(57)【要約】  サンプリング手段８１は、非ガウス分布に従う不確実変数の分布をコピュラ関数および周辺分布により定義し、定義された分布からサンプルを生成する。最適化手段８２は、生成されたサンプルを用いて不確実変数を含むロバスト最適化問題を解く。
2017145664.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
非ガウス分布に従う不確実変数の分布をコピュラ関数および周辺分布により定義し、定義された分布からサンプルを生成するサンプリング手段と、
生成されたサンプルを用いて前記不確実変数を含むロバスト最適化問題を解く最適化手段とを備えた
ことを特徴とする最適化システム。
【請求項２】
分布関数は多次元の信頼区間が定義可能な関数であり、
サンプリング手段は、定義される分布関数の信頼区間の曲面からサンプルを生成する
請求項１記載の最適化システム。
【請求項３】
サンプリング手段は、正規コピュラの信頼区間を定義し、定義される分布関数の信頼区間の曲面からサンプルを生成する
請求項１または請求項２記載の最適化システム。
【請求項４】
サンプリング手段は、信頼区間の曲面から一様にサンプルを生成する
請求項２または請求項３記載の最適化システム。
【請求項５】
非ガウス分布に従う不確実変数を含む最適化問題をロバスト最適化により解く最適化手段を備えた
ことを特徴とする最適化システム。
【請求項６】
非ガウス分布に従う不確実変数の周辺分布およびコピュラ関数を入力する第一入力手段と、
前記不確実変数を含む最適化問題を入力する第二入力手段とを備え、
最適化手段は、前記コピュラ関数および前記周辺分布から生成されるサンプルを用いて最適化問題をロバスト最適化により解く
請求項５記載の最適化システム。
【請求項７】
非ガウス分布に従う不確実変数の分布をコピュラ関数および周辺分布により定義し、定義された分布からサンプルを生成し、
生成されたサンプルを用いて前記不確実変数を含むロバスト最適化問題を解く
ことを特徴とする最適化方法。
【請求項８】
分布関数は多次元の信頼区間が定義可能な関数であり、定義される前記分布関数の信頼区間の曲面からサンプルを生成する
請求項７記載の最適化方法。
【請求項９】
コンピュータに、
非ガウス分布に従う不確実変数の分布をコピュラ関数および周辺分布により定義し、定義された分布からサンプルを生成するサンプリング処理、および、
生成されたサンプルを用いて前記不確実変数を含むロバスト最適化問題を解く最適化処理
を実行させるための最適化プログラム。
【請求項１０】
分布関数は多次元の信頼区間が定義可能な関数であり、
コンピュータに、
サンプリング処理で、定義される分布関数の信頼区間の曲面からサンプルを生成させる
請求項９記載の最適化プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、不確実変数を含む問題を最適化する最適化システム、最適化方法および最適化プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
近年の実用的なオペレーションズ・リサーチでは、機械学習により生成される予測値やノイズを含むセンサからの観測結果など、確率過程から生成される多くの不確実な入力を用いて定義される最適化関数または制約条件を含む最適化問題を解く場面が存在する。このような場合、入力値の変化がたとえ小さかったとしても、最適結果が大きく変化し得るという問題が知られている。【０００３】
ロバスト最適化は、このような不確実さを軽減する最も有効なアプローチの一つであり、摺動し得る入力値の集合（以下、不確実集合と記すこともある。）で最悪なシナリオを想定した場合の目的関数を最適化することによりロバスト解を得る方法である。【０００４】
実際、楕円範囲の不確実集合が特に重要であり、これは不確実な入力を有する多変量ガウス生成過程に対応する。また、楕円範囲の不確実集合を用いたロバスト最適化問題の解法もいくつか知られている（例えば、非特許文献１参照）。【０００５】
なお、非特許文献２には、サンプリングによるロバスト最適化の近似解法が記載されている。また、非特許文献３には、ロバスト最適化をポートフォリオに適用する方法が記載されている。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００６】
【非特許文献１】Aharon Ben-Tal and Arkadi Nemirovski. Robust solutions of uncertain linear programs. Operations research letters, 25(1):1-13, 1999.
