(57)【要約】【課題】要素が形成される材料の種類によらず解析でき、定常状態でφ−θ理論による式に一致するとともに非定常状態も解析することができる温度解析方法を提供する。【解決手段】第一の要素２１、第一の要素２１に接触した状態で配置された第二の要素２２、および第二の要素に接触した状態で配置された第三の要素２３の時刻ｔにおける温度から、時刻ｔから△ｔ経過した時刻（ｔ＋１）における第二の要素２２の温度を求める温度解析方法であって、電圧降下φ、熱伝導率λ、比熱ｃ、密度ρ、ローレンツ数Ｌを用いる。【選択図】図２
2014222184.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
第一の要素、前記第一の要素に接触した状態で配置された第二の要素、および前記第二の要素に接触した状態で配置された第三の要素の時刻ｔにおける温度から、前記時刻ｔから△ｔ経過した時刻（ｔ＋１）における前記第二の要素の前記温度を求める温度解析方法であって、
電圧降下φ、熱伝導率λ、比熱ｃ、密度ρ、ローレンツ数Ｌを用いることを特徴とする温度解析方法。
【請求項２】
前記第一の要素、前記第二の要素および前記第三の要素は、ｘ軸に沿って並べて配置され、
前記第二の要素の前記ｘ軸に沿った長さを△ｘとしたときに、前記時刻（ｔ＋１）における前記第二の要素の前記温度θｘ，ｔ＋１を（１）式を用いて求めることを特徴とする請求項１に記載の温度解析方法。
【数１】
2014222184.tif 000038
ただし、前記温度θ、前記電圧降下φにおいて、左側の添え字が（ｘ−１）、ｘ、（ｘ＋１）のものは、前記第一の要素、前記第二の要素、前記第三の要素に関するものであることをそれぞれ表し、右側の添え字がｔ、（ｔ＋１）のものは前記時刻ｔ、時刻（ｔ＋１）に関するものであることをそれぞれ表す。
【請求項３】
前記第一の要素、前記第二の要素および前記第三の要素は、ｘ軸に沿って並べて配置され、
前記第二の要素の前記ｘ軸に沿った長さを△ｘ、前記第一の要素に対して前記第二の要素および前記第三の要素が前記ｘ軸に交差する方向に移動する速度をｖ、前記第一の要素が前記第二の要素を前記ｘ軸に沿う方向に押圧する荷重をＰ、前記第一の要素と前記第二の要素との間の動摩擦係数をμ、前記第二の要素の体積を△Ｖとしたときに、
前記時刻（ｔ＋１）における前記第二の要素の前記温度θｘ，ｔ＋１を（２）式を用いて求めることを特徴とする請求項１に記載の温度解析方法。
【数２】
2014222184.tif 000039
ただし、前記温度θ、前記電圧降下φにおいて、左側の添え字が（ｘ−１）、ｘ、（ｘ＋１）のものは、前記第一の要素、前記第二の要素、前記第三の要素に関するものであることをそれぞれ表し、右側の添え字がｔ、（ｔ＋１）のものは前記時刻ｔ、時刻（ｔ＋１）に関するものであることをそれぞれ表す。
【請求項４】
前記第一の要素は、第一の材料で形成され、
前記第二の要素および前記第三の要素は、第二の材料で形成され、
前記第一の材料の融点は前記第二の材料の融点よりも低く、
前記第一の材料の電気抵抗率は前記第二の材料の電気抵抗率よりも小さく、
請求項１に記載の温度解析方法で非定常状態として解析し、
前記第二の要素または前記第三の要素の温度が前記第二の材料の融点に達するよりも先に、前記第一の要素の温度が前記第一の材料の融点に達する第一の温度上昇形態と、
前記第一の要素の温度が前記第一の材料の融点に達するよりも先に、前記第二の要素または前記第三の要素の温度が前記第二の材料の融点に達する第二の温度上昇形態と、
前記第一の要素の温度が前記第一の材料の融点に達しなく、かつ、前記第二の要素および前記第三の要素の温度が前記第二の材料の融点に達しない第三の温度上昇形態と、に分類することを特徴とする温度上昇評価方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、導電性を有する要素に電圧を印加したときの温度解析方法および温度上昇評価方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
導電性を有する材料で形成された電極（要素）間に電圧が印加された場合には、各電極は自身の抵抗に応じて発熱する。発熱後の電極の温度が電極の融点近くになると電極の強度が低下するため、電極の温度を正確に見積もる必要がある。
【０００３】
各電極の温度が時間によらず一定である定常状態で、各電極を形成する材料の材質が同一であって、各電極のバルク（全体）温度が同一の場合には、各電極の温度を解析するのに公知のφ−θ理論による（１）式が用いられる。
【０００４】
【数１】
2014222184.tif 000003
【０００５】
ここで、Ｔｍａｘ〔Ｋ：ケルビン〕は、両電極が接触する接点の最高温度（接点の中の最も温度が高い部分の温度。）、Ｖｃ〔Ｖ：ボルト〕は接触電圧、Ｌはローレンツ数（＝２．４×１０−８）である。
このφ−θ理論は、発明者ら、および、他の技術者らがこれまで行った実験結果に非常によく一致しており、実験的に検証された非常に信頼性の高いものである。
【０００６】
しかしながら、例えば鉄道において、地面に対して固定されたトロリ線（架線）に対して軌道上を走行する車両のパンタグラフに設けられた集電用すり板が接触しつつ電圧を印加されることで、トロリ線と集電用すり板と間に電流が流れる。一般的な新幹線では、トロリ線は硬銅で形成され、集電用すり板は鉄系焼結合金で形成されている。
トロリ線や集電用すり板の温度は時間により変化する非定常状態となりやすく、トロリ線および集電用すり板の材質も同一でない場合がある。
そこで、両電極の材質によらず、両電極の温度が定常状態および非定常状態のいずれであっても、両電極の温度を求めることができる温度解析方法が検討されている。
【０００７】
