(57)【要約】  【課題】  多層基板やパッケージの反りの低減化において、配線層の調整が最小限になるような効率的な補正方法を提案すること。反りの低減のための補正を行う際の、反り低減化に有効となる配線層の補正箇所を特定できるようにすること。  【解決手段】    平均熱膨張率差Δαは基板内でばらつきがあるが、反りに影響するのは長さスケールが大きい（周波数の低い）熱膨張率差Δαで、長さのスケールが小さい（周波数が高い）Δαはあまり影響しないことに着目して、長さのスケールが大きい（または周波数の低い）Δαのみを補正する。有機基板の熱膨張率差Δαの分布を平面上で求めた後に、デジタルフィルタリングで、周波数の低いものだけフィルターをかけ、補正前のΔαとの差をとる。残った結果が、補正が必要な箇所となる。基板上の必要な量だけに補正をかけることができる。【選択図】  図２
2014106905.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
上の配線層および下の配線層を有している多層基板であって、各々の配線層が少なくとも２種類の弾性率（Ｅ）の異なる材料（基板樹脂材料ｍ、配線材料ｆ）から成り、それらの材料が２次元方向に各々が異なる占有率（Ｖ）をもって分布している基板について、反り（δ）の最適化に関する計算をコンピュータに実行させる方法であって、
（１）基板の２次元表面を、平面的に有限な要素へと、離散化するステップと、
（２）各要素について与えられる、２種の弾性率（Ｅ）、２種の占有率（Ｖ）、および、２種の異なる占有率（Ｖ）の差から得られる熱膨張率差（Δα）に基づいて、２次元表面の混合特性を計算するステップと、
（３）有限要素法（ＦＥＭ）によって、計算された２次元表面の混合特性に基づいて、基板の反り（δ）を計算するステップと、
（４）許容反り量（δmax）に対応する最大長さスケール（Lmax）を計算するステップ、
（５）熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが最大長さスケール（Lmax）より大きいパターンに関係している要素を抽出するステップと、
（６）抽出された長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）より大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合を調整することにより熱膨張率差（Δα）を低減するステップと、
（７）有限要素法（ＦＥＭ）によって、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合が調整された結果に基づいて、基板の反り量（δ）を計算するステップと、
（８）要求された反り（δmax）に収まるまで、上記のステップ（５）（６）（７）を繰返すステップとを有する、
方法。
【請求項２】
（５）熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケール最大長さスケール（Lmax）より大きいパターンに関係している要素を抽出するステップが、
高速フーリエ変換後に実行される、デジタルフィルターリングであって、
その後に、逆高速フーリエ変換が実行される、
請求項１に記載の方法。
【請求項３】
（６）抽出された長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）より大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合を調整するステップが、
ダミーの配線層を加える調整である、
請求項１に記載の方法。
【請求項４】
（６）抽出された長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）より大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合を調整するステップが、
配線層のうちの、配線材料ｆの配線密度の調整である、
請求項１に記載の方法。
【請求項５】
（６）抽出された長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）より大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合を調整するステップが、
配線層における配線パターン自体の調整である、
請求項１に記載の方法。
【請求項６】
上の配線層および下の配線層を有している多層基板であって、各々の配線層が少なくとも２種類の弾性率（Ｅ）の異なる材料（基板樹脂材料ｍ、配線材料ｆ）から成り、それらの材料が２次元方向に各々が異なる占有率（Ｖ）をもって分布している基板について、反り（δ）の最適化に関する計算をコンピュータに実行させるシステムであって、
（１）基板の２次元表面を、平面的に有限な要素へと、離散化し、
（２）各要素について与えられる、２種の弾性率（Ｅ）、２種の占有率（Ｖ）、および、２種の異なる占有率（Ｖ）の差から得られる熱膨張率差（Δα）に基づいて、２次元表面の混合特性を計算し、
