(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
予め定められた所定の非線形写像に従い、与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成するステップと、
生成された前記実数値系列の各実数値に対し、与えられた２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成するステップと、
生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って乱数を生成するステップとを有し、
前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする乱数生成方法。
【請求項２】
前記論理演算は排他的論理和演算であることを特徴とする請求項１に記載の乱数生成方法。
【請求項３】
前記非線形写像の値の取り得る範囲の最小値をｄ、最大値をｅとした場合、２Ｍ＋１個の前記閾値ｔr （ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔr ＋ｔ2M-r ＝ｄ＋ｅ、かつ、ｔi ≠ｔj （ｉ≠ｊのとき）の関係が成立することを特徴とする請求項１または２に記載の乱数生成方法。
【請求項４】
予め定められた所定の非線形写像に従い、与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、
生成された前記実数値系列の各実数値に対し、与えられた２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、
生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って乱数を生成する論理演算手段とを備え、
前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする乱数生成装置。
【請求項５】
平文または暗号文の２値系列と所定の共通鍵をもとにして生成された鍵系列とを論理演算して暗号文または元の平文を生成するストリーム暗号化装置またはストリーム復号装置に使用する鍵系列生成装置の鍵系列生成装置において、
予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、
生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成する２値系列生成手段と、
生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って鍵系列を生成する論理演算手段とを備え、
前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする鍵系列生成装置。
【請求項６】
平文または暗号文の２値系列と所定の共通鍵をもとにして生成された鍵系列とを論理演算して暗号文または元の平文を生成するストリーム暗号化装置またはストリーム復号装置に使用する鍵系列生成装置の鍵系列生成方法において、
予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成するステップと、
生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成するステップと、
生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って鍵系列を生成するステップとを有し、
前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする鍵系列生成方法。
【請求項７】
予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、
生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、
生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手段と、
平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第２の論理演算手段とを備え、
前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする暗号化装置。
【請求項８】
前記第１の論理演算および前記第２の論理演算はいずれも排他的論理和演算であることを特徴とする請求項７に記載の暗号化装置。
【請求項９】
前記非線形写像の値の取り得る範囲の最小値をｄ、最大値をｅとした場合、２Ｍ＋１個の前記閾値ｔr （ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔr ＋ｔ2M-r ＝ｄ＋ｅ、かつ、ｔi ≠ｔj （ｉ≠ｊのとき）の関係が成立することを特徴とする請求項７に記載の暗号化装置。
【請求項１０】
前記非線形写像が所定数のパラメータを持つものである場合、該パラメータのうちの少なくとも１つを共通鍵として用いることを特徴とする請求項７ないし９のいずれか１項に記載の暗号化装置。
【請求項１１】
前記所定の非線形写像は、差分方程式ωn+1 ＝cos(ｋ cos-1ωn ）で表されるチェビシェフ写像（パラメータｋは２以上の実数）であり、前記第１の共通鍵は、前記チェビシェフ写像の初期値ω0 （ここで−１＜ω0 ＜１）およびパラメータｋを示す情報であることを特徴とする請求項７ないし９のいずれか１項に記載の暗号化装置。
【請求項１２】
前記パラメータｋの値は偶数値であることを特徴とする請求項１１に記載の暗号化装置。
【請求項１３】
前記実数値系列生成手段は、所定の言語で記述されたプログラムを浮動小数点演算装置を用いて実行することにより前記非線形写像の値の系列を生成するものであることを特徴とする請求項７ないし９のいずれか１項に記載の暗号化装置。
【請求項１４】
予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成するステップと、
生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成するステップ、
生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成するステップ、
平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成するステップとを有し、
前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする暗号化方法。
【請求項１５】
予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、
生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成する２値系列生成手段と、
生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手段と、
暗号文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って平文の２値系列を生成する第２の論理演算手段とを備え、
前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする復号装置。
【請求項１６】
予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成するステップと、
生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成するステップと、
生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成するステップと、
暗号文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って平分の２値系列を生成するステップとを有し、
前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする復号方法。
【請求項１７】
予め定められた所定の非線形写像に従い、与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成し、
生成された前記実数値系列を、与えられたｍ種類（ｍは１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅延させ、
遅延のない前記実数値系列および所定量遅延されたｍ個の前記実数値系列の各々に対し、夫々所定の２値化処理を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成し、
生成されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って乱数を生成することを特徴とする乱数生成方法。
【請求項１８】
請求項１７に記載の乱数生成方法により複数の乱数を夫々生成し、生成された複数の乱数をもとに予め定められた論理演算を行って出力すべき乱数を生成することを特徴とする請求項１７に記載の乱数生成方法。
【請求項１９】
予め定められた所定の非線形写像に従い、与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、
生成された前記実数値系列を、与えられたｍ種類（ｍは１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅延させる遅延手段と、
遅延のない前記実数値系列および所定量遅延されたｍ個の前記実数値系列の各々に対し、夫々所定の２値化処理を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、
生成されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って乱数を生成する論理演算手段とを備えたことを特徴とする乱数生成装置。
【請求項２０】
平文または暗号文の２値系列と所定の共通鍵をもとにして生成された鍵系列とを論理演算して暗号文または元の平文を生成するストリーム暗号化装置またはストリーム復号装置に使用する鍵系列生成装置の鍵系列生成装置において、
予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、
生成された前記実数値系列を、第２の共通鍵により示されるｍ種類（ｍは１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅延させる遅延手段と、
前記実数値系列生成手段により生成された遅延のない実数値系列および前記遅延手段により所定量遅延されたｍ個の前記実数値系列の各々に対し、夫々対応する第３の共通鍵をもとにした所定の２値化処理を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、
生成されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って鍵系列を生成する論理演算手段とを備えたことを特徴とする鍵系列生成装置。
【請求項２１】
予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、
生成された前記実数値系列を、第２の共通鍵により示されるｍ種類（ｍは１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅延させる遅延手段と、
前記実数値系列生成手段により生成された遅延のない実数値系列および前記遅延手段により所定量遅延されたｍ個の前記実数値系列の各々に対し、夫々対応する第３の共通鍵をもとにした所定の２値化処理を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、
生成されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手段と、
平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第２の論理演算手段とを備えたことを特徴とする暗号化装置。
【請求項２２】
前記実数値系列生成手段、前記遅延手段、前記２値化処理手段および前記第１の論理演算手段を、複数系統備えるとともに、
各系統における前記第１の論理演算手段から出力される２値系列をもとに予め定められた第４の論理演算を行って鍵系列を生成する第４の論理演算手段と、
平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第２の論理演算手段とを備えたことを特徴とする請求項２１に記載の暗号化装置。
【請求項２３】
前記２値化処理手段は、ｍ＋１個の前記実数値系列の各々につき、当該実数値系列の各実数値に対し、当該実数値系列に対応する第３の共通鍵により示される複数の値を夫々閾値として２値化処理を施して、複数の２値系列を生成する２値化処理手段と、ｍ＋１個の前記実数値系列の各々につき、当該実数値系列に対して生成された複数の２値系列をもとに予め定められた第３の論理演算を行って、前記第１の論理演算手段に与える前記２値系列を生成する第３の論理演算手段とを有することを特徴とする請求項２１または２２に記載の暗号化装置。
【請求項２４】
前記２値化処理手段は、ｍ＋１個の前記実数値系列の各々ごとに、当該実数値系列に対応する第３の共通鍵により示される値を閾値として、当該実数値系列の各実数値を２値化するものであることを特徴とする請求項２１または２２に記載の暗号化装置。
【請求項２５】
前記２値化処理手段は、ｍ＋１個の前記実数値系列の各々ごとに、当該実数値系列の各実数値について、該実数値を所定の範囲に正規化してなる値の２進表現における、当該実数値系列に対応する第３の共通鍵により示されるビット位置の値を選択することにより、該実数値を２値化するものであることを特徴とする請求項２１または２２に記載の暗号化装置。
【請求項２６】
予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、
生成された前記実数値系列を、第２の共通鍵により示されるｍ種類（ｍは１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅延させる遅延手段と、
前記実数値系列生成手段により生成された遅延のない実数値系列および前記遅延手段により所定量遅延されたｍ個の前記実数値系列の各々に対し、夫々対応する第３の共通鍵をもとにした所定の２値化処理を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、
生成されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手段と、
