(57)【要約】      （修正有）【課題】粘弾性だけでなく、超弾性を併せて弾性材料の物性を評価できるモデルを提供する。【解決手段】弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を用い、弾性材料の物性を評価する。【選択図】図１
2014010047.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を、応力−ひずみ曲線式として出力するためのプログラムであって、
コンピュータを、
前記応力及びひずみの相関式におけるパラメータを入力する入力手段、
該入力されたパラメータによって前記応力及びひずみの相関式を特定する特定手段、
及び、該特定された応力及びひずみの相関式を、応力−ひずみ曲線式として出力する出力手段、
として機能させることを特徴とするプログラム。
【請求項２】
前記応力及びひずみの相関式は、Cauchy応力を太字σ、固体の圧力をps、２階の単位テンソルを太字Ｉ、体積変化率をＪ、左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）を上線付きIB、左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）を上線付きIIB、左Cauchy-Green変形テンソルの低減不変量を上線付きＢ、実験により定められる定数をｃ1，ｃ2，ｃ3、実験により定められる定数をｐ，ｑ（ｐ＞０，ｑ＞０）、時間増分をΔｔ、実験により定められる緩和時間をτα（τα＞０）、実験により定められる定数をβα∞（βα∞＞０）で表した場合、以下の式
【数１】
2014010047.tif 000024
で規定される請求項１に記載のプログラム。
【請求項３】
前記応力及びひずみの相関式は、Cauchy応力を太字σ、固体の圧力をps、２階の単位テンソルを太字Ｉ、体積変化率をＪ、左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）を上線付きIB、左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）を上線付きIIB、左Cauchy-Green変形テンソルの低減不変量を上線付きＢ、実験により定められる定数をｃ1，ｃ2，ｃ3、実験により定められる定数をｐ，ｑ（ｐ＞０，ｑ＞０）、時間増分をΔｔ、実験により定められる緩和時間をτα（τα＞０）、実験により定められる定数をβα∞（βα∞＞０）、弾性材料の温度をθ、基準温度（２０℃）をθS、ガラス転移温度であって、材料固有の温度をθg、実験により定められる定数をｄ1，ｄ2で表した場合、以下の式
【数２】
2014010047.tif 000025
で規定される請求項１に記載のプログラム。
【請求項４】
弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を、応力−ひずみ曲線式として出力する装置であって、
前記応力及びひずみの相関式におけるパラメータを入力する入力手段と、
該入力されたパラメータによって前記応力及びひずみの相関式を特定する特定手段と、
及び、該特定された応力及びひずみの相関式を、応力−ひずみ曲線式として出力する出力手段と
を含むことを特徴とする装置。
【請求項５】
弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を用い、弾性材料の物性を評価することを特徴とする弾性材料の物性評価方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、粘弾性とゴム弾性（超弾性）とを併せ持つ物性を示す弾性材料の大変形挙動をシミュレーション上で定量性よく表現するために必要となる応力−ひずみ曲線式を出力するためのプログラム及びその装置並びに弾性材料の物性評価方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
従来より、弾性材料の物性を評価する指標として粘弾性があり、その粘弾性を表現するモデルとしては、弾性要素及び粘性要素を直列に配置した一般化Ｍａｘｗｅｌｌモデルが用いられる。一般化Ｍａｘｗｅｌｌモデルでは、応力及びひずみの相関式、すなわち、応力−ひずみ曲線式を求めることができる。
【０００３】
しかしながら、近年は、弾性材料（例えば粘着剤）の高品質化乃至高付加価値化に伴い、粘弾性だけでは弾性材料の物性を十分に評価できなくなってきている。具体的に言えば、非線形で且つ大変形を起こすような弾性材料であれば、その物性を評価するためには、粘弾性だけでなく、超弾性を指標に加える必要がある。
【０００４】
そこで、本願出願人は、粘弾性モデルである一般化Ｍａｘｗｅｌｌモデルを発展させ、粘弾性−超弾性両方の物性を評価できるモデル（一般化Ｍａｘｗｅｌｌ発展モデル）を作成し、その定式化を行った上で、それを活用できるツールを提案した（特許文献１）。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００５】
