(57)【要約】【課題】画像Ｉの位置空間Ｒｓに含まれる領域Ｄの境界δＤとして、画像Ｉのエッジに沿った境界を特定することが可能な境界特定装置を実現する。【解決手段】境界特定装置１は、画像Ｉに対応する画像多様体Ｍを生成する画像多様体生成部１１と、画像多様体Ｍ上の制約点において所定の制約条件を満たすスカラー場ｆを生成するスカラー場生成部１４と、スカラー場ｆのゼロレベルセットＺを導出するゼロレベルセット導出部１５とを備えている。【選択図】図１
2014203403.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ｓ次元（ｓは予め定められた２以上の整数）空間Ｒｓの各点ｘに対応するｒ次元画素値Ｉ（ｘ）により構成される画像Ｉに関して、該ｓ次元空間Ｒｓに含まれる領域Ｄの境界δＤを、該境界δＤ上の点として指定されたＮ個の点ｐｉと、各点ｐｉにおける該境界δＤの法線ベクトルとして指定されたＮ個のｓ次元ベクトルｎｉとに基づいて特定する境界特定装置において、
画像Ｉに対応する画像多様体Ｍ＝｛（ｘ，ｗｃＩ（ｘ））∈Ｒｓ＋ｒ｜ｘ∈Ｒｓ｝（ｗｃは０より大きい任意の実数）を生成する画像多様体生成部と、
各点ｐｉに対応する画像多様体Ｍ上の制約点ｐ’ｉ＝（ｐｉ，ｗｃＩ（ｐｉ））∈Ｒｓ＋ｒを導出する制約点導出部と、
各ｓ次元ベクトルｎｉに対応するｓ＋ｒ次元ベクトルである制約ベクトルｎ’ｉ＝Ｊ（ｐｉ）ｎｉ／｜Ｊ（ｐｉ）ｎｉ（Ｊ（ｐｉ）は点ｐｉにおける写像ｒ：ｘ→ｒ（ｘ）＝（ｘ，ｗｃＩ（ｘ））のヤコビ行列）を導出する制約ベクトル導出部と、
結合空間Ｒｓ＋ｒ上のスカラー場ｆであって、各制約点ｐ’ｉについて、第１の制約条件ｆ（ｐ’ｉ）＝０、及び、第２の制約条件∇ｆ（ｐ’ｉ）＝ｗｂｎ’ｉ＋（１−ｗｂ）（ｎｉ，０）（ｗｂは０以上１以下の任意の実数）を満たす滑らかなスカラー場ｆを生成するスカラー場生成部と、
スカラー場ｆのゼロレベルセットＺ＝｛ｘ∈Ｒｓ｜ｆ（ｒ（ｘ））＝０｝を導出するゼロレベルセット導出部と、を備えている、
ことを特徴とする境界特定装置。
【請求項２】
上記スカラー場生成部は、下記の式により定義されるスカラー場ｆを生成する、
ことを特徴とする請求項１に記載の境界特定装置。
【数１】
2014203403.tif 000011
【請求項３】
上記画像多様体生成部は、ユーザにより指定されたパラメータｗｃの値を用いて、画像多様体Ｍを生成する、
ことを特徴とする請求項１又は２に記載の境界特定装置。
【請求項４】
上記スカラー場生成部は、ユーザにより指定されたパラメータｗｂの値を用いて、スカラー場ｆを生成する、
ことを特徴とする請求項１〜３までの何れか１項に記載の境界特定装置。
【請求項５】
上記画像Ｉは、生体を撮像して得られたＣＴ（Computed Tomography）画像又はＭＲＩ（Magnetic Resonance Imaging）画像であり、
上記領域Ｄは、上記ＣＴ画像又はＭＲＩ画像において上記生体の部位に対応する領域である、
ことを特徴とする請求項１〜４までの何れか１項に記載の境界特定装置。
【請求項６】
ｓ次元（ｓは予め定められた２以上の整数）空間Ｒｓの各点ｘに対応するｒ次元画素値Ｉ（ｘ）により構成される画像Ｉに関して、該ｓ次元空間Ｒｓに含まれる領域Ｄの境界δＤを、該境界δＤ上の点として指定されたＮ個の点ｐｉと、各点ｐｉにおける該境界δＤの法線ベクトルとして指定されたＮ個のｓ次元ベクトルｎｉとに基づいて特定する境界特定方法において、
画像Ｉに対応する画像多様体Ｍ＝｛（ｘ，ｗｃＩ（ｘ））∈Ｒｓ＋ｒ｜ｘ∈Ｒｓ｝（ｗｃは０より大きい任意の実数）を生成する画像多様体生成ステップと、
各点ｐｉに対応する画像多様体Ｍ上の制約点ｐ’ｉ＝（ｐｉ，ｗｃＩ（ｐｉ））∈Ｒｓ＋ｒを導出する制約点導出ステップと、
各ｓ次元ベクトルｎｉに対応するｓ＋ｒ次元ベクトルである制約ベクトルｎ’ｉ＝Ｊ（ｐｉ）ｎｉ／｜Ｊ（ｐｉ）ｎｉ｜（Ｊ（ｐｉ）は点ｐｉにおける写像ｒ：ｘ→ｒ（ｘ）＝（ｘ，ｗｃＩ（ｘ））のヤコビ行列）を導出する制約ベクトル導出ステップと、
結合空間Ｒｓ＋ｒ上のスカラー場ｆであって、各制約点ｐ’ｉについて、第１の制約条件ｆ（ｐ’ｉ）＝０、及び、第２の制約条件∇ｆ（ｐ’ｉ）＝ｗｂｎ’ｉ＋（１−ｗｂ）（ｎｉ，０）（ｗｂは０以上１以下の任意の実数）を満たす滑らかなスカラー場ｆを生成するスカラー場生成ステップと、
スカラー場ｆのゼロレベルセットＺ＝｛ｘ∈Ｒｓ｜ｆ（ｒ（ｘ））＝０｝を導出するゼロレベルセット導出ステップと、を含んでいる、
ことを特徴とする境界特定方法。
【請求項７】
コンピュータを請求項１〜５までの何れか１項に記載の境界特定装置として動作させるためのプログラムであって、上記コンピュータを上記境界特定装置の各部として機能させるプログラム。
【請求項８】
請求項７に記載のプログラムが記録されているコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、画像の位置空間に含まれる領域の境界を特定する境界特定装置及び境界特定方法に関する。また、そのような境界特定装置としてコンピュータを動作させるためのプログラム、及び、そのようなプログラムが記録されているコンピュータ読み取り可能な記録媒体に関する。なお、画像の位置空間に含まれる領域の特定は、画像領域分割と呼ばれることもある。
【背景技術】
【０００２】
ＣＴ（Computed Tomography）、ＭＲＩ（Magnetic Resonance Imaging）、共焦点レーザ顕微鏡などで撮影された３次元画像から様々な情報（形状、体積、トポロジー等）を取り出すためには、臓器や骨格などの観察対象物に対応する領域を画像から抽出する必要がある。このため、これらの領域の境界を特定する様々な特定手法が開発されている。例えば、非特許文献１〜２に記載の陰関数曲面再構成法（Implicit surface reconstruction）は、その一例である。
【０００３】
陰関数曲面再構成法においては、ユーザにより指定された点ｐを通り、ユーザにより指定されたベクトルｎを法線ベクトルとする境界を、ｆ（ｐ）＝０、ｆ（ｐ＋εｎ）＝ｅ、及び、ｆ（ｐ−εｎ）＝−ｅを満たすスカラー場ｆのゼロレベルセットとして特定する。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】G. Turk, et.al, "Modeling with implicit surfaces that interpolate", ACM TOG 21, 4(2002), 855-873.
