(57)【要約】【課題】リング板のピッチがタンク半径に比べて小さくはない場合に、タンクの加速時および減速時の自励振動を予測する。【解決手段】コリオリ加速度と粘性がない場合の変分原理形を求め、コリオリ加速度と粘性を考慮した液体の運動方程式を求め、コリオリ加速度と粘性を考慮した支配方程式系の変分原理形を求め、境界条件及び非圧縮性による体積一定条件を満たすように流体変位、動圧、液面変位の解を設定し、直交関数展開法により一般化座標に関する時間の常微分方程式を求め、タンク１の運動方程式と回転軸３，５を軸受けで支持する部分での力のつりあい式を求め、これらを連立させて解くことによって、液体−弾性回転軸連成系の応答を計算する、ものであって、前記運動方程式は周方向静的流速場を含み、この周方向静的流速場は、周方向の慣性力と粘性力のつりあい式に基づいてタンク壁面１ａにおける境界条件の下で与えられたものである。【選択図】図１
2014108384.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
液体を内蔵し、弾性回転軸に取り付けられて回転する中空円筒形のタンクを備え、このタンク内に前記弾性回転軸の軸方向に等間隔に配置され、前記タンクとは異なる回転速度で回転する前記タンクの半径より小さい半径の複数の円板を備える遠心分離機の自励振動の予測方法であって、
（Ａ）コリオリ加速度と粘性がない場合の変分原理形を求め、
（Ｂ）コリオリ加速度と粘性を考慮した液体の運動方程式を求め、
（Ｃ）（Ａ）と（Ｂ）からコリオリ加速度と粘性を考慮した支配方程式系の変分原理形を求め、
（Ｄ）境界条件及び非圧縮性による体積一定条件を満たすように流体変位、動圧、液面変位の解を設定し、
（Ｅ）直交関数展開法により、（Ｃ）と（Ｄ）から一般化座標に関する時間の常微分方程式を求め、
（Ｆ）タンクの運動方程式と回転軸を軸受けで支持する部分での力のつりあい式を求め、
（Ｇ）（Ｅ）と（Ｆ）を連立させて解くことによって、液体−弾性回転軸連成系の応答を計算する、ものであって、
（Ｂ）の運動方程式は周方向静的流速場を含み、この周方向静的流速場は、周方向の慣性力と粘性力のつりあい式に基づいてタンク壁面における境界条件の下で与えられた、遠心分離機の自励振動の予測方法。
【請求項２】
請求項１に記載の遠心分離機の自励振動予測方法を用いる遠心分離機の自励振動低減方法であって、
前記複数の円板の回転により、周方向にタンクに対して相対的な静的強制流れ場を与え、かつ円板の回転速度をタンクより小さくして、液体のタンクに対して相対的な周方向静的流速を負にするものであって、
前記複数の円板の回転速度は、当該遠心分離機の自励振動を低減するように前記（Ｇ）における液体−弾性回転軸連成系の応答に基づいて決定される請求項１に記載の遠心分離機の自励振動低減方法。
【請求項３】
請求項１に記載の遠心分離機の自励振動予測方法を適用した計算装置であって、
前記（Ｇ）における液体−弾性回転軸連成系の表現を含む所定のプログラムを格納した記憶手段と、
静的液体領域の内半径、静的液体領域の外半径、回転軸の支持点の減衰定数、液体領域の軸方向長さの半分、リング板で仕切られた液体領域の軸方向長さ、回転軸のばね定数、回転軸の支持点のばね定数、タンクの質量、リング板で 仕切られた液体領域の個数の少なくとも１つの値を入力する入力手段と、
前記記憶手段に格納された前記プログラムを読み込んで実行し、前記入力手段に入力された前記少なくとも１つの値に基づいて前記液体−弾性回転軸連成系の応答の値を計算し、この値が閾値を超えたかどうかを判定する演算手段と、
前記演算手段で計算した前記応答の値と前記判定の結果を出力する出力手段と
を含むことを特徴とする計算装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、遠心分離機の振動予測方法及び低減方法並びに計算装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、遠心分離機のような液体を内蔵した中空円筒形のタンクを回転させた際に発生する自励振動を低減する方法が提案されている。下記先行文献１には、液体を含んだ回転するタンク内に、タンク半径と殆ど等しい半径のリング板を軸方向等間隔で入れ、これらのリング板をタンクの回転速度より小さい速度で回転させて、タンクに対して相対的に負の周方向静的強制流速を与えることによって、振動を低減する技術が開示されている。
【０００３】