【非特許文献２】Giuseppe Calafiore and Marco C Campi. Uncertain convex programs: randomized solutions and confidence levels. Mathematical Programming, 102(1):25-46, 2005.
【非特許文献３】Frank J Fabozzi, Petter N Kolm, Dessislava Pachamanova, and Sergio M Focardi. Robust portfolio optimization and management. John Wiley & Sons, 2007.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
上述するポートフォリオ最適化は、安定した結果を得るためにリスクが非常に重要となる典型的な問題である。例えば、非特許文献３の記載によれば、ｘｄを資産ｄの投資の重みとし、ζｄを資産ｄのリターン比とすると、ロバスト最適化問題は、以下の式１のように定式化される。【０００８】
【数１】
2017145664.tif 000003
【０００９】
式１において、Ζは不確実（データ）集合であり、以下の式２を満たす。【００１０】
【数２】
2017145664.tif 000004
【００１１】
この不確実集合は、ガウス分布Ｎ（μ，Σ）の信頼区間に対応する。ここで、非特許文献１に記載された方法を用いることで、この最適化問題をＳＯＣＰ（second order cone programming ）として解くことができる。【００１２】
しかし、リターン比は対数正規分布から分配されると考えられているため、このガウシアン不確実集合を用いた場合、適切なリスクを特定することが困難であった。そのため、周辺分布が対数正規分布であるような分布の信頼区間として不確実集合Ζを解くことがより好ましい。【００１３】
また、ζの分布モデルが未知であり、ζがガウス分布でないように見えるデータの場合、非ガウス分布である経験分布を使用することも１つの可能な方法である。【００１４】
一般的なロバスト最適化問題を解く方法として、非特許文献２には、Ζからのサンプルを使用してロバスト最適化問題を近似する方法が記載されている。非特許文献２に記載された方法によれば、
【数３】
2017145664.tif 000005
と想定した場合、対象とするロバスト最適化問題は、以下の式３のように定式化される。なお、ｊは制約の数を示す。【００１５】
【数４】
2017145664.tif 000006
【００１６】
式３において、ｆはｘの線形関数であり、ｇ（ｘ，ζ）は、ｘの凸関数である。ｆおよびｇは、任意のζについて何らかの凸最適化ソルバにより解くことのできる関数形であると仮定する。この問題の“非ロバスト”版（具体的には、上述する問題からｍａｘζを除いた問題）を想定すると、任意のζについて何らかの凸最適化問題ソルバによってこの問題を解くことが可能である。【００１７】
この方法では、まず、Ζからζ（１），…，ζ（Ｎ）がサンプリングされる。例えば、ζ（１），…，ζ（Ｎ）は、Ζから一様にサンプリングされてもよい。そして、このサンプルを使用して、この問題を以下に示す式４のように近似する。【００１８】
【数５】
2017145664.tif 000007
【００１９】
全ての制約ｇ（ｘ，ζ（Ｎ））は、“非ロバスト”版として、同様の形式（例えば、線形、二次錐、など）を有するため、この問題は、“非ロバスト”版を解くのと同様のソルバを用いて解くことが可能である。【００２０】
しかし、非ガウス分布に基づく不確実集合を用いてロバスト最適化問題を解く枠組みは存在せず、特に、非ガウス分布でΖの定義が存在しない場合、非ガウス分布を用いたロバスト最適化問題に非特許文献２に記載された方法を使用することは困難である。【００２１】
そこで、本発明は、非ガウス分布に従う相関のある不確実変数を仮定した場合にも効率的にロバスト最適化問題を解くことができる最適化システム、最適化方法および最適化プログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００２２】