【非特許文献２】F. Heckel, et.al, "Interactive 3D medial image segmentation with energy-minimizing implicit function", VCBM 35, 2(2011), 275-287
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、従来の陰関数曲面再構成法には、対象領域（観察対象物に対応する領域）の境界を正確に表現するゼロレベルセットを導出することが困難であるという問題があった。
【０００６】
例えば、対象領域の境界は、画像のエッジ（画像の勾配強度が大きい部分）に沿って存在するが、従来の陰関数曲面再構成法により特定される境界は、ユーザにより指定された点ｐから離れたところで画像のエッジに沿わない。何故なら、従来の陰関数曲面再構成法では、スカラー場ｆが画素値を参照することなく生成されているからである。
【０００７】
本発明は、上記の課題に鑑みてなされたものであり、その目的は、領域の境界を従来の陰関数曲面再構成法よりも正確に表現するゼロレベルセットを導出可能な境界特定装置及び境界特定方法を実現することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
上記課題を解決するために、本発明に係る境界特定装置は、ｓ次元（ｓは予め定められた２以上の整数）空間Ｒｓの各点ｘに対応するｒ次元画素値Ｉ（ｘ）により構成される画像Ｉに関して、該ｓ次元空間Ｒｓに含まれる領域Ｄの境界δＤを、該境界δＤ上の点として指定されたＮ個の点ｐｉと、各点ｐｉにおける該境界δＤの法線ベクトルとして指定されたＮ個のｓ次元ベクトルｎｉとに基づいて特定する境界特定装置において、画像Ｉに対応する画像多様体Ｍ＝｛（ｘ，ｗｃＩ（ｘ））∈Ｒｓ＋ｒ｜ｘ∈Ｒｓ｝（ｗｃは０より大きい任意の実数）を生成する画像多様体生成部と、各点ｐｉに対応する画像多様体Ｍ上の制約点ｐ’ｉ＝（ｐｉ，ｗｃＩ（ｐｉ））∈Ｒｓ＋ｒを導出する制約点導出部と、各ｓ次元ベクトルｎｉに対応するｓ＋ｒ次元ベクトルである制約ベクトルｎ’ｉ＝Ｊ（ｐｉ）ｎｉ／｜Ｊ（ｐｉ）ｎｉ｜（Ｊ（ｐｉ）は点ｐｉにおける写像ｒ：ｘ→ｒ（ｘ）＝（ｘ，ｗｃＩ（ｘ））のヤコビ行列）を導出する制約ベクトル導出部と、結合空間Ｒｓ＋ｒ上のスカラー場ｆであって、各制約点ｐ’ｉについて、第１の制約条件ｆ（ｐ’ｉ）＝０、及び、第２の制約条件∇ｆ（ｐ’ｉ）＝ｗｂｎ’ｉ＋（１−ｗｂ）（ｎｉ，０）（ｗｂは０以上１以下の任意の実数）を満たす滑らかなスカラー場ｆを生成するスカラー場生成部と、スカラー場ｆのゼロレベルセットＺ＝｛ｘ∈Ｒｓ｜ｆ（ｒ（ｘ））＝０｝を導出するゼロレベルセット導出部と、を備えていることを特徴とする。
【０００９】
また、上記課題を解決するために、本発明に係る境界特定方法は、ｓ次元（ｓは予め定められた２以上の整数）空間Ｒｓの各点ｘに対応するｒ次元画素値Ｉ（ｘ）により構成される画像Ｉに関して、該ｓ次元空間Ｒｓに含まれる領域Ｄの境界δＤを、該境界δＤ上の点として指定されたＮ個の点ｐｉと、各点ｐｉにおける該境界δＤの法線ベクトルとして指定されたＮ個のｓ次元ベクトルｎｉとに基づいて特定する境界特定方法において、画像Ｉに対応する画像多様体Ｍ＝｛（ｘ，ｗｃＩ（ｘ））∈Ｒｓ＋ｒ｜ｘ∈Ｒｓ｝（ｗｃは０より大きい任意の実数）を生成する画像多様体生成ステップと、各点ｐｉに対応する画像多様体Ｍ上の制約点ｐ’ｉ＝（ｐｉ，ｗｃＩ（ｐｉ））∈Ｒｓ＋ｒを導出する制約点導出ステップと、各ｓ次元ベクトルｎｉに対応するｓ＋ｒ次元ベクトルである制約ベクトルｎ’ｉ＝Ｊ（ｐｉ）ｎｉ／｜Ｊ（ｐｉ）ｎｉ｜（Ｊ（ｐｉ）は点ｐｉにおける写像ｒ：ｘ→ｒ（ｘ）＝（ｘ，ｗｃＩ（ｘ））のヤコビ行列）を導出する制約ベクトル導出ステップと、結合空間Ｒｓ＋ｒ上のスカラー場ｆであって、各制約点ｐ’ｉについて、第１の制約条件ｆ（ｐ’ｉ）＝０、及び、第２の制約条件∇ｆ（ｐ’ｉ）＝ｗｂｎ’ｉ＋（１−ｗｂ）（ｎｉ，０）（ｗｂは０以上１以下の任意の実数）を満たす滑らかなスカラー場ｆを生成するスカラー場生成ステップと、スカラー場ｆのゼロレベルセットＺ＝｛ｘ∈Ｒｓ｜ｆ（ｒ（ｘ））＝０｝を導出するゼロレベルセット導出ステップと、を含んでいる、ことを特徴とする。
【００１０】
上記のように導出されたゼロレベルセットＺは、指定されたＮ個の点｛ｐ１，ｐ２，…，ｐＮ｝を通り、各点ｐｉにおける法線ベクトルが指定されたベクトルｎｉに一致するｓ−１次元多様体となる。しかも、上記のように導出されたゼロレベルセットＺは、画像Ｉのエッジ（画像Ｉの勾配強度｜∇Ｉ（ｘ）｜が大きい部分）が存在する領域においてエッジに沿い、明確なエッジが存在しない領域（画像Ｉの勾配強度｜∇Ｉ（ｘ）｜が全体的に小さい領域）において滑らかになる。したがって、上記の構成によれば、対象領域（領域Ｄ）の境界を従来よりも正確に表現する滑らかなゼロレベルセットＺを導出することができる。
【００１１】
