(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
任意のタイム・ステップから所定時間経過後の電磁界の所定媒質中での時間変化をプロセッサによりシミュレートする電磁界シミュレーション方法において、
前記任意のタイム・ステップにおける前記電磁界の状態を記述する第１のパラメータをメモリに格納する第１のステップと、
シンプレクティック・プロパゲータを用いる陽的ルンゲ・クッタ法によって前記第１のパラメータから前記所定時間経過後の前記電磁界の状態を記述する第２のパラメータを求めるステップであって、
前記第１のパラメータを別のパラメータで置き換えて前記メモリに前記別のパラメータを格納するステップであって、当該置き換えを複数段階に行なう毎に前記メモリに格納した値を逐次更新する更新ステップ、および
前記更新された前記メモリ中の値を読み出し、当該読み出された値から前記第２のパラメータを算出する算出ステップ
を含む第２のステップと
を実行することを特徴とする電磁界シミュレーション方法。
【請求項２】
請求項１において、
前記第２のステップにおいて四次精度の前記シンプレクティック・プロパゲータを使用することを特徴とする電磁界シミュレーション方法。
【請求項３】
任意のタイム・ステップから所定時間経過後の電磁界の所定媒質中での時間変化をシミュレートする電磁界シミュレーション方法の制御プログラムを記憶した記憶媒体であって、
該制御プログラムはプロセッサに、
前記任意のタイム・ステップにおける前記電磁界の状態を記述する第１のパラメータをメモリに格納させる第１のステップと、
シンプレクティック・プロパゲータを用いる陽的ルンゲ・クッタ法によって前記第１のパラメータから前記所定時間経過後の前記電磁界の状態を記述する第２のパラメータを求めるステップであって、
前記第１のパラメータを別のパラメータで置き換えて前記メモリに前記別のパラメータを格納させるステップであって、当該置き換えを複数段階に行なう毎に前記メモリに格納した値を逐次更新させる更新ステップ、および
前記更新された前記メモリ中の値を読み出させ、当該読み出された値から前記第２のパラメータを算出させる算出ステップ
を含む第２のステップと
を実行させることを特徴とする記憶媒体。
【請求項４】
請求項３において、
前記制御プログラムは前記プロセッサに、
前記第２のステップにおいて四次精度の前記シンプレクティック・プロパゲータを使用させることを特徴とする記憶媒体。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は電磁界シミュレーション方法および当該シミュレーション方法の制御プログラムを記憶した記憶媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】
近年、“社会の情報化”が著しく進展している中にあって、情報のキャリアとしての電磁波の利用がますます高度化してきている。具体的には、光導波路やアンテナの設計に、それぞれの目的に合わせてより精密さが要求されるようになってきている。このような精密な設計を実現するために、例えば以下のような手法によって電磁界の時間変化を詳細にシミュレートすることが行われている。
【０００３】
時間領域差分法（ＦＤＴＤ法、Ｙｅｅ，Ｋ．Ｓ．，  Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ  ｓｏｌｕｔｉｏｎ  ｏｆ  ｉｎｉｔｉａｌ  ｂｏｕｎｄａｒｙ  ｖａｌｕｅ  ｐｒｏｂｌｅｍｓ  ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ  Ｍａｘｗｅｌｌ’ｓ  ｅｑｕａｔｉｏｎｓ  ｉｎ  ｉｓｏｔｒｏｐｉｃ  ｍｅｄｉａ，  ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓａ．Ａｎｔｅｎｎａ  Ｐｒｏｐａｇａｔ．，Ｖｏｌ．Ａｐ−１４，３０２−３０７，１９６６．  ）を用いたシミュレーション手法は、電磁界の時間変化を記述する基本方程式であるＭａｘｗｅｌｌ  の方程式を、空間的・時間的に差分化することで、電磁界の時間変化を追跡しようとする手法であり、Ｙｅｅ’ｓ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ  と呼ばれている。二次精度差分近似を用いた従来のＹｅｅ’ｓ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ  では、差分打ち切り項の差分刻みついての次数は二次である。