本発明による最適化システムは、非ガウス分布に従う不確実変数の分布をコピュラ関数および周辺分布により定義し、定義された分布からサンプルを生成するサンプリング手段と、生成されたサンプルを用いて不確実変数を含むロバスト最適化問題を解く最適化手段とを備えたことを特徴とする。【００２３】
本発明による他の最適化システムは、非ガウス分布に従う不確実変数を含む最適化問題をロバスト最適化により解く最適化手段を備えたことを特徴とする。【００２４】
本発明による最適化方法は、非ガウス分布に従う不確実変数の分布をコピュラ関数および周辺分布により定義し、定義された分布からサンプルを生成し、生成されたサンプルを用いて不確実変数を含むロバスト最適化問題を解くことを特徴とする。【００２５】
本発明による最適化プログラムは、コンピュータに、非ガウス分布に従う不確実変数の分布をコピュラ関数および周辺分布により定義し、定義された分布からサンプルを生成するサンプリング処理、および、生成されたサンプルを用いて不確実変数を含むロバスト最適化問題を解く最適化処理を実行させることを特徴とする。
【発明の効果】
【００２６】
本発明によれば、非ガウス分布に従う相関のある不確実変数を仮定した場合にも効率的にロバスト最適化問題を解くことができる。
【図面の簡単な説明】
【００２７】
【図１】本発明による最適化システムの第１の実施形態の構成例を示すブロック図である。
【図２】第１の実施形態のサンプリングの動作例を示すフローチャートである。
【図３】第１の実施形態の最適化システムの動作例を示すフローチャートである。
【図４】第２の実施形態のサンプリングの動作例を示すフローチャートである。
【図５】第２の実施形態のサンプリングの他の動作例を示すフローチャートである。
【図６】２商品の過去のリターン比の分布の例を示す説明図である。
【図７】サンプルを生成した例を示す説明図である。
【図８】サンプルを生成した他の例を示す説明図である。
【図９】本発明の概要を示すブロック図である。
【図１０】本発明の他の概要を示すブロック図である。
【発明を実施するための形態】
【００２８】
以下、本発明の実施形態を図面を参照して説明する。
【００２９】
実施形態１．
図１は、本発明による最適化システムの第１の実施形態の構成例を示すブロック図である。本実施形態の最適化システムは、非ガウス分布に従う不確実変数を用いてロバスト最適化問題を解くものである。本実施形態の最適化システムは、サンプリング手段１０と、最適化手段２０とを備えている。
【００３０】
サンプリング手段１０は、非ガウス分布に従う不確実変数から最適化に用いられるサンプルを生成する。本実施形態では、サンプリング手段１０は、コピュラ関数１１および周辺分布１２を入力し、入力されたコピュラ関数１１および周辺分布１２を用いて非ガウス分布からサンプルを生成する。
【００３１】
サンプリング手段１０は、コピュラ関数１１および周辺分布１２を、例えば磁気ディスク等により実現される記憶部（図示せず）から読み取って入力してもよいし、通信ネットワークを介して接続された入力装置（図示せず）から受信して入力してもよい。すなわち、サンプリング手段１０は、非ガウス分布に従う不確実変数の周辺分布１２およびコピュラ関数１１を入力する入力手段（第一入力手段）ということができる。
【００３２】
なお、入力されるコピュラ関数１１および周辺分布１２の表現形式は任意である。サンプリング手段１０は、例えば、コピュラ関数１１および周辺分布１２について、種類およびパラメータを示す情報を入力してもよく、関数や数式そのものを入力してもよい。
【００３３】
ここで、Sklar の定理により、コピュラ関数Ｃ（ｕ１，…，ｕＤ）および周辺分布Ｆ１（ζ１），…，ＦＤ（ζＤ）により、多次元のランダムな変数ζの分布を定義することが可能である。なお、ζは、以下を満たす。また、Sklar の定理は、例えば、以下の参考文献１のTheorem 2.2 に記載されている。ここに本明細書の一部を構成するものとして以下の参考文献１の内容を援用する。
＜参考文献１＞
Elidan, Gal, "Copula bayesian networks.", Advances in neural information processing systems, p.2, 2010.