（３）有限要素法（ＦＥＭ）によって、計算された２次元表面の混合特性に基づいて、基板の反り（δ）を計算し、
（４）許容反り量（δmax）に対応する最大長さスケール（Lmax）を計算し、
（５）熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが最大長さスケール（Lmax）より大きいパターンに関係している要素を抽出し、
（６）抽出された長さスケール（Ｌ）が相対的に大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合を調整することにより熱膨張率差（Δα）を低減し、
（７）有限要素法（ＦＥＭ）によって、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合が調整された結果に基づいて、基板の反り量（δ）を計算し、
（８）要求された反り（δmax）に収まるまで、上記の（５）（６）（７）を繰返すことを特徴とする、
システム。
【請求項７】
（５）熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが最大長さスケール（Lmax）より大きいパターンに関係している要素を抽出することが、
高速フーリエ変換後に実行される、デジタルフィルターリングであって、
その後に、逆高速フーリエ変換が実行される、
請求項６に記載のシステム。
【請求項８】
上の配線層および下の配線層を有している多層基板であって、各々の配線層が少なくとも２種類の弾性率（Ｅ）の異なる材料（基板樹脂材料ｍ、配線材料ｆ）から成り、それらの材料が２次元方向に各々が異なる占有率（Ｖ）をもって分布している基板について、反り（δ）の最適化に関する計算をコンピュータに実行させるプログラムであって、
（１）基板の２次元表面を、平面的に有限な要素へと、離散化するコードと、
（２）各要素について与えられる、２種の弾性率（Ｅ）、２種の占有率（Ｖ）、および、２種の異なる占有率（Ｖ）の差から得られる熱膨張率差（Δα）に基づいて、２次元表面の混合特性を計算するコードと、
（３）有限要素法（ＦＥＭ）によって、計算された２次元表面の混合特性に基づいて、基板の反り（δ）を計算するコードと、
（４）許容反り量（δmax）に対応する最大長さスケール（Lmax）を計算するコードと、
（５）熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが最大長さスケール（Lmax）より大きいパターンに関係している要素を抽出するコードと、
（６）抽出された長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）より大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合を調整するステップと、
（７）有限要素法（ＦＥＭ）によって、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合が調整された結果に基づいて、基板の反り（δ）を計算するコードと、
（８）要求された反り（δmax）に収まるまで、上記のステップ（５）（６）（７）を繰返す コードとを有する、
プログラム。
【請求項９】
請求項１に記載の方法に従った設計によって製造された、多層基板。
【請求項１０】
請求項９に記載の多層基板を含む、パッケージ。
【請求項１１】
上の配線層および下の配線層を有している多層基板であって、各々の配線層が少なくとも２種類の弾性率（Ｅ）の異なる材料（基板樹脂材料ｍ、配線材料ｆ）から成り、それらの材料が２次元方向に各々が異なる占有率（Ｖ）をもって分布している基板について、反り（δ）の最適化に関する計算をコンピュータに実行させる方法であって、
基板の２次元表面が平面的に有限な要素へと離散化されたものであって、各要素について与えられる、２種の弾性率（Ｅ）、２種の占有率（Ｖ）、および、２種の異なる占有率（Ｖ）の差から得られる熱膨張率差（Δα）に基づいた、２次元表面の混合特性に基づいて、
有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算するステップと、許容反り量（δmax）に対応する最大長さスケール（Lmax）を計算するステップと、  計算された熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが相対的に大きいパターンに関係している要素を抽出するステップとを有し、
抽出された長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）より大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合が調整されたものに基づいて、
再び、有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算するステップとを有する、
方法。
【請求項１２】
上の配線層および下の配線層を有している多層基板であって、各々の配線層が少なくとも２種類の弾性率（Ｅ）の異なる材料（基板樹脂材料ｍ、配線材料ｆ）から成り、それらの材料が２次元方向に各々が異なる占有率（Ｖ）をもって分布している基板について、反り（δ）の最適化に関する計算をコンピュータに実行させるシステムであって、