【０００４】
また、陽的ルンゲクッタ（Ｒｕｎｇｅ−Ｋｕｔｔａ  ）法を用いたシミュレーション手法が、例えば“Ｊ．Ｌ．Ｙｏｕｎｇ，Ｄ  Ｇａｉｔｏｎｄｅ，ａｎｄ  Ｊ．Ｊ．Ｓｈａｎｇ，  Ｔｗｏｒｄ  ｔｈｅ  ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ  ｏｆ  ａ  ｆｏｕｒｔｈ−ｏｒｄｅｒ  ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ  ｓｃｈｅｍｅ  ｆｏｒ  ｔｒａｎｓｉｅｎｔ  ＥＭ  ｗａｖｅ  ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ  ：  ｓｔｓｇｇｅｒｅｄ  ｇｒｉｄ  ａｐｐｒｏａｃｈ，    Ｉｅｅｅ  Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ  ｏｎ  Ａｎｔｅｎｎａｓ  ａｎｄ  Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ，  ｖｏｌ．  ４５，  ｐｐ．１５７３−１５８０，  Ｎｏｖ，  １９７７．”に開示されている。
【０００５】
このシミュレーション手法では、タイム・ステップｎ＋１における
【０００６】
【外１】
0003547325.tif 000002
【０００７】
以下の式（１）〜（１０）にしたがって算出することができる。ただし、以下の式においてεおよびμは電磁界媒質の誘電率および透磁率である。
【０００８】
【数１】
0003547325.tif 000003
【０００９】
【発明が解決しようとする課題】
従来のシミュレーション手法のうち前者の時間領域差分法は二次精度であるため、計算精度を向上させようとすると膨大なメモリ容量のシミュレーション装置が必要である。すなわち、時間・空間のセル・サイズを１／２にしても４（＝２２  ）倍の精度向上しか得られず、定量的な結果を得ようとする場合には、４０ｃｅｌｌ／  波長以上のより細かいメッシュが必要である。
【００１０】
また後者の陽的Ｒｕｎｇｅ−Ｋｕｔｔａ法では、タイム・ステップｎにおける
【００１１】
【外２】
0003547325.tif 000004
【００１２】
したがって、シミュレーション装置のメモリ容量を増大させることになる。
【００１３】
そこで、本発明は上記の課題に鑑みてなされたものであって、上記の課題を解決した電磁界シミュレーション方法および当該電磁界シミュレーション方法の制御プログラムを記憶した記憶媒体を提供することを目的とする。
【００１４】
【課題を解決するための手段】
上記課題を解決するために請求項１の発明に係る方法は、任意のタイム・ステップから所定時間経過後の電磁界の所定媒質中での時間変化をプロセッサによりシミュレートする電磁界シミュレーション方法において、前記任意のタイム・ステップにおける前記電磁界の状態を記述する第１のパラメータをメモリに格納する第１のステップと、シンプレクティック・プロパゲータを用いる陽的ルンゲ・クッタ法によって前記第１のパラメータから前記所定時間経過後の前記電磁界の状態を記述する第２のパラメータを求めるステップであって、前記第１のパラメータを別のパラメータで置き換えて前記メモリに前記別のパラメータを格納するステップであって、当該置き換えを複数段階に行なう毎に前記メモリに格納した値を逐次更新する更新ステップ、および前記更新された前記メモリ中の値を読み出し、当該読み出された値から前記第２のパラメータを算出する算出ステップとを含む第２のステップとを実行することを特徴とする電磁界シミュレーション方法を提供する。
【００１５】
また、請求項２の発明に係る方法は、請求項１において、前記第２のステップにおいて四次精度の前記シンプレクティック・プロパゲータを使用することを特徴とする電磁界シミュレーション方法を提供する。
【００１６】
上記課題を解決するために請求項３の発明に係る記憶媒体は、任意のタイム・ステップから所定時間経過後の電磁界の所定媒質中での時間変化をシミュレートする電磁界シミュレーション方法の制御プログラムを記憶した記憶媒体であって、該制御プログラムはプロセッサに、前記任意のタイム・ステップにおける前記電磁界の状態を記述する第１のパラメータをメモリに格納させる第１のステップと、シンプレクティック・プロパゲータを用いる陽的ルンゲ・クッタ法によって前記第１のパラメータから前記所定時間経過後の前記電磁界の状態を記述する第２のパラメータを求めるステップであって、前記第１のパラメータを別のパラメータで置き換えて前記メモリに前記別のパラメータを格納させるステップであって、当該置き換えを複数段階に行なう毎に前記メモリに格納した値を逐次更新させる更新ステップ、および前記更新された前記メモリ中の値を読み出させ、当該読み出された値から前記第２のパラメータを算出させる算出ステップとを含む第２のステップとを実行させることを特徴とする記憶媒体を提供する。