この先行技術では、タンクの回転速度を一定とし、周方向静的流速を、液体領域全体で半径座標に比例する形に与えるという前提の下、自励振動について解析的に導出していた。具体的には、コリオリ加速度と粘性がない場合の変分原理形を求め、コリオリ加速度と粘性を考慮した液体の運動方程式をＮａｖｉｅｒ−Ｓｔｏｋｅｓ方程式から求め、コリオリ加速度と粘性を考慮した支配方程式系の変分原理形を求め、境界条件及び非圧縮性による体積一定条件を満たすように流体変位、動圧、液面変位の解を設定し、直交関数展開法により一般化座標に関する時間の常微分方程式を求め、タンクの運動方程式と回転軸を軸受けで支持する部分での力のつりあい式を求め、これらの式と前記常微分方程式を連立させて解くことによって、液体−弾性回転軸連成系の応答を計算していた。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開２０１０−１７９２５７号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、タンクの加速時および減速時に、慣性力によって周方向の静的流速が変化した場合の振動低減効果が不明であった。また、周方向の静的流速が液体領域全体で半径座標に比例する形に与えられるため、リング板のピッチがタンク半径に比べて小さい場合のみ相当するものであった。
【０００６】
本願に係る発明は、上述の課題に鑑みて提案されるものであって、タンクの回転速度が一定でない場合に自励振動を予測することができるような遠心分離機の自励振動の予測方法及び低減方法並びに計算装置を提供することを目的とする。また、本願に係る発明は、リング板のピッチがタンク半径に比べて小さくない場合にも適用できるような遠心分離機の自励振動の予測方法及び低減方法並びに計算装置を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
本願に係る遠心分離機の自励振動の予測方法の発明は、液体を内蔵し、弾性回転軸に取り付けられて回転する中空円筒形のタンクを備え、このタンク内に前記弾性回転軸の軸方向に等間隔に配置され、前記タンクとは異なる回転速度で回転する前記タンクの半径より小さい半径の複数の円板を備える遠心分離機の自励振動の予測方法であって、（Ａ）コリオリ加速度と粘性がない場合の変分原理形を求め、（Ｂ）コリオリ加速度と粘性を考慮した液体の運動方程式を求め、（Ｃ）（Ａ）と（Ｂ）からコリオリ加速度と粘性を考慮した支配方程式系の変分原理形を求め、（Ｄ）境界条件及び非圧縮性による体積一定条件を満たすように流体変位、動圧、液面変位の解を設定し、（Ｅ）直交関数展開法により、（Ｃ）と（Ｄ）から一般化座標に関する時間の常微分方程式を求め、（Ｆ）タンクの運動方程式と回転軸を軸受けで支持する部分での力のつりあい式を求め、（Ｇ）（Ｅ）と（Ｆ）を連立させて解くことによって、液体−弾性回転軸連成系の応答を計算する、ものであって、（Ｂ）の運動方程式は周方向静的流速場を含み、この周方向静的流速場は、周方向の慣性力と粘性力のつりあい式に基づいてタンク壁面における境界条件の下で与えられた、ものである。
【０００８】
本願に係る遠心分離機の自励振動予測方法の発明は、前記複数の円板の回転により、周方向にタンクに対して相対的な静的強制流れ場を与え、かつ円板の回転速度をタンクより小さくして、液体のタンクに対して相対的な周方向静的流速を負にするものであって、前記複数の円板の回転速度は、当該遠心分離機の自励振動を低減するように前記（Ｇ）における液体−弾性回転軸連成系の応答に基づいて決定されるものである。
【０００９】
本願に係る計算装置は、前記（Ｇ）における液体−弾性回転軸連成系の表現を含む所定のプログラムを格納した記憶手段と、静的液体領域の内半径、静的液体領域の外半径、回転軸の支持点の減衰定数、液体領域の軸方向長さの半分、リング板で仕切られた液体領域の軸方向長さ、回転軸のばね定数、回転軸の支持点のばね定数、タンクの質量、リング板で 仕切られた液体領域の個数の少なくとも１つの値を入力する入力手段と、前記記憶手段に格納された前記プログラムを読み込んで実行し、前記入力手段に入力された前記少なくとも１つの値に基づいて前記液体−弾性回転軸連成系の応答の値を計算し、この値が閾値を超えたかどうかを判定する演算手段と、前記演算手段で計算した前記応答の値と前記判定の結果を出力する出力手段とを含むものである。
【発明の効果】
【００１０】
本発明によると、タンクの回転速度が一定でない場合に自励振動を予測することができる。また、リング板のピッチがタンク半径に比べて小さくない場合にも適用することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１１】
【図１】解析モデルの模式図である。
【図２】タンク変位の応答を示す図である。
【図３】負の周方向流速Ｖ０の応答への影響を示す図である。
【図４】回転速度が変化する場合のタンク変位の応答を示す図である。
【図５】先行技術によるタンク変位応答を参考例として示す図である。
【図６】回転速度が一定の場合に周方向の静的流速の分布を示す図である。