暗号文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って平文の２値系列を生成する第２の論理演算手段とを備えたことを特徴とする復号装置。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【産業上の利用分野】
本発明は、乱数を生成する乱数生成装置及び方法、並びに、これを用いた鍵系列生成装置及び方法、暗号化装置及び方法、復号装置及び方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
暗号技術に関する様々な会議やワークショップ等で、非常に多くのブロック暗号やストリーム暗号が提案されている（例えば文献１参照；各文献の詳細は後にまとめて示してある）。ストリーム暗号は、例えば平文／暗号文の２値系列と共通鍵から生成した鍵系列（２値系列）との排他的論理和を取ることで暗号文／平文を生成する方式であり、現在の暗号方式の中でも最も重要な方法であると考えられる（文献２〜６）。また、ベルヌイ試行を実現する独立同分布（ｉ．ｉ．ｄ．）の２値系列はストリーム暗号のための鍵系列として最も良い候補者であり、確率論やエルゴード理論の分野において２進写像（ベルヌイ写像）に対するＲａｄｅｍａｃｈｅｒ関数（文献１４〜１６）がｉ．ｉ．ｄ．の２値系列を生成し得ることは良く知られている。しかしながら、従来のストリーム暗号では、ある鍵から、長周期の予測不可能な２値系列（文献７〜１３）を生成することが困難であり、暗号学的安全性が得られないという大きな問題点がある。
【０００３】
例えば、２進写像を用いたストリーム暗号がある。この方式では、任意に選ばれた有理数である初期値の２進展開を２値の鍵系列自身として用いている。このため、鍵系列の長さは初期値を２進展開したときの長さに等しい。従って、従来の方式では有限精度の計算機システムにおいて２進写像から長周期の実数値軌道を得ることは不可能であった。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】
以上のように、従来のストリーム暗号方式は、暗号学的安全性の面で問題があり、新しい原理による暗号学的により強いストリーム暗号の提供が望まれている。
【０００５】
本発明は、上記事情を考慮してなされたもので、良好な乱数または理想乱数を生成可能な乱数生成装置及び方法、並びに暗号学的安全性について非常に優れた鍵系列によるストリーム暗号を実現可能な鍵系列生成装置及び方法、暗号化装置及び方法、復号装置及び方法を提供することを目的とする。
【０００７】
【課題を解決するための手段】
本発明に係る乱数生成方法は、予め定められた所定の非線形写像に従い、与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成するステップと、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、与えられた２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成するステップと、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って乱数を生成するステップとを有し、前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする。
好ましくは、前記論理演算は排他的論理和演算であるようにしてもよい。
好ましくは、前記非線形写像の値の取り得る範囲の最小値をｄ、最大値をｅとした場合、２Ｍ＋１個の前記閾値ｔr （ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔr ＋ｔ2M-r ＝ｄ＋ｅ、かつ、ｔi ≠ｔj （ｉ≠ｊのとき）の関係が成立するようにしてもよい。
また、本発明に係る乱数生成装置は、予め定められた所定の非線形写像に従い、与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、与えられた２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って乱数を生成する論理演算手段とを備え、前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする。
また、本発明は、平文または暗号文の２値系列と所定の共通鍵をもとにして生成された鍵系列とを論理演算して暗号文または元の平文を生成するストリーム暗号化装置またはストリーム復号装置に使用する鍵系列生成装置の鍵系列生成装置において、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成する２値系列生成手段と、
生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って鍵系列を生成する論理演算手段とを備え、前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする。
また、本発明は、平文または暗号文の２値系列と所定の共通鍵をもとにして生成された鍵系列とを論理演算して暗号文または元の平文を生成するストリーム暗号化装置またはストリーム復号装置に使用する鍵系列生成装置の鍵系列生成方法において、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成するステップと、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成するステップと、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って鍵系列を生成するステップとを有し、前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする。
また、本発明に係る暗号化装置は、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手段と、平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第２の論理演算手段とを備え、前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする。
好ましくは、前記第１の論理演算および前記第２の論理演算はいずれも排他的論理和演算であるようにしてもよい。
好ましくは、前記非線形写像の値の取り得る範囲の最小値をｄ、最大値をｅとした場合、２Ｍ＋１個の前記閾値ｔr （ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔr ＋ｔ2M-r ＝ｄ＋ｅ、かつ、ｔi ≠ｔj （ｉ≠ｊのとき）の関係が成立するようにしてもよい。
好ましくは、前記非線形写像が所定数のパラメータを持つものである場合、該パラメータのうちの少なくとも１つを共通鍵として用いるようにしてもよい。
好ましくは、前記所定の非線形写像は、差分方程式ωn+1 ＝cos(ｋ cos-1ωn ）で表されるチェビシェフ写像（パラメータｋは２以上の実数）であり、前記第１の共通鍵は、前記チェビシェフ写像の初期値ω0 （ここで−１＜ω0 ＜１）およびパラメータｋを示す情報であるようにしてもよい。
好ましくは、前記パラメータｋの値は偶数値であるようにしてもよい。
好ましくは、前記実数値系列生成手段は、所定の言語で記述されたプログラムを浮動小数点演算装置を用いて実行することにより前記非線形写像の値の系列を生成するものであるようにしてもよい。
また、本発明に係る暗号化方法は、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成するステップと、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成するステップ、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成するステップ、平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成するステップとを有し、前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする。
また、本発明に係る復号装置は、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成する２値系列生成手段と、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手段と、暗号文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って平文の２値系列を生成する第２の論理演算手段とを備え、前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする。
また、本発明に係る復号方法は、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成するステップと、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成するステップと、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成するステップと、暗号文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って平分の２値系列を生成するステップとを有し、前記非線形写像は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものであることを特徴とする。
また、本発明に係る乱数生成方法は、予め定められた所定の非線形写像に従い、与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成し、生成された前記実数値系列を、与えられたｍ種類（ｍは１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅延させ、遅延のない前記実数値系列および所定量遅延されたｍ個の前記実数値系列の各々に対し、夫々所定の２値化処理を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成し、生成されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って乱数を生成することを特徴とする。好ましくは、この乱数生成方法により複数の乱数を夫々生成し、生成された複数の乱数をもとに予め定められた論理演算を行って出力すべき乱数を生成するようにしてもよい。
また、本発明に係る乱数生成装置は、予め定められた所定の非線形写像に従い、与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実数値系列を、与えられたｍ種類（ｍは１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅延させる遅延手段と、遅延のない前記実数値系列および所定量遅延されたｍ個の前記実数値系列の各々に対し、夫々所定の２値化処理を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、生成されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って乱数を生成する論理演算手段とを備えたことを特徴とする。
また、本発明は、平文または暗号文の２値系列と所定の共通鍵をもとにして生成された鍵系列とを論理演算して暗号文または元の平文を生成するストリーム暗号化装置またはストリーム復号装置に使用する鍵系列生成装置の鍵系列生成装置において、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実数値系列を、第２の共通鍵により示されるｍ種類（ｍは１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅延させる遅延手段と、前記実数値系列生成手段により生成された遅延のない実数値系列および前記遅延手段により所定量遅延されたｍ個の前記実数値系列の各々に対し、夫々対応する第３の共通鍵をもとにした所定の２値化処理を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、生成されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って鍵系列を生成する論理演算手段とを備えたことを特徴とする。
また、本発明に係る暗号化装置は、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実数値系列を、第２の共通鍵により示されるｍ種類（ｍは１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅延させる遅延手段と、前記実数値系列生成手段により生成された遅延のない実数値系列および前記遅延手段により所定量遅延されたｍ個の前記実数値系列の各々に対し、夫々対応する第３の共通鍵をもとにした所定の２値化処理を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、生成されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手段と、平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第２の論理演算手段とを備えたことを特徴とする。
好ましくは、前記実数値系列生成手段、前記遅延手段、前記２値化処理手段および前記第１の論理演算手段を、複数系統備えるとともに、各系統における前記第１の論理演算手段から出力される２値系列をもとに予め定められた第４の論理演算を行って鍵系列を生成する第４の論理演算手段と、平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第２の論理演算手段とを備えるようにしてもよい。
好ましくは、前記２値化処理手段は、ｍ＋１個の前記実数値系列の各々につき、当該実数値系列の各実数値に対し、当該実数値系列に対応する第３の共通鍵により示される複数の値を夫々閾値として２値化処理を施して、複数の２値系列を生成する２値化処理手段と、ｍ＋１個の前記実数値系列の各々につき、当該実数値系列に対して生成された複数の２値系列をもとに予め定められた第３の論理演算を行って、前記第１の論理演算手段に与える前記２値系列を生成する第３の論理演算手段とを有するようにしてもよい。
好ましくは、前記２値化処理手段は、ｍ＋１個の前記実数値系列の各々ごとに、当該実数値系列に対応する第３の共通鍵により示される値を閾値として、当該実数値系列の各実数値を２値化するものであるようにしてもよい。
