(57)【要約】【課題】機械系に対するセンシングシステムが無くても簡易に機械系の固有振動数の測定を行うのに好適な圧電アクチュエータ用駆動回路、圧電アクチュエータの駆動方法及び固有振動数測定装置を提供する。【解決手段】駆動回路１０を、圧電アクチュエータ２０と共に振動体３０とカップリングした状態で駆動する構成にすると共に、圧電アクチュエータ２０の端子間電圧νを微分する微分器１１と、微分器１１の出力をＬ倍に増幅する増幅器１２と、端子間電圧νをＲ倍に増幅する増幅器１３と、増幅器１２及び１３の出力電圧を加算する加算器１４と、加算器１４の出力電圧であるＬ（ｄν／ｄｔ）＋Ｒνを、その大きさに応じた電流ｉに変換し、この電流ｉを圧電アクチュエータ２０に供給するＶ／Ｉ変換器１５とを備える構成とした。【選択図】図５
2014200143.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
機械系に力を伝達する圧電アクチュエータと共に該機械系とカップリングした状態で前記圧電アクチュエータを駆動する圧電アクチュエータ用駆動回路であって、
前記圧電アクチュエータの端子間電圧νに基づき、該圧電アクチュエータに前記端子間電圧νに比例した駆動電流ｉを供給することを特徴とする圧電アクチュエータ用駆動回路。
【請求項２】
下式（１）で表される駆動電流ｉを前記圧電アクチュエータに供給することを特徴とする請求項１に記載の圧電アクチュエータ用駆動回路。
ｉ＝Ｌ（ｄν／ｄｔ）＋Ｒν                                  ・・・（１）
上式（１）において、Ｌ、Ｒは、前記駆動電流ｉが、前記圧電アクチュエータの剛性の効果を含む固有振動数である機械系の固有振動数で当該圧電アクチュエータ用駆動回路を含む前記圧電アクチュエータの駆動系である電気系が自励発振する電流値となるように設定したフィードバックゲインである。
【請求項３】
前記端子間電圧νをＲ倍に増幅する第１増幅部と、
前記端子間電圧νを微分する微分部と、
前記微分部の出力電圧をＬ倍に増幅する第２増幅部と、
前記第１増幅部の出力電圧と前記第２増幅部の出力電圧との和の電圧を電流に変換するＶ／Ｉ変換部と、を備え、
前記Ｖ／Ｉ変換部の出力電流を前記駆動電流ｉとして前記圧電アクチュエータに供給することを特徴とする請求項２に記載の圧電アクチュエータ用駆動回路。
【請求項４】
前記電気系の回路方程式である下式（２）と、前記機械系の運動方程式である下式（３）とが、固有値として、１つの負の実数と、２つの実部正の共役複素数とを有するように前記フィードバックゲインＬ及びＲを設定することを特徴とする請求項２又は３に記載の圧電アクチュエータ用駆動回路。
ｄν／ｄｔ−｛１／（Ｃp−ｄ332Ｋa−Ｌ）｝Ｒν＝−｛ｄ33Ｋa／（Ｃp−ｄ332Ｋa−Ｌ）｝ｄｘ／ｄｔ                                              ・・・（２）
ｍ（d2ｘ／ｄｔ2）＋ｃ（ｄｘ／ｄｔ）＋（ｋ＋Ｋa）ｘ＝ｄ33Ｋaν
・・・（３）
上式（２）及び（３）において、ｘは機械系の変位、ｍは機械系の質量、ｋは機械系のばね定数、ｃは機械系の減衰定数、Ｃpは圧電アクチュエータのキャパシタンス、ｄ33は圧電アクチュエータの圧電定数、ＫaはＫa＝Ａ／（ｓEｌ）で表され、Ａは圧電アクチュエータの断面積、ｓEは圧電アクチュエータの弾性コンプライアンス、ｌは圧電アクチュエータの分極方向の厚さである。
【請求項５】
機械系に力を伝達する圧電アクチュエータと共に該機械系とカップリングした状態で前記圧電アクチュエータを駆動する駆動回路を用いた圧電アクチュエータの駆動方法であって、
前記駆動回路が、前記圧電アクチュエータの端子間電圧νに基づき、該圧電アクチュエータに前記端子間電圧νに比例した駆動電流ｉを供給するステップを含むことを特徴とする圧電アクチュエータの駆動方法。
【請求項６】
請求項１乃至４のいずれか１項に記載の圧電アクチュエータ用駆動回路と、
前記端子間電圧νを検出する電圧検出部と、
前記電圧検出部で検出した前記端子間電圧νに基づき前記機械系の固有振動数を検出する固有振動数検出部と、を備えることを特徴とする固有振動数測定装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、機械系に力を伝達する圧電アクチュエータを駆動する技術に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来、ピエゾアクチュエータ等の圧電アクチュエータの入力電圧νを周期的に変動させて、共振周波数から機械系の固有振動数を同定する方法がある。また、回路方程式を考慮して同様なことを入力電流で行う方法がある。
また、圧電アクチュエータの入力電圧νを機械系の速度の正帰還で作り出し、自励振動を発生させてその応答周波数から固有振動数を同定する方法がある。また、回路方程式を考慮して同様なことを入力電流で行う方法がある。
例えば、非特許文献１には、試験片（機械系）に機械的に強制振動を与えて共振周波数（固有振動数）を計測し、この共振周波数からヤング率（縦弾性係数）を計算する測定法（共振法）が開示されている。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００３】
【非特許文献１】「IIC REVIEW/2010/4. No.43 P30-34（株式会社ＩＨＩ検査計測）」
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