【図７】回転速度が減速する場合に周方向の静的流速の分布を示す図である。
【図８】深さを減らし、回転速度が一定の場合にタンク変位の応答を示す図である。
【図９】図８のＶ０＝２ｍ／ｓの場合に周方向の静的流速の分布を示す図である。
【図１０】自励振動を低減する計算装置の構成を示す図である。
【図１１】計算装置における一連の動作の流れを示すフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【００１２】
以下、本発明に係る遠心分離機の自励振動の予測方法及び低減方法並びに計算装置について、図面を参照して詳細に説明する。
【００１３】
〔１．まえがき〕
前記特許文献１に開示された先行技術は、遠心分離機等の液体を含んで回転するタンクの自励振動の低減方法であって、タンクに対して相対的に負の周方向静的流速を、タンクよりも遅い回転速度のリング板によって生じさせるものであった。本実施の形態は、前記先行技術に対して下記２点の拡張、改良を提案する。
【００１４】
（１）前記先行技術では、回転速度一定の場合を対象とした。回転加速度がある場合には、慣性力によって、リング板から軸方向に離れた場所で振動低減のための周方向静的流速が変化する。本実施の形態では回転加速度を考慮し、慣性力によって周方向静的流速がリング板からの距離に依存する場合に拡張する。
【００１５】
（２）前回先行技術では、タンクに対する周方向静的流速を、液体領域全体で半径座標に比例する形に与えた。これはリング板のピッチがタンク半径に比べて小さく、液体全体がリング板の速度に等しい周方向静的流速をもつ場合に相当する。しかし、実際にはこの仮定が成立するほどリング板のピッチを小さくすることが困難な場合もあり、この場合、タンクに対する周方向静的流速は、リング板から離れるに伴いタンク壁面で０となる境界条件を満たそうとする。本実施の形態では、この境界条件を考慮する。
【００１６】
〔２．主な記号〕
本実施の形態において用いる、主な記号の意味を下記に列記する。
【数１】
2014108384.tif 000003
【００１７】
〔３．予測方法〕
本実施の形態の予測方法は、まえがきの（１），（２）に対応し、前記先行技術に対して下記（１），（２）を拡張、改良するものである。なお、説明を完備し分かり易くするため、本実施の形態においても前記先行技術について適宜説明する。
（１）液体の周方向の運動方程式［式（１２）］の右辺第２項に、回転加速度による慣性項を追加する。
（２）３．５節で、周方向の静的流れにタンク壁面での境界条件を課す。
【００１８】
〔３．１  計算モデル〕
図１のように、液体２を含むタンク１が弾性支持された弾性回転軸３，５に取り付けられ、角速度Ωで回転している遠心分離機を想定する。液体２の領域はリング板７で次のｎｃ個の区間に仕切られる。
【数２】
2014108384.tif 000004
仮定（２）によって各区間の液体運動は同じとなる。
【００１９】
〔３．２  粘性、コリオリ項を含まない支配方程式系のハミルトンの原理〕
標記の変分原理表示を、渦なし非粘性スロッシングに関する変分原理を用いて導く。この変分原理の任意液体形状に関する一般形を、本問題に適用するため円筒座標表示し、線形化することによって、次式を得る。
【００２０】
【数３】
2014108384.tif 000005
【００２１】
ここで、
【数４】
2014108384.tif 000006
とする。
【００２２】
変分の任意独立性より、次の基礎方程式と境界条件
【数５】
2014108384.tif 000007
【数６】
2014108384.tif 000008
が導出される。
【００２３】
ここで、各式の物理的意味は次のとおりである。
式(2)：液体領域内で満たされるべき連続条件
式(3)：タンク側面で法線方向の流速が０となる条件
式(4)：液体の非圧縮性に基づく体積一定条件
式(5)：液面で法線方向の液面振動速度と流体粒子速度が等しい条件
式(6)：液面で圧力が０となる条件
【００２４】
本問題で考える液体運動は、コリオリ力、粘性のため、速度ポテンシャルでは表わせない。この問題を解決するため、流体の振動変位
【数７】
2014108384.tif 000009
を導入し、次の関係
【数８】
2014108384.tif 000010
【数９】
2014108384.tif 000011
を式（１）に代入して時間について部分積分することにより、次式を導く。
【００２５】
【数１０】
2014108384.tif 000012
【００２６】
〔３．３  コリオリ加速度と粘性を考慮した液体の運動方程式〕
周方向静的流速がない場合、コリオリ加速度と粘性を考慮した液体の運動方程式は、次式によって与えられる。
【００２７】
【数１１】
2014108384.tif 000013
【００２８】