【特許文献１】特許第４８５２６２６号公報
【発明の概要】
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本願出願人は、上記特許文献１に記載されたものとは別のアプローチで、新たに粘弾性−超弾性両方の物性を評価できるモデルを作成し、その定式化を行った上で、それを活用できるツールを提案する。
【０００７】
ツールとしての本発明に係るプログラムは、
弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を、応力−ひずみ曲線式として出力するためのプログラムであって、
コンピュータを、
前記応力及びひずみの相関式におけるパラメータを入力する入力手段、
該入力されたパラメータによって前記応力及びひずみの相関式を特定する特定手段、
及び、該特定された応力及びひずみの相関式を、応力−ひずみ曲線式として出力する出力手段、
として機能させることを特徴とする。
【０００８】
かかる構成によれば、物性に応じて異なるパラメータ（必要に応じてその他のパラメータも含む）を入力することで、弾性材料の物性に応じた応力−ひずみ曲線式が出力される。例えば、適宜、パラメータを変更して入力することで、所望の応力−ひずみ曲線式を追求し、また、それに合うような材料設計を行うといったアプリケーションが期待できる。
【０００９】
また、本発明に係るプログラムにおいては、一例として、
前記応力及びひずみの相関式は、Cauchy応力を太字σ、固体の圧力をps、２階の単位テンソルを太字Ｉ、体積変化率をＪ、左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）を上線付きIB、左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）を上線付きIIB、左Cauchy-Green変形テンソルの低減不変量を上線付きＢ、実験により定められる定数をｃ1，ｃ2，ｃ3、実験により定められる定数をｐ，ｑ（ｐ＞０，ｑ＞０）、時間増分をΔｔ、実験により定められる緩和時間をτα（τα＞０）、実験により定められる定数をβα∞（βα∞＞０）で表した場合、以下の式で規定される。
【数１】
2014010047.tif 000003
【００１０】
また、本発明に係るプログラムにおいては、温度依存性を含めた例として、
前記応力及びひずみの相関式は、Cauchy応力を太字σ、固体の圧力をps、２階の単位テンソルを太字Ｉ、体積変化率をＪ、左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）を上線付きIB、左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）を上線付きIIB、左Cauchy-Green変形テンソルの低減不変量を上線付きＢ、実験により定められる定数をｃ1，ｃ2，ｃ3、実験により定められる定数をｐ，ｑ（ｐ＞０，ｑ＞０）、時間増分をΔｔ、実験により定められる緩和時間をτα（τα＞０）、実験により定められる定数をβα∞（βα∞＞０）、弾性材料の温度をθ、基準温度（２０℃）をθS、ガラス転移温度であって、材料固有の温度をθg、実験により定められる定数をｄ1，ｄ2で表した場合、以下の式で規定される。
【数２】
2014010047.tif 000004
【００１１】
また、他のツールとしての本発明に係る装置は、
弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を、応力−ひずみ曲線式として出力する装置であって、
前記応力及びひずみの相関式におけるパラメータを入力する入力手段と、
該入力されたパラメータによって前記応力及びひずみの相関式を特定する特定手段と、
及び、該特定された応力及びひずみの相関式を、応力−ひずみ曲線式として出力する出力手段と
を含むことを特徴とする。
【００１２】
また、別のツールとしての弾性材料の物性評価方法は、
弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を用い、弾性材料の物性を評価することを特徴とする。
【発明の効果】
【００１３】
以上の如く、本発明によれば、粘弾性−超弾性両方の物性を評価できるモデルを作成し、その定式化を行った上で、それを活用できるツールを提供することができる。また、そのツールを用いて、粘弾性と超弾性とを併せ持つ物性を示す弾性材料の大変形挙動をシミュレーション上で定量性よく表現することができるようになる。
【図面の簡単な説明】
【００１４】
【図１】一般化Ｍａｘｗｅｌｌモデルの概念図を示す。
【図２】Operator Split法の概念図を示す。