しかしながら、上記従来技術では、いずれも機械系の変位又は速度を何らかの方法でセンシングしなければならず、機械系に対するセンシングシステムが必要となる。このようなセンシングシステムは、装置の大型化を招くと共に、測定時の初期設定等の煩わしい作業が必要となる。
【０００５】
例えば、光てこ法をセンシング技術として用いた場合、光てこ法のためのレーザーの光軸合わせが必要となる。この光軸合わせは、特にレーザーが屈折する液中観察において難度が高い。また、レーザー光源のノイズ対策にも苦労する。更に、光てこ機構の存在が装置全体の小型化を阻む。そのため装置を高剛性化できないためノイズを拾いやすくなり、センシング機能の高感度化・高分解能化を困難なものとしている。
本発明は、上記の問題点に着目して、機械系に対するセンシングシステムが無くても簡易に機械系の固有振動数の測定を行うのに好適な圧電アクチュエータ用駆動回路、圧電アクチュエータの駆動方法及び固有振動数測定装置を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
〔形態１〕  上記目的を達成するために、形態１の圧電アクチュエータ用駆動回路は、機械系に力を伝達する圧電アクチュエータと共に該機械系とカップリングした状態で前記圧電アクチュエータを駆動する圧電アクチュエータ用駆動回路であって、前記圧電アクチュエータの端子間電圧νに基づき、該圧電アクチュエータに前記端子間電圧に比例した駆動電流ｉを供給する。
【０００７】
このような構成であれば、圧電アクチュエータの端子間電圧νに比例した駆動電流ｉを圧電アクチュエータに供給することが可能である。これにより、圧電アクチュエータは、駆動電流ｉに応じた端子間電圧νを発生し、この端子間電圧νに比例した力を機械系に伝達する。
ここで、上記圧電アクチュエータは、圧電基礎式にそのダイナミクスが従う全てのアクチュエータ含む。以下、形態５において同様である。
【０００８】
〔形態２〕  更に、形態２の圧電アクチュエータ用駆動回路は、形態１の構成に対して、下式（１）で表される駆動電流ｉを前記圧電アクチュエータに供給する。
ｉ＝Ｌ（ｄν／ｄｔ）＋Ｒν                                  ・・・（１）
上式（１）において、Ｌ、Ｒは、前記駆動電流ｉが、前記圧電アクチュエータの剛性の効果を含む固有振動数である機械系の固有振動数で当該圧電アクチュエータ用駆動回路を含む前記圧電アクチュエータの駆動系である電気系が自励発振する電流値となるように設定したフィードバックゲインである。
【０００９】
このような構成であれば、機械系の固有振動数で電気系が自励発振するようにフィードバックゲインＬ及びＲが設定された上式（１）に示す駆動電流ｉを、圧電アクチュエータに供給することが可能である。これにより、圧電アクチュエータは、上式（１）に示す駆動電流ｉに応じた端子間電圧νを発生し、この端子間電圧νに比例した力を機械系に伝達する。
【００１０】
〔形態３〕  更に、形態３の圧電アクチュエータ用駆動回路は、形態２の構成に対して、前記端子間電圧νをＲ倍に増幅する第１増幅部と、前記端子間電圧νを微分する微分部と、前記微分部の出力電圧をＬ倍に増幅する第２増幅部と、前記第１増幅部の出力電圧と前記第２増幅部の出力電圧との和の電圧を電流に変換するＶ／Ｉ変換部と、を備え、前記Ｖ／Ｉ変換部の出力電流を前記駆動電流ｉとして前記圧電アクチュエータに供給する。
【００１１】
このような構成であれば、第１増幅部によって、端子間電圧νをＲ倍に増幅することが可能であり、微分部によって、端子間電圧νを微分することが可能であり、第２増幅部によって、微分部の微分結果をＬ倍に増幅することが可能である。更に、電流供給部は、Ｖ／Ｉ変換部によって、第１増幅部の出力電圧と第２増幅部の出力電圧との和の電圧を電流に変換する。そして、電流供給部は、Ｖ／Ｉ変換部の出力電流を駆動電流ｉとして圧電アクチュエータに供給することが可能である。
【００１２】
〔形態４〕  更に、形態４の圧電アクチュエータ用駆動回路は、形態２又は３の構成に対して、前記電気系の回路方程式である下式（２）と、前記機械系の運動方程式である下式（３）とが、固有値として、１つの負の実数と、２つの実部正の共役複素数とを有するように前記フィードバックゲインＬ及びＲを決定する。
ｄν／ｄｔ−｛１／（Ｃp−ｄ332Ｋa−Ｌ）｝Ｒν＝−｛ｄ33Ｋa／（Ｃp−ｄ332Ｋa−Ｌ）｝ｄｘ／ｄｔ              ・・・（２）
ｍ（d2ｘ／ｄｔ2）＋ｃ（ｄｘ／ｄｔ）＋（ｋ＋Ｋa）ｘ＝ｄ33Ｋaν    ・・・（３）
【００１３】
上式（２）及び（３）において、ｘは機械系の変位、ｍは機械系の質量、ｋは機械系のばね定数、ｃは機械系の減衰定数、Ｃpは圧電アクチュエータのキャパシタンス、ｄ33は圧電アクチュエータの圧電定数、ＫaはＫa＝Ａ／（ｓEｌ）で表され、Ａは圧電アクチュエータの断面積、ｓEは圧電アクチュエータの弾性コンプライアンス、ｌは圧電アクチュエータの分極方向の厚さである。
このような構成であれば、上式（２）及び（３）が、固有値として、１つの負の実数と、２つの実部正の共役複素数とを有するようにフィードバックゲインＬ及びＲが設定された上式（１）に示す駆動電流ｉを圧電アクチュエータに供給することが可能となる。
【００１４】
