(57)【要約】【課題】経時的に変化する自称に関するｎ次元の項目それぞれについて時系列で観測したｍ点の観測データに基づいて、観測されていない時点の時系列データを導出する導出装置、導出方法及び導出プログラムを提供する。【解決手段】導出装置１は、ｎ次元の項目それぞれについて時系列に並ぶｍ点の観測データを取得し（Ｓ１０１）、導出する項目の指定を受け付け（Ｓ１０３）、取得した観測データを要素とし、項目が行方向に並び、時系列が列方向に並ぶように配置したｎ行×ｍ列の始域行列からの写像として、指定された項目の観測データ及び導出データを要素とし、ｉ行目（ｉは自然数）にｍ＋１−ｉ点の観測データ及びｉ−１点の導出データを時系列順に配置したＬ行×ｍ列の終域行列を求める変換マップを導出し（Ｓ１０５〜Ｓ１０８）、導出した変換マップにより導出データを導出する（Ｓ１０９）。【選択図】図３
2014211827.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
経時的に変化する事象に関するｎ次元（ｎは２以上の整数）の項目それぞれについて時系列で観測して得られたｍ点（ｍは２以上の整数）の観測データに基づいて、前記観測データに含まれていない時点のデータを導出データとして導出する導出装置であって、
ｎ次元の項目それぞれについてのｍ点の観測データを取得する取得部と、
導出する項目の指定を受け付ける項目受付手段と、
前記取得部が取得した観測データを要素とし、項目が行方向に並び、時系列が列方向に並ぶように配置したｎ行×ｍ列の始域行列を記録する記録部と、
指定された項目の観測データ及び導出データを要素とし、ｉ行目（ｉは自然数）にｍ＋１−ｉ点の観測データ及びｉ−１点の導出データを時系列順に配置したＬ行×ｍ列（Ｌは２以上の整数）の終域行列を、前記始域行列からの写像とする変換マップを導出する手段と、
導出した変換マップにより、前記記録部に記録した始域行列からの写像として前記終域行列を導出する手段と、
導出した終域行列に含まれる導出データを出力する出力部と
を備えることを特徴とする導出装置。
【請求項２】
経時的に変化する事象に関するｎ次元（ｎは２以上の整数）の項目それぞれについて時系列に観測して得られたｍ点（ｍは２以上の整数）の観測データに基づいて、前記観測データに含まれていない時点のデータを導出データとして導出する導出装置であって、
ｎ次元の項目それぞれについてのｍ点の観測データを取得する取得部と、
導出する項目の指定を受け付ける項目受付手段と、
ｎ個の係数及び観測データ並びに指定された項目についてのｍ＋１−ｉ点の観測データ（ｉ＝１，２，... ，Ｌ）及びｉ−１点の導出データに係る変数にて構成されるｍ＋１−ｉ個の数式を生成する数式生成手段と、
生成した数式に基づいて、導出データを導出する導出手段と、
導出した導出データを出力する出力部と
を備えることを特徴とする導出装置。
【請求項３】
請求項２に記載の導出装置であって、
前記数式生成手段は、ｎ個の係数及びｎ項目の観測データの積、並びに指定された項目の観測データ及び導出データに係る変数にて構成される線形性を有する数式をｉ個生成し、
前記導出手段は、前記数式生成手段が生成した数式にて求められるｎ個の係数の値を用いて、前記変数に係る導出データを導出する
ことを特徴とする導出装置。
【請求項４】
請求項２に記載の導出装置であって、
非線形関数の指定及び指定された非線形関数の展開次数を受け付ける関数指定部と、
前記数式生成手段は、前記関数指定部により指定された非線形関数及び展開次数に基づいて、ｉ個の数式として、それぞれ観測データ及び導出データを変数とするｎ個の非線形関数を生成することを特徴とする導出装置。
【請求項５】
請求項１乃至請求項４のいずれか１項に記載の導出装置であって、
前記導出データは、ｍ番目の観測データより後のＬ−１点分のデータ、又は１番目の観測データより前のＬ−１点分のデータであることを特徴とする導出装置。
【請求項６】
経時的に変化する事象に関するｎ次元（ｎは２以上の整数）の項目それぞれについて時系列に観測して得られたｍ点（ｍは２以上の整数）の観測データに基づいて、前記観測データに含まれていない時点のデータを導出データとして導出する導出装置を用いた導出方法であって、
前記導出装置は、
ｎ次元の項目それぞれについてのｍ点の観測データを取得するステップと、
導出する項目を決定するステップと、
ｎ個の係数及び観測データ並びに指定された項目についてのｍ＋１−Ｌ点の観測データ（Ｌ＝１，２，... ，ｉ）及びＬ−１点の導出データに係る変数にて構成されるｉ個の数式を生成するステップと、
生成した数式に基づいて、導出データを導出するステップと
を実行することを特徴とする導出方法。
【請求項７】
コンピュータに、経時的に変化する事象に関するｎ次元（ｎは２以上の整数）の項目それぞれについて時系列に観測して得られたｍ点（ｍは２以上の整数）の観測データに基づいて、前記観測データに含まれていない時点のデータを導出データとして導出させる導出プログラムであって、
コンピュータに、
ｎ次元の項目それぞれについてのｍ点の観測データを取得するステップと、
導出する項目を決定するステップと、
ｎ個の係数及び観測データ並びに指定された項目についてのｍ＋１−Ｌ点の観測データ（Ｌ＝１，２，... ，ｉ）及びＬ−１点の導出データに係る変数にて構成されるｉ個の数式を生成するステップと、
生成した数式に基づいて、導出データを導出するステップと
を実行させることを特徴とする導出プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、経時的に変化する事象に関するｎ次元の項目それぞれについて時系列で観測したｍ点の観測データに基づいて、前記観測データに含まれていない時点のデータを導出する導出装置、導出方法及び導出プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
株価、為替、物価等の金融市場、気象、電力消費量、生命分子レベルの進展データ、複雑な疾患の進展等の経時的に変化する事象について、時系列の変化を予測することは、産業界だけでなく科学研究分野においても重要である。従来の時系列予測方法は、一般的に十分なサンプル数が存在することを前提として開発されている。代表的な時系列モデルとしては、ＡＲモデル、ＭＡモデル、ＡＲＭＡモデルを例示することができる。また、Takensの埋め込み理論（非特許文献１）を応用してアトラクタの再構成を行うことで時系列予測を行う方法もある。このような時系列予測において、予測モデルを構築するためには、十分なサンプル数を含む長期的時系列データが必要となる。
【０００３】