好ましくは、前記２値化処理手段は、ｍ＋１個の前記実数値系列の各々ごとに、当該実数値系列の各実数値について、該実数値を所定の範囲に正規化してなる値の２進表現における、当該実数値系列に対応する第３の共通鍵により示されるビット位置の値を選択することにより、該実数値を２値化するものであるようにしてもよい。
また、本発明に係る復号装置は、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実数値系列を、第２の共通鍵により示されるｍ種類（ｍは１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅延させる遅延手段と、前記実数値系列生成手段により生成された遅延のない実数値系列および前記遅延手段により所定量遅延されたｍ個の前記実数値系列の各々に対し、夫々対応する第３の共通鍵をもとにした所定の２値化処理を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段と、生成されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手段と、暗号文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行って平文の２値系列を生成する第２の論理演算手段とを備えたことを特徴とする。
【００３９】
【発明の実施の形態】
以下、図面を参照しながら発明の実施の形態を説明する。
【００４０】
本実施形態では、所定の非線形写像に従いカオス軌道に沿った実数値系列を生成し、これに所定の２値化処理を施すことで、乱数を生成する乱数発生器を説明する。
【００４１】
なお、本実施形態では、平文の２値系列と所定の共通鍵に基づいて生成された鍵系列（２値系列）にビット単位の所定の論理演算（一般的には排他的論理和演算）を施して暗号文を生成するストリーム暗号において、乱数発生器を鍵系列として用いるカオス２値系列の生成のために用いた形態を中心に説明する。
【００４２】
最初に、本発明の基本原理について説明する。
【００４３】
なお、｛ｘｎ  ｝ｎ＝０  ｍ  という表記は、｛ｘ０  ，ｘ１  ，ｘ２  ，…，ｘｍ−１  ，ｘｍ  ｝を表すものとする。
【００４４】
→Ｐは、平文のビット列を表すものとする。
【００４５】
→Ｋは、暗号化／復号に用いる所定数の共通鍵を表すものとする。
【００４６】
→Ｒは、鍵系列（ビット列）を表すものとする。また、→Ｒ→Ｋは、共通鍵→Ｋにより生成された鍵系列（ビット列）を表すものとする。
【００４７】
→Ｚは、暗号文のビット列を表すものとする。また、→Ｚ→Ｋは、共通鍵を→Ｋとする暗号文のビット列を表すものとする。
【００４８】
まず、カオス的な振る舞いを呈する最も単純な系としては、式（１）で示すような一次元写像のクラスが存在する（文献２０〜２２）。ここで、ωｎ  ＝τｎ  （ω０  ）である。
【００４９】
【数１】
0003557037.tif 000002
【００５０】
任意のＬ１  関数Ｆ（ω）に対し、ある初期値ω＝ω０  からの軌道｛ωｎ  ｝ｎ＝０  Ｎ−１  に沿った時間平均ＦＮ  は、式（２）で定義される。
【００５１】
【数２】
0003557037.tif 000003
【００５２】
バーコフの個別エルゴード定理によれば（文献２１）、τ（ω）が、区間Ｉ上において、ｆ＊（ω）ｄωで表される絶対連続な不変測度（ＡＣＩ測度と呼ぶ）に関してエルゴード的であるとき、式（３）が成立する。
【００５３】
【数３】
0003557037.tif 000004
【００５４】
ただし、＜Ｆ＞τは、ＩにおけるＦ（ω）の空間平均であり、式（４）で定義される。
【００５５】
【数４】
0003557037.tif 000005
【００５６】
２値系列（鍵系列）の基となる実数値系列の生成に利用できる非線形写像としては様々なものが考えられるが、４種類の代表的なエルゴード写像τ（ω）とそのＡＣＩ測度ｆ＊（ω）ｄωを以下に示す。
【００５７】
１．Ｒ進写像（文献２１）
【数５】
0003557037.tif 000006
【００５８】
なお、本実施形態で非線形写像としてＲ進写像を用いる場合、パラメータＲとして奇数の値を使う方がより良い性質を持つ２値系列を得られるので好ましい。
【００５９】
２．テント写像（文献２１）
【数６】
0003557037.tif 000007
【００６０】
３．ロジスティック写像（文献１７）
【数７】
0003557037.tif 000008
【００６１】
４．ｋ次のチェビシェフ写像（文献１８，１９）
【数８】
0003557037.tif 000009
【００６２】
なお、本実施形態で非線形写像としてチェビシェフ写像を用いる場合、パラメータｋとして偶数の値を使う方がより良い性質を持つ２値系列を得られるので好ましい。
【００６３】
非線形写像としては、詳しくは後述するが、不変測度の均等性分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものを用いると好ましい。なお、上記の４つの写像は、いずれも上記３つの性質を持つものに該当する。
【００６４】
次に、エルゴード写像τ（・）によるカオス的な実数値系列｛ωｎ  ｝ｎ＝０  ∞から２値系列（すなわちストリーム暗号で用いる鍵系列）を得る方法について幾つかの例を示す。これら方法は、あるエルゴード写像に対して、異なった独立同分布（以下、ｉ．ｉ．ｄ．と記す）の予測不可能な２値系列を同時に生成する有効な手法である。
【００６５】
（１）Ｃ系列（図４参照）
まず、Ｃ系列について説明する。
【００６６】
カオス実数値軌道｛ωｎ  ｝ｎ＝０  ∞から２値系列を生成する方法を以下のように一般化する。
【００６７】
まず、式（９）で示される閾値関数を定義する。
【００６８】
【数９】
そして、ある写像τ（・）により生成された実数値系列の各実数値ωに対し、
0003557037.tif 000010
【００６９】
式（１０）および式（１１）で示されるような閾値関数の法２の加算の形で表現される２値関数を定義する。式（１０）中の演算子は法２（ｍｏｄｕｌｏ−２）の加算（すなわち排他的論理和）を示す。
【００７０】
【数１０】
0003557037.tif 000011
【００７１】
すなわちＣ系列では、共通鍵にて与えられた閾値の集合Ｔ＝｛ｔ０  ，ｔ１  ，…，ｔ２Ｍ−１，ｔ２Ｍ｝の夫々の値に従って、式（９）で定義される閾値関数により、実数値系列の各実数値から２Ｍ＋１個の２値化データを求め、それらの排他的論理和を演算する。このようにして、カオス２値系列｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞が得られる。
【００７２】
Ｃ系列では、写像の初期値ω０  と閾値の集合Ｔと写像τ（・）のパラメータが秘密鍵となる得る。
【００７３】
閾値集合の要素数２Ｍ＋１（共通鍵の数）は任意に設定可能である。
【００７４】
ここで、閾値の集合Ｔの要素数を奇数個にしているのは、その方がより良い性質を持つ２値系列を得ることが出来るからである。また、写像の値の取り得る範囲Ｉを、Ｉ＝［ｄ，ｅ］とした場合、Ｔの要素ｔｒ  （ｒ＝０〜２Ｍ）について、ｔｒ  ＋ｔ２Ｍ−ｒ＝ｄ＋ｅとするのが好ましい。もちろん、ｉ≠ｊについてｔｉ  ≠ｔｊ  である。
【００７５】
特に、非線形写像として不変測度の均等性分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものを用い、ｔｒ  ＋ｔ２Ｍ−ｒ＝ｄ＋ｅとした場合、２値系列として理想乱数を得ることができる。
【００７６】
ただし、Ｔの要素のうちｔＭ  だけ使わず、Ｔの要素数を偶数個にしても構わない。例えば、後述するＡ系列はこの場合に該当し、ｔ＝０を閾値集合から除外したものである。
【００７７】
なお、式（１０）の排他的論理和の代わりに、排他的論理積等の他の論理演算を行うこともできる。
【００７８】
（２）Θ系列（図７参照）
次に、Θ系列（１個の閾値関数で得られる系列）について説明する。
【００７９】
Ｃ系列を表す式（１０）および式（１１）において、Ｍ＝０とすると、
ＣＴ  （ω）＝Θｔ０（ω）              （１２）
を得る。この２値系列｛Θｔ０（ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞はカオス閾値系列と呼ばれる。また、例えばτ（・）がチェビシェフ写像の場合はチェビシェフ閾値系列と呼ぶ。
【００８０】
この場合、写像の初期値ω０  と１つの閾値の集合ｔ０  と写像τ（・）のパラメータが秘密鍵となる得る。
【００８１】
なお、非線形写像の値の取り得る範囲Ｉを、Ｉ＝［ｄ，ｅ］とした場合、ｔ０  ＝（ｄ＋ｅ）／２とすると好ましい。
【００８２】
（３）Ｂ系列（図９参照）
次に、Ｂ系列（Ｃ系列の特殊な場合であり、［ｄ，ｅ］区間の実数値系列を［０，１］区間に正規化し、第ｉ番目のビットを取り出して得られる系列）について説明する。
【００８３】
式（１３）のように区間Ｉ＝［ｄ，ｅ］上で定義される任意の写像τ（・）の値ωに対して、式（１４）のように区間をＩ＝［０，１］とするような正規化を施した値（ω−ｄ）／（ｅ−ｄ）を２進表現で式（１５）のように表す。
【００８４】
【数１１】
0003557037.tif 000012
【００８５】
Ｃ系列を表す式（１０）および式（１１）において、Ｍ＝２ｉ−１  、かつ、ｔｒ  ＝（ｅ−ｄ）ｒ／２ｉ  ＋ｄとすると、
ＣＴ  （ω）＝Ｂｉ  （ω）              （１６）
となる。この２値系列｛Ｂｉ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞は、カオスビット系列と呼ばれる。また、例えばτ（・）がチェビシェフ写像の場合はチェビシェフビット系列と呼ぶ。また、特に、τ（ω）が２進写像、すなわちＲ＝２のＲ進写像であるとき、Ｂｉ  はＲａｄｅｍａｃｈｅｒ関数（文献１４〜１６）と呼ばれる。
【００８６】
なお、Ｂｉ  （ω）は、ωの２進表現におけるビット位置を示すビット番号ｉを（共通鍵として）与えることにより、２値系列｛Ｂｉ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞を得ることができるので、計算機では、Ｂｉ  はＣＴ  （ω）よりもプログラムの実装が容易である。
【００８７】
（４）Ａ系列（図１２参照）
次に、Ａ系列（実数値系列の絶対値をとって２進展開し、第ｉ番目のビットを取り出して得られる系列）について説明する。
【００８８】
Ａ系列は、以下に示すように｜ω｜≦１であるωの絶対値の２進展開に基づいている。
【００８９】
式（１７）で表すように、ω（ここで｜ω｜≦１とする）の絶対値をとり、２進表現する。
【００９０】
【数１２】
0003557037.tif 000013
【００９１】
第ｉ番目のビットＡｉ  （ω）は、式（１８）で表される。
【００９２】
【数１３】
0003557037.tif 000014
【００９３】
よって、ωの２進表現におけるビット位置を示すビット番号ｉを（共通鍵として）与えることにより、２値系列｛Ａｉ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞が得られる。
【００９４】
なお、このＡ系列は、Ｃ系列において閾値の集合ＴのうちｔＭ  （＝０）を使わないこととしたものに該当する。
【００９５】
もし、写像の区間がＩ＝［０，１］であれば、Ａｉ  （ω）＝Ｂｉ  （ω）となるので、｛Ａｉ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞もカオスビット系列と呼ぶことにする。
【００９６】
次に、上記のようにして得られたカオス２値系列（例えば、チェビシェフ閾値／チェビシェフビット系列）を鍵系列として用いた２進加法ストリーム暗号について説明する。
【００９７】
本実施形態では、共通鍵（秘密鍵）→Ｋ＝（ｓ１  ，ｓ２  ，…，ｓＭ  ）は、鍵系列→Ｒ＝（Ｒ１  ，Ｒ２  ，…）を生成するカオス２値系列生成部を制御するためにのみ用いられる。
【００９８】
本実施形態では、共通鍵は、第１の共通鍵と第２の共通鍵に分類される。第１の共通鍵は実数値系列の生成に用いるものであり、第２の共通鍵は生成した実数値系列の２値化処理のために用いるものである。第１の共通鍵と第２の共通鍵は、それぞれ、１つの場合と複数ある場合が考えられる。
【００９９】
例えば、前述の式（８）のようなチェビシェフ写像を用いる場合、第１の共通鍵は、初期値ω０  とパラメータｋである。また、前述の式（７）のようなロジスティック写像を用いる場合、第１の共通鍵は、初期値ω０  である。
【０１００】
第２の共通鍵は、Ｃ系列では閾値集合Ｔであり、Θ系列では閾値ｔ０  であり、Ｂ系列およびＡ系列では、正規化したωの２進表現におけるビット位置を示すビット番号ｉである。
【０１０１】
このように本実施例では、共通鍵の内容に実数値が含まれる。
【０１０２】
カオス２値系列｛Θｔ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞、｛Ｂｉ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞、｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞に対する秘密鍵を、それぞれ、→Ｋ（Θｔ  ）＝（ｋ，ω０  ，ｔ）、→Ｋ（Ｂｉ  ）＝（ｋ，ω０  ，ｉ）、→Ｋ（ＣＴ  ）＝（ｋ，ω０  ，Ｔ）（Ｔ＝｛ｔｒ  ｝ｒ＝０  ２Ｍ）で定義する。
【０１０３】
なお、上記の２値系列はいずれも、一般的には、式（１０）および式（１１）のＣＴ  （ω）で表現できるので、その秘密鍵は、→Ｋ（ＣＴ  ）＝（ｋ，ω０  ，Ｔ）と表せる。
【０１０４】
上記のような鍵系列を用いてストリーム暗号方式により生成される暗号文は、それぞれ、→ＺΘ＝（ｚ１  ，ｚ２  ，…）、→ＺＢ、→ＺＣＴ  で定義される。これら暗号文のビットは、２値の平文のビット→Ｐ＝（ｐ１  ，ｐ２  ，…）と上記秘密鍵でビットごとに行う単純な法２の加算により、式（１９）のように得られる。また、復号は、式（２０）により実行される。
【０１０５】
【数１４】
0003557037.tif 000015
【０１０６】
ところで、これらの２値系列を得るためには、浮動小数点演算が必要である。しかして、ほとんど全ての計算機に備わっている浮動小数点環境のＩＥＥＥ規格７５４に従うと、以下に示すように、暗号化および復号化を実現するプログラムの作成は容易になる。
【０１０７】
ＩＥＥＥ規格フォーマットは、以下の単精度および倍精度の浮動小数点フォーマットを指定する。
【０１０８】
１）ＩＥＥＥ単精度（あるいはＣ言語のｆｌｏａｔ）に対しては、指数部および仮数部はそれぞれ、８ビット，２４ビットであり、従って、合計３２ビットである。
２）ＩＥＥＥ倍精度（あるいはＣ言語のｄｏｕｂｌｅ）に対しては、指数部１１ビット、仮数部５３ビット、合計６４ビットである。