【数１２】
2014108384.tif 000014
【００２９】
ここで、各式の左辺第２項はコリオリ力を表し、左辺第３，４項は回転軸のたわみによる慣性力を表す。振動低減のための周方向静的流速がある場合に拡張するため、非線形項を考慮しておく必要がある。また、液面２ａで流体粘性応力が０になる次の条件が課せられる。
【数１３】
2014108384.tif 000015
【００３０】
〔３．４  周方向静的流速がある場合への拡張〕
周方向静的流速
【数１４】
2014108384.tif 000016
がある場合に拡張するため、次の変更を行い
【数１５】
2014108384.tif 000017
以後は、
【数１６】
2014108384.tif 000018
とする。
【００３１】
静的成分は
【数１７】
2014108384.tif 000019
に依存しないため、この変更によって連続条件
【数１８】
2014108384.tif 000020
は変わらず、運動方程式（１１），（１２）は
【数１９】
2014108384.tif 000021
【数２０】
2014108384.tif 000022
となる（下線部は静的項を表わす）。
【００３２】
境界条件（１３）は次のようになる。
【数２１】
2014108384.tif 000023
ここで、下線部は静的項を表わす。
【００３３】
〔３．５  静的流速場の決定〕
周方向の静的流速場
【数２２】
2014108384.tif 000024
を、式（１５）の静的項
【数２３】
2014108384.tif 000025
と、回転リング板、タンク壁面での流速境界条件
【数２４】
2014108384.tif 000026
【数２５】
2014108384.tif 000027
および、境界条件（１６）第１式の静的項
【数２６】
2014108384.tif 000028
より決定する。
【００３４】
境界条件（１６）第２式は、次節での圧力計算に用いる。下記の変数変換：
【数２７】
2014108384.tif 000029
を行い
【数２８】
2014108384.tif 000030
を求める。
【００３５】
式（２１）の右辺第２項以降は、境界条件（１８），（２０）を満たす式（１７）の特解である。従って、
【数２９】
2014108384.tif 000031
に関する方程式、境界条件は、式（１７）−（２０）より次のようになる。
【００３６】
【数３０】
2014108384.tif 000032
【数３１】
2014108384.tif 000033
【数３２】
2014108384.tif 000034
【数３３】
2014108384.tif 000035
【００３７】
式（２２）は、ラプラス方程式の周方向波数１の変数分離解のｒ，ｚに依存する部分が満たす方程式であることに注意して、式（２３）を満たす式（２２）の解は、次のように表される。
【数３４】
2014108384.tif 000036
【００３８】
ここで
【数３５】
2014108384.tif 000037
【数３６】
2014108384.tif 000038
【数３７】
2014108384.tif 000039
である。
【００３９】
式（２７）で、Ｉ１，Ｋ１は変形ベッセル関数であり、ｃｉは境界条件（２５）から定まる定数である。式（２６）を式（２４）に代入すると
【数３８】
2014108384.tif 000040
となる。
【００４０】
式（３０）の両辺にｇｎｊ（ｚ）を乗じて−ｚｎ≦ｚ≦ｚｎ＋１で積分すると
【数３９】
2014108384.tif 000041
となる。
【００４１】
すなわち
【数４０】
2014108384.tif 000042
である。
【００４２】
ここで
【数４１】
2014108384.tif 000043
式（３１）よりＡｊを求め、式（２６）に代入すると、式（２１）の未知の部分が次のように表わされる。
【数４２】
2014108384.tif 000044
【００４３】
式（３３）を式（２１）に代入すると、所要の静的流速場が次のように求められる。
【数４３】
2014108384.tif 000045
【００４４】
下記の点に注意する。
【数４４】
2014108384.tif 000046
なお、静的流速場を求める別の方法を付録に示す。
【００４５】
〔３．６  運動液面上での圧力〕
式（１４）の静的項より次式を得る。
【数４５】
2014108384.tif 000047
【００４６】
運動液面
【数４６】
2014108384.tif 000048
での静圧の変動成分
【数４７】
2014108384.tif 000049
と動圧ｐｄｙを加えることによって、式（１０）における最終項の液面圧力ｐに関する動的成分が求められる。
【００４７】