一方、近年では、データ測定技術がめざましい発展を遂げており、少ないサンプルから膨大な項目のデータを高速に得ることが容易となってきている。例えば、遺伝子研究に用いられるハイスループット・バイオデータ、即ち、マイクロアレイデータでは、数十個のサンプルから、１つのチップで何万個もの遺伝子プローブを同時に測定することが可能である。少ないサンプルから多くの項目のデータを観測することができる事象としては、様々な統計レポート、気象情報、金融市場情報、天体観測情報等の情報を例示することができる。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】タケンス・エフ（Takens,F. ）著,「動的システムと乱流（in Dynamical Systems and Turbulence），シュプリンガー・フェアラーク・ニューヨーク（Springer-Verlag New York），１９８１年，ｐ．３６６−３８１
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、従来の時系列予測方法は、予測モデルを構築するために、十分長い長期的時系列データが必要であるにも関わらず、実際の系（システム）では、長期的時系列データを得ることが難しい場合も多いという問題がある。例えば、分子生物学の実験においては、各種の制約から、一般的に、数十点の時系列データしか得られず、長期的時系列データを得ることは難しい。また、市場における株式データの場合も、データ数は多く得られるが、条件依存度又は時変モデルのため、時系列データのうち予測に有用なのは直近のデータに限られるので、実質的には短期的なデータと等価である。
【０００６】
一方、多くの項目を有する短期的時系列データは、あまり時系列予測には用いられていない。その理由は、短期的時系列データは、事象の予測に用いるには、情報が不足していると考えられているからである。
【０００７】
本発明は斯かる事情に鑑みてなされたものであり、多くの項目を有する高次元時系列データを事象の予測に用いるものである。本願発明者らは、短期的であっても多くの項目を有する高次元時系列データは、事象の様々な面を反映したデータであるため、各変数間の相互作用情報を豊富に含んでいるという観点から、事象に蓄積された動特性を反映していると考える。このような発想から、本願発明者らは、Takensの埋め込み理論を拡張して、高次元時系列データを長期的低次元の時系列データに変換する方法、即ち、Takensの埋め込み理論による変換の逆変換法を見つけ出した。この方法を用いることにより、高次元時系列データを長期的低次元の時系列データに変換することで、事象の一部の項目の動特性を予測することが可能となる。即ち、本発明は、このような発想を具現化したものであり、事象の観測データに基づいて、未知の時系列データを推測することが可能な導出装置、導出方法及び導出プログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
上記目的を達成するために、本発明に係る導出装置は、経時的に変化する事象に関するｎ次元（ｎは２以上の整数）の項目それぞれについて時系列で観測して得られたｍ点（ｍは２以上の整数）の観測データに基づいて、前記観測データに含まれていない時点のデータを導出データとして導出する導出装置であって、ｎ次元の項目それぞれについてのｍ点の観測データを取得する取得部と、導出する項目の指定を受け付ける項目受付手段と、前記取得部が取得した観測データを要素とし、項目が行方向に並び、時系列が列方向に並ぶように配置したｎ行×ｍ列の始域行列を記録する記録部と、指定された項目の観測データ及び導出データを要素とし、ｉ行目（ｉは自然数）にｍ＋１−ｉ点の観測データ及びｉ−１点の導出データを時系列順に配置したＬ行×ｍ列（Ｌは２以上の整数）の終域行列を、前記始域行列からの写像とする変換マップを導出する手段と、導出した変換マップにより、前記記録部に記録した始域行列からの写像として前記終域行列を導出する手段と、導出した終域行列に含まれる導出データを出力する出力部とを備えることを特徴とする。
【０００９】
また、本発明に係る導出装置は、経時的に変化する事象に関するｎ次元（ｎは２以上の整数）の項目それぞれについて時系列に観測して得られたｍ点（ｍは２以上の整数）の観測データに基づいて、前記観測データに含まれていない時点のデータを導出データとして導出する導出装置であって、ｎ次元の項目それぞれについてのｍ点の観測データを取得する取得部と、導出する項目の指定を受け付ける項目受付手段と、ｎ個の係数及び観測データ並びに指定された項目についてのｍ＋１−ｉ点の観測データ（ｉ＝１，２，... ，Ｌ）及びｉ−１点の導出データに係る変数にて構成されるｍ＋１−ｉ個の数式を生成する数式生成手段と、生成した数式に基づいて、導出データを導出する導出手段と、導出した導出データを出力する出力部とを備えることを特徴とする。
【００１０】
また、本発明に係る導出装置は、前記数式生成手段は、ｎ個の係数及びｎ項目の観測データの積、並びに指定された項目の観測データ及び導出データに係る変数にて構成される線形性を有する数式をｉ個生成し、前記導出手段は、前記数式生成手段が生成した数式にて求められるｎ個の係数の値を用いて、前記変数に係る導出データを導出することを特徴とする。
【００１１】
また、本発明に係る導出装置は、非線形関数の指定及び指定された非線形関数の展開次数を受け付ける関数指定部と、前記数式生成手段は、前記関数指定部により指定された非線形関数及び展開次数に基づいて、ｉ個の数式として、それぞれ観測データ及び導出データを変数とするｎ個の非線形関数を生成することを特徴とする。
【００１２】
また、本発明に係る導出装置は、前記導出データは、ｍ番目の観測データより後のＬ−１点分のデータ、又は１番目の観測データより前のＬ−１点分のデータであることを特徴とする。
【００１３】
本発明に係る導出方法は、経時的に変化する事象に関するｎ次元（ｎは２以上の整数）の項目それぞれについて時系列に観測して得られたｍ点（ｍは２以上の整数）の観測データに基づいて、前記観測データに含まれていない時点のデータを導出データとして導出する導出装置を用いた導出方法であって、前記導出装置は、ｎ次元の項目それぞれについてのｍ点の観測データを取得するステップと、導出する項目を決定するステップと、ｎ個の係数及び観測データ並びに指定された項目についてのｍ＋１−Ｌ点の観測データ（Ｌ＝１，２，... ，ｉ）及びＬ−１点の導出データに係る変数にて構成されるｉ個の数式を生成するステップと、生成した数式に基づいて、導出データを導出するステップとを実行することを特徴とする。
【００１４】
