(57)【要約】      （修正有）【課題】大域的に安定性と制御性能を保証する三軸姿勢制御問題の制御器の設計手法を提供する。【解決手段】姿勢制御の対象となる系の動力学的および運動学的特性を線形パラメータ可変制御理論に基づく状態方程式で表す特性式化工程と、状態方程式を単純化する単純化工程と、単純化された状態方程式に基づいてゲインスケジューリング制御器の設計を行う設計工程とを備え、特性式化工程は、状態変数の係数行列が動力学方程式に係るスケジューリング変数により変化する第１部分係数行列、運動学方程式に係るスケジューリング変数により変化する第２部分係数行列およびいずれのスケジューリング変数にも依存しない第３部分係数行列からなる状態方程式で系の特性を表し、単純化工程は、第２部分係数行列を単位行列に変換すべく前記状態方程式に対する基底変換を行うパラメータ依存基底変換処理と、その処理後の状態方程式における状態変数を仮想状態量に置換する。【選択図】図２
2014153928.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
姿勢制御の対象となる系の動力学的および運動学的特性を線形パラメータ可変制御理論に基づく状態方程式で表す特性式化工程と、
前記状態方程式を単純化する単純化工程と、
単純化された状態方程式に基づいて状態フィードバックコントローラとしてのゲインスケジューリング制御器の設計を行う設計工程とを備え、
前記特性式化工程は、状態変数の係数行列が動力学方程式に係るスケジューリング変数により変化する第１部分係数行列、運動学方程式に係るスケジューリング変数により変化する第２部分係数行列およびいずれのスケジューリング変数にも依存しない第３部分係数行列からなる状態方程式で系の特性を表し、
前記単純化工程は、第２部分係数行列を単位行列に変換すべく前記状態方程式に対する基底変換を行うパラメータ依存基底変換処理と、そのパラメータ依存基底変換処理後の状態方程式における運動学方程式に関する状態変数を仮想状態量に置換することを特徴とするゲインスケジューリング制御器の設計方法。
【請求項２】
前記特性式化工程は、動力学方程式に係るスケジューリング変数をκ、運動学方程式に係るスケジューリング変数をσとするとき状態方程式
【数１】
2014153928.tif 000134
（ωおよびσは状態変数、ｕは系の入力、０はゼロ行列）
で系を表し、
前記単純化工程は、（１）式の係数行列
【数２】
2014153928.tif 000135
のうち第２部分係数行列Ｇ(σ)を単位行列に基底変換する変換行列
【数３】
2014153928.tif 000136
を（１）式の両辺の左方に乗じて基底変換後の状態方程式
【数４】
2014153928.tif 000137
を導き、前記単純化工程は、（４）式の状態変数のうちＧ-1(σ)σを仮想状態量ζで置換してσを含まない状態方程式
【数５】
2014153928.tif 000138
を導く請求項１に記載の設計方法。
【請求項３】
前記（５）式の仮想状態量ζに乗ぜられる各係数がゼロである請求項２に記載の設計方法。
【請求項４】
状態変数ωは角速度であり、状態変数σは改良ロドリゲス・パラメータである請求項２または３に記載の設計方法。
【請求項５】
前記ゲインスケジューリング制御器は、３個以上のアクチュエータにそれぞれフィードバックを行って三軸姿勢制御を行い、
前記スケジュール変数はそれらアクチュエータの駆動量を機体固定座標の三軸成分に変換したものである請求項１〜４の何れか一つに記載の設計方法。
【請求項６】
単純化された状態方程式で表される系に対して設計されたゲインスケジューリング制御器を元の系に変換し元の系のゲインスケジューリング制御器を得る工程をさらに備える請求項１〜５の何れか一つに記載の設計方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、線形パラメータ可変制御理論に基づくゲインスケジューリング制御器の設計方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
≪LPV制御理論≫
フィードバック制御を理論的に裏付ける自動制御理論として、まず、周波数領域で一入力一出力系を設計する古典制御理論が確立され、その後、状態変数を用い時間領域で多入力多出力系を設計する現代制御理論が確立された。現代制御理論では制御対象の系の動特性が線形時不変な状態方程式で表現されるが、実際の制御対象は非線形かつパラメータ依存であるため、理論と現実の乖離が問題となった。非線形かつパラメータ依存の系を制御対象とする場合、もはや一つのフィードバック制御器（以下、単にコントローラという）でそのすべての動作範囲をカバーすることは難しいことが多く、カバーできたとしても良好な性能が得られない。
【０００３】
そこで、非線形要素を含む制御対象を扱う制御理論として線形パラメータ可変制御理論（Linear Parameter-Varying Control TheoryあるいはLPV制御理論）が提案された。LPV制御理論では、系の幾つかの可変パラメータに対して各パラメータの可変範囲の端点、即ち上限および下限において好適な特性を有するコントローラ（以下、端点コントローラ）を予め設計しておく。各端点で制御対象は線形系で表される。そして、線形制御理論を適用して各端点コントローラを設計する。
【０００４】
端点コントローラが設計された系を対象としてフィードバック制御を実行する運用段階において、可変パラメータは時間の経過に伴って変動する。そこで、可変パラメータの値を逐次取得し、取得された可変パラメータの値に応じた好適なコントローラを算出する。この好適なコントローラは、端点コントローラの凸結合によって算出する。そうすると、時間の経過に伴う可変パラメータの変動に対応してコントローラのゲインが変化し、そのコントローラにより系が制御される。このように、可変パラメータの変化に応じてコントローラのゲインを変化させてシステムを制御する手法はゲインスケジューリング制御（Gain-Scheduled Control）と呼ばれ、可変パラメータはスケジューリング変数とも呼ばれる。LPV制御はゲインスケジューリング制御を実現するための一手法である。近年、種々の制御プラントにLPV制御の適用が検討されている。
【０００５】
現代制御理論では、通常制御対象が以下の式(1)でモデル化されることを前提とし、モデル化された系に対して式(2)のように状態変数をフィードバックするコントローラの設計手法を提供する。
【数１】
2014153928.tif 000003
ここで、xおよびuはベクトルであり、xは状態変数、uは系の入力である。また、A、BおよびKは係数行列である。式(1)は系の動特性を表す状態方程式であり、式(2)は、状態変数xを系の入力uにフィードバックするコントローラを表す。即ち、Kはコントローラのゲインである。
【０００６】
