(57)【要約】【課題】ひずみゲージ等の簡便な機器を用いて計測された弾性領域又は弾塑性領域の被検物の表面における全ひずみ量から、容易に、短時間で且つ高精度に所定の被検物に生じた力学的物理量を算出できるようにする。【解決手段】計算機と、入力手段とを有する力学的物理量の算出装置を用いて、被検物に生じた全ひずみ量に基づいて所定の力学的物理量を算出する方法は、ユーザが、計測された全ひずみ量、並びに被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式を計算機に入力するステップ（Ｓ１）と、計算機が、全ひずみ量を、後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式に代入して非線形方程式を作成するステップ（Ｓ２）と、計算機が、被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式に基づいて、ニュートン−ラフソン法により非線形方程式を解いて力学的物理量を算出するステップ（Ｓ３）とを備えている。【選択図】図３
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
計算機と、ユーザが前記計算機に入力操作するための入力手段とを有する力学的物理量の算出装置を用いて、負荷が加えられた被検物に生じた全ひずみ量に基づいて所定の力学的物理量を算出する方法であって、
前記ユーザが、計測された前記被検物に生じた全ひずみ量、並びに前記被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式を前記入力手段を用いて前記計算機に入力するステップと、
前記計算機が、入力された全ひずみ量を、前記計算機に格納されている後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式に代入して相当塑性ひずみを未知数とする非線形方程式を作成するステップと、
前記計算機が、入力された前記被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式に基づいて、ニュートン−ラフソン法により前記非線形方程式を解いて前記力学的物理量を算出するステップとを備えていることを特徴とする力学的物理量の算出方法。
【請求項２】
前記力学的物理量は、応力、塑性ひずみ及び弾性ひずみのうちの少なくとも１つであることを特徴とする請求項１に記載の力学的物理量の算出方法。
【請求項３】
負荷が加えられた被検物に生じた全ひずみ量に基づいて所定の力学的物理量を算出する装置であって、
後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式を格納している格納部を有し、前記力学的物理量を算出するための計算機と、
ユーザが、計測された前記被検物に生じた全ひずみ量、並びに前記被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式を前記計算機に入力するための入力手段と、
前記計算機により算出された力学的物理量を表示する表示手段とを備え、
前記計算機は、前記入力手段により入力された全ひずみ量を、前記後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式に代入して相当塑性ひずみを未知数とする非線形方程式を作成し、入力された前記被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式に基づいて、前記ニュートン−ラフソン法により前記非線形方程式を解いて前記力学的物理量を算出する演算部をさらに有することを特徴とする力学的物理量の算出装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、負荷により被検物に生じた力学的物理量の算出方法及び装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
金属等からなる機械部品の強度を評価するために、その機械部品に所定の負荷を加えた際に生じる応力の大きさを正確に知ることは極めて重要である。所定の条件下において、評価対象となる部品のヤング率及びポアソン比等の材料物性値が明らかであれば、応力は、ひずみゲージ等の機器、又は格子法若しくは画像相関法等を用いて計測されたひずみの大きさから、既知の数式によって容易に算出することが可能である。
【０００３】
但し、容易に応力を算出できるのは、ひずみの大きさと応力の大きさとが線形関係である場合、すなわち、応力の大きさが降伏応力よりも小さく、塑性ひずみが生じておらず、弾性ひずみのみが生じている場合（以下、弾性領域と呼ぶ。）に限られる。機械部品における破壊部位の多くは、穴部やコーナー部等の応力が集中する部位であり、そのような部位は、高負荷を受けた際に生じる応力が降伏応力の大きさを超えて塑性変形することとなる。すなわち、そのような部位には、弾性ひずみに加えて塑性ひずみも生じることとなる。このとき、ひずみの大きさと応力の大きさとは非線形の関係となる（以下、このような場合を弾塑性領域と呼ぶ。）。また、ひずみゲージ等により計測されるひずみの大きさは、弾性ひずみと塑性ひずみとの和である全ひずみの大きさであり、弾性ひずみ及び塑性ひずみのそれぞれの割合を計測することはできない。このため、弾塑性領域では、弾性領域のように、計測されたひずみ量から容易に応力を算出することはできない。
