(57)【要約】【課題】電気回路における伝送線路の電位・電流、素子の電位・電流、及び当該電気回路から発生するノイズを含めた電磁界を包括的に計算可能とする。【解決手段】コンピュータが、分布定数回路及び集中定数回路の回路構成、並びに各変数の初期値を入力する回路構成入力ステップと、回路構成及び初期値の下で、伝送理論の基礎方程式を、分布定数回路と集中定数回路との境界であるｘ＝０及びｗにおける境界条件式を用いて解くことにより、多導体伝送線路におけるスカラーポテンシャルと電流、素子におけるスカラーポテンシャルと電圧、及び電磁放射量を得る計算ステップと、を実行する。【選択図】図２
2017056574.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
コンピュータが、分布定数回路を構成する多導体伝送線路における電位と電流、前記多導体伝送線路に接続される集中定数回路を構成する素子における電位と電流、及び各回路からの電磁放射量を計算する、電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法であって、
前記分布定数回路及び前記集中定数回路の回路構成、並びに各変数の初期値を入力する回路構成入力ステップと、
前記回路構成及び前記初期値の下で、新たな伝送理論の基礎方程式である
【数１】
2017056574.tif 000094
【数２】
2017056574.tif 000095
【数３】
2017056574.tif 000096
【数４】
2017056574.tif 000097
（ｔは時刻、ｘ及びｘ'は各伝送線路上の位置(ｘ＞ｘ')、ｉ、ｊ(＝１,２，・・・,ｎ)は各伝送線路の番号、Ｕi(ｔ,ｘ)及びＡi(ｔ,ｘ)はそれぞれ時刻ｔ、位置ｘにおける伝送線路ｉのスカラーポテンシャル（電位）及びベクトルポテンシャル、Ｉj(ｔ,ｘ)は時刻ｔ、位置ｘにおける伝送線路ｊに流れる電流、Ｐij及びＬijはそれぞれ伝送線路ｉ、ｊ間の電位係数及び誘導係数、Ｒiは伝送線路ｉの単位長さあたりの抵抗、~Ｕ(ｔ,ｘ)及び~Ａ(ｔ,ｘ)は時刻ｔ、位置ｘにおける電磁放射量を示すアンテナ項、εは誘電率、μは透磁率、Ｑｔ(ｔ,ｘ)及びＩｔ(ｔ,ｘ)は時刻ｔ、位置ｘにおける全伝送線路の電荷及び電流）
を、前記分布定数回路と前記集中定数回路との境界であるｘ＝０及びｗにおいて境界条件式
Ｕi(ｔ,ｘ)−Ｕj(ｔ,ｘ)＝Ｖij(ｔ)＋Ｚij・Δ・Ｉij(ｔ)        (5)
およびキルヒホッフの電流則、すなわち、一つの節点（ノード）に流入するすべての枝の枝電流の代数和はゼロ、つまり節点から出て行く電流を正とし節点に入る電流を負として総和をとる式
α・Iｉ(ｔ,ｘ)＋Σj(≠i)Ｉij(ｔ)＝０        (6)
（Ｖij(ｔ)は集中定数回路側で時刻ｔにおいて伝送線路又はノードｉ、ｊ(≠ｉ)間に接続される電源電圧、Ｉij(ｔ)は集中定数回路側で時刻ｔにおいて伝送線路又はノードｉからｊ(≠ｉ)間に流れる電流、Ｚijは伝送線路又はノードｉ、ｊ(≠ｉ)間に接続される負荷、Δは、Ｚij＝Ｒijのとき１、Ｚij＝Ｌijのときｄ／ｄｔ、Ｚij＝１／Ｃijのとき(ｄ／ｄｔ)-1、αはｘ＝０のとき１、ｘ＝ｗのとき−１）
を用いて解くことにより、前記多導体伝送線路における電位と電流、前記素子における電位と電流、及び前記電磁放射量を得る計算ステップと、
を実行することを特徴とする、電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法。
【請求項２】
前記計算ステップでは、前記基礎方程式をＦＤＴＤ法を用いて解くことを特徴とする請求項１に記載の電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法。
【請求項３】
伝送線路ｉ上の位置ｘ＝ｋ・Δｘ（ｋ＝０,１,・・・,Ｎ、ｗ＝Ｎ・Δｘ）及び時刻ｔ＝ｍ・Δｔ（ｍ＝０,１,・・・,任意）におけるスカラーポテンシャルをＵkm、電流をＩkmと表すこととし、Ｕvkmが伝送線路iごとのＵkmを要素とするベクトル、Ivkmが伝送線路ｉごとのＩkmを要素とするベクトル、ＰdがＰijを要素とする行列、ＬdがＬijを要素とする行列、ＲdがＲiを対角要素とする行列であるとき、前記式(1)については、
【数５】
2017056574.tif 000098
と離散化された式を用い、前記式(2)については、
【数６】
2017056574.tif 000099
と離散化された式を用いることを特徴とする請求項２に記載の電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法。
【請求項４】
Ｚcdが伝送線路ｉ,ｊ間の特性インピーダンスＺcijを要素とする行列であるとき、前記式(7)は、前記分布定数回路と前記集中定数回路との一方の境界であるｋ＝０において、
【数７】
2017056574.tif 000100
であり、他方の境界であるｋ＝Ｎにおいて、
【数８】
2017056574.tif 000101
であり、
前記式(9),(10)を、前記式(5),(6)に対応するｋ＝０及びＮにおける離散化された境界条件式
【数９】
2017056574.tif 000102
（Ｚij＝Ｒijのときγ＝１、δ＝１、Ｚij＝２Ｌij／Δｔのときγ＝１、δ＝−１、Ｚij＝Δｔ／２Ｃijのときγ＝−１、δ＝１）
【数１０】
2017056574.tif 000103
（βはｋ＝０のとき１、ｋ＝Ｎのとき−１）
を用いて解くことを特徴とする請求項３に記載の電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法。
【請求項５】
各ノードにおける、各ノード間接続への関わりの有無及び各伝送線路との接続の有無を示す接続行列をＡｄ、各ノード間に流れる電流Ｉij及び各伝送線路に流れる電流Ｉｉを要素とするベクトルをvＩkm、各ノード間のインピーダンスＺij及び各伝送線路間の特性インピーダンスＺcijを要素とする行列をＺｄ、各ノード間に接続される素子の種類に応じたγ、δを要素とする対角行列をそれぞれγｄ、δd、各ノード間に加えられる電圧Ｖijを要素とするベクトルをＶvとしたとき、前記式(9),(11)及び(12)を
【数１１】
2017056574.tif 000104
と行列の形で表した上で、また、前記式(10),(11)及び(12)を
【数１２】
2017056574.tif 000105
と行列の形で表した上で、それぞれ解くことを特徴とする請求項４に記載の電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法。
【請求項６】
式(12)に対応する式
【数１３】
2017056574.tif 000106
（Ａdは各ノードにおける、電流源が含まれない各ノード間接続への関わりの有無及び各伝送線路との接続の有無を示す接続行列、ＡdJは各ノードにおける、電流源が含まれる各ノード間接続への関わりの有無を示す接続行列、vI0m+1は電流源が接続されていない各ノード間に流れる電流Iij 0m+1及び各伝送線路に流れる電流Iｉ 0m+1を要素とするベクトル、vIJ 0m+1は電流源が接続されている各ノード間に流れる電流IJ ij 0m+1を要素とするベクトル）
を用い、前記式(9),(11)及び(15)を
【数１４】
2017056574.tif 000107
と行列の形で表した上で、また、前記式(10),(11)及び(15)を
【数１５】
2017056574.tif 000108
と行列の形で表した上で、それぞれ解くことを特徴とする請求項５に記載の電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法。
【請求項７】
伝送線路上の位置ｘ＝ｋ・Δｘ及び時間ｔ＝ｍ・Δｔにおける全ての伝送線路の全電荷をＱtkm、伝送線路上の位置ｘ＝ｋ・Δｘ及び時間ｔ＝ｍ・Δｔにおける全電流をＩtkmと表すこととしたとき、Ｑtkm+1の値を
【数１６】
2017056574.tif 000109
により計算し、各伝送線路上の位置ｘ＝ｋ・Δｘ及び時間ｔ＝（ｍ＋１）・Δｔにおけるアンテナ項~Ｕの値、及び各伝送線路上の位置ｘ＝(ｋ＋１／２)・Δｘ及び時間ｔ＝(ｍ＋１／２)・Δｔにおけるアンテナ項~Ａの値をそれぞれ
【数１７】
2017056574.tif 000110
【数１８】
2017056574.tif 000111
により計算することを特徴とする請求項６に記載の電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法。
【請求項８】
前記計算ステップは、
ｍ＝０において、
前記式(16)により、Ｕv01及びvＩ01を計算する第１計算サブステップと、
前記式(18)により、Ｑt01を計算する第２計算サブステップと、
前記式(19)により~Ｕ01を計算する第３計算サブステップと、