〔形態５〕  一方、上記目的を達成するために、形態５の圧電アクチュエータの駆動方法は、機械系に力を伝達する圧電アクチュエータと共に該機械系とカップリングした状態で前記圧電アクチュエータを駆動する駆動回路を用いた圧電アクチュエータの駆動方法であって、前記駆動回路が、前記圧電アクチュエータの端子間電圧νに基づき、該圧電アクチュエータに前記端子間電圧νに比例した駆動電流ｉを供給するステップを含む。
【００１５】
〔形態６〕  また、上記目的を達成するために、形態６の固有振動数測定装置は、形態１乃至４のいずれか１に記載の圧電アクチュエータ用駆動回路と、前記端子間電圧νを検出する電圧検出部と、前記電圧検出部で検出した前記端子間電圧νに基づき前記機械系の固有振動数を検出する固有振動数検出部と、を備える。
このような構成であれば、電圧検出部によって、圧電アクチュエータの端子間電圧νを検出することが可能であり、固有振動検出部によって、検出した端子間電圧νに基づき機械系の固有振動数を検出することが可能である。
【発明の効果】
【００１６】
以上説明したように、本発明によれば、圧電アクチュエータの端子間電圧νに基づき、該圧電アクチュエータに端子間電圧νに比例する駆動電流ｉを供給するようにした。これにより、端子間電圧νに比例した力で機械系を自励振動させることができるので、そのときの端子間電圧νの時間変化から簡易に機械系の固有振動数を検出することが可能である。つまり、機械系の固有振動数の測定に、機械系の変位や速度をセンシングするシステムを不要とすることが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【００１７】
【図１】カップリングされた機械系、圧電アクチュエータ及び駆動回路の機械系モデルの一例を示す図である。
【図２】システム全体のダイナミクスの一例を示すブロック線図である。
【図３】「Ｋa’ψ＝−２」のときの根軌跡を示す図である。
【図４】「Ｋa’ψ＝−０．１」のときの根軌跡を示す図である。
【図５】本実施形態に係る固有振動数測定装置の構成を示すブロック図である。
【図６】固有振動数検出処理の処理手順の一例を示すフローチャートである。
【図７】既知のパラメータを用いて機械系の変位及び速度並びに圧電アクチュエータの端子間電圧を数値計算した結果の一例を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１８】
以下、図面に基づき、本発明に係る圧電アクチュエータ用駆動回路、圧電アクチュエータの駆動方法及び固有振動数測定装置の実施形態を説明する。図１〜図６は、本発明に係る圧電アクチュエータ用駆動回路、圧電アクチュエータの駆動方法及び固有振動数測定装置の一実施形態を示す図である。
【００１９】
（構成）
まず、本実施形態に係る圧電アクチュエータ用駆動回路（以下、単に駆動回路と称す）の構成を説明する。
この駆動回路は、機械系に力を伝達する圧電アクチュエータを駆動する回路である。ここで、圧電アクチュエータは、圧電基礎式にそのダイナミクスが従う全てのアクチュエータを含む。具体例を挙げると、圧電アクチュエータとして、例えば、電荷同士の間に働くクーロン力で動作するアクチュエータや、圧電素子の逆圧電効果を利用したアクチュエータなど様々な形式のものが存在する。
【００２０】
本実施形態において、かかる駆動回路は、圧電アクチュエータと共に、該圧電アクチュエータの力の伝達対象である機械系（例えば、カンチレバー等の振動体）とカップリングした状態で動作するようになっている。
具体的に、カップリングされた機械系、圧電アクチュエータ及び駆動回路は、機械系を「ばね−質量（マス）−ダンパ」系の等価モデルとして、図１に示す機械系モデルとして表すことができる。ここで、図１は、カップリングされた機械系、圧電アクチュエータ及び駆動回路の機械系モデルの一例を示す図である。
【００２１】
かかる機械系モデルは、図１に示すように、質量ｍの物体と、減衰定数ｃのダンパと、ばね定数ｋのばねとを有する機械系に対して、圧電アクチュエータ及び駆動回路が、ダンパ及びばねと並列に接続された構成となっている。
かかる構成により、機械系に圧電アクチュエータで力ｆを加えると、この力ｆによる機械系の変位ｘ（振動）は、圧電アクチュエータ及び駆動回路にも作用する。
【００２２】
ここで、かかる駆動回路を含む圧電アクチュエータの駆動系（以下、電気系と称す）の回路方程式は、下式（４）のようになる。
ｄｖ／ｄｔ＋｛ｄ33Ｋa／（Ｃp−ｄ332Ｋa）｝（ｄｘ／ｄｔ）＝｛１／（Ｃp−ｄ332Ｋa）｝ｉ                ・・・（４）
上式（４）において、νは圧電アクチュエータの端子間電圧、Ｃpは圧電アクチュエータのキャパシタンス、ｄ33は圧電アクチュエータの圧電定数である。更に、Ｋaは、「Ｋa＝Ａ／（ｓEｌ）」で表され、Ａは圧電アクチュエータの断面積、ｓEは圧電アクチュエータの弾性コンプライアンス、ｌは圧電アクチュエータの分極方向の厚さである。
【００２３】
以下、上式（４）の導出方法について説明する。
まず、圧電方程式（圧電基礎式）は、下式（５）及び（６）のようになる。
Ｄ＝εＥ＋ｄ33Ｔ        ・・・（５）
Ｓ＝ｄ33Ｅ＋ｓEＴ        ・・・（６）
上式（５）及び（６）において、Ｄは電気変位、εは誘電率、Ｅは電界、Ｔは応力、Ｓはひずみである。
【００２４】
上式（５）の両辺に圧電アクチュエータの断面積Ａをかけ、上式（６）の両辺に圧電アクチュエータの長さ（分極方向の厚さ）ｌをかけると下式（７）及び（８）のように表すことができる。
Ｑ＝Ｃpν＋ｄ33ｆ          ・・・（７）
ｘ＝ｄ33ν＋（１／Ｋa）ｆ      ・・・（８）
【００２５】
上式（８）を用いて、上式（７）からｆを消去すると下式（９）となる。