例えば、非特許文献１では、第一の電極と第二の電極とが溶けて橋絡（Molten Bridge）が形成される現象を分析している。この非特許文献１では、この現象における温度を解析する式として（２）式を提案している。
【０００８】
【数２】
2014222184.tif 000004
【０００９】
ここで、ｃは熱容量、ｑは橋絡の体積、ｄＴは期間ｄｔ間における橋絡の温度上昇、ｋは熱伝導率、Ｔｍは橋絡の融点、ｌは橋絡の長さ、αは定数、Ｉは橋絡を流れる電流値である。
（２）式は、非特許文献１の発明者が導いた式にφ−θ理論による式を代入して得られたものである。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【００１０】
【非特許文献１】Takao Utsumi, 「Theoretical and Experimental Investigations of the Dynamic Molten Bridge」,IEEE TRANSACTIONS ON PARTS, MATERIALS AND PACKAGING, VOL.PMP-5, NO.1, MARCH 1969
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１１】
（２）式はφ−θ理論を用いて導いた式であるが、（２）式を定常状態として解いてもφ−θ理論による式に一致しない。これでは、φ−θ理論による式を発展させたものとはならず、φ−θ理論を考慮して定常状態および非定常状態のいずれも解析できる式とはなっていない。
【００１２】
本発明は、このような問題点に鑑みてなされたものであって、要素が形成される材料の種類によらず解析でき、定常状態でφ−θ理論による式に一致するとともに非定常状態も解析することができる温度解析方法、およびこの温度解析方法を用いた温度上昇評価方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１３】
上記課題を解決するために、この発明は以下の手段を提案している。
本発明の温度解析方法は、第一の要素、前記第一の要素に接触した状態で配置された第二の要素、および前記第二の要素に接触した状態で配置された第三の要素の時刻ｔにおける温度から、前記時刻ｔから△ｔ経過した時刻（ｔ＋１）における前記第二の要素の前記温度を求める温度解析方法であって、電圧降下φ、熱伝導率λ、比熱ｃ、密度ρ、ローレンツ数Ｌを用いることを特徴とする。
【００１４】
また、上記の温度解析方法において、前記第一の要素、前記第二の要素および前記第三の要素は、ｘ軸に沿って並べて配置され、前記第二の要素の前記ｘ軸に沿った長さを△ｘとしたときに、前記時刻（ｔ＋１）における前記第二の要素の前記温度θｘ，ｔ＋１を（３）式を用いて求めることがより好ましい。
【００１５】
【数３】
2014222184.tif 000005
【００１６】
ただし、前記温度θ、前記電圧降下φにおいて、左側の添え字が（ｘ−１）、ｘ、（ｘ＋１）のものは、前記第一の要素、前記第二の要素、前記第三の要素に関するものであることをそれぞれ表し、右側の添え字がｔ、（ｔ＋１）のものは前記時刻ｔ、時刻（ｔ＋１）に関するものであることをそれぞれ表す。
【００１７】
また、上記の温度解析方法において、前記第一の要素、前記第二の要素および前記第三の要素は、ｘ軸に沿って並べて配置され、前記第二の要素の前記ｘ軸に沿った長さを△ｘ、前記第一の要素に対して前記第二の要素および前記第三の要素が前記ｘ軸に交差する方向に移動する速度をｖ、前記第一の要素が前記第二の要素を前記ｘ軸に沿う方向に押圧する荷重をＰ、前記第一の要素と前記第二の要素との間の動摩擦係数をμ、前記第二の要素の体積を△Ｖとしたときに、前記時刻（ｔ＋１）における前記第二の要素の前記温度θｘ，ｔ＋１を（４）式を用いて求めることがより好ましい。
【００１８】
【数４】
2014222184.tif 000006
【００１９】
ただし、前記温度θ、前記電圧降下φにおいて、左側の添え字が（ｘ−１）、ｘ、（ｘ＋１）のものは、前記第一の要素、前記第二の要素、前記第三の要素に関するものであることをそれぞれ表し、右側の添え字がｔ、（ｔ＋１）のものは前記時刻ｔ、時刻（ｔ＋１）に関するものであることをそれぞれ表す。
【００２０】
また、本発明の温度上昇評価方法は、前記第一の要素は、第一の材料で形成され、前記第二の要素および前記第三の要素は、第二の材料で形成され、前記第一の材料の融点は前記第二の材料の融点よりも低く、前記第一の材料の電気抵抗率は前記第二の材料の電気抵抗率よりも小さく、上記に記載の温度解析方法で非定常状態として解析し、前記第二の要素または前記第三の要素の温度が前記第二の材料の融点に達するよりも先に、前記第一の要素の温度が前記第一の材料の融点に達する第一の温度上昇形態と、前記第一の要素の温度が前記第一の材料の融点に達するよりも先に、前記第二の要素または前記第三の要素の温度が前記第二の材料の融点に達する第二の温度上昇形態と、前記第一の要素の温度が前記第一の材料の融点に達しなく、かつ、前記第二の要素および前記第三の要素の温度が前記第二の材料の融点に達しない第三の温度上昇形態と、に分類することを特徴としている。
【発明の効果】
【００２１】
本発明の温度解析方法および温度上昇評価方法によれば、要素が形成される材料の種類によらず解析でき、定常状態でφ−θ理論による式に一致するとともに非定常状態も解析することができる。
【図面の簡単な説明】
【００２２】
【図１】本発明の第１実施形態の温度解析方法を説明する、１つの要素における熱の流入および流出状態を説明する図である。
【図２】同温度解析方法を説明する、要素が３つ並んだ状態での中央の要素における熱の流入および流出状態を説明する図である。
【図３】同温度解析方法に用いられる、１２個の要素が直線状に並んだ１次元の解析モデルの説明図である。