前記式(18)により、Ｑtk1 (ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第４計算サブステップと、
前記式(19)により~Ｕk1(ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第５計算サブステップと、
前記式(7)により、Ｕvk1 (ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第６計算サブステップと、
前記式(17)によりＵvN1及びvＩN1を計算する第７計算サブステップと、
前記式(18)によりＱtN1を計算する第８サブステップと、
前記式(19)により~ＵN1を計算する第９計算サブステップと、
前記式(20)により~Ａk+1/21/2(ｋ＝０,１,・・・，Ｎ−１)を計算する第１０計算サブステップと、
前記式(8)によりＩvk+1/23/2(ｋ＝０,１,・・・，Ｎ−１)を計算する第１１計算サブステップと、
を実行し、
ｍ≧１において、
前記式(16)により、Ｕv0m+1及びvＩ0m+1を計算する第１２計算サブステップと、
前記式(18)により、Ｑt0 m+1を計算する第１３計算サブステップと、
前記式(19)により~Ｕ0 m+1を計算する第１４計算サブステップと、
前記式(18)により、Ｑtkm+1(ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第１５計算サブステップと、
前記式(19)により~Ｕkm+1(ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第１６計算サブステップと、
前記式(7)により、Ｕvkm+1(ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第１７計算サブステップと、
前記式(17)によりＵvNm+1及びvＩNm+1を計算する第１８計算サブステップと、
前記式(18)によりＱtNm+1を計算する第１９計算サブステップと、
前記式(19)により~ＵNm+1を計算する第２０計算サブステップと、
前記式(20)により~Ａk+1/2m+1/2(ｋ＝０,１,・・・，Ｎ−１)を計算する第２１計算サブステップと、
前記式(8)によりＩvk+1/2m+3/2(ｋ＝０,１,・・・，Ｎ−１)を計算する第２２計算サブステップと、
をｍを１ずつ増やしながら所定のｍの値まで繰り返し実行する
ことを特徴とする請求項７に記載の電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法。
【請求項９】
コンピュータに請求項１から８のいずれか１項に記載の電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法を実行させるためのプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、電気回路における伝送線路の電位・電流、素子の電位・電流、及び当該電気回路の内外で発生するノイズを含めた周辺電磁界を包括的に計算する、電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法、及びプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、機器周辺の電磁界をシミュレーションで調べる場合、(1)機器を構成する回路の情報の入力、(2)集中定数回路理論や多導体伝送線路に関する分布定数回路理論（非特許文献１参照）に基づく伝送線路や素子の電位・電流の計算、(3)電磁界の計算、の順で行っていた。しかし、実際には伝送線路や素子の電位・電流と周辺の電磁界とは相互作用しており、相互作用が考慮されない従来の電磁界計算方法では電磁界を精度よく計算することができなかった。そのため、ひとまずシミュレーションによる計算結果に基づいて回路設計をした上で、結果的に発生してしまった電磁ノイズに対して、経験的に知られている方法や対症療法などによる対策をとるのが一般的であった。【０００３】
このような中、多導体伝送線路理論とアンテナ理論とを融合し、伝送線路の電位・電流、素子の電位・電流、及びこれらから発生するノイズを含めた電磁界を包括的に計算するための新たな伝送理論が提唱された（非特許文献２参照）。【０００４】
非特許文献１に示される従来の多導体伝送線路理論を示す式(1),(2)は現象論的な考察から作り上げられたものであった。
【数１】
2017056574.tif 000003
【数２】
2017056574.tif 000004
（Ｖiはｎ本の伝送線路のうち、伝送線路ｉの基準線（伝送線路１）との電位差（電圧）、Ｉiは伝送線路ｉを流れる電流、ＣijとＬijはそれぞれ伝送線路ｉ，ｊ間における電気容量と誘導係数）【０００５】
これに対し、新たな伝送理論は多導体伝送線路理論にアンテナ理論を取り込んだものであり、その基礎方程式はマクスウェルの方程式から直接導出される。以下、非特許文献２に示される新たな伝送理論の概要について説明する。【０００６】
電気回路において伝送線路は電気を運ぶ役割で用いられる。しかし、通電された伝送線路はアンテナとしても機能し、アンテナからの電磁波の放射はマクスウェルの方程式から議論される。そこで、多導体伝送線路理論と電気回路を構成する多導体伝送線路からの電磁放射との関係をマクスウェルの方程式が与えるアンテナ理論を踏まえて考察する。【０００７】
マクスウェル方程式が電磁波を記述することはよく知られている。時刻ｔにおいてベクトルｒvで表される位置での、マクスウェルの方程式から導かれる遅延ポテンシャル、すなわちスカラーポテンシャルＵ(t ,ｒv)とベクトルポテンシャルＡv(t ,ｒv)は、次のように記述することができる。
【数３】
2017056574.tif 000005
【数４】
2017056574.tif 000006
（εは誘電率、μは透磁率、ｃは光速、ｔ'及びｒv'はｔ'＝ｔ−｜ｒv−ｒv'｜／ｃの関係を満たす時刻ｔに先立つ時刻及び時刻ｔ'における位置）【０００８】
すなわち、時刻ｔにおけるスカラーポテンシャルＵ(t ,ｒv)とベクトルポテンシャルＡv (t ,ｒv)は、時刻ｔ'及び位置ｒv'における電荷密度ｑ(ｔ',ｒv')及び電流密度ベクトルｉv(ｔ',ｒv')をその源とする。【０００９】
ここで、長さｗのｎ本の平行な伝送線路のそれぞれについて、電荷及び電流が電線の中心に集まっているとし、電荷及び電流を伝送線路の長手方向の位置ｘにおける断面積で積分(∫ds)したとき、時刻ｔ、位置ｘにおける、ｉ番目の伝送線路ｉの単位長あたりの電荷Ｑi(ｔ,ｘ)及び電流Ｉi(ｔ,ｘ)は、それぞれ、Ｑi(ｔ,ｘ)＝∫ds・ｑi(ｔ,ｒv)、Ｉi(ｔ,ｘ)＝∫ds・ｉi(ｔ,ｒv)と表すことができる。また、軸対称性から電流の向きは伝送線路の方向、すなわちｘ方向のみであるとみなせるため、ベクトルポテンシャルＡv(ｔ,ｒv)は単にＡ(ｔ,ｘ)と表すことができる。すると、伝送線路ｉの中心と隣の伝送線路ｊとの間の距離がｄijであるとき、伝送線路ｉの位置ｘから距離ｄijだけ離れた各伝送線の表面でのスカラーポテンシャルＵi(ｔ,ｘ)及びベクトルポテンシャルＡi(ｔ,ｘ)は、次のように記述することができる。
【数５】
2017056574.tif 000007
【数６】
2017056574.tif 000008
これらの式から伝送線路表面の電磁界を求めることができ、求めた伝送線路表面の電磁界から、伝送線路周辺に生じる電磁界を電磁気学の理論により求めることができる。【００１０】
ｄijは電気回路においては一般に非常に小さな値をとる。このとき、式(5),(6)の被積分関数は、ｘ'＝ｘ付近で発散的なピークを持ち、その辺りでしか寄与しない部分とそれ以外の部分とに分けて取り扱う必要がある。そこで、Ｑj(ｔ,ｘ')＝Ｑj(ｔ,ｘ)、Ｉj(ｔ,ｘ')＝Ｉj(ｔ,ｘ)と近似すると、式(7),(8)の第１項に示すように、Ｑj(ｔ,ｘ)及びＩj(ｔ,ｘ)を積分の外に出すことができ、残ったｘ'の積分を解析的に計算することができる。一方で、式(7),(8)の第２項は発散部を取り除いて数値的に扱うことができる部分になる。
【数７】
2017056574.tif 000009
【数８】
2017056574.tif 000010
【００１１】
一般にｄij＜＜ｗであることから、ｘ'＝ｘの場合を除いてはｄij＝０とおくことができる。そのため、式(7),(8)の第２項は、ｎ本の伝送線路の全電荷Ｑt、全電流Ｉtを用いて、それぞれ表現することができ、式(7)及び式(8)はそれぞれ式(9),(11)及び式(10),(12)のように表現することができる。
【数９】
2017056574.tif 000011
【数１０】
2017056574.tif 000012
【数１１】
2017056574.tif 000013
【数１２】
2017056574.tif 000014