基板の２次元表面が平面的に有限な要素へと離散化されたものであって、各要素について与えられる、２種の弾性率（Ｅ）、２種の占有率（Ｖ）、および、２種の異なる占有率（Ｖ）の差から得られる熱膨張率差（Δα）に基づいた、２次元表面の混合特性に基づいて、
有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算し、許容反り量（δmax）に対応する最大長さスケール（Lmax）を計算し、
計算された熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが最大長さスケール（Lmax）より大きいパターンに関係している要素を抽出し、
抽出された長さスケール（Ｌ）が相対的に大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合が調整されたものに基づいて、
再び、有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算する、
システム。
【請求項１３】
上の配線層および下の配線層を有している多層基板であって、各々の配線層が少なくとも２種類の弾性率（Ｅ）の異なる材料（基板樹脂材料ｍ、配線材料ｆ）から成り、それらの材料が２次元方向に各々が異なる占有率（Ｖ）をもって分布している基板について、反り（δ）の最適化に関する計算をコンピュータに実行させるプログラムであって、
基板の２次元表面が平面的に有限な要素へと離散化されたものであって、各要素について与えられる、２種の弾性率（Ｅ）、２種の占有率（Ｖ）、および、２種の異なる占有率（Ｖ）の差から得られる熱膨張率差（Δα）に基づいた、２次元表面の混合特性に基づいて、
有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算するコードと、許容反り量（δmax）に対応する最大長さスケール（Lmax）を計算するコードと、  計算された熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが最大長さスケール（Lmax）より大きいパターンに関係している要素を抽出するコードとを有し、
抽出された長さスケール（Ｌ）が相対的に大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合が調整されたものに基づいて、
再び、有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算するコードとを有する、
方法。
【請求項１４】
上の配線層および下の配線層を有している多層基板であって、各々の配線層が少なくとも２種類の弾性率（Ｅ）の異なる材料から成り、それらの材料が２次元方向に各々が異なる占有率（Ｖ）をもって分布している基板について、反り（δ）の最適化に関する計算をコンピュータに実行させる方法であって、
基板の２次元表面が平面的に有限な要素へと離散化されたものであって、各要素について与えられる、熱膨張率差（Δα）に基づいて、
有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算するステップと、
計算された熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが相対的に大きいパターンに関係している要素を抽出するステップとを有し、
抽出された長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）より大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合が調整されたものに基づいて、
再び、有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算するステップとを有する、
方法。
【請求項１５】
上の配線層および下の配線層を有している多層基板であって、各々の配線層が少なくとも２種類の弾性率（Ｅ）の異なる材料から成り、それらの材料が２次元方向に各々が異なる占有率（Ｖ）をもって分布している基板について、反り（δ）の最適化に関する計算をコンピュータに実行させるシステムであって、
基板の２次元表面が平面的に有限な要素へと離散化されたものであって、各要素について与えられる、熱膨張率差（Δα）に基づいて、
有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算し、許容反り量（δmax）に対応する最大長さスケール（Lmax）を計算し、  計算された熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが最大長さスケール（Lmax）より大きいパターンに関係している要素を抽出し、
抽出された長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）より大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合が調整されたものに基づいて、