【００３４】
【数６】
2017145664.tif 000008
【００３５】
すなわち、ζの分布をコピュラ関数Ｃおよび周辺分布Ｆ１，…，ＦＤで定義することが可能である。そこで、サンプリング手段１０は、非ガウス分布に従う不確実変数の分布を、入力されたコピュラ関数１１および周辺分布１２により定義し、定義された分布から不確実変数のサンプルを生成する。サンプリング手段１０は、例えば、コピュラ関数１１および周辺分布１２で定義される分布に基づく乱数を生成して、不確実変数のサンプルを生成してもよい。
【００３６】
サンプリング手段１０は、定義された分布からサンプルを生成する方法を有する任意のコピュラ関数１１を使用することが可能である。サンプリング手段１０は、例えば、多変量関数Ｇ（例えば、多変量ガウス分布）およびその周辺分布Ｇ１，…，ＧＤ（例えば、多変量関数Ｇから周辺化されたガウス分布）により生成される以下の式５に示すようなコピュラを使用してもよい。
【００３７】
【数７】
2017145664.tif 000009
【００３８】
また、サンプリング手段１０は、累積分布Ｆ１（ｘ１），…，ＦＤ（ｘＤ）および逆関数を計算可能な任意の一次元分布を使用してもよい。サンプリング手段１０は、例えば、対数正規分布、指数分布もしくは経験分布またはこれらの結合を使用してもよい。
【００３９】
なお、非特許文献２にも記載されているように、サンプルサイズは解が制約に違反する確率に対応するため、サンプルサイズによって許容リスクを制御することが可能である。本実施形態では、Ζを定義せず、サンプリング手段１０がリスクを考慮したこのサンプルが直接使用される。
【００４０】
以下、サンプリング手段１０がサンプルを生成する具体的な手順を説明する。サンプリング手段１０は、コピュラ関数Ｃ（コピュラ関数１１）、周辺分布Ｆ１，…，ＦＤ（周辺分布１２）、信頼レベルδ（以下、“ｄ”と記すこともある。）および問題定義ｆ，ｇｊにより、対象とするζの分布を入力する。問題定義ｆ，ｇｊは、上述する式３で用いられるｆ，ｇｊに対応する。また、信頼レベルδは、信頼区間に対応し、予め定められる。
【００４１】
サンプリング手段１０は、サンプリング数Ｎを、例えば、信頼レベルδに基づく上限分析に基づいて設定してもよい。具体的には、確率分布のδ信頼区間でｇｊ（ｘ，δ）＜＝０を満たすように想定するところ、これを「ある確率分布でｇｊ（ｘ，δ）＞０が、δ以下になるようにする」と言い換える。
【００４２】
ここで、ある確率分布でサンプリングをした場合、以下に示す式６を満たす場合、「確率ε以下で、ｇｊ（ｘ，δ）＞０が、δ以下になるようにする」が満たされるということが知られている。
Ｎ＞１／ε（ｌｏｇ１／δ＋ｄｘ）  （式６）
【００４３】
式６において、ｄｘは元の問題の次元であり、εはサンプリングに応じて定められる適当な小さい数である。この性質を生かし、サンプリング手段１０は、上記の式６を満たすＮを決定すればよい。
【００４４】
サンプリング手段１０は、まず、対象とするζの分布からζ（１），…，ζ（Ｎ）をサンプリングする。このとき、サンプリング手段１０は、問題定義ｆ，ｇｊに基づいて、特にリスクが高いサンプルを生成してもよい。リスクが高いサンプルを生成する方法として、サンプリング手段１０は、誤差の発生する確率密度×損失の高いサンプルを、例えばimportance sampling によりサンプルしてもよい。importance sampling は、例えば、以下の参考文献２に記載されている。ここに本明細書の一部を構成するものとして以下の参考文献２の内容を援用する。
＜参考文献２＞
Glynn, Peter W and Iglehart, Donald L, "Importance sampling for stochastic simulations", Management Science, INFORMS, vol.35, No.11, p.1367-1392, 1989