本発明に係る導出プログラムは、コンピュータに、経時的に変化する事象に関するｎ次元（ｎは２以上の整数）の項目それぞれについて時系列に観測して得られたｍ点（ｍは２以上の整数）の観測データに基づいて、前記観測データに含まれていない時点のデータを導出データとして導出させる導出プログラムであって、コンピュータに、ｎ次元の項目それぞれについてのｍ点の観測データを取得するステップと、導出する項目を決定するステップと、ｎ個の係数及び観測データ並びに指定された項目についてのｍ＋１−Ｌ点の観測データ（Ｌ＝１，２，... ，ｉ）及びＬ−１点の導出データに係る変数にて構成されるｉ個の数式を生成するステップと、生成した数式に基づいて、導出データを導出するステップとを実行させることを特徴とする。
【００１５】
上記特徴を有する導出装置、導出方法及び導出プログラムは、高次元の観測データから未知の導出データを導出することにより、指定された項目についての将来又は過去の未知のデータを推測することが可能である。
【発明の効果】
【００１６】
本発明によれば、経時的に変化する事象に関するｎ次元の項目それぞれについて時系列で観測して得られたｍ点の観測データに基づいて、未知の時点のデータを導出することができる。これにより、ｎ次元の項目の観測データ相互の関係から未知の時点のデータを導出し、事象を推定することが可能である等、優れた効果を奏する。
【図面の簡単な説明】
【００１７】
【図１】Takensの埋め込み理論による動的システムの再構築を概念的に示す説明図である。
【図２】本発明に係る導出装置の構成例を示すブロック図である。
【図３】本発明に係る導出装置の線形性時系列データの導出処理の一例を示すフローチャートである。
【図４】本発明に係る導出装置の非線形性時系列データの導出処理の一例を示すフローチャートである。
【図５】本発明に係る導出装置が取得する観測データの一例を示す説明図である。
【図６】本発明に係る導出装置が出力する導出データの一例を示す説明図である。
【発明を実施するための形態】
【００１８】
＜時系列データの推測＞
まず、本発明の前提として、時系列データについて説明する。経時的に変化する事象をｎ次元（ｎは２以上の整数）の項目を含む動的システム（系）と捉えた場合、動的システムは、ｎ次元の状態ベクトルを示す下記の式（１）として表すことができる。
【００１９】
ｘ（ｔ）＝（ｘ1 （ｔ），ｘ2 （ｔ），... ，ｘn （ｔ））T ∈Ｒn       …式（１）
【００２０】
式（１）において、ｘj （ｔ），（ｊ＝１，２，... ，ｎ）は動的システムの状態変数、ｎは系の次元、そしてｔは観測時刻等の時点をそれぞれ示している。また、Ｒn は、ｎ次元のユークリッド空間を示している。状態変数ｘj （ｔ）は経時的に変化する変数であり、連続システムの場合、状態変数の変化はｄｘ（ｔ）／ｄｔ＝Ｆ（ｘ（ｔ））と表され、離散システムの場合、状態変数の変化はｘ（ｔ＋１）＝Ｆ（ｘ（ｔ））と表される。
【００２１】
動的システムの構成、性質、外部からの影響等の要因が明確で数式化することができる場合、Ｆ（ｘ）を直接求めることにより、系の動的特性（状態変数ｘj （ｔ）（ｔ＝０→Ｔ）の値）を導出することができる。一方、動的システムの構成、性質、外部からの影響等の要因が不明確で数式化することができない場合、系の動的特性を導出することができない。そこで、過去の一定期間（ｔ＝ｔ−τ，ｔ−２τ，... ，ｔ−ｋτ）（τは時間間隔）に観測された状態変数ｘj （ｔ）の一部又は全部のデータに基づいて、特定の状態変数ｘs （ｔ）の将来の一定期間（ｔ＝ｔ＋τ，ｔ＋２τ，... ，ｔ＋（Ｌ−１）τ）のデータを推測する動的システムにおける時系列データの推測が行われる。
【００２２】
また、動的システムの時系列データは、期間及び次元数に基づいて、長期的低次元時系列データ、短期的高次元時系列データ等の区分に分類することができる。長期的低次元時系列データとは、比較的少数の状態変数（例えば、ｘ1 （ｔ），ｘ2 （ｔ），ｘ3 （ｔ）)について、比較的長い期間の多数の時点（例えば、ｔ＝ｔ1 ，ｔ2 ，... ，ｔk ）におけるデータ（［ｘ1 （ｔ1 ），ｘ1 （ｔ2 ），... ｘ1 （ｔk ）］T ，［ｘ2 （ｔ1 ），ｘ2 （ｔ2 ），... ｘ2 （ｔk ）］T ，［ｘ3 （ｔ1 ），ｘ3 （ｔ2 ），... ｘ3 （ｔk ）］T ）である。短期的高次元時系列データとは、比較的多数の状態変数（例えば、ｘ1 （ｔ），ｘ2 （ｔ），... ，ｘn （ｔ）)について、比較的短い期間の少数の時点（例えば、ｔ＝ｔ1 ，ｔ2 ，... ，ｔm ）（ｍ≪ｎ）におけるデータ（［ｘ1 （ｔ1 ），ｘ1 （ｔ2 ），... ｘ1 （ｔm ）］T ，［ｘ2 （ｔ1 ），ｘ2 （ｔ2 ），... ｘ2 （ｔm ）］T ，... ，［ｘn （ｔ1 ），ｘn （ｔ2 ），... ｘn （ｔm ）］T ）である。
【００２３】
従来の時系列データの予測は、過去に観測された長期的低次元時系列データを用いて、特定の状態変数についての将来の時系列データを推測する方法である。それに対して、本発明では、過去に観測された短期的高次元時系列データを用いて、特定の状態変数の将来の時系列データを推測することに適している。なお、時系列データの推測は、状態変数が観測された期間より後の将来の時系列データに限らず、状態変数が観測された期間より前の過去の時系列データについても行うことが可能である。即ち、既知の短期的高次元時系列データを、未知の時系列データを含む長期的低次元時系列データに変換することに適している。しかも、推測の対象となる状態変数を変更することにより、全ての状態変数について未知の時系列データを推測することも可能である。
【００２４】
＜短期的高次元時系列データと長期的低次元時系列データとの関係＞
次に短期的高次元時系列データと長期的低次元時系列データとの関係について説明する。図１は、Takensの埋め込み理論による動的システムの再構築を概念的に示す説明図である。Takensの埋め込み理論は、動的システムにおいて、長期的低次元時系列データから動的特性を再構築することが可能であることを示している。
【００２５】
図１（ａ）は、状態変数ｘ1 ，ｘ2 ，ｘ3 からなる３次元の動的システムのアトラクタを概念的に示している。図１（ａ）に示す動的システムに対し、十分な長さを有する期間Ｔの間、３個の状態変数のうちのｘ1 を観測して得られた時系列データをｙ＝ｘ1 （ｔ）として示したものが、図１（ｂ）に示すグラフである。即ち、図１（ｂ）は、３次元の動的システムを観測して得られた長期的低次元時系列データを示している。
【００２６】
図１（ｂ）に示す観測された長期的低次元時系列データを基に、時間遅延量「τ」についての遅延埋め込みにより生成した期間「Ｔ−２τ」の時系列データを示したものが、図１（ｃ）に示すグラフである。図１（ｃ）は、ｚ1 （ｔ）＝ｙ（ｔ）、ｚ2 （ｔ）＝ｙ（ｔ＋τ）及びｚ3 （ｔ）＝ｙ（ｔ＋２τ）として示される３次元時系列データを示している。