（Ｐijは伝送線路ｉ、ｊ間の電位係数であり、これらを要素とする行列の逆行列の要素が静電容量Ｃijの逆数に対応する。Ｌijは伝送線路ｉ、ｊ間の誘導係数である。）【００１２】
式(7)及び式(8)の第２項にそれぞれ対応する式(11)の~Ｕ(ｔ,ｘ)及び式(12)の~Ａ(ｔ,ｘ)は、ポテンシャルの遅れを含むことから、電磁波の放出・吸収過程、すなわちアンテナ過程を表す（非特許文献２参照）。【００１３】
これらの電荷、電流から作られた電磁ポテンシャルは伝送線路内の電荷電流に影響を与える。電磁気学で扱う程度のマクロな系では電荷の運動を直接取り扱わず、その平均的な振る舞いを記述する現象論的なオームの法則を用いることができる。具体的には、伝送線路ｉの性質から決まる抵抗Ｒiが与えられている時に、電場Ｅ(ｔ,ｘ)が与えられるとその位置での電流Ｉi(ｔ,ｘ)は、
Ｅi (ｔ,ｘ)＝Ｒi・Ｉi(ｔ,ｘ)          (13)
により表現することができる。【００１４】
式(13)をポテンシャルで表現することで、電磁ポテンシャルが与えられると電流が決まるという次式が得られる。
【数１３】
2017056574.tif 000015
【００１５】
更に、ＱとＩとの連続の方程式を考慮する。
【数１４】
2017056574.tif 000016
【００１６】
２つのポテンシャル（Ｕ，Ａ）と電荷電流（Ｑ，Ｉ）の４つの変数に対して４つの方程式 (9),(10),(14),(15)が与えられているので、適当な境界条件を与えることで、これらの方程式を解くことが可能である。【００１７】
ところで、式(9),(10)のポテンシャルの時間微分を計算した上で、式(14),(15)を使ってＡとＱを消去すると式(16),(17)の２つの方程式が得られる。この２つの偏微分方程式が、マクスウェルの方程式から直接導き出された、多導体伝送線路理論にアンテナ理論を取り込んだ新たな伝送理論の基礎方程式である。どちらの式もスカラーポテンシャルの変化量、すなわち電位の変化量を、電流の変化量を用いて表現した方程式となっている。
【数１５】
2017056574.tif 000017
【数１６】
2017056574.tif 000018
【００１８】
式(1),(2)に示した従来の多導体伝送線路理論の基礎方程式は、電位係数Ｐij及びポテンシャルによる表現を用いて、式(16),(17)と同じ左辺で書き換えることができる（非特許文献３参照）。
【数１７】
2017056574.tif 000019
【数１８】
2017056574.tif 000020
【００１９】
式(16),(17)の右辺と式(18),(19)の右辺とをそれぞれ比較するとわかるように、式(16),(17)の右辺第１項は式(18),(19)の右辺と一致している。すなわち、新たな伝送理論の基礎方程式である式(16),(17)は、現象論的な考察から作り上げられた従来の多導体伝送理論の式(18),(19)を包含している。そして、式(16),(17)はこれに加え、アンテナ過程を表すアンテナ項~Ｕ(ｔ,ｘ)、~Ａ(ｔ,ｘ)をそれぞれ含んでいる。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【００２０】
【非特許文献１】Clayton R. Paul, "Analysis of Multiconductor Transmission Lines", Wiley-Inter-Science, 2008
【非特許文献２】Hiroshi Toki and Kenji Sato, "Multiconductor Transmission-Line Theory with Electromagnetic Radiation", Journal of the Physical Society of Japan, January 2012, Vol. 81, 014201
【非特許文献３】Hiroshi Toki and Kenji Sato, " Three Conductor Transmission Line Theory and Origin of Electromagnetic Radiation and Noise ", Journal of the Physical Society of Japan, January 2009, Vol. 78, 094201
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００２１】
背景技術として説明した新たな伝送理論の基礎方程式は、適当な境界条件を与えることにより解くことが可能である。しかし、その境界条件の設定方法が抵抗１つやキャパシタ１つといった限られた場合でしかこれまで明らかにされておらず、そのため、任意の集中定数回路が接続された境界条件の下での具体的な計算方法も明らかにされていなかった。【００２２】
本発明の目的は、新たな伝送理論の基礎方程式に、適当な境界条件を与えるとともに、その境界条件の下での効率的な計算方法を明らかにし、よって、分布定数回路を構成する多導体伝送線路における電位と電流、当該多導体伝送線路に接続される集中定数回路を構成する素子における電位と電流、及び各回路の内外で発生するノイズを含めた電磁界を包括的に計算することを可能とする、電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法、及びプログラムを提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【００２３】
（１）本発明の電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法は、コンピュータが、分布定数回路を構成する多導体伝送線路における電位と電流、当該多導体伝送線路に接続される集中定数回路を構成する素子における電位と電流、及び各回路からの電磁放射量を計算する電磁界計算方法であって、分布定数回路及び集中定数回路の回路構成、並びに各変数の初期値を入力する回路構成入力ステップと、入力された回路構成及び初期値の下で、新たな伝送理論の基礎方程式である
【数１９】
2017056574.tif 000021
【数２０】
2017056574.tif 000022
【数２１】
2017056574.tif 000023
【数２２】
2017056574.tif 000024
を、分布定数回路と集中定数回路との境界であるｘ＝０及びｗにおいて境界条件式
Ｕi(ｔ,ｘ)−Ｕj(ｔ,ｘ)＝Ｖij(ｔ)＋Ｚij・Δ・Ｉij(ｔ)        (24)
およびキルヒホッフの電流則、すなわち、一つの節点（ノード）に流入するすべての枝の枝電流の代数和はゼロ、つまり節点から出て行く電流は正とし、節点に入る電流は負として総和をとる
α・Iｉ(ｔ,ｘ)＋Σj(≠i)Ｉij(ｔ)＝０        (25)
を用いて解くことにより、多導体伝送線路における電位と電流、素子における電位と電流、及び電磁放射量を得る計算ステップと、を実行する（ｔは時刻、ｘ及びｘ'は各伝送線路上の位置(ｘ＞ｘ')、ｉ、ｊ(＝１,２，・・・,ｎ)は各伝送線路の番号、Ｕi(ｔ,ｘ)及びＡi(ｔ,ｘ)はそれぞれ時刻ｔ、位置ｘにおける伝送線路ｉのスカラーポテンシャル（電位）及びベクトルポテンシャル、Ｉj(ｔ,ｘ)は時刻ｔ、位置ｘにおける伝送線路ｊに流れる電流、Ｐij及びＬijはそれぞれ伝送線路ｉ、ｊ間の電位係数及び誘導係数、Ｒiは伝送線路ｉの単位長さあたりの抵抗、~Ｕ(ｔ,ｘ)及び~Ａ(ｔ,ｘ)は時刻ｔ、位置ｘにおける電磁放射量を示すアンテナ項、εは誘電率、μは透磁率、Ｑｔ(ｔ,ｘ)及びＩｔ(ｔ,ｘ)は時刻ｔ、位置ｘにおける全伝送線路の電荷及び電流、Ｖij(ｔ)は集中定数回路側で時刻ｔにおいてノードｉ、ｊ(≠ｉ)間に接続される電源電圧、Ｉij(ｔ)は集中定数回路側で時刻ｔにおいてノードｉからｊ(≠ｉ)に流れる電流、Ｚijはノードｉ、ｊ(≠ｉ)間に接続される負荷、Δは、Ｚij＝Ｒijのとき１、Ｚij＝Ｌijのときｄ／ｄｔ、Ｚij＝１／Ｃijのとき(ｄ／ｄｔ)-1、αはｘ＝０のとき１、ｘ＝ｗのとき−１）。【００２４】
このように、新たな伝送理論の基礎方程式に境界条件を与えることで、分布定数回路を構成する多導体伝送線路における電位と電流、当該多導体伝送線路に接続される集中定数回路を構成する素子における電位と電流、及び各回路から発生するノイズを含めた電磁界を包括的に計算することが可能となる。【００２５】
（２）新たな伝送理論の基礎方程式の計算は、ＦＤＴＤ（Finite Difference Time Domain：有限差分時間領域）法を用いることで効率的に行うことができる。伝送線路部分と集中回路部分の境界条件においては、ＦＤＴＤで計算した結果と集中定数側で用いられる回路理論をもとにした理論を用いることで計算が可能になる。具体的には、集中定数側では、キルヒホッフの電圧則およびキルヒホッフの電流則、素子の電圧−電流特性を用いればよい。【００２６】