【００１７】
また、請求項４の発明に係る記憶媒体は、請求項３において、前記制御プログラムは前記プロセッサに、前記第２のステップにおいて四次精度の前記シンプレクティック・プロパゲータを使用させることを特徴とする記憶媒体を提供する。
【００１８】
【作用】
上記請求項１および３の本発明方法および本発明方法の制御プログラムを記憶した記憶媒体によれば、陽的ルンゲ・クッタ法の中でもシンプレクティック・プロパゲータ（指数演算子）を用いると、非散逸的（ｎｏｎ−ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ  ）な特性のために振幅誤差が生じることがなく、他の陽的ルンゲ・クッタ法に比べ、メモリ使用量を半分以下にできる。
【００１９】
また、上記請求項２および４の本発明方法および本発明方法の制御プログラムを記憶した記憶媒体によれば、四次の差分近似式により第２のパラメータを算出するため、タイム・ステップ当たりの計算誤差が少なく、また時間・空間のセルサイズを１／２にすることで、１６（＝２４  ）倍の精度向上を図ることができる。
【００２０】
【発明の実施の形態】
以下、図面を参照しながら本発明の実施の形態を詳細に説明する。
【００２１】
図１は本発明を再現するに好適なシミュレーション装置の一実施の形態の構成を示すシステム構成図である。
【００２２】
この装置は、大別して表示部１１、入力部１２、出力部１３および演算部１４から構成される。例えば、表示部１１は入力画面１５を有するＣＲＴあるいは液晶ディスプレイ装置からなり、入力部１２はキーボード１７やマウス１６等の入力装置からなり、出力部１３は各種プリンタ（画像形成装置）等からなり、それぞれ内部に専用のコントローラを有する。
【００２３】
演算部１４にはパーソナル・コンピュータ（ＰＣ）、あるいはワーク・ステーション（ＷＳ）等の各種情報処理装置（コンピュータ）を使用することができ、その内部には本発明方法を再現するためのプログラムを蓄積するハード・ディスク記憶装置（図示せず）、本発明方法のプログラムの演算処理を実行して装置全体を制御するＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ  Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ  Ｕｎｉｔ  ；中央演算処理装置）９、ＣＰＵ９が実行する本発明方法のプログラムを記憶したり、作業領域に使用されて各種パラメータや計算途中経過のデータを一時記憶するメモリ（ＲＡＭ）１０、仮想記憶装置としてのハード・ディスクを備える。
【００２４】
また演算部１４はさらに、種々のタイプの別の記憶装置を内蔵したり、または外付けのオプション装置として備えることができる。これらの記憶装置としては、フロッピィ・ドライブ、ＰＤドライブ、ＭＯドライブ、ＣＤ−ＲＯＭドライブ、ＣＤ−Ｒドライブ、ＤＶＤ−ＲＡＭドライブ、ＺＩＰ（登録商標）ドライブ、ＪＡＺ（登録商標）ドライブ、各種テープ・ストリーマ等を用いることができる。本発明方法のプログラムを予め記憶させておいたフロッピィ・ディスク（ＦＤ）、光学ディスク、光磁気ディスク、磁気テープ等の各種記憶媒体をこれら記憶装置に着脱自在に装着することで、当該装着した媒体から本発明方法のプログラムやデータ等の各種情報をＣＰＵ９の制御により読み出してロードすることができる。
【００２５】
本実施の形態ではフロッピィ・ディスク１９を演算部１４のドライブ装置に装着し、フロッピィ・ディスク１９から本発明方法の電磁界シミュレーション方法の制御プログラムをロードする。そして、表示部１１と入力部１２を用いてユーザが各種変数の設定および同プログラムの起動指示を行なう。演算部１４は表示部１１，入力部１２および出力部１３を制御するとともに、上記設定にしたがって以下に説明する手順で電磁界シミュレーションを実行する。シミュレーション結果は表示部１１により画面１５に表示され、また出力部１３により記録用紙１８にプリント出力され、ユーザによりモニタされる。
【００２６】
以下の本実施の形態では、電磁界の媒質定数（誘電率εおよび透磁率μ）が一定のフィールドでの三次元的な伝搬に本発明を適用した例について説明する。