【００２７】
図１（ｃ）に示した３次元時系列データ（ｚ1 ，ｚ2 ，ｚ3 ）からなる位相空間として、Ｐｎ＝（ｚ1 （ｔn ），ｚ2 （ｔn ），ｚ3 （ｔn ））として示される動的システムのアトラクタを再構築したものが図１（ｄ）に示す概念図である。図１（ｄ）は、３次元の時系列データｚ1 （ｔn ），ｚ2 （ｔn ），ｚ3 （ｔn ）からなる位相空間において、Ｐｎ＝（ｚ1 （ｔn ），ｚ2 （ｔn ），ｚ3 （ｔn ））として示される動的システムのアトラクタを概念的に示している。図１（ｄ）に示すアトラクタは、図１（ａ）に示すアトラクタと位相幾何学的に同相である。
【００２８】
図１を用いて説明したようにTakensの埋め込み理論は、長期的低次元時系列データから短期的高次元時系列データを導出する方法を提供している。本願では、高次元の時系列データ、例えば短期的高次元時系列データを、長期的低次元時系列データに変換する変換マップを用いる方法を開示する。変換マップは、各変数間の相互作用情報を抽出し、更にその相互作用情報を時系列情報に変換することができるので、短期的高次元時系列データから長期的低次元時系列データを導出することが可能となる。このように、本願では、例えば、Takensの埋め込み理論を用いて行われた長期的低次元時系列データから短期的高次元時系列データへの変換の逆変換として、従来は実現されていなかった短期的高次元時系列データから長期的低次元時系列データへの変換をも可能とする方法を開示するものである。
【００２９】
＜逆埋め込み理論（逆変換）の概要＞
時系列データの変換に用いる変換マップΦについて説明する。ユークリッド空間Ｒn の開部分集合ＵにおけるフローＦ、ボックス次元がｄである開部分集合Ｕのコンパクト部分集合Ａ、及び整数Ｌ（Ｌ＞２ｄ）を規定し、時間間隔τ（τ＞０）が適切な値をとるものとする。この場合、開部分集合Ｕにおけるほとんど全てのスムーズ関数ｙ及び帰結遅延座標ｚ＝（ｙ（ｘ），ｙ（ＦT （ｘ）），... ，ｙ（Ｆ(L-1)T（ｘ）））T （ｘ∈Ａ）に対して、変換マップΦ：Ｒn →ＲL が存在する（下付添字のT 、(L-1)Tは、τ、(L-1) τを示す。）。このときΦ（ｘ）＝ｚは、一対一であり、コンパクト部分集合Ａに含まれる滑らかな多様体の任意のコンパクト部分集合上でのはめ込みである。そして、変換マップΦは、コンパクト部分集合Ａに含まれる状態ｘをフローＦに沿って、将来の状態ｙ（ＦiT（ｘ）），（ｉ＝１，２，... ，Ｌ−１）を示すスカラー関数に変換することができる（下付添字のiTはi τを示す）。
【００３０】
逆埋め込み理論に基づく短期的高次元時系列データから長期的低次元時系列データへの変換について詳述する。前述の式（１）を用いてｎ次元の状態ベクトルとして示した動的システムの系ｘ（ｔ）には、ボックス次元ｄのコンパクト部分集合Ａで表されるアトラクタが存在する。また、状態変数ｘi （ｔ）を用いた関数としてｙ（ｔ）を規定する。ここでは、簡単にするために、ｙ（ｔ）＝ｘi （ｔ）とする。さらに、ｚ1 （ｔ）＝ｙ（ｔ），ｚ2 （ｔ）＝ｙ（ｔ＋τ），... ，ｚL （ｔ）＝ｙ（ｔ＋（Ｌ−１）τ）（τ：遅延定数）のようにｙ（ｔ）の遅延埋め込みを行うことにより、下記式（２）として示される新たな系を構築することができる。
【００３１】
ｚ（ｔ）＝（ｚ1 （ｔ）, ｚ2 （ｔ）,... ,ｚL （ｔ））T ∈ＲL       ・・・式（２）
【００３２】
式（２）においてｚ（ｔ）は再構築された系∈ＲL の状態変数を示し、Ｌは当該系の次元を示している。
【００３３】
非特許文献１として示したTakensの埋め込み理論及びSauer 、Yorke 、Casdagliのフラクタルアトラクタに対する一般化された埋め込み理論によると、Ｌ＞２ｄの場合再構築された系ｚ（ｔ）のアトラクタは元の系ｘ（ｔ）と位相幾何学的に同相である。したがって、系ｘ（ｔ）のユークリッド空間Ｒn と系ｚ（ｔ）のユークリッド空間ＲL との間にマップΦ（Φ（ｘ（ｔ）））＝ｚ（ｔ））が存在する。マップΦは、系ｘ（ｔ）を写像して系ｚ（ｔ）に変換する変換行列である。マップΦ下では、位相幾何学的に同相という観点から、一次元の時系列データｙ（ｔ）は、ｘ（ｔ）のｍ点の時点のデータと同様のアトラクタ情報を保有している。したがって、当該マップΦによって、系ｘ（ｔ）∈Ｒn は系ｚ（ｔ）∈ＲL に変換される。即ち、マップΦは、始域ｘ（ｔ）∈Ｒn から終域ｚ（ｔ）∈ＲL への写像である。
【００３４】
マップΦについて更に詳述する。時間間隔τでｍ点観測したｎ次元の時系列データを、状態変数ｘ（ｔ）∈Ｒn を用いてｘj ＝ｘ（ｔ＋（ｊ−１）τ），（ｊ＝１，２，... ，ｍ）で表すものとすると、マップΦは、Φ（ｘ1 ，ｘ2 ，... ，ｘm ）又は下記の式（３）として得ることができる。
【００３５】
【数１】
2014211827.tif 000003
【００３６】
上記式（３）において、ｘij＝ｘi （ｔ＋（ｊ−１）τ）、ｚij＝ｚi （ｔ＋（ｊ−１）τ）であり、ｚij＝ｙ（ｔ＋（ｉ＋ｊ−２）τ）であることから、マップΦは、下記の式（４）に書き換えることができる。
【００３７】
Φ：Ｘ→Ｙ      ・・・式（４）
【００３８】
式（４）において、行列Ｘ及びＹは下記の通りである。
【００３９】
【数２】
2014211827.tif 000004
【００４０】
以上のように、マップΦによって、ＸがＹに変換される。式（４）として示したように、Ｘは、ｎ次元の状態変数ｘ（ｔ）のそれぞれのｍ点の時点での観測データからなる高次元行列である。また、Ｙは、形式上Ｌ×ｍの行列であるが、状態変数ｘ（ｔ）のうちのいずれか１つの状態変数ｙ（ｔ）の（ｍ＋Ｌ−１）個の時点のデータを、列ごとに時点を１つ前方へずらして配列した行列である。このように配列されたＹは、状態変数ｙ（ｔ）として示される一次元の時系列データを複数集めたものとみなすこともできる。即ち、マップΦは、高次元時系列データＸを一次元（低次元）時系列データＹに変換する写像としての性質を有するということができる。
【００４１】
状態変数ｙ（ｔ）は、状態変数ｘ（ｔ）として示される複数の次元（項目）の観測データのうちから選択された任意の一の次元（項目）について導出した長期間の一次元時系列データである。また、他の任意の次元（項目）の状態変数ｘ（ｔ）を選択し、新たな系ｚ（ｔ）を再構築することも可能である。従って、Ｘを複数のＹに変換することが可能であり、理論的にはＸに含まれる全ての状態変数ｘ（ｔ）について、一次元時系列データＹを導出することが可能である。
【００４２】