再び、有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算する、
システム。
【請求項１６】
上の配線層および下の配線層を有している多層基板であって、各々の配線層が少なくとも２種類の弾性率（Ｅ）の異なる材料から成り、それらの材料が２次元方向に各々が異なる占有率（Ｖ）をもって分布している基板について、反り（δ）の最適化に関する計算をコンピュータに実行させるプログラムであって、
基板の２次元表面が平面的に有限な要素へと離散化されたものであって、各要素について与えられる、熱膨張率差（Δα）に基づいて、
有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算するコードと、、許容反り量（δmax）に対応する最大長さスケール（Lmax）を計算するコードと、  計算された熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが相対的に大きいパターンに関係している要素を抽出するコードとを有し、
抽出された長さスケール（Ｌ）が相対的に大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合が調整されたものに基づいて、
再び、有限要素法（ＦＥＭ）によって、熱膨張率差（Δα）を計算するコードとを有する、
プログラム。
【請求項１７】
請求項１４に記載の方法に従った設計によって製造された、多層基板。
【請求項１８】
請求項１７に記載の多層基板を含む、パッケージ。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、電子機器の実装分野における多層基板の反りに関する。
【０００２】
より詳しくは、上の配線層および下の配線層において、異なる材料（基板樹脂材料、配線材料）が２次元方向に分布している、多層基板における反りの最適化に関する。
【背景技術】
【０００３】
電子機器の実装分野において、多層基板またはパッケージにおいて反りが問題となっている。
【０００４】
反りは、多層有機基板の上下の配線層の熱膨張率（ＣＴＥ：Coefficient of Thermal Expansion）の非対称性が主な原因となって生じるものである。
【０００５】
多層有機基板は、上の配線層および下の配線層において、異なる材料（基板樹脂材料、配線材料）が２次元方向に分布している。
【０００６】
基板樹脂材料には通常、絶縁性のある樹脂を利用し、配線材料には通常、導電性のある金属を利用することになる。
【０００７】
そのため、これらの材料の間では、熱膨張率および弾性率（Ｅ：Elastic modulas / Elasticity）が大きく異なってくる。
【０００８】
基板樹脂材料に配線材料を分布されるにあたり、配線の性質上、幾何学的に完全な対称にするわけにはいかないため、分布に非対称性が生じる。
【０００９】
この点、配線の最適化を行う方法が求められている。
【００１０】
反りの低減化の方法として、基板上下の配線密度を等しくするようにダミーパターンを形成する手法が知られている。
【００１１】
しかしながら、具体的に、どの部分を優先的に補正すればよいかについて、数値化されるには至っておらず、技術者の経験や勘に頼るしかないのが現状である。
【００１２】
妥協的な策として、上下の熱膨張率の平均として算出される、平均熱膨張率という考え方が知られている。
【００１３】
これは、配線層の密度が基板全体で同じになるように配線パターンを調整することで、基板の反りを解析する考え方である。
【００１４】
しかし、部分的または局所的に熱膨張率差が大きくなってしまうところが生じてしまったり、配線パターンによっては、配線の都合上、変更することができない場合さえある。
【００１５】
部分的または局所的な配線パターンの修正であっても、その多くは設計者の経験や勘に頼られてきたというのが現状である。
【００１６】
特許文献１では、反りを精度よく計算したい領域は細かく、そうでない領域は粗くメッシュ分割してＦＥＭ解析することが開示されている。
【００１７】
特許文献２では、プリント基板の反りに対し、補強部の位置決定法を開示している。
【００１８】
特許文献３では、有限要素法（ＦＥＭ：FiniteElement Method）を用いた反り予測プログラムが開示されている。
【００１９】
特許文献４〜９は、参考程度の内容であるが、有限要素法により、基板の反りを解析することが記載されている。
【００２０】
しかしながら、平均熱膨張率差Δαは基板内でばらつきがあることに着目し、反りに影響する長さのスケールが大きい（周波数の低い）熱膨張率差Δαと、反りにあまり影響しない長さのスケールが小さい（周波数が高い）Δαとを区別するという考え方を用いて、この考え方を補正に応用しているものは見当たらない。
【先行技術文献】
【特許文献】
【００２１】
【特許文献１】特許第４２０４５３０号（特開２００６−０９１９３９）
【特許文献２】特許第３３２９６６７号（特開平１０−９３２０６）