【００２７】
三次元空間内の位置を表す直交座標系（ｘ、ｙ、ｚ）における
【００２８】
【外３】
0003547325.tif 000005
【００２９】
電界と磁界の離散化値が定義されるラティス（ｌａｔｔｉｃｅ  ）は直交座標系のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸に沿った直交ラティスであり、各軸方向の刻みを一定値ｄとすると、次に示すＭａｘｗｅｌｌ  の方程式が計算対象となる。
【００３０】
【数２】
0003547325.tif 000006
【００３１】
本実施の形態では、上記方程式の時間発展の数値計算に、陽的ルンゲクッタ法の中の四次のシンプレクティック・プロパゲータ（指数演算子）を用いる。本実施の形態のシミュレーション手法により、従来のＹｅｅ’ｓ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ  と比較して精度が向上していることを、以下に示す。
【００３２】
まず、定式化について説明する。
【００３３】
【外４】
0003547325.tif 000007
【００３４】
【数３】
0003547325.tif 000008
【００３５】
ここで、Δｔ  はタイム・ステップ当たりの刻み時間を表す。ｃ１  〜ｃ４  ，ｄ１  ｄ３  は四次精度のシンプレクティック・プロパゲータを特徴付けるパラメータであり、以下の式で表される（吉田春夫、「  シンプレクティック数値解法」  、数理科学、サイエンス社、ｐｐ．３７−４６  ，Ｎｏ．３８４  ，（１９９５）；鈴木増雄、「  指数演算子の一般分解理論とその応用」  、応用物理、Ｖｏｌ．５  ，ｐｐ．４４−４７  ，（１９９５））。
【００３６】
【数４】
0003547325.tif 000009
【００３７】
ＲはＭａｘｗｅｌｌ  の方程式のローテーション・オペレータ▽×を四次精度で差分近似する差分演算子からなる行列である。
【００３８】
上記の通り、所定時間Δｔ  および媒質のパラメータにしたがいシンプレクティック・プロパゲータを用いる陽的ルンゲ・クッタ法によって、タイム・ステップｎにおける電界および磁界の離散化値から所定時間経過後のタイム・ステップｎ＋１における離散化値を求める（式（１３）〜（１９））。上記算出過程において、
【００３９】
【外５】
0003547325.tif 000010
【００４０】
メモリ１０に別のパラメータを格納しておき（式（１３））、この置き換えを複数段階に行なう毎にメモリ１０に格納した値を逐次更新する（式（１４）〜（１７））。そして、更新されたメモリ１０中の
【００４１】
【外６】
0003547325.tif 000011
【００４２】
ここで、式（１３）〜（１９）におけるＲを
【００４３】
【数５】
0003547325.tif 000012
【００４４】
と記述した場合、
【００４５】
【数６】
0003547325.tif 000013
【００４６】
は空間の離散化法に依存して定まる。空間の離散化には種種のラティス構造を用いることができるが、本実施の形態では、Ｙｅｅ’ｓ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ  に用いられているＹｅｅ’ｓ  ｌａｔｔｉｃｅ  を用いる場合をＳ−ＦＤＴＤ［  ＹＬ］  と略記し、体心格子を用いる場合をＳ−ＦＤＴＤ［  ＢＣＬ］  と略記する。
【００４７】
（１）Ｓ−ＦＤＴＤ［  ＹＬ］  の場合
ｒｘは、Ｙｅｅ’ｓ  ｌａｔｔｉｃｅ  上で離散化された関数ｆから、
【００４８】
【数７】
0003547325.tif 000014
【００４９】
という離散化された関数を与える差分演算子となる。ここで、ｉ，ｊ，ｋは格子点を表す。ｒｘ  は四次精度である。
【００５０】
同様に、ｒｙ  ，ｒｚ  は次式（２２），（２３）で与えられる。
【００５１】
【数８】
0003547325.tif 000015
【００５２】
（２）Ｓ−ＦＤＴＤ［  ＢＣＬ］  の場合
ｒｘ  は、体心立方格子上で離散化された関数ｆについて、
【００５３】
【数９】
0003547325.tif 000016
【００５４】
という離散化された関数を与える差分演算子となる。
【００５５】
同様に、ｒｙ  ，ｒｚ  は式（２５），（２６）で与えられる離散化された関数を与える差分演算子となる。すなわち、式（２４）においてｉとｊ，ｉとｋをそれぞれ置換すると
【００５６】
【数１０】
0003547325.tif 000017