【図３】（ａ）３種類の引張り速度にて実測した実際の応力−ひずみ曲線図と、各引張り速度に対し、比較形態に係るモデルに基づく計算解によって表現される応力−ひずみ曲線図とを示し、（ｂ）同じ３種類の引張り速度にて実測した実際の応力−ひずみ曲線図と、各引張り速度に対し、本実施形態に係るモデルに基づく計算解によって表現される応力−ひずみ曲線図とを示す。
【図４】（ａ）３種類の温度にて実測した実際の応力−ひずみ曲線図と、各温度に対し、比較形態に係るモデルに基づく計算解によって表現される応力−ひずみ曲線図とを示し、（ｂ）同じ３種類の温度にて実測した実際の応力−ひずみ曲線図と、各温度に対し、本実施形態に係るモデルに基づく計算解によって表現される応力−ひずみ曲線図とを示す。
【発明を実施するための形態】
【００１５】
以下、本発明の一実施形態について説明する。まず、応力及びひずみの相関式を導出するまでの流れを説明する。
【００１６】
応力（Cauchy応力）は、以下の式（１）で表される。
【数３】
2014010047.tif 000005
【００１７】
また、式（１）の右辺の第１項は、Cauchy応力の体積変化項であり、以下の式（２）で表される。
【数４】
2014010047.tif 000006
ここで、psは固体の圧力、太字Ｉは２階の単位テンソル、を表す。
【００１８】
また、式（１）の右辺の第２項は、Cauchy応力の等積変化項であり、図１に示す一般化Ｍａｘｗｅｌｌモデルを有限変形理論に拡張し、弾性部分が超弾性体として表わされるＳｉｍｏの粘弾性モデルに基づき、定式化され、以下の式（３）で表される。
【数５】
2014010047.tif 000007
【００１９】
また、式（３）の右辺の第１項は、弾性ユニットの平衡応力であり（図１参照）、以下の式（４）で表される。
【数６】
2014010047.tif 000008
ここで、Ｊは体積変化率、Ψiso∞はひずみエネルギー密度関数、上線付きIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）、上線付きIIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）、上線付きＢは左Cauchy-Green変形テンソルの低減不変量、太字Ｉは２階の単位テンソル、を表す。
【００２０】
ひずみエネルギー密度関数Ψiso∞として、本発明者は、「山下義裕, 川端季雄: 補強ゴムのひずみエネルギー密度関数の近似式, 日本ゴム協会誌, 65(9), 517-528, 1992.」に開示されたひずみエネルギー密度関数（以下の式（５）’）を検討した。
【数７】
2014010047.tif 000009
ここで、上線付きIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）、上線付きIIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）、ｃ1，ｃ2，ｃ3は実験により定められる定数、ｐは実験により定められる定数（ｐ＞０）、を表す。
【００２１】
しかし、このひずみエネルギー密度関数では、後述する図３（ａ）や図４（ａ）に示されるように、実測の値との相関性は必ずしも良くない。というのも、超弾性材料（例えば粘着剤）の応力−ひずみ曲線は、上記非特許文献が対象とするカーボンブラック補強ゴムの応力−ひずみ曲線に比べ、非線形性が強いからである。
この非線形性は、過去の運動履歴に依存する等積変化項で生じる。従って、等積変化を表す左Cauchy-Green変形テンソルの第二不変量の高次項を追加し、独立な係数を設定することで、超弾性材料の応力−ひずみ曲線をより高精度に記述することができる。そこで、ひずみエネルギー密度関数Ψiso∞として、以下の式（５）を考え出した。
【数８】
2014010047.tif 000010
ここで、上線付きIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）、上線付きIIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）、ｃ1，ｃ2，ｃ3は実験により定められる定数、ｐ，ｑは実験により定められる定数（ｐ＞０，ｑ＞０）、を表す。式（５）’と比べるとわかるように、式（５）の右辺の第４項が、追加されたひずみの第二不変量の高次項である。
【００２２】
また、式（３）の右辺の第２項は、α番目の粘弾性ユニットの非平衡応力であり（図１参照）、以下の式（６）で表される。
【数９】
2014010047.tif 000011
ここで、Δｔは時間増分、ａ（θ）は時間−温度換算因子（移動因子）、ταは実験により定められる緩和時間（τα＞０）、βα∞は実験により定められる定数（βα∞＞０）、を表す。
【００２３】