【０００４】
塑性ひずみを評価する方法として、被検物の表面の硬さから塑性ひずみを評価する方法、被検物の表面の組織変化から塑性ひずみを評価する方法、及び被検物の表面の応力状態等から塑性ひずみを評価する方法等が知られている。但し、これらは全て、塑性ひずみの有無を評価することはできるが、定量的な評価をすることはできない。
【０００５】
ひずみ量から応力を評価する方法として、特許文献１には、赤外線カメラを用いて計測した温度分布変動に基づいて、構造物における応力変動を把握し、赤外線カメラと計測視野を一致させた可視カメラを用いた可視画像にデジタル画像相関法を適用して、視野内の各点のひずみ情報から各点の応力の絶対値を計測する方法が開示されている。
【０００６】
しかしながら、特許文献１の方法では、高額で且つ高精度の専用装置が必要となり、また、金属部品等の弾塑性領域における応力までも計測できるかどうか定かではない。
【０００７】
以上のように、弾塑性領域における応力を定量的に評価することは、困難であるため、現状では、有限要素法（Finite Element Method：ＦＥＭ）を用いて解析する方法が主に採られている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００８】
【特許文献１】特開２００８−２３２９９８号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００９】
しかしながら、ＦＥＭを用いて被検物に生じた応力等の力学的物理量を解析しようとすると、多大な時間及び労力が必要となり、コストも高くなる。また、ＦＥＭによる汎用解析ソフトウェアを利用者が直接に操作する必要があるため、使用するソフトウェア固有のコマンド等の解析には専門知識が必要となる。
【００１０】
そこで、本発明者は、高価な装置及び複雑なプログラムを有するソフトウェアを用いることなく、容易に、短時間で且つ高精度に被検物に生じた力学的物理量を算出できるようにするために、種々の理論式を用いて力学的物理量を算出することを試みた。その結果、後退オイラー理論式を用いることによって、被検物に生じた全ひずみ量から応力及び塑性ひずみ等の力学的物理量を算出できた。
【００１１】
但し、この方法では、被検物における全てのひずみ成分、すなわち３次の正方行列で表され得る９つのひずみ成分の全てが計測できた場合にのみ、応力等の力学的物理量が算出できる。通常、ひずみゲージ等を用いた場合、被検物の表面における全ひずみ量については計測できるものの、その表面と垂直な方向である厚み方向のひずみ成分を計測することは困難である。このため、被検物の平面状態、すなわち９つ中４つのひずみ成分しか得られないため、上記の方法で応力等を算出することは困難となる。
【００１２】
本発明は、上記の問題に鑑みてなされたものであり、その目的は、ひずみゲージ等の簡便なひずみ計測手段を用いて計測された被検物の表面における全ひずみ量から、高価な装置及び複雑なプログラムを有するソフトウェアを用いることなく、容易に、短時間で且つ高い精度で被検物に生じた力学的物理量を算出できるようにすることにある。
【課題を解決するための手段】
【００１３】
前記の目的を達成するために、本発明者は、被検物に生じたひずみの全ての成分が明らかでなくとも、被検物の表面におけるひずみ成分、すなわち４つのひずみ成分のみから応力等の力学的物理量を算出できる後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式を作成した。
【００１４】
具体的に、本発明に係る力学的物理量の算出方法は、計算機と、ユーザが前記計算機に入力操作するための入力手段とを有する力学的物理量の算出装置を用いて、負荷が加えられた被検物に生じた全ひずみ量に基づいて所定の力学的物理量を算出する方法であって、ユーザが、計測された被検物に生じた全ひずみ量、並びに被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式を入力手段を用いて計算機に入力するステップと、計算機が、入力された全ひずみ量を、計算機に格納されている後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式に代入して相当塑性ひずみを未知数とする非線形方程式を作成するステップと、計算機が、入力された被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式に基づいて、ニュートン−ラフソン法により非線形方程式を解いて力学的物理量を算出するステップとを備えている。
【００１５】