〔３．７  変分原理の拡張〕
式（１４），（１５）の動的項、式（１６）の粘性項の仮想仕事表示を式（１０）に付加することにより、粘性力、コリオリ力を考慮した変分原理に拡張し、次のような支配方程式系の変分表示式を得る。
【００４８】
【数４８】
2014108384.tif 000050
【００４９】
ここで
【数４９】
2014108384.tif 000051
を表し、次のように表される。
【００５０】
【数５０】
2014108384.tif 000052
【００５１】
【数５１】
2014108384.tif 000053
【００５２】
下線部が
【数５２】
2014108384.tif 000054
を含む項で、後の数値例題に関する議論で参照する。
【００５３】
〔３．８  直交関数展開による離散化〕
式（３８）をガレルキン法によって時間に関する常微分方程式系に変換するため、次のように流体変位、動圧、液面変位の解を設定する。
【００５４】
【数５３】
2014108384.tif 000055
【００５５】
ここで
【数５４】
2014108384.tif 000056
であり、座標の関数は次のように与えられる。
【００５６】
【数５５】
2014108384.tif 000057
【００５７】
【数５６】
2014108384.tif 000058
【００５８】
式（４１）で流体変位成分は、タンク壁面ｒ＝ｂで零となる境界条件を満たす解（許容関数）となっている。式（４２）によって与えられる液面変位は、非圧縮性による体積一定条件を満たす解（許容関数）となっている。
【００５９】
本問題では、コリオリ加速度により非ポテンシャル流となるため、ラプラス方程式の解とは異なる一般的な直交関数展開表示を用いている。式（４１），（４２）を式（３８）に代入し、ガレルキン法を用いて計算することにより、一般化座標に関する時間の常微分方程式を、次の行列方程式の形に導く。
【００６０】
【数５７】
2014108384.tif 000059
【００６１】
ここで
【数５８】
2014108384.tif 000060
である。
【００６２】
式（４５）をタンクの運動方程式
【数５９】
2014108384.tif 000061
【数６０】
2014108384.tif 000062
および、回転軸の支持部での力のつりあい式
【数６１】
2014108384.tif 000063
【数６２】
2014108384.tif 000064
と連立させて解くことにより、液体、タンク、弾性回転軸から構成される連成系の応答を計算する。
【００６３】
式（４６），（４７）で、ＦＸ，ＦＹは、タンクに作用する液体力で、式（４１）を次式に代入することによって計算される。
【数６３】
2014108384.tif 000065
【００６４】
〔４．  数値例題〕
〔４．１  負のＶ０による振動低減〕
前記先行技術で調べた回転速度一定の場合の負のＶ０による振動低減効果を、タンク１に対する周方向の静的流速がタンク壁面１ａで０となる条件を考慮した本実施の形態の方法を用いて調べる。本実施の形態の方法による結果は、後ほど４．４節で前記先行技術による参考例と比較される。計算諸元は下記の通りである。
【００６５】
【数６４】
2014108384.tif 000066
【００６６】
Ｘ，Ｙ方向の励振力として式（４６），（４７）の右辺にそれぞれ
【数６５】
2014108384.tif 000067
を加え、
【数６６】
2014108384.tif 000068
で時刻歴応答解析を行った。
【００６７】
この時間範囲での
【数６７】
2014108384.tif 000069
をＵＸの大きさとして、回転速度の関数としてプロットした結果を図２（ａ）に示す。
【００６８】
図中の曲線ａは周方向流速Ｖ０＝１ｍ／ｓ、曲線ｂは０ｍ／ｓ、曲線ｃは―１ｍ／ｓ、曲線ｄはＶ０−２ｍ／ｓである。Ｖ０を負にすることによって、振動が低減することが分かる。
【００６９】
なお、横軸の規格化回転速度として、無次元回転数である
【数６８】
2014108384.tif 000070
を用いた。
【００７０】
〔４．２  振動低減の物理的理由に関する考察〕
本考察は前記先行技術においても検討されているが、４．４節で先行技術との比較を行う際に参照するので、本実施の形態でも行う。本考察のため、まず、支配方程式のどの部分に現れるＶ０が振動低減に効いているかを調べる。
【００７１】
【数６９】
2014108384.tif 000071
【００７２】
記号Ｖ０．ｉｎｅｒ，Ｖ０．Ｃｏｒｉ，Ｖ０．ｓｌｏは、それぞれ、慣性項、コリオリ項、スロッシング項のＶ０であることを意味する。記号Ｖ０．Ｃｏｒｉは、式（３９），（４０）の第３項が第４項と同位相であることからコリオリ項として働くことに基づいており、負のＶ０．Ｃｏｒｉは式（３９），（４０）のコリオリ項の係数の絶対値