【特許文献３】国際公開ＷＯ２０１０／０２１２８７
【特許文献４】特許第４２０４５２４号（特開２００６−０３９６９２）
【特許文献５】特開２０１２−３４６０
【特許文献６】特開２０１１−１４８６５
【特許文献７】特開２０１０−１１８５２３
【特許文献８】特開２０１０−８７１４５
【特許文献９】特開２００９−２６０１２３
【非特許文献】
【００２２】
【非特許文献１】尾田十八、阿部新吾、”多層ばり理論によるプリント基板の応力・変形の評価”、日本機械学会論文集  Ａ59巻563号1993-7 p205-208  Juhachi Oda and Shingo Abe, “Analysis of stress and deflection of printedplate board using multilayered beam theory” in J. of Japan Society of Mechanical Engineers, 59, (1993)p205-208.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００２３】
本発明の目的は、多層基板やパッケージの反りの低減化において、配線層の調整が最小最大限になるような効率的な補正方法を提案することにある。
【００２４】
本発明のさらに具体的な目的は、反りの低減のための補正を行う際の、反り低減化に有効となる配線層の補正箇所を特定できるようにすることにある。
【課題を解決するための手段】
【００２５】
平均熱膨張率差Δαは基板内でばらつきがあるが、反りに影響するのは長さスケールが大きい（周波数の低い）熱膨張率差Δαで、長さのスケールが小さい（周波数が高い）Δαはあまり影響しないことに着目する。
【００２６】
この原理に基づいて、長さのスケールが大きい（または周波数の低い）Δαのみを補正する。  
【００２７】
補正の方法としては、有機基板の熱膨張率差Δαの分布を平面上で求めた後に、デジタルフィルタリングで、周波数の低いものだけフィルターをかけ、補正前のΔαとの差をとることで補正の箇所を特定する。
【００２８】
デジタルフィルタリングで、高周波のみをフィルターして残った結果が、補正が必要な箇所として特定される。
【発明の効果】
【００２９】
本発明に従えば、反りを低減するため、配線層の補正を最小限にとどめることができ、基板上の必要な量だけに補正をかけることができる。
【図面の簡単な説明】
【００３０】
【図１】図１は、多層基板をバイメタルとして反り（δ）を算出する式を説明する図である。
【図２】図２は、平均熱膨張率差Δαが、多層基板内でばらつきがあることを説明する図である。
【図３】図３は、特性長さのスケール（Ｌ）と反り（δ）との関係を示すグラフである。
【図４】図４は、本発明の手法を示す全体のフローチャートである。
【図５】図５は、材料の２次元方向の離散化を示す図である。
【図６】図６は、各要素の複合材料の特性の計算を示す図である。
【図７】図７は、熱膨張率差Δαのデジタルフィルターリングとして、 長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）よりも大きいパターンの抽出を示す図である。
【図８】図８は、長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）よりも大きい箇所のパターンの補正を示す図である。
【図９】図９は、補正後の反りの計算を示す図である。
【図１０】図１０は、有限要素法（ＦＥＭ）による反りの計算例と実際に測定したものとの比較を示す図である。
【図１１】図１１は、多層配線基板モデルによる複合体パラメータ算出方法を示す図である。
【図１２】図１２は、多層配線基板モデル例:複合体パラメータ算出結果を示す図である。
【図１３】図１３は、多層配線基板モデルシミュレーション入力値を示す図である。
【図１４】図１４は、多層ばり理論(MultilayeredBeam Theory) の概要を示す図である。（非特許文献１）
【図１５】図１５は、多層ばり理論(MultilayeredBeam Theory) の連立方程式を示す図である。（非特許文献１）
【図１６】図１６は、多層基板またはパッケージに本発明を適用するにあたり、補正箇所にダミー配線を加える方法を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００３１】
図１は、多層基板をバイメタルとして反り（δ）を算出する式を説明する図である。
【００３２】
これは、材料力学においても、バイメタルの場合の反りの式としてよく知られた式である。
【００３３】
多層基板は、上の配線層および下の配線層を有している。
【００３４】
各々の配線層は、少なくとも２種類の弾性率（Ｅ）の異なる材料（基板樹脂材料ｍ、配線材料ｆ）から成り、それらの材料が２次元方向に各々が異なる占有率（Ｖ）をもって分布している。
【００３５】
この図では、４種類の異なる材料が分布しているように現されている。
【００３６】
反り（δ）は、熱膨張率差（Δα）に比例することが分かる。
【００３７】
図２は、平均熱膨張率差Δαが、多層基板内でばらつきがあることを説明する図である。