本発明に係る境界特定装置において、上記スカラー場生成部は、後述する式（２）により定義されるスカラー場ｆを生成する、ことが好ましい。
【００１２】
上記の構成によれば、後述する連立方程式（５）を解くことによって、スカラー場ｆを容易に生成することができる。
【００１３】
本発明に係る境界特定装置において、上記画像多様体生成部は、ユーザにより指定されたパラメータｗｃの値を用いて、画像多様体Ｍを生成する、ことが好ましい。
【００１４】
上記の構成によれば、導出されるゼロレベルセットが画像に影響される程度を、ユーザが自由にコントロールすることが可能になる。
【００１５】
本発明に係る境界特定装置において、上記スカラー場生成部は、ユーザにより指定されたパラメータｗｂの値を用いて、スカラー場ｆを生成する、ことが好ましい。
【００１６】
上記の構成によれば、余計な連結成分を含まないゼロレベルセットを導出することを優先するか、ゼロレベルセットが画像のエッジに追従することを優先するかを、ユーザが自由にコントロールすることが可能になる。
【００１７】
本発明に係る境界特定装置において、上記画像データは、生体を撮像して得られたＣＴ（Computed Tomography）画像又はＭＲＩ（Magnetic Resonance Imaging）画像であり、上記領域Ｄは、上記ＣＴ画像又は上記ＭＲＩ画像において上記生体の部位に対応する領域である、ことが好ましい。
【００１８】
上記の構成によれば、領域Ｄが肛門括約筋のような複雑な形状を有する部位に対応する場合であっても、その境界δＤを正確に特定することができる。
【００１９】
なお、コンピュータを上記境界特定装置として動作させるためのプログラムや、そのようなプログラムが記録されているコンピュータ読み取り可能な記録媒体も、本発明の範疇に含まれる。
【発明の効果】
【００２０】
本発明によれば、画像Ｉの位置空間Ｒｓに含まれる領域Ｄの境界を、従来よりも正確に表現するゼロレベルセットＺを導出することができる。
【図面の簡単な説明】
【００２１】
【図１】本発明の一実施形態に係る境界特定装置の構成を示すブロック図である。
【図２】図１に示す境界特定装置の動作を説明するための図である。（ａ）は、与えられた画像Ｉを示す平面図である。（ｂ）は、境界特定装置により生成された画像多様体Ｍを示す斜視図である。（ｃ）は、境界特定装置により生成されたスカラー場ｆの画像多様体Ｍ上での値を示す斜視図である。（ｄ）は、ゼロレベル曲面Ｚ’を画像多様体Ｍと共に示す斜視図である。（ｅ）境界特定装置により特定された境界δＤを画像Ｉと共に示す平面図である。
【図３】（ａ）〜（ｄ）は、それぞれ、ゼロレベル曲面Ｚ’を画像多様体Ｍと共に示した模式断面図（上段）、ゼロレベル曲線Ｚを画像Ｉと共に示した平面図（中段）、及び、ゼロレベル曲面Ｚ’を画像多様体Ｍと共に示した斜視図を含む。（ａ）は、パラメータｗｂの値を０．０に設定したもの、（ｂ）は、パラメータｗｂの値を０．１に設定したもの、（ｃ）は、パラメータｗｂの値を０．５に設定したもの、（ｄ）は、パラメータｗｂの値を１．０に設定したものである。
【図４】図１に示す曲線特定装置として機能するコンピュータのブロック図である。
【図５】図１に示す境界特定装置から出力された出力画像を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００２２】
本発明の一実施形態に係る境界特定装置について、図面に基づいて説明すれば以下のとおりである。
【００２３】
なお、本実施形態に係る境界特定装置は、離散ｓ次元（ｓは予め定められた２以上の整数）空間Ｒｓの各点ｘに対応する画素値Ｉ（ｘ）により構成される画像Ｉを処理する装置である。ここで、画素値Ｉ（ｘ）は、離散ｒ次元（ｒは予め定められた１以上の整数）空間Ｒｒの元である（例えば、画像Ｉがモノクロ画像である場合にはｒ＝１となり、画像ＩがＲＧＢカラー画像である場合にはｒ＝３となる）。
【００２４】
以下の説明においては、画像Ｉを離散ｓ次元空間Ｒｓから離散ｒ次元空間Ｒｒへの写像Ｉ：ｘ→Ｉ（ｘ）と同一視する。また、以下の説明においては、写像Ｉの始域Ｒｓを画像Ｉの「位置空間」（spatial domain）と呼び、写像Ｉの終域Ｒｒを画像Ｉの「値空間」（range domain）と呼ぶ。
【００２５】
〔境界特定装置の構成〕
本実施形態に係る境界特定装置１に構成について、図１を参照して説明する。図１は、境界特定装置１の構成を示すブロック図である。
【００２６】
境界特定装置１は、ユーザにより指定されたＮ個の点｛ｐ１，ｐ２，…，ｐＮ｝と、ユーザにより指定されたＮ個のｓ次元ベクトル｛ｎ１，ｎ２，…，ｎＮ｝とに基づいて、画像Ｉの位置空間Ｒｓに含まれる領域Ｄの境界δＤを特定する装置である。画像Ｉとしては、生体（例えば人体）を撮影して得られた２次元又は３次元ＭＲＩ（Magnetic Resonance Imaging）画像が想定され、領域Ｄとしては、該生体に含まれる部位（特に臓器、腫瘍、組織、骨格などの塊状部位）が挙げられる。
【００２７】