これに対し、LPV制御理論では、通常制御対象が以下の式(3)でモデル化されるものとし、モデル化された系に対して式(4)のように状態変数をフィードバックするコントローラの設計手法を提供する（Apkarian, P., Gahinet, P.,and Becker, G., “Self-scheduled H∞ Control of Linear Parameter-Varying Systems: a Design Example,” Automatica, Vol. 31, No. 9, 1995, pp. 1251-1261参照）。
【数２】
2014153928.tif 000004
【０００７】
式(1)に対して式(3)は、係数行列Aがパラメータκに依存する点が異なる。同様に、式(2)に対して式(4)は、コントローラゲインKがパラメータκに依存する点が異なる。一般にκは複数のパラメータからなるベクトルである。κに応じてAが変化することが系の非線形かつパラメータ依存特性を表す。以下、式(3)の形式で表される系の動特性をLPVモデルまたはLPVシステム表現と呼ぶ。また、式(4)は、κに対応してKを変化させるゲインスケジューリング制御を表している。Aがκに応じて変わるなら、コントローラゲインKもκに応じて変えるのが合理的である。以下、ゲインスケジューリング制御によるコントローラであることを明確にするためにコントローラをGS制御器と表記することがある。
【０００８】
≪ポリトープ表現≫
LPV制御理論は、式(3)のLPVモデルおよびパラメータκの変動範囲が与えられたとき、好適なコントローラ、即ち式(4)のコントローラゲインK(κ)を決定する手法を提供する。コントローラゲインK(κ)を設計する上で重要な考え方について触れておく。
【０００９】
κは一般に多次元の変数である。理解し易いように仮にκを式(5)のような3次元の変数とする。
【数３】
2014153928.tif 000005
【００１０】
そして、κの各要素α,β,γがそれぞれとり得る最小値と最大値が分かっており、それぞれ、
【数４】
2014153928.tif 000006
であったとする。このとき、任意の点κは、α,β,γの3次元座標を考えたとき、各軸の座標値が式(6)を満たす六面体の中に存在する。そして、κは以下の式(7)のように、六面体の８つの頂点（端点）の凸結合の形式で表現できる。これをポリトープ（polytope、多面体）表現という。
【００１１】
【数５】
2014153928.tif 000007
ここで、結合係数λiには、以下の関係が成立する。
【００１２】
【数６】
2014153928.tif 000008
以上のように、κが端点の凸結合で表現されるとき、式(3)の各行列A(κ)およびBは以下のようにポリトープ表現される。
【００１３】
【数７】
2014153928.tif 000009
式(3)で表される系は係数行列A (κ)がκに依存し、非線形かつパラメータ依存であったが、式(9)のようにポリトープ表現された制御プラントであれば線形パラメータ可変系として扱うことができる。
【００１４】
そして、係数行列A (κ)が式(9)のようにポリトープ表現できれば、8個の各端点における係数行列Ai毎にそれぞれ好適なコントローラゲインKiを予め求めておき、運用段階では各時刻におけるパラメータα,β,γに応じてλiを求め、求まったλiを用いてコントローラゲインKをKiの凸結合として算出し、その時刻におけるコントローラゲインK (κ)とすればよい。
【００１５】
≪宇宙機の姿勢制御≫
近年、宇宙機の姿勢制御が広範な分野に亘って研究されてきた。それらは、MED（Momentum Exchange Deviceあるいは角運動量交換型デバイス。例えば、リアクションホイールあるいはコントロール・モーメント・ジャイロ）や外部トルク発生機（例えば、ガスジェットや磁気トルカ）のような数種類のアクチュエータを扱うものである。外部トルク発生機は、資源が限られたり、トルクが小さいといった短所を有する。よって、この発明は主として姿勢制御を実現するMEDに焦点を当てる。
【００１６】
宇宙機の姿勢制御を行う際、ほとんどの制御則がリアプノフ（Lyapunov）関数に基づいたものを利用している（例えば、非特許文献１〜３参照）。このような制御側を実装したコントローラは大域的な安定性を容易に保証できるが、制御性能を考慮した姿勢制御を実現できない場合がほとんどである。たとえば、Euler角を運動学パラメータとした場合、制御性能を考慮した制御則はほとんどなく、MRP（Modified Rodrigues Parameter、改良ロドリゲス・パラメータ）を運動学パラメータとしたとしても制御性能を十分考慮することは困難である。
このような問題を解決するため、いくつかの研究ではLPV制御理論を宇宙機の姿勢制御問題に適用してきた（例えば、非特許文献４〜６参照）。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【００１７】
【非特許文献１】Tsiotras, P., “Stabilization and Optimality Results for the Attitude Control Problem,” Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 19, No. 4, July−August, 1996, pp. 772-779.
【非特許文献２】Yoon, H., and Tsiotras, P., “Spacecraft Line-of-Sight Control Using a Single Variable-Speed Control Moment Gyro,” Journal of Guidance Control, and Dynamics, Vol. 29, No. 6, 2006, pp. 1295-1308.
【非特許文献３】Chub, H., and Lappas, V., J., “ Redundant Reaction Wheel Torque Distribution Yielding Instantaneous L2 Power-Optimal Attitude Control,” Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 32, No. 4, July−August, 2009, pp. 1269-1276.
【非特許文献４】Kwon, S., Shimomura, T., and Okubo, H., “Pointing control of spacecraft using two SGCMGs via LPV modeling theory,” Acta Astronautica, Vol. 68, 2011, pp. 1168-1175.
【非特許文献５】Yamamoto, Y., and Shimomura, T., “Attitude Control of Spacecraft with VSCMGs using LPV Modeling Technique,” SICE Annual Conference, August, Tokyo, Japan, 2011, pp. 1676-1681.