【数７０】
2014108384.tif 000072
を減少させる効果を有する。
【００７３】
図２（ｂ）は、Ｖ０．ｉｎｅｒ，Ｖ０．Ｃｏｒｉ，Ｖ０．ｓｌｏのうちのどれが振動低減に関与しているかを調べるため、どれか１つを負、他を０とした場合について解析を行った結果を示す。図中の曲線ａは（Ｖ０．ｉｎｅｒ，Ｖ０．Ｃｏｒｉ，Ｖ０．ｓｌｏ）＝（０，−２，０）ｍ／ｓ、曲線ｂは（０，０，０）、曲線ｃは（−２，０，０）、曲線ｄは（０，０，−２）を示している。
【００７４】
スロッシング項のＶ０のみ−２ｍ／ｓとし他は０とした曲線ｄの場合に、全てのＶ０を−２ｍ／ｓとした図２（ａ）の曲線ｄと同等な振動低減効果となっている。したがって、スロッシング項のＶ０が振動低減に効いていることが分かる。
【００７５】
次に、負のＶ０の液体力、液面変位への影響を比較する。式（５０）によって与えられる液体力は、動圧によるものが支配的で粘性応力によるものは小さい。図３（ａ），（ｂ）に液体力、液面変位を示す。図中の曲線ａは周方向流速Ｖ０＝０ｍ／ｓ、曲線ｂは−２ｍ／ｓである。これら図３（ａ），（ｂ）によって、下記の傾向が確かめられる。
（１）液体力、液面変位ともに負のＶ０によって減少する。
（２）負のＶ０による減少は、液面変位よりも液体力に関していくらか顕著である。
【００７６】
タンク振動の低減には、タンクを加振する液体力の低減のほうが、液面変位の低減より重要であるため、傾向（ｂ）はタンク振動の低減に有効である。
【００７７】
傾向（ｂ）の理由は、Ｖ０．ｓｌｏが液面境界条件に現れることに基づいて次のように説明される。下記の記号の定義
【数７１】
2014108384.tif 000073
により、液面の力学的境界条件（式（３８）下線部）から次式が得られる。
【００７８】
【数７２】
2014108384.tif 000074
【００７９】
負のＶ０．ｓｌｏは、式（５１）の下線部を１から減少させる効果を有し、Ｖ０．ｓｌｏが負の場合、
【数７３】
2014108384.tif 000075
となる。
【００８０】
すなわち、負のＶ０．ｓｌｏによって、液面での動圧の方が液面変位より顕著に減少する。液面での動圧の減少は、タンク壁面での動圧を低減する効果を有するので、傾向（ｂ）の結果となる。
【００８１】
このように動圧が減少すると、下記の過程により振動低減が起こる。
（１）液体の運動方程式を介して動圧勾配が流速を励起するため、流速が減少する。
（２）すると、液面での運動学的境界条件を介して流速が液面変位を励起するため、液面変位が減少する。
（３）そして、再び式（５１）によって、液面変位の減少以上の動圧減少が生じる。
【００８２】
すなわち、自律振動系の閉ループメカニズムによって負のＶ０．ｓｌｏによる振動低減が起こると考えられる。実際、Ｖ０を正にすると図２（ａ）のように振動が増大する。
【００８３】
前記先行技術では振動低減の理由として、Ｖ０．ｓｌｏを負にすると液面変位の動圧への影響が減少することまでしか分からなかったが、本実施の形態では上記のように考察を深め、自律振動系の閉ループメカニズムによって説明した。
【００８４】
〔４．３  回転加速度がある場合〕
図４（ａ）は、
【数７４】
2014108384.tif 000076
が正の場合について、加速度のない等速時と比較した例である。図中において、
【数７５】
2014108384.tif 000077
である。
【００８５】
この図４（ａ）は、次のことを示している。すなわち、まず回転加速度が零のとき、負の周方向静的流速を加えることによって、４．１節で述べたように、曲線ａから曲線ｂのように振動が低減される。回転加速度が正になると、周方向の慣性力によってタンクに対して負の周方向静的流速が回転リング板の位置以外で増加する。このため、図４（ａ）の曲線ｃのように、Ｖ０が曲線ｂと同じでも、Ｖ０が零の場合（曲線ａ）からの振動低減が曲線ｂの場合よりも大きくなる。
【００８６】
図４（ｂ）は、回転加速度が負の場合について、等速時と比較した例である。図中において、
【数７６】
2014108384.tif 000078
である。
【００８７】
この場合、周方向の慣性力によってタンクに対して負の周方向静的流速が回転リング板の位置以外で減少する。図４（ｂ）の曲線ｃは、このような場合にも、Ｖ０を曲線ｂの場合よりもさらに絶対値の大きい負値にすることによって、Ｖ０が零の場合（曲線ａ）からの振動低減を、曲線ｂの場合よりもさらに大きくできる例を示している。
【００８８】
これらの例が示すように、回転加速度が生じると周方向の慣性力によって、
（１）回転加速度が正の場合には振動低減効果が増大し、
（２）回転加速度が負の場合にはＶ０をさらに絶対値の大きい負値にすることによって振動低減効果が確保される。
【００８９】