そして、例えば、上述する式５の分布関数Ｇに基づくコピュラ関数の場合、サンプリング手段１０は、以下に例示するステップＳ１１からステップＳ１３の処理により、ζ（１），…，ζ（Ｎ）をサンプリングできる。図２は、第１の実施形態のサンプリングの動作例を示すフローチャートである。
【００４５】
まず、サンプリング手段１０は、分布関数Ｇからｔ（ｎ）をサンプリングする（ステップＳ１１）。次に、サンプリング手段１０は、１からＤまでの各ｄについて、ｕｄ（ｎ）＝Ｇｄ−１（ｔ（ｎ））を計算する（ステップＳ１２）。ここで、Ｇｄは、Ｇのｄ番目の変数の周辺分布であり、Ｄは周辺分布の数である。そして、サンプリング手段１０は、ζ（ｎ）＝［Ｆ１−１（ｕ１（ｎ）），…，ＦＤ−１（ｕＤ（ｎ））］を計算する（ステップＳ１３）。
【００４６】
最適化手段２０は、サンプリング手段１０により生成された不確実変数のサンプル２１と、最適化問題２２を入力し、入力されたサンプル２１を用いて最適化問題２２をロバスト最適化により解く。最適化問題２２は、不確実変数を含む最適化問題（ｆ（ｘ，ζ））であり、予めユーザ等により定義される。すなわち、最適化手段２０は、非ガウス分布に従う不確実変数を含む最適化問題をロバスト最適化により解く機能を備える。また、最適化手段２０は、最適化問題２２を入力することから、入力手段（第二入力手段）の機能も兼ねていると言える。
【００４７】
最適化手段２０がロバスト最適化問題を解く方法は任意である。最適化手段２０は、例えば、非特許文献２に記載された問題の変形を用いて、ロバスト最適化問題を解いてもよい。例えば、図２に例示するサンプリングの動作に続き、最適化手段２０は、上述する式４のように、サンプルζ（１），…，ζ（Ｎ）で問題を変換してもよい。すなわち、最適化手段２０は、これらのサンプルで問題を “非ロバスト”版の問題に変換してもよい。最適化手段２０は、変換された問題を解くことで最適化結果を得ることができる。
【００４８】
サンプリング手段１０と、最適化手段２０とは、プログラム（最適化プログラム）に従って動作するコンピュータのＣＰＵによって実現される。例えば、プログラムは、最適化システムが備える記憶部（図示せず）に記憶され、ＣＰＵは、そのプログラムを読み込み、プログラムに従って、サンプリング手段１０および最適化手段２０として動作してもよい。また、最適化システムの機能がＳａａＳ（Software as a Service ）形式で提供されてもよい。
【００４９】
また、サンプリング手段１０と、最適化手段２０とは、それぞれが専用のハードウェアで実現されていてもよい。また、各装置の各構成要素の一部又は全部は、汎用または専用の回路（circuitry ）、プロセッサ等やこれらの組合せによって実現されもよい。これらは、単一のチップによって構成されてもよいし、バスを介して接続される複数のチップによって構成されてもよい。各装置の各構成要素の一部又は全部は、上述した回路等とプログラムとの組合せによって実現されてもよい。
【００５０】
また、各装置の各構成要素の一部又は全部が複数の情報処理装置や回路等により実現される場合には、複数の情報処理装置や回路等は、 集中配置されてもよいし、分散配置されてもよい。例えば、情報処理装置や回路等は、クライアントアンドサーバシステム、クラウドコンピューティングシステム等、各々が通信ネットワークを介して接続される形態として実現されてもよい。
【００５１】