元の系についての観測データを示す状態変数ｘ（ｔ）の時系列的に観測して得られた点の数がｍ点の場合、変換された一次元時系列データｙ（ｔ）に含まれる要素の個数は、（ｍ＋Ｌ−１）個となる。上述のようにＬ＞２ｄの場合、再構築された系のアトラクタは元の系のアトラクタと位相幾何学的に同相である。このため状態変数ｘ（ｔ）に係る観測データの数より変換後の時系列データｙ（ｔ）に含まれる要素の個数の方が多くなる。従って、マップΦにより、ｎ個の状態変数についてｍ点分の時点で観測した得られた短期的高次元時系列データは、１個の状態変数についてｍ＋Ｌ−１点分の時点における長期的低次元時系列データに変換することが可能であるということができる。本願では、このような変換を「逆埋め込み」と称する。
【００４３】
＜マップΦの決定方法＞
次に、マップΦの決定方法について説明する。上述の逆埋め込み理論による変換を行うためには、マップΦを決定しなければならない。マップΦの決定は、系ｘ（ｔ）∈Ｒn の各変数のｍ点の時点において観測された値ｘj ＝ｘ（ｔ＋（ｊ−１）τ），（ｊ＝１，２，... ，ｍ）を用いて、Φ1 （ｘj ）＝ｙj ，（ｊ＝１，２，... ，ｍ）及びΦi （ｘj ）＝Φi-1 （ｘj+1 ），（ｉ＝２，... ，Ｌ），（ｊ＝１，... ，ｍ−１）という（ｍ＋（Ｌ−１）×（ｍ−１））個の制約条件下で、Φ＝（Φ1 ，Φ2 ，...  ，ΦL ）T を導出することにより行われる。本願では、予測の精度を高めるために、系ｘ（ｔ）∈Ｒn の性質に応じて、マップΦが線形性を有する線形マップである場合と線形性を有しない非線形マップである場合とについて、それぞれのマップΦの決定方法について説明する。
【００４４】
＜線形マップΦの決定＞
系ｘ（ｔ）∈Ｒn の変化に線形性がある場合、又は線形近似できる場合、変換マップΦとして線形性を有する線形マップΦを用いる。線形マップΦによる写像Φ（Ｘ）は、Ｌ行×ｎ列の行列Ａとして、下記の式（５）にて表現することができる。
【００４５】
Φ（Ｘ）＝ＡＸ＝Ｙ      ・・・式（５）
【００４６】
式（５）において、行列Ｘ及びＹは、前述の式（４）として示した通りであり、行列Ａは下記の通りである。
【００４７】
【数３】
2014211827.tif 000005
【００４８】
Ｘは、各状態変数ｘ（ｔ）∈Ｒn のｍ点の時点で観測された観測データからなるｎ行×ｍ列の行列である。Ｙは、ｘ（ｔ）のうちのいずれか１つの状態変数ｙ（ｔ）のｍ＋Ｌ−１点分の時点のデータを一列ごとに時点を前方へ１つずらして配列したＬ行×ｍ列の行列である。さらに、式（５）として示したＡＸ＝Ｙは、下記の式（６）として表すことができる。
【００４９】
【数４】
2014211827.tif 000006
【００５０】
式（６）において、ａi ＝（ａi1，ａi2，... ，ａin），（ｉ＝１，２，... ，Ｌ）、ｘj ＝（ｘ1j，ｘ1j，... ，ｘ1j）T ，（ｊ＝１，２，... ，ｍ）である。式（６）から、ｘ1 ，ｘ2 ，... ，ｘm について得られた観測データｙ1 ，ｙ2 ，... ，ｙm に対して、ｍ個の線形方程式ａi ・ｘj ＝ｙj ，（ｊ＝１，２，... ，ｍ）と、（ｍ−１）×（Ｌ−１）個の線形方程式ａi ・ｘj −ａi-1 ・ｘj+1 ＝０，（ｉ＝２，３，... ，ｎ、ｊ＝１，２，... ，ｍ−１）を得ることができる。ｙ（ｔ）において、ｙ1 ，ｙ2 ，... ，ｙm が既知の観測データであり、ｙm+1 ，ｙm+2 ... ，ｙL+m-1 が推測の対象となる未知の時系列データである。従って、式（６）として示した式から、ｙ（ｔ）に含まれる未知の時系列データを算出することにより、ｘ（ｔ）から選択された状態変数ｙ（ｔ）の時点ｍより後の時系列データを算出することができる。即ち、選択された次元（項目）に係る状態変数ｘ（ｔ）の未知の時系列データを導出することが可能となり、導出した時系列データに基づいて観測対象の状態変化を推測することが可能となる。
【００５１】
次に線形マップΦに基づく計算アルゴリズムについて説明する。先ず、観測された時系列データｘ1 ，ｘ2 ，... ，ｘm を取得し、選択された項目に係る状態変数ｘs （ｔ）に係る観測データに、時系列データを示す変数ｙ1 ，ｙ2 ，... ，ｙm を割り付ける。これらの時系列データから下記の式（７）に示す数式を生成し、生成した数式を用いたａ1 についての一次方程式を解いて、ａ1 を求める（手順Ｓａ１）。
【００５２】
ａ1 ・ｘj ＝ｙj       ・・・式（７）
但し、ｊ＝１，２，... ,ｍ
【００５３】
次に、ｉ＝２，３，... ,Ｌについて示した下記の式（８）に基づいて、ａi についての一次方程式をｉ＝２，３，... ，Ｌの順に生成し、生成した数式を用いたａi についての一次方程式を解く手順を繰り返し行いａi を求める（手順Ｓａ２）。
【００５４】
ａi ・ｘj ＝ｙi+j-1       ・・・式（８）
但し、ｊ＝１，２，... ，ｍ−１
【００５５】
式（７）及び（８）に基づき算出した係数ａi ，（ｉ＝１，２，... ，Ｌ）を用いて、ｍ以降の時点における時系列データｙm+i-1 を下記の式（９）により算出する（手順Ｓａ３）。
【００５６】
ｙm+i-1 ＝ａi ・ｘm       ・・・式（９）
【００５７】
式（９）により算出された時系列データｙm+i-1 が、推測すべき未知の時系列データである。
【００５８】
このような線形マップΦに基づく計算アルゴリズムでは、ｎ×Ｌ個の未知数に対して、（ｍ−１）×Ｌ＋１個の線形方程式が存在し、これらの線形方程式を解くために繰り返し演算が実施される。時系列データＸとして、短期的高次元時系列データＸを用いる場合、ｎ≫ｍであり、ｎ×Ｌ≫（ｍ−１）×Ｌ＋１である。通常、未知の変数の数が線形方程式の数よりも遙かに多い場合、解を求めることができない。本願では、元の系の次元が高く、しかも一般的にｍ点の時点におけるデータが系の漸近的アトラクタから観測されたものであるため、その次元ｄが低く、ｄ≪ｎとなる系に適用することを前提としている。Ｌはｄより若干大きい整数であるのでＬ≪ｎとなる。従って、ｎ×Ｌ個の未知の変数には線形的に独立である変数が少ない状態となる。従って、一定の条件を満足すれば、解を求めることが可能である。
【００５９】
次に、解を求める条件について説明する。上述の式（８）は、下記の式（１０）として表すことができる。
【００６０】
ａi ・ｘj ＝ｙi+j-1 ＝ａi-1 ・ｘj+1       ・・・式（１０）
【００６１】
式（１０）において、ａi-1 には、決定すべきＬ個の変数が含まれている。線形方程式理論に基づき、係数行列のランクによって、線形方程式の解を求められるか否かが決まる。ここで、下記の式（１１）に示すようにＸ~ （Ｘ~ は、Ｘの上方にチルダ、以降の説明において同じ。）を規定するものとする。
【００６２】
【数５】
2014211827.tif 000007