【非特許文献６】Gao, R., Ohtsubo, K., and Kajiwara, H., “LPV Design for a Space Vehicle Attitude Control Benchmark Problem,” SICE Annual Conference, August, Fukui, Japan, 2003, pp. 2764-2767.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１８】
しかし、これらの研究のほとんどは、指向制御問題などを取り扱っており（例えば、非特許文献４および５参照）、宇宙機の三軸姿勢制御をLPV制御理論を用いて実現した研究はほとんどない。LPV制御理論を用いて三軸姿勢制御を実現した研究（例えば、非特許文献６参照）でも、MEDを有する宇宙機を取り扱ったものではない。
本発明は、以上のような事情を考慮してなされたものであり、複数のMEDを有する宇宙機の三軸姿勢制御問題をLPV制御理論を用いて実現することで、大域的安定性と制御性能を保証する制御器の設計を目的とする。ただし、本発明は宇宙機に限定されるものでなく、航空機、船舶、自動車、ロボット等、LPVモデルで表現される種々の制御対象に適用可能である。
【課題を解決するための手段】
【００１９】
この発明は、姿勢制御の対象となる系の動力学的および運動学的特性を線形パラメータ可変制御理論に基づく状態方程式で表す特性式化工程と、前記状態方程式を単純化する単純化工程と、単純化された状態方程式に基づいて状態フィードバックコントローラとしてのゲインスケジューリング制御器の設計を行う設計工程とを備え、前記特性式化工程は、状態変数の係数行列が動力学方程式に係るスケジューリング変数により変化する第１部分係数行列、運動学方程式に係るスケジューリング変数により変化する第２部分係数行列およびいずれのスケジューリング変数にも依存しない第３部分係数行列からなる状態方程式で系の特性を表し、前記単純化工程は、第２部分係数行列を単位行列に変換すべく前記状態方程式に対する基底変換を行うパラメータ依存基底変換処理と、そのパラメータ依存基底変換処理後の状態方程式における運動学方程式に関する状態変数を仮想状態量に置換することを特徴とするゲインスケジューリング制御器の設計方法を提供する。
【発明の効果】
【００２０】
この発明によるゲインスケジューリング制御器の設計方法によれば、単純化工程は、運動学方程式に関連する第２部分係数行列を単位行列に変換するパラメータ依存基底変換を行って基底変換後の運動学方程式に関する状態変数を仮想状態量に置換するので状態方程式が単純化され、その状態方程式に基づいたゲインスケジューリング制御器の設計が容易になる。即ち、スケジューリング変数が単純化工程により削減されるので、系の動力学的および運動学的特性が考慮された、大域的安定性と制御性能に優れたゲインスケジューリング制御器の設計が可能になる。
【００２１】
本発明において、制御器設計を容易にするため「パラメータ依存基底変換」および「仮想状態量」という二つの新しい考え方を用いている。「パラメータ依存基底変換」は、第２部分係数行列を単位行列に変換するための基底変換である。「仮想状態量」は、基底変換後の運動学方程式に関する状態変数を状態方程式の係数行列の零空間に含まれる性質を利用して、状態方程式の両辺で微分積分の関係が成り立つ要素に置換したものである。これらを導入することで、本来の制御対象（運動学＋動力学）をシンプルなLPVモデルとして取り扱うことが可能となり、制御器設計が非常に簡単になる。また、シンプルなLPVモデルに対して設計された制御器は、本来の制御プラントに対しても自動的に同等の安定性および制御性能を保証する。
この発明についてもう少し具体的に述べておく。
この発明において、系は、フィードバック制御の対象であり、具体例として宇宙機を初めとして航空機・船舶・自動車・ロボット等が挙げられるがこれらに限定されるものでなく、線形パラメータ可変制御理論に基づく状態方程式で特性が表現されるものに適用可能である。後述する実施形態においては、宇宙機の例を説明している。
線形パラメータ可変制御理論は非線形要素を含む制御対象を扱う制御理論として知られている。線形パラメータ可変制御理論に基づく状態方程式が与えられたとき、その系に対する状態フィードバックコントローラを設計する手法が知られているが、常に設計できるとは限らず、設計の可否は状態方程式の複雑さに依存し、特にスケジューリング変数の次元数に依存する。
この発明の特性式化工程、単純化工程および設計工程は全体として設計者により実行される。設計者は通常、各工程の処理を効率的に行うための道具としてコンピュータを使用する。特に、設計工程ではコンピュータが使用される。なお、一連の工程をコンピュータによって自動処理することも可能である。
【図面の簡単な説明】
【００２２】
【図１】この発明の実施形態に係るMEDの構成を示す説明図である。
【図２】この発明の実施形態に係る宇宙機のアクチュエータ配置の一例を示す説明図である。
【図３】この発明により設計されたフィードバック系の数値シミュレーションの結果を示すグラフである。角速度の推移を示す。
【図４】この発明により設計されたフィードバック系の数値シミュレーションの結果を示すグラフである。改良ロドリゲス・パラメータの推移を示す。
【図５】この発明により設計されたフィードバック系の数値シミュレーションの結果を示すグラフである。ホイールのスピン速度の推移を示す。
【図６】この発明により設計されたフィードバック系の数値シミュレーションの結果を示すグラフである。制御入力（ホイール加速）の推移を示す。
【図７】従来のフィードバック系の数値シミュレーションの結果を示すグラフである。角速度の推移を示す。
【図８】従来のフィードバック系の数値シミュレーションの結果を示すグラフである。改良ロドリゲス・パラメータの推移を示す。
【図９】従来のフィードバック系の数値シミュレーションの結果を示すグラフである。ホイールのスピン速度の推移を示す。
【図１０】従来のフィードバック系の数値シミュレーションの結果を示すグラフである。制御入力（ホイール加速）の推移を示す。
【発明を実施するための形態】
【００２３】
以下、この発明の好ましい態様について説明する。
前記特性式化工程は、動力学方程式に係るスケジューリング変数をκ、運動学方程式に係るスケジューリング変数をσとするとき状態方程式
【数８】
2014153928.tif 000010
（ωおよびσは状態変数、ｕは系の入力、０はゼロ行列）
で系を表し、前記単純化工程は、式(10)の係数行列
【数９】
2014153928.tif 000011
のうち第２部分係数行列Ｇ(σ)を単位行列に基底変換する変換行列
【数１０】
2014153928.tif 000012
を式(10)の両辺の左方に乗じて基底変換後の状態方程式
【数１１】
2014153928.tif 000013
を導き、前記単純化工程は、式(13)の状態変数のうちＧ-1(σ)σを仮想状態量ζで置換してσを含まない状態方程式
【数１２】
2014153928.tif 000014
を導くものであってもよい。
また、前記式(14)の仮想状態量ζに乗ぜられる各係数がゼロであってもよい。