本発明に係る力学的物理量の算出方法を用いると、被検物におけるひずみの全成分が明らかでなくとも、被検物の表面における全ひずみ量を計測すれば、その全ひずみ量と後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式とによって、非線形方程式を作成することができる。この非線形方程式は、被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式から、未知変数が相当塑性ひずみ１つのみの方程式となる。そのような非線形方程式をニュートン−ラフソン法により解くことによって、上記未知変数が明らかとなる。また、この未知変数が明らかとなれば前記非線形方程式から応力が算出でき、さらに弾性ひずみ及び塑性ひずみも算出できる。その結果、ＦＥＭ等を用いることなく、簡便な機器及び装置のみにより、高精度に力学的物理量を算出できる。さらに、通常、弾塑性状態の非線形領域をＦＥＭで解く際は、大規模な釣合い方程式を何度も解かなければならず、膨大な計算コストが掛かるが、本発明に係る方法では、一度も釣合い方程式を解く必要がないため、非常に高速に測定部位の力学的物理量の算出が可能となる。
【００１６】
本発明に係る力学的物理量の算出装置は、負荷が加えられた被検物に生じた全ひずみ量に基づいて所定の力学的物理量を算出する装置であって、後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式を格納している格納部を有し、力学的物理量を算出するための計算機と、ユーザが、計測された被検物に生じた全ひずみ量、並びに被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式を計算機に入力するための入力手段と、計算機により算出された力学的物理量を表示する表示手段とを備え、計算機は、入力手段により入力された全ひずみ量を、後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式に代入して相当塑性ひずみを未知数とする非線形方程式を作成し、入力された被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式に基づいて、ニュートン−ラフソン法により非線形方程式を解いて力学的物理量を算出する演算部をさらに有する。
【００１７】
本発明に係る力学的物理量の算出装置によると、被検物におけるひずみの全成分が明らかでなくとも、被検物の表面における全ひずみ量を計測すれば、計測された全ひずみ量と後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式とを用いることによって、非線形方程式を作成することができる。そして、この非線形方程式を、上述の通り、ニュートン−ラフソン法により解くことによって、被検物に生じた力学的物理量を算出することができる。その結果、ＦＥＭ等を用いることなく、簡便な機器及び装置のみにより、高精度に力学的物理量を算出することが可能となり、弾塑性領域の応力測定が可能となる。さらに、本発明では、ＦＥＭと異なり、釣合い方程式を一度も解く必要がない利点があり、解の収束性及び計算速度が高いニュートン−ラフソン法を用いることによって、ＦＥＭと比較して極めて少ない時間で力学的物理量を算出できる。
【発明の効果】
【００１８】
本発明に係る力学的物理量の算出方法及び装置によると、複雑なプログラムを有するソフトウェアを用いることなく、特定の理論式を用いて、容易且つ速やかに、さらに高精度に被検物に生じた力学的物理量を算出できる。
【図面の簡単な説明】
【００１９】
【図１】被検物に単軸負荷を加えた際の、ひずみと応力との関係を示すグラフである。
【図２】本発明の一実施形態に係る力学的物理量の算出装置を示すブロック図である。
【図３】本発明の一実施形態に係る力学的物理量の算出方法を説明するためのフローチャートである。
【図４】後退オイラー理論式の概念として、単軸負荷において、弾塑性領域にまで達した応力を算出するために、弾性領域と同様に応力を算出すること（Elastic-Predictor）、及び算出された応力を修正する（Radial-Corrector）ことを説明するためのグラフである。
【図５】多軸負荷におけるElastic-Predictor、及びRadial-Correctorを説明するための図である。
【図６】全ひずみから塑性ひずみのみを抜き出した応力ひずみ線図を示す図である。
【図７】本発明に係る力学的物理量の算出方法の実施例において用いられた被検物を示す図である。
【図８】（ａ）及び（ｂ）は本発明に係る力学的物理量の算出方法及びＦＥＭ解析を用いてそれぞれ算出された各種の応力及び相当塑性ひずみの大きさを比較するグラフであり、（ａ）は応力の大きさを示すグラフであり、（ｂ）は相当塑性ひずみの大きさを示すグラフである。
【発明を実施するための形態】
【００２０】
以下、本発明を実施するための形態を図面に基づいて説明する。以下の好ましい実施形態の説明は、本質的に例示に過ぎず、本発明、その適用方法或いはその用途を制限することを意図するものでない。
【００２１】
まず、本発明の実施形態に係る力学的物理量の算出方法について説明する。本実施形態に係る力学的物理量の算出方法では、予め、力学的物理量の評価対象となる被検物に負荷を加え、被検物に生じた全ひずみ量を計測しておく。ここで、全ひずみ量を計測するために、ひずみ計測手段として、例えばひずみゲージを用いることができるが、これに限られず、例えば、所定の装置を用いてマーキング法、ステレオ画像法、格子法若しくは画像相関法等によりひずみ量を計測してもよい。但し、簡便さを考慮すると、ひずみゲージを用いることが好ましい。なお、全ひずみとは、図１に示すように、弾性ひずみと塑性ひずみとの和である。図１は、被検物に単軸負荷を加えた際の、ひずみと応力との関係を示すグラフである。上述の通り、通常、ひずみゲージ等のひずみ計測手段では、全ひずみ量を計測することはできるが、弾性ひずみと塑性ひずみとを分けて計測することはできない。