境界特定装置１により特定される境界δＤは、下記の条件（Ａ）及び（Ｂ）を満たすｓ−１次元多様体（ｓ＝２の場合は曲線、ｓ＝３の場合は曲面）である。
【００２８】
（Ａ）境界δＤは、ユーザにより指定されたＮ個の点｛ｐ１，ｐ２，…，ｐＮ｝を通る。
【００２９】
（Ｂ）各点ｐｉにおける境界δＤの法線ベクトルは、ユーザにより指定されたベクトルｎｉに一致する。
【００３０】
また、境界特定装置１により特定される境界δＤは、更に、以下の性質（Ｃ）及び（Ｄ）を有する。
【００３１】
（Ｃ）画像Ｉのエッジ（画像Ｉの勾配強度｜∇Ｉ（ｘ）｜が大きい部分）が存在する領域において、境界δＤはエッジに沿う。
【００３２】
（Ｄ）明確なエッジが存在しない領域（画像Ｉの勾配強度｜∇Ｉ（ｘ）｜が全体的に小さく、ぼやけた領域）において、境界δＤは滑らかである。
【００３３】
このような境界δＤを特定するために、境界特定装置１は、画像Ｉに対応する画像多様体Ｍを利用する。ここで、画像Ｉに対応する画像多様体Ｍとは、位置空間Ｒｓから直積空間Ｒｓ×Ｒｒへの写像ｒ：ｘ→ｒ（ｘ）＝（ｘ，ｗｃＩ（ｘ））の値域｛ｒ（ｘ）∈Ｒｓ×Ｒｒ｜ｘ∈Ｒｓ｝として定義されるｓ次元多様体のことを指す。以下の説明においては、写像ｒの終域、すなわち、直積空間Ｒｓ×Ｒｒのことを、「結合空間」（bilateral domain又はjoint spatial range domain）と呼ぶ。
【００３４】
境界特定装置１は、図１に示すように、画像多様体生成部１１、制約点導出部１２、制約ベクトル導出部１３、スカラー場生成部１４、及びゼロレベルセット導出部１５により構成することができる。境界特定装置１が備えている各ブロックの機能を説明すれば、以下のとおりである。
【００３５】
画像多様体生成部１１は、与えられた画像Ｉと、ユーザにより指定されたスカラー値ｗｃとから、画像Ｉに対応する画像多様体Ｍを生成するための構成である。例えば、画像Ｉがｒ次元配列Ｉ（ｘ）を要素とするｓ次元配列として与えられている場合、画像多様体生成部１１は、画像多様体Ｍを表現する配列、すなわち、ｓ＋ｒ次元配列ｒ（ｘ）＝（ｘ、ｗｃ・Ｉ（ｘ））を要素とするｓ次元配列を生成する。
【００３６】
制約点導出部１２は、１≦ｉ≦Ｎの各整数ｉについて、ユーザにより指定された点ｐｉ∈Ｒｓに対応する画像多様体Ｍ上の点ｐ’ｉ＝ｒ（ｐｉ）を導出するための構成である。例えば、画像多様体Ｍがｓ＋ｒ次元配列ｒ（ｘ）を要素とするｓ次元配列として与えられている場合、制約点導出部１２は、当該ｓ次元配列の要素ｒ（ｐｉ）を取得することによって、画像多様体Ｍ上の点ｐ’ｉを得る。制約点導出部１２により導出された画像多様体Ｍ上の点ｐ’ｉのことを、以下、「制約点ｐ’ｉ」と記載する。
【００３７】
なお、ここでは、ユーザにより指定された点ｐｉが画素位置（離散ｓ次元空間である位置空間Ｒｓの要素）に配置された点であることを仮定した制約点導出部１２の処理を例示したが、これに限定されない。例えば、ユーザにより指定された点ｐｉが画素位置以外に配置された点である場合、制約点導出部１２は、写像Ｉ（ｘ）を線形補間することによって得られた写像Ｉ’（ｘ）（連続ｓ次元空間Ｒｓ上の関数）を用いて、画像多様体Ｍ上の点ｐ’ｉ＝ｒ（ｐｉ）を導出してもよい。
【００３８】
制約ベクトル導出部１３は、１≦ｉ≦Ｎの各整数ｉについて、ユーザにより指定されたｓ次元ベクトルｎｉに対応するｓ＋ｒ次元ベクトルｎ’ｉ＝Ｊ（ｐｉ）ｎｉ／｜Ｊ（ｐｉ）ｎｉ｜を導出するための構成である。ここで、Ｊ（ｐｉ）は、点ｐｉにおける写像ｒのヤコビ行列である。写像ｒは、ｓ次元空間Ｒｓからｓ＋ｒ次元空間Ｒｓ＋ｒへの写像なので、点ｐｉにおける写像ｒのヤコビ行列Ｊ（ｐｉ）は、ｓ＋ｒ行ｓ列の行列となる。また、ｓ＋ｒ次元ベクトルｎ’ｉは、点ｐ’ｉにおける画像多様体Ｍの接空間Ｔｐ’ｉＭに含まれ、かつ、位置空間Ｒｓへの射影がｓ次元ベクトルｎｉと平行なｓ＋ｒ次元ベクトルとなる。制約ベクトル導出部１３により導出されたｓ＋ｒ次元ベクトルｎ’ｉのことを、以下、「制約ベクトルｎ’ｉ」と記載する。
【００３９】
ここで、ヤコビ行列Ｊ（ｐｉ）は、下記の式（１）により定義される。下記の式（１）において、Ｅは、ｓ行ｓ列の単位行列を表し、Ｉｊ（ｘ）は、ｒ次元ベクトルＩ（ｘ）の第ｊ要素（１≦ｊ≦ｒ）を表し、ｘｋは、ｓ次元ベクトルｘの第ｋ要素（１≦ｋ≦ｓ）を表す。
【００４０】
【数１】
2014203403.tif 000003
【００４１】
制約ベクトルｎ’ｉの導出は、例えば、（１）画像多様体Ｍから点ｐｉにおける写像ｒのヤコビ行列Ｊ（ｐｉ）を算出する工程と、（２）ヤコビ行列Ｊ（ｐｉ）とｓ次元ベクトルｎｉとの行列積Ｊ（ｐｉ）ｎｉを算出する工程と、（３）行列積Ｊ（ｐｉ）ｎｉのノルム｜Ｊ（ｐｉ）ｎｉ｜を算出する工程と、（４）行列積Ｊ（ｐｉ）ｎｉの各要素をノルム｜Ｊ（ｐｉ）ｎｉ｜で除算する工程とにより実現することができる。ここで、ヤコビ行列Ｊ（ｐｉ）の要素∂Ｉｊ（ｐｉ）／∂ｘｋは、位置空間Ｒｓ上の関数Ｉｊ（ｘ）に対して公知のソーベルフィルタを適用することにより導出することができる。その他の工程は、何れも周知のアルゴリズムにより実現することができるので、ここではその説明を割愛する。
