系列に逆変換することにより、複数の外力を再構成するステップを実施するための情報処理装置やコンピュータプログラムを実装した１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成装置を提供することができる。【００３４】
なお、本発明は上記実施例に限定されるものではなく、本発明の趣旨に基づき種々の変形が可能であり、これらを本発明の範囲から排除するものではない。
本発明によれば、システムが受けていた元の複数の外力と高い相関を示す複数の外力を再構成することができる。
【産業上の利用可能性】
【００３５】
本発明の１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成方法は、非定常時系列解析の分野とその応用分野に利用可能である。
【図１】
2010010675.tif 000005
【図２】
2010010675.tif 000006
【図３】
2010010675.tif 000007
【図４】
2010010675.tif 000008
【図５】
2010010675.tif 000009
【手続補正書】
【提出日】平成22年4月23日(2010.4.23)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
（削除）
【請求項２】
（削除）
【請求項３】
（削除）
【請求項４】
１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成装置において、
（ａ）１つのシステムの観測のみからオーバーエンベッディング（ｏｖｅｒｅｍｂｅｄｄｉｎｇ）によりリカレンスプロットを求めるリカレンスプロット取得手段と、
（ｂ）該リカレンスプロット取得手段によって求められたリカレンスプロットを粗視化してメタリカレンスプロットを得るメタリカレンスプロット取得手段と、
（ｃ）該メタリカレンスプロット取得手段によって得られたメタリカレンスプロットを時系列に逆変換することにより、複数の外力を再構成する複数の外力の再構成手段とを具備することを特徴とする１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成装置。
【請求項５】
請求項４記載の１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成装置において、前記メタリカレンスプロットをグラフ化して時系列に逆変換する手段を具備することを特徴とする１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成装置。
【請求項６】
請求項４記載の１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成装置における各ステップを実施するための情報処理装置やコンピュータプログラムを実装した１つのシステムの受ける複数の外力の同時再構成装置。