【００２２】
その後に、力学的物理量を算出するための装置を用いて、計測された全ひずみ量を後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式に代入して相当塑性ひずみを未知数とする非線形方程式を作成し、被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式に基づいて、ニュートン−ラフソン法により非線形方程式の解を算出する。この解から応力、弾性ひずみ及び塑性ひずみといった力学的物理量が算出される。なお、後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式、ニュートン−ラフソン法及びそれらを用いた塑性ひずみ等の算出の詳細については、後に説明する。
【００２３】
次に、上記の力学的物理量の算出方法を行うための装置について図２を参照しながら説明する。図２は、本発明の一実施形態に係る力学的物理量の算出装置を示すブロック図である。
【００２４】
図２に示すように、本実施形態に係る力学的物理量の算出装置は、力学的物理量を算出するための計算機１を備え、計算機１は、後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式を格納する格納部２を有している。また、算出装置は、ユーザが、計測された被検物に生じた全ひずみ量、並びに被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式を計算機１に入力するための、例えばキーボード等である入力手段３を備えている。計算機１は、入力手段３により入力された全ひずみ量の値と、格納部２に格納された後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式とを用いて、非線形方程式を作成し、被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式に基づいて、ニュートン−ラフソン法により上記非線形方程式を解いて力学的物理量を算出する演算部４を有している。また、算出装置は、計算機１の演算部４により算出された力学的物理量を表示するディスプレイ等である表示手段５を備えている。
【００２５】
このような算出装置を用いた力学的物理量の算出は、例えば図３に示すフローチャートに示すように行われ得る。すなわち、図３に示すように、まず、算出の前に予めユーザが力学的物理量の計測の対象となる被検物に、所定の負荷を加え、被検物に生じた全ひずみ量をひずみゲージ等のひずみ計測手段により計測する（ステップＳ０）。
【００２６】
次に、ユーザが、ステップＳ０において計測された全ひずみ量、並びに被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式を、入力手段を用いて計算機に入力する（ステップＳ１）。ここで、計算機には、上述の通り、後退オイラー理論式を平面問題に特化した理論式が格納されている。
【００２７】
次に、ステップＳ１において、計算機の演算部が入力された被検物に生じた全ひずみ量を後退オイラー理論式を平面問題に特化した理論式に代入して、非線形方程式を作成する（ステップＳ２）。
【００２８】
次に、演算部がステップＳ１において入力された被検物のヤング率、ポアソン比及び応力ひずみ線図を表す数式に基づいて、ニュートン−ラフソン法によってステップＳ２において作成された非線形方程式の解を求め、その解から応力、弾性ひずみ及び塑性ひずみといった力学的物理量を算出する（ステップＳ３）。続いて、ステップＳ３において算出された力学的物理量を計算機から出力して、ディスプレイに表示する（ステップＳ４）。これらの工程により、計測された全ひずみに基づいて力学的物理量が明らかとなる。
【００２９】
次に、本実施形態に係る力学的物理量の算出の詳細について説明する。本実施形態に係る力学的物理量の算出方法は、図４に示すように、弾性領域と同様に応力を算出し（Elastic-Predictor）、算出された応力を修正する（Radial-Corrector）ことによって弾塑性領域における力学的物理量を算出することに特徴がある。なお、図４では、説明を簡単にするために単軸負荷における応力とひずみとの関係を示している。本実施形態では、このような力学的物理量の算出を可能とするために、後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式を用いている。
【００３０】
まず、本実施形態に係る力学的物理量の算出方法に対する理解を助けるために、全ひずみ量の全成分（９成分）が明らかとなっている場合について説明する。
【００３１】
（後退オイラー理論式を用いた弾塑性領域における応力の算出）
まず、ある時刻ｔの応力状態から少し進んだ時刻ｔ’の応力状態への変化を数式で示す。その数式は、下記の式（１）のように示すことができる。
【００３２】
【数１】
2014077700.tif 000003
【００３３】
なお、σは応力を示し、Δは変化量（増分値）を示している。また、式（１）における応力の増分であるΔσは、応力ひずみ関係から式（２）のように表すことができる。また、式（２）を式（１）に代入することにより、式（３）が得られる。