（３）ＦＤＴＤ法を用いて計算を行う場合、伝送線路ｉ上の位置ｘ＝ｋ・Δｘ（ｋ＝０,１,・・・,Ｎ、ｗ＝Ｎ・Δｘ）及び時刻ｔ＝ｍ・Δｔ（ｍ＝０,１,・・・,任意）におけるスカラーポテンシャルをＵkm、電流をＩkmと表すこととし、Ｕvkmが伝送線路iごとのＵkmを要素とするベクトル、Ivkmが伝送線路ｉごとのＩkmを要素とするベクトル、ＰdがＰijを要素とする行列、ＬdがＬijを要素とする行列、ＲdがＲiを対角要素とする行列であるとき、式(20)は、
【数２３】
2017056574.tif 000025
のように離散化し、式(21)は、
【数２４】
2017056574.tif 000026
のように離散化するとよい。【００２７】
（４）Ｚcdが伝送線路ｉ,ｊ間の特性インピーダンスＺcijを要素とする行列であるとき、式(26)を例えば、分布定数回路と集中定数回路との一方の境界であるｋ＝０において、
【数２５】
2017056574.tif 000027
と変形し、また、他方の境界であるｋ＝Ｎにおいて、
【数２６】
2017056574.tif 000028
と変形した上で、変形後の式(28),(29)を例えば、式(24),(25)に対応するｋ＝０及びＮにおける離散化された境界条件式
【数２７】
2017056574.tif 000029
【数２８】
2017056574.tif 000030
を用いて解くとよい（Ｚij＝Ｒijのときγij＝１、δij＝１、Ｚij＝２Ｌij／Δｔのときγij＝１、δij＝−１、Ｚij＝Δｔ／２Ｃijのときγij＝−１、δij＝１、βはｋ＝０のとき１、ｋ＝Ｎのとき−１）。【００２８】
（５）各ノードにおける、各ノード間接続への関わりの有無及び各伝送線路との接続の有無を示す接続行列をＡｄ、各ノード間に流れる電流Ｉij及び各伝送線路に流れる電流Ｉｉを要素とするベクトルをvＩ、各ノード間のインピーダンスＺij及び各伝送線路間の特性インピーダンスＺcijを要素とする行列をＺｄ、各ノード間に接続される素子の種類に応じたγij、δijを要素とする対角行列をそれぞれγｄ、δd、各ノード間に加えられる電圧Ｖijを要素とするベクトルをＶvとしたとき、例えば、式(28),(30)及び(31)を
【数２９】
2017056574.tif 000031
と行列の形でまとめて表した上で、また、式(29),(30)及び(31)を
【数３０】
2017056574.tif 000032
と行列の形でまとめて表した上で、それぞれ解くとよい。【００２９】
（６）ノードｉ，ｊ間への電流源の挿入を考慮する場合、式(31)に対応する式
【数３１】
2017056574.tif 000033
（Ａdは各ノードにおける、電流源が含まれない各ノード間接続への関わりの有無及び各伝送線路との接続の有無を示す接続行列、ＡdJは各ノードにおける、電流源が含まれる各ノード間接続への関わりの有無を示す接続行列、vI0m+1は電流源が接続されていない各ノード間に流れる電流Iij 0m+1及び各伝送線路に流れる電流Iｉ 0m+1を要素とするベクトル、vIJ 0m+1は電流源が接続されている各ノード間に流れる電流IJ ij 0m+1を要素とするベクトル）
を用い、式(28),(30)及び(34)を
【数３２】
2017056574.tif 000034
と行列の形で表した上で、また、式(29),(30)及び(34)を
【数３３】
2017056574.tif 000035
と行列の形で表した上で、それぞれ解くとよい。【００３０】
（７）アンテナ項~Ｕ及び~Ａの値について、伝送線路上の位置ｘ＝ｋ・Δｘ及び時間ｔ＝ｍ・Δｔにおける全ての伝送線路の全電荷をＱtkm、電流をＩtkmと表現することとしたとき、Ｑtkm+1の値を例えば、
【数３４】
2017056574.tif 000036
により計算し、アンテナ項~Ｕ、~Ａの値をそれぞれ例えば、
【数３５】
2017056574.tif 000037
【数３６】
2017056574.tif 000038
により計算するとよい。【００３１】
（８）計算ステップは、例えば、ｍ＝０において、式(35)によりＵv01及びvＩ01を計算する第１計算サブステップと、式(37)によりＱt01を計算する第２計算サブステップと、式(38)により~Ｕ01を計算する第３計算サブステップと、式(37)によりＱtk1(ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第４計算サブステップと、式(38)により~Ｕk1(ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第５計算サブステップと、式(26)によりＵvk1(ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第６計算サブステップと、式(36)によりＵvN1及びvＩN1を計算する第７計算サブステップと、式(37)によりＱtN1を計算する第８サブステップと、式(38)により~ＵN1を計算する第９計算サブステップと、式(39)により~Ａk+1/21/2(ｋ＝０,１,・・・，Ｎ−１)を計算する第１０計算サブステップと、式(27)によりＩvk+1/23/2(ｋ＝０,１,・・・，Ｎ−１)を計算する第１１計算サブステップと、を実行し、ｍ≧１において、式(35)によりＵv0m+1及びvＩ0m+1を計算する第１２計算サブステップと、式(37)によりＱt0 m+1を計算する第１３サブステップと、式(38)により~Ｕ0 m+1(ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第１４計算サブステップと、式(37)によりＱtkm+1(ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第１５サブステップと、式(38)により~Ｕkm+1(ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第１６計算サブステップと、式(26)により、Ｕvkm+1(ｋ＝１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第１７計算サブステップと、式(36)によりＵvNm+1及びvＩNm+1を計算する第１８計算サブステップと、式(37)によりＱtNm+1を計算する第１９計算サブステップと、式(38)により~ＵNm+1を計算する第２０計算サブステップと、式(39)により~Ａk+1/2m+1/2(ｋ＝０,１,・・・，Ｎ−１)を計算する第２１計算サブステップと、式(27)により、Ｉvk+1/2m+3/2(ｋ＝０,１,２,・・・，Ｎ−１)を計算する第２２計算サブステップと、をｍを１ずつ増やしながら所定のｍの値まで繰り返し実行するとよい。【００３２】
これにより複雑な計算を行うことなく、分布定数回路を構成する多導体伝送線路における電位と電流、多導体伝送線路に接続される集中定数回路を構成する素子における電位と電流、及び各回路から発生するノイズを含めた電磁界を包括的に計算することができる。
【図面の簡単な説明】
【００３３】
【図１】本発明の計算方法を適用する回路構成の一例を示す図である。
【図２】本発明の計算方法の計算フローの一例を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００３４】
＜境界条件＞
背景技術として説明した新たな伝送理論の基礎方程式である
【数３７】
2017056574.tif 000039
【数３８】
2017056574.tif 000040
【数３９】
2017056574.tif 000041
【数４０】
2017056574.tif 000042
を解くためには、分布定数回路である伝送線路と集中定数回路である電源や負荷との間で適当な境界条件を与える必要がある。図１は、ｎ導体伝送線路の一端（電源側）に電源Ｖij(ｔ)と抵抗ｒijとが接続され、他端（負荷側）に抵抗Ｒijが接続されている電気回路の構成例である。ここで、ｔは時刻、添字ｉ、ｊは伝送線路及びノードの番号であり、伝送線路ｉは同じ添字のノードｉに接続され、ｊはｉと異なる伝送線路・ノードを示す。ｉｊは伝送線路ｉ、ｊ間及びノードｉ、ｊ間を示す番号である。図１は具体例として、３導体伝送線路において、各伝送線路の一端である電源側境界（ｘ＝０）には、伝送線路１、２間（ノード１、２間）に電源Ｖ12と抵抗ｒ12が、伝送線路２、３間（ノード２、３間）に抵抗ｒ23がそれぞれ接続され、各伝送線路の他端である負荷側境界（ｘ＝ｗ（ｗは伝送線路長））には、伝送線路１（ノード１）とノード４間にＲ12が、ノード４と伝送線路２（ノード２）間にＲ42が、伝送線路２、３間（ノード２、３間）にＲ23が、ノード４、５間にＲ45が、ノード５と伝送線路３（ノード３）間にＲ53がそれぞれ接続されている場合を示したものである。また、Ｕi(ｔ,ｘ)及びＩi(ｔ,ｘ)は、それぞれ時刻ｔ、伝送線路ｉ上の位置ｘにおけるスカラーポテンシャル（電位）及び電流である。なお、スカラーポテンシャル（電位）は、境界（ｘ＝０及びｘ＝ｗ）では集中定数回路のノードの電位に対応する。