【００４２】
スカラー場生成部１４は、下記の制約条件（Ａ’）及び（Ｂ’）を満たす結合空間Ｒｓ＋ｒ上のスカラー場ｆを生成するための構成である。なお、下記の制約条件（Ｂ’）における（ｎｉ，０）は、第１成分から第ｓ成分までがｓ次元ベクトルｎｉの対応する成分と一致し、第ｓ＋１成分から第ｓ＋ｒ成分までが０となるｓ＋ｒ次元ベクトルを意味する。また、下記の制約条件（Ｂ’）におけるｗｂは、ユーザにより指定された０以上１以下のスカラー値である。
【００４３】
（Ａ’）１≦ｉ≦Ｎの各整数ｉについて、ｆ（ｐ’ｉ）＝０となる。
【００４４】
（Ｂ’）１≦ｉ≦Ｎの各整数ｉについて、∇ｆ（ｐ’ｉ）＝ｗｂｎ’ｉ＋（１−ｗｂ）（ｎｉ，０）となる。
【００４５】
本実施形態においては、スカラー場ｆが下記の式（２）により定義されるＢ−ＨＲＢＦ（Bilateral Hermite Radial Basis Function）であると仮定する。下記の式（２）において、φは、φ（ｔ）＝ｔ＾３により定義されるカーネルであり、Ｐは、Ｐ（ｘ’）＝ａ・ｘ’＋ｂにより定義される多項式である。また、αｉ∈Ｒ及びβｉ∈Ｒｓ＋ｒは、下記の式（３）（４）を満たす未定係数である。
【００４６】
【数２】
2014203403.tif 000004
【００４７】
【数３】
2014203403.tif 000005
【００４８】
【数４】
2014203403.tif 000006
【００４９】
スカラー場生成部１４が結合空間Ｒｓ＋ｒ上のスカラー場ｆを生成するとは、上記の制約条件（Ａ’）及び（Ｂ’）を満たすαｉ∈Ｒ、βｉ∈Ｒｓ＋ｒ、ａ∈Ｒｓ＋ｒ、及びｂ∈Ｒを算出することに他ならない。
【００５０】
上記の制約条件（Ａ’）及び（Ｂ’）を満たすαｉ∈Ｒ、βｉ∈Ｒｓ＋ｒ、ａ∈Ｒｓ＋ｒ、及びｂ∈Ｒは、下記の連立方程式（５）を解くことによって得ることができる。
【００５１】
【数５】
2014203403.tif 000007
【００５２】
ここで、ブロックＫｉｊは、下記の式（６）により定義される行列であり、ブロックＳｊは、下記の式（７）により定義される行列である。また、ベクトルｓ、ｗｉ、及びｃｉは、それぞれ、下記の式（８）により定義されるベクトルである。
【００５３】
【数６】
2014203403.tif 000008
【００５４】
【数７】
2014203403.tif 000009
【００５５】
【数８】
2014203403.tif 000010
【００５６】
スカラー場生成部１４は、連立方程式（５）を解くことによって、上記の制約条件（Ａ’）及び（Ｂ’）を満たすαｉ∈Ｒ、βｉ∈Ｒｓ＋ｒ、ａ∈Ｒｓ＋ｒ、及びｂ∈Ｒを算出する。連立方程式（５）は、公知のアルゴリズムにより解くことが可能なので、ここではその説明を割愛する。
【００５７】
ゼロレベルセット導出部１５は、画像多様体Ｍ上のスカラー場ｆのゼロレベルセットＺ＝｛ｘ∈Ｒｓ｜ｆ（ｒ（ｘ））＝０｝を導出するための構成である。ゼロレベルセットＺの導出は、例えば、（１）位置空間Ｒｓの全ての点ｘについてｆ（ｒ（ｘ））の値を算出する工程と、（２）ｆ（ｒ（ｘ））＝０となるｘの集合を構成する工程とによって実現することができる。
【００５８】
ただし、このような方法でゼロレベルセットＺを導出した場合、以下のような問題が生じる。すなわち、このような方法で導出されたゼロレベルセットＺは、与えられたＮ個の点｛ｐ１，ｐ２，…，ｐＮ｝を通る連結成分の他に、これらの点の何れをも通らない連結成分を含み得る。また、このような方法でゼロレベルセットＺを導出するためには、画像Ｉの解像度のｓ乗に比例して増大する計算時間を要する。このような問題を回避するためには、公知のsurface trackingアルゴリズム（surface tracking marching cubesアルゴリズムと呼ばれることもある）を用いてゼロレベルセットＺを導出すればよい。surface trackingアルゴリズムを用いて、与えられたＮ個の点｛ｐ１，ｐ２，…，ｐＮ｝を含む連結成分のみにより構成されるゼロレベルセットＺを導出すればよい。なお、surface trackingアルゴリズムについては、例えば、”F. Shekhar, et.al, Octree-Based Decimation of Marching Cubes Surfaces, In Proc. of IEEE Vis. (1996), 335-342”を参照されたい。
【００５９】
境界特定装置１は、ゼロレベルセット導出部１５にて導出されたゼロレベルセットＺを、境界δＤとして外部に出力する。例えば、画像Ｉ上に境界δＤを書き加えた画像をディスプレイに出力する。
【００６０】