さらにまた、状態変数ωは角速度であり、状態変数σは改良ロドリゲス・パラメータであってもよい。
σは、quaternion（クォータニオン）のベクトル部など他の運動学パラメータであってもよい。
また、前記ゲインスケジューリング制御器は、３個以上のアクチュエータにそれぞれフィードバックを行って三軸姿勢制御を行い、前記スケジュール変数はそれらアクチュエータの駆動量を機体固定座標の三軸方向成分に変換したものであってもよい。例えば、アクチュエータがリアクションホイールの場合、前記駆動量とはスピン角速度のことである。その場合、前記スケジュール変数はスピン角速度のベクトルを機体固定座標の三軸方向成分で表したものである。
さらにまた、単純化された状態方程式で表される系に対して設計されたゲインスケジューリング制御器を元の系に変換し元の系のゲインスケジューリング制御器を得る工程をさらに備えていてもよい。
この発明の好ましい態様は、ここで示した複数の態様のうち何れかを組み合わせたものも含む。
【００２４】
以下、図面を用いてこの発明をさらに詳述する。なお、以下の説明は、すべての点で例示であって、この発明を限定するものと解されるべきではない。
この明細書の構成は以下のようになる。まず、この発明の前提として制御プラント（具体例はアクチュエータとして複数のMEDを有する宇宙機）の動力学方程式とMRPを用いた運動学方程式について説明を行う。続いて、前記宇宙機の三軸姿勢制御問題に対するLPVモデルを考える。その際、この発明の大きな特徴であるパラメータ依存基底変換および仮想状態量を用いることでシンプルなLPVモデルを得ることができることを示す。そして、そのLPVモデルを用いた数値シミュレーションを行い、従来法との比較を行う。
【００２５】
≪動力学方程式・運動学方程式≫
〔動力学方程式〕
前述のように、実施形態では制御対象として宇宙機を取り扱う。前記宇宙機は剛体とし、図1に示すようなMEDをn個搭載しているものとする。宇宙機の機体に固定された機体固定座標系ＦBは直交ベクトル
【数１３】
2014153928.tif 000015
で表現される。i番目のMEDの配置は図1のように直交する３つの単位ベクトル
【００２６】
【数１４】
2014153928.tif 000016
で与えられる。第１番目の単位ベクトルはホイールのスピン軸、第２番目の単位ベクトルはジンバル軸、第３番目の単位ベクトルはスピン軸およびジンバル軸と直交する軸（トルク軸）方向のベクトルである。各MEDが同じ慣性モーメントをもつと仮定すると、宇宙機のもつ全角運動量Ｈは以下のように書ける。
【００２７】
【数１５】
2014153928.tif 000017
ここで、ωは宇宙機の角速度ベクトルであり、JはMEDを含む宇宙機全体の慣性テンソル、Iwsはスピン軸
【数１６】
2014153928.tif 000018
に関するホイールの慣性モーメント、Icgはジンバル軸
【数１７】
2014153928.tif 000019
に関するジンバル構造とホイールの慣性モーメントの和、
【００２８】
【数１８】
2014153928.tif 000020
は各MEDのホイールスピンレートを成分にもつベクトル、
【数１９】
2014153928.tif 000021
は各MEDのジンバル角を成分にもつベクトルである。なお、この明細書で［］’は転置を表す。また、Ｇg,Ｇsは以下のように与えられる行列である。
【００２９】
【数２０】
2014153928.tif 000022
即ち、Ｇgは各MEDのジンバル軸方向の単位ベクトルを機体固定座標系ＦBの三軸で表し、それらを並べた3×n行列である。同様にＧsは各MEDのスピン軸方向の各単位ベクトルをＦBの三軸で表して並べた3×n行列である。これらは、アクチュエータに固定された座標系を機体固定座標系ＦBに変換する座標系変換行列といえる。
外乱トルクが作用していないとき、剛体宇宙機の動力学方程式は以下のように書ける。
【００３０】
【数２１】
2014153928.tif 000023
式(17)中のω×Ｈの項は、慣性系に対する宇宙機の機体軸の運動の影響を表している。ここで、x×は任意の3次元ベクトル
【数２２】
2014153928.tif 000024
に対し、以下で定義される行列である。
【００３１】
【数２３】
2014153928.tif 000025
式(18)で、オペレータ「×」は、任意の3次元ベクトルxを3×3行列に変換するオペレータとして定義されるが、その後に任意の3次元ベクトルyが続くとき、x×yの演算結果はベクトルxとyの外積に等しい。外積は２つのベクトル間の演算を規定するオペレータである点が、オペレータ「×」はこれを１つのベクトルに対するオペレータとして規定したものといえる。
【００３２】
式(15)を式(17)に代入すると、
【数２４】
2014153928.tif 000026
【００３３】
ここで、
【数２５】
2014153928.tif 000027
は機体固定座標系ＦB上での微分を意味する。アクチュエータは、ジンバル軸
【数２６】
2014153928.tif 000028
を中心に回転するので、アクチュエータに関連する項は次のように展開される。
【００３４】
【数２７】
2014153928.tif 000029
ただし、
【００３５】
【数２８】
2014153928.tif 000030
は、ジンバルフレーム上、即ちアクチュエータに固定された座標系上での微分を意味する。上式第２行目の第２番目の項
【数２９】
2014153928.tif 000031
は、機体に対するジンバル軸の運動の影響を表す。
【００３６】
上式の第２項目は、図１に示す
【数３０】
2014153928.tif 000032
の関係から、第３行目のようになる。さらに、第３行目で、
【数３１】
2014153928.tif 000033
から第４行目のようになる。第４行目のdiag［Ω］は、各MEDのホイールスピンレートΩ1〜Ωnを要素とする対角行列を表す。また、
【数３２】
2014153928.tif 000034
を用いている。
【００３７】
以上より、宇宙機の動力学方程式は、
【数３３】
2014153928.tif 000035
と記述される。これを簡略化して以下の動力学方程式が得られる。
【数３４】
2014153928.tif 000036
【００３８】
ただし、上式では
【数３５】
2014153928.tif 000037
の項は他の項と比較して十分小さいものとし省略した。ジンバル角δの２階微分の項が果たして十分小さいといえるのか疑問を抱くかもしれない。これついては、次のことがいえる。大半のアクチュエータは、元来リミッタを有しており、例えばCMG（Control Moment Gyro、コントロール・モーメント・ジャイロ）ではジンバル角加速度に自ずと上限がある。
【００３９】
式(19)は、複数のMEDまたはSGVSCMG（Single-Gimbal Variable-Speed CMG、可変速度CMG）を搭載した宇宙機の動特性の一般化された記述である。式(19)で、
【数３６】
2014153928.tif 000038