【図４】同一の金属を接触させて接触電圧を変化させたときの同温度解析方法によるジュール熱分布の変化を示す図である。
【図５】同一の金属を接触させて接触電圧を変化させたときの同温度解析方法による温度分布の変化を示す図である。
【図６】同一の金属を接触させて接触電圧を変化させたときの同温度解析方法による最高温度と、φ−θ理論から得られる最高温度とを比較した図である。
【図７】異なる種類の金属を接触させて接触電圧を変化させたときの同温度解析方法によるジュール熱分布の変化を示す図である。
【図８】異なる種類の金属を接触させて接触電圧を変化させたときの同温度解析方法による温度分布の変化を示す図である。
【図９】異なる種類の金属を接触させて接触電圧を変化させたときの同温度解析方法による最高温度と、φ−θ理論から得られる最高温度とを比較した図である。
【図１０】本実施形態の温度解析方法と従来の温度解析方法との違いを説明するフローチャートである。
【図１１】同一の金属で形成された電極に対して本実施形態の温度解析方法を実施するために電圧計を設置する一例を示す図である。
【図１２】異なる種類の金属で形成された一対の電極に対して本実施形態の温度解析方法を実施するために電圧計を設置する一例を示す図である。
【図１３】異なる種類の金属で形成された一対の電極に対して本実施形態の温度解析方法で求めた時間に対する最高温度の変化を表す図である。
【図１４】本発明の第２実施形態の温度解析方法に用いられる２次元の解析モデルの説明図である。
【図１５】同解析モデルの周方向の１要素分を示す説明図である。
【図１６】同解析モデルの１つの要素についての要素導線図である。
【図１７】同要素の各表面の形状を示す斜視図である。
【図１８】同一の金属を接触させて接触電圧を０．２Ｖとしたときの同温度解析方法による温度分布を示す図である。
【図１９】同一の金属を接触させて接触電圧を０．６Ｖとしたときの同温度解析方法による温度分布を示す図である。
【図２０】同一の金属を接触させて接触電圧を変化させたときの同温度解析方法による最高温度と、φ−θ理論から得られる最高温度とを比較した図である。
【図２１】異なる種類の金属を接触させて接触電圧を０．２Ｖとしたときの同温度解析方法による温度分布を示す図である。
【図２２】異なる種類の金属を接触させて接触電圧を０．６Ｖとしたときの同温度解析方法による温度分布を示す図である。
【図２３】異なる種類の金属を接触させて接触電圧を変化させたときの同温度解析方法による最高温度と、φ−θ理論から得られる最高温度とを比較した図である。
【図２４】異なる種類の金属を接触させて接触電圧を０．２Ｖとしたときの同温度解析方法で求めた時間に対する最高温度の変化を表す図である。
【図２５】異なる種類の金属を接触させて接触電圧を０．６Ｖとしたときの同温度解析方法で求めた時間に対する最高温度の変化を表す図である。
【図２６】各接触電圧における解析終了時のトロリ線および集電用すり板の最高温度を表す図である。
【図２７】本発明の第３実施形態の温度解析方法で、異なる種類の金属を接触させて接触電圧を０．６Ｖとしたときの温度分布を求めた図である。
【発明を実施するための形態】
【００２３】
（第１実施形態）
以下、本発明に係る温度解析方法の第１実施形態を、図１から図１３を参照しながら説明する。
以下では、基礎的な理論を説明しつつ、本発明の熱伝導方程式を導出する。まずは、図１に示すように、１つの要素１０に対して熱がｘ軸の正の方向に移動する、すなわち、要素１０に対してｘ軸の負側の面１０ａから熱量ｄＱ’〔Ｗ：ワット〕が入り、ｘ軸の正側の面１０ｂから熱量ｄＱ''〔Ｗ〕が出るモデルを考える。
もし、ｄＱ’＝ｄＱ''であれば、要素１０の温度が時間によらず一定である定常状態となる。１次元の熱伝導におけるフーリエの法則は、（５）式のようになる。
【００２４】
【数５】
2014222184.tif 000007
【００２５】
ｘ軸に直交するとともに互いに直交するｙ軸およびｚ軸を規定する。要素１０のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸に沿った長さを、それぞれｄｘ、ｄｙ、ｄｚとする。（５）式において、λは熱伝導率〔Ｗ／（ｍＫ）〕、θは要素１０の温度〔Ｋ〕、ｄＡ＝ｄｙｄｚである。要素１０におけるｘ軸の負側の面１０ａにｄｔ〔ｓ：秒〕間に熱量ｄＱ’が流入すると、（６）式のようになる。
【００２６】
【数６】
2014222184.tif 000008
【００２７】
同様に、要素１０におけるｘ軸の正側の面１０ｂにおいて、熱量ｄＱ''についての方程式は（７）式のようになる。
【００２８】
【数７】
2014222184.tif 000009
【００２９】
この結果、要素１０に残る熱量、すなわち、要素１０内の熱量の変化は（８）式のようになる。
【００３０】
【数８】
2014222184.tif 000010
【００３１】
熱量に関する公式、Ｑ＝ｍｃΔθを要素１０に適用すると、（９）式のようになる。ただし、ｍは要素１０の質量〔ｋｇ〕、ｃは要素１０の比熱〔Ｊ／（ｋｇＫ）〕、ρは要素１０の密度〔ｋｇ／ｍ３〕である。
【００３２】
【数９】
2014222184.tif 000011
【００３３】
（８）式および（９）式から、１次元の熱伝導方程式は（１０）式のようになる。ここで言う１次元とは、熱がｘ軸に沿う方向のみに伝導されることを意味する。
【００３４】
【数１０】
2014222184.tif 000012
【００３５】
ここで、（１０）式で表される１次元の熱伝導方程式を改良してφ−θ理論に整合させることを試みる。
図２に示すように、ｘ軸に沿って並べて配置された第一の要素２１、第二の要素２２および第三の要素２３のモデルを用いて説明する。図２においては説明の便宜上、第一の要素２１と第二の要素２２との間、第二の要素２２と第三の要素２３との間が離間しているように示しているが、実際には、第二の要素２２は第一の要素２１に接触した状態で配置され、第三の要素２３は第二の要素２２に接触した状態で配置されている。