【０１０９】
Ｃ言語の数学ライブラリではまた、ｃｏｓωやｃｏｓ−１ω等の初等関数が利用可能であり、倍精度の引数ωに対し倍精度の浮動小数点演算が実行される。
【０１１０】
ランダムに選んだ２≦ｋ≦２２０を満たす整数ｋの場合の６４ビット精度の軌道｛ωｎ  ｝ｎ＝０  ∞に対して、ある実数値ｔ（〜０）（あるいは、ｉ≦５０を満たすｉ）を選ぶとすると、１６０（＝３２＋６４＋６４）ビットの→Ｋ（Θｔ）（あるいは、１２８（＝３２＋６４＋３２）ビットの→Ｋ（Ｂｉ  ））から、｛Θｔ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞（あるいは、｛Ｂｉ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞）を得ることが出来る。従って、そのような平衡２値系列は、良い擬似乱数生成器を与える。
【０１１１】
以下では、本実施形態の構成をより具体的に説明する。
【０１１２】
図１は、本発明を適用したストリーム暗号システムの一実施形態を示す基本構成図である。
【０１１３】
平文を暗号化して暗号文を作成する装置（送信側装置と呼ぶこととする）は、暗号化／復号に必要な共通鍵→Ｋ（図中６）を用いて鍵系列（カオス２値系列）→Ｒ→Ｋを生成するカオス２値系列生成部２１  、生成された鍵系列→Ｒ→Ｋと入力された平文（の２値系列）→Ｐとの排他的論理和をビット単位に行なって暗号文（の２値系列）→Ｚ→Ｋを生成する排他的論理和部４１  を備えている。
【０１１４】
暗号文を復号して元の平文を生成する装置（受信側装置と呼ぶこととする）は、送信側装置より配送された共通鍵→Ｋ（図中８）を用いて鍵系列（カオス２値系列）→Ｒ→Ｋを生成するカオス２値系列生成部２２  、生成された鍵系列→Ｒ→Ｋと送信側装置より配送された暗号文（の２値系列）→Ｚ→Ｋとの排他的論理和をビット単位に行なって元の平文（の２値系列）→Ｐを生成する排他的論理和部４２  を備えている。
【０１１５】
また、カオス２値系列生成部２１  、２２  は、第１の共通鍵と予め定められた所定の非線形写像に従いカオス軌道に沿った実数値系列を生成するカオス生成部と、生成された実数値系列の各実数値に対し第２の共通鍵に基づく所定の２値化処理を施して鍵系列を生成するビット生成部を有する。
【０１１６】
送信側装置のカオス２値系列生成部２１  と受信側装置のカオス２値系列生成部２２  とは同一の論理構造を持つ。従って、共通鍵→Ｋが同一であれば、生成される鍵系列→Ｒ→Ｋは、両装置について同一となる。
【０１１７】
送信側装置の排他的論理和部４１  と受信側装置の排他的論理和部４２  は、同時に排他的論理積に置き換えても良い。あるいは、他の論理演算を用いることもできる。以下では、排他的論理和を行なうものとして説明する。
【０１１８】
送信側装置では、平文→Ｐの暗号化に先だって、共通鍵選択部（図示せず）により、使用する共通鍵→Ｋを選択する。共通鍵→Ｋの選択方法としては、基本的には公知の方法を使用することができ、種々の方法が考えられる。例えば、予め用意された鍵に番号を振っておき、その都度発生した乱数に対応する番号の振られた鍵を選択しても良い。鍵が実数値である場合は、その都度発生した乱数の値あるいはこの値を線形変換などして得られた値を、そのまま鍵の値とすることができる。また、本発明では、鍵の個数が個別に変わり得る場合があるが、鍵の個数もランダムに選択しても良い。もちろん、鍵や鍵の個数は、乱数に基づいて選択するのではなく、他の情報に従って選択することも自由である。
【０１１９】
送信側装置では、暗号文とともに共通鍵を配送するが、配送する情報として、共通鍵の内容をそのまま配送しても良いし、その代わりに共通鍵の内容に対応する情報を配送しても良い。
【０１２０】
また、共通鍵の配送にあたって、該共通鍵またはこれに対応する情報は暗号化して配送するのが好ましい。ここでは、共通鍵は、公開鍵方式、例えばＲＳＡ暗号方式もしくは楕円体暗号方式等により暗号化するものとする。
【０１２１】
送信側装置は、生成された暗号文と復号に必要な共通鍵を、出力部（図示せず）により外部に出力する。出力の方法、言い換えると、暗号文と共通鍵を受信側装置に渡す方法には、種々の方法が考えられる。
【０１２２】
送信側装置と受信側装置をネットワークで接続する場合は、出力部は暗号文と共通鍵を所定のプロトコルに従いネットワークに送り出す機能を有する。送信側装置から受信側装置へ無線通信により暗号文と共通鍵を伝送する場合は、出力部は暗号文と共通鍵を変調し送出する機能を有する。暗号文と共通鍵を可搬できる記憶媒体に格納して受け渡す場合には、出力部は暗号文と共通鍵を記憶媒体に書き込む機能を有する。
【０１２３】
受信側装置では、送信側装置で生成された暗号文→Ｚ→Ｋと復号に必要な共通鍵→Ｋを、入力部（図示せず）により入力する。
【０１２４】
送信側装置とネットワークで接続する場合は、入力部はネットワークを介して転送されてきた情報を受け取り、暗号文と共通鍵を取り出す機能を有する。送信側装置から無線通信により暗号文と共通鍵を受け取る場合は、入力部は伝播されきた信号を受信し復調して暗号文と共通鍵を取り出す機能を有する。暗号文と共通鍵を可搬できる記憶媒体に格納して受け渡す場合には、入力部は暗号文と共通鍵を記憶媒体から読出す機能を有する。
【０１２５】
なお、共通鍵が暗号化されたものである場合、暗号文を復号するのに先だって、鍵復号部（図示せず）により所定の方式に従い共通鍵の復号を行なう。さらに、復号して得た情報が、共通鍵に対応する情報である場合、この情報から例えばテーブルを参照するなどして実際の共通鍵の内容を求める。
【０１２６】
図２は、本実施形態の送信側装置における処理の流れの一例を示すフローチャートである。
【０１２７】
（ステップＳ１）
まず、暗号化／復号に使用する共通鍵（所定数の第１の共通鍵および所定数の第２の共通鍵）の選択を行なう。選択された共通鍵は、必要に応じてＲＳＡ方式などで暗号化し、受信側装置に向けて送信する。
【０１２８】
また、暗号化する平文（の２値系列）を読み込む。
【０１２９】
（ステップＳ２）
カオス２値系列生成部２１  （のカオス生成部）では、選択された第１の共通鍵と所定の非線形写像に従い実数値系列を生成する。
【０１３０】
（ステップＳ３）
カオス２値系列生成部２１  （のビット生成部）では、生成された実数値系列の各実数値に対し、選択された第２の共通鍵に基づく所定の２値化処理を行なって、鍵系列（２値系列）を生成する。
【０１３１】
（ステップＳ４）
排他的論理和部４１  では、入力された平文の２値系列と生成された鍵系列の排他的論理和を取り、暗号文を生成する。
【０１３２】
（ステップＳ５）
生成された暗号文を受信側装置に向けて送信する。
【０１３３】
図３は、本実施形態の受信側装置における処理の流れの一例を示すフローチャートである。
【０１３４】
（ステップＳ１１）
まず、所定の伝達形式で送信側より伝えられた暗号文と復号に必要な共通鍵（所定数の第１の共通鍵および所定数の第２の共通鍵）を入力する。選択された共通鍵は、暗号化されている場合は、ＲＳＡ方式などで復号する。
【０１３５】
（ステップＳ２）
カオス２値系列生成部２２  （のカオス生成部）では、入手した第１の共通鍵と所定の非線形写像に従い実数値系列を生成する。
【０１３６】
（ステップＳ３）
カオス２値系列生成部２２  （のビット生成部）では、入手した実数値系列の各実数値に対し、入手した第２の共通鍵に基づく所定の２値化処理を行なって、鍵系列（２値系列）を生成する。
【０１３７】
（ステップＳ１４）
排他的論理和部４２  では、入力された暗号文の２値系列と生成された鍵系列の排他的論理和を取り、元の平文を生成する。
【０１３８】
なお、実数値の生成と２値化処理と排他的論理和演算をパイプライン処理して、処理の高速化を図っても良い。
【０１３９】
以上の説明では、送信側にて共通鍵→Ｋを選択し受信側に伝えているが、もちろん、受信側にて共通鍵→Ｋを選択し送信側に伝えるようにすることも可能である。
【０１４０】
次に、共通鍵→Ｋを用いて鍵系列（カオス２値系列）→Ｒ→Ｋを生成するカオス２値系列生成部２１  ，２２  にいて説明する。
【０１４１】
図４，図７，図９，図１２に、カオス２値系列生成部２１  ，２２  の構成例を示す。なお、各構成例におけるカオス生成部２０，１２０，２２０，３２０は基本的には同様のものである。
【０１４２】
（１）Ｃ系列
図４は、Ｃ系列によるカオス２値系列生成部の構成例である。Ｃ系列では、前述したように、ある写像τ（・）により生成された実数値系列の各実数値ωに対し、式（１０）および式（１１）により２値化を行なう。閾値の集合｛ｔｒ  ｝ｒ＝０  ２ＭをＴとすると、Ｔが第２の共通鍵となる。閾値の種類の数Ｍは任意に設定可能である。
【０１４３】
カオス２値系列生成部は、カオス生成部２０とビット生成部３０を有する。
【０１４４】
カオス生成部２０は、与えられた第１の共通鍵と所定の非線形写像（２１）から、実数値系列を生成する。
【０１４５】
例えば、所定の非線形写像として、式（８）で示すようなチェビシェフ写像の差分方程式を用いる場合、第１の共通鍵は、初期値ω０  とパラメータｋである。ただし、パラメータｋは鍵とせずに固定することも可能である。初期値ω０  ＝０．３、パラメータｋ＝２とした場合、実数値系列ωｎ  は図５や図６に示されるようになる。
【０１４６】
なお、用いる非線形写像により、パラメータｋの数は０または２以上の場合があり得る。
【０１４７】
カオス生成部２０は、所定の言語で記述されたプログラムを浮動小数点演算装置を用いて実行することにより実現できる。
【０１４８】
ビット生成部２８は、閾値関数Θｔ０（ωｎ  ），Θｔ１（ωｎ  ），…，Θｔ２Ｍ＋１  （ωｎ  ）による閾値処理部（３１，３２，３３）と、各閾値処理部（３１，３２，３３）から出力される複数のビットデータを非線形結合する非線形結合処理部３４を有する。
【０１４９】
ビット生成部２８の閾値処理部では、生成された実数値系列の各実数値について、第２の鍵Ｔにより示される値を閾値｛ｔ０  ，ｔ１  ，…，ｔ２Ｍ｝として夫々２値化データΘｔ  （ωｎ  ）を求める。
【０１５０】
非線形結合処理部２８４では、全２値化データを入力し、所定の非線形結合処理、例えば排他的論理和処理を行なう。
【０１５１】
ここで、具体例により、２値系列の生成について説明する。
【０１５２】
非線形写像として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることとし、第１の共通鍵により初期値ω０  ＝０．３とパラメータｋ＝２、第２の共通鍵Ｔにより閾値ｔ０  ＝−０．５、ｔ１  ＝−０．２、ｔ２  ＝０、ｔ３  ＝０．２、ｔ４  ＝０．５が与えられたとする。
【０１５３】
この場合、初期値ω０  ＝０．３とパラメータｋ＝２により、カオス生成部２０からは、図５のように実数値系列ωｎ  として、順次、０．３０００００、−０．８２００００、０．３４４８００、−０．７６２２２６、０．１６１９７７、−０．９４７５２７、０．７９５６１５、０．２６６００７、−０．８５８４８１、０．４７３９７８、…のように出力される。なお、ここでは、ωｎ  を小数点以下６桁まで示した。
【０１５４】
この実数値系列ωｎ  をもとに、各閾値処理部では、ｔ０  ＝−０．５、ｔ１  ＝−０．２、ｔ２  ＝０、ｔ３  ＝０．２、ｔ４  ＝０．５を夫々閾値とする２値化処理を行う。例えば、ω０  ＝０．３０００００に対して、Θ−０．５（ω０  ）＝１、Θ−０．２（ω０  ）＝１、Θ０  （ω０  ）＝１、Θ０．２  （ω０  ）＝１、Θ０．５  （ω０  ）＝０が夫々得られる。
【０１５５】
このようにして図５のように、閾値ｔ０  ＝−０．５の与えられた閾値処理部からは２値系列Θ−０．５（ωｎ  ）＝（１，０，１，０，１，０，１，１，０，１，…）が生成され、閾値ｔ１  ＝−０．２、ｔ２  ＝０、ｔ３  ＝０．２、ｔ４  ＝０．５が夫々与えられた他の閾値処理部からは、Θ−０．２（ωｎ  ）＝（１，０，１，０，１，０，１，１，０，１，…）、Θ０  （ωｎ  ）＝（１，０，１，０，１，０，１，１，０，１，…）、Θ０．２  （ωｎ  ）＝（０，０，０，０，０，０，１，０，０，０，…）、Θ０．５  （ωｎ  ）＝（０，０，０，０，０，０，１，０，０，０，…）が生成される。
【０１５６】
ビット生成部３０の非線形結合処理部３４では、５つの２値系列Θ−０．５（ωｎ  ）、Θ−０．２（ωｎ  ）、Θ０  （ωｎ  ）、Θ０．２  （ωｎ  ）、Θ０．５  （ωｎ  ）の排他的論理和が演算される。例えば、ω０  ＝０．３０００００に対して、その５つの２値化データ、１、１、１、１、０から、ＣＴ  （ω０  ）＝０が得られる。
【０１５７】
このようにして、カオス２値系列ＣＴ  （ωｎ  ）＝鍵系列→Ｒ→Ｋ＝（０，０，０，０，１，０，１，０，０，０，…）が得られる。
【０１５８】
図６は、もう１つの具体例で、非線形写像として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることとし、第１の共通鍵により初期値ω０  ＝０．３とパラメータｋ＝２、第２の共通鍵Ｔにより閾値ｔ０  ＝−０．８、ｔ１  ＝−０．７、ｔ２  ＝−０．１、ｔ３  ＝０、ｔ４  ＝０．１、ｔ５  ＝−０．７、ｔ６  ＝−０．８が与えられた場合の例であり、鍵系列→Ｒ→Ｋ＝（１，０，１，１，１，０，０，１，０，１，…）が得られる。
【０１５９】
なお、上記の実数値生成処理、閾値処理および非線形結合処理は、パイプライン的に処理して、高速化することが可能である。また、通常のストリーム暗号処理はビット単位で行なわれるが、高速並列処理のためにブロック単位の暗号処理を行なう場合には、非線形結合処理部３４のところで直並列変換を行なっても良い。
【０１６０】
また、必要な閾値処理部の数は、与えられる第２の共通鍵の数（すなわち、閾値の数）に応じて変化し得るが、プログラムをコンピュータにインストールしＣＰＵ上で実行することで本構成を実現すれば、閾値処理部の数の変化には容易に対応することができる。
【０１６１】
（２）Θ系列
図７は、Θ系列によるカオス２値系列生成部の構成例である。すなわち、図４の構成において、閾値関数を１つだけ用いるようにしたものである。
【０１６２】
カオス２値系列生成部は、カオス生成部１２０とビット生成部１３０を有する。
【０１６３】
カオス生成部１２０は、与えられた第１の共通鍵と所定の非線形写像（１２１）から、実数値系列を生成するものであり、図４のカオス生成部２０と同様の構成である。
【０１６４】
ビット生成部１３０は、閾値関数Θｔ  （ωｎ  ）による閾値処理部１３１を有し、この場合、非線形結合処理は不要となる。閾値処理部１３１では、生成された実数値系列の各実数値について、第２の鍵により示される値を閾値ｔとして２値化データΘｔ  （ωｎ  ）を求める。
【０１６５】