と置くこと（ジンバルのロックに対応）により、MEDがRW（Reaction Wheel、リアクションホイール）のときの動特性が得られる。同様に、
【数３７】
2014153928.tif 000039
と置くこと（一定のホイールスピンレートに対応）により、MEDがCMGのときの動特性が得られる。
【００４０】
〔運動学方程式〕
続いて、LPVモデルで用いる運動学方程式について述べる。宇宙機の安定性は慣性系に対する機体の角速度ωをゼロに収束させて回転を止める問題、あるいは目標角速度ωrに収束させる問題に帰着する。動力学方程式を用いてωの挙動を解析できる。これに対し、姿勢制御は、機体が所定の姿勢になった状態で回転を止める問題、もしくは、変化し続ける目標姿勢角に姿勢を追従させる問題である。宇宙機の姿勢は、慣性座標系ＦIに対する機体固定座標系ＦBの方向で与えられる。機体固定座標系ＦBと慣性座標系ＦIのずれ、つまり宇宙機の姿勢を表現するには3次元のパラメータで十分である。実施形態では運動学パラメータ（姿勢パラメータ）として、MRPを用いる。ただし、この発明の本質はMRPに限定されるものでない。他の姿勢パラメータ、例えばCayley-Rodrigues Parameter（ケーリー・ロドリゲス・パラメータ）や4次元のquaternion（クォータニオン、Euler parameterともいう）、さらに、一般化ロドリゲスパラメータを用いる場合にもこの発明は適用できる。
【００４１】
Euler軸
【数３８】
2014153928.tif 000040
および回転角θを用いると、MRPは以下のように表現できる（非特許文献１およびSchaub, H., and Junkins, J., L., “Analytical Mechanics of Space Systems,” AIAA Education Series, AIAA, Reston, VA, Oct. 2003参照）。
【数３９】
2014153928.tif 000041
MRPに対して、特異点はθ＝±2πのときだが、このような状態はトラッキング問題を除けば非常に起こりにくい。MRPを用いた場合の運動学方程式は以下のように書ける。
【００４２】
【数４０】
2014153928.tif 000042
ただし
【数４１】
2014153928.tif 000043
【００４３】
また、Ｇ(σ)はθ＝±2πの場合を除いて、逆行列:
【数４２】
2014153928.tif 000044
をもつ。
式(21)は、宇宙機の角速度ωに対する姿勢パラメータσの時間変化を表している。
【００４４】
≪LPVモデリングと制御器設計≫
〔LPVモデリング〕
式(19)からわかるように宇宙機の動力学方程式は非線形方程式であり、そのままLPV制御理論で取り扱うことは困難である。そこで、式(19)を平衡点
【数４３】
2014153928.tif 000045
まわりに局所線形化し、以下のLPVシステムを得る。
【００４５】
まず、式(19)を変形し、
【数４４】
2014153928.tif 000046
【００４６】
これに式(15)を代入すると、
【数４５】
2014153928.tif 000047
平衡点まわりに局所線形化された条件下では、
【数４６】
2014153928.tif 000048
であるから、これを上式に代入すると、左辺第１項目の小括弧内の第１および２項目はゼロになり、
【００４７】
【数４７】
2014153928.tif 000049
となる。もしくは、式(3)の形式にあわせると以下のように書ける。
【数４８】
2014153928.tif 000050
ただし
【００４８】
【数４９】
2014153928.tif 000051
である。ここで、スケジューリングパラメータκはスピンレートΩとジンバル角δの関数である。なお、式(25)のAdおよびBdにδは陽に表われていないが、ＧsおよびＧtを含んでいる。ＧsおよびＧtはスピン軸方向およびトルク軸方向の単位ベクトルを機体固定座標系ＦBの三軸で表したものであるから機体に対するジンバル角δが変化すると値が変化する。よって、κはδの関数である。
【００４９】
CMGやVSCMGをアクチュエータとして用いる場合、ジンバル角δを変化させるのでBd(κ)はスケジューリング変数κに依存する。Bd(κ)がκに依存する場合、ゲインスケジューリング制御を実施することが困難であるため、Pre-filterを挿入するなどする必要がある（Apkarian, P., Gahinet, P., and Becker, G., “Selfscheduled H∞ Control of Linear Parameter-varying Systems: A Design Example,” Automatica, Vol. 31, No. 9, 1995, pp. 1251-1261参照）。RWの場合、ジンバル角δは変化しないのでδの微分はゼロとなり、式(25)におけるBd(κ)のdiag「Ω」は消去される。よって、Bd(κ)は定数行列となり、スケジューリング変数に依存しない。実施形態では、後者の場合を取り扱う。この場合、宇宙機の動力学方程式は以下のように書ける。
【００５０】
【数５０】
2014153928.tif 000052
ただし、κ,σの動作領域をΚ,Σで表す。状態変数を
【数５１】
2014153928.tif 000053
とすると、宇宙機の三軸姿勢制御問題の状態空間表現は以下で与えられる。
【００５１】
【数５２】
2014153928.tif 000054
もしくは以下のように書ける。
【００５２】
【数５３】
2014153928.tif 000055
ただし、
【数５４】
2014153928.tif 000056
である。
【００５３】
式(28)で、ωおよびσはいずれも3次元のベクトルであるので式(29)のxは6次元のベクトルであり、Ωはn次元（前述のごとくnはMEDの数）のベクトルであるのでuはn次元のベクトルである。Ad(κ)およびＧ(σ)はそれぞれ3×3行列、Bdは3×n行列である。Ｇ(σ)は非線形ではあるが、凸包で覆うことができるので、式(3)に対応する式(29)はLPVモデルとして取り扱うことができる。この場合、スケジューリング変数の次元はκのn次元とσの3次元を合計した(n＋3)となるため、GS制御器を設計する場合2n+3個のLMI（Linear Matrix Inequality、線形行列不等式）を同時に解く必要があるが、κの次元は、要素を適切に選ぶことによりどのような場合でも3次元に落とすことができる（後述する「スケジューリング変数の適切な選択による次元数の削減」参照）。
したがって、結局、制御器設計のために26＝64個のLMIを同時に解くことになる。しかし、このように同時に解くべきLMIの個数を減らすことができたとしても、64個のLMIを同時に解くことはまだ非常に困難であり、制御器設計ができないことが多い。
【００５４】
〔パラメータ依存基底変換と仮想状態量の導入〕
そこで、この発明では仮想状態量ζ、パラメータ依存基底変換行列M(σ)を導入することでスケジューリング変数の次元を3次元にまで減らし、より簡単な制御器設計を実現する。
【００５５】
ここで、仮想状態量ζ、パラメータ依存基底変換行列M(σ)はそれぞれ以下のように定義される。