Ｑ＝（Ｃp−ｄ332Ｋa）ν＋ｄ33Ｋaｘ        ・・・（９）
上式（９）を時間で微分し、整理すると下式（１０）に示す電気系の式が得られる。
ｄｖ／ｄｔ＝｛１／（Ｃp−ｄ332Ｋa）｝ｉ−｛ｄ33Ｋa／（Ｃp−ｄ332Ｋa）｝（ｄｘ／ｄｔ）                  ・・・（１０）
つまり、上式（１０）の右辺の第二項を左辺に移動することで、上式（４）が得られる。
【００２６】
一方、機械系の運動方程式は、下式（１１）のようになる。
ｍ（d2ｘ／ｄｔ2）＋ｃ（ｄｘ／ｄｔ）＋（ｋ＋Ｋa）ｘ＝ｄ33Ｋaν    ・・・（１１）
以下、上式（１１）の導出方法について説明する。
機械系に圧電アクチュエータによって外力を加えたときの式は、下式（１２）となる。
ｍ（d2ｘ／ｄｔ2）＋ｃ（ｄｘ／ｄｔ）＋ｋｘ＝−ｆ      ・・・（１２）
そして、上式（１２）に、上式（８）を代入することで、上式（１１）が導出される。
【００２７】
次に、本実施形態では、圧電アクチュエータに流す電流ｉを圧電アクチュエータの端子間電圧νを用いて下式（１３）のように与える。
ｉ＝Ｌ（ｄν／ｄｔ）＋Ｒν        ・・・（１３）
上式（１３）において、Ｌ，Ｒはフィードバックゲインである。詳細は後述するが、このフィードバックゲインＬ，Ｒを適切に設定することで、機械系は自励発振する。その時の発振周波数は、機械系の固有振動数にほぼ一致する。
ここで、上式（１３）の右辺は、圧電アクチュエータの端子間電圧νとその微分値とから容易に求めることができ、機械系の変位や速度を測定する必要が無い。
【００２８】
次に、上式（１３）を上式（４）に代入すると、下式（１４）が得られる。
ｄν／ｄｔ−｛１／（Ｃp−ｄ332Ｋa−Ｌ）｝Ｒν＝−｛ｄ33Ｋa／（Ｃp−ｄ332Ｋa−Ｌ）｝ｄｘ／ｄｔ            ・・・（１４）
上式（１３）を上式（１４）としたときにおける、機械系、圧電アクチュエータ及び駆動回路から構成されるシステム全体のダイナミクスは、上式（１１）と上式（１４）とに支配されることになる。
【００２９】
具体的に、システム全体のダイナミクスは、例えば、図２に示すブロック線図のように表すことができる。図２は、システム全体のダイナミクスの一例を示すブロック線図である。
図２に示すように、電気系１において、伝達要素１ａから出力された圧電アクチュエータの端子間電圧νが伝達要素１ｉにおいて力ｆへと変換され、この力ｆが機械系の伝達要素２へと入力される。
【００３０】
力ｆの入力に応じた伝達要素２の出力（機械系の変位ｘ）は、カップリングによる相互作用によって伝達要素１ｂ及び１ｃを介して機械系の速度に比例した大きさの電流ｉxとして電気系１に入力される。
一方、本実施形態では、圧電アクチュエータに、上式（１３）で示す電流ｉを供給することから、微分部１ｅ及び乗算部１ｆを介して、端子間電圧νの微分値ｄν／ｄｔをＬ倍にした電圧Ｌ（ｄν／ｄｔ）を加算部１ｈに入力する。また、乗算部１ｇを介して、端子間電圧νをＲ倍にした電圧Ｒνを加算部１ｈに入力する。加算部１ｈは、入力されたＬ（ｄν／ｄｔ）及びＲνを加算する。加えて、この加算結果の電圧を電流ｉに変換して出力する。
【００３１】
機械系から伝達要素１ｂ及び１ｃを介して入力される電流ｉxと、加算部１ｈから入力される電流ｉ（上式（１３）に示す電流に相当）とは、図２中の加算部１ｄに示すように、電流ｉから電流ｉxが減算される。そして、この減算結果（ｉd＝ｉ−ｉx）が伝達要素１ａに入力される。このようにして、圧電アクチュエータの端子間電圧νに比例する成分と端子間電圧νの１階微分に比例する成分との和で構成される電流ｉdによって、圧電アクチュエータを駆動する。このとき、フィードバックゲインＬ，Ｒを適切に設定することで機械系が自励発振する。
【００３２】
（Ｌ，Ｒの設定範囲について）
次に、フィードバックゲインＬ，Ｒの適切な設定範囲について説明する。
まず、上式（１１）と上式（１４）とを無次元化する。このとき、代表時間を周期「Ｔ＝｛ｍ／（ｋ＋Ｋa）｝1/2」、代表長さを圧電アクチュエータの最大変位Ｘ、代表電圧を最大変位Ｘを与える際の電圧Ｖとする。
このときの無次元方程式と無次元パラメータとは下式（１５）〜（２０）のように計算できる。
【００３３】
【数１】
2014200143.tif 000003
【００３４】
Ｒ’＝｛Ｔ／（Ｃp−ｄ332Ｋa−Ｌ）｝Ｒ        ・・・（１７）
Ｋa’＝｛ｄ33Ｋa／（Ｃp−ｄ332Ｋa−Ｌ）｝（Ｘ／Ｖ）      ・・・（１８）
γ＝ｃ／（ｍ（ｋ＋Ｋa））1/2        ・・・（１９）
ψ＝ｄ33ＫaＶ／（（ｋ＋Ｋa）Ｘ）        ・・・（２０）
上式（１５）及び（１６）において、パラメータｘの上部に付した「・」は、無次元時間Ｔ*の１階微分、「・・」は、無次元時間Ｔ*の２階微分を示す。例えば、パラメータｘについて、無次元時間Ｔ*の１階微分は、「ｄｘ1／ｄＴ*」となり、２階微分は、「ｄ2ｘ1／ｄＴ*2」となる。また、以降は、無次元量を表す＊は記載を省略する。
【００３５】
上式（１５）及び（１６）を行列を用いて、「（ｄ／ｄｔ）ｘ＝Ｂｘ」の形で書くと、下式（２１）のようになる。
【００３６】
【数２】
2014200143.tif 000004
【００３７】
ここで、上式（２１）の行列Ｂが固有値として一つの負の実数と、二つの実部正の共役複素数とを持てば自励振動が起こる。そこで、行列Ｂを座標変換して特性方程式を得る。そして、特性方程式は座標変換によらないことを利用して、座標変換して得た特性方程式の係数比較を行う。