【００５７】
次に、シミュレーション特性について説明する。
【００５８】
本実施の形態による数値解析方法は、Ｙｅｅ’ｓ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ  と同様の陽的解法である。このため、ｄに比してΔｔの値を余り大きくとることができない。そこで、実際の数値解析にあたっては、次式で定まるメッシュ・レシオの値ｓが最大値ｓｍａｘ  を超えると計算が不安定になる。
【００５９】
【数１１】
0003547325.tif 000018
【００６０】
最大値ｓｍａｘ  は解析手法毎に定まる値であり、当該手法を用いる上でのキーパラメータである。
【００６１】
表１は従来のＹｅｅ’ｓ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ  と本実施の形態におけるＳ−ＦＤＴＤ［ＹＬ］Ｙｅｅ’ｓ  ｌａｔｔｉｃｅ  を用いた場合）およびＳ−ＦＤＴＤ［ＢＣＬ］（体心格子を用いた場合）のメッシュ・レシオの最大値ｓｍａｘ  を示す。
【００６２】
【表１】
0003547325.tif 000019
【００６３】
さらに、メッシュ・レシオｓを最大値ｓｍａｘ  の９０％とした場合の位相速度誤差の比較結果を図２に示す。波の伝搬方向によって位相速度誤差は異なるため、図２は、その最大値と波長当たりのセル数の関係を調べ、横軸に波長当たりのセル数を、縦軸に最大位相速度誤差をとって示したものである。
【００６４】
いずれの場合もセル数を増大（セルを小さく）するにしたがって誤差が軽減されて精度が向上したが、本実施の形態のＳ−ＦＤＴＤ［ＹＬ］（実線２１）およびＳ−ＦＤＴＤ［ＢＣＬ］（実線２２）の場合は、Ｙｅｅ’ｓ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ  による従来の場合（破線２３）に比べて最大位相速度誤差が小さく、高精度のシミュレーション特性が得られたことを示している。また、本実施の形態によればセル数増大による精度向上効果も大きく（時間・空間のセルサイズを１／２にすることで、１６（＝２４  ）倍の精度向上、すなわち四次精度）、従来手法に比べて優位性を持つことがわかる。
【００６５】
なお、本発明のシミュレーション手法のアルゴリズムはプログラムとして前述した各種記憶媒体に納めることが可能である。ここで、これらの記憶媒体から読み込んだプログラムで記述されたアルゴリズムに従って動作する演算部、メモリ、表示部、入力部、出力部、記憶装置を備えた情報処理装置において、広くシミュレーションに利用することができる。
【００６６】
即ち、本発明はシステム、あるいは装置にプログラムを供給することによって達成する場合にも適用できることは言うまでもない。この場合、本発明を達成するためのソフトウエアによって表されるプログラムを格納した記憶媒体をそのシステム、あるいは装置に読み出すことによって、そのシステム、あるいは装置が、本発明の効果を享受することが可能となる。
【００６７】
【発明の効果】
以上説明してきたように、電磁界の時間変化をシミュレートする本発明方法および本発明方法の制御プログラムを記憶した記憶媒体によれば、任意のタイム・ステップにおける電磁界の状態を記述する第１のパラメータをメモリに格納し、所定時間経過後の次のタイム・ステップにおける電磁界の状態を記述する第２のパラメータをシンプレクティック・プロパゲータ（指数演算子）を用いる陽的ルンゲ・クッタ法によって求めるが、算出する際に、置き換えを複数段階に行なう毎にメモリに格納した値を逐次更新しつつ第１のパラメータを別のパラメータで置き換えてメモリに別のパラメータを格納するようにしたので、必要なメモリ容量を増大させることなく第２のパラメータを算出でき、特に、ルンゲ・クッタ法において四次精度のシンプレクティック・プロパゲータを使用することで、高精度のシミュレーション結果が得られる効果がある。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明を再現するに好適なシミュレーション装置の一実施の形態の構成を示すシステム構成図である。
【図２】本発明に係る電磁界シミュレーションの実施の形態による位相速度誤差の従来技術との比較結果を示す特性図である。
【符号の説明】
９  ＣＰＵ
１０  メモリ
１１  表示部
１２  入力部
１３  出力部
１４  演算部
１６  マウス
１７  キーボード
１９  フロッピィ・ディスク
【図１】
0003547325.tif 000020
【図２】
0003547325.tif 000021