例えば、既に説明したＣ系列のように非線形写像として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることとし、第１の共通鍵により初期値ω０  ＝０．３とパラメータｋ＝２、第２の共通鍵Ｔにより閾値ｔ＝０が与えられたとする。この場合、Θ０  （ωｎ  ）＝（１，０，１，０，１，０，１，１，０，１，…）が生成される（図５参照）。
【０１６６】
（３）Ｂ系列
Ｂ系列は、前述したようにＣ系列を表す式（１０）および式（１１）において、Ｍ＝２ｉ−１  、かつ、ｔｒ  ＝（ｅ−ｄ）ｒ／２ｉ  ＋ｄで表現できる。従って、Ｂ系列は、Ｃ系列による図４の構成を用いて得ることができる。
【０１６７】
例えば、先のＣ系列と同様に、非線形写像として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることとし、第１の共通鍵により初期値ω０  ＝０．３とパラメータｋ＝２が与えられたとする。また、第２の共通鍵ｉによりビット位置ｉ＝３（ビット目）が与えられたとする。
【０１６８】
この場合は、ｄ＝−１、ｅ＝１、ｉ＝３であるので、式（１０）および式（１１）において、閾値の集合Ｔ＝｛−０．７５，−０．５，−０．２５，０，０．２５，０．５，０．７５｝とした場合に該当する。
【０１６９】
従って、これら閾値を図４の構成において用いることにより、図８に示すように、Ｂ３  （ωｎ  ）＝（１，０，１，０，０，０，１，１，０，１，…）を得ることができる。
【０１７０】
また、例えばｉ＝１、ｉ＝２とした場合は、それぞれ、閾値の集合Ｔ＝｛０｝、Ｔ＝｛−０．５、０、０．５｝とした場合に該当し、Ｂ１  （ωｎ  ）＝（１，０，１，０，１，０，１，１，０，１，…）、Ｂ２  （ωｎ  ）＝（０，０，０，０，０，０，１，０，０，０，…）が得られる。
【０１７１】
ところで、Ｂ系列は、［ｄ，ｅ］区間の実数値系列を［０，１］区間に正規化し、これを２進展開した場合に、該実数値の第ｉ番目のビットを取り出して得られる系列であるから、指示されたビット位置の値を出力するビット選択器を使うことにより、構成を簡易化することが可能である。
【０１７２】
図９に、ビット選択器を用いた構成例を示す。
【０１７３】
カオス２値系列生成部は、カオス生成部２２０とビット生成部２３０を有する。カオス生成部２２１は、図４のカオス生成部２１と同様である。ビット生成部２３０は、正規化処理部２３１とビット選択部２３２を有する。
【０１７４】
ビット生成部２３０では、まず、正規化処理部２３１により、実数値系列の各実数値を所定の範囲に正規化する。例えば、区間Ｉ＝［ｄ，ｅ］上で定義される任意の写像τ（・）に対しては、ω´＝（ω−ｄ）／（ｅ−ｄ）により正規化を行なうと、ω´は区間Ｉ´＝［０，１］の範囲の値となる。区間Ｉ＝［−１，１］の場合、（ω＋１）／２の演算が行われる。
【０１７５】
次に、ビット選択部２３２では、正規化処理部２３１から与えられる実数値の２進表現における、第２の共通鍵ｉにより示されるビット位置の値を選択する。
【０１７６】
このようにして、鍵系列→Ｒ→ＫとしてＢｉ  （ωｎ  ）が生成される。
【０１７７】
上記具体例と同様に、非線形写像として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることとし、第１の共通鍵により初期値ω０  ＝０．３とパラメータｋ＝２が与えられた場合に、第２の共通鍵ｉにより与えられたビット位置ｉが１〜５であるときにそれぞれ得られるカオスビット系列Ｂ１  （ωｎ  ）、Ｂ２  （ωｎ  ）、Ｂ３  （ωｎ  ）、Ｂ４  （ωｎ  ）、Ｂ５  （ωｎ  ）を図５に示す。
【０１７８】
例えば、第２の共通鍵によりビット番号１が与えられたとすると、実数値ω０  ＝０．３０００００を正規化した値（＝０．６５００００）の２進表現は０．１０１００…であり、２値化データとして（小数第１位の）１が得られ、実数値ω１  ＝−０．８２０００００を正規化した値（＝０．０９００００）の２進表現は０．０００１０…であり、この結果、２値化データとして（小数第１位の）０が得られ、結局、鍵系列→Ｒ→ＫとしてＢ１  （ωｎ  ）＝（１，０，１，０，１，０，１，１，０，１，…）が生成される。同様に、第２の共通鍵によりビット番号５が与えられたとすると、鍵系列→Ｒ→ＫとしてＢ５  （ωｎ  ）＝（０，０，１，１，０，０，０，０，０，１，…）が生成される。
【０１７９】
（４）Ａ系列
Ａ系列は前述したように式（１２）および式（１３）で表され、これはＣ系列を表す式（１０）および式（１１）に閾値の集合Ｔの要素数を偶数とする変形を施したものに該当する。従って、Ａ系列は、Ｃ系列による図４の構成にて閾値処理部の数を偶数とすることにより得ることができる。
【０１８０】
例えば、先のＣ系列と同様に、非線形写像として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることとし、第１の共通鍵により初期値ω０  ＝０．３とパラメータｋ＝２が与えられたとする。また、第２の共通鍵ｉによりビット位置ｉ＝２（ビット目）が与えられたとする。
【０１８１】
この場合は、式（１３）より、閾値の集合Ｔ＝｛−１，−０．７５，−０．５，−０．２５，０．２５，０．５，０．７５，１｝とした場合に該当する。
【０１８２】
従って、これら閾値を図４の構成において用いることにより、図１１に示すように、Ａ２  （ωｎ  ）＝（１，１，１，１，０，１，１，１，１，１，…）を得ることができる。
【０１８３】
また、例えばｉ＝１とした場合は、閾値の集合Ｔ＝｛−１，−０．５，０．５，１｝とした場合に該当し、Ａ１  （ωｎ  ）＝（０，１，０，１，０，１，１，０，１，０，…）が得られる。
【０１８４】
ところで、Ａ系列は、［−１，１］区間の実数値系列の絶対値を取り、これを２進展開した場合に、該実数値の第ｉ番目のビットを取り出して得られる系列であるから、指示されたビット位置の値を出力するビット選択器を使うことにより、構成を簡易化することが可能である。
【０１８５】
図１２に、ビット選択器を用いた構成例を示す。
【０１８６】
カオス２値系列生成部は、カオス生成部３２０とビット生成部３３０を有する。カオス生成部３２１は、図４のカオス生成部２０と同様である。ビット生成部３３０は、絶対値処理部３３１とビット選択部３３２を有する。
【０１８７】
ビット生成部３３０では、まず、絶対値処理部３３１により、実数値系列の各実数値について、その絶対値を取る処理を行なう。
【０１８８】
次に、ビット選択部３３２では、絶対値処理部３３１から与えられる実数値の２進表現における、第２の共通鍵ｉにより示されるビット位置の値を選択する。
このようにして、鍵系列→Ｒ→ＫとしてＡｉ  （ωｎ  ）が生成される。
【０１８９】
上記具体例と同様に、範囲Ｉ＝［−１，１］を持つ非線形写像として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることとし、第１の共通鍵により初期値ω０  ＝０．３とパラメータｋ＝２が与えられた場合に、第２の共通鍵ｉにより与えられたビット位置ｉが１〜５であるときにそれぞれ得られるカオスビット系列Ａ１  （ωｎ  ）、Ｂ２  （ωｎ  ）、Ｂ３  （ωｎ  ）、Ｂ４  （ωｎ  ）、Ｂ５  （ωｎ  ）を図１３に示す。
【０１９０】
例えば、第２の共通鍵によりビット番号１が与えられたとすると、実数値｜ω０  ｜＝０．３０００００の２進表現は０．０１００１…であり、２値化データとして（小数第１位の）０が得られ、実数値｜ω１  ｜＝０．８２０００００の２進表現は０．１１０１０…であり、この結果、２値化データとして（小数第１位の）１が得られ、結局、鍵系列→Ｒ→ＫとしてＡ１  （ωｎ  ）＝（０，１，０，１，０，１，１，０，１，０，…）が生成される。同様に、第２の共通鍵によりビット番号５が与えられたとすると、鍵系列→Ｒ→ＫとしてＡ５  （ωｎ  ）＝（１，０，１，０，１，０，１，０，１，１，…）が生成される。
【０１９１】
以下では、カオス２値系列の統計的性質について述べる。最初に統計的性質の評価に用いる関数等について説明し（文献２６）、次いでカオス２値系列の平衡性、Ｉ．Ｉ．Ｄ．性、そして次ビット予測不可能性について説明する。
【０１９２】
まず、Ｇ（ω）およびＨ（ω）を任意の二つの有界変動なＬ１  関数とし、二つの系列｛Ｇ（ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞および｛Ｈ（ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞を考える。ある一つの初期値ω＝ω０  に対する、これら二つの系列間の２次の相互相関関数の空間平均は、式（２１）で定義される。ここで、ｌ＝０，１，２，…である。
【０１９３】
【数１５】
0003557037.tif 000016
【０１９４】
相互共分散関数の空間平均もまた、式（２２）および式（２３）のように定義される。
【０１９５】
【数１６】
0003557037.tif 000017
【０１９６】
Ｇ＝Ｈのときは、これらはそれぞれ、自己相関関数、自己共分散関数の空間平均を示す。
【０１９７】
ここで、区間Ｉ＝［ｄ，ｅ］をもつ写像τに対するペロンフロベニウス（Ｐ−Ｆ）作用素Ｐτを導入する。これは、式（２４）で定義される（文献２１）。
【０１９８】
【数１７】
0003557037.tif 000018
【０１９９】
この作用素は、式（２５）にて表される重要な性質をもつので、相関関数や共分散関数を評価する際に非常に有効である。
【０２００】
【数１８】
0003557037.tif 000019
【０２０１】
カオス系列の平均値や相関関数等の統計量を評価するのに、空間平均法が有効であることが知られている。この空間平均法を幾つかのエルゴード写像に適用すると、カオス２値系列が良い統計的性質をもつことが以下のように示される（文献２５）。
【０２０２】
ここでは、以下の３つの性質を満たす区分単調写像τ：［ｄ，ｅ］→［ｄ，ｅ］を考える。
（ｉ）［ｄ，ｅ］の分割ｄ＝ｄ０  ＜ｄ１  ＜…＜ｄＮ  τ＝ｅがあり、各々の整数ｉ＝１，…，Ｎτ（Ｎτ≧２）に対し、τｉ  （１≦ｉ≦Ｎτ）で表される区間［ｄｉ−１  ，ｄｉ  ）での関数はＣ２  である。
（ｉｉ）τ（（ｄｉ−１  ，ｄｉ  ））＝（ｄ，ｅ）、すなわち、τｉ  は“ｏｎｔｏ”である。
（ｉｉｉ  ）τは唯一のＡＣＩ測度ｆ＊（ω）ｄωをもつ。
【０２０３】
上記のような写像に対して、式（２６）が成り立つ（文献２１）。ここで、ｇｉ  （ω）＝τｉ  −１（ω）である。
【０２０４】
【数１９】
0003557037.tif 000020
【０２０５】
次に、Ｈ（ω）＝Θｔ  （ω）ｆ＊（ω）の場合を考える。式（２７）の条件に対して、式（２８）を得る。
【０２０６】
【数２０】
0003557037.tif 000021
【０２０７】
従って、ｉ＝ｍの場合のみを考えれば十分であり、容易に、式（２９）を得ることができる。
【０２０８】
【数２１】
0003557037.tif 000022
【０２０９】
ゆえに、式（２７）の条件に対して、式（３０）を得る。
【０２１０】
【数２２】
0003557037.tif 000023
【０２１１】
ここで、次の式（３１）で表される性質を満たす上述の区分単調写像のクラスを考える。
【０２１２】
【数２３】
0003557037.tif 000024
【０２１３】
この性質は、均等分布と呼ばれる。このようなクラスは、先に示したＲ進写像、テント写像、ロジスティック写像、およびｋ次のチェビシェフ写像（ただし、それぞれＮτ＝Ｒ，２，２，ｋ）等のような写像を含むものである。こうして、次の興味深い補題が得られる。これは、カオス閾値およびビット系列の相関関数等の統計量を評価する際に非常に有用である。
【０２１４】
［補題１］式（３１）を満たす区分単調写像から生成されるカオス閾値系列｛Θｔ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞に対して、式（３２）が成り立つ。
【０２１５】
【数２４】
0003557037.tif 000025
【０２１６】
ここで、ｓ（ω）はｓｉｇｎｕｍ関数で、式（３３）で定義される。
【０２１７】
【数２５】
0003557037.tif 000026
【０２１８】
［証明］式（３１）を式（３０）に代入すると、式（２７）に対して、式（３４）が得られる。
【０２１９】
【数２６】
0003557037.tif 000027
【０２２０】
また、Ｐτの定義式（２４）から、式（３５）が成り立つ。
【０２２１】
【数２７】
0003557037.tif 000028
【０２２２】
式（３４）の両辺を積分し、式（３５）を用いると、式（３６）が得られ、式（３４）から、式（３２）が得られる。τ´（ω）をτ（ω）の右微分係数とする。
【０２２３】
【数２８】
0003557037.tif 000029
【０２２４】
性質（ｉｉ）から式（３７）、すなわち、式（３８）が得られる。
【０２２５】
【数２９】
0003557037.tif 000030
【０２２６】
従って、式（３２）は、式（３９）を満たす任意のｔに対して成り立つ。
【０２２７】
【数３０】
0003557037.tif 000031
【０２２８】
これで証明を終る。
【０２２９】
上記の補題１より次の系を得る。
【０２３０】
［系１］式（３１）を満たす区分単調写像から生成される二つのカオス閾値系列｛Θｔ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞および｛Θｔ  ´（ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞の間の相互相関関数の空間平均は、式（４０）のように評価される。
【０２３１】
【数３１】
0003557037.tif 000032
【０２３２】
ここで、式（４１）および式（４２）の通りである。
【０２３３】
【数３２】
0003557037.tif 000033
【０２３４】
［証明］補題１から式（４３）が導かれ、これより式（４０）を得る。
【０２３５】
【数３３】
0003557037.tif 000034
【０２３６】
次に、平衡性について説明する。
【０２３７】
カオスビット系列｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞の１の頻度の空間平均＜ＣＴ  ＞τは容易に次の式（４４）および式（４５）で得られる。
【０２３８】
【数３４】
0003557037.tif 000035
【０２３９】
ここで、ｔτ＋ｔ２Ｍ−ｒ＝ｄ＋ｅ，  ｒ＝０，１，…，２Ｍ      （４６）
であるような、区分［ｄ，ｅ］の分割ｄ＝ｔ０  ＜ｔ１  ＜…＜ｔ２Ｍ＝ｅを定義する。このような閾値の集合Ｔは対称閾値集合と呼ばれる。また、対称閾値集合をもつカオスビット系列｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞は、カオス対称２値系列と呼ばれる。なお、例１においてｔ０  ＝（ｄ＋ｅ）／２の場合のΘｔ０（ω）や、例２におけるＢｉ  （ω）は、いずれもカオス対称２値系列の例である。