行列Ｂが固有値として一つの実数と二つの共役複素数を持つとすれば、座標変換により行列Ｂは、下式（２２）のような行列に変換される。
【００３８】
【数３】
2014200143.tif 000005
【００３９】
ここで、上式（２２）において、「ａ＞０，ｃ＜０」であれば、負の実数と、実部正の共役複素数が固有値となる。
行列Ｂの特性方程式及び変換後の行列の特性方程式はそれぞれ下式（２３）及び（２４）に示すようになる。
ｓ3＋（−Ｒ’＋γ）ｓ2＋（１−Ｒ’γ＋Ｋa’ψ）ｓ−Ｒ’＝０      ・・・（２３）
ｓ3＋（−２ａ−ｃ）ｓ2＋（ａ2＋ｂ2＋２ａｃ）ｓ−ｃ（ａ2＋ｂ2）＝０
・・・（２４）
【００４０】
上式（２３）及び（２４）から、係数比較によって、下式（２５）〜（２７）に示す条件式が導ける。
−Ｒ’＋γ＝−２ａ−ｃ        ・・・（２５）
１−Ｒ’γ＋Ｋa’ψ＝ａ2＋ｂ2＋２ａｃ          ・・・（２６）
−Ｒ’＝−ｃ（ａ2＋ｂ2）        ・・・（２７）
上式（２５）〜（２７）から、「ａ＞０，ｃ＜０」を満たすための条件を考える。
まず、「ｃ＜０」を満たす条件であるが、上式（２７）を見ると、その右辺は「ｃ＜０」ならば常に正となるので、そのためには「Ｒ’＜０」でなければいけない。
【００４１】
次に、上式（２５）〜（２７）からｂ、Ｒ’を消去して、ｃについて整理し、解くと下式（２８）及び（２９）が得られる。
ｃ2＋｛（２γａ＋γ2−Ｋa’ψ）／（γ＋２ａ）｝ｃ＋１＝０    ・・・（２８）
【００４２】
【数４】
2014200143.tif 000006
【００４３】
ｃが負の実数であるためには、上式（２９）の１項目が負、２項目の根の内部が正でなくてはならない。そのためａを含む不等式が下式（３０）として求まる。
（２γａ＋γ2−Ｋa’ψ）／（γ＋２ａ）＞２          ・・・（３０）
上式（３０）を更にａで整理すると下式（３１）が得られる。
ａ＞（２γ−γ2＋Ｋa’ψ）／（２（γ−２））          ・・・（３１）
【００４４】
上式（３１）から、ａ＞０のためには、下式（３２）が成立しなければならない。
（２γ−γ2＋Ｋa’ψ）／（２（γ−２））＞０      ・・・（３２）
減衰係数γは、「０＜γ＜１」の範囲の定数であることも考慮すると「ａ＞０」を満たすためには、下式（３３）に示す不等式が条件となる。
−２γ＋γ2＞Ｋa’ψ        ・・・（３３）
Ｋa’の値は微分フィードバックゲインＬによって可変となるので、上式（３３）の条件を満たすためのＬの設定範囲を考える。
【００４５】
「−２γ＋γ2＜０」であるので、下式（３４）が成立する。
Ｋa’ψ＝ｄ332Ｋa2／｛（Cp−ｄ332Ｋa−Ｌ）（ｋ＋Ｋa）｝＜−２γ＋γ2＜０                                                                      ・・・（３４）
上式（３４）からＬの条件は、下式（３５）となる。
Ｃp−ｄ332Ｋa＜Ｌ＜−ｄ332Ｋa2／｛（−２γ＋γ2）（ｋ＋Ｋa）｝＋Ｃp−ｄ332Ｋa                                                                  ・・・（３５）
【００４６】
上式（３５）から、Ｌの許容範囲の広さは下式（３６）の大きさで決まる。
ｄ332Ｋa2／｛（−２γ＋γ2）（ｋ＋Ｋa）｝        ・・・（３６）
上式（３６）において変えられる値は「Ｋa＝Ａ／（ｓEｌ）」であるので、圧電アクチュエータの長さ（分極方向の厚み）ｌと断面積Ａの比が重要である。つまり、圧電アクチュエータの断面積Ａを可能な範囲で大きくし、厚みｌを小さくすればＬの設定範囲を広くできる。
【００４７】
また、固有値の虚部の大きさであるｂについて考察する。上式（３５）及び（３６）からｃを消去し、ｂ2に注目すると下式（３７）と書ける。
ｂ2＝｛ａ（３ａ−２Ｒ’＋２γ）−Ｒ’γ｝＋１＋Ｋa’ψ        ・・・（３７）
「ａ＞０，Ｒ’＜０，γ＞０」であるから上式（３７）の中括弧の内部は必ず正であり、任意の「ａ＞０」に対して、「１＋Ｋa’ψ＞０」は「ｂ2＞０、即ち常に実部正の複素数の根を持つ」ための十分条件になる。更に、言い換えると、「Ｋa’ψ＜−２γ＋γ2」のとき、「ａ＞０」であるから、「−１＜Ｋa’ψ＜−２γ＋γ2」は、実部正の共役複素数を持つための十分条件である。
【００４８】
ここで、図３は、「Ｋa’ψ＝−２」のときの根軌跡を示す図である。また、図４は、「Ｋa’ψ＝−０．１」のときの根軌跡を示す図である。図３及び図４において、横軸は実軸であり、縦軸は虚軸である。
つまり、「Ｋa’ψ＜−１」のときの根軌跡は、図３に示すようになる。一方、「−１＜Ｋa’ψ＜−２γ＋γ2」のときの根軌跡は、図４に示すようになる。
【００４９】
「Ｋa’ψ＜−１」の場合、図３に示すように、ゲインが小さい間は座屈状態であり、自励発振させるためには、ある程度以上のフィードバックゲインを必要とする。即ち、虚軸の値に着目すると、図４に示すように、「−１＜Ｋa’ψ＜−２γ＋γ2」の場合の方が、小さいフィードバックゲインＲ’で固有振動数に近い周波数で発振できることが解る。従って、測定のためには、「−１＜Ｋa’ψ＜−２γ＋γ2」の範囲をとるようなＬを設定することが望ましい。また、適切なＬを設定することで、上式（１５）、（１７）等から適切なＲが求まる。
【００５０】
（固有振動数測定装置の構成）