【００３８】
グラフで示すように、上下配線層の熱膨張率差によって、反りが発生する。
【００３９】
熱膨張率差（Δα）には、長さスケール（Ｌ）が相対的に小さいパターン（Ｌ１）と、長さスケール（Ｌ）が相対的に大きいパターン（Ｌ２）とが存在する。
【００４０】
本発明においては、長さスケール（Ｌ）が相対的に大きいパターン（Ｌ２）に相当している、大きなうねりだけ補正すればよい。
【００４１】
また、図１の説明にあったバイメタルの式に従って、許容反り量（δmax）に対する特性長Ｌmaxを求めることができる。
【００４２】
図３は、特性長（Ｌ）と反り（δ）との関係を示すグラフである。
【００４３】
許容反り量（δmax）が５μｍの場合、特性長さＬは４．２ｍｍとなる。この他にも、許容反り量（δmax）は、安全率などのパラメータを考慮に入れるなど、様々な仕様に設定することができる。
【００４４】
許容反り量（δmax）は、有限要素法（ＦＥＭ）のシミュレーションを終わらせてもよいかどうかを判断させるにあたっての、閾値として設定することができる。
【００４５】
許容反り量（δmax）は、コンピュータによる実行によって自動的に計算させてもよいし、コンピュータに計算させるための入力としてコンピュータに設定してもよい。
【００４６】
図４は、本発明の手法を示す全体のフローチャートである。
【００４７】
フローチャートで示される処理は、図示しているように、以降の図の番号と対応している。
【００４８】
（１）基板の２次元方向の離散化  →  図５
【００４９】
（２）各要素の複合材料の特性の計算  →  図６
【００５０】
（３）有限要素法による反り量δの計算  →  図９
【００５１】
（４）許容反り量（δmax）に対応する最大長さスケール（Lmax）の計算  →  図２、図３、図１２、図１４または図１５
【００５２】
（５）熱膨張率差Δαのフィルターリング：最大長さスケール（Lmax）より大きい長さスケールのパターンの抽出  →  図７
【００５３】
（６）長さスケールが最大長さスケール（Lmax）よりも大きいパターンの補正  →  図８
【００５４】
（７）補正後の有限要素法による反り量δの計算  →  図９
【００５５】
（８）補正後の反りの計算値が要求値δmaxを満たしているか：δ<δmax ？
【００５６】
（９）最大長さスケール（Lmax）の調整
（１０）最適化終了  →  図１０
【００５７】
すなわち、本発明の手法は、
【００５８】
（１）基板の２次元表面を、平面的に有限な要素へと、離散化するステップと、
【００５９】
（２）各要素について与えられる、２種の弾性率（Ｅ）、２種の占有率（Ｖ）、および、２種の異なる占有率（Ｖ）の差から得られる熱膨張率差（Δα）に基づいて、２次元表面の混合特性を計算するステップと、
【００６０】
（３）有限要素法（ＦＥＭ）によって、計算された２次元表面の混合特性に基づいて、基板の反り（δ）を計算するステップと、
【００６１】
（４）許容反り量（δmax）に対応する最大長さスケール（Lmax）を計算するステップと、
（５）熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、最大長さスケール（Lmax）より長さスケールが大きいパターンに関係している要素を抽出するステップと、
【００６２】
（６）抽出された長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）より大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合を調整することにより熱膨張率差（Δα）を低減するステップと、
【００６３】
（７）有限要素法（ＦＥＭ）によって、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合が調整された結果に基づいて、基板の反り量（δ）を計算するステップと、
【００６４】
（８）計算された反り量（δ）が許容反り量（δｍａｘ）に収まるまで、上記のステップ（５）（６）（７）を繰返すステップとを有する。
【００６５】
図５は、材料の２次元方向の離散化を示す図である。
【００６６】
ここでは、有限要素法を利用している。
【００６７】
有限要素法（ＦＥＭ：FiniteElement Method）とは、数値解析手法の一つであって、解析的に解くことが難しい微分方程式の近似解を数値的に得る方法の一つである。
【００６８】
方程式が定義された領域を小領域（要素）に分割し、各小領域における方程式を比較的単純で共通な補間関数で近似する。
【００６９】
構造力学分野で発達し、他の分野でも広く使われている手法であって、その背景となる理論は、関数解析と結びついて、数学的に整然としている。
【００７０】
複雑な構造物を小さな要素の集合体として、（静的解析の場合）一次方程式に各節点の変位量の境界条件（ディレクレ条件やノイマン条件等）を代入して解く。
【００７１】
対象の構造に外力が加わって変形する場合などを解析する際に、構造解析には大きく分けて、変位を未知数にとる変位法と応力を未知数にとる応力法があるが、有限要素構造解析では変位法が主流である。