【００６３】
上述の計算アルゴリズムにおいて、ｒａｎｋ（Ｘ~ ）＞Ｌの場合、解を求めることができない。一方、ｒａｎｋ（Ｘ~ ）≦Ｌの場合、解を求めることが可能であり、特に、ｒａｎｋ（Ｘ~ ）＝Ｌの場合、解を正確に求めることができる。当該条件を満足するように観測する時点の数ｍを適切な値に設定することにで、解を求めることが可能となり、特にｍ＝Ｌ＋１となるように設定することで、線形マップΦを正確に求めることが可能となる。
【００６４】
＜非線形マップΦの決定＞
系ｘ（ｔ）∈Ｒn の変化に線形性が無く、また線形近似することができない程度に非線形性の強い系に対しては、上述の線形マップΦを用いても、高精度な予測を行うことは困難である。このような非線形性の強い系に対して対応することが可能な非線形マップΦを決定する方法について説明する。非線形マップΦの各要素は、下記の式（１２）を用いて表される。
【００６５】
【数６】
2014211827.tif 000008
【００６６】
式（１２）において、ｇl （ｘ），ｌ＝１，２，... ，ｋは、非線形マップΦにおける基底関数であり、ａli，（ｌ＝１，２，... ，ｋ、ｉ＝１，２，... ，Ｌ）は、それぞれの係数である。基底関数ｇl （ｘ）としては、多次元方程式、三角関数、フーリエ級数に係る関数、ニューラルネットワークの近似関数、ファジー集合に係る関数、各種フラクタル関数等の様々な非線形関数を用いることができる。
【００６７】
このような式（１２）を用いることにより、前述の線形マップΦの求め方を応用して、非線形マップΦを求めることが可能となる。ただし、ｋの数は、観測する時点ｍの数と比べて遙かに多くなりがちであるため、式（１２）に基づいて非線形マップΦを求めることが困難な場合も生じる。このような場合でも、非線形マップΦを求めることは可能である。本願では、非線形マップΦを求める方法として下記の方法を開示する。
【００６８】
非線形マップΦに基づく計算アルゴリズムについて説明する。先ず、観測された時系列データｘ1 ，ｘ2 ，... ，ｘm を取得し、選択された項目に係る状態変数ｘs （ｔ）に係る観測データに、時系列データを示す変数ｙ1 ，ｙ2 ，... ，ｙm を割り付ける。そして、基底関数ｇl （ｘ），ｌ＝１，２，... ，ｋ及びその展開次数ｋを選択する（手順Ｓｂ１）。
【００６９】
次に、Φi （ｘj ）＝ｘ~ j T ・αi となるようにｘ~ j ＝［ｇ1 （ｘj ），ｇ2 （ｘj ），... ，ｇ3 （ｘj ），］T （但し、ｊ＝１，２，... ，ｍ）及びαi を構築する（手順Ｓｂ２）。
【００７０】
次に、圧縮センシング手法により下記の式（１３）に示す数式を生成し、生成した数式を解いてα1 を求める（手順Ｓｂ３）。
【００７１】
ｘ~ j T ・α1 ＝ｙj       ・・・式（１３）
但し、ｊ＝１，２，... ，ｍ
【００７２】
次に、ｉ＝２，３，... ,Ｌについて示した下記の式（１４）に基づいて、αi についての数式をｉ＝２，３，... ,Ｌの順に生成し、生成した数式を用いたαi についての数式を圧縮センシング手法により解く手順を繰り返し行いαi を求める（手順Ｓｂ４）。
【００７３】
ｘ~ j T ・αi ＝ｙi+j-1       ・・・式（１４）
但し、ｊ＝１，２，... ,ｍ−１
【００７４】
式（１４）に基づき算出した係数αi を用いて、ｍ以降の時点における時系列データｙm+i-1 を下記の式（１５）により算出する（手順Ｓｂ５）。
【００７５】
ｙm+i-1 ＝ｘ~ m T ・αi       ・・・式（１５）
【００７６】
式（１５）により算出された時系列データｙm+i-1 が、推測すべき未知の時系列データである。このようにして、非線形マップΦを求めることが可能となる。
【００７７】
＜導出装置＞
以上詳述した未知の時系列データを推測する方法は、コンピュータを用いた導出装置として応用することにより、産業上利用可能な発明として具現化することができる。本発明に係る導出装置は、経時的に変化する事象に関するｎ次元（ｎは２以上の整数）の項目それぞれについて時系列で観測して得られたｍ点（ｍは２以上の整数）の観測データに基づいて、前記観測データに含まれていない時点のデータを導出データとして導出する。図２は、本発明に係る導出装置の構成例を示すブロック図である。図２に示す導出装置１は、パーソナルコンピュータ、サーバコンピュータ、それに接続されるクライアントコンピュータ、その他各種コンピュータ等のコンピュータを用いて実現される。導出装置１は、制御部１０、記録部１１、記憶部１２、入力部１３、出力部１４、取得部１５等の各種機構を備えている。
【００７８】
制御部１０は、ＣＰＵ（Central Processing Unit ）等の回路を用いて構成され、検出装置１全体を制御する機構である。
【００７９】
記録部１１は、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）等の磁気記録機構、ＳＳＤ（Solid State Disk）等の不揮発性半導体記録機構等の不揮発性の補助記録機構である。記録部１１には、本発明に係る導出プログラム１１ａ等の各種プログラム及びデータが記録されている。
【００８０】
記憶部１２は、ＳＤＲＡＭ（Synchronous Dynamic Random Access Memory）、ＳＲＡＭ（Static Random Access Memory）等の揮発性の主記憶機構である。
【００８１】
入力部１３は、キーボード、マウス等のハードウェア、及びドライバ等のソフトウェアを備える入力機構である。
【００８２】
出力部１４は、モニタ、プリンタ等のハードウェア、及びドライバ等のソフトウェアを備える出力機構である。
【００８３】
取得部１５は、外部から観測データ等のデータを取得するＬＡＮボード、各種メモリスロット、無線通信デバイス、画像読取用デバイス等のハードウェア、及びドライバ等のソフトウェアを備えるインターフェース機構である。なお、入力部１３を、取得部１５として使用することも可能である。
【００８４】
そして、記録部１１に記録されている導出プログラム１１ａを、記録部１２に記憶し、制御部１０の制御に基づき実行することにより、コンピュータは、導出プログラム１１ａに係る各種手順を実行し、本発明の導出装置１として機能する。なお、便宜上、記録部１１及び記憶部１２として区別しているが、両者とも各種情報の記録という同様の機能を有するものであり、装置の仕様、運用形態等に応じていずれの機構に記録させるかは、適宜決定することが可能である。同様に制御部１０が備えるレジスタを記録部１１として用いても良い。
【００８５】