次に、本実施形態の動作例を説明する。図３は、第１の実施形態の最適化システムの動作例を示すフローチャートである。サンプリング手段１０は、コピュラ関数１１および周辺分布１２を入力する（ステップＳ２１）。サンプリング手段１０は、入力されたコピュラ関数および周辺分布により不確実変数の分布を定義し（ステップＳ２２）、定義された分布からサンプルを生成する（ステップＳ２３）。そして、最適化手段２０は、生成されたサンプルを用いて不確実変数を含むロバスト最適化問題を解き（ステップＳ２４）、最適解を出力する。
【００５２】
以上のように、本実施形態によれば、サンプリング手段１０が、非ガウス分布に従う不確実変数の分布をコピュラ関数１１および周辺分布１２により定義し、定義された分布からサンプルを生成する。そして、最適化手段２０が、生成されたサンプルを用いて不確実変数を含むロバスト最適化問題を解く。すなわち、最適化手段２０が、非ガウス分布に従う不確実変数を含む最適化問題をロバスト最適化により解く。よって、非ガウス分布に従う相関のある不確実変数を仮定した場合にも効率的にロバスト最適化問題を解くことができる。
【００５３】
例えば、非特許文献２に記載された方法では、ある不確実変数の集合を定義したうえで集合を近似するサンプルを生成する。しかし、本実施形態で説明したような非ガウス分布に従う不確実変数を用いたロバスト最適化問題では、正規分布の場合に想定される楕円のような対応する不確実変数の集合の図形は不明である。そのため、一般的な非ガウス分布からのサンプリング方法を、非特許文献２に記載されているような方法（ロバスト最適化のサンプリング近似解法）に適用することは困難であった。
【００５４】
しかし、本実施形態では、非特許文献２に記載された方法を使用するのではなく、非ガウス分布から直接サンプリングすることで、非ガウス分布のリスクに対応するサンプルを得るようにしている。そのため、非ガウス分布に従う相関のある不確実変数を仮定した場合にも、効率的にロバスト最適化問題を解くことが可能になる。
【００５５】
実施形態２．
次に、本発明による最適化システムの第２の実施形態を説明する。第１の実施形態では、最適化システムが非ガウス分布全体からのサンプリングを行い、サンプリングに基づくロバスト最適化を実行した。本実施形態では、サンプルの精度を向上させるため、非ガウス分布で不確実変数の含まれる確率の大きさを制御してロバスト最適化を実行する方法を説明する。
【００５６】
本実施形態の構成は、第１の実施形態と同様である。ただし、本実施形態では、サンプリングにより考慮する範囲の確率を制御するため、多次元の信頼区間が定義可能な分布関数に基づいて定義されるコピュラ関数１１を想定する。このようなコピュラ関数の一例として、正規コピュラ（ガウシアンコピュラ）が挙げられる。例えば、分布関数が多次元正規分布の場合、信頼区間を楕円として定義可能である。
【００５７】
以下、上述する式５の多変量分布関数Ｇに基づくコピュラが用いられる場合を例に、本実施形態のサンプリング手段１０の動作を説明する。図４は、第２の実施形態のサンプリングの動作例を示すフローチャートである。
【００５８】
まず、サンプリング手段１０は、多変量分布関数Ｇの信頼区間の曲面から一様にｔ（ｎ）をサンプリングする（ステップＳ３１）。ここで、信頼区間の曲面とは、Ｇの信頼区間に基づいて定められる多次元空間上の境界を示す。
【００５９】
以下、図１に示すステップＳ１２からステップＳ１３の処理と同様に、サンプリング手段１０は、１からＤまでの各ｄについて、ｕｄ（ｎ）＝Ｇｄ−１（ｔ（ｎ））を計算し（ステップＳ１２）。ζ（ｎ）＝［Ｆ１−１（ｕ１（ｎ）），…，ＦＤ−１（ｕＤ（ｎ））］を計算する（ステップＳ１３）。
【００６０】
次に、多変量分布関数Ｇが多変量ガウス分布（Ｇ＝Ｎ（μ，Σ））である場合を例に、本実施形態のサンプリング手段１０の動作をさらに説明する。図５は、第２の実施形態のサンプリングの他の動作例を示すフローチャートである。
【００６１】