【０２４０】
次に、式（４７）で表される性質を満たす写像に限定して考える。
【０２４１】
【数３５】
0003557037.tif 000036
【０２４２】
これは、不変測度の対称性と呼ばれる。このような写像のクラスは、Ｒ進写像、テント写像、ロジスティック写像、およびチェビシェフ写像等の良く知られた写像を含む。
【０２４３】
なお、式（４７）の不変測度の対称性をもつ写像より生成される対称２値系列｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞に対して、
＜ＣＴ  ＞τ＝１／２                        （４８）
で与えられる。
【０２４４】
［証明］式（４７）の不変測度の対称性から、
Ｐτ（ｔｒ  ）＋Ｐτ（ｔ２Ｍ−ｒ）＝１，  ０≦ｒ≦２Ｍ        （４９）
が得られ、従って、
Ｐτ（ｔＭ  ）＝１／２                                    （５０）
である。このようにして、式（５１）を得る。
【０２４５】
【数３６】
0003557037.tif 000037
【０２４６】
これで証明を終る。
【０２４７】
次に、Ｉ．Ｉ．Ｄ．性について説明する。
【０２４８】
→Ｕｍ  ＝Ｕ０  Ｕ１  …Ｕｍ−１  を任意のビットｍビットからなるビット列とする。ここで、Ｕｍ  （０≦ｎ≦ｍ−１）は｛０，１｝の確率変数である。従って、２ｍ  種類のビット列が存在する。次に、→ｕｍ  （ｒ）  ＝ｕ０  （ｒ）  ｕ１  （ｒ）  …ｕｍ−１  （ｒ）  を２進要素ｕｎ  （ｒ）  を持つ、ｒ番目のビット列とする。さらに、式（５２）を満たす任意の２値関数に対し、次の式（５３）と式（５４）で表される二つの２値確率変数を定義する。
【０２４９】
【数３７】
0003557037.tif 000038
【０２５０】
すると、無限長の２値系列｛Ｇ（ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞における事象→ｕｍ  （ｒ）  の確率は、式（５５）で与えられる。
【０２５１】
【数３８】
0003557037.tif 000039
【０２５２】
ここで、式（３１）を満たし、かつ式（５６）で表される写像の対称性も満たす区分単調写像のクラスを考える。
【０２５３】
【数３９】
0003557037.tif 000040
【０２５４】
このようなクラスには、テント写像、ロジスティック写像、および偶数次数ｋのチェビシェフ写像が含まれる。τが単調でｏｎｔｏであることから、
τ（（ｄ＋ｅ）／２）＝ｄ  または  ｅ                      （５７）
が成り立つ。
【０２５５】
［補題２］式（３１）および式（５６）を満たす区分単調写像より生成される対称２値系列｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞に対して、
Ｐτ｛ＣＴ  （ω）ｆ＊（ω）｝＝＜ＣＴ  ＞τｆ＊（ω）    （５８）
が成り立つ。
【０２５６】
［証明］式（５６）から明らかに
τ（ｔｒ  ）＝τ（ｔ２Ｍ−ｒ）                            （５９）
である。従って、式（６０）を得る。
【０２５７】
【数４０】
0003557037.tif 000041
【０２５８】
これで証明を終る。
【０２５９】
このようにして、式（６１）が得られ、式（２５）および式（５８）より次の定理を得る。
【０２６０】
【数４１】
0003557037.tif 000042
【０２６１】
［定理］３種類の対称性、すなわち、不変測度の均等分布性（式（３１））および対称性（式（４７））、さらに写像の対称性（式（５６））を有するエルゴード写像より生成されるカオス対称２値系列｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞に対して、
Ｐｒ（→ｕｍ  （ｒ）  ；ＣＴ  ）＝（＜ＣＴ  ＞τ）ｓ  （１−＜ＣＴ  ＞τ）ｍ−ｓ  
（６２）
が成り立つ。ここで、ｓは→ｕｍ  （ｒ）  における１の数である。
【０２６２】
上記の定理は、ロジスティック写像や偶数次のチェビシェフ写像のようなエルゴード写像のクラスに対しては、｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞が、＜ＣＴ  ＞τのベルヌイ系列を実現するので、ｉ．ｉ．ｄ．の２値系列であることを意味する。＜ＣＴ  ＞τ＝１／２のときは、公平なベルヌイ系列、すなわち、
Ｐｒ（→ｕｍ  （ｒ）  ；ＣＴ  ）＝１／２ｍ    （任意のｒに対して）  （６３）
を満たすｍ次均等分布の２値確率変数が得られる。従って、ＣＴ  （ω）が、２進写像に対するＲａｄｅｍａｃｈｅｒ関数の一般化であると主張するのは妥当であろう。
【０２６３】
［系２］式（３１）および式（５３）を満たす区分単調写像を考える。二つの異なる対称閾値集合をＴ＝｛ｔｒ  ｝ｒ＝０  ２ＭおよびＴ´＝｛ｔ´ｒ  ｝ｒ＝０  ２Ｍ’  で表すとする。ここで、
ｄ＝ｔ０  ＜ｔ１  ＜…＜ｔ２Ｍ＝ｅ                            （６４）
ｄ＝ｔ´０  ＜ｔ´１  ＜…＜ｔ´２Ｍ’  ＝ｅ                    （６５）
ｔｒ  ＋ｔ２Ｍ−ｒ＝ｄ＋ｅ，  ｒ＝０，１，…，２Ｍ            （６６）
ｔ´ｒ  ＋ｔ´２Ｍ’−ｒ  ＝ｄ＋ｅ，  ｒ＝０，１，…，２Ｍ´    （６７）
である。
【０２６４】
このとき、相互相関関数の空間平均は、式（６８）で与えられる。
【０２６５】
【数４２】
0003557037.tif 000043
【０２６６】
ここで、式（６９）〜式（７２）の通りである。
【０２６７】
【数４３】
0003557037.tif 000044
【０２６８】
次に、次ビット予測不可能性について説明する。
【０２６９】
→ｕｍ＋１  （ｒ１）および→ｕｍ＋１  （ｒ０）をそれぞれ周期ｍ＋１の事象→ｕｍ  （ｒ）  １および→ｕｍ  （ｒ）  ０を示すものとする。そこで、系列｛Ｇ（ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞において、事象→ｕｍ  （ｒ）  を観測した後の１および０の条件付確率を考える。それぞれの条件付確率は、式（７３）および式（７４）で与えられる。
【０２７０】
【数４４】
0003557037.tif 000045
【０２７１】
従って、一般にはこれらの同時確率を評価しなければならない。しかしながら、系列が、上記定理における対称２値系列｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞のようにｉ．ｉ．ｄ．であるならば、その評価は必要でなく、直ちに、
0003557037.tif 000046
を得る。さらに、そのような系列｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞が平衡系列、すなわち＜ＣＴ  ＞τ＝１／２であるならば、
0003557037.tif 000047
である。このことは、平衡対称２値系列｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞が予測不可能であることを意味する。
【０２７２】
さて、系１に示したように、｛Θｔ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞は、良い自己／相互相関特性を持つ。これらの秘密鍵の暗号学的安全性を議論するために、初期値ω０  から得られる系列｛Ｇ（ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞と初期値ω０  ´から得られる系列｛Ｈ（ωｎ  ´）｝ｎ＝０  ∞に対する関数
0003557037.tif 000048
を定義する。ｔ〜ｔ´の場合の相互相関関数の時間平均ρＮ  （ｌ，ω０  ，ω０  ；Θｔ  ，Θｔ’）は、例えばＮ＝６４のときでも、自己相関関数の空間平均＜ρ（ｌ；Θｔ  ，Θｔ  ）＞τのデルタ関数的な性質のために、ｌ＝０でのみピークを持つ。この場合の時間平均では、添字はｍｏｄ  Ｎをとるものとする。さらに、ｔ〜ｔ´の場合のρＮ  （０，ω０  ，ω０  ；Θｔ  ，Θｔ’）が０にならず、また、関数ρＮ  （０，ω０  ，ω０  ；Θｔ  ，Θｔ’）のｔおよびｔ´に関する微係数はそれ程大きくない。従って、そのような状況においては、｛Θｔ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞の暗号解読のための統計量として、関数ρＮ  （０，ω０  ，ω０  ；Θｔ  ，Θｔ’）が用いられる。このことは、鍵ｔが暗号学的に安全でなく、よって閾値ｔだけを秘密鍵として用いる方法は好ましくないことを意味する。同様に、ビット系列｛Ｂｉ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞におけるビット番号ｉも、異なったビット番号の数がそれ程多くないので、暗号学的に安全ではない。しかしながら、それでもなお、ω０  やｋのような他の鍵が存在する。
【０２７３】
ω０  を探索するために、時間平均ρＮ  （０，ω０  ，ω０  ´；Θｔ  ，Θｔ’）を用いた暗号解読を考える。この探索においては、カオスの実数値軌道｛ωｎ  ｝ｎ＝０  ∞のＳＤＩＣ（鋭敏な初期値依存性）のために、すべての可能なω０  ´を調べるべきである。このことは、たとえ次数ｋが前もってわかっており、かつｔ〜ｔ´であったとしても、ω０  の全探索が必要であることを意味する。従って、この手法は、ω０  の大きな鍵空間のため、計算量的に実行不可能である。
【０２７４】
次に、｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞の暗号解読を考える。Ｔ〜Ｔ´の場合の相互相関関数の時間平均ρＮ  （０，ω０  ，ω０  ；ＣＴ  ，ＣＴ’）は、相互相関関数の空間平均＜ρ（ｌ；ＣＴ  ，ＣＴ’）τ＞のデルタ関数的な性質のため、ｌ＝０にのみピークを持つ。ここで、Ｔ´は、対称閾値集合（系２）である。さらに、Ｔ〜Ｔ´の場合のρＮ  （０，ω０  ，ω０  ；ＣＴ  ，ＣＴ’）は０にならず、また関数ρＮ  （０，ω０  ，ω０  ；ＣＴ  ，ＣＴ’）の｛ｔｒ  ｝および｛ｔｒ’｝に関する微係数はそれ程大きくない。従って、関数ρＮ  （０，ω０  ，ω０  ；ＣＴ  ，ＣＴ’）は｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞の暗号解読用の統計量として用いることが可能である。同様に、ω０  の探索において、時間平均ρＮ  （０，ω０  ，ω０  ；ＣＴ  ，ＣＴ’）が用いられる。しかしながら、ＳＤＩＣ性のために、すべての可能なω０  ´を調べなければならない。このことは、たとえｋが既知で、かつＴ〜Ｔ´であったとしても、ω０  の全探索が必要であることを意味する。なお、ＴがＭ個の異なった対称閾値を持っているので、Ｔ〜Ｔ´である状況を得るためにも、事前の膨大な計算量が必要である。
【０２７５】
さて、このような鍵をさらに強くし、また異なった秘密鍵の数を増やすために、対称閾値集合
Ｔｊ  ＝｛ｔｉ  （ｊ）｝ｉ＝０  ２Ｍ（ｊ）  ，  ０≦ｊ≦ｍ−１    （７９）
を有するカオス対称２値系列｛ＣＴｊ（ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞の法２の加算を用いることが出来る。例えば、正の整数ｄｉ  （１≦ｉ≦ｍ−１）に対し、次の式（８０）および式（８１）を得る。
【０２７６】
【数４５】
0003557037.tif 000049
【０２７７】
このようにある一つのカオス実数値系列｛ωｎ  ｝ｎ＝０  ∞から得られる２値系列（Ｄ系列）｛Ｄ→Ｔ  ，→ｄ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞もまた、ｉ．ｉ．ｄ．の２値系列である。
【０２７８】
このＤ系列に対しては、→Ｔだけでなく、→ｄも秘密鍵として用いることが出来るので、｛Ｄ→Ｔ  ，→ｄ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞の暗号解読は｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞のそれよりもさらに難しくなる。
【０２７９】
さらに、統計的に独立に選ばれたＬ個の初期値｛ω０，ｓ  ｝ｓ＝１  Ｌ  およびＬ個の写像のパラメータ｛Ｋｓ  ｝ｓ＝１  Ｌ  に対して、式（８２）および式（８３）を定義すると、やはりｉ．ｉ．ｄ．の２値系列（Ｅ系列）｛Ｅ→ｋ  （→ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞を得ることができる。
【０２８０】
【数４６】
0003557037.tif 000050
【０２８１】
｛Ｅ→ｋ  （→ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞に対しては、さらに秘密鍵となるパラメータが増え、暗号解読は上記の｛Ｄ→Ｔ  ，→ｄ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞のそれよりもさらに難しくなる。また、個々の初期値に対する軌道｛ωｎ，ｓ  ｝ｎ＝０  ∞が、有限精度の計算機環境では周期に陥ることは免れないが、｛Ｅ→ｋ  （→ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞の周期はそれよりも長くすることが可能となる。
【０２８２】
以上のように、系列｛ＣＴ  （ωｎ  ）｝ｎ＝０  ∞は、柔軟な鍵系列生成器の設計を可能とするといえる。
【０２８３】
以下では、図４等で説明したストリーム暗号における鍵をさらに強くし、また異なった秘密鍵の数を増やすために、図４等の構成を階層化した構成を持つ実施形態について説明する。
【０２８４】
（１）レベル１の階層構造（Ｄ系列；一つの初期値から生成される複数のＣ系列を組み合わせた系列）
図１４（ａ），（ｂ）に、Ｄ系列によるカオス２値系列生成部の構成例を示す。図１４（ａ）のように、カオス２値系列生成部は、カオス生成部４２０とビット生成部４３０を有する。
【０２８５】
カオス生成部４２０は、図４のカオス生成部２０と同様の構成であり、与えられた第１の共通鍵と所定の非線形写像（４２１）から、実数値系列を生成する。例えば、所定の非線形写像として、式（８）で示すようなチェビシェフ写像の差分方程式を用いる場合、第１の共通鍵は、初期値ω０  とパラメータｋである。初期値ω０  ＝０．３、パラメータｋ＝２とした場合、実数値系列ωｎ  は図５や図６に示されるようになる。
【０２８６】