なお、ここでは、Ｎ個の点｛ｐ１，ｐ２，…，ｐＮ｝及びＮ個のｓ次元ベクトル｛ｎ１，ｎ２，…，ｎＮ｝をユーザに直接的に指定させる構成について説明したが、これに限定されるものではない。Ｎ個の点｛ｐ１，ｐ２，…，ｐＮ｝及びＮ個のｓ次元ベクトル｛ｎ１，ｎ２，…，ｎＮ｝をユーザに間接的に指定させる構成、例えば、位置空間Ｒｓにおける領域Ｄの輪郭線（ｓ＝２の場合）、又は、位置空間Ｒｓの２次元断面における領域Ｄの輪郭線（ｓ≧３の場合）をユーザに指定させる構成を採用してもよい。この場合、境界特定装置１は、指定輪郭線（ユーザにより指定された輪郭線）上のＮ個の点を選択し、選択したＮ個の点を｛ｐ１，ｐ２，…，ｐＮ｝とする。また、境界特定装置１は、各点ｐｉにおいて指定輪郭線に直交するベクトルを算出し、算出したベクトルをｎｉとする。このような構成を採用することによって、ユーザに求められる操作がより容易になる。なお、領域Ｄの輪郭線をユーザに指定させる方法については、本願出願人が先に出願した特許出願（特願2010-149497）の公開公報（特開2012−010893）等を参照されたい。
【００６１】
〔境界特定装置の動作例〕
境界特定装置１の動作例について、図２を参照して説明する。なお、以下に説明する動作例は、ｓ＝２かつｒ＝１の場合の動作例である。
【００６２】
図２（ａ）は、与えられた画像Ｉを示す平面図である。ユーザは、このような画像Ｉにおいて、注目する領域Ｄの境界δＤ上の点ｐｉを指定する。また、ユーザは、このような画像Ｉにおいて、点ｐｉにおける境界δＤの法線ベクトルｎｉを指定する。
【００６３】
境界特定装置１は、与えられた画像Ｉから画像多様体Ｍを生成する。図２（ｂ）は、境界特定装置１により生成された画像多様体Ｍを示す斜視図である。
【００６４】
次に、境界特定装置１は、ユーザにより指定された点ｐｉに対応する制約点ｐ’ｉを導出する。また、境界特定装置１は、ユーザにより指定されたベクトルｎｉに対応する制約ベクトルｎ’ｉを導出する。図２（ｂ）には、境界特定装置１により導出された制約点ｐ’ｉ及び制約ベクトルｎ’ｉが示されている。
【００６５】
次に、境界特定装置１は、上記の制約条件（Ａ’）及び（Ｂ’）を満たすスカラー場ｆを生成する。図２（ｃ）は、境界特定装置１により生成されたスカラー場ｆの画像多様体Ｍ上での値を示す斜視図である。
【００６６】
次に、境界特定装置１は、スカラー場ｆのゼロレベル曲線Ｚ＝｛ｘ∈Ｒｓ｜ｆ（ｒ（ｘ））＝０｝を導出する。境界特定装置１により導出されるゼロレベル曲線Ｚは、ゼロレベル曲面Ｚ’＝｛ｘ’∈Ｒｓ×Ｒｒ｜ｆ（ｘ’）＝０｝と画像多様体Ｍとの交線Ｚ’∩Ｍに一致する。図２（ｄ）は、ゼロレベル曲面Ｚ’を画像多様体Ｍと共に示す斜視図である。画像Ｉのエッジが存在する領域においてゼロレベル曲線Ｚがエッジに沿うこと、及び、画像Ｉのエッジが存在しない領域においてゼロレベル曲線Ｚが滑らかになることが、図２（ｄ）から見て取れる。
【００６７】
図２（ｅ）は、スカラー場ｆのゼロレベル曲線Ｚ、すなわち、境界特定装置１により特定された境界δＤを画像Ｉと共に示す平面図である。境界特定装置１により特定された境界δＤがユーザにより指定されたＮ個の点｛ｐ１，ｐ２，…，ｐＮ｝を通ること、及び、各点ｐｉにおける境界δＤの法線ベクトルがユーザにより指定されたベクトルｎｉに一致することが、図２（ｅ）から見て取れる。
【００６８】
なお、図２（ｅ）に示すように、ゼロレベル曲線Ｚには、与えられたＮ個の点｛ｐ１，ｐ２，…，ｐＮ｝を通る連結成分の他に、これらの点の何れをも通らない連結成分が含まれる。ただし、ゼロレベル曲線Ｚの導出にsurface trackingアルゴリズムを用いれば、後者の連結成分が境界δＤとして特定されるこを回避することができる。
【００６９】
〔制約条件（Ｂ’）に含まれるパラメータｗｂ〕
境界特定装置１においては、スカラー場ｆに課す制約条件（Ｂ’）として、∇ｆ（ｐ’ｉ）＝ｎ’ｉではなく、∇ｆ（ｐ’ｉ）＝ｗｂｎ’ｉ＋（１−ｗｂ）（ｎｉ，０）を採用している。以下、制約条件（Ｂ’）におけるパラメータｗｂの意義について、図３を参照して説明する。
【００７０】
図３（ａ）〜図３（ｄ）は、それぞれ、ゼロレベル曲面Ｚ’＝｛ｘ’∈Ｒｓ×Ｒｒ｜ｆ（ｘ’）＝０｝を画像多様体Ｍと共に示した模式断面図（上段）、ゼロレベル曲線Ｚ＝｛ｘ∈Ｒｓ｜ｆ（ｒ（ｘ））＝０｝を画像Ｉと共に示した平面図（中段）、及び、ゼロレベル曲面Ｚ’＝｛ｘ’∈Ｒｓ×Ｒｒ｜ｆ（ｘ’）＝０｝を画像多様体Ｍと共に示した斜視図である。図３（ａ）は、パラメータｗｂの値を０．０に設定したもの、図３（ｂ）は、パラメータｗｂの値を０．１に設定したもの、図３（ｃ）は、パラメータｗｂの値を０．５に設定したもの、図３（ｄ）は、パラメータｗｂの値を１．０に設定したものである。
【００７１】
ｗｂ＝１とした場合、図３（ｄ）に示すように、∇ｆ（ｐ’ｉ）が位置空間Ｒｓと略直交する。その結果、ゼロレベル曲面Ｚ’は、位置空間Ｒｓと略平行な曲面（Ｉ軸正方向に開いた腕状の曲面）となる。このため、ゼロレベル曲面Ｚ’は、画像多様体Ｍの傾斜部分（画像Ｉの勾配強度｜∇Ｉ（ｘ）｜が一定以上の部分）と交わり易くなる。すなわち、ゼロレベル曲線Ｚは、画像Ｉのエッジに追従し易くなる。ただし、位置空間Ｒｓと略平行なゼロレベル曲面Ｚ’は、領域Ｄに対応する画像多様体Ｍの峰のみならず、その近傍にある画像多様体Ｍの他の峰と交わり易い。このため、ゼロレベル曲線Ｚは、余計な連結成分（領域Ｄを取り囲む連結成分以外の連結成分）を含み易くなる。