【数５５】
2014153928.tif 000057
M(σ)は、式(30)のA(κ, σ)の行列中のＧ(σ)を単位行列に変換するように決定されている。M(σ)により基底変換された相似なシステムにおける制御器設計は、スケジューリング変数の次元数が3次元である。この相似システムにおける制御器は、端点の数が23＝8の6面体によりポリトープ表現される。前記制御器は、各端点制御器の凸結合で表現できるので（「背景技術」欄の「ポリトープ表現」参照）、制御器設計は各端点制御器の設計に帰着する。ただし、相似システムで設計された制御器は、本来のシステムに逆変換したうえで運用する必要がある。
M(σ)を用いて式(29)に基底変換行うと、以下のようになる。式(29)の両辺に左方からM(σ)を乗じて、
【００５６】
【数５６】
2014153928.tif 000058
【００５７】
式(33)に式(31)および(32)を適用して、
【数５７】
2014153928.tif 000059
ここで、
【００５８】
【数５８】
2014153928.tif 000060
である。左方から掛かる係数行列のゼロ要素によってＧ-1(σ)σの部分が消去されることを利用してＧ-1(σ)σをζに置換し、
【００５９】
【数５９】
2014153928.tif 000061
もしくは以下のように書ける。
【００６０】
【数６０】
2014153928.tif 000062
ただし、
【数６１】
2014153928.tif 000063
であり、
【００６１】
【数６２】
2014153928.tif 000064
ここで、上式の基底変換を行う際の注意点を示す。
【００６２】
式(35)を得るために、
【数６３】
2014153928.tif 000065
にも関わらず
【数６４】
2014153928.tif 000066
をζで置き換えた。このような操作が可能であるのは、本来の制御プラントの構造を利用したためである。式(34)からわかるように、状態変数の下半分である
【００６３】
【数６５】
2014153928.tif 000067
は零行列との積で常に消去される。
つまり、状態変数の下半分である
【数６６】
2014153928.tif 000068
は常に任意の状態変数に置き換えても何ら問題はない。よって、状態変数の下半分
【００６４】
【数６７】
2014153928.tif 000069
を仮想状態量ζで置き換える操作は可能である。本来の制御プラントの構造をうまく利用し、パラメータ依存基底変換と仮想状態量を導入することで、式(29)で表現される本来の制御プラントをシンプルなLPVモデルに変換することができた。
【００６５】
〔制御器設計〕
ここからは、式(36)で表現されたシンプルなLPVモデルに対してGS（Gain-Scheduled）制御器の設計を行う。即ち、相似システム上で制御器設計を行う。式(36)は式(3)で表現された制御プラントのモデルに対応する。モデル化された制御プラントに対して式(4)に対応する制御器の設計を行う。そして、基底変換を元に戻すことで、式(36)に対して得られたGS制御器が本来の制御プラントに対しても有効であることを示す。まず、式(29)および(36)に対する一般化制御プラント（Generalized plant）を以下のように定義する。一般化制御プラントは、外乱が入ってきたときに系がうまく制御できるかを考慮するために、制御プラントの動特性を表す状態方程式（式(3)参照）に外乱（下記式(38)および(39)におけるw）の項を加えたものである。
【００６６】
まず、式(29)に対する一般化制御プラントを、
【数６８】
2014153928.tif 000070
とし、これに基底変換と仮想状態量を導入して得られる相似システム上でのシンプルなLPVモデル、即ち式(36)に対する一般化制御プラントを、
【００６７】
【数６９】
2014153928.tif 000071
とする。
ここで、係数行列
【００６８】
【数７０】
2014153928.tif 000072
は直交条件
【数７１】
2014153928.tif 000073
および正定条件
【数７２】
2014153928.tif 000074
を満たすように選ばれることが多い。また、
【数７３】
2014153928.tif 000075
はそれぞれ外乱ベクトル、式(29)に対する性能評価出力、式(36)に対する性能評価出力とする。
【００６９】
このとき、式(36)で表現されたシンプルなLPVモデルに対してGS制御器
【数７４】
2014153928.tif 000076
を設計する。実施形態では、大域的な安定性と
【数７５】
2014153928.tif 000077
性能を保証するような制御器を設計する。このような条件を満たす制御器
【数７６】
2014153928.tif 000078
はLyapunov共通解
【数７７】
2014153928.tif 000079
を用いると以下の凸最適化問題の解として求められる（後述する捕捉説明欄の「漸近安定性」参照）。
【００７０】
【数７８】
2014153928.tif 000080
ただし、
【００７１】
【数７９】
2014153928.tif 000081
である。式(40)〜(42)は、行列変数が
【数８０】
2014153928.tif 000082
であるときに、式(40)〜(42)の制約条件のもとで
【数８１】
2014153928.tif 000083
のトレースが下限をとるようなパラメータの値を見出す最適化問題を表している。また、式(40)および(41)の行列右上の「＊」は、その部分に行列左下の要素の転置が入ることを示している。
【００７２】
式(42)のようにκがとり得るすべての範囲で任意の各端点制御器の凸結合で表現されるコントローラが、ポリトープ内の任意のκにおいて制御プラントを安定化することが保証されなければならない。この安定化条件を与えるのが式(85)のLyapunov不等式である。
pを端点数とすると、シンプルなLPVシステムは以下のポリトープ表現で表される。
【数８２】
2014153928.tif 000084
このとき、以下のLMI問題を満たすような端点制御器
【数８３】
2014153928.tif 000085
を考える。
【００７３】
【数８４】
2014153928.tif 000086
【００７４】
最適解
【数８５】
2014153928.tif 000087
を用いると端点制御器は
【数８６】
2014153928.tif 000088
で表現でき、GS制御器は以下のように与えられる。
【００７５】
【数８７】
2014153928.tif 000089
このGS制御器にはLyapunov共通解が用いられており、保守的な設計になる可能性がある。そこで、Lyapunov非共通解を用いたGS制御器の設計を行う。Lyapunov非共通解を用いると、以下のLMI、即ち式(50)〜(52)を満たす
【数８８】
2014153928.tif 000090