【００３５】
このような回路構成の下、電源側境界においてはオームの法則から次の境界条件式が得られる。
Ｕi(ｔ,ｘ＝０)−Ｕj(ｔ,ｘ＝０)＝Ｖij(ｔ)＋ｒij・Ｉij(ｔ)        (40)
また、伝送線路ｉと電源等との接続ノードｉでは電流保存の法則から更に次の境界条件式が得られる。
Iｉ(ｔ,ｘ＝０)＋Σj(≠i)Ｉij(ｔ)＝０        (41)
なお式(41)は、電流が図１の矢印で示す向きで流れているとして、接続ノードから流出する向きが正方向、接続ノードに流入する向きが負方向であるとの定義の下で立式している。以下、回路全体の電流計算の整合を図るため、電流の計算式における電流の向きの定義はこれと同様とする。
【００３６】
一方、負荷側境界においてもオームの法則から次の境界条件式が得られる。
Ｕi(ｔ,ｘ＝ｗ)−Ｕj(ｔ,ｘ＝ｗ)＝Ｖij(ｔ)＋Ｒij・Ｉij(ｔ)        (42)
式(42)でも電源側の式(40)と同様に電源の項が含まれているが、これは電源が挿入される場合があることを想定しているためであり、電源が挿入されていない図１の例のような場合にはＶij(ｔ)＝０となる。
また、伝送線路ｉと負荷との接続ノードｉでも電流保存の法則から更に次の境界条件式が得られる。
−Iｉ(ｔ,ｘ＝ｗ)＋Σj(≠i)Ｉij(ｔ)＝０        (43)
電源側の式(41)とIｉの符号が異なるのは、電源側接続ノードからは電流が流出するのに対し、負荷側接続ノードには電流が流入するためである。
【００３７】
図１では、負荷として抵抗Ｒijが接続されている場合を例示したが、インダクタＬij、キャパシタＣijが接続されている場合には式(42)はそれぞれ次のような形になる。
【数４１】
2017056574.tif 000043
【数４２】
2017056574.tif 000044
すると、式(42),(44),(45)は次のように一般化することができる。
Ｕi(ｔ,ｘ)−Ｕj(ｔ,ｘ)＝Ｖij(ｔ)＋Ｚij・Δ・Ｉij(ｔ)        (46)
式(46)においてΔは、Ｚij＝Ｒijのとき１、Ｚij＝Ｌijのときｄ／ｄｔ、Ｚij＝１／Ｃijのとき(ｄ／ｄｔ)-1である。
【００３８】
このように、新たな伝送理論の基礎方程式に境界条件を与えることで、電気回路における伝送線路の電位・電流、素子の電位・電流、及び当該電気回路から発生するノイズを含めた電磁界を包括的に計算することが可能となる。
【００３９】
＜ＦＤＴＤ法の適用＞
新たな伝送理論の基礎方程式(16),(17)の計算は、ＦＤＴＤ（Finite Difference Time Domain：有限差分時間領域）法を用いることで効率的に行うことができる。ＦＤＴＤ法では、未知電界を配置する格子と未知磁界を配置する格子とを、格子の半分の幅だけずらすＹｅｅ格子という構造により解析が行なわれる。ＦＤＴＤ法は、これらの未知電界及び磁界と、隣接する未知電界及び磁界との間に働く関係式を、マクスウェルの方程式（ファラデーの電磁誘導法則とアンペールの法則）を空間的・時間的に差分化（離散化）することによって導き、それを基に未知電界及び磁界をあるタイムステップを単位に更新していくことで全体の電磁界挙動を求める解析手法である。この解析手法に従えば、あるタイムステップで電界を更新し、１／２タイムステップ後に磁界を更新し、１タイムステップ後に電界を更新するというようにして、電界及び磁界を交互に求めることができる。特に、空間及び時間の離散化に用いるグリッドの間隔を十分に小さく設定することで、電磁界の時間変化を詳細かつ効率的にシミュレートすることができる。本発明ではこの手法を伝送線路内の電位および電流を求めるときに利用している。伝送線路部分と集中回路部分の境界条件においては、ＦＤＴＤで計算した結果と集中定数側で用いられる回路理論をもとにした理論を用いることで計算が可能になる。具体的には、集中定数側では、キルヒホッフの電圧則およびキルヒホッフの電流則、素子の電圧−電流特性を用いればよい。
【００４０】
ＦＤＴＤ法を用いて計算を行うにあたり、まず、新たな伝送理論の基礎方程式(16),(17)を離散化する必要がある。このとき、伝送線路ｉ上の位置ｘ＝ｋ・Δｘ（ｋ＝０,１,・・・,Ｎ、ｗ＝Ｎ・Δｘ）及び時刻ｔ＝ｍ・Δｔ（ｍ＝０,１,・・・,任意）におけるスカラーポテンシャルをＵkm、電流をＩkmと表すこととする。ｋの部分がｋ＋１／２でｍの部分がｍ＋１／２であるような場合には、Ｉk+1/2m+1/2というように表す。このようにして、ＦＤＴＤ法の格子を０を起点としてｘ方向に伝送路長ｗまでの範囲で、ｔ方向に任意の時間までの範囲で、それぞれ定義する。このとき式(16),(17)は、例えばそれぞれ式(47),(48)に示すように離散化することができる。
【数４３】
2017056574.tif 000045
【数４４】
2017056574.tif 000046
ここで、Ｕvkmは伝送線路ｉごとのＵkmを要素とするベクトル、Ivkmは伝送線路ｉごとのＩkmを要素とするベクトル、ＰdはＰijを要素とする行列、ＬdはＬijを要素とする行列、ＲdはＲiを対角要素とする行列である。
【００４１】
＜ＦＤＴＤ法の場合の境界条件＞
次に、このように離散化した基本方程式を境界条件を与えて解く。アンテナの効果は伝送線路上で発生し、伝送線路の末端である境界部分においては発生しないため、ここでは基本方程式からアンテナ項を取り除いた式を解けばよい。式(47)からアンテナ項~Ｕを取り除いた式に分布定数回路と集中定数回路との一方の境界位置を示すｋ＝０を単純にあてはめると、次のようになる。
【数４５】
2017056574.tif 000047
このときIv-1/2m+1/2の項がｘ＜０となり格子の定義範囲外となるため、定義範囲内になるように、かつ誤差が小さくなるように次のように変形する。
【数４６】
2017056574.tif 000048
このような変形はＱt01を求めるときにも同様に行う。更に、伝送線路を信号が光速ｃで伝わり、Ｚcdが伝送線路ｉ,ｊ間の特性インピーダンスＺcijを要素とする行列であるとき、Ｚcij＝Ｐij／ｃ、ｃ・Δｔ＝Δｘなので、式(50)は次のように変形することができる。
【数４７】
2017056574.tif 000049
【００４２】
また、式(47) からアンテナ項~Ｕを取り除いた式に分布定数回路と集中定数回路との他方の境界位置を示すｋ＝Ｎを単純にあてはめると、次のようになる。
【数４８】
2017056574.tif 000050
このときIvN+1/2m+1/2の項がｘ＞ｗとなり格子の定義範囲外となるため、定義範囲内になるように、かつ誤差が小さくなるように次のように変形する。
【数４９】
2017056574.tif 000051
このような変形はＱtN1を求めるときにも同様に行う。更に、式(53)は次のように変形することができる。
【数５０】
2017056574.tif 000052
ｋ＝０の場合の式(51)と両辺の第１項の符号が異なっているのは、電流の向きがｋ＝０の場合は接続ノードから伝送線路に向かって電流が流出し、ｋ＝Ｎの場合は伝送線路から接続ノードに電流が流入するように定義されているためである。
【００４３】
このように離散化した基本方程式(51),(54)に境界条件を与える。伝送線路ｉ、ｊ間に抵抗Ｒij、インダクタＬij又はキャパシタＣijが接続され、そこを流れる電流がＩij(ｔ)であるとき、オームの法則からそれぞれ次のような境界条件式が得られる。なお、伝送線路ｉ、ｊ間にこれらの負荷とともに電源Ｖij(ｔ)が接続される場合については、式を簡略化するためここでは一旦省略する。
Ｕi(ｔ,ｘ)−Ｕj(ｔ,ｘ)＝Ｒij・Ｉij(ｔ)        (55)
【数５１】
2017056574.tif 000053
【数５２】
2017056574.tif 000054
これらの式を離散化するとそれぞれ次のようになる。
【数５３】
2017056574.tif 000055
【数５４】
2017056574.tif 000056
【数５５】
2017056574.tif 000057
そして、式(58)〜(60)は次のように一般化することができる。
【数５６】
2017056574.tif 000058
ここで、Ｚij＝Ｒijのときγij＝１、δij＝１、Ｚij＝２Ｌij／Δｔのときγij＝１、δij＝−１、Ｚij＝Δｔ／２Ｃijのときγij＝−１、δij＝１である。
伝送線路ｉ、ｊ間に更に電源Ｖijが接続されている場合は、式(61)に離散化したＶijを加味した次のような式を適用すればよい。
【数５７】
2017056574.tif 000059
【００４４】
また、更に境界条件式として、電流保存の法則から伝送線路ｉと電源や負荷との接続ノードｉにおいて次の関係式が得られる。
【数５８】
2017056574.tif 000060