【００３４】
【数２】
2014077700.tif 000004
【００３５】
なお、［ε］はひずみを示し、添え字のｅは弾性（elastic）に関する物理量を示している。以後、添え字のｐは塑性（plastic）に関する物理量を示す。また、Ｃはヤング率（Ｅ）及びポアソン比（ν）により決定される材料剛性を示す（Ｃｉｊｋｌ＝λδｉｊδｋｌ＋２μδｉｋδｊｌと定義でき、λ＝νＥ／（（１＋ν）（１−２ν））であり、μ＝Ｅ／２（１＋ν）である。δはクロネッカーのδである。）。
【００３６】
全ひずみεは弾性ひずみεｅと塑性ひずみεｐの和であることを示す式（４）から、弾性ひずみに関する式（５）が得られる。また、式（５）を式（３）に代入することにより式（６）が得られる。
【００３７】
【数３】
2014077700.tif 000005
【００３８】
これにより、式（６）に示す通り、時刻ｔ’における応力が塑性ひずみを用いて表される。このようにすることで、以後、弾塑性力学の理論を適用することが可能となる。
【００３９】
次に、式（６）の塑性ひずみ増分に対してＪ２流れ理論（J2-Flow Theory）に関する式（７）を適用する。なお、式（７）のσ’は、式（８）に示すように偏差応力を表す。式（７）のスカラー量Δλは、弾塑性力学の定理から式（９）のように示される。式（９）において、「―」が付されたΔεｐ及びｔ’σは、それぞれ相当塑性ひずみ増分及びミーゼス（Ｍｉｓｅｓ）応力を示している。なお、数式以外の明細書中において、「―」が付された文字にはその後に「（―）」を付し、例えば「―」が付されたΔεｐ場合、Δεｐ（―）と示す。また、Ｍｉｓｅｓ応力は、後続降伏応力σｙなので単軸負荷試験で得られる応力とひずみとのデータから、例えば式（１０）のように表すことができる。
【００４０】
【数４】
2014077700.tif 000006
【００４１】
次に、式（７）及び式（９）を式（６）に代入することにより、以下のように変形して、式（１１）で示される後退オイラー理論式を導出できる。
【００４２】
【数５】
2014077700.tif 000007
【００４３】
式（１１）において、ｔ’に関する物理量は、求めたい最終応力を表すので式（１２）のように（Ｆ）の添え字を付ける。
【００４４】
【数６】
2014077700.tif 000008
【００４５】
式（１２）の右辺の第１項及び第２項は、時刻ｔの応力状態から全ひずみに対して材料剛性テンソルを用いて応力を推定したものであるため、この過程をElastic-Predictorと呼び、この応力を時刻ｔ’の試行応力と呼ぶ（図４を参照。）。ここで、試行応力に（Ｔ）の添え字を付して定義すると、式（１３）のように表すことができる。なお、実際の力学的物理量の算出時には、式（１３）における［Δε］に、計測された全ひずみを代入する。
【００４６】
【数７】
2014077700.tif 000009
【００４７】
以上から、時刻ｔ’における最終応力は、式（１３）を式（１２）に適用することで、式（１４）の通りに示される。
【００４８】
【数８】
2014077700.tif 000010
【００４９】
式（１４）は、応力積分の基礎式となる。時刻ｔ’における応力の式を導くにあたって、応力テンソルは、静水圧と偏差応力成分とに分解できることから、それらを別々に求める。まず、静水圧について考える。静水圧は、応力テンソルのトレース（ｔｒ）で決まるため（静水圧＝１／３×ｔｒ［σ］）、式（１４）のトレースをとると、式（１５）で示される。
【００５０】
【数９】
2014077700.tif 000011
【００５１】
ここで、式（１５）の右辺の第２項について考えると、式（１６）のように示される。
【００５２】
【数１０】
2014077700.tif 000012
【００５３】
但し、式（１６）において、式（１７）に示す偏差応力に関する性質を用いた。
【００５４】
【数１１】
2014077700.tif 000013
【００５５】
式（１６）を式（１５）に代入することにより式（１８）及び式（１８’）が得られる。式（１８）は、時刻ｔ’における静水圧は、試行応力の静水圧と等価であることを示す。
【００５６】
【数１２】
2014077700.tif 000014
【００５７】
次に、偏差応力を求めるために、式（１４）から静水圧（式（１８’））の差を取る。なお、［Ｉ］は単位行列とする。
【００５８】
【数１３】
2014077700.tif 000015
【００５９】
ここで、弾性構成則テンソルと偏差応力テンソルとの内積は式（２０）となる。ここで、Ｇはせん断弾性係数を表し、Ｇ＝Ｅ／２（１＋ν）である。
【００６０】
【数１４】
2014077700.tif 000016
【００６１】
また、式（２０）を式（１９）に代入することにより、以下のように式（２１）及び式（２２）が得られる。
【００６２】
【数１５】
2014077700.tif 000017
【００６３】