第二の要素２２のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸に沿った長さを、それぞれｄｘ、ｄｙ、ｄｚとする。これら要素２１、２２、２３は、金属などの導電性を有する材料で形成され、電極を構成する。
第二の要素２２のｘ軸の負側の面２２ａから温度差により流入する熱量ｄＱ’は、（１１）式のように表される。
【００３６】
【数１１】
2014222184.tif 000013
【００３７】
同様に、第二の要素２２におけるｘ軸の負側の面２２ｂから温度差により流出する熱量ｄＱ''は、（１２）式のように表される。
【００３８】
【数１２】
2014222184.tif 000014
【００３９】
第二の要素２２内で通電により発生するジュール熱ｄＱ'''は、（１３）式のように表される。
【００４０】
【数１３】
2014222184.tif 000015
【００４１】
ここで、Ｉは要素２１、２２、２３を流れる電流〔Ａ：アンペア〕、φはグラウンドなどの基準電位に対する電圧降下（電位差）〔Ｖ：ボルト〕、Ｖは電位〔Ｖ〕である。電圧降下φおよび電位Ｖに付されている（ｘ−１）、ｘ、（ｘ＋１）の添え字は、要素２１、２２、２３に関するものであることをそれぞれ表す。例えば、電位Ｖｘ−１は第一の要素２１の電位である。
この結果、第二の要素２２に蓄積される熱量、すなわち、第二の要素２２内の熱量の変化は（１４）式のようになる。
【００４２】
【数１４】
2014222184.tif 000016
【００４３】
（１４）式および（９）式から、ジュール熱を考慮した熱伝導方程式は（１５）式のようになる。
【００４４】
【数１５】
2014222184.tif 000017
【００４５】
（１５）式の電流Ｉに、電流Ｉに関する（１６）式を代入すると、（１７）式のようになる。
【００４６】
【数１６】
2014222184.tif 000018
【００４７】
ここで、ｄＲは、（１８）式のような抵抗〔Ω：オーム〕である。
【００４８】
【数１７】
2014222184.tif 000019
【００４９】
ここで、σは電気抵抗率〔Ωｍ〕である。（１７）式に（１８）式を代入すると、（１９）式のようになる。
【００５０】
【数１８】
2014222184.tif 000020
【００５１】
ここで、Ｗｉｅｄａｍａｎｎ−Ｆｒａｎｚの法則である（２０）式を用いると、上記の（１９）式は（２１）式のようになる。
【００５２】
【数１９】
2014222184.tif 000021
【００５３】
ここで、Ｌはローレンツ数（＝２．４×１０−８）である。（２１）式において、ｄｔ＝△ｔ、ｄｘ＝△ｘとすると、（２２）式のようになる。
【００５４】
【数２０】
2014222184.tif 000022
【００５５】
（２２）式を積分すると、（２３）式から（２５）式のようになる。
【００５６】
【数２１】
2014222184.tif 000023
【００５７】
ここで、温度θ、電圧降下φにおいて、左側の添え字が（ｘ−１）、ｘ、（ｘ＋１）のものは、要素２１、２２、２３に関するものであることをそれぞれ表す。右側の添え字がｔ、（ｔ＋１）のものは、時刻ｔ、時刻（ｔ＋１）に関するものであることをそれぞれ表す。時刻（ｔ＋１）は、時刻ｔから△ｔ経過した時刻である。例えば、温度ｘ＋１、ｔは第三の要素２３の時刻ｔにおける温度である。
（２５）式より、Ｗｉｅｄａｍａｎｎ−Ｆｒａｎｚの法則を考慮した非定常状態の熱伝導方程式は（２６）式のようになる。
（２６）式は、第一の要素２１の時刻ｔにおける温度θｘ−１、ｔ、第二の要素２２の時刻ｔにおける温度θｘ、ｔ、第三の要素２３の時刻ｔにおける温度θｘ＋１、ｔから、時刻（ｔ＋１）における第二の要素２２の温度θｘ、ｔ＋１を求めるものである。
【００５８】
【数２２】
2014222184.tif 000024
【００５９】
ここで、（２６）式とφ−θ理論との整合を確認する。φ−θ理論は定常状態における理論であるため、（２１）式の左辺が０となる。さらに、ｄｘ＝△ｘとすると、（２７）式のようになる。
【００６０】
【数２３】
2014222184.tif 000025
【００６１】
（２７）式を積分すると、（２８）式から（３０）式のようになる。
【００６２】
【数２４】
2014222184.tif 000026
【００６３】
（３０）式より、求めたい第二の要素２２の温度θｘは（３１）式のようになる。
【００６４】
【数２５】
2014222184.tif 000027
【００６５】
ここで、φ−θ理論の前提は、下記の（１）から（３）の条件になる。
（１）要素２１、２２、２３の材質が同一である。
（２）バルク端から接点までの電圧降下φは接触電圧Ｖｃの半分、すなわち、φｘ−１＝φｘ＋１＝Ｖｃ／２である。
（３）要素２１、２３のバルク温度は同一であり、ここでは室温のθｘ−１＝θｘ＋１＝３００Ｋである。
なお、接触電圧Ｖｃは、電圧降下φに対応するものとなっている。
（１）から（３）の条件を（３０）式に代入すると、（３２）式のようになる。
【００６６】
【数２６】
2014222184.tif 000028
【００６７】
この（３２）式は背景技術で述べた（１）式と一致し、φ−θ理論による式そのものである。
【００６８】
ここで（２６）式を用いた温度解析方法による解析結果をいくつか説明する。
図３に示すように、円柱状の要素１２個からなる要素３１〜４２がｘ軸に沿って隣合う要素に接触した状態で並んで配置された解析モデルを考える。要素３１〜４２のうち、例えば、要素３６が第一の要素に相当し、要素３７が第二の要素に相当し、要素３８が第三の要素に相当する。
各要素３１〜４２の半径ａは３０μｍ、長さｄｘは１０μｍとした。