一般に超弾性材料（例えば粘着剤）は、公称ひずみで数千パーセント以上の極めて大きな変形を生じる。その際の応力−ひずみ曲線は超弾性によりＳ字型に立ち上がり、粘性により速度依存性を示す。また、これらの粘性-超弾性挙動には温度依存性がある。なお、時間−温度換算則は粘弾性材料において一般に成立し、時間と温度を等価に扱えることが知られている。すなわち、粘弾性材料の温度変化を時間変化に変換することにより、温度依存性を表現することができる。本実施形態では、代表的な時間−温度換算則であるＷＬＦ（Williams-Landel-Ferry）式（以下の式（７））を用いた。
【数１０】
2014010047.tif 000012
ここで、θは弾性材料の温度、θSは基準温度（２０℃）、θgはガラス転移温度であって、材料固有の温度、ｄ1，ｄ2は実験により定められる定数、を表す。
【００２４】
ところで、弾性材料の数値解析について、従来はLagrange型有限要素法が用いられてきた。しかし、Lagrange型有限要素法では超弾性材料（例えば粘着剤）の大変形挙動や剥離現象・破壊現象を取り扱うのは難しい。一方、Euler型有限要素法では、空間に固定されたメッシュを超えて物質が変形するため、任意の大変形解析が可能である。また、新たな物質境界面を容易に生成できるため、破壊解析に有利である。そこで、本実施形態では、粘着剤の粘性−超弾性に着目し、その挙動をEuler型有限要素法で解析した。
【００２５】
分子レベルの微視的スケールは考慮せず、連続体として超弾性材料をモデル化すると、連続体の運動方程式は、Euler記述では以下の式（８）で表される。
【数１１】
2014010047.tif 000013
ここで、ρは質量密度、v は速度ベクトル、σはCauchy応力テンソル、bは物体力ベクトル、を表す。
【００２６】
次に、Euler表示における固体変形の記述法を説明する。一般に固体力学において用いられるLagrange表示の場合、物質点の変位ベクトルから各種のひずみテンソルを求め、体変形を記述する。一方、Euler表示の場合、物質点を追跡しないため、変位ベクトルから固体変形を記述できない。そこで、速度ベクトル場から固体変形を記述できるように、左Cauchy-Green変形テンソルの定義式、すなわち、以下の式（９）
【数１２】
2014010047.tif 000014
の両辺を物質時間微分することにより得られる以下の式（10）を導入する。
【数１３】
2014010047.tif 000015
ここで、Ｌは速度勾配テンソル、を表す。すなわち、式（10）を用いることにより、速度ベクトル場から左Cauchy-Green変形テンソルを求めることができる。
【００２７】
式（８）（運動方程式）と、式（10）（左Cauchy-Green変形テンソルの時間発展式）は、以下の式（11）のように一般化して表される。
【数１４】
2014010047.tif 000016
ここで、φとｆは任意関数、ハット付きｖはメッシュ速度、を表す。すなわち、Euler表示の基礎方程式をALE(arbitrary Lagrangian-Eulerian) 表示に拡張しておく。本手法のEuler型解法では物質境界面に境界条件を付与できないため、物質境界面に境界条件を与える問題ではALE型解法を用いる。
【００２８】
式（11）を時間方向に前進差分近似すれば、以下の式（12）となる。
【数１５】
2014010047.tif 000017
【００２９】
本手法では，式（12）のOperator Split法により計算する。Operator Split法の概念を図２に示す。Operator Split法では、式（12）を以下の式（13）と式（14）のように二つの式に分離する。
【数１６】
2014010047.tif 000018
【数１７】
2014010047.tif 000019
式（13）は時間を進める非移流ステップであり、陽的有限要素法により離散化する。なお、右上付きの＊印は非移流ステップ後の値を意味する。式（14）は時間を止めた移流ステップである。速度の移流は中央差分法により計算し、左Cauchy-Green 変形テンソルは数値安定化のために２次精度風上差分法であるMUSCL法により計算する。界面捕捉法としてはVOF(Volume of Fluid)法を採用し、VOF関数の移流方程式もMUSCL法により計算する。
【００３０】
次に、式（１）〜（７）によって求められる応力及びひずみの相関式の妥当性を検証するため、温度及び引張速度の異なる試験条件において、アクリル系粘着剤の一軸引張試験シミュレーションを行った。図３（ｂ）は、温度２０℃の試験体を速度５ｍｍ／ｍｉｎ、５０ｍｍ／ｍｉｎ及び５００ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させたときの応力−ひずみ曲線をそれぞれ示している。また、図４（ｂ）は、温度０℃、２０℃及び４０℃の試験体を５０ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させたときの応力−ひずみ曲線をそれぞれ示している。