この式の概念を図５に示す。図５に示す破線の円及び実線の円は、時刻ｔ及び時刻ｔ’におけるπ平面から見た降伏曲面である。弾塑性変形中は、応力状態が必ず降伏曲面上に存在するため、時刻ｔの応力状態は、時刻ｔにおける降伏曲面上に存在しているはずである。この応力状態から、まず始めに、式（１３）のElastic-Predictorにより応力状態を降伏曲面の外に飛ばして試行応力を求める。式（２２）は、最終応力が試行応力にスカラー値を掛けて求められることを意味しており、応力テンソルの方向は試行応力と最終応力とでは同じになる。すなわち、式（２２）は、降伏曲面の半径方向に試行応力を修正して時刻ｔ’における降伏曲面に応力状態を厳密に乗せることを意味する。このように、応力状態を降伏曲面の半径方向に修正することから式（２２）のことをRadial-Correctorと呼ぶ。
【００６４】
式（２１）をさらに変形することにより、Ｍｉｓｅｓ応力と相当塑性ひずみとの関係を示す式（２３）が得られ、さらに、式（２３）から式（２４）が得られる。
【００６５】
【数１６】
2014077700.tif 000018
【００６６】
また、時刻ｔ’におけるＭｉｓｅｓ応力は、応力ひずみ特性から式（２５）のように表される。また、式（２５）は、相当塑性ひずみとＭｉｓｅｓ応力との関係を示す式であり、応力ひずみ線図を示す式である。このため、当然に相当塑性ひずみとＭｉｓｅｓ応力との関係を示す式であれば式（２５）に限らず、例えば式（２６）のような式を規定して用いても構わない。
【００６７】
【数１７】
2014077700.tif 000019
【００６８】
式（２６）は、図６に示すように全ひずみを示す応力ひずみ線図から塑性ひずみ分を抜き出した応力ひずみ線図を表す式である。なお、式（２６）において、σｙは初期降伏応力を示し、Ｑ∞及びｂは、応力ひずみ線図を近似するための定数であり、材料に従って決まる定数である。
【００６９】
式（２４）において、Ｇはヤング率及びポアソン比から算出でき、試行応力（ｔ’σ（Ｔ）（―））は、式（１３）及び測定したひずみ量から算出できるため既知であり、式（２６）のσｙ、Ｑ∞及びｂも既知である。例えば、無負荷状態（tσ＝０、ｔεp＝０）を初期状態として負荷後の各種の力学量を算出する場合は式（２６）を式（２４）に代入する事により式（２７）のように相当塑性ひずみ増分（Δεｐ）を未知数とする方程式が得られる。
【００７０】
【数１８】
2014077700.tif 000020
【００７１】
このため、式（２７）で示される方程式を解くことにより、相当塑性ひずみ増分を求めることができる。その後、式（２６）からＭｉｓｅｓ応力を求め、式（２２）から偏差応力を求め、式（１８’）から静水圧を求めれば全応力成分を求めることができる。ひずみに関しても算出された応力を用いれば、式（２）から弾性ひずみが求まり、全ひずみから弾性ひずみを差し引けば塑性ひずみも求まる。
【００７２】
但し、この方法は、上述の通り、全ひずみの９成分の全てが既知であることが前提である。例えばひずみゲージ等のひずみ量計測手段を用いると、上述の通り、被検物の表面の全ひずみ量しか計測することができない。すなわち、被検物の表面のひずみ成分は求めることができるが、その表面の法線方向（厚み方向）のひずみ成分を求めることができない。すなわち、以下に示すように未知のひずみ成分があるため、上述の理論をそのまま適用することができない。
【００７３】
【数１９】
2014077700.tif 000021
【００７４】
（後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式を用いた弾塑性領域における応力の算出）
そこで、以下に説明するように、上記理論を被検物の平面応力問題に特化した理論に拡張する必要がある。すなわち、外力が直接的に作用していない被検物の表面は、必ず平面応力状態になるという性質を上記の後退オイラー理論に適用する。その結果、平面応力状態において、応力ひずみ関係は式（２８）のようになる。この後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式である式（２８）は、上記式（１１）に対応するような式となる。なお、平面応力問題に特化した理論に拡張する上で、便宜上、応力及びひずみをベクトル表示（｛｝）で示す。
【００７５】
【数２０】
2014077700.tif 000022
【００７６】
但し、［Ｄ］は平面応力の構成マトリクスで式（２９）のように示される。
【００７７】
【数２１】
2014077700.tif 000023
【００７８】
ここで、応力を偏差応力に１次変換する変換行列［Ａ］を導入して、式（３０）を得る。
【００７９】
【数２２】
2014077700.tif 000024
【００８０】
但し、［Ａ］は偏差応力と応力との関係から明らかに式（３１）となる。
【００８１】
【数２３】
2014077700.tif 000025
【００８２】
以上から、式（２８）は試行応力を用いて式（３２）のように整理できる。この式（３２）の過程が上述のElastic-Predictorとなる。なお、実際の力学的物理量の算出時には、式（３２）における［Δε］に、計測された全ひずみを代入する。
【００８３】
【数２４】
2014077700.tif 000026
【００８４】
この式（３２）を式（２１）と同様に試行応力及び最終応力に関して整理することにより式（３３）が得られる。
【００８５】
【数２５】
2014077700.tif 000027
【００８６】