各要素３７〜４２において、左側（ｘ軸の負側。）の電位をＶ１、抵抗をＲ１、右側（ｘ軸の正側。）の電位をＶ２、抵抗をＲ２とすると、各要素３７〜４２の電位Ｖは（３３）式で求まる。（３３）式で得られた電位分布から、ジュール熱ｗを（３４）式で計算する。
【００６９】
【数２７】
2014222184.tif 000029
【００７０】
解析モデルの物性値は、表１における硬銅（第一の材料）のものを用いた。すなわち、要素３１〜４２の全てが硬銅で形成されている、同一の金属で形成されている電極同士が接触しているモデルとした。
なお、（２６）式などの計算には、解析プログラムを有する電子計算機などを好適に用いることができる。
【００７１】
【表１】
2014222184.tif 000030
【００７２】
要素３１〜４２の両端（要素３１および要素４２。）の温度をそれぞれ３００Ｋに固定した。要素３１〜４２の両端に印加する電位差、すなわち接触電圧Ｖｃを０．１Ｖ〜０．７Ｖまで変化させた場合の定常状態におけるジュール熱分布を図４に示す。
接触電圧Ｖｃが一定のときには、要素３１〜４２で発生するジュール熱は一定になる。接触電圧Ｖｃが大きくなるのにしたがって、各要素３１〜４２で発生するジュール熱が多くなる。
接触電圧Ｖｃを０．１Ｖ〜０．７Ｖまで変化させた場合の、定常状態における各要素３１〜４２の温度分布を図５に示す。接触電圧Ｖｃが一定のときには、要素３１〜４２のうち長手方向の中央部に位置する要素３６、３７の温度が最も高くなる。接触電圧Ｖｃが大きくなるのにしたがって、各要素３１〜４２の温度が高くなる。
【００７３】
図６に、接触電圧Ｖｃを変化させたときの、本実施形態の温度解析方法による最高温度と、φ−θ理論から得られる最高温度とを比較した結果を示す。定常状態での最高温度は、本温度解析方法とφ−θ理論とで一致することが分かる。
【００７４】
次に、図３に示す解析モデルのうち、要素３１〜３６は硬銅で形成されているままとする一方で、要素３７〜４２は鉄系焼結合金（第二の材料）で形成されているとして本温度解析方法で解析を行った。すなわち、要素３１〜３６が鉄道におけるトロリ線に相当し、要素３７〜４２が集電用すり板に相当する。解析モデルの物性値は、表１に示すものを用いた。硬銅の融点は１３３４〔Ｋ〕で、鉄系焼結合金の融点の１６４６〔Ｋ〕よりも低い。硬銅の電気抵抗率は１．７７×１０−８〔Ωｍ〕で、鉄系焼結合金の電気抵抗率の４．０×１０−７〔Ωｍ〕よりも小さい。
要素３１〜３６と要素３７〜４２とで、異なる種類の金属で形成されている電極同士が接触しているモデルとした。なお、各要素３１〜４２の大きさは変えていない。
この場合、密度ρは、要素３１〜３６と要素３７〜４２とで異なるので、ρｘのようにｘ軸に対する位置による変数となる。電圧降下φ、熱伝導率λ、および比熱ｃについても同様である。
【００７５】
要素３１〜４２の両端の温度をそれぞれ３００Ｋに固定した。要素３１〜４２の両端に印加する接触電圧Ｖｃを０．１Ｖ〜０．７Ｖまで変化させた場合の、定常状態におけるジュール熱分布を図７に示す。
図示はしないが、トロリ線に相当する要素３１〜３６でほとんど電圧降下していない。このため、発生するジュール熱は集電用すり板に相当する要素３７〜４２の方がはるかに大きく、要素３７〜４２で発生するジュール熱により要素３７〜４２の温度が上昇し、要素３７〜４２で発生したジュール熱が要素３１〜３６に伝導されて要素３１〜３６の温度が上昇する傾向がみられる。
【００７６】
接触電圧Ｖｃを０．１Ｖ〜０．７Ｖまで変化させた場合の、定常状態における温度分布を図８に示す。接触電圧Ｖｃが一定のときには、要素３１〜４２のうち温度が最も高いものは、集電用すり板に相当する要素３７〜４２側にあることが分かる。また、接触電圧Ｖｃが大きくなるのにしたがって、各要素３１〜４２の温度が高くなる。
図９に示すように、本温度解析方法において、集電用すり板に相当する要素３７〜４２の最高温度は、トロリ線に相当する要素３１〜３６の最高温度よりも高くなる。
なお、φ−θ理論を本来の適用範囲外である異なる種類の金属で形成されている電極同士が接触しているこのモデルに適用した場合の最高温度は、本温度解析方法の要素３７〜４２の最高温度、および要素３１〜３６の最高温度よりもそれぞれ低くなる。
また、本温度解析方法の要素３７〜４２の最高温度と要素３１〜３６の最高温度との差は、接触電圧Ｖｃが大きくなるのにしたがって大きくなる。
【００７７】
以上説明したように、本実施形態の温度解析方法によれば、電圧降下φ、熱伝導率λ、比熱ｃ、密度ρおよびローレンツ数Ｌを用いて第二の要素２２の温度を解析することで、より正確に第二の要素２２の温度を求めることができる。
また、（２６）式を用いることで、φ−θ理論による式に一致する通電温度上昇を定常状態だけでなく非定常状態としても解析することが可能になる。この解析は、要素２１、２２、２３が形成される材料の種類によらず行うことができる。
また、φ−θ理論だけではできなかった異なる種類の金属で形成された一対の電極同士が接触している場合における温度上昇解析、両電極のバルク温度が異なる場合の温度上昇、熱源として摩擦熱を追加することや、バルク端の熱放散も解析可能となり、電気接点における温度上昇解析の幅が拡がると考える。
【００７８】
図１０に示すように、同一の金属で形成された電極同士が接触した場合には、ラプラス方程式を解くことで両電極内の電位分布を計算することができる。一方で、異なる種類の金属で形成された電極同士が接触した場合には、電流値を計算することで両電極内の電位分布を計算することができる。
従来の温度解析方法では、この電位分布からジュール熱を計算し熱伝導方程式を解いていたが、電気接点のφ−θ理論とは整合していなかった。