まず、サンプリング手段１０は、以下の式７に示す楕円集合として、Ｇおよびδに対応する信頼レベルを計算する（ステップＳ４１）。ここで、εは、制約違反を許容可能なリスクを表わす量であり、具体的には、εの二乗が、カイ二乗分布のδパーセントの点になるように設定される。
【００６２】
【数８】
2017145664.tif 000010
【００６３】
次に、サンプリング手段１０は、楕円集合に基づいて定められる曲面から一様にｔ（ｎ）をサンプリングする（ステップＳ４２）。以下、ζ（ｎ）を計算するまでの処理は、図２のステップＳ１２からステップＳ１３の処理と同様である。
【００６４】
以上のように、本実施形態によれば、サンプリング手段１０が、定義される分布関数の信頼区間の曲面からサンプルを生成する。なお、分布関数は、多次元の信頼区間が定義可能な関数である。よって、第１の実施形態の効果に加え、サンプリングにより考慮する範囲の確率を制御できるため、最適化結果の精度をより向上させることができる。
【００６５】
具体的には、サンプリング手段１０は、正規コピュラの信頼区間を定義し、定義される分布関数の信頼区間の曲面からサンプルを生成してもよい。また、サンプリング手段１０は、信頼区間の曲面から一様にサンプルを生成してもよい。
【００６６】
以下、具体例を用いて、本実施形態の最適化システムの動作を説明する。以下では、本実施形態の最適化システムを用いて、ポートフォリオの最適化問題を解く方法を具体的に説明する。ポートフォリオの最適化問題は、相関が非常に重要な問題である。
【００６７】
投資で考慮される指標として、リターン比（＝将来価格／現在価格）が挙げられる。ここで、２つの商品（商品１、商品２）の投資量とリターン比を考慮すると、ポートフォリオの最適化問題は、以下の式８に示す問題を解くことと言える。この問題は、第１の実施形態の最適化問題２２に対応する。
【００６８】
ｍｉｎ＿｛商品１への投資量、商品２への投資量｝
−（商品１のリターン比）×（商品１への投資量）
−（商品２のリターン比）×（商品２への投資量）  （式８）
ただし、（商品１の現在価格）×（商品１への投資量）
＋（商品２の現在価格）×（商品２への投資量）＜＝（予算）
【００６９】
リターン比は、将来価格により算出される不確実な指標であるため、本問題をロバスト最適化問題として解くことが好ましい。一方、リターン比は、対数正規分布に従うことが知られている。図６は、２商品の過去のリターン比の分布の例を示す説明図である。図６（及び、後述する図７および図８）に例示するグラフのｘ軸は商品１のリターン比を表わし、ｙ軸は商品２のリターン比を表わす。この分布は、過去のデータを観測して得られたデータである。本具体例では、２商品で過去のリターン比が図６に例示する分布になっているものとする。また、図６に示す範囲Ａは、確率５０％で変数が含まれる範囲であるとする。
【００７０】
例えば、ガウシアンコピュラのパラメータθ＝−０．７９とする。これは、第１の実施形態のコピュラ関数１１に対応する。また、商品１のリターン比（以下、変数１と記す。）の対数正規分布、商品２のリターン比（以下、変数２と記す。）の対数正規分布は、例えば、それぞれ以下のように推定されるとする。これは、第１の実施形態の周辺分布１２に対応する。
変数１の対数正規分布(loc,scale,shape)=(-0.18,0.97,0.84）
変数２の対数正規分布(loc,scale,shape)=(-0.52,0.56,0.43）
【００７１】
サンプリング手段１０は、これらの情報を入力し、サンプルを生成する。図７は、図６から１００個のサンプルを生成した例を示す説明図である。このサンプルは、第１の実施形態のサンプル２１に対応する。
【００７２】