を求めることになる（Shimomura, T., and Kubotani, T., “Gain-Scheduled Control under Common Lyapunov Functions: Conservatism Revisited,” Proc. of 2005 American Control Conference, 2005, pp. 870-875参照）。
【００７６】
【数８９】
2014153928.tif 000091
【００７７】
最適解
【数９０】
2014153928.tif 000092
を用いればより保守性の少ない制御器を得ることができる。そして、それにより得られた端点制御器
【数９１】
2014153928.tif 000093
を用いて式(49)によりGS制御器が与えられる。
【００７８】
i＝1,…,pの各端点制御器は、各端点において系を安定化するように設計されたものである。ただし、このようにして得られたGS制御器は各端点での安定性が保証されるもののポリトープ内の全領域での安定性を保証するものではない。式(49)のように各端点制御器の凸結合で表現されるコントローラが、ポリトープ内の任意のκにおいて系を安定化することが保証されなければならない。全運用領域で大域的安定性、
【数９２】
2014153928.tif 000094
性能を保証するため、
【数９３】
2014153928.tif 000095
の決定後、以下のLMI問題を解く必要がある。
【００７９】
【数９４】
2014153928.tif 000096
【００８０】
このLMI問題が可解であるとき、Lyapunov非共通解を用いて式(36)で表現されたシンプルなLPVモデルに対し設計されたGS制御器が以下のLMI問題を満たす。
【数９５】
2014153928.tif 000097
【００８１】
このように、シンプルなLPVモデルに対して式(49)で表されるGS制御器を設計することができた。そして、パラメータ依存基底変換を元に戻すことで
【数９６】
2014153928.tif 000098
本来の制御プラントに対するGS制御器K(κ,σ)を得ることができる。
【００８２】
【数９７】
2014153928.tif 000099
ここで、
【数９８】
2014153928.tif 000100
である。
【００８３】
このように、式(29)で表現された本来の制御プラントに対する端点制御器は
【数９９】
2014153928.tif 000101
で与えられる。そのとき、GS制御器Κ(κ,σ)は以下のLMI問題を満たす。
【００８４】
【数１００】
2014153928.tif 000102
ただし、
【００８５】
【数１０１】
2014153928.tif 000103
【００８６】
ここで、M(σ),Bの構造を考えると
【数１０２】
2014153928.tif 000104
となる。
【００８７】
同様に、
【数１０３】
2014153928.tif 000105
（通常は動力学方程式のみに外乱が入る）のとき、
【数１０４】
2014153928.tif 000106
である。なお、式(53)〜(55)が可解でなくても、以下に示すLMIの可解性を確認することで全運用領域での大域的安定性が保証できる。
【００８８】
【数１０５】
2014153928.tif 000107
以上で、この発明の主要結果が得られた。トラッキング問題へ適用する場合、偏差MRPを用いて同様の議論を行えばよい。（詳細はY. Yamamoto, and T. Shimomura, “Attitude Control of Spacecraft through A Simple LPV Model with A Virtual State Variable,” AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, AIAA 2012-5005参照）
【００８９】
≪数値シミュレーション≫
この発明の有効性を示すため、従来法とこの発明による手法の数値シミュレーション結果を以下に示す。従来法として、MRPを用いたLyapunov関数に基づく制御器を用いた。宇宙機のパラメータ、初期条件、目標姿勢を表1に示す。また、アクチュエータ配置の一例を図2に示す。図2の例ではアクチュエータとして４つのリアクションホイールRW1〜RW4が配置されている。
【００９０】
【表１】
2014153928.tif 000108
【００９１】
制御器設計変数
【数１０６】
2014153928.tif 000109
は以下のように設定した。
【００９２】
【数１０７】
2014153928.tif 000110
【００９３】
この発明による手法（以下、提案法という。図3〜図6参照）を用いた場合、宇宙機の姿勢制御は約100[秒]程で実現できている。一方、Lyapunov関数に基づいた従来法（図7〜図10参照）を用いた場合、姿勢制御の実現に200[秒]以上かかっている。制御入力の大きさがどちらも10[ラジアン／秒2]であることを考えると、提案法の制御性能が優れているといえる。
【００９４】
〔スケジューリング変数の適切な選択による次元数の削減〕
以下に、スケジューリング変数を適切に選ぶことで制御器設計が容易になることを示す。n個のRWを搭載した宇宙機を考えると、スケジューリング変数κの次元はnになるように思われる（κ＝Ωとした場合）。
この場合、シンプルなLPVモデルを凸包で覆うのに少なくとも2n個の端点が必要になる。このように、スケジューリング変数を各RWのスピンレートΩとすると、制御器設計が困難になる場合がある。例えば、アクチュエータの故障に備えて冗長にアクチュエータを配置する場合、凸包の端点数が多くなってしまい、大域的安定性を保証することが困難になることがある。
【００９５】
しかし、スケジューリング変数κを適切に選ぶことで、この問題を解決することができる。スケジューリング変数をκ＝Ωではなく、κ＝ＧsΩとすることでスケジューリング変数の次元を３に落とすことができる。なお、Ｇsは各RWのスピン軸方向の各単位ベクトルをＦBの三軸で表して並べた3×n行列である。このとき、シンプルなLPVモデルは23＝8個の端点をもつ凸包で覆うことができ、大域的安定性の保証が非常に容易になる。
【００９６】
〔凸結合係数λi(κ)〕
以下に、GS制御器の凸結合係数をどのように求めるかを示す。κimin、κimaxをスケジューリング変数κiの最小値、最大値とする。このとき、スケジューリング変数κiは以下のように表すことができる。
【数１０８】
2014153928.tif 000111
凸結合係数λi(κ)は表2のように計算することができる。
【００９７】
【表２】
2014153928.tif 000112
【００９８】
〔漸近安定性〕
１）リアプノフ安定論
式(72)および(73)の状態方程式で表現されるシステム
【数１０９】
2014153928.tif 000113
の漸近安定性（x(t)→0）をリアプノフ関数の収束性の立場から論ずる。リアプノフ関数V(t)は、以下の正定関数として定義される関数である。
【００９９】
【数１１０】
2014153928.tif 000114
即ち、ゼロでないすべてのxについてV(t)は正の値をとる。ここで、正定関数に対応する正方対象行列P'＝Pを正定行列という。
【数１１１】