但し、式（３３）において［Ｉ］は単位行列とする。式（３３）を式（２１）と比較すると、式（２１）は試行応力をスカラー倍したものが最終応力であるため、結局、式（２４）のスカラー方程式を解けばよいので簡便であった。これに対して、平面応力状態の場合の式（３３）は、試行応力と最終応力との関係が行列の１次変換の関係となっている。また、係数行列は、式（２９）及び式（３１）のように、非対角成分を有するため、連成型の連立非線形方程式を解かなければならず、解法が非常に複雑となる。この問題を避けるために、行列形式で与えられている式（３３）の方程式を対角化して方程式を各行で独立させる方法を用いた。
【００８７】
まず、式（３３）を対角化する。対角化するために、線形代数の基礎理論にあるように、以下の通り、［Ｄ］及び［Ａ］の固有ベクトルを求め、その固有ベクトルを張ることで得られる式（３４）の正規直交行列［Ｂ］を作成する。
【００８８】
【数２６】
2014077700.tif 000028
【００８９】
但し、［Ｂ］は正規直交行列であるため、当然に転置行列と逆行列との間に、式（３５）に示す関係が成立する。
【００９０】
【数２７】
2014077700.tif 000029
【００９１】
この行列を用いれば、式（３６）に示すように［Ｄ］及び［Ａ］に対して対角化が可能となる。
【００９２】
【数２８】
2014077700.tif 000030
【００９３】
次に、式（３２）の両辺に左から［Ｂ］Ｔを掛けることにより、式（３７）が得られる。
【００９４】
【数２９】
2014077700.tif 000031
【００９５】
ここで、以下の式（３８）に示すように定義する。
【００９６】
【数３０】
2014077700.tif 000032
【００９７】
このように定義すると、式（３７）は、以下の通り式（３９）で示される。
【００９８】
【数３１】
2014077700.tif 000033
【００９９】
また、式（３９）を成分で表すと、式（４０）のように示される。
【０１００】
【数３２】
2014077700.tif 000034
【０１０１】
このように行列が対角化されているため、元々、連成項を含む方程式が各行の独立したスカラー方程式となる。ここで、式（４０）を各行の方程式に展開して式（４１）を得る。
【０１０２】
【数３３】
2014077700.tif 000035
【０１０３】
式（４１）を最終応力Ｔ（Ｆ）について解くと、式（４２）のように示される。
【０１０４】
【数３４】
2014077700.tif 000036
【０１０５】
ここで、平面応力状態におけるＭｉｓｅｓ応力の式（４３）を用いる。
【０１０６】
【数３５】
2014077700.tif 000037
【０１０７】
さらに、式（３８）から式（４４）のように示すことができる。
【０１０８】
【数３６】
2014077700.tif 000038
【０１０９】
これにより、各応力成分は式（４５）の通りとなる。
【０１１０】
【数３７】
2014077700.tif 000039
【０１１１】
式（４５）を式（４３）に代入することにより、式（４６）が得られる。
【０１１２】
【数３８】
2014077700.tif 000040
【０１１３】
また、式（４６）に式（４２）を代入することにより式（４７）が得られる。
【０１１４】
【数３９】
2014077700.tif 000041
【０１１５】
但し、時刻ｔ’におけるＭｉｓｅｓ応力は、応力ひずみ特性から例えば式（２６）と同様に応力ひずみ特性を近似する任意の関数を用いればよい。相当塑性ひずみ増分（Δεｐ（―））を求めるには、式（４７）に式（２６）を代入した非線形方程式を解けばよい。すなわち、被検物の計測されたひずみ量、ヤング率、ポアソン比、並びに応力ひずみ線図を近似するための定数及び初期降伏応力が既知であるため、式（４７）において、未知数がΔεｐ（―）だけのスカラー非線形方程式となる。式（４７）のスカラー非線形方程式において、式（４７）を解いて求めたΔεｐ（―）を式（２６）に代入してσ（Ｆ）を求める。そして、Ｔ（Ｔ）はElastic-Predictorと式（３８）とから明らかとなるので、これとΔεｐとσ（Ｆ）とを式（４２）に代入すればＴ（Ｆ）が求まる。Ｔ（Ｆ）が明らかとなれば最終的に算出したい応力は式（３８）から求められる。
【０１１６】
以下に、連立非線形方程式の解法について説明する。
【０１１７】
（ニュートン−ラフソン法を適用した連立非線形方程式の解法）
上記の連立非線形方程式を解くために、解の収束性の良さと計算速度の利点とからニュートン−ラフソン法を適用する。ニュートン−ラフソン法を適用するためには、接線係数の計算を行わなければならないが、方程式が式（４７）のように複雑であるため、接線係数も複雑となる。そこで、まず、式を見易くするために、各文字を以下のように定義する。
【０１１８】
【数４０】
2014077700.tif 000042
【０１１９】
このように定義すると、式（４７）は、以下のように示され、式（４８）が得られる。
【０１２０】
【数４１】
2014077700.tif 000043
【０１２１】
式（４８）の左辺を関数ｆと定義することにより、式（４９）が得られる。
【０１２２】
【数４２】
2014077700.tif 000044
【０１２３】
但し、内部変数を用いて関数ｆを表現すると、以下の式（５０）となる。
【０１２４】
【数４３】
2014077700.tif 000045
【０１２５】