ここで、ｋ＝０のときは電流の向きが接続ノードから流出する向きであるためβ＝１、ｋ＝Ｎのときは接続ノードに流入する向きであるためβ＝−１である。
【００４５】
なお、以上のような境界条件の設定方法は、素子が相互インダクタや縦続電源の場合にも同様に適用可能である。
【００４６】
＜境界条件（ｋ＝０）における計算＞
ｋ＝０の境界条件におけるスカラーポテンシャルＵ、電流Ｉの値は、式(51),(62)及び(63)の連立方程式を解くことにより得ることができる。
式(51),(62)及び(63)は、例えば次のように行列の形でまとめて表現することができる。
【数５９】
2017056574.tif 000061
【００４７】
式(64)のＡｄは、各ノードにおける、各ノード間接続への関わりの有無及び各伝送線路との接続の有無を示す接続行列である。例えば、図１の構成の場合、ｋ＝０（ｘ＝０）である電源側において、黒丸で示される３つのノード（１〜３）を観念することができ、これらを行方向とし、ノード間接続（ここではノード１２間、２３間）への関わりの有無及び３つの伝送線路（１〜３）との接続の有無を列方向として、次のように表現する。
【数６０】
2017056574.tif 000062
すなわちこの場合、ノード１はノード１２間の接続に関わるとともに伝送線路１に接続され、電流はそれぞれ流出する向きに定義されているので１、３列目にそれぞれ１を配し、一方、ノード２３間の接続への関わり及び伝送線路２、３との接続は無いので２、４、５列目に０を配している。また、ノード２はノード１２間、２３間の接続に関わるとともに伝送線路２に接続され、ノード１からは電流が流入する向きに定義されているので１列目に−１を配し、ノード３と伝送線路２へは電流が流出する向きに定義されているので２、４列目に１を配し、一方、伝送線路１、３との接続は無いので３、５列目に０を配している。更に、ノード３はノード２３間の接続に関わるとともに伝送線路３に接続され、ノード２からは電流が流入する向きに定義されているので２列目に−１を配し、伝送線路３へは電流が流出する向きに定義されているので５列目に１を配し、一方、ノード１２間の接続への関わり及び伝送線路１、２との接続は無いので１、３、４列目に０を配している。このように行列を構成することで、例えば、ｋ＝０の記載を省略して式(64)の左辺にあるＡｄT・Ｕvm+1の計算を記すと、
【数６１】
2017056574.tif 000063
となり、１、２行目では式(62)の左辺第１項の（Ｕim+1−Ｕjm+1）を、３〜５行目では式(51)の左辺第１項のＵvm+1を、それぞれ表現することができる。
【００４８】
式(64)のＺｄは、各ノード間のインピーダンスＺij及び各伝送線路間の特性インピーダンスＺcijを要素とする行列である。例えば、図１の構成の場合、ｋ＝０（ｘ＝０）である電源側において、ノード１、２間にはｒ12が接続され、ノード２、３間にはｒ23が接続されており、伝送線路が３本なので、Ｚｄは次のように表現される。
【数６２】
2017056574.tif 000064
【００４９】
式(64)のvＩ0m+1は、各ノード間に流れる電流Ｉij及び各伝送線路に流れる電流Ｉｉを要素とするベクトルである。例えば、図１の構成の場合、ｋ＝０（ｘ＝０）である電源側において、ノード１、２間にはI12 0m+1が流れ、ノード２、３間にはI23 0m+1が流れ、伝送線路が３本なので、vＩ0m+1は次のように表現される。
【数６３】
2017056574.tif 000065
【００５０】
Ｚｄ、vＩ0m+1をこのように構成することで、式(64)の左辺にあるＺｄ・vＩ0m+1の計算結果は１、２行目に式(62)の左辺第２項のＺij・Ｉijm+1を、３〜５行目に式(51)の左辺第２項のＺcd・Iv0m+1を、それぞれ要素とするベクトルとなる。
つまり、ＡｄT又はＺｄが掛かっている行列及びベクトルは、１、２行目においてノード間接続に関わる式(62)の要素が表現され、３〜５行目において伝送線路に関わる式(51)の要素が表現される。これは、式(64)の右辺と式(62),(51)の右辺との関係においても同様である。
【００５１】
式(64)のγｄ、δdは、各ノード間に接続される素子の種類に応じたγij、δijを要素とする対角行列である。例えば、図１の構成の場合、ｋ＝０（ｘ＝０）である電源側において、ノード１、２間には抵抗ｒ12が接続され、ノード２、３間には抵抗ｒ23が接続され、式(61)の説明で記したようにＺij＝抵抗Ｒijのときγij＝１、δij＝１である。そのため、γｄ、δdは、それぞれ次のように表現される。
【数６４】
2017056574.tif 000066
【数６５】
2017056574.tif 000067
行列γｄにおいて、１行１列及び２行２列の１がそれぞれｒ12、ｒ23に対応するγij＝１である。行列δｄにおいても同様に、１行１列及び２行２列の１が、それぞれｒ12、ｒ23に対応するδij＝１である。一方、３行３列、４行４列、及び５行５列の３つの対角要素は、それぞれ伝送線路１〜３に対応しているところ、伝送線路はそれ自体がキャパシタの性質を持っており、式(61)の説明で記したようにＺij＝キャパシタ（Δｔ／２Ｃij）のときにγij＝−１、δij＝１であることから、γｄの当該３つの対角要素については−１、δｄの当該３つの対角要素については１となる。
【００５２】
式(64)のvＩ1/2m+1/2については、式(51)にのみ関わるため、式(62)に関わる１、２行の要素は０となる。そのため、次のように表現される。
【数６６】
2017056574.tif 000068
【００５３】
一方、式(64)のＶvmについては、式(62)のみに関わるため、式(51)に関わる３〜５行の要素は０となる。そのため、次のように表現される。
【数６７】
2017056574.tif 000069
【００５４】
式(64)の左辺にあるＡｄ・vＩ0m+1は、式(63)の左辺を表し、Ａｄ・vＩ0m+1に対応する右辺（＝０）は、式(63)の右辺を表す。
【００５５】
Ｕ及びＩの値の計算に際しては、式(64)を次のように変形することで、時刻（ｍ＋１）ΔｔにおけるＵ及びＩの値を、それに先立つ時刻ｍΔｔ又は（ｍ＋１／２）ΔｔにおけるＵ及びＩの値から求めることができる。
【数６８】
2017056574.tif 000070
【００５６】
式(64)の一部を構成する式(63)は、回路に電流源が含まれていない場合の条件式であり、電流源の存在を考慮する場合、次のように変形する必要がある。
【００５７】
Ａdtが各ノードにおける他ノードとの接続の有無及び各伝送線路との接続の有無を示す接続行列、vtI0m+1が各ノード間に流れる電流及び各伝送線路に流れる電流を要素とするベクトルであるとしたとき、キルヒホッフの電流則から次の関係式が成り立つ。
Ａdt・vtI0m+1＝０        (74)
【００５８】
接続行列Ａdtは、各ノードにおける、電流源が含まれない各ノード間接続への関わりの有無及び各伝送線路との接続の有無を示す接続行列Ａdと電流源が含まれる各ノード間接続への関わりの有無を示す接続行列ＡdJとに分けることができる。接続行列Ａdと接続行列ＡdJは例えば、図１の構成において電源側のノード２と３との間に抵抗ｒ23の代わりにノード２からノード３に流れる電流源が挿入された場合、それぞれ次のように表現される。
【数６９】
2017056574.tif 000071
【数７０】
2017056574.tif 000072
接続行列Ａdは、行方向がノード１〜３を示し、列方向が電流源が接続されていない各ノード間接続（ここではノード１２間）への関わりの有無及び３つの伝送線路（１〜３）との接続の有無を示す。すなわちこの場合、ノード１はノード１２間の接続に関わるとともに伝送線路１に接続され、電流はそれぞれ流出する向きに定義されているので１、２列目に１を配し、一方、伝送線路２、３との接続は無いので０を配している。また、ノード２はノード１２間の接続に関わるとともに伝送線路２に接続され、ノード１からは電流が流入する向きに定義されているので−１を配し、伝送線路２へは電流が流出する向きに定義されているので１を配し、一方、伝送線路１、３との接続は無いので０を配している。更に、ノード３は伝送線路３に接続され、伝送線路３へは電流が流出する向きに定義されているので１を配し、ノード１及び伝送線路１、２との接続は無いので０を配している。
接続行列ＡdJは、行方向がノード１〜３を示し、列方向が電流源が接続されている各ノード間接続（ここではノード２３間）への各ノード間接続への関わりの有無を示す。すなわちこの場合、ノード１はノード２３間の接続にかかわらないためノード１の行には０を配し、ノード２と３はノード２３間の接続に関わり、電流はノード２から流出し、ノード３に流入すると観念できるため、ノード２の行には１、ノード３の行には−１がそれぞれ配される。
【００５９】