【００７２】
反りを計算する本発明は、変位法を利用している。
【００７３】
ここで、シミュレーションの対象となる（１）基板の２次元表面を、平面的に有限要素へと、離散化する。
【００７４】
この図の例では、ｉ方向に１〜１０という１０の要素、ｊ方向に１〜１０という１０の要素、あわせて１００（１０×１０）の有限要素へと離散化されている。
【００７５】
有限な要素において変化していくパラメータは、ソフトウエアのプログラムにおいては、変数を格納するための（典型的には）配列として用意され、多くのメモリ領域（ハードウエア資源）と協働してシミュレーションが実行される。
【００７６】
この明細書では、そのシミュレーション手法を、有限要素法（ＦＥＭ）を用いたものとして説明するが、境界要素法、差分法など、他の数値解析手法にも広く応用することができるものと考えられる。
【００７７】
この点、「有限要素法（ＦＥＭ）によって計算」という用語とその表現は、広く解釈されて然るべきである。
【００７８】
図６は、各要素の複合材料の特性の計算を示す図である。
【００７９】
材料力学においてよく知られた式に従って、（２）各要素の複合材料の特性の計算、すなわち、２次元表面の混合特性を計算することができる。
【００８０】
図７は、熱膨張率差Δαのデジタルフィルターリングとして、 長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）よりも大きいパターンの抽出を示す図である。
【００８１】
熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが相対的に大きいパターンに関係している要素を抽出することができる。
【００８２】
また、これらのパターンは図のように可視化することができる。
【００８３】
（４）熱膨張率差（Δα）をデジタルフィルターリングすることによって、長さスケールが相対的に大きいパターンに関係している要素を抽出することは、高速フーリエ変換後に実行される、デジタルフィルターリングであって、その後に、逆高速フーリエ変換が実行されてもよい。
【００８４】
もっとも、「高速フーリエ変換」による処理は、離散化されてディジタル化されている処理に馴染むものであるが、本発明の適用可能性は、これに限られるものではない。
【００８５】
図８は、長さスケール（Ｌ）が最大長さスケール（Lmax）よりも大きい箇所のパターンの補正を示す図である。
【００８６】
ここで、（５）抽出された長さスケール（Ｌ）が相対的に大きいパターン（Ｌ２）に関係している要素について、２種の異なる占有率（Ｖ）の混合割合を調整することである。
【００８７】
この補正のやり方のオプションとしては、少なくとも３つのオプションがある。
【００８８】
●パターンの部分に補正用のダミーの配線層を加える調整であってもよい。
【００８９】
●変更しても影響の少ない配線層部分である、配線材料ｆの配線密度の調整であってもよい。
【００９０】
●配線層における配線パターン自体の調整であってもよい。
【００９１】
補正後に再び、有限要素法（ＦＥＭ）による計算をすればよい。
【００９２】
ここまで、コンピュータによる実行によって自動的に補正箇所を認識させて計算させてもよいし、ユーザによるマニュアル調整をして、コンピュータに計算を実行させるための入力として設定してもよい。
【００９３】
図９は、補正後の反りの計算を示す図である。
【００９４】
図１０は、有限要素法（ＦＥＭ）による反りの計算例と実際に測定したものとの比較を示す図である。
【００９５】
実際に測定されたものと一致する傾向を読み取ることができる。
【００９６】
図１１〜図１３は、多層配線基板モデルについて説明している。
【００９７】
平均Ｃｕ（銅）配線の体積率を使うことができ、許容反り量に対する特性長さスケールを求めるにあたっては、このようなモデルを利用することもできる。
【００９８】
図１４〜図１５は、非特許文献１からの引用であるが、非特許文献１からの引用である。
【００９９】
許容反り量に対する特性長さスケールを求めるにあたっては、このようなモデルを利用することもできる。
【０１００】
このように混合材料の特性の計算には、様々な方法を応用することができる。
【０１０１】
図１６は、多層基板またはパッケージに本発明を適用するにあたり、補正箇所にダミー配線を加える方法を示す図である。
【０１０２】
電子機器の実装パッケージとしての応用である。
【０１０３】
長さスケールの大きい箇所にダミー配線を配置するなどして、配線に補正をかけることができる。
【０１０４】
本発明の方法に従った設計思想に従って、この図のような多層基板を製造することができ、さらには、その多層基板を含むパッケージを製造することができる。
【０１０５】
この他にも、本発明の方法に従った設計思想を、システム、コンピュータに実行させるコードを含むプログラムという態様によって実現することもできる。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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