次に、本発明に係る導出装置１の処理について説明する。図３は、本発明に係る導出装置１の線形性時系列データの導出処理の一例を示すフローチャートである。導出装置１の制御部１０は、取得部１５により、ｎ次元の項目それぞれについて時系列に並ぶｍ点の観測データを取得する（Ｓ１０１）。なお、観測データは、前述のように、取得部１５又は入力部１３にて取得するが、記録部１１に予め観測データを記録しておき、記録部１１からの観測データの読み取りをもって観測データの取得としても良い。また、観測データとしては、各種測定装置による測定より得られたデータ、株価等の経済上のデータの他、画像データ等の様々なデータを用いることが可能である。観測データとして画像データを用いる場合、例えば、画像を構成する各画素又は所定の領域を構成する複数の画素の代表値について、明度、又はＲ（Ｒｅｄ）値、Ｇ（Ｇｒｅｅｎ）値及びＢ（Ｂｌｕｅ）値の階調値を取得し、観測データとして用いることが可能である。画像データそのものは、外部からの入力を受け付けて取得しても良く、また画像読取機能を備えるスキャナ等の取得部１５を用いて画像を読み取ることで取得しても良い。
【００８６】
制御部１０は、取得した観測データを記録部１１に記録する（Ｓ１０２）。記録部１１には、取得部１５が取得した観測データを要素とし、項目が行方向に並び、時系列が列方向に並ぶように配置したｎ行×ｍ列の行列Ｘ（始域行列）が記録される。なお、記録部１１への実際の記録形式は、必ずしも行列形式で記録する必要は無く、行列形式に配置可能なように行及び列を示すアドレス、又はそれに代替される識別符号が付されていれば良い。
【００８７】
読み取った観測データを記録後、操作者は、入力部１３を操作して、推測の対象となる項目を、導出する項目として指定し、更に推測すべき時点の数Ｌを指定する。制御部１０は、入力部１３から導出する項目及び導出する時点数の指定を受け付ける（Ｓ１０３）。ステップＳ１０３では、観測データに係る複数の項目ｘ（ｔ）のうちから指定された項目ｘs （ｔ）の指定を受け付ける。前述した特定の状態変数ｘs （ｔ）の選択に対応する処理である。また、時点数の指定とは、予測の対象となる時点の数、即ち前述したＬの値を受け付ける処理である。ステップＳ１０３の処理としては、予め設定されている項目及び時点数を読み取ることで指定の受け付けとしても良い。また、指定する項目は、複数であっても良く、更には、全項目を指定しても良い。
【００８８】
制御部１０は、観測データ及び導出データを変数に割り付ける（Ｓ１０４）。ステップＳ１０４において、観測データに対しては、変数ｙ1 ，ｙ2 ，... ，ｙm を割り付けて記録部１１に記録する。また、ステップＳ１０２にて指定された時点の数Ｌに対応する時点ｍ＋１，ｍ＋２，... ，ｍ＋Ｌ−１に対応する変数ｙm+1 ，ｙm+2 ，... ，ｙm+L-1 を定義する。定義された変数ｙm+1 ，ｙm+2 ，... ，ｙm+L-1 は、導出データを割り付ける変数として記録部１１に記録される。記録部１１に記録される変数列ｙ1 ，ｙ2 ，... ，ｙm ，ｙm+1 ，ｙm+2 ，... ，ｙm+L-1 は、以降の処理により、１次元の行列Ｙ（終域行列）として扱われる。
【００８９】
制御部１０は、変数に割り付けた観測データ及び導出データから、線形マップΦの１行目の要素ａ1 に係る数式を生成し（Ｓ１０５）、生成した数式に基づいて要素ａ1 を算出する（Ｓ１０６）。ステップＳ１０５〜１０６では、前述の線形マップΦの決定として説明した方法のうち、手順Ｓａ１に対応する処理を実行する。
【００９０】
制御部１０は、ステップＳ１０６にて算出したａ1 を元に、線形マップΦのｉ行目の要素ａi に係る数式を逐次生成し（Ｓ１０７）、生成した数式に基づいて要素ａi を逐次算出する（Ｓ１０８）。ステップＳ１０７〜Ｓ１０８では、前述の線形マップΦの決定として説明した処理のうち、手順Ｓａ２に対応する処理を実行する。要素ａi は、ａ2 ，ａ3 ，... ，の順で数式の生成及び演算を繰り返すことにより、即ち、ステップＳ１０７〜Ｓ１０８の処理を繰り返すことにより、順次算出される。
【００９１】
制御部１０は、算出したａi を要素とする線形マップΦと、観測データｘm とに基づく演算により、時系列データｙm+i-1 を導出する（Ｓ１０９）。ステップＳ１０９では、前述の線形マップΦの決定として説明した方法のうち、手順Ｓａ３に対応する処理を実行する。
【００９２】
制御部１０は、ステップＳ１０３にて指定された項目全てについて時系列データの導出を行ったか否かを判定する（Ｓ１１０）。
【００９３】
ステップＳ１１０において、時系列データを導出していない項目があると判定した場合（Ｓ１１０：ＮＯ）、制御部１０は、ステップＳ１０４に戻り、以降の処理を繰り返すことで、導出していない項目についての時系列データを導出する。
【００９４】
ステップＳ１１０において、全ての項目について時系列データを導出したと判定した場合（Ｓ１１０：ＹＥＳ）、制御部１０は、導出した各項目についての時系列データｙm+i-1 を出力部１４から出力する（Ｓ１１１）。ステップＳ１１１における出力としては、モニタへの表示、プリンタからの印刷の他、外部の装置への送信、記録部１１への記録等の様々な方法にて行われる。
【００９５】
以上のようにして、線形性時系列データの導出処理が実行される。
【００９６】
次に、非線形性の時系列データの導出処理について説明する。図４は、本発明に係る導出装置１の非線形性時系列データの導出処理の一例を示すフローチャートである。導出装置１の制御部１０は、取得部１５により、ｎ次元の項目それぞれについてｍ点の観測データを取得し（Ｓ２０１）、取得した観測データを記録部１１に記録する（Ｓ２０２）。
【００９７】
読み取った観測データを記録後、操作者は、入力部１３を操作して、推測の対象となる項目を、導出する項目として指定し、更に推測すべき時点の数Ｌを指定する。制御部１０は、入力部１３から導出する項目及び導出する時点数の指定を受け付ける（Ｓ２０３）。
【００９８】
さらに、操作者は、入力部１３を操作して、基底関数ｇ1 （ｘ）及び次数ｋの指定を受ける（Ｓ２０４）。ステップＳ２０４では、前述の非線形マップΦの決定として説明した方法のうち、手順Ｓｂ１に対応する処理を実行する。なお、ステップＳ２０４の処理としては、予め設定されている基底関数及び次数を読み取ることで指定の受け付けとしても良い。
【００９９】
制御部１０は、非線形マップΦi （ｘj ）を構成する基底関数ｇi （ｘ）の行列ｘ~ j T 及び係数αi を構築する（Ｓ２０５）。ステップＳ２０５では、前述の非線形マップΦの決定として説明した方法のうち、手順Ｓｂ２に対応する処理を実行する。
【０１００】