電流ベクトルvtI0m+1についても、電流源が接続されていない各ノード間（ここではノード１２間）に流れる電流Iij 0m+1及び各伝送線路（ここでは１〜３）に流れる電流Iｉ 0m+1を要素とするベクトルvI0m+1と、電流源が接続されている各ノード間（ここではノード２３間）に流れる電流IJ ij 0m+1を要素とするベクトルvIJ 0m+1とに分けることができる。ベクトルvIJ 0m+1は例えば、図１の構成において電源側のノード２と３との間に抵抗ｒ23の代わりにノード２からノード３に流れる電流源が挿入された場合、それぞれ次のように表現される。
【数７１】
2017056574.tif 000073
【数７２】
2017056574.tif 000074
【００６０】
以上を踏まえると、式(74)は次のように書き換えることができる。
【数７３】
2017056574.tif 000075
この式が式(63)に対応する、回路に電流源が含まれる場合の条件式である。従って、この場合のｋ＝０の境界条件におけるスカラーポテンシャルＵ、電流Ｉの値は、式(51),(62)及び(79)の連立方程式を解くことにより得ることができる。式(51),(62)及び(79)は次のように行列の形でまとめて表現することができ、この式が回路に電流源が含まれない場合の式(64)に対応する、回路に電流源が含まれる場合の式である。
【数７４】
2017056574.tif 000076
式(64)との対比からわかるように、式(80)において電流源にかかわる部分は右辺第２項の２行目のみである。そして、電流源が挿入されていない場合にＡdJとしてオール０の行列、vIJ 0m+1としてオール０のベクトルを代入すれば式(64)と全く同じ式になる。つまり、式(80)は電流源の挿入の有無にかかわらず適用可能である。
【００６１】
Ｕ及びＩの値の計算に際しては、式(80)を次のように変形することで、時刻（ｍ＋１）ΔｔにおけるＵ及びＩの値を、それに先立つ時刻ｍΔｔ又は（ｍ＋１／２）ΔｔにおけるＵ及びＩの値から求めることができる。
【数７５】
2017056574.tif 000077
【００６２】
なお、式(64),(80)は伝送線が含まれていない、いわゆる集中定数回路においても利用が可能である。その場合は接続行列の既約表現を用いて方程式を作れば良い。また、式(64),(80)は部分行列を含む行列からなる方程式であるので、必要に応じて部分行列の位置と部分ベクトルの入れ替えを行っても良い。トランジスタやオペアンプのモデルとなる従属電源がある場合も、必要に応じて式(64),(80)を書き換えることで対応が可能である。
【００６３】
＜境界条件（ｋ＝Ｎ）における計算＞
ｋ＝Ｎの境界条件におけるスカラーポテンシャルＵ、電流Ｉの値は、式(54),(62)及び(63)の連立方程式を解くことにより得ることができる。なお、素子が相互インダクタや縦続電源の場合も同様の方法を適用できる。
例えば式(54),(62)及び(63)は次のように行列の形でまとめて表現することができる。
【数７６】
2017056574.tif 000078
【００６４】
式(82)のＡｄは式(64)のＡｄと同様に、各ノードにおける、各ノード間接続への関わりの有無及び各伝送線路との接続の有無を示す接続行列である。例えば図１の構成の場合、ｋ＝Ｎ（ｘ＝ｗ）である負荷側において、黒丸で示される５つのノード（１〜５）を観念することができ、これらを行方向とし、ノード間接続（ここではノード１４間、４２間、２３間、４５間、５３間）への関わりの有無及び３つの伝送線路（１〜３）との接続の有無を列方向として、次のように表現する。
【数７７】
2017056574.tif 000079
【００６５】
式(82)のＺｄは、各ノード間のインピーダンスＺij及び各伝送線路間の特性インピーダンスＺcijを要素とする行列である。例えば、図１の構成の場合、ｋ＝Ｎ（ｘ＝ｗ）である負荷側において、Ｚｄは次のように表現される。
【数７８】
2017056574.tif 000080
【００６６】
式(82)のvＩ0m+1は、例えば、図１の構成の場合、ｋ＝Ｎ（ｘ＝ｗ）である負荷側において、次のように表現される。
【数７９】
2017056574.tif 000081
【００６７】
式(82)のγｄ、δdは、各ノード間に接続される素子の種類に応じたγ、δを要素とする対角行列である。例えば、図１の構成の場合、全て抵抗Ｒが接続されているので、ｋ＝Ｎ（ｘ＝ｗ）である負荷側において、γｄ、δdは、それぞれ次のように表現される。
【数８０】
2017056574.tif 000082
【数８１】
2017056574.tif 000083
【００６８】
式(82)のvＩN-1/2m+1/2は、次のように表現される。
【数８２】
2017056574.tif 000084
【００６９】
一方、式(82)のＶvmについては、次のように表現される。
【数８３】
2017056574.tif 000085
【００７０】
Ｕ及びＩの値の計算に際しては、式(82)を次のように変形することで、時刻（ｍ＋１）ΔｔにおけるＵ及びＩの値を、それに先立つ時刻ｍΔｔ又は（ｍ＋１／２）ΔｔにおけるＵ及びＩの値から求めることができる。
【数８４】
2017056574.tif 000086
【００７１】
式(82)の一部を構成する式(63)は、回路に電流源が含まれていない場合の条件式であるため、電流源の存在を考慮する場合には境界条件（ｋ＝０）における計算と同様に、式(63)の代わりに式(79)を適用すればよい。従って、この場合のｋ＝Ｎの境界条件におけるスカラーポテンシャルＵ、電流Ｉの値は、式(54),(62)及び(79)の連立方程式を解くことにより得ることができる。式(54),(62)及び(79)は次のように行列の形でまとめて表現することができ、この式が回路に電流源が含まれない場合の式(82)に対応する、回路に電流源が含まれる場合の式である。
【数８５】
2017056574.tif 000087
式(82)との対比からわかるように、式(89)において電流源にかかわる部分は右辺第２項の２行目のみである。そして、電流源が挿入されていない場合にＡdJとしてオール０の行列、vIJ Nm+1としてオール０のベクトルを代入すれば式(82)と全く同じ式になる。つまり、式(91)は電流源の挿入の有無にかかわらず適用可能である。
【００７２】
Ｕ及びＩの値の計算に際しては、式(91)を次のように変形することで、時刻（ｍ＋１）ΔｔにおけるＵ及びＩの値を、それに先立つ時刻ｍΔｔ又は（ｍ＋１／２）ΔｔにおけるＵ及びＩの値から求めることができる。
【数８６】
2017056574.tif 000088
【００７３】
なお、式(82),(91)は伝送線が含まれていない、いわゆる集中定数回路においても利用が可能である。その場合は接続行列の既約表現を用いて方程式を作れば良い。また、式(82),(91)は部分行列を含む行列からなる方程式であるので、必要に応じて部分行列の位置と部分ベクトルの入れ替えを行っても良い。トランジスタやオペアンプのモデルとなる従属電源がある場合も、必要に応じて式(82),(91)を書き換えることで対応が可能である。
【００７４】
＜アンテナ項の計算＞
アンテナ項~Ｕ及び~Ａの値をＦＤＴＤ法により計算するにあたり、
【数８７】
2017056574.tif 000089
【数８８】
2017056574.tif 000090
の各式を離散化する。
【００７５】
例えば、各伝送線路上の位置ｘ＝ｋ・Δｘ及び時間ｔ＝ｍ・Δｔにおいて、式(11)は次のように離散化することができる。
【数８９】
2017056574.tif 000091
ここで、Ｑtkmは伝送線路上の位置ｘ＝ｋ・Δｘ及び時間ｔ＝ｍ・Δｔにおける全ての伝送線路の全電荷であり、伝送線路上の位置ｘ＝ｋ・Δｘ及び時間ｔ＝ｍ・Δｔにおける全ての伝送線路の全電流をＩtkmと表すこととしたとき、Ｑtkm+1は例えば、
【数９０】
2017056574.tif 000092
により計算することができる。
【００７６】
また、伝送線路上の位置ｘ＝(ｋ＋１／２)・Δｘ及び時間ｔ＝(ｍ＋１／２)・Δｔにおいて、式(12)は次のように離散化することができる。
【数９１】
2017056574.tif 000093
【００７７】
そのため、予め与えられた又は先に計算された電荷値及び電流値から、~Ｕ及び~Ａの値を計算することができる。
【００７８】
＜全体の計算手順＞
分布定数回路を構成する多導体伝送線路における電位と電流、多導体伝送線路に接続される集中定数回路を構成する素子における電位と電流、及び各回路から発生するノイズを含めた電磁界を計算する全体の計算手順を図２を参照しつつ説明する。
【００７９】
計算に先立ち、素子・ノードの配置などの回路構成を特定するとともに、各伝送線路、各素子について、電位、電流、電荷、及びアンテナ項の初期値を設定する（Ｓ１）。初期値は、ｍ＝０における以下の各計算式による計算に先立ち得られていないパラメータ値について設定する。また、ノード間に電源がある場合は値を予め設定する。
【００８０】
続いて、電位、電流、電荷、及びアンテナ項の計算を行う（Ｓ２）。