これに対して、本実施形態の温度解析方法で用いられる（２６）式のＷｉｅｄａｍａｎｎ−Ｆｒａｎｚの法則を適用した改良型の熱伝導方程式では、ジュール熱を計算せずに、電位分布（電圧降下の分布。）により温度分布を求めることができる。また、求めた温度分布は、φ−θ理論と整合する。
【００７９】
本温度解析方法を実施するときには、電極内もしくは一対の電極間の電位差が分かればよい。同一の金属で形成されている電極内の温度分布を求めるには、２点間の電位差を電圧計などで測定すればよい。電極内で電気抵抗のバラツキがある場合には、図１１に示すように、電極５０の２点間の電位差を測定する電圧計Ｄを複数設けて、電極５０における多点間で電位差を測定すればよい。
また、図１２に示すように、異なる種類の金属で形成されている一対の電極５１、５２の接点温度を求めるには、電圧計Ｄで接点間電位差を測定すればよい。ただし、この場合、厳密な温度上昇を求めるなら、電流と電位差から接触抵抗を計算し、接触抵抗に見合った接点半径を設定して、３次元電位分布を求める必要がある。
【００８０】
ここで、非定常状態における１次元の熱伝導方程式を用いて解析して時系列に温度上昇を把握することで、トロリ線および集電用すり板のどちらが先にそれぞれの融点に達する（溶融する。）かを求める。なお、実際の鉄道においては、トロリ線が溶融するよりも先に集電用すり板が溶融する現象がみられている。
要素３１〜４２の両端の温度をそれぞれ３００Ｋに固定し、接触電圧Ｖｃを、前述の解析をした中で温度差が最も大きくなる０．７Ｖとした。非定常状態の解析は、集電用すり板の温度が融点に達するまで行った。解析結果を図１３に示す。
【００８１】
接触電圧Ｖｃが０．７Ｖの場合であっても、集電用すり板が溶融する時刻ｔ２より先にトロリ線が時刻ｔ１で溶融する解析結果となることが分かった。
【００８２】
前述のように１次元の非定常熱伝導解析をした結果、トロリ線が溶融するよりも先に集電用すり板が溶融することはなかった。この原因としては、図４および図７に示すように、集電用すり板内におけるジュール熱の分布が一定であるためだと考えられる。
実際のジュール熱は、発明者らの以前の報告のように、集電用すり板におけるトロリ線に接触する接点外周に集中していると考えられる。このことから、集電用すり板におけるジュール熱が集中している部分の温度上昇が早くなり、トロリ線が溶融するよりも前に集電用すり板が溶融すると考えられる。
【００８３】
（第２実施形態）
以下、前述の温度解析方法を用いた本発明に係る温度上昇評価方法を、図１４から図２６を参照しながら説明する。
本実施形態では、第１実施形態の１次元の解析モデルでは表せなかった、トロリ線が溶融するよりも前に集電用すり板が溶融するという現象を検討するために、図１４および図１５に示すような、軸線がｘ軸に一致する円柱状の２次元の解析モデルで検討する。ここで言う２次元とは、熱がｘ軸に沿う方向、および径方向のみに伝導されることを意味する。
【００８４】
ｘ軸の原点より正側が、硬銅で形成された電極６１でトロリ線に相当する。ｘ軸の原点より負側が、鉄系焼結合金で形成された電極６２で集電用すり板に相当する。電極６１および電極６２からなる解析モデルを、ｘ軸方向に３０分割、径方向であるｒ軸方向に３０分割、周方向であるθ軸方向に１００分割して、複数の要素（メッシュ。）を形成した。
例えば、図１５に示すｘ軸上の要素については、電極６１内の電極６２に接する要素６１ａが第一の要素に相当する。電極６２内の電極６１に接する要素６２ａが第二の要素に相当する。電極６２内の要素６２ａに対して要素６１ａとは反対側に配置された要素６２ｂが第三の要素に相当する。
【００８５】
電極６１と電極６２とが接触する部分のｒ軸方向において、電極６１と電極６２との間で熱の受け渡し可能な要素の数は１０とした。それらの要素より径方向外側では、電極６１と電極６２との間は断熱されているとした。
この解析モデルは、ｘ軸に対して回転対称な形状となり、θ軸方向の熱の移動は無い。θ軸方向の位置によらず電位は等しくなる。このため、θ軸方向の１要素分について電流値計算を行えばよい。
【００８６】
１つの要素についての要素導線図は、図１６に示すようになる。
要素７０の求めたい電位Ｖに対して、ｘ軸の正側の要素７１の電位をＶ１〔Ｖ〕とした。同様に、ｒ軸の負側の要素７２の電位をＶ２〔Ｖ〕、ｘ軸の負側の要素７３の電位をＶ３〔Ｖ〕、ｒ軸の正側の要素７４の電位をＶ４〔Ｖ〕とした。すなわち、要素７０周りに反時計回りに並べて配置された要素７１、７２、７３、７４の電位をそれぞれＶ１、Ｖ２、Ｖ３、Ｖ４とした。
また、要素７０と要素７１をつなぐ抵抗をＲ１〔Ω〕とした。同様に、要素７０と要素７２、要素７０と要素７３、要素７０と要素７４をつなぐ抵抗を、それぞれＲ２〔Ω〕、Ｒ３〔Ω〕、Ｒ４〔Ω〕とした。
要素７０の電位Ｖは、電流に関する（３５）式から（３９）式の連立方程式を解くことで求めることができる。
【００８７】
【数２８】
2014222184.tif 000031
【００８８】
したがって、要素７０の電位Ｖは（４０）式のようになる。
【００８９】
【数２９】
2014222184.tif 000032
【００９０】
図１７に示す要素７０の各表面の面積Ａ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４は、（４１）式から（４３）式のようになる。なお、面積Ａ１、Ａ３は、要素７０のｘ軸の正側、負側の表面の面積である。面積Ａ２、Ａ４は、要素７０のｒ軸の負側、正側の表面の面積である。
【００９１】
【数３０】
2014222184.tif 000033
【００９２】
ここで、要素７０が形成されている材料の電気抵抗率をσ〔Ωｍ〕とすると、抵抗Ｒ１〜Ｒ４は、（４４）式から（４７）式のようになる。
【００９３】
【数３１】
2014222184.tif 000034
【００９４】
これら（４４）式から（４７）式を（４０）式に代入することで、要素７０の電位Ｖが求められる。