次に、図５に基づき、上記構成と同等の駆動回路を適用した固有振動数測定装置の構成を説明する。
ここで、図５は、本実施形態に係る固有振動数測定装置の構成を示すブロック図である。
図５に示すように、固有振動数測定装置１００は、駆動回路１０と、圧電アクチュエータ２０と、振動体３０と、電圧計４０と、固有振動数検出部５０と、を含む構成となっている。なお、駆動回路１０は圧電アクチュエータ２０と共に振動体３０とカップリングした状態で駆動する。
【００５１】
駆動回路１０は、微分器１１（微分部１ｅに対応）と、増幅器１２及び１３（乗算部１ｆ及び１ｇに対応）と、加算器１４（加算部１ｈに対応）と、Ｖ／Ｉ変換器１５（加算部１ｈに対応）と、を含む構成となっている。
微分器１１は、圧電アクチュエータの端子間電圧νを時間微分して、微分値ｄν／ｄｔを増幅器１２に出力する。
【００５２】
増幅器１２は、微分器１１から入力されたｄν／ｄｔをＬ倍に増幅する。そして、Ｌ倍に増幅した増幅電圧Ｌ（ｄν／ｄｔ）を加算器１４に出力する。このフィードバックゲインＬは、「−１＜Ｋa’ψ＜−２γ＋γ2」の範囲をとるような値に予め設定している。
また、増幅器１３は、圧電アクチュエータの端子間電圧νをＲ倍に増幅する。そして、Ｒ倍に増幅した増幅電圧Ｒνを加算器１４に出力する。このフィードバックゲインＲは、予め設定した適正なＬに基づき設定した適正な値となっている。
【００５３】
加算器１４は、入力されたＬ（ｄν／ｄｔ）とＲνとを加算する。そして、この加算結果の電圧「Ｌ（ｄν／ｄｔ）＋Ｒν」を、Ｖ／Ｉ変換器１５に出力する。
Ｖ／Ｉ変換器１５は、入力された電圧「Ｌ（ｄν／ｄｔ）＋Ｒν」を、該電圧「Ｌ（ｄν／ｄｔ）＋Ｒν」に比例した電流ｉへと変換する。そして、この電流ｉを、圧電アクチュエータ２０に出力する。このとき、圧電アクチュエータ２０からは、図２中に破線で示す振動体３０の変位ｘに応じた電流ｉxが入力される。そのため、実際には、Ｖ／Ｉ変換器１５から出力した電流ｉから電流ｉxを減算した電流ｉdが圧電アクチュエータ２０に入力される。
【００５４】
圧電アクチュエータ２０は、本実形態において、ピエゾアクチュエータから構成される。かかるピエゾアクチュエータは、圧電素子として、例えば、チタン酸・ジルコン酸・鉛（ＰＺＴ）を用いることができる。
圧電アクチュエータ２０は、駆動回路１０からの電流ｉdの供給に応じて、端子間電圧νに比例する力、即ち電流ｉdに比例する力ｆを振動体３０に付与する。
【００５５】
振動体３０は、固有振動数の測定対象であり、例えば、カンチレバー等のプローブとして用いられるものや、建築物などの構造物等が該当する。本実施形態において、振動体３０は、例えば、ＡＦＭ（原子間力顕微鏡）等で用いられるプローブとする。
なお、固有振動数測定装置１００は、本実施形態のように、固有振動数の測定対象である振動体３０がプローブのように固定の場合（測定対象が変わらない場合）は、該振動体３０を含む構成とする。
【００５６】
一方、測定対象を、任意の構造物とした場合（測定対象が変わる場合）や、建築物のように実物のある場所での測定を必要とするものなどとした場合、固有振動数測定装置１００は、振動体３０を含まない構成とする。この場合、例えば、圧電アクチュエータ２０の力ｆの伝達部を測定対象に接触させて該力ｆを伝達する構成とする。また、任意の構造物を測定対象とした場合に、増幅器１２及び１３のゲインであるフィードバックゲインＬ及びＲをチューニングできる構成とする。
【００５７】
振動体３０は、圧電アクチュエータ２０から力ｆが付与されると、力ｆの大きさに応じた変位量ｘで変位する。本実施形態では、フィードバックゲインＬ，Ｒが適正な値に設定されているため、振動体３０はやがて自励振動する。また、振動体３０の変位は圧電アクチュエータ２０及び駆動回路１０にも作用する。
電圧計４０は、圧電アクチュエータの端子間電圧νを測定するもので、測定した端子間電圧νを固有振動数検出部５０に出力する。
【００５８】
固有振動数検出部５０は、電圧計４０から入力される端子間電圧νの時間変化に基づき、固有振動数（周波数）を検出する。
なお、上記駆動回路１０の各構成要素及び上記固有振動数検出部５０は、ハードウェアのみで構成してもよいし、ソフトウェアのみで構成してもよいし、ハードウェア及びソフトウェアとの組み合わせから構成してもよい。
【００５９】
また、上記固有振動数測定装置１００は、上記機能の少なくとも一部をソフトウェア上で実現する場合、ソフトウェアの実行に必要なコンピュータシステムを備える。
具体的に、コンピュータシステムとして、各種制御や演算処理を担うＣＰＵ（Central Processing Unit）と、ワークメモリの役割を担うＲＡＭ（Random Access Memory）と、上記機能の一部を実現するための専用のプログラムやプログラムの実行に必要なデータ等を記憶するＲＯＭ（Read Only Memory）と、各構成要素にデータを伝送するためのデータ伝送用バスとを備える。
【００６０】
本実施形態では、固有振動数検出部５０の各機能をソフトウェアで実現する構成とする。従って、固有振動数測定装置１００は、コンピュータシステムを備えている。
また、本実施形態において、電圧計４０は、測定したアナログの端子間電圧νをＡ／Ｄ変換して、デジタルの電圧値として固有振動数検出部５０に入力する。
また、本実施形態において、上記増幅器１２及び１３は、可変増幅器を含んだ構成とし、フィードバックゲインＬ及びＲを任意の値に調節できる構成としてもよい。
【００６１】
（固有振動数検出処理）