【００８１】
まず、ｍ＝０における計算を行う。なお、初期値の設定の仕方などに応じて計算の順序は適宜変更して構わない。
始めに、式(81)によりＵv01及びvＩ01を計算する（Ｓ２−１）。
次に、式(94)のｋ＝０の場合について各パラメータに初期値を代入して、Ｑt01を計算する（Ｓ２−２）。このとき、Itk-1/21/2はｋ＝０のときIt-1/21/2となり格子の定義範囲外（ｘ＜０）となる。この場合、初期値を与えてもよいが、定義範囲内になるように、かつ誤差が小さくなるように、例えば、Ｓ２−１で計算済のＩ01 と初期値として与えたＩ00とから、(Ｉ01＋Ｉ00)／２により求めてもよい。
次に、式(93)のｋ＝０の場合について各パラメータに初期値及びＳ２−２で得られたＱt01の計算結果を代入して、~Ｕ01を計算する（Ｓ２−３）。
次に、式(94)のｋ＝１、２、・・・、Ｎ−１の各場合について各パラメータに初期値を代入して、Ｑt11、Ｑt21、・・・ＱtN-11をそれぞれ計算する（Ｓ２−４）。
次に、式(93)のｋ＝１、２、・・・、Ｎ−１の各場合について各パラメータに初期値及びＳ２−４で得られたＱtk1の計算結果を代入して、~Ｕ11、~Ｕ21、・・・~ＵN-11をそれぞれ計算する（Ｓ２−５）。
次に、式(47)のｋ＝１、２、・・・、Ｎ−１の各場合について各パラメータに初期値及びＳ２−５で得られた~Ｕk1の計算結果を代入して、Ｕv11、Ｕv21、・・・ＵvN-11をそれぞれ計算する（Ｓ２−６）。
次に、式(92) により各パラメータに初期値を代入して、ＵvN1及びvＩN1を計算する（Ｓ２−７）。
次に、式(94) のｋ＝Ｎの場合について各パラメータに初期値を代入して、ＱtN1を計算する（Ｓ２−８）。このとき、Itk+1/21/2はｋ＝ＮのときItN+1/21/2となり格子の定義範囲外（ｘ＞ｗ）となる。そのため、初期値を与えてもよいが、定義範囲内になるように、かつ誤差が小さくなるように、例えば、Ｓ２−７で計算済のＩN1 と初期値として与えたＩN0とから、(ＩN1＋ＩN0)／２により求めてもよい。
次に、式(93)のｋ＝Ｎの場合について各パラメータに初期値、Ｓ２−２で得られたＱt01の計算結果、Ｓ２−４で得られたＱtk1の計算結果、及びＳ２−８で得られたＱtN1の計算結果を代入して、~ＵN1を計算する（Ｓ２−９）。
次に、式(95)のｋ＝０、１、・・・、Ｎ−１の各場合について各パラメータに初期値を代入して、~Ａ1/21/2、~Ａ3/21/2、・・・~ＡN-1/21/2をそれぞれ計算する（Ｓ２−１０）。
次に、式(48)のｋ＝０、１、・・・、Ｎ−１の各場合について各パラメータに初期値、Ｓ２−６で得られたＵvk1の計算結果、及びＳ２−１０で得られた~Ａk+1/21/2の計算結果を代入して、Ｉv1/23/2、Ｉv3/23/2、・・・、ＩvN-1/23/2をそれぞれ計算する（Ｓ２−１１）。
【００８２】
続いて、ｍ＝１における計算を行う。なお、計算に必要なパラメータ値が計算済である限り、計算の順序は適宜変更して構わない。
始めに、式(81)の各パラメータにＳ２−１で得られたＵv01、vＩ01の計算結果及びＳ２−１１で得られたＩ1/23/2の計算結果を代入して、Ｕv02及びvＩ02を計算する（Ｓ２−１２）。
次に、式(94)のｋ＝０の場合について各パラメータにＳ２−２で得られたＱt01の計算結果及びＳ２−１１で得られたＩ1/23/2の計算結果を代入して、Ｑt02を計算する（Ｓ２−１３）。このとき、Itk-1/23/2はｋ＝０のときIt-1/23/2となり格子の定義範囲外（ｘ＜０）となる。そのため、初期値を与えてもよいが、定義範囲内になるように、かつ誤差が小さくなるように、例えば、Ｓ２−１２で計算済のＩ02とＳ２−１で計算済のＩ01とから、(Ｉ02＋Ｉ01)／２により求めてもよい。
次に、式(93)のｋ＝０の場合について各パラメータに初期値、Ｓ２−２で得られたＱt01の計算結果、Ｓ２−４で得られたＱtk1の計算結果、及びＳ２−８で得られたＱtN1の計算結果を代入して、~Ｕ02を計算する（Ｓ２−１４）。
次に、式(94)のｋ＝１、２、・・・、Ｎ−１の各場合について各パラメータにＳ２−４で得られたＱtk1の計算結果、及びＳ２−１１で得られたＩk+1/23/2の計算結果を代入して、Ｑt12、Ｑt22、・・・ＱtN-12をそれぞれ計算する（Ｓ２−１５）。
次に、式(93)のｋ＝１、２、・・・、Ｎ−１の各場合について各パラメータに初期値、Ｓ２−４で得られたＱtk1の計算結果、及びＳ２−１５で得られたＱtk2の計算結果を代入して、~Ｕ12、~Ｕ22、・・・~ＵN-12をそれぞれ計算する（Ｓ２−１６）。
次に、式(47)のｋ＝１、２、・・・、Ｎ−１の各場合について各パラメータにＳ２−５で得られた~Ｕk1の計算結果、Ｓ２−６で得られたＵvk1の計算結果、Ｓ２−１１で得られたＩk+1/23/2の計算結果、及びＳ２−１６で得られた~Ｕk2の計算結果を代入して、Ｕv12、Ｕv22、・・・ＵvN-12をそれぞれ計算する（Ｓ２−１７）。
次に、式(92) の各パラメータにＳ２−７で得られたＵvN1、vＩN1の計算結果及びＳ２−１１で得られたＩN-1/23/2の計算結果を代入して、ＵvN2及びvＩN2を計算する（Ｓ２−１８）。
次に、式(94) のｋ＝Ｎの場合について各パラメータにＳ２−８で得られたＱtN1の計算結果及びＳ２−１１で得られたＩN-1/23/2の計算結果を代入して、ＱtN2を計算する（Ｓ２−１９）。このとき、Itk+1/23/2はｋ＝ＮのときItN+1/23/2となり格子の定義範囲外（ｘ＞ｗ）となる。そのため、初期値を与えてもよいが、定義範囲内になるように、かつ誤差が小さくなるように、例えば、Ｓ２−１８で計算済のＩN2 とＳ２−７で計算済のＩN1とから、(ＩN2＋ＩN1)／２により求めてもよい。
次に、式(93)のｋ＝Ｎの場合について各パラメータに初期値、Ｓ２−２で得られたＱt01の計算結果、Ｓ２−４で得られたＱtk1の計算結果、Ｓ２−８で得られたＱtN1の計算結果、Ｓ２−１３で得られたＱt02の計算結果、Ｓ２−１５で得られたＱtk2の計算結果、Ｓ２−１９で得られたＱtN2の計算結果を代入して、~ＵN2を計算する（Ｓ２−２０）。
次に、式(95)のｋ＝０、１、・・・、Ｎ−１の各場合について各パラメータにＳ１１で得られたＩk+1/23/2の計算結果を代入して、~Ａ1/23/2、~Ａ3/23/2、・・・~ＡN-1/23/2をそれぞれ計算する（Ｓ２−２１）。
次に、式(48)のｋ＝０、１、・・・、Ｎ−１の各場合について各パラメータにＳ２−１０で得られた~Ａk+1/21/2の計算結果、Ｓ２−１１で得られたＩk+1/23/2の計算結果、Ｓ２−１２で得られたＵv02の計算結果、Ｓ２−１７で得られたＵvk2の計算結果、Ｓ２−１８で得られたＵvN2の計算結果、及びＳ２−２１で得られた~Ａk+1/23/2の計算結果を代入して、Ｉv1/25/2、Ｉv3/25/2、・・・、ＩvN-1/25/2をそれぞれ計算する（Ｓ２−２２）。
【００８３】
ｍ≧２においてもｍを１ずつ増やしながら所定のｍの値までＳ２−１２〜Ｓ２−２２を繰り返し実行し、Ｕv0m+1、vＩ0 m+1、Ｑt0m+1、~Ｕ0m+1、Ｑtkm+1、~Ｕkm+1、Ｕvkm+1、ＵvNm+1、vＩN m+1、ＱtNm+1、~ＵNm+1、~Ａk+1/2m+1/2、Ｉvk+1/2m+3/2をそれぞれ求める。
【００８４】
以上のように本発明の、電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法によれば、複雑な計算処理を行うことなく分布定数回路を構成する多導体伝送線路における電位と電流、多導体伝送線路に接続される集中定数回路を構成する素子における電位と電流、及び各回路から発生するノイズを含めた電磁界を包括的に計算することができる。
【００８５】
本発明の、電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法における各処理は、必要に応じ併合・分割・順序の変更を行っても構わない。また、本発明において表現されている技術的思想の範囲内で適宜変更が可能であり、その様な変更又は改良を加えた形態も本発明の技術的範囲に含まれる。
【００８６】
コンピュータに本発明の、電気回路における電位、電流、及び周辺電磁界の計算方法を実行させる場合、各処理ステップにおける処理内容はプログラムによって記述される。そのプログラムは、例えば、ハードディスク装置に格納されており、実行時には、必要なプログラムやデータがＲＡＭ(Random Access Memory)に読み込まれて、そのプログラムがＣＰＵにより実行されることにより、コンピュータ上で各処理内容が実現される。
【図１】
2017056574.tif 000112
【図２】
2017056574.tif 000113
【国際調査報告】
2017056574.tif 000114
2017056574.tif 000115
2017056574.tif 000116