〔４．４  先行技術との比較〕
参考例として、前記先行技術によって得た、図２（ａ），４（ｂ）に対応する結果を図５に示す。図５（ａ）の曲線ａ〜ｄ、図５（ｂ）の曲線ａ〜ｃは、それぞれ図２（ａ），図４（ｂ）と同様である。
【００９０】
図５（ａ），５（ｂ）をそれぞれ図２（ａ），４（ｂ）と、Ｖ０≠０の場合に関し比較すると、前記先行技術と本実施の形態の結果は概ね一致することが分かる。この理由について調べるため、周方向静的流速の分布を図６，７に示す。
【００９１】
図６（ａ）は、本実施の形態の結果を示すものであり、図２（ａ）のＶ０＝−２／ｍの場合に対応している。曲線ａは
【数７７】
2014108384.tif 000079
において、α＝０，１とした回転リング板の位置の場合、曲線ｂはα＝０．２５，０．７５とした場合、曲線ｃはα＝０．５とした場合を示す。
【００９２】
図６（ｂ）は、前記先行技術によるものであり、図５（ａ）のＶ０＝−２ｍ／ｓの場合に対応している。直線ａは前記先行技術によるｚｎ≦ｚ≦ｚｎ＋１の値を示す。
【００９３】
図７（ａ）は、本実施の形態の結果を示すものであり、図４（ｂ）のＶ０＝−３／ｍの場合に対応している。図中の曲線ａ，ｂ，ｃは、図６（ａ）の場合と同様である。図７（ｂ）は、前記先行技術によるものであり、図５（ｂ）のＶ０＝−３ｍ／ｓの場合を示す。図中の直線ａ，ｂ，ｃは、図６（ａ）の場合と同様である。
【００９４】
図６，７より、本実施の形態と前記先行技術による液面での周方向の流速Ｖ０．ｓｌｏの差は小さいことが分かる。液面での周方向の流速Ｖ０．ｓｌｏが、振動低減に寄与する（４．１節を参照）。
【００９５】
このため、本実施の形態と先行技術の結果は概ね一致する。タンク壁面での境界条件の液面での周方向静的流速Ｖ０．ｓｌｏへの影響が図６，７のように小さい理由は、タンク壁面での境界条件考慮のために現れる式（２６）内の変形ベッセル関数項が、タンク壁面よりも液面で小さくなるためである。
【００９６】
しかし、液が浅い場合には、タンク壁面での境界条件の液面での周方向静的流速Ｖ０．ｓｌｏへの影響が増加し、本実施の形態と前記先行技術の差異が生じ、正確な値を求めるには本実施の形態の方法が必要になる。このような場合の例として、無次元深さ（ｂ−ａ）／ｂを０．２に減らした場合の
【数７８】
2014108384.tif 000080
を図８に、周方向静的流速の分布を図９に示す。
【００９７】
図８（ａ）は本実施の形態を示し、図８（ｂ）は前記先行技術を示す。図中の曲線ａ〜ｄは、図２（ｂ）と同様である。図９は、図８のＶ０＝−２ｍ／ｓの場合の周方向の静的な流速分布を示す図である。図８（ａ）の曲線ａ〜ｃは図６（ａ）と同様であり、図８（ｂ）の直線ａは図６（ｂ）と同様である。
【００９８】
〔４．計算装置〕
前述したような自励振動の予測は、図１０に示すような計算装置１０によって実現することができる。この計算装置１０は、ＣＰＵ、ＤＳＰの如き演算部１１、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ハードディスクの如き記憶部１２、ＬＣＤ、プリンタの如き出力部１３、キーボード、マウスの如き入力部１４を含み、例えばパーソナルコンピュータを利用することができる。
【００９９】
図１１に示す計算装置１１の一連の動作は、記憶部１２に格納された自励振動算定プログラム１２ａを演算部１１が読み出して実行することにより実現される。この自励振動算定プログラム１２ａは、前述のような手順によって得られた液体−弾性回転軸連成系の表現を含んでいる。
【０１００】
最初のステップＳ１においては、モデルを設定する。ここでは、前述したような遠心分離機（液体を含んで回転するタンク）のモデルを設定するものとする。入力部１４は、この遠心分離機について、静的液体領域の内半径、静的液体領域の外半径、回転軸の支持点の減衰定数、液体領域の軸方向長さの半分、リング板で仕切られた液体領域の軸方向長さ、回転軸のばね定数、回転軸の支持点のばね定数、タンクの質量、リング板で仕切られた液体領域の個数の少なくとも１つの値を入力値として受け取る。演算部１１は、入力部１４が受け取った入力値を記憶部１２に格納する。
【０１０１】
ステップＳ２においては、演算部１１は、記憶部１２に格納された入力値を読み出し、その数値計算部１１ａにおいて、この入力値に基づいて液体−弾性回転軸連成系の表現を用いてこの自励振動の値を数値計算する。ここで、自励振動の値には、前述した変位の大きさの最大値を用いることができるが、これらに限られない。演算部１１は、得られた自励振動の値を記憶部１２に格納する。
【０１０２】