【００７２】
一方、ｗｂ＝０とした場合、図３（ａ）に示すように、∇ｆ（ｐ’ｉ）が位置空間Ｒｓと平行になる。その結果、ゼロレベル曲面Ｚ’は、位置空間Ｒｓと略直交する曲面（領域Ｄに対応する画像多様体Ｍの峰を取り囲む筒状の曲面）となる。この場合、ゼロレベル曲線Ｚの形状は、画像多様体Ｍの影響を受け難くなる（ゼロレベル曲面Ｚ’をＩ軸正方向側から見た形状が、略そのままゼロレベル曲線Ｚの形状となる）。したがって、ゼロレベル曲線Ｚは、画像Ｉのエッジに完全には追従せずに、滑らかな曲線を描くようになる。ただし、位置空間Ｒｓと略直交するゼロレベル曲面Ｚ’は、領域Ｄに対応する峰の近傍にある画像多様体Ｍの他の峰と交わり難い。このため、ゼロレベル曲線Ｚは、余計な連結成分（領域Ｄを取り囲む連結成分以外の連結成分）を含み難くなる。
【００７３】
このように、パラメータｗｂの値が０に近づくほど、ゼロレベル曲線Ｚが余計な連結成分を含み難くなる反面、ゼロレベル曲線Ｚのエッジ追従性が低下する。一方、パラメータｗｂの値が１に近づくほど、ゼロレベル曲線Ｚのエッジ追従性が向上する反面、ゼロレベル曲線Ｚが余計な連結成分を含み易くなる。そこで、境界特定装置１においては、パラメータｗｂの値をユーザにより指定させる構成を採用している。
【００７４】
ゼロレベル曲線Ｚが余計な連結成分を含んでいる場合、ユーザは、パラメータｗｂの値をより小さな値に設定し直すことができる。また、ゼロレベル曲線Ｚがエッジに追従しない場合、ユーザは、パラメータｗｂの値をより大きな値に設定し直すことができる。ゼロレベル曲線Ｚを再計算しながら、このような設定作業を何度か繰り返すことによって、余計な連結成分を含まず、かつ、エッジに追従するゼロレベル曲線Ｚを得ることができる。図３に示した例では、パラメータｗｂの値を０．１に設定することによって、余計な連結成分を含まず、かつ、エッジに追従するゼロレベル曲線Ｚを得ることができる（図３（ｂ）参照）。
【００７５】
〔境界特定装置の構成例〕
境界特定装置１は、コンピュータ（電子計算機）を用いて構成することができる。図４は、境界特定装置１として利用可能なコンピュータ１００の構成を例示したブロック図である。
【００７６】
コンピュータ１００は、図４に示したように、バス１１０を介して互いに接続された演算装置１２０と、主記憶装置１３０と、補助記憶装置１４０と、入出力インタフェース１５０とを備えている。演算装置１２０として利用可能なデバイスとしては、ＣＰＵ（Central Processing Unit）を挙げることができる。また、主記憶装置１３０として利用可能なデバイスとしては、例えば、半導体ＲＡＭ（random access memory）を挙げることができる。また、補助記憶装置１４０として利用可能なデバイスとしては、例えば、ハードディスクドライブを挙げることができる。
【００７７】
入出力インタフェース１５０には、図４に示したように、入力装置２００及び出力装置３００が接続される。点ｐｉ及びベクトルｎｉを指定する操作を行なうためのポインティングデバイスは、この入出力インタフェース１５０に接続される入力装置２００の一例である。また、境界δＤを画像Ｉと共にディスプレイは、この入出力インタフェース１５０に接続される出力装置３００の一例である。
【００７８】
補助記憶装置１４０には、コンピュータ１００を境界特定装置１として動作させるための各種プログラムが格納されている。具体的には、画像多様体生成プログラム、制約点導出プログラム、制約ベクトル導出プログラム、スカラー場生成プログラム、及びゼロレベルセット導出プログラムが格納されている。
【００７９】
演算装置１２０は、補助記憶装置１４０に格納された上記各プログラムを主記憶装置１３０上に展開し、主記憶装置１３０上に展開された上記各プログラムに含まれる命令を実行することによって、コンピュータ１００を、図１に示す画像多様体生成部１１、制約点導出部１２、制約ベクトル導出部１３、スカラー場生成部１４、及びゼロレベルセット導出部１５として機能させる。
【００８０】
主記憶装置１３０は、画像Ｉ（を表現する配列）、画像多様体Ｍ（を表現する配列）、スカラー場ｆを規定する未定乗数等（αｉ∈Ｒ、βｉ∈Ｒｓ＋ｒ、ａ∈Ｒｓ＋ｒ、及びｂ∈Ｒ）の値、連立方程式（５）の左辺に現れるＢ−ＨＲＢＦ行列（を表現する配列）、ゼロレベルセットＺ（を表現する配列）を格納する記憶部２０（図１参照）として機能する。
【００８１】