2014153928.tif 000115
である。状態の解x(t)について
【０１００】
【数１１２】
2014153928.tif 000116
が成り立つならば、V(x(t))が時間の増加と共に単調減少する。
式(74)に示すV(x)≧0の条件より、
【数１１３】
2014153928.tif 000117
となり、式(75)よりP＞0であるから、V(x(∞))＝0となるには状態の解x(∞)＝0でなければならない。従って、システムの漸近安定性がいえる。
【０１０１】
２）状態漸近収束の条件
以下の行列不等式を満たす正定解P＞0が存在すれば、システムの漸近安定性は保証される。
【数１１４】
2014153928.tif 000118
式(72)および(73)より、
【数１１５】
2014153928.tif 000119
式(78)に式(79)を代入して、
【０１０２】
【数１１６】
2014153928.tif 000120
x≠0に対し、式(80)の不等式が成立する条件は、
【数１１７】
2014153928.tif 000121
である。
【０１０３】
３）パラメータ可変系の安定性
以上に述べた線形系に対して、式(82)および(83)で表現されるパラメータ可変系
【数１１８】
2014153928.tif 000122
の安定性を論ずる。パラメータκが変化するとリアプノフ関数V(t)、即ちPも変わると考えることができる（式(74)参照）。κに応じて変化する制御プラントに対してリアプノフ関数
【数１１９】
2014153928.tif 000123
で安定性を保証することを考える。
【０１０４】
これが可能な場合、κのとり得るすべての値に対応するプラントの集合はいずれも安定であるといえる。安定性の条件は、κのとり得るすべての値について、式(81)に対応する下記不等式、
【数１２０】
2014153928.tif 000124
を満たす正定行列P(κ)が存在することである。
【０１０５】
４）２次安定性
パラメータ可変系では、本来パラメータκが変化するとリアプノフ関数V(t)に係る正定行列Pも変わると考えることができる（式(84)参照）。しかし、κに応じて変化するP(κ)を見つけるのが困難である。そこで、プラント集合に含まれるすべてのシステムに共通のPを用いて安定性を保証することを考える。これが可能な場合、プラント集合が２次安定であるという。２次安定性はかなり厳しい要求であるが、実用上有用である。
【０１０６】
２次安定性の条件は、式(85)のP(κ)をκのすべての値で共通のPに置換して、
【数１２１】
2014153928.tif 000125
となる。
５）ポリトープ系の安定性条件
式(82)に対応し、以下のようにp個の端点によりポリトープ表現されるパラメータ可変系
【数１２２】
2014153928.tif 000126
を対象としてフィードバック制御を実行するときの好適な制御器は、端点制御器の凸結合として算出するのがLPV制御の考え方である。制御器は、次のように表される。
【数１２３】
2014153928.tif 000127
この場合の安定性について考える。
【０１０７】
式(88)を式(87)に代入して、
【数１２４】
2014153928.tif 000128
を得る。プラントの安定性の条件は、すべてのλi(κ)について、式(85)に対応する下記不等式
【数１２５】
2014153928.tif 000129
を満たす共通の正定行列Pが存在することである。
【０１０８】
式(91)を整理すると、
【数１２６】
2014153928.tif 000130
となる。
ここで、λi＝１のとき式(90)より、λj＝0 (j≠i) であるから、式(92)の安定条件は、
【数１２７】
2014153928.tif 000131
を満たす共通の正定行列Pが存在することである。式(93)はすべてのi、即ちすべての端点について成立する。
【０１０９】
逆に、式(93)がすべてのiについて成り立つとき、少なくとも一つのλiがゼロでないから式(92)が成立する。よって、各端点において式(93)の条件を満たす共通のPが存在することが、式(92)と等価な２次安定条件となる。
式(93)でKiおよびPは、いずれも行列変数であり両者の積を含むので、式(93)はLMIではなくBMI（Bilinear Matrix Inequality、双線形行列不等式）である。よって、式(93)の不等式はそのままでは解くことが難しい。
【０１１０】
５）BMIからLMIへの変換
式(92)に次の変数変換を施すことによりBMIをLMIに変換する。
まず、X：＝P-1を式(93)の両側から掛けて、
【数１２８】
2014153928.tif 000132
さらに、Wi：＝KiXの変数変換を行って、
【数１２９】
2014153928.tif 000133
式(95)で、XおよびWiは、いずれもκをパラメータとするが、それらの積を含まないのでLMIであり、解くことができる。式(95)を解いてWiが求まったら、KiはKi＝WiX-1で求められる。
式(47)の行列不等式の左上の要素は、式(95)に対応する２次安定性の条件を表しており、性能保証を含めるために拡張された行列不等式になっている。
【０１１１】
前述した実施の形態の他にも、この発明について種々の変形例があり得る。それらの変形例は、この発明の範囲に属さないと解されるべきものではない。この発明には、請求の範囲と均等の意味および前記範囲内でのすべての変形とが含まれるべきである。
【産業上の利用可能性】
【０１１２】
この発明は、仮想状態量ζ、パラメータ依存基底変換行列M(σ)を導入し、宇宙機の姿勢制御を実現する新たな手法を示した。提案法を用いることにより、本来の制御プラントを、より少ない端点数で覆うことができるシンプルなLPVモデルに変換できること示した。そして、基底変換を元に戻すことにより本来の制御プラントに対するGS制御器が得られることを示した。また、シンプルなLPVモデルに対して設計したGS制御器は本来の制御プラントに対して大域的な安定性と制御性能を自動的に保証することを示した。数値シミュレーションにより、提案法と従来法の比較を行い、提案法がよりよい制御性能を示すことが分かった。実施形態では、アクチュエータとしてRWを用いたが、他のアクチュエータ（CMGやVSCMGなど）にもこの発明は適用可能である。また、制御器設計の際、H2制御器の設計を行ったが、この発明はLMIを用いて制御器を設計できるため、他の制御目的（H∞性能や入力飽和制約など）を同時に満たす制御器の設計が可能である。
ただし、この発明は宇宙機に限定されるものでなく航空機、船舶、自動車、ロボット等LPVモデルで表現される種々の制御プラントに適用可能である。
【符号の説明】
【０１１３】
１１：角運動量交換型デバイス
RW1, RW2, RW3, RW4：リアクションホイール
【図１】
2014153928.tif 000139
【図２】
2014153928.tif 000140
【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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