制御部１０は、観測データ及び導出データの変数を割り付ける（Ｓ２０６）。更に、制御部１０は、変数に割り付けた観測データ及び導出データから、非線形マップΦの１行目の要素α1 に係る数式を生成し（Ｓ２０７）、生成した数式に基づいて要素α1 を算出する（Ｓ２０８）。ステップＳ２０７〜Ｓ２０８では、前述の非線形マップΦの決定として説明した方法のうち、手順Ｓｂ３に対応する処理を実行する。
【０１０１】
制御部１０は、ステップＳ２０８にて算出したα1 を元に、非線形マップΦのｉ行目の要素αi に係る数式を逐次生成し（Ｓ２０９）、生成した数式に基づいて要素αi を逐次算出する（Ｓ２１０）。ステップＳ２０９〜Ｓ２１０では、前述の非線形マップΦの決定として説明した方法のうち、手順Ｓｂ４に対応する処理を実行する。要素αi は、α2 ，α3 ，... ，の順で数式の生成及び演算を繰り返すことにより、即ち、ステップＳ２０９〜Ｓ２１０の処理を繰り返すことにより、順次算出される。
【０１０２】
制御部１０は、算出したαi を要素とする非線形マップΦと、観測データｘm とに基づく演算により、時系列データｙm+i-1 を導出する（Ｓ２１１）。ステップＳ２１１では、前述の非線形マップΦの決定として説明した方法のうち、手順Ｓｂ５に対応する処理を実行する。
【０１０３】
制御部１０は、ステップＳ２０３にて指定された項目全てについて時系列データの導出を行ったか否かを判定する（Ｓ２１２）。
【０１０４】
ステップＳ２１２において、時系列データを導出していない項目があると判定した場合（Ｓ２１２：ＮＯ）、制御部１０は、ステップＳ２０６に戻り、以降の処理を繰り返すことで、導出していない項目についての時系列データを導出する。
【０１０５】
ステップＳ２１２において、全ての項目について時系列データを導出したと判定した場合（Ｓ２１２：ＹＥＳ）、制御部１０は、導出した各項目についての時系列データｙm+i-1 を出力部１４から出力する（Ｓ２１２）。
【０１０６】
以上のようにして、非線形性時系列データの導出処理が実行される。
【０１０７】
＜実際の動的システムへの適用例＞
以上、詳述したように、本発明の導出装置１により、時系列データの導出処理として、未知の時系列データの推測を行うことができる。本発明の導出装置１にて実行される未知の時系列データの導出は、経時的に変換するｎ次元の項目を有する時系列データ、特に短期的高次元時系列データに基づいて、長期的低次元の時系列データの推測に有用である。その応用範囲は広く、株価、為替、物価等の金融市場、気象、電力消費量、生命分子レベルの進展データ、複雑な疾患の進展等の様々な分野に適用することができる。
【０１０８】
本発明を気象予測に適用する例について説明する。図５は、本発明に係る導出装置１が取得する観測データの一例を示す説明図である。図５は、気象衛星により太平洋南西部付近を撮像して得られた可視画像であり、台風が発生している状況を確認することができる。導出装置１は、図５に例示する可視画像から画素データを観測データとして取得する。取得する画素データは、可視画像を構成する全ての画素、画像中の特定の座標における画素、予め設定された領域毎の画素の代表値（例えば、平均値）等、適宜設定することができる。また画素データに用いる数値としては、モノクロ画像からは階調値、カラー画像からはＲ値、Ｇ値及びＢ値の各色成分における階調値等適宜設定することができる。
【０１０９】
今回は本発明に係る疑似試験として、図５に例示する可視画像に含まれる３００点の座標位置に対応する画素のＲ値、Ｇ値及びＢ値それぞれについて２５６段階に分級された階調値を９００点の観測データとして取得した。更に、図５に示す台風の渦の中心、所謂、台風の目の位置を示すＸ座標及びＹ座標を観測データとして取得した。即ち、気象衛星による可視画像を、９０２次元の状態変数を含む系として捉え、系に含まれる９０２項目の観測データを取得した。また、観測データを取得する同様の処理を、所定の時間間隔で撮像して得られた２１点の可視画像に対して行った。このような方法により、経時的に変化する系（動的システム）から一定の時間間隔で２１点の時点における多次元の観測データを取得した。そして、導出する項目として、台風の目の位置を示すＸ座標及びＹ座標を指定し、線形マップΦに基づき、観測データに係る時点より後の８点の時点について、指定したＸ座標及びＹ座標の値を導出し、出力した。
【０１１０】
図６は、本発明に係る導出装置１が出力する導出データの一例を示す説明図である。図６では、台風の目の位置を示す座標を、２１点の観測データ、８点の導出データ及び８点の実際のデータについて地図上に示した説明図である。地図上の位置を明確にすべく陸地については海岸線を示している。図中左下に示された陸地がルソン島等のフィリピン諸島であり、左上に示された陸地が台湾島である。また、図中「△」で示した点が観測データにより示される台風の目の実際の位置、「○」で示した点が導出データにより示される台風の目の推測位置、そして「◇」で示した点が導出データに対応する時点における実際の台風の目の実際の位置を示している。
【０１１１】
図６に示すように、２１点の観測データから導出された８点の導出データにより示される台風の中心の位置の経時変化、即ち、台風の予測進路は、実際の進路と近似していることを確認することができる。現在の気象に係る数値予測では、各地点の各高度における温度、湿度、気圧、風向き等の気象データを元に台風の進路予測を行っている。これに対して本発明は、気象衛星による可視画像のみからでも台風の進路予測を行うことが可能であることを示している。実際に本発明を適用する際には、各種気象データを観測データとすることにより、更には、これらの気象データと可視画像、赤外画像等の画像データから得られるデータとを観測データとして併用することにより、更に正確な進路予測の実現を見込むことができる。
【０１１２】
前記実施の形態では、本発明の無数に存在する実施例の一部を開示したに過ぎず、マップΦの概念を用いて時系列データを導出（推測）する様々な方法に適用することが可能である。また、マップΦを算出する演算手順についても上述した方法に限らず、様々な方法を適用することが可能である。例えば、マップΦの要素に係る数式の生成及び要素の算出は、行毎に逐次算出するのではなく、複数の要素を一度に算出するアルゴリズムを適用しても良い。
【符号の説明】
【０１１３】
１  導出装置
１０  制御部
１１  記録部
１１ａ  導出プログラム
１２  記憶部
１３  入力部
１４  出力部
１５  取得部
【図１】
2014211827.tif 000009
【図２】
2014211827.tif 000010
【図３】
2014211827.tif 000011
【図４】
2014211827.tif 000012
【図６】
2014211827.tif 000013
【図５】
2014211827.tif 000014