なお、ここでは、内部記録媒体である補助記憶装置１４０に記録されているプログラムを用いてコンピュータ１００を境界特定装置１として機能させる構成について説明したが、本発明はこれに限定されるものではない。すなわち、外部記録媒体に記録されているプログラムを用いてコンピュータ１００を境界特定装置１として機能させる構成を採用してもよい。外部記録媒体は、コンピュータ読み取り可能な記録媒体であれば何でもよく、例えば、磁気テープやカセットテープ等のテープ系、フロッピー（登録商標）ディスク／ハードディスク等の磁気ディスクやＣＤ−ＲＯＭ／ＭＯ／ＭＤ／ＤＶＤ／ＣＤ−Ｒ等の光ディスクなどを含むディスク系、ＩＣカード（メモリカードを含む）／光カード等のカード系、あるいはマスクＲＯＭ／ＥＰＲＯＭ／ＥＥＰＲＯＭ（登録商標）／フラッシュＲＯＭ等の半導体メモリ系などにより実現することができる。
【００８２】
また、コンピュータ１００を通信ネットワークと接続可能に構成し、上述した各プログラムコードを通信ネットワークを介してコンピュータ１００に供給するようにしてもよい。この通信ネットワークとしては、とくに限定されず、例えば、インターネット、イントラネット、エキストラネット、ＬＡＮ、ＩＳＤＮ、ＶＡＮ、ＣＡＴＶ通信網、仮想専用網（virtual private network）、電話回線網、移動体通信網、衛星通信網等が利用可能である。また、通信ネットワークを構成する伝送媒体としては、とくに限定されず、例えば、ＩＥＥＥ１３９４、ＵＳＢ、電力線搬送、ケーブルＴＶ回線、電話線、ＡＤＳＬ回線等の有線でも、ＩｒＤＡやリモコンのような赤外線、Ｂｌｕｅｔｏｏｔｈ（登録商標）、８０２．１１無線、ＨＤＲ、携帯電話網、衛星回線、地上波デジタル網等の無線でも利用可能である。
【００８３】
〔境界特定装置の出力例〕
最後に、境界特定装置１の出力例について、図５を参照して説明する。図５は、境界特定装置１から出力される出力画像を示す図である。
【００８４】
図５に示す出力画像には、境界特定装置１により特定された、肛門括約筋に対応する領域Ｄ１の境界と、腫瘍に対応する領域Ｄ２の境界とが示されている。なお、図５に示す出力画像を得るために、境界特定装置１に入力された画像は、人体を撮像することにより得られたＭＲＩ画像である。
【００８５】
肛門括約筋に対応する領域Ｄ１の境界を特定するために、ユーザが指定した輪郭線γ１は、１４本である。また、腫瘍に対応する領域Ｄ２の境界を特定するために、ユーザが指定した輪郭線γ２は、４本である。このように、境界特定装置１を用いれば、僅かな本数の輪郭線を指定するだけで、複雑な形状を有する部位の形状を極めて正確に再現することができる。
【００８６】
〔付記事項〕
本発明は上述した実施形態に限定されるものではなく、請求項に示した範囲で種々の変更が可能である。すなわち、請求項に示した範囲で適宜変更した技術的手段を組み合わせて得られる実施形態についても本発明の技術的範囲に含まれる。
【００８７】
例えば、本明細書においては、医療用ＭＲＩ画像への適用を想定した実施形態を開示したが、本発明の適用範囲は医療用ＭＲＩ画像に限定されない。すなわち、本発明は、医療用画像にも適用することができるし、産業用画像にも適用することができる。また、本発明は、ＭＲＩ画像にも適用することができるし、ＣＴ画像にも適用することができるし、共焦点レーザ顕微鏡画像にも適用することができるし、内部構造顕微鏡画像にも適用することができる。
【００８８】
例えば、生体（例えば、人体）を撮像することにより得られたＣＴ画像又はＭＲＩ画像において、その生体の部位（例えば、臓器や腫瘍などの塊状部位）に対応する領域の境界を特定する処理は、本発明の適用に適した処理である。また、細胞を撮像することにより得られた共焦点レーザ顕微鏡画像又は内部構造顕微鏡画像において、その細胞の部位（例えば、核やミトコンドリアなどの細胞小器官）に対応する領域の境界を特定する処理も、本発明の適用に適した処理である。更に、構造物（産業用部品など）を撮像することにより得られたＣＴ画像において、その構造物内に埋設された部品、或いは、その構造物内に形成された気泡などに対応する領域の境界を特定する処理も、本発明の適用範囲に含まれる。
【産業上の利用可能性】
【００８９】
医療用又は産業用画像の領域分割に好適に利用することができる。
【符号の説明】
【００９０】
１        境界特定装置
１１      画像多様体生成部
１２      制約点導出部
１３      制約ベクトル導出部
１４      スカラー場生成部
１５      ゼロレベルセット導出部
１００    コンピュータ
１４０    補助記憶装置（記録媒体）
【図１】
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【図４】
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【図２】
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【図３】
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【図５】
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