要素７０の電位Ｖが求まれば、（２５）式を円柱座標系に変換した（４８）式が得られる。この（４８）式を用いることで、非定常状態の熱伝導解析が可能となる。
【００９５】
【数３２】
2014222184.tif 000035
【００９６】
ここで（４８）式を用いた温度解析方法による解析結果をいくつか説明する。
電極６１と電極６２とが熱の受け渡しをする接点半径（要素の１０個分のｒ軸方向の長さ。）を、５００μｍとした。電極６１のｘ軸の正側の端、および電極６２のｘ軸の負側の端の温度をそれぞれ３００Ｋに固定した。
まず、φ−θ理論との比較を行うために、電極６１および電極６２がともに硬銅で形成されている場合、すなわち、電極６１、６２が同一の金属で形成されている場合の温度分布を求めた。接触電圧Ｖｃを０．１Ｖ〜０．７Ｖまで変化させて、定常状態におけるジュール熱分布を求めた。接触電圧Ｖｃが０．２Ｖ、０．６Ｖの場合の温度分布を図１８および図１９に示す。
電極６１および電極６２が同一の金属で形成されているとしているため、温度分布は電極６１と電極６２との接続面に対して線対称となっている。
【００９７】
図２０に、接触電圧Ｖｃを変化させたときの、本実施形態の温度解析方法による最高温度と、φ−θ理論から得られる最高温度とを比較した結果を示す。定常状態での最高温度は、本温度解析方法とφ−θ理論とで一致することが分かる。
さらに、電極６１と電極６２とが接触する部分の一部が断熱されている部分接触であっても、電極６１と電極６２とが接触する部分の全てで熱が受け渡し可能とされている全面接触であっても、φ−θ理論が適用できることが分かった。
【００９８】
次に、電極６１が硬銅、電極６２が鉄系焼結合金で形成されている場合、すなわち、電極６１、６２が異なる種類の金属で形成されている場合の温度分布を求めた。より詳細に解析を行うために、前述の円柱状の解析モデルを、ｘ軸方向に４００分割、ｒ軸方向に４００分割して、複数の要素を形成した。
接触電圧Ｖｃを０．１Ｖ〜０．７Ｖまで変化させて、定常状態におけるジュール熱分布を求めた。接触電圧Ｖｃが０．２Ｖ、０．６Ｖの場合の温度分布を図２１および図２２に示す。なお、要素数が多いため、電極６１と電極６２との接触部分を中心とした一部分の温度分布のみを示した。
集電用すり板に相当する電極６２における電極６１に接触する接点外周の温度が最も高いことが分かる。
【００９９】
接触電圧Ｖｃを変化させたときの、定常状態における電極６１、６２の最高温度の変化を図２３に示す。図中には、（１）式から得られるφ−θ理論による理論値も示した。
図２３から、トロリ線に相当する電極６１の最高温度、および集電用すり板に相当する電極６２の最高温度は、ともにφ−θ理論による理論値よりも高くなることが分かる。電極６２の最高温度と電極６１の最高温度との温度差は、接触電圧Ｖｃが大きくなるのにしたがって大きくなることが分かる。
【０１００】
ここで、本実施形態の２次元の解析モデルおよび温度解析方法を用いて、トロリ線と集電用すり板とのどちらが先に溶融するかの解析を行った。
電極６１のｘ軸の正側の端、および電極６２のｘ軸の負側の端の温度をそれぞれ３００Ｋに固定した。すなわち、初期状態における電極６１、６２の温度は３００Ｋで、電極６１、６２の融点よりも低い。
接触電圧Ｖｃを０．１Ｖ〜０．７Ｖまで変化させて、非定常状態において時間に対する電極６１、６２の最高温度の変化を解析して求めた。接触電圧Ｖｃが０．２Ｖ、０．６Ｖの場合の最高温度の変化を図２４および図２５に示す。なお、定常状態になる前にどちらかの電極６１、６２が融点に達した場合には、解析はその時点で終了とした。図２６に、各接触電圧Ｖｃにおいて解析終了時のトロリ線および集電用すり板の最高温度をプロットした。
【０１０１】
図２６に示すように、接触電圧Ｖｃが０．２５Ｖ以下のときは、非定常状態のときだけでなく、非定常状態が安定して定常状態になったときでも電極６１、６２の温度はいずれも融点に達しない（以下、このような電極６１、６２の温度上昇の状態を、「第三の温度上昇形態」と称する。）。接触電圧Ｖｃが０．３Ｖ以上０．４５Ｖ以下のときには、電極６２の温度が第二の材料である鉄系焼結合金の融点に達するよりも先に、電極６１の温度が第一の材料である硬銅の融点に達する（以下、このような電極６１、６２の温度上昇の状態を、「第一の温度上昇形態」と称する。）。
接触電圧Ｖｃが０．５Ｖ以上のときは、電極６１の温度が硬銅の融点に達するよりも先に、電極６２の温度が鉄系焼結合金の融点に達する。（以下、このような電極６１、６２の温度上昇の状態を、「第二の温度上昇形態」と称する。）。ただし、第二の温度上昇形態においては、接触電圧Ｖｃが大きくなるのにしたがって電極６１の温度と電極６２の温度との差が増加するため、集電用すり板に相当する電極６２の温度が融点に達したときのトロリ線に相当する電極６１の温度が低下する傾向にあることが分かる。
【０１０２】
このように、本温度上昇評価方法では、接触電圧Ｖｃ、電極６１、６２の融点および電気抵抗率に応じて、電極６１、６２の温度上昇の状態を第一の温度上昇形態から第三の温度上昇形態に分類する。
トロリ線および集電用すり板の実際の使用条件における接触電圧Ｖｃが、例えば第一の温度上昇形態であれば、集電用すり板より先にトロリ線が溶融するため、トロリ線の外径を太くするなどの対策をすることが好ましい。接触電圧Ｖｃが第二の温度上昇形態であれば、トロリ線より先に集電用すり板が溶融するため、集電用すり板を厚くするなどの対策をすることが好ましい。
接触電圧Ｖｃが第三の温度上昇形態であれば、トロリ線および集電用すり板を補強する必要が少ないことが分かる。
【０１０３】
以上説明したように、本実施形態の温度上昇評価方法によれば、接触電圧Ｖｃ、電極６１、６２の融点および電気抵抗率に応じて、電極６１、６２の温度上昇の状態を第一の温度上昇形態から第三の温度上昇形態に分類する。これにより、接触電圧Ｖｃに応じて補強すべき電極６１、６２が分かる。