求めたい未知数は、相当ひずみ増分ｙであるため、関数ｆのｙに関する微分を計算する。合成関数の微分を考えると式（５１）のように示される。
【０１２６】
【数４４】
2014077700.tif 000046
【０１２７】
ここで、式（５１）におけるｄｘ１／ｄｙは、式（５２）ように示すことができる。
【０１２８】
【数４５】
2014077700.tif 000047
【０１２９】
これは、ｄｘ２／ｄｙ及びｄｘ３／ｄｙについても同様に計算することができる。また、式（５１）中の各辺微分は、式（５３）のように示すことができる。
【０１３０】
【数４６】
2014077700.tif 000048
【０１３１】
また、式（５２）を具体的に計算すると、式（５４）のように表すことができる。
【０１３２】
【数４７】
2014077700.tif 000049
【０１３３】
以上から、式（５３）及び式（５４）を式（５１）に代入することにより、ニュートン−ラフソン法の接線係数の計算が可能となり、このニュートン−ラフソン法に係る計算に対して相当塑性ひずみ増分（Δεｐ（―））の収束判定値を決めて計算すればよい。
【０１３４】
これにより、上述の通り、求めたΔεｐ（―）を式（２６）に代入してσ（Ｆ）（―）を求め、Δεｐ（―）とσ（Ｆ）（―）とを式（４２）に代入してＴ（Ｆ）を求めることにより、最終的に知りたい応力を式（３８）から求めることができる。
【０１３５】
ここでは、平面応力状態に適用しているので、厚み方向に関する応力を全てゼロとして扱うことができ（σｚｘ＝σｙｚ＝σｚ＝σｘｚ＝σｚｙ＝０）、これにより上記算出から求められた応力を用いて、上述のひずみの全成分が既知の場合と同様に式（２）から弾性ひずみを求めることができる。また、弾性ひずみが求まれば、上述のひずみの全成分が既知の場合と同様に塑性ひずみを求めることができる。
【０１３６】
以上の通り、本発明に係る力学的物理量の算出方法及び装置によると、複雑なプログラムを有するソフトウェアを用いることなく、特定の理論式を用いて非線形方程式を作成し、求解の収束性及び計算速度が高いニュートン−ラフソン理論式により上記非線形方程式を解くため、容易且つ速やかに、さらに高精度に、被検物に生じた力学的物理量を算出できる。
【実施例】
【０１３７】
以下に、本発明に係る力学的物理量の算出方法について詳細に説明するための実施例を示す。本実施例では、被検物に所定の負荷を与えた際に生じる全ひずみ量を計測し、後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式を格納する格納部を有する計算機を用いて被検物に生じた応力及び塑性ひずみを算出した。また、その算出された応力をＦＥＭ解析によって解析された応力及び塑性ひずみと比較して、本発明に係る方法の妥当性及び精度を検討した。
【０１３８】
負荷をかける対象として、図７に示すような直方体状で、その中心に円孔を有している被検物を用いた。この被検物に対して、図７に示すように所定の大きさの引張、曲げ及び捩りの複雑負荷を加えた。この被検物の円孔の縁において応力集中が発生して発生応力が降伏応力を超えて弾塑性領域となった。ここで、用いた被検物のヤング率及びポアソン比、並びに応力ひずみ線図を表す数式に関する初期降伏応力及び応力ひずみ線図を近似するための定数を以下の表１に示す。なお、本実施例において、応力ひずみ線図を表す数式として上記式（２６）を用いている。
【０１３９】
【表１】
2014077700.tif 000050
【０１４０】
この円孔の縁における弾塑性状態の応力及び塑性ひずみ量を算出するために、まず、予め、この部位の全ひずみをひずみゲージを用いて測定することを想定して図７に示す円孔の縁の全ひずみ量をＦＥＭの要素積分点値から計測した。計測した結果を表２に示す。
【０１４１】
【表２】
2014077700.tif 000051
【０１４２】
表１に示す材料物性値及び表２の計測結果を、本発明に係る後退オイラー理論式を平面応力問題に特化した理論式が格納された計算機に入力して、応力及び塑性ひずみを算出した。また、表１に示す材料物性値及び表２の計測結果に基づいてＦＥＭ解析することにより、応力及び塑性ひずみを算出して、本発明を用いた場合の結果と比較した。その結果を図８（ａ）及び（ｂ）に示す。
【０１４３】
図８（ａ）及び（ｂ）に示すように、本発明に係る方法を用いた場合と、ＦＥＭ解析を用いた場合とでは、ほぼ同一の結果を示し、本発明の定量的妥当性を示すことができた。
【０１４４】
この結果から、本発明に係る力学的物理量の算出方法は、被検物の表面における全ひずみ量を計測すれば、応力及び塑性ひずみ等の力学的物理量を高精度に算出することができることが示された。
【符号の説明】
【０１４５】
１  計算機
２  格納部
３  入力手段
４  演算部
５  表示手段
【図１】
2014077700.tif 000052
【図２】
2014077700.tif 000053
【図３】
2014077700.tif 000054
【図４】
2014077700.tif 000055
【図５】
2014077700.tif 000056
【図６】
2014077700.tif 000057
【図７】
2014077700.tif 000058
【図８】
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