また、サンプリング手段１０は、第２の実施形態で示すように、ガウシアンコピュラのガウシアンの信頼区間に基づいてサンプルを生成してもよい。図８は、５０％の信頼区間に基づいて図６に例示するサンプルから１００個のサンプルを生成した他の例を示す説明図である。図８に例示するサンプルは、図７に例示するサンプルの生成と比較し、信頼区間の曲面に沿って一様にサンプルが生成されていることが分かる。
【００７３】
最適化手段２０は、上述するサンプルおよび式７に示す問題を入力し、この最適化問題を解く。最適化手段２０は、例えば、非特許文献２に記載された方法に従い、リターン比に生成されたサンプルの値を代入した式を制約として追加した最適化問題を作成する。そして、最適化手段２０は、線形計画ソルバを用いて問題を解く。これにより、例えば、商品１の投資量＝１２、商品２の投資量＝８８という最適化結果が得られる。
【００７４】
次に、本発明の概要を説明する。図９は、本発明の概要を示すブロック図である。本発明による最適化システムは、非ガウス分布に従う不確実変数の分布をコピュラ関数および周辺分布により定義し、定義された分布からサンプルを生成するサンプリング手段８１（例えば、サンプリング手段１０）と、生成されたサンプルを用いて不確実変数を含むロバスト最適化問題を解く最適化手段８２（例えば、最適化手段２０）とを備えている。
【００７５】
そのような構成により、非ガウス分布に従う相関のある不確実変数を仮定した場合にも効率的にロバスト最適化問題を解くことができる。
【００７６】
また、分布関数は多次元の信頼区間が定義可能な関数であってもよい。このとき、サンプリング手段８１は、定義される分布関数の信頼区間の曲面からサンプルを生成してもよい。そのような構成により、サンプリングにより考慮する範囲の確率を制御できるため、最適化結果の精度をより向上させることができる。
【００７７】
具体的には、サンプリング手段８１は、正規コピュラの信頼区間を定義し、定義される分布関数の信頼区間の曲面からサンプルを生成してもよい。また、サンプリング手段８１は、信頼区間の曲面から一様にサンプルを生成してもよい。
【００７８】
図１０は、本発明の他の概要を示すブロック図である。本発明による他の最適化システムは、非ガウス分布に従う不確実変数を含む最適化問題をロバスト最適化により解く最適化手段９１（例えば、最適化手段２０）を備えている。このような構成によっても、非ガウス分布に従う相関のある不確実変数を仮定した場合にも効率的にロバスト最適化問題を解くことができる。
【００７９】
具体的には、最適化システムは、非ガウス分布に従う不確実変数の周辺分布およびコピュラ関数を入力する第一入力手段（例えば、サンプリング手段１０）と、不確実変数を含む最適化問題を入力する第二入力手段（例えば、最適化手段２０とを備えていてもよい。そして、最適化手段９１は、コピュラ関数および周辺分布から生成されるサンプルを用いて最適化問題をロバスト最適化により解いてもよい。
【００８０】
以上、実施形態及び実施例を参照して本願発明を説明したが、本願発明は上記実施形態および実施例に限定されるものではない。本願発明の構成や詳細には、本願発明のスコープ内で当業者が理解し得る様々な変更をすることができる。
【００８１】
この出願は、２０１６年２月２６日に出願された日本特許出願２０１６−０３５５２７を基礎とする優先権を主張し、その開示の全てをここに取り込む。
【産業上の利用可能性】
【００８２】
金融関係で扱われる指標は、非ガウス分布に従うと考えられているため、本発明は、例えば、それらの指標を用いた最適化問題を解く最適化システムに好適に適用される。
【符号の説明】
【００８３】
１０  サンプリング手段
２０  最適化手段
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【国際調査報告】
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