ビット生成部４３０は、図１４（ｂ）の構成すなわち図４のビット生成部３０と同様の構成を持つＣ系列生成部（４３１，４３２，４３３）と、遅延部（４３５，４３６）と、各Ｃ系列生成部（４３１，４３２，４３３）から出力される複数のビットデータを非線形結合する非線形結合処理部４３４を有する。非線形結合処理は、例えば、全入力データの排他的論理和を取る処理である。
【０２８７】
各Ｃ系列生成部は、図４と同様に、第２の鍵Ｔにより示される閾値Ｔｊ  ｛ｔ０  ，ｔ１  ，…，ｔ２Ｍ（ｊ）  ｝により２値化データＣＴｊ  （ωｎ  ）を生成し、出力する。
【０２８８】
ここで、図１４（ａ）の構成では、Ｃ系列生成部の前段に遅延部を挿入しており、各遅延部は鍵→ｄとして夫々与えられた遅延量ｄｊ  だけ遅延させて実数値を次段へ出力するので、各Ｃ系列生成部から非線形結合処理部４３４へ与えられるそれぞれの２値化データを異なるωｎ  に対するものとすることができる。
【０２８９】
非線形結合処理部４３４では、全２値化データを入力し、所定の非線形結合処理、例えば排他的論理和処理を行ない、Ｄ→Ｔ  ，→ｄ  （ωｎ  ）が得られる。
【０２９０】
ここで、具体例により、２値系列の生成について説明する。
【０２９１】
例えば、ｍ＝２とし、非線形写像として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることとし、第１の共通鍵により初期値ω０  ＝０．３とパラメータｋ＝２が与えられ、第２の共通鍵により第１のＣ系列生成部には閾値ｔ０  ＝−０．５、ｔ１  ＝−０．２、ｔ２  ＝０、ｔ３  ＝０．２、ｔ４  ＝０．５が与えられ、第２のＣ系列生成部には閾値ｔ０  ＝−０．８、ｔ１  ＝−０．７、ｔ２  ＝−０．１、ｔ３  ＝０、ｔ４  ＝０．１、ｔ５  ＝−０．７、ｔ６  ＝−０．８が与えられたものとし、第２のＣ系列生成部の前段の遅延部には第２の共通鍵により遅延量ｄ＝１が与えられたものとする。
【０２９２】
この場合、図１５に示すように、第１のＣ系列生成部からは、ＣＴ０  （ωｎ  ）＝（０，０，０，０，１，０，１，０，０，０，…）が得られ（図５参照）、第２のＣ系列生成部からは、ＣＴ１  （ωｎ−１  ）＝（−  ，１，０，１，０，１，１，０，１，０，…）が得られる（図６参照）。ただし、−  は遅延のためにデータが存在しないことを示す（以下も同様である）。
【０２９３】
そして、ＣＴ１  （ωｎ  ）は、ＣＴ０  （ωｎ  ）に対して１単位分遅延して出力されるので、図１５に示すようにＣＴ０  （ωｎ  ）とＣＴ１  （ωｎ−１  ）との排他的論理和により、Ｄ→Ｔ  ，→ｄ  （ωｎ  ）＝（−  ，１，０，１，０，１，１，０，１，０，…）が得られる。
【０２９４】
そして、ここでは、最も遅延の大きいＣ系列生成部（ＣＴｍ−１  ）が最初の２値化データを出力するまでに他のＣ系列生成部が出力した２値化データは、使用しないこととし、鍵系列としては、（１，０，１，０，１，１，０，１，０，…）を使用することができる。
【０２９５】
なお、図１４（ａ）のＣ系列生成部の代わりに、図７のビット生成部１３０、図９のビット生成部２３０を用いることができる。また、図１２のビット生成部３３０を用いても構わない。
【０２９６】
（２）レベル２の階層構造（Ｅ系列；複数の初期値から生成される複数のＤ系列を組み合わせた系列）
図１６（ａ），（ｂ）に、Ｄ系列によるカオス２値系列生成部の構成例を示す。図１６（ａ）のように、カオス２値系列生成部は、カオス生成部５２０とビット生成部５３０を有する。
【０２９７】
カオス生成部５２０は、図４のカオス生成部２０と同様の構成をＬ系統有し、与えられた第１の共通鍵と所定の非線形写像（５２１，５２２，５２３）からＬ系統の実数値系列を生成する。
【０２９８】
ビット生成部５３０は、図１６（ｂ）の構成すなわち図１４（ａ）のビット生成部４０と同様の構成を持つＬ系統のＤ系列生成部（５３１，５３２，５３３）と、各Ｄ系列生成部（５３１，５３２，５３３）から出力される複数のビットデータを非線形結合する非線形結合処理部５３４を有する。非線形結合処理は、例えば、全入力データの排他的論理和を取る処理である。
【０２９９】
すなわち、本構成例では、Ｌ系統のＤ系列によるカオス２値系列生成部を備え、それらの出力について排他的論理和等を取ったものである。
【０３００】
ここで、具体例により、２値系列の生成について説明する。
【０３０１】
例えば、系統数Ｌ＝３、いずれの系統についても非線形写像として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることとする。
【０３０２】
この場合に、第１のＤ系列生成部において、ｍ＝２、写像の初期値ω０，１  ＝０．３、パラメータｋ１  ＝２、第１のＣ系列生成部の閾値｛−０．５，０，０．５｝、第２のＣ系列生成部の閾値｛−０．８，−０．７、−０．１，０，０．１，０．７，０．８｝、ｄ＝｛１｝とすると、図１７に示すように、第１のＤ系列生成部の出力である２値系列Ｄ→Ｔ（１），→ｄ（１）（ωｎ，１  ）＝（−  ，１，０，１，０，１，１，０，１，０，１，１，０，０，…）が得られる。
【０３０３】
また、第２のＤ系列生成部において、ｍ＝３、写像の初期値ω０，１  ＝０．４、パラメータｋ１  ＝４、第１のＣ系列生成部の閾値｛−０．８５，０，０．８５｝、第２のＣ系列生成部の閾値｛−０．９，−０．３、０，０．３，０．９｝、第３のＣ系列生成部の閾値｛−０．４，−０．２、−０．１、０，０．１，０．２，０．４｝、ｄ＝｛１，２｝とすると、図１８に示すように、２値系列Ｄ→Ｔ（２），→ｄ（２）（ωｎ，２  ）＝（−  ，−  ，−  ，０，１，１，０，０，１，０，１，０，０，０，…）が得られる。
【０３０４】
また、第３のＤ系列生成部において、ｍ＝４、写像の初期値ω０，１  ＝０．６、パラメータｋ１  ＝６、第１のＣ系列生成部の閾値｛−０．７５，０，０．７５｝、第２のＣ系列生成部の閾値｛−０．６，−０．５、０，０．５，０．６｝、第３のＣ系列生成部の閾値｛−０．４５−０．３５、−０．１５、０，０．１５，０．３５，０．４５｝、第４のＣ系列生成部の閾値｛−０．９５，−０．６５，−０．５５、−０．２５、０，０．２５，０．５５，０．６５，０．９５｝、ｄ＝｛１，２，１｝とすると、図１９に示すように、２値系列Ｄ→Ｔ（３），→ｄ（２）（ωｎ，３  ）＝（−  ，−  ，−  ，−  ，０，１，１，１，１，０，０，０，１，１，…）が得られる。
【０３０５】
従って、非線形結合処理部５３４からは、図２０のように、Ｅ→ｋ  ＝｛−  ，−  ，−  ，−  ，１，１，０，１，１，０，０，１，１，１，…｝が出力される。
【０３０６】
なお、ここでも、最も遅延の大きいＣ系列生成部が最初の２値化データを出力するまでに他のＣ系列生成部が出力した２値化データは、使用しないこととし、鍵系列としては、（１，１，０，１，１，０，０，１，１，１，…）を使用することができる。
【０３０７】
なお、図１６（ｂ）のＣ系列生成部の代わりに、図７のビット生成部１３０、図９のビット生成部２３０を用いることができる。また、図１２のビット生成部３３０を用いても構わない。
【０３０８】
最後に、図２１にＮビットの系列の生成に要する計算時間を、図２２にＮビットの平文の暗号化または復号化に要する計算時間を示す。ここでは、ＡＮＳＩ  Ｃで書かれたプログラムをＳｕｎのワークステーションＳＳ４／５を用いて実行したものである。各図中において、Ｄ系列１はＣ系列（Ｍ＝３）を２つ組合せたものであり、Ｄ系列２はＣ系列（Ｍ＝１５）を２つ組合せたものであり、Ｅ系列１はＤ系列１を２つ組合せたものであり、Ｅ系列２はＤ系列２を２つ組合せたものである。また、図２２には、比較のために従来のＤＥＳ方式およびＦＥＡＬ方式における計算時間を示している。なお、各図中の数値の単位は秒である。
【０３０９】
Ｃ系列、Θ系列、Ｂ系列およびＡ系列、ならびに階層レベル１のＤ系列のいずれも、従来のＤＥＳ方式およびＦＥＡＬ方式に比較して、かなり高速に得られることが分かる。また、Ｅ系列も、Ｍ＝１５のＣ系列を２つ組合せたＤ系列をさらに２つ組合せた程度までは、従来のＤＥＳ方式およびＦＥＡＬ方式と同等以上の計算速度を得ることができる。
【０３１０】
このように本暗号システムでは、処理の高速性の点でも優れている。
【０３１１】
以下、本暗号システムの持つ特性・特徴のいくつかを示す。
【０３１２】
カオス２値系列は、以下の点において、性質の良い２値擬似乱数生成器として有望である。すなわち、この２値擬似乱数生成器は、２進写像に対するＲａｄｅｍａｃｈｅｒ関数の一般化である。
【０３１３】
１）短いビット長の暗号学的に安全な鍵を多く有する。
【０３１４】
２）多種類の予測不可能なｉ．ｉ．ｄ．の平衡２値系列を同時に生成することが容易である。
【０３１５】
３）これらの予測不可能な系列の周期は、ほとんどの初期値に対して十分長い。
【０３１６】
特に、Ｃ系列において、非線形写像として不変測度の均等性分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つものを用い、閾値集合として対称閾値集合を用いた場合、２値系列として理想乱数を得ることができる。
【０３１７】
本ストリーム暗号システムの暗号学的安全性は、従来のブロック暗号システムより優れていると考えられる。
【０３１８】
また、図２１で示されるように、このストリーム暗号方式での暗号化は、ブロック暗号方式のそれよりも速く実行される。従って、このストリーム暗号方式は、浮動小数点マイクロプロセッサで容易に実現可能である。
【０３１９】
さらに、このような暗号システムは、浮動小数点演算の可能な汎用のプログラミング言語ＡＮＳＩ  Ｃ等を用いることで容易に実行できるとともに、通信システムの送受信側で、同一の浮動小数点環境、例えばＩＥＥＥ規格７５４を用いれば、実数値軌道の再現性を容易に保証することができる。
【０３２０】
このように、カオス２値系列は、ストリーム暗号システムにおける鍵系列として、優れた特性・特徴を有するものである。
【０３２１】
なお、このようなストリーム暗号システムの秘密鍵を更新し、受信側へ配送するための幾つかの暗号技術の利用も容易に可能である。
【０３２２】
ところで、以上の実施形態では、ストリーム暗号における鍵系列を生成するカオス２値系列生成部として乱数発生器を説明したが、この乱数発生器は種々のシステムに利用することが可能である。特に、前述したように、式（４６）の対称閾値集合を用い、３種類の対称性、すなわち、不変測度の均等分布性（式（３１））および対称性（式（４７））、さらに写像の対称性（式（５６））を有するエルゴード写像により、２値系列を生成すれば、理想乱数を得ることができるので、良い乱数生成器として種々の目的に利用することができる。
【０３２３】
なお、ストリーム暗号システムに用いる場合、写像のパラメータや初期値、２値化処理における閾値などは共通鍵として与えられるが、通常の乱数生成器として用いる場合、それらの値は適宜与えれば良い。
【０３２４】
以下に、本明細書にて示した参考文献の詳細を列挙する。
【０３２５】
［文献１］  Ｒｏｓｓ  Ａｎｄｅｒｓｏｎ，  Ｆａｓｔ  Ｓｏｆｔｗａｒｅ  Ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ，  Ｌｅｃｔｕｒｅ  Ｎｏｔｅｓ  ｉｎ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｓｃｉｅｎｃｅ，  Ｎｏ．８０９，  Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ，１９９４．
［文献２］  Ｃ．Ｅ．Ｓｈａｎｎｏｎ，  “Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ  Ｔｈｅｏｒｙ  ｏｆ  Ｓｅｃｒｅｃｙ  Ｓｙｓｔｅｍｓ  ”，  Ｂｅｌｌ  Ｓｙｓｔ．Ｔｅｃｈ．Ｊ．，  ２８，  ６５６−７１５，  １９４５．
［文献３］  Ｈ．Ｊ．Ｂｅｋｅｒ  Ｆ．Ｃ．Ｐｉｐｅｒ，  “Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ  ｓｅｃｕｒｉｔｙ  Ａ  ｓｕｒｖｅｙ  ｏｆ  ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ，  ＩＥＥ  Ｐｒｏｃ．，  １２９，  Ｐｔ．Ａ，  Ｎｏ．６，  ３５７−３７６，  １９８２．
［文献４］  Ｄ．Ｅ．Ｒ．Ｄｅｎｎｉｎｇ，  Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ  ａｎｄ  Ｄａｔａ  Ｓｅｃｕｒｉｔｙ，  Ａｄｄｉｓｏｎ−Ｗｅｓｌｅｙ．Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ，  １９８２．
［文献５］  Ｊａｍｅｓ  Ｌ．Ｍａｓｓｅｙ，“Ａｎ  Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ  ｔｏ  Ｃｏｎｔｅｍｐｏｒａｒｙ  Ｃｒｙｐｔｏｌｏｇｙ”，  Ｐｒｏｃ．ＩＥＥＥ，  ７６−５，  ｐｐ．５３３−５４９，  １９８８．
［文献６］  Ｋ．Ｚｅｎｇ，  Ｃ．Ｈ．Ｙａｎｇ，  Ｄ．Ｙ．Ｗｅｉ，  ａｎｄ  Ｔ．Ｒ．Ｎ．Ｒａｏ，“Ｐｓｅｕｄｏｒａｎｄｏｍ  ＢｉｔＧｅｎｅｒａｔｏｒｓ  ｉｎ  Ｓｔｒｅａｍ−Ｃｉｐｈｅｒ  Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ  ”，  ＩＥＥＥ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ，  −２，  ８−１７，  １９９１．
［文献７］  Ｈ．Ｎｉｅｄｅｒｒｅｉｔｅｒ，“Ｑｕａｓｉ−Ｍｏｎｔｅ  Ｃａｒｌｏ  ｍｅｔｈｏｄｓ  ａｎｄ  ｐｓｅｕｄｏ−ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒｓ，”Ｂｕｌｌ．Ａｍ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．，  ８４，  ９５７−１０４１  １９７８．
［文献８］  Ｄ．Ｋｎｕｔｈ，  Ｔｈｅ  ａｒｔ  ｏｆ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，  Ｖｏｌ．２  Ｓｅｍｉｎｕｍｅｒｉｃａｌ  Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，  ２ｎｄ  ｅｄ．（Ａｄｄｉｓｏｎ−Ｗｅｓｌｅｙ，  Ｒｅａｄｉｎｇ，  Ｍａｓｓ．，  １９８１）．