次に、図６に基づき、固有振動数検出部５０における固有振動数検出処理の処理手順を説明する。図６は、固有振動数検出処理の処理手順の一例を示すフローチャートである。なお、図６の処理は、予め設定された周期で繰り返し実行される。
ＣＰＵによってＲＯＭに格納されたプログラムが実行され、固有振動数検出処理が開始されると、まず、図６に示すように、ステップＳ１００に移行する。
ステップＳ１００では、固有振動数検出部５０において、電圧計４０から入力される圧電アクチュエータ２０の端子間電圧νを取得する。その後、ステップＳ１０２に移行する。
【００６２】
ステップＳ１０２では、固有振動数検出部５０において、ステップＳ１００で取得した端子間電圧νと予め設定した電圧閾値とを比較する。そして、取得した端子間電圧νが電圧閾値以上であるか否かを判定する。これにより、端子間電圧νが電圧閾値以上であると判定した場合（Ｙｅｓ）は、自励振動が発生したと判定する。その後、取得した端子間電圧νを不図示のＲＡＭ等のメモリに時系列に記憶すると共にカウント値（予め設定したカウント用変数の値）を１加算して、ステップＳ１０４に移行する。一方、端子間電圧νが電圧閾値未満であると判定した場合（Ｎｏ）は、自励振動が発生していないと判定する。その後、カウント値を初期値にクリアすると共にメモリに記憶された端子間電圧νを消去して、ステップＳ１００に移行する。
【００６３】
ステップＳ１０４に移行した場合は、固有振動数検出部５０において、カウント値が予め設定した時間閾値以上になったか否かを判定する。そして、カウント値が、予め設定した時間閾値以上になったと判定した場合（Ｙｅｓ）は、ステップＳ１０６に移行し、そうでないと判定した場合（Ｎｏ）は、一連の処理を終了する。
ステップＳ１０６に移行した場合は、固有振動数検出部５０において、メモリに記憶された端子間電圧νの時間変化に基づき固有振動数（周波数）を検出する。その後、一連の処理を終了する。なお、本実施形態において、検出した固有振動数は、メモリに記憶すると共に不図示の表示装置に表示する。
【００６４】
（動作）
次に、本実施形態の固有振動数測定装置１００の動作を説明する。
固有振動数測定装置１００を構成する各機器の電源スイッチがＯＮにされると、圧電アクチュエータ２０の端子間電圧νが、微分器１１、増幅器１３及び電圧計４０にそれぞれ入力される。これにより、微分器１１は、入力された端子間電圧νを微分して、その微分した電圧ｄν／ｄｔを増幅器１２に出力する。増幅器１２は、入力された電圧ｄν／ｄｔをＬ倍に増幅し、増幅した電圧Ｌ（ｄν／ｄｔ）を加算器１４に出力する。
【００６５】
一方、増幅器１３は、入力された端子間電圧νをＲ倍に増幅し、増幅した電圧Ｒνを加算器１４に出力する。
加算器１４は、入力された電圧Ｌ（ｄν／ｄｔ）と電圧Ｒνとを加算して、加算結果の電圧「Ｌ（ｄν／ｄｔ）＋Ｒν」を、Ｖ／Ｉ変換器１５に出力する。
Ｖ／Ｉ変換器１５は、入力された電圧「Ｌ（ｄν／ｄｔ）＋Ｒν」を、該電圧「Ｌ（ｄν／ｄｔ）＋Ｒν」に比例した大きさの電流ｉに変換する。そして、変換した電流ｉを圧電アクチュエータ２０に出力する。このとき、電流ｉは、圧電アクチュエータ２０からの振動体３０の変位ｘに応じた電流ｉxによって、「ｉd＝ｉ−ｉx」として圧電アクチュエータ２０に供給される。
【００６６】
これにより、圧電アクチュエータ２０は、入力電流ｉdに応じた端子間電圧νに比例した力ｆを、振動体３０に与える。
このようにして、圧電アクチュエータ２０の端子間電圧νを正帰還して、該端子間電圧νに比例した電流ｉ（正確には電流ｉd）を圧電アクチュエータ２０に供給するフィードバックループが形成される。
一方、電圧計４０は、圧電アクチュエータ２０の端子間電圧νを測定し、測定した端子間電圧νを固有振動数検出部５０に入力する。
【００６７】
固有振動数検出部５０は、電圧計４０から入力される端子間電圧νを取得し、取得した端子間電圧νをメモリに蓄積する（ステップＳ１００）。更に、取得した端子間電圧νと予め設定した電圧閾値とを比較し、取得した端子間電圧νが電圧閾値以上か否かを判定する（ステップＳ１０２）。固有振動数検出部５０は、この判定により、端子間電圧νが電圧閾値以上であると判定すると、自励振動が発生したと判定する。更に、固有振動数検出部５０は、カウント値を１加算すると共に、取得した端子間電圧νをメモリに時系列に記憶する（ステップＳ１０２のＹｅｓ）。一方、端子間電圧νが電圧閾値未満であると判定すると、自励振動が発生していないと判定する。更に、固有振動数検出部５０は、カウント値をクリアすると共に、メモリに記憶された端子間電圧νを消去する（ステップＳ１０２のＮｏ）。
【００６８】
固有振動数検出部５０は、自励振動が発生したと判定すると、次に、カウント値が時間閾値以上になったか否かを判定する（ステップＳ１０４）。固有振動数検出部５０は、この判定により、カウント値が時間閾値以上になったと判定すると（ステップＳ１０４のＹｅｓ）、メモリに蓄積された端子間電圧νの時間変化に基づき、振動体３０の固有振動数を検出する（ステップＳ１０６）。そして、検出した固有振動数をメモリに記憶すると共に、表示装置（不図示）に表示する。
【００６９】
以上説明したように、本実施形態における圧電アクチュエータ用駆動回路１０及び固有振動数測定装置１００であれば、圧電アクチュエータ２０の端子間電圧νに比例した成分と端子間電圧νの１階微分に比例した成分の和で表される駆動電流ｉを該静電アクチュエータ２０に供給することができる。このとき、端子間電圧νに比例する駆動電流ｉを生成するフィードバックゲインＬ及びＲを、機械系（振動体３０）を自励発振させる条件を満足する値に設定するようにした。