ステップＳ３においては、演算部１１は、記憶部１２に格納された自励振動の値と、同じく記憶部１２に格納された所定の閾値１２ｂとを読み出す。演算部１１は、その判定部１１ｂにおいて、自励振動の値が閾値１２ｂを超えない場合にはＯＫと判定して一連のステップを終了する。一方、自励振動の値が閾値を越えた場合にはＮＧとして判定して前のステップＳ１のモデル設定に手順を戻す。なお、閾値１２ｂは、入力部１４を介して設定することができる。
【０１０３】
このような一連の工程において、自励振動が所定の閾値内に収まるまでモデル設定、数値計算、判定のループを繰り返すことにより、閾値内に収まるモデル設定を可能としている。また、前述の液体−弾性回転軸連成系の表現を利用することにより、精度の高いモデル設定を可能としている。
【０１０４】
なお、このような自励振動の算定は、記憶部１２に格納し自励振動算定プログラム１２ａのような、前述の液体−弾性回転軸連成系の表現を含み、モデル設定、数値計算、判定のステップを有するプログラムによっても提供することができる。
【０１０５】
〔５．付録〕
この付録においては、３．５節で求めた静的流速を求める別の方法について説明する。
【０１０６】
式（１７）に慣性項を導入した運動方程式
【数７９】
2014108384.tif 000081
の解を次のようにおく。
【数８０】
2014108384.tif 000082
【０１０７】
ここで、
【数８１】
2014108384.tif 000083
【０１０８】
【数８２】
2014108384.tif 000084
【数８３】
2014108384.tif 000085
【数８４】
2014108384.tif 000086
【数８５】
2014108384.tif 000087
【数８６】
2014108384.tif 000088
を満たすよう次式によって設定する。
【０１０９】
【数８７】
2014108384.tif 000089
【０１１０】
ここで
【数８８】
2014108384.tif 000090
【数８９】
2014108384.tif 000091
である。
【０１１１】
【数９０】
2014108384.tif 000092
【数９１】
2014108384.tif 000093
とおき、式（Ａ５），（Ａ６）を用いて導かれる式
【数９２】
2014108384.tif 000094
【数９３】
2014108384.tif 000095
に代入して、未定係数Ｃ１，Ｃ２に関する斉次方程式を導く。
【数９４】
2014108384.tif 000096
【０１１２】
Ｃ１＝Ｃ２＝０以外の解が存在する条件より、係数行列式を０とおき、次式を得る。
【数９５】
2014108384.tif 000097
このｋに関する超越方程式のｍ番目の解を式（Ａ８）に代入する。
【０１１３】
【数９６】
2014108384.tif 000098
式（Ａ４）を満たす基底関数として次のように与える。
【数９７】
2014108384.tif 000099
【０１１４】
式（Ａ７）を式（Ａ２）に代入して
【数９８】
2014108384.tif 000100
を一般化座標ｑｍｉ（ｔ）で表し、その結果得られる式を式（Ａ１）に代入して式（Ａ３）を考慮すると、次のようになる。
【０１１５】
【数９９】
2014108384.tif 000101
【０１１６】
式（Ａ１４）の両辺に
【数１００】
2014108384.tif 000102
を乗じて、ａ≦ｒ≦ｂ，−ｚｎ≦ｚ≦ｚｎ+１で積分を行うことにより、一般化座標に関する時間の常微分方程式系を下記のマトリックス方程式の形に導く。
【０１１７】
【数１０１】
2014108384.tif 000103
【０１１８】
ここで、
【数１０２】
2014108384.tif 000104
である。
【０１１９】
式（Ａ１５）を解くことによって，
【数１０３】
2014108384.tif 000105
の過渡応答を計算し、時間が十分たった定常状態での収束解が求める解である。
【０１２０】
なお、上述の実施の形態は、本発明の一具体例を示すものであり、本発明を限定するものではない。
【符号の説明】
【０１２１】
１  タンク
１ａ  タンク壁面
２  液体
２ａ  液面
３  弾性軸
５  リング板の回転軸
７  リング板
【図１】
2014108384.tif 000106
【図２】
2014108384.tif 000107
【図３】
2014108384.tif 000108
【図４】
2014108384.tif 000109
【図５】
2014108384.tif 000110
【図６】
2014108384.tif 000111
【図７】
2014108384.tif 000112
【図８】
2014108384.tif 000113
【図９】
2014108384.tif 000114
【図１０】
2014108384.tif 000115
【図１１】
2014108384.tif 000116