［文献９］  Ａ．Ｙａｏ，  “Ｔｈｅｏｒｙ  ａｎｄ  ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ  ｏｆ  ｔｒａｐｄｏｏｒ  ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ  ”，  Ｐｒｏｃ．ｔｈｅ  ２３ｔｈ  Ａｎｎｕａｌ  Ｓｙｍｐｏ．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ  ｏｆ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｓｃｉｅｎｃｅ，  ８０−９１，  １９８２．
［文献１０］  Ｍ．Ｂｌｕｍ  ａｎｄ  Ｓ．Ｍｉｃａｌｉ，  “Ｈｏｗ  ｔｏ  ｇｅｎｅｒａｔｅ  ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｉｃａｌｌｙ  ｓｔｒｏｎｇ  ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ  ｏｆ  ｐｓｅｕｄｏ−ｒａｎｄｏｍ  ｂｉｔｓ”，  ＳＩＡＭ  Ｊ．Ｃｏｍｐｕｔ．，  １３，  ８５０−８６４，  １９８４．
［文献１１］  Ｌ．Ｂｌｕｍ，  Ｍ．Ｂｌｕｍ  ａｎｄ  Ｍ．Ｓｈｕｂ，  “Ａ  ｓｉｍｐｌｅ  ｕｎｐｒｅｄｉｃｔａｂｌｅ  ｐｓｅｕｄｏ−ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒ  ”，  ＳＩＡＭ  Ｊ．Ｃｏｍｐｕｔ．，  １５，  ３６４−３８３，  １９８４．
［文献１２］  Ｌ．Ｌｅｖｉｎ“Ｏｎｅ−ｗａｙ  ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ  ａｎｄ  ｐｓｅｕｄｏｒａｎｄｏｍ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ  ”．Ｐｒｏｃ．ｔｈｅ  １７ｔｈ  Ａｎｎｕａｌ  ＡＣＭ  Ｓｙｍｐｏ．ｏｎ  Ｔｈｅｏｒｙ  ｏｆ  Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，  ３６３−３６５，  １９８５．
［文献１３］  Ｏ．Ｇｏｌｄｒｅｉｃｈ，  Ｓ．Ｇｏｌｄｗａｓｓｅｒ，  ａｎｄ  Ｓ．Ｍｉｃａｌｉ，  “Ｈｏｗ  ｔｏ  ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｒａｎｄｏｍ  ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ  ”，  Ｊ．ＡＣＭ，  ３３，  ７９２−８０７，  １９８６．
［文献１４］  Ｍ．Ｋａｃ，  Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ  Ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ  ｉｎ  Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，  Ａｎａｌｙｓｉｓ  ａｎｄ  Ｎｕｍｂｅｒ  Ｔｈｅｏｒｙ，  Ｔｈｅ  Ｃａｒｕｓ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ  Ｍｏｎｏｇｒａｐｈｓ，  Ｎｏ．１２，  Ｔｈｅ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ  Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ  ｏｆ  Ａｍｅｒｉｃａ，  １９５９．
［文献１５］  Ｐ．Ｂｉｌｌｉｎｇｓｌｅｙ，  Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ  ａｎｄ  Ｍｅａｓｕｒｅ．  Ｊｏｈｎ  Ｗｉｌｅｙ  ＆  Ｓｏｎｓ，  １９９５．
［文献１６］  Ｃ．Ｍ．Ｇｏｌｄｉｅ  ａｎｄ  Ｒ．Ｇ．Ｅ．Ｐｉｎｃｈ，  Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ  Ｔｈｅｏｒｙ，  Ｌｏｎｄｏｎ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ  Ｓｏｃ．  Ｓｔｕｄｅｎｔ  Ｔｅｘｔｓ，  ２０，  Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ  Ｕｎｉｖ．  Ｐｒｅｓｓ，１９９１．
［文献１７］  Ｓ．Ｌ．Ｕｌａｍ  ａｎｄ  Ｊ．  ｖｏｎ  Ｎｅｕｍａｎｎ，  “Ｏｎ  ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ  ｏｆ  ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃａｎｄ  ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ  ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ”，  Ｂｕｌｌ．  Ｍａｔｈ．  Ｓｏｃ．，５３，ｐ．１１２０，１９４７．
［文献１８］  Ｒ．Ｌ．Ａｄｌｅｒ  ａｎｄ  Ｔ．Ｊ．Ｒｉｖｌｉｎ，  “Ｅｒｇｏｄｉｃ  ａｎｄ  ｍｉｘｉｎｇ  ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ  ｏｆ  Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ  ｐｏｌｙｎｏｍｉｎａｌｓ  ”，Ｐｒｏｃ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．，１５，ｐｐ．７９４−７９６，１９４７．
［文献１９］  Ｔ．Ｊ．Ｒｉｖｌｉｎ，  Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ  ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ−  Ｆｒｏｍ  Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ  Ｔｈｅｏｒｙ  ｔｏ  Ａｌｇｅｂｒａ  ａｎｄ  Ｎｕｍｂｅｒ  Ｔｈｅｏｒｙ，  Ａ  Ｗｉｌｅｙ−Ｉｎｔｅｒｓｃｉｅｎｃｅ  Ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎ，（１９９０）．
［文献２０］  Ｊａｃｋｓｏｎ，  Ｅ．Ａｔｌｅｅ，  Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ  ｎｏｎｌｉｎｅａｒ  ｄｙｎａｍｉｃｓ，  ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖ．  Ｐｒｅｓｓ，１９８９．
［文献２１］  Ａ．Ｌａｓｏｔａ  ａｎｄ  Ｍ．Ｃ．Ｍａｃｋｅｙ，  Ｃｈａｏｓ，  Ｆｒａｃｔａｌｓ，  ａｎｄ  Ｎｏｉｓｅ，  Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ，１９９４．
［文献２２］  Ｄ．Ｓ．Ｏｒｎｓｔｅｉｎ，“Ｅｒｇｏｄｉｃ  Ｔｈｅｏｒｙ，  Ｒａｎｄｏｍｎｅｓｓ．  ａｎｄ  “Ｃｈａｏｓ  ”，  ”Ｓｃｉｅｎｃｅ  ２４３，  ｐｐ．１８２−１８６，  １９８９．
［文献２３］  Ａ．ＭｃＧｒａｉｌ，  “Ｒａｎｄｏｍｎｅｓｓ  Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ  ｏｆ  Ｔｗｏ  Ｃｈａｏｔｉｃ  Ｍａｐｐｉｎｇｓ  ”，  Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ  ａｎｄ  Ｃｏｄｉｎｇ  ＩＩＩ，  ｅｄｉｔｅｄ  ｂｙ  Ｍ．Ｊ．Ｇａｎｌｅｙ，Ｃｌａｒｅｎｄｏｎ  Ｐｒｅｓｓ，  Ｏｘｆｏｒｄ，  ｐｐ．２６５−２９５，１９９３．
［文献２４］  Ａ．Ｂｏｙａｒｓｋｙ  ａｎｄ  Ｍ．Ｓｃａｒｏｗｓｋｙ，“Ｏｎ  Ａ  Ｃｌａｓｓ  ｏｆ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ  Ｗｈｉｃｈ  Ｈａｖｅ  Ｕｎｉｑｕｅ  Ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ  Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ  Ｉｎｖａｒｉａｎｔ  Ｍｅａｓｕｒｅｓ”，  Ｔｒａｎ．  Ａｍ．  Ｍａｔｈ．  Ｓｏｃ．  ｖｏｌ．２５５，  ｐｐ．２４３−２６２，１９７９．
［文献２５］  Ｔ．Ｋｏｈｄａ  ａｎｄ  Ａ．Ｔｓｕｎｅｄａ，  “Ｅｘｐｌｉｃｉｔ  Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ  ｏｆ  ＣｏｒｒｅｌａｔｉｏｎＦｕｎｃｔｉｏｎｓ  ｏｆ  Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ  Ｂｉｎａｒｙ  ａｎｄ  Ｂｉｔ  Ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ  Ｂａｓｅｄ  ｏｎ  Ｐｅｒｒｏｎ−Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ  Ｏｐｅｒａｔｏｒ，”ＩＥＩＣＥ  Ｔｒａｎｓ．ｏｎ  Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ  ｏｆ  Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，  Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓａｎｄ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，  Ｅ７７−Ａ，  １７９４−１８００，  １９９４．
［文献２６］  Ｔ．Ｋｏｈｄａ  ａｎｄ  Ａ．Ｔｓｕｎｅｄａ，  “Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ  ｏｆ  Ｃｈａｏｔｉｃ  Ｂｉｎａｒｙ  Ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ”，  ｓｕｂｍｉｔｔｅｄ  ｔｏ  ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓ．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ  Ｔｈｅｏｒｙ，  １９９５．
本発明は、上述した実施の形態に限定されるものではなく、その技術的範囲において種々変形して実施することができる。
【０３２６】
【発明の効果】
本発明によれば、非線形写像に従いカオス軌道に沿った実数値系列を生成し、これをもとに、ストリーム暗号の鍵系列として用いるカオス２値系列を生成することにより、暗号学的安全性に非常に優れたストリーム暗号システムを得ることができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の一実施形態に係る暗号システムの基本構成を示す図
【図２】送信側装置における処理の流れの一例を示すフローチャート
【図３】受信側装置における処理の流れの一例を示すフローチャート
【図４】カオス２値系列生成部の構成例を示す図
【図５】実数値系列の生成と２値化処理を説明するための図
【図６】実数値系列の生成と２値化処理を説明するための図
【図７】カオス２値系列生成部の構成例を示す図
【図８】実数値系列の生成と２値化処理を説明するための図
【図９】カオス２値系列生成部の構成例を示す図
【図１０】実数値系列の生成とビット選択処理を説明するための図
【図１１】実数値系列の生成と２値化処理を説明するための図
【図１２】カオス２値系列生成部の構成例を示す図
【図１３】実数値系列の生成とビット選択処理を説明するための図
【図１４】レベル１の階層構造を持つカオス２値系列生成部の構成例を示す図
【図１５】レベル１の階層構造を持つカオス２値系列生成部による２値系列生成処理を説明するための図
【図１６】レベル２の階層構造を持つカオス２値系列生成部の構成例を示す図
【図１７】レベル２の階層構造を持つカオス２値系列生成部による２値系列生成処理を説明するための図
【図１８】レベル２の階層構造を持つカオス２値系列生成部による２値系列生成処理を説明するための図
【図１９】レベル２の階層構造を持つカオス２値系列生成部による２値系列生成処理を説明するための図
【図２０】レベル２の階層構造を持つカオス２値系列生成部による２値系列生成処理を説明するための図
【図２１】各方法による系列の生成に要する計算時間の比較を示す図
【図２２】各方法による暗号化または復号化に要する計算時間の比較を示す図
【符号の説明】
２１  ，２２  …カオス２値系列生成部
４１  ，４２  …排他的論理和部
２０，１２０，２２０，３２０，４２０，５２０…カオス生成部
３０，１３０，２３０，３３０，４３０，５３０…ビット生成部
４３１，４３２，４３３，５３１１，５３１２，５３１３…Ｃ系列生成部
５３１，５３２，５３３…Ｄ系列生成部
２１，１２１，２２１，３２１，４２１，５２１，５２２，５２３…非線形写像
３１〜３３，１３１，４３１１，４３１２，４３１３…閾値処理部
２３１…正規化処理部
２３２，３３２…ビット選択部
３３１…絶対値処理部
３４，４３４，４３１４，５３４，５３１４…非線形結合処理部
４３５，４３６，５３１５，５３１６…遅延部
【図１】
0003557037.tif 000051
【図２】
0003557037.tif 000052
【図３】
0003557037.tif 000053
【図４】
0003557037.tif 000054
【図５】
0003557037.tif 000055
【図６】
0003557037.tif 000056
【図７】
0003557037.tif 000057
【図８】
0003557037.tif 000058
【図９】
0003557037.tif 000059
【図１０】
0003557037.tif 000060
【図１１】
0003557037.tif 000061
【図１２】
0003557037.tif 000062
【図１３】
0003557037.tif 000063
【図１４】
0003557037.tif 000064
【図１５】
0003557037.tif 000065
【図１６】
0003557037.tif 000066
【図１７】
0003557037.tif 000067
【図１８】
0003557037.tif 000068
【図１９】
0003557037.tif 000069
【図２０】
0003557037.tif 000070
【図２１】
0003557037.tif 000071
【図２２】
0003557037.tif 000072