【００７０】
これにより、電気系（駆動回路１０及び圧電アクチュエータ２０）と機械系（振動体３０）とがカップリングする上記構成において、両者の固有振動数を同等にして、機械系の固有振動数で電気系を自励発振させることができる。
従って、圧電アクチュエータ２０の端子間電圧νを測定するのみで、振動体３０の固有振動数を検出することが可能である。つまり、機械系の変位や速度をセンシングするためのセンシングシステムが無くても簡易に機械系の固有振動数を測定することが可能である。
【００７１】
ここで、上記実施形態において、微分部１ｅ及び微分器１１が、微分部に対応し、乗算部１ｇ及び増幅器１３が、第１増幅部に対応し、乗算部１ｆ及び増幅器１２が、第２増幅部に対応する。
また、上記実施形態において、加算部１ｈ並びに加算器１４及びＶ／Ｉ変換器１５が、Ｖ／Ｉ変換部に対応する。
また、上記実施形態において、電圧計４０が、電圧検出部に対応し、固有振動数検出部５０が、固有振動数検出部に対応する。
【実施例】
【００７２】
次に、図７に基づき、本発明に係る圧電アクチュエータ用駆動回路及び圧電アクチュエータの駆動方法を適用した実施例を説明する。図７は、既知のパラメータを用いて機械系の変位及び振動速度並びに圧電アクチュエータの端子間電圧を数値計算した結果の一例を示す図である。
具体的に、本実施例では、下式（３８）〜（４６）に示すパラメータ値を用いた数値計算により、圧電アクチュエータの端子間電圧と、機械系の変位及び速度とを求めた。
【００７３】
ｄ33＝４．７２×１０-10[ｍ／Ｖ]      ・・・（３８）
Ｃp＝６．９１×１０-9[Ｆ]            ・・・（３９）
Ｋa＝２．２×１０6[Ｎ／ｍ]          ・・・（４０）
Ｔ＝２π／２６０[１／ｓ]            ・・・（４１）
ｍ＝０．００４８５[ｋｇ]            ・・・（４２）
ｋ＝２．８３×１０-6[Ｎ／ｍ]        ・・・（４３）
γ＝０．００６３                  ・・・（４４）
Ｌ＝６．９１０１×１０-8[Ｈ]        ・・・（４５）
Ｒ＝０．６５×１０-10[Ω]          ・・・（４６）
【００７４】
上記パラメータ値を用いた計算結果は、図７に示すようになった。図７において、横軸は無次元化された時間軸、縦軸は無次元化された各値に対応する軸であり、図７中の○が端子間電圧、□が変位、×が速度である。なお、数値計算において、変位、速度、端子間電圧の初期値を、それぞれ変位０．５、速度０、端子間電圧０とした。
【００７５】
図７に示すように、変位、速度及び端子間電圧は無次元時間が大きくなるほど徐々にそれぞれの振幅値が大きくなっている。しかし、図７に示すように、端子間電圧の振動数（周波数）は、変位や速度の振動数（機械系の固有振動数に相当する振動数）に対して位相は異なるが、同じ固有振動数になっていることが解る。
以上のことから、機械系のセンシングシステムを用いて変位や速度を検出することなく、電圧計等によって端子間電圧を測定するだけで、従来と同様に機械系の固有振動数を検出することができることが解る。
【００７６】
（変形例）
上記実施形態において、端子間電圧νを微分して、この微分結果をＬ倍に増幅する一方、端子間電圧νをＲ倍に増幅し、これら増幅結果を加算して、この加算結果の電圧を電流に変換する構成とした。つまり、上記実施形態では、端子間電圧νに対して、微分や増幅を行う構成としたがこの構成に限らない。例えば、端子間電圧νを先にＶ／Ｉ変換器で電流に変換し、変換後の電流に対して微分や増幅を行って電流ｉを生成する構成とするなど他の構成としてもよい。
【００７７】
また、上記実施形態は、本発明の好適な具体例であり、技術的に好ましい種々の限定が付されているが、本発明の範囲は、上記の説明において特に本発明を限定する旨の記載がない限り、これらの形態に限られるものではない。また、上記の説明で用いる図面は、図示の便宜上、部材ないし部分の縦横の縮尺は実際のものとは異なる模式図である。
また、本発明は上記実施形態に限定されるものではなく、本発明の目的を達成できる範囲での変形、改良等は本発明に含まれるものである。
【産業上の利用可能性】
【００７８】
本発明は、機械系の変位や速度を検出するセンシングシステムを不要とすることができるため装置を小型化できる。従って、携帯可能にするなど装置の小型軽量化が可能であり、例えば、橋やトンネルなどの建築物といった、その存在する場所に行かないと測定ができない測定対象の固有振動数を測定する際などに役立つ。また、固有振動数を測定することで測定対象の劣化状態（固有振動数の変化として現れる）などの様々な情報を得ることができるので、例えば、構造物等の劣化状態（天災による劣化や経年劣化等）を検出する装置として応用することも可能である。
【符号の説明】
【００７９】
１００…固有振動数測定装置、１…電気系、１ａ〜１ｄ，１ｉ…伝達要素、１ｅ…微分部、１ｆ，１ｇ…乗算部、１ｈ…加算部、１０…駆動回路、１１…微分器、１２，１３…増幅器、１４…加算器、１５…Ｖ／Ｉ変換器、２０…圧電アクチュエータ、３０…振動体、４０…電圧計、５０…固有振動数検出部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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