なお、本実施形態では、円柱座標系に適用される（４８）式で計算する場合で説明したが、直交座標系に適用される式でも計算することができる。
【０１０４】
（第３実施形態）
次に、本発明の第３実施形態について図２および図２７を参照しながら説明するが、前記実施形態と同一の部位には同一の符号を付してその説明は省略し、異なる点についてのみ説明する。
前述の第１実施形態の温度解析方法では、改良型の熱伝導方程式として（２６）式を用いたが、本実施形態の温度解析方法では（４９）式を用いている。
【０１０５】
【数３３】
2014222184.tif 000036
【０１０６】
ここで、図２に示す第一の要素２１に対して第二の要素２２および第三の要素２３が、ｘ軸に交差する方向、例えばｙ軸に沿う方向に移動する速度をｖ〔ｍ／ｓ〕とする。第一の要素２１が第二の要素２２をｘ軸に沿う方向に押圧する荷重をＰ〔Ｎ：ニュートン〕、第一の要素２１と第二の要素２２との間の動摩擦係数（摩擦係数）をμ〔−〕、第二の要素２２の体積を△Ｖ（＝Ａ１△ｘ）〔ｍ３〕とする。
本実施形態では、第一の要素２１に対して要素２２、２３がｙ軸に沿う方向に移動する状態、すなわちトロリ線に対して集電用すり板が移動する状態を考慮している。
（４９）式は１次元の熱伝導方程式であるが、円柱座標系に変換した２次元の熱伝導方程式は（５０）式のようになる。
【０１０７】
【数３４】
2014222184.tif 000037
【０１０８】
（５０）式を用いて、図１４に示す円柱状の２次元の解析モデルで解析を行った。この例では、速度ｖを２８〔ｍ／ｓ〕（１００〔ｋｍ／ｈ〕）、電極６１と電極６２との接点半径を４２μｍ、荷重Ｐを５４〔Ｎ〕、動摩擦係数μを０．５〔−〕とした。
解析結果を、図２７に示す。
この例においても、電極６１、６２中の最高温度は、集電用すり板に相当する電極６２における電極６１に接触する接点外周で生じていた。
【０１０９】
一般的に、トロリ線と集電用すり板とが通常の接触状態であれば、速度ｖがおよそ２．８〔ｍ／ｓ〕（１０〔ｋｍ／ｈ〕）を超えると、（４９）式における右辺の第１項よりも第２項の方が大きくなる。しかし、車両の走行中はトロリ線に対して集電用すり板が近づいたり遠ざかったりするように揺れるため、荷重Ｐは時間に対して変動する。場合によっては、トロリ線に対して集電用すり板が瞬間的に離間することもある。
【０１１０】
以上説明したように、本実施形態の温度解析方法によれば、要素２１〜２３が形成される材料の種類によらず解析でき、定常状態でφ−θ理論による式に一致するとともに非定常状態も解析することができる。
さらに、第一の要素２１に対して第二の要素２２が移動しているときの温度分布をより正確にシミュレーションすることができる。
【０１１１】
以上、本発明の第１実施形態から第３実施形態について図面を参照して詳述したが、具体的な構成はこの実施形態に限られるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない範囲の構成の変更、組み合わせなども含まれる。さらに、各実施形態で示した構成のそれぞれを適宜組み合わせて利用できることは、言うまでもない。
例えば、前記第１実施形態から第３実施形態では、各要素が硬銅や鉄系焼結合金で形成されているとした。しかし、各要素を形成する材料は、導電性を有する金属などであればこれに限られない。例えば、在来線では集電用すり板は、カーボンや銅合金で形成されている。このような場合であっても、本発明の温度解析方法および温度上昇評価方法を好適に用いることができる。
【符号の説明】
【０１１２】
２１    第一の要素
２２    第二の要素
２３    第三の要素
６１ａ  要素（第一の要素）
６２ａ  要素（第二の要素）
６２ｂ  要素（第三の要素）
【図１】
2014222184.tif 000040
【図２】
2014222184.tif 000041
【図３】
2014222184.tif 000042
【図４】
2014222184.tif 000043
【図５】
2014222184.tif 000044
【図６】
2014222184.tif 000045
【図７】
2014222184.tif 000046
【図８】
2014222184.tif 000047
【図９】
2014222184.tif 000048
【図１０】
2014222184.tif 000049
【図１１】
2014222184.tif 000050
【図１２】
2014222184.tif 000051
【図１３】
2014222184.tif 000052
【図１４】
2014222184.tif 000053
【図１５】
2014222184.tif 000054
【図１６】
2014222184.tif 000055
【図１７】
2014222184.tif 000056
【図２０】
2014222184.tif 000057
【図２３】
2014222184.tif 000058
【図２４】
2014222184.tif 000059
【図２５】
2014222184.tif 000060
【図２６】
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【図１８】
2014222184.tif 000062
【図１９】
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【図２１】
2014222184.tif 000064
【図２２】
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【図２７】
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