【００３１】
式（５）の代わりに式（５）’を用い、温度２０℃の試験体を速度５ｍｍ／ｍｉｎ、５０ｍｍ／ｍｉｎ及び５００ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させた場合（図３（ａ））の応力−ひずみ曲線と実測の値との相関性は、
【数１８】
2014010047.tif 000020
であり、式（５）の代わりに式（５）’を用い、温度０℃、２０℃及び４０℃の試験体を５０ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させた場合（図４（ａ））の応力−ひずみ曲線と実測の値との相関性は、
【数１９】
2014010047.tif 000021
であり、どちらも相関性は必ずしも良くない。
【００３２】
しかし、式（１）〜（７）を用い、温度２０℃の試験体を速度５ｍｍ／ｍｉｎ、５０ｍｍ／ｍｉｎ及び５００ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させた場合（図３（ｂ））の応力−ひずみ曲線と実測の値との相関性は、
【数２０】
2014010047.tif 000022
であり、式（１）〜（７）を用い、温度０℃、２０℃及び４０℃の試験体を５０ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させた場合（図４（ａ））の応力−ひずみ曲線と実測の値との相関性は、
【数２１】
2014010047.tif 000023
であり、どちらも相関性は良い。これにより、粘性と超弾性とによる速度依存性が再現されており、試験体の温度の低下による応力値の上昇を再現できていることがわかる。
【００３３】
このように、本実施形態に係るモデルは、粘弾性−超弾性の物性を示す粘着剤（弾性材料）の変形を表現するモデルとして、妥当性があるモデルであることが確認できたわけである。そして、以上により、粘弾性については従来と同じようにして評価をし、超弾性については、今回提案する方法で評価をすることで、粘弾性と超弾性とを併せ持つ物性を示す弾性材料の大変形挙動をシミュレーション上で定量性よく表現することができるようになる。
【００３４】
ここで、本実施形態に係るソフトウェアは、弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を、応力−ひずみ曲線式として出力するためのプログラムであって、コンピュータを、応力及びひずみの相関式におけるパラメータを入力する入力手段、該入力されたパラメータによって応力及びひずみの相関式を特定する特定手段、及び、該特定された応力及びひずみの相関式を、応力−ひずみ曲線式として出力する出力手段、として機能させるものである。
【００３５】
本実施形態に係る装置は、コンピュータによって構成され、それぞれバスに接続されたＣＰＵ、ＲＯＭ、ワーキングメモリ、フレームメモリ、データ入出力装置、ハードディスク及びディスプレイを備える。ＲＯＭは、上記プログラムや各種パラメータを記憶し、ワーキングメモリは、ＣＰＵが制御を行うために必要なメモリであり、バッファやレジスタ等を含む。ＣＰＵは、ＲＯＭに記憶されたコンピュータプログラムに従って各種演算や処理を行う。データ入出力装置が上記入力手段、ＣＰＵ及びＲＯＭやメモリからなる制御部が上記特定手段を構成する。出力手段については、応力−ひずみ曲線式によって表現される応力−ひずみ曲線をディスプレイに表示させるならば、ディスプレイが出力手段を構成し、また、応力−ひずみ曲線式を外部に送信するならば、入出力装置が出力手段を構成し、また、応力−ひずみ曲線式を制御部内で保有しておくならば（それを用いるアプリケーションが制御部内にインストールされていて、当該パソコン内でアプリケーションを起動させるケースなど）、制御部自体が出力手段を構成する。
【００３６】
また、粘弾性も一緒に評価する観点から、それに関するものもプログラミングされ、装置に保有させる（コンピュータにインストールする）ようにするのが好ましい。
【００３７】
なお、本発明は、上記実施形態に限定されるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない範囲で種々の変更が可能である。
【００３８】
例えば、応力−ひずみ曲線式並びにそれの前提となる各種の相関式は、以上に挙げられたものに限定されるものではなく、その他の適切な近似式に基づいて各種の相関式及びそれに基づいて導出される応力−ひずみ曲線式であってもよい。
【産業上の利用可能性】
【００３９】
本発明は、粘弾性と超弾性とを併せ持つ性質を示す高品質乃至高付加価値な弾性材料を設計するために利用することができる。
【図３】
2014010047.tif 000026
【図４】
2014010047.tif 000027
【図１】
2014010047.tif 000028
【図２】
2014010047.tif 000029